1 A. ZAMBRANO
TEMAS
PAG
4.1 INTRODUCCIÓN
3
4.2. MÉTODO ESTÁTICO
7
4.3. PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU
11
4.4. SERIE DE SOBRECARGAS AISLADAS
16
2 A. ZAMBRANO
4.1. INTRODUCCIÓN -Las cargas vivas tienen la característica de que pueden ocupar cualquier posición en una estructura -Algunas estructuras están sujetas a cargas movibles tales como: -puentes vehiculares -puentes ferroviarios -trabes para grúas, etc. -Las cargas móviles producen reacciones y fuerzas internas variables en las estructuras -Se requiere determinar el efecto de una carga móvil en algún punto fijo de una estructura -Por simplicidad se considera el efecto de una carga unitaria colocada en cualquier posición de una viga -El efecto variable debido a una carga unitaria móvil puede ser externo (reacciones, desplazamientos) o interno (cortantes, momentos). -La grafica de la posición de una carga unitaria móvil contra la magnitud de un efecto interno o externo de una estructura se llama LÍNEA DE INFLUENCIA de ese efecto. -Esto significa que se escoge una sección S fija en la estructura y un efecto E a estudiar y luego se mueve la carga unitaria a lo largo de una trayectoria y se determinan los valores del efecto E para cada punto en que se coloca la carga unitaria. Luego se grafican estos valores.
3 A. ZAMBRANO
x
1
S, E E
0
x
Fig. 1 línea de influencia para el efecto E en la sección S
4.2. MÉTODO ESTÁTICO El método estático para determinar las líneas de influencia consiste en aplicar las ecuaciones de equilibrio a una viga sujeta a una carga unitaria localizada a una distancia x de un origen de coordenadas. Se determinan las reacciones en función de la coordenada x y el efecto de interés (cortante, momento, etc.). Finalmente se dibuja una grafica X-E Ejemplo 1. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones de la viga mostrada en la figura. Use el método estático. x
1
A RA
B L
RB
Solución: + ∑ MA = 0 1(x) – RB(L)=0 RB =
x L
(1)
4 A. ZAMBRANO
Solución: + ∑ Fy = 0 x =0 L x RA = 1 − L RA − 1 +
(2)
Las graficas de estas ecuaciones son las líneas de influencia para las reacciones RA y RB.
RA 1
0
L
RB 1
0
L
5 A. ZAMBRANO
Ejercicio 1. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones de la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el método estático. x
1
A
B L
Ejercicio 2. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones de la viga mostrada en la figura. Use el método estático. x A
1
B 1m
C 6m
D 2m
6 A. ZAMBRANO
Ejemplo 2. Dibujar las líneas de influencia para el cortante y momento en el punto C de la viga mostrada en la figura. Use el método estático. x
1
A
C
RA
2/3L
B L/3
RB
L Solución: Del ejemplo 1, se tiene que RA = 1 − RB =
x L
x L
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la parte AC de la viga, se tienen dos casos Caso 1: la carga unitaria está entre A y C (0 x 2/3L) x
1
A RA
C 2/3L
MC VC
Por equilibrio de fuerzas verticales RA – 1 – VC =0 VC = RA – 1 x VC = 1 − − 1 L x VC = − L
(3)
7 A. ZAMBRANO
Por equilibrio de momentos, se tiene RA(2/3L) – 1 (2/3L – x) – MC = 0 MC = RA(2/3L) – 2/3L + x x 2 2 MC = (1 − ) ( L) − L + x L 3 3 2 2 2 MC = L − x − L + x 3 3 3 MC =
x 3
(4)
Caso 2: la carga unitaria está entre C y B (2/3L x L)
A RA
C 2/3L
MC VC
Por equilibrio de fuerzas verticales RA – VC =0 VC = RA VC = 1 −
x L
(5)
Por equilibrio de momentos, se tiene RA(2/3L) – MC = 0 MC = RA(2/3L) x 2 MC = (1 − ) ( L) L 3 2 MC = (L − x) 3
(6)
8 A. ZAMBRANO
Resumiendo, se tienen las siguientes ecuaciones x VC = { L x 1− L −
0 ≤x≤
2L 3
2L ≤x ≤L 3
x MC = { 3 2 (L − x) 3
0 ≤x≤
2L 3
2L ≤x ≤L 3
Graficando estas las ecuaciones para VC y MC se obtienen las líneas de influencia VC 2/3L 1/3 0
L
x
L
x
-2/3 MC 1
0
2L/9
2/3L
9 A. ZAMBRANO
Ejercicio 3. Dibujar las líneas de influencia para el cortante y momento en C de la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el método estático. x
1
A
L/2 C
B
L
Ejercicio 4. Dibujar las líneas de influencia para el cortante en E y el momento en F de la viga mostrada en la figura. Use el método estático. x A
1
2m
B
F
1m
1m C
E
6m
D 2m
Ejercicio 5. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante y momento en Cde la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el método estático. x
1
A
L/4
L/4
C
B
L
Ejercicio 6. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante en E y el momento en F de la viga mostrada en la figura. Use el método estático. x A
1
2m
B 1m
2m F
6m
1m C
E
D 2m
10 A. ZAMBRANO
4.3. PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Consideremos la viga isostática mostrada en la siguiente figura sujeta a una carga unitaria móvil
x A
1 B
C
Ahora, sustituyamos el apoyo C por su reacción
x A
1 B
C RC
Ahora, mediante otra fuerza desconocida F proporcionamos un desplazamiento unitario en el punto C en dirección de RC F x
y 1 A
B
C
Por el Teorema de los trabajos recíprocos de Betti, tenemos 1(-y) + RC(1) = F(0) RC = y
(1)
Esto significa que la línea de influencia para la reacción en C es la deformada de la viga resultante de eliminar el apoyo C e introducir un desplazamiento unitario en C compatible con las demás restricciones de la viga.
11 A. ZAMBRANO
La expresión (1) se conoce como el Principio de Muller-Breslau y puede enunciarse como sigue: “La línea de influencia de una fuerza externa o interna particular sobre una estructura es igual a la deformada de la estructura resultante de eliminar la restricción a dicha fuerza y proporcionar un desplazamiento unitario en dirección de la fuerza manteniendo el resto de las restricciones” Lema: Las líneas de influencia de estructuras estáticamente determinadas solamente contienen líneas rectas. Ejemplo 3. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante en D y momento en el punto E de la viga mostrada en la figura. Use el principio de Muller-Breslau.
2m A
B
2m C
1m 3/2
2m
1m
D
E
6m
F
G
2m
B 1
RB
3
E 1
RE
-3/2
12 A. ZAMBRANO
G 1 1
RG
-2
1/2 D
VD
-1
2 E -4
=1
ME
13 A. ZAMBRANO
Ejercicio 7. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante y momento en C de la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el principio de Muller-Breslau. a A
b C
B
L
Ejercicio 8. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante y momento en B de la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el principio de Muller-Breslau. a A
b
B a/2
C
D
L
Ejercicio 9. Dibujar las líneas de influencia para las reacciones, el cortante en C y el momento en B de la viga en cantiliver mostrada en la figura. Use el principio de Muller-Breslau. a A
b
B a/2
C
b D
E
L
14 A. ZAMBRANO
4.4.
SERIE DE SOBRECARGAS AISLADAS
CORTANTES Y MOMENTOS MAXIMOS RELATIVOS Si se conoce la línea de influencia en un punto de una viga para una fuerza interna (cortante o momento), se puede determinar el valor máximo de esta fuerza interna para una serie de sobrecargas aisladas. El procedimiento es por tanteos. Se coloca cada una de las cargas en la ordenada máxima de la línea de influencia y se determina el valor de la fuerza interna hasta obtener el máximo. Este valor se conoce como el valor máximo relativo de la fuerza interna en un punto determinado. Ejemplo 4.4-1 Determinar el valor máximo del cortante en el punto C de la viga mostrada debido al tren de cargas dado. 1k A
C
Vc
4k
B 5ft
10 ft
4k
5ft
30 ft 0.75
-0.25 Línea de influencia para Vc
15 A. ZAMBRANO
Caso 1: Vc=1(0.75)+4(0.625)+4(0.50)= 5.25 k 1k A
4k
C 5’
5’
10 ft Vc
4k B
30 ft 0.75
0.625
0.5
-0.25 Caso 2: Vc=1(-0.125)+4(0.75)+4(0.625)= 5.375 k 1k A
4k
C 5’
10 ft Vc
4k
5’
B
30 ft 0.75
0.625
-0.125 -0.25
16 A. ZAMBRANO
Caso 3: Vc=1(0)+4(-0.125)+4(0.75)= 2.5 k 1k A 5’
4k 5’
4k C
10 ft Vc
B
30 ft 0.75
-0.125 -0.25 Controla el caso 2 Vc= 5.375 k Ejemplo 4.4-2 Determinar el valor máximo del momento en el punto C de la viga mostrada debido al tren de cargas dado. 2k 4k A
C
B 4ft
10 ft Mc
3k
6ft
30 ft 7.5
Línea de influencia para Mc
17 A. ZAMBRANO
Caso 1: Mc=2(7.5)+4(6.5)+3(5)= 56 k-ft 2k 4k C 4’
A
3k 6’
10 ft Mc
B
30 ft 7.5
6.5
5
Caso 2: Mc=2(4.5)+4(7.5)+3(6)= 57 k-ft 2k 4k 4’
A
3k 6’
B
C 10 ft Mc
30 ft 7.5
6
4.5
18 A. ZAMBRANO
Caso 3: Mc=2(0)+4(3)+3(7.5)= 34.5 k-ft 2k 4k A 4’
3k
6’ B C 10 ft
Mc
30 ft 7.5
3
Controla el caso 2 Mc= 57 k-ft Ejercicio 4.4-1
Ejercicio 4.4-2
19 A. ZAMBRANO
Problemas
20 A. ZAMBRANO
21 A. ZAMBRANO
CORTANTES Y MOMENTOS MAXIMOS ABSOLUTOS Un problema general de vigas con series de sobrecargas concentradas es el de determinar el punto en la viga y la posición de la carga donde ocurren los valores máximos del cortante y momento Esto puede hacerse directamente en vigas en cantiliver y simplemente apoyadas Cortante máximo absoluto En una viga en cantiliver, el cortante máximo absoluto ocurrirá en un punto adyacente al empotramiento con las cargas colocadas en cualquier parte.
Vmax-abs En una viga simplemente apoyada, el cortante máximo absoluto ocurrirá en seguida de uno de los apoyos con las cargas colocadas adyacentes a dicho apoyo.
A
B VA
VB Vmax-abs=max{VA, VB}
22 A. ZAMBRANO
Momento máximo absoluto En una viga en cantiliver, el momento máximo absoluto ocurre en un punto adyacente al empotramiento con las cargas colocadas lo más lejos posible del empotramiento
Mmax-abs En una viga simplemente apoyada, la posición de las cargas se puede determinar analíticamente
Consideremos una viga simplemente apoyada sujeta al tren de cargas P1, P2…Pn x P3 … Pi-1
P1 P2 A
Línea de centro Pi …Pn-1
Pn
x d1 d2
B
di-1
dn-1
L/2
L/2
Como el diagrama de momentos de una serie de cargas concentradas consiste de líneas rectas, el momento máximo ocurrirá bajo alguna de las cargas. Supongamos que ocurre bajo la carga Pi y dibujamos el diagrama de cuerpo libre. La posición de las cargas será especificada por la distancia x desde la carga Pi al centro de la viga. P1 d1
P2
P3 d2
Pi-1 di-1 Mi
RA
L/2
x 23
A. ZAMBRANO
L Mi = R A ( + x) − m 2
(1)
Donde m es el momento de las cargas que están a la izquierda de la carga Pi respecto al punto donde está la carga Pi Por otra parte, la reacción en A puede obtenerse, determinando primero la resultante de las cargas concentradas. En este caso suponemos que la carga Pi se encuentra a la derecha de la resultante. Tomando momentos respecto al punto B RA(L) – P[L/2 – (x- x)] = 0 RA =
P L [ − (x − x)] L 2
(2)
Sustituyendo (2) en (1) Mi =
P L L [ − (x − x)] ( + x) − m L 2 2
(3)
Para maximizar Mi utilizamos el criterio de la primera derivada dMi =0 dx P L L P [ − (x − x)] (1) + ( + x) (−1) = 0 L 2 2 L L L − x + x − − x = 0 2 2 2x = x x=
x 2
(4)
Podemos concluir que el momento máximo absoluto en una viga simplemente apoyada ocurre bajo una de las cargas concentradas que está a la misma distancia que la resultante
24 A. ZAMBRANO
Sustituyendo (4) en (3) se obtiene Mmax =
P L x L x [ − ( − x)] ( + ) − m L 2 2 2 2
Mmax =
P L x L x [ + ] ( + ) − m L 2 2 2 2
Mmax =
P (L + x)2 − m 4L
(5)
Nota: Si la carga Pi se encontrara a la izquierda de la resultante, entonces x deberá tomarse como negativa. Ejemplo 4.4-3
2k 30 ft
1.5k 1k 10 ft
5 ft
Solución: 1) Calculo de la posición de la resultante Tomando momentos respecto a la primera carga P=2+1.5+1=4.5 k La posición de la resultante respecto a la primer carga está dada por x̅ =
Pi xi P2 x2 + P3 x3 1.5(10) + 1(15) = = = 6.667 ft P P 4.5
La resultante se encuentra entre la carga 1 y la carga 2, entonces se calcula la distancia de las cargas a la resultante x1= ̅x =6.667 ft x2=10-̅x =3.333 ft
25 A. ZAMBRANO
Entonces x=min{x1, x2}=3.333 ft y la carga critica es la carga 2 de 1.5 kip. Como esta carga se encuentra a la derecha de la resultante x es positivo. 2) Calculo de Mmax Tomando momentos en la carga de 1.5 kip a la izquierda Mmax =
P (L + x)2 − m 4L
Mmax =
4.5 (30 + 3.333)2 − 2(10) = 21.67 kip − ft 4(30)
<−−
Ejemplo 4.4-4
Solución: 1) Calculo de x P=40+25+20=85
kN
La posición de la resultante respecto a la primer carga está dada por x̅ =
Pi xi P2 x2 + P3 x3 25(4) + 20(5.5) = = = 2.47 m P P 85
La resultante se encuentra entre la carga 1 y la carga 2, entonces se calcula la distancia de las cargas a la resultante 26 A. ZAMBRANO
x1= ̅x =2.47 m x2=4-̅x =1.53 m Entonces x=min{x1, x2}=1.53 m y la carga critica es la carga 2 de 25 kip. Como esta carga se encuentra a la derecha de la resultante x es positivo. 2) Calculo de Mmax Tomando momentos en la carga de 25 kip a la izquierda Mmax =
P (L + x)2 − m 4L
Mmax =
85 (12 + 1.53)2 − 40(4) = 164.17 kN − m 4(12)
Problemas:
27 A. ZAMBRANO
28 A. ZAMBRANO
