Al finalizar la unidad el alumno será capaz de : * Conocer la definición de área. * Calcular el área de regiones triangulares. * Establecer relaciones de áreas entre regiones triangulares. *Comprender las definiciones básicas y conocer los postulados fundamentales y teoremas relacionados con las áreas de regiones triangulares. *Aplicar las fórmulas correspondientes para determinar las áreas de las regiones triangulares . *Resolver problemas relacionados al cálculo de áreas de regiones desconocidas , ya sea sumando , restando o trasladando regiones , para formar regiones conocidas . Introducción : A menudo al pasar por una calle habrás visto algunos carteles en la pared que dice: SE VENDE 300 m2 o en algunos avisos publicitarios en los periódicos anunciando la venta de una casa o un terreno, en el cual te dan el área de cada uno de ellos y es que si te habras dado cuenta el tema de áreas es importante ya que se utiliza para poder realizar la compra o venta de un inmueble y para muchas cosas más. El historiador Griego Herodoto afirma que , el hecho de que todos los años con el desbordamiento del Nilo , se borrasen las lindes de los campos , fue lo que acentuó la necesidad de los agrimensores de volver a trazar los linderos de las tierras. Estas habilidades de los «tensores de c uerdas» egipcios fueron admiradas por Demócrito (Matemático notable). En parte por la precisión en la construcción de las pirámides. Pero lo cierto es que en el papiro de Ahmes se muestra que , para c alcular el área de un triángulo isósceles , hay que tomar la mitad de lo que nosotros llamaríamos la base y multiplicar por la altura.
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6 AREA DE UNA REGION TRIANGULAR EJERCICIO RESUELTO CON TRIANGULOS NOTABLES
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7 CALCULO DEL AREA EN UN TRIANGULO EQUILATERO EJERCICIO RESUELTO CON INRADIO
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8 AREA EN UN TRIANGULO POR LA FORMULA TRIGONOMETRICA PROBLEMA RESUELTO
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9 AREA EN UN TRIANGULO RECTANGULO EJERCICIO RESUELTO
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10 AREA EN UN TRIANGULO EN FUNCION DEL INRADIO SU DEMOSTRACION
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11 CALCULO DE LA ALTURA MEDIANTE EL AREA EN UN TRIANGULO EJERCICIO RESUELTO
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12 AREA EN UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO SU DEMOSTRACION
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13 AREA EN UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO EJERCICIO RESUELTO
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14 AREA EN UN TRIANGULO EN FUNCION DEL CIRCUNRADIO PROBLEMA RESUELTO
• Conocer las propiedades del cálculo de las áreas de las regiones triangulares. • Relacionar las áreas de las diferentes regiones triangulares.
INTRODUCCIÓN
Midiendo superficies Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la extensión de dicha superficie. Recordarás que las unidades patrón de superficie en el SMD son: Mm2, km2, Hm2, Dm2, m2 dm2, mm2. Sin embargo, para medir terr enos, se utilizan con frecuencia las llamadas unidades agrarias: Hectárea, área y centiárea. Sus equivalencias con el SMD son: Ha = Hm2 = 10 000m2 a = Dm2 = 100m2 ca = m2 Actividad: Las figuras adjuntas representan terrenos factibles de ser destinados a zona verde por un determinado m unicipio. Por condiciones presupuestarias, sólo uno de ellos será acondicionado para este fin: Si la mayoría de los regidores son ecologistas que abogan por la máxima superficie de zona verde, ¿cuál crees que será el terr eno elegido? Justifica tu respuesta después de haberlos m edido tomando la Ha como unidad patrón. La medida de la extensión de una superficie s e llama ÁREA de dicha s uperficie. ÁREA DE REGIONES PLANAS REGIÓN PLANA: Es una porción de plano limitado por una línea cerrada. S1 y S2 regiones poligonales. Área de una región plana Es la medida de una región plana, se toma como unidad de com paración al área de una región cuadrada cuyo lado t iene por longitud a la unidad. Regiones equivalentes Son regiones planas que tienen igual área. Sus formas no son necesariamente iguales ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULA GENERAL El área de una región triángular es igual al s emi producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU SEMIPERÍMETRO
El área de una región triángular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia de dicho semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados. Donde: ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU INRADIO El área de un triángulo es igual al producto de su semiperímetro con el inradio del triángulo correspondiente. donde: r inradio ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU CIRCUNRADIO El área de una región triangular es igual al c ociente del producto de las longitudes de s us tres lados con el cuádruplo de su circunradio. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU EXRADIO. El área de una región triangular es igual al producto de la diferencia entre el semiperímetro y un lado cualquiera por el radio de la circunferencia ex-inscrita correspondiente a ese lado. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SUS EX-RADIOS Y SU INRADIO El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de los radios de las circunferencias inscritas y ex-inscritas. FÓRMULAS ADICIONALES FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA El área de una región triangular es igual al s emi producto de las longitudes de dos lados, multiplicado con el seno del ángul o determinado por dichos lados. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DEL LADO El área de un triángulo equilátero es igual a la cuarta parte del cuadrado de la longitud de su lado por la raíz cuadrada de 3.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE LA ALTURA El área de un triángulo equilátero es igual a la tercera parte del cuadrado de la longitud de su altura por la raíz de 3. TEOREMA El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la circunferencia inscrita determina sobre la hipotenusa. TEOREMA El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segm entos que la circunferencia ex-inscrita a la hipotenusa determina sobre dicha hipotenusa. TEOREMA El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la circunferencia ex-inscrita relativa a uno de los catetos determina sobre la hipotenusa. RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE LAS REGIONES TRIANGULARES 1. Si dos regiones triangulares tienen un lado de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de su s alturas relativas a dichos lados. 2. Si dos regiones triangulares tienen una de sus alturas de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de los lados a los cuales son relativas dichas alturas. Ejemplo: 3. Si dos regiones triangulares tienen uno de sus ángulos de igual medida o suplementarios, se cum ple que sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan a dichos ángulos. Caso 1: Caso 2: Si: 4. Las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de los elementos homólogos.
PROPIEDADES 1. En todo triángulo se trazan las tres medianas y se determinan seis regiones equivalentes. G: Baricentro. 3. En todo triángulo si se unen los puntos medios de sus tres lados, se determinan cuatro regiones parciales equivalentes. 1. En la figura: T es punto de tangencia, TB = 3 y TC = 12. Calcular ABC. A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 50 2. En la figura: BH = 8. Calcule el área de la región triangular ABH. 3. En la figura: B y C son puntos de tangencia. AM = MB = 10, PC = 14 y . Calcule el área de la región triangular. A) 9 B) 12 C) 18 D) 20 E) 36 4. En la figura: R = 6. Calcule (ADAMO + ADBNC) A) 9 B) 12 C) 18 D) 36 E) 40 5. En la figura: T es punto de tangencia, AB = 1 y BT = 3. Calcule el área de la región triangular BOC. 6. En la figura: M es punto de tangencia, OM = 6 y R = 8. Calcule el área de la región triangular ANB. 7. En un triángulo isósceles: AB = BC, la circunferencia inscrita al triángulo es tangente a , en M, P y N respectivamente. Se traza la altura y (CH) (AC) = K. Calcule el área de la región triangular AMN. A) B) C) D) E) 8. En la figura: AP = 6 y ABCD es un cuadrado. Calcule el área de la región triangular ACF. A) 6 B) 12 C) 18 D) 36 E) 24
9. En la figura: Rr = 8 y . Calcule el área de la región triangular ABC. A) 14 B) 32 C) 16 D) 18 E) 22 10. En la figura: A, B, C y D son puntos de tangencia, BE = 13, ED = 1 y CE = 15. Calcule el área de la región triangular ACE. A) 18 B) 61 C) 80 D) 84 E) 96
