4.
FUNCIONES
Composición de Funciones
Dominio
Recorrido
Representación Gráfica
Funciones
Análisis
Función Inversa
Funciones Elementales
Función Lineal
Función Constante
Función Definida Por Tramos
Func Funció ión n Peri Periód ódic ica a
Func Funció ión n Pote Potenc ncia ia
Función Raíz Cuadrada
Función Logarítmica
Función Cuadrática
Función Raíz Cúbica
Casos Particulares
Función Exponencial
Ceros
Ecuaciones con Radicales
Ecuaciones Logarítmica
Casos Particulares
Función Valor Absoluto Decrecimiento y Crecimiento Función Parte Entera Máximos y Mínimos
Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas
Función Exponencial
Función Exponencial Natural
Aplicaciones
Crecimiento Exponencial
Decrecimiento Exponencial
Ecuaciones Exponenciales
4.1
Relaciones y Funciones Aprendizaje Esperado Representa diversos tipos de funciones, en forma analítica y gráfica, considerando sus características esenciales.
Criterio De Evaluación Identifica las características principales de las relaciones y/o func iones reales.
{} {}
1.
Sean y . a) Determina el producto cartesiano de los conjunto A y B. b) Escribe tres relaciones de A en B.
2.
Sean por extensión.
3.
Dadas las siguientes relaciones definidas gráficamente, escribirlas señalando sus pares por extensión.
{} {} y
. Sean
a) R
a
1
b
3
c
5
{} {}
Dada la relación en
5.
Sea una relación definida por a) Hallar A y B b) Grafica en un diagrama sagital. c) Grafica en un diagrama cartesiano.
6.
Sean
c)
{ }
B
4.
b)
una relación definida por
b)
A
a)
. Hallar el dominio y recorrido de R.
{} {} {} {} {} y
. Dadas Las relaciones de A en B, determinar cuáles son funciones. d) e)
{} {}
. Escribir R
{}
{}
7.
Considerando el conjunto , el conjunto y la relación de dependencia, o correspondencia, entre A y B que “asigna a cada elemento su cuádruple”. Decide si esta relación es una función de A en B y determine su dominio y recorrido.
8.
Sean a)
c)
las funciones definidas por los siguientes diagramas. Determinar si
A
B
f 1
1
5
2
6
3
7
4
8
A
B
f 3
1
b)
d)
5
2
6
3
7
4
9.
A
es uno a uno, sobre o biyectiva.
B
f 2
1
5
2
6
3
7
4
8
A
B
f 4
1
5
2
6
3
7
4
8
¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones? y
y
x
y
x
y
x
x
10. Indique para cada función:
Dominio y recorrido Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Puntos de corte con los ejes. Valores extremos. Máximos y mínimos de una función.
y
40
A
y
30
20
15 x
0 -5
-4
-3
-2
x
0
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
B
-20
-1
0
1
2
3
4
5
-15
-40
-30
y
30
1,5
y
1
20
0,5 10 x
0 -5
-4
-3
-2
x
0
-1
0
1
2
3
4
-8
-6
-4
-2 0 -0,5
2
4
6
-1
5
-10
-1,5
5
y 20
y
3 1
10
-1 0 -3 x
0 -5
-4
-3
-2
8
-1
-5 0
1
2
3
4
x 1
2
3
4
Criterio De Evaluación Grafica funciones determinando puntos de ella a través de la construcción de tablas de valores y de análisis del Dominio y Recorrido.
11. Dada la función
. Determine:
a) Dominio y recorrido de la función f. b) Complete la siguiente tabla de valores.
1,8
2,2
2,5
12. Dada la función real:
Determine
a) Dominio y recorrido de g b) Construya una tabla de valores adecuada y esboza una gráfica aproximada de la función
13. Para cada una de las siguientes funciones:
Determine el dominio y recorrido
Construye una tabla de valores adecuada y grafique
a) b)
c)
14. Haga una gráfica aproximada de las funciones representadas por las siguientes tablas de valores:
a)
b)
c)
3
4
5
Criterio De Evaluación Operar y/o componer funciones aplicando propiedades algebraicas.
15. Evalúe las siguientes funciones en los siguientes puntos: a) b) c)
√ ,
,
d) e) f)
16. Con las funciones del problema anterior, halla una expresión para: a) b) c)
17. Dadas las siguientes funciones , encuentre para cada una de ellas, si existen, las imágenes de preimágenes de y 5:
a) b) c)
18. Sean a) b) c) d) e)
19. Sean a) b) c) d)
y
y
d) e) f)
, dos funciones reales. Halla:
, dos funciones reales. Halla:
y
, y las
4.2
Función Afín y Función Cuadrática Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones polinomiales (afines y cuadráticas). Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones lineales y/o cuadráticas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.
20. Grafica las siguientes funciones lineales, indicando la pendiente y el coeficiente de posición de cada una: a) b) c) d)
e) f)
21. Dada la tabla indicada grafica la función lineal que representa los datos. a)
b)
: Libro
1
2
3
4
5
: Valor, $
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
: Tiempo, minuto
0
2
4
6
10
: Temperatura, °C
19,8
22,3
24,8
27,3
32,3
22. Un corredor de la bolsa cobra $20.000 más $25 por cada acción comprada o vendida. La comisión corredor, en pesos, es, entonces, una función del número de acciones transadas: Realiza el gráfico de esta función para n entre 0 y 10.000.
de este .
23. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, indicando las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la intersección con el eje y: a) b) c) d)
24. Represente gráficamente la función que relaciona el costo total de producción de una industria de maquinaria pesada, (en millones de dólares), con el número de unidades fabricadas, , es:
Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones cuadráticas, aplicando diferentes métodos.
25. Determinar las raíces o ceros de las siguientes funciones de segundo grado a) b) c) d)
e) f) g) h)
26. Resuelve: a) b) c)
d) e) f)
27. Resuelve mediante factorización las siguientes ecuaciones: a) b) c)
d) e) f)
28. Resuelve mediante completación de cuadrado del binomio: a) b) c)
d) e) f)
29. Resuelva por cualquier método las siguientes ecuaciones: a) b) c)
d) e) f)
30. Resuelve y comprueba las soluciones encontradas: a)
b) c)
31. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) b) c)
d) e) f)
Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o co ntextualizados a la especialidad, mediante funciones polinomiales, de manera analítica y gráfica.
32. En cada gráfico, determina la pendiente, el coeficiente de posición, el intercepto con el eje x y la expresión que representa cada función lineal. a)
b)
33. Encontrar la expresión de la función lineal que se asocia al ingreso por la venta de cierto número de artículos, si se sabe que por la venta de 40 artículos ingresaron $4.500, y por la venta de 15 artículos el ingreso fue de $2.000. 34. Una compañía que fabrica cierto producto tiene $320 en Costos fijos. Si el Costo variable por producir una unidad es de $ 4. Encontrar la función lineal Costo total de este producto y el valor de este Costo por la fabricación de 50 unidades. 35. Si en el ejercicio anterior se considera que cada producto fabricado se puede vender a $ 6. ¿Cuál será la función lineal Ingreso y cuál será la función lineal Utilidad de esta operación? 36. En la producción de una Industria, el Costo Fijo es de 650 dólares a la semana y el Costo Variable por la elaboración de ciertos productos es de 9 dólares la unidad. Escribir la función lineal Costo Total y calcular el monto de este, para la producción de 150 de estos productos.
37. El Ingreso por la venta de ciertos artículos para repostería está dado por: pesos y el costo de producirlos por pesos. Determinar la Utilidad si se producen y venden en un día 50 de estos artículos.
38. En una Industria de tubos de polietileno, se necesita una función para determinar la bonificación mensual de sus operarios con relación a su producción. Si todos los trabajadores reciben de bono base $105.500 y la producción mensual máxima es de 9.000 Kg de acuerdo a la exigencia de las máquinas. El bono correspondiente por cada kilogramo producido se cancela a $ 12. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador? ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 kg? 39. Para las siguientes gráficas determina: Signo del coeficiente a. Signo del Discriminante Δ. Raíces o ceros de la función cuadrática.
Coordenadas del vértice. Intercepto con el eje y.
a)
c)
b)
d)
40. Una empresa produce un bien, cuyo costo promedio (en miles pesos) para x unidades, viene dado por:
a) ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades del bien? b) ¿Cuál es el costo mínimo? c) ¿Cuántas unidades se deben producir del bien para que el costo sea mínimo?
41. Se lanza un objeto desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con cierta velocidad inicial. Cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento, su altura h en metros está dada por . a) ¿Cuál es la altura que alcanza el objeto a los 1,5 segundos? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
42. Un fotógrafo tiene una foto de 18 por 24 cm (centímetro). Desea reducir la foto la misma cantidad de cada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área de la foto original. ¿En cuánto tiene que reducir la longitud de cada lado? 43. Si la ecuación
tiene una solución igual a
, ¿Cuál es el valor de k?
44. La suma de tres veces un número entero positivo con el cuadrado del número es 154. ¿Cuál es el número? 45. El producto de dos números enteros positivos es 88. Si uno es 3 unidades mayor que el otro, encuentre los números.
4.3
Función Exponencial y Función Logarítmica Aprendizaje Esperado Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas. Criterio De Evaluación Calcula y/o reduce expresiones logarítmicas numéricas y/o algebraicas, mediante el uso de la definición y sus propiedades.
46. Calcula: a) b) c)
d) e) f)
√
47. Aplica propiedad de logaritmos y desarrolla las siguientes expresiones: a)
b)
c)
√ √
d) e)
f)
48. Reducir a un solo logaritmo: a) b)
c) d)
Criterio De Evaluación Representa gráficamente funciones exponenciales y/o logarítmicas dadas mediante enunciados, tablas o expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos.
49. Grafique las siguientes funciones exponenciales de acuerdo a las tablas de valores entregadas:
50. Grafique las siguientes funciones partiendo de los gráficos anteriores. Determine su dominio, recorrido y asíntotas. a) b) c)
d) e) f)
51. Grafique las siguientes funciones logarítmicas de acuerdo a las tablas de valores entregadas:
0,1
2,30
0,5
0,69 0
2
0,01
1
0,1
0
1
0
1
10
1
2
100
2
3
1.000
3
4
Criterio De Evaluación Resuelve ecuaciones logarítmicas y/o exponenciales, aplicando diferentes métodos.
52. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m)
53. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) b) c)
d) e) f)
√ √
Criterio De Evaluación Resuelve problemas cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando métodos gráficos y/o analíticos.
54. Una población de bacterias crece de forma tal que en el tiempo t su tamaño está dado por:
Si se sabe que . a) Determina la población inicial. b) Calcule A, con tres decimales exactos. 55. Se invierte $2.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto tiempo le llevará incrementarse a $3.221.020? 56. Debido a una depresión económica una cierta región tiene una población que decrece. En 1990 la población fue de 700.000 habitantes y de ahí en adelante se rigió por la función: , donde t representa los años transcurridos desde 1990. Suponiendo, que esta tendencia continúa, calcule la población proyectada para el año 2011.
57. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones
médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación: . Al suponer una concentración de 0,04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% ( ) de sufrir un accidente, ¿Cuál es el valor de la constante ?
58. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes en 1995 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continuará. ¿Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes? 59. Un modelo para el crecimiento de la población P de un país a los t años está dada por: ¿Cuántos habitantes habrá a los 5 años?
SOLUCIONES
{} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}
1. a) 2. 3. a) b) y 4. 5. a) 6. Son funciones a), b), e); Son relaciones c), d) . Sí, es una función porque cada elemento de A tiene una imagen en B. 7. y Rec Uno a uno: , ; Sobreyectiva: , ; Biyectiva: 8. 9. Representan funciones la primera y la cuarta gráfica 10. a) b) c) d) e) Dominio Recorrido
Puntos de cortes con eje x
]]
cuando:
Máximo
cuando:
Mínimo
12. a) b)
{} {} {}
Puntos de cortes con eje y
11. a)
[]
f)
,
b)
,
13. a)
b)
c)
[[ ;
{} {} ;
(√ ) (√ ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
15. a)
,
,
c)
,
,
e)
b)
,
,
,
,
,
,
e)
,
b)
,
,
,
,
d)
d)
,
b)
,
b)
c)
b)
c)
28. a)
b)
c)
b)
d)
e)
d)
,
f)
e)
f)
e)
f)
d)
c)
,
,
d)
f)
d)
b)
,
,
e)
e)
b)
32. a)
f)
h)
c)
30. a)
,
d)
d)
27. a)
e)
c)
c)
g) No tiene ceros en
31. a)
d)
c)
b)
f)
e)
c)
,
25. a)
29. a)
,
,
b)
26. a)
,
,
d)
c)
b)
23. a)
d)
,
e)
,
b)
;
34.
;
,
f)
,
pesos 35. Ingreso: ;
37.
; Utilidad:
;
Signo del coeficiente a Signo del Discriminante Δ Raíces o ceros de la función cuadrática Coordenadas del vértice
Positivo Negativo No tiene
40. a)
Negativo Positivo 1y5
Intercepto con el eje y
d)
53. a) 162 b) 55. 5 años
56.
e)
Positivo Positivo 1,5 y 2,5
Negativo Positivo y
Positivo (no se logra visualizar)
3
– – – – b)
c)
41. a)
46. a) 4 b) 10 c) 3 d) 4 e) 1 f) 0,347 47. a)
c)
,
,
b)
20. a)
d)
,
,
f) 18. a) 19. a)
.
c)
,
,
c)
,
,
f)
,
b)
17. a)
,
d)
16. a)
33. 36. 38. 39.
,
b)
52. a) 4 b) 10 c) 3 d) 3 e) 2
459.932 habitantes
57.
f) 5
54. a)
f)
48. a)
g)
h) 7 i)
j)
b)
k)
l)
b)
58.
44. 11 45. 8 y 11
c)
f)
c) 3 d) 5 e)
42. 6 cm 43.
b)
Aproximadamente 22,4 años
59. 27.182
habitantes
m)
