Bočno-torziono izvijanje j j
Metalne konstrukcije 1
P7-1
Metalne konstrukcije 1
P7-2
Metalne konstrukcije 1
P7-3
Teorijske osnove Problem jje prvi p analizirao Timošenko. Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja. Osnovne pretpostavke su: – materijal idealno elastičan; – nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija); – sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti oslonci); – poprečni presek nosača je obostrano simetričan i konstantan duž raspona nosača (I presek); – poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije; – moment inercije Iz je mnogo manji od Iy; – deformacije j su male (sin ( =; cos=1); ); Metalne konstrukcije 1
P7-4
Deformisan oblik nosača
M M y cos M y
M M y sin M y
M MT M y
dv dx Metalne konstrukcije 1
P7-5
Osnovne diferencijalne jednačine problema d 2w ( x ) M M y EI y dx 2
Savijanje oko jače y-y ose
d 2v ( x ) M M y EI z dx 2
Savijanje j j oko slabije j z-z ose
dv d d 3 MT M y GI t EIw dx dx dx 3
EIy
krutost na savijanje oko jače ose, ose
EIz
krutost na savijanje oko slabije ose,
It
torzioni moment inercije,
Iw
sektorski moment inercije,
Torzija
Metalne konstrukcije 1 v, w i nepoznata generalisana pomeranja.
P8-6 P7-6
Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja 2 d 4 d 2 M y EI w GI t 0 4 2 EI z dx dx
Granični uslovi (0) 0
d 2 (0) (0) 0 2 d dx
(L) 0
d 2 (L) (L) 0 2 dx
Pretpostavljen oblik rešenja
( x ) A sin(m x ) B cos(m x ) C sh(n x ) D ch(n x ) Metalne konstrukcije 1
P7-7
Kritičan moment bočno-torzionog g izvijanja j j - Mcr M cr
EI z 2
2
L
Iw L GI t 2 I z EI z 2
ili
M cr
2EI z
2EI w
2
2
L
GI t
L
Dati izrazi važe za viljuškasto oslanjanje na krajevima i konstantan dijagram momenata. Označava se i sa Mcr,E! EIz
krutost na savijanje oko slabije ose, ose
GIt
torziona krutost
Iw
sektorski moment inercije,
L
raspon p nosača ((razmak tačaka bočnog g ppridržavanja). j ) Metalne konstrukcije 1
P7-8
Faktori od uticaja na vrednost Mcr – Krutost nosača (It, Iz i Iw); – Uslovi U l i bočnog b č oslanjanja; l j j – Način naprezanja (oblik dijagrama momenata savijanja); – Položajj poprečnogg opterećenja j u odnosu na centar smicanja poprečnog preseka; – Oblik poprečnog preseka (simetričan ili monosimetričan); Metalne konstrukcije 1
P7-9
Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja
Metalne konstrukcije 1
P7-10
Uticaj dijagrama momenata savijanja Mcr m Mcr ,E m 2
EI z 2 EIw GI t 2 2 L L
m 1,75 1,05 m 0,3 m2 2,56
P7-11
Određivanje parametra m
Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr Mcr C1
2EI z k Iw
kL
2
kw I z
2 kL GIt
EI z 2
C2 z g C3 z j
C2 z g C3 z j
2
C1
koeficijent koji uvodi u proračun različite oblike dijagrama momenata (C1 = m); )
C2
koeficijent kojim se uzima u obzir položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja;
C3
koeficijent kojim se uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja;
k i kw
k fi ij ti kojima koeficijenti k ji se obuhvataju b h t j različiti ličiti uslovi l i oslanjanja; l j j
zg
rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje;
zj
parametar koji uzima u obzir stepen asimetrije poprečnog preseka kod monosimetričnih preseka;
Za kompleksnije slučajeve Mcr može da se odredi primenom FEM ili prikladnog softvera (npr. LTBeam) P7-13
Uticaj položaja poprečnog opterećenja na vrednost Mcr
Metalne konstrukcije 1
P7-14
Monosimetrični poprečni preseci i uticaj položaja opterećenja z g zQ z s
Rastojanja (zQ i zs) su pozitivna ii kada k d se nalaze l u prtisnutom delu preska, a negativne kada se nalaze u zategnutoj zoni!
z j zs Metalne konstrukcije 1
1 2 2 ( y z ) z dA 2I y A P7-15
Metalne konstrukcije 1
P7-16
Koeficijenti C1, C2 i C3
Metalne konstrukcije 1
P7-17
Granična nosivost nosača na bočnotorziono izvijanje – Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne geometrijske ij k imperfekcije,...); i f k ij ) – Granična vrednost momenta nosivost (Mu) je manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) ; – Stvarno pponašanje j nosača odstupa p od bifurkacionogg modela stabilnosti
Metalne konstrukcije 1
P7-18
Bočno-torziono izvijanje nosača sa početnim geometrijskim imperfekcijama v 0 ( x ) 0 sin
x L
početna imperfekcija bočnog pomeranja (savijanje oko z-z ose)
0 ( x ) 0 sin
x L
početna imperfekcija obrtanja preseka ( if (uniformna i ograničena ič torzija) ij )
0 Mcr 0 Ncr , z
vrednost amplituda početnih imperfekcija su međusobno zavisne!
Modifikovane diferencijalne jednačine: d (v v 0 ) d d 3 GIt EIw M y dx dx dx 3
d 2v ( x ) M y ( 0 ) EI z dx 2
Rešenja j diferencijalne j jednačine: j v (x ) 0
M y / Mcr 1 M y / Mcr
sin
x L
(x ) 0
Metalne konstrukcije 1
M y / Mcr 1 M y / Mcr
x sin L P7-19
Uticaj geometrijskih imperfekcija
Metalne konstrukcije 1
P7-20
Graničan moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje Mu Maksimalan napon u najopterećenijem preseku (x=L/2): max,Ed
M y ,Ed Wel ,y
EI z d 2 v x x hs / 2 Wel ,z dx 2 d x L / 2
Graničan moment Mu se dobija iz uslova max,Ed fy Mu 1 M y ,Rk Φ Φ 2 2 LT LT LT ΦLT
1 2 1 LT 2
uticaj početnih imperfekcija Metalne konstrukcije 1
P7-21
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost na bočno-torziono izvijanje LT
M y ,Rk Mcr
Mcr kritični moment bočno-torzionogg izvijanja; j j ; My,Rk karakterističan moment nosivosti poprečnog preseka; My,Rk zaa preseke p ese e klase ase 1 i 2;; y Rk = My,pl y pl My,Rk = My,el za preseke klase 3; My,Rk Rk = My,eff ff za preseke klase 4.
Metalne konstrukcije 1
P7-22
Veza granični moment - bezdimenzionalna vitkost Mu M y ,Rk
LT M y ,Rk / Mcr Metalne konstrukcije 1
P7-23
Proračun nosivosti elementa na bočnotorziono izvijanje prema EC3 M Ed 1,0 M b ,Rd
W pl ,y W y Wel ,min, min y W eff ,min,y
M b ,Rd LT W y f y / M 1 za klase 1 i 2 za a klasu asu 3 za klasu 4
MEd proračunska vrednost momenta savijanja; Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje; LT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja; odgovarajući otporni moment; Wy fy granica i razvlačenja. l č j Metalne konstrukcije 1
P7-24
Bezdimenzionalni koeficijent bočnotorzionog izvijanja LT Evrokod 3 daje dve alternative za proračun: – Opšta metoda (za sve oblike preseka preseka, daje konzervativnije vrednosti); – Metoda M t d za standardne t d d vrućevaljane ć lj profile fil i ekvivalentne (obostrano simetrične) zavarene profile). Pored toga, postoji uprošćena metoda za mestimično bočno-pridržane nosače u zgradarstvu. Metalne konstrukcije 1
P7-25
Opšta metoda LT
1 LT
2 LT
2 LT
1
2 0,5 1 LT (LT 0,2) LT
LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje Oblik poprečnog preseka
Kriva izvijanja j j
LT
Vrućevaljani I preseci
h/b 2 h/b 2
a b
0,21 0,34
Zavareni I preseci
h/b 2 h/b 2
c d
0,49 0,76
-
d
0,76
Ostali poprečni preseci
Metalne konstrukcije 1
P7-26
Metoda za vrućevaljane profile LT
1 2 2 LT LT LT
1
2 0,5 1 LT (LT LT ,0 ) LT
LT ,0 0,4
0,75
LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje Poprečni preseci
Kriva izvijanja
LT
Vrućevaljani I preseci
h/b 2 h/b 2
b c
0,34 0,49
Zavareni I preseci
h/b 2 h/b 2
c d
0,49 0 76 0,76
Metalne konstrukcije 1
P7-27
Poređenje j opšte p metode i metode za valjane j p profile 1,1 10 1,0 Opšta metoda
0,9 0,8
Metoda za valjane j p profile
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 01 0,1 0,0 0,0
0,5
1,0
1,5
Metalne konstrukcije 1
2,0
2,5
3,0 P7-28
Modifikovana vrednost koeficijenta LT,mod LT ,mod
LT f
1
f 1 0,5 (1 k c ) 1 2 (LT 0,8) 2
k c 1/ C1 1/ m
– Uticaj oblika dijagrama momenat se uzima preko p modifikovanog koeficijenta. – Modifikovani koeficijent j LT,mod se koristi umesto koeficijenta LT. – Ne primenjuje se za opštu Metalne konstrukcije 1 metodu!
P7-29
Kada ne treba kontrolisati bočno-torziono izvijanje? – Kod nosača koji su kontinualno, ili dovoljno često bočno pridržani u nivou pritisnute nožice; – Kod nosača zatvorenih poprečnih preseka kružnog i kvadratnog poprečnog preseka; k – Kod poravougaonih šupljih profili kod kojih je odnos visina/širina i i /ši i preseka k manji ji odd 10 (h/b < 10), 10) ili (prema ( Kaimu): K i ) h / b 10 / z
gde je z relativna vitkost na izvijanje oko slabije z-z z z ose; – Bočno-torziono izvijanje nije merodavno kada je relativna vitkost manja od 0,4, 0 4 kao i kada je: 2 M y ,Ed / Mcr LT ,0 0,16
Metalne konstrukcije 1
P7-30
Mere za povećanje nosivosti na bočnotorziono izvijanje Problem bočno-torzionog izvijanja može se reši sledećim konstruktivnim merama: – obezbeđenjem bočnog pridržavanja pritisnute nožice, – pprogušćavanjem g j tačaka njenog j g bočnogg ppridržavanja, j , – promenom oblika poprečnog preseka nosača, odnosno usvajanjem j j poprečnih p p ppreseka koji j su manje j osetljivi (HEA, HEB), ili neosetljivi na bočnotorziono izvijanje j j kao što su zatvoreni (sandučasti) ( ) poprečni preseci. Metalne konstrukcije 1
P7-31
Kontrola razmaka tačaka bočnog pridržavanja Kod bočno pridržanih nosača u zgradarstvu bočno-torziono izvijanje ne treba proveravati kada je: Mc ,Rd k c Lc f c 0 i f , z 1 M y ,Ed
Lc razmak između susednih tačaka bočnog pridržavanja; kc koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir oblik dijagrama momenata; if,z poluprečnik inercije ekvivalentne pritisnute nožice; 1 vitkost na granici razvlačenja; My,Ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja između tačaka pridržavanja; Mc,Rd proračunska nosivost poprečnog preseka na savijanje oko y-y ose; c 0 LT ,0 0,1 granična relativna vitkost c 0 0,4 0,1 0,5 Metalne konstrukcije 1
P7-32
Ekvivalentna pritisnuta nožica
Metalne konstrukcije 1
P7-33
Uprošćena metoda za mestimično bočno pridržane nosače u zgradarstvu Kod bočno pridržanih nosača kod kojih razmak tačaka bočnog pridržavanja nije dovoljno mali, mali odnosno kada je relativna vitkost ekvivalentne pritisnute nožice veća od granične, moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje j j može da se odredi kao:
M b ,Rd k fl Mc ,Rd kkoeficijent fi ij modifikacije difik ij (Evrokod (E k d 3 preporučuje: č j kfl = 1,10); 1 10) bezdimenzionalni koeficijent izvijanja ekvivalentne pritisnute nožice. nožice Koeficijent kfl se određuje na osnovu relativne vitkosti ekvivalentne ppritisnute nožice i odgovarajuće g j krive izvijanja: j j - kriva d za zavarene preseke kod kojih je h/tf 44 ; - kriva c za sve ostale preseke; gde d jje h ukupna k visina i i poprečnog č preseka, k a tf debljina d blji pritisnute ii Metalne konstrukcije 1 P7-34 nožice. kfl
Bočno pridržavanje nosača The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
m 0,5 1
1 m
e 0 m L / 500
h
Spreg mora da bude sposoban da prihvati ih i uticaje i j u svojoj j j ravni: i qd 8 NEd
e0 q L2
M Ed e0 q 8 h L2
MEd maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja duž nosača; e0 imperfekcija; q deformacija sprega u svojoj ravni usled opterećenja q (Iterativan postupak kako bi se uzeli uticaji II reda); Kada se za proračun primenjuje teorija II reda: q =0; m broj nosača koji su pridržani spregom; h visina nosača Metalne konstrukcije 1 P7-35