9 9.1
Óptica geométrica
Indica las características de la imagen que que observa observa una persona que se está mirando en un espejo plano. La imagen es virtual y derecha. Virtual, porque se puede ver pero no se puede proyectar sobre una pantalla. Es derecha porque se encuentra en la misma posición que el objeto.
9.2
Indica el signo signo de todas las magnitudes que están están representadas en la imagen imagen superior. superior. La altura del objeto y > 0. La posición del objeto s < 0. La posición de la imagen s’ > 0. La altura de la imagen y’ > 0.
9.3
Calcula la posición de las focales objeto e imagen de un sistema óptico formado formado por una canica de vidrio de índice de refracción n = 1,4 y radio R = 2 cm. Si la canica tiene una burbuja a 1 cm de su centro, ¿en qué posición la verá un observador? Calculamos la posición de las focales: f ' =
n2 R 1,4 · 0,02 = = 0,07 m = 7cm ; n2 − n1 1,4 − 1
f =
−n1R −0,02 = = −0,05 m n2 − n1 1,4 − 1
Se calcula el valor de s’ a partir de la s conocida. El valor de s = 0,01 m, el de R = 0,02 m, n1 = 1,4; n2 =1 n2 n1 n2 − n1 − = ; s' s R
9.4
1 1,4 1 − 1,4 − = s' 0,01 0,02
s' = 0,0083 m = 8,3 mm
Calcula la profundidad real a la que se encuentra un pez que observamos observamos a 1 m de profundidad, profundidad, en el agua n = 1,33. Recuerda que lo que vemos es la profundidad aparente. Aplicamos la ecuación: profundidad aparente
=
profundidad real
9.5
s
=
n2 n1
1
;
s
=
1 1,33
s = 1,33 m
Ante un espejo cóncavo de 80 cm de radio y a 2 m de distancia se coloca un objeto de 10 cm de altura. Calcula la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño. La distancia focal es: f =
R 2
=
−0,8 = −0,4 m 2
Aplicando la ecuación de los espejos:
1 s'
+
1 s
=
1 f
Utilizando la expresión del aumento lateral: β =
9.6
s'
y' y
1 s'
=−
+
1
−2
s' s
=
1
− 0,4
s' = −0,5 m
y' = −0,1⋅
−0,5 = −0,025 m −2
Delante de un espejo plano y a 30 cm cm de él él se coloca coloca un objeto objeto de 1 m de altura. Calcula la distancia a la que se forma la imagen y su tamaño. Al tratarse de un espejo plano, la imagen es del mismo tamaño que el objeto y se sitúa en s’ = 30 cm (dado que s = –30 cm).
1
9.7
Sin hacer cálculos, indica indica las características de la imagen que se formará en en un espejo de 15 cm de radio, cuando el objeto está situado a 7 cm. Como el objeto se ha situado muy cerca del foco f =
R 2
, la imagen del mismo se formara muy lejos (si
estuviera en el foco se formaría en el infinito).
9.8
Calcula el número de imágenes imágenes que se forman cuando dos dos espejos planos forman forman un ángulo de de 120º. Encuentra de forma grafica su posición para una posición aleatoria de un objeto. Aplicando la fórmula que nos da el número de imágenes: n =
360 º
α
−1=
360 º 120 º
− 1 = 3 − 1 = 2 imágenes
O
O’2
O’1
La gráfica muestra la posición en que se verían las imágenes en los dos espejos.
9.9
Calcula el valor de la distancia focal de una lente biconvexa simétrica simétrica de radio R = 2 m y n = 1,5. Aplicamos la ecuación del constructor de lentes con R1 > 0 y R2 < 0.
1 1 1 1 1 = (1,5 − 1) − = (n − 1) − = 0,5 f ' = 2 m f ' f ' 2 − 2 R1 R2 1
9.10 Sin realizar ningún tipo de cálculos, indica las características características de la imagen formada por una una lente divergente cuando el objeto se sitúa muy lejos de la lente. Las imágenes formadas por lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y menores que el origi nal.
9.11 ¿Cuál debe ser la distancia focal focal de una lupa para que su aumento aumento sea 2X (dos aumentos)? aumentos)? La expresión del aumento angular de una lupa es: M=
θ' 0,25 0,25 0,25 1 f ′ = = = = 0,125 m P = = 8 dioptrías θ f ′ M 2 f ′
9.12 A partir del trazado de rayos de los telescopios de Newton y Cassegrain, Cassegrain, indica si las imágenes se ven derechas o invertidas. En los dos telescopios se cruzan los rayos, de modo que en ambos se ven las imágenes invertidas.
9.13 El punto próximo de un ojo hipermétrope está está a 1 m. Indica las características características de la lente que corregirá este problema si se considera que el punto próximo debe estar a 25 cm. Calculamos el valor de la focal de la lente que hace que un objeto situado a 25 cm tenga su imagen a 1 m para que el ojo hipermétrope crea que lo está viendo en su posición. 1 1 1 1 1 1 − = − = f ' = 33,3 cm = 0,333 m P = 3 dioptrías s' s f − 100 − 25 f '
2
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DIÓPTRICO ESFÉRICO 9.14 Una moneda de plata está en el fondo de una piscina de 4 m de profundidad. Un haz de luz reflejado en la moneda emerge de la piscina formando un ángulo de 20º respecto a la superficie del agua y entra en el ojo de un observador. Dibuja el esquema de rayos. Calcula la profundidad a la que el observador ve la moneda. Compara esta altura con la que se apreciaría si el observador se situara en la vertical de la moneda. Aplicando la ley de la reflexión de Snell: 1,3 sen α = 1sen 70º sen α =
sen 70º 1,3
70º
sen 70º α = arc sen = 46,29º 1,3
20º
0
B 20º
Del triángulo OAP calculamos la distancia AP .
α
P’
tgα =
AP 4
m 4
AP = 4 tgα = 4·tg 46,29º = 4,18 m
n2 = 1,3
En el triángulo superior OBP’ , se conoce OB = AP , luego se puede calcular la distancia BP’ . tg 20º =
BP' OB
P
4,18 m
A
BP' = OB tg 20º = 4,18 · tg 20º = 1,52 m
Si se observa desde la vertical, se pueden considerar los rayos paraxiales. Aplicando la ecuación del dioptrio plano: s' n2 n 1 s' = 2 s s' = = · 4 = 3,08 m s n1 n1 1,3
9.15 En una pecera esférica de 35 cm de radio y llena de agua con índice de refracción n = 1,33, se encuentra un pez situado exactamente en el centro de la misma. Calcula la posición en que se observará el pez desde el exterior, si el índice de refracción del aire es n = 1. Los datos que tenemos son: s = 35 cm, n1 = 1,33; n2 = 1; R = 35 cm Sustituimos en la ecuación del dioptrio. n2 n1 n2 − n1 1 1,33 1 − 1,33 1 1,33 0,33 1 − = s' = 35 cm − = = − = s' s R s' 35 35 s' 35 35 35
9.16 Un dioptrio esférico cóncavo tiene un índice de refracción de n = 1,5 y un radio de 40 cm. Delante del dioptrio a una distancia de 80 cm, se sitúa un objeto de 3 cm de altura. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. Al ser cóncavo, el radio es negativo. Los datos que tenemos son: s = –80 cm, n1 = 1; n2 = 1,5 ; R = –40 cm Sustituimos en la ecuación del dioptrio. n2 n1 n2 − n1 1,5 1 1,5 − 1 − = − = s' s R s' − 80 − 40 1 1 0,5 1 1 s' = −60 cm = − − =− s' 1,5 40 80 60 El aumento lateral del dioptrio se obtiene mediante la expresión:
β=
y' y
=
n1s' n2s
=
1 · (−60) 1 1 1 = y' = y = 3 = 1,5 cm 1,5 · (− 80 ) 2 2 2
3
9.17 Una varilla larga de vidrio se encuentra sumergida en un líquido de índice de refracción desconocido. La varilla tiene un índice de refracción n = 1,66 y termina en una superficie esférica convexa de radio 5 cm. En su interior, hay una burbuja situada sobre el eje de la varilla a 50 cm del extremo. Su imagen se forma en el interior de la varilla a una distancia de 80 cm del extremo. Calcula el índice de refracción del líquido. n2 = ? n1 = 1,66
R = 5 cm 50 cm
A partir del enunciado, los datos del problema son: s = 50 cm; n1 = 1,66; s’ = 80 cm; R = 5 cm. Sustituyendo en la ecuación del dioptrio esférico: n2 n1 n2 − n1 n 1,66 n2 − 1,66 n n 1,66 1,66 2 − 2 − 2 = − = = − s' s R 80 50 5 80 5 50 5 1 16 1 , 66 − 16 , 6 n2 = 1,59 n2 − = 80 80 50
9.18 Un cilindro de vidrio termina en dos semiesferas convexas de radio 10 cm e índice de refracción n = 1,5. Fuera de la varilla y sobre el eje de la misma se sitúa un objeto a 30 cm de la superficie esférica. Sabiendo que su imagen se forma a 10 cm del extremo opuesto de la varilla, indica la longitud de dicha varilla. A partir del enunciado, los datos del problema son: s = –30 cm; n1 = 1; n2 = 1,5; R = 10 cm. Sustituyendo en la ecuación del dioptrio esférico: n2 n1 n2 − n1 1,5 1 1,5 − 1 1 1 1 1 1 = s' = 90 cm − = − = − = s' s R s' − 30 10 s' 1,5 20 30 90 Como el enunciado dice que la imagen se forma a 10 cm del extremo opuesto de la varilla, la longitud de esta será 1 m.
ESPEJOS
9.19 Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura R . Dibuja los diagramas de rayos necesarios para localizar la imagen de un objeto pequeño en forma de flecha situado sobre el eje del espejo a una distancia d del extremo del espejo en los casos siguientes: a) d = 2R
b)
d=
R 3
Indica en cada caso si la imagen es virtual o real, derecha o invertida y reducida o ampliada. a)
Diagrama de rayos:
y’ F
C R
b)
y 2R
La imagen es real invertida y menor que la original.
Diagrama de rayos:
y’ y
F
C R
La imagen es virtual derecha y mayor que la original.
4
9.20 Discute físicamente, ayudándote de un diagrama de rayos, si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “Un espejo cóncavo no puede producir una imagen virtual, derecha y mayor de un objeto”. La afirmación es falsa; cuando un mismo objeto se va acercando al espejo, su imagen pasa de ser invertida, real y menor a invertida, real y mayor, y cuando el objeto se acerca tanto que se sitúa entre el foco y el espejo la imagen que se f orma es derecha, virtual y mayor, como se puede observar en el esquema de rayos.
3’ 2
1
F 3
C 1’
2’
9.21 Un objeto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es de 10 cm. Utiliza el diagrama de rayos para encontrar su imagen, indicando si es real o virtual, derecha o invertida. En un espejo convexo, la imagen siempre es derecha, menor y virtual, con independencia de cuál sea la posición del objeto respecto del espejo.
R = 10 cm y F
C
10 cm
9.22 Considera un espejo esférico cóncavo de 1 m de radio. Para este espejo determina: a)
Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su imagen sea derecha.
b)
Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su imagen sea real.
c)
La posición del objeto si su imagen es real y el aumento lateral vale –1.
Realizamos un dibujo de las imágenes que se obtienen en cada una de las posiciones en que podemos colocar el objeto.
3’ 2
1 2’
F 3
C 1’
5
a)
La única posibilidad de que la imagen sea derecha es que el objeto se coloque entre el foco y el espejo.
b)
Las imágenes son reales (invertidas) si se colocan los objetos en cualquier punto del eje entre el foco e infinito.
c)
Utilizando la expresión del aumento en función de la posiciones tenemos: A=−
s' = −1 s
Multiplicando por s’ a ambos lados de la ecuación de los espejos, se tiene: 1 1 1 1 s' s' s' 1 1 + = + · s' = · s' + = s' s f s' s f s' s f Comparando ambas expresiones: 1 − A =
s' f
2=
s' f
s' = 2f = R
Cuando el objeto se coloca en el centro del espejo, su aumento es –1.
9.23 Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 60 cm. A 100 cm por delante del espejo colocamos un objeto de 10 cm de altura. a) Calcula la posición de la imagen de este objeto. Di si la imagen es real o virtual. b) Calcula la altura de la imagen y di si esta es derecha o invertida. c) Haz un diagrama de rayos que represente la situación descrita en el que también aparezca la imagen. a)
Como el radio es R = −60 cm, el foco del espejo está en: f =
R 2
= − 0,3 m
Aplicamos la ecuación de los espejos: 1 1 1 + = ; s' s f
1 s − f = s' s·f
s′ =
s · f (−1) · (−0,3 ) = = − 0,43 m s − f − 1 − (− 0,3 )
La imagen se forma 43 cm a la izquierda del espejo, luego es una imagen real. b)
Calculamos el aumento a partir de las distancias s y s’ . A=− A=
y' y
s' s
=−
− 0,43 = − 0,43 −1
= − 0,43 y' = − 0,43 · 0,1 = − 0,043 m
La altura de la imagen es 4,3 cm y, al ser negativo el aumento, está invertida. c)
Diagrama de rayos.
y
C F
60 cm 100 cm
6
9.24 Un espejo esférico y cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,5 m. Determina analítica y gráficamente la posición y el aumento de la imagen de un objeto de 5 cm de altura situado en dos posiciones diferentes: a) a 1 m del espejo. b) a 0,30 m del espejo. La focal de los espejos es la mitad del valor del radio de curvatura, f = –0,25 m Aplicamos la ecuación de los espejos a cada una de las distancias dadas: a)
s1 = −1 m 1
+
s1'
b)
1
=
s1
1 f
1 s1'
+
1
−1
=
1
− 0,25
1 s1'
= −3 s1' = −0,33 m
s2 = −0,30 m 1 s'2
+
1 s2
=
1 f
1 s'2
+
1
− 0,30
=
1
− 0,25
1 s'2
C
1
= −0,667 s'2 = −1,5 m
2
F
1’
2’
9.25 En unos almacenes se utilizan espejos convexos, para conseguir un amplio margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable. Uno de los espejos permite a la dependienta, situada a 5 m del mismo, inspeccionar el local entero. Tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? ¿Está detrás o delante del espejo? Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen? En los espejos convexos, las imágenes siempre son derechas, menores y virtuales. Hacemos un trazado de rayos de la imagen del cliente. El foco está situado a 0,6 m.
y’
y R 2
C
Aplicamos las ecuaciones de los espejos: 1 1 1 1 1 1 10,6 6 s' = + = = + = = 0,57 m s' s f s' 0,6 10 6 10,6 A partir del aumento, calculamos la altura del objeto: A=
y' y
=−
s' 0,57 y' = y − = 2 · − = 0,114 m s s − 10
s'
La imagen se sitúa a 0,57 m por detrás del espejo y tiene una altura de 11,4 cm.
7
9.26 Por medio de un espejo cóncavo se quiere proyectar la imagen de un objeto de tamaño 1 cm sobre la pantalla plana, de modo que la imagen sea invertida y de tamaño 3 cm. Sabiendo que la pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcula: a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuando su construcción geométrica. b) El radio del espejo y la distancia focal. a)
Como la pantalla ha de estar colocada a dos metros del objeto: s' − s = −2 m A = −
s' = −3 s' = 3s s C
3s − s = −2 m s = −1 m; s' = −3 m
b)
F
Conocidos todos los datos, se aplica la ecuación de los espejos: 1 1 1 1 1 4 3 = + = −1 − = − f = − = − 0,75 m f s s' f 3 3 4 El radio del espejo es el doble de la distancia focal: R = –1,5 m
9.27 Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de distancia focal, y a 25 cm de él, se encuentra un objeto de 1 cm de altura dispuesto perpendicularmente al eje del espejo. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. Aplicamos la ecuación de los espejos y escribimos todos los datos en cm: 1
− 25
+
1 s'
=
1
− 50
1 s'
=
1
− 50
+
1 25
=
1 s
+
1 s'
=
1 f
−1 2 1 s' = 50 cm + = 50 50 50
Como el valor de s’ es positivo, la imagen que se forma está situada a la derecha del espejo, luego será virtual. Lo vemos mejor con un gráfico. A= A=
−s' −50 = =2 − 25 s
y' y' = A y = 2 · 1 = 2 cm y
9.28 ¿Puede formarse una imagen virtual con un espejo cóncavo? Razona la respuesta utilizando las construcciones gráficas que consideres oportunas. Sí, cuando el objeto se sitúa ente el foco y el espejo. Dibujamos las tres posiciones del objeto para ver los lugares donde salen las imágenes.
3’ 2
1 2’
F 3
C 1’
La imagen del objeto 3 es virtual.
8
9.29 ¿Se está mirando la Venus de Velázquez a sí misma en el espejo? Razona la respuesta.
En la posición que se encuentra el espejo, los rayos que parten del rostro de la Venus llegan hasta la posición en la que nos encontramos nosotros, situados detrás de sus caderas. Por tanto, la Venus no puede verse a sí misma el rostro. Si el espejo estuviese colocado para que la Venus se viese a sí misma, nosotros no podríamos ver su cara, sino la parte de la habitación que está a la derecha de su cabeza. El fundamento se encuentra en las leyes de la reflexión. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal a la superficie es igual que el que forma el rayo reflejado.
LENTES Y SISTEMAS DE LENTES 9.30 Obtén gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada convergente igual a dos veces su distancia focal. Indica las características de la imagen obtenida. Hacemos el trazado de rayos: s’ y F
F’
y’
s
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s' = 2 f ' = −s − = = + = + = s' s f ' s' f ' s s' f ' − 2f ' 2f '
y' y
=
s' s
y' = y ⋅
s' s
y' = y
−s = −y s
La imagen es real, invertida y del mismo tamaño.
9
9.31 Una lupa se emplea para poder observar con detalle objetos de pequeño tamaño. a) Explica el funcionamiento óptico de una lupa: ¿qué tipo de lente es? ¿Dónde debe situarse el objeto? Su imagen, ¿es real o virtual?, ¿derecha o invertida? b) Dibuja un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de imagen de una lupa. a)
La función de las lupas es aumentar el tamaño de objetos cercanos que se observan a través de ellas. Para ello, se utilizan lentes convergentes, ya que son las únicas que pueden aumentar de tamaño la imagen de los objetos. Para que una lente convergente aumente el tamaño de un objeto, este debe situarse entre el foco y la lente. De este modo, la imagen que se forma es derecha y virtual.
b)
Realizamos un trazado de rayos que aclare y justifique lo dicho.
y’ y F
F’
9.32 La lente delgada convergente de la figura tiene una focal imagen f’ = 40 cm. a) Calcula la posición y el tamaño de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la figura, O 1 y O 2, ambos de altura y = 2 cm. b) Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos. 60 cm 30 cm
O1
a)
F’
Aplicamos la ecuación de las lentes y la del aumento lateral a ambas lentes: 1 sO 2
=
1 sO1 y' y b)
F O2
=
s' s
y' = y ⋅
s' s
y′2 = y 2 ⋅
1 40
=
+
1 40
s′2 s2
1
− 30 +
− 60
= 2⋅
s'
−
1 s
=
1 f '
1 s'
=
1 f '
+
1 s
−30 + 40 1 sO 2 = −120 cm =− − 1200 120
=
1
1
=
−60 + 40 1 sO1 = 120 cm = − 2400 120
−120 s′ 120 = 8 cm; y1′ = y1 ⋅ 1 = 2 ⋅ = −4 cm − 30 − 60 s1
Trazado de rayos:
y’2 y1 O1
F’ F O2
y2
y’1
10
9.33 Realiza un trazado de rayos que te permita elegir la respuesta correcta. En las lentes divergentes, la imagen siempre es: a) Derecha, mayor y real. b) Derecha, menor y virtual. c) Derecha, menor y real. La imagen de una lente divergente siempre es virtual, derecha y de menor tamaño con independencia del lugar en que se coloque el objeto, luego la respuesta correcta es la b). Para su comprobación, realizamos la construcción geométrica.
2
1 F’
1’
F
2’
9.34 Una lente delgada convergente se quiere utilizar para obtener una imagen de un objeto que sea más grande que su tamaño real. Usa el diagrama de rayos para indicar dónde se debería colocar el objeto respecto a la lente para conseguir lo anterior en los casos: a) La imagen ha de estar derecha. b) La imagen ha de estar invertida. a)
Si el objeto está a la derecha del foco objeto, su imagen será derecha y más grande B ( en la figura).
b)
Si el objeto está a la izquierda del foco objeto y en una posición tal que f’ <│s│ < 2f’, su imagen estará invertida y más grande (A en la figura)
B’ F’
A
F
A’
B
9.35 Situamos un objeto de 2,0 cm de altura a 15 cm de una lente de 5 dioptrías. a) Realiza el trazado de rayos. b) Calcula la posición de la imagen. c) ¿Cuál es el aumento? a)
A partir de la potencia, conocemos la distancia focal de la lente: f ′ =
1 1 = = 0,2 m = 20 cm P 5
y’ y
F
b)
F’
Aplicamos la ecuación de las lentes: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = s' = − 0,6 m = − 60 cm = − = − − f ' s' s 0,2 s' − 0,15 s' 0,2 0,15
c)
El aumento lo calculamos como: β =
y' y
=
s' s
=
− 0,6 =4 − 0,15
La imagen es cuatro veces mayor que el o bjeto.
11
9.36 Una lente divergente se emplea para formar la imagen virtual de un objeto real. El objeto se coloca a 80 cm a la izquierda de la lente, y la imagen se localiza a 40 cm a la izquierda de la lente. a) Determina la distancia focal de la lente. b) Si el objeto tiene un tamaño de 3 cm, ¿qué tamaño tendrá la imagen? a)
Sustituyendo en la ecuación de las lentes delgadas: 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1
− 40
−
1
=
1
−
2
+
1
− 80 f ' 80 80 1 1 − = f ' = − 80 cm 80 f '
=
1 f '
La focal f’ está situada a la izquierda de la lente (por ser negativa) y a 80 cm de esta. b)
El aumento lateral es.
β= El tamaño de la imagen es: β =
y' y
s′ s
=
−40 = 0,5 − 80
y' = β · y = 0,5 · 3 = 1,5 cm
9.37 Dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente para obtener una imagen virtual y derecha: a) Si la lente es convergente. b) Si la lente es divergente. Realiza en ambos casos las construcciones geométricas e indica si la imagen es mayor o menor que el objeto. a)
Se obtiene una imagen virtual y derecha con una lente convergente cuando el objeto se sitúa entre el foco y la lente.
y’
y
F
b)
F’
Se obtiene una imagen virtual y derecha con una lente divergente siempre. Lo comprobamos colocando el objeto entre el foco y la lente, y colocándolo en otra posición muy alejada de la lente.
x
y
F
x’
y’
F’
12
9.38 Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Calcula la posición y el aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a 50 cm y a 15 cm. Realiza el trazado de rayos en ambos casos. Aplicamos en cada caso la ecuación del las l entes delgadas. 1 1 1 1 1 1 1 s + f ' sf ' s' s' = ; A= − = = + = s' s f ' s' f ' s s' sf ' s + f ' s Cuando s = –50 cm: s' =
−50 · 20 − 1000 = = 33,3 cm − 50 + 20 − 30
Se sitúa 33,3 cm a la derecha de la lente.
β= Cuando s = –15 cm: s' =
33,3 = −0,67 − 50
−15 · 20 − 300 = = − 60 cm − 15 + 20 5
Se sitúa 60 cm a la izquierda de la lente.
β=
−60 =4 − 15
S’2
S’1
F’
S1
F
S2
9.39 La potencia de una lente es de 5 dioptrías. a) Si a 10 cm a su izquierda se coloca un objeto de 2 mm de altura, halla la posición y el tamaño de la imagen. b) Si dicha lente es de vidrio (n = 1,5) y una de sus caras tiene un radio de curvatura de 10 cm, ¿cuál es el radio de curvatura de la otra? ¿De qué tipo de lente se trata? a)
Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:
1 f '
=
1 s'
−
1 s
5=
1 s'
−
1
− 0,1
s′ = − 0,2 m
La imagen se obtiene 20 cm a la izquierda de la lente. Para calcular el aumento, hay que conocer previamente el valor del aumento lateral.
β= b)
s' s
=
−0,2 y' =2β= = 2 y' = 2y = 4 mm − 0,1 y
Para que la potencia sea positiva, la lente debe ser biconvexa, plano convexa o un menisco convergente. En los tres casos, el valor de R1 > 0, de modo que lo aplicamos a la ecuación del fabricante de lentes.
1
P = (nv − 1)
R1
−
1 ; el paréntesis R2
Sustituyendo R1 = 0,1 se obtiene:
1
1 1 1 1 1 1 R − R tiene que valer: 5 = 0,5 · R − R R − R = 10 2 2 2 1 1 1 −
1
0,1 R 2
= 10 −
1 R2
= 10 −
1 0,1
= 0 R2 = ∞
La lente es plano convexa.
13
9.40 Un objeto de 1 cm de altura se sitúa a 15 cm delante de una lente convergente de 10 cm de distancia focal. a) Determina la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada, efectuando su construcción geométrica. b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una segunda lente convergente de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito? a)
Se trazan dos rayos para encontrar la imagen. El que pasa por el foco sale paralelo al eje óptico. El que entra paralelo al sistema sale por el foco imagen.
y F
La posición de la imagen es:
El aumento lateral vale: β =
1 s1'
y1' y1
−
=
y’
F’
1 1 1 1 1 5 s1' = 30 cm = ' ' = + = s1 f 1 − 15 10 150 s1
s1' s1
= −2
y1' =
30
− 15
y1 = −2 y1 y1' = −2 cm
La imagen es real, invertida y de mayor tamaño que la real. b)
Para que la imagen se forme en el infinito, el foco objeto de la segunda lente debe coincidir con la posición en la que se forma la imagen debida a la primera lente; por tanto: Distancia de separación de las lentes = s’ (1º lente) + f (segunda lente) = 50 cm
9.41 El objetivo de una cierta cámara de fotos de foco fijo, de 35 mm de distancia focal, consiste en una lente biconvexa con radios de curvatura de 3 y 5 cm. a) ¿Cuál es la potencia de la lente? ¿Es convergente o divergente? b) Calcula el índice de refracción de la lente. c) Determina la distancia necesaria entre la lente y la película fotográfica para formar la imagen enfocada de un objeto situado a 1 m de distancia, y obtén el aumento lateral para dicho objeto. a)
La potencia es el inverso de la distancia focal cuando esta viene expresada en metros. P=
1 f '
=
1 0,035
= 28,57 dioptrías
Como la distancia f’ es positiva, se trata de una lente convergente. b)
En una lente biconvexa se considera que r 1 > 0 y r 2 < 0. La potencia viene dada por la expresión:
1
P = (n − 1)
r 1
c)
−
1
P
28,57
n −1= n −1= = 0,54 ; n = 1 + 0,54 = 1,54 − 1 r 2 1 1 1 − − 0,03 0,05 r 1 r 2
Aplicando la ecuación de las lentes delgadas: 1 s'
−
1 s
El aumento: β =
=
1 f '
1 s'
=
1 f '
+
1 s
1 s'
=
1 0,035
−1
1 s'
=
0,965 0,035
= 27,57 s' = 0,036 m = 36 mm
s' 0,036 = = −0,036 s −1
14
9.42 Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal, están separadas 35 cm. Un objeto está 20 cm a la izquierda de la primera lente. a) Halla la posición de la imagen final utilizando un diagrama de rayos y la ecuación de las lentes delgadas. b) ¿La imagen es real o virtual?, ¿derecha o invertida? c) ¿Cuál es la amplificación lateral total de la imagen? a)
Hacemos el trazado de rayos:
y’’
y F’1
F 1
y’
F’2
F 2
Aplicando la ecuación de las lentes a la primera lente: 1
−
1
=
1
1
=
1
1
+
1
=
1
+
1
=
− 20 + 10 1 s' = 20 cm = − 200 20
s' f ' s s' 10 − 20 1 1 1 5 −15 + 10 s' ' = 30 cm A la segunda lente: = + = + = = − 150 s' ' f ' s' 10 − 15 150 La imagen se forma 30 cm a la derecha de la segunda lente. s'
s 1
f ' 1
b)
A la vista del trazado de rayos, se puede comprobar que la imagen final es real y derecha.
c)
Calculamos la amplificación de la lente: Amplificación de la primera lente: y ' =
s' s
Calculamos la de la segunda lente: y′′ =
y' y
=
s' s
y' =
y y' = s′′
20
− 20
y′ y′′ =
s' s
y
y = −y 30
s' − 15 La imagen final tiene un tamaño doble que el objeto.
y' = −2 y' = 2y
9.43 Dado un sistema de lentes, formado por dos lentes convergentes idénticas de distancia focal f = 10 cm y separadas por una distancia de 40 cm según el eje x , si colocamos un objeto de 10 cm de altura a 20 cm de una de ellas: a) Calcula el tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes. b) ¿Qué ocurriría si la separación de las lentes fuese mayor? a)
El sistema de lentes es el siguiente:
y’’
y F
F’
y’
F
F’
En el trazado de rayos, podemos apreciar que la imagen obtenida es real, derecha e igual que el objeto. Lo comprobamos analíticamente aplicando la ecuación de las lentes. 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1 s'
=
1
− 0,2
+
1 0,1
s' = 0,2 m
El aumento de tamaño es: β =
s' s
=
0,2
− 0,2
= −1
Si aplicamos estas ecuaciones a la segunda lente, nos vuelven a salir otros 20 cm y aumento –1, de modo que el producto de los aumentos hace que la imagen final sea igual que la original. b)
Si la distancia entre las lentes fuese mayor, el tamaño de la imagen final sería menor que el objeto original.
15
9.44 La lente de un cierto proyector es simétrica, está hecha de un vidrio de 1,42 de índice de refracción y tiene una distancia focal de 25 cm. a) Calcula la velocidad de la luz dentro de la lente. b) Determina los radios de curvatura de las dos superficies de la lente. c) ¿A qué distancia del foco objeto de la lente hay que situar una transparencia para proyectar su imagen, enfocada, sobre una pantalla situada a 3 m de la lente? a)
Calculamos la velocidad de la luz a partir de la definición de índice de refracción. n=
b)
c vm
vm =
c
3,00 · 10 8
=
n
1,42
= 2,11 · 108 m s −1
Al ser la lente simétrica, los dos radios serán iguales. Aplicamos correctamente el signo a la ecuación del fabricante de lentes y queda:
1 1 1 1 2 1 1 = (n − 1) − = (n − 1) + = (n − 1) f ' f ' f ' r r r r 1 r 2 1
r = 2f ' (n − 1) = 2 · 0,25 · 0,42 = 0,21 m
c)
Dibujamos primeramente la situación descrita en el enunciado y después calculamos la posición del objeto. s
s’
F
F’
1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − s = −0,27 m − = = − s 3 0,25 s' s f ' s s' f '
DEFECTOS DE LA VISIÓN 9.45 Una persona acude al oftalmólogo porque no puede ver con claridad los objetos que se encuentran situados a más de 3 m de distancia. Determina: a) ¿Qué tipo de defecto visual padece? b) ¿Qué tipo de lentes debe usar? ¿Cuál es el valor de su distancia focal? c) La potencia de dichas lentes. a)
Se trata de un caso de miopía.
b)
La miopía se corrige con lentes divergentes. Estas lentes deben ser tales que los objetos situados en el infinito deben formar su imagen a 3 m para que el ojo miope pueda verlos. 1 s'
c)
−
1 s
=
1 f '
1
−3
−
1
∞
=
1 f '
f ' = −3 m
La potencia de la lente es el inverso de su focal. P=
1 f '
=
1
−3
= −0,333 dioptrías
Se tendrá una lente divergente de 0,333 dioptrías.
16
9.46 A un niño con hipermetropía le han resuelto su problema de visión con unas gafas de 2,75 dioptrías. Indica qué tipo de lentes deben ir montadas en dichas gafas. Calcula: a) La distancia focal de las lentes. b) ¿A qué distancia tenía el punto próximo el muchacho antes de colocarse las gafas? 1
a)
Debe llevar unas lentes convergentes cuya focal sea de f ′ =
b)
La lente hace que los objetos situados en su punto próximo 25 cm se coloquen en el punto donde él ve cómodamente. Aplicando estas condiciones a la ecuación de las lentes: 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1 s'
−
1
− 25
=
1 36
1 s'
=
1 36
−
1 25
2,75
=
= 0,36 m .
25 − 36 900
=
−11 s' = −82 cm 900
El punto próximo del ojo está situado a 82 cm de distancia.
9.47 Realiza el trazado de rayos de las lentes que debe llevar una persona miope para corregir que su punto próximo se encuentre a 10 cm. Del objeto 1 salen unos rayos que forman la imagen antes de la retina, de modo que para solucionarlo se coloca una lente divergente que forma del objeto 1 la imagen 2. Esta está situada dentro de la zona donde enfoca bien el ojo miope, de modo que el trazado de rayos de este objeto (sin tener ya en cuenta la lente) forma su imagen en la retina 2’.
2
F cristalino 1’
1
F cristalino
F lente
2’
2’’
9.48 Una persona tiene el punto remoto de cada uno de sus ojos a diferente distancia. El del ojo derecho se encuentra a 6 m y el del izquierdo lo tiene a 3 m. Indica: a) ¿Qué defecto en la visión tiene esta persona? b) Las dioptrías de las lentes que corrigen este defecto. c) ¿En qué zona se encuentra cómodo para leer de cerca? a)
El punto remoto de los miopes se acerca; por tanto, esta persona tiene miopía.
b)
Necesita dos lentes divergentes diferentes, una para cada ojo. 1 1 1 − = ; s' s f D'
1 1 1 − = − 6 ∞ f D'
f D' = −6 m
f I' = −3 m
La lente del ojo derecho debe ser de −0,17 dioptrías. 1 s'
−
1 s
=
1 f I'
;
1
−3
−
1
∞
=
1 f I'
La lente del ojo izquierdo debe ser de −0,33 dioptrías.
17
c)
El punto próximo se encuentra en sitios diferentes para cada ojo: Para el derecho: 1 1 1 1 1 1 s = 0,24 m − = ' − = s' s f D 0,25 s − 6 Para el izquierdo: 1 s'
−
1 s
=
1 ' f D
1
0,25
−
1 s
=
1
−3
s = 0,23 m
Por tanto, habría que tomar el ojo cuyo punto próximo es más cercano.
9.49 El punto próximo de un miope se encuentra a 15 cm. Para corregir su miopía se tiene en cuenta que su punto remoto está situado a 4 m. Calcula en estas condiciones a qué distancia leerá los libros con las lentes que corrigen su miopía. Como se han construido las gafas corrigiendo el defecto del punto remoto, la distancia focal de las lentes será: 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1
−4
−
1
∞
=
1 f '
f ' = − 4 m
Las lentes son de –0,25 dioptrías. El punto próximo (punto cuya imagen se forma a 15 cm) en estas condiciones se encuentra a: 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1
− 0,15
−
1 s
=−
1 4
s = − 0,16 m
El defecto se ha corregido de forma irregular; se deben fabricar las lentes corrigiendo el punto próximo.
9.50 Una persona mayor padece presbicia y debe alejar los objetos para poder verlos de cerca. Su punto próximo se ha alejado hasta los 80 cm. Indica el tipo de lentes que corrigen su defecto y el valor de su focal para que el punto próximo de nuevo se encuentre a 25 cm. La presbicia, al igual que la hipermetropía, se corrige con lentes convergentes. Para calcular su focal, se considera que de los objetos situados a 25 cm (punto próximo) se debe formar la imagen en el punto donde el ojo tiene su punto próximo, en este caso 80 cm. 1 s'
−
1 s
=
1 f '
1
− 80
−
1
− 25
=
1 f '
f ' = 36,36 cm
18
9.51 Considera un sistema compuesto formado por una lente delgada convergente y un espejo plano. Consideramos que el centro del sistema utilizado para medir distancias está situado en la posición de la lente. La distancia focal de la lente es f’ = 9 cm y el espejo se encuentra 10 cm a la derecha de la lente. Se coloca a 12 cm, a la izquierda de la lente, un objeto luminoso. Calcula dónde se forma la imagen, indica si es real o virtual y realiza un esquema gráfico de la formación de la imagen.
9 cm F 12 cm
10 cm
F’ F
y2
y’
y1
Imagen virtual que produciría el espejo si no encontrase la lente
Imagen formada por la lente sin espejo
En primer lugar, los rayos procedentes del objeto atraviesan la lente y forman una imagen en: 1 f '
=
1 s'
−
1 s
1 9
=
1 s'
−
1
− 12
s' = 36 cm
pero, como a 10 cm de la lente se encuentra un espejo plano, la imagen se convertirá en virtual de las mismas dimensiones que el objeto y tendrá su posición en s' = –16 cm. En dicha posición, los rayos encuentran de nuevo, en su camino, a la lente. Dada la reversibilidad de los rayos, y2 es la imagen formada por la lente de y’. 1 1 1 = − s = −5,76 cm 9 − 16 s Es decir, la imagen final del objeto luminoso se encuentra a 5,76 cm de la lente hacia la izquierda; es una imagen real y está invertida. Veamos el aumento. Para el primer caso a t ravés de la lente: y1 36 y1 = −3y = y − 12 En el segundo caso, el espejo mantiene el tamaño de la imagen; de ese modo: m2 =
y2 = +1 y 2 = y1; y 2 = 3 y y1
Por último, nos encontramos de nuevo con la lente: m3 =
y2 −16 y′ = 0,36 y 2 = y′ − 5,76
Considerando todos los aumentos: y' = 0,36 y 2 = 0,36 (− 3 y ) = −1,08 y mfinal =
y' = −1,08 y
19
9.52 El sistema de la figura está formado por un espejo cóncavo y una lente convergente. El observador ve dos imágenes del mismo tamaño, una está derecha y la otra invertida. Sabemos que la distancia entre el espejo y la lente es de 25 cm, que la focal de la lente es 10 cm y que la imagen que se ve tiene un tamaño doble que el del objeto situado. Calcula el radio del espejo.
10 cm F’ F 25 cm
Para que la imagen se pueda ver, debe ser virtual; entonces, el objeto debe estar situado entre la lente y el foco. Teniendo en cuenta que el tamaño final debe ser el doble, y’ = 2y, equivale a que s’ = 2s La focal de una lente convergente es positiva, pero en este caso, como hacemos que la luz viaje de derecha a izquierda, la focal se sitúa a la izquierda, de modo que es negativa.
1 s'
−
1 s
=
1 f '
1 2s
−
1 s
=
1
− 10
−
1 2s
=−
1 10
s = 5 cm; s' = 10 cm
Para que se puedan ver dos imágenes, el espejo debe formar una imagen del objeto situada en la misma posición que el objeto e invertida. Con relación al espejo, s = s’ = −20 cm 1 s'
+
1 s
=
1 f
1
− 20
+
1
− 20
=
1 f
f = −10 cm
Por tanto, el radio del espejo es de 20 cm.
20
