8.1_8.5 PERDIDAS

MECÁNICA DE FLUIDOS

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE A TRAVÉS DE TUBERÍAS

Jorge SIFUENTES SANCHO

2015 1


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA APUNTES DE CLASE DEL CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS II DOCENTE: JORGE SIFUENTES SANCHO FECHA: MAYO DEL 2015

© Editorial COSAN, 2015 Calle Linares 213, Urb La Capilla, La Molina Lima, Perú. Teléfono: 941-308-848 Correo. [email protected] [email protected]

PARA USO INTERNO

2

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE CONTENIDO Página 8.1 Régimen de flujo en una tubería cilíndrica

5

8.1.1 Régimen laminar 8.1.2 Régimen turbulento

5 6

8.2

Pérdidas de energía en una tubería

10

8.2.1 Pérdida de presión 8.2.2 Factor de corrección de energía cinética

11 12

8.3 Pérdida primaria en tuberías 8.3.1 8.3.2

8.3.3 8.4

8.5

17 20 20 21 26 27 37 37

Pérdidas secundarias

44

8.4.1 Expresiones analíticas 8.4.2 Coeficientes experimentales lambda 8.4.3 El concepto de longitud equivalente

44 50 57

Curva característica de pérdidas

78

8.5.1 8.5.2 8.6

Régimen Laminar. Hagen-Poiseuille Régimen turbulento 8.3.2.1 La ecuación de Darcy-Weisbach 8.3.2.2 El Diagrama de Moody 8.3.2.3 Caso de tubos lisos 8.3.2.4 Caso de tubos rugosos 8.3.2.5 Tubería comercial. Colebrook Flujo en secciones no circulares

17

Régimen laminar Régimen turbulento

Circuito de Tuberías 8.6.1 8.6.2

Tuberías equivalentes Tuberías en serie Caso1: Presión a la salida de una tubería Caso 2: Caudal o flujo volumétrico a ser transmitido Cálculo de diámetro de tubería 8.6.3 Tuberías en paralelo Caso 4: Distribución de flujos Caso 5: Cálculo del flujo total 8.6.4 Sistema de reservorios y nudos Caso 6: Cálculo de caudales Caso 7: Existencia de bombas 8.6.5 Red de tuberías Método de cálculo Método Hardy - Cross

83 83 84 89 94 99 100 108

3

MECÁNICA DE FLUIDOS Página

8.7

Tubería comercial. Envejecimiento de la tubería

8.8

Cálculo del Diámetro Económico de Tubería

8.9

Diseño de Sistema de bombeo

8.10

Dimensionamiento de sistemas de ductos 8.10.1 8.10.2

8.11

Método de Equifricción Método de Reganancia Estática

Selección y aplicación de bombas

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS

APÉNDICE

4

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE DINÁMICA DEL FLUJO INCOMPRESIBLE FLUJO INTERNO Una clasificación general del flujo es separarlo en flujo externo y flujo interno. Los flujos externos se presentan alrededor de objetos sólidos y los internos dentro de objetos tales como tubos, conductos y canales. Las ecuaciones diferenciales que describen estos flujos son esencialmente las mismas, sin embargo, las condiciones límites son diferentes y por lo tanto los flujos resultantes son completamente diferentes. Se define como flujo interno aquél flujo que se realiza en el interior de un conducto que se encuentra completamente lleno por el fluido –flujo con cargase analiza principalmente el caso de tuberías (conducen líquidos o gases a presión y tienen paredes relativamente gruesas) y de ductos ( gases a baja presión, paredes relativamente delgadas). El propósito principal de este capítulo es mostrar los resultados experimentales que se necesitan para calcular la disipación de la energía en las líneas de tuberías y ductos. Se confina la atención a los fluidos homogéneos de viscosidad y densidad constantes. El caso de tubos o conductos no completamente llenos del fluido en estudio (ejemplo: drenajes, alcantarillas) se consideran como canales abiertos y no se tratarán ahora.

8.1

REGIMEN DEL FLUJO EN UN TUBO CILÍNDRICO

8.1.1 RÉGIMEN LAMINAR La figura muestra el desarrollo de la capa límite en el interior de un tubo de radio R. En el borde de entrada su espesor es cero, y luego va creciendo como un anillo circular, hasta que en abscisa X = X T , ( X T ) = R y el perfil de velocidades queda totalmente formado; la zona anterior al punto T viene a ser una zona de régimen de transición. El espesor de la capa límite dentro del ducto se puede estimar como:

 ( x)  4,92 x / Re x

[8.01]

por lo que X T se obtiene de la condición ( X T ) = R: X = X T, = 0,010204 ReD

[8.02]

siendo ReD = V D / ; D = 2 R y V es la velocidad promedio (caudal entre el área de paso del flujo). Hay que notar que ReD es una constante, mientras que Rex es una variable local.

5


T

Regimen transitorio

2R

(x)

x

XT

Figura 8.01. Régimen laminar

8.1.2 RÉGIMEN TURBULENTO En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución del caso laminar, que se puede demostrar que es parabólico. Flujo desarrollado V T

X

T

a. Laminar

V I

T

I

XI

XT

b. Turbulento Figura 8.02. Flujo desarrollado

6

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En el caso de que la capa límite alcance el régimen turbulento antes de que el perfil de velocidades quede totalmente formado, éste último alcanzaría una forma más llena y no la distribución laminar que se puede demostrar que es parabólica. La coordenada XI que corresponde al inicio de la capa límite turbulenta, se da por la condición: 0,80 x 10 5 < Re XI < 1,20 x 10

6

[8.03]

de donde se deduce que: 0,80 x 10 5 < Re

D

(XI / D) < 1,20 x 10

6

[8.04]

Tomando el caso límite XI = XT, combinando las ecuaciones [8.04] y [8.02], se obtiene: 0,80 x 10 5 < 0,01 Re2 D < 1,20 x 10 De donde: 2 800 < Re D < 11 000

6

[8.05]

Esta ecuación se interpreta de la forma siguiente: - Para ReD < 2800; Xi > XT, y el régimen se mantiene laminar. - Para Re D > 11 000; XI < XT, y el régimen de flujo en la tubería es turbulento. - Para 2800 < ReD < 11000, puede darse cualquiera de los casos anteriores. El flujo será un régimen de transición. Tomando el valor límite de Re = 2800 para régimen laminar, de la ecuación [8.02] se tiene: XT = 0,0103 (2800) D = 28,84 D la longitud de entrada, a Re crítico = 2800 es: XT = 29 D F.M. White da la correlación de: XT = 0,06 Re D . D régimen laminar XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento Re≤ 2300 laminar Re > 4000 turbulento

Considerando:

i) ii)

[8.06] [8.07]

XT = 0,06 x 2300 x D = 138 D

Re D XT

4000 18

10 4 20

10 5 30

[8.08] 10 6 44

10 7 65

10 8 95

7

MECÁNICA DE FLUIDOS La mayoría de las aplicaciones típicas con tubos tienen XT / D de 1000 o más, en cuyo caso los efectos de entrada son despreciables y se pueden llevar a cabo el análisis para flujos completamente desarrollados. Esto es posible para flujos laminares y turbulentos, incluyendo paredes rugosas y secciones transversales no circulares.

EJEMPLO 8.01. Un tubo de 26, 66 cm de diámetro interior y 20 m de longitud conduce 5,2 galones USA por minuto de agua a 20 ºC. a. Dé una breve explicación del tipo de flujo laminar o turbulento que se estaría produciendo en la tubería. b. Determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado. c. Si el caudal se incrementa a 20,8 galones USA por minuto, determinar a qué distancia de la entrada el flujo se encuentra completamente desarrollado SOLUCIÓN a)

Figura E 8.01 Considerando un tubo de sección transversal y rugosidad uniformes, y el flujo se ha “desarrollado totalmente”, esto es, si se está lo bastante lejos de la entrada al tubo para que las condiciones se hayan estabilizado: El flujo en dicho tubo puede ser bien ordenado y suave (laminar) o puede adquirir fluctuaciones caóticas del movimiento (turbulento) que se superponen al flujo medio. El carácter del flujo se determina por la rugosidad de las paredes, el fluido y las condiciones del flujo. Un parámetro para determinar si el flujo es laminar o turbulento es el número de Reynolds, definido como:

Re 

 V D VD 4      D

donde V es la velocidad media del flujo ( 4

[8.09]

 / D 2 ), 

y  son la densidad

y viscosidad absoluta del fluido, respectivamente; y  es la viscosidad cinemática y es el flujo volumétrico.



En general, para tuberías de uso industrial:

2000 < 2300 < 4000 <

Re Re Re Re

< < <

2000 2300 4000

Régimen laminar Régimen crítico Régimen de transición Régimen Turbulento.

Esto es solo una referencial útil. En laboratorio, bajo condiciones especiales se ha observado que el flujo permanece laminar aún para Reynolds tan altos como 100 000.

8

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE b) Caudal igual a 5,2 GPM USA <> 5,2 x 6,03083 x 10 -5 = 0,000328031 m 3 /s. La velocidad media: V =

V



 /A

4   D2

V



4 x 0,000328031 m 3 / s  0,5903 m / s  0,0266 2

agua a 20 ºC de tablas, Fluido:  = 1000 kg / m 3

 

= 0,001 Pa.s

= 1,0 x 10 – 6 m 2 /s. Q = 0,000328031 . El número de Reynolds:

Re 

 V D VD 4      D

Re



0,5903 x 0,0266  1571,098 1,0 x10  6

El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:

XT = 4,4 Re D 1/6 D

= 4, 4 x (1571,98) 1/6 = 0,399094 m

Esta longitud corresponde a 0,399094 x 100 / 20 = 1,99547 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado. c) caudal igual 20,8 galones USA por minuto (0,00125441264 m 3 /s)

V

4    D2

V

4 x 0,00125441264 m 3 / s   2, 2567744 m / s  0,0266 2

El número de Reynolds:

Re 

 V D VD 4      D

Re



2, 256774 x 0,0266  60 030 1,0 x10  6

El flujo es turbulento y la longitud de entrada está dada por la ecuación:

XT = 4,4 Re D 1/6 D régimen turbulento = 4, 4 x ( 60 030) 1/6 = 0,7323674553 m

[8.07]

Esta longitud corresponde a 0,7323674553 x 100 / 20 = 3,6618 % de la longitud del tubo, de manera que puede considerarse que el flujo se encuentra totalmente desarrollado.

9

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.2

PÉRDIDA DE ENERGÍA EN UNA TUBERÍA

Para transportar un flujo másico de un fluido determinado, de un punto 1 hacia otro punto 2 requiere el uso de elementos primarios (tuberías); elementos secundarios (uniones, codos, te, , etc.); válvulas, elementos de medición y control, el uso de una bomba (o compresor) para impulsar dicho flujo volumétrico, y el motor.

𝑄̇ 𝑚̇

= ℎ 𝑤𝑒𝑗𝑒

L2, D2

𝑚̇

L1, D1

𝑷̇ = 𝒉 𝒘𝒆𝒋𝒆 𝒎̇

PUMP

Figura 8.03 Considerando flujo permanente y uniforme, la ecuación de energía establece: h1 + ep 1 + ec 1 + 𝑄̇ / 𝑚̇ = h2 + ep 2 + ec 2 + 𝑃̇ / 𝑚̇

[8.10]

Siendo P la potencia mecánica (trabajo al eje). Suponiendo P = 0 y como h = u + p /  y 𝑄̇ / 𝑚̇ = hq .

p1



 Z1 

V12 p V 2 u u  2  Z2  2  2 1  hq 2g  2g g

donde el miembro de la izquierda es la energía total del fluido en la entrada y es igual a la energía del fluido en la salida más los términos de variación de energía interna y el flujo de calor. Estos dos últimos términos, representan la pérdida de “energía mecánica”, como consecuencia del transporte del flujo másico del punto 1 al punto 2.  u: -hq:

10

aumento de energía interna del fluido calor transferido desde el fluido, situado en el interior del volumen de control, hacia el medio ambiente.

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En situaciones reales en que se transporta un fluido, cualquier aumento en la energía interna es de poca aplicación, puesto que esta se pierde de ordinario, en el almacenamiento posterior; y es generalmente, antieconómico contribuir a calentar el medio ambiente, particularmente la atmósfera. Denominando a la agrupación de estos dos últimos términos pérdida de energía (los ingenieros lo denominan pérdidas de carga) y representarlo por h , la ecuación de energía queda:

p1



ó:

 Z1 

V12 p V2  2  Z2  2  h 12 2g  2g

[8.11]

E1 = E2 + E

Las causas de la degradación de energía mecánica E = h 1-2, son: i) ii)

El trabajo de rozamiento contra los esfuerzos cortantes de fricción. Pérdida por fricción o pérdida primaria hf. Las fuerzas de arrastre engendradas por los elementos de unión, de control y los cambios de dirección, que en conjunto producen efectos disipativos en el fluido. Se denominan pérdidas secundarias h S.

Luego

∆ℎ 1 − 2 = ∑𝑛1 ℎ𝑓𝑖 + ∑𝑟1 ℎ𝑠𝑖

[8.12]

Para el caso de la Fig.8.03: donde hf1, hf2 son las pérdidas primarias en la tubería 1 y 2 respectivamente, y hs es la pérdida secundaria, se tiene:

h  hf1  hf 2  hS Queda por determinar la forma como se evaluarán las perdidas primarias (en las tuberías) y las perdidas secundarias (en accesorios, válvulas y aparatos de medición y control del flujo).

8.2.1 PÉRDIDA DE PRESIÓN Se refiere a la pérdida de energía E (h) expresada en unidades de presión. Conocido el flujo volumétrico (𝜌 𝑚̇), la trayectoria de la tubería de longitud L y diámetro interior D; se puede calcular las velocidades V1 y V2 y medir las alturas Z1 y Z2; y además supuesto conocido la pérdida de energía (carga) h 1-2 , de la ecuación (8.11) se obtiene la caída de presión p ,

p



 Z 

V  h 2g

[8.13]

con la cual se determina la potencia de la bomba:

𝑃𝐵 = Δ 𝑝 𝑥 ∀̇

[8.14]

11

MECÁNICA DE FLUIDOS La potencia del motor, que acciona a la bomba:

𝑃𝑚 =

𝑃𝐵 𝜂𝐵

La potencia eléctrica, que toma de la red el motor:

𝑃𝑒 =

𝑃𝑚 𝜂𝑚

En el caso de que la bomba y el motor que lo acciona estén juntos, su eficiencia viene dado por:  mB= m x B En el caso de tubería horizontal y de un sólo diámetro, de la ecuación [8.13],  Z = 0, se tiene que la caída de presión p / g es igual a la perdida de energía h. denominada comúnmente como pérdida por fricción Es importante observar que la pérdida de energía depende de la distribución de velocidades, del tipo de fluido y, algunas veces, de la rugosidad de la superficie de la tubería. De este modo, si se mantienen estas condiciones, la pérdida de carga h, se determina con independencia de la orientación de la tubería. Es decir, ∆ h no varía.

8.2.2 FACTOR DE CORRECCIÓN DE ENERGÍA CINÉTICA Debido a que en el tubo se forma un perfil de velocidades, aparece el problema de cuál es la velocidad a escoger. Es práctica común en la ingeniería utilizar la velocidad promedio Vm, definido como Vm = flujo volumétrico / área de paso del flujo. Lo correcto sería utilizar el promedio de energía cinética sobre el perfil de velocidad.

[8.15]

donde por simplificación V1 y V2 representan a Vm1 y Vm2 respectivamente. 12

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En la mayor parte de los problemas de flujo en tubos se puede omitir los términos

1 ,  2

por varias razones.

1. Normalmente un flujo en tuberías implica un flujo turbulento, en el cual  es alrededor de la unidad. 2. En el flujo laminar, en el que  es grande, las cargas de velocidad son de ordinario despreciables cuando se comparan con los otros términos de la ecuación de energía. 3. Las cargas de velocidad, en general, son tan pequeñas en comparación con la carga de presión y de posición, que la inclusión de  tiene poco efecto en el resultado final. 4. El efecto de  tiende a cancelarse, ya que aparece en ambos lados de la ecuación. 5. En ingeniería, las respuestas no requieren (en general) tanta precisión que se justifique la inclusión de  en la ecuación.

Figura 8.04 Perfil de velocidades Flujo Laminar: V = 2 Vm [ 1- ( r / R)

2

]

Flujo Turbulento: V = Vm [ 1 + 4,3 √ f + 2,15 √ f log(1- ( r/R ) ]

[8.16] [8.17]

distancia a partir de la pared del tubo y = R – r, luego: V = Vm [ 1 + 4,3 √ f + 2,15 √ f log( y / R ) ]

[8.18]

La velocidad máxima ( r = 0; ó y = R): V máx = Vm [ 1 + 1,43 √ f ]

[8.19] 13

MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8. 02:

Calcule la velocidad media y el factor de corrección de energía cinética para el flujo laminar cuyo perfil de velocidades se muestra

H (m)

8m

3m V ( m/s) 2 m/s 4 m/s SOLUCION De la figura:

u1 

2 y 3

u2 

4 2  y 5 5

(a) La velocidad media um:

3

Q T = Q1 + Q2 =

8

 u  b dy   u 1

0

3

QT   0

y

2

 b dy

3

4 2  y b d y     y  b dy  3 b  15b  18 b 3 5 5  3  8

2

um 

QT 18 b   2,25 m / s A 8b 3

(b) El factor de corrección  :

 u 1      dA A  um 

3 8 3 3  1 1  2  4 2    y  b . dy    y  b . dy   3  5 5  8b 2,253 0  3  



1 1 158b   . 8 b  150 b   1,7339 8b 2,253 8b2,253 

(a + b) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

14

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Evaluar el factor de corrección de energía cinética (  ) para el flujo en tuberías, en régimen laminar y turbulento. Explique su importancia. Utilizar la siguiente distribución de velocidades

EJEMPLO 8. 03:

v

 1 (

v max v

 (1 

v max

 (

r 2 ) R

r 1/ 7 ) R

y ) R

para régimen laminar

8.20]

para el régimen turbulento

[8.21]

1/ 7

R

r

y

Laminar

Turbulento

SOLUCIÓN

a. Régimen Laminar

m   Vm  R

2





R

0

 V 2  r dr





R

0

  

 Vmax [1  (r / R ) ] 2  r dr 2

2 Vmax R 2

Vm 1  Vmax 2

Luego:

[8.22]

V r 2  2 [ 1 ( ) ] Vm R

El factor de corrección por energía cinética (  ) está dado por: 3

1  V       dA A  Vm  15

MECÁNICA DE FLUIDOS 1   A



R

16  A



R



16  A

0

0

3

r 2  8 1  ( )  2  r dr R   r 6 r 4 r 2  1  ( )  3( )  3( ) r dr  R R R   

R2 8

 

2

[8.23]

b. Régimen turbulento

m   Vm  R  2

Considernado:



R

0

 V 2  r dr

V máx ( y / R ) 1/7

V=

r = R - y dr = -dy





R

0

y 1/ 7 ] 2  (R  y ) (  dy ) R 2 49  R 60

 Vmax [

  Vmax Vm 49   0,817  0,82 Vmax 60



Y de.

Se tiene:

V / V máx =

[8.24]

( y / R ) 1/7

V 1 y 1/ 7  ( ) Vm 0,817 R

Luego:

1  1 y 1/ 7      ( )  A  0,817 R 



 16

1 1  3 0,817 R

= 1,058

2



3

2  r dr

49 2 R 2 170 [8.25]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3

PÉRDIDA PRIMARIA EN UNA TUBERÍA.

El estudio se limita a un flujo totalmente desarrollado y permanente en el cual son despreciables las variaciones hidrostáticas. 8.3.1 REGIMEN LAMINAR. LEY DE HAGEN-POISEUILLE Ecuación aplicable: 1



DV   p   g   2 V Dt

2

Vr Vx

Al despreciar las variaciones hidrostáticas resulta un flujo en el que todos los parámetros son independientes de la dimensión 

Figura 8.05

La componente de la ecuación de Navier-Stokes en la dirección x, es la ecuación del movimiento:

dp d 2Vx d 2Vx 0  io (  )i dx dr 2 r dr Ordenando:

d dVx (r ) dr dr

1



r 

Integrando:

r

dVx ) dr

Vx 

r2 4 

r2



  C1

  C1 L n r  C2

Condiciones de contorno: para r = 0,

para r = R,

 Vx =



 Vx = 0

Esto es incongruente con la realidad física ya que la velocidad es finita en el centro del tubo. Haciendo  C1 = 0 . C2 = -  R 2 / 4 

Luego, la ecuación de distribución de velocidad está dada por:

 R2 r Vx  [1  ( ) ] 4 R 2

17

MECÁNICA DE FLUIDOS El flujo volumétrico se obtiene de: R

   Vx . dA   Vx .2  r dA A

0

Como:



dp p2  p1 ( p2  p1 )  p    dx x2  x1 L L

y R = D / 2:

  p D4  128  L

[8.26]

Denominada ecuación de Poiseuille. Hagen, un ingeniero alemán, realizo experimentos con agua que fluía por tubos pequeños de latón, publicando sus resultados en el año 1839. Poiseuille, un científico francés, realizó experimentos con agua que fluía por tubos capilares, para determinar las leyes del flujo de la sangre por las venas del cuerpo, publicando sus estudios en el año 1840. Poniendo al flujo volumétrico en función de la velocidad media V; multiplicando y dividiendo por V el miembro de la derecha, la pérdida de carga de presión puede escribirse como:

p 64 L V 2   hf  g Re D 2 g

[8.27]

Debido a que la tubería es horizontal, la pérdida de carga de presión es igual a la perdida de carga hf EJEMPLO 8. 04:

En un tubo horizontal de 30 mm de diámetro interior fluye glicerina a una temperatura de 30 ºC con un gasto de de 3 x 10 - 3 m 3 /s. a. ¿Cuál es la caída de presión en pascales por cada 10 m de longitud? b. ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería? c. ¿Qué potencia de bomba se requiere si la tubería tiene una longitud de 100 m? hf p L

18

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Objetivo:

- ¿Cuál es la caída de presión en kPa por cada 10 m de longitud? - ¿Cuál es la pérdida de energía por fricción en m de fluido por cada 10 m de longitud de tubería? - ¿Cuál es la potencia de la bomba, para una longitud de 100 m?

Datos: Fluido:

Glicerina a 30 ºC, del gráfico

 

Tubería:

= 0,68 Pa.s = 6,0 x 10

Di = 30 mm

–4



= 1133 kg / m Q = 0,003 m 3/s

L = 10 m 3

Análisis: Ecuaciones

V



Re 

f



Cálculos

4   D2

V

 V D VD 4      D

Re

64 Re

f

h12  f

Horizontal



4 x 0,003 m 3 / s  4, 244 m / s  0,030 2 4, 244 x 0,003  202,095 6,3 x10  4





64  0,3167 202,095

L V2 64 L V 2  D 2g Re D 2 g

luego:

h12

10 m 4, 244  0, 3167 0, 030 m 2g

Resultado:

2

 96, 91 m

 hf = 96,91 m

La pérdida de carga de presión

 p12   g  h f

 p12  1270 kg / m 3 g  96,91 m  1 207 397,5 Pa Resultado: P=

 p = 1207 kPa

P   p12    g  h f  P  1207397,5 Pa  0,003 m3 / s  3622 watt

Resultado:

P = 3,622 kW 19

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2 REGIMEN TURBULENTO La velocidad en un punto del campo fluido fluctúa tanto en magnitud como en dirección. Estas fluctuaciones se pueden observar con mediciones de velocidad precisas, y normalmente se ven sus efectos en los medidores de presión. Las fluctuaciones se originan por una multitud de pequeños remolinos creados por el esfuerzo cortante viscoso entre partículas adyacentes. Estos remolinos crecen en tamaño y luego desaparecen cuando sus partículas son absorbidas en remolinos adyacentes. Por tanto hay una mezcla continua de partículas con la transferencia correspondiente de cantidad de movimiento. La viscosidad disipa la energía, generando pequeñas cantidades de calor.

8.3.2.1

LA ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH

Los cambios de presión a lo largo de una tubería horizontal, dependen de las magnitudes fundamentales: Geométricas: Longitud de la tubería, L. Diámetro interior de la tubería, D. Rugosidad de la pared interior, e. Físicas: Densidad del fluido,  Viscosidad absoluta del fluido , Técnicas: Velocidad media, V. La función analítica que representa al flujo:

F ( L, D, e,  ,  , V , p)  0

Aplicando el Teorema de Buckinghan-vasch, considerando V, , D como grupo de variables independiente, se llega a:

p L V D e  V2 ´´ (  ) L D  D Dividiendo por g toda la ecuación, y como  no está aún definido, se puede dividir por 2 para formar el término de energía cinética en el miembro de la derecha. Luego:

p V2  Lg 2g

L V D e  (  ) D  D

La función desconocida  se llama coeficiente de fricción o coeficiente de rozamiento f. Este coeficiente se determina experimentalmente. Finalmente, la pérdida de carga queda:

L hf  f D 20

V2 2g

[8.28]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Conocida como ecuación de Darcy – Weisbach. Ahora, resta hallar la relación funcional f = f ( ρ V D / μ ; e / D ) = f ( Re,  )

8.3.2.2

[8.29]

EL DIAGRAMA DE MOODY

Nikuradse, utilizó tubos con rugosidad artificial, para lo cual pegó granos uniformes de arena en la pared de la tubería. Moody ha efectuado un extenso estudio de tuberías comerciales, para mejorar el gráfico de Nikuradse. Este gráfico se conoce como diagrama de Moody. Debido a que la rugosidad de los materiales es muy variable, que la posición relativa entre las rugosidades interfiere directamente el flujo, y que la suciedad y corrosión afectan también la rugosidad, se hace evidente que el diagrama de Moody es una aproximación. Por todo esto, es difícil lograr una predicción precisa de las pérdidas por fricción.

Figura 8.06 . Rugosidad de la pared interior de tuberías La tabla siguiente muestra el valor promedio de la rugosidad e. Cuadro 8.1 . Valores promedio de Rugosidad Material

Rugosidad e ( m ) Liso 3,0 x 10 -7 HDP 2,130 x 10 -5 Tubo extruido: cobre, latón y acero 1,5 x 10 -6 Acero, comercial o soldado 4,6 x 10 -5 Acero inoxidable 4,7520 x 10 -5 Acero al carbono 4,5720 x 10 -5 Acero al carbono galvanizado 15,240 x 10 -5 Hierro galvanizado 1,5 x 10 - 4 Hierro dúctil, recubierto 1,2 x 10 - 4 Hierro dúctil, no recubierto 2,4 x 10 - 4 Concreto, bien fabricado 1,2 x 10 - 4 Acero remachado 1,8 x 10 - 3 Vidrio Plástico

Rugosidad e ( pies) Liso 1,0 x 10 - 6 5,0 x 10 - 6 1,5 x 10 - 4

5,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 8,0 x 10 - 4 4,0 x 10 - 4 6,0 x 10 - 3

Fuente: Mott, CRANE - otros

21


Rugosidad promedio de tubos comerciales

Material nuevo HDP Vidrio, cobre Tubería estirada Acero, hierro forjado Hierro fundido asfaltado Hierro galvanizado Hierro fundido Madera cepillada Concreto Acero remachado

e (mm) 0,0213 0,0003 0,0015 0,046 0,12 0,15 0,26 0,18- 0,9 0,3 – 3,0 0,9 – 9,0

Figura 8.07. Diagrama de Moody

22

MECÁNICA DE FLUIDOS El tubo de vidrio tiene una superficie interior virtualmente lisa en cuanto a la hidráulica, lo que indica un valor muy pequeño de rugosidad. Las tuberías y tubos de plástico son casi tan lisos como el vidrio. La forma y el tamaño definitivos del tubo de cobre, latón y ciertos aceros, se obtienen por extrusión sobre un molde interno, lo que deja una superficie bastante lisa. Para la tubería de acero estándar (como las de las cédulas 40 y 80) y tubos de acero soldado, se emplea el valor de rugosidad que se menciona para el acero comercial o soldado. El hierro galvanizado tiene adherido un recubrimiento metalúrgico de zinc para que sea resistente a la corrosión. Es común que al hierro dúctil se le recubra en su interior con un tipo de cemento para protegerlo de la corrosión y para mejorar la rugosidad de la superficie. El tubo de concreto bien fabricado tiene valores de rugosidad similares a los del hierro dúctil recubierto. La fórmula de Darcy-Weisbach, junto con el Diagrama de Moody provee de un método de cálculo rápido de la pérdida de fricción, tanto para régimen laminar como para régimen turbulento. El ajuste de la curva en régimen laminar da para el coeficiente de rozonamiento: f = 64 / Re

[8.30]

EJEMPLO 8. 05:

El líquido en el tubo de la figura tiene un peso específico de 10 kN/m 3. La aceleración del líquido es cero. Determine si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo. Si el diámetro del tubo de cobre es de 1 cm y la viscosidad del líquido es de 3,125 x 10 – 3 N.s/m 2, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad promedio en el tubo?. Objetivo: Determinar si el líquido está estacionario, se mueve hacia arriba o hacia abajo Determinar la magnitud de la velocidad promedio en el tubo. Datos: Fluido:

g

= 10 KN / m 3 a = 0 m / s2

 = 3,125 x 10 – 3 Tubería:

p1 = 110 KPa

Z1 = 10 m

N.s / m 2

Cobre

e = 0,0003 mm D = 1 cm L = 10 m

p2 = 20 KPa

Z2 = 0 m

Trayectoria: P1 Pa 110000

23

Z1 m 10

V1 m/s

P2 Pa 200000

Z2 m 0

V2 m/s

MECÁNICA DE FLUIDOS Análisis: La energía en una posición cualquiera está dado por: E = p  g + Z + V Si:

E1 = E2 E1 > E2 E1 < E2

   2

+ 10 m + V

E 2 = 200 KPa m

2

+ 0m + V

E1 > E2



2 2

/ 2g = 21 m + V

/ 2g

2

= 20 m + V

2

/ 2g

2

/ 2g

el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente

La pérdida de energía se puede hallar a partir de: 21 m + V

/ 2g

el líquido está estacionario. el fluido se mueve hacia abajo. Flujo descendente el fluido se mueve hacia arriba. Flujo ascendente.

E 1 = 110 KPa m

Como:

2

/ 2g = 20 m + V

2

E1 = E2 +  h

/ 2g +  h

L V2 10 V 2  f 1m = h = f D 2g 0, 01 2 g

[a]

Asumiendo flujo laminar: f = 64 / Re

f 

64   64  3,125 103 Pa.s   196, 2 V  V D 10000 / 9,81  V 0, 001 m

Con la ecuación [b] en la ecuación [a], se obtiene:

Re 

[b]

V = 1m/s

 V D 10000 / 9,814 1 m / s  0, 001m   3261,97   3,125 103 Pa.s El flujo no es laminar.

Tubería de cobre:

tubo liso

Del Diagrama de moody:

f = 0,042

Ajuste de los datos de tubería lisa, del Diagrama de Moody:

 2,51 fcalc  0,5  2log   Re f asum 

   

[8.31] f asumido = f calculado =

reemplazando este valor de

f = 0,0424 en la ecuación [a]:

Aplicando la ecuación de Blassius: f = 0,316 / Re ¼

f

V = 0,68025 m / s.

= 0,041549

Aplicando la ecuación de Lebaua- Hanocq: 1000 fo = 6,68 + 532 Re - 0,33 Para todo valor de Reynolds.  f = - 0,5 ½ Ecuación de Prandtl: f = 2 log [Re D / f ] - 0,8  f =

24

0,04243 0,04242

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Se va a impulsar un flujo de 1,9 m3 / min de aceite combustible de densidad relativa igual a 0,85 y viscosidad absoluta de 75 cp, a través de 9000 m de tubería de acero, en posición horizontal. Se sugiere utilizar una tubería de acero de D interior = 57,47 cm; rugosidad igual a 0,085 mm. a. Determine la pérdida de presión, en kPa. b. ¿Cuál es la pérdida debida a la fricción, en m de fluido?. c. Determine la potencia requerida por la bomba ( B = 78%) para impulsar el flujo volumétrico de 1,9 m3 / min.

EJEMPLO 8. 06:

Objetivo: Datos:

Determinar la pérdida de presión, en kPa. Determinar la pérdida debida a la fricción, en m de fluido. Determinar la potencia requerida por la bomba, en kW. Opinión sobre la tubería.

Fluido:



Aceite combustible C = 850 kg / m 3



= 75 cp <> 0,075 Pa.s Q = 1,9 m 3/ min <> 0,031667 m 3/s omba = 0,78 % Tubería:

Acero

e = 0,085 mm DN = 24 pulgadas NR

Di = 574,7 mm L = 9000 m

Análisis: Ecuaciones

V



Re 

f



Cálculos

4   D2

V

 V D VD 4      D

Re



64 Re

h1 2  f

L V2 D 2g



 p12   g  h f 

4 x 0,031667 m 3 / s  0,122077 m / s  0,5747 2 m 2



 0, 08049

850 x 0,122077 x 0,5747  795,12 0,075 64 f   0, 080491 795,12

9000 m 0,122077 0, 5747 m 2g

2

 0, 95738 m

 hf = 0,9574 m

 p12  850 kg / m 3 g  0,9574 m  7 983, 279 Pa  p = 7,983 KPa

P BOMBA =  p x 

P BOMBA =

Resultado:

P BOMBA = 0,25279 Kw

7,983 KPa x 0,031667 m3 / s

25

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.3.2.3

CASO DE TUBOS LISOS Son aquellos donde la rugosidad es pequeña, como en el caso de vidrio, plástico o de los tubos galvanizados de tal forma que las asperezas se ahoguen dentro de la capa límite laminar o subcapa laminar y no influencien las líneas de corriente; en éste caso fo = f (Re).



 

L



r

R

 Fuente: Figura 8.08. Tubería lisa El equilibrio de fuerzas sobre el volumen de control se reduce al de la fuerza cortante  que actúa sobre la superficie lateral y la diferencia de presión p1 – p2 que actúa sobre las secciones 1 y 2.

r L = ( p1 – p2 ) π r 2

𝜏 =

𝑝1−𝑝2

𝑟

𝐿

2

La ecuación (4.22) se aplica al régimen laminar como al turbulento.

 representa la suma de los esfuerzos cortante laminar y turbulento; su valor máximo junto a la pared vale.

𝜏𝑜 =

𝑝1−𝑝2

𝑅

𝐿

2

[8.32]

Este valor máximo de  o, se puede medir experimentalmente tomando nota de la caída de presión (p1 – p2 ). Del análisis dimensional se obtuvo: h1 2

Luego.

 g h12

De manera que:

L V2  f D 2g

L V2 2 o L 4 o L   f   D 2 R D

o 

f V2 8

Válido para flujo laminar y flujo turbulento 26

[8.33]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE H. Blasius en 1911 llevó a cabo por primera vez un análisis crítico del material experimental ya bastante abundante y lo ordenó de acuerdo con la ley de semejanza de Reynolds. Fórmula de Blassius: f = 0,316 / Re1/4

[8.34]

concuerda con los resultados experimentales para Reynolds entre 3 000 y 10 5. En un tubo “hidráulicamente liso”, las proyecciones de las rugosidades sobre la pared son lo suficientemente pequeñas para quedar sumergidas dentro de la sub-capa laminar y no influyen sobre el flujo fuera de ésta. Se han propuesto ciertas fórmulas empíricas, Así: Fórmula de Lebeau-Hanocq: 1000 fo = 6,68 + 532 Re - 0,33 aplicado a cualquier valor de Reynolds. Ecuación de Prandtl: f 0,5  2 log

Re.D  0,8 f 1/ 2

[8.35]

[8.36]

Cuadro 8.2. Valor del coeficiente de fricción f.

Re

Tubos lisos Tubos rugosos: e = Blasius Lebeau- Prandtl Nikuradse D= Hanocq Nikuradse Moody

0,046 mm 50 mm Jain Colebrook

2000

0,0473

0,0500

0,0494

0,0494

0,034

0,0501

3000

0,0427

0,0446

0,0435

0,0435

0,044

0,0443

4000

0,0397

0,0411

0,0399

0,0399

0,039

0,0408

5000

0,0376

0,0387

0,0374

0,0374

0,036 0,0390

0,0384

60 000

0,0202

0,0208

0,0201

0,0201

0,024 0,0234

0,0232

100 000

0,0178

0,0186

0,0180

0,0180

0,022 0,0221

0,0219

700 000

0,0109

0,0129

0,0124

0,0124

0,020 0,0198

0,0197

8 000 000

0,0059

0,0095

0,0084

0,0084

0,018 0,0193

0,0193

90 000 000

0,0032

0,0079

0,0060

0,0060

0,019

0,0193

0,0192

100 000 000

0,0032

0,0079

0,0059

0,0059

0,0192

0,0192

8.3.2.4

CASO DE TUBOS RUGOSOS

Desafortunadamente, no existe aún una forma científica de medir o especificar la rugosidad de las tuberías comerciales. Varios investigadores han trabajado con tuberías que tenían rugosidad artificial producida de distintas maneras, de tal modo que la rugosidad podía ser medida y descrita por factores geométricos. Se demostró que la fricción dependía de la forma y del tamaño de las rugosidades, de su distribución o separación, quedando todavía mucho por hacer antes de que se resuelva este problema por completo. Para tuberías rugosas, su estudio se ha realizado por dos caminos: - Experimental, realizado por Nikuradse - Matemático, hecho por Prandtl y Von Kármán 27

MECÁNICA DE FLUIDOS Experimento de Nikuradse Nikuradse estudió experimentalmente el factor de fricción  (Re;  ), creando una rugosidad artificial al pegar granos de arena de diferente tamiz a una tubería lisa. Los resultados obtenidos aparecen en la figura siguiente, donde se observa que el eje horizontal divide al plano en tres zonas: Laminar, de transición y turbulenta.

Figura 8.9. Estudio de Nikuradse i) ii)

en la zona laminar se da la relación: f = 64 / Re en la zona turbulenta con tubería lisa, la superficie laminar de espesor o es mayor que la rugosidad absoluta e de la tubería y anula su efecto, siendo fo = f(Re). En la zona turbulenta con tubería rugosa y altos números de Reynolds: la subcapa laminar queda bajo las crestas rugosas y éstas ejercen un tipo de oposición al flujo llamado “arrastre por ondulación”, que para Reynolds muy altos es proporcional al cuadrado de la velocidad; este tipo de arrastre prevalece sobre el arrastre viscoso y resulta f  = f (  ), siendo la tendencia de las curvas a un recorrido horizontal. Una ley empírica aplicable a ésta región es:

f  0,5 1,14  2 log  Ó

f 0,5   2 log ( / 3,71)

[8.37]

la notación  expresa:  cuando el número de Reynolds tiende al infinito; a esta zona se denomina zona cuadrática.

28

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE En la zona de transición las curvas de  = constante, parten de la misma región en el régimen laminar, pasan por la zona de tubería lisa, y luego de recorrerlas parcialmente efectúan ligeras oscilaciones para aproximarse a .

iii)

Los gráficos de Nikuradse se trazaron para una rugosidad uniforme, que no es el caso de las tuberías comerciales; un gráfico similar, aplicable a éstas últimas fue hecho por Moody y recibe el nombre de Diagrama de Moody.

MÉTODO DE PRANDTL Y VON KÁRMÁN Basándose en el estudio teórico de la turbulencia definieron dos variables adimensionales X e Y, según: X = Re .  √ Y =  - 0,5 + 2 log 

Por métodos teóricos fue imposible hallar una relación F ( X;Y), que hubiera definido el valor de  . Estas variables fueron correlacionadas basándose en resultados experimentales de Nikuradse y otros, en un gráfico semilogaritmico.

Y

Y = 2 log X – 0,8 NIKURADSE

Y = 1,14

COLEBROOK

TUBOS LISOS

Log X

Figura 8.10. Colebrook

29

MECÁNICA DE FLUIDOS En este gráfico semilogarítmico, se observa que: Para valores grandes de , y por lo tanto de X, la curva tiende a la recta Y = 1,14, que coincide con los resultados de la zona de tuberías rugosas y alto número de Reynolds en el diagrama de Nikuradse. Reemplazando por sus valores da:

-

 2 log   1,14

f

 0,5 

f

 0,5 

f

 0,5 

2 2  1,14  2 log   log (3,71535)  log( )

  log ( / 3,71535)

f 0,5   2 log (

2

 )

3, 71

[8.38]

Zona completamente turbulenta En la zona izquierda los resultados tienden a cumplir la relación: Y = 2 log X – 0,8 , que luego de reemplazar a X e Y por sus valores, da:

-

f 0,5  2 log   2 log(Re.

f  0,5   0,8  2 log(Re.

f )  0,8

f )  2 log 

 0,8  2 log(Re. f )   log(2,51)

2

 log(

1

)2

Re. f f

 0,5

 2,51   2 log   Re f

  

[8.39]

Relación independiente de la rugosida relativa  , y correspondiente al caso de tubos lisos. Ecuación de Prandtl para cualquier número de Reynolds.

-

30

En la zona intermedia la curva presenta un máximo para Y, que significa un mínimo para 

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3.2.5

TUBERÍA COMERCIAL. DIAGRAMA DE COLEBROOK

Colebrook realizó ensayos similares a los de Nikuradse, en tuberías comerciales, cuya rugosidad no es uniforme. Graficando sus resultados en plano log X – Y, se obtiene una curva inferior a la de Nikuradse, donde no existe un máximo para Y, que difiere mucho en la zona central y tiende a coincidir en los extremos. La curva de Colebrook tiene el siguiente ajuste empírico:

 2,51  Y   2 log   0,27   X  Que escrito en términos de  ,  y Re es:

f

 0,5

 2,51     2 log    3,71   Re f

[8.40]

Como para un X dado, la curva de Colebrook tienen un menor Y que la de Nikuradse, quiere decir que predice un mayor , y es por tanto una fórmula de seguridad que da valores máximos de  . En consecuencia la fórmula de Colebrook es universal en cuanto a aplicación, excepto en el régimen laminar, donde se aplica la ecuación de Hagen – Poiseuille. Analizando la ecuación (8.40) -

Para valores muy grandes de Re:  =  (  )

f

-

 0,5

     2 log   f 3,71  

[8.41]

Para valores muy pequeños de e:  =  ( Re )

f

 0,5

 2,51   2 log   Re f

  

[4.42]

Que son las dos fórmulas de Nikuradse. La unión de estos dos resultados es: la ecuación de Colebrook. La ecuación de Colebrook se considera aceptable para el cálculo de la fricción turbulenta. Moody (en 1944) dibujó la ecuación en lo que hoy se 31

MECÁNICA DE FLUIDOS denomina diagrama de Moody. Este diagrama es fiable si se aceptan errores inferiores al 15% en cálculo de diseño. A partir de ensayos con tubos comerciales se hallan valores típicos de rugosidad.

Cuadro 8.3:

Rugosidades de diferentes materiales de tuberías

Material Plomo, vidrio, cobre Acero estirado Nuevo Despues de largo uso y limpiado Moderadamente oxidadas o con ligeras incrustaciones Con fuertes incrustaciones Chapa de acero galvanizada Lisa (ventilación) Normalmente galvanizada Nuevas Nuevas y embetunadas Tuberías de acero soldadas Limpiadas Uniformemente oxidadas Con ligera incrustación Con fuerte incrustación Tubería de acero remachada Tubería de hierro fundido Asfaltada (nueva) Nueva Nueva embetunada Con oxidación Con incrustación Tubería de hormigón alisada rugosa Pretensado Tubería de eternit Tubería obra de albañilería Tubería de madera Sin cepillar Cepillada Latón industrial Cemento bruto Cemento alisado Tubería de PVC (Policloruro de vinilo)

32

e: Rugosidad en mm 0,0015 0,02 a 0,15 a

0,10 0,20

0,15 a 0,15

0,40 3,00

0,07 0,02 0,05 0,05

a a a a

0,15 0,15 1,00 2,00 0,50

a a a a a

0,20 0,40 4,00 4,00 10,00

0,122 0,26 0,10 1,00 1,50

a a a a

1,00 0,15 1,50 4,00

0,30 a 1,20 a 0,25 0,05 a 1,30

0,80 3,00

0,70 0,20 0,025 hasta 0,3 a 0,007

0,10

0,10

3,00 0,80

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.7: Se está impulsando, a través de un tubo de hierro galvanizado de 185 m (e = 0,15 mm), 40 litros/s de kerosén de densidad relativa 0,82 2 y viscosidad cinemática 2,3 mm 2 /s hacia dentro de un tanque de almacenamiento. La presión en el extremo de entrada del tubo es de 370 kPa y el nivel del líquido en el tanque de almacenamiento está a 20 m arriba del de la bomba. Despreciando todas las pérdidas que no sean las debidas a la fricción en el tubo, calcular el diámetro mínimo del tubo para impulsar 40 L / min de kerosén.

V

Z

SOLUCION

PUM P

1

p V 2  Z   h g 2g

La ecuación de energía entre (1) y (2):

0  V12 (370 000  0) Pa  20 m   hf 820 kg / m3  9,81 m / s 2 2g La ecuación de Darcy: h1 2  f

46 𝑚 = 20 𝑚 +

Con

𝑉1 = 𝟒

∀̇ 𝝅𝑫

196 667 = 185

= 𝟐 𝑓

𝐷5

𝑉1 2 2𝑔

L V2 D 2g

̇𝐿

(𝑓

𝐷

− 1)

̇ 0,05093

𝑽𝟐𝟏

𝑫𝟐

𝟐𝒈

−

=

𝟏,𝟑𝟐𝟐𝟎𝟐𝟗𝟕𝟏𝟓 𝑿 𝟏𝟎− 𝟒 𝑫𝟒

1

[1]

𝐷4

El número de Reynolds: Re 

 V D VD 4      D

La rugosidad relativa: f asumido En [1] D = En [2] Re = En [3]  = Moody f =

Re



4 x 0,040   D  2,3 10

6



22143, 29 D

 = e / D = 0,00015 / D 0,015 0,107 2,07 10 0,0014 0,023

5

[2]

[3] 0,023 0,11669 1,89 10 0,00128 0,0227

5

D interior = 0,1167 m Otra alternativa de solución es asumir el diámetro, en lugar de asumir f. Si el caudal, fuese de 40 L/min ¿Cuál sería ahora el diámetro? 33

MECÁNICA DE FLUIDOS EJEMPLO 8.8: Petróleo es bombeado a razón de 0,0283 m 3/s; a través de una tubería de 15,24 cm de diámetro interior construida de acero (e = 0,046 mm), la longitud de la tubería es de 310 m. a. Si el petróleo es bombeado a 30°C, y la tubería está horizontal: a.1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros del fluido?. a.2 ¿Cuál será la presión indicada por el manómetro colocado al final de la tubería, si al inicio de la tubería otro manómetro indica 31,74 bar?. a.3. ¿Cuál será la potencia requerida por la bomba, considerando una eficiencia del 80 %?. b. Idem que (a) pero la tubería es vertical y el flujo es ascendente. c. Si el petróleo se bombea a 120°C, y la tubería está horizontal: c1. ¿Cuál es la pérdida de energía en metros de fluido?. c.2 ¿Cuál es la potencia de la bomba?. d. Compare con los resultados obtenidos en los ítems (a), (b) y (c). Opine al respecto. T(°C) D.R.

 (m2/s)

30 80 120

7,00 x 10 - 6 1,20 x 10 - 6 2,52 x 10 - 6

0,86 0,93 0,96

p1 = 31,74 bar

SOLUCION

p2 = 31,7 2 4 mm bar 22

(a) Tubería horizontal  = 0,0283 m3/s D = 0,1524 m

1

L = 310 m; Di = 15,24 cm; e = 0,046

 

L = 310 m = 28,3 L/s e = 0,046 mm T = 30°C:  = 860 kg/m3  = 710 - 6 m2/s. La ecuación de energía entre (1) y (2): p1 V2 p V2  z1  1  2  z2  2  h12  2g  2g p1  p2   h12



, 

[1]

La caída de presión es igual a la pérdida por fricción. 2 LV i) Cálculo de la pérdida de energía por fricción: h12  f D 2g   4  0,0283m3 / s V    1,55m / s A  (0,1524) 2 m2 34

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE VD

1,55 x 0,1524  33 746 > 2000 flujo turbulento  7 x 10 6 e 0,046 mm.    0,000301837 D 152,4 mm

Re 

Re 

 2,51   f 0,5  2 log    Re f 3,71     2,51 0,000 301 837   2 log    33 746 f  3,71  

La ecuación de Colebrook:

f

 0,5

Se asume un valor de f (entre 0,010 y 0,025), igual a 0,02; se reemplaza en el miembro derecho de la ecuación y se evalúa obteniéndose para f del miembro izquierdo de la ecuación un valor de 0,0242. Como éste valor de f calculado no es igual al valor de f asumido, se toma fasumido = 0,0242 y se obtiene fcalculado = 0,0236 y así se continua hasta que los valores de f asumido y fcalculado coincidan f = 0,0237. f asum f calc

0,0200 0,0202

0,0202 0,0237

Luego: h12

0,0237 0,0237

310 (1,55)  0,0237 0,1524 2g

2

 5,903m

ii) Presión indicada por el manómetro en la posición (2): 31,74 x10 5 Pa  p2  5,903m 0,86 x9810 N / m3

En [1]:

 p2 = 31,242x 105 Pa

p2 = 31,24 bar

iii) La potencia que requiere la bomba: Potencia al eje

P 

P

 p.



(31,74  31,24) x10 5 Pa  0,0283m 3 / s  1769 watt 0,80

P = 1,769 kW b) Tubería vertical: Como f = f (Re,  = e/D), y los valores de Re y e/D se mantienen constantes, la pérdida por fricción será la misma: 2 LV h12  f hf = 5,903 m D 2g La ecuación de energía entre (1) y (2): 35

MECÁNICA DE FLUIDOS p1  p2



 Z  h1 2

31,74  105 Pa  p2  310m  5,903m 0,86  9810 N / m3 p2 = 5,088 x 105 Pa =  p2 = 5,09 bar

(31,74  5,09) x105 Pa  0,0283 m 3 / s P  94 274 watt 0,80 P = 94,274 kW

c) Procediendo de la misma forma que el ítem (a): V 

  4  0,0283m3 / s   1,55m / s A  (0,1524) 2 m2

Re 



f

0,5

1,55 x 0,1524  93 738 2,52 x10 6

e 0,046 mm.   0,000 301837 D 152,4 mm

 2,51 0,000 301 837   2 log    93738 f  3,71  

fas = 0,0237

0,0194

0,0197

0,01966

fcalc = 0,0194

0,0197

0,01966

0,01967

h12 P

310 1,55  0,0196 0,1524 2 g

2

 4,882m

0,86  9810  4,82 Pa  0,0283m3 / s  1457 watt 0,80  P = 1,457 KW

La potencia es aproximadamente el 82% de la potencia del caso (a). Obviamente, este ahorro en la energía habrá de compararse con el costo de elevar la temperatura a 120 °C.

36

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.3.3

FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES

PERFILES DE VELOCIDAD PARA SECCIONES NO CIRCULARES ¿Por qué alguien querría saber la forma en que la velocidad varia en una tubería circular? -

En el estudio de la transferencia de calor Cuando el agua caliente fluye a lo largo de un tubo de cobre, el calor se transfiere del agua a la pared del tubo y de ahí al aire circundante. La cantidad de calor que se transfiere del agua a la pared del tubo depende de la velocidad del agua en la capa delgada más cercana a la pared, a la cual se conoce como capa límite.

-

La medición del flujo volumétrico en un conducto Algunos artefactos, como el Tubo de Pitot, detectan la velocidad local en un punto pequeño dentro del flujo. En la utilización de dichos equipos, para determinar el flujo volumétrico a partir de V = A x V, se necesita la velocidad promedio, no la velocidad local. Se debe atravesar el diámetro del conducto para realizar varias mediciones de la velocidad en ubicaciones específicas, para después calcular la velocidad promedio.

FLUJO EN SECCIONES NO CIRCULARES Existen muchas aplicaciones prácticas de flujo donde la sección transversal no es circular. -

Intercambiador de calor de coraza y tubo. El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.

Fuente: Mott

Figura 8.11. Intercambiador de calor Tubo coraza 37

MECÁNICA DE FLUIDOS -

Ductos para distribución de aire y evacuación de gases El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo interior hacia el lado derecho. En el espacio entre la superficie exterior del tubo interior (tubo), y la superficie interior del tubo exterior (carcasa) hay agua fría que fluye hacia la izquierda, tomando calor de la pared caliente del tubo interior.

Fuente: Internet

Figura 8.12. Evacuación de gases

Fuente: Internet

Figura 8.13. Ductos de aire acondicionado -

Flujo dentro de una máquina

El agua caliente que proviene de un proceso industrial fluye por el tubo Los sistemas de manejo de gases y aire, tales como los sistemas de aire acondicionado, conductos de aire en plantas de generación de energía y gases de combustión, por lo general tienen conductos rectangulares. Un intercambiador de calor de doble tubo de doble tubo tiene un flujo en una sección anular concéntrica, mientras que un intercambiador de calor “compacto” de placas y aletas tiene un flujo en conductos triangulares. El flujo en 38

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE intercambiadores de calor de carcasa y tubos o en haces de barras combustibles de los reactores nucleares, ocurre en conductos de forma muy compleja. Si el flujo es laminar, en ocasiones es posible obtener una solución exacta similar a la ecuación de Hagen – Poiseuille. Si el flujo es turbulento, no existen soluciones puramente analíticas; y los datos experimentales disponibles no son abundantes como en el caso de tuberías circulares, por lo que no se dispone de correlaciones generales. Las ecuaciones de Hagen-Poiseulle, Darcy Weisbach, Colebrook y el Diagrama de Moody llevan a soluciones adecuadas para el flujo en tuberías circulares. El análisis práctico del flujo en conductos no circulares se basa en la idea de encontrar un flujo en tubería circular “equivalente”, lo que permitiría usar las ecuaciones válidas para tubería circular. Una aproximación excelente lo constituye el concepto “Diámetro hidráulico”, definido como:

Dh 

4 Area de paso del flujo perimetro mojado

Luego: ReDh



[8.43]

 V Dh V Dh 4       Dh 

La velocidad V es la velocidad real, La rugosidad relativa:

[8.44]

V = caudal / Área de paso de flujo.

 = e / Dh

El coeficiente de fricción f, se lee ecuaciones siguientes: Régimen laminar: Re < 2000

[8.45]

del Diagrama de Moody o se usan las

Hagen-Poiseuille

Régimen turbulento: Re > 4000 Colebrook

f 

64 Re Dh

   2,51 f  0,5  2 log   Dh   Re 3,71  Dh f 

[8.46]

[8.47]

Ecuación de Darcy-Weisbach:

h1 2

L V2 64 L V 2  f  Dh 2 g Re Dh Dh 2 g

En el caso de régimen de flujo laminar la aproximación es de: En el caso de régimen de flujo turbulento la aproximación es de:

[8.48] ± 40 % ± 15 % 39

MECÁNICA DE FLUIDOS Como la ecuación de Colebrook y el Diagrama de Moody tienen una precisión de ± 10 % para una tubería circular; el concepto del diámetro hidráulico es bastante aceptable para los cálculos en flujo turbulento. Para el caso laminar, la ecuación de Navier-Stokes permite resolver el flujo en forma exacta; esto permitiría establecer algún factor de corrección para mejorar la exactitud del diámetro hidráulico. Diámetro hidráulico D

D

2ab ab

b a b

b a

a



b

D1

4 a 2 b2  4 a b a2b

D2 – D1

D2

Figura 8.14. Ductos de aire acondicionado En canales abiertos se usa el concepto de “Radio hidráulico”

Rh 

Area transversal  perimetro mojado

También: Dh = 4 R h Caso de tubos: Rh = D / 4

40

A p

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Aire con un peso específico de 12,5 m 3 / s y una viscosidad dinámica de 2,0 x 10 - 5 Pa.s, fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura mostrada, entre la pared interior del ducto y la parte exterior del tubo, con una rapidez de 150 m 3 / h.

EJEMPLO 8.09:

100 mm

50 mm

D = 25 mm

50 mm

Objetivo: calcular: a. El área de paso del flujo, en mm 2 . El perímetro mojado, en mm. b. El diámetro hidráulico Dh, en mm. La velocidad del fluido, en m / s. c. El número de Reynolds del flujo Re Dh. d. El factor de fricción f. e. La pérdida de energía por fricción hf, en m de fluido f. La pérdida de carga de presión p, en Pa. g. La potencia requerida para mover el flujo P, en kW..

Datos: Fluido:

 

aire

= 12,5 N/ m

Tubería:

3

acero

e = 0,075 mm

-5

= 2,0 x 10  = 150 m 3 / h <> 0,041667 m

L = 20 m. 3

/s

Análisis: El área de paso de flujo está dado por : Af = 50 x 50 + ½ 50 x 50 + ¼ π 25

2

= 3259, 1261 mm 2

El perímetro mojado.

p = 50 mm + 50 mm + 100 mm + √ (50 2 + 50 2 ) + π x 25 = 349,25067 mm el diámetro hidráulico está dado por

Dh



4  Af p

Dh



4  3259,1261  37,327 mm 349,2507 41

MECÁNICA DE FLUIDOS la velocidad de flujo:



V

 Af

V



0,041667 m3 / s  12,784 m / s 3259,1261  106

El número de Reynolds del flujo

Re

Dh



 V Dh V Dh 4       Dh 

Re Dh 

12,9 / 9,81 x 12, 784  0, 037327  30 403, 61 2, 0 105

La rugosidad relativa



Dh=

e/Dh

=

0,046 / 37,327 = 0,00200927

el coeficiente de fricción f

f asumido 

f

 Dh ) ]

2

= 0,02835

3,7

  Dh  2,51   2 log    3,71   Re Dh f

 0,5

f

h12

0, 25 5,74 [ log (  Re Dh0,9

 0,5

 2,51 0,00200927    2 log     0,02805 3,71 30403,61  0,02835  

La pérdida de carga por fricción 2 LV  f D 2g

h f  0, 02805

12, 7847 20 m 0, 037327 m 2g

2

 125, 2051 m

La pérdida de carga de presión

 p   g h f   h f

 p  12,5 N / m3 125, 2051 m  1565,0631 Pa La potencia:

P B   p   P B  1565, 0631 Pa  0, 041667 m3 / s  65, 212 Watt

P = 0,0652 kW

42

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE RESUMEN PÉRDIDA PRIMARIA EN CONDUCTOS CIRCULARES 

El cálculo de la perdida de presión para régimen de flujo laminar, se puede realizar con la ecuación de Hagen - Poiseuille, en la forma:

p  D4  128  L El volumen, en m 3 / s; la pérdida de presión, en Pa; el diámetro interior de la tubería, en m; la viscosidad absoluta, en Pa.s y la longitud, en m. 

El cálculo de la perdida por fricción, para régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento se realiza mediante la ecuación de Darcy – Weisbach :

L hf  f D

V2 2g

donde f es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa . Para la determinación del factor de fricción f , se dispone de dos alternativas : A. El uso del Diagrama de Moody, y el uso de B. Ecuaciones semi-empíricas : El número de Reynolds:

Re 

La rugosidad relativa:

 V D V D 4      D





e D

En general, para tuberías de uso industrial:

2000 < 2300 < 4000 <

Re Re Re Re

< < <

Régimen laminar: Tubería lisa o rugosa

Régimen turbulento:

2000 2300 4000

f 

Régimen laminar Régimen crítico Régimen transición Régimen Turbulento

64 Re

f

 0,5

Transición, turbulento

Hagen-Poiseuille

  2 log [

2,51   ] 3,71 Re f

Colebrook

f 

0,25 5,74  2 [ log ( 0,9  )] 3,7 Re

Jain

43

MECÁNICA DE FLUIDOS Esta ecuación produce valores para f que se encuentran entre  1,0% del valor de los correspondientes a la ecuación de Colebrook, dentro del intervalo de rugosidad relativa (D /e) comprendido entre 1000 y 1x10 6; y para números de Reynolds e 5 x10 3 hRe < 1x 10 8. Esta es virtualmente la zona de turbulencia completa del diagrama de Moody.

PÉRDIDA PRIMARIA EN CONDUCTOS NO CIRCULARES CONCEPTO DE DIÁMETRO HIDRÁULICO

Dh 

ReDh

4 Area de paso del flujo perimetro mojado



 V Dh V Dh 4       Dh 

La velocidad V es la velocidad real, La rugosidad relativa:

V = caudal / Área de paso de flujo.

 = e / Dh

El coeficiente de fricción f, se lee ecuaciones siguientes: Régimen laminar: Re < 2000

del Diagrama de Moody o se usan las

Hagen-Poiseuille

Régimen turbulento: Re > 4000 Colebrook

f 

64 Re Dh

   2,51 f  0,5  2 log   Dh   Re 3,71  Dh f  Ecuación de Darcy-Weisbach:

h1 2

L V2 64 L V 2  f  Dh 2 g Re Dh Dh 2 g

En el caso de régimen de flujo laminar la aproximación es de: En el caso de régimen de flujo turbulento la aproximación es de:

44

± 40 % ± 15 %


PÉRDIDAS SECUNDARIAS Massey

En el transporte de fluidos mediante tuberías, además de la pérdida de carga por fricción, se puede incurrir en pérdidas en las uniones, cambios de sección transversal, en los dobleces, elementos de medición, válvulas y accesorios de todas clases. En las conducciones largas se pueden despreciar estas pérdidas sin serio error, si se comparan con la pérdida producida en la tubería. En tramos cortos, pueden sobrepasar a la pérdida primaria, y se hace necesario su cálculo. Las pérdidas resultan de modo invariable por los cambios súbitos de velocidad (ya sea en magnitud o en dirección); los cuales generan turbulencias a gran escala, en los cuales la energía se disipa en forma de calor. Por lo general, el origen de la pérdida se confina a un tramo muy corto del tubo, pero la turbulencia puede persistir corriente abajo una distancia considerable. El flujo después del cambio súbito de velocidad es en exceso complicado, y los procesos de fricción en la tubería son afectados inevitablemente por la turbulencia adicional. Sin embargo, para propósitos de análisis, se considera que los efectos de la turbulencia y la pérdida adicional se concentran en el dispositivo o accesorio. Usualmente la pérdida secundaria se expresa mediante ecuaciones analíticas, coeficiente experimental lambda o mediante longitud equivalente de tubería. 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS EXPANSIÓN BRUSCA

Figura 8.15.

Este tipo de pérdida puede ser sometida al análisis. El flujo llena los tubos y se asume que es permanente. El fluido que emerge del tubo más pequeño es incapaz de seguir la desviación abrupta del límite, formándose cavidades de remolinos turbulentos en las esquinas, lo que produce disipación de energía en forma de calor. 45

MECÁNICA DE FLUIDOS Para el volumen de control considerado: en la sección (1), las líneas de corriente son rectas y paralelas y, en consecuencia, la presión es uniforme. Corriente abajo del agrandamiento, el mezclado vigoroso producido por la turbulencia ayuda a uniformizar la velocidad dando como resultado una presión uniforme en la sección (2). En la zona de aguas muertas, (con el apoyo de la evidencia experimental) se puede suponer que la presión continúa siendo igual a p1; por lo tanto: La ecuación de cantidad de movimiento:  F = m (V 2 – V 1 ) p1  A1 +

  v12

p1  p 2

A1  p 2  A 2 +



  v 22



A2

 v 22  A 2 - v12  A1



(a)

Ecuación de la energía: 2 2 p 1 Z  V 1  Z  V  hs    1 2g 1 2g

p

p p

1

hs 

g

2 2 2  V1  V2

(b)

2g

Ecuación de continuidad:

  v1



A1



A2

i)

  v2

A1 



v2 v1

(c) p1  p 2

De (a):



p1  p 2

Con _( c ):



hs 

ii) 46

2 V 2  2 V V

1

2g

V 2  V V

2

2 2 2  V1  V2  2g

2 2 V1 ) 2g

De ( c ):

A1 A2

2 2 2  V1  V2 2g

V 2  2 V V  V 2

2

1

2

1

(d)

2g

[8.49 ]

2g (V

1

g

( V V )2 1 2

hs 

Ó.

hs 

2

 v 22 - v12 

 v 22 - v1  v 2

Reemplazando en (b):

hs 

A2

v2 

A1 A2

v1

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE (

hs 

En (d):

hs 

A1 A V ) 2  2 ( 1 V ) V  V 2 1 1 A2 1 A2 1 2g

 A1 2  A1 ( )  2 ( )  1   A2  A2 

V12 2g

hs 

[1  (

A

1

A

2

) ]

V2 1 

2g

[ 1 (

2

hs  K

iii)

D12 D

)2 ]

V2 1  K

2g

V2 1 2g

2

2 1

V 2g

[8.50 ]

También: hs 

[1  (

A

2

A1

2

) ]

V2 2 

2g

[ 1 (

D22 D

2

) ]

V2 V2 2  K `` 2

2g

2g

1

Los valores de K concuerdan bien con los datos experimentales cuando la velocidad V1 es aproximadamente de 1,2 m/s (4 ft/s). a velocidades mayores, los valores reales de K son más pequeños que los teóricos. Si se conoce la velocidad del flujo, se recomienda utilizar los valores experimentales. Cuadro 8. 4. Coeficiente K de expansión súbita. hs = k V1 2 / 2g

D2 / D1

0,60 m/s 2 ft/s

1,2 m/s 4 ft/s

3 m/s 10 ft/s

4,5 m/s 15 ft/s

6 m/s 20 ft/s

9 m/s 30 ft/s

12 m/s 40 ft/s

1,0

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1,2

0,11

0,10

0,09

0,09

0,09

0,09

0,08

1,4

0,26

0,25

0,23

0,22

0,22

0,21

0,20

1,6

0,40

0,38

0,35

0,34

0,33

0,32

0,32

1,8

0,51

0,48

0,45

0,43

0,42

0,41

0,40

2,0

0,60

0,56

0,52

0,51

0,50

0,48

0,47

2,5

0,74

0,70

0,65

0,63

0,62

0,60

0,58

3,0

0,83

0,78

0,73

0,70

0,69

0,67

0,65

4,0

0,92

0,87

0,80

0,78

0,76

0,74

0,72

5,0

0,96

0,91

0,84

0,82

0,80

0,77

0,75

10,0

1,00

0,96

0,89

0,86

0,84

0,82

0,80

Infi ni to

1,00

0,98

0,91

0,88

0,86

0,83

0,81

Fuente: King. H. W. Y E.F. Brater, 1963. Handbook of Hidraulics, 5a. Ed.., Nueva York: cGraw w -Hill, tabla 6-7

47

MECÁNICA DE FLUIDOS PÉRDIDA POR SALIDA En la ecuación anterior, si A 2 tiende al infinito, la pérdida tiende a V 2 / 2g. Esto ocurre, por ejemplo, en la salida sumergida de un tubo que descarga dentro de un depósito grande. Hs = 1,00 x v1 2 / 2 g. El valor de k = 1,0 se emplea sin que importe la forma de la salida en el lugar donde el tubo se conecte a la pared del tanque.

Figura 8.16. Expansión brusca

EXPANSIÓN PROGRESIVA (DIFUSOR) La pérdida de carga en un agrandamiento súbito ( o a la salida de un tubo) se puede reducir en forma considerable por la sustitución de un agrandamiento cónico, gradual, conocido como difusor o recuperador. La función de éste es reducir gradualmente la velocidad del fluido y eliminar de este modo, en tanto sea posible, los remolinos responsables de la disipación de energía. En el difusor de la figura, las pérdidas por desprendimiento de la capa límite son de la forma: 2 hp1  K

( V V )

1

2

2

Donde K depende del ángulo  . En su geometría existe la relación: L = 0,5 ( D2 – D1 ) cotang 

48

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE El difusor se diseña con pequeño ángulo , para evitar el desprendimiento de la capa límite y las pérdidas consiguientes. Sin embargo un  pequeño implica grandes valores de L, y las pérdidas por rozamiento en la pared aumentan considerablemente.

D1

D2

Dx

L

Figura 8.17. Difusor V 2 Las pérdidas únicamente por fricción se dan por: d hp  f dx 2

D

2

Por continuidad el caudal = V π D / 4 = constante. Y según la geometría del difusor dx = 0, cotang  dD, reemplazando e integrando se obtiene una función de f. 2

(V 1V 2) 2 1 A1 A2 hp2  [ f . cot ang  ] 8 A2 A1 2

La pérdida total de presión, hp = hp1 + hp2. (V 1V 2) 2 1 A1 A2 hp  [ K  f . cot ang  ] 8 A2 A1 2

[8.51]

La figura siguiente muestra la existencia de un ángulo  que minimiza la pérdida total hs

hs

hs1

hs2



Figura 8.18. Expansión progresiva Se define el coeficiente de recuperación de presión: El factor de pérdida de carga K se relaciona con cp:

cp 

p2  p1 V12 / 2

hs D K   1  1 2 V1 / 2g  D2

2

 cp   49


Figura 8.19. Coeficiente de expansión brusca 50

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES  Hay resultados experimentales que indican que las pérdidas secundarias son proporcionales con el cuadrado de la velocidad promedio, con frecuencia se expresan en la forma:

V2 hs   2g

[8.52]

Donde  es un coeficiente que en la mayoría de los casos se evalúa experimentalmente. Para números de Reynolds altos, el valor de  es prácticamente constante

CONTRACCIÓN SÚBITA

Figura 8.16 Generalmente es la inversa de un agrandamiento súbito; sin embargo no es posible aplicar la ecuación de momento al volumen de control entre las secciones (1) y (2). Esto se debe a que, apenas corriente arriba de la junta, la curvatura de las líneas de corriente y la aceleración del fluido hacen que la presión en la cara anular varia de modo no conocido. Inmediatamente corriente debajo de la junta se forma una vena contraída, después de la cual la corriente se ensancha otra vez para llenar el tubo. Entre la vena contraída y la pared del tubo se forman remolinos, y estos son los que causan principalmente la disipación de energía. Entre la vena contraída y la sección de corriente abajo (2) el patrón de flujo es similar al que ocurre después de un agrandamiento súbito; en consecuencia, se supone que la pérdida de carga se da por:

51


52

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE

53


54


Fuente: Karassick, Manual de Bombas

55



56



57

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE

El fundamento es que la pérdida de energía producida por un accesorio sea igual a la pérdida primaria producida en una longitud determinada de tubería. A dicha longitud se denomina longitud equivalente.

V2 hs    2g

Lequiv 

 f

Lequiv V 2 f D 2g

D  n  D  ( L / D)  D

Cuando se conoce f, se puede expresar L equiv como “n diámetros”, es decir n = Lequiv / D. El error en que se incurre al considerar constante a n y a  para un accesorio en particular, es por lo general pequeño en comparación con el debido a otras incertidumbres. Sumando la longitud equivalente a la longitud del tubo, se obtiene la longitud efectiva, y esta longitud efectiva se utiliza para obtener:

 h

f

L   Lequiv D

V 2 f 2g

Lefect D

V 2 2g

Usualmente se da en tablas (L/D) y nomogramas (Lequiv).

En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m

V2 hs   i f 2 g 1 n

58

 Lequi 1

D

r V2   hsi 2g 1

[26]


59


60


61


EJEMPLO 8.10: Se requiere impulsar 5 000 GPM (USA) de agua fría de un reservorio A, abierto a la atmósfera, hacia un reservorio B que se encuentra a una presión manométrica p2 = 250 kPa, siendo la tubería de acero estirada NR 40 ( e = 0,1 mm ) para la línea de succión y la línea de descarga. La línea de succión es de 4 m de longitud, 20 pulgadas de diámetro nominal y tiene los siguientes elementos roscados: Cedazo de aspiración, un codo radio largo, dos uniones universales y una válvula de compuerta. La línea de descarga es de 14 pulgadas de diámetro nominal, 165 m de longitud, y tiene los siguientes accesorios: Una válvula de globo, una válvula de retención, tres uniones universales, dieciséis uniones simples y tres codos radio largo. Tomando como referencia el eje de la bomba, se tiene que la superficie libre líquida del reservorio A se encuentra a -2 m y la superficie libre del reservorio B se encuentra a 15 m; ambas distancias permanecen constantes. a. Calcule la pérdida de carga en el sistema. b. Seleccione una bomba comercial. c. Una vez instalada la bomba, se tiene que el manómetro en la entrada a la bomba indica una presión de vacío de 25,649 kPa, ¿Cuál será la lectura en el manómetro colocado en la salida de la bomba?.

SOLUCION a) La pérdida de carga en el sistema:  h

 h   hsucción   hdesc arg a (I) Tubería de succión. 62

[1]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE  hsucción 

Vs 2 L (f  2g Ds

De la tabla: 12b, 12c

entrada   codo  2  un.u.   válvula ) comp.

Ds  20 , NR40



[2]

Dis  47,79 cm

El caudal o flujo volumétrico:

  5000 GPM x 6,308  10-5    0,3154 m3 /s  Velocidad media:

Vs  4 x 0,3154 /  0,47792

V2  1,758 m /s

f s  0,0149. Las pérdidas secundarias: De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene:



%

 Cedazo de aspiración:

0,40

 50



0,060

 Codo RL: DN = 20´´  Válvula de compuerta : DN = 20´´  Uniones: DN = 20´´

0,10 0,30 0,03

 25  25  50

  

0,125 0,375 0,045

63

MECÁNICA DE FLUIDOS Reemplazando valores en [2]:

 hsucc

1,758 2 4  ( 0,0149  0,6  0,125  2  0,045  0,375 ) 2g 0,4779

 hsucc  0,2071 m de agua.  (II) Tubería de descarga o impulsión:

 hdesc arg a

[3]

De manera similar

Vd 2 L  (f   globo   reten  3  un.u.  16 u.univ.  3 codo ) 2g Dd válvula válvula RL [4]

Reemplazando valores en [2]:

Dd  14"



Did  33,33 cm

Vd  3,615 m/s

  0,1 / 333,3  0,0003 Re  1,2 x 106

f d  0,0155 De la tabla 4a, 4b, y 4c; se tiene:  Codo RL: DN = 14´´  Válvula de retención : DN = 14´´  Válvula de globo : DN = 14´´  Uniones: DN = 14´´



%

0,12 2,00 5,50 0,03

 25  30  25  50

 

0,150 2.600

 

6,875 0,045

Reemplazando valores en la ecuación [4]:

 hdesc arg a

3,615 2 165  ( 0,0155  6,875  2,6  3  0,045  16  0,045  3  0,150) 2g 0,3333

 hdesc arg a  12,2907 m de agua.  Reemplazando [3] y [5] en [1]:

 h  0,2071 m  12,2907 m  12,4978 m de agua.  12,5 m 

64

[5]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE b)

Selección de la bomba:  Se requiere especificar la carga total H y el flujo volumétrico 

Ecuación de energía entre 1 y 2:

H H

p2  p1



 z 2  z1 

V22  V12   h12 2g

250 000 m  17 m  12,5 m = 25, 484 m  17 m  12,5 m  54,984 m 9810

H = 55 m <> 180 pies

  5 000 GPM  De la figura A, la bomba: A-1015L cubre las necesidades.

De la figura B, se tiene que el diámetro del impulsor es de 14,6 pulgadas; la eficiencia   89% ;y se requiere 260 HP ( 194 kW ) para mover la bomba.

65


c) Cálculo de la lectura de la presión colocado en la descarga de la bomba: La ecuación de energía entre la entrada y salida de la bomba:

H  p / 

H (

pd



 z  V 2 / 2 g

 0,6 m )  (

ps



V  0,25 m )  (Zd  Zs) 

 Vs2 2g

2 d



Reemplazando valores: H (

pd



 0,6 m )   2,614576  0,25  0  0,5085 m  54,683 m

Pd /   51,2099 m

Pd  502,369 kPa.

66




También puede determinarse Pd , planteando la ecuación de energía entre la descarga de la bomba (d) y la superficie libre del reservorio B, punto (2). pd





z d  Vd2

V22  z2    hd 2 /2g   2g pd

 Pd  3,615 2 250 000   0,6   0    15 m  0  11,991  52,475 m 2g 9810   Pd



 51,209 m de agua fría.

Pd  51,209 m  9810 m / s 2 

Pd  502,360 kPa.

EJEMPLO 8.11: Se va a construir un sistema de bombeo similar, para lo cual la tubería será nueva (e = 0,0456 mm), y la bomba a utilizar será del mismo tipo. Determine la pérdida de carga en el sistema, cuando se impulse 5000GPM. Sugerencia: Haga uso de hoja de Excel para resolver este problema

SUCCIÓN

Tuberias: Diámetro Nominal.

D

NR

DESCARGA

20 pulg.

14 pulg.

40

40

Diámetro interior

Di

0,4779 m

Rugosidad absoluta

0,04560 mm

0,04560 mm

Espesor de tubería.

e t

mm

mm

Área de flujo

Af

0,179376 m ²

0,087249 m ²

Longitud de tubería

L

4,00 m

0,33330 m

165,000 m

SUCCIÓN

11,90 m

DESCARGA

La pérdida por fricción:

hf

0,01820 m

4,59 m

La pérdida secundaria Total =

hs h

0,116608 m 0,13481 m

7,1799615 m 11,76512 m

La pérdida por fricción en el sistema de tuberías

h = 11,90 m

67


RESUMEN PÉRDIDAS SECUNDARIAS 8.4.1 EXPRESIONES ANALÍTICAS

V12  V22 2g

hs 

8.4.2 COEFICIENTES EXPERIMENTALES 

V2 hs   2g 8.4.3 LONGITUD EQUIVALENTE

Lequiv  ( L / D)  D  h

f

L   Lequiv D

V 2 f 2g

Lefect D

V 2 2g

En un problema particular pueden presentarse el uso de estas tres formas, con lo cual la pérdida secundaria estaría dado por: m

V2 hs   i f 2g 1 n

68

 Lequi 1

D

r V2   hsi 2g 1

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE La figura muestra un sistema de cañerías que proporciona 4 m 3 / min de agua a 21°C para un proceso. La tubería es de acero soldado sin costura, de diámetro interior 25,4 cm y rugosidad absoluta igual a 0,046 mm. Determine:

EJEMPLO 8.12

a. b. c. d. e.

f.

La pérdida de carga sólo en la tubería. ∆ h f La pérdida de carga en los accesorios y válvulas.  h s . La pérdida de carga en el sistema. ∆ h 1-2 . ∆ h sist, ∆ h La altura de la bomba. H B. La potencia para accionar la bomba, si ésta tiene una eficiencia del 87%. Una expresión para la altura de la bomba : H B = A + B  n

2 2

69


70

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.13: La figura muestra una bomba que debe elevar agua (a 20C) de un pozo a un tanque hidroneumático. Se conocen los siguientes datos característicos de la bomba:

Item 1 2 3 4 5

Flujo volumétrico Litros / minuto 0 300 600 900 1200

Altura (HB) metros 100 100 95 89 78

Eficiencia % 0 30 60 68 65

p = 29 430 Pa

a. Determinar el flujo volumétrico que la bomba impulsa, la eficiencia de la bomba y la potencia que el motor debe de entregar a la bomba. b. Estimar la presión manométrica en la succión de la bomba. c. Obtener una expresión analítica para la curva del sistema de la forma :  n HB = A + B  d. Determinar si las válvulas de pie y de retención funcionan en su posición abierta, suponiendo que éstas válvulas requieren una caída mínima de 1034 Pa si están abiertas

71


72


73

MECÁNICA DE FLUIDOS PUNTO DE OPERACIÓN DE LA BOMBA

H m HB BOMBA

HB SISTEMA 93,8 m Eficiencia

Punto de operación 680 L / min

74

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.14:

Una bomba cuya curva de capacidad de carga se muestra en la figura, bombea agua por un sistema. Determine el flujo volumétrico aproximado que hace circular la bomba. El agua se encuentra a una temperatura de 12 ºC.

2

1

SOLUCIÓN La curva mostrada en la figura, denominada curva de la bomba, es una forma de representar los resultados de ensayo a que se somete la bomba. Ésta curva lo proporciona el fabricante. A éste gráfico se añade la curva del sistema. La intersección de ambas curvas se denomina punto de funcionamiento de la bomba. Y de allí se puede obtener el caudal que circula, así como la altura total que la bomba está dando.

Curva del sistema: Considerando los puntos [1] y [2], indicados en la figura, la altura de la bomba se expresa como: p2  p1 V22  V12 H  z 2  z1    h12



2g

[1]

En donde: p2 = p amb

75

MECÁNICA DE FLUIDOS p1 = p amb Z2 = 6 m Z1 = 0 m V2 = V m / s V1 = V m / s Cálculo de la pérdida de energía en el sistema:

h12 

V2 L ( f  cedazo   globo  reten  rompuerta  3 acoples  6 u.univ.  3 codo ) 2 g D aspiracion válvula válvula válvula RL

[2]

El flujo volumétrico es la incógnita a determinar, por lo que se incluye en reemplazo de la velocidad. V = 4

 / D 2

= 4 x

 /  2

= 905,4147874



El coeficiente de fricción: se requiere conocer el número de Reynolds y la rugosidad relativa.

Re 

 V D V D 4       D 

T agua = 12 ºC

ρ = 999,6 kg / m 3

De tablas



= 1,2462 x 10 – 3 Pa.s



= 1,2467 x 10 – 6 m 2 / s

Re = 4 x



/π

x 0,0375 x 1,2467 x 10

–6

m 2 / s = 27 234 342



= e / D = 0, 260 mm / 37,5 mm = 0,006933

 2,51   f 0,5  2 log    3,71   Re f

De la ecuación de Colebrook: f =

Para un juego de valores de Re y  , hay un valor del coeficiente de fricción que es solución para dicha pareja de valores. Para un flujo volumétrico de 21,598 L/s:

Re =

=

588204 0,00171

el valor del coeficiente de fricción es f =

0,02280

Los coeficientes experimentales :

76



%

 total

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 1 cedazo de aspiración 3 codos roscados, RL 1 válvula de compuerta 1 válvula de globo 1 válvula de retención 2 uniones universales 4 uniones simples

2,0 0,5 0,2 7,0 2,5 0,06 0,06

± ± ± ± ± ± ±

50% 25% 30% 25% 30% 50% 50%

3,0 0,625 0,26 8,75 3,25 0,09 0,09 TOTAL =

3,0 1,875 0,26 8,75 3,25 0,18 0,36 17,675

77


CURVA CARACTERÍSTICA DE PÉRDIDAS

Haga un análisis de la pérdida por fricción, ecuación de Darcy-Weisbach, para flujo laminar y flujo turbulento. 2

LV La ecuación de Darcy-Weisbach: h f  f D 2g i) Régimen laminar: f = 64 / Re 2 64 L V 32L hf   V  V . D D 2g D2 g

 / D2: Con V = 4 

hf 

128   D 4 g

h f = C.  1

(a)

ii) Régimen completamente turbulento: f es constante f = f ( Re,  )

 L 1  4  hf  f D 2 g  D 2

hf = C 

→ f = f (  ) = constante 2

 8L 2   f 2 5   D g 

2

(b)

iii) Régimen turbulento: f es función de Re y de  De las ecuaciones (a) y (b):

hf = C

 n

donde: 1,0  n  2,0; siendo los límites el régimen laminar y el régimen completamente turbulento.

78


hf = C

 

n

 hf = C

1

hf = C

 

2

p/ +   V 2/2g



La altura de la bomba: p/

+ V 2/2g

79


CURVAS CARACTERÍSTICAS DE LA BOMBA En una curva típica de rendimiento se puede apreciar el comportamiento de la eficiencia de la bomba, la potencia requerida y el rango óptimo de operación en función de la tasa de descarga, la cual depende de la velocidad de rotación, tamaño del impulsor, diseño del impulsor, número de etapas, la cabeza o columna dinámica en contra de la cual la bomba debe operar y las propiedades físicas del fluido a bombear. ALTURA DE COLUMNA (ft) RANGO DE OPERACION

ALTURA DE COLUMNA EFICIENCIA DE LA BOMBA

POTENCIA AL FRENO (BHP)

60 HERTZ RPM @ 60 Hz = 3500, Graveda especifica = 1.00 Bomba electrosumergible de Centrilift Serie 513

Fig. 2.4 Curva característica para una etapa a 60 Hertz Fuente: Schlumberger

La curva de Altura de columna: es trazada utilizando los datos de desempeño reales. Como puede observarse, cuando la capacidad aumenta, la altura de columna total (o presión) que la bomba es capaz de desarrollar se reduce. Generalmente, la columna más alta que una bomba puede desarrollar, se da en un punto en que no hay flujo a través de la bomba; esto es, cuando la válvula de descarga está cerrada. La curva de Potencia al Freno (BHP): se traza con base en los datos de la prueba de desempeño real. Esta es la potencia real requerida por la bomba centrífuga, tomando como base los mismos factores constantes que se mencionaron anteriormente, para entregar el requerimiento hidráulico. Rango de Operación: Este es el rango en el cual la bomba opera con mayor eficiencia. Si la bomba se opera a la izquierda del rango de operación a una tasa de flujo menor, la bomba puede sufrir desgaste por empuje descendente (downthrust). Si la bomba se opera a la derecha del rango de operación a una tasa de flujo mayor, la bomba puede sufrir desgaste por empuje ascendente (upthrust). La Eficiencia de la bomba centrífuga: no se puede medir directamente, debe ser computada de los datos de la prueba ya medidos. La fórmula para calcular el porcentaje de eficiencia es:

80

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Eficiencia (%) =

Alt. de columna  Capacidad  Gravedad Específica  100 3,960  BHP

Donde: Alt. columna = Pies Capacidad = Galones/minuto BHP = Potencia al freno (HP)

EMPUJES EN LABOMBA Empuje Axial en la Bomba: hay dos zonas donde se produce el empuje en una bomba. El primero es producido por las presiones del fluido (PT & PB) en el impulsor (Figura. 25). La presión del fluido en el área superior del cuerpo del impulsor (AT) produce una fuerza hacia abajo en el impulsor. La presión del fluido en el área inferior del impulsor (AB) y la fuerza de inercia (FM) del fluido haciendo un giro de 90 grados en la entrada producen una fuerza hacia arriba. La sumatoria de estas fuerzas de denomina fuerza de empuje del impulsor (FI).

FI = PT AT - PB AB - FM Eje: la segunda zona de empuje es producida por las presiones del fluido actuando sobre el extremo del eje de la bomba (Figura. 2-6) y se conoce como empuje del eje (FS). En este caso, la presión (PD) producida por la bomba menos la presión de entrada de la bomba (PE) actuando en el área del eje (AS) produce una fuerza hacia abajo (FS).

FS = (PD - PE) AS Impulsor Fijo (o de Compresión) vs. Impulsor Flotante: El método del manejo del empuje ejercido por una bomba varía dependiendo del tipo de impulsor. La etapa de la bomba de impulsor fijo tiene sus impulsores montados en el eje de tal forma que no se les permite moverse o deslizarse axialmente sobre el mismo. Los impulsores están localizados de manera tal que están girando dentro de un espacio limitado por una distancia mínima a los difusores ubicados arriba y abajo de estos. Por lo tanto, el empuje del impulsor (FI) es transferido al eje de la bomba. El cojinete de empuje de la sección de sello tiene que llevar el empuje total (FT = FI + FS) de la bomba. La etapa de la bomba de impulsor flotante permite que su impulsor se mueva axialmente por el eje tocando las superficies de empuje del difusor. La etapa soporta y absorbe el empuje del impulsor (FI). El empuje es transferido a través de las arandelas de empuje al difusor y al alojamiento. Por lo tanto, la sección de sello solamente soporta el empuje del eje (FS) como se muestra en la Figura 2-6 (FS o FT = FS).

81


AT = Area superior del impulsor

AS = Area del eje

AT = Area inferior del impulsor

Fig. 2.5

Empuje axial

Fuente: Manual REDA.

Fig. 2.6 Empuje del eje Fuente: Manual REDA

Es un concepto errado pero muy común pensar que el impulsor flota entre las superficies de empuje del difusor a un flujo óptimo. Cuando el impulsor alcanza o se acerca a su punto de empuje equilibrado (FI=0), empezará a ser inestable y comenzará a oscilar hacia arriba y hacia abajo. Por este motivo los impulsores están diseñados para ser estables o para presentar un leve empuje hacia abajo a su volumen de diseño óptimo y para pasar por esta región de transición a un caudal más alto. En la figura 2-7 se observa una curva de empuje típica de una bomba centrífuga.

Fig. 2.7 Curvas de empuje axial Fuente: Manual de REDA.

82

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE EJEMPLO 8.15: Por la tubería mostrada fluye un aceite (S = 0.92 a razón de 6600 Litros / h, en el sentido indicado en la figura. a) ¿Cuál es el valor de la caída de presión? [ p1 - p2 ] en m de aceite?. b) Hallar la perdida debido a la fricción. c) Hallar el factor de fricción f. d) ¿Es flujo laminar ?. Evalúe el número de Reynolds Re. e) Hallar la viscosidad absoluta del aceite. 142 N



1 1,2 m

h =250 mm Z1

2 Z2 25 mm

DR Hg = 13,6

83


84


85

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6 CIRCUITO DE TUBERÍAS

Un caso muy frecuente, que se presenta en el transporte de un fluido, es la selección de una bomba, ventilador o compresor, para lo cual habrá de determinar las pérdidas de energía en la instalación. Se considera que los sistemas de tuberías se componen de:  Elementos de tuberías: Son tramos de tubería de diámetro constante.  Accesorios válvulas y elementos de control: conexiones, codos, reductores, Válvulas, medidores de presión, y cualquier otro dispositivo que pueda crear una pérdida en el sistema.  Equipo de bombeo: Que añaden energía al fluido y las turbinas que extraen energía del fluido. En este capítulo se exponen las reglas para la solución de los problemas de los sistemas de tuberías y ductos, relacionando:   

8.6.1

Geometría de las tuberías:

Longitud (L), diámetro (D), rugosidad (e). Propiedades del fluido: Densidad (  ), viscosidad (  ). Variables técnicas: Caída de presión ( ∆ p ), velocidad ( V ), flujo volumétrico o caudal (  , Q ).

ECUACIONES APLICABLES

 Ecuación de energía.  Ecuación de continuidad.  Ecuación de ímpetu  Ecuación de Darcy – Weisbach  Ecuación de Hagen – Poiseuille.  Ecuación de Colebrook 8.6.2

Ecuaciones (  ).

TUBERÍAS EN SERIE

Son aquellas distribuidas en forma tal que todos los tramos conducen el mismo caudal  , pero tienen diferentes caídas de presión, tales que: L1, D1,

e1, hp1



L2, D2,

L3, D3,

e3, hp3



1 = 2 = 3 hp

86

e2, hp2

A-B

= hp1 + hp2 + hp3





=

i

= constante

hp A-B = =

 hpi.

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.6.2.1. CASO 1 :

PRESION A LA SALIDA DE UNA TUBERIA

a. Datos:

- Geometría de las tuberías: L, D, e - Condiciones del flujo en una sección: Velocidad, presión, etc.

b. Incógnita:

condiciones del flujo en otra sección.

c. Solución:

Se resuelve directamente aplicando las ecuaciones (  ): Ecuación de energía. Ecuación de continuidad. Ecuación de darcy – Weisbach. Ecuación de Hagen - Poiseuille Ecuación de Colebrook.

PROBLEMA 1 : Se encuentra fluyendo 0,018 m3 / s de agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado. Determine la pérdida de carga Δh entre el punto A y el punto B, si ambas tuberías son de acero soldado sin costura. Fluido:

Agua a 40ºC T ( ºC ) 37,8 43,3

 ( cst )  ( kg / m 3 ) 0,690 993,1 0,610

991,0

A

 =1

 = 1,12 H

 = 0,8 ± 40%  =1,12

2

hs = ΔV / 2g

B



 = 1,12

L/D = 40

Solución

 = 1,0

Tubería:

Acero soldado sin costura Di = 90,9 mm Di = 165,2 mm e = 0,00015 pies <> 0,04572 mm

Fluido:

Agua a 40ºC 87

MECÁNICA DE FLUIDOS T ( ºC ) 37,8 40,0 43,3

 ( cst )  ( kg / m 3 ) 0,690 993,1 0,658 992,3 0,610 991,0

0,69  0,61  (40  37,8)  0,658 cst 43,3  37,8 993,1  991,0   993,1   (40  37,8)  992, 26 kg / m3 43,3  37,8

  0,69 

En unidades S.I.:

 = 0,658 x 10 - 6 m 2 / s  = 992,26 kg / m 3 La pérdida de carga entre [A] y [B] se encuentra aplicando la ecuación: n

h  hf +  hs

a la tubería [1] y la tubería [2].

1

m

n L V2 V2 h  f   i  f D 2g 2g 1

hA B

 (L / D)

r (V 2 )k V2  2g 2g 1

D

  L V 2 n V2  f   i  f 2g  D 2g 1 

  L V 2 n V2  f   i  f 2g  D 2g 1 

D

j

1

m

 ( L / D)

j

D

2

V  2g 1

1

D

m

 ( L / D)

j

D

1

D

2

V1  Re1 

 0,5

f1

88

r

V  2g 1

Cálculo de los coeficientes f1 y f2: tubería 1:

 (V  V )   2g  tuberia 1 2 2

r

4  0,018  2,774 m / s  0,0909 2

4  0, 018  383 171   0, 0909  0, 658 106

= 0,04572 mm / 90,9 = 0,000 502 97

 2,51 0,00050297   2 log    3,71   383171 f asum

2 1 k

 (V  V )   2g  tuberia 2 2 2

2 1 k

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 1

f asum = 0.5 0.01696 0.01796 0.01793 0.01793 f calc = 0.01696 0.01796 0.01793 0.01793 0.01793

Tubería 2:

V2 

4  0,018  0,8397 m / s  0,1652 2 4  0, 018  210 837   0,1652  0, 658 106

Re2 

2 f2

1

0,5

= 0,04572 / 165,2 = 0,000 276 8

 2,51 0,0002768   2 log    3,71   210 837 f asum

f asum = 5 0.01489 0.01765 0.01745 0.01747 f calc = 0.01489 0.01765 0.01745 0.01747 0.01747

Reemplazando valores: hA B  0, 01793

55 0, 0909

 0, 01747

30 0,1652

2, 7742 2, 7742  (1, 00  1,12  1,12)  0 2g 2g

2, 7742  0,832 2g

0,8397 2 0,8397 2  (1,12  1, 00)  2g 2g 0, 01747

40  0,1652 0,1652

0,8397 2  0 2g

hA B  4, 255 m  1, 271 m  0  0,356 m  0,114 m  0, 0359 m  0, 0251 m  0

hA B  5,882 m  0,175 m  6,057 m Se encuentra fluyendo 0,015 m 3 / s de alcohol metílico a 25ºC (  = 5,60  10 – 4 Pa-s,  = 789 kg / m 3). La línea de succión es una tubería de acero estándar P2.

Calibre 40 de 4 pulgadas de diámetro nominal y de 15 metros de largo. La longitud total de la tubería de acero estándar Calibre 40 de 2 pulgadas de diámetro nominal en la línea de descarga es de 200 metros. Suponga que la entrada del depósito 1 es a través de una entrada de orilla cuadrada y que los codos son estándar roscado. La válvula es de globo completamente abierta. a. Calcule la presión en la sección de descarga de la bomba, así como b. la potencia proporcionada a la bomba que se muestra en la figura; si su eficiencia es del 76%.

89


90


91

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6.2.2 CASO 2 :

CAUDAL QUE PUEDE SER TRANSMITIDO

a. Datos:

- Presiones en varias secciones de la tubería. - Geometría de las tuberías: Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. b. Incógnita: Flujo transmisible. c. Solución: 

Aplicando las ecuaciones :    

Ecuación de energía. Ecuación de continuidad. Ecuación de Darcy – Weisbach. Ecuación de Colebrook.

Ecuaciones (  ).

se obtiene una ecuación en función de la velocidad V y el factor de fricción f : F ( V, f ) = 0 [1] i)

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen - Poiseuille f = 64 / Re - De la ecuación [ 1 ], se obtiene la velocidad V - Se determina el número de Reynolds:

Re 

 D V 

y debe verificarse

D 4  V   D

[2]

Re < 2000

Si no es así, el flujo es turbulento. ii)

Régimen turbulento: - Se asume un valor de f : - De la ecuación: F ( V, f ) = 0 se obtiene la velocidad V

f = f asumido =

[ 0,010 - 0,20 ] [1]

- Se determinan el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa

 D Re  V 



:

D V 

= e/D

- De la ecuación de Colebrook:

 2,51    0,5 fcalculado   2 log    3,71   Re fasumido se determina el factor de fricción f calculado - Si f calculado es diferente del f asumido, se repite el procedimiento, iniciándolo con el valor de f calculado; y así sucesivamente hasta lograr que f calculado = f asumido . - La aproximación a que se hace alusión, bastará con obtener tres cifras significativas   V  A. iguales. Luego se calcula el caudal 

92

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P3: Determine el flujo volumétrico desde A hasta B, si la bomba en E tiene las siguientes características: ∆ HB = 30 donde ∆ HB : [ m ];

 / 8 

: m3 / s

La tubería es de acero comercial soldado y sin costura DN = 8 , cédula 30. El fluido es agua  = 1000 kg / m3;  = 0,0113  10 - 4 m2 / s. Considere los elementos secundarios indicados en la figura. 1  = 0,8

100 m 30 m A

C

E

 =0,2



30 m  = 1,0

2

 = 0,8

20 m 80 m

D

B

Solucion 2 Para el sistema, la altura de la bomba está dado por: H   p   z  V   h B SISTEMA  2g

HB = 0 + ∆ Z + 0 + hf + ∑ DN = 8” NR30

hs

=

L +  D

∆Z + [f

 i]

V2 2g

Di = 8,071” <> 20,50 cm  = 0,000223 HB = - 40 + [ f

V2 210 + 0,2 + 2  0,8 + 1,0 ] 2g 0,205

 /  D2 )2 2 2 V2 (4 8 8     2g 2g 2 4 2 4 g D g  0.205

Con

HB = - 40 + [ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491 Igualando con el HB de la bomba:

70 =

 + 8

2 46.78491 

 2

 /8 ∆ HB = 30 - 

[ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491

 2

= A

[1]

Para el cálculo del factor de fricción f, se requiere determinar el número de Reynolds Re, y la rugosidad relativa

 D Re  V 

. D 4  V   D

93

MECÁNICA DE FLUIDOS Re



4 π 0,205 0,0113 10 4

  5 496393  

[2]

= 0,000223

[3]

 2,51   f  0,5   2 log    3,71   Re f

i)

[4]

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen – Poiseuille : f = 64 / 5 496 393

V 

 4  π D2

f = 64 / Re

 = 0,000011644 /   4

π 0,2052

  30,297 

[5]

  2 + [ 1024,39  0,000011644 /  + 2,8 ] 46,78491  8   2 70 = + [ 0,011928 /  + 2,8 ] 46,78491  = A 8

En [ 1 ] :

70 =

V (m3/s)= A=

0,7 64,58

0,73 70,22

0,72 68,31

0,729 70,02

Re = 5 496 393  0,729 = 4 006 871 > 2000

En [ 2 ] :

¡el flujo es turbulento! ii)

Régimen turbulento :

 : 0,71 m3 / s - Se asume un valor de  - Se determinan: De [ 2 ] : De [ 3 ] : En [ 4 ] :

f

f asumido = f calculado =

Re = 3 902 439



= = 0,000223 la ecuación de Colebrook :

 2,51 0,000223   0,5    2 log   calculado 3,71   3 902 439 f asumido

0.017 0.014261746

0.01426175 0.01428229

0.01428229 0.01428212

se determina el factor de fricción - Se reemplaza este valor de f = 0,01428 70 =

= 0,01428

en la ecuación [ 1 ] :

0,71 2 + [ 1024,39 (0,01428 ) + 2,8 ] 46,78491 (0,71) = A 8

Se obtiene el valor de A = 411, diferente de 70.

94

f

0.01428212 0.01428212

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Se asume otro valor para el flujo volumétrico y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 70.

P4: En el ejemplo anterior, ¿Cuál es el máximo flujo volumétrico que se descarga sin el uso de la bomba?. 1  = 0,8

100 m 30 m A

C

E

 =0,2

30 m  = 1,0

2

 = 0,8

20 m 80 m

D

B

Solucion Para el sistema, la altura de la bomba está dado por: HB = - 40 + [ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491

 2

Al no haber bomba, el valor de HB es cero, con lo cual: 40 =

[ 1024,39 f + 2,8 ] 46,78491

 2

= A

[1]


.

Re  Re

 D V 

D 4  V   D

4 π 0,205 0,0113 10 4

  5 496393  

[2]

95

MECÁNICA DE FLUIDOS 

= 0,000223

[3]

 2,51   f  0,5   2 log    3,71   Re f

i)

[4]

Asumiendo el caso de régimen laminar : f = 64 / Re f = 64 / 5 496 393

En [ 1 ] :

 4

 = 0,000011644 / 

V 

 4  π D2

40 =

[ 1024,39  0,000011644 /  + 2,8 ] 46,78491

40 =

[ 0,011928 /  + 2,8 ] 46,78491

π 0,2052

  30,297 

[5]

 2 = A

En [ 2 ] :

Re = 5 496 393  0,5505 = 3 025 544 > 2000

Como Re > 2000



iii)

 2

¡el flujo es turbulento!


 : 0,5505 m3 / s - Se asume un valor de  - Se determinan: De [ 2 ] :

Re = 3 025 764

De [ 3 ] : En [ 4 ] :


f





0.01 0.014431973

0.01443197 0.01436736

0.01436736 0.01436808

se determina el factor de fricción - Se reemplaza este valor de f = 0,014368 40 =

f

0.01436808 0.01436808

= 0,014368

en la ecuación [ 1 ] : 2

[ 1024,39 (0,014368) + 2,8 ] 46,78491 (0,5505) = A

Se obtiene el valor de A = 248, diferente de 40.

Se asume otro valor para el flujo volumétrico y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 40.

96


El flujo volumétrico que descarga la bomba es de 0,290083 m 3 / s; y el flujo volumétrico que se descarga por gravedad es de 0,218258 m 3 / s. Esto sugiere que podría arreglarse para utilizar la descarga por gravedad, y la diferencia de 0,290083 - 0,218258 = 0,071825 m 3 / s descargarlo mediante una bomba, de menor tamaño que la que se utiliza, según el problema.

8.6.2.3 CASO 3 :

CÁLCULO DEL DIÁMETRO DE TUBERÍA

a. Datos :

- Caída total de presión o presión en dos secciones de la tubería. - Geometría de las tuberías : Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. - Flujo másico transportado o flujo volumétrico. b. Incógnita : Diámetro. c. Solución : 

Aplicando las ecuaciones :    

Ecuación de energía. Ecuación de continuidad. Ecuación de Darcy – Weisbach. Ecuación de Colebrook.

Ecuaciones (  ).

se obtiene una ecuación en función del diámetro y el factor de fricción f : F ( D, f ) = 0 [1] i)

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen - Poiseuille - Se determina el número de Reynolds:

Re 

 V V D  

y debe verificarse

D

 1 4  D

[2]

Re < 2000

Se puede usar también el siguiente procedimiento: - Factor de fricción f = 64 / Re - De la ecuación [ 1 ], se obtiene el diámetro D. - Se evalúa el número de Reynolds en la ecuación [ 2 ], y se debe verificar : 2000. Si no es así, el flujo es turbulento.

Re <

97

MECÁNICA DE FLUIDOS ii)

Régimen turbulento : - Se asume un valor de f : - De la ecuación: F ( D, f ) = 0 se obtiene el diámetro D.

f = f asumido =

[ 0,010 - 0,20 ] [1]

:

- Se determinan el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa

Re 



 V V D  

 1 4 D   D

= e/D

- De la ecuación de Colebrook :

 2,51    0,5 fcalculado   2 log    3,71   Re fasumido se determina el factor de fricción f calculado - Si f calculado es diferente del f asumido, se repite el procedimiento, iniciándolo con el valor de f calculado; hasta conseguir la aproximación deseada. - La aproximación a que se hace alusión, bastará con obtener tres cifras significativas   V  A. iguales. Luego se calcula el caudal   Un sistema de tuberías, con la geometría de la línea central que se muestra en la

P5:

3

figura, debe transportar un flujo volumétrico de por lo menos 0,290083 m / s de agua desde el tanque A hasta el tanque B. ¿Cuál será el diámetro mínimo de la tubería para descargar el flujo volumétrico indicado?. 1  = 0,8

100 m 30 m A

C

E

 =0,2  = 0,8



30 m  = 1,0

2 20 m

80 m

D

B

Solucion

Aplicando la ecuación de energía entre los niveles de las superficies libres líquidas de los tanques A y B :

 z  h

40 m =+ [ f

98

210 D

SISTEMA

= hf + ∑

hs

+ 0,2 + 2  0,8 + 1,0 ]

=

V2 2g

[f

L +  D

 i]

V2 2g

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Con

 /  D2 )2 2 (4 8 8  (0,290 083) 2 V2     2g 2g 2 4 2 4 g D g D 40

210 D

= [f

0,006 952 897

0,006 952 897

+ 2,8 ]

D4 [1]

D4


.

Re 

D 4  V   D

4  0,290 083

Re 



 D V 



π D  0,0113  10  4

=e/D =

326 854 D

[2]

0,000045720 / D

[3]

 2,51   f  0,5   2 log    3,71   Re f i)

[4]

Asumiendo el caso de régimen laminar: - Se usa la ecuación de Hagen – Poiseuille: f = 64 / 326 854 / D

En [ 1 ] :

40

=

0,000 195 806 D

210 D

40

= [ 0,000 195 806 D

40

= [ 0,041 119 260 + 2,8 ]

= [ 2,841 119 260 ]

+ 2,8 ]

0,006 952 897 D4

0,006 952 897 D4

0,006 952 897

Re 

En [ 2 ] :

f = 64 / Re

D4



326 854  2 192 577 0,149 073

D = 0,149073 m

> 2000

¡el flujo es turbulento!

iv)


- Se asume un valor de D = 0,205 - Se determinan: De [ 2 ] : De [ 3 ] : En [ 4 ] :

f


Re = 1 594 410





0.01 0.01472776

0.01472776 0.0146129

0.0146129 0.01461503

0.01461503 0.01461499

99

MECÁNICA DE FLUIDOS - Se reemplaza este valor de f = 0,0146 40

= [ 0,0146

en la ecuación [ 1 ] :

0,006 952 897 210 + 2,8 ] 0,205 0,205 4

= A

[1]

Se obtiene el valor de A = 69,9 diferente de 40. Se asume otro valor para el diámetro y se repite el procedimiento hasta que el valor de A sea igual a 40.

40

= [f

Re 



210 D

0,006 952 897 + 2,8 ]

4  0,290 083 π D  0,0113  10  4

=e/D =

D4

=



326 854 D

A

[1]

[2]

0,000 04572 / D

[3]

 2,51   f  0,5   2 log    3,71   Re f

[4]

En la tabla de tubería de acero soldado se ubica este valor de Di = 0,22958 m = 9,03858 pulgadas y corresponde a: DN = 10 pulgadas

NR40

Di = 10.020 pulgadas. = 0,2545 m

Se ha de utilizar una válvula para regular el flujo volumétrico. El flujo volumétrico que la tubería descarga es de 0,37525 m3 / s . 40 m = [f

 /  D2 )2 2 2 (4 8 8 V2     2g 2g 2 4 2 4 g D g  0.2545

Con

40

= [825,1473 f + 2,8 ] 19,69564

Re 



100

V2 210 + 0,2 + 2  0,8 + 1,0 ] 2g 0,2545

 2 =

4 4    πDν π  0,2545  0,0113  10 4

=e/D =

0,000180

A

2 19,69564 

[1]

  4 427 350   

[2]

[3]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE  2,51   f  0,5   2 log    3,71   Re f

Ecuación De ( 2 ) : De ( 3 ) : De ( 4 ) : En ( 1 ) :



asumido Re =

 f A =

 = 

1 0,2900 1283932 0,000180 0,014255 24,1212

0,37525

2 0,4000 1770940 0,000180 0,014049 45,3545

[4]

3 0,3758 1663798 0,000180 0,014085 40,1151

4 0,37524 1661319 0,000180 0,014086 39,9976

5 0,37525 1661363 0,000180 0,014086 39,9997

m3/s

1

f asumido f calculado

0,1 0,0137629 0,0142681 0,0142546 0,0137629 0,0142681 0,0142546 0,0142549

2


0,010 0,0141535 0,0140467 0,0140489 0,0141535 0,0140467 0,0140489 0,0140488

3


0,01 0,0141959 0,0140824 0,0140848 0,0141959 0,0140824 0,0140848 0,0140847

4


0,01 0,0141969 0,0140832 0,0140857 0,0141969 0,0140832 0,0140857 0,0140856

5


0,01 0,0141969 0,0140832 0,0140856 0,0141969 0,0140832 0,0140856 0,0140856

P6: Determine el diámetro requerido de una tubería de acero soldado sin costura cédula 40 para descargar por lo menos 630 GPM de agua ( T = 18ºC ) del tanque A hacia el tanque B.. La línea contiene 76,2 m de tubería recta, tres válvulas de globo totalmente abiertas y seis codos estándar de 90º. Todas las conexiones son con brida. [ pulgadas ] A

1 45,72 m B

2

Agua 18ºC

101

MECÁNICA DE FLUIDOS 8.6.3

TUBERIAS EN PARALELO

Son aquéllas distribuidas en forma tal que todos los tramos están sometidos a la misma diferencia de presiones, pero conducen diferentes caudales.

L1, L2, L3 Son longitudes equivalentes. Características del sistema:

hpA  B  hp1  hp2  hp3



hp A-B

        1 2 3



     i

= constante

n

i 1

Es evidente que se requiere que en el nudo B, todos los ramales deben de llegar con la misma presión, para que el sistema funcione. La figura anterior bien seria el modelo de un sistema de agua de enfriamiento de tres equipos (ejem. Grupos electrógenos). Después de refrigerar a cada uno de los equipos, el agua caliente se impulsa hacia una torre de enfriamiento, luego, una bomba lleva el agua enfriada al sistema en paralelo.

102

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.6.3.1 CASO 4:

DISTRIBUCIÓN DE FLUJOS

a. Datos:

- Condiciones del flujo aguas arriba nodo A. - Geometría de las tuberías : Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e. - Flujo másico transportado o flujo volumétrico.

b. Incógnita: Presión en el nodo B o caída de presión. c. Solución:

  1

-

Asumir

por el ramal 1.

-

Determinar el correspondiente

-

En el ramal 2 con

-

En el ramal 3 con

-

Los flujos volumétricos reales se obtienen proporcionalmente los flujos volumétricos primas :

hp2 hp3

= =

hp1 . hp1 se determina 2 hp1 se determina 3

. . repartiendo

  1      1       1  2  3

  2   2      1  2  3   3      3    1  2  3 - Comprobar los valores obtenidos de

hp1 , hp2

y

Se debe de verificar:

  i

-

, calculando.

hp3 . hp1 = hp2

=

hp3 .

- Suele fijarse un porcentaje de error aceptable:

% Error 

hpmáximo  hpmin hpmin

 100 

2%

- Si no se verifica el porcentaje de error  2 %, volver a iniciar el proceso partiendo de:

     ,  1 1

hasta que se verifique que el error sea  2

%. Luego los valores del flujo en cada ramal son los valores reales últimos calculados.

103

MECÁNICA DE FLUIDOS P7: A través de las tres líneas paralelas de la figura fluyen 0,10 m 3 / s de agua

20°C. Determine el caudal volumétrico en cada línea y la caída de presión pA- B. Todas las tuberías son de plástico liso con un diámetro interno de 3,0 cm. La tubería está en un plano horizontal y D1= D2 = D3 = 3 cm. Solución

 

L1 = 260 m

Datos:

1

D = 3 cm. Agua:  = 1000 Kg / m –6

 = 10

3

 

L2 = 200 m

 

T = 20°C

 

2

A

 

2

m /s

L3 = 300 m

B 3

e = 0,000 005

       

Se tiene:

1

2

3

hAB  h1  h2  h3

1

RAMAL 1:

  3

 asumido  

h

p1



0,005 3

L



f

EQUIV

D

 0,0016 m3 / s

V2 2g

(1)

 4 4 x 0,0016 m3 / s   2,263 m / s 2  D2 0,03 m 2 VD 2,263 x 0,03 Re    67 906 V 10 6

V 

 

e 0   0 D D

La ecuación de Colebrook :

 2,51 f cal01,5   2 log   67 906 f as

asumido

  0 

=

0,010

0,0212

0,0133

0,01956

 calc =

0212

0,0193

0,01956

0,019529

0,0195

En ( 1 ) :

104

h p1

260  0,0195 0,03

2,2632 2g

 44,112 m

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 2

RAMAL 2:

h' p 2

L



f

200 0,030

44,112 m  f

0,129821616 = f V

V2  2g

EQUIV

D 1 V2 2g

h' p 1

2

[2]

Re 

V  0,030 10 6

 

e 0   0 D D



30 000 V

[3]

[4]


  2,51 f cal01,5   2 log   0   Re f asumido as

=

[5]

0,0195

0,0189

De [ 2 ] : V =

2,5802 m / s 2,6228

De [ 3] :

Re =

77 407

78 626

De [ 5 ] :

calc =

0,0189

0,0189

El flujo volumétrico :

 '2  3

 2,6208

m   (0,030) 2 m 2  0,001 852 5 m3 / s s 4

RAMAL 3:

h' p 3



L f

44,112 m  f

EQUIV

D 300 0,030

0,086 547 744 = f V

V2  2g

h' p 1

V2 2g

2

Re 

V  0,030 10 6

 

e 0   0 D D



[2]

30 000 V

[3] [4]


f

0 , 5 cal 1

 2,51   2 log   Re f

asumido

  0  105

MECÁNICA DE FLUIDOS [5] as

De [ 2 ] :

=

0,0189

V=

0,0198

2,139 8 m / s

0,019 88

2,090 7

2,086 5 De [ 3] :

Re =

64 198

62 722 62 595

De [ 5 ] :

calc =

0,0198

0,01988

0,019 88

El flujo volumétrico :

 '3  4.

 2  2,086 5 m  (0,030) m 2  0,001 474 8 m3 / s s 4

LOS FLUJOS VOLUMÉTRICOS REALES :

  i

 'i    ' ' '  1   2  3 



  1



  2



0,001 852 5 0,004 927 3

0,005 m3 / s  0,001 879 8 m3 / s

  3



0,001 474 8 0,004 927 3

0,005 m3 / s  0,001 496 6 m3 / s

5.

0,0016 0,001 6  0,001 852 5  0,001 474 8

VERIFICACIÓN :

CÁLCULO DE LA PÉRDIDA EN CADA RAMAL

h 1

RAMAL 1:

V



Re   

106

0,005 m3 / s  0,001 624 m3 / s

p



L f

EQUIV

D

V2 2g

3

 = 0,001 624 m / s

4 x 0,001 624 m3 / s

 0,032 m 2

 2,297 49 m / s

VD 2,297 49 x 0,03   68 925 V 10 6 e 0   0 D D

[a]

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE f


as

=

0,0195

 2,51   2 log   68 925 f

0 , 5 cal 1

0,019 465

asumido

  0 

0,019 47 0,019 47

 calc =

0,019 465

 0,032 m 2

VD V

Re   

2,297 52 2g

 45,397 m

3

4 x 0,001 879 8 m3 / s



260 0,03

 = 0,001 879 8 m / s

RAMAL 2:

V

0,019 47

 0,019 47

h p1

En [ a ] :

2

0,019 47



 2,659 37 m / s

2,659 37 x 0,03  79 781 10 6

e 0   0 D D


 2,51 f cal01,5   2 log   79 781 f as

=

0,0189

asumido

0,018 86

  0  0,018 867 0,018 867

 calc =

0,018 86

 0,018 867

En [ a ] : h p2 3



Re   

200 0,03

0,018 867

2,659 37 2 2g

 45,338 8 m

3

 = 0,001 496 6 m / s

RAMAL 3:

V

0,018 87

4 x 0,001 496 6 m3 / s

 0,032 m 2

 2,117 26 m / s

VD 2,117 26 x 0,03   63 518 V 10 6 e 0   0 D D

107

MECÁNICA DE FLUIDOS La ecuación de Colebrook :

 2,51 f cal01,5   2 log   63 518 f as

asumido

  0 

=

0,019 88

0,019 81

0,019 82

 calc =

0,019 81

0,019 82

0,019 82

0,019 82

En [ a ] :

h p3

 0,019 82

Resúmen :

% error 

300 0,03

2,117 26 2 2g

hp1 =

45,397 m

hp2 =

45,339 m

hp3 =

45,285 m

45,39  45,285  100  0,248 45,285

 45,284 86 m

o.k.

Luego, los caudales parciales son : 3

1,624 litros / s

3

1,879 litros / s

3

1,497 litros / s

1 = 0,001 624 m / s. 2 = 0,001 879 m / s. 1 = 0,001 497 m / s.

3

0,005 000 m / s

5,000 litros / s

P8: Las tuberías mostradas son de acero soldado sin costura. Determine el flujo en cada ramal.

108


1 FLUIDO

Agua a

20

ºC 1000 kg / m 3 0,0013 Pa s 0,0000013 m 2 / s

Densidad Viscosidad absoluta Viscosidad cinemática caudal 2 TUBERIA DN

NR

1 1 1/2 2 2 1/2 3 2

40 40 40

RAMAL

C. SOLUCIÓN Ramal 1 2 3

% Error = DN NR [m] 1 1/2 40 DN [m] 2 1/2

NR

DN [m] 2

NR

40

40

0,012616 m 3 / s

200 GPM

Acero soldado sin costura L m 260 200 300

Q m3/s 0,002010 0,006912 0,003695 0,012617

DI m 0,040895 0,062712 0,052502

e mm 0,0850 0,0650 0,0457

Af m2 0,00131 0,00309 0,00216

Af/L 5,1E-06 1,5E-05 7,2E-06 2,8E-05

 h m 20,909 20,910 20,909

0,011% 0,0051% L Di Af m m m2 260 0,0408948 0,00131349

e mm 0,085

Q m3/s 0,00201

 kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V Re f hf hs  h1  m/s m m m 1,530276069 48138,73005 0,002078503 0,026768314 20,31265707 0,596774935 20,90943201

L Di Af m m m2 200 0,062712 0,00308881

e mm 0,065

Q m3/s 0,00691

 kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V Re f hf hs  m/s m m 2,237755047 107949,3034 0,001036484 0,022133131 18,01558147 2,894908726

L Di Af m m m2 300 0,0525018 0,0021649

e mm 0,0457

Q m3/s 0,0037

 kg / m 3 1000

m Pa s 0,0013

V Re f hf hs  h3  m/s m m m 1,706959381 68937,26154 0,000870446 0,022654955 19,22461399 1,684442374 20,90905637

Q inicio =

0,002300

Q tem =

0,002010

 h2 m 20,9104902

Hoja Excell

109


P9. Una tubería de 150 mm de diámetro, se ramifica en una de 100 mm y otra de 50, como se muestra en la figura. Ambas tuberías son de cobre tipo K y tienen una longitud de 30 m. Determine ¿Cuál debería ser el coeficiente de resistencia  de la válvula, con la finalidad de obtener flujos volumétricos iguales en cada ramal?.

 =

P10: En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura siguientre, se encuentran fluyendo 850 L /min de agua a 10ºC a través de una tubería Calibre 40 de 4 pulgadas en A. El flujo se divide en dos tuberías Calibre 40 de 2 pulg como se muestra y después se juntan en el punto B. Calcule (a) el flujo volumétrico en cada una de las ramas y (b) la diferencia de presión PA - PB Incluya el efecto de las pérdidas menores en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. Los codos son estándar.

Q1 = Q2= P A-B =

110

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE 8.6.3.2 CASO 5 : a. Datos:

CALCULO DEL FLUJO TOTAL - Condiciones del flujo aguas arriba ( nodo A ) y aguas abajo ( nodo B ), o ∆ p. - Geometría de las tuberías: Longitud L, diámetro interior D, rugosidad absoluta e.

b. Incógnita: Flujo total. c. Solución: Igual que el caso 2 de las tuberías en serie. P11: La figura muestra un sistema con ramas en el cual la presión en A es de 700 kPa y la presión en B es de 550 kPa. Cada rama tiene una longitud de 60 m. Desprecie las pérdidas en las uniones pero tome en cuenta todos los codos. Si el sistema transporta aceite con un peso 3

específico de 8,80 kN / m , Calcule el flujo de volumen total de aceite. El aceite tiene una viscosidad cinemática de 4,80  10

-6

2

m /s

Q1 = Q2=

111

MECÁNICA DE FLUIDOS Sugerencia: que el estudiante se involucre en el aprendizaje de los principios de la mecánica de los fluidos en siete niveles: 1. Comprensión de los conceptos 2. Reconocimiento del enfoque lógico hacia las soluciones de los problemas 3. Capacidad de realizar los análisis y establecer expresiones para el cálculo de ciertas variables de interés 4. Capacidad para realizar los cálculos requeridos en las soluciones 5. Capacidad de criticar el diseño de un sistema dado y recomendar mejoras 6. Diseñar sistemas de fluidos, prácticos eficaces y eficientes 7. Empleo de enfoques asistidos por computadoras, para diseñar y analizar sistemas de fluidos. Después de que haya demostrado su destreza para resolver los problemas en forma manual, se recomienda proseguir con los enfoques asistidos por computadoras. Haga uso de técnicas como: El manejo de una hoja de cálculo, Microsoft Excel, El manejo de software de cómputo técnico El manejo de software comercial para el análisis del flujo de fluidos. HYDROFLO, para diseñar y analizar sistemas de flujo de fluidos que tienen una fuente única y un sólo punto de descarga. Pum-base es una extensa base de datos de curvas de rendimiento para bombas disponibles en el comercio; y junto con HYDROFLO es útil para seleccionar la bomba más adecuada para el sistema que se diseña. Pump-Base genera de manera automática la curva de flujo que corresponde a la altura de para la bomba, sobrepone la curva del sistema y determina el punto de operación de la bomba en éste. HCALC es otra herramienta que puede utilizarse para cálculos con DarcyWeisbach, Hazen Williams, Maning.

112

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE SEMINARIO Nº 1 Ing. Jorge Sifuentes Sancho P.S.1 : Se tiene que impulsar 40 litros de agua desalinizada desde un punto situado a 85 m.s.n.m. temperatura ambiente = 19 ºC, hacia otro punto situado a 2220 m.s.n.m. temperatura ambiente 10 ºC; utilizando tubería de acero soldado sin costura, NR 40. (ASTM A-106 Grado B). La trayectoria es de aproximadamente 5220 m y se estima los siguientes accesorios y válvulas: Longitudes equivalentes de accesorios y válvulas

ELEMENTO

TUBERÍA DE ASPIRACIÓN CANTIDAD L/D TOTAL

TUBERÍA DE DESCARGA CANTIDAD L/D TOTAL

CEDAZO DE ASPIRACIÓN

1

75

75

UNIONES SIMPLES

2

10

20

90

10

900

CODO 45º ROSCADO

1

16

16

38

16

608

CODO 90º ROSCADO

2

30

60

8

30

240

VÁLVULA DE COMPUERTA

1

13

13

1

13

13

VÁLVULA GLOBO

1

145

145

1

145

145

VÁLVULA DE RETENCIÓN

0

1

150

150

MEDIDOR DE FLUJO

0

1

TOTAL

0

0

329

2056

La tuberías a instalar son nuevas (e = 0,0456 mm); para la succión DN = 6 pulgadas de diámetro nominal, NR 40 y L = 8 m; para la descarga DN = 5 pulgadas, NR 40, y longitud 48 km. a. b. c. d.

Determine la pérdida de energía producida en la tubería de succión. Determine la pérdida de energía en la tubería de descarga. Determine la pérdida de energía en el sistema. Determine la potencia de la bomba requerida para impulsar el caudal de 40 l/s.

2 PLANTA DESALINIZADORA

Tubería de descarga 45 750 m

1 B

MAR

Tubería de succión

B B

40 litros /s

113

MECÁNICA DE FLUIDOS P.S.2 : Con respecto al P.S.1 Indague el efecto de: a. La rugosidad de la tubería sobre la pérdida de energía en el sistema. b. La temperatura del fluido sobre la pérdida de energía en el sistema. c. En base al ítem (a) y (b), ¿Cuál es la situación más desfavorable para la impulsión del flujo de agua desalinizada? Rugosidad de la tubería Tubería

Rugosidad mm 0,0456 0,062 0,083 0,098

Nueva Medio uso Usada Muy usada

Temperatura del agua Temperatura ºC 10 15 20

Densidad Viscosidad 3 kg / m Pa . S 999,7 999,1 998,2

0,001308 0,00114 0,001005

P.S.3 : Con respecto al P.S.1: a. Determine el diámetro económico del sistema de bombeo. b. Verifique el espesor de la tubería. c. ¿Es necesario disponer dos o tres estaciones de bombeo? d. Estime el costo total del sistema de bombeo propuesto.

Z = 85 msnm Z = 640 msnm Z = 1520 msnm

ASME B31.3:

t:

P: D: S: Y: E:

114

E1 E2 E3

t

85 700 1525

PD 2 (S E  P Y )

Espesor de diseño para presión interna (pulgadas) Presión de diseño interna (psi) Diámetro exterior de la tubería ( pulgadas) Esfuerzo permisible del material. Anexo 5 20000 psi coeficiente. Anexo 7 Factor de calidad. Anexo 6


f

0,5 calc

 2,51     2 log     Re* f asum 3,71

f calculado = potencia((1/((-2)*log10(((2,51/($C$62*raiz(b67)))+($c$63/3,71)))));2)

f 

0,25 5,74  ) ]2 [ log (  0, 9 3,7 Re

Esta ecuación produce valores para f que se encuentran entre  1,0% del valor de los correspondientes a la ecuación de Colebrook, dentro del intervalo de rugosidad relativa (D /e) comprendido entre 1000 y 1x10 6; y para números de Reynolds que van de 5 x10 3 hasta 1x 10 8. Esta es virtualmente la zona de turbulencia completa del diagrama de Moody

27 de Agosto del 2011

SOLUCIÓN

P.S.1: a. Pérdida de energía en la tubería de succión: b. Pérdida de energía en la tubería de descarga: c. Pérdida de energía en el sistema:

h = h = h =

P.S.2: a. Pérdida de energía en la tubería de succión: b. Pérdida de energía en la tubería de descarga: c. Pérdida de energía en el sistema

h = h =

P.S.3: a. b. c. d. e.

Diámetro económico de la tubería: Espesor de la tubería: Número de estaciones de bombeo: Presupuesto del sistema de bombeo propuesto: Costo del sistema de bombeo:

D = e = n =

115

MECÁNICA DE FLUIDOS SEMINARIO Nº 1

Ing. Jorge Sifuentes Sancho P.S.1: La figura muestra un arreglo horizontal de tuberías y accesorios a través del cual circula 18 l/s de aceite (DR = 0,83;  = 1,23 x10 -3 Pa.s). a. Determine la caída de presión hp A-B (en Pa). b. Determine la caída de presión hp A-B, utilizando el concepto de longitud equivalente para los accesorios en cada tubería. c. Determine la caída de presión hp A-B, utilizando el concepto de longitud equivalente para accesorios y tuberías 1 y 3, en función de la tubería 2. d. Opine respecto a los ítems a,b y c. A

B

hp1

hs1

hp2

L1, d1, e1



hs2

hp3 L3, d3, e3

L2, d2, e2



Válvula Compuerta

7

Válvula Compuerta

LON GI T U D D I Á M ET R OR U SGOSI D A D U N I ON ES

T U B ER Í A

hs3

I N T ER N O

U N I ON ES

V Á LV U LA

SI M PLES U N I V ER SA LES C OM PU ER T A

m

m

mm

1

20

0,1

0,0456

2

2

30

0,15

0,082

2

3

40

0,2

0,113

4

V Á LV U LA

C A M B IO

GLOB O

D E Á R EA

1 2

1 1

Rptas: a. hp A-B = Pa b. hp A-B = Pa c. hp A-B = Pa d. para el caso en que el flujo es completamente turbulento, los coeficientes de fricción f1, f1 y f3 son constantes; por lo que la ecuación ( c ) resulta de mucha utilidad. De manera general, considerando la disponibilidad del uso de la PC, es recomendable elaborar una hoja de cálculo. P.S.2:

Con respecto al P.S.1 prepare una hoja de cálculo, para determinar la caída de presión para diferentes flujos volumétricos, y trace un gráfico de flujo volumétrico vs caída de presión. CA UDA L

CA IDA DE PRESIÓN

Q

P

l/s

Pa

10 15 18 20 25 30 35

116

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P.S.3: Considerando el problema 1, con el adicional de que el punto B se encuentra 23 m sobre el nivel del punto A, seleccione una bomba y un motor adecuados para impulsar 10 l/s, 18 l/s y 25 l/s.

FLUJO

BOMBA

MOTOR

VOLUMÉTRICO

HB

PB



costo

PM



costo

l/s

m

Kw

%

S/.

Kw

%

S/.

10 18 25

P.S.4: Como parte de un informe que se presentará a la gerencia de Proyectos, se le encarga, para un flujo volumétrico de 10 l/s, 18 l/s y 25 l/s, determinar: 1. el costo del equipo de bombeo (Bomba y motor).CB + CM. 2. el costo de energía anual que demandará hacer funcionar el arreglo de tuberías del problema 1. CE Considere un funcionamiento de 10 horas por día, durante los 365 días del año. Costo de energía 0,45 $ / Kw-h. El horizonte del proyecto es de 10 años, el interés es de 14 % anual. 3. el costo total. CT = CB + CM + CE FLUJO

COSTO DE

COSTO DE

VOLUMÉTRICO

BOMBA

MOTOR

COSTO

Q

CB

CM

CBM = CB+CM

l/s

S/.

S/.

S/.

COSTO

COSTO DE

COSTO

ENERGÍA

TOTAL

CBM = CB+CM

CE

CT

S/./AÑO

S/./AÑO

s/. AÑO

EQUIPO BOMBEO EQUIPO BOMBEO

10 18 25

29 de Agosto del 2011

117

MECÁNICA DE FLUIDOS BIBLIOGRAFIA

118


PROBLEMAS RESUELTOS P1.

Considere el esquema siguiente:

I.

Establezca la diferencia entre un cambio de presión, una caída de presión y una pérdida de presión.

- El cambio de presión entre los puntos 1 y 2:  p = p2- p1 - La caída de presión es el negativo del cambio de presión:  pd = p1 - p2 - La pérdida de presión es la pérdida de energía E expresada en unidades de presión:  pL ó  hL (denominada  h 1-2).

E2 - E1

=

E

V12 p2 V22  z1    z2   Δh1-2  2g  2g

p1

V12 p1   z1    2g

V22 p2   z2      h12 2g

Caída de presión ( pd ) y la pérdida de energía en unidades de presión ( pL ): V22  V12 Δ pd  p1  p2   ( z2  z1)    Δ pL

2g

V 2  pd    z     pL 2g  Z:  V 2:

Cambio de posición, Z2 – Z1 Cambio de energía cinética 119


120


Problema:

Aire

f asumido 

0, 25 5, 74  )] [ log (  0,9 Re 3, 7

2

121


122

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P 8.6 Un flujo volumétrico de 0,003 m 3 /s de agua ( T = 20 ºC), se transporta a través de una tubería horizontal de hierro forjado de diámetro interior 4 cm y longitud de 500 m. a. Determine la pérdida de energía debido a la fricción, sin considerar las pérdidas secundarias. b. Determine caída de presión en dicho tramo. c. Calcule la potencia de la bomba necesaria para impulsar dicho caudal.

1

L

2

 D

Solución a. La ecuación de Darcy-Weisbach:

hf

 f

L D

V2 2g

La longitud de la tubería L = 500 m, el diámetro interior D = 0,040 m, la velocidad se evalúa con V = 4  /  D 2. Luego hay que calcular bel número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento, y aplicar la ecuación de Hagen Poiseuille o la ecuación de Colebrook para obtener el coeficiente .

La ecuación de energía da:

123


124


PROBLEMAS PROPUESTOS

P4.

Una tubería de 1 m de diámetro interior transporta petróleo crudo (DR = 0,86) a lo largo de una gran distancia horizontal. Si f = 0,02 y el caudal es 1000 L/s, ¿cuál debería ser el grado de separación máximo entre las bombas a lo largo de la tubería si la presión manométrica de salida del petróleo en el extremo de ésta es 200 KPa, y si la presión manométrica del petróleo en la tubería no debe ser mayor que 300 kPa? Determine la altura HB para las bombas y su correspondiente potencia. Si la tubería tiene una pendiente de 0,2º hacia arriba con respecto a la horizontal. ¿Cuáles son el grado de separación máximo de las bombas, la altura HB necesaria en las bombas y la potencia requerida?. [2,305 km; HB = 11,85 m; PB = 100KW]

P5.

Durante el invierno se bombea combustible a través de una tubería de diámetro interior de 200 mm y la salida se encuentra a una elevación de 0,3 m por encima de la entrada. El caudal es 600 L/s. Si existe un aumento 220 L/s. ¿Qué cambios en la altura HB,, y en la potencia se necesitan en la bomba para hacer el mismo trabajo en verano con una temperatura del combustible de 35ºC?. Utilice una viscosidad cinemática a 5°C = 2,323 x 1O -3 m2 /s y a  35°C  = 3,252 x 1O -3 m2 /s. La densidad relativa del combustible es 0,97.

P6.

Se transporta petróleo crudo (D.R. = 0,86) a través de una tubería de acero de diámetro interior 500 mm a lo largo de una distancia de 100 km. En una posición localizada en la mitad del recorrido horizontal, alguien ha perforado la tubería y está extrayendo petróleo ilegalmente. Si la caída de presión que se observa en los manómetros localizados cada 2 km es 3000 Pa antes del punto de extracción y, 2,800 Pa después de este punto, ¿cuánto petróleo se extrae ilegalmente? La temperatura es 5°C. [30,89 KW; 65,03 KW]

125


126


EVALUACIONES

127

MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS II

CICLO: 2006-2 FECHA: 24-05-2006 DURACIÓN: 110 minutos

EXAMEN PARCIAL ¡Con elementos de consulta!

Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones.

P1.- Se emplea un modelo a escala 1:20 de una embarcación de superficie para probar la influencia de un diseño propuesto sobre el arrastre de las olas. Se mide un arrastre de 24 N cuando el modelo tiene una velocidad de 2,6 m/s. ¿A qué velocidad corresponde ésta en el prototipo, y que arrastre de las olas se predice para el prototipo?. Haga caso omiso de los efectos viscosos y suponga el mismo fluido para el modelo y el prototipo. 3Ptos

P2.- Una turbina de viento grande, diseñada para operar a 50 km./h se probara en un laboratorio construyendo un modelo a escala 1:15. ¿Qué velocidad del aire debe de utilizarse en el túnel de viento, qué velocidad angular debe emplearse para simular una velocidad de 5 r.p.m. en el prototipo y qué potencia cabe esperar del modelo, si la salida de potencia del prototipo, según el diseño, es de 500 kW?. 3Ptos

P3.- Un conducto circular de hierro galvanizado tiene un caudal de aire de 5000 pie 3 /min y una pérdida de presión de 0,6 cm de agua a 15°C por cada 30 m de conducto. La presión promedio del aire es aproximadamente de 102,3 KPa y su temperatura es de 15°C , Determine el diámetro del conducto. 4 Ptos

P4.- Un aceite lubricante deberá ser bombeado a través de una tubería de acero horizontal de 6 pulgadas de diámetro nominal, número de referencia 40 con una caída máxima de presión de 60 KPa por cada 100 m de tubería. El aceite tiene una gravedad específica de 0,88 y una viscosidad dinámica de 9,5 x 10 –3 Pa-s. Determine el máximo flujo volumétrico permitido de aceite. 4 Ptos

P5.- Determine la resistencia superficial total de un tren de pasajeros que viaja a 80 km/h. El tren mide 183 m de longitud y tiene una área de sección transversal cuadrada de 9 m2 . (Sugerencia: Considere que el tren tiene superficies lisas sin interrupciones e ignore el lado del fondo.) 3Ptos Capa límite laminar:

 5 X CAf

Capa límite turbulenta:

 Re  1/ 2

= 1,328 (Re) - 1/ 2

  0,38 X

 Re  1/ 5

 0, 074  Re   1/ 5 Af P6.- Una aleta de poca curvatura sobre un submarino tiene un largo de 1,80 m y un ancho de 1,20 m; y puede asumirse que tenga la forma de una placa plana. Si la velocidad del submarino es 5 nudos (1nudo = 1,8533 km./h) en agua con una densidad de 1050 kg / m 3 y viscosidad cinemática  = 1,72 x 10 – 6 m2 / s, estime la fuerza de arrastre, sabiendo que la transición de flujo laminar a turbulento ocurre para Re* = 5 x 10 5 . 3Ptos C

A.A.D. – J.S.S.

128


129

MECÁNICA DE FLUIDOS MECANICA DE FLUIDOS II

MN-217-A, C

EXAMEN PARCIAL ¡CON ELEMENTOS DE CONSULTA!

UNI 04-06-2008

CICLO: 2008-1

Tablas, Diagramas, para propiedades de los fluidos y pérdidas secundarias P1.El mástil de una bandera tiene un diámetro de 30 cm y una longitud de 13 m. el fabricante desea encontrar el momento de flexión en la base del mástil para una velocidad del viento de 96 km / h. para hacer esto se construye un modelo a escala del mástil, de un diámetro de 3 cm y una longitud de 1,3 m. Determine una expresión para calcular el momento de flexión en el prototipo de mástil. [1 Pto] P2. Una compañía fabrica hélices de aeroplanos geométricamente semejantes hasta de 4 m de diámetro. En la prueba de un modelo de 0,33 m de diámetro, de una hélice de 4 m de diámetro, la velocidad del aire fue de 50 m/s. La velocidad angular del modelo fue de 2000 rpm, el empuje de 100 N y el par de torsión de entrada de la hélice de 20 m N. Calcule la velocidad angular correspondiente del prototipo, el empuje y el torque de entrada para una velocidad del aeroplano de 100 m/s. Los números de Reynolds y de Mach son de menor importancia. [3 Ptos] P3. Una bomba opera para suministrar agua a través del sistema de tuberías. El agua se encuentra a 10ºC y las conexiones son roscadas. a. Determine el caudal volumétrico a través del sistema. [2 Ptos] b. Encuentre la potencia de entrada a la bomba. [2 Ptos] c. Dé su opinión sobre este sistema de bombeo [2 Ptos]

16 m

130


P4. La figura muestra un sistema de bombeo en donde la eficiencia de la bomba es de 75% y los factores de fricción constantes. Si la descarga a través de la bomba es Q1 = 3 m 3 / s, calcule: a. .La distribución de agua en el sistema paralelo que se muestra en la figura, [2 Ptos] b. Calcule la potencia de bombeo requerida, [1 Pto] c. Si se quiere aumentar el caudal, manteniendo la bomba, ¿que se podría hacer en el ramal [3]? [2 Ptos]

Tubo 1 2 3 4

L (m) 100 1000 1500 800

D (mm) 1200 1000 500 750

 2 3 2 4

F 0,015 0,020 0,018 0,021

Z = 25 m

[2] B

Z=0m

[3] [1]

A

C

[4]

P5.Determine la resistencia superficial total de un tren de pasajeros que viaja a 80 km/h. El tren mide 183 m de longitud y tiene una área de sección transversal cuadrada de 9 m2 . (Sugerencia: Considere que el tren tiene superficies lisas sin interrupciones e ignore el lado del fondo.) 3Ptos Capa límite laminar:

 5 X

 Re  1/ 2

CAf = 1,328 (Re) - 1/ 2 Capa límite turbulenta:

  0,38 X C

Af

 Re  1/ 5

 0,074  Re   1/ 5 Ing. Jorge Sifuentes Sancho

131


132

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE MECÁNICA DE FLUIDOS II ra

1 PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta!


Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones.

P1.- Los datos de transferencia de calor por convección suelen presentarse en forma de un coeficiente de transporte de calor h, definido por Q = h .A .T, siendo Q flujo de calor (J/s); A, área de la superficie (m 2) y T diferencia de temperaturas (K). La forma adimensional de h, denominada número de Stanton, es una combinación de la densidad del fluido  , el calor específico Cp y la velocidad V. a. Obtenga la forma del número de Stanton sabiendo que es proporcional a h, b. ¿Cuáles son las unidades de h? .

P2.- En condiciones de flujo laminar, el caudal Q a través de un pequeño conducto de sección triangular del lado b y longitud L; es función de la viscosidad , la caída de presión por unidad de longitud  p/L y del lado b de de la sección triangular. a. Usando el teorema de pi, reescriba esta relación en forma adimensional. b. ¿Cómo varía el caudal si se duplica el tamaño b de la sección?.

P3.- La potencia P generada por un cierto diseño de aerogenerador depende de su diámetro D, la densidad del aire  , la velocidad del viento V, la velocidad de giro W y el número de palas n. Escriba esta relación en forma dimensional. Un modelo de 50 cm de diámetro del aerogenerador, que gira a 4800 rpm, desarrolla 2,7 kw a nivel del mar cuando la velocidad es de 40 m/s. ¿Qué potencia desarrollará un prototipo geométrica y dinámicamente semejante de 5 m de diámetro con vientos de 12 m/s a 2000 m de altura estándar?.. ¿Cuál es la velocidad de giro apropiada para el prototipo?. P4.- Si no hubiera bomba a través de este sistema de tubería usada (e = 0,085 mm), fluirían 0,14

m3/s de agua ( T = 16ºC ). Calcúlese la potencia requerida en la bomba para mantener el mismo régimen de flujo en dirección opuesta. Z = 42 m

600m = L D = 0,30 m

Z = 30 m

B P5.- Considere un flujo totalmente turbulento en una tubería circular horizontal de acero comercial

e = 0,046 mm. Para una diferencia de presiones dada,  P = 400 KPa constante, a lo largo de una longitud L, ¿Cómo cambiará el flujo volumétrico si el diámetro interno de la tubería de 2,0 cm pasa a un valor de 4,0 cm? Considere un flujo totalmente desarrollado. Ing. Jorge Sifuentes Sancho

MECÁNICA DE FLUIDOS II

MN217-A

133

MECÁNICA DE FLUIDOS 3 RA PRÁCTICA CALIFICADA

CICLO:

¡Con elementos de consulta Tablas, diagramas y gráficos!

2009-1

FIM: 25-06-2009

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. Un cierto avión vuela al mismo número de Mach independientemente de su altura de vuelo. Cuando lo hace al nivel del mar; vuela 127 km/h más rápido que cuando lo hace a 12 000 m de altura estándar. Determine su número de Mach. P2. Dadas las mediciones de temperatura y presión de remanso del tubo de pitot y de la presión estática de la Figura, calcule la velocidad del aire V suponiendo (a) flujo incomprensible y (b) flujo compresible.

P3. El gran depósito de aire comprimido de la figura se descarga a través de una tobera con una velocidad de salida de 235 m/s. el manómetro de mercurio indica h = 30 cm. Suponiendo flujo isentrópico, calcule la presión (a) en el tanque y (b) en la atmósfera (c) ¿Cuál es el número de Mach de salida? P4. Un flujo de aire, con condiciones de remanso de 800 kPa y 100 ºC, se expande isentrópicamente en un conducto hasta una sección donde A1 = 20 cm2 y p1 = 47 kPa. Calcule (a) Ma1, (b) el área de la garganta y (c) el flujo másico. En la sección 2, entre la garganta y la sección 1, el área es de 9 cm2. (d) Calcule el número de Mach en la sección 2. P5. La figura muestra un flujo de aire que pasa de un gran depósito a otro a través de una tobera convergentedivergente. Un manómetro de mercurio entre la garganta y el depósito aguas abajo mide h= 15 cm. Calcule la presión del depósito agua abajo. ¿Aparece alguna onda de choque normal en el flujo?. Si es así, ¿se encuentra ésta en el plano de salida o más aguas arriba?.

134

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

MECÁNICA DE FLUIDOS II 1 RA PRÁCTICA CALIFICADA

MN217-A-C CICLO: 2009-2

¡Con elementos de consulta Tablas, diagramas y gráficos!

24-09-2009

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. Calcular la potencia de la bomba requerida para impulsar 45 litros / s de un fluido

(  = 0,04 Pa-s; DR = 1,83 ) desde un tanque de suministro y a través de una tubería de acero soldad sin costura de DN 6 pulgadas, NR80 y 90 m de longitud, hasta un tanque de almacenamiento. El nivel del líquido en el tanque de almacenamiento se encuentra a 16 m arriba que el nivel en el tanque de suministro. Sobre las superficies libres líquidas puede asumirse presión atmosférica. Considere un cedazo de aspiración, tres codos radio largo, una válvula de compuerta, una válvula globo y una válvula de retención. Seis uniones universales, 14 uniones simples y los coeficientes lambda en la entrada de la tubería  = 0,5 y en la salida de la tubería  = 1,0. [4 Ptos.]

P2. Un conducto circular de hierro galvanizado tiene un caudal de aire de 5000 pie

3

/min y una pérdida de presión de 0,6 cm de agua a 15°C por cada 30 m de conducto. La presión promedio del aire es aproximadamente de 102,3 KPa y su temperatura es de 15°C, a. Determine el diámetro del conducto. b. Si el caudal se triplica, ¿la potencia del ventilador, también se triplica?. porqué ? [ 4 Ptos ]

¿

P3. Un aceite lubricante deberá ser bombeado a través de una tubería de acero soldado sin costura horizontal de 8 pulgadas de diámetro nominal, número de referencia 40 con una caída máxima de presión de 60 KPa por cada 100 m de tubería. El aceite tiene una gravedad específica de 0,88 y una viscosidad dinámica de 9,5 x 10 –3 Pa-s.

a. Determine el máximo flujo volumétrico permitido de aceite. b. Si se coloca tubería de DN =10 pulgadas, NR40, ¿la potencia de la bomba aumenta o disminuye? . ¿en cuánto?. [4 Ptos.]

135


P4. La bomba de agua de la figura mantiene una presión manométrica de 44,8 kPa (6,5 psi) en el punto 1. A continuación hay una válvula de disco medio abierta., un filtro y dos codos roscados a 90º. La tubería comercial de acero tiene una longitud total de 24,40 m (80 ft). (a) Si el caudal es de 0,0113268 m3/s (0,4 ft 3/s), ¿cuál es el coeficiente de pérdida del filtro? (b) Si la válvula de disco está completamente abierta y el coeficiente de pérdida del filtro es K filtro = 7 , ¿cuál es el caudal resultante?.

P5.La figura muestra una porción de circuito hidráulico. La presión en el punto B debe de ser de

1378 KPa relativas cuando el flujo volumétrico es de 60 galones / minuto. El fluido hidráulico tiene una gravedad específica de 0,894 y una viscosidad absoluta de  = 3,26 x 10 - 5 m 2/s. Longitud total de la tubería entre A y B es de 50 pies. Los codos son estándar. Calcule la presión en la salida de la bomba en A. [4 Ptos.] Tubería de acero Calibre 40 de 2 pulg e = 0,047 mm

Flujo

Válvula de control  = 6,5

45 m

Bomba

In Jorge Sifuentes Sancho

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

136

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

MECÁNICA DE FLUIDOS II 2 DA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta Tablas, diagramas y gráficos!

MN217-A-C CICLO: 2009-2 09-10-2009

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. En la figura se presenta un intercambiador de calor líquido a aire, en el cual el aire fluye a 50 m3/h dentro de un pasaje rectangular y alrededor de un conjunto de cinco tubos colocados de manera vertical. Cada tubo es de ½ pulg con un grueso de pared de 0,049 pulg. El aire tiene una densidad de 1,15 kg/ m3 y una viscosidad absoluta de 1,63 x 10 Pa.s. Calcule el número de Reynolds para el flujo de aire.

-5

P2. En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura, se encuentran fluyendo 16 L/s de agua a 40º C, a través de una tubería Calibre 40 de 4 pulgadas en A. El flujo se divide en dos tuberías Calibre 40 de 2 pulg. Como se muestra y después se juntan en el punto B. Calcule (a) la velocidad de flujo en cada una de las ramas y (b) la diferencia de presión PA - PB. Incluya el efecto de las pérdidas menores en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. los codos son estándar.

2

P3. Para el sistema que se muestra en la figura, la presión en A se mantiene constante a 20 lb/pulg relativas. La velocidad de flujo de volumen total que sale de la tubería B depende de qué válvulas se encuentren abiertas o cerradas. Utilice K = 0,9 para cada codo, pero desprecie las pérdidas de energía en las Tes. También, puesto que la longitud de cada rama es corta, desprecie las pérdidas de fricción en las tuberías. La tubería en la rama 1 tiene un diámetro interior de 2 pulg y la rama 2 tiene un diámetro interior de 4 pulgadas. Calcule el flujo volumétrico de agua (T = 30 ºC) que se descarga, en cada una de las siguientes condiciones:

137

MECÁNICA DE FLUIDOS a. b. c.

Ambas válvulas se encuentran abiertas Solamente la válvula en la rama 2 se encuentra abierta Solamente la válvula en la rama 1 se encuentra abierta P4.

Desde el

depósito (1) al depósito (2) se evacua un caudal de 3 ft 3/S de agua a 20° C a través de un tubo de 2000 ft. Si el tubo es de hierro fundido con diámetro de 6 pulgadas, y la bomba tiene un rendimiento del 75%, a. ¿Cuál es la potencia de ésta? b.

Se desea montar la instalación del problema P1 .de la forma más económica. Si la bomba cuesta 125 dólares /HP y la tubería 7000 dólares por pulgada de diámetro. ¿Cuál es el mínimo costo para mantener el caudal de 3 pies3 por segundo? Realice las simplificaciones adecuadas.

Ing. Jorge Sifuentes Sancho

MECÁNICA DE FLUIDOS II 4 TA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta: Tablas de flujo compresible!

138

MN217-A-C CICLO: 2009-2 10-12-2009

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE ¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1.

Una mezcla de aire combustible, que se supone equivalente a aire, entra en una cámara de combustión tubular a V1 = 104 m/s y T1 = 300 K a. ¿Qué adición de calor, en KJ/kg, provocará que el flujo a la salida esté bloqueado? b. ¿Cuál será el número de Mach y la temperatura a la salida si se añaden 504 KJ/kg durante la combustión?

P2.

En la sección uno de un conducto entra 1,2 kg/s de aire en régimen subsónico. Cuando se añaden 650 kW de calor, el flujo se bloquea a la salida en p2 = 95 kPa y T2 = 700 K. Considerando que la adición de calor se realiza sin fricción, calcule: a. Calcule la velocidad en la sección uno, y b. la presión de estancamiento en la sección uno.

P3. El esquema muestra la parte inicial de la línea de gas que alimenta a una empresa industrial.

Considerando tubería de polietileno: 1. Determine el diámetro de la tubería para el tramo AB. 2. Determine el diámetro de la tubería para el tramo BG. ERMP

pA = 4 bar

pC

pB

20 m

Q = 1500 m 3 (s) / h

Q = 1200 m 3 (s) / h

100 m A

70 m

B

C

50 m

30 m Q = 100 m 3 (s) / h

Q = 300 m 3 (s) / h

pH pG

D G ERS2

ERS1

P4. Usando la fórmula de Weymouth, determinar el caudal en un gasoducto de 15 km de longitud

y de 10,2 cm de diámetro, número de referencia 40, cuando la presión de entrada es de 1379 KPa manométricos y la presión de salida es de 137,9 KPa manométricos. El gas tiene una densidad relativa (al aire a 15 ºC) de 0,80 siendo la presión atmosférica igual a 101,4 KPa absolutos y la temperatura de 15 ºC.la tubería es horizontal. La salida del gas se encuentra 2 km por encima del extremo de entrada del gas. Explique si ésta situación ayuda o favorece al transporte del gas.


MECÁNICA DE FLUIDOS II 4 TA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta: Tablas de flujo compresible!

MN217-A-C CICLO: 2009-2 10-12-2009

139

MECÁNICA DE FLUIDOS ¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1.

Una mezcla de aire combustible, que se supone equivalente a aire, entra en una cámara de combustión tubular a V1 = 104 m/s y T1 = 300 K c. ¿Qué adición de calor, en KJ/kg, provocará que el flujo a la salida esté bloqueado? d. ¿Cuál será el número de Mach y la temperatura a la salida si se añaden 504 KJ/kg durante la combustión?

P2.

En la sección uno de un conducto entra 1,2 kg/s de aire en régimen subsónico. Cuando se añaden 650 kW de calor, el flujo se bloquea a la salida en p2 = 95 kPa y T2 = 700 K. Considerando que la adición de calor se realiza sin fricción, calcule: c. Calcule la velocidad en la sección uno, y d. la presión de estancamiento en la sección uno.

P3. El esquema muestra la parte inicial de la línea de gas que alimenta a una empresa industrial.

Considerando tubería de polietileno: 3. Determine el diámetro de la tubería para el tramo AB. 4. Determine el diámetro de la tubería para el tramo BG. ERMP

pA = 4 bar

pC

pB

20 m

Q = 1500 m 3 (s) / h

Q = 1200 m 3 (s) / h

100 m 70 m

B

A

C

50 m

30 m Q = 100 m 3 (s) / h

Q = 300 m 3 (s) / h

pH pG

D G ERS2

ERS1

P4. Usando la fórmula de Weymouth, determinar el caudal en un gasoducto de 15 km de longitud

y de 10,2 cm de diámetro, número de referencia 40, cuando la presión de entrada es de 1379 KPa manométricos y la presión de salida es de 137,9 KPa manométricos. El gas tiene una densidad relativa (al aire a 15 ºC) de 0,80 siendo la presión atmosférica igual a 101,4 KPa absolutos y la temperatura de 15 ºC.la tubería es horizontal. La salida del gas se encuentra 2 km por encima del extremo de entrada del gas. Explique si ésta situación ayuda o favorece al transporte del gas.


140


141

MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS

MN217-A

CICLO: 2009-3

2 DA PRÁCTICA CALIFICADA

FECHA: 04-02-2010 DURACIÓN: 110 minutos

¡Con Tablas, diagramas de flujo incompresible!

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Marque verdadero (V) o falso (F), según corresponda: [ ] La teoría de la capa límite la formuló Prandtl en el año 1904. [ ] Uno de los grandes éxitos de la teoría de la capa límite es la capacidad de predecir la separación de flujo en los objetos. [ ] la teoría de la capa límite predice de forma precisa el comportamiento del flujo en la región desprendida. [ ] La técnica del análisis de la capa límite puede utilizarse para calcular los efectos viscosos cerca de las paredes solidas y <> éstos al movimiento exterior no viscoso. [ ] Los flujos a bajos números de Reynolds son mucho mas fáciles de tratar mediante el acoplamiento de la capa límite, que los flujos a altos números de Reynolds. [ ] El espesor de una capa límite laminar se puede obtener de la siguiente fórmula: [ ] El perfil de velocidades de la capa límite, varía a lo largo de la dirección del flujo. [ ] La capa límite juega un papel muy importante en el cálculo de la fuerza de arrastre sobre buques, y en la eficiencia de compresores.

P2. Una placa delgada de de ancho b = 1m y largo L = 2 m , es arrastrada sumergida en agua (  = 0,15 x 10 - 5 m 2/ s ) a una velocidad de 1,5 m/s. Encontrar el espesor máximo de la capa límite

y la fuerza de arrastre que experimenta la placa, considerando: a. Capa límite laminar y b. capa límite turbulenta, sobre la placa. Sugerencia: utilice los resultados de la solución exacta de Blassius válido para la capa límite laminar con Re = Uoo L /  < 5 x 10 5 hasta 5 x 10 6





x

5 Re 1/ 2

Cf  0,664 / Re

1/ 2

C Af

 1,328 / Re

1/ 2

Y para la capa límite turbulenta:





a.

x

c.

Para

C Af

P3.

142

0,374 Re1/ 5 1 x 10

7

b.

CAf  0,074 / Re x1/ 5

< Re < 1 x 10

 3,913 ( Ln Re )

9

Schlichting reporta:

 2,58

Re critico =

300 000

500 000

A=

1050

1700

CAf exp erimental  10 6 3300

Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

3 x 10 6 8700

0,074 A  Re x1/ 5 Re L

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE Correcta:

+ 0,25

Incorrecta:

- 0,25

Blanco:0,00

1. ( V ) En un flujo de aire atmosférico moviéndose a 3,5 Km. /h la velocidad de propagación. del sonido se calcula por :

c  K RT

2. ( F ) En el área mínima de un conducto convergente-divergente, siempre se alcanza las condiciones M =

1 3. ( V ) En un flujo isentrópico en conductos, el máximo flujo másico posible es proporcional al área de la

garganta y a la presión de estancamiento. 4. ( F ) En un flujo adiabático la velocidad máxima de expansión posible puede calcu larse me diante la expresión: : V 2  2 Co / (k  1)

5. ( F ) En el caso de un flujo supersónico de un gas ideal en un conducto convergente la temperatura decrece en la dirección del flujo. 6.

( V ) El número de Mach para un avión en vuelo, puede variar permaneciendo la velocidad del avión constante.

7.

( V ) La velocidad de una onda sonora puede evaluarse mediante:

8.

c 2  (k  1) Cp.T

( V ) Un flujo isentrópico subsónico a través de un conducto convergente sufre una disminución de su densidad.

Dadas las mediciones de temperatura y presión de estancamiento utilizando el tubo de pitot, y dado el valor de la presión estática, calcule la velocidad del aire considerando: a. Flujo compresible, y b. Flujo incompresible. P4.

Un gran tanque de vacío, mantenido a 60 kPa, succiona aire estándar a nivel del mar a través de un conducto de área variable con diámetro mínimo en la salida igual a 3 cm. Calcule El gasto másico en kg / s, y el número de Mach en la sección de salida. P4.

Ing. Jorge SIFUENTES SANCHO

143


144


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

MECANICA DE FLUIDOS II 1ra PRACTICA CALIFICADA

MN-217 A-C Abril 27-2010

¡SE PERMITE EL USO DE TABLAS!

CICLO: 2010-1

P1. Desde el depósito (1) al depósito (2) se evacua un de 1350 GPM de agua a 12° C a través de un tubo de 610 el tubo es de hierro fundido con diámetro de 6 pulgadas, y bomba tiene un rendimiento del 85%: a. ¿Cuál es la potencia de ésta? b. ¿Si la altura pasa de 38 m á 72 m, la potencia requerida por la bomba se duplica? ¿porqué? c. ¿Si la longitud pasa de 610 m á 905 m, la potencia requerida por la bomba aumenta en 50%? ¿porqué?

caudal m. Si la 38 m L = 610 m

P2. Si en el problema anterior solo se dispone de una bomba de 100 HP, ¿Qué diámetro debe tener la tubería para que el caudal siga siendo de 1350 GPM?

P3. Como se muestra en la figura, un conducto consiste en 7 tubos de 2 cm de diámetro agrupados en una malla hexagonal, dentro de un tubo de 6 cm de diámetro. Estime la caída de presión por unidad de longitud si por el interior del conducto fluyen 150 m 3 / h de aire a 20ºC y un bar de presión.

P4. La figura muestra una tubería entregando agua a 15° C desde la línea principal hacia una fábrica. La presión en la línea principal es 415 kPa Calcular el flujo volumétrico permisible si la presión en la fábrica no debe ser menor de 200 kPa.


145



2 DA

MN217-A-C

PRÁCTICA CALIFICADA

¡Con elementos de consulta!


¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1.

Marque verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 9. [ V ] La teoría de la capa límite la formuló Prandtl en el año 1904. 10. [ V ] Uno de los grandes éxitos de la teoría de la capa límite es la capacidad de predecir la separación de flujo en los objetos. 11. [ F ] la teoría de la capa límite predice de forma precisa el comportamiento del flujo en la región desprendida. 12. [ V ] La técnica del análisis de la capa límite puede utilizarse para calcular los efectos viscosos cerca de las paredes solidas y <> éstos al movimiento exterior no viscoso. 13. [ F ] Los flujos a bajos números de Reynolds son mucho más fáciles de tratar mediante el acoplamiento de la capa límite, que los flujos a altos números de Reynolds. 14. [ V ] El espesor de una capa límite laminar se puede obtener de la siguiente fórmula: 15. [ V ] El perfil de velocidades de la capa límite, varía a lo largo de la dirección del flujo. 16. [ V ] La capa límite juega un papel muy importante en el cálculo de la fuerza de arrastre sobre buques, y en la eficiencia de compresores.

P2. El sistema de tuberías de acero soldado sin costura en paralelo que se muestra en la figura suministra 0,036 m 3/s de agua a 15 ºC. Si la bomba está abierta sin funcionar, con un coeficiente de pérdidas = 1,5, determine (a) el caudal en cada conducto y (b) la caída de presión total.

P3. En el problema anterior suponga que la bomba está funcionando y proporciona 45 kW al fluido en la tubería 2. El fluido es gasolina a 20ºC ( DR = 0,68 ;  = 0,0003 Pa.s ). Determine (a) el caudal en cada conducto y (b) la caída de presión total.


146

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE MECÁNICA DE FLUIDOS

2

MN217-A-C

DA

PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta!


¡Anote clara y brevemente sus consideraciones!.

P1.

Marque verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. [ V ] La teoría de la capa límite la formuló Prandtl en el año 1904. 2. [ V ] Uno de los grandes éxitos de la teoría de la capa límite es la capacidad de predecir la separación de flujo en los objetos. 3. [ F ] la teoría de la capa límite predice de forma precisa el comportamiento del flujo en la región desprendida. 4. [ V ] La técnica del análisis de la capa límite puede utilizarse para calcular los efectos viscosos cerca de las paredes solidas y <> éstos al movimiento exterior no viscoso. 5. [ F ] Los flujos a bajos números de Reynolds son mucho más fáciles de tratar mediante el acoplamiento de la capa límite, que los flujos a altos números de Reynolds. 6. [ V ] El espesor de una capa límite laminar se puede obtener de la siguiente fórmula:  . x = 1,229 (Rex) - 1/2 7. [ V ] El perfil de velocidades de la capa límite, varía a lo largo de la dirección del flujo. 8. [ V ] La capa límite juega un papel muy importante en el cálculo de la fuerza de arrastre sobre buques, y en la eficiencia de compresores.

El sistema de tuberías de acero soldado sin costura NR40 en paralelo que se muestra en la figura suministra 0,036 m 3/s de agua a 15 ºC. Si la bomba está abierta sin funcionar, con un coeficiente de pérdidas = 1,5, determine (a) el caudal en cada conducto y (b) la caída de presión total. P2.

L 1 = 60 m, DN = 2 ½ pulg

L 2 = 55 m, DN = 2 pulg

En el problema anterior suponga que la bomba está funcionando y proporciona 45 kW al fluido en la tubería 2. El fluido es gasolina a 20ºC ( DR = 0,68 ;  = 0,0003 Pa.s ). Determine (a) el caudal en cada conducto y (b) la caída de presión total. P3.

P4.

Elabore un diagrama de flujo de la solución para los problemas P3 y P4, en conjunto.


147


DIAGRAMA DE FLUJO

Proceso

Conector

Proceso alternativo

Conector fuera de página

Decisión

Y

Datos

O

Proceso predefinido

Intercalar

Almacenamiento interno

Ordenar

Documento

Extracto

Multidocumento

Combinar

Inicio, término

Datos almacenados

Preparación

Retraso

Entrada manual

Almacenamiento de acceso secuencial

Operación manual

Disco magnético

Almacenamiento de acceso directo

Pantalla

Conector curvado de flecha

Conector angular flecha

148

Flecha


MN217-A

ra

3 PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con Tablas, diagramas de flujo compresible!


¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. Fluye aire desde un tanque grande (donde la presión es de 98,5 kPa absoluta) hacia la atmósfera a través de una boquilla convergente lisa,. La temperatura en el tanque es de 95ºC. a. Calcule la presión mínima en el tanque que se requiere para producir una velocidad sónica en la boquilla. b. Calcule la velocidad sónica en la boquilla. c. Calcule el flujo másico de aire desde el tanque, si el diámetro de la boquilla es de 10,0 mm. P2. La figura muestra un flujo de aire que pasa de un gran depósito a otro a través de una tobera convergente-divergente. Un manómetro de mercurio entre la garganta y el depósito aguas abajo mide h= 15 cm. Calcule la presión del depósito agua abajo. ¿Aparece alguna onda de choque normal en el flujo?. Si es así, ¿se encuentra ésta en el plano de salida o más aguas arriba?. P3. Un flujo de aire, con condiciones de remanso de 800 kPa y 100 ºC, se expande isentrópicamente en un conducto hasta una sección donde A 1 = 20 cm 2 y p1 = 47 kPa. Calcule: (a) Ma1, (b) el área de la garganta y (c) el flujo másico. En la sección 2, entre la garganta y la sección 1, el área es de 9 cm 2. (d) Calcule el número de Mach en la sección 2. P4. A través de una boquilla se conduce aire hacia un ducto de área constante y finalmente hacia una cámara de aire donde el flujo es subsónico. La presión y, en la cámara no se especifica. Sin embargo, la presión p, a la entrada del dueto se conoce. ¿Cuál es el número de Mach del aire que entra a la cámara A? No existe transferencia de calor en el ducto de área constante. Se aplican los datos siguientes: Po =146,727 Pa absoluta; To , = 20°C; p1, = 130,000 Pa absoluta y rugosidad del ducto e = 0.,0006 m m. Proceda como sigue: 1. Considere flujo isentrópico en la boquilla. Calcule en la entrada del ducto el área constante: a) (Re), (para el ducto) b) f (para el ducto) c) G,

Ducto de área constante. 30 cm x 30 cm

2. Ahora encuentre la longitud adicional del ducto necesaria para agregar a los 20 m, de manera que cause una condición estrangulada en la salida hacia la cámara A. 3. Finalmente se obtiene M2, para el ducto real.


149


DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

MECÁNICA DE FLUIDOS II 3 RA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta: Tablas de flujo compresible!

MN217-A-C CICLO: 2010-1 16-06-2010

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!

P1.

Una boquilla expande aire desde una presión absoluta po = 200 lb/pulg 2 y una temperatura To = 100 ºF hasta una presión absoluta de 20 lb/pulg 2. Si el flujo de masa es de 50 lbm/s, ¿cuáles son el área de garganta y el área de salida? .Suponga que k = 1,4 y R = 53,3 pies-lb/(lbm)(ºR). A, = 0.1488 pies*; A* = 0.0767 pies

P2.

Considérese un flujo supersónico a través de un dueto estacionario en el cual se presenta una onda de choque estacionaria. El número de Mach adelante de la onda de choque es 2 y la presión absoluta y la temperatura son 103,500 Pa y 4º ºC, respectivamente. ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda de choque con respecto al fluido por delante de éste? .El fluido es aire. 710 mfs

P3.

¿Cuál es el empuje estático de un motor de cohete que quema 25 kg/s de combustible en un banco de prueba localizado sobre la superficie de la Tierra donde p = 101 325 Pa? La presión absoluta de la cámara es 1.38 x lo6 Pa y su temperatura es 2,760”C. Suponga que k = 1,4 y R = 355 N-m/(kg) (K) para los productos de la combustión. El área de garganta es 0,02 m 2, el área de salida es 0,05 m 2 y existe una onda de choque normal localizado en A = 0,04 m*. 1,167 N

P4.

Una boquilla convergente tiene un área de salida de 1,3 x 10 - 3 m2 y permite que un flujo de aire salga desde un tanque grande en el cual la presión absoluta del aire es 138 KPa y la temperatura es 20°C. Si la presión ambiente por fuera del tanque es 101,325 KPa, A. ¿Cuál es la velocidad de flujo a la salida de la boquilla y cuál es el flujo de masa? No tenga en cuenta la fricción. w = 0.382 kgls; Vs = 223 mls B. suponga que se está variando la presión ambiente. ¿Cuál será la presión más alta que permita el máximo flujo másico a través de la boquilla? ¿Cuál es el flujo de masa máximo y la temperatura del aire al salir de la boquilla? No tenga en cuenta la fricción.

P5.

Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de 0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque que contiene aire a una presión absoluta de 552 KPa y una temperatura de 15°C. A. Si la boquilla opera en condiciones de diseño, ¿Cuál sería la presión ambiente exterior y cuál el flujo de masa? ¿Cuál es la presión crítica? No tenga en cuenta la fricción. . p, = 93,300 Pa; p* = 291,500 Pa B. ¿Cuál es la presión ambiente a la que aparecerá una onda de choque inmediatamente dentro de la boquilla? ¿Cuál es la presión ambiente para el flujo completamente subsónico con flujo de masa máximo? No tenga en cuenta la fricción.


150


151

MECÁNICA DE FLUIDOS MN217-A-C CICLO: 2010-2

MECÁNICA DE FLUIDOS II 1 RA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta Tablas, diagramas y gráficos!

16-09-2010


Queroseno (  = 0,00164 Pa-s; DR = 0,823) es impulsado desde un tanque de suministro [A] y a través de una tubería de acero soldado sin costura de DN 6 pulgadas, NR80 y 190 m de longitud, hasta un tanque de almacenamiento [B]. El nivel del líquido en el tanque de almacenamiento se encuentra sometido a una presión manométrica igual a 210 KP; y está a 45 m arriba que el nivel en el tanque de suministro. La presión sobre el nivel libre líquido en el tanque de suministro es la presión atmosférica. Considere ubicados en la línea: un cedazo de aspiración, tres codos radio largo, una válvula de compuerta, una válvula globo y una válvula de retención. Seis uniones universales, 24 uniones simples y los coeficientes lambda en la entrada de la tubería  = 0,5 y en la salida de la tubería  = 1,0. Cuando se impulse 30 L / s: a. Determine la perdida de energía producida en la tubería. [3 Ptos.] b. Calcule la potencia de la bomba. [2 Ptos.] c. Si el flujo volumétrico se duplica, ¿ La potencia de la bomba se duplica?. ¿ porqué?. Explique brevemente. [3 Ptos.] d. Si se coloca una bomba de 15 Kw de potencia, ¿Aumenta la pérdida de energía, con respecto al ítem (a)?. ¿Por qué? [2 Ptos.] ¿Cuál es ahora el flujo volumétrico impulsado?. [2 Ptos.] e. Considerando 15 Kw de potencia de la bomba,, especifique una tubería de acero soldado sin costura, NR 80 necesario para impulsar por lo menos 45 L/s de queroseno [4 Ptos.] P2. A través de un tubo inclinado de 80 m de longitud fluye agua ( DR = 0,998;  = 1,003 x 10 – 3 Pa.s), que sale como un chorro libre con una velocidad de 2 m / s. Di = 5 cm. Sin tener en cuenta las pérdidas secundarias determine la rugosidad de la tubería. [2 Ptos.] Si la altura H igual a 10 metros, se incrementa a H = 20 m, determine en cuanto se incrementa el caudal de agua. [2 Ptos.] A B P amb H = 10 m

5º


152

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE MECÁNICA DE FLUIDOS II 2da PRÁCTICA CALIFICADA ¡SE PERMITE EL USO DE TABLAS!

MN-217A-C Setiembre 30-2010 CICLO: 2010-2

P1. En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura, se encuentra fluyendo 850 L/min de agua a 10ºC a través de una tubería de acero NR 40 de 4 pulg de diámetro nominal en el punto A. El flujo se divide en dos tuberías NR 40 de DN = 2 pulg, como se muestran, y después se juntan en el punto B. a. Calcule el flujo volumétrico en cada ramal. b. La diferencia de presión P A – p B c. Si el caudal, que alimenta al arreglo en paralelo, se incrementa en 40 %, ¿Se incrementa el flujo volumétrico en los ramales?. ¿ en que porcentaje? d. Elabore un diagrama de flujo para entregarlo a un programador para que elabore una hoja de cálculo para resolver el problema. Incluya el efecto de las pérdidas menores (pérdidas secundarias) en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. los codos son estándar.

P5. Para el sistema que se muestra en la figura, la presión manométrica en A se mantiene constante en 20 lb/pulg 2. El flujo volumétrico total que sale de la tubería en B depende de que válvulas se encuentren abiertas o cerradas. Utilice  = 0,90 para cada codo, pero desprecie las pérdidas de energía en las tés. También, puesto que la longitud de cada rama es corta, desprecie las pérdidas de fricción en las tuberías. La tubería en la rama 1 tiene un diámetro interior de 2 pulg y la rama 2 tiene un diámetro interior de 4 pulg. Calcule el flujo volumétrico del agua en cada una de las siguientes condiciones: a. Ambas válvulas se encuentran abiertas b. Solamente la válvula en la rama 2 se encuentra abierta c. Solamente la válvula en la rama 1 se encuentra abierta

Ing Jorge Sifuentes Sancho

153


P3. Desde el depósito (1) al depósito (2) se evacua un de 3 ft 3/S de agua a 20° C a través de un tubo de 2000 ft. tubo es de cobre tipo k con diámetro de 6 pulgadas, y considerando que la bomba tiene un rendimiento del 83% motor que alimenta a la bomba tiene un rendimiento del ¿Cuál es la potencia que el motor entrega a la bomba?

caudal Si el y,

el 93%,

P4. Se desea montar la instalación del problema P3. Si la moto-bomba cuesta 125 dólares /HP y la tubería 7000 dólares por pulgada de diámetro, los costo de transporte, mano de obra y otros necesarios para instalar el sistema de bombeo se estima en el 27% del total de los costos anteriores ¿Cuál es el costo fijo?. ¿Cuál es el mínimo costo para mantener el caudal de 3 pies3 por segundo, durante todo un año( 365 días), si la bomba se considera que funcionará 10 horas por día?. Costo del kW-h es de 0,43 dólares USA. Realice las simplificaciones adecuadas.


154

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE MN217-A,C CICLO: 2011-1

MECÁNICA DE FLUIDOS II 1 RA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta: Tablas de flujo incompresible!

19-04-2011


Un tubo largo con diámetro interior de 1200 mm conduce aceite similar al SAE 10 a 40 ºC ( DR = =,812 ) [3 ptos]

a.

Calcule el flujo volumétrico que se requiere para producir un número de Reynolds de 3,68 x 10 5 . Si el tubo es de acero limpio, calcule varios puntos del perfil de velocidad y grafique los datos en forma similar a la mostrada en la figura.

b.

Línea Central tuberia

y (mm) 100 150 200 300 400 500 600

y/R

V (m / s)

y (mm)

Pared tuberia

V ( m/s)

y: distancia medida de la pared interior del tubo hacia el centro del tubo R: Radio interior del tubo V: Velocidad local del flujo Vm: Velocidad promedio del flujo P2.

Para el sistema de la figura:

a. Calcule la presión en la entrada de la bomba. El filtro tiene un coeficiente de resistencia de 1,85, con base en la carga de velocidad de la línea de succión. b. Determine la carga total sobre la bomba, así como la potencia transmitida al refrigerante por la bomba c. Especifique el tamaño de la tubería de acero cédula 40 que se requiere para que el fluido regrese a las máquinas. La máquina 1 necesita 20 GPM (USA) y la 2 requiere 10 GPM (USA). El fluido sale de los tubos de las máquinas a 0 psig.

155

MECÁNICA DE FLUIDOS P3.

Por un tubo vertical de 8,5 m de longitud fluye agua a 12 ºC, hacia abajo. La presión es de 550 kPa en la parte superior y 585 kPa en la inferior. Cerca del fondo se instala una válvula de verificación tipo bola ( L/D = 150 ). El tubo está hecho de acero soldado sin costura nuevo, con un diámetro externo de 1 ¼ pulg y espesor de pared de 0,083 pulgadas. Calcule el flujo volumétrico del agua [2 ptos]

P4. En la coraza de la figura fluye agua a 10 ºC a razón de 850 L / min. La coraza está hecha de tubo de cobre de 2 pulgadas, tipo K, y los tubos también son de cobre de 3/8 pulg, tipo K. La longitud del intercambiador es de 10,80 m. [3 ptos] a. Calcule el número de Reynolds para el flujo en la coraza. b. Determine la potencia del motor eléctrico ( m = 98 % ) que accione a la bomba (  B = 83 % ) c. Determine el costo de la energía eléctrica anual del equipo impulso, si funciona un promedio de 9 h/ día, durante todo el año. El costo de la energía es de $ 0,485 / kW-h

P5. Especifique una bomba apropiada para el sistema de la figura. Es una combinación de sistema en serie y paralelo que opera como sigue. [9 ptos]  Se lleva agua a 160 ºF a razón de 275 GPM (USA) de un tanque a la línea de succión de la bomba. La línea de succión tiene una longitud total de 10 pies.  La línea de descarga de 3 pulgadas se eleva 15 pies sobre el agua , hasta el nivel de un intercambiador de calor grande. La línea de descarga tiene una longitud de 40 pies en total.  El flujo se bifurca en dos ramas, la línea principal es de 3 pulg y alimenta a un intercambiador de calor grande que tiene un factor de 12, con base en la carga de velocidad en la tubería. La longitud total de la tubería en este ramal es de 8 pies.  La línea de una pulgada es una desviación alrededor del intercambiador de calor, con 30 pies de longitud total.  Las dos líneas se reúnen por la derecha y descargan a la atmosfera a través de de una tubería corta de 3 pulg.  Todas las tuberías son de acero de cédula 40.

156


Para este sistema, que trabaja en las condiciones de operación deseadas, determine: a. b. c. d. e. f.

La presión en la entrada de la bomba. La presión en A, antes de los ramales. El flujo volumétrico a través de la línea del intercambiador de calor. El flujo volumétrico a través de la tubería de desvío La carga total sobre la bomba La potencia transmitida al agua por la bomba

Después especifique una bomba apropiada para este sistema, la entregaría un flujo deseado de 275 GPM (USA), al menos. Para la bomba seleccionada, determine: g. El flujo volumétrico real esperado que produce la bomba en el punto de operación La potencia de entrada a la bomba h. La eficiencia en el punto de operación


157


TIPO Válvula de globo - abierto por completo Válvula de ángulo - abierta por completo Válvula de compuerta - abierta por completo  ¾ abierta  ½ abierta  ¼ abierta Válvula de verificación - tipo giratorio Válvula de verificación - tipo bola Válvula de mariposa - abierta por completo, 2 á 8 pulgadas ---- 10 á 14 pulg ----- 16 á 24 pulg Válvula de pie - tipo disco de bvástago Válvula de pie - tipo disco de bisagra Codo estándar a 90º Codo a 90º de radio largo Codo roscado a 90º Codo estándar a 45º Codo roscado a 45º Vuelta cerrada en retorno Te estándar - con flujo directo Te estándar - con flujo en el ramal

158

Longitud equivalente en diámetros de tubería L / D

340 150 8 35 160 900 100 150 45 35 25 420 75 30 20 50 16 26 50 20 60


2

MN217-A-C

DA

PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con elementos de consulta!



Marque verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

Correcta: 17. [ 18. [

] ]

19. [

]

20. [

]

21. [

]

22. [ 23. [ 24. [

] ] ]

+ 0,25

Incorrecta:

- 0,25

Blanco:0,00

La teoría de la capa límite la formuló Prandtl en el año 1904. Uno de los grandes éxitos de la teoría de la capa límite es la capacidad de predecir la separación de flujo en los objetos. la teoría de la capa límite predice de forma precisa el comportamiento del flujo en la región desprendida. La técnica del análisis de la capa límite puede utilizarse para calcular los efectos viscosos cerca de las paredes solidas y <> éstos al movimiento exterior no viscoso. Los flujos a bajos números de Reynolds son mucho más fáciles de tratar mediante el acoplamiento de la capa límite, que los flujos a altos números de Reynolds. El espesor de una capa límite laminar se puede obtener de la siguiente fórmula: El perfil de velocidades de la capa límite, varía a lo largo de la dirección del flujo. La capa límite juega un papel muy importante en el cálculo de la fuerza de arrastre sobre buques, y en la eficiencia de compresores.

25. [ ] En un flujo de aire atmosférico moviéndose a 3,5 Km. /h la velocidad de propagación. del sonido

c  K RT

se calcula por : 26. [ ] En el área mínima de un conducto convergente-divergente, siempre se alcanza las condiciones M=1 27. [ ] En un flujo isentrópico en conductos, el máximo flujo másico posible es proporcional al área de la garganta y a la presión de estancamiento. 28. [ ] En un flujo adiabático la velocidad máxima de expansión posible puede calcularse me

V  2 Co / (k  1) diante la expresión: : 29. [ ] En el caso de un flujo supersónico de un gas ideal en un conducto convergente la temperatura decrece en la dirección del flujo. 30. [ ] El número de Mach para un avión en vuelo, puede variar permaneciendo la velocidad del avión constante. 2

c  (k  1) Cp.T 31. [ ] La velocidad de una onda sonora puede evaluarse mediante: 32. [ ] Un flujo isentrópico subsónico a través de un conducto convergente sufre una disminución de su densidad. 2

P2. Se desea montar la instalación del problema P3. Si la moto-bomba cuesta 125 dólares /HP y la tubería 7000 dólares por pulgada de diámetro, los costo de transporte, mano de obra y otros necesarios para instalar el sistema de bombeo se estima en el 27% del total de los costos anteriores ¿Cuál es el costo fijo?. ¿Cuál es el mínimo costo para mantener el caudal de 3 pies3 por segundo, durante todo un año( 365 días), si la bomba se considera que funcionará 10 horas por día?. Costo del kW-h es de 0,43 dólares USA. Realice las simplificaciones adecuadas.

P3. Desde el depósito (1) al depósito (2) se evacua un caudal de 3 ft 3/S de agua a 20° C a través de un tubo de 2000 ft. Si el tubo es de cobre tipo k con diámetro de 6 pulgadas, y considerando que la bomba tiene un rendimiento del 83% y, el motor que alimenta a la bomba tiene un rendimiento del 93%, ¿Cuál es la potencia que el motor entrega a la bomba?

159


Se tiene un submarino que se desplaza a 10 millas / hora, que tiene una longitud de 80 m y una superficie de 2780 m 2 a. Calcular la fuerza de arrastre que experimenta el submarino. [2,122 KN] b. Calcular la potencia necesaria para vencer la fuerza de arrastre que el fluido ejerce sobre el submarino. [12,73 HP] c. El espesor máximo de la capa límite.

P5.

Un tren de buena forma aerodinámica tiene 110 m de largo y 2,75 m de ancho y lados de 2,75 m de altura. Suponiendo que la fuerza de resistencia al avance por fricción sobre los lados y la parte superior se puede considerar igual a la de una placa plana y que el tren se mueve a 160 km / h a través de aire de densidad igual a 1,225 kg /m 3 y viscosidad absoluta de 1,79 x 10 – 5 Pa - s: a. Calcúlese la potencia requerida para vencer la fricción superficial. b. ¿Qué tan lejos es probable que se extienda la capa de límite laminar? c. ¿Cuál es el espesor de la capa de límite en la parte posterior del tren?

P6.

Dadas las mediciones de temperatura y presión de estancamiento utilizando el tubo de pitot, y dado el valor de la presión estática, calcule la velocidad del aire considerando: c. Flujo compresible, y d. Flujo incompresible.

P7.

Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de 0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque que contiene aire a una presión absoluta de 552 kPa y una temperatura de 15°C. Determine: a. ¿Cuál el flujo de masa? b. ¿Cuál es el número de Mach en la sección de salida?


160


DIAGRAMA DE FLUJO

Proceso

Conector

Proceso alternativo

Conector fuera de página

Decisión

Y

Datos

O

Proceso predefinido

Intercalar

Almacenamiento interno

Ordenar

Documento

Extracto

Multidocumento

Combinar

Inicio, término

Datos almacenados

Preparación

Retraso

Entrada manual

Almacenamiento de acceso secuencial

Operación manual

Disco magnético

Almacenamiento de acceso directo

Pantalla

Conector curvado de flecha

Flecha

Conector angular flecha

161

H Dimensiones de tuberías de cobre tipo


162


MN217-A,B CICLO: 2011-1

MECÁNICA DE FLUIDOS II EXAMEN PARCIAL ¡Con elementos de consulta: Tablas de flujo incompresible!

18-05-2011


A través de tres tubos en serie, tal como se muestra en la figura, se bombea aceite similar al SAE 10 a 40 ºC ( DR = =,812 ) la potencia suministrada a la bomba es de 2011 kW, y su eficiencia es de 78 %. [3 ptos]

Tubo 1 2 3

L (m) 200 300 120

D (mm) 1500 1000 1200

e (mm) 0,81 0,61 1,0

L/D 102 150 100

Z = 60 m

[3] Z = 0 msnm [2] [1]

Elabore un Diagrama de flujo, para obtener el flujo volumétrico impulsado por la bomba. Q = 2,8709 m 3 / s P2. Para el caudal hallado en el ítem (a), determine el tamaño mínimo de la tubería nueva de acero

soldado sin costura (DN y NR) que conducirá el caudal del tanque A hacia el tanque B. D = 11120 mm 1,70 litros/minuto de un líquido refrigerante fluye a través del sistema mostrado en la figura. El refrigerante tiene una gravedad específica de 1,25 y una viscosidad dinámica de 3 x 10 – 4 Pa.s. Calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. la tubería es de acero con un diámetro externo de ½ pulg, un grosor de pared de 0,049 pulg y una longitud total de 40 m. P3.

163


p A – p B = 36,726 kPa

P4. En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura, se encuentra fluyendo 670

GPM de agua a 12ºC a través de una tubería de acero NR 40 de 4 pulg de diámetro nominal en el punto A. El flujo se divide en dos tuberías NR 40 de DN = 2 pulg, como se muestran, y después se juntan en el punto B. Calcule el flujo volumétrico en cada ramal. Q1 = 26,51 L / s. Q 2 = 15,76 L / s. La diferencia de presión P A – p B . 812 kPa

e. f.

Incluya el efecto de las pérdidas menores (pérdidas secundarias) en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. los codos son estándar.

P5.

Una placa delgada de ancho b = 1m y largo L = 2 m, debe desplazarse sumergida a una velocidad de 1,5 m/s, en un lago cuya temperatura promedio del agua es 12 ºC. c. ¿Cómo deberá desplazarse la placa para que la fuerza de fricción sea mínima? Paralela L, a la velocidad Vo. d. Considerando el ítem (a), encontrar el espesor máximo de la capa límite y la fuerza de arrastre máxima que experimentaría la placa.  = 9,9378 mm. FA pl = 6,90 N

P6.

Un conducto convergente adiabático con área de salida de 1,3 x 10 - 3 m 2 permite que un flujo de aire salga desde un tanque grande en el cual la presión absoluta del aire es 138 kPa y la temperatura es 15,5°C. Si la presión ambiente por fuera del tanque es 101,325 kPa: C. ¿Cuál es la velocidad de flujo a la salida de la boquilla y cuál es el flujo de masa? No tenga en cuenta la fricción. w = 0,383 kg/s; Vs = 220,7 mls

164

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE D. suponga que se está variando la presión ambiente. ¿Cuál será la presión más alta que

permita el máximo flujo másico a través de la boquilla? ¿Cuál es el flujo de masa máximo y la temperatura del aire al salir de la boquilla? No tenga en cuenta la fricción. p = 72,902 kPa. m = 0,4267 kg / m3. Ts = 240,417 K


TIPO

Longitud equivalente en diámetros de tubería L / D

Válvula de globo - abierto por completo Válvula de ángulo - abierta por completo Válvula de compuerta - abierta por completo  ¾ abierta  ½ abierta  ¼ abierta Válvula de verificación - tipo giratorio Válvula de verificación - tipo bola Válvula de mariposa - abierta por completo, 2 á 8 pulgadas ---- 10 á 14 pulg ----- 16 á 24 pulg Válvula de pie - tipo disco de bvástago Válvula de pie - tipo disco de bisagra Codo estándar a 90º Codo a 90º de radio largo Codo roscado a 90º Codo estándar a 45º Codo roscado a 45º Vuelta cerrada en retorno Te estándar - con flujo directo Te estándar - con flujo en el ramal

340 150 8 35 160 900 100 150 45 35 25 420 75 30 20 50 16 26 50 20 60

Rugosidad absoluta e = 0,0015 mm . Considerada como tubería lisa

165


166

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE SOLUCIÓN

A través de tres tubos en serie, tal como se muestra en la figura, se bombea aceite similar al SAE 10 a 40 ºC ( DR = =,812 ) la potencia suministrada a la bomba es de 2011 kW, y su eficiencia es de 78 %. [3 ptos]

Problema.

Tubo 1 2 3

L (m) 200 300 120

D (mm) 1500 1000 1200

e (mm) 0,81 0,61 1,0

L/D 102 150 100

Z = 60 m

[3] Z = 0 msnm [2] [1]

a. Determine el flujo volumétrico que es impulsado. b. Elabore un Diagrama de flujo, para obtener el flujo volumétrico impulsado por la bomba. c. Elabore una hoja de cálculo que determine el flujo volumétrico que circula cuando la bomba ( B = 78 % ) recibe una determinada potencia (Pmotor). SOLUCIÓN

a. Objetivo: -

Determinar el flujo volumétrico impulsado por la bomba que recibe una potencia de 2011kW.

Datos:

Fluido:

Aceite SAE 10 w  = 812 kg / m 3



= 0,0325 Pa.s

asumido Q = 2,4765 m 3/s omba = 0,78 % Tubería:

debe dar P m = 2011 kW

Acero Tubo 1 2 3

L (m) 200 300 120

D (mm) 1500 1000 1200

e (mm) 0,81 0,61 1,0

L/D 102 150 100

167

MECÁNICA DE FLUIDOS Análisis:

LINEA 1: Ecuaciones

V



Cálculos

4   D2

V

 V D VD 4      D

Re

Re  =e/D

 

4 x 2,4765 m 3 / s  1, 401412326 m / s  1,5 2 m 2 812 x 1, 401412326 x 1,5  52520,62192 0,0325

 = 0,81/1500 = 0,00054


 2,51   f 0,5  2 log    Re f 3,71   

 2,51 f 0,5  2log   52520,62192 

f



0,00054 3,71

  


h1 2  f

 0, 0225

0,02250

L V2 D 2g

200  102 x1,50 m 1, 401412326 1,50 m 2g



2

 0,532080 m

 hf = 0,532 m

LINEA 2: Ecuaciones

V



Cálculos

4   D2

V

 V D VD 4      D

Re

Re  =e/D

 

3

4 x 2,4765 m / s  3,153178 m / s  1,0 2 m 2 812 x 3,153178x 1,0  78780,9329 0,0325

 = 0,61/1000 = 0,00061


 2,51   f 0,5  2 log    Re f 3,71   

 2,51 f  2log   78780,9329  el valor del coeficiente de fricción es f =

168

0,02140

0,000 61    3,71  f

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE h1 2

L V2  f D 2g

 0, 02140276 

300  150 x1, 0 m 3,153178 1, 0 m 2g

2

 4,880679 m

 hf = 9,44037 m

LINEA 3: Ecuaciones

V



Cálculos

4   D2

V

 V D VD 4      D

Re

Re  =e/D



3

4 x 2,4765 m / s  2,189706759 m / s  1, 2 2 m 2



812 x 2,189706759 x 1, 2  65650,777 0,0325

 = 1,0 /1200 = 0,00083333


 2,51   f 0,5  2 log    Re f 3,71   



f  2log 

2,51

 65650,777

f



0,0008333   3,71 


h1 2  f

0,02268

L V2 D 2g

120  100 x1, 20 m 2,189707  0, 022679 1, 20 m 2g 

2

 1,1084775 m

 hf = 1,1084 m

 h = 10,532 + 5,222 + 1,084 = 6,838 m La altura de la bomba está dado por:

HB  60 m   h  60 m  6,521079 m = 66,521 m

 p12   g HB  p12  812 kg / m 3 9,81 m / s 2  66,521 m  529 887, 660 Pa  P BOMBA =  p x 

 p = 529,8876 KPa P BOMBA =

529,8876 KPa x 2,4765 m3 / s

P BOMBA = 1312,266 kW

169

MECÁNICA DE FLUIDOS Se tiene la potencia que recibe la bomba, es la potencia que entrega el motor: PMotor = P BOMBA /  B = 1312,266 / 0,78 = 1682,393 kW PMotor = 172 941 kW Resumiendo: Q asum (m3/s) LÍNEA 1 V (m /s) = Re = e = f =  hf = LÍNEA 2 V (m /s) = Re = e = f =  hf = LÍNEA 3 V (m /s) = Re = e = f =  hf =

2,4765,

2,8709

1,4014 52520,6 0,00054 0,02250 0,532

1,6246 60885 0,00054 0,02197 0,69564

3,153 78780,9 0,00061 0,02140 4,88067925

3,6553 91327 0,00061 0,02099 6,43358

2,189 65650,7 0,00083333 0,02268 1,1084

2,5384 76106 0,000833 0,0222

 h = hf1+

6,521079

8,5915

  p (Pa) = P B (kW) = P m (kW) =

66,521 54 469,593 1312,266 1682,393

68,59158

  hf2+ hf3 =

1568,606 2011,033

Puede preparase una hoja de cálculo, tal como la que se muestra. Se asume un valor para el caudal, hasta que la potencia que el motor entrega nos dé 2011 kW. Caudal = Pm instalado= Pm calculado= pérdidas de energía:

170

2,87086 m3 / s 2011 kW 2011,00 kW

Tubo

L (m)

D (mm)

e (mm)

L/D

Pm (kW)=2011

1 2 3

200 300 120

1500 1000 1200

0,81 0,61 1,00

102 150 100

2010,999

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE b. Objetivo: -

Elabore un Diagrama de flujo, para obtener el flujo volumétrico impulsado por la bomba.

171

MECÁNICA DE FLUIDOS c. Objetivo: Elabore una hoja de cálculo que determine el flujo volumétrico que circula cuando la bomba ( B = 78 % ) recibe una determinada potencia ( Pmotor ) 2,87086 m3 / s 2011 kW Pm ca l cul a do= 0,00 kW pérdidas de energía: Ca uda l =

Pm i ns ta l a do=

L/D

kg/m 3

Pa.s

0,81

102

812

3,25E-02

1000

0,61

150

812

3,25E-02

1200

1,00

100

812

3,25E-02

Tubo

L (m)

D (mm) e (mm)

1

200

1500

2

300

3

120

HB h A-B (m) p A-B (m) A-B (m) V2/2g A-B (m) (m)

0

CAUDAL (m3/s)

172

0

60

P motor (kW)

0

0,000

B

PB (kW)

0,78

0,000

V (m/s)

Re



fasum f calc 1,6246 6,0884E+04 0,000540 0,022 0,0219741 3,6553 9,1326E+04 0,000610 0,021 0,0209935 2,5384 7,6105E+04 0,000833 0,0223 0,0222634

Pm (kW)=2011

0,000

h (m) 0,696 6,433 1,462

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P2. Para el caudal hallado en el ítem (a), determine el tamaño mínimo de la tubería nueva de acero

soldado sin costura (DN y NR) que conducirá el caudal del tanque A hacia el tanque B. Caudal = 2,87086 m 3 / s. Puede utilizarse la hoja de cálculo anterior o preparar una nueva hoja de cálculo. D = 1115 mm  Pm = 2011,77 kW D = 11120 mm  Pm = 2006,63 kW

DN = DN =

1,70 litros/minuto de un líquido refrigerante fluye a través del sistema mostrado en la figura. El refrigerante tiene una gravedad específica de 1,25 y una viscosidad dinámica de 3 x 10 – 4 Pa.s. Calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La tubería es de acero con un diámetro externo de ½ pulg, un grosor de pared de 0,049 pulg y una longitud total de 40 m.

P3.

L/D = 150 L/D = 4000

L/D = 340 SOLUCIÓN

c. Objetivo: -

Calcular la diferencia de presión entre los puntos A y B.

Datos:

Fluido:

Refrigerante  = 1250 kg / m 3



= 0,0003 Pa.s

asumido Tubería:

Q =

1,7 L/min <> 2,8333 x 10 – 5 m 3/s

Acero t (pulg) 0,049

L (m) 40

D (pulg) 0,402

D (mm) 10,2108

e (mm) 0,046

L/D 4490

Análisis:

Ecuaciones

V



4   D2

Cálculos

V



4 x 0,000028333 m 3 / s  0,346005 m / s  0,0102108 2 m 2

173

MECÁNICA DE FLUIDOS Re 

 V D VD 4      D

=e/D

Re



1250 x 0,346 x 0,0102108  14720,57 0,0003

 = 0,046 /10,2108 = 0,004505


 2,51   f 0,5  2 log    Re f 3,71   

 2,51 f 0,5  2log   14720,57 



f

0,004505 3,71

  


hA B  f  0, 035

L  ( L / D)  D D

0,03500

V2  1, 20 m 2g

40  4490 x 0, 0102108 m 0,346005 0, 0102108 m 2g

2

 1, 2 m  2,995546158 m

  h A - B = 2,995 m  p A - B =  g  h A - B = 1250 kg / m 3 x 9,81 m / s 2 x 2,995 m = 36 726,1875 Pa   p A - B = 36,726 kPa

P4. En el sistema de tubería ramificado que se muestra en la figura, se encuentra fluyendo 670

g. h.

GPM de agua a 12ºC a través de una tubería de acero NR 40 de 4 pulg de diámetro nominal en el punto A. El flujo se divide en dos tuberías NR 40 de DN = 2 pulg, como se muestran, y después se juntan en el punto B. Calcule el flujo volumétrico en cada ramal. La diferencia de presión P A – p B

Incluya el efecto de las pérdidas menores (pérdidas secundarias) en la rama inferior del sistema. La longitud total de tubería en la rama inferior es de 60 m. los codos son estándar.

SOLUCIÓN Puede resolverse de muchas maneras. La siguiente solución es una de ellas.

174

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE A.

DATOS GENERALES 1 FLUIDOAgua a

12

ºC 999,48 kg / m

Densidad Viscosidad absoluta

1,241E-06 Pa

Viscosidad cinemática

1,242E-09 m 2 / s

caudal

670 GPM

2 TUBERIA RAMAL DN

0,042264 m

3

3

s / s

Acero soldado sin costura

NR

L

DI

e

m

m

mm

Af m2

Af/L

1

2

40

30

0,0525

0,0456

0,00216

7,2158E-05

2

2

40

60

0,0525

0,0456

0,00216

3,6079E-05 0,00010824 0,0265052

B.

INCÓGNITA Q 1 = 0,026505

Q1 =

Q 2 = 0,015758 C.

m

SOLUCIÓN

Inicio:

Ramal

 h

Q m

3

/ s

m

 p Pa

1

####

82,816

812003,04

2

####

82,816

812005,17

3

########

real: real: real:

3

/ s

82,816055

0,0157584

82,816273

 h1

Q2 =

 h2

Control

m

3

m

E % =1

m

/ s

0,02113

52,633

0,01252

52,276

0,02653878

83,026

0,01572482

82,463

0,0422636

0,0265388

83,026

0,0157801

83,045

0,0423189

0,02650412

82,809000

0,01575948

82,828000

0,0422636

0,0265041

82,809

0,0157577

82,809

0,0422618

0,02650523

82,816055

0,01575837

82,816273

0,68273044 -0,0229391

0,0422636 -0,00026323

#### real: % Error =

#### 0,0003% real:

175


176


Una placa delgada de ancho b = 1m y largo L = 2 m, debe desplazarse sumergida a una velocidad de 1,5 m/s, en un lago cuya temperatura promedio del agua es 12 ºC. a. ¿Cómo deberá desplazarse la placa para que la fuerza de fricción sea mínima? b. Considerando el ítem (a), encontrar el espesor máximo de la capa límite y la fuerza de arrastre que experimenta la placa.

P6.

Un conducto convergente adiabático con área de salida de 1,3 x 10 - 3 m 2 permite que un flujo de aire salga desde un tanque grande en el cual la presión absoluta del aire es 138 kPa y la temperatura es 15,5°C. Si la presión ambiente por fuera del tanque es 101,325 kPa: A. ¿Cuál es la velocidad de flujo a la salida de la boquilla y cuál es el flujo de masa? No tenga en cuenta la fricción. w = 0,382 kg/s; Vs = 223 mls B. suponga que se está variando la presión ambiente. ¿Cuál será la presión más

alta que permita el máximo flujo másico a través de la boquilla? ¿Cuál es el flujo de masa máximo y la temperatura del aire al salir de la boquilla? No tenga en cuenta la fricción.

177


178

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE MN217-A,B CICLO: 2011-1

MECÁNICA DE FLUIDOS II EXAMEN FINAL ¡Con elementos de consulta!

20-07-2011

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!. P1. Una tobera convergente – divergente está unida con pernos a un depósito; en ése

punto, su diámetro es de 40 cm. Los diámetros de garganta y de salida son de 5 cm y 10 cm respectivamente. Si To es 27ºC y la presión en la sección de salida es de 100 kPa absoluta, y en todos los puntos de la tobera supersónica el flujo es isentrópico, calcule la fuerza en Newtons) necesaria para mantener la tobera unida al depósito. P2. Una probeta pitot se inserta en un flujo de aire en una tubería en la que p = 800 kPa

absoluta, T = 40ºC y M = 3,00. ¿Qué presión mide la probeta? p

800 kPa absoluta

M = 3,00 choque

A través de un ducto con sección transversal rectangular constante de 0,600 m x 0,300 m se mueve aire en un flujo permanente. En una sección (1) localizada a 6 m desde el extremo, la presión es 12 kPa y la temperatura es 260ºC. El flujo sale del ducto en forma subsónica a una presión de 101,4 kPa manométrica. Considere calor específico Cp = 1,0865 KJ / (kg) (K) y no tome en cuenta la fricción. Cuando la transferencia de calor por kilogramo de fluido entre la sección mencionada (1) y la sección de salida, se produce un flujo de 18 kg/s; siendo las condiciones en la salida de ps = 101,4 kPa manométrico, Ms = 0,422, y Ts = 898 grados kelvin y Tos = 929,6 grados Kelvin. Determine la transferencia de calor por unidad de masa, entre la sección (1) y el extremo, que haga que el flujo se estrangule. P3.

P4. Considere una cámara de alta presión conectada a una boquilla convergente corta,

la cual a su vez se conecta a un ducto de área constante aislado, como se muestra. Elabore un diagrama de flujo para calcular el flujo de masa hacia el exterior del tanque considerando conocidos: la geometría y las condiciones de estancamiento. L

po To A

P5. Usando la fórmula de Weymouth, determinar el caudal en un gasoducto de 15 km

de longitud y de 10,2 cm de diámetro, número de referencia 40, cuando la presión de entrada es de 2379 kPa manométrica y la presión de salida es de 237,9 KPa manométricos. El gas tiene una densidad relativa (al aire a 15 ºC) de 0,80 siendo la presión atmosférica igual a 101,4 kPa absolutos y la temperatura de 15 ºC. La tubería es horizontal. Si la salida del gas se encuentra 2 km por encima del extremo de entrada, explique si ésta situación ayuda o favorece al transporte del gas. Ing. Jorge SIFUENTES SANCHO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

179

MECÁNICA DE FLUIDOS FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA


MN217-B

1 RA PRÁCTICA CALIFICADA ¡Con Tablas, diagramas de flujo incompresible!

CICLO: 2011-2 FECHA: 27-09-2011

DURACIÓN: 110 minutos

¡Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones!.

P1. Se tiene un sistema de bombeo para impulsar 9 l/s de aceite lubricante ligero para máquinas herramientas ( DR = 0,881; = 2,20 x 10 – 5 m 2 /s) . La tubería es de acero DN = 4 pulgadas, NR40 ( Di = 102,26 mm; Af = 0,0082131 m 2;  = 0,000447). En el almacén de la empresa se tiene dos compresoras, las cuales pueden suministrar una presión de 130 kPa man y la otra una presión de 250 kPa man. Asimismo se tiene disponible una motobomba cuya potencia en el eje es de 32 kW. De la placa se obtuvieron los datos de eficiencia de la bomba igual a 76%; y eficiencia del motor igual a 97%. 1. Determine la pérdida primaria hf = 8,00842 m 2. Determine la pérdida secundaria hs = 1,441117 m 3. ¿Será suficiente utilizar la compresora que suministra 130 kPa para impulsar el caudal de 9 l/s? No es suficiente 4. ¿Será suficiente utilizar la compresora que suministra 250 kPa para impulsar el caudal de 9 l/s? Si es suficiente 5. La motobomba, por si sola ¿será capaz de impulsar el caudal de 9 l/s de aceite?. Si es capaz. 6. Considerando las compresoras, la motobomba disponibles, Presente una alternativa para impulsar los 9 l/s de aceite; utilizando la tubería de 4 pulgadas NR40. Compresora de 250 kPa - Motobomba

p

P

Z2 COMPRESORA

Z1 =

Aceite

180

40ºC

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE P2.

En el problema anterior, determine el mínimo diámetro para impulsar 125 l/s de aceite, si se utiliza una motobomba que suminister al flujo una potencia de 75 kW. DN = 8 “. NR40

P3. Se encuentra fluyendo aceite con una gravedad específica de 0,93 y una viscosidad

dinámica de 9,5 x 10 – 3 Pa.s hacia el tanque abierto mostrado en la figura. La longitud total de la tubería de 2 ½ pulg es de 80 m. Para la tubería de 4 pulg la longitud total es de 120 m. Los codos son estándar. Considere los accesorios, válvulas y elementos de control que usted crea conveniente. a. Determine el flujo volumétrico si la presión en el punto A es de 185 kPa. b. Elaborar un diagrama de flujo que muestre como entrada la presión en el punto A y como salida el caudal impulsado. Esto será utilizado para confeccionar un gráfico: p vs Q

Di = 61,85 mm E = 0,0015 Af = 0,003004 m2 L = 80 m

Tubería de cobre Tipo k de 2 ½ pulg.

Di = 97,97 mm E = 0,0015 Af = 0,007538 m2 L = 120 m

P4. Ordenar de mayor a menor la pérdida de carga por fricción que se produciría en un

conducto de igual longitud y material que transporta un mismo caudal, si la sección transversal es: a. Rectangular de lados: a = 0,80 cm; b = 1,2 a. b. Cuadrado de lado c = 0,886 cm c. Triangular de lados iguales e = 0,850 cm.

Ing. Jorge SIFUENTES SANCHO P1: DR = 0,881

= 2,20 x 10 -5 m 2/s

L = 355 m Di = 102,26 mm Af = 0,00082131 m 2  = 0,000447 P3: 2 ½ Di = 61,85 mm e = 0,0015 mm Af = 3,004 x 10 -3 m 2 L = 80 m 4” Di = 97,97 mm e = 0,0015 mm Af = 7, 538 x 10 -3 m 2 L= 120 m Válvula globo, válvula de retención

SOLUCIÓN P1:

181

MECÁNICA DE FLUIDOS D ATOS Aceite lubricante ligero,

Fluido: Temperatura

T

Viscosidad absoluta






Densidad



Caudal

Q

881,00 kg/m³ 0,0090 m³/ s

Peso específico



8 642,61 N /m³

Tuberias:

40 °C Pa.s 0,0000220

Acero comercial

Diámetro Nominal.

D

4,00 pulg.

NR

40,00

Diámetro interior

Di

Rugosidad absoluta Espesor de tuberia.

e t

Área de flujo

Af

Longitud de tub.

L

0,10 m 0,04560 mm mm 0,00821299 m ² 355,00 m

Otros Datos. Gravedad

g

PI



9,81 m/s² 3,14159

ANÁLISIS Ecuaciones Velocidad Reynold

Cálculos V=Q/Af Re=

Regimen de flujo:

1,096

 .V.D/

m/s

5 093,59

5 093,59

Turbulento



Rugosidad relativa:

0,00044592

coeficiente de fricción: f f fasum = 0,01 calc = 0,04738727 La pérdida por fricción:

0,0474 0,03634448 0,03765695 0,03791468 0,03765695 0,03634448 0,03791468 0,03765695 8,00 m

La pérdida secundaria: La pérdida en el sistema de bombeo:

1,52 9,52

m m

SOLUCIÓN P2: Pruebas D asumido (m) = Velocidad (m/s) = Reynolds = Rugosidad relativa = Coeficiente f = Pérdida de energía Potencia de bomba

Di V Re = e = f = ∆hf PB

0,1 15,22 70744,33 0,00044592 0,02114 1160 1264

Tuberia: DN = 8 pulg Di = 0,2027 m PB = 65 kW Se gradua el caudal con 0,125 m3/s la válvula tipo globo que se ha instalado

SOLUCIÓN P3. MÉTODO DIRECTO

182

8 0,154 0,2027 6,71 3,874 46976 35690 0,000296 0,00022496 0,02217 0,02321 174 50 199 65 DN = Di = PB = Q =

10 0,2545 2,457 28426 0,000179 0,02425 18 30

8 0,2027 m 75 kW 0,1321 m·/s

FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE a. Determinar el flujo volumétrico que circula por el sistema de tuberías en serie, cuando la presión en el punto A es de 185 kPa. Aplicando la ecuación de energía entre los puntos (A) y (B):

VA2 pB VB2  ZA    ZB   h AB  2g  2g

pA

pA  pB



20,2778  4,5 

VB2  VA2  ZB  Z A   h A B 2g

(VB 2  VA2 )  65,92517 f VA2  1,23 VA2  62,42939625 f VB2  8,48 VB2  p 19,62

pA  pB VB2  VA2  ZB  Z A   h A B  P  2g 20,27775038

4,5 -0,28902578

Caudal m 3 /s

P m

0,015 0,014 0,01 0,009 0,008 0,0079 0,00789 0,00788 0,0781 0,007806 0,007804 0,007802 0,007801 0,0078

55,05 49,2 29,017 24,8 20,997 20,634 20,598

16,055 =

20,266

20,31 20,295 20,288 20,281 20,277 20,274

RESULTADOS Cuando PA = 185 kPa, el caudal que circula es de: - La pérdida de carga en el sistema de tuberías 16,05500 m Caudal Q= 0,007801 m 3 / s SOLUCIÓN P4 Triángulo, rectangular y cuadrado

183


184


Aplicando la ecuación de energía entre los puntos (A) y (B):

VA2 pB VB2  ZA    ZB   h AB  2g  2g

pA

pA  pB



20,2778  4,5 

VB2  VA2  ZB  Z A   h A B 2g

(VB 2  VA2 )  65,92517 f VA2  1,23 VA2  62,42939625 f VB2  8,48 VB2  p 19,62

Cálculo de las velocidades:

185

MECÁNICA DE FLUIDOS D ATOS Fluido:

Aceite lubricante ligero,

Temperatura

T

40 °C

Viscosidad absoluta

Pa.s

Viscosidad cinemática 

0,0000220

Densidad



Caudal

Q

881,00 kg/m³ 0,1321 m³/ s

Peso específico



0,00 N /m³

Tuberias:

Acero comercial

Diámetro Nominal. D NR

4,00 pulg. 40,00

Diámetro interior

Di

Rugosidad absolutae Espesor de tuberia. t Área de flujo

Af

Longitud de tub.

L

0,20 m 0,04560 mm mm 0,03226988 m ² 355,00 m

Otros Datos.


Cálculos V=Q/Af Re=

 .V.D/

4,094 37 716,94

Regimen de flujo:37 716,94

Turbulento

 coeficiente de fricción: f Rugosidad relativa: f asum =

0,01

f calc =

0,0253723

m/s

0,00022496 0,02294285 0,0254 0,02267856 0,02297317 0,02293889 0,02267856 0,02297317 0,02293889 0,02294285


34,32

m


0,00 34,32

m m

186


DATOS Fluido:

Aceite lubricante ligero,

Temperatura

T

Viscosidad absoluta






Densidad



881,00 kg/m³

Caudal

Q

0,1321 m³/s

Peso específico



Tuberias:

40 °C Pa.s 0,0000220

0,00 N /m³



Acero comercial D

Diámetro Nominal.

4,00 pulg.

NR

40,00

Diámetro interior

Di

Rugosidad absoluta Espesor de tuberia.

e t

Área de flujo

Af

Longitud de tub.

L

0,20 m 0,04560 mm mm 0,03226988 m ² 355,00 m

Otros Datos. 


Cálculos V=Q/Af Re= .V.D/

4,094

m/s

37 716,94

187

MECÁNICA DE FLUIDOS Regimen de flujo: Rugosidad relativa: coeficiente de fricción: f asum = f calc =

37 716,94

 f 0,01 0,025372295

Turbulento 0,00022496 0,022942852 0,0254 0,022679 0,022973167 0,022939 0,02267856 0,022973 0,022938893 0,022943


34,32

m


21,22 55,54

m m

188


189

8.1_8.5 PERDIDAS

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