Unidad IV Ecuaciones
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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
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El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x 1, x 2 y x 3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
x
4 y
x
7 y
4 18
x 4 4 y
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Se despeja X de ambas ecuaciones:
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Se igualan los valores de X:
x 18 7 y
4 4 y 18 7 y 4 18 7 y 4 y 22 11 y 22 y y 2 11
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Sustituyendo en cualquiera de los valores de X:
x 4 4 y x 4 42 x 4 8 x 4
x 5 y 6
3 x 7 y 4
x 5 y 6
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Despejamos X de la primera ecuación:
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Sustituimos el valor de X en la segunda ecuación:
x 6 5 y
3 x 7 y 4 36 5 y 7 y 4 18 15 y 7 y 4
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Sustituimos el valor de Y en cualquier ecuación:
15 y 7 y 4 18 22 y 22 22 y y 1 22 x 6 5 y x 6 51 1
2 x x •
9 y 4 y
7 5
Igualamos los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones:
2 x 9 y 7 2 x 4 y 5
2 x 9 y 7
2 x 8 y 10 17 y 17 y
•
17 17
y 1
Sustituimos el valor de Y en cualquier ecuación:
2 x 9 y 7
2 x 91 7 2 x 7 9 2 x 2 2 x x 1 2
x 3 y 2 z 3
5 x 6 y z 13 4 x y 3 z 8 •
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La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 3*3 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación, en la segunda, los de la segunda ecuación y en la tercera, los de la tercera ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita, en la segunda, los de la segunda incógnita y en la tercera, los de la tercera incógnita. El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como:
1 3 4 5 6 1 4 1 3
Primero se calcula el determinante general.
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Se repiten debajo de la última fila las dos primeras filas.
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Se suman la multiplicación de los coeficientes de las diagonales principales menos la suma de la multiplicación de los coeficientes de las diagonales secundarias:
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1
3
2
5
6
1
D 4
1 1 3 5
6
3 16 3 5 12 4 3 1 4 6 2 1 1 1 5 33 2 18 10 12 48 1 45 1 20 4
16
•
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Para calcular X, primero se obtiene el determinante de X y luego se divide entre el determinante general: La matriz se compone sustituyendo los coeficientes de X por los del término independiente y los demás coeficientes quedan igual
3 3
2
13
1
6
1 3 3
3 36 3 13 12 8 3 1 86 2 3 1 1 13 33
13
1
D 8
6
2
54
26 24
56 56
24
96 3 117
24
32
x
Dx D
32 16
2
•
•
Para calcular Y, primero se obtiene el determinante de Y y luego se divide entre el determinante general: La matriz se compone sustituyendo los coeficientes de Y por los del término independiente y los demás coeficientes quedan igual.
1
3
2
5
13
1
D 4
8
3 1133 582 4 3 1 4 132 18 1 5 33
1
3
5
13
2 39 80 12 104 8 45 1 131 51
80
y
Dy D
80 16
5
•
•
1 5
Para calcular Z, primero se obtiene el determinante de Z y luego se divide entre el determinante general: La matriz se compone sustituyendo los coeficientes de Z por los del término independiente y los demás coeficientes quedan igual.
3 3 6
13
1 8 16 8 5 1 3 4 313 4 6 3 1 113 5 38 1 3 3 48 15 156 72 13 120
D 4
5
6
13 93 205
93 205 112 •
Por lo tanto
x 2 y 5 z 7
z
Dz D
112 16
7
x 2 3 y 2 4 3
2 x 2 6 y 2 8 1 x 2 y 3 2
2 2 2 x 2 y 3
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Se dividió la ecuación (1) entre 2 ya que son múltiplos del número.
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Se resta la ecuación (2) de la (3):
x 3 y 2
x 2
2
4
2 y 3
3 y 2 2 y 1 3 y 2 2 y 1 0 y 13 y 1 0
y 1 o bien y
1 3
(4)
•
Sustituyendo, alternativamente, los valores de (4) en (2), se obtiene:
y 1 x 21 3 x 1 x 1 2
2
2
2
11 11 33 1 2 2 x x y x 2 3 x 3 3 3 3 3 33 1 33 1 Solución : , , , , 1,1, 1,1 3 3 3 3 1
(5) (6)