336309946-GEOMETRIA.pdf

Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 2014

CUADERNO DE APRENDIZAJE

GEOMETRÍA

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Estimado Estudiante de AIEP, en este cuaderno de estudio, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves, entregadas a modo de síntesis, te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP



Estimado Estudiante de AIEP, en este cuaderno de estudio, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves, entregadas a modo de síntesis, te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

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UNIDAD 1: 1: Trigonometría y Geometría Analítica APRENDIZAJ E ESPERADO 1. Resuelve problemas geométricos aplicando razones trigonométricas. Criterio 1.1. Expresa medidas angulares en grados sexagesimales, radianes y grados

centesimales con la calculadora. Los ángulos sexagesimales se caracterizan por tener grados, minutos y segundos. 1 grado = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos. Los ángulos centesimales están en torno a los 400 grados. 400/360 = 1,11111 Por lo tanto, 1 grado = 1 ,111 grados centesimales. Las radianes están en torno a los 180 grados, por lo tanto, 180 o = π rad. (grados . π)/180 = rad. ; (rad . 180)/π = grados. Ejercicio 1

Transformar los siguientes grados decimales a sexagesimales: a) 35,413 b) 17,512 c) 20,975 Solución: Solución: a) 35,413 = 35°

0,413 . 60 = 24,78 = 24 minutos 0,78 . 60 = 47 segundos Por lo tanto, tenemos que 35,413° equivalen a 35°24’47” b) 17,512 = 17°

0,512 . 60 = 30,72 = 30 minutos 0,72 . 60 = 43 segundos Por lo tanto, tenemos que 17,512° equivalen a 17°30’43” c) 20,975 = 20°

0,975 . 60 = 58,5 = 58 minutos 0,5 . 60 = 30 segundos Por lo tanto, tenemos que 20,975 equivalen a 20°58’30”


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Ejercicio 2

Transformar los siguientes grados a grados centesimales: a) 35,42

c) 20o58’30”

b) 21,18

Solución: .

a) 35,42 1.111111 = 39,356 .

b) 21,18 1.111111 = 23,53

c

c

o

c) 20 58’30” = 20 +(58/60 + 30/3600) = 20,975

Así, 20o58’30” = 20,975 . 1,111111 = 23,31c Ejercicio 3

Dado el siguiente ángulo (2/7) π rad. Determine su equivalencia en grad os sexagesimal. a) b) c) d)

51o42’25” 51o25’43” 51°42’86’’ 52 ⅕

Solución:

((2/7) π . 180)/ π ((2/7) . 180) 51,4286 = 51o 0,4286 . 60= 25,716 minutos 0,716 . 60 = 43 segundos Por lo tanto, tenemos que (2/7)π rad equivale a 51o25’43” Respuesta: La alternativa correcta es b.

Ejercicio 4

Al convertir

a grados sexagesimales resulta:

a) 60°. b) 120°. c) 150°. d)270°. Al ter nat iv a Cor rec ta : B


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Crit erio 1.2. Calcula las 6 razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Ejercicio 5

De un triángulo rectángulo ABC, se sabe que sus lados a= 6 cm y b= 8 cm. Calcule las 6 razones trigonométricas de α: Solución: C = a2 + b2 C =

62 + 8 2

C = 10

sen α = 6/10 sen α = 0,6

cosec α= 10/6 cosec α= 1,6666

cos α = 8/10 cos α = 0,8

sec α = 10/8 sec α= 1,25

tg α = 6/8 tg α = 0,75

cotg α = 8/6 cotg α= 1,33333

Ejercicio 6

Determine el seno, coseno y tangente para α y β.

Solución: Para α Sen α = 40/50 Sen α = 0,8

Para β Sen β = 30/50 Sen β = 0,6

Cos α = 30/50 Cos α = 0,6

Cos β = 40/50 Cos β = 0,8

Tg α = 40/30 Tg α = 1.33

Tg β = 30/40 Tg β = 0,75



En un triángulo rectángulo se tiene que: cos α =

2 . ¿A qué tipo de triángulo rectángulo 2

corresponde? a) b) c) d)

Obtusángulo. Equilátero. Isósceles. Escaleno.

Solución: Sabemos que cos45° =

2 . Por lo que el otro ángulo agudo también mide 45°. El triángulo 2

rectángulo que tiene sus dos ángulos agudos iguales es el triángulo Isósceles.

Ejercicio 8

Si tgα =

5 12

a) 12 13

y α es un ángulo agudo, entonces senα =

b)

12 5

c) 5 12

d)

5 13

Ubicar en un triángulo rectángulo, los catetos 5 y 12. Aplicar Pitágoras para determinar la hipotenusa, y luego escribir la función seno. Al ter nat iv a Cor rec ta: D Criterio 1.3. Resuelve triángulos aplicando las razones trigonométricas seno, coseno y

tangente, incluyendo cálculo de lados y de ángulos medidos en distintas unidades. Ejercicio 9

Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que 2 de sus lados miden 75 y 115 metros respectivamente y forman entre ellos un ángulo de 70°. Solución: Primero, determinamos la altura. sen 70° = h/75 75 . sen 70° = h ⇒ h = 70,4769 Ahora, calcularemos el área: A = (b . h)/2 A = ( 115 . 70,4769)/2 A = 4052,42 m2 2

Respuesta: Por lo tanto, el área de la parcela triangular es de 4052,42 m .



Hallar el radio de una circunferencia, sabiendo que una cuerda de 24,6 m., tiene un arco correspondiente de 1,22173 rad. Solución: 1,22173 rad = (1,22173 . 180)/π = 700 Luego,  AOB

= 70° ⇒ AOH = 35°

Ahora, calcularemos el radio. Sen35° = 12,3/ AO AO = 12,3 / sen 35° AO = 21,44 m Respuesta: El radio de la circunferencia es 21,44 m.

Ejercicio 11

Un helicóptero está volando a 1200 metros de altura. Desde el helicóptero se visualiza un pueblo, con un ángulo de depresión de 20 0. ¿A qué distancia del pueblo vuela el helicóptero? a) b) c) d)

3508,56 m. 3962,97 m 3967,79 m. 5380,56 m.

Solución: sen 20° = 1200/d d= 1200/sen 20° d= 3508,56 m Respuesta: La alternativa correcta es a.

Ejercicio 12

La medida del ángulo β es: a) 71,5 b) 57,1 c) 18,5 d 17,5

Al ter nat iv a Cor rec ta : D


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 1.4. Resuelve, contextualizados en la especialidad, problemas reducibles a la

trigonometría de triángulos rectángulos, operando con razones trigonométricas seno, coseno y tangente y sus inversas, utilizando distintas medidas lineales y angulares. Ejercicio 13

Si un hombre de 1,70 metros de altura proyecta una sombra de 215 cm. de longitud. Encuentre el ángulo de elevación que hay desde el borde de la sombra al sol. Solución: tg α = 1,70 / 2,15

tg α = 0,7907 α = tg-1 0,7907 = 38,33° Respuesta: El ángulo de elevación es de 38,33° Ejercicio 14

En la torre de un faro que está a una altura de 1968,504 pulgadas del piso, el vigilante advierte que se aproxima un barco, formando un ángulo de depresión de 0,43633 rad. Determine la distancia en metros que separa el barco del faro. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm 1968,504 . 2,54 = 5000 /100 = 50 m. (0,43633 . 180)/π = 25 grados. Tg 65 = x/50 Tg 65 . 50 = x x = 107, 23 m. Respuesta: Por lo tanto, la distancia que separa el barco del faro es de 107,23 metros. Ejercicio 15

Una escalera se encuentra apoyada en la pared de un edificio alcanzando una altura de 196,85 pulgadas desde el piso, formando un ángulo de elevación de 55°8’24”. Determine la longitud de la escalera en metros. a) 6,18. b) 6,09. c) 6,00. d) 5,09. Solución: 1 pulgada = 2,54 cm 196,85 . 2,54 = 500 /100 = 5 m. 55 +(8/60 + 24/3600) = 55,14 grados sen 55,14 = 5/d d = 5/ sen 55,14 d = 6,09 m Respuesta: Por lo tanto, la longitud de la escalera es de 6,09 metros Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30 como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros? a) b) c) d)

3.000. 1.732. 1.299. 750.

Alter nat iv a Correc ta: B APRENDIZAJ E ESPERADO 2. Resuelve problemas de la especialidad, aplicando teorema de seno. Crit erio 1.6. Opera con el teorema del seno, calculando lados y ángulos en triángulos. a b c = = senα sen β senγ Ejercicio 17

Dado el siguiente triángulo. Determine los valores de los lados que faltan. Solución: 6/ sen30° = b/sen 45° b =(6 . sen45°)/ sen30° b = 8,48m 6/sen30° = c/sen105° C = (6 . sen105°)/ sen30° C=11,59m Ejercicio 18

Dado el siguiente triángulo. Determine los valores de los lados que faltan. Solución: a/ sen25° = 15/sen 115° a =(15 . sen25°)/ sen115° a = 6,99 m b/sen40° = 15/sen115° b = (15 . sen40°)/ sen115°

b=10,64 m



Dado el siguiente triángulo, los valores de los lados b y c son: a) b) c) d)

b = 1,34 m y c = 5,43 m. B = 1,43 m y c = 5,34 m. b = 1,43 m y c = 5,43 m. b = 3,43 m y c = 4,43 m.

Solución: b = (5 . sen15°)/sen65° b = 1,43m c = (5 . sen 100°)/ sen65° c = 5,43m Respuesta: La alternativa correcta es a.

Ejercicio 20

En la figura, la distancia que hay entre el obrero y el paquete es: a) 6,66 b) 7,12 c) 7,86 d) 8,24

Alternativa Correcta: A

Criterio 1.7. Resuelve problemas geométricos aplicando teorema del seno. Ejercicio 21

Un tobogán para niños en un parque tiene 30 metros de longitud y un ángulo de elevación de 0,6283 rad con respecto al piso. La escalara para subir al tobogán mide 18 metros de largo. ¿Qué ángulo de elevación con respecto al piso tiene la escalera? Solución: (0,6283 . 180)/π = 36° (30 . sen 36)/ 18 β =

Sen-1 0,9796

β =

78,41° Respuesta: Por lo tanto, el ángulo de elevación que tiene la escalera respecto

al piso es de78,41°. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Un helicóptero está volando sobre una carretera recta. El piloto observa dos motos con ángulos de depresión de 32° y 48° respectivamente, los cuales, están a 5 kilómetros de distancia entre sí. Determinar la distancia del helicóptero al punto A y al punto B. Solución: A=(5 . sen48)/sen100 A = 3.77 km. B = (5 . sen32)/sen100 B= 2,69 km. Respuesta: Por lo tanto, la distancia del helicóptero respecto al punto A es de 3,77 km y del

helicóptero al punto B es de 2,69 km. Ejercicio 23

Calcula la altura h, en metros, de la figura: a) h= 524,54 b) h= 542,45 c) h= 554,24 d) h= 245,45 Solución: C= (500 . sen 60o32’)/sen 47o10’ C= 593,62 Sen 62o 5ʹ= h/593,62 524,54 = h Respuesta: La alternativa correcta es a. Ejercicio 24

Un árbol es observado desde dos puntos opuestos, separados entre sí por 250 metros con ángulos de elevación de 30º y 25º. ¿A cuántos metros de distancia de la cúspide está el punto de observación P? a) 85. b) 125. c) 150. d) 153. P

Si llamamos C el punto de la cúspide y x a la distancia pedida, aplicando el Teorema del Seno:

X = 153 m (aprox)

Altern ati va Co rr ect a: D


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 1.8. Resuelve problemas de cálculo de longitudes y ángulos en el ámbito

de la especialidad, aplicando el teorema del seno, operando con distintas unidades lineales y angulares. Ejercicio 25

Una torre inclinada 10° respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P, a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25°, calcula la longitud del cable y la altura de la torre. Solución: C= (15 . sen100°)/sen55° C = 18,03 m. H= (15 . sen25°)/sen55° H= 7,74 m. Respuesta: Por lo tanto, la longitud del cable es de 18,03 metros y la altura de la torres es de

7,74 metros. Ejercicio 26

Un arquitecto necesita construir una rampa como se muestra en la siguiente figura: ¿Cuál es la longitud de esta rampa? A) 3,66 m B) 6,36 m C) 8,5 m D) 8,63 m

Al ter nat iv a Cor rec ta : B Ejercicio 27

Un árbol es observado desde dos puntos opuestos separados entre sí por 250 metros, con ángulos de elevación de 30° y 25°. ¿Cuál es la altura del árbol y a qué distancia está la cúspide de cada punto de observación? a) Las distancias son de 102,60 metros y de 128,98 metros, la altura del árbol es de 64,49 metros. b) Las distancias son de 152,60 metros y de 28,98 metros, la altura del árbol es de 64,49 metros. c) Las distancias son de 152,60 metros y de 128,98 metros, la altura del árbol es de 64,49 metros. d) Las distancias son de 152,60 metros y de 128,98 metros, la altura del árbol es de 74,49 metros.


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014

Solución: D1= (250 . sen30°)/sen125° D1= 152,60 m. D2= ( 250 . sen25°)/sen125° D2= 128,98 m

Sen25° = H/152,60 Sen25° . 152,60 = H 64,49 m = H. Respuesta: La alternativa correcta es c)

Ejercicio 28

Andrés y Javier están a 15 m de distancia. Ambos miran un volantín que está en el aire. Andrés tiene un ángulo de visión de 43° y Javier tiene un ángulo de 36°. ¿A qué distancia del volantín se encuentra Javier? A) 6,38 B) 8,63 C) 10,42 D) 21,5

Al ter nat iv a Cor rec ta: C

APRENDIZAJ E ESPERADO 3. Resuelve problemas de la especialidad, aplicando teorema del coseno. Criterio 1.10. Opera con el teorema del coseno, calculando lados y ángulos en

triángulos. Teorema del coseno:

a2 = c2 + b2 -2 . c b . cosα b2 = c2 + a2 -2 . c a . cosβ c2 = a2 + b2 -2 . a b . cosγ



Dado el siguiente triángulo. Determine el valor de α y b. Solución: 12002 = 7002 + 1564,972 - 2 . 700 . 1564,97 . cosα (12002 – 7002 – 1564,972) / (- 2 . 700 . 1564,97) = cosα 0,6842 = cosα α = Cos-1 0,6842 α = 46,83° b2 = 7002 + 12002 -2 . 700 . 1200 . cos108 b2 = 490000 + 1440000 - -519148,55 b2 = 1930000 + 519148,55 b2 = 2449148,55 b = 2499148,55 b = 1564,97 m Ejercicio 30

Dado el siguiente triángulo, determine el valor de sus ángulos. a) α = 46,93o; γ = 23,71o; β= 114,36o b) α = 42,93o; γ = 22,71o; β= 114,36o c) α = 24,93o; γ = 22,71o; β= 114,36o d) α = 48,93o; γ = 22,71o; β= 115,36o Solución: 31642 = 42312 + 17922 - 2 . 4231 . 1792 . cosα (31642 – 42312 – 17922)/ (- 2 . 4231 1792) = cosα 0, 7321 = cosα α = Cos -1 0,7321 α = 42,93° 17922 = 42312 + 31642 - 2 . 4231 .3164 . cosγ (17922 – 42312 – 31642)/ (- 2 . 4231 . 3164) = cosγ 0,9225 = cosγ γ = Cos-1 0,9225 γ = 22,71o

β= 180° – 42,93° – 22,71° β= 114,36°

Respuesta: La alternativa correcta es b) Ejercicio 31

Dos lados adyacentes de un paralelógramo se cortan en un ángulo de 36° y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. a) 3,41. b) 4,36. d c) 5,84. d) 8,42.

d = 5,84

Al ter nat iv a co rr ect a: C



En el triángulo de la figura, ¿cuánto mide el lado l? a) 94,5 b) 98,8 c) 100 d) 104,5

Al ter nat iv a Cor rec ta: B

Crit erio 1.11. Resuelve problemas geométricos aplicando teorema del coseno. Ejercicio 33

Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas que forman entre sí un ángulo de 80°. Si las velocidades son de 60km/h y 100 km/h. ¿Qué distancia los separa, después de una hora y media de recorrido? Solución: c2 = 1502 + 902 - 2 . 150 . 90 . cos80° c2 = 22500 + 8100 – 4688.50 c2 = 30600 – 4688,50 c2 = 25911,50 c = 25911,50 c = 160,97 m Ejercicio 34

Un niño está haciendo volar dos volantines simultáneamente. Uno de ellos tiene 380 m y el otro 420m de hilo. Se supone que el ángulo entre los dos hilos es de 30°. Estime la distancia entre los dos volantines.

Ejercicio 35

Una cerca, cuyo perímetro tiene forma triangular, posee su lado más largo de 50 metros; el otro, mide 15 metros y entre ambas forman un ángulo de 70 o. Determine el perímetro de la cerca. a) 121,03. b) 113,02. c) 102,03. d) 112,03. Solución: c 2 = 5 0 2 + 1 5 2 - 2 . 5 0 . 1 5 . c o s 7 0 ° c2 = 2500 + 225 – 513,03 c2 = 2725 – 513,03 c 2 = 2 2 1 1 , 9 7 c = 2211,97 c = 47,03 metros. ⇒ P = 50 + 15 + 47,03 = 112,03 metros. Respuesta: La alternativa correcta es c.



Las diagonales de un paralelogramo miden 10 y 12 cm, respectivamente, y se cortan formando un ángulo de 70°. El perímetro del paralelogramo es: a) 15,38 cm b) 18,48 cm c) 25,44 cm d) 30,76 cm Si x es el lado menor del paralelógramo, X = 6,36 cm De igual forma se calcula el lado mayor y = 9,02 Perímetro: 30,76 cm Al ter nat iv a Cor rec ta: D

Criterio 1.12. Resuelve problemas de cálculo de longitudes y ángulos en el ámbito de

la especialidad, aplicando el teorema del coseno, operando con distintas unidades lineales y angulares. Ejercicio 37

Se pretende construir un puente entre dos puntos A y B, para cruzar el estanque que los separa. Para ello nos situamos en un punto C que dista 30 m de A y 40 m de B. Además, el teodolito indica que el ángulo ACB = 75 o. Determine la distancia entre el punto A y B. Solución: c 2 = 3 0 2 + 4 0 2 - 2 . 3 0 . 4 0 . c o s 7 5 ° c2 = 900 + 1600 – 621,17 c2 = 2500 – 621,17 c2 = 1878,73 c = 1878,83 c = 43,35 metros. Respuesta: La distancia entre el punto A y B es de 43,35 metros. Ejercicio 38

Un viajero parte con una velocidad de 90 km/hrs, a los 10 minutos se da cuenta de que se ha equivocado de carretera y toma otra que forma un ángulo de 120° con la anterior, aunque mantiene la misma velocidad. Calcular la distancia que se encuentra del punto de partida una vez transcurrida media hora de viaje. Solución: a= (90/60) . 10 = 15 kilómetros b= (90/60) . 20 = 30 kilómetros. c2 = 152 + 302 - 2 . 15 . 30 . cos120° c2 = 225 + 900 – -450 c2 = 1125 + 450 c2 = 1575 c = 1575 c = 39,69 kilómetros. Respuesta: La distancia que se encuentra el viajero del punto de partida, luego de media hora

de viaje, es de 39,69 kilómetros.



Un pintor debe colocar huincha de protección alrededor de una ventana triangular. Sabiendo que dos lados de la ventana miden 130 cm. y 160 cm., además estos lados forman un ángulo de 80°. ¿Cuántos metros de huincha necesita? =

Respuesta: Necesita 478 cm de huincha. Ejercicio 40

En un triángulo ABC, los lados miden: a = 34 cm., b = 40 cm., c = 28 cm. El ángulo interior del vértice B mide: a) 79° 7’ 13’’ b) 79° 42’ 48’’ c) 86° 18’ 44’’ d) 57° 31’ 51’’ =

APRENDIZAJ E ESPERADO 4. Verifica identidades trigonométricas y resuelve ecuaciones trigonométricas usando

parámetros establecidos. Criterio 1.14. Verifica identidades trigonométricas usando la relación pitagórica, la

identidad de la razón, ángulo doble, triple y medio. Ejercicio 41

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica cotg x . sec x = cosec x Solución:



Demuestre la siguiente identidad trigonométrica tg x + cotg x = sec x . cosec x Solución: tg x . cotg x = sec x . cosec x ((sen/cos) + (cos/sen)) x = secx . cosx ((sen2 + cos 2)/(cos . sen)) x = secx . cosx (1/( cos . sen)) x = secx . cosx ((1/cos) . (1/sen)) x = secx . cosx secx . cosx = secx . cosx

Ejercicio 43

La razón trigonométrica Sen 2a, es igual a: a) 2 Sen a Cos a b) 2 sen a c) sen2a d) sen a2 Solución: Usando la suma de ángulos: Sen (a + a) = Sen a Cos a + Sen a Cos a Sen (a + a) = 2 Sen a Cos a Respuesta: La alternativa correcta es a.

Ejercicio 44

La razón trigonométrica Cos a/2 , es igual a: a) ±

1 − sena 2

b) ±

1 + sena 2

c) ±

1 − cos a 2

d) ±

1 + cos a 2

Respuesta: Usando la fórmula del ángulo medio, la alternativa correcta es d.


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 1.15. Resuelve ecuaciones trigonométricas de la forma a ⋅ sen ( x ) + b = c , a ⋅ cos ( x ) + b = c y a ⋅ tg ( x ) + b = c . Ejercicio 45

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica, sen ( x + π/5) =

3 2

Solución: sen ( x + π/5) =

3 2

( x + π/5) = sen-1

3 2

/ sen-1

X + 36° = 60° X 1 + 36° =60° X 1 = 60° – 36° X 1 = 24o + 360o k X2 + 36° = 120° X 2 = 120° – 36° X 2 = 84o + 360o k. o

o

o

o

Respuesta: La solución de la ecuación dada es X 1 = 24 + 360 k y X 2 = 84 + 360 k.

Ejercicio 46

Determine el valor de x en la siguiente ecuación trigonométrica: 2tgx – 3 cotgx -1 = 0 a) b) c) d)

X1== 72o18’35” + 180ok ; X2 = 145o +180ok X1== 56o18’35” + 180ok ; X2 = 135o +180ok X1== 65o18’35” + 180ok ; X2 = 115o +180ok X1== 56o18’35” + 180ok ; X2 = 145o +180ok

Solución: 2tgx – 3 cotgx -1 = 0 2tgx – 3 (1/tgx) -1 = 0 / ⋅ tg 2tg2x – 3 – tg x = 0 2tg2x – tgx – 3 = 0 tgx =

1 ± 1+ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 4

X1= 3/2 Tg-1 (3/2) = 56,3099°= 56o18’35” + 180ok X2 = -1 Tg-1 (-1) = -45° = 135o +180ok Respuesta: La alternativa correcta es b.



Calcular el sen 3x, en función de senx. Solución: Sen 3x = Sen(2x + x) = Sen 2x .cosx + cos 2x . senx = (2senx . cosx)cosx + (cos 2x – sen2)senx = 2senx . cos2x + cos2x . senx – sen3x = 3senx . cos2x – sen3x = 3senx (1 – sen2x) – sen3x = 3senx – 4sen3x Ejercicio 48

Si tg x + cotg x = 2 , entonces, si x es agudo, x = a) 30° b) 45° c) 60° d) 75°

Al ter nat iv a co rr ect a: B

Criterio

1.16.

Resuelve

problemas

contextualizados

utilizando

ecuaciones

trigonométricas. Ejercicio 49

En el circuito de corriente alterna, R=70 Ω y ∆v = ∆ v máx senω t . Si ∆v R = 0.25∆v máx en t = 0,01 seg. ¿Cuál es la frecuencia angular del generador?

Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos encontrar el valor de ω en la siguiente igualdad: ∆v R = ∆ v máxsenω t Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 0,25∆v máx = ∆ v máx sen( ω ⋅ 0,01)

0,25 = sen( ω ⋅ 0,01) sen −1 ( 0,25 ) = ω ⋅ 0,01 sen −1 ( 0,25 ) 0,01

/ sen −1 / : 0,01

= ω

ω = 1.447,8

Ejercicio 50

Hallar el valor de x en la ecuación:

Ejercicio 51

Para qué valores de x se cumple:

Usando identidades se tiene

X = 45°

x= 135°

Ejercicio 52

Si tg x = 1, ¿Cuál es el valor de sen x? A) 0,017 B) 0,707 C) 0,5 D) 0,757



Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 APRENDIZAJ E ESPERADO 5. Resuelve problemas contextualizados utilizando sistemas de coordenadas. Crit erio 1.18. Expresa vectores utilizando sistemas de coordenadas cartesianas. 

Las coordenadas de un vector AB son las coordenadas del extremo menos el origen.  AB = (x2 – x1 ; y2 – y1) Ejercicio 53

Determine las coordenadas de los siguientes puntos A(4 , 5) y B(7,9) Solución:  AB = (x2 – x1 ; y2 – y1)  AB = (7 – 4; 9 – 5)  AB = (3 , 4) Ejercicio 54

Determine las coordenadas de los siguientes puntos A(3 , 4) y B(-7,-5) Solución:  AB = (x2 – x1 ; y2 – y1)  AB = (-7 – 3; -5 – 4)  AB = (-10 , -9) Ejercicio 55



Dada las siguientes coordenadas AB (7 , 4), determine el punto de origen si su extremo es, B(4 , 5). a) b) c) d)

(-3 , -1) (3 , 1) (-3 , 1) (3 , -1)

Solución: (7 ,4) = (4 – x ; 5 – y) 7=4–x 7 – 4 = -x 3 = -x /-1 -3 = x 4=5–y 4 – 5 = -y -1 = -y /-1 1=y Respuesta: Las coordenadas del origen es A(-3 , 1)



Si a) 53 b) 25,8 c) 10,6 d) 10,2

=

, entonces la suma de los módulos de estos vectores es:

10,2 Al ter nat iv a Cor rec ta : A

Crit erio 1.19. Expresa vectores utilizando sistemas de coordenadas polares.

Considerar que α = arc tg (y/x) Ejercicio 57



Determine las coordenadas polares de v (1; 3 ) Solución:   

v = 12 +

( 3)

2

 

v =2

α = arc tg (y/x) α = arc tg ( 3 / 1) α = 60o El vector en coordenadas polares es: (2, 60°)

Ejercicio 58



Determine las coordenadas polares de v (-1 ; 3 ) Solución:   

v =

( −1) + ( 3 ) 2

2

 

v =2

α = arc tg (y/x) v = (2 , 120o)



Dada la siguiente coordenada polares (13, 13 o) , determine las coordenadas cartesianas. a) b) c) d)



v (11,78 ; 5,50) 

v (-11,96 ; 5,08) 

v (11,96 ; -5,08) 

v (12,67 ; 2,92)

Solución: X = 13 . cos 13o X = 12,67 Y= 13 . sen 13o Y = 2,92 

v (12,67 ; 2,92) Ejercicio 60

Dados los puntos P (4,-1), Q (7,3). Determinar las coordenadas polares del vector a) (4, 53°) b) (4, 34°) c) (5, 53°) d) (5, 34°) = (3, 4), por Pitágoras, r = 5

= (5, 53°) Al ter nat iv a Cor rec ta : B

Criterio 1.20. Convierte vectores de coordenadas polares a coordenadas

cartesianas y viceversa. Ejercicio 61

Dada la siguiente figura, determine las coordenadas polares.



Solución:   

v = 122 + 5 2

 

v = 13

α = arc tg (5/12) α =22,62o α =(13 ; 22,62o) Ejercicio 62

Dada la siguiente figura, determine las coordenadas cartesianas.

Solución: X = 13 . cos 33o X = 11,97 Y= 13 . sen 23o Y = 5,08 

v (11,97 ; 5,98) Ejercicio 63

Dada la siguiente figura, determine las coordenadas cartesianas.

a) b) c) d)

(3,46 ; -2) (-3,46 ; 2) (3,46 ; 2) (-3,46 ; -2)

Solución: X = 4 . cos 150o X = -3,46 Y= 4 . sen 150o Y=2 

v (-3,46 ;2) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 2014 Ejercicio 64

Hallar las coordenadas cartesianas de P= (12, 25°)

a) (8,3; 12,4) b) (10,8; 5,0) c) (11,7; 7,5) d) (12,4; 8,3)


Crit erio 1.21. 1.21. Resuelve problemas propios de la especialidad utilizando sistemas de

coordenadas cartesianas y polares. Ejercicio 65

Se considera el complejo 2 + 2 3 i, se gira 45 o alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro. Solución:   

(

v = 22 + 2 + 3

)

2

  

v =4

α = arc tg (( 2 .

3 )/2) = 60

o

El complejo pedido es: (4; 105°) Ejercicio 66

Hallar la distancia entre los puntos A(7, 30 o) y B(9, 85o) Solución: Solución: d2 = a2 + b2 – 2ab cosα d2 = 72 + 92 – 2 . 7 . 9 . cos(85-30) d2 = 49 + 81 – 72,2706 d2 = 57,7294 d = 57,7294 d = 7,60 Ejercicio 67

Hallar el área en metros del triángulo cuyos vértices son los puntos: B(0,0°) ;C(6, 25o) y D(9, 55°) a) 10,5m2 b) 13,5 m2 c) 15,3 m2 d) 18,3 m2 Solución: Solución: A= (6 . 9 . sen (55 – 25))/2 = 13,5m2

El área del triángulo es de 13,5 m 2


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 2014 Ejercicio 68

Se debe construir una rampa de acceso de vehículos para cubrir un desnivel de 3 m. de largo y 1 m. de alto. Determine el ángulo de elevación y la longitud de la rampa a través del sistema de coordenadas polares. a) (3,46; 18,33°). b) (3,26; 15,33°). c) (3,16; 18,43°). d) (3,6; 18,53°).

Por Pitágoras, r = 3,16

Alternativa correcta: A

APRENDIZAJ E ESPERADO 6. Opera con álgebra de vectores. Criterio 1.23. Suma y resta vectores en forma analítica y mediante el método del

paralelógramo. 

u = (x1 ; y1)



;

v = (X2 ; Y2 )





u + v = (X1 + X2 ; Y1 + Y2) 



u - v

= (X1 - X2 ; Y1 - Y2)

Ejercicio 69









Determine el valor de u + v , cuando u = (6 ; 8) y v = (- 4 ; 7 ) Solución:  u + v = (6 + - 4 ; 8 +7) = (2 ; 15) 

Ejercicio 70 







Determine el valor de u - v , cuando u = (6 ; 8) y v = (- 4 ; 7 ) Solución:  u - v = (6 - - 4 ; 8 - 7) = (10 ; 1) 

Ejercicio 71

Calcular las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A( - 1 ; - 2), B( 4 ; -1), C( 7 ; 4) y D; sea un paralelogramo. a) ( 2 ; - 3) b) ( 3 ; -2) c) ( 2 ; 3) d) ( -3 ; 2)



Solución: D =(x, y)

7–x=5

4–y=1

X=2

y=3

Respuesta: La alternativa correcta es c. Ejercicio 72

Si a) b) c) d)

=

, entonces el módulo de la resta de estos vectores es:

0 1,4 25,8 53 =

Al ter nat iv a Cor rec ta : d

=

Crit erio 1.24. 1.24. Calcula producto punto entre vectores. Ejercicio 73 







Dados los vectores u = (4 ; -3) y v = ( 4 ; - 7 ) Calcular las coordenadas del vector 2 u + 3 v Solución:  2 u + 3 v = 2(4 ; -3) + 3(4 ; -7) 

= (8 ; -16 + (12 ; -21) = (20; -27) Ejercicio 74 







Dados los vectores u = (5 ; 3) y v = ( -4 ; 7 ) Calcular las coordenadas del vector vector 5 u - v . Solución: Solución: 



5 u - v = 5(5 ; 3) - (-4 ; 7) = (25 ; 15) - (-4 ; 7) = (29 (29 ; 8)

Ejercicio 75









Si el vector v = ( 4 ; 3 ). Determine el vector u , para que 3 u + 2 v = (5, 21) a) b) c) d)

(5;1) (1;5) ( -1 ; 5 ) ( -1 ; -5 )



Solución: ( 5 ; 21 ) = 3 ( x ; y) + 2(4 ; 3) ( 5 ; 21 ) = ( 3x ; 3y) + ( 8 ; 6) ( 5 ; 21 ) – ( 8 ; 6 ) = (3x ; 3y ) (-3 ; 15 ) = (3x ; 3y) -1 = x 5=y Respuesta: La alternativa correcta es C. Ejercicio 76

El producto de los vectores de la figura es: a) (6, -2) b) (6, 2) c) 0 d) 4 (2,-2) . (3, 1) = 6 – 2 = 4 Alternativa Correcta:

D

Crit erio 1.25. Calcula el módulo de un vector, interpretando su significado.  

uv =

2

( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

2

Ejercicio 77





Calcule el módulo, conociendo sus componentes u = (3 ; 5) y v = ( -5 ; 6 ). Solución:  

uv =

2

( −5 − 3 ) + ( 6 − 5)

2

 

uv = 8,06

Ejercicio 78 

Determine la distancia en metros entre los siguientes puntos u = (7 ; 4)

y



v = ( -6 ; -3 ).

Solución: D=

2

( −6 − 7 ) + ( −3 − 4 )

2

D = 14,76


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Ejercicio 79 

Calcular el valor de k sabiendo que el módulo del vector u ( k ; 6) es 10. a) b) c) d)

K = ± 18 K = ± 10 K=±9 K=±8

Solución: 102 = k2 + 62 100 – 36 = k2 64 = k2 / √ K=±8 Respuesta: La alternativa correcta es d. Ejercicio 80

¿Cuál es el módulo del vector de la figura? a) 2,2 b) 3,6 c) 5,0 d) 6,4 Las coordenadas del vector son (2, 3) El módulo es


Crit erio 1.26. Calcula producto cruz entre vectores. Ejercicio 81





Calcular el punto cruz de los vectores u = (1; 2; 3) y v = ( -1; 1; 2). Solución: 



 

i j k 



uxv =

2 3



1 3



1 2







 

i− j+ k = i − 5 j + 3k 1 2 3 = 1 2 −1 2 −1 1 −1 1 2







Dados los vectores u = (3; 1; -1) y v = ( 2; 3; 4). Hallar el área del paralelogramo que tiene  por lados los vectores u y v . 

Solución: 



 

i j k 



uxv =

3 1 -1 = 2 3 4



1 -1  3 -1  3 1  i− j+ k = 7i − 14 j + 7k 3 4 2 4 2 3 



 



A = uxv = 72 + 142 + 72 =

294

Ejercicio 83

Determine el área del triángulo, cuyos vértices son los puntos A(1; 1; 3), B(2; -1; 5) y c(-3; 3; 1). a) 3 2 b) 5 2 c) 3 3 d) 4 2 Solución:

Respuesta: La alternativa correcta es a. Ejercicio 84

Determinar el área del paralelógramo que determinan los vectores: u = (–4,0;5) y v = (–4,3;0) El área del paralelógramo es el valor de la norma del producto vectorial entre los vectores u y v , entonces, primero calculamos el producto vectorial: = (-15, -20, -12)

Luego: Área Paralelógramo = u× v = (−15;−20;−12) = Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Crit erio 1.27. Resuelve problemas contextualizados mediante álgebra de vectores. Ejercicio 85

Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m. (a) ¿Qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares? Solución: d = 22 + 12

d = 2,23 m.

α = arc tg (1/2) α = 26,56° o

Respuesta: La distancia es de 2,23 m. y se encuentra en una posición de 26,56 de la esquina

inferior de la pared.

Ejercicio 86

Hallar el módulo y el argumento del siguiente vector expresado en coordenadas cartesianas u = (4 ; 5). 

Solución:   

u = 52 + 42 = 6,403

α = arc tg (5/4) = 51,34o = 51o20’24” 

o

Respuesta: Por lo tanto, el vector u = (6.4; 51 20’24”)

Ejercicio 87

Determine la velocidad resultante de un avión que se desplaza a 120km/hr a 45 o de ESTE a NORTE y enseguida cambia de dirección a 100 km/hr a 30 o de NORTE a OESTE. a) b) c) d)

177,35 km/hr. 175,45 km/hr. 174,96 km/hr. 147,35 km/hr.

Solución: v2 = a2 + b2 – 2ab cosα v2 = 1202 + 1002 – 2 . 120 . 100 . cos105° v2 = 14400 + 10000 + 6211,66 v2 = 30611,66 v = 30611,66 v = 174,96 km/hr. Respuesta: La alternativa correcta es c. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Dados los vectores

=(6,8) y

= (-5,12) , calcula: (2

+

)·(2

-

)

APRENDIZAJ E ESPERADO 7. Opera con el concepto de pendiente y resuelve problemas relacionados con ángulos

entre dos rectas Crit erio 1.29. Identifica y caracteriza el concepto de pendiente.

m = ((y2 – y1) / (x2 – x1)) Ejercicio 89

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta determinada por los siguientes puntos: a) A ( 5 ; 2 ) , B ( 9 ; 6 ) b) C (-6 ; 4) , D (5 ; -8) Solución: a) m1 = (( 6 – 2 ) / (9 – 5)) m1 = 1

α1 = arc tg 1 α1 = 45o b) m2 = (( -8 – 4 ) / (5 – -6)) m2 = ( -12/11)

α2 = arc tg (-12/11) = -47,49 + 180 α2 = 132,51o

Ejercicio 90

Demostrar que los puntos A (-3 ; -9), B( 4 ; -3) y C( 11; 3) con colineales. Solución: AB = m1 = (( -3 – -9 ) / (4 – -3)) = (6/7) BC = m2 = (( 3 – -3 ) / (11 – 4)) = (6/7) AC = m3 = (( 3 – -9 ) / (11 – -3)) =(6/7) Respuesta: Como las pendientes son iguales, los 3 puntos están sobre la misma línea.



La pendiente y la ordenada en el origen de la recta 5x + 3y – 7 = 0 es: a) b) c) d)

m = - (5/3) y b = 7/3 m = (5/3) y b =- 7/3 m = - (5/3) y b =- 7/3 m = (5/3) y b = 7/3

Solución: 5x + 3y – 7 = 0 y = - (5/3)x + 7/3 m = - (5/3) y b = 7/3 Respuesta: La alternativa correcta es a. Ejercicio 92

Los puntos A(5,-1), B(2,-3), C(-1,5) son los vértices de un triángulo. Hallar la pendiente de la recta que contiene al lado BC.

=Crit erio 1.30. Calcula ángulo entre dos rectas. Ejercicio 93

Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:  u = (3 ; 2) y v = ( 1 ; 2) 

Solución:

 7    65  α = 29,74 ° α = cos −1 

α = 29°44' 41''

Ejercicio 94

Hallar el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:  u = (4 ; 3) y v = ( 2 ;- 1) 

Solución:



Hallar el ángulo que forman las rectas que tiene por ecuaciones:

a) b) c) d)

94o44’41” 76o44’41” 74o44’41” 72o43’45”

Solución:





u = (2 ; 3) y v = ( -3 ; 1)





   130 

u = cos −1 

3



u = 74,74° = 74°44’41’’ Respuesta: La alternativa correcta es c.

Ejercicio 96

Calcular el ángulo que forman las rectas x e y, sabiendo que sus vectores directores son: A = (3, 2) y B = (-2, 2). a) 196 b) 154 c) 101 d) 93



Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 1.31. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con ángulos entre

dos rectas. Ejercicio 97

Calcular los ángulos del triangulo de vértices A(6,0), B (3; 5) y C(-1; -1) Solución:     AB = ( -3 ; 5), BA = (3; -5), AC = (-7 ; -1), CA = (7; 1), BC = (-4 ; -6), CB = (4 ; 6)    

α = cos−1 



16



18

  

  ⇒ α = 67,166° = 67°09'58''  1700 

  ⇒ β = 64,653° = 64°39'13''  1768 

β = cos −1 

γ = 180° − 67 °09 '58 '' − 64 °39'13'' γ = 48°10'49''

Ejercicio 98

Dadas las rectas r: 3x + y -1 = 0 ; s : 2x +my – 8 = 0. Determinar el valor de m para que forme un ángulo de 45o. a) b) c) d)

m1 = -4 ; m 2 = -1 m1 = -4 ; m 2 = 1 m1 = 4 ; m 2 = -1 m1 = 4 ; m 2 = 1

Solución: α= 45°, luego:



u = (-1 ; 3) y



v = ( -m ; 2)

m1 = 4 ; m 2 = -1 Respuesta: La alternativa correcta es c. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Calcular el ángulo formado por las rectas r: y = 3x +5 ; s: y = -2x +1 Solución: Las pendientes de cada recta son, m r = 3 y ms = -2 Luego,

1 α = tg − (1)

α = 45 °

Ejercicio 100

En un plano, las casas de Andrea, Bárbara y Camila se ubican en los puntos A(-3, 1), B(1, 5), C(4, 0). Si la casa de Andrea se une por caminos rectos con las casas de Bárbara y Camila. ¿Cuánto mide el ángulo que forman estos caminos? a) 24,5° b) 43,4° c) 53,1° d 85,3° = B – A = (4,4)

= C – A = (7,-1)

Al ter nat iv a Cor rec ta : B

APRENDIZAJ E ESPERADO 8. Maneja los conceptos y operatoria de la geometría analítica básica aplicados al

ámbito de la construcción, arquitectura, el dibujo técnico y la topografía. Crit erio 1.33. Divide un segmento en una razón dada.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada condición. La solución de un problema de lugares geométricos es una ecuación, la ecuación de todos los puntos que cumple dicha condición. Ejercicio 101

Determine la abscisa del punto P tal que

si A= (-2) y B (7).

Solución: 7 = ((1 . xp + 4 . (-2))/( 1 + 4)) 7 . 5 = ( 1 . xp - 8) 35 + 8 = 1 . xp 43 = Xp



Se dice que cuatro puntos forman un juego armónico, si los puntos C y D dividen al segmento AB interior y exteriormente en la misma razón, en decir:

Entonces demuestre que:

Solución:

Ejercicio 103

Dados los puntos A (-5) y B (3/2), determine las abscisas de los puntos x e y que dividen al segmento AB en tres partes iguales. a) b) c) d)

X ( 17/6) ; Y (-2/3) X ( - 17/6); Y (-2/3) X ( 17/6) ; Y (2/3) X ( - 15/6); Y (-5/3)

Solución:

X =−

17 6

Y =−

2 3

Respuesta: La alternativa correcta es b. Ejercicio 104

Un carpintero debe cortar un listón que mide 80 cm. en dos partes que estén en la razón 3: 5. ¿Cuánto centímetros mide la parte menor? a) 12. b) 24. c) 30. d) 48.



Al ter nat iv a Cor rec ta : C

Crit erio 1.34. Identifica los diferentes lugares geométricos y sus ecuaciones. Ejercicio 105

Dada la siguiente grafica, determine a qué tipo de ecuación corresponde y sus elementos:

Solución: Corresponde a la ecuación de una parábola, sus elementos son: Foco: Es el punto fijo de F. Directriz: Es la recta fija de d. Parámetro: Es la distancia entre el foco y la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola y su eje. Radio Vector : Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Ejercicio 106

Dada la siguiente grafica, determine a qué tipo de ecuación corresponde y sus elementos:

Solución: La gráfica corresponde a la ecuación de la hipérbola, sus elementos son: Focos: son los puntos fijos de F y F’. Eje focal: es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario: es la mediatriz de Centro: es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Los puntos A y A’ son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B’ se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y radio c. Radios vectores: son los segmentos que van desde el punto de la hipérbola hasta los focos PF y PF’. Distancia focal: es el segmento de la longitud 2c. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Eje mayor: es el segmento de la longitud 2a. Eje menor: es el segmento de la longitud 2b. Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. Asíntotas: son las rectas de ecuaciones y= (- b/a)x , y = (b/a)x. Relación entre ejes: c2 = a2 + b2. Ejercicio 107

Dada la siguiente ecuación a)

c)

, Determine a qué gráfica representa: b)

d)

Respuesta: La alternativa correcta es la b. Ejercicio 108

La ecuación de una circunferencia con centro en el origen es: x 2 + y2 = 25 ¿Qué valor alcanza y cuando x es 3? a) 4 b) 9 c) 16 d) 20

Alternativa Correcta: A


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 1.35. Escribe ecuación de los lugares geométricos básicos dado algunos

parámetros como los ceros de la función o un polinomio. Ejercicio 109

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(3; 6) y B(4 ; -5) Solución: d(P,A) = d(P, B)

X2 – 6x +9 + y2 – 12 y +36 = x2 – 8x +16 + y2 + 10y + 25 2x – 22y + 4 = 0

Ejercicio 110

Determine la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y = 0 y por foco el punto (3,5). Solución d(P, F) = d(P, d)

Y2 = (x – 3)2 + y2 – 10y + 25 (x – 3)2 = 5(2y - 5)

Ejercicio 111

Determine la ecuación de la circunferencia de centro (4, 5) y radio 3. a) b) c) d)

x2 - y2 – 8x – 10y + 32 =0 x2 + y2 – 8x – 10y + 32 =0 x2 - y2 – 8x – 10y - 32 =0 x2 + y2 + 8x +10y + 32 =0

Solución: (x – 4)2 + (y – 5)2 = 32 x2 – 8x +16 + y2 – 10y + 25 = 9 x2 + y2 – 8x – 10y + 32 =0

Respuesta: La alternativa correcta es b.



¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola definida por la función y = x 2 + 2 x − 6 ? a) (-2,28) b) (1,7) c) (-1,-7) d) (1,-7)

Alternativa Correcta:

C

Criterio 1.36. Resuelve

problemas en el ámbito de la construcción, arquitectura y obras civiles, utilizando ecuaciones de los lugares geométricos. Ejercicio 113

Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: 2x 2 + 2y2 - 8x – 12y + 8 = 0. Solución: 2x2 + 2y2 - 8x – 12y + 8 = 0

/:2

x2 + y2 - 4x – 6y + 4 = 0 Centro es : (x ; y) = (4/2 ; 6/2) (x ; y) = (2 ; 3) Radio es : r = 4 + 9 − 4 = 9 r = 3 Ejercicio 114

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano equidistante de los puntos P1(3 ; -5) y P2(-6 ; 2) Solución:

(x – 3)2 + (y +5)2 = (x + 6)2 + (y – 2)2 x2 – 6x + 9 + y2 + 10y + 25 = x2 +12x + 36 + y2 – 4y + 4 18 x – 14y + 6 = 0

/:2

9x – 7y +3 = 0



Un puente tiene un arco que forma una semielipse. Su anchura es de 24 metros en la base y tiene una altura de 15 metros. ¿Cuál es la anchura del arco de un puente a una altura de 10 metros sobre la base? a) b) c) d)

9,78. 8,94. 7,78. 6,18.

Solución: (x2/144) + (y2/225) = 1 (x2/144) + (100/225) = 1 (x2/144) = 1 – (4/9) x2 = 80 x = 8,94 metros. Respuesta: La alternativa correcta es b.

Ejercicio 116

Si la ecuación de la circunferencia correspondiente a la ventana de la figura ¿Cuántos metros debe medir el marco correspondiente al diámetro de la circunferencia? a) 4. b) 3. c) 2. d) 1. Al escribir la ecuación en la forma:

El marco correspondiente al diámetro mide 2m. Al ter nat iv a Cor rec ta: C



Unidad 2: Las funciones como modelos descriptivos. APRENDIZAJ E ESPERADO 9. Opera con funciones básicas, relacionando su estudio con la resolución de

problemáticas del ámbito de la topografía, construcción y arquitectura, utilizando calculadora científica. Criterio 2.1. Identifica el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la

nomenclatura correspondiente. En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Dominio de una función (Dom): es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x (variable independiente) forman el conjunto original. Recorrido o rango de una función (Rec; Rg): es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Ejercicio 117

¿Cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Solución: Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que, por lo general, es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Es decir, f(x) = x2



Determine el dominio de la siguiente función:

Solución: y = x3 – 6x2 + 8x En este caso, cualquier número real “x” satisface la ecuación, de modo que el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales.

Ejercicio 119

El recorrido de la siguiente función es:

a) b) c) d)

( - ∞, 0 ) ( 0, 3 ) ( 0, ∞ ) ( - ∞, ∞ )

Solución: Al observar el gráfico vemos que la curva es creciente y parte desde el 0; además, como el valor de una raíz cuadrada nunca puede ser negativo, el recorrido de la función es desde el 0 hasta el infinito, es decir, (0, ∞). Respuesta: La alternativa correcta es c.



Ejercicio 120

Sean A = {− 2, −1,0,1,2} y la función g : A → R definida por g ( x) = x ² + 1 , ¿cuál es el recorrido de la función g? a) b) c) d)

{0, 1, 2, 3, 4, 5} {-3, 0, 1, 2, 5} {0, 1, 2, 5} {1, 2, 5}

Reemplazando los elementos del conjunto A en la función, se obtienen sus imágenes que componen el recorrido. Al ter nat iv a Cor rec ta : D

Crit erio 2.2. Calcula imágenes y preimágenes en funciones reales sencillas.

El conjunto de partida, está formado por las preimágenes y se llama dominio. Las preimágenes son los valores que toma la variable independiente. El conjunto de llegada, está formado por las imágenes y se llama codominio. Las imágenes son los valores que toma la variable dependiente. Ejercicio 121

Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga, más un monto fijo de $2.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4, 6 u 8 sillas por día? Solución: Para este ejercicio, x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo. Es decir: f(x ) = 350x + 2.000

Por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función. f(2) = 350 • 2 + 2.000 f(2) = 700 + 2.000 f(2) = 2.700 Entonces, si hace solamente 2 sillas en un día, gastaría $2.700 en hacerlas. De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2.700. Además: f(4) = 350 • 4 + 2.000 = 3.400 f(6) = 350 • 6 + 2.000 = 4.100 f(8) = 350 • 8 + 2.000 = 4.800 Respuesta: Gastará $3.400, $4.100 y $4.800 en la construcción de 2, 4 y 6 sillas.



Si f(x)= x2 – 6 ¿Cuál es la preimagen de – 5? Solución: Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que –5 es una imagen por lo que: f(x) = –5 −5 = x2 – 6 − 5 + 6 = x2 1 = x2 x=±1

Ejercicio 123

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B={0,4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Determine su resultado. a) b) c) d)

Rec = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Rec = {0, 6, 12} Rec = {4, 8, 12} Rec = {1, 2, 3}

Solución: f(x) = x . 4 f(1) = 1 . 4 = 4 f(1) = 2 . 4 = 8 f(1) = 3 . 4 = 12 Respuesta: Rec = {4, 8, 12}. Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio

B={0,4,6,8, 10, 12}. Ejercicio 124

Dada las funciones

g ( x ) = 1 − 4 x − x 2 .

Calcula f ( −2) + g ( 2) =

a) 10 b) -32 c) -10 d) 32 Altern ati va Co rr ect a: A

Criterio 2.3. Representa gráficamente funciones reales sencillas en el plano

cartesiano. Si f es una función real, a cada par (x, y)= ( x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P (x, y) = P (x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio. Uniendo estos puntos con una línea continua se obtiene la representación gráfica de la función. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Graficar la función f(x) = x + x; cuando x= ( 1, 2, 3, 4, 5) Solución:

Ejercicio 126

Graficar la función f(x) = x 2 + 2; cuando x= ( -2, -1, 0, 1, 2) Solución:



El siguiente grafico a qué tipo de función representa:

a) b) c) d)

Lineal. Cuadrática. Exponencial. Logarítmica.

Respuesta: La alternativa correcta es la d.

Ejercicio 128

La recta representada en el gráfico es: a) 2 x + 5 y + 10 = 0 b) 5 x − 2 y = 0 c) 5x-2y-10=0 d) 2x-5y-10=0

5 -2

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5.0) y (0,-2) Al ter nat iv a Cor rec ta : D


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 APRENDIZAJ E ESPERADO 10. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

lineal como modelo. Criterio 2.5. Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros,

ceros y gráfica. La función lineal es de tipo: y = mx + n. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejercicio 129

Dada las siguientes funciones: I. II. III. IV.

y = 3x – 5 y = 2x2 + 3x – 5 y = x3 y = 2 (x + 3)

¿Cuál(es) representa(n) funciones lineales? Respuesta: Las funciones I y IV representan una función lineal, ya que ambas tienen la forma

y= mx + n Ejercicio 130

Dada la siguiente función lineal y= -3x -1, determine: a. pendiente de la función lineal. b. intersección con el eje de las abscisas. c. intersección con el eje de las ordenadas. d. Gráfico de la función lineal. Solución: a. La pendiente de la función lineal es: -3 b. Intersección con el eje de las abscisas (Hacemos y=0) 0 = -3x – 1 0 + 1 = -3x 1 = -x / * -1 3 - 1/ 3 = x c. Intersección con el eje de las ordenadas (Hacemos x= 0)

y= -3 . 0 – 1 y= -1 d. El gráfico de la función lineal es:



Tiene por pendiente 4 y pasa por los puntos ( -3, 2), su función lineal es: a) b) c) d)

y= 4x + 14 y= -4x + 14 y= 4x - 14 y= -4x - 14

Solución: y = 4 . x + n 2 = 4 . -3 + n 2 = 4 . -3 + n 2 = -12 + n 2 + 12 = n 14 =n Luego, y = 4x + 14 Respuesta: La alternativa correcta es a. Ejercicio 132

En relación a la recta correspondiente a la ecuación y a) Corresponde a una función afín. b) Tiene pendiente cero. c) Corresponde a una función lineal. d) Corta al eje Y en el punto (5,0).

= 5 x , se cumple:


Crit erio 2.6. Analiza e interpreta la pendiente e intercepto.

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta.

Ejercicio 133

Dada las siguientes coordenadas A(3, 4); B(7,12), determine la pendiente. Solución: m = 12 - 4 7 – 3 m = 8 4 m = 2



C(x)= $1.000x + $15.000, es la función de costo diario por metro cuadrado en pintura, en una empresa constructora para el año 2012, donde C es el costo total de pintura, donde x es la cantidad metros cuadrados que se pintan en forma diaria. Interprete el valor de la pendiente. Solución: La pendiente es $1.000, significa que por cada metro cuadrado pintado el costo aumenta en $1.000. Ejercicio 135

Para construir un muro de 2 metros de alto y una longitud de 5 metros. Su función de costo es definida por C(x)= 8.000x + 150.000, donde x son los metros cuadrado. En esta función los 150.000 representa el costo: a) Variable. b) Total. c) Fijo. d) Unitario. Solución: El valor de los 150.000 representan los costos fijos de la construcción. Respuesta: La alternativa correcta es c. Ejercicio 136

Si la pendiente de una recta es -3 y su coeficiente de posición es 2, su ecuación general es a) 3x + y + 2 = 0 b) 3x – y – 2 = 0 c) 3x + y – 2 = 0 d) 3x – y + 2 = 0


Crit erio 2.7. Calcula ecuación de la recta en sus formas principal y general. Ejercicio 137

Determine la ecuación de la recta en su forma principal que pasa por los siguientes puntos: P1 (3,-4) y P2 (5, 2). Solución: y- y1= y2 – y1 . (x – x1) x2 – x1

Ecuación de la recta en forma principal



Determine la ecuación de la recta en su forma principal y general que pasa por los siguientes puntos P1 (-3,5) y P2 (-5, 7). Solución: y= y2 – y1 . ( x – x1) + y1 X2 – x1 y= 7 – 5 . ( x – (-3)) + 5 -5 –(-3) y= 2 . ( x – (-3)) + 5 -2 y= -1 (x + 3) + 5 y = -x - 3 + 5 y = -x + 2 Ecuación de la recta en forma principal. x + y - 2 = 0 Ecuación general de la recta.

Ejercicio 139

Determine la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos P 1 (10,2) y P2 (5, 12). a) Y= 2x +22 b) Y= -2x +22 c) Y= 2x -22 d) Y= -2x -22 Solución: y= y2 – y1 . ( x – x1) + y1 x2 – x1 y= 12 – 2 . ( x – 10) + 2 5 - 10 y = -2x + 22 Respuesta: La alternativa correcta es b. Ejercicio 140 ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor la gráfica de la siguiente función?

f(x) =

A)

−2 5

x + 2

B)

C)

D)

La recta tiene pendiente negativa e intersecta al eje Y en el punto (0,2) Al ter nat iv a Cor rec ta : A Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 2.8. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la

función lineal como modelo. Ejercicio 141

Un taller compra un torno en 1970 dólares y espera que dure 10 años. Pasado ese tiempo, el torno se puede vender como chatarra en un valor estimado de 270 dólares. Determinar el valor del torno después de 2 años y medio, sabiendo que es un comportamiento lineal. Solución: y= 270 – 1970 . ( x – 0) + 1970 10 - 0 y= -1700 . ( x – 0) + 1970 10 y= -170 (x – 0) + 1970 y = -170X - 0 +1970 y = -170x + 1970 y= -170 .2,5 + 1970 y= -425 +1970 y= 1545 Respuesta: El valor del torno después de 2 años y medio es de 1545 dólares. Ejercicio 142

Se sabe que lo grillos chirrían con mayor frecuencia a mayor temperatura y con menor frecuencia a menor temperatura. Por consiguientes, el número de chirridos es una función de temperatura, si la temperatura es de 6 grados el número de chirridos es de 11, si la temperatura es de 20 grados el número de chirridos es de 109. Determine la ecuación para determinar el número de chirridos. ¿Qué cantidad de chirridos realiza el grillo con una temperatura de 18 grados? Solución: y= 109 – 11 . ( x – 6) + 11 20 - 6 y= 98 . ( x – 6) + 11 14 y= 7 (x – 6) + 11 y = 7X - 42 +11 y = 7x – 31 y= 7 . 18 - 31 y= 126 - 31 y= 95 Ejercicio 143

Se sabe que la función de longitud y temperatura de una barra de metal tiene un comportamiento lineal. Si una barra mide 75,25 cm. de longitud, su temperatura es de 20 grados Celsius y si mide 74,75 cm. su temperatura es de -2 grados Celsius. Determine la temperatura de una barra de metal que tiene una longitud de 75,15 cm. a) b) c) d)

16 grados Celsius. 15 grados Celsius. 15,2 grados Celsius. 15,6 grados Celsius.



Solución: y= -2 – 20 . ( x – 75,25) + 20 74,75 – 75,25 y= -22 . ( x – 75,25) + 20 -0,5 y= 44 (x – 75,25) + 20 y = 44x – 3311 + 20 y = 44x – 3267 y= 44 . 75,15 – 3291 y= 3306,6 - 3291 y= 15,6 Respuesta: La alternativa correcta es d. Ejercicio 144

La función de costo para construir un muro es definida por C(x)= 8.000x + 150.000, donde x son los metros cuadrados. ¿Cuál es el costo si el muro mide 2 metros de alto y una longitud de 5 metros? A) $ 206000 B) $ 230000 C) $ 262000 D) $ 276000

= 230000 Al ter nat iv a Cor rec ta : B

APRENDIZAJ E ESPERADO 11. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

cuadrática como modelo. Criterio

2.10. Representa

gráficamente funciones cuadráticas indicando sus

elementos característicos. Son funciones polinomiales de segundo grado, su gráfica es una parábola. Ejercicio 145

Dada la función y= -x 2 + 4x – 3. Graficar indicando sus elementos característicos. Solución: - Intersección de la parábola con respecto al eje x (Hacemos y=0) x² - 4x + 3 = 0



Por lo tanto, intersecta en el eje x en los puntos (1,0) y (3,0) - Intersección de la parábola con respecto al eje de las y (Hacemos x=0)

y= -02 + 4. 0 – 3 y= -3 Por lo tanto, la intersecta en el eje y en el punto (0, -3) - Determinación del vértice de la parábola X= - 4 2 . -1 X= 2 y= 4 . -1 . -3 – (4)2 4 . -1 y= 12 – 16 -4 y= -4 -4 y= 1 Por lo tanto, el vértice de la parábola es de (2,1)

Ejercicio 146

Dada la función y= x2 + 2x + 1. Graficar indicando sus elementos característicos. Solución: - Intersección de la parábola con respecto al eje x (Hacemos y=0) x² + 2x + 1 = 0

Por lo tanto, intersecta en el eje x en los puntos (-1,0) y= 02 + 2 . 0 +1 y= 1 Por lo tanto, la intersecta en el eje y en el punto (0, 1) Determinación del vértice de la parábola. X= -2 2 .1 X= -1 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


y= 4 . 1 . 1 – 22 4 .1 y= 4 – 4 4 y= 0 4 y= 0 Por lo tanto, el vértice de la parábola es de (-1, 0) Gráfico:

Ejercicio 147

El siguiente gráfico representa una parábola cuya ecuación es:

a) b) c) d)

y = x2 + 2x + 3 y = - x2 + 2x - 3 y = x2 - 2x + 3 y = - x2 + 2x + 3

Solución: X= - 2 2 . -1 X= 1 y= - (1) 2 + 2 . 1 + 3 y= 4 Por lo tanto, la ecuación cuadrática es y = - x2 + 2x + 3, cuando sus vértices son (1,4). Respuesta: La alternativa correcta es d.



Del siguiente gráfico, se puede afirmar que tiene: a) Soluciones imaginarias. b) Una raíz negativa. c) Varias raíces iguales. d) Raíces reales y distintas. Intersecta al eje X en dos puntos. Al ter nat iv a Cor rec ta : D

Criterio 2.11. Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para

interpretar su comportamiento. Ejercicio 149

El director de un teatro sabe que si cobra 30€ por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€, le supondría 100 personas más. Determine la ecuación que representa las ganancias e intérprete los parámetros a, b y c. Solución: G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x 2 + 2500x + 15000. La función de ganancia es una función cuadrática, por lo tanto, su gráfica es una parábola. El coeficiente x2 es a = -100, x 2 < 0, de modo que la parábola abre hacia abajo, por consiguiente, tiene un punto máximo. Se desplaza hacia la izquierda b > 0 y corta al eje de las ordenadas en 15000. Ejercicio 150

Dada la función anterior G(x)= -100 x 2 + 2500x + 15000. Interprete el valor del vértice de la parábola. Solución: La abscisa del vértice de la parábola es: X= - 2500 2 . -100 X= 12,5 La ordenada correspondiente es: y= 4 . -100 . 15000 – 25002 4 . -100 y= -6000000 – 6250000 400 y= -12250000 -400 y= 30625 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Por lo tanto, la forma de la parábola es ∩ , con lo cual, el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice, por lo que la ordenada del vértice proporciona el valor máximo de ganancia. Esto significa que la ganancia máxima es de 30625 €. Ejercicio 151

Dada la función cuadrática f(x)= -x 2 + 6x + 12, entonces: a) b) c) d)

La parábola es hacia arriba. La parábola tiene un valor mínimo. El vértice de la parábola es (3, 21) El valor de la ordenada es 3.

Solución: X= - 6 2 . -1 X= 3 y= 4 . -1 . 6 – 122 4 . -1 y= -24 – 144 -4 y= -168 -4 y= 21 Luego, el vértice de la función cuadrática es (3, 21) Respuesta: La alternativa correcta es c. Ejercicio 152

Encontrar el área y las dimensiones del mayor campo rectangular que puede cercar con 300 metros de malla. Si se denomina x al ancho e y al largo, el perímetro es 2x + 2y = 300

y = 150 - x

El área es x por y Las dimensiones del mayor campo corresponden a un cuadrado de lado 75 m.


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 2.12. Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo

grado. Ejercicio 153

Estudia la manera gráfica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación cuadrática: -x2 + 2x +3=0. Solución:

X1= 3 X2= -1

Ejercicio 154

Estudia la manera grafica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación cuadrática: (x – 1)2=0 Solución: (x – 1)2 = x2 – 2x + 1.

X1= 1 X2= 1 La parábola abre hacia arriba. Intersecta al eje X sólo en el punto (1, 0) Ejercicio 155

Utilizando el discriminante, la ecuación cuadrática 3x 2 -5x + 8, tiene: a) b) c) d)

Dos raíces reales diferentes. La ecuación no tiene solución real. Dos raíces reales iguales. Ninguna de las anteriores.

Solución: Calculamos el discriminante: ∆ = b 2 − 4ac 2

∆ = ( −5 ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 8 = 25 − 96 < 0 Respuesta: Como la discriminante es negativa, la ecuación no tiene solución real, la alternativa correcta es b . Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


La gráfica de la función y = 3 x 2 − 2 x intersecta al eje x en: a) 0 y 2 b) 0 y 3 2 c) 0 y 3 d) 0 y

−2 3

Las intersecciones corresponden a las soluciones de la ecuación 3x 2 – 2x = 0 Al ter nat iv a Cor rec ta: C

Crit erio 2.13. Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la

vida cotidiana y de la especialidad. Ejercicio 157

Los ingresos mensuales de un fabricante de ventanas están dados por la función I (z) = 10000 z- 2z2, donde z es la cantidad de ventanas que fabrica en el mes. ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 ventanas? A) $ 121875. B) $ 125000. C) $ 1218750. D) $ 1250000. 10000 • 125 – 2 • 1252 = 1218750

Altern ati va Correc ta: C

Ejercicio 158

Una persona se encuentra parada en la azotea de un edificio y lanza una piedra, la función de altura está definida por H= -t2 + 15t + 5, donde H es la altura y t es el tiempo en segundo. Determine la altura máxima que alcanzo la piedra. Solución: t= 15 2 . -1 t= 7,5 segundos h= -1 . 7.52 + 15 . 7.5 + 5 h= 61.25 metros Respuesta: La altura máxima alcanzada por el cohete es de 61.25 metros a los 7,5 segundos

de su lanzamiento.



El ingreso trimestral por venta de x departamentos está dado por V(x)= -2t2 + 20t + 6, donde V(x) es la venta de departamentos y t es el tiempo en meses. Determine el número de unidades que se deben vender para maximizar el ingreso: a) 54. b) 55. c) 56. d) 58. Solución: t= - 20 2 . -2 t= 5 meses V(t)= -2 . 52 + 20 . 5 + 6 V(t)= 56 departamentos El punto máximo de venta es de 56 departamentos, si se venden más que esos los ingresos son decrecientes. Respuesta: La alternativa correcta es c. Ejercicio 160

Una Compañía Minera ha determinado que el costo en millones de pesos por tonelada de mineral está dado por la función: donde x es el número de toneladas de mineral extraído. ¿Cuál es el costo al extraer 30 toneladas de mineral?

APRENDIZAJ E ESPERADO 12. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando como

modelo la función exponencial. Crit erio 2.15. Identifica la función exponencial de la forma y = a ⋅ b x , y la caracterizan a

través de sus parámetros y gráfica, cuando

0 < b < 1 y

cuando

b

> 1.

Ejercicio 161 x Dada la función y = 2 , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica.

Solución: Es una función exponencial, ya que es de la forma y = a ⋅ b x . El dominio de una función exponencial son todos los números reales, es decir ( − ∞, ∞ ) , el recorrido en este caso (por ser a positivo, a > 0 ) son todos los números reales positivos, es decir ( 0,∞ ) . Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


La función exponencial es una función continua, y como b > 1 la función es creciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. 4

Si x = −4

1  1 ⇒ y = 2−4 =   = = 0,0625  2  16

⇒ ( − 4;0.0625 )

2

−2

1  1 =   = = 0,25 4 2

Si x = −2

⇒ y =2

⇒ ( − 2;0.25 )

Si x = −1

 1 1 ⇒ y = 2 =   = = 0,5  2 2

⇒ ( − 1;0.5 )

Si x = 0

⇒ y = 20 = 1

⇒ ( 0;1)

Si x = 1

⇒ y = 21 = 2

⇒ (1;2 )

Si x = 1,5

⇒ y = 21,5 ≈ 2,828

⇒ (1.5;2.828 )

1

−1

Ejercicio 162 x

1 Dada la función y =   , caracterícela a través de sus parámetros y gráfica. 2 Solución: Es una función exponencial, ya que es de la forma y = a ⋅ b x . El dominio de una función exponencial son todos los números reales, es decir ( − ∞, ∞ ) , el recorrido en este caso (por ser a positivo, a > 0 ) son todos los números reales positivos, es decir ( 0,∞ ) . La función exponencial es una función continua y como b < 1 la función es decreciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. Si x = −2

 1 ⇒ y =  2

−2

= 22 = 4

⇒ ( −2;4 )


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 −1

Si x = −1

 1 ⇒ y =   = 21 = 2 2

Si x = 0

 1 ⇒ y =  = 1 2

Si x = 1

 1 1 ⇒ y =   = = 0,5 2 2

Si x = 2

1  1 ⇒ y =   = = 0,25 4 2

Si x = 4

1  1 ⇒ y =  = = 0,0625  2  16

⇒ ( − 1;2 )

0

⇒ ( 0;1)

1

⇒ (1;0.5 )

2

⇒ ( 2;0.25 )

4

⇒ ( 4;0.0625 )

Ejercicio 163

Dada la función exponencial y = e − x , entonces: a) La gráfica de la función es creciente. b) El dominio de la función es (0, ∞ ) . c) La gráfica de la función es decreciente. d) El recorrido de la función es (− ∞, ∞ ) . Solución: Como se dijo anteriormente, el dominio de una función exponencial son todos los números reales, por lo que, la alternativa b no es correcta. Como y = a ⋅ b x es la forma general de una función exponencial, y a > 0 , entonces el recorrido de la función son los reales positivos, por lo que, la alternativa d no es correcta. x

1 1 En y = e − x =   , como b = < 1 la función es decreciente, por lo que, la alternativa a no es

e

e

correcta sino la alternativa c . Respuesta: La alternativa correcta es c. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Una empresa que vende viviendas, y que está en una gran crisis económica, decide colocar una campaña publicitaria. La agencia proyecta que el número de viviendas que se venderán está dado por la siguiente expresión: en que x representa la cantidad de meses que transcurren una vez que empieza la campaña. ¿Cuántas se venden después de 5 meses?

A los 5 meses se venden 543 viviendas Criterio 2.16. Resuelve ecuaciones exponenciales usando propiedades con ayuda de

calculadora científica. Ejercicio 165

¿El valor de x en la ecuación 8 x ⋅ 16 = 4 x ⋅ 2 es? Solución: En la ecuación dada, debemos igualar todas las bases, en este caso como 8, 16, 4 y 2 son potencias de 2, la base será 2. Luego, aplicamos propiedades de potencia. 8 x ⋅ 16 = 4 x ⋅ 2

(2 ) 3

x

x

⋅ 24 = ( 22 ) ⋅ 21

23 x ⋅ 24 = 2 2 x ⋅ 21 2 3 x + 4 = 2 2 x +1 3 x + 4 = 2x + 1

/como las bases son iguales, las eliminamos. / −2x / −4

x + 4 = 1 x = −3 Ejercicio 166

¿El valor de x en la ecuación a

x −1 3

⋅a

2 x −5 4

3x

⋅ a 5 = a 0 es?

Solución: Como las bases son iguales, aplicaremos propiedad de la multiplicación de potencias y luego resolveremos la ecuación. a

x −1 3

⋅a a

2 x −5 4

3x

⋅ a 5 = a0

x −1 2 x − 5 3 x + + 3 4 5

= a0

/como las bases son iguales, las eliminamos.

x − 1 2x − 5 3 x + + = 0 /multiplicamos por el m.c.m. entre 3, 4 y 5, que es 60. 3 4 5 60 ⋅

( x − 1) 3

+ 60 ⋅

( 2x − 5 ) 4

+ 60 ⋅

3x = 60 ⋅ 0 5

20 ⋅ ( x − 1) + 15 ⋅ ( 2 x − 5 ) + 12 ⋅ 3 x = 0

/ multiplicamos


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 20 x − 20 + 30 x − 75 + 36 x = 0 86 x − 95 = 0 86 x = 95 x=

/ reducimos términos / +95 / : 86

95 86

Ejercicio 167

Los valores de x en la ecuación siguiente son: 4096 = 212

X = 3, x = 8 Ejercicio 168

Para qué valor de x se cumple la igualdad 3 x = 5

Criterio 2.17. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo exponencial, con ayuda de la calculadora. Ejercicio 169

La demanda semanal de una nueva línea de refrigeradores, t meses después de introducido al mercado está dada por la siguiente expresión D(t ) = 2.000 − 1.500 e −0,05t , t > 0 . ¿Cuál es la demanda del producto después de dos años? Solución: Como t esta expresado en meses, 2 años = 24 meses. Reemplazando t = 24 , tenemos: D(24) = 2.000 − 1.500 e −0,05⋅ 24 D(24) = 2.000 − 1.500 e −1,2 D(24) = 1.548,2 Respuesta: La demanda por los refrigeradores, después de 2 años es de 1.549 refrigeradores.



Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v (t ) = P ⋅ 1,1t . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2004. ¿Cuál será su precio en el año 2013? Solución: Reemplazando t = 9 y P = 40.000.000 , se tiene: v (9) = 40.000.000 ⋅ 1,19 v (9) = 94.317.907,64 Respuesta: El precio de la casa en el año 2013 es $94.317.908 Ejercicio 171

El ingreso I (en dólares) de un cierto producto viene dado por la expresión I ( x) =1 5 0 x ⋅ e se venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:

−

x 25

. Si

a) 55.417,92. b) 2.030,35. c) 1.050,32. d)1.015,01. Solución: Reemplazando x = 50 , se tiene: I (50) = 150 ⋅ 50 ⋅ e

−

50 25

I (50) = 7.500 ⋅ e −2

I (50) = 1.015,01 Respuesta: La alternativa correcta es b.

Ejercicio 172

Cierto medicamento se elimina del organismo a través de la orina, la dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por:

La cantidad de medicamento en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial es: A) 0,64 B) 1,64 C) 1,67 D) 16,77 Reemplazando t = 8 se obtiene 1,67 mg. Al ter nat iv a co rr ect a: B



APRENDIZAJ E ESPERA DO 13. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función

logarítmica como modelo. Criterio 2.19. Identifica la función logarítmica de la forma y = a + b ⋅ log x , y la caracterizan a

través de sus parámetros y gráfica. Ejercicio 173

Dada la función y = log x , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros y gráfica Solución: Es una función logarítmica, ya que es de la forma y = a + b ⋅ log x . El dominio de la función y = log x por ser a = 0 y b > 0 son todos los números reales positivos, es decir

( 0,∞ ) , el

recorrido de la función logarítmica siempre serán todos los números reales, es decir ( − ∞, ∞ ) . La función logarítmica es una función continua, y como b > 0 la función es creciente. Encontraremos los pares ordenados para nuestro gráfico, dando valores a “x” obtendremos los valores de “y”. Si x = 4

⇒ y = log(4) ≈ 0,602

⇒ ( 4;0.602)

Si x = 2

⇒ y = log(2) ≈ 0,301

⇒ ( 2;0.301)

Si x = 1

⇒ y = log(1) = 0

⇒ (1 ;0 )

Si x = 0,5

⇒ y = log(0,5) ≈ − 0,301

⇒ ( 0.5; −0.301)

Si x = 0,25

⇒ y = log(0, 25) ≈ −0, 602

⇒ ( 0.25; −0.602)

Si x = 0,1

⇒ y = log(0,1) = − 1

⇒ ( 0.1 ; −1)



Dado el gráfico logarítmico, caracterícelo a través de sus parámetros, ceros y gráficas Solución:

La gráfica corresponde a una función creciente, por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje “y”, en la medida que “x” se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto (1, 0) Ejercicio 175

Dados los siguientes gráficos. ¿Cuál de ellos representa una función logarítmica?

I

II

III

IV

a) Gráfico I b) Gráfico II c) Gráfico III d) Gráfico IV Solución: El gráfico I corresponde a función exponencial creciente, el gráfico II es una función racional, el gráfico III es una función exponencial decreciente y el gráfico IV corresponde a una función logarítmica. Respuesta: La alternativa correcta es d. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


La gráfica de la función

intersecta al eje X en el punto:

a) (2,0) b) (1,0) c) (0,2) d) (0,1) Al tern ati va Co rr ect a: A

Criterio 2.20. Resuelve ecuaciones logarítmicas usando propiedades dadas y con ayuda de

calculadora científica. Ejercicio 177

Determine el valor de “x” en la ecuación log (log x 3 ) = − 1 . Solución: Recordemos que la definición de logaritmo es logb a = x ⇔ b x = a , aplicándola a nuestra ecuación, se tiene: log ( log x 3 ) = − 1 log10 ( log10 x 3 ) = − 1

10−1 = log10 x 3 ⇒ log10 x 3 =

1 10

, aplicando nuevamente la definición,

se tiene: 10 3

1 10

10

= x3

1 10

/ 3

=x

1 3

1  101  30  10  = x ⇒ x = 10  

Ejercicio 178

Encuentre el valor de “x” en la ecuación log ( x − a ) − log ( x + a ) = log x − log ( x − a) . Solución: a Primero aplicaremos la propiedad de la resta de logaritmos log a − log b = log   .

b

log ( x − a ) − log ( x + a ) = log x − log ( x − a)

 x −a  x  = log     x + a  x −a x −a x = x +a x −a ( x − a )( x − a) = x ( x + a) log 

x 2 − ax − ax + a2 = x 2 + ax −ax − ax + a 2 = ax a 2 = 3ax

, eliminamos los logaritmos. , multiplicamos cruzado

, agrupamos términos / : 3a


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 a2 =x 3a a =x 3

con a ≠ 0

a = x , debe satisfacer la ecuación 3 log ( x − a ) − log ( x + a ) = log x − log ( x − a) la cual, no la satisface pues, reemplazando el valor

Debemos considerar que de “x”, se tiene:

a  a  a  a  − a  − log  + a  = log   − log  − a  3  3  3  3   2a   4a  a   2a  log  − − log   = log   − log  −    3   3  3   3 

log 

El logaritmo de un número negativo no existe, así: - Si “a” es positivo log  −  no existe.  3  2a

- Si “a” es negativo log   no existe. 3 a

Respuesta: La ecuación log ( x − a ) − log ( x + a ) = log x − log ( x − a) , no tiene solución . Ejercicio 179

La solución de la ecuación

es:

a) 2 b) 5 c) 10 d) 50

Al ter nat iv a Cor rec ta : A Ejercicio 180

Dado log

3

x = 4 , entonces el valor de x es:

a) 3 b) 9 c) 27 d) 3

X=9

Al ter nat iv a Cor rec ta : B


Cuaderno d e Aprend izaje – 2014 Criterio 2.21. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la

especialidad, aplicando el modelo logarítmico con ayuda de la calculadora. Ejercicio 181

Un equipo de fútbol considera que la cantidad de dólares “ x ” que gana semanalmente en la venta de sus productos (camisetas, gorros, etc), está dada por la expresión  400   . Calcular la cantidad de unidades que se deben vender, para que la  500 − x 

y = 200 ln 

ganancia sea de 139 dólares. Solución: Reemplazamos el valor de x = 139 en la función dada,  400    500 − x 

y = 200 ln 

 400    500 − 139 

y = 200 ln 

 400    361 

y = 200 ln  y = 20,517

Respuesta: Por lo tanto, la cantidad que se debe vender es de 21 unidades.

Ejercicio 182

El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relación N = 1.000e −0,016t , donde t se mide en años y N en millones de litros. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad? Solución: Para determinar la cantidad actual de agua, reemplazamos t = 0 y obtenemos que N = 500 . Ahora, determinaremos la cantidad de año: 500 = 1.000e −0,016t

0,5 = e−0,016 t ln(0,5) = − 0,016t

/:500 / ln / : −0,016

ln(0,5) =t −0,016 43,32 = t Respuesta: Deben transcurrir 43,32 años para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.


336309946-GEOMETRIA.pdf

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