4. Ejemplos

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3.6 Di str i bución uni for me de pr obabil i dad

3.6 Distribución uniforme de probabilidad Ir al Inicio de la Página

VII.1. Distribución Uniforme VII.1.1 VI I.1.1.. Función de Densidad Una variable aleatoria continua X continua X se se apega a un modelo probabilístico uniforme en el intervalo [a, [a, b], b], si todos los puntos del intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Definición. Una variable aleatoria X está distribui Definición. distribuida da uniformement uniformementee en el intervalo [a, b], en donde a y b son finitos, si su función de densidad es:

La gráfica que representa esta distribución es: Poner gráfica

De acuerdo a lo anterior, una variable aleatoria distribuida uniformemente, tiene una función de densidad que es una constante en el intervalo de definición [ a, b]. b ]. A fi fin n de satisfacer la co condici ndición ón de que debe ser igual al recíproco de la longitud del intervalo.

, la fu funci nción ón de densidad

Para cualquier subintervalo [c, [c, d ], ], en donde a c
VII. VI I. 1. 2. Función de Distribu Distribución ción Acumulada. Acumulada. La Función de Distribución Acumulada está dada por:

, por lo que:

148.204.211.134/poli l i br os/z_basur a/Pol i l ibr os/Pr obabil i dad/doc/Uni dad 3/3.6.H TM

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Ejemplo 7. 1. Sea X Sea X una una línea cuyos valores se apegan a una distribución uniforme. Se elige un punto al azar sobre el segmento de la línea [0, 2]. ¿Cuál es la probabillidad de que probabi que el pun punto to eleg elegiido se encu encuen entre tre entre entre 1 y 1.5?. Solución. Se ha establecido que para cualquier subintervalo que está dentro del intervalo donde tiene validez la distribución, la probabilidad se calcula mediante la siguiente expresión:

P(c x d)= En consecuencia:

Ejemplo 7.2. La cantidad de refresco que se despacha en un baso es una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros. Calcular la probabilidad de que un vaso contenga a lo más 140 mililitros. Solución. Deseamos encontrar P( x x 140) y sabemos que el planteamiento corresponde a la función de distribución acumulada para el valor 140. Utilizando la expresión correspondiente vista anteriormente tenemos:

Ejemplo 7. 3. Se sabe que el peso X peso X de de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas. Encontrar:



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a)

b) Ejemplo 7. 4. Suponga que la variable aleatoria X X está está distribuida uniformemente en el intervalo [- a , a]. Determinar el valor de a de modo que se satisfaga que P( x x > 1) = 1/3 Solución.

Tenemos que Por otra parte sabemos que:

por lo lo que: que:

Ejemplo 7. 5. Suponga que X que X está está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8]. a)

Calcular Calcul ar P(2 £ x £ 7)

b)

Determ Det ermiina narr el val alor or de la la constan constante te k, de modo que: P( X X > k ) = 0.30

Solución.

De acuerdo a lo visto anteriormente sabemos que



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a) Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un experimento esté entre 1.5 y 3 minutos. b) Si se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos? Solución.

a)

Sabemos que

c) Si analizamos esta pregunta y tomamos en cuenta el resultado del inciso anterior, nos damos cuenta que se debe utilizar la distribución binomial, en la que p = 0.5, q = 0.5, n = 5 y x y x = 2, por lo que:

VII. 1. 3. Media o Esperanza. En el capítulo anterior vimos que la media o valor esperado de una variable aleator aleatoriia continu continuaa es . Si referim referimos os esta expresión al intervalo [a, [a, b] y utilizamos la función de densidad de la distribución, tenemos que:

Ejemplo 7. 6. Sea una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme en el intervalo [2, 6]. Calcular la media o valor esperado. Solución.

Sabemos que m = E( x) x ) =

, por lo que m = E(x) =



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Solución.

a)

Sabemos Sa bemos

que

y sustitu sustituyendo yendo val valore oress

. Despejando nos queda

tenemos

b = 2(40,000) – 30,000 =

50,000

c)

P( x x > 34,000) = 1-

VII. 1. 4. Variancia. También vimos que la variancia se calcula con la siguiente expresión:

, donde . Si nuevamente referimos esta expresión al intervalo [a, [a, b] b] y utilizamos la función de densidad de la distribución, tenemos:

Sustituyendo valores tenemos: =

Este resultado indica que la variancia de X X no no depende individualmente de a y de b, sino sólo de (b-a ( b-a))2, es decir, del cuadrado de su diferencia. Por lo tanto, las variables aleatorias distribuidas uniformemente en un intervalo (no necesariamente el mismo), tendrán variancias iguales si las longitudes de los intervalos son iguales.



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Solución. Lo primero que debemos conocer es el intervalo [a, b] donde tiene validez la función, para lo cual debemos calcular los valores de a y b. Con los datos que proporcion proporci onaa el probl problem emaa podemos podemos establ establecer ecer un un si sistem stemaa de 2 ecuaci ecuacione oness con 2 incógnitas, como veremos a continuación. Sabemos que:

y tamb también ién que Despejando de la ecuación (1) obtenemos b = 2 – – a a y haciendo lo propio de la ecuación (2) tenem tenemos os que

y sacando raíz cuadrad cuadradaa

, por lo que b = 4 + a. Igualando las ecuaciones nos queda 2 – a – a = 4 + a. Despejando tenemos que a = - 1. Susti Sustituy tuyendo endo a = - 1 en la ecuación ecuación b = 4 + a obtenemos b = 3.

Sabemos que P( x x 0) = F( x) x )

4. Ejemplos

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