METODO SIMPLEX: ANALISIS DE SENSIBILIDAD.
JOSE E. VAZQUEZ AREVALO.
Una empresa fabrica dos tipos de alfombras del mismo ancho, afelpadas y para interiorexterior. Ambos tipos tienen una gran demanda por lo que la empresa puede vender cualquier cantidad que fabrique. Los dos tipos de alfombra pasan primero por el departamento de te\u00f1ido y luego por tejido. Te\u00f1ido tiene disponible 320 horas semanales mientras que tejido tiene disponible 400 horas semanales para fabricar las alfombras afelpadas y 160 para las alfombras de interior-exterior. Actualmente se fabrican seis modelos, cuatro del tipo afelpado y dos del tipo interior-exterior con los siguientes tiempos y m\u00e1rgenes de utilidad: Departamento Te\u00f1ido Tejido Afelpadas Tejido Interior-Exterior Utilidad Marginal ($/metro) a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.
Modelo de Alfombra (horas/metro) 3 4 5
1
2
6
0.5 0.7
1.2 1.2
0.8 0.5
1 1
0.5
0.5
1
1
60
70
70
100
200
300
Modele el problema para tener un programa de producci\u00f3n que pueda maximizar las utilidades de la empresa. Presente la tabla final y el an\u00e1lisis de sensibilidad para el problema modelado, ambos calculados en la computadora. Encuentre la soluci\u00f3n \u00f3ptima del problema modelado. Interprete la soluci\u00f3n \u00f3ptima especificando \u00bfcu\u00e1ntas horas de capacidad no uti existe en el departamento de te\u00f1ido, en el tejido de alfombras afelpadas y en el tejido de alfombras para interior-exterior? Si un cliente importante pide 50 metros del modelo 2 \u00bfcu\u00e1l es el efecto que tiene hac esta producci\u00f3n? Si el personal de tejido para interior-exterior trabajara una hora extra \u00bfqu\u00e9 provoca este cambio? Si al personal de te\u00f1ido se le dejara tiempo extra \u00bfcu\u00e1ntas horas extras pueden sin cambiar el \u201cprecio sombra\u201d para el departamento de te\u00f1ido. Si el personal de alfombras para interior-exterior trabajara 60 horas extras con un pago adicional de $50/hora \u00bfqu\u00e9 efecto tiene este cambio en la soluci\u00f3n \u00f3ptima y en e de la funci\u00f3n objetivo? \u00bfQu\u00e9 precio se estar\u00eda dispuesto a pagar por una hora adicional en el departam te\u00f1ido? \u00bfCu\u00e1nto tendr\u00eda que aumentar el margen de utilidad del modelo 5 para que ap en la soluci\u00f3n \u00f3ptima del problema? \u00bfCu\u00e1nto podr\u00eda cambiar el margen de utilidad del modelo 1 antes de que se afe soluci\u00f3n \u00f3ptima? Si nos vemos obligados a fabricar un metro m\u00e1s del modelo 6 \u00bfcu\u00e1l ser\u00ed \u00f3ptima para el problema? Si hubiera horas adicionales sin costo extra para el departamento de tejido para afelpadas, \u00bfcu\u00e1ntas horas recomendar\u00eda utilizar para maximizar las utilidades sin a la mezcla actual de producci\u00f3n?
SOLUCIONES a. Modelaci\u00f3n del problema.
Variables de Decisi\u00f3n. Xi = Metros semanales a fabricar del Modelo \u201ci\u201d (metros/semana) Funci\u00f3n Objetivo. M\u00e1x. Z = 60X1 + 70X2 + 70X3 + 100X4 + 200X5 + 300X6 $/s ($/m)(m/s) = $/s Restricciones. 1. Proceso. Te\u00f1ido 0.5X1 + 1.2X2 + 0.8X3 + X4 + 0.5X5 + 0.5X6 \u2264 320 Tejido afelpado 0.7X1 + 1.2X2 + 0.5X3 + X4 \u2264 400 Tejido interior-exterior X5 + X6 \u2264 160 h/m (m/s) = h/s h/s 2. No negatividad
Xi
\u2265
0
b. Tabla Final y An\u00e1lisis de Sensibilidad.
Se presenta la tabla final y el an\u00e1lisis de sensibilidad calculadas con el Storm.
Tabla Final (soluci\u00f3n \u00f3ptima)
Base
Cj
X1 H2 X6
60 0 300
ZJ CJ - ZJ
X1 60 1 0 0 60 0
X2 70 2.40 -0.48 0
X3 70 1.60 -0.62 0
144 -74
96 -26
X4 100 2 -0.4 0 120 -20
X5 200 0 0 1
X6 300 0 0 1
H1 0 2 -1.4 0
H2 0 0 1 0
300 -100
300 0
120 -120
0 0
H3 0 -1 0.7 1 240 -240
BI 480 64 160 76,800
Reporte del An\u00e1lisis de Sensibilidad.
Coeficientes de Disponibilidad del Contribuci\u00f3n Recurso Cj M\u00ednimo M\u00e1ximo m\u00ednimo BM\u00e1ximo i 80 C1 50 300 B1 365.7143 C2 -Infinito 144 B2 336 Infinito 68.5714 640 C3 -Infinito 96 B3 C4 -Infinito 120 C5 -Infinito 300 Infinito C6 200
c. Soluci\u00f3n \u00f3ptima.
X1 = 480 H2 = 64 X6 = 160 M\u00e1x. Z = 76,800
d. d.
Interpretaci\u00f3n.
El programa de producci\u00f3n para la siguiente semana debe ser de 480 metros del modelo 1 (X1 = 480) y 160 metros del modelo 6 (X6 = 160) para tener la m\u00e1xima utilidad de $76,800 (M\u00e1x. Z = 76,800). Al hacer este programa, sobrar\u00e1n 64 horas de capacidad no utilizada en
el departamento de tejido de alfombras afelpadas y nada de tiempo en el departamento de te\u00f1ido y tejido para interior-exterior. e.
e.
Forzar una \u201cvariable no b\u00e1sica\u201d.
Al forzar la fabricaci\u00f3n de 50 metros del modelo 2, que es una variable que no est\u00e1 en la soluci\u00f3n \u00f3ptima (variable \u201cno b\u00e1sica\u201d), equivale a agregar una restricci\u0 que es X2 = 50. Esta restricci\u00f3n modifica a la regi\u00f3n factible del problema generando otra soluci\u00f3n.
Para este cambio se analiza la columna de la X2 en la tabla final. La utilidad \u00f3ptima (M\u00e1x. Z = 76,800) se reducir\u00e1 ya que se est\u00e1 perdiendo una contribuci\u00f3n margin por unidad (Cj \u2013 Zj = -74). La p\u00e9rdida total es de 74(50) = 3,700 quedando la nueva utilidad en 76,800 \u2013 3,700 = 73,100.
Para calcular la nueva soluci\u00f3n \u00f3ptima, se deben utilizar las \u201ctasas de intercambio\u201 columna X2 de la tabla final cambi\u00e1ndoles el signo ya que los recursos utilizados anteriormente a la fabricaci\u00f3n de X1 se van a destinar a la fabricaci\u00f3n de X 2. La nueva soluci\u00f3n \u00f3ptima es: X2 = 50 X1 = 480 - 2.4 (50) = 360 H2 = 64 + 0.48 (50) = 88 X6 = 160 - 0 (50) = 160 M\u00e1x. Z = 76,800 \u2013 74(50) = 73,100 f.
f.
Cambio en la disponibilidad del recurso de una restricci\u00f3n.
El departamento de tejido para interior-exterior pasa de tener 160 horas semanales disponibles a 161. Este cambio est\u00e1 dentro del rango del an\u00e1lisis de sensibilidad por lo que se tendr\u00e1 la misma soluci\u00f3n \u00f3ptima (la misma mezcla de variables pero con diferentes valores) y se recalcular\u00e1 el valor de la funci\u00f3n objetivo. Para calcular el valor de la funci\u00f3n objetivo, se debe observar que la variable de holgura asociada a este departamento es H3, por lo que en la tabla final se debe ver el \u201cprecio sombra\u201d (Zj=240) de la columna H3. El precio sombra indica que se puede tener un incremento en la utilidad de la funci\u00f3n objetivo de 240 por cada hora que se agregue o una disminuci\u00f3n por cada hora que se disminuya.
En este caso, se est\u00e1 aumentando una hora por lo que la utilidad se incrementa en 240 (1) = 240 quedando en M\u00e1x. Z = 76,800 + 240 (1) = 77,040. La soluci\u00f3n \u00f3ptima mantiene las mismas variables pero hay que calcular su valor con base en las \u201ctasas de intercambio\u201d que aparecen en la tabla final en la columna de H 3. La soluci\u00f3n \u00f3ptima que en la forma siguiente: X1 = 480 \u2013 1(1) = 479 H2 = 64 + 0.7(1) = 64.7 X6 = 160 + 1(1) = 161 M\u00e1x. Z = 76,800 + 240(1) = 77,040 Si se hace un decremento de 10 horas, se tendr\u00e1n disponibles 150 horas semanales en el departamento de tejidointerior-exterior. Este cambio queda dentro del rango de B 3 y la soluci\u00f3n \u00f3ptima ser\u00e1: X1 = 480 - 1(-10) = 490 H2 = 64 + 0.7(-10) = 57 X6 = 160 + 1(-10) = 150 M\u00e1x. Z = 76,800 + 240(-10) = 74,400 g. g.
An\u00e1lisis de Sensibilidad para la disponibilidad del recurso de una restricci\u00f3n.
La tabla del análisis de sensibilidad, se puede ver que la disponibilidad de las horas semanales del departamento de teñido (B1 = 320) puede variar de 80 a 365.7143 sin provocar un cambio en su precio sombra (Z j= 120) dado por la columna de H1 Por ejemplo, si se incrementa en 30 horas el tiempo disponible semanal de teñido, el valor de B1 quedaría en 350; este cambio está dentro del rango del análisis de sensibilidad por lo que se tiene la misma solución y se calcula el valor de función objetivo. Viendo las tasas de intercambio de la columna H1, se pueden calcular los variables de la solución óptima, quedando: X1 = 480 + 2 (30) = 540 H2 = 64 – 1.4 (30) = 22 X6 = 160 Máx. Z = 76,800 + 120 (30) = 80,400 Si se tiene un cambio fuera del rango del análisis de sensibilidad como hacer B 1 = 400, este cambio hace que cambie la solución óptima del problema y el valor de la función objetivo. Para comprobar esto, se solucionó nuevamente el modelo cambiando el tiempo disponible de la restricción de teñido y se obtuvo la siguiente solución óptima: X1 = 400 X4 = 120 X6 = 160 Máx. Z = 84,000 h. h.
Cambio en la disponibilidad de recursos de una restricción.
El cambio afecta al tiempo disponible del departamento de tejido para interior-exterior (B3 = 160). Con un aumento de 60 horas, el tiempo disponible es 160 + 60 = 220 horas semanales. Este cambio está dentro del rango del análisis de sensibilidad que va de 68.5714 a 640. Este cambio en el tiempo disponible de la restricción de tejido interior-exterior, está vinculado con la variable de holgura H 3 y en su respectiva columna de la tabla final, se pueden ver las tasas de intercambio y su precio sombra (Zj = 240). Como hay un pago adicional de $50/hora y el precio sombra es de 240 por cada hora, se tendrá una ganancia adicional de 240 – 50 = $190/hora, dando un incremento a la utilidad de 60(190) = 11,400 por lo que el valor de la función objetivo y la solución óptima es de: X1 = 480 – 1(60) = 420 H2 = 64 + 0.7(60) = 106 X6 = 160 + 1(60) = 220 Máx. Z = 76,800 + 11,400 = 88,200 Cuando se soluciona el modelo con este nuevo valor, se encuentra una solución óptima igual a la calculada pero con una Máx. Z = 91,200. Este valor es diferente porque se calcula con el valor del precio sombra de 240, sin considerar el pago adicional que se hace por hora. Al restarle este costo, se llega al mismo valor en la Máx. Z.
i.
j.
i.
Precio a pagar por una unidad adicional.
El precio sombra de teñido se puede ver en la columna de H 1 de la tabla final (Zj = 120). Se podría pagar un incremento en el costo de hasta $120 como máximo, es decir el valor del precio sombra. j. Incremento del margen de utilidad para que una variable “no básica” entre a la solución óptima.
Para que la X5 entre a la base y aparezca en la solución óptima del problema, se requiere que su margen de utilidad se incremente en un valor mayor al valor absoluto de C j – Zj = -100 que se ve en la columna X5 de la tabla final. El margen de utilidad de X5 debe ser mayor a 200 + 100 = 300 para que se convierta en una variable de entrada a la base al quedar Cj – Zj con un valor positiva.
Por ejemplo, si C5 = 400 se tiene que la solución óptima es: X1 = 480 H2 = 64 X5 = 160 Máx. Z = 92,800 k.
k.
Rango de variación en coeficiente de contribución de la función objetivo.
En la tabla del análisis de sensibilidad, se ve el rango de variación para C 1, coeficiente de contribución de X1 en la función objetivo, siendo este rango de 50 a 300. Para comprobar que no se afecta la solución óptima del problema y que solo cambia el valor de la función objetivo, se dio el valor de C1 = 100 y se obtuvo la siguiente solución óptima: X1 = 480 H2 = 64 X6 = 160 Máx. Z = 96,000
l.
l.
Forzar un nuevo valor de una “variable básica”.
Si nos vemos obligados a incrementar en 1 el valor de X 6 = 160 + 1 = 161, ya que es una variable básica que está en la solución óptima del problema, se tendrá una solución infactible ya que no cumple con la restricción de teñido ni con la de tejido interior-exterior. En el teñido se consumen 320.5 horas semanales haciendo una producción de X1 = 480 y X6 = 161 contra 320 horas que se tienen disponibles. En el tejido interior-exterior, este programa consume 161 contra las 160 horas semanales disponibles. En ambas restricciones se consumirían más recursos que los que se tienen disponibles, luego esta solución no se puede hacer.
m. m.
Rango de variación en la disponibilidad del recurso de una restricción.
Si en tejido de afelpadas se pudieran utilizar horas adicionales sin costo extra, se vería que el rango de variación en el análisis de sensibilidad para B 2 es de “336 a infinito”, esto significa que cualquier cambio dentro de este rango mantiene las mismas variables óptimas pero con diferente valor y el mismo valor de la función objetivo. Esta restricción no es una restricción dominante puesto que en la solución óptima, le sobra tiempo H 2 = 64 pero si insistimos en darle más tiempo, solo se tendrá más tiempo sobrante en H 2 y la misma solución óptima y valor de la función objetivo. Por ejemplo, si se hace B 2 = 350 y B2 = 1,000 y se soluciona el modelo, se tiene que: Con B2 = 350
Con B2 = 1,000
Solución óptima X1 = 480 H2 = 14 X6 = 160 Máx. Z = 76,800
Solución óptima X1 = 480 H2 = 664 X6 = 160 Máx. Z = 76,800
