6 Matemc3a3 Tica Financiera

MATEMÁTICA FINANCIERA

SESIÓN N° 07 RAZONES Y PROPORCIONES

CLASES

Discreta

RAZÓN

Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:

Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras:

. a – b = c – d .

.  d: 4ta diferencial .

Continua Cuando los términos medios son iguales:

Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. .

. a – b .

a : Antecedente b: Consecuente

Proporción Geométrica o Equicociente: Si:

Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.

b

a : Antecedente b: Consecuente

PROPORCIÓN

a b

 = k y

d

 = k entonces . a . d= b. c .

a  c. b d

b, c : Medios a, d : Extremos

CLASES Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde:

Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico

.

a b



c. d

. d: 4ta proporcional .

Continua Cuando los términos medios son iguales

Proporción Aritmética o Equidiferencia

.

NOTA:

2

. a .c =b .

Si a – b = r y c – d = r, entonces: . a – b = c – d .

c

NOTA: .

a

ac . 2

b: media medi a d iferencial o media a ritmética c: 3era. difer encial

Razón Geométrica (k):

. .

.b 

. a – b = b  – c .

. a +b =c + d .

a b  . b c

. b  a . c .

b: media p roporcional o media geométrica c: 3era. propo rcional

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor .

.

a1  a2  a3  ..... an k. b1  b2  b3  ..... bn

a1  a2  a3  ............. .. . an  kn . b1  b2  b3  ............ bn

Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: .

a1 a2

a  2 b2

a  3 b3

a  ...............  n bn

k .

donde: a1, a2, a3, ......... a n : Antecedentes b1, b2, b3, ......... b n: Consecuentes k : Constantes de 1. Hallar la 3ra diferencial diferencial de 17 y 12

7. Lo que que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5? Rpta. S/. 2, 4 8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y cuarto recipiente. Rpta. 20 lit. 9. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entoncesambos resultados serían iguales. Hallar dichos números Rpta. 99 y 126 10. Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el

Rpta.

7

valor del otro número debe triplicarse.

2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5 Rpta.

Rpta.

2

3. Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los números. Rpta. 280 4. Halla “b” Si: a  b  c 7

5

8

 Además: a + 2b + 3c = 205 Rpta.

35

5. La diferencia de 2 números es 244 y están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los números? Rpta.

Hallar el mayor de los 2 números

427

6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja para una carrera de 100m; y Pedro le da a Carlos una ventaja de 20m para una carrera de 180m. ¿Cuántos metros de ventaja debe de dar Juan a Carlos para una carrera de 200m?

60

11. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9, 16 y la cuarta proporcional de 10, 15 y 14 Rpta.

36, 75

12. En una asamblea estudiantil es tudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones. Rpta. 840 13. La suma de dos números es 640 y su razón geométrica es 17/23. Calcula el mayor de ellos. Rpta.

368

14. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y

6. Si:

el producto de los antecedentes es 24. hallar la tercia proporcional. Rpta.

9

15. La suma, diferencia y el producto de 2

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11 a) 1 c) 3 e) 7

b) 2 d) 5

2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12 a) 6 c) 9 e) 15

b) 8 d) 12

3 4 . Hallar “b”;

a) 60 c) 100 e) 140

7. Si:

3

b) 80 d) 120

5



6 , x + y + z = 56

a) 12 c) 24 e) 30

x 

3



b) 12 d) 14

a   b 

3 . Si b – a = 15 4

8. Si:

a 

2



b) 60 d) 120

b 



5

c 

3

2

2

2

y a + b + c =152

Hallar “a + b + c”

a) 20 c) 22 e) 24 9. Si:

a 

5

b) 21 d) 23



b 



3

c 

6

 y a + c= 66.

a) 30 c) 18 e) 18

b) 36 d) 16

a   1

2



b   2

3

,además,a + b + 3 = 20

z 

Hallar “z”

5. Si:

c 

a) 45 c) 105 e) 150

10. Si:

y 

b 

1 ; a + b + c = 96

hallar “b”

Si: a + b = 140





Hallar “a + b”

Rpta. 4 y 16.

4. Si: x 

5

a) 60 c) 24 e) 20

números.

a   b  3. Si:

a 



Hallar “c”

números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. hallar estos

2

b) 20 d) 26

y 

4



z 

2

; x . y . z = 192

Hallar “x + y + z”

Hallar “a”

a) 5 c) 9 e) 12

b) 7 d) 10

CLAVES 1. C

6. B

2. C

7. C

3. B

8. A

a) 6

b) 8

4. C

9. C

c) 12

d) 18

5. D

10. B

Dar la

SESIÓN N° 08

MH de: 6; 2 y 3

Resolución

3 3 111 6 2 3

PROMEDIOS Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:

Consideraciones importantes Para 2 cantidades “a” y “b”

a1 a2

a3 ……......

a n



MENOR VALOR MAYOR VALOR

  PROMEDIO



.

MA  a  b 2 MH 

.

TIPOS DE PROMEDIO Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) o simplemente promedio . MA 

Dar la

Suma de datos Número de datos

.

2

11 a b

MG  MH  0





.

MAYOR MENOR PROMEDI O PROMEDIO

Resolución

7  13  4  = 8 3

.

0 < a1 a2 a3 ……….…. an

.

MA  de: 7; 13 y 4

2ab ab



.

Dado:

Se verifica que: an  MA 

.

MG  ab

.

Si todos los valores son iguales MA  MG  MH

OJO: SEA “n”  NÚMEROS  NÚMEROS Y “ s”  SUMA  SUMA DE LOS NÚMEROS

Para cantidades “a” y “b”

.

MG2  MA . MH

.

 . S = n . MA (“n” números) .

.

Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) . MG  n

Pr oducto de los datos

.

n: número de datos Dar la MG  de: 5; 15 y 45

(a  b) 2 4(MA  MG)

.

LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA  ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10  MA 

3  5  10  6 3

Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:

Resolución 3

5 . 15 . 45  15

Promedio Armónico o Media Armónica ( MH )

MH

MA  MG 

Número de datos

Nuevo 3  5  10  7  4 = 7 = 3 3 Pr omedio   

PROMEDIO INICIAL

  

VARIACIÓN

Rpta.

IMPORTANTE

nuevo  promedio  var iación del    promedio      inical  promedio 

4.

Donde:

var iación del  = promedio

total que se total que se    aumenta  dis min uye 

Rpta.

 Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución: PESOS 2 1 + 3 6

TOTAL 11 x 2 17 x 1 13 x 3 78

La nota promedio será:

11 . 2  17 . 1  13 . 3 78   13 213 6 En general: .

a P  a P  a P  .......... an Pn PP  1 1 2 2 3 3 P1  P2  P3  ..........Pn . Donde: an : enésimo de las notas, precios, …

etc Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc

PROBLEMAS PARA RESOLVER 1.

Si el promedio de los siguientes números es 20,5. Hallar el valor de “a”.

1,70m

5. Si la media geométrica de dos números es 4 y la media armónica es 32/17. ¿Cuál es el menor de dichos números?

Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios)

NOTAS 11 17 13

De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedios de los varones. Rpta.

Número de datos

3

1

6. El promedio de 40 números es “n” y el promedio de otros 20 números es (n - 9). Calcular el valor de “n”; si el promedio

aritmético de los 60 números es 12. Rpta.

15

+ 7. En un reunión asistieron 200 personas asistieron 3 varones por cada mujer. Si el promedio de las edades de todos los presentes es 19 años y además el promedio de las edades de los varones es 20. hallar el promedio de las edades de las mujeres. Rpta.

3

8. Hallar dos números sabiendo que el mayor y el menor de sus promedios son: 13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicar su diferencia. Rpta.

3

9. Hallar la medida geométrica de dos números, sabiendo que la tercera parte de su producto, por su MA: por su MG y por su MH se obtiene 81. Rpta.

3

(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2) 10. Hallar el promedio de: Rpta. 2.

6

El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. hallar su promedio aritmético. Rpta.

36

3. Hallar el valor de “x”; si el promedio

m ; m ; m ; ........;m ; n ; n ; n ; ..............;n    

"n "

Rpta.

       

"m "v eces

2mn  m   n 

11. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es. 6 hallar la diferencia de dichos números.

12. Hallar la MH de: a) 14 c) 18 e) 30

1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981 Rpt.

1/991

13. La MG de tres números pares diferentes es 6. entonces, la MA de ellos será: Rpta.

26/3

14. La media armónica de 10 números es 3/2; el de otros 2 números es 9/5. calcular la MH de los 30 números. Rpta.

27/16

15. Si la media geométrica y la media aritmética de dos números; a y b son números enteros consecutivos. Hallar ( a   b  ) Rpta.

2

PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER 1. Hallar la media geométrica de los números: 3; 4; y 18 a) 3,5 c) 5 e) 3 18 2.

b) 4 d) 6

Hallar la media armónica números: 1; 2; 3 y 6 a) 1,8 c) 2,1 e) 4

b) 16 d) 20

de

los

b) 2 d) 3

3. Hallar el promedio de los siguientes números:

6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; y su promedio final fue de 15? a) 20 b) 19 c) 18 d) 16 e) 17 7. La media aritmética de tres números es 6. y de otros dos números es 16. hallar la media aritmética de los cinco números. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el promedio de los dos primeros números es 15; el promedio de los dos últimos 10 y el promedio de todos los números es 20. Hallar “A + B + C” a) 50 b) 60 c) 40 d) 45 e) 55 9. Calcular la media armónica de dos números. Si: MA = 45 y MG = 15 a) 8 b) 10 c) 12 d) 5 e) 6 10. El promedio de las edades en un salón de clases es de 18. Si el promedio de 20 de ellos es 15. Hallar el promedio de los restantes sabiendo que hay 50 alumnos. a) 25 b) 24 c) 32 d) 30 e) 20

CLAVES

1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20 a) 8 c) 10,5 e) 11

b) 10 d) 7

4. Hallar el promedio de: 2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42 a) 21 c) 26 e) 27

b) 18 d) 22

1. D

6. C

2. B

7. B

3. C

8. B

4. D

9. D

5. C

10. E

o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye

SESIÓN N° 09

(en ese orden) en la misma proporción. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.

MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc.

CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD

CANTIDAD

Longitud

2km

Tiempo

7 días

# de obreros

12 obreros

OJO: DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2  MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR . DEL EJEMPLO ANTERIOR , EL PRECIO DE CADA LIBRO,  ) NO VARÍA ( PERMANECE CONSTANTE  SI : . “A” DP “B”  valor de A  k  cons tan te . valor de B

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras.

Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo: Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:

IMPORTANTE: L A GRÁFICA DE 2  MAGNITUDES D.P  ES UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA ( EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS ) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE . SI TENEMOS QUE “A” DP “B” 

VALORES CORRESPONDIENTES a1 a2  a3 ....... an b1 b2  b3 …… bn

MAGNITUD A MAGNITUD B  (Costo total) DP (# de libros)

SE VERIFICA:

Se observo:

a1 b1

 

 

   

En General:

 



 





a2 b2



a3 b3

 ... 

an bn

 



 

SI TENEMOS QUE “A” DP “B”  . F(x) = mx .

 k 

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) Ejemplo ilustrativo:

IMPORTANTE: L A GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP  ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO

Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:

m: CONSTANTE área del rec tan gulo

X 2X 3 X 5 N° DE PINTORES N° DE DÍAS

bajo

la curva



SI TENEMOS QUE “A” I.P  “B” 

1

2

6

30

12

60

30

10

2

5

 2

DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE . L A FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: . Fx  m . x

3  5

Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente

proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B”

disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. . A I.P.B  (valor de A)(valor de B) = cte.

Interpretación Geométrica

VALORES CORRESPONDIENTES a1 a2 a3 ....... an b1 b2 b3 …… bn

MAGNITUD A MAGNITUD B

SE VERIFICA: a1 . b1 = a2  . b2  = a3 . b3 = . . . = an .bn = k

PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES Para 2 magnitudes A y B se cumple:

* A  * A  * A   * A  *A    * A  

D.P. B  B D. P. A I. P. B  B I. P. A D. P. B  An D. P. Bn I. P. B  An I. P. Bn D.P. B.  A I.P. 1 B I.P. B  A D.P. 1 B

Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante)  A D. P. C (B es constante)  A D. P. (B . C)



A  = cte B .C

Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E

 

 



 

 



  

 



 

 



A.C  Cte B.D.E

OJO: C UANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2  MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.

Rpta. 87 2. Sean las magnitudes A y B. Donde A es 2 D.P a(B   + 1). Si cuando A = 8, B = 3, ¿Qué valor tomara A cuando B = 7? Rpta.

40

Aplicaciones comunes: (N° de obreros) (N° de obreros) (N° de obreros) (N° de obreros) (Nº velocidades) (N° de obreros) (N° de dientes)

DP IP IP IP IP DP IP

2 3. “a” es D.P a “ b  ” e I.P a “c ”. Cuando a

(obra) (eficiencia) (N° de días) (horas diarias) (Tiempo) (Dificultad) (N° de vueltas)

= 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b =

64, c = 8 Rpta.

4. De la gráfica. Hallar “a + b”

  # de     Horas   # de     (ren dim iento ) obreros  por  día días           (obra)(dificultad  )

  K 

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 2. Las magnitudes de a y b son D. P. Cuando a = 20, b = 5. Calcular b cuando a = 12 Rpta.

4

Rpta.

15

5. De la gráfica. Hallar “a + b”

3

2

3. Si a  y b son D. P., cuando a vale 10, b es 7. ¿Qué valor toma a  cuando b  vale 28? Rpta.

20

4. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale 6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4? Rpta.

30

12

a    y b son I. P,. Cuando 5. Si a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9 Rpta.

6. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a + b + c”

10 2

5. Si “a” es I.P. a “b  - 1”, siendo “a” igual a 24 cuando “b” es igual a 10. hallar  “a” cuando “b” es igual a 5.

Rpta.

Rpta.

99

1. Si las magnitudes A y B son Calcular: a + b + c

 A 18

a

b

c

 B 12 16 18 24

D. P.

Rpta.

 A 10 b

40 5

 B

24 c

a

9

24

7. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P = 12 cuando v = 4 Rpta. 8 8. Si:

a  b 

= k. Hallar “a” cuando

a = 18 cuando b = 9

b = 12; si

9. Si: a  es D.P. con b. Hallar “a” cuando b = 4, si a = 4 cuando b = 2 Rpta.

16

8. La gráfica nos muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar a+b+c

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si “a” es D.Pa ”b”. Hallar “b” cuando “a” es igual a 7, si a = 5 cuando b =15 a) 18 c) 21 e) 25

b) 20 d) 22

2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3. Hallar “b” cuando a = 2

a) 10 c) 14 e) 16

a) 40 c) 48 e) 52

b) 12 d) 18

9. “a”

3. “a” es D. P. a “b” . cuando

a = 6, b =

8. calcular “a” cuando: b = 12

a) 6 c) 8 e) 10

b) 44 d) 50

es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar el valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8, si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30

a) 28 c) 30 e) 32

b) 7 d) 9

b) 29 d) 31

10. Si A y B son IP. Calcular

4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4, b = 3. Calcular el valor que toma “b” cuando “a” toma el valor de 6.

a) 1 c) 3 e) 5 5.

b) 2 d) 4 2

“a” es D.P. a “b ”. Cuando “a” es igual a 20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará “a” cuando “b” es igual a 3?

a) 1 c) 3 e) 5

a) 10 c) 20 e) 30

b) 2 d) 4

6. Si: “a” es I.P a “ 3 b  ”, además cuando “a” es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a” cuando “b” valga 343?

a) 5 c) 15 e) 25

b) 10 d) 20

7. Si A y B son IP. Calcular

a) 60

m+n+a

 A 30

n2

m

a

 B

15 10

1

n

b) 64

b) 15 d) 25

CLAVES 1. C

6. C

2. B

7. C

3. D

8. B

4. B

9. E

5. E

10. C

m+n+a

1. REPARTO PROPORCIONAL CLASES: a)

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales. Se caracteriza por que “a mayor numero

 proporcional

le

corresponde

mayor

cantidad”.

S

 A = xk  B = yk  C = zk 

Solución:

Cuando los valores que intervienen corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales. Se caracteriza por que “ a mayor número

le

corresponde

menor

cantidad”.

S

 A =

k 

B =

 x k 

C =

 y k 

k = 1,5 por lo tanto el mayor recibe:

3.- Dos personas invirtieron en un negocio S/. 1000 y S/. 2000 respectivamente, obteniendo una ganancia de S/.1500. ¿Cuánto le corresponde a cada una?

REPARTO PROPORCIONAL INVERSO

 proporcional

Solución: 4k  + 12k  + 14k = 45 30k = 45

14 x 1,5 = 21 millones

 A + B + C = S (x + y + z) k  = S

b)

2.- La herencia de tres hermanos asciende a 45 millones de soles, si dichas herencias están en la relación con los números 4;12;14 ¿ Cuántos millones recibe el mayor ?

4.- Divide 261 en tres partes proporcionales a los números 12;27; 48 respectivamente.

 z 

Solución:

 A + B + C = S  1 1 1     k   S    x  y  z  

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Repartir 1250 en 3 partes directamente proporcional a los números 2;3;5 .

Solución: 1250 se reparte en A;B;C partes, tales que:  A = 2 k  B = 3 k  C=5k 10 k luego 10k = 1250 K = 125 Por lo tanto:  A = 2 ( 125 ) = 250 B = 3 ( 125 ) = 375 C = 5 ( 125 ) = 625

Persona A = k Persona B = 2k 3k luego 3 k = 1500 k = 500 Cada persona recibirá: Persona A = k= 500 Persona B = 2k = 1000

12 k + 27 k + 48 k = 261 87 k = 261 k=3 Por lo tanto: Los números serán: 12 ( 3 ) = 36 27 ( 3 ) = 81 48 ( 3 ) = 144 5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. Luego calcula el producto de A.B.C

Solución: De acuerdo al enunciado tenemos :  A=2k  B= k  C = A + B = 2k + k = 3k Entonces:  A + B + C = 42 2k + k + 3 k = 42

* B= 7 * C = 3(7) = 21 Por último: 14 x 7 x 21 = 2058 6.- Repartir 36 en tres partes inversamente proporcional a los números 6; 3; y 4 ( en éste orden) obteniéndose a; b; y c. Halla : a.b.c

Solución: a =

k 

b =

6 k 

b = 4k

c=

3 k 

c = 3k

a = 2k

a) 270 d) 300

PROBLEMAS PROPUESTOS 1). Reparte 1250 en 3 partes directamente proporcional a los números 2;3;5, e indica la suma de las cifras del mayor número. c) 9

2). Reparte 56 en partes proporcionales a los números 3; 5; 6. Indica la mayor parte. c) 25

3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82. Da como respuesta la mayor parte. a) 2460 d) 3240

b) 2420 e) 840

b) 80 e) 102

c) 36

b) 35 e) 81

c) 80

b) 406 e) 240

c) 180

a) 2900 d) 2160

b) 1440 e) 2880

c) 1800

10). Reparte 50 caramelos en forma proporcional a 162; 243; 405. Halla la parte que no es mayor ni menor. a) 28 d) 10

b) 20 e) 22

c) 15

11). Descompón el número 162 en tres partes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla la parte menor. a) 36 d) 38

b) 26 e) 13

c) 39

c) 2640 12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.

4). Reparte 400 DP a los números 10; 15; 25. Indica la parte menor. a) 150 d) 140

b) 240 e) 120

9). Reparte 12240 en 3 partes proporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica la menor parte.

Finalmente: 8.16.12 = 1536

b) 18 e) 24

a) 210 d) 150

8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica la mayor parte.

Por lo tanto:  a = 2(4) = 8  b = 4(4) = 16  c = 3(4) = 12

a) 22 d) 16

c) 3200

6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte intermedia.

a) 58.5 d) 180

9k = 36 k=4

b) 14

b) 2500 e) 2300

7). Reparte 135 dólares entre 5 personas proporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8 y 13 respectivamente, indica ¿ cuánto le toca al último?.

4

a) 10 d) 13

a) 2400 d) 4500

c) 106

5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en forma D.P. a los números 15; 6; 4. ¿ Cuánto recibe el mayor?

a) 252;150;480 c) 189;378;315 e) 420;210;252

b) 210;420;172 d) 140;142;600

13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la mayor parte. a) 165;132;30

b) 165;123;39

14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da como respuesta la parte mayor. a) 160 180 d) 140

b) 100

c)

REGLA DE TRES

e) N.A.

15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos éstos entregan 180 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Juan? a) 120 d) 150

b) 140 e) 90

c) 75

16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7 Indica la mayor parte. a) 378 d) 300

b) 102 e) 100

c) 270

17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica la mayor parte. a) 480 d) 378

b) 270 e) 382

SESIÓN N° 10

c) 164

1. CONCEPTOS PREVIOS a)

Cantidades Directamente Proporcionales

Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en ese mismo orden. a1 b1

b)



a2 b2



a3 b3

 k Constante de Proporcionalidad.

Cantidades Inversamente Proporcionales (I.P)

Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismo orden. Ejem : P P1 P  2  3 k 1 1 1 q1

q2

q3

CLAVES DE RESPUESTAS 1) d 4) b 7) a 10)c 13)e 16)a

2) e 5) d 8) a 11)c 14)a 17)d

3) a 6) a 9) b 12)e 15)a

2. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES SIMPLE Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes a dos magnitudes diferentes determinar la incógnita.

a) Directa .- Si las cantidades son D.P. (directamente proporcionales) Ejemplo 1 : - Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en cuantas horas recorrerá 30km.

Solución : Distancia(km)

Tiempo (H)

120 8 30 x Son magnitudes D.P Luego : x =

30 x 8 120

= 2 horas

b) Inversa.- Si las cantidades son I.P.

Ejemplo 1 : - Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón de clase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos?

2).- En una competencia de glotones 40 de ellos puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?

Solución : Solución : +

Tiempo

N° alumnos

30  x

Son magnitudes I.P. Luego x =

60

Método de los signos IP C + c1

D D + d1

 x =

= 10 días

Dadas varias cantidades y una incógnita perteneciente a diversas magnitudes, determinar la incógnita. Consiste en resolver en forma simultánea dos o más reglas de tres simple:

DP B b1

IP E + e1

b2 +

c2

Luego : x =

x

e2 -

PRODUCTO(  ) a 2 b 2 c1 e1 d1  PRODUCTO( ) a1 b1 c 2 e 2

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días, doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce huevos?

Solución : + Patas 3 12  x =

+ Huevos 3 3 12 x + -

12 x 3 x 3

Días

= 3días

3000 x 50 x 3 2 x 40

= 3625 panes

3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la conservación de un tramo de la línea férrea Arequipa  –Cusco, construyen 4/5 de una alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario aumentar?

Solución : Hombres + 12 5

Obra +

 x = a2 +

Días

Luego :

3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES COMPUESTA

DP  A a1

+

Panes Glotones 3000 40 2  x 50 3 + +

20 60

30 x 20

-

12 x 5 x 6 4x5

Tiempo + 4/5 5/5 -

6 5

 18

Debe aumentarse 18  – 12 = 6 hombres 4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias construyen 300 metros de la misma obra?

Solución : Obreros H/D Tiempo + + 60 8 50 6  X =

Metros 320 300 +

60 x 8 x 300 x 20 50 x 6 x 320

+ 20 x

= 30 días

5).- 10 campesinos siembran un terreno de 2

¿Cuántos días demorarán en sembrara 2 otro terreno de 80m , 15 campesinos doblemente hábiles?

Solución : Camp.   Área + + 10 15 15 x

a) 168 c) 336

Días + 7 8

15 x 8 x 2 x 50

+ 1 2

50 80 =

7 días

1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si desea demorar 6 horas? b) 140 d) 150

e) 120

2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede realizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacer la misma obra si tiene una dificultad de 80%? a) 16 c) 33

b) 34 d) 18

e) 32

3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se demora 15 días? a) 60% c) 90% e) 70%

b) 80% d) 100%

4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros? a) 20 c) 13

b) 8 d) 10

e) 12

5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una habilidad del 90%? a) 18 c) 12

b) 24 d) 20

e) 208

8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una semana, ¿Cuántos panes comerán?

PROBLEMAS PROPUESTOS

a)160 c) 130

b) 48 d) 288

Horas Habilid.

10 x 15 x 7 x 1 x 80

 X =

7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar gasolina, en 42 días gastará:

e) 21

6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?

a) 160 c) 320

b) 240 d) 250

e) 280

9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres el resto? a) 20 c) 15

b) 25 d) 18

e) 23

10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros harán la obra de igual característica en: a) 16 c) 20

b) 7 d) 15

e) 10

11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan 18 panes? a) 242 d) 150

b) 148 e) 342

c) 230

12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual característica? a) 9 d) 8

b) 6 e) 10

c) 5

13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10 días? a) 9 d) 8

b) 6 e) 3

c) 5

14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias? a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

c) 16

15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3 m de profundidad en 20 días? a) 10 d) 9

b) 11 e) 8

c) 12

16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas que estuvo alojada en la misma pensión durante dos semanas? a) 112

CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 4) d 7) d 10)e 13)b 16)a 19)a

2) d 5) b 8) e 11)e 14)c 17)a 20)c

3) d 6) b 9) a 12)e 15)d 18)d

b) 120 c)114

d)115 e) N.A. 17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un pueblo a otro distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje debe ir a otro pueblo distante 192 km de este último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas diarias? a) 6 d) 8

b) 3 e) 7

c) 5

18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el número de raciones diarias se reduce a 2 por día. a) 18 d) 24

b) 20 e) N.A

c) 22

REGLA DE COMPAÑÍA Concepto.Es un caso particular del reparto proporcional donde se reparten las ganancias o pérdidas de las transacciones, según el capital invertido por cada socio en un periodo fijo de tiempo; dentro de una sociedad mercantil. En la Regla de Compañía se considera al capital y al tiempo como directamente proporcionales a la ganancia o a la pérdida de una transacción comercial. Donde: () : (C) :

19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios para construir 20 m de pared continuada en 5 días trabajando 10 horas diarias? a) 16 d) 13

b) 15 e) N.A

c)14

20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días. ¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días? a) 18 d) 30

b) 12 e) N.A

c) 27

  K    CT  (T) :

Clases.-

Ganancia o pérdida Capital de cada socio

   C    T

Tiempo de inversión del capital (meses)

1) Regla de Compañía Simple,  cuando existe un capital únicos para cada socio presentar 2 casos:

i. Capital Constante:  La variación de la ganancia o pérdida es DP al tiempo. ii. Tiempo constante:  La variación de la ganancia o perdida es DP al capital a derecho (de cada socio)

2) Regla

de

Compañía

Compuesta,

cuando existen distintos capitales en distintos tiempos presenta 2 casos:

i. Capital Constante en tiempo variable: la ganancia o pérdida es DP al capital multiplicándose con el tiempo de cada socio. ii. Capital Variable:  Ganancia o pérdida es dp al producto del capital único por el tiempo total.

OBS: 1) Capital Único:  es a suma de todos los capitales (expresados en una misma unidad de tiempo). 2) La Ganancia neta (Gn): es la ganancia, beneficio y/o utilidad Real, después de la inversión del capital, que indica la cantidad recuperada respecto al capital inicial.

Ganancia neta =

Ganancia Inical

 -

05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para la explotación de un negocio y ganaron: el 1° 1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impuso cada uno? Rpta.:

06) En una industria que trabajo durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/. 500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600 menos que el tercero; el tercero, la mitad de lo que puso el cuarto y este impulso S/. 3000. si hay que afrontar una perdida de S/. 3400. ¿Cuánto perderá cada uno? Rpta.:

07) Tres amigos se asocian para emprender un negocio e imponen: S/. 2500; el segundo, la mitad de lo que puso el primero mas 600; el tercero, 400 menos que los anteriores juntos.  Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de 16600. ¿Cuánto toca a cada uno? Rpta.:

Capital Invertido

PROBLEMAS PARA LA CLASE

08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los 3 meses mas tarde entra de socio C con S/. 3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabo del año de emprender A el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno? Rpta.:

01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200 soles cada año en un negocio que tienen. En 1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y su socio, del resto, y en 1967, Juan García fue dueño de los 2/5 del negocio y su socio del resto, por que el primero vendió al segundo una parte. Hallar la ganancia total de cada socio en los 2 años. Rpta.:

09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de 6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11 meses mas tarde entra como socio C con S/. 2000. si a los 2 años de comenzar A su negocio hay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibe como ganancia cada uno? Rpta.:

02) A; B; C emprenden un negocio imponiendo  A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. al cabo de un año, A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto ha ganado B y C? Rpta.:

10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para la explotación de un negocio. A, permaneció en el mismo un año, B, cuatro meses menos que A y C; 4 meses menos que B. Si hay una pérdida que asciende al 20% del capital social. ¿Cuánto pierde cada socio? Rpta.:

03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 el primero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 el tercero, tienen que repartirse una perdida de S/. 19500. ¿Cuántos quedan a cada uno? Rpta.:

11) Reuniendo un capital de 10 000 soles por partes iguales, tres socios emprenden un negocio por 2 años. El primero se retira a los 3 meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y el tercero estuvo todo el tiempo. Si hay una pérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.:

04) Cuatro socios han ganado en los 3 años que explotaron una industria, lo siguiente: el primero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo que gano el primero; el tercero, los ¾ de lo que gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo que gano el tercero. Si el capital social era de S/.

12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotar un negocio. El primero impone S/. 6000 soles para 2 años y el segundo lo restante por 3 años. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno si hay una pérdida de S/. 1365?

13) En una sociedad formada por tres individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el primero S/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años y el tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántos corresponde a cada uno si hay una ganancia de S/. 1230? Rpta.:

20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socio impuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retiro la mitad; el segundo impuso 6000 y al año añadió 3000; y el tercero, que empezó con 6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándo corresponde a cada uno en beneficio de 5740? Rpta.:

14) Para explotar una industria 3 socios imponen el primero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que el primero; y el tercero S/. 100 menos que los 2 anteriores juntos. El primero ha permanecido en el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por 5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de un beneficio de S/. 448? Rpta.:

21) Dos hermanos forman un negocio, aportando cada uno un mismo capital, A un mes de iniciado el negocio, el primero aumenta en sus 2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundo reduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocio duro 6 meses y al final se obtuvo una ganancia waaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias, si estas son cantidades enteras?

15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de los cuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000 mas que el primero y el 3° lo restante. El primero ha permanecido en el negocio por 8 meses y el tercero por 5 meses. Si hay que afrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debe perder cada uno? Rpta.:

16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1° con 6000 soles mas que el segundo; el segundo con 3000 mas que el tercero y este 8000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de beneficio de 5585 soles?

a) 2661

b) 1331

c) 1221

d) 2112

e) 3113 22) En la imprenta Willy´s se observa el siguiente aviso:

# de tarjetas impresas

Medida

Costo

500

5 x 8 cm

S/. 7,50

1000

5 x 8 cm

2

S/. 14,00

Rpta.:

17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, en la explotación de una industria, impusieron: el primero 300 más que el segundo, este, 850 y el tercero, 200 menos que el segundo; sabiendo que el primero; y el tercero, meses más que el primer; si el beneficio total es de 338? Rpta.:

18) Cuatro comerciantes asociados en una industria han impuesto: el primero 300 mas que el tercero; el segundo mas que el cuarto en 400; el tercero, 500 mas que el segundo; el cuarto S/. 2000. el primero permaneció en la industria durante año y medio; el segundo, por 1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾ años. Si hay que repartir una ganancia de 4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Rpta.:

19) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con S/. 500 y 7 meses después añade S/. 200; el segundo empieza con S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300; ¿Cuánto corresponde a cada uno de un beneficio de S/. 338? Rpta.:

Si hay 20% de descuento en la producción de tarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetas 2 de impresión de 8 x 18 cm ; si el material para 2 hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m ?

a) 39,5

b) 40,8

c) 41

d) 41,3

e) 41,5

23) Andrade, Fujimori y Toledo forman una sociedad. El capital de Andrade es al capital de Fujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimori es al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 meses de iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajar y se retiro del negocio; 3 meses después Fujimori también se retiro del negocio 4 meses después, Toledo liquidaría su negocio repartiendo las utilidades. Si Andrade hubiese permanecido un mes en el negocio habría recibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida en el negocio?

c) 2182

d) 2218

e) 2128

24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partes iguales en un negocio que dura 2 años. El primero, al terminar el primer año añadió unos S/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; el segundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5 meses después otros S/. 2000; el tercero, a los 14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdida total de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Indicar la suma de las cifras de cada valor.

a) 11; 9; 7

b) 8; 5; 9

c) 13; 13; 5

d) 5; 5; 13

e) 4; 13; 11 25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos. El negocio ha durado unos 3 años. El primero empieza con 8000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y 2 meses mas tarde, agrega 2000. El segundo, que empezó con 6000, al año doblo su capital y 5 meses mas tarde retiro S/. 4000. ¿Cuánto ganara cada uno? Indicar la suma de cifras del mayor.

a) 20

b) 10

c) 18

d) 9

4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500 menos que el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cada uno? Dar como respuesta la suma de la suma de las cifras de cada valor.

a) 25

b) 26

c) 27

d) 28

e) 29 28) De los tres individuos que contribuyeron una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el segundo, durante 7 meses más que el primero y el tercero durante 8 meses más que el segundo. El primero había impuesto S/. 800, el segundo, 400 menos que le segundo. Si hay una perdida de 224 soles. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno, respectivamente?

a) 16; 30; 48

b) 12; 15; 23

c) 27; 39; 51

d) 48; 85; 81

e) 30; 87; 96

29) Tres individuos se asocian para iniciar una empresa. El primero impone S/. 2000 durante 3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3° S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay un beneficio de 2500 soles? Dar la aproximación de la parte entera.

e) 6 a) 799; 276; 402

26) Tres individuos se asocian en un negocio que dura 2 años. El primero impone S/. 2000 y al cabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundo impone al principio S/. 5000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio S/. 2500, saca a los 5 meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agrega S/. 500. si hay una perdida de S/. 500. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno?

a)

170 11/12; 212 1/3; 117 3/38

b)

170 7/9; 212 ½; 117 15/17

c)

170 2/5; 212 34/35; 117 ¼

d)

170 1/6; 212 34/35; 117 2/3

e)

170 10/47; 212 36/47; 117 1/47

27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000 por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 por

b) 612; 400; 10 c) 900; 1200; 300 d) 986; 1184; 328 e) 578; 1207; 610

30) A emprende un negocio con capital de S/. 2000 a los 4 meses toma como socio a B, que aporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admiten como socio a C, que aporta otros S/. 2000. Cuando se cumple un año a contar del día en que A emprendió el negocio hay una utilidad de S/. 1250. ¿Cuánto recibe cada socio? (respectivamente) a) 600; 400; 250 b) 300; 120

d) 700; 600; 500 e) 250; 120; 212

31) Tres individuos emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750 al cabo de una año A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C?

a) 120; 130

b) 130; 140

c) 140; 150

d) 170; 180

35) Cuatro individuos explotan una industria por 4 años y reúnen 10 000 soles, de los cuales el primero pone 3500; el segundo 2500, el tercero, la mitad d lo que se puso el primero y, el cuarto, lo restante. Hay que repartir la ganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno? (respectivamente)

a) b) c) d) e)

1982; 2001; 1946; 875 1750; 1250; 875; 1125 1740; 1230; 825; 1105 1800; 1180; 912; 1179 N.A.

SESIÓN N° 11

e) 160; 150

32) Se constituye entre 4 comerciantes una sociedad por 4 años, reuniendo 24 000 bolívares por partes iguales. El primero ha estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 a los y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto, año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno de una ganancia de 6930 bolívares, respectivamente?

TALLER DE REFORZAMIENTO: PROBLEMAS RESUELTOS 2

1).- Las magnitudes A DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?

Resolución: 2

f) g) h) i)  j)

1999; 736; 456; 1879 2750; 2000; 930; 712 2520; 2170; 980; 1260 2003; 1982; 727; 432 602; 799; 1988; 1015

33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisa aporta S/. 5020 y permanece en el negocio durante 3 meses. Roxana aporto 700 soles y estuvo durante 5 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de 5000; calcular la ganancia de Luisa y Roxana.

* Como A   DP. B Ma nitud Valor 2 ( A )   ct e A Valor  (B)

B

Valores

20

20

18

18

* Luego: 202 n2 202 x 72   n2   n2  202 x 4  n  40 18 72 18 2

2).- Si A es DP. B  además cuando A = 18; B = 9. Calcula: B cuando A = 8.

Resolución: a) 100 c) 300

b) 200 d) 400

* Si: A DP. B2 

92

34) Cinco colonos han emprendido un negocio imponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/. 200 mas que el segundo y así sucesivamente los demás. Hay que hacer frente a una perdida de S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno? (respectivamente)

B2

 cons tan te

* Luego: 18

e) 500

 A



8 B2

 B2 

8 x 9218

 B2  36  B  6

3).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 15, B = 24, halla B cuando A es 120.

Resolución: * Como “A” es IP a “B”, entonces:

a) b) c) d) e)

70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3 70; 60; 50; 140; 208 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9

 AB = constante ó  A1 x B1  A2 x B2  A3B3  .....

* Luego reemplazamos los valores dados, así: 120 B  15 x 24  B 

15 x 24 B  3 120

a) 22 d)23

b)24 e)27

c) 26

2

10).- A es D.P con B  e I.P a  A = 4;

PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Si “A” es DP. a

C  ,

cuando

B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando

B = 12 y C = 36.

B y cuando A = 12;

a) 2

b) 6

c) 8

d) 4

e) 10

B=16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18?

a) 28 d) 44

b) 54 e) 64

11).- Si 3  A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4;

c) 36

calcula el valor de “B”, cuando A= 8.

2

2).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 16; B = 2; calcula “A”, cuando B = 8.

a) 64 b) 256

c) 8

d) 32

b) 8 e) 7

c) 16 4

12).- Si “A” es DP. a B  y cuando A = 48; B = 2; calcula “A”, cuando B = 3.

e)512 2

3).- Se sabe que “A” es D. P. a B  cuando  A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A”

cuando B = 20? a) 16 d) 75

a) 2 d) 13

a) 27 d) 162

b) 9 e) 243

c) 81

13).- “P”  varía inversamente proporcional a

b) 32 e) 25

“T”, cuando P = 125, entonces T = 48. Determina “T”, cuando P = 300.

c) 18

2

4).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 6; B = 2; calcula “A”, cuando B = 10.

a) 164 d) 200

b) 150 e) 512

c) 80

5).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B = 8; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 16?

a) 12 d) 13

b) 20 e) 17

c) 16

14).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando  A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240. a) 1

b)2

c) 6

d)3

e)5

2

a) 14 b)12

c) 16 d)54

6).- Si “A” es DP. a

e)96

B y cuando A = 6;

B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9?

a) 6 d) 18

15).- Las magnitudes A DP.B; cuando A vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?

b) 9 e) 9/2

a) 92 d)86

b)68 e)88

c) 80

c) 18 4

16).- Si “A” es DP. a B  y cuando A = 6; B = 3; calcula “A”, cuando B = 6.

2

3

7).- Si  A es IP. a B  y cuando A = 64; B = 4; calcula el valor de “B”, cuando

 A =64. a) 2 d)13

b)98

c) 81 d)62

e)96

4

17).- Si “A” es DP. a B  y cuando A = 18; b)8 e)7

c) 16 2

8).- Si “A” es DP. “B ” y cuando “A” es 24; B = 4; calcula “A”, cuando B = 6.

a) 12 d) 54

a) 78

b) 28 e) 17

c) 36

9).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B =

B = 4; calcula “A”, cuando B = 8.

a) 227 d) 262

b) 229 e) 288

c) 281

18).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando  A = 60, B = 96, halla B cuando A es 480. a) 14

b) 22

c) 12

Rpta.

12

CLAVES DE RESPUESTAS 1) b 4) b 7) c 10)b 13)b 16)e

2) b 5) b 8) d 11)b 14)c 17)e

3) b 6) b 9) b 12)e 15)c 18)c

8.

Tres personas compran todos los boletos de una rifa en forma directamente proporcional a 2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma inversamente proporcional al número de rifas comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos si en total se repartió S/. 2542? Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Repartir el número 1000 en 3 partes que sena D. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menor número Rpta.

2.

Un enunciado reparte 840 soles en partes proporcionales a las edades de sus tres hijos, siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo le corresponderá al mayor? Rpta.

3.

400

Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y 20. Hallar la mayor parte Rpta.

4.

200

320

Tres sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen 57680. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 7 y el tercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo? Rpta.

28840

5. Repartir 858 en partes directamente proporcionales a los números:

3 , 5 y  4 . Hallar la menor parte 4 6 5

Rpta. 270 6. Repartir 360 en 3 partes que sea inversamente proporcionales a los números 3, 4y 6. Hallar la mayor parte. Rpta.

160

7. Repartir 735 en partes inversamente proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la

9.

372

Divide 1600 en partes inversamente proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma de las partes mayor y menor Rpta.

1240

10. Dividir en 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar el mayor Rpta.

90

11. Repartir 1000 en partes proporcionales a 8, 18  y

directamente 150 . Hallar el

menor Rpta.

200

12. Tres personas compran todos los boletos de una rifa en forma directamente proporcional a 2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma inversamente proporcional al número de rifas comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos si en total se repartió S/. 2542? Rpta.

372

13. Divide 1600 en partes inversamente proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma de las partes mayor y menor Rpta.

1240

14. Dividir en 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar el mayor Rpta.

90

15. Repartir 1000 en partes proporcionales a 8, 18  y menor

directamente 150 . Hallar el

PROBLEMAS PARA RESOLVER REPARTO PROPORCIONAL 1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partes directamente proporcionales a 2; 3 y 1/5. ¿Cuánto recibe C? a) 55 c) 198 e) 250

b) 176 d) 200

2. Un padre reparte 520 dólares proporcionalmente al promedio que obtienen sus hijos en Aritmética. ¿Cuánto reciben las notas obtenidas son 12; 13; 15? Dar por respuesta lo que recibe el mayor a) 156 c) 195 e) 179

b) 169 d) 215

3. Repartir 429 en partes proporcionales a 2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta la mayor parte. a) 55 c) 198 e) 250

b) 176 d) 200

4. Repartir el número 1246 inversamente proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma de cifras del menor número. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 10 5. Repartir 1000 en forma inversamente proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la mayor parte. a) 100 c) 300 e) 500

b) 200 d) 400

6. Se ha hecho un reparto en 3 partes inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el total repartido? a) 1000 c) 4000 e) 8000

b) 3000 d) 6000

7. Repartir el número 1246 inversamente proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma

a) 8 c) 10 e) 12

b) 9 d) 11

8. Repartir 1000 en forma inversamente proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la mayor parte. a) 100 c) 300 e) 500

b) 200 d) 400

9. Se ha hecho un reparto en 3 partes inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el total repartido? a) 1000 c) 4000 e) 8000

b) 3000 d) 6000

10. Repartir 348 en dos partes directamente proporcionales a 3 y ¼, e inversamente proporcionales a ½ y 1/5. Hallar la suma de cifras de la mayor parte. a) 12 c) 16 e) 20

b) 14 d) 18

11. Se reparte 596000 en forma proporcional a los números 2, 4, 6, 8 e inversamente proporcional a los números 1, 3, 5, 7. ¿Cuánto le corresponde a la parte menor? a) 100000 c) 250000 e) 320000

b) 120000 d) 300000

CLAVES 1. 2. 3. 4. 5.

D C C E E

6. D 7. D 8. A 9. D 10. B

SESIÓN N° 12

PORCENTAJE DE PORCENTAJE: El 20% del 10% de 40% es:

TANTO POR CIENTO

REGLA DEL TANTO POR CIENTO: Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales.

20 . 10 100 100

El 50% del 30% de 60% es;:

50 . 30 100 100

Es decir: Unidad

8 % = 0,8% 10

 . 40% =

x 60% = 9%

El a% del b% de c% a  . b  . c %  abc 

1 100

1 100

1 100

1 100

1 100

100 100

10000

%

TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD: El 20% de 30 =

20  . 30 = 6 100

100 partes iguales El 60% del 10% de 500 es =

60 . 10 100 100

.

500 = 30

Luego: 1 parte

<>

1  = 1% (uno por 100

ciento) 2 partes

2  = 2% (dos por <> 100

ciento)

3 = 3 % (tres por 3 partes <> 100 ciento) 100 partes <>

100 = 100% (cien por ciento) 100

OPERACIONES CON PORCENTAJE 20%A + 30%A = 50% A 70%B – 30%B = 40%A m + 10%m =

100% m   + 10% m =    

1

110% m N – 30%N = 70%N 2A + 10%A = 210%A 5% menos = 95%

Observamos que: 1% = .

1  a % = a  100 100 100 = 1 . 100% = 100

OBSERVACIÓN:

El 35 por ciento <> 35 100

90 1000

Parte   . 100% . Todo 

¿Qué tanto por ciento es 12 de 40?

40

El 90 por mil <>

. Ejemplos:

El 7 por 40 <> 7

El 20 por 45 <> 20 45

RELACIÓN PARTE - TODO:

12  . 100% = 30% 40

¿Qué porcentaje de 80 es 25?

¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad?

25  . 100% = 31, 25% 80

Resolución: (+) (+) (+) 10%; 20% y 50%

¿Qué porcentaje de “A” es “B“?

B  . 100% A



110 . 120 .150% = 198% 100 100

 Aumento único = 198% - 100% = 98%

En una reunión de 60 personas, el 20% son hombres y el resto mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres son los hombres? Resolución: N° personas: 60 =  20 . 60  12 (hom bres  )  100 48 (mujeres )  Luego:

VARIACIÓN PORCENTUAL Ejemplo 1: Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En que porcentaje aumenta su área? Resolución

Final

12  . 100% = 25% 48

Inicial A2

OBSERVACIÓN: PIERD

A1

a

QUEDA

PIERD

O

G ANO

a

O

10% 75% 8% 40%

90% 25% 92% 60%

20% 30% 80% 100%

120% 130% 180% 200%

120% a +20%

El área: 2

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:

2

Ejemplo 1 ¿A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una cantidad?

Otra Forma: Se asume al lado inicial diez

Resolución:

El

Sea “N” la cantidad inicial:

N

(90% N)

- 10% Descuento

70%(90% N) = 63% (Queda) -30% =

100% - 63% 37%

Otra forma: ( –) ( –) 10% y 30% de N  90% . 70%N = 63%N

2

 A1 = a A  = (120% a) 2 2  A  = 120%a . 120%a = 144% a  El área aumenta en 144% - 100% = 44%

área: 2

 A1 = 10  A1 = 100 2  A2 = 12  A2 = 144  Aumento en 44%

Ejemplo 2: Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿En qué porcentaje aumentara su área?

Ejemplo: Para fijar el precio de venta de una articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? Resolución: Sea precio de costo S/. X 1° PF = x + 80%x  PF = 180%x 2° D = 40% PF 3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) = 108%x Luego:

El área: 2

 A1 = (10 )

2

A2 =  (20 )

PV = PC + G 108%x = x + G G = 8%x  ganancia es el 8% del costo

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El radio de una esfera disminuye en 40% con ellos el volumen disminuye en: Rpta.

 APLICACIÓN COMERCIAL Ejemplo:  Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio de costo: P C) y decide ofrecerle en $500(precio fijado: P f ) sin embargo, ala momento de venderlo lo hace por S/. 420(precio de venta P V), se realiza un descuento de (500  –  420 = 80 soles) y se obtuvo una ganancia de 420  –  400 = 20 soles, (ganancia bruta: G B); pero esta operación comercial genera gastos pos S/. 5 o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles (ganancia neta G N) veamos:

78, 4%

2. El precio de una refrigeradora es de S/. 1200 en tiendas sagafalabella y tiene los siguientes descuentos:  40%, sólo por hoy.  20% más si paga con tarjeta CMR.

¿Cuál es el monto a pagar? Rpta. S/. 576 3.

Si la base de un rectángulo se incremente en 20%. ¿En cuánto disminuye la altura si el área no varia? Rpta.

16 2/3%

4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x” Rpta.

100/11

5. El 25% de que número es el 35% de 770 Rpta. Luego del gráfico: * . PV = PF – D . = GN + Gastos Si hay pérdida:

1078

6. ¿De que número es 216 el 8% más? * . PV = PC + GB.GB

Rpta.

200

7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27. Hallar a. Rpta.

30

8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n. Rpta.

90

9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a. Rpta. 100 c/b 10. Se observo que en una granja el número de patos, conejos y pavos en la relación de los números 4, 5 y 6. ¿Qué porcentaje del total son pavos? Rpta.

40%

11. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de éstos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres? Rpta.

25%

12. El 20% menos de A es igual a 2% más de B si A + B = 546. Hallar A - B Rpta.

PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. La base de un triángulo aumenta en 50% y su altura en 20%. ¿En qué porcentaje varia en área? a) 70% c) 60% e) 50%

b) 80% d) 40%

2. Si al altura de un rectángulo disminuye en 35% y la base aumenta en 10%. El área a) b) c) d) e)

Aumenta en 28,5% Aumenta en 25,8% Disminuye en 28,5% Disminución en 25,8 N.A.

3. De un depósito de agua se extrae primero el 20% y luego el 25%. ¿Qué porcentaje del total se extrajo? a) 40% b) 44,% c) 44% d) 45% e) 39,7% 4. Si el lado de un cuadrado disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje disminuye el valor de su área?

66

13. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N 123). ¿Qué porcentaje de N representa 53?

a) 60% c) 39% e) 56%

b) 30% d) 51%

5. Hallar el 36% de 2500 Rpta. 16.6% 14. En una reunión el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de hombres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

a) 693,3 c) 900 e) N.A.

b) 1000 d) 368

6. ¿De que número es 72 el 2.4%? Rpta.

41,6%

15. En una granja: el 30% de los animales son pollos, el 45% son patos y el resto son gallinas. Si se venden la mitad de los pollos; 4/9 de los patos y 3/5 de las gallinas. ¿Qué porcentaje del nuevo total son patos? Rpta.

50%

16. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del número?

a) 3 b) 172,8 c) 300 d) 3000 e) N.A. 7. ¿Qué % de 38000 es 190? a) 1/2 c) 1/200 e) N.A.

b) 50% d) 2%

8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15 por 60 de 24000 a) 120 c) 140

b) 100 d) 125

9. Hallar el 20% del 30% del 10000. a) 50 b) 70 c) 90 d) 100 e) 110

15% de

10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de que número? a) 40 c) 35 e) 48

b) 50 d) 28

CLAVES

1. B

6. D

2. C

7. A

3. A

8. A

4. D

9. C

5. C

10. B

SESIÓN N° 13

REGLA DE INTERÉS INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta. Interés (I) : Capital (C) : propiedades, etc. Tiempo (T) :

Crédito, renta (anual) Dinero, acciones, Año, meses, días

OBSERVACIONES: E L AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL,  AQUEL QUE TIENE 12 MESES DE 30  DÍAS CADA UNO

Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés.

OBSERVACIONES: P OR EJEMPLO, TENEMOS: 3 % MENSUAL 36% ANUAL 12% BIMENSUAL 72% ANUAL 10% QUINCENAL 240% ANUAL   

  

  

Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Así: . M =C +1 . Fórmulas para calcular el interés simple: . 1=

. 1=

. 1=

C. r. t , “t” en años 100 C. r. t , “t” meses 1200

.

.

C. r. t  , “t” en días. . 1200

Ejemplo: Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene? Resolución: C = S/. 4000 r = 12% semestral  24 % anual t = 15 meses

I=

C. . r . t 4000 . 24 . 15  =  = 1200 1200 1200

Y como M = C + I

M = 5200

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es el capital que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 3174 ? S/. 2760

3174= C +

Rpta.



Determinar el interés generado al depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses S/. 240

3. Un capital estuvo al impuesto al 9% de interés anual y después de 4 años se obtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital?

10. Un comerciante dispone de S/. 12000 y coloca una parte al 3% y la otra al 5% tal es así que acumula una renta anual de S/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes?

Rpta.

4%

12. Un capital colocado a interés simple produjo en 8 meses un monto de S/. 19300. si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa de interés por años, el monto hubiera sido S/. 38600. ¿Cuál es la tasa anual? 150%

S/. 7500

4. Calcular el interés producido por un capital de S/. 60000 impuesto durante 30 meses al 10% trimestral. Rpta.

S/. 8500 y S/. 3500

11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral se presto un capital de S/. 400 de tal manera que al cabo de 8 meses produce un monto de S/. 432?

Rpta. Rpta.

5 años



C = 2760

Rpta.

8. Hallar el monto que produce un capital de 10800 soles al ser colocado 5% durante 2 años, 3 meses, 20 días Rpta. S/. 12045

Rpta.

M=C+I

2.

7. Un capital es colocado durante 2 años y medio; entre capital e interés resultan 2728 nuevos soles. Si el interés ha sido 1/10 del capital. Calcular la tasa. Rpta. 4%

9. Durante cuanto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si el interés producido alcanza el 60% del capital

M = 4000 + 1200

Rpta.

6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6% anual ha dado un monto de S/. 2400. Calcular el tiempo. Rpta. 2 años 4 meses 20 días

S/. 60000

5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El interés total es de 41200 soles anuales. Calcular el capital Rpta. S/. 120000

13. Una persona tiene S/. 16000 que lo presta al 5% trimestral y otra tiene S/. 20000 que lo presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuántos años los monto serán iguales? Rpta. 20 14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5% anual durante 10 meses, produce S/. 3300 menos que si se impusiera al 5% mensual durante el mismo tiempo?

15. ¿A qué tasa debe colocarse un capital para que al cabo de 5 años se produzca un interés igual al 20% del monto? Rpta. 5%

PROBLEMAS PARA RESOLVER

e) 6 8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? a) 8 años c) 10 años e) 12 años

b) 9 años d) 11 años

1. Calcular el interés producido por S/. 2000 impuesto durante 3 años a) S/. 500 c) S/. 2000 e) S/. 2500

b) S/. 1000 d) S/. 1200

2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/. 20000 llegaría aun monto de S/. 21200 colocada a interés simple en 9 meses? a) 5% c) 7% e) 9%

b) 6% d) 8%

3. Calcular el interés producido por un capital de S/. 40000 durante 4 años al 30% semestral a) S/. 48000 b) S/. 72000 c) S/. 48000 d) S/. 72000 e) S/. 54000 4. Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 2 años para obtener un interés de S/. 120. a) S/. 180 c) S/. 220 e) S/. 250

b) S/. 200 d) S/. 240

5. Un capital “C” produce al cabo de dos años un beneficio de 1440. Hallar “c”, si

la tasa de interés es del 10% bimestral. a) 1320 d) 1200 e) 1260

b) 1440 d) 1220

6. ¿Cuál fue el capital que impuesto al 30% anual, durante 4 años ha producido un monto de S/. 220? a) 200 b) 100 c) 300 d) 400 e) 180 7. Durante cuántos años se deposito un capital de S/.2500 en un banco que paga el 9% trimestral para que se haya convertido en S/. 5200

9. ¿A que tasa fue impuesto un capital si durante 4 años se obtuvo un interés igual al 22% del capital? a) 3% b) 3,5% c) 5% d) 5,5% 6% 10. ¿Cuántos meses estuvo colocado un capital al 3% cuatrimestral, si produjo un interés igual al 6% del capital? a) b) c) d)

4 meses 6 meses 8 meses 10 meses

e) 1 año

CLAVES 1. D 2. D 3. B 4. B 5. C

6. B 7. B 8. C 9. D 10. B

SESIÓN N° 14

Se dice que la mezcla es directa cuando el propósito es hallar el precio medio (valor medio de la mezcla). Pm 

REGLA DE MEZCLA Se va a calcular el precio de la mezcla conociendo las cantidades y precios respectivos de las sustancias que la componen. Se va a calcular las  cantidades o la proporción en los que se deben mezclar varias sustancias para que resulte un precio dado de la mezcla. 

P1 . C1  P2 . C 2  ....  Pn . C n C 1  C 2  ....  C n n

Pm 

 Px C x

x 1 n

 Cx

x 1

NOTA

Cuando en la mezcla se utiliza agua su precio se considera S/. 0

Ejemplo 1 Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/. 4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla.

MEZCLA

Es la unión de dos o más sustancias. Llamadas componentes o ingredientes, donde al mezclarse cada uno de

Resolución: Pm 

 

 

40 4  80 8 40  80

 Pm   S /. 6,6

Ejemplo: Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse se obtiene una mezcla tipo “C”; los granos de A

Ejemplo 2

y B no se alteran.

PRECIO: Es el costo por cada unidad de medida del componente.

VALOR: Es el costo total de cada componente, que resulta del producto del precio por el número de unidades.

PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de una unidad de medida de la mezcla.

Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4 el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litros de S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de la mezcla.

Resolución: Pm 

Pm 

30  4   60  6   20  5  30  60  20

58 0 11 0

 Pm=

 S/. 5,27

Rpta.

MEZCLA INVERSÁ

Una mezcla inversa se caracteriza por que se conocen el precio medio y los precios unitarios, pero no las cantidades.

MEZCLA DIRECTA C1

C2

....

S/.P1 S/.P 2 S/.P3

P1

Cn

C3



P m  P2

C2



P 1  Pm

Pm Pm 

S/.Pn

C1

Costo total Cantidad total

P2

Luego:

C1 C2



Pm  P 2 P1  P m

Ejemplos: Se han mezclado vinos de S/. 100 y S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro. En que relación debe hacerse la mezcla?

Resolución: C 1  C 1= 75  40  35

100 75

40

Piden:

 C 2  100  75  25

C2

C1



35

C2



25

C1 C2



7

Rpta.

5

Se tiene café de S/. 13 y S/. 9 respectivamente. ¿Qué cantidad de cada uno de ellos se requiere para obtener una mezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo?

Resolución 13

C1



C 1= 12

C2



C2

¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza?

Resolución: Nota: 1 hectolitro=100 litros Para completar faltan 20 litros: luego: 80(96%)  20(x%)  90 % 80  20  7 680+ 20x= 9 000 De donde:  x=  66% Rpta.

Ejemplo 02 Si 30 L de una solución contiene 12 L de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%?

9  3

Resolución:

12 9

Ejemplo 01

 13  12  1

Están en relación de: 3k y k Dato: 3k  k  64 4 k  64  k= 16 C 1  3(16)  48 C 2  1(16)  16

Si agregamos “x” litros de agua, se tiene:

12 25% 30 x 12 1 30 x 4 18 L Rpta. x

gm

Resolviendo

ALEACIÓN MEZCLAS ALCOHÓLICAS

Cuando se tiene como sustancias componentes al alcohol y agua generalmente.

Aleación es la mezcla de dos o mas metales mediante el proceso de la fundición, conservando cada metal su propia naturaleza.

Grado de pureza de Alcohol Porcentaje de alcohol puro en la mezcla

Grado 

(volumen de alcohol puro).100%

Metales finos o preciosos: oro, plata, platino Metales ordinarios o de liga: cobre, fierro, zinc, etc.

volumen total

Se expresa en porcentaje (%) o en grado ( º ).

Grado Medio (gm)

LEY DE UNA ALEACIÓN: Se llama ley de una aleación de un metal fino con un metal ordinario (liga) a la relación que existe entre el peso de un metal fino, y el peso total de la aleación.

Es el grado de pureza de la mezcla.  L  volumen de alcohol puro  volumen de la mezcla

 gm  

 .100%  

 L

Peso del metal fino Peso total de la aleación WF

Nota:

Ejemplo 02:

Generalmente la ley de una aleación se representa en décimos o milésimos.

Peso d el metal ordinario

¿Cuántos gramos de oro puro hay en un collar que pesa 15 g, cuya ley es 4 décimos  fino? a) 6g b) 7g c) 8g d) 10g e) 12g

Peso total d e la aleación WO

Resolución:

LIGA DE UNA ALEACIÓN: Liga  Liga

WF

WO

Se tiene que:

Nota: L+Liga=1 Si un metal fino no contiene metal L= 1 ordinario o sea WO 0 Si un metal ordinario no contiene metal fino o sea WF 0 Liga= 1

WF 15

De donde: WF

0, 4

6 g Rpta.

LEY DE ORO: En el caso del oro su ley se puede expresar también en quilates. Al oro puro se le asigna una ley de 24 quilates, el número de quilates representa el número de décima cuarta parte de oro que contiene la aleación.

k  k: # de quilates 24 Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su ley es uno ( 1 ).

1 Sean mezcla do 200 litros de vino de a S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino de mayor precio obteniendo una mezcla con un precio medio de 6.50 sólo por litro. ¿Cuál es el costo en soles por litro del mencionado vino de mayor precio? a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8 d) 16.6 e) n.a.

Ley de oro:  L

LEY MEDIA (lm) W2

W3

l1

l2

l3

W1 l1

W2 l 2

W1

Wn

..........

W2

W3 l 3 W3

..... ....

Ahora bien sea el mayor precio por litro, luego el total será 200  5  30  p ó

ln Wn l n Wn

Ejemplo 01:

Resolución: 280

200 280 De donde: k=  1 4 Rpta.

k 24

 

1 000+ 30p

Como en ambos casos el valor total es el mismo tendremos. 1 000+ 30p= 1 495 1 495  1 000  16, 5  p  30

 p    16,5

Se funden 280 g de oro puro con 200 g de cobre. Hallar el número de quilates de la aleación.

Del enunciado:

El total de litros vendidos es 200  30  230 , como su precio medio por litro es de 6.50 soles el valor total será. 230  6.50  1 495 soles

W1

 l m

Resolución:

Rpta.

2 ¿Cuál será la ley media de la aleación resultante de fundir 3 bloques de aleación cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, donde sus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y 0,900?

d) 19 litros

e) n.a.

Resolución: Ley de aleación:

Resolución:

4 (0, 7 50)  5(0, 8 50)  6(0, 9 00) Lm  4 56 12 650   0,843 Rpta. Lm  15

Por cada litro de agua agregado se pierde: 1 03 0  1 00 0= 3 0g de pe so

181, 4 litros de leche pura pesarián 1 61, 4  1 03 0= 1 66 , 2 42 kg

3 Un comerciante vende dos tipos de vinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; los cuales los mezcla en la proporción de 5  partes del mas barato por 7 partes del más caro. Si quisiera ganar un 25% en la mezcla a como debe vender el litro. a) S/. 106 b) S/. 107 c) S/. 105 d) S/. 108 e) n.a.

Resolución: Supongamos que el total de la mezcla es 12 litros de vino. Del barato: 5  75, 60  378 soles Del caro: 7  90  630 soles

El peso de la leche comprada es 165, 920 g. y la diferencia de pesos da: 840g Luego de agua hay: 84 0   28 litros 30

6 Si 80 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuánto de agua se debe de evaporar  para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 10 litros b) 5 litros c) 20 litros d) 19 litros e)n.a.

Resolución:

Total  1 008 soles 25% de 1 008 = S/. 252

Sal 

Luego el precio total de venta será: S /. 1 008 + S /. 252 = S /. 1 260

15 (80)  12 litros 10 0

Se evapora “x” litros de agua, la sal no se

El precio por litro será:

evapora.

1 260   S/. 105 12

Luego:

Rpta.

4 Se tiene oro de 9 decimos fino (0,900) y oro de 18 quilates (0,750). ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada clase para obtener 60 gr. de ley de 800 milésimos fino?

a) 20 y 10 d) 40 y 30

b) 10 y 20 e) n.a.

c) 20 y 40

Resolución: Dato: C 1  C 2  60

k= 20

Luego: C1  20 y C 2  40 20 y 40

12 

20 (80  x) 10 0

60  80  x x    20 litros

Rpta.

7  Se ha mezclado de una sustancia con 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3 soles y 5 soles el Kg. respectivamente. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de 4 soles el kg. Para que el  precio medio de la mezcla resulte de 3,95 soles el Kg? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Resolución:

3k 

3k  60 

Rpta.

Rpta.

5 Un litro de leche pura pesa 1 030g. si se han comprado 161,4 litros de leche y estos pesan 165,420kg. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche?

Sea “x” la cantidad buscada. 80  3  70  5  x  4  3, 95 80  70  x 240  350  4x  3, 95 (150  x)

Pr omedio 

0, 05x  2, 5  x=  5 0

Rpta.

8  Que cantidad de carbón con 4% de humedad se debe mezclar con un carbón de 8% de humedad para obtener 164 kg de carbón con 7% de humedad. a) 43 b) 42 c) 40 d) 41 e) 50

Resolución: Proporción de la mezcla: 8%   4%

1% ó 1kg 0,800 3% ó 3kg

Total = 4kg. * Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con 4% de humedad * Para una mezcla de 165 kg se tomarán x

Peso= 700  200  950gr. Peso= 950gr. Rpta. 10 Una cierta cantidad de azúcar de 120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de 180 soles el kilo, si el precio resultante era 142,5 soles. Hallar dicha cantidad. a) 133 b) 160 c) 166

d) 130

e) 16 6

2 3

Resolución: xKg  100Kg   x  100  Kg P1  120 , P2  180 , Pm  142, 5

164  1  41 Kg. 4

Sabemos:

Rpta.

x    41 kg

75y  25  600 y  200gr.

Pm 

9 Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos ¿Cuánto pesara 1 litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua?  a) 890g b) 950g c) 900g d) 980g e) 925g

C 1P1  C 2P 2 C1  C 2

142,5=

Luego:

120x  180  100 

x  100 500 2 Resolviendo: x   166   3 3 16 6

2 3

Rpta.

Resolución: NOTA: 1 litro de agua  H 2 O  Pesa 1 Kg. ó 1000 gramos. Primera mezcla: H 2O OH

  25%1L pesa 250gr.    75% 1L p esa  x  gr. 

11 Si 20 litros de agua contiene 15% de sal ¿Cuánto de agua se debe evaporar,  para que la nueva solución contenga 20% de sal?  a) 5 b) 10 c) 15 d) 3 e) 8

850gr.

xL

Se deduce 0,75L de alcohol. Pesa: 850-250=600gr. Segunda mezcla: H 2O OH

  25%1L pesa 250gr.    75% 1L p esa  y  gr. 

P es o ? 7 5 0  y

SAL

SAL

Sal=15%20 litros Sal=3L

Se evapora “x”

de agua (la sal no se

Evapora) 3  20%  20  x 

Aplicando regla de 3 simple: Alcohol

 20  x L

20L

Peso

Luego: 3 

20 10 0

 20  x 

12  A una solución de 2 litros de alcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de agua y ½ litro de alcohol ¿Cuál seria el nuevo % de alcohol en la mezcla?  a) 27,5% b) 25,7% c) 25% d) 20% e) 16,6%

alcohol que puede agregarse a la solución original a fin de que la solución final contenga como mínimo 72% de alcohol?  a) 14 b) 5 c) 17 d) 9 e) 10

Resolución: Resolución:

“x” litros de solución al 67% volumen   Alcohol  20%  2   0, 4L     agua  80%  2   1, 6L  

OH H 2O

alcohol echado. 67%x  0, 67x    1 5L  Alcohol  Agua  75% 

2 litros

Se agrega 1L de agua y

1 2

L de alcohol.

P eso  ? 7 5 0y

Entonces:   0, 4  0, 5  0, 9L     1, 6  1  2, 6L  

OH H 2O

Volumen de alcohol: 75 100

72

Luego el nuevo porcentaje de alcohol en la nueva mezcla es: VTotal



0, 9 9  3, 5 35

4

L  11, 25L

10 0

 15  x   0, 67x  11, 25

Resolviendo: 10, 8  0,72x  0, 67x  11, 25 0, 05x  0, 45 x   9 litros Rpta.

 0,257  25,7% Rpta. 13 Calcular el peso de un litro de mezcla conteniendo 70% de agua y 30% de alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960gr. a) 988gr b) 984gr c) 1007,5gr d) 940gr e) 1000gr

Resolución: Mezcla I:  Alcoho  l75%  1   0, 75L  710gr      agua  25%  1   0, 25L  250gr  

1litro 

Mezcla II:

45

Obtenga solución al 72%. Al final habrá  15  x  L de solución al 72%

3,5 litros

Valcohol

 15 

960gr 

 Alcohol  30%  1   0, 30L  284gr      agua  70%  1   0, 70L  700gr  

1litro 

984gr 

15 Dos clases diferentes de vino se han mezclado en los depósitos Ay B, en el deposito A la mezcla esta en proporción de 2 a 3 respectivamente y en el deposito B, la  proporción de la mezcla es 1 a 5 ¿Qué cantidad de vino debe extraerse en cada deposito para formar una mezcla que contenga 7 litros de vino de la primera clase y 21 litros de la otra clase?  a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18 d) 15 y 13 e) 18 y 10

Resolución: B

A

    y  x

2a 3a

    y  x

1b 5b

984gr   Rpta.

14 Una solución de 15 litros de alcohol y agua contiene 75% de alcohol ¿Cuál es el

x e y  clase de vino

Dato de x  7L 2a  b  7............ (1)

7a  14  a  2 En (1)  b  3

7

*Se saca de “A”  5a  5  2   10L *Se saca de “B”  6b  6  3   18 L Rpta.

Se mezclan tres tipos de vino: 20 litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 el litro para que resulte de S/. 40 el litro. Indicar la cantidad de agua que se debe añadir. a) 55 b) 50 c) 40 d) 70 e) 65

8 1

Cual es el grado de una mezcla que contiene alcohol y agua, sabiendo que tiene 40 litros de los cuales 16 litros sonde agua? a) 60º b) 50º c) 70º d) 75º e) 55º

2

Se mezclan 15 litros de alcohol de 40º, con 35 litros de 30º y 40 litros de 60º. ¿De que grado es la mezcla resultante? a) 40º b) 48º c) 50º d) 45º e) 52º

3

Se alean 350 g de palta con 150 g de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación? a) 0,700 b) 0,750 c) 0,800 d) 0,850 e) 0,900

4

Se mezclan tres metales de pesos: 200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes son respectivamente: 320 milésimas, 500 milésimas y 925 milésimas. ¿Cuál es la ley media? a) 0,820 b) 0,733 c) 0,720 d) 0,715 e) 0,723

5

Se mezclan dos sustancias cuyas densidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidades de 8 litros y 10 litros respectivamente. ¿Cuál es la densidad de la mezcla resultante? a) 2,40 d) 2,41

6

b) 2,18 e) 2,55

c) 2,31

Se mezclan 2 clases de maní: 30 kg de S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar el precio medio de la mezcla. a) 5,4 b) 5,8 c) 4,8 d) 4,6 e) 5,2

Se han mezclado 40 litros de vino de S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/. 1,95 ganando un 30%? a) 110 b) 100 c) 120 d) 108 e) 105

9

Un comerciante pesa 1 030 g, un lechero entrega 55 litros de leche con un peso de 65,5 kg; le agregó en la leche, ¿En que volumen? a) 3 L b) 5 L c) 4 L d) 6 L e) 8 L

10

¿A cuanto debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 20 litros de S/. 80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/. 69 el litro respectivamente, si no se debe ganar ni perder? a) 56,7 d) 55,9

b) 58,4 e) 60

c) 53,9

11

Se mezclan 30kg de café de S/. 39 el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13 respectivamente; se desea saber a como debe venderse cada kg de la mezcla si se debe ganar el 10%. a) 25,40 b) 25,70 c) 26,18 d) 28,4 e) 27

12

¿A como se vendió cada kilogramo de la mezcla de 27,33 y 45 kg de arroz cuyos precios son respectivamente S/.10,6 ; S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdió el 7%? a) 6,20 b) 4,9 c) 4,7 d) 5,8 e) 5,11

13

Se fundieron dos lingotes de plata de igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y 0,950. ¿Cuál es la ley resultante?

14

Un vaso lleno de aceite pesa 1,69 kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendo que a igualdad de volúmenes, el peso del aceite es los 9/10 del peso del agua y el alcohol los 21/25 del mismo. ¿Cuántos gramos pesa el vaso vacio? a) 425 b) 615 c) 608 d) 612 e) 475

21

Un recipiente de 100 litros de capacidad esta lleno con alcohol de 80º. ¿Cuantos litros de dicho recipiente hay que sacar para que al ser reemplazado por agua se obtenga una mezcla de 60º? a) 40 L b) 60 L c) 50 L d) 75 L e) 65 L

22 15

Un adorno de oro de 16 quilates, contiene 60 g de oro puro. ¿Cuantos gramos de liga contiene el adorno? a) 18 b) 20 c) 30 d) 24 e) 26

Se mezclan alcohol puro, agua y vino cuyos volúmenes están e la misma relación que los números 3; 5 y 2. Hallar el porcentaje de alcohol en el vino, si al mezclar éste resulto de grado 37. a) 35º b) 30º c) 45º d) 37º e) 42º

16

Hallar la ley de una aleación de oro y cobre que tiene una densidad de 14, sabiendo que la densidad del oro es de 19 y la del cobre 9 ( aproximadamente) a) 0,678 b) 0,915 c) 0,583 d) 0,584 e) 0,832

23

Un anillo de 33 g de peso está hecho de oro de 17 quilates. ¿Cuántos gramos de oro puro se deberán agregar al fundirlo para obtener oro de 21 quilates? a) 40 g b) 42 g c) 44 g d) 45 g e) 43 g

17

Se mezclan 8 litros de aceite de S/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800 el litro. ¿A cómo se debe vender cada litro de la mezcla resultante? a) S/.840 b) S/.710 c) S/.730 d) S/.805 e) S/.720

24

¿Qué cantidad de cobre habrá que mezclar a una barra de plata de 44 kg y de ley de 0,920 para que la ley disminuya en 0,04? a) 42 b) 46 c) 44 d) 45 e) 48

18

Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/.1,95 ganando un 30%? a) 104 b) 105 c) 102 d) 110 e) 108

25

Al precio de S/. 2 200 el kilogramo se plata, se ha vendido en S/770 un vaso que pesaba 500 g. ¿Cuál es la ley de este vaso? a) 0,7 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,9 e) 0,75

19

En que proporción se deben mezclar dos tipos de vino, cuyo precios por litro son de S/.800 y S/.1 100 para obtener una mezcla cuyo precio medio sea de S/.920 a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 4/5 e) 3/2

20

¿Qué cantidades de vino de S/.35 ; S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse para conseguir a S/.43,5 cada litro, con la condición de que la segunda clase, entre el doble de cantidad de la tercera. Indicar la máxima diferencia de 2 de estas cantidades.

26

Se funden 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, la ley de la aleación aumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley de aleación de la primera? a) 0,6 b) 0,9 c) 0,36 d) 0,8 e) 0,39

27

Se tienen 60 litros de una mezcla de ácido sulfúrico al 40% de pureza. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para obtener una mezcla que sólo tenga el 10% de pureza? a) 160 b) 150 c) 180 d) 170 e) 190

28

Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyo volumen del primero es el triple del segundo. ¿Cuántos litros de alcohol de 65% se debe agregar para obtener 96 litros de 69%? a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1 d) 58,9 e) 60

29

Si se funden 50 g de oro con 450 g de una aleación, la ley de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación inicial? a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91 d) 0,80 e) 0,85

1.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?. a) 56 d) 42 e) 35

b) 28

c) 36

2.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?. a) 56 d) 94.78

b) 28 e) 35.7

c) 96.76

3.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 3500,si se quiere ganar el 25% del precio de costo?. a) 4375 d) 4455

b) 2886 e) 3565

c) 4475

4.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de costo?.

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

a

d

a

b

e

a

d

a

c

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18. a

c

e

e

c

a

b

e

b

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. e

b

c

a

e

b

a

d

28. 29. b

SESIÓN N° 15 Taller de Reforzamiento ASUNTOS COMERCIALES:

PROBLEMAS PROPUESTOS FORMULAS:

b) 1328 e) 1235

c) 1914

5.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 500, si se perdió el 14% del precio de costo? A) 464 D) 191

d

1) Si Pv 

c

a) 1824 d) 1814

B) 463 E) 514

C) 430

6.- ¿Cuál fue el precio de venta de un televisor que costó S/ 480, si se perdió el 30% del precio de costo? A) 464 D) 336

B) 163 E) 214

C) 284

7.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 150, si se perdió el 10% del precio de costo?

Pc

Pv = Pc + g 2) Si Pv 

Pc

Pv = Pc - p

A) 164 D) 114

Precio de venta. Precio de compra. Ganancia. Pérdida.

C) 184

8.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de costo?. A) 164 D) 114

Donde :  Pv =  Pc =  g =  p =

B) 163 E) 135

B) 163 E) 149

C) 162

9.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 1500, si se perdió el 32% del precio de costo?.

10.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 680, si se perdió el 25%?. A) 464 D) 914

B) 510 E) 414

C) 584

11.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para ganar el 20% del precio de costo tuvo que venderse en S/.180 ? A) 146 D) 150

B) 151 E) 201

C) 128

12.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para ganar el 20% del precio de costo tuvo que venderse en S/.480 ? A) 400 D) 914

B) 516 E) 260

C) 284

18.- Calcula el precio de costo de un producto si para ganar el 10% del precio de costo se vendió en $ 352. A) 302 D) 191

B) 306 E) N.A.

C) 320

19.- A cómo debería venderse un automóvil que costó $ 7500 , si se desea ganar el 24% del precio de costo? A) 9300 D) 1900

B) 5400 E) 9600

C) 8900

20.-El precio de costo de una refrigeradora es de $270. ¿ En cuánto deberá venderse si se desea ganar el 22% del precio de costo? A) 464.5 D) 1914

B) 516.3 E) 315.8

C) 329.5

21.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 180 para ganar el 30% del costo? 13.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 240 y se quiere ganar el 15% del precio de costo?. A) 464 D) 276

B) 163 E) 114

B) 1630 E) 2014

C) 1284

B) 915 E) 201

C) 1284

16.- En cuanto se vendió un artículo que costó S/. 120 y se perdió el 20% del precio de costo? A) 87 D) 91

B) 104 E) 86

B) 516 E) 614

A) 345 D) 914

B) 516 E) 396

C) 395

23.- A cómo debo vender lo que me costó $150 para ganar el 30% del costo. A) 345 D) 145

B) 316 E) 396

C) 195

24.-¿ En cuánto debe venderse un Televisor que costó $ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de costo?. A) 1464 D) 1914

B) 5163 E) 2014

C) 1284

25.- ¿En cuánto debe venderse un refrigerador que costó $ 385, si se quiere ganar el 20% del precio de costo?.

C) 96

17.-¿ Cuánto costó un producto si al venderlo en S/. 600, se gana el 20% del precio de costo? A) 500 D) 914

C) 248

22.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 360 para ganar el 10% del precio de venta?

15.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 750 y se quiere ganar el 22% del precio de costo?. A) 146 D) 191

B) 415 E) 258

C) 128

14.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $ 1500 y se quiere ganar el 24% del precio de costo?. A) 1864 D) 1860

A) 234 D) 214

C) 584

A) 464 D) 914

B) 163 E) 514

C) 462

26.- ¿En cuánto debe venderse una enciclopedia que costó $ 135, si se quiere ganar el 22% del precio de costo?. A) 164.7

B) 163

C) 184

27.- ¿ En cuánto debe venderse lo que costó $ 350, si se hace una rebaja del 35% del precio de costo?. A) 1464 D) 191.4

B) 516.3 E) 201.4

C) 227.5

2. FORMULAS IMPORTANTES: Observación: En cada fórmula la tasa debe ser anual

28.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $ 350,si se quiere ganar el 35% del precio de costo?.

A) 464,5 D) 914,5

B) 163 E) 514,5

se utiliza solo I=c.r.t 100

C) 472,5

29.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 80, si se perdió el 30% del precio de costo? A) 56 B) 63 D) 91 E) 51

Esta fórmula

Para t = años

C) 84

cuando r y t tengan las

Para t = meses I=c.r.t 1200 Para t = días

I=c.r.t 36000

30.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de costo?.

Nota: A) 146 D) 191

B) 156 E) 201

C) 162

CLAVES DE RESPUESTAS 1) D 4) C 7) E 10)B 13)D 16)C 19)A 22)E 25)C 28)C

2) C 5) C 8) C 11)D 14)D 17)A 20)C 23)C 26)A 29)A

3) A 6) D 9) B 12)A 15)B 18)C 21)A 24)D 27)C 30)C

Si r y t no están en las mismas unidades, podemos reemplazarlas por sus equivalencias.  Si la tasa es mensual: x = 12r%.  Si la tasa es bimestral: x = 6r%.  Si la tasa es semestral: x= 2r%

8% mensual <>

 El mes comercial es 30 días.  El año comercial es 360 días.

REGLA DE INTERÉS 1. ELEMENTOS: a) Capital(c) b) Tiempo(t)

: Dinero que se presta. : Período por el cual se presta el

dinero.

c) Tasa o rédito (r): Porcentaje de ganancia o interés.

d) Interés o renta (I): Ganancia que produce el capital.

e) Monto (M) : Es la suma del capital mas los

16% Bimestral. 24% Trimestral. 48% Semestral. 96% Anual. 4% quincenal.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcula el interés, si: C = S/. 2 000 r = 2% anual t = 3 años.

Solución: I = 2 000x2x3 100

intereses producidos.

I = 120 2.- Calcula el interés, si: C = S/. 2 000 r = 6% mensual

Solución: r = 6% x 12= 72% anual I = 2 000x72x3 100

a) S/.2866.70 c) S/.2668

I = 4320

Solución I=? C = 1100 r = 38% T = 5 años.

a) S/. 375 d) S/.510

a)18% d)36%

b)S/. 5000 e) S/. 735.

c) S/. 550

b)30% e)32%.

c)34%

I = 2090

4.- ¿Cuál es el interés que prestado al 2,8% mensual durante un año tres meses y diez días ha producido S/. 1500 de interés?

Solución C=? r = 2.8%x12= 33.6% T = 1 A+4 M+ 10 D= 490 días. I = 1500. 1500 = Cx33.6x490 3600

7.- Si se desea obtener una renta mensual de S/ 2000. ¿A qué tanto por ciento anual se debe prestar S/.50 000? a)38% d)25%

b) 40% e)18%.

c)48%

8.- ¿A qué tanto por ciento mensual se prestó S/.208 000 si produjo S/.700 en 60 días? (aproximación al centésimo) a) 2% d) 2,02%

b) 2,2% c) 1,2% e) 0.17%

9.- El tiempo que estuvo impuesto un capital de S/.8600 al 36% para producir un interés de S/.1548 es:

C = 328

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Un interés producido por S/. 4 800 impuestos al 30% anual durante 3 años es: b) S/.3420 c) S/. 4 320 e) S/. 2 430.

2.- ¿Qué interés produce un capital de S/. 3200 prestados al 30% anual durante 2 años? b) 192 e) 1320

e) 2580

6.- A qué tanto por ciento se impone S/. 700 tal que en 90 días ha producido S/. 63 de interés, es:

I = 1100x38x5 100

a) 320 d) 169

b) S/.2686 d) S/.2866.5

5.- Si un capital prestado al 3% mensual durante 20 meses ha producido un interés de S/. 225, entonces dicho capital es:

3.- ¿Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados al 38% anual durante 5 años?

a) S/. 4 230 d) S/. 2340

4.- El interés que produce S/.516 000 al 2,5% anual durante 72 días es:

c)1920

3.- ¿Cuál es el interés de S/.8000 al 15% anual en 9 meses?

a) 2a d) 4m

b) 6m e) 3a.

c) 120d

10.- Miguel recibe un préstamo por el cual tiene que pagar S/. 1680 de interés al 32% anual durante un año y dos meses, Miguel recibió: a) 1200 e)N.A.

b)3400

c)4500

d) 1900

11.- Si un capital prestado al 2,5% mensual durante año y medio ha producido un interés de S/.3240, dicho capital es: a) 8000 d) 7200

b)1400 e) N.A.

c) 2600

12.- El tiempo que estuvieron prestados S/.12 000 que al 40% anual ha producido S/.14 400 de interés es:

13.- Elsa recibe un préstamo de S/.900 al 2% mensual durante 40 días, el interés que pagará es: a) 12 d) 24

b) 34 e) N.A.

b) 240m e) N.A.

c) 250d

15.- ¿Cuál es el interés que produce S/. 500 colocados al 20% anual durante 7 años? a) 800 d) 500

b) 800 e) 700

c) 600

16.- ¿Cuál es el interés que genera $ 2400 colocados al 18% anual durante 3 meses? a) 108 d) 160

b) 180 e) 140

c) 600

17.- Halla el interés que genera $ 720 colocados al 40% anual durante 35 días? a) 14 d) 50

b) 28 e) 27

c) 26

18.- Calcula el interés que produce un capital de S/. 2 000 en 2 años al 0.5% mensual? a) 240 d) 210

b) 280 e) 170

c) 600

19.- Calcula el monto que genera un capital de S/. 400 durante 10 meses al 12% anual. a) 880 d) 590

b) 800 e) 730

c) 660

20.- ¿ Cuál es el interés q ue produce S/.1100 colocados al 12% anual durante 5 días? (con aproximación al décimo) a) 1.8 d) 2.3

b) 8 e) 1.9

b) 34 e) N.A.

a) 54 d) 50

b) 64 e) 47

c) 66

24).- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados al 38% anual durante 5 años? a) 2000 b)1400 c) 2600 d) 2090 e) N.A. 25).- Calcula el interés, si: C = S/. 4 000 r = 4% anual t = 6 años. a) 960 d) 810

b) 980 e) 870

c) 600

26).- Calcula el interés, si: C = S/. 2 000 r = 8% anual t = 8 años. a) 1280 d) 1210

b) 1380 e) 1170

c) 1600

27).- Calcula el interés, si: C = S/. 3 000 r = 6% mensual t = 2 años. a) 3240 d) 3210

b) 4320 e) 4170

c) 4600

28).- ¿Cuál es el interés de S/.12000 al 12% anual en 9 meses? a)1080 b)10800 c)900 d)1200 e) N.A. 29).- ¿Qué interés produce un capital de S/. 6400 prestados al 15% anual durante 2 años?

c) 1.6 a) 320 e)1320

21).- ¿Qué tiempo estuvieron prestados S/.800 que al 30% anual ha producido S/.4800 de interés? a) 12 d) 20

b) 22% c) 12% e) 18%

23).- ¿ Cuál es el interés que genera $ 600, colocados al 8% anual durante 1 año 4 meses?

c) 45

14.- ¿ Cuánto tiempo tardó un capital de S/.3200 para producir al 3,3% mensual un interés de S/.880? a) 120d d) 190a

a) 2% d) 20%

b)192

c)1920

30).- El interés que produce S/.258 000 al 5% anual durante 72 días es:

c) 45

22).- Se pagó S/.51,75 de interés después de 45 días por un préstamo de S/.2300, ¿ A qué tanto por

d) 169

a) S/.2866.70 c) S/.2668 e) 2580

b) S/.2686 d) S/.2866.5

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 4) e 7) c 10)c 13)d 16)a 19)a 22)e 25)a 28)a

2) c 5) a 8) e 11)d 14)c 17)b 20)a 23)b 26)a 29)c

3) c 6) d 9) b 12)a 15)e 18)a 21)d 24)d 27)b 30)e

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días, doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce huevos?

Hombres + 12 5

 x =

 x =

+ Días 3 x -

12 x 3 x 3 = 3días 12 x 3

2).- En una competencia de glotones 40 de ellos puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?

Solución : +

-

Panes Glotones 3000 40  x 50 +

Luego : 3000 x 50 x 3  x = = 3625 panes 2 x 40 3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la conservación de un tramo de la línea férrea Arequipa  –Cusco, construyen 4/5 de una alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario

 18

Solución : Obreros + + 60 50 - -

H/D 8 6 +

Metros Tiempo + 320 20 300 x

60 x 8 x 300 x 20

= 30 días

50 x 6 x 320

2

5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m  en 15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en 2 sembrara otro terreno de 80m , 15 campesinos doblemente hábiles?

Solución : Camp. Días + + 10 15 15 x

+

Días 2 3 +

4x5

4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias construyen 300 metros de la misma obra?

 X = Huevos 3 12 +

12 x 5 x 6

Tiempo + 6 5 -

Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres

Solución : + Patas 3 12 -

Obra 4/5 5/5 +

 X =

Horas + 7 8

Habilid. + 1 2

10 x 15 x 7 x 1 x 80 15 x 8 x 2 x 50

Área 50 80

= 7 días

PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si desea demorar 6 horas? a)160 c) 130

b) 140 d) 150

e) 120

2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede

a) 16 c) 33

b) 34 d) 18

e) 32

3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se demora 15 días? a) 60% b) 80% c) 90%

d) 100%

e) 70%

4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros? a) 20 c) 13

b) 8 d) 10

b) 24 d) 20

b) 24 d) 20

e) 21

b) 48 d) 288

e) 208

8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una semana, ¿Cuántos panes comerán? a) 160 c) 320

b) 240 d) 250

e) 280

9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres el resto? a) 20 b) 25 c) 15 d) 18 e) 23 10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros harán la obra de igual característica en: a) 16 c) 20

b) 7 d) 15

e) 10

11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan 18 panes? a) 242

b) 148

c) 5

13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10 días? b) 6 e) 3

c) 5

14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias? a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

c) 16

15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3 m de profundidad en 20 días?

e) 12

7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar gasolina, en 42 días gastará: a) 168 c) 336

b) 6 e) 10

e) 12

6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los alimentos? a) 16 c) 21

a) 9 d) 8

a) 9 d) 8

5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una habilidad del 90%? a) 18 c) 12

12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual característica?

c) 230

a) 10 d) 9

b) 11 e) 8

c) 12

16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas que estuvo alojada en la misma pensión durante dos semanas? a) 112 b) 120 c)114 d)115 e) N.A. 17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un pueblo a otro distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje debe ir a otro pueblo distante 192 km de este último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas diarias? a) 6 d) 8

b) 3 e) 7

c) 5

18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el número de raciones diarias se reduce a 2 por día. a) 18 d) 24

b) 20 e) N.A

c) 22

19).Doce hombres trabajando 8 horas diarias construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios para construir 20 m de pared continuada en 5 días trabajando 10 horas diarias? a) 16 d) 13

b) 15 e) N.A

b) 12 e) N.A

1).- Halla el n% de “N”

c)14 X=

20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días. ¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días? a) 18 d) 30

2. FORMULAS QUE SE UTILIZAN FRECUENTEMENTE EN LOS SIGUIENTES CASOS:

  n     x  N   100 

2) El n% de qué número es “N”

X=

 100     x  N    n  

c) 27

3) Qué porcentaje es “n” de “N”

CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 4) d 7) d 10)e 13)b 16)a 19)a

2) d 5) b 8) e 11)e 14)c 17)a 20)c

3) d 6) b 9) a 12)e 15)d 18)d

X=

  n     x 100   N  

4) ¿De qué número 4000 es el 8%?

 100  .4000    8  

X  

50000

5) El 48% de 550 es: X

48 100

x 550  264

6) ¿Qué porcentaje de 500 es 140?

RECORDANDO PORCENTAJES 1. FORMULA :

 X = 28%

Halla el “n%” de “S”

100

S



 140  .100  500 

 X   

n

x

X= Ejem :

  n    xS  100  

3. DESCUENTOS SUCESIVOS

El 28% de 500 X = 28 x500  140 100

Primer

NOTA: % se puede expresar como fracción donde el denominador es 100 Así: 15% de A =

15 xA 100

36% de B =

36 xB 100

Se undo

Descuento efectivo por cada 100 soles.

5. VARIACIONES PORCENTUALES

Descuento efectivo por cada 100 soles. 100 – 64 = 36 ó 36%

Nota:

FORMULAS 

Du= 100 

(100  D1 ) (100  D 2 )....(100  Dn ) 

% 

n1



100

 Siempre al total se considera 100%.  Si una cantidad sufre un aumento del  x % entonces resultará al final ( 100 + x  ) %.  Si una cantidad sufre un descuento del  x % entonces al final tendremos ( 100 -  x ) %. Ejm:

Du  100 

100  D1 100

x

100  D 2 100

x .....(100  D n )

10).- Qué sucede si aumentamos 18% y 15% Sol:

100  18% x (100  15)% 

7).- Si de una botella de gaseosa me tomo sucesivamente el 25%, 30%, 40% y 50%, siempre de lo que me queda, ¿Cuál es el porcentaje que me queda?

118 100

x115 % 

13570 100

 135 .7%

Luego Aumenta: 135.7 – 100 = 35.7%

11).- Qué sucede si descontamos 40% y 20% Sol:

Du=

 (100  25)(100  30)(100  40)(100  50)  100  % 41   100 Du = 84,25% Me queda 100 - 84,25 =

60 100

x 80%  48%

Descontamos 100  – 48 = 52% 15,75

8).- A que descuento único equivale un descuento de

12).- Qué sucede si aumentamos 20% y descontamos 15%.

20, 30 , 40 y 15%

Sol: Du=

     100  (100  20)(100  30)(100  40)(100  15)  % 4 1   10    

120 x 85 % 102 % 100

102 – 100 = 2%

Du = 71,44%

Aumenta en 2%

13).- Qué sucede si + 20% y  – 25% Sol:

4. AUMENTOS SUCESIVOS 



Au=  (100  A1)(100  A 2 ).....(100  A n ) 100  % 

Au

100

n 1

ó

120 x75%  90% 100



100  A1 100  A 2 100  A 3 x x .....( 100  A n ) 100 100 100 100

Descontamos 10%

PROBLEMAS PROPUESTOS I.- Halla el n% de N

9).-A qué aumento único equivale un aumento sucesivo de 20 y 30%  (100  20)(100  30)   100  Au =  100 2 1    

X=

  n     x  N   100 

1.- Halla el 30 % de 300. A) 30

B) 60

C) 90

D) 70

E) 80

D) 70

E) 80

X=

 100    x N    n  

2.- Halla el 25 % de 400. A) 100

B) 160

C) 120

A) 310 D) 240

3.- Calcula el 40% de 135. A) 30

B) 54

C) 41

D) 57

E) 28

B) 660

C) 190

D) 70

E) 800

B) 360

C) 390

D) 370

E) 380

A) 36

B) 86

C) 79

B) 150 E) 170

D) 74

C) 120

15.- El 8% de qué número es 16?. B) 150 E) 210

C) 200

16.- El 12% de que número es 60?. A) 300 D) 120

6.- Halla el 20% de 370.

C) 120

14.-El 20% de qué número es 22?.

A) 310 D) 180

5.- Calcula el 30% de 1300. A) 330

B) 150 E) 170

A) 207 D) 110

4,- Halla el 50% de 1600. A) 530

13.- El 15% de qué número es 36?

B) 500 E) 170

C) 100

E) 60 17.- El 8% de qué número es 24?.

7.- Halla el 65% de 420. A) 273

B) 650

C) 490

D) 270

E) 380

A) 300 D) 250

B) 150 E) 400

C) 120

18.- El 10% de qué número es360?. 8.-Calcula el 70% de 620 A) 430

B) 345

C) 434

D) 370

E) 568

A) 360 D) 420

B) 3600 E) 240

C) 36

19.- El 75% de qué número es 3000?. 9.- El 42 % de 550 es: A) 231

B) 160

C) 182

D) 425

E) 180

A) 4000 D) 600

B) 1500 E) 5000

C) 2000

20.- El 40% de qué número es 160?. 10.- El 40 % de 200 es: A) 231

B) 160

C) 80

D) 125

E) 90

A) 300 D) 180

B) 400 E) 340

C) 500

III.- Que porcentaje de “N” es “n” 11.- Calcula el 25% de 280. A) 31

B) 60

C) 54

D) 125

E) 70

X=

  n     x100   N  

12.- Halla el 20% del 25% del 30% del 50% de 1600. 21.- ¿ Qué porcentaje de 240 es 12? A) 31

B) 15

C) 12

D) 12

E) 17 A) 3%

B) 4%

C) 5%

D) 1%

E) 34%

22.-¿ Qué porcentaje de 1200 es 12? A) 3%

B) 4%

C) 1%

D) 1%

E) 34%

23.-¿ 396 qué % es de 1980? A) 23% D) 20%

B) 24% E) 34%

C) 21%

2.- Aumentamos el 40% y el 20%.

C) 21%

A) Aumentamos 68% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75%

24.- Qué porcentaje de 160 es 40? A) 23% D) 20%

B) 24% E) 25%

A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75%

3.- Aumentamos el 50% y el 10%. 25.- Que porcentaje de 80 es 20? A) 23% D) 20%

B) 24% E) 25%

C) 21%

26.- Si al venderte mi auto, te hago un descuento del 15% te lo vendería en $1700. ¿Cuánto me ha costado? A) 2000 D) 200

B) 204 E) 2650

C) 2121

27.- Hallar un descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 20% y 10%? A) 23% D) 20%

B) 24% E) 25%

C) 28%

28.-Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un descuento único de: A) 53% D) 20%

B) 44% E) 45%

C) 26%

B) 72% E) 82%

C) 62%

30.- Se hace los descuentos sucesivos del 20%,60%,50% y 50%. Halla el descuento equivalente? A) 92% D) 80%

B) 24% E) 75%

C) 18%

VARIACIONES PORCENTUALES I.- Qué sucede si:

4.- Aumentamos el 40% y el 40%. A) Aumentamos 74% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 96% E) Descontamos 75% 5.- Aumentamos el 10% y el 70%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 78% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Aumentamos 87%

II.- Qué sucede si:

29.- Tres descuentos sucesivos del 20%,30% y 50% equivalen a un descuento único de: A) 53% D) 45%

A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 65% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75%

6.- Descontamos el 10% y el 20%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 28% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% 7.- Descontamos el 50% y el 30%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos 24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 65%

8.- Descontamos el 20% y el 20%. A) Aumentamos 48% B) Aumentamos 32% C) Descontamos 36% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75% 9.- Descontamos el 30% y el 60%.

15.- Descontamos el 20% y aumentamos el 25%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) N.A.

A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D)Descontamos 72% E) Descontamos 75%

Observaciones.

10.- Descontamos el 10% y el 50%.

16.-

Si tenemos que: Aumento ( + ) Descuento ( - )

+ 20% y + 60% A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 55%

A) +92% D) +80%

B) –24% E) –75%

C) +18%

17.+ 30% y - 10%

III.- Qué sucede si: 11.- Aumentamos el 40% y descontamos el 20%. A) Aumentamos 12% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75%

A) +92% D) +17%

13.- Aumentamos el 15% y descontamos el 20%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 48% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 8%

14.- Aumentamos el 30% y descontamos el 30%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 9%

C) +18%

18.- 40% y + 50% A) +24% D) +80% 19.-

12.- Aumentamos el 40% y descontamos el 40%. A) Aumentamos 54% B) Aumentamos24% C) Descontamos 16% D) Aumentamos 80% E) Descontamos 75%

B) –24% E) –75%

B) –24% E) –75%

C) –10%

+ 10% y + 50% A) +62% D) +65%

B) –24% E) –72%

C) +18%

20.+ 10% y + 70% A) +52% D) +65%

B) –24% E) +87%

C) +18%

21.- 40% y + 80% A) +15% D) +65%

B) –24% E) –72%

C) +8%

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 4) e 7) a 10)c 13)d 16)b 19)a 22)c 25)e 28)b

2) a 5) c 8) c 11)e 14)d 17)a 20)b 23)d 26)a 29)b

3) b 6) d 9) a 12)d 15)c 18)b 21)c 24)e 27)c 30)a

VARIACIONES PORCENTUALES 1) a 4) d 7) e 10)e 13)e 16)a 19)d

2) a 5) e 8) c 11)a 14)c 17)d 20)e

3) b 6) c 9) d 12)c 15)e 18)c 21)c