Unidad I
3.1.2
Probabilidad
Guía del alumno
Operaciones con conjuntos.
La unión, intersección, complemento y diferencia de conjuntos satisfacen las diferentes leyes o identidades que se relacionan en la tabla 1. Se dirá que las leyes de la tabla 1 y sus consecuencias consecuencias constituyen el álgebra de conjuntos.
Teorema 3.1: conjuntos que satisfacen las leyes de la tabla 1. LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS
Idempotencia
A ∪ A
Asociativa
(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Conmutativa
A ∪ B
A ∩ B
Distributiva
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Identidad
A ∪ ø = A
A ∩ S = A
A ∪ S = S
A ∩ ø
Complemento
( A )
A ∩ A
= B ∪ A
C
A ∪ A C
A
=
C
=
=
( A ∪ B ) C
Diferencia
A − B
=
C
S
A
Morgan
=
A
= B ∩ A
=ø
A ∩ A
S C
A ∩ B
∩ B
C
=
A
=
C
ø, ø
( A ∩ B ) C
C
B
ø
=
C
=
=
S
A
C
− A = B ∩ A
∪ B
C
C
Tabla 3.1
Ejemplo 3.11 Demostrar
( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ B C ) = A proposición
Razón
1.( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ B C ) = A ∪ ( B ∩ B C )
1. Ley distributiva
2. B ∩ B C
2. Ley del complemento
=
ø
3. A ∪ ( B ∩ B
C
4. A ∪ ø = A
Grupo 401C
)=
A∪ ø
3. ley de identidad 4. sustitución.
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
65
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Ejemplo 3.12 Si consideramos A = “Es viernes” B = “Hay fiesta”, simplifica algebraicamente los siguientes incisos e indica el resultado con los enunciados anteriores. a) A
C
∩
( A − B )
b) ( A ∪ B
C
) ∩ ( A
C
− B
)
C
c) A ∪ ( B ∩ A) d) ( A ∪ B
Solución Proposición a) A
A
C
C
∩
∩
) ∩ ( A ∪ B )
C
f) (A ∩ A) − ( A ∩ C
) C
Razón
( A − B )
( A ∩ B C )
( A C ∩ A) ∩ B C φ ∩ B C B
C
e) ( A ∪ B ) − ( AUB)
C
1.
Propiedad de diferencia
2. 3. 4.
Propiedad asociativa Propiedad del complemento Propiedad de identidad.
“No hay fiesta”
Proposición C
b) ( A ∪ B
) ∩ ( A
C
( A ∩ B ) ∩ ( A
C
C C
− B
− B
)
C
Razón
C
1.
Se aplica el complemento que se encuentra fuera del segundo paréntesis.
2.
Propiedad de diferencia.
3.
Se elimina la doble negación de B
4.
Propiedad asociativa.
5.
Propiedad de Idempotencia y complemento.
)
( A ∩ B C ) ∩ ( A − B C ) ( A ∩ B C ) ∩ ( A ∩ B CC ) C
( A ∩ B ) ∩ ( A ∩ B ) ( A ∩ A) ∩ ( B C
∩ B
)
A ∩ φ A
“Es viernes”
Razón
Proposición
c) A ∪ ( B
c
∩
1. Propiedad distributiva.
A)
( A ∪ B c ) ∩ ( A ∪ A)
2.
Propiedad Idempotencia
( A ∪ B c ) ∩ A
3. 4.
Propiedad asociativa. Propiedad Idempotencia.
( A ∪ A) ∩ B c
“Es viernes y no hay fiesta.”
( A ∩ B c ) A − B
Proposición
d) ( A ∪ B
A ∪ ( B
C
C
Razón
) ∩ ( A ∪ B )
∪
B)
A ∪ S
1. 2. 3.
Propiedad distributiva Propiedad complemento Propiedad identidad “Es todo el conjunto universal.”
S
Grupo 401C
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
66
Unidad I
Probabilidad
Proposición
e)
( A ∩ B) − ( AUB ) C
( A ∩ B) ∩ ( A ∪ B)
( A ∩ B) ∩ A C ∩ B C ( A ∩ A C ) ∩ ( B ∩ B C )
Guía del alumno
Razón 1. 2.
Propiedad de diferencia. Ley de Morgan.
3.
Propiedad asociativa.
4.
Propiedad complemento.
φ ∩ φ “Conjunto vacío”.
φ Proposición C
f) (A ∩ A) − ( A ∩ C A − ( A
C
∪ B
CC
A − ( A
C
∪ B
)
A ∩ ( A
C
A ∩ ( A
CC
)
)
C
∪ B
C
∪ B
A ∩ ( A ∪ B
C
)
C
Razón 1. 2.
Propiedad Idempotencia. Complemento
3.
Propiedad de diferencia.
4.
complemento.
5.
Propiedad distributiva.
6.
Propiedad de diferencia.
)
) C
( A ∩ A) ∪ ( A ∩ B ) A ∪ ( A − B )
“Es viernes o Es viernes y no hay fiesta”
Ejemplo 3.13 En una encuesta de 100 estudiantes se obtuvo la siguiente información. 41 alumnos estudian inglés, 29 francés, 26 ruso, 15 estudian inglés y francés, 8 francés y ruso, 19 inglés y ruso y 5 estudian los tres idiomas. Al contar todos los elementos, el resultado es de 59 estudiantes, pero la muestra es de 100 estudiantes ¿Dónde se encuentran los demás estudiantes? Y ¿Qué significa esto?
Solución Se analiza la información proporcionada
I ∩ F = 15
I= Inglês 41 Estudiantes F= Frances 29 Estudiantes R= Ruso 26 Estudiantes
F ∩ R I ∩ R
= =
8
19
I ∩ R ∩ F = 5 I
R
Ya examinada la información, donde se intersectan los tres conjunto de Ingles, Ingles, Francés y Ruso se coloca el valor 5.
5
Fig.3.36
Realizando la misma actividad en la intersección de los conjuntos de dos idiomas, se resta el valor 5 puesto que ya esta considerado, es decir si I ∩ F = 15 donde se intersecta el conjunto de
Ingles y Francés únicamente se coloca 10 puesto que ya se encuentra el 5 que sumado al 10 da 15.
Grupo 401C
F I
R
10
5
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
67
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Fig.3.37
F I
Esto se realiza con los demás conjuntos de Francés, Ruso e Ingles.
R
12
Después se coloca el valor restante en el conjunto de Ingles, si es de 41 estudiantes ya se colocaron 5, de la intersección de los tres idiomas, 10 de Ingles y Francés, 14 de Ingles y Ruso, restan 12 para los 41 estudiantes de Ingles.
14
10 5 F
Fig.3.38
I
R
4
12 14
Se siguen los mismos pasos para colocar la información que corresponde a los conjuntos de Ruso y Frances.
10 5
3
11 F
Fig.3.39
Por ultimo, si se considera que en el conjunto de Ingles son 41 estudiantes a este se le suman los valores de los demás conjuntos, es decir: 41 + 4 + 3 + 11 = 59
I
R
4
12 14
59 alumnos que estudian algún idioma.
10 Si la muestra es de 100 estudiantes, a la muestra le restamos los 59 alumnos que estudian algún idio ma 100 – 59 = 41
5
3
11 F
Lo que indica que Son 41 alumnos que no estudian ningún idioma.
41 Fig.3.40
Problemas que deberán de resolver los alumnos
Ejercicio 3.5 Realiza los siguientes ejercicios formando frases e interpreta el resultado. A= Hay Hay examen B=Estudie el fin de semana. C= No No hay clases. a) A ∪ ( A
C
b) A ∪ ( A
C
∩
B)
c) A ∪ φ
e) ( B ∪ C ) ∩ A
∪
B)
d) ( B ∪ A) ∩ A
f) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B
Grupo 401C
C
)
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
68
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
Solución a) No hay examen y estudie estudie el fin de semana o bien hay examen. examen. Solución b) No hay examen o estudie el fin de semana o bien hay examen. Solución c) Hay examen. Solución d) Estudie el fin de semana o hay examen, y hay examen. Solución e) Estudie el fin de semana o no hay clases, clases, y hay examen. Solución f) Hay examen y estudie el fin de semana semana o bien hay examen y no estudie el fin de semana. semana.
Ejercicio 3.6 En una línea de producción se obtienen 900 bombillas en un día y pueden tener los defectos siguientes: A= Filamento roto ( 39 ), B= rosca dispareja ( 19 ), C = fisura ( 43 ), Filamento roto y rosca dispareja (15), filamento roto y fisura (21), rosca dispareja y fisura (12), filamento roto y ros ca dispareja y fisura (8). Elabora el diagrama de Venn Euler, con la finalidad de ubicar la información y poder contestar correctamente las siguientes interrogantes.
¿Cuántos artículos hay en cada uno de los siguientes incisos:
a) Los que tienen los defectos tipo B o C, y no A.
Grupo 401C
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
69
Unidad I
Probabilidad
b) Los que tienen defecto tipo B, únicamente únicamente
Guía del alumno
.
c) Los que tienen defecto A y no B.
d) Los que no tienen defecto
.
e) Los que tienen al menos un defecto.
Grupo 401C
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
70
Unidad I
Probabilidad
Guía del alumno
f) Los que tienen un defecto
g) Los que tienen dos defectos
Ejercicio 3.7 A 100 personas se les hacen pruebas de sangre y se obtienen los datos siguientes: 48 poseían el antígeno A, 50 el B, 38 EL R, 22 los antígenos A y B, 10 los antígenos A y R, 14 los antígenos B y R, 4 los tres antígenos. Elabora el diagrama de Venn Euler, con la finalidad de ubicar la información y poder contestar correctamente las siguientes interrogantes.
a)
¿Cuántas personas de dicha muestra poseen A y B y R?
Grupo 401C
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
71
Unidad I
Probabilidad
b)
¿Cuántas personas del grupo son del tipo R?
c)
¿Cuántas personas de dicha muestra poseen A o B y no R?
d)
¿Cuántas personas del grupo son del tipo A?
e)
¿Cuántas personas del grupo son del tipo B?
Grupo 401C
Guía del alumno
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
72
Unidad I
Probabilidad
f)
¿Cuántas personas del grupo son del tipo A y R?
g)
¿Cuántas personas del grupo son del tipo B o no R?
h)
¿Cuántas personas del grupo grupo son del tipo R o B?
i)
¿Cuántas personas del grupo grupo son del tipo A y B?
Grupo 401C
Guía del alumno
*** ****** ***** ****** ***** ****** ***** *
73
