GEOMETRIA DEL ESPACIO
UNIDAD 1, 2 Y 3: FASE 5 – APLICACIÓN DE LAS UNIDADES DEL CURSO
Presentado por: SANDRA LILIANA PEÑA COD. 25235037 ANA YICELA BUITRAGO COD. 1084869659 JOSE MAURICIO JIMENEZ COD. 10175247 DIANA RUEDA CHAPARRO COD. 1099362391 ELICETH RANGEL COD. 1096949648
GRUPO 551122_4 Presentado a SAUL ENRIQUE VIDES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD LICENCIATURA EN MATEMATICAS MAYO DE 2017
INTRODUCCIÓN
El trabajo siguiente se presenta con el propósito de reforzar conocimientos adquiridos a lo largo del curso: Geometría del espacio siendo esta una rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. La geometría es la base de todas las construcciones, edificaciones, ciudades en las que vivimos y vemos diariamente de paso a nuestra casa, escuela o trabajo, por eso es importante que conozcamos la geometría desde sus bases, conceptos, clasificaciones, formas, utilización y aplicaciones, para que podamos entender el mundo en el que vivimos. La Geometría ha sido desde el inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes ya que, facilitan la medición de estructuras sólidas reales tanto tridimensionales como estructuras planas y además bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.
PASO 3: PRESENTACIÓN DE LOS EJERCICIOS
1. Desarrollar los siguientes ejercicios y dejen registro en el foro de aprendizaje práctico.
2. Encontrar las Ecuaciones Paramétricas de la recta que pasa por los puntos P (2,-1,6) y Q (3, 1,-4).
Desarrollo Las ecuaciones paramétricas se definen como:
X= +at Y= +bt Z= +ct Donde x1, y1 y z1 puede ser cualquiera de los dos puntos P o Q que contiene la recta y las constantes a, b y c son los números directores del vector que me define la dirección de la recta, se puede definir con dos puntos un vector director. Buscamos un vector, que va hacer igual a la coordenada de Q menos la coordenada de P PQ= (3-2) i+ (1- (-1)) j+ (-4-6) k PQ= i+2j-10k Por tanto los parámetros o las constantes del vector director van hacer: a=1, b=2 y c=-10 Definimos la ecuación paramétrica así: X= 2+1t
Y=-1+2t
Z= 6-10t
3. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,5,1) y que tiene un vector normal n=i-2j+3k.
Decimos que: A (2, 5, 1)
⃗ = − 2 + 3 Para hallar la ecuación del plano tenemos que
( − ) + ( − ) + ( − )= 0 ( , , ) ⃗ = (,,) = − + Reemplazamos 1(x- 2)+ 2(y-5)+ 3(z-1) = 0 X-2 +2y-10+3z-3=0 Ordenamos X+2y+3z-15=0
4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos PQ x PR= n P= (1, 2,1) Q= (-2, 3,-1)
T
R= (1, 0, 4)
R P
Q
Definimos el vector PQ
PQ= Q= (-2, 3,-1) - P= (1, 2,1) se hace la resta entre el punto final y el punto inicial
PQ = 〈−,,−〉 componentes X, Y y Z Definimos el vector PR
PR= R= (1, 0, 4) - P= (1, 2,1) PR= 〈,−,〉 A continuación realizamos el producto cruz o vectorial así:
PQ x PR
Hacemos un determinante de 3x3
PQ x PR = −3 1 −2 0 −2 3 En la primera fila anotamos los vectores unitarios i, j y k en las direcciones positivas de los ejes x, y y z. En la segunda fila anotamos las componentes del primer vector PQ En la tercera fila anotamos las componentes del segundo vector PR Después obtenemos las tres componentes del vector que buscamos
PQ x PR= 1
−2 = i- −3 −2 = j + −3 −2 3 0 3 0
1 = k −2
A continuación resolvemos cada uno de los determinantes
PQ x PR=[ − ]i - [− − ] j+[ − ]k
5. Calcular el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 16, 12 y 8 cm. 5.
12cm
16cm
V=l*a*h
V=16cm*8cm*12cm
8cm
V=1536c
6. El volumen de un ortoedro es 192 cm3 y dos de sus dimensiones son 8 y 6 cm. Calcular el valor de la otra dimensión
V=a·b·x 192 = 8cm * 6cm * x 192 = 48 x =
x
4 cm = x X = 4 cm
La dimensión desconocida tiene un valor de 4 cm
7. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y la generatriz 10 cm. Decimos que Radio 4 cm Generatriz 10cm
= 2 × ℎ = 24 × 10 = 80 = 251
8. Calcular el área total de un tronco de cono cuya altura mide 4 cm, si los radios de las bases miden 9 y 6 cm, respectivamente.
6cm
X
4cm
9cm
Observando el tronco de cono no se conoce la generatriz, ya que es un elemento que hay que conocer para poder hallar su área lateral procedemos a hallarla así:
6cm g 4cm
9cm
Como podemos ver se forma un trapecio rectángulo, y de este a la vez un triángulo rectángulo para hallar la generatriz del cono, así:
Altura h igual, a de descontamos de los 9 cm de la base mayor 6cm de la menor, y nos quedan 3cm, por teorema de Pitágoras hallamos generatriz g 4cm
3cm
= (4) + (3) = 16 +9 = 25 √ = √ 25 =5
Procedemos a sacar el área lateral con el dato de la generatriz así:
Al=Л*r+g Al=Л*15cm*5cm
No olvidando que son los dos radios sumados de las bases Al= 75 Л c
Ahora encontramos el interrogante del problema el área total. At=Al+Ab Debemos tener en cuenta que son dos bases circunferenciales, por lo que hallamos sus áreas y luego las sumamos para encontrar el área de las bases.
A=Л * A=Л * (9cm) A=Л * 81c A=Л* (6cm) A=Л * 36c
A total bases = 117c At=75 Л c + 117
At=192c
9. Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio y altura miden respectivamente 6,5 cm y 20 cm.
Radio=6.5cm Altura=20cm Volumen? Formula= ∗ ∗ ℎ V= ∗ (6.5 ∗ 20 V=3.14*42.25 cm *20 cm V=2,653, 3 c
Conclusiones
En el entorno encontramos rectas, planos, objetos, cuerpos geométricos que cumplen una serie de propiedades y son de gran utilidad para entender porque están y para qué sirven.
La geometría se encarga del estudio de las diferentes figuras que ocupan un lugar en el espacio analiza sus propiedades y busca cuáles son sus aplicaciones; es por ello que encontramos la geometría plana, la geometría analítica, geometría descriptiva entre otras y hace parte de una de las ramas de la matemática.
Durante el estudio de la presente materia conocimos el concepto y sus aplicaciones de la recta y plano en el espacio, se realizaron actividades propuestas en la unidad; como segundo tema se estudiaron los diedros y poliedros en los que también se realizaron análisis y se encontraron sus aplicaciones, y por último los cilindros, conos y esferas todos con sus análisis y aplicaciones que evidencian sus aplicaciones en nuestro entorno.
BIBLIOGRAFÍA
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Rodríguez. Patricia (01-05-2013) IMPORTANCIA DE LA GEOMETRIA
[mensaje en un blog ]. Recuperado de: http://geometriapatty.blogspot.com.co/2013/05/importancia-de-lageometria-en-mi-vida.html
