PROBLEMA I-2 Para la viga que se muestra, calcular la deformación angular en A y la deflexión en C. las características son: E = 2 x103 T / cm 2 , I = 4 cm4 .
!e tra" tra"an an los los diag diagra rama mas s y de mome moment ntos os flect flector ores es y de mome moment ntos os redu reduci cido dos s res#ectivamente. Por la simetría física y de cargas, las deformaciones angulares σ A y σ B son d iguale iguales s entre entre si. $enem $enemos os σ A = DA sien siendo do seg% seg%n n el &' $eor $eorem ema a de (o)r (o)r,, d DA igual igual al 10 momento, res#ecto de *, del +rea del diagrama de momentos reducidos com#rendido entre A y *:
d DA
=
1
6 3 1 6 (3.00)( )(8.00) + ( 4.00)( )(5.00) + (3.00)( )( 2.00) 2 EI EI 2 EI
uego σ A
=
15
EI /n la figura: δ C
-en unidades $ y m
= σ D (300) − d CD
=
150 EI
*onde, σ D = σ A , y seg%n el mismo &' $eorema de (o)r d cd es igual al momento, res#ecto de C, del +rea del diagrama de momentos reducidos com#rendido entre * y C: 1 6 9 d cd = (3.00)( )(1.00) = 2 EI EI 15 9 Por consiguiente, δ C = 3( ) − EI EI
∴
δ C =
36 EI
!eg%n los datos del #ro0lema:
EI
= (2 x103T / cm 2 )(4000cm4 ) = 8 x106 T .cm2
/ntonces:
σ A
=
δ C
=
15 200 36 800
= .01875
∴
= 0.0187 rad . δ C = 4.5cm
σ A
= 0.045m
PROBLEMA I-3 (UNI, 21-octu-1968) A#licando el m1todo del +rea de momentos, determinar la deflexión en 2. Para toda la estructura /I es constante.
/n #rimer lugar, el #ar a#licado en A tiene un efecto so0re el extremo 2 del tramo 2C, la fuer"a de 2Tm / 2.00 m = 1Tt . los momentos en el em#otramiento C son:
3. #or la carga re#artida 1 2 M 'C = − (4.T / m )(2.00) 2
= −8Tm
&. Por la fuer"a encontrada en 2. M ''C = +(1T )(3.00) = 3Tm
Con estos valores se tra"an los diagramas de momentos reducidos. *e acuerdo con el &' $eorema de (o)r, la distancia del #unto 2 del e5e deformado a la tangente tra"ada en el extremo C del mismo e5e -2 es decir, la distancia 22, o est+n δ B , es igual al momento res#ecto del extremo 2 del +rea de momentos reducidos, com#rendidos entre 2 y C.
as +reas y centros de gravedad corres#ondientes son: 3. #ara la carga re#artida: 1 −8 16 )(2.00) = Ω1 = ( 3 EI 3 EI 2.00 X = (3.00) − = 2.50m 4 &. #ara la fuer"a encontrada: 1 3 4.5 Ω2 = (+ )(3.00) = + 2 EI EI 2 X = (3.00) = 2.00m 3
uego: δ B
= (−
16
)(2.50) + ( +
4.5
)(2.00) = −
3 EI EI 6em#la"ando /I = 4& $m& . δ B =
13 3 x420
=
13
∴
3EI
0.0103 m
∴
δ B
δ B
=
13 3 EI
↓
= 10.33mm ↓
*e acuerdo en las reglas de signos, el signo menos del resultado δ B significa que la distancia de 2 o 2 es de a0a5o )acia arri0a. uego. PROBLEMA I-4 (UNI, 24-jun-1968 A#licando el m1todo del +rea de momentos, solucionar la viga mostrada en la figura sometida 2 a la acción del sistema de cargas indicado $omar: I = 2400cm 4 , y E = 8x106 kgr / cm .
A#licando el &' $eorema de ()or entre los #untos 3 y &, y entre 3 y 7, se tiene las & ecuaciones necesarias #ara resolver las incógnitas M 1 y M 2 .
*iagrama de momentos reducido -se su#one M 1 y M 2 negativos
3. *istancia entre el #unto *el e5e deformados y la tangente geom1trica en 3 del e5e = momento del +rea de momentos reducidos com#rendidos entre los #untos & y 3, res#ecto de &.
σ
1 M = (− 1 )(4) 2 EI
2 M 1 + M 2
2 1 (− M 2 )(4) ( x 4) + 3 2 EI
= 16
1 x 4 + 2 ( 8 )(4) 3 ÷ 3 EI
1 ( x 4) 2
-3
&. *istancia entre el #unto 7 del e5e deformado y la tangente en 3 del e5e = momento res#eto de 7 del +rea de momentos reducidos com#rendido entre 7 y 3:
1 M 1 M 2 8 = (− 1 )(4) + ( 2 )(4) + ( )(4) 2 EI 3 EI 2 EI 1 48 2 (4) ( x 4) + ÷ 2 7 EI 3
σ
42 M 1 + 91M 2
1 2
(−
M 2 EI
)(7)
2 x 7 + 1 ( 48 )(3) 3 ÷ 2 7 EI
(5) +
= 712 42 M 1 + 91M 2
M 2
(7) +
= 712
= 5.36Tm
6esolviendo entre -3 y -& se o0tiene M 1 = 5.32Tm M 2 = 5.36Tm 6esultado #ositivos, lo que significa que los momentos son del signo o#uestos, es decir, momentos negativos.
*iagrama de momentos flectores
PROBLEMA I-5 Por el m1todo del +rea de momentos, determinar la deformación angular en la sección 2 y la deflexión en C. la rigide" flectora es constante: /I = 8.3 Tm 2 .
Podemos facilitar el an+lisis siendo la viga en #osición )ori"ontal. Calculando las reacciones del a#oyo que se indican, se tra"a el diagrama de momentos reducidos de sus #artes o fisuras son:
9 en el que las reas
I
Ω1 =
1
(2 2
Ω1 =
1
Ω2 =
2
II
10
( 2
10
(2 3
) − EI ÷ = − 12
) − EI ÷ = − 12
10
EI
6 10
) + EI ÷ = + 10
12 10
EI 10 10
3EI os centros de gravedad de estos #untos quedan:
Para
I
Ω1 : II
Para
Ω1
Para
Ω1
II
:
:
2
(2 3
1
3 1 2
(
(
10
10
)
2 10
)
m
desde A
m
desde 2
)
m
desde A
*e acuerdo con el &' teorema de (o)r. ii 2 6 10 2 40 d CB = Ω A 10 = − 10 = − -!iendo negativa, )ay que medirla de C )acia arri0a. EI 3 EI 3 a deflexión en C es: δc
= CC A + CAC i = σ BC ( 10) +
40 EI
=
4 10 3EI
( 10) +
40 EI
∴
δ C
=
160 3 EI
↓
!iendo /I = 83 Tm 2 σ B
=
4 10 3(810)
= 0.0052rad .
σ B
160
=
= 0.0066m = 6.6cm ↓
3(810)
PROBLEMA I-6
Por aplicación del méodo del !rea de momeno"# calc$lar %$e &alor deer! ener a para p$eda con"iderar"e como $n emporamieno pereco. * + 2000 cm 4 , - + 100 cm 2 , + 2 10 6 /cm2.
%$e
3tn/ml
2 tn
B
A
C
a
5 m.
*: i la deormación an$lar en # # e" cero deer! con"iderar"e como emporamieno pereco.
2T
3T/ml C
A
B
?
B
-2a/EI +75/8EI -
c"
-
+
a
2.5m.
2.5m.
e ac$erdo con el 2 eorema de ;o
ada a la "ección deormado e" decir el "emeno cc? e" n$méricamene i$al al momeno re"peco de del diarama de momeno" red$cido" comprendido" enre @ :
? +
? +
1 2
(−
2a
2 2 75 1 )(5)( x5) + ( )(5)( x5) EI 3 3 8 EI 2
25 (75 − 16 A) 24 EI
5(75 − 16 A)
CC
24 EI + 5.00 + Aaciendo el + o, "e iene la ec$ación
75
a=
75B16a + 0
a+ 4.69m.
16
$eo c$ando el &oladi>o C ena $na loni$d de 75/16 mero"# en la "ección no
PROBLEMA I.7
eerminar la ec$ación del e=e deormado de la &ia %$e "e m$e"ra# en la %$e * e" con"ane. w
l
Dra>ado el diarama de momeno" red$cido" podemo" oener# la deleión @ en $nción de la !"ida # anali>ando el 2 eorema de ;oado en ( e" decir el propio oriinal de la &ia) e" i$al al momeno de !rea" de momeno" red$cido"# comprendido enre @ el !rea oal Ω @ la parcial enérica Ω "on:
w C
A
B
C´ Y
x
lx wl/2EI
wx/2EI ?X A
? c
x/ 4 3l /4 - x
Ω
=
1 3
2
l × −
wl
2 EI
3
=−
wl
6 EI
,
=
Ω
− wx 3 6 EI
B
1l /4
Domando el momeno de e"a" !rea" re"peco" de enemo"
= Y = Ω
C EC
=
− wl 3 3l 6 EI
(
4
(
3l
− x ) +
4
− x) +
(
Ω
x
4
)
− wx 3 x
w ( )=− (3l 4 − 4l 3 x + x 4 ) 6 EI 4 24 EI
l "ino F de e"e re"$lado e"a indicando el "enido G ada de G midiendo
w 24 EI
(3l 4 − 4l 3 x + x 4 )
x wl 4 (3 − 4ξ + ξ 4 ) "iendo ξ = amién: y = l 24 EI
C"H enemo": Para
ξ = 0
4
,
0.1
y = y =
4
wl
8 EI wl 4
8 EI
y =
ξ = 0.6
(0.8667)
0.7
y =
(0.7338)
0.8
y =
4
0.2
y =
wl
8 EI
wl 4
y =
0.3
8 EI
(0.6027)
wl 4 8 EI wl 4 8 EI
0.9
wl
8 EI
(0.2432)
(0.1467) (0.0698)
y =
wl 4 8 EI
(0.0187)
4
0.4
y =
0.5
y =
wl
8 EI
(0.4752)
1.0
+ 0
4
wl
8 EI
(0.3541)
PROBLEMA I.8
6T 2T A 1.00
B 1.00
C 4.00
2.00
Cplicando el méodo de !rea" de momeno"# deerminar la m!ima deleión de la &ia %$e "e m$e"ra en la i$ra para la %$e * + 400 D. m2. en
6T
2T 1.00 1.00 A
4.00 B
6T
2.00
S
C
ØC
ß S´
4T
4T
B S"
!
-6
-2
#IA$%AA #E &E'T&S ()ECT&%ES
B
+8
eerminar la ec$ación de apo@o"
;I#+ 0 B J c(6.00) K 6(4.00) + 0 ∴ Rc = 4T Para $na "ección enérica # para la %$e 2 ≤ x ≤ 6 m. ramo en la %$e "e con"idera e"ar! la m!ima deleión ;+ 4 F 6( F 2)
∴ M B = 12 − 2 x
e ra>a el diarama de momeno" lecore"# para oda la &ia. a deleión para la "ección enérica e":
δ = SS S S L
B
G
L
(i)
n la %$e:
SS L
=
θ a
x
=
(
f B
Cplicando el 2 eorema de ;o
2(1.00)
(6)(1.00)(1.00 + EI 3 2 Cplicando el eorema enre @ d B =
1 1
EI 2
(8)(4.00)(
2 3
× 4.00) +
+
1 2
1 2
7
EI
(2)(2.00)(1.00) =
(8)(2.00)(4.00) +
1 3
d B
6.00
(ii)
f B =
+
(2.00) =
80 EI
) x
$eo rempla>amo" e"o" &alore" en (ii)
SS L
7 / EI
=
+
80 / EI
6
∴ SS L =
29 2 EI
( x)
( x)
(iii)
Cnali>ando el 2 eorema de ;o
S GS L + 1 1
1
1
2
1
(8)(2.00)( x − 2.00 + × 2.00) + (8 x − 2.00) × ( x − 2.00) + M s ( x − 2.00) × ( EI 3 2 3 2 2
∴
S GS L
=
1 8 8 1 1 2 (3 x − 4) + ( x − 2 ) + ( x − 2) 2 + ( x − 2) 2 (12 − 2 x ) EI 3 3 6 6
x − 2.00 ) 3
(i&)
Jeempla>ando (iii) @ (i&) en (i) δ =
29 x 1 8 8 1 2 − − + − + ( 3 X 4 ) ( x 2 ) ( x − 2) 2 (12 − 2 x ) 2 EI EI 3 3 6 ∴ δ =
1
(2 x − 36 x + 159 x − 48) 3
6 EI
2
Malida para 2 ≤ x ≤ 6 m. eri&ando e"a epre"ión re"peco a N? enemo": ∂ δ 1 (6 x 2 − 72 x + 159) = ∂ x 6 EI
*$alando a cero para deerminar la po"ición de m!imo o mHnimo (el mHnimo del ramo e&idenemene e"ar! en $no de lo" eremo") 62 B 72 K 159 + 0
→
C + 9.08
2 + 2.92
a "ol$ción 2 e" la Onica compaile con el iner&alo 2 ≤ x ≤ 6 m. de &alide> de la ec$ación. Jempla>ando e"e &alor de en la epre"ión (&) "e iene la m!ima deleión de la &ia.
δ ma/ =
1 6 EI
=
$eo
[ 2(2.92)
26.52 EI
3
− 36(2.92) 2 + 159(2.92) − 48]
(Para D @ m.)
δ ma/ =
26.52 400
= 0.066m.
∴ δ ma/ = 6.6cm.
↓
