355776227 Cecilia Parra e Irma Saiz Comps PDF

Cecilia Parra e Irma Irm a Saiz (comps.) (comps.) Luis A. Santaló, Grecia Gal ve/, e/, Roland Roland Chamay, Guy Brousseau, Delia Lemer, Patricia Sadovsky

Didáctica de matemátic matemáticas as Aportes y reflexiones

Cubierta de Gustavo Macri

la. edición, 1994

Impreso en la Argentina - Printed in Argentina Queda hecho el depósito que previene la ley 11.723

© Co pyright de todas las las edicion es en castellano by by Editorial Paidós SA1CF Defensa 599, Buenos Aires Ediciones Paidós Ibérica S.A. Mariano Cubí 92, Barcelona Editorial Paidós Mexicana S.A. Rubén Darío 118, México D.F.

La reproducción total o parcial de este libro, en cualquier forma que sea, idéntica o modificada, escrita a máquina, por el sistema “multigraph”, mimeógrafo, impreso por fotoco pia p ia s , fo to d u p lic li c a c ió n . e tc ., no a u to ri z a d a p o r los lo s ed ito it o re s, vi o la d er e c h o s re se rv ad o s . C u a lq u ie r utilización utilización deb e ser previamente solicitada. solicitada.

ISBN 950-12-2112-1

INDICE

Lista d e a u t o r e s ....... ........... ........ ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ...... ....... ........ ....... ...... ....... ....... ...... ....... Prólogo...................................................................................................

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1. M atemática para par a no matemáticos, ma temáticos, por Luis Lu is A. Sant Sa ntal alóó........

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2. La didáctica did áctica de las las m atemáticas, atem áticas, por Gr Grec ecia ia Calvez Calv ez...............

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3. A pre nd er (po r m edio de) la la resolución resolución de problemas, problemas, por Rolan Ro landd C harn ha rnay ay .......................................................................

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4. Lo Loss diferentes difere ntes roles roles del maestro, ma estro, por Guy Brou Br ousse sseau au ...........

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5. El sistema sistema de num nu m eración erac ión : un prob lem a didáctico, ....................... ................ ................ ............. ...... por Delia Lerner y Patricia Sadovsky ................

95

(i.

7. H.

Dividir Dividir con dificu d ificu ltad o la la dificultad dific ultad de dividir dividir,, por Irma Sa iz......................... iz ...................................................... .......................................................... .............................

185

Cálculo m enta l en la escuela primaria, por Cecil Cecilia ia Parra.. Pa rra.... .. 219 La ge om etría, etr ía, la psicogénesis psicog énesis de las las no cio nes ne s espaciales espac iales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental, por Greci recia a Gálvez............................................................................. Gálvez .............................................................................

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LISTA LISTA DE AUTORES AUTORE S

Lu L u is A . S an anta taló ló

Español, matemático, Doctor en Ciencias Exactas. Desde la finalización de la Guerra Civil Española reside en Argentina. Ha realizado significativos aportes en el campo de los conocimientos matemáticos matemáticos y ha sido sido perm an entem ente convoc convoca a do a foros foros nacionales nacionales e internacionales sobre educación matem áti ca por su constante preocupación y por la claridad de las ideas aportadas. Actualmente es Profesor Emérito de la Universidad de Buenos Aires. Grecia Gálvez

Chilena, psicóloga, Doctora en Ciencias. Actualmente, integrante del Programa de Mejoramiento de la Calidad de las Escuelas Básicas de sectores pobres, Ministerio de Educación, Chile. Ro R o lan la n d Char Ch arna nayy

Francés, Profesor de Matemáticas, Miembro del Equipo de Investigación en Didáctica de Matemáticas del INRP (Instituto N a c io n a l d e I n v e s tig ti g a c ió n P e d a g ó g i c a ) , F ra n c ia , P r o f e s o r e n el IUFM (Instituto Universitario de Formación de Maestros) de Bourg-en-Bresse. Guy Brousseau

Francés, Profesor de Matemática, Doctor en Ciencias. Actualmente, Profesor de la Universidad de Burdeos, investiga dor del IREM de Burdeos (Instituto de Investigación en Enseñan za de la Matemática), Director del COREM (Centro de Observa ción y de Investigación sobre Enseñanza de la Matemática).

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DIDACTICA DE MATEMATICAS

Delia Lerner Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. Actualmente es Supervisora Académica de Proyectos del área Lengua en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y asesora de las investigaciones en las áreas de Lengua y Matemática en la Dirección de Educación Especial del Ministerio de Educación, Venezuela.

Patrici atricia a Sadov Sadovsky sky Argentina, Profesora de Matemática. Actualmente, integrante del equipo de Matemática de la Dirección de Capacitación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y del equipo de investigación en Didáctica de la Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA. / ma Saiz aiz Argentina, Licenciada en Matemática, Maestría en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa, México. Actualmente, asesora en el área de Matemática del Consejo General de Educación de la Provincia de Corrientes, Supervisora Académica en proyectos del área Matemática en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y Profesora de la Universidad Nacional de Misiones.

Cecili ecilia Parr Parra a Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. Actualmente, Directora del Proyecto de Investigación en Didáctica de la Matemática en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires.

Susan Su sana a Wolman olman Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación, Licenciada en Psicología, actualmente jefa de trabajos prácticos de la cátedra de Psicología y Epistemología Genética de la Facultad de Psicología de la UBA.

PROLOGO

La obra que aquí presentamos forma parte de una colección de Didácticas de área, didácticas que remiten a una disciplina (Lengua, Matemática, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales) “didácticas orientadas por el contenido” como en algún momento las llamó Vergnaud. Esto no es casual ni se reduce a una decisión editorial sino que expresa un vasto movimiento que se acentuó a lo largo de los últimos 20 años, originado, entre otros factores, en el reconocimiento de la especificidad de los contenidos en el proceso de aprendizaje. Sobre la base de importantes desarrollos de las teorías de aprendizaje, particularmente la teoría genética de la construcción del conocimiento, se estuvo en condiciones de abordar nuevos problemas con nuevos supuestos. El avance se produjo, incluso, a raíz del reconocimiento de los límites de una teoría general de aprendiza je p a r a d a r c u e n t a d e u n f e n ó m e n o c o m p lejo le jo c o m o es la tra tr a n s m isión y adquisición de saberes en el interior del sistema educativo. El conjunto de esta colección permitirá al lector tener un pa p a n o r a m a d e los lo s niv ni v e les le s d e d e s a r ro llo ll o a lca lc a n z a d o p o r c a d a u n a d e las didácticas. En nuestro caso, nos parece necesario presentar breves referencias al desarrollo de la Didáctica de Matemáticas y al estado de situación e n nu estro país, país, a efect efectos os de co ntextua lizar lo l os aportes de cada uno de los autores incluidos en esta obra.

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La Didáctica de Matemáticas se desarrolla actualmente en varios países, pero es en Francia donde se ha formulado el cuerpo pri p rinn c ip a l d e c o n c e p to s teó te ó ric ri c o s prop pr opio ioss d esd es d e los lo s cual cu ales es se rec re c la la  ma actualmente su reconocimiento como disciplina autónoma en el campo científico. Enc iclopaeaeEsta disciplina es definida del siguiente modo en la Enciclop dia d ia Universalisr. Universalisr. La Didáctica de la Matemática estudia los procesos de transmi sión y adquisición de diferentes contenidos de esta ciencia, particu larmente en situación escolar y universitaria. Se propone describir y explicar los fe n óm en os relativos relativos a las relacio relaciones nes entre su enseñan za y aprendizaje. No se reduce a buscar una buena manera de enseñar una noción fija aun cuando espera, a término, ser capaz de ofrecer resultados que permitan mejorar el funcionamiento de la enseñan za. (La bastardilla es nuestra.)

Michéle Artigue contextualiza del siguiente modo la emergen cia de este campo científico: La Didáctica de la Matemática nació en Francia en el marco de un vasto movimiento de la enseñanza científica de los años 60, pero lo ha hecho, en cierto sentido, rompiendo con los puntos de vista que subyacían a las reformas. Todo el período precedente había estado marcado por una centración exclusiva sobre los contenidos: se trataba de reducir la dis tancia entre el saber de la disciplina y el saber enseñado, de deter minar procesos de elementarización de ese saber que autoricen el pasaje, de hacer beneficiar a la enseñanza de la transformación que, en el espacio de un siglo, había afectado al edificio matemático. Desde un punto de vista pedagógico reinaba la idea según la cual “es suficiente saber matemática para saber enseñarla” considerando algunos principios pedagógicos generales. Desde un punto de vista psicológico las matemáticas modernas debían ser vivas tanto en su contenido como en su enseñanza, se ponía el acento en el rol de la actividad del alumno, desarrollando una pedagogía de la acción y del descubrimiento (por ejemplo, los trabajos d e Z. D ie n e s, N. P icard y G. Papy Papy). ). Las desilusiones, que no tardaron en hacerse sentir, pusieron en evidencia la insuficiencia de estos puntos de vista: las matemáticas

PROLOGO

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no se habían convertido milagrosamente en fáciles de aprender; ciertos objetos de enseñanza introducidos, mal adaptados, soporta ban transformaciones no previstas por los autores de las reformas; las múltiples innovaciones realizadas no permitieron Constituir un cuerpo de conocimiento fiables. Es desde esta toma de conciencia que nació de algún modo la Didáctica de la Matemática, tomando distancia a la vez de la Mate mática, mática, y de la Pedago gía para desarr desarroll ollar ar un cam po teórico esp ecí ficamente adaptado a su problemática y a los métodos de investiga ción que estaba en condiciones de utilizar.1

La producción en este campo es ya muy vasta y sólida. Los lec tores encontrarán, en el capítulo “La didáctica de las matemáticas” de la doctora Grecia Gálvez, referencias más explícitas a los con ceptos estructurantes de esta disciplina.

La

s it u a c i ó n

en

l a

A

r g e n t in a

En nuestro país, como en otros países de América latina, las reformas sucesivas han provocado cambios más o menos profun dos en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. La ausencia de políticas educativas coherentes y sostenidas, relativas a la investigación, capacitación, procesos curriculares, etc., ha provocado una difusión anárquica de ideas, altamente dependiente de situaciones circunstanciales, produciendo desarro llos diferentes en distintos lugares de nuestro país y la coexistencia de teorías o concepciones didácticas contradictorias, e incluso superadoras unas de otras en sus génesis históricas. Sin embargo, en torno a personas o a instituciones se han constituido grupos de trabajo o investigación que, aun en situacio nes muy desfavorables, han preservado las condiciones de discu sión propias de la producción de conocimientos. Las Las investigaci investigaciones ones y elaboraciones elaborac iones teóricas prod ucida s e n dis dis tintos lugares del mundo se constituyen en insumos de la búsque da de respuestas adecuadas a la problemádca local. 1Artigue, M.: “Une introduction á la Didactique des Mathématiques”, conferencia, 1986.

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Las producciones de estos grupos e instituciones, necesariamente heterogéneas, se sitúan en distintos niveles: prescriptivos (documentos curriculares), propositivos (materiales de apoyo, libros de texto), de difusión o de investigaciones de base; pero su escasa o inestable inserción en las estructuras educativas impiden una difusión coherente y sistemática que produzca un mejoramiento sensible y duradero de la calidad de la educación. La escasez o desactualización de la bibliografía específica dirigida a los maestros o profesores es una variable de fuerte incidencia en la situación descrita. De los textos circulantes muchos han sido editados años atrás, y aun algunos más recientes transmiten concepciones ampliamente revisadas y cuestionadas en otros países del mundo y en algunos espacios de discusión locales. Pese a esta situación, los docentes a lo largo de todo el país realizan importantes esfuerzos para capacitarse y defender condiciones de trabajo propicias para el avance y mejoramiento de su tarea. La constitución de equipos docentes en las escuelas, de equi po p o s d e tra tr a b a jo e in v e stig st igaa c ió n e n los d isti is tinn to s n ivel iv eles es d e g e s tió ti ó n educativa, en los institutos de formación, universidades, etc., aparece como una condición fundamental para que sea posible dar respuestas orgánicas y reflexivas a los múltiples problemas que enfrenta nuestro sistema educativo actual. Además, es necesario que se libren intensos y sostenidos debates tanto en torno a cuáles son las prioridades de acción sobre el sistema sistema edu cativo co m o respecto resp ecto a cuáles son los los med ios de acr acr ¡on ¡on más eficaces para intervenir en el sistema. Entre otros aspectos deben incorporarse prácticas de evaluación de los proyectos que se desarrollen, que brinden bases más racionales para la toma de decisiones. El desarrollo de las didácticas de áreas, al que nos referimos al inicio, abre posibilidades para abordar ciertos problemas en su especificidad, especificidad, a la vez qu e se convierte en exigencia y de m an da de formación. Estamos convencidos de que, al menos en nuestros países, la investigación en Didáctica no puede contentarse con desarrollos teóricos sin preocuparse por la relación investigadoresmaestros, en una perspectiva de respuesta a la demanda social de transfor-

PROLOGO

IR

mación de la escuela, para una mejor formación y para la elevación del nivel de todos. Respecto de los materiales que se produzcan dirigidos a los docentes consideramos que deben incluir: — La f u n d a m e n t a c i ó n t e ó ric ri c a n e c e s a ria ri a p a r a q u e el m a e stro st ro conozca el significado de sus opciones y se comprometa con ellas tanto teórica como prácticamente, conozca las dimensiones epistemológicas de lo que está planteando, así como la relación de los alumnos con el conocimiento y la función de ese saber. — El an anáá lisi li siss d idá id á c tic ti c o sufi su ficc ien ie n te p a r a q u e el m a e s tro tr o se a p r o pie p ie d e la s i t u a c ió n y c o n s e r v e el c o n t r o l s o b r e e lla ll a . Se deben explicitar las variables didácticas que modifican la situación, que son al mismo tiempo aquello sobre lo que el maestro puede actuar y lo que permite analizar y eventualmente explicar lo que sucede. — Más Má s c o n o c i m i e n t o s d e m a t e m á t ic a , q u e le p e r m i t a n al docente precisar su relación con el saber e interpretar, en términos más específicos, lo que sucede en el aula. Los autores que integramos esta obra compartimos estas convicciones, aunque en algún punto sean más algo por lo que se tra ba b a ja q u e m e tas ta s log lo g rad ra d as. as .

P r e s e n t a c ió n d e l a o b r a

Quisimos, al convocar a los autores, que hubiera en este libro aportes teóricos que dieran “noticia” del avance en la Didáctica de las Matemáticas y también de las preguntas y problemas que están motorizando las investigaciones actuales. Imagen que no puede ser más que parcial por las condiciones antes referidas. Serán necesarios múltiples esfuerzos para lograr también la difusión de otros autores, nacionales o extranjeros, no incluidos en esta obra y sin embargo centrales para el desarrollo de la Didáctica de Matemáticas. Difusión que será tanto más provechosa en cuanto sea requerida y asumida a partir del trabajo y la proble

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matización de grupos locales que busquen avanzar en el análisis de la realidad de la enseñanza de matemática y en la provisión de respuestas válidas y viables en cada contexto. Quisimos también que los contenidos en torno a los cuales se estructuran los trabajos fueran representativos, ya sea porque son señalados por los docentes como problemáticos o conflictivos o po p o r q u e re s u lta lt a n p rio ri o rita ri ta rio ri o s p a r a la inv in v esti es tiga gaci cióó n y de d e s a r ro llo ll o e n el área. Los artículos de esta obra son muy diversos pero comparten pr p r e o c u p a c io n e s y e n f o q u e s . S o n d ive iv e rso rs o s in c lu s o e n c u a n to a su nivel de complejidad. Concretamente el trabajo del doctor Brous seau requiere sin duda un gran esfuerzo para su comprensión, pe p e r o ha hayy allí tan ta n tos to s e lem le m e n tos to s riq ri q u ísim ís im o s p a r a la d isc is c u sió si ó n q u e no noss pa p a rec re c ió u n a e m p re s a q u e va valía lía la p e n a p r o p o n e r . Iniciamos este volumen con un trabajo del doctor Santaló, matemático de presti prestigio gio internacional y form ado r de generaciones de matemáticos y profesores en nuestro país. Su trabajo se recorta y diferencia de los demás al asumir el amplio y central problema de definir cuál es la matemática que hay que enseñar en la educación obligatoria. Pleno de conocimientos y con la mirada puesta en la entrada del tercer milenio, el doctor Santaló señala tanto lo que debe formar parte de una educación matemática bien entendida como aquello que ha perdido sentido ante la realidad actual y futura. Convoca también a establecer cuál es la matemática que puede ser útil a los profesionales no matemáticos de nivel terciario, y da múltiples ejemplos de conocimientos matemáticos que han resultado útiles a otras ciencias. Estos aportes son interesantes para todo lector que quiera tener una representación actualizada del desarrollo de la Matemática y de la potencia de su aplicación al servicio de problemas definidos por otras disciplinas. El primer capítulo sobre Didáctica de Matemáticas corresponde a un capítulo de la tesis de Doctorado en Ciencias de Grecia Gálvez, sobre el aprendizaje de la orientación en el espacio urbano. La autora caracteriza la Didáctica de Matemáticas, describe sus pr p r in c i p io s f u n d a m e n t a l e s y d e f i n e el e s t u d i o d e las la s s itu it u a c io n e s didácticas como su objeto central.

PROLOGO

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La metodología de análisis de las situaciones didácticas es descrita a partir de la definición de situación didáctica, de contrato didáctico, de análisis a priori y de la clasificación de las situaciones. Señalando que la finalidad de la Didáctica de Matemáticas es el conocimiento de los fenómenos y procesos relativos a la enseñanza de la Matemática para controlarlos y a través de ese control optimizar el aprendizaje de los alumnos, describe brevemente la metodología de investigación conocida con el nombre de Ingeniería Didáctica. Como compiladoras solicitamos a la doctora Gálvez la autorización p ara inc luir esta esta presentac ión de la Didáctica Didáctica de Matemáticas, Matemáticas, realizada en 1985, porque facilita una primera toma de contacto con los conocimientos didácticos, aun cuando algunos conceptos ya han sido revisados o reformulados por los investigadores en Didáctica en los años siguientes y se han producido nuevos desarrollos teóricos. El doctor Brousseau, en su trabajo, se refiere a algunas de estas revisiones. Roland Charnay, en su capítulo “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, a partir de la definición del sentido de un conocimiento matemático, objetivo esencial de la enseñanza, describe tres modelos de aprendizaje: normativo (centrado en el contenido), incitativo (centrado en el alumno) y aproximativo (centrado en la construcción del saber por el alumno). El estudio de esos modelos provee una buena herramienta de análisis de las situaciones de clase y de reflexión para los docentes en formación. El autor analiza el rol otorgado a la resolución de problemas en cada un o de los mo delos y prese nta a rgum entos p ara justificar justificar la elección del tercer modelo. Finalmente caracteriza los problemas, la puesta en marcha pe p e d a g ó g ic a y las l as re lac la c io n e s e n t r e a lum lu m n o s m a e stro st rop pro robb lem le m a s . El objetivo central de este libro de dar a conocer los avances de la Didáctica Didáctica de Matemáticas no se lograría y estaríamos en clara clara deuda con los lectores si no incorporáramos al menos un trabajo de Guy Brousseau, quien se encuentra entre los fundadores de la

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Didáctica francesa en los años setenta y es frecuentemente citado po p o r los a u to re s d e los c a p ítu ít u los lo s d e este es te libro lib ro.. Durante 20 años, el doctor Brousseau se ha dedicado a experimentar con los objetos de enseñanza que él mismo produce, dentro del marco general de su teoría de la transmisión de los conocimientos matemáticos, teoría que constantemente somete a revisión y que día a día se enriquece con nuevos aportes, suyos o de miembros de la comunidad didáctica que en los últimos años se ha ido configurando en distintos lugares del mundo. En el capítulo “Los diferentes roles del maestro”, centra su discusión en las devoluciones y las institucionalizaciones, principales intervenciones del maestro sobre la dupla alumnosituación, destinadas nad as a ha hace ce r fu nc ncion ion ar las situaciones acl aclid idác ácti tica cass y los los apren apr endiza diza je j e s q u e ellas ell as p rov ro v o c an an.. Las profesoras Delia Lerner y Patricia Sadovsky presentan un trabajo trabajo de interés interés tanto p or el el problem a que abo rdan como p or el el pro p ro c e s o d e inv in v e stig st igac ació iónn q u e van re firi fi riee n d o y q u e el le c to r p u e d e seguir en el diálogo entre las preguntas, las indagaciones, las reflexiones y las propuestas. Definido que el acceso de los niños al sistema de numeración constituye un problema, las autoras buscan establecer cómo se aproximan los niños a dicho conocimiento, cuáles son las concep tualizaciones que los niños elaboran acerca de este sistema de representación. Realizan un análisis crítico de las propuestas de enseñanza vigentes y comparten las primeras exploraciones de situaciones didácticas a través de las cuales buscan dar oportunidad a los alumnos de poner en juego sus conceptualizaciones, a la vez que pro p ro p ic ia n q u e los a lum lu m n o s c u e s tio ti o n e n y re r e f o r m u le n sus su s idea id eass p a r a aproximarse progresivamente a la comprensión de la notación convencional. En “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”, la licenciada Irma Saiz presenta los resultados de un trabajo llevado a cabo ju j u n t o a m a e s tro tr o s q u e p a r t i c i p a r o n e n u n c u r s o d e p e r f e c c i o n a miento en la Asesoría Técnicopedagógica del Consejo General de Educación, de Corrientes.

PROLOCO

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El análisis realizado tanto sobre la resolución de problemas como sobre la ejecución del algoritmo de la división muestra las dificultades que los alumnos, aun de 59 y 62 grado, enfrentan y no resuelven en su totalidad, sobre este tema tan clásico y de tanto interés en la escolaridad primaria. Provee líneas de trabajo y de reflexión por donde empezar a repensar el aprendizaje de la división, así como recursos de análisis para interpretar las producciones de los niños. La Licenciada Cecilia Parra aborda la discusión sobre el significado y el rol del cálculo mental en la escuela primaria. Incluye para su análisis la perspectiva de las demandas sociales actuales, pero busca, sobre todo, desarrollar argumentos relativos a una demanda matemática para la enseñanza del cálculo mental, señalando algunas de las relaciones de este contenido con otros aspectos centrales del aprendizaje de la matemática. Definidas las finalidades de la enseñanza del cálculo mental, pro p rovv e e o rie ri e n t a c i o n e s didá di dáct ctic icas as p a ra lleva lle varr a d e l a n te el tra tr a b a jo p r o pu p u e s to e n los d isti is tinn tos to s cicl ci clos os de la e scue sc uela la p rim ri m a ria ri a . El capítulo titulado “La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental”, de Grecia Gálvez, forma parte también de su tesis de doctorado sobre la orientación en el espacio urbano. En la primera parte, presenta el desarrollo histórico de la geometría como rama de la Matemática desde sus inicios, fuertemente ligada a problemas prácticos, hasta su “muerte” absorbida por la teoría de las estructuras de naturaleza algebraica. Luego de exponer la psicogénesis de las nociones espaciales ba b a s a d a e n los lo s tra tr a b a jos jo s d e P iage ia get,t, p r e s e n t a u n brev br evee a ná náli liss is d e la enseñanza de la geometría en la escuela primaria mexicana a partir de la información obtenida en textos y programas. La similitud de los fenómenos descritos en su estudio y los identificados en nuestro país o en otros de América latina, acrecienta el interés de la inclusión de este artículo en esta obra. La reflexión sobre la enseñanza de la geometría la lleva a plantearse una serie de problemas acerca de la medición y de las representaciones gráficas de las formas geométricas, del pasaje de la

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geometría de la observación a la geometría deductiva, y del lenguaje natural, espontáneo en los alumnos, al lenguaje matemático sin rupturas violentas y sin pérdidas de significación. C e c i l i a Pa r r a e Ir m a Sa i z

Ca

p ít u l o

I

MATEMATIC MATEMATICA A PARA PARA NO N O MATEMATICOS 1

Lu Luis A. Santaló

La misión de los educadores es preparar a las nuevas generaciones para el mundo en que tendrán que vivir. Es decir, impartirles las enseñanzas necesarias para que adquieran las destrezas y habilidades que van a necesitar para desempeñarse con comodidad y eficiencia en el seno de la sociedad con que se van a encontrar al terminar el período escolar. Por esto, como el mundo actual es rápidamente cambiante, también la escuela debe estar en continuo estado de alerta para adaptar su enseñanza, tanto en contenidos como en metodología, a la evolución de estos cambios, que afectan tanto a las condiciones materiales de vida como al espíritu con que los individuos se van adaptando a ellas. En caso contrario, si la escuela se descuida y sigue está estáti tica ca^^ o con m ovim iento len to en c om para ción con la velocidad exterior, se origina un desfase o divorcio entre la escuela y la realidad ambiental, que hace que los alumnos se sientan poco atraídos por las actividades del aula y busquen adquirir por otros medios los conocimientos que consideran necesarios para com pr p r e n d e r, a su m a n e ra, ra , el m u n d o d e la calle ca lle q u e p e r c i b e n d ire ir e c t a mente o a través de los medios masivos de comunicación. 1. Conferencia inaugural del I Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Sevilla, España, setiembre de 1990.

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Como la educación informal de esos medios extraescolares sigue su curso de manera cada vez más fuerte, si la escuela se desentiende de ellos y piensa únicamente en una educación para un mundo ideal que se va alejando de la realidad, el resultado es lo que se ha llamado la paradoja de Icaro, consistente en que los alumnos se irán apartando de las enseñanzas del maestro para creer más en el mundo simplificado de la cienciaficción que encuentran en las historietas de las revistas o en las películas del cine o la televisión, con lo cual, al querer actuar en la sociedad, se estrellarán lo mismo que Icaro al ser derretidas por el Sol sus alas de cera, por falta de la base firme de un conocimiento organizado, que precisamente es lo que la escuela debe proporcionarles. Es decir, lo primero que deben tener los educadores es un bu b u e n c o n o c i m ie n to d el m u n d o e x t e r i o r y d e su p osib os ible le ev evoo luci lu ción ón en los próxim os años, para luego ver cómo sus sus enseñanzas pued en ayudar a una mejor manera de actuar en él, lo que será provechoso no sólo para los alumnos, futuros interesados, sino para el con ju j u n t o d e t o d a la s o c i e d a d . El ide id e a l s e r í a q u e la e s c u e la p u d i e r a influir sobre ese mundo exterior para moldearlo según criterios bie b ienn e stu st u d iad ia d o s cie ci e n tífi tí ficc a y m o r a lm e n te , p e r o e n c u a l q u ie r caso ca so su conocimiento previo es indispensable, y lo peor que se puede hacer es ignorarlo y seguir educan do para un m und o cruzado con el real. Conviene, por lo tanto, analizar brevemente cómo es y cómo marcha ese mundo exterior. No N o h ay d u d a d e q u e , d e b i d o a los lo s p r o g r e s o s c i e n tíf tí f i c o s d el siglo actual, los conocimientos del hombre de hoy son muy superiores a los de hace tan sólo pocas décadas. A través de la televisión, la radio y gracias a los satélites artificiales, hoy pod&mos ver lo que ocurre en cualquier lugar de la Tierra a miles de kilómetros de distancia, y a través de fotografías y diagramas enviados por sondas que viajan por el espacio podemos también ver objetos de otros planetas y analizar fenómenos procedentes de estrellas o nebulosas situadas a miles de millones de kilómetros de nosotros. Por el otro extremo de lo infinitamente pequeño, los físicos tienen eleme ntos pa ra m edir y registrar registrar magnitudes atómicas atómicas de millonésimos de milímetros y también tiempos de millonésimos de segundo. Entre los dos extremos, al nivel del hombre, se dispone tam-

MATEMATICA PARA PARA NO MATEMATICOS

bié b iénn d e dispo dis posit sitiv ivos os q u e p e r m i t e n ve verr sob so b re u n a p a n tall ta llaa c u a lqu lq u ier ie r detalle del corazón, del cerebro o de una parte cualquiera del cuerpo humano, órganos hasta hace poco tiempo inobservables. Por o tra parte, los los radiotelescopi radiotelescopios os perm iten registrar registrar sonidos procedentes de espacios remotos, como una ampliación inmensa de nuestras posibilidades auditivas. Parecería que la armonía de los mundos o la música de las estrellas de que hablaba Kepler (1571 1630) y que según él se podían captar por la razón, pero no por los oídos, actualmente se pueden captar a través de esos especiales audífonos de que dispone la m od ern a astronomía. Incluso Incluso el radio radio de acción hasta donde es posible prender con las manos ha aumentado fuera de todo límite con los actuales robots, capaces de llegar y traernos materiales de otros planetas. Todas estas posibilidades hacen que, para su actuación en el mundo y para aumentar su conocimiento, el hombre de hoy dis p o n g a d e u n a p l a t a f o r m a b á s ica ic a y d e u n o s d e p ó s ito it o s c u l t u r a l e s mucho más poderosos de los que tenía el hombre griego y aun el hombre de principios de siglo. En los mismos quehaceres diarios, las comunicaciones de hoy sobrepasan en velocidad y distancia a lo imaginable unas décadas atrás, y los ordenadores o computadoras actuale actualess perm iten alm acena r y sum inistrar inistrar información en cantidad y rapidez que han vuelto obsoletas las bibliotecas y demás fuentes de información tradicionales. El problema está en decidir cómo educar a ese hombre informático, qu e tiene tan p oderosas bases bases y tan g randes rand es posibilidades y que se va adaptando a una tecnología que le permite potentes y variadas maneras de accionar, pero que le exigen también distinto com portam iento y distinta distinta preparac ión en sus habilidades habilidades y destrezas. La vida se ha vuelto más difícil, y la escuela debe evolucionar pa p a r a p r e p a r a r a ind in d ivid iv iduo uoss c o n c a p a c ida id a d p a r a a c tu a r e n este es te m u n do complejo y diversificado. No N o se tra tr a ta d e q u e al i n c o r p o r a r a su m a n e r a d e vivir u n a técté cnica refinada de la que ya no podrá prescindir, el hombre se vaya robotizando, pasando a ser una máquina que actúa por reflejos pr p r o g r a m a d o s . Es s e g u r o q u e el h o m b r e c o n s e r v a r á s i e m p r e el aliento que le infundió su creador y seguirá teniendo un alma y un espíritu, con sus sentimientos, sus miedos, sus pasiones y sus creencias, tal vez distintas de las actuales, pero igualmente rectoras de su

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DIDACTICA DIDAC TICA DE MATEMA MATEMATIC TICAS AS

conducta y que igualmente hay que considerar y tener presentes <•11 lodo sistema educativo. De la misma o análoga manera que Platón, cuatro siglos antes de nuestra era, trataba de diseñar cómo debía ser la enseñanza pa p a r a los f u tu r o s d irig ir ig e n te s d e su R e p ú blic bl ica, a, lo e d u c a d o r e s de ho hoyy deben plantearse el problema de cómo educar al hombre de estos fines del segundo milenio, para que pueda entrar con buen pie y ju s tifi ti ficc a d o o p tim ti m ism is m o e n el ter te r c e r o , lle ll e n o d e in c ó g n ita it a s p e r o tam ta m bié b iénn de e spe sp e ran ra n z a s . En cuanto a la matemática se refiere, Platón expone buenas razones para prescribir como prime ras las las enseñan zas del cálculo cálculo y de la geometría, observando que “ningún arte y ningún conocimiento pueden prescindir de la ciencia de los números” y que “hay una diferencia absoluta entre el que es versado en geometría y el que no lo es, y hasta los que no lo son, cviando se han educado y ejercitado en el cálculo, aunque no deriven de él ninguna otra ventaja sí obtienen, al menos, volverse más. sutiles de lo que eran antes”. Platón señala motivos trascendentes para enseñar la matemática, como “atraer el alma hacia la verdad” y “elevar nuestras miradas a las cosas de lo alto, haciendo pasar de las tinieblas a la luz” luz ”, motivos motivos que con ven venciero cieronn a todas las ge gene nerac rac iones ion es sucesi sucesivas vas y han hecho que la matemática haya figurado siempre en todos los sistemas educativos. En la actualidad los motivos tal vez no sean los trascendentes que señalaba Platón, sino más bien las necesidades prácticas de po p o d e r e n t e n d e r y u tili ti lizz a r c o n p rov ro v e c h o las m o d e r n a s tec te c n olo ol o gía gí a s. Debido a ello, parece unánimemente aceptado que la enseñanza de la matemática debe seguir prescrita para todos, tanto en los niveles superiores para los creadores en el mundo de las ideas o en la esfera tecnológica, como en los niveles del llano, para el hombre común, que sin ser creador necesita los conocimientos matemáticos para su actuación en el campo laboral y para com pr p r e n d e r , a u n q u e sea se a s u p e r fic fi c ia lm e n te , las ba base sess y las p o sib si b ilid il idaa d e s de la moderna tecnología sin necesidad de recurrir a la creencia en mitos o milagros. Platón distingue entre lo que hoy llamamos matemática pura, que “facilita al alma los medios de elevarse desde la esfera de la generación hasta la verdad y la esencia”, y la matemática aplicada,

MATEMATICA PARA NO MATEMATICOS

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“la matemática de los comerciantes y traficantes, que se utiliza con vist vistas as a las las com co m pras y a las las ventas”, ventas”, y recom reco m ien da pa ra su Academia únicamente la primera. En cambio hoy, pensando tanto en educar el pensamiento como en impartir reglas para la acción, se opina que la matemática que necesitan todos los ciudadanos debe ser una mezcla coordinada y bien equilibrada de matemática pura y aplicada, o de matemática como filosofía y de matemática como instrumento de cálculo. Ninguno de los dos aspectos es prescindi ble b le,, e n t r e o tra tr a s co cosa sass p o r q u e la vida vi da es p e n s a m i e n t o y es a c c ión ió n , exige razonar para dirigir las aplicaciones y exige actuar para no pe p e r d e r s e e n v irtu ir tuoo sis si s m o s ide id e a les, le s, a leja le jadd o s d e la r e a lid li d a d c ir c u n dante. Hay que tener en cuenta que las aplicaciones de la matemática han invadido campos que antes eran considerados ajenos a ella, principalmente en la biología y en las ciencias del hombre, po p o r lo cu cual al la esc es c ue uela la n o p u e d e d e s e n t e n d e r s e d e esas esa s a p lica li cacc ion io n es tanto por su valor informativo como motivador. Cuando se habla de matemática y de la necesidad de su enseñanza, hace falta puntualizar a qué matemática se hace referencia. En la época de los griegos se podía hablar del cálculo y de la geometría como partes únicas de un cuerpo de conocimientos bien delimitado y no muy extenso. Hoy día, en cambio, la cantidad de matemática que se conoce es inmensa y crece constantemente, por lo cual no es cosa fácil decidir cuál debe ser la matemática que se recomiende enseñar y cómo debe ser presentada para su mejor comprensión y su mejor utilidad para el futuro de los alumnos. La revista Ma Mathematical Reviews, que registra y comenta todos los trabajos de matemática que se publican en el mundo y que pretenden ser originales, se inició en 1939 y en 1989 llegó al millón de trabajos registrados. Es decir, que si se supone una extensión pro p ro m e d io d e c inc in c o p á g ina in a s p o r tra tr a b a jo y se s e a g r u p a r a n tod to d o s ellos ell os en volúmenes de 1000 páginas cada uno, resultaría que en los últimos 50 años se han producido en el mundo 5000 de tales volúmenes. Es una producción gigantesca que presenta grandes pro ble b lem m as d e a lm a c e n a m ien ie n to y de d e o rd e n a c ió n p a ra p o d e r e n c o n tra r lo que a cada uno pueda interesar dentro de tan ingente cantidad de nuevos conocimientos adquiridos por la humanidad. A los profesores de matemática nos corresponde seleccionar entre en tre toda la ma temática existente, la clás clásica ica y la mo de derna rna,, aquella

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que pueda ser útil a los educandos en cada uno de los distintos niveles de la educación. Para la selección hay que tener en cuenta que la matemática tiene un valor formativo, que ayuda a estructurar todo el pensamiento y a agilizar el razonamiento deductivo, pe p e r o q u e ta m b i é n es u n a h e r r a m i e n t a q u e sirv si rvee p a r a el a c c io n a r diario y para muchas tareas específicas de casi todas las actividades laborales. Es decir, como ya dijimos antes en otras palabras, la enseñanza de la matemática matemática debe ser un constante equilibrio equilibrio entre la matem ática formativa formativa y la matem ática informati informativa. va. La primera más estable y la segunda muy variable con el tiempo y aun con el lugar y la finalidad perseguida para los alumnos. Hay que formar, pe p e r o al m ism is m o tie ti e m p o i n f o r m a r d e las cosas cos as ú tile ti less a d e c u a d a s a las necesidades de cada día y de cada profesión. Por otra parte, cada aspecto informativo tiene un substrato formativo, de manera que la regla puede ser “formar informando” o “informar formando”. La elección elección de la matem ática para qu ienes van van a ser matemáticos profesionales es relativamente fácil, pues basta mostrar las grandes líneas generales y enseñar a aprender, dejando que cada educando vaya seleccionando según sus gustos y su vocación la matemática que más le interese, pues tiene toda la vida por delante para ir comp letando la formación recibida recibida en la escuel escuela. a. El problema radica en la selección de la matemática para la educación de quienes no tienen interés particular por ella y sólo ¡a aceptan como una necesidad que les ayude a desempeñar mejor sus ocupaciones y a entender mejor su sostén básico. Para ellos es fundamental que los encargados de diseñar los planes de estudio tengan en cuenta el valor formativo de la matemática y también los temas de los que es necesario informar en cada ciclo de la enseñanza y en cada particular carrera profesional. Pensemos primero en la matemática para todos, es decir, en la matemática de la escuela obligatoria que deben seguir todos los ciudadanos. H asta asta hace pocos años esta esta enseñanza com prend ía en la mayoría de los países a los alumnos entre 5 y 10 o 12 años de edad, y la matemática consistía esencialmente y de manera universal en las operaciones con los números enteros y racionales, con mucha práctica de los decimales, y después iniciar e insistir en la pr p r o p o r c io n a lid li d a d e n sus su s dive di vers rsos os a sp ecto ec toss d e la re g la d e tres tr es,, p o r centajes, semejanza de figuras planas, escalas e interpretación de


mapas y gráficos, sistema métrico decimal, definiciones y propiedades simples de las figuras geométricas más usuales. Actualmente, vista la complejidad creciente de la sociedad, se considera que estos conocimientos resultan insuficientes y, en la mayoría de los país pa íses es,, la e n s e ñ a n z a o b lig li g a tori to riaa se h a e x te n d id o e n t re los 5 y los 15 años de edad, es decir, incluyendo en ella el primer ciclo de tres años que figuraba en la enseñanza media. Con ello han aumentado los conocimientos matemáticos que se pueden incluir en la enseñanza para todos. Es muy importante reflexionar y experimentar sobre estos conocimientos que supuestamente van a adquirir todos los ciudadanos y que, para muchos de ellos, van a ser los únicos que la enseñanza formal va a suministrarles, con el supuesto de que ellos deben bastarles para actuar en el mundo con que se van a encontrar al salir de la escuela. Hay que decidir sobre los contenidos y t ambién sobre la metodología más conveniente. Además de los contenidos tradicionales, ya mencionados, es mucho lo que se pu p u e d e y de d e b e a ña ñadd ir, ir , s u p r im ie n d o e n c o m p e n s a c ión ió n m u c h a s cosas cos as que por costumbre han seguido formando parte de los programas pe p e r o q u e h a n d e v e n id o i n ú t ile il e s e n el d ía d e hoy. H ay q u e c r e a r organismos organismos que se ocupen de analizar constantem ente los los contenidos y la metodología adecua da, introd ucien do las novedades necesarias y suprimiendo los temas que vayan resultando obsoletos. En otras épocas, los los program prog ram as y libros libros de texto d urab an sigl siglos os,, m ientras tras que en la actualidad actualidad rápid am ente que dan fuera de uso y necesitan ser reemplazados por otros más acordes con las necesidades del medio. Como regla general, se puede recomendar que siempre es preferible saber poco y bien que mucho y mal. Es más recomendable hacer cabezas bien hechas que cabezas bien llenas, aunque en la actualidad, con los modernos mecanismos computacionales y su memoria, se pueden lograr cabezas bien llenas que al mismo tiem po p o sean se an b ien ie n h e c h a s. Los Lo s c o n c e p t o s fu n d a m e n ta les le s d e b e n r e p e t irir se desde distintos enfoques, indicando el camino para sus posibles extensiones y aplicaciones que el alumno tendrá que buscar en el futuro por su propia cuenta, cuando las necesite. Puesto que el aprendizaje aprendizaje va va a ser ser perm an en te, ya ya que el campo del con ocimiento no se detiene, es importante enseñar a aprender, cosa que el

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alumno tendrá que hacer por sí solo cuando termine la escuela. Y sea dejado de la mano del maestro. Hay cosas que actualmente figuran en los programas y que en sus ideas generales deben seguir dándose, pero en forma muy simplificada. Por ejemplo, es importante instruir cuanto antes en las manipulaciones simples del cálculo literal y en la interpretación y manipuleo de fórmulas, pe p e r o ba bast staa lim li m itar it arse se a e x p re s io n e s sim si m ples pl es de u so c o m ú n , sin n e c e sidad de aburrir con fatigosos cálculos con monomios, polinomios y expresiones algebraicas complicadas. La función exponencial y los logaritmos son importantes, pero estos últimos con pocos decimales y a través de calculadoras de bolsillo, más que con las clásicas tablas, que han pasado a ser referencias históricas. Los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas deben darse a través de su representación gráfica, y sus soluciones, en general, mediante métodos aproximados con el uso de calculadoras simples. Aunque en muchos países ya se han introducido, vamos a mencionar algunos temas que forzosamente deben figurar entre aquellos acerca de los que todo ciudadano debe haber sido informado durante el período de la escuela obligatoria y que, sin embargo, hasta fechas muy recientes se consideraban pertenecientes a niveles superiores de la enseñanza. Tal vez alguno de los contenidos que vamos a mencionar no sea fácil de exponer al nivel de la escuela elemental, pero precisamente éste es el desafío actual para los educadores, y constituye el principal problema que hay que estudiar en los centros de investigación pedagógica, para luego experimentar en escuelas piloto convenientemente preparadas pa p a r a ello. ell o. En primer lugar hay que introducir las ideas básicas de la pro ba b a b i li d a d y d e la e s t a d í s tic ti c a . La m a te m á tic ti c a e n la e s c u e la se h a pe p e n s a d o s i e m p re c o m o d e t e r m i n is ta , e n la c u a l los lo s p r o b le m a s se debían resolver exactamente, hasta cualquier cifra decimal. Hay que cambiar este pensar determinista por el pensar probabilista o estadístico, basado en valores medios, grandes números, extrapolaciones e inferencias, pues los fenómenos y las situaciones aleatorias son los que más aparecen en la naturaleza y en la vida de relación. Sobre esta cuestión son muy interesantes las sugerencias y Teaching Statisti Statistics cs experiencias que figuran en la revista inglesa Tea


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nferencias ncias Int Interer(Universidad de Scheffield) y en las actas de las Confere nacionales sob sobre la Enseñanza Enseñanza de la Estadíst Estadístiica (ICOTS) que se cele br b r a n c a d a 4 a ñ o s a p a r tir ti r d e 1982, la ú ltim lt im a e n N u e v a Z e lan la n d a , en agosto agosto de 1990 90.. El problem a de la enseñanza enseña nza de las las probab ilidades ilidades y de la estadística en niveles cada vez más bajos de la educación pr p r e o c u p a e n tod to d o s los lo s p aíse aí sess y se va a v an anzz an andd o m u c h o al res re s p ecto ec to.. Para no citar más que un ejemplo, mencionaremos la importancia didáctica y práctica de las tablas de números al azar. Ellas ayudan a la simulación de problemas y a comprender el papel del azar, y a la importancia de saber elegir un modelo adecuado para el tratamiento de cada problema. Es la base del método de Monte Cario, de mucho interés conceptual y práctico. También hay que pe p e n s a r e n la m a n e r a m ás c o n v e n ien ie n te d e p r e s e n t a r p r o b lem le m a s de investigación operativa y programación lineal. Una idea sobre la manera de tratar problemas de colas o filas de espera basada en la simulación y confección de estadísticas es muy importante y de aplicación muy generalizada, por lo que debe incluirse en la enseñanza obligatoria. Otro tema esencial es la introducción lo antes posible de la computación, no solamente en cuanto a la calculatoria, sino tam bié b iénn e n el u so d e las c a lcu lc u lad la d o r a s c o m o c o m p u ta d o r a s y fu e n tes te s de información. Es decir, hay que educar también en el pensar informático, pues no es lo mismo actuar en un mundo sin computadoras que en el mundo actual, plagado de botones y teclados pa p a r a a p r e t a r y p a n tall ta llaa s p a r a ver, m ás q u e d e lib li b ros ro s y c a tálo tá logg o s o formularios para leer. Es muy posible que el hombre informático pierda en precisión i azonadora y capacidad de reflexión para el análisis detallado de los problemas, p o r estar obligado obligado a actuar con m uc ucha ha velocidad velocidad en sus decisiones y actos. Por lo tanto, la educación actual debe ingeniarse para ayudar a la simbiosis hombremáquina del futuro, des pe p e r ta n d o y e d u c a n d o los refl re flej ejoo s n e c e s a rio ri o s p a r a u n a a c ció ci ó n casi automática en muchas situaciones de la profesión y de la vida diana I Iay que e du car en el planteo plan teo de los los prob lem as en prog ram as i aI
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el método de ensayo y error, probando soluciones tentativas hasta encontrar y ajustar la verdadera con suficiente aproximación, sin pr p r e ten te n s io n e s d e e x a c titu ti tu d inú in ú til. ti l. Desde los primeros grados hay que ir educando no sólo en la matemática propiamente dicha, sino también en el razonamiento lógico Vdeductivo, que es la base de la matemática, pero que es también imprescindible para ordenar y asimilar toda clase de conocimiento. Es decir, hay que ir educando al alumno en el lenguaje apropiado para comprender la nomenclatura y funcionamiento de la actual tecnología, así como la base científica que la sustenta. Por lo tanto, hay ciertos conocimientos de lógica que deben usarse con frecuencia en la clase, para que vayan siendo asimilados como parte natural del lenguaje y del pensar cotidianos, más que como conceptos adquiridos a través de un aprendizaje especial. No N o h a c e f a lta lt a i n c l u i r e n los lo s p r o g r a m a s u n a p a r t e d e lóg ló g ica ic a , c o n silo silogis gismos, mos, cuantificadores y tablas tablas de v erdad com o cono conocimientos cimientos bás b ásic icos os a los q u e se h a r á r e f e r e n c ia c u a n d o lle ll e g u e el m o m e n to . Es mejor ir aprendiendo las leyes del razonamiento de manera natural, como algo inherente al lenguaje, de la misma manera como se aprende a hablar sin conocer la etimología de las palabras. Por ejemplo, las ideas de inducción, demostración por el absurdo, condición necesaria y suficiente o “si y sólo si” hay que aprenderlas con ejemplos referentes a casos concretos a medida que van apareciendo, sin pretender filosofar sobre su significado abtracto. Lo mismo puede decirse de la^teoría de conjuntos, que a este nivel de la enseñanza para todos debe ser tan sólo un lenguaje, de aplicación continua sobre la marcha del curso y muy útil para mejor comprender y expresar razonamientos y resultados, pero po p o r tra tr a tars ta rsee d e u n m e d io y no n o d e u n fin, fi n, la p a r te d e te o r ía d e c o n ju j u n t o s q u e n o se vaya a u tili ti lizz ar p u e d e y de d e b e sup su p r im irse ir se.. O tra tr a cosa cos a es, naturalmente, para los estudios de nivel terciario y para alumnos de carreras matemáticas, para los cuales la teoría de conjuntos es esencial en sí misma. O tros pun tos que debe n ir incluyendo el cic ciclo lo de la enseñanza pa p a r a tod to d o s son so n los sig si g u ien ie n tes: te s: a) E lem le m e n to s d e la teo te o ría rí a d e m ue ues s treo para poder entender las bases de las encuestas de opinión o de los grados de audiencia de ciertos programas de la televisión


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(rating) y apreciar su grado de confíabilidad. b) Puesto que la vida es un continuo de decisiones que cada uno debe tomar con frecuencia y que influyen o pueden influir mucho en su futuro, la escuela debe informar sobre la existencia de una teoría de la decisión, construyendo algunas matrices simples referentes a problemas elementales que llamen la atención del alumno, c) También va siendo de uso generalizado la medida de la cantidad de información de los mensajes (entropía, códigos, ruido) y, por lo tanto, sin pretender formar técnicos especializados, la idea de la unidad de información (bit) y su aplicación a ejemplos simples deben incluirse entre los contenidos de la enseñanza obligatoria para todos. Habría que buscar otros temas posibles de tratar matemáticamente que sean de actualidad y uso en el mundo de hoy, para estudiar su posible exposición elemental, y luego introducirlos en el ciclo de la enseñanza para todos. Es una tarea para educadores y matemáticos que debe ser alentada y estimulada. En cuanto a la didáctica, en cualquier nivel, la enseñanza de la matemática debe incitar la creatividad, mostrando cómo la matemática es un edificio en construcción que necesita de continuos aportes y remodelados. Actualmente se insiste mucho en la metodología basada en la resolución de problemas. En realidad no es ninguna novedad, pues la verdadera matemática ha consistido siempre en la resolución de problemas: nunca puede ser una sistemática de definiciones y descripción de propiedades. De todas m aneras no está está de m ás repetirlo mu chas veces veces para que el énf énfasi asiss en ello no disminuya. Pero, además, pensando en la creatividad que conviene desarrollar, no solamente hay que resolver problemas, problemas, sino que es muy importante p p roblemas. Hay que interesar prroponer problemas. a los alumnos para que aprendan a extraer el planteo en forma matemática de situaciones reales o imaginadas, y luego llevar el resultado, como problema propuesto, a la consideración del aula. 11 hecho de proponer problemas que tengan sentido es tan importante en matemática como el de resolver problemas planteados po p o r o tro tr o s . Es a trav tr avés és d e e s ta a c c ió n a l t e r n a d a e n t r e p r o p o n e r y resolver que la matemática avanza y crece. Nos h em o s re fe rid ri d o al p ro b le m a de d e c id ir a c erca er ca d e la m a te máti mática necesaria necesaria para todos, como p arte integran te de una cultura

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general para los miembros de la sociedad actual. Se trata posiblemente del problema más importante que tiene planteado la educación matemática en el día de hoy y en el que están involucrados matemáticos, educadores, psicólogos y sociólogos. Pero queda otro problema, también importante, que consiste en la matemática necesaria para aquellas profesiones en las que la matemática no es un fin sino un medio para su mejor ejercicio. Es decir, averiguar cuál es la matemática que puede ser útil a los profesionales no matemáticos de nivel terciario. Se puede suponer que ellos tienen ya los conocimientos básicos del ciclo obligatorio e incluso es posible que hayan realizado estudios matemáticos pre pa p a r a t o r i o s p a r a su i n g r e s o e n el t e r c e r nive ni vel.l. T o d o s esto es toss c o n o c imientos adquiridos debe suponerse que están en su memoria (en el sentido sentido de las las comp utadoras) para el mo m ento en que los los necenecesiten. Pero a partir de esta plataforma de conocimientos, hay que analizar cuáles pueden ser los nuevos conocimientos que los matemáticos pueden ofrecerles para su mejor formación superior. Desde luego, hay la parte de matemática clásica (esencialmente las nociones de cálculo infinitesimal) que ya es tradicional y de la cual solamente hay que decidir sobre el más o el menos que les p u e d a i n t e r e s a r y s o b r e la i n f l u e n c i a e n su p r e s e n t a c i ó n d e los lo s actuales medios computacionales. Pero, actualmente, entre la gran p r o d u c c i ó n m a t e m á t i c a d e los lo s ú ltim lt im o s a ñ o s a la q u e ya h icim ic im o s referencia, es seguro que habrán surgido nuevos resultados y nuevas ideas que podrían ser de utilidad en ciertas ramas del saber, como física, ingeniería, biología, economía, ciencias sociales y muchas otras, pero cuyos usuarios no tienen tiempo de enterarse de su existencia. Sería urgente que las universidades y los centros de investigación involucrados se dispusieran a organizar cursos o seminarios para la divulgación de las nuevas adquisiciones y consideraran la posibilidad de incluirlas en los programas de las asignaturas turas de m atemáticas de la carrera corresp on diente, en sustit sustituci ución ón de muchas cosas obsoletas que, sin ningún perjuicio para los estudiantes, pueden suprimirse. Se trata de un esfuerzo difícil, pero valioso y necesario. Hay que simplificar los detalles técnicos, que deben dejarse para los matemáticos profesionales, y procurar que los resultados, asegurada su validez por estos últimos, lleguen a hacerse intuitivos y comprensibles para quienes los necesiten.


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Las palabras siguientes de Ortega y Gasset en su Mi Misión de la (1930) 0) cobran para la matem ática de hoy plen a actuaUniversidad (193 lidad: Todo aprieta para que se intente una nueva integración del saber que hoy anda hecho pedazos por el mundo... Ha llegado a ser un asunto urgentísimo e inexcusable que la humanidad invente una técnica para habérselas adecuadamente con la acumulación del saber que hoy posee. Si no encuentra maneras fáciles para dominar esa vegetación exuberante quedará el hombre ahogado por ella... el movimiento que lleva la investigación a disociarse indefinidamente en problemas particulares, a pulverizarse, exige una regulación compensatoria —como sobreviene en todo organismo saludable— mediante un movimiento de dirección inversa que contraiga y retenga en un riguroso sistema de ciencia centrífuga.

Podemos citar algunos ejemplos relativamente recientes de conocimientos matemáticos que han resultados útiles a otras ciencias y que, por lo tanto, valdría la pena poner al alcance de los cursos de ciertas carreras no matemáticas, aunque fuera como materias optativas para determinados grupos o especialidades. En varias ramas de las ciencias sociales y de la biología, medicina (diagnóstico por computadoras), ingeniería (seguridad de las estructuras) y otros lugares, han resultado de interés los llamados conjun conjunttos bo borro rroso sos, s, o conjuntos para los cuales la pertenencia o no de un elemento está definida con cierta probabilidad. Se trata en general de llegar a resultados con algún grado de confiabilidad a pa p a r t i r d e re su lta lt a d o s im p reci re ciso sos. s. Su i m p o r t a n c i a h a sido sid o d isc is c u tid ti d a muchas veces, pero su conocimiento parecería ser útil. La biología es la ciencia que más ha asimilado parte de la matemática contem poránea, dan do lugar a la la biologí biologíaa matemática, matemática, cuyos cultivadores no son en general ni biólogos ni matemáticos, de aquí las dificultades que suelen encontrar para que sus trabajos sean valorizados. Habría que conseguir que la matemática utilizada fuera conocida por los biólogos clásicos, de manera análoga a como los los físi físico coss exp erim entales acu de denn a la físi física ca teórica p ara jus lifl liflca carr y m ejor com pren der su suss result resultados. ados. U na o bra im portan te es la de René Thom, Es Estabilidad estructural y morfog fogénesis (1972), seguida de la teoría muy discutida del mismo autor sobre Catástrofes, a

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la que se buscaron aplicaciones a la economía y otras ciencias, así como la teoría de la bifurcación, con análogos fines. Son teorías cuyo futuro es todavía incierto, pero que sería interesante buscar de las mismas exposiciones elementales que las hicieran comprensibles a los posibles usuarios, sin los conocimientos matemáticos utilizados en su tratamiento original. Los matemáticos profesionales deben cuidar el rigor ciento por ciento de las teorías, pero quienes las necesitan únicamente por sus aplicaciones basta que tengan de ellas una comprensión intuitiva que les permita ver claro en qué casos y de qué manera pueden aplicarse. Otros ejemplos pueden ser la teoría de grafos, muy útil en muchas ramas de la ciencia, y la teoría de la forma ( shape) con aplicaciones aplicaciones a la arqu itectura, a la ingen ingen iería.y al al arte. arte. En el Apéndice mencionaremos alguna bibliografía al respecto, a partir de la cual se puede tener mucha más información. Unicamente queremos referirnos, para terminar, a los llamados fra fractales introducidos por Mandelbrot, como ejemplo de objetos geométricos relativamente recientes cuyo estudio ha despertado mucho interés por su amplio espectro de aplicaciones, desde las artes plásticas hasta la física, la biología y la astronomía, y que tiene muchas vinculaciones con la computación y, además, con las teorías “caóticas” que se están desarrollando a caballo entre la física y la filosofía. Desde siempre, la geometría ha estudiado curvas regulares, constituidas por arcos que son imágenes de un segmento de recta o de una circunferencia, por funciones que admiten muchas derivadas, de manera que responden a la idea intuitiva de la trayectoria de un punto en movimiento. Así fueron la recta, la circunferencia, las cónicas y todas las curvas especiales estudiadas en la antigüedad y en los siglos sucesivos (cicloide, astroide, lemniscatas, catenoide,...). Sólo en el siglo pasado, con el progreso de la teoría de funciones reales, se consideraron curvas sin tangente en ningún punto (Weierstrass) y curvas que llenan áreas (Peano). Estas curvas, que eran imágenes continuas de un segmento y podían tener p untos dobles, dobles, fueron consideradas com o ejemplos patológipatológicos, interesantes para los matemáticos, pero lejos de cualquier po p o sib si b le a p lic li c a c ió n . U n o b s tá c u lo p a r a e llo ll o e r a la d ific if ic u lta lt a d d e su construcción aproximada para poder visualizar su forma o la for-


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ma de sus sucesivas aproximaciones. Después, ya en las décadas de los años 50 y 60 del presente siglo, se vio que objetos geométricos de ese estilo aparecían al estudiar las interacciones sucesivas de transformaciones no lineales del plano sobre sí mismo, como fronteras entre las zonas cuyos puntos dan lugar a sucesiones periódicas o convergentes y las zonas cuyos puntos, por interacciones sucesivas, no convergen. Resultaron unos objetos formados por conjuntos de puntos para los cuales cabe definir una medida, al estilo clásico, pero también una dimensión, convenientemente definid a, que q ue vale vale 2 cu cuan an do llena n un u n área, áre a, y va vale le 1 pa para ra curvas pro p ro- pia p ia m e n te d ich ic h as, as , p u d i e n d o to m a r c u a lq u ier ie r va valo lorr e n tre tr e 1 y 2 p a r a otros conjuntos del tipo considerado. Como muchas veces la dimensión resulta un número fraccionario, Mandelbrot llamó “fractales” a esos objetos. Con las computadoras se han podido representar estos fractales y han resultado sorprendentes sus formas y posibilidades tipológicas, de manera que han surgido pro ble b le m a s i n t e r e s a n t e s t a n t o d e s d e el p u n t o d e vist vi staa m a t e m á tic ti c o como de las aplicaciones a la física y la biología entre otras ramas de la ciencia, y también mediante coloraciones especiales se han obtenido cuadros competitivos con pinturas de artistas plásticos actuales. Es un campo interesante que con el auge de las computadoras resulta de mucho interés por ayudar al desarrollo de la creatividad y la fantasía, con sólo tomar al azar transformaciones cuadráticas del plano en sí mismo y estudiar su comportamiento por repeticiones, cosa que sin computadora conduce a cálculos imposibles de realizar a mano, pero que con ellas se hacen rápidamente. Como ha observado Mandelbrot, los fractales aparecen en la naturaleza con mucha más frecuencia que las curvas regulares, las cuales resultan solamente al tomar la realidad en primera aproximación. En el movimiento browniano, la distribución de las galaxias, las formas del relieve terrestre, los fenómenos de turbulencia... aparecen los fractales de manera natural. Según Mandelbrot “la geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orde or de n perfecto perf ecto de las formas u suales suales de Euclides Euclides o del cálculo cálculo infiinfinitesimal”. Se trata de un ejemplo típico en la evolución de las realizaciones matemáticas: primero aparecen casos aislados como gérmenes

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de ideas nuevas cuyo alcance no se conoce; surgen luego nuevos conocimientos o nuevas técnicas que permiten el desarrollo del germen y su mayor comprensión; finalmente, aparecen las aplicaciones que permiten una mejor comprensión de los fenómenos naturales. La misión de los matemáticos es ayudar a los especialistas de otras ramas a quienes las nuevas concepciones puedan ser útiles, simplificando las dificultades para su comprensión para que pu p u e d a n s e r in tu id a s y utili ut iliza zada dass sin m ay ayor ores es d ific if icuu ltad lt ades es.. Como los fractales, seguramente existen en la matemática actual muchos conocimientos listos para las aplicaciones más diversas, que sólo esperan ser identificados y puestos a disposición de los científicos no matemáticos que puedan aplicarlos con éxito.

B ib l io g r a f í a

Vamos a mencionar algunas obras referentes a temas diversos de la matemática actual que han resultado de interés en otros capítulos de las ciencias naturales o humanas.

Conjun onjunttos borrosos Algunas aplicaciones de los conjuntos borrosos a la Estadística, Azorín, F.: Al Madrid, Instituto Nacional de Estadística, 1979. Introduction á la théorie des sous ensemblesjlous, Tomos I y II, Kaufmann, A.: Int París, Masson, 1975. Fuzzi set set the theo ory and it its appl applications, ications, Boston, Kluwer Nij Zimm erma nn, H. J.: Fuzzi hoff Publishing, 1985. Ap Aplicaciones a la biología y afines Applications of Combinatorios and Graph theory to the bio Roberts, F. (comp.): Ap log ogiical and and social social scienc sciences es,, The í M A Volumes in Mathematics and its Applications, Berlín, Springer, 1989. Ma Mathematics in Biology and Medicine, Lecture Notes in Biomathematics, nB57, Berlín, Springer, 1985.


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Es Estereología. Tomografía computarizada El objetivo es averiguar el interior de un cuerpo a partir de sus secciones por planos o por rectas. La estereología es de un carácter más elemental, en cuanto a la matemática se refiere, y tiene aplicaciones a la metalurgia, petrografía, fisiología, botánica... Como técnica usa la microscopia. La tomografía se usa principalmente en medicina y su base es una matemática más superior y delicada.


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Capítulo

II

LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS >

Greda Gálvez

N u e s tro tr o tra tr a b a jo se ins in s crib cr ibee e n u n a p ers er s p ecti ec tivv a teó te ó ric ri c a q u e p r o po p o n e el d e s a r r o llo ll o d e u n a r a m a d e l c o n o c i m i e n to r e lati la tivv a m e n te autónoma, designada como Didáctica de las Matemáticas. Esta pro pu p u e s ta tuvo tuv o su o rig ri g e n a raíz ra íz d e la activ ac tivid idad ad d e s p leg le g a d a , b ásic ás icaa m e n te por matemáticos, en los Institutos de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas (IREM) creados en Francia luego de la Reforma Educativa de fines de los años 60, con la que se impuso la enseñanza de la “Matemática moderna”. Inicialmente, los IREM se dedicaron a complementar la formación matemática de los maestros, incidiendo tanto en el reciclaje de los maestros en servicio como en los programas y la preparación de nuevos maestros, en las escuelas normales. Otro ámbito importante de su actividad fue la producción de materiales de apo 1. Cap ítulo I de la tesis tesis de doc tora do “El aprendizaje de la orien tació n en el espacio urbano. Una proposición para la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”, presentada por la autora para obtener el grado de doctor en Ciencias en la Especialidad de Educación en el Departamento de Innovaciones Educativas del Cen tro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politéc nico N acional, México, en 1985. El director de Tesis fue el profesor Cuy Brousseau. La bibliografía correspondiente a este capítulo se incluye en el capítulo 8 “La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental”, de la misma autora.

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yo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, fichas fichas de trabajo p ara los los alum nos, jueg os y jugu etes didácticos, didácticos, colecciones de problemas y de ejercicios, secuencias de lecciones, etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de un a experimentación rudimen taria, concebida concebida como como pru eba de su factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, antes de proceder a su difusión dentro del sistema educativo, urgentem ente requeri requerida. da. Las prácticas descritas más arriba han sido rotuladas como “innovación”, término que genera peligrosas confusiones, como lo advierte Chevallard (1982), con los procesos de socialización de adquisiciones científicas y técnicas que tienen lugar en otros cam po p o s d e la a c tivi ti vidd a d h u m a n a . E n e d u c a c ió n , c u a lq u ie r tra tr a n s fo r m a ción de las normas vigentes puede ser catalogada como “innovació n” n”,, aun m a nd o su únic o aval aval sea el presti prestigio gio soci social al de qu ien la pr p r o p o n e . C he hevv a lla ll a rd a trib tr ibuu y e e ste st e f e n ó m e n o a la a u s e n c ia d e u n a historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que permita constituir en progresión la simple sucesión cronológica de los hechos, lo que equ equiv ival alee a m enc iona r la ausenci ausenciaa de tradición tradición en la elaboración científica de la problemática. A par tir de la reflexión reflexión sobre la valid validez ez de las las acciones de sarro lladas, en los propios IREM fue surgiendo otra clase de actividades, de s, destinadas ya no a la produc ción de m edios para a ctuar sobre la enseñanza, sino a la producción de conocimientos para controlar y producir tales acciones sobre la enseñanza. Se plantea, en otros términos, la investigación científica de los procesos que tienen lugar en el dominio de la enseñanza escolar de las matemáticas. Uno de los investigadores que han liderado tanto la promoción como el desarrollo de este proyecto ha sido Guy Brousseau, pr p r o f e s o r e inv in v e s tig ti g a d o r d e l IREM IRE M d e B urde ur deos os.. B rou ro u s s e a u p r o p o n e el estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los conocimientos; el control de estas condiciones permitirá reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos. Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas no es un resultado de la simple fusión de conocimientos provenientes de dominios inde pe p e n d ie n te s , c o m o son so n las m a te m á tic ti c a s , la p s ico ic o lo g ía y la p e d a g o -

LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS

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gía, sino que requiere de investigaciones específicas. Jean Brun (198 (1980) 0) plan tea que la idea de aplicar modelos gen erales de lo los pro p roce ceso soss d e a pre pr e n d iza iz a je o d e l d e s a r roll ro lloo inte in tele lecc tua tu a l p a r a o rgan rg aniz izaa r ya sea la adquisición de conocimientos matemáticos o la de cualesqu iera otros contenido s escolares escolares,, indistintam ente, con conll lleva eva un aisaislamiento de los modelos psicológicos de la realidad a partir de la cual fueron construidos. Se los traspone a otra realidad, como si fuesen entidades autónomas, asignándoles un funcionamiento ideológico y no científico. En otro texto, el mismo Brun (1981) pr p r e v i n ie n d o sob so b re la a p lica li cacc ión ió n d ed eduu c tiv ti v a d e u n a teo te o r ía psic ps icol ológ ógiica a la educa ción, afirma: afirma: No se trata de una mera precaución, sino que es el centro del problema, dado que la enseñanza de las matemáticas se ha mostrado particularmente sensible a la confusión de niveles, a menudo provocada por una concepción estructuralista en la que las matemáticas y la psicología aparecen mezcladas.

Por otra parte, la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesos que tienen lugar cotidianamente en las aulas, puesto que su objetivo es la determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del saber por los alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control sobre ellas, lo que implica que el investigador debe participar en la producción (o diseño) de las situaciones didácticas que analiza. De aquí la necesidad de constituir montajes experimentales o, en la terminología de Chevallard (1982), de desarrollar una “ingeniería didáctica” subordinada a la investigación, en Didáctica de las Matemáticas: El control de nuestro conocimiento del fenómeno pasa por el proyecto de su producción, y esta producción compromete nuestra teoría del fenómeno en una técnica de su producción.

El objeto de estudio de la Didáctica de Matemáticas es la situación didáctica, definida por Brousseau (1982b) como

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Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.

Estas relaciones se establecen a través de una negociación entre maestro y alumnos cuyo resultado ha sido designado como contrato didáctico. Este contrato, con componentes explícitos e implícitos, define las reglas de funcionamiento dentro de la situación: distribución de responsabilidades, asignación de plazos tem po p o rale ra less a d ife if e r e n te s activ ac tivid idad ades es,, p e rm iso is o o p r o h ib ic ió n d e l u so d e determinados recursos de acción, etcétera. La presencia de un con texto escolar escolar no es esencia esenciall en la definición de una situación didáctica; lo que sí es esencial es su carácter intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de que alguien aprenda algo. El objetivo fundamental de la Didáctica de las Matemáticas es averiguar cóm o fu ncionan ncio nan las las situaciones situaciones didácdcas, es decir, decir, cuáles de las las caracte caracterí rísti sticas cas de cad a situación situación resultan resultan d eterm inan tes p ara la evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa que sólo interese analizar las situaciones didácticas exitosas. Incluso si una situación didáctica fracasa en su propósito de enseñar algo, su análisis puede constituir un aporte a la Didáctica, si permite identificar los aspectos de la situación que resultaron determinantes de su fracaso. Siendo las situaaiones didácticas el objeto de estudio de la Didáctica de las Matemáticas ha sido necesario desarrollar una metodología para analizarlas. Es frecuente que los investigadores que han llegado a la experimentación educativa con una formación previa en psicología diseñen situaciones didácticas, las pongan a prueba en una o varias aulas, y luego centren su interés en los comportamientos manifestados por los alumnos, dentro de la situación experimental. No intentan explicar estos comportamientos, o su evolución, en función de las características particulares de la situación en la que se pro du jeron. Igno ran si, variando algunas cond iciones de la situación, volverían a aparecer los mismos comportamientos.


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Para Brousseau, en cambio, un momento fundamental de la investigación en Didáctica lo constituye el análisis a priori de la situación. El investigador en Didáctica debe ser capaz de prever los efectos de la situación que ha elaborado, antes de ponerla a prue ba b a e n el au aula la;; sólo sól o p o s t e r io r m e n te p o d r á c o n t ra s ta r sus p revi re visi sion onee s con los comportamientos observados. Para analizar las situaciones didácticas, Brousseau las modeli za, za, utilizando elem entos de la teoría de los los jue go s y de la teoría de la información. Para una situación didáctica determinada se identifica un estado inicial y el conjunto de los diversos estados posi po sibl bles es,, e n t r e los q u e se e n c u e n t r a el e s tad ta d o fin fi n al q u e c o r r e s p o n de a la solución del problema involucrado en la situación. Se explicitan las reglas que permiten pasar de un estado a otro. La situación es descrita, entonces, en términos de las decisiones que los los juga dore s (alumnos) pu ed en tom ar en c ada mo m ento y de las las diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al estado final. O tro aspecto qu quee facilit facilitaa el análisi análisiss de las las situaciones didácticas es su clasificación. Brousseau distingue, entre las situaciones que él pr p r o d u c e p a r a su e s tud tu d io e x p e rim ri m e n t a l , c u a t ro tipo ti pos, s, cu cuya ya s e c u e n cia, en los procesos didácticos que organiza, es la siguiente: 1. Las Las situaciones de acción, en las las qu quee se se ge ne ra una interacintera cción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado. 2. Las Las situaciones de form ulación ula ción , cuy cuyoo objetivo objetivo es la co com m un icación de informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. 3. Las Las situaciones de validación, en las las qu e se se trata de convenconve ncer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben ela bo b o r a r p ru e b a s p a r a d e m o s t r a r sus a firm fi rm a c ion io n e s . No b asta as ta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, debe ser así. 4. Las Las situaciones de institucionalización, destinadas destina das a estable-

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cer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido ela bo b o r a d o p o r ello el loss e n s itu it u a c ion io n e s d e a c ció ci ó n , d e fo rm u la c ió n y de validación. Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la identificación de las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental, de sus efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparición del conocimiento que la situación didáctica pretende enseñar. Se trata de precisar las condiciones de las que depende que sea ése el conocimiento que interviene y no otro. Entre las variable variabless qu e interviene n en u n a situación hay algunas, denominadas variables de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente importante. Artigue (1984) destaca el rol de la manipulación de varia bles bl es e n D idá id á ctic ct ica, a, e n r e la c ió n c o n el e s tud tu d io d e l d e s a r r o llo ll o psic ps ico o genético del niño: Para el especialista en didáctica, determinar cómo el uso de variables de comando de la situación puede provocar, en la clase, cambios de estrategia, cómo se podría controlar en el seno de un proceso, por la manipulación de estos comandos, una genésis escolar del concepto, aparece como mucho más importante que tratar de precisar en sus menores detalles las etapas del desarrollo psico genético.

El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otras situaciones didácticas, obtenidas mediante transformaciones de la primera. Por ejemplo, el esfuerzo de modelización de una situación didáctica está subordinado al propósito de identificar los los elem entos q ue po dría n variars variarsee para lograr efectos didáctididácticos diferentes de los que se obtendrían con la situación original. Se constituye así toda una familia de situaciones didácticas, relativas al al conocim iento específico específico que se quiere enseñar, en la hipótesis de que cada una de ellas hará funcionar dicho conocimiento


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ba b a jo u n a m o d a lid li d a d d ife if e r e n te. te . Se p o s tula tu la q u e e n t r e estas es tas situ si tuac acio io-nes existe una, a la que se designa como situación fundamental, que es capaz de e n g en d rar a todas las las demás, a través través de la asignaasignación de diversos rangos de variación o valores particulares a las variables que la caracterizan. Una situación es fundamental, res pe p e c t o d e l c o n o c im ie n t o q u e in te r e s a e n s e ñ a r, c u a n d o es p o sib si b le, le , m edian te el jue go de las las vari variable abless presentes en ella ella,, hacerla h acerla coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento. Como ya ha sido señalado, la finalidad de la Didáctica de las Matemáticas es el conocimiento de los fenómenos y procesos relativo tivoss a la ense ña nz nzaa de las las matem áticas para p ara con trolarlos trolarlo s y, y, a travé travéss de este control, optimizar el aprendizaje de los alumnos. No se pla p lann te a , d e n in g u n a m a n e r a , p ro m o v e r a p r io r i u n c ier ie r to tip ti p o de pe p e d a g o g ía , p o r r a z o n e s id e o lóg ló g ica ic a s , sin si n el av aval al d e los lo s r e s u lta lt a d o s experimentales correspondientes. Sin embargo, las situaciones didácticas diseñadas y sometidas a experimentación obedecen a ciertas ciertas caracterís características ticas en función fun ción de los los presupu estos epistemológicos subyacentes a su producción. En efecto efecto,, se considera que todo co nocim iento es un a respuesta, una adaptación que la humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha planteado. Los conocimientos, que han surgido en contextos funcionales, como útiles útiles o instrum entos para la adaptación, adaptación, son transform ados posteriormente con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, de conservarlos y de transmitirlos, adoptando la modalidad de objetos culturales. Un saber cultural que se encuentre desligado de su génesis, constituye un producto descontextualizado y despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que los conocimientos ingresan en los programas escolares. La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza de los temas incluidos en los programas escolares implica una determinada concepción de los procesos de adquisición de los conocimientos. Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión tión po r los los alumno s, en período per íodoss breves breves y bien delimitados, según según secuencias determinadas sobre la base del análisis del propio

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saber. Esta manera de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contexto específico (situación) donde los conocimientos son adquiridos, ni a su significación y valor funcional, durante su adquisición. Brousseau ha mostrado la importancia de la situación para la actualización y funcionalización de los conocimientos escolares. Por ejemplo, hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta determinado número y que, sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para constituir una colección de objetos equipotente a una colección dada, bajo una consigna del tipo: “Ve al fondo del salón a buscar las tapas que hagan falta para tapar todas estas botellas” (de Villegas, 1983). Estos niños saben asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una colección, sin repetir ni omitir ninguno: poseen un saber cultural del cómputo numérico. No obstante, no han aprendido a utilizar este saber como medio para controlar una situación o para resolver un problema (no lo han funcionalizado). Brousseau p lantea que es preciso diseña r situaciones situaciones didácti didácticas cas que hagan funcionar el saber, a partir de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares. Este planteamiento se apoya en la tes tesiis de q ue el sujeto sujeto qu e a pren de necesita cons truir po r sí sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo (Piaget, 1975) similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se trata, entonces, de producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos ap ren da n haciendo funciona r el saber o, o, más más bien, de que el saber saber aparezca, para el alumno, como un medio de seleccionar, antici par p ar,, e je c u ta r y c o n tr o la r las e s tra tr a teg te g ias ia s q u e a p lic li c a a la r e s o lu c ió n del problema planteado por la situación didáctica. Peres (1982) caracteriza esta génesis artificial de la siguiente manera: El camino que hemos seguido consiste en construir un proceso de aprendizaje en el que el conocimiento no es ni directa ni indirectamente enseñado por el maestro, sino que debe aparecer progresivamente en el niño a partir de múltiples condicionantes estructurales: es el resultado de confrontaciones con cierto tipo de obstáculos encontrados durante la actividad. Son las múltiples inte-


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racciones en el seno de la situación las que deben provocar las mo dificaciones en el alum no y favorece favorecerr la aparic aparición ión de los concep tos deseados... Si el conocimiento que se quiere que los alumnos aprendan debe aparecer en la exacta medida en que llega a ser un instrumento necesario para adaptarse a una situación problemática (las estrategias utilizadas espontáneamente se revelan ineficaces), todo el esfuerzo del análisis en didáctica debe concentrarse en esta situación.

El énfasis en la interacción sujetosituación corresponde a una pr p r i m e ra e ta p a d e los tra tr a ba bajo joss rea re a liz li z ad ados os o d irig ir igid idoo s p o r B ross ro ssea eau, u, a la experimentación de situaciones cuasiaisladas, en las que los alumnos se enfrentan a una situación problemática mientras que el maestro prácticamente no interviene. Las características principales de estas situaciones son: • •

•

•

•

Los alum no s se responsa bilizan de la la organ ización de su actividad para tratar de resolver el problema propuesto, es decir, formulan proyectos personales. La activida actividadd de los los alumn os está está orie nta da hacia la ob ten ción de un resultado preciso, previamente explicitado y que puede ser identificado fácilmente por los propios alumnos. Los alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su actividad. La resolución resolución del problem a plan teado implica implica la toma de m últiples decisiones p or p arte de los los alumn os, y la posibi posibili li-dad de conocer directamente las consecuencias de sus decisiones a fin de modificarlas, para adecuarlas al logro del objetivo perseguido. Es decir, se permite que los alumnos intenten resolver el problema varias veces. Los Los alum nos pu ed en recu rrir a diferen tes estrategi estrategias as para resolver el problema planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el problema. Es indis pe p e n s a b le q u e , e n el m o m e n to d e p l a n t e a r el p ro b le m a , los alumnos dispongan al menos de una estrategia (estrategia de base) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de búsqueda de la solución. La m anipu lación de las variable variabless de com ando perm ite


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•

modificar las situaciones didácticas bloqueando el uso de algunas estrat estrategia egiass y gen eran do condiciones para la apariaparición y estabilización de otras (subyacentes al conocimiento que se quiere enseñar). Los alum no noss establecen establec en relaciones relacio nes sociales sociales divers diversas: as: com unicaciones, debates o negociaciones con otros alumnos y con el maestro, etcétera.

En síntesis, se trata de enfrentar a los alumnos a una situación que evolucione de tal manera que el conocimiento que se quiere que aprendan sea el único medio eficaz para controlar dicha situación. La situación proporciona la significación del conocimiento pa p a r a el a lum lu m n o , e n la m e d id a e n q u e lo co conn v iert ie rtee e n u n in s tru tr u m e n to de control de los resultados de su actividad. El alumno construye, así, un conocimiento contextualizado, a diferencia de la secuen ciación escolar habitual, donde la búsqueda de aplicaciones de los conocimientos sucede a su presentación, descontextualizada. Un ejemplo de situación didáctica diseñada por Brousseau (1981) (1981) con las las características que acabam os de en u m er ar es es el siguiente:

n

3 i f

A

5

\r \r

2

í

Consigna: “Este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a éste pero más grande, de manera que un lado que en este rompecabezas m ide 3 centíme centíme tros, tros, en el otro otro m ida 5 centím etros”. etros”.


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La consigna es fácilmente comprendida por niños del último grado de primaria y pone en juego, en primera instancia, la estrategia de base que consiste en agregar 2 centímetros (puesto que 3 + 2 = 5) a cada uno de los lados de las figuras que componen el rompecabezas dado. El fracaso de esta estrategia constituye una gran sorpresa pa ra los niños. Vuelven Vuelven a insis insistir tir en ella ella,, pro cu ran do efectuar las medidas con mayor precisión. Hasta que caen en la cuenta de que deben buscar otra estrategia, cuyo desarrollo contri bu b u irá ir á a la c o n s tru tr u c c ió n d e l c o n c e p t o d e n ú m e r o rac ra c ion io n a l (pu (p u e s to quee 3 x 5/ 3 = 5). U na variable qu variable de d e co m an ando do de esta situación es la relación numérica entre los tamaños de los rompecabezas. Si se pid p id e q u e a u m e n t e n el lad la d o d e 3 c e n tím tí m e tro tr o s a 6 c e n tím tí m e tro tr o s g ran ra n pa p a rte rt e de los alum al um no noss rec re c u rrir rr iráá a u n m o d elo el o multip mu ltiplic licati ativo vo ( 3 x 2 = 6) en vez del modelo aditivo que emplearon en el caso anterior (3 + 3 = 6), debido a que, en este caso, el factor desconocido es un número entero. Pensamos que la breve caracterización que hemos hecho de las situaciones didácticas cuasiaisladas es suficiente para dar una idea de su complejidad. Este tipo de situaciones no se encuentra frecuentemente al observar clases organizadas de una manera tradicional, en las que el maestro provoca, recibe, corrige e interpreta todas las respuestas significativas de cada uno de los alumnos. Se jus ju s tifi ti ficc a , p u e s, el tra tr a b a jo d e l inv in v e s tig ti g a d o r e n D idác id ácti tica ca,, d e p r o d u c ción e implementación experimental de las situaciones didácticas que necesita estudiar. Una consecuencia directa de lo anterior es la dificultad paira proponer a los maestros las situaciones utilizadas en la exp erime ntación didácti didáctica. ca. La identificaci identificación ón y reprodu cción de una situación didáctica específica, diferenciándola de otros miembros de su misma familia, requiere de un alto grado de com pre p re n s ió n d e las c o n d ic io n e s v aria ar iabb les le s q u e e jerc je rc e n infl in fluu e n c ia sob so b re el saber producido. La gestión de estas situaciones, por parte del maestro que conduce las clases experimentales, es difícil, en la medida en que implica el abandono de prácticas fuertemente arraigadas en su quehacer cotidiano. Se ha observado, por ejem plo p lo,, q u e c u a n d o u n m a e s tro tr o c o n d u c e u n a m ism is m a situ si tuaa ción ci ón d idá id á c titi ca durante varios años sucesivos, su gestión empeora debido a que realiza cambios sutiles en la situación para reproducir la historia de los com portam ientos de los alumno s, obstaculi obstaculizando zando así así el el m r

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so natural de los procesos intelectuales subyacentes a estos com po p o r ta m i e n t o s . Este Es te f e n ó m e n o h a sid si d o d e s c r ito it o c o n el t é r m i n o “obsolescencia”. Ultimamente se ha probado el recurrir a una m icrocom putadora para p resentar una situa situaci ción ón didáctica didáctica a lo los alumnos, con el propósito de facilitar la reproductibilidad de la situación. Un comentario que nos parece conveniente hacer se refiere a la difusión de los resultados de la Didáctica de las Matemáticas entre los maestros. Puesto que el estudio de las situaciones didácticas tiene por finalidad conocer y controlar los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas es la comunicación de sus resultados lo que permitirá al maestro de base una mayor com pre p renn s ión ió n de su p r á ctic ct icaa lab la b o ral ra l y u n i n c r e m e n to d e su c o n tro tr o l. Sin embargo, es un hecho que la difusión pasa también por el intento de repetir las situaciones didácticas que han sido construidas con fines experimentales. Cabe aquí aludir a la distinción entre la experimentación de laboratorio, en física, y la innovación de los pro p roce ceso soss p r o d u c tiv ti v o s , e n la i n d u s tria tr ia . N a d ie o s a ría rí a c riti ri ticc a r, e n la actualidad, un diseño experimental realizado en un laboratorio, argumentando que eso no se puede llevar a la práctica en la industria. tria. 2 En cam bio, es frecu fre cu en ente te pe pensa nsa r que todo lo qu quee se hace en un salón de clases con carácter experimental debe poder repetirse en un “aula cualquiera”. Nu N u e stro st ro p u n t o d e vista al re sp e c to es im p u lsa ls a r la r é p lic li c a d e las situaciones “broussonianas” en condiciones lo más controladas pos p osib ible less y u tili ti lizz a rla rl a s c o m o m o d e l o p a r a f o m e n t a r la r e f lex le x ió n d e los maestros sobre las condiciones que influyen en el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, estas situaciones coexistirán, durante un largo tiempo con otras, organizadas de una manera tradicional, que posibilitarán el cumplimiento de programas y normas instituidas oficialmente en el sistema educativo, independientem ente de los los juicios sobre su eficac eficacia ia que pod am os emitir, desde una perspectiva técnica.

2. Hace un par de siglos, no obstan te, los trabaj trabajos os de New ton sobre la descomposición de la luz fueron criticados por su elevado costo, ya que requerían de espacios muy amplios. Se afirmó que Newton hacía “física para ricos”.

Capítulo

III III

APRENDER APRENDER (POR MEDIO DE) DE) LA RESOLUC RESO LUCION ION DE PROBLE PROBLEMAS* MAS*

Ro Roland Charnay Para Para un un espíritu espíritu áentíf áentífiico todo cono conorím rímiento iento es es una una respuesta uesta a una una prregunta. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento p áent áentífico. Nada viene viene so solo, lo, nada es da dado do.. Todo es construido construido.. BACHELARD, La Lafor formación del espíritu científico ¿L e c c io n e s d e l a h i s t o r ia ?

La historia de la matemática, en la complejidad de su evolución y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos...); pro ble b lem m a s p l a n te a d o s e n e s t r e c h a v in c u la c ió n c o n o tra tr a s c ien ie n c ias ia s (astronomía, física...); especulaciones en apariencia “gratuitas” sobre “objetos” pertenecientes a las matemáticas mismas, necesidad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza...), etcétera. De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia 1. En Gran and dN, revista de matemática, ciencias y tecnología para los maestros de la escuela primaria y preprimaria, n9 42, enero 1988, Documento CRDP, Gre noble, Francia. Traducción del francés de Santiago Ruiz en colaboración con Gema Fioriti y María Elena Ruiz, y publicado con autorización del CRDP (Centre Regional de Documentation Pédagogique).


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matemática. “¡Hacer matemática es resolver problemas!”, no temen afirmar algunos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre pa p a r c iale ia les, s, a u n si d este es tell lloo s g e n iale ia less p r o v o c a n av avan ance cess e sp e c t a c u l a res... que a veces no son reconocidos desde el principio. “En el uso frecuente de textos originales y también en el de obras generales —su — su m a d e sab sa b eres er es h istó is tó r ic a m e n te a c u m u l a d o s e n este es te d o m in io — hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjeturas, de dudas, de gaffe, de modelos concurrentes, de intuiciones fulgurantes y también de momentos de axiomatización y síntesis”, escriben A. DahanDalmedico yj. Peiffer en el prefacio de su libro. ¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nociones elaboradas en una época determinada lo han sido, en efecto, en un contexto cultural, socioeconómico..., que no es aquel en el que viven nuestros alumnos. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas. Esta es, tal vez, la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza.

C o n s t r u i r e l s e n t i d o . ..

Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tenga sentido para el alumno. Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento matemático se define: — n o só lo p or la co le c ci ó n d e situ si tu a cio ci o n es d o n d e este es te co n o c im ie n to es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución,

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

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— sin si n o tam ta m b ién ié n p or el co n ju n to d e c o n c e p c io n e s q u e rech re chaz aza, a, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.

Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles: • •

u n nivel “e x te rn o ”: ¿cuál ¿cuál es el cam po de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo? un nivel nivel “in te rn o ”: ¿cómo ¿cómo y p or qué func iona tal tal h err amienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?).

La cuestión esencial de la ens nseeñanza de la matemáti ática es entonces: ¿cóm cómo hacerpa para ra que lo los conocimientos enseñados tengan tengan senti sentido do pa para ra el alumno ? El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. Y es, es, en principio, hacien do apa recer las las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas po p o d r á n ser se r e s tud tu d iad ia d a s p o r sí mism mi smas. as.

E s t r a t e g ia d e a p r e n d iz a j e

Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. Esta elección (que cada uno hace al menos implícitam ente) ente ) está está influida po r num erosas varia variabl bles es:: el pun to d e vist vistaa del del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?), su punto de vista sobre los objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemáti-

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ca, su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres... Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea de “contrato didáctico”, tal como Brousseau lo ha definido: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comp ortamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestroalumnossaber, definiendo así los roles de cada uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer qué?, ¿cuáles son los fines y los objetivos?...

Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las las relacio nes q ue se “ju “ju e g a n ” en tre estos tres polos: polos: maestro, alumno, saber: M

analizando: —la — la d istr is trib ib u c ió n d e los lo s ro les le s d e c a d a u n o , —el — el p ro y e c to d e c a d a u n o , —las — las reg re g las la s d e l ju j u e g o : ¿ q u é e s tá p e r m i tid ti d o , q u é es lo q u e realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir pa p a r a “m o s tra tr a r q u e se s a b e ”...? ”...? Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia:

El mo modelo llamado “normativo” 1. El

(centrado centrado en el conteni contenido do)

A Se trata de aportar, de comunicar

S


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un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comunicar, de “hacer pasar” un saber. —El — El m a e s t ro m u e s tra tr a las n o c i o n e s , las I n t r o d u c e , p rov ro v e e los lo s ejemplos. —El — El a l u m n o , e n p r i m e r lug lu g a r, a p r e n d e , e s c u c h a , d e b e e s ta r atento; luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica. — El s a b e r ya está es tá a c a b a d o , ya c o n s tru tr u ido id o . Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas).

El modelo llamado “incit ncitativo ativo”(centrad centrado o en en el alu alum mno) 2. El Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno. — El m a e s t ro e s c u c h a al a l u m n o , suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar a \ fuentes fuentes de informaci información, ón, responde a sus sus \ g demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación (medio: cálculo vivo de Freinet, centros de interés de Decroly). —El — El a lu m n o bu busc sca, a, o rgan rg aniz izaa , lu e g o e stu st u d ia, ia , a p r e n d e (a m e n u do de manera próxima a lo que es la enseñanza programada). —El — El s a b e r está es tá lig li g a do a las n e c e s ida id a d e s d e la vida, vid a, d e l e n t o r n o (la estructura propia de este saber pasa a un segundo plano). Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas “métodos activos”. El modelo llamado “aproxima aproximattivo”( vo”(centrad centrado o en en la la construcc construcción ión del del 3. El

saber saberpor el alum alumno)

Se propone partir de “modelos”, de concepc con cepciones iones existentes existentes en el alum no y “po ne rlas a p ru eb a” para me jorarlas, jorarlas, modifi mod ificarlas carlas o con struir nuevas. nuevas. — El m a e s t r o p r o p o n e y o r g a n i z a una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las dife

M / ;

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

S

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DIDACTICA, DE MATEMATICAS

rentes fases (investigación, formulación, validación, institucionali zación). — O r g a n iz a la c o m u n ic a c ió n d e la clas cl ase, e, p r o p o n e e n el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología). —El — El a lu m n o en ensa saya ya,, b u sca, sc a, p r o p o n e solu so luci cioo n es, es , las c o n f r o n ta con las las de sus com pañ pañeros, eros, las las defien de o las las discute. discute. —El — El s a b e r es c o n s id e ra d o c o n su lóg ló g ica ic a p rop ro p ia. ia .

No Notemos que ningún docente utiliza exclusivamente uno de los modelos; los; qu quee el acto acto peda pedagó gógico gico en tod toda a su complej complejidad idad ut utiliza elementos elementos de de cada un uno o de de los mod odel elos. os...., pero que, que, a pesar pesar de todo, cada un uno o hace hace una elecc elección, ión, conscient conscientee o noy de manera maneraprivi privillegiada, egiada, de un uno o de ellos. ellos. Ag Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta ienta de de anál análisi isis de las situaciones situaciones didácti didácticas y de ref reflexión para los docentes enformaci ormación. ón. Tres elementos de la actividad pedagógica se muestran privilegiados para diferenciar estos tres modelos y reflexionar sobre su pu p u e s ta e n p ráct rá ctic ica: a: —El — El c o m p o r t a m i e n t o d e l d o c e n t e f r e n te a los lo s e r r o r e s d e sus alumnos: ¿qué interpretación hace de ellos?, ¿cómo interviene?, ¿para hacer qué?, ¿qué demanda, entonces a sus alumnos? — Las p rác rá c tic ti c a s d e u tili ti lizz a c ión ió n d e la ev eval alua uaci ción ón:: ¿d ¿dee q u é sirve sir ve la evaluación?, ¿en qué momento interviene en el proceso de aprendizaje?, ¿bajo qué formas? —El — El ro l y el e l lu g a r q u e el m a e s tro tr o asig as ignn a a la activ ac tivid idad ad d e reso re so-lución de problemas: ¿qué es para él un problema?, ¿cuándo utiliza problemas, en qué momentos del aprendizaje?, ¿con qué fin?

A continuación, nos interesamos esencialmente en este tercerpunto. Para Para esto, esto, propo proponemos nemos un esquem esquema, ins nspir pirado ado en un artí artículo culo deR. Cha ham m pa p agnol (Revue Frangaise de Pédagogie) queresume las las divers diversas aspo posi sici cioones resp respec ecto to a la la uti utilización zación de la resolución resolución deproblem problemas as en relación con los tre tress mod modelos de aprendi aprendizaj zajee descrit descritos os anteri nteriorm ormente. ente.

APRENDER (PO R MEDIO DE) LA RESOLUCION DE PROBLEM PROBLEMAS AS

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1) El El problema como criterio del aprendizaje (modelo llamado “nor mativo”) • lecciones (adquisición) mecanismos • ejercicios (ejercitación) sentidos

• problemas (utilización de los conocimientos para el alumno, control para el maestro)

—lo — lo q u e c o n d u c e a m e n u d o a e s t u d i a r tip ti p o s d e p ro b le m a s : confrontado a un nuevo problema, el alumno busca si ya ha resuelto uno del mismo tipo. —es — es el m o d e lo d e r e fe r e n c ia d e n u m e ro s o s m a n u a les le s , sie si e n d o la idea subyacente que es necesario partir de lo fácil, de lo simple, pa p a r a a c c e d e r a lo c o m ple pl e jo, jo , y q u e u n c o n o c im ie n to c o m p lejo le jo p u e de ser, para el aprendizaje, descompuesto en una serie de conocimientos fáciles de asimilar y que, finalmente, todo aprendizaje debe ir de lo concreto a lo abstracto.

El problema como móvil del aprendizaje (modelo llamado “inci2) El tativo”) motivación

vivido do \ • situación basad a en lo vivi

mecanismo

• aporte de conocimientos • práctica, ejercicios

resignificación

J • problemas

— al p r i n c i p i o , se d e s e a q u e el a l u m n o sea se a u n “d e m a n d a n t e activo, ávido de conocimientos funcionalmente útiles”. — p e r o las s i tu a c io n e s “n “naa t u r a l e s ” s o n a m e n u d o d e m a s ia d o complejas para permitir al alumno construir por sí mismo las herramientas y, sobre todo, demasiado dependientes de “lo ocasional” para que sea tenida en cuenta la preocupación por la coherencia de los conocimientos.

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3) El El problema como recurso de aprendizaje (modelo llamado “apro pia p iati tivv o ”) • situaciónproblema (el alumno busca un procedimiento de resolución)

La resolución de problemas como fu fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber

formulación validación

• formulaciónconfrontación de los procedimientos, puesta a prueba • nueva situación con diferentes obstáculos: nuevos procedimientos, etcétera.

institucionalización

• nueva herramienta • ejercitación • síntesis, lenguaje convencional • problemas: evaluación para el maestro, resignificación para el alumno

—es — es p r in c ip a lm e n te a travé tra véss d e la re s o lu c ió n d e u n a seri se riee d e pro p ro b le m a s e leg le g ido id o s p o r el d o c e n te c o m o el a lu m n o c o n s tru tr u y e su saber, en interacción con los otros alumnos. —la — la reso re so luc lu c ión ió n d e p ro b lem le m a s (y no n o d e sim si m ples pl es ejer ej erci cici cios os)) in te r viene así desde el comienzo del aprendizaje.

O p c i o n e s a f a v o r d e u n a e l e c c i ó n

Estas opciones se apoyan en resultados de investigación y dependen, por una parte, de elecciones ideológicas. Ellas se basan en la pregunta “¿Cómo aprenden los alumnos?”.

Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan 1) Lo de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nueva fase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos, donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget). Así, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior: por ejemplo, el estudio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea


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de que la multiplicación “agranda” siempre (idea que él ha podido elaborar estudiando los naturales). Del mismo modo, un saber adquirido puede hacerse fracasar fácilmente aun ante mínimas modificaciones de las variables de la situación: así, G. Vergnaud (1981) ha mostrado que la “noción de adición” o las estructuras aditivas no son totalmente dominadas hasta muy tarde... 2) El El rol de la acción en el aprendizaje Piaget también ha subrayado el rol de “la acción” en la construcción de conceptos. Por supuesto, se trata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulación de objetos materiales, materiales, sino sino de una u na acción acción con un unaa finalidad, finalidad, problema tizada, que supone una dialéctica pensamientoacción muy diferente de una simple manipulación guiada, tendiente a menudo a una tarea de constatación por parte del alumno... Hay que subrayar aquí el rol de la anticipación: la actividad matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia, de un procedimiento que perm ite anticipar el el resultado resultado de un a acción no realizad realizadaa todavía o no actual sobre la cual se dispone de ciertas informaciones. 3) Só Sólo lo hay aprendizaj aprendizajee cuando cuando el alumno alumno percibe percibe un problem problema a para

resolver...

...es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. Aquí también podemos recurrir a Piaget, para quien el conocimiento no es ni simplemente empírico (constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas), sino el resultado de una interacción sujetomedio (cf. arriba punto 2). Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos o ellas permiten resolver. Así, es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse, a modificar o percibir los límites de sus conocimientos anteriores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habrá que tener esto en cuenta para la elección de las situaciones. En la misma perspectiva, se tiende a preferir la motivación pro pia p ia d e la acti ac tivi vida dadd p r o p u e s ta (dif (d ific icuu lta lt a d q u e se d e sea se a salvar, f r a n quear) a la motivación externa (necesidades de la vida corriente,


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observaciones) cuyo interés, sin embargo, no se debe descartar: el pr p r o b le m a es e n to n c e s p e r c i b id o c o m o u n d esaf es afío ío in te lec le c tua tu a l. 4) La Lasproducciones del alumno son una información sobresu “estado

de saber”

En particular, ciertas producciones erróneas (sobre todo si ellas per p ersi sist stee n ) n o c o r r e s p o n d e n a u n a a u s en c ia d e sab sa b er sino si no,, m ás b ien ie n , a una m anera de con oce r (que a ve vece cess ha servi servido do en otros contextos) contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento. El alumno no tiene jamás la cabeza vacía: no puede ser considerado como una página en blanco sobre la cual será suficiente imprimir conocimientos correctos y bien enunciados. 5) Lo Los conceptos matemáticos no están aislados Hayy que h ablar más bien de campos de conceptos entrelazados Ha entrelazados entre ello elloss y que se consolidan m utuam ente: de ahí la idea idea de pro p o n e r a los a lum lu m n o s c a m p o s d e p ro b le m a s q u e p e r m i t a n la c o n s trucción de estas redes de conceptos que conviene elucidar previamente (tarea que pasa a ser fundamental...). 6) La La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje Se trata tanto de las relaciones maestroalumnos como de las relaciones alumnosalumnos, puestas en marcha en las actividades de formulación (decir, describir, expresar), de prueba (convencer, cuestionar) o de cooperación (ayuda, trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo, sobre todo entre pares.

E n e l t r i á n g u l o d o c e n t e -a l u m n o s - p r o b l e m a

Trataremos de precisar las características de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se apoya en la resolución de problemas.

Re Relación entre la situaciónproblema y los alumnos: —La — La a c tivi ti vidd a d d e b e p r o p o n e r u n v e r d a d e r o p prroblema por resolver pa para. ra. el alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos

APRENDER (PO R MED IO DE) LA RESO LUCIO N DE PROBLEMAS

(i |

(es decir que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problem a). —D — D eb ebee p e r m i tir ti r al a lu m n o utilizar los los cono conocim cimientos ientos anteri anterior ores.. es...., no qued ar desarmado frente a el ella. —P — P e ro, ro , sin e m b a r g o , d e b e o f r e c e r u n a resistenc resistencia ia suficiente suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos cuestionarlos,, a elabo rar nuevos (prob lem a abierto ab ierto a la inves investi tigagación del alumno, sentimiento de desafío intelectual). —F — F ina in a lm e n te, te , es d e s e a b le q u e la sanción (la (la vali valida dación) ción) no ven-

ga del del maestro, estro, sino sino de la sit situación uación mism isma. Re Relación docentealumno

¿Qué percepción tiene el alumno de las expectati expectativas del del maest estro? Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a perci bir b ir q u e les es m á s c o n v e n ie n t e e s ta b le c e r ello el loss m ism is m o s la va vali lide dezz de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros. —U — U n a d isti is tinn c ión ió n n e t a d e b e s e r e sta st a b lec le c ida id a e n t r e los aport aportes es del

docent centeey laspruebas que los alumnos alumnos ap aportan. ortan.

Re Relación maestrosituación —Le — Le c o r r e s p o n d e al m a e s tro tr o u b ic a r la situ si tuaa c ión ió n p r o p u e s ta e n el cuadro del aprendizaje apuntado, disti distinguir nguir el el objetivo inm inmed ediato iato de los objetivo etivoss más lejanos, lejanos, elegir ciertos parámetros de la situación (idea de “variables didácticas” de la situación). — resol El El conocimiento considerado debe ser el más adaptado para resolver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alumnos). —L — L e c o r r e s p o n d e ta m b ié n o b s e r v a r las la s i n c o m p r e n s i o n e s , los erro errore ress signif signifiicativo cativos, s, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. —Le — Le c o r r e s p o n d e , e n fin, fi n, pr provocar o hacer la síntesis.


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¿Q u é

p r o b l e m a s e l e g i r ?

¿Q u é

p u e s t a e n m a r c h a p e d a g ó g i c a

?

Una precisión ante todo: el térm u tilizado aquí no térmiino “problema" problema" utilizado se reduce a la situación propuesta (enunciadopregunta). Se define, más bien, bien, com o u na terna: situaciónalumnoentorno. situaciónalumnoentorno. Sólo Sólo hay hay pr p r o b l e m a si el a lu m n o p e r c i b e u n a d ific if icuu lta lt a d : u n a d e t e r m i n a d a situación que “hace problema” para un determinado alumno puede ser inm inm ediatame nte resuelta por otro (y entonces n o será perci bid b idaa p o r este es te ú ltim lt im o c o m o u n p r o b le m a ). Hay, e n to n c e s , u n a ide id e a de obstáculo a superar. Por fin, el entorno es un elemento del pro ble b le m a , e n p a r t i c u l a r las c o n d ic io n e s d id á c tic ti c a s d e la r e s o lu c ió n (organización de la clase, intercambios, expectativas explícitas o implícitas del docente). Sin duda conviene diferenciar los ob objetivo etivoss de la acti actividad vidad de re reso-

lución ción deproblemas.

—O — O bjet bj etiv ivos os d e o r d e n “m e to d o ló g ic o ”: en e n u n a p a lab la b r a , “a p r e n der a resolver problemas, a investigar”. El objetivo está, de alguna manera, en la actividad misma (cf. práctica del “problema abierto” descrito por el IREM de Lyon); —O — O bjet bj etiv ivos os d e o r d e n “c o g n itiv it ivoo ”: se a p u n t a a u n c o n o c im ie n to (noción, algoritmo) a través de la actividad de resolución de pro p robb le m a s . Se p u e d e , e n to n c e s , d e s d e este es te p u n t o d e vista, vist a, d isti is tinn guir entre los problemas que se sitúan en la fuente de un nuevo aprendizaje y aquellos que se utilizan como problemas de resignificación. Desde esta última óptica, se pueden considerar algunas cuestiones que se le plantean al maestro respecto de un conocimiento dado: —E — E lec le c ción ci ón d e e n s e ñ a r u n a d e te r m i n a d a c o n c e p c ió n de dell c o n o cimiento considerado (problema de transposición didáctica): ¿cuáles son las concepciones tomadas en cuenta (estado actual de este conocimiento, de su enseñanza, estados anteriores, evolución histórica, diferentes aspectos): cuestiones de epistemología; cuáles son las concepciones posibles con los alumnos de un determinado nivel de enseñanza en relación con los niveles precedentes y


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siguientes?, ¿de qué tipo de saber se trata (formal, descriptivo u operativo, funcional)? —E — E lecc le cció iónn d e la situ si tuaa c ión ió n o más má s b ien ie n d e la seri se riee d e situ si tuaa cio ci o ne ness a proponer a los alumnos. La idea de obstáculo es aquí importante: sin los conocimientos anteriores adecuados para resolver el pr p r o b le m a n o ha hayy in te r é s p o r m ov ovili iliza zarr u n a n u e v a h e r r a m ie n t a . La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de “derribar pu p u e r ta s a b iert ie rtaa s c o n u n a e x c a v a d o r a ”. — E lecc le cció iónn d e u n a p u e sta st a e n m a r c h a p ed edaa gó gógg ica. ic a. N o ha hayy solu so lu-ciones tipo, pero se puede anticipar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar individualmente y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, institucionalizar (identificación del saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, pro p rocc e so q u e p u e d e e x te n d e r s e e n va varia riass sesi se sion ones es e incl in clus usoo u tili ti lizz ar varias situaciones problemas.

B ib l io g r a f í a

Audigier, M. N. y Colomb J., “Enquéte sur l’enseignement des ma thématiques á l’école elementaire”, París, INRP, 1979. Brousseau, G.: “Les obstacles epistémologiques et les problémes d’enseignement”, Re Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage), 1983, nfi 4.2., pág. 170. DahanDalmedico, A., y Peiffer, J.: Une hist histoire oire des des math mathéma émattiques, París, Le Seuil, p. 9. Equipe math. INRP: “Comment fontils? L’écolier et le probléme de mathématiques”, Re Par ís, 1984, n “ 4. Rencontres Pédagogiques, París, ERMEL: “Apprentissages mathématiques á l’école elementaire”, cycle moyen (SERMAPHATIER), 3 tomos, 1982. Irem de Lyon, “La pratique du probléme ouvert”, Universidad Claude Bernard, Villeurbanne, s/f. Vergnaud, G., “Quelques orientations theoriques et methodologi ques des recherches franâises en didactique des mathématiques”, Re Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage), 1981, n. 2.2., pág. 220.

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Capítulo

IV

LOS DIFERENTES ROLES DEL MAESTRO i

Guy Brouss Brousseau eau

C o n t e x t u a l i z a c i ó n y d e s c o n t e x t u a l i z a c i ó n DEL SABER

El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado; los reorganiza, les da la forma más general posible; realiza una “didáctica práctica” que consiste en dar al saber una forma com unicable, descontextualizada, descontextualizada, despersonalizada, despersonalizada, atemporal. El docente realiza primero el trabajo inverso al del científico, una recontextualización y repersonalización del saber: busca situaciones que den sentido a los los cono cimientos po r enseñar. enseñar. Pero, si si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas no sabe que ha “producido” un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hec ho algo algo que tenga carácter uni univer versal sal,, un conocim iento cu ltural reutilizable. Se ven bien las dos partes, bastante contradictorias, del rol del 1. Co rresponde al texto de una conferen cia pronunciada en la UQAM, el ju ev e s 21 d e en er o d e 1988 19 88,, Cana Ca nadá. dá. T ra du cció cc ión n d el fra nc és d e MaríaEmilia Qua ranta, reproducido con autorización del autor.

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maestro: hacer vivir el conocimiento, hacerlo producir por los alumnos como respuesta razonable a una situación familiar y, además, transformar esa “respuesta razonable” en un “hecho cognitivo extraordinario, identificado, reconocido desde el exterior. Para el docente, es grande la tentación de saltar estas dos fases y enseñ ar d irectam ente el saber como objeto cu ltural evitando evitando este este doble movimiento. En ese caso, se presenta el saber y el alumno se lo apropia como puede.

D e v o l u c i ó n d e l p r o b l e m a y d e s d i d a c t i f i c a c i ó n

Considerar al aprendizaje como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que el maestro sólo debe provocar, nos lleva a los siguientes razonamientos. Para hacer funcionar un conocimiento en el alumno, el docente busca una situación apropiada. Para que sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno pie p ienn sa fre fr e n te a la p r e g u n ta p lan la n tea te a d a n o sea la q u e q u e rem re m o s en ense se-ñarle: si ya fuese necesario poseer el conocimiento por enseñar par p araa p o d e r resp re sp o n d e r, n o se tra tr a tarí ta ríaa d e u n a situ si tuac ació iónn de a p r e n d iza iz a je j e . La “resp re spuu e sta st a inic in icia ial” l” sólo sól o d e b e p e r m iti it i r al a lu m n o u tili ti liza zarr u n a estrategia de base con la ayuda de sus conocimientos anteriores; pe p e r o , m u y p r o n t o , e sta st a e s tra tr a teg te g ia d e b e r í a m o s tra tr a rse rs e lo s u fic fi c ien ie n tete mente ineficaz como para que el alumno se vea obligado a realizar acomodaciones —es decir, modificaciones de su sistema de conocimientos— para responder a la situación propuesta. Cuanto más pr p r o fu n d a s sean se an las m o d ific if icac acio ionn es d e los c o n o cim ci m ien ie n tos, to s, m ás d eb e la situación “valer lo que cuesta”; es decir, más debe permitir una interacción prolongada y ser visiblemente general o simbólica. El trabajo del docente consiste, pues, en proponer al alumno una situación de aprendizaje para que produzca sus conocimientos como respu esta personal a u na p regunta, regu nta, y los los haga fun cionar o los los modifique como respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro. Hay una gran diferencia entre adaptarse a un pro p ro b lem le m a q u e p l a n te a el m e d io, io , inso in sosl slay ayab able le,, y a d a p tar ta r s e al d eseo es eo del docente. La significación del conocimiento es completamente diferente. Una situación de aprendizaje es una situación donde lo

LOS DIFERENTES ROLES DEL MAESTRO

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que se hace tiene un carácter de necesidad en relación con obligaciones que no son arbitrarias ni didácticas. Ahora bien, toda situación didáctica contiene algo de intención y deseo del maestro. Es necesario que el maestro logre que el alumno olvide los pr p r e s u p u e s to s d idá id á ctic ct icoo s d e la situ si tuaa ció ci ó n . Sin ello el lo,, lee le e rá la situ si tuaa c ión ió n como justificada solamente por el deseo del maestro. Ahora bien, esta lectura siempre existe. Todos tendemos a leer lo que nos sucede en la vida como algo organizado para nosotros o para darnos una lección. Para que un niño lea una situación como una necesidad independiente de la voluntad del maestro, hace falta una construcción epistemológica cognitiva intencional. La resolución del problema se vuelve entonces responsabilidad del alumno, que debe hacerse cargo de obtener un cierto resultado. No es tan fácil. Es necesario que el alumno tenga un proyecto y acepte su responsabilidad. No N o ba bass ta “c o m u n i c a r ” un u n p r o b l e m a a u n a lum lu m n o p a r a q u e ese es e pr p r o b l e m a se c o n v iert ie rtaa en su problema y se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa res po p o n s a b ilid il idaa d p a r a q u e el p r o b le m a q u e resu re suee lva lv a sea se a u n p r o b l e m a “universal”, libre de presupuestos subjetivos. Denominamos “devolución” a la actividad mediante la cual el doce nte inten ta alcanzar ambos ambos resultado resultados. s.

Un ejemp ejemplo de de la devolu devolución ción de una una situaci situación ón aadidáctica aadidáctica En un juego de microcomputadora, niños pequeños (5 años) deben conducir con el lápiz óptico, uno a uno, conejos a un prado y patos a una laguna. Las reglas de tal manipulación no presentan dificul dificultades tades insuperables insuperables para la edad. Los Los niños pue den interp retar que la desaparición y luego la reaparición de un animal en otro siti sitioo corresp ond en a un desplazamiento. desplazamiento. Pero p ronto se plantea algo algo más que un a m anipulación anipu lación según las las reglas reglas del jueg o: el maestro quiere que el alumno señale todos los conejos, uno tras otro y una sola vez, antes de dirigirl dirigirlos os hacia el prado para de sarrollar en él la enumeración de una colección. La serie de operaciones a realizar no está dada en la consigna; queda a cargo del alumno. La devolución de esta tarea se lleva a cabo por etapas.

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Prim rimera etapa etapa:: Aproxi Aproxim maciónpurament puramentee lúdica lúdica Los alumnos aún no han comprendido que, entre los resultados del juego, algunos son deseables —todos los conejos van al pr p r a d o y b a ila il a n e n u n a p e q u e ñ a r o n d a — y o tro tr o s n o — los lo s c on onee jos jo s olvidados se ponen rojos y emiten un gruñido—. Los Los niños jue ga n, “p inc h an ” los los conejos y están c on tentos de pro p rovv o c a r u n e fec fe c to, to , c u a lq u ie r a q u e sea. sea .

Segunda etapa: Devoluci evolución ón 2de una preferencia preferencia Los alumnos comprendieron bien cuál es el efecto deseado (por ejemplo, se ha suprimido todo efecto de falsas manipulaciones) , pero atribuyen los resultados, buenos o malos, a una especie de fatalidad o azar. Este Este tipo tipo de interpretac ión es adecuad o para mu chos juegos: en la “batalla” o en la “carrera de caballos” el placer nace de esperar lo que la suerte depara, m ientras que el jug ad or no toma ningun a decisión decisión..

Terce Tercera etapa: Devol evolución ución de una responsabi responsabillidady de una causali causalidad dad Para aceptar una responsabilidad en lo que le sucede, el alumno debe considerar lo que hace como una elección entre diversas po p o s ibil ib ilid idaa d e s, p a r a p o d e r p e n s a r u n a r e la c ió n de c a u sa lid li d a d e n t r e las decisiones que ha tomado y sus resultados. En esta etapa, los alumnos pueden pensar a posteriori que el desarrollo del jue go hubiese po dido ser diferente. Ello Ello supone que pu ed an rec ord ar algunas de sus sus acciones acciones y, más precisamente, lo que tenían de pertinente o no. Esta devolución es delicada: la mayoría de los niños aceptan fácilmente del maestro la idea de que son responsables del resultado del jueg o, aun que sean sean incapaces incapaces de establecer establecer en ese ese m om en2. La dev oluc ión era era un acto por el cual el rey — por dere cho divino— abandonaba el poder para remitirlo a una cámara. La “devolución” significa: “Ya no se trata de mi voluntad, sino de lo que ustedes deben querer, pero yo les otorgo este derecho porque ustedes no pueden tomarlo por sí solos”.


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to que ellos hubieran podido obtener un resultado mejor con una elección apropiada de su parte. Ahora bien, únicamente el conocimiento de esa relación justificaría la transferencia de responsabilidad. Si el alumno resuelve rápidamente el problema, el hecho de haber aceptado a priori el principio de su responsabilidad no es más que un prólog o nnecesario ecesario para el aprendizaje. Este Este último jusjus tificará luego esa responsabilización, dando al alumno los medios pa p a r a a sum su m irlo ir lo y, f in a lm e n te, te , e scap sc apaa r d e la c u lpa lp a b ilid il idaa d . Pero, para el alumno que no puede superar la dificultad y relacionar, mediante el conocimiento, su acción con los resultados obtenidos, la responsabilización debe ser renegociada bajo pena de provocar sentimientos de culpabilidad e injusticia, pronto per ju j u d icia ic ia les le s p a r a los lo s a p r en endd iza iz a jes je s p o s teri te rioo r e s y la n o c ión ió n d e caus ca usal aliidad misma.

Cuarta uarta etapa: Devol evolución ución de la anti anticipación La relación entre la decisión y el resultado debe ser pensada antes de la decisión. El alumno se hace cargo entonces de las anticipaciones, que excluyen toda intervención oculta. Aun cuando todavía no haya sido totalmente dominada, esta anticipación es considerada como resonsabilidad cognitiva del jugador, y no sólo como su responsabilidad social.

Quinta uinta etap etapa: a: Devolu evolución ción de la la situación situación adidáctica adidáctica Para te ne r éxito éxito en el jue go de los los conejos, conejos, el el alum alum no debe enumerar una colección. Pero no basta con que lo haga una vez “por azar”. Debe saber reproducirlo a voluntad en circunstancias variadas. Es necesario que sea consciente de este poder de reproducción y conozca, al menos intuitivamente, las condiciones que le pe p e r m i t e n b u e n a s p o s ibil ib ilid idaa d e s d e é x ito it o . El a lu m n o d e b e r e c o n o cer los los jueg os a los los que acaba de ap ren de r a jugar. Pero lo que sabe hacer no le ha sido nombrado, identificado ni, sobre todo, descrito como un procedimiento “establecido”. Así, la devolución no se realiza sobre el objeto de enseñanza sino sobre las situaciones que lo caracterizan. Este ejemplo ha sido escogido para distin-

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guir bien los los diferentes diferentes com pon entes de la devolución devolución.. La enu m eración no es un concepto matemático de mucho peso cultural. Sólo interviene en la enseñanza mucho más tarde, con lenguajes y pr p r o b le m á tic ti c a s d if e r e n t e s . Ni el v o c a b u la r io n i los c o n o c i m i e n t o s formales vienen, pues, a perturbar el objeto de enseñanza. El niño, antes de este aprendizaje, podía “contar” colecciones desplazando los objetos o marcándolos de modo de tener siempre una materialización cómoda del conjunto que queda por enumerar. Pero aquí debe realizar la misma tarea mentalmente. Sus representaciones deben ampliarse a un control intelectual mucho más complejo: buscar un conejo fácil de señalar, luego otro, de modo tal de recordar que esos dos ya han sido tomados; buscar otro, bastante cercano a los primeros y que forme con ellos una disposi disposició ciónn (pequ eño grup o, línea, línea, etc. etc.)) que perm ita no perderlos de vista mientras busca un cuarto, que a su vez entra en la estructura para no volver a tomar un conejo ya tomado y poder saber que aún quedan..., etcétera. Esta “tarea” no puede ser descrita como un procedimiento ni aun “mostrada”, porque contar una colección ante un niño no le ofrece ninguna idea sobre los medios de control que él debe adquirir. En este ejemplo, la devolución de la situación adidáctica puede observarse independientemente de la devolución del objeto de enseñanza (que no puede tener lugar en ese momento). Ni el maestro ni el alumno pueden identificar lo que se enseña, lo que debe conocerse o saberse, si no es por el éxito en una tarea com plej pl eja. a. Un poco más tarde, las enumeraciones, en tanto producciones, po p o d r á n vo volve lverse rse o b jeto je toss d e e stu st u d io p a r a el a lu m n o . P o d r á r e c o n o cer las que son semejantes o diferentes, las correctas o las que fracasan. casan... ..,, co nce bir y com parar métodos..., y con oce r —después— el objeto de enseñanza vinculado al juego de los conejos. Podrá abordar problemas de conteo y combinatoria más cercanos a los pro ble b lem m a s cien ci entí tífi fico co s, y d e f in ir e n t o n c e s lo q u e d e b e a p r e n d e r , lo q ue debe resolver y lo que se le exige saber. Estas devoluciones de objetos de estudio, objetos de saber y objetos de enseñanza deberían po p o d e r i n t e r p r e ta r s e c o m o d ev o luc lu c io n e s d e situ si tuaa c ion io n es adi a didá dáct ctic icas as de otro tipo.


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La idea de que existirían situaciones de aprendizaje que deberían funcionar por las virtudes propias del alumno y de la situación, sin que la intervención del maestro se dirija al contenido de la adquisición, es una idea extraña para los maestros, pero tam bié b iénn p a r a los a lum lu m n o s, y n e c e s ita it a d e u n a c o n s tru tr u c c ión ió n . La “de desd sdi i dactificación” de las situaciones didácticas es una actividad voluntaria del maestro. Encontramos aquí otra paradoja. Cuanto más ocupa el maestro el lugar de los niños, más contraría su proyecto. No puede decirles a los alumnos lo que quiere obtener de ellos, pues si se lo dice y los alumnos lo hacen, no será porque lo hayan pensado. En ese caso, los alumnos no se apropiaron de la pregunta, simplemente hicieron lo que el maestro deseaba. El maestro intenta obtener algo que no puede decir, por medios que no puede anunciar. Y la dialéctica es la teoría de ese funcionamiento “ortogonal” de dos sistemas: el del alumno y el del maestro. El conocimiento debe permitir la anticipación. La situación, pue p ues, s, d e b e “e x i g ir” ir ” que qu e el c o n o c im ie n to fu n c io n e c o m o m e d io de anticipación. Tomemos un ejemplo en el cual se ve al docente hacerse cargo de toda una serie de decisiones que debieran corresponder al alumno: en el nivel inicial, se realizan clasificaciones de cartas que representan objetos de diferentes colores. La maestra ha preparado un cuadro y dice: “¿Qué vamos a poner en esta casilla? Está en la línea de los barcos y en la columna de los amarillos”; “Un barco”, dice un alumno; “Sí, pero ¿qué barco?”; “Un barco amarillo”; “Bien, ¿quién tiene el barco amarillo? Trae el barco amarillo”. ¿Qué es lo que ha hecho el alumno? ¿Ha anticipado un resultado? ¿Ha hecho funcio nar la conjunción? ¿Propie ¿Propiedades dades?? ¿Quién ha realizado el trabajo? Si una situación lleva al alumno a la solución como por un carril, ¿cuál es su libertad de construir su conocimiento? Ninguna. La situación didáctica debe conducir al alumno a hacer lo que se bu b u s c a p e ro , al m ism is m o tie ti e m p o , n o d e b e c o n d u c irlo ir lo.. P o r q u e si la resre s pu p u e s ta se d e b e e x c lus lu s iva iv a m e n te a las v irtu ir tudd e s d e la situ si tuaa c ión ió n , n a d a debe a las “virtudes” del alumno. Dicho de otro modo, se debe definir la la distanci distanciaa que hay entre la determ inación, po r parte de la

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situaci situación, ón, de lo que el alum no debe hacer y la determin ación, po r pa p a r te d e l a lu m n o , d e lo q u e d e b e o c u rrir rr ir.. Será necesario que el conocimiento intervenga como anticipación y no progresivamente como respuesta. A la inversa, si el maestro no tiene intención, proyecto, problema o situación elaborada, el niño no hará ni aprenderá nada; ¿y se verá por ello liberado del pes p esoo de dell d e s e o d e l m aest ae stro ro?? La didáctica no consiste en ofrecer un modelo para la enseñanza, sino en producir un campo de cuestiones que permita p o n e r a p r u e b a c u a l q u i e r s i tu a c ió n d e e n s e ñ a n z a , y c o r r e g i r y m ejorar la las que se han prod ucido , formu lar interrogan tes sobre lo lo que sucede. Los primeros trabajos permitieron distinciones, que considero muy útiles, para aproximarse a los problemas de enseñanza en función de un carácter del conocimiento (el carácter “explícito” o no). Esto ha dado la presentación en términos de situaciones de acción, formulación y prueba. La teoría de las situaciones organiza una lectura de los hechos didácticos, permite perfeccionar las clases. Sin embargo, hay casos en los que organizar una situación de acción para un problema creará un obstáculo para su resolución. No es n e c e s a rio ri o o rg a n iz a r acc ac c ion io n e s s iem ie m p re y p a r a c u a lq u ie r c o n o cimiento. Una situación de acción no es automáticamente beneficiosa para hacer avanzar la reflexión del alumno. No rechazo en absoluto esta teoría, pero no quisiera que se la utilice de forma mecánica.

In s t it u c io n a l iz a c ió n

a) Los conocimien conocimienttos En primer lugar, recordemos nuestro proyecto inicial: la elección ción de las condiciones de enseñan za que acabamos de m enciona r se justifica esencialmente por la necesidad de dar un sentido a los conocimientos. El sentido de un conocimiento se compone de:


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razonamien ienttos y pruebas en los cuales está — el “tej “te j i d o ” de d e los lo s razonam implicado, incluyendo, evidentemente, las huellas de las situaciones de prueba que han motivado esos razonamientos; reformulaáones ulaáones y formali ormalizaciones zaciones con ayuda — el “tej “te j i d o ” de d e las reform de las cuales el alumno puede manipularlo, junto con una cierta idea de las condiciones de comunicación que las acompañan; odelos elos implíci plícittos asociados a él —ya sea porque el conoci — mod miento los produce o porque resulta de ellos— y las huellas llas de las las situaciones situaciones de acción q ue los los hacen hace n fun ciona cio narr o, o, simplemente, los contextualizan; relaciiones má más o menos asumi asumidas das entre estos diferentes — y las relac componentes, relaciones esencialmente dialécticas. Por ejemplo, el encadenamiento “pregunta/respuesta”: las preguntas tienden a articularse entre ellas, independientemente de las respuestas recibidas, y las respuestas hacen lo mismo por su lado. Articular “buenas” respuestas con “buenas" pr p r e g u n ta s lleva llev a a re form fo rm u lar, la r, a lte lt e rna rn a tiv ti v a y pe p e r tin ti n e n t e m e n t e (diríamos, dialécticamente), unas y otras. Los diferentes tipos de situaciones cuyas devoluciones hemos mencionado tienen por objeto hacer que el alumno mismo dé un sentido a los conocimientos que maneja conjugando esos diferentes componentes. Por un instante creimos haber considerado con ellas todas las clases posibles de situaciones. Pero en nuestras experiencias en las escuelas Jules Michelet vimos que, llegado un momento, los maestros necesitaban reservarse un espacio; no querían pasar de un tema al siguiente, y deseaban detenerse para “rever lo que habían hecho”, antes de continuar: “Algunos alumnos se pierden, esto no va más, hay que hacer algo”. Hizo falta un cierto tiempo para que nos diéramos cuenta de que se veían realmente obligados a hacer algo, algo, po r razones a la las que era necesario da r un a explicac explicación. ión. Las situaciones “adidácticas” son las las situaciones de aprendiza apren dizaje je en las que el maestro ha logrado hacer desaparecer su voluntad, sus intervenciones, en tanto informaciones determinantes de lo que el alumno hará: son las que funcionan sin la intervención del

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maestro en el nivel de los conocimientos. Hemos fabricado situaciones adidácticas de todo tipo. El maestro estaba allí para hacer funcionar la máquina pero, en relación con el conocimiento mismo, sus intervenciones estaban prácticamente anuladas. Teníamos allí situaciones de aprendizaje en el sentido de los psicólogos, y se po p o d ía p e n s a r q u e h a b íam ía m o s re d u c id o la e n s e ñ a n z a a suce su cesi sioo ne ness d e aprendizajes. Ahora bien, estábamos obligados a preguntarnos qué era lo que justificaba esa resistencia de los maestros a reducir totalmente el aprendizaje a los procesos que habíamos pensado. No se trataba de juzgarlos ni a ellos ni a los métodos, sino de comprender lo que legítimamente tenían necesidad de hacer y por qué necesitaban hacerlo con un cierto ocultamiento frente a los investigadores. Fue así como “descubrimos” (!) lo que hacen todos los docentes en sus clases pero que nuestro esfuerzo de sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que han hecho los alumnos, describir lo que ha sucedido y lo que tiene una relación con el conocimiento al que se apunta, dar un status a los acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como resultado resultado del docente, asumir un objeto objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los otros (culturales, o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados. El docente tenía que constatar lo que los alumnos debían hacer (y rehacer) o no, habían aprendido o debían aprender. Esta actividad es ineludible: no se puede reducir la enseñanza a la organización de aprendizajes. La consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de ZACIÓN. la INSTITUCIONA L! ZACIÓN. ¡El rol del maestro también consiste en institucionalizar! La institucionalización se realiza tanto sobre una situación de acción —se — se r e c o n o c e el va valo lorr d e u n p r o c e d im ie n to q u e se c o n v e rtir rt iráá en un recurso de referencia— como sobre una situación de formulación. Hay formulaciones que se conservarán (“Esto se dice así”, “Aquéllas merecen ser recordadas”). Lo mismo sucede con las


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pru p ruee b a s : es n e c e sa rio ri o id e n tifi ti ficc a r lo q u e se r e t e n d r á d e las p r o p i e dades de los objetos que hemos encontrado. Por supuesto, todo puede reducirse a la institucionalizado!!. Las Las situaciones situaciones de ens eñanza eñan za üad iciona les son situaciones situaciones de inst insti i tucionalización pero sin que el maestro se ocupe de la creación del sentido: se dice lo que se desea que el niño sepa, se le explica y se verifica que lo haya aprendido. Al principio, los investigadores estaban un poco'obnubilados por las situaciones adidácticas porque era lo que más faltaba a la enseñanza tradicional.

b) El sentido sentido Hay otra cosa de la que tardamos mucho en tomar conciencia: nuestra concepción inicial, implícitamente, sostenía que las situaciones de aprendizaje son el portador casi exclusivo del conocimiento de los alumnos. Esta idea surge de una concepción epistemológica bastante discutible, una idea empirista de la construcción del conocimiento: el alumno, colocado frente a una situación bien elegida, en contacto con un cierto tipo de realidades, debería construir su saber idéntico al saber humano de su época (!). Esa realidad puede ser una realidad material en una situación de acción, o una realidad social en una situación de comunicación o de prueba. Se sabe bien que es el maestro quien ha elegido las situaciones porque apuntaba a un determinado conocimiento, pe p e r o ese es e c o n o c im ien ie n to , ¿ p o d ía c o in c id ir c o n el s e n tid ti d o “c o m ú n ”? El alumno había “construido un sentido” pero, ¿era institucionali zable? Se podía proceder a una institucionalización de los conocimientos, pero no del sentido. El sentido, dentro de una situación, no es recuperable por los alumnos: ante un cambio de maestro, el nuevo ya no sabe qué es lo que se ha hecho. Si queremos volver sobre lo que se ha hecho, es necesario que tengamos conceptos pa p a r a e llo ll o , q u e e sos so s c o n c e p t o s s e a n u n iv e rsa rs a les le s , q u e p u e d a n ser se r movilizados junto con otros. El sentido también debe ser un poco institucionalizado. Veremos cómo. Es lo más difícil del rol del docente: dar sentido a los conocimientos y, sobre todo, reconocerlo. No existe una defini-

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DIDACTICA DIDAC TICA DE MATEMAT MATEMATICAS ICAS

ción canónica del sentido. Por ejemplo, hay razones sociales que hacen que los maestros se apeguen a la enseñanza del algoritmo de la división. Todas las reformas intentaron operar sobre la com pr p r e n s ió n y el e l s e n tid ti d o , p e r o e n g e n e r a l fra fr a c a saro sa ron, n, y el e l o b jeto je to d e la reforma aparece como contradictorio con la enseñanza de los algoritmos. Los docentes se repliegan sobre lo que es negociable, es decir, el aprendizaje formal y dogmático de los conocimientos, po p o r q u e es p o sib si b le id e n tifi ti ficc a r el m o m e n to e n q u e fue fu e rea re a liz li z a d o e n la sociedad. Existe la idea de que los saberes pueden enseñarse pe p e r o q u e la c o m p r e n s ió n es re s p o n s a b ilid il id a d d e l a lu m n o . Así, se pu p u e d e e n s e ñ a r el a lgo lg o ritm ri tm o y los lo s “m a estr es tros os b u e n o s ” inte in te n ta n lue lu e g o darle sentido. Esta diferencia entre forma y sentido hace que sea difícil concebir no sólo una técnica para enseñar el sentido sino también un contrato didáctico al respecto. Dicho de otro modo, no podrem os pedirles a los los maestros maestros que utilicen utilicen un a situación situación de acción, formulación o prueba si no hallamos un recurso que les pe p e r m i ta n e g o c ia r el c o n tr a to d idá id á c tic ti c o v inc in c u lad la d o a e sta st a activ ac tivid idad ad;; es decir, si no podemos negociar en términos utilizables esta acción de enseñanza. Po r ejemplo, ejemplo, en geo m etría, supongamos supongamos que querem os favo favore re-cer el dominio por parte del alumno de sus relaciones con el espacio. Será difícil negociar este objetivo, si no es en las clases de los más pequeños, porque no existe como objeto de saber. Se confunde con la enseñanza de la geometría que, no obstante, no tiene nada que ver: no es cierto que la geometría se refiera a las relaciones con el espacio. Hay un cierto número de conceptos matemáticos que no son de interés para los matemáticos —pero sí lo serían para la didáctica— y no tienen, por ello, status cultural o social: por ejemplo, la enumeración de una colección no es un concepto matemático importante y, sin embargo, es un concepto importante para la enseñanza. ¿La didáctica tiene derecho a introducir en el campo de las matemáticas conceptos que le serían necesarios? Es un tema que habrá que debatir con la comunidad matemática y con otras comunidades científicas. La negociación, por parte de los maestros, de la enseñanza de la comprensión y del sentido plantea un verdadero problema didáctico: problema técnico y teórico de contrato didáctico.


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¿Cómo definir, negociar el objeto de la actividad, con el público, con el maestro, con el alumno, con los otros maestros? Por ejemplo, ustedes saben que hay varias divisiones pero sólo po p o s e e m o s u n a ú n i c a p a l a b r a p a r a r e f e rir ri r n o s a ella el las. s. D e h e c h o , la división en los enteros y la división en los decimales... dependen de concepciones diferentes, lo que plantea muchos problemas. Los maestros carecen de la posibilidad de tener un objeto que se denominaría “el sentido de la división” sobre el cual puedan decir que están trabajando. Intentamos ofrecer un modelo didáctico del sentido, negocia ble b le e n t r e el m a e s tro tr o y el a lu m n o , y q u e p e r m i t a h a c e r tra tr a b a ja r al alumno sobre el sentido de la división con un vocabulario, con conceptos que sean aceptables y desarrollen realmente su conocimiento; es decir, situaciones donde realice divisiones. Ese sentido implica clasificaciones, recursos, terminología. Pero existe un peligro en un trabajo de este tipo: desarrollar una especie de seudoco nocimiento o desconocimiento ridículo e inútil. No N o d e b e m o s p e n s a r q u e la d idá id á c tic ti c a sólo só lo c on onsi sist stee e n p re s e n ta r como descubrimientos lo que hacen los niños pequeños. Es necesario resolver problemas mediante conocimientos teóricos y recursos técnicos. Es necesario proponer algo para actuar sobre algunos fenómenos de enseñanza; pero primero es necesario identificarlos y explicarlos. El trabajo de gestión del sentido del contrato didáctico, en relación con el sentido por parte del maestro o entre maestros de niveles diferentes, es un problema teórico delicado y uno de los principales desafíos de la didáctica. Actualmente, maestros de diferentes niveles ofrecen conclusiones que tienden a producir una anulación de las actividades de nivel inferior en relación con las actividades más formales porque no pueden negociar otra cosa. La recuperación, por parte de un maestro, de conocimientos anteriores no institucionalizados es algo muy difícil. Para fabricar conocimientos nuevos puede utilizar algo de los conocimientos que él mismo ha intentado introducir. No es fácil. Pero, cuando esos esos conocim ientos no h an sido sido introducidos p or él y han empezado a funcionar, los problemas se vuelven casi insuperables: la única manera de salir de eso es pidiéndoles a los maestros de las clases inferiores que enseñen, de modo bastante formal, los saberes que el maestro de las clases superiores puede identificar y que pueden

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servirle en un nivel explícito para construir lo que quiere enseñar él mismo. No N o sab sa b em os m u c h o a c erca er ca d e las in t e r a c c io n e s e n t r e las situ si tuaaciones didácticas; ¿cómo se gestionan en el tiempo? Debemos entonces desarrollar nuestra concepción de la construcción del sentido.

c) Epistemo Epistemollog ogíía Otro rol del maestro consiste en asumir una epistemología: po p o r e jem je m p lo, lo , los p ed a g o g o s p re co n iza iz a n la b ú s q u e d a d e situ si tuac acio ionn es que permitan poner al niño en contacto con problemas reales. Pero cuanto más realiza la situación de acción ese contacto con la realidad, más complejos son los problemas de status del conocim iento. Y, Y, si el m aestro no tiene u n b uen con trol de sus sus concep ciones epistemológicas en relación con este tipo de situaciones, más cargados de consecuencias estarán sús errores. En efecto; al mismo tiempo que enseña un saber, el docente sugiere cómo utilizarlo. Manifiesta así una posiciór epistemológica, ca, que el el alum no adopta mucho más más ráp idam ente porqu e el el mensaje permanece implícito o aun inconsciente. Por desgracia, esa posición epistemológica es difícil de identificar, asumir y controlar, y, por otro lado, parece desempeñar un papel importante en la calidad de los conocimientos adquiridos. Para mostrar, a la vez, la importancia y la dificultad del rol epistemológico del docente, tomemos el ejemplo de la medición: cuando se trata de contar una colección finita o calcular el precio de un campo, la mayoría de las actividades matemáticas en la escuela primaria hacen un pasaje por la realidad o la ficción de una medición. Es, pues, una noción importante para la escolaridad obligatoria. Ahora bien, la medición efectiva es una práctica compleja donde las manipulaciones de instrumentos, el empleo de las estructuras numéricas y los conocimientos matemáticos elementales necesari sarios os sól sóloo pu ede n justifi justificarse carse realmen te elucidan do problem problem as mucho más complejos como, por ejemplo, la aproximación y los cálculos de errores.


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La solución clásica consiste en no evitar a la relación didáctica dificultades ajenas al conocimiento, que finalmente debe s«*r aprendido en un momento dado. Habrá que enseñar, pues, sucesiva y, sobre todo, separadamente los diferentes conocimientos necesarios comenzando por los “más simples”. Por ello, ninguno podrá ser justifi justificado cado en el mom ento del aprendizaje por el problema problema de conjunto por resolver. Las justificaciones provisorias o parciales, aun incompatibles, se yuxtapondrán, se contaminarán sin modificarse ni adaptarse realmente. Si bien los conocimientos explícitos mismos pueden permanecer bajo la vigilancia epistemológica de los matemáticos, su sentido, en particular sus posibilidades de empleo (por parte del alumno), se verá profundamente afectado, así como también el rol del saber en la actividad del alumno. Al respecto de esta hipótesis, la opción tomada, sin control de la fragmentación de los conocimientos, conduce a privarlos de sus pos p osib ibil ilid idaa d e s d e fun fu n c io n a m ien ie n to . La noción de medida se introduce con el único ejemplo de la medida de los cardinales finitos, ilustrada con diversas medidas discretas. Si un alumno considera que 3 + 4 = 6, el maestro no le dice que no ha errado por mucho sino que su resultado es comproba ble b le m e n te falso. falso . P a ra cada ca da m e d ició ic iónn ex exis iste te u n va valo lorr v e r d a d e r o p a r a un a m edida exacta y única. única. El El resultado calculado coincide perfec tamente con el resultado “observado”. La construcción de las estructuras numéricas en (Q+, D+, R+) se realiza de modo tal de no cuestionar ese modelo. Entonces, las mediciones efectivas deben ralearse. Para no contradecirse, el maestro debe evitar algunas confrontaciones entre el cálculo y la realidad, y debe acondicionar especialmente las otras. Por ejemplo: ¿el cálculo ofrece una precisión ridicula frente a las posibilidades de medición efectiva? Entonces, el maestro impone una convención de precisión estándar (retorno implícito a los naturales) o bien elige los datos para que el cálculo resulte exacto. En la confrontación de una previsión calculada y una medición efectiva, el valor calculado es considerado correcto y la medición como más o menos “buena” según la amplitud del error constatado (!). Esto pone de manifiesto la habilidad del que mide. El e rro rr o r es, pues, algo así así como un a falta, una u na insuficiencia del ap;u ;i


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to...; incluso una ruptura de contrato por parte del maestro que ha salido imprudentemente de la comodidad de los problemas donde lo real sólo es evocado y, por lo tanto, negociable. En ese modelo, las mediciones efectivas jamás deben ser objeto de operaciones porque se desconoce el cálculo diferencial aplicado al cálculo de errores. Así, los datos de un problema rara vez son objeto de una medición. Asimismo, nunca se realiza una real anticipación de una observación; en consecuencia, no se cuestiona la teoría ni sus supuestos deterministas. Así, un alumno sólo podrá comenzar a considerar mediciones efectivas con una comprensión conveniente de la teoría que subya ce a su acción y un do dom m inio satisfactori satisfactorioo de las las técnicas necesarias, necesarias, después de haber trabajado seriamente con análisis, integrales, diferenciales y cálculo de error, cálculo de probabilidades, etcétera. Antes de ese momento, •

las las m edicione s no de be rán ser efec efecti tivas vas (solame nte evo evocacadas en un enunciado, por ejemplo)

•

o de be rán realiza realizarse rse en caso casoss muy particulares (co njunto s finitos, medidas discretas, etc.)

•

o no que darán bajo bajo el control de la com prensión del del alumno en una situación de referencia conveniente.

En todos los casos, el maestro se ve obligado a ocultar o tratar metafóricamente las cuestiones sobre las relaciones entre los números que se utilizan en las medidas y las magnitudes físicas que ellos representan, en particular las cuestiones de saber cuáles operaciones sobre los primeros permiten prever qué sobre los segundos y, finalmente, las cuestiones sobre las relaciones entre la teoría y la práctica. De allí resulta una posición epistemológica errónea pero, sobre sobre todo, pu ram en te ideológica ideológica y aceptada como inevi inevita table ble.. Este “divorcio” entre los conceptos matemáticos enseñados y las actividades efectivas de los alumnos es mal vivido por los docentes. Intentaron reducirlo y luchar contra la desaparición de las actividades de los alumnos y de los contratos con la realidad. Por


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diferentes razones, esos movimientos pedagógicos se apoyaron en supuestos ideológicos tales como: — “la acti ac tivi vida dad, d, la efec ef ecti tivv idad id ad,, h a c e n c o m p r e n d e r y a p r e n d e r mejor” (la mano forma al cerebro); — “la r e a l i d a d e v ita it a los lo s e r r o r e s d e c o m p r e n s i ó n ” ( e m p i r i s mo/realismo); — “la u til ti l id a d , lo c o n c re to , motivan al al alum no ”. Sostengo que el efecto de esos movimientos ha sido el opuesto a lo esperado: el conflicto teoría/práctica nunca se ha visto más exacerbado. Se ha profundizado el abismo entre los docentes y el saber. Muchos maestros de enseñanza primaria están convencidos de que la teoría, el “saber oficial”, es un discurso, una convención, de una eficacia relativa o dudosa a la cual podemos aportar todos los acondicionamientos personales o sustituir por otros saberes “paralelos”. La oposición de la racionalidad, la ciencia, y aun el saber como m edio p ara apre he nd er la realidad se desarrollaron desarrollaron al mismo tiempo y en los mismos ambientes que esos movimientos pe p e d ag agóó g ico ic o s. Para fun da m en tar la relación relación causa causae efe fect ctoo en tre estos estos dos fenófenómenos se hace necesario un breve análisis didáctico. En primer lugar, “la realidad” es mucho más difícil de “com p r e n d e r ” qu q u e u n a t e o r ía . Sólo Só lo p u e d e susc su scit itaa r c o n o c i m i e n t o s p re c isos, o corregir errores, a través de una organización específica y muy estricta de la actividad del alumno. El conocimiento de las situaciones didácticas y la epistemología son indispensables. Sin técnica didáctica, “consume” naturalmente más motivación que la que produce. La utilidad inmediata sólo es un factor de motivación entre otros, sin más. La utilidad a largo plazo (como “las matemáticas” para la física) es una motivación muy débil. Sin mediación epistemológica y didácti didáctica, ca, la las declaraciones fun da m en tales resultan falsas. Sin embargo, los maestros que multipliquen las experiencias, las mediciones efectivas, no estarán mejor preparados para tratai sus consecuencias. Al contrario, esperarán mayor comprensión poi

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pa p a r te d e los a lu m n o s p e r o e n s itu it u a c ion io n e s e n re a lid li d a d m ás o scur sc uras as (“Observa..., ¿no ves?”). Los alumnos multiplican las mediciones pe p e ro , si sólo só lo “d e b e h a b e r ” un ú n ico ic o valor, valo r, h a b r á q u e e leg le g irlo ir lo fina fi nallm ente com o u na convención soci social (po r lo tanto, dudosa) o como una verdad garantizada por el maestro. A cada momento, el docente debe violar subrepticiamente las relaciones teoría/práctica que sus convicciones pedagógicas le hacen profesar. Debe forzar a la teoría a surgir, toda armada, de una realidad, y debe de hecho falsear o negociar su utilización, manipular las motivaciones del alumno para obtener simulacros y, como ese surgimiento debe ser inexorable, tiende a admitir que la realidad es transparente y la teoría evidente... Al alumno no le va mejor: sus mejores manipulaciones nunca le aseguran la certeza ni el saber, que le llegan por otro camino. Sólo le quedan el atascamiento, el error, la decepción y la convicción de que la teoría sólo funciona, en el mejor de los casos, cuando la utili utiliza za el m ae stro ..., y aun en ton ce s..., ¿no se trataría sólo sólo de una convención? convención? El docente termina por pensar como sus alumnos. Sería necesario un estudio más profundo para mostrar cómo un movimiento cultural de la importancia de los que mencionamos, se nutre y amplifica, entre otras fuentes, en las relaciones didácticas locales. Veamos si existe una alternativa a la solución clásica, y si el maestro puede asumir una posición epistemológica mejor en el pro p ro b le m a d e la m e d ida id a . N o tra tr a tam ta m o s d e o fre fr e c e r u n a s o luc lu c ión ió n sin si n o solamente un contraejemplo. En u n CM13 la m aes tra da u na d e las las últim últim as clases clases sobre la medida. Tiene un gran recipiente vacío, un vaso, una balanza Roberval, pesa pe sass y u n b a ld e . Dice: Dic e: “O b s e rv e n , vu vuelv elvoo u n vaso vas o d e a g u a e n este es te recipiente. recipiente. U no de ustedes vendrá a pesar todo. todo. ¿Qué peso enc on traremos?”. Para los alumnos, se trata de una adivinanza, una estimación. Escriben sus previsiones en sus cuadernos. Un alumno realiza un doble pesaje. “Esto pesa 225 g”, dice. Cada uno compara con su 3. Cuarto grado d e la escu ela primaria. primaria.


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anticipación. Maestra: “¿Quién acertó?”. Toma algunos resultados y los escribe en el pizarrón. Maestra: “¿Quién ha hecho la mejor pre p revi visi sión ón?, ?, ¿y la p e o r? ”. Sin d ific if icuu lta lt a d , los a lum lu m n o s u tili ti lizz an el va valo lorr absoluto de la diferencia. Maestra: “Miren, ahora vuelco un segundo vaso de agua en el recipiente. ¿Qué peso hallaremos ahora?”. Algunos alumnos multi pli p licc a n 225 g p o r 2, p e r o o tro tr o s intu in tuyy e n q u e hay u n a tra tr a m p a e i n te n tan corregir su previsión. Sin comentarios ni recogida de previsiones... El pesaje esta vez indica 282 g. Comparación de las anticipaciones de los alumnos..., algunos se iluminan: “Eh... Yo entendí algo...”, pero la maestra no alienta ningún comentario. Maestra: “Continuemos, pongo un tercer vaso de agua”. Esta vez, ya unos diez alumnos restan el primer resultado del segundo y le agregan la diferencia: 282  225 = 57; 57 + 282 = 339 Otros manipulan sus números, dos o tres multiplican impertur ba b a b l e m e n te p o r tre tr e s el p r im e r valor. valo r. O tro tr o a l u m n o p asa as a a rea re a liz li z a r el doble pesaje: 351 gramos... Asombro, decepción y sentimiento de injusticia en aquellos que habían hecho el cálculo anterior. La maestra permanece neutra. Un alumno ha propuesto el valor exacto. Los demás lo presionan para que diga cómo lo hizo: “Vi que la aguja estaba más bien hacia allá, entonces pensé...”. El niño alardea; es el mejor y, además, se da cuenta realmente de que tiene suerte..., ¿qué gana? La maestra se resiste al deseo de imponerle la “explicación”. El ju j u e g o d e a d i v in a n z a c o n t i n ú a : los lo s a lu m n o s c o m p r e n d e r á n d t; manera progresiva que el cálculo no ofrece necesariamente el valor hallado con la balanza. Los alumnos que utilizaron este método de previsión se acercan a explicarlo y se rebelan al verlo fracasar. Ese método toma en cuenta todos los elementos esenciales del problema de un modo que parece racional, y se comunica bie b ienn . Los alumnos que no lo habían inventado lo utilizan para com pa p a rar. ra r.....,, lo c o m p r e n d e n . M aest ae stra ra:: “¿Cuá ¿C uáll es el p e so d e l a g u a d e u n vaso?... No, no, no pesaremos mi vaso..., calcúlenlo”. Según las experiencias escogidas para calcular las diferencias, ¡los pesos va

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La discusión se aclara... “El vaso no está lleno exactamente ,1^.1m ismo m od o cada cad a vez vez...... No N o p od em os estar seguros. segu ros. La m aestra aes tra ii,il>e manipular con cuidado...”. Primera conclusión: la maestra ,i, be manipular con cuidado, mostrar que el vaso está bien lleno, , ,|>erar que el agua se calme... Si las diferencias subsisten, los alumnos pueden ser llevados a pe p e n sa r q u e va vario rioss p esaj es ajes es d e u n m ism is m o o b je to n o o f re c e n el m ismo valor... Así, llegarán más o menos lejos en el análisis de los errores de medida. Existen maneras de detener esta cadena de razonamientos; ba b a s ta, ta , p o r e je m p lo , r e e m p la z a r el a g u a p o r a r e n a b ie n seca se ca y la bal b alaa n z a R ob ober ervv al p o r u n a b ala al a n z a d e reso re so rte rt e : la p reci re cisi sióó n d e la leclec tura llega al nivel de los gramos y el peso de los vasos de arena, de un pesaje a otro, varía mucho menos que un gramo. El modelo de una medida entera y determinista se ajusta allí pe p e rfe rf e c ta m e n te . P a ra o b t e n e r la id e a d e q u e el m é t o d o d e cálc cá lcuu lo es la mejor manera de prever los resultados de los diferentes pesa je s a p e s ar d e los e r r o re s d e m e d id a alea al eato tori rioo s, es n ece ec e sari sa rioo c o n d u cir un proceso de actividades, de comunicaciones de resultados, intercambios de pruebas, reflexiones y debates. Los alumnos aceptan fácilmente utilizar encuadres para disminuir la incertidumbre del resultado, pero es necesario organizar situaciones donde el equilibrio entre previsión segura y previsión pre p recc isa is a a d q u ie r a su sen se n tid ti d o ... .. . e c o n ó m ico ic o .

d) El lugar lugar del del alumno alumno Se trata de mostrar, como en los párrafos anteriores, que los pr p r o b le m a s d e e n s e ñ a n z a so n t a m b i é n , y a ve vece cess p r i n c i p a l m e n t e , pro p ro b le m a s d e d idá id á ctic ct ica. a. El lu g a r d e l a lu m n o e n la rela re la c ió n d idá id á c tica ha sido reivindicado —como el lugar de la “realidad”— desde diferentes aproximaciones —psicoanalítica, psicológica, pedagógica, etcétera—. La epistemología genética ha ofrecido en ese sentido los argumentos más serios y más cercanos al conocimiento, pero otros tra bajo ba joss son so n n e c e s a rio ri o s p a r a u tili ti lizz a r sus su s a p o rte rt e s. F re c u e n te m e n te , los errores del alumno son interpretados por el docente como una


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incapacidad para razonar en general o, al menos como un error de lógica: en un contrato didáctico amplio, el docente se hace cargo de las las represen taciones, del sentido de los conocimientos. Pero, en condiciones más estrictas, simplemente es llevado a señalar dónde la respuesta del alumno se contradice con los saberes anteriores, evitando con cuidado todo diagnóstico sobre las causas del error. Este, reducido a su aspecto más formal, tiende a convertirse ya sea en un “error de lógica” —“su razonamiento es incorrecto, revisen la implicación”— o en la ignorancia de un teorema o de una definición. En esta reducción drástica, el alumno se identifica con una pr p r o d u c c i ó n a lg o rítm rí tm ica ic a d e d e m o s tra tr a c io n e s s e g ú n las reg re g las la s d e la lógica matemática. Ese contrato permite al docente la defensa más segura: sólo se hace cargo de los conocimientos reconocidos en su pr p r o p io d o m inio in io.. B asta as ta c o n q u e los e x p o n g a e n u n o r d e n a x iom io m á tico y exija los axiomas como evidencias. Ahora bien, obviamente los niños utilizan algunas representaciones o algunos conocimientos diferentes de los que queremos enseñarles. La lógica de los niños, el pensamiento “natural”, ya son ba b a s tan ta n te co conn o c ido id o s . Les Le s h a c e c o m e t e r e r r o r e s q u e p o d e m o s inv in v e n tariar y observar regularmente. Algunos de esos conocimientos pu p u e d e n c o n s titu ti tuir irss e e n o b s tác tá c u los lo s (¿d (¿ d idác id ácti tico cos? s?,, ¿ o n tog to g e n é tic ti c o s?, s? , ¿epistemológicos?) ¿epistemológicos?) y d ar lugar lug ar a c onflictos cogniti cognitivos. vos. ¿Qué lugar, qué status, qué función dar a esas representaciones? ¿Es necesario (¿es posible? y ¿cómo?): — rec re c h a z a rla rl a s im p líc lí c ita it a m e n te c a d a vez? — ign ig n o rarl ra rlas as?? — a c ep tarl ta rlaa s sin si n rec re c o n o cerl ce rlaa s ? — m a n e ja r su e v o luc lu c ión ió n sin q u e los lo s a lum lu m n o s lo sepa se pann ? — an anal aliz izar arla lass c o n los alu al u m n o s? — r e c o n o c e r la s , e x p o n e r l a s y d a r le s e x p l íc i ta m e n t e u n lu g a r en el proyecto de enseñanza?

cogni nittivo utili Sabemos que el sujeto cog utiliza za predicado p redicado s amalgamados, conectivos prelógicos, metáforas, metonimias... Sabemos que el desarrollo del pensamiento lógico del alumno consiste en evolu

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ciones discontinuas donde las contradicciones entre los componentes contex túales van van a la par con la extensión extensión de los prefunc to res y la decantación de los predicados, y donde la sintaxis y la semántica están implicadas al mismo tiempo. Estas se separan lentamente, en períodos diferentes según los sectores... La didáctica ingenua sólo permite proponer al alumno ejercicios lógicos (matemáticos) sobre componentes decantados. Conocer al sujeto sujeto cog cogniti nitivo vo,, ¿basta para resolver los problemas del alumno? No creo: la creación y la gestión de las situaciones de enseñanza no son reductibles a un arte que el maestro podría desarrollar espontáneamente con buenas actitudes (escuchar al niño , etc.) etc.) e n torn to rn o a simples técnicas técnicas (utilizar (utilizar jueg os, m aterial o el conflicto cognitivo, por ejemplo). La didáctica no se reduce a una tecnología, y su teoría no es la del aprendizaje sino la de la organización de los aprendizajes de otro o, más generalmente, la de la difusión y la transposición de los conocimientos. La discusión propuesta arriba no tiene marco teórico ni fundamento experimental ni solución fuera de la didáctica. El razonamiento del alumno es un punto ciego de la didáctica “ingenua”, porque su tratamiento exige una modificación del contrato didáctico. No basta conocer al sujeto cognitivo; es necesario tener medios didácticos (y socioculturales) para reconocerlo. La situación es la misma cada vez que el alumno tiene que po p o n e r e n p rá c tic ti c a u n a teo te o ría rí a . P o r e jem je m p lo , p a r a fo r m u l a r e n u n a ecuación un problema o usar una teoría en física: el primer análisis de la situación y el recurso a las nociones teóricas se hace primero con la ayuda de modelos espontáneos y de exploración del pe p e n s a m ie n to n a tu ra l. E n caso ca so d e q u e esta es ta fase frac fr acas ase, e, el d o c e n te, te , encerrado en un contrato que lo obliga a enseñar la ciencia pero no el modo de descubrir la ciencia, sólo puede exponer nuevamente su teoría. Esta imposibilidad de tratar lo que permite la pu p u e s ta e n p rá c tic ti c a d e la te o ría rí a lo lleva llev a a jus ju s tifi ti ficc a r s e c o n u n d iag ia g nóstico nóstico err ó n eo (“Ustedes (“Ustedes no con ocen su teo ría”) ría”) y, finalme nte, lo condena a correr de fracaso en fracaso. Aceptar hacerse cargo de los medios individuales de aprendiza je j e d e l a lu m n o (el (e l su jeto je to c o g n itiv iti v o ) ex exig igir iría ía::


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— u n a m o d ific if icaa c ión ió n c o m p le ta d e l rol ro l d el m a e stro st ro y d e su f o rmación; — u n a tra tr a n s f o r m a c ió n d e l c o n o c im ie n to mism mi smo; o; — o tro tr o s m e d ios io s d e c o n t r o le s ind in d ivid iv iduu a les le s y soc so c iale ia less d e e n s e ñanza; — u n a m o d ific if icaa ció ci ó n d e la e p iste is tem m o log lo g ía d el d o c e n te , etc. et c. Es una decisión que plantea problemas que sólo la didáctica pu p u e d e , qu quiz izá, á, reso re solv lver er.. S e g u r a m e n t e n o es u n a d e c isió is iónn q u e surj su rjaa de la libre elección de los docentes ni de su arte. Insistimos sobre esta contradicción: si actualmente el sujeto no tiene lugar en la relación de enseñanza (lo tiene en la relación pedagógica), no es po p o r q u e los m a e stro st ross se o b s tin ti n e n e n el d o g m a tis ti s m o sino si no p o r q u e n o pu p u e d e n c o r r e g i r las caus ca usas as d idá id á c tic ti c as p r o f u n d a s d e esta es ta e xc xclu luss ión ió n . Corremos el riesgo de pagar caros errores que consisten en exigir al voluntarismo y a la ideología lo que depende del conocimiento. Corresponde a la didáctica la búsqueda de explicaciones y soluciones que res pe ten las reglas reglas del jue go de la tarea tarea del do ce nte o negociar los cambios sobre la base de un conocimiento científico de los fenómenos. Actualmente, no podemos enseñar a los alumnos el el “pen “pen sam iento n atu ral”, ral”, pero tampoco podem os dejar que la institución convenza a los alumnos que fracasan porque son idiotas —o enfermos— porque nosotros no queremos afrontar nuestros límites. Que mis palabras no parezcan demasiado pesimistas. Las investigaciones avanzan a medida que los problemas se plantean mejor: en geometría, el tratamiento de la representación del espacio es estudiado como un proyecto didáctico distinto de la enseñanza de la geometría. Algunos trabajos de estos últimos años muestran la posibilidad de tratar, en la relación didáctica, el pensamiento lógico del niño. Se trata de situaci situaciones ones y con tratos que p erm iten hacerse cargo explícitamente de la evolución y el rol de esos modos de pensamiento no sólo en la elaboración de los medios de prueba sino también tam bién en la formac ión del juicio y la regulación de las las conductas sociales (juegos de coalición, admisión de datos, etcétera). En estos dos ejemplos vemos cómo, llegado el caso, la consideración del sujeto psicocognitivo pasa por una definición del alum-

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noque reclama en realidad una transformación de la organización del saber mismo en una transposición didáctica y un cambio de contrato. Vimos ese mismo fenómeno, por ejemplo, en relación con la enumeración: esta actividad cognitiva es indispensable para el alumno en el aprendizaje del número, y le resulta útil a lo largo de toda la escolaridad, pero no existe en tanto objeto de conocimiento matemático. Entonces, nunca ha podido ser enseñada correctamente y la “práctica” no ha podido tomar en cuenta las dificultades de los alumnos con esta noción.

e) La La mem memoria, oria, el tiem tiempo po Lo que el alumno tiene en su memoria parece ser el objetivo final de la actividad de enseñanza. Las características de la memoria ria del sujeto, sujeto, en particular su mo do de fun cionam iento y su desadesarrollo, han podido aparecer como la base teórica de la didáctica. De modo tal que se ha podido reducir así la enseñanza a la organización del aprendizaje y de las adquisiciones del alumnoindividuo. Varios trabajos muestran la insuficiencia (los inconvenientes) de esta concepción que ignora especialmente las relaciones entre la organización del saber (y sus modificaciones en la relación didáctica), la organización del m edio y sus exigencias instituciona instituciona les y temporales para generar tal o cual memorización, y la reorganización y las transformaciones de los conocimientos que el sujeto opera. Algunos fenómenos de obsolescencia de las situaciones y del saber, el uso paradójico del contexto solicitado o rechazado según las necesidades, las variaciones rápidas del status de los cono cim ientos escolares escolares y las las transposiciones didácticas didácticas q ue derivan de ellas, las realizaciones didácticas de diferentes tipos de memoria prueban que la memoria del alumno es un tema didáctico muy distinto de la memoria del sujeto cognitivo. Los docentes manipulan el saber enseñado y los recuerdos de los alumnos de modo complejo. También deben organizar el olvido de lo que por un momento fue útil y ya no lo es, como también la reactivación de lo que necesitan.


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Esta gestión se realiza en el marco de una negociación que compromete la memoria del sistema didáctico, y ya no solamente la del alumno. Un maestro que no recuerda lo que ha sido hecho por tal o cual alumno o lo que ha sido establecido como saber común o lo que ha sido convenido, o un maestro que deja completamente a cargo del alumno la integración de los momentos de enseñanza, es un maestro sin memoria. Es incapaz de ejercer presiones didácticas personalizadas y específicas que parecen indispensables en el contrato didáctico. La “memoria didáctica” del docente y del sistem a regula, además, los los cambios de actitudes ante la presencia o no de recursos del medio, las transformaciones del lenguaje. Se observa comúnmente que los alumnos sólo pueden recordar algunos conocimientos en presencia de alguien que haya compartido la historia de sus relaciones con esos conocimientos, o en presencia de los dispositivos particulares que han utilizado. Transformar los recuerdos en conocimientos movilizables es una operación didáctica y cognitiva, pero no solamente un acto individual de memorización. ción. La organización organización de la mem oria didáctica didáctica forma pa rte de u na gestión más general del tiempo didáctico.

L a GESTIÓN DE LOS FENÓMENOS DIDÁCTICOS

No N o p o d e m o s p r e s e n t a r a q u í los lo s f e n ó m e n o s d id á c tic ti c o s q u e se manifiestan en la negociación del contrato didáctico y que el docente debe controlar. Se trata de diversos efectos de pérdida de sentido: efecto Topaze, Jo ur da in, efecto de analogía, analogía, de de desl sliz izaamiento metadidáctico, de desmenuzamiento, etcétera. Nos limitaremos a un pequeño cuadro (figura 1). Tampoco podemos explicar cómo la relación didáctica exige una diversificación de los roles que deben considerar el docente y el alumno, o con los cuales podrían identificarse. Esos roles movilizan diferentes saberes y funcionamientos del saber. A título introductorio y puramente sugerente, la figura 2 indica esos diferentes roles del maestro y del alumno. El maestro cumple roles diferentes y el alumno también.

DIDACTICA DF. MATEMATICAS


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Pl: corresponde al docente que reflexiona sobre la secuencia que debe realizar: considera a la situación de enseñanza como un objeto, prepara su clase. SI: corresponde al alumno que considera una situación de enseñanza desde el exterior. P2: corresponde al docente que enseña; se encuentra en una situación didáctica, actúa y tiene ante sí algo que es la situació situaciónn de aprendizaje y, y, ju n to a él, él, inde pen dien tem ente de la situación de aprendizaje, un alumno con el que puede hablar, sobre el que puede actuar y que puede, a su vez, actuar sobre él. S2: corresponde al alumno que considera su propia situación de aprendizaje, a quien se le habla sobre su aprendizaje. S3: corresponde al alumno aprendiz, en situación de aprendizaje, enfrentado a una situación que ya no es una situación didáctica. Mira a un alumno S4, que podría ser él mismo, en situación de actuar sobre el mundo, alguien que toma decisiones. Es la situación de referencia. S3 es el sujeto epistemológico, S4 es el sujeto activo. S4 considera la situación objetiva que hace actuar a los sujetos. S5, a menudo hipotéticos, son los sujetos que se encuentran dentro del pr p r o b l e m a : p o r e je m p l o , “T r e s p e r s o n a s se d i v i d e n ... .. . ”. El alumno puede identificarse con este sujeto pero no hay intrusión del alumno en este nivel. El alumno puede identificarse en las diferentes posiciones del sujeto. El status del conocimiento no es algo fijo: cambia en los diferentes niveles. Los diferentes tipos de situaciones, didácticas y adidácticas, que se evidencian son los siguientes: situación adidáctica objetiva situación situación de referenc ia adidáctica adidáctica situación situación d e aprendiza je adidáctic adidácticaa situación de enseñanza (situación didáctica) situación metadidáctica

92


Se incluyen entre sí según una relación de “situación actuada” a “situación como objeto de análisis”, siendo su esquema global el siguiente:

SI

S5 M e di di o m a t e r i a l ----Sit. objetiva ---------Sit. Sit. de referen cia — Sit. Sit. de apren dizaje  Sit. didáctica --------Sit. Sit. m etadidáctica —

h * 0

S3

-O

Pl

A O

A

S2 O

-o

S4

A O

51 52 53 54 55 Pl

sujeto universal alumno genérico sujeto de aprendizaje sujeto que actúa sectores objetivos docente preparando su clase P2 docente enseñando, que actúa sobre sobre u observa

P2

Figura 2

El alumno puede identificarse con las diferentes posiciones epistemológicas; el rol y el sentido del saber difieren en cada nivel; los conocimientos cambian de nivel y status progresivamente con el aprendizaje. Las posibilidades ofrecidas o no al alumno para que ju j u e g u e o sim si m u le los d ife if e r e n te s ro les le s c o n trib tr ib u y e n d e m o d o im p o r tante a la formación y evocación del sentido de los conocimientos.

C o n c l u s ió n

Como vimos, el maestro es una especie de actor. Actúa según un texto que ha sido escrito en otra parte y según una tradición. Podemos imaginarlo como un actor de la Comedia del Arte, Arte, inventa su jueg o en el m om ento en función función de un a trama. trama. A esta concepción subyace la idea —absolutamente cierta— de que el docente necesita libertad y creatividad en su acción. Un docente que simplemente recita no podría comunicar lo esencial, y si quisiéramos hacerle presentar una situación sin margen para


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recrearla, la enseñ anza fracasarí fracasaría. a. ¿Puede existi existirr un a concepción más profesional profesional del d ocente? ¿Puede utilizar utilizar situaciones situaciones totalmente hechas para recrear condiciones de aprendizaje idénticas al mo delo cono conoci cido? do? Ello implica que distingamos entre lo que no puede modificar y aquello sobre lo que puede dirigir su talento personal. Siguiendo con nuestra comparación, el actor se convertiría en un actor cuyo “texto” sería la situación didáctica por conducir (evidentemente, no el texto en sentido estricto).

B ib l io g r a f ía

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Ca p ít u l o V

EL SISTEMA SISTEMA DE NUMERACION: NUMERA CION: UN PROBLEMA DIDACTICO

Delia Lemery Patricia Sadovsky, con la la colab colaboraci oración deSusana sana Wolman olman Donde se expresa nuestro reconocimiento hacia: — Em ilia ili a F erre er reir iro, o, p o r q u e sus in ve stig st iga a cio ci o n es p io n er a s — a u n q u e ya clásicas— sobre el sistema de escritura permitieron vislumbrar la recons trucción de otros emas de represen tación por parte parte de los niños. — Guv B ro us seau se au , p o r q u e sus in v es tig ti g ac io n es n u tren tr en n u es tr o trabajo y nos obligan a repensar una y otra vez la didáctica de la matemática. — T od os a q u ello el lo s q u e — co m o G. Sastre, Sas tre, M. M or en o y, so b re tod to d o , Anne Sinclair— estudiaron la representación numérica desde una perspectiva psicogenética. — Los m ae stro st ro s y lo s c h ic o s q u e, co n sus a fir fi r m a cio ci o n e s y sus su s in te rrogantes, hacen crecer día a día la propuesta que llevamos a la práctica. — Las e s c u e la s q u e a lb er g a n n u e st r o traba tra bajo: jo: A eq u a lis, li s, Ma rtin Buber, Numen, Jardín de Infantes Municipal de YVilde. — R a qu el G u tm an , p o r su c o la b o r a c ió n e n la p rim ri m er a e ta p a d e esta investigación.

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I De cómo y por qué se inició la investigación que es objeto de estas páginas

Había que encontrar una respuesta. A pesar de los diversos recursos didácticos puestos enjuego, el acceso de los niños al sistema de numeración seguía constituyendo un problema. A pesar de nuestros esfuerzos por materializar la noción de agrupamiento —n — n o sólo sól o e n b ase as e diez di ez,, sin si n o tam ta m b ié n e n o tra tr a s ba base ses— s— , la rela re lacc ió n entre esas agrupaciones y la escritura numérica seguía siendo un enigma pa ra los los niños. Pero la cuestión era m ás grav gravee aún: al entrev istar niños con los que no trabajábamos didácticamente, constatamos una y otra vez que los famosos “me llevo uno” y “le pido al compañero” —ritual inherente a las cuentas escolares— no tenían ningún vínculo con uniida dades, des, decena decenass y centenas estudiadas previamente. Esta ruptura las un se manifestaba tanto en los niños que cometían errores al resolver las cuentas como en aquellos que obtenían el resultado correcto: ni unos ni otros parecían entender que los algoritmos convencionales están basados en la organización de nuestro sistema de numeración (Lerner, D., 1992). Estas dificultades, lejos de ser una particularidad de los niños con los que hemos trabajado, fueron detectadas y analizadas en el marco de estudios realizados en otros países (Kamii, C. y Kamii, M., M., 19 1980 80/198 /1988; 8; Sellares, R y Bassedas, Bassedas, M., M., 198 1983; 3; B edn arz B. y Jan Jan  vier, B., 1982). Al constatar que los niños no comprenden cabalmente los principios del sistema, diversos investigadores proponen alternativas didácticas también diferentes. De este modo, Kamii sugiere postergar la enseñanza de las reglas del sistema de numeración, en tanto que Bednarz yjanvier intentan perfeccionar el trabajo sobre el agrupamiento explicitándolo a través de distintas materializaciones y planteando situaciones en las que agrupar resulte significativo por ser un recurso económico para contar rápidam ente cantidades grandes grandes.. N i n g u n a d e e s tas ta s d o s p r o p u e s t a s t o m a e n c u e n t a u n h e c h o que la didáctica constructivista no puede ignorar: dado que la

EL SISTEMA DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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numeración escrita existe no sólo dentro de la escuela sino tam bié b iénn f u e ra d e ella el la,, los n iño iñ o s t ien ie n e n o p o r t u n i d a d d e e lab la b o r a r c o n o cimientos acerca de este sistema de representación desde mucho antes de ingresar en primer grado. Producto cultural, objeto de uso social cotidiano, el sistema de numeración se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los libros, las listas de precios, los calendarios, las reglas, los talonarios de la panadería, las direcciones de las casas... ¿Cómo se aproximan los niños al conocimiento del sistema de numeración? Averiguarlo era un paso necesario para diseñar situaciones ciones didácti didácticas cas que dieran op ortu nida d a los los chic chicos os de po ne r en ju j u e g o sus p r o p i a s c o n c e p tu a liz li z a c io n e s y c o n f r o n ta r la s c o n las d e los otros, que les permitieran elaborar diversos procedimientos y explicitar explicitar arg um ento s p ara justifi justificarlos, carlos, que los llevar llevaran an a descu br b r i r lag la g u n a s y c o n tra tr a d icc ic c io n e s e n sus c o n o c im ien ie n to s , q u e b r i n d a ran elementos para detectar los propios errores, que —en suma— los obligaran a cuestionar y reformular sus ideas para aproximarse pr p r o g r e s i v a m e n te a la c o m p r e n s ió n d e la n o t a c i ó n c o n v e n c io n a l. Era necesario entonces —antes de elaborar una propuesta didáctica y someterla a prueba en el aula— emprender un estudio que permitiera descubrir cuáles son los aspectos del sistema de numeración que los niños consideran relevantes, cuáles son las ideas que han elaborado acerca de ellos, cuáles son los problemas que se han planteado, cuáles son las soluciones que han ido construyendo, cuáles son los conflictos que pueden generarse entre sus pr p r o p ias ia s c o n c e p tu a liz li z a c io n e s o e n t r e ésta és tass y c iert ie rtaa s c a rac ra c terí te ríss tic ti c a s del objeto que están intentando comprender. Las entrevistas clínicas que realizamos con parejas de niños de cinco cinco a ocho a ñ o s1 no sólo sólo confirmaron nuestras expect expectat ativ ivas as — al p o n e r d e m a n ifie if iess to la rele re levv a n c ia d e los lo s c o n o c im ien ie n t o s c o n s t r u i dos por los chicos sobre la numeración escrita—, sino que además nos depararon una agradable sorpresa: desde un principio fue po p o sib si b le e s tab ta b lec le c e r r e g u lar la r id a d e s al a n a liz li z a r los lo s d ato at o s q u e o b t e n í a mos. 1. Entrevistamos a 50 niños; los integrantes de cada pareja pertenecían al mismo grado o sección.

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La aparición y reaparición de ciertas respuestas —ideas, justificaciones, conflictos— fue el disparador que nos llevó a esbozar, antes de lo previsto, posibles líneas de trabajo didáctico. Es por eso que, mientras continuábamos realizando entrevistas clínicas, empezamos a poner a prueba en el aula algunas actividades. Como suele suceder, cuando llevábamos a la práctica cada una de estas actividades, la propuesta se iba ajustando y enriqueciendo: po p o r u n a p a r te , n o s o tro tr o s d e s c u b ría rí a m o s n u e v o s p ro b le m a s q u e e ra necesario resolver; por otra parte, los chicos establecían relaciones y nos sorprendían con pregu ntas o con con procedimientos que abrían nuevas perspectivas para el trabajo didáctico. Queda mucho camino por recorrer: es necesario dar respuesta a nuevos interrogantes —surgidos a partir de lo que ahora sabemos— sobre el proceso de apropiación de la numeración escrita; es imprescindible también que la propuesta diseñada sea objeto de una investigación didáctica rigurosa que permita elaborar conocimiento válido sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración en el contexto escolar. De todos modos, los resultados ya obtenidos son suficientes pa p a r a p o n e r e n tela te la d e j u i c i o el e n f o q u e q u e h a s ta a h o r a se h a dado a la enseñanza del sistema de numeración y para mostrar la eficacia de otra modalidad de enseñanza que favorece una com pr p r e n s ió n m u c h o m ás p r o f u n d a y o p e r a tiv ti v a d e la n o ta c ió n n u m é rica. II Donde se cuenta la historia de los conocimientos que los niños elaboran sobre la numeración escrita escrita

¿Qué conclusiones podrían extraer los chicos a partir de su contacto cotidiano con la numeración escrita? ¿Qué información relevante podrían obtener al escuchar a sus padres quejarse del aumento de los precios, al tratar de entender cómo sabe su mamá cuál de las marcas de un producto es la más barata, al ver que su hermano recurre al almanaque para calcular los días que aún faltan para su cumpleaños, al alegrarse porque en la panadería “ya


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van por el treinti” y su papá tiene el treinta y cuatro, al preguntarse qué tiene que ver la dirección que escribió su mamá (Córdoba 4859) 4859) con la indic ació n que le est está á dand o a su herm ana ( “tenés “tenés que bajar al cuatro mil ochocientos”)...? Dicho de otro modo: ¿qué podrían aprender los chicos al presenciar situaciones en las que los usuarios del sistema de escritura que los rodean nombran, escriben y comparan números? Preguntas como éstas nos hacíamos antes de iniciar la investigación. Suponíamos que los niños construían tempranamente criterios para para compa rar números; pensábamos que que — mucho antes antes de sos sospech ar la existencia de centenas, centenas, decenas y unidades — alguna relación debían establecer entre la posición de las cifras y el valor que ellas ellas representan; creíamos qu e los chicos chicos detectaban re gularidades al interactuar con la escritura de fragmentos de la serie. Algunas producciones no convencionales que habíamos visto reiteradamente en las aulas nos llevaron a formular dos suposiciones: que los chicos elaboran criterios propios para producir representaciones numéricas y que la construcción de la notación convencional no sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa construcción. Para verificar — y también para precisar— precisar— esta estass suposicione suposiciones, s, diseñamos una situación experimental centrada en la comparación de números y otra centrada en la producción. La primera era una vari variante ante del ju eg o de la guerra: utili utilizamos zamos un mazo de veinte cartas con números comprendidos entre el 5 y el 31 31 y con un único dibujo en cada carta carta — el que identificaba iden tificaba el palo— , de tal tal m od o que la com paración para ción se ba basa sara ra exclusivamente en la escritura numérica. Al finalizar cada mano, pedíamos a los niños qu e justificaran las decisiones tomadas tomadas durante el ju eg o. La consigna que daba inicio a la segunda situación era: “Piensen un número muy alto y escríbanlo”. Comenzaba luego una discusión en la que los niños opinaban sobre la escritura del compañero y decidían cuál de los dos había escrito un número mayor. Lo que ocurría después dependía mucho de las respuestas y argumentos proporcionados por los chicos y, aunque tomaba la apariencia de un “dictado de cantidades”, se trataba de un dictado cuya característica central era el debate sobre las escrituras producidas. Los datos que recogimos mostraron una alentadora coinciden-

100 100


cia con los obtenidos en el marco de la investigación que están realizando Bressan, Rivas y Scheuer, y nos permitieron delinear el recorrido de los chicos en su intento por conocer el sistema de num eración. Intentarem os exp licitar los aspect aspectos os esenciale esencialess de ese recorrido.

Can tidad de cifras cifras y m agn itud del número o “Este es más grande, grand e, ¿n o ves que tiene más núm ero s? ”

Las afirmaciones de los niños entrevistados muestran que ellos han elaborado una hipótesis que podría explicitarse así: “Cuanto mayor es la cantidad de cifras de un número, mayor es el número”. Veamos algunos ejemplos: — A li n a (6 años, años , p r im e r g r a d o ), al jus ju s tifi ti ficc a r sus sus d ec isio is ion n es en el ju e g o de la guerra, afirma que 23 es mayor mayo r que 5 “por que qu e éste éste (23, pero ella no lo nombra porque desconoce su denominación oral) tiene dos números y tiene más, y éste (5) tiene un solo número”. — L o l i (6 años añ os,, p r im e r g r a d o ) a fi r m a — en la m ism is m a situasitu ación— que 12 es mayor que 6 “porq ue tiene más más núm eros”. — A lan la n (6 años, p r im e r g r a d o ) p o n e en evid ev id en c ia q u e la h ip ó tesis referida a la cantidad de cifras que constituyen un número es mucho más fuerte que cualquier otra consideración vinculada al valor absoluto de cada cifra: (El experimentador hace una contrasugestión que estaba prevista en el diseño de la situación y q u e fu e re c h a za d a p o r to do s los lo s niñ ni ñ os cu an do se comparaban números de una y dos cifras.) Experimentador

Alan

A mí me dijo un chico el otro día que el más grande era éste (9), porque acá había un dos y un uno, y el nueve era más más grande qu e el dos y el uno.

(Se ríe ) ¿Cuántos años tiene?

Después te cuento. Vos primero decíme qué pensás pensás de lo qu e dijo.

Nad a que ver. ver. Un año.

EL SIS SISTEMA TEMA DE NUM ERAC ION: UN PROBLEMA DIDACTICO

101

Experimentador

Alan

¿Por qué? qué?

¡Porqu e qué tienen qu e ver el dos y el uno! Se for ma un núme- núme- ro solo.

¿See form a un núm ero solo ¿S solo??

Y sí, po r ejem plo, algo de cien son tres números y forman un número solo.

— En el caso d e Jona Jo nath tha a n y Sebastián Seba stián (p r im e r g r a d o ), la h ip ó tesis que vincula la cantidad de cifras a la magnitud del número no se refiere sólo a los números de una y dos cifras, sino que se ha generalizado a la comparación de números más grandes: Experimen Experime n tador tador

Jonathan

Ahora les voy a pedir a los dos que escriban el mil cinco.

(Amb os escribe escriben n con vencionalmente 1005.)

(A Sebastián.) Sebastián.) Fijáte cóm o lo escribió Jo Jo natan. ¿Y p or qué se escribe así el m il cinco? Si se se lo tuvieran tuvieran que explica r a otro chico, ¿qué le dirían?

Lo escribimos los dos igual. No sé.

Le diría que es con un uno, un cero, otro cero y un cinco.

El otro día un nene me dijo que el mil ci n co se escr ibía así: así: 1000 5 mil

Sebastián

Porq ue éste (1000) es mil y éste es cinco.

cinco

¿Te parece que está bien así? ¿Por qué?

No. Porque el cinco tiene que ir acá (señala el último cero de

1000). ¿Por qu é tiene qu e ir acá? acá?

¿Y éste (100 05) entonces?

Porqu e en vez del del cero va el cinco. Es otro núm ero.

¿Y es más o m enos q ue 100 1005? ¿Cómo te das cuenta?

¿Los que tienen más números son más

Sí. Es más.

Po rqu e tiene má máss números, tiene un cero más.

Po rqu e tiene má más. s.

102 102


Como se puede observar en las últimas líneas del ejemplo anteri anterior, or, el criter io d e com paración que los chicos chicos han construido construido funciona aun cuando ellos no conozcan la denominación oral de los núm eros q ue están están com parand par and o. 2 Se trata trata enton ent onces ces d e un criterio elaborado fundamentalmente a partir de la interacción con la numeración escrita y en forma relativamente independiente del manejo de la serie de los nombres de los números. Se trata también de una herramienta poderosa en el ámbito de la notación numérica, ya que permitirá comparar cualquier par de números cuya cantidad de cifras sea diferente. Ah ora bien, esta esta herramienta — que era manejada ya ya por todos los niños entrevistados para establecer comparaciones entre números de una y dos cifras y que muchos de ellos utilizaban también para para com parar núm eros compuestos por má máss cifr cifras— as— 3 no se gen eraliza de forma inmediata a todos los casos. Fue uno de nuestros sujetos el que nos mostró algunas de las dificultades por las que debe atravesar esta^generalización: Pablo (6 años años,, prim er gra do ), despué despuéss de haber afirm afirm ado — com o los los niños niños anterio rm en te citados— que es es mayor “el que tiene más más números” siempre que se trataba de comparar un número de una cifra con otro de dos y también en algunas situaciones donde se comparaban números de dos y tres cifras (824 y 83, 138 y 39, etc.), hace afirmaciones contradictorias cuando se trata de comparar 112 y 89. En efecto, él dice en primer término que 112 es mayor que 89 (señalándolos, no conoce las denominaciones) “porque tiene más números”, pero luego cambia de opinión: “No, es más grande éste (89), porque 8 más 9 es 17, y entonces es más”. Dado que en los otros casos Pablo no había apelado para nada a la suma de los valores absolutos de las cifras y había tomado la cantidad cantidad de cifras cifras com o criterio único para establecer establecer la la compara2. Cuando los niños conocen el nombre de los números que están comparando, justifican sus sus afirm afirm acion es a pelan do no sólo a la la cantidad de cifras cifras sino sino también al lugar que ocu pan en la serie numé rica oral: “ 12 es m ayor porq ue tiene más núm eros atrá atrás, s, porqu e 6 para para abajo abajo tiene menos atrás” (Ala n ). 3. La información que tenemos sobre el proceso de generalización es aun insuficiente: no todos nuestros entrevistados tuvieron la oportunidad de comparar números de tres o más cifras, porque esta cuestión se planteó sólo en ciertos casos, en función de las respuestas que los niños suministraban.


103 103

ción, pensamos que es la gran diferencia entre los valores absolutos de las cifras de ambos números lo que lo lleva a poner en tela de ju icio el criterio de com paración que había utili utilizado zado consiste consistenntemente teme nte en todos los caso casoss anteriores, a renunciar a él y a elaborar elabo rar otro espec ífico para esa esa situaci situación. ón. Cabe preguntarse preguntarse po r qué Pablo no apela explícitamen te al valor de los dígitos dígitos que com pon en esos esos números, sino al resultado que se obtiene al sumarlos. 4 Aunque Pablo fue el único de los sujetos entrevistados que puso puso en ju eg o otro c riterio d e c ompa ración además además del basado basado en la cantidad de cifras, consideramos significativa la información que él aporta aporta porque c onfirm a que — como ocurre con otros otros objetos tos de con ocim iento — la gen eralización está está lejos lejos de ser inmediata. Además, el criterio alternativo utilizado por Pablo da cuenta de un problema que probablemente se planteen toaos los chicos en determinado momento de la construcción: ¿cómo se puede explicar que un núm ero cuy cuyas cifras cifras son son todas todas “bajit “bajitas” as” ( I I 10, por ejemplo) sea mayor que otro formado por cilras “muy altas” (999, por ejemplo)? Si bien es necesario profundizar en el estudio del proceso a trav través és del cual cual se se construye construye este este criterio de com paración — cóm o se concibe, conc ibe, cóm o se se genera liza, qu é conflictos deb e afrontar— , es indudable que su elaboración constituye un paso relevante hacia la comprensión de la numeración escrita.

L a p osición de las las cifra cifras s como criterio de comparación o “el prim ero es el que manda ma nda ”

Al comparar numerales de igual cantidad de cifras, los niños esgrimen argumentos a través de los cuales se evidencia que ellos ya han ha n d e scu sc u b iert ie rto o que qu e la p o s ic ió n d e las cifra cif rass c u m p le una un a fu n ción relevante en nuestro sistema de numeración: — L u c ila il a (5 años añ os,, p r e e s c o l a r ) , d espu es pu és d e a fir fi r m a r qu e 21 es mayor mayo r que 12, lo justifica así así:: “Po “ Po rqu e el uno (en 12) 12) es prim pr im ero y el dos es después; porque (en 21) el dos es primero y el uno es después”. 4. Esta es una de las cuestiones que será necesario seguir investigando.

DID ACT ICA 1>E MATEM ATICAS

((> anos, primer grado) no consigue explicar cómo se il.i cuenta de que 31 es mayor que 13. Se le pregunta entonces cóm o se lo explicaría a otro chico, y ella responde: responde: “Que se fije d ónde está el 3 y dón de está está el 1, o d ón de está está el 1 y dón de está está el 3”. 3” . — A lin li n a , y s o b re t o d o A r i e l (6 años añ os,, p r im e r g r a d o ) , son más explícitos: N . m I i .i

Ex Exberimenlador

Alina

Ariel

¿Por qué ganó éste? éste? (21 ) (El experim entad or pide justificación de la decisión decisión que ellos tomaron cuando los números comparados eran 12 y 21.)

Porque éste (21) es más alto que éste ( 12) .

Per o son los mismos números.

Sí, Sí, pe ro *a l revés... revés...

Al revé revés. s. T ie n e qu e v er m ucho. Este (el 2 de 21) es más alto que éste (e l 1 de 12) y se se diferencia por el primero.

¿Al revés? revés? ¿Y eso qu é ti ene que ver?

¿Y por qué será que se diferencia por el primero?

Po rqu e sí. sí.

¿No hay una razón?

¡Yo qué sé!

¿Vos ¿Vos sabés sabés qué nú m ero es éste? éste?

Veintiuno.

¿Y éstej

Doce.

¿Y de ahí podés sacar algo para darte cuenta de cuál es más alto?

¿Dónd e está está prim ero?

De acuerdo. Aho ra me convencis convenciste. te.

Sí, porque éste (21) esta después y éste (12) está primero. Hacem os la cuenta cuenta.. Mirá: uno, dos, tres... (sigue contando hasta doce) acá está el doce... trece, catorce... (sigue contando hasta veintiuno) veintiuno. ¿Viste? ¿Hicimos la cuenta? cuenta? (Luego, al comparar 21 y 23, Ariel dice que este último es mayor, porque tres es más que uno y, ante una pregunta del experimentador, aclara que en este caso se fija en el segundo número “porque en el prim ero hay un dos y un dos .)

EL SISTE SISTEMA MA DE DE NUMER ACION: UN PROBLEMA DIDACT ICO

105 105

Otros sujetos explicitan con mayor claridad aún cómo debe aplicarse el criterio de comparación basado en la posición de las cifras. Veamos cómo lo expresa Guillermo: Guillermo

Yael

(Ya decidió que 21 es ma yo y o r q u e 12.) T ie n e n los lo s m ism is m os n ú m e ros. Nada más que acá el dos está adelante y acá está atrás. El qu e más valo r tien e es Los dos dos tienen valor valor,, el de ad elante.

Sí, los dos tienen valor. Podés fijarte en el de atrás. Pero primero primero fijá te en el de adelante.

[...] Si el primer número de una carta es igual al primer nú mero d e la otra otra y e l s e g u n d o es u n o má máss alto que el otro, sí importa el segundo.

Los niños citados citados han han d escub ierto ya ya — además además de la vinculación ent re la cantidad desc descifr ifras as y la ma gnitud del núm ero— otra característica específica de los sistemas posicionales: el valor que una cifra representa, lejos de ser siempre el mismo, depende del lugar en el que esté ubicada con respecto a las otras que constitu yen ye n el n ú m e ro. ro . Sabe Sa ben n tam ta m b ién ié n qu e, si se com co m pa ra ran n dos do s nú m eros er os de igual cantidad de cifras, será necesariamente mayor aquel cuya primera cifra cifra se sea mayor y por eso pueden afirmar afirmar — com o lo hiciehicieron muchos de los suj sujet etos os entrevist entrevistados— ados— que “el prim ero es el que manda”. Saben además que, cuando la primera cifra de las dos cantidades es la misma, hay que apelar a la segunda para decidir cuál es mayor. Llama la atención el hecho de que para muchos niños los

106


argumentos estrictamente estrictamente re feridos a la la num eración escri escrita ta tengan prioridad sobre los vinculados a la serie numérica oral. Alina y Ariel, por ejemplo, justifican originalmente sus afirmaciones apeland o a la pos ición de las las cifras cifras en los núm eros escritos escritos ( “Están “Están al al revés”, revés”, “Se “Se diferenc ia po r el pr im ero ”), y sólo sólo aportan aportan argumentos refe rid os a la serie oral ( “Sí, “Sí, por qu e éste éste [21] está está después después y éste [12] está primero”) cuando el experimentador los insta a hacerlo. Ahora bien, tal como lo observáramos en relación con la hipótesis referida a la cantidad de cifras, el criterio de comparación basado en la posición de las cifras está lejos de construirse de una vez y para siempre, ya que su generalización requiere también la superación de algunos obstáculos. Es lo que nos muestra Alina, quien — a pesar pesar de haber aplicado consistentemente consistentemente este este criterio en cas casi todos los cas casos os— — tropie tro pieza za con una dificultad dificult ad cuand o se tratrata de comparar 25 y 16: (La situaci situación ón se prod uce dura nte el jue go . La cart carta a de Alina tiene el n úm ero 25, la de Ariel el número 16.) Exp erime ntad or

Alina Alina

Arie Ariel l

¿Quién ganó?

Ganó Ariel.

No , ganó ella ella..

El, porque éste (25) tiene un dos y un cuatro (!), y éste (16), un uno y un seis [...]) Este (25) tiene un .■'úmero menos, y éste (señalando el 6 de 16), un núm ero má más. s. ¡No! Pe ro se cuenta con ti primero.

Alina parece sostener aquí que es mayor el número que contiene la cifra más alta, independientemente del lugar en que ella esté ubicada. Parece que, también en este caso, el valor absoluto de los números puede hacer dudar de la validez de un criterio que se consideraba válido para muchos otros casos. Por otra parte, como lo muestran claramente algunas respuestas de Ariel ( “Porqu e sí”, “¡Yo qué sé!”), el cono cim iento que los los niños tienen sobre la variación del valor de las cifras en función del lugar lugar que ocupan ocupan no va acompañado acompañado — ni mucho menos preced ido — po r el co no cim iento d e la las razones razones que originan esta esta

EL SISTE SISTEMA MA DE DE NUM ERACION : UN PROBLEMA DIDACTIC O

107

variación. Estos niños no sospechan aún que “el primero es el que manda” porque representa grupos de 10 si el número tiene dos cifras, de 102 102 si tiene tien e tres.. tres.... en tanto que q ue las las siguie sig uiente ntess represe repr esenta ntan n potencias menores de la base 10. Tod T od a v ía n o han d escu es cubi bier erto to la reg r egla la d e l sistema sistem a (la (l a ag agru rupa paci ción ón recursiva en base 10), pero esto no les impide en absoluto elaborar hipótesis referidas a la las consecuencias consecuencias de esa esa regla reg la — la vinculación entre la cantidad de cifras o su posición y el valor del número — y utili utilizarl zarlas as com o c riterios riterios váli válidos dos de com parac ión de números. núm eros. A partir de estas tas hipótesi hipótesis, s, ellos po drá n sin duda plantears tearsee — y el maestro maestro p odrá plantearles— interrog ante s que los los conducirán, a través de aproximaciones sucesivas, a descubrir las reglas del sistema. En efect o, en tanto que A rie l no in tenta jus tificar su su afirma ción — contesta contesta con un lacónico “porq ue sí” sí” cuando se le pregunta po r qué “se “se diferenc ia por el pr im ero ”— , otros niños han han enco ntrado ya una explicación de ese criterio que ellos mismos han elaborado. Es lo que nos muestra, por ejemplo, Guillermo (6 años, prim er gra do ), quien se ve obligad o a explicitar su su argumentación para convencer a su compañera: Experimentador

Guillermo Guiller mo

¿Cuál es más alio? (se están tán com para ndo 25 y 31). Est Este (31 ).

Yael

A m í me pa rec e que éste éste (25), porque tiene un dos y un c in c o y éste és te (3 1 ) tieti ene un tres y un uno. Más altos son éstos números (señalando las cifras de 25).

Este (31) es más alto. ¿Por qué? Porque mirá: no tiene nada que ver el segundo número con el primero, por que acá tres y acá (2 de 25) dos. Dos es menos que tres. Esto es treintiuno y e s to es veinticinco, n o treinticinco.

(A Yael) ¿Qué te parece lo lo que él dice? ¿Lo enten dés?

N o ( r i én én d o s e ) .

108 108 Experimentador

DIDA CTICA DE MATEMATICAS MATEMATICAS Guillermo

Explicále mejor, Guillermo. Mirá, prim ero viene el diez y segundo saltás diez, diez, diez, así ¿no? Entonces se cuenta, diez, veinte, treinta... entonces al treinta le sacamos cinco y nos queda veinticinco y acá (31) al treinta le agregamos uno, nos queda treinta y uno.

Guillermo no ha oído aún hablar de “decenas” (acaba de ingresar en primer grado); ni siquiera afirma que la primera cifra de un número de dos cifras se refiere a “dieces”. Pero él sabe muy bien que esa primera cifra se refiere a algo del orden de los “vein ti”, “treinti” o “cuarenti” en lugar de representar simplemente “dos ”, “tres” o “cua tro”, tro” , y sabe sabe también q ue esos núm eros — veinte, treint treinta, a, etc.— etc.— se obtiene n c ontan do de a diez en el orden de la serie. Sin disponer del extraordinario manejo operatorio que refleja el último argumento de Guillermo, otros niños han proporcionado argumentos similares al primero que él aporta. Seguramente, este tipo tipo d e jus tifica ción se hace posible c uando los niños logran coo rdina r lo que han descubierto en la escr escrit itura ura numé rica — que el valor de una una cifra cifra varía en función de la posición que ocupa— con la información que les aporta la serie numérica oral, a partir de la cual ellos pueden establecer intervalos constituidos por “veintis”, “treintis”, etcétera. Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los niños intentan combinar ios conocimientos que ellos han construido con los que les han impartido en la escuela? Para responder a esta pregunta, tomaremos como ejemplo a los únicos niños de primer grado que inclu ye y e ro n en sus sus respue re spuestas stas la pa pala labr bra a “dec “d ecen en a s” .

EL SISTE SISTEMA MA DE DE NUMERACIO N: UN PROBLEMA DIDACTICO Experimentador

109 109

Loli

Alan

Acá (21) el dos está delante y acá (12) está atrás.

Sí.

Sí, pero no están igual ordenados.

Esto (12) es una decena.

(Los niños afirmaron afirmaron que veintiuno es mayor que doce) ¿Cómo saben que es más grande, si los dos tienen los mismos números? Yo no me doy cuenta cuenta muy bien, porque son los mismos números. ¿Cuál?

¡Ah! ¡N o! Es una docena.

¿Y veintiuno?

Yo no lo sé... Qué es veintiuno una decena... ¡qué se yo! Creo... ¿o no?

¿Una decena?

Sí, tiene una, dos. Acá (señala el 2 del 21).

No, no tiene ninguna decena. El uno no es ninguna decena y el dos dos tamp oco. co .

El veinte sí, en el veinte sí hay dos decenas.

¿Por qué introduce Alan el término “decena”? Tal vez porque sospecha la existencia de alguna relación entre ese término y el valor de la cifra que aparece ubicada “adelante” en los números de dos cifras. Pero esta sospecha es suficientemente vaga como para que él pueda afirmar que 21 “no tiene ninguna decena, el uno no es ninguna decena y el dos tampoco”. En el caso de Loli, ocurre algo diferente: aunque ella no acude espontáneamente al concep to de decen a — sino sino a la posición de las las cifra cifras— s— para explicar p or qué 21 es mayor que 12, parece com prender que el 2 de 21 representa dos decenas. Su respuesta final muestra claramente cómo llegó a comprenderlo: puede entender que en 21 hay dos decenas porque ese 2 no significa para ella “dos” sino “veinti”. Cabe preguntarse entonces: ¿aprender el concepto de decena ayuda realmente a conocer los números? ¿O es más bien el conocim iento de los los números — y de su escri escritur tura— a— lo qu e ayuda ayuda a comprender el concepto de decena?

110


Alg uno s números números privilegiad os: el rol de de los los nudos nudos

La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura escritura de los nudos — es decir de cir d e las las decenas, centenas, unidades de m il..., exacta exactas— s— y sólo después elaboran la escritura escritura de los números que se ubican en los intervalos entre nudos. Veamos ante todo las respuestas de los niños:

E xp m mentador

Gisela

Escribí un número, el que tengas ganas, que te parezca bastante alto.

(Escribe 1000).

¿Cuál es ése?

El mil.

¿Y el dos mil cómo se escribe?

(Escribe 200.)

¿Ese es el dos mil?

(Agrega un cero a su escritura anterior.)

¿Y éste (20 0) cuál es? es?

Doscientos.

¿Y éste? éste? (tap an do un 0 del 1000) 1000)

El cien.

¿Y el tres mil?

(Escribe 3000).

¿Y cóm o escribirí escribirías as el dos mil qu inientos?

(Gran desconcierto.) No me acuerdo.

¿Y el quinientos?

(Escribe 005.)

Acá tenés el dos mil (señalando una escritura escritura ante rior) y acá el quinientos... No te servirá para nada para escribir el dos mil quinientos?

Sí.. Sí.... (N o se anima.)

EL SISTEMA SISTEMA DE NUM ERACION: U N PROBLEMA DIDACTICO

111

El caso de Nadia (6 años, primer grado) es aún más claro:

Experimentador

Nadia

A ho ra te voy a pe dir q ue escribas escribas un núm ero que vos pienses que es muy alt alto. o.

¿Muy alto?

Sí.

Voy a escribir como máximo mil (escribe 900).

¿Cuál es? es?

Novecientos.

¿Y mil cóm o es?

(Escribe 1000.)

¿Có m o te parece qu e será dos mil? mil?

(Escribe 2000.)

¿Y cuatro mil? mil?

(Escribe 4000.)

¿Nueve mil?

(Escribe 9000.)

¿Diez mil?

(Escribe 10000.)

Y de cím e... Mil cien, cien, ¿cómo te parece que es?

¿N o existe? existe?

(Muy sorprendida.) ¿Mil cien? Para mí ese número no existe. (Piensa un largo rato v luego escribe

1000100.)

¿Mil quinientos?

(Escribe 1000500.)

Si bien la mayoría de los niños entrevistados escribían ya en forma convencional los nudos de las decenas, las centenas y las unidades de mil, obtuvimos algunas respuestas que proveen indicios sobre el camino que los niños recorren para elaborar estas escrituras. Observemos, por ejemplo, las producciones y reflexiones de Christian (5 años, preescolar) en la siguiente situación: Experimentador

Christian

Rubén

[...] ¿Y cómo escribirían ustedes el cien? ¿Có m o es es?

Ah, No , yo lo puedo escriescribir bastantes bastantes veces el c ien. Un uno (lo escribe) y dos ceros (los escribe). escribe).

(Escribe 100.)

112 112

DIDAC TICA DE MATEMATICAS

¿Y el dos cientos?

Yo no lo sé escribir escribir..

¿Y el trescientos? trescientos?

Voy a escribir todos los números desde el cien hast hasta a don de se termin a el cien.

Este Este (marcand o el primer núm ero escrito escrito p o r ChrisChristian) ¿es el cien? ¿Y cuál es el ciento uno? ¿Y es igual que éste? (Señalando el primero.)

¡Ah! ¿El que tiene el cero más grande es ciento uno? (¡¡Es (¡¡Es cie rto!!) Ajá. ¿Y ¿Y ciento cinc ci nc o, cóm o sería sería??

Bueno, cuando termines, avisános. (Mientras tanto, se se pid e a Rubén que escriba escriba ciento treinta, ciento treinta y ocho, doscientos veintitrés, quinientos.)

100

100

200

cien

ciento uno

ciento dos

Acá está el doscientos (< cribe 200).

(Escribe 300.)

Sí. Este (marca su segundo número: 100). Sí.. Sí..., ., no, p orq ue éste éste (señalando el primer 100) tiene el cero más chiquito y éste (marcando el segundo) tiene el cero más grande.

Sí, y el uno también es más grande grande . Esperá que quiero escribir desae el uno hasta donde termina el cien.

(Christian ha escrito: 100 100 200 3000 400)

(Escribe 106.) 106.)

(Escribe: 130 138 223

eoo.) Y vos, vos, Christian, ¿podrías escribir escribir quinientos?

¿Quién no lo sabe al quinientos? Espero que me salga bien el cinco. (Escribe 500.)

EL SIS SISTEMA TEMA DE NUM ERACIO N: U N PROBLEM A DIDACTICO Bueno, explicáme explicáme lo que escribiste antes

(Lee) 100 100 200 300 400

cien

Vos dijiste a escribir acabara el se acaba el

antes que ibas hasta que se cien. ¿Cuándo cien?

11 »

ciento ciento ciento ciento ciento un o dos tres cuatro

(Piensa un rato) Iba a escribir hasta ciento nueve (agrega a su serie 500) 100 100 200 300 400 500 Es el ciento cinco (señalando 500) El mismo, i¡mirá!! (mostrando la escritura anterior de 500 que él mismo había producido.)

¿Cuál era ése?

Quinientos.

¿Y éste éste?? (señala ndo e l que el acaba acaba de prod uc ir).

Ciento cinco. cinco.

¿Y te parece qu e pu ede ser que quinientos y ciento cinco se escriban igual?

N o.

¿Y cóm o nos damos cuenta de cuál es cuál? ¿Con los mismos números?

Hago uno grande y otro chiquito. A éste éste (al que había interpretado antes como quinientos) le hago una ra ya: ya : 500 50 0 y al o t r o lo d e j o sin raya.

¿Co n raya cuál es? es?

Quinientos.

¿Y sin raya?

Ciento cinco. cinco.

¿Y mil?

Yo lo sé escribir.

A ver, ¿cómo lo escribirían?

(Escribe 1000.) ¡Cómo no voy a saber escribir el mil si antes escribí el cien mil! (Efectivamente, lo había esc rito así: así: 10010 00.)

(Ha escrito mientras tanto, a pedido del experimentador siempre en forma convencional: 110, 900, 932, 907)

1000

114 114


Christian maneja ya la escritura convencional de la segunda y la tercera potencia de la base (100 y 1000). ¿Cómo utiliza el conocimiento de la escritura de cien para producir los números siguientes? Parece que no la utiliza como base para producir los otros nudos de las las centenas centenas — él dice que no sabe sabe escribir escribir doscientos, tos, y quinientos quinientos parece ser ser una una form a fija, fija, proba blem ente con ocida a trav través és del bille te de 500 austral australes— es— , 5 sino para hipo tetizar acerca de la escritura de los números comprendidos entre cien y ciento diez. El supone que estos números tendrán dos ceros — c o m o c ie n — y qu e se d ife if e re n c iar ia r á n d e cien ci en p o r la cifra ci fra inic in icia ial. l. El problem a es que esta esta hipót hipótesi esiss no le perm ite d iferenciar — utiutilizand o núm eros distint distintos— os— cien de c iento uno, y seguram ente es es por eso que apela al tamaño para diferenciarlos. Resulta además impactante constatar que el hecho de conocer la escritura convencional de qu iniento s no lo lleva a dudar de su hipótesis — en efe cto, sigue sigue afirma nd o que 500 500 represen represen ta cien to cin co— , sino sino a emplear un recurso no numérico para diferenciar las dos escrituras. 6 Ah ora bien, vario varioss niños niños nos proveye ron — trabaja trabajando ndo en el aula— escritur escrituras as apare nte m ente en te invers inversas as a las las de Christian, Christian, pe ro cuyo significado nos parece similar: ellos escriben cuatrocientos como 104, trescientos como 103, seiscientos como 106. Estos niños piensan que la escritura de los otros nudos de las centenas conserva características de la escritura de 100: también tienen tres cifras, pero pe ro en este caso caso se se mantien en las dos primeras — el uno y el cer o iniciales iniciales de 100— 100— y se expresa la la difere nc ia variando el ú ltimo número. To T o d o s estos est os da dato toss sugi su giee ren re n qu e los n iños iñ os se a p ro p ia n en p r imer término de la escritura convencional de la potencia de la base (100, es d ec ir 10‘ 10‘¿, en este ca so ), y que la escritura de los o tros nudos nudos c orrespon dientes a esa esa poten cia se elabora sobre ese mo de lo, conservando la cantidad de cifras, manteniendo dos de las

5. Cuando se entrevistó a Christian, los australes estaban aún en curso. 6. Aunque el recurso que utiliza Christian pueda parecer exótico, tal vez resul resulte te más pertine nte si se se recuerda que otros sist sistema emass de num eración — com o po r ejem plo el_roma no— han apelado a grafías grafías del m ismo tipo para para diferenciar n ú me me ros ( V v V ) .

EL SISTE SISTEMA MA DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDAC TICO

cifras que componen cien y variando la otra. El caso de Christian indica que un p roce dim iento simil similar ar pod ría ser utilizado utilizado — ;il me nos p or algunos niños— para reconstru ir la la escri escritura tura de los los números ubicados entre 100 y 110. El problema que se les planteará entonces será el de encontrar una manera de diferenciar numéricamente la escritura de doscientos y la de ciento dos, la de quinientos y la de ciento cinco, etcétera. La búsqueda de esta diferenciación seguramente conducirá a descubrir que en el caso de los nudos (200, (200, 300, 300, etc.) lo que varía — en relación re lación con la escrituescritura de cien — es el prim er núm ero, en tanto que en el caso caso de 101... 109, 109, lo q u e varía es es el último. últim o.

E l pap el de de la n umeración um eración hablada hablada

Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números, basándose en las informaciones que extraen de la numeración hablada y en su conocimiento de la escritura convencional de los nudos. Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que se correspondan con el orden de los términos en la numeración hablada. Veamos Vea mos algunas escritu escrituras ras y justificacio jus tificacione ness de d e los sujet sujetos os entre en tre-vistados que ilustran claramente lo que intentamos decir: — L u c ila il a y Sant Sa ntia iago go (los (lo s dos do s tie n en c inc in c o años año s dín de infantes) escriben: 108

y

asisten al jar-

109

Los dos interpretan sus escrituras como “dieciocho” y “diecinu eve” respectivamente respectivamente.. — Yael Ya el h ace ac e a lg o similar, p e r o ad adem emás ás nos lo expl ex plic ica: a: Mientras está registrando su puntaje en el juego de la guerra, anota anota “d iec ioc h o” com o 108 y justifi justifica ca diciendo que diec iocho sr

DIDACTICA DE MATEMATICAS MATEMATICAS

116 116

escribe así “porque hay un diez, que es un uno y un cero, entonces se ponen los dos con el ocho”. G uillerm o — su com pañero, que escri escribe be convencionalm ente los los números de dos cif cifras— ras— objeta: “ ¡N o! Po rqu e es es co m o pas pasa a con el veinte o con el treinta... Porque el cero se usa para el treinta, pero no se usa para el treinta y uno, ni para el treinta y dos, ni para el trein ta y tres tres.. [. .. ] De tres tres núm eros no se pued e, no se puede [...] porque el cien se se escribe así [100]”. Yael lo escucha atentamente, pero un rato después escribe treinta y cuatro como 304 y — al m ira ir a r la escr es critu itu ra c on v en c ion io n a l d e G u ille il le r m o ( 3 4 ) — afirm af irm a: “Para mí, se puede hacer de las dos maneras”. — M a rtín rt ín (6 años, p rim ri m e r g ra d o ) escr es crib ibe: e: 700 25 sete sete veinti cien cien cinco tos

1000 800 32 mil och o treinta y dos cientos

8000 oc ho mil

6000 300 45 seis seis tres tres cuarenta y cinco mil cientos

200 dosc ientos '

En el último caso, corrige su escritura después de interpretarla y l o hace ha ce así: 630045. — Da Dan n (6 años, año s, p rim ri m e r g r a d o ) escr es crib ibee tam ta m bién bi én 60003004 6000 30045; 5; al igual que Martín, considera incorrecta su escritura, pero la corrige de otra forma: 63045. — D a n ie la (5 años, años , p re e s c o lar) la r),, que qu e escr es crib ibee c o n v en c ion io n a lm e n te todos los números de dos y tres cifras que le proponemos, y también un número de cuatro cifras (1036), hace algo diferente cuando le pedimos que escriba mil quinientos treinta y seis. Su prod pr oduc ucció ció n origi or igina na l es: es: 1000 1000 500 500 36, la le e así: así: ' m il qui treint tre inta a y seis seis nien tos e inmediatamente la corrige: 1000536.

EL SISTEMA SISTEMA DE NUMER ACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

117 117

Luego escribe ocho mil quinientos treinta y cuatro: 8 1000 50034, y en seguida rectifica: 8 1000534. Para cuatro mil ciento cuarenta y cinco produce: 4 1000 145. — Chris Ch ristia tian n — quie qu ien, n, c o m o h em os visto vis to en el p unto un to anter an terio ior, r, escribe convencionalmente cien y mil, pero produce los números comprendidos entre 100 y 110 basado en una hipótesis que le es pro pia— escribe escribe en form a convencion al también también un un millón (1.000.000). Sin embargo, cuando le solicitamos que escriba otros números, sus producciones son las siguientes: M il cient cie nto o cinco: cinc o: 1000 1000 100 100 5 Dos mil: 2 1000 Diez mil: 10 1000 Cien mil: 100 1000 Al comparar su escritura de cien mil con la de Rubén (100.000), Christian considera posibles las dos escrituras: “Si yo le sacara sacara éste ( e l 1 de 1000) 1000) y pusiera pusier a un punto, punt o, igual dice c ien m il” il ” . Pero en seguida señala: “También sé escribir un millón diez” y escribe: 100000 00000 010. 10. “C uand o escribí escribíss un un millón diez — agreg a— no podés sacarle el uno (el de diez), porque no sabés si es ése. Y entonc es, ¿cóm o adivinás qué nú m ero es? N o sabé sabéss que es di ez ’ . (En otros términos, este uno no puede reemplazarse por un punto, co m o ocu rre con el 1 de 100 1000 en cien m il). La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convencionales. ¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional. En efecto, si la organización de la numeración hablada fuera posicional, la denominación oral correspondiente a 4705, por ejemplo, sería “cuatro, siete, cero, cinco”; sin embargo, la denominación realmente utilizada para ese número explícita, además de las cifras cuatro, siete y cinco, las potencias de diez correspondiensetecientos tos cinco). tes a esas cifras (cuatro m il setecien cinco). Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta es la de las operaciones involucradas en la numeración hablada y en la numeración escrita.


I n l.i nu m era ción hablad a, la yux tap osic ión de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma (mil cuatro significa 1000 + 4, por ejemplo) y en otro ot ross una un a m u ltip lt ip lic li c a c ión ió n (o c h o c ie n to s sign si gn ific if ica a 8 x 100, 100, p o r ejemplo). En la denominación de un número, estas dos operaciones aparecen en general combinadas (por ejemplo, cinco mil cuatrocientos trocientos significa 5 • 1000 1000 + 4 • 100) 100) y — com o para com plica rle la existencia existencia a quien intente com pr en de r el sis siste tema ma— — un simple cambio en el orden de enunciación de las palabras indica que ha cambiado camb iado la ope rac ión aritmética involucrada: cinco mil (5 • 1000) 1000) y m il cin ci n co (1000 (10 00 + 5 ), seisc se iscien ientos tos (6 • 100) y c ien ie n to seis (100 (1 00 + 6 ). Para colm o d e males, males, la la con junc ión “y” — que representa lingüísticamente la adic ión— sólo aparece cuand o se se tra trata ta de reu nir dec enas y unidades. Ahora bien, ¿podemos afirmar que las escrituras no convencionales producidas por los chicos son efectivamente aditivas y/o multiplicativas? Cuando ellos escriben doscientos cincuenta y cuatro como 200504, ¿piensan que el valor total de ese número se obtiene sumando 200+50+4?; cuando escriben 4 1000 para cuatro mil, ¿están representando la idea de que el valor total de ese núm ero se se ob tien e m ultip lican do 4 • 1000? ¿Com pren den los los niños las operaciones que parecen estar involucradas en sus escrituras o bien éstas resultan simplemente del establecimiento de una correspondencia con la numeración hablada? Nos interesa encontrar respuestas para los interrogantes formulados porque la suma y la multiplicación por las potencias de la base están también involucradas en la numeración escrita convencional. Por lo tanto, si los chicos descubrieran las operaciones implicadas en la numeración hablada, este conocimiento sería relevante para entender cómo funciona la numeración escrita. La numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que la numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican sieijipre de la misma manera: se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la que corresponde, se suman los productos resultantes de esa multiplicación. 7 Es más hermética porque en ella no hay ningún rastro de las ope7. 48 15 = 4 • 10* + 8 • 102 + 1 . 101 + 5 • 10

EL SIST SISTEMA EMA DE DE NUMERACION: UN PROBLEMA D IDACTICO

raciones raciones aritméti aritméticas cas involucrada involucradass y por qu e — a diferen cia de lo que ocu rre con la num eración hablada— las potencias de la ba base se no se representan a través de símbolos particulares sino que sólo pueden inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras. Hemos iniciado indagaciones destinadas a responder las preguntas ante antess planteadas. planteadas. Lo s datos reco re cogid gid os hast hasta a ahora muestran que los chicos que producen notaciones en correspondencia con la numeración hablada hablada pueden haber descubierto o no las relaciorelaciones aritméticas subyacentes a ella: mientras que algunos vinculan — p o r e je m p lo — la escritu esc ritura ra 200 50 4 a la a d ició ic ión n d e 200, 50 y 4, otros la justifican ap apelan elan do exclusivamen exclusiva mente te a la las palabras palabras que constituyen la denominación oral del número representado. Estos resultados resultados — muy insufici insuficientes entes aún— aún— llevan llevan a suponer supon er una pr og rere sión posible desde una simple correspondencia entre el nombre y la notación del número hacia la comprensión de las relaciones aditivas y miltiplicativas involucradas en la numeración hablada. Las escri escritu turas ras numéricas numéricas no con vencionales venc ionales producidas po r los niños están hechas entonces a imagen y semejanza de la numeración hablada. Ahora bien, quien adhiere a la escritura no convencional ¿lo hace en forma absoluta o es simultáneamente partidario de la notación convencional? En las escrituras numéricas realizadas por cada niño en el curso de una entrevista, coexisten modalidades de producción distintas para números ubicados en diferentes intervalos de la serie. En efecto, niños que escriben convencionalmente cualquier número de dos cifras (35, 44, 83, etc.) producen escrituras en correspondencia con la numeración hablada cuando se trata de centenas (10035 para ciento treinta y cinco, 20028 para doscientos veintiocho, etc.). Del mismo modo, niños que escriben convencionalmente números de dos y tres cifras apelan a la correspondencia con lo oral cuando se tra tratta de escribir escribir mile miles: s: escriben escriben — po r ejem p lo— 135, 483 o 942 en forma convencional, pero representan mil veinticinco como 100025 o mil trescientos treinta y dos como 100030032 o 1000332. Sin embargo, la coexistencia de escrituras convencionales y no convencionales puede aparecer también para números de la misma cantidad de cif cifra ras: s: algunos algunos chicos chicos escriben conve nciona lmentc números comprendidos entre cien y doscientos (187,174, etc.),

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pero no generalizan esta modalidad a las otras centenas (y anotan entonces 80094 para ochocientos noventa y cuatro o 90025 para novecientos veinticinco). Por otra parte, muchos niños producen algunas escrituras convencionales y otras que no lo son en el interior de una misma centena o de una misma unidad de mil: 804 (convencional), pero 80045 para ochocientos cuarenta y cinco; 1006 para mil seis, pero 1000324 para mil trescientos veinticuatro. Señalemos, finalmente, que la relación numeración hablada numeración escrita no es unidireccional: así como la información extraída de la numeración hablada interviene en la conceptualiza ción de la escritura numérica, recíprocamente, los conocimientos elabor ados sobre la escri escritura tura de los núm eros incid en en los juicio s comparativos referidos a la numeración hablada. Veamos, por ejemplo, lo que ocurre con Christian (5 años) al comparar cien mil y mil cien: Experimentador

Chistian

¿Cómo escribirías mil cien?

N o, cien mil. mil.

Cien mil es un número. Mil cien, ¿es otro número?

N o , es igual. Es al revés.

¿Pero es el mismo número? Por ejemplo, si yo digo que tengo cien mil australes o mil cien australes, ¿es lo mismo?

N o, porq ue está está al revé revéss el núme ro.

¿Y cuándo te ng o más? más? ¿Cuando teng o cien mil o cuando tengo mil cien australes?

Cuan do tengo mil cien. cien.

¿Y cóm o te das das cuenta de qu e mil cien es más?

Porq ue en mil cien cien está está el mil prim ero, y e l m il es más g ra n d e q u e e l cien ci en . (Respuestas similares se producen luego al comparar diez mil y mil diez.)

Christian aplica a la numeración hablada un criterio que, como sabemos, ha elaborado para la numeración escrita: “El que manda es el primero”. El razonamiento subyacente al argumento que esgrime parece ser el siguiente: cien mil y mil cien están com

EL SIST SISTEMA EMA DE NUMERAC ION: UN PROBLEMA DIDACTICO

121 121

puestos puestos los los dos po r los mismos símbo los — m il y cien (o 1000 000 y 100)— ; para saber cuál cuál es may mayor, or, hay que fijarse en el de adelante. Christia Christian n supone que esta esta regla — válida para la nume ración escri escri-ta— ta— es válida tam bién para la num eración era ción hablada y es es esta esta suposuposición sición de una cohere ncia mayor que la existente existente la que lo induce a error. Evidentemente, no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la numeración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita, aceptar que lo uno no coincide siempre con lo otro, detectar cuáles son las informaciones provistas por la numeración hablada que resulta pertinente aplicar a la numeración escrita y cuáles no, descubrir que los principios que rigen la numeración escrita no son directamente trasladables a la numeración hablada... Y, sin embargo, a pesar de todas estas dificultades inherentes al objeto d e con ocim iento, los los niños niños se se apropian apropian p rogresivamente de la escritura convencional de los números que antes producían a partir de la correspondencia con la numeración hablada. ¿Cómo lo hacen? Es lo que trataremos de mostrar en el próximo punto.

Del conflicto a la notación convencional

Dos de las conceptualizaciones que hemos descrito en los puntos anteriores llevarán a los niños a conclusiones potencialmente contradictorias: — p o r una un a pa part rte, e, ello el loss supo su pone nen n qu e la n u m era er a ció ci ó n escrit esc rita a se corresponde estrictamente con la numeración hablada, — p o r o t r a p a rte, rt e, e llo ll o s saben sa ben qu e e n n u e stro st ro sist si stem ema a de num eración la cantidad de cifras cifras est está á vinculada a la la m agnitud del número representado. La primera prim era d e estas tas conceptualizaciones se aplica aplica fundam entalmente a la escritura de números ubicados en los intervalos entre nudos, en tanto que estos últimos son representados en forma convencional. En consecuencia, las escrituras producidas por los niños para los números ubicados entre dos nudos determinados

122 122


tendrán más cifras que las que representan a los nudos mismos: ellos escribirán convencionalmente, por ejemplo, 2000 y 3000, pero dos mil setecientos ochenta y dos será representado como 200070082 (o, eventualmente, como 2000782). El niño podría aceptar que dos mil setecientos ochenta y dos se escriba con más cifras que dos mil, puesto que el primero es mayor que el segundo. Pero, si él piensa simultáneamente que un número es mayor cuantas más cifras tenga, ¿cómo puede aceptar que dos mil setecientos ochenta y dos se escriba con más cifras que tres mil? De este modo, la escritura producida a partir de una de sus conceptualizaciones — la corresp ond encia con la numeración numeración hablada— hablad a— resulta inacept inac eptable able si se se la evalúa a partir part ir de otra d e sus sus conc eptu alizaciones — la vinculación e ntre cantidad cantidad de cifras cifras y magnitud del número. ¿Cómo maneja el niño esta contradicción entre sus conceptualizaciones? ¿Toma conciencia de ella de inmediato? ¿En qué se apoya para resolverla? Los datos recogidos hasta ahora sugieren que, en un comienzo, la contradicción detectada por el observador no se constituye en un conflicto para los niños. Veamos algunos ejemplos: Experim Exp erim rntn dor

Christian Christia n

Rubén

Ahora les voy a pedir que escriban cuatr o mil cien to tres. tres.

4100010 410001003. 03.

4000103.

¿Cuál es más grande, cuatro mil o cuatr cuatro o mil cient ciento o tre tres?

Siempre es es más más grande grande que cuatro mil.

¿Cuál es más g ra n d e ?

P o r q u e cu cu at ro m il es es un cuatro y tres ceros pero cuatro mil ciento tres tiene más de tres ceros; porque mira, con tá: uno, dos tres, cuatro, cinco (mientras cuenta los ceros de su escritura).

Y el cinco mil, ¿cóm o es? es?

51000.

5000.

Vamos a discutir cuál es la diferencia entre lo que pusier o n lo s dos.

(P ar a Christian es lo m is m o .)

(Según Rubén no hay que poner el uno.)

EL SIST SISTEMA EMA DE DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO Experimentador

Cristian

R ub én

¿No le acordás de que antes dijimos que podíamos poner el mil con uno o sin uno? ¿N o te acordás? acordás? Parece que él no está de acuerdo. Entonces, entre cuatro mil ciento tres tres y cinc o mil, ¿cuál es más? más?

¿Cuatro mil ciento tres es máss que cinco mil? má mil?

O sea sea que...

Siemp Sie mp re es más éste. (4 10 001003).

C u a tr o m il c ie n t o tres.

N o ..., éste..., sí. sí. Sí, éste es más, porque mirá qué diferencia: tres ceros acá, y acá... ¿Cuántos ceros? (Interrumpe) ¡Ah!, pero eso sí, una cosita, más que un millón N O es esto, no te creas que es el líllimo número infinito.

No, no me lo creo. ¿Me pueden explicar un poco más por qué el cuatro mil ciento tres tres es más que el cinc o mil? mil?

Sí, por que éste (51000) tien e menos ceros. ceros.

¿Vos, ¿Vos, Rubén Ru bén , qu é pensás? pensás?

Este (4000103). (40001 03).

¿Por qué?

Porq ue es má máss grande.

¿Po rqu e tien e má máss números?

Sí. Sí.

Christian y Rubén se centran exclusivamente en la cantidad de cifras de las escrituras que ellos mismos han producido y parecen ignorar cualquier otra consideración acerca del valor de los números representados. ¿Piensan ellos realmente que cuatro mil ciento tres es mayor que cinco mil? ¿O bien saben que cinco mil es mayor que cuatro mil ciento tres, pero no pueden hacer intervenir aquí este este con ocim iento? La duda m om entánea de Chris Christi tian an ( “No ... éste... sí [...]”), es en este caso, el único indicio de que él podría tener algún motivo para cuestionar el juicio que emite basándose en la cantidad de cifras. Las respuestas de Gisela (5 años, preescolar) muestran más claramente que no es suficiente con conocer el valor de los números para para tomar conciencia conciencia del conflicto, ni — menos aún— aún— pa para ra concontrarrestar la las conclusiones fund amentadas amenta das en la cantidad de d e cifr cifras as::

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DIDA CTICA DE MATEMATICAS

Experim Exp eriment entad ador or

Gisela

(Se está trabajando con dinero. Gisela ha contado billetes de a diez y de a cien) ¿Y có m o formás mil quinientos? quinientos?

Con éste y con éste éste (tom a un billete de mil austr australe aless y otro de quin ientos).

Muy bien. Y m il quinientos, ¿cóm o se escribirá?

N o sé.

Probá, como a vos te parezca.

(Piensa un largo rato.)

¿Qué números te parece que tiene mil quinientos?

[ ]

¿Tendrá uno?

Sí.

¿Y cinco?

Sí.

¿Y cero?

Sí.

Bueno, escribílo como a vos te parece que es. es.

(Escribe 1000500. 1000500.)) Es muy mu y largo. largo.

¿Te parece muy largo para ser mil quinientos?

Sí.

¿Será ¿Será o no será será m il quinientos?

Sí, es.

Ajá. ¿Cómo escribirías dos mil quinientos?

(Escrib e 2000500.) 2000500.)

Escucháme Escuchám e una cosa. ¿Cuál es má más, s, dos mil m il qu inientos o tres mil? (Señalando 3000, que Gisela había escrito escrito antes antes conven ciona lmen te).

Dos mil quinientos.

Formá tres mil con la plata.

(T om a tres tres billetes billetes de mil.)

¿Y dos m il quinientos?

(Tom a dos billete billetess de m il y uno de quinientos.)

¿Y qué es más: más: dos así y uno así así ( do s de mil y uno de quinientos) o tres así (tres de mil)?

Tre T ress así (seña (se ñala land nd o los tres bille bi lletes tes de m il). il ).

Ahora fijáte cómo están escritos. Vos dijiste que éste (3000) es tres mil y éste (2000500) es dos mil quinientos, ¿no?

Sí.

¿Y cuál es más?

Este (señala 2000500).

Y con la plata (señalando los montoncitos), ¿cuál es más?

Tres Tr es mil.

Y acá acá (señ alan do las las escrituras), escrituras), ¿cuál es es más?

Este (2000500).

¿Y no importa que con la plata sea más éste (montón de tres mil australes)?

No , no importa importa..

EL SISTEMA SISTEMA DE DE NUMERACION: UN PROBLEMA D IDACTICO

125

Es indu dab le que Gisela sabe sabe — al menos con referen cia al din ero — que tres tres mil representa una cantidad mayor que dos mil mil quinientos. Sin embargo, cuando se le pide que compare los números tomando en cuenta la representación escrita que ha hecho de ellos, parece “olvidar” el significado y centrarse únicamente en la cantidad de cifras de los significantes que ha producido. Ad em ás — y a pesar de ha ber señalado señalado ella e lla misma que su escri escri-tura tura “ 1000 100050 500” 0” era muy muy larga larga para representa r ese núm ero— , no parece advertir contradicción alguna entre sus afirmaciones sucesivas. Es como si ella pensara: “Si me fijo en los billetes, tres mil es más; si me fijo en los números escritos, es más 2000500”. De este modo, al centrarse alternativamente en el referente y en el significante — Sin relaciona relac ionarr para nada es estas tas dos centraciones— , Gisela evita tomar conciencia del conflicto que se le plantearía si pudiera tomar en cuenta simultáneamente ambas cuestiones. Las respuestas de otros sujetos nos muestran que, tarde o temprano, hay que enfrentarse con el conflicto: — Experimentador

(6 años años,, prim er grado) Dany (6

(Se están comparando oralmente pares de números, sin referir las comparaciones a ningún m aterial aterial concre to.) ¿Cuál será más grande, ochocientos o setecien tos cincuenta? cincuenta?

Och ocientos es más más grande.

¿Cómo escribirías ochocientos?

(Escribe 800.)

¿Y setecientos cincuenta? cincuenta?

(Escribe 70050.) 70050.) (Se queda perplejo, contemplando los números que ha escrito.)

— Otro Ot ross niños, después de d e haber hab er pro p rodu ducid cido o escrituras en corres cor respon pon-dencia con la numeración hablada, señalan de inmediato que “son demasiados demasiados núm eros” y — lejos de limitarse limitarse a señalar señalarlo, lo, como co mo lo había hecho hec ho Gisela— Gisela— hacen reiterados intentos de mo dificar su su producción para lograr reducir la cantidad de cifras. Es lo que hacen, por ejemplo, Martín y Dan (citados en el punto anterior) cuando transforman su escritura original para seis mil trescientos cuarenta y cinco (600030045) en 630045 y 63045 respectivamente. Ante cada pedido del experimentador, estos niños vuelven a producir una escritura en correspondencia con la numeración

DIDACT ICA DE MATEMATICAS MATEMATICAS

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hablada, pero se muestran insatisfechos con el resultado y lo corrigen, suprimiendo uno o más ceros de la escritura original. Sin embargo, el resultado de estas correcciones coincide sólo en algunos casos con la escritura convencional, porque los niños enos un cero: mil treinta y seis, por ejemsiempre dejan po r lo meno plo, llega a ser escrito como 1036 (a partir de 100036), en tanto que la versión final de mil quinientos treinta y seis es 10536. — Luciana Luc iana también tambié n advierte el conflict con flicto, o, pero pe ro intenta resolver reso lverlo lo m odiod ificando la lectura del número, en lugar de corregir su escritura: Experimentador

Luciana Luci ana

Leandro

¿Cómo escribirían ocho mil novecientos veinticuatro?

(Escribe 800090024.)

(Escrib e 8924.)

Comparen lo que pusieron los dos.

(Señalando la escritura de Luciana) ¡No! Ése es muy alto. Bueno... (Se ríe). Entonces ahora yo lo leo de otra forma: ocho mil millones novecientos veinticuatro.

Luciana comprende muy muy bien — y comparte— la objeción objeción for mulada por Leandro. Seguramente es por eso que propone una nueva interpretación de su escritura, haciéndola corresponder con un número mucho más alto, tan alto como para representarse por una escritura de nueve cifras. Sin embargo, cuand o se le pide — unos minutos minutos después— después— que escriba escriba siete siete mil vein ticinco ticin co y mil quinientos, quinien tos, ella anota: 7100 7100025 025 y 1000 100050 500. 0. La primera manifestación de que los niños comienzan a hacerse cargo del conflicto es entonces la perplejidad, la insatisfacción frente a la escritura por ellos producida. Esta insatisfacción lleva lue go a efectuar co rrecc iones d irigidas a “achicar” “achicar” la escrit escritura ura  o a interpretar la atribuyénd atribuyénd ole un valor mayor— , pe ro esta estass cor rec ciones son posibles sólo después de haber producido la escritura. De este modo, los ajustes efectuados por los sujetos antes citados representan una compensación local: ellos logran encontrar una solución más o menos satisfactoria reduciendo la cantidad de

EL SISTE SISTEMA MA DE DE NUMERAC ION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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cifras, pero esta solucion no funciona aún en forma anticipatoria, y p o r eso vuelv vu elven en a enf e nfre ren n tars ta rsee con co n el c o n flic fl icto to fren fr en te a cada c ada nuenu evo número que intentan escribir. ¿Cómo llegan los niños a encontrar una solución que les permita superar el conflicto planteado? El proceso evid enciad o p or N adia a lo largo de d e las las dos entrev entrevisistas que tuvimos con ella, con un intervalo de quince días entre ambas, nos ayudará a responder a esta pregunta. Durante el primer encuentro, sus respuestas son similares a las de algunos sujetos que ya hemos citado: Experimentador

Nadia

(Ella ha escrito antes convencionalmente 20004000900010000, y ha produ cido otras otras escritur escrituras as — 1000 100010 100 0 para para mil cien y 1000500 para mil quinient os os — e s t a b le le c ie ie n d o c o r r e s p o n d e n c i a con la numeración hablada.) Y novecientos cincuenta, ¿cómo lo escribirías?

(Se queda pensando, escribe 90050, mira largo rato su escritura.)¡Me equivoqué!

¿Có m o es? es?

No sé.

¿Y novecientos cinco, c óm o lo escri escribí bís? s?

Así (9005) o así (905).

¿De las dos maneras?

Para mí es así así (señala 905).

¿Por qué a novecientos cinco le dejas un cero y a nov ecientos cincuenta le de ja s dos?

Porque acá (90050) me equivoqué... T ie n e qu e ser así: 9050. 905 0.

¿Y nove cientos cuarenta y ocho?

(Escribe 9048.)

Entre novecientos cuarenta y ocho y mil, ¿cuál es más?

Mil.

(Se jueg a co n dine ro. El experim entad or pide a Nadia que le le entegue tres tres mil mil australes, Nadia le da tres billetes de mil; luego le pide dos mil trescientos cincuenta australes, Nadia se los entrega correctamente.)

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Experimentador

Nadia

¿Qué es más, dos mil trescientos cincuenta australes australes o tres mil? mil?

¡Tres mil!

¿Có mo escribirías escribirías tres mil? mil?

(Escribe 3000.) 3000.)

¿Y dos m il tresciento s cincuenta?

(Escribe 200030050.)

¿Por qué éste, que es menos, tiene tantos números?

¿Cómo que es menos?

Vos me dijiste antes que dos mil trescientos cincuenta es men os que tres tres mil. mil.

N o, n o sé. sé. (Está (Está muy preocupa da, pien sa largo rato.)

¿Tenés ¿Tenés un grave problem a?

Sí.

¿Cuál es tu problema?

Que n o entiend o nada nada..

A mí me parece que vos entendés un montón.

Ajá, ¿se escribe así?

(Se ríe.) ... Pero esto es muy raro... por qu e m irá (señ alando en su escrit escritura ura anterior) 2000 300 50 dos tres tres ' cin cue nta mil cientos Para Para mí no (se ríe ). Porque no tengo otra forma de escribirescribirlo... po r ahora lo escribo así. así.

Entonces a vos te parece que no es así, ero c om o no tenes otra forma, lo escri escri C ís así.

Claro.

¿Y có m o te parece q ue será será? ? ¿Con má máss números o con menos? menos?

Con menos.

¿Con cuántos números te parece? ¿Más ¿Más o m enos co m o cuál? cuál?

T re s .. . c u a tr o ... .. . a lg o así. así. C om o éste éste (señala (señala 9000 9000,, después de hahaber revisado sus escrituras anteriores).

Puede observarse que Nadia ha comenzado a “achicar” sus escrituras: en el caso de novecientos cinco, ella propone desde el comienzo dos posibilidades, una de las cuales está en corresponden cia con la nu m eración hablada, hablada, en tanto que la otra — la que finalmente finalmente elige y que coincide con lo c onvencional— tiene tiene un cero menos. Después de corregir en este mismo sentido su escritura original de novecientos cincuenta, ella produce directamente 9048 para novecientos cuarenta y ocho, omitiendo esta vez en for fo r

EL SISTE SISTEMA MA DE NUMER ACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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ma anticipatoria el otro otro cero (de n ovecientos) que segurament seguramentee

hubiera incluido si no estuviera trátando de controlar sus escrituras para que incluyeran menos cifras de las que resultan al establecer correspondencia con la numeración hablada. Sin embargo, la anticipación con respecto a la supresión de ceros deja de operar cuando se trata de escribir dos mil trescientos cincuenta. Es más: aunque acaba de afirmar (en relación con los australes) que tres mil es mayor que dos mil trescientos cincuenta, ella parece “olvida r” es esta afirmación cuando el exp erim enta do r'la vincula vincula a la cancantidad de cifras de sus escrituras y pregunta sorprendida: “¿Cómo que es menos?”. A pesar de ese “olvido”, Nadia está en condiciones de reconocer que se está enfrentando con un serio problema, con un problema que tarde o temprano tendrá que resolver y que la llevará a modificar su conceptualización de la escritura numérica. La conciencia que ella tiene de la provisoriedad del conocimiento ( “por ahora lo escribo así”) es francamente notable. Aunque esta vez ella no corrige su escritura (200030050), sus respuestas finales indican que sabe en qué dirección habría que corregirla: se trata de lograr que esa escritura tenga sólo cuatro cifras. ¿Cómo hacerlo? Este es el problema que queda planteado al final de la primera entrevist entrevista a y Nad ia seguirá reflex ion an do sobre él en nuestr nuestra a ausenausencia. En efecto, al iniciarse el segundo encuentro, ella señala:

Experimentador

Nadia

El otro día hice todo mal, me equivoqué mucho. ¿Por qu é creés qu e te equivocast equivocaste? e?

Porque en los números altos, por ejemplo el doscientos..., el doscientos cinco suponéte, yo lo hice así: 2005, y lo tenía que hacer así: 205.

¿Cómo te diste cuenta de que doscienDespués Después pensé que me equ ivoqué... N o tos cinco es así? (205) sé có m o explicar. explicar. ¿Y doscientos treinta treinta y cinc o cóm o es? es?

295 (escribe el cero y encima el tres). tres).

ISO


Experimentador

Nadia

¿Puede ser que el otro día lo hayas escrito así: 2035? Sí. ;Y el otro día, día, por qué te parecía parecía q que ue ib a c o n c e ro ?

N o sé.

¿Novecientos ¿Novecientos cincuenta cincuenta y ocho cóm o lo escribís?

958.

¿No llera ceros? ceros? ¿Ningún cero? cero?

No .

¿Y novecientos cinco?

(Esc ribe 9050, 9050, lo tacha, tacha, lue go escribe 900 vv poi pone un cinco sobre el último ce ro.) 'JOS

¿Por qué acá (905) sí lleva cero y acá (958) no lleva lleva cero?

¿Y qu é pasa pasa si si a éste (9 05 ) no le p on go • ningún cero?

[•••]

Po rqu e acá (905 ) es cinc o y acá acá (958) cincuenta y och o... Porque cincuenta y och o son son dos nú meros y cinco cinco es uno. Si no le p o n go ningún cero, es noventa y c in c o . H av q u e p o n e r lo pa ra q u e se sepa que es nove cientos cinco.

Y el dos m il quin iento s, ¿có m o será? será?

2500 2500.. (Escribe primero 2B00 y luego el 5 sobre el prim prim er cero.)

C.ont C.ontáme áme có m o lo pensast pensaste. e.

N o sé. sé.

¿Y el dos mil quinientos cincuenta y ocho? ¡Qué bárbaro! Explicáme cómo lo ha cés, así yo se lo cuento a otros nenes. Ese m éto do que usas usaste te puede servirles servirles a otros otros chic chicos. os.

2BB0 2BB0 (escribe prim ero 2000 2000 y luego, sobre los ceros, 55 y 8).

Prim ero po ng o dos mil, y después voy poniendo... Pongo quinientos cincuenta y ocho, p orque si me equ ivoco y pongo un ce ro m e queda suelto. suelto.

Nadia ha elaborado una estrategia que le permite superar el ^ con flicto flicto planteado: ella puede ahora — a diferencia de lo que ocurría en la sesión sesión anterior— anticipar anticipar con exactitud exactitud la cantidad cantidad de cifras que tendrá el número solicitado. Esta anticipación parece hacerse posible gracias a una resignificación de la relación entre la escritura de los nudos y la de los números ubicados en los intervalos entre ellos. En efecto, las últimas producciones de Nadia se apoyan

EL SISTE SISTEMA MA DE DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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— c o m o las las ante an teri rior ores es— — en la escr es critu itura ra c o n v en c ion io n a l d e los nudo nu doss (900 o 2000 en este caso), pero la forma en que se utiliza esta apor yatura yatu ra ha var v aria iado do ra radi dica calm lmen en te: te : en tant ta nto o q u e antes se yu xtap xt apon onía ían n los símbolos correspondientes a las partes de la denominación oral del nú m ero (2000 (2000 300 300 50, 50, po r ejem p lo) — y se hacían hacían luego correc ciones cion es para “achica r” el nume ral resultant resultante— e— , ahora la escriescritura del número se usa como un modelo útil para fijar la cantidad de cifr cifras as que debe tener el nú m ero a representar y luego se “rellena”, sustituyendo los ceros por los números correspondientes. Notemos que Nadia ha descubierto la posibilidad de usar de otra manera una información que ya tenía. ¿Por qué la ha descubierto en este este m om ento en to y no ante antes? s? Porq ue esta esta posibilidad adquiere sentido sentido — creemos— cuando se consti constituy tuyee en el instrum instrum ento que permite resolver un conflicto del cual se ha tomado conciencia. La utilización de la escritura del nudo como modelo para la de otros números aparece precisamente cuando Nadia se está preguntando cómo hacer para reducir la cantidad de cifras de sus escrituras y, más precisamente aún, cómo hacer para reducirlas a la misma cantidad de cifras que corresponde a los nudos entre los cuales están comprendidos los números que intenta representar. Ahora bien, cuando Nadia anticipa que la escritura de dos mil trescientos trescientos cincu enta te ndrá c uatro cifras cifras,, seg uramente uram ente no se basa basa sólp en el conocimiento específico de que dos mil se escribe con esa cantidad de cifras, sino también en una conclusión más general que e lla — com o m uchos otros otros suje sujeto tos— s— ha elabo rado a partir partir de la información provista por la escritura convencional: los cientos van con tres, los miles van con cuatro. En síntesis, las escrituras que se corresponden con la numeración hablada entran en contradicción con las hipótesis vinculadas a la cantidad de cifras de las notaciones numéricas. Tomar conciencia de este conflicto y elaborar herramientas para superarlo parecen ser pasos necesarios para progresar hacia la notación convencional. Hemos intentado describir los rasgos esenciales del proceso a través del cual los niños se aproximan a comprender la naturaleza de nuestro sistema de numeración; hemos mostrado que los chicos producen e interpretan escrituras convencionales mucho antes de

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p od er justificarlas justificarlas apeland o a la ley del a grup am iento recursivo; recursivo; hemos puesto en evidencia conceptualizaciones y estrategias que los chicos elaboran en relación con la notación numérica. Es una opción didáctica tener en cuenta o no lo que los chicos saben, las preguntas que se hacen, los problemas que se plantean y los lo s co n flic fl icto toss qu e d eb en superar. supera r. Es tam t am bién bi én una d ec isió is ión n d idác id ác-tica tomar en consideración la naturaleza del objeto de conocimiento y valorar las conceptualizaciones de los chicos a la luz de las propiedades de ese objeto. La posición que en tal sentido hemos asumido inspira tanto el análisis de la relación existente entre las conceptualizaciones infantiles y el sistema de numeración com o la crítica crítica a la enseñanza usu usual al y el trabajo trabajo d idáctico que proponemos. De todas estas cuestiones hablaremos en los puntos siguientes. III D e las relaciones entre lo que saben los niños y la organización posicional del sistema sistema de numeración

Según afirman los niños, un número es mayor que otro “porque tiene más cifras” o “porque el primero es el que manda”. El saber que así se expresa, ¿se refiere a propiedades de los números o a propiedades de la notación numérica? La pregunta que antecede puede resultar extraña: estamos tan acostumbrados a convivir con el lenguaje numérico que en general no distinguimos distinguimos lo que es prop io de los números números co m o tale taless — es decir, decir, de l significad o— de las las propie pr opie da dades des del sistema sistema que usamos usamos para representarlos. Sin embargo, esta distinción es necesaria. En efecto, mientras que las propiedades de los números son universales, las leyes que rigen los distintos sistemas de numeración producidos por la humanidad no lo son. “Ocho es menor que diez” es una afirmación válida en cualquier cultura, independientemente del sistema de numeración que en ella se utili utilice. ce. Pe ro si esta esta afirmación se justifica alegan do que “ocho tiene una sola cifra y diez tiene dos”, se está esgrimiendo un argumento que es específico de los sistemas posicionales, ya

EL SISTEMA SISTEMA DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDAC TICO TICO

que en los noposicionales la cantidad de cifras no está relacionada con el valor del número. Ahora bien, ¿qué tiene el sistema posicional que los otros no tengan? La posicion alidad, justam ente. Ella es es la responsable de la relación cantidad de cifrasvalor del número; de ella depende también la validez de “el primero es el que manda”. En nuestro nuestro sis siste tema ma de num eración — com o es sabido— , el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por una cierta potencia de la base. Si un número tiene más cifras que otro, necesariamente intervendrán en su descomposición potencias de diez de mayor grado que las involucradas en el otro y, en consecuencia, será mayor. Por otra parte, cuando se trata de dos números de la misma cantidad de cifras cifras — exc ep to en e l cas caso o de que los los dos dos emp iecen con la misma cifra— es la pr im era la que d eterm ina cuál es el el mayor, porque esa cifra indica por cuánto hay que multiplicar la potencia de grado más alto que “interviene” en el número. Por razones similares, si las primeras cifras fueran iguales, la responsabilidad de determinar el número mayor sería transferida a la cifra contigua, y así sucesivamente. El contraste con sistemas noposicionales contribuye a aclarar la cuestión. Veamos, por ejemplo, lo que ocurre en el sistema de numeración egipcio (5000 a. C.), que era aditivo y disponía de símbolos sólo para representar las potencias de 10. Así, el número 3053 se anotaba:

11 I n n n n n mil mil mil diez

diez

diez

diez diez

I I I uno uno uno

En el sistema egipcio la cantidad de símbolos de un número no informa acerca de su magnitud: para representar, por ejemplo, 9999 se utilizaban 36 símbolos, en tanto que 10.000 se anotaba con uno solo. Además, cada símbolo representaba siempre el mismo valor,

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DIDACTIC A DE MATEMATICAS

cierto orden de anotación, esta convención podía alterarse sin que por ello cambiara la interpretación del número representado.

s^nniiii trescientos veinticu atro

mi mi trescientos veintic uatro

Es indudable que, si nuestros entrevistados hubieran sido niños egipcios del 5000 a. C., hubiéramos obtenido resultados muy diferentes. Como se trata de seres nacidos en los umbrales del siglo XXI, inmersos en una cultura digitalizada, sus conceptualizaciones apuntan a la organización posicional de nuestro sistema de numeración. Sin embargo, como ya vimos, no todo es posicional en la vida de los niños. La numeración hablada viene a interponerse en el camin o de la posicion alidad y da da origen a prod ucc iones “aditiv “aditivas”. as”. Estas producciones son fácilmente interpretadas no sólo por los adultos, sino también por los compañeros que ya escriben convencionalmente los números en cuestión, lo cual pone de manifiesto una indudable ventaja de los sistemas aditivos: su transparencia. En efecto, para interpretar un número representado en forma aditi aditiva va — ya sea sea en un siste sistema ma co m o el e gip cio o en las aprox imaciones cione s de nuestros chicos, bas basad adas as en la num nu m eración era ción hablada— es suficiente sumar los valores de los símbolos utilizados.8 Un sistema posicional es al mismo tiempo mucho menos transparente y mucho más económico que un sistema aditivo. Es menos transparente porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa, y porque esa posición es el único rastro de la presencia de una potencia de la base. A diferencia de lo que ocurre al interactuar con otros sistemas que utilizan símbolos específicos para anotar las potencias de la base, para interpretar un número representado en un sistema posicional es necesario base po r la que hay que mu ltiplicar ltiplicar inferir cuál es la pote nc ia de la base cada cifra. 8. Ente ndem os qu e cuando los chicos produ cen una escritura escritura co m o 1000 100050 500 0 (1500), están usando 1000 y 500 como “símbolos originales”.

EL SISTEMA SISTEMA DE DE NUM ERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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Es más económico porque, justamente como consecuencia de la posicionalidad, una cantidad cantidad finita finita d e símbolos diez — en nuesnuestro caso— caso— es suficiente para anotar cualq uier n ú m er o. 9 En un si sistema como el egipcio, en cambio, la cantidad de símbolos necesarios para que sea posible anotar cualquier número no es finita: si se dispone de símbolos para uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil y un m illó il ló n — son los qu e p ro b a b lem le m e n te exis ex isti tier ero o n en la cultura cul tura egip cia— , se pue de escribir cualqu ier nú m ero hast hasta a nueve m illones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve, pero será necesario crear un nuevo símbolo para anotar diez millones. La creación de este nuevo símbolo permite extender la escritura a todos los números menores que cien millones, pero la representación de este último exigirá un nuevo símbolo y esta exigencia volverá a presentarse cada vez que aparezca una nueva potencia de la base. Economía y transparencia no son variables independientes: cuanto más económico es un sistema de numeración, menos transparente resulta. Un sistema como el egipcio es casi una traducción de las acciones de contar, agrupar y reagrupar; fue necesario ocultar esas acciones detrás de la posicionalidad para lograr un sistema cuya economía es indiscutible. Quienes, como los chicos, intentan apropiarse de nuestro sistema de numeración deberán desentrañar lo que él oculta. Ellos em piezan — com o hem os vist visto— o— po r detectar detectar aque llo que le le s resulta resulta observable observ able en e n el marco m arco de la interacción interac ción social. social. A partir de estos conocimientos, multiplican sus preguntas acerca del sistema y con co n ellas lleg ll ega a n a la escuela esc uela.. Las respuestas respu estas que qu e o fr e c e el ám bito bi to escolar, ¿son verdaderamente respuestas a las preguntas que los chicos se plantean?, ¿deberían serlo? ¿Es válido el esfuerzo de la escuela por explicitar todo aquello que el sistema de numeración oculta? ¿Tiene sentido el intento de evitar que los chicos se enfrenten con la complejidad de la notación numérica? ¿Por qué reducir la reflex refl ex ión ió n sobre el sistema sistema al ritual ritual asociado a las las unidades unidades,, d ec enas, centenas...?

9.

Actua lmen te estamos estamos intentan do establecer establecer cóm o y cuán do descubren los

136 136


IV Don de se cuesti cuestiona ona el enfoq ue usua usuallmente adoptado para enseñar el sistema de numeración numeración

La modalidad que en general asume la enseñanza de la notación numérica puede caracterizarse así: — Se esta es tabl blec ecen en topes top es d efin ef in ido id o s p o r grad gr ad o: en p r im e r g ra d o se trabaja con los números menores que cien, en segundo con los menores que mil y así sucesivamente. Sólo desde quinto grado se maneja la numeración sin restricciones. — U n a ve z en señ se ñ a do s los d íg ito it o s , se in tr o d u c e la n o c ió n de decena como conjunto resultante de la agrupación de diez unidades, y sólo después se presenta formalmente a los niños la escritura del número diez, que debe ser interpretada como representación del agrupamiento (una decena, cero unidades). Se utiliza el mismo procedimiento cada vez que se presenta un nuevo orden. — L a ex p lici li cita taci ció ó n d el va lor lo r p osic os icio ion n al d e cada cad a cifr ci fra a en térm té rm inos de “unidades”, “decenas”, etc., para los números de un cierto intervalo de la serie se considera requisito previo para la resolución de operaciones en ese intervalo. — Se inte in ten n ta “c on c reta re ta r” la n u m era er a ción ci ón escrita escr ita m ater at eria ializ lizan an do la agrupación en decenas o centenas. Dicho de otro modo: hay que trabajar paso a paso y acabadamente, hay que administrar el conocimiento entregándolo en cómodas cuotas anuales, hay que transmitir de una vez y para siempre el saber socialmente establecido. Es así como los números van presentándose uno a uno y lo hacen concienzudamente: además de dar su nombre, se esfuerzan por exhibir su patrimonio en materia de decenas y unidades. Aportan información exhaustiva sobre sus datos personales, pero el espectro de sus relaciones es tan limitado que se reduce a los vecinos más cercanos. Se pretende simultáneamente graduar el conocimiento y arribar desde el comienzo al saber oficial. ¿Son compatibles estas dos pretensiones? Si se recorta tan drásticamente el universo de los núm eros posibles, posibles, si si — al introdu cir los los números de a uno y pre de-


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terminar term inar un tope para cada gra do — se obstacul obstaculiza iza la com paración entre diferentes intervalos de la serie y se dificulta la búsqueda de regularidades, ¿se está propiciando realmente el acceso a las reglas que organizan el sistema de numeración? Y si esto no es así, ¿cuál es el “saber oficial” que efectivamente se está impartiendo? Saber acabado y graduación del saber parecen incompatibles. Habrá que renunciar a la ilusión de comunicar de inmediato el saber definitivo o bien habrá que renunciar a la dosificación del conocimiento. O tal vez haya que renunciar a ambas. “Pas “P aso o a paso paso y acabadam acabadam ente” es es — po r otra parte— una consigna que los chicos no están dispuestos a acatar: ellos piensan al mismo tiempo sobre los “dieces”, los millones y los miles, elaboran criterios de comparación fundados en el contraste entre rangos de números más o menos alejados, pueden conocer la notación convencional de números muy “altos” y no manejar la de números menores. Los chi chicos cos tamp oco necesi necesita tan n — recordém oslo— apelar apelar a “decenas” y “unidades” para producir e interpretar escrituras numéricas; saber “todo” acerca de los numerales no es entonces requisito requ isito para usar usarlo loss en contexto con textoss significati significativos. vos. Anticipamos una objec ión posible: posible: aunque se pueda prescindir de unidades y decenas cuando sólo se trata de leer y escribir números, no será será posible dejarl dejarlas as de lado en el m om ento de resolver operaciones. Esta objeción es parcialmente válida: lo es si se piensa en los algoritmos conven cionales — en los famosos famosos “m e llevo un o” y “le “le pido al al com pañ ero”— ero”— com o único único procedim iento posible; deja de serlo cuando se admiten algoritmos alternativos. ¿Por qué pensar en algoritmos alternativos? Porque los procedimientos que los chicos elaboran para resolver las operaciones tienen ventajas nada despreciables si se los compara con los usuales en la escuela. Una desventaja evidente de los algoritmos convencionales es que — po r exig ir que se se sume sume o rest restee “en co lum na” , aisland aislando o cada cada vez las las cif cifras ras que corre spo nd en a un mismo valor posicional— llevan a perder de vista cuáles son los números con los que se está operando. Algo muy diferente ocurre con las propuestas de los niños, niños, ya que — com o veremos en el p róxim o punto— las formas formas de descomposición que ellos ponen en práctica permiten conservar el valor de los términos de la operación.

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DID ACTICA DE MATEMATICAS MATEMATICAS

Por otra parte, en tanto que la anticipación del resultado se hace difícil (o imposible) cuando se empieza a sumar o a restar por la derecha — es decir por el me nor valor valor posicional— posicional— , la persistente decisión de los niños de empezar por la izquierda explici tando el valor repr esen tado p or las las cifra cifrass 10 po ne en prim pr im er p lano el cálculo aproximado, lo cual hace posible controlar el resultado. Es así como los procedimientos de los chicos hacen desaparecer la diferencia entre cuentas “con dificultad” y “sin dificultad”. Si la interpretación de las cifras en términos de decenas y unidades no es requisito para la lectura y escritura de números, si tampoco es condición necesaria para resolver operaciones, ¿por qué tomarla como punto de partida? ¿Valdrá la pena invertir tanta energía en un intento cuyo resultado casi inevitable es el recitado mecánico de los términos en cuestión? El esfuerzo por lograr que los chicos comprendan algo tan com plejo c om o nuestro sist sistema ema de num eración — y po r evitar evitar el riesgo de una mera m em orización — ha llevado a util utiliz izar ar diferentes recursos para materializar el agrupamiento. Uno de estos recursos consiste en crear un código que introduce símbolos específicos — círculos, círculos, cuadrados, cuadrados, triángulos— para representar aquello que en nuestro sistema sólo puede inferirse a partir de la posición: las potencias de diez. Los símbolos en olestión deben sumarse para determinar cuál es el número representado. El parecido con el sistema egipcio es notable. Y a este parecido se refiere el núcleo de nuestra objeción: paradójicamente, para que los niños comprendan la posicionalidad, se hace desaparecer la posicionalidad. Una crítica similar puede aplicarse a otro de los recursos usuales en la escuela: poner en correspondencia la cifra ubicada en el lugar de las unidades con elementos sueltos, la ubicada en el lugar de las decenas con “ataditos” de diez, la que está en el lugar de las centenas con “ataditos” de cien. Esta manera de proceder tiene la ventaja de apelar a la agrupación realizada por los chicos en lugar de partir de un código impuesto; sin embargo, si se considera el resultado final de la agrupación, presenta el mismo 10. Si se trat trata a — p or eje m p lo— de sumar sumar 83 y 35, 35, un pro ced im iento posible sería: 80 + 10 = 90; 90 + 10 = 100; 100+ 10= 110; 110 + 8 = 118.

EL SIST SISTEMA EMA DE DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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inconveniente que la materialización a través de figuras geométricas: la posición deja de ser ser relevante para enten der de qué núm ero se trata ya que, sea cual fuere el orden en que estén colocados los ataditos y los palitos sueltos, el total de elementos será siempre el mismo. El supuesto subyacente a los dos recursos descritos parece ser el siguiente: para que nuestro sistema de numeración resulte comprensible, es necesario transformarlo en otro sistema de numeración. Finalmente, analizaremos la utilización del ábaco, un instrum ento que — a diferencia de los los materia materiales les anterior anteriores— es— refleja cla cla-ramente la posicionalidad del sistema. Dos ideas subyacen al empleo didáctico del ábaco: agrupar y reagrupar son acciones imprescindibles para comprender la posicionalidad, la representación de una cantidad en el ábaco puede traducirse directamente a la notación numérica convencional y esa traducción arroja luz sobre la organización del sistema. Los dos supuestos son objetables desde nuestra perspectiva. Por una parte, como hemos visto, la noción de agrupamiento no es el origen de la comprensión de la posicionalidad: los chicos descubren este principio de manera totalmente independiente de las acciones de agrupar y reagrupa reagr uparr objetos, lo elaboran a partir de su acción intelectual sobre las escrituras numéricas que los rodean. Por otra parte, ¿para qué apelar a una traducción si la versión original está al alcance de la mano? De todos modos, si si el ábaco fuese fuese ho y — com o lo fue en la antigü eda d— un instrum ento de cálculo socialm ente vigente, su su utilización en la escuela estaría seguramente justificada. Dadas las condiciones actuales, ¿no habrá que decidirse a sustituir el ábaco por la calculadora? Ahora bien, todos los recursos concretizadores que hemos analizado tienen en común la esperanza de reconstruir una relación entre la notación numérica y las acciones de agrupar y reagrupar. Esta relación, que efectivamente posibilitó la invención de los diversos sistemas de numeración producidos en el curso de la historia, ya no está presente en el uso social que se hace del sistema. Tal T al vez ve z es p o r eso q u e los chic ch icos os n o nece ne cesi sita tan n pens pe nsar ar que qu e algu al guie ien n for m ó ochenta y och o grupos de diez y desp despué uéss reagrupó form an-

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DIDA CTICA DE MATEMATIC MATEMATICAS AS

do ocho grupos de cien para entender que, en 880, el primer ocho representa ocho cientos, y el segundo ocho “dieces”. La notación numérica aparece ante los chicos como un dato de la realidad: es necesario entender lo antes posible cómo funciona, para qué sirve, en qué contextos se usa; averiguar por qué llegó a ser como es no es tan urgente para ellos, quizá porque compren derlo no p uede ser de ninguna manera un un punto de partida y sí puede constituirse en el punto de llegada que se hace posible después de un largo y complejo recorrido. A lg o est está fallan fallan do en el ju e g o de preguntas preguntas y respue respuest stas as que — según segú n este e n fo q u e — tien ti en e luga lu garr en el aula: se o fr e c e n respu res puesestas para aquello que los chicos no preguntan, se ignora que ellos ya e nc o n trar tr aron on algunas algu nas respues res puestas tas y que qu e toda to davía vía se hace ha cen n muchas much as preguntas, se evita formular interrogantes que podrían orientar la búsqueda de nuevas respuestas. Si no es restringir la num eración , si si no es explicitar el valor de las cifras en términos de decenas y unidades, si no es apelar exclusivamente a los algoritmos convencionales, si no es apoyarse en concredzaciones externas al sistema, si no es apuntar de entrada al saber acabado..., ¿cuál será entonces el camino que puede trazarse en el contexto escolar para andar entre los números? V

Donde se intent intenta a refle jar la vida numérica de l aula aula

“[...] La enseñanza directa del saber definitivo es imposible. [...] El uso y la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte de l acto de aprender. En consecuencia, consecuencia, hay que adm itir itir una cierta reorganización didáctica del saber, que cambia su sentido, y hay que adm itir itir — al menos a título título transitori transitorio— o— una cierta cierta dosis dosis de errores y contrasentidos, no sólo del lado de los alumnos, sino también del lado de la enseñanza.” G. B r o u s s e a u “ P o r q u e n o t e n g o o t r a f o r m a d e e s c r i b i r l o , po r ahora lo escribo así.” N

a d ia

EL SISTEMA SISTEMA DE NUM ERA CION: UN PROBLEMA DID ACT ICO

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Trab Tr abaj aja a r c on la n u m e ra c ió n escr es crita ita y sólo só lo con co n ella el la;; ab abo o rdar rd arla la en toda su complejidad; asumir que el sistema de numeración — en tant ta nto o o b je to d e ense en seña ñan n za— za — pasará pasa rá p o r sucesivas d e f in ic io nes y redefiniciones antes de llegar a su última versión. Son éstas las ideas que desde un comienzo orientaron nuestro trabajo didáctico. Del uso a la reflexión y de la reflexión a la búsqueda de regularidades, ése es el recorrido que propondremos una y otra vez. Usar la num eración escrita escrita es es produ cir e interp retar escr escrit itur uras as numéricas, es establecer comparaciones entre esas escrituras, es apoyarse en ellas para resolver o representar operaciones. Usar la num eración escrita escrita — cuando uno está está intentan do apropiarse apropiarse de ella— hace posible que aparezc aparezcan, an, en un un contex to pleno de significado, problemas que actuarán como motor para desentrañar la organización del sistema. La búsqueda de soluciones llevará a establecer nuevas relaciones, a reflexionar sobre las respuestas posibles y los procedimientos que condujeron a ellas, a argumentar a favor o en contra de las diferentes propuestas, a convalidar ciertos conocimientos y desechar otros. En el curso de este proceso, comienzan a imponerse las regularidades del sistema. Las regularidades aparecen ya sea como justificación de las respuest puestas as y de los proc ed im ien tos utilizados utilizados po r los chicos — o al menos por po r algunos de ellos— , ya sea sea como descubrimientos que es necesario necesario propiciar para hacer posible la generalización de ciertos ciertos procedimientos o la elaboración de otros más económicos. El análisis de las regularidades de la numeración escrita es — de más está d e c irlo ir lo — una un a fue fu e n te insust ins ustitu ituibl iblee d e p ro g r e s o en la comprensión de las leyes del sistema por parte de los niños. Ahora bien, si pretendemos que el uso de la numeración sea realmente el punto de partida de la reflexión, si esperamos que sea efectivamente posible establecer regularidades, resulta entonces necesario adoptar otra decisión: trabajar desde el comienzo y simultáneamente con diferentes intervalos, de la serie. De este modo, se hará posible favorecer comparaciones entre números de la misma y de distinta cantidad de cifras, promover la elaboración de conclusiones — tale taless co m o “los “los cienes cienes van van con tres tres,, los mile miless van con cuatro”— que funcionarán com o instrumentos de autoauto-

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control de otras escrituras numéricas, propiciar el conocimiento de la escritura convencional de los nudos y su utilización como base ba se d e la p r o d u c c ió n d e o tra tr a s e s crit cr ituu ras ra s , lo g r a r — e n s u m a — q u e cada escritura se construya en función de las relaciones significati vas que mantiene con las otras. Introducir en el aula la numeración escrita tal como es, traba ja j a r a p a r t i r d e los lo s p r o b lem le m a s q u e p la n te a su u tili ti lizz a c ió n ..., .. ., son so n dos do s consignas que nos sumergen ineludiblemente en la complejidad del sistema de numeración. El desafío que este enfoque plantea es evidente: supone correr el riesgo de enfrentar a los chicos con problemas que aún no les hemo s en seña do a res resol olve ver, r, obliga obliga a trabajar trabajar simu ltáneam ente con respuestas correctas —aunque a veces parciales— y con respuestas erróneas, así así como a e nc on trar formas formas de articular procedimientos procedimientos o argumentos diferentes para hacer posible la socialización del conocimiento. Se trata entonces de aceptar la coexistencia de dife rentes conceptualizaciones acerca del sistema, se trata de invertir todo el esfuerzo esfuerzo necesario p ara lograr que la divers diversidad idad —en lugar de constituirse en un obstáculo— opere a favor del progreso del grup o y de cada u no de su$ miembros. miembros. El trabajo en el aula está así teñido de provisoriedad: no sólo son provisorias las conceptualizaciones de los niños, también lo son los aspectos del objeto que se ponen en primer plano, los acuerdos grupales que se promueven, las conclusiones que se van formulando, los conocimientos que se consideran exigibles. Complejidad y provisoriedad son entonces didácticamente' inseparables. Si se decide abordar la complejidad, habrá que renunciar a establecer de entrada todas las relaciones posibles, hab rá que pron un ciarse p or la reorganización reorganización progre progresi siva va del cono cimiento. Recíprocamente, si uno se atreve a abordar la compleji dad es precisamente porque ha aceptado la provisoriedad. Complejidad y provisoriedad son inevitables. Lo son porque el trabajo didáctico está obligado a tomar en cuenta tanto la natura leza del sistema de numeración como el proceso de construcción del conocimiento.


E l s iste is tem m a d e n u m e r a c ió n en el a u l a

Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita, es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata de enseñar —y de ap ren de r— un sist sistema de de representación. Habrá que crear en tonce s situacion situaciones es que perm itan tanto develar la orga nización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura numérica que él representa. Dado que el sistema de numeración es portador de significa dos numéricos —los números, la relación de orden y las operacio nes aritméticas involucradas en su organización—, operar y com pa p a r a r s e rán rá n a s p e c tos to s ine in e lud lu d ibl ib l e s d e l uso us o d e la n u m e r a c ió n escr es critita. a. Resultará también imprescindible producir e interpretar escrituras numéricas, ya que producción e interpretación son actividades inherentes al trabajo con un sistema de representación. Estas cuatro actividades básicas —operar, ordenar, producir, interpretar— constituyen ejes alrededor de los cuales se organizan las situaciones didácticas que proponemos. Ahora bien, cuando —frente a las exigencias que nos planteó la escritura de este artículo— intentamos clasificar las situaciones realizadas en el aula, descubrimos que no era posible formar sim pl p l e m e n t e c u a t r o g r u p o s ( u n o c o r r e s p o n d i e n t e a c a d a e j e ) . E n efecto, efecto, producir, interpre tar, o rde na r y com para r son activ activid idade adess tan estrechamente vinculadas en la práctica didáctica que se hace difícil diferenciarlas con claridad: por una parte, para comparar números y para realizar operaciones resulta en general necesario pr p r o d u c i r o i n t e r p r e t a r n o ta c io n e s n u m é ric ri c a s ; p o r o t r a p a r t e , e n muchos casos la relación de orden interviene en la producción e interpretación de escrituras numéricas. Es por eso que optamos por constituir dos grandes categorías: la primera comprende todas las situaciones didácticas que de algún modo se vinculan a la relación de orden, la segunda abarca aquellas que están centradas en las operaciones aritméticas. Pro ducción e interpretación aparecen incluidas en cada una de estas dos categorías. Seguramente, esta clasificación estará sujeta a sucesivas revisio nes. Como diría Nadia, “Por ahora la hacemos así”.

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1. Situaciones Situaciones didáctica s vinculadas a la relació relaciónn d e orden

La relación de orden está presente en las situaciones propues tas de dos maneras diferentes: en algunos casos, es el eje de la acti vidad que se plantea; en otros casos, interviene como estrategia pa p a r a res re s o lve lv e r s itu it u a c ion io n e s q u e n o e s tán tá n c e n tra tr a d a s e n ella. ell a.

1.1. Una consigna: comparar números

¿Por qué proponer actividades centradas en la compara ción? Cuando los números se representan a través del sistema decimal posicional, la relación de orden —como hemos visto— adquiere una especificidad vinculada a la organización del siste ma. Es Es jus tam en te esa especificidad especificidad la que se pre ten d e movili movili zar a partir de las situaciones de comparación que se proponen a los niños. Supongamos, por ejemplo, que hemos decidido instalar en el aula diferentes “negocios” —cuyo funcionamiento servirá como fuente de mú ltiples ltiples problemas aritméticos— aritméticos— y que estamos estamos orga ni zando el “kiosco”. Les contamos a los chicos que, con los carame los que tenemos (todos iguales) armaremos bolsitas que conten drán cantidades diferentes (4, 26, 62, 30, 12 y 40) y que los precios de esas bolsitas son (en centavos) los siguientes: 45, 10, 40, 60, 25, 85. Les pedimos entonces que decidan cuál es el precio de cada tipo de bolsita y lo anoten. Luego se propondrá que, en pequeños grupos, confronten sus anotaciones y que, en caso de discrepancia, argumenten a favor o en contra de las distintas producciones. Finalmente, se discutirá con todo el grupo, a fin de establecer acuerdos. Esta situación requiere que los niños ordenen —sea cual fuere la estrategia que utilicen para hacerlo— los dos conjuntos de números presentados, presentados, ordena m iento que estará estará orientado orientado po r un supuesto seguramente compartido por la mayoría de los niños: cuanto mayor sea la cantidad de caramelos, mayor será el precio de la bolsita. Los criterios de comparación a los que apunta esta actividad


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— “el p r i m e r o es el q u e m a n d a ”, “a m a y o r c a n t i d a d d e ci fras...” 11— no necesariamente serán puestos en acción por todos los miembros del grupo. Surgen entonces dos preguntas que — c o n tod to d a jus ju s tic ti c ia— ia — el le c tor to r se e s tar ta r á f o r m u la n d o e n este es te inst in staa n  te: ¿cómo resuelven la actividad quienes no utilizan criterios vincu lados al sistema?, ¿qué aprenden los niños que ya han elaborado esos criterios? La diversidad, como de costumbre, hace su aparición a través de las respuestas de los chicos: algunos realizan —con mayor o menor esfuerzo— el ordenamiento correcto, otros ordenan algu nos números y aventuran una secuencia posible para los demás, hay quienes no se atreven a hacer nada sin consultar y también hay quienes se limitan a copiar las anotaciones de algún compa ñero. Para los niños que realizan el ordenamiento sin esfuerzo, el momento de la discusión es también el momento del aprendizaje: po p o r u n a p a r te , la n e c e s id a d d e f u n d a m e n t a r su p r o d u c c i ó n los lle lle  vará a conceptualizar aquello que hasta ese momento era simple mente un recurso que utilizaban pero sobre el cual seguramente aún no habían reflexionado; por otra parte, la elaboración de argumentos para apoyar o rebatir las producciones de sus compa ñeros enriquecerá su conceptualización. Quienes logran ordenar los números a través de un proceso que incluye muchas autocorrecciones rrecciones a pren den tanto du rante este este proceso proceso —la —la tarea tarea para ellos todavía constituye un desafío— como cuando tienen que defender su producción frente a los demás. Los chicos que establecen un orden parcial —ya sea porque se ba b a s a n sólo só lo e n la seri se riee n u m é r ic a o ral ra l y o r d e n a n e n t o n c e s las escr es cri i turas numéricas cuya denominación conocen, ya sea porque utili zan únicamente el criterio que permite comparar números de diferen te c antidad de cifr cifras as— — ap ren de n a lo lo largo largo de toda la sit situa ua ción. En efecto, mientras ordenan, se ven obligados a plantearse una pregunta que tal vez aún no se habían formulado: en qué basa ba sars rsee p a r a e s tab ta b lec le c e r c o m p a r a c io n e s e n t r e los lo s n ú m e r o s q u e n o p u d i e r o n i n c l u i r e n el o r d e n a m i e n t o ; d u r a n t e la d isc is c u s ió n , las 11. 11. Nó tese que es necesario elegir los núm eros de tal tal m odo que efectivamen efectivamen te permitan movilizar los criterios en cuestión.

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argumentaciones de sus compañeros abrirán el camino hacia la respuesta. Formularse una nueva pregunta constituye un aprendi zaje porque es el punto de partida para la elaboración de un nue vo conocimiento; escuchar la respuesta que otros dan a esa pre gunta siempre hace posible algún progreso: puede ocurrir que esa respuesta —en el mejor de los casos— se asimile inmediatamente como propia, o que genere nuevas preguntas, o que —por lo menos— perm ita enterarse de que esas esas preguntas tienen respuesta respuesta y descubrir entonces que vale la pena buscarla. Los niños que no arriesgan ninguna respuesta sin consulta pre via aprenden porque también se hacen preguntas y, por lo tanto, lo que sus compañeros les contestan adquirirá necesariamente algún significado en relación con la pregunta formulada: puede ser que confirme lo que ellos habían pensado pero no se atrevían a asegurar, que entre en contradicción con sus ideas previas y genere entonces nuevas preguntas o que resulte una información raieva que habrá que comenzar a procesar. Es difícil saber, en cam bio b io,, q u é a p r e n d e n los lo s q u e se lim li m ita it a n a c o p i a r — son so n m u c h a s las causas que pueden motivar esta actitud— y por eso es fundamen tal incitarlos a reflexionar sobre lo que han anotado y a encarar la responsabilidad de producir una respuesta propia. Tanto los que consultan sin cesar como los que únicamente copian están emi tiendo señales que será necesario registrar: habrá que intervenir orientándolos hacia formas de trabajo más autónomas. Intentar que los chicos se consulten a sí mismos antes de ape lar a una ayuda externa, que cada uno recurra ante todo a lo que sabe acerca de la numeración hablada y de la numeración escrita y descubra que algunos de sus conocimientos son pertinentes para resolv resolver er el el problem a plantead o es tal tal ve vez la la mejor m an era de pro  mover la autonomía. Alentar la utilización de materiales donde aparecen números escritos en serie —centímetro, almanaque, regla, etc.— hace posi ble b le q u e los chic ch icos os a p r e n d a n a b u s c a r p o r sí m ism is m os la info in form rm a c ión ió n que necesitan. Apelar a estos portadores resulta, además, útil para todos los los chi chicos cos:: los los que están en condiciones de orde or de na r todos los los números propuestos podrán utilizarlos para verificar su produc ción; los que pueden hacer ordenamientos parciales descubrirán cómo completarlos, ya que seguramente saben que —en esos


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materiales— “los números que están después son mayores”; los que aún no utilizan criterios de comparación descubrirán que en el soporte los los núm eros p ropuestos aparec en ubicados en un cierto cierto orden, lo cual —además de permitirles efectuar el ordenamiento solicitado— tal vez los lleve a preguntarse sobre las razones de ese orden. En síntesis, en el curso de esta situación, todos los chicos tie nen oportunidad de buscar una respuesta, todos crecen gracias al trabajo cooperativo, todos realizan algún aprendizaje. Situaciones similares a la planteada pueden proponerse ape lando a contextos diferentes: ordenar las edades de los familiares de los chicos integrantes de un grupito, decidir el orden en que serán atendidas en la “panadería” las personas que han sacado determinados números, establecer comparaciones entre las alturas de los miembros del grupo —expresadas en centímetros— des pu p u é s d e h a b e r s e m e d i d o ... .. . P o r o t r a p a r t e , to d a s las la s s itu it u a c io n e s incidentales en las que establecer un orden es relevante —por ejemplo, cuando se leen noticias en las que aparecen encuestas de opinión sobre algún problema de actualidad— pueden dar lugar a discusiones acerca de los criterios de comparación. Si bien muchas de las situaciones que proponemos —sobre todo al principio— reproducen contextos cotidianos en los cuales ordenar números tiene sentido, esta contextualización no siempre es imprescindible: la avidez de los chicos por develar los misterios que encierra el sistema de numeración hace de éste un objeto dig no de ser con siderado sidera do en sí mismo. mismo. Resulta entonces ento nces posible p osible y pro ductivo plantear algunas actividades que están centradas en los números como tales. Es lo que ocurre, por ejemplo, en los siguien tes casos: —F — F o r m a r, c o n tre tr e s d ígit íg itoo s d a d o s , to d o s los lo s n ú m e r o s p o s ible ib less de dos y tres cifras cifras y ordena ord ena rlos. Si se se perm pe rm ite que qu e las las cifras cifras se se rep r epi i tan en los los núm ero s que qu e se van a formar, la acti activid vidad ad resulta m uch o más compleja, ya que en este caso habrá que formar y ordenar treinta y sei seis núm eros e n lugar de doce. doce. — D a d o u n n ú m e r o d e d o s c ifra if rass (45, (4 5, p o r e j e m p l o ) , ¿ d ó n d e hay que ubicar una terce ra cifr cifraa (4, por ejemplo) ejemplo) para qu e q uede formado el número más grande posible? La situación se plantea pr p r o p o n ie n d o suc su c e siv si v a m ente en te d ife if e r e n tes te s “terc “te rcee r a s cifr ci fras as”, ”, pa p a r a d isc is c u 

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tir luego en qué casos hay que ubicarlas a la derecha y en cuáles a la izquierda, izquierda, elab orar un a conclusión conclusión g eneral y fund am entarla. Ahora bien, cuand o la mayorí mayoríaa de los los niños pon e e n ju eg o cri cri terios de comparación válidos para producir ordenamientos, la dis cusión acerca de la fundamentación puede avanzar un paso más: p o r qu quéé el primero es el que manda, po p o r vale la pena preguntarse po quéé es mayor un número cuando tiene más cifras que otro. El eje qu de la discusión se ha trasladado: ya no se trata de apelar a los cri terios para fundamentar el ordenamiento, se trata ahora de buscar la fundamentación de los criterios mismos. Esta reflexión conduci rá a una comprensión más profunda de la organización del siste ma, al promover que se establezca la relación entre los criterios elaborados y el valor de cada cifra en términos de “dieces” o “cie nes”. Cuando se les requiere la fundamentación de los criterios, algunos niños se ven obligados a explicitar relaciones que ya utili zaban sin saberlo, otros coordinan conocimientos que tenían pero aún no h abían relacionado relacionado y otros otros reali realizan zan un descubrim iento que se hace posible para ellos sólo en el marco de esta discusión. De este modo, afirmaciones como “no importa cuáles sean los núme ros; si tiene tres (cifras) es más porque es de los cienes y éstos son ‘dieces’” o “hay que fijarse en el primero porque así sabés (en un número de dos cifras) cuántos ‘dieces’ hay” son la conclusión común de historias diferentes para diferentes chicos.

f . 2 L a cons co nsign ignaa es p r o d u cir ci r o interpretar, interp retar, el orde o rdenn es u n recurso

Producir e interpretar escrituras numéricas es siempre un desaf desafío ío para quienes están están intentan do adentrarse en el mu ndo de los números. “¿Qué número es éste?” y “¿cómo será el... (cincuen ta y dos, por ejemplo)?” son preguntas aparentemente muy bana les que resultan, sin embargo, apasionantes para los chicos cuando se refieren a números cuya escritura convencional aún no cono cen. Era posible prever —ejerciendo un prejuicio didáctico amplia-

EL SISTEMA SISTEMA DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

14!)

Ilus Il ustr trac ació iónn 1 Prim P rimer er grado gr ado.. Los Lo s chicos, agru ag rupa pado doss de a dos, deben for fo r m a r todos los nú núme meros ros que pu e d a n u titililizz a n d o p a r a ello la fec fe c h a de cump cu mple leañ años os (día (d ía y mes) de los miembros miembro s de cada ca da pare pa reja ja.. Fina Fi nalm lmen ente, te, orde or dena nará ránn de mayo ma yorr a meno me norr los nú núme meros ros for f orm m ados ad os.. Bru B runo no y Lean Le andr dro, o, que cumple cum plenn añ años os el 1 1 / 4 y el 1 /6 , respec res pectiva tivamen mente, te, lo hicieron así:

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mente compartido, a veces también por nosotras mismas— que resultaría más interesante y productivo trabajar con los números en contexto que con los números despojados de toda referencia a su uso social. Sin embargo, pudimos constatar que nuestros alum nos se entusiasmaban tanto cuando les proponíamos escribir los números del talonario de turnos para la “panadería” del aula como cuando simplemente les pedíamos que anotaran determina dos números, que se interesaban tanto por leer las direcciones de sus compañeros como por interpretar números que habíamos escrito en el pizarrón. La simple consigna de producir o interpretar un número — r e f e r i d o o n o a u n c o n t e x t o c o t i d i a n o — f u n c i o n a c o m o u n a chispa a pardr de la cual se entablan discusiones productivas: “Ese (109 (1092, 2, escrito escrito en el sobre de u na carta) no p ue de ser de los los ciene cienes, s, ¿no ves que los del cien tienen tres números y ése tiene cuatro?”, “El quinientos se escribe con los ceros cuando es quinientos solo — o b je ta D ieg ie g o al v e r q u e M a len le n a , p a r a a n o t a r el p r e c i o 599, 59 9, h a pu p u e s to e n p r i m e r lu g a r ‘5 0 0 ’— , p e r o si d e c ís q u in i e n to s n o v e n ta y nueve, los ceros quedan debajo de los nueves y no hay que escri bir b irlo lo s ”. Trabajar con los números enmarcados en el uso que social mente se hace de ellos —es decir, con los números como precios, como edades, como fechas, como medidas...— es fundamental, no sólo porque les otorga sentido, sino también porque hace posible entender cómo funcionan en diferentes contextos. Trabajar con los los núm eros fu era d e co ntexto tam bién es sig signi nifi ficat cativ ivo, o, po rqu e los pr p r o b le m a s c o g n itiv it ivoo s q u e se p l a n t e a n s o n los lo s m ism is m o s q u e a p a r e  cen en las situaciones contextualizadas y porque la interacción con los números al desnudo pone en primer plano que se está traba ja j a n d o s o b r e el -sist -s istem emaa d e n u m e r a c i ó n , es d e c i r s o b re u n o d e los objetos que la escuela tiene la misión de enseñar y los chicos la misión de aprender. ¿Cuáles son entonces las situaciones de producción e interpre tación que proponemos? Armar listas de precios o ponerlos en los artículos correspon dientes, hacer las facturas, inventariar la “mercadería” existente, fabricar talonarios para dar tumo, identificar el precio de los pro ductos qu e se quiere n com prar, interp reta r las las otras cif cifra rass que apa


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recen en los envases, consultar las ofertas... son actividades que realizan “vendedores” y “compradores” en el juego de los ne gocios. Interpretar el valor de los billetes (fotocopiados o producidos po p o r los c h i c o s ) , d e t e r m i n a r el i m p o r te d e f a c tura tu rass d e los d ife if e r e n  tes servicios, leer la fecha de vencimiento de esas facturas para decidir si se acepta o no el pago, llenar cheques o leerlos para saber por cuánto dinero cambiarlos... son atribuciones de los “caje ros” y “clientes” cuando el aula se transforma en un banco. En el marco de estos proyectos 12 se encadenan naturalmente actividades de producción e interpretación, realizadas a veces por un mismo chico y otras po r chicos diferentes: el “caje “caje ro” del banco ban co leerá los números de las facturas, los cheques y los billetes, pero también tend rá que ano tar las las cantidades que recibe o entrega; lo l os “vendedores” producirán listas de precios que serán interpretadas po p o r los c o m p ra d o r e s ... .. . Ahora bien, insertarse en proyectos y favorecer el encadena miento de producción e interpretación no son requisitos que todas las actividades estén obligadas a cumplir. Los chicos también aprenden mucho acerca de la numeración escrita en situaciones que se plantean de forma aislada y que están centradas sólo en la pr p r o d u c c i ó n o sólo só lo e n la i n t e r p r e t a c i ó n . Es lo q u e o c u r r e — p o r ejemplo— con actividades de interpretación como el juego de la lotería o el análisis de la numeración de las calles, y con activida des de producción como “escribir números difíciles” o anotar números dictados por el maestro o los compañeros. Los números que aparecen en las situaciones de producción tinterpretación —propuestos por nosotros o por los chicos— son números cuya escritura convencional no se ha enseñado previa mente. ¿Qué es lo que nos autoriza a cometer semejante osadía? Lo hacemos no sólo porque sabemos que los niños tienen sus ideas al respecto y porque aceptamos que las respuestas se alejen de lo correcto, sino porque sabemos también que tienen o pueden 12. 12. Los llamamos así así porque, si bien no reún en todas las las con dicion es de lo proyectos, cumplen algunas que resultan esenciales: dan lugar a múltiples activi dades que se organizan alrededor de un eje común y se desarrollan durante un período más o menos prolongado (alrededor de dos o tres meses).

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DIDACTICA DE MATEMATI MATEMATICAS CAS

construir recursos para producir e interpretar esas escrituras y pa p a r a a c e rca rc a rse rs e p rog ro g res re s iva iv a m e n te a lo c o n v enc en c ion io n a l. Los chicos nos enseñaron que la relación de orden es para ellos un recurso relevante cuando deben enfrentar la situación de p r o d u c i r o i n t e r p r e t a r n ú m e r o s q u e o f i c i a l m e n t e n o c o n o c e n , cuando deben argumentar a favor o en contra de una escritura numérica producida por sus compañeros o por ellos mismos. “Yo antes nunca me acordaba de cómo se escribía el veinte, el veintiuno y los de esa familia —explica Cecilia a sus compañe ros—. Ahora, si tengo que escribir el veinticinco, busco ahí (en el calendario) el diecinueve, después viene el veinte, y cuento. Y enseguid ense guidaa me doy cuenta. Ah ora ya ya sé que los los del veinte van van todos con un dos adelante.” En otras oportunidades, los chicos acuden a la serie numérica sin apoyarse en un soporte material. Es así como Fabián logra escribir escribir convenc ionalmen te el nú m ero quince a trav través és del del siguien siguien te procedimiento: cuenta pausadamente a partir de uno, como si al nom brar cada núm ero p ensara al al mismo mismo tiempo tiempo en la notación notación correspondiente. Algo similar puede ocurrir en situaciones de interpretación: cuan do Ariel Ariel —enca rgado de “can tar” los núme ros en el juego de la lotería— saca el número 23, cuenta con los dedos para sí mismo hasta llegar a decir “veintitrés”. Los procedimientos empleados por los chicos confirmaban un supuesto que habíamos formulado al iniciar el trabajo didáctico: como la relación relación de orden es una herram ienta poderosa para pro ducir e interpretar notaciones numéricas, habrá que lograr que todos se apropien de ella. Será necesario entonces sugerir su utili zación a los niños que no la emplean por sí mismos, será necesario favorecer favorecer que quienes usan esta he rram ienta la com partan con sus sus compañeros. Un primer efecto que se produce al intervenir en este sentido es la modificación de la escritura o de la interpretación original mente realizadas. Es lo que ocurre, por ejemplo, en el caso de Martina, quien, al “cantar” el número 85 en la lotería, comienza leyéndolo como “ocho, cinco” y logra luego interpretarlo como “ochenta y cinco” gracias a dos intervenciones de la maestra: en pr p r i m e r té r m in o , le m u e s t r a el n ú m e r o 80 sin si n n o m b r a r l o y le p r e  gunta cuál es; como Martina no responde, la maestra comienza a


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escribir los nudos de las decenas (10, 20..., 80) y le solicita que interprete cada una de las escrituras que va produciendo. Intervenir de este modo es contagioso: si el maestro lo hace, los chicos se darán cuenta de que es una buena manera de ayudar a sus compañeros y la adoptarán. Es lo que ocurre, por ejemplo, cuando Santiago está intentando escribir el número veinticinco y Federico le sugiere: “Fijáte en el veinte; si el veinte va con un dos y un cero y el veintiuno con un dos y un uno, ¿cómo hacés para escribir el veinticinco?”; Santiago acepta la propuesta de su compa ñero, cue nta hasta veintici veinticinco nco oralm ente y lo anota. Ah ora bien, el efect efectoo más im portan te que esta estass intervenciones pe p e r s i g u e n n o es el q u e se h a c e s e n t i r d e i n m e d i a t o . N o se tra tr a t a sólo de que los chicos corrijan una escritura o una interpretación pa p a r tic ti c u lar la r e s a c e rcá rc á n d o s e m o m e n tá n e a m e n t e a lo con co n v e n c ion io n a l, se trata sobre todo de que hagan suya una estrategia, de que la rela ción de orden esté siempre disponible como un recurso al que se pu p u e d e a p e lar la r p a r a reso re solv lver er p r o b lem le m a s d e p r o d u c c ió n e in t e r p r e ta  ción. Por otra parte, lejos de intervenir sólo en el momento en que se producen o interpretan notaciones, la relación de orden atravie sa la discusión que se entabla con todo el grupo y se refleja en los argumentos esgrimidos por los chicos. La presencia de la relación de orden en los debates puede ilus trarse a través de una situación desarrollada a principios de segun do grado. Al analizar las notaciones producidas por los chicos ante un dictado de números, la maestra detecta que sólo uno de ellos —el 653— ha dado lugar a diferentes versiones y decide, por lo tanto, someterlas a discusión al día siguiente. La maestra señala que encontró cuatro maneras diferentes de anotar “seiscientos cin cuenta y tres”, las escribe en el pizarrón —sin identificar a los autores d e cada versi versión— ón— y requ iere arg um entos a favo favorr o en con tra de las distintas escrituras. Las producciones en cuestión son: 60053 Bár B árba bara ra:: L a

653

610053

61053

q u e e s tá t á b i e n e s és é s ta t a ( la la se se g u n d a ) p o r q u e c u a n d o e s

ciento.. no lleva dos ceros.

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Jo J o n a th a n : Sí, es ésa. ésa. Pero cua nd o un o d ice cie nío a veces lleva cero y otras no. No sé cuándo lleva cero o no, porque ciento uno sí lleva cero. Vicky: Esta (señala la tercera) no puede ser, porque cien es otro número y viene mucho antes que seiscientos. Jim J im e n a : Sí es ésa (la tercera), p orque primero está el seis seis y des pués el ciento. Juliá Ju lián'. n'. No, no es, porque si no seiscientos uno sería 61001, seis cientos dos sería 61002... La tercera es mucho más grande que seis cientos cincuenta y tres, porque tiene más números. Brian: Bri an: Esta (la tercera) es más grande que ésa (la cuarta), porque tiene un cero más. Vicky (a Jim ena): Para Para mí, es ésta (6 53). No im porta que u no cie ntos os,, igual no tiene que haber un cien escrito en ese diga seis cient número. B r ia n : Los ceros están de más; si querés, los pones adelante (00653). Jonath Jon athanan-.. No, porque adelante no valen nada.

Los argumentos utilizados por los chicos para rechazar las notaciones no convencionales apelan de todas lás formas posibles a la relación de orden: Vicky alude al orden de la serie oral, Julián y Brian recurren tanto al criterio que permite ordenar números de distinta cantidad de cifras como al conocimiento de que los núme ros ubicados e ntre cien y novecientos n oven ta y nueve se escriben escriben con tres cifras. Estos argumentos seguirán resonando en los chicos que habían producido escrituras no convencionales —escrituras que sólo Jimena defiende explícitamente— y llegarán a transfor marse, gracias a sucesivas discusiones, en objeciones que ellos se harán a sí mismos. Loss aportes de Bárbara y Jo na tha n hacen surgir un problem a Lo que no estaba planteado antes de la discusión: ¿puede tener ceros un número cuyo nombre incluye “cientQ” o “cientos”? ¿Cuántos ceros ceros?, ?, ¿uno, dos o ninguno ? La ma estra tom tom a nota de este prob le ma y en algún momento abrirá un espacio para discutirlo grupalmente (véase 1.3). Además de este uso su s u i generi gen eriss de la relación de orden —para pr p r o d u c i r , i n t e r p r e t a r y j u s t i f i c a r n o t a c i o n e s — , los lo s c h ic o s la e m  ple p le a n tam ta m b ié n d e la m ism is m a m a n e r a q u e los lo s a d u lto lt o s.


En efecto, aunque no siempre tengamos conciencia de ello, los usuarios del sistema de numeración apelamos con frecuencia al orden: ¿cuál es el precio del artículo cuyo código está en el lista do?, ¿salió en el extracto de la lotería el número de mi billete?, ¿para qué lado caminar si voy al tres mil quinientos de esta calle? Plantear situa situaci ciones ones que requieran ubicar ciert ciertos os núm eros en una lista seriada o determinar si esos números están o no incluidos en ella hará posible que los chicos elaboren procedimientos vincula dos a la relación de orden, tal como ella se encarna en nuestro sis tema de numeración. Situaciones como éstas encuentran un mar co propicio en el jue go de los negocios. negocios. Es Es lo lo que ocu rre, cuando, pa p a r a a v e rig ri g u a r los p rec re c ios io s rea re a les le s d e los a rtíc rt ícuu lo s q u e se v e n d e rá n , los chicos visitan —por ejemplo— una perfumería en la que lok artículos están identificados mediante un código: el problema para ellos es ubicar, en la lista facilitada por la encargada del comercio, el número de código de los productos elegidos, para determinar así su precio. Del mismo modo, si en el “negocio” se acepta el pa p a g o c o n “tarj ta rjee ta d e c r é d i t o ”, a n tes te s d e c o b r a r h a b r á q u e c o n s u lta lt a r la lista de tarjetas rechazadas. Un trabajo similar puede realizarse con actividades incidenta les: buscar en una cuadra el número de la casa de alguien, encon trar — tom ando en cuen ta la información provi provist staa por el índice— la página en la que comienza el cuento que leeremos. A partir del análisis aquí realizado, se hace evidente el rol rele vante que desempeña la serie oral en el desarrollo de la escritura numérica. Contar será entonces una actividad imprescindible, que tendrá lugar tanto en el marco de “los negocios” o “el banco” como en situaciones específicamente planificadas para generarla. Habrá que contar los artículos existentes en los negocios o los bil b ille lete tess d e cad ca d a tip ti p o d isp is p o n ible ib less e n las d isti is tinn tas ta s “caja ca jas”, s”, co c o lec le c c ion io n a r determ inado s objetos y contarlos periódicam ente para controlar el el crecimiento de la colección, hacer encuestas y determinar —por ejemplo— la cantidad de adeptos a determinados programas infantiles, realizar votaciones para tomar ciertas decisiones que así lo requieran... Ahora bien, la relación numeración hablada-numeración escri ta es un camino que los chicos transitan en ambas direcciones: no sólo la serie oral es un recurso importante a la hora de compren-

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DIDAC TICA DE MATEMAT MATEMATICA ICAS S

Ilus Il ustra tra ción ci ón 2 En E n este gru p o de pri p rim m er grad g rado, o, cada ca da chico tiene su prop pr op ia colección. A lgun lg un o s colec colec cion ci onan an llaveros; llaver os; otros, chap ch apita itass de gaseosas; gase osas; otros, pied pi edri rita tas; s; otros, fig fi g u r ita it a s... s. .. Una Un a vez por semana, se determina el estado de las colecciones: Martín hace grupitos con las fig fi g u r ititaa s, an o ta la c a n titidd a d que qu e hay ha y en cada ca da u no y luego sum su m a; su com pañ pa ñ ero er o cuen cu enta ta n a d a menos men os que qu e doscie dos ciento ntoss trein tre inta ta fig fi g u r ititaa s y an o ta sim plem ple m ente en te el result res ultado ado..

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Esteb Es teban an coleccion colec cionaa m oned on edas as.. E l 2 8 / 4 , p a r a sabe sa berr (y recorda reco rdar) r) cu á n tas ta s mone mo neda dass tiene, él hace an otac ot acio ionn es a g ru p á n d o las la s p o r tam ta m año. añ o. L a maes ma estra tra “ tra tr a d u c e ", por po r Iris Iris d udas ud as..

Quince días después, Esteban tiene muchas más monedas y se ve obligado a encontrar una manera más clara de anotar. Hace entonces una tabla a partir de la cu al podrá evocar fácilmente, la próxim a vez, vez, cuán tas monedas de cada tipo ha h a bía bí a en su colección. E l 1 2 / 5 : 3 m oned on edas as de 5 0 cent ce ntav avos os,, 7 mon m oned edas as de 1 0 0 0 austr au strale ales, s, 1 4 m oned on edas as de 2 5 cent ce ntav avos os... ... Va su s u m a n d o los d atos at os que qu e ha an otad ot adoo (3 3 ) y, cu an d o obtiene obti ene este resu re sulta ltado do (3 5 ), lo an o ta y p id e ayu ay u da. da . + 7 + 1 4 + 8 + 3) Sumar 35 + 31 3 1 es dem de m asia as iado do p a r a él. él. L a m aestr ae straa y sus su s compa com pañe ñeros ros cuen cu enta tann con él y es as í como como — jun ju n tos to s — dete de term rmin inan an que qu e la colección de Esteb Es teban an tiene tien e ahor ah oraa 6 6 mone mo neda das. s.

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Ilu strac str ació iónn 3 Dic D icta tadd o de nú núme meros ros en prim pr im er grado gra do..

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der o anotar escrituras numéricas, también recorrer la serie escrita es un recurso para reconstruir el nombre de un número. Esta es una de las razones por las cuales resulta fundamental proponer actividades que favorezcan el establecimiento de regularidades en la num eración escr escrit ita. a.

1.3. A la búsqueda de regularidades regularidades

El papel de las regularidades pudo vislumbrarse ya, tanto en las situaciones de comparación como en las de producción o interpretación. En el primer caso, las situaciones apuntan preci samente a la elaboración de regularidades, ya que eso y no otra cosa son los criterios de comparación. En el segundo caso, se evi denciaron sobre todo a través de los argumentos utilizados por los chicos para fundamentar o rechazar ciertas escrituran numé ricas. ¿Cuáles son las regularidades sobre las cuales es necesario tra baja ba jar? r? C o b ran ra n e s p e cial ci al im p o r tan ta n c ia — ade ad e m á s d e los c r ite it e rio ri o s p a r a ordenar números— “leyes” como “los ‘dieces’ van con dos, los ‘cie nes’ van con tres”; “después de nueve viene cero y el otro número pas p asaa al s ig u ie n te”; te ”; “ha “hayy diez di ez n ú m e ro s (de (d e d os cifras cif ras)) q u e e m p ieza ie zann con uno, diez que empiezan con dos...” Establecer regularidades cumple un doble objetivo: hace posi ble b le p l a n t e a r p r o b le m a s d irig ir ig id o s a e x p l icit ic itaa r la o r g a n iz a c ió n del de l sistema y permite generar avances en el uso de la numeración escrita. Formular preguntas acerca de las razones que explican las regularidad es sólo tiene sentido u na vez vez que qu e los chicos chicos las las han des cubierto; alentar la búsqueda de respuestas sólo tiene sentido cuando los chicos están en condiciones de hacerse cargo de las pre p regg u n tas ta s . El recorrido didáctico invierte así el orden en que se planteó la relación causa-consecuencia para aquellos que inventaron el sis tema de numeración: para éstos, las regularidades son consecuen cia de la posicionalidad, regla fundamental del sistema; para quie nes no tienen que inventar un sistema sino comprender el que ya

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existe, las regularidades se hacen presentes antes que las causas que las gen eraron. A hora b ien, no es usual que los los chic chicos os se se inter inter rog ue n espontá neamente acerca de las causas e incluso ocurre a veces que la pre gun ta form form ulada po r el el maestr maestroo no encu en tre n ingún eco. La La pre gunta debe ser formulada, porque se trata de lograr que los chicos con cep tualicen las reglas reglas que rigen el sis siste tema. ma. C uando uan do la respuesta mayoritaria es “¡Y qué sé yo!, ¡los números se inventaron así!”, habrá q ue saber postergar postergar la la pregunta hasta hasta un mo m ento más pro pro pic p icio io,, a u n q u e n o m u y leja le jann o ; si, e n c a m b io, io , u n g r u p o a p rec re c iab ia b le de la clase —no necesariamente la mayoría— se inquieta ante la pr p r e g u n t a y c o m ie n z a a a r rie ri e s g a r a lg u n a r e s p u e s ta, ta , v a ldrá ld rá la p e n a emprender la discusión. El momento propicio para volver a'plan tear la pregunta y también el grado de elaboración que alcancen las respuestas dependerán del conjunto de actividades que se estén realizando, y en particular de las regularidades establecidas en relación con las operaciones aritméticas (véase punto 2). Las respuestas a las que aspiramos tienen aproximadamente la siguiente forma: los “cienes” van con tres cifras porque con dos se pu p u e d e e scri sc ribb ir sólo só lo h a sta st a n u eve ev e “d iec ie c e s” y el c ien ie n tien ti enee diez di ez “d iec ie c e s”; cuando tienen dos cifras, los que empiezan con tres son “treinti” y al lado se puede poner desde el cero hasta el nueve, si hay uno más es otro diez, es cuarenta y entonces ya no se pone tres, es cuatro... Ahora bien, detectar regularidades es necesario —ya lo anun ciamos— no sólo para avanzar en la comprensión del sistema; es imprescindible tam bién pa ra lograr un uso cada ve vez más adecua do de la notación convencional. Si se quiere lograr —por ejemplo— que los chicos adquieran herramientas a partir de las cuales puedan autocriticar las escritu ras basadas en la correspondencia con la numeración hablada, hay que garantizar la circulación de información referida a las regula ridades. De este modo, se hace posible que argumentos como “éste éste (61053) (61053) no pu ed e ser seiscie seiscientos ntos cin cu en ta y tres, tres, po rqu e los cienes van con tres” —que en un principio son utilizados sólo por algunos chicos y en relación con la escritura de otros— lleguen a ser patrimonio de toda la clase y puedan aplicarse también a la pr p r o p ia e s c ritu ri tu ra. ra . Un problema concreto planteado en el aula nos permitió des


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cubrir que establecer regularidades es también un recurso para favorecer una adquisición tan básica como contar. En efecto, algu nos chicos de primer grado, cuando tienen que pasar a la decena siguie siguiente nte interrum pe n el conteo o pasan directam ente a cualquier cualquier otra decena cuyo nombre conocen. Si bien lo más habitual es que esta dificultad se presente cuando hay que pasar a veinte (“diecio cho, diecinueve... treinta”, por ejemplo), ya que esta denomina ción no evoca para nada —a diferencia de lo que ocurre con las de los otros nudos de las decenas— el nombre del dígito al que se refiere, también aparece con frecuencia en intervalos posteriores de la serie (“cuarenta y ocho, cuarenta y nueve... no sé más” o “treinta y ocho, treinta y nueve... cincuenta”). ¿Cómo intervenir para que estos chicos avancen en el manejo de la serie oral? Darles la respuesta sólo sirve para que la actividad emprendida pueda continuar —es decir para seguir contando lo que se está contando—; sugerirles que acudan a un portador pue de ser más útil porque hace posible que los chicos, al tener que crear una manera de buscar, descubran por sí mismos la regulari dad; proponer una actividad específica, como buscar en los núme ros del uno al cien cuáles son los siguientes de los que terminan con nueve, es un buen recurso para lograr que los chicos puedan apropiarse de la regularidad y utilizarla no sólo cuando cuentan sino también cuando producen o interpretan. En este caso, está claro que el análisis de una regularidad observable observable en la notación nu m érica —adem ás de incidir en el pro greso hacia la escritura convencional— contribuye al avance de la numeración hablada. Ahora bien, las propuestas tendientes a favorecer el estableci miento de regularidades pueden partir de una consigna más o menos abierta: una consigna como “Encuentren en qué se pare cen y en qué no se parecen los números que están entre el uno y el cuarenta” apunta a lograr que los chicos descubran por sí mis mos la reiteración de la secuencia del cero al nueve para cada decena, y detecten cuál es el cambio que se produce al cumplirse cada una de esas secuencias; una consigna más específica, como “Ubiquen todos los números de dos cifras terminados en nueve, fíjense cuál es el siguiente de cada uno y piensen en qué se pare cen” puede contribuir a precisar las conclusiones de la actividad

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anterior cuando ésta no ha conducido a todas las regularidades esperadas o a orien tar a aquellos aquellos chicos chicos que se desc onc iertan fren  te a una consigna abierta. La realización de cualquiera de estas actividades se apoya, por supuesto, en la utilización de portadores como el centímetro, el almanaque o la regla. Las regularidades estudiadas no fueron sólo las que habíamos pre p revv isto is to in icia ic ialm lm e n te, te , ya q u e los lo s c h ico ic o s — a travé tra véss d e sus su s a r g u m e n  tos— introdujeron otras que valió la pena someter al análisis de todo el grupo. Es lo que ocurrió, por ejemplo, cuando Bárbara y Jonathan plantearon una relación entre la denominación oral “ciento” y la existencia o no de ceros en las escrituras numéricas correspondientes (véanse las págs. 153-4). Para generalizar el inte rrog ante y buscar la la respuesta, respuesta, se organizó organizó u na situación situación alrede do r de la siguiente consigna: “Ubiquen en el centímetro los números que están entre cien y ciento cincuenta y fíjense qué pasa con los ceros en los números que se llaman ‘ciento’..., ¿hay alguno que tenga ceros?, ¿cuáles tienen y cuáles no?”. Una vez establecidas las regularidades para este intervalo, se po p o d r á p r o p ic i a r su g e n e ra liz li z a c ió n a travé tra véss d e l u so d e s o p o rte rt e s q u e contengan números mayores. Como de costumbre, una vez esta ble b lecc ida id a la re g u la r id a d , s e rá p o s ible ib le c o m e n z a r a p r e g u n ta r s e p o r su significado. La cuestión de las regularidades no termina aquí. Volverán a aparecer en nuestro camino al analizar las relaciones entre las ope raciones aritméticas aritméticas y el sist sistema ema de num eración .

2. S itu ituac acio ione ness cen ce n trad tr ad as en la s oper op erac acio ionn es a ritm ri tm é titica ca s

El sistema de numeración y las operaciones aritméticas son dos conten co nten idos básicos básicos que atraviesan atraviesan la escolaridad prim aria. ¿Cuál es es la relación que puede establecerse entre ellos? N u e s tro tr o tra tr a b a jo d id á c tic ti c o a n t e r i o r a e s ta inv in v e stig st igaa c ión ió n ya n o s había mostrado que, cuando los chicos se enfrentan a situaciones pro p robb lem le m á tic ti c a s , g e n e r a n — a d e m á s d e estr es traa teg te g ias ia s p ro p ias ia s p a r a reso re sol l verlas— procedimientos originales para encontrar los resultados

EL SISTEMA DF. NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACTICO

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de las operaciones involucradas, procedimientos que están vincula dos a la organización del sistema de numeración decimal. No N o p r e te n d e m o s a b o r d a r a q u í u n te m a tan ta n a m p lio li o c o m o el d e las operaciones aritméticas; nos centraremos en el análisis de los pr p r o c e d i m i e n t o s e l a b o r a d o s p o r los lo s c h ico ic o s p a r a h a l la r los lo s r e s u lta lt a  dos, ya que son ellos los que guardan una estrecha relación con el pr p r o b l e m a q u e es o b je t o d e e s te c a p í t u l o . S in e m b a r g o , se h a c e necesario aclarar que los procedimientos en cuestión aparecen en ciertas condiciones didácticas: la propuesta que se ha planteado a los los niños es resol resolver ver un prob lem a y no u na cue nta aislada aislada,, se alien ta la producción de procedimientos propios y no se enseñan de entrada los algoritmos convencionales. ¿Cuál es la naturaleza de la relación entre los procedimientos infantiles para obtener los resultados de las operaciones y el cono cimiento que los niños van elaborando acerca del sistema de numeración? Se trata de una relación recíproca: por una parte, los procedi mientos de los chicos ponen en acto —además de las propiedades de las operaciones— lo que ellos saben del sistema y, por otra par te, la explicitación de esos procedimientos permite avanzar hacia una mayor comprensión de la organización decimal. Las regularidades que es posible detectar a partir del trabajo con las operaciones también hacen lo suyo: contribuyen a mejorar el uso de la notación escrita, ayudan a elaborar estrategias más económicas, nutren las reflexiones que se hacen en el aula. 2.1 2 .1 Reso Re solv lver er operaciones, operacion es, confro con front ntar ar proce pro cedim dim ientos ien tos... ...

¿Por qué afirmamos que los procedimientos que los chicos uti lizan están estrechamente vinculados a la organización del sistema de numeración? Tal vez lo mejor sea cederles la palabra: —F — F r e n te a u n p r o b le m a q u e se resu re suel elvv e s u m a n d o tre tr e c e y ve v e in in  te, Mariano (primer grado) ha anticipado que el resultado es treinta y tres. Cuando la maestra le pide que explique cómo llegó a ese resultado, él responde: “En el trece hay un diez y en el veinte hay dos diez más, entonces son diez más veinte que es treinta, y tres del trece, me da treinta y tres”.

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— E n r e l a c i ó n c o n u n p r o b l e m a e n el q u e h a b í a q u e s u m a r diez, trece y trece, Sebastián (primer grado) explica: “A mí me dio treinta y seis, porque sumé los tres diez y tres y tres son seis * n mas . —Así —A sí e x p lic li c a C ecil ec ilia ia ( p r im e r g rad ra d o ) c ó m o o b tuv tu v o el r e s u lta lt a d o de 19 + 28 + 31: “Yo pongo todo desa de sarm rmad ado, o, todos los diez (el de diecinueve, los dos de veinte y los tres de treinta) y después me fijo y agrego los que dan diez (suma el nueve de diecinueve y el uno de treinta y uno) y después agrego el ocho”. — D e spu sp u é s d e reso re solv lvee r u n p r o b le m a s u m a n d o tre tr e i n t a y n u e v e y veinticinco, Giselle (segundo grado) afirma que lo hizo “pensan do con la cabeza” y agrega: “Primero sumé de diez en diez y des pu p u é s s u m é los lo s d e m á s n ú m e r o s ”. C o m o la m a e s t r a le p id e q u e explique mejor qué es lo que sumó de diez en diez, ella dice: “Al treinta y nueve le dejo de lado el nueve, entonces es treinta; des pu p u é s le p o n g o los lo s d o s diez di ez d e l v e inte in te,, es c in c u e n ta; ta ; d e s p u é s sum su m o el nueve y después el cinco”. — C u a n d o se p id e a los lo s c h ico ic o s q u e a n o t e n sus su s p r o c e d im ie n to s v los expliquen, se obtienen producciones como las siguientes.

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EL SISTEMA DE NUMER.U ION: l N PROBLEMA DIDACTICO

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—O — O tro tr o s chic ch icos os d e s e g u n d o g r a d o sum su m a n r e i t e r a d a m e n t e diez di ez a uno de los términos al mismo tiempo que los van restando del otro, como para lograr un máximo control sobre cada resultado. En efecto, al sumar 279 + 186 (invitados que se encuentran en dos salones de una gran fiesta), algunos chicos lo hacen así: 200 + 100 = 300 300 ■t 79 + 86 30 0 86 33 0 5 6 3 6 0 2 6 3 8 6 3 1 0 76 3 4 0 4 6 3 7 0 16 32 0 66 35 0 36 3 8 0 6 Los autores de esta estrategia han explicitado con asombrosa claridad claridad un a consecue ncia de la propieda d asoci asociat ativ ivaa que en g ene  ral permanece implícita al resolver operaciones: lo que se suma a uno de los términos hay que restárselo al otro. Esta estrategia tan reveladora del alto grado de reflexión de los chicos sobre las ope-

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raciones muestra al mismo tiempo que para ellos no resulta obvio —c — c o m o lo es p a r a n o s o tro tr o s — q u e 300 30 0 + 86 es 386. 386 . —A p o y a rse rs e s iste is tem m á tic ti c a m e n te e n los lo s n u d o s es u n r e c u r s o q u e utilizan algunos niños para configurar procedimientos más econó micos. Es así como, para terminar la cuenta del ejemplo anterior, Javier suma 386 + 79 de la siguiente manera: 386 + 79 300 80 + 70 = 150 450 + 10 = 460 (Nó tese la tran sfo rm ación ac ión de 9 + 6 en 10 + 5) 460 + 5 = 465 Del mismo modo, para resolver 36 + 145, Sebastián escribe: 145 + 5 + 10 + 10 + 10 + 1 = 181 Luego explica: “Puse el cinco porque con cinco ya sé que llego a ciento cincuenta”. La maestra le pregunta dónde estaba ese cin co y él responde: “En el treinta y seis, por eso al final también está el uno; si no, sólo hubiera sumado treinta y cinco”. Todos estos chicos han tenido que resolver un problema mate mático: el de elaborar por sí mismos procedimientos para encon trar el resultado de una operación. Al enfrentarse con este proble ma, ellos apelan sistemáticamente a la descomposición decimal de los términos. Esta descomposición adquiere distintas formas: en algunos casos casos se des com pon en todos los los suman dos y en otros sól sóloo uno de ellos; en ciertos casos cada término se descompone en nud os y en otros también los nu do s se se descom pon en en “dieces” o “cienes”. Cuando esta cuestión se plantea por primera vez en primer grado, no todos los chicos utilizan procedimientos como los que hemos reseñado. La diversidad hace nuevamente su aparición: algunos cuentan con los dedos; otros trazan tantas rayitas como objetos objetos deb en sumar y luego luego las las cuentan de a u no, y otros encu en tran velozmente el resultado. Entre estos últimos, hay quienes no


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pu p u e d e n e x p lic li c a r c ó m o lo h icie ic ierr o n , m i e n tra tr a s o tro tr o s d a n exp ex p lica li caci cioo  nes similares a las de Mariano, Sebastián o Cecilia. Proponer a los chicos que anoten de qué manera resolvieron la operación es dar un paso importante hacia el progreso de todos, porque esto permite que cada uno de ellos tome conciencia del procedimiento que ha utilizado y porque la confrontación se ve favorecida al abrirse la posibilidad de comparar anotaciones (y ya no sólo explicaciones orales). Entre los chicos que inicialmente cuentan con los dedos o con marquitas en el papel, hay muchos que avanzan hacia la descom po p o s ici ic i ó n d e c im a l g raci ra cias as a la in t e rac ra c c i ó n c o n los lo s c o m p a ñ e r o s q u e la utilizan. Para otros, en cambio, resulta difícil abandonar sus estrategias originales y es necesario ayudarlos de diversas mane ras:13 proponiéndoles que recurran a los portadores, intentando que tiendan un puente entre su procedimiento y el de los otros chicos —por ejemplo, sugiriéndoles que vayan marcando con números los nudos a medida que van contando sus marquitas (el número diez al llegar a la décima...)—, trabajando con los nudos de las decenas. Las actividades relativas a las regularidades vincula das a las operaciones (véase el punto 2.2.) jugarán también aquí un papel importante. Ahora bien, ¿qué progresos en la comprensión del sistema pu p u e d e n real re aliz izar arss e u n a vez q u e se u tili ti lizz an p r o c e d i m ie n to s b asad as adoo s en el sistema decimal? Cuando se incita a los chicos a buscar estrategias más económi cas —y a veces antes—, surgen otras propuestas: —F — F ed e ric ri c o , p a r a reso re solv lver er el p ro b lem le m a e n el q u e hay ha y q u e s u m ar trein ta y nueve y veinticinco, veinticinco, anota: 30 + 20 = 50 5 0 + 9 = 5959 + 5 = 64

13. 13. Citamos aquí, entre las las m uchas interv enc iones posibles, sólo aquellas que se relacionan con el sistema de numeración.

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DIDACTICA D E MATEMATICA MATEMATICAS S

Luego, como para aclarar lo que hizo, agrega: 30 20

------------------------------------------- 39 ------------------------------------------- 25

---------------------- ► ----------------------►

9 5

Cuando la maestra le pregunta por el significado de las flechitas, Federico responde: “Las puse para que se dieran cuenta de dónde saqué el treinta y el veinte que sumé primero”. — E m a n u e l h a c e el cálc cá lcuu lo d e la m ism is m a m a n e r a q u e F e d e ric ri c o y, cuando la maestra le pregunta cómo hizo para saber cuánto era treinta más veinte, él contesta: “Mirá, si tres más dos es cinco, entonces treinta más veinte tiene nta”. tie ne qu quee ser c incue nta”. — D ieg ie g o ( s e g u n d o g r a d o ) e x p lic li c a c ó m o h a r e a liz li z a d o la s um a 473 + 218 anotando lo siguiente:

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— F lo r e n c ia (se (s e g u n d o g r a d o ) , a d e m á s d e s e lec le c c ion io n a r — e n u n enunciado que incluye datos superíluos— sólo los datos pertinen tes para dar respuesta a la pregunta, explícita el procedimiento que ha utilizado para obtener el resultado:

EL SISTEMA DE NUM ERA CION : UN PROBLEMA DIDA CTIC O

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La tarea en el aula nos permitió descubrir que no se pasa fácil mente del procedimiento que consiste en sumar reiteradamente diez o cien al procedimiento utilizado por los últimos chicos citados. ¿Por qué? Seguramente porque el segundo supone una compren sión mayor del sistema de numeración. En efecto, para descompo ner cuarenta en cuatro “dieces” —cuando se suma, por ejemplo, treinta más cuarenta— es suficiente con saber que cuarenta (como significado) incluye cuatro dieces; en cambio, para afirmar “si tres más cuatro es siete, entonces trein treinta ta más cu arenta are nta es seten se tenta” ta” hace fal fal ta haber entendido además algo fundamental en relación con los significantes numéricos: que el tres de treinta repre senta sen ta tres dieces dieces y el cuatro cuat ro de cuarenta se refiere a cuatro dieces. Estos últimos procedimientos revelan entonces que los chicos han hecho una generalización válida en nuestro sistema de nume ración. Para analizar de cerca en qué consiste esta generalización, ape laremos a un señalamiento de R. Skemp. Este autor hace notar que nuestro sistema de numeración —a diferencia de lo que ocu rre con otros, como el romano— utiliza una posibilidad funda m ental q ue ofrecen los los núm eros: si se suman —p or ejem plo— dos objetos cualesquiera y tres objetos de la misma clase, se obtienen siempre cinco objetos de esa clase, independientemente de que

DIDACT ICA DE MATEMATI MATEMATICAS CAS

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los objetos en cuestión sean elementos singulares, conjuntos o conjuntos con juntos d e conjuntos. Así, Así, dos m edias más tres tres medias son cinco medias, dos pares de medias más tres pares de medias son cinco pa p a res re s , d o s d o c e n a s d e p a r e s d e m e d ias ia s m ás tres tr es d o c e n a s d e p a res re s de medias son cinco docenas... Es por eso que la organización del sistema de numeración autoriza a los chicos a hacer uso de la abs tracción 2 + 3 = 5 para deducir que dos “dieces” más tres “dieces” son cinco “dieces”, o que dos “cienes” más tres “cienes” son cinco “cienes”. La estructura “ si s i ... entonces” empleada por ellos sintetiza con gran precisión relaciones cuya explicitación suele requerir muchas líneas (como ocurre en este artículo). Resulta evidente entonces que la búsqueda de estrategias más económicas para resolv resolver er las las operaciones funciona com o u n m otor pa p a r a d e s c u b r i r n u e v a s r e la c i o n e s in v o lu c r a d a s e n la n o t a c i ó n numérica. La confrontación de procedimientos abre las puertas para que cada niño pueda entender o al menos comenzar a entender los que utilizan utilizan sus sus com pañe ros. Es lo que ocu rre, po r ejemp lo en la situación siguiente. Al resol resolver ver un p rob lem a qu e requ iere sum ar 50 + 70, 70, aparecen tres procedimientos diferentes, cada uno de los cuales es utilizado p o r v ario ar ioss c h ico ic o s. L a m a e s t r a los lo s a n o t a e n el p iz a r r ó n e in c i ta a compararlos. Los procedimientos son: 70 + 10 = 80 80 + 10 = 90 90 + 10 = 100

50 + 50 = 100 100 + 20 = 120

70 + 50 = 120

100 + 10 = 110 110 + 10

=

120

Muchos alumnos dicen que el procedimiento de la derecha no está explicado, que se anotó el resultado pero no se sabe cómo se llegó a él. Uno de los chicos que utilizó este último procedimiento explica: “Yo hice lo mismo que ustedes, ustedes pusieron cinco dieces, acá (señalando los de la izquierda) hay uno, dos, tres, cua tro, cinco dieces, ¿no? Bueno, yo también sumé cinco dieces (seña la el cinco de 70 + 50), pero los sumé directamente, porque cinco más siete es doce, ¿no?".


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Al propiciar que se estable establezcan zcan relaciones relaciones e ntre diferentes p ro  cedimientos, se hace posible lograr no sólo un acercamiento entre éstos, sino también una mayor comprensión de la naturaleza del sistema de numeración por parte de todos los chicos —tanto de los que explicitan un procedimiento muy económico como de los que empiezan a vislumbrar la posibilidad de modificar el que utili zaban para adoptar el que sus compañeros proponen. De este modo, la experiencia didáctica ha mostrado que la bús queda de procedimientos para resolver operaciones no es sólo una aplicación de lo que los chicos ya saben del sistema, es también el origen de nuevos conocimientos sobre las reglas que rigen la numeración escrita. Por lo tanto, habr¿ que poner en marcha todos los recursos po p o s ible ib less p a r a l o g r a r q u e los lo s c h ico ic o s q u e c u e n t a n (o s u m a n ) d e a uno acerquen su procedimiento al de los que suman de a diez y si ... que éstos progresen hacia estrategias más económicas del tipo si... entonces. La búsqueda de regularidades vinculadas a las operacio nes hará posible estos progresos... y algo más. 2.2 2 .2.. Refle Re flexio xiona narr sobre las la s operaciones, opera ciones, descu des cubrir brir “leyes” leye s” d el sistem sis temaa de nu nume merac ración ión

Los chicos —lo hemos visto— inventan algoritmos propios. Al hacerlo, hacerlo, po nen en jueg o tanto tant o p ropiedades de las operaciones como conocimientos implícitos sobre el sistema de numeración. Explicitarlos es un paso necesario para descubrir leyes que rigen el sistema. Un procedimiento muy popular es sumar reiteradamente diez o cien. Estudiar lo que ocurre cuando se realizan estas sumas —c — c o m p a r a n d o el p r i m e r té r m in o c o n el res re s u lta lt a d o — p e r m i te esta es ta ble b lecc e r reg re g u lari la ridd a d e s ref re f e rid ri d a s a lo q u e c am b ia y lo q u e se cons co nser erva va.. “En una casa de artículos para el hogar —les contamos a los chicos— aumentaron 10 pesos todos los precios. Esta es la lista de los precios viejos, pongamos al lado los nuevos.” Cada niño resuel ve la situaci situación ón planteada: mientras que algunos anotan rápida m en te el resultado, otros cuentan de a uno cada vez que suman diez. Una vez que, en pequeños grupos, se confronta y se corrige, se reproduce la lista en el pizarrón. Ha llegado entonces el momento


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de analizar cómo se transforman los números cuando se les suma diez. Al comparar los precios originales (12, 43, 51, 82, 25, 36... por ejemplo) con los nuevos correspondientes (22, 53, 61...), los chi cos formulan reglas como las siguientes: “Siempre que agregás diez, te queda más”; “Los números de adelante cambian por un número más en la escalera y los de atrás siguen iguales”. A lo largo del tiempo y a través de las actividades que se realicen, esta última ley se irá reformulando, hasta adoptar más o menos esta forma: “El que cambia por el que sigue es el de los dieces, porque vos sumaste diez; el otro queda igual”. Una actividad similar puede hacerse suministrando como dato los nuevos precios y solicitando que se averigüen los viejos. Las regularidades que en este caso se establecerán estarán referidas, po p o r s u p u e s to , a las tra tr a n s f o r m a c io n e s q u e se p r o d u c e n c u a n d o se resta diez. Contar de a diez —por ejemplo los billetes del “banco”— y anotar lo que se va contando, armar listas de precios en números “red on do s” (los (los nud os de las las decenas) que ha n a um entado o reba reba  ja j a d o d iez ie z p e s o s , c o m p a r a r los lo s c a m b io s q u e se p r o d u c e n e n los lo s números cuando se suma (o se resta) uno y cuando se suma (o se resta) resta) diez.. diez.... son situaciones situaciones útiles útiles para todos, y en particu lar pa ra los que aún se aferran al conteo de uno en uno. Otra perspectiva posible para analizar la misma cuestión es la que se adopta en una actividad como la siguiente: “Los empleados de una biblioteca estaban haciendo un inventario para saber cuántos libros había. Varios de ellos contaban los libros existentes en las diferentes secciones e iban anotando las cantidades obtenidas. Algunas de sus anotaciones eran: Pedro

Juan

Marta

P a b lo

R o sa u r a

20

40

40

45

3

22

45

50

50

6

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EL SISTEMA DE NUMERACION: UN PROBLEMA DIDACT ICO

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— ¿Cómo contaba cada uno de los empleados? — ¿Cómo hiciste para averiguarlo? — ¿Podríamos darnos cuenta de la forma en que contaban sin calculai nada, limitándonos a observar los números? — ¿Cómo seguirán los apuntes de cada uno de los empleados?”

Esta actividad, a diferencia de las anteriores, exige que los chi cos se centren en las representaciones numéricas, puesto que es a pa p a r t i r d e ella el lass c o m o p o d r á n d e s c u b r ir las o p e r a c io n e s inv in v o lu c r a  das en cada serie. Una tercera perspectiva puede introducirse planteando situa ciones como ésta: “Pablo estaba leyendo un artículo en la página 25 del diario. Cuando llegó al final de la página, se encontró con una notita que decía ‘continúa en la página 35’. ¿Cuántas páginas tuvo que pasar Pablo? ¿Cómo te diste cuenta? ¿Qué otros datos se podrían poner en el problema sin s in ca m b iar ia r la cantidad de páginas que Pablo tuvo que pasar para continuar leyendo el artículo?”

La última pregunta es lo que distingue esta actividad de las anteriores: se trata ahora de producir pares de números cuya dife rencia es diez y ya no de inferir la transformación operada entre núm eros dados dados.. Por otra parte, será interesante proponer problemas que per mitan analizar las transformaciones que se producen en las nota ciones numéricas al sumar o restar otras cantidades “redondas”. Planteamos un ejemplo: “En un videoclub que acaba de abrir hay 13 películas. Cada semana, los dueños compran diez películas más. ¿Cuántas tendrán a las tres semanas? ¿Y a las ocho semanas? ¿Y a las diez semanas? Otro videoclub procedió de la misma manera, pero tenía origi nalmente 38 vídeos. ¿Cuántos tendrá tres, ocho y diez semanas des pués? En un tercer videoclub, compraron también diez vídeos por semana y al final de la quinta semana tenían 84 vídeos. ¿Cuántos tenían al principio?”


Est Este problem a ap un ta a establ establecer ecer regularidades regularidades com o “sum ar directamente treinta produce el mismo resultado que sumar tres veces diez”, “sumar directamente ochenta es lo mismo que sumar ocho veces diez”, “restar cinco veces diez da lo mismo que restar de una vez cincuenta”. Al centrar la comparación en los estados iniciales y los resultados correspondientes, será posible establecer reglas como “cuando sumo treinta, tengo que agregar tres dieces más a los dieces que hay”, “si querés sumar ochenta, lo que tenés que hacer es agregarle ocho dieces a los que ya tenés”, “cuando sumamos ochenta, a veces el resultado tiene tres números y a veces tiene dos”. Estas “leyes” que formulan los chicos desembocarán en el reconocimiento general de una regularidad que había llegado al aula de la mano de algunos niños como explicación de uno de los procedimientos que utilizaban para resolver operaciones: “Si — p o r e j e m p l o — u n o m á s o c h o es n u e v e , e n t o n c e s u n d iez ie z m ás ocho dieces son nueve dieces, es noventa”. La reflexión sobre los aspectos multiplicativos involucrados en la notación numérica se hace posible también a partir de un juego con dados: se establece que cada punto vale diez, los chicos —o — o r g a n iza iz a d o s e n g r u p o s — a r r o ja n el d a d o p o r t u r n o y a n o t a n el pu p u n ta j e q u e o b tuv tu v ier ie r o n . En el desarro llo del jue go , apa recen divers diversos os procedimien tos: algunos cuentan con los dedos hasta diez mientras señalan un pu p u n t o d e l d a d o , lue lu e g o s e ñ a lan la n el s e g u n d o p u n t o y s igu ig u e n c o n t a n  do hasta veinte...; otros chicos cuentan de diez en diez, otros dan el resultado de inmediato sin evidenciar cómo hicieron para encontrarlo. Después de varios partidos, la maestra pregunta: “Cuando salen cuatro puntos, ¿ustedes qué anotan?”. Hace preguntas simila res para otros números que aparecieron en el juego y luego las extiende a otros casos posibles. Maest Ma estra: ra: ¿Cómo se dan cuenta? Fern Fe rnan anda da:: Y..., porque si al 8 le pongo un 0 es 80, si le agregás al 9 un 0, te queda 90, es todo lo mismo. Mae M ae stra: str a: Miren: si sacan 4, ustedes se dan cuenta de que es 40 (escribe los números), pero ¿qué tiene que ver el 4 con el 40? Leo: Acá con cuatro cosas y acá cuarenta cosas.


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Mae M aest stra ra : Pero el 40 también tiene un 4. ¿Por qué hay un 4 en el 40?

Giselle. Porqué acá (40) son cuat cu atro ro de diez. M ig u e l Si Si contás de diez en diez, con cuatro de diez ya es cuaren ta, por eso va 4 (en 40).

Las intervenciones de la maestra tienden a lograr que los chi cos reflexionen acerca de la función multiplicativa de 4 en la nota ción 40 (4 x 10) y la relacionen con la interpretación aditiva de ese número (10 + 10 + 10 + 10). Es así como se hace posible —en esta actividad y en muchas otras— utilizar la situación de sumar o restar reiteradamente tdiez como vía de acceso a una mayor comprensión del valor posicional. Actividades similares a las que hemos descrito pueden propo nerse en relación ’con la suma o la resta de cien. En este caso, com piten dos cand idatos privil privilegi egiados ados:: los billet billetes es y la num erac ión de las calles. Pueden plantearse, por ejemplo, problemas como los siguien tes: “¿Cuántas cuadras hay que caminar para ir de Rivadavia al 700 a Rivadavia al 1000?, ¿y para ir del 1700 al 2000?, ¿y del 2700 al 3000?”, “Martín y Pablo viven en la calle Corrientes. Martín vive al 500 y camina cuatro cuadras para llegar a la casa de Pablo; ¿a qué altura vive Pablo?”, “Florencia y Lorena viven en la calle Córdoba. Para visitarse tienen que caminar diez cuadras, ¿a qué altura de Córdoba está la casa de cada una de ellas? (encontrar por lo m eno s diez diez posibilidades) posibilidades) ”. La comparación de diferentes situaciones conducirá a estable cer regularidades también para el caso de los “cienes” a contrastar las con las ya establecidas para los “dieces”, a continuar reflexio nando sobre la organización del sistema de numeración. La calculadora puede contribuir a la reflexión sobre la estruc tura aditiva de la numeración hablada y su vinculación con las reglas de la numeración escrita si se la utiliza, por ejemplo, de la siguiente manera: la maestra dicta un número que los niños mar can en la calculadora y luego pregunta qué hay que hacer para que aparezca un cero en lugar de alguna (o algunas) de las cifras que constituyen el número. Al realizar esta actividad en un segundo grado, se dictó en pri

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mer término 9815 y se preguntó qué orden había que dar para que el resultado fuera 9015. Muchos restaron primero ocho, luego ochenta y sólo después ochocientos, en tanto que otros hicieron directamente la resta correcta. Cuando se discutió la cuestión en grupo, todos sabían ya que había que restar 800, puesto que las otras soluciones —restar 8 o restar 80— habían sido descartadas p o r c o n d u c i r a u n r e s u lta lt a d o d i f e r e n t e d e l b u s c a d o . C u a n d o la maestra pidió que explicaran cómo se habían dado cuenta de que había que restar ochocientos y no ocho u ochenta, Francisco res po p o n d i ó : “Vos p o d é s r e s t a r así as í (98 (9 8 1 5 - 1 5 ), y eso es o te d a n u e v e m il ochocientos; ahí ya te ayudás un poquito, ¿no?, entonces ya sabés que son ochocientos”. Luego se dictó 9268 y se pidió a los chicos que hicieran algo pa p a r a o b te n e r com co m o re s u lta lt a d o 9208 92 08.. N u e v a m e n te, te , a lgu lg u n o s res re s taro ta ro n pr p r im e ro seis y sól s óloo d e s p u é s s esen es enta ta,, e n tan ta n to q u e o tro tr o s h ic ier ie r o n d e entrada esta última resta. Durante la discusión, todo el mundo estaba estaba de acuerdo en que había q ue restar sesent sesenta, a, pero justificar justificar lo no era tan fácil. Francisco ofreció una explicación inesperada: “Se junta el seis que hay en el número que pusiste con el cero que hay que tener en el resultado y es sesenta”. Tali preguntó: “¿Pero vos cómo sabías desde antes que tenías que sacar sesenta?”. Hubo dos respuestas: la de Patricio fue “Porque es nueve mil doscientos ses enta, ta, no seis”; la de sese se sent ntaa y ocho, entonces tengo que sacar sesen Jenny fue “Hay que sacar sesenta, porque cuando uno lee el núme ro no lee ni seiscientos ni seis, lee sesenta”. Fue instructivo descubrir que los argumentos de los chicos estaban exclusivamente basados en la numeración hablada y que ninguno de ellos —ni siquiera los que en otros casos suministra ba b a n ju j u s tif ti f ica ic a c ion io n e s d e l tip ti p o “si... e n t o n c e s ”— a p e lab la b a a q u í al v alo al o r po p o sic si c ion io n a l. D e cid ci d im o s e n t o n c e s p l a n t e a r o tra tr a s s itu it u a c ion io n e s d e este es te tipo y, al comparar casos en que, para un mismo número, el cero del resultado aparecía ubicado en diferentes lugares —por ejem plo p lo,, d e t e r m in a r cuá cu á les le s son so n las ó r d e n e s q u e hay ha y q u e d a r a la calc ca lcuu  ladora para transformar 6275 en 6075, 6205 y 6270—, los chicos comenzaron a tomar conciencia de que en ciertos casos había que restar cienes; en otros, dieces; en otros, unidades. La cuestión se aclaró aclaró aún más cuand o propusimos partir de núm eros como 4444 4444 o 7777 y cuando comparamos muchos casos diferentes en los cua


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les se trataba de obtener un cero ubicado en un lugar determi nado. La calculadora es un instrumento valioso para la realización de estas actividades, ya que hace posible que cada chico detecte por sí mismo cuándo está en lo cierto y cuándo se ha equivocado, autocorrija sus errores y empiece a plantearse la necesidad de buscar una regla que le permita anticipar la operación que efectivamente pe p e r m ite it e lle ll e g a r al r e s u lta lt a d o b u sca sc a d o . En síntesis, reflexionar sobre la vinculación entre las operacio nes aritméticas y el sistema de numeración conduce a formular “leyes” cuyo conocimiento permitirá elaborar procedimientos más alg o m ás : preguntarse por las razones económ icos. Y hace posible algo de esas regularidades, buscar respuestas en la organización del sis tema, com enzar a develar develar aquello que está más más oculto oculto en la nu m e ración escrita. In sta st a n tán tá n e as del de l traba tr abajo jo en el au la La maestra de primer grado propone una escritura no conven cional —inspirada en las producidas por sus alumnos hasta muy po co tiem po antes— ; al elaborar argum entos para rechazarla, rechazarla, los chicos analizan la relación numeración hablada-numeración escrita (para los números comprendidos entre diez y veinte). En una situación incidental, surge la necesidad de anotar el número diecinueve, Micaela pasa al pizarrón y lo escribe convencionalmente. Maes Ma estra tra:: ¿Qué les parece?, ¿es así el diecinueve? Niños: Niñ os: (asienten). M aest ae stra ra:: A mí me contaron unos nenes de otra escuela que se podría escribir así: 109. ¿A ustedes qué les parece? Romá Ro mán: n: A mí me parece que ese número es del cien... Ju J u a n Albert Alb erta. a. ¡No!, ¡ése no es! ¿No te das cuenta de que el dieci nueve es el otro? ¿No te das cuenta de que decís diez y nu nuev evee? Maes Ma estra tra:: Pero, ¿dónde está el diez aquí? (señala 19). Gusty: No está en ninguna parte. Veror. ¡Sí! éstá abajo del nueve. Román: Rom án: El uno significa diez, lo que pasa es que no podés escribir un 10 a cada número porque... ¡Sería cualquier cosa! e n el e l pizarrón de manera Maest Ma estra: ra: ¿Y en el diecisiete? (Lo escribe en convencional.)

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Ju J u a n Alberto: Alber to: Lo que yo te digo pasa con todos los números: con el dieciséis, con el diecisiete, el dieciocho, el diecinueve... D ieg ie g a Cuando vos decís diecisiete suena un poco diez die z y siete, pero no se escribe el diez y el siete. Mar M aría ía:: Pero..., no decimos diez die z y siete siet e (lo dice acentuando la sepa ración), lo d ecimos todo junto. Maes Ma estra tra:: Y con el quince sucede igual que con el dieciséis, el diez y siete... Vera Sí, porque si le sacás cinco, quedan diez. La maestra aporta un contraejemplo; los chicos se ven obligados a precisar sus afirmaciones. Alguien escribió 35, todos lo interpretaron correctamente. Mae M aestr stra: a: ¿Cómo se dan cuenta de que es el treinta y cinco? Un alumno: Porque empieza con tres. Otro niño: Porque cuando digo treinta y cinco, sé que empieza con tres... tres... tre tr e inn in n n ... .. . treinta trei nta.. Otro niño: Porque diez y diez y diez son treinta, hay tres de diez. La maestra escribe entonces 366 en el pizarrón y pregunta: Mae M aestr stra: a: ¿Y este número cuál es? También empieza con tres. Un chico: No, ése no es de los treinta aunque empiece con tres. Es de la familia de los cien porque tiene tres números, pero no sé... La maestra pone en duda las afirmaciones correctas de sus alum nos, éstos responden explicitando más claramente lo que saben acerca del sistema. Los chico s de segu nd o grado dictan “cien to treinta treinta y tres” y dicen: “Es con un uno, un tres y un tres”. Maest Ma estra: ra: ¿Cómo?, ¿con dos tres? Un niño: Bueno, es que los dos son el número,tres, pero valen diferente. Maest Ma estra: ra: ¿Cómo puede ser que el mismo número valga diferente? ¿Cómo vamos a entender así? Otro niña Mirá, los números son siempre el tres, pero hay distin tos tres. Anotá así: tres, tres, tres. Es el trescientos treinta y tres, ¿no? Hay un tres que es tres, el segundo que es treinta y el otro es tres de “ciento". Maes Ma estra tra:: ¿Siempre pasa así? Otro alumna Sí... Con el 555 también, el del medio es cincuenta. Maes Ma estra tra:: Yo no veo ningún cincuenta ahí.

EL SISTEMA SISTEMA DE NUME RACION : UN PROBLEMA DIDACTICO

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Varios-, ¡No!, ¡porque está el otro cinco! Si no está, le pones cero; pero si está el cinco es cincuenta y cinco.

Dos Dos observaciones son necesarias acerca del con junto jun to de acti activi vi dades que hemos propuesto. En primer lugar, las situaciones relacionadas con el orden y las vincüladas a las operaciones se van desarrollando de forma simultá nea, ya que la decisión de poner en primer plano en el aula el fun cionamiento del sistema de numeración así lo exige. Cada catego ría de situaciones constituye un ámbito en el cual se pone de relieve algún aspecto particular de la numeración escrita. Los aprendizajes que se realizan en estos diferentes ámbitos van confor mando una trama a partir de la cual los chicos organizan y reorga nizan su conocimiento acerca del sistema. Optar por abordar en el aula el sistema de numeración en toda su complejidad significa también enfrentar un alto grado de complejidad didáctica. En segundo lugar, existe un parentesco entre algunas de las situaciones propuestas y actividades muy tradicionales en la escuela: llenar cheques supone escribir cantidades en números y en palabras, descomponer los términos para sumar o restar lleva a p r o d u c i r e s c r itu it u r a s ( c o m o 386 38 6 = 300 30 0 + 80 + 6) q u e e v o c a n los lo s “ejercic ejercicios ios de descom d escom posición” posición ”, dictar núm ero s se parece mucho... muc ho... al dictado de números (!). Sin embargo, el parentesco no es tan cercano. Cuando se trata de llenar lle nar chequ es, el pasaje de las cifr cifras as a la la escritura con palabras (o viceversa) aparece en el marco de una situación donde cobra sentido: sentido: por un a parte , el soporte utili utilizado zado requ iere efectivamente efectivamente —p — p a r a e vita vi tarr a m b ig ü e d a d e s — la d o b le e s c r itu it u ra d el n ú m e r o ; p o r otra parte, la actividad se orienta hacia la discusión de las produc ciones o interpretaciones realizadas por los chicos. Hacia este últi mo objetivo apuntamos también al dictar números: lo esperado es que las producciones reflejen diferentes conceptualizaciones y consti constitu tuyan yan —po r lo tanto— tanto— el pun to de partida para la con fronta ción, para el intercambio de información, para el acercamiento prog pr ogre resiv sivoo a la escritura Convencional. Finalmente, la descomposi ción decimal de números —lejos de constituir la consigna alrede dor de la cual se organiza la actividad— es una herramienta qui los chicos elaboran para resolver ciertos problemas.


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Lo que importa entonces no es que una actividad esté catalo gada como “tradicional” o “innovadora”; lo que importa es que las pr p r o p u e s ta s d e tra tr a b a j o r e ú n a n c i e r ta s c o n d ic io n e s : p a r t i r d e los lo s pr p r o b lem le m a s q u e p l a n t e a el u so d e la n u m e r a c ió n e s c rita ri ta,, c o n te m  pla p la r d if e r e n t e s p r o c e d i m ie n to s , a d m iti it i r d i f e r e n te s res re s p u e s tas ta s , generar algún aprendizaje sobre el sistema en todos los miembros del grupo, favorecer el debate y la circulación de información, garantizar la interacción con la numeración escrita convencional, pr p r o p i c i a r u n a a u t o n o m í a c r e c i e n t e e n la b ú s q u e d a d e i n f o r m a  ción, acercar —en la medida de lo posible— el uso escolar al uso social de la notación numérica. Inter In terca cam m biar bi ar mensa me nsajes jes A partir de los cheques, se deriva otra actividad: mientras un grupito hace una lista de números escritos con cifras, otro hace su lista escribiendo con palabras los nombres de los números. Luego, inter cambian sus mensajes: el grupo que recibe números escritos con cifras debe anotar el nombre de cada uno, el que recibe los nom bres debe anotar en cifras los números correspondientes. Resulta sugestiva la diferencia existente entre los números elegi dos por los chico s de l 9 grado y los propuestos por los de segundo:

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Pre P regu gu n tas ta s otra ot ra vez

“Había que encontrar una respuesta”, señalamos al comenzar este artículo. Ahora, muy cerca del final, se hacen presentes las nuevas nuevas preguntas. Nuestro prop io jue g o de pregun tas y respuest respuestas as nos alienta a seguir indagando. Si la diversidad es tan marcada ya no de un grupo a otro, sino dentro de cada grupo, ¿cómo establecer límites que tengan validez general entre el trabajo que se realiza en primer grado y el que se lleva a cabo en segundo o en tercero?, ¿cómo definir cuáles son los saberes que se consideran patrimonio de todos en un momento dado?, ¿qué otras estrategias implementar para ayudar a los niños a abandonar procedimientos poco económicos y progresar hacia aquellos aquellos qu e supo nen conceptualizaciones conceptualizaciones más profundas? profundas? Sabemos que haber establecido regularidades en el sistema es una condición necesaria para que resulte significativo interrogarse acerca de las razones que las fundamentan. ¿Podrá establecerse una relación como ésta entre otras adquisiciones?, ¿cuáles? Los chicos encontraron “leyes” que no habíamos previsto, ¿habrá otras cuyo descubrimiento podría contribuir al progreso de la conceptualización? ¿Qué nuevos problemas es necesario incluir en nuestra propuesta para garantizar que los chicos transiten con éxito hacia la comprensión del sistema? Las preguntas nos llevan otra vez al aula. Porque aprendemos al compartir el trabajo con maestros y chicos, enfrentaremos el desafío de seguir buscando. Cuando encontremos alguna respues ta, tendrá sentido emprender el próximo capítulo. B ib l io g r a f ía

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C a p í tu l o

VI

DIVIDIR CON CO N DIFICULTA DIFICULTAD D O LA DIFICULTAD DE DIVIDIR Irma Irm a Sa Saiz iz “Dura cosa é la par tita" par tita" 1 (Antiguo refrán italiano)

In t r o d u c c ió n

En la Antigüedad sólo los hombres sabios sabían dividir. Los métodos de resolución eran numerosos. Métodos difíciles que se asimilaban con gran trabajo y solamente después de una pro longa práctica; para resolver con rapidez y exactitud la multiplica ción y la división de números con varias cifras significativas era necesario un talento natural especial, capacidad excepcional: sabi duría que para los hombres sencillos era inaccesible... Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si un escolar del siglo XX pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapi dez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de él recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gentes a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular.

Estos Estos párrafos e xtraídos del inter esa nte libro de Y. Y. Perelman, Ari A ritm tmét étic icaa recreat recr eativa iva,, nos hablan de un escolar actual poseedor del gran arte de saber calcular una división, utilizando un método 1. Asunto difícil es la división.

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rápido, eficaz, elegante, útil para la división de todos los números po p o s ib les le s ... .. . Es verdad que los algoritmos han evolucionado y mucho, des de el “método de la galera” que también incluye Perelman en su libro, hasta el algoritmo actual. Es verdad que contamos con un algoritmo eficaz y rápido, váli do para todos los números, y más aún contamos con máquinas (calculadoras y computadoras) que resuelven los cálculos en aún menos tiempo que las personas. Pero, ¿qué sucede en las escuelas, con niños que en principio ya aprendieron a dividir? En este artículo trataremos de mostrar algunas de las dificulta des que enfrentan (y no resuelven) muchos niños de escuelas pri marias en el tema de la división. Si bien se apoya sobre algunos datos estadísticos obtenidos de un estudio exploratorio realizado con 300 alumnos de 5a y 6a grado, pertenencientes a 12 grados diferentes, no es un informe de investigación; trata de aportar a los maestros algunos recursos para interpretar los resultados que en cu en tran en sus sus aulas aulas a partir de las las dificul dificultades tades de sus alumnos y de los los procedimientos procedimientos inadaptados que pon en en jueg o aú n en 5a y 6a grado. No N o s a p o y a r e m o s a d e m á s e n in v e s t ig a c i o n e s y p u b lic li c a c i o n e s sobre el tema, de la Didáctica de la Matemática, especialmente las de Guy Brousseau. El estudio exploratorio de las dificultades de los niños en relación con la división fue planteado a maestros de 5a y 6a grado que partici pa p a ro n d e u n c urso ur so d e p e rfe rf e c c ion io n a m ien ie n to, to , y con c onsis sistió tió e n 5 p rob ro b lem le m as y 4 cálculos dados a los alumnos en forma individual y escrita. Los enunciados se incluyen en el Anexo (pág. 216). El curso de perfeccio namiento citado fue organizado por la Asesoría Técnico-Pedagógica del Consejo General de Educación de la Provincia de Corrientes. Frecuentemente, cuando se inicia el trabajo de reflexión con doc entes en cursos cursos de actualización, actualización, se se recu rre a plan tea r disti distinta ntass operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Los resulta dos de los cálc cálculos ulos con las tres tres prim eras op eraciones gen eralm ente coinciden; no ocurre lo mismo en los correspondientes a la divi sión. Pensemos por ejemplo en dividir:

DIVIDIR CON DIFICULTAD O LA DIFICULTAD DE DIVIDIR

1) 85 + 5 2) 5 + 2 3) 2 + 5

187

4) 47 + 6 5) 35 + 16

Seguramente todos los docentes encuentran 17 en el primer caso; en el segundo ya pueden aparecer dos respuestas: 2,5 o bien 2, aclarando a veces que se trata del cociente entero. En el tercer caso muchos docentes dan por respuesta 0,4. Otra respuesta mucho más rara es cociente 0 y resto 2. Para 47 + 6 hay gran variedad: — n o es divisi div isible ble — el c o c ie n te e n t e r o es 7, el re s to es 5 — o b ien ie n o tra tr a s res re s p u e s tas ta s com co m o: 7,83; 7,8 3; 7,833; 7,8 33; y “n o se te rm in a nunca” — el c o c ie n te es 4 7 / 6 Finalmente para 35 + 16 las respuestas son aún más numerosas: — 3 5 /1 6 ; tre tr e in ta y cin c incc o diec di ecise iseisa isavo voss — el c o c ien ie n te e n t e r o es 2, el res re s to 3 — se p l a n t e a la o p e r a c i ó n y el c á lc u lo es p r o lo n g a d o h a s ta obtener 1, 2 o más decimales, de ahí los resultados: 2, 1; 2, 18; 18; 2, 2, 187; 2, 1875; 1875; o “2,18 “2,1875 75 y te r m in é ”. (Este análisis fue extraído de ERMEL CM1, 1982.) Lo anterior muestra que “dividir un número por otro” en rea lidad es una expresión vaga; hace aparecer diferentes tipos de cocientes (enteros, decimales no enteros, etc.). En muchos problemas se busca distribuir objetos a personas, respetando las condiciones siguientes: — n o se d i s tin ti n g u e n los lo s o b je to s , u n o s e n r e la c ió n c o n o tro tr o s ; sólo importa su número, — lo m ism is m o su c e d e c o n las p e rso rs o n a s , — las p a r te s tie ti e n e n tod to d a s el m ism is m o n ú m e r o d e obje ob jeto tos, s, — este es te ú ltim lt im o n ú m e r o es el m á s g r a n d e p o sib si b le, le , lo q u e equi eq uiva va le a decir que restará la menor cantidad posible de objetos no distribuidos (eventualmente, puede no sobrar ninguno).

188


Si bien esta caracterización caracterización pe rm ite abarc ar un a serie serie de pro  ble b lem m as, as , n o los inc in c luy lu y e a tod to d o s, n o s iem ie m p re son so n o b jeto je to s r e p a r t i d o s entre personas, frecuentemente se relacionan con medidas, e incluyen decimales o fracciones..., lo que dificulta la identificación de la división. Cuando se plantea una división, ¿quién decide si se busca un cociente entero o no?, ¿si se debe continuar hasta obtener 2 deci males?, ¿o 3?, ¿o más? ¿Es necesario analizar el resto? Y la respues ta, ¿es la misma si esta pregunta se plantea en la escuela o en la vida diaria? En los ejemplos anteriores, se trataba de la división de dos números naturales, si bien en su cociente aparecían números natu rales o no. Pero también podemos definirla en los decimales, o en los racionales; diferentes divisiones unificadas por un solo nombre: división. Aparecen, además (APMEP, 1975), otras denominaciones o expresiones relacionadas con ella, como: división exacta, división con o sin resto, cociente entero, cociente aproximado por defecto o por exceso, cociente dado con una aproximación de, etcétera: a) “División exacta”, “división sin resto”, aluden a la división euclideana que posee un resto nulo. El calificativo de “exacta” es engañoso porque deja entrever que existen divisiones que son ine xactas; “sin resto” no es una expresión más feliz porque el cero también es un resto. Estas expresiones pueden ser omitidas si se utilizan otras como: “en la división euclideana de... por..., el resto es nulo” o bie b ie n “... “. ..ee s m ú ltip lt ip l o d e . . . ”, etc. et c.,, p e r o las p r im e ra s s o n e x p res re s io n e s fue rtem en te asimiladas asimiladas a la la trad ición escol escolar, ar, y las las segundas son de una precisión tal que no tienen cabida en el aprendizaje de la divi sión tal como se plantea en general hoy día. b) b ) “Co c ien ie n te e n t e r o ” po p o s e e al m e n o s tre tr e s sen se n tid ti d o s: — c o c ien ie n te e u c lid li d e a n o : p o r e jem je m p lo, lo , el c o c ie n te e n t e r o d e 17 po p o r 5 es 3; — c o c ien ie n te e u c lid li d e a n o e n el caso ca so e n q u e el res re s to es n u lo: lo : p o r ejemplo, el cociente entero de 15 dividido por 5 es 3;


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— a p r o x im a c i ó n e n t e r a p o r d e f e c to d e l c o c ien ie n te d e u n d e c i mal por otro: por ejemplo, el cociente entero de 17,75 divi dido por 5,01 es 3. Generalmente es este tercer sentido el más usual. Habría que agregar, además, la expresión “el cociente de dividir a por b es entero”, que provee información sobre qué tipo de número es el cociente. c) “Cociente Co ciente ex acto” ac to”.. P uede ue de criticarse com o en el caso a), y en lugar de la expresión “5 es el cociente exacto de 15 por 3”, puede decirse: “5 es el cociente de 15 por 3” y, si es necesario, aclarar que el resto es nulo. Estos términos tal vez se originaron en la clasificación que se realizaba tradicionalmente en la escuela de los distintos casos de división: división de un entero por un entero; de un decimal por un entero; de dos decimales entre sí; de dos enteros con cociente decimal, etcétera. Todo lo ante rior va va dand o una prim era idea de la las dificul dificultade tadess a las que se enfrentan los niños cuando inician el aprendizaje de la división, y también a lo largo de éste cuando se van encontran do, uno atrás del otro, con los diferentes significados de la divi sión. En este capítulo se presentarán primero algunas consideracio nes teóricas sobre el significado de la división, en segundo término un análisis de la resolución de problemas, en particular en rela ción con los planteos y, finalmente, un análisis de los algoritmos utilizados por los alumnos. Ac e r c a d el significado d e l a división

Como menciona Roland Charnay (1988) en el capítulo 3 de este libro, uno de los desafíos esenciales, y al mismo tiempo una de las dificultades principales de la enseñanza de la matemática, es pr p r e c i s a m e n t e q u e lo e n s e ñ a d o e s té c a r g a d o d e sig si g n ific if icaa ció ci ó n , que tenga un sentido para el alumno. Y continúa señalando que “La construcción de la significación

190


de un conocimiento debe ser pensada a dos niveles: un nivel exter no: cuál es el campo de utilización de este conocimiento, y cuáles son los límites de ese campo... y un nivel interno: cómo funciona tal recurso y por qué funciona.” Guy Brousseau (1987) habla de estos dos niveles como de las dos compone com ponentes ntes de la comprensión: comprensió n:

— u n a se e x p re s a m á s b ien ie n e n térm té rm in o s d e s e m á n tic ti c a . “C o m  p r e n d e r ” es s e r cap ca p az d e r e c o n o c e r las o casi ca sioo n e s d e util ut iliz izar ar el conocimiento y de invertirlo en nuevos dominios; — la o t r a se e x p r e s a e n té r m in o s d e n e c e s i d a d e s lóg ló g ica ic a s o matemáticas o, de forma más general, sintácticas. El alum no que puede comprender puede “razonar” sobre su saber, analizarlo o combinarlo con otros. Algunas de las preguntas que pueden plantearse son, por ejemplo, ¿cuál es el sentido de la división?, ps decir, ¿qué significa do atribuyen los alumnos a este concepto?, ¿cómo reconocen que un problema es de división? o, más bien, ¿cómo concluyen que p l a n t e a n d o y r e s o lv ie n d o u n a d ivis iv isió iónn se re s u e lv e el p r o b l e m a (nivel externo), aun cuando se trate de problemas en principio tan disímiles como la lista que se incluye a continuación?, ¿qué tie nen en común estos problemas? y ¿cómo funciona la división?, ¿cómo se relaciona con la multiplicación, la suma y la resta?, ¿qué pr p r o p ie d a d e s la c a r a c t e r i z a n y a la vez la d i s tin ti n g u e n d e las la s o tra tr a s operaciones? (nivel interno). Algunos problemas de dividir (Peault, 1988): 1. Se dispone disp one d e 47 mosaicos mosaicos para la pared pa red del d el baño. bañ o. Se colo colo can 6 mosaicos en cada fila. ¿Cuántas filas se podrán colocar? 2. Si se cu en ta pa ra atrás de 6 en 6 a p artir ar tir de 47, ¿cuál ¿cuál será el último número enunciado? 3. De un a varilla varilla de m ad era de 47 47 cm, ¿cuán tos trozos trozos de 6 cm se pueden cortar? 4. De un a varill varillaa de m ade ra de 47 cm se se qu ieren hac er 6 pe p e d a z o s d e la m ism is m a lon lo n g itu it u d , ¿cuá ¿c uáll será se rá esa es a lon lo n g itu it u d ? 5. Las Las caja cajass pa ra casetes casetes pu ed en c on ten er 6 cada cad a una, un a, ¿cuán ¿cuán tas cajas se necesitan para ubicar 47 casetes?


191

6. Se rep arte n equitativamente equitativamente 47 bolitas bolitas en tre 6 niños, niños, dán do le a cada u no el máximo posible, posible, ¿cuántas ¿cuántas ten drá cada uno? 7. Se rep arte n equitativamente 47 47 bolitas bolitas en tre 6 niños, niños, dá n dole a cada uno el máximo posible, ¿cuántas bolitas no serán repartidas? 8. Se re p arten ar ten equitativam ente $47 $47 en tre 6 personas. ¿Cuán to se le da a cada una? 9. Se de be n rep r ep ar tir 47 47 lit litros ros de vino en garrafas de 6 litr litros. os. ¿Cuántas garrafas serán necesarias? 10. Sei Seis personas he reda n jun tas un terre no de 47 hectáreas hectáreas que deciden repartir en 6 lotes de la misma superficie. ¿Cuál será la superficie de cada lote? 11. Si se multiplica un número por 6, se obtiene 47. ¿Cuál es ese número? 12. En una calculadora se aprietan sucesivamente las teclas “4”, “7 ”, “6 ”, ¿qué ap arec ar ec e e n el visor? visor? Todos esto estoss problemas se se relacionan relacionan de un a u o tra m ane ra con la división 47 + 6, si bien se trata de situaciones muy diferentes entre sí. En la práctica escolar, en general los docentes realizan una dis tinción entre (Brousseau, 1987): — a q u e l la s a c tiv ti v id a d e s q u e a p u n t a n a la a d q u i s i c ió n d e los saberes institucionalizados, tales como los algoritmos de cálculo, las definiciones canónicas o las propiedades funda mentales, y — a q u e l la s q u e a p u n t a n a la c o m p r e n s i ó n y al u s o d e esos es os saberes. La enseñanz a de los los conocimientos conocimientos tales tales como algor algorit itmos, mos, p r o pie p ie d a d e s o d e f inic in icio ionn e s son so n f á c ilm il m e n te o rga rg a n iza iz a b les le s en el saló sa lónn d e clase; son identificables, descriptibles y su adquisición es verificable de forma simple. Así, para evaluar si los alumnos “saben dividir” es suficiente plantearles varias cuentas y verificar sus resultados. Ade más, se trata de técnicas conocidas por la sociedad. Los padres tam bié b iénn p u e d e n s a b e r si sus hijos hij os a p r e n d i e r o n a divi di vidi dirr o no. no .

192 192


En cambio, al hablar de reconocimiento de situaciones de divi sión, sión, de signif signific icado adoss del concepto, se entra en tra en un terre no m ucho uch o más ambiguo y difícil de identificar. Tanto los docentes como los padres quisieran que la enseñanza lograra en los alumnos no sólo el conoci miento de los saberes institucionales, sino también la comprensión, pe p e r o ante an te la falta fa lta d e u n a solu so luci ción ón evid ev iden ente te,, el apre ap rend ndiz izaj ajee d e los algo alg o ritmos ritmos term ina po r eliminar la la búsqueda de la comprensión. La enseñanza, en genera l, de las las operacion es m atemáticas está está ba b a sad sa d a e n la c o m u n ica ic a c ión ió n d e u n p r o c e d i m ie n to d e cálc cá lcul uloo asoc as ocia ia do posteriormente a un pequeño universo de problemas que se supone “cargarán” de significado al concepto. Pero, aislados de su contexto, los algoritmos se convierten en respuestas adquiridas para preguntas “a venir” sobre las cuales no se sabe mucho. Los algoritmos se aprenden sabiendo que servirán pa p a r a reso re solv lver er p r o b lem le m a s , p e r o se i g n o r a d e q u é p r o b lem le m a s se trat tr ata. a. En el nivel de la investigación y resultados de la Didáctica de la Matemática, pueden señalarse dos períodos diferentes; en sus ini cios se planteaba que la adquisición del sentido quedaba totalmen te a cargo del profesor, quien, con una apropiada selección de situaciones de aprendizaje y de su encadenamiento, debía cons truir, como único responsable, el sentido de los conocimientos enseñados en la cabeza del alumno, cuya participación se reducía a aceptar con docilidad las propuestas y resolver los problemas. En una segunda etapa, primero fue puesta en evidencia la necesidad de cierta institucionalización de los saberes y luego la existencia de obstáculos de diversos orígenes, es decir de errores que el alumno debe rechazar explícitamente, e incluir ese rechazo en sus conocimientos. Este aporte implica que el sentido de un concepto debe, por lo menos, ser asumido como objetivo y, por lo tanto, neg ociado, conse ntido y explicit explicitado. ado. Queda aún por determinar: ¿qué situaciones plantear?, ¿qué estrategias de enseñanza?, ¿con qué modificaciones de las concep ciones de los profesores y padres? En la actualidad, las investigaciones se desarrollan en la direc ción de plantear si una actividad reflexiva (cuál, en qué condicio nes, etc.) puede mejorar la comprensión de las nociones y la efi ciencia de los aprendizajes (cómo verificarla...).


193 193

Variabl Variables es p ertinen tes

Cuando los alumnos se enfrentan a una situación problemáti ca, conscientemente o no buscan ciertos índices o condiciones que la identifiquen como pertenecientes a alguna clase que sepan resolver. Por ejemplo, ante un problema, con frecuencia buscan índices índices para determ inar cuál es la operación que correspo nde uti lizar. Como ya dijimos, la enseñanza tradicional está generalmente centrada, no ya en el razonamiento de los problemas sino en determinar cuál es la operación correspondiente. Algunas de esas condiciones no varían con variaciones en el enunciado o en las situaciones presentadas, pero otras hacen variar el procedimiento utilizado o el reconocimiento del proble ma como problema de división. Se trata de lo que Brousseau llama “variables pertinentes” de un concepto: es decir, caracteres cuyo valor, presencia o ausencia influyen sobre las posibilidades de reco nocimiento o de resolución de un problema de división. Esta influencia puede ser un bloqueo del reconocimiento, un cambio neto del modo de resolución o una modificación significativa de la fiabilidad del cálculo o de la convicción del alumno. Entre las variables pertinentes que Brousseau (1987) identifica pa p a r a el c o n c e p to d e la d ivis iv isió iónn y q u e c o n s id e r a r e m o s e n n u e s t r o estudio se encuentran: 1. Los Lo s nú númer meros', os', tanto la estructura movilizada (naturales, deci males, etc.) como su expresión (fraccionaria o decimal), el tam año de los núm nú m ero s (m eno res qu e 1, en tre 1 y 2, etc.) etc.) así como su función matemática (cardinal, medida, etc.). 2. Los Lo s tip tipos os de m a g n itituu d es: es : dominios físicos, dimensiones, etc. 3. Las enseñadas ñadas precedentem ente (manipu L as técnica técn icass de cálculo cálc ulo ense laciones de reparto, sustracciones repetidas, productos, ensayo y error, adivinanza, encuadramiento sistemático, transformación a los naturales, presentación de los cálcu los, etcétera.).

194

IilDACTICA DE MATEMATICAS

A n á l i s is i s d e l o s p r o b l e m a s

En este estudio realizado para analizar, junto a los maestros, las dificultades dificultades de los niño s en el tem a de divisi división, ón, se pr ese ntaron nta ron cin co problemas, seleccionados entre los habituales, de 4So 5“ grado. El listado de los problemas se incluye en el Anexo (pág. 216). Como se mencionó en el apartado anterior, pueden determi narse para los diferentes conocimientos variables pertinentes, es decir, caracteres cuyo valor, ausencia o presencia, por ejemplo en los enunciados de los problemas, influyen en las posibilidades de reconocimiento o de resolución de un problema de división, pro vocando un bloqueo del reconocimiento o un cambio neto del modo de resolución o una modificación. Entre las variables pertinentes señaladas por Brousseau, se tuvieron en cuenta sólo algunas: 1) En relación con los números involucrados: — Se t o m a r o n n ú m e r o s n a t u r a l e s e n .los e n u n c i a d o s d e los lo s pro p ro b lem le m a s I, II, IV y V, V, y n ú m e r o s d e c im a les le s en el III. III . — Divis Di visor ores es d e 1, 2 o 3 cifra cif rass ( p ro b lem le m a s III y V; V; p ro b lem le m a s I y II; problema IV, respectivamente). — R esto es to n u lo o n o (p ro b lem le m a s II, III, III , IV y V; p r o b le m a I, res re s pe p e c tiv ti v a m e n te), te ), 2) En relación con los tipos de magnitudes: — u tili ti lizz a c ió n d e las m a g n itu it u d e s : lo n g i t u d ( p r o b le m a III) II I) y tiempo (problema V), y cantidades discretas en los otros tres problemas. 3) Las técnicas de cálculo enseñadas precedentemente no fue ron tomadas en cuenta, ya que en general se desconoce cuál o cuáles han sido los procesos de aprendizajes previos de los alumnos involucrados. Puede, sin embargo, observar se en parte los hábitos del salón o las exigencias del maes tro: hacer o no el planteo, importancia asignada a escribir la respuesta, etcétera. Los problemas fueron intercalados con los cálculos y plantea dos a los niños en dos sesiones diferentes. El orden de presenta ción no fue siempre el mismo y no todos los alumnos respondie ron a todos los problemas y a todos los cálculos.

195


El análisis será realizado sobre: — las d ife if e ren re n c ias ia s e n t r e los d isti is tinn tos to s g r u p o s — el r e c o n o c i m i e n t o o n o d e l p r o b l e m a c o m o p r o b l e m a d e división — la res re s o luc lu c ión ió n o n o d e los p r o b lem le m a s y — su res re s o luc lu c ión ió n c o rre rr e cta. ct a. Para facilitar la lectura se incluye una tabla con los valores de los porcentajes globales, para cada problema, de los 3 últimos ítems señalados: problemas problem as

1 sin hacer

2 reconoci miento

3 procedi mientos inadaptados

4 cálculo correcto

5 cálculo incorrecto

%

%

%

I m asas

% 6 ,7 0

82,42

10 ,8 0

6 7 ,8 0

II p e r l a s

9 ,it;

77,52

51,00

III long. IV vino

3 2 ,0 0 6,00

5 8,18

13 .3 3 9,81

% 1 4 ,6 0 26,50

8 8 ,8 8

V tiempo

19,19

7 6 ,7 6

6

respuesta correcta % 0,00

19,68

5 ,05

38,50 1 9 ,2 0

51,00 38,50

69 ,6 8

19,20

4 ,04

6 2,60

1 4 ,1 6

0 ,0 0

Para estos datos unificamos los alumnos de 5a y de 6a grado. Además, entre los alumnos que reconocieron el problema como pr p r o b le m a d e divi di visi sión ón,, s e p a ram ra m o s e n t r e los cálc cá lcuu los lo s c o rre rr e c to s o no. no . Por ejemplo, dentro del 82,42 % de alumnos que reconocieron que se trataba de una división en el problema de las masas, el 67,80 % la realiza correctamente y el 14,60 % incorrectamente. Es decir, la suma de las columnas 4) y 5) corresponde a los totales de la columna 2). “Dife ren cias notables notab les ”

Un primer análisis de los trabajos de los niños nos brinda una información que podríamos considerar sorprendente. No N o se p u e d e , p o r lo m e n o s e n este es te g r u p o d e n iño iñ o s , h a b l a r e n términos generales, diciendo, por ejemplo: “En 6a grado los alum

196


nos saben tal o cual cosa”; “En 5a aún no son capaces de utilizar correctamente tal procedimiento, pero en 6a sí”, etc., dado que hay grandes diferencias entre grupos del mismo grado y entre los 52 y 6a, inclusive dentro de un mismo establecimiento escolar. Por ejemplo, en el problema sobre longitudes, en un 5a grado se encuentra 56 % de respuestas correctas y 21 % de problemas sin resol resolve ver, r, mientras mie ntras q ue e n u n 6a grado gra do sólo sólo 3 % de respuestas corre c tas ju n to a 85 85 % sin sin reali realizar zar,, con la indicació n “No e n tien tie n d o”. o”. Aclaración Las condiciones de aplicación de los problemas y ejercicios quedaron bajo la entera responsabilidad de cada maestro y no fue ron discutidas en el curso. Algunos maestros seguramente dieron como consigna que, ante un problema que no comprendían, siguieran adelante con los demás, lo que puede explicar tan alto po p o r c e n ta je d e “n o e n t i e n d o ” en e n u n o d e los g rup ru p o s . “Reco nocimien noc imien to y resolución ”

Consideramos que un alumno reconoce que un problema es de división cuando plantea resolver una operación de este tipo, aun que su resultado n o sea correcto. correcto. En el grupo de 300 alumnos, sólo 3 de ellos intentan la resolución con algún procedimiento dis tinto de la utilización del algoritmo clásico, adicionando 17 (en el pro p ro b le m a II) II ) vari va rias as vece ve cess y tra tr a t a n d o d e o b t e n e r el n ú m e r o 221, 22 1, o realizando multiplicaciones aproximativas 24 xl2 =; 24 xl3 =; etc.; en el caso caso del prob lem a I, sól sólo un o de los los tres tres alumno s obtuvo un resultado correcto. Al analizar el reconocimiento de los problemas como proble mas de división, encontramos las mismas diferencias que las men cionadas cionadas anteriorm en te entre alumnos del mismo mismo grado o diferen cias invertidas en alumnos de grados diferentes. Los porcentajes de reconocimiento y de no resolución en los distintos problemas fueron incluidos en el cuadro, lo que permite realizar la la jera rqu izac ión en tre ellos, ellos, para los los dos aspectos: aspectos:


Recono Reconocim cimient ientoo

| 97

No realización realización % % %

1) v i n o

6%

2) masas

6,7 %

3) perlas

9,16

1) v in o (p (p r o b l e m a IV)

8 8 ,8 8

2) masas (problema I)

82,42

3) p e r l a s ( p o b l e m a II)

7 7 ,5 0

4) tiemp o (p roblem a V)

7 2 ,7 6 %

4) tie m p o

1 9 ,1 9

5) longit lon gitud ud (prob (probllema ema III)

58,18 58,18 %

5) longitud

32 %

% %

El análisis de estos dos aspectos puede realizarse conjuntamen te porque los resultados son asimilables. Tanto en no reconocimiento como en no resolución, los dos pr p r o b lem le m a s c o n m a yore yo ress p o rc e n taje ta jess son so n los p ro b lem le m a s q u e inv in v o lu lu  cran magnitudes. En el caso de no realización, la diferencia entre esos dos pro ble b lem m a s y el res re s to es n e ta; ta ; la u tili ti lizz a c ión ió n d e m a g n itu it u d e s e n el e n u n  ciado provoca un aumento considerable en el porcentaje de los alumnos que dejan sin resolver el problema. Entre los que no reconocen el problema como un problema de división incluimos a aquellos alumnos que realizan otras opera ciones como adiciones, sustracciones o multiplicaciones. Los porcentajes de procedimientos inadaptados en los cinco pr p r o b lem le m a s son so n los lo s sig si g u ien ie n tes: te s: 1) perlas (pro blem a II) II)

13,33 %

2) masas (pro blem a I)

10,87 %

3) long itud (problem a III) III)

9,81 9,81 %

4) vino (problem a IV) IV)

5,05 %

5) tiempo (problema V)

4,04

%

Los dos problemas referidos a la búsqueda del número de ite raciones posibles, o, lo que es lo mismo, búsqueda del número de pa p a r tes te s , es d e c ir, ir , ¿ c u á n tas ta s b a n d e ja s se n e c e s ita it a n ? , ¿y cu c u á n to s c olla ol la res...?, se encuentran entre los que provocan un mayor número de pro p ro c e d i m ie n to s in a d a p tad ta d o s . E stos sto s p ro b lem le m a s n o son so n r e c o n o c ido id o s de la misma manera que los “de reparto”, es decir, aquellos donde se busca el valor de cada una de las partes. De todos modos, el problema sobre longitud, que involucra números decimales, a pesar de tratarse de un problema de reparto

198 198


no es reconocido como tal. No se reparten horas de la misma manera que se reparten botellas.... Entre los procedimientos inadaptados el más frecuente es sin duda la multiplicación, que lleva el 80 % de ellos. Encontramos nuevamente diferencias notables entre los gru pos; po s; p o r e je m p lo e n el p r o b le m a d e la lo n g i tu d , e n 5 “ g r a d o , los po p o rc e n taje ta jess d e r e c o n o c im i e n to d e la d ivis iv isió iónn van va n d e s d e 12,5 h a sta st a 96,66 % y en 6“ desde 22,2 hasta 93,93 %, incluyendo nuevamente secciones de la misma escuela. “Resoluciones correctas ”

En el cuadro también pueden observarse los porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dentro del porcentaje de niños que reconocieron la división como operación pertinente a realizar en estos problemas. Ordenados los problemas de su mayor o menor porcentaje de cálculo correcto se obtiene: 1) m a s a s

6 7 ,8

2) tiempo

62,6

3) perlas

51,0

4) l o n g i t u d

3 8 ,5

5) v in o

1 9 ,2

% % % % %

Es necesario aclarar que hablamos de cálculo correcto y no de respuesta correcta, ya que, por ejemplo, en el problema de las masas (I), la respuesta brindada por la división es 12 y la respuesta correcta al problema es 13, número de bandejas necesarias para hornear “todas” las masas como indica el problema. Nin N ingg iín ií n alumno de los 300 dio como respuesta 13. Este problema es reconocido como problema de división por el 82,42 % de los niños, y el cálculo es resuelto correctamente por la mayor parte de ellos (67,8 %), pero nin n in g u n o de los niños se cuestionó si 12 bandejas es la solución del problema. De la misma manera, el problema del tiempo (V) tiene como respuesta correcta 7 horas 15 minutos, y no 7 horas, o 7,2 horas o


7,25 horas, como se obtiene de la división de 29 entre 4, que son las respuestas que aparecen con más frecuencia. Es probable que muchos de esos alumnos no hayan aún apren dido a “dividir” con medidas de tiempo. Clásicamente, los núme ros “compuestos” y las operaciones con ellos se concentran en 7“ grado. Sin embargo, en este caso, era suficiente “pensar” el proble ma, involucrarse en una resolución que fuera bastante más allá que solamente la búsqueda de “la” operación. La tendencia a la economía, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje, favorece el recurso a los “automatismos” (aplicación de algoritmos) que en general son acompañados por una pérdida del sen se n tido ti do,, es decir, por la incapacidad de imagina!; diferentes opciones, de controlar el resultado, etcétera. “Repartir” 29 horas en 4 días es una situación considerable mente simple para cualquier alumno, incluso de 4“ grado, asignan do, por ejemplo, 7 horas a cada día y la hora restante pensarla como 60 minutos, lo que permite asignar 15 minutos más a cada uno. La aplicación “ciega” del algoritmo lleva a encontrar como res pu p u e s ta 7 h o r a s o b ien ie n 7,25 7,2 5 h o ras. ra s. No N o tem te m o s a d e m á s q u e este es te p r o b le m a es r e c o n o c id o c o m o p r o  ble b lem m a d e divi di visió siónn p o r el 76,76 76 ,76 % d e los lo s alu al u m n o s , y es el q u e tien ti en e más bajo porcentaje de procedimientos inadaptados (4,04 %). Todo esto nos habla de un posible reconocimiento como pro ble b le m a d e d ivis iv isió iónn a p a r t i r d e “í n d i c e s ” o p a lab la b r a s in d u c to r a s d e l texto, suficiente para seleccionar la operación y realizarla, pero sin ningún control sobre el procedimiento y sin involucrarse en el problema, lo que permitiría al niño al menos comprobar si el número dado corresponde a la respuesta del problema o no. La mayor parte de los niños realiza la prueba de la división (prueba del 9) pero nadie hace la “prueba del problema” es decir, nadie verifica si el resultado obtenido es la solución del problema pla p la n te a d o . Como veremos más adelante al analizar los algoritmos, la falta de control sobre las producciones se extiende a los diferentes pas p asoo s d e l alg al g o ritm ri tm o . Los tres problemas restantes obtienen un porcentaje de res pu p u esta es tass c o r r e c tas ta s d e l 51 %, 38,5 38, 5 % y 19,2 %.

200


Claramente, estos porcentajes indican un muy bajo nivel de aprendizaje. El problema del vino es reconocido como problema de división por el 88,88 % de los alumnos; sin embargo, sólo el 19,2 % del total de alumnos da una respuesta correcta, debido a las dificultades en el algoritmo de la división por tres cifras. El problema de la longitud es un problema esclarecedor del tipo de resultados que se encuentran. De los 275 alumnos a quienes fue planteado, el 32 % no lo resolvió, el 9,81 % utilizó procedimientos inadaptados, el 38,5 % lo resol resolvió vió co rrec tam en te y el 19,6 19,688 % incorrectamente. Es decir, si suponemos que los alumnos no lo resolvieron por falta falta de cono cimientos aprop iados, llegamos llegamos a 61,5 61,5 % de alumnos, entre 5fi y 6e grado, que no pueden resolver este tipo de problemas que involucran medidas de longitud. Más Más aún , exp resar la la respuesta respuesta sin indicar indicar la unidad corresp on  diente no fue, en este caso, considerado incorrecto. EN RESUMEN

Los alumnos no atribuyen significado al algoritmo que ponen en jue go , po r lo lo tanto tanto no pu eden interpretar lo lo que obtuvi obtuvier eron on en las distintas etapas del cálculo en términos del problema plan teado. El algoritmo enseñado aparece como un puro trabajo sobre los números, independiente de los datos de la situación planteada. Muestran una relación superficial con el conocimiento. Ponen distancia entre ellos y la situación planteada, desembocando en acciones estereotipadas, puramente didácticas, es decir, centradas en la situación situación escolar de aprend ap rendizaje, izaje, sin moviliza movilizació ciónn de los esquemas esquema s intelectuales propios qu e, sin sin em bargo , tienen a su su disposi disposició ción. n. Carecen de recursos recursos para rec on oc er si si su solución solución es erró ne a o no. En realidad, no llegan a analizar si el número obtenido es el resultado del problema. El cociente obtenido por la aplicación del algoritmo no siempre coincide con el número buscado: a partir de él es necesario elegirlo teniendo en cuenta el problema concreto p o r res re s o lve lv e r (és (é s te es el caso ca so d e l p r o b le m a d e l p a n a d e r o ) .


201

Todo lo anterior es provocado por una enseñanza de resolu ción de problemas reducida a “adivinar” cuál es la operación ade cuada y a aplicar aplicar el algoritmo algoritmo corresp ond iente. Frecuentemente, a partir del discurso del maestro— “¿Qué operación hicieron?”, “¿Qué operación habría que hacer?” o “Acu érdate de qu e ya hicimos hicimos problemas como és te. ..”— ..”— se impo ne la búsq ued a del “m “m éto do ” que se ha apren did o y que es necesa necesa rio aplicar, método que se convierte en: ¿qué operación hay que hacer? o ¿cuál es la operación que acabamos de aprender? La representación de la división no puede reducirse al conoci miento de una estrategia de solución acompañada de la de un pre tendido “sentido” o significado de la operación que permitiría aplicarla, sino que comporta la capacidad de controlar varias estra tegias, pasando de una a otra según las circunstancias. La resolución de los problemas y, en particular, la utilización de tal procedimiento en lugar de otro dependen del significado que el alumno atribuya a la situación que se le propone. La com pre nsión es en realidad realidad la posibilidad posibilidad d e resta restaurar urar cierto ciertoss recursos de control y de engendrar las alternativas a rechazar (Brousseau, 1986).

Los problemas específicos en el desarrollo del algoritmo serán tratados más adelante. A c e r c a d e l o s p l a n t e o s

Un párrafo especial puede dedicarse a los “planteos”, tradición sumamente arraigada en la escuela primaria argentina. Todo problema “bien” resuelto o que se preciara de tal debía tener: el planteo, los cálculos auxiliares y la respuesta.. El planteo tenía en sus orígenes un objetivo de claridad en el razonamiento, de identificar correctamente los datos y “ayudar” al alumno a resolver el problema. Se trata, en general, de problemas con una estructura bastante rígida, con 3 datos y donde es necesario encontrar el cuarto, es decir, básicamente, un problema de “regla de tres”, que se inicia

202


con la multiplicación y división en 2“ y 3Bgrado, continuando con la proporcionalidad simple en 4a o 5“ y finalmente con la propor cionalidad compuesta en 6a y 7a grado, donde el número de datos se eleva a 5 y es necesario obtener el sexto. Algunos maestros llevaron la exigencia del planteo también a otros problemas, por ejemplo los de suma y resta, donde en reali dad se trata de resumir los datos del problemas en un formato especial. Por ejemplo, en el problema: María tiene ahorrados 20 S para el Día de la Madre, pero el rega lo que quiere comprar cuesta S 35; ¿cuánto le falta ahorrar? el planteo en principio se reduce a escribir una síntesis del pro p ro b lem le m a : tiene ...... $ 20 quiere... quiere... $ 35 le falt fa ltan an 35 - 20 = 15

o bien bi en

qu iere ........ 35 tien e .......... 20 le falta ....... 3 5 -2 0 = 15

Por supuesto, puede haber otras versiones. Clásicamente los los planteos poseen pose en dos líneas líneas:: en un a los datos datos y en la otra la incógnita, formato que se presta muy bien para los pr p r o b lem le m a s clási clá sico coss d e m u ltip lt iplilicc a c ió n o divisi div isión ón:: 1 caja caja.., 8 cajas

12 bombones 12 x 8 = 96 bombones

En el caso de los problemas de proporcionalidad, suele incluir se una “x” en el lugar de la incógnita, especialmente en los grados del 3a ciclo, y entonces se separa el planteo de la solución, que a su vez sigue una serie de pasos rígidos. Es fácil percibir que existen muchos problemas interesantes pa p a r a res re s o lve lv e r e n la e scu sc u e la p r im a r ia, ia , q u e n o p u e d e n e n c e r ra r s e e n un formato de planteo de ese tipo y que, fundamentalmente, éste no puede ser pensado antes de haber “casi resuelto” el problema. La resolución de un problema en el que sea necesario analizar los

DIVIDIR CON DIFICUL DIFICULTAD TAD O L \ DIFICULTAD DE DIVIDIR DIVIDIR

203

datos, establecer relaciones entre ellos, determinar los pertinentes, antes de poder decir cuál o cuáles operaciones realizar y que a veces sea necesario probar por distintos caminos antes de resolver lo, no podrá seguramente iniciarse con el planteo. El planteo como requisito indispensable de todo problema ha ido p erd ien d o vigencia vigencia a lo lo largo de los los años ju n to a la la divulga divulga ción de la importancia de la resolución de problemas, aunque a veces veces ésta ésta se vea redu cida al eslogan: eslogan: “No impo im po rta el pro ced im ien to, lo que importa es que lo resuelva”. Es posible encontrar, en la actualidad, en una misma escuela un grupo de cierto grado con la exigencia, por parte de la maes tra, de incluir un planteo en “todos” los problemas y la maestra pa p a ra lela le la (de (d e l m ism is m o g rad ra d o ) n o e x igir ig irlo lo e n n in g u n o . De todos modos, no se ha podido detectar, a partir de los tra bajo ba joss d e los n iño iñ o s , q u e se rea re a lic li c e e n la e s c u e la u n traba tra bajo jo de an anáá lilisi siss de los planteos. En el caso caso del grupo de niño s y maestros ma estros con quienes se ha tra ba b a jad ja d o suc su c e d e lo s igu ig u ien ie n te: te : d e los 12 g r u p o s (de (d e 5Uy 6' 6'-’ g rad ra d o ) e n los que se recogieron los datos: — e n tre tr e s d e ello el loss n in g ú n a l u m n o rea re a liz li z a el p la n te o , sólo só lo el cálculo, y algunos escriben la respuesta; — e n u n o d e los g r u p o s , a lgu lg u n o s n iñ o s e s c rib ri b e n el p la n te o y otros no, y — e n los rest re stan ante tess 7 gru g rupo pos, s, “tod to d o s” los niñ n iñoo s realiza rea lizann el pla pl a nteo nt eo.. A l g u n o s e je je m p l o s d e p l a n t e o s

Transcripción del texto

Muchos planteos resumen los datos, con un formato más o m enos libr libre: e: Colocar h a y ........

bo b o tella te llass cajas..... 1872 + 104= 18

1872 104

204


1872 botellas .................... quiere qu iere po n er en 104 104 caja cajass 104 = 1 botella ............................ 1872 + 104 D a t o u n i t a r io

En el caso de los problemas donde es necesario encontrar el valor unitario (problemas III, IV y V), los planteos no reflejan tal bú b ú s q u e d a : 2 9 ...... horas horas 4 ....... días horas

29 h o ra s ............... toda la sem ana qu iere ie re traba tra bajar jar.... .... 4 días = 29 + 4 = 7,25 7,25

Tampoco en los problemas en que el valor unitario es un dato (problemas I y II) éste aparece en los plánteos: ba b a n d e j a s ................... 24 masas m a sa s ...... ......... .......... .......... ...... ......... 293 + 24 = o es colocado erróneamente: 1 bandeja ................. 24 masas 293 masas ................. 293 + 24 = En resum en, la dem an da o la inform inform ación sobre el el valor valor unita rio no parecen ser percibidos como tal a partir de las expresiones: “cada caja” en el problema del vino; “por día” en el problema del tiempo; “cada una” en el problema del panadero, etcétera. E l pla p la n t e o como com o s op opoo rte rt e

Si bien mayoritariamente los planteos son incorrectos, no pare ce haber una relación entre escribir el planteo del problema y la resolución correcta. Hay algunos planteos que podríamos decir que no aportan “nada” al razonamiento del problema, o incluso son erróneos, y


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sin embargo los alumnos plantean la división correcta y encuen tran el resultado correcto; sólo se trata de una exigencia escolar. Todo esquema que sea realizado por los niños para apoyar el razonamiento debería ser bienvenido en las clases de matemática. Más aún, el aprendizaje de la utilización de esquemas, tablas y gráfi gráficos cos consti constituye tuye un o de los los objet objetiv ivos os más impo rtantes del ap ren  dizaje de la matemática en la escuela primaria. Una adecuada presentación de los datos puede contribuir a clarificar las relaciones existentes entre ellos. Pero estamos hablando de esquemas, gráficos o tablas que con tribuyan a la comprensión del problema o a la comunicación de resultados resultados,, co nstan tem ente bajo el el control del propio a lumn o, evi evi tando así la escritura de planteos rígidos y carentes de significado pa p a r a ellos ell os.. EN RELACIÓN CON F.L ALGORITMO

Como se dijo anteriormente, se dieron 5 problemas y 4 “cuen tas” de división a los alumnos, cuyos textos pueden verse en el “Anexo”. Ya se ha analizado la dificultad en la resolución problemas prob lemas.. En este apartado se hará referencia a las dificultades en la ejecución del algoritmo, reencontradas en los problemas o en las “cuen cu en tas” presentadas. Los resultados d e las divisi divisiones ones p o r un a cifra son acep tables en ambos grados, pero al pasar a 2 o 3 cifras, también se duplican o triplican las dificultades... “Redu cción a u n a cifra cifra ”

Fre cuen tem ente u n a divi divisi sión ón de 2 o 3 cifr cifras as es es resuelta er ró n e amente, utilizando un algoritmo “inventado” que la reduce a una división de 1 cifra, reencontrando de esta manera esquemas cono cidos anteriormente. Trataremos de reproducir el pseudoalgoritmo, tal como es rea lizado:

206


293 29 3 09 13

| 24 126

1

“2 dividido 2 da 1 y sobra 0; bajo el 9, 9 dividido por 4, da 2 y sobra 1; bajo el 3, 13 dividido 2 da 6 y sobra 1.” Dividiendo alternativamente por 2 y por 4 se obtiene entonces: 126 como cociente y 1 como resto. Este razonamiento y algunos otros fueron confirmados en entrevistas orales a sus autores, o por los “numeritos” auxiliares que colocan para ayudarse en los cálculos mentales. Se trata, en general, de alumnos que lo utilizan para todas las divisiones que realizan, aunque un mismo alumno puede realizar un tipo de algoritmo en una de las divisiones o problemas y utilizar otro dife rente en otro cálculo. Puede considerarse que las variables que influyen en el reconocimiento del problema como un problema de división también influyen en el tratamiento y en la resolución del algoritmo. La operación citada anteriormente y el mismo recurso puede po p o r s u p u e s to p r o v e e r u n r e s u lta lt a d o d ife if e r e n te , p o r e j e m p lo 125, y en ese caso el resto es 3; o 123 si la última división se realiza por 4 en lugar de dividir por 2; por lo tanto este tipo de algoritmo ni siquiera asegura un resultado unívoco. A veces se combina con resabios de propiedades matemáticas. En 1872 + 104 = tachan primero el 0 de 104 (¿no tiene valor?), y realizan realizan luego la divis división ión po r 14, altern ando an do en tre dividir dividir po r 1 y po p o r 4. 1872 | 104 08 1818 07 32 0

“1 dividido 1 da 1 y sobra 0, bajo el 8 que dividido por 1 da 8 y sobra 0; bajo el 7 que dividido por 4 da 1 y sobra 3; bajo el 2, 32 dividido por 4 da 8 y el resto es 0.”


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Finalmente una división por 3 cifras puede reducirse a 1, para algunos niños, ignorando las otras 2. Por ejemplo: 9706 47

| 215 1941

20

06 1

en que sólo se divide por 5. “A n ális is del resto" resto"

Aun para niños que realizan correctamente el algoritmo por 2 o 3 cifras, en el sentido de dividir por un número de 2 cifras y no po p o r d o s d ígit íg itoo s tom to m a d o s i n d e p e n d ie n t e m e n te , la e x ige ig e n c ia d e q u e los restos sucesivos sean menores que el divisor no parece estar pr p r e s e n te. te . E n r e a lid li d a d , el p r o b le m a es: n o b u s c a r c o m o c o c ien ie n te, te , el mayor número posible. Por ejemplo, en: 1872 0832

1104 1

un niño realiza correctamente los dos primeros pasos del algorit mo, dividir 187 por 104 y bajar el 2, pero al dividir 832 por 104 coloca como cociente 7 (en lugar de 8) y obtiene como resto 104, que vuelve a dividir por 104, obteniendo como cociente final 171, en lugar de 18. 1872 0832 104

| 104 171

0

La falta de control sobre el algoritmo provoca una gran duda en los cálculos intermedios: saber si la cantidad a dividir es menor

208


que el divisor y entonces “se agrega 0 en el cociente” o si se trata del resto que es necesariamente menor que el divisor. Por ejemplo: 1872 1872 0832 634 530 322 10

| 104 104 12123

La operación es correcta hasta obtener 832 como resto, pero al dividirlo por 104 coloca como cociente 2 en lugar de 8; los restos siguientes, todos mayores que 104, son divididos sucesivamente. Sin llegar a casos tan extremos, veamos otro ejemplo: 1872 187 2 0832 104 0

| 104 1071

divide 187 por 104 obtiene como cociente 1 y un resto de 083; sin ba b a j a r el 2, d ivid iv idee 83 p o r 104 o b t i e n e 0, b a ja el 2, div di v ide id e 832 83 2 p o r 104, no busca el mayor cociente, sino que da por resultado 7, obte niendo por resto 104 que al dividirlo por 104 obtiene 1 y resto cero. “D ific u ltad es con el cero”

Ya mencionamos un ejemplo donde “tachan” el 0 de 104 y divi den por 14. Otro de los ejercicios propuestos tenía por consigna: C alcular alcu lar 340

10 =

Señalemos prim ero q ue la mayor mayor parte de los niños, niños, alreded or del 80 o 90 %, escriben la “cuenta” con la disposición clásica para


aplicar,el algoritmo; consideramos que proviene en parte del con trato escolar habitual: “escribir todas las cuentas en la hoja” (no hacerlo es frecuentemente sinónimo de copia). Pero se encontró, además, especialmente en uno de los 6os gra dos la regla sistemática de “tachar” los ceros de 340 y 10 antes de efectuar la división. De esta manera la división es reducida a: 34

I 1

que, de todos modos, realizan en forma convencional. Para dar una idea de porcentajes, en uno de los 6os grados de 36 alumnos, 22 tachan los dos ceros, entre ellos sólo 12 escriben como cociente directamente 34 y resto 0, los 10 restantes realizan el algoritmo completo: 340 34 0 04 0

| 10 34

y aun hay 7 más que no tachan los ceros; encuentran el resultado correcto (34) pero realizando completamente el algoritmo: 340 34 0 040 00

| 10 34

Los 7 alumnos restantes encuentran resultados diferentes de 34. Otro de los problemas provocados por los ceros puede obser varse en el cálculo de: 70 + 30 = Este ejercicio fue planteado a 215 alumnos de 7 grupos escola res de 52 y 6Sgrado. Los porcentajes de logros van desde 18 %, el menor, hasta casi 87 % , el mayor.


210

La disparidad entre los grupos es muy grande, disparidad que se encuentra en casi todos los ejercicios presentados, y que ya fue comentada. En otro de los 6os grados, 31 alumnos entre los 37 del salón tachan los dos ceros, efectúan la división y obtienen 2 como cociente y 1 com o resto resto en lugar de 10 com o obte nd rían con el el cálculo correcto. En este caso también encontramos los errores anteriores. Por ejemplo, 70 10 1

| 30 23

si sólo se divide por 3 (primero 7 dividido por 3 da 2 y sobra 1, ba b a jo el c e ro, ro , p o s te r i o r m e n t e 10 d ivid iv idid idoo p o r 3, d a 3 y s o b ra 1). 0 bien bien:: / 7 ^ ^ \

70 10 1

|30 203

que se interpreta de la siguiente manera: 7 dividido por 3, da 2 y sobra 1; 0 dividido 0 da 0 y resto 0 (obteniendo el cociente parcial 20, sin “bajar” ningún número); el resto intermedio 10 sólo lo divi de por 3 y obtiene 3 con un resto 1. Frecuentemente, en los trabajos de los niños encontramos las flechas dibujadas, que señalan cuál número se divide por cuál otro. Esta es una de las tradiciones escolares del aprendizaje de la división por 2 cifras, al presentar el algoritmo correcto de la divi sión. Las flechas inducen a frecuentes errores al dividir cada uno po p o r su c o r r e s p o n d ie n te sin te n e r e n c u e n t a el divi di viso sorr e n su tota to talili dad. Finalmente, otra de las dificultades que involucran al cero es agregarlo al finalizar la división. Por ejemplo:


9706 9706 1186 121

211

| 2 13 450

realiza la división correctamente pero al obtener 121 como resto (tal vez un número demasiado grande para ser resto...) vuelve a dividir por 213 y agrega un cero al cociente. Si bien la presencia de tales algoritmos “inventados” no es uni forme en todos los grupos, su presencia fue atestiguada en todos ellos, en mayor o menor cantidad de alumnos, y en mayor o menor diversidad. En el cuadro de porcentajes incorporados anteriormente pue de observarse la influencia negativa que ejerce la necesidad de resolver el algoritmo, en los porcentajes de resolución correcta. Así, en la división por 3 cifras (agravada por la presencia de un cero intermedio) el porcentaje de resolución correcta del algorit mo es de 19,2 %, el más bajo entre todos los problemas. En la división por 2 cifras, los porcentajes son mejores pero de todos modos hay aún 26,5 % de respuestas incorrectas. “E l algo ritm o en los libros de texto ”

El algoritmo tradicional de la división ha pasado a constituirse en la actualidad en un ejemplo de transmisión oral. Es muy difícil encontrar en los libros o manuales de matemática los diferentes paso pa soss d el a lgo lg o ritm ri tm o . Una redacción que muestra en toda su complejidad los pasos del algoritmo puede leerse en el libro de Díaz de Rueda (1850). Este libro, a partir de preguntas, pretende dar a conocer todos los temas de todas las materias de la primera enseñanza. En el capítulo de “Aritmética” se plantea, entre otras, la pre gunta: ¿Cómo se divide un número compuesto 2 por un dígito? se lee: 2. “Números con más de una cifra, el que llega a 10 o pasa de 10" ( Días de Rueda).

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DIDACTICA DE MATEMATICAS Después de colocar el divisor a la derecha del dividendo separa dos por medio del correspondiente signo, se averigua cuántas veces el primer guarismo de éste, empezando por la izquierda y separán dolo con una coma, contiene a aquél o si dicho guarismo es menor, las veces que los dos primeros están contenidos en el divisor; y el resultado se se p on e debajo debajo de éste. éste. D espués se multiplica multiplica dicho resul resul tado por el divisor, y colocando el producto debajo del dividendo parcial se restan entre sí. Luego se separa con una coma otro gua rismo en el dividendo, y uniéndolo al residuo de la resta, si lo hay, se ve igualmente las veces que contiene al divisor, y se procede de la misma manera que en el caso anterior y sucesivamente hasta con cluir la operación. Finalmente, si hubiera algún residuo por no salir cociente exacto, se escribe delante de éste en forma de quebrado.

Expone a continuación el ejemplo de dividir 87.349 por 5, con la escritura del algoritmo y el relato de los pasos necesarios. La siguiente pregunta se refiere a cómo dividir un número compuesto por otro compuesto. La respuesta es: Del mismo modo que en el caso anterior, según se ve en los ejemplos siguientes.

En este punto hay una llamada a pie de página: “Al maestro corresponde hacer algunas advertencias especiales para facilitar la división de un compuesto por otro” (!!!). Una nueva pregunta y su correspondiente respuesta plantea cómo abreviar las operaciones de dividir: No escribiendo los productos que resulten de multip licar el cociente por el divisor y conservándolos en la memoria para hacer la resta. Para que se comprenda mejor, presentaremos abreviada una de las operaciones precedentes...

Esta Esta descripción descripción sum amente compleja de com pren der para un niño de escuela primaria no incluye, en realidad, las multiplicacio nes parciales que se realizan en “nuestro” algoritmo tradicional. Por ejemplo, en


1898 189 8 | 28 6

a partir del 6, en el cociente, nuestro algoritmo diría: 6 por 8 es 48, 48, 48 48 al al 49 es 1 (coloca el 1 debajo deb ajo del de l 9) 9) y gu arda ar da m en talm tal m en te el 4 del 49; 6 por 2 es 12, más los 4 son 16, al 18 es 2 (coloca el 2 debajo del 8), etcétera. Mientras que el algoritmo dado por el libro español haría el pr p r o d u c to d e l 6 p o r 28, esc es c rib ri b iría ir ía el r e s u lta lt a d o 168 d e b a jo d e l 189 y pr p r o c e d e r ía a e f e c tua tu a r la rest re sta. a. Inc In c luso lu so el a lgo lg o ritm ri tm o a b rev re v iad ia d o q u e pr p r o p o n e , con co n sist si stee e n r e c o r d a r e n la m e m o r ia el n ú m e r o 168 y res r es tarlo mentalmente del 189. (Fácil en este caso...) 1898 168

128 67

218 196 22

apre renn dem de m o s de Editorial Algunos libros actuales como A s í ap Hachette para 4a grado, Ma M a tem te m á tic ti c a 4 de Editorial Aique, Objectif Calcul de CM1 (4a grado) o Appr Ap pren entis tissa sage gess m athé at hém m atiq at ique uess á l ’école éléélé men m enta tair iree CM, proponen llegar al algoritmo de la división a partir de la evoluci evolución ón de p rocedim ientos espontáne os de los niños, pero conservando, como en el caso del libro español, la multiplicación p o r el d ivis iv isoo r e n su to t a lid li d a d y n o c o m o d o s c ifra if rass y u x ta p u e s ta s que se operan independientemente. En general, relacionan el algoritmo con el sistema de numera ción decimal, aclarando en cada momento si se están dividiendo centenas, decenas o unidades. En algunos de esos libros se insiste en el cálculo previo del número de cifras del cociente, que posibilita el control del cálculo efectuado, pero además insisten en la necesidad de dominar el cálculo mental, con ejercicios de encuadramiento, de aproxima ción y de estimación, estimación, así así como e n el dom inio de los los resultados ele me ntales con cern ientes a la multipli multiplicaci cación. ón.

214


En general se trata de algoritmos más lentos, menos económi cos, menos elegantes, pero que exigen una carga mental menor, y sobre todo que permiten mantener el significado del cálculo a tra vés de los pasos sucesivos y de cierto control sobre la producción. El algoritmo clásico no aparece en la escuela como el último pas p asoo d e u n p r o c e s o d e e v o luc lu c ión ió n d e p r o c e d im ie n to s . En caso ca so d e fracaso en su utilización, los alumnos no pueden apoyarse en pro cedimientos más primitivos porque se ha producido un cortocir cuito entre sus propias representaciones y procedimientos y el algoritmo estandarizado. Los alumnos no tienen clara la relación entre este algoritmo de resolución y otros más simples aprendidos anteriormente que po p o d r í a n s e r u s a d o s c o m o c o n tro tr o l. El ú n ic o r e c u r s o d e c o n t r o l a disposición de los alumnos es “creer” que es así como se ejecuta el algoritmo. C o n c l u s ió n

No N o p u e d e n e x tra tr a e r s e c o n c lu s io n e s g e n e ra liz li z a b les le s p a r a tod to d a s las situaciones; el trabajo se realizó sólo sobre un grupo de alum nos de algunas escuelas, con maestros interesados en revertir la situación de falta de aprendizaje en matemática. La intención al escribir este artículo fue analizar las dificulta des de los niños en este tema tan “clásico” cuyo interés es indiscu tible, y de brindar a los docentes interesados recursos para analizar las producciones de los alumnos, que les resultan frecuentemente tan incomprensibles. La Didáctica de la Matemática no puede aún brindar una solu ción práctita y eficiente para asumir con responsabilidad la ense ñanza del sentido de la división, además del algoritmo, pero numerosas investigaciones se están realizando. Sin embargo, en las actuales condiciones, puede avanzarse, por lo menos, en la dirección de proveer a los alumnos recursos de control y de análisis sobre sus producciones. Sería necesario concebir situaciones que permitan tomar apo yo sobre lo que cada uno sabe realizar en el momento en que se inicia el aprendizaje de la división, y de hacer evolucionar progre


sivamente los procedimientos iniciales hacia otros más complejos. Hay que permitir que los niños prueben sus propios procedimien tos, sus propias soluciones, antes de que conozcan los algoritmos tradicionales. Porque comprender el enunciado de un problema no es sólo “interpretar” las palabras que allí figuran sino también imaginar una manera de responder o una solución al menos parcial con ayuda de lo que ya se sabe y poder construirse así una estrategia de base (Douady, 1984). Puede organizarse un trabajo de reconstrucción, de análisis y de c om paración de proce dim ientos, lo que perm itirá avanza avanzarr a los los niños y elabo rar (o adhe rir) a otra soluci solución ón a pa rtir de ese ese reco no cimiento, obligándolos a asumir una actitud reflexiva y comprome tida en la búsqueda de la solución de las situaciones planteadas. El cálculo mental (véase el capítulo 7 de C. Parra, 1993) puede también ayudar a los alumnos a contar con herramientas de esti mación de resultados, de aproximación y de utilización de propie dades de las operaciones. Existe una fuerte correlación entre las dificultades presentadas po p o r los lo s n iño iñ o s e n cálc cá lcuu lo m e n tal ta l y las e n c o n tra tr a d a s d u r a n t e la reso re so lución de problemas. En particular, si los alumnos no logran calcu lar mentalmente, no pueden tener una idea del orden de magni tud de los números que van a intervenir. La atribución de un significado a cada una de las etapas del cálculo en términos de la situación de referencia les permitirá resolver los problemas con el control suficiente para determinar su validez. Las dificultades de los alumnos con los algoritmos, reiterada mente constatadas, deberían obligar a los docentes a “enfrentar las” en clase, analizarlas y corregirlas. Los errores que aparecen, como “reducir a una cifra”, “dividir el resto nuevamente”, etc., deben ser rechazados por los alumnos explícitamente e incluir este rechazo dentro de sus conocimientos. No N o p u e d e d e jar ja r se d e la d o c o n u n “D e bés bé s e jer je r c ita it a r m ás las divi siones” o bien “Debés prestar más atención”...; estos errores se constituyen en obstáculos que impiden el aprendizaje, obstáculos que no se levantan solamente con más atención ni con más ejercitación.

216 An


e x o

Pr P r o b lem le m a s:

I. El panadero hornea masas en bandejas de 24 masas cada una. Hoy amasó 293. ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas? II. Para Carnaval se hicieron collares de 17 perlas cada uno. ¿Cuántos collares iguales se pueden hacer con 221 perlas? III. Con un hilo de 8,70 m de largo se cortan 6 pedazos de la misma longitud. ¿Podés decir cuál es esa longitud? IV. Un vendedor de vino quiere colocar 1872 botellas en 104 cajas. ¿Cuántas botellas tendrá que poner en cada caja? V. Juan tiene que trabajar esta semana 29 horas. ¿Cuántas horas tiene que trabajar por día si quiere ir solamente 4 días y tra ba b a jar ja r to d o s los d ías ía s la m ism is m a c a n t id a d d e hora ho ras? s? Cálculos:

a) 1365 + 3 = b) b ) 70 + 30 = c) 9706 970 6 + 213 = d) 340 + 10 =

B ib l

io g r a f ía

A.P.M.E.P. (Asociación de profesores de matemáticas de la Enseñanza Pública) (1975): Mots, Mots, réflexi réflexion onss sur s ur quelqu quelques es mots mots-c -clé léss po pour ur l ’écol écolee élém élémen entaire, taire, tomo II, Lyon.


217

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C a p í tu l o

VII

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA Cecilia Parra

“Cálculo mental” es una expresión que convoca no pocas imá gen es y suscit suscitaa adhesio ad hesiones, nes, rechazos, d udas uda s y expectat expectativas ivas.. Para algunas personas, se asocia asocia a la repetición rep etición me mo rística rística de las tablas; para otras representa una capacidad admirable que ostentan algunas personas. De cara a la cotidianidad, son muchas las situaciones vinculables al cálculo mental: la estimación de los gast gastos os en un a com pra de superm ercado pa ra no exceder el dinero dinero que se lleva, el cálculo de los ingredientes de una receta para el doble de personas o la preparación de un presupuesto global para una fiesta o salida, redondeando cantidades y precios, etcétera. Estos ejemplos asocian cálculo mental con cálculo no exacto; sin embargo, hay situaciones en las que se requiere una respuesta exacta que, de todos modos, resolvemos mentalmente, ya sea por que disponemos del resultado memorizado (8 + 8), o nos es fácil y directo obtenerlo (215 x 10) o reconstruirlo por un procedimien to confiable, así para 34.000 + 19.000, es frecuente pensarlo como 34.000 + 20.000 - 1000. 1000. Podemos constatar que son conocimientos permanentemente en “uso”, y su practicidad puede ser un argumento a la hora de discutir su inclusión como contenidos a tratar en la escuela, res pe p e c to d e los lo s cual cu ales es h a b r í a q u e d e fin fi n ir los obje ob jetiv tivoo s a logr lo grar ar.. En este artículo, aceptando la finalidad práctica buscaremos

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definir sus límites hoy, en la sociedad actual, pero sobre todo intentaremos desarrollar argumentos relativos a una demanda matemática para la enseñanza del cálculo mental en la escuela, bu b u s c a n d o d e f i n i r su r e la c ió n c o n o tro tr o s a s p e c to s c e n t r a le s d e l aprendizaje de la matemática. Será necesario además ser explícitos en cuanto a la perspectiva didáctica desde la cual defendemos la enseñanza del cálculo mental en la escuela, ya que el sentido de esta inclusión tiene marcadas diferencias respecto del que cobraba en prácticas escolares previas. Dicha perspectiva didáctica incluye la provisión de orientaciones para el trabajo y la discusión entre maestros, así como sugerencias para el tratamiento del cálculo mental en clase. L a s DEMANDAS SOCIALES ACTUALES

Cuando la educación primaria se extiende a una franja más amplia de la sociedad, se definen tres capacidades básicas que todos los alumnos deben adquirir: leer, escribir y calcular. Esto se consideraba suficiente para los requerimientos laborales de la mayoría y los más elevados niveles de conocimientos se reservaban pa p a r a u n o s p ocos oc os.. La concepción tradicional sobre lo que significa competencia matemática básica de los trabajadores ha sido ampliamente rebasa da por las cada vez más altas expectativas de habilidades y conoci mientos que plantea la difusión mundial de la tecnología. La capacidad para resolver problemas, tomar decisiones, traba ja j a r con co n o tro tr o s, u s a r rec re c u rso rs o s d e m o d o p e r tin ti n e n t e , f o r m a n p a r te d el per p erfi fill re c lam la m a d o p o r la soc so c ied ie d a d d e hoy. (T e n ien ie n d o e n c u e n ta q u e el mundo enfrenta una crisis de gravedad, entre otros aspectos por la falta de trabajo para millones de personas, las capacidades men cionadas no parecen perder valor, aun desde una perspectiva no ingenua.) Desde distintas perspectivas se afirma que el centro de la ense ñanza de matemática debe ser la resolución de problemas. Al mis mo tiempo parece evidente que la capacidad progresiva de resolu ción de problemas demanda un creciente dominio de recursos de cálculo.

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA

En este sentido, responder a la demanda social plantea un.i aproximación al cálculo que haga a los alumnos capaces de elegir los procedim ientos apropiados, e nc on trar resultados resultados y juzga r la validez de las respuestas. Estas decisiones pueden esquematizarse del siguiente modo (National (National C ouncil ouncil o f Teachers Teachers o f M athem atics): Problema

i Cálculo que se requiere Respuesta aproximada

Respuesta exacta

X

Usa cálculo

Usa calculadora

Usa papel y lápiz lápiz (algoritmos)

/

J

______

Usa computadora ^

Estimación

Este esquema sugiere que la estimación puede y debe ser usa da ju n to con los los proced im ientos con los los que se prod uce la res res pu p u e s ta, ta , d e m o d o d e a n tic ti c ipa ip a r, c o n t r o l a r y ju z g a r la raz ra z o n a b ilid il idaa d de los resultados. Aunque más adelante daremos definiciones más precisas, que remos aclarar que la concepción de cálculo mental que vehiculizamos incluye la estimación como uno de sus procesos y funciones. Aun si nuestra argumentación se apoyara sólo en la demanda social, ya esta perspectiva hace aparecer aspectos que no suelen estar presen tes com o objetiv objetivos os a logra r en las prácticas prácticas actuales actuales de enseñanza. Nos referimos, referimos, po r ejemplo, a la discusión discusión sobre la per tinencia de un recurso ante una situación, la práctica de la estima ción, la asunción, por parte de los alumnos, del control sobre sus pro p rocc eso es o s y re r e s u lta lt a d o s, e tcé tc é tera te ra.. En estos aspectos están comprometidos conocimientos pero también actitudes y valores, y estamos convencidos de que su logro debe ser asumido a través de la definición de objetivos y activida des específicas.


Creemos pertinente diferenciar las demandas sociales y las demandas matemáticas, pero como es posible integrarlas en un enfoque global, postergaremos las propuestas específicas hasta haber completado nuestra argumentación. Previamente resulta necesario aproximar definiciones de los términos que usaremos. Al

g u n a s d is t in c io n e s e n e l t e r r e n o d e l c á l c u l o

Con frecuencia frecuencia se se opo nen cálculo cálc ulo escrito y cálculo cálc ulo mental. men tal. En este sentido, queremos aclarar que la concepción de cálculo mental que vamos a desarrollar no excluye la utilización de papel y lápiz, pa p a r t i c u l a r m e n t e e n c u a n t o , p o r e j e m p lo , al r e g ist is t ro d e c á lcu lc u los lo s intermedios en un proceso que es, en lo esencial, mental. Parece más neta Vfundamental la distinción entre el cálculo en el que se emplea de modo sistemático 1111 algoritmo 1único, sean cuales fueren los números a tratar y el cálculo en el que, en función de los los núm eros y la ope ración plantead a, se selecciona selecciona un pr p r o c e d i m ie n to s in g u la r a d e c u a d o a esa es a situ si tuaa c ión ió n , y q u e p u e d e n o serlo para otra. El primero suele denominarse cálculo au autom tomát ático ico o mecánico, y se refiere a la utilización de un algoritmo o de un material (contador, regla de cálculo, calculadora, tabla de logaritmos, etcétera.). El segundo es llamado cálculo pens pe nsad adoo o reflexionado. Es en proxi midad mid ad con este signif significado icado que vamos a considerar el cálculo cálculo m ental. Entenderemos Entenderemos por cálcu cál culo lo m enta en tal l el conjunto de procedimien tos que, analizando los datos por tratar, se articulan, sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados. Loss procedim ientos de cálculo Lo cálculo m ental se se apoyan en las pro pie dades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de 1. Se entien de por algoritmo algoritmo “una serie finita de reglas a aplicar en un orden determinado a un número finito de datos para llegar con certeza (es decir, sin indeterminación ni ambigüedades) en un número finito de etapas a cierto resul tado, y esto independientemente de los datos” (Bouvier, citado en Castro Martí nez y otros, 1989).


las operaciones, y ponen enjuego diferentes tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre los números. Para muchas personas cálculo mental se asocia con cálculo rápido. En la perspectiva que adoptamos, la rapidez no es una característica ni un valor aunque pueda ser una herramienta en situaciones didácticas en las que, por ejemplo, les permita a los alumnos distinguir aquellos cálculos de los que disponen los resul tados en memoria de los que no. No N o e s tam ta m o s p r o p o n i e n d o r e e m p l a z a r o d e s c a r t a r el c á lcu lc u lo escrito y exacto en el que se utilizan algoritmos. Todos los niños deben poder realizar cualquier cálculo escrito que se les pro po p o n g a . Los algoritmos tienen la ventaja de poder aplicarse mecánica mente sin reflexionar a cada paso. En cambio, pueden ser muy pes p esad adoo s d e real re aliz izar ar e n alg al g u n a s situ si tuac acio ionn es. es . En tales tal es casos, cas os, es conv co nve e niente que los alumnos sepan usar otros recursos como las calcula doras y computadoras. El hecho de que los algoritmos se lleguen a automatizar no sig nifica que para su aprendizaje se sacrifique la comprensión. Volveremos sobre estos aspectos más adelante. UN A APROXIMACIÓN APROXIMACIÓN HISTÓRICA

Las distinciones realizadas no son definiciones asépticas ni son independientes del enfoque general que asumimos. Consideramos que para caracterizar un enfoque es convenien te, incluso necesario, ubicarlo en una perspectiva histórica, ya que las reflexiones sobre las teorías y las prácticas son uno de los moto res de la evolución de las concepciones. Trataremos de reseñar brevemente cómo se ha considerado la enseñanza del cálculo (y el cálculo mental en particular) bajo la influencia de diversas concepciones pedagógicas. El dominio de las cuatro operaciones básicas constituía un pil p ilaa r d e la lla ll a m a d a e s c u e la tra tr a d icio ic io n a l. Se rea re a liz li z a b a n s iste is tem m átic át icaa  mente ejercicios destinados a memorizar resultados de cálculos numéricos. Eran valoradas positivamente la eficacia y la velocidad en el cálculo (cálculo rápido).

224


El desarrollo de nuevas ideas pedagógicas, particularmente las vinculadas a la escuela activa, comenzó a poner en cuestión, al menos en el discurso educativo, ciertas prácticas calificadas de rutinarias y pasivas. La memoria se desvaloriza al enfrentar el pro ble b le m a q u e e m p iez ie z a a ser se r c ruci ru cial al:: la c o m p r e n s ió n . Esto Es toss d o s asp as p e c tos aparecen como antagónicos. La reforma de la Matemática Moderna, originada en el intento de hacer ingresar en la escuela el gran desarrollo que la disciplina había tenido, tenido, n o logró logró conmover mayorm ente la la impo rtancia otor gada al cálculo cálculo escrito escrito (aun qu e lo aisl aislóó de la resolución resolución de p rob le mas), pero sí provocó el olvido, la desconsideración del cálculo mental. Esto puede haberse debido, como lo plantea el equipo e r m e l , a que nociones nuevas (conjuntos, relaciones...) ocuparon tiempo y cobraro n imp ortanc ia en las clas clases es,, pe ro tam bién es adjuadjudicable dicable a u na insuficiencia insuficiencia de la reflexión reflexión qu e n o perm itió explic expliciitar otros objetivos más que el simple dominio de reglas. La trasposición a la escuela de los primeros aportes de la teoría de Piaget (ya que los desarrollos posteriores tuvieron escasa difu sión) puso énfasis en los aspectos estructurales del pensamiento a despecho de los aspectos procedimentales. Algunos autores argu mentaban directamente en contra de los aprendizajes procedi mentales. En nuestro país, la difusión de los trabajos de Monserrat More no y Genoveva Sastre produjo un centramiento en el problema de la representación y la construcción del significado de los signos aritméticos, desdibujándose la importancia del dominio de hechos y relaciones numéricas. Ya ha sido señalado en múltiples publicaciones (Brun, 1980; Coll, 1982) que esta acrítica trasposición de aportes psicológicos pr p r o d u j o u n a d iso is o lu c ió n d e la e s p e c ific if icid id a d d e los lo s c o n t e n i d o s d el conocimiento (problema que ha sido y es fuente de múltiples investigaciones), un desdibujamiento de la función de la escuela como transmisora de saberes saberes y un a dism inución d e la confianza confianza en el rol del maestro. Los momentos reseñados pueden mirarse como dominados p o r a n t a g o n i s m o s ( m e m o r ia - c o m p r e n s i ó n , s ig n ific if icaa d o - té c n ica ic a s , hasta la enseñanza y el aprendizaje parecían antagónicos) que no son tales desde un enfoque más inclusivo.

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMAR PRIMARIA IA Al

225

g u n o s a p o r t e s q u e p e r m i t e n h o y u n a n u e v a p e r s p e c t i v a

M encionaremos en prim era instancia aporte de la psicol psicologí ogía, a, y luego señalaremos los rasgos centrales del planteo didáctico actual. En los últimos veinte años, numerosos investigadores se han interesado por conocer los procedimientos de los niños al resolver las primeras adiciones y sustracciones y, sobre todo, cómo evolu cionan los procedimientos durante el período escolar hasta la adultez. Groen y Parkman (citados por Fayol), para estudiar la resolu ción mental de adiciones simples, consideraron a priori que estas operaciones podían ser abordadas según dos grandes categorías de pro p ro c e d im ien ie n tos to s . El p r im e r o c o n s isti is tirí ríaa e n r e c u p e r a r d ire ir e c ta m e n te en la memoria a largo plazo los resultados (por ejemplo, 6 para 4 re prod oduc uctitivo vo.. El segundo + 2); se trataría entonces de un método repr exigiría una reconstrucción del resultado por medio de un cálcu lo; el procedimiento sería recons rec onstru tructi ctivo. vo. Fayol (1985), en un trabajo de síntesis del conjunto de estas investigaciones, plantea que está bien probado que los niños utilizan sistemáticamente, al menos en primer gra do e incluso en avance, un procedimiento espontáneo para la resolución de adiciones simples: procedimiento que se apoya en el conteo y, en particular, en el incremento uno a uno. En cambio, los adultos, confrontados a adiciones o multiplicaciones que involucran números de 0 a 10, proceden a una recuperación directa en la memoria a largo plazo de los resultados. [... ] Ashcrafty Fierman (1982) estudiaron el período de transición en reconstru ctivo al el curso del cual se efectúa el pasaje del método reconstructivo reproductivo y lo ubican entre método reproductivo en tre l e grado y la finaliz finalización ación de la primaria. primar ia. A la altur alt uraa de 3a grado gra do los niños niño s se dividen claram cla rament entee en dos subgrupos: por un lado, los que se comportan como los alum nos de Ia y por otro los que actúan como los mayores. La necesidad de un recurso gradual y cada vez más frecuente a la recuperación directa en la memoria a largo plazo se concibe actual


mente como el resultado del carácter muy limitado de la capacidad de tratar información. Se ha constatado, en efecto, que la memoria de trabajo (o memoria a corto plazo) no puede contener y tratar más que un número restringido de elementos durante un tiempo relativamente breve. Esto se verifica aún más en los más pequeños que disponen a la vez de una capacidad menos extendida y de menor velocidad de tratamiento. [...] La fragilidad de la memoria de trabajo, el hecho de que se encuentra muy rápidamente sobre cargada, incluso en el adulto, obligan al sujeto humano a apelar al máximo a la memoria a largo plazo que se caracteriza por una capa cidad casi ilimitada. Estas constataciones han planteado el problema de la org o rgaa niza ni za ción en memoria de las informaciones numéricas. A partir de las investigaciones realizadas con adultos se buscó saber si la represen tación mental de los números en los niños tiene la misma organi zación. Más precisamente, se buscaba saber si la adquisición de nuevas nuevas operac iones e ntrañ ab a m odificacione odificacioness en la estructuración en m em oria oria de datos numéric numéricos. os. Los trabajos de numerosos psicólogos tienden a mostrar que hay una evolución en relación con la práctica escolar de las operaciones. Por otra pa rte, los los trabajos trabajos conce rnientes a la la me m oria a largo largo pla p lazz o c o n d u j e r o n a los lo s p s icó ic ó lo g o s a e m i t i r la h ip ó t e s is d e u n a representación analógica de los números. Según Fayol, “se trataría de una suerte de línea mental numérica sobre la que interven drían efectos ligados a la distancia simbólica”. Por ejemplo, 5 + 3 = 14 es más rápidamente considerado falso que 5 + 3 = 9. Las com pa p a rac ra c ion io n e s lleva lle vann m e n o s tie ti e m p o c u a n d o los térm té rm in o s o c u p a n posi po si ciones distanciadas los unos respecto de los otros. La representación de la serie numérica en la memoria a largo pla pl a zo te n d r ía g r a n d e s s im ilit il ituu d e s e n el n iñ o y e n el a d u lto lt o . P o co a po p o c o , e n f u n c ió n d e l d e s a r r o llo ll o y d e la p rá c tic ti c a esco es cola lar, r, e s ta r e p r e  sentación se complejiza y se organiza en una “red mental”. Fayol señala que la evolución se caracteriza por un recurso cada vez más frecuente al almacenamiento en memoria de hechos numéricos (resultados disponibles que es suficiente recuperar tal cual), por una automatización creciente de algoritmos de resolu ción, ción, pero tamb ién po r un a flexibi flexibili lidad dad adqu irida en la utili utilizaci zación ón de diversas estrategias disponibles.

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARÍA

Pocas investigaciones se han efectuado sobre el cálculo mental en el marco escolar. Sin embargo, ciertos trabajos hacen planteos a ser considerados en la práctica educativa. Fisher (1987) sostiene que Sólo una automaticidad —o, en todo caso, un proceso reproduc tivo más que un proceso reconstructivo— al evocar hechos numéri cos conducirá a los alumnos a estimar los órdenes de magnitudes y remarcar ciertos errores obtenidos con calculadoras o computado ras, es decir, a ejercer un control mínimo. Plantea, retomando los resultados de Posner (1978), que una activación automática es muy económica en la medida en que no solamente es rápida sino también no consciente, sin esfuerzo, y no interfiere con la actividad mental en curso. Algunos autores han llegado a la conclusión de que niños sin problemas desde el punto de vista cognitivo pero que tienen dificultades en matemáticas, muestran particulares dificultades en la asimilación de hechos numéricos. En este sentido, y consi derando que (Resnick, 1983) las habilidades procedimentales no son incompatibles con la comprensión sino que podrían incluso subyacer a ella, surgen reflexiones sobre el papel de la escuela en estos aprendizajes. Fisher plantea que es por un tra ba b a jo r e g u l a r y s iste is te m á tic ti c o , y n o p o r el a z a r d e a l g u n o s c á lcu lc u lo s no intencionales y no controlados, que los alumnos arribarán al dominio requerido. Como producto de sus investigaciones este autor subraya, entre otras conclusiones, que los alumnos fraca san mucho en las sustracciones y que tienen grandes dificultades pa p a r a “el p a s a je d e la d e c e n a ”. Al a n a l i z a r los lo s l i b r o s e s c o l a r e s encuentra muy baja o nula presencia de ejercitaciones relativas al pasaje de la decena y señala, apoyándose en trabajos de Leontiev que un aprendizaje muy tardío hace perdurar procedimien tos muy costosos e inoportunos, por lo cual recomienda la inclu sión del aprendizaje de procedimientos de cálculo mental en la escuela.


Muchas de las antinomias y polarizaciones planteadas en la reseña histórica fueron resignificadas en los planteos didácticos que se desarrollaron en los últimos 20 años. Las Las didácticas didácticas de área se se han con stituido stituido a partir del recon oci miento de la especificidad de los contenidos en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Aunque hayan alcanzado diversos niveles de desarrollo comparten algunos rasgos. Se centran en el estudio de los procesos de transmisión y adquisición de los contenidos de cada disciplina, particularmente en situación escolar. Buscan incluir los conocimientos que los alumnos elaboran fuera de la escuela pero subrayan, a la vez, que sin la acción sistemática de la escuela no es posible para los sujetos adquirir y estructurar adecuadamente los diversos campos de conocimiento. Reconocen la originalidad y complejidad de los procesos de enseñar y aprender, y para su estudio se sitúan en un marco siste mático centrado sobre tres componentes fundamentales: el saber —el — el a lu m n o — , el m a e s tro tr o y las rela re lacc io n e s q u e s u ste st e n tan ta n . La Didáctica de Matemática, en particular, ha tenido un fortísimo desarrollo que no es posible sintetizar aquí. De hecho es inten ción de la totalidad de este libro acercar algunos de sus planteos actuales. Mencionaremos solamente dos de sus planteos básicos para luego retornar al objeto de este artículo, el cálculo mental. ...es principalmente a través de la resolución de una serie de pro p robb lem le m as eleg el egid idos os p o r el d o c e n te que qu e el alu al u m n o con co n stru st ruyy e su saber, en interacción con otros alumnos (Charnay, véase el capítu lo 3). Nues Nu estra tra hipótesis hipó tesis de base plante pla nteaa la actividad a ctividad reflexiva del d el alum alum  no sobre sus producciones y sus conocimientos, más precisamente sobre sus significados y relaciones (Brousseau, véase el capítulo 4). El cálculo mental en particular ha sido poco teorizado, y es mucho lo que queda por investigar en cuanto a su rol en la cons trucción de lós lós conocimientos matemáticos. matemáticos. Sin Sin em bargo, creemos que el trabajo en este terreno permite inscribir algunos rasgos importantes del enfoque didáctico actual, aspectos que serán


explicitados en las hipótesis y propuestas que presentamos a conti nuación. ¿ P o r q u é e n s e ñ a r c á l c u l o m e n t a l e n l a e s c u e l a p r i m a r l a ?

Nu N u e stra st rass h ipó ip ó tesi te siss d idá id á c tic ti c a s p r in c ip a les le s son: so n: 1.

Los Lo s a pren pr endi diza zaje jess en el terren ter renoo d el cálc cá lcul uloo m en tal ta l infl in fluu yen ye n en la capa ca paci cidd ad p a r a resolver resolve r problem pro blemas as

Ante un problema, los alumnos tienen que construirse una representación de las relaciones que hay entre los datos y de cómo, trabajando con estos datos, podrán obtener nueva informa ción, respo respo nd a ésta ésta a una pre gu nta ya ya formu lada o formulable formulable p or ellos mismos. E l enri en riqu quec ecim imie ient ntoo de las la s relac rel acio ione ness n um éric ér icas as a tra tr a vés vé s d el cálc cá lcul uloo m e n ta l fav fa v o rece re ce qu quee los a lum lu m n os, os , a n te u n a s itu it u a c ión ió n , sea se a n capa ca pace cess de mod m odeli eliza zarla rla,, p o r an antic ticipa ipació ción, n, p o r reflexión.

Los maestros, a través de su experiencia, constatan que hay alumnos que ante un problema son capaces de establecer relacio nes en tre los los datos datos,, anticipar su su com portam iento, co ntrolar el sen sen tido de lo que obtienen. Otros alumnos, en cambio, intentan apli car un algoritmo tras otro sin poder hacer ninguna previsión y sin po p o d e r a r g u m e n t a r p o r q u é h a c e n u n a e lecc le cció iónn . Estamos convencidos de que las capacidades a que nos referi mos pueden generalizarse si las asumimos como objetivo de ense ñanza, para lo cual el cálculo mental tiene un rol preferencial. Apuntamos, entre otras cosas, a que los alumnos puedan esta ble b le c e r r e lac la c io n e s n u m é ric ri c a s y sac sa c a r c o n c lu s io n e s a p a r tir ti r d e esas esa s relaciones. Por ejemplo, si planteamos este problema: El kilo de pesceto cuesta 6,85 $. 3/4 kilo de pesceto, ¿puede costar aproximadamente 3 $? Este es un problema que se responde con una afirmación o

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una negación, posible de ser determinada a partir de un análisis de los datos. Concretamente, los alumnos pueden pensar que 1/2 kilo ya cuesta algo más que 3 $, por lo tanto 3/4 deben costar bas tante más (inclus (inclusoo pu ed en estimar que tiene que costar más que 4,5$). En este ejemplo no se requiere un cálculo exacto para dar la respuesta y son muchas las situaciones en las que es suficiente tra baj b ajar ar s o b re las rela re lacc ion io n e s y ap a p r o x im a r p a r a r e s p o n d e r al p rob ro b lem le m a . A la vez, con un trabajo así apuntamos a que los alumnos aprendan a establecer este tipo de relaciones para que tengan medios de control ante las situaciones en que utilizan algoritmos y bu b u scan sc an resp re sp u e s tas ta s exac ex actas tas.. El enriquecimiento de relaciones numéricas se refiere también a que los alumnos puedan “pensar” un número desde distintas descomposiciones (y no sólo 243 = 2c + 4d + 3u). Por ejem plo, 24 pu ede, ed e, seg ún las las situaciones situaciones o cálculo cálculoss a resol ver, ser considerado como: 20 + 4, si hay que dividirlo por 4, por 2 o por 10; 12 y 12, si hay que tomar la mitad; 25 - 1, si si hay que m ultiplicarlo po r 4; 4; 21 y 3, si se quiere saber qué día de la semana será 24 días más tarde; pró p ró x im o a 25 %, si se q u ie r e h a c e r u n a e stim st im a c ión ió n e n u n p r o  ble b lem m a d e p o rc e n taje ta je;; 6 x 4, si si se qu iere prever cu ántos ánto s paqu etes de 6 jab on es se pue  den armar; etcétera. Nos N os esta es tam m o s r e firi fi riee n d o a u n anál an ális isis is d e los n ú m e ro s q u e p u e d e ser piloteado desde el significado de los datos en el contexto de la situación o desde las facilitaciones que aporta al cálculo o a su control. Las relaciones numéricas que los alumnos son capaces de esta ble b le c e r in t e r v i e n e n , sin si n d u d a , e n el t r a t a m i e n to d e los lo s d a to s d e l pr p r o b l e m a y c o m p r o m e t e n el s ig n ific if ic a d o d e las s itu it u a c io n e s . Sin embargo, en la actualidad, resulta muy difícil precisar esa relación, aunque “puede avanzarse, por lo menos, en la dirección de pro-


véer a los alumnos recursos de control y de análisis sobre sus pro ducciones” (véase el capítulo 6, de I. Saiz). Con frecuencia se escucha decir que “los alumnos no razo nan”, generalmente refiriéndose a las dificultades que tienen con la resolución de problemas. Es mucho lo que hay que hacer para poder revertir esta situa ción. ción. No preten dem os en este este trabajo trabajo un a respuesta cabal cabal ni quere mos que se sobrestime el cálculo mental, ya que no es una panacea. Sí intentamos desarrollar la idea de que se puede proponer a los alumnos razo ra zonn ar sobre los cálculos, y que esto influye sobre su capacidad para resolver problemas, además de permitirles avanzar en dirección a aprendizajes matemáticos más complejos, aspecto al que nos referiremos enseguida. E l cálculo cálcu lo m enta en tall a creá cr eáen enta ta el conocimi cono cimiento ento en el campo cam po num numéric éricoo 2. El

Para nuestro enfoque, las nociones matemáticas (los números, las operaciones) operaciones) debe n aparecer, aparecer, en principio, principio, como herram ientas útiles para resolver problemas. Sólo entonces estas herramientas po p o d r á n ser se r e s tud tu d iad ia d a s e n sí m ism is m as, as , tom to m a d as c o m o o b jeto je to.. En este sentido, las actividades de cálculo mental proponen el cálculo como objeto de reflexión, favoreciendo la aparición y el tratamiento de relaciones estrictamente matemáticas. Por ejemplo, cuando en distintos grados se propone buscar la manera más rápida de resolver mentalmente cálculos como los siguientes, aparecen, entre otros, procedimientos que ponen en ju j u e g o las p r o p ied ie d a d e s d e las o p e rac ra c ion io n e s . 5+3+4+7+6=

4 x 19 x 25 =

5 + 10 + 10 = 25

19 x 100 = 1900

125 + 95 = (1 2 5 - 5 + 95 + 5) 120 100 220

9+7= (9 + 1 + 7 - 1) 10 + 6= 16

+

=

Dichas propiedades permanecen en principio implícitas, y más tarde serán reconocidas y formuladas.

DIDACTICA DE MATEMATIC MATEMATICAS AS

Dijimos antes que los alumnos pueden ser invitados a “razo nar” sobre los cálculos. Veamos un ejemplo. La consigna es la siguiente: “Escribir, sin hacer las cuentas, el signo que corresponde: >, < O= 47 + 28 ... 47 + 31 24 + 75 ... 25 + 74

77-31 ... 71-37 145-68 ... 145- 74

Se busca provocar razonamientos del siguiente tipo: “77 - 31 es es mayor que 7 1 - 3 7 porque a un n úm ero más gran gran de le estoy restando uno más chico.” “145 - 68 es mayor que 145 - 74 po rqu e al mismo mismo n úm ero le estoy restando menos.” A nivel de 4Sgrado, puede plantearse, por ejemplo, ¿cuál es el número de cifras del cociente de 35.842 + 129? Se busca qu e los niños produ zcan razonam ientos del siguiente siguiente tipo: “Tiene que tener más de 2 cifras porque 129 x 100 = 12.900, (100 es el menor número de 3 cifras) y este número es inferior al dividendo, y tiene que ser menor que 1000 ya que 129 x 1000 es 129.000, y este número supera al dividendo. Por lo tanto, el núme ro de cifras del cociente debe ser necesariamente 3 ya que está comprendido entre 100 y 1000.” Frecuentemente, al realizar divisiones, los niños olvidan poner los ceros intermedios del cociente, y esta estimación previa del resultado puede ayudarlos a controlar autónomamente sus opera ciones sin sin necesidad de re cu rrir al maestro. maestro. 2 Con actividades de este tipo se busca que los alumnos encuen tren un m odo de hacer m atemática atemática que n o se reduzca a usar algo algo ritmos y producir resultados numéricos, sino que incluya analizar los datos, establecer relaciones, sacar conclusiones, ser capaces de 2. El ejemplo ha sido tomado de la fundam entación de cálculo cálculo mental elabo rada por Irma Saiz para el programa de Matemática de la provincia de Corrien tes.


fundamentarlas, probar lo que se afirma de diversos modos, reco nocer los casos en los que no funciona, establecer los límites de validez de lo que se ha encontrado. 3.

El E l traba tra bajo jo de cálculo cálc ulo m enta en tall h ab abililititaa u n modo de constr con struc ucció ciónn del con co n ocim oc imie ienn to qu que, e, a nu nues estr troo enten en tende der, r, fav fa v o re c e u n a m ejor ejo r rela re laci ción ón d el alu a lum m n o con la matem ma temáti ática ca

Dado que la perspectiva desde la que proponemos el cálculo mental se define principalmente por el hecho de que, ante una situación y a partir del análisis de los datos, los alumnos busquen los procedimientos que les parecen más útiles, discutan sus elec ciones y analicen ana licen su pertin pe rtinen encia cia y su validez, validez, creemos creemo s que, qu e, a travé travéss de esto, inscribimos en el terreno del cálculo lo que constituye el desafío central de toda didáctica: que los alumnos puedan articu lar lo que saben con lo que tienen que aprender. Para que los alumnos puedan confiar en sus procedimientos deben tener oportunidad de articularlos ante las situaciones de tra ba b a jo q u e se les le s p r o p o n e n y, a la vez, p a r a q u e a v anc an c en e n la con co n s trucción de sus conocimientos, tienen que participar en sesiones de análi análisis sis y reflexión en las las que se alcancen produ pro duccion ccion es nuevas. nuevas. El cálculo mental favorece, aunque no es el único medio, que los alumnos establezcan una relación más personal con el conoci miento, en oposición al frecuente sentimiento de ajenidad que la mayoría de las personas tiene con la matemática. Para muchos alumnos la matemática se reduce a un conjunto de técnicas com ple p leja jass q u e p e r m a n e c e n a r b i t r a r ia s e n t a n t o q u e n o h a n p o d i d o comprender sus condiciones de producción y uso. Como plantea el equipo ERMEL: El cálculo mental es el dominio privilegiado en el que se debe dejar a los alumnos asumir su individualidad y utilizar a fondo el grupo para dar a cada uno la ocasión de adherir a las soluciones prop pr opues uestas tas por po r los otros. Lejos de ser un conocimiento cerrado, totalmente construido, la matem ática ática puede aparecer como un a aventura de de conocimien to y compromiso, que vale la pena emprender, porque todos tie

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nen un lugar y porque pueden reconocer la finalidad de lo que hacen. 4.

El E l traba tra bajo jo de cálcu cál culo lo pe p e n sado sa do debe ser acom ac om pa paña ñado do p o r u n acrecen tam ta m ient ie ntoo pro p rogr gres esivo ivo del de l cálculo cálc ulo au autom tom átic át icoo

Quizá parezca que hay aquí una contradicción de términos. Trataremos de aclararla. Desde nuestra perspectiva, el cálculo mental es una vía de acceso para la comprensión y construcción de algoritmos. Así, alumnos de 2a grado, antes de aprender el algoritmo de la suma, pueden resolver 28 + 23 de distintos modos, por ejemplo: 20 + 8 + 20 + 3 =

28 + 20 + 3 =

40 + 11 = 51

48 + 3 = 51

(No es esperable que los niños produzcan estas escrituras aun que sí usan estos procedimientos. Volveremos sobre este punto más adelante.) Estos modos de resolución, donde la reflexión sobre el signifi cado de los cálculos intermediarios es preponderante, facilitan la asimilación posterior de los algoritmos. A la vez, deberemos buscar que los conocimientos que se po p o n e n e n j u e g o (en (e n este es te e jem je m p lo, lo , sum su m a d e díg dí g itos, ito s, s u m a d e d e c e  nas enteras) estén disponibles en los alumnos, porque sólo en ese caso podrán realizar estimaciones.y tener algún control sobre los algoritmos que están aprendiendo o que usan. En este sentido, el cálculo mental, que es una vía de acceso al algoritmo, es a la vez su herramienta de control. Y para que esto sea posib po sible le,, cie ci e rto rt o nivel d e cálc cá lcul uloo tien tie n e q u e alcan alc anza zarr el c a rác rá c ter te r d e auto au to mático. Lo que e n un m om ento es un desafí desafío, o, un a situac situación ión frente frente a la cual los niños trabajan, proponen respuestas, explicitan procedi mientos (por ejemplo, en primer grado 8 + 4), más tarde deberá formar parte de lo que los niños tienen disponible, ya que, de no ser así, quedan comprometidos otros aprendizajes. Por ejemplo, si un alumno tiene que resolver:


+

348 274

hay una tarea de mayor complejidad que incluye tres veces la suma de dígitos. Si cada una de estas sumas es muy costosa para un alumn o, es altamente proba ble que com eta errores y que p ierda el control sobre la tarea mayor. Hemos presentado antes aportes tle investigaciones que fundamentan estos aspectos. Sin duda, un buen dominio del repertorio aditivo es condición necesaria pero no suficiente para la adquisición del algoritmo de la suma. Si lo subrayamos es porque, como esbozamos en la mira da histórica, hubo momentos en los que cualquier pretensión de memorización aparecía como contradictoria con una concepción constructivista. Nu N u e s tro tr o p la n te o es q u e la m e m o riz ri z a c ión ió n d e h e c h o s n u m é ric ri c o s , si bien no constituye jamás la vía de ingreso a una operación, apa rece como producto necesario a cierta altura del aprendizaje y, dado que este proceso no se cumple del mismo modo ni al mismo ritmo en todos los alumnos, consideramos que deberá formar par te de la actividad de la clase el diagnóstico del nivel de procedi mientos que los alumnos están usando, buscando que tengan con ciencia de cuál es el nivel de cálculo disponible y planteando, a pa p a r tir ti r d e esto es to,, a c tivid tiv idaa des de s q u e b u s q u e n el avan av ancc e e n esta es tass a d q u isi is i ciones. En cuanto cua nto a la resolución de problemas, divers diversos os estudios estudios plan tean que, debido a que la memoria de trabajo es limitada, el hecho de que los alumnos puedan apelar al cálculo automático libera espacio mental para que se centren en los aspectos más complejos (y probablemente más importantes) del problema a tratar. Incorporando estos datos, reconocemos que si el objetivo cen tral del trabajo de cálculo mental fuera el acrecentamiento del cálculo automático (liberar espacio mental) no se implica en ello el lento y detallado aprendizaje de cálculo mental que estamos p r o p o n i e n d o . ( B a s tar ta r ía c o n c e n t r a r s e e n el a p r e n d i z a je d e las la s tablas y en la automatización de los algoritmos.) Esperamos haber desarrollado suficientemente los otros argu m entos po r los los que defende m os el trabajo trabajo de cálculo cálculo mental en su

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sentido amplio, del cual se desprenden, como beneficios secunda rios, aspectos como “liberar espacio mental”. E l CÁLCULO MENTAL, UN CAMINO PARTICULARIZANTE

El cálculo pensado es eminentemente particularizante: cada pro blema ble ma es nuev n uevoo y el apren apr endiz dizaje aje va a consistir cons istir esen e sencia cialm lmen ente te en dar da r se cuenta de que para una misma operación ciertos cálculos son más simples que otros, y que puede ser útil elegir un camino apa rentemente más largo pero menos escarpado. Puede parecer paradójico para quien no practica las matemáti cas, el considerar como matemática o matematizante una actividad que consiste, para cada alumno ante un problema particular de cálculo, teniendo en cuenta lo que sabe que sabe y de qué dispone, en buscar un procedimiento eficaz pero que quizá sea imposible de utilizar en otro cálculo. Este tanteo ingenioso, errático, heurístico, parec par ecee en las ant a ntíp ípod odas as de la cond co nduc ucta ta matem ma temátic áticaa segura, segura , “direc dir ecta ta al objetivo”, elegante, simple (ERMEL, 1981). El maestro que quiere recuperar para sus clases esta concep ción de lo que es hacer matemática, se verá enfrentado al desafío de lograr por este camino pa ra cada alum no singular y personal, el avance de todos y de asegurar la adquisición de los conocimientos. En este sentido el maestro necesita: — t e n e r u n a r e p r e s e n t a c i ó n d e c u á les le s so n los c o n o c i m ie n t o s que a cada nive nivell deb en estar estar disponibl disponibles es para cada alumno pa p a r a h a c e r p o s ib le e l a b o r d a j e y a d q u i s i c ió n d e n u e v o s conocimientos; —d — d i s p o n e r d e h e r r a m i e n t a s q u e le p e r m i t a n d ia g n o s tic ti c a r los conocimientos de sus alumnos; —c — c o n o c e r p r o p u e s tas ta s d idá id á c tic ti c a s a travé tra véss d e las c u a les le s lo g r a r e n sus sus cla clases ses la pu esta en ju eg o y el avance avance d e los cono cim ien tos de sus alumnos.

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA E l CÁLCULO MENTAL, UN PROYECTO ARTICULADOR

Estamos Estamos convencidos convencidos de que u n elem ento cen tral para el mejo ramiento de la enseñanza en general y de la matemática en parti cular pasa por la constitución, en las escuelas, de equipos docentes que puedan vertebrar un proyecto común, que discutan objetivos y responsabilidades, acuerden criterios y enfoques, evalúen los logros y las dificultades, produzcan rectificaciones. Somos conscientes de que para esto se requieren condiciones laborales e institucionales, pero también se requieren aportes específicos en cada área que permitan mayor precisión en las dis cusiones y en las definiciones a que se arribe. En esta dirección vamos a presentar ahora un planteamiento cu rricular rela relati tivo vo al cálculo cálculo mental, terre no que nos parece parti cularmente propicio para un proyecto articulador. EL CÁLCULO MENTAL EN LOS DOCUMENTOS CURRICULARES

El cálculo mental no solía ser mencionado explícitamente en los planes y programas de hace algunos años. Actualmente forma pa p a r te d e dive di vers rsos os d o c u m e n to s c u r ric ri c u lare la ress , a u n q u e c o n u n nue nu e v o sentido respecto de prácticas preexistentes. En el “Diseño Curricular Base. Educación Primaria” de Espa ña, que recientemente ha entrado en vigencia, se plantea: La construcción progresiva del conocimiento matemático transi tará por una vía inductiva, tomando como dato primigenio la pro pia actividad del alum alu m no y utilizando sus sus intuicion intu iciones, es, tanteos tan teos y apro ximaciones heurísticas —estrategias personales elaboradas por los alumnos para afrontar las tareas y situaciones planteadas— como punt pu ntoo de parti pa rtida da para pa ra u na reflexión refle xión que conduz con duzca, ca, de form fo rmaa pro pr o gresiv gresiva, a, a plantea pla nteamie mientos ntos más formales y deductivos. deductivos. La adquisición de una actitud positiva hacia las matemáticas, del gusto por ellas y de la confianza en la propia capacidad para aprenderlas y utilizar las, es otro aspecto básico que debe tenerse en cuenta para lograr la funcionalidad del resto de los aprendizajes. [...] el planteamiento expuesto aconseja: —con —c once cede derr p rio ri o rid ri d a d al traba tra bajo jo prác pr áctic ticoo y oral, intr in troo duci du cien endo do

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únicamente las actividades descontextualizadas y el trabajo escrito (utilización de notaciones simbólicas) cuando los alumnos mues tran una comprensión de los conceptos matemáticos; —conc —co nced eder er prio pr iorid ridad ad al trabajo trab ajo menta me ntall (y, en especial, al cálculo mental) con el fin de profundizar los conocimientos matemáticos intuitivos antes de pasar a su formalización; —utilizar —uti lizar ampl am plia iam m ente en te actividades actividade s grupal gru pales es de apren ap rendiz dizaje aje que qu e favorezcan los intercambios, la discusión y la reflexión sobre las experiencias matemáticas; —prestar —pres tar especial atenció ate nciónn al desarr de sarrollo ollo de estrategias estrategia s personales person ales de resolución de problemas, potenciando la inclusión de los conoci mientos matemáticos que se vayan adquiriendo (representaciones gráficas y numéricas, registro de las alternativas exploradas, simplifi cación de problemas...); —utiliz —uti lizar ar los dist di stin into toss ámbit ám bitos os de expe ex peri rien enci ciaa de los alumnos alum nos:: escolares (otras áreas del currículo: conocimiento del medio, activi dades físicas y deportivas, actividades artísticas, etc.) y extraescolares, como fuente de experiencias matemáticas. Dentro de los Objetivos Generales seleccionamos los que son más pertinentes para este trabajo: Al finalizar la Educación Primaria, como resultado de los apren dizajes realizados en el área de Matemáticas los alumnos habrán desarrollado la capacidad de: 5. Utilizar instrumentos de cálculo (calculadora, ábaco) y medida (regla, compás, etc.), decidiendo, en cada caso, sobre la posible perti pe rtine nenc ncia ia y ventajas que implica imp lica su uso y som so m etien eti endo do los resulta resu lta dos a una revisión sistemática. 6. Elaborar y utilizar estrategias personales de cálculo mental para par a la resolució res oluciónn de problem pro blemas as sencillos sencillos a parti pa rtirr de su conoci con ocimie mien n to de las propiedades de los sistemas de numeración y de las cuatro operacione opera cioness básic básicas as.. 7. Valorar la importancia y utilidad de las mediciones y cálculos aproximados en determinadas situaciones de la vida cotidiana, utili zando su conocimiento de los sistemas de numeración y de los siste mas de medida para desarrollar estrategias personales a tal fin. En objetiv objetivos os de esta esta naturalez a están involucrados conoc imien  tos (conceptos, procedimientos, técnicas) así como actitudes y


valores. Para alcanzarlos será necesario diseñar actividades especí ficas orientadas a tal fin. Más adelante daremos algunos ejemplos. Pr o gra gr a m a de M a tem te m á tic ti c a de la provincia de Corrientes y el El Pro Dise Di seño ño Curr Cu rric icuu lar la r d e la provincia de Río Negro incluyen una distri bu b u c ió n d e c o n t e n i d o s d e cálc cá lcuu lo m e n tal ta l e l a b o r a d a p o r la lic li c e n c ia ia  da Irma Saiz. Tal distribución de contenidos permite precisar, para cada ciclo y grado, el nivel de cálculo que los alumnos tienen que do minar. Es conveniente que los docentes analicen la relación entre estos contenidos y los que aparecen determinados en los propios documentos curriculares, buscando explorar, o eventualmente determinar, los condicionamientos internos entre contenidos. En algunos casos, se plantea el dominio de ciertos cálculos porque son los más frecuentes en la vida cotidiana, pero también porque son organizadores para el control de otros cálculos. Por ejemplo, a nivel de 4a y 5a grado se propone: —C — C o m p a rac ra c ió n d e fra fr a c c ion io n e s c o n los e n t e r o s (may (m ayor, or, m e n o r o igual a 1 o a 2, etcétera). — S u m a d e f r a c c i o n e s m ás u su a les le s ( 1 / 2 + 1 / 4 =; 1 / 2 + 3 / 4 =; 2/3 + 1/6 =). Utilizando estos conocimientos los alumnos podrán, mediante la aproximación y la la com paración, estimar y con trolar el resultado de operaciones con fracciones para las que utilizan algoritmos. Por ejemplo, estimar que el resultado de 5/6 + 9/11 es próxi mo a 2 porque cada una de las fracciones es próxima a 1; podrán controlar que 4 + 2/5 no puede ser 6/5 p
1® Ciclo: Contenidos de Matemática. Cálculo Mental (Provincia, de Corrientes)

K> O

Distribución de contenidos realizada por la licenciada Irma Sáiz para el programa de matemática l 9 grado

2Qgrado

3a grado

Sumas de la forma: a + b = 10 Restas de la forma: 10 - a = b Restas de la forma: a - b = 1 Sumas de la forma: a + a = con a < 10 Complementos a 10: a + ...= 10 Sumas de la forma: 10+a=...; 20 + a=... Sumas de la forma: a + b = 100 con a y b múltiplos de 10 (Ej: 20 + 80 = 100) Complementos de 100: a +... = 100 con a múltiplo de 10 (Ej: 70 + ... = 100) Escrituras equivalentes: 34 = 30 + 4 9 =5 +6-2 34 = 10 + 24 9 =4 +5 34 = 10 + 10+ 10 + 4 9=2+2+2+2+l 34 = 40 - 6 9 = 1 0- 1 etc. Propiedades conmutativa y asociativa

Restas de la forma: a - b = 10 Sumas de la forma: 100 + a= Restas de la forma: 100 - a = con a múl tiplos de 10 (Ej: 100 - 30 =...) Complementos a 100: a +...= 100 (Ej: 28 +...= 100) Sumas de la forma: a + b = 100 (Ej: 75+25=100; 32+68=100) Dobles y mitades Escrituras equivalentes: 147 = 50 + 50 + 47 147 = 100 + 47 147 = 40 + 60 + 30 + 17 147 = 2 0 0 - 5 0 - 3 Distancia entre dos números (Ej.: dis tancia entre 50 y 76) Escalas ascendentes y descendentes del 2, 5 y 10.

Escalas ascendentes y descendentes del 10, 20, ...100, 200... Encuadramiento de números entre decenas, centenas, etcétera. (Ej.: 20 < 28 < 30 140<145 <150 100 < 145 < 200) Restas de la forma: a - b = 1; a - b = 10; a - b = 100; etcé tera . Escrituras equivalentes: (Ej.: (Ej.: 1359 = 500 + 500 + 300 + 59 = 1000 + 300 + 50 + 9 = 2000 - 200 - 40 - 1) Sumas y restas con medidas de tipo: años, día, mes, semana, hora, 1/4 h, etc. Multiplicaciones de la forma axb con a<10 Divisiones y multiplicaciones especiales: x2: ■+2; x4 (multiplicar dos veces por 2); x8 (multiplicar tres veces x2); + 4 (divi dir dos veces por 2); x5: + 5: etcétera. Dobles y mitades. Triples y tercios. Propiedades conmutativa y asociativa.

D I D A C T I C A D E M A T E M A T I C A S

2® Ciclo conte nidos de Matemática. Matemática. Cálculo mental

4Qgrado

5e grado

Encuadramiento de un número respecto a las decenas, cente nas, unidades de mil, etcétera. Contar de 100 en 100 a partir de cualquier número (Ej.: 741, 841...). Números equidistantes entre otros dos (en medio de...). Distancia entre dos números cualesquiera. Mitades y dobles de números de 3 o 4 cifras. Escrituras equivalentes (utilizando las 4 operaciones). Distintas formas de encontrar un producto 8x14 = 2x 4x 14

Sumas de la forma: 2000 + 5300 =; 25.000 + 2850 =... Restas de la forma: 807.000 - 3000= 807.400-10= Fracciones más comunes de números enteros: 1/4 de; 1/2 de; 1+1/2 de; 3/4 de, etc. Dobles y mitades de fracciones (doble de 1/3, mitad de 6/4, mitad de 3/4, etc.) Sumas Sumas de fracc fraccione ioness más más usuales usuales (l/2 + l/4 = ; l/2+ 3/4 =; 2/3+l/6=etc.). Sumas de decimales de la forma: a+b=l, a+b=10, etc. Restas de decimales de la forma: 1 - 0,25=; 10 - 1,50 =, etc. Encuadramiento de decimales entre dos enteros: 31 <31, 24 <32 Estimación Estimación y aproximación de resultados de med icione s lon gitud, capacidad, peso y tiempo. Estimación de la medida de los ángulos más usuales: 45° (mitad de 90°), 30° (tercera parte de 90°); 135° (90+45); 60° (doble de 30°), etcétera.

=8x2x7 = (8 x 10) 10) + ( 8 x 4 ) Cálculo del número de cifras de un cociente. Estimación de resultados de división de números naturales Comparación de fracciones con los enteros (mayor, menor o igual a 1 o a 2, etc.). Múltiplos de los primeros números: 2, 3, 4, 5... Divisores de algunos números: 10, 12, 16, 15, 20, .... Cálculos con monedas y billetes en uso. Aproximación y redondeo de resultados de las cuatro opera ciones.

C A L C U L O M E N T A L E N L A E S C U E L A P R I M A R I A

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39 ciclo: contenidos de Matemática. Cálculo mental 6“ y 7 a grad gr ados os Representación de números de 3 o más cifras en la recta numérica con escalas de 100 en 100, de 1000 en 1000, etc. Cálculo de porcentajes más usuales: 10 %, 25 %, 75 %, 100 %. Relaciones más usuales entre fracciones y porcentajes (ej.: 1/4 y 25 %, %, 3 /4 y 75 %, %, 1 /2 y 50 %, %, 1 + 1/ 2 y 150 % etc .). Escalas ascendentes y descendentes de 0,1 - 0,5 - 10,10 - 2,5. Complementos de decimales del entero más próximo (ej.: 25,6 + ... = 26). Dobles y mitades de números decimales. Cálculo aproximado de sumas de números decimales. Estimación de raíces no exactas de números naturales. Estimación de longitudes y superficies de objetos, lugares y espacios de la vida diaria. Unidades de tiempo, escalas ascendentes y descendentes de 15 en 15 minutos a partir de una hora dada. Cálculos sobre hora rios y duraciones de tiempo.

de “enseñé la suma”). Por otro lado, se plantea una articulación horizontal entre los contenidos por enseñar, tanto en el sentido de establecer qué aprendizajes facilitan el acceso a otros como en la bú b ú s q u e d a e x p líc lí c ita it a d e r e la c io n e s e n t r e c o n te n id o s . P o r e je m p lo , en el nivel nivel de el terce ter cerr ciclo ciclo (6a - 7a gra do): do ): — C álc ál c u lo d e p o r c e n taje ta jess m ás usua us uale les: s: 10 %, 25 %, 75 %, 100 100 % — R ela el a cio ci o n e s m ás u sual su alee s e n t r e fra fr a c c ion io n e s y p o rce rc e n taje ta jes: s: po p o r eje ej e m p lo: lo : 1 / 4 y 25 %, 3 / 4 y 75 %, 1/2 y 50 %, 1 + 1/2 y 150 % Nos N os p a r e c e i n t e r e s a n t e q u e e s te m a te r ia l sea se a a n a l i z a d o e n ambos sentidos. El maestro que quiere incluir esta perspectiva tie ne que diagnosticar el nivel de dominio de sus alumnos de los contenidos de cálculo mental propuestos para los grados anterio-

CAL CUL O MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA PRIMARIA

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res e iniciar el trabajo desde allí, ya que tienen un fuerte encade namiento interno. Siendo un planteo tan abarcador no nos resulta posible más que sugerir algunas orientaciones y mostrar ejemplos de activida des relativas a los distintos ciclos de la escuela primaria. Los docentes interesados pueden encontrar propuestas en los libros del maestro y del alumno de E. Bergadá, y otras. Pr

im e r c i c l o

:

d el c o n t e o a l c á l c u l o

Hemos tenido oportunidad, en el marco de la Dirección de Currículum de la Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, de llevar adelante un proyecto de Desarrollo Curricular de Matemática - Primer ciclo. El producto de ese trabajo, del que participaron 20 docentes municipales y en el que nos acompañaron Adriana Castro y Haydeé Mosciaro, fue pu p u b l i c a d o e n P a r r a , C. y Saiz, Sa iz, I., Los Lo s n iños iñ os,, los m aest ae stro ross y los números. númer os.

Vamos a reproducir en este artículo una parte del documento po p o r q u e n o s p a r e c e p e r t i n e n t e , p e r o t a m b i é n p o r q u e n o es u n a pu p u b lic li c a c ió n d isp is p o n ib le p a r a el p ú b lic li c o ( e d i c ió n r e s trin tr in g i d a , p a r a los docentes municipales). Ev o l

u c i ó n d e r e pr e s e n t a c io n e s , e v o l u c i ó n d e s o l u c i o n e s

Estamos convencidos de la importancia de proveer a los alum nos de oportunidades de enfrentar los problemas con sus recursos, de buscar un camino personal hacia la solución, pero a la vez... —y h e a q u í el d o b le desa de safí fíoo — es n e c e s a rio ri o q u e los a lum lu m n o s avan av an cen en sus procedimientos y que todos lleguen a dominar los pro cedimientos “expertos”, aquellos que el maestro (y la comunidad) reconocen como los que permiten dominar la situación, cualquie ra que sea el campo numérico o la dimensión con que esté plan teada. Trabajar sobre un ejemplo nos va a permitir tener una idea más clara respecto de la evolución de la que estamos hablando:


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“Subieron 8 personas al colectivo. Ahora hay 45 personas en el colectivo. ¿Cuántas personas había antes de esta parada?”. Se pueden describir varios tipos de soluciones correctas al pro ble b lem m a p res re s e n tad ta d o : — Solución 1: el alumno dibuja 45 marcas, tacha o borra 8 y cue nta las restantes. vincu — So Soluc lución ión 2: el alumno no reconoce n ingu na operación vincu lada al problema, pero se construye una representación del pro ble b lem m a e n fu n c ió n d e la cual cu al p u e d e e leg le g ir u n p r o c e d im ien ie n to , p o r ejemplo, descontar 8 de 45, de uno en uno, eventualmente ayu dándose con los dedos; de algún modo es como si mentalmente hiciera bajar bajar uno a uno a los los pasajer pasajeros os que subieron p ara reen con  trar la situación inicial. — S olu ol u ción ci ón 3 (muy próxima de la más eficaz): el alumno se representa el problema como una adición en la que se desconoce uno de los términos y busca resolver lo que en una ecuación se expresaría así: ... + 8 = 45 — So Solu luci ción ón 4 (la “experta” o canónica): el alumno reconoce

este este pro blem a com o de resta (45 (45 - 8) y la realiza realiza m en talm ente o po p o r escr es crito ito.. Estos cuatro alumnos han hecho matemática, en el sentido de que han articulado sus conocimientos disponibles y las significacio nes que les dan con la representación que se hacen del problema. En efecto, tanto el conteo (solución 1) como la sustracción (solu ción 4) son herramientas matemáticas, pero el problema, que para el alumno 4 es de resta, no lo es para el alumno 1. Queda mostrado que la solución correcta de un problema de sustracción (desde el punto de vista del maestro) no supone a pr p r io r i el d o m in io d e la sust su stra racc cció ión. n. Es posible distinguir en las soluciones dadas como ejemplo dos grandes polos: —el — el p o lo d e las soluciones soluc iones qu quee ap apel elan an a u n a representa repre sentación ción fig fi g u r a


tiv t iv a de la situa sit uaci ción ón,, por las cuales los alumnos simulan lo real men

talmente (como en la solución 2) o dibujándolo, o podría ser con objetos (como en la solución 1); —el — el p o lo d e las soluciones soluc iones qu quee ap apel elan an a u n a representa repre sentación ción materna tic ti c a de la situ si tuaa c ión ió n , en las cuales los alumnos plantean de algún mo do el problem a en una ecuación ecuación para po der trabaja trabajarr únicam en te en el nivel de los números (como en las soluciones 3 y 4). El pasaje del primero al segundo polo se acompaña frecuente mente de un cambio de las técnicas utilizadas: en el primer caso, los alumnos utilizan las que provienen del conteo; en el segundo caso caso fun dam da m en talm ente en te son utilizadas técnica técnicass de cálculo. cálculo. Esta dis tinción no da cuenta, sin embargo, de todos los niveles de repre sentación de la situación que pueden existir en los alumnos. Así, la solución 3 muestra que el alumno produce una escritura que tra duce una cierta simulación de la realidad evocada, particularmen te en su desarr de sarrollo ollo tem po ral “...+ “...+ 8 = 45” 45 ”, (los (los pasajero s que qu e estaban en el colectivo “+ 8” (los que subieron), “= 45” (los que hay ahora en el colectivo). Hay que saber acep tar que, en cada categoría de problemas, el pa p a saje sa je d e la u tili ti lizz ació ac iónn d e p r o c e d i m i e n t o s lig li g ado ad o s al c o n t e o y vin v in culados a una representación figurativa de la situación, al recono cimiento de un modelo de resolución que implica el recurso a téc nicas de cálculo expertas es con frecuencia lento, raramente definitivo para un alumno y nunca simultáneo para todos los alumnos. Esta observación implica muchas consecuencias: —H — H ay q u e acep ac epta tar, r, e inc in c luso lu so favo fa vore rece cer, r, e n la clase cla se la p lu r a l id a d de p rocedimientos de resolución p orq ue no sól sólo anima a los los alum nos a elaborar su propia solución sino que puede ser fuente de pr p r o g r e s o , d e a p r e n d i z a j e a p a r t i r d e las c o n f r o n t a c i o n e s q u e se pu p u e d e n o r g a n iz a r e n t r e ello el los. s. — H ay q u e a c e p t a r t a m b i é n q u e , p a r a s itu it u a c io n e s a p a r e n t e  mente análogas, algunos alumnos dan la impresión de retroceder. El aprendizaje está lleno de dudas, de retrocesos, de aparentes detenciones hasta que las adquisiciones se estabilizan. —U — U n a exig ex ig e n c ia p rec re c o z d e fo rm a liz li z a c ión ió n d e s o luc lu c ion io n e s (re (r e c o 

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nocimiento del cálculo a efectuar y producción de la escritura matemática correspondiente) puede ser una fuente de obstáculos pa p a r a m u c h o s a lu m n o s q u e v an a t r a t a r d e p r o d u c ir la e s c r i tu r a matemática directamente a partir del enunciado apoyándose en pa p a lab la b r a s clave cla vess y p r o d u c i r í a n 45 + 8 e n el p r o b le m a d e sc rito ri to , sin involucrarse en la fase esencial de tratar de comprender la situa ción propuesta. —El — El m e d io d e l q u e d isp is p o n e el d o c e n te p a ra fav fa v o rece re cerr el pasa pa saje je de un polo a otro es fundamentalmente ir variando las situaciones que les propone a los alumnos (para los problemas aditivos y sustractivos el “tamaño” de los números es una variable decisiva) lo cual va a ir exigiendo nuevos procedimientos y mostrando los lími tes o la inutilidad inutilidad d e los los anteriores. O tra herra m ienta funda m ental de que dispone el docente es organizar los intercambios y las dis cusiones entre los alumnos, así como asegurar la difusión de los “hallazgos” de los alumnos entre todos. Llegan momentos en el trabajo en el que ciertos procedimientos y, particularmente, ciertas formas de escritura matemática se “oficializan”. Del c o n t e o a l c á l c u l o

Acabamos de mostrar, en el marco de la resolución de un pro ble b lem m a , u n a b a n ic o d e p r o c e d i m ie n to s q u e van va n d e s d e los lo s q u e se apoyan en el conteo hasta los que trabajan en el nivel del cálculo. Plantearemos cómo se puede favorecer el pasaje del conteo al cálcul cálculo. o. Aun que nos vamo vamoss a centra r en metas po r conseg uir en el nivel de procedimientos, queremos subrayar que el sentido de las pr p r o p u e s tas ta s sigue sig ue s ien ie n d o a y u d a r a los a lum lu m n o s a reso re solv lver er m e jor jo r los pro p ro b lem le m a s q u e se les p la n te e n . E l cont co nteo eo

En el marco de las investigaciones provenientes de la psicolo gía y la didáctica se ha revalorizado el papel del conteo en los aprendizajes numéricos. Los niños necesitan enfrentar múldples situaciones en las que


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pu p u e d a n re c o n o c e r la u tili ti lidd a d d e c o n ta r y la n e c e s ida id a d d e ser p rec re c i sos (no contar ninguno dos veces, no saltear ninguno). Al inicio de primer grado, para resolver un problema en el que aumenta o disminuye una cantidad el procedimiento más utiliza<^° po p o r los n iñ o s es el d e m a teri te riaa liz li z a r las c a n tid ti d a d e s (ob (o b jeto je tos, s, d ibuj ib ujoo s, dedos, etc.) y resolver por conteo. Nos N os vam va m os a p la n te a r e n to n c e s el m e jo r a m ie n to d e l c o n teo te o en dos direcciones: a) en cuanto al conteo utilizado para resolver situaciones; b) e n c u a n to al d o m in io y ex e x ten te n s ión ió n d e la s erie er ie n u m é r ica ic a oral or al.. a) Al comienzo, para resolver 6 + 3 los niños recuentan desde 1: I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Apuntamos entonces a lograr que utilicen el so b re c o n teo te o 6... 7, 8, 9 Es decir, que partan de uno de los números y agreguen Ia otra cantidad cantidad contando. Muchos alumnos empiezan a usar, implícitamente, propieda des de la suma. Por ejemplo, la conmutatividad. Así, para resolver 3 + 9, hacen 9... 10, 11, 12. No N o esta es tam m o s p r o p o n i e n d o q u e el m a e stro st ro “e n s e ñ e ” esta es ta p r o p i e  dad, sino que favorezca el intercambio entre los alumnos de modo que los “modos de arreglárselas” de cada uno se conviertan en terreno común. Para Para una sit sit uaci uac i ón de disminuc disminucii ón, 1 2 - 4 , m uchos ninos ni nos hacen 12 marcas, tachan 4 y cuentan las que les quedan. Es necesario realizar actividades para que puedan d ^ co n tar ta r (contar para abajo, “para atrás”). Además del interés inmediato, estos procedimientos encontra rán posteriormente una prolongación, particularmente en cálculo m ental. Por ejemp lo, para calcular 23 + 17 17, un a lu m n ° d e 2” po p o d r á p a r tir ti r d e 27 y a g reg re g a rá suc su c e s iva iv a m e n te 3 y d e s p u é s 1® b) b ) E sto st o s p r o c e d i m ie n t o s , p a r a p o d e r s e r p u e s to s e n J u e g o , requieren por parte del alumno una buena d i s p o n i b i l i d a í * *a serie numérica oral, particularmente la capacidad de: — d e c ir d ire ir e c ta m e n t e el sig si g u ien ie n te y el a n t e r i o r d e u n n u m e r o sin recitar la serie desde el inicio;

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— c o n t i n u a r la s e rie ri e o r a lm e n te a p a r t i r d e u n n ú m e r o d a d o , en un sentido y en otro; — e n u n c i a r , p o r e j e m p lo , c u a t r o n ú m e r o s a p a r t i r d e u n o dado, en un sentido o en otro; — d e c ir, ir , p o r e j e m p lo , los lo s n ú m e r o s e n t r e 7 y 11, p u d i e n d o especificar al terminar cuántos números se han dicho; — p o d e r c o n t a r d e a 2, d e a 5, d e a 10, res re s u lta lt a p a r tic ti c u la r m e n te importante en tanto apoyos fundamentales para el cálculo. Para asegurar este dominio en todos los alumnos será necesa rio q ue se realicen m últiples activi actividades, dades, jueg os, a raíz raíz de situacio situacio nes cotidianas y planificadas ex profeso. Se trata de que el contar ocupe un lugar. Los dos aspectos en los que planteamos el mejora miento del conteo se deben desarrollar simultáneamente. Los niños tienen que tener oportunidad de comprobar lo que saben y recono cer, a la vez, ez, las las metas a lograr lograr.. N uestra experien ex perien cia nos muestra que son muy capaces de comprometerse si pueden saber con qué y para qué. Lo L o s p r o c e d im ie n to s m en tale ta less d e reso re solu luci cióó n

Consideramos que un objetivo fundamental de primero-segundo grado es el desarrollo de procedimientos mentales de resolu ción en el marco de los problemas referidos anteriormente. Se trata, a la vez, de favorecer la representación mental de las situaciones y la construcción, por parte de los alumnos, de solucio nes desprendidas de la acción misma, es decir, que permiten anti cipar los resultados de una acción todavía no realizada. Más tarde se favorecen los procedimientos escritos que se apo yan en las las reglas reglas de escritura escritura de los los núm eros (num eración de posi posi ción). Pe ro p ara q ue los alum nos p ue da n trabajar en este este nive nivell tie tie nen que ser capaces de construirse una representación mental correcta de la situación y disponer de la posibilidad de obtener mentalmente ciertos resultados. Esto Estoss procedim ientos m entales funcion an en principio p ara los los alumnos de manera muy local, para ciertos números. Se buscará ex tend er progresivam progresivam ente su dom inio de fun cionam iento y su dis dis


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po p o n ib ilid il id a d p a r a p o d e r d a r le u n c a r á c te r m ás g e n e r a l. P o r e jem je m  plo p lo,, u n a lu m n o p u e d e s e r capa ca pazz d e reso re solv lver er m e n ta lm e n te u n p r o  ble b lem m a q u e inv in v o lucr lu craa los n ú m e r o s 2 y 3, y no n o p o d e r h a c e rlo rl o c o n los números 4 y 6. Los maestros con experiencia en 1Qy 2a grado constatan que entre sus alumnos hay quienes disponen de procedimientos men tales de resolución y quienes no, hay quienes memorizan con faci lidad y quienes tienen que reconstruir siempre todo, hay otros a quienes se les ocurren diversas maneras de resolver y quienes dis po p o n e n d e m uy p o c o s rec re c u rso rs o s. En tanto consideramo s fundam ental lograr que todos los los alum nos dispongan de procedimientos mentales de resolución y cons truyan comprensivamente los algoritmos, lo que vamos a plantear es que estos logros tienen que ser asumidos como metas desde la enseñanza. Hay un prim er req uerim iento y es que, a térm ino (hacia (hacia fin fin de segundo grado), los alumnos tienen que saber producir rápida y casi instantáneamente una buena respuesta a lo que se suele lla mar el repertorio aditivo: encontrar uno de los términos a, b o c en a + b = c, cuando a < 1 0 y b < 1 0 , lo cua cua l no no excl excluy uyee el el cono conoci ci m iento de otros otros resultados resultados p ero condiciona su producción . Esta Esta es es la base del cálculo, sea escrito o mental. Señalemos Señalemos sintéticame sintéticame nte las las metas que se pu ed en plan tear en este proceso. a) a ) La memo me moriza rizació ciónn d e cálculos cálculo s sim s imple pless

Constance Kamii (1986) hace observaciones válidas sobre este pu p u n to: to : Después de definir como objetivo la construcción de sumas, pot parte pa rte del niño, niñ o, el m aestr ae stroo necesi nec esita ta estab est ablec lecer er una un a secuen sec uencia cia e m u  las actividades que pone a disposición de los niños para su clc< !<■ aritmética de primer curso que existen en la actualidad, rm|>¡
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la adición definiendo como objetivo las sumas que dan 5 o 6, para continuar hasta 9 o 10, 12 y 18. Así pues, la secuencia de objetivos continúa estableciéndose de acuerdo con la magnitud de la suma, a magn itud de pesa pe sarr de q ue las investig inve stigacio aciones nes han ha n d emos em ostr trad adoo que qu e la dific di ficult ultad ad depende del tamaño de los sumandos. Po r ejemplo, ejemp lo, 5 + 1 = 6 es más sumandos. Por fácil de recordar que 3 + 2 = 5. La secuencia de objetivos que viene a continuación se basa en la magnitud de los sumandos, que corresponde a la manera de apren der de los niños. Esta información debería ayudar a los maestros a decidir qué juegos deben poner a disposición de los alumnos en la clase (págs. 80 y 81). Esta autora sugiere: — a d i c ió n d e s u m a n d o s h a s ta 4, — a d i c ió n d e s u m a n d o s h a s ta 6 ( p o r la u tili ti lizz a c ión ió n d e d a d o s ) , — a d ició ic ió n d e d o b les le s (2 + 2, 3 + 3, etc. et c.)) h a s ta 10. Diversas investigaciones afirman que los dobles y las combi nacion es en las las qu e se añ ad e 1 a un nú m ero son más fácilmente fácilmente memorizadas que otras combinaciones. Kamii señala que, entre los dobles, 2 + 2 es la primera en ser memorizada, seguida de 5 + 5. Esta última, pese a ser una suma mayor, es más fácil de recordar que 3 + 3 o 4 + 4. Igualmente 10 + 10 es más fácil que 9 + 9. Además 2, 5 y 10 son apoyos fundamentales en la organi zación del repertorio y en el tratamiento de las cantidades. Los dobles, además de ser fáciles de rnemorizar, se convierten en la ba b a s e p a r a r e s o lv e r o t r o s c á lc u lo s . Así As í 5 + 6 p u e d e s e r p e n s a d o como 5 + 5 + 1. b) b ) Resolución Resolució n de cálculos cálcu los no tan simple sim pless uti utiliz lizan ando do los simples sim ples

Como sugeríamos en el párrafo anterior, se busca favorecer que los alumnos utilicen sus conocimientos para tratar las situacio nes respecto de las cuales no disponen de resultados memorizados. Por ejemplo, disponer de los pares de sumandos que dan 10 les permite a los alumnos tratar diversos cálculos. Así, para hacer

CALC ULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA

2.r> .r>I

8+6 muchos niños piensan en (8 + 2) + 4. O en cálculos de resta, po p o r eje ej e m p lo, lo , 14 - 6, lo c o n v ier ie r ten te n e n (14 (1 4 - 4) - 2. Es importante favorecer la búsqueda y explicitación de distin tas maneras de tratar un cálculo. Por ejemplo, para 7 + 8: (7 (7 (8 (5

+ 7) + 3) + 2) + 5)

+1 +5 +5 +2+3

R eagru pam iento en tor no a un doble R eagru pam iento en torno tor no a 10 R eagrup eag rup am iento ien to en torn to rn o a 10 R eagrup eag rup am iento ien to en to rn o a 5

No N o se tra tr a ta sin e m b a rgo rg o d e “e n s e ñ a r ” estas esta s d ife if e r e n tes te s a lte lt e r n a ti ti  vas ni de que cada alumno deba “conocer” cada una. Se trata más bie b ienn d e q u e cad ca d a u n o e n c u e n tre tr e sus m a n e ras ra s p ref re f e rid ri d a s , u tili ti lizz an an  do a fondo el gru po para d ar la ocasión ocasión de ad herir he rir a las las solucione solucioness pr p r o p u e s tas ta s p o r otro ot ros. s. El r e c u r s o a la im ita it a c ión ió n es inte in teliligg e n te e n la medida en que supone el reconocimiento del valor de lo propues to por otro. Sabemos que hay niños a los que parece que nunca se les ocurre nada, pero nuestra experiencia nos muestra que si este trabajo se asume desde la perspectiva de la enseñanza y como meta para toda la clase, esos niños dejan de estar en soledad enfrentados a tamaña empresa y se involucran en la tarea, consi guiendo logros definidos. La utilización de cálculos simples para resolver otros más com ple p lejo joss se v in c u la d e m o d o in m e d i a t o al t r a b a j o q u e se h a g a e n relación con la extensión de la serie numérica, la comprensión de las regularidades de su funcionamiento, la interpretación de su codificación escrita, etcétera. ¿ Cómo puede organizar el docente la enseñanza para alcanzar las fin fi n a lilidd a d e s p lan la n tea te a d a s ?

La construcción con strucción paralela y vinculada del cálculo pensado pens ado y del del cálculo automático requiere que se lleven adelante, sistemática mente, dos tipos de actividades: — u n tra tr a b a jo d e m e m o riz ri z a c ión ió n d e r e p e r t o r io s y reg r eglas las,, a m e d i da que se han ido construyendo, y — u n tra tr a b a jo cole co lect ctiv ivo, o, l e n t o y d e t a lla ll a d o , d e a p r e n d iz a je del de l

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cálculo mental pensado, que se apoya en la comparación de diversos procedimientos utilizados por distintos chicos para tratar el mismo problema. L a rec re c o n stru st ru c c ión ió n y la tom to m a d e c on c ien ie n c ia

Al principio, la memorización no entra en escena. Ante las situaciones y actividades que se les proponen, los alumnos produ cen resultados por sus propios medios. El maestro selecciona y p r o p o n e c á lcu lc u los lo s q u e fav fa v o rec re c e n p r o c e d i m i e n to s r e c o n s tru tr u c tiv ti v o s . Los alumnos buscan recursos para resolverlos, interactuando en pe p e q u e ñ o s g r u p o s y u tili ti lizz a n d o , c u a n d o es n e c e s a rio ri o , p a p e l y lápiz. láp iz. Posteriormente se analizan los distintos recursos y se discute la aplicabilidad y eficiencia de cada uno en el cálculo planteado. Esto les permite a los alumnos reconocer gradualmente la uti lidad de usar resultados conocidos para resolver otros cálculos. Se va construyendo un repertorio colectivo, visible en la clase y utilizable como recurso. Como dicen los miembros del equipo ERMEL en su documen to: “El cálculo mental es un asunto de trabajo (saber y entrena miento), de memoria y, sobre todo, de confianza en uno mismo”. Aunque no se logre por completo en primero y segundo gra do, debemos apuntar a ello desde el inicio. Es la relación con el saber la que está en juego y debemos cuidarla desde los primeros contactos. Un ejemplo ejemplo de a ctiv ida de s d e reflexión reflexión sobre sobre los los cálculos cálculos:: fá f á c ile il e s y difí di fícc ile il e s

U no de los prim eros requisitos requisitos es es que los los alum alum nos em piecen a tomar conciencia de los procedimientos que utilizan; necesitan saber qué es lo que saben (en el sentido de tener disponible) y cómo pueden apoyarse en lo que saben para obtener otros resul tados. Para lograrlo tendremos que proponer actividades de otro carácter. Veamos un ejemplo.


En los primeros grados en los que trabajamos, los alumnos habían producido un conjunto de cálculos (en el marco del juego de la caja). Estos cálculos se habían registrado en un afiche. Luego se volvió sobre los cálculos, pero para analizarlos y clasificarlos. Los cálculos, que eran una herramienta para resolver situacio nes y expresar lo que se ha hecho, se vuelven objeto de reflexión. La consigna que dispara esta actividad es clasificar los cálculos en fáciles y difíciles. Los cálculos no tienen necesariamente que ser producto de una actividad anterior. El docente puede seleccionarlos en función de datos como los que hemos presentado (los que se adquieren más tempranamente que otros) o en función de reflexiones que le intere sa provocar provocar,, por ejem plo 1 + 8, po rqu e m uch os alum alum nos recurren a la conmutatividad (aunque no podrían nombrarla ni hace falta), y por el rol del + 1 vinculado al sucesor. Por supuesto que incluirá algunos que anticipa que serán considerados difíciles pa p a r a d e s e n c a d e n a r u n tra tr a b a jo c o m o el q u e m o s tra tr a rem re m o s . Un conjunto de cálculos trabajables es el siguiente (aunque el número es excesivo para ser analizado en una clase):

Un trabajo similar puede ser planteado sobre el repertorio sustractivo o sobre el repertorio multiplicativo en los grados si guientes. La clase está organizada en grupos de 4 o 5 alumnos (que tie nen que tener experiencia de trabajo en pequeños grupos). Cada grupo recibe un conjunto de tarjetas en las que están anotados los cálculos sobre los que van a pensar. Consigna: “Hoy vamos a trabajar sobre los cálculos, pero lo que van a hacer es pensar si les resultan fáciles o difíciles y por qué. Van a mirar cada una de las tarjetas y van a decidir si lo consideran fácil o difícil, pero ¡atención!, tienen que ponerse de acuerdo en el equipo y consultarse entre todos. Si no están de acuerdo, lo


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po p o n d r á n e n ‘más ‘má s o m e n o s ’ o ‘d u d o s o ’ y d e s p u é s c o n v e r s a r e m o s . En la actividad que hacemos hoy no hay ganadores ni perdedores”. Todas las maestras del proyecto, al analizar la propuesta, duda ron de que fuera posible para los alumnos un trabajo de este tipo, y de hecho, cuando lo iniciaron, en la mayoría de los casos les fue difícil conducir la actividad y a los alumnos entrar en ella. Era esperable que esto sucediera. Maestras y alumnos estaban entrando en una modalidad de tarea para la cual no tenían expe riencia. Juntos tenían que otorgar significado a la consigna. Las maestras están acostumbradas a estimar si algo va a ser fácil o difí cil para sus alumnos (lo hacen todo el tiempo, cuando deciden qué proponerles), pero en este caso tenía que acompañarlos en la tare a de “ju z g a r” p o r sí mismos ¡a facilidad o dificu ltad, y en la tarea, aún más complicada todavía, de explicitar los criterios por los cuales los reúnen. De hecho, en muchos casos, al principio hubo indiscriminación y las respuestas solían ser “porque sí”, “porque son fáciles...”. ¿Desde quién se determina la facilidad-dificultad? Este aspecto queda muy vivamen vivamente te expresado expresado en el comentario de un a alumna de la Escuela Nfi 22. Como algunos alumnos le preguntaban a la maestra si tal cálculo era fácil fácil o difíci difícill y ella ella insist insistía ía en que qu e lo que im po rtab a era que ellos lo decidieran, dicha alumna dice: “Claro, para vos son todas fáciles porque sos grande, en cambio para nosotros algunas no sabemos porque son difíciles”. ¿Qué criterios criterios usaron los alumnos alumnos pa ra clasificar los cálculos? cálculos? Fáciles

— — — —

Difíciles

Escuela N2 15 porque los sabemos rápido — porque son más lerdos, tenemos que hacer palitos y contar porque en seguida los sabemos — porque no nos alcanzan los dedos 7 + 1, ¡qué fácil! — estos otros no los sabemos porque contamos con los dedos — tenemos que pensar, son grandes

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA Fáciles

255

Difíciles

Escuela N9 24 — 10 + 9 me lo dice el núm ero — 45 + 29 son número s altos altos — 10 + 6 — 35 + 40 — 5 - 2 las sabemos de mem oria — 8 + 5 las las po dem os hacer con la men te pero no rápido - 6 - 3 — 4 +7 Escuela N9 4 —las que no teníamos en la cabeza —si tres no la sabían es difícil —más grande que 14 o 15 Escuela N9 16 —y si para todos o la gran mayoría resultan fáciles —cuan do los números son chicos — números grandes grandes — si agregás un o es fácil — si agregás más es difícil Escuela Nfi 7 —p orque los hicimos rápido rápido con — porque son muchos números la cabeza — porque no usamos los dedos — porque nadie los sabí sabía a —porque no hay que usar la cuenta

Básicamente los niños toman en cuenta: — el “tam “ta m a ñ o ” de d e los n ú m e ro s : c h ico ic o s y gra g rann d e s , — los rec re c u rso rs o s: c o n tar, ta r, u s a r los d e d o s , n o u sar sa r los lo s d e d o s , u s a r la cabeza, hacer palitos, usar la cuenta, — el c o n s e n s o : c u á n to s los s a b ían ía n , — la v e loc lo c ida id a d d e la resp re spuu e s ta. ta . El mismo criterio es usado en algunos casos como criterio de facilidad y en otros de dificultad. Sin embargo, dado que no apuntamos a una clasificación sino más bien que se pongan a discusión los criterios y se busquen vin culaciones entre cálculos y procedimientos, el sentido de la activi dad descansa en lo que desencadena, en lo que provoca. (No hay una clase en la que se “logra”.) Retomaremos después algunos ejemplos de prolongación de la


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actividad y presentaremos una propuesta tendiente a asegurar en todos los niños que la clase de los fáciles “porque los sabemos” sea lo más amplia posible. Lo que esf á c il pa p a r a unos es dif d ifíc ícilil par pa r a otros

Como es de prever, tanto en la discusión dentro de los grupos como en las puestas en común se producía con frecuencia que un mismo cálculo fuera clasificado como fácil o difícil. Cuando alguien quería que un cálculo pasase de la lista de difí ciles a la de fáciles comúnmente explicaba cómo se las arreglaba pa p a r a reso re solv lvee rlo rl o , y si b ien ie n e sto st o n o im p lic li c a b a q u e los d e m á s se a p r o  pia p ia ra n i n m e d i a t a m e n te d e esta es tass ide id e as, as , se p r o d u c í a la c irc ir c u lac la c ió n de “buenas ideas”. Es el maestro el que se ocupará de proponer situaci situaciones, ones, cálculos cálculos y jueg os que serán o po rtun idad es de usar y po p o n e r a p r u e b a los lo s p ro c e d im ie n to s fo rm u lad la d o s. Escue Es cuela la N e 24 24

Un grup o hab ía propue sto 4 9 - 9 como di difíci fícill. Otros Otros dijeron dijeron que era fácil: “Cuarenti..., nueve..., sacás nueve..., es cuarenta...”. Es un a b ue na ocasión ocasión para p edir a los los niños qu e piensen y pro po p o n g a n o tro tr o s c álcu ál culo loss e n los q u e p a se lo m ism is m o . P o d r á n p r o p o n e r 39 - 9, 38 - 8, 27 - 7, 26 - 6, y tantos o tros... con los los que estarán po p o n i e n d o e n j u e g o u n a s p e c to im p o r tan ta n t e d e l sist si stem em a d e n u m e r a  ción. En esa misma clase apareció como difícil 40 + 20, y una nena explicó que era fácil: ella hacía 4 + 2 = 6 y le agregaba 0 a 6. Esta es una idea poderosa, pero para la mayoría todavía estaba lejana. Los “desc de scub ubri rimi mien entos tos”” no se genera gen eraliz lizan an de inm inmed ediat iato, o, los conveniente conv enientess se construyen poco po co a poco p oco

Escue Es cuela la N e 4

La consigna de trabajo era: “Escribimos cálculos fáciles que no están en el cartel”. Frecuentemente los niños buscan hacer funcionar ciertas regu


257 25 7

laridades. Un grupo descubrió que adicionando 0 a cualquici número obtenía cálculos fáciles. Se pusieron muy contentos con su descubrimiento y lo comentaban en voz baja (para que no se copiaran los otros chicos). Escribieron desde 0 + 1 hasta 0+14. El mismo mismo grupo gr upo , más tarde, pa rte de 5 + 1 = 6; 5 + 2 = 7, y llega llega a 5 + 5 = 10 diciéndolo como quien repite una tabla con la inter vención de todos. Al llegar a 5 + 5 pararon, quizá porque ese cálculo figuraba en el cartel. En la clase siguiente, los mismos grupos tenían que pensar y escribir cálculos difíciles que no estuvieran en el cartel. Han incorporado la práctica de consultarse entre todos antes de escribir un cálculo. El equipo que había “descubierto” el + 0 para hacer fáciles, está discutiendo si 30 + 0 es fácil o difícil. Alu A lum m n o : “¿No vés que es 30?”. Alum Al umno no:: “Para mí es difícil”.

Otro integrante dice que para él también, y el primero, de muy mala gana, anota 30 + 0 como difícil. Cuando se hizo la pues ta en común muchos dijeron que era fácil. Alum Al umno no:: “Porque el 0 es nada y si le ponés 1, tenés 1, si ponés

30, tenés 30”. Todos se mostraron convencidos, incluso los dos chicos que lo habían propuesto como difícil. La L a clase d e los fáci fá cile less que se va v a constituye const ituyendo ndo mu muest estra ra qu quee los alumnos alumn os reconocen los punto pun toss de ap apoy oyoo

En la fundamentación del proyecto, en el apartado “Del con teo al cálculo”, hemos esbozado el recorrido que pueden hacer los alumnos para lograr el dominio del repertorio aditivo. Los puntos de apoyo son reconocidos por ellos mismos, pero el maestro tiene


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un rol tanto en favorecer favorecer esta esta explicit explicitación ación como en dar op ortu ni dad de pon erlos en juego. Escuel Esc uelaa N q 16 1 6

Los alumnos han clasificado los cálculos provenientes del jue go de la caja en fáciles y difíciles. En otra clase analizan los fáciles, explican por qué los son y dan otros ejemplos. 11 + 1 “Si ponés 1 es el siguiente”. 1 2 - 1 “Si sacás sacás 1 es el an te rio r”. r”. Q ued a pla nte ad o p ara todo s que a greg ar 1 y qu itar 1 es fáci fácil. l. Como esto se apoya en el conocimiento de la serie numérica, es importante realizar actividades para garantizar la evolución del con teo oral durante todo el año (y variaciones: de a 2, de a 5, de a 10). 10 + 10 “Vos tenés 10 dedos y entonces ya no los contás, seguís con los otros”. “10 podemos ponerlos en la cabeza”. Ambos procedimientos implican sobreconteo. Cuando tuvieron que proponer otros cálculos fáciles como éste aparecieron: 10 + 7 10 + 9 10 + 2 *

20 + 20 4 0 + 20

Recordemos que niños de otra escuela decían que 10 + 9, 10 + 7 “te lo dice el número” es decir que se apoyaban en su conoci miento de la serie numérica. El dom inio de d e am bos cálcul cálculos, os, dece na + dígito y suma sum a de dece nas enteras, se considera el objetivo por lograr. Entre Ia y 2a grado todos los alumnos tienen que ser capaces de dar una respuesta inmediata. Figuran en la distribución de contenidos de cálculo mental que presentamos y formaron parte del trabajo que se pro pu p u s o al inic in icio io d e 2a gra g radd o .


25 9

Los mismos alumnos de la Escuela Na 16 analizaron en otia clase los cálculos que eran difíciles para todos, y fueron propo niendo modos de resolución en los que usaban lo que sabían. Algunos ejemplos: ejemplos: 8+11. Noeli No eliaa: “Yo al 8 le puse... ¡No! Al 11 le saqué 1 y al 8 le puse el 1 del 11 y entonces me quedó 9 + 10 que es 19”. La maestra escribió en el pizarrón: 8+ 11 =9+ 10 20 - 7 = 20 - 10 + 3 “10 “10 - 3 es es 7 en to nc es le saco saco 10 per o le po p o n g o 3 y es 13” 13 ”. Como hemos argumentado en la fundamentación, tenemos que apuntar a que todos los alumnos amplíen su dominio del repertorio aditivo y que reconozcan la utilidad de apoyarse en lo que saben para resolver otros cálculos. Los RECURSOS PARA EL TRABAJO DE CÁLCULO MENTAL Hemos dicho antes que la construcción paralela y vinculada del cálculo pensado y del cálculo automático requiere que se lle ven adelante, sistemáticamente, dos tipos de actividades: — u n tra tr a b a jo d e m e m o riz ri z a c ión ió n d e r e p e r t o r io s y regl re glas as,, a m e d i da que se han ido construyendo, y — u n t r a b a jo c o lec le c tiv ti v o , l e n t o y d e t a l l a d o , d e a p r e n d i z a j e d e cálculo mental pensado, que se apoya en la comparación de diversos procedimientos utilizados por distintos chicos para tratar el mismo problema. En este sentido, es importante analizar cuáles son los recursos y clases de actividades que se pueden proponer en función de los objetivos que se definan para cada clase o período de trabajo. Loss jueg os tiene n un rol im Lo im po rtante. Por un lado, lado, perm iten

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que empiece a haber en la clase más trabajo independiente por pa p a r te d e los lo s a lum lu m n o s : a p r e n d e n a r e s p e ta r regl re glas as,, a e j e r c e r r o les le s diferenciados y controles mutuos, a discutir, a llegar a acuerdos. Por otro lado, brindan al docente mayores oportunidades de observación, la posibilidad de variar las propuestas según los nive les de trabajo de los alumnos e incluso trabajar más intensamente con quienes lo necesitan. Estos Estos jueg os (con cartas, cartas, dom inó, dados, loterías loterías,, m em otest, otest, etcétera.) armados en función de contenidos de cálculo mental, pu p u e d e n ser se r u n e stím st ím u lo p a r a la m e m o riz ri z a c ión ió n , p a r a a c r e c e n ta r el dominio de ciertos cálculos. La utilización de juegos brinda posibilidades, pero tiene lími tes que debemos reconocer. D uran te los los jueg os, la activi actividad dad de cada niño qu ed a librada a su capacidad e interés. Aunque los niños se involucren, les es muy ha y que aprender, o más difícil reconocer en los juegos algo que hay ampliamente, cuál es la utilidad o importancia del conocimiento pu p u e s to e n j u e g o . En este punto, el docente tiene un rol insoslayable en cuanto a pr p r o p o n e r acti ac tivv ida id a d es d e o tra tr a n a tu ra le z a q u e p e r m ita it a n a los a lum lu m  nos: — to m a r c o n c ien ie n c ia d e lo q u e sab sa b en; en ; — r e c o n o c e r la u tili ti lidd a d (ec (e c o n o m ía, ía , s e g u rid ri d a d ) d e u s a r cier ci erto toss recursos (resultados memorizados, ciertos procedimientos, etc.); — t e n e r u n a r e p r e s e n t a c ió n d e lo q u e h ay q u e log lo g rar, ra r, lo q u e hay que saber; — “m e d i r ” su p rog ro g res re s o ; — eleg el egir, ir, e n t r e d isti is tinn tos to s rec re c u rso rs o s, los m ás p e r tin ti n e n te s ; — ser se r c a p a c e s d e f u n d a m e n t a r sus su s o p c io n e s , sus d e c isio is io n e s . Es el docente quien, a través de sus intervenciones, buscará que los alumnos establezcan nexos entre los distintos aspectos que están trabajando. Una de las herramientas con que cuenta el docente para pro ducir mediaciones entre unas formas de actividad y otras es el ju e go sim ulad ul ado. o. Este consiste en que, tomando como contexto de refe-


renda un juego o situación con la que se ha trabajado, el docente elab ora “ejercicios” “ejercicios”,, enu ncia do s que to m an datos del ju eg o pero frente a los cuales los alumnos trabajan como ante un problema, sin la prisa del juego y con oportunidad de explicitar y/o discutir sus sus opciones opcion es (lo (lo cual en los los jue go s no siempre siem pre es necesario). nece sario). Daremos un ejemplo en relación con un juego que denomina mos “Lo más cerca posible” y que consiste en lo siguiente: El objetivo es formar un número que esté lo más próximo posi ble b le d e o t r o d a d o . Para ello, cada alumno o equipo, según como se haya organi zado la actividad, recibe tres cartas con dígitos. Cada vuelta hay un número al que hay que tratar de aproximarse. Consigna: “Con los tres números que reciben tienen que armar el número que les parece que está más cerca de... Cuando cada uno haya armado el suyo, miran todos y tienen que establecer quién ganó”. Es una actividad en la que se pone en juego el conocimiento del sistema sistema de num eración y en la que se reali realiza za una com paración paración de cantidades cantidades en la que a veces se hace necesario med m edir ir la dist di staa n cia ci a de unos números con otros, ya que frecuentemente se puede esta ble b le c e r q u i é n es el g a n a d o r p o r c o m p a r a c ió n glob gl obal al.. Por ejemplo, si el número a aproximar es 400 y han formado 512, 326, 408, 473, 589, no hay discusión. En cambio, siempre para 400, si han formado 609, 467, 352, 501, 361, hay mayor necesidad de medir la distancia entre los números. Estos son los casos que más interesan, ya que ponen en juego el problema de cómo medir la distancia. Por lo cual, además de distintas formas de interacción en la clase, el docente puede pro p o n e r e jer je r c ici ic i o s p a r a s e r r e s u e lto lt o s in d i v i d u a l m e n t e , c o m o ésto és tos: s: 500 567 Luis

478 Ana

461 Laura

519 Julián

¿Quién ganó? ¿Todos armaron el número más próximo posible según sus cartas? ¿Cuál cambiarías?


262

600 571 Luis

63 4 Laura

498 Ana

550 Julián

Luis y Laura dicen que ganaron Para vos, ¿quién ganó?... Luis ¿Cómo se puede demostrar que ése es el ganador? Explicálo.

nu

321 A

567 B

298 C

601 D

¿Qué equipo ganó? ¿Qué hiciste para saberlo?

En 32 grad o, p or ejem plo, es muy pro bab le que la mayoría de los alumnos utilicen utilicen el com plem ento para m edir en forma aproxi mada o exacta la distancia entre dos númferos. Así, de 571 a 600, proceden del siguiente modo:'571 + 9 = 580, 580 + 10 = 590, 590 + 10 = 600, han agregado 29. Si bien el complemento es, en muchos casos, muy útil, hay otros casos en que la resta es el procedimiento más económico. Sin embargo, muchos alumnos no reconocen esta situación como una situación para la cual la resta es un procedimiento eficaz. Para favorecer la discusión entre los alumnos respecto de los pro p ro c e d im ie n to s , el d o c e n t e p u e d e a p e l a r a u n re c u rso rs o q u e es c e n  tral en el trabajo de cálculo mental: la organización de la clase, variando y combinando en pequeños grupos, momentos de traba jo j o cole co lect ctiv ivoo y m o m e n to s d e tra tr a b a jo ind in d ivid iv iduu al. al . Para continu ar con el ejem eje m plo, habien do juga do den de n tro tr o del equ ipo a “Lo “Lo más cerca posible”, posible”, el docen te pu ede pr o po n er jug ar entre equipos. Cada equipo recibe tres cartas con dígitos y se establece un número a aproximar. Los equipos discuten qué número proponer. El docente escribe en el pizarrón los números propuestos por cada equipo, pero no se dice quién es el ganador. Los equipos tra ba b a jan ja n p a r a e sta st a b lec le c e rlo rl o . C u a n d o les toc to c a r e s p o n d e r, e x p lic li c a n c ó m o lo averiguaron.


Probablemente estén coexistiendo el complemento y la res ta. Esto se retoma en una clase centrada en los procedimientos. El doc ente pro po nd rá pares de núm eros para m edir la la dist distanc ancia ia entre ellos, y los alumnos decidirán qué procedimiento les resul ta más útil. El objetivo no es “desacreditar" el complemento sino reconocer los límites de utilización. Se busca que todos los alumnos reconozcan a la resta como una herramienta útil, defi niendo también los casos en los que es más útil que el comple mento. Cuando se trabajan repertorios (aditivo, sustractivo, multiplica tivo) es importante propiciar la toma de conciencia individual de cuáles son los cálculos disponibles para cada alumno y, a la vez, pro p ro v o c a r r e c o r t e s d e los r e p e r to r io s , r e s p e c to d e los lo s cual cu alee s se p r o  po p o n e n a ctiv ct ivid idad ades es te n d ie n te s a q u e todos los los alum nos los los dom inen. Hay en esto un interjuego entre los logros individuales y los logros con los que se busca comprometer a toda la clase. Por ejemplo, en 3a y 4a grado, cuando se trabaja con la tabla pit p itaa g ó r i c a d e p r o d u c t o s , se la va c o m p l e t a n d o , a n a l iz a n d o , y e n pa p a r a l e lo se p r o p o n e el d e s a fío fí o d e ir m e m o r iz a n d o los p r o d u c to s . Es interesante que cada alumno disponga de una tabla en la que va escribiendo los productos que “ya sabe”, y cuando el maes tro o los compañeros le pregunten resultados de productos res po p o n d a n s e g ú n los lo s q u e fig fi g u r a n e n esa es a tabl ta bla. a. A la vez, en la clase se discute cuáles son los productos que más importa saber para ser capaz de encontrar fácilmente aquellos que no se han memorizado, así como las diferentes maneras de obte ner un producto (x 8 es lo mismo que x 2 x 2 x 2). Estos recursos se afichan para recordarlos de clase a clase. Se confeccionan carteles que actúan como “diccionario”, archivo, memoria del trabajo o referencia de lo que hay que lograr, de los compromisos establecidos. Se vuelve a ellos, se los modifica, se los cambia por otros nuevos. Se

cundo ciclo

:

l a o r g a n iz a c ió n d e u n a c l a s e d e c á l c u l o m e n t a l

En nu estro trabaj trabajoo con docentes sobre sobre cálculo cálculo mental frecuen temente comentan que les resulta sencillo imaginar momentos


264

br b r e v e s d e a c tiv ti v id a d ; e n c a m b io , les le s p a r e c e m á s d ifíc if íc il o r g a n i z a r una clase o secuencia de clases completa. Aunqu e acordamos acordamos en que muchos m omentos pued en ser pro pro pic p ic ios io s p a r a a n á lis li s is c o m o los lo s p r o p u e s t o s , c r e e m o s q u e es c o n v e  niente planificar un trabajo sistemático y otorgarle un tiempo semanal. Estos comentarios son válidos para los distintos ciclos. Vamos a presentar ahora la organización de una clase con la idea de que resulte, resulte, como plan tea G imeno Sacri Sacrist stán, án, ejemplos ejemplos ten tativos adaptables por cada uno de los docentes, pero lo suficiente mente concretos como para que sean “ejemplos imitables” o trasla dables a la práctica. Secuencia didáctica 3

criterios de re do nd eo para realizar cálcul cálculos os Objetivo : En con trar criterios mentales aproximados con medidas de longitud, capacidad, peso, etcétera. Organización de la clase. Los alumnos trabajan en grupos de 4 o

5. Se numera los miembros de cada grupo. Así, para cada ejercicio el docente elige un número, y el alumno con ese número será el que responde inicialmente. Por ejemplo, para este ejercicio res po p o n d e n los lo s “n ú m e r o 3 ”. El docente escribe en el pizarrón el cálculo siguiente: 3/4 kg + 270 g + 0,680 kg

y los tres tre s resu re sulta ltado do s: 1 kg

1 V2 kg

1 3/4 kg

Consigna: Los niños designados escriben en un papel el resulta

do, elegido entre los tres dados, que consideren más aproximado al resultado exacto y lo entregan . Es im im po rtante remarcarles a los los alumno s que en ese mom ento no debe haber comentarios en los equipos; que después habrá tiempo para la discusión. El docente anota los resultados de cada equipo en el pizarrón. 3. Adaptada de una secuencia elaborada por Irma Saiz.


265 26 5

Trabajo en grupos

1) En cada equipo discuten la aproximación entregada y su jus ju s tif ti f ica ic a c ió n , e n el caso ca so d e q u e e s tén té n d e a c u e rd o , o b ie n los a r g u  mentos por los cuales cambiarla. 2) El docente pregunta a los equipos si mantienen o no la aproximación elegida y las razones. 3) Se otorgan los puntajes a los equipos. Gana dos puntos el o los equipos que hayan dado la aproximación más cercana. El que dio una aproximación errónea pero luego de la discusión en el grupo la cambió, gana un punto. 4) Se reanuda el trabajo sobre otros cálculos, por ejemplo: ' 782 g + 2,5 kg + 427 42 7 g 3 kg

4 kg

5 kg

o, por ejemplo, trabajando con otra magnitud 63 cm + 0,22 m + 3/4 m = 1m

1,75 m

2,2 m

5) Después Después de h abe r jug ad o el núm ero d e vece vecess que el docen  te juzgue conveniente, se puede pedir a los alumnos que comen ten los criterios de aproximación que les fueron más útiles. Tam bié b ié n p u e d e s e r q u e el d o c e n t e h a y a d e t e c t a d o u n c r i t e r i o u s a d o po p o r a lg u n o s d e los lo s a lu m n o s , i n t e r e s a n t e p e r o n o m u y d i f u n d i d o en la clase. Es el momento de recuperarlo para todos. Trabajo individual, control grupal

Se retoman los ejercicios trabajados 1) Cada niño encuentra el resultado exacto, comparan en el equipo y se ponen de acuerdo en el resultado correcto. 2) Calculan la diferencia entre la aproximación y el resultado exacto.

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A l g u n a s c o n sid si d e ra c ion io n e s

1) Es conveniente acumular los puntajes de los equipos a lo largo de varias estimaciones; de esta manera se establece una competencia entre los equipos para lograr mejores aproximacio nes en los cálculos mentales. 2) Es importante que los alumnos tengan suficiente tiempo pa p a ra rev re v e r su r e s u lta lt a d o y d isc is c u tir ti r e n el e q u ipo ip o . El p u n ta je m a y o r se asigna de todos modos a la primera producción para favorecer que los alumnos asuman su responsabilidad y se comprometan en hacer la mejor elección posible. 3) El momento de la confrontación entre las diversas propues tas de los equipos es importante. Los equipos tienen que ser capa ces ces de arg um entar, d e justificar por q ué sostienen o cam bian lo pro p ro p u e s to . A p a re c e n e n to n c e s c r ite it e rio ri o s u tili ti lizz a d o s p a r a a p r o x im a r los datos que eventualmente pueden constituirse en “acuerdos” que se sostienen de una clase a otra. 4) El docente debe promover la formulación de criterios, que se han producido durante el trabajo pero que no están claros o pre p re s e n tes te s p a r a tod to d o s . P o r e jem je m p lo, lo , e n u n g r a d o e n el q u e tra tr a b a ja ja  mos con esta esta secuencia la mayoría de los los alum alum nos pen saban canti canti dades como 682 g, 703 g, como 1/2 kg y ... g, lo cual a veces lofe cond ucía a restar restar im po rtancia a la la diferencia diferencia con 1 /2 kg. kg. Algunos alumnos comenzaron a aproximar dichas cantidades a 3/4 kg, lo que los condujo a mejores estimaciones del resultado. Hay en esto un criterio que es importante que sea formulado y reutilizado en otras situaciones. 5) El docente continuará con ejercicios del mismo tipo con otras magnitudes o con otros ejercicios según los temas que desea trabajar: operaciones con números naturales, fraccionarios, deci- , males, etcétera. Comentarios

En la organización de esta clase se han previsto momentos indiv individ idual uales, es, trabajo trabajo d en tro del equipo y confron tación en tre equi po p o s. I n d u d a b l e m e n t e , los lo s a l u m n o s s e r á n c a p a c e s 'd e a c e p t a r las


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condiciones de cada momento y de producir con respeto y respon sabilidad si han tenido oportunidad de aprender a trabajar con otros, a asum ir roles difere nciado s, a justificar sus ideas, ideas, etc. En este sentido, un maestro que desee proponer un trabajo así tendrá que em pezar por pro po ne r juego s y acti activi vidade dadess que, planteados sobre contenidos de interés, permitan ir generando las condicio nes de trabajo referidas. En esta secuencia en particular hay un desafiante interjuego entre las ideas de un alumno, las de los otros miembros del equipo y las de los demás equipos. Es importante que los alumnos sean capaces de sostener sus ideas y de presentar argumentos para defenderlas tanto como de dejarse convencer ante argumentos mejores. En un grado sucedió lo siguiente: para el cálculo con que ini ciamos esta secuencia de los 5 alumnos designados, 4 propusieron 1 1 /2 kg como el resultad o más aprox imado im ado y sólo sólo un o prop pr op uso us o 1 3/4 (que es el más aproximado). Era entonces el momento de discutir dentro de los equipos: ¡qué desafío para el alumno que propuso el correcto! Tenía que sostenerlo ante sus compañeros pese a la abrumadora coinciden cia cia de los los demás eq uipo s (la (la mayoría mayoría suele suele ser cons iderad a criterio criterio de verdad). El recurso qu e usó fue explicar po r qué h abía de scartad o 1 1/2 kg, de hecho cuando lo presentó ante todos dijo: “Yo primero . había pensado 11/2 pero...”. Los restantes equipos habían revisado su propuesta inicial y coincidieron todos en la aproximación más correcta. Lograr que los alumnos se involucren en trabajos como éstos es costoso. costoso. Se están cam ca m bian do las “regl “reglas as del ju e g o ” qu e co m ún  mente rigen en las clases. Los alumnos están aprendiendo a poder de term ina r si si algo es co rrec to o no, si es es la m ejor solución o si si hay hay otra mejor. El maestro deja de ser el único capaz de determinar la verdad o falsedad. Es un cambio fue rte p or el qu e ha brá que trabajar cada vez, ez, ya ya que nunca será definitivo, pero al menos es posible pretender que los alumnos tengan, en su historia de aprendizaje, algunas expe riencias de debate sobn; el conocimiento que les muestren que la verdad puede ser el producto del trabajo responsable.

DIDACT ICA DE MATEMATIC MATEMATICAS AS

268

Presentamos Presentamos a con tinuación tinuación un jueg o (tomado de Castro Castro Mar Mar tínez y otros, 1989) sin realizar el análisis correspondiente. Para su utilización es importante definir el objetivo, prever los diferentes momentos de trabajo y, eventualmente, la prolongación en ejerci cios escritos individuales que les permitan a los alumnos poner en ju j u e g o los lo s c r i t e r i o s y c o n o c i m i e n t o s e l a b o r a d o s , y a los lo s d o c e n t e s evaluar en qué medida cada alumno se ha apropiado del trabajo realizado. Rulet Ru letaa d e la estimac esti mación ión

La figura figura repres en ta dos disc discos os de cartón con núm eros: ambos discos están fijados por el centro a un panel y pueden girar. Después de hacer girar los dos discos, cada jugador debe esti mar la suma (o la operación que se crea conveniente) de los números que coincidan, indicando en qué intervalo está el resul tado.

100-299 300-499 500-699 700-899

900-1099 1100-1299 1300-1499 1500-1699

CALCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA T e r c e r c i c l o :Al

g u n o s e je r c ic io s i n t e r e s a n t e s

Presentamos ahora algunos ejercicios que, aunque pueden ser pla p la n te a d o s p a r a u n tra tr a b a jo ind in d ivid iv iduu a l, s ó lo d e s p le g a r á n to d a su po p o te n c ia a raíz ra íz d e los lo s inte in terr c a m b ios io s y d e las ref re f lex le x ion io n e s q u e susci sus ci ten. Para ello es es necesario p rever formas de organización de la cla cla se que permitan que todos los alumnos participen en las distintas fases y se involucren en actividades de distinto carácter, ya que no es lo mismo elegir un resultado entre varios que tener que justifi car una elección, ni es lo mismo resolver un caso que probar si funciona para otros o para todos los casos. a) Criticar y justificar justific ar la inex actitud de los los resultados, 1547 + 268 p a r a 1813 pa p a r a 2743 27 4322 - 10510 16422 pa p a r a 4230 42 30 x 57 24624 pa 630 x 72 36360 p a r a 107 p a r a el cociente de 5421 : 67 p a r a el c o c ien ie n te d e 4519 : 15 31 pa Nos N os re fe r im o s a jus ju s tifi ti ficc a c ion io n e s d e l s igu ig u ien ie n te tip ti p o: “24.62 24 .624, 4, n o pu p u e d e ser se r el re s u lta lt a d o d e 4230 42 30 x 57, p o r q u e 4000 40 00 x 60 es 240. 24 0.00 000” 0” o “porque 4000 x 6 ya es 24.000, entonces por 60 tiene que dar un resultado de 6 cifras” o “ya está mal porque el primer dígito tiene que ser cero” (7 x 0)”. Algunas justificaciones incluyen herramientas de análisis útiles pa p a r a c o n t r o l a r a l g o r itm it m o s y m e r e c e n s e r r e t e n i d a s (fo (f o r m u lad la d a s como un producto del trabajo, retomadas en otras situaciones) pa p a r a te n d e r a q u e tod to d o s los lo s a lum lu m n o s las u tili ti licc e n . P o r ejem ej em p lo, lo , las relativas al número de cifras de un producto o de un cociente. b) L a m a e s tra tr a p r o p u s o u n a serie se rie d e c u e n tas ta s y los a lum lu m n o s d ie ie  ron como resultados los siguientes. Sin resolver las cuentas, indicar el resultado que consideran correcto. 6543 8723 237 437

+ 2721 - 1695 x 18 x 7,3

964; 9200; 8704; 9264; 10.433 10.433 8128; 7028; 7122; 7122; 7172 7172 4324; 4266; 4936; 3596; 2986 3190,1; 28291; 3171; 31910

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En el análisis del trabajo se pondrá el acento en los criterios que les permitieron descartar alternativas y, correlativamente, encontrar el resultado correcto. Por ejemplo, en 237 x 18, 4324 no puede ser porque el primer dígito tiene que ser 6. Para estimar la magnitud del resultado se pu p u e d e h a c e r m e n ta lm e n te 237 23 7 x 20 = 4740 47 40,, lo cual cu al e lim li m in a 4936 49 36 y, ajustando la estimación, se puede restar 500 (resultado aproxima do de 237 x 2) a los 4740, con lo que se obtiene 4240, próximo a 4266, y se han eliminado 3596 y 2986. Po r supuesto, otros razon am ientos son posibles y resulta intere  sante la confrontación. En algunos casos, el conocimiento de una regla permite reco nocer directamente el resultado correcto. Por ejemplo, para 437 x 7,3 se puede anticipar que el resultado ha de tener una cifra deci mal y sólo 3190,1 cumple con esa condición. Sin embargo, no todos los los alum nos usarán ese ese conocim co nocim iento, y la discusión discusión será una situación propicia para que lo tomen en cuenta quienes no lo han considerado así como para trabajar a fondo los razonamientos erróneos. Es importante que las ideas equivocadas sean explicitadas y se fundamente su rechazo, sobre todo por parte de quienes las han utilizado. A la vez, es interesante plantear el problema de si esa “regla” es válida para todos los casos. Siempre Siempre que multip multipli lico co un núm ero en tero por un n úm ero con una cifra decimal, ¿obtengo un número con una cifra decimal? Se pue de pro po ne r a los los alumnos qu e bu squen otros otros ejempl ejemplos; os; la regla deja de ser general si se encuentra un caso en el que no funciona. Por ejemplo, ¿qué sucede con 435 x 7,2? Habrá que pre cisar entonces en qué condiciones funciona y en cuáles no. c) ¿Podrías ob ten er todos los los nú m ero s del 0 al 10 usan do cua tro veces el número 4 y por lo menos una de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división? Algunas de las soluciones que pueden presentar los alumnos, p o r e jem je m p lo, lo , p a r a o b te n e r 1 son: so n:

C A L C U L O M E N T A L EN LA E S C U E L A PRIM A RIA

4 :4x4 :4= 1

27 1

4 :4 + ( 4 - 4 ) = 1

4+4

4x4

------ = 1

------- = 1

4+4

4x4

o, por ejemplo, para obtener 4: (4-4):4 +4 = 4

4 +4x(4-4)=4

Es interesante involucrar a los alumnos en una investigación pa p a r a e s ta b l e c e r si c o n o tro tr o s dígi dí gito tos, s, u s a d o s c u a t r o vece ve cess y c o n las operaciones mencionadas, es posible obtener los números de 0 a 10 (por ejemplo, con 3 y con 7). Este trabajo es una buena ocasión para precisar las reglas de escritura matemática (uso de paréntesis, precedencia de signos) así como las propiedades de las operaciones, en particular el rol del 0 y del 1 en cada una de las operaciones. Una actividad más sencilla vinculada a ésta puede ser: Dados los números 11; 4; 6; 23 y utilizando las cuatro operacio nes tratar de acercarse lo más posible al número 460. Ejemplo: (6 + 4) x (11 + 23) = 340.

B ib l

io g r a f ía

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C a p í t u l o VIII

LA GEOMETRIA, GEOMETRIA , LA PSICOGENESIS PSICOG ENESIS DE LA LAS NO N O C ION IO N E S ESPACIALES Y LA ENSEÑ EN SEÑANZ ANZA A DE LA GEOMETRIA GEOM ETRIA EN LA ESCUELA ELEMENTAL* ELEMENTAL* Grecia Gálvez

LA GEOMETRÍA

Las historias de la geometría localizan su origen en Egipto, ligado a un problema práctico: la reconstitución de los límites de los terrenos después de las crecidas del Nilo. De allí es exportada a Grecia, posibilitando a Thales de Mileto la vuelta a Egipto para calcular calcular la altura altura de la gran gran pirám ide a p artir de la medición de su sombra. La geometría surge, pues, como una ciencia empírica, en la que los esfuerzos de teorización están al servicio del control de las relaciones del hombre con su espacio circundante. “El plano de Thales es el desierto, donde la luz hace todos los dibujos posi ble b le s ” (S e rres rr es,, 1981 19 81). ). Esta geometría empírica, o física, constituye una teoría de la estructura del espacio físico, que “no puede nunca, desde luego, darse po r váli válida da con certeza matemática, po r amplias amplias y num erosas que sean las pruebas experimentales a que se someta; como cual* Capítulo II de la tesis “El aprendizaje de la orientación en el espacio urba no. Una proposición para la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”, presentada por la autora, para obtener el grado de Doctor en Ciencias en la Especialidad de Educación en el Departamento de Investigaciones Educativas del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, en 1985. El director de tesis fue el profesor Guy Brousseau.

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quier otra teoría de la ciencia empírica, puede sólo conseguir un grado mayor o menor de confirmación” (Hempel, 1974). Es esta versión de la geometría sobre la que están basadas una serie de actividades humanas que requieren el control de relacio nes espaciales y de cuya vigencia actual nadie duda, entre las que se pueden mencionar el diseño y construcción de todo tipo de objetos físicos (desde productos y máquinas industriales hasta edi ficios, ciudades y carreteras), la elaboración de mapas, el cálculo de distancias astronómicas, etcétera. El momento culminante en el desarrollo de la geometría, en tanto rama de las matemáticas, se produce cuando Euclides escri Lo s elemento elem entoss (siglo III a. C.), sintetizando el saber geométrico be b e Los de su época. En esta obra se parte de un número reducido de axiomas, postulados y definiciones para construir, por vía de la deducción, el conjunto de las proposiciones geométricas vigentes, las que aparecen como consecuencias necesarias de las afirmacio nes primitivas. La geom etría euclidiana constit constituyó, uyó, d ura nte mu chos sigl siglos os,, un pa p a r a d ig m a p a r a el r e s to d e las m a tem te m á tic ti c a s e inc in c lus lu s o p a r a el res re s to de las ciencias.1En efecto, fue la primera axiomatización en la his toria de las matemáticas. Serres (1981) hace un análisis etimológico de los términos em pleados en la geo m etría euclidiana, euclidiana, m ostrand o su origen físi físico co y dinámico: el triángulo isósceles se llama así porque posee “dos pier nas iguales”, a diferencia del escaleno, cuyo nombre alude a su inclinación, debido a que “está cojo”; el rombo deriva su designa ción de uno de los objetos más dinámicos que es posible imaginar: el trompo. Habría pues, una mecánica oculta tras el léxico utilizado po p o r Eu Eucl clid ides es.. Sin e m b a r g o , el h e c h o es q u e e n la g e o m e tría tr ía g rie ri e g a se razona rigurosamente sobre trazados cualesquiera; no se está hablando de un dibujo en particular sino de cualquier dibujo que po p o s e a las p r o p i e d a d e s c o n s id e r a d a s e n el e n u n c i a d o . Y, d e esta es ta manera, constituye un hito fundamental en el proceso de separa ción de lo sensible, de estatización estatización (en el sentido de volverse volverse est estáti áti-1. Veinte siglos más tarde Newton toma tom a Los elementos de Euclides como modelo para la organización de sus Principia, Principi a, en los que expone su teoría de la gravitación.

LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA

eos) de los conceptos geométricos. Proceso que culmina ya en nuestra época con Hilbert, quien reformula los axiomas euclidianos y valoriza el sistema deductivo, la sintaxis, planteando que el contenido semántico puede ser reemplazado por otro cualquiera. En síntesis, la aportación de la geometría euclidiana es el uso de la demostración, que está referida a las propiedades de un espacio puro, formal. “La geometría de las matemáticas no es el estudio del espacio y de nuestras relaciones con el espacio sino el lugar en que se ejercita una racionalidad llevada a su excelencia máxima” (Laborde, 1984). A diferencia de la física, en la que se bu b u s c a u n a a p r o x i m a c i ó n a la r e a l i d a d c a d a vez m ás p r e c isa is a ( p o r ejemplo, a través de mediciones más exactas), la matemática es anexacta, sus verdades son abstractas, necesarias, sin referencia a la realidad. Lo que no impide el empleo de modelos matemáticos en la construcción de teorías físicas. En el siglo XVII, Descartes y Fermat reemplazan los puntos de un plano por pares de números y las curvas por ecuaciones. “De tal manera, el estudio de las propiedades de las curvas será reem pla p lazz a d o p o r el e s tud tu d io d e las p r o p ie d a d e s alg al g ebra eb raic icaa s d e las e c u a  ciones cor res p on die nte s” (Piaget y García, 1 98 2).2 2) .2 La geom ge om etría se “reduce” al álgebra y se beneficia del uso de los métodos gene rales y uniformes para resolver problemas inherentes a esta última. Una sola fórmula basta para establecer propiedades generales de fáfhilias enteras de curvas. Los razonamientos no se ven limitados po p o r las d ific if icuu lta lt a d e s p a r a im a g ina in a rse rs e o r e p r e s e n t a r fig fi g u rati ra tivv a m e n te sus sus consecuencias. con secuencias. Pero los geómetras no están contentos e intentan utilizar los m étodos prop ios de la geom etría etría p ara razonar acerca de valo valore ress indeterminados, obteniendo el mismo grado de generalidad que la geometría analítica de Descartes. Son Chasles y Poncelet, en el siglo XIX, quienes incorporan los sistemas de transformaciones como método fundamental de la geometría a fin de dotarla de la generalidad, flexibilidad y fecundidad propias de la geometría analítica. Ciñéndose al modelo de ésta aceptan, por ejemplo, la existencia existencia de elementos elem entos “im aginarios” en geom etría. etría. 2

En gran parte parte de lo que sigue sigue nos guiaremos por por este texto para reseñar

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Un momento fundamental en el desarrollo de la geometría lo constituye el surgimiento de las geometrías no euclidianas. Inten tando dem ostrar la la necesidad del V postulado de E uc lides 3 po r reducción al absurdo, aparecen cuerpos teóricos coherentes que pasa pa sann a c o n s titu ti tuir ir nuev nu evas as g eom eo m etrí et ríaa s; la d e L obat ob atch chev evsk ski,i, la d e Riemann. La idea de que la geometría euclidiana es el único modelo posi po sibb le del de l e spa sp a c io físico fís ico s u c u m b e , y los físico fís icoss c o m ien ie n z a n a a p ro  vechar los nuevos modelos, que se adecúan mejor a la descripción de fenómenos que tienen lugar en escala astronómica. El espacio, como realidad física, se escapa definitivamente del control de una sola teoría geométrica para caer en perversas vinculaciones con el tiempo, dentro de la concepción einsteniana. La geometría queda fragmentada en una pluralidad de teorías alternativas, en función de los axiomas seleccionados, que pueden dar cuenta de diferen tes clases de problemas planteados en el espacio físico. Klein (en su Programa de Erlangen, en 1872) logra la síntesis de las geometrías, basándose en la noción de grupo de transfor maciones, que le permite introducir distinciones precisas entre los diferentes tipos de geometrías existentes. El grupo principal de transformaciones del espacio está constituido por el conjunto de todas las transformaciones que dejan invariantes las propiedades geométricas de las figuras. Diversos grupos de transformaciones caracterizan a las diversas geometrías, permitiendo estudiar los entes que las integran desde el punto de vista de las propiedades invariantes en las transformaciones de cada grupo. Las geometrías que dan subo rdinadas a un grup o único, del que llegan llegan a ser ser ca casos sos pa p a rtic rt icuu lare la res. s. Pero entonces la geometría ha muerto, absorbida por la teoría de las estructuras, de naturaleza algebraica. Actualmente se consi dera que la geometría está agotada, en tanto teoría matemática independiente. Mientras las relaciones de la geometría con el res to de las matemáticas tuvieron un sta st a tus tu s claro, no había problemas en la enseñanza de la geometría. Actualmente resulta mucho más st a tus tu s de la enseñanza de la geometría. Freucomplejo definir el sta denthal (1964), lamentando esta situación, constata un hecho: 3. Postulado que afirma que, en un plano, sólo se puede trazar trazar una paralela por un un punto exterior exterior a una rec recta ta..

LA ENSEÑANZA ENSEÑANZA DE LA GEOM ETRIA

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En el sistema bourbakista la geometría no existe. En las revistas de crítica bibliográfica lo que se incluye bajo el nombre de geome tría comprende menos del 5 % del total de los artículos de investi gación registrados. En los programas universitarios de todo el mun do, la palabra geometría es apenas mencionada y los investigadores que podrían llamarse a sí mismos “geómetras” evitan el término por parec par ecerl erles es fuera fu era de moda. Al respecto, Revuz (1971) hace una distinción entre situación, modelo y teoría, afirmando que muchas teorías matemáticas, importantes y en boga en la investigación matemática actual, tie nen su origen en la abstracción de modelos geométricos, los que, a su vez, constituyen esquemas de situaciones espaciales. Se abre así así un a brec ha para la justifi justificación cación de la enseñan za de la geom e tría, al menos en la profesionalización de los nuevos matemáticos. No N o o b s ta n t e , la a u s e n c ia d e u n a c o m u n i d a d c ien ie n tíf tí f ica ic a q u e se identifique a sí misma como comunidad de geómetras incide, indudablemente, en la toma de decisiones oficiales respecto a la enseñanza de la geometría. Estas decisiones no pueden ser contro ladas (criticadas, rectificadas, apoyadas) por un grupo de presión que tome posición frente a los problemas de la enseñanza en fun ción de las necesidades de su propio desarrollo, como sucede en el resto de las ciencias vivas. pa c i a l e s L a p s i c o g é n e s i s d e l a s n o c i o n e s e s pa

Para abordar este tema nos basaremos en los trabajos de Piaget, quien irrumpe en la vieja polémica filosófica relativa al carác ter objetivo o subjetivo de la idea de espacio para demostrar, por medio de estudios psicogenéticos, cómo es que los conceptos espa ciales se van construyendo progresivamente a partir de las expe riencias de desplazamiento del sujeto. Poincaré había afirmado: “Para un sujeto inmóvil no existe ni espacio ni geometría”, y tam bié b ié n : “L o c a liz li z a r u n o b je to es r e p r e s e n t a r s e los lo s m o v im ie n to s q u e habría que hacer para alcanzarlo”. Con estas hipótesis, Piaget rea liza un cuidadoso trabajo de observación y experimentación sobre sujetos en desarrollo.

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E n La L a constr con struc ucció ciónn de lo real rea l en el n iño iñ o (Piaget, 1937) encontra mos una notable descripción del desarrollo de las categorías bási cas de objeto, espacio, causa y tiempo, en los primeros años de vida del niño, correspondientes al desarrollo de la inteligencia sensoriomotriz. Con respecto al espacio, Piaget muestra que, ini cialmente, el sujeto elabo ra espacios espacios específi específicos cos para cada dom inio sensoriomotor, heterogéneos y no coordinados entre sí. Por ejem plo p lo,, el n iñ o n o p u e d e d irig ir ig ir su vista vis ta h a c ia los o b jeto je toss q u e toca to ca,, ni orientar su aprehensión hacia los objetos que motivan su atención visual. El espacio está conformado por haces perceptivos, altamen te inestables e incontrolables por el sujeto, a los cuales acomoda los escasos desplazamientos que puede realizar. Progresivamente, el niño va logrando una mayor coordinación de sus actividades en el espacio: puede retomar un objeto que ha dejado caer, reanudar una actividad interrumpida, anticipar el desplazamiento de un móvil oculto tras una pantalla, diferenciar los objetos que están a su alcance de los que no lo están. Piaget (1937) recurre a la siguiente imagen, para ilustrar el pr p r o c e s o d e e s tru tr u c tu r a c ió n d e la p r o f u n d id a d d e l espa es paci cio: o: ...podemos comparar el “espacio lejano” del niño de este estadio, es decir, el espacio situado más allá del campo de la aprehensión, con lo que es el espacio celeste para el adulto no instruido o para la perc pe rcep epció ciónn inmedia inm ediata. ta. En efecto, efec to, el cielo se nos apar ap arec ecee como com o una un a gran cubierta esférica o elíptica, sobre cuya superficie se mueven imágenes sin profundidad que se interpenetran y se destacan alter nativamente: el sol y la luna, las nubes, las estrellas, así como las manchas azules, negras o grises que llenan los intersticios... El “espacio lejano” permanece análogo a lo que es el cielo en la per cepción inmediata, mientras que el “espacio próximo” se asemeja a nuestra percepción del medio terrestre, en el cual los planos de pro p rofu fund ndid idad ad se ord o rden enan an en funció fun ciónn de la acción. acc ión. Pero el ciclo debe de be concebirse aquí como rodeando de cerca al sujeto y no retrocedien do sino muy paulatinamente. Antes de la aprehensión de los objeti vos visuales, el niño está en el centro de una especie de esfera móvil y coloreada, cuyas imágenes lo aprisionan sin que él se haya apode rado de ellas de otra manera que haciéndolas reaparecer gracias a sus movimientos de la cabeza y de los ojos. Luego, cuando comien za a tomar lo que ve, la esfera se dilata poco a poco, y los objetos


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tomados se ordenan en profundidad en relación con el cuerpo pro pio: el “espacio espac io leja le jano no”” aparec apa recee simpl sim plem emen ente te como com o u n a especie de zona neutra en la que la prehensión no se ha arriesgado todavía, en tanto que el “espacio próximo” es el dominio de los objetos para tomar. A medida que el niño progresa en la posibilidad de desplazar se y de coordinar sus acciones, va apareciendo el espacio circun dante a estas acciones como una propiedad de ellas. Inicialmente, el sujeto no concibe a los objetos como dotados de trayectorias independientes de su acción. De manera paulatina el sujeto va organizando sus desplaza mientos: descubre caminos equivalentes, aprende a evitar obstácu los. Llega a concebir al objeto como permanente y puede disociar claramente sus propios desplazamientos de los del objeto. El espa cio es exteriorizado, aparece como el marco inmóvil en el que se sitúan tanto los objetos como el sujeto. La siguiente observación ilustra cómo el niño va siendo capaz de componer sistemáticamen te sus desplazamientos, constituyendo lo que Piaget denomina un grupo objetivo: Obs. 108 I. (1;3 [13]) está sentado, coloca un guijarro delante de él, luego lo desplaza hacia la derecha, corrige su propia posición para colo carse delante del guijarro, lo desplaza nuevamente hacia la derecha y así sucesivamente, hasta describir, casi, un círculo completo (Pia get, 1937). Finalmente, el sujeto llega a concebirse como un objeto más, dentro de un espacio homogéneo, pudiendo representarse sus desplazam ientos en relación con lo loss desplazamientos y las posicio posicio nes de los objetos. La génesis de la representación, para Piaget, pa p a s a p o r la i n t e r i o r i z a c i ó n d e la i m ita it a c i ó n d e la a c c i ó n p e r s o n a l sobre los objetos, en el proceso general de construcción de las operaciones intelectuales vía la internalización de las acciones. L a repre rep resen sentac tación ión d el espaci esp acioo en el n iño, iñ o, Piaget y otros (1947) E n La estudian la intuición como factor en la constitución de la geome tría objetiva del espacio. Para ello recurren a su exteriorización a

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trica es considerada como de naturaleza operatoria, según una dis tinción entre elementos figurativos (imágenes) y operativos (accio nes internalizadas) en el curso del pensamiento. Son los aspectos operativos los que, progresivamente, otorgan movilidad a las imá genes, permitiendo la representación de sus transformaciones. Por ejemplo, cuando se pide a los niños que identifiquen objetos sólo mediante el tacto (percepción estereognósica), la sistematicidad de los movimientos exploratorios constituye un buen índice de la calidad de la imagen que el sujeto se forma del objeto. La motricidad (sea perceptual o manual) aparece como un componente necesario en la elaboración de las imágenes, puesto que el niño reconoce sólo las formas que es capaz de construir con su propia actividad: “La intuición de una recta surge de la acción de seguir con la mano o la mirada, sin cambiar de dirección”. Consecuentemente con esta concepción, gran parte de las situaciones experimentales consisten en presentar al niño una con figuración (estado inicial) y pedirle que anticipe y dibuje la confi guración resultante (estado final) tras la aplicación de una trans formación formación determinada. La tesi tesiss fund fund am ental de Piaget en esta ob ra es es que, en el dom i nio d e la geom etría, etría, el orden genético de adquisición adquisición de las nocio nes espaciales es inverso al orden histórico del progreso de la cien cia. El niño considera primero las relaciones topológicas de una figura, y sólo posteriormente las proyectivas y euclidianas, que son co nstruid as casi casi de m odo s im u ltán eo .4 En efecto, efecto, las las prime ras relaciones que el niño puede reconocer y representar gráficamen te son las de vecindad, separación, orden, entorno ( enclosure ) y continuidad. Muy tempranamente logra distinguir entre figuras cerradas y abiertas, diferenciar el espacio interior del exterior a una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal. Las relaciones topológicas permiten la constitu ción de una geometría del objeto, en singular. El dominio de las relaciones proyectivas permite la constitu 4. Según Segú n R. García García esta inversión es válida solament solam entee para para el domin do minio io de las las relaciones intrafigurables (de una figura aislada) y no para los dominios de las relaciones interfigurables (entre figuras) o transfigurables, en el sentido en que éstas son definidas en Piaget y García (1982).


ción de un a geom etría del espaci espacioo ex terior al al suj sujeto eto,, qu ien lo con templa desde cierta distancia. La descentración del sujeto respecto a su perspecti perspectiva va actual le le pe rm ite coo rdina r distintos distintos pun tos de d e vi vis ta posibles y construir una representación del espacio con el que está interactuando en la que los ejes adelante-atrás y derechaizquierda dejan de ser absolutos. La construcción del espacio euclidiano, el espacio que contie ne tanto objetos móviles como al sujeto, es abordada por Piaget y colaboradores básicamente en La L a geom ge om etría etr ía esp es p o n tán tá n e a del de l n iño iñ o (1948). Uno de los problemas fundamentales que Piaget trata de resolver a lo largo de gran parte de su obra es el del tránsito del conocimiento experimental, contingente, al conocimiento deduc tivo, necesario. En el caso del espacio, de la inducción empírica e intuiti intuitiva va a la generalización op eratoria era toria e iterable característi característica, ca, por ejemplo, de los lugares geométricos (donde se trata de encontrar el conjunto de todo to doss los puntos que cumplen con determinadas condiciones). En la base del conocimiento matemático se encuentra, según Piaget, un proceso de abstracción reflexiva, que se origina en las pro p ropp ias ia s a c c ion io n es d e l suje su jeto to s o b re los obje ob jeto tos, s, a d ife if e re n c ia d e la abs abs  tracción empírica, que permite la aprehensión de las propiedades de los objetos. Piaget distingue las operaciones lógicas, que implican la mani pu p u la c ió n d e clase cla sess y r e la c io n e s e s tab ta b lec le c ida id a s a p a r t i r d e e le m e n to s discretos, discretos, y las opera cion es infralógi infralógicas, cas, equivalentes e quivalentes a las anterio ante rio res pero cuyo punto de partida son las partes de un todo continuo (objeto o infraclase). Las relaciones espaciales son, por lo tanto, de índole infralógica. La caracterí característi stica ca fun dam en tal del espacio espacio eu clidiano, pa ra Pi Pia a get, está constituida por la métrica, que posibilita la estructuración de un sistema tridimensional de coordenadas y, en consecuencia, la matematización del espacio. La métrica implica el uso de dos operaciones que determinan el tránsito del manejo cualitativo del espacio al manejo cuantitativo: la de partición de un todo en sus pa p a r te s , p a r a c o n s t r u i r u n a u n i d a d d e m e d id a , y la d e d e s p la z a  miento, para aplicar esa unidad de medida en forma reiterada, cubriendo la extensión del objeto (iteración). La medición de lon gitudes en el espacio euclidiano supone que la longitud de un

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objeto se conserva cuando éste se desplaza, puesto que, en caso contrario, la unidad de medida perdería su carácter de patrójn estable.5 En un volumen de los Est E stuu dios di os de E piste pis temo molog logía ía Genétic Gen éticaa dedica do a la Epist Ep istem emolo ología gía del de l espacio esp acio (1964), Piaget alude a la dificultad pa p a ra d ife if e r e n c ia r s ign ig n ific if ican ante te y sig si g n ific if icad adoo en el caso ca so d e la im a g e n mental visual, puesto que ambos son de carácter espacial. Esta homogeneidad entre significante (por ejemplo, la imagen de un cuadrado) y significado (la idea de un cuadrado) explica la impor tancia histórica de la intuición geométrica cuyo valor heurístico sigue vigente, aun cuando su valor demostrativo fue sustituido por el manejo de sistemas formales, axiomatizados. Piaget insiste en la naturaleza operatoria de la intuición geométrica, que permite superar el estatismo propio de las imágenes. Por otra parte, dife rencia el espacio físico, considerándolo como abstraído de los objetos, del espacio lógico-matemático, abstraído a partir de las acciones ejecutadas sobre los objetos, acciones que pueden imitar y sobrepasar las configuraciones y transformaciones del objeto. En el volumen sobre el pensamiento matemático de la In tro tr o ducc du cció iónn a la Epist Ep istem emolo ología gía Genétic Gen éticaa (1949), Piaget hace un interesan te paralelo entre las operaciones lógico-aritméticas de clases y de relaciones asimétricas (seriación), que generan la noción de número, y las operaciones espaciales de partición y de desplaza miento, que generan la posibilidad de medición (cuantitativa) del espacio. Describe una vez más el desarrollo de las operaciones espaciales, partiendo del nivel perceptual, caracterizado por espa cios heterogéneos. Este es seguido por el nivel sensoriomotor en el que los desplazamientos, unidos a las percepciones, permiten cier tas coordinaciones, que se organizan en un espacio próximo, con conservación práctica del objeto pero sin espacio representativo más allá de los límites de la acción. A continuación, viene el nivel del pensamiento intuitivo preoperatorio, en el que se constituyen 5. Sin embargo, Obujova Obujova (1972) utilizó con éxito un métod mé todo o para para acelerar acelerar la adquisición de la conservación de longitudes y de otras dimensiones físicas ense ñando a los niños a recurrir a la medición para contrarrestar la impresión per ceptual de igualdad o desigualdad de dos cantidades. Resta explicar qué significa para un niño medir los desplazamientos en ausencia de la idea de que la dimen sión que está midiendo es invariante.


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imágen im ágenes es espaciales espaciales estáti estáticas cas y la im im aginación de algunas acciones relativas a las posibles transformaciones de los objetos, pero sin conservación ni reversibilidad. El nivel siguiente es el de las opera ciones concretas, en el que se organizan las primeras operaciones transit transitivas ivas y reversibl reversibles, es, aplicadas a o bjetos presente pres entess o imaginados. La posibilidad de descentrarse del sujeto permite la coordinación lógica del espacio desde múltiples puntos de vista. Finalmente, se constituye el nivel de las operaciones formales en el que tanto las transformaciones espaciales como las numéricas quedan subsumidas en el interior de sistemas formales, de naturaleza hipotéticodeductiva. Las operaciones espaciales se desligan de las acciones y objetos del espacio físico, pudiendo abarcar todo el universo de po p o s ibil ib ilid idaa d e s esp es p acia ac iale les. s. El suje su jeto to se m u e v e ( in te lec le c tu a lm e n te) te ) e n el ámbito de lo posible, de lo hipotético, del infinito. Para terminar esta síntesis haremos una breve referencia a las consecuencias pedagógicas que el propio Piaget deriva de su con cepción de la psicogénesis de las nociones espaciales. En una intervención sobre la educación matemática (Piaget, 1973), des pu p u é s d e h a c e r r e f e r e n c i a a c ó m o es q u e el p e n s a m i e n t o lóg ló g ico ic o deriva de una fuente profunda, de la lógica implícita en las coordi naciones generales de la acción, afirma: En los alumnos jóvenes la acción sobre los objetos resulta total mente indispensable para la comprensión, no sólo de las relaciones aritméticas, sino también de las geométricas.

LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN LA ESCUELA ELEMENTAL

Los programas oficiales para la escuela primaria mexicana (SEP, 1982) incluyen los siguientes temas de geometría: propieda des y localización de objetos, propiedades de líneas, identificación y trazado de figuras geométricas, medición de longitud, área, volu m en y capacidad, simetría axia axiall y de rotación, án gulo, p lano ca rte siano y dibujo a escala. El breve análisis que intentaremos a continuación se basa exclusivamente exclusivamente en la inform ación ob tenid a de textos textos y programas.

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Es seguro que la observación de clases agregaría valiosos elemen tos, pero no tuvo cabida en el marco de nuestra investigación. La introducción de conceptos geométricos, de acuerdo con los pr p r o g ram ra m a s , d e b e o rga rg a n iza iz a rse rs e e n tre tr e s m o m e n tos: to s: 1. Presentac Pre sentac ión del “nuevo “nuevo o bje to” a los los alumnos, alum nos, qu ienes lo ven, lo distinguen de otros objetos que ya conocen y apren den su denominación científica (geométrica). 2. Ejercitación en el trazado de este este nuevo objeto, siguiendo siguiendo la secuencia: trazado sobre el piso mediante desplazamien to corporal o empleo de cuerdas, trazado sobre el mesa ba b a n c o m a n i p u l a n d o o b je tos to s l o n g u i lín lí n e o s (co (c o m o p ajit aj itas as)) y trazado con lápiz sobre papel. 3. A plicaciones plicaciones en actividades actividades que sup on en qu e el el objeto nuevo ya ha sido asimilado. La presentación se apoya en los conocimientos previos de los alumnos (véase la enseñanza del círculo en Ia grado, Apéndice) y rec urr e con frecuencia a analogías analogías (véa (véase se Ap éndice, introducc ión de la noción de rectas paralelas, en 3Sgrado). El énfasis de la actividad de los alumnos está puesto en el traza do, para el que recurren a técnicas usadas por los albañiles en la co ns truc ció n6 y al uso uso de in stru m en tos co mo regla, escuad ra y compás. La secuencia sugerida probablemente facilite la correc ción del trazado en el momento en que deba hacerse sobre el cua derno, pero no garantiza la apropiación de la significación del objeto estudiado, la que queda sujeta a los vaivenes de la experien cia de cada alumno, puesto que- el trazado no agota el conocimien to de las propiedades de una figura ni contribuye necesariamente a su adecu ada jerarquizac ión. Las aplicaciones pueden consistir en el uso de los objetos que acaban de aprender como elementos decorativos, en los primeros grados, o en la resolución de problemas, en los últimos grados. 6. A veces la descontextua descont extualizació lización n cond co nduce uce a equívoco s como com o en la página del libro de primer grado que reproducimos en el Apéndice, donde pareciera que, para hacer un triángulo cualquiera, los albañiles se dan el trabajo de marcar con nudos..., ¡doce longitudes iguales!

LA ENSEÑANZA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA

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En los comentarios metodológicos al programa de primer grado (SEP, 1982) se propone que el niño “llegue por sí mismo a los conceptos matemáticos y los exprese en su propio lenguaje”. La insistencia posterior, a lo largo del programa, en el uso de los términos geométricos desde el primer acercamiento al objeto correspondiente y casi como sustituto de la caracterización de dicho objeto según sus propiedades, nos parece contradictoria con el planteamiento metodológico inicial. Un breve ejemplo: al clasificar objetos tridimensionales por forma, en primer grado, se sugieren las categorías “redondo”, “no redondo”, que segura mente corresponden al lenguaje cotidiano del niño. Pero al pa p a s a r al p l a n o se i m p o n e el t é r m i n o “c í r c u l o ” f r e n t e a f ig u r a s que, sin sin lugar a dudas, seguirán a pare ciend o com o “re d o nd as” pa p a r a el n iñ o . C o n este es te c o m e n ta r i o n o p r e t e n d e m o s a b o g a r p o r el uso a destajo del lenguaje natural de los niños en el tratamiento de los temas escolares sino por su incorporación, aceptación y vinculación a un lenguaje técnico que se supone adquirirán pro gresivamente. En La L a epistem epi stemolo ología gía del de l espacio espa cio Piaget (1964) plantea que uno «le los problemas básicos del conocimiento geométrico m étrica étrica como como un prod ucto directo direct o de la la percepción. percepción. 7 Huíanle mucho tiempo, dicha concepción ha fundamentado la oigani/a ción de la enseñanza escolar de la geometría elemental, dotándola de un carácter ostensivo. Basta mostrar los objetos geométricos, que los alumnos los vean, para que los conozcan; basta enunciai sus propiedades para que los alumnos se las apropien. Pero, ¿qué ven los niños cuando se les muestra, por ejemplo, una figura geo métrica? Los psicólogos soviéticos han puesto en evidencia, desde hace varia variass décadas, qu e los los alum nos no s incluyen rasgos no esenciales esenciales

7. Piaget afirma, por el contrario, contrar io, que la imagen espacial se elabora a partir partir de imitaciones interiorizadas, que son las que posibilitan la representación de las transformaciones espaciales.

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DIDACT ICA D E MATEMATICAS MATEMATICAS

de las figuras geométricas al conceptualizarlas, en función de las condiciones en que tiene lugar su aprendizaje. Así, si los lados de un cuadrado no son paralelos a los bordes del papel o pizarrón en que ha sido trazado, la figura corre el riesgo de ser vista como rombo, debido a que la orientación ha adquirido el rango de atri bu b u to básic bá sico. o. E n la a c tu a lid li d a d esto es toss fen fe n ó m e n o s c o n t i n ú a n a tra tr a y e n  do la atención de investigadores interesados en la didáctica de la geometría. Gallo (1984) los encuentra en una situación de comu nicación nicación entre alumno s de 14 años, años, asignándoles asignándoles la la denom inación de “modelos estándar” de los objetos geométricos. El programa oficial mexicano intenta superar estos problemas presentando las figuras geométricas en múltiples posiciones y secuenciando su introducción desde lo general hacia lo particular (primero el cua drilátero, luego el rectángulo y sólo después el cuadrado). Sin embargo, la dirección opuesta está tan afianzada en la tradición pe p e d a g ó g ica ic a q u e la f ina in a lid li d a d d e la secu se cuee n c ia d e l tex te x to ofici of icial al p r o b a  ble b le m e n te res re s u lte lt e d e d ifíci ifí cill c o m p re n s ió n inc in c luso lu so p a r a los m a estr es troo s. Por otra parte, la proposición de utilizar la simetría axial o de rota ción como criterio de clasificación y de definición de clases de po p o líg lí g o n o s re g u la r e s r e s u lta lt a u n ta n to exó ex ó tic ti c a , h a c i e n d o p e r d e r la pe p e rsp rs p e c tiv ti v a d e u n a p ro g r e s ió n a rm ó n ic a e n la in tro tr o d u c c ió n d e las figuras geométricas. El complejo tránsito desde la constatación empírica de propie dades hasta su integración a un sistema deductivo, con carácter necesario, es buscado a través de la reiteración de experiencias de verificación de propiedades. Como ejemplos, remitimos al Apéndi ce, donde incluimos las actividades propuestas para que los alum nos aprehendan la constancia del radio de un círculo (pág. 293), y las relaciones recíprocas entre rectas paralelas y perpendiculares (pág. 293). De la misma manera se aborda, en 6a grado, la rela ción en tre diám etro y circunferencia. circunferencia. Una estrategia que se utiliza con frecuencia en el texto oficial f a d in g o desvanecimiento pa p a r a la e n s e ñ a n z a d e alg al g o ritm ri tm o s es la d el fa de algunas de las características del objeto en las que el procedi miento se apoyaba originalmente. Véase cómo se enseña la fórmu la del área de un rectángulo desvaneciendo el cuadriculado (Apéndice, págs. 294), con la ilusión de que esto genera la com

LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

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pr p r e n s i ó n d e la f ó r m u l a q u e p e r m i te e v a lua lu a r u n á r e a (bid (b idim im ensi en sioo nal) a partir de la medida de dos longitudes.8 Mencionaremos una última característica de los libros de texto mexicanos, que consiste en sustituir la experiencia directa de los alumnos por la lectura del relato de la experiencia de otros. Por ejemplo, en sexto sexto grado se preten pre tende de ense ñar por p or este este procedimiento cómo medir la altura de un objeto físico de gran tamaño, utilizando el teorema de Thales. Con esto se busca la economía de la explica ción para p ara el maestro, maestro, bajo el el supuesto de que la com unicación autorniño será mejor si no se ve perturbada por el “ruido” que puede introducir la mediación del maestro. Sin embargo, se cae en la fala cia de homologar experiencia vivida con experiencia leída, en la que la solución solución del problem a surge fluidamente del texto texto escrito.9 En los programas de los primeros grados se propone la realiza ción de actividades de tipo tecnológico que bien podrían propor cionar un contexto contexto funcional p ara desarrollar el el conocim iento de las figuras geométricas a través de procesos de anticipación y de verificación. Entre éstas mencionaremos forrar una caja, construir m uebles o jugu etes, hac er la m aq ueta d e u na casa, casa, etc. etc. Un caso caso pa p a r tic ti c u la r m e n te in t e r e s a n t e es el d e la c o n s tru tr u c c ió n d e u n a m a tra tr a  ca, en Ia grado, para lo cual la ilustración del libro sugiere al niño forrar una lata con papel de color. Probablemente será la maestra quien deba cortar los papeles del tama ño adecuad o, puesto qu e los los alumnos, alumnos, según el program a, 8. Para un análisis de las dificultades conceptuales de los alumnos de primaria en el terreno de la medición de áreas remitimos al trabajo de R. Domínguez (1983). 9. Hemos propuesto a alumnos de 6Bgrado (cours moyen 2 en Franci Francia), a), junto jun to con Brousseau, un problema similar: estimar el tercer lado de un triángulo del que sólo podían medir dos lados, en el patio de la escuela (con distancias del orden de los 10 metros). La solución del problema no resultó nada evidente. Los niños podían concebir el traslado de las medidas lineales a una representación a escala pero no disponían de métodos para reproducir ángulos. Un equipo logró resolver este problema doblando un papel para “medir” el ángulo comprendido entre los lados conocidos del triángulo, en el terreno, y trasladando luego dicha medida a su dibujo a escala, procedimiento similar a los que encuentra Piaget en los primeros peldaños de la medición espontánea de longitudes (reproducción y traslación de la longitud de medir). Otra observación interesante fue la ineptitud de algunos niños para esquematizar en un dibujo las relaciones espaciales percibi das en el terreno (hubo incluso casos de no conservación de tramos rectilíneos).

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sólo podrían hacerlo en 62 grado, después de aprender a calcular el “área “área to tal” de u n c ili ilinn d ro .10 .10 La reflexión sobre la enseñanza de la geometría en la escuela elemental nos ha llevado a delimitar una serie de problemas que nos limitaremos a enunciar: 1. Cómo pre pa rar el el tránsito de la geom geo m etría de observación, observación, de comprobación empírica de relaciones, a la geometría deductiva, en la que la validez de las proposiciones es sus tentada por la coherencia del razonamiento. Por ejemplo, cómo pasar de la verificación de que al yuxtaponer los tres ángulos internos de un triángulo se obtiene un ángulo de 180° a la conclusión de que eso debe pasar necesariamente en cualquier triángulo. 2. Cóm o com patibilizar el carácter cará cter variable, variable, apro xim ado , de los resultados obtenidos empíricamente, con el carácter único, exacto, de los resultados logrados a través del cálcu lo. Por ejemplo, los valores obtenidos para el área de un triángulo contando cuadritos, con el valor valor ob tenido tenid o aplican do la fórmula, a partir de medidas dadas de base y altura. Dicho de otra forma, lo que aquí nos cuestionamos es el rol de la medición en la verificación de equivalencias mate máticas. Por ejemplo, en el texto oficial (2a grado) se pide a los niños que anticipen el valor de un perímetro a través de un cálculo y luego que lo midan para verificar la exacti tud de su anticipación. ¿Qué sucede si los resultados de cál culo y de medición no coinciden? ¿Qué sucede si el cálculo se repite varias veces? ¿Y si la medición se repite varias veces? 3. Cómo garantizar la com prensión de los proced im ientos 10. 10. Hem os organizado una ex periencia de forrado de una lata, lata, en l 2 grado, comprobando que una buena parte de los alumnos eran capaces de anticipar la forma rectangular del forro; otros propusieron una forma elíptica (puesto que se trataba de cubrir una superficie curva, la figura debía poseer también un límite curvo) y, finalmente, hubo quienes se limitaron a representar las diferentes pers pectivas conocidas del cilindro. La posibilidad de confrontar la validez de estos modelos, aplicando los trozos de papel recortado sobre la superficie de la lata, constituyó un fuerte estímulo para hacerlos evolucionar.

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algoritmizados que los alumnos deben aprender. Resulta evidente que la repetición de su ejecución, hasta memorizar la secuencia de acciones constitutivas, no es suficiente. Pero, ¿con qué sustituir esta estrategia de enseñanza? 4. Cóm o coordin co ordinar ar la conce ptualización dinám ica de los los obje tos geométricos (ligados, por ejemplo, al trazado de figu ras) con su conceptualización estática (ligada a su presenta ción ostensiva). 5. Cóm o orga nizar el pasaje pasaje desde el lenguaje na tural, para referirse a las relaciones espaciales, hasta el lenguaje mate mático, sin generar rupturas violentas y posibilitando l.i apropiación sintáctica y semántica del Ini^najc' m.tti co, de manera que los alumnos puedan iitili/ailu |>aia expresar sus conocimientos. Có m o ir rela cio na nd o las las adqu adquif ifti tiii í <» 6 . Cóm < » im i m i n i el amhltu • I • l n« relacion es espacial espaciales es con las las a d q u irí In nr i n i «I dmii miiiniM m de las las relac iones ione s num éricas érica s I n que m edida I" | en uno de estos campos pueden laillllai n ••!>.<>• mh / >■ aprendizajes en el otro. iii.in

N u e s tra tr a revi re visi sión ón d e tex te x tos to s y pr p r o g ra m a s p a r a la ensenan/a de la geometría en la escuela primaria mexicana nos proporcionó una base ba se s u fic fi c ien ie n te p a r a aval av alar ar los lo s p la n te a m ie n to s d e B rous ro usse seau au,, e n el sentido de que en la escuel escuelaa primaria no se enseña geo m etría etría para contribuir al desarrollo, por parte de los alumnos, del dominio de sus relaciones con el espacio, sino que se reduce el aprendizaje de la geometría al conocimiento de una colección de objetos defini dos como parte de un saber cultural. Este saber cultural se opone al saber funcional. El primero, en ausencia del segundo, sólo sirve pa p a r a m o s tra tr a r a o tro tr o s q u e u n o sabe sa be,, e lic li c ita it a n d o térm té rm ino in o s , d e fin fi n icio ic io nes y hasta demostraciones almacenadas en la memoria, ante la demanda explícita de ese saber (que también puede tratarse de un “saber hacer”, no sólo de un “saber decir”). El saber funcional, en cambio, es aquel al que se recurre con la finalidad de resolver un pr p r o b le m a ; s o n los lo s e s q u e m a s o m o d e lo s q u e u tili ti lizz a m o s p a r a enfrentar una situación y tratar de adaptarnos a ella desde un pun to de vista cognitivo (búsqueda de explicaciones, intentos de previ sión de resultados, análisis de factores intervinientes, esfuerzos de

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control del curso de los procesos reales). Forman parte de un saber funcional las teorías que los científicos aplican para dar cuenta de los fenómenos que estudian, sujetas a reajustes periódi cos a raíz de su confrontación con el acaecer real. Forman parte de un saber exclusivamente cultural esas mismas teorías, repetidas p o r e r u d i t o s q u e n o r e c u r r e n a e lla ll a s p a r a o r i e n t a r su a c tiv ti v ida id a d prá p rácc d c a . La enseñanza de la geometría en nuestras escuelas primarias se reduce a intentar que nuestros estudiantes memor icen los nombres de las las figuras figuras,, los mapas geom étric os y las las fórmulas que sirven sirven para para calcular áreas y volúmenes...,

afirm afirm a J. Alarcón (1978), (1978), con cuyo cuyo pu n to de vist vistaa con corda m os ple p le n a m e n te. te . Brousseau ha observado cómo, después de que los alumnos han estudiado las figuras geométricas elementales durante varios años en la escuela primaria, si se les pide que describan, por ejem plo p lo,, u n c u a d r i lá t e r o d a d o , p a r a q u e o tro tr o a lu m n o p u e d a , a p a r tir ti r de esa descripción, construir un cuadrilátero que coincida con el pr p r im e r o al s u p e r p o n e r lo s , se c o m p r u e b a q u e tie ti e n e n g r a n d e s difi di fi cultades para llevar a cabo esta tarea. Saben designar los vértices mediante letras (saber cultural) pero no se les ocurre emplear este conocimiento para simplificar su descripción. Saben definir qué es un ángulo, pero no explicar al receptor de su mensaje qué debe hacer para reproducir los ángulos de su figura. Lo que mejor saben hacer es medir la longitud de los lados (que no siempre son llamados llamados lados, en ocasiones ocasiones ha n sido descritos descritos com o écart, esto es, “separación” entre dos vértices adyacentes). Con frecuencia la información q ue prop orcion an sobre medidas de lados lados y de diago nales resulta redundante. Los alumnos, concluye Brousseau, no han desarrollado un lenguaje para describir las características de las figura figurass ni ha n apre nd ido a seleccionar seleccionar un con junto de caract caracte e ríst rístic icas as pertin entes en tes (necesarias (necesarias y suficient suficientes) es) para su reprodu cción. cción . Brousseau plantea que este aprendizaje de la geometría, pura m ente cultural, cultural, basado en la ostensión ostensión d e los nom bres y prop ieda des de los objetos geométricos, constituye constituye un verdad ero escándalo, que es preciso denunciar públicamente. El escándalo consiste en


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* que, precisamente en la época en que los alumnos están intentan do adquirir el dominio de sus relaciones con el espacio, la escuela no hace nada para ayudarlos. Piaget habría dicho que eso está muy bien, puesto que es preferible dejar que el niño construya, a través de su interacción espontánea con el medio, las estructuras que le permitirán desenvolverse con propiedad en el espacio, antes que imponerle ejercicios escolares que no contribuirán a hace r evolucionar sus sus concepciones y que sólo sólo servirán servirán p ara gen e rar sentimientos de fracaso y de minusvalía en los niños que aún no están en condiciones de efectuarlos correctamente. Nuestra hipótesis es la de que es posible, en un contexto escolar, generar situaciones en las que los alumnos se planteen problemas relativos al espacio e intenten resolverlos basados en sus concepciones “espontáneas”, introduciéndose en un proceso en el que deberán elaborar conocimientos adecuados y reformular sus concepciones teóricas para resolver los problemas planteados. Reconocemos que el diseño e implementación de tales situaciones no es tarea fácil, pe p e r o p o r eso es o m ism is m o lo h e m o s p la n te a d o c o m o o b jeto je to d e n u e s tro tr o estudio experimental, como tema de una intensa búsqueda, antes de lanzarnos a hacer proposiciones que serán utilizadas en condi ciones escol escolares ares absolutamen te fuera de nue stro control. Por otra p arte, estamos convenci convencidos dos de que hay hay gran ca ntidad de adultos que, a través de su interacción extraeicolar con el ambiente, no han logrado desarrollar una concepción «leí espacio que les les pe rm ita un con trol adecu ade cuad adoo de sus sus relaciones ¡ale», control que les posibilite orientar autónomamente sus drspla/.i m ientos en ámbitos de cierta cierta m a gn itu d .11

11. 11. E. Ferreiro y D. Taboada Taboada (comunica (comu nicació ción n personal pers onal), ), en el context cont exto o de un estudio sobre adultos analfabetos, encontraron en la ciudad de México emplea das domésticas de extracción rural que no se atrevían a salir en sus días libres por temor a extraviarse.


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d ic e

Materiales de los programas y textos oficiales de la Secretaría de Educación Públi ca (SEP), México (1982), sobre la enseñanza de la geometría en la escuela pri maria.

Actividades Actividad es Que el alumno: Distinga y forme círculos — Localice en el salón superficies super ficies en forma forma de círculos. >— Mencion Me ncionee otros objetos que no estén en el salón y que tengan ten gan forma circu circula lar. r. — Repita después desp ués del maestro el nombre nombr e de la figura. figura. — Recorte un círculo, círcu lo, lo pegu e en su cuaderno cuade rno y escriba el nombre nombr e de la figura. figura. — Haga un ejercicio de papiroflexia, utilizando un círculo (R. pág. 69) 69) — Forme un círculo acostándose en el suelo con otros compañeros. — Dibuje Dibuje círculos círculos en el patio, con distintos distintos colores. colores. — Salte Salte dentro de los círculos círculos del color que nombre el maestro maestro (sólo podrán colocarse tres niños por círculo). — Dibuje Dibuje círculos alternados con figuras figuras,, colocados'un coloca dos'uno o enseguida ensegu ida de otra otra.. — Corra Corra pisando únicamen te los círculos. círculos.

(Libro para el maestro. Primer grado, pág. 159.) Como las vías del tren.

Observa en estas ilustraciones las vías del tren y los cables de la luz. ¿En qué se parecen? Dibuja aquí dos rectas como las vías del tren o los cables de la luz.

LA ENSEÑANZA ENSEÑANZA DE I A (1 KOMII KIA

HUI

Las rectas como éstas que dibujaste ion pamleln i Representa rectas paralelas con cordones, con popoii i o
(Libro / i i i i i i el nulo, nulo, I h t e i g iiti ii tiln ln , pAy, (MI

)

¿Cómo se dibuja un triángulo? Juega a los albañiles en el patio.

(Mi libro de primero, Parte 2, pág. HS8.)

Con el compás Descubre Descub re algunas prop iedades ieda des de los círculos hacie ha ciendo ndo lo que s< s<- nulic.i

Trazaseis radios en el círculo azul. Mide esos radio» con l.i i«k I*' ........ >• «mIm» cada uno su medida. ¿Todos esos radios tienen la inisniíi mrdldii Traza ocho radios en el círculo naranja y mídelos, ¿ lodos <-sm in iu n l.i misma medida? Compara los radios de los dos círculos. ¿Miden lo mismo los radios
.

.........

.

( Libro para pa ra el niño. Terc Tercer er grado, pág. 172.)

29 4

DIDACTICA DE MATEMAT MATEMATIC ICAS AS

Haz en cada cuadro lo que se indica y después contesta las preguntas.

1. Traza una paralela a la recta roja. 2. Traza una recta verde que sea perpendicular a la paralela que trazaste.

¿La recta verde es perpendicular a la recta roja? Usa tu escuadra para comprobarlo.

1. Traza una perpendicular a la recta azul. 2. Traza otra perpendicular a la misma recta. A

¿Son paralelas las dos rectas que trazaste? Compruébalo con tu escuadra

(Libro (Li bro para par a el e l niño. Terc Tercer er grado, pág. 109.) Cuadrltos en columnas. Observa este rectángulo. Anota las medidas de sus lados.

I _ __ I _ I , 1 .J __ I _ _ __ __ __ J__ __ _ _ i__ __ j centímetros centím etros Cuadricula el rectángulo y pinta de distinto color cada columna. ¿Cuántas columnas hay? ¿Cuántos centímetros mide la base del rectángulo? ¿Cuántos cuadritos hay en cada columna? ¿Cuántos centímetros mide la altura del rectángulo? El área área de este rectángulo se puede expresar como com o 9 x 3 , pues hay hay 9 columnas columnas de 3 centímetros cuadrados cada una.


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Cuenta los centímetros centí metros cuadrados que hay en la cuadrícula cuadrícula para para ver ver si hay hay 9 x 3 , o bien 27. En este rectángulo haz lo mismo que en el de arriba. Completa lo que falta.

El área de este rectángulo se puede expresar como □ x □ pues pues hay hay [~] columnas columnas de de í ¡ ccntí ccntí metros cuadrados cada una. Su áre área a es de □ x l~l, o »pm, I 1r r n t l i n r t m » « un dradoi.

(l.Uno fxn<> fxn<> *1 n lA ii

lh i* <

Cuadricula los siguientes rectángulos. I’mla ilr < h l < n n i r m i cuadritos. Después completa lo que falla.

......... .

|i|ii»m WV) tiiltmiint

.

La bas basee mide □ centímetros centímetros y la altu altura ra □ centíme centímetros tros.. Hay □ colu columnas mnas de de □ cuad cuadri rito toss cad cada a una. una. Hay □ x □ cuadr uadrit itos os en tot total. El áre área a es es de de □ x □ , o sea sea,, □ cent centíme ímetr tros os cuad cuadra rad dos. os.

La base base mide mide □ centímetros centímetros y la la alt altur ura a □ centíme centímetro tros. s. Hay Hay □ colu columnas mnas de de □ cuad cuadri rito toss cad cada a una. una. Hay □ x □ cuad cuadrritos itos en tot total. al. El áre área a es es de de □ x □ , o bien □ cent centíme ímetr tros os cuad cuadra rado dos. s. Discute con tus compañeros cómo encontrar el área de los rectángulos, sin cua dricularlos. (Libro (Lib ro para el niño. Terce ercerr grado, pág. 203.)

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DIDACTICA DE MATEMATICAS MATEMATICAS B ib l io g r a f ía

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LA ENSEÑANZA ENSEÑANZA DE LA GEOM ETRIA

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