Acv 2015 - Geometria 04

Preguntas propuestas

4

2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

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Geometría Relaciones métricas I

4.

Del gráfico, E y R son puntos de tangencia, PH =2( =2( EP) y LR=6. Calcule LP.

NIVEL BÁSICO 1.

L

A) 2 B) 6

Se muestra un cuadrado ABCD cuyo lado mide 1. Halle BE . E

P

E

C) 2 D) 6

B

C

E)

3

R

H

5.

A

D

B) 2

A) 1

C)

3 D) 3 2.

E)

3 2

A) 10 D) 16,9

1 2

Si P, Q y B son puntos de tangencia y PQ=4, calcule AB.

En un triángulo isósceles ABC , de base AC , AB=13 y longitud del circunradio de dicho triángulo.

6.

B) 12,1

C) 14,4 E) 19,6

En el gráfico mostrado, calcule

AB

.

AC

C

A B

O1

B

O2 Q

A

A) 1 P

D) A) 2,5 D) 2,4 3.

B) 3

C) 2 E) 3,5

Según el gráfico, P, Q y R son puntos de tangencia. Si MR=3 2 , calcule AM . P

A) 6

7.

B)

1

C)

2

2 2

E)

1 3

3 3

En el gráfico mostrado, T es es punto de tangencia. Calcule

AD DN

.

T









Geometría 8.

En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule a+b. B

C M

N

D

C

α

A

β A

A) 30º D) 75º

D

B) 45º

A) 3

B)

C) 2

65

D) 6

C) 60º E) 90º 11.

NIVEL INTERMEDIO 9.

5

B

10

E) 7

En el gráfico, M es es un punto de tangencia. Calcule x.

Del gráfico mostrado, m BE = m DE , AB=a y BC = b. Halle CD (T es es punto de tangencia). 



M

A

x

T B

C

A) 60º D) 106º

E 12.

D

C) D)

A P

ab ab a+ b b( a + b)

C) 90º E) 120º

En el gráfico mostrado, CD=3 y PC =4. =4. Calcule ( A y B son puntos de tangencia). CE (

A) a – b B)

B) 75º

E D

C









Geometría A) 80º

NIVEL AVANZADO

B) 100º C) 85º

13.

En el gráfico, H es punto de tangencia. Si OP=3, calcule PH .

D) 90º E) 120º

15.

O

En el gráfico, FD= DG, AE =4( =4( EC ) y PB=4. Calcule PC .

P D A

H

B θ

F

A) 2 D) 5

B) 3

C

C) 4 E) 6

P

G E

14.

En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x. P

θ

A

A) 3 B) 1 x

C) 4 D) 2 Q

E) 3,2

B









Geometría Relaciones métricas II

4.

Si QR=5 y TR=4, calcule UQ. ( P, Q, R, S y T son son puntos de tangencia).

NIVEL BÁSICO U 1.

P Q

En la figura mostrada, AB=4 cm y BC =5 =5 cm. Calcule la longitud (en cm) de EC . B

T R S

L

A

A)

C

β

β

D) E 5.

D

A) 3

B) 3,25

D) 4 2.

16

B)

9

40

C)

9

80

E)

9

B

S

D) 3 3

C) 2 E)

3

17

En el gráfico, AB=6; BC =5 =5 y DF =4. =4. Calcule EF .

A)

13

D)

19

D

B)

15

S

Z

A

C

E

C)

17

E)

34

Se muestra una circunferencia inscrita en el SAR, AS=5, SR=7 y AR=8. Calcule AZ . triángulo SAR

B

D

C

O

6. 3.

9

R

A 2

30

C) 3,75

Se tiene un triángulo RAB, tal que AB=4, AR=5 y BR=6. Calcule la longitud de la bisectriz interior relativa a AR. B) 3

9

Del gráfico, O es el centro del paralelogramo ABCD, CS=2( BS)=4 y DR=3. Calcule BD.

E) 4,5

A) 2 2

64









Geometría 7.

En un trapecio ABCD, AD // BC , AD=16, BC =6, =6,

10.

En un triángulo ABC , se traza la altura BH , que

AB=7 y CD=13. Calcule la longitud del seg-

interseca a la circunferencia inscrita en M y y N .

mento que tiene por extremos los puntos me-

Si AB=15, AC =14 =14 y BC =13, =13, halle MN .

dios de las bases. B) 5

A) 5 D) 3 8.

2

C) 2 E)

7

7

2 21

Se muestra un cuadrado ABCD, los cuadrantes y una semicircunferencia de centro O. Si

A) 2

5

B) 3

6

C) 2

15

D) 2

17

E)

4 3

AB= m y MN = n, halle OE ( E es punto medio 11.

de MN ). ).

En un cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia, la cual es intersectada en P por el

B

arco

C

BD 

con centro en C . ( P más cercano a

B); además, AB=4. Halle OM si M es es el punto

M

medio de CP y O es el centro de la circunferencia.

E

N

A

A)

D)

mn

A) 1

O

B)

2 m2 − n2 2

mn m + n

D

D)

2

C)

m

− n2

2

2 2

C)

2

1 2

E)

E)

PQ=5, TA=8 y TB=2, calcule TQ.

Q

2 mn

En un triángulo ABC , AB=2, BC = 5 y AC = 6 . Halle la longitud de la altura relativa a AC .

2 4

Del gráfico, P, Q y T son son puntos de tangencia. Si

P

NIVEL INTERMEDIO

9.

12.

B)

B

A

T











Geometría A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 4

NIVEL AVANZADO 13.

En la figura, M , N , S y T son son puntos de tangencia. AT )2. Si R · r =4, =4, calcule ( BS)2 – ( AT 15.

M N

r S A

14.

R E

T

B P

B

O

A) 4 D) 16

Según el gráfico, E y y F son son puntos de tangencia, EA=a y OF = b. Calcule PH .

B) 8

C) 12 E) 2

A

En el gráfico, MN // AC , AC =9 =9 y BC 2 – AB2=72. Calcule HP. B

2 a

A)

2 a

B) 2 C)

M

N

D) A

H

P

C

2 b

+

E) 2

2 a

− b2

2 b2 2 a

+

2 b

2 b2 − a2 2 2 a

− b2

H

F

O









Geometría Relaciones métricas III

A) 2 D) 6

NIVEL BÁSICO 1.

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El teorema de Marlen solo se aplica en el cuadrado y rectángulo. II. El teorema de Ptolomeo puede aplicarse en todo cuadrilátero. III. El teorema de Euler solo se aplica en trapecios. trapecios. A) VVV D) VVF

2.

B) VFV

5.

M

A

N

B

A) mn

C) AB+ BN = BM + BC

2

m + n

C

B) ( AB)( BN )=( )=( BM )( )( BC )

C) m+ n E)

6 3

Si AB // MN , indique la relación correcta entre

A) ( AB)( BC )=( )=( BM )( )( BN )

mn

3

AB, BC , BM y y BN .

C) VFF E) FVV

B) 2 mn

C) 2 E)

Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD, ( AB)(CD)= m y ( BC )( )( AD)= n. Halle ( AC )( )( BD).

D) 3.

B) 3

( mn)

D) ( AB)2+( BN )2=( BM )2+( BC )2

m + n

E) ( AB)2+( BC )2=( BM )2+( BN )2

En el gráfico mostrado, 3( BC )=4( )=4( AB) y 2(CD)=3( AD). Halle

AE

.

EC

B

6.

El cuadrilátero ABCD es inscriptible, AB=a, BC = b, CD=c y AD= d , halle

CE BD

.

D α

α+2θ









Geometría 7.

Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico. M , N , P y Q son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, con AB, BC , CD y AD, respectivamente, tal que ( MN )2+( NP)2+( PQ)2+( MQ)2=32. Halle el inradio del cuadrilátero ABCD. A) 1 D) 2

B) 2

11.

A) 3 D) 6

C) 4 E) 2 2 12.

8.

Se tiene un heptágono regular ABCDEFG. Si AC =a, AD= b y

1 a

1 +

b

1 =

5

Se tiene un triángulo ABC , AB=6, BC =8, =8, ade I y más, mS BIO=90º. Halle AC . ( I y O son incentro y circuncentro del T ABC , respectivamente). B) 4

C) 5 E) 7

Se muestra un rectángulo ABCD, en que CE =6. =6. 2 2 Calcule ( BO) +(OD) .

, calcule la longitud B

C

del lado del heptágono. α

A) 6 D)

B) 5

O

C) 10

1

E)

5

1 10 α

NIVEL INTERMEDIO 9.

A

Si ( AB)2+( AC )2=32, ( AN )2+( MD)2=24, halle la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AC y y MD.

E

D

A) 6 B) 12 C) 24 D) 36 E) 72

C N B M

NIVEL AVANZADO

A

D

13.

Según el gráfico, T y Q son puntos de tangencia, CE =3, =3, BP=5 y AL=4. Calcule x









Geometría 14.

En un triángulo ABC , AB=a, BC = b y mS ABC =2 =2a, la bisectriz del S ABC interseca a la circunferencia circunscrita en D. Halle BD. A) B) C) D) E)

ab ab

15.

En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, T es punto de tangencia y NL=12. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BL y CN .

sena cosa ab

( a + b) cos α

B

A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 3

T

N

a+ b 2cos α a+ b 2senα

A

L

C









Geometría Áreas de regiones triangulares

4.

Se muestran las regiones regulares ABCD y ANU , AB=3. Halle el área de la región ANU .

NIVEL BÁSICO

N 1.

En el gráfico mostrado, AB es diámetro, R=2 y

B

m AT = 30 º. Halle el área de la región sombrea-

C



da (T y y M son son puntos de tangencia).

T

R

A

A

A)

M

4 3

B) 6

C) 6

D) 12 2.

A)

B

E) 12

3

B)

3

En la región interior de una región equilátera

C)

3

+

2

3

+

2

D)

área de dicha región equilátera. A) 6 D) 12

B) 6 3

3

C) 12

E)

E) 36 5.

3.

Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12, halle el área de la región BMN (T : punto de tangencia).

U

3 2 3

(

3

+2

)

3

+

2

)

3

se ubica un punto cuyas distancias hacia los lados del equilátero miden 1; 2 y 3. Halle el

D

3 3

( 2

3

(

3

+

2

)

3

Si O es el centro del cuadrado ABCD, AB= m y DL= n, halle el área de la región BOL.











Geometría 6.

Si las medianas de una región triangular miden 9; 12 y 15, halle el área de dicha región. A) 36

B) 54

9.

C) 72

D) 84

NIVEL INTERMEDIO Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

E) 96

I. Si dos regiones son congruentes, entonces 7.

sus áreas son iguales.

Si 2( BN )=3( )=3( MN ), ), halle la razón de áreas de

II. Si dos regiones son equivalentes, entonces

las regiones ABM y BMC . ( A, B son puntos de

sus áreas son diferentes.

tangencia).

III. Si dos regiones son isoperimétricas, entonces sus áreas son iguales.

C M A

A) VVV B) VFF

N

C) VFV D) VVF E) FFF

B 10.

En el gráfico mostrado, AB y AO son diámetros, AO=OB=4. Halle el área de la región sombrea-









Geometría 11.

Se muestra una circunferencia inscrita en el t DNL,

A) 2 D) 3

además, ( AB)( BC )=26. )=26. Halle el área de

5

C) 4 E) 5

B) 4

5

5

la región DNL si a+b=90º. 14.

N

En un triángulo ABC , cuyo ortocentro y circuncentro son H y O, respectivamente, tal que BH = BO, AB=6 y BC =8, =8, calcule el área de la

región ABC . C

A)

β D

B

6 3

B) 2

3

C) 3 3

L

D) 4

α A

15.

3

E) 12

3

Sobre los lados, AB y AC de de un triángulo ABC se ubican los puntos P y Q, respectivamente. Si

A) 6,5

B) 13

C) 13

D) 26

E)

2

AQ=a y AC = b, y PC ∩ BQ={ M }, }, calcule el área

26 2

de la región PMB en función de las áreas de d e las regiones PMQ(S1) y BCM (S2).

12.

Halle el área de una región triangular cuyos lados miden

2;2y

5. A)

S1·a + S2 ·b a+ b









Geometría Áreas de regiones cuadrangulares

B

C

NIVEL BÁSICO 1.

S3

S2

Del gráfico mostrado, halle la razón de áreas de las regiones ABC y y BCED. A

B

S1 E

D

A) S1 =

A

A) 1

B)

+

S3

2

B) S2

=

S1·S3

C) S2

=

S1 + S3

=

S

C E 1 2

C)

1 3

2

2 D) 2

S2

E)

2 2

D) S 2

S

2 1

+

2

S

S

3

D









Geometría 5.

Se muestra un cuadrado ABCD en el que

8.

=4 m. Halle el área de la región sombreada. CN =4

En un paralelogramo ABCD se traza la diagonal AC y y se ubica el punto medio M de AD. Si BM ∩ AC ={ ={Q} y el área de la región paralelo-

B

grámica es 60 u2, calcule el área de la región

C

triangular AMQ. A) 4 u2

B) 5 u2

D) 8 u2 N

E) 10 u2

NIVEL INTERMEDIO

A

D 9.

A) 4 m 2

B) 6 m2

D) 16 m2

C) 8 m2 E) 32 m2

Calcule el área de la región sombreada si el T ABC es equilátero y BP=4. ( P es punto de tangencia). B

6.

C) 6 u2

Si ABCD es un rombo, C es es punto de tangencia y DP=10 m, calcule el área de la región ABCD. B

C









Geometría 11.

Calcule la razón de áreas de la región cuadrada ADIN y y la región DIPL. ( L y P son puntos de tangencia) D

A) S3=S1+S2 B) S2=S3+S1 C) (S2)2=(S1)2+(S3)2

I

D) (S3)2=(S1)(S2)

A) 2 B) C) D) E) 12.

E)

3

S3

=

S2

S1

+

2 14.

4 L

3

P

16

En el gráfico, calcule el área de la región sombreada ABCD si O es punto medio de AC y PC = 2 5 − 2 3 u.

15 25

A

B

N

C

12

Se sabe que P es punto de tangencia, y S1 y S x son áreas de las regiones sombreadas. Calcule 2 S x si S1=10 m . ( ARQP es un cuadrado).

O

Q R

A

S x

C

B S1

A) 3 u2 D) 8 u2

P

B) 4 u2

D

C) 2 E)

3

4 3

u2 2











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RELACIONES MÉTRICAS I

RELACIONES MÉTRICAS II

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