33 Soal dan Pembahasan Analisis Real.doc

Ain Wa Ra

0

PEMBAHASAN SOAL-SOAL S OAL-SOAL ANALISA RIIL

1. Misalkan  A = { x |  x ≤ 2} dan  B = { x | x ≤ 3} , bukikan ba!"a A ⊆ B  Penyelesaian A#bil s$ba%an&  x ∈ A, bukikan  x ∈ B  x ∈ A ⇒  x ≤

2 ⇒  x ≤ 3 ⇒ x ∈ B

s$!in&&a A ⊆ B

2. Misalkan

A,

B

dan

'

suau

!i#(unan,

Bukikan

ba!"a

)ika

A ⊆ B dan B ⊆ ' #aka A ⊆ '*

 Penyelesaian Misalkan  x ∈ A, adi  x ∈ '  x ∈ A ⇒ x ∈ B   +

ka%$n ka%$naa A ⊆ B , ka%$n ka%$naa B ⊆ ' ⇒ x ∈ ' , akibana  x ∈ A,   s$!in&&a

A ⊆ '*

3. Misalkan A s$ba%an& !i#(unan, bukikan ba!"a )ika A ⊆ φ   #aka A

= φ 

 Penyelesaian Hi#(una Hi#(unan n k.s.n& k.s.n& φ   adala! subs$ da%i s$ia( !i#(unan, !i#(unan, s$!in&&a φ  ⊆ A* ka%$na φ  ⊆ A dan A ⊆ φ   #aka A = φ  *

/adi $%buki ba!"a )ika A ⊆ φ   #aka A

= φ 

4. Misalkan A dan B suau !i#(unan, bukikan ba!"a A ⊆ B ⇒ B + A = B - A  Penyelesaian B + A = B - A  a%ina +i* B + A ⊆ B - A dan +ii* B − A ⊆ B + A

+i* B + A ⊆ B - A Misallkan  x ∈ B + A , adi ba!"a  x ∈ B − A  x ∈ B + A ⇔  x ∈ +B ∪ A dan x ∉ +B ∩ A ⇒  x ∈ B dan x ∉ A +ka%$na A ⊆ B 

⇔  x ∈ B − A , s$!in&&a B + A ⊆ B - A

+ii* B − A ⊆ B + A Misallkan x ∈ B − A , adi ba!"a  x ∈ B + A  x ∈ B − A ⇔  x ∈ B dan x ∉ A , akibana  x ∈ B ∪ A = A ∪ B   da dan  x ∉ A ∩ B

+ka%$na A ⊆ B  ⇔  x ∈ B + A , s$!in&&a B − A ⊆ B + A /adi da%i +i dan +ii $%buki ba!"a A ⊆ B ⇒ B + A = B - A

1

5. Misalkan

 A,  A,

 B   B 

da dan

C  adala ala!

s$ba%an&

!i#(unan nan,

Bukikan

ba!"a !"a

 A − + B ∩ C  = + A −  B  ∪ + A − C 

 Penyelesaian Akan diun)ukan ba!"a  +i*  A − + B ∩ C  ⊆ + A −  B ∪ + A − C  Misalkan  x ∈  A − + B ∩ C   adi ba!"a  x ∈ + A −  B  ∪ + B − C   x ∈  A − + B ∩ C  ⇔  x ∈ A  dan  x ∉ + B ∩ C  ⇒  x ∈ A  dan  x ∈ + B ∩ C  c ⇒  x ∈ A

dan  x ∈ B c aau * x ∈ C c ⇒  x ∈ A  dan  x ∈ B c aau  x ∈  A  dan  y ∈ C c ⇔  x ∈  A  dan

 x ∉ B  aau  x ∈  A  dan  x ∉ C  ⇔  x ∈ + A − B  aau  x ∈ + A − C 

⇔  x ∈ + A −  B  ∪ + A − C 

S$!in&&a  A − + B ∩ C  ⊆ + A −  B ∪ + A − C  +ii* + A −  B ∪ + A − C  ⊆  A − + B ∩ C  Misalkan  x ∈ + A −  B  ∪ + A − C   adi ba!"a  x ∈  A − + A ∩ C  aau  x ∈ + A − C  ⇔  x ∈ A   da dan  x ∉ B  x ∈ + A −  B  ∪ + A − C  ⇔  x ∈ + A − B   a aau aau  x ∈  A   dan  x ∉ C  ⇔  x ∈ A   dan  x ∈ B c   aau aau  x ∈  A dan  x ∈ C c ⇒  y ∈ A dan  x ∈ B c  aau  x ∈ C c ⇒  x ∈ A  dan  x ∈ + B ∩ C  c ⇒  x ∈  A − + B ∩ C  S$!in&&a + A −  B ∪ + A − C  ⊆  A − + B ∩ C  /adi da%i +i +i dan +ii $%buki ba!"a   A − + B ∩ C  = + A −  B  ∪ + A − C  6. Misalkan A dan B suau !i#(unan salin& asin&, bukikan ba!"a )ika A dan B !i#(unan ini, #aka A  ∪ B dan A  ∩ B adala! ini*  Penyelesaian A ini ⇔ A   N 4{a1, a2, a3,5,an} dan B ini ⇔ B   N 4{ b1, b2, b3,5,bn } #aka

A ∪ B 4{ a1, b1, a2, b2, a3, b3, 5, an, bn }N, )adi A ∪ B ini, dan A ∩ B = φ  , )adi A ∩ B ini* #$%u(akan kan k.l$ks k.l$ksii da%i da%i !i#(una !i#(unan n dan E #$%u(ak #$%u(akan an 7. /ika {A1, A2, A3, 5, An } #$%u(a n

!i#(unan s$ba%an&, bukikan

Ε  − Αi = i =1

n

+Ε  − Αi  i =1

 Penyelesaian Adi 

i

n

n

i =1

i =1

Ε  − Αi ⊆ ( Ε  − Αi )

2

n

 

n

ii ( Ε  − Αi )

⊆ Ε  − Αi

i =1

i =1

n

n

 i Misal  χ  ∈ Ε  − Αi  adi  χ  ∈ +Ε  − Αi  i =1

i =1

n

n

 χ  ∈ Ε  −  Ai ⇔  x ∈ E dan  x ∉ Ai i =1

i =1

n

 x ∈ E dan  x ∈ +Ai  6

⇔

i =1

n

⇔

 x ∈ E dan  x ∈ Ai 6 i =1

6

⇔  x ∈ E dan  x ∈ Ai , ∀ i =1, 2, 3, ***, n ⇒  x ∈ E dan  x ∉ Ai, ∀i =1, 2, 3, ***, n ⇒

χ  ∈ ( Ε  − Αi ) , ∀ i =1, 2 , 3,*************, n n

⇒  χ  ∈ ( Ε  − Αi ) i =1

/adi

n

n

i =1

i =1

Ε  − Αi ⊆ ( Ε  − Αi ) n

n

i =1

i =1

ii Misal  χ  ∈ ( Ε  − Αi )  , adi  χ  ∈ Ε  − Αi n

 χ  ∈ ( Ε  − Αi )

⇒

χ  ∈ ( Ε  − Αi ) , ∀ i =1, 2 , 3,*************, n

i =1

⇒  x ∈ E dan  x ∉ Ai, ∀i =1, 2, 3, ***, n 6

⇔  x ∈ E dan  x ∈ Ai , ∀ i =1, 2, 3, ***, n n

⇔

 x ∈ E dan  x ∈ Ai 6 i =1 n

⇔

 x ∈ E dan  x ∈ +Ai  6 i =1

n

⇔  x ∈ E dan  x ∉ Ai i =1 n

⇒  χ  ∈ Ε  − Αi i =1

n

/adi ( Ε  − Αi ) i =1

n

⊆ Ε  − Αi i =1

7a%i i dan ii da(a disi#(ulkan ba!"a 

3

n

n

i =1

i =1

Ε  − Αi = ( Ε  − Αi )

8. Misalkan A, B, ' dan 7 suau !i#(unan, bukikan ba!"a )ika A ⊆ B dan ' ⊆ 7 #aka +A × ' ⊆ +B × 7  Penyelesaian Misalkan +a, 6 ∈ A × ' , adi +a, 6 ∈ B × 7 +a, 6 ∈ A × ' ⇔ a ∈ A dan 6 ∈ ' , ka%$na A ⊆ B dan ' ⊆ 7 #aka a ∈ B dan b ∈ 7 ,

a%ina +a, 6 ∈ B × 7 * S$!in&&a +A × ' ⊆ +B × 7 * /adi $%buki ba!"a )ika A ⊆ B dan ' ⊆ 7  #aka +A × ' ⊆ +B × 7 9. Misalkan A, dan B suau !i#(unan, bukikan ba!"a a* )ika A ∪ B = φ   #aka A

= φ   dan B = φ 

 b* )ika A ∩ B = φ   #aka A

= φ   aau B = φ 

 Penyelesaian a* )ika A ∪ B = φ   #aka A

= φ   dan B = φ 

7$n&an k.n%adiksi  Andaikan A

≠ φ    aau aau B ≠ φ  ,

Akibana #ini#al sala! sau da%i A aau B adala!

!i#(una !i#(unan n k.s.n&* k.s.n&* S$bu S$bu sa)a sa)a A adala! adala! !i#(un !i#(unan an k.s.n& k.s.n& + A = Φ , akibana akibana  A ∪  B ≠ Φ  ,

(ada!al  A ∪ B = Φ * Hal ini adala! dua k$adaan an& b$%$nan&an*

/adi, ($n&andaian  A ≠ Φ  aau  B ≠ Φ sala!* Akibana,  A = Φ  dan  B = Φ /adi, $%buki ba!"a  )ika A ∪ B = φ   #aka A  b* )ika A ∩ B = φ   #aka A

= φ   dan B = φ 

= φ   aau B = φ 

7$n&an k.n%adiksi  Andaikan A

≠ φ    dan B ≠ φ  ,

akiban akibanaa

 A ∩  B ≠ Φ

  , (ada (ada!al !al  A ∩  B = Φ * Hal ini

adala! dua k$adaan an& b$%$nan&an* /adi, ($n&andaian  A ≠ Φ  dan  B ≠ Φ sala!* Akibana,  A = Φ  aau  B = Φ /adi, $%buki ba!"a  )ika A ∩ B = φ   #aka A

10. Misalkan   f  + x =

 x  x + 1

= φ   aau B = φ 

, $nukan 7 f 

 Penyelesaian

8

  f  + x =

 x  x + 1

Sa%a a&a% 7   ∈ R  +i*  x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 +ii*

 x  x + 1

≥0

9)i iik @@@@@@@@

------

@@@@@@@@

-1

0

/adi 7 f 4 + −∞ , −1 ∪ : 0, ∞   x

11. 11. Misalkan   f  + x =

 x + 1

dan  g + x = 1 − x 2 , $nukan  R  f   ∩ D g 

 Penyelesaian  x

a*  y =   f  + x =

⇔  x =

−  y

 x + 1 2

2  y − 1

Sa%a 1 −  x 2

=

⇔  y

 y

2

=

 x  x + 1

2

⇔  xy +  y

2

1− y

−1

2

⇔   f   + x =

 x

2

= x ⇔  xy

2

−  x = − y

2

2

1 −  x

2

≠ 0 ⇔ x ≠ ±1

7  f -1 4 R  f  4  4 R-{-1, 1}  b*  g + x = 1 − x 2 Sa%a 1 −  x 2 ≥ 0 ⇔  x 2 ≥ 1 ⇔  x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤

x ≤1

7 g  4  4 :-1, 1; /adi  R  f   ∩ D g  4 R -{-1, -{-1, 1} Misallkan kan 12. Misa

 f  

A

∩ :-1,

<

1; 4 +-1, 1

B

dan

=⊂ B

dan

> ⊂ B,

buk bukikan

ba!"a !"a

  f  −1 +   ∩ Y  =   f  −1 +   ∩  f  −1 +Y 

 Penyelesaian   f  −1 +   ∩ Y  =   f  −1 +   ∩   f  −1 +Y 

adi

−1 −1 −1 +i*   f   +   ∩ Y  ⊆   f   +   ∩  f   +Y   dan −1 −1 −1 +ii*   f   +   ∩  f   +Y  ⊆   f   +   ∩ Y 

?

− − +i* #isalkan  ! ∈  f  −1 +   ∩ Y  adi  ! ∈  f   1 +   ∩   f   1 +Y  −1

 ! ∈  f   +   ∩ Y  ⇔   f  + !  ∈    ∩ Y  ⇔   f  + !  ∈    dan   f  + !  ∈ Y  −1

−1

−1

−1

⇔  ! ∈  f   +   dan  ! ∈  f   +Y  ⇔  ! ∈  f   +   ∩  f   +Y  −1 −1 −1 S$!in&&a   f   +   ∩ Y  ⊆   f   +   ∩  f   +Y 

− − − +ii* Misalkan  ! ∈  f   1 +   ∩   f   1 +Y   adi ba!"a  ! ∈  f   1 +   ∩ Y  −

−

−

−

 ! ∈  f   1 +   ∩   f   1 +Y  ⇔  ! ∈  f   1 +   dan  ∈  f   1 +Y  −1

⇔   f  + !  ∈    dan   f  + !  ∈ Y  ⇔   f  + !  ∈    ∩ Y  ⇔  ! ∈  f   +   ∩ Y  −1 −1 −1 S$!in&&a   f   +   ∩  f   +Y  ⊆   f   +   ∩ Y 

/adi da%i +i dan +ii #aka $%buki ba!"a   f  −1 +   ∩ Y  =   f  −1 +   ∩  f  −1 +Y  13. A dan B s$ba%an& dan  A ⊆  B /ika A /ika A 6.unabl$  6.unabl$ dan B dan B un6.unabl$,  un6.unabl$, #aka bukikan ba!"a a  A ∩ B 6.unabl$  B 6.unabl$  b  A ∪ B  un6.unabl$ 6  A @  A @ B  B un6.unabl$  un6.unabl$ /a"ab a  A ∩ B 4  B 4 A  A +ka%$na  +ka%$na  A ⊆  B  dan A dan A 6.unabl$,  6.unabl$, akibana  A ∩ B 6.unabl$  B 6.unabl$  b 7$n&an k.n%adiksi Andaikan ba!"a  A ∪  B  6.unabl$* B$%dasa%kan $.%$#a #aka B #aka B 6.unabl$  6.unabl$ ka%$na A ka%$na A 6.unabl$* Hal ini b$%$nan&an d$n& d$n&an an  B un6.un un6.unabl abl$* $* S$!in&&a S$!in&&a ($n&andai ($n&andaian an ba!"a ba!"a  A ∪  B   6.unabl$ sala!, s$!a%usna  A ∪  B  un6.unabl$* 6 Andaik Andaikan an ba!"a ba!"a A @ B 6.un 6.unabl abl$* $* B$%d B$%das asa% a%ka kan n d$i d$ini nisi si  A +  B = + A ∪  B − + A ∩ B * Maka Maka b$%d b$%das asa% a%ka kan n $.% $.%$# $#aa ++ A ∪  B − + A ∩  B ∪ + A ∪  B =  A ∪  B  dan  A ∪  B  6.unabl$ +b$%dasa%kan ba&ian

 b* Hal ini b$%$nan&an d$n&an  A ∪  B

un6.unabl$* un6.unabl$* S$!in&&a S$!in&&a ($n&andaian ($n&andaian

 ba!"a A @ B 6.unabl$ sala!, s$!a%usna A @ B un6.unabl$ 14. Misalkan A, B, ' #asin&-#asin& !i#(unan 6.unabl$,bukikan ba!"a a*  A ×  B 6.unabl$



 b* + A ×  B ∪ C   6.unabl$  Penyelesaian Misalkan   A = { a1 , a2 , a3 ****************}  B = { "1 , "2 , "3 ********** ******} C  = { c1 , c 2 , c3 ********** ******}

a

Adi ba!"a AxB  6.unabl$  AxB = { + a, " a ∈  A

#an

" ∈  B}

 Naakan   P 1 = {+ a1, y |  y ∈  B}   B  6.unab$

 P 2 = {+ a 2, y  |  y ∈ B}   B  6.unab$

 P 3 = {+ a 3, y  |  y ∈  B}   B  6.unab$

. . .  P i = {+ ai , y  |  y ∈ B}   B  , P   , P i unuk s$ia( i s$ia( i 6.unabl$  A ×  B

=  P  1 ∪  P  2 ∪  P  3 ∪ **** ∪  P  i =

P i i =1

M$nu%u $.%$#a  $%isal&an  A1 ,  A2 , A3 ********** *****  'i()*nan-'i()*nan yang c+*n,a"le  Ai 'i()*nan c+*n,a"le (a&a U i 1 −

Akibana

 AxB

 P i

=

i =1

, !i#(unan an& 6.unabl$

/adi, $%buki ba!"a   AxB , 6.unabl$ Adi ba!"a + AxB ∪ C   6.unabl$

 b

C$la! $%buki  AxB  !i#(unan an& 6.unabl$  AxB

=

 P i i =1

+ AxB, ∪ C 

     P i ∪ C  =   P i    ∪ C  =  i =1   i =1  

M$nu%uu $.%$#a  Ai Akibana  U i −1

∪ C 

 adala! !i#(unan an& 6.unabl$

/adi, $%buki ba!"a  + AxB ∪ C  , 6.unabl$ D

15. Misalkan  P  = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ D} * A(aka! P $%baas dan un6.unabl$ Penyelesaian  •

P $%baas d$n&an baas ba"a! 2 dan baas aas D

•

Adi P un6.unabl$ Bua f  Bua f     :0, 1;

 P

s$!in&&a f  s$!in&&a f  in)$ki  in)$ki an& did$inisikan s$ba&ai 

 f + x  x 4 2 @ +D F 2 x  x 4 ?G @ 2 /$la /$lass  f  in)$ki   in)$ki s$!in&&a :2, D; $kial$n d$n&an :0, 1;* a%$na :2, D; $kial$n d$n&an d$n&an

:0, 1; dan :0, 1; un6.un un6.unabl abl$$ +b$%da +b$%dasa% sa%kan kan $.%$# $.%$#a a #aka #aka :2, D;

un6.unabl$ Akibana  P  = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ D}  un6.unabl$ 16. Misalkan   f  + x  =

x + 1  dan  g + x  = x

2

+1

a* P$%i P$%iks ksaa a(ak a(aka! a! & .  $%d$inisi  b* /ika a, $nukan & .   Penyelesaian a*

  f  + x  =

x +1

 x + 1 ∈  R  )ika  x + 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ -1  D  f   = { x ∈  R |  x ≥ −1} = [ − 1, ∞ )  x + 1,  x ∈ : −1, ∞ } = [ 0, ∞ )

 R  f   = { y ∈  R |  y =

 b*

 g + x  = x 2 + 1 G 2 + 1 ∈  R , ∀ x ∈  R  D g  =  R = + −∞ , ∞ 

 R g  = { y ∈ R |  y =  x + 1, unuk suau G ∈ 7 & } = { y ∈ R |  y ≥ 1} = [1, ∞ ) 2

a* a(aka! & .  $%d$inisi  R  f   ∩ D g  = :0, ∞  ∩ +−∞, ∞ = :0, ∞  ≠ φ 

a%$na  R  f   ∩ D g 

≠ Φ  #aka

& .  $%d$inisi

 b*  g    f   =  g +  f  ( x )  =  g +  x + 1 = +  x + 1 2 + 1 = + x + 1 + 1 = x + 2 

J

17. Misalkan

A,

B,

',

dan

R   A →  B, S   B → C , dan C  C  →  D ,

7

adala!

suau

!i#(unan*,

Bukikan ba!"a + R 0  /  =  R +0  /  







 Penyelesaian Adi ba!"a +i* +R  S  C

⊆ R  +S  C dan +ii* R  +S  C ⊆ +R  S  C

+i* +i* Misal Misalkan kan +a, d ∈ + R 0  /  , Maka ada suau 6 di ' s$d$#ikian !in&&a +a,6 

∈ + R





0    dan +6,d∈ /  * a%$na a%$na +a, 6 ∈ + R



0  , ada suau b di B s$d$#ikian

s$!in&&a s$!in&&a +a,b∈ R dan +b,6 +b,6∈ 0  * a%$na+b,6 a%$na+b,6∈ 0  dan +6,d ∈ /  , +b,d +b,d∈ 0  /  * 

+a,b ∈ R dan +b,d∈ 0  /  , #aka kia da(akan +a,d∈ R +0  /  d$n&an d$#ikian 





+ R 0  /  ⊆  R + 0  /  * 







+ii* Misalkan +a, d ∈  R + 0  /  , Maka ada suau b di B s$d$#ikian !in&&a +a,b∈ R 

dan +b,d

∈ + 0  /  * 



a%$na +b,d ∈ + 0  /   ada suau 6 di ' s$d$#ikian s$!in&&a 

+b,6 ∈ 0  dan +6,d∈ /  * a%$na +a,b ∈ R  dan +b,6 ∈ 0  , +a,6 ∈ R 0  * +b,6 ∈ R 0  

dan

+6,d∈ /  ,

#aka

kia

da(akan

+a,d∈ + R 0  /  d$n& d$n&an an 





d$#ik d$#ikia ian n

 R + 0  /  ⊆ + R 0  /  







7a%i +i dan +ii $%buki ba!"a + R 0  /  =  R + 0  /  * 







Misalkan f + x  x 4 l+g  x  x2* 18. Misalkan f  ".

C$nukan 7 f 

c.

/ika P 4 :2, 8* C$nukan f  C$nukan f  F1+P*

Penyelesaian 

a* a%$na G2 ≥  0,  f + x  x $%d$inisi (ada s$#ua bilan&an %iil d$n&an x d$n&an x ≠ 0 7 f 4 + −∞ ,0 ∪ +0, ∞  a* Misal G ∈    F1+P , Maka +G ∈ P aau l.& G2 ∈  :2,8 2 ≤ l.& G2 K 8 l.& 102 ≤  l.& G2 K l.& 1002 10 ≤ G K 100   F1+P 4 :10, 100 2 19. Misalkan   f  + x = x + 2  dan  g    f   =  x 

+ ?x +  ,

$nukan  g + x  4 5

 Penyelesaian 2

 g    f   =  g +  f  + x =  g + x + 2 =  x + ?x +  



Misalkan

a =  x + 2 ⇔  x = a − 2

Maka  g +a = +a − 2 S$!in&&a  g + x =  x 2

2

2

2

+ ?+a − 2 +  = a − 8a + 8 + ?a − 10 +  = a + a

+  x

20. S$l$saikan ($%sa#aan b$%iku, #asin&-#asin& d$n&na aGi.#a la(an&an aau $.%$#a* a. 2 x @ ? 4 J ". x2 4 2 x c. + x-1  x-1 + x@2  x@2 4 0  Penyelesaian a. 2 x @ ? 4 J 2 x @ ? @ +-? 4 J @ +-? 2 x @  x @ 0 4 3 2 x 4  x 4 3 2 x* 2*

1

=

2

1 2

3*

1 2

* x = 3*

1* x

=

 x =

3 2

1 2

3 2

". x2 4 2 x  x*  x x 4 * x 4 2* x  x  x* x*

1  x

=

2* x*

1  x

 x*1 = 2*1

 x 4  x 4 2 c. + x@1  x@1 + x@2  x@2 4 0 B$%dasa%ka $.%$#a, #aka + x@1  x@1 4 0 aau + x@2  x@2 4 0, s$!i#&&a + x@1  x@1 4 0  x @ 1 @ +-1 4 0 @ +-1  x @ 0 4 +-1 @ 0  x 4 -1

10

aau + x@2  x@2 4 0 d$n&an lan&ka! an& s#a di($%.l$! x di($%.l$! x 4  4 -2 /adi x /adi x 4 -1 aau x aau x 4  4 -2 21. Bukikan ba!"a, )ika a, b ∈  R  #aka a* F +a +a @ b 4 +-a +-a @ +-b +-b  b* +-a*+-b 4 a*b  Penyelesaian a* F +a @ b b 4 F 1* +a @ b 4 -1* -1* a @ -1* -1* b 4 +-a +-a @ +-b +-b  b* +-a*+-b 4 +-1* a*+-1* b 4 +-1* +-1* +-1*a*b 41* a*b 4 a*b bukikan a K b )ika dan !ana )ika a2 K b2 22. Misalkan a dan b (.sii, bukikan  Penyelesaian Akan dibukikan +i* /ika a K b #aka a2 K b2 dan +ii* /ika a2 K b2 #aka a K b +i*

/ika a K b #aka a2 K b2 a%$na a K b dan a, b (.sii, #aka a2 K ab dan ab K b2 s$!in&&a a2 K b2

+ii*

/ika a2 K b2 #aka a K b a2 K b2, #aka b2 - a2 4 +b@a +b-a adala! (.sii* a%$na a,b (.sii #aka +b@a (.sii, s$!in&&a #$nu%u $.%$#a !a%usla! +b-a  )u&a (sii* 7$n&na d$#ikian #$nu%u d$inisi a K b /adi da%i +i dan +ii $%buki ba!"a #isalkan a, b (.sii, a K b )ika dan !ana ! ana )ika a2 K b2

1 23. Bukikan ba!"a ($n)u#la!an bilan&na (.sii a dan a  l$bi! b$sa% aau sa#a d$n&an

2, aiu )ika a  0 #aka a +

1 a

≥ 2*

 Penyelesaian /ika a 4 1 #aka

1 1 4 1, s$!in&&a a + = 2 , s$balikna a a

/ika a  1 #ka a F 1  0, s!in&&a +a-12  0 aau a2- 2a @ 1 0 aau a2@ 1  2a* a%$na a  0 #aka kia bisa #$n&alikan k$idaksa#aan $%s$bu d$n&an

1 ,s$!in&&a a

di($%.l$!

11

1 1  2a* a a

+a2@ 1* +a*a@ 1* a*a*

1 1 1 @ 1*   2*a* a a a

a*1@ 1* a@

1 1  2*a* a a

1   2*1 a

1   2 a

 )adi $%buki ba!"a )ika a  0 #aka a +

1 a

≥ 2*

2 24. Bukikan ba!"a )ika |G F 3| ≤ 2 #aka |G  F | ≤ 1J *

 Penyelesaian | x 2 − L | 4 |+G - 3+G @ 3|  4 |G F 3||G @ 3|

≤  2 |G F 3 @ | ≤ 2 +|G F 3| @  ≤ 2 + 2 @  ≤ 1 ≤ 1J /adi |G F 3| ≤ 2 ⇒  |G2 F | ≤ 1J 25. Cun)ukkan ba!"a a* 0 < a < 1 ⇒ 0 < a 2 < a < 1  b*

a >1⇒1< a < a

2

 Penyelesaian a* 0 < a < 1 ⇒ 0 < a 2 < a < 1 a%$na aK1 dan a0, #aka #$nu%u $.%$#a a*a K 1*a aau a2Ka, s$!in&&a 0Ka2KaK1  b*

a >1⇒1< a < a

2

a%$na a 1 +s$6a%a ..#ais ..#ais a  0, #aka #$n%u $.%$#a a*a  1*a aau a2a, s$!in&&a

a

2

>  a > 1

12

26. Misalkan ba%isan + x n   d$n&an x n

=

n n +1

* Bukikan ba!"a  x n

→ 1

 Penyelesaian 7ib$%ikan

>0

ε 

∋ n ≥  2  ⇒  x n − 1 < ε 

7i6a%i  7i6a%i  asli su(aa  x n − 1 =

=

n n +1 n n +1

1 n +1

< ε  ⇒ 2  >

 2 

n +1

+1

n

1

n +1

−

1

=

=

−1

1

≤

n

≤

1  2 

< ε 

1 ε 

Pili!  2  >

1 ε 

n ≥  2  ⇒  xn − 1 =

1 n +1

≤

1  2 

<

1 = ε  1 ε 

/adi $%buki  x n

→1

8n 2 + 2 Misalkan ba%isan  d$n&an * Cun)ukkan ba!"a + x n   $%baas  x +  =  x n 27. n 2 2n + 2

 Penyelesaian 7i6a%i %  7i6a%i %     0 s$!in&&a  x n  x n

2 2+ 2 n 2 + 1 + 2 n 2 + 1 2n + 1 = = = = 2n 2 + 2 + n 2 + 1 2+ n 2 + 1 n2 + 1

8n 2 + 2

2

≤

≤  %  , ∀ n

2n + 1 n

2

=

2n n

2

2

+

1 n

2

≤ 2 +1= 3

Pili! % Pili! % 4 3, )$las ba!"a  x n

≤

3

28. Bukikan ba!"a   x|  |x| K  y|  |y| )ika dan !ana )ika x )ika x2 K  y2  Penyelesaian

13

akan diun)ukkan ba!"a +i*  x|  |x| K  y|  |y| ⇒  x2 K  y2 dan +ii* x +ii* x2 K  y2 ⇒  x|  |x| K  y|  |y| +i*

 x|  |x| K  y|  |y| ⇒  x2 K  y2 +*  x|  |x| K  y|  |y| ⇒  | x|  x|  x|  |x| K  x|  |x|  y|  |y|

⇒  | x|  x|2 K  xy|  |xy| ⇒  x2 K  xy|  |xy| +*  x|  |x| K  y|  |y| ⇒  | x||  x|| y|  y| K  y||  |y|| y|  y|

⇒  | xy|K  xy|K  y|  |y|2 ⇒  | xy|K  xy|K y  y2 7a%i + dan +, #aka b$%dasa%kan $.%$#a  a < c

i&a a  < "  #an "  < c (a&a



Akibana  x  x2 K  y2 $%buki ba!"a   x|  |x| K  y|  |y| ⇒  x2 K  y2 +ii*

 x2 K  y2 ⇒  x|  |x| K  y|  |y|  x2 K  y2 ⇒  | x|  x|2 K  y|  |y|2

⇒  | x|  x|2 -  y|  |y|2 K 0 ⇒

a%$na 

+  x

+

+  x

y,

,+  x

−   y

>

0

+

, #aka

y

,

+  x

<

−

0 y

,

<

0

, s$!in&&a  x|  |x| K  y|  |y|

$%buki ba!"a  x  x2 K  y2 ⇒  x|  |x| K  y|  |y| /adi da%i +i dan +ii,$%buki ba!"a  x|  |x| K  y|  |y| )ika dan !ana )ika x )ika x2 K  y2 29. 'a%ila! δ  +$%&anun& (ada  x

−

2

δ  

<

⇒

8x

−

ε 

J

 s$d$#ikian s$!in&&a <

ε 

 Penyelesaian 8 x − J < ε  ⇔ 8+ x − 2 < ε  ⇔ 8  x − 2 < ε  ⇔ 8 x − 2 < ε  ⇔ x − 2 <

Pili! 

δ  =

ε 

8

ε 

8

Akibana  ε  ⇒ 8  x − 2 < 8 ⇒ 8  x − 2 < ε  ⇒ 8+ x − 2

 x − 2 < δ  ⇒  x − 2 <

ε  + + 8 8 < ε 

⇒ 8 x − J < ε 

/adi, $%buki ba!"a   x − 2

<

δ  

⇒

8x

−

J

<

ε 

18

d an #$#$nu!i a Q b unuk s$#ua 30. bukikan ba!"a )i%a A dan B subs$ ak k.s.n& R dan a ∈  A  dan " ∈ B , #aka su( A Q in B*

 Penyelesaian A#bil S$#a%an& " ∈ B , #aka a Q b unuk s$ia( a ∈  A * A%ina b #$%u(akan baas aas A, s$$!in&&a su( A Q b* S$lan)una,ka%$na b$%laku unuk s$#ua " ∈ B , #aka su( A #$%u(akan baas ba"a! B, akibana su( A Q in B* 31. /ika A ⊆  R, #aka in A 4 -su( +-A* B9CI  Misalkan a 4 in A, #aka +i* x +i* x    a, bila x bila x ∈ A dan +ii* a  b, bila b baas ba"a! A* 7a%i +i di($%.l$! - x Q -a, )adi Fa baas aas FA dan da%i +ii di($.l$! -b baas aas FA d$n&an Fb  -a )adi )ad i Fa 4 su( +-A, aau a 4 -su( +-A*  )adi $%buki ba!"a /ika A ⊆  R, #aka in A 4 -su( +-A* 2 x 2 dib$%ikan dib$% ikan un&si  an& did$inisikan did$ini sikan d$n&an   f  + x  = 32.

− 3 x + 3

  unuk  x ∈ : 2,3; *

2 x − 1

C$nukan C$nukan k.nsana M s$d$#ikian s$!in&&a

  f  + x,

≤  %  *

 Penyelesaian dik$a!ui 2 x 2

−

3 x

2 x 2

  f  + x 

=

+1 ≤

2 x 2

2x

1

−

2 x

3 x

=

2 x 2

−1

3 x

−

+1

−

2 x 1

=

−

1

+

2  x 2

−

3 x

+1

−1

3x

+

, #aka

1 ≤ 2 32

−

33

+1=

2J

7an 2 x

−1 ≥

−

S$!in&&a   f  + x   f  + x,

=

≥

2+2,

2 x 2

−

3 x

2 x

−1

+1

=

≤

3

2J 3

* /adi, d$n&an #$n&a#bil  %  =

2J 3

, dida(a

≤  %  , unuk s$ia(  x ∈ : 2,3; *

C$nukan !i#(unan A da%i bilan&an %$al G s$d$#ikian !in&&a 2 x + 3 ≤ * 33. C$nukan  Penyelesaian 7ik$a!ui  x ∈  A  dan 2 x + 3 ≤  , #aka 2 x + 3 ≤  ⇔ 2 x + 3 + +−3 ≤  + +−3 ⇔ 2 x + 0 ≤ 3 ⇔ 2 x ≤ 3 ⇔ ⇔ 1 ⋅  x ≤

3 2

⇔  x ≤

1 2

⋅ 2 x ≤

1 2

⋅3

3 2

1?

3

/adi  A = { x ∈ R | x ≤ } 2

1