40 SOAL DAN PEMBAHASAN DERET BILANGAN MATEMATIKA MATEMATIKA
1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U1 = x 1/3 dan U2 = x 1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah r = U2/U1 = x1/2 : x1/3 = x (1/2-1/3) = x1/ U! = a. (r)" U ! = x 1/3 . x "/ U! = x / = x U1 = a-", U2 = ax maka r = U 2/U1 = ax/a-" = ax#" (ingat si$at eks%onen) U& = a.(r)' a!2 = a-" (ax#")' a!2 = a-" a'x#2& a!2 = a'x#2" !2 = 'x#2" 'x = 2& x=" Un = "-n dari %ersamaan ini da%at menentukan a = U1 = "-1, U2 = "-2
2. uku %ertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a-" dan ax. Jika suku kedela%an adalah a!2, maka bera%a nilai x 3. uku ke-n suatu deret geometri adalah "-n. *aka +umlah tak hingga deret tersebut sama dengan r = U2/U1 = "-2/"-1 = "-1 = 1/" n = a/1-r = 1/" : 1-1/" = 1/" : 3/" = 1/" 1/" x "/3 = 1/3 ". uku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah % ositi$, +umlah suku U1#U2 = "!dan U3#U" = 20, maka bera%a +umlah suku-suku dalam barisan tersebut diketahui : U1 # U2 = "! a # ar = "! a (1#r) = "! .. (1) U3 # U" = 20 ar 2 # ar 3 = 20 r 2 a(1#r) = 20 ..(2) kita substitusi %ersamaan (1) ke %ersamaan (2) r 2 ("!) = 20 r 2 = 20/"! ="/ r = 2/3 atau -2/3 karena suku-suku deret geometrin4a diketahui %ositi$ maka r = 2/3 kita menentukan nilai a a (1#2/3) ="! a x !/3 = "! a = "! x 3/! a = 2' dengan dimikian +umlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah = a/1-r = 2'/ (1-2/3) = 2' : 1/3 = 2' x 3 = &1 !. Jika +umlah takhingga deret a # a0 # a-1 # a-2 # a-3 # adalah "a, maka nilai a adalah deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan suku %ertama (a) = a r = 1/a dan = "a kita masukkan ke rumus = a/1-r "a = a/1-1/a "a = a 2/a-1 "a a-1 = a 2
"a2 5 "a = a2 (masing-masing ruas di kali 1/a) "a 5 " = a 3a = " a = "/3 . 6oba amati gambar bu+ur san gkar di ba7ah. Jika gambar tersebut diteruskan bera%a total +umlah luasn4a
8uas 9 = a x a = a2 8uas 99 = 1/2 a2 8uas 999 = 1/" a 2 dan seterusn4a dari deret geometri di atas terlihat nilai suku a7al = a 2 dan rasio = 1/2 n = a/1-r = a 2/0,! = 2a2 '. ebuah tali dibagi men+adi bagian 4ang %an+angn4a membentuk suatu barisan geometri. Jika tali 4ang %aling %endek adalah 3 m dan 4ang %aling %an+ang m maka %an+ang tali semula adalah suku a7al = 3 dan U = Un = a.r n-1 = 3.r ! r ! = 32 r=2 = a (1-r )/ 1-r = 3 (1-2 )/ 1-2 = -1&/-1 = 1& m &. hitung ber+alan lurus dengan kee%atan teta% " km/+am selama 1 +am %ertama. ;ada +am kedua kee%atan dikurangi men+adi setengahn4a, demikian seterusn4a, setia% +am kee%atan me+adi setengah dari kee%atan +am sebelumn4a.
b2#2b#1-2" = 0 b2#2b-& =0 (b#") (b-2) = 0 b = -" atau b = -2 untuk b = -" maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah &,",0 hasil kalin4a = 0 untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,", hasil kalin4a = "& 10. @iberikan sebuah barisan: ", 12, 20, 2&,... entukan suku ke-"0 dari barisan di atasA a=1 b = 12 B " = & n = "0 Un = a # (n B 1)b U"0 = " # ("0 B 1)& U"0 = " # 312 = 31 11. @iberikan sebuah deret: B10 # (B) # (B2) # 2 # # .... entukan suku ke-1' a = B 10 b = B B(B10) = " n = 1' Un = a # (nB1)b U1' = B10 # (1' B 1)" = B10 # " = !" 12. uku ke-22 dari barisan , 3, &', &1,...adalah.... , 3, &', &1,... a = b = 3 B = B Un = a # (n B1)b Un = # (22 B 1)(B) Un = # (21)( B) = B 12 = B 2' 13. Cumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n B 1) . >asil dari U 5 U' adalah.... U = 2n (n B 1) = 2() ( B 1) = 1& (&) = 1"" U' = 2n (n B 1) = 2(') (' B 1) = 1" () = = " U B U' = 1"" B " = &0
1". @ua suku berikutn4a dari barisan bilangan !0, "!, 3, 32, adalah.... ;erhatikan %olan4a adalah sebagai berikut: !0, "!, 3, 32, ....., ......
DDDDD
DDDDD
DDDDD
DDDDDD
DDDDDD
B! B B' B& B ehingga suku berikutn4a adalah 32 B & = 2" dan 2" B = 1! 1!. eorang %eker+a men4usun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika se%erti terlihat %ada gambar berikut.
entukan +umlah batu-bata % ada susunan ke-&A @ari: 3, , ,... a=3 b=3 U& =...... Un = a # (n B 1)b U& = 3 # (& B 1)3 = 3 # '(3) = 3 # 21 = 2" batu-bata 1. @ari sebuah deret aritmetika diketahui bah7a +umlah suku ke-" dan suku ke-' adalah &1. Jika deret tersebut memiliki beda !, tentukan suku %ertama de ret tersebutA @ata: U" # U' = &1 U" = a # 3b dan U' = a # b sehingga U" # U' = (a # 3b) # (a # b) U" # U' = 2a # b &1 = 2a # b &1 = 2a # (!) &1 = 2a # "! 2a = &1 B "! 2a = 3 a = 1& U1 = a = 1& 1'. uku %ertama suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke- dan suku ke-" adalah 1", tentukan suku ke-&A @ata : U1 = a = 2 U = a # !b U" = a # 3b U B U" = 1" a # !b B(a # 3b) = 1" 2b = 1" b = 1"/2 = ' ehingga suku ke-& U& = a # 'b U& = 2 # '(') = 2 # ! = !1 1. @ari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah "1 dan suku ke-! adalah 21, maka besarn4a suku ke-!0 adalah .... Un = a # ( n 5 1 )b U10 = a # b = "1 U! = a # "b = 21 D !b = 20 b = " a # "b = 21 a # "." =21 a # 1 = 21 a =! U!0 = a # ( !0 5 1 )" = ! # "." = ! # 1 = 201 20. Jumlah n suku %ertaman deret aritmatika din4atakan dengan n = n2 # !n. uku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah . Un = n 5 n 5 1 U20 = 20 5 1 = (202 # !.20) 5 (1 2 # !.1) = !00 5 "! = ""
21. eorang %en+ual daging %ada bulan +anuari da%at men+ual 120 kg, bulan Eebruari 130 kg, *aret dan seterusn4a selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumn4a. Jumlah daging 4ang ter+ual selama 10 bulan adalah . @iketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln = 1.!0 kg 22. @iketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke5n. Jika U2 # U1! # U"0 = 1!, maka U 1 = . U2 # U1! # U"0 = 1! (a # b) # (a # 1"b) # (a # 3b) = 1! 3a # !"b = 1! (dibagi 3) a # 1&b = !! Jadi U1 = a # 1&b = !! 23. Jumlah n suku %ertama deret aritmetika adalah n = n2 # !/2 n.
*aka, U2 = a # (2 B 1)b 1 = a # b =F a = 1 5 b U! = a # (! B 1)b 31 = a # "b 31 = 1 5 b # "b 31 = 1 # 3b 12 = 3b b=" a = 1 5 b a = 1 5 " a = 1! Jumlah dari deret aritmatika da%at ditulis: n = (n/2)(2a # (n 5 1) b) 30 = (30/2)(2.1! # (30 5 1)") 30 = 1!.(30 # 11) 30 = 210
2'. @ari barisan aritmetika diketahui suku ke-' = 22 dan suku ke-11 = 3". (2&). >itunglah +umlah 1& suku %ertama deret aritmetika tersebutA Cumus: Un = a # (n B 1)b *aka, U' = a # (' B 1)b 22 = a # b =F a = 22 5 b U11 = a # (11 B 1)b 3" = a # 10b 3" = 22 5 b # 10b 3" = 22 # "b 12 = "b b=3 a = 22 5 b a = 22 5 1& a=" Jumlah dari deret aritmatika da%at ditulis: n = (n/2)(2a # (n 5 1) b) 1& = (1&/2)(2." # (1& 5 1)3) 1& = .(& # !1) 1& = !31 2. Cumus suku ke-n suatu barisan Un = 2n 5 n2. >itunglah +umlah suku ke-10 dan ke-11 barisan tersebutA Un = 2n 5 n2 *aka, U10 = 2.10 5 (10)2 U10 = 20 5 100 U10 = 5 &0 U11 = 2.11 5 (11)2 U11 = 22 5 121 U11 = 5 U10 # U11 = 5 &0 # (5 ) U10 # U11 = 5 1'
3'. @iantara -! dan ! disisi%kan " bilangan, sehingga bilangan a7al dan sisi%ann4a membentuk barisan aritmatika.
