6 e 28 3;5;7;
SUMÁRIO 1.
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO........................... ............................................. ................................ ................................ ............................... ............................... ....................3 ..3
2.
A IMPERIOSIDADE DE SE SABER MATEMÁTICA..................................................4
3.
A INVENSÃO DO NÚMERO E SUA REPRESENTAÇÃO ..........................................7
4.
OS NÚMEROS NÚMEROS ........................... ............................................. ................................ ................................ ............................... ............................... ..................10 4.1.
4.1.1.
ADIÇÃO ADIÇÃO ........................... ............................................. ................................ ................................ ............................... .......................... .............11
4.1.2.
MULTIPLICAÇ MULTIPLICAÇÃO ÃO ........................... ............................................. ............................. ............................. .............................. ............12
4.1.3.
POTENCIAÇÃO POTENCIAÇÃO........................... ............................................. ................................ ............................. ............................. ................. ... 14
4.1.4.
EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA ......................................................... 15
4.2.
5.
ARITMÉTICA ARITMÉTICA......................... ........................................... ................................ ............................... ............................... ............................ ..............11
CATEGORIAS ESPECIAIS DE NÚMEROS ....................................................... 18
4.2.1.
NÚMEROS PRIMOS ....................... ........... ..................... ...................... ........................ ................... .................. .................... .......... 18
4.2.2.
NÚMEROS AMIGOS ...................... ......... ....................... ...................... ...................... .................... ...................... ................... ....... 19
4.2.3.
NÚMEROS PERFEITOS ..................... .......... ...................... ....................... ....................... .................... ................... .............. .... 20
4.2.4.
NÚMEROS DEFICIENTES ....................... .......... ...................... ..................... ....................... .................... ................ ....... 21
4.2.5.
NÚMEROS ABUNDANTES .................... ......... ....................... ....................... ...................... ..................... .................. ........ 21
4.2.6.
NÚMEROS FIGURADOS OU POLIGONAIS ..................... ........... ..................... ...................... ...............21
4.2.7.
O NÚMERO ...................... ........................................ .................................. ................................ ............................. ..................... ........26
4.2.8.
O NÚMERO AUREO ......................... ........................................... ................................ ............................... ...................... .....29
BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA ............................ ........................................... ............................. ................................ ............................... ............................... ..................30
3
1. INTRODUÇÃO Aprender é como comer. Uma boa aula é como uma boa refeição: quanto mais atraente estiverem os pratos que você cozinheiro-professor dispuser sobre a mesa, mais os alunos-degustadores desejarão saboreá-los. (TIBA, 1978 p.32)
Para os matemáticos da antiguidade, estudar matemática era motivo de prazer e felicidade, onde se buscava nas fórmulas e conceitos matemáticos a razão para tudo. Dentre todos, os pitagóricos eram, talvez, os mais fanáticos, pois, para eles, a matemática era a própria encarnação do amor, trazendo como conseqüência o prazer das descobertas. d escobertas. Com relação a isso Boyer diz: “Nunca antes ou depois a matemática teve um papel tão grande na vida e na religião como entre os Pitagóricos”. (Boyer, 2002. p 34)
Mas com o passar do tempo o ensino da matemática passou por várias mudanças, algumas com méritos plausíveis e outras que trouxeram impactos negativos. Na atualidade, por fatores que vão desde problemas de ordem familiar, até procedimentos didáticos equivocados, o ensino da matemática é visto por muitos alunos como um meio de exclusão, razão pela qual os alunos podem não perceber a interação da matemática com a vida prática. Este fato gera insatisfação traduzida em chavões como: “onde vou utilizar isso?”, “porque estudar matemática?”, “diga-me quem inventou a matemática que eu quero matar!”. Essas ponderações encontram respaldo em: “O ensino de Matemática, ao longo dos anos, tem sido considerado o grande responsável pelo fracasso escolar e, conseqüentemente, vem atuando como gerador da exclusão de significativa parte do alunado, conferindo à escola um papel elitista e discriminador” (BRASIL, 1999 in SANTOS, 2003 P.163)
É meu desejo que as pessoas desfrutem na matemática o prazer da descoberta, o gosto pelo desafio, pois aprender é um grande desafio e a satisfação de compreender que a matemática não é um mero punhado de fórmulas ininteligíveis, incompreensíveis e sem valor que só interessam a loucos que não têm o que fazer. A matemática é vivida e mui bela, é a rainha das ciências é a própria essência da arte. art e. Convido todos a apreciarem sua beleza, contemplar o seu reino e maravilhar-se com a bela-arte da natureza que a matemática é capaz de (re) produzir.
Francisco André de Oliveira Neto 11 de janeiro de 2008.
4
2. A IMPERIOSIDADE DE SE SABER MATEMÁTICA “Sem a matemática não seria possível existir a astronomia; sem os recursos prodigiosos da astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade” – (Amoroso Costa).
A importância dada ao estudo da matemática tem variado ao longo dos séculos e do contexto social em que está inserida. No Brasil do séc. XIX, “A matemática, em nível acadêmico, ocorria apenas como parte da formação do engenheiro ou do militar”(Da Silva, in Fossa, 2001, pg.15). Por outro lado conhecemos a história dos pitagóricos que não aceitavam a presença de pessoas no seu ambiente de estudo a menos que fossem geômetras. Então porque estudar matemática? Sabe-se pela história que o homem aprendeu a contar da necessidade imperiosa de controlar o seu rebanho e da necessidade premente de estabelecer as relações de troca 1. As cheias do Nilo, por outro lado, são responsáveis pelo desenvolvimento da geometria e as equações surgiram para solucionar problemas envolvendo quantidades desconhecidas. Hoje a matemática está em toda parte. Podemos percebê-la na roupa que vestimos, na casa que moramos, nos objetos domésticos e pessoais, em fim, ela está presente em todos os momentos de nossa vida. É impossível apreciar uma partida de futebol sem saber contar. Quantos gols foram marcados, a estatística de passes, a posse de bola, etc. Quando o assunto é campeonato, mais matemática é utilizada: probabilidades, esperança matemática, ordem de classificação, contagem de pontos, etc. No estudo da língua portuguesa, seria impossível classificar as sílabas, para quem gosta de geografia seria impossível estudar a localização de um ponto na terra 2, a história ficaria desprovida de sua cronologia, a química e a física alijadas de suas fórmulas, a eletricidade ainda não teria sido descoberta, os computadores seriam uma possibilidade remota e sem sentido, afinal fazer cálculos para que? Sem a matemática as possibilidades de se conseguir emprego estariam bastante reduzidas. Vivemos cercados pelos números: horários de trabalho, as estatísticas de natalidade, tabelas de preços de mercadorias, pagamento de juros, impostos, o troco do pão, o 1
Por esse motivo muitos matemáticos não aceitam o zero como número natural, pois não fazia sentido uma afirmação do tipo: tenho zero vacas! Não havia o que contar. O conceito do zero é bastante recente. 2 O estudo das coordenadas de localização envolve matemática bem diferente da sistematizada por Euclides. A menor distância entre dois pontos no globo terrestre não é uma reta e sim uma curva.
5 número de comprimidos a serem tomados, etc. Os números são a própria matemática, embora a matemática não se resuma somente aos números. Quando, no ano de 1790, os reformadores franceses constituíram uma comissão para estabelecer um padrão de medida, escolheram cinco matemáticos, surgindo daí o sistema métrico decimal. Na época a definição do metro era
1 da distância do equador ao 10.000.000
pólo norte, medida ao longo de um meridiano 3. No nosso lazer também estamos cercados pelas razões matemáticas. A música, deleite para muitos, é a matemática em movimento: Oitavas, terças, quintas, tríades, intervalos e o complexo estudo das harmônicas 4. Para se construir um instrumento musical, cálculos são necessários ou teremos que apelar para o método da tentativa e erro 5. Os jogos de azar também aplicam conceitos matemáticos. Quais as chances de se ganhar no jogo do bicho? Malba Tahan 6 explorou esse assunto em “O jogo do bicho à luz da matemática” (MALBA TAHAN 7) Outras aplicações da matemática são as proporções harmônicas utilizadas na arquitetura e as razões áureas. As relações áureas também estão presentes quando analisamos
3
Em 1875 uma comissão internacional de cientistas reconsiderou o sistema métrico, dessa vez definindo o metro como sendo uma barra padrão confeccionada em liga de platina com Irídio, com duas marcas cuja distância por definição correspondia a um metro. Para evitar o efeito da temperatura, a referida barra era conservada a uma temperatura controlada de 0ºC. Em 1960, o padrão foi novamente redefinido como sendo 1.650.763,73 vezes o comprimento de onda no vácuo da radiação correspondente à transição entre os níveis 2P 10 e 5ds do átomo de criptônio. Ver (OLIVEIRA, 1895 p.29) 4
Os pitagóricos encontraram a seguinte relação entre as notas musicais: Dó=1;Ré=
;Lá=
9 5 4 3 ;Mi= ; Fá= ;Sol= 8 4 3 2
5 15 ;Si= e Dó=2 uma oitava acima. Os intervalos são calculados dividindo-se as relações entre as notas 3 8
consideradas. Ver (OLIVEIRA, 1895 p.156 a 158) 5 Existe uma regra para dimensionamento da distância entre os trastes de um violão ou qualquer outro instrumento de corda com traste, conhecida como a regra de 18, que consiste em dividir o comprimento da corda entre o cavalete e a pestana por 18 e marca-se o primeiro traste. Em seguida divide-se a distância entre o primeiro traste e o cavalete por 18 e marca-se o segundo traste e assim sucessivamente. A rigor o valor exato deve ser 17,8171. (NETTO, 2002) 6 Júlio César de Mello e Sousa nasceu no RJ em 06/05/1895, formou-se em engenharia civil e atuou como professor no Colégio Pedro II, na Escola Normal e na Faculdade Nacional de Arquitetura onde recebeu o título de “Professor Emérito”. Foi membro da Academia Carioca de Letras em 1966, escreveu vários livros ligados a matemática entre tantos “O Homem que calculava” premiado pela Academia Brasileira de Letras e traduzido para o alemão, inglês, italiano, espanhol e catalão. Faleceu às 5:30 horas de 18 de junho de 1974, expirava, nos braços da esposa, no Hotel Boa Viagem em Recife. A Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro instituiu o dia do matemático na data de seu nascimento, dia 06 de maio 7 Publicado postumamente pela editora Grafipar. Na edição que possuo não consta o ano da publicação.
6 a configuração dos animais, inclusive dos seres humanos, sendo uma relação matemática da beleza humana8. Sem a matemática não saberíamos sequer contar as gotas de remédio necessárias a serem diluídas na água para ser ingerida. Não haveria aniversários, dinheiro e riqueza não fariam sentido e pior: não faria o menor sentido trabalhar, pois não teríamos salário. A roda9 foi a revolução das descobertas, mas sem a matemática isso não seria possível. Conscientizar as nossas crianças da importância de aprender matemática é tarefa de todo educador. Devemos acabar com o preconceito de que matemática é difícil, afinal: difícil é tudo aquilo que não se sabe fazer.
8
O número áureo é encontrado quando tentamos dividir um segmento de reta AC em duas partes AB e BC
2
tais que AC AB BC . Goza de algumas propriedades curiosas tais como. Seja o número áureo, então:
1
1 ; 2 1;
1
1. Curiosamente, o umbigo humano divide o corpo em média e
extrema razão. Logo a relação entre a distância entre o umbigo e a cabeça e a altura de uma pessoa é o número áureo. Ver (BIEMBENGUT, 1996) 9
A mais antiga das invenções revolucionárias traz consigo um mistério que perdurou por mais de 2.000 anos. A relação entre o seu comprimento e o seu diâmetro pode ser traduzida por um número racional? Por muitos séculos a diversão dos matemáticos foi calcular o valor de , existindo vários métodos, entre eles o legado por
1 22 16 2 Arquimedes. Vários valores para foram dados desde 3, pelos Babilônios, 3 , , , até as 7 7 9 aproximações mais modernas com milhares de casas decimais e não periódicas. Um dos registros mais antigos do valor de pode ser encontrado na Bíblia em II Crônicas capítulo 4 e no versículo 2 que diz: “ Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco de altura e trinta de circunferência.”
7
3. A INVENSÃO DO NÚMERO E SUA REPRESENTAÇÃO
Pode parecer que os algarismos hindo-arábicos sempre existiram para exprimir a contagem, porem isso não é verdade. Tanto o processo de contagem como o de sua representação passou por inúmeros desenvolvimentos ao longo da história, haja vista ter existido um período em que o homem não sabia contar. Entre outros podemos citar os Botocudos, no Brasil, que ainda vivem na idade da pedra e as únicas grandezas numéricas
Figura 1
conhecidas são: um, dois e muitos. Algumas espécies de animais são dotados de uma certa percepção numérica. Os Rouxinóis, por exemplo, são capazes de reconhecer quantidades concretas de um a quatro. É um equivoco de nossa parte acharmos que nós somos capazes de fazer muito mais que isso, pois na prática recorremos à memória ou a procedimentos
como
a
comparação,
a
decomposição, o agrupamento mental ou a faculdade abstrata de contar 10. O olho humano não é suficientemente preciso para ser encarado como um instrumento de medida, pois seu poder de percepção muito raramente ultrapassa o número 4. O homem aprendeu a contar através do processo de correspondência um a um. Foi através desse principio que ele pôde praticar a aritmética muito tempo antes de ter consciência e saber o que é um número abstrato. Alguns povos se utilizavam do corpo humano para o seu processo de contagem11 como exposto na figura 1.
10
Nosso espírito só é capaz de conceber um número sob o ângulo da abstração se já ti ver assimilado os números precedentes; sem esta capacidade intelectual, os números voltam a ser noções globais bastante confusas no espírito do homem. 11 Correspondência biunívoca
8 O homem contava aquilo que ele via ou existia, o concreto. Nessa fase da evolução histórica, dos números, não fazia sentido “o nada”. O processo de contagem se desenvolve e vamos ver
Figura 2
diversos povos agrupando as quantidades de variadas maneiras. Pode parecer obvio o agrupamento de 10 em 10, mas essa não foi a única forma de agrupar quantidades. Conhecemos povos que se utilizavam da base 5 para o processo de contagem como podemos ver na figura 2. Algumas dessas bases são utilizadas hoje para aplicações especiais como: a sexagenária para horas e ângulos; base 12 ou dúzia para compra de bananas por exemplo, etc. Figura 4
Figura 5
Vencido o processo de contagem, cada povo criando o seu sistema, sentia-se necessidade da criação de um sistema de computação e como não poderia deixar de ser, vários métodos computacionais surgiram ao longo dos séculos finalizando com os computadores digitais eletrônicos por nós conhecidos. Alguns desses processos são extremamente curiosos e vale
Figura 3
a pena serem mostrados. Na figura 3, vemos um processo de cálculo digital utilizando ambas as mãos. O processo é simples: para multiplicar 9 por 7,
dobra-se
na
primeira
mão
os
dedos
correspondentes às unidades suplementares de 9 em relação a 5 (9-5=4) e na outra os dedos equivalentes ás unidades suplementares de 7 em relação a 5 (7-5=2). O resultado é obtido fazendo-se o seguinte cálculo: o total de dedos abaixados multiplicado por 10 somado ao produto dos dedos levantados. Então o resultado de 9x7=(4+2)x10+1x3=63, não é fantástico? A
9 justificativa desse método baseia-se no seguinte: sejam x e y dois números, 5 x, y 10 , a serem
multiplicados
então
10 x 5 y 5 5 x 55 y 5 10 x y 10 10 x 10 y xy . Nas figuras 4 e 5 vemos exemplos de calculadores antigos e baseados no sistema decimal.
A INVENSÃO DOS ALGARISMOS Com o surgimento da escrita, como necessidade de responder às representações visuais e de memorização do pensamento como também para o registro da linguagem articulada, teve-se a idéia também de representar os números por sinais gráficos que denominamos hoje de algarismos. As primeiras representações numéricas que se tem notícia são àquelas utilizadas pelos sumérios e elamitas a cerca de 3.300 anos a.C. Os egípcios também possuíam o seu sistema de numeração escrita – os Hieróglifos-, datando de cerca de 3.000 anos a.C. Com o passar do tempo e com o desenvolvimento das Figura 6
civilizações verificou-se que os sistemas em vigor eram demasiados simples e necessitavam de muitos símbolos para representar números relativamente pequenos. Vamos encontrar os algarismos romanos, bem conhecidos hoje, e que destinavam-se a abreviar as anotações numéricas
embora
não
se Figura 7
prestassem ao cálculo. O uso das letras do alfabeto para representar quantidades trazia problemas pois poderia causar confusão durante a leitura. Era preciso saber se a combinação de letras deveria ser entendido como um texto ou representação numérica. Figura 8
Alem disso, certas combinações de letras eram consideradas impróprias ou profanas e não podiam ser utilizadas como podemos ver nas figuras 7,8 e 9 . os Hebreus acreditavam que ninguém podia
pronunciar ou escrever o nome de Deus.
Figura 9
10
4. OS NÚMEROS Na aritmética dos pitagóricos, os números surgem associado a objetos, daí o surgimento dos números figurados, perfeitos, etc. “A verdadeira aritmética dos pitagóricos e matemáticos posteriores é a que está exposta por Euclides nos Elementos VII, VIII e IX, e aí se confirma que a única maneira possível de conceber a noção de número era a maneira geométrica”12 “Os Gregos antigos faziam distinção entre o estudo das relações abstratas envolvendo os números e a arte prática de calcular” 13 É praticamente consenso entre os historiadores que os primeiros passos no sentido do desenvolvimento da teoria dos números e o misticismo dos números foram dados por Pitágoras e seus seguidores. O par de números 220 e 284 alcançou uma aura mística haja vista a crença que esses números escritos em dois talismãs selariam a amizade perfeita entre os que o usassem. Até o ano de 1636, só era do conhecimento da comunidade matemática em geral, esse par de amigos, quando Pierre de Fermat anunciou um novo par formado pelos números 17.296 e 18.416. Em 1866 encontrou-se o par 1184 e 1210, feita pelo adolescente italiano Nícolo Paganini, de apenas 16 anos. Os números perfeitos, deficientes e abundantes também estão ligados ao misticismo. O número 6, o primeiro número perfeito é associado a criação pois o criador fez o mundo em 6 dias. No entanto, toda a humanidade descende das 8 almas salvas na arca de Noé, uma criação imperfeita pois 8 é deficiente. Os números figurados representam o elo entre a geometria e a aritmética, haja vista se apresentarem sob configurações geométricas. Já as tríades pitagóricas são triplas de números que satisfazem a equação a 2 b 2 c 2 . A tablita Plimpton 322 é um registro histórico, datado entre 1900 a 1600 a.C. que versa sobre as tríades pitagóricas.
12
LINTZ, R. G. História da matemática/ Rubens G. Lintz – Blumenal: Ed. Da FURB, 1999, p.76 EVES,P98
13
11
4.1.
ARITMÉTICA
Estamos acostumados a trabalhar com a aritmética exclusivamente da forma como aprendemos na escola, forma que denominamos de convencional. Contudo a história da matemática registra outros procedimentos aritméticos interessantes e que ressaltam a grande habilidade em lidar com cálculos numéricos.
4.1.1.
ADIÇÃO
Seja efetuar 1359 + 427 e 345 + 488. Resolvendo da maneira convencional conforme aprendemos na escola temos: 1 3 5 9
3 4 5
4 2 7
+ 4 8 8
1 7 8 6
8 3 3
+
Contudo os Hindus somavam da seguinte maneira: 1+0=1 e escreve-se o 1 acima. 8 1 7 7 6
3+4=7 e escreve o 7 acima do 3
1 3 5 9
2+5=7 e escreve-se o 7 acima do 5
+ 4 2 7
9+7=16=10+6 escreve-se o 6 e risca-se o 7 escrevendo o 8 em seu
lugar. 3+4=7 e escreve o 7 acima do 3 8 3
8+4=12=10+2 escreve-se o 2 e o 7 é riscado, escrevendo-se o 8 em seu
7 2 3
lugar
+ 3 4 5 4 8 8
8+5=13=10+3 escreve-se o 3 e risca-se o 2 escrevendo-se o 3 em seu lugar.
Efetue pelo método dos Hindus as seguintes somas: 97543221+1234789= 99999999+9999999=
12
4.1.1.1. SOMANDO DE CABEÇA Efetuar cálculos de cabeça é uma arte que precisa ser desenvolvida e somente bastante treino pode nos dar segurança em fazê-lo. Vários procedimentos podem ser utilizados, tais como os apresentados abaixo: 9+7=10+7-1=16 8+7=10+7-2=15 23+32=20+30+3+2=55 28+17+36=20+10+30+8+7+6=20+10+30+10+5+6=61 125+328=100+25+300+25+3=453 1068+4569=1000+60+8+4500+60+9=1000+100+8+4500+20+9=5637 1068+4569=1000+4000+500+60+60+9+8=5637 Efetue as seguintes somas de cabeça: 12345+56789= 726+567=
4.1.2.
MULTIPLICAÇÃO
Seja efetuar 569 x 5 e 12 x 45. Resolvendo da maneira convencional conforme aprendemos na escola temos: 1 2 5 6 9 x
5
2 8 4 5
x 4 5 6 0 4 8 5 4 0
Contudo os Hindus multiplicavam da seguinte maneira: Da direita para a esquerda,
8 4 2 5 0 5 x
5
5 6 9
5x5=25 escreve-se o 25 5x6=30 escreve-se o 0 e risca-se o 5 para escrever o 8 5x9=45 escreve-se o 5 e risca-se o 0 para escrever o 4
13 Efetue as seguintes multiplicações pelo método dos Hindus: 546x3= 234x7= 5432x2=
4.1.2.1. O MÉTODO DA GELÓSIA Seja multiplicar 135x12 1
0
3
0
0 1
1
5
0
0 3
0 2
6
1 6
2
1 5
2 0
0
Efetue as seguintes multiplicações pelo método gelosiano: 9999x9999= 55555x9987= 7777x7777=
4.1.2.2. MULTIPLICANDO DE CABEÇA
12x45=(10+2)45=45x10+45x2=540 12x745=745x10+745x2=7450+1490=8940 9x875=(10-1)875=8750-875=8750-750-125=7875 135x12=(10+2)x135=135x10+135x2=1350+270=1620
14 Efetue as seguintes multiplicações de cabeça: 13x13= 12x17]= 45x76=
4.1.3.
POTENCIAÇÃO
Da maneira como aprendemos na escola, para elevarmos um número ao quadrado devemos multiplicar esse número por ele mesmo a fim de obtermos o resultado. O procedimento a seguir permite calcular o quadrado de um número de cabeça utilizando identidades algébricas.
4.1.3.1. ELEVANDO AO QUADRADO DE CABEÇA Qualquer quadrado de um número pode ser obtido da expressão 14
n 2 n a n a a 2 , onde é o número que se deseja elevar ao quadrado.
Seja calcular 17 2 . Se pudermos escolher um valor a , tal que saibamos o valor de a 2 e seja fácil calcular os produtos da diferença pela soma o cálculo em questão fica muito facilitado. Escolhendo a 3 para que a soma chegue a 20, pois é muito fácil multiplicar um número por 2 e depois por 10. 17 2 14 20 9 289 Seja calcular o quadrado dos números abaixo:
27 2 32 2 126 2 176 2
24 30 9 729 ou 34 20 49 729 34 30 4 1024ou 40 24 64 1024 152100 20 32 36 15200 640 36 15876 200 152 20 28 16 30400 560 16 30976
Podemos deduzir essa expressão partindo da identidade n 2 n 2 n 2 n 2 a 2 a 2 e fatorando obtemos n 2 n a n a a 2 . 14
15
4.1.3.2. ELEVANDO AO QUADRADO DE CABEÇA UM NÚMERO TERMINADO EM 5 Qualquer número terminado em x5, tem seu quadrado dado por: ( + 1) × × 100 + 25.
Em linguagem mais prática procedemos conforme a seguir. Seja calcular o
quadrado dos números a seguir: 625 1225 15625 30625
25 2 352 125 2 175 2
4.1.4.
EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA
A extração da raiz quadrada é um dos grandes desafios da aritmética. Definida como sendo o inverso da potenciação, o método moderno de extração da raiz quadrada é devido provavelmente aos hindus. Contudo, foi Leonardo Fibonaci, um italiano de Pisa, a glória de ter difundido na Europa esse conhecimento.
4.1.4.1. UTILIZANDO DIVISÕES SUCESSIVAS Seja extrair a raiz quadrada de 3. Então podemos escrever como uma equação do segundo grau incompleta de B como: x 2 3 0 x 2 3 e x 3 . Mas quanto é o valor da raiz quadrada de 3 com precisão de 4 casas decimais? Considerando somente o valor positivo da equação x 3 e observando que se x 2 3 x
3 x
sendo esse o método que iremos utilizar para calcular a raiz quadrada
4 de 3. A afirmação anterior é bastante obvia pois 2 2 4 2 !!! 2 Seja então calcular a raiz de 3. Sabemos que 1 é raiz por falta e que 2 é raiz por excesso então o valor verdadeiro da raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2. Tomemos como primeira aproximação o inteiro 2. Então x1
3 x0
3 1,5 . Mas 1,52 2,25 valor inferior 2
a 3 e portanto devemos continuar a buscar valores apropriados. Calculando a média
16 aritmética entre as duas estimativas temos: x2
2 1,5 1,75 e 1,752 3,0625 valor 2
superior a 3 e, portanto vamos continuar calculando. A próxima aproximação obtemos dividindo x3
3 1,71428 e 1,714282 2,93875 que é menor que 3. A quarta 1,75
aproximação
é
a
média
aritmética
x4
1,75 1,71428 1,73214 . 2
1,732142 3,00003 ainda superior a 3. A quinta aproximação é x5
Mas
3 1,73196 1,73214
e 1,731962 2,99968 inferior a 3. Calculando a média com a sexta aproximação x6
1,73214 1,73196 1,73205 e 1,732052 2,999997 muito próximo de 3. 2
Continuando
com
a
aproximação
temos
x7
3 1,7320516 1,73205
e
1,73205162 3,0000027 e calculando a média obteremos a oitava aproximação x8
1,73205 1,7320516 1,7320508 2
e
1,73205082 2,9999999
aproximadamente igual a 3. Usando uma calculadora obtemos Utilizando o método acima, calcule o valor de:
muito
3 1,732050808 .
2 ; 5 ; 10 até a terceira casa
decimal.
4.1.4.2. UTILIZANDO APROXIMAÇÃO POLINOMIAL Outro método que permite calcular o valor da raiz quadrada de um número qualquer positivo através de aproximação polinomial utilizando a fórmula a seguir: a2 b a
b
2a
, onde 0 b a 2 15.
Seja calcular:
7 22 3 2
3 2 2,75 ou 7 32 2 3 2,33 6 4
Seja n 2 a2 b e admitamos que possa ser escrito também como n 2 a x 2 a 2 2ax x 2 . b b Então x e desprezando-se x obtemos que n a . 2a x 2a 15
17 7 2,64
Valor correto:
59 8 2 5 8
5 7,68 16
59 7,68
Valor correto: Calcule:
4 2 2 usando a e b 3 9 5 usando a 2 e b 1
4.1.4.3. MÉTODO PRÁTICO Um método prático de se calcular a raiz quadrada de um número n é dado pela fórmula:
n
1 n 16 onde q é o quadrado perfeito mais próximo de q 2 q 2 q
nq
n.
Ex. 7
7 9 16 8 9 17 2,66 ; 8 2,83 23 6 2 3 6
Calcule a raiz quadrada dos números abaixo: 11 17
44 67 111 115 125
16
Seja
q n , então
n q
2 0 e por conseguinte n q 2
q n 0
nq
2 q
n.
18
4.2. CATEGORIAS ESPECIAIS DE NÚMEROS
4.2.1.
NÚMEROS PRIMOS
Um número natural é dito primo quando possui apenas dois divisores, a saber: o número 1 e ele próprio. Em outras palavras, se o conjunto dos divisores do número p for o conjunto 1, p , então p é primo. O único primo par é o 2 e todo número natural não primo ou composto, pode ser escrito ou decomposto como um produto de fatores todos primos. O conjunto dos números primos é infinito e esse fato foi provado por Euclides nos seus “Elementos” e usa o seguinte raciocínio:
Seja p1 , p2 ,... p n números primos e suporemos que p1 é o primeiro primo e p n o último então poderíamos escrever o seguinte número composto n p1 p2 ... pn . Como sempre podemos escrever um número uma
unidade maior, então n1 p1 p2 ... pn 1 e como supomos que o conjunto dos números primos é finito, então n1 tem de ser composto. Ora se dividirmos n1 por qualquer dos primos teremos como resto 1, o que significa que nenhum número primo o divida. Agora estamos diante de uma contradição: n1 é composto e não pode ser dividido por nenhum número primo. Como sabemos que todo número composto é decomponível em fatores primos, segue-se que deve existir um primo além de pn e então o conjunto dos números primos é infinito. Por muitos anos acreditou-se que era possível construir uma função que só fornecesse números primos, tendo muitos matemáticos se empenhado nessa busca. No ano de 1772 Euler observou que o polinômio x 2 x 41 fornece números primos para todos os valores de x contidos no intervalo 1;40 . Mais tarde, em 1798, Legendre chegou ao polinômio x 2 x 41 que fornece números primos para o intervalo 0;39 . n
Em 1840, Fermat conjecturou que 2 2 1 forneceria sempre números primos e testou a expressão para n contido no intervalo 0;4. Coube, no entanto a Euler provar que isso não era verdade, pois quando usou n 5 observou que o resultado era o número composto F 5 429467297 7 61352471 .
19
4.2.2.
NÚMEROS AMIGOS
Números amigos são dois números cuja soma de todos os divisores menores que o próprio número resulta no outro número. Sejam A e B os conjuntos de todos os divisores positivos menores que o próprio número de 220 e 284 respectivamente: A Dm 220 1,2, 4,5,10,11,20,22,44,55,110
B Dm 284 1,2,4,71,142
Sejam s A e s B a soma de todos os divisores contidos nos conjuntos A e B respectivamente: s A 284 e s B 220 , portanto 220 e 284 são amigos. Teorema: Se p , q e r são primos, e se são da forma p 3 2n 1 ; q 3 2n 1 1 e r 9 22 n 1 1 para
> 1,
então n1 2n pq e n2 2n r são amigos 17. Vale salientar
que a fórmula anterior não reproduz todos os amigos, haja vista o par 6.232 e 6.368 não poder ser obtido. Outros amigos: 1184 e 1210; 17.296 e 18.416, 9.363.284 e 9.437.056
A REGRA DE EULER Os números 2 n pq e 2 n r formam um par amigável se os três inteiros p 2
m
2 n m 1 1 ;
q2
n
2
2 nm 1 1 e r 2 nm 2 nm 1 1 são todos números
primos para algum inteiro positivo m satisfazendo
1 m n 1 . Porém, há muitos
pares amigáveis que não satisfazem a regra de Euler, assim é uma condição suficiente, mas não necessária para amizade. A regra de Euler é uma generalização da regra de Thâbit ibn Kurrah. Os primeiros
m, n para qual a regra de Euler é satisfeita são
m, n 1,2; 3,4; 6,7 ; 1,8; 29,40
não
existindo
outros
para
n 2500 ,
correspondendo aos triplos p, q, r 5,11,71; 23,47,1151; 191,383,73727 , dando os pares amigáveis 220,284 , 17296,18416 , 93633584,9437056 .
17
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_amigos
20
4.2.3.
NÚMEROS PERFEITOS
Números perfeitos são inteiros positivos n tais que n sn , onde s n é a função de divisor restringida (i.e., a soma dos divisores de n menores que o próprio n ), ou equivalentemente n 2n onde n é a função de divisor (i.e., a soma de divisores de n inclusive o próprio n ). Por exemplo, os três primeiros números perfeitos são: 6 1 2 3 ; 28 1 2 4 7 14 ; 496 1 2 4 8 16 31 62 124 248 . Aos números perfeitos foram atribuídas propriedades numerologias importantes pelos antepassados, e foram estudados extensivamente pelos gregos, inclusive Euclides. Teorema: Todo número perfeito par é da forma 2 p 1 2 p 1 . Os números perfeitos também estão intimamente ligados com uma classe de números conhecida como números de Mersenne que são números primos da forma M p 2 p 1 . Isto pode ser demonstrado considerando um número perfeito P da forma P q 2 p1
onde q é primo. Por definição de um número perfeito P , P 2P .
Agora observemos que há formas especiais para a função de divisor n. 18 q q 1 para n q um número primo, e 2 2 1 1, para n 2 .
Combinando
estes
resultados
com
a
identidade
adicional
p1 1 p 2 2 ... pr r p1 1 p 2 2 ... p r r onde n p1 1 p 2 2 ... p r r é a fatorização principal
de n , dá P q 2 p1 q 2 p1 q 1 2 p 1 . Mas P 2P , assim q 12 p 1 2q 2 p1 q 2 p . Resolvendo então para q dá q 2 p 1 . Então, se P for um número perfeito, q deve ser da forma q 2 p 1 .
Definindo M p como um número primo da forma M p q 2 p 1 , então
1 2
P M p M p 1 2 p 1 2 p 1 é um número perfeito, como afirmado na Proposição
IX.36 dos Elementos de Euclides. Podemos também afirmar que todo perfeito par obedece a fórmula P 2k 2 k , onde k . Fazendo m 2k 2 p , então k 2 p 1 o que nos leva a P k 2k 1 e está provada a proposição. 1 Os divisores de 2 são 2 0 ,21 ,...2 cuja soma é 2 1
18
21 A seguir estão listados os nove primeiros números perfeitos:
p 2 3 5 7 11 13 17 19 23
4.2.4.
NÚMERO PERFEITO k 6 2 28 4 496 16 8.128 64 2.096.128 1.024 33.550.336 4.096 8.589.869.056 65.536 137.438.691.328 262.144 35.184.367.894.528 4.194.304
NÚMEROS DEFICIENTES
Um número se diz deficiente quando ele próprio é maior que a soma dos seus divisores. Seja Dm (8) 1,2,4 e 8 1 2 4 , portanto 8 é um número deficiente. Teorema: Se p é primo, então m p n é deficiente.
4.2.5.
NÚMEROS ABUNDANTES
Um número se diz abundante quando ele próprio é menor que a soma dos seus divisores. Seja Dm (12) 1,2,3,4,6 e 12 1 2 3 4 6 , portanto 12 é um número abundante.
4.2.6.
NÚMEROS FIGURADOS OU POLIGONAIS
São números que representam figuras geométricas quando estas são formadas por pontos.
22
4.2.6.1. NÚMEROS TRIANGULARES
1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 ................... ................... n n 1 n n 2 n n 1 n 3 n n 1 n 2 1 2 3 .... n nn 1 n c.q.d.
2
4.2.6.2. NÚMEROS QUADRADOS
1 1 12 2 4 2 2 3 9 32 4 16 4 2
.................... .................... N N 2 c.q.d.
4.2.6.3. NÚMEROS PENTAGONAIS
23
1 1 2 5 32 1 1 1 3 12 33 1 1 2 4 22 34 1 1 3 ........................................ ........................................ n 3n 1 1 n 1 3n 1 1 3n 2 1 n 2 3nn 1 c.q.d. n n
2
n3n 1 3nn 1 2n 3n 2 3n n n n c.q.d. 2 2 2
4.2.6.4. NÚMEROS GNOMIAIS São números que assumem a forma de um L eqüilátero ou Gnomom.
G1 1 G2 3 G1 G2 1 2 G3 5 G3 G2 2 3 G4 7 G4 G3 3 4 G5 9 G4 G5 4 5
....................................... ....................................... G N n n 1 2n 1 Exercícios Existe algum triangular que é quadrado? Existe algum triangular que é pentagonal? Existe algum quadrado que é pentagonal?
24
4.2.6.5. ALGUNS TEOREMAS DOS NÚMEROS FIGURADOS Teorema1: todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.
De fato, todo quadrado pode ser decomposto em dois triângulos sucessivos: Sejam n
nn 1
2
e n1
nn 1
2
dois números triangulares sucessivos,
n
então n n1 n 1 n 1 n 2 e n n1 n c.q.d. 2 Teorema2: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1)ésimo número triangular n n 3 n1
3 N N 1 e como a segunda parte é 3 n1 2 portanto, o teorema está provado. Em outras palavras, n n 3 n1 c.q.d. De fato, N N
25 Teorema3: a soma de um número qualquer de inteiros impares consecutivos, começando com o 1 é um quadrado perfeito.
É conclusivo que G1 , G1 G2 , G1 G2 G3 e
n
1 G
i
são todos quadrados
i
n
perfeitos como pode ser observado na figura anterior. Generalizando,
1 2i 1 n 2 . i
Em outras palavras, a soma dos 5 primeiros números impares é 5 2 25 , portanto, a soma dos n primeiros números impares é n 2 . c.q.d. Teorema4: O enésimo número quadrado pode ser obtido somando-se o dobro do enésimo-menos um número triangular com o valor de n . Com efeito, se n n 1 n e n n1 n 2 (teorema1), segue-se que n n 2 2 n 1 n c.q.d.
26
4.2.7.
O NÚMERO
Se um número real for definido como sendo a relação entre o perímetro da circunferência de um círculo C e seu diâmetro conhecido
desde
a
C d
antiguidade
C
2r
teremos o tão famoso e
igual
a
3,1415926535 8979323846 2643383279 502884197 ... A quantidade de casas decimais proveniente dessa divisão é infinita pois é irracional e transcendente. Os matemáticos da antiguidade não sabiam desse detalhe e buscavam freneticamente obter o valor exato desse número. A Bíblia contém duas referências (I Reis 7:23 e II Crônicas 4:2) que dão para um valor igual a 3. Deveria ser mencionado, porém, que ambos os exemplos recorrem a um valor obtido de medidas físicas e, como tal, está provavelmente bem dentro dos saltos de incerteza experimental. Arquimedes (ca. 240-225 a.C) obteve a primeira aproximação rigorosa inscrevendo e circunscrevendo um polígono em um círculo e dobrando o números de lados do polígono concluindo que 3
10 1 223 22 3 ou ainda . 71 7 71 7
Os matemáticos chegaram a conclusão de que seria praticamente impossível obter uma grande aproximação se não utilizassem novos métodos.
27 Tabela 1: Aproximações de
ANO
AUTOR
APROXIMAÇÃO
c.240
Arquimedes
c. 150
Cláudio Ptolomeu 377 3,1416 120
c. 480
Tsu Ch’ung-chih
355 3,1415929... 113
c. 530
Aryabhata
62832 3,1416 20000
c. 1150
Bhaskara
3927 22 3,1416 ; 3,1428... e 10 3,1627... 1250 7
c. 1579
Viête
c. 1585
Adriaen
3
10 1 3 71 7
2
2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2
377 377 355 3,1415929... ; e 120 113 113
Anthoniszoon
François Viete construiu a surpreendente fórmula somente com o número 2 para o cálculo do número que é dada por 2
2 2 2 ... e Jonh 2 2 2 2 2 2
Wallis apresentou a seguinte expressão para o seu cálculo: hoje podemos representar por
19
De
2
2 2 4 4 6... que 1 3 3 5 5...
2i 19 2i . 2 i1 2i 1 2i 1
2i 2i podemos observar que: o numerador é sempre par, enquanto o 2 i 1 2i 1 2i 1
n
denominador
é
sempre
impar.
É
fácil
verificar
que
1 2i 2
n
n! ,
que
i
2 n! 2n 1! 3 5 ... 2 1 n n 2 n n! n! i n 2n 1!2n 2n ! 2 n n! n 2i 1 n 1 3 5...2n 1 2 n! 2 n n ! 2 n ! i 1 n
1 2i 1 2
n
2 2 n n!2 22 n n!2 2 4 n n!4 . 2 2n 1! 2 n! 2n !2 2n 1
e
e
que
portanto
28 William Brouncker, o primeiro presidente da Royal Societ construiu uma fração bastante diferente denominada fração continua utilizando sempre os quadrados dos números impares.
4
1
1 32 2 52 2 72 2 2 ...
Goufriend W. Leibniz construiu uma soma infinita utilizando somente os números impares
8
1 1 ... . 1 3 5 7 9 11 2 n n n 1
1
1
Em 1674 Leibniz obteve
4
1 1 1 3 5 7
1 ... e em 1699 Abraham Sharp
calculou corretamente as primeiras 71 casas decimais usando a série de Gregory 20 para x
1 . Jonh Mchin em 1706 calculou com 100 casas decimais usando a série de 3
Gregory e a seguinte relação
1 1 4 arctan arctan e em 1841 o inglês 4 5 239
Willam Rutherford calculou com 208 casas decimais, dais quais 152 corretas, usando a série de Gregory e a relação
1 1 1 4 arctan arctan arctan . 4 5 70 99
Euler descobriu as relações a seguir: 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 ... 2 n 6 4 9 16 2 3 4 n n 1 n
2
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 ... 2 8 9 25 49 n 3 5 7 n n 1 2 n 1
Em 1844 o calculista relâmpago Zacharias Dase calculou corretamente com 200 casas decimais usando a série de Gregory e a relação a seguir
20
arctan x x
x 3
3
x 5
5
x 7
7
... para x
1 1 1 1 1 ... 6 3 3 2 3 3 5 3 5 7 37
29 1 1 1 arctan arctan arctan . Rutherford recalculou em 1853 e o obteve 4 2 5 8
corretamente com 400 casas decimais. Vinte anos após, o inglês William Shanks calculou com 707 casas decimais e foi por muito tempo o feito mais fabuloso. Contudo em 1946 o inglês D. F. Ferguson descobriu que a partir da 528ª casa decimal o resultado estava errado e publicou um valor correto com 710 casas decimais. No mesmo mês da publicação, o americano J. W. Wrench Jr. Publicou um valor de com 808 casas decimais e novamente Ferguson descobriu um erro na 723ª casa. O erro foi corrigido em janeiro de 1948 em que Ferguson usou a seguinte expressão 1 1 1 3 arctan arctan arctan . 4 4 20 1985
A partir de 1949 começou a disputa do cálculo de utilizando computadores até que em 1986 já se conheciam 137.217.700 casas decimais.
4.2.8.
O NÚMERO AUREO
O número áureo, também chamado de divina proporção, é encontrado quando tentamos dividir um segmento de reta AC em duas partes AB e BC tais que
AC 2 AB BC .
Goza de algumas propriedades curiosas tais como. Seja o número áureo, então:
1
1 ; 2 1;
1
1. Resolvendo obtemos que 1,61803 ... ou
0,61803 ...
Um retângulo cujos lados estão em proporção áurea, diz-se retângulo áureo. O Paternon, construído em Atenas no século V a.C. é um exemplo do uso do retângulo áureo na arquitetura. Curiosamente, o umbigo humano divide o corpo em média e extrema razão. Logo a relação entre a distância entre o umbigo e a cabeça e a altura de uma pessoa é o número áureo. Ver (BIEMBENGUT, 1996)
