BUKU AJAR
ANALISA STRUKTUR III
OLEH : I PUTU LAINTARAWAN, ST, MT. I NYOMAN SUTA WIDNYANA, ST, MT. I WAYAN ARTANA, ST. MT.
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HINDU INDONESIA
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmatNya sehingga penyusunan Buku Ajar Analisa Struktur III dapat diselesaikan. Tulisan ini disusun untuk menunjang proses belajar mengajar untuk mata kuliah Analisa Struktur III sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya tujuan dari mata kuliah ini dapat dicapai. Tulisan ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini, terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain. Penulis
menyadari
bahwa
tulisan
ini
masih
banyak
kelemahan
dan
kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat terutama yang mengasuh mata kuliah ini sangat kami perlukan untuk kesempurnaan tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Denpasar, Februari 2009 Penulis
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmatNya sehingga penyusunan Buku Ajar Analisa Struktur III dapat diselesaikan. Tulisan ini disusun untuk menunjang proses belajar mengajar untuk mata kuliah Analisa Struktur III sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya tujuan dari mata kuliah ini dapat dicapai. Tulisan ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini, terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain. Penulis
menyadari
bahwa
tulisan
ini
masih
banyak
kelemahan
dan
kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat terutama yang mengasuh mata kuliah ini sangat kami perlukan untuk kesempurnaan tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Denpasar, Februari 2009 Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR PENGANTAR .............................. .............................................. ................................ .............................. .............................. ................... ... i DAFTAR DAFTAR ISI .............................. ............................................ .............................. ................................ .............................. .............................. ................... ... ii BAB I MATRIK MATRIK ............................... ............................................... .............................. .............................. ................................ .......................... .......... 1 1.1 Definisi Matrik ........................ ............. ..................... ................... ................... ..................... .................... .................. .................... .................. ....... 1 1.2 Macam-Macam Matrix ................. .................... ........... .................. .................... .................... ................... .................... ............ 1 1.3 Operasi Matrik ................... ......... .................... .................... ................... .................... ........... .................... ........... ................... .................... ............ 3 1.4 Matrik Orthogonal .................. ........ .................... ................... ................... ..................... .................... .................. .................... .................. ....... 6 1.5 Teori Dekomposisi Matrix .............. .................... .......... ................... ................... ..................... ........... .................. ........... ....... 6 1.6 Solusi Persamaan Linier Simultan ................... .......... .................... ........... .................... ........... ................... .................... ............ 10 1.7 Matrix Partisi .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ .......................... .......... 11 1.8 Beberapa Rumus Khusus .............. .................... ........... .................. .................... ..................... ................... ................... ............ 12 BAB II KONSEP DASAR ANALISIS STRUKTUR ................................................. 16 2.1 Berbagai Macam Struktur Dan Idealisasinya .................... .......... .................... ................... ................... ................ ...... 16 2.2 Deformasi Dan Perpindahan (Displacement)............... (Displacement).......................... .................... ................... .................... ............ 21 2.3 Hubungan Antara Aksi Dan Deformasi (Constitutive Law) .................................. 24 2.4 Keseimbangan (Equiubrium) ................................................................................ 28 2.5 Pertimbangan Kinematis Struktur Yang Terdeformasi (Compatibility) ............... .. 29 2.6 Derajad Ketidak-Tentuan Statis Dan Kinematis ........... .. ................... ..................... ........... .................. ........... ....... 30 2.7 Prinsip-Prinsip Superposisi .................................................................................. 30 2.8 Pengertian Fleksibilitas Dan Kekakuan ................................................................ 31 2.9 Beban Nodal Ekivalen (Equivalent Joint Load)................... .......... ................... .................... ................... .............. ..... 35 BAB III ANALISIS ANALISIS STRUKTUR DENGAN METODE MATRIK MATRIK .................... ......... .................. ....... 36 3.1 Metode Fleksibilitas dan Metode Kekakuan ......................................................... 36 3.2 Metode Kekakuan-Langsung Kekakuan-Langsung ..................... ............ ................... ..................... .................... .................. .................... .................. ....... 37 3.2.1 Sistem Rangka Batang 2-Dimensi (Plane Truss) ................................................ 38 3.2.2 Sistem Portal 2-Dimensi (Plane Frame System) ................................................. 53 3.2.3 Sistem Kombinasi Rangka Batang Dan Portal 2-D ............................................ 77 3.2.4 Sistem Balok Silang (Grid System) .................................................................... 82
ii
BAB I MATRIK
1.1. Definisi Matrik
Bila kita mempunyai suatu sistim persamaan linier, maka koefisien dari persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Contoh
dapat ditulis
Jajaran bilangan tersebut, baik yang diberi notasi [A], {X}, ataupun {B} disebut matrix, dan secara umum untuk matrix [A] dapat dituliskan sebagai be rikut:
m, n adalah bilangan bulat
≥
1
aij = elemen-elemen dari matrix [A] (i = 1, 2, m) ; (j = 1, 2, n) m = banyaknya baris n = banyaknya kolom I m dan n adalah orde matrix m x n Matrix berorde m x n biasa ditulis dengan notasi [A]
1.2 Macam-Macam Matrix
Ada beberapa macam matrix, yaitu: a. Matrix bujur sangkar, bila m = n.
1
Elemen-elemen : a11, a22, ..., ann disebut elemen-elemen diagonal utama. b. Matrix baris, bila m =1. [ 1 2 3 4 5] [A] c. Matrix kolom, bila n = 1.
d. Matrix nol, bila aij = 0
Untuk matrik bujur sangkar, ada beberapa tipe, yaitu: a. Matrix diagonal, bila semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
b. Matrix satuan (unit matrix), bila elemen-elemen diagonalnya sama dengan 1, dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
2
c. Matrix Simetris, bila aij = aji.
d. Matrix Skew-simetris, bila aij = -aji.
1.3 Operasi Matrik
a. Kesamaan matrix, dua matrix [A] dan [B] dikatakan sama bila aij = bij. Jadi [A] dan [B] harus mempunyai orde yang sama. b. Penjumlahan matrix, bila [A) dan [B] mempunyai orde yang sama, maka kedua matrix tersebut bisa dijumlahkan menjadi matrix [C].
Sifat-sifat penjumlahan matrix:
c. Perkalian matrix dengan skalar. Suatu matrix [A] dapat dikalikan dengan skalar k, menghasilkan suatu matrix [D] = k [A), dengan dij = k. aij
3
d. Perkalian matrix dengan matrix lain. Matrix [A]mxp dan [B]pxn, dapat dikalikan menghasilkan matrix baru, yaitu : [E] mxn = [A]mxp [B]pxn
T
e. Transpose matrix, bila matrix [A]mxn maka transpose matrix [A]=[A] , adalah matrix ber orde n x m, dengan baris dan kolom matrix [A] menjadi kolom dan baris matrix T
[A] .
4
f. Determinan matrix bujur sangkar
Untuk matrix dengan orde yang lebih tinggi (n x n) cara serupa, dan rumus umum yang digunakan adalah:
g. Inverse matrix buiur sangkar. Matrix tidak dapat dibagi dengan matrix lainnya. Sebagai analogi, digunakan inverse dari matrix tersebut. Apabila [A] dan [B] adalah matrix bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka matrix [B] disebut inverse dari [A], dan [A] adalah inverse dari matrix [B]. Selanjutnya [A] disebut matrix non singular. Apabila [A] tidak mempunyai inverse maka matrix [A] disebut matrix singular Inverse -1
dari matrix [A] ditulis: [A] . Contoh :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain: metoda adjoint, metoda pemisahan, Gaus-Jordan, Cholesky, dan sejenisnya. Hanya salah satu metode yang populer, yaitu Gauss-Jordan saja, yang diuraikan berikut ini.
5
Metoda Gaus-Jordan
Akan dicari inverse dari matrix [A] nxn.
Langkah-langkah yang ditempuh sesuai
urutannya adalah: 1) Ambil matrix satuan [I]nxn. 2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matrix [A] menjadi matrix satuan. 3) Proses (2) juga sekaligus dilakukan pada matrix [I], sehingga setelah proses
selesai,
-1
matrix [I] telah berubah menjadi matrix [A] . Contoh :
1.4 Matrik Orthogonal -1
T
Suatu matrix bujur sangkar [A] disebut matrix orthogonal bila : [A] = [A] . T
-l
Jadi [A] [A] = [A] [A] = [I]
1.5 Teori Dekomposisi Matrix
Bila [A] sebuah matrix bujur sangkar seperti di bawah ini,
6
maka matrix tersebut dapat dikomposisikan dalam bentuk : [A] = [L] [U].
Contoh : Prinsip tersebut dapat diaplikasikan pada solusi persamaan linier simultan sebagai berikut ini.
dipakai pada Metoda Eliminasi Gauss dan Metode Cholesky, dimana dengan cara ini, {X) bisa diperoleh dengan cepat/mudah tanpa harus menghitung invers matrix [A]. (menghemat memori dan running time komputer). Pada analisis struktur dengan metode kekakuan langsung, akan selalu dijumpai matdx kekakuan yang selalu simetds. Bila [A] = matrix bujur sangkar dan simetris, maka:
7
sehingga :
Persamaan (*) dapat ditulis sebagai bedkut:
8
sehingga :
Secara umum:
Setelah diperoleh matrix [M], maka dengan persamaan (**), inverse matrix [A] dapat
9
dihitung :
1.6 Solusi Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sebagai berikut:
Secara matrix, persamaan-persamaan tersebut, dapat ditulis :
atau, secara lebih sederhana:
[A] : matrix bujur sangkar koefisien persamaan linear simultan. {X} : matrix kolom dari bilangan yang tidak diketahui {B} : matrix kolom dari konstanta yang diketahui
Penyelesaian dengan metode eliminasi Gauss
Dengan cara Operasi Baris, buatlah matrix [A] menjadi upper triangle matrix, (suatu matrix bujur sangkar dimana semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol). Selanjutnya, dengan cara eliminasi / back substitution, bilangan-bilangan tak diketahui dapat diperoleh.
10
1.7
Matrix Partisi
Suatu matrix dapat dipartisikan menjadi sub-matrix, dengan cara mengikutkan hanya beberapa bads atau kolom dari matrix aslinya. Masing-masing garis partisi harus memotong semua baris/kolom dari matrix a slinya.
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matrix partisi persis sama dengan mengoperasikan matrix biasa. Contoh :
11
1.8 Beberapa Rumus Khusus
[A] = matrix bujur sangkar dan simetris ; orde n x n ; a ij [B] = matrix empat persegi panjang ; orde n x m ; b ij {M} = vektor kolom ; orde n x 1 ; x i {Y} = vektor kolom ; orde m x 1; y j
12
atau
13
Contoh:
Atau
Contoh
14
Atau
15
BAB II KONSEP DASAR ANALISIS STRUKTUR
2.1 Berbagai Macam Struktur Dan Idealisasinya
Dalam analisis struktur ada berbagai macam sistem struktur yaitu: a. Sistem rangka batang 2 dimensi ( plane truss system ) b. Sistem rangka batang 3 dimensi ( space truss sytem) c. Sistem portal 2 dimensi (plane frame sytem)
d. Sistem balok silang (grid sytem) e. Sistem portal 3 dimensi (space frame sytem) (a) Sistem rangka batang 2-dimensi ( plane truss system )
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yang dirangkai dalam bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batang diasumsikan "sendi sempurna". Beban luar yang bekerja harus berada di titik-titik buhul (titik sambungan) dengan arah sembarang namun harus sebidang dengan bidang struktur tersebut. Posisi tumpuan, yang dapat berupa sendi atau rol, juga harus berada pada titik-titik buhul. Berdasarkan pertimbangan stabilitas struktur, bentuk dasar dari rangkaian batang-batang tersebut umumnya adalah berupa bentuk segitiga. Apabila semua persyaratan tersebut dipenuhi maka dapat dijamin bahwa semua elemen-elemen pembentuk sistem rangka batang 2 dimensi (plane truss system) tersebut hanya akan mengalami gaya aksial desak atau tarik. Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistem rangka batang 2 dimensi antara lain adalah: struktur kuda-kuda, penyangga atap bangunan dan struktur jernbatan rangka.
16
(b) Sistem rangka batang 3 dimensi ( space truss system)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yang dirangkai dalam ruang 3-dimensi, dengan sambungan antar ujung-ujung batang diasumsikan "sendi sernpurna". Beban luar yang bekeoa harus berada di titik-titik buhul (titik sambungan) dengan arah sembarang dalam ruang 3 dimensi. Posisi tumpuan, yang lazimnya berupa sendi, juga harus berada pada titik-titik buhul. Berdasarkan pertimbangan stabilitas struktur, bentuk dasar dari rangkaian batang-batang tersebut umumnya adalah berupa be~ntuk segitiga. Apabila semua persyaratan tersebut dipenuhi maka dapat dijamin bahwa semua elemen-elemen pembentuk sistern rangka batang 3 dimensi (space truss system) tersebut hanya akan mengalarni gaya aksial desak atau tarik.
Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistem rangka batang 3 dimensi antara lain adalah: struktur kuda-kuda penyangga atap bangunan yang relatif luas (misainya stadion, convention hall, mall, dan hanggar pesawat terbang), struktur jembatan rangka berbentang panjang, menara-menara transmisi listrik tegangan tinggi, dan menara-menara telekomunikasi / pemancar televisi / radio. (c) Sistem portal 2 dimensi (plane frame sytem)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yang dirangkai dalarn bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batang diasumsikan "kaku sempurna" namun dapat berpindah tempat dalam bidang strukturnya dan dapat berputar dengan sumbu putar yang tegak lurus bidang struktur tersehut.
17
Beban luar yang bekerja boleh berada di titik-titik buhul maupun pada titik-titik di sepanjang-batang dengan arah sembarang namun harus sebidang dengan bidang struktur tersebut. Posisi tumpuan, yang dapat berupa jepit, sendi, atau rol, juga harus berada pada titik-titik buhul. Mengingat sambungan antar ujung-ujung batang adalah kaku sempurna yang dapat menjamin stabilitas elemen, maka sistern portal 2 dimensi ini meskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi-empat, namun pada prinsipnya boleh berbentuk sembarang dan tidak memerlukan bentuk dasar segitiga seperti halnya pada sistem rangka batang 2 dimensi. Elemen-elemen pembentuk sistem portal 2 dimensi (plane frame system) tersebut akan dapat mengalami gaya-gaya dalam (internal forces)
berupa: gaya aksial (desak atau tarik), momen lentur (bending moment), dan gaya geser.
Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistemn portal 2 dimensi ( plane frame system) antara lain adalah: struktur portal-portal gedung berlantai banyak, struktur portal bangunan-bangunan industri/pabrik/gudang, dan jembatan-jembatan balok menerus statis tak tentu. Khusus pada sistem balok menerus, apabila beban yang bekerja, didominasi oleh gaya-gaya yang berarah tegak lurus sumbu batang, maka gaya aksial pada batang relatif kecil atau bahkan tidak terjadi, dan gaya-gaya dalam yang diperhitungkan dialami oleh elemen hanya berupa momen lentur dan gaya geser saja.
18
(c) Sistem ballok sillang ( grid sytem)
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yang dirangkai dalarn bidang datar, dengan sambungan antar ujung-ujung batang diasumsikan "kaku sernpurna" namun dapat berpindah tempat dalam arah tegak lurus bidang struktumya, dan dapat berputar. Beban luar yang bekerja boleh berada di titik-titik buhul maupun pada titik-titik di sepanjang batang dengan arah harus tegak lurus terhadap bidang struktur tersebut. Posisi turnpuan, yang dapat berupa jepit atau sendi, juga. harus berada pada titiktitik buhul. Mengingat sambungan antar ujung-ujung batang adalah kaku sernpurna yang dapat menjamin stabilitas elemen, maka sistern balok silang ini meskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi empat, namun pada prinsipnya boleh berbentuk sernbarang. Elemen-elemen pembentuk sistern balok silang (grid system) tersebut akan dapat mengalami gaya-gaya dalam (internal forces) berupa:
momen lentur (bending mornent), momen torsi (torsionai moment) dan gaya geser. Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistern balok silang antara lain adalah: struktur penyangga lantai-lantai bangunan bertingkat banyak, struktur bangunan industri, struktur jembatan, dan struktur dermaga.
19
(e) Sistem portal 3-dimensi ( space frame system )
Struktur terbentuk dari elemen-elemen batang lurus (lazimnya prismatis) yang dirangkai dalam ruang 3 dimensi, dengan sambungan antar ujung-ujung batang diasumsikan "kaku sempurna" namun dapat berpindah tempat dan berputar dalam ruang 3-dimensi. Beban luar yang bekerja boleh berada di titik-titik buhul maupun pada titik-titik di sepanjang batang dengan arah sembarang. Posisi tunipuan, yang dapat berupa jepit atau sendi, harus berada pada titik-titik buhul. Mengingat sambungan antar ujung-ujung. batang adalah kaku sempurna yang dapat menjamin stabilitas elemen, maka sistem portal 3-dimensi ini meskipun lazimnya mendekati bentuk-bentuk segi-empat, namun pada prinsipnya boleh berbentuk sembarang. Elemen-elemen pernbentuk sistem portal 3-dimensi ( space frame system) tersebut akan dapat mengalami gaya-gaya dalarn (intemal forces) berupa: momen lentur (bending moment ) dalam 2 arah sumbu putar, mornen torsi ( torsional mornent), gaya geser dalam 2 arah, dan gaya aksial. Berbagai contoh struktur di lapangan yang dapat diidealisasikan menjadi sistem portal 3 dimensi antara lain adalah: struktur portal gedung bertingkat banyak, struktur bangunan industri/pabrik, struktur jernbatan berbentang panjang, struktur dermaga, dan sejenisnya, yang ditinjau secara 3 dimensi.
20
2.2 Deformasi Dan Perpindahan (Displacement)
(a). Deformasi aksial (axial deformation) Akibat gaya aksial P yang bekerja, batang akan mengalami deformasi (perubahan bentuk) aksial dan menimbulkan perpindahan (displacement berupa translasi searah sumbu batang (A).
(b). Deformasi lentur (flexural deformation) Akibat momen lentur M yang bekerja, batang akan mengalami defonnasi lentur dan menimbulkan perpindahan (displacement berupa translasi searah tegak lurus sumbu batang (A) dan rotasi terhadap sumbu yang tegak lurus bidang struktur (0).
21
(c). Deformasi torsi (torsional deformation)
Akibat momen torsi T yang bekerja, batang akan mengalami deformasi torsi dan menimbulkan perpindahan (displacement berupa rotasi terhadap sumbu batang tersebut.
22
(d). Deformasi geser (deformasi geser) Akibat gaya geser V yang bekerja, batang akan mengalami deformasi geser dan menimbulkan perpindahan (displacement berupa translasi searah tegak lurus sumbu batang (A). Q = momen statis bagian yang tergeser terhadap garis netral. b = lebar balok (persegi).
23
2.3. Hubungan Antara Aksi Dan Deformasi ( Constitutive Law)
24
Mengingat pengaruh deformasi geser untuk struktur balok (dimana ukuran ukuran tampang lintangnya jauh lebih kecif dari pada panjang baloknya) jauh lebih kecil dibanding pengaruh deformasi lentur, maka lazimnya (dalam praktek) pengaruh deformasi geser dapat diabaikan.
Dalam kondisi yang lebih kompleks
25
Untuk kondisi balok yang prismatis, hubungan antara aksi dan deformasi (yang dalam hal ini dinyatakan sebagai dispalement) untuk berbagai macam pembebanan diberikan
dalam
rumus-rumus
berikut,
dan
hubungan
persamaan
konstitutif
(Constitutive Equations). Metode-metode yang dapat dipakai untuk memperoleh
hubungan-hubungan tersebut antara lain adalah: (1) integrasi persamaan differensial balok, (2) moment area method, dan (3) unit load method.
26
27
Pada rumus-rumus di atas, terdapat 2 anggapan dasar yang dipakai, yaitu : 1. Material berperilaku elastis-linier, sehingga berlaku hukum Hooke dan prinsipprinsip superposisi, 2. Displacement yang relatif jauh lebih kecil dibandingkan dengan dimensi struktumya,
sehingga persamaan keseimbangan dapat didasarkan pada geometri struktur sebelum terdeformasi, dan pengaruh interaksi antara gaya axial dan momen lentur dapat diabaikan.
2.4 Keseimbangan (Equiubrium)
Salah satu tujuan dari analisis struktur adalah mengetahui berbagai macam reaksi yang timbul pada tumpuan dan berbagai gaya dalam (internal forces) berupai momen lentur, gaya lintang, gaya normal, dan momen torsi, yang terjadi di setiap titik pada struktur tersebut, akibat gaya-gaya luar yang bekerja. Solusi yang benar dari reaksi tumpuan dan gaya-gaya dalam tersebut haruslah memenuhi kondisi-kondisi keseimbangan statis (static equilibrium), baik pada tinjauan struktur secara keseluruhan, maupun pada setiap elemen dari struktur yang disebut sebagai free body. Secara umum, kondisi keseimbangan statis tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
28
dan persamaan-persamaan tersebut akan memberikan hubungan antara gaya-gaya yang bekerja (applied forces) dengan gaya-gaya dalam (internal actions). Sebagai ilustrasi ditinjau kondisi berikut ini. Persamaan Y- Fy = 0 dan T, M, = 0 dipenuhi oleh tinjauan struktur secara keseluruhan dan secara free body.
2.5 Pertimbangan Kinematis Struktur Yang Terdeformasi (Compatibility)
Selain kondisi keseimbangan harus terpenuhi, kondisi kompatibilitas ( compatibility) sepanjang struktur juga harus dipenuhi. Kondisi ini lazim disebut pula sebagai
kontinuitas displacement di sepanjang struktur, atau kondisi geornetri yang secara prinsip dinyatakan sebagai berikut ini.
-
Pada dukungan-dukungan
Displacements harus konsisten dengan kondisi dukungannya. (sebagai contoh: pada dukungan jepit A, besamya rotasi, dan tranlasi di A tersebut harus = 0). (pada dukungan rol B, besamya transalasi vertikal harus = 0). -
Pada semua titik di sepanjang struktur 4 kontinuitas displacements harus dipenuhi.
Sebagai contoh, di titik D, yang bisa dianggap sebagai rigid connection antara bagian kiri (AD) dan bagian kanan (DBC), maka: displacements (translasi dan
29
rotasi) di titik D dari bagian AD maupun di fifik D dari bagian DBC harus sama besar.
2.6 Derajad Ketidak-Tentuan Statis Dan Kinematis
Bila gava merupakan bilangan utama yang tidak diketahui dalam analisis, maka harus diperhitungkan derajat ketidak-tentuan statis (static indeterminancy). Dalam hal ini, struktur tak tentu dibuat menjadi statis tertentu (agar dapat diselesaikan hanya dengan persamaan kesetimbangan), kemudian banyaknya gaya-gaya kelebihan (redundants) yang ada merupakan derajat ketidaktentuan statis dari struktur tersebut.
Sebagai contoh, struktur pada gambar (a) derajat ketidaktentuan statis = 1, sedangkan struktur pada gambar (b) derajat ketidaktentuan statis = 2. Bila displacement merupakan bilangan utama yang tidak diketahui dalam analisis, maka yang harus diperhatikan adalah derajat ketidak-tentuan kinematisnya (kinematic indeterminancy). Dalam hal ini, banyaknya displacements (translasi atau rotasi) di
ujung-ujung batang yang belum diketahui besamya, merupakan derajat ketidak-tentuan kinematis struktur tersebut.- Sebagai contoh strtuktur pada gambar (a) derajat ketidak tentuan kinematis = 1, sedangkan struktur pada gambar (b) derajat
ketidak
tentuan
diperoleh
dengan
kinematis = 0 (kinematically determinate). 2.7. Prinsip-Prinsip Superposisi
Pengaruh
beberapa
pembebanan
pada
struktur
dapat
menjumlahkan pengaruh masing-masing pembebanan yang dibedakan sendi-sendiri secara terpisah. Prinsip superposisi hanya terbatas pada kondisi dimana hubungan antara aksi dengan displacements adalah elastis-linier.
30
2.8 Pengertian Fleksibilitas Dan Kekakuan
Hubungan antara aksi dan displacement memiliki peranan yang sangat penting dalam analisis struktur. Hubungan tersebut terpakai pada metoda fieksibilitas (flexibility method) maupun metoda kekakuan (stiffness method). Perhatikan contoh sederhana
berikut ini.
31
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa:
Pada contoh sederhana di atas, -1
F = 1/S = S
Pada contoh di atas mengingat aksi dan deformasi yang terlibat adalah aksial maka fleksibilitas dan kekakuan pada contoh ka sus tersebut disebut sebagai fleksibilitas aksial dan kekakuan aksial. Contoh kasus sederhana yang lain, yang melibatkan fleksibilitas lentur dan kekakuan lentur diuraikan pada gambar-gambar berikut ini.
Contoh kasus pada sistem kantilever.
Struktur kantilever mengalarni aksi eksternal di ujung bebasnya berupa: A1: beban terpusat vertikal A2: momen Displacement di ujung bebas kantilever yang terjadi akibat aksi-aksi tersebut adalah:
D1: lendutan vertikal D2: rotasi
32
Akan ditunjukkan pula bahwa
33
34
2.9 Beban Nodal Ekivalen (Equivalent Joint Load)
Pada metode matrix, pengaruh beban luar yang tidak bekerja pada titik nodal ( joint ) tetapi bekerja di sepanjang batang/elemen, yang lazim dikenal sebagai beban-batang (member loads) dapat diekivalensikan sebagai beban pada titik-titik nodal di kedua ujung elemen tersebut yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya. Konsep tersebut dikenal sebagai beban nodal ekivalen (equivalent joint load) dan dijelaskan sebagai bedkut:
35
BAB III ANALISIS STRUKTUR DENGAN METODE MATRIX 3.1 Metode Fleksibilitas dan Metode Kekakuan
Secara umum analisis struktur dapat dilakukan berdasarkan atas 3 hal berikut ini. a. Menentukan hubungan antara aksi (action) dan deformasi (deformation) yang dikenal sebagai constitutive laws. b. Pertimbangan kinematis dari struktur yang terdeformasi (compatibility). c. Keseimbangan (equilibrium) antara gaya-gaya yang bekeda (applied forces) dan gaya-gaya dalam (internal actions),.
Dalam analisis struktur dikenal 2 metode utama, yaitu: a. Metode Kekakuan (Stiffness Method/ Displacement Method). Pada metode ini displacements , translasi dan rotasi merupakan variabel utama yang tidak diketahui, dan dicari terlebih dahulu. Respon struktur lainnya, yaitu reaksi tumpuan dan gaya-gaya dalam (gaya aksial, momen lentur, momen torsi, dan gaya geser) akan diselesaikan kemudian. Secara berurutan, persamaan-persamaan yang digunakan
dalam
formulasi
adalah
persamaan
aksi-deformasi,
persamaan
keseimbangan, dan persamaan kompatibilitas.
b. Metode Fleksibilitas (Flexibility Method / Force Method). Gaya (reaksi tumpuan ataupun gaya-gaya dalam) merupakan variabel utama yang tidak diketahui, dan dicari lebih dahulu. Sedangkan displacement dapat diperoleh pada tahap berikutnya berdasarkan gaya-gaya yang telah diperoleh dari step sebelumnya. Secara berurutan, persamaan yang digunakan dalam formulasi adalah persamaan aksi-deformasi, persamaan kompatibilitas, dan persamaan keseimbangan.
Dari kedua metode tersebut di atas, metode kekakuan lebih populer untuk dipelajari dan dikembangkan karena formulasi dan prosedur hitungan yang dihasilkan relatif jauh lebih sistematis sehingga sangat sesuai untuk diprogramkan dalam bahasa komputer. Berikut ini diuraikan secara rinci salah satu bentuk dari metode kekakuan yang banyak digunakan dalam praktek oleh para praktisi, yaitu Metode Kekakuan Langsung ( Direct Stiffness Method).
36
3.2 Metode Kekakuan-Langsung
Metode ini didasarkan pada konsep kekakuan (stiffness), dan secara berurutan prosedur
hitungan
yang
harus
ditempuh
dalam
implementasi
metode
kekakuan-langsung diuraikan secara singkat sebagai berikut ini. 1. Semua kekakuan elemen (dalam bentuk matrix kekakuan) dievaluasi sesuai dengan hubungan antara aksi ( action) dan deformasi (deformation) dengan referensi koordinat lokal elemen tersebut. 2. Matrix kekakuan elemen ditransformasikan ke sistem koordinat global. 3. Matrix kekakuan elemen-elemen (dalam koordinat global) disuperposisikan (dengan mempertimbangkan kompatibilitas) menjadi matrix kekakuan struktur. 4. Berdasarkan pembebanan yang bekerja, disusun vektor gaya dengan referensi koordinat global.
37
5. Kondisi batas displacement pada titik-titik nodal tumpuan maupun kondisi batas gaya pada titik-titik nodal bebas diformulasikan dalam bentuk vektor displacement dan vektor gaya. Selanjutnya dilakukan kondensasi statis (static condensation) untuk memperoleh matrix kekakuan (stiffness matrix) struktur tereduksi. 6. Matrix kekakuan struktur yang telah tereduksi tersebut memberikan persamaan keseimbangan struktur, yang apabila diperoleh solusinya akan menghasilkan displacements di setiap titik nodal. Selanjutnya, reaksi di setiap titik nodal tumpuan dapat diperoleh. 7. Tahap terakhir yang dilakukan adalah penghitungan gaya-gaya dalam dan tegangan-tegangan dalam untuk setiap elemen.
Implementasi dari prosedur tersebut di atas, secara rinci akan diperjelas dengan mengaplikasinya dalam analisis berbagai jenis idealisasi struktur, meliputi : (a) struktur rangka batang 2-dimensi (plane truss), (b) struktur rangka batang 3-dimensi (space truss), (c) struktur portal 2-dimensi (plane frame) dan struktur balok menerus, (d) struktur balok silang (grid system), (e) struktur balok menerus dengan tumpuan elastis, dan struktur portal 3-dimensi (space frame). Anggapan-anggapan dasar yang digunakan dalam formulasi adalah: •
Bahan struktur berperilaku elastis-linier, sehingga hukum Hooke masih berlaku.
•
Displacernent struktur dianggap "kecil" (relatif sangat kecil dibanding dimen-
si/bentang struktur yang dianalisis), sehingga persamaan keseimbangan dapat ditulis berdasarkan geometri struktur sebelum terdeformasi. •
Interaksi antara pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan.
•
Batang-batang (elemen-elemen) struktur bersifat prismatis dan terbuat dari bahan yang homogen.
3.2.1 Sistem Rangka Batang 2-Dimensi (Plane Truss)
Sumbu-sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur yang nantinya diacu oleh sernua elemen. Meskipun tidak tergambar, sumbu-Z selalu tegak lurus bidang struktur (menuju kita) sehingga membentuk sistem koordinat right handed. Sedangkan sumbu-sumbu x-y adalah sistem koordinat lokal elemen yang hanya berlaku untuk elemen tersebut saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen(e) yang
38
bersangkutan. Setiap elemen plane truss akan selalu memiliki dua titik nodal ujung. Salah satu ujung elemen tersebut diberi notasi nodal i, dan ujung lainnya diberi notasi nodal j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i, dan arah positif sumbu-x lokal dibuat selalu dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu-y lokal dibuat tegak lurus sumbu-x sedemikian sehingga arah positif dari sumbu-z lokal akan searah dengan surnbu-Z global dan tegak lurus bidang struktur (bidang x-y).
Orientasi elemen secara global dapat clikenali melalu sudut
α
yang dibuat oleh
sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu-X global dari struktur. Sudut
α
diberi tanda positif berdasarkan kaidah right handed system, yaitu diukur dari sumbu-X global berputar menuju sumbu-x lokal elemen dengan poros sumbu-Z positif.
l
Matrix kekakuan elemen [ke ]
Dengan mengenali sudut
α
dari setiap elemen tersebut, untuk tahap berikutnya,
hubungan antara aksi dan deformasi dari elemen plane truss dapat diforrnulasikan secara umum (berlaku untuk semua elemen) dalam sistem koordinat lokalnya sebagai berikut ini.
39
40
Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen dalam sistem koordinat lokalnya tersebut diperoleh berdasarkan prinsip-prinsip superposisi. Selanjutnya, dalam bentuk matrix, persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
Persamaan keseimbangan elemen pada koordinat lokal adalah:
Superscript (e) menunjukkan elemen yang ditinjau. Selanjutnya, matrix kekakuan elemen truss pada koordinat lokal dapat dituliskan secara lebih spesisfik sebagai:
41
Analog untuk vektor gaya : ,
Matrix [T] dikenal sebagai matrix transformasi, dan memiliki sifat orthogonal, yaitu transpose matrix tersebut sama dengan inversenya, dan determinannya sama dengan satu.
42
43
Overall Structural Stiffness Matrix
Persamaan (2-5) mempunyai bentuk:
Dalam formulasi secara keseluruhan (overall formulation), persamaan tersebut menjadi (setelah disesuaikan urutannya dengan derajat kebebasan lainnya) :
Setelah kontribusi semua elemen diperhitungkan (assembled), persamaan keseimbangan struktur dalam koordinat global menjadi:
44
Kondisi Batas Displacement dan Gaya
Persamaan (2-9) setelah diatur kembali sesuai dengan kondisi batasnya dapat ditulis kembali secara simbolis sebagai berikut:
Unknown Displacements and Reactions
Persamaan (2-10) dapat ditulis sebagai berikut:
Dari persamaan (2-11) dapat diperoleh displacements yang tidak diketahui (the unknown displacement, melalui solusi persamaan linier simultan, yang secara simbolis
dituliskan dalam bentuk inversi berikut
45
46
Contoh 1
Solusi dilakukan langkah demi langkah, dengan satuan dalarn ton dan cm, sebagai berikut ini.
Elemen 1 (dipilih nodal i = 1, dan j = 2)
47
Elemen 2 (dipilih nodal i = 2, dan j = 3)
Elemen 3 (dipilih nodal i = 1, dan j = 3)
48
49
50
51
52
3.2.2 Sistem Portal 2-Dimensi (Plane Frame System)
53
54
Dengan prinsip superposisi diperoleh :
Secara notasi matrix persamaan tersebut dapat ditulis:
55
atau dalam notasi matrix:
Analog untuk vektor gaya :
Matrix kekakuan elemen pada koordinat global dapat diperoleh :
Dan persamaan keseimbangan elemen pada koordinat global
56
.
Portal 2-dimensi dengan pembebanan tergambar akan dianalisis dengan menggunakan 3 titik nodal dan 2 elemen. Struktur berada pada bidang X-Y dan pusat. sumbu global (XOY) dipilih di nodal 1. Untuk membedakan antara nomer titik nodal dan nomor elemen, maka semua norner titik nodal ditulis dalam lingkaran, sedangkan semua nornor elemen ditulis dalam segi empat. Langkah -langkah perhitungan: a. Matrik kekakuan elemen (member stiffness matrix)
57
58
59
Elemen 2
60
f. Hasil
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
`
72
73
74
75
76
3.2.3 Sistem Kombinasi Rangka Batang Dan Portal 2-D
Dalam praktek banyak dijumpai kondisi dimana suatu sistem struktur terbentuk oleh kombinasi antara elemen rangka batang (truss) 2 dimensi dan elemen portal (frame) 2 dimensi, seperti terlihat pada beberapa gambar berikut.
77
Secara konseptual, asalkan derajat kebebasan yang terlibat pada ujung-ujung elemen (nodal i dan j) pembentuk struktur adalah kompatibel jenisnya sama, seperti pada elemen truss dan frame maka matrix kekakuan struktur dapat dibentuk (assembled) dengan cara yang sama. berdasarkan prinsip-prinsip yang telah diuraikan sebelumnya. Untuk melengkapi berbagai kondisi yang mungkin dijumpai di lapangan, berikut ini diberikan matrix kekakuan elemenelemen yang : (a) ujung i berupa jepit sedangkan ujung j berupa sendi, dan (b) ujung i berupa sendi sedangkan ujung j berupa jepit.
78
79
Mensiasati berbagai kondisi khusus
a. Tumpuan rol yang midng pada sistem rangka batang 2-dimensi Apabila tumpuan rol miring hanya satu buah, maka salah satu solusinya adalah memilih arah sumbu global X sedemikian sehingga searah dengan arah bidang rol (membuat sudut (x terhadap horisontal) dan arah sumbu r menyesuaikan. Selanjutnya analisis dilakukan dengan melibatkan komponen-komponen displaoement yang searah sumbu X' dan V tersebut.
80
Selanjutnya dengan logika yang sama, elemen truss fikfif tersebut (altematif kedua) dapat dimanfaatkan untuk memodelkan struktur dengan tumpuan-tumpuan rol miring yang lebih dari satu buah (lihat gambar berikut) yang mana solusi altematif satu tidak dapat digunakan lagi.
b. Frame dengan tumpuan berupa rol miring. Elemen truss fiktif juga dapat digunakan untuk mengatasi masalah plane frame yang pada salah satu (atau beberapa) tumpuannya berupa rol miring seperti gambar berikut.
81
3.2.4 Sistem Balok Silang (Grid System)
82
83
84
85
86
87
88
89
90
