Carmelo”
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CAPÍTULO I
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO En matemáticas se trabaja con igualdades. Si son ciertas para algunos valores, se llaman ecuaciones; otras igualdades que son siempre ciertas, se llaman Identidades. Observa: x+5=8 (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 2x + 8 = primer miembro
es una ecuación porque se verifica únicamente si x = 4.
es una identidad: pues se verifica para cualquier valor de x
3x – 2 segundo miembro
Resolver:
Solución: Transponiendo términos tenemos:
1. 2x + 7 = x + 10 2x + 7 = x + 10
Recuerda que al transponer términos, éstos cambian de signo
La incógnita debe estar ubicado a un solo lado de la igualdad
2x – x = 10 – 7 x=3
Comprobación: 2(3) + 7 = 3 + 10 6 + 7 = 13 13 = 13 comprobado 2. Resolver: 7x – (2x – 6) = (x + 1) – (3x + 2)
3. Resolver: x + 7 = 2x + x + 1 6
3
2
b) 2
c) 4
d) 6
e) 12
c) 2
d) 4
e) 3
PROBLEMAS PARA LA CLASE Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 2x + 3 = x + 5 a) 3
3) 3x – 1 = x + 9 a) 2
b) 3
c) 8
d) 5
e) 1
2) 3x + 1 = x + 13 a) 5/2
b) 5
Carmelo”
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4)
2x =4 3
a) 1 9)
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
b) 3
c) 5
d) 6
e) 25
b) 12
c) 5
d) 60
e) 30
c) 4
d) 6
e) N.A.
c) 7
d) 37
e) N.A.
c) 1
d) 2
e) 3
x x − =5 3 4
e) 8
5x 5) = 25 2 a) 3
a) 2
6)
b) 1
c) 5
d) 10
e) 3
10)
x −1 x − 2 − =2 2 4
2x −1 =3 3 a) 8
a) 2
7)
b) 3
c) 4
d) 5
e) 10
11)
b) 2
x−2 x+3 5 − = 3 4 3
x−2 =4 3 a) 1
[( x ) ] 12)
4 2 3
a) 3
8)
b) 10
c) 12
d) 14
e) 7
x 23
b) 3
+3 =
(2 ) (2 )
4 9
7 5
x x 25 + = 2 3 6 a) –1
b) 0
TAREA DOMICILIARÍA 1) Hallar “x” en la ecuación: 4(x + 1) = 20 a) 1 b) 4 d) 3 e) 5
5) Resolver: c) 2
a) 0 d) 2
(x – 3)2 = (x + 5)2 b) –1 c) 1 e) 3
2) Resolver: a) 1 d) 4
3(x+1) + 4(x–2) = 16 b) 2 c) 3 e) 5
6) Hallar “x” en: (x +5)(x +4) = (x +3)(x +2) a) –7/2
3) Indicar el valor que verifica: 3(x–1) + 4(x+2) = 26 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
4) Resolver: (x + 1)2 = x2 + 13 a) 10 b) 2 d) 4 e) 6
c) 3
c) 8
b) 1
c) 2
7) Indicar el valor de “x” (x –1)2 = x2 + 13 a) 2 b) 4 d) –4 e) 6
d) 7
c) –6
8) 5(x + 1) + 3(x –2) = 3(3x –2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9) Resolver:
e) 4
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x +1 1− x 7 −6+ = 2 5 10
1 x 1 2x +x– = + 16 – 2 6 3 9 a) –12
b) 15
c) 9
d) 8
e) –7
a) 20 d) –16
b) –12 e) –20
c) 9
10) Resolver:
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES Concepto: Es la operación que consiste en transformar el lenguaje textual al lenguaje matemático: Lenguaje Textual La suma de dos números La suma de los cuadrados de dos números La suma de dos números consecutivos El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20 El triple de un número aumentado en su mitad
Lenguaje Matemático a+b a2 + b2 x(x+1) 4x + 20 3x + x 2
Ahora, todo es cuestión de que resuelvas los problemas uno a uno, si por algún motivo encuentras dificultad en alguno, inténtalo nuevamente y con paciencia, poco a poco despejarás tus dudas tu puedes hacerlo. PROBLEMAS PARA LA CLASE BLOQUE I Plantear las siguientes ecuaciones: 1) ¿Cuál es el número que aumentado en 36 nos da 104? Rpta: ................................. 2) Hallar el número que disminuido en 13, da como resultado 254. Rpta: ................................. 3) ¿Cuál es el aumentado en resultado 35?
número cuyo la unidad da
Rpta: ................................. 6) El triple de la edad de Carlos, aumentado en un año, es igual al duplo de su edad aumentado en 15. ¿Cuál es la edad de Carlos dentro de 12 años? Rpta: ................................. 7) José tiene 4 años menos que Leo. Si la suma de ambas edades es 18 años, ¿cuál es la edad de Leo dentro de 3 años?
duplo como Rpta: .................................
Rpta: ................................. 4) Calcular el número cuyo triple disminuido en 5 resulta 307.
8) Las edades de Dora y de María suman 18 años. Si Dora es mayor que María por 6 años, ¿qué edad tenía Dora en anteaño pasado?
Rpta: .................................
Rpta: .................................
5) Hallar el número cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 40.
9) La suma de las edades de José y Marco es 28. Si la diferencia de estas edades es 4 años, ¿cuál será la diferencia de estas edades dentro de 13 años?
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Rpta: .................................
Rpta: .................................
10) La suma de 2 números es 200 y su diferencia es 32. ¿Cuál es el número mayor? TAREA DOMICILIARIA 1) Descomponer 180 en dos sumandos, tales que al dividir uno por el otro, da como cociente 4, ¿cuál es el mayor sumando? a) 144 d) 52
b) 120 e) 36
c) 72
2) Entre Carlos, Ernesto y Alex tienen S/. 1 800. Si Ernesto tiene el triple de lo que tiene Carlos, ¿qué cantidad tiene Ernesto? Rpta: ................................. 3) Descomponer 180 en 2 sumandos, tales que al dividir uno por el otro, da como cociente 4. ¿Cuál es el mayor sumando? a) 144 d) 52
b) 120 e) 36
b) 20 e) 50
a) 4 d) 9
b) 7 e) 12
c) 6
6) El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número? a) 8 d) 14
b) 6 e) 16
c) 12
7) Hallar 2 números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del mayor. Dar el mayor de estos.
c) 72 a) 12 d) 18
4) Un número dividido por el otro, da como cociente 7. Si la suma de ambos es 240, ¿cuál es el número menor? a) 10 d) 40
5) Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor.
c) 30
b) 15 e) 17
c) 19
8) La suma de 3 números enteros consecutivos es 47 unidades más que el número menor. Hallar el mayor de los 3 números.
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES Forma General:
ax + by = c dx + ey = f
x,y son incógnitas a,b,c d,e,f son constantes
MÉTODOS DE SOLUCIÓN 1) Método de Reducción o Eliminación: En este método el objetivo es eliminar una de las incógnitas sumando ambas ecuaciones. Ejemplo: Resolver:
x + 2y = 12 4x – y = 3
Ec-1 Ec-2
Solución:
2) Método de Igualación: Se despeja una misma variable en ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados. Ejemplo: Resolver:
x + 2y = 12 4x – y = 3
Ec-1 Ec-2
Solución: Despejando “x” en # 1
Despejando “y” en # 2
x + 2y = 12 2y = 12 – x y = 12 – x 2
4x – y = 3 4x = 3 + y 4x – 3 = y
Luego igualando ambos resultados: 12 – x = 4x – 3 2 12 – x = 8x – 6 12 + 6 = 8x + x 18 = 9 x x =2
Reemplazando el valor de “x” en # 1 o en # 2, tenemos: 2 + 2y = 12 2y = 12 – 2 2y = 10 y = 5
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PROBLEMAS PARA LA CLASE Resolver los siguientes sistemas: 1) x + y = 7 x–y=5
6) x + 3y = 9 x – 2y = –1
2) 3x + 2y = 4 8x – 2y = 7
7) 2x + 3y = 12 x – 4y = –5
3) 5x + 3y = 7 x–y=3
8) 3x + 2y = 2 x + 3y = 10
4) 3x – 2y = 4 2x + y = 5
9) x – y = 3 2y – 3y = 1
5) x + 2y = 13 x + 3y = 18
10) 2x – y = 12 x – 3y = 11
TAREA DOMICILIARIA En cada caso. Hallar el valor de x + y en los siguientes sistemas: 1) 5x – 3y = 21 x + 2y = –1 a) 1
b) –1
a) 1 c) 2
d) –2
e) –3
2) 3x + 5y = 1 2x – y = –8 a) –1
c) 3
d) –1
e) N.A.
c) –2
d) 2
e) N.A.
b) 6
c) 9
d) 12
e) 1
b) 3
c) 7
d) –5
e) N.A.
5) x – 8 = y 2x + y = 1 a) 5 b) 3 6) x = 2y 3x + 5y = 33
b) 2
c) 1
d) 3
e) N.A. a) 3
3) x + 3y = 10 3x + y = –1 a) 2
b) 2
7) 3x – y = 13 3y + x = 11 b) 4
c) –2
d) 6
e) –6 a) 2
4) 5x + y = 1.1 2x – 3y = 0.1
8) 4x + 3y = –14 4y – 3x = 23
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a) 1 a) 2
b) 3
c) –3
d) 5
b) –1
c) 2
d) –2
c) 2
d) –12 e) N.A.
10) x + y = 2 2x + 3y = 11
9) 3x – 2y = 16 – 2x 2x + y = 1
a) 1
b) –2
AUTOEVALUACIÓN 1. Dado el sistema:
3. Sabiendo que:
x+y=7 x – y = 13
a + 3b = –2 2a – b = 3
hallar el valor de “x”
indicar el valor de “a”
a) 10 d) 5
b) –3 e) 7
c) 3
a) 1 d) 4 4. Si:
2. Si se tiene: m + 2n = 4 3n – m = 16
b) 2 e) 5
c) 3
x + 3y = 8 2x – y = 2
entonces, hallar “x+y”
entonces “n” vale: a) 2 d) 6
b) 3 e) 8
c) 4
5. Sabiendo que: a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
e) –3
e) N.A.
c) 6
3m + 5n = 7 2m – n = 4 calcular “5m + 4n”
a) 11 d) 81
b) 7 e) 4
c) 19
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SISTEMA DE ECUACIONES CON ENUNCIADO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) La suma de las edades de Enrique y Luis es 32 años y la diferencia de las mismas es 2 años. ¿Cuáles son estas edades?
8) Al dividir una partes, resulta mayor excede parte menor, mayor?
varilla de 90 cm en dos que un sexto de la parte en 6 cm a un tercio de la ¿cuánto mide la parte
Rpta: ................................. 2) Dos números suman 7. ¿Cuál es el mayor de ellos si excede en 19 al número menor? Rpta: ................................. 3) El triple de la edad de Pedro, aumentado en la cantidad de años que tiene Armando resulta 15. Si la edad de Pedro aumentada en el triple de la edad de Armando resulta 13. ¿Cuál es la edad de Pedro? Rpta: ................................. 4) Calcular dos números de modo triple del mayor exceda en 138 al menor y que el duplo del aumentado en el quíntuple del resulte 160.
que el número mayor, menor,
Rpta: ................................. 9) Carlos y Adrián obtienen 23 años al sumar sus edades. Si el duplo de la edad del mayor excede en 26 años a la mitad de la menor, ¿cuál es la edad del mayor? Rpta: ................................. 10) Una sección del colegio está compuesta de 25 alumnos entre hombres y mujeres, Si el cuádruple de la cantidad de hombres excede en 15 a la cuarta parte de la cantidad de mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que hay en la sección? Rpta: ................................. 11) Dividir 90 en dos partes de modo que un quinto de la parte mayor exceda en 6 a un séptimo de la parte menor.
Rpta: ................................. 5) Dividir 200 en dos partes, tales que la mitad de la mayor exceda en 43 a la cuarta parte de la menor. Rpta: ................................. 6) Se compraron 20 kg de productos entre azúcar y arroz. Si un kilogramo de azúcar cuesta 4 soles y un kilogramo de arroz cuesta 3 soles. ¿Cuántos kilogramos de arroz se compró si el gasto total fue 72 soles? Rpta: ................................. 7) Una familia compuesta de 9 miembros entre adultos y niños asiste a un espectáculo por el que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia?
Rpta: ................................. 12) Un gran salón de recepciones acoge a 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada caballero pagó S/. 30 por la entrada y cada dama pagó S/. 10 por el mismo concepto, siendo la recaudación total de S/. 2200, ¿cuántos hombres más que mujeres asistieron a la reunión? Rpta: .................................
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Rpta: ................................. TAREA DOMICILIARIA 1) Calcular el mayor de dos números sabiendo que el triple de uno de ellos equivale al otro y la suma de ambos es 44. Rpta: ................................. 2) Dos números enteros son tales que el triple de uno de ellos aumentado en cuatro equivale al doble del otro. Si la suma de ellos es igual a 32, calcular la diferencia de ambos números. Rpta: .................................
6) Las edades de Ana y Luisa son tales que la suma de ellas es 32. Si la quinta parte de la edad del mayor, más la cuarta parte de la edad del menor es 7. Calcular la edad de Luisa si es la mayor. Rpta: ................................. 7) Las edades de un padre y su hijo son tales que su cociente es 4. Si dentro de 15 años el cociente será 7/4, calcular la edad del padre dentro de 7 años. Rpta: .................................
3) El triple de un número aumentado en 7 es igual a 25, si éste es duplicado y aumentado en un segundo número, se obtiene 30. Calcular dichos números. Rpta: .................................
8) Alberto es mayor en 18 años que su hermano Raúl. Dentro de 3 años la relación de sus edades será de 3 a 1. ¿Cuál será la edad de Raúl dentro de 10 años? Rpta: .................................
4) Dos números son tales que al quintuplicar uno de ellos y sumarle el doble del segundo se obtiene el cuadrado de 6, y al duplicar el primero y restarle el segundo se obtiene el cuadrado de 3. Calcular la suma de dichos números. Rpta: .................................
9) Gino tiene 7 años más que su primo Karl, sin embargo el doble de la edad de Karl excede a la edad de Gino en 2 años. ¿En cuánto excede el doble de la edad de Gino al triple de la edad de Karl? Rpta: .................................
5) Dos cantidades son tales que el cociente de la suma entre la diferencia es igual a 17, mientras que el cociente del mayor entre el menor es 9/8. Calcula la menor diferencia del mayor menos el menor.
10) Cuando mi papi tenga 6 años más, yo tendré 13 años, si en la actualidad la suma de nuestras edades es cinco veces mi edad. ¿Dentro de cuánto tiempo mi papá tendrá 40 años?
Rpta: .................................
Rpta: .................................
AUTOEVALUACIÓN 1) La mitad de un número es igual a la tercera parte de otro. ¿Cuáles son dichos números, si su suma es igual a 10? a) 4 y 6 d) 3 y 7
b) 2 y 8 e) 12 y 18
c) 1 y 9
3) Seumara tenía cierta suma de dinero.
4 2) Los de la suma de dos números es 5 10 igual a 32. Por otro lado, de su 9 diferencia es 20. Hallar el menor. a) 29 d) 27
b) 13 e) 14
c) 11
Gastó S/. 30 en libros y los
4 de lo que le 5
quedaba después del gasto anterior en ropa. Si todavía le quedan S/. 30, ¿cuánto tenía al principio? a) S/. 90 b) 125 c) 150 d) 180 e) 240
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4) Jairo tiene S/. 1950 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. En total tiene 24 billetes. ¿Cuántos billetes son de S/. 100? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
5) Mi amigo Yalour tiene 28 animales entre conejos y patos. Si hay 8 conejos más que patos, ¿cuántos patos tiene Yalour? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
REPASO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
Resolver:
7.
(a-2)(a-4) = a(a+3) a) 2/9 d) –1 2.
b) 8/9 e) 2
Hallar “x”
x– x=5 3 4 c) 1/3 a) 20 d) 80
b) 60 e) 6
c) 40
Hallar el valor de “n”, si: 8.
Determinar el valor de “m”
3(n2 + 5n – 2) = 3(n2 + 4n) a) 4 d) 3 3.
b) –2 e) 1
c) 2
a) 1 d) 4
Resolver:
(x+5)(x-5) + 16 = (x-3)2 a) –1 d) –2 4.
b) 3 e) – 1/2
c) 2
5.
6.
b) 6 e) –3
c) 7
Resolver:
b) 8 e) –2
x + 32 + 52 = 72 b) 25 e) 12
c) 18
Indicar el valor de “a” en:
[( a ) ]
(2 ) +3 = [a ] (2 ) 7 2 4
4 9
5 11
5 7
a) –1 d) 2 c) –6
c) 100
Hallar “x” en la ecuación:
11.
3(x-1) – 4(5-x) = 2(6+x) a) 7 d) –4
b) –28 e) 8
a) 15 d) 17
Resolver:
5(y-2) + 3y = 2(3y + 4) a) 9 d) 2
x + 26 = 62
10. c) 3
c) 3
Indicar el valor de “x” en:
a) 28 d) 40
Hallar “a” en:
b) 2 e) –3
b) 2 e) 5
9.
5 – a = 2a – 4 a) 1 d) –2
-1 + 2m = 3 3
12.
b) 1 e) –2
c) 0
Determinar el valor de “n”
(n + 5)(n + 4) = (n + 3)(n + 2) a) –7 d) 2/7
b) – 7/2 e) – 2/7
c) 7/2
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TAREA DOMICILIARIA 1. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 85, indicar el menor de dicho número. a) 3 d) 6
b) 4 e) N.A.
c) 5
2. Se tienen tres números naturales consecutivos. Si el cuadrado del número mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, ¿cuál es la suma de dichos números? a) 6 d) 14
b) 8 e) 17
c) 12
3. El producto de dos números enteros positivos que se diferencian en 2 es igual a la suma de los mismos aumentado en 14, ¿cuál es el número menor? a) 2 d) 7
b) 4 e) N.A.
b) 50 e) N.A.
c) 54
5. Un padre pensaba una herencia de S/. 6 000 equitativamente entre todos sus hijos, peor luego decide incluir en la lista de herederos a un sobrino, motivo por el cual a cada uno de sus hijos le corresponde S/. 200 menos, ¿cuántos hijos tiene? a) 2 d) 4
b) 3 e) 6
a) 10 d) 16
b) 12 e) N.A.
c) 14
7. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es igual a 10 veces el mayor, ¿cuál es el número mayor? a) 2 d) 7
b) 4 e) 8
c) 5
8. Un número natural elevado al cuadrado equivale al mismo aumento en 30, ¿qué número es? a) 4 d) 9
b) 6 e) N.A.
c) 8
c) 6
4. Un comerciante compró cierto número de polos por S/. 360, si cada polo le hubiera costado S/. 2 menos, el dinero que invirtió le hubiera alcanzado para comprar 15 polos más, ¿cuántos polos compró? a) 45 d) 62
6. El producto de edad de una persona por 8 tiene 48 unidades menos que el cuadrado de su edad, ¿qué edad tiene la persona?
c) 5
9. El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuadrado del número menos aumentado en 9. Hallar el número mayor sabiendo que es positivo. a) 8 d) 14
b) 10 e) N.A.
c) 12
10. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual al triple del mayor aumentado en 13. Hallar la suma de dichos números si son positivos. a) 7 d) 4
b) 8 e) N.A.
c) 6
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INECUACIONES INTRODUCCIÓN Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más nuestra capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que se presentan aquí requieren que el estudiante sea analítico, sólo de esa manera lograremos determinar la solución respectiva al problema. Las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero tienen como solución un conjunto infinito de número generalmente. Por ejemplo, el preguntamos al profesor de geometría su edad y él contesta: mi edad más el doble de mi edad más el triple de mi edad es menor que 180. Entonces cual sería como la edad del profesor de geometría, si a la edad del profesor lo llamamos “x” entonces podríamos expresar lo anterior como: x + 2x + 3x < 180 Para resolver el problema, debemos tener en cuenta algunas definiciones que daremos a continuación: DEFINICIONES DESIGUALDAD. Es una comparación que se establece entre dos números reales: “a” y “b” utilizando los símbolos de la relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso. a>b; a≤ b a 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
REPRESENTACIÓN DE LA INECUACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA INTERVALOS 1. Intervalo abierto: Si “x” se encuentra entre dos números reales “a” y “b” de la forma: a < x < b, se denota: (a; b) o también: ] a; b [, esto es: < a; b > = {x ∈ |R/ a < x < b}
a
b
2. Intervalo cerrado: Si “x” se encuentra entre dos números reales “a” y “b” de la forma: a ≤ x ≤ b. Se denota por : [a; b] [a; b] = {x ∈ |R/ a ≤ x ≤ b}
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Veramendi
Estrada
a 3. Intervalo semi-abierto:
b
< a; b] = { x ∈ |R/ a < x ≤ b }
a
b
[a; b > = { x ∈ |R/ a ≤ x < b }
a
b
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Se llama así al conjunto de los valores de la INCÓGNITA que reemplazados en la inecuación, verifican la desigualdad. La solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de intervalos. Ejemplo: Resolver: 3x – 1 > 11 3x ≥ 11 + 1 3x ≥ 12 x ≥ 12 3 x≥ 4
-∞
+∞
4
⇒ 4 < x < + ∞ ó x ∈ ] 4; +∞[
PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I 1. Graficar los siguientes intervalos: a) 3 < x < 9 b) –2 ≤ x ≤ 1 c) –5 ≤ x < 1 d) 5 ≤ x < 1 e) 3 ≤ x ≤ 8 f) 6 ≤ x < 10
4. Representamos los siguientes gráficos en intervalos: a)
x ∈ < 2; 6 > x ∈ [-1; 1] x ∈ <1; 5] x ∈ [-8; 1>
4
-1
0
b)
2. Graficar:
a) b) c) d)
-2
c) -∞
3
+∞
3. Graficar: a) x > 3 b) x < 5 c) x ≤ 8 d) x > -2
5. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 8x < x + 56
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El117
ÁLGEBRA 1er año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
Lic.
Veramendi
Estrada
a) [– ∞ ; 8[ c) < – ∞; 8 > e) < –8; +8> 6. Resolver:
a) < –∞; –15] c) < 15; +∞ > e) [0; 15>
b) [– ∞: 8 > d) < – ∞; –8 >
x + (x + 5) ≤ (x + 7) a) x ≥ 2 c) x ≥ ½ e) x = 2
b) < –∞; –15> d) < 15; 0>
9. Resolver e indicar el intervalo solución: b) x ≤ –2 d) x ≤ –2
x + 2x > 21 5
7. Cuántos números enteros y positivos satisfacen la siguiente inecuación: 1 ≥ (x + 5)(x – 2) – (x – 1)(x + 3)
a) [15; +∞ > c) [–15; –∞ > e) x > -20
b) < 15; +∞> d) < –15; 15>
10. Resolver: a) 5 d) 10
b) 6 e) 2
c) 8
x– x+2≤ 1 4 3
8. Resolver: x
a) x ≤ -20 c) 0 ≤ x < 20 e) x > -20
b) x ≥ 20 d) x ≥ 10
TAREA DOMICILIARIA Resolver e indicar el intervalo solución de los siguientes problemas:
1. x(x + 9) – 10 > (x + 2)2 2. x – 2 – x < x + 1 3
2
4. x + x > 16 3
5. x + x + x ≥ 12
2 3 2 2 2 3 Hallar los valores enteros máximos de cada una de las siguientes inecuaciones:
3. (x + 1)2 < (x – 1)2 + x
6. 3x – 4 < 2x + 5
7. 10(x + 5) > 9(x + 6) 8. (x + 3)2 – x(x + 5) ≤ 9
Halla el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecuaciones: 9. 3x – 7 > 2
11. 5(x + 2) < 6(x – 1) + 4
10. 4x + 5 > 3(x + 2)
12. (x + 2)(x + 6) – (x + 4)2 + x ≥ 2
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El118
ÁLGEBRA 1er año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista Estrada
AUTOEVALUACIÓN 1. Resolver la siguiente inecuación: 5(x + 1) + x + 2 < x 4 3 2
2. Hallar el conjunto solución que satisface la siguiente inecuación: 0 < x + (2x + 1) – (3x + 2)
3. Resolver: x–2 3 +x<1 5 2
4. Luego de resolver la inecuación: 3x – 1 + 4x + 1 > x 5 9 indicar el mínimo valor entero que lo verifica.
5. Luego de resolver la inecuación: 2x + 1 + 5x + 1 ≤ x + 11 + 2 3 2 6 señalar el mayor valor que puede tomar “x”
Lic.
Veramendi
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El119
ÁLGEBRA 1er año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
Lic.
Veramendi
Estrada
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADO Introducción Al igual que en el capítulo de ecuaciones de primer grado con enunciado, en este capítulo tenemos que interpretar los enunciados y llevarlos a un lenguaje a un lenguaje algebraico. PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I 1. ¿Serán los 2/5 de 3/2 de 40, menor que la mitad del triple de 20?
2. Si al triple de la mitad del cuadrado de cuatro le restamos la tercera parte del cuádruple del cuadrado de seis, ¿resultará positivo o negativo?
3. En el aula “A”, la cantidad de alumnos es la mis de los 4/3 de 120; mientras que en el aula “B”, la cantidad de alumnos es la quinta parte de los 10/3 de 117. ¿En qué salón hay más alumnos?
4. El triple de la suma de los tres medios de 18 y los cinco cuartos de 12 es menor que 100. ¿Cierto?
5. Si la quinta parte del triple de un número, aumentado en dos es menor que 331, indicar el máximo valor entero que verifica.
6. Si el triple de la edad de Pedro, disminuido en seis, es menor que el doble, aumentado en 14; y ya pasó su fiesta de 18 años, ¿qué edad tiene?
7. Tres cajas iguales y una pesa de 5 Kg pesan menos que 33 Kg; y cuatro cajas y una pesa de 1 Kg, pesan más que 36 Kg. ¿Cuánto pesa una caja?
8. En una tienda, cuatro panetones cuestan la quinta parte del triple de 40 soles; mientras que en otra tienda, nueve panetones tienen un costo de los dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué tienda cuesta más el panetón?
9. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120 caramelos; en la mañana vende los 5/6 de chocolates y ¾ de caramelos, de lo que queda, por la tarde vende la quinta parte de los chocolates y la sexta parte de los caramelos. ¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?
10. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500 de mensualidad para gastos. La primera debe gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5 del saldo en comida; mientras que la segunda debe gastar los 9/25 en alquiler y los ¾ del saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en comida?
11. La cantidad de alumnos en un aula es tal, que dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego por 4, es mayor que 6. ¿Cuál es la menor cantidad de alumnos que puede tener dicho salón?
12. El número de guirnaldas en un arbolito de navidad, disminuido en 12, y luego esta diferencia dividida por siete resulta mayor que tres. ¿Cuál es el menor número de guirnaldas que puede haber en dicho árbol?
