5. Un motor de gas ideal trabaja según un ciclo que, representado en el diagrama PV, es un rectángulo. Sean P1 y P2, respectivamente, las presiones inferior y superior, y designemos por V1 y V2 los volumenes inferior y superior, respectivamente. a). Calcular el trabajo realizado en un ciclo. b). Indicar que partes del ciclo implican paso de calor y calcular la cantidad de calor absorbido por el gas en un ciclo. (Suponer las capacidades caloríficas). c). Demostrar que el rendimiento de este motor es η =
γ − 1 γP 2 1 + V 2V P 2−P 1 −V 1
= CpdT = C p(T
Del camino 1→2 existe un proceso isobárico donde el sistema tiende a bajar su temperatura. Q1
→2
W 1
→2
1
=
−
T 2 )
P dV = −P (V 2 − V 1 )
En el camino 2→3 existe un proceso isocórico donde el sistema sube su temperatura. Q2
→3
=
CvdT = C v(T 3 − V 2 )
Ya que es un proceso a volumen constante W 2
→3
=0
= CpdT = C p(T
En el camino 3→4 hay un proceso isobárico Q3
→4
W 3
3
→4
=
−
T 4 )
P dV = P 2 (V 2 − V 1 )
En el camino de 4 →1 hay un proceso isocórico donde el sistema se enfría Q4
→1
=
CvdT = C v (T 4 − T 1 )
Ya que es un proceso a volumen constante W 4
→1
=0
a.) El trabajo total del sistema es la suma de los trabajos de cada uno de los procesos, así : W total total = W 1 W total total =
→2
+ W 2
→3
+ W 3
→4
+ W 4
→1
P 1 (V 2 − V 1 ) + 0 + P 2 (V 2 − V 1 ) + 0
−
Factorizando el término ( término ( V 2 − V 1 ) se obtiene : W total total = (P 2 − P 1 )(V 2 − V 1)
b.)Los caminos por donde hay paso de calor absorbido son : 2→3 y 3→4 donde el cálculo del calor absorbido es : 1
QH = Q 2
→3
+ Q3
→4
= C v(T 3 − T 2 ) + Cp (T 4 − T 3 )
Mientras que los caminos donde el calor es cedido por el sistema son : 1 →2 y 4→1 donde el cálculo total cedido es : QL = Q 1 →2 + Q4 →1 = C p(T 1 − T 2 ) + Cv(T 4 − T 1 ) c.) η =
W T =1 QH
−
QL QH
QL Cp(T 1 − T 2 ) + Cv (T 4 − T 1 ) = QH Cv (T 3 − T 2 + Cp(T 4 − T 3 )
Usando la ecuación de estado P V = nRT QL Cp (P 1 V 2 − P 1 V 1 ) + Cv (P 2 V 2 − P 1 V 2 ) = QH Cv (P 2 V 1 − P 1 V 1 ) + Cp(P 2 V 2 − P 2 V 1 )
multiplicando a ambos lados por
Cv y Cv
sabiendo que γ =
Cp , Cv
entonces
QL γ (P 1 V 2 − P 1 V 1 ) + ( P 2 V 2 − P 1 V 2 ) = QH γ (P 2 V 1 − P 1 V 1 ) + ( P 2 V 2 − P 2 V 1 ) η = 1 −
QL γ (P 2 V 2 − P 2 V 1 ) + (P 2 V 1 ) − (γ (P 1 V 2 − P 1 V 1 ) + ( P 2 V 2 − P 1 V 2 )) = QH γ (P 2 V 2 − P 2 V 1 ) + ( P 2 V 1 − P 1 V 1 )
Agrupando los términos de γ η =
γ (P 2 − P 1 )(V 2 − V 1 ) − (P 2 − P 1 )(V 2 − V 1 ) γ (P 2 V 2 − P 2 V 1 ) + ( P 2 V 1 − P 1 V 1 )
Factorizando el término ( P 2 − P 1 )(V 2 − V 1 ) η =
(γ − 1)(P 2 − P 1 )(V 2 − V 1 ) γP 2 (V 2 − V 1 ) + V 1 (P 2 − P 1 )
y multiplicando a ambos lados de la ecuación por η =
