RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . a – b .
a : Antecedente b: Consecuente
Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. .
a . b
a : Antecedente b: Consecuente
PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico Proporción Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – a – b = r y c – c – d = r, entonces: . a – b = c – c – d .
. a+b=c+d .
Clases Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: . a – b = c – c – d .
. d: 4ta diferencial .
Continua Cuando los términos medios son iguales: . a – b = b – b – c .
.
. b
b: media d iferencial o media a ritmética . c: 3era. difer encial
Proporción Proporción Geométrica o Equicociente: Si:
ac . 2
a c = k y = k entonces b d NOTA:
. a.d=b.c .
2
RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . a – b .
a : Antecedente b: Consecuente
Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. .
a . b
a : Antecedente b: Consecuente
PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico Proporción Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – a – b = r y c – c – d = r, entonces: . a – b = c – c – d .
. a+b=c+d .
Clases Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: . a – b = c – c – d .
. d: 4ta diferencial .
Continua Cuando los términos medios son iguales: . a – b = b – b – c .
.
. b
b: media d iferencial o media a ritmética . c: 3era. difer encial
Proporción Proporción Geométrica o Equicociente: Si:
ac . 2
a c = k y = k entonces b d NOTA:
. a.d=b.c .
2
.
a b
c . d
b, c : Medios a, d : Extremos
Clases Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde:
a b
.
c . d
. d: 4ta proporcional .
Continua Cuando los términos medios son iguales 3
a b . . b c NOTA:
. a . c = b2 .
.
. b a.c .
b: media p roporcional o media geométrica . c: 3era. propo rcional
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor 1) .
a1 a2 a3 ..... an k . b1 b2 b3 ..... bn
2) .
a1 a2 a3 ............. an n k . b1 b2 b3 ............bn
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: .
a1 a2
a2 b2
a3 b3
...............
donde: a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad
an bn
k .
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes? Rpta. 40
2. Dada la proporción:
a b
c; d
a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 Hallar el valor de “a” Rpta. 9
Rpta. 72
9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo. 10. Rpta. 40 En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900? Rpta. 135
3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica 4. Rpta. 10 El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta.
b + p = 15 m + n = 14, calcular: a . b . n
$ 220
5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre? Rpta. 11
6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor
11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números Rpta. 65
12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: Rpta. 6 2
13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 12 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes Rpta. 60
Rpta. 185
7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado? Rpta. S/. 702
8. Si:
a b n 1 , además. m n p 2
14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación 11 11, 3 y 560. hallar uno que los números de los números 15. Rpta. 140 En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601 Rpta. 3
4
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números A) 80B) 160 D) 45 E) 40
A) 30/8B) 15/2 C) 20/3 D) 8 E) 15
C) 90
2. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números? A) 66 B) 55 D) 121E) 156
6. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números?
C) 132
7. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios. A) 1 D) 4
A) 88 B) 78 C) 72 D) 66 E) 64 4. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción A) 9 B) 8 D) 15 E) 16
A) 12 B) 24 D) 48 E) 60 9.
Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76
C) 12
5. Una ciudad esta dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad? A) 80 B) 70 C) 100 D) 150E) más de 150
C) 3
8. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números.
3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:
ab c 5 7 10
B) 2 E) 5
Si:
C) 36
a b c y a + b = 20. 2 8 7
Hallar: a . c + b
A) 22B) 64 D) 60E) 72
C) 71
10. Si se cumple:
a b 24 e 2 3 c d f
Además: (*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + d calcular: b + d + f
A) 12B) 24 D) 48E) 60
C) 36
CLAVES
1. C
6. B
2. C
7. B
3. A
8. D
4. C
9. E
5. D
10. D
5
¿SABÍAS QUÉ...
LUIGI GALVANI (1737 – 98)
6
El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana c ontenían electricidad, lo que denominó electricidad animal. Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745 –1827), cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos teorías era completamente correcta. Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro en su honor.
PROMEDIOS Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:
a1 a2 a3 MENOR VALOR
……......
PROMEDIO
an
MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIO Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) O simplemente promedio .
Dar la
MA
7
Suma de datos . Número de datos
MA de: 7; 13 y 4
Resolución
7 13 4 = 8 3 OJO: SEA “n” NÚMEROS Y “ s” SUMA DE LOS NÚMEROS
. S=n.
MA (“n” números)
.
Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) . MG n Pr oducto de los datos . n: número de datos
Dar la
MG
de: 5; 15 y 45
Resolución 3
5 . 15 . 45 15
Promedio Armónico o Media Armónica ( MH ) .
Dar la
MH de: 6; 2 y 3
Resolución 3 3 1 1 1 6 2 3
MH
Número de datos . Suma de Inversa de los datos
Consideraciones importantes
Para 2 cantidades “a” y “b” . MA
ab . 2
. MH
2
11 a b
.
MG ab .
2ab . ab
Dado: 0 < a1 a2 a3 ……….…. an
8
Se verifica que:
an .
Si todos los valores son iguales MA MG MH
Para cantidades “a” y “b”
MA MG
MH 0
MAYOR MENOR PROMEDI O PROMEDIO
.
. MG 2 MA . MH . .
( a b) 2 . MA MG 4(MA MG)
LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10
MA
3 5 10 3
6
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
Nuevo 3 5 10 7 4 = 7 = 3 3 Pr omedio PROMEDIO INICIAL
VARIACIÓN
IMPORTANTE
nuevo promedio var iación del promedio inical promedio Donde:
var iación del promedio
total que se total que se dis min uye = aumenta Número de datos
19
Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución:
NOTAS 11 17 13
PESOS 2 1 3 6
+
TOTAL 11 x 2 17 x 1 13 x 3 78
+
La nota promedio será:
11 . 2 17 . 1 13 . 3 78 13 213 6
En general: .
PP
a1 P1 a2 P2 a3 P3 .......... an Pn . P1 P2 P3 ..........Pn
Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc 20
9
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Se tienen los siguientes números – 18, -16, -14, -11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. luego, de las siguientes proposiciones cuáles son correctas I. La media de los valores absolutos de los números negativos es mayor que el promedio total. II. La media de los valores positivos es 10,333....... III. La media de los números positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los números negativos IV. La media de los números positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los números negativos V. Los dos ceros no afectan a la media de los números 2. Rpta . I, II y III La nota promedio de un examen es “P” el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio? Rpta. P +
2 3
una cuarta al promedio, disminuye en 2. se puede afirmar que: I. La edad del cuarto es mayor que el promedio II. La edad del cuarto es menor que el promedio III. Por lo menos una persona es mayor que el cuarto El promedio de 50 6. Rpta . II y III números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio? Rpta. 4,9
7. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? Rpta. 64
8. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números? Rpta. 14
3. Se tiene 4 números. A la añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtiene los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 números es igual a: Rpta. 45
4. Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula? Rpta. 40%
5. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. Y se agrega
9. El mayor de dos números enteros es 40 22 y el menor promedio es 30. hallar la diferencia de los números Rpta. 40
10. El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2 2 . ¿Cuál es el 21 promedio aritmético de estos números? Rpta. 3.75
11. Hallar dos números enteros cuyo producto es 600 sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor. Rpta. 20
12. La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias?
10
13. Rpta. 12 El promedio de las edades de “n” alumnos es “m” años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno y a la otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en:
15. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699, la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideramos? Rpta. 949
Rpta. 0.75
14. El promedio de un conjunto de valores es “P” si se eliminan 31 números cuya suma es 527 el promedio de los restantes sigue siendo “P” ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P? Rpta. 119E PUBLICACIONES
11
A) 10 B) 11 D) 25 E) 15
PROBLEMAS 1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón A) 15B) 16,2 C) 15,2 D) 15,1E) 16,1 2. El promedio de las edades de cinco personas res 48. si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas? A) 16 añosB) 18 añosC) 19 años D) 21 añosE) 24 años 3. Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.? A) 168 kgB) 169 kgC) 170 kg D) 171 kgE) 172 kg 4. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. el número de dichos números puede ser: A) 2 B) 3 D) 5 E) 6 5.
C) 4
Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene.
A) 23B) 22,5 C) 20,5 D) 22E) 21 6. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años.
C) 20
7. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares también de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la media aritmética de los impares de 2 cifras no considerados?
8.
A) 75 B) 60 C) 65 D) 55 E) 35 Hallar la media aritmética de 2, 4, 6, 8, 10 A) 3 B) 5 D) 8 E) 10
C) 6
9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4 P. A = (8, b, 12) = 10 Hallar la media aritmética de: ayb A) 6 B) 8 D) 12E) 14
C) 10
10. Dados los números 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico. A) 0,5 B) 1 D) 0,3E) 1,3
C) 1,5
CLAVES
1. C
6. A
2. E
7. C
3. A
8. C
4. C
9. B
5. B
10. B
12