SUMÁRIO
1
BREVE HISTÓRIA ....................................................................................................... 4
2
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO...................................................................................... 7 2.1
EQUAÇÕES INCOMPLETAS .............................................................................. ....................................... ....................................... 7
2.1.1 INCOMPLETAS DE B e C .............................................................................. 7 2.2
INCOMPLETAS DE B ............................................ ......................................................................................... ............................................. 7
2.3
INCOMPLETAS DE C ............................................ ......................................................................................... ............................................. 8
2.4
COMPLETAS ........................................................................................................ 8
2.4.1 MÉTODOS ALGÉBRICOS A LGÉBRICOS ............................................................................... ........................................ ....................................... 8 2.4.1.1
MÉTODO DE RESOLUÇÃO CONVENCIONAL ................................... 8
2.4.1.1.1 DEDUÇÃO ALTERNATIVA .............................................................. ...................................... ........................ 9 2.4.1.2
MÉTODO DA SEMI-SOMA E PRODUTO ............................................. 9
2.4.1.3
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS V ARIÁVEIS ............................... 10
2.4.1.4
FÓRMULA ALTERNATIVA ................................................................. ............................ ..................................... 10
2.4.1.4.1 DEMONSTRAÇÃO INDEPENDENTE DO CONHECIMENTO DA FÓRMULA RESOLUTIVA................................................................................. 10 2.4.1.5
MÉTODO DO QUADRADO DA SOMA E DIFERENÇA DIFEREN ÇA .................... 11
2.4.1.6
MÉTODO DIFERENCIAL OU DAS COORDENADAS DO VÉRTICE 12
2.4.1.7
MÉTODO FAN- FAN.............................................................................. ......................................... ..................................... 12
2.4.1.8
MÉTODO DA TRANSFORMAÇÃO .............................................. .... ................................................. ....... 13
2.4.2 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO DUPLA .................................................... 14 3
MÉTODOS NÃO ALGÉBRICOS DE D E RESOLUÇÃO ................................................ ......................................... ....... 15 3.1
MÉTODOS GRÁFICOS ...................................................................................... ................................................................ ...................... 15
3.1.1 MÉTODO GRÁFICO DE D E UM SISTEMA DE EQUAÇÕES .......................... 15 3.1.2 MÉTODO CARTESIANO CART ESIANO ............................................................................... .......................................... ..................................... 15 3.2
MÉTODOS GEOMÉTRICOS CONSTRUTÍVEIS ............................................. 16
3.2.1 MÉTODO DE DESCARTES ........................................................................... ...................................... ..................................... 16 3.2.2 MÉTODO GEOMÉTRICO DE EUCLIDES ................................................... ............................................ ....... 17
3.2.3 MÉTODO DE EUCLIDES 2 ........................................................................... 17 3.3
MÉTODOS GEOMÉTRICOS NÃO CONSTRUTÍVEIS ................................... 18
3.3.1 MÉTODO GEOMÉTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO................... 18 3.3.2 MÉTODO GEOMÉTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO ALTERNATIVO .......................................................................................................... 19 3.3.3 MÉTODO GEOMÉTRICO .............................................................................. 19 4
.BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................. 21
1
BREVE HISTÓRIA A história das equações do segundo grau1 remontam desde a época dos egípcios,
babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau que se tem noticia foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretadas geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes casos possíveis: a.) x 2 + px = q b.) x 2 + q = px c.) x 2 = px + q O caso x 2 + px + q = 0 com p e q positivos obviamente não teria solução. Na Grécia, a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático. Euclides, nos Elementos resolve equações polinomiais do 2º grau através de métodos geométricos. Diophanto contribuiu para mais um avanço na busca da resolução de equações do 2º grau ao apresentar uma outra representação da equação introduzindo alguns símbolos, pois até então a equação e sua solução eram representados em forma discursiva. Na Índia as equações polinomiais do 2º grau eram resolvidas completando-se quadrados. Esta forma de resolução foi apresentada geometricamente por Al-Khowârizmî, no século IX. Eles descartavam as raízes negativas, por serem "inadequadas" e aceitavam as raízes irracionais. Tinham também uma "receita" para a solução das equações de forma puramente algébrica. A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan-fan redescoberta, independentemente, em 1819 pelo matemático inglês William George 1
o Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não é usada em nenhum outro país (veja a respeito a Revista do Professor de Matemática, 39(1999), p. 54).
Horner. Assim, o método fan-fan ficou conhecido como método de Horner. Séculos mais tarde Isaac Newton desenvolveu um método bastante similar. No século XVI, François Viéte utilizou-se de simbolismo para representar equações dando um caráter geral. Ao longo da Baixa Idade Média, no Islam, os árabes tornaram-se patronos da cultura, traduzindo para o árabe manuscritos hindus e gregos como “Os Elementos” de Euclides, o “Almajesto” de Ptolomeu, além de inúmeros trabalhos de astronomia, medicina e filosofia grega, que posteriormente foram traduzidos para o latim e outras línguas por intelectuais europeus. Em Bagdá foi criada a Casa de Sabedoria comparável ao antigo Museu de Alexandria, onde encontrava-se mestres, como o matemático e astrônomo Mohammed ibu-Musa Al-Khowârizmî (Maomé, filho de Moisés de Khwarezm) que escreveu algumas obras de astronomia, tabelas sobre o astrolábio, relógio do sol, aritmética e álgebra. Estas últimas tiveram papeis importante na história da matemática. O livro “De numero hindorum” (Sobre a arte hindu de calcular) foi, provavelmente, baseado numa tradução árabe de Brahmagupta, e trata de uma exposição completa dos numerais hindus. A tradução para o latim desta obra contribuiu, na Europa, para a divulgação destes numerais que posteriormente vieram à ser chamados de algorismos ou algoritmos, palavra que originalmente deriva do nome de Al-Khowârizmî. Seu livro mais importante foi Al-jabr wa'l Muqabalah, de onde se originou o termo álgebra. Neste livro Al-Khowârizmî expressase inteiramente com palavras, mesmos os números são escritos em palavras em vez de símbolos. O texto contém uma exposição direta e elementar da resolução de equações, especialmente de segundo grau. Não se sabe os significados certos dos termos Al-jabr e Muqabalah, supõe-se que al-jabr significa "restauração" ou "completação" e refere-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra Muqabalah significa "redução" ou "equilíbrio" e refere-se à cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. O Al-jabr wa'l muqabalah chegou à nós em duas versões, a latina e a árabe. A tradução latina inicia-se com uma exposição do princípio posicional para números e passa-se à resolução, em seis capítulos, dos seis tipos de equações formadas com três espécies de quantidades: raízes, quadrados e números (isto é,
, x 2 e números). Vamos
detalhar um pouco o conteúdo destes capítulos. O capítulo I abrange o caso dos quadrados
iguais a raízes, que atualmente representamos como x
2
=
5 x ,
x 2
3
= 4 x ,
5 x 2
= 10 x ,
etc.,
cujas respostas são, respectivamente, x = 5 , x = 12 , x = 2 . A raiz x = 0 não era reconhecida, assim como as raízes negativas. O capítulo II abrange o caso de quadrado igual a números. O capítulo III resolve o caso de raízes iguais a números, analisando os casos em que o coeficiente do termo variável é igual a um, menor que um ou maior que um. Os capítulos IV, V e VI abrange os três casos de equações quadráticas com três termos: •
quadrados e raízes iguais a números ( x 2 + 10 x = 39 );
•
quadrados e números iguais a raízes ( x 2 + 21 = 10 x );
•
raízes e números iguais a quadrados ( 3 x + 4 = x 2 ).
As soluções apresentadas são regras práticas de "completar o quadrado" aplicadas a exemplos específicos. Al-Khowârizmî após expor e resolver as equações demonstra geometricamente seus resultados. Como exemplo, a equação x 2 + 10 x = 39 é representada por um quadrado de lado x , e sobre os quatro lados constroem-se retângulos de largura 2,5 unidades. Para completar o quadrado maior precisamos construir quatro quadrados menores nos cantos da figura, cada um com área igual a 6,25 unidades. Portanto para "completar o quadrado" somamos 4 vezes 6,25 unidades ou seja 25 unidades, obtemos então um quadrado com área total 39 + 25 = 64. Concluímos que o lado do quadrado maior mede 8 unidades e se subtrairmos 2 vezes 2,5 unidades, ou seja, 5 unidades, achamos x = 3, o que comprova o resultado obtido no capítulo IV. Figura 1
2
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO Chama-se equação do segundo grau, toda função polinomial do tipo
Ax 2 + Bx + C = 0
onde devemos ter, necessariamente A ≠ 0 , pois em caso contrário,
teríamos uma equação do primeiro grau.
2.1
EQUAÇÕES ICOMPLETAS Chama-se equação do segundo grau em sua forma incompleta, toda função
polinomial do segundo grau desprovida dos coeficientes B e/ou C . 2.1.1 ICOMPLETAS DE B e C Ax 2 = 0
Se o produto de dois números é igual a zero ( M × = 0) 2, existem três possibilidades: M = 0 ; = 0 ou M = = 0 logo podemos concluir que: x ′ = 0 e x′′ = 0 . Esse tipo de equação não tem aplicação prática tendo em vista que as raízes sempre serão nulas, são, portanto uma mera formalidade matemática.
2.2
ICOMPLETAS DE B
Ax 2 + C = 0
Logo: x 2
2
=
− C ∴ x = ±
A
− C
A
Seja P − Q = 0 ∴ P = Q . Quadrando os dois lados da igualdade obtemos: P 2 = Q 2 2
∴ P − Q
2
=
0 . Fatorando ( P − Q )( P + Q ) = 0 . Chamando M = P − Q e = P + Q chegamos a
conclusão de que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero.
Os sinais
± devem-se
ao fato de que um número positivo ou negativo terem o
mesmo quadrado.
2.3
ICOMPLETAS DE C
Ax 2 + Bx = 0
Fatorando temos: x( Ax + B ) = 0 . Se o produto de dois números é igual a zero, existem três possibilidades: M = 0 ; = 0 ou M = = 0 logo podemos concluir que: x ′ = 0 e Ax + B = 0 ∴ x ′′ =
2.4
− B
A
.
COMPLETAS
Ax 2 + Bx + C = 0
Todos os tipos de equação do 2º grau incompletas são facilmente solúveis algebricamente, não necessitando nenhum conhecimento adicional além dos já adquiridos para resolver equações do primeiro grau. O mesmo já não acontece com a forma completa, e é este o nosso desafio. Inicialmente vamos dividir os métodos de solução em quatro tipos: a) Algébricos; b) Gráficos c) Geométricos construtíveis d) Geométricos não costrutíveis. 2.4.1 MÉTODOS ALGÉBRICOS São métodos de resolução que se valem das regras e manipulações algébricas.
2.4.1.1 MÉTODO DE RESOLUÇÃO COVECIOAL A técnica usada aqui é a de completar o quadrado. Se multiplicarmos a equação original por 4 A teremos: 4 A 2 x 2 + 4 ABx + 4 AC = 0 . Podemos observar que só teremos
um trinômio quadrado perfeito se adicionarmos um termo igual B 2 aos dois lados da equação. Então : 4 A 2 x 2 + 4 ABx + B 2 + 4 AC = B 2 . Desenvolvendo temos: (2 Ax + B )2
2
2
+ 4 AC = B ∴ 2 Ax + B = ± B − 4 AC
3
e isolando a
2
incógnita obtemos: x =
− B ± B − 4 AC
2 A
fórmula geral de resolução de uma equação do
segundo grau.
2.4.1.1.1 DEDUÇÃO ALTERATIVA B
C
A
A
Dividindo toda a equação por A temos: x 2 + x +
=
0 e passando o termo
B
C
A
A
independente para o outro lado da igualdade temos que x 2 + x = − B quadrado temos: x + x + A 2 A 2
B
2
2
C B =− + . Como o primeiro termo é agora um A 2 A
B trinômio quadrado perfeito, fatorando chegamos a: x + 2 A
B x + =± 2 A
. Completando o
2
2
C B =− + logo A 2 A
2
C B − + e depois de algumas simplificações obtemos finalmente que A 2 A
2
x =
− B ± B − 4 AC
2 A
que é a conhecida formula resolutiva da equação do segundo grau.
2.4.1.2 MÉTODO DA SEMI-SOMA E PRODUTO B
C
A
A
Dividindo toda a equação por A temos: x 2 + x + P =
3
C A
=
0 . Fazendo S = −
B
2 A
obtemos: x 2 − 2Sx + P = 0 e a solução é obtida por: x = S ± S 2 − P .
O duplo sinal se deve ao fato do quadrado de números simétricos conduzirem ao mesmo resultado.
e
2.4.1.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Vamos substituir na equação original a seguinte variável definida por: x = y −
B
2 A
o
que leva a: B A y − 2 A
2
+ B y −
B
+ C = 0 e resolvendo temos:
2 A
2 yB B 2 B B 2 B 2 2 + B y − A y − + + By − + C = 0 + C = 0 ∴ Ay − yB + 2 A A 2 4 A 2 A A 4 2
Ay +
B 2
−
B 2
2
4 A 2 A
ainda y = ±
+ C = Ay −
B 2 − 4 AC
2a
B 2
B 2
4 A
+ C =
0 e por fim: y = ±
4 A
− C =±
A
⇔
B 2 − 4 AC
4 A 2
ou
. Como queremos obter o valor de x , é só substituirmos na
segunda equação: x = y −
B
2 A
2
=
− B ± B − 4 AC
2 A
que é a fórmula resolutiva já
conhecida.
2.4.1.4 FÓRMULA ALTERATIVA Seja
( B ±
)(
∆ B m
(− B ± 2 A
∆
)=
2
∆ = B − 4 AC
)
∆ =
(2 A)(2C )∴
2C
(− B m
∆
)
B 2 − ∆ = 4 AC
então
( B m
logo x =
2 A
∆
)=
2C
( B ±
2C − B m
∆
∆
)
e
fatorando
obtemos
e multiplicando tudo por (− 1) temos:
.
2.4.1.4.1 DEMOSTRAÇÃO IDEPEDETE DO COHECIMETO DA FÓRMULA RESOLUTIVA.
que
Multiplicando toda a equação por 4C , temos: 4 ACx 2 + 4CBx + 4C 2
= 0.
Adicionando − B 2 x 2 chegamos a 4 ACx 2 + 4CBx + 4C 2 − B 2 x 2 = − B 2 x 2 . Colocando x 2 em evidência Transpondo 2
(
no
primeiro tudo
membro
para
o
)
2
primeiro
2
− x B − 4 AC + ( BX + 2C ) = 0 2
± x B − 4 AC − Bx = 2C e
obtemos:
2
(
)
2
2
2 2
− x B − 4 AC + 4CBx + 4C = − B x
membro
e
fatorando
e vamos concluir que:
encontramos
que
2
± x B − 4 AC = Bx + 2C
então chegamos a fórmula final que x =
2C 2
− B ± B − 4 AC
.
e
.
2.4.1.5 MÉTODO DO QUADRADO DA SOMA E DIFEREÇA 24 ′ ′′ = ( x ′ − x ′′) Seja a seguinte identidade: ( x ′ + x ′′)2 − 4 x x
Então podemos resolver qualquer equação do segundo grau seguindo o seguinte procedimento: x ′ + x ′′ = −
B A
′ ′′ = e x x
C A
e de posse desses dados podemos calcular a
diferença entre as raízes e através de um sistema do primeiro grau teremos a solução. Em x′ − x′′ = D
outras palavras temos: S 2 − 4 P = D 2 , e podemos armar o seguinte sistema:
x′ + x′′ = S
Somando as duas equações temos: 2 x′ = S + D e x′ = − B De outra forma, A
2
−4
C A
2
= D ⇔ D = ±
S + D
2
e x′′ =
B 2 − 4 AC A2
S − D
2
.
. 2
∴ x ′ =
− B + B − 4 AC
2 A
2
e ∴ x ′′ =
4
− B − B − 4 AC
2 A
.
( A + B )2 = A 2 + 2 AB + B 2 e ( A − B )2 = A 2 − 2 AB + B 2 . da segunda obtemos: ( A + B )2 − ( A − B )2 = 4 AB ou
Essa identidade é obtida de:
Subtraindo
a
primeira
( A + B )2 − 4 AB = ( A − B )2 que é a identidade procurada.
2.4.1.6 MÉTODO DIFERECIAL OU DAS COORDEADAS DO VÉRTICE
x = x( f ′( x ) = 0) ±
− f ( x( f ′( x ) =
A
0))
onde x( f ′( x ) = 0) =
o valor que a função assume no ponto x( f ′( x ) = 0 ) = x( f ′( x ) = 0 ) =
− B
A
− B
A
− B
2 A
e f ( x( f ′( x ) = 0)) é
. f ( x( f ′( x ) = 0 )) =
−∆
4 A
. Como −∆
é também chamado de xv abscissa do vértice e f ( x( f ′( x ) = 0 )) =
4 A
é da mesma forma igual a yv ordenada do vértice, então a fórmula resolutiva pode ser escrita também em função das coordenadas do seu vértice: x = xv x = x v ±
±
− f ( x( f ′( x ) =
0))
A
− y v 5
A
.
2.4.1.7 MÉTODO FA- FA Em 1803 o grande matemático chinês Chu Shih-chich, escreveu a obra Ssu-Yüan (precioso espelho dos quatro elementos) uma técnica especial para a resolução da equação polinomial do 2º grau, baseada em aproximações sucessivas, de grande precisão, denominado método fan-fan. Em 1819, o matemático inglês William George Honer reivindicou a descoberta do método, rebatizando-o de método de Horner. O método consiste em descobrir a solução aproximada na equação original e efetuar a transformação y = x − x0 . Suponhamos que com essa transformação obtenhamos a seguinte equação do segundo grau: y 2 + vy + z = 0 . Analisemos essa equação transformada: a medida que a aproximação anterior tende para a solução, y → 0 . Logo, nesse intervalo podemos considerar que y 2 ≅ y e obtemos a aproximação final y =
− z
1+ v
.
O processo é repetido até que se encontre uma solução com a precisão que se deseje.
5
Essa fórmula é bastante interessante e revela algumas propriedades como: a) a coordenada do vértice deve ter sinal oposto ao de A para que haja duas raízes reais b) se a coordenada do vértice for igual a zero a equação admite duas raízes iguais.
Seja resolver a equação x 2 + 252 x − 5292 = 0 . A solução positiva dessa equação está entre 19 e 20. Utilizando a aproximação inicial x0
= 19 e
façamos a transformação 2
y1 = x − 19 . Substituindo na equação original obtemos: ( x − 19 ) + 252( x − 19 ) − 5292 = 0 ∴
y12 + 290 y1 − 143 = 0
x1 = 19 +
e obtemos a aproximação y1
=
143 = 0, 49 e portanto, 291
143 = 19,49 . Fazendo-se agora y 2 = x − 19,42 obtemos uma nova equação 291
y 22 + 290,98 − 0,66 = 0 e a nova aproximação será y 2 =
aproximação será x 2
= 19,49 + 0,0022 = 19, 4922 .
0,66 = 0,0022 . A nova 291,98
Que maravilha!
2.4.1.8 MÉTODO DA TRASFORMAÇÃO Seja Ax 2 + Bx + C = 0 . Multiplicando por
temos: A 2 x 2 + BAx + CA = 0 e
fazendo y = Ax e m = CA a equação transforma-se em y 2 + By + m = 0 . Dedução da fórmula resolutiva: y 2 + By = − m (+ By + B
)
2
2
y 2 + 2 By + B 2 = −m + By + B 2 ∴ ( y + B ) = −m + By + B 2
( y + B + w)2 = ( y + B )2 + 2w( y + B ) + w 2 ∴ ( y + B + w)2 = −m + By + B 2 + 2wy + 2wB + w 2 ∴ ( y + B + w)2 segundo
membro,
− B y + B + 2
∴ y +
B
2
2
±
é
necessário
2 2
= − m + B + 2
= ± −m+
B
Ax = −
2
= −m + B + y (2 w + B ) + 2 wB + w
B
2
B +
2
B
4
B
B
∴ y = −
4
− AC +
− B
2
2
2
que
. Para eliminar a incógnita no 2w + B = 0 ∴ w =
2
±
−m+
B
4
2
B y + 2
e
4
−B
1
Então:
2
= −m +
B
2
4
2
e
finalmente
chegamos
4 AC + B 2 B B 2 − 4 AC =− . ± − ± ∴ x = − 2 A A 4 2 A 2 B
.
a:
2.4.2 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO DUPLA É um método bastante antigo de aproximação de uma equação qualquer. Conhecido como regula duorum falsorum, é possível ser aplicada até as equações transcendentais. O método provavelmente se originou na China, percorreu a Índia, a Arábia e finalmente chegou até nós. Em notação moderna temos: x3 =
x2 f ( x1 ) − x1 f ( x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 )
. Onde x1 , x2 são as
raízes por falta e por excesso e x3 uma aproximação melhor. O processo pode ser repetido indefinidamente até obter-se a precisão requerida.
f (
x1
1
)
x3 f (
f ( x1 ) − f ( x2 )
Sabendo que x3 =
x2 f ( x1 ) − x1 f ( x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 )
x1 − x 2
=
)
f ( x1 ) − f ( x3 ) x1 − x3
e fazendo f ( x3 ) = 0 chegamos a:
.
Seja resolver a equação x 2 + 252 x − 5292 = 0 . A solução positiva como já vimos está entre 19 e 20. Aplicando a fórmula x3 =
19 × −143 − 20 × 148 = 19,5 . − 143 − 148
3
MÉTODOS ÃO ALGÉBRICOS DE RESOLUÇÃO
3.1
MÉTODOS GRÁFICOS
3.1.1 MÉTODO GRÁFICO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES
Ax 2 + Bx + C = 0 ∴ x ( Ax + B ) = −C ⇔ Ax + B = ( x ) =
temos
− C
a
− C
x
.
Fazendo
M ( x ) = Ax + B
e
. Traçando-se o gráfico das funções M ( x ) e ( x ) e o nos pontos de intercessão solução
da
referida
equação. 39
2
x + 10 x − 39 = 0 ∴ M ( x ) = x + 10 e ( x ) =
Seja
resolver
a
seguinte
equação:
e traçando-se o gráfico obtemos:
y
15
10
B
5
x
0 -30
-25
-20
-15
-10
-5
A
0
5
10
15
20
25
30
-5
-10
-15
-20
E, portanto, as soluções desta equação são: x ′ = 3 e x ′′ = −13 . 3.1.2 MÉTODO CARTESIAO É método que foi apresentado no século XVIII pelo inglês Sir John Leslie, em sua obra Elements of Geometry. Seja resolver a equação x 2 − bx + c = 0 . Sobre o sistema de coordenadas cartesianas, marquemos os pontos: A = (0,1) e B = (b, c ) . Tracemos o círculo de diâmetro AB . Os pontos em que o circulo tocar na abscissa são as raízes da equação.
b Com efeito, x − 2
2
(c + 1) + y − 2
2
b = 2
2
2
c + 1 + − 1 e quando y = 0 tem-se 2
x 2 − bx + c = 0
3.2
MÉTODOS GEOMÉTRICOS COSTRUTÍVEIS
3.2.1 MÉTODO DE DESCARTES
Em 1637, o francês René Descartes desenvolveu um método geométrico para a obtenção da solução positiva da equação do tipo x 2
= bx + c
2
. O método consiste em
O
N N
traçar um segmento LM de comprimento c e em L traça-se uma perpendicular L
de comprimento
b
2
b
P
2 . Com centro em N
L
c
M
constrói-se um círculo de raio L e traçase a reta passando por M e N até interceptar o ponto O. O segmento OM é a solução positiva da equação. Com efeito, b x − 2
2
b = 2
2
+c
2
e daí decorre que x 2 − bx = c 2 .
3.2.2 MÉTODO GEOMÉTRICO DE EUCLIDES
Seja resolver a seguinte equação 2
x + Bx = B
2
. Inicialmente traçamos um
B 2
B
A
quadrado de lado B e unamos o ponto C
E
2
B
2
+ B
2
=
B
2
5
F
ao ponto médio do lado oposto definindo no ponto E. com um compasso centrado em
E
e
com
EC como
B B 2
medida
encontremos o ponto F localizado no
H
2
+
B
G
2
D
C
prolongamento de AB . O valor de BF é uma raiz da equação dada. De fato, o valor de BF é dado por B Ou ainda, raciocinando de outra forma x + 2
2
B = 2
B 2
2
2
+B
2
+ B
B
onde x = −
2
2
±
−
B
B
2
2
=
B
2
(
5 − 1).
5.
3.2.3 MÉTODO DE EUCLIDES 2 Seja resolver a seguinte equação: Bx − x 2
2
= C ou o que é equivalente Bx = x + C
Tracemos o segmento AB e dividamos ao meio no ponto C . Em seguida tracemos o segmento CP perpendicular a AB cujo comprimento é igual a ponto D de modo que PD =
B
2
C e
unamos o ponto P ao
. Construir o quadrado DBEG cujo lado é uma raiz da equação
dada. Podemos completar também o retângulo ABEF de modo a visualizar melhor a construção com a equação dada. A
C
D
B DB = x AF = DG = BE
F
G P
E
Observando a construção acima podemos concluir que a área do retângulo ABEF é igual a Bx e a área do quadrado DBEG é igual a x 2 . Logo o retângulo ADGF tem área igual a C . Se o segmento DB
ao
triângulo
B − x 2
3.3
2
retângulo
B = 2
2
B
é igual a , então o segmento CD é igual a
B
− C ∴
2
temos:
− x = ±
B 2
4
B − x 2
2
− C ⇔ x =
+
2
− x e aplicando Pitágoras
2
B C ) = e 2 2
(
B
2
m
B 2 − 4C
2
resolvendo
obtemos:
.
MÉTODOS GEOMÉTRICOS ÃO COSTRUTÍVEIS
3.3.1 MÉTODO GEOMÉTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO ′ = c onde c > 0 . Precisamos raciocinar como Seja resolver a seguinte equação: x 2 + b x
sendo a expressão um somatório de áreas, logo: ′ Seja x 2 representado por um quadrado e b x
x
por um retângulo de lados x e b′ . Dividindo-se o
b′
retângulo em quatro partes obtemos o resultado ao
4
lado:
x
x 2 =
x 2
2
′ = b x
A área da figura hachureada é igual a c . Como podemos observar, se completarmos o quadrado maior estaremos formando quatro 2
b′ quadrados menores de lados , portanto de area . A área dos quatro quadrados é dada por 4 4 b′
b′ 4× 4
2
2
2
b′ b′ = . Logo a área total do quadrado externo é igual a c + e o lado será 2 2 2
portanto a raiz quadrado da área que é igual a:
±
b′ c + . O valor procurado é o lado 2
subtraído
x = ±
de
b′ c+ 2
duas 2
vezes
o
lado
do
quadrado
menor
b′
2 × portanto, 4
b′ . 4
− 2×
3.3.2 MÉTODO GEOMÉTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO - ALTERATIVO O método alternativo consiste em dividir o retângulo em duas partes e não mais quatro partes. 2
x 2
=
x b′
10
2
=
A área da figura hachureada é igual a c . Se completarmos o quadrado maior estaremos 2
b′ formando um quadrado menor de lado , portanto de area . Logo a área total do 2 2 b′
2
b′ quadrado externo é igual a c + e o lado será portanto a raiz quadrado da área que é igual a: 2 2
±
b′ c + . O valor procurado é o lado subtraído do lado do quadrado menor portanto, 2
x = ±
b ′ c+ 2
2
b′ 2
−
3.3.3 MÉTODO GEOMÉTRICO ′ onde b ′x > 0 . Traçamos o quadrado Seja resolver a seguinte equação: x 2 + c = b x
ABCD para representar x 2 e o retângulo BEFC para representar c unidades. Logo o retângulo ′ , de modo que AE = DF = b ′ . Tomando ABEFCD formado com o quadrado deve ser igual a b x
o ponto médio de AE, e traçando um quadrado de lado Formando o quadrado LHJK, teremos:
b′
2
teremos formado o quadrado GEIH.
b′ x
A x
x
B
2
G
2
D
E b′
c
2 F
L K
C H
I
J
b′
De fato, a área de BEFC difere de GHIE por LHJK. O que nos leva a concluir que LH é dado por: 2 b ′ x + 2
b ′ 2
2
−c
. Como AG = GE
⇔ AB + BG = GE
2 b′ b′ b′ e de modo geral x = ± −c = 2 2 2
−c
e decorre daí que
.
Como exemplo vamos resolver x 2 + 21 = 10 x .
x
G
B
A x 2
D
5
E
c
C H
L K
F
J
I
b′
Então LH é igual a: 5 2 − 21 = 2 e a raiz é dada por: x + 2 = 5 ∴ x = 3 .
4
.BIBLIOGRAFIA COSULTADA
CARL b. Boyer. História da matemática. 2ª edição, Editora Edgard blucher ltda., 1999 EVES, Howard . Introdução à história da matemática . 3ª edição, editora Unicamp, 2002. Campinas, SP. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem histórica da equação do 2º grau . In Revista do Professor de matemática 43, 2000 GUELLI, Oscar.Contando a história da matemática: história da equação do 2º grau . Ática, 2ª edição, 1993, São Paulo http://www.matematica.br/historia/requacoes.html