A História dos Numeros

A História dos

NÚMEROS

Licenciatura em Informática História da Ciência e das Técnicas Docente:

Henrique Gomes Bernardo

Discentes:

João Martins N.º 1290

Nuno Vaz N.º 1306

Rui Figueiredo

Ano Lectivo 2008 / 2009

N.º 1324

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A História dos NÚMEROS HISTÓRIA DA CIÊNCIA E DAS TÉCNICAS

" Hoje em dia, os nomes já não possuem significado. O que importa são os números: o número da conta, da identidade, do passaporte. São eles que contam." (José Saramago)

Licenciatura em Informática História da Ciência e das Técnicas Docente:

Dr. H. Bernardo


Curriculum Vitae INFORMAÇÃO PESSOAL

Nome • Residência • Correio electrónico EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Principais actividades e responsabilidades • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector

• Ocupação ou posição detida • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Datas • Nome do empregador empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida

OUTRAS ACTIVIDADES • Datas • Identificação da actividade

MARTINS, João Paulo Gouveia S. José - Lisboa [email protected]

DESTE SETEMBRO DE 2004 Centro Hospitalar de Lisboa Central, EPE Área de Gestão de Sistemas e Tecnologias de Informação Técnico de Informática Gestão Operacional da aplicação aplicação GIACH – Logistica e Farmácia Hospitalar. Hospitalar. Formação aos profissionais utilizadores da aplicação: Médicos, Enfermeiros, Técnicos e Administrativos. AGOSTO 2003 A SETEMBRO 2004 Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro Serviço de Informática Técnico de Informática Adjunto SETEMBRO 1998 A AGOSTO 2003 Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro Serviço de Informática Assistente Administrativo MARÇO 1994 A SETEMBRO 1998 Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro Departamento Financeiro Gestão Hoteleira Comunicações e Transportes Gestão de Doentes - Estatística Assistente Administrativo JANEIRO 1989 A MAIO 1993 Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro Serviço de Hematologia / Serviços Farmacêuticos Auxiliar de Acção Médica JUNHO A AGOSTO 1987 E JUNHO A AGOSTO 1988 Repartição Repartição de Finanças Finanças de Machico Machico - Madeira Madeira Tesouraria da Fazenda Pública Administrativo FEVEREIRO 2002 Membro eleito da Direcção Nacional da Associação Sindical do Pessoal Administra Administrativo tivo da Saúde Saúde – ASPAS – triénio triénio 2002/2004 2002/2004

• Datas

DESDE NOVEMBRO 2001 FORMADOR Ministração formação em deveras áreas da informática para utilizadores da instituição onde trabalha.

• Datas

DESDE OUTUBRO 1994 Instrutor de Teoria e Prática de Condução de Automóveis Ligeiros

• Identificação da actividade

• Identificação do curso


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responsabilidades

FORMAÇÃO ACADEMICA E PROFISSIONAL • Datas • Designação da qualificação atribuída • Principais disciplinas/competências profissionais • Nome e tipo da organização de

ensino ou formação • Nível segundo a classificação nacional ou internacional • Datas • Designação da qualificação atribuída • Principais disciplinas/ competências profissionais • Nome e tipo da organização de ensino ou formação

Vaz, Nuno Ricardo Elias Alverca do Ribatejo

[email protected]

Dezembro de 1998 até à presente data Dia/Minipreço Portugal Supermercados – Soc. Unip. Lda. Distribuição e Comércio de Produtos Alimentares Técnico de MicroInformática - Administração de Sistemas Sistemas em ambiente Windows Server 2003, Active Directory,IBM Lotus Notes Domino e de Sistema centralizado de Backup HP Data Protector. - Administração Hardware Hardware Appliance (Astaro (Astaro Security Gateway) e configuração de VPN’s . - Implementação de Servidores Anti-Virus(Norton) e WSUS (Windows (Windows Software Update Services). - Suporte básico básico a SAP. - Configurações básicas básicas de routers routers e redes. - Suporte a nivel de Software e Hardware a utilizadores. - Conhecimentos de Linux. Linux. - Suporte à operação e infraestrutura nomeadamente parque informático e periféricos, impressoras, redes, servidores, gestão de utilizadores, backups Maio de 1998 a Novembro 1998 Dia/Minipreço Portugal Supermercados – Soc. Unip. Lda Distribuição e Comércio de Produtos Alimentares Operador de Informática de 1ª Processamento de Dados (Comunicações com as lojas, Introdução de Dados) e suporte a utilizadores.

Outubro de 2006 até à presente data Frequência do Curso de Licenciatura em Informática - Linguagens de Programação Programação - C / C++ / HTML / Javascript / ASP.NET / VB.NET / C# / Java - Redes e Comunicações (Modelo OSI,TCP/IP) - Sistemas de Gestão de Bases Bases de Dados (SQL Server 2005, Modelo Modelo Relacional,UML) ISTEC (Instituto Superior de Tecnologias Avançadas) Frequência Universitária (3º Ano)

Setembro 2007 MCITP (Microsoft Certified IT Professional) :Enterprise Support Technician Windows Vista: Suporte e resolução de problemas em ambiente empresarial. Rumos - Informática Profissional


INFORMAÇÃO PESSOAL

Nome • Residência Residência • Correio electrónico

Curriculum Vitae FIGUEIREDO, Rui

Abrunheira Abrunheira - Sintra [email protected]

EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Principais actividades e

responsabilidades • Datas • Nome do empregador

• Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Principais actividades e







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responsabilidades • Datas • Nome do empregador • Tipo de negócio ou sector • Ocupação ou posição detida • Principais actividades e responsabilidades

2009-2009 ZON TvCabo. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. – Grupo Novabase Direcção Sistemas de Informação MiddleWare & Portais Application Support Gestão Operacional e Suporte de todos os portais zon tvcabo 2008-2009 ZON TvCabo. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. – Grupo Novabase Selfcare Desenvolvimento Web e Suporte Portais Zon Desenvolvimento em asp.net, php, manutenção correctiva 2006-2008 PT SI Sistemas de Informação S.A. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, Interactiva, S.A. – Grupo Novabase Novabase SIGMA Desenvolvimento de Ferramentas apoio manutenção correctiva SIGMA. BEA Weblogic Communications Platform, Oracle, shell script OSS DEV / Product Support SIGMA 2006-2006 PT SI Sistemas de Informação S.A. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, Interactiva, S.A. – Grupo Novabase Novabase PRODUX Migração de dados SIGMA. BEA Weblogic Communications Platform, Oracle, shell sc 2004-2006 TV CABO PT – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. – Grupo Novabase DDI – Direcção de Desenvolvimento Infraestruturas TvCabo Portugal Administração da rede tvcabo pt CEON Provisioning Services. BEA Weblogic Communications Platform, Oracle, Siebel CRM, Operador Sistema Sun 2003-2004 TV CABO/NE CABO/NETCAB TCABO O – OctalTV, OctalTV, Engenha Engenharia ria de Sistem Sistemas as para TV TV Interactiva, Interactiva, S.A. – Grupo Novabase Novabase Departamento Técnico Netcabo Profissional/residencial Técnico Netcabo Profissional Rede Netcabo Profissional Empresarial 2001-2006 Staples Office Centre - Loja de Sintra Informática e Material de Escritório Op Principal da Área de Informática rea de venda da loja de Sintra


Í ndice 1 . A História e o Número .............................................................................................................. ..............................................................................................................3 1 .1. A Linguagem dos Números ............................................................................................... ...............................................................................................3 1.2. O conceito de Número ....................................................................................................... .......................................................................................................4 1.3. L imitações vêm de longe ................................................................................................... 5 1.4. O Numero sem contagem.............................................................. ................................................................................................... .....................................5 1.5. A ideia de correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6. D o relativo ao absoluto ...................................................................................................... ......................................................................................................6

2. E volução dos Números 2.1. E ra Primitiva ...................................................................................................................... ......................................................................................................................7 2.2. O número concreto 2.2.1. C omo surgiu o número?............................................................ ............................................................................................. .................................9 2.2.2. C ontando objectos com outros objectos .................................................................... ....................................................................9 3. O número natural 3.1. O s egípcios criam os símbolos ............................................................... ......................................................................................... ..........................10 4. O s números racionais ................................................................................................... ............................................................................................................... ............11 5. O s Números e as Civilizações 5.1. O s algarismos a lgarismos na civilização Suméria ............................................................... ............................................................................. ..............12 5.1.1. O sistema sexagesimal ............................................................................................. .............................................................................................12 5.1.2. A Evolução gráfica dos algarismos .........................................................................13 5.1.3. O princípio da numeração escrita suméria .................................................... .............................................................. ..........14 5.1.4. C omo calculavam os sumérios ................................................................................15 5.1.5. D as pedras ao ábaco................................................................ ................................................................................................. .................................16 5.2. O s algarismos da civilização Egípcia........................................................... Egípcia............................................................................... ....................17 5.2.1. O s algarismos hieroglíficos ............................................................... ..................................................................................... ......................17 5.2.2. A origem dos algarismos egípcio.................................................................... ............................................................................. .........18 5.2.3. D os algarismos hieroglíficos aos algarismos hieráticos .......................................... 18 5.2.4. C omo os egípcios calculavam .................................................................................19


5.2.5. O s papiros da Matemática egípcia ........................................................................... ...........................................................................20 5.2.6. D escobrindo a fracção .......................................................... ............................................................................................. ...................................21 5.3. O s algarismos da civilização Helénico ................................................... ............................................................................. ..........................22 5.3.1. S istemas de numeração usados pelos gregos ......................................................... .............................................................22 5.3.2. C iência e Mística Pitagórica .................................................................................... ....................................................................................24 5.3.3. N úmeros Figurados .................................................................................................. ..................................................................................................24 5.3.4. S edução dos Números Inteiros ................................................................................25 5.3.5. N úmeros Amigáveis ................................................................... ................................................................................................ .............................26 5.3.6. N úmeros Perfeitos ..................................................................... ................................................................................................... ..............................26 5.3.7. O s incomensuráveis ou Irracionais .......................................................................... ..........................................................................26 5.3.8 O Número – Símbolo de um Paradoxo Cultural .......................................................27 5.4. O s algarismos a lgarismos da civilização Romana ........................................................... ............................................................................. ..................28 5.4.1. O s algarismos romanos ........................................................................................ ............................................................................................ ....28 5.4.2. C ontando com os romanos................................................................ ....................................................................................... .......................29 5.4.3. O sistema de numeração romano ............................................................................ ..............................................................................30 5.4.4. O s milhares .............................................................................................................. ..............................................................................................................31 5.4.5. O ábaco de fichas ................................................................................................ ..................................................................................................... .....31 5.4.6. Á baco de cera ............................................................. .......................................................................................................... .............................................32 5.4.7. Á baco romano de "bolso" ........................................................................................ ........................................................................................33 5.5. O s algarismos da civilização Chinesa ................................................... .............................................................................. ...........................34 5.5.1. O s algarismos chineses ............................................................................................ ............................................................................................34 5.5.2. S istema posicional ...................................................................................................35 5.5.3. C omo calculavam os chineses ........................................................... ................................................................................ .....................36 5.5.4. Á baco de contas ....................................................................................................... .......................................................................................................37 5.6. O s algarismos da civilização Indiana .......................................................... .............................................................................. ....................38 5.6.1. O s algarismos indianos ............................................................................................ ............................................................................................38 5.6.2. C omo contavam os indianos .................................................................................... ....................................................................................39 5.6.2. A prancheta como ábaco de colunas ..................................................... ........................................................................ ...................39 5.6.4. C álculos sem apagar os resultados intermédios .......................................................40 5.6.5. A final os nossos números ........................................................................................ ........................................................................................41 5.7. O s algarismos da civilização Árabe ................................................................................. .................................................................................42 5.7.1.O s algarismos árabes ................................................................................................ 42 5.7.2. C omo calculavam os árabes................................................................. ..................................................................................... ....................43 5.7.3. O s árabes á rabes divulgam ao mundo os números hindus ..................................................44 6. O s nomes Portugueses de Al-Khuarizmi ................................................................................. .................................................................................45 7. H istória do Sistema Binário ................................................................................................. ..................................................................................................... ....47 7.1. D efensor do Sistema Binário.............................................................. Binário............................................................................................ ..............................48 7.2. R efinamento do Sistema Binário.......................................................... ...................................................................................... ............................48 7.3. L ógica booleana ...............................................................................................................49 7.3.1. C omo funciona a lógica que faz com que os computadores funcionem ..................49 7.3.2. C omo as coisas começaram ..................................................................................... .....................................................................................49 7.4. O sistema binário ........................................................................................ .............................................................................................................. ...................... 49 7.4.1. P ortas Lógicas ........................................................................................................ ............................................................................................................ 50 7.5. P ara conhecimento ...........................................................................................................51 9 . C onclusão ......................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ...52 1 0 . B ibliografia .................................................................. ........................................................................................................................... .........................................................54


I ntrodução O número desempenha um papel relevante, não só na sociedade actual, bem como nas anteriores. O homem do século XXI vive cercado pelos números: horários de trabalho, estatísticas de natalidade, tabelas de preços, juros a receber, impostos, velocidade do automóvel, recordes dos jogos, etc. Os computadores e as imagens nas televisões digitais funcionam através de números (1 e 0). Já nos nossos antepassados, os números tiveram uma importância enorme na vida dos seres humanos, pois foram eles que os ajudaram a criar as primeiras cidades e impérios, assim como serviram de fonte de inspiração de algumas das mentes mais brilhantes da história. Mas como surgiram os números? Apenas à vinte mil anos atrás apareceram provas sólidas que o número 1 já existia e que alguém o usava para contar. O seu aspecto era apenas um risco num osso de Ishango ( mais especificamente, a fíbula de um babuíno). O homem, por exemplo, para registar cada presa que trazia para a caverna, fazia um risco num osso. Mas os seres humanos começaram a evoluir e deixaram de viver em cavernas e começaram a construir os seus próprios refúgios, as suas próprias casas e a produzir os seus próprios alimentos. A antiga civilização dos Sumérios traria um contributo marcante na história dos números, o povo da Suméria parou de riscar os ossos e passou a representar o número 1 como uma peça em forma de cone. Esta transformação mudou o curso da história, a invenção dos cones permitiu aos Sumérios fazer algo que jamais alguém fizera. Com os cones era possível subtrair, e deu-se o maior avanço até então… a invenção da aritmética. Talvez por viverem em grandes cidades e precisarem de organização (os grãos tinham de ser distribuídos e para descobrir quanto cada pessoa devia receber, a aritmética era essencial), tenha sido essa a razão dessa transformação. A aritmética não era a única coisa que os Sumérios precisavam nas cidades, sentiam também

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a necessidade de manter registos dos seus cálculos, mas a escrita ainda não tinha sido inventada (os números, ao que parece foram a primeira escrita do mundo). A forma por eles encontrada para manterem os seus registos, foi a de colocar números específicos de cones em envelopes de argila e após fechá-los, pegavam noutro cone para fazer marcas nos envelopes, tantas marcas quantos fossem os cones. Foi então que alguma mente brilhante percebeu que o envelope não era necessário, na verdade nem os cones eram. Bastava simplesmente fazer as marcas directamente numa tablete de argila e tinham os registos dos números. A noção de escrita havia nascido. Os Egípcios eram construtores entusiasmados e davam muito valor à beleza. Mas era impossível criar belos edifícios sem medir com precisão, e não é possível medir com precisão, sem saber qual é a sua unidade de medida. O número 1 começou a ser conhecido como cúbito, a medida para todas as coisas, a incontestável régua. Os Romanos inventaram um sistema de numeração que serviu para todo o ocidente durante quase 2 mil anos - a Numeração Romana. Por volta do início da era cristã surgiu a numeração de posição em que os símbolos valem conforme a posição que ocupam na escrita de um número e um acessório fundamental: o zero (0) - Invenção dos Hindus. Só por volta do séc. XV, com o aumento do comércio, é que ficou clara a necessidade de um sistema de numeração mais prático e se começaram a impor i mpor os símbolos actuais - os algarismos árabes. A partir daí tudo se passou rapidamente. Uns 200 anos mais tarde, Pascal inventava a primeira máquina de calcular mecânica. Outros 100 anos mais tarde, sentiu-se a necessidade de criar os números decimais ou base 10. O alemão Gottfiried Wilhelm Leibniz, um dos primeiros defensores do sistema binário, invocava uma espécie de linguagem ou escrita universal, mas infinitamente diversa de todas as outras concebidas até agora, isso porque os símbolos e até mesmo as palavras nela envolvidas se dirigiam à razão. Este “revolucionário” sistema binário (ou base 2), é hoje amplamente utilizado util izado pelo computadores modernos, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no computador usam apenas DUAS grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1. Essa decisão de projecto deve-se à maior facilidade de representação interna no computador, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão. Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos computadores foi apelidado de bit (uma contracção do inglês binary digit).

“Todas as coisas têm um número e nada se pode compreender sem o número ” Filolau (nascido em 450 AC), matemático da Escola Pitagórica

“O homem da guerra deve aprender a arte dos números ou ele não saberá como dispor as suas tropas .” Platão (citado em Horng, 2000, p. 37)

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1. A

História e o Número

São muitas as civilizações da Antiguidade, como as dos babilónios, egípcios, gregos, chineses e hindus, que criaram os seus próprios sistemas numéricos. Os maias, que viveram na América Central em tempos mais recentes, também desenvolveram um modo interessante de registar números. É importante observar que estas civilizações não vieram umas depois das outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos e, embora localizadas em regiões diferentes, mantiveram contacto umas com as outras. Com a excepção dos maias, que habitavam a América, as civilizações da Europa, Oriente e Médio Oriente, trocavam mercadorias e conhecimentos. O intercâmbio cultural, que também envolveu os conhecimentos matemáticos daqueles povos, reflectiu-se nas formas de contar e de escrever os números. A noção de número e as suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes quotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contacto com o amplo mundo da matemática.

1.1. A Linguagem dos Números Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade permite-lhe reconhecer que algo muda numa pequena colecção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento directo, um objecto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, na sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenómeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. P a g . 3 / 3 / 55 5


Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a acção de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante da nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica directa resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual directo do número possuído pelo homem civilizado, raras vezes, ultrapassa o número quatro, e que o sentido táctil é ainda, mais limitado.

1.2. O

conceito de Número

“É razoável admitir que a espécie humana nas épocas mais primitivas tivesse algum entendimento numérico, reconhecendo minimamente os actos de acrescentar e de retirar objectos de uma pequena colecção ” (Eves, 1997). “Posso conjecturar que o número é uma invenção humana, uma produção do seu pensamento; o homem, partindo do estado animal, construiu ele mesmo, no seu cérebro, a sua linguagem (…) e os seus números ” (Keller, 2000, p. 28). Foi contando objectos com outros objectos que a humanidade começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante. A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco. Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas colecções de objectos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som. É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objectos usando outros objectos, é um número concreto. O conceito de número, sendo um conceito abstracto, não originará uma imagem instantânea, não podendo também ser exibido, sendo apenas concebido na mente. Contudo, um outro progresso foi atingido com a criação dos nomes dos números, processo que veio permitir a obtenção de uma designação oral, bem mais precisa, das quantidades, facilitando-se desse modo a conquista do patamar de uma plena abstracção. (Ifrah, 1994) O pensamento formula-se na linguagem, e isto faz que sem nomes não possa haver conceitos. O símbolo é também um nome, só que não é oral, mas sim escrito e apresenta-se na mente na forma de uma imagem visível. (Aleksandrov, 1982, p. 28) P a g . 4 / 4 / 55 5


A aplicação do número, como um pensamento abstracto (abstracto no sentido de que não tem de estar relacionado com um objecto físico em particular), foi indubitavelmente um dos maiores progressos na história do pensamento (Kline, 1982).

1.3. L imitações vêm de longe Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e, ainda, essas palavras estão desvinculadas pelo que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter , possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica. Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens actuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção directa do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

1.4. O

número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está est á ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objecto de um conjunto um objecto de outro, e, continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registam o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra. P a g . 5 / 5 / 55 5


1.5. A

ideia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objecto da colecção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3... Apontamos para um objecto e dizemos: um; apontamos para outro e dizemos: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objectos da colecção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a colecção tem oito objectos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos actos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efectuar as operações. Imagine-se fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E, no entanto, antes ainda dos romanos tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e a nossa numeração é muito posterior a todos eles.

1.6. D o relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil. Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à selecção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado. Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. É claro que uma vez criado e adoptado, o número se desliga do objecto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstracta dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excepção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objectos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

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2. E volução dos Números 2.1. E ra Primitiva A arqueologia tem desenvolvido um papel de extrema relevância para o estudo da evolução do pensamento contábil. É através dela que podemos conhecer o passado em busca de afirmação para o presente que possibilite uma projecção para o futuro. A Mesopotâmia é ponto de paragem obrigatória para o estudo da arqueologia. Muitos arqueólogos como Rich (1812), Paul Émile (1842), sendo considerado o “Primeiro a encetar as escavações” em busca da perdida Babilónia, procuraram, durante muito tempo, encontrar sentido para o presente desvendando o passado. Foi Hornuzd Rassom, em 1854, que deu a maior contribuição para desvendar o mistério que o passado escondia. A sua contribuição foi descobrir a biblioteca de Assubanipal. Segundo MELLA ( 1985:21), expondo sobre Assubanipal:

“ Numa certa altura da sua vida, o grande rei, movido por intentos culturais, deu ordem a seus enviados a comprar todas as obras científicas, literárias, históricas, e documentos que pudessem encontrar, enquanto na corte um STAFF de doutores recopiava ou traduzia as que não estivessem a venda .” Segundo o autor, esse trabalho resultou numa colecção com mais de 30.000 tabuinhas que apresentava o conjunto de todo conhecimento existente entre o povo da época. Outras tabuinhas foram sendo descobertas noutras escavações, revelando cada vez mais um passado que durante muito tempo permaneceu escondido. Para MELLA (1985:34): “O material de estudo enriqueceu enormemente quando as escavações trouxeram à luz os arquivos do governo desta ou daquela cidade, estrelas, selos, contratos, cartas, na maior parte concernente a atas oficiais, burocráticas, construções de templos ou obras públicas; mas alguns referiam se também a eventos políticos ou bélicos e constituindo assim uma documentação preciosa para tentar reconstruir sua história.” P a g . 7 / 7 / 55 5


É impossível analisar todos esses empreendimentos sem conceber a necessidade de se acompanhar custos. Ou seja, a presença da contabilidade acompanha a própria história da humanidade. Entre os sumérios não era diferente, a contabilidade exercia um papel importante no que diz respeito ao controle das finanças, bem como o descambo na economia. O controlo das finanças estava intimamente relacionado ao centro da religião, o templo. O templo funcionava como banco, escola e mercado e principalmente como o centro do Estado (nele eram realizadas as principais transacções económicas da época). Esta relação política x religião x economia é predominante durante a Era Primitiva. A economia entre os sumérios era desenvolvida principalmente pelo vasto comércio realizado em toda Mesopotâmia, Egipto e Índia. O principal facto nessa Era foi constituído const ituído principalmente pela formação do elo familiar. A família começava co meçava a desempenhar um papel relevante para a contabilidade, pois o controle sobre o património da mesma tornava-se uma necessidade. É evidente que o conhecimento sobre a contabilidade, nessa Era, não se encontrava totalmente desvendado. Muitos estudos, ainda, serão realizados na tentativa de se traçar uma história do pensamento contábil. Uma contribuição significativa nessa fase foi o surgimento dos números. O número é indispensável no avanço progressivo da humanidade. O homem caçava, pescava, construía, plantava tudo em função da própria sobrevivência. Há cerca de 10.000 anos atrás o homem começara a criar animais e com essa nova actividade surgia a necessidade da geração de informação. “Qual o meu património, ou seja, em quanto aumentou o meu rebanho”. Como atender a necessidade do Proprietário se os homens não conheciam os números nem sabiam contar. Deste momento em diante o homem começou a buscar resposta para essas ess as questões. De forma rudimentar à contabilidade já se encontrava presente nos primórdios da humanidade. Pode-se associar o surgimento dos números atrelado ao surgimento da contabilidade. Para os estudiosos da matemática, a noção dos números surgiu aproximadamente à 10.000 anos atrás, afirmam:

“ Alguns vestígios indicam que os pastores usando conjuntos de pedras para fazer o controlo do seu rebanho. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedra”. “Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria a saber que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras saberia que o rebanho havia aumentado ." Desta forma, mantinham tudo sob controlo. Observa-se, na narração acima que a noção dos números está intimamente ligada à necessidade da informação. Existiam os dados, não o controle e, por este motivo, não havia informação que possibilitasse ao proprietário ou ao pastor, tomar decisão. Na medida em que o homem fazia a ligação, para cada ovelha uma pedra, ele estava, na realidade, a fazer o que na matemática se chama correspondência um a um. Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras. Para os matemáticos: " fazer a correspondência um a um é associar a cada objecto de uma colecção um objecto de outra colecção ". P a g . 8 / 8 / 55 5


Na linguagem contábil temos, de um lado l ado a colecção dos débitos e, de outro, a colecção dos créditos, ou seja, cada débito corresponde a um crédito e vice-versa. O homem tinha resolvido um problema, a questão dos números, mas apesar de obter a informação ele não conseguia registá-la de forma mais duradoura. O novo desafio era registar, por mais tempo, e de forma consistente a informação. Com a busca por um registo mais duradouro o homem começava a estudar a possibilidade do desenvolvimento de um elemento que servisse de base para o registo. Era o começo da descoberta da escrita e a entrada para a Era Racional.

2.2. O

número concreto

2.2.1. C omo surgiu o número? Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim. A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso... Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.

2.2.2. C ontando objectos com outros objectos Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Para registar os animais mortos numa caçada, limitavam-se a fazer marcas numa vara. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita, ainda, não tinha sido criada, pelo que, para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais. Há mais ou menos 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e colher frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos ali mentos de que podia dispor. E para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, etc..

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3. O

Número Natural

3.1. O s egípcios criam os símbolos Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. As Aldeias situadas às margens dos rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam se dedicar a outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto. Para fazer os projectos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nos ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3+5=8 P a g . 1 0 / 0 / 55 5


4.

O s números racionais

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.

0

13

35

98

1.024

3.645.872

Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com os números fraccionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio de uma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

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5. O s Números e as Civilizações 5.1. O s algarismos na civilização Suméria De origem desconhecida (vinda provavelmente da Anatólia e chegada à Mesopotâmia por volta de 3300 a.C), a civilização Suméria é a mais antiga civilização. No extremo sul da Mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates (área onde posteriormente posteriormente se desenvolveu a civilização Babilónica que hoje corresponde ao sul do Iraque, entre Bagdad e o Golfo Pérsico), aí floresceram cidades-estados (Ur, Eridu, Lagash, Uma, Adab, Kish, Sipar, Larak, Akshak, Nipur, Larsa e Bad-tibira) A crescente rivalidade entre as cidades enfraqueceu esta civilização, tornando-a extremamente vulnerável a invasores. Depois de 1900 a.C., após a conquista de todo o território mesopotâmio pelos amorritas, os sumérios perderam a sua identidade como povo, mas a sua cultura foi assimilada pelos sucessores semitas. De entre os feitos desta civilização destacam-se a invenção da escrita cuneiforme (a mais antiga forma registada para representar sons da língua, em vez dos próprios objectos), os primeiros veículos sobre rodas e os primeiros tornos de cerâmica. A escrita cuneiforme surgiu na Mesopotâmia por volta de 3000 a.C., sendo utilizadas para seu registo tabulas de argila e estiletes de bambu. Graças a esta escrita, decifrada no século XIX por linguistas e arqueólogos, foi possível conhecer inúmeros aspectos da vida, religião e instituições desta civilização.

5.1.1. O

sistema sexagesimal

Na civilização suméria utilizavam-se dois sistemas de contagem diferentes: um na base 5 e outro na base 12. A base 5 resumia-se à utilização dos dedos das mãos como processo de contagem, servindo-se de uma mão para contar e da outra como auxílio a contagens de maior dimensão, para "armazenar" a quantidade dos "cincos" contados. P a g . 1 2 / 2 / 55 5


A base 12 assentava na utilização das três falanges que compõe cada um dos dedos, usando o polegar como auxiliar de contagem (apoiava-se o polegar em cada uma das falanges, sendo assim possível a contagem até 12). Na sequência de uma combinação entre os dois sistemas manuais de contagem, surge a base 60. Esta nova técnica de contagem era praticada da seguinte maneira: na mão direita, contam-se as falanges, tal como na base 12, "guardando" o número de contagens na mão esquerda, assim como na base 5. Esta é uma das muitas hipóteses que existem acerca da origem do sistema sexagesimal (sistema este que constituiu um dos maiores méritos da cultura suméria). Mão esquerda Mão direita Contagem dos dedos, cada um valendo uma dúzia.

Contagem das falanges pelo polegar oposto, cada. Sistema de contagem sexagesimal.

É importante frisar que ainda é notório, na nossa cultura, a utilização deste sistema, quer por exemplo na expressão das medidas do tempo, em horas, minutos e segundos, ou a dos arcos e ângulos em graus, minutos e segundos.

5.1.2. A

Evolução gráfica dos algarismos

Os mais antigos algarismos conhecidos da história são representados através de marcas de baixo-relevo que correspondem às diferentes classes de unidades consecutivas da numeração escrita suméria. Assim, a unidade era representada por um entalhe fino, a dezena por uma impressão circular de pequeno diâmetro, a sessentena por um entalhe grosso, o número 600 por uma combinação de dois algarismos precedentes, o número 3600 por uma grande impressão circular e o número 36.000, por essa última munida de uma pequena impressão circular. Essa sequência era obtida da seguinte forma: 1 10 60=10×6 600=(10×6)×10 3600=(10×6×10)×6 36000=(10×6×10×6)×10

Cerca do século XXVII a. C., estes algarismos foram alterados, alt erados, passando a estar dirigidos para a direita, em vez de estarem dirigidos para baixo, conforme ilustra a figura:

Forma dos algarismos sumérios arcaicos após uma rotação de 90º

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Com a evolução da escrita cuneiforme, estes algarismos voltaram ser a alterados, passando a ter formas diferentes: a unidade era representada por um pequeno prego vertical, a dezena por uma viga, a sessentena por um prego vertical de maior dimensão, o número 600 por um prego vertical do tipo precedente associada a uma viga, o 3600 por um polígono formado pela reunião de quatro pregos, o número 36000 por um polígono do tipo precedente, munido de uma viga e por fim o número 216000 combinando o polígono de 3600 com o prego da sessentena.

5.1.3. O

princípio da numeração escrita suméria

Com estes sistemas de representação de algarismos, os sumérios conseguiam obter qualquer número, baseando-se no princípio aditivo e, repetindo as vezes necessárias em cada ordem de unidades um algarismo, obtinha-se o número pretendido. É de notar a preocupação que existia em agrupar os algarismos idênticos com o objectivo de facilitar a sua rápida visualização e compreensão. 36 000 000 repr reprod oduz uzid idoo 3 veze vezess = 3 600 reproduzido 4 vezes = 600 reproduzido 3 vezes = 60 reproduzido 1 vez = 10 reproduzido 3 vezes = 1 reproduzido 6 vezes =

36 000 000 × 3 3 600 × 4 600 × 3 60 × 1 10 × 3 1 ×6

= = = = = =

108 108 000 000 14 400 1 8 00 60 30 6 124296

Representação do número 164571, com recurso aos algarismos arcaicos.

Representação do número 800, com recurso aos algarismos cuneiformes.

De forma a simplificar e evitar as desmedidas repetições de sinais idênticos, os escribas de Sumer usaram frequentemente o método subtractivo, escrevendo, por exemplo, os números 9, 18, 38, 57, 2360, 3110, da seguinte forma:

Representação de números recorrendo ao método subtractivo.

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Também no sentido da simplificação da escrita, os múltiplos de 36000 passaram a ser representados da seguinte forma (em vez de se usar a repetição continua dos símbolos):

Representação simplificada de alguns múltiplos de 36000.

5.1.4. C omo calculavam os sumérios Bilhas, cones e esferas para calcular Para fazer cálculos os sumérios utilizavam objectos que, consoante a sua forma e tamanho, representavam as diferentes ordens de unidade do sistema sexagesimal:

O processo operatório no qual se baseavam para realizar a divisão consistia, no final de cada etapa, em trocar os objectos pelos de ordem imediatamente inferior. Com efeito, consideremos o seguinte exemplo: Dividir 324000 por 7 324000=9×36000 Como se pretende a divisão por 7, repartiremos 9 esferas perfuradas por grupos de 7 (note-se que as esferas representam a maior unidade neste sistema):

O número de grupos de 7 esferas perfuradas que resulta desta primeira divisão é igual a 1, ou seja, o quociente desta primeira divisão parcial é 1. No final desta primeira divisão restam 2 esferas perfuradas. Para se poder prosseguir a operação é necessário converter 2×36000 em múltiplos de 3600 (unidade imediatamente inferior a 36000). Deste modo 2×36000=2×10×3600=20×3600. Obtemos assim 20 esferas simples, que repartimos novamente por grupos de 7:

O número de grupos de 7 esferas simples que resulta da segunda divisão é igual a 2, ou seja, o quociente desta segunda divisão parcial é 2 e restam 6 esferas simples. Para prosseguir a operação vamos converter 6×3600 em múltiplos de 600. Obtemos assim 36 grandes cones perfurados, que repartimos novamente por grupos de 7: P a g . 1 5 / 5 / 55 5


O número de grupos de 7 grandes cones perfurados que resulta da terceira divisão é igual a 5 (quociente) e sobra 1 grande cone perfurado (resto). De seguida converteremos 1×600 em múltiplos de 60. Obtemos assim 10 grandes cones simples, que repartimos novamente por grupos de 7:

O número de grupos de 7 grandes cones simples que resulta da quarta divisão é igual a 1 (quociente) e sobram 3 grandes cones simples (resto). Depois de converter 3×60 em múltiplos de 10 obtemos 18 bilhas, que repartimos novamente por grupos de 7:

O número de grupos de 7 bilhas que resulta da quinta divisão é igual a 2 (quociente) restando 4 bilhas. Para terminar a operação resta-nos converter 4×10=40 por grupos de 7:

5 grupos

Sexto resto

O número de grupos de 7 pequenos cones que resulta da quinta divisão é igual a 50 (quociente) e restam 5 pequenos cones. O quociente final obtém-se fazendo a adição dos quocientes obtidos nas várias divisões, com efeito: 1×36000+2×3600+5×600+1×60+2×10+5×1=46285 1×36000+2×3600+5×600+1× 60+2×10+5×1=46285 (quociente da divisão de 324000 por 7)

5.1.5. D as pedras ao ábaco M

C

D

U

Posteriormente foi adoptado um outro processo que consistia em organizar por colunas as contagens que se efectuavam, sendo a primeira (a da direita) associada às unidades, a seguinte às dezenas e assim sucessivamente. Consideremos o seguinte o exemplo: Representação do número 3672 Mais tarde, este método de cálculo deu origem ao ábaco de pedras.

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5.2. O s algarismos da civilização Egípcia Desde os primeiros momentos da sua história, os egípcios criaram uma sociedade baseada no aproveitamento das águas do Nilo para a agricultura ("O Egipto é uma dádiva do Nilo.", Heródoto). A antiga civilização egípcia começou por volta de 4000 a.C.. Mais tarde os primitivos clãs foram agrupados em dois grandes reinos: um ao norte e o outro a sul. Por volta do ano 3300 a.C. o reino do sul venceu o do norte e o Egipto transformou-se num estado único. A administração deste território fez surgir a criação de um sistema de escrita - os hieroglíficos. Ao passarem a utilizar o papiro para fazer os seus registos, os egípcios desenvolveram um sistema de escrita mais rápido - a escrita hierática, que foi utilizada até cerca de 800 a.C. Posteriormente a escrita evolui para um sistema cursivo (o demótico). Até ao século XIX, as únicas fontes sobre o passado do Egipto eram os relatos dos autores clássicos. Somente em 1821, com a decifração da escrita hieroglífica, por Champollion, se pôde proceder à leitura de inscrições que iluminaram mais de três mil anos da história da humanidade.

5.2.1. O s algarismos hieroglíficos Também os algarismos hieroglíficos (numeração correspondente à escrita da antiga civilização egípcia) acompanharam a evolução da escrita. Inicialmente representavam a unidade e as seis primeiras potências de 10.Estes algarismos eram simbolizados pelos seguintes hieroglíficos particulares:

Algarismos fundamentais da numeração hieroglífica Egípcia e as suas principais variantes P a g . 1 7 / 7 / 55 5


Para representar um número, os egípcios tinham apenas em consideração as unidades das potências de 10, escrevendo-as, da esquerda para a direita, da maior ordem decimal até às unidades simples. Assim, a representação do número 1 422 000 é a seguinte: Depois do século XXVII a. C., estes algarismos passam a ser organizados e escritos de forma mais simples e regular, sendo reunidos em grupos menores e distribuídos por duas ou três linhas.

5.2.2. A

Novo desenho e organização dos algarismos hieroglíficos.

origem dos algarismos egípcios

Embora existam várias hipóteses sobre a origem dos algarismos hieroglíficos, a que parece recolher maior consenso é a que se segue: Uma barra vertical é o modo mais instintivo e rudimentar de representar a unidade, tendo por isso sido escolhido o bastonete para representar o algarismo 1. A dezena era simbolizada pelo desenho de um cordão que teria servido para juntar 10 bastonetes. Para representar os algarismos 100 e 1000 usavam-se a espiral e a flor de lótus, respectivamente, e uma justificação possível para tal escolha pode basear-se na analogia fonética entre as palavras orais porque eram designados estes números e os símbolos que os representam. Como os egípcios tinham adoptado um sistema de contagem manual apenas até 9999, foi então escolhido um dedo levantado e ligeiramente inclinado para simbolizar o número seguinte, a dezena de milhar. Devido à existência de uma imensa quantidade de girinos no Nilo e à sua grande capacidade de reprodução, o girino foi escolhido para representar graficamente o algarismo 100000. Para a representação de 1000000, número que, pela sua grandeza, era merecedor de "respeito", foi escolhida a representação de um homem com as mãos elevadas para o céu. Outra possível explicação, esta mais plausível, sugere que a representação escolhida, um homem admirando as estrelas e a sua imensidão, remete para a ideia de eternidade.

5.2.3. D os algarismos hieroglíficos aos algarismos hieráticos Para facilitar a escrita dos algarismos hieroglíficos, detalhada e essencialmente decorativa, foi encontrado um sistema mais simples e rápido: os algarismos hieráticos.

Representação dos algarismos hieroglíficos e hieráticos. P a g . 1 8 / 8 / 55 5


Exemplo do quanto o sistema hierático veio facilitar a escrita dos números egípcios. É assim, por exemplo, a representação do número 3 577:

5.2.4. C omo os egípcios calculavam Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição.

Adição Para somar dois números, representavam-nos em separado e, posteriormente, agrupavam os algarismos da mesma ordem de grandeza. De seguida, cada vez que tivessem dez símbolos da mesma espécie, substituíam-nos pelo algarismo da grandeza imediatamente superior, conforme ilustra o seguinte exemplo:

Multiplicação Para multiplicar dois números, consideravam-se três casos: Multiplicação por múltiplos de 10 [divisão por múltiplos de 10]: Substituíam cada símbolo pelo símbolo correspondente ao algarismo da ordem de grandeza seguinte [grandeza anterior], vejamos o caso da multiplicação de 1464 por 10: De forma a tornar a explicação mais perceptível, consideremos que se pretendiam multiplicar (ou dividir) a por b, com a múltiplo de 2 e a > b. Notemos que todos os cálculos que seguidamente serão expostos eram feitos com os algarismos hieroglíficos.

Multiplicação por potências de 2: Os egípcios, formavam duas colunas e numa delas colocavam o número 1 seguido das suas sucessivas multiplicações por 2, até ao número número a. Na segunda coluna colocavam o número b e procediam de modo análogo, efectuando o mesmo número de multiplicações necessárias para chegar ao a na 1 15 2 30 primeira coluna. O resultado do produto seria o último número obtido na segunda coluna. 4 60 Vejamos o seguinte exemplo, que ilustra a multiplicação de 15 por 256, cujo resultado será 3840.

Multiplicação por números que não são potências de 2 nem múltiplos de 10:

8 16 32 64 1 28 256

120 2 40 480 960 1 920 3840

Como no caso anterior, formavam duas colunas e, numa delas, colocavam o número 1 seguido das sucessivas multiplicações por 2, até à primeira potência inferior a a. Na segunda coluna colocavam o número b e procediam de modo análogo, efectuando o mesmo número de multiplicações necessárias para chegar ao a na primeira coluna. Posteriormente procuravam e assinalavam com um pequeno traço horizontal os números da 1 11 primeira coluna cuja soma era a. Somando os números correspondentes a esses na 2 22 segunda coluna (que eram marcados com um traço oblíquo) obtinham o resultado 4 44 / 8 88 / pretendido. 16 176 / 32 64

352 704 /

92×11= 4 4+88+176+704 4+88+176+704

Exemplo: Multiplicação de 92 por 11 P a g . 1 9 / 9 / 55 5


Divisão por números que não são potências de 2 nem múltiplos de 10: O processo é idêntico, uma vez que vamos ter novamente duas colunas mas, desta vez, a primeira coluna a ser preenchida é a segunda, onde colocavam o divisor e as sucessivas multiplicações por 2, até esse produto ser o maior número inferior ao dividendo. Na primeira coluna colocavam o número 1 e as sucessivas multiplicações por 2, tantas vezes quantas as utilizadas nas coluna 2. Posteriormente procuravam e assinalavam com um pequeno traço horizontal os números da segunda coluna cuja soma era o dividendo. Somando os números correspondentes a esses na primeira coluna (que eram marcados com um traço 1 17 oblíquo) obtinha-se o resultado pretendido. 2

Exemplo: Divisão de 4556 por 17

34 68 / 8 136 / 16 272 32 5 44 4 1088 128 2176 25 6 4 352 / 4556÷17= 4+8+256

Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.

5.2.5. O s papiros da Matemática egípcia Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou . O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas, encontrando-se actualmente em Moscou, não se sabendo nada sobre o seu autor. No inverno de 1858, um jovem antiquário escocês chamado A. Henry Rhind, de visita vis ita ao Egipto por motivos de saúde, comprou em Luxor um grande papiro que teria sido descoberto nas ruínas de um antigo edifício de Tebas, mais tarde o seu papiro foi adquirido pelo Museu Britânico de Londres. O papiro de Rhind é também conhecido por papiro de Ahmes em homenagem ao escriba que o copiou no 33º ano do reinado de Apepa II (rei Hyksos da 15ª Dinastia) algures entre 1788 e 1580 a.C. O escriba diz-nos que o material deriva de um original do Reino Médio, na 12º Dinastia, escrito entre 2000 e 1800 a.C., e é possível que algum do conhecimento tenha vindo do famoso arquitecto e físico Imhotepy que supervisionou a construção da pirâmide do Faraó Zozer há cerca de 5000 anos.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 87 problemas, todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efectuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto – no século XVIII também foi muito útil.

Papiro Ahmes

Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652

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Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe-se na figura, que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egipto escrevem o mesmo número: 45

5.2.6. D escobrindo a fracção Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do Egipto às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre alguns agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava para marcar os limites do seu terreno. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fraccionário e para representar os números fraccionários, usavam fracções. Os egípcios interpretavam a fracção somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as fracções unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as fracções unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras fracções eram expressas através de uma soma de fracções de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição + (mais) entre as fracções, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. Os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fraccionários eram muito complicados. Apenas por volta do século III a.C. começou-se a formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

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5.3. O s algarismos da civilização Helénica A Grécia ocupava a parte sul da península dos Balcãs, região montanhosa com baixa pluviosidade e solo pouco fértil, com uma linha de costa escarpada. Apenas áreas isoladas, como a Lacónia e a Messénia no Sul, a Beócia na Grécia Central, a norte do golfe de Corinto e a Tessália na parte setentrional do país, se encontram planícies férteis próprias para a agricultura. À medida que os gregos se estabeleciam iam desenvolvendo relações comerciais com os Egípcios e os Babilónios. A influência dos Egípcios e dos Babilónios sentiu-se essencialmente em Mileto, cidade da Ásia Menor e local de nascimento de alguns dos primeiros filósofos e matemáticos gregos. Mileto era uma grande e opulenta cidade de comércio no Mediterrâneo. Navios oriundos do continente grego, da Fenícia e do Egipto chegavam aos seus portos. Rotas de caravanas estabeleciam a ligação com a Mesopotâmia. Uma das grandes realizações dos gregos foi, na opinião de Burns (1977), o desenvolvimento da filosofia num sentido mais vasto do que ela tivera até então. Antes do fim do século VI a.C. a filosofia grega adquirira uma orientação metafísica, isto é, deixou de se ocupar com os problemas do mundo físico e transferiu a sua atenção para questões enigmáticas como a natureza do ser, o sentido da verdade, a posição do divino no esquema das coisas. Foi dada ênfase ao raciocínio abstracto, tendo-se estabelecido como objectivo estender o domínio da razão sobre toda a natureza e o homem. Em coerência com esta nova forma de pensar, os pitagóricos sustentaram que a essência das coisas não seria uma substância material, mas sim um princípio abstracto, o número. Segundo a filosofia dos pitagóricos todo o universo era caracterizado pelos números e as suas relações e, assim, o problema surgia de definir o que era um número. (Mainzer, 1990a, p. 12)

5.3.1. S istemas de numeração usados pelos gregos É certo que outras civilizações mais primitivas, e certamente os egípcios e os mesopotâmicos, aprenderam a pensar sobre os números como divorciados do mundo físico. Contudo é questionável P a g . 2 2 / 2 / 55 5


(pelo menos nada o evidência) até que ponto eles estavam conscientes da sua natureza abstracta. Um facto que reforça esta constatação está na circunstância, que do ponto de vista geométrico, todas as civilizações anteriores aos gregos estiveram definitivamente vinculadas ao concreto. Esta contribuição dos gregos foi essencial, pois abordaram a matemática de uma forma completamente nova, tornando-a abstracta. E, assim sendo, o conceito de número foi conscientemente reconhecido. Os pitagóricos terão reconhecido que a matemática lida com abstracções, embora este reconhecimento possa não ter ocorrido numa fase inicial do seu trabalho (Kline, 1972). Os matemáticos gregos, em particular os pitagóricos, desenvolveram toda uma filosofia do universo onde a noção de número (natural) tinha um papel fundamental. Eles estavam convencidos que tudo se poderia exprimir recorrendo-se aos números naturais. Na procura das leis eternas do universo, os pitagóricos estudaram geometria, aritmética, astronomia e música (o que mais tarde se chamaria o quadrivium) (…) Os números, isto é, os inteiros, chamados arithmoi, eram divididos em classes: ímpares e pares, primos e compostos, perfeitos, amigos, triangulares, quadrados, pentagonais, etc. (…) os pitagóricos investigavam as propriedades desses números, acrescentando-lhes uma marca do seu misticismo e colocando-os no centro de uma filosofia cósmica que tentava reduzir todas as relações fundamentais a relações numéricas (« tudo é número»). (Struik, 1997, p. 78) Para Pitágoras, o pai da matemática (~580-497 AC), os números eram a origem de todas as coisas. A ele e seus seguidores é atribuída a descoberta da tabuada. Para ele “O número é a causa e o princípio de tudo ”1. Esta afirmação sugere a existência de um princípio unificador do Universo, ideia que desempenhou um papel importante na filosofia grega. A mesma frase simboliza também as contradições e ambiguidades do pensamento pitagórico: misticismo, magia e mistério mas, por outro lado, exactidão e rigor. Pode ainda servir para caracterizar a cultura Ocidental na sua relação com o número, ou melhor dizendo, na sua obsessiva quantificação das qualidades. De facto, na ciência moderna, desde o Renascimento até a actualidade, é possível encontrar manifestações do espírito Pitagórico, das mais conscientes às mais ingénuas. A afirmação de Filolau2 (nascido em 450 AC), matemático da Escola Pitagórica, “ todas as coisas têm um número e nada se pode compreender sem o número”3 significa, para Bento Caraça, o “aparecimento da ideia luminosa duma ordenação matemática do Cosmos ”, ideia que é um dos fundamentos essenciais da ciência moderna. A Escola Pitagórica funcionava na realidade como uma seita. Os Pitagóricos, para além de outros símbolos e rituais místicos, usavam o pentágono estrelado, como sinal de aliança entre eles. Os conhecimentos matemáticos e as principais descobertas da Escola eram transmitidos oralmente aos seus membros que, sob juramento, se comprometiam a não os divulgar. É curioso que, apesar da sua doutrina ser ensinada apenas oralmente durante as primeiras décadas, a Escola sobreviveu várias centenas de anos. Prolongaram-se por oito séculos (V AC a III DC), o desenvolvimento de especulações matemáticas, astronómicas e harmónicas, mas também de natureza física ou médica, e ainda morais e religiosas que se associam ao Pitagorismo. 1

2

3

Segundo a Metafísica de Aristóteles, que é a principal fonte do pitagorismo antigo (Mattei, J-F., Pythagore et les Pythagoriciens ) Arquitas de Tarento (428 a.C. – 347 a.C.), filósofo e cientista grego, considerado o mais ilustre dos matemáticos pitagóricos. Acredita-se ter sido discípulo de Filolau de Crotona e foi amigo de Platão. Fundou a mecânica e influenciou Euclides. Foi o primeiro a usar o cubo em geometria e a restringir as matemáticas às disciplinas técnicas como a geometria, aritmética, astronomia e acústica. Para resolver o famoso problema da duplicação do cubo (dobrar o seu volume), valeu-se de um modelo tridimensional. Embora inúmeras obras sobre mecânica e geometria lhe sejam atribuídas, restaram apenas fragmentos cuja preocupação central é a Matemática e a Música. Arquitas também actuou na política. Os tarentinos o elegeram estratego (governador) sete vezes consecutivas. Morreu em um naufrágio na costa de Apúlia. Citado po Bento de Jesus Caraça em Conceitos Fundamentais da Matemáica.

Arquitas de Tarento

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Por volta do ano 500 AC, como resultado de perseguições políticas, os pitagóricos tiveram que fugir de Crótona (Itália), onde a seita estava instalada e tinha atingido considerável prestígio cultural e político. Os seus discípulos espalharam-se então por várias regiões da Grécia. Só nessa época, contemporânea de Sócrates, aparecem os primeiros escritos pitagóricos, um dos quais é a obra de Filolau – Sobre a Natureza. Talvez seja um abuso de linguagem chamar pitagorismo à tendência para valorizar excessivamente os aspectos matemáticos do saber científico pois, evidentemente, a pretensão de querer traduzir o mundo por números não tinha, para Pitágoras, o mesmo sentido que se dá hoje à matematização do conhecimento. No entanto, o termo pitagorismo serve perfeitamente para caracterizar o exagero das posições de alguns cientistas na actualidade. É tentador associá-las a Pitágoras, tanto mais que estamos aqui também em presença de um paradoxo cultural. Ele traduz-se, em certas áreas científicas, pela coexistência entre a forte presença da matemática e a tendência para um obscurantismo crescente. Também os seguidores de Pitágoras não se limitaram a especular acerca da natureza e significado dos números e a estabelecer as suas propriedades místicas; eles produziram resultados matemáticos importantes perfeitamente integrados no conjunto da ciência grega. Pitágoras e os seus discípulos são mesmo considerados os iniciadores duma área matemática, a Aritmética, hoje designada por Teoria de Números4.

5.3.2. C iência e Mística Pitagórica A origem da mística dos números pode ser encontrada nas suas propriedades matemáticas. É, nesse sentido, uma “mística científica”, usando uma expressão também ela paradoxal. Tal como os outros matemáticos gregos, os Pitagóricos não se interessavam por fazer cálculos com finalidades de ordem prática. Essa tarefa, considerada “menor” no conjunto da actividade matemática, era deixada para os calculadores profissionais ou “logísticos”, como eram chamados. Destes, apenas conhecemos a existência e também o desprezo que por eles testemunha Platão, na República, já que trabalhavam sobre fracções explícitas, ao passo que o matemático, segundo Platão, deve apenas tratar das propriedades dos números inteiros “que não são acessíveis senão à inteligência e não podem ser manejados de outro modo” (Dieudonné, J: 1990). Os Pitagóricos ocupavam-se antes a descobrir as propriedades dos números, sem se preocupar com as suas aplicações, tal como faz hoje um investigador em teoria dos números. Eles desenvolveram, em particular, o princípio dos números figurados, onde os inteiros estão dispostos em forma de triângulos ou de outros polígonos .Usando essa representação deduziram algumas propriedades interessantes.

5.3.3. N úmeros Figurados Pitágoras concebeu os números triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) dispostos em triângulo:

Cada número triangular corresponde à soma dos primeiros números naturais: 1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4; 15=1+2+3+4+5; etc. 1 3 6 10 15 21 É fácil verificar que 1=1x2/2 (primeiro número triangular); 3=2x3/2 (segundo número triangular); 6=3x4/2 (terceiro nº. triangular). 4

A obra aritmética dos pitagóricos é conhecida através do livro 7 dos Elementos de Euclides. P a g . 2 4 / 4 / 55 5


Para encontrar o 7º número triangular basta calcular 7x8/2=28, e o enésimo número triangular é calculado pela fórmula n(n+1)/2. Os outros membros da Escola Pitagórica construíram os números poligonais (números quadrados e números pentagonais) e usaram essas representações para deduzir propriedades dos números inteiros. Por exemplo, a seguinte propriedade dos números ímpares: a soma dos primeiros n ímpares é um quadrado perfeito, pode ser deduzida a partir da representação geométrica em números quadrados. A dedução desta e doutras propriedades pode ser vista em diversos livros de história da matemática. O estudo das propriedades dos números a partir de representações geométricas foi uma constante na matemática grega. Também para operar com os números ou para resolver equações os gregos recorriam à geometria. Ao conjunto de métodos de resolução por eles desenvolvidos dá-se o nome de álgebra geométrica. Só durante o período final da matemática grega, chamado período Alexandrino, os matemáticos começam a elaborar métodos de cálculo independentes das construções geométricas. Herão (50 AC – 50 DC) resolve problemas de raízes quadradas e cúbicas sem nenhuma referência à geometria. Nicómaco, um neopitagórico, (50 – 110 DC) trabalha sobre teoria de números, afastando-se da representação geométrica e finalmente com Diofanto (séc. III) a álgebra grega atinge o seu maior desenvolvimento. No conjunto das matemáticas gregas a obra de Diofanto constitui algo de novo, tanto do ponto de vista do conteúdo como dos métodos, em ruptura total com os métodos geométricos tradicionais. Ele resolve problemas que podemos considerar algébricos e introduz as primeiras abreviaturas simbólicas. No entanto, é importante sublinhar que Diofanto não estabelece métodos gerais de resolução nem faz qualquer tentativa para elaborar uma teoria das equações. Essa será a grande tarefa dos matemáticos árabes nos séculos seguintes (sécs. VIII-XII). Antes de referir outros exemplos de problemas estudados, tanto pelos pitagóricos como pelos actuais investigadores em teoria de números, é importante acentuar que, para os primeiros, o estudo numerológico era inseparável das especulações geométricas, harmónicas, físicas e cosmológicas. Estas, por sua vez serviam e alimentavam preocupações morais, políticas e religiosas. Os números, “para Pitágoras representavam não só a forma que governa a combinação das coisas, mas também a matéria mesma destas coisas . (13)” . Para Teão, um neo-Pitagórico do séc. IV DC, “no número dois considera-se a matéria e tudo o que é sensível, a geração e o movimento” (...) “o número seis é perfeito” (...) “é nupcial porque torna os filhos semelhantes aos pais” (14).

5.3.4. S edução dos Números Inteiros Os gregos só sabiam tratar com rigor os números inteiros positivos e os que se podem definir à sua custa, ou seja, os fraccionários (ou racionais) representados pela razão de dois inteiros. (teoria das proporções). Mas só as propriedades dos números inteiros, algumas delas descobertas pelos pitagóricos, constituem ainda hoje um vasto campo de investigação. Por outro lado, as suas características são tão curiosas que continuam a fomentar um certo misticismo em meios exteriores à matemática. Isso deve-se também a não ser necessário ter grandes conhecimentos para compreender algumas das propriedades dos números inteiros. Jamblico, um dos matemáticos pitagóricos, influenciado pelo neo-platonismo, atribui a Pitágoras a descoberta dos números amigáveis (ver destacado). Números amigáveis são aqueles em que cada um é igual à soma dos divisores próprios do outro, (divisores próprios de um número são todos os divisores inteiros positivos, excepto ele mesmo. Por exemplo, os divisores de 6 são 1,2 e 3).

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5.3.5. N úmeros Amigáveis Pitágoras: 220=1+2+4+71+142 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 Pierre de Fermat em 1636 descobre 17296 e 18416 René Descartes em 1638 descobre mais um par Euler (1747) descobre trinta pares de números amigáveis e, mais tarde, sessenta pares Nicolo Paganini em 1866 descobre os amigáveis 1184 e 1210 Actualmente são conhecidos mais de seiscentos pares de números amigáveis O par de números amigáveis conhecidos dos pitagóricos, 220 e 284, possuía uma aura mística que se manteve numa crença supersticiosa: a daqueles que acreditam que a existência de dois talismãs onde figurem estes números, sela uma amizade perfeita entre os seus possuidores. Outro problema, atribuído aos pitagóricos por alguns autores, é o dos números perfeitos, números que são iguais à soma dos seus divisores próprios. Embora estudados desde a Antiguidade até 1952 só se conheciam doze números perfeitos, todos eles pares.

5.3.6. N úmeros Perfeitos Os três primeiros números perfeitos: 6=3+2+1 - 28=l4+7+4+2+1 - 496=248+124+62+31+16+8+4+2+1 Se 2n-1 é um número primo, então 2n-1(2n-1) é um número perfeito (Livro IX dos Elementos de Euclides) Euler demonstrou que todos os números perfeitos pares são desta forma. A existência de números perfeitos ímpares é um dos problemas por resolver da teoria de números. Sabe-se apenas que não existem perfeitos ímpares com menos de trinta e seis dígitos

5.3.7. O s incomensuráveis ou Irracionais As grandezas geométricas que não correspondiam a qualquer número conhecido no tempo dos Gregos foram chamadas incomensuráveis. Uma das mais célebres é a diagonal do quadrado de lado 1, que hoje representamos por... (raiz quadrada de 2). Existem várias maneiras de demonstrar a impossibilidade de exprimir essa medida usando um número inteiro ou fraccionário. A mais simples de todas baseia-se no teorema de Pitágoras . Um outro comprimento de representação geométrica simples e ao qual não corresponde nenhum número da matemática grega é o perímetro da circunferência (com diâmetro igual a 1 ou a outro valor inteiro). O valor desse perímetro é actualmente representado por pi. Estas duas medidas, a da diagonal do quadrado de lado 1 e a do perímetro da circunferência de diâmetro 1 têm valores irracionais. A definição rigorosa de número irracional foi dada só no século XIX. O pensador mais importante do primeiro ciclo pitagórico, Hipásio, foi também o responsável por um rude golpe infligido à tese pitagórica de que “tudo é número”. Conta a lenda que Hipásio se teria afogado no mar, como consequência da descoberta da incomensurabilidade. De facto, a descoberta de Hipásio, a de que existem comprimentos aos quais não é possível qualquer número conhecido na altura, desencadeou uma crise matemática que durou vinte e cinco séculos.

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Outros historiadores da matemática denominam “revolução” à descoberta dessa impossibilidade (Hoffman, P: 2000). O termo “revolução”, aplicado a certos casos típicos e bem conhecidos da história das ciências, tem um sentido diferente neste exemplo da matemática. Sem pretender entrar em polémicas a propósito das palavras, é importante distinguir esta “revolução” de outras bem mais conhecidas, como a revolução coperniciana ou darwiniana. Nesses casos, o lento acumular de dados e factos fez surgir, num dado momento, uma teoria explicativa nova, oposta às anteriores, uma teoria “revolucionária”. O autor dessa teoria teve que lutar para que ela fosse aceite, promover observações e experiências que a confirmassem e até ser finalmente admitida pela comunidade científica, a nova teoria encontrou adeptos e opositores, confirmações e refutações. No caso dos incomensuráveis, a história processou-se de forma diferente. O desenvolvimento de certos cálculos baseados no teorema de Pitágoras levou a resultados incongruentes com a noção de número dos Gregos. Os matemáticos reconheceram unanimemente a existência dessas dificuldades. A única maneira de resolver a questão, sabemos hoje, seria criar uma “nova” e “revolucionária” concepção de número. Mas esse passo não podia ser dado repentinamente, e só no século XIX foi possível resolver o problema de forma satisfatória, com o rigor exigido pela matemática. Não se pode dizer, no entanto, que esse momento foi “revolucionário”. De facto, durante esses vinte e cinco séculos, entre a descoberta dos incomensuráveis e a sua definição rigorosa, os matemáticos estavam conscientes de que havia uma realidade que lhes escapava. Eles não tinham um instrumento adequado para exprimir rigorosamente a medida de certos comprimentos, áreas ou volumes, sendo obrigados a usar valores aproximados para traduzir essas medidas.

5.3.8 O Número – Símbolo de um Paradoxo Cultural O número, objecto essencial da ciência da exactidão e do rigor, fundamental para traduzir a realidade, encerra, no entanto, grandes indefinições e ambiguidades. As mesmas propriedades podem servir, simultaneamente, objectivos místicos e científicos, como foi ilustrado no caso dos números inteiros. A natureza do número, que durante séculos parecia escapar à descrição matemática, tanto é fonte de mistério permanente, como motivo de investigação científica. O número será sempre um símbolo desse paradoxo cultural que reúne misticismo e ciência.

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5.4. O s algarismos da civilização Romana Grande parte da organização do mundo moderno deve-se ao império que Roma foi capaz de construir há mais dois mil anos nas margens do mar Mediterrâneo. Os idiomas falados no sul da Europa, América América Latina, em algumas zonas de África e outras partes do mundo constituem uma das heranças directas desta civilização. Embora os romanos sejam autores de muitas construções impressionantes, mostraram pouco interesse pela matemática pura. Os matemáticos romanos dedicaram-se a assuntos práticos, como comércio e ciências militares, no entanto, foram autores de um sofisticado sistema de numeração.

5.4.1. O s algarismos romanos Os algarismos romanos derivam essencialmente da prática do entalhe num osso ou num bastão de madeira. Assim sendo, o algarismo um era simbolizado por um entalhe vertical, pois era o que mais se aproximava da representação manual utilizada pelo homem. Esta explicação também é válida para os algarismos dois, três e quatro. A dificuldade de identificar directamente uma série de mais de quatro sinais idênticos não permitia que este processo se repetisse continuamente. Sendo assim, para representar o algarismo 5 foi escolhido um entalhe oblíquo, sugerido pela inclinação do polegar em relação aos outros dedos, essa representação sofreu posteriormente alterações chegando até nós como V. Várias representações do algarismo 5.

A representação através de entalhes verticais continuou a ser utilizada até ao algarismo nove. Para o algarismo 10, que correspondia ao número de dedos das duas mãos, a representação escolhida foi o cruzamento de dois entalhes oblíquos com diferentes direcções, sugerido pela posição dos dois polegares. Várias representações do algarismo 10. P a g . 2 8 / 8 / 55 5


Este processo repete-se continuamente até surgir a necessidade de se inventar um outro símbolo, o que acontece quando se atinge o número 50. Assim sendo, para o representar decidiu-se acrescentar um traço à representação do algarismo 5. Várias representações do algarismo 50.

Para a centena sentiu-se novamente a necessidade de introduzir outra notação, que consistiu em acrescentar um ou dois traços à representação do algarismo 10, ou então considerando o duplo de uma das representações do algarismo 50. Várias representações do algarismo 100.

Com efeito, o sistema de numeração que deu origem ao sistema romano hoje conhecido, tinha a seguinte forma:

Ao longo do tempo, este sistema foi sujeito a diversas transformações gráficas até originar o sistema romano que chegou até nós.

Evolução gráfica do sistema romano.

Inicialmente a numeração romana foi baseada no princípio da adição, como mostra o exemplo:

MMMDCCCCXXXXVIIII = 3 949 Numa fase posterior, de forma a simplificar a notação, foi introduzida uma notação seguindo o princípio subtractivo. Assim sendo, a representação do número anterior passou a ser:

MMMCMXLIX Para números maiores, os romanos adoptaram duas representações gráficas possíveis:

5.4.2. C ontando com os romanos De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos e mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. P a g . 2 9 / 9 / 55 5


Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.

Apesar da maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa (roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana). Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?

5.4.3. O

sistema de numeração romano

Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.

I V X L C D M Eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração, que se baseava em sete númeroschave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000. Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20

XXX = 10 + 10 + 10 = 30 Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus s eus valores. IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90 Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60 Ao lermos o cartaz, retiramos a informação de que o exército de Roma fez, numa certa época, MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, os romanos faziam os seguintes cálculos: Em primeiro lugar procuravam a letra de maior valor. M = 1.000 Como antes de M não tinha nenhuma letra, procuravam a segunda letra de maior valor. D = 500 P a g . 3 0 / 0 / 55 5


Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. D – C = 500 – 100 = 400 Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M. M + CD = 1.000 + 400 = 1.400 Sobrava apenas o V. Então: MCDV = 1.400 + 5= 1.405

5.4.4. O s milhares Como se verifica, o número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano foi adoptado por muitos povos, mas, ainda, era difícil efectuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal .

5.4.5. O

ábaco de fichas

A palavra ábaco (abacus em latim) deriva da palavra grega abax que significa travessa ou mesa. Do ábaco fazem parte dispositivos que podiam servir para jogos ou para cálculo aritmético. Estas peças de contagem foram chamadas de pséphoi pelos gregos (que significa pedra, número) ou calculus, pelos romanos.

Para representar um número neste ábaco, as fichas eram dispostas por colunas segundo as unidades, dezenas, centenas, etc., que esse número tinha (quando se atingiam as dez fichas numa coluna estas eram substituídas por uma ficha na coluna de grandeza imediatamente superior). Posteriormente, com vista a simplificar a representação, acrescentou-se uma linha sobre as ordens de grandeza onde cada ficha colocada valia metade da grandeza imediatamente superior. Na linha inferior, cada ficha valia uma unidade da ordem correspondente. Para clarificar as explicações anteriores, consideremse as seguintes representações do número 4537.

Para adicionar representavam-se os dois números no mesmo ábaco procedendo depois à organização das fichas como nos casos anteriores para proceder à sua leitura. As subtracções eram realizadas de forma análoga. P a g . 3 1 / 1 / 55 5


A multiplicação consiste em fazer os diferentes produtos parciais, representando-os de forma acumulada no ábaco. Depois de representados todos os produtos, procede-se à organização das fichas obtendo-se o resultado que se pretendia. Consideremos então a seguinte multiplicação: 630×42

Obtemos assim o seguinte resultado:

5.4.6. Á baco de cera

A representação no ábaco de cera é idêntica à do ábaco de fichas, no entanto, em vez destas, utilizavam-se os números romanos. Com efeito, consideremos o seguinte exemplo: 630×42 O resultado obtido é:

5.4.7. Á baco romano de "bolso" Este ábaco era constituído por uma série de ranhuras verticais que representavam uma determinada ordem de grandeza: 8 em cima e 9 em baixo. Cada uma das filas de cima tinha uma única peça, enquanto que, nas filas de baixo, existiam 4 peças. Para representar um número na fila de baixo, bastava deslocar as peças para cima e, quando fossem necessárias 5 peças, deslocava-se a peça da fila de cima para baixo. Consideremos o exemplo da representação do número 52 842: Nota: as duas ranhuras à direita serviam para marcar as divisões do as (fracções da unidade monetária usadas no comércio pelos romanos).

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5.5. O s algarismos da civilização Chinesa A civilização chinesa tem uma longa história. A sua principal característica foi, até o século XIX, a imutabilidade de determinados elementos da sua cultura milenar como o cultivo de cereais, a escrita, a importância da família ou o culto aos antepassados. Enquanto sociedade tradicional, os chineses pensavam que a melhor forma de viver não consistia em modernizar-se mas em repetir arquétipos do passado. A civilização chinesa desenvolveu-se ao longo das margens do rio Amarelo e do Azul, desde o 3º milénio a.C. durante a dinastia Hsia iniciada pelo imperador Yu. Continuou com a dinastia Shang que, por volta de 1500 a.C., ocupou a região de Shangai. Desta dinastia provêm os primeiros numerais chineses inscritos sobre carapaças de tartarugas e ossos de animais. O grande império desintegra-se, por volta do 700 a.c.. Aproximadamente até 400 a.c., a China é um conjunto de estados independentes em permanente guerra uns com os outros. É desta altura o primeiro texto sobre matemática - o Chou Pei Suan Ching. Para além de uma breve explicação sobre o cálculo aritmético, este texto contém um diálogo sobre as propriedades dos triângulos rectângulos, no qual o teorema de Pitágoras é enunciado e dada uma sua demonstração geométrica.

5.5.1. O s algarismos chineses O sistema de numeração chinês é baseado num sistema gráfico com muitas formas abstractas e combinações de sinais arcaicos. Um traço horizontal simbolizava a unidade, dois traços duas unidades e, analogamente, para três e quatro. A incapacidade de identificar directamente uma série de mais de quatro sinais idênticos não permitia que este processo se repetisse continuamente. Sendo assim, para representar o algarismo 5, utilizavam traços que formavam um X fechado em cima e em baixo. O algarismo 6 era simbolizado por um V invertido ou ainda por um desenho em forma de templo. Para o algarismo 7 era utilizada uma cruz, e duas semi-circunferências de "costas" uma para a outra eram o símbolo sí mbolo utilizado para o algarismo 8. Para o 9 era usado um símbolo sí mbolo que faz lembrar o anzol. P a g . 3 3 / 3 / 55 5


Pensa-se que a escolha dos símbolos usados na representação dos algarismos chineses, ficou a dever-se à semelhança fonética que existia entre o símbolo e a palavra oral correspondente aos algarismos. Este facto poderia explicar a escolha de um homem para representar o 1 000. Mas esta não é a única explicação: a escolha dos símbolos pode também ter sido de ordem religiosa.

Neste sistema, as dezenas, centenas e milhares são representadas segundo o princípio multiplicativo, ou seja, agrupando os sinais correspondentes aos números necessários para obter o produto pretendido. Todos os outros números podem ser obtidos através de uma composição dos princípios multiplicativo e aditivo, tal como ilustra a figura seguinte:

Assim, o número 656 é representado da seguinte forma:

Mais tarde, este sistema sofreu algumas transformações, obtendo-se o seguinte sistema:

Com base neste novo sistema, a notação dos múltiplos consecutivos de cada uma das quatro potências de dez fica:

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Para representar números muito grandes, os chineses tomavam a dezena de milhar como unidade de contagem. Então, a representação de potências consecutivas de 10 era: Consideremos assim o número 487 390 629 = (4×104+8×103+7×102+3×10+9)×104+(6×102+2×10+9) (4×104+8×103+7×102+3×10+9)×104+(6×102+2×10+9),, cuja representação é a seguinte:

5.5.2. S istema posicional O sistema posicional utilizado pelos chineses é quase idêntico à numeração moderna. Consiste numa representação dos números, na qual o valor de cada algarismo dependia do lugar onde este se encontrava na leitura dos números. Neste utilizava-se um sistema de representação dos nove algarismos que resultava da combinação de barras horizontais e verticais, tal como ilustra a figura: Para representar o número 12 Para evitar os equívocos que esta representação poderia suscitar (por exemplo a representação do 12 poderia ser confundida com a do 3, ou com a do 21), a notação foi reformulada do modo seguinte: Mais tarde, para distinguir as ordens das unidades, decidiu-se representar as ordens de grandeza intercaladamente, com barras verticais e horizontais. As unidades simples, as centenas, as dezenas de milhar, etc, eram representadas através de barras verticais, as dezenas, os milhares, as centenas de milhar, etc. eram representadas por barras horizontais. Para tal elucidar, considere-se a representação do número 174: No entanto, continuaram a surgir equívocos, principalmente nos casos em que o zero, desconhecido na altura, intervinha na representação do número, como por exemplo: Este problema foi ultrapassado de várias maneiras: Introduzindo, no lugar do zero, os símbolos das potências de dez utilizados na numeração tradicional: Recorrendo ao sistema de representação tradicional: Introduzindo os algarismos em quadrados, deixando vazio aquele que correspondia ao zero:

Introduzindo um círculo para designar o zero: P a g . 3 5 / 5 / 55 5


5.5.3. C omo calculavam os chineses Tabuleiro de bastonetes Para realizar operações, os chineses utilizavam pequenos bastonetes aos quais chamavam chóu (fichas de cálculo) que organizavam numa mesa ladrilhada. Nesta, cada coluna correspondia a uma determinada ordem decimal: a da esquerda correspondia às unidades, a seguinte às dezenas, a outra às centenas e assim sucessivamente. Para se representar um número colocavam-se, nas colunas e segundo uma linha previamente escolhida, tantos palitos quantos os correspondentes à ordem decimal. Como exemplo, tomemos a representação de alguns números no tabuleiro chinês: As adições e subtracções implicavam a representação dos números no tabuleiro chinês e, posteriormente, a reunião ou subtracção desses mesmos números, números, coluna a coluna. coluna. Para a multiplicação, o método era igualmente simples: o multiplicador era representado no topo do tabuleiro e o número a multiplicar mais a baixo. Os produtos parciais eram colocados nas linhas que ficavam entre os dois números e eram somados à medida que iam aparecendo.

Na divisão, o divisor era colocado na linha de baixo, o dividendo na do meio e o quociente na de cima. Este último obtinha-se retirando do dividendo os resultados dos produtos parciais. P a g . 3 6 / 6 / 55 5


5.5.4. Á baco de contas O ábaco de contas chinês, o suan pan (prancheta de cálculo), era um rectângulo de madeira dividido em duas partes e composto por vários arames sobre os quais estão enfiadas sete contas móveis, cinco na parte de baixo e duas na de cima. Cada parte continha várias hastes que correspondiam a uma determinada ordem decimal (da direita para a esquerda: centésimas, décimas, unidades simples, dezenas, centenas, etc). Cada uma das fichas da parte inferior valia uma unidade e cada uma das partes superior valia cinco unidades quando deslocadas para baixo. Este ábaco permitia efectuar qualquer operação de forma simples e rápida. Para adicionar bastava ter em conta o princípio aditivo. Consideremos a soma dos números 234, 432 e 567. A subtracção é feita procedendo no sentido inverso. Para a multiplicação, efectuam-se os produtos parciais que vão sendo somados. O resultado obtido é o produto pretendido. Tomemos a multiplicação de 7 por 24:

A divisão consistia em subtrair-se o divisor do dividendo o maior número de vezes possível, sendo o resultado encontrado o quociente pretendido.

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5.6. O s algarismos da civilização Indiana O sub continente indiano foi berço de uma das mais antigas civilizações do mundo, cobrindo uma área maior que a do Egipto e da Suméria. São do 3º milénio a.C. os primeiros vestígios matemáticos da civilização que se desenvolveu no vale do rio Indo. Na verdade, cerca de 2500 a.C., os harapas adoptaram um sistema decimal (pelo menos é o que as investigações parecem indicar) de pesos e medidas. Entre 1500 a.C. e o século VII da era cristã, dá-se uma invasão dos arianos (povo nómada da Ásia central). Mais tarde foi formada a civilização védica que resultou da fusão dos arianos com os povos que viviam na planície indo-gangética. Desta época foram encontrados os Vedas, conjunto de textos sagrados e os primeiros textos científicos - os Vedangas e os Sulbasutras ( estes últimos descreviam algumas regras matemáticas, tais como a construção de um quadrado com área igual à de um rectângulo dado, que eram utilizadas na construção precisa de altares para sacrifícios). Por volta 500 a.C. a civilização védica começa a entrar em decadência devido ao desenvolvimento das religiões budista e jainista, acompanhada pelo declínio da Matemática Védica. O florescimento da escola jainista tem como resultado o estudo da teoria dos números, permutações e combinações e o desenvolvimento de uma teoria do infinito. Porém, é no período clássico da civilização hindu, entre os séculos V e XII que se deu o maior desenvolvimento do estudo das ciências, da filosofia, da medicina, da literatura e, em particular, da matemática tendo aparecido matemáticos notáveis como Aryabata, Bramagupta, Mahavira e Bhaskara.

5.6.1. O s algarismos indianos A notação indiana arcaica consistia num agrupamento de traços verticais que representavam nove unidades. Posteriormente deu-se uma evolução da representação destes algarismos, com vista a torná-la mais rápida. Tal transformação deu origem aos algarismos dos brâhmî. P a g . 3 8 / 8 / 55 5


O sistema das nove unidades indianas sofreu, ao longo do tempo, alterações idênticas à da escrita brâhmî . Na Índia existiam diferentes sistemas de numeração que variavam de região para região, no entanto todos estes sistemas derivavam da antiga notação brâhmî . Esta notação foi evoluindo ao longo dos tempos e deu origem aos algarismos de nâgarî . A representação dos números indianos era baseada no sistema posicional, tal como ilustra a figura

5.6.2. C omo contavam os indianos O cálculo dos indianos assentava na utilização de um bastonete que desenhava os algarismos na terra ou areia. Este método era designado por hisâb al ghubâr (cálculo com a poeira) ou hisâb 'alâ at turâb (cálculo com a areia). Para além do cálculo no solo, os indianos também utilizavam as pranchetas de cálculo, às quais chamavam takht al turâb (tabuleta de areia) ou takht al ghubâr (tabuleta de poeira).

5.6.3. A

prancheta como ábaco de colunas

Para representar um número neste ábaco eram traçadas colunas que correspondiam às várias ordens de unidades consecutivas. Cada coluna era preenchida com o algarismo correspondente à sua ordem de grandeza. No caso de algum dos algarismos que constituísse o número fosse zero, deixava-se a respectiva coluna em branco. Assim o número 21 040 era representado do seguinte modo: Para multiplicar, primeiramente dispunham-se os dois números na prancheta de modo a que o primeiro algarismo (da direita) do número de baixo ficasse sempre sob o último algarismo (da esquerda). Seguidamente procediam-se a tantas etapas quantas as ordens decimais que houvesse no multiplicando, cada uma subdividindo-se em tantos produtos produtos quantos o número de algarismos do multiplicador. Sucessivamente apagavam-se os resultados dos cálculos intermédios. Considere-se a multiplicação 421×53:

No final de cada etapa avançavam todos os algarismos do multiplicador, uma casa à direita. A verde estão indicados os produtos efectuados e a negrito os respectivos resultados obtidos.

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5.6.4. C álculos sem apagar os resultados intermédios Ainda que inventado pelos indianos, este método foi muito utilizado pelos árabes, os quais lhe chamaram a'mâl al hindi (procedimento dos indianos). Para multiplicar segundo este método, procede-se de modo análogo ao anterior. No entanto, os cálculos intermédios são guardados, riscando-se os que já não são necessários. Os que não são riscados, dispostos da esquerda para a direita, constituem o produto que se pretende. Considere-se o exemplo seguinte, que ilustra a multiplicação de 432 por 175:

"A multiplicação do ciúme" Este processo consiste em construir um quadro com tantas colunas quantas os algarismos do multiplicando e tantas linhas quantas os algarismos do multiplicador. Na parte de cima do quadro, partindo da esquerda para a direita, escrevem-se os algarismos do multiplicando, à direita do quadro, partindo de baixo para cima, escrevem-se os algarismos do multiplicador. Divide-se cada casa do quadro em duas semi-casas, traçando nelas a diagonal, a partir do canto superior esquerdo. Em cada casa escrever-se-á o produto relativo à linha e colunas correspondentes, o algarismo das dezenas na semi-casa inferior e o das unidades na semi-casa superior. O produto pretendido obtém-se somando os algarismos das faixas oblíquas. A leitura do resultado é feita da esquerda para a direita e de baixo para cima. Considere-se o exemplo da multiplicação de 432 por 175: O resultado é 75 600.

O procedimento de Nasîr ad dîn at Tûsî Neste processo, dispõem-se os números como actualmente (os algarismos correspondentes à mesma ordem de grandeza dispõem-se uns sobre os outros). De seguida multiplica-se o algarismo das unidades do multiplicador pelos algarismos que se encontram nos extremos do multiplicando e posteriormente pelo do meio. Procede-se analogamente para o algarismo das dezenas, centenas, etc. O resultado final é a soma dos todos os produtos parciais. Assim a multiplicação de 123 por 457 processa-se do seguinte modo:

O procedimento de Brâskarâchârya Este processo de multiplicação era designado por sthânakhanda (separação das posições) e consiste num método análogo ao anterior. No entanto, os algarismos do multiplicador são dispostos e multiplicados separadamente, tal como se ilustra na seguinte multiplicação

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O procedimento de Brahmagupta Este método de multiplicar, designado por gomûtrika (semelhante à trajectória da urina da vaca), consiste em formar tantas linhas quantos os algarismos do multiplicador, nas quais se dispõem, de cima para baixo, os algarismos do multiplicador. Em cada uma das linhas coloca-se o multiplicador com uma translação para a direita de uma coluna. Multiplicando cada um dos algarismos do multiplicador pelos do multiplicando e somando estes resultados obtemos o resultado da multiplicação. Vejamos o seguinte exemplo: 457×123

5.6.5. A final os nossos números No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto das pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: “Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.

A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual como o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos? A matemática e astronomia hindu chegaram aos árabes que a absorveram, a bsorveram, refinaram e aumentaram antes de a transmitirem à Europa.

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5.7. O s algarismos da civilização Árabe O Mundo Árabe é uma região rica em cultura e tradições, que participou activamente no desenvolvimento da cultuira Europeia desde a Idade Média até o Século XV. Povo nómada por excelência, os árabes foram constituindo uma civilização no decorrer de sua expansão, graças à assimilação profícua de conhecimentos aportados por povos de regiões muito mais adiantadas culturalmente, como a Síria, o Egipto ( salientando-se a cidade de Alexandria, um dos maiores depósitos da cultura antiga) e a Pérsia. Da cultura grega, por exemplo, os árabes inteiraram-se da Matemática, da Filosofia, das Ciências, ampliando-as fundamentalmente pela incorporação de novos conceitos no campo da Aritmética e da Álgebra e pelo alargamento da investigação e da análise de resultados na Medicina e na Astronomia.

5.7.1. O s algarismos árabes A representação destes algarismos foi sujeita a diversas interpretações fantasiosas que estavam associadas à ideia do número representado:

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Numa fase inicial, o sistema numérico árabe consistiu numa mera cópia do sistema indiano. Mais tarde este foi sujeito a modificações gráficas conseguindo assim distanciar-se do sistema que lhe deu origem.

5.7.2. C omo calculavam os árabes O ábaco de Gerbert era idêntico ao ábaco dos romanos, no entanto, as várias fichas necessárias para representar os números para os romanos, foram substituídas por fichas únicas nas quais estavam inscritos os algarismos árabes. Nos seus cálculos os árabes começavam por colocar o multiplicando na linha inferior e o multiplicador na linha superior distribuindo os seus algarismos pelas colunas das respectivas unidades de grandeza. Era então efectuada a multiplicação do algarismo das unidades do multiplicador por todos os algarismos do multiplicando e os produtos parciais obtidos eram registados no ábaco. Posteriormente, o processo repetia-se multiplicando o algarismo das dezenas do multiplicador pelos algarismos do multiplicando, e assim sucessivamente. Ao somar todos os produtos parciais obtinham o resultado da multiplicação que se pretendia. Consideremos a multiplicação 798 × 54:

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5.7.3. O s árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdad, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prémios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdad e traduzidos para a língua árabe.

Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso, dizia com toda a convicção. “ Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu ”. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdad o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khwarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, alKhwarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khwarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas novas e escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do todo o mundo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khwarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus, daí a denominação de algarismo. São estes números, criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe alKhowarizmi, que constituem o nosso sistema de numeração decimal , conhecidos como algarismo indo arábicos.

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6 . O s nomes Portugueses de Al-Khwarizmi Os algarismos ditos árabes constituem a contribuição mais conhecida dos islamitas para o progresso da matemática europeia. Os novos símbolos e o sistema de numeração que lhes está associado e que ainda hoje se utiliza são, na realidade, de origem hindu, mas foram os árabes que os trouxeram para o Ocidente e que primeiramente aqui os usaram e dominaram. O primeiro livro árabe que se conhece sobre o novo sistema de numeração é o Livro sobre a Adição e Subtracção Segundo o Método dos Indianos. O seu autor foi Muhammad iben Muça al-Khwarizmi (c. 780– 850), matemático de origem persa que foi um dos primeiros membros da Casa da Sabedoria (Bait alHikma), centro de investigação fundado em Bagdad pelo califa al-Mamun (gov. 813–833). No seu livro, alKharizmi explica como se pode escrever qualquer número com o novo sistema e como se podem efectuar as quatro operações aritméticas sobre essa representação. Apareceram depois muitas outras obras com o desenvolvimento dos métodos de cálculo baseados no sistema de posição decimal. Só no princípio do século XV, com Ghiiath al-Din Jamshid al-Kashi (m. 1429), se pode dizer que o sistema decimal de posição ficou completo, incorporando as fracções decimais na representação dos números e nos algoritmos. Multiplicar três e um quinto por dois e meio décimo passou a poder escreverse como a multiplicação de 3,2 por 2,05 e a efectuar-se com o algoritmo escrito que hoje conhecemos. Apesar de os algarismos árabes terem sido usados ocasionalmente pelos europeus desde o século XIV, o novo sistema de al-Kashi só em 1562 apareceu em Itália e só no princípio do século XVII começou a generalizar-se na Europa, incluindo Portugal. Ainda, nesse século, no entanto, o sistema era visto com alguma desconfiança, conforme o atesta uma declaração dos provedores da Fazenda de Lisboa em 1633: “se não pode dar crédito ao caderno que veio das ditas despesas da Índia por virem em algarismo”

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Vitorino Magalhães Godinho, Ensaios, Lisboa, Sá da Costa, 1978, vol. II, p. 55. P a g . 4 5 / 5 / 55 5


Ao mesmo tempo que faziam progressos na Aritmética, os matemáticos muçulmanos dedicavam-se à Álgebra, entendida como o estudo e solução de equações. De tal forma, foi importante a sua contribuição que a própria palavra «álgebra» tem origem num termo árabe, «al-jabr», incluído no título de uma outra obra de al-Khwarizmi, e que se pode traduzir como «restauração» ou «reconstrução». Tratava-se da adição a ambos os lados de uma equação da mesma quantidade, técnica basilar da simplificação s implificação de equações. Os trabalhos de al-Khwarizmi foram fonte de muitos termos matemáticos que se generalizaram no Ocidente e o seu nome foi traduzido em latim como «Algorismi» ou «Algaritmi», aparecendo em textos ibéricos medievais na forma «Alohorismi». Desses nomes resultou o termo «algoritmo», que designa um procedimento sistemático para resolver um problema, habitualmente numérico (e.g., o algoritmo da divisão). Em português o nome do matemático árabe originou também o termo « algarismo», usado para designar os sinais gráficos numéricos (0,1,..., 9). Com esta acepção, o termo aparece já, por exemplo, na Peregrinação de Fernão Mendes Pinto. Em castelhano usou-se «alguarismo», com o mesmo sentido, mas esse termo caiu em desuso, originando «guarismo», que ainda hoje se usa. O livro do matemático árabe é também responsável pela introdução no Ocidente de dois outros termos, ambos derivados da palavra «çifr», adaptada do hindu «sunia», que significa «vazio». Através da latinização «zephirum», este termo originou o nosso «zero», que aparece bastante tarde. De «çifr» gerou-se, ainda, o termo «cifra», que em português significava também zero e que na nossa língua hoje designa quantidade, cálculo ou sinal convencional. Al-Khuarizmi foi um dos primeiros matemáticos árabes, mas não foi um dos mais criativos. A sua maior fama e influência deve-se ao facto de ter sido um precursor e, portanto, uma figura de referência. Em português o seu trabalho perpetua-se através de vários termos, tal como acontece noutros países. Mas na nossa língua sobrevive singularmente com a palavra algarismo, que não tem uso semelhante noutras línguas europeias.

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7 . H istória do Sistema Binário Desde o início o homem sentia necessidade de contar, ou seja, tinha noção de quantidade e por isso sempre criava constantemente métodos para auxiliarem seus cálculos. Esses métodos variaram, como já referido anteriormente, desde utilizar pedras ou mesmo os dedos para fazer uma relação com os objectos a serem contados até a invenção de máquinas para auxiliar e agilizar os cálculos. Qualquer computador digital, independente do tamanho ou finalidade a que se destina, significa, em sua essência, um sistema de tráfego de informações expresso em zeros (0) e uns (1). O conceito infiltrou-se lentamente em disciplinas científica isoladas, da lógica e da filosofia, à matemática e à engenharia, ajudando-a a anunciar a aurora da era do computador. O sistema binário de computação já era conhecido na China uns 3000 a.C., de acordo com os manuscritos da época. Quarenta e seis séculos depois, Leibniz redescobre o sistema binário O génio alemão Gottfiried Wilhelm Leibniz,foi um dos primeiros defensores do sistema binário, que chegou a ele de uma maneira indirecta. Em 1666, enquanto completava seus estudos universitários, muito antes de inventar sua calculadora de rodas dentadas. Além de propor que todo o pensamento racional se tornasse matemático, Leibniz invocava uma espécie de linguagem ou escrita universal, mas infinitamente diversa de todas as outras concebidas até agora, isso porque os símbolos e até mesmo as palavras nela envolvidas se dirigiam à razão.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz continuou aperfeiçoando e formalizando as intermináveis combinações de uns e zeros, que constituíram o modelo do sistema binário .

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Podemos analisar o quão importante teve a participação de G.W. Leibniz na história da informática, auxiliando a Linguagem de Programação, dando o inicio ao sistema binário que até hoje temos. A sua calculadora de rodas dentadas foi projectada para trabalhar com números decimais, mas Leibniz nunca a converteu para números binários, talvez intimidado pelas longas cadeias de dígitos criadas por esse sistema. Como apenas os dígitos zero e um são utilizados, o número 8, exemplo, torna-se 1000 quando convertido em binário, e o equivalente binário do número decimal 1000 é a incómoda cadeia 1111101000. Para Leibniz, o número um representava Deus; zero corresponderia ao vazio - o universo antes que existisse qualquer outra coisa a não ser Deus. Tudo proveio do um e do zero, assim como o um e o zero podem expressar todas as ideia matemáticas. Em 1841, mais de um século após a morte de Leibniz, um matemático inglês autodidacta chamado George Boole retomou vigorosamente a procura de uma linguagem universal.

7.1. D efensor do Sistema Binário Leibniz foi um dos primeiros defensores do sistema binário. Em 1666, enquanto completava seus estudos universitários, e bem antes de inventar sua calculadora de rodas dentadas, Leibniz, então com 20 anos, esboçou um trabalho que, modestamente, descrevia como um ensaio de estudante. Denominado de Arte Combinatória (Sobre a Arte das Combinações), esse pequeno trabalho delineava um método geral para reduzir todo pensamento - de qualquer tipo e sobre qualquer assunto - a enunciados de perfeita exactidão. A lógica (ou, como ele a chamava, as leis do pensar) seria então transposta do domínio verbal, que é repleto de ambiguidades, ao domínio da matemática, que pode definir com precisão as relações entre objectos ou enunciados. Além de propor que todo pensamento racional se tornasse matemático, Leibniz invocava " uma espécie de linguagem ou escrita universal, mas infinitamente diversa de todas as outras concebidas até agora, isso porque os símbolos e até mesmo as palavras nela envolvidas estariam relacionadas com a exactidão, e os erros, excepto os factuais, seriam meros erros de cálculo. Seria muito difícil formar ou inventar essa linguagem, mas também seria muito fácil compreendê-la sem utilizar dicionários ".

7.2. R efinamento do Sistema Binário Seus contemporâneos, talvez perplexos, talvez se sentindo insultados por suas ideias, ignoraram esse ensaio, e o próprio Leibniz, ao que parece, nunca voltou a retomar a ideia da nova linguagem. Uma década mais tarde, porém, ele começou a explorar de uma nova maneira as potencialidades da matemática, concentrandose em aprimorar o sistema binário. Enquanto trabalhava, transcrevendo laboriosamente fileiras após fileiras de números decimais transformados em binários, era estimulado por um manuscrito secular que lhe chamara a atenção. Tratava-se de um comentário sobre o venerável livro chinês "I Ching, ou Livro das Mutações", que procura representar o universo e todas as suas complexidades por meio de uma série de dualidades: P a g . 4 8 / 8 / 55 5


contrastando luz e trevas, macho e fêmea. Encorajado por essa aparente validação de suas próprias noções matemáticas, Leibniz continuou aperfeiçoando e formalizando as intermináveis combinações de uns e zeros, que constituíram o moderno sistema binário. No entanto, não obstante toda a sua genialidade, Leibniz não conseguiu descobrir nenhuma utilidade imediata para o produto dos seus esforços.

7.3. L ógica booleana 7.3.1. C omo funciona a lógica que faz com que os computadores funcionem. Provavelmente todos nós já nos perguntámos como um computador, que trabalha apenas com números, consegue realizar tantas tarefas que antes eram executadas somente por seres humanos. Dizer que o computador trabalha apenas com números não é errado, mas também não é o mais correcto. Nós, humanos, utilizamos o sistema decimal, que possui dez dígitos (0 ao 9). Por que escolhemos esse sistema numérico? Simples, quantos dedos temos, somando ambas as mãos? Dez! Coincidência? Não, conveniência! Cada um usa o sistema numérico que mais lhe convém! Mas, você nunca viu um processador com dez dedos, viu?! Os computadores de uma forma geral e qualquer outra máquina controlada por um processador, trabalham com sistema binário, composto apenas pelos números um e zero. E foram estes dois números que deram origem à lógica booleana!

7.3.2. C omo as coisas começaram George Boole nasceu na cidade de Lincoln, na Inglaterra, em 2 de Novembro de 1815. Filho de um vendedor de sapato, Boole não tinha muitas opções devido sua formação precária na pequena escola primária de Lincoln.

George Boole

Como as chances de Boole ingressar em uma faculdade eram poucas ele decidiu tornar-se padre. Embora não se tenha formado como religioso, os quatro anos de preparação eclesiástica abriram-lhe as portas, mas foi na Matemática, ensinada por seu pai, que ele encontrou sua verdadeira vocação. Por iniciativa própria, George Boole passou a estudar as operações matemáticas de forma diferente, separando todos os símbolos das coisas sobre as quais eles operavam, com o intuito de criar um sistema simples e totalmente simbólico. Surge assim a lógica matemática. Boole, ainda, é considerado um homem genial por estudiosos da matemática, mas como a Lógica de Boole (ou lógica booleana) utiliza um sistema numérico binário, na época de sua descoberta não foi utilizada. Com o surgimento do computador, a utilização do sistema binário tornou-se indispensável e, obviamente, a lógica de Boole passou a ter aplicação prática!

7.4. O sistema binário Como citado anteriormente, o sistema de numeração binária é composto apenas por uns e zeros. Os computadores, na verdade, trabalham apenas com esse sistema de numeração. Se pudéssemos abrir um processador e ver como ele trabalha, seriam zeros e uns para todos os lados, uma verdadeira Matrix binária. P a g . 4 9 / 9 / 55 5


Assim, tal como o bem e o mal, o claro e o escuro, o fácil e o difícil, o certo e o errado são opostos, com 0 e 1 não seria diferente. Na lógica Booleana, o zero representa falso, enquanto o um representa verdadeiro. Para trabalhar com esses valores e torná-los algo lógico, que possa ser aplicado, são necessárias as chamadas Portas Lógicas!

7.4.1. P ortas Lógicas Antes de começar a explicar cada uma das portas lógicas, é preciso entender basicamente como elas funcionam. Pensemos numa porta lógica como uma sala que possui entradas e saídas, em que os bits entram, são processados de acordo com a função da “sala” em que se encontram, e saem em forma de resultado. Outra característica das portas lógicas é que cada uma possui um desenho que a diferencia das demais; tendo sido tais desenhos criados a fim de facilitar o entendimento de projectos.

NOT A porta lógica NOT é também conhecida como inversor por, literalmente, inverter o bit de entrada. Se o bit de entrada for um, por exemplo, o bit de saída será zero, e vice-versa.

AND And, traduzindo para o português, significa E. Assim como no português o E é usado para a junção de ideias, na lógica booleana é aplicado da mesma maneira. Essa porta lógica possui dois bits de entrada e um de saída. Para que o bit de saída seja verdadeiro (valor 1) ambos os bits de entrada devem ser verdadeiros.

OR Or, significa OU e, assim como no português o “ou” tem a função de indicar escolha, na lógica booleana é quase a mesma coisa. Da mesma maneira que a porta AND, a porta OR possui dois bits de entrada e um de saída. Para que o bit de saída tenha o valor um (verdadeiro), pelo menos um dos bits de entrada precisa ser verdadeiro. XOR A porta lógica XOR (OR eXclusivo) retorna verdadeiro apenas quando os bits de entrada forem diferentes, ou seja, um deles for verdadeiro (1) e o outro falso (0). Se ambos os bits de entrada possuir o mesmo valor, o bit de saída será, sempre, falso. A maneira mais fácil de criar fisicamente estas portas lógicas citadas no texto é através de relés, dispositivos electromecânicos formados por ímanes e um conjunto de contactos. Os primeiros computadores utilizavam este dispositivo para a implementação das portas lógicas, mas hoje em dia o processo é mais avançado. Com a criação de várias portas AND, OR, NOT e XOR é possível criar circuitos somadores e diversos outros tipos de circuitos que são utilizados não só em computadores, mas em diversos outros dispositivos electrónicos, como relógios.

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7.5. P ara conhecimento Como é possível fazer operações matemáticas e outras actividades num computador? Quando digitamos números numa calculadora, a do Windows, por exemplo, imediatamente eles são convertidos de decimal (da forma como vemos) para binário (a única forma que o processador entende). Assim, o processador realiza somas e subtracções binárias, que funcionam de forma muito semelhante às mesmas operações com decimais. Como não existem as operações de multiplicação e divisão binária, o processador trabalha com somas (para a multiplicação) e subtracções (para a divisão) sucessivas. Por exemplo: para fazer a operação 2 x 5, o processador vai somar cinco vezes o número dois. Da mesma forma, para realizar a operação 10 / 2, o processador subtrai o valor dois (do número dez) até que o resultado seja zero. Todo o funcionamento de um computador digital é baseado no cálculo binário. O sistema de numeração binário (ou sistema de base 2) é formado por dois dígitos: o 0 e o 1. Os dígitos binários 0 e 1 são habitualmente designados por bits. Um número binário constituído por 8 bits é designado por byte, um número binário de 16 bits é uma word, e um de 32 bits, uma double word. Para contar em decimal, usamos intuitivamente um algoritmo muito simples: supondo que temos um contador por cada posição, todos inicializados a 0. Começamos a incrementá-los da direita para a esquerda. Quando o contador em qualquer posição ultrapassar o valor 9 (valor do símbolo mais elevado no caso do sistema decimal), o contador relativo a essa posição juntamente com todos os contadores à direita voltam a zero e o contador que ocupa a posição imediatamente à esquerda, é incrementado 1 unidade. Para contar em binário seguimos as mesmas regras, ou seja, obtemos a sequência: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, etc

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9 . C onclusão Numa tradição que remonta a Pitágoras, os matemáticos especialistas em “teoria de números”, praticam-no actualmente com toda a legitimidade nas universidades e nos centros de investigação. Essa teoria encontrou inúmeras aplicações a partir da II Guerra, com o desenvolvimento dos computadores. Mas mesmo antes, quando não havia quaisquer aplicações à vista, matemáticos famosos de todos os séculos “brincaram aos números”, tal como faziam os pitagóricos, estabelecendo propriedades dos números inteiros, embora sem lhes atribuir qualquer significado místico. É também, de certa forma, um paradoxo cultural, o gosto de alguns matemáticos pela teoria de números. De facto, durante um longo período histórico, desde o Renascimento até aos nossos dias, a grande motivação para a matemática foi o estudo de fenómenos físicos e naturais, ou como às vezes se diz, o estudo do “real”. Mas alguns dos matemáticos que trabalharam em problemas “reais” não deixaram, por isso, de estudar os números e de se encantar com as suas propriedades. Fermat é um desses matemáticos, frequentemente citado nestes últimos anos, precisamente por causa de um célebre teorema em “ teoria de números”. Leibniz, que também produziu trabalhos fundamentais no estudo matemático de fenómenos físicos, afirmou: “ não há homens mais inteligentes do que aqueles que são capazes de inventar jogos. É aí que o seu espírito se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente”. No nosso quotidiano usamos os números sem, no entanto, pensar sobre eles. De facto, mesmo não pensando sobre eles, a vida, tal qual ela se nos apresenta hoje, seria impensável sem a primordial convivência com os números.

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Todas aquelas simples operações que executamos quotidianamente, como um simples pressionar de um botão num comando de TV, numa caixa Multibanco, num teclado ou “rato” de um computador, no GPS do nosso automóvel, tornaram-se tão banais que nos abstraímos dos números que lhes estão associados, especialmente o zero (0) e o um (1). O facto é que o progresso da humanidade envolveu e sempre envolverá este mistério “os números”. De todas as invenções que a humanidade produziu e continua a produzir, os números ocuparão sempre um lugar primordial, mesmo que discretos, mesmo que despercebidos, sabemos que eles estão presentes. Cremos poder afirmar que após a descoberta dos números, especialmente a representação do “nada” (o número zero (0), pelos hindus), a humanidade sofreu uma evolução exponencial. Se olharmos para o percurso da humanidade, a fracção que medeia a “explosão” dos números e os nossos dias, não é mais do que uma ínfima parte da nossa história, no entanto, os resultados evolutivos alcançados foram astronómicos. Impreterível a pergunta que não quer calar: seria a humanidade capaz de conceber o modo de vida hoje, sem a presença dos dilectos números? Julgamos óbvia a resposta.

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A História dos Numeros

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