Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
3.6 Probabilidad de eventos compuestos. Muy a menudo queremos calcular las probabilidades para resultados experimentales que se forman como una composición de dos o más eventos. Los eventos compuestos se pueden formar por uniones o intersecciones de otros eventos, o por alguna combinación de los dos . Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. La intersección de los eventos A y B, denotada por A ∩ B , es el evento de que ocurran ambos A y B. La unió de eventos A o B, denotada por A ∪ B , es el evento evento de que ocurra A o B.
Reglas básicas de probabilidad
A todo evento se le asigna una probabilidad, que se da en términos de números reales y debe cumplir con las siguientes condiciones: 1.
Las probabilidades son números reales entre 0 y 1
2.
P ( S ) = 1
3.
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (ajenos), entonces
y
P (φ ) = 0 .
A
B
P( A ∪ B) = P( A) + P ( B). A
4.
C P ( A ) = 1 − P ( A)
B
5.
Si A ⊆ B , entonces P ( A) ≤ P ( B ).
6.
P( A − B) = P ( A) − P ( A ∩ B) .
A
A
B
A
B
7. Si A y B representan a dos eventos eventos cualesquiera, entonces
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
Ejemplos donde se emplean estas reglas. Ejemplo 3.56
Una caja contiene 15 bolas de billar billar que están numeradas del 1 al 15. Se saca una bola al azar y el número registrado. Encuentre la probabilidad de que el número sea: a) Par b) Menor de 5 c) par y menor de 5 d) par o menor de 5. Solución:
a)
Hay 7 números: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, que son pares. Por lo tanto p
b) Hay 4 números: 1, 2, 3, 4, qu8e son menores de 5. Por lo que p c)
=
=
7 15
+
4 15
+
2 15
=
7 15
4 15
Hay 2 números: 2 y 4, que son pares y menores de 5. De ahí que p
d) Por la regla de adición p
=
=
2 15
9 15
En forma alterna, hay 9 números: 1,2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14 que son pares o menores de 5, de donde p
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
=
2 15
65
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Ejemplo 3.57
Una clase consta de 70 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre o tenga ojos cafés. Solución:
A = {La persona es un hombre}
P( A) =
10 30
=
1 3
P( B ) =
B = {La persona tiene ojos cafés}
15 30
Por la regla de adición: P( A ∪ B )
=
=
1 2
P ( A ∩ B ) =
1 1 ⋅
3 2
P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B
=
=
1 6 1 3
+
1 2
−
1 6
=
2 3
Ejemplo 3.58
Suponiendo que el evento A = {El martes a las las 16:00 estará lloviendo} B = {El martes a las 16:00 estará despejado} y de acuerdo acuerdo al observatorio nacional nacional P( A) = 0.45 Y P ( B) = 0.3 C
¿Cuáles son son las probabilidades a) P ( A ) b) P( A ∩ B ) c) P( A ∪ B ) ? Solución: C
a) P ( A ) = 1 − P ( A) = 1 − 0.45 = 0.55 Para calcular el inciso b) y c) debemos observar que los eventos A y B son mut uamente excluyentes, ya que el tiempo no puede estar lluvioso y despejado simultáneamente. b) P( A ∩ B) = P(φ ) = 0
c) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) = 0.45 + 0.3 = 0.75 La regla 3 es un tipo especial de reglas llamadas reglas aditivas. Suponiendo que A, B, y C son ahora tres eventos mutuamente excluyentes, esto es, si ocurre alguno de ellos no pueden ocurrir los otros. Si pensamos en la probabilidad de A ∪ B ∪ C como el área de tres círculos que no se cruzan, es claro que P ( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) . Procediendo de esta manera se obtiene:
Si k eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es igual a la suma de sus respectivas probabilidades, esto es,
P ( A1
∪ A2 ∪ ... ∪ AK ) =
P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( AK ).
Ejemplo 3.59
Si las probabilidades de que una agencia de automóviles venda 0, 1, 2, 3, 4 y 5 automóviles durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05 ¿Cuáles son las probabilidades de que vendan de 2 a 5 automóviles y de que vendan 5 o más automóviles? Solución:
Como estos eventos son mutuamente excluyentes, vemos que la agencia venderá de 2 a 5 automóviles con probabilidad 0.15 + 0.18 + 0.12+ 0.05=0.5 Para calcular la probabilidad de que vende 5 o más automóviles, a utomóviles, primero debemos calcular la probabilidad de vender vender a lo más cuatro automóviles: 0.05+ 0.1+ 0.15+ 0.18+ 0.12=0.6 por la regla 4, la probabilidad de que se vendan 5 o más automóviles es C
P ( A ) = 1 − P ( A) =1-0.6=0.4 Si en particular, al aplicar la regla aditiva anterior se tiene que cada evento A1 consta de un único resultado, tenemos la siguiente regla general para p ara calcular probabilidades de espacios finitos:
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
66
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
La probabilidad de un evento A está dada por la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados que conforman A. Esta regla, la empleamos implícitamente para calcular las probabilidades de eventos igualmente probables, pr obables, ya que si un evento A está formado de k resultados de un total de n resultados posibles, entonces cada uno de los
1
resultados debe tener probabilidad
1
P ( A) =
n
1
+
+ ⋅⋅⋅ +
n
1 n
=
k n
n
, y como el evento está compuesto de k resultados,
Observemos que esta probabilidad coincide con nuestra primer definición de
probabilidad para eventos donde todos los posibles posibles resultados son igualmente probables.
Ejemplo 3.60
Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia en cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02 ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al menos menos uno de estos dos noticieros? Solución:
Considerando que vea el noticiero de TV Azteca Azteca es P(A)= 0.3, vea el noticiero de Televisa es P(B)= 0.2 y de que vea ambos es de P ( A ∩ B ) = 0.02 Notemos primero que como la probabilidad de que vean ambos noticieros es positiva, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto se deben transmitir s diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, esto es, P ( A ∪ B) . Por la regla anterior, P( A − B ) = P ( A) − P( A ∩ B ) = 0.3 + 0.2 − 0.02 = 0.48
Ejemplo 3.61
Si P ( A ∪ B ) C
a) P ( A )
=
0.8, P ( A) = 0.4, P ( A ∩ B) = 0.3 . Encuentra:
b) P ( B )
C
c) P ( A ∩ B )
d) P ( A
C
∩ B
C
)
Solución: C
a) P ( A )
= 1−
P ( A) = 1 − 0.4 = 0.6 b) P( A ∪ B) = P( A) + P ( B) − P ( A ∩ B ) sustituyendo esta regla 0.8 = 0.4 + P( B) − 0.3 0.8 − 0.4 + 0.3 = P( B ) P( B) = 0.7 C
c) P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) d) Por la ley de Morgan, ( A ∪ B )
P ( A
C
∩ B
C
) = P ( A ∪ B )
C
C
=
= A
= 1−
0.4 − 0.3 = 0.1
C
∩ B
C
por lo tanto:
P ( A ∪ B ) = 1 − 0.8 = 0.2
Ejemplo 3.62
Suponga que A y B son eventos con P(A) = 0.60 P(B) = 0.3 y P ( A ∩ B) = 0.2 Encuentre la probabilidad de que: a) A no ocurra b) B no ocurra ocurra c) A o B ocurran d)No ocurran A ni B. Solución: C
= 1−
P ( A) = 0.4
C
= 1−
P ( B ) = 0. 7
a) P ( A ) b) P ( B )
c) P( A ∪ B)
=
d) P ( A ∪ B )
C
P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0.6 + 0.3 − 0.2 = 0.7 A = 1−
P ( A ∪ B ) = 1 − 0.7 = 0.3
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
67
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Ejemplo 3.63
En un experimento se encuentra que P ( A)
1
=
1
, P( A ∪ B)
3 C C b) P ( B ) c) P( A ∩ B ) d) P ( A ∩ B )
C
que: a) P ( A )
3
, P ( B ) =
=
7
Encuentre la probabilidad de
15 C C e) P ( A ∪ B )
Solución: C
a) P ( A ) C
b) P( B )
= 1−
P( A) = 1 −
=1−
P( B) = 1 −
1 3 1 3
2
=
3 2
=
3
c) P( A ∩ B )
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B)
7 15
=
1 3
+
1 3
−
P ( A ∩ B )
1
P ( A ∩ B ) =
3 1
P ( A ∩ B ) =
C
C
∪ B
1 3
−
7 15
5
d) P ( A ∩ B )
e) P ( A
+
C
=
P( A) − P( A ∩ B) =
) = P( A ∩ B) C
= 1−
1 3
−
1 5
=
2 15
P ( A ∩ B) = 1 −
1 5
=
4 5
Ejemplo 3.64
En una encuesta se clasificó a un gran número de adultos de acuerdo con si ellos juzgaban que necesitaban utilizar anteojos para corregir su visión de lectura y si los usaban para leer. En la siguiente tabla se muestran las proporciones que se encontraron en las cuatro categorías. (Observe que una proporción pequeña pequeña de adultos, 0.02, usaba lentes cuando de hecho ellos creían que no los necesitaban.) Utiliza anteojos para leer
........
……..
Se determinó que Necesitaban usar anteojos
Sí
Nó
Sí
0.44
0.14
No
0.02
0.40
Si de este gran gran grupo se selecciona un solo adulto, encuentre la probabilidad de cada evento: a) El adulto cree que necesita anteojos. b) El adulto necesita usar anteojos para leer pero no los usa. c) El adulto utiliza Anteojos para leer.
Tabla 1.3
Solución:
Hay que determinar los totales de la tabla correspondientes y apoyarse en todos los valores para dar respuesta a cada inciso. ........
Utiliza anteojos para ……..leer Nó
a)
Se determinó que Necesitaban usar anteojos
Sí
Sí
0.44
0.14
0.58
No
0.02
0.40
0.42
Total
0.46
0.54
1
El adulto cree que necesita anteojos. = 0.44
Total
b) El adulto necesita usar anteojos para leer pero no los usa. = 0.14 d) El adulto utiliza Anteojos para leer. = 0.46
Tabla 1.3
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
68
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Problemas que deberán de resolver los alumnos
Ejercicios 3.13
1. En un experimento tiramos un par de dados y contamos los puntos obtenidos. a)
Describe el espacio muestral. Solución. (1,6)=7
(2,6)=8
(3,6)=9
(4,6)=10
(5,6)=11
(6,6)=12
(1,5)=6
(2,5)=7
(3,5)=8
(4,5)=9
(5,5)=10
(6,5)=11
(1,4)=5
(2,4)=6
(3,4)=7
(4,4)=8
(5,4)=9
(6,4)=10
(1,3)=4
(2,3)=5
(3,3)=6
(4,3)=7
(5,3)=8
(6,3)=9
(1,2)=3
(2,2)=4
(3,2)=5
(4,2)=6
(5,2)=7
(6,2)=8
(1,1)=2
(2,1)=3
(3,1)=4
(4,1)=5
(5,1)=6
(6,1)=7
C
C
C
b) Si A={2, 3, 4, 5, 6} y B={3, 5, 7, 9, 11} describe los eventos A , B , A ∪ B, A ∩ B Y A ∩ B Solución:
AC = {7, 8, 9, 10, 11,12} B C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} A ∪ B = {2,3, 4, 5, 6, 7, 9, 11} A ∩ B C = {2, 4, 6} A ∩ B = {3, 5} 2. Si A Y B son mutuamente excluyentes excluyentes para los cuales P(A)=0.3 y P(B)=0.45 determinar: C
a) P ( A )
b) P ( A ∪ B )
c) P( A ∩ B)
Solución. C
a). P ( A ) = 0.7 b) P ( A ∪ B) = 0.75 c) P( A ∩ B ) = 0 3. Sean A y B eventos de manera que P( A ∪ B) C
C
=
0.8, P ( A) = 0.4, y P( A ∩ B) = 0.3 Encuentre:
a) P ( A ) , b) P ( B ) , c) P ( A ∩ B ) , d) P ( A
C
∩ B
C
)
C
Solución. a) P ( A ) = 0.6 Solución. b) P ( B ) = 0.7
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
69
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
C
Solución. c) P ( A ∩ B ) =0.1 Solución. d) P ( A
C
∩ B
C
) = 0.1
4. Suponga que P( A) = 0.3 , P( B) siguientes probabilidades: a) P( A ∩ B )
=
son mutuamente excluyentes, excluyentes, encuentra las 0.5 Si los eventos A y B son
b) P( A ∪ B )
Solución. a) P( A ∩ B ) = 0 Solución . b) P ( A ∪ B ) = 0.8 5. Suponga P ( A) probabilidades: a) P( A ∩ B )
=
son independientes, encuentra las siguientes 0.4 y P ( B ) = 0.2 . Si los eventos A y B son b) P ( A ∪ B)
Solución. a) P( A ∩ B ) = 0.2 Solución. b) P ( A ∪ B ) = 0.52 6. Explica por qué son incorrectas las siguientes afirmaciones: a) Como Gonzalo estudio mucho para su examen, la probabilidad de que lo pase es 0.9 y la probabilidad de que lo repruebe es 0.4 b) La probabilidad de que Gonzalo llegue al CCH Oriente en microbús es 0.2, la probabilidad de que Gonzalo llegue al CCH Oriente en bicicleta es 0.1 y la de que Gonzalo llegue en microbús o en bicicleta es 0.28. 7. Una muchacha estima que durante una fiesta la probabilidad de que se le declare José es de 0.7, la probabilidad de que se le declare Enrique es de 0.4 y la probabilidad de que se le declaren ambos es de 0.2 ¿Cuál es la probabilidad de que se le declare alguno de los dos durante la fiesta? Solución. La probabilidad de que se le declare declare alguno de los dos durante la fiesta= fiesta= 0.9
8. De 64 empleados en la Gerencia Administrativa, 58 han hecho su declaración anual de impuestos correctamente y 6 la han alterado. Hay 31 empleados con ingresos mayores a cinco salarios mínimos y 33 empleados con ingresos menores a cinco salarios mínimos. Si 31 de los 33 empleados con ingresos menores a cinco salarios mínimos hicieron su declaración correctamente y si un inspector de hacienda escoge al azar a un empleado para revisar su declaración, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector escoja un empleado con ingreso menor a cinco salarios mínimos y que haya alterado su declaración? Solución. p(
9. Una muestra seleccionada de 314 estudiantes del CCH oriente de segundo semestre, a continuación se muestran las calificaciones que los alumnos obtuvieron en la asignatura de Matemáticas de primer pr imer semestre:
I
A
B
C
D
E
F
G
H
Sexo
NP
NA
5
6
7
8
9
10
Total
F
17
21
22
32
12
18
27
15
164
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
70
Unidad I
Probabilidad
J
Guía del alumno
M
21
34
12
23
18
17
14
11
150
Total
38
55
34
55
30
35
41
26
314
Tabla 1.4
Como se observara a cada evento (Calificación) se le asigno una letra A, B, C, etc. de igual forma se le asigno una letra al genero. Indicar la probabilidad de los siguientes eventos: a) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 7. b) El estudiante en matemáticas 1 es mujer. mujer. c) El estudiante en matemáticas 1 no se presento. d) El estudiante en matemáticas 1 saco de calificación 10. e) El estudiante en matemáticas 1 es hombre. f) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y saco 8 de calificación. g) El estudiante en matemáticas 1 es hombre y saco 9 de calificación. h) El estudiante en matemáticas 1 es mujer y no acredito la asignatura. i) El estudiante en matemáticas 1 es hombre y no se presento a clases. clases. Solución. a). p(7) = 30/314 Solución. b). p(sea mujer) = 12/314 Solución. c). p(no se presento) = 38/314 38/314 Solución. d). p(10) = 26/314 Solución. e). p(es hombre) = 150/314 Solución. f). p(es mujer mujer y saco 8) = 18/314 Solución. g). p(es hombre y saco 9) = 14/314 14/314 Solución. h). p(es mujer y no acreditó la asignatura) asignatura) = 27/314 Solución. i). p(es hombre y no asistió a clases) clases) = 21/314
10. Un estudio de la conducta de un gran número de delincuentes adictos a las drogas después de recibir tratamiento para su dependencia sugiere que la probabilidad de que sean condenados por reincidencia en un periodo de dos años después del tratamiento podría po dría depender de la educación del delincuente. Las proporciones propo rciones del número total de casos que caen en cuatro categorías de educación y condena por reincidencia se muestran en la siguiente tabla:
Condición 2 años después del tratamiento
Educación 10 años o más 9 años o menos
Totales
Condenado
No condenado
Totales
0.10 0.27 0.37
0.30 0.33 0.63
0.40 0.60 01.00
Tabla 1.5
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
71
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Suponiendo que se selecciona un solo delincuente del programa de tratamiento. Los siguientes son los eventos de interés: A: El delincuente tiene 10 años de educación educación o más. B: El delincuente es condenado por reincidencia después de 2 años de completar el tratamiento. Encuentra las probabilidades aproximadas para estos eventos:
P ( A)
a)
b) P ( B )
f) P ( A ∪ B )
C
c) P ( A ∩ B)
g) P ( A ∩ B )
d) P( A ∪ B )
C
e) P ( A )
C
Solución a) P ( A) = 0.40 Solución b) P ( B ) = 0.10 Solución c) P ( A ∩ B) = 0.37 Solución d) P ( A ∪ B) = 0.63 Solución e) P ( A
C
) = 0.60 C
Solución f) P ( A ∪ B ) = 0.54 C
Solución g) P ( A ∩ B ) = 0.63
3.6.3 Probabilidad condicional condicional e independencia. independencia. A veces la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de si ha ocurrido o no un segundo evento. Suponga que un investigador observa el género de una persona y si ésta puede ver o no los colores rojo y verde. Sea A el evento de que la persona sea daltónica, y el evento B, el que la persona sea un hombre. A través tr avés del concepto de frecuencia relativa, sabemos que P ( A) es la proporción de personas en la población que son daltónicas, e incluye a hombres y mujeres. Ahora suponga que la persona es un hombre, y considere la proporción de hombres en la población que son daltónicos. Esta proporción podría o no ser igual que la probabilidad de A. En este caso, puesto que el daltonismo es una característica vinculada al sexo masculino, la proporción de hombres daltónicos será mayor que P ( A) , la proporción de personas en la población que son daltónicas. La probabilidad condicional se A, dado que ha ocurrido B , se denota como P ( A / B ) . La barra vertical se
lee “dado” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son aquellos que se sabe han ocurrido. Las probabilidades condicionales de A dado B, y B dado A se definen a continuación. continuación. Probabilidad condicional
a)
P ( A B ) , es decir, “Probabilidad de A, dado que ya ocurrió B” Simbolizado: P( A B ) =
A
P ( A ∩ B ) P ( B )
Del mismo modo P( B A) =
P ( A ∩ B )
O bien P( B A) =
P( A ∩ B )
P ( A)
y B son independientes si:
P( A B ) =
P ( A ∩ B ) P ( B )
=
P ( A)
P ( A)
=
P ( B)
Dos eventos son independientes si P ( A B ) = P ( A) y si P ( B A) = P ( B ) . Cuando esto
sucede equivalentemente se tiene:
Grupo 401C * * * * * * * * * * * *P*( A* ∩ * B * )* =* P * (* A*) ⋅*P*( B*)* * * * * * * * * * * * *
72
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Ejemplo 3.65
Continuemos con el ejemplo de género y daltonismo. Suponga que la población en general consiste en 50% C
0.5 y P ( B ) = 0.5 también consideremos que 4% de la población son hombres daltónicos; es decir, P( A ∩ B = 0.4 . Por consiguiente, la probabilidad condicional P ( A ∩ B 0.04 = = 0.08 P ( A / B ) = 0.50 P ( B ) hombres y 50% mujeres , de modo que P ( B )
=
C
Si tuviéramos información adicional de que la proporción de mujeres daltónicas, daltónicas, P ( A ∩ B ) = 0.002 , entonces podría calcular la probabilidad condicional de que un individuo sea daltónico, dado que la persona es C
C
C
una mujer, P ( A / B ) por medio de: P ( A / B )
=
P( A ∩ B ) C
P( B )
=
0.002 0.500
=
0.004
Como se puede ver estas dos probabilidades condicionales no son iguales. La probabilidad p robabilidad de que una persona sea daltónica, dado que es hombre, es mucho mayor que la probabilidad de que una persona sea daltónica, dado que es mujer.
Ejemplo 3.66
El profesor de encargado del departamento de deportes de un bachillerato señala que 35% de los estudiantes practican futbol, 15% practican atletismo atletismo y 6% practican ambos deportes. Si se escoge escoge al azar a un estudiante que ejercita futbol, ¿Cuál es la probabilidad de que practique atletismo? Solución:
Denotemos con F el evento de que un estudiante practique practique futbol y con A que practique atletismo. Así, las probabilidades de P ( F ) = 0.35 , P ( A) = 0.15 P ( F ∩ A) = 0.06 . De ahí que la probabilidad de que practique atletismo dado que juega futbol es:
P( A / F ) =
P( F ∩ A) P ( F )
=
0.06 0.35
Ejemplo 3.67
En una encuesta telefónica aplicada a 1000 adultos se preguntó a los encuestados acerca del costo de una educación universitaria y la posible necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Se clasificó a los encuestados con base en si actualmente tenían un hijo en una universidad y si pensaban que la carga del préstamo para la mayoría de los estudiantes estudiantes universitarios era muy alta, adecuada adecuada o muy baja. En la siguiente tabla.
Con hijo en la universidad (D) Sin hijo en la universidad (E)
Muy alta (A)
Adecuada (B)
Muy baja (C)
0.35 0.25
0.08 0.20
0.01 0.11
Tabla 1.6
1. 2. 3.
¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad? Dado que la persona encuestada tienen un hijo en la universidad, ¿Cuál es la probabilidad que él o ella clasifiquen la carga del préstamo como “muy alta”? ¿Los eventos D y A son independientes? Explícalo.
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
73
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Solución:
En la tabla 1.6 se dan las probabilidades para los seis eventos simples de las celdas de la tabla. Por ejemplo, la información en la esquina superior izquierda de la tabla es la probabilidad de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad y considere que la carga del préstamo es muy alta ( A ∩ D ) . 1. El evento de que la persona encuestada tenga un hijo en la universidad ocurrirá sin tener en cuenta su respuesta a la pregunta relacionada con la carga del préstamo. Es decir, el evento D consiste en los eventos simples del primer renglón: P ( D) = 0.35 + 0.08 + 0.01 = 0.44 En general, las probabilidades de eventos marginales como D y A se encuentran al sumar las probabilidades de la fila o columna columna que corresponda. 2.
Para encontrar la probabilidad de A dado D, usamos la definición de probabilidad condicional:
P ( A / D ) =
3. Puesto que P( A / D) independientes.
=
P ( A ∩ D ) P ( D )
=
0.35 0.44
=
0.80
0.80 y P( A) = 0.35 + 0.25 = 0.60 , los eventos A y D no deben ser
Ejemplo 3.68
El departamento de servicio de una tienda de artículos electrónicos cuenta con ocho técnicos para atender las reparaciones a domicilio. De estos ocho técnicos cinco han recibido entrenamiento especial. Las evaluaciones De los clientes muestran que el 80% de las reparaciones con técnicos entrenados son satisfactorias y que este porcentaje baja a 60% cuando los técnicos no han tenido entrenamiento. Si los técnicos se asignan al azar a los diferentes trabajos de reparación, ¿Cuál es la probabilidad de ser atendido por un técnico que ha recibido entrenamiento y que efectué una reparación satisfactoria? Solución:
Denotemos por A al evento que el técnico enviado ha sido entrenado y por B al evento que la reparación sea satisfactoria. La probabilidad condicional de que la reparación sea satisfactoria dado que el técnico ha sido entrenado es P( B / A) = 0.8 y la probabilidad de que el técnico enviado esté entrenado y efectúe una reparación satisfactoria es P( A ∩ B)
=
P ( A) ⋅ P( B / A) =
5 8
⋅ 0.8 =
0.5
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
74
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Problemas que deberán de resolver los alumnos
Ejercicios 3.14
1. El apoyo de los electores para establecer límites a la duración de los periodos políticos influye de sobre manera en muchas partes de Estados Unidos. Una encuesta realizada por el Field Institute en Claifornia mostró que los electores favorecen la propuesta de establecimiento de límites del periodo en cuestión por un margen de 2 a 1. En la tabla 1.7 se dan los resultados de esta encuesta de n=347 electores registrados:
Republicano (R)
A favor (F) 0.28
En contra (A) 0.10
Sin opinión (N) 0.02
Total 0.40
Demócrata (D)
0.31
0.16
0.03
0.50
Otro Total
0.06 0.65
0.04 0.3
0.00 0.05
0.10 1.00
(O)
Tabla 3.7
Si de este grupo de 347 personas se extrae un individuo al azar, calcule las probabilidades siguientes: a) P ( R ) b) P ( F ) c) P( R ∩ F ) d) P ( F / R ) e) P ( F / D)
f) P ( F / O)
g) P ( D / A)
h) P ( N / O)
Solución a). P ( R ) = 0.40 Solución b). P( F ) = 0.65 Solución c). P( R ∩ F ) = 0.28 Solución d). P( F / R ) = 0.28/0.40 Solución e). P( F / D ) = 0.31/0.50 Solución f). P ( F / O ) = 0.06/0.10 Solución g). P ( D / A) = 0.16/0.30 Solución h). P ( N / O ) = 0.0/0.10
2. Un nutriólogo clasifica a un grupo de jóvenes con respecto a su peso y su actividad deportiva. La proporción en diferentes categorías aparece en la tabla 1.8
Hace deporte
Sobrepeso 0.04
Peso Normal 0.08
Bajo Peso 0.18
Total 0.30
No hace deporte
0.21
0.44
0.05
0.70
Total
0.25
0.52
0.23
1.00
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
75
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Tabla 3.8 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un joven seleccionado al azar practique pr actique deporte? b) Si un joven seleccionado al azar padece sobre peso, ¿Cuál es la probabilidad de que también practique deporte? c) Los eventos A hace deporte y B sobre peso son independientes? Solución a). p = 0.3 Solución b). p = 0.04 Solución c). no son independientes
3. Una empresa produce dos tipos de zapatos denominados A: de vestir y B: casual. La probabilidad de que A tenga cero defectos es P ( A) = 0.68 , B cero defectos es P ( B) = 0.55 y de que no haya ningún defecto en ambos es P ( A ∩ B ) = 0.32 a) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A ocurrió. b) Encuentra la probabilidad condicional de que que B no ocurra dado que A ocurrió. c) Encuentra la probabilidad condicional de que B ocurra dado que A no ocurrió. Solución a). p(B|A) = 0.32/0.68 Solución b). p(Bc|A) = 0.36/0.68 Solución c). p(B|Ac) = 0.23/0.32
4. Sean A y B tales P ( A) a) P( A / B)
=
P ( A)
=
0.3 P( B) = 0.5 y P ( A ∩ B) = 0.15 verifica que: C
b) P ( A / B )
=
P ( A)
c) P ( B / A)
=
P( B)
C
d) P ( B / A )
=
P ( B)
Solución a). p(A|B) = 0.15/0.5 = 0.3 = p(A) Solución b). p(A| Bc) = 0.15/0.5 = 0.3 = p(A) Solución c). p(B|A) = 0.15/0.3 = 0.5 = p(B) Solución c). p(B|Ac) = 0.15/0.3 = 0.5 = p(B) 5. La probabilidad de que el vuelo de Guadalajara a Tijuana salga a tiempo es 0.75, y la probabilidad de que este vuelo salga a tiempo y llegue a tiempo es 0.58. ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo salido a tiempo, llegue a tiempo? Solución p = 058/075 6. La probabilidad de que la campaña ca mpaña publicitaria de El Tri para un concierto sea buena es 0.7, y la probabilidad de que la campaña publicitaria sea buena y que se agoten las localidades es 0.56 ¿Cuál es la probabilidad de que se agoten las localidades sabiendo que la campaña fue buena? Solución. p= 0.56/0.7 7. Un maestro de Matemáticas piensa que la probabilidad es 0.6 de que un examen final por escrito que recibe estará bien resuelto. Si la probabilidad es 0.51 de que este examen este bien resuelto y reciba una buena calificación. ¿Cuál es la probabilidad de que un examen final bien resuelto reciba una buena calificación? Solución. p = 0.51/0.6
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
76
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
8. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números que aparecen arriba exceda de 10, dado que uno de ellos es 6? Solución. p = (1/36)/(3/36) =1/3
Probabilidad conjunta y Teorema de Bayes. Ejemplo 3.69
Suponiendo que tenemos dos maquinas, I y II, que fabrican zapatos. Sea M 1 el suceso de fabricación de zapatos de la maquina I, y M 2 el suceso por el que los zapatos se fabrican en la máquina II. Sea D el suceso que representa un zapato sin defecto; d efecto; entonces:
D
= DM 1 ∪
DM 2
M 1
Puesto que M 1 y M 2 son mutuamente excluyentes, se tiene: M 2
P ( D)
M 1 ∩ D
=
P ( DM 1 )
+
P ( DM 2
)
=
P ( D
/ M 1 ) × P( M 1 ) +
P ( D
/ M 2 ) P( M 2 )
Si la maquina uno fabrica el 60% de los zapatos, entonces: M 2
P( M 1 ) = 0.60
∩ D
P ( M 2 ) = 0.40
Además, si el 10% de los zapatos que hace la maquina I tienen defecto, y el 20% de los zapatos hechos por la maquina II tienen defecto, resulta:
P ( D / M 1 ) = 0.10
P ( M 1 ) = 0.60 C
P ( D / M 1 ) = 0.90 P ( D / M 2 ) = 0.20 P ( M 2 ) = 0.40 C
P ( D / M 2 ) = 0.80 Es decir la probabilidad de fabricar un zapato sin defecto es: C
P ( D ) = (.090)(0.60) + (0.80)(0.40) = 0.86
Teorema 1.6 Probabilidad Total Total
Sea E un evento en un espacio muestral S y sean A1 , A2 ,... An eventos mutuamente excluyentes cuya unión es S. Entonces:
P ( E ) = P ( A1 ) P ( E / A1 ) + P ( A2 ) P ( E / A2 ) + ... + P ( An ) p ( E / An ) A1
A2
E
A3
La ecuación del teorema se llama Probabilidad Total. Se hace énfasis en que los eventos A1 , A2 ,... An son mutuamente excluyentes por pares y su unión es todo S, es decir, que los A forman una partición de S.
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
77
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Ejemplo 3.70
Una fábrica a) b) c)
utiliza tres máquinas X, Y, Z para producir ciertos artículos. artículos. Su pongamos que: La máquina X produce el 50% de todos los artículos, de los cuales el 3% son defectuosos. d efectuosos. La máquina Y produce el 30% de todos los artículos, de los cuales el 4% son defectuosos. d efectuosos. La máquina Y produce el 20% de todos los artículos, de los cuales el 5% son defectuosos. d efectuosos.
Encuentre la probabilidad de que el artículo seleccionado aleatoriamente sea defectuoso. Solución:
P ( D ) = P ( X ) P ( D / X ) + P (Y ) P ( D / Y ) + P ( Z ) P( D / Z ) =
(0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037 = 3.7%
Teorema 1.7 Bayes
Sea E un evento en un espacio muestral S y sean A1 , A2 ,... An eventos mutuamente excluyentes cuya unión es S. Entonces, para k = 1, 2, . . ., n, P ( Ak / E )
=
P ( Ak ) P ( E / Ak ) P ( A1 ) P ( E / A1 )
+
P ( A2 ) P ( E / A2 )
+
... + P( An ) P( E / An )
Esta expresión se llama regla de Bayes , siguiendo el nombre del matemático inglés Thomas Bayes (1702/1761). Si se piensa en los eventos A1 , A2 ,... An como causas posibles del evento E, entonces esta expresión nos permite determinar la probabilidad de ocurrencia ocurrencia de un A particular, dada la ocurrencia ocurrencia de E. Ejemplo 3.71
Considerando la fabrica del ejemplo 1.68 suponga suponga que sea sea encontrado un artículo defectuosos entre la producción. Encuentre la probabilidad de que este provenga de cada una de las máquinas, es decir, encuentre
P ( X / D), P(Y / D), P( Z / D) Si recordamos
P ( D ) = P ( X ) P ( D / X ) + P (Y ) P ( D / Y ) + P ( Z ) P ( D / Z ) = 0.37 = 3.7%
por consiguiente, al aplicar el teorema teorema de Bayes:
P ( X / D ) = P (Y / D ) = PZ / D ) =
P ( X ) P ( D / X ) P ( D ) P (Y ) P (Y / D ) P ( D )
P ( Z ) P ( D / Z ) P ( D )
=
=
=
(0.50)(0.03) 0.037
(0.30)(0.04) 0.037 (0.20)(0.05) 0.037
=
=
=
15 37
12 37 10 37
=
=
=
40.5%
32.5% 27.0%
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
78
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Problemas que deberán de resolver los alumnos Ejercicios 3.15
1.
En cierta ciudad, el 40% de las personas se consideran conservadoras (C) , el 35% se consideran liberales (L) y el 25% se consideran independientes (I). Durante una selección particular, el 45% de los conservadores votaron, el 40% de los liberales votaron y el 60% de los independientes votaron. Supongamos que una persona se selecciona aleatoriamente. a)
Encuentra la probabilidad de que la persona vote.
Solución. p( de que vote) = (0.40)(0.45) + (0.35)(0.40) + (0.60)(0.25) = 0.18 + 0.14 + 0.15 = 0.47 b) Si la persona votó, encuentra la probabilidad de que el votante sea: i)
Conservador Solución. p(C|V) =0.18/0.47 = 0.3829
ii)
Liberal Solución. p(L|V) =0.14/0.47 = 0.2978
iii)
Independiente. Solución. p(I|V) =0.15/0.47 = 0.3191
3.
Un ciudad es dividida en Distritos A, B, C con el 20%, el 40% y el 40% de los votantes registrados respectivamente. Los votantes registrados que aparecen como demócratas son el 50% en A, el 25% en B y el 75% en C. Se escoge un votante registrado aleatoriamente de la ciudad. a)
Encuentre la probabilidad de que el votante esté inscrito como demócrata.
Solución. p(de votante) = (0.20)(0.5) + (0.40)(0.25) + (0.40)(0.75) = 0.10 + 0.10 + 0.30 = 0.50 p(D|V) =0.10/0.5 = 0.2 b) Si el votante registrado está inscrito inscrito como demócrata, encuentra la probabilidad de que el votante proviniera del Distrito A. Solución. p(V|D) = 0.10/0.1 = 1 4.
Las mujeres de ciudad universitaria constituyen el 60% de los estudiantes de primer año, el 40% de los estudiantes de tercer año y el 45% de los estudiantes de último año. El 30% de la población escolar son estudiantes de primer año, el 25% son estudiantes de segundo año, el 25% son estudiantes de tercer año y el 20% son estudiantes de último año. Se selecciona al azar un estudiante de ciudad universitaria. a)
Encuentra la probabilidad de que el estudiante sea mujer.
Solución. p( de que sea mujer) = (0.30)(0.6) + (0.40)(0.25) + (0.45)(0.20) = 0.18 + 0.10 + 0.09 0.09 = 0.37
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
79
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de segundo año? Solución. p(2° año | sea mujer) = 0.10/0.37 = 0.27027 5. Una compañía produce tornillos en tres fábricas A, B, C La fábrica A produce el 40% del número total de tornillos, de los cuales el 2% son defectuosos. La fábrica B produce el 35% del número total de tornillos, de los cuales el 4% son defectuosos. La fábrica C produce el 25% del número total de tornillos, de los cuales el 3% son defectuosos. Se encuentra un tornillo en la producción total. Encuentra la probabilidad de que este provenga de: a) La fábrica A Solución. p(A | T) = p(A∩T)/p(T) = 0.4/1 = 0.4
b) La fábrica B Solución. p(B | T) = p(B∩T)/p(T) = 0.35/1 = 0.35
c) La fábrica C Solución. p(C | T) = p(C∩T)/p(T) = 0.25/1 = 0.25
6. Una fábrica esta esta divida en cuatro cuatro grandes sectores de producción. En el primer sector ( E 1 ) está el 25% de la maquinaria, en el segundo sector ( E 2 ) está el 20%, en el tercero ( E 3 ) está el 45% y en el último ( E 4 ) está el 10% de la maquinaria; maquinaria; si se sabe que el 1.5% de las maquinas maquinas del primer sector suelen estar en reparación, que el 1.2% de las máquinas del segundo también, al igual que el 2.5% de las maquinas del sector tres y que el 1% de las maquinas del cuarto sector. a)
¿Qué probabilidad hay de que esté en reparación una máquina seleccionada al azar?
Solución. p(de que la maquina esta en en reparación) = (0.25)(0.012) + (0.2)(0.012) + (0.45)(0.025) + (0.10)(0.010) = 0.003 + 0.0024 + 0.01125 + 0.001= 0.01765 b) Si una maquina ha sido seleccionada seleccionada al azar y resultó que está en reparación, reparación, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al sector tres o al sector cuatro? Solución. p(E 3 | esta en reparación) = 0.01125/0.01765 = 0.6373 7. Los registros de los delitos en una ciudad muestran que 20% de ellos son violentos y 80% son no violentos, abarcan robo, falsificación, etcétera. Se señala también que se denuncia 90% de los delitos violentos y sólo 70% de los no violentos. a)
¿Cuál es la probabilidad global de delitos que se denuncian en la ciudad? Solución. p(global de delitos) delitos) = (.20)(.90) + (0.80)(.70) = 0.18 + 0.56 = 74%.
b) Si se denuncia un delito en proceso a la policía, policía, ¿cuál es la probabilidad de que el delito sea violento? violento? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea violento? Solución. p(de delito violento | se denuncia el delito) = 0.18/ 0.74 = 0.243243 p(de delito no violento | se denuncia el delito) delito) = 0.56/ 0.74 = 0.756756 c)
Retomando el inciso inciso b). Si se denuncia un delito en proceso la policía, policía, ¿por qué es más probable que sea de los de tipo no violento? ¿No sería más probable que se denunciaran los delitos violentos? ¿Podrías explicar estos resultados?
8. Suponiendo que el 5% de las personas que llenan el formulario del impuesto sobre la renta busca incluir deducciones que bien saben son iguales, y que el otro 2% lista de manera incorrecta las deducciones por que
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
80
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
desconoce las regulaciones del impuesto sobre la renta. Del 5% culpable de timo, 80% negará saber del error si lo confronta un investigador. Si quien llena el formulario hace una deducción injustificada y niega conocer el error, ¿cuál es la probabilidad de que sea culpable? Solución .
Para pensar: Once caballeros.
En el transcurso de un paseo, el señor González se cruza sucesivamente con 10 amigos, todos con sombrero. a) ¿Cuántas veces se elevarán los sombreros si cada uno eleva el suyo para para saludar? 45 b) ¿Cómo se cambiará el problema si todos los caballeros provistos de sombrero se encuentran a la vez? No cambia Una parte de los caballeros que se encontraron anteriormente durante el pase celebran con algunas damas una fiesta fi esta de cumpleaños. En total son nuevamente once personas. Las once personas hacen un brindis con sus copas de champán: todos brindan con todos, pero solo una vez. c) ¿Cuántas veces podrá escucharse el tintineo de las copas?
Grupo 401C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
81
