96725874-Estadstica-computacional.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

TEXTO DE ESTADÍSTICA COMPUTACIONAL CON R, EXCEL, MINITAB Y SPSS

AUTOR: JUAN FRANCISCO BAZÁN BACA (Resolución Rectoral 1351-2008-R del 22-12-08) 01-12-08 al 30-11-10

CALLAO – PERÚ 2010

ÍNDICE Pág. INDICE

2

INTRODUCCIÓN

10

Capítulo 1. CONSTRUCCIÓN DE UNA BASE DE DATOS

11

1.1

Introducción

11

1.2

Definición de variables

13

1.3

Introducción de datos

27

1.4

Archivo de datos

30

1.5

Transformación de datos

39

1.6

Recodificación de datos

43

1.7

Manipulación de archivos

49

Capítulo 2. PRESENTACIÓN DE DATOS

50

2.1

Introducción

50

2.2

Cuadros estadísticos

50

2.3

Distribución de frecuencias

72

2.4

Gráficos estadísticos

87

2.5

Gráficos de variables cualitativas

89

2.6

Gráficos de frecuencias

98

2.7

Diagrama de tallos y hojas

112

Capitulo 3. MEDIDAS DE POSICIÓN

115

3.1

Introducción

115

3.2

Mediaaritmética

116

3.3

Mediana

120

3.4

Moda

124

3.5

Media geométrica

133

3.6

Media armónica

137

3.7

Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles

140

Capítulo 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y FORMA

155

4.1

155

Introducción

2

4.2

Rango. Rango intercuartílico

156

4.3

Desviación media

158

4.4

La varianza

160

4.5

La desviación típica

166

4.6

El coeficiente de variación

167

4.7

El diagrama de cajas o boxplot

174

4.8

Medidas de forma de la distribución

182

Capítulo 5. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN SIMPLE

190

5.1

Introducción

190

5.2

Diagrama de dispersión

191

5.3

Covarianza y coeficiente de correlación

196

5.4

Regresión lineal simple

200

5.5

Coeficiente de determinación

202

Capítulo 6. MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

210

6.1

Introducción

210

6.2

Distribución binomial

211

6.3

Distribución Poisson

224

6.4

Distribución hipergeométrica

236

6.5

Distribución geométrica

246

Capítulo 7. MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD

258

7.1

Introducción

258

7.2

Distribución uniforme o rectangular

259

7.3

Distribución exponencial

269

7.4

Distribución normal

278

7.5

Distribución chi-cuadrado

288

7.6

Distribución T de student

295

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

303

Anexo

304

3

ÍNDICE DE CUADROS Y FIGURAS CUADROS

Pág.

1.1 Tabla de la masa corporal ideal

39

2.1 PBI por rama de la actividad económica, según año: 2000-07

55

2.2 Alumnos de estadística básica 09-A de la FCE-UNAC, por sexo, según hobby

58

2.3 Alumnos de estadística básica 09-A de la FCE-UNAC, por sexo, según especialización y hobby

63

2.4 Alumnos de estadística básica 2009-A, de la FCE-UNAC, según hobby

73

2.5 Alumnos de estadística básica 2009-A, de la FCE-UNAC, según el número de miembros en la familia

75

2.6 Pesos (Kg.) de los 60 alumnos de estadística básica 09-A UNAC

78

2.7 Distribución de frecuencias de los pesos de los alumnos de estadística básica 09-A FCE-UNAC

80

3.1 Resumen de los cuantiles calculados para los pesos (Kg.) de los alumnos de estadística básica 09-A, FCE-UNAC, por la forma en que están los datos

150

3.2 Resumen de los percentiles calculados para los pesos (Kg.) de los alumnos de estadística básica 09-A, de la FCE-UNAC, por programa usado

154

4.1 Resumen de las medidas de dispersión calculadas para los pesos (Kg.) de los alumnos de estadística básica 09-A, de la FCE-UNAC, por programa usado

174

FIGURAS 1.1 Variables definidas en Excel

15

1.2 Variables definidas en Minitab

16

1.3 Editor de datos en SPSS

16

1.4 Definición del Tipo de variable

18

1.5 Cuadro de diálogo para definir Etiquetas de Valor

20

1.6 Cuadro de diálogo para Definir Valores Perdidos

21

1.7 Vista de Variables definidas en SPSS

23

1.8 Variables definidas en SPSS

24

1.9 Abriendo base de datos en R desde un block de notas

26

1.10

Base de datos en Excel

28

1.11

Base de Datos en MINITAB

28

1.12

Base de datos en SPSS

29

FIGURAS

Pág. 4

1.13

Base de datos en R

29

1.14

Ventana de archivamiento en Excel

30

1.15

Cuadro de diálogo para Guardar como, en Excel

31

1.16

Ventana de File (archivo), en Minitab

32

1.17

Cuadro de diálogo para Save Project As, en Minitab

33

1.18

Cuadro de diálogo para Guardar como, en SPSS

34

1.19

Cuadro de diálogo para Guardar área de trabajo, en R

35

1.20

Cálculo del imc en Excel

40

1.21

Cálculo de la talla_m en Minitab

41

1.22

Cálculo de la variable talla_m en SPSS

42

1.23

Tipos de recodificación en Minitab

43

1.24

Obtención de la Condición, recodificando el IMC en Minitab

44

1.25

Resultado de la Condición recodificando el IMC en Minitab

45

1.26

Obtención de la Condición, recodificando el IMC en SPSS

46

1.27

Recodificar Valores antiguos del IMC y nuevos de Condición en SPSS

47

1.28

Resultado de la Condición recodificando el IMC en SPSS

47

1.29

Resultado de la Condición recodificando el IMC en R

48

2.1 Estructura de un cuadro estadístico

51

2.2 Obtención de un cuadro bidimensional con SPSS

56

2.3 Mostrar en las casillas

57

2.4 Obtención de un cuadro bidimensional con Minitab

60

2.5 Escoger qué mostrar en las casillas con el Minitab

61

2.6 Cuadro tridimensional en SPSS

64

2.7 Creando tabla dinámica en Excel

65

2.8 Tabla dinámica para Sexo y Hobby en Excel

66

2.9 Tabla dinámica para Sexo y Hobby con porcentajes en Excel

67

2.10 Tabla dinámica para Sexo, Especialización y Hobby en Excel

67

2.11 Obtención de tablas de frecuencias en SPSS

73

2.12 Obtención de tabla de frecuencias en Excel

79

2.13 Argumentos de la función Frecuencia

80

2.14 Recodificación de la variable peso en Minitab

81

2.15 Variable peso recodificada en pesos (intervalos) con Minitab

82

2.16 Obtención de tabla de frecuencias en Minitab (variable pesos)

83

FIGURAS

Pág. 5

2.17 Recodificando la variable peso en SPSS

83

2.18 Recodificar Valores antiguos del peso y nuevos de pesos en SPSS

84

2.19 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en SPSS

85

2.20 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en R

86

2.21 Gráfico de sectores en Excel

90

2.22 Gráfico de sectores en SPSS

91

2.23 Gráfico de sectores en Minitab

91

2.24 Gráfico de sectores en R

92

2.25 Gráfico de barras de la variable hobby en Minitab

94

2.26 Datos de la variable hobby y clase en Excel

95

2.27 Herramientas del Análisis de datos en Excel

95

2.28 Obteniendo gráfico de Pareto en Excel

95

2.29 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Excel

96

2.30 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Minitab

97

2.31 Gráfico de barras de los miembros de la familia en Excel

98

2.32 Gráfico de barras de los miembros de la familia en SPSS

99

2.33 Gráfico de barras de los miembros de la familia en Minitab

100

2.34 Obteniendo el Histograma de peso en Excel

101

2.35 Histograma de frecuencia del peso en Excel

102

2.36 Obteniendo el histograma de peso en Minitab

103

2.37 Edición (en Binning) del histograma de peso en Minitab

104

2.38 Histograma de frecuencia del peso en Minitab

104

2.39 Histograma de frecuencia del peso en SPSS

105

2.40 Histograma de frecuencia del peso en R

106

2.41 Edición del histograma de densidad de peso en Minitab

108

2.42 Histograma de densidad de peso en Minitab

108

2.43 Datos para el Polígono de frecuencias y Ojiva del peso en Minitab

109

2.44 Scatterplot para el Polígono de frecuencias del peso en Minitab

110

2.45 Polígono de frecuencias del peso en Minitab

110

2.46 Scatterplot para la Ojiva del peso en Minitab

111

2.47 Ojiva del peso en Minitab

112

3.1 Cálculo de la media para datos agrupados en Excel

117

3.2 Cálculo de la media aritmética (PROMEDIO) en Excel

129

FIGURAS

Pág. 6

3.3 Resultados de la media aritmética, mediana y moda en Excel

129

3.4 Selección de la variable peso para calcular estadígrafos en Minitab

130

3.5 Selección de estadígrafos de posición a calcular en Minitab

130

3.6 Cálculo de estadígrafos de Tendencia central en SPSS

131

3.7 Cálculo de cuartiles en Excel

151

3.8 Resultado de cuartiles y percentiles en Excel

152

3.9 Cálculo de cuartiles y percentiles en SPSS

153

4.1 Medidas de dispersión obtenidas con Excel

169

4.2 Selección de estadígrafos de dispersión en Minitab

170

4.3 Cálculo de estadígrafos de dispersión en SPSS

171

4.4 Estructura del diagrama de cajas y bigotes (boxplot)

175

4.5 Ventana de diálogo para definir el boxplot de peso en Minitab

176

4.6 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en Minitab

176

4.7 Efectuando Gráfico Múltiple de Boxplot para peso, por sexo

177

4.8 Boxplot del peso para hombres y mujeres en Minitab

178

4.9 Ventana de diálogo Explorar para definir el boxplot de peso en SPSS

179

4.10 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en SPSS

179

4.11 Boxplot del peso para hombres y mujeres en SPSS

180

4.12 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en R

181

4.13 Boxplot del peso para hombres y mujeres en R

182

4.14 Cálculo de la asimetría y curtosis en Excel

187

5.1 Definiendo el diagrama de dispersión en Excel

192

5.2 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Excel

192

5.3 Definiendo el diagrama de dispersión en Minitab

193

5.4 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Minitab

193

5.5 Creando el diagrama de dispersión en SPSS

194

5.6 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en SPSS

195

5.7 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en R

196

5.8 Aplicando Regresión en Excel

204

5.9 Resultado de la Regresión de cantidad y precio de muñecas en Excel

205

5.10 Aplicando Regresión en Minitab

205

5.11 Aplicando Regresión en SPSS

207

6.1 Cálculo de probabilidades para la distribución binomial en Excel

214

FIGURAS

Pág. 7

6.2 Solución del Ejemplo 6.2 en Excel

215

6.3 Probabilidad con la distribución binomial en Minitab

216

6.4 Probabilidad acumulada con la distribución binomial en Minitab

217

6.5 Probabilidad para varios valores con distribución binomial en Minitab

218

6.6 Cálculo de probabilidades con la distribución binomial en SPSS

220

6.7 Probabilidades acumuladas con la distribución binomial en SPSS

221

6.8 Cálculo de probabilidades para la distribución Poisson en Excel

227


228

6.10 Probabilidad con la distribución Poisson en Minitab

229

6.11 Probabilidad para varios valores con distribución Poisson en Minitab

230

6.12 Cálculo de probabilidades con la distribución Poisson en SPSS

231

6.13 Probabilidades acumuladas con la distribución Poisson en SPSS

232

6.14 Distribución de probabilidades Poisson del ejemplo 6.3 en SPSS

233

6.15 Cálculo de distribución hipergeométrica en Excel

238


239

6.17 Probabilidad con la distribución hipergeométrica en Minitab

240

6.18 Probabilidades con distribución hipergeométrica en Minitab

241

6.19 Cálculo de probabilidades con la distrib. hipergeométrica en SPSS

242

6.20 Probabilidades acumuladas con la distrib. hipergeométrica en SPSS

243

6.21 Distrib. de probabilidades hipergeométrica del ejemplo 6.4 en SPSS

243


248

6.23 Probabilidad con la distribución geométrica en Minitab

249

6.24 Probabilidades con distribución geométrica en Minitab

251

6.25 Cálculo de probabilidades con la distribución geométrica en SPSS

252

6.26 Probabilidades acumuladas con la distribución geométrica en SPSS

253

6.27 Distrib. de probabilidades geométrica del ejemplo 6.5 en SPSS

254

7.1 Probabilidad con la distribución uniforme en Minitab

261

7.2 Graficando probabilidades acumuladas para la uniforme en Minitab

263

7.3 Definiendo el área a sombrear para probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en Minitab

263

7.4 Cálculo y gráfico de P(22 ≤ X ≤ 24) con la dist. uniforme en Minitab

264

7.5 Gráfico del inverso de probab. acum. Con la dist. uniforme en Minitab

265

7.6 Cálculo de las densidades f(x) con la distribución uniforme en SPSS

266

FIGURAS

Pág. 8

7.7 Probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en SPSS

267

7.8 Densidades y probab. acumuladas con la distrib. uniforme en SPSS

267

7.9 Cálculo de probabilidades acumuladas con exponencial en Excel

271

7.10 Probabilidad acumulada con la distribución exponencial en Minitab

272

7.11 Graficando probabilidades acum. para la exponencial en Minitab

274

7.12 Cálculo de probab. acum. con la distribución exponencial en SPSS

276

7.13 Probabilidades acumuladas con la distrib. exponencial en SPSS

276

7.14 Cálculo de probabilidades acumuladas con la normal en Excel

281

7.15 Probabilidad acumulada con la distribución normal en Minitab

283

7.16 Graficando probabilidades acumuladas con la normal en Minitab

284

7.17 Cálculo de probab. acumuladas con la distribución normal en SPSS

286

7.18 Probabilidades acumuladas con la distribución normal en SPSS

287

7.19 Cálculo de probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado en Excel

291

7.20 Gráfico de P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) con la chi-cuadrado en Minitab

292

7.21 Cálculo de probab. acumuladas con la chi-cuadrado en SPSS

294

7.22 Cálculo de probabilidades acumuladas con la t en Excel

298

7.23 Gráfico de P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) con la t en Minitab

300

7.24 Cálculo de probab. acumuladas con la t en SPSS

301

9

INTRODUCCIÓN

La estadística ha desarrollado una serie de técnicas y procedimientos cuyas aplicaciones procedimentales requieren de algunas herramientas de cálculo como son las calculadoras programadas o los programas estadísticos desarrollados en diferentes plataformas computacionales. A fin de contribuir al proceso de enseñanza aprendizaje del instrumental estadístico, hemos creído conveniente elaborar un “Texto de Estadística computacional con R, Excel, Minitab y SPSS” que de manera sencilla y práctica ayude a los estudiantes de la estadística a efectuar sus aplicaciones. Las aplicaciones se desarrollan tanto en las versiones comerciales del Excel 2007, Minitab 15.0 English y SPSS 15.0 en español; como en la versión de uso libre del programa R-2.11.1 cuya instalación se explica en la pág. 24. El texto consta de siete capítulos. En el primero, se explica la Construcción de una base de datos muy necesaria para procesar encuestas y otros cálculos. En el capítulo 2, se describe la Presentación de datos a través de cuadros y gráficos. En los capítulos tres, cuatro y cinco se presentan los indicadores de resumen de los datos mediante las medidas de posición, dispersión y forma, así como el análisis de correlación y regresión simple acompañadas del concepto, formas de cálculo (con datos sin agrupar y agrupados), interpretación de resultados y aplicaciones computacionales con cada uno de los programas. En los capítulos seis y siete, se desarrollan los modelos discretos y continuos de probabilidad, partiendo de una presentación sencilla de sus características, acompañada de aplicaciones manuales y computacionales en cada programa. Agradezco a nuestra querida UNAC por el continuo apoyo ofrecido para alcanzar estos logros que permiten sistematizar conocimientos e incorporar temas para la discusión en clases. El reconocimiento especial a los estudiantes de economía de la FCE-UNAC, ya que gracias a su esfuerzo y comprensión en los últimos años se han puesto en práctica los resultados de este modesto trabajo.

10

Capítulo 1. CONSTRUCCIÓN DE UNA BASE DE DATOS “El hombre más feliz del mundo es aquel que sepa reconocer los méritos de los demás y pueda alegrarse del bien ajeno como si fuera propio” Johann Wolfgang von Goethe

CONTENIDO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Introducción. Definición de variables. Introducción de datos. Archivo de datos. Transformación de datos. Recodificación de datos. Manipulación de archivos.

1.1 INTRODUCCIÓN Durante la fase de Elaboración de datos de una Encuesta, es necesario construir una Base de Datos (BD) que facilite procesamiento electrónico de los mismos mediante la obtención de cuadros, gráficos, indicadores estadísticos y relaciones entre variables en las que esta interesado el investigador a partir de los propósitos de su investigación. Una Base de Datos es un arreglo matricial cuyas columnas contienen los Campos (las variables o preguntas del estudio) y las filas los Registros de datos (casos para el SPSS correspondientes a cada unidad de investigación estudiada. Para efectos de procesamiento en cualquiera de los programas que estamos trabajando (R, Excel, Minitab y SPSS) es necesario que el programa reconozca las variables consideradas y algunos detalles que se deben tomar en cuenta. Para abreviar esta parte diseñaremos la base de datos inicialmente en Excel y de aquí veremos como se exporta a R, Minitab y SPSS con sus particularidades especiales en el SPSS. Para el presente trabajo, se usa el Cuestionario de “Características del Alumno” que se muestra en la página siguiente, el mismo que fue aplicado a 60 alumnos del curso de Estadística Básica, el semestre 2009-A, en la FCE-UNAC. 11

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Asignatura: Estadística Básica Profesor : Ingº Juan Francisco Bazán Baca

CARACTERÍSTICAS DEL ALUMNO

Nº……......... Apellidos y Nombres: …………………………………………………………………….

1. Sexo: Masculino

1

Femenino

2. Edad: ….......

2

3. Peso (Kg.) …....... 4. Talla (cm.) ….......

5. Ingreso familiar mensual: S/.

……….

6. Nº de miembros en la familia: …… 7. Gastos de estudio medio mensual: S/. …….. 8. Créditos aprobados acumulados: ……

9. Promedio ponderado acumulado: ……..

10. ¿En que tipo de vivienda reside? Casa independiente

1

Departamento en edificio

2

Quinta ………….

3

Otro ….............................

4

(Especifique)

11. Nº de dormitorios: ………..

12. Horas semanales de TV: ……..

13. Horas de estudio semanal fuera de clase: ………

14. Nº de libros leídos el 2008: …..

15. ¿Cuál es tu principal HOBBY? Deportes

1

Música

2

Baile

TV/Cine

4

Otro …............................

3

5

(Especifique

16. Importancia de tus estudios: Media

3

17. Importancia de tu físico: Media

3

18. Colegio de procedencia:

Muy poca

1

Poca

2

Mucha

4

Muchísima

5

Muy poca

1

Poca

2

Mucha

4

Muchísima

5

Estatal

1

No Estatal

2

19. ¿En que desea especializarse? Teor. Económica Callao, Abril de 2009

1 Gestión Empresarial MUCHAS GRACIAS

12

2

1.2 DEFINICIÓN DE VARIABLES Variable.- es una característica de interés observada en la población y que esta sujeta a diferentes resultados o valores. Ejemplo: sexo, edad, peso, talla, ingreso, hobby, etc. Tipos de Variables.- las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas. Variables cualitativas.- son aquellas que responden a una categoría, cualidad o atributo observado en la unidad de investigación. Ejemplo: tipo de vivienda, importancia de sus estudios, colegio de procedencia, especialización, etc. La medición de las variables cualitativas puede ser Nominal (las cualidades observadas no implican un orden particular. Ejemplo: Sexo, hobby, distrito de residencia, etc.) y Ordinal (las cualidades observadas responden a un orden determinado. Ejemplo: nivel educativo, calidad del servicio, etc. Variables cuantitativas.- son aquellas cuyo resultado de la observación es un valor numérico. Ejemplo: número de miembros en la familia, número de dormitorios, gastos de estudio mensual, créditos aprobados, horas de estudio semanal, etc. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Variable cuantitativa discreta.- son aquellas que son el resultado del conteo y asumen valores enteros. Ejemplo: edad (años cumplidos), número de libros leídos el año anterior, número de perceptores de ingreso en el hogar, etc. Variable cuantitativa continua.- son aquellas que son resultado de la medición y pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplo: ingreso familiar, gastos de estudio, promedio ponderado del alumno, etc. La medición de variables cuantitativas puede ser Intervalo (cuando el cero y la escala de medida son arbitrarios. Ejemplo: la temperatura, las notas o calificaciones en alguna escala, etc.) y Razón (el valor cero indica la nulidad del estudio y el cociente de dos valores tiene significado. Son la mayoría de variables cuantitativas. Ejemplo: peso, talla, ingreso, etc.)

13

Para definir las Variables en una BD, se tiene que indicar en cada campo (columna) las preguntas consideradas en el Cuestionario del estudio de manera abreviada. a) En EXCEL En una primera línea de la hoja de cálculo de Excel se específica el nombre de la variable utilizando el menor número posible de caracteres, de modo que recoja el sentido de la pregunta. Se recomienda empezar con el número de cuestionario (nº_cuest) para identificar la unidad de análisis a la que corresponden los datos y corregir los mismos ante cualquier error. A continuación se definen las siguientes variables, en el mismo orden en que se han formulado las preguntas en el Cuestionario, para facilitar posteriormente el ingreso de los datos. Así tenemos las variables: sexo (pregunta 1) edad (pregunta 2) peso (pregunta 3) talla (pregunta 4) ing.fam (pregunta 5: Ingreso familiar mensual: S/.) mie.fam (pregunta 6: Nº de miembros en la familia) g.estud (pregunta 7: Gastos de estudio medio mensual S/.) cr.aprob (pregunta 8: Créditos aprobados acumulados) prom.acum (pregunta 9: Promedio ponderado acumulado) t.viv (pregunta 10: ¿En que tipo de vivienda reside?) nº.dormit (pregunta 11: Nº de dormitorios) horas.tv (pregunta 12: Horas semanales de TV) hrs.estu (pregunta 13: Horas de estudio semanal fuera de clase) lib.leidos (pregunta 14: Nº de libros leídos el 2008) hobby (pregunta 15: ¿Cuál es tu principal hobby?) imp.estudio (pregunta 16: Importancia de tus estudios) imp.físico (pregunta 17: Importancia de tu físico)

14

col.proc (pregunta 18: Colegio de procedencia) y especial (pregunta 19: ¿En que desea especializarse?) Las variables han sido definidas en la línea 6, tal como se muestra en la Figura 1.1

Figura 1.1 Variables definidas en Excel b) En MINITAB Al iniciar el programa Minitab 15, aparecen dos hojas: una de Session (Sesión: donde se muestran los resultados de tareas resueltas con el programa) y otra Worksheet (Hoja de Trabajo: similar a la de Excel y SPSS donde se definen las variables y se ingresa los datos). Las columnas aparecen definidas por la letra C y un dígito (que indica la columna. Debajo de C1 hemos definido el nº_cuest (número de cuestionario), debajo de C2 sexo y así sucesivamente hasta C20 especial (ver figura 1.2)

15

Figura 1.2 Variables definidas en Minitab c) En SPSS Al abrir el programa SPSS 15, aparecen dos hojas: una de Resultados 1 [Dokument 1] – Visor SPSS (donde aparecen los resultados de las tareas efectuadas con SPSS) y otra Sin título [Conjunto_de_datos0] – Editor de datos SPSS (donde se definen las variables y se ingresan los datos del estudio) donde vamos a definir la base de datos.

Figura 1.3 Editor de datos en SPSS

16

En la parte inferior del Editor de datos SPSS (ver figura 1.3) se observan dos vistas: una Vista de datos (donde se ingresan los datos para cada una de las variables en estudio) y otra Vista de variables (donde se definen las variables en estudio). Justamente la fig. 1.3 muestra la Vista de variables, en cada fila se van definiendo las variables en el mismo orden como aparecen en el cuestionario (o como el investigador quiera definirlas para cálculos estadísticos particulares). Para cada Variable (o característica en estudio) debemos indicar: nombre, tipo, anchura, decimales, etiqueta, valores, perdidos, columnas, alineación y medida; tomando en cuenta algunas de las recomendaciones que a continuación señalamos. Nombre El nombre de la variable debe comenzar con una letra del alfabeto español y luego utilizar las combinaciones de letras, dígitos o símbolos que se estimen necesarias de modo que con a lo más 64 caracteres juntos (sin espacio en blanco) resuman el significado de la variable o toda una pregunta del cuestionario. Si el cuestionario contiene un número grande de preguntas se recomienda definir cada una de las variables (preguntas) de la siguiente manera: pgta_01, pgta_02, …. , pgta_150 y en el momento de definir la etiqueta de la variable indicar la pregunta formulada. En general, al especificar del nombre de las variables se debe tener en cuenta: Debe comenzar por una letra y los demás caracteres pueden ser letras, dígitos, puntos o los símbolos #, @, _ o $. El nombre de variable no puede terminar en punto. El nombre de la variable debe ser único; no se aceptan duplicados. No utilizar caracteres especiales (por ejemplo: !, ?, ' y *). Hay palabras reservadas que no se pueden utilizar como nombres de variable; estas son: ALL, AND, BY, EQ, GE, GT, LE, LT, NE, NOT, OR, TO, WITH. Establecido el nombre de la variable, presionar Enter, inmediatamente el cursor se ubica en Tipo (donde aparece automáticamente Numérico), con el que se comienza indicar algunas especificaciones de la variable.

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Tipo Seleccionar el tipo de datos que se espera para la variable. En función del tipo escogido se visualizan los valores de la variable y éstos estarán disponibles sólo para aquellas operaciones que son esperables para los mismos.

Figura 1.4 Definición del Tipo de variable

Para definir, ubíquese en la casilla de Tipo, pulse el botón con los puntos suspensivos después de la palabra Numérico y aparece el cuadro de diálogo mostrado en la Figura 1.4, en el que se observa los tipos de variables siguientes: Numérico.- define una variable cuyos valores son números, los mismos que aparecen sin separadores cada tres posiciones. Coma.- define una variable numérica cuyos valores se muestran con comas de separación cada tres posiciones y con un punto como separador de la parte decimal. Punto.- define una variable numérica cuyos valores se muestran con puntos de separación cada tres posiciones y con una coma como separador de la parte decimal. El editor de datos acepta valores numéricos para este tipo de variables, con o sin puntos, o en notación científica. Notación científica.- define una variable numérica cuyos valores se muestran con una E intercalada y un exponente con signo que representa una potencia de base diez. El editor de datos acepta valores numéricos con o sin el exponente para estas variables. El exponente puede ir precedido de E o D con un signo

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opcional, o por el signo solamente. Por ejemplo, 123, 1,23E2, 1,23D2, 1,23E+2, o incluso 1,23+2. Fecha.- define una variable numérica cuyos valores se muestran en uno de los diferentes formatos de fecha-calendario u hora-reloj. Seleccionar una plantilla de la lista desplegable. Se puede introducir las fechas utilizando como delimitadores: barras, guiones, puntos, comas o espacios en blanco. El rango de siglo para los años de dos dígitos se toma de las opciones de configuración (Menú Edición, Opciones, pestaña Datos) Dólar.- define una variable numérica cuyos valores contienen un signo de dólar, una coma para la separación de los decimales y múltiples puntos. Moneda personalizada.- define una variable numérica cuyos valores se muestran en uno de los formatos de moneda personalizados que se hayan definido previamente en la pestaña Moneda del cuadro de diálogo Opciones del menú Edición. Los caracteres definidos en la moneda personalizada no pueden emplearse para la introducción de datos pero sí los mostrará el editor de datos. Cadena.- define una variable cuyos valores no son numéricos; por lo tanto, no se utilizan en los cálculos. También son conocidas como variables alfanuméricas. Pueden contener diferentes caracteres hasta la longitud definida. Las letras mayúsculas y las minúsculas son consideradas diferentes. Anchura Establecer el número máximo de caracteres que contienen los valores de la variable. Automáticamente aparecen 8 caracteres. Decimales Determina el número de decimales para los valores de la variable. Si la variable es tipo fecha o cadena, automáticamente aparecen 0 decimales y si es tipo numérica, aparecen por defecto, 2 decimales. Etiqueta En este recuadro se indica el nombre completo de la variable o la pregunta correspondiente formulada en el cuestionario hasta un máximo de 255 caracteres y espacios en blanco. Se recomienda escribirla toda con mayúsculas, ya que esta 19

etiqueta es la que aparece en los cuadros de salida cuando se procesan algunos resultados de interés y buscaremos de diferenciarlas de las etiquetas de valor. Valores En este recuadro por defecto, aparece Ninguno y sirve para asignar valores a los resultados de variables de tipo cualitativo (Etiquetas de valor) o para definir los rangos de variables cuantitativas transformadas con fines de procesamiento. Es decir, que si una variable cualitativa responde a varias cualidades (categorías o atributos) a cada una de ellas se le asigna un valor por lo general numérico, pudiendo ser también alfabético. Los valores los definimos así: estando ubicado en la casilla de Valores, pulsar el botón con los puntos suspensivos después de la palabra Ninguno y aparece el cuadro de diálogo mostrado en la Figura 1.5. Para describir los valores de una variable de tipo cualitativo habrá que situar el cursor en el recuadro Valor e introducir el número o letra correspondiente. A continuación se pulsa el tabulador y el cursor se sitúa en el recuadro Etiqueta donde se introduce la palabra o palabras que describen ese valor, luego pulsamos Añadir; inmediatamente el cursos se ubica nuevamente en Valor y se repite el proceso hasta que se define la etiqueta del último valor y se sale con Aceptar.

Figura 1.5 Cuadro de diálogo para definir Etiquetas de Valor

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Se recomienda escribir las etiquetas de valor con mayúsculas y minúsculas (en el ejemplo Hombre y Mujer) para que cuando se obtenga un cuadro con la variable SEXO (con mayúsculas), se diferencie el nombre de la variable y sus categorías componentes. Perdidos Son aquellos valores que no son considerados para realizar determinados cálculos estadísticos. Existen dos tipos de valores perdidos: Del sistema.- cualquier casilla en blanco de la matriz de datos. Del usuario.- son aquellos que define el usuario por diferentes motivos, entre los que podemos destacar aquellos que distorsionan los análisis estadísticos, como por ejemplo cuando se han definido dos categorías de Sexo (1 = hombre y 2 = mujer) pero por error de digitación se puede colocar cualquier otro valor. Los valores perdidos los definimos así: estando ubicado en la casilla de Perdidos, pulsar el botón con los puntos suspensivos después de la palabra Ninguno y aparece el cuadro de diálogo mostrado en la Figura 1.6.

Figura 1.6 Cuadro de diálogo para Definir Valores Perdidos

Como se puede observar en la Figura 1.6, por defecto aparece No hay valores perdidos; además existe la posibilidad que el usuario defina tres Valores Perdidos Discretos o defina un Rango más un valor perdido discreto opcional

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(un rango de valores perdidos definido por sus dos extremos junto con un solo valor discreto individual). Se debe tener presente que sólo se pueden definir rangos para variables de tipo numérico y que no se pueden definir valores perdidos para variables de cadena larga (con más de 8 dígitos).

Columnas Al igual que Anchura por defecto define un ancho de 8 para las Columnas de la base de datos. De requerirse otro ancho, hay que definirlo ubicándose en la casilla de Columnas y veremos que al extremo opuesto del 8 aparece un botón con un triángulo hacia arriba para aumentar el ancho y otro triángulo hacia abajo para disminuir dicho ancho de columna. También lo puede cambiar haciendo doble clic en la correspondiente casilla de Columnas para la variable que esta definiendo y digitar el ancho de columna deseado. Alineación Se tiene que escoger como van a estar alineados los valores en la base de datos, por defecto aparece Derecha. Si quiere modificar la Alineación de valores para la variable que esta definiendo, ubíquese en la correspondiente casilla de alineación y haga clic en el botón que aparece al costado de Derecha e inmediatamente se despliegan las tres posibles opciones de alineación Izquierda, Derecha y Centrado, debiendo escoger la opción deseada haciendo clic sobre la palabra. Medida Indica el tipo de medición que le corresponde a la variable que estamos definiendo, por defecto aparece Escala. Si quiere modificar la Medida para la variable que esta definiendo, ubíquese en la correspondiente casilla de medida y haga clic en el botón que aparece al costado de Escala e inmediatamente se despliegan las tres posibles opciones de medida: Escala, Ordinal y Nominal, debiendo escoger la opción deseada haciendo clic sobre la palabra. Escala.- es utilizada para variables numéricas, como por ejemplo, las variables edad, peso, talla, etc. Nominal.- es utilizada para representar los valores de cualidades, atributos o categorías sin un orden particular (por ejemplo, sexo; hobby, etc.). Las medidas

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nominales pueden ser valores de cadena (alfanuméricos) o numéricos que representen diferentes atributos (por ejemplo, 1 = Hombre, 2 = Mujer). Ordinal.- es utilizada para establecer un determinado orden entre los valores de la variable, por ejemplo, la variable Importancia de tus estudios con los valores Muy poca, Poca, Media, Mucha y Muchísima. Las variables ordinales pueden ser valores numéricos o de cadena (alfanuméricos) que representen diferentes categorías (por ejemplo, 1 = Muy poca, 2 = Poca, 3 = Media, 4 = Mucha y 5 = Muchísima). Se recomienda utilizar valores numéricos para representar datos ordinales. La Vista de variables para la base de datos Estadística Básica 09A, se presenta en la Figura 1.7.

Figura 1.7. Vista de Variables definidas en SPSS

El encabezamiento para las variables definidas en la base de datos Estadística Básica 09A, se observan en la Vista de datos y se presenta en la Figura 1.8. Recordar que estas son las variables definidas a partir del cuestionario de “Características del alumno” de Estadística Básica, del 09A, de la FCE-UNAC.

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Figura 1.8. Variables definidas en SPSS d) En R El programa R es un paquete estadístico de libre uso, para cuya instalación se requiere ingresar por internet a la página web: http://www.r-project.org/ En el margen izquierdo escoger la opción CRAN, luego un país cuya web facilite la instalación, por ejemplo Australia (http://cran.ms.unimelb.edu.au/ ). En la página escogida, dentro de Download and Install R escoger Windows, luego base, escoger la versión en la que se encuentra (que es única), por ejemplo Download R 2.11.1 for Windows, a continuación en Abriendo R-2.11.1-win32.exe, escoger Guardar archivo. Una vez guardado el archivo, ejecutar la Instalación del programa la que al finalizar, por defecto, deja en el escritorio para su ejecución el ícono:

Dando doble clic sobre el icono anterior, se inicia el programa R, el cursor por defecto es el símbolo “ > ” indica que R esta listo para recibir y ejecutar un comando.

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Según Paradis (2002) “R es un lenguaje orientado a objetos, …, lo cual significa que los comandos escritos en el teclado son ejecutados directamente sin necesidad de construir ejecutables. ….. La sintaxis de R es muy simple e intuitiva. Por ejemplo, una regresión lineal se puede ejecutar con el comando lm(y~x). Para que una función sea ejecutada en R debe estar siempre acompañada de paréntesis, inclusive en el caso que no haya nada dentro de los mismos.” Paradis, et.al., señala también que “Orientado a Objetos significa que las variables, datos, funciones, resultados, etc., se guardan en la memoria activa del computador en forma de objetos con un nombre específico. El usuario puede modificar o manipular estos objetos con operadores (aritméticos, lógicos y comparativos) y funciones (que a su vez son objetos)”. Para tener una base de datos en una hoja de R, se tiene que hacer la lectura de la misma por cualquiera de las siguientes maneras: desde un archivo con extensión *.txt, desde un archivo de Excel con extensión csv, o mediante un copy/paste “clipboard”. Caso 1.- Desde un archivo con extensión *.txt, como puede ser la base de datos (Estadística básica 09-A.xls) trabajada en Excel y grabada con extensión *.txt o copiar dicha base de datos de Excel, incluyendo los encabezados con el nombre de la variable, a un block de notas y grabarla como Estadística básica 09-A.txt. Se procede copiando en R la siguiente sintaxis: > caso1=read.table(file.choose(),header=T) Se esta pidiendo que cree el objeto caso1, como resultado de leer una tabla (read.table) o base de datos. Al hacer enter, inmediatamente aparece la ventana de diálogo de la Figura 1.9, solicitando la ruta correspondiente para escoger el archivo = file.choose() con la base de datos (Estadística básica 09-A.txt) que se desea abrir. En la sintaxis, header=T esta indicando que es verdadero (en inglés true = T) que la tabla a escoger tiene encabezado (header) con el nombre de las variables (si no tiene encabezado, header=F, de false = falso en inglés). Una vez escogida la base de datos, hacer clic en Abrir y la base de datos queda almacenada en la hoja de R con la denominación del objeto: caso1, el mismo que contiene 20 campos y 60 registros.

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Figura 1.9 Abriendo base de datos en R desde un block de notas Ha leído las variables de la base de datos de Estadística Básica 09A como un todo, no reconoce a ninguna variable de manera independiente, para que ello ocurra usamos el comando attach para unir las variables y reconozca a cada una de ellas por el nombre que aparece en el encabezado. Escribir en R: > attach(caso1) Si queremos editar los datos escribir: > fix(caso1)

También se puede leer la base de datos, en forma parecida a la anterior, sólo que en vez de file.choose se debe colocar entre comillas la ruta que contiene el archivo, así: >

caso1=read.table("D:/Beatriz/UNAC/Investigación/Proyecto

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computacional/Base de datos/ Estadística básica 09-A.txt ", header=T) > attach(caso1)

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Estadística

Caso 2.- Desde un archivo en Excel con extensión csv, en la que se ha definido los 20 campos (incluyendo los encabezados con el nombre de la variable) y los 60 registros, se ha grabado como libro de Excel y como tipo CSV (delimitado por comas). La base de datos se denomina Estadística Básica 09A-copia.csv. Se procede copiando en R la siguiente sintaxis: > caso2=read.table(file.choose(),header=T,sep=",") Al hacer enter, inmediatamente aparece una ventana de diálogo idéntica a la de la Figura 1.9, solicitando la ruta correspondiente para escoger el archivo con separador de comas (sep=”,”) aquí la base de datos (Estadística Básica 09A-copia.csv) que se desea abrir. Una vez escogida la base de datos, hacer clic en Abrir y la base de datos queda almacenada en R con la denominación del objeto: caso2, el mismo que contiene 20 campos y 60 registros idénticos a los del caso1. Es decir, que lo que cambia es la forma de efectuar la lectura. Para que el R junte y reconozca las variables escribir: > attach(caso2) También se puede leer la base de datos, en forma parecida a la anterior, sólo que en vez de file.choose se debe colocar entre comillas la ruta que contiene el archivo, así: >

caso2=read.csv("D:/Beatriz/UNAC/Investigación/Proyecto

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Estadística

computacional/Base de datos/ Estadística Básica 09A-copia.csv ", header=T) > attach(caso2) Caso 3.- Mediante un copy/paste “clipboard” de un archivo en Excel, es la forma más sencilla. En Excel sombrear el encabezado y los datos de la base de datos que deseamos leer en R, escoger copiar (o Ctrl + C) y en R escribir: > caso3=read.table("clipboard") > attach(caso3)

1.3 INTRODUCCIÓN DE DATOS Una vez que se ha aplicado la encuesta y se ha efectuado la crítica-codificación de los cuestionarios, en la base de datos definida en el programa correspondiente, se efectúa el ingreso de datos cuestionario por cuestionario, desde el número 1 (registro 1) hasta el último.

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En el registro 1, se colocan los datos del alumno que aparecen en el cuestionario número 1, en el mismo orden que se ha respondido, es decir: sexo = 1(hombre), edad = 20 años, peso = 68 kg., talla = 169 cm., ingreso familiar = 3900, miembros en la familia = 5, etc. Y del mismo modo todos los cuestionarios.

Figura 1.10 Base de datos en Excel

Figura 1.11 Base de Datos en MINITAB

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Figura 1.12 Base de datos en SPSS Para ver y corregir datos en R escribir: >fix(caso2). Al efectuar enter aparecen los datos de la Figura 1.13. También con: > caso2 . Muestra los datos en la consola.

Figura 1.13 Base de datos en R Las 20 variables trabajadas en los cuatro programas aparecen en las columnas y los 60 registros en filas. Es decir que la base de datos definida es una matriz de 60 x 20. El Minitab, el SPSS y el R reconocen las variables por su nombre.

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1.4 ARCHIVO DE DATOS El archivamiento de datos se efectúa a través de los clásicos guardar, guardar como y cerrar cuando se esta trabajando con una base de datos. Además de nuevo y abrir.

Figura 1.14 Ventana de archivamiento en Excel

a) Guardar y Guardar como.Guardar como: es el proceso inicial de almacenamiento en una unidad de disco de una base de datos creada para volver a trabajar con ella en otro momento. Guardar: es el archivamiento continuo que se hace sobre una base de datos ya guardada y en la que se han efectuado cambios que se deben guardar antes de cerrarla. Para Guardar en EXCEL: -

Hacer clic en el Botón de Office (el superior izquierdo, en la Figura 1.14) y elegir Guardar como y aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.15.

-

Hacer clic sobre la flecha de la derecha en el recuadro Guardar en: y seleccionar la unidad de disco y la carpeta donde se va a archivar la base de datos (en este caso en el disco D y en la carpeta Base de datos).

-

En el recuadro Nombre de archivo, escribir el nombre que se desea poner a la base de datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

-

En el recuadro Guardar como tipo:, automáticamente aparece Libro de Excel, si se desea cambiar el tipo, hacer clic sobre la flecha de la derecha y seleccionar el tipo de guardado (en este caso CSV (delimitado por comas) para usarlo al abrir la base de datos en R).

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-

Por último, hacer clic sobre el botón Guardar.

Figura 1.15 Cuadro de diálogo para Guardar como, en Excel

Si se esta trabajando un archivo ya guardado y se hacen modificaciones, para guardarlo con el mismo nombre, seleccionar la opción Guardar del Botón Office (ver figura 1.14) que es la misma que aparece al lado derecho de este Botón. También se puede utilizar la combinación de las teclas Ctrl + G.

Para Guardar en MINITAB: -

Al hacer clic en el botón File (archivo) de la barra de menú se despliega la ventana de la Figura 1.16, en la que se puede apreciar las opciones para un Proyecto (Project) que es un conjunto de tareas que contiene hojas de trabajo (worksheet), sesión (sesión), gráficos, etc. Y las opciones para una hoja de trabajo (worksheet) que se pueden incorporar en un proyecto determinado. Se observa entre otras las opciones New (nuevo), Open Project (abrir proyecto), Save Project (guardar proyecto), Save Project As (guardar proyecto como), Open Worksheet (abrir hoja de trabajo), Save Current Woksheet (guardar hoja de trabajo corriente), Save Current Worksheet As (guardar hoja de trabajo corriente como), etc.

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Figura 1.16 Ventana de File (archivo), en Minitab

-

Hacer clic sobre la opción Save Project As (guardar proyecto como) y aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.17.

-


-

En el recuadro Nombre:, escribir el nombre que se desea poner a la base de datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

-

En el recuadro Tipo: automáticamente aparece Minitab Project (*.MPJ) con extensión MPJ, si se hubiese guardado como Worksheet (hoja de trabajo) guarda con la extensión MTW.

-


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Figura 1.17 Cuadro de diálogo para Save Project As, en Minitab

Si se esta trabajando un archivo ya guardado y se hacen modificaciones, para guardarlo con el mismo nombre, seleccionar la opción Save Project o Save Current Worksheet (ver figura 1.16) que es idéntica al diskette que aparece en la banda de opciones. También se puede guardar un proyecto utilizando la combinación de las teclas Ctrl + S.

Para Guardar en SPSS: -

Es similar al de los otros programas, cuyo guardado ya hemos visto. Estando en el Editor de datos SPSS (Figura 1.13), hacer clic en el botón Archivo, se despliega una ventana en la que se puede apreciar las opciones Nuevo, Abrir, …., Cerrar, Guardar, Guardar como, etc.

-

Hacer clic sobre la opción Guardar como y aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.18.

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Figura 1.18 Cuadro de diálogo para Guardar como, en SPSS

-


-

En el recuadro Nombre:, escribir el nombre que se desea poner a la base de datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

-

En el recuadro Tipo: automáticamente aparece SPSS (*.sav) con extensión sav para guardar datos en SPSS. Nota.- cuando se archiva textos: como la hoja de Resultados 1 [Dokument 1] – Visor SPSS, donde aparecen los resultados de las tareas ejecutadas con SPSS, se guarda con la extensión .spo; y si es sintaxis se guarda con la extensión .sps.

-


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Para Guardar en R: -

Hacer clic en el botón Archivo, se despliega una ventana en la que se puede apreciar las opciones Interpretar código fuente R, Nuevo script, Abrir script, etc.

-

Hacer clic sobre la opción Guardar área de trabajo (imagen) y aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.19.

Figura 1.19 Cuadro de diálogo para Guardar área de trabajo en R

-


-

En el recuadro Nombre:, escribir el nombre que se desea poner a la base de datos (en este caso Estadística Básica-09A).

-

En el recuadro Tipo: automáticamente aparece R images (*.RData) con extensión Rdata para guardar datos en R.

-


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El archivo guardado en R contiene la base de datos como un objeto (aquí se llama caso2) y otros objetos que se definan, los que al Abrir con Cargar área de trabajo, se pueden visualizar desde la ventana Misc / Listar objetos y se puede seguir trabajando con todos ellos y crear nuevos objetos. Las modificaciones efectuadas se vuelven a guardar del modo descrito. Si desea saber el contenido de la base de datos guardada escriba: > str(caso2)

b) Cerrar.Una vez que se termina de trabajar con un archivo, se guarda y se procede a salir de éste así: -

En Excel: Elija el Botón de Office y luego la opción Cerrar. Cierra el libro y puede seguir trabajando con el programa Excel. Otra manera es utilizar el botón Cerrar ventana

x

de la barra de menú (no

el de la barra de título del libro, ya que cierra el programa Excel). También se cierra el libro con la combinación de teclas: Ctrl + F4.

-

En MINITAB: Elija el botón File (Archivo) de la barra de menú y luego la opción Close Worksheet (Cerrar hoja de trabajo). Cierra la hoja de trabajo y puede seguir usando el programa Minitab. Otra manera es utilizar el botón Cerrar

x

de la barra de menú (no el de la

barra de título, ya que cierra el programa). También se cierra la hoja de trabajo con la combinación de teclas: Ctrl + F4, sale un cuadro de diálogo preguntando si queremos guardarla y escogemos Si o No.

-

En SPSS: Elija el botón Archivo de la barra de menú y luego la opción Salir, inmediatamente sale la pregunta ¿Desea guardar el contenido del Visor de resultados en resultados 1 [Dokument 1]? Al escoger Sí, indique la carpeta

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correspondiente y al terminar de guardar, sale automáticamente del programa. Si escoge No, sale del programa. Otra manera es utilizar el botón Cerrar

x

de la barra de título, sale la misma

pregunta del párrafo anterior y procede del modo allí indicado.

-

En R: Se recomienda previamente Guardar área de trabajo, luego elija el botón Archivo de la barra de menú y luego la opción Salir, inmediatamente sale la pregunta

Guardar imagen de área de trabajo? Escoger No y sale del

programa. Otra manera es utilizar el botón Cerrar

x

de la barra de título, sale la misma

pregunta del párrafo anterior. Escoger No y sale del programa.

c) Nuevo.- para crear un nuevo archivo de trabajo, se debe proceder así: En Excel: Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene un nuevo libro de trabajo; si no, elija el Botón de Office y luego la opción Nuevo. Otra manera es utilizar la combinación de teclas: Ctrl + U.

En MINITAB: Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene un Worksheet 1 (hoja de trabajo 1) o si no, elija el botón File y luego la opción Nuevo. Otra manera es utilizar la combinación de teclas: Ctrl + N.

En SPSS: Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene una hoja Sin título [Conjunto_de_datos0] – Editor de datos SPSS (donde se definen las variables y se ingresan los datos del estudio) donde vamos a definir la base de datos. Si esta trabajando en SPSS, elija el botón File, luego la opción Nuevo y escoja Datos, apareciendo una hoja Sin título 1 [Conjunto_de_datos1] – Editor de datos SPSS.

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En R: Proceder conforme se ha indicado en el acápite 1.2 Definición de variables en R.

d) Abrir.- si tenemos un archivo de datos ya guardado y se desea abrir para trabajar con él, se procede así: En Excel: Elija el Botón de Office y luego la opción

Abrir o la combinación de teclas:

Ctrl + A. En el cuadro de diálogo, seleccione la carpeta donde esta guardado el archivo, ubique el nombre y tipo, luego haga clic en el botón Abrir.

En MINITAB: Elija el botón File y luego la opción teclas: Ctrl + O) u

Open Project (o la combinación de

Open Worksheet. En el cuadro de diálogo, seleccione la

carpeta donde esta guardado el archivo, ubique el nombre y tipo, luego haga clic en el botón Abrir.

En SPSS: Elija el botón File, luego la opción Abrir y escoja Datos. En el cuadro de diálogo, seleccione la carpeta donde esta guardado el archivo, ubique el nombre y tipo, luego haga clic en el botón Abrir.

En R: Proceder conforme se ha indicado en el acápite 1.2 Definición de variables en R.

Nota.- en R también se puede definir una variable por separado como un objeto, presentado como un vector, de tal manera que cada vez que se especifique el programa reconoce sus valores. Por ejemplo, la variable peso de la base de datos caso2, se ingresa así: >peso=c(68,69, 63, 55, 57, 48, 50, …. , 67, 77, 53) El programa R reconoce en el objeto peso, los pesos de los 60 alumnos.

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1.5 TRANSFORMACIÓN DE DATOS Muchas veces interesa crear nuevas variables a partir de una base de datos determinada, para ello es necesario efectuar algunos cálculos utilizando las variables de esa base de datos. Por ejemplo, con la base de datos Estadística básica 09-A (EB-09A), en cualquiera de los programas, se puede crear la variable IMC = Índice de Masa Corporal (Kg./m2), con las variables peso (en kilos) y talla (en metros). Para la Organización Mundial de la Salud (1995): “El IMC es una manera sencilla y universalmente acordada para determinar si una persona tiene peso adecuado”. La fórmula de cálculo propuesta por el estadístico belga L.A.J. Quetelet es:

peso

imc

talla

2

La OMS clasifica a las personas en función de su correspondiente IMC de la siguiente manera: Cuadro 1.1 Tabla de la masa corporal ideal CONDICIÓN

IMC (Kg./m2)

1

Delgado (bajo peso)

Menos de 18.5

2

Normal (peso saludable)

3

Sobrepeso

25 – 30

4

Obeso

30 - 40

5

Obesidad morbida

18.5 – 25

40 y más

En la base de datos EB-09A el peso esta en Kg. y la talla está en cm. La talla debe transformarse en una nueva variable, por ejemplo: talla_m = talla en metros, para poder calcular la variable imc con los datos transformados de la siguiente manera:

En Excel: Los resultados aparecen en la Figura 1.20, en la que aparece la base de datos EB09A con los datos de peso (columna D); talla en cm. (columna E); talla_m en metros (columna U) obtenidos dividiendo cada dato de la columna E entre 100; imc

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(columna V) calculado en la barra de formulas

, estando en V2

=D2/(U^2)

y copiado en todas las celdas de la columna V; y condición (columna W) que en el siguiente acápite se ve como se ha determinado.

Figura 1.20 Cálculo del imc en Excel

En MINITAB: Para transformar la talla en centímetros a metros (talla_m) se tiene que escoger de la barra de menú la opción Calc, luego Calculator (calculadora) y aparece la ventana de diálogo de la Figura 1.21. Definida en la hoja de cálculo la variable talla_m, en Store result in variable (almacenar resultado en variable) escribir talla_m y en Expression (expresión) escribir talla / 100, para terminar clic en OK y automáticamente aparece el cálculo en la columna talla_m en la base de datos Current data window (ver la Figura 1.21).

Para calcular el IMC, escoger nuevamente de la barra de menú Calc, Calculator y se abre una ventana de diálogo similar a la de la Figura 1.20. En Store result in variable seleccionar o escribir imc y en Expression escribir la fórmula de cálculo peso / talla**2, para terminar clic en OK y automáticamente en la base de datos (Current data window) aparecen los datos del IMC calculados (ver la Figura 1.24).

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Figura 1.21 Cálculo de la talla_m en Minitab

En SPSS: Para transformar la talla en centímetros, a metros (talla_m) se tiene que escoger de la barra de menú la opción Transformar, Calcular variable y aparece la ventana de diálogo Calcular variable de la Figura 1.22. En Variable de destino: escribir talla_m. Haciendo clic en Tipo y etiqueta definir etiqueta (el nombre de la variable) TALLA (m.) y el Tipo: numérica. En Expresión numérica: escribir talla / 100. Para terminar el cálculo hacer clic en Aceptar y aparece la variable talla_m con sus valores en la Vista de datos, del Editor de datos SPSS, ver la Figura 1.28.

Para calcular la variable IMC, nuevamente se escoge de la barra de menú la opción Transformar, Calcular variable y aparece la ventana de diálogo Calcular variable, similar a la de la Figura 1.22. En Variable de destino: escribir imc. Haciendo clic en Tipo y etiqueta definir etiqueta INDICE DE MASA CORPORAL (Kg./m2) y el Tipo: numérica. En Expresión numérica: escribir peso / talla**2. Para terminar el cálculo hacer clic en Aceptar y aparece la variable imc con sus valores, en la Vista de datos del Editor de datos SPSS, ver la Figura 1.28.

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Figura 1.22 Cálculo de la variable talla_m en SPSS En R: Para transformar la talla en centímetros, a metros (talla_m) se tiene que escribir: > talla_m=talla/100 > talla_m [1] 1.69 1.72 1.70 1.73 1.67 1.52 1.52 1.56 1.54 1.71 1.60 1.76 1.64 1.71 1.54 [16] 1.77 1.69 1.71 1.70 1.79 1.77 1.65 1.71 1.58 1.55 1.60 1.59 1.52 1.75 1.65 [31] 1.75 1.57 1.77 1.65 1.49 1.64 1.64 1.60 1.61 1.69 1.50 1.68 1.72 1.50 1.56 [46] 1.74 1.75 1.68 1.65 1.52 1.72 1.73 1.56 1.55 1.50 1.60 1.68 1.72 1.78 1.57 Para calcular el IMC escribir la fórmula así: > imc=peso/talla_m^2 > imc Los objetos talla_m e imc creados no se almacenan en la hoja de R, si queremos que ello ocurra y guardarlos, debemos hacer transformaciones dentro de caso2, así: > caso2=transform(caso2, talla_m=talla/100) > caso2=transform(caso2, imc=peso/talla_m^2) Para unir las nuevas variables en caso 2, escribir: > attach(caso2)

42

1.6 RECODIFICACIÓN DE DATOS En el acápite anterior se han efectuado algunos cálculos con los datos, creando nuevas variables y se esta interesado en recodificar los mismos. Por ejemplo, para definir la Condición del peso del alumno con la variable IMC obtenida, usando la propuesta del Cuadro 1, se procede de la siguiente manera:

En Excel: Estando en W2, la condición (columna W) se calcula en la barra de fórmulas con la expresión lógica siguiente: =SI(V2<18.5,"Delgado",SI(V2<25,"Normal",SI(V2<30,"Sobrepeso",SI(V2<40,"Ob eso","Obesidad morbida")))). Luego se hace una copia para los demás datos de la columna W, los resultados se observan en la Figura 1.20. En MINITAB: De la barra de menú escoger la opción Data, luego Code (código) y Numeric to text (numérico a texto) porque se desea recodificar valores numéricos en texto, ver la Figura 1.23, también se puede apreciar otros tipos de recodificación.

Figura 1.23 Tipos de recodificación en Minitab

Haciendo clic en Numeric to Text aparece la ventana de diálogo de la Figura 1.24 (Code – Numeric to Text) para recodificar los datos numéricos en texto.

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Figura 1.24 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en Minitab

En Code data from columns: (código de datos desde las columnas) seleccionar de las variables a la izquierda imc o escribirla. En Store couded data in columns: (almacenar datos codificados en la columna) seleccionar de las variables de la izquierda condición o escribirla. A continuación en Original values (valores originales) se va definiendo uno a uno los intervalos definidos en el Cuadro 1.1, separándolos por dos puntos (:) y en New los nuevos valores en texto. Observar que el primer intervalo es para imc menor de 18.5, en Original values: se coloca desde un valor muy bajo, que aquí se ha tomado el 0, por eso se escribe 0 : 18.49 (de ser necesario se agregan más nueves en los decimales, para estar más cerca a 18.5) y en New: Delgado. El siguiente intervalo va de 18.5 hasta antes de 25, en Original values: se escribe 18.5 : 24.99 y en New: Normal. Así sucesivamente, para el último intervalo de 40 a más, en Original values: se escribe 40 : 100 (o un valor más alto para que no queden datos sin recodificar) y en New: Obesidad mórbida. Para finalizar la recodificación hacer clic en OK y en la base de datos (Current data window) aparecen los datos de condición (ver Figura 1.25).

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Figura 1.25 Resultado de la Condición recodificando el IMC en Minitab

En SPSS: De la barra de menú escoger la opción Transformar, luego hacer clic sobre Recodificar en distintas variables (si se escoge Recodificar en las mismas variables, se pierden los valores originales ya que son reemplazados por los recodificados). Aparece la ventana de diálogo Recodificar en distintas variables de la Figura 1.26.

Escogiendo de la lista de variables que aparecen al lado izquierdo, en Var. numérica → Var. de resultado: ingresar la variable imc, inmediatamente aparece imc→ ? En Variable de resultado, en Nombre: escribir condición, en Etiqueta: escribir CONDICIÓN (del peso) y luego hacer clic en el botón Cambiar (si no hace esto, la recodificación no se realiza después, asegurarse de ello), inmediatamente en Var. numérica → Var. de resultado: se modifica por imc→ condición.

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Figura 1.26 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en SPSS

Luego, hacer clic en Valores antiguos y nuevos y aparece la ventana de diálogo Recodificar en distintas variables: Valores antiguos y nuevos de la Figura 1.27.

A continuación, en Valor antiguo se va definiendo uno a uno los intervalos definidos en el Cuadro 1.1, y en Valor nuevo los nuevos valores del intervalo.

Observar que el primer intervalo es para imc menor de 18.5, en Valor antiguo, en Rango, MENOR hasta valor se escribe 18.49 (de ser necesario se agregan más nueves en los decimales, para estar más cerca a 18.5) y en Valor nuevo, en Valor escribir 1, luego hacer clic en añadir. El siguiente intervalo va de 18.5 hasta antes de 25, en Valor antiguo, en Rango: se escribe 18.5 hasta 24.99 y en Valor nuevo escribir 2, luego hacer clic en añadir. Así sucesivamente, para el último intervalo de 40 a más, en Valor antiguo, RANGO, valor hasta MAYOR se escribe 40 y en Valor nuevo, en Valor escribir 5, luego clic en añadir.

Para finalizar la recodificación, al hacer clic en Continuar regresa a la ventana de la Figura 1.26. Luego hacer clic en Aceptar y aparece la variable condición con sus valores del 1 al 5 en la Vista de datos del Editor de datos SPSS.

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Figura 1.27 Recodificar Valores antiguos del IMC y nuevos de Condición en SPSS

A continuación, en la Vista de variables, del Editor de datos SPSS, a la variable condición se le definen las Etiquetas de valor, en un cuadro de diálogo similar al de la Figura 1.5. Para ello asignar los valores y etiquetas siguientes: 1, Delgado; 2, Normal; 3, Sobrepeso; 4, Obeso; y 5, Obesidad mórbida. Una vez que termina de añadir los valores y etiquetas hacer clic en Aceptar, en la Vista de datos, del Editor de datos SPSS aparecen las etiquetas de condición que se muestran en la Figura 1.28.

Figura 1.28 Resultado de la Condición recodificando el IMC en SPSS 47

En R: Antes de crear la Condición, debemos crear los intervalos del Cuadro 1.1, así: > caso2=transform(caso2,condi=cut(imc,breaks=c(0,18.4999, 24.9999,29.9999, 39.9999,max(imc)))) > table(condi) condi (0,18.5] (18.5,25] (25,28.7] (28.7,30] 4

49

7

0

(30,40] 0

En el resultado anterior, hay 4 alumnos con imc menor de 18.5 (delgados), 49 alumnos con imc entre 18.5 y 25 (normales) y 7 alumnos con imc entre 25 y 30 (con sobrepeso); no hay alumnos obesos, ni con obesidad mórbida, por lo que vamos a colocar las etiquetas correspondientes a Condición, de la siguiente manera: > caso2=transform(caso2, Condición=factor(condi, labels=c("Delgado", "Normal", "Sobrepeso"))) Luego escribimos: > attach(caso2) y después: > table(Condición) Condición Delgado 4

Normal Sobrepeso 49

7

Con la sintaxis: > fix(caso2) obtenemos la hoja del R, donde aparecen las etiquetas de Condición que se muestran en la Figura 1.29.

Figura 1.29 Resultado de la Condición recodificando el IMC en R 48

1.7 MANIPULACIÓN DE ARCHIVOS Para los programas Excel, Minitab y SPSS el proceso de agregar o quitar variables (en columnas) y registros o casos (en filas) es similar, simplemente hay que insertar filas o columnas si es necesario o copiar las variables y/o casos. Así mismo, la selección de variables para generar nuevos archivos se puede efectuar abriendo nuevas hojas de datos para trabajar con ellas situaciones particulares. Veamos la selección de variables en R y la obtención de casos.. Estando en caso2, la forma más sencilla es escribir en R: >attach(caso2) y al hacer enter quedan reconocidas todas las variable con el nombre del encabezado. Otra forma es, como las variables aparecen dentro del objeto caso2 en columna: el n_cuest (columna 1), sexo (columna 2), edad (col. 3), peso (col. 4), hasta col.proc (col. 19) y especial (col. 20). Cada una de las variables es trabajada como un objeto y se definen así: > peso=caso2[,4] Se pide crear el objeto peso y que lo obtenga de la columna 4, del objeto caso2 (la base de datos trabajada). Dentro del corchete de caso2, la primera componente indica fila (registro) y la segunda columna (variable). Al dejar vacía la primera componente reconoce sólo los valores de la variable. Si se quiere visualizar el contenido del objeto creado, escribimos peso y al hacer enter aparecen los pesos. > peso [1] 68.0 69.0 63.0 55.0 57.0 48.0 50.0 50.0 44.0 60.0 52.6 80.0 52.0 67.0 46.0 [16] 80.0 64.0 64.0 63.0 72.0 65.0 47.0 70.0 50.0 53.0 66.0 57.0 50.5 80.0 55.0 [31] 88.0 55.0 75.0 64.5 50.0 49.0 54.0 46.5 49.0 70.0 48.0 60.0 75.0 55.0 51.0 [46] 72.0 68.0 68.0 55.0 59.0 65.0 66.0 51.0 53.0 45.0 52.0 53.0 67.0 77.0 53.0 También se puede crear varios objetos a la vez separándolos con punto y coma, así: > talla=caso2[,5] ; ing.fam=caso2[,6] ; mie.fam=caso2[,7] Si desea visualizar los 20 datos del alumno 4 (registrados en la fila 4) escribir: > reg.4=caso2[4,]

enter y luego > reg.4 al hacer enter obtenemos:

nº_cuest sexo edad peso talla ing.fam mie.fam g.estud cr.aprob prom.acum 4

4

1

20 55

173

1200

5

60

42

t.viviend nº.dormit horas.tv hrs.estu lib.leídos hobby imp.estudio 4

1

3

3

4

4

imp.físico col.proc especial 4

4

2

2 49

4

4

12.4

Capítulo 2. PRESENTACIÓN DE DATOS “El propósito de la estadística es descubrir métodos para condensar la información relativa a un gran número de hechos relacionados, en cortas y compendiosas expresiones adecuadas para su discusión” Francis Galton CONTENIDO 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Introducción. Cuadros estadísticos. Distribución de frecuencias. Gráficos estadísticos. Gráficos de variables cualitativas. Gráficos de frecuencias. Diagrama de tallos y hojas.

2.1 INTRODUCCIÓN Uno de los propósitos fundamentales de la estadística es la “reducción de datos”, la misma que se puede efectuar mediante la presentación de datos de tres maneras: cuadros o tablas estadísticas, gráficos y texto. Se recomienda la aplicación de todas ellas; siendo primordial la construcción del cuadro estadístico con los datos, para poder realizar la presentación gráfica y/o textual que permita describir, establecer relaciones y/o explicar las variables en estudio, contribuyendo así a la aplicación del método científico. En este capítulo se desarrollan los temas relacionados a cuadros estadísticos, tablas de frecuencias y algunas formas de presentación gráfica tanto para variables cualitativas como cuantitativas. 2.2 CUADROS ESTADÍSTICOS En la estadística, como ciencia de la observación, se emplean las tablas o cuadros estadísticos para resumir la información estadística (datos) obtenida mediante encuestas, experimentos, registros administrativos, etc. a) Definición.- un cuadro estadístico es un arreglo matricial que contiene las variables con sus correspondientes categorías y los datos observados de

50

manera concisa, reflejando la relación o comparación fácil entre las variables en un estudio determinado. b) Estructura.- las partes de un cuadro estadístico son: número, título, encabezamiento, columna matriz, cuerpo y pie (notas, llamadas y fuente). La ubicación de cada uno de ellos se puede apreciar en la Figura 2.1.

NÚMERO

TÍTULO

COLUMNA

ENCABEZAMIENTO

MATRIZ

PIE

CUERPO

NOTAS LLAMADAS FUENTE

Figura 2.1 Estructura de un cuadro estadístico

Número.- si en un estudio o investigación se presenta más de un cuadro hay que enumerarlos para diferenciarlos. Si el cuadro es único, no es necesario enumerar. El número se ubica en la parte superior izquierda o central. Se recomienda anteponer la palabra Cuadro o Tabla y a continuación colocar el número (sin la abreviatura Nº previa) que puede ser arábigo o alfanumérico, seguido de un punto, para luego indicar el título. Ejemplo: Cuadro 5. ; Cuadro B10. ; etc.

Título.- el título indica de manera clara y precisa el contenido del cuadro. Se coloca en la parte superior a continuación del número. Para su construcción debe responder a las cuatro preguntas siguientes: - ¿Qué? Estamos observando (unidad de análisis, objeto, característica principal, valores, elementos, etc.) - ¿Cómo? Están clasificados los datos (variables en el Encabezamiento precedidas de la palabra POR y variables en la columna matriz precedidas de la palabra SEGÚN) 51

- ¿Cuándo? Se realizó la observación de los datos (período al que se refieren los datos) - ¿Dónde? Se realizó la observación de los datos (lugar geográfico) Ejemplo.¿Qué? Producto Bruto Interno. ¿Cómo? Por Años, Según Rama de la Actividad Económica. ¿Cuándo? Del 2000 al 2007. ¿Dónde? Perú.

Ya se puede indicar el número y el título del cuadro de la siguiente manera: CUADRO 2.1 PRODUCTO BRUTO INTERNO, POR RAMA DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA, SEGÚN AÑO: 2000-07.

Observación: - Hay una reciprocidad entre el título y lo que aparece después de él, pues el ¿cómo? del título permite ubicar las variables en el encabezamiento y en la columna matriz; y viceversa, observando las variables en el encabezamiento y en la columna matriz se puede poner el título. - Cuando en el título del cuadro no se indica el lugar de observación, significa que corresponde al país. - La ubicación de variables en el encabezamiento y en la columna matriz es indistinto, depende del criterio del investigador, pudiendo ser éstas de cualquiera de los tipos definidos. - Si los años observados son consecutivos, se recomienda colocar 2000-07 y si sólo son dos años, indicar 2000 y 2007.

Encabezamiento.- es la parte del cuadro que contiene las variables que aparecen en el título después de la preposición “POR” y sus correspondientes categorías o rangos, generando las columnas del mismo. Recomendaciones: - Colocar en la primera línea qué se va observar y el POR, preferentemente cuando se esta diseñando cuadros preliminares para un estudio. - Indicar en forma breve y precisa las variables (con mayúsculas) y sus categorías o rangos (con mayúscula y minúsculas). 52

- Escribir preferentemente en forma horizontal o en forma vertical letra por letra de arriba hacia abajo. - Según sea el caso, ordenar las columnas tomando en cuenta un ordenamiento: natural, geográfico, importancia o alfabético. - Si hay que indicar unidad de medida, colocarla con mayúsculas y minúsculas encima del encabezamiento después del título o en su primera línea (si todos los valores del cuerpo del cuadro van a representar lo mismo) y/o en cada columna (si las unidades de medida son distintas). Ejemplo.Para el Cuadro 2.1, antes indicado, el encabezamiento es:

Agricultura

P.B.I., POR RAMA DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA (Millones de nuevos soles) Pesca Minería Industria Electicidad Construcción Comercio Servicios

Total

Columna Matriz.- es la parte del cuadro que contiene las variables que aparecen en el título después de la palabra “SEGÚN” y sus correspondientes categorías o rangos, generando las filas del mismo. Recomendaciones: - Indicar en forma breve y precisa las variables a la altura del encabezamiento (con mayúsculas) y debajo sus categorías o rangos al lado del cuerpo del cuadro (con mayúscula y minúsculas). - Escribir preferentemente en forma horizontal. Si hay más de una variable, diferenciar las categorías con subrayado y/o negrita. - Según sea el caso, ordenar las columnas tomando en cuenta un ordenamiento: natural, geográfico, importancia o alfabético. - Si hay que indicar unidad de medida, colocarla en la fila correspondiente. - Cada cierto número de filas dejar espacio en blanco para no cansar al lector.

Cuerpo.- es la parte del cuadro formada por casillas o celdas (resultado de la intersección de filas y columnas) donde aparecen los resultados de los conteos efectuados con los datos recogidos. Recomendaciones: - Ninguna casilla debe quedar vacía, debe contener un valor o indicación.

53

- Usar algunos signos convencionales: Resultado nulo o no existe el fenómeno (-). Cifra aún no disponible (…). Cantidad inferior a la mitad de la unidad adoptada: 0, 0.0, 0.00, etc. Dato provisional (P). Cifra estimada (E). Cifra revisada (R).

Pie.- es la parte inferior del cuadro, donde se colocan las notas, llamadas y la fuente de los datos. Es recomendable, no abusar en el uso de notas y llamadas; así mismo ordenarlas alfabética y numéricamente.

Notas.- Son aclaraciones breves referidas a algún aspecto general del título del cuadro o definición de alguna variable. Se efectúa colocando en el margen izquierdo, de la primera línea del pie, la palabra Nota: detallando lo que se desea aclarar.

Llamadas.- son aclaraciones específicas referidas a una fila o columna. Según el INEI (2006) “La llamada se indica con una barra oblicua “/” siendo antecedida por una letra o un número. Se ubica a la derecha de lo que se desea aclarar”. Si la aclaración esta referida a una categoría textual, usar un número; y si la aclaración se refiere a un rango o número, usar una letra. Según el INEI (2006) “Las llamadas deben ubicarse al pie del cuadro, inmediatamente después de la nota, si hubiera. Se ubica primero las “llamadas-números” de menor a mayor y luego las “llamadas-letras” en orden alfabético”.

Fuente.- cuando los datos son obtenidos de una fuente secundaria se recomienda indicar al “dueño” de la información (principio de cortesía y respeto al autor) bajo la forma de una ficha bibliográfica (autor o entidad, año, título de la publicación, edición, editorial, páginas y lugar). Es recomendable aun cuando se haya efectuado algunas elaboraciones, ya que el usuario puede recurrir a la fuente primigenia para cualquier consulta.

54

Igualmente, si la información se ha obtenido de alguna página web y para que el lector pueda recurrir a esa fuente, indicar los elementos centrales de una referencia web (autor o entidad, año, título de la publicación, país, fecha de consulta y la página web donde está disponible). Si no se indica fuente, se asume que los datos son del autor (persona o entidad) que los publica. En el caso de pertenecer a una entidad grande, se indica el área de Elaboración (gerencia o dirección) para poder acudir directamente a ellos de requerirse. En caso de haber efectuado algunas modificaciones o reagrupamientos a la información presentada por algún productor de información, se recomienda indicar la Fuente y Elaboración.

El diseño del cuadro 2.1 propuesto en el ejemplo queda así: CUADRO 2.1 P.B.I., POR RAMAS DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA, SEGÚN AÑOS: 2000 - 08 AÑOS

Agricultura

P.B.I., POR RAMAS DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA (MILLONES DE NUEVOS SOLES) Pesca Minería Industria Electicidad Construcción Comercio Servicios

Total

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática.

Aspectos complementarios.Si el cuadro se extiende es recomendable hacerlo verticalmente y se debe poner en la parte inferior derecha de la primera página la indicación (Continúa …. . En la página siguiente se debe indicar el título del cuadro y luego escribir a la izquierda …. Continuación), repetir el encabezamiento y en la columna matriz continuar con las categorías o intervalos que siguen hasta que se concluya el cuadro, en cuyo caso en la parte superior izquierda se coloca …. Conclusión).

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c) Tipos de cuadro.- según el número de variables que se presentan, los cuadros pueden ser unidimensionales (se presenta una sola variable), bidimensionales (se presentan dos variables) y multidimensionales (se presentan más de dos variables).

d) Formas de obtención.Habiendo definido una base de datos, la forma más sencilla de obtener cuadros estadísticos es con el SPSS, ya que tiene la ventaja de reconocer las etiquetas (texto) para variables categóricas (codificadas numéricamente). Con los otros programas también se obtiene cuadros, sólo que hay que efectuar previamente recodificaciones de valores numéricos a texto. Veamos la obtención de un cuadro bidimensional con las variables hobby (en las filas) y sexo (en las columnas) con SPSS y luego con Minitab.

En SPSS: De la barra de menú escoger Analizar → Estadísticos descriptivos → Tabla de contingencia, aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.2.

Figura 2.2 Obtención de un cuadro bidimensional con SPSS

56

Entre las variables que aparecen al lado izquierdo, hacer clic sobre la variable HOBBY e ingresarla debajo del recuadro Filas haciendo clic en el botón

,

luego hacer clic sobre la variable SEXO e ingresarla debajo del recuadro Columnas haciendo clic en el botón

.

Si hacemos clic en el botón Casillas se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.3, en la que se escoge que debe aparecer en las casillas.

Figura 2.3 Mostrar en las casillas Por defecto, en Frecuencias aparece un check en el recuadro

Observadas y

la tabla va mostrar en las Casillas, los resultados del conteo (número de casos). En Porcentajes, los recuadros al costado de Fila, Columna y Total aparecen sin check. Si hacemos clic al costado de

Fila, el programa saca porcentaje sobre el total

de casos en cada fila, de modo tal que en el cuadro los totales de fila van a sumar 100%. Del mismo modo, si hacemos clic al costado de

Columna, el

programa saca porcentaje sobre el total de casos en cada columna, de modo tal que en el cuadro los totales de columna van a sumar 100%. Finalmente si hacemos clic al costado de

Total, el programa saca porcentaje sobre el total

de casos, de modo tal que en el cuadro la suma de los porcentajes de todas las casillas es el 100%.

57

Queda a criterio del investigador escoger lo que desea: sólo frecuencias observadas (número de casos), sólo alguno de los porcentajes, o cualquier combinación de frecuencias observadas y/o porcentajes (incluyendo los cuatro a la vez, sólo que para el análisis hay que tener mucho cuidado). Escogido lo que va aparecer en las casillas, hacer clic en Continuar, regresa a la Figura 2.2, para terminar el cuadro hacer clic en Aceptar. Veamos algunos resultados: Si para las casillas escogemos sólo frecuencias

Observadas, el cuadro de

salida es el siguiente: Tabla de contingencia HOBBY * SEXO Recuento

HOBBY

Deportes Mus ica Baile TV / Cine Otros

Total

SEXO Hombre Mujer 14 1 14 13 1 3 4 8 0 2 33 27

Total 15 27 4 12 2 60

Haciendo doble clic sobre el cuadro de salida anterior se pueden hacer algunos arreglos de presentación y copiarlo en Excel o Word. Pudiendo presentarse así:

CUADRO 2.2 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA, DE LA FCEUNAC, POR SEXO, SEGÚN HOBBY: 09-A

SEXO

HOBBY Hombre

Mujer

Total

Deportes

14

1

15

Música

14

13

27

Baile

1

3

4

TV / Cine

4

8

12

Otros

0

2

2

Total

33

27

60

Fuente: Base de datos del curso de Estadística Básica

58

Si para las casillas escogemos frecuencias hacemos clic en

Observadas y en porcentajes

Fila, el cuadro de salida es el siguiente: Tabla de contingencia HOBBY * SEXO

HOBBY

Deportes

Recuento % de HOBBY Recuento % de HOBBY Recuento % de HOBBY Recuento % de HOBBY Recuento % de HOBBY Recuento % de HOBBY

Musica Baile TV / Cine Otros Total

SEXO Hombre Mujer 14 1 93.3% 6.7% 14 13 51.9% 48.1% 1 3 25.0% 75.0% 4 8 33.3% 66.7% 0 2 .0% 100.0% 33 27 55.0% 45.0%

Total 15 100.0% 27 100.0% 4 100.0% 12 100.0% 2 100.0% 60 100.0%

Cuadro que también se puede editar. En cada casilla se aprecia el mismo número de casos anterior, ahora acompañado del porcentaje sobre el total de cada fila. Así, en la segunda fila hay 27 alumnos (100%) cuyo hobby es la música, de los cuales 14 (51.9%) son hombres y 13 (48.1%) son mujeres.

Si para las casillas sólo se escoge en porcentajes

Columna, el cuadro de

salida es el siguiente: Tabla de contingencia HOBBY * SEXO % de SEXO

HOBBY

Total


SEXO Hombre Mujer 42.4% 3.7% 42.4% 48.1% 3.0% 11.1% 12.1% 29.6% 7.4% 100.0% 100.0%

Total 25.0% 45.0% 6.7% 20.0% 3.3% 100.0%

Sobre los mismos 60 alumnos, se puede apreciar que del total de hombres (33 alumnos = 100.0%) el 42.4% gustan de los Deportes, otro 42.4% Música, el 3.0% Baile y el 12.1% TV/Cine. Análisis similar se hace para mujeres y para el total de alumnos. 59

Si para las casillas sólo se escoge en porcentajes

Total, el cuadro de

salida es el siguiente: Tabla de contingencia HOBBY * SEXO % del total

HOBBY

Total


SEXO Hombre Mujer 23.3% 1.7% 23.3% 21.7% 1.7% 5.0% 6.7% 13.3% 3.3% 55.0% 45.0%

Total 25.0% 45.0% 6.7% 20.0% 3.3% 100.0%

Aquí los porcentajes en cada Casilla, se obtienen haciendo a los 60 alumnos como el 100%.

En Minitab: De la barra de menú escoger Stat → Tables → Descriptive Statistics aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.4.

Figura 2.4 Obtención de un cuadro bidimensional con Minitab

De las variables que aparecen al lado izquierdo, hacer clic sobre la variable hobby que va ir en las filas (rows) e ingresarla en el recuadro en blanco al

60

costado de For rows: haciendo clic en el botón Select, luego hacer clic sobre la variable sexo que va ir en las columnas (columns) e ingresarla al costado de For columns: haciendo clic en el botón Select. Si hacemos clic en el botón Categorical variables… se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.5, en la que se escoge que debe aparecer en las casillas, de manera similar al SPSS.

Figura 2.5 Escoger qué mostrar en las casillas con el Minitab

Por defecto, en Display aparece un check en el recuadro

Count y la tabla va

mostrar en las Casillas, los resultados del conteo (número de casos). Si hacemos clic al costado de

Row percents, el programa saca porcentajes

sobre el total de casos en cada fila, de modo tal que en el cuadro los totales de fila van a sumar 100%. Del mismo modo, si hacemos clic al costado de Column percents, el programa saca porcentajes sobre el total de casos en cada columna, de modo tal que en el cuadro los totales de columna van a sumar 100%. Finalmente si hacemos clic al costado de

Total percents, el programa

saca porcentaje sobre el total de casos, de modo tal que en el cuadro la suma de los porcentajes de todas las casillas es el 100%.

Al igual que en el SPSS se tiene que escoger lo que se desea mostrar en las casillas, escogido lo que va aparecer en las casillas, hacer clic en el botón OK, regresa a la Figura 2.4, para terminar el cuadro hacer clic en OK. Veamos algunos resultados: Si para las casillas escogemos sólo frecuencias es el siguiente:

61

Count, el cuadro de salida

Tabulated statistics: hobby, sexo Rows: hobby

1 2 3 4 5 All

Columns: sexo

1

2

All

14 14 1 4 0 33

1 13 3 8 2 27

15 27 4 12 2 60

La tabla obtenida no presenta las etiquetas de las categorías de hobby, ni las de sexo, por lo que es necesario tenerlas definidas (Ver acápite 1.6 Recodificación de datos en Minitab, Data → Code → Numeric to Text) antes de sacar el cuadro, algo que no necesita el SPSS ya que las reconoce automáticamente al definir las variables y sus valores. Realizada la recodificación de datos para las variables sexo y hobby, efectuando el proceso anterior obtenemos la siguiente tabla: Tabulated statistics: hoby, sex Rows: hoby

Columns: sex Hombre

Mujer

All

1 14 14 0 4 33

3 1 13 2 8 27

4 15 27 2 12 60

Baile Deportes Música Otros TV/Cine All

En la tabla anterior ya aparecen las etiquetas de hobby y sexo recodificadas, pero la presentación no es muy estética, requiere de un trabajo previo en Excel, lo que no es necesario para las tablas en SPSS (es mejor trabajarlas con este programa).

Si para las casillas escogemos

Count y hacemos clic en

el cuadro de salida es el siguiente:

62

Row percents,

Tabulated statistics: hoby, sex Rows: hoby

Columns: sex Hombre

Mujer

All

Baile

1 25.00

3 75.00

4 100.00

Deportes

14 93.33

1 6.67

15 100.00

Música

14 51.85

13 48.15

27 100.00

Otros

0 0.00

2 100.00

2 100.00

4 33.33

8 66.67

12 100.00

33

27

60

TV/Cine All

Cuadro que también se puede editar. En cada casilla se aprecia el mismo número de casos anterior, ahora acompañado del porcentaje sobre el total de cada fila. Así, en la tercera fila hay 27 alumnos (100%) cuyo hobby es la música, de los cuales 14 (51.85%) son hombres y 13 (48.15%) son mujeres.

Veamos ahora rápidamente la obtención de un cuadro tridimensional con las variables especial(ización) y hobby (en las filas) y sexo (en las columnas) con SPSS y luego con Minitab.

En SPSS: De la barra de menú escoger Analizar → Estadísticos descriptivos → Tabla de contingencia, aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.2. Se ingresa la variable hobby en Filas, sexo en Columnas y especial en Capa 1 de 1. Si desea escoge Casillas para indicar que va aparecer en las mismas, veamos sólo valores observados. La tabla es la que muestra la Figura 2.5. La tabla se puede editar haciendo doble clic sobre ella en SPSS o copiarla en Word y efectuar las modificaciones necesarias. El número y título son: CUADRO 2.3 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA, DE LA FCEUNAC, POR SEXO, SEGÚN ESPECIALIZACIÓN Y HOBBY: 09-A

63

Tabla de contingencia HOBBY * SEXO * ESPECIALIZACIÓN Recuento ESPECIALIZACIÓN Teoría Económica

HOBBY

Gestión Empres arial

Total HOBBY

Deportes Musica TV / Cine Deportes Musica Baile TV / Cine Otros

Total

SEXO Hombre Mujer 5 0 3 3 0 2 8 5 9 1 11 10 1 3 4 6 0 2 25 22

Total 5 6 2 13 10 21 4 10 2 47

Figura 2.6 Cuadro tridimensional en SPSS En Minitab: De la barra de menú escoger Stat → Tables → Descriptive Statistics aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.4. Con las variables recodificadas previamente, se ingresa la variable hoby en For rows, sexo en For columns y especialización en For layers. Si desea escoge Categorical variables para indicar que va aparecer en las casillas, veamos sólo Counts (conteos), OK, OK y los resultados son los siguientes:

Tabulated statistics: hoby, sex, especialización Results for especialización = Gestión Empresarial Rows: hoby

Columns: sex Hombre

Mujer

All

1 9 11 0 4 25

3 1 10 2 6 22

4 10 21 2 10 47

Baile Deportes Música Otros TV/Cine All Cell Contents:

Count

Results for especialización = Teoría Económica Rows: hoby

Columns: sex

64

Baile Deportes Música Otros TV/Cine All

Hombre

Mujer

All

0 5 3 0 0 8

0 0 3 0 2 5

0 5 6 0 2 13

Para obtener tablas en Excel es necesario recurrir a Tabla dinámica que se encuentran el menú Insertar. Veamos el procedimiento para una tabla bidimensional con las variables hobby en filas y sexo en columnas. En las columnas A, B y C se ha copiado las variables sexo, hobby y especial con las etiquetas de sus categorías, entre las filas 1 y 61, las mismas que están en la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A del Anexo. Al hacer clic en Tabla dinámica aparece la ventana de diálogo Crear tabla dinámica que aparece en la Figura 2.7.

Figura 2.7 Creando tabla dinámica en Excel En Seleccione los datos que desea analizar, marcar Seleccione una tabla o rango e indicar en Tabla o rango: los valores a analizar sombreando los datos de la hoja de cálculo desde A1 hastaC61 y automáticamente aparece lo indicado en la Figura 2.7. En elija dónde desea colocar el informe de la tabla dinámica, elegir Hoja de cálculo existente e indicar Ubicación: aquí celda E2. Luego hacer clic en Aceptar y aparece una estructura de tabla.

65

A continuación,

arrastrar la variable HOBBY, que aparece en el lado

derecho, sobre el mensaje Coloque campos de fila aquí; del mismo modo arrastrar la variable SEXO sobre el mensaje Coloque campos de columna aquí. Al volver a arrastrar la variable SEXO sobre el Cuerpo del cuadro en el mensaje Coloque datos aquí, se obtiene la tabla dinámica requerida con el resultado de los conteos visto en las tablas anteriores (ver Figura 2.8).

Figura 2.8 Tabla dinámica para Sexo y Hobby en Excel

Para obtener porcentajes sobre las filas, las columnas o el total como en SPSS y Minitab, se debe arrastrar nuevamente la variable de conteo (SEXO) en el Cuerpo del cuadro, sobre el área de lo que fue el mensaje Coloque datos aquí. En las filas aparece Cuenta de SEXO y Cuenta de SEXO2. Al hacer doble clic sobre Cuenta de SEXO2, aparece la ventana de diálogo Configuración de campo de valor, hacer clic en el botón Mostrar valores como aparece Normal, hacer clic en la flecha de selección

y se puede

escoger el porcentajes sobre las filas, las columnas o el total, al escoger el % de la columna y Aceptar, aparece el cuadro de la Figura 2.9.

66

Figura 2.9 Tabla dinámica para Sexo y Hobby con porcentajes en Excel

Si se quiere obtener un cuadro tridimensional arrastrar la variable ESPECIALIZACIÓN en las filas sobre HOBBY y aparece la tabla dinámica de la Figura 2.10, donde haciendo doble clic sobre Cuenta de SEXO2 se ha escogido mostrar valores como % de la fila.

Figura 2.10 Tabla dinámica para Sexo, Especialización y Hobby en Excel

67

Se reafirma nuevamente que el SPSS arroja una mejor presentación.

Para obtener tablas con el programa R, primero se definen las variables como objetos. Tal como se plantea en el acápite 1.7 Manipulación de archivos, leída la base de datos como caso2, al escribir >attach(caso2) y efectuar enter, se identifican las variables con el nombre en el encabezado. También se pueden crear las variables como objetos, separándolos con punto y coma, así: > hobby=caso2[,16] ; sexo=caso2[,2] ; especialización=caso2[,20] La tabla bidimensional con la variable hobby en las filas y sexo en las columnas, se obtiene así:

> table(hobby,sexo) sexo hobby

1

2

1 14

1

2 14 13 3

1

3

4

4

8

5

0

2

Resultado idéntico al del Minitab, es necesario definir las etiquetas de hoby y sexo. La tabla tridimensional con la variable especial (especialización) y hobby en las filas y sexo en las columnas, se obtiene así: > table(hobby,sexo,especial) , , especial = 1 sexo hobby

1

2

1

5

0

2

3

3

3

0

0

4

0

2

5

0

0

68

, , especial = 2 sexo hobby

1

2

1

9

1

2 11 10 3

1

3

4

4

6

5

0

2

Vamos a definir en R las etiquetas de las categorías correspondientes a las variables sexo, hobby y especialización de la siguiente manera: > caso2=transform(caso2, sexo=factor(sexo, labels=c("Hombres","Mujeres"))) > caso2=transform(caso2, hobby=factor(hobby, labels=c("Deporte","Música", "Baile", "TV/Cine","Otro"))) > caso2=transform(caso2, especial=factor(especial, labels=c("Teoría Económica", "Gestión Empresarial"))) Para que se reconozcan las nuevas variables con sus etiquetas escribir: > attach(caso2) Obtenemos las tablas anteriores de la siguiente manera: > t1=table(hobby,sexo) > t1 sexo hobby

Hombres Mujeres

Deporte

14

1

Música

14

13

Baile

1

3

TV/Cine

4

8

Otro

0

2

> prop.table(t1) sexo hobby

Hombres

Mujeres

Deporte 0.23333333 0.01666667 Música

0.23333333 0.21666667

69

Baile

0.01666667 0.05000000

TV/Cine 0.06666667 0.13333333 Otro

0.00000000 0.03333333

Sea t2 la tabla tridimensional: > t2=table(hobby,sexo,especial)

> t2 , , especial = Teoría Económica sexo hobby

Hombres Mujeres

Deporte

5

0

Música

3

3

Baile

0

0

TV/Cine

0

2

Otro

0

0

, , especial = Gestión Empresarial sexo hobby

Hombres Mujeres

Deporte

9

1

Música

11

10

Baile

1

3

TV/Cine

4

6

Otro

0

2

> prop.table(t2) , , especial = Teoría Económica sexo hobby

Hombres

Mujeres

70

Deporte 0.08333333 0.00000000 Música

0.05000000 0.05000000

Baile

0.00000000 0.00000000

TV/Cine 0.00000000 0.03333333 Otro

0.00000000 0.00000000

, , especial = Gestión Empresarial sexo hobby

Hombres

Mujeres

Deporte 0.15000000 0.01666667 Música

0.18333333 0.16666667

Baile

0.01666667 0.05000000

TV/Cine 0.06666667 0.10000000 Otro

0.00000000 0.03333333

Para conservar los valores originales en la base de datos caso2 y poner etiquetas, se debe cambiar el nombre de la variable.

> caso2=transform(caso2, colegio.proc=factor(col.proc, labels=c("Estatal", "No Estatal"))) > attach(caso2)

NOTA.- Un caso particular de los cuadros estadísticos son las denominadas Tablas de Frecuencias (que veremos en el acápite siguiente) que son cuadros unidimensionales, es decir, con una sola variable acompañada por lo general de los resultados del conteo y porcentajes.

71

2.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS La información obtenida puede provenir de un censo o de una muestra. Los resultados observados los podemos representar de la siguiente manera: Las variables, con las últimas letras mayúsculas del alfabeto: X, Y, Z, etc. o con algunas siglas que las abrevia el investigador o propias de algunas disciplinas como en la economía: PBI (Producto Bruto Interno), M (importaciones), etc.; en salud: IMC (Índice de Masa Corporal), etc. Los subíndices, con las letras minúsculas: i, j, k, l, m, t, etc. representan números enteros y sirven para diferenciar las unidades de análisis (U.A.) a quienes corresponde el valor que toma la variable. Con Xi representamos el valor de la variable X observado en laU.A. i-ésima. Por ejemplo, si en la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A, ver en el Anexo, X = Peso de los alumnos, entonces: Xi = Peso del alumno i-ésimo de Estadística Básica 09-A; i = 1, 2, 3, …., 60. X40 = 70 Kg., es el peso del alumno 40 o valor observado 40 de la variable. Veamos las diferentes formas de presentación de datos.

DATOS SIN AGRUPAR: Población: X1, X2, X3, …. , XN (N = tamaño de la población) Muestra: X1, X2, X3, …. , Xn (n = tamaño de la muestra) En la base de datos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene información de 19 variables estudiadas, tanto cualitativas como cuantitativas. DATOS AGRUPADOS: a) Tabla de Frecuencia para Datos Cualitativos.- en este tipo de tablas se indican los atributos o categorías de la variable, acompañadas del número (ni), la proporción (hi), y/o el porcentaje (100 hi), de unidades de análisis (U.A.). Su estructura es: Nº de Clase Categoría de (i) la variable 1 Atributo 1 2 Atributo 2 …. …. k Atributo k Total

Nº de U.A. (ni) n1 n2 …. nk n

U.A. = unidades de análisis. 72

Proporción de U.A (hi) h1 h2 …. hk 1

% de U.A. (100 hi) p1 p2 …. pk 100%

Tal como se presenta en el acápite anterior, veamos la obtención de una tabla de frecuencias por ejemplo, para la variable hobby en SPSS: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.11.

Figura 2.11 Obtención de tablas de frecuencias en SPSS

De las variables al lado izquierdo escogemos hobby, haciendo doble clic o clic en el botón

la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene los

resultados del Cuadro 2.4 editado en spss haciendo doble clic.

CUADRO 2.4 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 2009-A, DE LA FCE-UNAC, SEGÚN HOBBY

HOBBY Deportes Musica Baile TV / Cine Otros Total

ALUMNOS 15 27 4 12 2 60

% DE ALUMNOS 25.0 45.0 6.7 20.0 3.3 100.0

Un cuadro similar se puede obtener con el Minitab si se tiene previamente etiquetadas las categorías de la variable hobby, de la siguiente manera: Stat → Tables → Tally Individual Variables … Escoger la variable hobby y Select

73

para que ingrese en Variables. En display, por defecto aparece

Counts,

marcar también Percents, luego OK y aparecen los resultados del Cuadro 2.4. Tally for Discrete Variables: hoby

hoby Baile Deportes Música Otros TV/Cine N=

Count 4 15 27 2 12 60

Percent 6.67 25.00 45.00 3.33 20.00

También en R, estando etiquetadas las categorías de la variable hobby, attachada la base de datos y usando table obtenemos lo mismo, así: > caso2=transform(caso2, hoby=factor(hobby, labels=c("Deporte", "Música", "Baile", "TV/Cine","Otro"))) > attach(caso2) > table(hoby) hoby Deporte

Música

15

27

Baile TV/Cine 4

Otro

12

2

b) Tabla de Frecuencias para Datos Cuantitativos Discretos.- la variable discreta toma valores en un rango pequeño (por ejemplo: número de hijos, número de dormitorios en la vivienda, etc.). Para su resumen en la presentación se indican esos pocos valores de la variable

(Xi) acompañados de las

siguientes frecuencias en las columnas: Frecuencias absolutas o repeticiones = ni = Nº de unidades de análisis (U.A.) que toman el valor Xi (resultado del conteo). Frecuencia relativa = (hi) = Proporción de U.A. que toman el valor Xi . pi = 100 hi = Porcentaje de U.A. que toman el valor Xi . Frecuencia absoluta acumulada o repeticiones acumuladas = Ni = Número acumulado de U.A. que toman el valor Xi o menos. Frecuencia relativa acumulada = Hi = la proporción acumulada de U.A. que toman el valor Xi o menos. Pi = 100 Hi = porcentaje acumulado U.A. que toman el valor Xi o menos.

74

La estructura general de este tipo de tablas es la que se muestra a continuación, cuando se efectúan presentaciones reales de datos sólo se muestran algunos elementos de esta estructura. Clase (i)

Valores (X i)

Nº de U.A. (n i)

Proporc. U.A. (h i)

% U.A. pi = 100 h i

Nº Acum U.A. (N i)

Prop. Acum. U.A. (H i)

% Acum. U.A. P i =100H i

1 2 …. k

X1 X2 …. Xk

n1 n2 …. nk

h1 h2 …. hk

p1 p2 …. pk

N1 N2 …. Nk = n

H1 H2 …. Hk = 1

P1 P2 ….

Total

n

1

100%

Donde: Ni = Ni - 1 + ni ,

hi = ni / n = Hi - Hi - 1 ,

Pk = 100%

Hi = Ni / n = Hi - 1 + hi

Tal como se presenta en el acápite anterior, veamos la obtención de una tabla de frecuencias por ejemplo, para la variable número de miembros en la familia mie.fam en SPSS: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.11. De las variables al lado izquierdo escogemos mie.fam, haciendo doble clic o clic en el botón

la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene

los resultados del Cuadro 2.5 editado en spss haciendo doble clic.

CUADRO 2.5 ALUMNOS DE ESTADISTICA BASICA 2009-A, DE LA FCE-UNAC, SEGÚN EL NÚMERO DE MIEMBROS EN LA FAMILIA MIEMBROS EN LA FAMILIA 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Alumnos 2 5 11 27 8 5 1 1 60

75

% de Alumnos 3.3 8.3 18.3 45.0 13.3 8.3 1.7 1.7 100.0

Porcentaje acumulado 3.3 11.7 30.0 75.0 88.3 96.7 98.3 100.0

Tabla que trabajada en Excel, queda con las frecuencias indicadas a continuación: Alumnos (ni)

Proporción alumnos (hi)

Porcentaje alumnos (p i = 100 h i)

Nº acum. alumnos (Ni)

Prop. acum. alumnos (Hi)

2 3 4

2 5 11

0.033 0.083 0.183

3.3% 8.3% 18.3%

2 7 18

0.033 0.117 0.300

5 6 7 8 9 Total

27 8 5 1 1 60

0.450 0.133 0.083 0.017 0.017 1.000

45.0% 13.3% 8.3% 1.7% 1.7% 100.0

45 53 58 59 60

0.750 0.883 0.967 0.983 1.000

Miembros en la Familia (X i)

En esta tabla se puede interpretar que: n4 = 27, hay 27 alumnos con 5 miembros en su familia cada uno. h3 = 0.183, 18.3% de los alumnos tienen 4 miembros en su familia cada uno. N5 = 53, hay 53 alumnos con 6 o menos miembros en su familia cada uno. H4 = 0.75, 75% de los alumnos tienen 5 o menos miembros en su familia cada uno. Un cuadro similar se puede obtener con el Minitab de la siguiente manera: Staat → Tables → Tally Individual Variables … Escoger la variable mie.fam y Select para que ingrese en Variables. En display, por defecto aparece

Counts, marcar también Percents, Cumulative counts y

Cumulative percents, luego OK y aparecen los resultados del Cuadro 2.5, tal como se aprecia a continuación: Tally for Discrete Variables: mie.fam mie.fam 2 3 4 5 6 7 8 9 N=

Count 2 5 11 27 8 5 1 1 60

CumCnt 2 7 18 45 53 58 59 60

Percent 3.33 8.33 18.33 45.00 13.33 8.33 1.67 1.67

CumPct 3.33 11.67 30.00 75.00 88.33 96.67 98.33 100.00

También en R, estando attachada la base de datos y usando table obtenemos lo mismo, así: 76

> attach(caso2) > table(mie.fam) mie.fam 2

3

4

5

6

7

8

9

2

5 11 27

8

5

1

1

c) Tabla de Frecuencias con intervalos para Datos Cuantitativos.- en este caso tanto la variable discreta como la continua toma valores en un rango relativamente grande y para su resumen hay que construir intervalos de clase, para lo cual se debe seguir los siguientes pasos: Determinar el Rango (R) de la variable: como la diferencia entre el valor máximo y mínimo de la variable. R = Xmáx – Xmín = {X / Xmín ≤ X ≤ Xmáx} Determinar el número de intervalos (k) con algún criterio del investigador o usando fórmulas como la de Sturges: k = 1 + 3.32 log10 N = 1 + log 2 N Tomar el valor de k redondeado (donde N es el número de observaciones en la población y si es n número de observaciones en la muestra). Hallar el ancho o amplitud (C) del intervalo: C = R/k, Tomar el valor de C redondeado con un determinado número de decimales, en función de las unidades de la variable. Construir los k intervalos de clase, desde un límite inferior (LI) hasta un límite superior (LS): LIi

-

LSi

Intervalo 1

:

[Xmín

-

Xmín + C)

Intervalo 2

:

[Xmín + C

-

Xmín + 2C)

Intervalo 3

:

[Xmín + 2C

-

Xmín + 3C)

Intervalo k – 1

:

[Xmín + (k – 2)C

-

Xmín + (k – 1)C)

Intervalo k

:

[Xmín + (k – 1)C

-

Xmín + kC]

…………..

Obtener las marcas de clase (Xi) como los valores representativos de la clase, mediante la semisuma de los límites superior e inferior de la clase correspondiente:

Xi

LI i

LSi 2

77

, i = 1, 2, …., k

En la presentación de la distribución de frecuencias de la variable X, se indican los intervalos de clase [LIi - LSi), las marcas de clase (Xi) acompañadas de las siguientes frecuencias en las columnas: Frecuencias absolutas o repeticiones = ni = Nº de unidades de análisis (U.A.) en el intervalo i (resultado del conteo). Frecuencia relativa = (hi) = Proporción de U.A. en el intervalo i. pi = 100 hi = Porcentaje de U.A. en el intervalo i. Frecuencia absoluta acumulada o repeticiones acumuladas = Ni = Número acumulado de U.A. hasta el límite superior i (LSi). Frecuencia relativa acumulada = Hi = la proporción acumulada de U.A. hasta el límite superior i (LSi). Pi = 100 Hi = porcentaje acumulado U.A. hasta el límite superior i (LSi). Su estructura es: Clase Intervalo (i) LIi - LSi

1 2 …. k

LI1 -LS1 LI2 –LS2 …. LIk –LSk

Marca clase (X i)

Nº de U.A. (n i)

Proporc. U.A. (h i)

% U.A. pi = 100 h i

# Acum U.A. (N i)

Prop. Acum.U.A. (H i)

% Acu. Pi =

X1 X2 …. Xk

n1 n2 …. nk

h1 h2 …. hk

p1 p2 …. pk

N1 N2 …. Nk = n

H1 H2 …. Hk = 1

P1 P2 ….

n

1

100%

Total

100 H i

Pk = 100%

Donde: N1 = n1, Ni = Ni - 1 + ni , hi = ni / n , H1 = h1 , Hi = Ni / n = Hi - 1 + hi Vamos a obtener una tabla de frecuencias, con k = 5 intervalos, para los pesos de los alumnos de Estadística Básica 2009-A, cuyos datos aparecen en el Anexo y de manera ordenada se muestran en el Cuadro 2.6 siguiente: CUADRO 2.6. PESOS (Kg.) DE LOS 60 ALUMNOS DE ESTADISTICA BÁSICA 09-A UNAC 44 50 53 57 65 70

45 50 53 59 66 72

46 50 53 60 66 72

46.5 50.5 54 60 67 75

47 51 55 63 67 75

48 51 55 63 68 77

48 52 55 64 68 80

49 52 55 64 68 80

El rango de los pesos es R = Xmáx – Xmín = 88 – 44 = 44 Kg. = {X / 44 ≤ X ≤ 88}

78

49 52.6 55 64.5 69 80

50 53 57 65 70 88

Por interés particular, se desean construir k = 5 intervalos. Los intervalos son de igual amplitud, donde C = R/k = 44 / 5 = 8.8 Kg. Los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha: [44 – 52.8), [52.8 – 61.6), [61.6 – 70.4), [70.4 - 79.2) y [79.2 – 88.0]. El Excel toma los intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha: (LI - LS].

La tabla completa se ha obtenido en Excel, de la siguiente manera: En la figura 2.12 se puede apreciar que en la hoja de cálculo de Excel, en la columna A, se ha copiado los pesos de los 60 alumnos, ocupando las celdas desde A3 hasta A62. Así mismo, en las columnas D y E se han definido los límites inferior y superior de clase, ocupando desde la fila 12 a la 16.

Figura 2.12 Obtención de Tabla de Frecuencias en Excel

Para obtener las frecuencias absolutas (ni) en Excel, es necesario sombrear las celdas donde se deposita el resultado automático de los conteos, que en este caso es en la columna G, de la celda G12 a la G16, tal como se muestra en la Figura 2.12. A continuación, con la opción de funciones

del Excel, escoger

dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → Frecuencia y aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.13 solicitando los Argumentos de la función Frecuencia: Datos (de la variable peso, que están ubicados de la celda A3 hasta la A62) sombrear los datos o escribir A3:A62 y en Grupos (indicar

79

los límites superiores de los intervalos, que están en las celdas de E12 hasta E16).

Figura 2.13 Argumentos de la función Frecuencia

Para terminar no usar Aceptar, sino la combinación de las teclas MAYUSCULA + Ctrl + Enter, automáticamente aparece el resultado de los conteos en las celdas de la columna de los ni con los valores 19, 15, 17, 5 y 4. El resto de columnas se han obtenido usando las fórmulas indicadas en la estructura general. Los resultados de este proceso se muestran en el cuadro siguiente:

CUADRO 2.7 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LOS PESOS DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A FCE-UNAC Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0

Marca Prop. % de Acum. Prop.Ac. % Acum. Alum-nos alumnos alumnos alumnos alumnos alumnos clase Xi ni hi 100hi Ni Hi 100 Hi 48.4 19 0.317 31.7% 19 0.317 31.7% 57.2 15 0.250 25.0% 34 0.567 56.7% 66.0 17 0.283 28.3% 51 0.850 85.0% 74.8 5 0.083 8.3% 56 0.933 93.3% 83.6 4 0.067 6.7% 60 1.000 100.0% 60 1.000 100.0%

En esta tabla se puede interpretar que: n3 = 17, hay 17 alumnos que pesan entre 61.6 y 70.4 Kg. cada uno. h2 = 0.250, el 25.0% de los alumnos pesan entre 52.8 y 61.6 Kg. cada uno.

80

N4 = 56, hay 56 alumnos que pesan menos de 79.2 Kg. cada uno. H3 = 0.85, 85% de los alumnos pesan menos de 70.4Kg. cada uno. Para obtener Tablas de frecuencias con el Minitab, el SPSS y el R, se tiene que proceder con la recodificación de datos planteada en el acápite 1.6. Veamos:

En Minitab.De la barra de menú escoger la opción Data, luego Code (código) y Numeric to text (numérico a texto) porque se desea recodificar valores numéricos en texto (la denominación de los intervalos). Aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.14.

Figura 2.14 Recodificación de la variable peso en Minitab

En Code data from columns: (código de datos desde las columnas) seleccionar de las variables a la izquierda peso o escribirla. En Store couded data in columns: (almacenar datos codificados en la columna) seleccionar de las variables de la izquierda pesos o escribirla. A continuación en Original values (valores originales) se va definiendo uno a uno los intervalos definidos en el Cuadro 2.7, separándolos por dos puntos (:) y

81

en New los nuevos valores en texto para representar los intervalos, tal como se muestra en la Figura 2.14. Para finalizar la recodificación hacer clic en OK y en la base de datos (Current data window) aparecen los datos de pesos (ver Figura 2.15).

Figura 2.15 Variable peso recodificada en pesos (intervalos) con Minitab Para obtener la tabla de frecuencias proceder de la siguiente manera: Stat → Tables → Tally Individual Variables … Aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.16. Escoger la variable pesos y Select para que ingrese en Variables. En display, por defecto aparece

Counts, marcar también Percents,

Cumulative Counts y Cumulative percents,

luego OK y aparecen los

resultados siguientes (similares a los del Cuadro 2.7): Tally for Discrete Variables: pesos pesos 44.0 - 52.8 52.8 - 61.6 61.6 - 70.4

Count 19 15 17

CumCnt 19 34 51

82

Percent 31.67 25.00 28.33

CumPct 31.67 56.67 85.00

70.4 - 79.2 79.2 - 88.0 N=

5 4 60

56 60

8.33 6.67

93.33 100.00

Figura 2.16 Obtención de Tabla de Frecuencias en Minitab (variable pesos)

En SPSS.De la barra de menú escoger la opción Transformar, luego hacer clic sobre Recodificar en distintas variables. Aparece la ventana de diálogo Recodificar en distintas variables de la Figura 2.17.

Figura 2.17 Recodificando la variable peso en SPSS

83

Escogiendo de la lista de variables que aparecen al lado izquierdo, en Var. numérica → Var. de resultado: ingresar la variable peso, inmediatamente aparece peso → ? En Variable de resultado, en Nombre: escribir pesos, en Etiqueta: escribir PESO (Kg.) y luego hacer clic en el botón Cambiar (si no hace esto, la recodificación no se realiza después), inmediatamente en Var. numérica → Var. de resultado: se modifica por peso→ pesos.

Luego, hacer clic en Valores antiguos y nuevos y aparece la ventana de diálogo Recodificar en distintas variables: Valores antiguos y nuevos de la Figura 2.18.

Figura 2.18 Recodificar Valores antiguos del peso y nuevos de pesos en SPSS

A continuación, en Valor antiguo se va definiendo uno a uno los intervalos definidos en el Cuadro 2.7, y en Valor nuevo los nuevos valores del intervalo. Observar que el primer intervalo es para peso entre 44.0 hasta antes de 52.8, en Valor antiguo, en Rango: se escribe 44.0 hasta 52.79 (de ser necesario se agregan más nueves en los decimales, para estar más cerca a 52.8) y en Valor nuevo, en Valor escribir 1, luego hacer clic en añadir. El siguiente intervalo va de 52.8 hasta antes de 61.6, en Valor antiguo, en Rango: se escribe 52.8 hasta 61.59 y en Valor nuevo escribir 2, luego hacer clic en añadir. Así sucesivamente, el último intervalo va de 79.8 hasta 88.0, en Valor antiguo, en

84

Rango: se escribe 79.8 hasta 88.0 y en Valor nuevo, en Valor escribir 5, luego clic en añadir. Para finalizar la recodificación, al hacer clic en Continuar regresa a la ventana de la Figura 2.17. Luego hacer clic en Aceptar y aparece la variable pesos con sus valores del 1 al 5 en la Vista de datos del Editor de datos SPSS. A continuación, en la Vista de variables, del Editor de datos SPSS, a la variable pesos se le definen las Etiquetas de valor, en un cuadro de diálogo similar al de la Figura 1.5. Para ello asignar los valores y etiquetas siguientes: 1, 44.0 – 52.8; 2, 52.8 – 61.6; 3, 61.6 – 70.4; 4, 70.4 – 79.2; y 5, 79.2 – 88.0. Una vez que termina de añadir los valores y etiquetas hacer clic en Aceptar, en la Vista de datos, del Editor de datos SPSS aparecen las etiquetas de condición que se muestran en la Figura 2.14.

Figura 2.19 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en SPSS Para obtener la tabla de frecuencias ejecutar: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.11. De las variables al lado izquierdo escogemos pesos, haciendo doble clic o clic en el botón

la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene los

mismos resultados del Cuadro 2.7 que se muestran a continuación:

85

PESO (Kg.) PESO (Kg.) 44.0 - 52.8 52.8 - 61.6 61.6 - 70.4 70.4 - 79.2 79.2 - 88.0 Total

Frecuencia 19 15 17 5 4 60

Porcentaje 31.7 25.0 28.3 8.3 6.7 100.0

Porcentaje acumulado 31.7 56.7 85.0 93.3 100.0

En R.Para crear los intervalos del Cuadro 2.7, estando en la base de datos caso 2, se procede así: > caso2=transform(caso2,pesos=cut(peso,breaks=c(43.99, 52.79, 61.59, 70.39, 79.19, 88.0))) > attach(caso2) Para visualizar la base de datos caso2 con los intervalos escribir: > fix(caso2) En el R Editor de datos aparece la variable pesos con los intervalos definidos, tal como se muestra en la Figura 2.20.

Figura 2.20 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en R

86

Para obtener la tabla de frecuencias ejecutar: > table(pesos) pesos (44,52.8] (52.8,61.6] (61.6,70.4] 19

15

(70.4,79.2]

17

(79.2,88]

5

4

Los resultados obtenidos son idénticos a los del Cuadro 2.7. 2.4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Es una forma de presentación de datos, cuya elaboración requiere necesariamente de una tabla o cuadro estadístico y mediante el cual se busca que el lector de un golpe de vista pueda destacar aspectos importantes de la(s) variable(s) en estudio, ya que como dice el adagio popular “una imagen vale más que mil palabras”. En esta parte vamos a desarrollar algunas formas de presentación gráfica básica, de tal manera que permita descripciones importantes de las variables en estudio. En capítulos posteriores se verá algunas otras formas gráficas propias de los tópicos tratados. a) Definición.- para Correa y González (2002) “Un gráfico estadístico es una representación visual de datos estadísticos.” o las distribuciones estadísticas mediante figuras geométricas, reflejando la relación o comparación fácil entre las variables en un estudio determinado. b) Estructura.- las partes de un gráfico estadístico son: número, título, cuerpo, leyenda y fuente. Número.- si en un estudio se presenta más de un gráfico hay que enumerarlos para diferenciarlos. Si el gráfico es único, no es necesario enumerar. El número se ubica en la parte superior izquierda o central. Se recomienda anteponer la palabra Gráfico y a continuación colocar el número (sin la abreviatura Nº previa) que puede ser arábigo o alfanumérico, seguido de un punto, para luego indicar el título. Ejemplo: Gráfico 4. ; Gráfico A13. ; etc.

Título.- el título indica de manera clara y precisa el contenido del gráfico. Se coloca en la parte superior a continuación del número. Su elaboración es

87

similar a la del cuadro a partir del que se construye, por ello ambos títulos (del cuadro y del gráfico) son idénticos. Ejemplo: Alumnos de Estadística básica 09-A, según su Hobby. Cuerpo.- es la parte central del gráfico, representada por lo general en forma rectangular (en una relación de 1.5 para el largo y como 1 para el ancho) en la que con algunas representaciones geométricas, acompañadas de datos y símbolos se busca establecer contrastes de las variables y sus categorías a través de escalas apropiadas a las magnitudes en estudio. Se recomienda colocar el título de los ejes, con el nombre de la variable o sus categorías, indicando la unidad de medida si hubiera. Así mismo, se debe buscar efectuar diferenciaciones entre los componentes del gráfico bien mediante colores, tramas, sombreados, etc. Leyenda.- son aclaraciones respecto a las partes componentes de un gráfico expresadas a través de lo que representan ciertos colores, tramas, etc. y van colocados por lo general al costado de gráfico con su indicación de lo que representan. Fuente.- al igual que los cuadros, es necesario indicar los elementos esenciales que permitan identificar a los “dueños” de los gráficos e información para cualquier consulta mediante una breve Ficha Bibliográfica o Referencia Web, tal como se indica en la fuente de cuadros estadísticos. En el caso de ser propio el gráfico, se recomienda indicar la Elaboración.

c) Tipos de gráficos.- al igual que los cuadros estadísticos, los gráficos pueden ser unidimensionales, bidimensionales o pluridimensionales, según el número de variables que se presenten.

d) Formas de obtención.- se va a presentar la obtención de estos gráficos utilizando los programas Excel, Minitab, SPSS y R, los mismos que veremos para variables cualitativas y cuantitativas, tal como se pase a detallar.

88

2.5 GRÁFICOS DE VARIABLES CUALITATIVAS Entre los principales gráficos de variables cualitativas tenemos los gráficos de sectores, el gráfico de barras y el gráfico de Pareto. a) Gráfico de sectores.- llamado también pie o pastel, es muy apropiado para representar las categorías de una variable cualitativa en una circunferencia con particiones proporcionales al número de casos en cada categoría que se busca representar. Para efectuar las particiones en la circunferencia se establece la proporcionalidad tomando en cuenta que los 360º de la circunferencia equivale al total de observaciones realizadas o el 100% y se efectúa las equivalencias a cada categoría en grados sexagesimales según el número de observaciones o porcentaje que le corresponde mediante una regla de tres simple. Tomemos como referencia la distribución de la variable hobby de los alumnos de estadística básica 09-A, obtenida en el Cuadro 2.4 siguiente: Nº DE

% DE

GRADOS

ALUMNOS

ALUMNOS

SEXAGESIMALES

Deportes

15

25.0

90

Música

27

45.0

162

Baile

4

6.7

24

TV/Cine

12

20.0

72

Otros

2

3.3

12

Total

60

100.0

360

HOBBY

Si a los 60 alumnos les corresponde una circunferencia de 360º, la proporcionalidad que se guarda aquí es de 6º por cada alumno y de este modo a los 15 alumnos que les gusta el deporte les corresponde 15 x 6 = 90º, a los 27 que les

89

gusta la música 27 x 6 = 162º, a los 4 alumnos que les gusta el baile 4 x 6 = 24º, a los 12 que les gusta TV/Cine 12 x 6 = 72º y a los 2 que les gusta Otros 2 x 6 = 12º. Con estos datos es que los programas efectúan de modo automático la representación del pie correspondiente. Veamos. En Excel: Seguir la secuencia siguiente: Insertar → Gráficos → Circular → Gráfico 2D, escoger en Diseños de gráfico (diseño 1) → Seleccionar datos → Rango de datos del gráfico: indicar las celdas donde se encuentran los datos → en Etiquetas del eje horizontal (categoría) escoger Editar, en Rango de rótulos de eje: indicar las celdas donde están los hobbies, Aceptar y para finalizar Aceptar y aparece título del Gráfico, ponerle el número y el título, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.21 Gráfico de sectores en Excel En SPSS: Siguiendo el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.11. Con la variable hobby ya ingresada, escoger dentro de la opción

Tipo de

gráfico: Gráficos de sectores, en Valores del gráfico: marcar Porcentajes, luego Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana de resultados aparece el gráfico de sectores, con doble clic se ha editado (Ver Figura 2.22).

90

Gráfico 2.1 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY Deportes Musica Baile TV / Cine Otros

3,3 %

20,0%

25,0%

6,7%

45,0%

Figura 2.22 Gráfico de Sectores en SPSS En Minitab: En el menú escoger Graph → Pie Chart… Aparece la ventana de diálogo Pie Chart, en Categorial variables: ingresar hoby de la lista de variables a la izquierda, en Labels… poner número y título del gráfico, OK, y aparece el gráfico de sectores que se muestra en la Figura 2.23. Gráfico 2.1 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY

6.7% 20.0%

25.0% 3.3%

45.0%

Figura 2.23 Gráfico de Sectores en Minitab

91

Category Baile Deportes Música Otros TV/Cine

En R: Estando attachada la base de datos obtenemos lo mismo, así: > attach(caso2) > pie(table(hoby)) Aparece el gráfico siguiente:

Figura 2.24 Gráfico de Sectores en R Como se puede apreciar, con sus propios matices, cada uno de los gráficos de sectores es parecido, por lo que para los otros tipos de gráficos se explicará como obtenerlos y presentaremos alguno de ellos.

b) Gráfico de barras.- es una representación rectangular en el plano cartesiano, indicando en el eje de las abscisas (X) la variable con sus categorías y en el eje de las ordenadas (Y) el número y/o el porcentaje de unidades de análisis que se presenta. Veamos la presentación de la variable hobby en gráfico de barras, tomando como referencia los resultados del Cuadro 2.4. 92

En Excel: Seguir la secuencia siguiente: Insertar → Gráficos → Columna → Columna en 2D, Columna agrupada, escoger (Estilo 2) → Seleccionar datos → en Rango de datos del gráfico: indicar las celdas donde se encuentran los datos → en Etiquetas del eje horizontal (categoría) escoger Editar, en Rango de rótulos de eje: indicar las celdas donde están los hobbies, Aceptar y para finalizar Aceptar y aparece el gráfico sin título; no olvidar ponerle el número y el título. En Minitab: En el menú escoger Graph → Bar Chart… → escoger Simple. Aparece la ventana de diálogo Bar Chart – Counts of unique values, Simple. En Categorial variables: ingresar hoby de la lista de variables a la izquierda, en Labels… poner número y título del gráfico, OK, y aparece el gráfico de sectores que se muestra en la Figura 2.25. Este gráfico ha sido editado poniendo la variable con mayúsculas, colores, etc. En SPSS: Siguiendo el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.7. Con la variable hobby ya ingresada, escoger dentro de la opción

Tipo de gráfico:

Gráficos de barras, en Valores del gráfico: marcar Porcentajes, luego Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana de resultados aparece el gráfico de sectores, que se puede editar con doble clic. En R: Estando attachada la base de datos, se usa la función barplot así: > attach(caso2) > barplot(table(hoby), col=c(3,4,5,6,7), main="GRÁFICO 2.2 ALUMNOS E.B.09-A, SEGÚN HOBBY", xlab="HOBBY", ylab="Alumnos") A continuación se muestra el gráfico de barra obtenido en Minitab, donde la presentación parece ser “más representativa”.

93

Gráfico 2.2 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY 30 27

25

Alumnos

20 15

15

12

10 5

4 2

0

Baile

Deportes

Música HOBBY

Otros

TV/Cine

Figura 2.25 Gráfico de Barras de la variable Hobby en Minitab c) Gráfico de Pareto.- es un gráfico muy utilizado cuando se quiere mostrar las categorías más representativas de una variable cualitativa en forma de frecuencia descendente, a fin de tomar algunas decisiones, como sucede en los controles de calidad en los que por ejemplo se busca controlar los defectos más importantes (en un 90 o 95%). Su elaboración se puede obtener con herramientas para el análisis en Excel y de control de calidad que poseen el Minitab y el SPSS. En Excel: Procede sólo si los valores de la variable son numéricos, por lo que utilizaremos las etiquetas numéricas para hobby (1, 2, 3, 4 y 5). Consideremos que los datos para los 60 alumnos están en la columna A, entre A2 y A61; y las clases de hobby (1, 2, 3, 4 y 5) en la columna D, entre D3 y D7, ver Figura 2.26. Para obtener el gráfico de Pareto, se necesita herramientas para el Análisis (versiones anteriores de Excel en el menú tenían la opción Herramientas), proceder así: en la barra de menú Datos → Análisis de datos (ubicado en el extremo superior derecho) y aparece la ventana de diálogo Análisis de datos de la Figura 2.27. 94

Figura 2.26 Datos de la variable hobby y clase en Excel

Figura 2.27 Herramientas del Análisis de datos en Excel En la Figura 2.27, de Funciones para análisis escoger Histograma, luego Aceptar y aparece la ventana de diálogo Histograma de la Figura 2.28.

Figura 2.28 Obteniendo gráfico de Pareto en Excel 95

En la parte de Entrada, de la Figura 2.28, en Rango de entrada: sombrear el área de los datos de hobby de la Figura 2.26 (desde A3 hasta A62); en Rango de clases: sombrear el área de CLASE de la Figura 2.26 (desde D3 hasta D7) y se marca Rótulos si se utilizaran para los dos rangos anteriores. En Opciones de salida, de la Figura 2.28, indicar donde queremos que salga el resultado, si es en la misma hoja, marcar Rango de salida: y en el recuadro indicar la celda a partir de donde queremos que salgan los resultados (H2 aquí); si es En una hoja nueva: marcar y en el recuadro ponerle nombre; y por último si queremos En un libro nuevo, marcarlo. Luego marcar Pareto (Histograma ordenado), marcar Porcentaje acumulado y Crear gráfico. Para finalizar hacer clic en Aceptar y aparecen los resultados de la Figura 2.29.

Figura 2.29 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Excel

96

En Minitab: En el menú escoger Stat → Quality Tools → Pareto Charts…. Aparece la ventana de diálogo Pareto Chart . En Chart defects data in: ingresar hoby de la lista de variables a la izquierda y para finalizar OK y muestra el gráfico. En SPSS: En el menú escoger Analizar → Control de calidad → Gráficos de Pareto → escoger Simple, luego Definir. Aparece la ventana de diálogo Gráfico de Pareto simple: Recuentos o sumas para grupos de casos. En eje de categorías: ingresar la variable hobby que aparece en la lista de variables a la izquierda, en Títulos… indicar el número y título del gráfico, luego Continuar y finalmente Aceptar, aparece el gráfico de Pareto. En la Figura 2.30, se muestra el gráfico de Pareto obtenido en Minitab y editado en sus ejes y colores para las barras de las categorías de hobby.

Gráfico 2.3 Gráfico de Pareto de los alumnos de Estadística Básica 09-A, según Hobby

60

100

50

Alumnos

40 60 30 40 20 20

10 0 Hobby Count Percent Cum %

Música 27 45.0 45.0

Deportes 15 25.0 70.0

TV/Cine 12 20.0 90.0

Baile 4 6.7 96.7

Other 2 3.3 100.0

Figura 2.30 Gráfico de Pareto de la variable Hobby en Minitab

97

0

Porcentaje

80

2.6 GRÁFICOS DE FRECUENCIAS Entre los principales gráficos de variables cuantitativas tenemos los gráficos de barras, histograma de frecuencias, polígono de frecuencia y la ojiva. a) Gráfico de barras para Datos Cuantitativos Discretos.- se usa si la variable discreta toma valores en un rango pequeño como el número de hijos. Es una representación rectangular en el plano cartesiano, indicando en el eje de las abscisas (X) la variable con sus pocos valores y en el eje de las ordenadas (Y) el número y/o el porcentaje de unidades de análisis que se presenta. La gráfica de barras se obtiene de manera similar al de la variable cualitativa. Veamos como queda la presentación de la variable número de miembros en la familia en gráfico de barras, tomando como referencia los resultados del Cuadro 2.5.

MIEMBROS EN LA FAMILIA 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Alumnos 2 5 11 27 8 5 1 1 60

% de Alumnos 3.3 8.3 18.3 45.0 13.3 8.3 1.7 1.7 100.0

Porcentaje acumulado 3.3 11.7 30.0 75.0 88.3 96.7 98.3 100.0

Figura 2.31 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en Excel

98

Gráfico 2.4 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN MIEMBROS EN LA FAMILIA 30

Alumnos

20

45,0%

10

18,3% 13,3% 8,3%

8,3%

3,3%

0 2

3

4

5

6

7

1,7%

1,7%

8

9

MIEMBROS EN LA FAMILIA

Figura 2.32 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en SPSS En términos estrictos, la variable número de miembros toma valores enteros y por lo tanto su gráfico no debería ser una barra sino más bien una línea (“gráfico de líneas”), el mismo que se puede obtener con el Minitab de la siguiente manera: En el menú escoger Graph → Bar Chart… → escoger Simple. Aparece la ventana de diálogo Bar Chart – Counts of unique values, Simple. En Categorial variables: seleccionar mie.fam de la lista de variables a la izquierda. A continuación escoja Chart Options… y marcar Show Y as Percent, OK. En Labels… poner número y título del gráfico; luego seleccionar Data Labels y marcar la opción Use y-value labels, OK. En Data View… deshabilitar Bars y marcar Project lines, OK. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de de la Figura 2.33 ya editado en el tipo de letra, tamaño de letra, disminución del número de decimales, color de las líneas, etc.

99

Gráfico 2.4 % de Alumnos de Estadística Básica 09-A, según el Número de miembros en su familia 50 45.0

Percent

40

30

20

18.3 13.3

10

8.3

8.3

3.3

0

2

3

4

5

6

7

1.7

1.7

8

9

Miembros en la familia Percent within all data.

Figura 2.33 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en Minitab b) Histograma de Frecuencias para Datos Cuantitativos en intervalos.- se usa si la variable cuantitativa discreta o continua se presenta en intervalos. El Histograma de Frecuencias es un conjunto de rectángulos (barras) en el plano cartesiano, indicando en el eje de las abscisas (X) la variable con sus intervalos y en el eje de las ordenadas (Y) las frecuencias absolutas, relativas o la densidad. La base de los rectángulos es la amplitud del intervalo (pueden ser de igual o diferente amplitud) y la altura la frecuencia (absoluta o relativa) o la densidad que alcanza en cada intervalo. Para intervalos de igual amplitud, veamos la presentación de la variable peso de los alumnos de Estadística Básica mediante histograma de frecuencias, tomando como referencia los resultados del Cuadro 2.7 siguientes: Clase 1 2 3 4 5

LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0

Xi 48.4 57.2 66.0 74.8 83.6

100

ni 19 15 17 5 4 60

hi 0.317 0.250 0.283 0.083 0.067 1.000

En Excel: El proceso es similar a la construcción del gráfico de Pareto antes visto, es decir, que se requiere de herramientas para el análisis de datos. Escoger en la barra de menú Datos → Análisis de datos (ubicado en el extremo superior derecho) y aparece la ventana de diálogo Análisis de datos. De Funciones para análisis escoger Histograma, luego Aceptar y aparece la ventana de diálogo Histograma de la Figura 2.34.

Figura 2.34 Obteniendo el Histograma de peso en Excel En la parte de Entrada, de la Figura 2.34, en Rango de entrada: sombrear el área de los datos de peso de la Figura 2.12 (desde A3 hasta A62); en Rango de clases: sombrear el área de LSi de la Figura 2.12 (desde E12 hasta E16) y se marca Rótulos si se utilizaran para los dos rangos anteriores. En Opciones de salida, de la Figura 2.34, indicar donde queremos que salga el resultado, si es en la misma hoja, marcar Rango de salida: y en el recuadro indicar la celda a partir de donde queremos que salgan los resultados (N2 aquí); si es En una hoja nueva: marcar y en el recuadro ponerle nombre; y por último si queremos En un libro nuevo, marcarlo. Luego marcar Crear gráfico. Para finalizar hacer clic en Aceptar y aparecen los resultados del histograma.

101

En Excel se obtiene los resultados para los límites superiores de clase indicados y los rectángulos del histograma separados, por lo que se tiene que editar haciendo clic sobre los rectángulos y con botón derecho seleccionar Formato de serie de datos y en la ventana de diálogo del mismo nombre escoger Opciones de series y en Ancho del intervalo poner 0%. Al hacer clic en el botón Cerrar, los rectángulos del histograma aparecen juntos. Se pone número y título del gráfico, así como colores, etc. y se tiene los resultados del la Figura 2.35.

Figura 2.35 Histograma de frecuencia del peso en Excel En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09-A.MPJ, seguir la secuencia Graph → Histogram… → Simple → OK y aparece la ventana de diálogo Histogram – Simple de la Figura2.36. En Graph variables: ingrese la variable peso seleccionándola de las variables del lado izquierdo.

102

Figura 2.36 Obteniendo el Histograma de peso en Minitab Haciendo clic en el botón Scale… luego en Y-Scale Type aparece marcado automáticamente Frecuency, también se puede escoger Percent o Density (densidad para intervalos de diferente amplitud) dejemos Frecuency, OK. Hacer clic en el botón Labels… en Title: poner el número y título del gráfico, en Data Labels escoger Use y-value labels, OK. Para finalizar OK y aparece un histograma que debe ser editado para obtener los intervalos de clase deseados. Para ello hacer doble clic sobre el histograma y aparece la ventana de diálogo Edit Bars de la Figura 2.37donde ya se ha escogido Binning. En la ventana de Binning, en Interval Type aparece automáticamente marcado Midpoint, escoger Cutpoint. Luego en Interval Definition escoger Midpoint/Cutpoint positions: en el recuadro en blanco escribir el valor mínimo (44), dos puntos, el valor máximo (88), diagonal, y el valor de la amplitud de clase C (8.8). Es decir, 44:88/8.8. También se puede escribir los 6 puntos de corte (cutpoint) de los 5 intervalos separados por un espacio en blanco: 44 52.8 61.6 70.4 79.2 88 y para finalizar OK, e inmediatamente aparece el histograma de frecuencia de la Figura 2.38.

103

Figura 2.37 Edición (en Binning) del Histograma de peso en Minitab

GRÁFICO 2.6 HISTOGRAMA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A 20

19 17 15

Frequency

15

10

5

5

0

4

44.0

52.8

61.6

70.4

79.2

Peso (Kg.)

Figura 2.38 Histograma de frecuencias del peso en Minitab 104

88.0

En SPSS: Seguir el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.11. Con la variable peso ya ingresada, escoger dentro de la opción

Tipo de

gráfico: Histogramas, luego Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana de resultados aparece el histograma, que se puede editar haciendo doble clic sobre el histograma dos veces y aparece la ventana de Propiedades. En intervalos, dentro de Eje X marcar Personalizado, escoger Número de intervalos (e indicarlos) o Ancho de intervalo (e indicarlo 8.8), Aplicar y luego Cerrar. Poner número y título del gráfico, colores, etc. Y se tiene el histograma de la Figura 2.39.

Gráfico 2.6 HISTOGRAMA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A 20

Alumnos

15

10

19 17 15

5

5 4

Media =59,87 Desviación típica =10,53 N =60

0 40

50

60

70

80

90

100

PESO (Kg)

Figura 2.39 Histograma de frecuencias del peso en SPSS En R: Estando attachada la base de datos, para que reconozca la variable peso, se escribe la sintaxis sencilla siguiente: 105

hist(variable,

breaks=seq(mínimo,

máximo,

by=amplitud,

col=”color”,

labels=TRUE, main=”título del gráfico”, xlab=”título eje X”, ylab=”título eje Y”) Donde: variable (datos para obtener el histograma), mínimo = valor mínimo de los datos, máximo = valor máximo, amplitud = ancho de los intervalos, color = colores (blanco = 0, 8, “White”; negro= 1, 9, “black”; rojo = 2, 10, “red”; verde = 3, 11, “green”; azul = 4, 12, “blue”; magenta = 5, 13; violeta =6, 14, “violet”; amarillo = 7, 15, “yellow”; anaranjado = orange; purpura = purple; rosado =pink; fucsia=”magenta”; gris=”gray”; etc.) Para la variable peso en la base de datos caso2, el histograma se obtiene así: > attach(caso2) > hist(peso, breaks=seq(44,88,by=8.8), col="13", labels=TRUE, main="Gráfico 2.6 Histograma del Peso de los Alumnos", xlab="Peso(Kg.)", ylab="Alumnos")

Figura 2.40 Histograma de frecuencias del peso en R

106

Histograma de densidad.- se presenta, por lo general, para tablas con intervalos de clase de diferente amplitud, situación que ocurre para algunas variables económicas. En las columnas de frecuencias se agrega una de densidad (di) que se obtiene dividiendo las frecuencias relativas entre la amplitud de clase. Es decir, di = hi / Ci . Las barras del histograma de densidad tienen por base la amplitud del intervalo y por altura la densidad alcanzada. El área debajo del histograma de densidad es k

igual a1. Area

k

di Ci i 1

i 1

hi Ci Ci

k

hi

1.00

i 1

Si para la variable peso trabajada, se juntan los dos últimos intervalos y se hace los conteos correspondientes, el Cuadro 2.7 se transforma en: Clase 1 2 3 4

LIi 44.0 52.8 61.6 70.4

LSi 52.8 61.6 70.4 88.0

Xi 48.4 57.2 66.0 79.2

ni hi di 19 0.317 0.0360 15 0.250 0.0284 17 0.283 0.0322 9 0150 0.0085 60 1.000 El último intervalo, tiene el doble de amplitud que los otros tres y por lo tanto mayor número de repeticiones (5 +4 = 9). Para contrarrestar el efecto del mayor ancho del intervalo es que se representa la densidad en vez de la frecuencia. El Minitab es el programa apropiado para obtener el histograma de densidad. Vamos a efectuar el mismo procedimiento de la construcción del histograma de frecuencias. Es decir, Graph → Histogram… → Simple → OK y aparece la ventana de diálogo Histogram – Simple de la Figura2.36. En Graph variables: ingresar la variable peso seleccionándola de las variables del lado izquierdo. Haciendo clic en el botón Scale… luego en Y-Scale Type aparece marcado automáticamente Frecuency, desactivarla y marcar Density, OK. Hacer clic en el botón Labels… en Title: poner el número y título del gráfico, en Data Labels escoger Use y-value labels, OK. Para finalizar OK y aparece un histograma de densidad que debe ser editado para obtener los intervalos de clase deseados. Para ello hacer doble clic sobre el histograma y aparece la ventana de diálogo Edit Bars de la Figura 2.41 donde ya se ha escogido Binning.

107

Figura 2.41 Edición del Histograma de densidad de peso en Minitab En la ventana de Binning, en Interval Type aparece marcado Midpoint, escoger Cutpoint. Luego en Interval Definition escoger Midpoint/Cutpoint positions: en el recuadro en blanco escribir los 5 puntos de corte (cutpoint) de los 4 intervalos separados por un espacio en blanco: 44 52.8 61.6 70.4 88 y para finalizar OK, e inmediatamente aparece el histograma de densidad de la Figura 2.42. GRÁFICO 2.7 HISTOGRAMA DE DENSIDAD DEL PESO DE LOS ALUMNOS E.B. 09-A 0.04 0.0360 0.0322

Density

0.03

0.0284

0.02

0.01

0.00

0.0085

44.0

52.8

61.6

70.4 PESO (Kg.)

88.0

Figura 2.42 Histograma de densidad de peso en Minitab

108

c) Polígono de frecuencias.- es un gráfico de líneas que une los puntos medios superiores de las barras del histograma, es decir, une los pares ordenados marcas de clase y frecuencias absolutas o relativas, (Xi, ni) o (Xi, hi) con el fin de tener una visión global de la distribución de frecuencias cuando son suavizadas. Para efectuar la representación del polígono de frecuencias y la ojiva de la variable peso, las trabajaremos en el Minitab, siendo necesario para ello definir en el workshet (hoja de trabajo) los datos del Cuadro 2.7, en columnas nuevas: límite superior (Lím.Sup.), Marca de clase, frecuencia relativa (Frec. relat.) y frecuencia relativa acumulada (Frec. relat. acum.) en las que, para poder cerrar las gráficas, se han agregado la primera y última clase con los valores que le corresponderían, tal como se muestra en la Figura 2.43.

Figura 2.43 Datos para el Polígono de frecuencias y Ojiva del peso en Minitab El procedimiento para construir el Polígono de frecuencias es el siguiente: Graph → Scatterplot → With Connect Line → OK, y aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.44. De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar Frec. relat. e ingresarla en Y variables y Marca de clase en X variables, como se muestra en la Figura 2.44. Hacer clic en Data View… y en Data display marcar Connect line, OK. Luego escoger Labels en Tittle: poner el número y título del gráfico, y en Data Labels marcar Use y-value labels, OK. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el polígono de frecuencias de la Figura 2.45.

109

Figura 2.44 Scatterplot para el Polígono de frecuencias del peso en Minitab

Gráfico 2.8 POLÍGONO DE FRECUENCIA DEL PESO DE LOS ALUMNOS E.B. 09-A 0.35

0.322

0.30

0.288 0.254

Frec. relat.

0.25 0.20 0.15 0.10

0.085 0.051

0.05 0.00

0.000

40

0.000

50

60

70 Marca de clase

80

Figura 2.45 Polígono de frecuencias del peso en Minitab

110

90

100

d) Ojiva.- sirve para representar las frecuencias (absolutas o relativas) acumuladas “menor o igual que” para una variable determinada. Su representación se hace con un gráfico de líneas, no decreciente, que une los pares ordenados formados por los límites superiores de los intervalos de clase y las frecuencias (absolutas o relativas) acumuladas, (LSi, Ni) o (LSi, Hi). Para efectuar la representación de la ojiva de la variable peso, la trabajaremos en el Minitab con los datos de la Figura 2.43. El procedimiento para construir la Ojiva es el siguiente: Graph → Scatterplot → With Connect Line → OK, y aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.46.

Figura 2.46 Scatterplot para la Ojiva del peso en Minitab De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar Frec. relat. acum. e ingresarla en Y variables y Lim. Sup. en X variables, tal como se muestra en la Figura 2.46. Hacer clic en Data View… y en Data display marcar Connect line, OK. Luego escoger Labels en Tittle: poner el número y título del gráfico, y en Data Labels marcar Use y-value labels, OK. Para finalizar hacer clic en OK y aparece la Ojiva de la Figura 2.47.

111

Gráfico 2.9 OJIVA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A 1.000

1.0

1.000

0.949 0.864

Frec. relat. Acum.

0.8

0.576

0.6

0.4

0.322

0.2 0.000

0.0 40

50

60

70 80 Lím. Sup. PESO (Kg.)

90

Figura 2.47 Ojiva del peso en Minitab

2.7 DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS Es un gráfico sencillo de realizar y fue propuesto por Tukey (1977) para ver la distribución de frecuencias preliminar de una variable cuantitativa con pocas observaciones. Para su elaboración se toma en cuenta el número de dígitos que poseen los valores de la variable. El tallo viene dado por los dígitos de mayor orden, acompañado por las hojas que es la parte complementaria del número representado. Veamos su obtención para la variable peso. En Minitab.Seguir la secuencia: Graph → Stem-and-Leaf… (Tallos y Hojas) y aparece la ventana de diálogo Stem-and-Leaf. En Graph variables: ingresar la variable peso de las variables del lado izquierdo. En Increment: escribir 5 (para que salgan los tallos con incrementos de 5 en 5 a partir del valor mínimo). Al hacer clic en OK, aparecen los siguientes resultados.

112

100

Stem-and-Leaf Display: peso

Stem-and-leaf of peso Leaf Unit = 1.0 1 9 24 (8) 28 21 11 7 4 1

4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

N

= 60

4 56678899 000001122233334 55555779 0033444 5566778889 0022 557 000 8

En la primera columna aparecen las frecuencias absolutas acumuladas, crecientes desde la primera línea hasta antes del número entre paréntesis (8) que indica que son 8 observaciones y que en esa línea se ubica el valor central (mediana). Después aparecen valores decrecientes, ya que la acumulación empieza desde la última línea. En la columna central se presentan los tallos, representando los pesos en decenas (de kg.) y en la última columna las hojas con un dígito por cada observación (sus unidades se dan al comienzo del gráfico como Leaf Unit) aquí = 1.0 Kg. En la primera línea aparece el peso mínimo (44) y en la última línea el peso máximo (88) Kg.

En SPSS.Estando en la base de datos de Estadística Básica 09-A, escoger del menú Analizar → Estadísticos descriptivos → Explorar y aparece la ventana de diálogo Explorar. En Dependientes: ingresar la variable peso de las variables del lado izquierdo. Hacer clic en el botón Gráficos y aparece la ventana de diálogo Explorar: Gráficos, en Descriptivos aparece activado automáticamente Tallo y hojas. Hacer clic en Continuar, regresa a Explorar y para finalizar clic en Aceptar. En la ventana de Resultados aparece: PESO (Kg) Stem-and-Leaf Plot Frequency 1.00 8.00 15.00

Stem & 4 . 4 . 5 .

Leaf 4 56678899 000001122233334 113

8.00 7.00 10.00 4.00 3.00 3.00 1.00 Stem width: Each leaf:

5 6 6 7 7 8 8

. . . . . . .

55555779 0033444 5566778889 0022 557 000 8

10 1 case(s)

El ancho del tallo (Stem width) 10 indica que está en decenas de Kg.

En R.Estando attachada la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A representada por caso2, se usa la función stem(variable). Se procede así: > attach(caso2) > stem(peso) Aparece el diagrama de tallos y hojas siguiente:

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

4|4 4 | 56778899 5 | 000011122333334 5 | 55555779 6 | 003344 6 | 55566778889 7 | 0022 7 | 557 8 | 000 8|8

Sólo muestra los tallos en la primera columna (en decenas de Kg.) y las hojas (en Kg.).

114

Capítulo 3. MEDIDAS DE POSICIÓN “La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno” George Bernard Shaw

CONTENIDO 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Introducción. Media aritmética. Mediana. Moda. Media Geométrica. Media armónica. Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

3.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se da inicio a otras modalidades de descripción de los datos a través de los denominados estadígrafos que son medidas de resumen del conjunto de datos obtenidos a partir de una muestra o un censo (enumeración completa de las unidades de análisis de la población). Si el estadígrafo es obtenido en la muestra se denomina estimador (estadístico) y es usado en inferencia estadística como estimación (aproximación) al parámetro desconocido en la población. Los estadígrafos puedes ser de: posición, dispersión, forma y concentración. Para una mejor comprensión de estos estadígrafos presentaremos su definición, cálculo para datos sin agrupar y para datos agrupados (tabla de frecuencias), así como su interpretación. En este capítulo veremos las medidas de posición, llamadas también estadígrafos de tendencia central, porque al obtenerlos reflejan un valor entre el mínimo y máximo. Entre estos tenemos: la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica, la media armónica y los cuantiles. Las aplicaciones con los programas se ven al final del capítulo.

115

3.2 MEDIA ARITMÉTICA Llamada también media o promedio simple, es el centro de gravedad o centroide de la distribución de frecuencias. Es decir, es el punto en donde están en equilibrio todas las fuerzas. En física, centroide es el centro de masa de un objeto con densidad uniforme. Para un objeto unidimensional uniforme de longitud L, el centroide es el punto medio del segmento de línea. Entonces, para cada barra (rectángulo) del histograma es su marca de clase y para todo el histograma de frecuencias es la media aritmética ponderada por las frecuencias absolutas o relativas o las ponderaciones consideradas.

Fórmulas de cálculo para datos sin agrupar.N

Xi i 1

a) Media o promedio poblacional:

N n

Xi b) Media o promedio muestral:

X

i 1

n

Fórmulas de cálculo para datos agrupados.k

X i ni

k

i 1

a) Media o promedio poblacional:

N k

X i hi i 1

k

X i ni b) Media o promedio muestral:

X

i 1 k

X i ni

k

i 1

ni

n

X i hi i 1

i 1

Donde: k = número de intervalos de clase. Xi = Marca de clase ni = frecuencias absolutas o repeticiones. hi = frecuencia relativa. N = tamaño de la población. n = tamaño de la muestra. Ejemplo 3.1 Si trabajamos con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que la media aritmética es:

116

N

60

Xi i 1

Xi i 1

N

60

44 45 46 .... 80 88 60

3592.1 59.868 Kg. 60

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos de Estadística Básica 09-A es 59.868 Kg. También podemos apreciar que el numerador representa el total poblacional, es decir que la suma de los pesos de los 60 alumnos en la población es de 3592.1 Kg. Si trabajamos con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que la media aritmética es: k

5

X i ni i 1

N =

X i ni i 1

X 1n1

X 2 n2

60

X 3n3 60

X 4 n4

48.4(19) 57.2(15) 66.0(17) 74.8(5) 83.6(4) 60

X 5 n5 3608.0 60

60.133 Kg.

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos de Estadística Básica 09-A es 60.133 Kg. También podemos apreciar que el numerador sigue representando el total poblacional, es decir que la suma de los pesos de los 60 alumnos en la población es de 3608.0 Kg., resultado diferente al anterior (normalmente difieren ya que se está agrupando datos). Resultado similar se obtiene usando la fórmula con frecuencias relativas (hi), así: 5

X i hi i 1

(48.4)

19 15 17 5 4 (57.2) (66.0) (74.8) (83.6) 60 60 60 60 60

60.133

Figura 3.1 Cálculo de la media para datos agrupados en Excel

117

En la Figura 3.1 se muestra en Excel como se ha efectuado el cálculo de la media aritmética para datos agrupados. Primero hay que ingresar las marcas de clase (Xi), las frecuencias absolutas (ni) y las frecuencias relativas (hi) en las columnas C, D, y E respectivamente. La forma más sencilla de efectuar el cálculo es la que aparece en la casilla F10 utilizando la función matemática suma de

productos que se indica así:

e inmediatamente aparece el peso promedio igual a 60.133 Kg. En la celda F9 se muestra el cálculo de la suma de 5

productos de

X i ni = 3608.0 Kg. y en la G9 la suma de productos de i 1

5

X i hi = 60.133 Kg., que es la media solicitada. i 1

Media Ponderada.n

X iWi X

i 1 n

Wi i 1

Donde Xi = valor de la i-ésima observación y Wi = ponderación o peso de la iésima observación. El cálculo del ejemplo 3.1 es una forma de media ponderada, donde los Xi son las marcas de clase y las ponderaciones vienen dadas por las frecuencias absolutas (ni) o las frecuencias relativas (hi). Dicho cálculo también lo podemos resolver usando el programa R así: Primero se definen los vectores de Xi, ni y/o hi de la siguiente manera: > Xi=c(48.4, 57.2, 66.0, 74.8, 83.6) > ni=c(19, 15, 17, 5, 4) > hi=ni/60 Luego usar la función weighted.mean, así: > weighted.mean(X,ni) [1] 60.13333 > weighted.mean(X,hi) [1] 60.13333 Con resultados similares a los del acápite anterior.

118

Para el caso de un índice de precios Xi es un relativo de precios (Pti / P0i) y para un índice de cantidad Xi es un relativo de cantidad (Qti / Q0i).  Para el índice de precios de Laspeyres Wi = P0i Q0i , luego este índice es el siguiente promedio ponderado: n

Pti ( P0i Q0i ) P0i

i 1

IPL t

n

n

Pti Q0i i 1 n

P0i Q0i

0

P0i Q0i

i 1

i 1

 Para el índice de precios de Paasche Wi = P0i Qti , luego este índice es el siguiente promedio ponderado: n

Pti ( P0i Qti ) P0i

i 1

IPPt

n

n

Pti Qti i 1 n

P0i Qti

0

P0i Qti

i 1

i 1

Propiedades de la media aritmética.a) “La suma de las desviaciones de los valores observados con respecto a su n

media aritmética es cero”.

n

(Xi

X)

i 1

Xi

nX

nX

nX

0

i 1

b) “La suma de las desviaciones al cuadrado, de los valores observados con respecto a su media aritmética, es mínima”. n

X ) 2 es mínima.

(Xi i 1

c)

El cálculo de la media aritmética se ve afectado por los valores extremos (outliers) muy grandes o muy pequeños.

Ejemplo 3.2.- si los ingresos de 5 trabajadores son: 450, 500, 500, 550 y 2000. Entonces el ingreso promedio es de 800 muy distante del ingreso de la mayoría de los trabajadores. Se recomienda usar la mediana.

d)

Si a y b son números reales e Yi

aX i b, entonces : Y

Demostración: n

n

Yi Y

i 1

n

n

(aX i b) i 1

n

n

a

Xi

b

i 1

i 1

n

n

119

aX

b

aX

b.

Ejemplo 3.3.- si el ingreso promedio de los trabajadores es X = S/. 1 000. Hallar los ingresos promedio si se producen los siguientes incrementos:  S/. 100 para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es: Yi = Xi + 100 . Luego el nuevo ingreso promedio de los trabajadores es: Y = X + 100 = S/. 1 100.

 10% para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es Yi = 1.10 Xi . Luego el nuevo ingreso promedio de los trabajadores es: Y = 1.10 X = 1.10 (1 000) = S/. 1 100.

 5% más S/. 50 a cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es Yi = 1.05 Xi + 50 . Luego el nuevo ingreso promedio de los trabajadores es: Y = 1.05 X + 50 = 1.05 (1 000) + 50 = S/. 1 100.

3.3 MEDIANA (Me) Es el valor central que divide en dos partes iguales la distribución de frecuencias (conjunto de observaciones).

50% observaciones

Me

120

50% observaciones

Cálculo para datos sin agrupar.a) Ordenar los datos en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n) b) Calcular la mediana:  Si el número de observaciones n es par: Me

1 X 2

 Si el número de observaciones n es impar: Me

X

n 2

X

n 1 2

n 1 2

Ejemplo 3.4 Si se calcula la mediana con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene que: a) Los 60 datos ordenados en forma ascendente son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

b) Dado que n = 60 es par, se necesitan las observaciones ordenadas 30 y 31 para calcular la mediana, así: Me

1 X 2

30

X

31

1 57 57 2

57 Kg.

Interpretación.- el 50 % de los alumnos de Estadística Básica 09A tienen un peso menor o igual a 57 Kg y el otro 50% por encima de 57 Kg.

Cálculo para datos agrupados.a) Ubicar la clase j que contiene el valor Me Como en las tablas de frecuencias los valores de la variable están ordenados en forma ascendente, se determina n/2 y ayudándonos de las frecuencias acumuladas se ve que clase j contiene (o donde esta) la Me. b) Calcular la Me usando cualquiera de las siguientes expresiones:

121

Me

n Nj 2 nj

LI j

1

Cj

LI j

1 Hj 2 hj

1

Cj

Donde: j = clase que contiene o donde esta la Me. LIj = límite inferior de la clase que contiene la Me. nj = repeticiones en la clase que contiene la Me. Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Me. Cj = amplitud de la clase Me = LSj – LIj . hj = frecuencia relativa en la clase que contiene la Me. Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Me. Ejemplo 3.5 Calcular la mediana con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase

PESOS (Kg.)

i 1 2 3 4 5

LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0

Marca Prop. Acum. Prop.Ac. Alum-nos alumnos alumnos alumnos clase Xi ni hi Ni Hi 48.4 19 0.317 19 0.317 57.2 15 0.250 34 0.567 66.0 17 0.283 51 0.850 74.8 5 0.083 56 0.933 83.6 4 0.067 60 1.000 60 1.000

Solución.a) Ubicar la clase j que contiene el valor Me. n 2

60 2

30 . ¿En que intervalo de clase se contó la observación o peso del

alumno 30? Observando los Ni del Cuadro 2.7, se aprecia que en la clase 1, N1 = 19, se han contado los pesos de los 19 primeros alumnos (recordemos que los pesos están ordenados de manera ascendente en el cuadro). Entonces, en el intervalo de clase 2 se cuentan los pesos de los alumnos 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 y 34. Luego, la clase en la que se cuenta la talla del alumno clase j = 2. La mediana es un peso entre 52.8 y 61.6 Kg.

122

n 2

60 2

30 es la

b) Calcular la Me usando la expresión:

Me

LI j

n Nj 2 nj

1

Cj

Donde: j = 2,

n = 60,

LIj = LI2 = 52.8

nj = n2 = 15,

C3 = LS3 – LI3 = 61.6 – 52.8 = 8.8

Nj-1 = N1 = 19,

Reemplazando valores en la fórmula se tiene:

Me

LI 2

n N1 2 C2 n2

60 19 2 8.8 59.253 Kg. 15

52.8

Interpretación.- el 50 % de los alumnos de Estadística Básica 09A tienen un peso menor o igual a 59.253 Kg y el otro 50% por encima de 59.253 Kg.

Propiedades de la mediana.a) La suma de las desviaciones, en valor absoluto, de los valores observados con respecto a la mediana es mínima; es decir, que es menor que la suma de las desviaciones, en valor absoluto, con respecto a cualquier otro valor a de la distribución. n

n

Xi

Me

i 1 k

a

,

para datos sin agrupar.

k

Xi i 1

Xi i 1

Me ni

Xi

a ni ,

para datos agrupados.

i 1

b) Robustez: la mediana no se ve afectada por los valores extremos, sólo por los valores centrales. Es decir, que la mediana es un valor más representativo de la tendencia central de un conjunto de datos, que la media aritmética, cuando estos son asimétricos (los valores extremos reflejan desigualdades). Ejemplo 3.6.- para los ingresos de 5 trabajadores (450, 500, 500, 550 y 2000) del ejemplo 3.2, el promedio es de 800 muy distante del ingreso de la mayoría de los trabajadores. Se recomienda usar la mediana, que en este caso es 500, mucho más representativa que la media aritmética 800.

123

c) Si a y b son números reales e Yi

a X i b, entonces : Me(Y ) a Me( X ) b .

Propiedad similar a la de la media aritmética. 3.4 MODA Es el valor observado más común, el que más se repite o el más frecuente. Para una distribución de frecuencias o probabilidades, la moda es el valor que hace máxima dicha distribución.

X

Cálculo para datos sin agrupar.Observar en el conjunto de datos el valor o los valores que más se repiten.

Ejemplo 3.7 Si se calcula la moda con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene que los pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

124

Se aprecia que el peso 55 es el que más se repite, luego: Mo = 55 Kg. Interpretación.- el mayor número (no la mayoría) de alumnos tiene un peso de 55 Kg. Cálculo para datos agrupados.a) Ubicar la clase j que contiene el valor Mo.  Si los intervalos de clase son de igual amplitud, la clase j que contiene (o donde esta) la Mo es aquella que tiene la mayor repetición ni o la mayor frecuencia relativa hi. Puede haber más de una clase modal.  Si los intervalos de clase son de diferente amplitud, la clase j que contiene (o donde esta) la Mo es aquella que tiene la mayor densidad di = hi / Ci . Puede haber más de una clase modal. b) Calcular la moda usando la expresión:

Mo

1

LI j 1

Cj 2

Donde: j = clase(s) que contiene(n) o donde esta(n) la(s) Mo. LIj = límite inferior de la clase que contiene la Mo. Cj = amplitud de la clase Mo = LSj – LIj . 1

nj

nj

1

hj

hj

1

dj

dj

1

2

nj

nj

1

hj

hj

1

dj

dj

1

Ejemplo 3.8 Calcular la moda con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución.a) Ubicar la clase j que contiene el valor Mo.

125

Considerando que los intervalos son de igual amplitud, ¿en que intervalo de clase se puede haber dado el mayor número de repeticiones ni o h i? Observando los ni del Cuadro 2.7, se aprecia que el mayor es n1 = 19. Entonces, en el intervalo de clase j = 1 se encuentra la moda. La moda es un peso entre 44 y 52.8 Kg. b) Calcular la moda usando la expresión: Mo

1

LI j 1

Cj 2

Donde: j = 1, LIj = LI1 = 44. C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44 = 8.8. 1

nj

nj

1

n1 n0

19 0 19

2

nj

nj

1

n1 n2

19 15 4

Reemplazando valores en la fórmula se tiene: Mo

1

LI1 1

C1 2

44

19 8.8 51.270 Kg. 19 4

Interpretación.- el mayor número (no la mayoría) de alumnos tiene un peso de 51.27 Kg.

Propiedades de la moda.a) Es el único estadígrafo que se puede determinar para variables cualitativas. b) La moda no se ve afectada por los valores extremos, al igual que la mediana. c) Si a y b son números reales e Yi

a X i b, entonces : Mo(Y ) a Mo( X ) b .

Propiedad similar a la de la media aritmética y la mediana. d) Para una distribución determinada puede haber más de una moda o en su defecto de no existir moda, puede haber antimoda (valor menos frecuente).

Relación entre la moda, la media y la mediana. Si la distribución de frecuencias es simétrica se cumple que las tres medidas son aproximadamente iguales. Entonces: X

126

Me

Mo

Distribución simétrica 30

Nº de U. de A.

25 20 15 10 5 0 140

145

150

155

160

165

170

175

180

Valores de la variable

 Si X

Me

Mo entonces la distribución de frecuencias tiene asimetría negativa

o asimetría hacia la izquierda.

Distribución asimétrica negativa 30

Nº de U.A.

25 20 15 10 5 0 140

 Si Mo

Me

145

150 155 160 165 170 Valores de la variable

175

180

X entonces la distribución de frecuencias tiene asimetría positiva

o asimetría hacia la derecha. Distribución asimética positiva 30

Nº de U.A.

25 20 15 10 5 0 140

145

150

155 160 165 170 Valores de la variable

175

180

 Si la distribución de frecuencias es moderadamente asimétrica y unimodal, según Karl Pearson se cumple la siguiente relación: X

127

Mo

3X

Me

Para los pesos de los alumnos de Estadística Básica 09-A de la FCE-UNAC se pueden resumir los estadígrafos calculados así: Datos:

Me

Mo

Sin agrupar

X 59.868

57.000

55.000

Agrupados

60.133

59.253

51.270

Se puede apreciar que en ambos casos Mo

Me

X entonces la distribución de los

pesos tiene asimetría positiva.

Cálculo de la media aritmética, la mediana y la moda con los programas Veamos como se puede obtener rápidamente los estadígrafos anteriores para la variable peso, desde la base de datos construida y utilizando los programas.

En Excel: Estando copiados los datos de la variable peso de los 60 alumnos en la columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide el rango de valores (como Número 1), se sombrean estos o se escribe D3:D62. Para efectuar cualquier cálculo nos ubicamos en una celda posterior. Para calcular la media aritmética nos ubicaremos en la celda D63. A continuación, con la opción de funciones

del Excel, escoger dentro de

Seleccionar una categoría →Estadísticas → Promedio y aparece la ventana de diálogo de la Figura 3.2 solicitando los Argumentos de la función PROMEDIO. En Número 1 (indicar la ubicación de los datos de la variable peso, que están desde la celda D3 hasta la D62) sombrear los datos o escribir D3:D62. Luego hacer clic en y aparece el resultado de la media aritmética 59.8683333 Kg. De manera similar se hace escogiendo las funciones Mediana y Moda. Conociendo la sintaxis de la función, se hace mucho más sencillo así: Ubicarse en la celda D63 y al lado de

escribir =PROMEDIO(D3:D62). Al hacer

Enter, aparece el resultado 59.8683333 Kg. (ver la Figura 3.3). De manera similar para calcular la mediana, Ubicarse en la celda D64 y al lado de

escribir

=MEDIANA(D3:D62). Al hacer Enter, aparece el resultado 57 Kg. (ver la Figura 3.3); y para calcular la moda, Ubicarse en la celda D65 y al lado de

escribir

=MODA(D3:D62). Al hacer Enter, aparece el resultado 55 Kg. (ver la Figura 3.3). 128

Figura 3.2 Cálculo de la media aritmética (PROMEDIO) en Excel

Figura 3.3Resultados de la media aritmética, mediana y moda en Excel

En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Stat →Basic Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo de la Figura 3.4. En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la izquierda. Hacer clic en el botón

y aparece la ventana de diálogo de la

Figura 3.5. Escoger los estadígrafos a calcular: Mean (media), Median (mediana), Mode (moda) y hemos agregado Sum (suma), Minimum (mínimo) y Maximum (máximo). Hacer clic en OK y regresa a la Figura 3.4. 129

Figura 3.4 Selección de la variable peso para calcular estadígrafos en Minitab

Figura 3.5 Selección de estadígrafos de posición a calcular en Minitab

Para terminar hacer clic en OK y en la ventana de Session aparecen los resultados solicitados (se ha subrayado la media, la mediana y la moda) siguientes: Descriptive Statistics: peso N for Variable peso

Mean 59.87

Sum

Minimum

3592.10

44.00

130

Median 57.00

Maximum

Mode

88.00

55

Mode 5

En SPSS: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, seguir la secuencia para obtener la tabla de frecuencias: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo Frecuencias. En Variables: ingresar la variable peso, luego hacer clic en el botón

y se

muestra la ventana de diálogo Frecuencias: Estadísticos de la Figura 3.6.

Figura 3.6 Cálculo de estadígrafos de Tendencia central en SPSS

En Tendencia central marcar los estadígrafos: media, mediana, moda y suma, luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y efectuar clic en Aceptar para terminar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece: Estadísticos PESO (Kg) N Válidos Perdidos Media Mediana Moda Suma

60 0 59.87 57.00 55 3592

Estadígrafos de tendencia central calculados con el SPSS

131

En R: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma, para que reconozca las variables y sus valores, se escribe en la consola la sintaxis para el estadígrafo requerido: mean(variable) para la media, median(variable) para la mediana, min(variable) para el valor mínimo y max(variable) para el valor máximo. Aplicando a la variable peso se obtiene: > mean(peso) [1] 59.86833 > median(peso) [1] 57 > min(peso) [1] 44 > max(peso) [1] 88

El R no permite el cálculo de la moda, aparece lo siguiente. > mode(peso) [1] "numeric"

132

3.5 MEDIA GEOMÉTRICA Es la raíz n-ésima del producto de los valores observados. Se utiliza para calcular promedios de datos con cierta tendencia geométrica, tasas medias de crecimiento, etc.

Cálculo para datos sin agrupar.-

G

n

X1 X 2

Xn

X1 X 2

Xn

1 n

Considerando que el producto de los valores observados puede ser muy elevado, se sigue el siguiente procedimiento para hallar G: a) Determinar el logaritmo decimal de G: log G

1 log X 1 log X 2 n

log X n

1 n

n

log X i i 1

b) Hallar G, tomando el antilogaritmo de log G: G 10log G

Ejemplo 3.9 Si se calcula la media geométrica con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

a) Determinamos el logaritmo decimal de G: log G

1 60

60

log X i i 1

1 log 44 log 45 60

1 log X 1 log X 2 60

log X 60

log 88

1 1.6434526765 1.6532125138 60

133

1.9444826722

106.2486352942 1.7708105882 60

b) Hallamos G tomando el antilogaritmo de log G: G 10log G

101.7708105882

58.994 Kg.

Interpretación.- el peso medio de los alumnos es de 58.994 Kg. Cálculo para datos agrupados.-

G

n

n1 1

X X

n2 2

X

nk k

n1 1

X X

n2 2

X

nk k

1 n

Considerando que el producto de las potencias de las marcas de clase elevadas a las repeticiones observados puede ser muy grande, se sigue el siguiente procedimiento para hallar G: a) Determinar el logaritmo decimal de G: 1 n1 log X 1 n2 log X 2 n

log G

nk log X k

1 n

k

k

ni log X i i 1

hi log X i i 1

b) Hallar G, tomando el antilogaritmo de log G: G 10log G

Ejemplo 3.10 Calcular la media geométrica con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución.a) Determinamos el logaritmo decimal de G: log G

1 60

5

ni log X i i 1

1 n1 log X 1 n2 log X 2 n3 log X 3 n4 log X 4 n5 log X 5 60

1 19 log 48.4 15 log 57.2 17 log 66.0 5 log 74.8 4 log 83.6 60

134

32.01206187 26.36094043 30.93224690 9.36950799 7.68882511 60 106.36358231 1.772726.37 60

b) Hallamos G tomando el antilogaritmo de log G: G 10log G

101.77272637

59.255 Kg.

Interpretación.- el peso medio de los alumnos es de 59.255 Kg.

Aplicación de la media geométrica.Una de las aplicaciones importantes de la media geométrica es la referida a la determinación de tasas medias de crecimiento de la población (r), para lo cual se cuenta con información de los censos de población en dos períodos de tiempo no consecutivos (la ONU recomienda la realización de censos de población cada 10 años debiendo realizarse los mismos el 30 de junio de los años terminados en cero). Asimismo, se hacen proyecciones de población (similar al crecimiento del capital) con la expresión: Pn

1 r

n

P0

Es a partir de esta expresión que se obtiene la fórmula para hallar la tasa media de crecimiento intercensal (r) de la población siguiente: r

n

Pn P0

1

Po = Población en el año 0. Pn = Población en el año n. n = Períodos (años, meses, etc.) transcurridos desde el período 0 hasta el período n.

Ejemplo 3.11 Según el INEI (2009) la población total del Perú el año 1993 fue de 22‟639,443 habitantes y el 2007 de 28‟220,764 habitantes. Se pide determinar:

a) La tasa media de crecimiento intercensal anual.r

n

Pn P0

1

14

P07 P93

1

14

28' 220, 764 1 = 1.015864843 -1 = 0.015864843 22 '639, 443

135

Si se hubiera solicitado la tasa media de crecimiento intercensal mensual, se tendría que haber obtenido la raíz 168 (meses transcurridos del ‟93 al ‟07). Interpretación.- entre el año 1993 y el 2007 la población del Perú creció a un 1.59% anual. Es decir, que por cada 100 habitantes nacieron 1.59 niñ@s (también se puede interpretar en tanto por mil o diez mil, etc.).

b) La población del Perú el año 2010.Para proyectar la población se usa la expresión: Pn

1 r

n

P0

Donde: Po = P2007 = Población en el año 0 = 2007 (Tomar el año más cercano). Pn = P2010 = Población en el año n = 2010. r = Tasa media de crecimiento intercensal anual = 0.015864843. n = Años transcurridos desde el año 2007 hasta el año 2010 = 3 años. Asumiendo que la tasa media de crecimiento intercensal anual es la misma para los años siguientes y reemplazando valores en la fórmula de proyección de población se tiene: Pn P2010

1 r

n

P0

P2010

3

1 0.015864843 P2007 3

1 0.015864843 28220764 1.048353602(28220764) =

= 29‟585,340 habitantes.

El año 2010 el Perú tiene 29.6 millones de habitantes.

c)

¿En que año el Perú tendrá 40 millones de habitantes? Despejando n de la fórmula Pn

1 r

n

P0 se tiene que:

log n

Pn P0

log 1 r

n = año buscado. Pn = 40 millones (Población que tendrá el Perú el año n). P0 = P2007 = 28‟220,764 habitantes (Tomar como año 0, el más cercano). r = Tasa media de crecimiento intercensal anual = 0.015864843. Reemplazando valores en la expresión anterior se tiene:

136

40000000 28220764 log 1 0.015864843 log

n

22.2 años

Entonces: 2007 + 22.2 años = 2029. El año 2029 el Perú tendrá 40 millones de habitantes (si la tasa de crecimiento de la población es del 1.59%).

Nota.- También se utiliza la media geométrica para determinar la inflación media mensual y a su vez hacer proyecciones de la inflación anual a partir del promedio mensual. 3.6 MEDIA ARMÓNICA Se define como la inversa de la media aritmética de los inversos de los valores observados. Es utilizada para hallar determinadas tasas promedio o rendimientos promedio para una misma actividad.

Cálculo para datos sin agrupar.H

n n i 1

1 Xi

Ejemplo 3.12 Si se calcula la media armónica con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88


137

H

60 1 1 Xi

60

60 i

1 44

1 X1

1 X2

60 1 46

1 45

1 X3

1 X 59

1 80

1 X 60

60 1.0316135533

1 88

58.161 Kg.

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos es de 58.161 Kg.

Cálculo para datos agrupados.H

k i

n ni 1 Xi

1 k i 1

hi Xi

Fórmula para trabajar bien con las repeticiones o frecuencias absolutas ni o para trabajar con las frecuencias relativas hi. Por tratarse de datos agrupados Xi representa la marca de clase para los intervalos o el valor indicado para los casos discretos con poca variabilidad de los valores observados.

Ejemplo 3.13 Calcular la media armónica con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase

PESOS (Kg.)

i 1 2 3 4 5

LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución.Desarrollando la fórmula se tiene:

H

k i

n ni 1 Xi

60 ni 1 Xi

5 i

n1 X1

n2 X2

60 n3 X3

n4 X4

138

n5 X5

=

=

19 48.4

15 57.2

60 17 66.0

60 58.419 Kg. 1.0270673130

5 4 74.8 83.6

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos es de 58.419 Kg. RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA Si se calcula estas tres medias para los mismos datos se tiene que: H

G

X

Para los pesos de los alumnos se han obtenido los siguientes resultados: Datos:

H

G

Sin agrupar

58.161

58.994

X 59.868

Agrupados

58.419

59.255

60.133

Vemos que se cumple la relación.

139

3.7 CUANTILES Son particiones de la distribución de frecuencias en un determinado número de partes iguales. Entre los cuantiles más conocidos se tiene: mediana (dos partes iguales), cuartiles (cuatro partes iguales), quintiles (cinco partes iguales), deciles (diez partes iguales), veintiles (veinte partes iguales) y percentiles (cien partes iguales). Desarrollaremos los de mayor uso viendo su forma de cálculo e interpretación. Se calculan de modo similar a la mediana.

a) CUARTILES (Qk ) Son particiones de la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales de modo que cada una de ellas acumula un cuarto de las observaciones (25% de los datos).

X

25% datos

Q1 25% datos

Q2

25% datos

Q3

25% datos

Para dividir la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales necesitamos 3 puntos, por ello los cuartiles son tres y se denotan de la siguiente manera: Cuartil 1 = Q1 acumula la cuarta parte de las observaciones (25%). Cuartil 2 = Q2 acumula las dos cuartas partes de las observaciones (50%). Cuartil 3 = Q3 acumula las tres cuartas partes de las observaciones (75%).

140

El cuartil dos es igual a la mediana (acumula el 50% de los valores observados). Es decir, Q2 = Me ya estudiada. Cálculo para datos sin agrupar.a) Ordenar las observaciones en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n) b) Obtención de los cuartiles 1 y 3: Cuartil 1 (Q1) Ubicar su posición calculando

n 1 , si es entero Q1 4

X

n 1 4

.

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera y F la fracción decimal, entonces hacer una interpolación lineal entre las observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta la fracción F. Dicha interpolación lineal es similar para cualquier cuantil que vamos a estudiar, se efectúa así: Cuantil X Aquí el cuartil 1 es: Q1 X

E

F X

F X

E

E 1

X

X

E 1

E

E

Cuartil 3 (Q3) Ubicar su posición calculando

3( n 1) , si es entero Q3 4

X

3( n 1) 4

.

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera y F la fracción decimal, entonces hacer una interpolación lineal antes indicada entre las observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta la fracción F. Entonces el cuartil 3 es: Q3 X

E

F X

E 1

X

E

Ejemplo 3.14 Calcular los cuartiles 1 y 3 con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

141

Solución: Cálculo del cuartil 1 (Q1) Ubicar su posición con

n 1 4

60 1 15.25 . Como no es un valor entero, (E = 4

15 y F = 0.25), el cuartil 1 esta entre los pesos ordenados 15 y 16 (51 y 51 Kg.). Aplicando la interpolación lineal recomendada, el cuartil 1 es: Q1 X 15

0.25 X 16

X 15

= 51 + 0.25 [51 - 51] = 51 Kg.

Interpretación.- El 25 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso menor o igual a 51 Kg. y el 75% restante por encima de 51 Kg.

Cálculo del cuartil 3 (Q3) Ubicar su posición con

3(n 1) 4

3(60 1) 4

45.75 . Como no es un valor

entero, (E = 45 y F = 0.75), el cuartil 3 esta entre los pesos ordenados 45 y 46 (67 y 68 kg.). Aplicando la interpolación lineal recomendada, el cuartil 3 es: Q3

X

45

0.75 X

46

X

= 67 + 0.75 [68 - 67] = 67.75 Kg.

45

Interpretación.- El 75 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso menor o igual a 67.75 Kg. y el 25% restante por encima de 67.75 Kg.

Cálculo de los cuartiles con datos agrupados.-

a) Ubicar la clase j que contiene el cuartil k Como en las tablas de frecuencias los valores de la variable están ordenados en forma ascendente, se determina

kn , k = 1, 2 ó 3. Ayudándonos de las 4

frecuencias acumuladas se ve que clase j contiene (o donde esta) el cuartil k (Qk). b) Calcular el cuartil k (Qk) usando cualquiera de las siguientes expresiones:

Qk

LI j

kn 4

Nj nj

1

Cj

Donde:

142

LI j

k Hj 4 hj

1

C j , k = 1, 2, 3.

j = clase que contiene o donde esta el cuartil k (Qk). LIj = límite inferior de la clase que contiene el cuartil k (Qk). nj = repeticiones en la clase que contiene el cuartil k (Qk). Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Qk. Cj = amplitud de la clase Qk = LSj – LIj . hj = frecuencia relativa en la clase que contiene el cuartil k (Qk). Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Qk.

Ejemplo 3.15 Calcule e interprete los cuartiles con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución. Cálculo del cuartil 1 (Q1) k = 1. a) Ubicar la clase j que contiene el valor del cuartil k = 1 (Q1): kn 4

n 4

60 15 . ¿En que intervalo de clase se contó la observación o 4

peso del alumno 15? Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que en la clase 1, N1 = 19, se han contado los pesos de los 19 primeros alumnos (recordemos que los pesos están ordenadas de manera ascendente en el cuadro). Luego, la clase en la que se contó la talla del alumno

kn 4

clase j = 1. El cuartil 1 es un peso entre 44.0 y 52.8 Kg. b) Calcular el cuartil 1 (Q1) usando la expresión:

143

n 4

60 15 es la 4

Q1

LI j

n Nj 4 nj

1

Cj

LI j

1 Hj 4 hj

1

Cj

Donde: j = 1,

n = 60,

LIj = LI1 = 44.0,

nj = n1 = 19

C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44.0 = 8.8.

Nj-1 = N0 = 0,


Q1

LI1

n N0 4 C1 n1

44.0

60 0 4 8.8 46.947 Kg. 19

Interpretación.- El 25 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso menor o igual a 46.947 Kg. y el 75% restante por encima de46.947 Kg.  Cálculo del cuartil 2 (Q2) es la mediana ya fue determinado.  Cálculo del cuartil 3 (Q3) k = 3. a) Ubicar la clase j que contiene el valor del cuartil k = 3 (Q3): kn 4

3n 4

3(60) 4

45 . ¿En que intervalo de clase se contó la observación o

peso del alumno 45? Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que hasta la clase 2, N2 = 34, se han contado los pesos de los 34 primeros alumnos. Entonces, en el intervalo de clase 3 se cuenta el peso del alumno 45. Luego, la clase en la que se contó el peso del alumno

kn 4

3n 4

es la clase j = 3. El cuartil 3 es un peso entre 61.6 y 70.4 Kg.

b) Calcular el cuartil 3 (Q3) usando la expresión:

Q3

LI j

3n Nj 4 nj

Donde:

144

1

Cj

LI j

3 Hj 4 hj

1

Cj

3(60) 4

45

j = 3,

n = 60,

LIj = LI3 = 616,

nj = n3 = 17.

C3 = LS3 – LI3 = 70.8 – 61.6 = 8.8.

Nj-1 = N2 = 34,


Q3

LI 3

3n 4

3(60) 34 4 8.8 66.259 Kg. 17

N2 n3

C3

61.6


b) DECILES (Dk ) Son particiones de la distribución de frecuencias en diez partes iguales de modo que cada una de ellas acumula un décimo de las observaciones (10% de los datos).

10%

D1

10%

D2 ..…

10%

D9

10%

Para dividir la distribución de frecuencias en diez partes iguales se necesita 9 puntos, por ello los deciles son nueve y se denotan de la siguiente manera: Decil 1 = D1 acumula la décima parte de las observaciones (10%). Decil 2 = D2 acumula las dos décimas partes de las observaciones (20%). Decil 3 = D3 acumula las tres décimas partes de las observaciones (30%). Decil 4 = D4 acumula las cuatro décimas partes de las observaciones (40%). Decil 5 = D5 acumula las cinco décimas partes de las observaciones (50%). Decil 6 = D6 acumula las seis décimas partes de las observaciones (60%). Decil 7 = D7 acumula las siete décimas partes de las observaciones (70%). Decil 8 = D8 acumula las ocho décimas partes de las observaciones (80%). Decil 9 = D9 acumula las nueve décimas partes de las observaciones (90%). El decil cinco es igual a la mediana (acumula el 50% de los valores observados). Es decir, D5 = Me. El cálculo de los deciles y otros cuantiles se pueden efectuar mediante el cálculo del percentil correspondiente, que pasamos a desarrollar.

145

c) PERCENTILES (Pk ) Son particiones de la distribución de frecuencias en cien partes iguales de modo que cada una de ellas acumula un centésimo de las observaciones (1% de los datos). Para dividir la distribución de frecuencias en cien partes iguales necesitamos 99 puntos, por ello los percentiles son noventa y nueve y se denotan de la siguiente manera: Percentil 1 = P1 acumula una centésima parte de las observaciones (1%). Percentil 2 = P2 acumula dos centésimas partes de las observaciones (2%). Percentil 3 = P3 acumula tres centésimas partes de las observaciones (3%). …………. Percentil k = Pk acumula las k centésimas partes de las observaciones (k%). …………. Percentil 99 = P99 acumula las 99 centésimas partes de las observaciones (99%). Nota.Todas los cuantiles calculados anteriormente son también percentiles (según el % de observaciones que acumule cada uno de ellos). Así tenemos que: la mediana (acumula el 50% de los valores observados) es igual al percentil 50. Es decir, Me = P50. También:

Q1 = P25,

Q2 = P50 = Me,

Q3 = P75.

D10 = P10,

D5 = P50 = Me,

D9 = P90.

Cálculo para datos sin agrupar.a) Ordenar las observaciones en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n) b) Obtención del k-ésimo percentil (Pk), k = 1, 2, 3, …., 99 Ubicar su posición calculando

k ( n 1) , si es entero Pk 100

X

k ( n 1) 100

.

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera y F la fracción decimal, entonces hacer la interpolación lineal antes indicada entre las observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta la fracción F. Entonces el percentil k es: Pk

X

E

F X

E 1

146

X

E

,

k = 1, 2, 3, …., 99

Ejemplo 3.16 Calcular los percentiles 10 y 80 con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

Solución: Cálculo del percentil 10 (P10) 10 (n 1) 100

Ubicar su posición con

10 (60 1) 100


entero, (E = 6 y F = 0.10), el percentil 10 está entre los pesos ordenados 6 y 7 (48 y 48 Kg.). Aplicando la interpolación lineal recomendada, el percentil 10 es: P10

X

6

0.10 X

X

7

= 48 + 0.10 [48 - 48] = 48 Kg.

6

Interpretación.- El 10 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso menor o igual a 48 Kg. y el 90% restante por encima de 48 Kg.

Cálculo del percentil 80 (P80) Ubicar su posición con

80 (n 1) 100

80 (60 1) 100


entero, (E = 48 y F = 0.80), el percentil 80 esta entre los pesos ordenados 48 y 49 (68 y 69 kg.). Aplicando interpolación lineal, el percentil 80 es: P80

X

48

0.80 X

49

X

48

= 68 + 0.80 [69 - 68] = 68.80 Kg.


Cálculo de los percentiles para datos agrupados.-

a) Ubicar la clase j que contiene el decil k 147

Como en las tablas de frecuencias los valores de la variable están ordenados en forma ascendente, se determina

kn , k = 1, 2, 3, …., 98 ó 99. 100

Ayudándonos de las frecuencias acumuladas se ve que clase j contiene (o donde esta) el percentil k (Pk). b) Calcular el percentil k (Pk) usando cualquiera de las siguientes expresiones:

Pk

LI j

kn Nj 100 nj

1

Cj

LI j

k Hj 100 hj

1

C j , k = 1, 2, 3, …., 98, 99.

Donde: j = clase que contiene o donde esta el percentil k (Pk). LIj = límite inferior de la clase que contiene el percentil k (Pk). nj = repeticiones en la clase que contiene el percentil k (Pk). Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Pk. Cj = amplitud de la clase Pk = LSj – LIj . hj = frecuencia relativa en la clase que contiene el percentil k (Pk). Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Pk.

Ejemplo 3.17.Calcule e interprete los percentiles 10 y 80 con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes: Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución. Cálculo del percentil 10 (P10) k = 10. a) Ubicar la clase j que contiene el valor del percentil k = 10 (P10):

148

kn 100

10n 100

10 (60) 100

6 . ¿En que intervalo de clase se contó la observación

o peso del alumno 6? Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que en la clase 1, N1 = 19, se han contado los pesos de los 19 primeros alumnos. Luego, la clase en la que se contó el peso del alumno

kn 100

10n 100

10 (60) 100

6 , es la clase j = 1. El

percentil 10 es una talla entre 44.0 y 52.8 Kg. b) Calcular el percentil 10 (P10) usando la expresión:

P10

LI j

10n 100

Nj

10 Hj 100 hj

1

nj

Cj

LI j

1

Cj

Donde: j = 1,

n = 60,

LIj = LI1 = 44.0,

nj = n1 = 19.

C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44.0 = 8.8.

Nj-1 = N0 = 0,


P10

LI1

10n N0 100 C2 n1

44.0

10(60) 0 100 8.8 46.779 Kg. 19

Interpretación.- El 10 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso menor o igual a 46.779 Kg. y el 90% restante por encima de 46.779 Kg.  Cálculo del percentil 80 (P80) k = 80. a) Ubicar la clase j que contiene el valor del percentil k = 80 (P80): kn 100

80n 100

80 (60) 100

48 .

¿En que intervalo de clase se contó la

observación o peso del alumno 48? Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que hasta la clase 2, N2 = 34, se han contado los pesos de los 34 primeros alumnos. Entonces, en el intevalo de la clase 3 se cuenta los pesos de los alumnos desde el 35 hasta el 51. Luego, la clase en la que se contó el peso del alumno 48, es la clase j = 3. El percentil 80 es una talla entre 61.6 y 70.4 Kg. b) Calcular el percentil 10 (P10) usando la expresión: 149

P80

Donde: j = 3, Nj-1 = N2 = 34,

80n 100

LI j

Nj

1

Cj

nj

n = 60,

LI j

80 Hj 100 hj

LIj = LI1 = 61.6,

1

Cj

nj = n3 = 17.

C3 = LS3 – LI3 = 70.4 – 61.6 = 8.8.


P80

LI3

80n N2 100 C3 n3

80(60) 34 100 8.8 68.447 Kg. 17

61.6


CUADRO 3.1 RESUMEN DE LOS CUANTILES CALCULADOS PARA LOS PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A , DE LA FCE-UNAC, POR LA FORMA EN QUE ESTÁN LOS DATOS

CUANTIL

DATOS SIN AGRUPAR

DATOS AGRUPADOS

Cuartil 1

51.00

46.947

Cuartil 2 (mediana)

57.00

59.253

Cuartil 3

67.75

66.259

Percentil 10

48.00

46.779

Percentil 80

68.80

68.447

Cálculo de cuartiles y percentiles con los programas Veamos como se pueden obtener los cuartiles y percentiles para la variable peso, desde la base de datos construida (datos sin agrupar) utilizando los programas.

En Excel: Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos en la columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean estos o se escribe D3:D62. Para calcular los CUARTILES, por ejemplo el CUARTIL 1, primero ubicarse en la celda D66.

150

Luego, con la opción de funciones

del Excel, escoger dentro de Seleccionar una

categoría →Estadísticas → Cuartil, aparece la ventana de diálogo de la Figura 3.7.

Figura 3.7 Cálculo de cuartiles en Excel

Indicar los Argumentos de la función CUARTIL, en Matriz (dar la ubicación de los pesos, desde la celda D3 hasta la D62) sombrear los datos o escribir D3:D62. En Cuartil escribir un número (0 = valor mínimo, 1, 2, o 3 para el cuartil deseado y 4 = valor máximo) aquí 1. Luego hacer clic en

y aparece el resultado del Cuartil 1= 51 Kg.

Similarmente se obtiene los cuartiles 2 y 3 en las celdas 67 y 68. Conociendo la sintaxis de la función, =CUARTIL(matriz, cuartil) se hace así: Ubicarse en la celda D66 y al lado de

escribir =CUARTIL(D3:D62,1).

Al hacer Enter, aparece el resultado 51 Kg. (ver la Figura 3.8). Para obtener los PERCENTILES también se puede seleccionar la función PERCENTIL o utilizar la sintaxis =PERCENTIL(matriz, k). En matriz indicar la ubicación de los datos y k es un número entre 0 y 1 para indicar el percentil como una proporción. Para obtener el percentil 10, con matriz (D3:D62) y k = 0.10, se obtiene así: ubicarse en la celda D69 y escribir =PERCENTIL(D3:D6, 0.10) al hacer Enter, aparece el resultado 48 Kg. (ver la Figura 3.8). En dicha figura, se muestra también la sintaxis de cálculo y el resultado del percentil 80, en la celda D70.

151

Figura 3.8 Resultado de cuartiles y percentiles en Excel

En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Stat →Basic Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo Display Descriptive Statistics (ver Figura 3.4). En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la izquierda. Hacer clic en el botón

y aparece la ventana de diálogo Descriptive

Satatistcs – Statistics (Figura 3.5). Escoger los CUARTILES a calcular: First quartile (primer cuartil), Median (segundo cuartil o mediana), Third quartile (tercer cuartil) y hemos agregado Minimum (mínimo) y Maximum (máximo). Hacer clic en OK y regresa a la ventana Display Descriptive Statistics. Para terminar hacer clic en OK y en la ventana de Session aparecen los resultados solicitados siguientes: Descriptive Statistics: peso Variable peso

Minimum 44.00

Q1 51.00

Median 57.00

Q3 67.75

Maximum 88.00

En SPSS: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, seguir la secuencia para obtener la tabla de frecuencias: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo Frecuencias.

152

En Variables: ingresar la variable peso, luego hacer clic en el botón

y se


Figura 3.9 Cálculo de cuartiles y percentiles en SPSS

En Valores percentiles, seleccionar Cuartiles y Percentiles, debiendo escribir el número de percentil deseado (10 y 80) por separado y luego hacer clic en Añadir. Luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y efectuar clic en Aceptar para terminar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece: Estadísticos PESO (Kg) N Percentiles

Válidos Perdidos 10 25 50 75 80

60 0 48.00 51.00 57.00 67.75 68.80

Resultado de cuartiles y percentiles en SPSS En los resultados del SPSS se aprecia que los cuartiles aparecen como los percentiles 25 (primer cuartil), 50 (segundo cuartil o mediana) y 75 (cuartil 3).

153

En R: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma, para que reconozca las variables y sus valores, se escribe en la consola la sintaxis para PERCENTILES: quantile(variable, p) Donde variable es un conjunto de datos cuantitativos (peso aquí) y p es una proporción para identificar a uno o varios percentiles determinados. Es decir, que quantile es el valor por abajo del cual se encuentra el p% de las observaciones.

El percentil 10 (p =0.10) para la variable peso se obtiene así: > quantile(peso,0.10) 10% 48

Si se requiere los percentiles 10 (0.10), 25 (0.25 = cuartil 1), 50 (0.50 = cuartil 2 o mediana), 75(0.75 = cuartil 3) y 80 (0.80), entonces se define p como un vector con las proporciones indicadas y luego la función cuantile, así: > p=c(0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.80) > quantile(peso,p) 10%

25%

50%

75%

80%

48.00 51.00 57.00 67.25 68.20

CUADRO 3.2 RESUMEN DE LOS PERCENTILES CALCULADOS PARA LOS PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A, DE LA FCE-UNAC, POR PROGRAMA USADO

PERCENTIL

MANUAL

EXCEL

MINITAB

SPSS

R

10

48.00

48.00

-

48.00

48.00

25 o cuartil 1

51.00

51.00

51.00

51.00

51.00

50 o cuartil 2

57.00

57.00

57.00

57.00

57.00

75 o cuartil 3

67.75

67.25

67.75

67.75

67.25

80

68.80

68.20

-

68.80

68.20

154

Capítulo 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA “Vivimos en la era de la televisión. Una sola toma de una enfermera bonita ayudando a un viejo a salir de una sala dice más que todas las estadísticas sanitarias” Margaret Thatcher

CONTENIDO 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Introducción. Rango. Rango intercuartílico. Desviación media. La varianza La desviación típica. El coeficiente de variación. El diagrama de caja (Box- Plot). Medidas de forma de la distribución.

4.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior vimos la caracterización de los datos de una variable mediante un solo punto, es decir, el resumen de los datos a través de un solo valor, el mismo que no es suficiente para formarse una idea de la distribución de la variable. En el presente capítulo se continúa haciendo resúmenes de la información cuantitativa obtenida, describiendo el mayor o menor alejamiento de los valores observados en formas absolutas y relativas. Entre las formas absolutas de medición tenemos el rango, el rango intercuartílico, la desviación media, la varianza y la desviación estándar; en tanto que como medición relativa usaremos el coeficiente de variación. También se presenta una forma gráfica de apreciar la dispersión de los datos, a través del diagrama de caja y bigotes (box-plot) como herramienta importante para el análisis exploratorio de datos.

155

4.2 RANGO Y RANGO INTERCUARTÍLICO RANGO El Rango (R), Recorrido o Amplitud de la variable es la diferencia entre el valor máximo y mínimo. Es el indicador usado para construir tablas de frecuencias.

Cálculo para datos sin agrupar: R = Xmáx – Xmín = {X / Xmín ≤ X ≤ Xmáx} Cálculo para datos agrupados: R = LSk – LI1 = {X / LSk ≤ X ≤ LI1 }

Ejemplo 4.1 Si trabajamos con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que el rango es: R = Xmáx – Xmín = {X / Xmáx ≤ X ≤ Xmín } R= 88 – 44 = 44 Kg.

o

R = {X / 44 ≤ X ≤ 88}

Interpretación.- la diferencia entre el peso máximo y mínimo de los alumnos de Estadística Básica 09-A es de 44 Kg. También podemos decir que los pesos de los 60 alumnos fluctúan entre 44 y 88 Kg.

Si trabajamos con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que el rango es: R = LS5 – LI1 = {X / LSk ≤ X ≤ LI1 } = 88 – 44 = 44 Kg.

o

R = {X / 44 ≤ X ≤ 88}

Interpretación.- la diferencia entre el peso máximo y mínimo de los alumnos de Estadística Básica 09-A es de 44 Kg. También podemos decir que los pesos de los 60 alumnos fluctúan entre 44 y 88 Kg.

Tal como se puede apreciar el Rango es una medida muy gruesa de la dispersión de los datos ya que nos da una idea de la diferencia o fluctuación de los valores extremos. 156

RANGO INTERCUARTÍLICO El rango intercuartílico (RIQ o RIC) es la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1 y nos indica entre que valores se encuentra el 50% central de las observaciones.

25% datos

Q1

25% datos

Q2

25% datos

Q3

25% datos

Tanto para datos sin agrupar, como para datos agrupados la fórmula de cálculo es: RIQ = Q3 – Q1 = P75 – P25 Ejemplo 4.2 En el ejemplo 3.14 de cuartiles, con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se ha determinado que el cuartil 1 es Q1 = 51 Kg. y el cuartil 3 es Q3 = 67.75 Kg. Reemplazando valores RIQ = 67.75 – 51.00 = 16.75 Kg.

en la fórmula del RIQ se tiene:

Interpretación.- el 50% central de los pesos se encuentra entre 51 y 67.75 Kg. En el ejemplo 3.15, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se ha determinado que el cuartil 1 es Q1 = 46.95 Kg. y el cuartil 3 es Q3 = 66.26 Kg. Reemplazando valores en la fórmula del RIQ se tiene:

RIQ = 66.26 – 46.95 = 19.31 Kg.

Interpretación.- el 50% central de los pesos se encuentra entre 46.95 y 66.26 Kg.

157

4.3 DESVIACIÓN MEDIA Mide la desviación absoluta promedio de los valores observados bien con respecto a la media aritmética o con respecto a la mediana. Utiliza la idea de distancia como la diferencia en valor absoluto de cada valor observado con respecto a su media aritmética o su mediana. Cálculo para datos sin agrupar.-

n

n

Xi

X

X i Me

i 1

DM X

ó

n

DM X

i 1

n

Primero se calcula la media aritmética o mediana, luego la desviación media.

Ejemplo 4.3 Calcular la desviación media respecto a la media aritmética con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

Solución.En el ejemplo 3.1 se ha determinado que el peso promedio de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A es X = 59.87 Kg. y en el ejemplo 3.4 la mediana Me = 57 Kg. Para calcular la desviación media respecto a la media aritmética, se tiene que: n

60

Xi DM X

X

i 1

X i 59.87 i 1

n

44 59.87

60

45 59.87

15.87 14.87 13.87 60

46 59.87 60 20.13 28.13

158

80 59.87 540.38 60

88 59.87

9.006 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones absolutas de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 9.006 Kg.

Nota.- el cálculo y la interpretación de la desviación media respecto a la mediana se efectúa de modo similar al de la media aritmética, sólo que se trabaja con Me = 57 Kg.

Cálculo para datos agrupados.k

k

Xi DM X

X ni

Xi

k

i 1

Xi

n

X hi ó DM Me

i 1

Me ni

k

i 1

n

Xi

Me hi

i 1

Primero se calcula la media aritmética o mediana, luego la desviación media.

Ejemplo 4.4 Calcular la desviación media respecto a la mediana, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:

Clase

PESOS (Kg.)

i 1 2 3 4 5

LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución.En el ejemplo 3.1 se ha encontrado la media aritmética X = 60.13 kg. y en el ejemplo 3.5 la mediana Me = 59.25 Kg., Usando la fórmula de datos agrupados para la desviación media se tiene que: k

5

X i Me ni DM Me

i 1

X i 59.25 ni i 1

n

60

159

X 1 59.25 n1

X 2 59.25 n2

X 3 59.25 n3

X 4 59.25 n4

X 5 59.25 n5

60

1 48.4 59.25 19 57.2 59.25 15 60 74.8 59.25 5 83.6 59.25 4

66.0 59.25 17

= [206.15 + 30.75 + 114.75 + 77.75 + 97.4] / 60 = 526.8 / 60 = 8.78 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones absolutas de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 8.78 Kg.

Nota.- el cálculo y la interpretación de la desviación media respecto a la media aritmética se efectúa de modo similar al de la mediana, sólo que se trabaja con X = 60.13 kg. 4.4 VARIANZA Mide el promedio de las desviaciones al cuadrado de los valores observados con respecto a la media aritmética. Se denota por: o

2 X

V (X )

2

S X2

V (X )

S2

para la población. para la muestra.

Cálculo para datos sin agrupar.-

N

N

)2

(Xi 2 X

a) Varianza poblacional:

i 1

N

2

N n

X )2

(Xi S X2

N

i 1

n

b) Varianza muestral:

X i2

i 1

X i2 n X 2 i 1

n 1

n 1

Cálculo para datos agrupados.k

k

(Xi a) Varianza poblacional:

2 X

i 1

X i2 ni i 1

N

160

) 2 ni

N

N

2

k

k

(Xi S X2

b) Varianza muestral:

X )2 ni

i 1

X i2 ni n X 2 i 1

n 1

n 1

Primero se calcula la media aritmética para datos agrupados y luego la varianza.

Ejemplo 4.5 Calcular la varianza con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

Solución.En el ejemplo 3.1 se ha determinado que la media aritmética µ = 59.87 Kg.

Primera forma de cálculo:

N

60

)2

(Xi 2

( X i 59.87) 2

i 1

i 1

N

60

(44 59.87)2 (45 59.87)2 (46 59.87)2 60 251.8569 221.1169 192.3769 60

6542.47 60

(80 59.87)2 (88 59.87)2

405.2169 791.2969

109.0412 (Kg.)2.

Otra forma de cálculo es:

N

60

X i2 2

i 1

N

2

X i2 60

2

…………. (1)

i 1

N

60

161

60

X i2

442

452

462

802 882

i 1

= 1 936 + 2 025 + 2 116 + ….+ 6 400 + 7 744 = 221 595.5 Reemplazando este resultado en (1) se tiene: 60

X i2 60 2

2

221,595.5 60(59.87) 2 60

i 1

60

6,542.47 109.0412 Kg.2 60

Nota.- la mayor precisión en este cálculo se obtiene con µ = 59.8683333.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones al cuadrado de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 109.0412 (Kg.)2.

Ejemplo 4.6 Calcular la varianza de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, siguientes:

Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


Solución.En el ejemplo 3.1 se ha encontrado que la media aritmética es µ = 60.133 kg.

Primera forma de cálculo: k

5

) 2 ni

(Xi 2

i 1

( X i 60.133) 2 ni i 1

N

60

2 2 2 1 ( X 1 60.133) n1 ( X 2 60.133) n2 ( X 3 60.133) n3 60 ( X 4 60.133)2 n4 ( X 5 60.133)2 n5

162

2 2 2 1 (48.4 60.133) 19 (57.2 60.133) 15 (66.0 60.133) 17 60 (74.8 60.133)2 5 (83.6 60.133)2 4

= (2615.7511 + 129.0667 + 585.1022 + 1075.5555 + 2202.7378) / 60 = (6608.2133) / 60 = 110.1369 (Kg.)2.

Otra forma de cálculo: k

5

X i2 ni 2

N

2

i 1

X i2 ni 60

2

…………. (2)

i 1

N

60

5

X i2 ni

(48.4)219 (57.2)215 (66.0)217 (74.8)2 5 (83.6)2 4

i 1

= 223 569.28

Reemplazando este resultado en (2) se tiene:

5

X i2 ni 60 2

2

223569.28 60(60.1333333) 2 60

i 1

60

6608.2133 60

= 110.1369 (Kg.)2.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones al cuadrado de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 110.1369 (Kg.)2.

Propiedades de la varianza.a) La varianza de un conjunto de datos es mayor o igual que cero, S X2 ≥ 0. b) Si a y b son números reales e Yi 2 SaX

b

aX i b, entonces: V (aX

b)

a 2V ( X )

Demostración: n

(Yi Y )2 SY2

V (Y )

i 1

n 1

……….

163

(3)

a 2 S X2

Sabemos que si a y b son números reales e Yi

aX i b, entonces : Y

aX

b

Reemplazando este resultado en (3) se tiene: n

n

b)]2

[aX i b (aX SY2

V (Y )

i 1

a2 ( X i i 1

n 1 2 SaX

Entonces: Si b = 0, entonces:

2 SaX

S X2

n 1 b

V (aX

V (aX )

2 Si a = 0, entonces: S b

Si a =1, entonces:

X )2

b)

a 2V ( X )

a 2V ( X )

a 2V ( X ) a 2 S X2 a 2 S X2

a 2 S X2

V ( b) 0 b

V (X

b) V ( X )

S X2

Ejemplo 4.7.- si la varianza del ingreso de los trabajadores es S X2 = 250,000 (S/.)2. Hallar la varianza de los ingresos si se producen los siguientes incrementos:  S/. 100 para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es: Yi = Xi + 100. Donde: a = 1 y b = 100. Luego la varianza del nuevo ingreso de los trabajadores es: SY2 = V(X + 100) = S X2 = 250,000 (S/.)2.

 10% para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es Yi = 1.10 Xi. Donde: a = 1.10 y b = 0. Luego la varianza del nuevo ingreso de los trabajadores es: SY2 = V(1.10 X) = (1.10)2 S X2 = (1.10)2 250,000 = 302,500 (S/.)2.

 5% más S/. 50 a cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador es Yi = 1.05 Xi + 50. Donde: a = 1.05 y b = 50. Luego la varianza del nuevo ingreso de los trabajadores es: SY2 = V(1.05 X + 50) = (1.05)2 S X2 = (1.05)2 250,000 = 275,625 (S/.)2.

c) Si se tiene k subgrupos (submuestras o estratos) de tamaños n1, n2, …., nk, tales k

que

ni

n ; con medias aritméticas de los subgrupos: x1 , x2 ,

i 1

164

, xk y varianzas

de los subgrupos: S12 , S22 ,

, Sk2 , entonces la varianza de la muestra de tamaño n

esta dada por: K

K

(ni 1) Si2 S2

i 1

( xi

x ) 2 ni

i 1

n 1

,

n 1

k

ni xi i 1

donde x

es la media aritmética ponderada de los subgrupos.

n

Observación.- en el muestreo estratificado la variabilidad (varianza) total S2 se descompone en la suma de la variabilidad dentro de los estratos (intravarianza S w2 ) más la variabilidad entre los estratos (intervarianza Sb2 ). Es decir: S2

Sw2

Sb2 K

(ni 1) Si2  La intravarianza esta definida por:

S w2

i 1

n 1 K

( xi  La intervarianza esta definida por:

Sb2

x )2 ni

i 1

n 1

Nota.- al construir estratos (clases, grupos o rangos) se busca que la intravarianza ( S w2 ) sea pequeña y la intervarianza ( Sb2 ) sea grande.

Ejemplo 4.8.- en una muestra de 400 hombres y 600 mujeres, el estudio de los ingresos de ambos grupos dio los siguientes resultados:

SEXO

Número

Ingreso Medio

Varianza

ni

xi (S/.)

Si2 (S/.)2

1.Hombres

400

1,500

360,000

2.Mujeres

600

1,000

250,000

Hallar la media aritmética y la varianza de los ingresos de ambos grupos juntos; así como la intravarianza e intervarianza.

La media aritmética de los ingresos de ambos grupos es:

165

2

ni xi i 1

x

n

n1 x1 n2 x2 n

400(1,500) 600(1, 000) 1, 000

1' 200, 000 = 1, 000

= S/. 1,200 La intravarianza de los ingresos es: 2

(ni 1) Si2 S w2

(n1 1) S12 (n2 1) S22 n 1

i 1

n 1 =

399(360, 000) 599(250, 000) 999

218'390, 000 999

= 218,608.60 (S/.)2.

La intervarianza de los ingresos es: 2

( xi Sb2

x )2 ni

i 1

n 1 =

( x1 x )2 n1 ( x2 n 1

x ) 2 n2

(1,500 1, 200) 2 (400) (1, 000 1, 200) 2 (600) 999

60'000, 000 999

= 60,060.06 (S/.)2.

La varianza de los ingresos de ambos grupos es:

S2

Sw2

Sb2 = 218,608.60 + 60,060.06 = 278,668.66 (S/.)2.

4.5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA Mide el promedio de las desviaciones de los valores observados con respecto a la media aritmética. Se denota por:

X

o

SX

S

Tanto para datos sin agrupar como para datos agrupados se define como la raíz cuadrada de la varianza (bien poblacional o muestral). 2

o

S

S2

Nota.- en la teoría del muestreo la desviación estándar recibe la denominación de error estándar. 166

Ejemplo 4.9.- en el ejemplo 4.5, se ha determinado la varianza (para datos sin agrupar) de los pesos de los alumnos, siendo la misma σ2 = 109.0412 (Kg..)2. Luego la desviación estándar será:

109.0412 = 10.442 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 10.442 Kg.

Ejemplo 4.10.- en el ejemplo 4.6, se ha determinado la varianza (para datos agrupados) de los pesos de los alumnos, siendo la misma σ2 = 110.1369 (Kg..)2. Luego la desviación estándar será:

110.1369 = 10.495 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones de los pesos de los alumnos respecto a su media aritmética es de 10.495 Kg. 4.6 COEFICIENTE DE VARIACIÓN Mide el promedio de las variaciones porcentuales de los valores observados respecto a la media aritmética. Tanto para datos sin agrupar como para datos agrupados se define como: CV ( X )

X

100

100

para la población.

X

cv( X )

SX 100 X

S 100 X

para la muestra.

Nota.- en la teoría del muestreo el coeficiente de variación recibe la denominación de error relativo.

Ejemplo 4.11 En el ejemplo de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09A-FCEUNAC, (para datos sin agrupar) se ha determinado que µ = 59.87 y σ = 10.442 Kg. Luego el coeficiente de variación de los pesos de los alumnos es:

CV ( X )

100

10.442 .100 =17.44 % 59.87

Interpretación.- el promedio de las variaciones porcentuales de los pesos de los alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-UNAC, respecto a su media aritmética es del 17.44 %.

167

Ejemplo 4.12 En el ejemplo de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09A-FCEUNAC, (para datos agrupados) se ha determinado que µ = 60.133 y σ = 10.495 Kg. Luego el coeficiente de variación de las tallas de los alumnos es:

CV ( X )

100

10.495 .100 = 17.45 % 60.133

Interpretación.- el promedio de las variaciones porcentuales de los pesos de los alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-UNAC, respecto a su media aritmética es del 17.45 %.

Cálculo de los estadígrafos de dispersión con los programas Veamos como se pueden obtener los estadígrafos de dispersión para la variable peso, desde la base de datos construida (datos sin agrupar) utilizando los programas.

En Excel: Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos de estadística Básica 09-A en la columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean estos o se escribe D3:D62. Una primera forma de obtener los estadígrafos es con la opción de funciones

del

Excel, escoger dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → escoger estadígrafo y aparece ventana de diálogo en la que se indica los argumentos requeridos y se obtiene el resultado. Otra forma de obtenerlos es con la sintaxis para cada estadígrafo, que es la que utilizaremos. Para calcular el rango necesitamos el valor máximo y el valor mínimo. La sintaxis correspondiente es: MAX(Matriz) y MIN(Matriz) respectivamente. Para hallar el máximo de la variable peso, en la celda D71 escribir =MAX(D3:D62) al hacer enter aparece 88 y para hallar el mínimo, en la celda D72 escribir =MIN(D3:D62) al hacer enter aparece 44. Para hallar el rango, en la celda D73 escribir =D72-D7, al efectuar enter aparece 44(Ver figura 4.1). Para hallar el rango intercuartílico (RIQ), se debe utilizar los resultados de los cuatiles 1 y 3 calculados anteriormente en las celdas D66 y D68 respectivamente (ver

168

figura 3.8). En la celda D74 escribir =D68-D66, al efectuar enter aparece 16.25 (Ver figura 4.1). Para calcular la desviación media (Excel obtiene con respecto a la media aritmética) usar la sintaxis: =DESVPROM(Matriz). Para la variable peso, en la celda D75 escribir =DESVPROM(D3:D62) al hacer enter aparece el resultado 9.006. Para hallar la varianza de la muestra usar la sintaxis =VAR(Matriz) y para la varianza de la población usar =VARP(Matriz). Para determinar la varianza de la variable peso, en la casilla D76 escribir =VARP(D3:D62) al hacer enter aparece el resultado 109.0412 (ver Figura 4.1). Para calcular la desviación estándar muestral usar la sintaxis =DESVEST(Matriz) y para la desviación estándar poblacional usar =DESVESTP(Matriz). Para la variable peso, en la casilla D77 escribir =DESVESTP(D3:D62) al hacer enter aparece el resultado 10.442 (ver Figura 4.1). Para calcular el coeficiente de variación se divide la desviación estándar de la celda D77 entre la media aritmética de la celda D63 así: en la casilla D78 escribir =D77/D63 al hacer enter y luego clic en %, aparece 17.44%.

Figura 4.1 Medidas de Dispersión obtenidas con Excel

169

En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Stat →Basic Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo Display Descriptive Statistics (vista en la Figura 3.4). En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la izquierda. Hacer clic en el botón


Satatistcs – Statistics (ver la Figura 4.2).

Figura 4.2 Selección de estadígrafos de dispersión en Minitab

Escoger los estadígrafos de dispersión a calcular: Range (rango) Interquartile range (rango intercuartílico), variance (varianza), Standard deviation (desviación estándar) y Coefficient of variation (coeficiente de variación). Adicionalmente se ha solicitado mean (media) y N total (total de observaciones) ya que el Minitab hace cálculos muestrales para la varianza y se necesita reajustar este y otros cálculos. Hacer clic en OK y regresa a la ventana Display Descriptive Statistics. Para terminar hacer clic en OK y en la ventana de Session aparecen los resultados solicitados siguientes:

Descriptive Statistics: peso Variable peso

Total Count 60

Mean 59.87

StDev 10.53

Variance 110.89

170

CoefVar 17.59

Range 44.00

IQR 16.75

Se puede apreciar que los resultados obtenidos corresponden a cálculos muestrales, por lo que hay que hacer reconversiones a valores poblacionales, así la varianza será: N

)2

(Xi 2

i 1

N

( N 1) S 2 N

(50 1) 110.89 109.0412 Kg2. 60

Con este valor, ya se puede calcular la desviación estándar

109.0412 = 10.442

Kg. y el coeficiente de variación 17.44% (por ello solicitamos también la media aritmética).


y se


Figura 4.3 Cálculo de estadígrafos de dispersión en SPSS

En Dispersión, seleccionar Desviación típica, Varianza, Amplitud (o Rango), Mínimo y Máximo. Adicionalmente se ha solicitado media ya que, al igual que el Minitab, el SPSS hace cálculos muestrales para la varianza y se necesita reajustar este y otros cálculos. También se solicita cuartiles para calcular el RIQ.

171

Luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y para terminar, efectuar clic en Aceptar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece: Estadísticos PESO (Kg) N Media Des v. típ. Varianza Rango Mínimo Máximo Percentiles

Válidos Perdidos

25 50 75

60 0 59.87 10.530 110.889 44 44 88 51.00 57.00 67.75

Resultado de estadígrafos de dispersión en SPSS Al igual que en el Minitab se tiene que reajustar la varianza muestral así: N

(Xi 2

i 1

N

)2

( N 1) S 2 N

(50 1) 110.889 109.0412 Kg2. 60

Con este valor, ya se puede calcular la desviación estándar

109.0412 = 10.442

Kg. y el coeficiente de variación 17.44% (por ello solicitamos también la media aritmética). Igualmente el RIQ = P75 – P25 = 67.75 – 51.00 = 16.75 Kg. En R: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma, para que reconozca las variables y sus valores, donde variable es un conjunto de datos cuantitativos (peso aquí).

Para calcular el Rango, escribir en la consola: > range(variable) al hacer enter se obtiene el valor mínimo y el máximo. > diff( range(variable)) al hacer enter se obtiene el rango (diferencia entre el valor máximo y el mínimo). Para la variable peso, se tiene: > range(peso) [1] 44 88 172

> diff(range(peso)) [1] 44

Para calcular el Rango intercuartílico (RIQ) usar la sintaxis IQR(variable), para la variable peso se calcula así: > IQR(peso) [1] 16.25

Para obtener la Desviación media respecto a la media aritmética, escribir en la consola: > dm=sum(abs(peso-mean(peso)))/60 > dm [1] 9.006222 Si se quiere calcular la desviación media respecto a la mediana, escribir en la consola: > dm=sum(abs(peso-median(peso)))/60 > dm [1] 8.881667

Tanto la varianza como la desviación estándar calculadas en R son muestrales, debiéndose efectuar los mismos ajustes realizados en Minitab y en SPSS. La sintaxis para la varianza es var(variable) y para la desviación estándar sd(variable). Los cálculos para la variable peso son: > var(peso) [1] 110.8893 > sd(peso) [1] 10.5304 Al igual que en Minitab y SPSS se tiene que reajustar la varianza muestral así: > N=length(peso) >N [1] 60 > var=(N-1)*var(peso)/N > var [1] 109.0412 173

> sd=var^0.5 > sd [1] 10.44228 > cv=sd/mean(peso)*100 > cv [1] 17.44207

En el Cuadro 4.1 se muestra el resumen de los estadígrafos de dispersión calculados.

CUADRO 4.1RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN CALCULADAS PARA LOS PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A, DE LA FCE-UNAC, POR PROGRAMA USADO

ESTADÍGRAFO MANUAL

EXCEL

MINITAB

SPSS

R

Rango

44.00

44.00

44.00

44

44

RIQ

16.75

16.25

16.75

16.75

16.25

Desviación media

9.006

9.006

-

-

9.006

109.0412

109.0412

110.89 (a)

110.89 (a)

110.89 (a)

10.442

10.442

10.530 (a)

10.53 (a)

10.53 (a)

17.44%

17.44%

17.59 (a)

17.59 (a)

17.59 (a)

Varianza Desviación estándar Coeficiente

de

variación

(a) Son resultados muestrales, que deben reajustarse. 4.7 DIAGRAMA DE CAJAS O BOXPLOT El diagrama de cajas y bigotes o boxplot es un gráfico sencillo de realizar y fue propuesto por Tukey (1977) para hacer el análisis exploratorio de datos de una variable cuantitativa usando principalmente los cuartiles . Para su elaboración, en un rectángulo (caja) se representan los cuartiles: en el extremo inferior el cuartil 1, al extremo superior el cuartil 3 y entre ambos una línea divisoria para

174

representar el cuartil 2. Es decir, que la caja representa el RIQ, pues concentra el 50% central de los valores observados. De los extremos centrales de la caja se extienden los “bigotes” en la parte inferior hasta el máx[Q1 - 1.5RIQ, mín (X1, X2, …., Xn)] y en la parte superior hasta el min[Q3 + 1.5RIQ, máx (X1, X2, …., Xn)]. Así mismo, por debajo de la parte inferior y por encima de la parte superior de los bigotes se colocan los valores extremos (outliers) con asteriscos, tal como se indica en la figura 4.4.

Figura 4.4 Estructura del diagrama de cajas y bigotes (boxplot)

Por lo general el boxplot se presenta rotado en 90º. Veamos la obtención del diagrama de cajas para la variable peso usando los programas Minitab, SPSS y R.

En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Graph →Boxplot → Simple → OK aparece la ventana de diálogo Boxplot – One Y, Simple (ver la Figura 4.5). De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar la variable peso e ingresarla en Graph variables:. Hacer clic en el botón

y en Title: poner el número y título del

gráfico. En este caso es: GRÁFICO 4.1 BOXPLOT DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, DE LA FCE-UNAC.

175

Para continuar hacer clic en OK y regresa a la ventana de Boxplot – One Y, Simple, hacer clic en OK e inmediatamente aparece el boxplot (ver la figura 4.6).

Figura 4.5 Ventana de diálogo para definir el boxplot de peso en Minitab

Figura 4.6 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en Minitab

176

Ubicándose dentro de la caja con el puntero del mouse, aparecen automáticamente los cuartiles (ver la parte inferior de la figura 4.6). La lectura de los datos que allí aparecen, permite describir que son 60 alumnos (N = 60), cuyos pesos fluctúan entre 44 y 88 Kg. (Whiskers to = bigotes hasta: 44, 88) y que no hay pesos extremos (outliers). Así mismo, los cuartiles indican que el 25% de los alumnos con menos peso se encuentran por debajo de los 51 kg. (Q1) y el 25% de los alumnos con más peso se encuentra por encima de los 67.75 Kg. (Q3). También que el 50% de los alumnos pesa 57 Kg. o menos (median = mediana = 57 Kg.) y que el 50% central de los pesos de los alumnos está entre 51 (Q1) y 67.75 Kg. (Q3). También se puede obtener boxplot para hacer comparaciones entre una variable cuantitativa, con alguna variable categórica; como puede ser en este caso ver el comportamiento del peso de los alumnos por sexo (hombres y mujeres). Para ello, estando en la ventana de diálogo de la figura 4.5 y con las etiquetas de sexo como texto, hacer clic en el botón

y aparece la ventana de

diálogo Boxplot – Multiple Graphs, hacer clic en By variables (ver la figura 4.7).

Figura 4.7 Efectuando Gráfico Múltiple de Boxplot para peso, por sexo

177

Seleccionar la variable sexo (con las etiquetas en texto) en By variables with groups in separate panels: si se desea en un solo gráfico, pero en paneles separados, el boxplot para hombres y mujeres (el que se ha escogido aquí); y si se desea dos gráficos separados de boxplot uno para hombres y otro para mujeres selecciona la variable sexo en By variables with groups on separate graphs:. Para continuar hacer clic en OK y regresa a la ventana de la figura 4.5 de Boxplot – One Y, Simple, hacer clic en OK e inmediatamente aparece el Gráfico 4.2 boxplot para cada sexo (ver la figura 4.8).

GRÁ FICO 4.2 BOXPLOT DEL PESO DE LOS A LUMNOS DE ESTA DÍSTICA BÁ SICA 09-A FCE-UNA C, POR SEXO

Hombre

90

Mujer

Peso (Kg.)

80

70

60

50

40 Panel variable: sexo

Figura 4.8 Boxplot del peso para hombres y mujeres en Minitab

Se puede hacer las comparaciones pertinentes y enriquecer el análisis de la variable cuantitativa comparada para algunas variables categóricas consideradas en el estudio. Aquí se puede apreciar que las mujeres pesan mucho menos que los hombres; no obstante dentro de ellas hay dos alumnas cuyos pesos sobresalen del resto (outliers). Haciendo clic con el puntero del mouse en los asteriscos, nos indica que se trata de las alumnas 19 con 63 Kg. de peso y la alumna 26 con 66 Kg.

178

En SPSS: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, seguir la secuencia: Analizar → Estadísticos descriptivos → Explorar y aparece la ventana de la Figura 4.9.

Figura 4.9 Ventana de diálogo Explorar para definir el boxplot de peso en SPSS

En Dependientes: ingresar la variable peso. En Mostrar esta seleccionado Ambos, ya que saca Estadísticos (descriptivos) y Gráficos (tiene seleccionado el boxplot) por lo que sólo queda hacer clic en Aceptar y aparece el Boxplot de la figura 4.10. 90

80

70

60

50

40 PESO (Kg)

Figura 4.10 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en SPSS

179

Si se desea un gráfico de boxplot para hombres y mujeres en un solo gráfico; entonces, en la ventana de diálogo Explorar de la figura 4.9, en Factores: se ingresa la variable sexo y para finalizar hacer clic en Aceptar e inmediatamente aparece el resultado de la Figura 4.11.

90

PESO (Kg)

80

70 26 19 60

50

40 Hombre

Mujer

SEXO

Figura 4.11 Boxplot del peso para hombres y mujeres en SPSS

En R: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma, para que reconozca las variables y sus valores, donde variable es un conjunto de datos cuantitativos (peso aquí).

Para graficar el Boxplot, escribir en la consola: boxplot (variable). El diagrama de cajas y bigotes para la variable peso se obtiene así: > boxplot(peso, col="yellow", main="BOXPLOT PESO", ylab="Peso (Kg.)") La representación del boxplot se muestra en la Figura 4.12.

180

Figura 4.12 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en R

Para obtener el boxplot de hombres y mujeres en un solo gráfico escribir:

> plot(sex, peso,xlab="Sexo",ylab="Peso (Kg.)", main="BOXPLOT PESO DE LOS ALUMNOS")

La representación se muestra en la Figura 4.13

En los tres programas se obtienen las representaciones del diagrama de cajas, debiendo escogerse aquella que este disponible o tenga una mejor presentación, quedando en potestad del investigador escoger la misma.

181

Figura 4.13 Boxplot del peso para hombres y mujeres en R 4.8 MEDIDAS DE FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN Cuando se quiere caracterizar mejor la distribución de frecuencias, muchas veces se recurre a la distribución normal de probabilidades, que es una distribución simétrica respecto a su media aritmética, concentrando por debajo de este valor a la mitad de las observaciones y la otra mitad por encima de dicho valor. Para saber si la concentración de observaciones por debajo de la media es menor o mayor a la mitad de las mismas se usan las medidas de asimetría. Por otro lado, la poca o fuerte concentración de observaciones entorno a la media se va estudiar con las medidas de curtosis o apuntamiento.

182

MEDIDAS DE ASIMETRÍA Según Pérez (2002) “Las medidas de asimetría tienen como finalidad el elaborar un indicador que permita establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución sin necesidad de llevar a cabo su representación gráfica. Supongamos hemos representado gráficamente una distribución de frecuencias. Si trazamos una perpendicular al eje de las abscisas por x y tomamos esta perpendicular como eje de simetría, diremos que una distribución es simétrica si existe el mismo número de valores a ambos lados de dicho eje, equidistantes de x dos a dos, y tales que cada par de valores equidistantes de x tengan la misma frecuencia. En caso contrario, las distribuciones serán asimétricas” a) Coeficiente de asimetría de Pearson.Para distribuciones unimodales y ligeramente asimétricas, Karl Pearson encontró que la relación empírica entre la media aritmética, la mediana y la moda es:

X

Mo

Me , la misma que es utilizada en su coeficiente:

3X

Ap

X

Mo

3 X

S

Me S

Donde S es la desviación estándar. Si Ap = 0, la distribución es simétrica. Si Ap > 0, la distribución es asimétrica positiva o asimétrica a la derecha. Si Ap < 0, la distribución es asimétrica negativa o asimétrica a la izquierda. b) Coeficiente de asimetría de Fisher.El coeficiente de asimetría propuesto por R.A. Fisher es:

Af

Af

1 n

n

Xi

X

3

i 1

, para datos sin agrupar.

3

1 n

k

3

Xi

X ni

i 1 3

, para datos agrupados.

Donde σ es la desviación estándar poblacional. Si Af = 0, la distribución es simétrica. Si Af > 0, la distribución es asimétrica positiva o asimétrica a la derecha. Si Af < 0, la distribución es asimétrica negativa o asimétrica a la izquierda.

183

Ejemplo 4.13 Con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son: 44

45

46

46.5

47

48

48

49

49

50

50

50

50

50.5

51

51

52

52

52.6

53

53

53

53

54

55

55

55

55

55

57

57

59

60

60

63

63

64

64

64.5

65

65

66

66

67

67

68

68

68

69

70

70

72

72

75

75

77

80

80

80

88

Hallar los coeficientes de asimetría de Pearson y el de Fisher. Solución.En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 59.868, Me = 57 y σ = 10.442 Kg. Luego el coeficiente de asimetría de Pearson es: Ap

3 X

Me

3 59.868 57 10.442

S

= 0.82 > 0, los pesos tienen distribución

asimétrica positiva. El coeficiente de asimetría de Fisher es:

Af

1 n

n

Xi

X

3

i 1 3

1 (38558.56) 60 (10.442)3

= 0.56 > 0, entonces los pesos tienen

distribución asimétrica positiva.

Ejemplo 4.14 Hallar los coeficientes de asimetría de Pearson y el de Fisher, de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, siguientes:

Clase i 1 2 3 4 5

PESOS (Kg.) LIi 44.0 52.8 61.6 70.4 79.2

LSi 52.8 61.6 70.4 79.2 88.0


184

Solución.En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 60.133, Me = 59.253 y σ = 10.495 Kg. Luego el coeficiente de asimetría de Pearson es: 3 X

Ap

Me

3 60.133 59.253 10.495

S

= 0.25 > 0, los pesos tienen distribución

asimétrica positiva. El coeficiente de asimetría de Fisher es:

Af

1 n

n

Xi

3

X

ni

i 1 3

1 (39828.25) 60 (10.495)3

= 0.57 > 0, entonces los pesos tienen

distribución asimétrica positiva. MEDIDAS DE CURTOSIS O APUNTAMIENTO Según Chue J.y Otros (2007) “La curtosis cuantifica la cantidad de observaciones que se agrupan alrededor de las medidas de tendencia central de la distribución de los datos”. La fórmula de cálculo de la curtosis es:

K

K

1 n

n

Xi

X

4

i 1

3 , para datos sin agrupar.

4

1 n

k

4

Xi

X ni

i 1 4

3 , para datos agrupados.

Donde σ es la desviación estándar poblacional. Si K = 0, la distribución es mesocúrtica (apuntamiento normal). Si K > 0, la distribución es leptocúrtica (puntiaguda). Si K < 0, la distribución es platicúrtica (achatada).

Ejemplo 4.15 Con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6 (ver ejemplo 4.13), peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, hallar el coeficiente de curtosis. Solución.En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 59.868 y σ = 10.442 Kg.

185

Luego el coeficiente de curotosis es:

K

1 60

60

X i 59.868

4

i 1 4

1762855.81 60 3 (10.442) 4

3 = -0.53 < 0, entonces la distribución

es platicúrtica o achatada.

Ejemplo 4.16 Hallar el coeficiente de curtosis de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, dados en el ejemplo 4.14. Solución.En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 60.133 y σ = 10.495 Kg. Luego el coeficiente de curtosis es:

K

1 60

5

Xi

4

60.133 ni

i 1 4

1825739.21 60 3 (10.495)3

3 = -0.41 < 0, por lo tanto, la

distribución es platicúrtica o achatada.

Cálculo de las medidas de forma con los programas Veamos como se pueden obtener los estadígrafos de forma para la variable peso, desde la base de datos construida (datos sin agrupar) utilizando los programas.

En Excel: Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos de estadística Básica 09-A en la columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean estos o se escribe D3:D62. Una manera de obtener los estadígrafos de forma es con la opción de funciones del Excel, escoger dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → escoger estadígrafo y aparece ventana de diálogo en la que se indica los argumentos requeridos y se obtiene el resultado. Otra manera de obtenerlos es con la sintaxis para el estadígrafo, que es la que utilizaremos. Para la asimetría usar la sintaxis =COEFICIENTE.ASIMETRIA(Matriz) =CURTOSIS(Matriz).

186

y para calcular la curtosis usar

Para el peso, en la casilla D79 escribir =COEFICIENTE.ASIMETRIA(D3:D62) al hacer enter aparece el resultado 0.58 (ver Figura 4.14). Entonces los pesos tienen distribución asimétrica positiva. Así mismo, en la casilla D80 escribir =CURTOSIS(D3:62) al hacer enter aparece el resultado -0.47 (ver Figura 4.14). Entonces los pesos tienen distribución platicúrtica o achatada.

Figura 4.14 Cálculo de la asimetría y curtosis en Excel

En Minitab: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Stat →Basic Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo Display Descriptive Statistics (vista en la Figura 3.4). En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la izquierda. Hacer clic en el botón


Satatistcs – Statistics (ver la Figura 4.2). Escoger Skewness (asimetría) y Kurtosis. Al hacer clic en OK, regresa a la ventana Display Descriptive Statistics, hacer nuevamente clic en OK y aparecen los resultados siguientes: Descriptive Statistics: peso Variable peso

Total Count 60

Skewness 0.58

Kurtosis -0.47

Resultados idénticos a los obtenidos en Excel.

187


y se

muestra la ventana de diálogo Frecuencias: Estadísticos (ver la Figura 4.3). En Distribución, seleccionar Asimetría y Curtosis. Luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y para terminar, efectuar clic en Aceptar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece: Estadísticos PESO (Kg) N

Válidos Perdidos

Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis

60 0 .579 .309 -.469 .608

Resultado de estadígrafos de forma en SPSS Al igual que en el Excel y el Minitab se tiene el mismo resultado.

En R: Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma, para que reconozca las variables y sus valores, donde variable es un conjunto de datos cuantitativos (peso aquí). J. Arriaza y Otros (2008) recomiendan en el Apéndice B “Medidas de forma, con el paquete fBasics del R”. Por ello, primero instalar el paquete fBasics. En el menú del R escoger Paquetes, luego Instalar paquetes, escoger un país (Australia, por ejemplo) aparece una lista de Packages (paquetes) buscar fBasics y hacer doble clic para que se instale en la pc. Luego, desde el menú escoger en Paquetes, cargar paquete y aparece una lista, dar doble clic en fBasics, para calcular los estadígrafos de forma. Si el fBasics esta instalado, sólo hay que cargarlo.

188

Para calcular la Asimetría, escribir en la consola: > skewness(variable) al hacer enter se obtiene el resultado. Para calcular la Curtosis, escribir en la consola: > kurtosis(variable) al hacer enter se obtiene el resultado.

Las medidas de forma de la variable peso se obtienen así: > skewness(peso) [1] 0.550345 attr(,"method") [1] "moment"

> kurtosis(peso) [1] -0.6106151 attr(,"method") [1] "excess"

Cuyos resultados son parecidos a los obtenidos con los otros programas, es decir, que la distribución de la variable peso es asimétrica positiva y platicúrtica.

189

Capítulo 5. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN SIMPLE “Las cifras no mienten, pero los mentirosos también usan cifras” Anónimo

CONTENIDO 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Introducción. Diagrama de dispersión. Covarianza y coeficiente de correlación. Regresión lineal simple. Coeficiente de determinación.

5.1 INTRODUCCIÓN Uno de los propósitos de la estadística es efectuar predicciones al futuro, para lo cual es necesario explicar el comportamiento de una variable dependiente o explicada (denotada por Y) mediante una o más variables independientes o explicativas (denotadas por X‟s) basados en fundamentos teóricos del fenómeno que se estudia. Así, vemos que en economía se busca explicar la demanda de los bienes y servicios en función de los precios de los mismos. Igualmente, basados en la información observada sobre la producción de un bien o servicio a través del tiempo, tratamos de predecir las cantidades a producir en el futuro. En el presente capítulo se busca establecer algunas formas sencillas de establecer la relación entre las variables construyendo los diagramas de dispersión delos datos, así como la medición de la relación entre las variables usando la covarianza y el coeficiente de correlación. También se presenta la determinación de algunos modelos de regresión lineal simple entre dos variables y los de series de tiempo que permitan hacer pronósticos en situaciones de incertidumbre.

190

5.2 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Es la representación en el plano cartesiano de los valores que toma la variable dependiente Y conjuntamente con los valores que toma la variable independiente X, acompañados por alguna función (recta, hoja de parábola, etc.) a la que se ajustan dichos datos. Es decir, que se representan las parejas ordenadas (Xi, Yi) los mismos que aparecen como puntos en el plano cartesiano y dan una idea del tipo de relación funcional matemática para las variables. Es un gráfico recomendado para establecer el tipo de asociación entre las variables (si es directa o inversa), así como el tipo de relación funcional entre las mismas. Ejemplo 5.1 Una compañía productora de muñecas quiere establecer la relación entre las variables X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad de muñecas vendidas. Los datos son: X

6.5

8.0

10.0

12.5

14.0

16.0

17.5

20.0

Y

276

250

238

212

190

183

156

125

Efectuar el diagrama de dispersión. Solución.Vamos a utilizar los programas Excel, Minitab, SPSS y R para realizar el diagrama de dispersión. En Excel: En una hoja de Excel ingresar los valores de X e Y en las columna A y B respectivamente. Sombrear la variable y los datos. En Insertar, Gráficos, escoger XY (Dispersión) y el recuadro Dispersión sólo con marcadores, tal como se muestra en la Figura 5.1. Al hacer clic en Aceptar, aparecen los puntos del diagrama de dispersión. Hacer clic con el botón derecho sobre los puntos del plano y seleccionar agregar línea de tendencia y aparece una ventana de diálogo. Escoger el tipo (automáticamente aparece

191

lineal, que es la que interesa en este caso). Al hacer clic en Cerrar se muestra el diagrama de dispersión y la línea de tendencia de la Figura 5.2

Figura 5.1 Definiendo el diagrama de dispersión en Excel

Figura 5.2 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Excel En Minitab:

192

Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Worksheet, del menú escoger Graph, Scatterplot, aparece la ventana de diálogo Scatterplots; escoger With Regression y hacer clic en OK. Se muestra la ventana de diálogo de la Figura 5.3.

Figura 5.3 Definiendo el diagrama de dispersión en Minitab En Y variables seleccionar Cantidad y en X variables Precio. Al efectuar clic en OK se muestra el diagrama de dispersión con la línea de regresión de la Figura 5.4.

Scatterplot of Y = Cantidad vs X = Precio 280 260

Y = Cantidad

240 220 200 180 160 140 120 5.0

7.5

10.0

12.5 X = Precio

15.0

17.5

20.0

Figura 5.4 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Minitab En SPSS:

193

Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Editor de datos SPSS, del menú escoger Gráficos, Interactivos, Diagrama de dispersión, aparece la ventana de diálogo Crear diagrama de dispersión de la Figura 5.5.

Figura 5.5 Creando el diagrama de dispersión en SPSS

De la lista de variables arrastrar primero la variable dependiente (Cntidad) en el primer recuadro y luego la variable independiente (precio) en el siguiente, tal como se muestra en la Figura 5.5. Para finalizar hacer clic en Aceptar y aparece el diagrama de dispresión de la Figura 5.6.

194

280



 

CANT IDAD

240



200  

160





120 8.0 0

12. 00

16. 00

20. 00

PRECIO

Figura 5.6 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en SPSS En R: Definir los valores de las variables Precio y Cantidad, por los vectores X e Y respectivamente siguientes: > X=c(6.5, 8.0, 10.0, 12.5, 14.0, 16.0, 17.5, 20.0) > Y=c(276, 250, 238, 212, 190, 183, 156, 125) A continuación utilizar la función plot para definir el diagrama de dispersión, así: > plot(X, Y, xlab="PRECIO", ylab="CANTIDAD", main="Diagrama de dispersión de Precios y Cantidad") Donde: X es la variable independiente e Y la variable dependiente. xlab es la etiqueta del eje X e ylab la etiqueta del eje Y. main es para ponerle título al gráfico. El resultado aparece en la Figura 5.7.

195

Figura 5.7 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en R 5.3 COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Los indicadores del grado de asociación lineal entre dos variables son la covarianza y el coeficiente de correlación. COVARIANZA.La covarianza entre las variables X e Y, denotada por Cov (X, Y), mide el promedio de las discrepancias conjuntas del producto de las desviaciones de las variables X e Y con respecto a sus respectivas medias. Se calcula como:

Cov( X , Y )

1 n

n

Xi i 1

196

X Yi Y

1 SPXY n

Donde SPXY representa la Suma de Productos de las desviaciones de X e Y con respecto a sus medias, calculada así: n

n

SPXY

Xi

X Yi Y

i 1

X iYi n X Y i 1

La covarianza tiene el inconveniente de las unidades de medida de las variables, por ello lo fundamental de la covarianza es el signo, ya que proporciona una idea de la discrepancia conjunta de las variables en estudio. Así, si el signo es positivo indica una variación directa entre los valores de la variable, es decir, que si X aumenta, entonces Y también aumenta o si uno disminuye el otro también disminuye; mientras que si el signo es negativo, indica una variación inversa, es decir, que si X aumenta, entonces Y disminuye y viceversa, si X disminuye entonces Y aumenta. Como solución al inconveniente planteado en el párrafo anterior, surge el coeficiente de correlación lineal de Pearson que a continuación se explica. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.El coeficiente de correlación lineal entre las variables X e Y, denotada por ρ (X, Y), mide el grado de asociación lineal entre las variables en estudio. Se calcula así: Cov( X , Y )

( X ,Y )

X

r ( X ,Y )

Cov( X , Y ) n 1 S X SY n

r

, para la población; y

Y

SPXY , para la muestra. SCX SCY

Donde: n

SCX

Xi i 1

X

2

n

n

X i2 n X 2 y SCY i 1

Yi Y i 1

2

n

Yi 2 nY 2 i 1

El coeficiente de correlación toma valores entre -1 y 1. Cuanto más cercano a -1 o a 1 se encuentra es más fuerte la asociación lineal entre las variables X e Y, y cercano a 0 indica que la asociación entre la variable es muy baja o que no existe relación entre X e Y. 197

Ejemplo 5.2 Para los datos del ejemplo 5.1, calcular e interpretar la covarianza y el coeficiente de correlación lineal simple entre X e Y. Solución.Las variables X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad vendida. Los datos son: X

6.5

8.0

10.0

12.5

14.0

16.0

17.5

20.0

Y

276

250

238

212

190

183

156

125

Cálculos necesarios: 8

n = 8,

8

X i 104.5 ,

X 13.0625 ,

Yi 1630 ,

i 1

Y

i 1

8

X i2

(6.5) 2 (8.0) 2 .... (17.5) 2 (20.0) 2 1,520.75

i 1

n

X i2 n X 2 1520.75 8(13.0625)2

SCX

155.7188

i 1

8

Yi 2

(276) 2 (250) 2 .... (156) 2 (125) 2

349,814

i 1

n

Yi 2 nY 2 349,814 8(203.75)2 17, 701.5

SCY i 1

8

X iYi

(6.5)(276) (8.0)(250) .... (20.0)(125) 19, 642

i 1

n

SPXY

X iYi n X Y 19, 642 8(13.0625)(203.75) i 1

Luego: a) Cov( X , Y )

SPXY n

1649.875 8

206.2344

198

1, 649.875

203.75

b) r

SPXY SCX SCY

1, 649.875

0.994

155.7188 17, 701.5

Interpretación.- La covarianza negativa y el coeficiente de correlación cercano a -1, nos indican que existe una alta relación inversa entre los precios de las muñecas y las cantidades vendidas. A continuación ilustramos los cálculos de la covarianza realizados en Excel y su gráfico de dispersión correspondiente. X = Precio 6.5 8.0 10.0 12.5 14.0 16.0 17.5 20.0 13.1 Media

Y = Cantidad 276 250 238 212 190 183 156 125 203.8 Media

( Xi

X)

-6.6 -5.1 -3.1 -0.6 0.9 2.9 4.4 6.9

En el eje de las X‟s se ha representado ( X i

199

(Yi

Y)

72.3 46.3 34.3 8.3 -13.8 -20.8 -47.8 -78.8 SPXY = COV(X, Y) =

( Xi

X ) (Yi

Y)

-474.14 -234.14 -104.89 -4.64 -12.89 -60.95 -211.89 -546.33 -1649.88 -206.2344

X ) y en el eje de las Y‟s (Yi Y ) .

5.4 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Es el proceso que consiste en poner en relación a una variable dependiente (Y) en función de otra independiente (X), llamada también variable explicativa o predictora, mediante la ecuación de una recta, basados en una relación de causalidad para el fenómeno en estudio. Así, en el ejemplo 5.1 vemos que las cantidad demandada de muñecas (Y), es una función del precio de las mismas (X). Es decir, que Y = f(X). La relación funcional a la que se postula es la ecuación de una recta, por lo tanto, se postula que: Yi = a + bXi. Donde a y b son los coeficientes de regresión, siendo b la pendiente de la recta y es negativa porque recoge el efecto de la relación inversa entre el precio de las muñecas y la cantidad demandada. En el diagrama de dispersión obtenido antes, se puede apreciar que no todos los puntos caen sobre la recta postulada, por lo que es necesario agregarle al modelo una componente de error, así el modelo queda como: Yi = a + bXi + ei Ahora el problema se reduce a encontrar los valores de a y de b que permitan hacer pronósticos de Y asumiendo determinados valores de X,. Para poder determinar los valores de a y de b, se postula que los errores promedien cero, es decir buscando que todos los puntos caigan sobre la recta y que la varianza de estos errores sea mínima, surgiendo así el método de los mínimos cuadrados ordinarios. Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios Es un método de aproximación a los valores verdaderos de a y de b, buscando minimizar la varianza de los errores, la misma que se traduce en: n

n

ei2

Minimizar i 1

200

Yi i 1

a bX i

2

Siendo la suma de los errores al cuadrado función de los parámetros a y b, se tiene que tomar derivadas parciales con respecto a dichos parámetros e igualar a cero, así: n

ei2

n

i 1

2

a

Yi

a bX i ( 1) 0

Yi

a bX i ( X i ) 0

i 1

n

ei2

n

i 1

2

b

i 1

Resultado de igualar a cero y aplicar el operador sumatoria, surgen las denominadas Ecuaciones normales siguientes: n

na b

n

Xi

n

a

……………. (1)

Yi

i 1

i 1

n

i 1

n

X iYi ……... (2)

X i2

Xi b i 1

i 1

Cuyas soluciones algebraicas son: n

bˆ

n

X iYi

nXY

i 1 n

Xi

X Yi Y

i 1 n

X

2 i

i 1

nX

2

Xi

X

2

SPXY ; SCX

y

i 1

aˆ Y bˆ X

Fórmulas de cálculo para los valores de a y de b en regresión simple. Cabe resaltar que el símbolo ˆ sobre a y sobre b indica que son valores estimados obtenidos con la información muestral y son una buena aproximación hacia a y b en la estadística inferencial. Interpretación de aˆ y bˆ Al ser bˆ la pendiente de la recta, entonces en bˆ

Y , si X X

1

bˆ

Y ; quiere

decir que si X se incrementa en una unidad, entonces Y se incrementa en bˆ unidades.´

201

Por otro lado aˆ representa el intercepto con el eje Y, cuando X se aproxima cero y en algunos casos no tiene mayor sentido. 5.5 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (R2) El coeficiente de determinación mide el porcentaje de explicación de la variabilidad de la variable dependiente Y, que es debido a la regresión (explicada por la variable independiente X) y el resto que se queda sin explicar se atribuye al error. En la práctica se aproxima (estima) con el coeficiente de correlación al cuadrado multiplicado por 100, o sea: 100r2 %. Ejemplo 5.3 Para los datos del ejemplo 5.1, se pide: a) calcular e interpretar los coeficientes de regresión y el coeficiente de determinación entre X e Y; y b) determinar la cantidad demandada de muñecas cuando el precio sea de $ 15. Solución.a) Para las variables X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad vendida, en la solución del ejemplo 5.2 tenemos los cálculos que necesitamos, así: n

SPXY

X iYi n X Y 19, 642 8(13.0625)(203.75) i 1

n

X i2 n X 2 1520.75 8(13.0625)2

SCX

155.7188

i 1

n

Yi 2 nY 2 349,814 8(203.75)2 17, 701.5

SCY i 1

Luego: bˆ

SPXY SCX

aˆ Y bˆ X

1649.875 155.7188

- 10.5952

203.75 ( 1.085)(13.0625)

r2 = (0.994)2 = 0.988 ≡ 98.8% 202

342.15

1, 649.875

La ecuación de regresión simple queda establecido como: Yi

aˆ bˆ X i

342.15 10.595 X i

Interpretación.-

bˆ = - 10.595 significa que por cada dólar de incremento en el precio de la muñecas, la cantidad demandada disminuye en casi 11 muñecas y viceversa, por cada dólar que disminuye el precio de las muñecas, la demanda se incrementa en cerca de 11 muñecas.

aˆ = 342.15, indica que la demanda tope bordeará las 342 muñecas, con el precio de las mismas alrededor de cero dólares. r2 = 0.988 ≡ 98.8%, indica que 98.8% de la variabilidad de la demanda de muñecas es explicado por el precio de estas. Es decir, que el precio de las muñecas ajusta muy bien la cantidad demandada de éstas. b) Para determinar la cantidad de muñecas demandadas a un precio X = $15, reemplazamos en la ecuación de regresión de la parte a), así:

Yi

342.15 10.595 X i

342.15 10.595(15) 183.2 = 183 muñecas.

Entonces, se espera vender 183 muñecas al precio de $15. Veamos como obtener los indicadores del modelo de regresión usando los programas Excel, Minitaab, SPSS y R. En Excel: En una hoja de Excel ingresar los valores de X e Y en las columna A y B respectivamente. Sombrear la variable y los datos. En Datos, escoger Análisis de datos y en Funciones para análisis, seleccionar Regresión, y aparece la ventana de diálogo Regresión de la Figura 5.8.

203

Figura 5.8 Aplicando Regresión en Excel En Entrada, indicar el Rango Y de entrada: $B$1:$B$9, Rango X de entrada: $A41:$A$9 y marcar el recuadro Rótulos (para indicar los nombres de las variabes). En Opciones de salida, escoger donde queremos que aparezcan los resultados de la regresión, seleccionamos Rango de salida: indicándole donde queremos que salga, aquí a partir de la celda A12. También se puede escoger obtener los resultados En una hoja nueva: (precisar la hoja en el recuadro) o En un libro nuevo (el programa lo crea). Para terminar hacer clic en Aceptar y se obtiene los resultados de la Figura 5.9. A partir de la celda A12, aparece el Resumen de los cálculos de regresión, que para el caso están sombreados y son: Coeficiente de correlación = r = 0.993746364, Coeficiente de determinación R2 = 0.987531836, Coeficiente de intercepción = aˆ = 342.1501104; y Coeficiente para X = Precio = bˆ = -10.595223376. Además, el Resumen muestra una serie de resultados de la estadística inferencial aplicados a la regresión como es el Análisis de Varianza, intervalos de confianza y pruebas estadísticas para los coeficientes de regresión.

204

Figura 5.9 Resultado de la Regresión de cantidad y precio de muñecas en Excel En Minitab: Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Worksheet, del menú escoger Stat, luego Regression y nuevamente la opción Regression; y aparece la ventana de diálogo Regression de la Figura 5.10.

Figura 5.10 Aplicando Regresión en Minitab

205

De la lista de variables del lado izquierdo, seleccionar la variable Y = cantidad e ingresarla en Response: (variable de respuesta o dependiente) y en Predictors: seleccionar X = Precio. Para terminar hacer clic en OK. Inmediatamente en la ventana de Session del Minitab aparecen los resultados siguientes: Regression Analysis: Y = Cantidad versus X = Precio

The regression equation is Y = Cantidad = 342 - 10.6 X = Precio Predictor Constant X = Precio

Coef 342.150 -10.5952

S = 6.06500

SE Coef 6.701 0.4860

R-Sq = 98.8%

T 51.06 -21.80

P 0.000 0.000

R-Sq(adj) = 98.5%

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

DF 1 6 7

SS 17481 221 17702

MS 17481 37

F 475.23

P 0.000

Se puede apreciar los mismos resultados obtenidos antes, es decir, la ecuación de regresión, los coeficientes de regresión y el R-cuadrado obtenidos con el Minitab. En SPSS: Con los datos de las variables precio (X) y cantidad (Y) definidos e ingresados en el editor de datos del SPSS, del menú seleccionar Analizar → Regresión → Lineal e inmediatamente aparece la ventana de diálogo de la Figura5.11. De la lista de variables del lado izquierdo, seleccionar la variable CANTIDAD e ingresarla en el recuadro Dependiente:, del mismo modo seleccionar la variable PRECIO e ingresarla en el recuadro Independientes:. Una vez ingresadas las variables, hacer clic en Aceptar y aparecen los resultados mostrados después de la Figura 5.11.

206

Figura 5.11 Aplicando Regresión en SPSS La vista de resultados del SPSS muestra en el Resumen del modelo los coeficientes de correlación y determinación, mientras que en los Coeficientes se presenta la constante

aˆ = 342.150 y bˆ = -10.595.

Resumen del modelo Modelo 1

R R cuadrado a .994 .988

R cuadrado corregida .985

Error típ. de la estimación 6.06500

a. Variables predictoras : (Cons tante), PRECIO ($)

Coeficientesa

Modelo 1

(Constante) PRECIO ($)

Coeficientes no estandarizados B Error típ. 342.150 6.701 -10.595 .486

a. Variable dependiente: CANTIDAD

207

Coeficientes estandarizad os Beta -.994

t 51.059 -21.800

Sig. .000 .000

Al igual que el Minitab, también presenta el análisis de varianza para la regresión siguiente: ANOVAb Modelo 1

Regres ión Res idual Total

Suma de cuadrados 17480.795 220.705 17701.500

gl 1 6 7

Media cuadrática 17480.795 36.784

F 475.226

Sig. .000a

a. Variables predictoras : (Cons tante), PRECIO ($) b. Variable dependiente: CANTIDAD

En R: Definidos los valores de las variables Precio y Cantidad, por los vectores X e Y respectivamente siguientes: > X=c(6.5, 8.0, 10.0, 12.5, 14.0, 16.0, 17.5, 20.0) > Y=c(276, 250, 238, 212, 190, 183, 156, 125) A continuación utilizar la función lm para definir > modelo=lm(Y~X) > modelo Call: lm(formula = Y ~ X) Coefficients: (Intercept) 342.15

X -10.60

> resumen=summary(modelo) > resumen

208

Call: lm(formula = Y ~ X) Residuals: Min

1Q

Median

-7.3883 -4.1741

0.5342

3Q

Max

2.3974 10.3735

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept)

342.150

6.701

51.06 3.79e-09 ***

X

-10.595

0.486

-21.80 6.09e-07 ***

--Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟ 1 Residual standard error: 6.065 on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9875,

Adjusted R-squared: 0.9855

F-statistic: 475.2 on 1 and 6 DF, p-value: 6.086e-07

209

Capítulo 6. MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD “La estadística es como una mujer con bikini, muestra casi todo, pero lo fundamental lo oculta …. Olvidaba decir que lo fundamental es …. lo que yo quiera creer” Robert Frost

CONTENIDO 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Introducción. Distribución binomial. Distribución de Poisson. Distribución hipergeométrica. Distribución geométrica.

6.1 INTRODUCCIÓN En el presente capítulo se presentan los modelos de probabilidad discretos cuyo cálculo ha sido adaptado a los programas que estamos presentando y que permiten dinamizar el aprendizaje del cálculo de probabilidades por la simplificación de los procesos. Se presentan los principales modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas, en las que estamos interesados en el número de éxitos en un determinado número de ensayos o pruebas. La determinación del éxito o fracaso en este tipo de pruebas esta sujeto al interés particular de quién realiza una determinada prueba. Entre los modelos a estudiar tenemos las distribuciones: binomial, Poisson, hipergeométrica y la Geométrica. En cada caso se presenta las características principales de cada distribución, es decir, la función de probabilidad, la esperanza, la varianza, la función de distribución acumulativa de probabilidades y las respectivas formas de cálculo de probabilidades.

210

6.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Distribución Bernoulli.Según Bazán y Corbera (1997) la distribución de Bernoulli “es el modelo más sencillo de probabilidad y proporciona la base para derivar otras distribuciones de probabilidad discreta”. Las pruebas de Bernoulli tienen dos posibles resultados uno de los cuales es fijado convencionalmente como éxito (E) y el otro como fracaso (F). Por tanto: Ω= {F, E}. La variable aleatoria X = número de éxitos en una prueba de Bernoulli toma los valores: Rx = {0, 1}. La probabilidad de éxito se denota por P (E) = p = P (X = 1) y la probabilidad de fracaso es el complemento, P (F) = q = 1 – p = P (X = 0); las mismas que se calculan con la función de probabilidad siguiente:

p ( x ) P( X

x) p x q1 x ; x 0, 1.

La distribución de probabilidades Bernoulli es: x

0

1

p (x) = P (X = x)

p

q=1-p

La media y la varianza de la distribución Bernoulli son: E (X) = p y Var (X) = pq respectivamente. Ejemplo 6.1 Son ensayos Bernoulli los siguientes: El resultado observado en el lado superior al lanzar una moneda (cara o sello). El estado en que se encuentra un artículo fabricado (bueno o defectuoso). El ingreso de una familia es menor o igual a S/. 2500 o es mayor de 2500.

211

Características del ensayo binomial Una prueba binomial se caracteriza por estar constituida por n pruebas de Bernoulli repetidas o independientes, cada una con la misma probabilidad p de éxito y la variable aleatoria X = número de éxitos. Rx = {0, 1, 2 , …. , n}. Ley de probabilidad La distribución de probabilidad binomial esta dada por la siguiente función: p ( x) P( X

Donde: C xn

x) Cxn p x q n

x

; x 0, 1, 2,3,...., n

n! n x ! x!

Los parámetros de la distribución binomial son n y p. Si una variable X tiene distribución binomial, se le denota así X ~B (n,p) y la ley de probabilidades es la antes indicada. Media y varianza de la distribución binomial La media y la varianza de la distribución binomial son: y σ2 = Var (X) = npq.

µ = E (X) = np

La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades de la binomial esta dada por:

F ( x) P( X

x)

P( X xi x

Cxni p xi q n

xi )

xi

xi x

Todas estas probabilidades son calculadas por los programas estudiados, tal como veremos a continuación. Ejemplo 6.2 Se lanza una moneda correcta 5 veces. Sea X = el número de caras obtenidas. Calcule la probabilidad de obtener: a) 3 caras; b) a lo más 2 caras; c) la distribución de probabilidades; y d) la función de distribución acumulativa de probabilidades.

212

Solución Cada lanzamiento de la moneda es una prueba de Bernoulli, ya que estamos interesados en observar si sale cara (éxito) o no sale (fracaso), con p = q = 0.5. Así mismo, se trata de n = 5 pruebas independientes, puesto que el resultado de un lanzamiento no influye en los sucesivos. Por lo tanto, la variable aleatoria X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p = 0.5) y su función de probabilidad es: p ( x) P( X

x) Cx5 (0.5) x (0.5)5 1 3) C35 ( )5 2

a) p(3) P( X

x

10 32

Cx5 (0.5)5 ; x 0, 1, 2,3, 4,5.

0.3125

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 1 1 1 = C05 ( )5 C15 ( )5 C25 ( )5 2 2 2

1 5 10 32 32 32

16 32

0.50

c) La distribución de probabilidades binomial, calculadas con la función de probabilidad, se presentan en el cuadro siguiente: x

0

1

2

3

4

5

1/32 =

5/32 =

10/32 =

10/32 =

5/32 =

1/32 =

0.03125

0.15625

0.31250

0.31250

0.15625

0.03125

1/32 =

6/32 =

16/32 =

26/32 =

31/32 =

32/32 =

0.03125

0.18750

0.50000

0.81250

0.96875

1.00000

p(x)

F(x)

d) La distribución acumulativa de probabilidades se ha determinado con la función

F ( x) P( X

x)

P( X xi x

Cx5i (0.5) xi y se presentan en la tabla

xi ) xi x

anterior de la pregunta c).

213

Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas, las mismas que están sintetizadas en la tabla de la pregunta c) y d). En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades binomial, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores. Para ello, estando en la casilla B2, en funciones

del Excel, escogemos Estadísticas

(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.BINOM y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.1.

Figura 6.1 Cálculo de probabilidades para la distribución binomial en Excel En Argumentos de función se define: el número de éxitos, Núm_éxito A2 (0) para poder efectuar una copia para los demás valores de x. Ensayos 5 (número de ensayos independientes = 5 lanzamientos de la moneda). La probabilida p de éxito Prob_éxito

214

0.5 y en Acumulado escribir FALSO, porque no se desea calcular probabilidad acumulada. Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.03125. Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se muestran en la Figura 6.2. Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos la ventana de diálogo de la Figura 6.1, con los mismos Argumentos de función, salvo el de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la probabilidad F(0) = 0.03125. Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, C5, C6 y C7, cuyos resultados se muestran en la Figura 6.2.

Figura 6.2 Solución del Ejemplo 6.2 en Excel En Minitab: En este programa se puede hacer cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la variable, tal como se ha efectuado en Excel. Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Binomial y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.3. Esta función permite tres tipos de cálculos: Probabililty (calcular una probabilidad para un valor de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la

215

variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que son realizados indicando previamente los parámetros de la distribución binomial, es decir, n = Number of trials (número de pruebas) y p = Event probability (probabilidad de éxito).

Figura 6.3 Probabilidad con la distribución binomial en Minitab Veamos el cálculo de probabilidades individuales. En el ejemplo 6.2, la variable aleatoria X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p = 0.5) parámetros indicados en la Figura 6.3. En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3) por ello se ha activado Probability

e

donde se escribe 3.

Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece el resultado siguiente: Probability Density Function Binomial with n = 5 and p = 0.5 x 3

P( X = x ) 0.3125

En la parte b) del ejemplo 6.2 se solicita la probabilidad acumulada F (2) = P (X ≤ 2) por lo que se hace necesario seleccionar escribir 2, tal como se muestra en la Figura 6.4. 216

y en

Figura 6.4 Probabilidad acumulada con la distribución binomial en Minitab Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece el resultado siguiente: Cumulative Distribution Function Binomial with n = 5 and p = 0.5 x P( X <= x ) 2 0.5 Resultados similares a los del ejemplo 6.2. Veamos el cálculo de probabilidades para un conjunto de valores Primero definir los valores en una columna de la Worksheet (hoja de trabajo del Minitab); para el ejemplo 6.2, en la columna C1 con la denominación x se han definido los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Para calcular las probabilidades para cada uno de los valores de la variable, se procede de manera similar a lo realizado en la Figura 6.3, sólo que no se selecciona Input constant:, sino

en donde se selecciona la columna C1 o x, tal como se

muestra en la Figura 6.5.

217

Como son seis probabilidades las que se van a calcular se tiene que indicar donde se quiere colocar dichos resultados.

Figura 6.5 Probabilidad para varios valores con distribución binomial en Minitab Si se desea seguir usando estos resultados para hacer otros cálculos, los mismos deben aparecer en la Worksheet del Minitab, por ello en Optional storage: (deposito opcional de resultados) escribir C2. Para terminar hacer clic en OK y los resultados se muestran en la columna C2 de la Worksheet. Si no se van hacer otros cálculos con los resultados, hacer clic en OK y dichos resultados se muestran en la hoja de Session así: Probability Density Function Binomial with n = 5 and p = 0.5 x 0 1 2 3 4 5

P( X = x ) 0.03125 0.15625 0.31250 0.31250 0.15625 0.03125

218

Para calcular las probabilidades acumuladas para los seis valores del ejemplo 6.2 y con los resultados en la hoja de Session, en la Figura 6.5 seleccionar y al hacer clic en OK aparecen los resultados siguientes: Cumulative Distribution Function Binomial with n = 5 and p = 0.5 x P( X <= x ) 0 0.03125 1 0.18750 2 0.50000 3 0.81250 4 0.96875 5 1.00000 Los dos últimos resultados son idénticos a los que aparecen en la Figura 6.2, los que a continuación se presentan tal como se han obtenido en la Worksheet del Minitab.

El gráfico de la distribución binomial obtenido con el Minitab es el siguiente: Gráfico 6.1 Distribución binomial (n = 5, p = 0.5) 0.35 0.30

p(x)

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

0

1

2

3 x

219

4

5

En SPSS: Para calcular las probabilidades simples (P) y las acumuladas (F) del ejemplo 6.2, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4 y 5). Veamos el cálculo de probabilidades simples (P). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.6. En Variable de destino: escribir P. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Binom y con un clic en ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.BINOM(?,?,?).

Figura 6.6 Cálculo de probabilidades con la distribución binomial en SPSS A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función PDF.BINOM(cant,n,prob) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.6. Así cant representa los valores de la variable x, n el número de ensayos = 5 y prob =

220

probabilidad de éxito = 0.5. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.2, proceder de manera similar al cálculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal como se muestra en la Figura 6.7.

Figura 6.7 Probabilidades acumuladas con la distribución binomial en SPSS En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Binom e ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant, n y prob

221

así: CDF.BINOM(x,5,0.5). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

Nota.- para el cálculo de probabilidades simples en SPSS se usa la función FDP y FDP no centrada y para calcular las probabilidades acumuladas la función FDA y FDA no centrada. En R: Para calcular probabilidades simples con la distribución binomial usar la función dbinom(x,n,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, n el número de ensayos y p la probabilidad de éxito. En el ejemplo 6.2, X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p = 0.5). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así: > dbinom(3,5,0.5) [1] 0.3125 Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X, primero se define el vector de valores y luego se calculan las probabilidades así: > x=c(0,1,2,3,4,5) > dbinom(x,5,0.5) [1] 0.03125 0.15625 0.31250 0.31250 0.15625 0.03125 El resultado anterior muestra las probabilidades para cada valor de X, pero la presentación del resultado no permite una adecuada lectura. Por ello se recomienda definir las probabilidades anteriores a través del objeto P definido así:

222

> P=dbinom(x,5,0.5) Para mejorar la presentación de la distribución de probabilidades (x, P) usar la función cbind que permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a continuación de otro, así: > cbind(x,P) x

P

[1,] 0 0.03125 [2,] 1 0.15625 [3,] 2 0.31250 [4,] 3 0.31250 [5,] 4 0.15625 [6,] 5 0.03125 Para calcular probabilidades acumuladas con la distribución binomial usar la función pbinom(x,n,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, n el número de ensayos y p la probabilidad de éxito. En la parte b) del ejemplo 6.2 se solicita F (2) = P (X ≤ 2), esto se calcula así: > pbinom(2,5,0.5) [1] 0.5 Para obtener la distribución de probabilidades y las probabilidades acumuladas efectuamos el siguiente proceso. > F=pbinom(x,5,0.5) > cbind(x,P,F) x

P

F

[1,] 0 0.03125 0.03125 [2,] 1 0.15625 0.18750

223

[3,] 2 0.31250 0.50000 [4,] 3 0.31250 0.81250 [5,] 4 0.15625 0.96875 [6,] 5 0.03125 1.00000 Resultados idénticos a los obtenidos con los demás programas. Observación.- para las siguientes distribuciones de probabilidades los cálculos efectuados con los programas estudiados son similares a los de la distribución binomial. 6.3 DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribución Poisson se deduce como un límite de la distribución binomial y como un proceso de Poisson. Como un límite de la distribución binomial, se toma con media igual a λ = np asumiendo p pequeño (p → 0) y n grande (n → ∞). La distribución de probabilidades de la variable aleatoria discreta de Poisson X = número de éxitos viene dada por: x

p( x) P( X

e ; x 0, 1, 2,3,.... x!

x)

El parámetro de la distribución Poisson es λ. Si una variable X tiene distribución Poisson, se le denota así X ~ P (λ) y la ley de probabilidades es la antes indicada. Media y varianza de la distribución Poisson La media y la varianza de la distribución Poisson es la misma e igual a λ. µ = E (X) = σ2 = Var (X) = λ. La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades de la Poisson esta dada por: xi

F ( x) P( X

x)

P( X xi x

xi ) xi x

e xi !

224

La deducción como un proceso de Poisson, surge cuando hay eventos discretos que se generan en un intervalo continuo t (unidad de medida: longitud, área, volumen, tiempo, etc.) y forman un proceso de Poisson con parámetro λ, si tiene las siguientes propiedades. El promedio de éxitos que ocurren en una unidad de medida t es conocido e igual a λt. La ocurrencia de los eventos son independientes. La probabilidad de éxito en una unidad de medida pequeña de longitud h es proporcional a su longitud: λh. La probabilidad de ocurrencia de 2 o más éxitos en esta unidad pequeña h es aproximadamente cero. Si en un proceso de Poisson de parámetro λ se observa t unidades de medida, se define X = número de ocurrencias de eventos en las t unidades de medida. Entonces, el recorrido de la variable es RX = {0, 1, 2, 3, …. }. La variable aleatoria X tiene distribución Poisson definida por:

p ( x) P( X

x)

( t)x e x!

t

; x 0, 1, 2,3,....

Donde λt es el promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida. En ambas fórmulas del cálculo de probabilidades con la distribución de Poisson lo primero que se tiene que determinar es la media, bien λ o λt.

Ejemplo 6.3 El promedio de llamadas recibidas por una central telefónica en un minuto es igual a 2. Calcule la probabilidad de que en 2 minutos se reciban: a) 3 llamadas; b) a lo más 2 llamadas; c) la distribución de probabilidades; y d) la función de distribución acumulativa de probabilidades.

225

Solución Como λ = 2 y t = 2, λt = 4 llamadas promedio en 2 minutos. Sea X = el número de llamadas recibidas en 2 minutos ~ P (4) y la ley de probabilidades es:

p( x) P( X

x)

4x e 4 ; x 0, 1, 2,3,.... Luego: x!

a) p(3) = P(X = 3) =

43 e 4 = 0.195367 3!

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) =

40 e 4 0!

41 e 4 1!

42 e 4 = 0.23810 2!

c) La distribución de probabilidades Poisson, calculadas con la función de probabilidad, se presentan en el cuadro siguiente: x

p(x) = P(X = x)

F(x) = P(X ≤ x)

0

0.018316

0.018316

1

0.073262

0.091578

2

0.146525

0.238103

3

0.195367

0.433470

4

0.195367

0.628837

5

0.156293

0.785130

6

0.104196

0.889326

7

0.059540

0.948866

8

0.029770

0.978637

9

0.013231

0.991868

10

0.005292

0.997160

11

0.001925

0.999085

12

0.000641

0.999726

226

d) La distribución acumulativa de probabilidades se ha determinado con la función F ( x) P( X

x)

P( X xi x

xi ) xi

4 xi e 4 y se presentan en la tabla anterior xi ! x

de la pregunta c). Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas, las mismas que están sintetizadas en la tabla de la pregunta c) y d). En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades Poisson, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4, …., 15, ….. En la columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores. Para ello, estando en la casilla B2, en funciones


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función POISSON y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.8.

Figura 6.8 Cálculo de probabilidades para la distribución Poisson en Excel

227

En Argumentos de función se define: el número de éxitos, x A2 (0) para poder efectuar una copia para los demás valores de x. Media 4 y en Acumulado escribir FALSO, porque no se desea calcular probabilidad acumulada. Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.01832. Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, hasta B17, cuyos resultados se muestran en la Figura 6.9. Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos la ventana de diálogo de la Figura 6.8, con los mismos Argumentos de función, salvo el de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la probabilidad F(0) = 0.01832. Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, hasta C17, cuyos resultados se muestran en la Figura 6.9.

Figura 6.9 Solución del Ejemplo 6.3 en Excel 228

En Minitab: En este programa, al igual que en la distribución binomial, se puede hacer cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la variable. Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Poisson y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.10. En el ejemplo 6.3, la variable aleatoria X = número de llamadas recibidas ~P (λ=4) parámetro indicado en la Figura 6.10. Esta función permite tres tipos de cálculos: Probabililty (calcular una probabilidad para un valor de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que se realizan indicando previamente el parámetro de la distribución Poisson, es decir, λ = 4 = Mean (media).

Figura 6.10 Probabilidad con la distribución Poisson en Minitab Veamos el cálculo de probabilidades individuales. Para calcular la probabilidad de X = 3, activar

, seleccionar

y en el recuadro escribir 3. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado:

229

Probability Density Function Poisson with mean = 4 x 3

P( X = x ) 0.195367

Para calcular las probabilidades individuales para todos los valores de x= 0, 1, 2, 3, 4, …., 15 especificados en la columna C1 de la Worksheet se activa Probability . Seleccionar

y escoger x en el recuadro; y en Optional

storage; se escoge p(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.11.

Figura 6.11 Probabilidad para varios valores con distribución Poisson en Minitab Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores del ejemplo 6.3 y con los resultados en la Worksheet, en la Figura 6.10 seleccionar y en Optional storage: seleccionar F(x). Al hacer clic en OK en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.11. El gráfico de la distribución Poisson obtenido con el Minitab es el siguiente:

230

Gráfico 6.2 Distribución de Poisson con λ = 4 0.20

p(x)

0.15

0.10

0.05

0.00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

En SPSS: Para calcular las probabilidades simples (P) del ejemplo 6.3, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, …., 15, …).

Figura 6.12 Cálculo de probabilidades con la distribución Poisson en SPSS

231

Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.12. En Variable de destino: escribir P. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Poison y con un clic en ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.POISSON(?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función PDF.POISSON(cant,media) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.12. Así cant representa los valores de la variable x, y media = λ = 4. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.14. Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.3, proceder de manera similar al cálculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal como se muestra en la Figura 6.13.

Figura 6.13 Probabilidades acumuladas con la distribución Poisson en SPSS

232

En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Poisson e ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant y media así: CDF.POISSON(x,4). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.14.

Figura 6.14 Distribución de probabilidades Poisson del ejemplo 6.3 en SPSS

En R: Para calcular probabilidades simples con la distribución Poisson usar la función dpois(x,λ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente y λ la media. En el ejemplo 6.3, X = número de llamadas recibidas ~ P (λ = 4). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así: > dpois(3,4) [1] 0.1953668

233

Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X, primero se define el vector de valores y luego se calculan las probabilidades así: > x=c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) > P=dpois(x,4) Para presentar la distribución de probabilidades (x, P) usar la función cbind que permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a continuación de otro, así: > cbind(x,P) x

P

[1,]

0 1.831564e-02

[2,]

1 7.326256e-02

[3,]

2 1.465251e-01

[4,]

3 1.953668e-01

[5,]

4 1.953668e-01

[6,]

5 1.562935e-01

[7,]

6 1.041956e-01

[8,]

7 5.954036e-02

[9,]

8 2.977018e-02

[10,]

9 1.323119e-02

[11,] 10 5.292477e-03 [12,] 11 1.924537e-03 [13,] 12 6.415123e-04 [14,] 13 1.973884e-04 [15,] 14 5.639669e-05 [16,] 15 1.503912e-05 Para calcular probabilidades acumuladas con Poisson usar la función ppois(x,λ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos y λ la media. 234

En la parte b) del ejemplo 6.3 se solicita F (2) = P (X ≤ 2), esto se calcula así: > ppois(2,4) [1] 0.2381033 Para obtener la distribución de probabilidades y las probabilidades acumuladas efectuamos el siguiente proceso. > F=ppois(x,4) > cbind(x,P,F) x

P

F

[1,]

0 1.831564e-02 0.01831564

[2,]

1 7.326256e-02 0.09157819

[3,]

2 1.465251e-01 0.23810331

[4,]

3 1.953668e-01 0.43347012

[5,]

4 1.953668e-01 0.62883694

[6,]

5 1.562935e-01 0.78513039

[7,]

6 1.041956e-01 0.88932602

[8,]

7 5.954036e-02 0.94886638

[9,]

8 2.977018e-02 0.97863657

[10,]

9 1.323119e-02 0.99186776

[11,] 10 5.292477e-03 0.99716023 [12,] 11 1.924537e-03 0.99908477 [13,] 12 6.415123e-04 0.99972628 [14,] 13 1.973884e-04 0.99992367 [15,] 14 5.639669e-05 0.99998007 [16,] 15 1.503912e-05 0.99999511

235

6.4 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Esta distribución esta asociada a experimentos del siguiente tipo: de un conjunto de N objetos, de los cuales M poseen cierta característica de interés y el resto N – M no la poseen, se extrae n objetos al azar y sin reemplazo; y se observa el número x de objetos en la muestra que poseen la característica de interés. Dicho experimento tiene asociada una variable aleatoria X que da el número x de éxitos (objetos en la muestra que poseen la característica de interés) en n ensayos de Bernoulli cuya distribución de probabilidades esta dada por:

p( x) P( X

x)

CxM CnN xM ; máx {o, n + M - N} ≤ x ≤ mín {n, M} CnN

Los parámetros de la distribución hipergeométrica son N, M y n. Si una variable X tiene distribución hipergeométrica, se le denota así X ~ Hiper (N, M, n) y la ley de probabilidades es la antes indicada. Media y varianza de la distribución hipergeométrica La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son: µ = E (X) = np y σ2 = Var (X) = npq(N –n) / (N – 1) Donde: p = M/N y q = (N – M) / N = 1 - p La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades de la hipergeométrica esta dada por:

F ( x) P( X

x)

P( X xi x

CxMi CnN xiM

xi ) xi x

CnN

Ejemplo 6.4 De la baraja de 52 cartas se reparten 5 naipes sin reposición. Sea X el número de naipes de color negros repartidos. Calcule la probabilidad de que entre los 5 naipes

236

repartidos hayan: a) 3 naipes negros; b) a lo más 2 naipes negros; c) la distribución de probabilidades; y d) la función de distribución acumulativa de probabilidades. Solución En la baraja N = 52 cartas, M = 26 cartas negras, n = 5 cartas repartidas sin reposición. Sea X = el número de naipes negros repartidos ~ Hiper (52, 26, 5) y la ley de probabilidades es:

p ( x) P( X

Cx26 C526x x) ; x 0,1, 2,3, 4,5 Luego: C552

a) p(3) P( X

3)

C326 C226 = 0.32513 C552

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) =

C026 C526 C552

C226 C326 = C552

C126 C426 C552

= 0.02531 + 0.14956 + 0.32513 = 0.50000 c) La distribución de probabilidades, calculadas con la función de probabilidad hipergeométrica, se presentan en el cuadro siguiente: x

0

1

2

3

4

5

p(x)

0.02531

0.14956

0.32513

0.32513

0.14956

0.02531

F(x)

0.02531

0.17487

0.50000

0.82513

0.97469

1.00000


F ( x) P( X

x)

P( X xi x

Cx26i C526xi

xi ) xi x

C552

y se presentan en la tabla anterior

de la pregunta c). Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas, las mismas que están sintetizadas en la tabla de la pregunta c) y d).

237

En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades hipergeométrica, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores. Para ello, estando en la casilla B2, en funciones


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.HIPERGEOM y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.15.

Figura 6.15 Cálculo de distribución hipergeométrica en Excel En Argumentos de función se define: el número de éxitos en la muestra, Muestra_éxito A2 (0) para poder efectuar una copia para los demás valores de x. Num_de_muestra 5 (es el tamaño de la muestra n). Población_éxito 26 (es el número de éxitos en la población = M) y en Num_de_población 52 (el tamaño de la población N). Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.02531. Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se muestran en la Figura 6.16. 238

Las probabilidades acumuladas F(x) se han determinado haciendo los cálculos en la columna C usando los de la columna B, estos se muestran en la Figura 6.16.

Figura 6.16 Solución del Ejemplo 6.4 en Excel En Minitab: En este programa, al igual que en la distribución binomial y Poisson, se puede hacer cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la variable. Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Hipergeometric y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.17. En el ejemplo 6.4, la variable aleatoria X = número de naipes negros repartidos ~ Hiper (52, 26, 5) parámetros indicados en la Figura 6.17. Esta función permite tres tipos de cálculos: Probabililty (calcular una probabilidad para un valor de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que se realizan indicando previamente los parámetros de la distribución hipergeométrica, es decir: Population size (N): = el tamaño de la población = 52; Event count in population (M) = número de éxitos en la población = 26; y Sample size (n): = tamaño de la muestra = 5.

239

Figura 6.17 Probabilidad con la distribución hipergeométrica en Minitab Veamos el cálculo de probabilidades individuales. Para calcular la probabilidad de X = 3, se activa

, seleccionar

y en el recuadro escribir 3. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Probability Density Function Hypergeometric with N = 52, M = 26, and n = 5 x 3

P( X = x ) 0.325130



storage; se escoge p(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.18. Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores del ejemplo 6.4 y con los resultados en la Worksheet, en la Figura 6.17 seleccionar 240

y en Optional storage: seleccionar F(x). Al hacer clic en OK en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.18.

Figura 6.18 Probabilidades con distribución hipergeométrica en Minitab El gráfico de la distribución hipergeométrica obtenido con el Minitab es el siguiente:

Gráfico 6.3 Distribución hipergeométrica con N = 52, M = 26, n = 5 0.35 0.30

p(x)

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

0

1

2

3

4

5

x

En SPSS: Para calcular las probabilidades simples (P) del ejemplo 6.4, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, 5). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.19. En Variable de destino: escribir P.

241

Figura 6.19 Cálculo de probabilidades con la distrib. hipergeométrica en SPSS Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Hiper y con un clic en ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.HIPER(?,?,?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función PDF.HIPER(cant,total,muestra,aciertos) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.19. Así cant representa los valores de la variable x, total = N = 52, muestra = n = 5 y aciertos = M = 26. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.21. Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.4, proceder de manera similar al cálculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal como se muestra en la Figura 6.20. En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Hiper e 242

ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant, total, muestra y aciertos, así: CDF.HIPER(x,52,5,26).

Figura 6.20 Probabilidades acumuladas con la distrib. hipergeométrica en SPSS

Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.21.

Figura 6.21 Distrib. de probabilidades hipergeométrica del ejemplo 6.4 en SPSS

243

En R: Para calcular probabilidades simples con la distribución hipergeométrica usar la función dhyper(x,M,N-M,n). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, M = objetos con la característica de interés, N-M = objetos sin la característica de interés y n el tamaño de la muestra. En el ejemplo 6.4, X = número de naipes negros repartidos ~ Hiper (N = 52, M =26, n = 5). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así: > dhyper(3,26,26,5) [1] 0.3251301 Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X, primero se define el vector de valores y luego se calculan las probabilidades así: > x=c(0,1,2,3,4,5) > P=dhyper(x,26,26,5) Para presentar la distribución de probabilidades (x, P) usar la función cbind que permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a continuación de otro, así: > cbind(x,P) x

P

[1,] 0 0.02531012 [2,] 1 0.14955982 [3,] 2 0.32513005 [4,] 3 0.32513005 [5,] 4 0.14955982 [6,] 5 0.02531012

244

Para calcular probabilidades acumuladas con la hipergeométrica usar la función phyper(x,M,N-M,n). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, M = objetos con la característica de interés, N-M = objetos sin la característica de interés y n el tamaño de la muestra. En la parte b) del ejemplo 6.4 se solicita F (2) = P (X ≤ 2), esto se calcula así: > phyper(2,26,26,5) [1] 0.5 Para obtener la distribución de probabilidades y las probabilidades acumuladas efectuamos el siguiente proceso. > F=phyper(x,26,26,5) > cbind(x,P,F) x

P

F

[1,] 0 0.02531012 0.02531012 [2,] 1 0.14955982 0.17486995 [3,] 2 0.32513005 0.50000000 [4,] 3 0.32513005 0.82513005 [5,] 4 0.14955982 0.97468988 [6,] 5 0.02531012 1.00000000 Resultados idénticos para cada uno de los programas empleados. Cabe resaltar que cualquiera de los cálculos de probabilidades con otras distribuciones son similares, vemos ahora la distribución geométrica de probabilidades.

245

6.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Es una distribución que se relaciona con el proceso de Bernoulli excepto que el número de ensayos no es fijo. La variable aleatoria geométrica se define como X = número de ensayos independientes requeridos hasta obtener el primer éxito, con probabilidad de éxito p y probabilidad de fracaso q. La ley de probabilidades geométrica está dada por:

p ( x ) P( X

x) p q x 1 ; x 1, 2,3, 4,5,....

El parámetro de la distribución geométrica es p. Si una variable X tiene distribución geométrica, se le denota así X ~ Geom (p) y la ley de probabilidades es la antes indicada. Media y varianza de la distribución geométrica La media y la varianza de la distribución geométrica son: µ = E (X) = 1/p y σ2 = Var (X) = q/p2 La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades de la geométrica esta dada por:

F ( x) P( X

x)

P( X xi x

q xi

xi ) p

1

xi x

Ejemplo 6.5 Se lanza una moneda cargada con probabilidad de cara igual a 1/4. Sea X el número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara. Calcule la probabilidad de que se hayan realizado: a) 3 lanzamientos; b) a lo más 2 lanzamientos; c) la distribución de probabilidades; y d) la función de distribución acumulativa de probabilidades.

246

Solución El éxito es obtener cara, entonces p = P(C) = ¼= 0.25 y q = ¾ = 0.75. Sea X = el número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara ~ Geom (0.25) y la ley de probabilidades es:

p( x) P( X

1 4

x)

a) p(3) P( X

3)

3 4

1 4

x 1

; x 1, 2,3, 4,.... Luego:

3 4

3 1

1 b) P (X ≤ 2) = p(1) + p(2) = 4

= 0.14063

3 4

1 1

1 4

3 4

2 1

=

= 0.25000 + 0.18750 = 0.4375 c) La distribución de probabilidades, calculadas con la función de probabilidad geométrica, se presenta en el cuadro siguiente: x

p(x) = P(X = x)

F(x) = P(X ≤ x)

1

0.25000

0.25000

2

0.18750

0.43750

3

0.14063

0.57813

4

0.10547

0.68359

5

0.07910

0.76270

6

0.05933

0.82202

7

0.04449

0.86652

8

0.03337

0.89989

9

0.02503

0.92492

10

0.01877

0.94369

11

0.01408

0.95776

247


F ( x) P( X

x)

P( X xi x

1 xi ) 4 xi

x

3 4

xi 1

y se presentan en la tabla

anterior de la pregunta c). Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas, las mismas que están sintetizadas en la tabla de la pregunta c) y d).

En Excel: La distribución de probabilidades geométrica no esta definida en el Excel, pero se pueden obtener en la hoja de cálculo trabajando con la fórmula. Para ello definir en la columna A, los valores de la variable x, luego en la columna B definir las probabilidades p(x) como fórmula de cálculo. Del mismo modo en la columna C, definir los acumulados, bajo la forma tradicional de acumulación y se obtiene el resultado mostrado en la Figura 6.22.

Figura 6.22 Solución del Ejemplo 6.5 en Excel 248

En Minitab: En este programa, al igual que para las distribuciones anteriores, se puede hacer cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la variable. Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Geometric y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.23. En el ejemplo 6.5, la variable aleatoria X = el número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara ~ Geom (0.25) parámetro indicado en la Figura 6.23.

Figura 6.23 Probabilidad con la distribución geométrica en Minitab Esta función permite tres tipos de cálculos: Probabililty (calcular una probabilidad para un valor de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que se realizan indicando previamente el parámetro de la distribución geométrica, es decir: p = 0.25 escrito en Event probability.

249

Veamos el cálculo de probabilidades individuales. Para calcular la probabilidad de X = 3, se activa

, seleccionar

y en el recuadro escribir 3. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Probability Density Function Geometric with p = 0,25 x 3

P( X = x ) 0,140625

* NOTE * X = total number of trials.



storage; se escoge p(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.24. Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores del ejemplo 6.5 y con los resultados en la Worksheet, en la Figura 6.23 seleccionar y en Optional storage: seleccionar F(x). Al hacer clic en OK en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.24. Las probabilidades acumuladas presentadas en la Figura 6.24, se encuentran alrededor de 0.987, para X = 15, por lo que existen más valores de X cuyas probabilidades acumuladas no se han evaluado. Así tenemos que para X = 40: el Minitab arroja una probabilidad más cerca de uno y es la siguiente: Cumulative Distribution Function Geometric with p = 0.25 x 40

P( X <= x ) 0.999990

* NOTE * X = total number of trials.

250

Figura 6.24 Probabilidades con distribución geométrica en Minitab

El gráfico de la distribución geométrica obtenido con el Minitab es el siguiente:

Gráfico 6.4 Distribución geométrica con p = 0.25 0.25

p(x)

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 x

251

En SPSS: Para calcular las probabilidades simples (P) del ejemplo 6.5, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, …, 14, 15, ….). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.25. En Variable de destino: escribir P.

Figura 6.25 Cálculo de probabilidades con la distribución geométrica en SPSS Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Geom y con un clic en ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.GEOM(?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función PDF.GEOM(cant,prob) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.25. Así cant representa los valores de la variable x, prob = probabilidad de éxito = p = 0.25.

252

Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.27. Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.5, proceder de manera similar al cálculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal como se muestra en la Figura 6.26. En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Geom e ingresarla en el recuadro Expresión numérica. Luego definir los argumentos cant, y prob, así: CDF.GEOM(x,0.25).

Figura 6.26 Probabilidades acumuladas con la distribución geométrica en SPSS

Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.27.

253

Figura 6.27 Distrib. de probabilidades geométrica del ejemplo 6.5 en SPSS En R: El cálculo de probabilidades para la distribución geométrica en R se realiza con una variante en los valores de la variable que van desde cero hacia adelante. Para ello se define una variable Y = X - 1 = número de pruebas (lanzamientos de la moneda) menos uno hasta obtener el éxito (cara). Es decir que: P(X = x) = P(Y = x – 1). Por lo tanto, la función de probabilidad y la distribución acumulativa de probabilidades para el R son:

p( y) P(Y

y) p q y ; y

0,1, 2,3, 4,5,....

F ( y) P(Y

y)

yi ) p

P(Y yi y

q yi yi y

Para calcular probabilidades simples con la distribución geométrica usar la función dgeom(y,p). Donde y puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente y p = probabilidad de éxito. En el ejemplo 6.5, se definió X = el número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara ~ Geom (0.25). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3) = P(Y = 2), esto se calcula en R así:

254

> dgeom(2,0.25) [1] 0.140625 Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria Y, primero se define el vector de valores y luego se calculan las probabilidades así: > y=c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) > P=dgeom(y,0.25) Para presentar la distribución de probabilidades (y, P) usar la función cbind que permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a continuación de otro, así: > cbind(y,P) y

P

[1,]

0 0.250000000

[2,]

1 0.187500000

[3,]

2 0.140625000

[4,]

3 0.105468750

[5,]

4 0.079101563

[6,]

5 0.059326172

[7,]

6 0.044494629

[8,]

7 0.033370972

[9,]

8 0.025028229

[10,]

9 0.018771172

[11,] 10 0.014078379 [12,] 11 0.010558784

255

[13,] 12 0.007919088 [14,] 13 0.005939316 [15,] 14 0.004454487 [16,] 15 0.003340865 Para calcular probabilidades acumuladas con la geométrica usar la función pgeom(y,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, p = probabilidad de éxito. En la parte b) del ejemplo 6.5 se solicita F (2) = P (X ≤ 2) = P(Y ≤ 1), esto se calcula en R así: > pgeom(1,0.25) [1] 0.4375 Para obtener la distribución de probabilidades y las probabilidades acumuladas efectuamos el siguiente proceso. > F=pgeom(y,0.25) > cbind(y,P,F) y

P

F

[1,]

0 0.250000000 0.2500000

[2,]

1 0.187500000 0.4375000

[3,]

2 0.140625000 0.5781250

[4,]

3 0.105468750 0.6835938

[5,]

4 0.079101563 0.7626953

[6,]

5 0.059326172 0.8220215

[7,]

6 0.044494629 0.8665161

256

[8,]

7 0.033370972 0.8998871

[9,]

8 0.025028229 0.9249153

[10,]

9 0.018771172 0.9436865

[11,] 10 0.014078379 0.9577649 [12,] 11 0.010558784 0.9683236 [13,] 12 0.007919088 0.9762427 [14,] 13 0.005939316 0.9821821 [15,] 14 0.004454487 0.9866365 [16,] 15 0.003340865 0.9899774

Las probabilidades acumuladas presentadas hasta aquí, se encuentran alrededor de 0.98998, para Y = 15, por lo que existen más valores de Y cuyas probabilidades acumuladas no se han evaluado. Así tenemos que para Y = 40: el R arroja una probabilidad más cerca de uno y es la siguiente: > pgeom(40,0.25) [1] 0.9999925 También para Y = 50: > pgeom(50,0.25) [1] 0.9999996

Nota: el cálculo de probabilidades para las distintas distribuciones discretas vistas y otras, tienen la misma forma de cálculo en cada uno de los programas estudiados, siendo cuestión de explorar cada uno de ellos.

257

Capítulo 7. MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD “Democracia: es una superstición muy difundida, un abuso de la estadística”. Jorge Luis Borges

CONTENIDO 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Introducción. Distribución uniforme o rectangular. Distribución exponencial. Distribución normal. Distribución chi-cuadrado. Distribución T de student. Distribución F.

7.1 INTRODUCCIÓN En el presente capítulo se presentan los modelos de probabilidad continuos cuyo cálculo basado en integrales, ha sido adaptado a los programas que estamos estudiando y que facilitan el cálculo de probabilidades por la simplificación de los procesos. Se presentan los principales modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas, cuyo cálculo de probabilidades esta basado en la distribución acumulativa x

de probabilidades F(x) = P(X ≤ x)

f (t ) dt ; las mismas que permiten calcular

probabilidades como: P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

P(X > c) = 1- P(X ≤ c) = 1 – F(c)

o

Entre los modelos a estudiar tenemos las distribuciones: uniforme, exponencial, normal, chi-cuadrado, T de student y F. En cada caso se presenta las características principales de cada distribución, es decir, la función de probabilidad, la esperanza, la varianza, la función de distribución acumulativa de probabilidades y las respectivas formas de cálculo de probabilidades.

258

7.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X se distribuye uniformemente en el intervalo [a, b], si su función de densidad de probabilidades está dada por: 1

f ( x)

,a x b b a 0 , otros casos

Los parámetros de la distribución uniforme son a y b. Si una variable X tiene distribución uniforme, se le denota así X ~ Uniforme (a, b) y la ley de probabilidades es la antes indicada. Media y varianza de la distribución uniforme La media y la varianza de la distribución uniforme son: µ = E (X) = (a + b)/2 y σ2 = Var (X) = (b – a)2/12 La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades de la uniforme esta dada por: 0 F ( x) P( X

x)

,x

a

x a ,a x b b a 1 , x b

Ejemplo 7.1 El tiempo en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación del tren es un fenómeno aleatorio que obedece a una ley de distribución uniforme en el intervalo de 20 a 25 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estación a las 7:28 a.m. en punto, si sale de su casa exactamente a las 7:05 a.m.? b) Hallar P(22 ≤ X ≤ 24).

259

Solución La variable aleatoria X = tiempo que se demora la persona en ir de su casa a la estación del tren saliendo a las 7:05 a.m. ~ Uniforme (20, 25) y la función de densidad de probabilidades esta dada por:

f ( x)

1 , 20 x 25 5 0 , otros casos

Así mismo, su función de distribución acumulativa de probabilidades es: 0 F ( x) P( X

x)

,x

20

x 20 , 20 x 25 5 1 , x 25

a) Si sale de su casa a las 7:05, para que alcance el tren que sale a las 7:28, debe demorarse a lo más 23 minutos, es decir X ≤ 23, luego la probabilidad solicitada usando la función de distribución acumulativa de probabilidades es: P( X

23)

F (23)

23 20 5

3 = 0.6. 5

Significa que el 60% de las veces que sale de su casa a las 7:05 alcanzará el tren. b) P(22 ≤ X ≤ 24) = F(24) – F(22) =

24 20 5

22 20 5

2 = 0.4. 5

Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas estudiados, reiterando que en la mayoría de los casos dichos cálculos se realizan utilizando las probabilidades acumuladas. En Excel: La distribución uniforme no ha sido definida en Excel, pero con la función de distribución acumulativa de probabilidades planteada, se pueden efectuar algunos cálculos de probabilidades acumulativos definiendo la fórmula correspondiente.

260

En Minitab: Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Uniform y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.1.

Figura 7.1 Probabilidad con la distribución uniforme en Minitab La función permite tres tipos de cálculos: Probabililty density (para hallar f(x) para un valor x de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor x determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Las más usadas son las dos últimos. En el Ejemplo 7.1, la variable aleatoria X = tiempo que se demora la persona en ir de su casa a la estación del tren ~ Uniforme (20, 25) parámetros indicados en la Figura 7.1. Para resolver la parte a) y b) se necesita el cálculo de probabilidades acumuladas F(23), F(24) y F(22) que se explican a continuación. Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar

e

indicar los parámetros de la distribución uniforme, es decir: a = 20 escrito en Lower endpoint (valor más pequeño de X) y b = 25 escrito en Upper endpoint (valor más grande de X).

261

Para efectuar el cálculo F(23) de la parte a) del Ejemplo 7.1 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir 23. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Cumulative Distribution Function Continuous uniform on 20 to 25 x 23

P( X <= x ) 0.6

Se procede del mismo modo para hallar F(24) y F(22) de la parte b). Si de antemano sabemos que se requiere calcular probabilidades acumuladas para varios valores de X, en una columna de la worksheet definimos dichos valores como x y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.1 en vez de escoger Input constant: se selecciona

y escoge x en el recuadro; y en

Optional storage; se escoge F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(22 ≤ X ≤ 24) = F(24) – F(22) = 0.8 – 0.4 = 0.4. Una representación gráfica de la solución anterior en Minitab (cuyo procedimiento es similar para otras distribuciones continuas), se obtiene seleccionando del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.2. En Distribution: hacer clic en

, escoger la distribución uniforme e indicar sus

parámetros. Luego hacer clic en

(Área a sombrear) y aparece la ventana de

diálogo de la Figura 7.3. En Define Shaded Area By escoger

, luego

e

indicar los valores X1 = 22 y X2 = 24 [ya que queremos hallar P(22 ≤ X ≤ 24) y el gráfico con dicha área sombreada]. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de la Figura 7.4.

262

Figura 7.2 Graficando probabilidades acumuladas para la uniforme en Minitab

Figura 7.3 Definiendo el área a sombrear para probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en Minitab

263

Distribution Plot

Uniform, Lower=20, Upper=25 0.4

0.20

Density

0.15

0.10

0.05

0.00

20

22

24

X

25

Figura 7.4 Cálculo y gráfico de P(22 ≤ X ≤ 24) con la dist. uniforme en Minitab Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x, para una probabilidad acumulada dada) seleccionar

en la

Figura 7.1 e indicar los parámetros de la distribución uniforme. Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.05 en el Ejemplo 7.1 necesitamos seleccionar

y en el recuadro escribir 0.05. Al

hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Inverse Cumulative Distribution Function Continuous uniform on 20 to 25 P( X <= x ) 0.65

x 20.25

Cuyo gráfico (válido para la distribución uniforme y otras variables continuas) se obtiene de manera similar al anterior, sólo que en la Figura 7.3 en Define Shaded Area By se escoge

, luego seleccionar

(cola del lado izquierdo en

inferencia estadística) y en el recuadro de Probability: escribir 0.05. Para finalizar hacer clic en OK e inmediatamente aparece el gráfico de la Figura 7.5.

264

Distribution Plot

Uniform, Lower=20, Upper=25 0.20

0.05

Density

0.15

0.10

0.05

0.00

20 20.3

X

25

Figura 7.5 Gráfico del inverso de probab. acum. Con la dist. uniforme en Minitab Nota.- todos los procedimientos vistos aquí con el Minitab son válidos para las otras distribuciones continuas de probabilidad y que serán abreviados cuando se vea para esas otras distribuciones. En SPSS: Para calcular las densidades f(x) (f) del ejemplo 7.1, sólo para hacer el gráfico de la función, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (22, 23, 24, ….). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.6. En Variable de destino: escribir f. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Uniform y con un clic en ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.UNIFORM(??,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función PDF.UNIFORM(cant,mín,máx) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.6.

265

Así cant representa los valores de la variable x, mín = valor mínimo = 20 y máx = valor máximo = 25.

Figura 7.6 Cálculo de las densidades f(x) con la distribución uniforme en SPSS Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 7.8, cuyos resultados no son de mucha trascendencia para variables continuas, ya que sirven para realizar la gráfica de la distribución [distinto al caso discreto, donde se obtenía probabilidades p(x) con esta función], por lo que para las siguientes distribuciones los obviaremos, pero se obtienen de manera similar en el SPSS. Sin embargo, las probabilidades acumuladas son de interés por lo que serán tratadas en cada una de las distribuciones continuas que se presentan y cuyo procedimiento es similar al que se ve a continuación. Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 7.1, proceder de manera similar al cálculo de densidades, con las variantes indicadas, tal como se muestra en la Figura 7.7.

266

En la Variable de destino: se escribe Fx. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Uniform e ingresarla en el recuadro Expresión numérica. Luego definir los argumentos cant representa los valores de la variable x, mín = valor mínimo = 20 y máx = valor máximo = 25, así: CDF.UNIFORM(x,20,25).

Figura 7.7 Probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en SPSS Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 7.8.

Figura 7.8 Densidades y probab. acumuladas con la distrib. uniforme en SPSS Resultados que son idénticos a los obtenidos con el Minitab. 267

En R: Para calcular las densidades con la distribución uniforme se usa la función dunif(x,mín,máx). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más grande de X. En el ejemplo 7.1, X = tiempo que se demora la persona en ir de su casa a la estación del tren ~ Uniforme (20, 25). Para determinar las densidades correspondientes a los valores 22, 23 y 24se define un vector x con dichos valores y luego las densidades f se calculan así: > x=c(22,23,24) > f=dunif(x,20,25) > cbind(x,f) x

f

[1,] 22

0.2

[2,] 23

0.2

[3,] 24

0.2

Para calcular probabilidades acumuladas con la uniforme usar la función punif(x,mín,máx). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más grande de X. Para determinar las probabilidades acumuladas F para los valores x ya definidos y presentar las densidades f también, se procede así: > F=punif(x,20,25) > cbind(x,f,F) x

f

F

[1,] 22

0.2

0.4

[2,] 23

0.2

0.6

[3,] 24

0.2

0.8 268

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qunif(p,mín,máx). Donde p puede ser una probabilidad acumulada o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más grande de X. Para hallar el valor del cuantil x correspondiente a una probabilidad acumulada de 0.05, se procede así: > qunif(0.05,20,25) [1] 20.25 Resultados idénticos a los del Minitab y del SPSS. Cabe resaltar que cualquiera de los cálculos de probabilidades con otras distribuciones es similar.

7.3 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro λ positivo, si su función de densidad de probabilidades está dada por:

f ( x)

e

x

0

,x 0 , otros casos

El parámetro de la distribución exponencial es λ. Si una variable X tiene distribución exponencial, se le denota así X ~ Exp (λ) y la ley de probabilidades es la antes indicada.

Media y varianza de la distribución exponencial La media y la varianza de la distribución exponencial son: µ = E (X) = 1/ λ σ2 = Var (X) = 1/ λ2

269

La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

F ( x) P( X

x)

0

, x 0

1 e

x

, x 0

Ejemplo 7.2 El tiempo de vida de un tipo de focos es una variable aleatoria X, que tiene distribución exponencial con una vida media de 1000 horas. a) ¿Qué proporción de focos no sirve antes de las 1000 horas? y b) ¿Qué proporción de focos dura entre 800 y 1200 horas? Solución La variable aleatoria X = tiempo de vida de los focos tiene distribución exponencial con media µ = 1/ λ = 1000 horas. Por lo tanto, λ = 0.001. Luego X ~ Exp (0.001) y la función de densidad de probabilidades esta dada por:

f ( x)

0.001 e 0

0.001 x

,x 0 , otros casos

Así mismo, la función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

F ( x) P( X

x)

0

, x 0

1 e

0.001 x

, x 0

Entonces las probabilidades solicitadas son: a) P(X < 1000) = F(1000) = 1 – e-0.001(1000) = 1 – e-1 = 0.6321 Significa que el 63.21% de los focos no sirve antes de las 1000 horas. b) P(800 ≤ X ≤ 1200) = F(1200) - F(800) = [1 – e-0.001(1200)] – [1 – e-0.001(800)] = = [1 - e-1.2] – [1 - e- 0.8 = 0.698806 – 0.550671 = 0.148135. Significa que el 14.81% de los focos dura entre 800 y 1200 horas. Veamos el cálculo de estas probabilidades acumuladas con los programas en estudio.

270

En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas exponenciales, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 800, 1000 y 1200. En la columna B, definimos las probabilidades acumuladas F(x) para cada uno de los valores. Para ello, estando en la casilla B2, en funciones


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.EXP y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.9.

Figura 7.9 Cálculo de probabilidades acumuladas con exponencial en Excel En Argumentos de función se define: el valor de X = A2 (800) para poder efectuar una copia para los demás valores de x, Lambda = λ = 0.001 (es el valor del parámetro) y en Acum escribir VERDADERO [para obtener las probabilidades acumuladas, si se escribe FALSO se obtiene la densidad de probabilidades f(x)]. Al hacer enter, aparece la probabilidad acumulada F(800) = 0.550671.

271

Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, cuyos resultados son:

En Minitab: Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Exponential y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.10.

Figura 7.10 Probabilidad acumulada con la distribución exponencial en Minitab La función permite tres tipos de cálculos: Probabililty density (para hallar f(x) para un valor x de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor x determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Las más usadas son las dos últimos. En el Ejemplo 7.2, la variable aleatoria X = tiempo de vida de los focos ~ Exp (0.001) parámetro indicado en la Figura 7.10. Para resolver la parte a) y b) se necesita el 272

cálculo de probabilidades acumuladas F(800), F(1000) y F(1200) que se explican a continuación. Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar

e

indicar el parámetro requerido por la distribución exponencial en Scale, es decir: media µ = 1/ λ = 1000. Para efectuar el cálculo F(800) de la parte a) del Ejemplo 7.2 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir 1000. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Cumulative Distribution Function Exponential with mean = 1000 x 1000

P( X <= x ) 0.632121

Se procede del mismo modo para hallar F(800) y F(1200) de la parte b). También se puede calcular probabilidades acumuladas para varios valores de X, en una columna de la worksheet definimos dichos valores como x y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.10 en vez de escoger Input constant: se selecciona

y escoge x en el recuadro; y en Optional storage; se escoge

F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(800 ≤ X ≤ 1200) = F(1200) – F(800) = 0.698806 – 0.550671 = 0.148135. La representación gráfica de la solución anterior en Minitab, se obtiene seleccionando del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.11.

273

Figura 7.11 Graficando probabilidades acum. para la exponencial en Minitab En Distribution: hacer clic en

, escoger la distribución Exponential e indicar la

media = 1000 en Scale. Luego hacer clic en escoger

, luego

. En Define Shaded Area By

e indicar los valores X1 = 800 y X2 = 1200 [ya que

queremos hallar P(800 ≤ X ≤ 1200) y el gráfico con dicha área sombreada]. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico siguiente:

Distribución exponencial

Scale= µ = 1/ λ = 1000, Thresh=0 0.0010

Density

0.0008

0.0006

0.0004

0.148

0.0002

0.0000

0

800 1200

X

274

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x, para una probabilidad acumulada dada) seleccionar

en la

Figura 7.10 e indicar el parámetro de la distribución exponencial. Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.05 en el Ejemplo 7.2 necesitamos seleccionar

y en el recuadro escribir 0.05. Al

hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Inverse Cumulative Distribution Function Exponential with mean = 1000 P( X <= x ) 0.05

x 51.2933

El 5% de los focos tiene un duración menor o igual a 51.29 horas. El valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.95 es: Inverse Cumulative Distribution Function Exponential with mean = 1000 P( X <= x ) x 0.95 2995.73 El 95% de los focos tiene una duración menor o igual a 2995.73 horas. En SPSS: Para calcular las probabilidades acumuladas F(x) (F) del ejemplo 7.2, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (800, 1000, 1200). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.12. En Variable de destino: escribir F. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Exp y con un clic en ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.EXP(?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función CDF.EXP(cant,escala) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.12. Así cant representa los valores de la variable x y escala = λ = 0.001.

275

Figura 7.12 Cálculo de probab. acum. con la distribución exponencial en SPSS Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 7.13.

Figura 7.13 Probabilidades acumuladas con la distrib. exponencial en SPSS En R: Para calcular probabilidades acumuladas con la exponencial usar la función pexp(x,λ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente y λ = parámetro de la exponencial.

276

En el ejemplo 7.2, X = tiempo de vida de los focos ~ Exp (0.001). Para determinar las probabilidades acumuladas correspondientes a los valores 800, 1000 y 1200 se define un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así: > x=c(800,1000,1200) > F=pexp(x,0.001) > cbind(x,F) x [1,]

F

800

0.5506710

[2,] 1000

0.6321206

[3,] 1200

0.6988058

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qexp(p,λ). Donde p es una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente y

λ =

parámetro de la exponencial. Para hallar el valor del cuantil q correspondiente a las probabilidades acumulada de 0.05 y 0.95 se procede así: > p=c(0.05,0.95) > q=qexp(p,0.001) > cbind(p,q) p

q

[1,] 0.05 51.29329 [2,] 0.95 2995.73227

277

7.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribución normal con parámetros µ y σ2, si su función de densidad de probabilidades está dada por:

f ( x) 2

)2

(x

1 2

e

2

2

,

x

La distribución normal es simétrica respecto a µ. Media y varianza de la distribución normal La media y la varianza de la distribución normal son: E (X) = µ

y

Var (X) = σ2

Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media µ y varianza σ2, se le denota así X ~ N (µ y σ2) y la ley de probabilidades es la antes indicada. La gráfica de la distribución normal tiene la siguiente forma:

Distribution Normal Mean = µ, StDev = σ

0.8 0.7 0.6

Density

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

µ X

La función de distribución acumulativa de probabilidades La función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

278

F ( x)

P( X

x)

2

)2

(t

1

x

e

2

2

2

dt

Calcular estas probabilidades acumuladas es complicado ya que los cálculos varían para cada media y cada varianza. Problema que es resuelto mediante el proceso de estandarización (transformación) de la variable X ~ N (µ, σ2) en otra variable Z

X

~ N (0, 1) llamada distribución normal estándar.

La distribución normal estándar Si una variable aleatoria X ~ N (µ, σ2) y se define la variable Z variable aleatoria Z tiene distribución normal estándar

X

entonces la

= N (0, 1) y su función de

densidad de probabilidades esta dada por:

f ( z)

1 e 2

z2 2

,

z

La función de distribución acumulada de la distribución normal estándar se denota y define así: 2

Φ(z) = P( Z

z)

z

t 1 2 e dt . Se cumple que Φ(-z) = 1 - Φ(z), para z > 0. 2

Estas probabilidades han sido calculadas y aparecen en la denominada tabla de la distribución normal estándar y facilitada por el uso de los programas estadísticos como los que estamos estudiando. Estandarización.- es el proceso por el cual una variable aleatoria X ~ N (µ, σ2) se transforma en otra variable aleatoria Z

X

~ N (0, 1); permitiendo el cálculo de

probabilidades cuando X se encuentra entre dos números reales a y b del siguiente modo: P(a ≤ X ≤ b) = P[(a - µ) /σ ≤ (X - µ) /σ ≤ (b - µ) /σ] = = P[(a - µ) /σ ≤ Z ≤ (b - µ) /σ] = Φ((b - µ) /σ) - Φ((b - µ) /σ)

279

Ejemplo 7.3 Los diámetros de los tubos fabricados por cierta máquina tienen distribución normal con media de 9.8 mm. y desviación estándar de 0.53 mm. a) ¿Qué proporción de tubos serán rechazados, si no se aceptan diámetros inferiores a 9 mm?; b) ¿Qué proporción de tubos tiene un diámetro entre 8.5 y 11.0 mm?; y c) ¿por debajo de que diámetro se encuentra el 95% de los tubos? Solución La variable aleatoria X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8, 0.53). Estandarizando se tiene que Z

X 9.8 ~ N (0, 1) 0.53

a) Se rechazan los tubos si X < 9 mm., entonces:

P( X

9)

P

X 9.8 0.53

9 9.8 0.53

P( Z

1.51) = Φ(-1.51) = 0.06552

Significa que alrededor del 6.55% de los tubos fabricados será rechazado. b) P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = P

8.5 9.8 0.53

X 9.8 0.53

9 9.8 0.53

P( 2.45 Z

3.40)

= Φ(3.40) - Φ(-2.45) = 0.99966 - 0.00714 = 0.99252. Significa que alrededor del 99.25% de los tubos fabricados tienen diámetro entre 8.5 y 11.0 mm. c) Necesitamos halla el cuantil q0.95 = x, tal que: 0.95 = P(X ≤ x) = P Z

x 9.8 x 9.8 → 0.53 0.53

Z 0.95

1.645 → x = 10.67 mm.

Significa que el 95% de los tubos fabricados tienen un diámetro de alrededor de los 10.67 mm. Veamos la solución del ejemplo 7.3 utilizando los programas y basados fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la normal.

280

En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas normales, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 8.5, 9.0 y 11.0. En la columna B, definimos las probabilidades acumuladas F(x). Para hallar las probabilidades acumuladas, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadísticas (de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.NORM y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.14.

Figura 7.14 Cálculo de probabilidades acumuladas con la normal en Excel En Argumentos de función se define: el valor de X = A2 (8.5) para poder efectuar una copia para los demás valores de x, Media = µ = 9.8, Desv_estándar = σ = 0.53 y en Acum escribir VERDADERO [para obtener las probabilidades acumuladas, si se escribe FALSO se obtiene la densidad de probabilidades f(x)]. Al hacer clic en Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(8.5) = 0.007087.

281

Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, cuyos resultados son:

Nota.- para hallar los resultados iniciales del ejemplo 7.3, se hizo una aproximación de los valores Z, para poder usar la “vieja” tabla de la distribución normal estándar, resultados que difieren de los acumulados F(x) encontrados con el programa, ya que éste internamente hace la estandarización y da una mejor aproximación. Sin embargo, el Excel también permite obtener los Φ(z) con la función DIST.NORM.ESTAND(z). Tal como se muestra en los resultados anteriores difieren los F(x) y Φ(z). Para hallar el inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x , para una probabilidad acumulada = p) usar la función DIST.NORM.INV(p, µ, σ) que para la parte c) del ejemplo 7.3 escribir =DIST.NORM.INV(0.95,9.8,0.53) en el recuadro al lado de

, al hacer enter se obtiene x = 10.67177 mm. similar al

anteriormente hallado. En Minitab: Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Normal y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.15. La función permite tres tipos de cálculos: Probabililty density (para hallar f(x) para un valor x de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada hasta un valor x determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la variable para una probabilidad acumulada dada). Las más usadas son las dos últimos. En el Ejemplo 7.3, la variable aleatoria X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8, 0.53) parámetro indicado en la Figura 7.15. Para resolver la parte a) y b) se necesita el cálculo de probabilidades acumuladas F(8.5), F(9.0) y F(11.0) que se explican a continuación. 282

Figura 7.15 Probabilidad acumulada con la distribución normal en Minitab Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar

e

indicar los parámetros requeridos por la distribución normal en Mean = media = µ = 9.8 y en Standard deviation = desviación estándar = σ = 0.53. Para efectuar el cálculo F(8.5) de la parte b) del Ejemplo 7.3 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir 8.5. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Cumulative Distribution Function Normal with mean = 9.8 and standard deviation = 0.53 x 8.5

P( X <= x ) 0.0070869

Se procede del mismo modo para hallar F(9.0) y F(11.0). También se puede calcular probabilidades acumuladas para varios valores de X, en una columna de la worksheet definimos dichos valores como x y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.15 en vez de escoger Input constant: se selecciona

y escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge

283

F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = F(11.0) – F(8.5) = 0.988218 – 0.007087 = 0.981131. Ligeramente diferente al 0.99252 encontrado en b). La representación gráfica de la solución anterior en Minitab, se obtiene seleccionando del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.16.

Figura 7.16 Graficando probabilidades acumuladas con la normal en Minitab En Distribution: hacer clic en = 0.53. Luego hacer clic en luego

, escoger la distribución Normal e indicar µ = 9.8 y σ . En Define Shaded Area By escoger

,

e indicar los valores X1 = 8.5 y X2 = 11.0 [ya que queremos hallar P(8.5 ≤

X ≤ 11.0) y el gráfico con dicha área sombreada]. 284

Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico siguiente:

Distribution Normal Mean=9.8, StDev=0.53

0.8

P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = 0.981

0.7 0.6

Density

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

8.5

9.8 X

11


en la

Figura 7.15 e indicar los parámetros de la distribución normal. Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.95 en la parte c) del Ejemplo 7.3 necesitamos seleccionar

y en el recuadro escribir

0.95. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Inverse Cumulative Distribution Function Normal with mean = 9.8 and standard deviation = 0.53 P( X <= x ) 0.95

x 10.6718

El 95% de los tubos tiene un diámetro menor o igual a 10.6718 mm. En SPSS: Para calcular las probabilidades acumuladas F(x) (F) del ejemplo 7.3, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (8.5, 9.0, 11.0).

285

Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.17. En Variable de destino: escribir F. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Normal y con un clic en ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.NORMAL(?,?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función CDF.NORMAL(cant,media,desv_típ) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.17. Así cant representa los valores de la variable x, media = µ = 9.8 y desv_típ = σ = 0.53.

Figura 7.17 Cálculo de probab. acumuladas con la distribución normal en SPSS Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 7.18. Los resultados obtenidos son idénticos a los del Excel y Minitab.

286

Figura 7.18 Probabilidades acumuladas con la distribución normal en SPSS En R: Para calcular probabilidades acumuladas con la exponencial usar la función pnorm(x,µ,σ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, µ = media, y σ = desviación estándar. En el ejemplo 7.3, X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8, 0.532). Para determinar las probabilidades acumuladas correspondientes a los valores 8.5, 9.0 y 11.0 se define un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así: > x=c(8.5,9.0,11.0) > F=pnorm(x,9.8,0.53) > cbind(x,F) x

F

[1,]

8.5

0.007086862

[2,]

9.0

0.065593960

[3,] 11.0

0.988217584

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qnorm(x,µ,σ). Donde p es una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente. Para hallar el valor del cuantil q correspondiente a las probabilidades acumulada de 0.95 se procede así: > qnorm(0.95,9.8,0.53) [1] 10.67177 El 95% de los tubos tiene un diámetro menor o igual a 10.6718 mm.

287

7.5 DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO Definición.- Sean Z1, Z2, ..., Zr, variables aleatorias independientes, cada una con distribución normal estándar, Zi ~ N(0 , 1) . Entonces, la variable aleatoria

x²

Z12

Z22 ... Z r2

tiene una distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, si su función de densidad de probabilidades está dada por:

r

1

f X 2 ( x) =

2

r 2

r 2

1

x2 e

x/2

= 0

,

0
,

en otros casos

Donde: 

Γ representa el gamma de un número, entero positivo



( n)

(n) = (n – 1)! . Además,

0

X n 1e x dx , n > 0. Si n es

1 2

.

r = grados de libertad (GL) representa el número de variable aleatorias independientes que se suman o el número de variables que pueden variar libremente. En regresión y econometría es el rango de una matriz (máximo número de columnas linealmente independientes)

asociadas a formas

cuadráticas delas sumas de cuadrados. Si la variable aleatoria X tiene distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, la denotaremos como X ~ X r2 .

Media y varianza de la distribución chi-cuadrado La media y la varianza de la distribución chi-cuadrado son: = E(x²) = r

y

² = Var(x²) = 2r

La función de distribución acumulativa de probabilidades El cálculo de probabilidades para la variable aleatoria chi-cuadrado, se efectúa utilizando las Tablas de Chi – Cuadrado, las mismas que han sido elaboradas

288

utilizando la función de distribución acumulativa de probabilidades que en la mayoría de los casos son del tipo de acumulación menor o igual que. Así tenemos que, la probabilidad que la variable aleatoria X con distribución

xr2 1 r

30 sea menor o igual a un valor constante x 2 , representada por: PX

X2

0≤

,

≤1

Está dada por:

PX x

2

x2 0

f X 2 x dx

1

x2 0

2

r 2

r 2

x

r 1 2

x 2

e dx

y su gráfica es:

Distribution chi-cuadrado Chi-Square, df=25

0.06 0.05

Density

0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

α Xα

X

Ejemplo 7.4 Si la variable aleatoria X ~ X 252 . Hallar: a) ¿Qué proporción de valores de X son mayores que 40.6?; b) ¿Qué proporción de valores de X se encuentran entre 14.6 y 37.7?; y c) ¿por debajo de que valor se encuentra el 10% de los valores de X? Solución La variable aleatoria X ~ X 252 . Entonces, usando la tabla de chi-cuadrado se tiene que:

289

a) P[X > 40.6] = 1 - P[ X 252 ≤ 40.6] = 1 – 0.975 = 0.025. Significa que el 2.5% de los valores de X ~ X 252 son mayores que 40.6. b) P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) = P[ X 252 ≤ 37.7] - P[ X 252 ≤ 14.6] = 0.95 – 0.05 = 0.90 Significa que el 90% de los valores de X ~ X 252 se encuentran entre 14.6 y 37.7. c) Necesitamos halla el cuantil q0.10 = x, tal que: 2 0.10 = P( X 252 ≤ x) → x = X 25,0.10 = 16.5

Significa que el 10% de los valores de X ~ X 252 son menores que 16.5. Veamos la solución del ejemplo 7.4 utilizando los programas y basados fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la chi-cuadrado. En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas chi-cuadrado, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 14.6, 37.7 y 40.6. En la columna B, definimos las probabilidades acumuladas, que en Excel vienen dadas por F(x) = P(X > x). Para hallar las probabilidades acumuladas, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadísticas (de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.CHI y aparece la ventana de Argumentos de función donde se define: el valor de X = A2 (14.6) para poder efectuar una copia para los otros valores de x, y en el recuadro de Grados_de libertad escribir 25. Una forma directa de cálculo es escribir =DISTR.CHI(A2,25) en el recuadro al lado de

. Al hacer clic en

Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(14.6) = 0.950239. Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, los resultados se presentan en la Figura 7.19. Se puede apreciar que se ha calculado una columna de 1 – F(x) cuyos resultados son parecidos a los usados en la solución manual del Ejemplo 7.4.

290

Figura 7.19 Cálculo de probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado en Excel Para hallar el inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x , para una probabilidad acumulada = p) usar la función PRUEBA.CHI.INV(1-p, GL) que para la parte c) del ejemplo 7.4 es PRUEBA.CHI.INV(0.90, 25) al hacer enter se obtiene x = 16.4734 similar al 16.5 hallado con la tabla de chi-cuadrado. En Minitab: Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Chi-Square y aparece la ventana de diálogo Chi-Square Distribution. El procedimiento de cálculo es similar al ejecutado con las distribuciones de probabilidades antes vistas. Es decir, el cálculo para una constante (Input constant, con el resultado en la ventana Session) o para varios valores definidos previamente en una columna de la Worksheet (Input column, con los resultados en la worksheeet) que usaremos de aquí en adelante. Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar

e

indicar el parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el recuadro. Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores de X del ejemplo 7.4, en una columna de la worksheet definimos como x los valores 14.6, 37.7 y 40.6; y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, seleccionar

y

escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

291

Resultados idénticos a los obtenidos con el Excel en la columna 1 – F(x). De la tabla, se obtiene rápidamente P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) = F(37.7) – F(14.6) = 0.950526 – 0.049761 = 0.900765. Ligeramente diferente al 0.90 encontrado en b). La representación gráfica de la solución anterior en Minitab, se obtiene seleccionando del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo Probability Distribution Plot – Probability. En Distribution: hacer clic en

, escoger la distribución Chi-Square e indicar el

parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el recuadro. Luego hacer clic en

. En Define Shaded Area By escoger

, luego

e indicar los valores X1 = 14.6 y X2 = 37.7 [ya que queremos hallar P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) y el gráfico con dicha área sombreada]. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de la Figura 7.20.

Distribution Plot Chi-Square, df=25

0.06 0.901 0.05

Density

0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

14.6

X

37.7

Figura 7.20 Gráfico de P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) con la chi-cuadrado en Minitab

292


en la

ventana de diálogo Chi-Square Distribution e indicar los grados de libertad 25. Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.10 en la parte c) del Ejemplo 7.4 necesitamos seleccionar


0.10. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Inverse Cumulative Distribution Function Chi-Square with 25 DF P( X <= x ) 0.1

x 16.4734

El 10% de los valores de X ~ X 252 son menores que 16.5. En SPSS: Para calcular las probabilidades acumuladas F(x) (F) del ejemplo 7.4, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (14.6, 37.7, 40.6). Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.21. En Variable de destino: escribir F. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Chisq y con un clic en ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.CHISQ(?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función CDF.CHISQ(cant,gl) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.21. Así cant representa los valores de la variable x y gl = grados de libertad = 25. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

293

Figura 7.21 Cálculo de probab. acumuladas con la chi-cuadrado en SPSS En R: Para calcular probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado usar la función pchisq(x,gl). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, gl = grados de libertad. En el ejemplo 7.4, X ~ X 252 . Para determinar las probabilidades acumuladas correspondientes a los valores 14.6, 37.7 y 40.6 se define un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así: > x=c(14.6,37.7,40.6) > F=pchisq(x,25) > cbind(x,F) x

F

[1,] 14.6

0.04976093 294

[2,] 37.7

0.95052629

[3,] 40.6

0.97471962

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qchisq(x,gl). Donde p es una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente. Para hallar el valor del cuantil q correspondiente a las probabilidades acumulada de 0.10 se procede así: > qchisq(0.10,25) [1] 16.47341 El 10% de los valores de X ~ X 252 son menores que 16.5.

7.6 DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Definición.- Sea Z una variable aleatoria normal estándar N(0, 1). Sea X2 ~ X r2 una variable aleatoria que tiene una distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, y si Z y X2 son independientes, entonces la variable aleatoria (v.a.)

T

Z X2 r

Z r ~ tr Y

tiene una distribución t , con r grados de libertad, y su función de densidad de probabilidades está dada por:

f t

r 1 2 r r 2

t² 1 r

r 1 2

,

-
Notación: decir que la variable aleatoria T tiene distribución t con r grados de libertad, la denotaremos como T ~ t r . 295

Media y Varianza: La media y la varianza de la v. a. T con r grados de libertad son:

E(T) = Var(T) =

T

=0

,

r

2 T

r

r>1 ,

2

r>2

Función de Distribución Acumulativa de Probabilidades.El cálculo de probabilidades para variable aleatoria t, se efectúa utilizando las Tablas de t, las mismas que han sido elaboradas utilizando la función de distribución acumulativa de probabilidades que en la mayoría de los casos son del tipo de acumulación menor o igual que. Así tenemos que, la probabilidad que la variable aleatoria T con distribución tr (1 r < 30) sea menor o igual a un valor constante t , representada por: ,

PT t

0<

<1

Está dada por:

PT

t

t

t

f t dt

r 1 2 r r 2

cuya representación gráfica es la siguiente:

Distribution t gl = df=25

0.4

Density

0.3

0.2

0.1 α 0.0

Tα

296

0 X

t² 1 r

r 1 2

dt

La distribución t es una distribución simétrica como la normal y se cumple que: F(-a) = P[ T ≤ -a] = 1 - P[ T ≤ a] = 1 - F(a) Ejemplo 7.5 Si la variable aleatoria X ~ T25. Hallar: a) ¿Qué proporción de valores de X son mayores que 2.485?; b) ¿Qué proporción de valores de X se encuentran entre -1.316 y 2.060?; y c) ¿por debajo de que valor se encuentra el 5% de los valores de X? Solución La variable aleatoria X ~ T25. Entonces, usando la tabla de t se tiene que: a) P[X > 2.485] = 1 - P[T25 ≤ 2.485] = 1 – 0.99 = 0.01. Significa que el 1.0% de los valores de X ~ T25 son mayores que 2.485. b) P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) = P[T25 ≤ 2.060] - P[T25 ≤ -1.316] = = P[T25 ≤ 2.060] – {1 - P[T25 ≤ 1.316]} = 0.975 – {1 - 0.90} = 0.875 Significa que el 87.5% de los valores de X ~ T25 se encuentran entre -1.316 y 2.06. c) Necesitamos halla el cuantil q0.05 = x, tal que: 0.05 = P(T25 ≤ x) → x = T25, 0.05 = -1.708 Significa que el 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.708. Veamos la solución del ejemplo 7.5 utilizando los programas y basados fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la distribución t. En Excel: Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas T, en la hoja de cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 1.316, 2.060 y 2.485. En la columna B, definimos las probabilidades acumuladas, que en Excel vienen dadas por F(x) = P(X > x). Excel considera x > 0 y en el cálculo usar la simetría.

297

Para hallar las probabilidades acumuladas, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadísticas (de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.T y aparece la ventana de Argumentos de función donde se define: el valor de X = A2 (1.316) para poder efectuar una copia para los otros valores de x, en el recuadro de Grados_de libertad escribir 25 y en colas escribir 1. Una forma directa de cálculo es escribir =DISTR.T(A2,25,1) en el recuadro al lado de

. Al

hacer clic en Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(1.316) = 0.100057. Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, los resultados se presentan en la Figura 7.22. Se puede apreciar que se ha calculado una columna de 1 – F(x) cuyos resultados son parecidos a los usados en la solución manual del Ejemplo 7.4.

Figura 7.22 Cálculo de probabilidades acumuladas con la t en Excel Para hallar el inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x , para una probabilidad acumulada = p) usar la función DISTR.T.INV(2p, GL) que es para 2 colas (por eso 2p). Para la parte c) del ejemplo 7.5 es DISTR.T.INV(0.10, 25) al hacer enter se obtiene x = 1.708141(en valor absoluto) similar al -1.708 hallado con la tabla de T. En Minitab: Del menú escoger Calc → Probability Distributions → t y aparece la ventana de diálogo t Distribution. El procedimiento de cálculo es similar al ejecutado con las distribuciones de probabilidades anteriores. Es decir, el cálculo para una constante (Input constant, con el resultado en la ventana Session) o para varios valores definidos previamente en una columna de la Worksheet (Input column, con los resultados en la worksheeet) que se esta usando.

298

Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar

e

indicar el parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el recuadro. Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores de X del ejemplo 7.5, en una columna de la worksheet definimos como x los valores -1.316, 2.060 y 2.485; y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, seleccionar

y

escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

Resultados idénticos a los obtenidos con el Excel en la columna 1 – F(x). De la tabla, se obtiene rápidamente P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) = F(2.060) – F(-1.316) = 0.975024 – 0.100057 = 0.874967. Aproximadamente el 0.875 encontrado en b). La representación gráfica de la solución anterior en Minitab, se obtiene seleccionando del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo Probability Distribution Plot – Probability. En Distribution: hacer clic en

, escoger la distribución t e indicar el parámetro

requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el recuadro. Luego hacer clic en

. En Define Shaded Area By escoger

, luego

e indicar los valores X1 = -1.316 y X2 = 2.060 [ya que queremos hallar P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) y el gráfico con dicha área sombreada]. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de la Figura 7.23.

299

Distribution T gl = df=25

0.4

0.875

Density

0.3

0.2

0.1

0.0

-1.316

0 X

2.06

Figura 7.23 Gráfico de P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) con la t en Minitab Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x, para una probabilidad acumulada dada) seleccionar

en la

ventana de diálogo Chi-Square Distribution e indicar los grados de libertad 25. Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.05 en la parte c) del Ejemplo 7.4 necesitamos seleccionar


0.05. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado: Inverse Cumulative Distribution Function Student's t distribution with 25 DF P( X <= x ) 0.05

x -1.70814

El 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.70814. En SPSS: Para calcular las probabilidades acumuladas F(x) (F) del ejemplo 7.5, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (-1.316, 2.060 y 2.485).

300

Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.24. En Variable de destino: escribir F. Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDA y FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.T y con un clic en

ingresarla

al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.T(?,?). A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función CDF.T(cant,gl) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.24. Así cant representa los valores de la variable x y gl = grados de libertad = 25. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

Figura 7.24 Cálculo de probab. acumuladas con la t en SPSS

301

En R: Para calcular probabilidades acumuladas con la T usar la función pt(x,gl). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, gl = grados de libertad. En el ejemplo 7.5, X ~ T25. Para determinar las probabilidades acumuladas correspondientes a los valores (-1.316, 2.060 y 2.485) se define un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así: > x=c(-1.316,2.060,2.485) > F=pt(x,25) > cbind(x,F) x

F

[1,] -1.316

0.1000570

[2,]

2.060

0.9750238

[3,]

2.485

0.9899976

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qt(x,gl). Donde p es una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente. Para hallar el valor del cuantil q correspondiente a las probabilidades acumulada de 0.05 se procede así: > qt(0.05,25) [1] -1.708141 El 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.708141.

302

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Arriaza A.J. y Otros (2008). “Estadística Básica con R y R-Commander”. UCA, Universidad de Cádiz. Documento HTML. http://knuth.uca.es/repos/ebrcmdr/pdf/actual/ebrcmdr.apendices.pdf 2. Bazán, Juan y Corbera, José (1997). “Problemas de probabilidad”. Trabajo de investigación para la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del Callao, Callao, Perú, 156 p. 3. Correa, Juan y González, Nelfy (2002). “Gráficos estadísticos con R”, Manual pdf. Posgrado en Estadística de la Universidad Nacional de Medellín, Colombia, 299 p. 4. Chué, Jorge y Otros (2007). “Estadística descriptiva y probabilidades”. Lima, Perú. Fondo Editorial Universidad de Lima, 294 p. 5. Instituto Nacional de Estadística e Informática (2006). “Norma Técnica para la elaboración de cuadros estadísticos”. Resolución Jefatural Nº 312-2006 INEI, publicada en la página web: http://www.inei.gob.pe/documentospublicos/nt_cestadisticos.pdf 6. Instituto Nacional de Estadística e Informática (2009).

“Indicadores

Demográficos-Población”. Censos Nacionales de Población y Vivienda, publicada en la página web: http://www.inei.gob.pe/ . Perú en cifras. 7. Paradis, Emmanuel (2002). “R para principiantes”, Manual pdf del Institut des Sciences de l‟Évolution Universit Montpellier II, F-34095 Montpellier cdex 05, Francia, 61 p. Traducido por Jorge A. Ahumada, University of Hawai, 2003. 8. Pérez, César (2002). “Estadística aplicada a través de Excel”. Madrid, España. Editorial Pearson-Prentice Hall, 596 p. 9. Tukey, John Wilder. 1977. “Exploratory Data Analysis”. Adisson-Wesley Publishing Company: Reading, Massachusetts. 10. Visauta, Bienvenido. “Análisis estadístico con SPSS para Windows”. Madrid, España. Editorial Mc Graw-Hill, 1997.

303

304

ANEXO

305

BASE DE DATOS: ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A nº_cuest

sexo

edad

peso

talla

ing. fam

mie. fam

g.estud

cr.aprob

prom. acum

t.vi viend

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1

21 16 20 20 21 19 19 17 19 19 22 20 19 18 17 20 18 18 18 23 19 20 20 22 21 23 19 19 20 19 18 20 20 21 18 21 19 19 19 21 19 20 20 19 21 21

68 69 63 55 57 48 50 50 44 60 52.6 80 52 67 46 80 64 64 63 72 65 47 70 50 53 66 57 50.5 80 55 88 55 75 64.5 50 49 54 46.5 49 70 48 60 75 55 51 72

169 172 170 173 167 152 152 156 154 171 160 176 164 171 154 177 169 171 170 179 177 165 171 158 155 160 159 152 175 165 175 157 177 165 149 164 164 160 161 169 150 168 172 150 156 174

3900 800 1000 1200 800 1000 700 1000 600 3000 800 1800 1200 1000 1600 750 3000 2800 2000 4500 3500 2200 4000 1000 800 800 950 1000 1500 1800 1000 4000 800 800 800 900 3000 2000 1300 2500 600 750 2100 2500 600 800

5 5 5 5 5 5 5 4 6 7 4 6 4 4 7 4 6 3 5 5 6 5 5 6 5 2 5 4 5 7 3 5 3 5 2 6 5 5 5 5 4 6 6 5 5 5

150 50 250 60 90 250 150 400 20 80 180 150 150 250 300 170 200 240 160 300 200 150 200 120 250 120 180 150 150 200 80 230 250 70 250 300 250 160 80 100 100 120 140 150 200 120

36 42 38 42 34 42 38 42 50 39 50 38 38 50 30 47 35 35 35 44 42 39 35 43 43 40 34 25 31 35 34 37 34 38 34 50 34 38 37 34 40 27 30 38 50 43

11.30 13.33 13.49 12.40 12.29 13.19 12.40 12.60 13.96 12.00 15.92 13.00 12.00 15.92 13.00 14.00 12.00 11.99 12.00 12.00 13.00 12.00 11.00 11.00 11.00 11.00 12.00 11.00 14.60 12.20 12.00 12.30 13.00 13.50 13.00 12.00 11.95 12.35 12.30 11.35 12.63 10.00 11.70 11.00 13.00 11.50

2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 4 1

(Continúa ….

306

…. Continuación) nº_cuest

sexo

edad

peso

talla

ing. fam

mie. fam

g.estud

cr.aprob

prom. acum

t.vi viend

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2

22 21 21 22 22 20 22 23 19 20 19 18 19 22

68 68 55 59 65 66 51 53 45 52 53 67 77 53

175 168 165 152 172 173 156 155 150 160 168 172 178 157

1500 2000 1500 1300 1000 1000 900 1250 650 900 1000 1300 1200 600

3 4 5 8 9 4 7 4 7 4 5 5 5 3

150 180 100 240 300 250 100 250 125 150 250 180 150 150

34 52 34 48 32 29 16 40 34 44 36 39 30 35

11.00 11.79 12.00 11.00 12.09 11.70 12.00 12.00 14.00 14.00 15.00 13.00 12.00 11.00

2 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 2 1 1

nº_cuest

nº.dor mit

horas. tv

hrs. estud

lib. leidos

hobby

imp. estudio

imp. fisico

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

3 7 2 3 4 2 4 3 4 5 3 7 4 4 3 3 4 3 6 4 2 3 4 7 6 3 4 3 3 10 3

8 4 30 3 4 6 8 10 8 15 10 6 26 7 8 12 10 6 12 5 14 6 14 8 7 14 5 3 6 21 16

8 25 35 4 6 30 12 12 30 30 15 16 26 15 10 14 14 18 10 10 20 25 24 8 6 15 8 5 15 9 9

1 15 5 4 3 2 3 4 5 4 10 3 3 3 4 3 2 5 8 3 2 3 2 4 7 4 4 3 3 3 3

2 2 1 4 2 2 2 5 4 1 4 2 4 1 3 3 2 2 5 4 2 2 1 2 2 4 2 2 1 4 1

4 4 5 4 4 5 4 5 5 4 5 5 5 4 5 5 5 4 4 5 4 4 4 3 4 4 5 5 5 5 4

4 3 3 4 4 2 3 3 3 2 3 3 5 3 3 4 5 3 2 4 4 4 4 4 5 3 3 3 3 3 4

col. proc espe cial 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2

(Continúa …. 307

…. Conclusión) nº_cuest

nº.dor mit

horas. tv

hrs. estud

lib. leidos

hobby

imp. estudio

imp. fisico

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

4 3 3 1 4 4 4 3 3 3 2 7 3 3 5 2 3 3 10 4 5 8 3 4 2 3 3 3 2

3 8 12 12 12 14 10 30 12 16 6 10 14 7 21 10 21 10 8 5 10 10 9 4 8 14 14 14 15

9 14 16 12 30 14 5 28 28 14 10 7 14 12 35 10 14 18 10 10 14 18 10 10 8 5 14 30 16

3 4 3 6 8 5 3 5 4 10 0 3 2 1 3 2 3 2 3 7 5 4 2 3 8 2 5 5 3

2 2 2 4 2 2 3 4 2 1 1 4 4 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 2 4 1 1 1 2

5 5 4 4 5 4 5 5 5 5 3 4 5 5 4 2 5 5 4 5 5 4 4 4 5 3 4 4 3

1 4 3 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3 3 4 4 4 3 5 5 5 4 5 4 3 3 3 4

col. proc espe cial 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

Codificación: SEXO

TIPO DE VIVIENDA

HOBBY

IMPORTANCIA DE ….

1 = Hombre

1 = Casa Independiente

1 = Deporte

2 = Mujer

2 = Dpto. en Edificio

2 = Música

3 = Quinta

3 = Baile

4 = Otro

4 = TV/Cine

1 = Muy Poca 2 = Poca 3 = Media 4 = Mucha 5 = Muchísima

5 = Otro

COLEGIO DE PROCEDENCIA

ESPECIALIZACIÓN

1 = Estatal 2 = No Estatal

1 = Teoría Económica 2 = Gestión Empresarial

308

96725874-Estadstica-computacional.pdf

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