UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE ENGENHARIASE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
Toledo/PR 2013
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Bruna Lariane de Medeiros Cesar Schadeck Tamara Larissa Wilhelm Tiago Ferreira Yohana Torquato dos Santos
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo. Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones
TOLEDO – PARANÁ 2013
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SUMÁRIO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
RESUMO ..................................................................................................... 4 INTRODUÇÃO............................................................................................. 5 MATERIAIS E PROCEDIMENTO ................................................................ 9 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................. 11 CONCLUSÃO ............................................................................................ 23 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .......................................................... 24 ANEXOS .................................................................................................... 25
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1. RESUMO Para um corpo imerso em um fluido com densidade determinada, existe uma força contrária à ação da força peso denominada de empuxo, relatada no princípio de Arquimedes. Para a verificação deste princípio, na prática laboratorial utilizou-se um cilindro de nylon, uma proveta graduada com capacidade máxima de 1000 mL e um dinamômetro. Primeiramente mediuse o peso real do cilindro e logo após começou-se a imergi-lo no primeiro fluído, a água, variando 10 vezes a profundidade e conferindo o peso aparente do cilindro registrado no dinamômetro. Então, esse procedimento foi repetido para o segundo fluído, o álcool. Assim, através do empuxo (diferença entre o peso real e o peso aparente) determinou-se a densidade de cada fluido e do corpo imerso. Portanto, foi possível verificar o princípio de Arquimedes e a existência da força empuxo, sendo esta contrária a força peso. Também verificou-se que com essa forças pode-se determinar a densidade do fluído e do corpo imerso.
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2. INTRODUÇÃO Um fluido é uma substância que pode escoar e assumir a forma do recipiente em que se encontra. A principal característica dos fluidos é que estes não podem resistir às forças paralelas à sua superfície, pois os mesmos escorrem, assumindo a forma do recipiente ou se deformando conforme o vetor força exercido. O estudo dos fluidos é a base da engenharia hidráulica, um ramo da engenharia com muitas aplicações praticas. Dentre os princípios e equações desenvolvidas durante o estudo do comportamento dos fluidos, um dos que se destaca é o Principio de Arquimedes. Considerando um corpo cilíndrico de área da base A e altura h, totalmente imerso em um fluido em equilíbrio cuja densidade é ρ (Figura 1). Por simetria, as forças laterais se cancelam aos pares, enquanto as forças aplicadas nas bases superior e inferior geram uma diferença de pressão, onde na parte inferior é maior que na parte superior que pode ser obtido da Lei de Stevin.
Figura 1: Corpo no fluido em equilíbrio. ( )
(1)
( )
(2)
6
Logo a diferença de pressão é dada pela Equação (3). ( ) ( ) ( )
(3)
Esta diferença de pressão cria uma força superficial resultante exercida pelo fluido sobre o cilindro (Equação 4). ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗
(4)
Onde, os vetores áreas são definidos pela Equação 5. ⃗ ⃗ ̂
(5)
Substituindo na Equação 4, obtemos a Equação 6. ⃗ ⃗ ⃗ [( ) ( )] ̂ ̂
(6)
Portanto o fluido exerce uma força vertical direcionada para cima, também conhecida como Empuxo ( ⃗). Por conseguinte, a força
E ,
em
termos da densidade do fluido e altura do objeto imerso, é dada pela Equação 7. ̂ ̂
(7)
Pela Equação 7 pode-se observar que o empuxo é proporcional ao volume imerso ( V h A ) do objeto e à densidade do fluido ( ), o que é equivalente à massa de fluido deslocada pelo objeto ( Equação 8 e 9).
(8)
7
̂
(9)
Por outro lado, o peso da porção de fluido deslocada é dada pela Equação 10. ̂
(10)
Então, pode-se concluir que a força de empuxo, exercida pelo fluido sobre o copo imerso, é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto, porém aplicada no sentido oposto à força peso do fluido (Equação 11).
(11)
Assim, no caso de um sólido, o empuxo atua sobre o sólido como força volumétrica aplicada no centro de gravidade do fluido deslocado, porém, a força peso do sólido continua atuando no centro de gravidade do mesmo. Se a densidade do sólido for menor que a do fluido, obtém-se que o empuxo é maior que a do peso, implicando a flutuação do sólido. Logo, o enunciado de Arquimedes se resume a: "Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido um empuxo igual e contrári o ao peso da porção de fluido destacada e aplicada no centro de gravidade da mesma".
O peso aparente ( ) de um objeto imerso em fluido é dado pela diferença entre o peso real do objeto e a força empuxo aplicada sobre o mesmo, conforme Equação 12.
(12)
Podendo reescrever a equação 12 segundo a Equação 13.
(13)
8
Este relatório tem por objetivo determinar a densidade da água, do álcool e do nylon pelo Principio de Arquimedes.
9
3. MATERIAIS E PROCEDIMENTO 3.1.
MATERIAIS
Em um tripé, uma garra foi posicionada com um dinamômetro de 2N prendendo em sua parte inferior um cilindro de nylon com 4,05 cm de diâmetro e altura 11,10 cm com uma escala graduada em mm na sua superfície lateral e um gancho na parte superior. Utilizou-se uma proveta de 1000 mL primeiramente com 700 mL de água e por segundo com 700 mL de álcool. 3.2.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Inicialmente ajustou-se o dinamômetro no zero e usando a garra prendeu-se a carcaça cilíndrica do dinamômetro à haste (Figura 2). Com o cilindro pendurado no dinamômetro anotou-se o valor do peso real. Depois de despejar 700 mL de água (parte 1) ou álcool (parte 2) na proveta, colocou-se o sistema dinamômetro-cilindro dentro dela, soltando a garra lentamente até que o cilindro ficasse imerso no nível de água desejado, sendo esse nível de 10 mm á 100 mm. Dessa forma, anotou-se em cada medida o peso aparente medido no dinamômetro e o novo volume de liquido na proveta.
10
Figura 02 - Sistema dinamômetro-cilindro.
Ainda determinou-se o volume de líquido deslocado pelo cilindro parcialmente mergulhado observando a variação do volume lido na proveta. Já o empuxo foi calculado em cada escala do cilindro através da Equação 12. Os valores encontrados foram relatados nas Tabelas 1 e 2.
11
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 4.1.
RESULTADOS EXPERIMENTAIS
4.1.1. PARTE 1 A partir das medidas experimentais realizadas durante a prática, obtiveram-se os valores apresentados na Tabela 1, esses dados são referentes as dez medidas de peso aparente, volume final da proveta, empuxo da água e o volume deslocado.
Tabela 1 – Peso aparente do cilindro, empuxo da água e volume deslocado pelo cilindro de nylon.
Escala no
Peso aparente médio
Volume final da
Empuxo do
Volume deslocado
cilindro (m)
do cilindro (N)
proveta (mL)
fluido (N)
(m3)(.10-5)
0 ± 0,001
1,64 ± 0,01
700 ± 5
0,00 ± 0,02
0 ± 1,0
0,01 ± 0,001
1,50 ± 0,01
720 ± 5
0,14 ± 0,02
2,0 ± 1,0
0,02 ± 0,001
1,38 ± 0,01
730 ± 5
0,26 ± 0,02
3,0 ± 1,0
0,03 ± 0,001
1,22 ± 0,01
750 ± 5
0,42 ± 0,02
5,0 ± 1,0
0,04 ± 0,001
1,16 ± 0,01
760 ± 5
0,48 ± 0,02
6,0 ± 1,0
0,05 ± 0,001
1,00 ± 0,01
770 ± 5
0,64 ± 0,02
7,0 ± 1,0
0,06 ± 0,001
0,86 ± 0,01
785 ± 5
0,78 ± 0,02
8,0 ± 1,0
0,07 ± 0,001
0,74 ± 0,01
800 ± 5
0,90 ± 0,02
10,0 ± 1,0
0,08 ± 0,001
0,60 ± 0,01
810 ± 5
1,04 ± 0,02
11,0 ± 1,0
0,09 ± 0,001
0,48 ± 0,01
825 ± 5
1,16 ± 0,02
12,5 ± 1,0
0,10 ± 0,001
0,34 ± 0,01
840 ± 5
1,30 ± 0,02
14,0 ± 1,0
4.1.2. PARTE 2 A partir das medidas experimentais realizadas durante a prática, obtiveram-se os valores apresentados na Tabela 2, esses dados são referentes
12
as dez medidas de peso aparente, volume final da proveta, empuxo do álcool e o volume deslocado.
Tabela 2 – Peso aparente do cilindro, empuxo do álcool e volume deslocado pelo cilindro de nylon.
Escala no
Peso aparente médio
Volume final da
Empuxo do
Volume deslocado
cilindro (m)
do cilindro (N)
proveta (mL)
fluido (N)
(m3) (.10-5)
0 ± 0,001
1,64 ± 0,01
700 ± 5
0,00 ± 0,02
0 ± 1,0
0,01 ± 0,001
1,54 ± 0,01
720 ± 5
0,10 ± 0,02
2,0 ± 1,0
0,02 ± 0,001
1,46 ± 0,01
730 ± 5
0,18 ± 0,02
3,0 ± 1,0
0,03 ± 0,001
1,34 ± 0,01
740 ± 5
0,30 ± 0,02
4,0 ± 1,0
0,04 ± 0,001
1,22 ± 0,01
755 ± 5
0,42 ± 0,02
5,5 ± 1,0
0,05 ± 0,001
1,12 ± 0,01
770 ± 5
0,52 ± 0,02
7,0 ± 1,0
0,06 ± 0,001
1,02 ± 0,01
780 ± 5
0,62 ± 0,02
8,0 ± 1,0
0,07 ± 0,001
0,92 ± 0,01
795 ± 5
0,72 ± 0,02
9,5 ± 1,0
0,08 ± 0,001
0,82 ± 0,01
810 ± 5
0,82 ± 0,02
11,0 ± 1,0
0,09 ± 0,001
0,70 ± 0,01
820 ± 5
0,94 ± 0,02
12,0 ± 1,0
0,10 ± 0,001
0,60 ± 0,01
835 ± 5
1,04 ± 0,02
13,5 ± 1,0
4.2.
ANALISE DOS DADOS
4.2.1. PARTE 1 Através dos dados obtidos experimentalmente, usando a Tabela 1, obteve-se o gráfico do peso aparente contra a altura do cilindro imerso na água (Figura 3).
13
Figura 3 - Peso aparente versus a altura do cilindro imersa na água. (Gráfico construído no software Origin Pro 6.0, Copyright © OriginLab Corporation).
A esse gráfico ajustou-se uma reta do tipo , onde, tem-se que:
Onde, é a densidade do fluido, a área da base do cilindro e a aceleração da gravidade. Assim:
Da reta ajustada, temos que:
Ou seja:
(14)
14
( ) ( )
Calculou-se então o valor da densidade da água, bem como seu erro, a partir da Equação (a) em anexo, considerado a gravidade em Toledo/PR, de 9,81 m/s2, temos:
Analisou-se também o gráfico do peso aparente versus o volume de água deslocado pelo cilindro (Figura 4).
Figura 4 - Peso aparente versus volume de água deslocado pelo cilindro. (Gráfico construído no software Origin Pro 6.0, Copyright © OriginLab Corporation).
A esse gráfico ajustou-se uma reta do tipo , onde v é a variação de volume de água na proveta. Tem-se que:
15
Assim:
(15)
Da reta ajustado, tem-se que:
Ou seja:
( ) ( )
Calculou-se então o valor da densidade da água, bem como o erro associado, a partir da Equação (b) em anexo, considerando a gravidade em Toledo/PR de 9,81 m/s2, tem-se: ( )
4.2.2. PARTE 2 Através dos dados obtidos experimentalmente, usando a Tabela 2, obteve-se o gráfico do peso aparente contra a altura do cilindro imerso no álcool (Figura 5).
16
Figura 5 - Peso aparente versus a altura do cilindro imersa no álcool. (Gráfico construído no software Origin Pro 6.0, Copyright © OriginLab Corporation).
Da mesma forma que na Parte I, determina-se a densidade do álcool através do coeficiente angular da reta ajustada. Da reta ajustada, temos que:
Ou seja: ( ) ( )
Calcula-se então o valor da densidade da água, bem como o erro associado através da Equação (a) do anexo, considerando a gravidade em Toledo/PR de 9,81 m/s2, tem-se:
17
( )
Analisou-se também o gráfico do peso aparente versus o volume de álcool deslocado pelo cilindro (Figura 6).
Figura 6 - Peso aparente versus volume de alcool deslocado pelo cilindro. (Gráfico construído no software Origin Pro 6.0, Copyright © OriginLab Corporation). Da reta ajustada, tem-se que:
Ou seja: ( ) ( )
18
Calculou-se então, o valor da densidade do álcool, bem como o erro associado, através da Equação (b) do anexo, considerando a gravidade em Toledo/PR de 9,81 m/s2, tem-se: ( )
Com as equações encontradas na analise de regressão é possível encontrar para que altura, ou volume, o peso aparente seria zero. Logo:
(16)
(17)
(18)
Ou ainda:
(19)
19
Onde: = densidade do nylon (kg/m 3); = densidade do fluido (kg/m 3); H = comprimento do cilindro de nylon ; h = comprimento do cilindro quando o peso aparente é nulo.
O valor para qual cada reta de regressão encontra o eixo das coordenadas é dado pelas Equação 20.
(20)
Calculou-se os valores de , bem como seu erro, através da Equação (c) do anexo, o valor encontrado para a Figura 3 foi ( ) e para a Figura 5 foi ( ) . Relacionando o valor da densidade da água mais preciso que foi de ( ) , e o comprimento do cilindro para que o peso
aparente fosse nulo, ( ), foi possível obter a densidade do nylon. Segue abaixo o calculo da densidade do nylon a partir da Equação 19.
( ) ( ) ()
( ) ()
( )
Do mesmo modo, relacionou-se o valor da densidade do álcool mais preciso ( ) kg/m3 e o comprimento do cilindro para que o peso aparente fosse nulo, ( )m, foi possível obter a densidade do nylon. Segue abaixo o calculo da densidade do nylon a partir da Equação 19.
20
( ) ( ) ()
( ) ()
( )
4.3.
DISCUSSÃO
4.3.1. EMPUXO DA ÁGUA Percebeu-se que o peso aparente decresce conforme o cilindro é imerso na água, já o empuxo cresce. Isto acontece, pois o empuxo e o peso aparente somados equivalem ao peso real do cilindro de nylon, portanto se o cilindro é colocado na água, quanto maior for a profundidade menor será o peso aparente, pois o empuxo aumentará, fazendo com que a sua soma seja constante e igual ao peso real do cilindro de nylon, tornando-os inversamente proporcionais. 4.3.2. DENSIDADE DA ÁGUA A partir dos dados obtidos através da altura do cilindro imerso em água (Tabela 1), foi calculada a densidade da água, resultando em ( ) , e analisando os dados oriundos do volume de água deslocado
pelo cilindro, obteve-se a densidade da água de ( ) . De acordo com Portal do Professor, a densidade da água é 1000 kg/m³. Comparando a densidade obtida pela altura do cilindro imerso e o volume de água deslocado, percebeu-se que os intervalos dos valores experimentais não condizem com a literatura. Tal diferença de resultados e erros se deve ao fato que a água utilizada não era destilada, podendo conter outras substâncias em suspensão no fluido; devido ao grande diâmetro da proveta e por essa não ser um instrumento preciso, implicando em maiores erros em medidas exatas e ao erro de leitura do laboratorista.
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4.3.3. DENSIDADE DO ÁLCOOL O mesmo procedimento para determinar a densidade da água, foi utilizado para a determinação da densidade do álcool. Através dos dados obtidos usando a altura do cilindro imerso em álcool (70% álcool etílico), foi possível calcular a densidade do mesmo, sendo de ( ) , e através dos dados relativos ao volume de álcool
deslocado pelo cilindro, resultou em ( ) . De acordo com Quiñones, a densidade do álcool é 800 kg/m 3, sendo assim o valor encontrado pelo volume deslocado pelo cilindro foi satisfatório, visto que o valor acrescido ou diminuído do erro compreende o valor encontrado na literatura. Já a densidade encontrada pela altura do cilindro submersa em água, não foi condizente com a literatura devido ao fato da falta de informação do álcool utilizado, não tendo certeza do seu real teor de álcool; devido ao grande diâmetro da proveta e por essa não ser um instrumento preciso, implicando em maiores erros em medidas exatas e ao erro de leitura do laboratorista. 4.3.4. DENSIDADE DO NYLON
Através da água A densidade do nylon obtida através do valor de densidade mais preciso
da água foi de ( ) . Segundo Quiñones, a densidade do nylon é de 1200 kg/m 3. Portanto, o valor encontrado experimentalmente não foi satisfatório, apesar de ser próximo, o acréscimo ou decréscimo do intervalo de erro não abrange o valor da literatura. A não exatidão do valor encontrado para a densidade do nylon se deve aos erros citados anteriormente para a densidade da água.
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Através do álcool A densidade do nylon obtida através do valor de densidade mais preciso
do álcool foi de ( ) . Como citado anteriormente, a densidade do nylon é 1200 kg/m 3, portanto, o valor encontrado experimentalmente não foi satisfatório, apesar de ser próximo, o acréscimo ou decréscimo do intervalo de erro não abrange o valor da literatura.
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5. CONCLUSÃO Analisando os resultados do experimento, observou-se que a determinação da densidade da água pelo método da altura do cilindro imerso na água, obteve-se o valor mais próximo da literatura. Porém, em relação à determinação da densidade do álcool observou-se que o valor mais próximo da literatura foi encontrado a partir do método do volume de água deslocado pelo cilindro. Além disso, observou-se que quando o empuxo cresce o peso aparente decresce, ou seja, ocorre uma relação linear de proporção inversa entre o empuxo e o peso aparente. Constataram-se também divergências em relação à densidade no nylon quando determinado pela água e pelo álcool, isso pode ter sido causado por possíveis erros na coleta de dados no laboratório, ou uma propagação de erros dos instrumentos e métodos utilizados durante o experimento. Mesmo os erros interferindo nos valores das densidades, tanto da água, como do álcool e do nylon, observou-se que os valores foram próximos da literatura, comprovando o Princípio de Arquimedes.
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6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS NUSSENZVEIG, M.H.. Curso de física básica 1-mecânica. 3a edição São Paulo: Edgar Blucher Ltda, 1996.
Portal do Professor. Experimentando a Hidrostática. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/925/palco.swf > em: 20/07/2013. QUIÑONES, F.R.E. Prática V. Principio de Arquimedes. Toledo, 2013.
Acesso
25
7. ANEXOS
()
(a)
(b)
( ) ( )
()
(c)