6 Uniones Atornilladas v 17-1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA ÁREA DE DISEÑO

ELEMENTOS DE MÁQUINAS

UNIONES ATORNILLADAS

KURT F. PAULSEN MOSCOSO

(v. 17-1)

________________ _____________ ___

USO INTERNO

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO

GENERALIDADES Los tornillos son de gran utilidad en la unión de elementos de máquinas, elementos estructurales y elementos en general. Se utilizan también en tapas, tensores, tornillos de traslación, instrumentos de medición y reguladores de distancia entre otras aplicaciones. El tornillo es un elemento cilíndrico o cónico roscado en su superficie. Entendiéndose por rosca, la entalladura o resalte de geometría particular que sigue una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilíndrica o cónica. Esta geometría suele ser triangular, cuadrada, trapezoidal, diente sierra o redonda (Figura 1).

Figura 1

La rosca puede ser exterior o interior y su sentido, derecho o izquierdo (Figura 2).

Figura 2

Además puede tener tener más de una hélice o entradas.

Figura 3

Paso y ángulo de la hélice En la figura 4 se muestra una hélice sobre una superficie cilíndrica y su desarrollo en un plano.

p

d2 d 2

Figura 4 Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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GENERALIDADES Los tornillos son de gran utilidad en la unión de elementos de máquinas, elementos estructurales y elementos en general. Se utilizan también en tapas, tensores, tornillos de traslación, instrumentos de medición y reguladores de distancia entre otras aplicaciones. El tornillo es un elemento cilíndrico o cónico roscado en su superficie. Entendiéndose por rosca, la entalladura o resalte de geometría particular que sigue una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilíndrica o cónica. Esta geometría suele ser triangular, cuadrada, trapezoidal, diente sierra o redonda (Figura 1).

Figura 1

La rosca puede ser exterior o interior y su sentido, derecho o izquierdo (Figura 2).

Figura 2

Además puede tener tener más de una hélice o entradas.

Figura 3

Paso y ángulo de la hélice En la figura 4 se muestra una hélice sobre una superficie cilíndrica y su desarrollo en un plano.

p

d2 d 2


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Si denominamos p al paso de la hélice o avance axial de ésta al completar una vuelta, φ al ángulo de la hélice o ángulo de inclinación de la misma y d 2 al diámetro de paso o de flanco del tornillo; se cumple la relación: tg φ = p / (π d2) Designación de la resistencia de los los tornillos (clase de de material) Los tornillos de acero, de acuerdo a normas ISO, DIN, Eurocódigo y otras, se designan por su resistencia a la tracción ( σB) y resistencia a la fluencia (σF o σ0,2 ). Esta designación consta de dos números separados por un punto. El primero representa un centésimo de la resistencia resistencia a la tracción en MPa (N/mm2), mientras que el segundo representa diez veces la relación entre el límite a la fluencia y la resistencia a la tracción. Por ejemplo, un tornillo de clase de material 5.6 - el primer número significa : 5 = σB / 100 es decir - el segundo número significa: 6 = 10 ( σF / σB) es decir

σB = 500 MPa σF = 300 MPa

La designación M10 x 60 10.9 indica que se trata de un tornillo métrico con rosca en V, de diámetro exterior 10 mm, longitud de la zona cilíndrica 60 mm y material clase 10.9; es decir 1000 MPa de resistencia a la tracción máxima y 900 MPa de resistencia a la fluencia o resistencia convencional de fluencia. f luencia. Las clases de material normalizadas son: 4.6

4.8

5.6

5.8

6.8

8.8

10.9

12.9.

Del 4.8 a 6.8 se fabrican de acero con bajo contenido de carbono y no requieren tratamiento térmico. Los tornillos 8.8 al 10.9 se suelen fabrican de acero aleado con tratamiento térmico previo a la laminación de los filetes del roscado de los tornillos.

UNIÓN ATORNILLADA Una unión atornillada generalmente generalmente consta del tornillo, t ornillo, la tuerca y los elementos a unir. En la figura 5 se muestra una unión con tornillo de cabeza hexagonal y tuerca también hexagonal. El tornillo mostrado es roscado parcialmente. Como se puede observar esta unión en particular no tiene arandelas.

Figura 5

Con el fin de estudiar el comportamiento de una unión atornillada, inicialmente, se emplearán dos tubos sujetados axialmente entre la cabeza del tornillo y la tuerca correspondiente. correspondiente. Así, en la figura 6 se muestran: Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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(a) Los tubos en contacto entre la tuerca y la cabeza del tornillo, sin ajuste alguno. alguno. (b) Se asume que el tornillo es completamente rígido rígido (o que la rigidez del tornillo es mucho mayor a la del tubo). Los tubos están comprimidos una n•p luego de girar la tuerca n vueltas sobre el tornillo de paso p. El magnitud n•p luego tornillo no se deforma o su deformación es muy pequeña. El desplazamiento n•p; es decir la tuerca y tornillo se axial relativo entre la tuerca y el tornillo es n•p; acercan entre sí esta cantidad. (c) Tanto el tubo como el tornillo se deforman. deforman. El tornillo se deforma (estira) una cantidad δ. Resultando en un equilibrio de fuerzas internas y los tubos finalmente resultarían deformados n.p – δ. (d) El diagrama de cuerpo libre del tornillo y tuerca, con la fuerza ejercida por los tubos sobre la tuerca y la cabeza del tornillo, respectivamente. (e) El diagrama de cuerpo libre de los tubos comprimidos. La fuerza de la cabeza del tornillo sobre el tubo inferior y de la tuerca sobre el tubo superior. (f) El diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre del tornillo. tornillo.

F

F

p n

F F

F F

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6

DIAGRAMAS FUERZA-DEFORMACIÓN Como se aprecia en la figura 6 (c) la deformación axial de los tubos es igual a n•p – δ, mientras que la del tornillo es δ. Es decir la suma de ambas deformaciones es igual al avance relativo de la tuerca sobre el tornillo al girar n vueltas. En las figuras 6 (d) y 6( e) se observa que el tornillo y los tubos están sometidos al mismo valor de fuerza, de compresión para los tubos y de tracción para el tornillo. En la figura 7 se muestran los diagramas fuerza-deformación para el tornillo y los tubos. Las pendientes de las líneas rectas inclinadas tienen el valor de la constante de rigidez de cada uno de estos elementos. La constante de rigidez se define como c = Fuerza / Deformación

Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO TUBOS A COMPRESIÓN

F A Z R E U F

TORNILLO A TRACCIÓN

F A Z R E U F

Tornillo DEFORMACIÓN

Tubo DEFORMACIÓN Figura 7

Empleando la ley de Hook para el caso de tracción de una barra sólida de longitud L, sección transversal A y módulo de elasticidad E; la constante es: cbarra = F/ δ = E A / L. Si en lugar de una barra sólida es un tubo cilíndrico, el área de la sección transversal es A= π (Dext2 – Dint2)/4; es decir ctubo = E π (Dext2 – Dint2)/4L En la figura 8 se muestran los mismos dos diagramas fuerza-deformación, pero integrados en uno solo. A la izquierda está la línea de comportamiento del tornillo y a la derecha la de los tubos.

F TUBOS A COMPRESIÓN


Tornillo

Tubo

np Figura 8

En esta figura se observa, tal como se mostró en las figuras 6 y 7 que la fuerza máxima tiene el mismo valor tanto para el tornillo (tracción) como para los dos tubos unidos (compresión). Esto porque se trata de la fuerza de equilibrio interna. Como se explicó, la suma de las deformaciones del tornillo y de los tubos es igual al producto n•p. Unión atornillada. En una unión por lo general se unen placas, como la mostrada en la figura 9. La cual está compuesta por un tornillo de cabeza hexagonal, la tuerca respectiva y dos placas. Al girar la tuerca y ajustar la unión: - Se comprimen localmente las placas - Se tracciona el tornillo.


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO En la misma figura se muestra el diagrama fuerza deformación (integrado) de la unión. Las pendientes de las líneas corresponden a las constantes de rigidez del conjunto tornillo-tuerca (ct) y de las placas (cp). . FM TORNILLO A TRACCIÓN

1

PLACAS A COMPRESIÓN

ct t

cp 1 p

Figura 9

Al ajustar la unión, la fuerza de equilibrio interna entre los distintos elementos en contacto la denominaremos fuerza de ajuste en el montaje (F M).


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RELACIÓN ENTRE LA FUERZA AXIAL DE MONTAJE Y EL MOMENTO TORSOR ROSCA CUADRADA En este análisis utiliza una rosca cuadrada (ver figura 10). La fuerza F actúa entre el tornillo y la tuerca, por tanto un elemento pequeño del filete del tornillo o la tuerca, estará cargado con una fuerza ∆F en dirección axial. El modelo matemático para el análisis se reducirá a un objeto sobre un plano inclinado.

F

F F

F

Figura 10

En las figuras 11, 12 y 13 se muestra el pequeño elemento de la tuerca sobre un plano inclinado, el cual representa la hélice del tornillo con una inclinación igual al ángulo de la hélice del mismo. Se asumen dos casos, en el primero (fig. 11) no hay rozamiento entre tuerca y tornillo y en el segundo (fig. 12) sí lo hay. Unión sin rozamiento (Rosca cuadrada) Como se muestra en la figura 11, para mantener en equilibrio estático el elemento tuerca es necesario aplicar una fuerza ∆Ft. Esta fuerza es perpendicular al eje y tangente a la circunferencia (de paso) del tornillo. Como se aprecia en el polígono de fuerzas, las fuerzas ∆F y ∆Ft se relacionan entre sí con el ángulo de la hélice φ; ∆Ft = ∆F tg φ

El momento torsor aplicado a la tuerca es: Mt = Σ ∆Mt Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO ∆Mt = ∆Ft . d2 / 2 = ∆F tg φ . d2 / 2 Mt = Σ ( ∆F tg φ . d2 / 2 )

Mt = F tg φ . d2 / 2

Figura 11

Unión con rozamiento (Rosca cuadrada) Para ajustar la unión tuerca-tornillo equivalente a subir la carga en un plano inclinado, es necesario vencer la fuerza ∆F y la fuerza de rozamiento o de fricción ∆Ff . (figura 12) La relación entre la fuerza de fricción y la fuerza normal está dada por: tg ρ = ∆Ff . / ∆Fn. y sabiendo que el coeficiente de fricción es la relación μ = ∆Ff . / ∆Fn, se tendrá tg ρ = μ ∆Ft = ∆F tg (φ + ρ)

Figura 12

En este caso el momento torsor para ajustar la unión (subir la carga) está dado por Mt = F tg (φ + ρ) . d2 / 2 Para el caso de desajustar o aflojar la unión tuerca-tornillo (bajar la carga) se pueden distinguir dos situaciones (figura 13), de acuerdo a la relación entre el ángulo de la hélice φ y el coeficiente de fricción representado por el ángulo (de fricción) ρ. Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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Figura 13

-

Situación φ > ρ. Se debe frenar la carga con la fuerza ∆Ft para evitar que deslice, teniéndose: ∆Ft = ∆F tg (φ - ρ)

Mt = F tg (φ - ρ) . d2 / 2 -

Situación φ < ρ Se necesita una fuerza ∆Ft para hacer “bajar la carga”. Es decir la fuerza de fricción es tal que la carga no baja por sí sola. La unión atornillada en este caso se le denomina “auto-bloqueante” ∆Ft = ∆F tg (ρ – φ )

Mt = F tg (ρ – φ) . d2 / 2 Ajuste y desajuste (montaje y desmontaje) – Rosca cuadrada. En el momento del ajuste durante el montaje la fuerza F es la fuerza de equilibrio entre tuerca y tornillo, y se la puede denominar fuerza de montaje F M, por tanto los momentos para ajustar y desajustar (aflojar) la unión, con filetes cuadrados, son: -

Momento torsor de ajuste Mt = FM tg (φ + ρ). d2 / 2

-

Momento torsor de desajuste o para aflojar la unión Mt = FM tg (φ - ρ). d2 / 2

si φ > ρ

Mt = FM tg (ρ – φ). d2 / 2

si φ < ρ


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO RELACIÓN ENTRE LA FUERZA AXIAL DE MONTAJE Y EL MOMENTO TORSOR ROSCA EN V Las roscas de los tornillos y tuercas métricas e inglesas son de perfil en V y no cuadradas como en el caso anterior. El ángulo  que se forma entre los dos flancos de un filete, se mide en un plano longitudinal al tornillo. Este ángulo es 60° tanto para las roscas métricas como para las inglesas UN (figura 14)

Figura 14

Debido a esta inclinación se demuestra que el ángulo efectivo de fricción ( ρ’) es mayor que para el caso de rosca cuadrada ( ρ).

 ′   ∙ 1 2 2 Como por lo general el ángulo de hélice φ es pequeño, el cos φ ≈ 1; obteniéndose

 ′   ∙ 1 2   cos  ′ 

: coeficiente de fricción efectivo

En las figuras 15 y 16 el ángulo de fricción mostrado es el efectivo ρ’. La figura 15 muestra el caso de ajuste y la 16, el caso de desajuste en las dos situaciones

Figura 15

En forma similar al caso de rosca cuadrada, si F M es la fuerza que se genera durante el montaje entre tornillo y tuerca, los momentos torsores para ajustar la unión, considerando únicamente la interacción entre tuerca y tornillo es: Momento torsor de ajuste para rosca en V (Montaje) MtM = FM tg (φ + ρ’). d2 / 2 Para aflojar la unión, se presentan los dos casos, mostrados en la figura 16. Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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Figura 16

Por tanto para aflojar la unión, considerando únicamente la interacción entre tuerca y tornillo el momento torsor es: Momento torsor de desajuste para rosca en V (Desmontaje) MtD = FM tg (φ – ρ’). d2 / 2

si φ > ρ’

MtD = FM tg (ρ’ – φ) . d2 / 2

si φ < ρ’

Es importante observar que sólo será necesario aplicar un momento torsor para desajustar la unión cuando el ángulo de fricción efectiva ρ’ sea mayor al ángulo de la hélice. Mientras que en caso contrario el momento torsor será necesario para evitar que la unión se afloje por sí sola. MOMENTO TORSOR TOTAL – Ajuste y desajuste Durante el ajuste en el montaje se hace girar la tuerca aplicando un momento torsor (M Ajuste) con el fin de vencer las fuerzas de interacción entre tornillo y tuerca (M t.M) y la fuerza de fricción entre la tuerca y la placa con la cual está en contacto (M fr.ta.p). Al aflojar la unión, también se debe vencer esta última fuerza. El momento torsor total para el ajuste M Ajuste y el total para el desajuste M Desajuste, están dados por: -

Momento total de ajuste en el montaje

M Ajuste -

= Mt.M + Mfr.ta.p

Momento total de desajuste (aflojar) en el desmontaje

MDesajuste = Mt.D + Mfr.ta.p Donde Mfr.ta.p es el momento torsor necesario para vencer la fricción entre la tuerca y la placa con la cual está en contacto; o entre la placa y la cabeza del tornillo, según cuál se haga girar con la llave. Mfr.ta.p = μf FM Dc.m / 2 μf

Dc.m

: coeficiente de fricción entre la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente. (Anexo 6). : diámetro de contacto medio entre la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente.


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En los casos mostrados en la figura 17, el diámetro de contacto medio es: Dc.m = (d1 + dag) / 2

1 d

D ag

1 d

D ag

Figura 17

El diámetro d1 corresponde al diámetro de la circunferencia inscrita en el hexágono en un caso y al diámetro exterior de la cabeza del tornillo en el otro. UNIÓN ATORNILLADA SOMETIDA A FUERZA EXTERIOR Luego de ajustar la unión durante el montaje, la máquina o estructura está lista para trabajar. Así durante el trabajo se puede aplicar a la unión una fuerza exterior o carga de trabajo, tal como se muestra esquemáticamente en la figura 18. Fuerza exterior

Fuerza exterior

Figura 18

En este caso, como se puede apreciar, la fuerza exterior es de tracción; es decir tiende a separar las placas entre sí. Esto originará que la fuerza de tracción en el tornillo aumente y que la fuerza de compresión en las placas disminuya. Es decir se alivia el estado de tensión de las placas, comparado con el estado en el momento del ajuste. En la figura 19 se han reproducido las figuras 6a, 6b y 6c de la unión tornillo-tubos; la 6c corresponde al estado de montaje. Luego se aplica la fuerza exterior de trabajo; la cual origina un aumento de longitud δ(EXT) tanto del tornillo como del tubo. Es decir, aumenta la elongación del tornillo y disminuye la compresión de los tubos. Este aumento de la elongación y disminución de la compresión se aprecia en el diagrama fuerza-deformación de la unión en la figura 20. La deformación del tornillo aumenta a δt + δEXT) , mientras que la de las placas disminuye a δp – δExt


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Figura 19

La fuerza exterior Fext se distribuye proporcionalmente entre las placas (F ext/p) y el tornillo (Fext/t); es decir Fext = Fext/t + Fext/p La fuerza en el tornillo aumenta a y la fuerza entre placas disminuye a

F tor = FM + Fext/t F plac = FM – Fext/p (Ext.) t / t x e F

FM

t x

p e / t F x e F


1

ct t

Fuerza exterior

cp 1

PLACAS A COMPRESIÓN

Fuerza exterior

p Figura 20

Trabajando con el diagrama de la figura 20, se puede deducir cómo se distribuye la fuerza exterior entre el tornillo y las placas; obteniéndose las siguientes expresiones:

⁄ 

 ∙   ∅ ∙     

⁄ 

 ∙   1  ∅ ∙     

∅

   


Pag.

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Donde: - Fext - Fext/t - Fext/p -

∅

: fuerza exterior de trabajo : componente de la fuerza exterior sobre el tornillo : componente de la fuerza exterior sobre las placas : factor de distribución de carga

Constante de rigidez del tornillo – ct Para el cálculo de la constante de rigidez del tornillo se emplea la ley de Hook, como si fuera una barra de sección variable, incluyendo el efecto de tuerca y cabeza del tornillo que también se deforman (Fig 21). P

P

Figura 21

En la figura 22 se muestran dos casos. En ambos el tornillo es el mismo, pero en un caso se utiliza tuerca y en el otro el ajuste es con agujero roscado. En lugar de cabeza hexagonal podría tener cabeza cilíndrica con hexágono interno (tipo socket, conocido como Allen).

1

2

3

2

4

5-6

1

2

3

2

4

5-6

1

2

3

4

5

6

Figura 22

Para proceder con el cálculo se puede plantear un modelo matemático formado por resortes en serie, uno por cada tramo del tornillo, como se aprecia en la parte inferior de la figura 22. La deformación total originada por la fuerza P, se obtiene sumando las deformaciones parciales de cada uno de ellos. Luego la constante de rigidez es el cociente entre la fuerza P y la deformación total. O si se tiene la constante de rigidez de cada tramo, la constante de rigidez c t se obtiene con la conocida expresión para resortes en serie:

1   1    Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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donde ci es la constante de rigidez del tramo i-ésimo (ver figura 22). Ai = π Di2 / 4

ci = E Ai / Li

Ai : es el área de la sección transversal constante en toda la longitud Li Li : longitud del tramo correspondiente. Los tramos son los siguientes: Tramo 1 2 3 4 5 6

Descripción Cabeza del tornillo Tramos de mayor diámetro Tramos de diámetro reducido Tramo roscado fuera de la tuerca o agujero roscado Tramo roscado en el interior de la tuerca Filetes en contacto del tornillo y tuerca.

Deformación Se deforma parcialmente Se deforman en toda su longitud Se deforman en toda su longitud Se deforma en toda su longitud Se deforma parcialmente Se deforman por flexión y compresión

Las longitudes y diámetros recomendados para el cálculo de las constantes de rigidez de cada uno de los tramos, según la VDI 2230, se dan en la siguiente tabla. Tramo 1

Di d

2 3 4 5 6

d dr d3 d3 d

Li 0,5 d 0,4 d LII LIII LIV 0,5 d 0,4 d 0,33 d

Comentarios Tornillo cabeza hexagonal Tornillo cabeza “socket” Tramo sin rosca, con diámetro nominal d Tramo de sección reducida Tramo roscado fuera de la tuerca Unión con tuerca Unión con agujero roscado

(1) : longitud del tramo del diámetro correspondiente

La nomenclatura para los diámetros es: - d : diámetro nominal del tornillo - d2 : diámetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo - d3 : diámetro de raíz del tornillo - dr : diámetro del tramo con reducción de área En adelante al mencionar VDI 2230, se entiende que se trata de la parte 1 de dicha norma, correspondiente a febrero del 2003. (VDI: Verein Deutscher Ingenieure; Sociedad de Ingenieros Alemanes). Constante de rigidez de las placas – cp Como se ha mencionado, al ajustar la unión, las placas son sometidas a compresión localizada. Para poder calcular la constante de rigidez de las placas se debe estudiar la distribución de este esfuerzo de compresión. En la figura 23 se muestra aproximadamente la zona comprimida. Ésta tiene un límite curvo, que se puede simplificar en forma recta, resultando dos troncos de cono, con agujero central. Para el cálculo de la constante de rigidez de las placas c p se parte de la definición cp = F/δp, donde F es la fuerza de compresión y δp la deformación de las placas.


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Figura 23

Necesitamos para ello calcular la deformación de los troncos de cono. Es decir:



    ∙    Como se aprecia, la integral se realiza en todo el espesor de la placa L p, siendo el área de la sección transversal variable. Cada uno de los troncos de cono pueden a su vez estar formados por tramos de distintos materiales, cada uno con su módulo de elasticidad. Para poder continuar con este cálculo hay que diferenciar dos casos; la unión empernada, es decir con tornillo y tuerca (UTT) y la unión con agujero roscado (UAR) En la figura 24 se muestran estos dos tipos. En el caso de la unión empernada UTT, los troncos de cono abarcan todo el espesor de las placas (entre la cabeza del tornillo y la tuerca) mientras que en la unión UAR los dos troncos de cono (línea de trazos) se pueden remplazar por uno equivalente (línea continua) en la placa de espesor L p. Debe tenerse en cuenta que la influencia del agujero roscado (en la placa) ya se incluyó en el cálculo de de la constante de rigidez del tornillo.

p L

p L

UTT

UAR

Figura 24

En general, como se ha mencionado, la zona esforzada está limitada en forma simplificada por troncos de cono, pero se debe tener en cuenta que el tamaño de la placa influye en la forma de la zona a compresión. En la figura 25 se muestra esta influencia para los dos tipos de unión mencionadas anteriormente (UTT y UAR), agrupados en tres condiciones: a) placa angosta comparada con su espesor; la zona esforzada tiene forma cilíndrica Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO b) placa ancha comparada con su espesor; la zona comprimida está formada por dos troncos de cono para la unión empernada UTT y un trono de cono para la unión UAR. c) la placa no es muy ancha comparada con su espesor; la zona comprimida está formada por dos troncos de cono y un cilindro para la unión UTT y un tronco de cono y un cilindro para la unión UAR.

p p L L

UTT

UTT

(a)

p p L L

UAR

UTT

(b)

UAR (c)

Figura 25

Cálculo de la constante de rigidez de un cilindro y de un tronco de cono A continuación se presenta el resultado del cálculo de la deformación y de la constante de rigidez de un cilindro y de un tronco de cono. Para un cilindro F

l i c 1 D

g a D

F

L cil Figura 26

-

D1 cil Dag Lcil Ecil

: diámetro exterior del cilindro : diámetro del agujero : longitud del cilindro : módulo de elasticidad del material del cilindro



    ∙     ∙ ∙4∙∙ 

   ∙ ∙     4∙ Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Para un tronco de cono

n o c 1 D

F

g a D

n o c 2 D

F

L con Figura 27

-

D1 con D2 con Dag Lcon Econ

: diámetro mínimo del cono : diámetro máximo del cono : diámetro del agujero : longitud del cono : módulo de elasticidad del material del cono



   ∙ ∙  



 ∙       ∙ ∙ ∙  ∙ ln   ∙    

∙ ∙  ∙    ln ∙ ∙

Constante de rigidez total de las placas Para determinar si se trata de zona cilíndrica, de troncos de cono o una combinación de estos. Nos guiaremos de los lineamientos presentados en la norma VDI 2230. Esta norma presenta tres casos, en función de la relación entre las dimensiones d 1, Dmáx y Dext (ver figura 28) -

Caso 1. d1 ≥ Dext Se forma un cilindro de longitud L p.

-

Caso 2. Dext > Dmáx Se forman: - dos troncos de cono en la unión tipo tornillo tuerca (UTT) - un tronco de cono de longitud L p en la unión agujero roscado (UAR)


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Caso 3. Dmáx > Dext > d1 Se forman: - dos troncos de cono y un cilindro en las uniones UTT - un tronco de cono y un cilindro en las uniones UAR.

1 d

Dag p L

Dmáx Dext

Figura 28

A continuación en la figura 24; se puede observar cada uno de los tres casos, distinguiendo el tipo de unión (UTT o UAR).

p p L L

UTT

UTT

Caso 1

p p L L

UAR Caso 2

d 1 D ext

D ext > Dmáx

UTT UAR Caso 3

D máx > D ext > d 1 Figura 29

Las dimensiones D máx, Lp y el ángulo γ están relacionadas geométricamente; y se deduce que: Dmáx = d1 + Lp tgγ Dmáx = d1 + 2 Lp tgγ -

para unión con tornillo y tuerca (UTT) para unión con agujero roscado (UAR)

d1 : diámetro de la superficie de contacto entre la cabeza del tornillo o tuerca y la placa correspondiente (figura 14) Dext : diámetro de una circunferencia igual al menor ancho de la placa Lp : espesor de la placa sometida a compresión. En una unión UAR no se incluye la placa con el agujero roscado γ : semiángulo del cono. El valor se da a continuación.


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1 d

D ag

1 d

Dag

(Figura 14)

La conicidad del tronco de cono de la zona esforzada a compresión está en función del espesor de las placas L p, del diámetro de la zona de apoyo de la cabeza del tornillo d 1 y del ancho de la placa Dext. Según la norma VDI 2230 el semiángulo γ (ver figura) está dado por las siguientes expresiones. tg γ = 0,362 + 0,032 ln ( βL/2) + 0,153 ln ε tg γ = 0,348 + 0,013 ln βL + 0,193 ln ε

para unión con tornillo y tuerca (UTT) para unión con agujero roscado (UAR)

donde βL = Lp / d1 y ε = Dext / d1 Según la misma norma, se puede hacer un cálculo aproximado de la constante de rigidez, con un error de alrededor 5%, asumiendo que tg γ = 0,6 es decir γ = 31°. Los valores de βL y ε están en los rangos siguientes. - βL = 0,5 a 4 - βL = 4 a 6

ε =4a6 ε = 2,5 a 4

para uniones UTT para uniones UAR

La constante de rigidez total se calcula como si fueran varios elementos en serie, es decir la inversa de la constante de rigidez total de la(s) placa(s) será la suma de las inversas de las constantes de rigidez de los distintos elementos; entendiéndose por elementos los troncos de cono y cilindros que se formen.

1   1    Ejemplo de cálculo de constante de rigidez de placas: Calcular la constante de rigidez de las placas de acero (E = 2,1 x 10 5 N/mm2) de la unión mostrada en la figura 30. El tornillo es M16 x 110 y agujero pasante de 18 mm de diámetro.

8 1 Ø

x á m D

0 5

80

Caso 3

n o c 1 D

8 1 = g a D

0 5 = t x e D

L con L cil L con L p = 80


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Para el tornillo M16 encontramos en tablas: - distancia entre caras del hexágono s = 24 mm; altura de cabeza del tornillo k = 10 mm; espesor de la tuerca m = 15 mm Hay que determinar el caso (1, 2 ó 3) en que se encuentra esta configuración. Para ello se necesitan conocer los valores de d 1, Dmax, Dext, Lp d1 = s = 24 mm (de tablas) Dext. = 50 mm (dibujo de la unión) Lp = 80 mm (dibujo de la unión) Dmáx = d1 + Lp tgγ = 24 + 80 tgγ tg γ = 0,362 + 0,032 ln (βL/2) + 0,153 ln ε βL = Lp / d1 = 80 / 24 = 3,33 ε = Dext / d1 = 50 / 24 = 2,08 tg γ = 0,4904 (γ = 26,12 °) Dmáx = 63,23 mm De donde, se concluye que: d1 = 24 mm < Dext.= 50 mm < Dmáx = 63,23 mm. Es decir se trata de un caso 3, lo que significa, que al ser una unión con tornillo y tuerca, se formarán dos troncos de cono y un cilindro. Procedemos ahora a determinar las dimensiones del cilindro y de los conos. De acuerdo a la geometría de la unión, tg γ = (Dext – d1) / (2 Lcon) de donde calculamos la longitud del tramo cónico L con. Para luego con este valor se obtiene la longitud del tramo cilíndrico L cil. Lcon = 26,51 mm Lcil = Lp - 2 Lcon = 26,98 mm Remplazando en la expresión para el cálculo de la constante de rigidez del cono: D1con = d1 = 24 mm D2con = Dext = 50 mm Lcon = 26,51 mm Dag = 18 mm ccon = 4 885 010 N/mm De manera similar para el cálculo de la constante de rigidez del cilindro: D1cil = Dext = 50 mm Dag = 18 mm Lcil = 26,98 mm ccil = 13 302 281 N/mm Como son dos troncos de cono y un cilindro:

1  1  1  1     cp = 2 063 597 N/mm


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Ejercicio propuesto 1: Calcular la rigidez del tornillo de acero M12 de la figura 31. El agujero pasante es serie fina según DIN69. Comentario a la solución: para este cálculo identificamos cada uno de los tramos que tienen características geométricas distintas; así podemos empezar desde el extremo izquierdo con la cabeza del tornillo, luego un tramo cilíndrico de 12 mm de diámetro y 10 de longitud y continuamos hasta llegar a la tuerca, pasando previamente por el tramo roscado de 10 mm de longitud. El tornillo equivale a siete resortes en serie, estando el último formado a su vez por dos efectos. Se calculan las constantes de rigidez de cada uno de los siete resortes y finalmente se calcula la constante de rigidez total

1   1    45

2 1 Ø

F

1

30

8 Ø

2 1 Ø

8 Ø

10

30

10

15

2

3

4

5

25 6

7

F

Figura 31

Ejercicio propuesto 2: Calcular la constante de rigidez total de las placas de la unión atornillada mostrada en la figura 32. En la misma figura se muestra el esquema de los dos troncos de cono con agujero. Son dos placas de hierro fundido (E F Fdo = 0,9 x 105 N/mm2), y una empaquetadura metálica (E emp = 0,76 x 105 N/mm2) de 3 milímetros de espesor. El tornillo es M10 y el agujero pasante es serie media según DIN69.


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10

20 3

1 23

1 d

10,0 3,0

4

16,5 3,5

x 1 á d m D

Figura 32

Comentarios a la solución: observamos que se trata del caso 2; es decir se formarán dos troncos de cono. Identificamos primero los conos que se forman debido a que el material no es el mismo en todo el espesor de las placas (L p = 33 mm). Luego de calcular los diámetros y longitudes (ver figura), calculamos las constantes de rigidez de cada uno de los cuatro conos, para finalmente realizar el cálculo de la constante de rigidez total.

1   1    


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO AJUSTE DE UNA UNIÓN - INCERTIDUMBRE Una unión atornillada se ajusta en función del trabajo a realizar. El ajuste puede ser tal que el conjunto simplemente se mantenga unido, es decir que la fuerza de ajuste en el montaje no requiera de un valor en particular. Hay otras situaciones en que se requiere una pretensión o ajuste mínimo con el fin de lograr una fuerza mínima entre placas; por ejemplo para tener hermeticidad entre la tapa y el recipiente a presión o para generar una fuerza de fricción que impida el movimiento relativo entre las placas. Factor de ajuste (αA) En los casos que se desea que la unión tenga una fuerza entre placas no menor a un valor determinado (F M min), durante el montaje se tendrá que ajustar a un valor mayor; es decir FM > FM mín. Esto debido a la incertidumbres existentes; a mayor incertidumbre, mayor deberá ser la fuerza de montaje F M comparada con la fuerza de montaje mínima F M mín . Para cubrir esta incertidumbre, en los cálculos se utiliza el denominado factor de ajuste α A . Para ello mencionaremos una fuerza de montaje mínima (F M min) y una fuerza de montaje máxima (F M máx). La relación entre ambos valores será justamente el factor de ajuste, definido por:

   á        2 Si no hubiera ningún tipo de incertidumbre ya sea durante el montaje, durante el trabajo de la unión o en los parámetros físicos involucrados, la unión se ajustaría al valor teórico requerido; es decir α A = 1, lo que sería lo mismo a tener F M máx = FM mín = FM. En la figura 33 se muestra el diagrama fuerza-deformación de la unión con sus dos valores límites para la fuerza de montaje: el mínimo FM mín y el máximo FM máx. FM máx TORNILLO A TRACCIÓN

FM mín PLACAS A COMPRESIÓN

1

ct

cp 1

Figura 33

Asentamiento (δas) Con el fin de tener la fuerza de pretensión F M dentro del rango deseado, es importante incluir en el cálculo el efecto del asentamiento superficial, el cual es causado por la fuerza de montaje y la exterior. Éstas comprimen las superficies en contacto entre sí, originando que las crestas de la superficie se deformen plásticamente ocupando parcialmente el espacio entre valles. Esto trae como consecuencia que disminuya la fuerza de ajuste entre placas. El asentamiento se producirá en todos los pares de superficies en contacto y será distinto según estén sometidas a fuerzas normales o de corte. El valor del Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO asentamiento total δas es la suma de los asentamientos parciales; es decir a los producidos en los pares de elementos: cabeza del tornillo-placa, placa-placa, placaarandela, arandela-tuerca, filetes del tornillo-filetes de tuerca o filetes del tornillo-filetes de placa. En resumen el valor del asentamiento (δas) depende del tipo de carga, cantidad de superficies y de la magnitud de la rugosidad entre las superficies en contacto. Los valores de la tabla del anexo 3 se pueden utilizar mientras no se tengan datos experimentales. Es importante tener en cuenta que la presión entre las superficies en contacto no debe ser mayor a la presión admisible, en caso contrario el asentamiento sería mucho mayor que los valores mostrados. En la figura 34 se muestra la pérdida de la fuerza F as entre placas originada por el asentamiento superficial. Con la información de esta figura se deduce que la relación entre la fuerza de asentamiento Fas y el valor asentamiento δas está dado por:

    ∙  ∙  FM N Ó I C C A R T A O L L I N R O T

s a F P L A C A S A C O M P R E S I Ó N

e t s u j a F

as t as

as p

= as t + as p Figura 34

Ejemplo de determinación del asentamiento: Calcular el asentamiento de una unión con agujero roscado, compuesta de un tornillo de cabeza hexagonal y dos placas. Acabado superficial promedio es 55 μ m. Carga externa perpendicular al eje del tornillo. Se distinguen 3 pares de superficies en contacto y de acuerdo a la tabla del anexo 3 se obtienen los valores para cada una: cabeza con placa 2,5; placa con placa 3,5; hilos tornillo-agujero roscado 3,0. 2,5 + 3,5 + 3,0 = 9,0 μ m = 9,0 x 10-3 mm δ as=

Diagrama fuerza deformación de una unión Debido a la incertidumbre en el momento del ajuste de la unión, el valor de la fuerza de montaje FM estará entre los valores mínimo (F M mín) y máximo (FM máx). Además, si luego se aplica una carga exterior Fext (en este caso de tracción), ésta se distribuirá entre el tornillo (F ext/t) y las placas (Fext/p), en proporciones y (1- ), respectivamente.






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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO En la figura 35 se ha representado los dos extremos, uno con la F M.min y el otro con la fuerza FM.máx t / t x e F

FM máx

FM máx

t x p e / t F x e F

FM mín

FM mín t / x á m F

1

ct

Tornillo a tracción

s a F

t / t x e F t p x e / t F x e F

cp

s e r F

1

Placas a compresión (a)


Placas a compresión

(b) Figura 35

En la figura 35(a) se muestra la situación en la cual el tornillo está sometido a una fuerza máxima (F máx/t). Resultado de la fuerza de montaje máxima (F M.máx) y sin considerar el asentamiento.

á⁄  á  ⁄ En la figura 35(b) se muestra la situación en la cual la fuerza entre placas llega a ser mínima, valor denominado “residual” (F res). Esto resulta de la fuerza de montaje mínima (FM mín) y de considerar el asentamiento.

       ⁄ La fuerza de compresión entre las placas disminuye desde F M mín hasta el valor Fres, luego del asentamiento y de aplicar la carga exterior (F ext).


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Es útil recordar ahora algunas de de las expresiones presentadas anteriormente. -

Fuerza exterior sobre el tornillo

-

Fuerza exterior sobre las placas

-

Factor de distribución de carga

-

Factor de carga

⁄     ∙   ∅∙

⁄     ∙   1∅∙ ∅    

   á  -

Fuerza perdida por el asentamiento

    ∙  ∙

ESFUERZOS Y VERIFICACIÓN POR RESISTENCIA Se debe analizar cada elemento en la peor condición que se pudiera presentar, es decir en su situación crítica. Se deben tener en cuenta las solicitaciones sobre los distintos elementos involucrados durante el montaje y durante el trabajo. Así: a) durante el montaje, se ajusta la unión aplicando un torque sobre la tuerca (o cabeza del tornillo), es decir el tornillo es sometido a momento torsor. Las superficies se van asentando; b) durante la operación o trabajo de la unión, se somete a ésta a una fuerza de trabajo exterior de tracción o de compresión, estática o variable en el tiempo. Las superficies pueden continuar asentándose. El tornillo permanece sometido a un momento de torsión, menor al alcanzado durante el ajuste en el montaje, porque la fricción no deja que recupere su estado original. Esfuerzos en el tornillo durante el montaje Sobre el tornillo actúan la fuerza de montaje F M y el torque de montaje M tM correspondiente, originando un esfuerzo axial de tracción y un esfuerzo de cizallamiento por torsión, ambos estáticos. El caso crítico se da con F M = FM máx σM = FM / Ao con Ao = π do2 / 4 τtM = MtM / Wp con Wp = π do3 / 16 Donde do en situaciones normales es igual al diámetro resistente d s del tornillo. Pero en caso de haber un diámetro menor se deberá utilizar éste. Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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El área resistente es una sección transversal al tornillo, como la obtenida por el plano de corte A-A en la figura 36. Tiene forma ovalada.

Figura 36

El área de esta sección es aproximadamente igual al área de un círculo de diámetro ds, tal que ds = (d2 + d3) / 2 d2 : diámetro de paso del tornillo d3 : diámetro de raiz o de fondo Con los dos esfuerzos obtenidos, se calcula el esfuerzo equivalente. Y se debe cumplir:

     3    ∙ 

donde el factor

= 0,9 (VDI 2230)

ν

Esfuerzos en el tornillo durante el trabajo con carga exterior estática. Finalizado el montaje y retirada la llave con la cual se aplicó el torque de ajuste, se aplica la carga exterior sobre la unión. Sobre el tornillo actúan la fuerza de montaje F M, la componente de la fuerza exterior de trabajo F ext/t y un torque residual del montaje k·MtM donde el factor k se le da el valor de 0,5. Este factor está recomendado en la norma VDI 2230, asumiendo que el momento torsor en el tornillo, después del montaje, disminuye un 50%. Estas solicitaciones originan esfuerzo axial y el esfuerzo de cizallamiento por torsión, ambos estáticos: σmax/t = Fmax/t / Ao = k τt.M donde k= 0,5 τt.trab Calculado el esfuerzo equivalente, se debe cumplir que

      3 .   Esfuerzo de aplastamiento en las superficies en contacto Se deben analizar los elementos a compresión, en la superficie de contacto con otro elemento. Por ejemplo la tuerca o la cabeza del tornillo con la placa. El área de contacto se calcula según la geometría de cada caso, a manera de guía se presentan los casos de la f igura 14.


Pag.

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1 d

D ag

1 d

D ag

(figura 14)

La presión de contacto será p = Fc / Ac Ac = π (d12 – dag2) / 4 Se debe cumplir p = Fc / Ac ≤ p Adm La fuerza de contacto Fc es la fuerza de compresión entre elementos. Se deberá tomar la situación crítica que se pueda presentar; es decir el máximo valor posible, ya sea durante el montaje o durante la operación. Se debe tener presente que si la presión de trabajo es mayor a la presión admisible podría originarse deformaciones permanentes que traerían como consecuencia la reducción de la fuerza de ajuste. Verificación del tornillo sometido a esfuerzo variable. La fuerza exterior sobre la unión puede ser constante o fluctuante en el tiempo. En la figura 37 se muestra el diagrama fuerza-deformación de la unión con una fuerza exterior fluctuante. Las componentes de las fuerzas exteriores sobre el tornillo y las placas tienen la misma fluctuación con magnitudes distintas. Para cada instante en el tiempo se aplican las expresiones presentadas anteriormente:

/       /      En la verificación de los tornillos a fatiga según la VDI 2230 se debe cumplir que FS = σ A / σa/t ≥ FSR FSR = 1,2 σ A : límite a la fatiga que incluye los coeficientes de f atiga en el tornillo σa/t : componente alternante sobre el tornillo

FSR : factor de seguridad recomendado a la fatiga


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i t / e F

FM máx

Fext/t fza. sup. fza. media fza. inf.

s t / e F

FM

i s i t t x x p e F / s F e e F p / e F

FM mín

tiempo fza. sup. fza. media fza. inf.

Fext/p

1

ct


Fext

cp 1

Placas a compresión

s t x e F i t x e F

tiempo Figura 37

La componente alternante sobre el tornillo se calcula σa/t = (Fext/t s – Fext/t i ) / (2 As )

El valor de la resistencia σ A se puede calcular con las siguientes expresiones. Estas son válidas si se cumple el siguiente rango:

0,3  , ∙   1 Donde

 ⁄  0,9∙, ∙    ⁄   2   ∙     4     2 

Expresiones para calcular los valores de la resistencia a la f atiga σ A en N/mm2: a) Tornillo laminado antes del tratamiento térmico

  0,85 ∙ 150 45 Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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b) Tornillo laminado después del tratamiento térmico

⁄     0,85 ∙ 150 45∙3,8 2∙⁄ ,  ∙  Si el número de ciclos N que trabajará el tornillo es relativamente pequeño, la resistencia a la fatiga se puede considerar mayor. Es decir si 104 < N < 2 x 106 a) Tornillo laminado antes del tratamiento térmico

  210 

  0,85 ∙ 150 45∙  

b) Tornillo laminado después del tratamiento térmico

  210 

⁄  ∙    0,85 ∙ 150 45∙3,8 2∙⁄ ,   ∙ 

UBICACIÓN DE LA CARGA EXTERIOR – Factor de distribución de carga. En las uniones mostradas en la figura 18 y en la figura 19, la fuerza exterior está aplicada a nivel de la superficie de la placa; es decir en el plano que pasa por la superficie de contacto entre la tuerca y la placa y el correspondiente que pasa entre la cabeza del tornillo y la placa respectiva. Fuerza exterior

F. Ext. F. Ext.

Fuerza exterior

(Figura 18)

(Figura 19)

En la mayoría de los casos la fuerza exterior no está ubicada en dicha posición debido a la geometría de los elementos y a la carga sobre estos. Para estudiar cómo afecta la ubicación real en el análisis de la unión, en la figura 38 se muestra una unión, tal que fuerza exterior inferior está ubicada en el plano de contacto entre la cabeza del tornillo y la placa (tubos), igual que en los dos casos anteriores; pero la fuerza exterior superior no está situada en el plano de contacto entre la tuerca y la placa (tubo); sino en un plano que se encuentra entre los dos planos descritos anteriormente.


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Con el fin de apreciar la influencia de la ubicación de la fuerza exterior, hay que tener presente que la fuerza de montaje origina compresión en las placas y tracción en el tornillo y que la fuerza exterior, en el caso de la figura 18, origina que disminuya la compresión en todo el espesor de la placa, así como en toda la longitud de los tubos en el caso de la figura 19.

2 p L p L 1 p L

F. Ext. F. Ext.

Figura 38

Se aprecia en la figura 38 que, al aplicar la fuerza exterior en el lugar mostrado, disminuye la compresión del tubo (placas) en el tramo de longitud L p1, mientras que en el tramo de longitud L p2 la compresión aumenta; es decir la fuerza exterior no produce el mismo efecto que en el caso de la figura 19, en el cual la fuerza de compresión disminuye en todo el tubo. Tener en cuenta que tanto en la figura 19 como en la 38 la fuerza exterior es de tracción. Por tanto la compresión final de las placas depende de dónde se aplica la fuerza exterior; es decir del tramo de longitud L p1. Si L p1 coincide con Lp, disminuirá la compresión en todo el espesor de la placa. Al ser Lp1 menor que Lp la constante de rigidez del tramo de placa que disminuye su compresión es mayor que la de todo el espesor L p. Por tanto es de esperar que la fuerza exterior sobre la placa sea mayor y en consecuencia la fuerza exterior sobre el tornillo será menor. Si se define el factor n como la relación entre L p1 y Lp n = Lp1 / Lp -

En el caso particular que Lp1 = Lp, este factor tomará el valor n = 1 y el comportamiento de la unión es como el caso de la figura 20. Las fuerzas exteriores sobre el tornillo y la placa, como se vio anteriormente (página 13), están dados por:

∅

Fext/t = (ct / (ct + cp)) Fext = Fext

∅

Fext/p = (cp / (ct + cp)) Fext = (1 – ) Fext -

En los casos que Lp1 < Lp, se demuestra para el caso de la figura 38 que las fuerzas exteriores sobre el tornillo y la placa están dados por:

∅

Fext/t = n (ct / (ct + cp)) . Fext = n · Fext Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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∅

Fext/p = (1-n (cp / (ct + cp)) . Fext = (1 – n · ) Fext En los casos que sean placas y no cilindros el factor n a tomar en cuenta será menor o igual a la relación L p1 / Lp. Se puede definir un nuevo factor de distribución de carga (= Lp1/Lp)

∅

n

y trabajar con el factor n

tal que:

∅∅ == nc /∅(c + c ) n

t

t

p

Las fuerzas exteriores sobre tornillo y placa estarían dadas por: Fext/t = (ct / (ct + cp)) Fext = n Fext

∅

Fext/p = (cp / (ct + cp)) Fext = (1 –

∅)F n

ext

Por lo general el valor de n, o más precisamente el de Lp1, se debe estimar para cada caso en particular de acuerdo a la geometría y a la carga exterior. Para realizar este estimado, se sugiere trazar las líneas de flujo de fuerzas y así observar aproximadamente cuál tramo está en compresión y cual no. Ejercicio propuesto: El recipiente de la figura 39 trabajará a presión interna y está compuesto por tres piezas: el recipiente propiamente dicho, la tapa y un anillo de espesor 30 mm. La tapa y el anillo se deben colocar en un orden especificado en el plano de ensamble. Lamentablemente el diseño de las piezas no impiden que se puedan colocar en un orden distinto al del plano. En el caso (a) la tapa está colocada entre el recipiente y el anillo, mientras que en el caso (b) el anillo está colocado entre la tapa y el recipiente. Estime el valor del factor n para cada uno de los casos y sugiera cuál de las dos disposiciones debería ser la correcta (la que debe figurar en el plano de ensamble).

0 1 0 3

0 4

(a)

(b) Figura 40

Con las dimensiones mostradas debe estimar las longitudes o espesores L p y Lp1 (o Lp2), para luego calcular el factor n. Elementos de Máquinas 1 – Uniones atornilladas Kurt F. Paulsen M. / 170825

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UNIONES MULTITORNILLOS Es la unión de dos elementos empleando dos o más tornillos; es decir con dos o más uniones simples. DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS EN UNIONES MULTITORNILLOS Las uniones multi-tornillos pueden estar sometidas a fuerzas transversales a los tornillos, fuerzas paralelas a los ejes del tornillo, momentos tipo “flexión” y momentos tipo “torsión”. Tornillos de una unión sometida a momento tipo torsión Se trata de una placa unida a otra u otro elemento, tal que sobre la primera se aplica una fuerza F. En la figura 41 no se han dibujado las placas. Una vez determinada la ubicación del centroide de los tornillos, se traslada la fuerza a dicho centroide con el momento correspondiente. Como de observa en la figura la es un momento tipo torsión de una magnitud F L F .

Figura 41

Fuerzas en los tornillos (fuerzas transversales) Como se ha mencionado, con la información geométrica de la unión atornillada (posición y área de las secciones transversales), se determina la ubicación del centroide o centro de gravedad del conjunto. Y conocida la ubicación del centroide se pueden calcular las distancias del centroide a cada tornillo (r i) y del centroide a las fuerzas.

Figura 42


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA – ÁREA DE DISEÑO Trasladando la fuerza exterior F al centroide, tenemos que la placa está solicitada con una fuerza F y un momento tipo torsión F LF. Por tanto, como se aprecia en la figura 42 el cálculo se puede realizar por separado y superponer resultados. Las fuerzas paralelas a la fuerza se pueden considerar todas de igual a valor entre sí: FF = F / n donde n: número de tornillos En el caso del momento, si las placas pudieran deslizar entre sí, los tornillos estarían sometidos a una deformación transversal de corte, en una dirección perpendicular a la línea que une el tornillo con el centroide. Como se observa en la figura 43, la magnitud deformación debido al momento es proporcional a la distancia del centroide al tornillo.

Figura 43

En general se puede afirmar que en el caso del momento tipo torsión, los tornillos estarán sometidos a fuerzas transversales perpendiculares a la línea que une el centroide del conjunto y el tornillo correspondiente y de una magnitud proporcional a la distancia. Es decir se calculan teniendo en cuenta por un lado el estado de equilibrio estático y por otro la proporcionalidad a la distancia al centroide. Σ FMi r i = Mt

con

Mt = F LF

y

FM1 / r 1 = FM2 / r 2 = FMi / r i

Una vez calculadas las fuerzas F F y FM se puede proceder a calcular las uniones simples. Si hubiera deslizamiento entre placas, las fuerzas F F y FM en cada tornillo serían fuerzas de corte. Si las placas no deslizan, son fuerzas transversales al tornillo (paralelas a las placas) que originan la aparición de fuerzas de fricción. Que sería la razón del no deslizamiento.


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Soporte sometido a momento tipo flexión En la figura 44 se muestra un soporte sujetado por tornillos, dispuestos en un arreglo de seis filas y dos columnas verticales. El soporte estará sometido a una carga F en la superficie horizontal superior del mismo.

Figura 44

Como se puede observar en la figura 45, la unión está sometida a una fuerza transversal a los tornillos y a un momento. El análisis se facilita si se realizan en forma independiente el efecto de la fuerza transversal y el efecto del momento y luego se procede a superponer los resultados. En todos los casos se asume que las planchas son completamente rígidas.

Figura 45

Para este tipo de unión hay que distinguir dos casos - Tornillos con pretensión o ajuste en el montaje - Tornillos sin pretensión


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Unión con tornillos con pretensión. Se asume que todos los tornillos han sido ajustados con el mismo torque de ajuste y por tanto cada unión simple o mono-tornillo está sometida a una fuerza de montaje F M. Lo primero que se debe hacer es determinar la ubicación del centroide de los tornillos. El eje horizontal que pasa por el centroide dividirá a las uniones simples en dos grupos. El momento origina que las uniones simples que están a un lado del centroide se traccionen y las otras se compriman. (figura 46)

Figura 46

Esto significa que sobre unas uniones simples aparecerán fuerzas exteriores F ext de tracción y sobre otras, de compresión. (figura 37)

Figura 47

Las magnitud de cada una de las fuerzas externas Fext.i es proporcional a la deformación δi y ésta a su vez es proporcional a la distancia al centroide Li. Además, del equilibrio de momentos de estas fuerzas con el momento externo, se consigue una ecuación con la cual ya se puede determinar el valor de cada una de las fuerzas Fext.i. Conocido el valor de la fuerza externa en cada unión simple, se puede calcular la fuerza externa sobre el tronillo F ext/t y la fuerza externa sobre la placa F ext/p.


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Unión con tornillos sin pretensión. En este caso a diferencia del anterior, el eje en el cual pivotea el soporte no pasa por el centroide de los tornillos. Y además los tornillos estarán sometidos a corte debido a la fuerza transversal. El eje de giro o pivote define dos zonas: a un lado los tornillos serán traccionados y al otro, la plancha del soporte será comprimida en la superficie de contacto. En la figura 48 el eje de giro está ubicado a una distancia Z y pasa por el centroide de los tornillos a tracción y de la zona a compresión. Calculado el valor de Z; es decir ubicado el centroide, se pueden calcular las fuerzas en los tornillos en forma similar al caso anterior, utilizando la proporcionalidad existente entre estas y las distancias al centroide.

Figura 48


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ANEXOS Anexo 1 Longitudes y diámetros para calcular el coeficiente de rigidez de un tornillo. Tramo 1

Di d

2 3 4 5 6

d dr d3 d3 d

Li 0,5 d 0,4 d L2 L3 L4 0,5 d 0,4 d 0,33 d

Comentarios Tornillo cabeza hexagonal Tornillo cabeza “socket”

Unión con tuerca Unión con agujero roscado

(1): longitud del diámetro correspondiente

La nomenclatura para los diámetros es: - d : diámetro nominal del tornillo - d2 : diámetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo - d3 : diámetro de raíz del tornillo - dr : diámetro del tramo con reducción de área

1

2

3

2

4

5-6

1

2

3

2

4

5-6

1

1 2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

: cabeza del tornillo, : tramos cilíndricos de mayor diámetro, : tramo cilíndrico de menor diámetro o de diámetro reducido, : tramo cilíndrico roscado que permanece fuera de la tuerca o agujero roscado, : tramo cilíndrico roscado en el interior de la tuerca, : filetes en contacto.

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Anexo 2 Factor de ajuste ( αA)

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Anexo 3 Valores recomendados para el asentamiento. Altura promedio de la rugosidad Rz (μm) Rz < 10 10 ≤ Rz < 40 40 ≤ Rz < 160

Carga Normal Transversal (corte) Normal Transversal (corte) Normal Transversal (corte)

Valores para el asentamiento δas. Por par de superficies. (μm) En los Cabeza o Entre hilos tuerca placas 3,0 2,5 1,5 3,0 3,0 2,0 3,0 3,0 2,0 3,0 4,5 2,5 3,0 2,0 3,0 3,0 2,5 3,5

RZ: promedio de la profundidad de la rugosidad. Promedio aritmético de cinco profundidades significativas consecutivas en la longitud de medición. VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes)

Anexo 4 Presión superficial admisible MATERIAL St37 St50 C45

pAdm (N/mm2) 260 420 700

42CrMo4 30CrNiMo8 X5CrNiMo1810 X10CrNiMo189 Acero inoxidable

850 750 210 220 1000 a 1250

Titanio sin alear T-6Al-4V

300 1000

GG15 GG25 GG35 GG40 GGG35.3

600 800 900 1100 480

GD MgAl9 GK MgAl9 GKAlSi6Cu4 AlZnMgCu0,5 Al99

220 (140) 140 (220) 200 370 140

Extracto de VDI 2230 Julio 1986 Verein Deutscher Ingenieure (Sociedad Alemana de Ingenieros)


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Anexo 5 / Anexo 6 Coeficiente de fricción entre filetes / Coeficientes de fricción entre tuerca (o cabeza de tornillo) y placa. Clase A

Rango para los coeficientes de fricción 0,04 a 0,10

B

0,08 a 0,16

C

0,14 a 0,24

D

0,20 a 0,35

E

≥ 0,30

Ejemplos típicos Material / superficie Lubricantes Brillo metálico, fosfatado, Lubricante sólido (MoS, grafito, galvanizado, PTFE, PA, PE, PI), barnices lubricados, protección en pasta. Brillo metálico, fosfatado, Lubricante sólido (MoS, grafito, galvanizado. PTFE, PA, PE, PI), barnices lubricados, protección en pasta. Galvanizado en caliente MoS, grafito Recubrimientos orgánicos Con lubricante sólido integrado Acero austenítico Lubricante sólido Acero austenítico Cera en pasta Brillo metálico. Fosfatado Estado de entrega (ligeramente aceitado) Galvanizado Ninguno Acero austenítico Aceite Galvanizado o galvanizado Ninguno en caliente Galvanizado Ninguno

Se debe tender hacia el uso de la clase B, con el fin de aplicar una precarga lo más alta posible con baja dispersión. Los valores se aplican a temperatura ambiente. VDI 2230 Parte 1 – Febrero 2003 VDI: Verein Deutcher Ingenieure (Sociedad de Ingenieros Alemanes)

Anexo 7 Propiedades mecánicas de tornillos (extracto ISO 898) Clase 3.6 4.6 4.8 5.6 5.8 6.8 8.8 8.8 10.9 12.9

σB(N/mm

Nominal 300 400 400 500 500 600 800 800 1000 1200

) Mínimo 330 400 420 500 520 600 800 830 1040 1220

σF (N/mm

Nominal 180 240 320 300 400 480 -

) Mínimo 190 240 340 300 420 480 -

σ0,2 (N/mm

Nominal 640 640 900 1080

) Mínimo 640 660 940 1100

σB : resistencia a la tracción σF : límite de fluencia σ0,2 : límite convencional de fluencia 1)

Hasta tornillos M16 Tornillos mayores a M16

2)


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Anexo 8 Características geométricas del perfil de rosca en V (DIN 13)

Maschinenelemente-Rolof Matek


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Anexo 9 Dimensiones de tornillos cabeza hexagonal



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Anexo 10 Dimensiones de tornillos cabeza cilíndrica con hexágono interior



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Anexo 11 Dimensiones de arandelas métricas

Manual del Ingeniero de Taller . Hütte – Gustavo Gili Barcelona


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6 Uniones Atornilladas v 17-1

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