7 Trains d'Engrenages

L t i d’ Les trains d’engrenages

Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages

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1. Fonction Un train d’engrenages est une combinaison de roues dentées dont les unes entraînent les autres par l’action des dents successivement en contact. Le rôle d’une transmission par un train d’engrenages est de: • modifier les caractéristiques cinématiques du mouvement entre le moteur M et le récepteur R • lier la partie motrice à la partie réceptrice et y transmettre la puissance. 2. Classification

Trains d’engrenages

Rapport de vitesses constant

Réduction Réducteur

Multiplication Multiplicateur

Rapport de vitesses variable

Boites de vitesse

3. Disposition des axes On distingue: O di i • Les trains d’engrenages à axes fixes(ordinaires) : les axes géométriques de toutes les roues dentées des transmissions par engrenages sont immobiles par rapport au bâti. • Les trains d’engrenages à axes mobiles: connues sous le nom de trains épicycloïdaux possèdent dans leurs schémas cinématiques au moins une roue dentée dont l’axe géométrique est mobile par rapport au bâti. bil bâ i i é i i d é d l’ é é i Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages

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4. Train d’engrenages à axes fixes Les axes des différentes roues dentées peuvent être parallèles, concourants ou quelconques ( engrenages gauches) Rapport de transmission Rapport de transmission Le rapport de transmission (i) d’un train d’engrenage exprime le rapport entre la fréquence de rotation de l’arbre de sortie et celle de l’arbre d’entrée.


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4. Train d’engrenages à axes fixes Application


4

4. Train d’engrenages à axes fixes Application


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.1 Définition p y g g p , g y p Sous le nom de train épicycloïdal ou engrenage planétaire, on désigne un système de transmission de puissance entre deux ou plusieurs arbres dont certains tournent non seulement autour de leur propre axe, mais aussi avec leur axe autour d’un autre axe. Les engrenages peuvent être cylindriques ou coniques. p pp p q Ceux dont l’axe coïncide avec un axe fixe dans l’espace s’appellent “planètes” et ceux qui tournent avec leur axe autour d’un autre s’appellent “satellites”. Ces derniers sont généralement maintenus par un châssis mobile nommé “porte satellites”. Avantages: • Possibilité d’arrangement coaxial des arbres. • Réduction du poids et de l’encombrement pour une puissance donnée. donnée • Rapport de vitesse très élevé possible avec un minimum d’éléments pour des transmissions à faible puissance. • Excellent rendement quand le système est judicieusement choisi. choisi Inconvénients: •• Fortement hyperstatique Fortement hyperstatique • Rendement lié au mode de fonctionnement • Difficulté à aligner les éléments et à éviter les déformations qui modifient l’alignement


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.2 Train épicycloïdal simple p y p Le train épicycloïdal est donc composé de: •un planétaire d’entrée (1) •un planétaire de sortie (3) •un ou plusieurs satellites (2) p ( ) ( ) •un porte satellite (4) ou (PS)

On distingue deux cas: p p y p • L’axe fixe et l’axe mobile sont parallèles. Le train est dit train épicycloïdal plan • L’axe fixe et l’axe mobile sont concourants. Le train est dit train épicycloïdal sphérique Notre étude sera limitée au train épicycloïdal à axes parallèles (plan) Etude de mobilité. Etude de mobilité •Mécanisme à 4 pièces mobiles (p = 4) •Les liaisons en rotation sont de type pivot (degrés de liaison=5). •Les contacts au niveau des dentures sont supposés ponctuels (degrés de liaison=1). •Pour le cas de la figure ci‐dessus, on a 4 liaisons pivots et 2 liaisons ponctuelles. Pour un système isostatique (h=0) on a: h = m + ∑ li − 6 p = 0 i

⇒ m = 6 p − ∑ li = 6 x 4 − 4 x5 − 2 x1 = 24 − 22 = 2 i

Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants).


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.2 Train épicycloïdal simple Etude de la mobilité. Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants). Il faut donc imposer deux mouvements au mécanisme pour connaître le mouvement de sortie. Généralement un des éléments est bloqué. On obtient alors les cas particuliers suivants: On obtient alors les cas particuliers suivants:


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.3 Différents types de trains plans simples


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.4 Etude cinématique p y p g Soit le train épicycloïdal suivant. Prenons un satellite double pour l’étude générale. La condition de roulement sans glissement écrit aux point M et N donne:

⎧⎪V ((M ∈1 / 2) = 0 ⎨ ⎪⎩V ( N ∈ 2' / 3) = 0

⎧ r1ω1 / 4 + r21ω 2 / 4 = 0 ⎨ ⎩ r23ω 2 / 4 + r3ω 3 / 4 = 0

r21 ⎧ ω = − ω2/4 1 / 4 ⎪⎪ r1 ⎨ r ⎪ω 2 / 4 = − 3 ω 3 / 4 ⎪⎩ r23

ω 1 / 4 r21 .r3 = ω 3 / 4 r1 .r23

Remarque : Les 4 axes de rotations étant fixes dans le repère du porte satellites ceci nous ramène à des équations de trains ordinaires. On peut donc écrire directement (sans passer par le RSG): p ( p p )

ωs/4 Π rmenantes = ( − 1) k ωe/4 Π rmenées

r .r r .r ω1/ 4 = (−1) 2 21 3 = 21 3 r1.r23 r1.r23 ω3 / 4

Remarque: On remarque que les arbres des planétaires, du porte satellites et du satellite sont mobiles dans le repère p lié au bâti (l’axe du satellite tourne autour des autres axes). Si on se place dans un repère lié au porte satellites, tous les axes sont fixes dans ce repère (le repère tourne). Décomposons les vitesses en passant par le porte satellites.

où k est le nombre de contacts extérieurs où k est le nombre de contacts extérieurs


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.5 Formule de Willis Définition: On appelle raison de base (ou basique) le rapport des vitesses de rotation des deux planétaires par rapport au porte satellites. On le note λ et vaut :

λ=

ω1 / 4 ω1 / 0 − ω 4 / 0 = ω3 / 4 ω3 / 0 − ω 4 / 0

On a alors la formule de Willis:

ω1 / 0 − ω 4 / 0 r21 .r3 Z 21 .Z 3 = = =λ ω 3 / 0 − ω 4 / 0 r1 .r23 Z 1 .Z 23


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.6 Les valeurs de λ pour les différents types de trains

λ=−

λ=

Z3 Z1

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 '


λ=−

λ=

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 '

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 ' 12

4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.7 Formule de Ravigneaux On peut aussi écrire cette relation sous la forme suivante appelée équation du fonctionnement du train ou formule p pp q de Ravignaux:

ω1 / 0 − λω 3 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 Remarque : Vous pouvez remarquer que la somme des coefficients est nulle. 4.8 rapports planétaires On appelle “rapport planétaire” le rapport des vitesses angulaires de deux éléments du train lorsque le troisième est immobilisé par rapport au bâti. On constate 3 rapports planétaires:

(ω1 / 0 / ω 3 / 0 )ω (ω 3 / 0 / ω 4 / 0 )ω

=0

= λ : Premier rapport planétaire ;

=0

= μ : Troisième rapport planétaire

4/0

1/ 0

(ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

3/0

=0

= υ : Deuxième rapport planétaire;

D’après la formule de Ravignaux: p g

ω 4 / 0 = 0 ⇒ ω 1 / 0 − λω 3 / 0 = 0 ⇒ (ω1/ 0 / ω3 / 0 )ω

4 / 0 =0

=λ

k avec λ = ( − 1)

Z 21 .Z 3 Z 1 .Z 23

où k est le nombre de contacts extérieurs

ω 3 / 0 = 0 ⇒ ω1 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 ⇒ υ = (ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

3 / 0 =0

ω 1 / 0 = 0 ⇒ − λω 3 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 ⇒ μ = (ω3 / 0 / ω4 / 0 )ω

= 1 /(1 − λ )

1 / 0 =0


= (λ − 1) / λ 13

4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.8 rapports planétaires

υ = (ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

Z 21 .Z 3 Z 1 .Z 23

μ = (ω3 / 0 / ω4 / 0 )ω

= 1 /(1 − λ )

1 / 0 =0

= (λ − 1) / λ

Rapports planétaires

λ

Multipliccateurs

υ>0

μ >1 Réducteurs

où k est le nombre de contacts extérieurs

3 / 0 =0

1

μ <1

1

Raison de base

λ

−1

Multipliccateurs

λ = ( − 1) k

=λ

Sans inverrsion du sens de ro otation

avec

4 / 0 =0

Aveec inversion du u sen ns de rotation

(ω1/ 0 / ω3 / 0 )ω

υ<0

La figure représente la variation des rapports planétaires en fonctions de λ. Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.9 Utilisation • Pour une raison de base donnée λ, λ le train peut fonctionner en réducteur ou multiplicateur avec ou sans inversion du sens de rotation. • Pour réaliser un rapport planétaire donné, on a le choix entre 3 trains de raisons basiques différentes. On peut montrer que parmi ces trois trains, trains ll’un un d d’eux eux a un rendement maximal. maximal • Pratiquement les solutions technologiques réalisant les immobilisations sont simples, (Frein à disques, à tambour, électromagnétiques). Ce qui conduit à utiliser les trains épicycloïdaux dans un grand nombre de mécanismes de commande automatique (exemple: Boite de vitesses automatique). automatique)


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.10 Vitesses lorsqu’un planétaire est fixe Supposons pp le p planétaire ((3)) est fixe : ω3/0 = 0

λ=

ω1 / 0 − ω 4 / 0 ω1 / 0 − ω 4 / 0 = ω3/0 − ω4/0 − ω4/0 Pour les trains de type I et II k=1 Pour les trains de type III et IV k=2

⇒

Z .Z ω1 / 0 = 1 − λ = 1 − ( − 1) k 21 3 = 1 − ( − 1) k .i ω4/0 Z 1 .Z 23

ω1 / 0 = 1+ i ω4/0 ω1 / 0 = 1− i ω4/0

avec

i=

Z 21 .Z 3 >0 Z 1 .Z 23

Pour les trains de type I et II k=1

ω4/0 1 = ω1 / 0 1 + i

Pour les trains de type III et IV Pour les trains de type III et IV k=2

ω4/0 1 = ω1 / 0 1 − i

ω4/0 ω1 / 0

ω1 / 0 ω4/0

1

1

I et II

Z .Z i = 21 3 Z 1 .Z 23

i=

1

1


Z 21 .Z 3 Z 1 .Z 23

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.11 Limitation du train I

Du point de vue purement constructif, les rapports possibles sont très limités par les dimensions des satellites ou du planétaire central. Une valeur courante se situe aux environs de:

Z3 Z = 2 et 3 = 5 Z1 Z1

C’est‐à‐dire :

λ = (ω1/ 0 / ω3 / 0 )ω υ = (ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

4 / 0 =0

3 / 0 =0

=−

Z3 Z1

1 / λ = (ω3 / 0 / ω1/ 0 )ω =0 entre ‐5 et ‐2 et entre –1/2 et ‐1/5 4/0

= 1 /(1 − λ )

entre 1/6 et 1/3

1 / υ = (ω1 / 0 / ω 4 / 0 )ω 3 / 0 = 0 et entre 3 et 6

1 / μ = (ω4 / 0 / ω3 / 0 )ω1 / 0 =0 et entre ‐3/2 et ‐6/5 et entre ‐5/6 et ‐2/3 μ = (ω3 / 0 / ω4 / 0 )ω =0 = (λ − 1) / λ 1/ 0

‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5

λ et 1/λ

υ et 1/υ μ et 1/μ

On peut remarquer, par exemple, que les rapports entre 1/3 et 3 ne peuvent jamais être atteint par ce train Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.12 Vitesses lorsque les trois membres tournent • Deux éléments moteurs ( Deux éléments moteurs ( dans le cas de la figure les 2 planétaires 1 et 3) et un élément dans le cas de la figure les 2 planétaires 1 et 3) et un élément récepteur ( dans le cas de la figure le porte satellite 4) Exemple: variateur de vitesse à base fuyante • D’après la formule de Ravigneaux ’ è l f l d ( d (ou de Willis) on peut écrire ω ll ) é f d 3/0 et ω1/0 : 4/0 en fonction de ω

ω4/0

λ 1 = ω1 / 0 − ω3/0 1− λ 1− λ

ω4/0 1 λ ω3/0 = − ω1 / 0 1 − λ 1 − λ ω1 / 0


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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.13 Vitesses des satellites Remarque : Les 4 axes de rotations étant fixes dans le repère du porte satellites ceci nous ramène à des équations de trains ordinaires. On peut donc écrire directement (sans passer par le RSG):

ωs/4 Π rmenantes = ( − 1) k ωe/4 Π rmenées

ω2 / 4 Z =± 1 ω1/ 4 Z 21

et

ω2 / 4 Z =± 3 ω3 / 4 Z 23

(+) pour le contact extérieur ( ) pour le contact intérieur (‐ ) pour le contact intérieur On peut alors déduire la vitesse relative des satellites par rapport au porte satellite:

ω2 / 4 = ±

Z1 Z ω1/ 4 = ± 1 (ω1/ 0 − ω4 / 0 ) Z 21 Z 21

ou

ω2 / 4 = ±

Z3 Z ω3 / 4 = ± 3 (ω3 / 0 − ω4 / 0 ) Z 23 Z 23

On peut ainsi déduire la vitesse absolue des satellites par rapport au bâti: On peut ainsi déduire la vitesse absolue des satellites par rapport au bâti:

ω2 / 0 = ±

Z1 (ω1/ 0 − ω4 / 0 ) + ω4 / 0 Z 21

ou

ω2 / 0 = ±


ω2 / 0 = ω2 / 4 + ω4 / 0

Z3 (ω3 / 0 − ω4 / 0 ) + ω4 / 0 Z 23

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.14 Condition de montage Pour que le montage soit possible, il faut respecter certaines conditions d’assemblage: • Condition sur les entraxes. di i l • Condition sur le nombre de dents. Condition sur les entraxes • la condition géométrique de contact sur les cercles primitifs implique (cas du train I): la condition géométrique de contact sur les cercles primitifs implique (cas du train I):

R3 = R1 + 2R2

Z 3 = Z1 + 2Z 2

• si on désire assembler n satellites sur le même p porte satellite, p pour éviter un déséquilibre des masses, on prévoit généralement n satellites formant le même angle (π/n) entre eux. Condition sur le nombre de dents • Un engrenage planétaire à n éléments, même s’il satisfait aux conditions d’entraxe, doit encore satisfaire à une certaine relation entre les nombres de dents. Cette condition s’écrit:

Z1 + Z 3 = nombre b entier ti n

Démonstration (cas de 3 satellites):

abc + cde + efg + gha = k.p avec k est un nombre entier 1 1 1 1 pZ 2 + pZ1 + pZ 2 + pZ 3 = kp 2 3 2 3 Z1 + Z 3 1 = nombre b entier i un nombre entier Z 2 + (Z 1 + Z 3 ) = k 3 3 Cours ‐ Chapitre n°7 : Trains d'engrenages

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