Unidad I
3.4
Probabilidad
Guía del alumno
Enfoques de la Probabilidad.
En nuestro lenguaje es común utilizar las expresiones probablemente, probabilidad, es posible posible que suceda, es probable que, etc. Esas frases o palabras se usan para marcar la ocurrencia de un fenómeno, evento evento o experimento. Aun no existe una interpretación única para describir probabilidad, es decir, los estadísticos, filósofos y científicos en la materia no han podido homogeneizar el concepto, por lo que, existen tres interpretaciones
Frecuencial
Es un proceso que se repite un gran número de veces (n → ∞) bajo las mismas condiciones. Observando que se aproxima a un valor P.
Subjetiva
La persona le asigna una probabilidad ( P) a los resultados posibles de un proceso, con base en la experiencia experiencia de la persona.
Enfoques de la Probabilidad
Clásica
1.4.1
Laplace lo define como: la razón de número de casos favorables al número total de casos igualmente posibles.
Frecuencial.
Frecuencia relativa (Frecuencial) Este enfoque es una aproximación aproximación empírica del concepto de probabilidad; Existe cuando se tiene un número muy grande de observaciones o repeticiones del mismo fenómeno o evento. Al aumentar el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de ocurrencia del evento de interés o favorable se aproxima al valor real de la probabilidad de ese evento. Por ejemplo, si se toman los expedientes de los últimos 1000 nacimientos de un hospital, se puede decir que la probabilidad de que el recién nacido sea niña es
1 2
o 50%. Esta situación sería difícil de observar en 10 nacimientos.
3.4.2 Subjetiva. Hay numerosas situaciones en las que los resultados no son igualmente probables, y no se dispone fácilmente de datos históricos. En este caso, se debe hacer una evaluación subjetiva de la probabilidad. La probabilidad subjetiva es una evaluación evaluación (cuantificar las expectativas expectativas o creencias) creencias) personales de la posibilidad de que ocurra un evento. Por ejemplo cuando tratamos de predecir si lloverá mañana o intentamos evaluar la relación en algunas situaciones ante nuestras acciones u opiniones. 3.4.3 Clásica. La definición clásica de probabilidad fue dada por Laplace, la cual dice que la probabilidad es la razón del número de casos favorables al número total de casos igualmente posibles. Teoría clásica =
Número de casos favorables del experimento. experimento. Número de casos totales del experimento.
Ejemplos 3.49
a) La probabilidad de obtener un 3 al tirar un solo dado. Un dado consta de seis lados S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Número de casos favorables favorables del experimento. = 1 Número de casos totales del experimento. = 6
Entonces la probabilidad de obtener un 3 al tirar un solo dado es de
1 6
b) La probabilidad de sacar un as de una una baraja que consta de 52 cartas (existen (existen 4 ases) es 4 4 ases = de cartas 52 total
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
65
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
c) En un juego de azar con dos dados un jugador gana si en el primer primer tiro la suma de dos es de 7 u 11 ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador gane en el primer tiro?
Solución:
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) S = (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) Suponiendo que los dados no están cargados se tienen 36 posibilidades que son igualmente probables. Considerando el evento de interés: la suma de las dos caras sea de 7 o 11. A = {(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) (5, 6) (6, 5)} 8 La probabilidad de que el jugador gane es de: P ( A) = 36 Ejemplo 3.50
Los números telefónicos en cierta región del distrito federal están compuestos por 8 dígitos, el primero de ellos no es cero. Si se selecciona al azar un número telefónico de la ciudad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la serie 2612? b) ¿Cuál es la probabilidad de que inicie y termine en 5? Solución:
Recordando que los números dígitos son son del 0 al 9 por lo que son 10 números, considerando que el primer número no debe ser cero y el principio de la multiplicación entonces:
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 9 x 10 7 = 90,000000 a) Sea A el número de la serie 2612 la probabilidad es de: 2
6
1
2
1 x 1 x 1 x 1 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 x 10 4 =10, 000 10,000 P( A) = = 0.0001111 90,000000 c) Sea B el número que inicie y termine en 5 5
5
1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 1 = 1 x 10 6 = 1,000000
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
66
Unidad I
P( B) =
Probabilidad
1,000000 90,000000
Guía del alumno
= 0.0111111
Ejemplo 3.51
Una caja contiene 2 medias blancas y 2 medias azules. Se sacan dos medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color) Solución:
Hay 4 c 2 = 6 formas de sacar 2 medias. Solamente dos pares resultarán en pareja. Por tanto p
2 =
1 =
6
3
Ejemplo 3.52
Hay 5 caballos en una carrera. Selena escoge 2 de los caballos al azar y les apuesta. Encuentre la probabilidad de que Selena escoja el ganador. Solución:
Hay 5 c2 p
=
4 =
10
formas de escoger 2 caballos. En cuatro de los pares estará el ganador. De ahí que
2 =
10
5
Ejemplo 3.53
Seis personas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas se eligen al azar. Encuentre la probabilidad de que a) estén casadas casadas b) uno sea hombre y la otra, mujer. Hay
12
C 2 = 66 formas de escoger 2 personas de 12 personas.
a) Hay 6 parejas casadas, de donde p
6 =
1 =
66
11
b) Hay 6 formas de escoger a los hombres y 6 formas de escoger a las mujeres: donde p =
(6)(6) 66
=
36 66
=
6 11
Ejemplo 3.54
Suponga que se depositan 5 canicas canicas en 5 cajas al azar. Encuentre la probabilidad de que exactamente 1 de las cajas esté vacía. Solución:
Hay exactamente 5 5 formas de depositar 5 canicas en las 5 cajas. Si exactamente 1 caja está vacía, entonces 1 caja contiene 2 canicas y cada una de lasa cajas restantes contiene una canica. Hay 5 formas de seleccionar la caja vacía, entonces hay 4 formas de seleccionar la caja que contiene 2 canicas y 5 C 2 10 formas de seleccionar 2 canicas que están dentro de esta caja. Últimamente hay 3! Formas de distribuir las 3 canicas restantes entre las 3 cajas restantes. =
De ahí que: p =
5 ⋅ 4 ⋅ 10 ⋅ 3! 5
5
=
48 125
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
67
