UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS
ALGEBRA
presentado por:
Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE – PERU 2014
Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´ as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
PREFACIO ´ GENERAL VISION Una de las situaciones m´ as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. La respuesta a ´esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´ as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´ on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´ atica lenguaje universal, ´esta debe cultivarse como contribuci´ on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambi´en se estima necesario que todos los pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas b´ asicas para as´ı poder lograr independizarse cient´ıfica, tecnol´ ogica y econ´ omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´atica la m´ as com´ un de las ciencias, en el sentido de que est´ a presente y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensi´ on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´ on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´ atica aporta a esta formaci´ on capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a trav´es de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´ on; en fin, la matem´ atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica y creativa. Es entonces muy preocupante que sea la m´ as desconocida de las ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´ atico, o, m´ as generalmente, el analfabetismo cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducci´ on, a nivel elemental y b´ asico, de una parte de las matem´ aticas sumamente u ´til y aplicable a casi todas ´ las ramas del saber “El Algebra”. ´ De la experiencia de dictar cursos, ponencias y diplomados sobre Algebra es que surgieron apuntes 3
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de clase que, despu´es de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transform´ andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´ on de que sirva como texto gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matem´ aticas. Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqu´e y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de las matem´ aticas y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando la informaci´ on b´ asica para la resoluci´ on de ´estas, as´ı como reforzar la comprensi´ on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de ejercicios resueltos y propuestos. El texto se ha dise˜ nado para brindarle una comprensi´ on s´ olida e intuitiva de los conceptos b´ asicos, sin sacrificar la precisi´ on matem´ atica. Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a los estudiantes de la importancia del Algebra en sus campos de estudio. As´ı, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra a la Geometr´ıa, F´ısica, Qu´ımica, Biolog´ıa, Econom´ıa, etc.
CARACTER´ISTICAS Caracter´ısticas pedag´ ogicas En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, se a inclu´ıdo varios aspectos pedag´ ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra. Problemas resueltos y propuestos Aqu´ı destacamos la importancia cr´ıtica de adquirir destreza en la resoluci´ on de problemas. En los ejemplos resueltos ense˜ namos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos. Los estudiantes aprenden matem´ aticas viendo ejemplos completos y claros. Estos var´ıan desde muy simples a muy dif´ıciles y compete al docente escoger aquellos m´ as adecuados para sus alumnos y proponer otros. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud.
El autor
Cap´ıtulo 1:
DEFINICIONES BASICAS 1.1.
Definici´ on de ALGEBRA
Es una parte de la Matem´atica que estudia a las cantidades en su forma m´ as general posible, empleando n´ umeros y letras. Tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver lo referente a cantidades desconocidas, utilizando ecuaciones y operaciones adecuadas para llegar a un resultado
1.2.
Esquema del desarrollo hist´ orico de la Matem´ atica Siglos L A. C. Pueblos Primitivos: Medir y contar fueron las primeras actividades matem´aticas del hombre primitivo. El trueque la forma de comercio rudimentario que utilizaron. Haciendo marcas en los troncos de los a´rboles lograban la medici´on del tiempo y el conteo de animales que pose´ıan. Aparece el concepto de n´ umero, origen de la Aritm´etica. Siglos LI - VI A.C - (a˜ nos 5000 - 500) • Babilonios: Los pueblos mesopot´ amicos representaban los n´ umeros con marcas en forma de cu˜ na de acuerdo con su tipo de escritura. Tablillas cuneiformes descifradas hace poco tiempo, documentan la contribuci´on de estos pueblos a la ciencia matem´atica. Representaban los n´ umeros con marcas: una marca para el 1; dos marcas para el 2 y as´ı hasta el 9. • Asirios y Caldeos: Figuran en estos documentos, conocimientos del Teorema de Pit´agoras; operaciones algebraicas con ecuaciones de segundo grado; tablas de potencias de segundo y tercer grado; uso de las fracciones, (usaban como u ´nico denominador el 60). Todo ello requiere un gran dominio de la matem´atica elemental. No supone esto una concepci´on abstracta de la ciencia. Para hacer multiplicaciones utilizaban tablas de cuadrados y la regla siguiente: “el producto de dos n´ umeros es igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. Los conocimientos geom´etricos de los Babilonios no forman un sistema; son conocimientos aislados. Dividieron el c´ırculo en 360 partes iguales, fundamento del sistema sexagesimal que usaron. La rueda, aplicaci´on del c´ırculo, es creaci´on de estos pueblos. Sab´ıan dividir la circunferencia en 6 partes iguales por lo que se supone que conocieron el tri´angulo equil´atero. • Egipto: Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matem´atica. Sus exigencias vitales, sujetas a las peri´odicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la ARITMETICA y la GEOMETRIA.
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1650 A.C. Escriba Ahmes (hijo de la luna): Copia de una obra anterior un valioso documento matem´atico, uno de los m´as antiguos que se conocen con el nombre de papiro de Rhind, por ser este su descubridor; el documento se encuentra en el Museo Brit´anico. En ´el se detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre las cuales est´an las ecuaciones de segundo grado. Siglos VII-VI A.C (A˜ nos 640-535) Thales de Mileto - griego: Nacido en la ciudad de Mileto. El primero y m´as famoso de los 7 sabios de Grecia, primer fil´osofo j´onico, primer ge´ometra, “Padre de las matem´aticas griegas”. Recorri´ o Egipto donde realiz´o estudios poni´endose en contacto con los misterios de la religi´on egipcia. Se le atribuye el haber predicho el eclipse de sol en el a˜ no 585, y el haber realizado la medici´on de las pir´amides mediante las sombras que proyectan. Fue el primero en dar una explicaci´on de los eclipses. En geometr´ıa el Teorema de Thales es universalmente conocido. S. VII A.C India: El Sulva Sutra, documento de “reglas relativas a la ciencia” en el que se enuncian notables soluciones a problemas geom´etricos relacionados con la construcci´on de templos y altares. De estos documentos se conservan tres versiones; una de ellas lleva el nombre de Apastamba. En esta versi´on encontramos la proposici´on geom´etrica que indica que el cuadrado construido sobre la diagonal de un rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre dos lados adyacentes. Aparecen tambien reglas para construir un cuadrado equivalente a un rect´angulo dado; o construir un cuadrado igual a la suma de otros dos. Sab´ıan que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro es igual al doble de ´este. Conoc´ıan el Teorema de Pit´agoras no solo para el caso 3-4-5, sino en general (15-36-39;12-16-20; 5-12-13; 8-15-17; 15-20-25; 12-3537). Sab´ıan calcular con muy alta precisi´on a´ un cuando no usaban el mecanismo actual. Sin embargo la contribuci´on mayor de los hind´ ues a la matem´atica la encontramos en el sistema de numeraci´ on decimal posicional. Siglo VI A.C (A˜ nos 585 -500). Pit´agoras - griego: C´elebre fil´osofo nacido en Samoa y muerto en Metaponte. Realiz´o sus primeros estudios en su ciudad natal; viaj´o por Egipto y otros pa´ıses de Oriente. Fund´o la Escuela de Crotona que era una sociedad secreta de tipo pol´ıtico religiosa la “orden de los Pitag´oricos”. Hizo del n´ umero el principio universal por excelencia. En geometr´ıa es famoso su teorema, que relaciona los lados de un tri´ angulo rect´angulo. Siglos V - IV A.C, (A˜ nos 408 -335) Eudoxio - griego: Oriundo de Cnido, estudi´o con Platon. Matem´atico y astr´onomo, viaj´o por Egipto, Sicilia e Italia. La Teor´ıa de las proporciones procura poner claridad en los problemas del infinito matem´ atico, Es de su autor´ıa el m´etodo de exhauci´on para la demostraci´on de ciertas propiedades. A˜ nos 427 - 347 A.C. Platon - griego: Uno de los mas grandes fil´osofos de la antig¨ uedad, alumno predilecto de S´ocrates, dio a conocer las doctrinas del maestro y las suyas propias en los famosos Di´alogos. Viaj´o por el mundo griego y recibi´o la influencia de sabios y matem´ aticos. Fund´o la Academia en cuyo frontispicio hizo escribir “Nadie entre aqu´ı si no sabe Geometr´ıa”. Se discuten aqu´ı los fundamentos y los m´etodos matem´aticos. A˜ nos 450 - A.C.. . . Hip´ocrates de Qu´ıo - griego: Aprendi´o geometr´ıa en Atenas. Su obra mas importante se relaciona con dos problemas famosos de la antig¨ uedad: la cuadratura del c´ırculo y duplicaci´on del cubo. Se le atribuye la introducci´on del m´etodo de razonamiento matem´atico por reducci´on al absurdo. Siglos IV - III A.C. (A˜ nos 365 -275) Euclides - griego: Autor de “Los Elementos” tratado cient´ıfico que se mantuvo inc´olume hasta el siglo XIX. Ocup´o la c´atedra de Matem´atica en “El Museo”, centro docente creado por Ptolomeo I (General de Alejandro Magno). Estableci´o un m´etodo riguroso para la demostraci´on geom´etrica. En su GEOMETR´IA
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el postulado fundamental sostiene: Por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela a la misma y solo una. Siglo III A.C (A˜ nos 287 -212) Arqu´ımedes - griego: Nacido en Siracusa (Sicilia). Se le considera el sabio m´as grande de la antig¨ uedad. Muri´o asesinado por una soldado romano. Entre sus trabajos cient´ıficos encontramos respuesta a: volumen de la esfera; determinaci´on del valor de pi; sobre los conoides y esferoides; sobre las espirales; sobre la cuadratura de la par´abola. Fue autor de innumerables inventos mec´anicos: el tornillo sin fin; la rueda dentada; el espejo parab´olico; etc. Fund´o la Hidrost´atica al descubrir el principio que lleva su nombre. A˜ nos 280 - 192 A.C. Erat´ostenes - griego: Sabio Alejandrino nacido en Cirene, se ocup´o de matem´atica, geograf´ıa y filolog´ıa. Bibliotecario de Alejandr´ıa, determin´o cient´ıficamente la longitud del meridiano terrestre. Se le debe el m´etodo matem´atico para hallar n´ umeros primos, llamado Criba de Erat´ostenes. A˜ nos 250 - ... Apolonio de P´ergamo - griego: Perteneci´o a la Escuela de Alejandr´ıa y ense˜ no en P´ergamo. De su obra se conserva un u ´nico tratado: “las C´onicas”, en ocho libros, uno de los cuales se perdi´o. Apolonio estudia las propiedades de estas curvas. Con Apolonio termina la llamada Epoca de oro de la matem´ atica griega. Siglo II D.C (A˜ nos 100 - 178) • Claudio Ptolomeo - egipcio: Nacido en Ptolemais (Egipto), vivi´o en Alejandr´ıa. Astr´ onomo, matem´atico, f´ısico y ge´ografo. Su Sintaxis Matem´atica (Almagesto) sintetiza y ordena los conocimiento astron´omicos de los griegos, se utiliz´o en las Universidades hasta el Siglo XVIII. Su sistema geoc´entrico domin´o la astronom´ıa durante 14 siglos, hasta la aparici´on de Cop´ernico. • Heron de Alejandr´ıa - griego: Matem´atico, f´ısico e inventor. Se le atribuye la invenci´ on de gran n´ umero de aparatos mec´anicos muy ingeniosos. Entre sus obras podemos mencionar: Geometr´ıa; M´etrica; Dioptra; Neum´atica, etc. En trigonometr´ıa la f´ormula de Her´on permite calcular el a´rea de un tri´angulo en funci´on de sus lados. Siglo IV - V, D.C. (A˜ nos 325 - 409) Diofanto - griego: Matem´atico de Alejandr´ıa. Autor de una “Aritm´etica” en 13 libros de los cuales se conservan 6, colecci´on de problemas con soluciones simb´olicas que podr´ıan calificarse de algebraicas. Es el primero en enunciar una teor´ıa clara sobre las ecuaciones de primer grado. Ofreci´o adem´ as la f´ ormula para la soluci´on de la ecuaci´on de 2o grado. Ejerci´o considerable influencia sobre Vi`ete. (A˜ nos 370 - 415) Hypatia - griega: Excepcional mujer, hija del fil´osofo y matem´atico Teon. Naci´o en Alejandr´ıa, estudi´ o en Atenas. En Alejandr´ıa fund´o una Escuela donde ense˜ n´o las doctrinas de Platon y Arist´oteles. Uno de los u ´ltimos matem´aticos griegos, se distingue por los comentarios realizados a las obras de Apolonio y Diofanto. Muri´o asesinada b´arbaramente. Siglo V. (A˜ nos 499 - ...) Aryabhatta - hind´ u: Su obra m´as conocida es el “Aryabhatiya” escrita en verso sobre temas de astronom´ıa y matem´atica. En la secci´on destinada a la ganitapada o matem´atica se dan los nombres de las potencias de diez hasta el d´ecimo lugar; se formula un conjunto de instrucciones para calcular ra´ıces cuadradas y c´ ubicas de n´ umeros enteros y se dan reglas para el c´alculo de ´areas. Descubre para el c´alculo de la longitud de la circunferencia el n´ umero 3.1416 que hoy llamamos pi. Trata tambien las progresiones aritm´eticas y da problemas sobre inter´es compuesto. El mayor avance presentado es el sistema de numeraci´ on posicional decimal. En trigonometr´ıa se introduce un concepto equivalente a la funci´on seno de un ´angulo; se dan as´ı los senos de ´angulos menores o iguales a 90o para 24 intervalos angulares iguales a tres trescuartos de grado cada uno. Debemos tener en cuenta sin embargo que los matem´aticos hind´ ues no daban nunca las explicaciones de sus c´alculos ni las demostraciones de sus reglas.
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Siglos VI - VII (A˜ nos 588 - 660) Brahmagupta - hind´ u: Astr´onomo y matem´atico, alumno de Aryabhatta, autor del “Brahmasphutasiddhanta”; en dos cap´ıtulos de esta obra, encontramos: soluciones generales para ecuaciones cuadr´ aticas; una soluci´on general de la ecuaci´on lineal diof´antica; una soluci´on para la ecuaci´on indeterminada de segundo grado llamada de Pell. En geometr´ıa estableci´o varios teoremas sobre superficie de figuras planas. Se le atribuye conocimiento de las reglas algebraicas para operar con n´ umeros negativos y la regla de los signos para la multiplicaci´on. Siglos IX - X (A˜ nos 850 - ...) Al-Khuwarizmi - ´arabe: Nacido en Khuwarismi, Matem´atico y astr´onomo es uno de los m´as grandes sabios del Islam. Vivi´o en Bagdad, trabaj´o en la Biblioteca del califa Al-Mam´ un. En su obra encontramos la notaci´on posicional de los hind´ ues y el uso de un s´ımbolo para el cero. El t´ermino algoritmo, deriva de su ´ nombre. La voz ALGEBRA se halla en el t´ıtulo de una de sus obras. Da soluci´on num´erica e ilustraci´ on geom´etrica de ciertas ecuaciones de segundo grado. La funci´on seno de la trigonometr´ıa, creada por los matem´aticos hind´ ues, fue utilizada por primera vez en sus tablas astron´omicas. Escribi´ o tambi´en “Aritm´etica”. A˜ nos 858 - 929 Al -Battani - ´arabe: Nacido en Battan (Ir´an). Astr´onomo y Matem´atico, realiz´o importantes estudios astron´omicos. Rectific´o las Tablas de Tolomeo. En matem´atica, su contribuci´on fue el Teorema del coseno para tri´angulos esf´ericos. Siglo XI - XII (A˜ nos 1029 - 1087) Arzaquel o Al-Zargali- espa˜ nol: Astr´onomo y matem´atico, nacido en C´ordoba (Espa˜ na) confeccion´ o las famosas “Tablas Toledanas” de observaciones y c´alculos astron´omicos, fundamento de las “Tablas Alfonsinas”. A˜ nos 1045 - 1130 Omar Khayyam - persa: Poeta, matem´atico y astr´onomo Como matem´atico hizo una clasificaci´ on de las ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado y dio una soluci´on geom´etrica de las ecuaciones c´ ubicas, aplicando secciones c´onicas. A˜ nos 1140 - ... Bhaskara - hind´ u: Vivi´o en la ciudad de Ujanin. Astr´onomo y matem´atico dirigi´o un observatorio astron´omico. Compuso en verso su obra “Siddhanta shiromani”, que trata principalmente de astronom´ıa, pero dos de sus cap´ıtulos se dedican a matem´atica: el VijaGanita, y el Lilavati. Ellos contienen numeroso problemas sobre ecuaciones lineales y cuadr´aticas; medidas de ´areas; progresiones aritm´eticas y geom´etricas; ra´ıces; ternas pitag´oricas y otros. Siglos XII -XIII (A˜ nos 1175-1250) Fibonacci o Leonardo de Pisa - italiano: No era un erudito, pero por sus continuos viajes en Europa y el Cercano Oriente, obtuvo informaci´on muy importante sobre diversas cuestiones matem´aticas. Introdujo en el mundo occidental, la numeraci´on india y ar´abiga. En su libro ”Liber Abacci”(1202) explica los procedimientos para hacer c´alculos mercantiles. Es famosa la sucesi´on de Fibonacci. A˜ nos 1235 - 1315 Raimundo Lulio - espa˜ nol: Nacido en Palma de Mallorca, llamado “el Doctor Iluminado”, por su dedicaci´ on a la propagaci´on de la fe. Su “Arte Magna” enuncia procedimientos para demostrar autom´ aticamente cualquier verdad, es una especie de matem´atica universal Fue martirizado y muri´o en 1315, la iglesia lo beatific´o. Siglo XIV - XV Es el fin de la Edad Media, en Occidente se produce una lenta transformaci´on ideol´ogica que se extiende por varias generaciones. El individuo aspira a la libertad de pensamiento, de opini´on y de creencia. El
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proceso de transformaci´on se ve acelerado por la aparici´on de la imprenta (1400-1468). Se traducen y se imprimen numerosas obras de sabios griegos y la matem´atica comienza a separarse de la filosof´ıa. Siglos XV - XVI (A˜ nos 1445 - 1514) Luca Pacioli - italiano: Nacido en Toscana. Matem´atico escribi´o un tratado que resum´ıa todos los conocimientos de su ´epoca en esta especialidad “Summa de arithm´etica, geom´etrica, proportioni et proportionalita”. En ella se encuentra un avance respecto al simbolismo algebraico y a la matem´atica comercial. A˜ nos 1499 - 1557 Nicol´as de Tartaglia - italiano: Nacido en Brescia, fue uno de los m´as destacados matem´aticos de su ´epoca. Hall´o un m´etodo para solucionar las ecuaciones de tercer grado, y sostuvo una pol´emica con Cardano sobre quien fue el primero en descubrir dicha soluci´on. A˜ nos 1501 - 1576 Girolamo Cardano - italiano: Matem´ atico, m´edico y astr´onomo nacido en Pavia. Public´o en su “Arte Magna” (1545) la f´ormula que Tartaglia descubriera para la soluci´on de las ecuaciones c´ ubicas, y que se la comunic´o bajo la promesa de no darla a conocer. En dicha obra se incluye tambien la soluci´ on de Ferrari a las ecuaciones de cuarto grado. Analiz´o las relaciones entre coeficientes y ra´ıces de una ecuaci´ on. A˜ nos – 1580 Bombelli, Raffaele - italiano: Matem´atico nacido en Bolonia, algebrista famoso del siglo XVI. Su “Tratado de Algebra” (1572) incorpora por primera vez la idea de los n´ umeros complejos y da algunas reglas para operar con ellos. Con este descubrimiento resuelve el caso irreducible de la ecuaci´on de tercer grado. Otro aporte fue el estudio completo de las ecuaciones cu´articas, con un m´etodo general para su resoluci´ on. Siglos XVI - XVII (A˜ nos 1540 -1603) Fran¸cois Vi`ete - franc´es: Nacido en Fontenay-le-Comte, pol´ıtico y militar que ten´ıa como pasatiempo favorito las matem´aticas, puede consider´arsele como el fundador del ALGEBRA moderna al introducir la notaci´on algebraica. Dio formulas para la soluci´on de las ecuaciones de 6o grado; resolvi´ o ecuaciones num´ericas de hasta 45o complet´o el desarrollo de la Trigonometr´ıa de Ptolomeo; calcul´o pi con 9 decimales. A˜ nos 1550-1617 John Neper - escoc´es: Bar´on de Merchiston (naci´o y muri´o en ese castillo, cerca de Edimburgo), dedicado en sus ratos de ocio al cultivo de los n´ umeros. Descubri´o el principio que rige a los logaritmos y public´ o la primer tabla en 1614. Tuvo una discusi´on con B¨ urgi sobre quien hab´ıa sido el primero en trabajar con logaritmos. Fue amigo de Henry Briggs, profesor del Gresham College de Londres, que trabaj´ o con los logaritmos en base 10 y public´o su primer tabla en 1624. En matem´atica se conocen como analog´ıas de Neper las proporciones que se pueden establecer entre los elementos de un tri´angulo esf´erico cualquiera; la regla de Neper en trigonometr´ıa, permite resolver los casos de tri´angulos esf´ericos rect´agulos. A˜ nos 1596 - 1650 Renato Descartes - frances: Fil´osofo y matem´atico, naci´o en Normand´ıa, fue soldado y recorri´ o Hungr´ıa, Suecia e Italia. La reina Cristina de Suecia lo invita a su corte, para que le de clases de matem´ atica. Se lo considera el primer fil´osofo de la edad moderna y sistematiza el m´etodo cient´ıfico. Es el primero en aplicar rigurosamente el ´algebra a la geometr´ıa, creando as´ı la GEOMETR´IA ANAL´ITICA. Muri´ o en Suecia. Ide´o el sistema de coordenadas llamado cartesiano. A˜ nos 1593-1662 G´erard Desargues - franc´es: Arquitecto e Ingeniero militar Los conceptos e ideas expuestos en su tratado sobre las c´onicas “Brouillon-Proyect”, forman parte de la Geometr´ıa Proyectiva. Conocido es el Teorema de Desargues. A˜ nos 1598-1647 Cavalieri Bonaventura - italiano: Naci´o en Milan, fue jesuita y matem´atico, ense˜ n´o en Bolonia. Se lo considera precursor del c´alculo infinitesimal. Su obra “Geometr´ıa de los indivisibles” aparece en 1635.
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A˜ nos 1601 - 1665 Pierre Fermat - franc´es: Naci´o en Beaumont-de-Lomage y muri´o en Castres. Matem´atico que estudi´ o a los matem´aticos griegos. Hizo aportes muy importantes a la teor´ıa de los n´ umeros, al ´algebra, al an´ alisis y a ´ la geometr´ıa anal´ıtica. Fund´o la moderna teor´ıa de los n´ umeros, o ARITMETICA SUPERIOR. Expuso teoremas fundamentales del c´alculo de probabilidades. Se conoce como u ´ltimo teorema de Fermat el que sostiene que: con n´ umeros naturales, no es posible hallar 4 n´ umeros tales que xn + y n = z n , cuya demostraci´on a´ un no a sido hallada. A˜ nos 1623 - 1662 Blas Pascal - franc´es: Nacido en Clermont-Ferrand, matem´atico, f´ısico y te´ologo, De naturaleza enfermiza, a los 12 a˜ nos - seg´ un la hermana - hab´ıa demostrado las 32 proposiciones de Euclides; siendo a´ un ni˜ no, escribi´o el “Ensayo sobre las c´onicas”; a los 16 a˜ nos inventa la m´aquina aritm´etica que construye en 1643; simplific´o la geometr´ıa Proyectiva; dio junto con Fermat los primeros teoremas del c´ alculo de Probabilidades. Son conocidas las siguientes cuestiones: caracol de Pascal; recta de Pascal; tri´ angulo de Pascal. A˜ nos 1630 - 1677 Isaac Barrow - ingl´es: Matem´atico y Te´ologo fue maestro de Newton sobre el que influy´o notablemente. Ide´o el llamado tri´angulo diferencial o tri´angulo caracter´ıstico para la determinaci´on de las tangentes a las curvas planas, que inspir´o el concepto de derivada de Newton. A˜ nos 1654 - 1705) Jacques Bernoulli I - suizo: Ense˜ n´o matem´atica en Basilea, fund´o el moderno c´alculo de variaciones. Estudi´o la curva el´astica, la catenaria, y la espiral logar´ıtmica. Invent´o el c´alculo exponencial y escribi´ o uno de los primeros tratados sobre el c´alculo de probabilidades: “Ars conjectandi”. A˜ nos 1661 - 1704 L’Hˆopital, Guillaume Fran¸cois Antoine - franc´es: Matem´atico, disc´ıpulo de Juan Bernoulli y autor de la primera obra sistem´atica sobre Analisis infinitesimal. El Teorema de L’Hˆopital, permite calcular el l´ımite de ciertos tipos de expresiones indeterminadas. Siglos XVII - XVIII (A˜ nos 1642 - 1727) Isaac Newton - ingles: El m´as grande de los matem´aticos ingleses. Su libro “Principia Mathem´ athica”basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matem´aticas. Descubri´o simult´aneamente con Leibnitz el C´alculo diferencial y el C´alculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Seg´ un Leibnitz “Si se considera la matem´atica creada desde el principio del mundo hasta la ´epoca en que Newton vivi´o. Lo que ´el realiz´o fue la mejor mitad”. A˜ nos 1646 - 1716 Leibnitz, Gottfried Wilhelm - aleman: Nacido en Leipzig. Fil´osofo. Jurisconsulto y matem´atico “la mente m´as universal de su ´epoca”, domin´o toda la ciencia. Viaj´o por Francia, Inglaterra y Holanda; en Hannover fue Bibliotecario y consejero del duque de Brunswick. Descubri´o simult´aneamente con Newton el C´ alculo diferencial y el C´alculo integral, desarroll´o el An´alisis combinatorio, invent´o las coordenadas polares y el sistema binario de numeraci´on. Muri´o en Hannover. A˜ nos 1667 - 1748 Jean Bernouli I - suizo: Hermano y disc´ıpulo de Jacques. Ense˜ n´o en Groningen (Holanda) y sucedi´ o a su hermano mayor en la c´atedra de Basilea. Contribuy´o grandemente a la difusi´on del c´alculo infinitesimal. Fue el maestro de Euler. Es conocida la ecuaci´on diferencial de primer orden llamada de Bernouli. A˜ nos 1685 - 1731 Taylor, Brook - ingles: Matem´atico y cient´ıfico, cultiv´o la Fisica, la M´ usica y la Pintura. Fue disc´ıpulo de Newton, y se di´o a conocer en 1708 al presentar en la “Royal Society” un trabajo acerca de los centros de oscilaci´on. Su obra fundamental “M´etodos de los incrementos directos e inversos” contiene los principios
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b´asicos del c´alculo de las diferencias finitas. En el Algebra Elemental conocemos el Teorema de Taylor, cuya consecuencia es el Teorema de Mac Laurin. Siglo XVIII (A˜ nos 1707 - 1783) Euler Leonard - suizo: Nacido en Basilea, fue alumno de Juan Bernouli. Matem´atico excelente, durante 12 a˜ nos gan´o el premio anual que ofrec´ıa la Academia de Par´ıs sobre diversos temas cient´ıficos. Federico El Grande lo llam´o a Berl´ın Catalina de Rusia lo llev´o a San Petersburgo donde trabaj´o incesantemente. Sistematiz´o el c´alculo infinitesimal unificando las escuelas de Newton y de Leibniz. Son conocidas: la f´ormula de Euler (eix = cos x + i sen x), que para x = π resulta: eiπ + 1 = 0; funciones de Euler son las funciones ˆa y ˜a que se utilizan en an´alisis matem´atico; se llama relaci´on de Euler la que vincula las caras, aristas y v´ertices de un poliedro cualquiera. Los u ´ltimos 17 a˜ nos de su vida estuvo totalmente ciego. A˜ nos 1704 - 1752 Cramer, Gabriel - suizo: Matem´atico, autor de un trabajo en que explica las causas de la inclinaci´ on de las ´orbitas de los planetas. Es autor adem´as de la regla que lleva su nombre, para la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales. A˜ nos 1717 - 1783 D′ Alembert, Jean Le Rond - franc´es: Naci´o y muri´o en Par´ıs. Matem´atico, f´ısico y fil´osofo, hijo ileg´ıtimo abandonado por sus padres en el atrio de la capilla de Saint Jean Le Rond. Estudi´o matem´ atica por su cuenta. En 1747 publica una memoria sobre las cuerdas vibrantes, da la ecuaci´on diferencial que lleva su nombre y la integra. As´ı funda la teor´ıa de las ecuaciones en derivadas parciales. Junto con Diderot elabora la “Enciclopedia” en la que trata del c´alculo diferencial y las c´onicas. Fue secretario perpetuo de la Academia Francesa. Puede consider´arsele junto con Rousseau, precursor de la Revoluci´on. Siglos XVIII - XIX (A˜ nos 1736 - 1813) Lagrange, Jose Luis - italiano: Naci´o en Turin, muri´o en Paris. Se interes´o por la matem´atica al leer un elogio del c´alculo infinitesimal de Halley. Fue nombrado profesor a los 19 a˜ nos y organiz´o la Academia de Ciencias de Torino; a los 23 a˜ nos es miembro de la Academia de Berlin, cuya secci´on de F´ısica y Matem´atica dirigi´o durante 20 a˜ nos. Estudi´o la teor´ıa de las formas cuadr´aticas y demostr´ o el c´elebre Teorema de Bachet de M´eziriac (todo entero puede descomponerse en la suma de no m´ as de cuatro cuadrados). Investig´o las ecuaciones indeterminadas de segundo grado con dos inc´ognitas. Independiz´ o el c´alculo de variaciones de la geometr´ıa. En su obra maestra “Mec´anica Anal´ıtica”, aplica el an´ alisis y el c´alculo de variaciones. Su contribuci´on al Algebra se encuentra en la memoria que escribi´o en Berl´ın hacia 1767 “Sobre la resoluci´on de las ecuaciones num´ericas”. Fue amigo de Napoleon que lo nombr´ o Senador. A˜ nos 1746 - 1818 Monge, Gaspar - franc´es: Nacido en Beaune, fue Ministro de Marina durante la Revoluci´on . Posteriormente Napoleon lo env´ıa a Italia, Egipto y Siria. Fue el creador de la Geometr´ıa descriptiva. A el se deben varios teoremas sobre ecuaciones en derivadas parciales y cap´ıtulos de geometr´ıa diferencial. Sus “Lecciones de geometr´ıa Descriptiva” y “Aplicaci´on del An´alisis a la geometr´ıa” son de 1794. A˜ nos 1749 - 1827 Laplace, Pierre Simon - franc´es: Naci´o en Beaumont-en-Auge. Matem´atico, fue profesor en el Colegio Militar de Par´ıs. Su “Teor´ıa anal´ıtica de la probabilidades” (1812) es la primera exposici´on sistem´ atica del C´alculo de probabilidades. A˜ nos 1752 - 1833 Legendre, Adrien Marie - frances: Nacido en Par´ıs. Es un matem´atico cuyos trabajos m´as importante se relaciona con las integrales el´ıpticas y la teor´ıa de n´ umeros, con su ley de reciprocidad cuadr´atica. Su obra principal “Tratado de las funciones el´ıpticas y las integrales eulerianas”. Fue el iniciador de la Teor´ıa de las formas, de las que desarroll´o las cuadr´aticas, binarias y ternarias. A˜ nos 1768 -1830 Fourier, Jean Baptiste Joseph - franc´es: Matem´atico y F´ısico te´orico nacido en Auxerre y muerto en
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Par´ıs; qued´o hu´erfano a los 8 a˜ nos de edad. Ense˜ n´o en la Escuela Normal y en la Polit´ecnica. Acompa˜ no´ a Napoleon Bonaparte a Egipto y fue Secretario del Instituto del Cairo Su principal obra es “Teor´ıa anal´ıtica del calor”; propone aqu´ı su c´elebre ecuaci´on diferencial de propagaci´on del calor. Adem´as contribuye con el desarrollo de una funci´on en serie trigonom´etrica o Serie de Fourier y propone un m´etodo matem´ atico para la soluci´on de numerosos problemas de vibraciones y ondulaciones. A˜ nos 1777 -1855 Gauss, Karl Friedrich - alem´an: Naci´ o cerca de Brunswick y muri´o en Gotinga. Matem´atico, F´ısico y Astr´onomo, se lo suele llamar Pr´ıncipe de la matem´atica. Ni˜ no prodigio aprendi´o a contar antes que a hablar. En su tesis de doctorado (1799) demostr´o por primera vez el Teorema fundamental del a´lgebra. Dio unidad y amplitud a la Teor´ıa de los n´ umeros. En su obra maestra “Disquisiciones Aritm´eticas” inventa el concepto de n´ umeros congruentes m´odulo p; descubri´o la ley de reciprocidad cuadr´atica; sistematiz´ o la teor´ıa de los n´ umeros complejos. En an´alisis investiga las funciones de variables complejas; descubre la doble periodicidad de las funciones el´ıpticas. En geometr´ıa introduce las coordenadas curvilineas (o gaussianas). Crea de esta manera la geometr´ıa intr´ınseca. Cre´o la Geometr´ıa diferencial; la teor´ıa de las representaciones conformes y emprendi´o el estudio de la Topolog´ıa; el m´etodo de los m´ınimos cuadrados; la Campana de Gauss o curva normal de errores. A˜ nos 1781-1848 Bolzano, Bernhard - alem´an: Matem´atico nacido en Praga, fue sacerdote cat´olico. Es uno de los iniciadores de la fundamentaci´on rigurosa del An´ alisis mediante su aritmetizaci´on . Formul´o el concepto de funci´ on continua y sus teoremas fundamentales. Las modernas teor´ıas del infinito hallan tambi´en en Bolzano un precursor. Expuso sus originales concepciones en las “Paradojas del Infinito”. A˜ nos 1781-1840 Poisson, Sime´on Denis - franc´es: F´ısico matem´atico nacido en Pithiviers. Ingres´o en la escuela Polit´ecnica donde lleg´o a suceder a Cauchy. Fue el primer profesor de Mec´anica de la Sorbona. Estudi´ o la c´elebre ecuaci´on diferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Perteneci´o a la escuela que introdujo el rigor en el an´alisis. En su obra “Investigaci´on sobre la probabilidad de los juicios” (1837), expuso la distribuci´on que lleva su nombre. A˜ nos 1789 - 1857 Cauchy, Agustin Louis - franc´es: Matem´atico nacido en Par´ıs, formul´o rigurosamente el c´alculo infinitesimal a partir del concepto de l´ımite; estudi´o las funciones de variables compleja. Nos leg´o la f´ ormula de Cauchy; el principio de convergencia de Cauchy para una sucesi´on; el problema de Cauchy: el Teorema de Cauchy, etc. Su vida estuvo sometida a los azares de su tiempo (revoluciones y contra revoluciones) . No acept´o el cargo en la Academia por no tener que jurar ante la Revoluci´on. Fue profesor de matem´ atica en Turin. Comenz´o la creaci´on sistem´atica de la teor´ıa de grupos, imprescindibles en la matem´atica moderna. Dio su definici´on del concepto de funci´on. A˜ nos 1793 - 1856 Lobatchewski Nicol´as - ruso: Matem´atico, estudi´o en la Universidad de Kaz´an de la que fue posteriormente Profesor, Decano de la Facultad de Matem´atica y Rector. Combate la idea de Kant del espacio y establece la relatividad de esta noci´on. Combate la geometr´ıa de Euclides, que se manten´ıa intacta por m´ as de 22 siglos. Es el creador junto con Bolyai de las GEOMETR´IA NO EUCLIDIANAS y pude consider´ arsele como el precursor de la Teor´ıa de la Relatividad. A˜ nos 1802 - 1829 Abel, Niels Henrik - noruego: Matem´atico que vivi´o durante toda su vida en extrema pobreza. Trat´ o de abrirse paso entre los matem´aticos del continente, pero no lo logr´o. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matem´atica del Instituto de Francia, por su trabajo sobre funciones el´ıpticas. Fue uno de los m´ as grandes algebristas del siglo XIX. Demostr´o el Teorema General del Binomio. Llev´o a cabo la demostraci´ on de la imposibilidad de resoluci´on de las ecuaciones de 5o grado. Muri´o desconocido.
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A˜ nos 1802-1860 Bolyai, Janos - h´ ungaro: Matem´atico que a los 22 a˜ nos escribi´o su “Ciencia absoluta del Espacio” (1832) donde expone un sistema geom´etrico completo que prescinde del postulado de las paralelas de Euclides Bolyai demuestra as´ı que dicho postulado es independiente de los dem´as, y que basta reemplazar alguno o todos los postulados de Euclides para obtener nuevas geometr´ıas, todas l´ogicamente verdaderas. De este modo demostr´o la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dicho postulado con ayuda de los dem´as. A˜ nos 1804 - 1851 Jacobi, Karl Gustav - alem´an: Matem´ atico, Profesor en la Universidad de Berl´ın y Koenigsberg, comparte con Agel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre funciones el´ıpticas. Fue el primero en aplicar estas funciones a la teor´ıa de n´ umeros. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva etapa en la Din´amica. Es famosa en este campo la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. Ide´o la forma sencilla de los determinantes que se estudian hoy en el Algebra. A˜ nos 1811- 1832 Galois, Evariste - franc´es: Despu´es de realizar estudios en un Liceo, ingresa a la Escuela Normal de Par´ıs. Acusado de peligroso republicano va a parar a la carcel. No fue la u ´nica vez que estuvo en prisi´ on. Acabado de salir muere de un pistoletazo a los 21 a˜ nos de edad. A pesar de esta corta vida dej´o una estela profunda en la historia de la matem´atica. Es el creador de la teor´ıa de grupo y autor de la demostraci´on del Teorema que lleva su nombre sobre resoluci´on de las ecuaciones de primer grado. A˜ nos 1815 -1864 Boole, George - ingles: Naci´o en Lincoln (Inglaterra) y muri´o a los 49 a˜ nos en Ballintemple (Irlanda). Estudi´o ´algebra por su cuenta, as´ı como los trabajos de Laplace y Lagrange que llegaron a ser m´ as tarde las bases para sus primeros papeles matem´aticos. Desde los 16 a˜ nos se gan´o la vida con la ense˜ nanza y en 1849 fue nombrado Profesor Universitario en Cork. Public´o alrededor de 50 escritos. Recibi´ o la medalla de la Real Sociedad por su aplicaci´on de m´etodos algebraicos para la soluci´on de ecuaciones diferenciales. Boole redujo la l´ogica a un ´algebra simple, elaborando as´ı la llamada Logica Booleana, que tiene una amplia aplicaci´on en comunicaciones telef´onicas y en el dise˜ no de computadoras. Su obra principal es “Investigaci´on de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teor´ıas matem´aticas de la l´ ogica y de la probabilidad”. A˜ nos 1815-1897 Weierstrass, Karl Wilhelm Theodor - alem´an: Matem´atico, maestro de escuela y m´as tarde Profesor de la Universidad de Berl´ın. Puede considerarsele como el padre del An´alisis moderno. En sus primeras investigaciones abord´o el problema de los n´ umeros irracionales. Luego se dedic´o el resto de su vida al estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Su nombre es inseparable del de su disc´ıpula Sonia Kovalewski, valiosa matem´atica rusa. A˜ nos 1826-1866 Riemann, Bernhard - alem´an: Matem´atico nacido en Selasca, disc´ıpulo de Gauss. Se inici´o en Gotinga como estudiante de filolog´ıa y teolog´ıa. Sus contribuciones se relacionan con: a) Teor´ıa de n´ umeros; estudi´ o el problema de la distribuci´on de los n´ umeros primos. b) Teor´ıa de las funciones; Estudi´o las funciones de variables complejas; estableci´o el ”plano m´ ultiple.o superficie de Riemann; estudi´o las funciones algebraicas, funciones el´ıpticas y funciones abelianas. c) Geometr´ıa; Su memoria “Sobre las hip´otesis que sirven de fundamento a la geometr´ıa” establece la diferencia entre espacio infinito e ilimitado que tuvo importancia en el desarrollo de la Teor´ıa de la Relatividad. d) Series trigonom´etricas; expone su teor´ıa de la integraci´ on en la cual considera funciones acotadas con infinitos puntos de discontinuidad. e) Topolog´ıa; sus trabajos se refieren al g´enero de las superficies. A los 40 a˜ nos falleci´o en Italia, donde se hab´ıa trasladado buscando un clima m´as favorable para curar su tuberculosis. Siglos XIX - XX A˜ nos 1842-1913 Weber, Heinrich - alem´an: Matem´atico nacido en Heidelberg. Autor de importantes trabajos sobre teor´ıa
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de los n´ umeros , an´alisis matem´atico y c´alculo diferencial. Sus obras principales son: “Manual de Algebra” y “Enciclopedia elemental de Matem´atica”. A˜ nos 1845-1918 Cantor, George - ruso: Matem´atico nacido en San Petersburgo, vivi´o alli hasta 1856 fecha en que su familia se radica en Alemania. En sus u ´ltimos a˜ nos tuvo que ser internado en el manicomio de Halle, donde muri´ o. Sus primeros trabajos se relacionan con las series trigonom´etricas y las teor´ıas de los n´ umeros irracionales. Trabaj´o en colaboraci´on con Dedekind. En 1872 demostr´o que los n´ umeros trascendentes son de un tipo de infinitud mayor que el de los n´ umeros algebraicos; de aqu´ı deriva su aritm´etica transfinita. Posteriormente elabor´o su c´elebre teor´ıa de conjuntos. Entre las consecuencias m´as notables de las teor´ıas de Cantor se encuentra la referente a la existencia de distintos tipos y jerarqu´ıas de infinitud. Su influencia se nota en el An´alisis Moderno, en la Topolog´ıa abstracta y en los estudios epistemol´ogicos modernos. A˜ nos 1854 -1912 Poincar´e, Jules-Henri - franc´es: Matem´atico que estudi´o en la Escuela Polit´ecnica de Par´ıs. Fue Profesor de An´alisis Matem´atico en Caen, luego es nombrado Profesor de Mec´anica y Fisica Experimental en la Facultad de Ciencias de Par´ıs. Independientemente de sus contribuciones a la matem´atica es un verdadero divulgador de los m´etodos cient´ıficos. Circulan por todo el mundo sus obras “Ciencia e Hip´otesis” y “Valor social de las Ciencias”. Es importante su trabajo sobre las ecuaciones fuchsianas. A˜ nos 1858 - 1947 Plank, Max - alem´an: Matem´atico y Fisico, recibi´o el premio nobel de F´ısica de 1918. Sus estudios se desarrollaron alrededor de las relaciones entre el calor y la energ´ıa. Llev´o a cabo la renovaci´on de la F´ısica al introducir su famosa teor´ıa de los “quanta” basada en la discontinuidad de la energ´ıa radiante. La base de la F´ısica moderna es la “constante universal de Plank”. En sus trabajos se unen maravillosamente la F´ısica y la Matem´atica. Alemania cre´ o el Instituto de F´ısica Max Plank. A˜ nos 1879 - 1955 Einstein Albert - alem´an: Matem´atico y F´ısico, Profesor del Instituto Polit´ecnico y de la Universidad de Zurich. Director de la Secci´on de F´ısica del Instituto Emperador Guillermo. Recibi´o en 1921 el premio Nobel de F´ısica, por sus trabajos acerca de la Teor´ıa de la Relatividad del tiempo, que modifica la Teor´ıa de Gravitaci´on universal de Newton. Trabajando con otros cient´ıficos de diversas nacionalidades en la Universidad de Pr´ınceton logr´o la desintegraci´on del ´atomo, base de la Bomba At´omica. A˜ nos 1862-1943 Hilbert, David - alem´an: Matem´atico nacido en Koenigsberg y muerto en Gotinga. Su obra abarca gran parte de los campos en que se divide la matem´atica moderna. Sus trabajos se relacionan con: la teor´ıa de los cuerpos; ecuaciones integrales; sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas inc´ognitas. Fue el iniciador y el impulsor del movimiento de axiomatizaci´on de la matem´atica moderna. Su obra principal “Fundamentos de la Geometr´ıa” (1899). En an´alisis introdujo los llamados “espacios de Hilbert” y en general los espacios abstractos. Fue el creador de la llamada Metamatem´atica. A˜ nos 1871-1956 Borel, Emile - franc´es: Matem´atico nacido en Aveyron. Realiz´o numerosos trabajos en el campo del An´alisis Matem´atico: teor´ıa de funciones; suma de series divergentes; teor´ıa de conjuntos y c´ alculo de probabilidades. Sus libros: “Colecci´on Borel”, “tratado de c´alculo de Probabilidades”, “El azar”, “El espacio y el tiempo”, etc. A˜ nos 1875-1941 Lebesgue, Henri Leon - franc´es: Matem´atico nacido en Beauvais. Prosigui´o con los trabajos de Cantor relacionados con la Teor´ıa de Conjuntos. Cre´o la nueva teor´ıa de la integraci´on que lleva su nombre. Contribuy´o tambi´en en las Teor´ıas de las Series Trigonom´etricas. Siglo XX (A˜ nos 1903- ...) Neumann, John Von N.: Matem´atico Norteamericano nacido en Budapest (Hungr´ıa). Sus trabajos sobre
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Log´ıstica matem´atica, Teor´ıa de Conjuntos, Teor´ıa Cu´antica, Operadores, etc. lo sit´ uan entre los primeros investigadores de esta ciencia. Fue Profesor de Fisica-Matem´atica en el Instituto de Altos Estudios de Princeton. A˜ nos 1935 - ... Bourbaki, Nicolas - franc´es: Es este un nombre supuesto para un movimiento de matem´aticos franceses que entendieron que el desarrollo matem´atico en esa ´epoca, estaba estancado. Las investigaciones desarrolladas bajo este nombre colectivo presenta una colecci´on completa de la matem´atica en forma moderna: estructuras fundamentales y teor´ıas levantadas sobre ellas. En 1939 comenzaron a aparecer los “Elementos de Matem´aticas” en fasc´ıculos. Sus iniciadores fueron: Andr´e Weil; Henri Cartan; Jean Dieudonne; Claude Chevalley; Laurent Schwarz y otros. Aparecieron hasta ahora unos 30 vol´ umenes.
1.3. 1.3.1.
´ Origen del Algebra Introducci´ on.
´ Algebra, rama de las matem´ aticas en la que se usan letras para representar relaciones aritm´eticas. Al igual que en la aritm´etica, las operaciones fundamentales del ´ algebra son adici´ on, sustracci´ on, multiplicaci´ on, divisi´ on y c´ alculo de ra´ıces. La aritm´etica, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matem´ aticas. El ´ algebra, por el contrario, puede dar una generalizaci´ on que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2 . El ´ algebra cl´ asica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza s´ımbolos en vez de n´ umeros espec´ıficos y operaciones aritm´eticas para determinar c´ omo usar dichos s´ımbolos. El ´ algebra moderna ha evolucionado desde el ´ algebra cl´ asica al poner m´ as atenci´ on en las estructuras matem´ aticas. Los matem´ aticos consideran al ´ algebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. As´ı, en su forma m´ as general, se dice que el ´ algebra es el idioma de las matem´ aticas.
1.3.2.
´ El origen del Algebra.
Los babilonios desarrollaron t´ecnicas y m´etodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas pr´ acticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las t´ecnicas cartogr´ aficas. Entre las tablillas babil´ onicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas, y el enunciado y soluci´ on de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuaci´ on cuadr´ atica. Un examen cuidadoso de las tablillas babil´ onicas muestra claramente que mediante esos c´ alculos sus autores no s´ olo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros m´ as abstractos y artificiales, y que lo hac´ıan para desarrollar t´ecnicas de soluci´ on y ejercitarse en su aplicaci´ on. Uno de ellos, en t´erminos modernos, dice: He sumado el ´ area del cuadrado con los dos tercios del lado del cuadrado y el resultado es 7 12
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Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado. En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el algebra se ocup´ ´ o principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia donde tuvo su origen esta ciencia. Fueron los ´ arabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilizaci´ on que surgi´ o en la pen´ınsula ar´ abiga en la primera mitad del siglo VII, habr´ıa de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo despu´es de la captura de La Meca por Mahoma en el a˜ no 630 d.C., el ej´ercito isl´ amico hab´ıa convertido a las tribus polite´ıstas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto. La conquista de Persia se complet´ o hacia el a˜ no 641 d.C. Los sucesores de Mahoma, los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien a˜ nos de guerras, el califato se dividi´ o en varias partes. La fundaci´ on en 766 d.C. por parte del califa al - Mansur de Bagdad como la nueva capital de su califato, signific´ o cl comienzo de una etapa m´ as tolerante del islamismo y permiti´ o el desarrollo intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al - Rashid, quien gobern´ o entre 786 y 809, estableci´o en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales hab´ıan sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandr´ıa que tuvieron que cerrarse a ra´ız de la persecuci´ on de los romanos. Un programa de tradt4cciones al ´ arabe de textos cl´ asicos de la matem´ atica y ciencia de los griegos y los hind´ ues era una de las actividades del Bayal al-Iliktna (Casa dc la sabidur´ıa), un instituto de investigaciones que fundara cl califa al - Ma’ mun y que funcion´ o durante m´ as de 200 a˜ nos. Muhammmad ibn Musa al - Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronom´ıa y matem´ aticas, entre ellos uno dc los primeros tratados isl´ amicos acerca del ´ algebra. Fue gracias a la traducci´ on al lat´ın de su libro acerca del sistema de numeraci´ on hind´ u, Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conoci´ o ese novedoso sistema de numeraci´ on. ´ Su obra m´ as importante, sin embargo, fue su tratado de ´ algebra que, con el t´ıtulo Ilisab al-/abra wal- muqabala (La ciencia de la reducci´ on y confrontaci´ on) probablemente significaba la ciencia de las ecuaciones. ´ El Algebra de Muhammad contiene instrucciones pr´ acticas para resolver ciertas ecuaciones lineales y cuadr´ aticas. ”Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus c´ alculo.., es un n´ umero”. Ese n´ umero no es m´ as que la soluci´ on de una ecuaci´ on. Otro importante algebrista ´ arabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente por su Rubaiyat, una colecci´ on de unos 600 poemas. Fue ´el el primero en hacer una clasificaci´ on sistem´ atica de la ecuaciones c´ ubicas y resolver algunas de ellas. La contribuci´ on de los algebristas isl´ amicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del ´algebra habr´ıa sido m´ as notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco despu´es, el ´ algebra habr´ıa de consolidarse definitivamente.
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´ Historia del Algebra.
La historia del ´ algebra comenz´ o en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadr´ aticas (ax2 + bx = c), as´ı como ecuaciones indeterminadas como x2 + y 2 = z 2 , con varias inc´ ognitas. Los antiguos babilonios resolv´ıan cualquier ecuaci´ on cuadr´ atica empleando esencialmente los mismos m´etodos que hoy se ense˜ nan. Los matem´ aticos alejandrinos Her´ on y Diofante continuaron con la tradici´ on de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritm´eticas de Diofante es de bastante m´ as nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas dif´ıciles. Esta antigua sabidur´ıa sobre resoluci´ on de ecuaciones encontr´ o, a su vez, acogida en el mundo isl´ amico, en donde se la llam´ o “ciencia de reducci´ on y equilibrio”. (La palabra ´ arabe al- jabr que significa ‘reducci´ on’, es el origen de la palabra a ´lgebra). En el siglo IX, el matem´ atico al-Jwarizmi escribi´ o uno de los primeros libros ´ arabes de ´ algebra, una presentaci´ on sistem´ atica de la teor´ıa fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matem´ atico egipcio Abu Kamil enunci´ o y demostr´ o las leyes fundamentales e identidades del ´ algebra, y resolvi´ o problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen
x + y + z = 10,
x2 + y 2 = z 2 ,
y
xz = y 2 . En las civilizaciones antiguas se
escrib´ıan las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas s´ olo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matem´ aticos ´ arabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la inc´ ognita x, y desarrollaron el ´ algebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los s´ımbolos modernos. Esta ´algebra inclu´ıa multiplicar, dividir y extraer ra´ıces cuadradas de polinomios, as´ı como el conocimiento del teorema del binomio. El matem´ atico, poeta y astr´ onomo persa Omar Khayyam mostr´ o c´omo expresar las ra´ıces de ecuaciones c´ ubicas utilizando los segmentos obtenidos por intersecci´ on de secciones ´ c´ onicas, aunque no fue capaz de encontrar una f´ ormula para las ra´ıces. La traducci´ on al lat´ın del Algebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matem´ atico italiano Leonardo Fibonacci consigui´ o encontrar una aproximaci´ on cercana a la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica arabes, por lo que con seguridad utiliz´ o el m´etodo x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci hab´ıa viajado a pa´ıses ´ ar´ abigo de aproximaciones sucesivas. A principios del siglo XVI los matem´ aticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuaci´ on c´ ubica general en funci´ on de las constantes que aparecen en la ecuaci´ on. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontr´ o la soluci´ on exacta para la ecuaci´ on de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matem´ aticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la f´ ormula de las ra´ıces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo ´ XIX el matem´ atico noruego Niels Abel y el franc´es Evariste Galois demostraron la inexistencia de dicha f´ ormula. Un avance importante en el ´ algebra fue la introducci´ on, en el siglo XVI, de s´ımbolos para las inc´ ognitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometr´ıa (1637), escrito por el matem´ atico y fil´ osofo franc´es Ren´e Descartes se parece bastante a un texto moderno de ´ algebra. Sin embargo, la contribuci´ on m´ as importante de Descartes a las matem´ aticas
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fue el descubrimiento de la geometr´ıa anal´ıtica, que reduce la resoluci´ on de problemas geom´etricos a la resoluci´ on de problemas algebraicos. Su libro de geometr´ıa contiene tambi´en los fundamentos de un curso de teor´ıa de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llam´ o la regla de los signos para contar el n´ umero de ra´ıces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuaci´ on. Durante el siglo XVIII se continu´ o trabajando en la teor´ıa de ecuaciones y en 1799 el matem´ atico alem´ an Carl Friedrich Gauss public´ o la demostraci´ on de que toda ecuaci´ on polin´ omica tiene al menos una ra´ız en el plano complejo (v´ease N´ umero (matem´ aticas): N´ umeros complejos). En los tiempos de Gauss, el ´ algebra hab´ıa entrado en su etapa moderna. El foco de atenci´ on se traslad´ o de las ecuaciones polin´ omicas al estudio de la estructura de sistemas matem´ aticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matem´ aticos, como los n´ umeros complejos, que los matem´ aticos hab´ıan encontrado al estudiar las ecuaciones polin´ omicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas num´ericos, aunque tambi´en difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (v´ease Combinatoria) de las ra´ıces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los m´ as importantes conceptos unificadores de las matem´ aticas en el siglo XIX. Los matem´ aticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el brit´ anico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matem´ atico y astr´ onomo irland´es William Rowan Hamilton, quien desarroll´ o la aritm´etica de los n´ umeros complejos para las cuaternas; mientras que los n´ umeros complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk. Despu´es del descubrimiento de Hamilton, el matem´ atico alem´ an Hermann Grassmann empez´ o a investigar los vectores. A pesar de su car´ acter abstracto, el f´ısico estadounidense J. W. Gibbs encontr´ o en el ´ algebra vectorial un sistema de gran utilidad para los f´ısicos, del mismo modo que Hamilton hab´ıa hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llev´ o a George Boole a escribir Investigaci´ on sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la l´ ogica b´ asica. Desde entonces, el ´ algebra moderna tambi´en llamada ´ algebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matem´ aticas y en muchas otras ciencias.
1.3.4.
Un poquito m´ as de la historia del ´ algebra
¿Sab´ıas que el ´ algebra que se estudia en secundaria es muy antigua? Aqu´ı encontrar´ as algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC. los matem´ aticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sab´ıan resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Adem´ as resolv´ıan tambi´en, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos inc´ ognitas En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un a´lgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que ten´ıan que ver con la repartici´ on de v´ıveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces ten´ıan un m´etodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el “m´etodo de
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la falsa posici´ on”. No ten´ıan notaci´ on simb´ olica pero utilizaron el jerogl´ıfico hau (que quiere decir mont´ on o pila) para designar la inc´ ognita. Alrededor del siglo I dC. los matem´ aticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significaEl Arte del c´ alculo), en el que plantearon diversos m´etodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as´ı como sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas. Con su ´ abaco (suan z´ı) ten´ıan la posibilidad de representar n´ umeros positivos y negativos. En el siglo II, el matem´ atico griego Nic´ omaco de Gerasa public´ o su Introducci´ on a la Aritm´etica y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los n´ umeros. En el siglo III el matem´ atico griego Diofanto de Alejandr´ıa public´ o su Aritm´etica en la cual, por primera vez en la historia de las matem´ aticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no s´ olo las ecuaciones de primer grado, sino tambi´en las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la inc´ ognita con un signo que es la primera s´ılaba de la palabra griega arithmos, que significa n´ umero. Los problemas de ´ algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos m´ as tarde ser´ıa ”la teor´ıa de ecuaciones”. A pesar de lo rudimentario de su notaci´ on simb´ olica y de lo poco elegantes que eran los m´etodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del ´ algebra moderna. En el siglo VII los hind´ ues hab´ıan desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar n´ umeros positivos y negativos. ´ Siglo IX. Epoca en la que trabaj´ o el matem´ atico y astr´ onomo musulm´ an Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del ´ algebra. Al - Jwarizmi investig´ o y escribi´ o acerca de los n´ umeros, de los m´etodos de c´ alculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los m´etodos de c´ alculos num´ericos en oposici´ on a los m´etodos de c´ alculo con ´abaco, adquiri´ o finalmente su sentido actual de “procedimiento sistem´ atico de c´ alculo”. En cuanto a la palabra ´ algebra, deriva del t´ıtulo de su obra m´ as importante, que presenta las reglas fundamentales del ´ algebra, Al-jabr wal muqabala. En el siglo X vivi´ o el gran algebrista musulm´ an Abu Kamil, quien continu´ o los trabajos de AlJwarizmi y cuyos avances en el ´ algebra ser´ıan aprovechados en el siglo XIII por el matem´ atico italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matem´ atico musulm´ an Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto. ´ En 1202. Despu´es de viajar al norte de Africa y a Oriente, donde aprendi´ o el manejo del sistema de numeraci´ on indoar´ abigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, public´ o el Liber Abaci ´ (Tratado del Abaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritm´etica y el ´ algebra. En el siglo XV, el matem´ atico franc´es Nicol´ as Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los n´ umeros negativos, introdujo adem´ as una notaci´ on exponencial muy parecida a la que usamos hoy
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en d´ıa, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. En 1489 el matem´ atico alem´ an Johann Widmann d′ Eger invent´ o los s´ımbolos “+” y “−” para sustituir las letras “p” y “m” que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (m´ as) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta. En 1525, el matem´ atico alem´ an Christoph Rudolff introdujo el s´ımbolo de la ra´ız cuadrada que usamos hoy en d´ıa: Este s´ımbolo era una forma estilizada de la letra r”de radical o ra´ız. Entre 1545 y 1560, los matem´ aticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los n´ umeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado. En 1557 el matem´ atico ingl´es Robert Recorde invent´ o el s´ımbolo de la igualdad, =. En 1591 el matem´ atico franc´es Fran¸cois Vi`ete desarroll´ o una notaci´ on algebraica muy c´omoda, representaba las inc´ ognitas con vocales y las constantes con consonantes.
1.3.5.
Crucigrama algebraico
Un crucigrama es un juego que consiste en adivinar, mediante breves indicaciones, las palabras que corresponden a una serie de casillas colocadas cruz´ andose horizontal y verticalmente en un dibujo. Aqu´ı encontrar´ as un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendr´ as que resolver 17 ecuaciones de primer grado. ¡An´ımate! Verticales
Horizontales
1) 3x + 2 = 32
3) 7x - 4 = 171
2) x/5 = 16
4) 8x - 920 = 7,080
3) 2x + 8 = 440
6) 1/2x + 8 = 88
5) 2x - 9 = x + 18
7) 5x = 35,745
8) 9x + 9 = 900
10) 4x - 4 = 3x + 6
9) 1/4x - 2 = 250
11)5/2 x + 40 = 500
13) x/3 - 11 = x - 233
12) x/9 - 43 = 1,000
15) x + 5 = 2x - 80
14) x/7 - 5 = 0 16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8
¿Qu´ e tal, result´ o divertido?
1.3.6.
Magia con ´ algebra
¿Te gusta hacer trucos de magia? ¿Has probado al hacerlos con un poco de ´ algebra? En lugar de sombrero de mago necesitar´ as una hoja de papel y en lugar de varita m´ agica un l´ apiz. ¿Listo? Vamos a hacer la prueba con uno a ver qu´e tal funciona: a. Piensa un n´ umero
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Figura 1.1: Crucigrama
b. Al n´ umero que pensaste s´ umale el n´ umero que sigue. c. Al resultado del paso anterior s´ umale 9. d. Divide el resultado entre 2 e. A lo que qued´ o r´estale el n´ umero que pensaste. ¡El n´ umero que qued´ o es 5!. ¿Impresionado? Veamos en d´ onde qued´ o el ´ algebra: Nosotros no sabemos cu´ al es el n´ umero que pensaste. Es una inc´ ognita as´ı que le llamaremos x. Ahora hay que sumarle el n´ umero que sigue, o sea, x+1. As´ı la suma que se hace es x+(x+1) = 2x+1. Ahora hay que sumar nueve, as´ı que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. Hay que dividir el resultado entre 2. Veamos pues: (2x + 10)/2 = x + 5 Y, finalmente, hay que restar el n´ umero que hab´ıas pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 − x . Pero curiosamente el resultado de esta operaci´ on da 5. As´ı que el n´ umero que te qued´ o es 5. ¿Te sorprende?
Aqu´ı encontrar´ as m´ as trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus amigos, a tu familia. Pero lo m´ as importante es que descubras por qu´e funcionan, es decir que practiques un poco el ´ algebra. Truco 1: En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles, en fin, lo que se te ocurra. P´ıdele a alguien que piense un n´ umero entre el 1 y el 9. Saca de la caja el n´ umero de cositas que tu amigo pens´ o. Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que haber quedado un n´ umero de dos d´ıgitos. Suma esos dos d´ıgitos y saca de la caja el n´ umero de cositas que obtuviste de sumar los dos d´ıgitos. Saca de la caja dos cositas m´ as. Repite este truco 3 veces m´ as ¿Qu´e est´ a pasando? Intenta explicarlo. Truco 2:
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Piensa un n´ umero. Multipl´ıcalo por 5. Suma 8 al resultado. A lo que qued´ o, r´estale 3. Divide entre 5 el resultado del paso anterior. A lo que qued´ o resta el n´ umero que pensaste en un principio. El n´ umero que qued´ o es el 1 Explica que es lo que pas´ o. Truco 3: Esta vez el truco lo vas a hacer t´ u. En los renglones vac´ıos, escribe las instrucciones adecuadas para que se cumpla el truco. Piensa un n´ umero. Multipl´ıcalo por 7. Este rengl´ on te toca a ti. A lo que te qued´ o resta el n´ umero que pensaste al principio. Te qued´ o el n´ umero 1. Truco 4: Escribe el n´ umero del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc. Multiplica ese n´ umero por 2. A lo que qued´ o, s´ umale 5. A lo que qued´ o, multipl´ıcalo por 50. A lo que qued´ o s´ umale tu edad actual (no la que vas a cumplir este a˜ no, la que tienes en este momento, hoy). Al n´ umero que qued´ o hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes representar´ an la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento. Intenta explicar que sucede. ¿Te gustaron los trucos? ¿Por qu´e no inventas los tuyos propios?
1.3.7.
Al - Jwarizmi
Figura 1.2: Al - Jwarizmi
Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matem´ aticos ´ arabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra
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matem´ atica que afortunadamente lleg´ o a nosotros gracias a las traducciones al lat´ın que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento.Al - Jwarizmi viv´ o del a˜ no 780 al 835. Naci´ o en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y est´ a en Uzbekist´ an. Vivi´ o en la corte del califa Abdul´ a al - Mam´ un quien hab´ıa fundado una academia de ciencias que se llamaba “La Casa de la Sabidur´ıa” en la que trabajaban los mejores cient´ıficos y matem´ aticos, entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. De esta academia sali´ o la primera expedici´ on que realizaron los ´ arabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de navegaci´ on y observaciones astron´ omicas. Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedici´ on. En la “Casa de la Sabidur´ıa” se desempe˜ n´ o como bibliotecario, matem´ atico y astr´ onomo y escribi´ o varios textos, fundamentalmente de matem´ aticas. El m´ as importante de todos ellos es, sin duda, “Al - jabar wa′ l Muqabala”, que es un tratado sobre c´ omo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza as´ı: Este inter´es por la ciencia, con la que Al´ a ha dotado al califa Al - Mam´ un, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el c´ alculo por medio del ´ algebra, en la que se contiene todo lo que es m´ as f´ acil y u ´til en aritm´etica, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equ´ıvocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde est´e implicada la agrimensura, la excavaci´ on de pozos y canales, la geometr´ıa y varios asuntos m´ as. Con el paso de los siglos los matem´ aticos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al lat´ın, que era el idioma en el que se escrib´ıa la ciencia en la Europa de esa ´epoca. Para finales del siglo XVI nadie ten´ıa dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del ´algebra. UTILIDAD: Los conocimientos son indispensables en el desarrollo de los curso tales como: La geometr´ıa, trigonometr´ıa, geometr´ıa anal´ıtica, c´ alculo diferencial e integral, etc. ´ S´ IMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN EL ALGEBRA: Los s´ımbolos que se utilizan en el ´ algebra son los n´ umeros y las letras. Los n´ umeros se utilizan para representar cantidades conocidas y las letras se utilizan para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Para las cantidades conocidas, se emplea generalmente las primeras letras del alfabeto : a, b, c, .... Para las cantidades desconocidas, emplearemos generalmente las u ´ltimas letras del alfabeto : ... , x, y, z. Si una letra representa diferentes valores, entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o sub´ındices. a′ , a′′ , ... , se lee “a prima” ; “a segunda” ; ... a1, a2 , ... , se lee “a sub uno” ; “a sub dos” ; ... SIGNOS: Signos de operaci´ on u operadores matem´ aticos:
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SIMBOLO
OPERACION
RESULTADO
+
Adici´ on
Suma
−
Sustracci´ on
Resta
.
Multiplicaci´ on
Producto
÷
Divisi´ on
Cociente
Potenciaci´ on
Potencia
Radicaci´ on
Ra´ız
()n √ n
Cuadro 1.1: Signos de operaci´ on u operadores matem´ aticos ´ SIGNOS DE RELACION: = Para valores ≡ Para polinomios
<> Comparaci´ on algebraica entre polinomios > Menor que < Mayor que ´ SIGNOS DE COLECCION: Son s´ımbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones . Estos son: ( ) Par´entesis { } Llave
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´Indice general Prefacio
3
1. DEFINICIONES BASICAS
5
1.1. Definici´ on de ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Esquema del desarrollo hist´ orico de la Matem´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3. Origen del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 15
1.3.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3.2. El origen del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3.3. Historia del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.4. Un poquito m´ as de la historia del ´ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.5. Crucigrama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.6. Magia con ´ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.7. Al - Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Introducci´ on
15 17
5
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
31
2.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2. T´ermino algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3. T´erminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4. Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.5. Teor´ıa de exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.6. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3. GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
55
3.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2. Grados en operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3. Polinimios especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.1. Polinomio Homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
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3.3.2. Polinomio Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.3.3. Polinomio Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.3.4. Polinomio Entero en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.5. Polinomio m´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.6. Polinomios id´enticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.7. Polinomios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.8. Polinomio id´enticamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.4. Valor num´erico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4. MULTIPLICACION ALGEBRAICA 4.1. Adici´ on y sustracci´ on de expresiones algebraicas
75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2. Multiplicaci´ on de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5. DIVISION ALGEBRAICA
97
5.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.2. M´etodo clasico o divisi´ on normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.3. M´etodo de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.4. M´etodo de Guillermo Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
5.5. M´etodo de Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.6. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
5.7. Divisibilidad algebraica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.8. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
6. FACTORIZACION
125
6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.2. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.3. Criterios de factorizaci´ on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.3.1. Criterio del factor com´ un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.3.2. Criterio del factor com´ un por agrupaci´ on de t´erminos . . . . . . . . . . . . . .
127
6.3.3. Criterio de las identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
6.3.4. Criterio de las aspas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
6.3.5. Criterio de los divisores binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
6.3.6. Criterio de los artificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
7. MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES ALGEBRAICAS
145
7.1. M´ aximo Com´ un Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
7.2. M´ınimo Com´ un M´ ultiplo MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
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27
7.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
7.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
8. POTENCIACION
161
8.1. Factorial de un n´ umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
8.1.1. N´ umero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
8.1.2. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
8.2. An´ alisis combinatorio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
8.2.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
8.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
8.2.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
8.2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
8.3. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
9. RADICACION
181
9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
9.2. Clasificaci´ on de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
9.3. Radicales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
10.MATRICES Y DETERMINANTES
197
10.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
10.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
10.1.2. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
10.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
10.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
10.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
10.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
10.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
10.1.8. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
10.1.9. Matriz sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
10.1.10.Matriz antisim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
10.1.11.Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
10.1.12.Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
10.1.13.Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
10.1.14.Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
10.1.15.Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
10.1.16.Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
10.1.17.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
´ Algebra
28
Walter Arriaga Delgado
10.1.18.Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Determinantes
216
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
10.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
10.2.2. C´ alculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
10.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
10.2.4. Menores y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
10.2.5. C´ alculo de Determinantes por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
10.3. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
10.3.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
10.3.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
10.3.3. M´etodo de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
10.4. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
10.5. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
11.ECUACIONES
239
11.0.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
11.0.2. Clasificaci´ on de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
11.0.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
11.0.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
11.0.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
11.0.6. Ecuaci´ on C´ ubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
11.0.7. Ecuaci´ on Cu´ artica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
11.0.8. Ecuaci´ on Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
11.0.9. Ecuaci´ on Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
11.0.10.Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
12.INECUACIONES
275
12.0.11.Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
12.0.12.La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
12.0.13.Inecuaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
12.0.14.Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
12.0.15.Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
12.0.16.Inecuaciones polin´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
12.0.17.Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
12.0.18.Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
12.0.19.Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
12.0.20.Inecuaciones logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
12.0.21.Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
29
12.1. Valor Absoluto y M´ aximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
12.1.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
12.1.2. M´ aximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
13.LOGARITMOS
299
13.1. Historia de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
13.2. Propiedades generales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
13.3. Propiedades operativas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
13.3.1. Cologaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
13.3.2. Antilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
13.3.3. Logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
13.4. Inecuaciones logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
14.FORMULARIO
315
Bibliograf´ıa
338
Indice de Materias
338
30
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 2:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos: z Clasificar una expresi´ on algebraica seg´ un la naturaleza de los exponentes y seg´ un el n´ umero de t´erminos. z Capacitar para reconocer los exponentes de cocientes, productos, potencias o ra´ıces en´esimas. z Aplicar la relaci´ on de base a base y exponente a exponente en la resoluci´ on de las ecuaciones exponenciales.
2.1.
Definici´ on:
Es un conjunto de n´ umeros y letras relacionadas entre s´ı por las distintas operaciones fundamentales (Adici´ on, Sustracci´ on, Multiplicaci´ on, Divisi´ on, Radicaci´ on y Potenciaci´ on), en forma finita y sin variables como exponentes. Ejemplo 2.1.1. 2 3
5x y −
√ 3
x7 z 2 3yz +√ y5 x
Constante: Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fen´ omeno matem´ atico y est´ a representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, ... etc. Variable: Es aquella magnitud que no presenta un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fen´ omeno matem´ atico y est´ a representado (no siempre) por las u ´ltimas letras del abecedario x, y, z, w, ... etc. Notaci´ on Matem´ atica: Es aquella representaci´ on simb´ olica de una expresi´ on matem´ atica que nos permite diferenciar a las variables de las constantes.
2.2.
T´ ermino algebraico
Es la m´ınima expresi´ on algebraica en la que sus elementos se encuentran relacionadas por las operaciones de multiplicaci´ on, divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on. 31
´ Algebra
32
Walter Arriaga Delgado
P (x, y) = 5ax2 + 2bxy + 3cy 2 nombre gen´erico
variables
constantes
Figura 2.1: Notaci´ on matem´ atica
En un t´ermino algebraico se distinguen las siguientes partes: 1. Coeficiente (incluyendo el signo). 2. Variables o parte literal. 3. Los exponentes de las variables 7x2 y 3
exponente parte literal (variables) coeficiente
Figura 2.2: Partes de un t´ermino algebraico
2.3.
T´ erminos semejantes
Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de los mismos exponentes. Ejemplo 2.3.1. 5x3 yz 5 ;
−0, 5x3 yz 5 ;
√
3x3 yz 5 ;
− 14 x3 yz 5 ;
son t´erminos semejantes.
Dos t´erminos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se resta o se suma los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Ejemplo 2.3.2. 9x5 y 2 ;
−3x5 y 2 ;
x5 y 2 ;
son t´erminos semejantes
Sumando y restando se tiene: 9x5 y 2 − 3x5 y 2 + x5 y 2 = 7x5 y 2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
2.4.
33
Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas
I. Seg´ un la naturaleza de los exponentes: Una expresi´ on algebraica puede ser: 1. Expresi´ on Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables est´ an afectadas por exponentes enteros. Estas a su vez pueden ser: 1.1 Expresi´ on Algebraica Racional Entera (EARE): Cuando los exponentes de sus variables son enteros positivos, incluyendo el cero (Z+ 0 enteros no negativos). 1.2 Expresi´ on Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Cuando los exponentes de sus variables son enteros negativos (Z− ). 2. Expresi´ on Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables est´ an afectadas por exponentes fraccionarios (Q). Nota: Toda expresi´ on que no cumple con estas condiciones se le conoce con el nombre de expresi´ on no algebraica o Trascendente (ET). 8 8 8 > >
> > > > : > Expresi´ on > > :E. A. Irracional > > > > :
E. Trascendental
Observaci´ on 2.4.1. Para clasificar expresiones matem´ aticas en primer lugar estas deben simplificarse lo mayor posible, llevando sus variables al numerador y a partir de all´ı analizar sus exponentes. Ejemplo 2.4.1. Vea la tabla 2.1 II. Seg´ un el n´ umero de t´ erminos: Una expresi´ on algebraica puede ser: 1. Monomio: Expresi´ on algebraica de un t´ermino. 2. Multinomio: Expresi´ on algebraica de dos o m´ as t´erminos: Polinomio Un polinomio es una expresi´ on algebraica racional entera. Cuando los coeficientes son reales, se dice que es un polinomio en R. Monomio : Expresi´ on algebraica racional entera de un s´ olo t´ermino. Binomio
:
Es el polinomio de dos t´erminos.
Trinomio
:
Es el polinomio de tres t´erminos.
´ Algebra
34
Walter Arriaga Delgado
Los exponentes que afectan a las variables son
3x4 y − 2x + log 3
EARE
x1/2
+ 2x 5 x−3 y 2 + x+1 √ 4 3 7 +2 x
EAI
Al menos un exponente es fracci´on.
EARF
Al menos un exponente es entero negativo.
EAI
Al menos un exponente es fracci´on.
2x3x−1 + 2x2 y −7
ET
5x
√
−
2
5xy 2
√ 3
+ 3x2 y 3 − 4
ET
enteros positivos.
Presenta variable en el exponente. Se le conoce tambi´en como ET del tipo exponencial. √ 2 no es ni entero ni racional. ET del tipo exponencial. Existe una variable afectada por un logarit-
4x7 y 5
−
5x−2 log x3
+ 4xy
ET
mo. Se le conoce tambi´en como ET del tipo logar´ıtmico. Existe una variable afectada por una funci´ on
x2 cos(xy) + 4y 3
ET
trigonom´etrica. Se le conoce tambi´en como ET del tipo trigonom´etrico.
1 + x + x2 + x3 + x4 + ...
ET
√ P (x, y) = 3x2 y 5 z −3 + 2xy z
EARE
Tiene infinitos t´erminos. Las variables que se consideran son x e y, pues z es autom´aticamente una constante.
Cuadro 2.1: Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas Notaci´ on: P (x)
: Es un polinomio que tiene una sola variable x.
P (x, y) : Es un polinomio que tiene dos variables x, y. Nota:
Todo polinomio es un multinomio.
Ejemplo 2.4.2. 1. P (x, y) = x2 y − 5x2 y 2 + 3xy 3
Trinomio
2. M (x, y, z) = 2xy 2 z 3
Monomio
3. P (x, y) = 4x7 y 2 − x5 y 3
Binomio
4. R(x) = a0 + a1 x + a2 x2
Trinomio
5. P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an coeficiente principal y an es el t´ermino independiente.
Polinomio en x de grado n donde a0 es el
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
2.5.
35
Teor´ıa de exponentes y radicales
Si a es un n´ umero real diferente de cero, n ∈ N, se define a0 = 1 an = a.a.a.a.....a | {z } n veces
donde, a = base, n = exponente,
an
= n-´esima potencia de a.
Teoremas de exponentes: Sean a, b ∈ R, m, n, p ∈ Z+ E1. Multiplicaci´ on de bases iguales am an
=
E6. Potencia de potencia (potencias sucesivas)
am+n
E2. Divisi´ on de bases iguales am = am−n , a 6= 0 an E3. Potencia de un producto
n p
am
= amnp
E7. Exponente negativo 1 a−1 = , a 6= 0 a
(a, b)n = an bn E4. Potencia de un cociente a n an = n , b 6= 0 b b E5. Potencia de potencia n m m a = amn = an
E8. Exponente negativo 1 a−n = n , a 6= 0 a E9. Exponente negativo de una fracci´ on −n n a b = , a 6= 0, b 6= 0 b a
Teoremas de radicales: Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0 , n 6= 0, p 6= 0 R1. Ra´ız de un producto √ √ √ n ab = n a n b R2. Ra´ un cociente É ız de √ n a a n = √ , b 6= 0 n b b R3. Ra´ız de ra´ız È√ √ m n a = mn a
R4. Ra´ ız de ra´ız (ra´ıces sucesivas) qÈ √ p m √ n a = pmn a R5.
√ n
a = a1/n
R6.
√ n
√ am = am/n = ( n a)m
R7.
√ n
am = amp/n
p
√ √ R8. am . n ap = n amn .ap
En estos teoremas, ning´ un radicando debe ser negativo cuando n es par Casos especiales:
´ Algebra
36 q
m
C1.
C2.
xr
È
É q È n |
x
n
È
√ p ys zt =
n
x
n
mnp
xrnp .y sp .z t s
x...
{z
Walter Arriaga Delgado
√ n
nm
x= }
nm − 1 x n−1
m radicales
É q
È
3
x x2
C3.
4
x3 . . .
√ n
xn−1 =
√
n!
xn!−1
Leyes de signos para exponentes y radicales: (+)(+) = + (+) =+ (+) [+]par = + √ par +=+
(+)(−) = − (+) =− (−) [+]impar = + √ impar +=+
(−)(+) = − (−) =− (+) [−]par = + √ par − = no es real
(−)(−) = + (−) =+ (−) [−]impar = − √ impar −=−
Observaci´ on 2.5.1. En el campo de los n´ umeros, no existe ra´ıces de ´ındice par para cantidades negativas. En los ejercicios, salvo excepciones, solo se considerar´ a el valor de las ra´ıces de ´ındice par para cantidades positivas. Las expresiones 2n y (2n − 1), representan cantidades pares e impares respectivamente (∀ n ∈ N)
2.6.
Ecuaciones exponenciales
Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la variable como exponente. Propiedades: EE1. Si ax = ay ax
EE2.
Si
EE3.
Si xx = aa √ √ Si x x = a a
EE4. EE5.
Si
ax
=
⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1
bx
=
⇒ a=b ⇔ a>0 y b>0 ⇒ x=a ⇒ x=a
by
⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.
Formas indeterminadas: q
FI1.
m
FI2.
m
xn
È
m
q
É
xn ÷
FI3.
√
m
xn È
m
xn . . . ∞ =
xn ÷
n(n + 1) +
q
√
m
√ xn
m−1
xn ÷ . . . ∞ =
n(n + 1) +
È
√
m+1
xn
n(n + 1) + . . . ∞ = n + 1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado É
FI4.
FI5.
q
n(n + 1) − √ n
n
√ n
. ..
n
n(n + 1) −
.∞ ..
√ n n
=n
∞
FI6. x
xx
=n ⇒ x=
√ n
n
È
n(n + 1) − . . . ∞ = n
37
´ Algebra
38
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
SOL:
1.
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Si la expresi´ on:
2.1.
Reduciendo la expresi´ on se tiene: È
xn+1 n+1 y 5 W (x, y, z) = z 3−n es racional entera. Calcular “n”. a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 Soluci´ on È xn+1 n+1 y 5 , entonces reduSi W (x, y, z) = z 3−n ciendo se tiene W (x, y, z) = xn+1 y 5/(n+1) z n−3 de donde: n + 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1 n−3≥0 ⇒ n≥3 ahora intersectamos: • −1
3
6
xn−3 x n+1 y n+1 z n+1 x
3 n+1
6
= xn−3 y n+1 z n+1
de donde: n−3≥0 ⇒ n≥3 n + 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1 ahora intersectamos: • −1
• 3
luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .} 6 tiene que ser entero, y el u ´nico n+1 valor que cumple es 5.
pero • 3
Por lo tanto 2n = 10
luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .} 5 tiene que ser entero, y el u ´nico n+1 valor que cumple es 4.
pero
Por lo tanto n = 4 Alternativa: b
3. Hallar la suma de todos los valores de “n” que hacen que la expresi´ on: √ 5xn−3 + 3( 3 x)n − 2x7−n + 1 sea racional entera a) 6 b) 1 c) 9 d) 3 e) 5 Soluci´ on Reduciendo la expresi´ on se tiene n
2. Si la expresi´ on: xn−3
Alternativa: e
√
5n+5 √
x15 y n+1 È
n+1
x
√ z6
n+1
√3 n+1
es racional entera. Calcular “2n“. a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10 Soluci´ on
5xn−3 + 3x 3 − 2x7−n + 1 de donde n−3≥0 ⇒ n≥3 7 − n ≥ 0 ⇒ −n ≥ −7 ⇒ n ≤ 7 ahora intersectamos: • 3
• 7
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
39 s
luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son:
5. Calcular A =
n = {3, 4, 5, 6, 7}
a) 9 d) 3/2 Soluci´ on
n como tiene que ser entero entonces n de3 be ser un n´ umero m´ ultiplo de 3 y los valores que cumplen son 3 y 6, por lo tanto la suma de ´estos valores es 9
A =
m2 +2
Alternativa: c
4. Si
−1 −9−x
−8 4−9
a) 2 d) 5 Soluci´ on
√ 3
2 = . El valor de “x” es: 2 b) 8 c) 4 e) 3
−1 −9−x −9−8
4
−1 −9−x
2 −9−8
(2 )
−1 −9−x −2×9−8
2
−1 −9−x
−2 × 9−8
−1 −9−x
9−8
−x−1 −8−9
2
(3 )
−x−1 −2×8−9
3
−x−1
−2 × 8−9
−1 −9−x
8
=
= 2−2/3 −2 = 3 = 3−1 −1
= 3
= 3−1 = −1
= 2−1
−x−1
= 2−1
−x−1
−1
(23 )−9 −3×9
2
=
√ 3 2 2 21/3 2
s
=
m2 +2
Ì
=
m2 +2
s
= =
m2 +2
M
= =
= 2
=
−1
= 3−1
(32 )
3−2×x
= 3−1
x = 2 Alternativa: a
2
2
2
3m +2 × 3m +2 + 3m +2 3m2 +2 × 2m2 +2 + 2m2 +2 2
2
3m +2 (3m +2 + 1) 2 2 2m +2 (3m +2 + 1) 2
3m +2 2 2m +2
5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 42 + 10(3x ) + 2x2 5x + 7 × 3 + x2 42 + 10x + 2x2 x2 + 5x + 21 2(x2 + 5x + 21) 1 2
Alternativa: b
−2 × x−1 = −1
x−1 = 2−1
2
a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 5/8 e) 12 Soluci´ on Si x1/x = 3 ⇒ x = 3x luego:
= 3−1
9
2
(3 × 3)m +2 + 32 (3m ) 2 2 (3 × 2)m +2 + 22 (2m )
6. Si x1/x = 3, x ∈ R+ . Reducir 5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 M= 42 + 10(3x ) + 2x2
−x−1
−x−1
2
Alternativa: d
=
−3 × 9
2
9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 )
3 2
= −1
−x−1
2
Ì m2 +2
Ì
=
2
9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 ) b) 6 c) 1/3 e) 2/3
m2 +2
È b
7. Simplificar: E =
b
bb2
bb−b2
b
indicando el exponente de b. a) 0 b) bb b b e) 1 d) b
c) b
´ Algebra
40
Walter Arriaga Delgado Ê
xx−y + y x−y xy−x + y y−x b) x c) y/x e) 1
Soluci´ on
9. Simplificar: E = È b b
E = = b
bb2
bb−b2
x−y
a) xy d) x/y Soluci´ on Haciendo el cambio de variable a = x − y, entonces:
b
2 2 bb ×bb−b b b bb
= b bb
s
= b E =
luego el exponente de b es 1
Ê
8. Si:
Ï x+1
√ a
Í
a √ a
= a
a
Í
a
x+2 )(C x+2 )
Ï x+1
. .. =
c) a
xa + y a x−a + y −a xa + y a 1 1 + a a x y
= xy Alternativa: a aa +aa
10. Si aa a) 2√ d) 2 Soluci´ on
√ a
a √ a a Ì√ a
x+1
a
a
aa +aa
aa
a
aa aa
√ a
aa
aaa
= 256 = 256
a
aa aa
de donde aa
= 44
= 4, luego:
a aa −aa
aa + −aa
= aa
aa a−aa
a
a
= aa
a =
y reemplazando en la expresi´ on E se tiene: . .. √ a √ aa a √ E= aa =a Alternativa: c
=
a aa
a−aa
a
aa
a
= 41/4 √ = 2
a
c) 4
a
aa
a
aa C x+2 =
aa −aa
aa
= 256, √hallar b) 2 3 e) 1/2
.. .
elevamos a la (x + 1) ambos miembros √ a a C x+1 = Ï √ a a Ì√ a x+1 a x+1 .. .
⇒
xx−y + y x−y xy−x + y y−x
xa + y a a xa + y a xa y a √ a xa y a
=
.. .
Calcular E = (C x+2 )(C √ a a) a b) ax+2 √ x+2 d) 1 e) a a Soluci´ on Dada la expresi´ on
luego se tiene que: √ a a C x+1 = C
a
Ì√
x+1
v u u C= u u u u u x+1 u u t
a
=
Alternativa: e v u u C= u u u u x+1 u u t
x−y
a
1 aa
aa
a
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Alternativa: d
41 obteni´endose y = x3/2 y reemplazando en la primera ecuaci´ on se tiene:
ba
11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = baba a) 2 b) 4b c) 4 d) 8 e) 16 Soluci´ on ba
xy = y x xx
= (x3/2 )x
x3/2
= x3x/2 3x x3/2 = 2 3 1/2 = x 2 9 x = 4
x
2
E = baba
3/2
= baba = ba(ba)a = ba2a = b(aa )2
de donde E = 4b Alternativa: b 12. Hallar √ “x” si: a) 2 √ −1 d) 2 Soluci´ on x
xx
x
6
6
x6
6
x6
x6
6 6 x
x6 x
Alternativa: c
√ √2 =√ 2 b) 3 2 √ e) 4 2
6 xx
=
√
√
√ c) 2 2
2
=
2 √
=
√ 6√2
=
√ 3×2√2
=
√
2
√ 6 2
2 = (x + 1)x+2 y dar el x+ 1 √ valor de W = 2 − x + 3 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 Soluci´ on
14. Resolver
Ê x
2
Ê x
2
23
r
√
23
x
2 x+1
= (x + 1)x+2
!x
x 2 = (x + 1)x+2 x+1 2 2 = (x + 1)x +2x x+1 2 2 = (x + 1)x +2x (x + 1)
2 = (x + 1)x de donde se tiene que x6 =
2
√
2
3
y simplificando se obtiene que: x =
√ 4
2
2 = (x + 1)(x+1) √ √ de donde x + 1 = 2, entonces x =√ 2 − 1 y reemplazando se tiene que: W = 2 − x + √ √ 3 = 2 − ( 2 − 1) + 3. Por lo tanto W = 4
Alternativa: e (
13. Resolver
xy = y x x3 = y 2
2 +2x+1
e indicar un valor
de “x” a) 1/2 b) 9/2 d) 3/2 e) 0 Soluci´ on En la ecuaci´ on x3 = y 2
c) 9/4
despejamos y
Alternativa: a √ 12√x 15. Resolver: 6 x = a) 162 d) 16−12 Soluci´ on
r
1 2
b) 166 e) 16−2
c) 163
Alternativa: d
´ Algebra
42
CAP 01:
Walter Arriaga Delgado
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes Ê
1. Si la expresi´ on: È
a) y/x d) x/y
es racional entera. Calcular “n”. a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 2. Si la expresi´ on: √
5n+5 √
x15 y n+1 È
n+1
x
a) 2 d) 5
c) 9
√ 3
2 . El valor de “x” es: 2 b) 8 c) 4 e) 3 s
5. Calcular: A = a) 9 d) 3/2
2
2
9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 ) b) 6 c) 1/3 e) 2/3
m2 +2
6. Si x1/x = 3, x ∈ R+ . Reducir: M=
5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 42 + 10(3x ) + 2x2
a) 2 d) 5/8
b) 1/2 e) 12 È b
7. Simplificar: E =
b
bb2
x+1
a √ a
a
Ì√ a
x+1
c) 1/4
.. .
Calcular E = (C x+2 ) a) a b) ax+2 √ x+2 d) 1 e) a a aa +aa
a
c)
√ a
a
a
= 256, √hallar: aa c) 4 b) 2 3 e) 1/2 ba
11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = baba a) 2 b) 4b c) 4 d) 8 e) 16 √ √2 x6 = 12. Hallar “x” si: x √ √2 a) 2 b) 3 2 √ √ −1 e) 4 2 d) 2 (
13. Resolver:
xy = y x x3 = y 2
de “x” a) 1/2 d) 3/2
√ c) 2 2
e indicar un valor
b) 9/2 e) 0
c) 9/4
r
2 = (x + 1)x+2 y dar el x +√1 valor de: W = 2 − x + 3 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
14. Resolver
15. Resolver:
x
√ 6
x
√
12
b
c) b
. ..
aa −aa
10. Si aa a) 2√ d) 2
a) 162 d) 16−12
bb−b2
indicando el exponente de b. a) 0 b) bb b b e) 1 d) b
a
x+2 ) (C x+2 )(C
√3 n+1
sea racional entera a) 6 b) 1 d) 3 e) 5 =
Ï
√ a
√ z6
3. Hallar la suma de todos los valores de “n” que hacen que la expresi´ on: √ 5xn−3 + 3( 3 x)n − 2x7−n + 1
4. Si 4
9. Si:
v u u C= u u u u x+1 u u t
n+1
es racional entera. Calcular “2n“. a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10
−1 −9−x −9−8
xx−y + y x−y xy−x + y y−x b) x c) xy e) 1 x−y
8. Simplificar: E =
xn+1 n+1 y 5 W (x, y, z) = z 3−n
xn−3
2.1.
16. Resolver: (x − a) 16/17 d) 1/16
r x
=
1 2
b) 166 e) 16−2 √ 2 = 2 b) 17/16 e) 16−2
c) 163
1)2x−2
c) 16
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 4x
17. Resolver:
1 4
a) −1/2 d) 1
1 2
43
25. Calcular: É
= 0,7071 . . .
b) 2 e) 1/2
c) 1/4
3
q
2+
È
42 −
42 −
√
42 − . . . P = É q È √ 4 8 + 56 + 56 + 56 + . . .
18. Si xx = x + 1. Calcular: W = a) 1 d) x + 1
È x
xx
(x + 1)x+1
b) x−1 e) x − 1
c) x
b) 4 e) 3
c) 5
n 813
26. Simplificar: E = a) 7 d) 5
c) 45
q È √ 20. Si x = 2 + 2 + 2 + . . .; adem´ as A = 6 3 x + x . Hallar el valor de: q È √ E = A + A + A + ...
a) 2 d) 9
b) 2 e) 3 Ì
19. Resolver el sistema: 8 x x > −1 < x y = xy y > :√ √ 3 x= y dando el valor de 8x + 4y a) 36 b) 40 d) 60 e) 32
a) 4 d) 1
c) 8
21. Si se cumple que: 2 8 −1/2 −1/4 AA = RR = I I = GG = 2.√ 2 8 16 4 Hallar: A + R + R + I + A + 4 G + A6 a) 32 b) 54 c) 64 d) 48 e) 16 s √ x2 xm √ es racional en22. Si la expresi´ on: 4 x3(m+1) tera, el valor de “m” es: a) −2 b) −5 c) 2 d) 8 e) −3 23. Si nxn+1 y 2−n Èes racional entera, clasificar: 2 M (x, y) = 1−n n−1 xn+4 y 3n a) EAI b) EARE c) EARF d) Exponencial e) Matricial 24. Determinar los posibles valores de “a” para que la expresi´ EARE. √on sea a−2 E(x, y, z) = 8 x y + 25z 4−a m + 81/3 xa z a) {2, 3, 4} b) {2, 4, 6} c) {0, 1, 2} d) {1, 2, 3} e) {3, 4, 5}
È 3
33n+1
512
b) 8 e) 4
c) 6
27. Si ab√= bb = 16. Calcular: √ E= a) 2 b) √ 2 2 d) 2 e) 4 2
28. Simplificar: E =
√
2
√ 2 2
b)
29. Simplificar: 4
2 2
2
2
b c) 4
√ √2 2
−1 c)
√
2
√
2
s
Ê x
2
3x+2
2x +3x+4 5 √ x 2 32x b) 8 e) 16
x3 +8
a) 2 d) 1/2
a) 1 d) 2
√
√ a
1 e) √ 2 2
30. Simplificar:
√
−
È √
2
1 a) 2 1 d) 4
33n
92x + 138x 69x + 46x b) 5 e) 4
c) 4
c) 3
√ 0,5 31. Al resolver la ecuaci´ on: xx = 16 0,5 “x” tiene la forma 4n , luego el valor de “n” es: a) −4 b) −8 c) −16 d) −12 e) −10 32. Resolver: 32−x = x−2+x a) 2 b) 1/2 d) 3 e) 1/3 y 2
c) 1/3
´ Algebra
44
CAP 01:
Walter Arriaga Delgado
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Se˜ nalar V o F seg´ un corresponda:
8. Calcular x en: xx
3
El exponente de aa en aa es 3. x
√
3
− 34 x2 no es E.A.
1 a
9. Hallar
c) FFFF
a) 1 d) φ
Siempre se cumple que a−1 = (a +
b)n
=
a) VFFF d) FVVF 2. Si x
x x xx +x
an
+
bn
b) FVFF e) VVVF
2x−1
= 27. Hallar: E = xx
xx +x
xx
−2x
−3
c) 1
1
x√x
x−x
a) EARE c) EARF e) Trascendente
√ √x # −2 −2 x3
b) EAI d) Exponencial
x
4. Simplificar: E =
2 xx x
b) x3 e) x4
N =x a) 1√ 6 d) 648
c) 1
È
(2x)2m+1 (3x)2m−1
b)
√
6
c) 3
e) 1/6
q
È
√ E + 3 E + ... q È √ donde E = 60 60 60 . . . a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 3
c) 2
a) 1 d) 2
b c a
q È √
c a b
b) 1/3 e) 1/2
c) 3
11. Luego√de realizar È √ las operaciones indicadas 2/3 x6/9 x x √ en: Clasificar la expresi´ on 4 x3 resultante: a) EARF b) EARE c) EAI d) Exponencial e) Matricial
E+
3
−0,25−0,5
Q = 0,0625 −0,125
6. Resolver: √ 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 + 5x+4 = 780 5 a) 0.25 b) 0.5 c) 0.1 d) 0.15 e) 0.2 7. Hallar: A =
2x
= 84
b) 1/2 e) 3
xx−x2
5. Se sabe que “N ” es independiente de x, seg´ un esto. Calcular: m+9
c) 2−8
12. La ra´ız cuadrada de: È x
a) x d) x2
2x
si: 163
a b c
3. Clasificar: "
4 3
q È q È √ √
xx
√ 3 b) √ 9 3 e) 3
√ a) √3 d) 3 2
1 =√ 2 b) 24 e) 26
2−1
√ 10. Si abc = 2 7 2. Calcular:
x
x−x
a) 28 d) 2−4
2.2.
2−6
b) 4−1 e) 4
a) 16 d) 64
es:
c) 32
13. Simplificar: M=
3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4
a) 3 d) 1/3 14. Si: x−2 a) 1/2 d) 4
b) 1 e) 81 2−x
= 2. Hallar b) √ 1/4 e) 2 È
c) 243 √ x
x c) 2
√ x3 x3 15. Al reducir: E = È obtenemos una √ 3 3 x2 x2 √ 2 a2 expresi´ on de la forma: xb . Hallar a + b. a) 6 b) 7 c) 8 d) 13 e) 12
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado q
16. Sean P =
È
42 +
42 +
È
Q=
4
P +9+ È 3
√ 4
√
− Q)
Determinar: E = a) 1 b) 4 d) 2 e) 5 17. Si la expresi´ on:
a) 32 d) 2
42 + . . . ∞
P + 9 + ...∞
4(Q4
x2 y 17 x2 (x3 y 4 )2 z −5
3
es semejante√con xa y b z c . Hallar: E = a + b + c a) 1 b) 18 d) 15 e) 12
3
19. Si: = −2 2m a) m 2 d) m−2m
m2 .
"Ê a
5
9a + 19a 45a + 95a
c) 3
2
z 20
c) 8 ..
x=
.
a) 12 d) 22
2s
#
+ 74
b
c) 46
q −1 È √ −8−3 −2 −3 21. Si xn xn −1/2 xn = x4 . Calcular: 8n + 10 a) 6 b) 4 c) 3 d) 1 e) 8
35 65 95 · · · (3n)5 ;n>1 25 35 45 · · · n5 a) 32n b) 5 c) 32 d) 243 e) 243n √
√
2 (1−
23. Simplificar: 256 2 √ b) 2 a) √2 e) 1 d) 8
√
8)
√
1 4
a) 2 d) 0.25
1/2
1/2 2
c) 4
24. Simplificar: 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 + 2x+4 E = x−1 2 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4
−1 −16−2
; y = 64−81 b) 0.125 e) 4
c) 0.5
27. Resolver: 2x−3 9x−4
2 3
9 4
3
22. Reducir:
−2−1
−8−9−4
27 8
8x
b) 13/2 e) 19/2 Ê
28. Resolver:
−
a) 5/2 d) 21/2
21b + 45b 5 7b + 15b
b) 36 e) 26
È √ 3 4
x x3 E = É q È y dar el √ 4 3 4 3 2 2 x x x x exponente de “x” a) 72/13 b) 19/72 c) 13/36 d) 13/72 e) 1/6
25. Reducir:
Determinar “x” −2 c) m2 b) m−2m 2 e) m2m
20. Reducir:
4
x x3
c) 8
26. Cuantas veces “x” es “y”; si:
(x+1)
2
b) 1 e) 1/16 É q
18. Resolver: (x + 1)(x+1) =3 √ √ √ 3 b) √3 3 + 1 c) 3 3 − 1 a) √3 e) 3 + 1 d) 3 − 1 m xx
45
n
a) b d) a/b
xn + an = b−1 (ab2 )n + xn b) a e) b/a
8 27
27
=0
c) 23/2
c) ab
29. Simplificar: E=
√ n
√ 3−n + 2n + n 2−n + 3n √ n n 6 +1
∀n ∈ N − {1} a) 5/6 d) 3
b) 1/5 e) 5
30. Si: 4x = 2(14)x + 3(49)x√. √ x Calcular: W = (7 x 3)(7 3) a) 1 b) 256√ √ 2 d) 4 e) 2 31. Resolver: x2x √ 3 a) √ 3 d) 3
2x6
=3√ b) 6 3 e) 3
c) 2
c) 9
c)
√ 9
3
´ Algebra
46
CAP 01:
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Se˜ nale Verdadero(V) o Falso(F), seg´ un corresponda: x
√
3
+ xy 2 − 3 no es E.A.
2
El exponente de ab en la expresi´ on ab es 2. x3 + 0,5x − tan 30 es EARE. 3 1 + x2 + x4 + . . . + x2i + . . . es E.A. a) VFFF d) FFVV
b) VFVF e) FVVV
c) VFVV
2. Calcular el valor de E = xxy ; si se cumple que: 2x × 3y = 24 ; 2y × 3x = 54. a) 3 b) 243 c) 9 d) 81 e) 27 x
3. Si: xx = √ a) √ 2 d) 2 2
√
b) 4 e) 8
2
c) 2
x81y = y x 4. Si se cumple que: xx = y y adem´ as: x 6= y; calcular x2 . √ 1 a) √ b) 3 3 √ √ 2 d) 3 3 e) 3
√
+ x13x
a) 13 d) 42 7. Resolver 2 E = xx a) 1/4 d) 1/2
√ 13 13
+ xx
b) 39 e) 65 x xx
4 +4
√ 13 13 13
c) 26
= 256, y dar el valor de: b) 4 e) 2
c) 8
√ 4
2 (0,0625)(0,125)(0,5)
c) 1
10. Si: 3(16x ) + 36x = 2(81x ) 1 1 x 1 x Calcular: W = x a) 2 b) 3 d) 16 e) 27
c) 12
r
11. Resolver: √ a) 2 2
2 xx
=
1 8 1 b) √ 2 2 e) 1/2 16
2x−5
È√ 13 a 6. Sabiendo √ que: x = 13 con a = 13 13; hallar el valor de: x 13 13
−3
9. Calcular: P = (0,25)(16) a) 4 b) √ 2 d) 8 e) 2
12. Resolver:
5. Calcular “x” en: Ì √ 2x È √ x2x−1 8 2x x 2x . x 4 √ = x −2x x √ b) 2 c) 4 a) √8 e) 8 d) 2
x13
−2−1
d) 2
3 c) √ 3
2.3.
8. Resolver: (0,5)−3 = (0,125)−x √ a) 1√ b) 3 c) 3 3 e) 9 d) 3
h √ ixx+xx
2 ; calcular E = x
(
Walter Arriaga Delgado
5 7
=
a) 2 d) 1/4
49 25
1 c) √ 2 3x+2
b) 4 e) 1/8
c) 5/7
13. Si: p = abt ; q = abm ; r = abn ; b 6= 0; a 6= 0. Determinar: pm−n q n−t r t−m . a) 3 b) 5 c) 1 d) 6 e) 7 14. Indicar el equivalente de: 2√
W =4 √ a) 2 d) 2−1
1+ √1
2 √
√
1− √1
+ 2 √ 1− √2 2 2+ 2 2
√ −1 b) 2 e) 2
2
3√ 2 5
c)
√
−3
2
15. La suma de los valores de n para que M (x, y) = (n + 3)xn−7 + x2 y n − (n − 2)y 10−n sea una expresi´ on racional entera es: a) 33 b) 37 c) 32 d) 34 e) 30
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
r
16. Calcular el valor de: Ê É q
E=
|
2 2 2··· {z
È √
2 22−x
}
“n” radicales
"
si adem´ as: x = a) 1 b) 1/2 d) 1/4 e) 4
c) 2
17. Hallar la relaci´ on entre “m” y “n” si:
m m+n n m−n É m m n m n = m+n m−n n n m m n a) m = n c) 2m = n √ e) 2n = m
b) mn = 1 d) m + n = 2 y)2y−x
Ê
19. Simplificar: E =
n 10244
È 3
20. Si m =
√ n
y dar el va-
n+1
44n
c) 4
n, efectuar y reducir:
3nm 2 3 Ì √ n m+1 nnm+n−1 7 6 nm−1 √ E=4 5 nm n a) nn d) n3
b) 3n e) n2n
c) n
21. Encontrar la suma de los exponentes de “x” e “y” al efectuar: M= a) 3/2 d) 6/5
mnp 1 − m2 n 2 p 2 a) 1 b) xmnp mnp−1 d) x e) xmnp+1
É q È √ 5 9 5 9
x y
c) 5/11
c) x
24. Hallar el valor de E = ab donde: q È √ n n n n−1 a= x xn−1 · · · xn−1 |
{z
Éq n
n
}
n radicales
È n
|
···
{z
√ n
x }
√ b) n x e) x2
a) x d) x2n
25. Reducir: E = x
−x −x−x
c) xn
−x
−x xx √x
b) xx e) x2x
a) x d) 1/x
c) x−x
26. Determinar “n” si: √ 3(n+1) xn+1 x6 y n−2 z 5/(n+1) È
(n+1)1/2
es una EARE a) 1 d) 2
x
√2 n+1
b) 4 e) 5
c) 3
27. Si m = nx. Cu´ al es el equivalente de: 2 6 6 E=6 6 4
x y...∞
b) 5/22 e) 5/3
#q
donde q =
c) 35
844
b) 16 e) 64
x(mn)−1 x(np)−1 x(mp)−1 √ −1 m +n−1 +p−1 xmn xnp xmp
n radicales
(x + =3 √ √ x−y x + y = 12 lor de E = xy a) 7 b) 5 d) 2 e) 28
18. Resolver:
√
m+n+p
W =
b=
(
a) 2 d) 8
2 22. Resolver: z = (z + 1)2+z z+1 √ √ √ a) √ b) √ 2 2−1 c) 2 2+1 d) 2 2 e) 2 − 1 23. Simplificar:
2n+1
47
a) m/n d) mn
s n )m/n (m
Ê nn/m
x
√ x
xx
m n
2 +1
b) n/m e) 1
√ m mn
3mmn 7 7 7 7 5
c) mm
´ Algebra
48
CAP 01:
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Clasifique
la expresi´ on siguiente: √ 1/3 2x y 2 π 8 −6 5x4 y 3 √ P (x, y, z) = − −3 − y z 2z −3 3 x2 a) EARE b) EARF c) EAI d) Exponencial e) Trascendente
2. Clasificar la siguiente expresi´ on: E= a) EAI c) EARE e) EARF xx
Walter Arriaga Delgado
−4−2
−2−4
y z x (xyzw−16 )−2−4
9. Hallar “n” si: È √ 1/3 1/3 x2 x2 · · · n radicales = x2184 b) 8 e) 10
c) 7
10. Hallar el equivalente de: x+1 −1 2 + 3(2x+2 ) + 5(2x+3 ) + 10(2x )
b) Trascendente d) Exponencial
= 2; calcular el valor de: 3. Si a) 232 b) 264 d) 24 e) 218
suma de los coeficientes de los t´erminos anteriores? a) 9 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8
a) 6 d) 9
−4−2
2.4.
1+2x xx
4x−1 + 28(4x−2 )
1+x
c) 216 È
xn+1 · n+1 y 5 4. Si la expresi´ on W (x, y, z) = z 3−n es racional entera. Calcular: “n”. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 3 x+3 √ √ x−1 5 5. Hallar “x” en: 3225 = 52 a) 0,2 b) 0,3 c) 1/2 d) 0,6 e) 3/2 √ 6. Dada la siguiente sucesi´ on: x1 = 8; q È È √ √ x2 = 8 8; x3 = 8 8 8; · · · x2 · x2 Calcular: E = 5 21 x4 · x20 a) 60 b) 64 c) 61 d) 2 e) 1
7. Calcular la m´ as simple expresi´ q È on por la que √ 3 5 7 hay que multiplicar a: x x2 x4 para que sea racional entera. √ √ √ 105 105 105 a) √x51 b) √ x53 c) x37 105 105 49 52 d) x e) x 8. Sabiendo que los t´erminos: (2a + c)x3b−1 y a+c ; (2b − a)xc+8 y 3b+c ; (3b + 2c)xb−c y 2c+9 Son semejantes. ¿Cu´ al es el valor de la
a) 2x+5 d) 2x−5
b) xx−7 e) 32
c) 2
r É q
11. Resolver: a) -1/4 d) -1/2
7
È √ 7 7 7 8 8 8 · · · 23 2 = xx−1 b) 1/2 c) 1 e) 1/4
12. Determinar A + BC, si: A= B=
5 + 5 + 5 + · · · (3x sumandos) 3x+2 − 3x+1 − 3x
2n+2 − 2n−2 ; 2n+1 + 2n−1
a) 27 d) 28
C=
b) 26 e) 25
22n+2 + 2n+2 22n−2 + 2n−2 c) 29
13. Si se cumple que 222 + 210 = 1024a. È 22 Calcule: 22 − (22 )4 a 2 a) 0 c) −16 b) 22 4 12 2 d) 2 e) 2 14. Sabiendo que: A = axa y 8 z b ; B = bxm−3 y 4b−m z 3 ; C = qxy q−2 z m−a ; son t´erminos semejantes, indicar el resultado de efectuar A + B + C a) 14xy 8 z 3 b) 20xyz c) 16x2 y 2 z 2 d) 17xyz 4 e) 15x3 y 3 z 3 r x
15. Si:
2x
a) 2 d) φ
1 4
= 16, entonces (x + 1)x+1 es: b) 0 e) 1
c) -1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 16. Calcular: xx a) 28 d) 2−4
2−1
1 =√ 2 b) 2−8 e) 26
c) 24
√ x2(a−1) y 4 b−1
t2 (x, y) = ab − a3 − 4 son semejantes. Hallar la suma de sus coeficientes a) 0 b) 4 c) 8 d) 6 e) 7 18. Si “a” es la soluci´ on de la ecuaci´ on x x x 4 = 2(14) + 3(49) ; entonces el valor de: √ √ a a (7 3) A = (7 3) es: a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7 19. Si xx = (0, 2)0,08 . Calcular: E = (25x+2)50x a) 9 b) 2 c) 7 d) 3 e) 1 É q È
√ 3 9 27 81 . . .
20. El valor aproximado de: es: a) 7 b) 6 d) 9 e) 5
c) 8
..
b) x7 y 2 e) xy 2
22. Simplificar: si x > 0 a) x2 d) 1
.∞
x−2
c) x2 y 3
x+1
= 44 c) 9
33
x2/3 y −1/2 6 7 6 7 yx−1 6 7 4
xy −2 yx−1
26. Simplificar: a) 0, 3 d) 0, 5
c) 3/2
(0, 3)0,4 (0, 2)0,2 (0, 9)0,3 (0, 4)0,4 √ 10 0, 001 b) 0, 6 c) 0, 4 e) 0,7
27. Reducir: r 8n É √ 4 √ 2 1/8 8 2n 1 2n n + 8 n4n n n n2 a) 32 b) 64 c) 128 d) 512 e) 256 28. ¿Qu´ m´ınimo debe tener “n” para que: q e valor È √ 3 3 3 −1 −1 x x x x−n sea EARF a) 27 b) 15 c) 42 d) 12 e) −1 q È x m
1/2 7 . Se obtiene: 5
−1 )−1 (1+x)
30. El exponente final de “x” al simplificar √ h √ x
x
23. Hallar el valor de “x” en: 28 a) 2 b) 4 d) 6 e) 3
24. Al simplificar: 6
a) 0,2 d) 3
0, 2x−0,5 √ = 0, 04x−1 5 5 b) −2 e) 5−1
c) x/2
x(n−1 m)(1+x 29. La expresi´ on: Se puede clasificar como: a) EARE b) EARF c) EAI d) b y c e) Trascendente
xx ! −x x x −x x +x 1 − x2x , x−x−x + xxx √ b) x c) x3 e) x
2
b) 2x e) 1/x
n−x
v u x49 y 14 u Ï 21. Simplificar: E = u u x49 y 14 u Ì u 6 u u 6 6 x49 y 14 t
a) xy d) x2 y 7
a) x2 d) x 25. Resolver:
17. Si los t´erminos 2 t1 (x, y) = a2 (a + b) + 3 xa −1 y b+3
49
xx+1
√
i −x x
, es:
b) x2 e) x + 1
a) x d) x
c) 1
s
31. Si la expresi´ on Entonces xn+1/n a) EARE c) EARF e) Trascendente
√ x2 x √ es equivalente a xn . x3 es: b) EAI d) Exponencial
a8x+6 = ax−4 , a 6= 0. Entonces el valor a2x−5 de E = (0, 25)2x+5 , es: a) −4 b) −3 c) 1/3 d) 1/4 e) 4
32. Si
´ Algebra
50
CAP 01:
Walter Arriaga Delgado
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Indicar V o F seg´ un corresponda: T´erminos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectados de iguales exponentes. Las expresiones cuyas variables est´ an afectadas por exponentes fraccionarios, se denominan expresiones algebraicas racionales. Toda expresi´ on algebraica racional fraccionaria, se caracteriza porque existe al menos una variable en el denominador, pero afectado de un exponente entero positivo. Una combinaci´ on de constantes y variables unidas entre s´ı por las operaciones fundamentales en un n´ umero limitado de veces; a condici´ on de que el exponente y el ´ındice de la ra´ız sean n´ umeros racionales, se llama expresi´ on trascendente. a) VFFV d) FVFV
b) VFVF e) VVFF
c) FVVF
2. Luego de reducir: x2x − 5xx + 6 A = x+1 + 10 (x − 2x)(xx − 3) La expresi´ on algebraica que resulta es: a) Trascendente b) EARE c) EAI d) Exponencial e) EARF
xx + 1 −1 3. Luego de reducir: x+1 −1; x 6= −1. x +x La expresi´ on que resulta es: a) EARF b) EAI c) EARE d) Exponencial e) Trascendente 4. Hallar el m´ınimo valor de n2 + m2 si la expresi´ on: E(x, y) = 3mxn−5 y m−3 + √ √ 3 n 6−m n n nx y + 2x3 y 4 es racional entera. a) 34 b) 8 c) 30 d) 100 e) 101 5. Si los t´erminos: t1 = (2m + a − n)xm−n z a−5 y t2 = (n2 +5)x2n y n−5 , son semejantes. Hallar
2.5.
el coeficiente de: t1 + t2 . a) 5 b) 15 d) 60 e) 90
c) 80 Í
6. Sean las expresiones A =
yB=
√
3
√ √ √3 2 3+ 6 √ √ √3 6 +3 3
−1
−(1/4)(1/8)3
1 3
√ b) √ 2 e) 6
a) 1 d) 2
. Calcular AB √ c) 3
7. Si xn+3 = (2x)n = (4x)n−1 , calcule el valor de n + x. a) 11 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5 a √ b 8. Si ab = a 2, hallar√a/b a) 1 c) 2 b) 2 d) 1/2 e) 4 2
ab
9. Si ab = bb = 3, hallar E = abab a) 27a b) ab2 c) 27 d) a e) 3 10. Reducir a su m´ınima expresi´ on 96 x + x48 y 30 + y 60
− (y
x48 − x24 y 15 + y 30 a) x15 d) x24
30
24 15
+ x y ) x−24
b) x21 e) x12
aa +aa
c) x18
a
aa −aa
11. Si a√a a) 4 2 √ d) 3 2
= 256. √Hallar aa b) 2 √ −1 e) 2
√ √2 x6 = 12. Hallar “x” si: x √ 2 √ a) 2 b) 3 2 √ √ −1 e) 4 2 d) 2
a
√ c) 2 2
√ c) 2 2
√√ a3 = 2 3 3 13. Hallar “a” si se cumple que a √ √ √ a) 3 b) 4 3 c) 6 3 d) 3 e) 1/3
14. Simplificar:
q
3+ W =
3
È
4+
q
1+
3
4+
3
È 3
4+ 4+
√ 3
2
4 + ···
−1 √ 3 4 + ···
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado a) 4 d) 8
b) 2 e) 10
c) 6
15. Cuantos radicales existen en el primer miembro É para que se cumpla la siguiente q È √ igualdad x x x . . . x = x16383/16384 a) 10 d) 14
b) 11 e) 13
16. Reducir É n
M= a) n d) x
xn
q
n2
È
xn
3 3 n
xn b) xn e) 1
c) 12
√
4 6 n
10
xn . . . n rad c) x−1
xxx
3 −x √ 3 4 x 3 x 17. Si x5 = nn y xx = a. Calcular (n + a). a) 2/3 b) 3 c) 5/3 d) 1/3 e) 10/3
18. El valor de W = (ax )x (a2x )2x (a3x )3x (a4x )4x . . . n factores. sabiendo que É q È x2 2n+1 n+1 √ n a= 729 a) 2 b) 9 c) 3 d) 6 e) 27 19. Si xa y b = 777a y xb y a = 777b . √ Hallar x xyy . √ b) 49 a) 777 777 d) 7 e) 7777
b) 49/50 e) 50/49
c)
√ 7
c) 1
È √ √ √ 8 21. Sabiendo que a b b a = 27 2 . Hallar el valor de E = a2 + b2 . a) 15 b) 10 c) 13 d) 11 e) 14
1 22. Al resolver xx = √ , el valor de x es: 4 2 a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 2 e) 1/16 23. Determine x en: 2 es:
√ x
2−1
a) 2 d) −2 x 24. Hallar √ x en: x 16 a) √ 2 d) 32
16
b) 1 e) 1/2
c) −1/2
√ = 8√2. b) √8 2 e) 8
c)
2 2 25. Hallar s √ el valor de a + b en: b a a b a−b √ = 34/3 . a b ab a) 13 b) 8 d) 10 e) 2
√ 4
2
c) 4
26. Al simplificar la siguiente expresi´ on √ 1 xx 1−x 2x x 1+x xx +x x el exponente final de x x es: a) x b) xx−1 c) xx −1 d) x e) 1 27. Determinar valor s Ê elr s de: Ê r 3 1 4 3 5 5 3 3 4 5 5 4 2 4 6 2 3 5 s Ê r W = 3 3 4 5 5 2 4 4 3 a) 2/3 b) 2 d) 4/3 e) 1
c) 3/5
16x
20. Calcular el s valor de: 50 1−n + (k + 1)1−n X n−1 k W = kn−1 + (k + 1)n−1 k=1 a) 51/50 d) 50/51
51
= 16, el valor de x
28. Si de la ecuaci´ on 23 = 512; se obtiene “x1 ” y de la ecuaci´ on 54x−3 + 52 = 26, se obtiene “x2 ”. Calcular: x1 + x2 . a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 1/4 29. Resolver la siguiente ecuaci´ on: 1 1 1 4x+ 2 − 3x+ 2 = 3x− 2 a) 1/2 b) 8 d) 4 e) 2
c) 10
30. Hallar√la relaci´ on entre: “a” y “b” si se tiene b a(b+1) a bb2 −a 1 que: =√ a b a b 2 a) a = b b)a = 4b c) a = 2b d) b = 2a e) a = 3b r
31. Sea A = K=
2n
8n
, Reducir: √ 8 ( n2n )4/n + ( n4n )2/n A
È √ 8 1/8
a) 32 d) 64
1 n2
b) 256 e) 512
c) 128
´ Algebra
52
CAP 01:
Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes
1. Calcular el valor de “x” en: Ê x
a) 2 d) 16
Ê x+1
b) 32 e) 4 aa+1 aa −1
4. Simplificar la expresi´ on: 2
3
x+1 x−1 x 6x x + x x 7 6 7 M =6 7 x − 2 4 5 x+x x √ b) x x c) xx e) 1/x
5. Encuentre el valor de√n6 si: n √ 3 6 a) 3 b) √ 3 2 d) 3 e) 3
n3
√È 3
√ = √ 3 c) 3
s p−k
k=1
a) x(p − n) d) xp 7. Si
abcd = n.
É q È √
b c d a·
a) n√ 15 d) n13
Calcular:
É q È √
c d a b· 0 b) n√ 16 e) n15
b) 9 e) 36
c) 18 Ê
−1 x16
10. Hallar “x” en: x = a) 24 d) 2−128
xx
x+3
x2x
x+2
c) 2−8
= aa −(a−1 ) valente a−1 x−x a) 1 b) x2 √ d) x e) x
11. Si
c) xpn É q È √
a b c d·
É q È √
d a b c √ 16 c) n13
8. Hallar W =È (x · y)2 , si se cumple que: √ √ √ 12 √ x y · y x = 12 2 · 18 3 . a) 210 b) 198 c) 216 d) 30 e) 6
1 √ 2
b) 2−1 e) 232
12. Si se cumple E =√a − b a) 3 d) 1
1−a a
, a que es equic) xx+1
√ a √ bba = b) 3 e) 0
√ 3
√
3,
hallar:
c) 1/3
−2
13. Si se cumple x−x = 2, hallar el valor r de x √ 1 b) 2 a) 2 c) 2 d) 1 e) 1/2 14. Si se cumple xy y x = 5 de: E = (xy)3 √ a) 125 b) √5 d) 225 e) 5 5
xp−k + 1 xk−p + 1
b) nx e) xpn
a) 27 d) 3
√
6. Efectuar la siguiente suma: M=
ax+1 + 32x+2 1 = 34x+4 + ax+1 3
c) 8
1 2. Calcular el valor de: a ; si a−a = √ √ √3 a) 2 √3 b) √3 c) 4 3 d) 5 3 e)3 3 √ n√ 2 √ 2 n2 3. Reducir: A = n x x3 x5 . . . “n” radicales√ √ 2 a) n x c) x b) n x d) xn e) 1
n X
2.6.
9. Determinar el valor de “a” en:
xx + 16x = 0, 5 64x + xx
a) x d) 1
Walter Arriaga Delgado
5,
hallar el valor c) 25
15. Si se cumple que: 5x + 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 = x − 1 −1 19500, entonces el valor de: , es: 2 a) −1 b) 2 c) −2 d) 1 e) 0 12xy +3 − 2xy + 4x2 16. Al simplificar: 3 , 8x − y 3 2y − 1 8x3 + y 3 y − 2x se obtiene: a) 3 b) −3 c) 2 d) 1 e) −1 y2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
17. Al resolver las ecuaciones: (0, 008)−1/x = 5 (2y − 7)(2y−7) = 3125 La diferencia positiva entre los valores reales de x e y es: a) 0 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 É q
x
3
È 4
x2
rÉq
18. Simplificar: E =
3
4
b) xn √ e) n x
a) 1 n d) xn
x3 . . .
È 5
√ n
2
(aaa )a
a−a2a
a) 1 d) 2
√ n . . . x−1 c) x
ab
b) 4 e) 16
20. Sabiendo que:
Ê
n+1
y=
Éq
n+1
n
c) 8
È n
(256)(324)
con n ∈ Z+ . Hallar el valor de: E = y(y 2 )4 (y 3 )9 (y 4 )16 |
{z
}
n−factores
√ a) 2 √ 2 d) 12 2
√ b) 6√ 3 e) 9 3
Ê
21. Si E = E+2 8 a) 8 d) 2 22. Si x =
n
260/7
a) 63 d) 125
√ c) 4 2
2n 3n + 2n 5n + 3n 5n , hallar 2−n + 3−n + 5−n b) 4 e) 6
È
√ √ (144)(1996) 3 1996 4 1996 √ 12 12 1996 b) 1995 c) 1 e) 12
a) 1994 d) 1996
√
x x √ . Entonces E E es: yE = x b) 1 c) 262 e) 256 3
q È √
√
x x 26. En la ecuaci´ √ √on: 16 − 256 = (60)4 , el x valor√de x , es: √ b) 27 a) 8 c) 2 d) 16 e) 4
27. Si aa = 224 ; bb = 318 , hallar ab−a a) 512 b) 256 c) 216 d) 81 e) 8 28. Efectuar: −1 −4−1 −1 −1 −3 1 1 −5 E= + + − 8 16 32 a) −6 b) −4 c) −2 d) 0 e) 2 r
2 − 0, 6 , est´ a com29. El valor de E = r 3 2 √ − 0, 6 3 prendido entre: a) 5 y 10 b) 0 y 1 c) 10 y 20 d) 1 y 2 e) 2 y 3
c) 3
s √ 5
4 4 4... 23. Simplificar: E = Ñ 16 Î 16 s 3 16 3 3 .. . a) 1 b) 3 d) 4 e) 5
24. Hallar “m”, si el exponente final de x en: s √ m−1 4 xm x 3 √ , es la unidad: 6 x5m−4 a) 8 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4 25. Calcular: t =
xn−1
19. Sabiendo que a + b = 2, reducir: É R=
53
30. Resolver: √ a) 2 d) 2−1
xx
−x
31. Hallar x en: xx √ 4 a) √2 d) 32
x x
16
=x b) 2 e) 1/10
√
E= c) 2
√ 9
9
√ 9
se obtiene: √ 9 a) √ 9 d) 3 9
c) 1/4
√ = 8√ 2. b) √16 2 e) 8
32. Al simplificar la expresi´ on: "
1/8
c)
√ 3
√ 8
2
√ 9
81
81
9 # √ √ 9 √ 9 7 2 81 −9 1− 9 9
9
b) 9 e) 3
c)
54
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 3:
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos z Definir y estudiar los polinomios bajo un car´ acter funcional. z Entender claramente la definici´ on de grado de un polinomio, para ver con facilidad las operaciones del mismo. z Estudiar el valor num´erico para as´ı garantizar la definici´ on de una cierta expresi´ on matem´ atica. El aprendizaje de las Matem´ aticas se realiza en ocasiones de forma excesivamente compartimentada, no se ve el edificio, sino cada piso. Por ello, a veces, cuando se aborda el estudio de los polinomios suele pensarse s´ olo como una herramienta para abordar el trabajo y resoluci´ on de ecuaciones. Sin embargo, podemos observar su continuo uso en el C´ alculo y la Geometr´ıa donde es habitual el empleo de “f´ ormulas”. La aplicaci´ on de f´ ormulas en situaciones en las que las dimensiones son desconocidas, y que por tanto obliga a la abstracci´ on y notaci´ on con variables, conduce a la necesidad de calcular y simplificar expresiones algebraicas, en particular polinomios.
3.1.
Definici´ on:
Se denomina grado a la caracter´ıstica relacionada con los exponentes de las variables de una expresi´ on algebraica. Se distinguen dos tipos de grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR). Para un monomio: Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la variable indicada. Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que afectan a todas las variables indicadas. Ejemplo 3.1.1. Dado el monomio M = 3x4 y 6 z 10 , se tiene que: 55
´ Algebra
56
Walter Arriaga Delgado
GR(x) = 4, GR(y) = 6 , GR(z) = 10 , GA = 20 Para un polinomio: Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta a la variable seleccionada en toda la expresi´ on. Grado Absoluto: Es el grado absoluto o simplemente grado, del t´ermino de mayor grado en dicho polinomio. Ejemplo 3.1.2. Dado el polinomio P (x, y) = 7x7 y 2 − 3x4 y 6 + 5x5 y 3 , se tiene que: GR(x) = 7, GR(y) = 6, GA = 10. Nota: El grado de una constante num´erica no nula es cero. P(x) = 0 es el u ´nico polinomio cuyo grado no est´ a definido. Representaci´ on general de polinomios de acuerdo al grado Considerando la variable “x” y las constantes a, b, c y d tal que a 6= 0, tenemos : Polinomio de grado cero: a Polinomio de grado uno: ax + b Polinomio de grado dos: ax2 + bx + c Polinomio de grado tres: ax3 + bx2 + cx + d .. . .. . Polinomio de grado n: an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . . . . + a1 x + a0
3.2.
Grados en operaciones con polinomios
Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de grado n (con m > n), entonces: Nota: El grado se define como el exponente de la variable de coeficiente no nulo. Si no se especifica el tipo de grado se sobreentender´ a que se refiere al grado absoluto.
3.3.
Polinimios especiales
3.3.1.
Polinomio Homog´ eneo
Es aquel polinomio cuyos t´erminos tienen el mismo grado absoluto. A ´este grado com´ un se le denomina grado de homogeneidad.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Operaci´ on
Procedimiento
57 Grado
Cuando se suman o retan dos o mas polinomios el grado P (x) ± Q(x) P (x).Q(x) P (x) Q(x) [P (x)]k È k
P (x)
del polinomio resultante est´ a determinado por el mayor
m
grado de P y Q. Cuando se multiplican dos o m´ as polinomios sus grados se suman. Cuando se dividen dos polinomios sus grados se restan. Cuando el polinomio est´ a afectado por un exponente k, el grado queda multiplicado por el exponente. Cuando el polinomio est´ a afectado por una ra´ız de ´ındice k, el grado queda dividido por k.
m+n m−n m.k m , k 6= 0 k
Cuadro 3.1: Grados en operaciones con polinomios Ejemplo 3.3.1.
P (x, y, z) = x3 − 6x2 y + 7xy 2 − 9y 3
Es un polinomio homog´eneo de grado 3
3.3.2.
Polinomio Ordenado
Con respecto a una variable, un polinomio est´ a ordenado si los exponentes de esta variable lo est´ an ya sea en forma ascendente o descendente. Ejemplo 3.3.2. P (x, y) = x5 y−x3 y 2 +xy 3 , es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a “x” y en forma ascendente respecto a “y”.
3.3.3.
Polinomio Completo
Con respecto a una variable un polinomio es completo, si existen todos los exponentes de dicha variable, desde el exponente 0 hasta el grado del polinomio. Teorema 3.3.1. Si un polinomio P (x) es completo, entonces el n´ umero de t´erminos es igual a su grado aumentado en 1, es decir: NT = GA + 1 Ejemplo 3.3.3. P (x) = 2x + 3x2 + x3 − 5, es un polinomio completo de tercer grado con cuatro
t´erminos.
Teorema 3.3.2. Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos t´erminos consecutivos difieren en la unidad.
´ Algebra
58
Walter Arriaga Delgado
Teorema 3.3.3. Si un polinomio P (x, y) es completo, homog´eneo y ordenado entonces el n´ umero de t´erminos es igual a su grado aumentado en 1, es decir: NT = GA + 1
3.3.4.
Polinomio Entero en x
Es aquel que depende u ´nicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes n´ umeros enteros. Ejemplo 3.3.4. P (x) = 3x3 + 2x2 − 1, es un polinomio entero en “x” de tercer grado.
3.3.5.
Polinomio m´ onico
Es aquel polinomio entero en “x”que se caracteriza por que su coeficiente principal es igual a la unidad. Ejemplo 3.3.5. P (x) = x5 − 5x + 8, es un polinomio m´ onico de quinto grado.
3.3.6.
Polinomios id´ enticos
Son aquellos cuyos t´erminos semejantes poseen el mismo coeficiente. Ejemplo 3.3.6. Sean P (x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + p polinomios id´enticos Si P (x) ≡ Q(x), se cumplir´ a que: a = m, b = n y c = p
3.3.7.
Polinomios equivalentes
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor num´erico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Ejemplo 3.3.7. Dados los polinomios P (x, y) = (x + y)2 + (x − y)2
Q(x, y) = 2(x2 + y 2 )
N´ otese que: P (x, y) y Q(x, y) son equivalentes y denotamos: P (x, y) < > Q(x, y)
3.3.8.
Polinomio id´ enticamente nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable. Ejemplo 3.3.8. Si P (x) = ax4 + bx + c es id´enticamente nulo, se cumplir´ a que: a = b = c = 0 y se representa por P (x) ≡ 0
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
3.4.
Valor num´ erico de un polinomio
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna un determinado valor a su variable. Ejemplo 3.4.1. Si
P (x) = x3 − 5x2 + 4, P (1) =
(1)3
−
5(1)2
entonces
+4=0
P (−2) = (−2)3 − 5(−2)2 + 4 = 6 Nota: En la expresi´ on P (x + 2, 2y − 1) = 5x − 7y, las variables son x + 2 y 2y − 1. Teorema 3.4.1. La suma de los coeficientes del polinomio P (x) es P (1), es decir, X
coef. de P (x) = P (1)
El t´ermino independiente del polinomio P (x) es P (0), es decir T.I. de P (x) = P (0)
59
´ Algebra
60
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
SOL:
2.
Grado de expresiones algebraicas
1. Si la siguiente expresi´ on:
y seg´ un dato del problema:
X
2
(xn−2 )3 x2n−3 A(x) =
3.1.
x4
de coef.
= 23 + TI
P (1) = 23 + P (0)
2
n
3 + 4n = 23 + 2
(xn )2 x4
3n + 4n = 52 Se reduce a un monomio de segundo grado, hallar el valor de n a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 5 Soluci´ on
P (x) = (1 + 2x)2 + (1 + 3x)2 P (x) = 13x2 + 10x + 2
2
(xn−2 )3 x2n−3 x4 A(x) =
de donde n = 2. Luego el polinomio ser´ıa:
2
por tanto los valores de verdad para las proposiciones son VVF
(xn )2 x4 Alternativa: e
(x5n−9 )2 x4 = (x2n+4 )2 x10n−14 = x4n+8 = x6n−22 Para que A(x) = x6n−22 sea de segundo grado, haremos 6n − 22 = 2, de donde n = 4 Alternativa: b 2. En el polinomio P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n La suma de coeficientes excede en 23 al t´ermino independiente seg´ un ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x + m y G(x) = x + 3. Hallar el mayor valor de “m” de tal manera que: F (G(F (2))) = −1 a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 Soluci´ on Si F (x) = −x2 + x + m, entonces F (2) = m − 2 ahora como G(x) = x + 3, entonces: G(F (2)) = G(m − 2) = m − 2 + 3 = m + 1 adem´ as:
I. El polinomio P (x) es de 2o grado.
F (G(F (2))) = −1
II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El t´ermino cuadr´ atico de P (x) es 12x2 a) VVV b) FVV d) FFV e) VVF Soluci´ on Dado el polinomio
c) VFV
P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n
2
F (m + 1) = −1
−(m + 1) + (m + 1) + m = −1 m2 = 1
de donde m = ±1. Por lo tanto el mayor valor de “m” es 1 Alternativa: c
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 2 +2
4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa
ya +
a2 −1
(a + 1)x2a−1 y es homog´eneo, hallar la suma de sus coeficientes a) 22 b) 16 c) 11 d) 13 e) 4 Soluci´ on 2 Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 y a + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homog´eneo, entonces se cumple que: a2 + 2 + a = 2a − 1 + a2 − 1
coef. = a2 + 1 + a + 1 = 22 Alternativa: a
5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio homog´eneo, donde b a H(x) = ax(a+1) b a 2b a+4 P (y, z) = yÈ(a−1) b + 6z b Calcular: a b(a + 1) ; ab 6= 0 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6 Soluci´ on Al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio de la forma: b ba
ax(a+1)
a b2b
+ y (a−1)
2 , si el polinomio: a996 9 3 a P (x) = (a + b − c − 10)x + (c − b + 9)xa es id´enticamente nulo. a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 2 Soluci´ on si el polinomio:
6. Hallar el valor de a33 +
6
9
P (x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa
es id´enticamente nulo, entonces se tiene que: c−b+9=0
de donde a = 4. Por lo tanto: X
61
a+4
+ 6z b
´este polinomio, por dato del problema, debe ser homog´eneo, entonces: (a + 1)b ba = (a − 1)a (b2 )b = ba+4 de donde b = a − 1 y b2 = a + 1, luego
de donde b − c = 9, ahora reemplazando en: a3 + b − c − 10 = 0 se tiene que a3 + 9 − 10 = 0, de donde a = 1, por lo tanto a33 +
2 =1+2=3 a99 Alternativa: b
7. Calcular el valor de m + n con la condici´ on de que el polinomio: P (x, y) = x2m+n−4 y m+n+2 + x2m+n−3 y m+n+1 + x2m+n−2 y m+n sea de grado absoluto 28 y la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6. a) 17 b) 15 c) 13 d) 9 e) 10 Soluci´ on Por simple inspecci´ on se observa que el polinomio P (x, y) es homog´eneo, luego 3m + 2n − 2 = 28 de donde:
b2 − b − 2 = 0
3m + 2n = 30
(b − 2)(b + 1) = 0
Adem´ as: GRx = 2m + n − 2 GRy = m + n + 2 y como GRx − GRy = 6, entonces: n − 2 − (m + ✚ n + 2) = 6, obteni´endose 2m + ✚ m = 10 y reemplazando en la ecuaci´on anterior se tiene n = 0, por lo tanto m + n = 10
obteni´endose b = 2 y b = −1, sin embargo b 6= −1, puesto que si b = −1 ⇒ a = 0, y esto contradice al dato del problema (ab 6= 0), en È consecuencia √ b = 2 y a = 3. Por lo tanto a b(a + 1) = 3 2 × 4 = 2 Alternativa: d
Alternativa: e
´ Algebra
62
8. Un polinomio P (x) m´ onico de 3er grado adopta el mismo valor num´erico para x = −1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coeficientes de P (x) es 105. Determine dicho polinomio. a) x3 − x2 − 11x b) x3 + 6x2 + 11x + 6 c) x3 + 6x2 + 11x + 87 d) x3 e) x3 + 11x2 + 93 Soluci´ on
Walter Arriaga Delgado a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11 d) 20 ; 12 e) 14 ; 10 Soluci´ on Comparando los grados de cada t´ermino 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2 |
{z
2a+1
}
|
{z
}
|
3a+3
{z
}
2a+1
|
{z
como el GA = 33, entonces 3a + 3 = 33, de donde a = 10, luego: GRx = 2a = 20 GRy = a + 7 = 17
P (x) = a(x + 1)(x + 2)(x + 3) + b
Alternativa: a
como P (x) es m´ onico, entonces a = 1, luego: P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + b adem´ as la suma de coeficientes P (1) = 105 P (1) = 2 × 3 × 4 + b = 105 de donde b = 81, de ´esta manera se tiene: P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 81
10. Hallar a + b + c en la identidad: ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 a) 0 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3 Soluci´ on ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 ax3 + bx2 + cx ≡
x(x + 1)(2x + 1) 6
6ax3 + 6bx2 + 6cx ≡ 2x3 + 3x2 + x
desarrollando tenemos: x3 + 6x2 + 11x + 87 Alternativa: c 9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2 que posee grado absoluto 33. Calcular el GRx y GRy respectivamente.
}
3a+2
comparando se tiene que: 1 1 1 a= , b= , c= 3 2 6 por lo tanto: a + b + c =
1 1 1 + + =1 3 2 6 Alternativa: d
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 02:
63
Grado de expresiones algebraicas
1. Si la siguiente expresi´ on:
es id´enticamente nulo. a) 1 b) 3 d) 4 e) 2
2
(xn−2 )3 x2n−3 x4 A(x) =
2
Se reduce a un monomio de segundo grado, hallar el valor de n a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 5 2. En el polinomio P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n La suma de coeficientes excede en 23 al t´ermino independiente seg´ un ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El polinomio P (x) es de 2o grado. II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El t´ermino cuadr´ atico de P (x) es 12x2 b) FVV e) VVF
c) 0
7. Calcular el valor de m + n con la condici´ on de que el polinomio:
(xn )2 x4
a) VVV d) FFV
3.1.
c) VFV
3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x + m y G(x) = x + 3. Hallar el mayor valor de “m” de tal manera que: F (G(F (2))) = −1 a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
P (x, y) = x2m+n−4 y m+n+2 + x2m+n−3 y m+n+1 + x2m+n−2 y m+n sea de grado absoluto 28 y la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6. a) 17 b) 15 c) 13 d) 9 e) 10 8. Un polinomio P (x) m´ onico de 3er grado adopta el mismo valor num´erico para x = −1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coeficientes de P (x) es 105. Determine dicho polinomio. a) x3 − x2 − 11x b) x3 + 6x2 + 11x + 6 c) x3 + 6x2 + 11x + 87 d) x3 e) x3 + 11x2 + 93 9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2 que posee grado absoluto 33. Calcular el GRx y GRy respectivamente. a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11 d) 20 ; 12 e) 14 ; 10
2
4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 y a + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homog´eneo, hallar la suma de sus coeficientes a) 22 b) 16 c) 11 d) 13 e) 4
10. Hallar a + b + c en la identidad: ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 a) 0 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3
5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio homog´eneo, donde b a H(x) = ax(a+1) b a 2b a+4 P (y, z) = yÈ(a−1) b + 6z b Calcular: a b(a + 1) ; ab 6= 0 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6
11. En el polinomio: P (x) = 6ax5a + 5ax4a + 4ax3a + 3ax2a + 20axa + a. Calcular el valor de a, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su t´ermino independiente incrementado en 76. a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5
2 , si el polinomio: a996 9 P (x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa
12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado P (x) = axa + bxb + cxc + dxd + abcd
6. Hallar el valor de a33 +
´ Algebra
64 con a 6= b 6= c 6= d a) 24 b) 44 d) 14 e) 34
19. Hallar el grado absoluto de: c) 10
13. Si: P (x) = x(ax2 + bx + c) − 2x(bx2 + cx + d)√+ 2d − 1, es id´enticamente nulo. Hallar: acd abcd a) −2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 14. Si: P (x) = x P (H(x) + G(x)) = 4x + 6 P (H(x) − 2G(x)) = x + 12 Hallar H[G(2)] a) 8 b) 10 d) 12 e) −8
c) 20
15. Si el polinomio completo es de (4+ a) t´erminos, donde P (x) = 2ax2a + (2a + 1)x2a−1 + (2a + 2)x2a−2 + . . .. Hallar el valor de “a”. a) 0 b) 4 c) 1 d) 3 e) 2 16. En base a los polinomios id´enticos: P (x) = (m − 5)x2n−1 + (n − 3)xn−2 p Q(x) = xn−2 + (3 − m)x7 4 Establecer el valor de verdad de las proposiciones: La suma de sus coeficientes es 0 Son de grado 7 m El valor de 2 es 0,125 n + p2 a) VVF d) VFF
b) VVV e) FVV
Walter Arriaga Delgado
c) VFV
17. En un polinomio homog´eneo, ordenado y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus t´erminos es 156. ¿Cu´ al es su grado de homogeneidad? a) 8 b) 13 c) 11 d) 10 e) 12 18. Dados los polinomios id´enticos P (x) = 2(mx + n)2 + mx2 − 2n Q(x) = 4(9x2 + 8x + p) Hallar m + n + p con m > 0 a) 6 b) 12 c) 7 d) 15 e) 20
2
È 2
P (x, y, z) = (a+b) +c x7a2 y 6bc z 2ac a b c si: = = a+b b+c c+a a) 3 b) 51 c) 16 d) 2 e) 7 20. Si P (x) = 1 + 2 + 3 + . . . + x P (x − 1)P (x) Hallar: P (x2 − 1) a) 1/3 b) 3 d) 1/2 e) 2 21. Sean P (x) = x P [F (x) + G(x)] = 3x + 4 P [F (x) − G(x)] = x − 2 Determinar E = F [G(1)] a) 8 b) 9 d) 10 e) 11
c) 1
c) 7
22. En el monomio: M (x, y, z) = xa+b−1 y b−a+3 z 2a−b+5 GRx=10, GRy=8. Hallar GRz a) 7 b) 10 c) 8 d) 6 e) 3 23. Dados los polinomios P (x) y Q(x) tales que P 3 (x) el grado de P 2 (x)Q(x) y de son 27 Q(x) y 23 respectivamente. Entonces el grado de Q3 (x) es: P (x) a) 14 b) 12 c) 11 d) 13 e) 15 24. La suma de coeficientes del polinomio homog´eneo 5+2a 18 a+7 P (x, y) = 2axb − 5aby 2 + 3bxb es a) −24 b) 24 c) −16 d) 16 e) 12 25. Indicar el grado del polinomio: n P (x) = 5x2 − x + 3 (xn − x + 3)n (nx + 9)n−1 . Si su t´ermino independiente es 729 a) 7 b) 5 c) 6 d) 9 e) 3 26. Calcular a + b + c + d si: x4 + 3x2 − 5 ≡ (x − 2)4 + a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + d a) 11 b) 102 c) 12 d) 13 e) 14
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CAP 02:
65
Grado de expresiones algebraicas
1. Sea el polinomio homog´eneo P (x, y, z, w) = xa+b+c + y b+c+d − 3z c+d+a + 2wd+a+b a2 + b2 + c2 + d2 Calcular E = ab a) 0 b) 4 c) 2 d) 8 e) 1 2. En el polinomio homog´eneo, completo y ordenado P (x, y) = x4n−1 + x4n−2 y + ... + xy 4n−2 + y 4n−1 se verifica que la suma de los grados absolutos de sus t´erminos es 240. Hallar el grado de homogeneidad. a) 4 b) 60 c) 4n d) 16 e) 15 3. Si Q(x) es lineal y adem´ as: Q(2) = − 6, Q(3) = 2Q(4). Hallar Q(5) a) 1 b) −1 c) 0 d) −2 e) 2 2s
4. Si E = 4
2
3
(x3 − x5 )n · (x2 − 3)n 5 12 ·x (x3 + 3)n + (x − 2)12
es de grado 68. Si n > 4, determinar n a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 19 5. En la expresi´ on: M = Determine el valor de:
7 3
4
x6 y 9 z 10
GRx · GRy · GRz E= GAM a) 15 d) 21.6
b) 16 e) 20
c) 19
6. El polinomio P (z) = (cz + b)(z n + 1) es m´ onico. Si P (2) + 34 = b + 4 = c, hallar el valor de “n”. a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1 7. Hallar “n”, si el monomio: 2 (xn−2 )3 · x2n−3 · x4 M (x) = es de segun[(xn )2 · x4 ]2 do grado. a) 2 b) 9 c) 6 d) 8 e) 4
3.2.
8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado P (x) = axa + bxb + cxc + dxd + abcd, siendo a, b, c y d diferentes entre s´ı a) 14 b) 24 c) 34 d) 44 e) 10 9. Dada la expresi´ on algebraica: 1/2 3 6 3 3 E(x, y, z) = x y + x16 y 2 z − 2 4 x3 z 2 y GRx − (GRy + GRz) Calcular: M = GAE a) 11/19 b) 16 c) 19/11 d) 11 e) 21/19 10. Si P (x), Q(x), R(x) son polinomios tales que: GA(P )=10; GA(Q)=8; GA(R)=4. P 2R Hallar el grado de: Q2 a) 6 b) 14 c) 10 d) 8 e) 12 11. Hallar la suma de coeficientes y el t´ermino independiente del producto: P (x) = (4x2 − 5x + 2)3 (2x4 + 5x − 2)2 (3x + 5). Luego dar como respuesta su cociente en ese orden. a) 1/5 b) 5/4 c) 288 d) 540 e) 6/5 12. Si los polinomios: P (x) = ax2 + (b − 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12 son id´enticos, hallar: c − (a + b) a) 4 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1 É
5 3 27 x6 13. En la expresi´ on: M =
È
10
y9 √ 7x10 y 3 3 z 5
z7
Determine el valor de E= a) 2 d) 15
GRx.GRy.GRz GAM b) 3 e) 10
c) 4
14. Si P (x) es de 5o grado; Q(x) es de 4o grado y R(x) es de 3o grado, hallar el grado de:
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66 s
(P 4 − Q3 )R3 P Q(P − Q)2 a) 5 b) 4 d) 3 e) 7
(a + b + c + d) a) 42 d) 33
E=
c) 6
15. Dados los polinomios P (x) y Q(x), donde los grados de los polinomios: P 2 (x)Q(x) y P 3 (x) son 27 y 23 respectivamente, entonQ(x) Q2 (x) ces el grado de es: P (x) a) 5 b) 6 c) 8 d) 4 e) 7 16. En el polinomio: P (x − 2) = (x + 2)3 − 3(x − 1) + mx + 5 se cumple que la sumatoria de coeficientes y el t´ermino independiente suman 200; seg´ un ello establecer el valor de verdad de cada uno de las proposiciones. El t´ermino independiente del polinomio es 129. La suma de sus coeficientes es 71 P (2) = 63 + 4 a) VFV d) VFF
b) FFV e) VVV
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c) VVF
17. En el siguiente polinomio: P (x) = 3x3a−9 + xa+b−3 + b(x2 )4b+a−c es completo y ordenado crecientemente. Calcular “a + b + c” a) 1 b) 15 c) 6 d) 3 e) 10 2
18. Si el polinomio: P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homog´eneo, hallar la suma de sus coeficientes. a) 16 b) 13 c) 8 d) 11 e) 22 19. Si la expresi´ on: (3x2 + 6x − 7)(nx + 4) − 2 m(3x + x + 1) − n(3x3 − 11) es equivalente a 51x2 + 19x + 3. Hallar m + n. a) −7 b) 7 c) −11 d) 11 e) 13 20. Si los polinomios: P (x) = (bxa + c)2 Q(x) = (16x2 + d)x2 + 9 son equivalentes, indicar el mayor valor de
b) 54 e) 16
c) 28
21. Dada la expresi´ on algebraica 5 E(x, y, z) = 3mx4 − x3 y 5 z 2 + 21/3 x7 y 3 z 4 − 7 0, 25nx4 yz 8 Calcular: GAE M= GRx + GRy − GRz a) 3 b) 3.5 c) 4.5 d) 5 e) 7 22. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables. P (x, y) = x3k−1 y k − 2x2k−3 y 2k + xk−3 y 3k de donde GAP = 15. a) 11 b) 15 c) 13 d) 14 e) 12 23. Si . . . xa y b+2 + A + xb y a+2 . . . son t´erminos de un polinomio homog´eneo de grado 8, completo y ordenado en orden creciente respecto a la variable x. Hallar la parte literal del t´ermino A. a) x2 y 6 b) x3 y 6 c) x3 y 5 d) x4 y 5 e) x4 y 4 24. Si P (x) = xn+1 + x3n+2 + xn+3 + 5 es polinomio completo, hallar “n”. a) 0 b) −2 c) 1 d) −1 e) 3 25. Hallar un t´ermino de g(x), tal que se verifica la identidad para todo n ∈ N x(16x2 + 25) + 40x2 + n ≡ xg2 (x) + 3 a) 3 b) 25x c) 40x d) 4x e) 16x2
26. Hallar m + n, si el polinomio P (x) = m(x2 − nx + 1)(x2 + mx + 1) − nx4 − x2 − 1 es id´enticamente nulo a) −1 b) 2 c) 1 d) −2 e) 3 27. En la siguiente igualdad: ax2 + 32x + 55 = b(x + c)2 + d(x + b)2 + c(x + d)2 . Calcular el valor de: abc(c + 1) + abd(b + 1) + acd(d + 1) b+c+d a) 16 b) 17 c) 55 d) 32 e) 71
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CAP 02:
67
Grado de expresiones algebraicas
1. Dados los polinomios P (x) y Q(x) de los È 3 que se sabe que: P (x)Q(x) es de cuarto grado, [P (x) ÷ Q(x)]2 es de octavo grado. ¿Cu´ anto vale el grado de P (x) + Q3 (x)? a) 4 b) 12 c) 8 d) 64 e) 72 2. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P (x) = x2a+1 + 2xb+3 − 3xc+2 + . . . posee 2c t´erminos. Hallar a + b + c. a) 6 b) 13 c) 12 d) 9 e) 14 3. Para ciertos valores particulares de “m” y xm y n √ “n” la expresi´ on M (x, y) = 2 + xn y m x y resulta un polinomio homog´eneo. Calcule mn − n m . a) 2 b) 1 c) 0 d) −1 e) Hay dos correctas 4. Si los polinomios: P (x, y) = xa y b+1 + xc y d−3 Q(x, y) = xa+1 y b + x4−a y 3−b son id´enticos, calcular: (a + b + c + d) a) 10 b) 9 c) 8 d) 11 e) 12 n
n
5. Se tiene: 2(1/4) = 4(1/2) 3 2 2 P (x, y) = x1−n + 2xn y − 6y 2n ¿Cu´ antas de las siguientes caracter´ısticas presenta P (x, y)? Homog´eneo Ordenado en “x” e “y” Completo en “x” e “y” Ordenado en “x” y completo en “y” a) 1 d) 4
b) 2 e) ninguna
c) 3
6. Si el polinomio P (x, y) = (10 − m)x2 y + nxy 2 + 5x2 y − 2xy 2 es id´enticamente nulo, hallar mn . a) 15 b) 225 c) 125 d) 30 e) 300
3.3.
7. Si f (x + y) = f (x) + f (y); ∀ x, y Z+ f (1) = 6. Hallar f (3) a) 1 b) 3 c) 6 d) 15 e) 18 8. Si P (x) es id´enticamente nulo, hallar “a−b” en P (x − a) = b(x + 2) + a(x + 3) + 2 a) −5 b) −1 c) −4 d) −2 e) −3 9. Conociendo que ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2 . b2 + ac Hallar el valor de: E = 2 b − 3ac a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 10. Si f (x) = de f (x).
3x , hallar f (2x) en t´erminos x−1
3f (x) f (x) + 3 6f (x) c) f (x) − 2 a)
e)
b) d)
6f (x) f (x) − 3
6f (x) f (x) + 3
1 f (x)
11. Dada la siguiente identidad: (2x + 5)7 − (x − 1)7 ≡ (x2 + 9x + 18)A(x) + ax + b donde A(x) = a0 x5 + a1 x4 + . . . + a5 ∧ a0 6= 0 b determinar a + . 6 2 2 7 b) (47 − 1) a) (4 + 1) 3 3 3 3 7 d) (47 − 1) c) (4 + 1) 2 2 e) 4325 12. Determinar E = (a + b + c)a+c , si P (x) = . . . + xa+c + 7x2a−b + 8xc−3 + 9xa+b+c+3 + . . . es completo y ordenado descendentemente. a) 1 b) 0 c) −2 d) 2 e) −1 13. Hallarelcoeficiente de 1 n m 3m+2n 5m−n M= 9 x y , cuyo grado ab2
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68
soluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. a) 81/8 b) 16/81 c) 81/16 d) 9/16 e) 8/16 14. El monomio: √ P (x, y) = 5mn xm−n y p − n p x5 y 2m+n posee grado absoluto igual a 21. Indique su coeficiente. a) 241 b) 240 c) 221 d) 245 e) 441 15. Indique el valor de verdad de las proposiciones: P (x3 ) = x12 + 12 es de cuarto grado. Si P (1) = 9, entonces el coeficiente principal de P (x2 + 1) es 9. Si P (x, y) = 9x3 y 4 z 2 entonces el grado de P (x, y) es 9. a) VVV d) VFF
b) FFV e) FFF
c) VFV
16. Del polinomio P (x, y) = 5xa+3 y b−2 z 7−a + xa+2 y b−3 se sabe que GAP = 11; GRx − GRy = 5. Calcular el valor de: E = 4a − b a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 17. Determine el grado del polinomio: P (x) = (2xn − 1)3 + 4x + 2n
si la suma de la suma de sus coeficientes con su t´ermino independiente es num´ericamente igual a 20. a) 6 b) 12 c) 15 d) 3 e) 9 18. Siendo P (x) un polinomio que cumple la relaci´ on P (x + 1) = x2 + P (x) Indicar el valor para: P (10) − P (7). a) 54 b) 89 c) 194 d) 225 e) 121 19. En el polinomio: P (x, y) = xm+2n y 7+n + xm+n y 10+n + xm+3n y 9+n el grado respecto a “x” es 15. Adem´ as los grados relativos “x” e “y” son proporcionales a los n´ umeros 5 y 4 respectivamente. Halle el grado absoluto. a) 26 b) 27 c) 29 d) 30 e) 31
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20. Si el polinomio: P (x) = (ab − ac + n2 )x4 + (bc − ab + 6n)x2 + (ac − bc + 9) es id´enticamente nulo. a−1 + c−1 Calcular W = b−1 a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 21. Si el polinomio P (x) = a(x + 2)2 + b(x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es √ id´enticamente nulo. Hallar el valor de: L = c a − b a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 22. Sabiendo que el polinomio: P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1) es id´entico a 2x2 + 5x − 1. Calcular a + b − c a) −1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 1 23. De un polinomio completo y homog´eneo de grado 40 se han tomado tres t´erminos consecutivos ordenados decrecientemente respecto a “y” tal como se muestra: . . . + xa y b+20 + T + xb y n + . . . .Hallar el t´ermino T indicando el grado relativo respecto a “y”. a) 32 b) 31 c) 30 d) 28 e) 29 24. Si el polinomio P (x) toma un valor constante “c” para todo valor de x, donulese de: P (x) = ax2 − (x + a)(x + b). Calc´ 2 2 2 el valor de E = a + b + c . a) 3 b) 29 c) 12 d) 5 e) 4 25. Halle el grado del resultado de efectuar: P (x) = (3x − 2)m (mx3 − 1)2 (x2 + x − m)2 sabiendo que su t´ermino independiente es (−800) a) 11 b) 17 c) 13 d) 15 e) 19 26. En el polinomio completo y ordenado 2 a a P (x) = xb +a +a + 2xa +2a + 3x2a+26 + n 5 4xc −1 + ... + n. Calcular: a+b+c a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6
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CAP 02:
69
Grado de expresiones algebraicas
1. Si los polinomios: P (x) = a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + d Q(x) = x(x + 1)(x + 2) son id´enticos. b+c Calcular el valor de: a+d a) 2/5 b) 7/5 c) 4/5 d) 3/5 e) 9/5 2. Si el polinomio: M (x, y) = (a + b − c − d2 )x2 + (b − de)xy + 9(b + c − a − e2 )y 2 es id´enticamente nulo, calcular: d2 9b 6a + 2+ S= b e c a) 15 b) 9 c) 18 d) 13 e) 16
3.4.
√ 8. El polinomio 3x2 y 2 + 2xy 3 − 4x4 y es incompleto ¿Cu´ al de los siguientes polinomios habr´ıa que sumarle para lograr que est´e completo? a) x4 + y 3 b) x3 + y 3 c) x3 + y 4 d) x3 + y 5 e) x5 + y 3 9. Tenemos un polinomio P (x) ordenado y completo de grado 6n. Al suprimir todos los t´erminos de exponente par, incluyendo el t´ermino independiente, quedan 81 t´erminos ¿Cu´ anto vale “n”? a) 27 b) 82 c) 81 d) 41 e) 24
3. En el polinomio homog´eneo: b−a a−b P (x, y, z) = (xy)3a + yb + 2z c Calcular a + b + c. a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 15
10. Hallar n de tal forma que la expresi´ on: q √ 2 +3)/3 2 3 (n n n −2,5 3x ÷ 2 x + nx sea de grado 7/3. Luego respecto al valor de n se puede afirmar: a) 2, 1 < n < 2, 5 b) 4 < n < 5 c) 0, 5 < n < 1 d) 1, 5 < n < 2, 2 e) 3 < n < 4
4. Dado el polinomio: P (2x−3) = (2x+3)4m + 2(12x − 6)2m + (2x + 1)2m Calcular “m”, si su t´ermino independiente es igual a 1600. a) 1 b) 7 c) 0 d) 3 e) 2
11. Si la expresi´ on: √ √ 6 4 2 a−b (a + b) x − ab xa+b + (b − a)x; puede reducirse a monomio, este monomio es: a) 5x b) 15x c) 18x d) 10x e) 6x
5. Determinar el grado del polinomio P (x) sabiendo que el grado P 2 (x).Q3 (x) es igual a 21; adem´ as el grado de P 4 (x).Q2 (x) es igual a 22. a) 2 b) 5 c) 7 d) 3 e) 1
12. Calcular la suma de coeficientes del siguiente trinomio racional entero Q(x, y) = (a − 4)x9−a + axa−2 y a/4 + y 19−2a a) 10 b) 12 c) 17 d) 15 e) 13
6. Hallar el grado de: P (x) = (x3 + 1)(x10 + 1)(x29 + 1)...(x1002 + 1) a) 1002 b) 3045 c) 3054 d) 2045 e) 3025 7. Calcular abc en el polinomio: P (x) = (a + 3)(x − 1)(x + 2) + (b − 2)(x − 1)(x + 10) + (c − 2)(x + 2)(x + 10) si este se anula para m´ as de dos valores diferentes atribuidos a su variable. a) 12 b) −8 c) −2 d) 0 e) −12
13. Encontrar el polinomio cuadr´ atico F (x) que verifica: 1 1 F (x + √ ) + F (x − √ ) ≡ 6x2 + 8x + 5 2 2 para luego indicar la suma de sus coeficientes: a) 2 b) 1 c) 8 d) 9 e) 13 x
x
14. Si P (xx + 2n + 1) ≡ 6xx + 12n P [F (x)] ≡ 24x + 12 Proporcionar el valor de: F (n − 1). a) 4n − 1 b) 2n c) 4n − 2 d) 2n − 2 e) 4n
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70 15. Hallars“m” para que la expresi´ on: √ m−1 4 xm x M= 3 √ , sea de sexto grado. 6 x5m−4 a) 40 b) 48 c) 34 d) 44 e) 24 16. Hallar el È grado de la expresi´ on: √ √ 3 3 3 E = 4ax 4+2 4+2 4+...∞ a) 3 b) 2 d) 4 e) 9
c) 5
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22. Dado el polinomio homog´eneo P = 3a4 − 2a2 b2 + 5ab3 . Determinar el polinomio que debe agregarse a “P ” para que el polinomio resultante sea un polinomio homog´eneo y completo, tal que la suma de sus coeficientes sea 16 y su valor num´erico para a = 2 y b = 1 sea 88 a) 3a3 b + 14b4 b) 6a3 b − 10b4 c) 3a3 b + 6b4 d) 3a3 b − 5b4 3 4 e) 4a b + 6b
17. Calcular el valor de x/y en el monomio: √ 3 x+y y+6 a b M = 2/3 1−y si es de segundo grado resa b pecto de “a” y es de s´eptimo grado absoluto. a) 5/3 b) 4/3 c) 2 d) 1/3 e) 2/3
23. Si el polinomio definido por: P (x) = (n − 2)xn−9 + (n − 3)xn−8 + (n − 4) xn−7 +. . . es ordenado y completo. Entonces el n´ umero de t´erminos es a) 14 b) 3 c) 7 d) 15 e) ilimitado
18. Si en el polinomio: P (x, y) = 4xm+n−2 y m−3 z 7 +8xm+n+5 y m−4 + 7xm+n−6 y m+2 se verifica que la diferencia entre el GRx y GRy es 5 , adem´ as el menor exponente de “y” es 3. Hallar su grado absoluto. a) 13 b) 11 c) 17 d) 15 e) 18
24. Calcular el t´ermino independiente del polinomio: P (x − 1) = (3ax − 4a)2 + (3x − 4)2a − x2 + 4; a ∈ Z. Sabiendo que es la cuarta parte de la suma de coeficientes a) 8 b) 2 c) 4 d) 16 e) 32
19. Dados los polinomios: P (x) y Q(x), se sabe P 5 (x) que los polinomios: P (x)Q5 (x) y 2 son Q (x) de grado 13 y 11 respectivamente. Hallar el grado de P 2 (x)Q(x) a) 8 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11
25. Si (a, b, c) ∈ N y P (x) = a(xa + 1)b (cx + 2)c es un polinomio completo de 85 t´erminos, cuyo t´ermino independiente es 72 y su coeficiente principal es 243, entonces el valor de (a + b + c) es: a) 19 b) 23 c) 2 d) 21 e) 81
20. Sabiendo que P y Q son dos polinomios tal que Gr(P ) = 5 y Gr(Q) = 3; entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
26. Sabiendo que el polinomio: P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1), es id´entico a 2x2 + 5x − 1. Calcular a + b − c a) −1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 3
È
Grado de ( P 2 + Q2 ) = 8 Grado de (P 2 Q2 + Q2 ) = 22 Grado de (P 2 + Q2 )2 = 20 a) VVV d) FFV
b) FVF e) VVF
2
c) FFF
21. Calcular la suma de coeficientes del poli2 nomio homog´eneo: P (x, y) = 3pxn −5 y 12 + 2 5(p − q)xp y q + (13q + 4)xn y 3n−14 a) 542 b) 452 c) 544 d) 245 e) 454
27. Si: P (x) = (a + 1)2 xb −73 + (b − 6)xb−4 + b y Q(x) = (p2 − 1)xb−4 + (a2 + 9)x8 + a + 5 son id´enticos, entonces el valor de: a + b + p a) 12 b) 25 c) 35 d) 45 e) 15 28. H(x) = b7 x7 + b3 x3 + b2 x + 3. Si H(−4) = 4, calcule: H(4) a) 6 b) 4 c) 2 d) 0 e) −6
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CAP 02:
71
Grado de expresiones algebraicas
3.5.
1. Determine de “n” para que el mos el valor √ 4 n−3 3n x 3 x √ nomio sea de 2◦ grado. 4 n x a) 8 b) 6 c) 9 d) 3 e) 4
8. Si el grado del monomio q siguiente È √ 5 3 M (x) = 8x6 15x4 2xm 3xm ; es 9 calcular “m”. a) 16 b) 18 c) 22 d) 20 e) 24
2. Si P (x + 2) = 5x + 2 y P (F (x)) = 10x + 2. Hallar F (5) a) 6 b) 8 c) 10 d) 14 e) 12
9. Hallar el valor Édeq“n” si el grado del monoÈ √ n x n x n x n nx mio P (x) = É q È es 144 n n n √ n 3 −n n x a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/2 e) 3
3. Calcular f (7) + 1, sabiendo que f (3) = 1 y adem´ as f (2x − 1) = f (2x + 1) − x + 1 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 4. Si a, b, c son n´ umeros naturales diferentes de cero. Determinar el grado absoluto de: M (x, y, z) =
xa+b+c y abc √ abc xyz x0,5
donde a > b > c ; a ≤ 3 a) 11 b) 13 d) 12 e) 10
c) 14
5. Se tiene 3 polinomios enteros en “x”, P (x); Q(x); R(x). Se sabe que la suma de los grados de Q(x) y R(x) excede en 10 unidades al grado de P (x). As´ı mismo el grado de È (P Q)3 4 P 2 QR es 10 y el grado de: es 34. R4 Determine la diferencia de los grados de Q(x) y P (x). a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 6. Calcular la variaci´ on que experimenta: P (x) = x3 + 40x + 5. Cuando “x” var´ıa del valor (−2) al valor (−1). a) Disminuye 47 b) Aumenta 47 c) Aumenta 27 d) Disminuye 27 e) No var´ıa 7. Si P (x + 2) = 6x + 1; P [F (x)] = 12x − 17. Hallar F (10) a) 3 b) 15 c) 17 d) 21 e) 19
10. Cu´ antas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio: a2 b6 c12 d20 . . ., sea 1360 a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 13 11. Calcular la suma de coeficientes de: P (x) = (x − 2)11 + (x − 3)2 + (x − 1)5 + 10 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 12. Calcular el t´ermino independiente de: P (x) = (x− 7)2 − (x− 2)5 + (x− 3)(x+ 2)− 3 a) 70 b) 15 c) 100 d) −3 e) 72 13. Dados los polinomios P (x) y Q(x), se sabe P 5 (x) , que los polinomios: P (x).Q5 (x) y 2 Q (x) son de grado 13 y 11 respectivamente. Hallar el grado de P 2 (x).Q(x) a) 7 b) 9 c) 8 d) 11 e) 10 14. Hallar la suma de coeficientes del polinob a a−b mio: P (x, y, z) = a3 xa − b2 y b + abz a si es homog´eneo. a) 68 b) 60 c) 50 d) 70 e) 74 m , si el polinomio: n P (x, y) = xm y n (2x2m+1 + 7y 54n+1 )7 es homog´eneo. a) 9 b) 18 c) 36 d) 27 e) 45
15. Hallar
´ Algebra
72
16. Un polinomio m´ onico de tercer grado P (x), adopta el mismo valor num´erico para x = 3, x = −1, x = −2; si la suma de coeficientes es 100. Hallar su t´ermino independiente. a) 105 b) 106 c) 108 d) 109 e) 115 17. Calcular a + b + c + d + m + n en la identidad: 5xa+2 y a+1 − 3x2b y a+3 ≡ mxa y c−2 + nxd+1 y 5−a siendo el primer polinomio homog´eneo: a) 13 b) 14 c) 17 d) 16 e) 15 18. Dado el polinomio de 14 t´erminos, completo y ordenado n+4 + · · · + xa−1 + xa−2 + xa−3 P (x) = x√ calcular na − 2 a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 19. Si el polinomio P (x) = 3x3a−b +5x2a +7x3b+c +8xa+b+c +· · · es completo y ordenado en forma descendente, calcule el valor num´erico de: W = (a2 + b2 + c2 )b+c a) 14 b) 12 c) 10 d) 2744 e) 196 20. La suma de coeficientes del polinomio homog´eneo: 5+2a 18 a+7 P (x, y) = 2axb − 5aby 2 + 3bxb es: a) 12 b) 16 c) −16 d) −24 e) 24 21. En el polinomio homog´eneo: P (x, y) = x4n−1 + x4n−2 y + . . . + xy 4n−2 + y 4n−1 que tambi´en es completo y ordenado se verifica que la suma de los grados absolutos de los t´erminos es 240. Hallar su grado de homogeneidad. a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n
22. Si P xx
x−1/2
Calcular: P a) 1 d) 2
= nx + n2 x2 {z + n3 x3 + · · }· | 1
n(n
√
“n” t´ erminos
n )−1
b) n + 1 e) n
c) 1/n
23. Si el polinomio: P (x) = (4a + 2)x2a−30 + (4a)x2a−29 + (4a − 2)x2a−28 + . . . es comple-
Walter Arriaga Delgado to y ordenado. ¿Cu´ al es su grado? a) 32 b) 31 c) 30 d) 33 e) 29
24. Se˜ nale cuantas proposiciones son verdaderas: Un polinomio completo no siempre esta ordenado Un polinomio ordenado no siempre esta completo Un polinomio completo de grado “n”, siempre tiene “n + 1” t´erminos Un polinomio ordenado de grado 8, siempre tiene 9 t´erminos Un polinomio completo puede estar ordenado a) 3 d) 4
b) 2 e) 5
c) 1
25. Sean: P (x) = (xm−2 + xm−1 + xm + 1)(xn−2 + xn−1 + xn − 1) Q(x) = (1 − nxn + xn+1 )(xm−1 − xm + 1)2 Si el grado absoluto de P (x) y Q(x) es 10 y 15 respectivamente. Calcule el grado absoluto de la siguiente expresi´ on: [(mxm + nxn − m − n)3 (xm − nx + m)4 ]1/2 a) 12 b) 14 c) 13 d) 17 e) 10 2
26. En el polinomio: P (x, y) = 2mxa −2 y 4 + 2 4(m − n)xm y n + (10n − 1)xa y 2a−6 , es homog´eneo. Calcule el grado de homogenidad. a) 12 b) 18 c) 17 d) 15 e) 19 √ 27. Si el polinomio P (x) = qx3 + p + 6 x2m−6 + √ m 3 5n + 8 x5m+n−19 + + 2 xp+n−3 , 4 es completo y ordenado en forma descen√ dente. Hallar 3 q si la suma de coeficientes es m + n + p. a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) −1 28. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P (x) = x2n+1 + 2xα+3 − 3xm+2 + . . .. Posee “2m” t´erminos. Hallar “α” a) 5 b) 3 c)7 d) 9 e) 11
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 02:
Grado de expresiones algebraicas
1. Sea: P (x) = nxn +(n−1)xn−1 +. . . +2x2 +x+m si sus coeficientes suman 63 y P (0) = n − 2, calcular la suma de coeficientes de: S(x) = mxm +(m−1)xm−1 +. . .+2x2 +x+n a) 56 b) 46 c) 36 d) 26 e) 16 b
a
2. Si el √polinomio: P (x, y, z, w) = axa +by c + √
c
a
cz c + w(ab) , es homog´eneo. Hallar la suma de coeficientes de P (x, y, z, w) a) 18 b) 25 c) 22 d) 20 e) 27
3. En el siguiente polinomio homog´eneo, calcular la suma de coeficientes: P (x, y, z, w) = a
73
2 )b2
axa − 5acy (b a) 9 d) 12
+ 4bcz c b) 7 e) 14
a1/2 b
5. Si se cumple que:
8. Si el polinomio: P (x) = (x2 − x + 3)(a − b) + (x2 − x + 4)(b − c) + (x2 + x + 5)(c − a). Se anula para m´ as de un valor. Hallar: b+c R= a a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 8 9. Sea P (x) = (a3 −7)x5 +ax2 +a2 +1 un polinomio monico; (a ∈ R). Hallar el t´ermino que no depende de la variable a) 5 b) 10 c) 17 d) 26 e) 2 10. ¿Cu´ al es la variaci´ on que experimenta P (x), cuando “x” varia de −2 a −4, si:
n p m + + ≡ x−1 x−2 x−3
x2 − 10x + 13 . El valor de (x − 1)(x − 2)(x − 3) E = 6m + 3n + 2p es igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 13 e) 9
6. Si los polinomios definidos por: P (x, y) = (x + y)5 − x5 − y 5 Q(x, y) = mx2 (x + y) + 2mxy(x3 + y 3 ) son equivalentes, hallar “m” a) 2 b) 5 c) 4 d) 6 e) 7
1−
1 x
a) Disminuye en −68/15 b) Aumenta en 28/15 c) Aumenta en −68/15 d) Disminuye en 28/15 e) No var´ıa 3m − n 11. La relaci´ on F (x − ) = F [F (x)] − 5 7x 2m + n 2F + 8 con F (m) = ; m 5 m 6= 0 se verifica para un polinomio F (x). Hallar F (7) a) 7 b) 4 c) 8 d) 9 e) 10 12. Si:
x 1 ; F (x) = ; 1+x 1+x 1 y adem´ as P {F [G(x)]} = . 10
P (x) =
G(x) = x Calcular x a) 5 d) 16
b) 10 e) 8
c) 4
13. Hallar el GA de la expresi´ on: x M= √ n+1
2)2
7. Si el polinomio: Q(x) = a(x + + b(x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es√id´enticamente nulo. Hallar el valor de L = c a − b a) 0 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2
x
P (x) =
+ 3c2 w256 c) 4
4. Determinar el valor de “k” para que los polinomios: P (x, y) = 5(x4 +y 4 )+30x2 y 2 +20xy(x2 +y 2 ) Q(x, y) = k(x + y)(x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ) sean equivalentes: a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
3.6.
a) 4n d) 1
√
2 n 16(1/2)
3
√ 6
yn
x x4 x9 . . . xn 2
b) 3n e) n
1 2n+1
c) 2n
´ Algebra
74
Walter Arriaga Delgado
14. Se tiene un polinomio de 4to grado cuya suma de coeficientes es 5 y el t´ermino independiente es 2. Adem´ as P (x − 1) − P (x) = P (x + 1) + x. P (0)P (−1)P (1) + P (2) P Calcular coef − TI a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 70/3
21. Si P (x) es un polinomio definido por: P (x) = (4x9 + 3)n (x2 + 3x3 + 1)n−2 (2x9 + 3) tal que su grado es 27. Hallar la suma del t´ermino independiente y el coeficiente principal. a) 75 b) 59 c) 73 d) 72 e) 74
15. ¿Cu´ antos factores han de tomarse para que la expresi´ on: P (x) = (x2 + 1)(x6 + 2)(x12 + 3) . . . , tal que P (x) sea de grado 572 a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 12
22. Hallar el grado del polinomio: P (x) = (x44 + 1)(x110 + 2)(x176 + 3)(x242 + 4) . . . 20 factores. a) 13430 b) 610 c) 13440 d) 671 e) 13420
16. Un polinomio m´ onico de tercer grado P (x), adopta el mismo valor num´erico para x = 3, x = −1, x = −2 ; si la suma de coeficientes es 105. Hallar su termino independiente. a) 108 b) 111 c) 109 d) 110 e) 115 17. Sean los polinomios: P (x), Q(x) y R(x) cuyos grados son (4n + 3), (6n − 1) y (2n), respectivamente, tal que, el grado [P 3 (x)R(x) + P 2 (x)Q(x)s− R6 (x)] es 107. 3Q2 (x)P (x) Hallar el grado de: E = 3 4R(x) a) 22 b) 55 c) 26 d) 44 e) 33 18. En la expresi´ on:
q
5 3 27(x6
È
y 9 )10 z 7 √ 7x10 y 3 3 z GRx GRy GRz Determine el valor de: E = GA a) 2 b) 3 c) 4 d) 10 e) 15 M=
23. Calcular abc en la identidad 18x3 + 21x2 + 8x + 1 ≡ a(2x + 1)a (cx + a)b a) 3 b) 1 c) 6 d) 2 e) 12
1 24. Sea A = − 16 1 + , adem´ as P (x) = 8x 4 n x Ax + y − + z y es identicamente nuxn lo. Calcular: y z √ c) 2 a) 4 b) 2 d) 16 e) 8 2 yz
2
3
25. Si: P (x, y) = (abc + 16)xa y b − (bc + 3 c 2 c a)xb y c + (b − c)xa y c es un polinomio id´enticamente nulo. Calcular: a + b + c a) 8 b) 6 c) 2 d) 0 e) 4
5
19. Siendo P (x) un polinomio que cumple la relaci´ on P (x + 1) = x2 + P (x), indicar el valor de P (10) − P (7) a) 194 b) 54 c) 89 d) 121 e) 225 20. Determine el t´ermino central del polinomio P (x) = nx + (n − 1)x2 + (n − 2)x3 + · · · + 2xn−1 + xn , sabiendo que la suma de coeficientes es 153. a) 5x8 b) 6x9 c) 9x3 9 9 d) 9x e) 8x
26. Si el t´ermino independiente y el coeficiente principal del plinomio: P (x) = (x2 − 3x + 5)(6xn − x + n)(2x4 + x2 + n + 1)(10xn−1 − 5xn − 1), son iguales. Hallar “n”, si n > 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 27. Sean los polinomios P , Q, R y H, que cumplen: P (x − 3) = Q(x + 2) + R(x − 3) H(x) = P (x − 1) + Q(x + 4). Sabiendo que los t´erminos independientes de P y R son 5 y 4 respectivamente. Calcular la suma de coeficientes de H(x). a) −7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 6
Cap´ıtulo 4:
MULTIPLICACION ALGEBRAICA Objetivos z Saber aplicar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios. z Conocer el manejo de los productos notables por ser de suma importancia en la simplificaci´ on y factorizaci´ on. Dentro del c´ alculo algebraico es frecuente la transformaci´ on de una expresi´ on algebraica en otras equivalentes, cuando estas permiten algunas reducciones y/o simplificaciones, estas transformaciones reciben el nombre de operaciones algebraicas.
4.1.
Adici´ on y sustracci´ on de expresiones algebraicas
Es la operaci´ on que consiste en sumar o restar t´erminos semejantes (Simplificaci´ on de t´erminos semejantes), y se procede de la siguiente manera: Se suman algebraicamente los coeficientes Se escribe la misma parte literal.
4.2.
Multiplicaci´ on de expresiones algebraicas
Es la operaci´ on que consiste en hallar una expresi´ on denominada producto P (x), a partir de otras dos expresiones llamadas multiplicando M (x) y multiplicador N (x); de modo que: M (x).N (x) = P (x) Propiedades: El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. 75
´ Algebra
76
Walter Arriaga Delgado
El t´ermino independiente del producto es igual al producto de los t´erminos independientes de los factores. Ejemplo 4.2.1. Se tienen los polinomios: P (x) = 3x5 − 2x2 + 5;
Luego tenemos que:
Q(x) = 6x7 − 2x5 − 3;
R(x) = 4x3 + 2
Grado [P (x).Q(x).R(x)] = 5 + 7 + 3 = 15. T´ermino independiente del producto T.I. = (5)(3)(2) = 30.
4.3.
Productos notables
Para poder entender sobre los productos notables, es esencial que se tenga un dominio regular de las operaciones b´ asicas del algebra elemental. Esto es, suma, resta, multiplicaci´ on y divisi´ on de polinomios. Resultar´ a m´ as o menos f´ acil entender un producto notable si se tiene nociones de que es un producto, y que el producto es el resultado de la multiplicaci´ on de dos o m´ as factores. Definici´ on 4.3.1. Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecci´ on, sin verificar la multiplicaci´ on que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicaci´ on simplifica y sistematiza la resoluci´ on de muchas multiplicaciones habituales. Los m´ as importantes son: 1. Cuadrado de un binomio (Trinomio cuadrado perfecto) El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer t´ermino m´ as (o menos) el doble del producto del primer t´ermino por el segundo m´ as el cuadrado del segundo t´ermino. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 b
ab
b2
a
a2
ba
a
b
Figura 4.1: Ilustraci´ on gr´ afica del cuadrado de un binomio
Nota:
(a − b)2n = (b − a)2n para todo n ∈ Z
´ Algebra
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77
Teorema 4.3.1. Todo trinomio de la forma ax2 + bx + c es cuadrado perfecto si y s´ olo si: b2 = 4ac 2. Suma por su diferencia (Diferencia de cuadrados) El producto de de la suma de dos t´erminos por su diferencia es igual a el cuadrado de la primer t´ermino menos el cuadrado del segundo. (a + b)(a − b) = a2 − b2 (an + bn )(an − bn ) = a2n − b2n b
b2
a a2
(a + b)(a − b) a
b
a
Figura 4.2: Ilustraci´ on gr´ afica de una diferencia de cuadrados
3. Cubo de un binomio (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Forma desarrollada
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Forma abreviada
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
Forma desarrollada
(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
Forma abreviada
4. Binomio por trinomio (Suma y diferencia de cubos) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 5. Suma y diferencia de potencias n-´ esimas (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − · · · + bn−1 ) = an + bn (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ) = an − bn 6. Cuadrado de un trinomio (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b
+ c)2
=
a2
+
b2
+
c2
+ 2(ab + ac + bc)
Forma Desarrollada Forma Abreviada
´ Algebra
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(a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc (a − b − c)2 = (b + c − a)2 c
ac
bc
c2
b
ab
b2
cb
a
a2
ba
ca
a
b
c
Figura 4.3: Ilustraci´ on gr´ afica del cuadrado de un trinomio
7. Cubo de un trinomio (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6abc (a + b +
c)3
=
a3
+
b3
+
c3
+ 3(a + b)(a + c)(b + c)
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) − 2(a3 + b3 + c3 ) + 6abc
(a + b +
c)3
=
a3
+
b3
+
c3
+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc
(FD) (FA) (FA) (FA)
8. Producto de binomios con un t´ ermino com´ un El producto de dos binomios con un t´ermino com´ un es igual a el cuadrado del t´ermino com´ un m´ as el producto de la suma de los t´erminos no comunes por el t´ermino com´ un m´ as el producto de los t´ermino no comunes. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x − abc 9. Identidades de Legendre (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab (a + b)4 − (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 ) 10. Identidades de Lagrange
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2
79
a
x
b
y
(a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 a
x
b
y
c
z
11. Identidades de Argand (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = x4 + x2 + 1
(x2 + xy + y 2 )(x2 − xy + y 2 ) = x4 + x2 y 2 + y 4
(x2m + xm y n + y 2n )(x2m − xm y n + y 2n ) = x4m + x2m y 2n + y 4n 12. Identidades auxiliares a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac) 1 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 2 (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3 ) = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) + 6abc
(Equiv. de Gauss)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) − 3abc (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a) (a + b)4 + (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 )
(a + b)(a + c)(b + c) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) Nota 4.3.1. Existe una ingeniosa f´ ormula para representar un cubo como diferencia de dos cuadrados:
a3 =
a(a + 1) 2
2
−
a(a − 1) 2
2
13. Igualdades condicionales Si
a+b+c=0
entonces:
Si a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc entonces a = b = c Si a3 + b3 + c3 = 3abc entonces a = b = c
o ´
a+b+c=0
Si (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 entonces (a + b + c)2n+1 = a2n+1 + b2n+1 + c2n+1
´ Algebra
80
Walter Arriaga Delgado
⊛ a2 + b2 + c2 = −2(ab + ac + bc). ⊛ a3 + b3 + c3 = 3abc.
⊛ a4 + b4 + c4 = 2 a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 . ⊛ a5 + b5 + c5 = −5abc(ab + ac + bc).
⊛ a2 + b2 + c2
2
= 2 a4 + b4 + c4 .
⊛ (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 . 2 3 a + b2 + c2 a + b3 + c3 a5 + b5 + c5 ⊛ = . 2 3 5 2 5 a + b2 + c2 a + b5 + c5 a7 + b7 + c7 ⊛ = . 2 5 7 Cuadro 4.1: Igualdades condicionales
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
✍
81
EJERCICIOS RESUELTOS
SOL:
3.
Productos notables
1. Si a3 + b3 = 279; a + b = 3. Hallar: a − b a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 12 Soluci´ on a3 + b3 = 279 (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 279 3(a2 − ab + b2 ) = 279
4.1.
a) 0 b) 6 d) 8 e) 2 Soluci´ on En la ecuaci´ on:
(a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) hacemos los cambios de variable:
a2 − ab + b2 = 93 2
2
a +b
= 93 + ab
c) 4
x=a+b;
y =c+d
entonces:
adem´ as:
(x + y)2 = 4xy a+b = 3 2
= 9
2
= 9
2
= 9 − 2ab
(a + b) 2
a + 2ab + b 2
a +b
x2 + 2xy + y 2 = 4xy (x − y)2 = 0 de donde:
x = y,
luego:
luego:
a+b =c+d 93 + ab = 9 − 2ab
obteni´endose:
obteni´endose: (
ab = −28 ahora, reemplazando se tiene: Por lo tanto:
a2 + b2 = 65
a−c b−c + =1+1=2 d−b d−a
Por otro lado: E = a−b
E
2
a−c =d−b b−c =d−a
Alternativa: e 2
= (a − b)
= a2 − 2ab + b2 = 65 + 2 × 28 = 121 Por lo tanto: E = 11 Alternativa: b a−c b−c 2. Calcular + . Sabiendo que: d−b d−a (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)
3. Hallar a4 − b4 , si: È È √ √ a = È3 + 5 +È3 − 5 √ √ b= 3+ 5− 3− 5 a) 106 b) 76 d) 84 e) 86 Soluci´ on È
a =
3+
√
È
È
5+
a2 = 6 + 2 (3 + a2 = 10
c) 96
√
3−
√
5 √ 5)(3 − 5)
´ Algebra
82 adem´ as:
elevando al cuadrado se tiene:
È √ √ b = 3+ 5− 3− 5 È √ √ b2 = 6 − 2 (3 + 5)(3 − 5)
È
3 2
(x )
a2 = 2 luego 4
4
2
2
2
2
a − b = (a + b )(a − b ) = 12 × 8 = 96 Alternativa: c
4. Calcular:
a+b+c b+c
3
+
a 2 6 +8 b+c a) 10 b) 14 d) 12 e) 16 Soluci´ on Haciendo b + c = x, se tiene:
x+a x
1+
a x
3
x−a + x
3
+ 1−
a x
3
b−a+c b+c
−
2
3
−6
+8
2 a
x
x
6
x
6
=
" a n/2
b n
n/2 #2
+
+8
a a 2 a 3 a +3 + +1−3 + 1+3 x 2 x 3 x x a a a 2 3 − −6 +8 x x x Reduciendo se obtiene el valor de 10
5. Si x=
a b Ê 3
n
+
b a
b) 6 e) 8
x3 x3
c) 4
an + bn √ an bn an + bn = √ an bn an bn = + an/2 bn/2 an/2 bn/2 n/2 n/2 a b = + b a
x = x3
s 3
+
b a
de donde x = 2 Alternativa: d √ 6. Si x = 3 3 ¿Cu´ al es el valor de: (x + 3)3 + 3(x + 1)3 − 3(x + 2)3 − x3 √ √ 3 b) 6 c) 3 3 3 a) 3 d) 9 e) 27 Soluci´ on (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27
(4.1)
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
(4.2)
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
(4.3)
luego haciendo: (4.1)+3(4.2)−3(4.3) −x3 (x + 3)3 + 3(x + 1)3 − 3(x + 2)3 − x3 = 2 + 27x 3 +✟ 2 + 9x ✚+ 3 − x3 + ✟ 9x✟ 3x✟ 9x✟ ✟✟ + 27 + ✟ ✚ ✟ ✟ ✟2 − ✟ ✟ − 24 − x3 = 6 ✟ 3x3 − ✟ 18x 36x
Alternativa: b 7. Si: ab + ac + bc = −8 (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 Calcular:
= 62. Hallar:
an + bn √ an bn
a) 1 d) 2 Soluci´ on
a
n
x6 = 26
Alternativa: a n
b a
n/2 n/2 b
a a = +2 b b = 62 + 2
3
c) 8
a −6 x
Walter Arriaga Delgado
E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 a) −2 b) 1 d) 2 e) 3 Soluci´ on Reduciendo la ecuaci´ on:
c) −3
(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 a2 +2ab+b2 +a2 +2ac+c2 +b2 +2bc+c2 = 16 2(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc) = 16 a2 + b2 + c2 − 8 = 8
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
83
a2 + b2 + c2 = 16
(a + b)[(a + b)2 + (a − b)2 − 2ab] − 2b3
adem´ as:
(a + b)[2(a2 + b2 ) − 2ab] − 2b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
2(a + b)(a2 − ab + b2 ) − 2b3
reemplazando se tiene
3 3 2a3 + ✚ 2b✚ −✚ 2b✚ = 2a3
2
(a + b + c) = 16 + 2(−8) = 0
y reemplazando se tiene: 2a3 = 2 × 3 = 6
de donde a+b+c=0
Alternativa: a
por otro lado tenemos: E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 a2 b2 c2 + + = bc ac ab a3 + b3 + c3 = abc ✟ 3✟ abc = ✟ abc ✟ por lo tanto E = 3 Alternativa: e 8. Calcular el valor de: a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) −1 2 − . a −Èb a3 − b3 È √ √ √ √ Si a = 2 + 3 ;√ b = 2− 3 a) 2√ c) 1/2 b) √ 2 e) 3 d) 12 Soluci´ on Simplificando primero la expresi´ on:
−1
2
a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) − a−b a3 − b3
1 a+b 2b(a2 + ab + b2 ) − 2 a − b (a − b)(a2 + ab + b2 ) 1 a+b 2b 1 − = 2 a − b (a − b) 2
Alternativa: c 9. Hallar el valor num´erico de: (a + b)[(a +√b)2 − 2ab + (a −√b)2 ] − 2b3 √ 3 3 Para a = 3; b = 2 3 − 2 + 1 √ a) 6√ b) 18 c) 2 e) 3 d) 3 Soluci´ on Simplificando primero la expresi´ on: (a + b)[(a + b)2 − 2ab + (a − b)2 ] − 2b3
2
10. Si
2
a b
+
2
b a
= 18. Calcular:
2
a b − a √b √ √ a) 4 √5 b) 2√ 5 c) 4 2 d) 8 5 e) 2 2 Soluci´ on Se sabe por diferencia de cuadrados que: E=
a b
E=
hagamos m =
+
b a
a b + b a
a b
−
y n=
b a
a b − b a
a b + b a a b 2 2 m = + b a 2 2 a b = +2+ b a = 20 √ de donde m2 = 20, luego m = 2 5 por otro lado: m =
a b − b a a b 2 = − b a 2 2 a b = −2+ b a = 16
n = n2
de donde m2 = 16, luego √ n=4 Por lo tanto E = mn = 8 5 Alternativa: d
´ Algebra
84
CAP 03:
Productos notables
1. Si a3 + b3 = 279; a + b = 3. Hallar: a − b a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 12 a−c b−c + . Sabiendo que: d−b d−a (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) a) 0 b) 6 c) 4 d) 8 e) 2
2. Calcular
a4
4. Calcular:
a b+c a) 10 d) 12
2
a b Ê
x=
3
10. Si
a+b+c b+c
3
b−a+c b+c
b) 14 e) 16
a √b a) 4 √5 d) 8 5
b a
−
√ b) 2√ 5 e) 2 2 x2 + y 2 + z 2
√ c) 4 2 2
x4 + y 4 + z 4 Si x + y + z = 0 a) 1 b) 2 c) −1 d) 4 e) 0, 5
c) 4
13. Dadas las siguientes ecuaciones: (x − a)2 + (x − b)2 − 2(x − m)(x − n) = 0 (x − m)2 + (x − n)2 − 2(x − a)(x − b) = 0 Calcular el valor num´erico de: a2 + b2 + m2 + n2 E= ab + mn a) 6 b) 4 c) 2 d) 3 e) 7
7. Si: ab + ac + bc = −8 (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 Calcular: E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 b) 1 e) 3
b a
12. Si (p + q + r − s)(p + q − r + s) = (r + s + p − q)(r + s − p + q) p2 + q 2 Calcular: E = 2 r + s2 a) 0 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1
√ 6. Si x = 3 3 ¿Cu´ al es el valor de: (x + 3)3 + 3 3(x + 1) − 3(x + 2)3 − x3 √ √ 3 b) 6 a) 3 c) 3 3 3 d) 9 e) 27
a) −2 d) 2
2
−
c) 8
= 62. Hallar:
b) 6 e) 8
= 18. Calcular:
11. Hallar el valor de:
3
an + bn √ an bn
a) 1 d) 2
b a
+
n
+
2
c) 96
+
a b
2
+8
n
5. Si
2
b4 ,
4.1.
9. Hallar el valor num´erico de: (a −√b)2 ] − 2b3 (a + b)[(a +√b)2 − 2ab + √ Para a = 3 3; b = 2 3 3 − 2 + 1 √ a) 6√ b) 18 c) 2 e) 3 d) 3
E=
3. Hallar − si: È È √ √ a = È3 + 5 +È3 − 5 √ √ b= 3+ 5− 3− 5 a) 106 b) 76 d) 84 e) 86
6
Walter Arriaga Delgado
c) −3
8. Calcular el valor de: a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) −1 − 2 . a −Èb a3 − b3 È √ √ √ √ Si a = 2 + 3 ;√ b = 2− 3 a) 2√ c) 1/2 b) √ 2 d) 12 e) 3
14. Sabiendo xn + x−n = 18. Ê que n x −1 √ Hallar xn a) 2 b) 6 d) 4 e) 1
c) n
√ 15. Si a4 + b4 = 14 y a + b = 6 Calcular M = a2 + b2 + (a + b)2 a) 12 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11 16. Si se cumple
4 1 1 = + . Calcular el x+y x y
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado valor de: M = a) 2 d) 4
2x + y 3y 2x + 5y − + 2x + 2y 4x 7y b) 1 c) x e) y
17. Efectuar: N = (a + b + c)2 + (a + b − c)2 + (b + c − a)2 + (c + a − b)2 a) a + b + c b) a2 + b2 + c2 c) 4 d) 2abc e) 4(a2 + b2 + c2 ) 18. Si: a + b + c = 7 a2 + b2 + c2 = 17 a3 + b3 + c3 = 43 Calcular N = a) 1 d) 2
a+b+c a−1 + b−1 + c−1 b) 1/2 e) 1/4
c) 21/4
19. Dada las condiciones: a+b+c=1 a2 + b2 + c2 = 9 a3 + b3 + c3 = 1 a3 b3 c3 Calcular: M = + + ; abc 6= 0 bc ca ab a) −33/4 b) 1 c) 1/4 d) 1 e) 12/3 20. Si xy = 1 y x; y Ê > 0; x, y ∈ Rs y2 + 1 x2 + 1 Calcular: N = x + y x2 + 1 y2 + 1 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 21. Si a 6= b 6= 0, simplificar: 2
3
a+b a−b 6 a − b − a + b 7 (a + b)2 − 2ab 6 7 4a+b a−b5 4 + a−b a+b a) a/2 d) (a + b)/2
b) ab/2 e) b/2
c) ab/4
22. Si x, y 6= 0. Reducir: 2 2 1 1 1 +2 +2 − 4 + − 2 xy x2 y 2 xy 2 2 2 4 2 +1 −2 −1 + −1 xy x2 y 2 xy 4 c) a) x2 y 2 b) xy xy 1 1 d) e) 2 2 xy x y
85 x2 y2 − = 3(x − y); x, y 6= 0. Hallar el y x 4 x18 + y 18 valor de: R = (x3 y 3 )3 a) 0 b) 15 c) 8 d) 6 e) 1/4
23. Si
24. Si |a| = 6 1. Simplificar: √ √ 1 a + a2 − 1 a − a2 − 1 √ √ √ − a2 − 1 a − a2 − 1 a + a2 − 1 a) 4a b) a2 c) a d) a4 e) 2a √ 25. Si x + x−1 = 5. x10 + 1 Calcular: C = 4 2 x (x √ + 1) √ √ a) 5 − 1 b) √ 5 5 c) 14 5 d) 5 e) 5 + 1 26. Para x 6= y 6= z. Simplificar: z 3 (x − y)3 + x3 (y − z)3 + y 3 (z − x)3 (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 a) x + y + z b) xyz c) 3xyz d) 6xyz e) 2(x + y + z) √ √ √ x+ y+ z √ 27. Calcular el valor de: √ √ 4 xy + 4 xz + 4 yz È È È √ √ √ Si: x − yz + y − xz + z − xy = 0 a) −2 b) 2 c) 5 d) 3 e) 1 28. Suponga que se cumple las siguientes condiciones: x + y + z = 2 ; √
√ √2. 2
..
xy + xz + yz = 2 . Entonces el valor de: 100 99 x + y 100 + z 100 x + y 99 + z 99 T = 100 99 98 98 98 x +y +z . . . (x + y + z) ser´ıa: 98 a) −5 b) 3 c) 0 d) −1 e) 2 √ √ √ 29. Si a = 1 + 8 ; b = 2 − 4 2 ; c = 8 − 3. Calcule el valor de: a b c + + bc ac ab I = a3 + b3 + c3 ab + ac + bc √ a) −6 b) 1 c) 6 d) 6 e) 0
´ Algebra
86
CAP 03:
Productos notables
1. Si el polinomio 3 a + b3 − a − b 3 P (x) = x + a+b+1 abx2 + ax + b es m´ onico de segundo grado, hallar a3 + b3 y dar como respuesta su valor m´ınimo a) 1 b) −2 c) −3 d) 2 e) 3 2. Si x + x−1 = (0,5)−1 . Calcular el valor de: A = x−1 + x−2 + x−3 + . . . + x−n + x + x2 + x3 + . . . + xn a) 2 b) 4n c) 1/4n d) 1/2n e) 2n 3. Si a3 − b3 = m y a − b = n. ¿Cu´ al es el valor de ab? m − n3 m3 − n m − n2 c) b) a) 3n 3n 3n 2 2 m−n m −n e) d) 3n 3n 4. Si a3 + b3 + c3 = 3 y a2 + b2 + c2 = 2 calcular el valor de: (a + b + c)(2 − ab − ac − bc) W = 1 − abc a) 3 b) 1/3 c) 8 d) 5 e) 6 5. Si (x + y)2 = 2(x2 + y 2 ), hallar el valor de: E= a) 1 d) 6
Walter Arriaga Delgado
5x4 − y 4 2x2 + 3y 2 4y + + 2 2 x y 5xy 3x + y b) 3 e) 9
c) 7
6. Si m + n √ + p = mnp, entonces√ √ m n p n+p x x + xm+p + xm+n W = es: xmn + xmp + xpn a) xmn b) 1 c) xmp np mnp d) x e) x √ 7. Si x = 12 m + 1, calcular: (x2 + 1)(x4 − x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − 1)(x2 − x + 1) − m a) 2 b) 3 c) −2 d) −1 e) 0
4.2.
a x9 + = 7, hallar: x9 a Ê É 9 a 4 x E= 4 9+ x a a) 5√ b) 3 e) 7 d) 3
8. Si
x
c)
√
5
130
9. Si seÈcumple xx = 1212 , calcular: √ √ E = x+6 x−9− x−9 a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 10. Si w, b, v, r ∈ R, tal que w2 + b2 = 16 y adem´ as v 2 +r 2 = 4. Calcule el m´ aximo valor entero que puede asumir wv + br + 8. a) 64 b) 8 c) 4 d) 16 e) 20 1 1 + 2 = a, el valor de (x+y)2 es: 2 x y b) b(ab + 2) c) (b + 2a)2 a) 2b + a2 d) ab e) a/b
11. Si xy = b;
1 = 7; y w 6= 1 el valor de w4 1 A=w− +1 w a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2
12. Si w4 +
13. Sabiendo que a + b = ab = 5 el valor de a2 + b2 + 5 es M= 3 a + b3 + 10 a) 1/2 b) 1 c) 1/3 d) 3 e) 2 14. Al simplificar la expresi´ on A2 − 4B 2 , donde: 2 x y x y 2 A= + + − y y x y x 2 2 x y B= − se obtiene: y x a) 16 b) 10 c) 8 d) 11 e) 13 15. AlÈreducir la expresi´ on √ √ √ 109 4 4 ( a + 1)( a − 1)( a + 1)(a + 1) − a2 resulta a) −4 b) 3 c) −2 d) −1 e) 2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. Hallar el valor num´ rico de: x√6 − 6x√4 + Èe√ √ W =È 3 3 2 9x + 2 para x = 7+ 6+ 7− 6 a) 26 b) 30 c) 28 d) 32 e) 36 17. Si a + b = 3, ab = 3. Calcular: E = a + a2 + a3 + a4 + b4 + b3 + b2 + b a) 0 b) 1 c) −2 d) 3 e) −3 18. Si (x − y)2 + (x − z)2 + (y − z)2 = 0. Determinar el valor de: Ê
E=
3
x + 2y + 2x + y
a) 1√ d) 3 3
Ê
x2 + y 2 2xz b) √ 0 e) 4 2 4
È È √ √ 19. Si x È = 2 + 3 +È 2 − 3, √ √ y = 3 + 2 2 +È 3 − 2 2. El valor de A = x4 + y 4 es: a) 10 b) 20 d) 16 e) 56
c) 2
c) 42
20. Si se verifica que a−1 + b−1 + c−1 = 0; abc 6= 0 y adem´ as a4 b4 + b4 c4 + a4 c4 = 162, 1 el valor de E = es: abc(a + b + c) a) 1/3 b) 9 c) 3 d) 1/9 e) 27 21. Si 4(x4 + 1) = 5x2 , x 6= 0, entonces el valor 1 2 de G = x + es: x a) 2/3 b) 13/4 c) 3/4 d) 3/2 e) 2 22. Si (x+y+2z)2 +(x+y−2z)2 = 8(x+y)z. Ha x−y 3 y−z 3 x+y 3 llar: E = + + z−y z−x 2z a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 10 23. Sea f (x) =
ax2
+ bx + c, un trinomio cua8b2 drado perfecto. Calcular E = ac a) 2 b) 4 c) 32 d) 8 e) 64
24. Reducir: (x2 + x + 1)2 − 2(x4 + x2 + 1) + (x2 − x + 1)2 √ √ (x2 + 3)2 + 2(x4 − 3) + (x2 − 3)2
87 a) x−2 d) 1
b) x e) x−3
c) x−1
√ √ 25. Si a + b = 3 3 y a − b = 3 2. Hallar E = 4ab(a2 + 3b2 )(b2 + 3a2 ) a) 4 b) 12 c) 10 d) 5 e) 18 26. Simplificar
2 2 2 2 8 n+2− + n−2− − 2 n n n E= 2 2 1 1 n2 n + − n− n n a) n b) 1/2 c) n2 d) 1 e) 2
√ √ √ 27. Si ab = 3 100 − 3 10 + 1 y a2 + b2 − 1 = 3 10. Calcular: E = (a − b)4 − (a + b)4 a) 22 b) −44 c) 33 d) 66 e) −88 28. Sea la expresi´ on: E = 14x(x − 1) − x2 (x − 1)2 + (x − 2)(x + 3)(x − 4)(x + 1) − 24 Al sustituir x por y + 1 en E se obtiene: a) E 2 + 1 b) E − 1 c) No var´ıa 2 2 d) E + 1 e) (E − 1) 29. Simplificar:
3xz + 2 3yz + 2 + + (x − y)(x − z) (y − x)(y − z)
3xy + 2 (z − x)(z − y) a) 3 d) x
b) y e) −3
c) z
30. Reducir la expresi´ on: F = 1 + (a + 1)(a − 1)[(a2 + 1)(a4 + 1)(a8 + 1) . . . n factores] n n a) a2 +1 b) a2 c) a2n+1 2n+1 2n−1 d) a e) a 31. Si 4(a + b + c) = a3 + b3 + c3 = 24. Calcular: E = (a + b)(a + c)(b + c) a) 2 b) 64 c) 16 d) 4 e) 216 32. Reducir E = (x − y + z)2 − (x + y − z)2 + (z − x − y)2 − (z − x + y)2 a) 4x(y − z) b) 4z(x + y) c) 4y(z − x) d) 2x(y + z) e) 4z(x − y)
´ Algebra
88
CAP 03:
Walter Arriaga Delgado
Productos notables
1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. El t´ermino independiente del polinomio producto, es igual al producto de los t´erminos independientes de los factores. El coeficiente principal del polinomio producto, es igual al producto de los coeficientes principales de los factores. El coeficiente principal es el mayor coeficiente de los t´erminos de un polinomio. a) VVVV d) FVVF
b) VVVF e) FFFV
c) VFVF
2. Hallar el valor de: W = [5833 + 2173 + (2400)(583)(217)]1/3 . a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800 3. Hallar el valor de “x” en: (12346)2 − (24691)2 3x + 2 . = 2 2 (12344) − (24689) 3x − 2 a) 12123 b) 37037 c) 12345 d) 12321 e) 54321 √ xy 5 4. Si 2 = , entonces el valor de: 2 x +y 5 4 4 x y E= + es: y x a) 7 b) 2 c) 5 d) 1 e) 9 −2n = 258, hallar el 5. Si ab = 1; ax2n s+ bx xn √ valor de: W = √ a x2n − b a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 1/4 e) 1/16
6. El valor entero de k que hace que el trinomio (k + 1)x2 + (5k − 3)x + 2k + 3, sea un cuadrado perfecto es: a) 2 b) 3 c) −3 d) −2 e) 7
4.3.
7. El ´ area de un cuadrado de lado (a + b) es 8 veces el ´ area de un tri´ angulo de base “a” y altura “b”. Calcular: (a + b)4 − (a − b)4 E= (4a2 + b2 )2 − (4a2 − b2 )2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 8. Sabiendo as: r r que a > b, adem´ É É a b a b 3 + 3 = 3; calcular − b a b a a) 5 b) 44 c) 4 d) 32 e) 64 9. El valor de: E = 2[4 × 10 × 82 × . . . (n factores) + 0,5] es equivalente a: n a) 32 b) 4n + 1 c) 8n + 1 n 3n d) 8 − 1 e) 2 s s √ √ 3 14 3 3 14 3 10. Si: x = 1 + √ + 1 − √ , Calcular 5 5 5 5 E = 5x3 + 3x + 1 a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10 √ √ √ 11. Si a = √ 2; b = 8; c = 18 calcular: W = A2 − B, donde A = a2 + b2 + c2 +ab+ac+bc y B = (a+b+c)2 (a2 +b2 +c2 ) a) 18 b) 22 c) 20 d) 24 e) 26 12. Si x + y + z = 0. Hallar: (3x + y)3 + (3y + z)3 + (3z + x)3 E= (3x + y)(3y + z)(3z + x) a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 13. Si x + y + z = 0. Hallar: (x + y)−2 + (y + z)−2 + (x + z)−2 W = (2x)−2 + (2y)−2 + (2z)−2 a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 1/4 e) 1 √ 14. Sabiendo que: a − b = b − c = 7 7. Determine el valor num´erico de: (a − c)7 + (b − c)7 + (a − b)7 70 a) 13 b) 10 c) 2 d) 16 e) 12
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
15. Dadas las condiciones: a2 + b2 + c2 = 2 ∧ (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) = 32. Calcule: a+b+c √ a) 64 c) 16 b) 3 32 d) 4 e) 2 16. Siendo a 6= b 6= c a+b+c =
∧
1 1 + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a)
1 . (c − a)(a − b) Determine el valor num´erico de: E = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 + 3abc a) 1 b) 0 c) 3 d) (a + b)/c e) −1
17. Siendo a3 + b3 + c3 = 4abc. Adem´ as: a2 + b2 + c2 = ab+ ac + bc + 1 ∧ abc 6= 0. b+c a+c a+b + + − Reducir: W = a b c 1 1 1 (abc) + + a b c a) 1 b) 3 c) 0 d) −2 e) −3 18. Si se cumple que: a3 +b3 +c3 = 0, simplificar: 3abc ; abc 6= 0 a(b − a) + b(c − b) + c(a − c) a) ab + bc + ac b) abc c) a + b + c d) 0 e) a2 + b2 + c2 19. Siendo: a + 4b + 9c = 0. Seg´ un ello re(a − 2b)2 (2b − 3c)2 (3c − a)2 ducir: + + ab bc ac a) −36 b) 14 c) −14 d) abc e) a + b + c √ √ 20. Si: x +√a + b − x −√ a − b = a + b. Calcular E = x − a − b + x + a + b a) a + b b) a − b c) 0 d) 2 e) ab 21. Siendo: a + b + c = ab + bc + ca = abc = 1. ab bc ca Evalue: E = + + c a b a) 0 b) −1 c) 1 d) 2 e) −2 22. Si 2x = a + b + c, adem´ as se cumple que 2 2 −x + M = (x − a) + (x − b)2 + (x − c)2 Hallar: “M ” a) a + b + c b) 0 c) ab + bc + ac d) 1 e) a2 + b2 + c2
89
√ 23. Si x = 2 − 1. Calcular: S = x5 − √ 5x3 + 2x2 + x +√1 √ a) 2√ 2 b) 2/3 c) 2 e) 1 d) 2 + 1 1 1 4 + = ; xy 6= 0. x y x+y Ê xn + y n Hallar: W = n−1 (x + y)n a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 1/3
24. Sabiendo que:
25. Hallar la ra´ız cuadrada de: (a + b + c)4 − 4(ab + bc + ac)(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc) a) b2 + ac b) ab + bc + ca c) a2 + bc 2 2 2 d) a + b + c e) c2 + ab 26. Calcule el valor de x2 + y 2 si: ax + by = 8 ay − bx = 6 a2 + b2 = 5 a) 16 b) 20 d) 24 e) 25
c) 18
27. Si a + b + c = 1 a2 + b2 + c2 = 2 a3 + b3 + c3 = 3 Hallar: abc a) 1 b) 1/2 d) 1/3 e) 1/6
c) −1/2
28. Si a, b, c ∈ R ∧ a2 +b2 +c2 = ab+bc+ca. Hallar el valor de: s
A= a) 1 d) 3
n−1
an + bn + cn (a + b + c)n
b) 2 e) 1/2
c) 1/3
29. Si: ax + by + cz = 6 ay − bx = az − cx = bz − cy = 2 Adem´ as: x + y + z = xy + yz + xz = 4. Determine: a2 + b2 + c2 a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 1 30. Si: x + = 1, el valor de E = x a) −2 b) −1 d) 1 e) 3
r 5
x5 + c) 2
1 es: x5
´ Algebra
90
CAP 03:
Walter Arriaga Delgado
Productos notables
1. Si a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1, hallar: a3 + b3 + c3 − 3abc W = 4 a + b4 + c4 − 4abc a) 0 d) −1
b) 1 e) 2
c) −2
1 1 1 2. Si se cumple que = + , adem´ as x y z x = y + z + 2, entonces: x2 + y 2 + z 2 es igual a: a) 0 b) −2 c) −4 d) 2 e) 4 −1 −1 3. Si (1 + xy −1 È)(1 + yz )(1 + zx ) = 7, hallar: W = 3 (x + y + z)(x−1 + y −1 + z −1 ) a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 √ 4. Calcular E = 3 a3 − 3ab + b3 , si (a + b)(a + 1) = b, siendo a 6= 0. a) a + b b) b c) a d) a − b e) a2
8 2 2 2 2 2 2 >
= 19 4 4 4 5. Si a +b +c = 83 > : ab + ac + bc =7 3 3 3 a + b + c − 11 Hallar: E = abc + 3 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 6. Si 9x2 + 4y 2 + z 2 = 6xy + 3xz + 2yz. Deter(x + y + z)2 minar el valor de E = 2 x + y2 + z2 a) 43/49 b) 121/49 c) 29/49 d) 8/49 e) 3/49 7. Si la diferencia de dos n´ umeros es 4 y la suma de sus cuadrados es 24. La diferencia de sus cubos es: a) 92 b) 90 c) 100 d) 96 e) 112 8 3 3 3 >
= 86 8. Si ab + ac + bc = 3 > : abc =2 Hallar el grado absoluto del monomio:
4.4.
M (x, y, z) = 2ab3 c2 xa y b z c a) 2 b) 3 d) 4 e) 6 9. Reducir: E = a) 3 d) 1
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 (x − y)(y − z)(z − x) b) 2 c) 4 e) 0 Ê
É
a2 a 10. Si se cumple: + 9 + 2 c b a b Hallar: E = b c a) 3 b) 2 d) 1 e) 1/3 9
11. Calcular: q √ 4 R=
a) 1 d) 2
x+
c) 5
Ê 9
b2 = 0. c2
c) 1/2
q È√ √ x−1+ 4x− x−1 È√ 4 x+1 √ √ c) x b) 2 √ e) 4 x
È√
−1 = d−1 . Calcular el valor 12. Si a−1 + b−1 +c 1 bd + ad c de: E = 2 ad − ac b a) 2 b) −1 c) −2 d) 1 e) −1/2
13. Si: T A + AR + T R = 3 A+T +R = 5 E+A=6 EA = 10 Hallar: T 2 + A2 + R2 + E 2 + A2 a) 34 b) 36 c) 35 d) 37 e) 38 √ √ a+x+ a−x √ 14. Hallar el valor de: E = √ b+y+ b−y 2ab 2ab Sabiendo que x = 2 ; y= 2 b +1 a +1 (a + b)(ab + 1) 5 Adem´ as = , a, b > 1 (a − b)(ab − 1) 3 a) 2 b) 8 c) 10 d) 1 e) 5 15. Si se cumple: x3 +
1 1 = y3 + 3 = 1 3 y z
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Hallar (xyz)102 − 1 a) 2 b) −1 d) 0 e) −2 16. Reducir: E = a) 1 d) 2a2 b2
c) 1
(a + b)6 − (a − b)6 . (a2 + 3b2 )(3a2 + b2 ) b) 4ab c) 2ab e) 8
17. Si se cumple que: a2 + ab + ac − 3a = 4 b2 + bc + ab − 3b = 11 c2 + ac + bc − 3c = 13 Hallar el valor num´erico de a + b + c a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7 18. Se˜ nalar el valor de la expresi´ on: 2 2 2 3 a + b2 − c2 b + c2 − a2 + + ab bc 2 4 2 5 a + c2 − b2 a + b2 + c2 + ac ab + ac + bc Para a + b + c = 0 a) 20 b) 15 c) −20 d) −10 e) −15 19. Si a + b + c = 5; a3 + b3 + c3 = 26;
a2 + b2 + c2 = 7;
abc ab + ac + bc b) 2/3 c) 1/2 e) 1
Hallar el valor de: W = a) 4/3 d) 1/3
20. Sabiendo que: (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 50; a2 + b2 + c2 = 13; a + b + c = 5; Hallar el valor de: abc a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 n
21. Sabiendo que:
a b
+4
n b
= 621. a n + 2b Hallar el valor de: E = √ an bn a) 625 b) 25 c) 5 d) 1/5 e) 1/25 an
22. Si: a3 + b3 = 18 y ab = 1. Hallar el valor de: E = a2 + b2 a) 6 b) 5 c) 8 d) 1 e) 7
91 1 1 + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a) a2 b2 c2 1 . Halle: + + (c − a)(a − b) b+c a+c a+b a) −3 b) −1/2 c) 0 d) 1 e) 3
23. Si a+b+c =
24. Si: a2 + b2 = 2a(b + c). c2 (c + 4a − 2b) Reducir: W = 2 c + (a − b)(a − b + 2c) a) c b) 1 c) b d) 0 e) a + b 25. Si: (a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a −√b + c −√d)(a +√b − c − d); adem´ as: 3 6 a = 2; b = 2; c = 2. Calcular “d” a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 √ √ 26. Si: x + b + √x − b = b√; x ≥ b > 0. Calcular G = x + b − x − b a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4 27. Si a + b = −2 ; ab = 4 ; a2 + b2 + ab = 0. Hallar: W = a5 + b5 a) 32 b) −64 c) 0 d) 64 e) −32 √ √ √ 28. Si a + 4 a2 + b2 + 6 a4 + b4 + c4 = 0, hallar: (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 )(a5 + b5 + c5 − 1) a) 32 b) 64 c) 0 d) 100 e) 25 √ 29. Si a+b+c = 5 2 y (a+b+c)3 = a3 +b3 +c3 . Hallar: a5 + b5 + c5 a) 1 b) 4 c) 0 d) 2 e) 5 30. Si a = π; 5 Y
b=e
y
c = −π − e. Hallar:
[ak + bk + ck − kabc]
k=2
a) 2 b) 4 c) 1 d) 0 e) 5 √ 31. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161. Calcular: W = a + aa + aaa{z+ aaaa + . . }. | a t´ erminos
a) 4963 d) 4736
b) 4936 e) 4856
c) 4836
´ Algebra
92
CAP 03:
Walter Arriaga Delgado
Productos notables
1. Dos n´ umeros reales cumplen con: x2 + 2 2y + 2 = 2x − 2xy, entonces el valor de 3xy E= 2 ser´ a: x + y3 a) −1 b) −2 c) 1 d) 2 e) 1/4 2. Si: a + b − 6 = ab − 1 = 1, el valor de E = a + a2 + a3 + b3 + b2 + b es igual a: a) 153 b) 253 c) 53 d) 103 e) 353
4.5.
a+b+c a+b−c − = a+b−c a+b+c b+c−a a−b+c − ; determinar el valor a+c−b b+c−a a2 de: W = 2 a + b2 − c2 a) 1/2 b) 1/4 c) −1/2 d) 2 e) −2
9. Si se verifica que:
3. Si: a − b − c = 2, y ab + ac = bc entonces a2 + b2 + c2 es igual a: a) 2 b) −4 c) 4 d) −2 e) 1
10. Si se √ tiene √ que √ √ √ √ 2+ 3+ 5 2+ 3− 5 √ √ x= , y = ; 2 2 Ê y2 − 1 el valor de W = x es: 6 − x2 √ √ b) √ 2 a) 3 c) 2 d) 1 e) 6
4. Si: x 6= ±1, simplificar A2 B 2 donde:
11. Si 5a + 5c + ac = 0, calcular el valor de:
A= B=
(x +
1)2 (x2
−x+ (3x3 + 3)2
1)2
(x − 1)2 (x2 + x + 1)2 (3x3 − 3)2
a) 3−8
d) (x +
1)4
b) (x3 + 1)4 x3 + 1 e) 3 x −1
G= a) 0 d) 2 c) 38
6. Si b3 = 1; b 6= 1, simplificar: 5 3 b +1
a) 1 d) −2
b4 b) −1 e) 4
c) 2
7. Si a2 + b2 + c2 = 3; y ab + ac + bc = 2, hallar el valor de: W = (a+ 2b+ 3c)2 + (2a+ 3b + c)2 + (3a + b + 2c)2 a) 108 b) 27 c) 12 d) 36 e) 86 8. Sea P (x) = (x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1); el valor erico de P (x) para È halle È num´ √ √ x = 4 + 15 − 4 − 15 a) 63 b) 124 c) 215 d) 342 e) 511
b) −1 e) 3 Ê
12. Si
2y x 8 x + = 2, el valor de E = es: 5. Si 2y x y a) 1 b) 64 c) 16 d) 256 e) 1/256
W =
5ac (a + 5)(5 + c)(a + c)
F (x) = √ F (2 + 3) a) 0 d) 4
6
x10 + 5x5 + 1 , x5 b) 1 e) 3
c) 1
calcular: c) 2
13. Si se cumple que: ax + by + cz = 6 ay − bx = az − cx = bz − cy = 2 Adem´ as: x + y + z = xy + yz + xz = 4 Determine: a2 + b2 + c2 a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 14. Si se cumple que: (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3x2 + 3x + 2 a2 + b2 + c2 obtener el valor de: W = abc a) 3/2 b) 5 c) −1/2 d) −1 e) 1 15. Sabiendo que: (x + y)6 = 64x3 y 3 . Calcular (x + 2y)2 el valor de: W = x2012 − y 2012 + xy a) 1 b) 4 c) 6 d) 9 e) xy
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. Si: a3 + b3 + c3 = a2 + b2 + c2 + 26 = a + b + a+b+c c + 36 = 43. Calcular N = −1 a + b−1 + c−1 a) 1 b) 21/4 c) 1/2 d) 2 e) 1/4 1 = 3, el valor de E = x3 − x−3 es: x √ √ √ a) 11 √5 b) 6√ 5 c) 4 5 d) 13 5 e) 8 5
17. Si x +
18. Calcular (x − 3y)2 − 4y(2y − x) + 8, si se sabe que: x − y = 8 a) 32 b) 40 c) 72 d) 64 e) 90 19. Si
1 1 1 + = , calcular el valor de: a b a+b W =
(a +
a) −11 d) 5
b)6
6(a6
− (ab)3
+
b6 )
b) −7 e) 9
b) 3/7 e) 9
c) −3 a3 + b3 a2 + b2 c) 5
x6 + 1 21. Si x + = 3, hallar el valor de: 5 x +x a) 6/7 b) 18/7 c) 9/7 d) 27/7 e) 31/7 √ √ 22. Si a√+ x + a√− x = 2x, calcular: W = a + x − a − x; x 6= 0 a) x b) 0 c) 2 d) a e) 1 x−1
23. Si a + 2b + 3c = 1,5x simplifique: (x − a)2 + (x − 2b)2 + (x − 3c)2 W = 2(a2 + 4b2 + 9c2 ) a) 1/3 d) 2
b) 1 e) 3
c) 1/2
24. Si x2 + 3x = −3, calcular el valor de: W = a) 2 d) 5
x 1 + x+1 x+2 b) 1 e) 8
25. Si se cumple que: ab(a + b) = 3 a2 b2 (a2 + b2 ) = 7 Calcular: W = a4 b4 (a4 + a2 b2 + b4 ) a) 45 b) 21 c) 49 d) 48 e) 64 √ √ 26. Siendo a = 5+ 2 y b = 5− 2, calcular: W = a) −1 d) 4
a2 (b2 + 1) b4 (a4 + 1) + 1 + a2 1 + b4 b) 2 e) 1/2
c) 1/4 1 es: r7 c) 0
27. Si r 4 − r 2 + 1 = 0, el valor de r 7 − a) −7 d) 7
b) −2i e) −i
28. Si xy + xz + xw + yz + yw + zw = 0, hallar
20. Si a + b = 4; ab = 3, calcular: W = a) 7/4 d) 14/5
93
c) 3
(x2 + y 2 )(x2 + z 2 ) − (y 2 + w2 )(z 2 + w2 ) (x + y + z + w)2 a) 1 b) x2 w2 c) x2 − w2 2 2 2 2 d) y + z e) y − z √ 29. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 701.
Calcular: W = a + aa + aaa + aaaa a) 2468 b) 2648 c) 2684 d) 2846 e) 2222 √ √ √ 30. Si 12n a + 12n b + 12n c = 0. Calcular: √ √ √ 2 6n ab + 2 6n bc + 2 6n ac √ W = √ √ 3n a + 3n b + 3n c a) 0 d) 1
b) 4 e) 16
c) 2
31. Si se cumple que: a3 +b3 +c3 = a2 +b2 +c2 +1 = a+b+c+2 = 3. Hallar: abc a) 1 b) 1/6 c) −1/2 d) 1/3 e) 1/2 32. Si se cumple que: a3 + b3 + c3 = 2(a + b)(b + c)(a + c) a + b + c = 1. 1 + 5abc Hallar el valor de: E = ab + ac + bc a) 1 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5
´ Algebra
94
CAP 03:
Walter Arriaga Delgado
Productos notables
1. Sabiendo que: 2(x+2)(x−3) = (x+5)(x−2), determine el valor num´erico de: W = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) − 15 a) 48 b) 33 c) 15 d) 63 e) 64 2. Si: (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3x2 + 3x + 2, calcular el valor de: a3 + b3 + c3 E= 2 a + b2 + c2 − 1 a) 27 d) 6
b) 18 e) 3
c) 9
3. Sea “S” la suma de dos n´ umeros, y “P ” su producto. Expresar la suma de los cubos de dichos n´ umeros en funci´ on de “S” y “P ” a) s2 − sp b) s(s2 − sp) 2 c) s(s − 3p) d) s2 + sp e) s2 (s − p) 4. Siendo: F (x) = x3 − 125 −√15x2 + 75x, determine el valor de: F (5 + 3 7) a) 7√ b) 1 c) −1 3 e) 5 d) 7 5. Hallar√el valor num´erico de: W = 8 2 × 4 × 10 × 82 × 6562 + 1 a) 1 b) 81 c) 3 d) 9 e) 27 a b a−b + = 18, calcular: √ b a ab a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 √ √ 7. Siendo ab = 3 √ 121 − 3 11 + 1, adem´ as 3 2 2 a + b = 1 + 11. Determine el valor num´erico de: E = (a − b)4 − (a + b)4 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) −96 6. Sabiendo que:
8. Si: x3 = y 3 , x 6= y, hallar el valor de: −3xy E= (y − x)2 a) 1/3 b) −1/3 c) 1 d) 1/2 e) 3 9. Sabiendo que: √ √ a= 5+2 3−1
4.6.
√ √ b = 2√ 7 −√ 5 + 3 c = 7+ 3+1 Hallar: E=
a+b+ a+b+
È
(a + b)2 − c2 + c
È
(a + b)2 − c2 − c
√ b) √ 2 + 3 e) 7
√ a) √3 d) 5
c) 2
È È √ √ 8 8 10. Sabiendo que x = 2 + 3; y = 2 − 3, calcular el valor num´erico de:
W =
È
È
√ a) √3 d) 5
(x2 + y 2 )2 − x2 y 2 x4 − x2 y 2 + y 4 √ b) √ 2 e) 7
s
11. Calcular: E = a) 2 d) 4
3
s √ √ 2 7 2 7 3 1+ √ + 1− √ 3 3 3 3 b) 1 c) 3 e) 5
mn 1 = √ , hallar: 2 +n 5 2 2 m n − , si m > n E= m √n b) √ 5 a) √ 3 e) 5 d) 5 5
12. Si
c) 1
m2
c) 2
13. Si se sabe que n + n−1 = 1; calcular (n3 − n−3 )3 a) −1 b) 3 c) 0 d) −2 e) 2 É
a + b
r
b = 3, con a > b. Calcular el aÉ r a b valor de: E = − . b a a) 4 b) 18 c) 16 d) 9 e) 3
14. Si
3
3
√ 1 x + √ = 7, con x > 0. Calcular el x valor de: E = x3 + x−3 . a) 116 b) 113 c) 120 d) 110 e) 115
15. Si
√
´ Algebra
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16. Si a, b ∈ R tal que a2 + b2 = 4, encontrar el m´ aximo b. √ valor de: a +√ c) 2 a) √ b) √ 2 2 2 d) 3 2 e) 6 17. Sabiendo que: (x − 2)(x − 1) = 1, calcular: (x8 + x)(x3 + x2 ) ; con x > 0 13x7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si (x + 1)(y + 1) = (x + y)2 + 1, el valor de x2 (x − 1) E= 2 es: y (y − 1) a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 19. Sabiendo que: È √ √ √ 4 6 6 a2 − b + a + 2b + c − a = 0 entonces el valor de: (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) a5 + b5 + c5
W =
R+
adem´ as a, b, c ∈ a) 6/5 b) 3/2 c) 2/3 d) 5/6 e) 1 √ 20. Si: F (x) =√ x2 + x−2 + 2, calcular el valor de F (2 + 3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 √ √ √ 21. Sabiendo que 2n a+ 2n b+ 2n c = 0, calcular: Ê
E=
n
a √ + bc
s n
b √ + ac
Ê n
adem´ as a, b, c ∈ R+ a) 1 b) 3 d) 9 e) 4
c √ ab c) 2
(
√
12
adem´ as a, b, c ∈ R+ a) 3 b) 2 d) 5 e) 4
c) 1
24. Sabiendo que: √ √ 3 a= 7− √ 7 +√1 b = 1√ − 3 7−2 7 c=3 7−2 Indicar el valor de: W =
a7 + b7 + c7 (a5 + b5 + c5 )(a2 + b2 + c2 )
a) 7/10 d) 10/7
b) 21/5 e) 21/3
c) 5/21
25. Si se sabe que: 4x2 + 4y 2 + 9z 2 = 4xy + 6xz + 6yz Ê
(x + y + z)10 z 10 b) 5 c) 1 e) 2
calcular el valor de: a) 3 d) 4
10
Ê
r
1+a 2 1+a 26. Calcular el valor de − n , 1−a √ 1 −na n ( 5 + 1) − 2 sabiendo que: a = √ ( 5 + 1)n + 2n a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 3 n
27. Si 4(x4 + 1) = 5x2 , x 6= 0, entonces el valor de: x√−1 + x es: √ √ a) √13 b) √ 13 + 1 c) 2 13 d) 13/4 e) 13/2
E=
a+b+c=3 √ √ √ 3 2 3 3 a + b2 + c2 = 2
calcular el valor de: √ √ √ √ √ √ ( 3 a + 3 b + 3 c)(− 3 ab − 3 bc − 3 ac + 2) √ − 3 abc + 1 b) 2 e) 3
√ √ a+ 12 b+ 12 c = 0, calcular: √ √ √ 2 6 ab + 2 6 bc + 2 6 ac √ E= √ √ 3 a+ 3b+ 3c
23. Sabiendo que
28. Si (a − b)2 + (b + c)2 = 0, hallar el valor de:
22. Sabiendo que
a) 1 d) 4
95
c) 9
a) 64 d) 25
(a + b + 2c)3 + (3a + b + 4c)4 + 4 (a + 3b + 4c + 1)7 b) 49 e) 16
c) 4
29. Calcular x5 y −4 z −1 , si se cumple que: x2 + 2y 2 = 2x(y + z) − 2z 2 a) 32 b) 30 c) 64 d) 34 e) 36
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´ Algebra
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Cap´ıtulo 5:
DIVISION ALGEBRAICA Objetivos z Conocer y aplicar los distintos m´etodos de divisi´ on algebraica como la regla de Ruffini y de Horner. z Hallar residuos de manera inmediata, relacionando con la divisi´ on aritm´etica. z Obtener cocientes de ciertas divisiones notables. z Aplicar el algoritmo de la divisi´ on en funci´ on a los grados de los polinomios.
5.1.
Definici´ on:
Es la operaci´ on que consiste en hallar una expresi´ on denominada cociente, dadas otras dos denominadas dividendo y divisor. D(x) = d(x).q(x) + r(x) Donde:
D(x) r(x) = q(x) + d(x) d(x)
o ´
D(x): Dividendo
d(x): divisor
q(x): cociente
r(x): resto o residuo
Si el residuo es cero entonces la divisi´ on es exacta, es decir: D(x) = d(x).q(x) Propiedades de los grados: En toda divisi´ on el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. [q(x)]o = [D(x)]o − [d(x)]o En toda divisi´ on el grado del dividendo es mayor que el grado del divisor. En toda divisi´ on el grado del divisor es mayor que el grado del residuo. El grado m´ aximo que puede tomar el residuo ser´ a uno menos que el grado del divisor (a excepci´ on de los polinomios homog´eneos). [r(x)]o max = [d(x)]o − 1 97
´ Algebra
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En la divisi´ on de dos polinomios homog´eneos, el cociente y el residuo tambi´en son polinomios homog´eneos, pero el GA del dividendo es igual al GA del residuo. Casos que se presentan en la divisi´ on: 1. Divisi´ on de monomios. Ejemplo 5.1.1. Dividir: a)
42x5 y 4 z 3 = −14x3 yz −3x2 y 3 z 2
15x7/2 y 5/4 = 5x11/4 y 3/4 3x3/4 y 1/2 −24am bn c) = −4am−1 bn−2 6ab2 Nota: La divisi´ on de monomios es siempre exacta.
b)
2. Divisi´ on de un polinomio entre un monomio. Se utiliza la siguiente propiedad a+b+c a b c = + + m m m m Ejemplo 5.1.2. Dividir:
propiedad distributiva
16x5 + 6x10 − 3x + 9 4x3
16x5 + 6x10 − 3x + 9 16x15 6x10 −3x + 9 3 −3x + 9 = + + = 4x12 + x7 + 3 3 3 3 4x 4x 4x 4x 2 4x3 Donde: Dividendo = D(x) = 16x15 + 6x10 − 3x + 9 Divisor = d(x) = 4x3
3 Cociente = q(x) = 4x12 + x7 2 Resto = r(x) = −3x + 9 3. Divisi´ on de dos polinomios. Se puede utilizar cualquiera de los siguientes m´etodos: ⊛ M´etodo cl´ asico o divisi´ on normal ⊛ M´etodo de coeficientes separados ⊛ M´etodo de Guillermo Horner ⊛ M´etodo de Paolo Ruffini Los m´ as usados son los dos u ´ltimos m´etodos.
´ Algebra
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5.2.
99
M´ etodo clasico o divisi´ on normal:
´ Este un m´etodo nos permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios. Para dividir dos polinomios mediante el m´etodo cl´ asico se procede del modo siguiente: Se ordenan y completan los polinomios en forma descendente con respecto a una sola letra o variable. En caso existan dos o mas letras, se asume a una de ellas como variable y las dem´ as pasan a ser constantes. Si faltara uno o m´ as t´erminos, estos se completan con ceros. Se divide el primer t´ermino del dividendo entre el primero del divisor, obteni´endose as´ı el primer t´ermino del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los t´erminos del divisor y lo que se obtiene se resta del dividendo. Se baja el t´ermino siguiente del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el divisor. Si la divisi´ on es exacta su residuo ser´ a cero. Ejemplo 5.2.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo:
x4
+
0x3
+
4x2
−x4
−
x3
−
x2
−x3 x3
+
8x
+
3x2
+
8x
+
x2
+
x
4x2
+
9x
−4x2
−
4x 5x
−
4
−
4
−
8
−
x2
+
x
+
1
x2
−
x
+
4
4
Cuadro 5.1: M´etodo clasico obteni´endose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8
5.3.
M´ etodo de coeficientes separados
El procedimiento es an´ alogo al anterior, solo que aqu´ı se trabaja con los coeficientes. Ejemplo 5.3.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1)
´ Algebra
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Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo:
1
0
4
−1
−1
−1 3
8
1
1
1
4
9
−4
−4
−1
8
5
−4
1
1
1
1
−1
4
−4 −4 −8
Cuadro 5.2: M´etodo de coeficientes separados obteni´endose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8
5.4.
M´ etodo de Guillermo Horner
Es un m´etodo de coeficientes separados que permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios. Esquema: Procedimiento a seguir: d i v i s o r
D
I
V
I
D
E
N
D
O
C
O
C
I
E
N
T
E
resto
Cuadro 5.3: Esquema de Horner
Los dos polinomios deben estar completos y ordenados respecto a una variable, si faltara alg´ un t´ermino se completar´ a con CERO. En caso existan dos o m´ as variables se asume a una de ellas como tal y las dem´ as har´ an el papel de n´ umeros o constantes.
´ Algebra
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101
Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor, obteni´endose el primer coeficiente del cociente. Este resultado se multiplica por los dem´ as coeficientes del divisor (que han cambiado de signo) obteni´endose la primera fila de resultados parciales. Estos resultados se escriben a partir de la segunda columna. Se reduce la segunda columna y el resultado se divide entre el primero del divisor, obteni´endose el segundo coeficiente del cociente. Se repite este proceso a partir del tercer paso, hasta que los resultados parciales lleguen a la u ´ltima columna del dividendo. Ejemplo 5.4.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir Soluci´ on: Ordenando y completando se tiene: Dividiendo por el m´etodo de Horner
(4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1)
x4 + 0x3 + 4x2 + 8x − 4 x2 + x + 1 1
1
-1
0
4
-1
-1
-1
1
1
-1
4
8
-4
1 -4
-4
5
-8
Cuadro 5.4: M´etodo de Horner obteni´endose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8
5.5.
M´ etodo de Paolo Ruffini
Es una regla pr´ actica para obtener el cociente y el resto de la divisi´ on de un polinomio P (x) entre un polinomio de la forma (ax ± b) o transformable a ´esta forma. Se considera como un caso particular del m´etodo de Horner Esquema: Procedimiento a seguir: El dividendo debe ser completo y ordenado respecto a una variable, si faltara alg´ un t´ermino se completar´ a con CERO.
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D
I
V
I
D
E
N
D
O
C
O
C
I
E
N
T
E
resto
x = ∓b/a Cuadro 5.5: Esquema de Ruffini Se resuelve la ecuaci´ on que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax ± b = 0, luego el
valor de x se coloca en el ´ angulo inferior izquierdo, seg´ un se muestra en el esquema 5.5.
Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo del coeficiente que sigue del dividendo. Se suman las cantidades de la segunda columna, obteni´endose el segundo t´ermino del cociente. Se procede como en el caso anterior, hasta llegar al u ´ltimo t´ermino del dividendo. El residuo de la divisi´ on es la suma de cantidades de la u ´ltima columna. Ejemplo 5.5.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (5x4 − x3 + 7x2 − 9) ÷ (x + 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo se tiene: Dividiendo por el m´etodo de Ruffini 5
−1 5
5x4 − x3 + 7x2 + 0x − 9 x+1
-1
7
0
-9
-5
6
-13
13
-6
13
-13
4
Cuadro 5.6: obteni´endose: Q(x) = 5x3 − 6x2 + 13x − 13 r(x) = 4
Ejemplo 5.5.2. Hallar el cociente y el residuo de dividir (6x4 − 7x3 + 10x2 − 9) ÷ (2x − 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo se tiene: Dividiendo por el m´etodo de Ruffini
6x4 − 7x3 + 10x2 − 9 2x − 1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 6
-7
10
0
-9
3
-2
4
2
6
-4
8
4
-7
3
-2
4
2
-7
1 2 ÷2
103
Cuadro 5.7: obteni´endose: Q(x) = 3x3 − 2x2 + 4x + 2 r(x) = −7
Observaci´ on 5.5.1. Cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, entonces el cociente que se obtiene no es el verdadero (cociente falso), luego para obtener el verdadero cociente se debe dividir los coeficientes del cociente falso entre el coeficiente principal del divisor.
5.6.
Teorema del resto
´ Este teorema nos permite hallar el resto de una divisi´ on de dos polinomios en forma directa, sin la necesidad de efectuar dicha operaci´ on. El divisor debe ser de la forma lineal ax ± b o transformable a ella.
Procedimiento a seguir: Se resuelve la ecuaci´ on que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax±b = 0, obteni´endose x = ∓b/a. El valor hallado se reemplaza en el dividendo, obteni´endose de ´esta manera el residuo de la divisi´ on.
b R=D ∓ a
Demostraci´ on. Usando el algoritmo de la divisi´ on D(x) = d(x)Q(x) + R pero como d(x) = ax ± b, luego: D(x) = (ax ± b)Q(x) + R finalmente reemplazando x = ∓b/a, y efectuando se tiene:
b D ∓ a
b = a ∓ a
b ±b Q ∓ a
+R
´ Algebra
104
∴
Ejemplo 5.6.1. Calcular el resto de dividir:
b R=D ∓ a
Walter Arriaga Delgado
5x4 − 20x2 − x + 3 x+2
Soluci´ on: Se iguala a cero el divisor: x + 2 = 0 ⇒ x = −2.
este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = 5x4 − 20x2 − x + 3, obteni´endose: R = D(−2) = 5(−2)4 − 20(−2)2 − (−2) + 3 ∴ R=5 Ejemplo 5.6.2. Hallar el resto en
(5x4 + 7x2 + 5)2 + (5x4 + 7x2 + 7)3 + 8 5x4 + 7x2 + 8
Soluci´ on: haciendo un cambio de variable: 5x4 + 7x2 = y, se obtiene: Se iguala a cero el divisor: y + 8 = 0 ⇒ y = −8.
(y + 5)2 + (y + 7)3 + 8 y+8
este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = (y + 5)2 + (y + 7)3 + 8, obteni´endose: R = D(−8) = (−8 + 5)2 + (−8 + 7)3 + 8 ∴ R = 16 Una breve historia de Rene Descartes
Figura 5.1: Rene Descartes
Naci´ o: 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia Falleci´ o: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia Descartes tiene fama de fil´ osofo y el intelecto m´ as grande de los que contribuyeron a crear la llamada “Edad de la Raz´ on”. Descartes naci´ o en una familia francesa noble en la Turena, y fue el tercero y u ´ltimo hijo de la primera esposa de su padre, qui´en muri´ o poco despu´es del nacimiento de Ren´e. Su padre era un hombre
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´ Algebra
105
de raro sentido com´ un que hizo todo lo posible por compensar a sus hijos la p´erdida de su madre. Un aya excelente ayud´ o al d´ebil y enfermizo Ren´e a sobrevivir; y creci´ o para convertirse en un ni˜ no p´ alido y serio, que siempre deseaba conocer la causa de todas las cosas que exist´ıan bajo el Sol. Debido a la mala salud de su hijo, su padre aplaz´ o la educaci´ on formal hasta que lleg´ o a la edad de ocho a˜ nos. Entonces escogi´ o el colegio jesuita de La Fl`eche como la escuela ideal. El rector se encari˜ n´ o en seguida con el p´ alido y confiado ni˜ no. Evidentemente, decidi´ o que necesitaba ayudar a fortalecer el cuerpo del peque˜ no si quer´ıa educar su mente. Como Ren´e parec´ıa requerir m´ as descanso que los ni˜ nos normales de su edad, se le permit´ıa levantarse tan tarde como quisiera antes de reunirse con sus condisc´ıpulo. Durante su vida, Descartes sigui´ o esta costumbre de levantarse tarde despu´es de pasar tranquilamente la ma˜ nana en silenciosa meditaci´ on. Curs´ o estudios normales de l´ ogica, ´etica, metaf´ısica, historia, ciencias y literatura. Luego se dedic´ o a trabajar independientemente en el ´ algebra y geometr´ıa, que se convirtieron en sus materias favoritas “debido a la certidumbre de sus pruebas”. Prosigui´ o sus estudios en la Universidad de Poitiers, donde curs´ o las materias de derecho. En cuanto recibi´ o su diploma, “abandon´ o del todo el estudio de las letras y resolvi´ o no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de s´ı mismo o de los grandes libros del mundo”. Siguiendo este prop´ osito, fue a Par´ıs para divertirse con los juegos de azar. Pronto se cans´ o de ellos y se retrajo al mundo de la erudici´ on. Pas´ o dos a˜ nos siguientes en la soledad, estudiando matem´ aticas. A la edad de veintid´ os a˜ nos se ofreci´ o como voluntario en el ejercito del pr´ıncipe Mauricio de Nassau. Despu´es de ingresar en el ej´ercito, fue enviado a Breda, en Holanda. Un d´ıa, cuando se reun´ıa ´ una multitud frente a un cartel, pidi´ o a un anciano caballero que se lo tradujera. Este ley´ o el problema matem´ atico contenido en el cartel y el reto para resolverlo. Al punto, Descartes procedi´ o a resolver el problema para el caballero, el cual era Isaac Beeckman, uno de los m´ as grandes matem´ aticos y doctores de Holanda. Beeckman comprendi´ o en seguida que Descartes no era un soldado com´ un y se convirti´ o en su amigo y mentor. A Descartes lo entusiasm´ o tanto esta amistad accidental, que menos de cuatro meses despu´es inform´ o a su amigo el descubrimiento de una nueva manera de estudiar la geometr´ıa. Lo inquietaron los m´etodos de los ge´ ometras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de l´ıneas y figuras tridimensionales en una gr´ afica. Dibujaba la gr´ afica marcando unidades en una l´ınea horizontal (eje x) y una l´ınea vertical (eje y); as´ı, cualquier punto de la gr´ afica pod´ıa describirse con dos n´ umeros. El primer n´ umero representaba una distancia en el eje x y el otro n´ umero representaba una distancia en el eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometr´ıa euclidiana, combinaba el ´ algebra y la geometr´ıa, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matem´ atica llamada geometr´ıa anal´ıtica. En el 1629 decidi´ o irse a vivir a Holanda, all´ı estudi´ o otras cosas aparte de filosof´ıa y las matem´ aticas, comprendiendo la ´ optica, la f´ısica, la qu´ımica, la anatom´ıa y la medicina. En 1634 a´ un no publicaba nada, pero segu´ıa dedicado a incorporar todos sus conocimientos, desde la astronom´ıa hasta la anatom´ıa humana, en un impresionante tratado que se llamaba El mundo. Todo Par´ıs esperaba con gran curiosidad la obra maestra de Descartes pero este se enter´ o de que la Inquisici´ on conden´ oa Galileo por atreverse a defender la teor´ıa copernicana de que el Sol era el centro del Universo. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometr´ıa anal´ıtica como un ap´endice modesto de su obra maestra Discurso del m´etodo. Al propalarse la fama de Descartes, la realeza comenz´ o a cortejarlo. Carlos Y de Inglaterra y Luis XIII de Francia invitaron al famoso fil´ osofo a adornar sus respectivas cortes. En 1646, Descartes viv´ıa en feliz aislamiento en Egmond, Holanda, meditando, cuidando su peque˜ no jard´ın y sosteniendo correspondencia con intelectuales de Europa, cuando la reina Cristina de Suecia le suplic´ o que fuera a su corte. Descartes parti´ o en el oto˜ no de 1649. Todo podr´ıa haber resultado perfecto para Descartes si Cristina no hubiera insistido en hacer que le ense˜ nara filosof´ıa a partir de las cinco de la ma˜ nana en
´ Algebra
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un aposento grande y fr´ıo. Descartes era demasiado bien educado para quejarse de esta desagradable circunstancia, aunque siempre odiaba el fr´ıo y rara vez se levantaba antes del mediod´ıa. Despu´es de tres meses de estas espantosas clases antes del amanecer, enferm´ o de gravedad y muri´ o de una enfermedad respiratoria, que probablemente fue pulmon´ıa. Diecisiete a˜ nos m´ as tarde, su cad´ aver volvi´ o a Par´ıs, donde fue sepultado en lo que hoy es el pante´ on.
5.7.
Divisibilidad algebraica
Se dice que un polinomio es divisible entre otro cuando al dividirlos resulta como cociente una expresi´ on algebraica entera y residuo cero. Principios Fundamentales: 1. Si un polinomio D(x) es divisible por otro polinomio d(x), existe otro polinomio Q(x) tal que: D(x) = d(x) · Q(x) 2. Si P (x) es divisible entre (x − a) entonces: P (a) = 0. 3. Si un polinomio P (x) es divisible separadamente entre (x ± a), (x ± b)y(x ± c), entonces P (x) es divisible por el producto: (x ± a)(x ± b)(x ± c); siendo a 6= b 6= c. 4. Si un polinomio es divisible entre el producto de varios binomios, ser´ a divisible separadamente por cada uno de ellos. 5. Si al dividir un polinomio entre varias expresiones por separado, se obtiene el mismo resto, entonces se cumplir´ a que dicho polinomio dividido entre el producto de ellos dar´ a el mismo resto. 6. En toda divisi´ on, si al dividendo y divisor se le multiplica por una misma cantidad, el resto quedar´ a multiplicado por dicha cantidad. Para determinar el resto verdadero se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se multiplic´ o el dividendo y divisor. En general: D(x) = d(x)Q(x) + R(x) multiplicando por “m” mD(x) = md(x)Q(x) + mR(x) Resto Verdadero =
Resto Obtenido mR(x) = = R(x) m m
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107
7. En toda divisi´ on, si al dividendo y divisor se le divide por una misma cantidad, el resto quedar´ a dividido por dicha cantidad. Para determinar el resto verdadero se multiplica el resto obtenido entre la cantidad por la cual se dividi´ o el dividendo y divisor. En general: D(x) = d(x)Q(x) + R(x) dividiendo entre “m” : D(x) d(x) R(x) = Q(x) + m m m Resto Verdadero = (Resto Obtenido)(m) =
5.8.
R(x) (m) = R(x) m
Cocientes notables
Son casos especiales de divisi´ on algebraica exacta, entre divisores bin´ omicos, que presentan la forma: xn ± y n x±y donde “x” y “y” son las bases; n ∈ N Estudio de los cuatro casos CASOS xn − y n x−y xn − y n x+y xn + y n x+y xn + y n x−y
Desarrollo del Cociente Notable (CN)
Condici´ on (r = 0)
xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + . . . + y n−1
C.N. ∀ n ∈ N
xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − . . . − y n−1
C.N. ∀ n par
xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − . . . + y n−1
C.N. ∀ n impar No es C.N.
Condici´ on necesaria y suficiente para obtener un C.N. xm ± y n es CN xp ± y q
⇐⇒
m n = = N´ umero de t´erminos N T ) p q
F´ ormula del T´ ermino General: En la divisi´ on: xm ± y n xp ± y q
´ Algebra
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Walter Arriaga Delgado
un t´ermino de lugar k (t´ermino cualquiera) del cociente est´ a dado por la f´ ormula: Tk = (signo)(y q )N T −k (xp )k−1 Reglas para determinar el signo a) Si el divisor es de la forma (x − y), todos los t´erminos del CN son positivos. b) Si el divisor es de la forma (x + y), se tiene que: Los t´erminos de lugar impar del desarrollo del cociente notable son positivos. Los t´erminos de lugar par del desarrollo del cociente notable son negativos. F´ ormula del T´ ermino General (contado de derecha a izquierda) Tk = (signo)(xp )N T −k (y q )k−1 ←
donde Tk : t´ermino de lugar k contado a partir del t´ermino final. ←
Observaci´ on 5.8.1. Si el n´ umero de t´erminos N T de un CN es par, existe dos t´erminos centrales en su desarrollo, cuyos lugares son: k1 =
n 2
k2 =
n +1 2
Si el n´ umero de t´erminos N T de un CN es impar, existe un t´ermino central en su desarrollo, donde el lugar es: k=
n+1 2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
✍
109
EJERCICIOS RESUELTOS
SOL:
4.
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Determinar el m´ınimo valor de “n”, si la 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n divisi´ on: es 3x4 y n exacta; adem´ as el cociente es un polinomio entero (solo considere n = impar) a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 Soluci´ on Dividiendo t´ermino a t´ermino 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n 3x4 y n 6x2 y n−2 − 3x3 y 9−n + 9xy n
´este cociente debe ser un polinomio, entonces: n − 2 ≥ 0; 9 − n ≥ 0; n ≥ 0 n ≥ 2;
n ≤ 9;
n≥0
intersectando se tiene: • 0
• 2
• 9
luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto el m´ınimo valor impar para n es 3. Alternativa: b 2. Hallar la suma de coeficientes del cociente 4x4 + 3x3 + 2 de x2 + 4 a) 3 b) 16 c) 7 d) 9 e) −9 Soluci´ on Usando el m´etodo de Horner 1 0 −4
4
4
3 0
3
0 −16 0 −16
0 −12 0 −12
2
luego el cociente es Q(x) = 4x2 + 3x − 16 cuya suma de coeficientes es: Q(0) = −9 Alternativa: e 3. Calcular: a2 + b2 si la divisi´ on: ax4 + bx3 + 10x2 − 6x + 9 , es exacta. x2 − x + 3 a) 16 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10 Soluci´ on Como la divisi´ on es exacta, podemos invertir el orden: 9 − 6x + 10x2 + bx3 + ax4 3 − x + x2 usando el m´etodo de Horner 9 −6 10 b a 3 1 3 −3 −1 −1 1 2 −2 3 −1 2 0 0
ahora, como el residuo es 0 entonces b = −3 y a = 2. Por lo tanto a2 + b2 = 13. Alternativa: c
4. Qu´e valor debe tener “k” para que el polinomio 5x3 −k(x2 +x−1) tenga como divisor a 5x2 + 2x − 4? a) 8 b) 2 c) 4 d) −8 e) 16 Soluci´ on Que 5x3 − k(x2 + x − 1) tenga como divisor a 5x2 + 2x − 4 significa que la divisi´ on 5x3 − kx2 − kx + k 5x2 + 2x − 4 es exacta, y usando el m´etodo de Horner 5 −2 4
5
1 64 68
5.1.
luego k −
−k −2 − k+2 5
−k 4
k
2k+4 5
− 4k+8 5 0
2
4k + 8 = 0 de donde k = 8 5
´ Algebra
110
Walter Arriaga Delgado
Alternativa: a 5. En una divisi´ on efectuada por el m´etodo de Horner, se obtuvo este esquema: a b c d
6
2
e 2
3
f -2 3 1
g 4 -3 1 -4
h
j
6 -1 -2
2 5
Determinar la suma de coeficientes del dividendo a) −4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 Soluci´ on Completando el esquema se tiene: 6
3 1 −1 2
2
7 2
3
2 −2 3 1
−6 4 −3 1 −4
−7
3
6 −1 −2
2 5
Alternativa: b 7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entre x − 0,5 se obtiene como cociente un polinomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular el resto de la divisi´ on: a) 16 b) 40 c) 25 d) 38 e) 35 Soluci´ on Dada la divisi´ on 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 x − 0,5 usaremos el m´etodo de Ruffini: 8 1 2
8
4
−6m
15
4
2
20
4
40
35
el t´ermino independiente del cociente Q(0) = 40, puesto que Q(1) = 56. Luego R = 35
Por lo tanto la suma de coeficientes del dividendo es: Σ=6+7+2−6−7+3 =5
6. Encontrar la relaci´ on necesaria por cumplirse de manera que el polinomio: (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisible entre: (a + b)x + b − a a) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = ab c) a/b + b/a = −1 d) a2 − b2 = ab 2 2 e) a + b = −2ab Soluci´ on Dada la divisi´ on (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) (a + b)x + b − a usaremos el m´etodo de Ruffini:
a−b a+b
a2
−
b2
4x3 − 3x2 + 5 y dar como respuesx+1 ta la suma de coeficientes del cociente. a) −7 b) 7 c) 4 d) 14 e) 18 Soluci´ on Usaremos el m´etodo de Ruffini:
8. Efectuar
Alternativa: d
a2 − b2
Alternativa: e
2ab − 2b2
4ab
2b2 − ab
(a − b)2 a2 − b2
(a − b)2 (a + b)2
a2 − b2 0
luego a2 −ab+b2 = 0, de donde: a2 +b2 = ab
−1
4
−3
0
5
4
−4 −7
7 7
−7 −2
luego la suma de coeficientes del cociente es: Q(1) = 4 Alternativa: c 9. En una divisi´ on por el m´etodo de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: 1
6
b
12
e
1
a 4
-8 5
c d
-4 0
-2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Hallar a + b − c + d − e a) 19 b) 17 d) 16 e) 20 Soluci´ on Dado el esquema
−2
c) 18
1
6
b
12
e
1
a 4
−8 5
c d
−4 0
y siguiendo la divisi´ on por el m´etodo de Ruffini tenemos:
−2
1
6
13
12
4
1
−2 4
−8 5
−10 2
−4 0
luego a = −2, b = 13, c = −10, d = 2, e = 4, por lo tanto a + b − c + d − e = −2 + 13 + 10 + 2 − 4 = 19 Alternativa: a
111 x5a+2b − y a+4b+1 a b−1 x √ −y tiene 7 t´erminos, hallar: W = AB, donde: A = (a − 1)(a − 2)(a − 3); B = (b − 1)(b − 2)(b − 3) a) 6 b) 36 c) 1 d) 3 e) 12 Soluci´ on En todo cociente notable se cumple que:
10. Si el cociente notable
5a + 2b a + 4b + 1 = = NT a b−1 5a + 2b a + 4b + 1 = =7 a b−1 5a + 2b luego: = 7 entonces a = b a a + 4b + 1 adem´ as: = 7 de donde: b−1 a = 4 y b = 4, reemplazando se tiene: A= 3×2×1 = 6 B =3×2×1=6 √ √ por lo tanto W = AB = 36 = 6 Alternativa: a
´ Algebra
112
CAP 04:
Walter Arriaga Delgado
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Determinar el m´ınimo valor de “n”, si la 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n divisi´ on: es 3x4 y n exacta; adem´ as el cociente es un polinomio entero (solo considere n = impar) a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 2. Hallar la suma de coeficientes del cociente 4x4 + 3x3 + 2 de x2 + 4 a) 3 b) 16 c) 7 d) 9 e) −9 3. Calcular: a2 + b2 si la divisi´ on: ax4 + bx3 + 10x2 − 6x + 9 , es exacta. x2 − x + 3 a) 16 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10 4. Qu´e valor debe tener “k” para que el polinomio 5x3 − k(x2 + x − 1) sea divisible por 5x2 + 2x − 4? a) 8 b) 2 c) 4 d) −8 e) 16 5. En una divisi´ on efectuada por el m´etodo de Horner, se obtuvo este esquema: a b c d
6
2
e 2
3
f -2 3 1
g 4 -3 1 -4
h
j
6 -1 -2
2 5
Determinar la suma de coeficientes del dividendo a) −4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 6. Encontrar la relaci´ on necesaria por cumplirse de manera que el polinomio: (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisible entre: (a + b)x + b − a a) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = ab c) a/b + b/a = −1 d) a2 − b2 = ab 2 2 e) a + b = −2ab 7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entre x − 0,5 se obtiene como cociente un polinomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular el
5.1.
resto de la divisi´ on: a) 16 b) 40 d) 38 e) 35
c) 25
4x3 − 3x2 + 5 y dar como respuesx+1 ta la suma de coeficientes del cociente. a) −7 b) 7 c) 4 d) 14 e) 18
8. Efectuar
9. En una divisi´ on por el m´etodo de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: 1
6
b
12
e
1
a 4
-8 5
c d
-4 0
-2
Hallar a + b − c + d − e a) 19 b) 17 d) 16 e) 20
c) 18
10. Qu´e valor deber´ a tomar “k” para que la divisi´ on (0,5x3 +0,4x2 +0,3x+k)÷(0,2+0,1x) sea exacta? a) 8 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5 11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, disminuido en su resto; del cociente de 6x36 + 17x27 − 16x18 + 17x9 + 12 3x9 + 1 a) 8 b) 4 c)−4 d) −6 e) −8 12. Hallar “m” sabiendo que el resto de dividir (m + 1)x3 + 2x2 − 4x + m entre (x + 2) es 1 a) −1 b) 3/2 c) −2 d) 2 e) 1 13. Encontrar el residuo de dividir a) x + 1 d) 0
b) x − 1 e) x
x18 x2 + x + 1 c) 1
14. Calcular a y b, si la divisi´ on: 3x3 − 11x2 + (a − 1)x − b 3x2 − 2x + 1
es exacta: Dar como respuesta ab a) 24 b) 3 c) 8 d) 16 e) 11
.
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
15. Hallar el residuo que se obtiene al dividir el √ √ √ √ polinomio√ ( 3 −√ 2)x5 − 2 2x3 − 2 3x + 6, entre √ x − 3 − 2. √ √ a) 3 2 b) √ 2 3 √ c) 3 + 2 d) 5 e) 2 + 3 16. Sabiendo que 2x5 − 8x4 + 9x3 + mx2 + nx+ p es divisible entre: 2x3 − 6x2 + 7x + 1. Hallar 3m + n + p a) 5 b) 1 c) 2 d) 4 e) −1 17. Calcular mn + pn si el resto de la divisi´ on: mx4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 − 5x + 2 es −5x + 8 y que la suma de los coeficientes del cociente es 4. a) 45 b) 31 c) 34 d) 10 e) 36 (x − y)29 − (y − x)27 (x − y + 1)2 + 2(y − x) b) 2x − 2y c) 0 e) 2x
18. El resto de la divisi´ on a) x − y d) −2y
19. El resto de dividir: P (x) = (x4n + x2n + 6)3n+2 + (x2n + xn + 1)(x2n − xn + 1) + 3 entre Q(x) = x4n + x2n + 5 es: a) 0 b) 1 c) 5 d) −5 e) 2 20. Un polinomio P (x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor num´erico 1 para x = −2 ; −3 ; −4. Sabiendo que al dividirlo entre x − 1 el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x − 2). a) 122 b) 119 c) 239 d) 241 e) 242 21. Un polinomio de cuarto grado en “x”, cuyo coeficiente principal es la unidad, es divisible con (x2 − 1) y por (x − 4). Al dividirlo con (x + 3) d´ a como resto 56. Calcular el resto de dividirlo con (x − 2). a) −16 b) −24 c) −20 d) −12 e) 4 22. Si el polinomio P (x) al dividirlo entre (x−2) da resto 5, y la suma de los coeficientes del polinomio cociente es 7. Hallar P (1). a) 4 b) 3 c) −3 d) −4 e) −2
113
23. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio P (x) si se sabe que es de tercer grado, su coeficiente principal es la unidad, es divisible entre (x − 2)(x + 1) y carece de t´ermino cuadr´ atico. a) 1 b) −3 c) −4 d) 2 e) 4 24. Siendo “A” el t´ermino que debe suprimirse a: a9 + a6 b4 + a4 b6 + a3 b8 + b12 para que sea un cociente notable; se˜ nale el equivalente de: (A − 1)(A2 + A + 1)(A12 + A9 + A6 + A3 + 1) b) a60 b90 c) a90 b60 − 1 a) a60 b90 − 1 d) a45 b120 − 1 e) −1 25. Identifique las divisiones notables que originaron los cocientes. A = x16 − x12 y 8 + x8 y 16 − x4 y 24 + y 32 B = x15 − x10 y 10 + x5 y 20 − y 30 y se˜ nale la suma de ambos dividendos identificados. a) x20 b) 2y 40 c) y 40 20 20 40 d) 2x e) 2(x + y ) 26. Si el cociente notable originado al dividir x9m + y 8n tiene “k” t´erminos; hallar “k”. x2n + y 4m a) 7 b) 3 c) 9 d) 11 e) 15 27. El grado absoluto
del sexto t´ermino x3n+9 + y 3n del siguiente cociente notable x3 + y 2 a) 9 b) 20 c) 18 d) 10 e) 19
28. Calcular ab sabiendo que el tercer t´ermino xa+b − y a+b del cociente notable a−b es x60 y 40 . x − y a−b a) 600 b) −2400 c) 3500 d) 35 e) 4200 x5a+2b − y a+4b+1 a b−1 x √ −y tiene 7 t´erminos, hallar: W = AB, donde: A = (a − 1)(a − 2)(a − 3); B = (b − 1)(b − 2)(b − 3) a) 6 b) 36 c) 1 d) 3 e) 12
29. Si el cociente notable
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114
CAP 04:
Walter Arriaga Delgado
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Si un polinomio 3x5 + 6x3 − 3x se divide entre x + 1 se obtiene un cociente de grado m con t´ermino constante b y residuo a. Hallar m + b + a. a) 6 b) 4 c) 10 d) 12 e) 8
el coeficiente del t´ermino lineal del cociente es: √ √ c) 0 a) − 6 b) 6 d) 1 e) 6 9. Dar el mayor coeficiente del dividendo en la siguiente divisi´ on por Horner
2. Al efectuar la divisi´ on x5
+
3x3 x3
3 f g
x2
+ + ax + b + 2x + 1
deja un residuo de 3x + 2. Hallar a − b. a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 3. Si la divisi´ on del polinomio P (x) = (x + 2)16 + 2(x + 2)12 + 3(x + 2)4 + x2 + 4x + m entre el polinomio Q(x) = x2 + 4x + 5 deja √ como residuo 33, hallar el valor de k = 5 m a) 10 b) 8 c) 2 d) 4 e) 6 Ax4 + Bx3 − 2x2 − 3x − 2 es 4. Si la divisi´ on: 4x2 + x + 1 exacta, calcular AB a) 84 b) −84 c) 64 d) 48 e) 74 5. Calcular los valores de a y b si el polinomio ax5 + bx4 + 3x3 + 4x2 + 6x + 6 es divisible por x3 + 2. a) 3 y 4 b) 1 y 3 c) 1 y 2 d) 2 y 3 e) 1 y 4 6. El producto de coeficientes del polinomio cociente de la divisi´ on 3x5 − 5x4 + 3x3 − 5x2 + 3x − 2 es: 3x − 5 a) 3 b) 1 c) 9 d) 4 e) 15 7. Por cu´ anto hay que dividir al polinomio: x4 + x2 + x + 2, para que el cociente sea x2 − x + 1 y el residuo x + 1. a) x2 + 1 b) x2 − 1 c) x2 + x 2 2 d) x + x − 1 e) x + x + 1 8. En la divisi´ on √ √ x4 − 2 6x3 + 6x2 + 6x − 12 √ x− 6
5.2.
a
2 a) 38 d) 20
b 4
c -12 6
3
-7
d
e
-18 -14 6
42 8
b) 25 e) 40
c) 35
10. Si al dividir el polinomio y 5 − 5ay + 4b entre (y − k)2 da un cociente exacto. Hallar b − a en funci´ on de k. a) k5 − k2 b) k5 + k c) k5 + k4 d) k5 − k4 e) k5 + k3 11. Si x24 + ax + b es divisible entre (x − 1)2 , calcular: b − a. a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 46 12. Del esquema de divisi´ on por Ruffini a
b
c
d
e
f
m
1 n
3 r
5 s
7 t
9 0
-1
Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo. a) 100 b) 50 c) 160 d) −100 e) −50 13. Hallar el residuo en la siguiente divisi´ on: [3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]5 x(x + 5) + 5 a) 0 d) 1024
b) 16 e) 64
c) 32
14. Al dividir 8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 entre 4x2 + x + 3 se obtiene como residuo (5m + 4n)x + (m + 2n), hallar el valor de mm/n a) 1/4 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1
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´ Algebra
15. Obtener el resto de la divisi´ on siguiente: βx5α−3 + αβx2β−7 + 10 α3 x + 3α − β sabiendo que el dividendo es ordenado y completo. a) 20 b) 15 c) 10 d) 18 e) 16 a como co16. Al dividir P (x) entre (x − 1)3 d´ ciente una potencia de (x + 2) y como resto (x − 5)2 . Si se divide P (x) entre (x − 2) el resto que se obtiene es 73. La potencia de (x + 2) en el cociente de la primera divisi´ on es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 17. En una divisi´ on de dos polinomios, el t´ermino independiente del dividendo es 4 veces m´as que el t´ermino independiente del resto, y el t´ermino independiente del cociente es el doble del t´ermino independiente de este u ´ltimo. El valor del t´ermino independiente del divisor es: a) 1 b) 5/2 c) 3 d) 4 e) 2 18. Un polinomio P (x) de cuarto grado en x, cuyo coeficiente principal es 2, es divisible por (x2 − 4) y (x − 3), y al dividirlo por (x + 1) da como residuo 12. Halle el residuo al dividir P (x) por (x − 1). a) 25 b) 26 c) 30 d) 29 e) 28 19. Un polinomio P (x), divisible entre (xn−1 + 1), tiene por t´ermino independiente −3 y por grado “n”, se sabe que al dividirlo separadamente entre (x − 1) y (x − 3), los restos obtenidos son −2 y 732 respectivamente. El valor de “n” es: a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 20. Qu´e condici´ on debe cumplirse para que el polinomio x3 + px + q sea divisible por un polinomio de la forma: x2 + mx − 1?. a) p = q 2 − 1 b) p = q 2 + 1 c) p = −q d) p = −q 2 − 1 2 e) p = q
115
21. Determinar un polinomio m´ onico de cuarto grado que sea divisible separadamente por x2 − 3x + 2; x2 − 4; x2 + x − 2 y al ser dividido entre x − 3 deja un resto igual a 100, luego indique el residuo de dividir dicho polinomio entre x + 1. a) 18 b) 36 c) 34 d) 72 e) 48 22. Hallar n para que la divisi´ on origine un cociente notable. a) 11 b) 9 d) 5 e) 3
x5n+3 − y 5n+30 xn−1 − y n+2 c) 7
23. Si xa y 24 es el t´ermino central del desarrollo x75 − y b del cociente notable c ; el valor de x − y2 a + b + c es: a) 49 b) 73 c) 89 d) 85 e) 91 24. Hallar el cociente notable que dio origen a: x300 − x290 y 20 + x280 y 40 . . . Dar como respuesta el n´ umero de t´erminos. a) 31 b) 30 c) 28 d) 27 e) 26 x15m+50 − y 15m−10 genera un xm+1 − y m−2 cociente notable, indicar el lugar que ocupa el t´ermino de grado absoluto 76. a) 15 b) 10 c) 13 d) 20 e) 17
25. Si la divisi´ on
26. La
suma de todos los exponentes de las x100 − y 100 variables del desarrollo de , es: x4 − y 4 a) 2500 b) 2400 c) 2600 d) 2700 e) 2800
27. Si A es el pen´ ultimo t´ermino del cociente x40 − 1 , se˜ nale el t´ermino que sigue en el x8 − 1 cociente notable: A + x6 y 3 + · · · a) x4 y 4 b) x3 y 4 c) x4 y 2 4 5 4 6 d) x y e) x y 28. Se desea saberα el n´ umero de t´erminos x −1 del cociente si se cumple que: x−1 T10 T50 T100 = x236 a) 130 b) 135 c) 132 d) 134 e) 131
´ Algebra
116
CAP 04:
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Calcular el cociente de la siguiente divisi´ on: 5ax+5 − 11ax+4 + 18ax+3 − 5ax+2 + 3ax+1 5ax+3 − ax+2 + ax+1 a) a2 + 2a + 3 c) a2 − 2a − 3 e) a2 + a + 3
Walter Arriaga Delgado
b) a2 − 2a + 3 d) a2 + 3a + 2
2. Calcular el valor de “a”, si la divisi´ on: 6x5 + 5x4 + 23x2 − 30x3 + ax + 3 ; es exac2x2 + 5x − 3 ta a) 11 b) −8 c) 5 d) −5 e) −11 3. Calcular (A + B), si en la divisi´ on: x4 + 2x3 − 7x2 + Ax + B el resto es un x2 − 3x + 5 polinomio id´enticamente nulo. a) 17 b) 15 c) 31 d) 28 e) 33 4. ¿Cu´ anto debe ser el valor de “m” del trinomio 3x2 + mx + 9 con la condici´ on de que al dividir ´este por (x + 2); d´e el mismo resto que la divisi´ on de 2x3 + 3x + 3 por dicho binomio? a) 20 b) 15 c) 9 d) −6 e) 18 5. Si al dividir el polinomio nx5 −(n2 −2n)x4 + 3x3 + 6x2 − (3n2 − 5n)x + n2 − 13 entre x − n + 2, se obtiene un cociente Q(x) y un resto R. Sabiendo que Q(1) + R = 0. Calcular R. a) 2 b) 3 c) 17 d) −9 e) 9 6. Al dividir xn+1 − 6xn + 8 entre (x + 1), siendo “n” impar, se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es: a) n b) −6n c) 6n d) 14n e) 8n 7. Hallar el valor de mn si la divisi´ on del poli4 2 nomio x + 2x + mx + n entre el polinomio x2 − 2x + 3 es exacta. a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 0
5.3.
8. Hallar m + n, sabiendo que la divisi´ on 3x5 + mx3 + nx2 − x + 2 da un residuo de x2 + 3 5x − 10 a) 1 b) 5 c) 11 d) 7 e) 4 9. La diferencia entre el mayor y menor coefi12x4 − 8x3 + 15x2 − x − 6 ciente del cociente 3x − 2 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 10. Si el polinomio 3x3 − 9x2 + kx − 12 es divisible por x − 3 entonces, tambi´en es divisible por: a) 3x + 4 b) 3x2 −x+4 c) 3x2 − 4 2 e) 3x − 4 d) 3x + 4 11. Indique el t´ermino independiente del cociente al dividir el√polinomio √ √ √ P (x) = √ x5 + ( 2 + √3)x4 − ( 3 − 6)x3 − 2x2 + ( 3 +√4)x + 3 entre el polinomio Q(x) = x + 3 √ a) 2 b) √ 4 c) − 3 d) 3 e) 2 12. Hallar el valor de a2 + ab + b2 para que al dividir ax4 + bx − 3 entre x2 − 1 se obtenga un cociente exacto. a) 3 b) 6 c) −2 d) −6 e) 9 2n
x3 − 1 13. Calcular el resto en 3n , si “n” ∈ N. x +1 a) 1 b) 0 c) −2 d) 2 e) −1 14. Calcular el residuo de la siguiente divisi´ on: (x − 1)7 − (x − 2)7 − 1 x2 − 3x + 2 a) 0 b) x − 2 c) 1 d) x − 1 e) −1 15. Hallar el resto en la divisi´ on: a) 7x + 5 d) 7x + 6
b) 7x + 2 e) 3x − 1
16. Hallar el resto de la divisi´ on:
x3 (x + 1)(x + 2) c) 6x − 1
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
(x + 1)35 + 7(x + 1)28 + 3(x + 1)17 + 3 x2 + 2x + 2 a) 2x b) 2x + 12 c) 2x + 5 d) 2x − 12 e) 2x + 7 √ (x2 + nx + 2)3 − x2 − 2 √ es 17. Si el resto de: x− 2 60, determine n √ √ √ a) √2 + 1 b) √ 1− 2 c) 2 2 d) 2 + 2 e) 2 − 1 18. El resto de la divisi´ on 3 2 3 (x − 5) (x + 4) (x − 3x − 17)n es: (x − 3)(x + 4)(x − 5) a) 28 b) 28x2 + 28x − 560 c) 28x2 − 28x − 560 d) 28x2 − 28x + 560 2 e) 28x + 28x + 560 ax3 + bx2 + cx + d es exacta, x2 + n2 2 ad calcular el valor de: W = bc a) 1 b) 4 c) 36 d) 9 e) 25
19. Si la divisi´ on
20. Si el polinomio 2x5 + x4 + ax2 + bx + c, es a+b divisible por x4 − 1, hallar . a−b a) 3/2 b) −3/2 c) 2/3 d) −1 e) −2/3 21. Al dividir P (x) entre x2 + x + 1, se obtuvo como resto x+1, y al dividir entre x2 −x+1, se obtuvo como resto x − 1. Calcular el resto de dividir P (x) entre x4 + x2 + 1. a) x3 b) x3 + x c) x 3 d) x − x e) x2 + x 22. Un polinomio m´ onico de noveno grado tiene ra´ız c´ ubica exacta, adem´ as es divisible separadamente por (x − 1) y (x − 2). Hallar el residuo de dividir el polinomio entre (x − 4) si el t´ermino independiente de dicho polinomio es −216. a) 36 b) 72 c) −72 d) −48 e) 216 23. Hallar un polinomio P (x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo adem´ as que su coeficiente principal es 4 y que al ser dividido por (x − 2) el resto es 5, reconocer el
117 menor coeficiente de P (x). a) −5 b) −3 d) 4 e) 2
c) −4
24. Hallar el lugar que ocupa el t´ermino de grado 101 en el desarrollo de: M (x, z) = x180 − z 80 x9 − z 4 a) 15 b) 13 c) 11 d) 17 e) 19 25. En el cociente notable que se obtiene de: x4m − x4b el d´ecimo t´ermino contado a parx2 − x−3 tir del final es independiente de x. ¿Cu´ antos t´erminos racionales enteros contiene dicho cociente notable? a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 10 26. Hallar el valor num´erico del t´ermino central del desarrollo de: (x + y)100 − (x − y)100 x3 y + xy 3 √ para x = 3, y = 2 2. a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 10 xm − y n tiene 12 t´erminos. xa − y b Si el cuarto t´ermino contiene a x de grado 16 y a + b = 5, hallar n. a) 24 b) 48 c) 18 d) 42 e) 36
27. El cociente de
(a + 2b)n − bn , si el pen´ ultia+b 5 mo t´ermino de su desarrollo es ab + 2b6 a) 11 b) 13 c) 7 d) 5 e) 9
28. Hallar “n” en:
29. Hallar el n´ umero de t´erminos fraccionarios x90 − x−60 del cociente notable 3 x − x−2 a) 12 b) 15 c) 17 d) 20 e) 18 √ 35 √ 35 x − 3x √ √ 30. En el cociente notable x− 3x ¿Cu´ antos t´erminos son racionales? a) 8 b) 25 c) 12 d) 6 e) 5
´ Algebra
118
CAP 04:
Walter Arriaga Delgado
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Indicar la suma de coeficientes del cociente y residuo al dividir: x4 − x3 − 13x2 − 30x − 15 x2 + 3x + 5 a) −9 d) 13
b) 14 e) 1
c) 10
2. En la divisi´ on de P (x) = 2x4 + 7x3 + 16x2 + Ax + B entre Q(x) = 2x2 + 3x + 4, se obtiene como residuo 13x + 3. Indicar el valor de A + B a) 15 b) 30 c) −30 d) −15 e) 45 3. ¿Qu´e valor debe asumir “m” para que la suma de coeficientes del cociente de la divisi´ on de P (x) = 2x4 − 5x3 + x2 + 3x + m entre Q(x) = x − 2, sea igual al resto. a) −2 b) 1 c) −1 d) 2 e) 0
8. Hallar el valor de: E = 81m + n, si la divisi´ on de (x2 − x + 2)5 − m(x − 2)4 (x + 1)4 + nx3 (x − 1)3 entre x3 + 1, es exacta a) 12 b) −1 c) 1 d) −10 e) −4 9. Calcular el residuo de la divisi´ on (x + 2)4 (x + 6)(x − 3) (x + 2)3 (x + 3) a) 18(x + 2)3 d) −18(x + 2)3
a) 2 d) 1
b) 3 e) 0
c) 4
b) −1 e) 2
6. Hallar “k” si la divisi´ on: 3 3 a + b + c3 − kabc a+b+c es exacta a) 1 b) 3 d) 0 e) 4
c) 27
11. Hallar el resto en la divisi´ on ax3a + bx3b+1 + cx3c+2 x2 + x + 1 a) (a − b)x + b − c c) (c − a)x + a − b e) (b − c)x + a − b
b) (b − c)x + a − c d) (a − b)x + c − a
12. Determine el resto en la divisi´ on,
5. Calcular el resto en: x27 + 243x22 + x + 4 x+3 a) −2 d) 1
b) −18 e) −27(x + 2)3
10. Calcular n si el residuo de la divisi´ on (x + 3)n (x + 1)n + nx(x − 1)(x + 5) + 1 (x + 2)2 es 2(1 − 18x); n es par a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1
4. Hallar el coeficiente del t´ermino cuadr´ atico en el cociente de: 6x6 − 3x5 + 4x3 + 10x2 − 8x + 4 2x − 1
5.4.
x15 + x14 + x13 + · · · + x2 + x + 1 (1 + x2 )(1 + x) c) 0
a) x + 1 d) 2x
b) x2 + 1 e) 0
c) 2x2 7
13. Calcular el residuo de la divisi´ on, n ∈ N (x − 1)2n+1 − (x − 2)4n+1 x2 − 3x + 2 c) 2
7. Al dividir el polinomio P (x) = abx5 +b2 x4 + bcx3 − abx + acx2 + c2 entre el polinomio Q(x) = ax2 + bx + c se obtiene un resto de b(a + c) acx; calcular: W = ac a) 0 b) 1 c) −2 d) −3 e) −1
a) x − 1 d) 0
b) x − 2 e) −1
c) 1
14. El cociente de dividir un polinomio de tercer grado entre 2x − 1 es x2 + 2x − 3 y el residuo al dividir dicho polinomio entre 2x + 1 es 1. Hallar el resto obtenido de dividir el mismo polinomio entre 2x − 1 a) −6,5 b) −2,5 c) −3,5 d) −5,5 e) −1,5
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
15. Hallar el polinomio P (x) de segundo grado divisible por 2x + 1, sabiendo que su coeficiente principal es 4 y que al ser dividido entre x − 2 su residuo es 5. Determinar el menor coeficiente de P (x) a) 4 b) −3 c) −5 d) −4 e) 2 16. Un polinomio de cuarto grado es divisible separadamente por (x + 3), (x + 2) y (x + 5); adem´ as al ser dividido por (x + 1) se obtiene como residuo 32. Si el t´ermino independiente de P (x) es −240. Hallar su coeficiente principal. a) 40 b) −12 c) 30 d) −80 e) −40 17. Siendo A el decimosexto t´ermino del cociente: a100 − 1 a5 − 1 proporcione el t´ermino central del cociente A11 + b44 A + b4 a) a100 b10 d) −a100 b25
b) a100 b15 e) −a100 b20
c) −a100 b10
119 el grado absoluto del t´ermino que ocupa lugar “k” excede en (4n − 4) al grado absoluto del t´ermino que ocupa el lugar “k” contado desde la derecha. a) n + 3 b) 12 c) 2n − 1 d) 11 e) 27
22. Hallar el quinto t´ermino del CN: xm+1 − y m+h−33 xk−2 − y h−3 sabiendo que los exponentes de “x” disminuyen de 4 en 4 y los de “y ′′ aumentan de 1 en 1 a) x16 y 10 b) x14 y 12 c) x12 y 16 d) x20 y 14 e) x20 y 4 23. Si se sabe que en la divisi´ on de: F (x) = axn + (3a− b)xn−1 + (5a− 3b)xn−2 + (7a − 5b)xn−3 + · · · de (n + 1) t´erminos por (ax − b), el residuo es: 11a; a 6= b. Halle el valor de “n” a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 7 x413 − y 295 uno de x7 − y 5 los t´erminos de su desarrollo es: a) x357 y 35 b) x410 y 5 c) y 94 404 7 392 11 d) x y e) x y
18. Indique cu´ al es el n´ umero de t´erminos en: 63 15 56 18 · · · − a b + a b · · · sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 11 b) 12 c) 15 d) 14 e) 13
24. En el cociente notable
19. Halle el t´ermino independiente respecto a x en el cociente notable generado por: √ ( x + y)n − y n √ x
25. Hallar el primer t´ermino del CN
si t(10−n) = y 9−n a) 5y 4 b) y 8 4 d) y e) −3y 4
c) 3y 4
x8 − 1 tiene 4 t´ermixm − 1 nos; calcule: m9 + m8 + m7 + · · · + m + 3 a) 1004 b) 1024 c) 1016 d) 1025 e) 1000
20. Si el cociente notable
21. Calcular el m´ınimo valor de “k”, de manera que en el C.N. (n = impar): an
n+1
+ bn an + b
n
(x + y + z)3 − (x + y − z)3 z a) x + y + z c) x + y − z e) x + y
b) 2(x + y + z) d) 2(x + y + z)2
26. Sabiendo que al dividir n
n
x2 − y 2 m x3 −1 − y 3m −1 el segundo t´ermino de su cociente es x16 y 8 . ¿Cu´ antos t´ermino posee el cociente notable? a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6
´ Algebra
120
CAP 04:
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Hallar el residuo en:
7. Si el residuo de la divisi´ on
x4 + 2x3 − m2 x2 + mx − m x−m+1 a) 1 d) 2
b) −1 e) −2
c) 0
2. En la divisi´ on exacta: Ax4 + Bx3 + 13x2 + 11x + 3 x2 + 2x + 3 determinar AB a) 10 d) 20
b) 12 e) 14
c) 16
3. Calcular el resto en: (x − 1)4n (x3 + 8)(x − 4) x2 − 2x + 2 a) 20 d) 14
b) 40 e) −10
c) −20
4. Indique el resto en: x4 + 2x3 − x2 − x + √ x− 2+1 a) 1 d) 2
√
b) 0 e) −2
a b c d
6
2
e 2
3
f -2 3
c) −1
1
g 4 -3 1 -4
h 6 -1 -2
j
2 5
Hallar D(1)+d(1), siendo D(x) el dividendo y d(x) el divisor a) 5 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10 6. Hallar “a” para que la suma de coeficientes del cociente sea 161 y el residuo 16 en la siguiente divisi´ on: ax51 + 2bx + 2b − a x−1 b) 3 e) −2
[P (x)]4 x+1 b) x e) 81
5.5. P (x) es 3. Calx+1
cular el residuo de a) 12 d) 41
c) 1
√ 8. Calcular: ab 3b − a; sabiendo que al dividir ax2 − ax − 2b entre ax + b se obtuvo como resto 2b y adem´ as el t´ermino independiente del cociente es −4a a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 9. Determinar el resto que se obtiene al dividir el resto de: mx4m + nx4n+1 + px4p+2 + qx4q+3 (x + 1)(x2 + 1) por x + 1, para todo m, n, p, q 6= 0. a) m−n+p−q b) 1 c) m2 + n2 d) 0 e) mnpq 10. Calcular el resto de dividir:
2
5. En una divisi´ on efectuada por el m´etodo de Horner, se obtuvo este esquema:
a) 2 d) −4
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c) 4
16x4n+2 + 8x3n+1 − 54xn+2 − 6xn − 9 2xn − 3 a) 27x − 13 d) 27x − 18
b) 27x e) 18
c) 27
11. Hallar el resto de la divisi´ on: (x + 1)35 + 7(x + 1)28 + 3(x + 1)17 + 3 x2 + 2x + 2 a) 2x d) 2x − 12
b) 2x + 12 e) 2x + 7
c) 2x + 5
12. Al dividir un polinomio P (x) entre (2x+aa ) se obtiene como residuo −1 y un cociente entero cuya suma de coeficientes es 5. Determinar el valor de “a”, si al dividir P (x) entre (x − 1) se obtiene como residuo 29. a) 4 b) 3 c) −4 d) −2 e) 2 13. Si el residuo de la divisi´ on del polinomio P (x) entre x + 4 es 7 y la suma de los coeficientes del cociente es 6. Hallar el residuo de dividir P(x) entre x − 1 a) 0 b) 30 c) 37 d) 7 e) 51
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´ Algebra
14. ¿Qu´e relaci´ on existe entre: a, b y m, si la a(x4a )m − b(xb )4m divisi´ on es exacta? ax2 − b a) 2am = 2bm + 1 b) 2am = 2b + 1 c) 2am = b d) 2am = 2bm − 1 e) 2am = b + 1 15. Un polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 es divisible entre x2 + 1 y adem´as la suma de sus coeficientes es nula. Si al dividir P (x) entre x − 2 se obtuvo como residuo 50. Hallar el residuo de dividir P (x) entre x2 − 1 a) 2x b) x + 1 c) −2x d) 2x − 2 e) 2x + 1 16. Determinar un polinomio m´ onico de cuarto grado que sea divisible separadamente entre x2 −3x+2, x2 −4, x2 +x−2; y al se dividido entre (x − 3) deja un residuo igual a 100. Indicar el residuo de dividir dicho polinomio entre (x + 1). a) 18 b) 36 c) 34 d) 72 e) 48 17. Un polinomio P (x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor num´erico 1 para x = −2, −3, −4, sabiendo que al dividirlo entre (x − 1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x − 2). a) 122 b) 119 c) 239 d) 242 e) 241 18. Hallar el pen´ ultimo t´ermino del cociente nox40 + y 10 table generado por: x4 + y b) x4 y 8 c) −x4 y 8 a) x9 y 8 8 9 8 9 d) x y e) −x y 19. Hallar el lugar que ocupa el t´ermino de grax180 − y 80 do 101 en el desarrollo del CN: x9 − y 4 a) 15 b) 13 c) 11 d) 17 e) 19 20. Uno de los t´erminos del desarrollo del CN: (x + y)n − y n x es (x + y)25 y 13 . Hallar el lugar que ocupa dicho t´ermino contado a partir del final. a) 24 b) 25 c) 27 d) 26 e) 28
121
21. Si xp y 28 ; x16 y 2(p−6) son t´erminos equidistantes de los extremos en el cociente notable xm − y n x4 − y 7 Calcular el valor de m + n + p. a) 225 b) 235 d) 257 e) 322
c) 245
22. Hallar el valor num´erico para x = −1 del t´ermino de lugar 31 del cociente notable: (x + 3)36 − x36 2x + 3 a) 128 d) 16
b) 64 e) 32
c) 144
23. Elx t´ermino central del cociente notable a − by es az b48 . Calcular el valor de a7 − b3 x − y + z. a) 343 b) 159 c) 244 d) 197 e) 315 24. La suma de todos los exponentes de las vax100 − y 100 es: riables del desarrollo de: x4 − y 4 a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800 n
n
x2 − y 2 25. Sabiendo que al dividir 3m −1 , el x − y 3m −1 segundo t´ermino de su cociente es x16 y 8 . ¿Cu´ antos t´erminos posee el cociente notable? a) 7 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 26. Calcular el n´ umero de t´erminos del desarrollo del C.N. que tienen los t´erminos consecutivos · · · + x70 y 12 − x63 y 15 + · · · a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 27. Calcular el n´ umero de t´erminos fraccionarios en el cociente notable: x90 − x−60 x3 − x−2 a) 10 d) 18
b) 20 e) 12
c) 15
´ Algebra
122
CAP 04:
Walter Arriaga Delgado
Divisi´ on algebraica y cocientes notables
1. Si al dividir ax4 + bx − 3 entre x2 − 1 se obtiene un cociente exacto. Hallar a2 + ab + b2 . a) 3 b) 9 c) 6 d) −6 e) −2 2. Calcular el valor de “a” para el cual el trinomio x7 +ax+b sea divisible entre (x+1)2 . a) −5 b) −4 c) −6 d) −8 e) −7 3. En la divisi´ on exacta: 6x4 + 4x3 − 5x2 − 10x + a 3x2 + 2x + b Hallar a2 + b2 . a) 625 d) 620
b) 25 e) 600
c) 650
√ √ b) √ 3 + 2 e) 2 + 1
c)
√
3+1
5. Calcular el valor de m + n + p sabiendo que el polinomio: 6x6 +11x5 −10x4 +8x3 +mx2 + nx + p es divisible entre: 3x3 + x2 + x + 2. a) −4 b) 7 c) 5 d) −1 e) −9 6. Del esquema de Ruffini: A
B
C
P
A
1 D
2 E
3 0
1
Determinar la suma de los coeficientes del dividendo. a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) −1 7. Hallar el residuo de la siguiente divisi´ on: x4 − (b + 2)x3 + bx2 + x + b2 + b x−1−b a) 1 d) −2
b) 2 e) 0
a) 7x + 5 d) 6x − 1
b) 7x + 2 e) 3x − 1
x3 (x + 1)(x + 2) c) 7x + 6
9. Hallar “n” si la divisi´ on: 12x30 + 16x29 + 9x + n 3x + 4 es exacta. a) 12 d) 6
b) 8 e) 16
c) 10
10. Hallar el resto en:
4. El t´ermino independiente del cociente de: √ √ √ √ √ ( 3 − 2)x5 − 2 2x3 − 2 3x + 12 + 2 6 √ √ x− 3− 2 es: √ √ a) √2 − 3 d) 3 − 2
8. Hallar el resto de la divisi´ on:
5.6.
c) −1
(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 4x) − 81 (x + 4)(x − 5) + 15 a) 21 d) 24
b) 27 e) 25
c) 29
11. En la divisi´ on √ √ x4 − 2 6x3 + 6x2 + 6x − 12 √ x− 6 el coeficiente del t´ermino lineal del cociente es: √ b) 0 c) 1 a) − √ 6 e) 6 d) 6 12. Hallar el valor de mn si al dividir el polinomio x4 + 2x2 + mx + n entre el polinomio x2 − 2x + 3, resulta un cociente exacto. a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 0 13. El coeficiente del t´ermino lineal del cociente que resulta al dividir: 6x3 − 19x2 + 19x − 16 entre 3x − 2 es: a) 1 b) 3 c) −5 d) 4 e) −4 14. Calcular ab si el polinomio P (x) = x3 +ax+b es divisible por (x − 1)2 a) 9 b) 6 c) 16 d) 12 e) 25 15. ¿Qu´e valor debe asumir “m” para que la suma de coeficientes del cociente de la divisi´ on: 2x4 − 5x3 + x2 + 3x + m x−2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado sea igual al resto. a) −2 b) 2 d) −1 e) 0
c) 1
16. Indicar la suma de coeficientes del cociente y residuo al dividir: x4 − x3 − 13x2 − 30x − 15 x2 + 3x + 5 a) −9 d) 13
b) 14 e) 1
c) 10
123
22. ¿Cual es el resto que se obtiene al dividir 2x119 + 1 entre x2 − x + 1? a) 3 − x b) 2x − 3 c) 3 + 2x2 2 d) 2x − 3 e) 3 − 2x x8 − 1 tiene 4 xa + 1 t´erminos, entonces el valor de la suma: a9 + a8 + a7 + · · · + a2 + a + 3 a) 1024 b) −1024 c) 1025 d) −1025 e) 1026
23. Si el cociente notable
24. ¿Qu´e lugar ocupa en el desarrollo del C.N.
17. En la divisi´ on 3x31 + n(x + 2) x−1
determine el resto si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es 120. a) 24 b) 42 c) 48 d) 54 e) 84 18. Hallar a + b + c + d + e + f , si en la divisi´ on 21x6 + ax4 + bx5 + cx3 + dx2 + ex + f 3x3 + x2 − x − 2
el cociente tiene coeficientes que van disminuyendo de 2 en 2 y un residuo igual a 3. a) −4 b) 2 c) −2 d) 4 e) −3 19. Calcular el resto de la divisi´ on:
b) 2x − 2y e) x − y
25. Hallar el n´ umero de t´ermino del C.N. x3n+9 + y 6n+11 xn−1 + y 2n−3 a) 9 d) 7
c) 2x
20. En la divisi´ on: x5 (x + 3)5 + (x + 1)(x + 3) + 7 (x + 1)(x + 2) − 3
indicar el t´ermino independiente del residuo. a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10 21. De la divisi´ on xn−2 − (n + 3)x + 4n − 1 x−1
la suma del t´ermino independiente del cociente y el residuo vale 105, ¿De qu´e grado es el cociente? a) 25 b) 52 c) 32 d) 55 e) 60
b) 6 e) 4
c) 8
26. Determinar el valor de “m” en el C.N. x5m−1 − y 12m−5 xm−5 − y m−1 a) 10 d) 6
(x − y)29 − (y − x)27 (x − y + 1)2 + 2(y − x) a) 0 d) −2y
x160 − y 280 x4 − y 7 el t´ermino con grado absoluto igual a 252? a) 33 b) 31 c) 32 d) 30 e) 34
b) 8 e) 12
c) 7
27. Sean: A = x20n + x19n + · · · + x2n + xn + 1 B = x20n − x19n + · · · + x2n − xn + 1 Hallar el n´ umero de t´erminos de AB. a) 20 b) 42n c) 40 d) 42 e) 21 28. Sabiendo que xa y 24 es el t´ermino central x75 − y b del desarrollo del cociente notable c . x − y2 Calcular: a + b + c. a) 10 b) 40 c) 89 d) 59 e) 99 29. Si xm − 8 entre x − 2 es una divisi´ on notable exacta, calcule el valor num´erico de: m39 − m38 + m37 − · · · − m2 + m − 1 m35 − m30 + m25 − · · · − m10 + m5 − 1
a) 61 d) 125
b) 121 e) 142
c) 216
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Cap´ıtulo 6:
FACTORIZACION Objetivos z Expresar un polinomio como un producto indicado de otros polinomios de menor grado. z Adquirir habilidades en el manejo de los diferentes casos de factorizaci´ on. z Identificar los diferentes casos de factorizaci´ on para aplicarlo en la soluci´ on de ejercicios.
6.1.
Introducci´ on
As´ı como los n´ umeros naturales pueden ser expresados como producto de dos o m´ as n´ umeros primos, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o m´ as factores primos. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresi´ on es irreducible, solo puede expresarse como el producto del n´ umero 1 por la expresi´ on original. La factorizaci´ on es un procedimiento inverso la multiplicaci´ on algebraica, y es de suma importancia puesto que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones e inecuaciones, tambi´en nos permite analizar el dominio de una funci´ on y en general, dentro del proceso de soluci´ on de problemas de diferentes temas de la matem´ atica, ayuda sistem´ aticamente, a encontrar la soluci´ on buscada. La factorizaci´ on es una operaci´ on que consiste: Dado un polinomio P (x) hallar dos o m´ as polinomios de menor grado llamados factores de P (x) dados que multiplicados entre s´ı nos de P (x).
6.2.
Definici´ on
Es el proceso que tiene por objeto transformar una expresi´ on algebraica o trascendente, en una multiplicaci´ on de potencias de sus factores primos de la misma especie. Hallar el producto y descomponer en factores primos son dos operaciones inversas, es decir: Polinomio sobre un Campo: 125
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multiplicaci´ on (x + 3)(x + 2)
=
x2 + 5x + 6
factorizaci´ on Figura 6.1: Factorizaci´ on
Se dice que un polinomio est´ a definido sobre un campo num´erico, cuando los coeficientes de dicho polinomio pertenecen al conjunto num´erico asociado a dicho campo. Se consideran tres Campos: Racional (Q), Real (R) y Complejo (C). Ejemplo 6.2.1. P (x) = 2x2 − x + 6 est´ a definido en Q, R y C. Q(x) =
√
5x3 − 5x +
√
7 est´ a definido en R y C pero no en Q.
T (x) = x2 + 7ix − 9 est´ a definido s´ olo en C Definici´ on 6.2.1. Un factor es una expresi´ on no constante que forma parte de una multiplicaci´ on que conduce a una cierta expresi´ on dada. Definici´ on 6.2.2. Un factor primo es aquel factor que no puede descomponerse m´ as, es decir no acepta transformaci´ on o multiplicaci´ on indicada de dos o m´ as polinomios no constantes, pertenecientes a dicho campo num´erico. Todo factor primo presenta como u ´nico divisores a ´el mismo y a la unidad. Ejemplo 6.2.2. Factorizar: P (x) = x4 − 4
Soluci´ on:
De acuerdo al campo num´erico se tiene que: x4 − 4 = (x2 + 2)(x2 − 2) x4 − 4 = (x2 + 2)(x + x4 − 4 = (x +
√
√
2i)(x −
2 factores primos cuadr´ aticos en Q.
2)(x −
√
√
2)
2i)(x +
√
3 factores primos, uno cuadr´ atico y dos lineales en R. 2)(x −
√
2)
4 factores primos lineales en C.
Nota 6.2.1. La multiplicaci´ on de los factores debe dar la expresi´ on dada. Un polinomio siempre se factorizar´ a en el campo de los n´ umeros racionales salvo se indique lo contrario.
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6.3.
´ Algebra
127
Criterios de factorizaci´ on
Existen varios criterios de factorizaci´ on de un polinomio, la utilizaci´ on de los mismos esta en relaci´ on de la naturaleza del polinomio.
6.3.1.
Criterio del factor com´ un
Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro t´erminos o m´ as. No aplica para monomios. El factor com´ un es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los t´erminos. Puede ser un n´ umero, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresi´ on algebraica (encerrada en par´entesis) o combinaciones de todo lo anterior. De los coeficientes de los t´erminos, se extrae el MCD (M´ aximo Com´ un Divisor) de ellos. De las letras o expresiones en par´entesis repetidas, se extrae la de menor exponente. Se extrae el factor com´ un de cada una de las expresiones, el otro factor se obtiene dividiendo cada uno de los t´erminos del polinomio entre el factor com´ un extra´ıdo. Ejemplo 6.3.1. 3x + 3y = 3(x + y) 10a − 15b = 5(2a − 3b) mp + mq − mr = m(p + q − r) −7x3 + 8x2 − 4x + 11 = −(7x3 − 8x2 + 4x − 11) x(a + 1) − t(a + 1) + 5(a + 1) = (a + 1)(x − t + 5) 12c3 d4 f 2 − 18c2 df 2 + 30c5 d3 f 2 h = 6c2 df 2 (2cd3 − 3 + 5c3 d2 h)
6.3.2.
Criterio del factor com´ un por agrupaci´ on de t´ erminos
Se forman grupos de igual n´ umero de t´erminos, buscando que exista alguna familiaridad entre los t´erminos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes). La agrupaci´ on se hace colocando par´entesis. Deben cambiarse los signos de los t´erminos encerrados en el par´entesis si ´este queda precedido por signo negativo.
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Se extrae factor com´ un de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresi´ on encerrada en par´entesis). Por u ´ltimo, se extrae factor com´ un de toda la expresi´ on (es decir, nuevamente se aplica el criterio anterior; en esta ocasi´ on, el factor com´ un es una expresi´ on encerrada en par´entesis). Ejemplo 6.3.2. Factorizar: px + mx + py + my N´ otese que no existe factor com´ un en este polinomio de cuatro t´erminos. Entonces, formamos grupos de dos t´erminos: (px + mx) + (py + my) Extraemos factor com´ un de cada grupo formado: x(p + m) + y(p + m) Por u ´ltimo, extraemos factor com´ un de toda la expresi´ on: (p + m)(x + y)
6.3.3.
Criterio de las identidades
En este criterio debe tenerse en cuenta los diferentes casos vistos en productos notables. Ejemplo 6.3.3. Factorizar: x4 + x2 y 2 + y 4 Para factorizar ´este polinomio se debe usar la identidad de Argand: x4 + x2 y 2 + y 4 = (x2 + xy + y 2 )(x2 − xy + y 2 )
6.3.4.
Criterio de las aspas
Se presentan los siguientes casos Aspa simple Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x) = Ax2n + Bxn + C P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m o cualquier otra expresi´ on transformable a una de las formas anteriores. El m´etodo consiste en descomponer los t´erminos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados, resulte el t´ermino central, luego los factores se toman sumando en forma horizontal. Donde: Bxn y m = A2 C1 xn y m + A1 C2 xn y m luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 xn + C1 y m )(A2 xn + C2 y m )
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P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m A1 xn
C1 y m =A2 C1 xn y m
A2 xn
C2 y m =A1 C2 xn y m Bxn y m
Figura 6.2: Aspa simple
Ejemplo 6.3.4. Factorizar: P (x) = 6x2 − 5x − 6 P (x)
=
6x2
−
5x
− 6
3x
2
2x
−3
= 4x = −9x
Luego P (x) = 6x2 − 5x − 6 = (3x + 2)(2x − 3)
−5x
Aspa doble Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m + Dxn + Ey m + F o cualquier otra expresi´ on transformable a ´esta. El m´etodo consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o m´ as t´erminos, ´estos se completar´ an con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (6.3) de la siguiente manera: Un aspa con los t´erminos: Ax2n , Bxn y m y Cy 2m , obteni´endose que: Bxn y m = A1 C2 xn y m + A2 C1 xn y m Un aspa con los t´erminos: Cy 2m , Ey m y F obteni´endose que: Ey m = C1 F2 y m + C2 F1 y m Un aspa con los t´erminos: Ax2n , Dxn y F obteni´endose que: Dxn = A1 F2 xn + A2 F1 xn luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 xn + C1 y m + F1 )(A2 xn + C2 y m + F2 )
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Ax2n + Bxn y m + Cy 2m + Dxn + Ey m + F A1 xn
C1 y m
F1
A2 xn
C2 y m
F2
Figura 6.3: Aspa doble
Aspa doble especial Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E P (x, y) = Ax4n + Bx3n y m + Cx2n y 2m + Dxn y 3m + Ey 4m o cualquier otra expresi´ on transformable a una de las formas anteriores. El m´etodo consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o m´ as t´erminos, ´estos se completar´ an con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (6.4) de la siguiente manera: Un aspa con los t´erminos: Ax4n y Ey 4m , obteni´endose que: F x2n y 2m = A1 E2 x2n y 2m + A2 E1 x2n y 2m luego obtenemos el t´ermino: Gx2n y 2m = Cx2n y 2m − F x2n y 2m Un aspa con los t´erminos: Ax4n , Bx3n y m y Gx2n y 2m obteni´endose que: Bx3n y m = A1 G2 x3n y m + A2 G1 x3n y m Un aspa con los t´erminos: Gx2n y 2m , Dxn y 3m y Ey 4m obteni´endose que: Dxn y 3m = G1 E2 xn y 3m + G2 E1 xn y 3m luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 x2n + G1 xn y m + E1 y 2m )(A2 x2n + G2 xn y m + E2 y 2m )
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Gx2n y 2m Ax4n + Bx3n y m + Cx2n y 2m + Dxn y 3m + Ey 4m A1 x2n
G1 xn y m
E1 y 2m A2 E1 x2n y 2m
A2 x2n
G2 xn y m
E2 y 2m A1 E2 x2n y 2m F x2n y 2m
Figura 6.4: Aspa doble especial
Aspa triple
6.3.5.
Criterio de los divisores binomios
Este criterio se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal de la forma ax ± b.
Este m´etodo se fundamenta en el siguiente principio: “Si un polinomio se anula para x = ±a; uno
de sus factores ser´ a (x ∓ a)”.
Ejemplo 6.3.5. En el polinomio: P (x) = x3 − 3x − 2, observamos que P (2) = 0, entonces diremos
que 2 es una raiz de P (x).
Para determinar los posibles ceros o ra´ıces racionales (PCR) de un polinomio P (x) de coeficientes enteros P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ;
a0 · an 6= 0
se utilizar´ a el siguiente criterio:
PCR = ±
6.3.6.
Divisores de |an | Divisores de |a0 |
Criterio de los artificios
Son m´etodos pr´ acticos que se utilizan para factorizar expresiones particulares, estructurando los t´erminos de la expresi´ on de modo que sea factorizable por alguno de los m´etodos conocidos. As´ı tenemos: z Cambio de variable Consiste en transformar, equivalentemente, mediante un cambio adecuado, un problema operativo en otro m´ as simplificado. z Sumas y restas Consiste en sumar y restar simult´ aneamente una misma expresi´ on o descomponer alg´ un t´ermino del polinomio, de tal modo que una expresi´ on aparentemente no factorizable se transforme en
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otra que se factorice. En particular: • Si la expresi´ on es un polinomio de grado par, se tratar´ a de formar un trinomio cuadrado perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados.
• Si la expresi´ on es un polinomio de grado impar, se tratar´ a de formar una suma o diferencia de cubos.
z Polinomios rec´ıprocos Son aquellos polinomios que tienen por caracter´ıstica: si una ra´ız cualquiera es α la otra necesariamente es α−1 con α 6= 0, y tienen la siguiente forma:
P1 (x) = ax + a
P2 (x) = ax2 + bx + a P3 (x) = ax3 + bx2 + bx + a P4 (x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a .. . Nota 6.3.1. • Todo polinomio de grado impar se anula para 1 ´ o −1. • Sea P (x) un polinomio de grado impar entonces (x − 1) ´ o (x + 1) ser´ a uno de sus factores.
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CAP 05:
133
Factorizaci´ on
1. Dado el polinomio factorizado P (x, y) = 3xy 2 (x2 + 1)2 (xy + 2)3 (x2 + xy + y 2 ). Indicar: El n´ umero de factores primos. El n´ umero de factores primos lineales. El n´ umero de factores primos cuadr´ aticos. El n´ umero de factores primos monomios. El n´ umero de factores primos binomios. El n´ umero de factores primos trinomios. a) 5, 3, 2, 2, 1, 2 c) 4, 1, 3, 2, 1, 2 e) 4, 2, 2, 3, 1, 1
b) 5, 2, 3, 2, 2, 1 d) 4, 3, 1, 2, 2, 3
2. Uno de los factores primos de P (x, y) = x2 + 2x + 4y + 2y 2 + 3xy es: a) x − y − 2 b) x + y c) x − 2y d) x − y + 2 e) x + y + 2 3. Al factorizar P (x) = (2x2 − 3x − 5)2 − (x2 − 3x − 4)2 se obtiene un factor de la forma (x + m)2 . El valor de m es: a) 2 b) 3 c) 1 d) −1 e) −2 4. Al factorizar P (x) = x3 − 4x2 + x + 6 se obtiene (x − m1 )(x − m2 )(x − m3 ). Hallar m1 + m2 + m3 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5 5. Al factorizar F (x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3), se obtiene que uno de los factores primos es de la forma (px2 +qx+r). Entonces p2 +q 2 +r 2 es: a) 8 b) 10 c) 12 d) 11 e) 14 6. Al factorizar E = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4. La suma de los t´erminos independientes de sus factores primos es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1
6.1.
7. La suma de los factores primos lineales de: F = x2 (y−z)−y 2 (z−x)+z 2 (x+y)−2xyz es: a) x + y b) x + y − z c) 2y d) 2x e) 2x + 2y − 2z n+1
8. Al factorizar a2 − 1. Uno de los factores primos es: n n b) a2 − 1 c) a2 + 1 a) a2n + 1 d) an − 1 e) a2n − 1 9. Uno de los factores primos binomios de la expresi´ on E = x4 + 2x3 − 4x2 + 8x − 32 es: a) x2 + 4 b) x2 + 2 c) x2 + 3 2 2 d) x + 1 e) x + 5 10. Hallar la ra´ız cuadrada de la expresi´ on: 2 K = (a +ab+bc+ca)(bc+ca+ab+b2 )(bc+ ca + ab + c2 ) a) (a − b)(a − c)(b − c) b) (a + b)(a + c)(b − c) c) (a + b)(a − c)(b + c) d) (a + b)(a + c)(b + c) e) (a − b)(a − c)(b − c) 11. La expresi´ on id´entica a: P (a) = 40 + (a − 1)(a − 3)(a + 4)(a + 6) es: a) (a2 + 3a + 8)(a2 + 3a + 14) b) (a2 + 3a − 14)(a2 + 3a − 8) c) (a2 − 3a + 14)(a2 − 3a − 8) d) (a2 − 3a − 8)(a2 + 3a − 14) e) (a2 − 3a − 14)(a2 + 3a + 8) 12. Dadas las expresiones M = 6x2 + x − 12 y N = 10x2 + 13x − 3. El factor primo com´ un de M y N es: a) 5x − 1 b) 3x + 2 c) 2x + 5 d) 3x − 4 e) 2x + 3 13. Al factorizar: E = 2x2 +xy −y 2 −3x+3y −2. Se obtiene como uno de sus factores primos lineales: a) 2x+ y − 1 b) x − y + 2 c) 2x − y + 1 d) x + y + 2 e) 2x − y − 1 14. El factor primo cuadr´ atico que resulta al factorizar la expresi´ on P (x) = 2x3 − x2 − x − 3 es: a) x2 + x+ 1 b) x2 +x−1 c) 2x2 −x+1 d) x2 −x−1 e) 2x2 −x+1
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15. Si P (x) = (x2 + 4x + 2)(x2 + 4x + 6) + 4 se factoriza como m(x + 2)n . Los valores de m y n son respectivamente: a) m = 2, n = 3 b) m = 2, n = 4 c) m = 3, n = 4 d) m = 1, n = 4 e) m = 1, n = 3 16. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = (x2 − y 2 )2 − [(x + y)2 ]2 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 17. El valor num´erico de uno de los factores primos de E = 22n − 2n+1 − 3 para n = 2 es: a) 2 b) 9 c) 4 d) 3 e) 5 18. La suma de los factores primos de F (x) = (x − 2)(x − 2 + p + q) + pq para p+q es: x=− 2 a) −2 b) 2 c) −4 d) −5 e) 4 19. Factorizar : (x+y)x2 +(x2 +z 2 )xy+(x+y)z 2 e indicar un factor primo. b) x + xy c) x2 + z a) x2 + z 2 d) x + y e) x + y + z 20. Dar el n´ umero de factores primos de: P (x) = (3x + 4)(3x − 1)(x − 1)(3x + 2) + 7 a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8.
21. Al factorizar: P (x) = Se obtiene una expresi´ on de la forma a+b+c (x + a)(x + b)(x + c)n . Hallar n a) 0 b) 1/2 c) 5/2 d) 1 e) 4 22. La suma de los coeficientes de un factor primo de: 12x2 − 6xy − 14x + 9y − 6, es: a) 0 b) 7 c) 4 d) 2 e) 5 23. Hallar el F.P. repetido de: (x + y)3 − (x + y + z)z 2 + z(x + y)2 a) x + y b) x + y − z c) x + y + z d) x − z e) x − y − z 24. Factorizar: (x + y)4 − 2(y 2 + z 2 )(x + y)2 + (y 2 − z 2 )2
Walter Arriaga Delgado y calcular la suma de sus factores primos. a) 4x + 4y b) 4x + 4y + 2z c) 4x − 4y d) 4x + 4y + 4z e) 4x − 4z
25. Determinar el n´ umero de F.P. cuadr´ aticos que se obtiene al factorizar x10 + x8 + 1 a) 0 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 26. Hallar la suma de los F.P. de primer grado, del polinomio: (x + 3)4 − x2 (x + 6)2 − 81 a) x2 + x b) 2x + 6 c) x2 + 6x d) 19x + 6 e) 6x − 1 27. Determinar la suma de los t´erminos independientes de los factores primos de: (x2 − 25)(x2 + 8x) − (8x + 9)(25 − x2 ) a) 19 b) 50 c) 0 d) 34 e) 9 28. Indicar el grado de uno de los factores primos de: x21 + y 21 + x10 y 10 (xy + 1) a) 2 b) 6 c) 11 d) 8 e) 16 29. Determinar el n´ umero de factores primos de: P (x, y) = 2x3 + y 3 − x2 y − 2xy 2 a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 30. La suma de los t´erminos independientes de sus factores primos de 12x3 +16x2 −7x−6 es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 31. La suma de los coeficientes de un factor primo de P (x, y) = 49x4 − 11x2 y 2 + 25y 4 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 32. El n´ umero de factores primos cuadr´ aticos 2 de (x + 2) (x + 1)(x + 3) − 5x(x + 4) − 27 es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2 33. Factorizar 23n − 6 + 26n+1 y hallar el valor num´erico de un factor primo, para n = 2/3. a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4
Walter Arriaga Delgado
CAP 05:
´ Algebra
135
Factorizaci´ on
1. La suma de los t´erminos independientes de los F.P. de x14 + x12 + x10 + . . . + x2 + 1, es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 2. Determinar el coeficiente que se obtiene al factorizar (3x + 2y + 3z)3 + (3x − 2y + 3z)3 a) 12 b) 45 c) 24 d) 30 e) 18 3. Al factorizar 21x4 −20x3 +35x2 −10x+4. El residuo de dividir el factor primo de mayor valor num´erico para x = 0, entre (x − 1), es: a) 0 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7 4. El n´ umero de factores primos de m32 − n32 es: a) 6 b) 12 c) 4 d) 8 e) 2 5. Determinar “k”, si el polinomio: x4 − (5 − k2 )x3 + k2 x + (3k + 1)x + 2x2 + 7 es factorizable : a) 1 b) −5 c) −2 d) 2 e) 7 6. Hallar la ra´ız cuadrada de: P (x) = (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 4) + 9 a) x − 9 b) x2 −x−9 c) x2 − x + 9 2 e) x − 2 d) x − 9 7. Factorizar P (x) = x3 − 10x2 + 31x − 30 y hallar el mayor valor num´erico de los factores primos cuando se reemplaza x por −2. a) −7 b) 5 c) −5 d) 0 e) −4 8. Hallar la diferencia entre los F.P. de: x(x − a) + y(y − a) + 2xy a) 2x b) 2y c) a d) 0 e) −2x 9. La suma de coeficientes de un F.P. de: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + x(x + 5) es: a) 14 b) 8 c) 10 d) 12 e) 6 10. Luego de factorizar: P (x, y) = x2 y 2 + 2x2 y + xy 2 + 2xy indique
6.2.
el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones: Un factor primo es: (x + 1) ´ o (y + 2) La suma de coeficientes de un factor primo es 3 xy es un factor primo de P (x, y) xy es un factor primo cuadr´ atico a) VVVV d) VVFF
b) VVVF e) FFFF
c) FFFV
11. Indique el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de x8 y+x7 +2x6 y+2x5 +x4 y+x3 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4 12. Uno de los factores primos de a2 b3 +a4 b−ab4 −b2 a3 −ab2 −a3 +b3 +ba2 es: a) ab + 1 b) a + b c) ab 2 2 d) ab − 2 e) a + b 13. Determinar el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x) = x5 + x + 1 a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 14. Calcular el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos al factorizar P (x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2. a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 15. Determinar la suma de los factores primos √ √ √ de: x3 − 2x2 −√15x − a x2 + 2 a x +√15 a a) 3x − 2 − a b) 3x − 2 + a √ √ c) 3x + 3 − a d) 3x + 2 − a √ e) 3x + 2 + a 16. Se˜ nalar el n´ umero de factores primos de P (x, y) = xy 4 − 5x2 y 3 + 4x3 y 2 − 20x4 y a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 17. Al factorizar: x4 + 2x3 − x − 6 obtenemos: a) (x2 − x + 3)(x2 − x − 2) b) (x2 − x + 3)(x2 + x + 2) c) (x2 + x + 3)(x2 − x − 2) d) (x2 + x − 3)(x2 − x + 2) e) (x2 + x − 3)(x2 + x + 2)
´ Algebra
136
18. Hallar el valor num´erico de uno de los factores primos para x = y = 1 de: P (x, y) = 1 + 2x2 − 6x2 y 2 − 4x3 y − y 4 − 4xy 3 a) 1 b) 7 c) 6 d) 4 e) 5 19. Hallar el valor num´erico de uno de los factores primos para x = 3 de: P (x) = x4 + 4x5 − (x6 − 1)2 a) 29 b) 37 c) 9 d) 19 e) 31 20. Un factor primo de ac + ad + acd − bc − bd − bcd es: a) a + c b) a + d c) b + c d) a − b e) c − d 21. Indicar el n´ umero de factores primos de: 3 4 2 2 5 a b c + a b c2 + a3 b3 c3 + a2 b4 c3 . a) 2 b) 5 c) 3 d) 9 e) 14 22. Dar el n´ umero de factores primos cuadr´ ati3 3 2 2 2 2 cos en la expresi´ on: a b + a b c + a b d + a2 b2 e + abcd + abce + abde + cde. a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 23. Factorizar E = a3 + 9b3 + 3(a2 b + ab2 ) y dar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 16 24. Se˜ nalar la suma de los factores primos de: (x2 + y 2 + x − y)(x2 + y 2 − x + y) − 4x2 y 2 . a) 3x + y b) x + 3y c) x − 2y d) x + y + 2 e) x − y + 1 25. Indicar un factor primo de: [(x − y + z)(x − y − z) + 1]2 − 4(x − y)2 . a) x + y + z + 1 b) x − y + z + 2 c) x − y + z d) x − y + z + 1 e) z + y − x + 2 26. Factorizar P (x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 e indicar el valor de verdad o falsedad de una de las proposiciones: Un factor primo es x2 + x + 2.
x3 − x + 2
Existen dos factores primos.
o
Walter Arriaga Delgado La suma de coeficientes de un factor primo m´ onico es 1. a) VVV d) FFV
b) VVF e) FFF
c) VFF
27. Indicar el n´ umero de factores primos de: 12 P (x) = x + x8 + x4 . a) 10 b) 3 c) 5 d) 9 e) 4 28. Indique la suma de los factores primos de: P (x, y) = 8x3 − y 3 + 4x2 y − 2xy 2 − 2x + y. a) 6x − y b) x + 6y c) 6x + y d) 2x − 3y e) 5x − 2 29. Despu´es de factorizar P (x) = (x − 2)2 (x2 − 4x + 6) − 15 se˜ nale el factor primo que tiene mayor suma de coeficientes. a) x2 − 4x + 9 b) x2 − 4x + 1 2 c) x − 4x + 3 d) x2 − 4x − 7 e) x2 − 4x + 4 30. Indicar un factor primo de: P (x, y) = (x + 1)(x + 4) + 9y − 9y 2 . a) x + 2y + 1 b) x − 3y − 5 c) x + 4y − 6 d) x + 3y + 1 e) 2x + 3y + 5 31. Luego de factorizar umero P (x) = x6 − 9x4 + x3 − 21x2 − 12, el n´ de factores primos es: a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 32. Factorice 4(x2 +y 4 +z 6 )+17(y 2 +z 3 )x+8y 2 z 3 y se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo. a) 7 b) −1 c) 1 d) −7 e) 9 33. Factorizar P (x) = x4 +5x3 +13x2 +17x+12 e indicar un factor primo. a) x2 + 3x − 4 b) x2 + 2x + 2 2 c) x + 3x + 4 d) x2 + 2x + 4 e) x2 + 3x + 3 34. La suma de los coeficientes de un factor primo de x3 − 3xy + y 3 + 1 es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 4
Walter Arriaga Delgado
CAP 05:
´ Algebra
137
Factorizaci´ on
1. El factor primo repetido de la expresi´ on (x2 + 1) + (x2 + 2) + (x2 + 3) + . . . + (x2 + (4x + 1)) una vez factorizado es: a) x2 + 1 b) x + 1 c) x − 1 d) x − 2 e) x + 2 2. El factor primo que no corresponde a la expresi´ on P (x, y, z) = x6 y + x4 z 3 − x6 z + y 6 z − x4 y 2 z − x2 y 5 − y 4 z 3 + x2 y 4 z es: a) x2 + y 2 b) x + y c) x2 − yz − z 2 d) x − y e) y + z 3. Despu´es de factorizar P (x, y, z, w) = (x2 + y 2 + z 2 − w2 − 2xy)2 − 4z 2 (x − y)2 el factor primo que no corresponde a la expresi´ on es: a) x − y + z − w b) x − y + z + w c) x + y − z − w d) x − y − z + w e) x − y − z − w 4. Despu´es de factorizar en 2 factores primos, la expresi´ on P (x) = x2n+1 − xn − x + 1, el valor num´erico del factor primo de mayor grado para x = 2 es 257. El valor de n es: a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 5. Indicar el n´ umero de factores primos de: x4 y 2 z 7 + xy 2 z 7 + 3x3 y 2 z 7 + 3x2 y 2 z 7 a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 6. Indicar el n´ umero de factores primos de: 2 P (x) = (x + x4 )2 + (x3 + x5 )2 a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 8 7. Al factorizar la siguiente expresi´ on: P (x) = 3ax4 + bx3 + cx2 + (3a − 1)x + a obtenemos 2 factores primos que difieren en 2 unidades, calcular (a + b + c). a) 39 b) 32 c) 34 d) 33 e) 31 8. Indique la suma de coeficientes de un factor primo de: 30pa2 x6 + 18a2 mpx5 + 45a2 mx6 + 27a2 m2 x5 a) 6 b) 4 c) 8 d) 7 e) 10
6.3.
9. Hallar la suma de los factores primos de: E = b2 + c2 − a2 − d2 + 2ad + 2bc a) 2(b + c) b) 2(a + c) c) 2(a + b) d) 2(c + d) e) 0 10. Despu´es de factorizar P (x, y) = 27x3 − 8y 3 , la suma de coeficientes del factor primo trinomio es: a) 10 b) 5 c) 20 d) 19 e) 0 11. Si x2 + mx + 9 es un trinomio cuadrado perfecto (m > 0), se˜ nale la suma de t´erminos cuadr´ aticos de los factores primos en: m(a4 b4 + c4 ) + 13a2 b2 c2 a) 5a2 b) 5c2 c) 5b2 2 2 2 2 d) 5a b e) 2a b 12. Proporcione la suma de factores primos de: (a2 − c2 + b2 + 2ab + 1)2 − 4(a + b)2 . a) 2(a + b) b) 2(b + c) c) 2(a + b − c) d) 4(b + c) e) 4(a + b) 13. En cu´ antos factores primos se descompone: F (a, b) = 64a7 b7 − ab13 a) 3 b) 12 c) 6 d) 10 e) 14 14. Cu´ antos factores primos lineales tiene la expresi´ on: (x + 2)4 + (x + 5)2 − 6(x + 2) − 9 a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 15. Cu´ al es el menor t´ermino independiente, en uno de los factores primos de: P (x) = (x2 − 5)x2 + 4 a) 1 b) −3 c) −4 d) −2 e) 2 16. Indique un factor primo de: P (x) = 2(x + 21)2 + (x + 20)2 − (x + 19)2 − 1 a) x + 19 b) x + 20 c) x + 21 d) x − 22 e) x − 23 17. Se˜ nalar uno de los factores primos de: P (x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 5 a) x + 2 b) x + 5 2 c) x + 2 d) x2 + 7x + 3 e) a, b y d
138
´ Algebra
18. Se˜ nalar un factor primo de: E(x, y) = 12x2 − 7xy − 10y 2 + 59y − 15x− 63 a) 3x + 2y + 9 b) 4x + 5y − 7 c) 4x − 5y + 7 d) 3x − 2y − 9 e) todos 19. Factorizar: M = 6x2 − 20y 2 − 14z 2 + 7xy + 38yz − 17xz e indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 8 c) 14 d) 6 e) 4 20. Dado el polinomio: P (x) = c(c − 1)x4 + (2c2 − c + 1)x3 + (3c2 − 2)x2 + (2c2 + c + 1)x + c(c + 1). Dar la suma de coeficientes de los t´erminos lineales de sus factores primos. a) 5c2 b) 3c c) 2c2 d) 2c e) −2c 21. Al factorizar: f (x) = 2x4 + 3x3 − x2 + 7x − 3 se obtiene un factor primo de la forma: ax2 + bx − c. Calcular “a + b + c”. a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 22. Sea el polinomio: P (x) = x4 − 3x2 − 6x − 8. Determinar el valor num´ erico de un factor r 1 21 primo cuando x = + 2 4 a) 0 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1 23. Se˜ nalar el factor primo cuadr´ atico de mayor suma de coeficientes en: P (x) = x4 − 4x3 + 11x2 − 14x + 10 a) x2 + 3x + 2 b) x2 − 4x − 2 c) x2 − 2x + 5 d) x2 + 4x + 2 2 e) x − 2x + 2 24. Factorizar M (x) = 2x4 + 5x3 − x2 − 5x + 2 y se˜ nale un factor primo. a) x + 2 b) 2x + 1 c) x − 1 d) x2 + x + 1 e) x2 − x + 1 25. Factorizar: P (x) = x4 + m4 − 4xm(x2 + m2 ) + 5x2 m2 e indicar la suma de sus factores primos. a) (x + m)2 b) (x + m)2 c) 2(x + m)2 d) 2(x − m)2 2 e) 3(x + m)
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26. Indicar el n´ umero de factores primos lineales en: P (x) = x6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 − 8x2 − 18x − 8 a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 27. Se˜ nalar un factor primo de: P (x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 a) x − 1 b) x − 2 c) 3x − 1 2 d) 3x +7x+2 e) 2x + 1 28. Factorizar: M (x) = 81x7 + 4x3 e indicar el n´ umero de factores primos lineales. a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 29. Luego de factorizar: P (x, y) = x5 + x4 y + y 5 se˜ nale un t´ermino de un factor primo. a) −xy 2 b) x3 y 2 c) x2 y 3 d) −x3 y 3 e) x4 y 30. Se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x, y) = x13 + 2x8 − x7 + 2x2 + 4 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 31. Factorizar y dar la suma de factores primos lineales de: E(x, y) = x3 y 2 − x3 z 2 + y 3 z 2 − x2 y 3 + x2 z 3 − y 2 z 3 a) x + y b) 2(x − z) c) 2(x + z) d) 2(x + y + z) e) 2(x − y) 32. Indique el n´ umero de factores primos de: P (x) = x20 (x27 + x20 + 1) + x7 (x20 + 1) + 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 8 33. Cu´ al no es un factor primo de: P (a, b, c) = a5 bc3 + a3 b5 c + ab3 c5 − a5 b3 c − a3 bc5 − ab5 c3 a) c + b b) c − b c) a + b + c d) a e) a − b 34. En 8x2 − M x − 15, hallar M de modo que sus factores primos sumen algebraicamente 9x − 2 a) −37 b) −35 c) 5 d) 37 e) 24
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CAP 05:
´ Algebra
139
Factorizaci´ on
1. Factorizar: 7xn−1 − 4xn−3 + 3xn−2 , con n ≥ 3 ∧ n ∈ N y se˜ nalar la suma de coeficientes de uno de los factores primos. a) 6 b) 2 c) 8 d) 12 e) 4 2. Se˜ nale el t´ermino independiente de un F.P. de: xyz 3 + 8yz 2 − 8y 2 z 3 + x2 yz + 8xy − x2 − 8xy 2 z − xz 2 a) 3 b) 4 c) 2 d) −2 e) −1 3. Factorice: (a − b)2 (c − d)2 + 2ab(c − d)2 + 2cd(a2 + b2 ) e indique un factor primo a) a − b b) a + b c) a2 + b2 2 2 d) c − d e) c − d 4. Factorice: P (x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)x − 3 e indique el factor primo que posee menor valor num´erico para cualquier valor de x. a) x2 − 3x − 1 b) x2 −3x+1 2 d) x2 −3x+3 c) x − 3x − 3 e) x2 + 3x − 1 5. Para que √ valor de n el siguiente trinomio nx6 + 8 n + 9 x3 y + 25y 2 es un cuadrado perfecto a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 6. Al factorizar: (x−5)(x−7)(x+6)(x+4)−504 uno de los factores primos lineales es: a) x − 5 b) x + 7 c) x + 6 d) x − 2 e) x + 3 7. Factorice e indique el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y, z) = x2 y 2 z 2 + x2 yz + xy 2 z + xyz 2 + xy + xz + yz + 1. a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 0 8. Factorice e indique el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x, y) = x4 y 4 + 3 3 3 2 x y + x y + x2 y + x2 y 3 + xy 2 + xy + 1. a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 9. Factorice e indique el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y, z) = x2 y 2 z +
6.4.
x3 y 2 z + xyz + x2 yz + xy + x2 y + x + 1. a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 10. Hallar la suma de los factores primos de: [(x − y + z)(x − y − z) + 1]2 − 4(x − y)2 . a) x + y b) 4x + 4y c) x − y d) 4x − 4y e) 2x + y 11. Luego de factorizar E(x, y, z) = (x + y)2 + (x − z)2 − 5(y + z)2 indique la suma de los cuadrados de los coeficientes de un F.P. a) 49 b) 6 c) 7 d) 4 e) 27 12. Se˜ nale el t´ermino de mayor grado de un factor primo del polinomio P (x) = x7 − 2x5 + 3x4 − 3x2 + 3x − 1 a) x2 b) x6 c) x4 d) x5 e) x3 13. Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones con respecto al polinomio: P (x) = x5 − 5x4 − x3 + 16x2 − 11x + 2. Un factor primo es c´ ubico de t´ermino independiente 2. −5x es un t´ermino de un factor primo.
−3x es un t´ermino de un factor primo cuadr´ atico. a) VVV d) VVF
b) VFF e) FVV
c) FVF
14. Factorice e indique el n´ umero de factores 2 primos de: (1 + x + x + · · · + xn )2 − xn a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 15. Factorize P (x) = x8 − 12x4 + 16 e indique el producto de los t´erminos de un factor primo. a) 4x6 b) −4x6 c) x6 d) 8x6 e) 2x6 16. Indicar el n´ umero de F.P. lineales de: 7 P (x) = x − 20x5 − 2x4 + 64x3 + 40x2 − 128. a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5
140
´ Algebra
17. Al factorizar el polinomio: P (x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 − x5 , un factor primo es: a) (1 + x + x2 + x3 + x4 ) b) (1 − x + x2 − x3 + x4 ) c) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) d) (1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 ) e) a y c 18. Hallar el n´ umero de factores primos de: P (x) = 16x6 − 24x4 + 9x2 − 1. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 19. La factorizaci´ on de la suma de los factores primos de P (x) = 6x5 + 9x4 + 14x3 + 4x2 − 3x − 2 es de la forma a(2x + 1)(x + 1). Calcular el valor de “a”. a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 20. Indicar un F.P. cuadr´ atico en: 7 P (x) = (2x + 1) + 4x(x + 1) + 2 a) 4x2 + x + 1 b) 4x2 + x + 3 2 c) x − 5x + 1 d) 4x2 + 6x + 3 e) 2x2 + x + 2 21. Proporcionar un factor primo de: P (x) = x10 + x2 + 1. a) x4 − x2 + 1 b) x6 − x4 + 1 d) x8 − x − 1 c) x5 + x + 2 2 e) x − x − 1 22. Indicar el n´ umero de factores primos de: 5 P (x) = x + 3x4 − 17x3 − 27x2 + 52x + 60 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Hallar “a” para que el polinomio pueda descomponerse en 2 factores primos: 3x2 − (a + 1)y 2 − (a + 4)y − (1 + a) a) 1 b) 3 c) 2 d) −2 e) −4
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26. Al factorizar 27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x + 1 se obtiene una expresi´ on de la forma α β (x − 1) (γx + 1) . Hallar α · β · γ. a) 9 b) 18 c) 12 d) 24 e) 8 27. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: (x + y)3 − x3 − y 3 . a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 28. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: (x + y)5 − x5 − y 5 . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: 7 7 (x + y) − x − y 7 . a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 30. Identifica un factor primo del siguiente polinomio: P (x) = a2 x2 − 8acx + 16c2 − 25b2 a) x + ac b) x − b + ac c) ax + 4c − 5b d) ax−4c+5b e) ax − c + 5b 31. Si un F.P. de: P (m, n) = m3 + 3m2 n + 3 6mn2 + √ 18n es de la forma: am + bn. Calcular: a + b a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 32. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x) = x3 (3x+1)3 −(6x+1)2 −15 a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 33. Hallar el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y) = (x + 2y)2 − 2xy(3x − 4xy + 6y) a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2
24. La suma de los coeficientes de un F.P. de: (x+y −2z)3 +(x+z −2y)3 +(y +z −2x)3 es: a) 0 b) 1 c) −2 d) 2 e) −1
34. Hallar el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y) = (x+ y)3 + 3xy(1− x− y)− 1 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0
25. Uno de los F.P. cuadr´ aticos de: 5 3 2 P (x) = x + x + x + 2x + 1, es: a) x2 − x − 1 b) x2 − x + 1 c) x2 + 3 d) x2 + x + 1 e) x2 + 1
35. Indicar el producto de los t´erminos de un factor primo de: P (x) = x8 +x6 −x4 −5x2 +4 a) 4x3 b) 8x3 c) 16x3 3 3 d) 2x e) 12x
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 05:
Factorizaci´ on
141
6.5.
1. La suma de los factores primos de a + b − a3 + ab2 + a2 b − b3 es: a) a − b + 2 b) a + b + 2 c) a + b d) a − b − 1 e) a + b + 1
10. Factorizar: x8 −12x4 +16 e indicar el n´ umero de factores primos a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5
2. Se˜ nale el coeficiente del t´ermino lineal de uno de los factores primos de: x2 (x2 − 4x + 11) − 14x + 10 a) 2 b) −1 c) 0 d) 1 e) −2
11. Factorizar: 2x5 + x4 + x3 + x + 1, luego el factor primo de mayor grado es: a) x3 − x2 + 1 b) 2x3 − x2 + 1 3 2 c) x − x + 1 d) x3 + 1 e) 2x3 + 3x + 1
3. Al factorizar el polinomio: (x4 + x3 + x2 + x+1)2 −x4 , uno de sus factores primos tiene como suma de coeficientes a: a) 6 b) 4 c) 2 d) 7 e) 8
12. Factorizar: P (x, y, z) = x3 y 2 z+x2 y +x2 yz+ x+x2 y 2 z +xy +xyz +1 e indicar el n´ umero de factores primos lineales. a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1
4. Al factorizar: x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4, la suma de los t´erminos independientes de sus factores primos es: a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 1
13. Factorizar: a4 + 4b4 e indicar el n´ umero de factores primos. a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5
5. Dado el polinomio 135x3 + 3x2 − 11x + 1, hallar el mayor coeficiente principal de uno de los factores irreductibles: a) 10 b) 27 c) 5 d) 9 e) 3
14. Factorice el polinomio: x5 − 3x3 − x2 + 1 e indique la suma de los t´erminos lineales de los factores primos. a) 0 b) x c) 2x 2 d) 1 e) x
6. Indique la diferencia de los factores primos de: x4 − 3x2 y 2 + y 4 a) 42xy b) 2xy c) 24xy d) 18xy e) 9xy
15. Factorice la siguiente expresi´ on: x7 + x5 + 1. El valor num´erico de uno de los factores primos cuando x = 1, es: a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7
7. Indicar la suma de los t´erminos lineales de los factores primos de: Q(x) = (x2 + 1)(x2 − 4) − x(1 − x2 ) + 6 a) 4x b) 2x c) x d) 0 e) 3x 8. Indicar la suma de los coeficientes de los t´erminos cuadr´ aticos de los factores primos de: W (x) = 4(2x+1)(x+1)(2x+3)(x+2)−3 a) 6 b) 20 c) 8 d) 10 e) 5 4x4 −29x2 +25
9. Factorizar: ro de factores primos: a) 4 b) 2 d) 5 e) 1
e indicar el n´ umec) 3
16. El n´ umero de factores primos en x6 − 9x4 + x3 − 21x2 − 12, es: a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 17. La suma de coeficientes de un factor primo en 16a4 + 31a2 b4 + 25b8 , es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. Al factorizar el polinomio: x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6, se obtiene una expresi´ on de la forma 2 (x + a)(x + b)(x + c) , hallar a + b + c. a) −2 b) −3 c) −6 d) −5 e) −4
142
´ Algebra
19. Al factorizar el polinomio x4 + y 4 − 7x2 y 2 , la suma de los factores primos es: a) 2x2 + 2y 2 b) x2 + y 2 c) x2 − y 2 d) 2x2 − 2y 2 e) y 2 − x2 20. Uno de los factores primos de la expresi´ on: (a + b)(a + c) − (b + d)(c + d), es a) a − b + c + d b) a + b − c + d c) a + b + c − d d) a + b + c + d e) a − b − c + d 21. Al factorizar 22x+8 − 32(2x ) + 1, se obtiene (ab+x − c)d , el valor de a + b + c + d es: a) 4 b) 9 c) 6 d) 8 e) 5 22. Hallar x + 6, siendo x el valor que anula al polinomio: x2x − 2xx − 8 a) −5 b) −2 c) 15 d) −8 e) 8 23. El cuadrado del coeficiente del t´ermino lineal de un factor primo en: 1+x(x+1)(x+ 2)(x + 3), es: a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 24. Un factor primo de (a+b+c)3 −(a3 +b3 +c3 ), es: a) a + c b) a2 + b2 + c2 c) a − b d) a − b − c e) a + b + c 25. La suma de coeficientes de los t´erminos lineales de los factores primos de: x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 a) 0 b) 5 c) 1 d) 3 e) 4 26. El coeficiente del t´ermino cuadr´ atico del factor primo en: 10x3 − 9x2 + 17x − 6 es: a) 6 b) 2 c) 8 d) 7 e) 9
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29. Dado el polinomio: P (x) = x5 + 5x4 + 7x3 − x2 − 8x − 4, factorizar y hallar la suma de los factores primos repetitivos. a) 2x + 3 b) x + 2 c) x + 1 d) x − 1 e) 3x + 2 30. La suma de coeficientes de un factor primo de la expresi´ on: a3 + 9b3 + 3(a2 b + ab2 ), es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 16 31. Luego de factorizar: x6 − x4 + 2x2 − 1, indique la suma de los t´erminos independientes de los factores primos. a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) −1 32. Luego de factorizar el polinomio: x13 + x8 − x6 − x2 − 2x − 1, hallar la suma de coeficientes de los t´erminos lineales de los factores primos. a) 1 b) 2 c) −1 d) −2 e) 0 33. El valor num´erico de uno de los factores primos cuando x = 1, del polinomio: x5 + x3 + x2 + 2x + 1, es: a) 1 b) −1 c) 2 d) 0 e) −2 34. Se˜ nale un factor primo de la expresi´ on: n+2 3 n 2 x +x −x −x+x −1 a) x + 1 b) xn + x − 1 c) x2 + 1 d) x e) xn + 1 35. Factorizar: (x − 1)6 − (x − 1)3 − 2 y se˜ nalar un factor primo. a) x + 1 b) x2 + 3x − 1 c) x2 − 3x − 3 d) x2 − 3x + 3 2 e) x − 2x + 3
27. La suma de todos los factores primos de la expresi´ on: x6 − x2 − 8x − 16 es: a) 2x b) 2x2 c) 3x + 2 d) 2x − 4 e) 2x3
36. Factorice 28xy − 44y 2 − 23y + 35x + 40 e indique la diferencia del doble del factor primo binomio con el triple del factor trinomio. a) 41y − 4x − 14 b) 41y − 21x − 14 c) 21x − 40y − 14 d) 15x − 21y + 16 e) 15x − 21y − 16
28. Hallar la suma de los factores primos cuadr´ aticos de: x14 + x4 + 1 a) 2 b) 2x2 c) 2x2 + 2 2 d) x e) 3
37. Un factor primo del polinomio: x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc, es: a) x − 2c b) x + 2d c) x + b + c d) x + c e) x + b + d
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CAP 05:
´ Algebra
Factorizaci´ on
1. Factorice: x5 − 2x4 − x + 2, y se˜ nale el factor primo de menor t´ermino independiente. a) x − 1 b) x − 2 c) x + 1 d) x + 3 e) x − 3 2. Factorizar: 30x3 + 19x2 − 1 y dar un factor primo. a) 3x − 1 b) 2x − 1 c) 5x + 1 d) x + 5 e) 5x − 1 3. Factorizar x4 − 2(y 2 + z 2 )x2 + (y 2 − z 2 )2 y dar como respuesta la suma de sus factores primos. a) x + y + z b) xyz c) 4x d) 3y e) 2z 4. Indique el n´ umero de factores primos que contiene el polinomio: x5 +4x4 −10x2 −x+6 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5 5. Al factorizar: (x + 1)5 + 4(x + 1)4 − 10x2 − 21x − 5 la suma de los factores primos es: a) 5x + 24 b) 5x + 9 c) 3x + 9 d) 4x + 9 e) 4x + 24 6. Indicar un factor primo del polinomio: x2 (3y − x)2 + 2xy 2 (3y − x) − 8y 4 a) x + 2y b) x − 4y c) x + 4y d) 2x + y e) 2x − y 7. Indique la suma de los factores primos cuadr´ aticos de: x8 − 5x6 − 7x4 + 41x2 − 30 a) 3x2 − 3 b) 3x2 + 1 c) 3x2 + 3 d) 3x2 − 1 e) 3x2 − 4 8. Factorizar: x2 (x8 + 1) + x6 + (x2 − 1)(1 + x2 + x4 ) y dar como respuesta el n´ umero de factores primos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9. Factorizar: 2x4 +x3 −16x2 +8x−1 y se˜ nalar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1 10. Hallar la suma de los factores primos de: x4 + 5x3 − 7x2 − 29x + 30 a) 3x − 4 b) 3x + 4 c) 4x − 5 d) 4x + 5 e) 4x + 8
143
6.6.
11. Factorizar: 4x5 − 29x3 − 24x2 + 7x + 6 y dar como respuesta el n´ umero de factores primos. a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 12. El n´ umero de factores primos lineales de x6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 − 8x2 − 18x − 8 es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3 13. Factorice: 3x3 + 11x2 + 28x + 30 y de c´ omo respuesta la suma de los t´ermino independientes de sus factores primos. a) 5 b) 9 c) 11 d) 7 e) 3 14. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de: x4 − x2 y + 5yz 2 − x2 z 2 − 2y 2 − 2z 4 a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) 3 15. El n´ umero de factores primos lineales de xyz 3 − 3y 2 z 3 − xz 2 + 3yz 2 + x2 yz − 3xy 2 z − x2 + 3xy es: a) 0 b) 2 c) 5 d) 1 e) 3 16. La diferencia de sus factores primos de: x4 + (1 + x4 )(1 + x2 )2 es: a) x b) 2x c) 4x d) 5x e) 3x 17. Un factor primo de: 2x2 + 1 − (4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 ) es: a) x2 − y 2 + 1 b) x2 − 2xy − 1 c) 2xy − 2y 2 − 1 d) 1 + 2xy + 2y 2 2 e) 1 − 2xy − y 18. Proporcionar la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x) = ax4 + (a2 − 1)x3 + (a2 + 1)x − ax2 − a a) 2a + 12 b) a + 20 c) 2a − 1 d) a + 16 e) 9a − 1 19. Factorizar: P (x) = 12abx2 − 16a2 x − 12ab + 9b2 x e indique la suma de coeficientes de sus factores primos. a) 6b b) −3b c) 4b d) 3b − 4a e) 4a + 3b
´ Algebra
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Walter Arriaga Delgado
20. Indicar un factor primo binomio de: 64a7 b7 − ab13 a) 2a + b2 b) 2a + 1 c) b + 1 d) 2a − b e) a − b
30. Indicar el n´ umero de factores primos de: P (x) = x8 + 6x6 + 33x4 + 68x2 + 144 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
21. Si x+1 es un factor primo de: x2 +cx−2, y 2x − 1 factor primo de: dx2 + 5x − 4, entonces el valor de d/c es: a) 80 b) −6 c) 4 d) 21 e) 1/2
31. El n´ umero de factores primos lineales de x3 + x2 y + x3 y − y 2 x − y 3 − y 3 x es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22. La suma de coeficientes de un factor primo: 6x4 − 31x3 + 25x2 − 13x + 6 a) 11 b) 8 c) 9 d) 10 e) 7 23. El n´ umero de factores primos lineales del polinomio x4 − 8x2 − 12x − 5, es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 24. Hallar la suma de factores primos de: 4x4 + 3x2 y 2 + y 4 a) 4x2 + 2y 2 b) x2 + y 2 c) 2x2 d) 2y 2 e) x + y 25. El n´ umero de factores primos lineales del polinomio (x + y)4 + x4 + y 4 , es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 26. Un factor primo de a) x2 + x − 1 c) x5 + x2 − 1 e) x2 + x + 1
x7
x5
+ − 1 es: b) x2 − x + 1 d) x2 − x − 1
27. El mayor grado de un factor primo en x2 y 2 + xy 3 + x2 y, es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2 28. El n´ umero de factores primos lineales de x6 y + x4 z 3 − x6 z + y 6 z − x4 y 2 z − x2 y 5 − y 4 z 3 + x2 y 4 z es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. El n´ umero de factores primos lineales de P (a, b, c, d) = bd(a2 + c2 ) + bc(a2 + d2 ) + ad(b2 + c2 ) + ac(b2 + d2 ) es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
32. Determinar el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x, y) = (xy + 1)4 + (x2 y 2 − 1)2 + (xy − 1)4 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0 33. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0 34. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0 35. Indicar un factor primo de: (x−a)3 (b−c)3 + (x − b)3 (c − a)3 + (x − c)3 (a − b)3 a) x + c b) x + b c) a + c d) x − a e) b + c 36. Indicar un factor primo de: x3 (z − y 2 ) + y 3 (x − z 2 ) + z 3 (y − x2 ) + xyz(xyz − 1) a) x − y 2 b) x − z 2 c) x + y 2 d) y − z 2 e) z − x2 37. El n´ umero de factores primos lineales de (x + y + z)(xy + xz + yz) − xyz es: a) 2 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3 38. Indicar el n´ umero de factores primos de: x8 + 4x10 − (x12 − 1)2 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 39. Indicar el n´ umero de factores primos de: P (a, b) = a4 bc − a2 bc3 + a3 b2 c − a3 c3 a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 40. Se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo de: x13 + 2x8 − x7 + 2x2 + 4 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
Cap´ıtulo 7:
MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES ALGEBRAICAS Objetivos z Determinar el m´ aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un multiplo de 2 o m´ as polinomios. z Decomponer una fracci´ on algebraica en suma de fracciones parciales.
7.1.
M´ aximo Com´ un Divisor MCD
El MCD de dos o m´ as expresiones algebraicas enteras, es otra expresi´ on algebraica entera de mayor coeficiente num´erico y mayor grado contenida un n´ umero exacto de veces en cada una de las expresiones dadas.
7.2.
M´ınimo Com´ un M´ ultiplo MCM
El MCM de dos o m´ as expresiones algebraicas enteras, es la menor expresi´ on algebraica entera y de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.
Propiedades Si dos o m´ as expresiones algebraicas son primas entre si, entonces, el MCM es el producto de ellas y el MCD es la unidad. Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras; entonces: MCD(A, B) × MCM(A, B) = A × B 145
´ Algebra
146
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Para calcular el MCD y el MCM de varias expresiones, se debe tener en cuenta el siguiente procedimiento: Se factorizan cada una de las expresiones dadas. El MCD est´ a dado por el factor o producto de factores comunes afectados de sus menores exponentes. El MCM est´ a dado por el producto de factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.
7.3.
Fracciones algebraicas
Las fracciones algebraicas racionales son expresiones de la forma
P (x) , donde P (x) y Q(x) son Q(x)
polinomios, siendo Q(x) 6= 0. Ejemplos:
−2x + 1 x3 − 5x + 2 , 3x2 − 16 7x + 1
Propiedad: Si a los t´erminos de una fracci´ on algebraica se les multiplica o divide por una misma cantidad distinta de cero, se obtiene otra fracci´ on equivalente. As´ı; a ak a÷k = = , k 6= 0 b bk b÷k Clasificaci´ on: 1. Fracci´ on Propia: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Ejemplos:
4x + 1 x2 − 5x + 9 , x2 − 5x + 6 2x4 + 1
2. Fracci´ on Impropia: Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Ejemplos:
x2 − 5x + 6 x4 + 1 , 4x2 − 8x + 1 x2 − 5x + 9
3. Fracciones Homog´ eneas: Cuando tienen el mismo denominador. Ejemplos:
x2
4x + 1 x3 − 5x + 9 , 2 − 5x + 6 x − 5x + 6
4. Fracciones Heterog´ eneas: Cuando tienen diferente denominador. 4x + 1 x+9 Ejemplos: , 2 4 2x + 1 x − 15x − 7 5. Fracci´ on Irreductible: Cuando el numerador y denominador no tienen factores comunes. Ejemplos:
3x2 + 1 x5 + 9x − 1 , 2x4 + 11 x2 − 15x − 7
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´ Algebra
147
6. Fracci´ on Reductible: Cuando el numerador y denominador tienen factores comunes, luego pueden ser simplificadas o reducidas, considerando como valores admisibles de la fracci´ on reducida a los valores admisibles de la fracci´ on original. Ejemplos:
x2 − x − 6 x+2 se puede reducir a 2 x − 8x + 15 x−5
7. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores num´ericos para todos los valores admisibles de sus variables. x + 1 x2 + 2x + 1 , x−1 x2 − 1 Estas fracciones obtienen los mismos valores num´ericos, para todo valor real de x, con excepci´ on Ejemplo:
de ±1. 8. Fracci´ on Compueta: Cuando el numerador y/o denominador poseen a su vez otras fracciones algebraicas. Ejemplos:
6x + 1 4x + 2 5x + 2 3x − 2 x −1
9. Fracci´ on de valor constante: Cuando asume el mismo valor num´erico para cualquier conjunto a1 x + b1 xy + c1 y + d1 de valores admisibles asignados a sus variables. Si es una fracci´ on de valor a2 x + b2 xy + c2 y + d2 a1 b1 c1 d1 constante k, entonces se cumple que: = = = = k. a2 b2 c2 d2 SAimplificaci´ on de fracciones: Para simplificar una fracci´ on se sigue los siguientes pasos: a. Se factorizan el numerador y denominador de la fracci´ on. b. Se eliminan los factores comunes hasta obtener una fracci´ on irreductible.
7.4.
Fracciones Parciales
Para descomponer una fracci´ on racional
P (x) en sus fracciones parciales, se debe cumplir las Q(x)
siguientes condiciones: La fracci´ on
P (x) debe ser propia e irreductible. Q(x)
El denominador Q(x) debe ser factorizable. Se presentan los siguientes casos:
´ Algebra
148
Walter Arriaga Delgado
Caso I: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales distintos, es decir Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) . . . (ak x + bk ) en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1 , A2 , . . ., Ak tales que: A1 A2 Ak P (x) = + + ··· + Q(x) a1 x + b1 a2 x + b2 ak x + bk Caso II: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten, es decir Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (ax + b)k , entonces la descomposici´ on en fracciones parciales contiene k t´erminos de la forma: A1 Ak A2 + + ··· + 2 ax + b (ax + b) (ax + b)k Caso III: Cuando el denominador Q(x) contiene factores cuadr´ aticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite, es decir si Q(x) contiene los factores cuadr´ aticos no repetido de la forma (a1 x2 + b1 x + c1 )(a2 x2 + b2 x + c2 ) . . . (ak x2 + bk x + ck ), donde ∆ = b2i − 4ai ci < 0 para todo i = 1, 2, . . . , k,
entonces la descomposici´ on en fracciones parciales es de la forma:
A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk + + ··· + 2 2 a1 x + b1 x + c1 a2 x + b2 x + c2 ak x2 + bk x + ck Caso IV: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores cuadr´ aticos irreductibles, algunos de los cuales se repiten, es decir Q(x) tiene un factor cuadr´ atico repetido k veces de la forma (ax2 + bx + c)k , entonces la descomposici´ on en fracciones parciales contiene k t´erminos de la forma:
A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk + + ··· + 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)k
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
149
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
7.1.
1. El MCM de los siguientes polinomios: P1 = x4 + x2 y 2 + y 4 P2 = x2 + xy + y 2 P3 = x6 − y 6 es: a) x6 + y 6 b) x6 − y 6 c) x9 + y 9 d) x9 − y 9 12 12 e) x − y
8. Dados los monomios: A = 12xn−1 y m+1 ; B = 16xn+1 y m−1 . Si MCM(A, B) = αxa y 4 y MCD(A, B) = βx5 y b . β+b+n Calcular E = α+a−m a) 7/3 b) 26/7 c) 3/13 d) 13/7 e) 1/2
2. Hallar el MCD de: P1 = 2x4 + x3 + 3x2 + x + 1 P2 = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 1 a) 2x2 − x + 1 b) x2 + x + 1 c) 2x2 + x + 1 d) 2x2 + 1 2 e) x + 1
9. Sabiendo que (MCM)(MCD) de dos polinomios es x5 − x3 , y la suma de ambos polinomios es x3 + x. Determinar el MCM de dichos polinomios. a) x4 − x2 b) x2 c) x2 + 1 2 4 d) x − 1 e) x
3. El MCM de dos polinomios A y B es x3 − x2 − 4x + 4 y su MCD es x2 + x − 2. Hallar el n´ umero de factores primos de AB. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 4. Si el MCD de P (x) = x4 − 9x2 + ax + b y Q(x) = x4 + 2x3 − 7x2 + cx + d es (x − 2)(x − 3). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2
10. El MCD de: A = x10 + x2 + x8 + x6 + 1 + x4 B = x10 + x2 − 1 es: a) x5 + x − 1 b) x2 + x − 1 4 2 c) x + x + 1 d) x4 − x2 + 1 e) x2 − x + 1 11. Sean P (x) = Ax2 + 2x − B y Q(x) = Ax2 − 4x + B Si (x − 1) es el MCD de P y Q. Hallar A + B a) −2 b) 4 c) 0 d) 2 e) −1
5. El producto de P (x) por Q(x) es (x2 − 1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es x2 − 2x + 1. Hallar el MCD de P (x) y Q(x). a) ±(x + 2) b) ±(x − 1) c) ±(x − 2) d) ±(x + 1) e) 1
12. El MCD de los polinomios: A = 2x3 − 11x2 + 10x + 8 B = 2x3 + x2 − 8x − 4 C = 6ax2 + 11ax + 4a a) 2x − 1 b) x + 1 d) x − 1 e) 2x + 1
6. Hallar el t´ermino lineal del MCD de: A = x4 + x3 − 6x2 − 5x − 1 B = x4 − 7x2 + 1 a) x b) 3x c) 2x d) −3x e) −2x
13. Cu´ antos factores primos de segundo grado posee el MCM de P = x4 + x2 + 1 y Q = x4 + 2x3 + x2 − 1 a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 4
7. Si MCM(A, B) es MCD(A, B) veces el MCM(C, D). Hallar E = (a + b + c)a+c , siendo A = (x + 4)(x2 − ax + 4x − 4a) B = 2x2 + 8x − bx − 4b C = 2x2 − 3x + 2cx − 3c D = x2 + 2cx + c2 a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 4 e) 1
14. El producto de dos expresiones es (x3 −1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x−1)2 . Determinar el MCD a) x2 + x + 1 b) x − 1 c) x2 − x + 1 2 d) x + 1 e) x − 1
c) x + 2
15. Sean A = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x − 9 B = 10x3 − 9x2 + 17x − 6 El resto de dividir el MCD de A y B entre
´ Algebra
150 (x + 1) es: a) 3 d) 6
b) −3 e) 8
c) −6
16. El MCD de P (x) = 8x3 + 10x2 − 11x + 2 y Q(x) = 8x3 + 2x2 − 5x + 1 es: a) (4x + 1)(2x − 1) b) (4x − 1)(2x − 1) c) (4x + 1)(2x + 1) d) (4x + 3)(2x − 1) e) (4x + 1)(2x + 3) 17. El t´ermino independiente del cociente que resulta de dividir el MCM de: A = x2 + 5x + 6 ; B = 2x2 + 12x + 18 C = 4x2 + 4x − 24 entre su MCD es: a) 50 b) 36 c) 40 d) 45 e) −48 18. Si el MCM de los polinomios: P (x) = x2 + x − 2 ; Q(x) = x2 − x − 2 R(x) = x4 + 5x2 + 4 Es equivalente a x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar A + B + C + D a) −3 b) 2 c) −1 d) 3 e) 0 19. Si el MCM de dos polinomios A y B es x40 +x20 +1 y su MCD es x30 +x20 −x10 +2. La suma de los coeficientes de un factor primo de AB es: a) 3 b) 8 c) 9 d) 0 e) 10 20. Si P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1. El MCD de P (x) y P (x2 ) es: x+1 x−1 c) a) x10 − 1 b) x−1 x+1 10 d) P (x) e) x + 1 21. El MCM de: A(x) = x2 − 4x + 3 B(x) = x2 + 4x + 3 C(x) = x4 − 10x2 + 9 D(x) = x3 − 9x + x2 − 9 es: a) (x2 − 9)(x4 − 1) b) (x2 − 9)(x2 − 1) c) (x2 − 9)(x + 1) d) (x2 − 9)(x2 + 1) 2 2 e) (x + 9)(x − 1) 22. Si a + b + c = 0, simplificar la expresi´ on W = P.Q, donde: b−c c−a a−b P = + + y a b c
Walter Arriaga Delgado a b c + + b−c c−a a−b a) 7 b) 8 d) 5 e) 9
Q=
c) 10
2x4 + 3x3 − 13x2 + 13x − 21 y 2x3 − 5x2 + 5x − 6 dar como respuesta la diferencia entre el numerador y denominador (en ese orden) a) x2 − x + 5 b) 2x + 3 c) x2 + x − 5 2 d) 2x − 3 e) x − x − 5 √ 24. Si x − y = y − z = 2. Calcular x3 + y 3 + z 3 − 3xyz P = x+y+z a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2 23. Simplificar:
(y − 1)2 x−1 + , sa2 2 (y − 1) − z x−y biendo que: x + y + z 2 = xy + 1 ; y 6= 1 a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4
25. Calcular E =
26. Sabiendo que x + y + z = 0, simplifica la (x2 + y 2 + z 2 )2 fracci´ on: M = x4 + y 4 + z 4 a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 27. Descomponer en fracciones parciales 11x − 26 y dar como respuesta la 2 2x − 11x − 21 suma de numeradores a) 10 b) 2 c) 7 d) 14 e) 8 28. Descomponer en fracciones parciales 5x2 + 7x + 2 y dar como respuesta uno de x3 − 8 los numeradores de dichas fracciones a) −3 b) 4 c) 2x + 5 d) 2x − 5 e) 3x − 5 2x2 − 3x + 7 A B C = + + x(x − 3)(x − 4) x x−3 x−4 entonces el valor de A + B + C, es: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 e) 0
29. Si
30. Hallar la suma de los numeradores de las 3x2 − 2x + 1 fracciones parciales de: 3 . x − 2x2 − x + 2 a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 0
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
MCM de las expresiones: MCD P = x3 + 6x2 + 11x + 6 Q = x3 + 5x2 + 7x + 3 R = x3 + 2x2 − 5x − 6 a) x3 + x2 − 4x + 4 b) x3 + x2 − 4x − 4 c) x3 − x2 − 4x − 4 d) x3 − x2 + x + 1 e) x2 + x + 1
1. Determinar el
2. El t´ermino independiente del cociente que resulta de dividir el MCM de: A = x2 + 5x + 6; B = 2x2 + 12x + 18 y C = 4x2 + 4x − 24 entre su MCD es: a) 45 b) 36 c) 40 d) 50 e) −48 3. Si el MCM de los polinomios: P (x) = x2 + x − 2 ; Q(x) = x2 − x − 2 R(x) = x4 + 5x2 + 4 es equivalente a x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D. Determinar: A + B + C + D a) 0 b) 2 c) −1 d) 3 e) −3 4. Sabiendo que el MCD de los polinomios P (x) = 2x3 − x2 + 3x + a Q(x) = x3 + x2 + r es: x2 − x + 2. Hallar a−1 + r −1 . a) 3/4 b) 3/2 c) 1/2 d) 4/3 e) 2/3 5. El producto de dos polinomios es (x2 +2xy− 4 + y 2 )2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x + y)2 + 4(x + y + 1). Hallar (MCD)2 a) (x + y + 1)2 b) (x+ y + 2)2 c) 0 d) (x+ y − 2)2 e) 1 1
6. Reducir: M = 1 + 1+
1
1 m b) (2 + 3m)/(1 + 2m) d) 1 1+
a) 0 c) −m e) m
151
7. Encontrar la suma de coeficientes del MCD de los polinomios: A = x3 − 3x + 2,
B = x4 − 2x2 + 1 a) 4 b) 2 d) −2 e) 0
7.2. c) −1
8. Sean los polinomios P (x) = x2 + 2x − 3 y Q(x) = x2 + αx + 3. Si el MCM(P, Q) = x3 − x2 − 9x + 9. Luego el MCD(P, Q) es: a) x + 1 b) x + 3 c) x − 1 d) x − 3 e) 12x 9. Si ab + bc + ac = 0, al simplificar a2 x + b + c b2 x + a + c c2 x + a + b E= + 3 + 3 a3 x − bc b x − ac c x − ab se obtiene: a) 0 b) 1 c) ab d) ac e) bc x3 − 12x + 16 y proporx4 − 15x2 + 28x − 12 cionar la suma de los coeficientes del denominador resultante. a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 3
10. Simplificar:
11. Cual debe ser el valor de “a” para que la x3 − ax2 + 19x − a − 4 fracci´ on 3 adx − (a + 1)x2 + 23x − a − 7 mita simplificaci´ on. a) 7 b) 8 c) 5 d) 15 e) 6 (x8 − 1)(x3 − 7x + 6) . (x2 − 4x + 4)(x3 + x2 − 5x + 3) Se˜ nalando el denominador resultante. a) x2 + 1 b) x + 2 c) x − 1 d) x − 3 e) x − 2
12. Simplificar
13. Encontrar el valor de (A − 1)(B − 2), sa√ x+y x2 + y 2 biendo que: A= ; B= x−y xy a) 3 b) 5 c) 4 d) 1 e) 2 14. Al simplificar: x(y 2 + z 2 − x2 ) + y(z 2 + x2 − y 2 ) E = , se z 2 − x(x − 2y) − y 2 obtiene. a) x + y b) x + y − z c) x − z + y d) x + y + z e) x2 + y 2 + z 2
´ Algebra
152
15. Simplificar: E = a) 1 d) 2
(x2 + 1)2 + (x + 1)4 x4 + 1 + 2x(x + 1)2 b) x2 + 1 c) 1/2 e) x + 1
de la expresi´ on: a) 0 d) −2
12xy − 2xy + y 2 E= 3 8x − y 3 2y −1 8x3 + y 3 y − 2x a) 3 b) −3 c) −2 d) 2 e) −1
17. Efectuar:
4x2
1 1 + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c)
1 (c − a)(c − b) a) a + b + c c) abc − 1 e) 0
b) a + b + c − 1 d) 1
(1 + ab)(1 + ac) (a − b)(c − a) (1 + ab)(1 + bc) (1 + ac)(1 + bc) + (b − a)(c − b) (a − c)(c − b) a) 3 b) a + b + c c) 1 d) ac + bc + ca e) 3 + ab + bc + ac
18. Al
simplificar:
+
19. Al simplificar la fracci´ on reductible se obx2 + (2a + 1)x + 12 tiene: x2 + 2ax + 8 x+3 x+2 x+2 a) b) c) x+2 x−1 x+3 x−3 x−3 d) e) x+2 x−2 2x + 8 n k <> + . + 2x − 3 x−1 x+3 Encontrar el valor de “n − k” a) 5 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
20. Dado que:
c+a c+a + , se reduce a: a+b b+c b) 1 c) −1 e) 2
23. Descomponer en fracciones parciales a 4x2 − 15x + 8 y dar como respuesta la sux3 − 3x2 + 4 ma de los numeradores. a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
16. Simplificar:
3+
Walter Arriaga Delgado
x2
2x2 − 3x + 7 A B C = + + . 3 2 x − 7x + 12x x x−3 x−4 Entonces el valor de A + B + C, es: a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 0
21. Si:
22. Si a, b y c est´ an relacionados por la igualdad 1 1 1 1 + + + = 0. El valor b+c b−c b−a b+a
24. Una de las fracciones parciales en las que se x2 − 4x − 5 , es: descompone 2 (x + 3)(x − 1) 3x − 1 x2 + 3 2 d) x−1 a)
3x + 1 x−1 2 e) 2 x +3 b)
c)
3x + 1 x2 + 3
25. Descomponer en fracciones parciales: x2 − 2x + 3 y dar como respuesta la su(x + 1)3 ma de los numeradores. a) 2 b) 11 c) 4 d) 3 e) 9 x+2 A B = + ; en− 7x − 15 x−5 2x + 3 tonces el valor de A/B es: a) −2 b) −7 c) −5 d) −8 e) −4
26. Si
2x2
27. Si 2x2 + 4x − 1 (x2 + x + 1)2 Cx + D ; 2 (x + x + 1)2
=
Ax + B +x+1
x2
+
2A + 3B es: 2C + D b) 4 c) 5 e) 6
entonces el valor de a) 2 d) 8
28. Hallar la suma de los numeradores de las 5 fracciones parciales de: 5 (x + 1) − x5 − 1 a) 3 b) 2 c) −1 d) 1 e) 0 7x + 3 A B = + + x3 + 2x2 − x − 2 x−1 x+2 C A3 + B 3 + C 3 . Hallar: W = x+1 ABC a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 0
29. Si
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
153
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
1. Sean los polinomios: P (x) = Ax2 + 2x − B Q(x) = Ax2 − 4x + B A y B enteros positivos, si x3 − x2 − 9x + 9 es el MCM de P (x) y Q(x). Hallar B 2 − A a) 5 b) 8 c) 15 d) 12 e) 9 2. Sabiendo que el MCD de los polinomios: P (x) = 5x3 + 2x2 − αx + β Q(x) = 7x3 − 5x2 + 2qx − p α es 2x2 + x + 1. Hallar W = β(2q − p) a) 7/5 b) 9/5 c) 1/3 d) 1/4 e) −9/5 3. El producto de dos polinomios es x4 + ax3 + (b − a2 )x2 − a3 x − ba2 y el cociente de su MCM y su MCD es x3 +2ax2 +(b+a2 )x+ab. Hallar el cuadrado de su MCD a) 2x3 + 1 b) x + a c) x − a 3 2 d) x + 1 e) x + 2 4. El producto de dos polinomios es (64x6 −1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (8x3 + 1)2 . Hallar el MCD a) 8x3 − 1 b) 2x3 − 1 c) 8x2 + 1 d) x − 1 e) 8x3 + 1 5. Hallar el MCD de: √ √ √ √ A= x x−y y+x y−y x B = x2 − 2xy + y 2 √ C = x + y − 2 xy √ √ b) x − y a) x + y √ √ d) x − y e) xy + 1
c) xy
6. Hallar el MCM MCD(A, B), (x − 1) siendo: A = x5 + x + 1 B = x4 + 2x3 + x2 − 1 a) x + 1 b) x3 − 1 d) x − 1 e) x + 2
c) x2 − 1
7. Hallar la suma de los t´erminos independientes del MCM con su MCD, siendo: A = ax2 +(a+b)xy+by 2 +(c+b)y+(a+c)x+c B = acx2 + (ac + bc)xy + bcy 2 + bcy + acx a) 3 b) 0 c) 2 d) 4 e) 1
7.3.
8. Hallar el t´ermino independiente del producto del MCM con su MCD, siendo: A = (abx + c)3 + (cx + b)3 + (cbx + a)3 B = (abx − 1)4 + (x2 + abcx + 1)4 + (x3 + cx + 2)4 a) a3 + b3 + c3 b) 9(a3 + b3 + c3 ) 3 3 3 c) 18(a + b + c ) d) abc e) a + b + c 9. Hallar la suma de coeficientes de uno de los factores primos del MCM[MCD(A, B), C], siendo: A = (x5 + x + 1)(x5 + x − 1) B = ((x2 + x)2 − 1)(x3 + 1) C = (x3 + 1)(x3 − 1) a) 1 b) 9 c) 5 d) 4 e) −3 10. Hallar el grado del MCD de: A = x3 + y 5 + z 9 + x2 (y + z) + y 4 (x + z) + z 8 (x + y) B = x3 + y 6 + z 11 + x2 (y 2 + z 3 ) + y 4 (x + z 3 ) + z 8 (x + y 2 ) a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) 6 11. Hallar el MCD de: A = xy+1 + y 2x+1 + y 2x x + yxy + x + y B = xy+3 − y 2x+3 + y 2x x3 − y 3 xy + x3 − y 3 a) x + y x b) xy + y 2x + 1 y d) xy + xy c) x − 1 e) x + y 12. Si M (x) es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los polinomios A(x) y B(x). Adem´ as A(x)B(x) P (x) = . Hallar el resto de diviM (x) dir P (x) entre (x − 3n), siendo: A(x) = x4 − nx3 − 7n2 x2 + n3 x + 6n4 B(x) = x3 + 4nx2 + n2 x − 6n3 a) 0 b) 6n2 c) −6n2 d) 12n2 e) 10n2 13. En los polinomios P (x) = (x − 2)[x2 + b(x + 3) + 3x]; Q(x) = (x + 3)[x2 + a(x − 2) − 2x] el t´ermino independiente del MCM P (x) y Q(x) es 60 y el coeficiente de x3 al efectuar P (x)Q(x) ÷ M CD es 31, calcule
´ Algebra
154 a−1 + b−1 − 1, a 6= b. a) −3 b) 4 d) 3 e) 6
c) −4
14. Dados los polinomios: A = 2[(x2 + 5x − 3)(x3 − 3) + 5x2 + 2]x + 2 B = (8x4 − 2x3 + 9x2 + 5x − 7)x + 3 Hallar el t´ermino independiente del producto del MCM y MCD. a) 6 b) −2 c) 3 d) −3 e) 1 15. Que clase de fracci´ on es: (x−1 + y −1 )−1 ? a) Entera b) Propia c) Homog´enea d) Impropia e) Compuesta 16. Simplificar: E = n n−1 n d) n+2
a)
1 1 1 1 + + +···+ 2 2 6 12 n +n n b) c) 1 n+1 n+1 e) n+2
a b a+b + = . Determinar el a+1 b+1 2 ab + a + 2 ba + b + 2 valor de: E = + b+1 a+1 a) 1 b) 2 c) 8 d) 6 e) 4
17. Si
18. Hallar el equivalente de ab + a + n bc + b + n ac + c + n W = + + . b+1 c+1 a+1 Si se verifica que: a b c a+b+c + + = a+1 b+1 c+1 n a) n b) 2n c) 3n d) n/3 e) 6n 19. Hallar (a + b) si se sabe que la fracci´ on: (a − 2)x + (b − 2a + 1)y + 4b es constante. 5x + 2y + 12 a) −2/3 b) −1/3 c) 2/3 d) 1/3 e) 1 20. Sean F (x) =
4xm + 23 y W (x) = x2 − 4x + 4
xn + nx + 1 dos fracciones homog´eneas tal (x − p)2 que F (x) es propia y W (x) es impropia, entonces el valor m´ınimo de m + n + p es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6
Walter Arriaga Delgado 2n − 2xy y(x − y) + n = = x−y x+y x−y x y , determinar el equivalente de: + 2 y x a) n2 − 1 b) 6 c) 2n − 1 d) 2n + 1 e) 2
21. A partir de
22. Hallar la suma de los numeradores de las 3x2 − 3x + 2 fracciones parciales de: 3 x − 2x2 − x + 2 a) 0 b) 2 c) 1 d) −1 e) 3 23. Hallar la suma de los numeradores de las 4x2 − 1 fracciones parciales de: 3 x + 4x2 + x − 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5x − 11 se obtuvo sumando 2x2 + x − 6 B A y , los valores de las fracciones x + 2 2x − 3 A y B son: b) a) 3 ; −1 c) −1 ; 3 −11 ; −5x d) 5x ; −11 e) 5 ; −11
24. La fracci´ on
25. El numerador de una de las fracciones par4x2 − 15x + 8 ciales de 3 es: x − 3x2 + 4 a) 5 b) 4 c) −4 d) 3 e) 7 x2 + 3 se x3 − 2x2 + x descompone en tres fracciones parciales de numeradores A, B y C, halle ABC a) 5 b) −24 c) 24 d) −12 e) 9
26. Si la fracci´ on algebraica
27. Calcular el valor num´erico de: 1+x 1+ 1 − 3x 1+ 1+x 1−3 1 − 3x 3 para x = 5 2 E= 1+x 4 6 1 + 1 − 3x 7 7 1− 36 4 1+x 5 1−3 1 − 3x a) 1 b) 2 c) 1/3 d) 1/4 e) 5/4
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
155
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
1. Se sabe que el MCD de los monomios: P (x, y, z) = 12xn−1 y m−1 z p−1 Q(x, y, z) = 18xn y m z p R(x, y, z) = 24xn−2 y m+1 z p+1 mp es: 6x2 y 3 z 3 . Entonces el valor de: n a) 2 b) 64 c) 3 d) 4 e) 5 2. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 6x2 (x + 1)3 (x − 1)3 Q(x) = 8x3 (x + 1)4 (x + 2)3 R(x) = 12x2 (x + 1)2 (x + 3)2 a) 2x2 − 4x + 2 b) x(x + 1) 2 c) (x + 1)(x − 1) d) 2x3 2 2 e) 2x (x + 1) 3. Hallar MCD de los polinomios: P = 15x2 + 19xy − 10y 2 + 2xz + 24yz − 8z 2 Q = 21x2 + 44xy + 15y 2 − 23xz − 21yz + 6z 2 R = 12x2 −13xy −55y 2 +13xz +57yz −14z 2 a) 3x2 + 2y − 4z b) 5x − 2y + 4z c) 3x + 5y − 2z d) 3x2 − 5y + 2 e) 7x + 32 4. El n´ umero de factores primos que tiene el MCM(A, B, C) de −A = 9 − x2 ; B = x2 −15x+36; C = x4 −5x3 +5x2 −6 es: a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4 5. Si el MCD(P, Q) es (x − 4)(x + 5) con: P (x) = x4 + 2x3 − 25x2 + mx + n; Q(x) = x4 − 27x2 + px + q. Adem´ as M(x) =MCM(P, Q). Calcular M(0) a) 640 b) −20 c) −640 d) −720 e) 720 6. Cu´ al es el grado del MCM de los siguientes polinomios: P = 1 + x + x2 + · · · + x5 Q = 1 + x + x2 + · · · + x7 R = 1 + x + x2 + · · · + x11 a) 12 b) 15 c) 13 d) 14 e) 11 7. Establecer el valor de verdad de las siguiente proposiciones: 3x + 1 2 y son fracciones propias. 2 x +5 3x
7.4.
3x2 + 5 x5 + 2x + 7 y son fraccio5x2 + 3 x2 + 3 nes impropias. Las componentes de una fracci´on algebraica son EARE. Las fracciones algebraicas que tienen denominador de igual grado, se denominan fracciones homog´eneas. a) VFFV d) FVVF
b) VFVF e) VVVF
c) VVFF
8. Hallar el verdadero valor num´erico de: x5 − 1 cuando x se aproxima a 1 x3 − 1 a) 2/5 b) 3/5 c) 5/3 d) 0 e) 1 9. Hallar el verdadero valor num´erico de: √ 3 x−1 √ cuando x se aproxima a 1 x−1 a) 2/3 b) 1/3 c) 3/2 d) 0 e) 1 mx + n , px + q es independiente de “x”, luego se puede decir que el valor de la expresi´ on:
10. Sabiendo que la siguiente fracci´ on
(m + p)(n + q) mn pq − − m+n+p+q m+n p+q es igual: a) −1 d) 0
b) 1 e) −2
c) 2
11. Si: x2 + mx − 6 es el MCD del numerador y denominador de: 3x3 − 2x2 − (a + 2)x − 6 3x3 − 5x2 − (a − 1)x + b Hallar la fracci´ on equivalente irreductible. 3x − 1 3x + 1 3x − 1 a) b) c) 3x − 2 3x − 2 3x + 2 d) 1/2
e) 2
12. Calcule el valor de “a” para que la fracci´ on: F =
x2 − (a + 1)x + 2 x2 + ax − 3
´ Algebra
156
18. Si (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 = (abc)2 . Simplificar:
admita simplificaci´ on a) 4 b) 6 d) 16 e) 2
c) 8
13. Si P (x) = (x + 3)[x2 + (a − 2)x − 2a] Q(x) = (x − 2)[x2 + (b + 3)x + 3b] Sabiendo que el t´ermino independiente del MCM es 120 y el coeficiente de x3 al efectuar P (x)Q(x) ÷ M CD es 2, calcular: a−1 + b−1 , si: a 6= b a) 0,5 b) 0,15 c) −0,05 d) 1 e) 1,5 2
3 5 +5 6 x 7 6 7 x4 − x3 +5 6 x 7 + 57 14. Reducir: 6 6 7 x4 − 1 x 4 5
a) 5 d) 2
b) 10 e) x − 1
a) 2
2 1+ x y + y x
x+y x−y
d) x/y
c)
z 2 − x2 . Adem´ as z 2 + x2
x−y x+y
2
x+y x−y
x2 − y 2 y2 − z2 ; b = ; x2 + y 2 y2 + z2
a
x+y a
a b
d)
c) 7
a b)
b x−y
x−y b
a
+
c)
b x+y b
a
e) 1
21. Al simplificar k = (1 + 1−1 )(1 + 2−1 )(1 + 3−1 ) . . . (1 + n−1 ), obtenemos: a) n2 b) n + 1 c) n2 + 1 2 d) n − 1 e) n − 1 22. Calcular la suma de los numeradores de las fracciones parciales de: 9x2 − 34x + 29 x3 − 6x2 + 11x − 6 b) 8 e) 9
c) 12
23. Si se tiene que: 2x3 + 7x + 3 Ax − 1 x+B = + 2 3 2 x +x +x+1 x+1 x +1 Hallar AB a) 7 d) 6
b) 9 e) 12
c) 8
x3 + x2 + 3x + 15 en fracx4 − 10x2 + 9 ciones parciales, una de ellas es: 5 −2 4 a) b) c) 4x − 12 x−1 x−9 5 3 d) e) x−3 4x + 1
24. Al descomponer
x4 + y 4 y4 + z4 z 4 + x4 + + =4 (x2 + y 2 )2 (y 2 + z 2 )2 (z 2 + x2 )2 Calcular: a2 + b2 + c2 . a) 3 b) 12 d) 9 e) 5
a)
+
a) 7 d) 6
b) 0 e) 2
x6 − 64 , si x = −2, 32 + x5 entonces el valor de K es: a) −12/5 b) 12 c) 5 d) 5/12 e) 12/5
2
2
17. Si se cumple que a = c=
x−y x+y
c) 1
19. Dada la expresi´ on K =
b
b) abc e) a + b + c
2 2y 3 2 2x 2y 3 a 2x b b a + + 6 7 6 7 a b 6 b 7 6 a 7 y 7 ÷ 6 x 6 x y 7 b b a 4 a 5 4 5
16. Hallar el equivalente de la expresi´ on: +
a) 0 d) a2 + b2 + c2
20. Efectuar y simplificar:
z x 15. Calcule el valor de y + + 1 + x 1 + z y z x y x + + +z 1+y 1+z 1+x 1+y 1 1 1 Si: + + = −(xyz)−1 ; x, y, z 6= 0. xz yz xy a) 0 b) −1 c) 2 d) 1 e) −2 2
1 1 1 1 1 1 + 2 +1 + 2 +1 + 2 +1 2 2 2 a b + b 2c + c 2a 2c2 − 1 2a − 1 2b − 1
c) 1
1−
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´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
157
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
1. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 6x2 (x + 1)3 (x − 1)3 Q(x) = 8x(x + 1)2 (x + 2) R(x) = 12x2 (x + 1)2 (x + 3)2 a) x2 − x + 1 b) 2x(x + 1)2 2 c) x + x d) x3 + x + 1 2 e) (x + 1)(x − 1) 2. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 3x3 + x2 − 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 − 4 a) x2 + x + 1 b) 3x2 − 4x + 4 2 c) x − 4 d) x2 + 4x + 2 2 e) 3x + 4x − 4 3. Hallar el n´ umero de factores primos lineales del MCD de P (x) = (x2 +x−2)2 (x2 +5x+6) y Q(x) = (x − 1)(x2 + 2x − 3)2 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 4. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x − 9 Q(x) = 10x3 − 9x2 + 17x − 6 a) 2x2 − x + 3 b) 3x2 + 2x − 1 2 d) x2 − x + 1 c) 3x − x + 3 2 e) x + x + 3 5. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = x4 + xy 3 + x3 y + y 4 Q(x) = 3x3 + 5x2 y + xy 2 − y 3 R(x) = x4 + 3x3 y + 3x2 y 2 + xy 3 a) x + y b) x2 + y 2 c) x2 − y 2 d) (x + y)2 e) 2x + y 6. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = x5 + 3x4 + 6x3 + 4x2 + 8x + 5 Q(x) = x4 + 2x3 + 3x2 − 2x + 5 a) x2 − 3x + 5 b) x2 + 3x + 5 2 c) x + x + 1 d) x2 − x + 2 e) x2 + 3x − 5 7. Si el MCD de A = x(x+1)(x−2)(x−1)−24, y B = x3 − 3x + 2 es igual a cero. El valor de “x” es: a) 1 b) −1 c) 2 d) 3 e) −2 8. Si el MCD de P (x) = 6x4 −x3 +x2 +ax+b, y Q(x) = 6x4 − 13x3 + 15x2 + cx + d es
7.5.
(2x − 1)(3x − 2). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 10 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 9. Si el MCD de P (x) = x3 +8x2 +(a+3)x+21, y Q(x) = x4 + 6x3 + 13x2 + 4bx + 15 es x2 + x + 3. Hallar a + b. a) 12 b) 6 c) 9 d) 3 e) 15 10. Determinar el n´ umero de factores primos que admite el cociente que se obtiene al dividir el MCM con el MCD de P (x, y) = (xy + 1)4 + (x2 y 2 − 1)2 + (xy − 1)4 , y Q(x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6 . a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 11. Hallar el n´ umero de factores primos lineales del MCM de: P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2 +x+y R(x, y) = (x2 y − x+ x2 − y + xy 2 − y 2 )(x+ 1) a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 12. Si la fracci´ on (4a + b)x5 + 3c(2a − 1)x2 y 3 + 5dy 4 (a − 2b)x5 − 7c(b + 1)x2 y 3 + 10dy 4
es independiente de x e y; el valor de a−b es: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 ax + b es indepencx + d diente de x entonces el valor de la expresi´ on 2ad a + b 2ad a bc + − W = c+d bc c
13. Sabiendo que la fracci´ on
a) −1 d) 0
b) 2 e) 1
c) 4
14. Al simplificar la fracci´ on; ab(x2 + y 2 ) + xy(a2 + b2 ) ab(x2 − y 2 ) + xy(a2 − b2 )
la suma del numerador y denominador es: a) 2ax b) 2by c) ax d) ay e) 2(ax + by)
´ Algebra
158
x5 − 25x3 + x2 − 25 x5 − 16x3 + x2 − 16 x+5 x2 + 25 x−5 a) b) 2 c) x+4 x + 16 x−4 x − 25 x2 − 25 e) d) 2 x + 16 x − 16
15. Simplificar:
x2 − y 2 − z 2 + 2yz y 2 + z 2 + 2yz − x2 2 y + z 2 − x2 A+B B= . Calcular: 2yz AB − 1 a) 0 b) −1 c) 1 d) x + y − z e) x − y + z
16. Si: A =
a+b a+b + + b+c a+c b+c a+c a+c b+c + + + , sabiendo a+b a+c a+b b+c que: a + b + c = 0 a) 0 b) −1 c) 3 d) 1 e) −3
17. Encontrar el valor de
x2 − y 2 18. Calcular W = , si se cumple: z2 x+y+z x+z−y y+z−x + = + x+y−z y+z−x x+z−y y+x−z y+x+z a) 1 b) x c) −1 d) y e) 0 19. Simplificar: mnp(a + b + c)(ab + ac + bc) abc(m + n + p)(mn + pm + pn) sabiendo que: am = bn = cp a) 1 b) mnp abc d) 0 e) 2
Walter Arriaga Delgado
22. Si: x + y + z = xyz, simplificar: E= a) −2 d) 1
c) 0
a2 b2 b2 c2 a2 c2 + + (a − c)(b − c) (b − a)(c − a) (c − b)(a − b) a) a + b + c c) a2 + b2 + c2 e) 1
b) abc d) ab + bc + ac
24. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de: 3x3 − x2 + 12x − 8 x4 − 5x2 + 4 a) 3 d) 1
b) 4 e) 0
c) 2
25. Al descomponer en fracciones parciales 4x2 − 2x + 4 2x2 − x − 1 el numerador de una de las fracciones es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7 26. Al descomponer en fracciones parciales
c)
abc mnp
ax(ax + 1)(ax + 2)(ax + 3) + 1 (1 + ax)(1 + 2ax)(1 + 3ax) + a4 x4 a+x b) a+2x e) a/x
b) 2 e) −1
23. Efectuar:
2x2 + 4x + 1 (x2 + x + 1)2
20. Simplificar:
a) ax+1 ax+2 d) 1
1 − xy 1 − xz 1 − yz + + x(x + y) z(x + z) y(y + z)
c)
x+a x+2a
la suma de sus numeradores es: a) 2x + 2 b) 2x + 1 c) 2x − 1 d) 2x e) x + 2 27. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de:
21. Simplificar: E=
1 2 4 8 + + − 1 + a 1 + a2 1 + a4 1 − a8
a) (a2 − 1)−1 d) (a2 + 1)−1
b) (a − 1)−1 e) 2
c) (a + 1)−1
4x3 a) 0 d) −2
8x + 2 + 4x2 − x − 1 b) 1 e) 2
c) −1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 06:
159
MCD Y MCM - Fracciones algebraicas
1. Hallar el grado del MCM de los polinomios: P (x) = x4 + x2 a2 + a4 Q(x) = x4 − ax3 − a3 x + a4 a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8 2. Si el MCD de P (x) = x5 − 3x4 + 3x3 − 2x2 + ax + b y Q(x) = x5 − 3x4 + x3 + 2x2 + cx + d es (x − 1)(x − 2). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 6 b) 2 c) 10 d) 5 e) 8 3. Hallar el MCD de: A = 5x3 − 5x2 + 2x − 2 B = 2x3 + 2x2 − 2x − 2 C = x4 + x3 − x2 − x a) x2 − 1 b) x − 2 d) x − 3 e) x2 + 1
c) x − 1
4. Hallar las suma de los coeficientes del MCD de los polinomios: P (x) = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 Q(x) = x5 + 2x3 + x2 + x + 1 a) 3 b) 5 c) 7 d) 1 e) 2 5. Determinar la suma de coeficientes del MCD de: P (x) = x5 + x + 1 y Q(x) = x5 + x4 + 1 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 6. Hallar el MCM de los polinomios: P (x) = 10x2 (x3 + 3x2 + 3x + 1)3 Q(x) = 15x(x2 + 2x + 1)2 R(x) = 5x2 + 5x a) x2 − x + 1 b) 30x2 (x + 1)9 c) 2x(x + 1)2 d) 25x(x + 1)9 2 e) (x + 1)(x − 1) 7. Sean los polinomios: P (x) = x4 + mx − 9x2 + n y otro Q(x) cuyo MCD es x2 − 5x + 6, hallar m/n a) 1 b) −3 c) 3 d) −1 e) −1/3 8. Hallar el valor num´erico del MCD de los polinomios: P (x) = x6 + 2x5 + x4 + x + 1
7.6.
Q(x)√ = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2 para x =√2 + 1 √ b) 3 a) 2 − 1 c) 5 + 3 2 √ √ d) 1 + 2 e) 2 + 3 2 9. Hallar el MCD de: P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2 +x+y R(x, y) = (x2 y − x+ x2 − y + xy 2 − y 2 )(x+ 1) a) x + 1 b) x + y c) y + 1 d) xy + 1 e) x − 1 x+2 ; cada x se reemplax−2 x+2 ; el valor que resulta al sustituir za por x−2 despu´es x por 1/3 es: a) −11/13 b) 17/3 c) −17/3 d) −3/17 e) 3/17
10. Si en la expresi´ on
11. Hallar el equivalente de la expresi´ on: √ a2 + 2 b2 √ 2b2 − a2 + 2(a2 − b2 ) √ √ c) 1 a) a(√ 2 + b) b) 2√+ 1 d) b( 2 + a) e) ab 2 12. Si se tiene que: 2x+1 x−13 2 − 2x 6x−1 x+17 x +1 A=4x+1 x−15 ÷ 2a2 + 2b a2 + b + x−1 x+1 1
B= x+2−
x2 + 2 x−2 x− x+1
Hallar AB a) 1 d) 1/4
b) 4 e) 1/2
c) 2
13. Si 3xyz = 4(x + y + z) = 24, proporcionar el equivalente de:
2 64 − x2 2 64 − y 2 2 64 − z 2 E= + + x yz − 1 y zx − 1 z xy − 1 a) 48 d) 74
b) 28 e) 54
c) 60
´ Algebra
160 14. Si la fracci´ on (a − 3)x + (2a − 5b + 3)y + (5b − 2) 3x − 5y + 3
adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor constante. a) −7/8 b) 1/8 c) −21/8 d) −3/8 e) 1
15. Reducir la expresi´ on: E =
1 + c(c − a)(c − b)
1 1 + a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) a) abc b) 1/a c) 1/b d) 1/abc e) a + b + c
(x − b)(x − c) + (a − b)(a − c) (x − a)(x − c) (x − b)(x − a) + (b − a)(b − c) (c − b)(c − a) a) abc b) 1 c) 0 d) a + b + c e) 1/abc
16. Reducir la expresi´ on: E =
17. Conociendo que: x2 + y 2 y 2 + z 2 x2 + z 2 + + = xyz x+y y+z x+z determinar el valor num´erico de: y z x W = + + xz(x + y) xy(y + z) yz(x + z) a) 1 d) 6
b) 3 e) 1/2
c) 1/3
18. La suma de todos los valores de n que hacen x8 + 50x − 1 que la fracci´ on no sea propia xn + xn−2 es: a) 38 b) 45 c) 35 d) 30 e) 55
Walter Arriaga Delgado
21. Dada la fracci´ on: E=
hallar el valor de E cuando x se aproxima a 2 a) 2 b) 7/5 c) 7 d) 5 e) 5/7 22. Hallar el valor que toma la expresi´ on: E=
x2 y + 2xy 2 − x2 − 3xy − 2y 2 + x + 2y x2 y + xy 2 − x2 − 2xy − y 2 + x + y
cuando x e y se aproximan a 1 a) 1/2 b) 2 d) 1 e) 3/2 23. Si la fracci´ on expresar como
x6 − 243 + x5 − 243x x5 − 81 + x4 − 81x N es el valor de ´esta para x = 3 y D es el valor para x = −1, hallar N − D a) 7/10 b) 10/7 c) 10 d) 7 e) 1 20. Hallar el valor que toma la expresi´ on: x8 − 2x + 1 E= 5 cuando x se aproxima a 1 x − 2x + 1 a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 8/5
c) 3
x3 − 2x2 + 6x + 1 se puede x4 − 5x2 + 4
A B C D + + + x−1 x+1 x−2 x+2 hallar el valor de W = A + B + C + D a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 0 24. Si se tiene que: 3x3 + 12x2 + 15x − 2 Ax − 1 x+B = + 2 3 2 x + 5x + 9x + 5 x + 1 x + 4x + 5 hallar el valor de A + B a) 6 b) −4 d) 4 e) −6
c) 0
25. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de 9 x3 + 3x2 − 4
19. Si despu´es de simplificar la expresi´ on: E=
x3 + x2 − 16x + 20 x3 − x2 − 8x + 12
a) −2 d) −3
b) 2 e) 1
c) 0
26. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de 2x3 + x2 + 2x − 1 x4 − 1 a) −3 d) 2
b) 3 e) 1
c) 0
Cap´ıtulo 8:
POTENCIACION Objetivos z Calcular cualquier t´ermino de la expresi´ on de (x + a)n contando de derecha a izquierda o viceversa. z Diferenciar la utilidad de una ordenaci´ on, permutaci´ on o combinaci´ on que est´ an relacionados con el factorial.
8.1.
Factorial de un n´ umero
El factorial de un n´ umero natural n, denotado por n!, se define como el producto que se obtiene luego de multiplicar los n´ umero naturales consecutivos desde 1 hasta n, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × (n − 1) × n n! = n × (n − 1) × (n − 2) · · · × 2 × 1 La multiplicaci´ on anterior se puede simbolizar tambi´en utilizando el operador productorio: n! =
n Y
k
k=1
Tambi´en es posible definirlo mediante la relaci´ on de recurrencia
n! =
8 <1 :
si, n = 0
(n − 1)! × n
Ejemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
si, n > 0
La notaci´ on actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803. 161
´ Algebra
162
8.1.1.
Walter Arriaga Delgado
N´ umero combinatorio
Dados los n´ umeros naturales m y n, se define el n´ umero combinatorio como: n! r!(n − r)!
Crn =
El n´ umero combinatorio de n en r es el n´ umero de elecciones distintas de r elementos que se pueden hacer de entre un conjunto de n elementos. En otras palabras, es el n´ umero de subconjuntos de r elementos que tiene un conjunto de n elementos. Propiedades: 1) C1n = n 2) Cnn = 1 3) C0n = 1 n 4) Crn = Cn−r
5)
Crn
+
n Cr+1
=
6) Crn =
n n−1 C r r−1
8.1.2.
Coeficiente binomial
8) Crn =
n−r+1 n Cr−1 r 8
p+q =n
10) C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n
n r
=
Si n, r ∈ Z+ 0 y r ≤ n, entonces:
8.2.
n C n−1 n−r r
9) Cpn = Cqn ⇔
n+1 Cr+1
Si n ∈ R, r ∈ Z+ 0 , entonces:
7) Crn =
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) r!
n r
= Crn
An´ alisis combinatorio
Por An´ alisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del ´ algebra que se ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados, distingui´endose entre s´ı: por el n´ umero de elementos que entran en cada grupo. por la clase de elementos. por el orden de colocaci´ on.
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
163
El n´ umero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama base y el n´ umero de elementos que intervienen en cada agrupaci´ on se denomina orden. Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden 3, ternarias, etc. Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repetici´ on
8.2.1.
Principios fundamentales
En la mayor´ıa de los problemas de an´ alisis combinatorio se observa que una operaci´ on o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operaci´ on. Para dichos casos es u ´til conocer determinadas t´ecnicas o estrategias de conteo que facilitar´ an el calculo se˜ nalado. El an´ alisis combinatorio tambi´en se define como una manera pr´ actica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: Se˜ nalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un n´ umero determinado de prendas de vestir. Ordenar 5 art´ıculos en 7 casilleros. Contestar 7 preguntas de un examen de 10. Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comisi´ on. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. 1. Principio de la adici´ on: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden ocurrir A y B simult´ aneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B” sucede de m + n maneras diferentes. 2. Principio de la multiplicaci´ on: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes y despu´es de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m × n maneras diferentes. Seg´ un los criterios empleados para la formaci´ on, las agrupaciones pueden ser de tres tipos: Permutaciones Variaciones Combinaciones
´ Algebra
164
8.2.2.
Walter Arriaga Delgado
Permutaciones
Es el arreglo u ordenaci´ on de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de otro por el orden de ubicaci´ on de sus elementos. a dado por: Para n objetos diferentes, el n´ umero de permutaciones Pn est´ Pn = n! Permutaci´ on circular Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular El n´ umero de permutaciones circulares de n elementos, est´ a dado por: P cn = (n − 1)! Permutaci´ on con repetici´ on El n´ umero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por: n P{k = 1 ,k2 ,k3 ,...km }
n! k1 ! × k2 ! × k3 ! × . . . kn !
Donde: k1 , k2 , k3 , . . . km : N´ umero de veces que se repite cada elemento. k1 + k2 + k3 + . . . + km = n : N´ umero total de elementos.
8.2.3.
Variaciones
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El n´ umero de variaciones est´ a dado por: Vkn =
n! ; (n − k)!
n>k
N´ otese que una variaci´ on es un caso particular de una permutaci´ on.
8.2.4.
Combinaciones
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El n´ umero de combinaciones est´ a dado por: Ckn =
n! ; k!(n − k)!
n>k
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
8.3.
165
Binomio de Newton
El binomio de Newton es una f´ ormula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera. Es decir, se trata de una f´ ormula para desarrollar la expresi´ on: (a + b)n Como una aplicaci´ on de las propiedades de los n´ umeros combinatorios podemos escribir el siguiente tri´ angulo aritm´etico conocido como el tri´ angulo de Tartaglia o tri´ angulo de Pascal:
0 0
1 0
2 0
4 0
5 0
3 0
4 1
5 1
1 1
3 1
2 1
5 2
2 2
3 2
4 2
4 3
3 3
5 3
4 4
5 4
5 5
Desarrollando se tiene: 1 1 1 1 1 1
1 2
3 4
5
1 3
6 10
1 4
10
1 5
1
El tri´ agulo de Tartaglia resulta muy u ´til cuando hay que hallar todos los n´ umeros combinatorios del mismo orden. Si n es un n´ umero entero positivo entonces se generan los siguientes desarrollos:
1 1 (a + b) = a+ b = a+b 0 1 2 2 2 2 2 2 (a + b) = a + ab + b = a2 + 2ab + b2 0 1 2 3 3 3 2 3 3 3 (a + b)3 = a + a b+ ab2 + b = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 0 1 2 3 .. . 1
´ Algebra
166
Walter Arriaga Delgado
Generalizando; obtenemos: n
(a + b) =
n n n n−1 n n−2 2 n n a + a b+ a b + ... + b 0 1 2 n
Observaci´ on 8.3.1. Dado el binomio de Newton: (axp + by q )n
(8.1)
se tiene que: El n´ umero de t´erminos del desarrollo es: NT = n + 1 Si p = q = 1, el desarrollo es un polinomio completo, ordenado y homog´eneo. Si p = q, el desarrollo es un polinomio ordenado y homog´eneo. Si p 6= q, el desarrollo es un polinomio ordenado. Suma de coeficientes del desarrollo del binomio de Newton est´ a dada por: X
coef = (a + b)n
Suma de exponentes del desarrollo del binomio de Newton est´ a dada por: X
expo =
(p + q)n(n + 1) 2
Si u y v son los lugares de dos t´erminos equidistantes, entonces: u + v = n + 2 El n´ umero de t´erminos racionales fraccionarios NTRF del desarrollo de un binomio, est´a dado por: NTRF = NTR − NTRE donde NTR indica el n´ umero de terminos racionales y NTRE el n´ umero de terminos racionales enteros. El n´ umero de t´erminos irracionales NTI del desarrollo de un binomio, est´ a dado por: NTI = NT − NTR donde NT indica el n´ umero de terminos y NTR el n´ umero de terminos racionales. La f´ ormula para calcular un t´ermino cualquiera del desarrollo del binomio (axp + by q )n est´a dado por: Tk+1 = Ckn (axp )n−k (by q )k
(8.2)
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
167
En donde k + 1 es el lugar del t´ermino pedido. Si el binomio es de la forma (axp − by q )n , entonces Tk+1 = (−1)k Ckn (axp )n−k (by q )k
(8.3)
si se quiere calcular un t´ermino cualquiera contado desde el extremo final se usa la siguiente f´ormula Tk+1 = Ckn (by q )n−k (axp )k ←
Para calcular el t´ermino central, se debe tener en cuenta que: 8 > > Si NT es impar : > <
Tc =
> > Si NT es par : > :
Tc =
NT+1 2
8
Tc2 =
2
+1
El desarrollo del binomio de newton cuando el exponente n no es un n´ umero entero positivo viene dado por:
n
(1 + x) =
n n n 2 n 3 + x+ x + x + ··· 0 1 2 3
donde |x| < 1
Cuando el exponente n no es un entero positivo, el n´ umero de t´erminos es ilimitado. Para calcular un t´ermino cualquiera de la expresi´ on (1 + x)n se calcula as´ı:
Tk+1 =
n k x k
Dado un polinomio elevado a una potencia cualquiera: (a1 + a2 + · · · + ar )n se tiene que el n´ umero de t´erminos est´ a dado por: NT = Cnn+r−1 =
(n + r − 1)! n!(r − 1)!
´ Algebra
168
CAP 07:
Walter Arriaga Delgado
Potenciaci´ on
1. Simplificar la s expresi´ on: ! n! (n!) n−n! E = nn! (1−n) (n!n−1 )n·n! n a) (n − 1)! b) (n!)n! e) nn d) nn·n!
8.1.
9. Reducir: E =
c) 1
2. Hallar el valor de “n” en: 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + . . . + 2n(n!) = 10080 a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6
a) 8! d) 7
1 1 + 7! + 8! 9! b) 8 e) 9!
−1
10. Si se cumple que: (x + 3)3 (x + 1)! =5 (x + 1)! + (x + 2)! + (x + 3)! √ x Hallar el valor de E = x 10x − 4 a) 5 b) 6 c) 4 d) 2 e) 7
3. Calcular: n(n − 1)! + (n + 1)! + (n − 1)! = 1 2 xn(n!) 1 + n a) n − 1 b) n2 c) 1 d) n e) n + 1
11. Calcular el valor de n en: 1 × 3 × 5 × 7 × . . . × (2n − 1) =
4. Resolver: 20 + C 21 + C 22 C418 + C518 + C619 + C13 13 14 21 C721 + C13
12. Hallar el valor de x en
a) 2 d) 1
b) 5 e) 0
c) 4
5. Calcular “x” en: x+1 x+2 x+3 C1x + C2x + Cx−2 + Cx−2 + Cx−2 = C6x+5 − 1
a) 5 d) 2
b) 4 e) 8
c) 6
6. Calcular mn en: 50 + C 49 + C 48 + . . . + C 11 + 1 = C m+n C40 39 38 1 2n
a) 20 d) 600
b) 620 e) 640
c) 31
x+3 x+3 + x x+1 =2 7. Resolver: x+2 x+2 + x x+1 a) 6 b) 3 c) 4 d) 14 e) 2 8. Reducir: E = a) 6 d) 120
V5x · V6x C5x · C6x (120 · 720) b) 5 e) 2
a) 40 d) 41
a) 2 d) 5
b) 20 e) 39
40! 220 (20)! c) 19
y!(x!)! È
(x!)!
y!720
b) 6 e) 3
= y!y! . . . y! |
{z
}
719 veces
c) 4
13. Dar la suma de los valores de “x” que satisface la ecuaci´ on: (x + 3)! = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Calcular el valor de n en: 2 + 2(2!) + 3(3!) + . . . + (n + 3)[(n + 3)!] = 60! a) 56 b) 59 c) 58 d) 57 e) 60 15. Calcular x + y en la secuaci´ on: (720! + 1)! − ((6!)!)! = ((x!)!)y! (720! − 1)! a) 4 b) 5 d) 8 e) 6 16. Si se cumple que “x” es: a) 18 d) 20
a) 1 d) 5
c) 9
C7x−5 = 16. El valor de C4x−8
b) 21 e) 16
c) 19
2x + C 2x Cx+1 x−1 2x + C 2x = 4 Cx+2 x−2 b) 8 c) 4 e) 2
17. Hallar el valor de x en c) 1
c) 9
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 18. Sabiendo que x! + 3 x! + 2 x! + 2 − = . 3 2 1 È Calcular el valor de E = x! x! − ((x!)!)! a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4 19. Calcular Cyx en: x+y+3 x+y+2 16 − = x−y+1 x−y 11 a) 66 b) 11 c) 10 d) 16 e) 69
20. Hallar el valor de “x” que satisface la siguiente igualdad V2x · C2x = 450 a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) 7 21. Para qu´e valor de “n” los coeficientes de los t´erminos quinto, sexto y s´eptimo del desaon rrollo de (1 + a)n forman una progresi´ aritm´etica. a) 8 b) 14 c) 10 d) 12 e) 13 22. Hallar el t´ermino central del desarrollo de
x
√ −2
s
x+
5
x−2 √
m
x
Sabiendo que el coeficiente del quinto t´ermino es al coeficiente del tercero como 14 es a 3. a) 200 b) 240 c) 260 d) 280 e) 252 23. Hallar “n” en (x4 + y 2 )n , si la suma de los grados absolutos de todos sus t´erminos es 1260. a) 40 b) 30 c) 20 d) 50 e) 70
169 trales del desarrollo de: √ 800
m−394
+ x−2
resulte constante a) 1614 b) 1824 d) 1994 e) 1673
17
c) 2024
26. Si en el desarrollo de la potencia (a+b)27 , los t´erminos que ocupan las posiciones: (p3 + 2) y (3p2 + 3p + 1), equidistan de los extremos. calcular el coeficiente del t´ermino de posici´ on “p”. a) 36 b) 27 c) 9 d) 18 e) 45 27. Dar la suma de los lugares que est´an ocupando los t´erminos independientes de “x” en los desarrollos de (x3 +x−2 )10 y (x4 +x−2 )12 a) 9 b) 22 c) 15 d) 20 e) 16 28. De cu´ antas maneras se pueden elegir 2 o m´ as corbatas de una colecci´ on que contiene 8? a) 120 b) 197 c) 247 d) 237 e) 127 29. En la secci´ on de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cu´ antas maneras puede hacerse una selecci´ on de 5 de modo que: Una Enfermera se incluye siempre. Una Enfermera se excluye siempre. a) 330 y 462 d) 140 y 130
b) 120 y 152 e) 412 y 343
c) 186 y 312
30. De cu´ antas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E. B
n √ ab 4 24. Un t´ermino del desarrollo de + c bc c2 es tal que los exponentes de a, b y c son 3 enteros consecutivos creciente. Calcular el n´ umero de t´erminos. a) 6 b) 12 c) 3 d) 13 e) 18
25. Que valor debe asignarse a “m” de modo que la multiplicaci´ on de los t´erminos cen-
x
A
C
E
D
a) 25 d) 24
b) 26 e) 22
c) 23
´ Algebra
170
CAP 07:
Walter Arriaga Delgado
Potenciaci´ on
8.2.
1. Hallar el valor de “n” en: (n! − 4)[(4 + n!)n! + 16] − 2 =6 (n! − 1)2 a) 8 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2
10. Calcular el menor valor de “n + k” en: 10 n−4 n C4 + C6n = C9 5 10 − k k a) 11 b) 12 c) 14 d) 13 e) 15
2. Hallar n si se cumple la siguiente igualdad: 25[(4!)!]2 + (n!)2 = 50 · (4!)![n! − 2!3!(4!)!] a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
11. Determinar el equivalente de: Cn Cn Cn Cnn W = C0n + 1 + 2 + 3 + · · · + 2 3 4 n+1
3. Indicar el valor equivalente a: 20! 21! 22! 23! 20! + + + + 14!B = 15 × 5! 6! 7! 8! 9! 23 25 a) C9 b) C9 c) C924 26 d) C9 e) 1 4. Calcular “n + k” sabiendo que: 22 21 7 = 11 2k 2k − 1 4n 2n 3 = 28 3 2 a) 9 d) 10
b) 8 e) 11
c) 7
(n!)2 2n + 1 5. Hallar “n” en: (2n)! n + 1 a) 18 b) 19 d) 20 e) 22
=
41 21 c) 21
6. Calcular S = 210 + 10 × 29 + 45 × 28 + 120 × 27 + · · · + 20 + 1 a) 39 b) 310 c) 37 d) 38 e) 311 7. Simplificar: E = a) 5 d) 7
C518 + C618 + C719 + C820 21 C821 + C13 b) 8 c) 3/4 e) 1/2
2n+1 + 1 n+1 n−2 −1 2 d) n a)
2n+1 − 1 n+1 n+1 2 +n e) n+1 b)
c)
2n+2 + 1 n
12. Hallar e “y” “x” respectivamente, en: x x x x+2 y +2 + + = 5 6 7 8 y − 13 a) 16 ; 18 b) 8 ; 11 c) 20 ; 40 d) 21 ; 24 e) 18 ; 21 13. Determinar el valor de ”x” en la siguiente x+3 x+5 ecuaci´ on C4x+3 + Cx−2 = Cx−1 − 1, el valor de E = x2 + 1 es: a) 2 b) 10 c) 5 d) 17 e) 8 14. Si la suma de los grados de todos los t´erminos de (x2 + y 5 )n es 252. Hallar la suma de coeficientes m´ as el n´ umero de t´erminos. a) 265 b) 521 c) 256 d) 247 e) 625 15. Hallar el valor de “n”, si el tercer t´ermino del desarrollo del binomio n È √ 1 3 x x− È √ contiene a x3/2 3 x x a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10
8. Calcular el valor de “a” que verifique 54 + C 54 )2 + (C 54 la igualdad (Ca−5 a−7 59−a − 54 2 54 54 C61−a ) = 4C59−a Ca−7 a) 23 b) 13 c) 33 d) 11 e) 9
16. En el binomio (x3 + 2y 2 )7 , se˜ nale el cociente del coeficiente del quinto t´ermino del desarrollo entre el n´ umero de t´erminos. a) 35/8 b) 70 c) 8/35 d) 35 e) 60
9. Hallar “n” en C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn = 80 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
17. Si el decimo t´ermino del desarrollo de (x2a +xw )n es x36 , halle el valor de w+n+1. a) 12 b) 13 c) 4 d) 9 e) 14
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
171
18. Al desarrollar la potencia (x + 7)k los t´erminos de lugares 7 y 8 tienen coeficientes iguales. Halle el valor de k + 1. a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10
26. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De cu´ antas maneras se podr´ a vestir? a) 56 b) 60 c) 48 d) 52 e) 64
19. El t´ermino independiente en el desarrollo de 3 10 3x 1 +√ 2 es: 4 3x a) 315/128 b) −128/325 c) 821/523 d) 325/128 e) 128/325
27. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3 pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos. ¿De cu´ antas formas se podr´ a vestir? a) 96 b) 48 c) 144 d) 100 e) 120
20. Hallar el n´ umero de t´erminos irracionales √ √ en el desarrollo de ( 4 x + 3 x)48 a) 43 b) 24 c) 34 d) 44 e) 45
1 120 21. En el desarrollo de x+ √ . De3 x terminar el n´ umero de t´erminos racionales (TR), racionales enteros (TRE), racionales fraccionarios (TRF) e irracionales (TI). a) 9,4,5,110 b) 9,4,5,112 c) 10,6,4,110 d) 10,5,4,110 e) 10,4,6,112 √ 5
1 n la suma de x coeficientes de su desarrollo es 234 . ¿Qu´e lugar ocupa un t´ermino que contiene a x elevado a un exponente igual al n´ umero de su lugar. a) 34 b) 13 c) 12 d) 10 e) 11
22. En el desarrollo de 3x3 +
23. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposici´ on 4 l´ıneas a´ereas y 6 terrestres. ¿De cu´ antas maneras diferentes podr´ a viajar? a) 24 b) 6 c) 10 d) 16 e) 8 24. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cu´ antas maneras se pueden elegir estos dos cargos? a) 20 b) 9 c) 18 d) 24 e) 16 25. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cu´ antas maneras puedo ir y regresar, si de regreso no puedo usar el camino de ida? a) 64 b) 35 c) 48 d) 56 e) 16
28. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres est´en intercalados. ¿De cu´ antas formas podr´ an hacerlo? a) 96 b) 120 c) 144 d) 180 e) 128 29. En una reuni´ on conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishiren Daishonin se observ´ o 36 apretones de mano. ¿Cu´ antas personas hay en dicha reuni´ on? a) 9 b) 8 c) 12 d) 10 e) 7 30. ¿De cu´ antas formas se puede ubicar 6 ni˜ nos en una fila; si dos de ellos deben estar siempre juntos. a) 210 b) 320 c) 180 d) 240 e) 280 31. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cu´ antos grupos se podr´ an formar? a) 8 b) 28 c) 45 d) 38 e) 35 32. En cierto examen un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas. Cu´ antas maneras de escoger tiene? Cu´ antas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias? Dar como respuesta la suma de estos resultados: a) 56 b) 106 c) 76 d) 96 e) 66
´ Algebra
172
CAP 07:
Walter Arriaga Delgado
Potenciaci´ on
8.3.
−4 es: 3 b) 20 e) 24
1. Hallar el valor de p, sabiendo que: (p + 5)! = 40320 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5
10. El equivalente a
2. Hallar el valor de a, en: (a − 5)!.(a − 6)! = 720(a2 − 12a + 35) (a − 5)! − (a − 6)! a) 11 b) 12 c) 13 d) 15 e) 14
11. En el desarrollo de la expresi´ on (a2 + a)n (a2 − 1)n+2 (1 − a−1 )n , se obtiene 21 t´erminos en total. Determinar el valor de n. a) 15 b) 9 c) 12 d) 11 e) 13
3. Calcular el valor de x + y, en: x(y!)! (x − 1)!(y!)! = 120720 a) 6 b) 7 d) 9 e) 10
c) 8
4. El valor de “m” que satisface la siguiente 6! igualdad 5040!719! = 5039!(m!)! 7!(m!)! es: a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 5. Calcular el valor de: P = C19 + C29 + C49 + C39 + C89 + C99 a) 210 b) 240 c) 220 d) 265 e) 255 6. Calcular “n” en la igualdad: 3C2n+1 + C2n+2 = 28 a) 2 d) 5
b) 3 e) 7
c) 4
n+3 n+4 7. Calcular “k” en: 1 + Cn+2 = Ck−7+n a) 11 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10
8. Calcular “n” en: n = C n+1 + C n+2 C7n + 2C8n + 2C9n + C10 8 3n−26 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9
2 Ckn
a) 8 d) 4
−
n+1 n−1 Ck+1 .Ck−1
b) 6 e) 14
c) −18
12. Hallar el s´eptimo t´ermino en el desarrollo 1 10 del binomio: 49x6 + 7x a) −10902x18 b) 10209x18 c) 10902x18 18 18 d) −10209x e) 10290x 13. Hallar el n´ umero de t´erminos del desarrollo de: (x + y + z + w)12 a) 400 b) 100 c) 455 d) 200 e) 300 14. Hallar el valor de “m”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los t´erminos noveno y quinto del desarrollo del binomio: (x3 + y m )n es 8 a) 5 b) 3 c) 1 d) 7 e) 4 15. Calcular el cuarto t´ermino del siguiente desarrollo: (1 + x)−1 a) x3 b) −x4 c) x4 3 5 d) −x e) x 16. Hallar el t´ermino central del desarrollo del a √ 16 binomio: − x x a8 a) x4 c) 6240a8 b) 12870 4 x d) 12870a8 x4 e) 760a8 x4 17. Determinar el lugar que ocupa el t´ermino que contiene a a7 del desarrollo del binomio:
9. Calcular el valor de “k” en: n−1 n+1 n−1 Ck−1 .Ck+1 − Ckn .Ck−1
a) 18 d) −20
√ 33
=8
4
c) 10
a) 5◦ d) 2◦
12
a2 +
b) 4◦ e) 7◦
2√ a 3
c) 3◦
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
18. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tiene 25 t´erminos y que adem´ as la suma de sus coeficientes es 4 veces la suma de los coeficientes del desarrollo de (x + y)m . El n´ umero de t´erminos del u ´ltimo desarrollo es: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 19. Hallar el t´ ecimotercero del desaermino d´ 1 m rrollo de 9x − √ , sabiendo que el 3x coeficiente binomial del tercer t´ermino del desarrollo es 105. a) 455x−3 b) 2x3 c) 455x3 d) x3 e) 455 20. En el desarrollo de la quinta potencia de un binomio se verifica que el cuarto t´ermino es ´ltimo −32b10 . Hallar dicho −80a4 b6 x4 y el u binomio. a) ax + 2b b) ax2 − 2b 2 2 c) a x + b d) a2 x2 − 2b2 e) ax4 − b
1 50 21. Dado el binomio x+ √ , determinar 5 x el valor de verdad de las siguientes proposiciones: √
El n´ umero de t´erminos racionales es 6. El n´ umero de t´erminos racionales enteros es 4. El n´ umero de t´erminos racionales fraccionarios es 2. El n´ umero de t´erminos irracionales es 45. a) VFFV d) FVVF
b) VVVV e) FVFV
c) VFVF
22. En el desarrollo de x(1 + x)n cada coeficiente se divide por el exponente de la “x” a la cual pertenece este coeficiente. Entonces la suma obtenida es igual a: a) 2n + 1 b) 2n − 1 2n+1 + 1 c) 2n+1 − 1 d) n+1 2n+1 − 1 e) n+1 23. Simplificar la expresi´ on (A − B)60 , donde:
173 A=
a4/5
− a3/5
a+1 + a2/5 − a1/5 + 1
(b2/7 − 1)b1/7 b2/7 − b1/7 adem´ as a, b ∈ R − {0; 1}. Determinar el t´ermino del desarrollo en el cual el valor absoluto de sus grados relativos son iguales, dicho lugar es: a) 15◦ b) 20◦ c) 36◦ ◦ ◦ d) 40 e) 45 B=
24. Con los d´ıgitos {1, 2, 3, 4, 5}, Cu´ antos n´ umeros pares de 3 cifras distintas se pueden formar?. a) 24 b) 60 c) 30 d) 36 e) 48 25. Con los d´ıgitos {2, 4, 6, 8, 9}, Cu´ antos n´ umeros impares se pueden formar sin que se repitan las cifras?. a) 20 b) 60 c) 73 d) 65 e) 81 26. ¿Cu´ antos n´ umeros de tres ferentes pueden formarse con {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; mayores que nores que 800. a) 180 b) 210 d) 120 e) 410
cifras dilas cifras 300 y mec) 240
27. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden ordenarse?. a) 9! b) 8! c) 3 × 9! d) 3 × 8! e) 2 × 9! 28. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cu´ antas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en una especie? a) 6! b) 7! c) 4200 d) 6!(7!) e) 2400 29. Hallar el n´ umero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas. a) 6! b) 5! c) 4! d) 8! e) 9!
´ Algebra
174
CAP 07:
Walter Arriaga Delgado
Potenciaci´ on
1. Calcular el valor de: 1002! + 1003! 1001! + 1002! + − W = 1001! 1002! 1003! + 1004! 1003! a) 1000 b) 1002 c) 1001 d) 1003 e) 1004 2. Se define la operaci´ on ∗ como: ( (a! + b)! a ≥ b a∗b= (a + b!)! a < b 2 ∗ (1 ∗ 0) Calcular el valor de: 1 ∗ (0 ∗ 1) a) −1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 3 3. Simplificar: K = 19 12 d) 12!
13 · 14 . . . . . . 60 20 · 21 · 22 . . . . . . 60 b) 19!
a)
c)
e) 19! − 12!
8.4.
a) C627 d) C526
10. La simplificaci´ on de: n n n Ck−3 + 3Ck−2 + 3Ck−1 + Ckn
E=
Ckn+3
a) 7 d) 1
b) 2 e) 9
19! 12!
5. Calcular “n” si: a) 40 d) 10
c) 3
(n + 1)!n! = 99(n − 2)! (n + 1)! − n! b) 20 c) 30 e) 50
6. Simplificar la expresi´ on: E= a) 11 d) 11!
1111!+3 · 511! · 2!11! · 9!12! 9!11(11!) · 11!11! · 11 b) 121 e) 22
7. Simplificar la expresi´ on: E = a) 7 d) 6
b) 3 e) 5
c) 113
2C815 + 8C715 2C715 c) 4
8. La simplificaci´ on de: E=
20 · C 26 − C 19 · C 26 C10 20 9 6 19 es : C525 · C919 + C625 · C10
es :
c) 5
n! (2n)! − = 70. Calcular el (2n − 2)! (n − 2)! valor de “n” a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 9
11. Si:
(n + 3)!(n + 5)! = 120 (n + 3)! + (n + 4)(n + 3)! b) 2 e) 5
26 c) C26
9. Si n ∈ N tal que: 2n+1 = 31 C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + . . . + C2n+1 Entonces el valor de “n” es: a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1
4. Resolver la ecuaci´ on expresada:
a) 1 d) 4
b) C630 e) C623
12. Resolver: a) 4 d) 7 13. Resolver: a) 20 d) 16
C2n · C4n−2 n = n−1 4 C3 b) 5 e) 6 1 2 = n n C5 C6 b) 18 e) 15
c) 8
c) 17
14. Si se cumple la siguiente igualdad: n−1 n−1 Cn−4 + Cn−3 = 84 el valor de “n” es: a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 15. Al efectuar: 1 + 14C1n + 36C2n + 24C3n +1 C1n + 14C2n + 36C3n + 24C4n Se obtiene: n4 + 1 a) n4 4 n c) n+1 n e) n+1
n4 n4 + 1 n+1 4 d) n b)
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. Calcular el grado absoluto del vig´esimo √ 28 t´ermino de la expresi´ on de: πx7 − 3y 2 a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104
175 a) 30; 36 d) 72; 36
b) 120; 72 e) 36; 12
c) 72; 12
17. Si el desarrollo de (6x4 − 8)n la suma de los coeficientes es 1024. ¿Cu´ al es el grado absoluto del t´ermino central? a) 10 b) 50 c) 30 d) 40 e) 20
24. ¿De cu´ antas maneras podr´ a ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido de 20 alumnos, bajo la condici´ on de que cada alumno pueda ser elegido s´ olo a uno de estos cargos? a) 380 b) 190 c) 20! d) 19! e) 760
18. El t´ermino independiente en el desarrollo 1 7 a del binomio: x + 3 , con a ∈ h0, 15i x a) 35 b) 45 c) 21 d) 63 e) 7
25. Determinar el n´ umero de permutaciones diferentes que ser´ıan posible formarse con las letras de la palabra “QUEQUE” a) 420 b) 120 c) 720 d) 90 e) 30
19. En el desarrollo del binomio: (xa + y b )m ; x, y ∈ R el t´ermino d´ecimo es: 220x33 y 126 , calcular: E = a + b + m. a) 37 b) 27 c) 17 d) 7 e) 4 20. Si el u ´nico t´ermino central de la expansi´ on: 2y n 2 H(x; y) = 3x − , es de sexto grado. x ¿Qu´e exponente tendr´ a “y” en ese t´ermino? a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 21. Determine el valor de “k” en: (2k − 6)! = 2048 (k − 3)!1 · 3 · 5 · 7 . . . (2k − 7) a) 7 b) 14 c) 11 d) 9 e) 16
26. En un hospital se tiene 5 m´edicos especialistas en nefrolog´ıa y 4 enfermeras se desea escoger un grupo de 4 personas para una intervenci´ on quir´ urgica al ri˜ n´ on en la sala de cirug´ıa del nosocomio ¿De cu´ antas maneras se podr´ a realizar esto, si en cada grupo debe haber a lo m´ as 2 m´edicos nefr´ ologos para realizar la intervenci´ on? a) 55 b) 80 c) 85 d) 135 e) 150 27. A•
•B •C
F•
•D
n
22. Si el desarrollo del binomio: axa + bxb , los t´erminos de lugares (a+3) y (b−1) equidistan de los extremos; adem´ as la suma de todos los coeficientes es 27, hallar la suma de todos los exponentes de variable en su desarrollo: a) 20 b) 15 c) 16 d) 14 e) 18 23. Se desea ubicar a un grupo de estudiantes de la UNPRG, formado por tres hombres y tres mujeres de un modo tal que ellas queden alternadas con ellos. Averiguar el n´ umero de formas si: Se sientan en fila. Se sientan alrededor de una mesa circular.
•E
De la figura halle la diferencia entre el n´ umero de tri´ angulos y el n´ umero de rectas que pueden trazarse. a) 10 b) 6 c) 1 d) 2 e) 5 28. Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras que sean pares existen? a) 450 b) 540 c) 720 d) 210 e) 120 29. ¿Cu´ antas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si debe empezar con O y terminar en T? a) 3! b) 4! c) 2! d) 6! e) 9!
´ Algebra
176
CAP 07:
Potenciaci´ on
(n + 2)! (n + 12)! = 5+ , halle el valor n! (n + 11)! de (n3 − 1); n ∈ N a) 0 b) 26 c) 7 d) 63 e) 124
1. Si
2. Determine el valor de “n” en: 2
6 0!
36 6 4
|2!
+
3
7 1! 2! 3! 2 + + + · · ·7 5=n +n 3! 4! 5! {z } n t´ erminos
a) 4 d) 7
b) 8 e) 5
c) 6
3. Determinar el valor de: E=
1313!+1 (12!)14! + 13 (13)13! (12!)13(13!)+13!
a) 13 d) 13! 4. Calcular: A = a) n2n−1 d) n
b) 12! e) 12(13!) n X
c) 26
kCkn
k=1
5. Hallar “n” en:
b) 2n e) n2n+1
n X
c) n2n
kCkn = 80
6. Reducir: W =
d)
2n+1 +1 n+1 2n−2 −1 n
b) 6 e) 4
c) 8
n+1 X
n Ck−1 k k=1
b) e)
7. Simplificar: W =
2n+1 −1 n+1 2n+1 +n n+1
c)
2n+2 +1 n
50 X kCk50
50 Ck−1 b) 1010 e) 1275 k=1
a) 498 d) 1345
8.5.
3x + 1 5y − 3 (x + y) es: a) 16 d) 18
9. Si:
=
2 x − 87
2(y + 1)
c) 1143
8. Hallar el valor de n ∈ N en: 30 20 2n X X 30 k X 20 k 2n 3 + 7 =8 k k k k=0 k=0 k=0 a) 20 b) 25 c) 29 d) 30 e) 32
; el valor de
b) 13 e) 21
c) 11
10. Sabiendo que el sexto t´ermino del desarrollo de (x2 − 2y)n , es: −1792x2n−10 y 5 . El valor de n es: a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10
n
y n+20 11. Al desarrollar el binomio + ; y n−10 x se obtiene un solo t´ermino central cuya parte literal es x60 y 600 , determine el valor de: E =m+n a) 25 b) 44 c) 38 d) 49 e) 60
xm
12. El valor que debe tomar k para que los t´erminos de lugares (k2 + 8) y 6k, del desarrollo de (x2 + y 3 )193 , equidisten de los extremos es: a) 19 b) 13 c) 15 d) 17 e) 11 √ 3
k=1
a) 7 d) 5
a)
Walter Arriaga Delgado
!n
x2 y 7 + se tienen 13. En el desarrollo de y5 x dos t´erminos consecutivos, donde el primero de ellos es independiente de x y el otro independiente de y. Los lugares que ocupan ´estos son respectivamente: a) 22 y 23 b) 23 y 24 c) 25 y 26 d) 24 y 25 e) 26 y 27 14. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tiene 25 t´erminos y que adem´ as la suma de sus coeficientes es 4 veces la suma de los coeficientes del desarrollo de (x + y)m . El n´ umero de t´erminos del u ´ltimo desarrollo es: a) 23 b) 22 c) 21 d) 24 e) 25 15. Indicar valor de “n” que hace que el desa 1 n 3 rrollo de x + 2 contenga u ´nicamente x 15 t´erminos racionales enteros. a) 21 b) 22 c) 25 d) 24 e) 23
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. El valor positivo de n para que los t´erminos de lugares 9 y 7 en el desarrollo de √ n 13 x + y2 posean igual coeficiente es: 2 a) 7 b) 20 c) 14 d) 8 e) 21 17. Los lugares de los dos t´erminos consecutivos en el desarrollo de (x + y)24 que toman los mismos valores num´ericos para x = 2; y = 8, son: a) 15 y 16 b) 18 y 19 c) 19 y 20 d) 21 y 22 e) 20 y 21 18. Si el t´ermino central del desarrollo 4n . El valor de ´ (xn + x−n )4n es C12−n este t´ermino es: a) 18720 b) 17820 c) 12870 d) 12780 e) 12 800 (a+b)27 ,
19. Si en el desarrollo de la potencia los t´erminos que ocupan las posiciones: (p3 + 2) y (3p2 + 3p + 1), equidistan de los extremos. calcular el coeficiente del t´ermino de posici´ on “p”. a) 27 b) 36 c) 9 d) 18 e) 45 20. Encontrar el n´ umero total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los d´ıgitos {1, 2, 3, 4} si ning´ un d´ıgito debe repetirse cuando se forma un n´ umero. a) 12 b) 24 c) 48 d) 64 e) 96 21. Una caja contiene focos; 2 de 25 vatios; 3 de 50 vatios y 4 de 100 vatios. ¿De cu´ antas maneras pueden escogerse 3 de ellos? a) 21 b) 24 c) 42 d) 84 e) 48
177 cu´ antas formas pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro?. a) 315 b) 310 c) 1260 d) 610 e) 810
24. Se tiene un examen que consta de 10 preguntas, de las cuales hay que elegir 7, si las dos primeras son obligatorias, determine de cuantas maneras puede escoger sus preguntas. a) 56 b) 36 c) 42 d) 48 e) 24 25. Si solo se consideran las letras a, b, c, d, e y f ¿Cu´ antas placas para autom´ ovil puede hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 d´ıgitos diferentes? a) 24400 b) 18600 c) 13500 d) 21600 e) 42200 26. Una cl´ınica tiene 25 empleados profesionales, 4 de ellos son m´edicos cirujanos. De cuantas maneras pueden formarse grupos de tres profesionales donde por lo menos uno de ellos sea m´edico cirujano a) 1330 b) 970 c) 840 d) 966 e) 960 27. Nueve personas abordan un tren que tiene 3 vagones, cada pasajero escoge aleatoriamente el vag´ on. ¿De cuantas maneras 2 pasajeros van en un vag´ on, 3 en el otro vag´ on y 4 en el vag´ on restante? a) 7560 b) 3780 c) 5040 d) 6300 e) 1260 28. ¿De cu´ antas maneras diferentes se puede ir de M a N sin retroceder? M
22. ¿De cu´antas maneras pueden distribuirse entre 9 personas; 3 medallas de oro, 2 de plata y 4 de bronce (en ese orden), si a cada persona le corresponde una medalla? a) 90 b) 630 c) 310 d) 180 e) 1260 23. Un estudiante tiene 10 libros de Matem´ atica y el otro tiene 8 libros de F´ısica. ¿De
a) 160 d) 145
N b) 120 e) 165
c) 155
´ Algebra
178
CAP 07:
Walter Arriaga Delgado
Potenciaci´ on
1. Simplificar
8. Simplificar: 4! × 25! − ((4!)!)! × 5! 5! × (4!)! − 4! × (24!)!
a) 1 d) 2
b) 5 e) 3
W = a) d)
c) 4
2. Indicar el valor de sumar las dos u ´ltimas cifras de N , siendo:
a) 7 d) 12
b) 8 e) 4
c) 9
Calcular el valor de αα . a) 1/27 b) −1/27 d) −1/4 e) 1
c) 1/4
4. Al resolver la ecuaci´ on
n n−1 n+2 + 4+ n−3 3 n−1
n+1 3
El valor de n es: a) 4 b) 8 d) 5 e) 7
= 64
c) 2
(n!)2 2n + 1 41 5. Si se cumple que: = . El (2n)! n + 1 21 valor de n es: a) 21 b) 19 c) 18 d) 20 e) 22 6. Si se cumple la siguiente igualdad:
x−1 x−1 x−1 Cx−4 + 2Cx−3 + Cx−2 ! = 120 2
El valor de x es: a) 6 b) 4 d) 3 e) 2
c) 5
7. Calcular el valor de n + k en:
n+1 Ck+1
a) 40 d) 50
+
Ckn
+
3
1 + 7C1n + 12C2n + 6C3n C1n + 6C2n + 6C3n b) e)
n2 +1 n2 n3 +1 n3
n−k+2 n+1 30 Ck−1 = C13 n+1
b) 44 e) a y b
c) 47
c)
n+1 n
n+1 n−1 Ck+1 − Ckn Ck−1
n+1 n−1 (Ckn )2 − Ck+1 Ck−1 b) n e) n + 1
10. Si los coeficientes binomiales:
1 (x + 3)!2 + (x + 2)! = (x + 4)! x+3
9. Simplificar:
s
c) n − k
3. Siendo α una soluci´ on de la ecuaci´on:
n n+1 n2 n2 +1
a) k d) k + 1
N = 1! + 2! + 3! + 4! + · · · + 38!
8.6.
4 2 x −x
y
4 equidistan de los extremos en el 2x − 2 desarrollo de un binomio elevado a un exponente n ∈ N. Hallar x. a) 4 b) 5 c) 6 d) 2 e) 8 11. Si x27 y 6 es la parte literal de uno de los t´erminos del desarrollo de (x3 + y 2 )n . El n´ umero de t´erminos del desarrollo es: a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 12. Sabiendo que la suma de los exponentes de x de todos sus t´erminos del desarrollo de (x3 − 5x−2 )10n es 3 240. EL n´ umero de t´erminos de su desarrollo es: a) 31 b) 51 c) 61 d) 91 e) 81 13. Se˜ nale el n´ umero de t´erminos racionales enteros contenidos en el desarrollo del binomio È √ 18 3 2 ( x y + xy) . a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 7 14. ¿Cu´ √ antos √ t´erminos de la expansi´on de: ( 3 3 + 2)12 son naturales? a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 15. Hallar el t´ ermino independiente de x en √ 1 9 x+ √ 4 x a) 210 b) 126 c) 36 d) 84 e) 120
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. En el desarrollo de (x4 + x−3 )2n−1 uno de los t´erminos centrales es independiente de x. Halle el n´ umero de t´erminos. a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10 17. Hallar el n´ umero de t´erminos irracionales √ √ del desarrollo de ( 4 x + 3 x)48 a) 41 b) 42 c) 43 d) 45 e) 44 18. Teniendo en cuentael desarrollo de la ex√ 1 56 presi´ on x+ √ indique el valor de 3 x verdad de las siguientes proposiciones: El n´ umero de t´erminos irracionales es 47. El n´ umero de t´erminos fraccionarios es 4. No tiene t´ermino independiente. a) FFF d) VVF
b) FVV e) VFV
c) VVV
19. El t´ermino independiente en el desarrollo del binomio (xa + x−3 )7 , con a ∈ h0, 15i, es: a) 35 b) 21 c) 45 d) 63 e) 7 20. Hallar el lugar que ocupa el t´ermino independiente del desarrollo de
2x − a) 2n−1 − 1 d) 2n−1
9 x
C n +C n +C n +···+Cnn 0
1
2
b) 2n−1 + 1 e) 2n + 1
c) 2n
21. ¿De cuantas maneras distinta podr´ a viajar Goku desde la ciudad A a la ciudad D como muestra la figura?. A
B 2
C 3
D 4
179
22. Seis personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cu´ antas formas podr´ an ubicarse si 3 de ellas deben estar siempre juntas? a) 48 b) 56 c) 96 d) 72 e) 36 23. En un jard´ın juegan 7 ni˜ nos y 5 ni˜ nas. ¿De cu´ antas formas se pueden escoger 4 ni˜ nos y 3 ni˜ nas? a) 240 b) 180 c) 350 d) 320 e) 300 24. Alessandra tiene 10 amigos, desea invitar a una reuni´ on solo a 3 de ellos. ¿De cu´ antas maneras puede invitar, si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntas? a) 32 b) 16 c) 8 d) 64 e) 128 25. ¿Cu´ antos equipos de f´ utbol se podr´ an formar con 15 jugadores? 15 a) V11 b) 15! c) 14! d) C415 e) 11! 26. Con 5 oficiales y 9 soldados. ¿Cu´ antos grupos de 6 pueden formarse de manera que en cada grupo entre por lo menos 3 oficiales? a) 630 b) 1029 c) 1000 d) 360 e) 580 27. Tres viajeros llegan a cierto pueblo en el cual hay siete lugares dedicados al alojamiento. ¿De cu´ antas maneras pueden elegir sus respectivos establecimientos debiendo estar cada uno en lugares exclusivos? a) 120 b) 24 c) 110 d) 180 e) 210 28. En una cl´ınica una enfermera necesita evaluar 8 de 10 historias cl´ınicas. Cu´ antas maneras de evaluar tiene? De cu´ antas maneras puede evaluar, si las tres primeras son obligatorias?
5 a) 14 d) 29
b) 44 e) 24
c) 120
Dar como respuesta la suma de estos resultados: a) 56 b) 76 c) 66 d) 96 e) 106
180
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 9:
RADICACION Objetivos z Utilizar los radicales para afianzar la similitud con la potenciaci´ on como operaci´ on inversa de ´esta. z Transformar los radicales dobles a simples. z Resolver operaciones con exponentes fraccionarios, utilizando la racionalizaci´ on como herramienta de simplificaci´ on.
9.1.
Introducci´ on
Las ra´ıces cuadradas son expresiones matem´ aticas que surgieron al plantear diversos problemas geom´etricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos m´ as antiguos, muestra c´ omo los egipcios extra´ıan ra´ıces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos te´ oricos y aplicados del cuadrado y la ra´ız cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800–500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un m´etodo para encontrar muy buenas aproximaciones a las ra´ıces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un m´etodo para encontrar la ra´ız cuadrada de n´ umeros con varios d´ıgitos. Los babilonios aproximaban ra´ıces cuadradas haciendo c´ alculos mediante la media aritm´etica reiteradamente. En t´erminos modernos, se trata de construir una sucesi´ on a0 , a1 , a2 , a3 , . . . dada por:
an+1
1 a = an + 2 an
Puede demostrarse que esta sucesi´ on matem´ atica converge an →
√ a (como valor inical a0 puede
tomarse con buena aproximaci´ on el entero m´ as cercano al valor de la ra´ız cuadrada). Las ra´ıces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matem´ aticas, siendo particularmente investigadas 181
´ Algebra
182
Walter Arriaga Delgado
durante el periodo pitag´ orico, cuando el descubrimiento de que la ra´ız cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matem´ atica de la ´epoca. Posteriormente se fue ampliando la definici´ on de ra´ız cuadrada. Para los n´ umeros reales negativos, la generalizaci´ on de la funci´ on ra´ız cuadrada de ´estos da lugar al concepto de los n´ umeros imaginarios y al cuerpo de los n´ umeros complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus ra´ıces (teorema fundamental del ´ algebra). La diagonalizaci´ on de matrices tambi´en permite el c´ alculo r´ apido de la ra´ız de una matriz. Inicialmente mostraron su utilidad para la resoluci´ on de problemas trigonom´etricos y geom´etricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pit´ agoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matem´ aticas m´ as elementales hoy en d´ıa. Definici´ on 9.1.1. Es la operaci´ on que consiste en hallar una expresi´ on llamada raiz conocidas otras dos: ´ındice y radicando; tal que, dicha ra´ız elevada al ´ındice resulte el radicando; es decir: √ n
A = r si y solo si A = r n
Donde: r es la ra´ız, n es el ´ındice, y A es el radicando ´ o cantidad subradical si n es par entonces A ≥ 0 y r ≥ 0 Adem´ as, si r es la ra´ız, se presentan los siguientes casos en √
N◦ Positivo = +r
√
N◦ Negativo = N◦ Imaginario
Par
Par
√
Impar
√
Impar
9.2.
√ n
A:
N◦ Positivo = +r N◦ Negativo = −r
Clasificaci´ on de los radicales
√ √ √ 1. Radicales Homog´ eneos: Son aquellos que tienen igual ´ındice. Ejemplo: 3 5 14, 7 5 11, 9 5 2 2. Radicales Semejantes: Son aquellos que tienen igual ´ındice y la misma cantidad subradical. √ √ √ Ejemplo: 2 3 5, 6 3 5, 4 3 5 Principio fundamental: Si
√ n
am = r, entonces
√ apm = r
pn
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
183
Homogenizaci´ on de radicales: Para homogenizar radicales con ´ındices diferentes, se calcula el MCM de los ´ındices, el cu´ al ser´ a el nuevo ´ındice y luego se utiliza el principio fundamental. Ra´ız de un monomio Para extraer la ra´ız en´esima de un monomio, se extrae la ra´ız del coeficiente y luego se dividen los exponentes de las partes literales entre el ´ındice de la ra´ız. Ra´ız de un polinomio Procedimiento para extraer la ra´ız cuadrada de un polinomio: El polinomio radicando generalmente debe ser completo y ordenado en una variable, si faltara alg´ un t´ermino se puede completar con ceros Se agrupan a los t´erminos del polinomio de dos en dos a partir del u ´ltimo t´ermino. Se extrae la ra´ız cuadrada al primer t´ermino del polinomio, ´este ser´ a a su vez el primer t´ermino de la ra´ız cuadrada del polinomio, luego ´este se eleva al cuadrado y el reultado se resta del polinomio. Se bajan los dos siguientes t´erminos del polinomio, seguidamente se duplica la raiz encontrada, luego se divide el primer de los bajados entre ´este y el resultado ser´ a el segundo t´ermino de la raiz, a ´este valor obtenido se adiciona la raiz la ra´ız duplicada y todo ello queda multiplicado por el segundo t´ermino de la raiz para luego restarlo del polinomio. Se baja los dos t´erminos siguientes y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que la ra´ız o el residuo sea un polinomio identicamente nulo.
9.3.
Radicales Dobles È
Son radicales que tiene la forma:
A±
√
È
B;
A±
√
B±
√
C±
√
D
184
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on
1. Efectuar: q È √ √ √ 2 5 20 4 a3 b5 b4 · 5 ab2 a ÷ a53 b42 a) a d) a/b
b) b/a e) 1 √ 3
√ x
2
2. Hallar: E = y 2 + 2 2 si son√radicales semejantes: √ 3 4 b) 16√3 2 a) 4 √ d) 8 3 4 e) 16 3 4 16x4
mx3
√ y−2
8
−
√ 3
2
√ x y−1
√ 3
c) 8 2
nx2
3. Si P (x) = + + − 216x + 81, posee ra´ız cuadrada exacta, determinar “m + n”. a) 320 b) −120 c) 120 d) −320 e) 12 4. Resolver: È
−2
√ 18 + 2 32
È
a) 1 d) 10
√ 17 + 12 2 È +3 x=1 √ 3+ 8 b) 16 c) 30 e) 18
5. Simplificar (A + B)6 donde: 2 2 A= È √ −È √ 2+ 3 2− 3 √ √ 3 3 B=È √ +È √ 2+ 3 2− 3 √ a) 2 b) √ 2 d) 8 e) 6
c) 16
È √ √ 675 − 26 − 675 È 6. Reducir: È √ √ 3 3 26 + 675 + 26 − 675√ √ √ 50 50 5 2 c) a) b) 3 4 √2 √ 50 e) 40 d) 16
26 +
7. Simplificar: √ √ 2)2 + (1 − 2)2 È · 3− 8 2 È È √ √ 4 8 + 4 3 − 49 + 20 6
(1 +
√
√ √ a) √3 + 2 d) 2
b) 2 e) 1
9. Hallar el valor num´erico de: P (x) =
(x2 + 2x + 1)n + (x2 − 2x + 1)n (x2 + 2x + 1)n − (x2 − 2x + 1)n
√ n 2+1 para x = √ n 2−1 a) 5/3 b) 2/3 d) 1 e) 2
c) 4/3
10. È El equivalente de: √ √ 2 √ 5x − 2 + 2 6x − 7x − 3, es ax + b + cx − a; siendo a, b y c n´ umeros naturales. Calcular a + b + c. a) 3 b) 9 c) 8 d) 6 e) 7 11. Simplificar: È √ √ √ √ √ √ 3 ( 6 x − 6 y)( x + y)( x2 + 3 xy + 3 y 2 ) √ √ √ 3 x − 6 xy + 3 y √ √ a) x + y b) x − y c) x − y √ √ √ √ d) x + y e) 3 x − 3 y
È
Ê
9.1.
8. Efectuar : È√ È√ √ √ È √ √ 12 4 3 3 + 2 3 + 2 3 − 2 √ √ √ √ c) 1 a) √3 + 2 b) 3 − 2 e) 2 d) 2
c) b √ y
Walter Arriaga Delgado
c)
√
3+1
12. Efectuar: r r r r √ 1 3 2 3 9 3 16 −4 +6 +83 − 3 18 3 4 81 √ 12 √ a) 1√ b) 3 18 c) 3 2 e) 0 d) 3 3 13. Simplificar: È √ 1 1 − 4 − 15 È √ √ √ √ + 6 5− 6 + 10 − 15 √ √ √ √ √ a) 5 + 2 + 3 b) √3 + √2 √ c) 1 √ d) 5 + 2 − 3 e) 5 + 3 √ 9 x+1−1 14. El valor que toma √ , cuando x 3 x+1−1 se aproxima a 0 es: a) 1/3 b) 0 c) 1 d) 3 e) −1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
√ √ 2( 15 − 7) √ √ 15. Racionalizar: √ , indicar la 3+ 5+ 7+1 suma de los radicandos a) 1 b) 8 c) 0 d) 16 e) 2 1 √ 16. El factor racionalizante de √ , 3 3 3 + 9−2 √ √ 3 es de la forma a n2 − b 3 n + c. Hallar a+b+c+n a) 1 b) 2 c) 5 d) 9 e) 12 17. Racionalizar y dar la suma de los denominadores de: 1 1 √ √ √ √ √ +√ 3 3 15 + 5 − 3 − 1 18 − 30 + 3 50 a) 18 b) 38 c) 16 d) 54 e) 24 18. Transformar en radicales simples la expreÈ √ si´ on A + B siendo: A = 3x + 3y + 1 y B = 60xy − 40y 2 − 36x + 104y − 48 Se˜ nalar √ √ uno de sus√t´erminos: a) 2y + 3 b) 2y − 4 c) 5y − 3 √ √ d) 5y + 4 e) 10y − 1 19. Hallar x + y + z, si: √ √ 2( x − y) = x − y √ √ 3( y − z) = y − z √ √ 5( z − x) = z − x ; a) 13 b) 26 d) 38 e) 29
x 6= y 6= z c) 14
20. Calcular el resto que se obtiene al dividir el resto de la ra´ız cuadrada de: x6 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 5x + 2 entre x + 3 a) 17 b) −5 c) 8 d) −2 e) 7 21. Determinar: E= −2 +
√
−2 +
a) −1 √ d) 2 − 1
2−1 1 1 −2 + √ b) 1 e) 2
1 2−1
185
23. Simplificar: q È È √ 2n È √ √ n 2− 3· 2 + 3 · 4n (2 + 3)3 √ b) 3 c) 1 a) 3 d) 2 e) 4 È√ È √ √ n 2n 24. Simplificar: 3 + √2 · 5−2 6 a) 1 c) 2 b) n b √ n d) a e) 6 25. Determinar (m + n) para que el polinomio: 9x4 + 12x3 − 2x2 + mx + n tenga ra´ız cuadrada exacta. a) 4 b) 6 c) −2 d) −3 e) −5 26. Reducir r r √ 1+x 1−x 1 − x2 + (1 − x) − 2(1 + x) 1 − x √ √ 1+x a) 2 1 − x b) √ 0 c) 1 + x √ d) x e) 1 − x 27. Si x ≥ 0, reducir:
1 È √ √ x+2+2 x+1− x+2−2 x+1 a) 2 b) 4 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/2
È
28. Calcular el valor a + b, en la igualdad: È È de √ √ √ 3 + 10 + −3 + 10 √ = a − b. √ È √ 2 3 + 10 a) 5 b) 9 c) 7 d) 3 e) 1 √ 29. Hallar “a”, si: ax2 + 8 a + 9x + 25 es un trinomio cuadrado perfecto. a) 16 b) 15 c) 2 d) 8 e) 14 30. Indicar la ra´ız cuadrada de la expresi´ on: 1 + (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) a) x2 + 1 b) x2 + x + 1 2 c) x + 6x + 12 d) x2 + 7x + 11 e) x2 + 2 31. Simplificar A − B siendo:
√ c) 2
22. Simplificar: √ √ √ √ 3 3 3 a ab4 + b a4 b + 8 a4 b4 − 3ab 3 ab √ a) 7ab b) a √ c) 7ab ab √ d) 3 ab e) 7ab 3 ab
r
r
1 1 1 1 A= 1+ + 2 + 1− + 2 x x x x 2 √ B=√ 2 x + x + 1 − x2 − x + 1 a) x2 d) x
b) 0 e) x + 1
c) 1
186
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on
√ √ √ 1. Ordenar de√menor a mayor: √8 8, 4√4, 16 √ √ √16. 16 8 16 b) √ a) √ 16,√4 4, √ 8 16,√ 8 8,√4 4 8 16 c) √ d) 8 8, 4 4, 16 16 8, √ 16,√4 4 4 8 16 e) 4, 8, 16 2. Efectuar: b2 a) a3√ 3 d) a b
√ 6
a2
√ 6
È √ 3 ab4 a b2 . b) ab2 e) ab
c) a2 b
√ x2 + x x2 + 1 + 1 √ 3. Simplificar W = , donde x2 + 1 + x È√ x = √ 5 − 1. √ √ 3 a) √5 b) √ 5 c) 4 5 d) 5 5 e) 6 5 4. Extraer la ra´ız cuadrada del polinomio: 4x4 + 12x3 + 13x2 + 11x + 8. Luego calcule: Σcoef(ra´ız) + Σcoef(resto) a) 18 b) 12 c) 6 d) 24 e) 30 5. Calcular el resto que se obtiene al dividir el resto de la raiz cuadrada de: x6 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 5x + 2 entre x + 3. a) 17 b) −5 c) 8 d) −2 e) 7 6. Calcular el valor de m2 + n2 + p2 si la raiz cuadrada del polinomio mx6 + nx5 + px4 + 12x3 − x2 + 7 arroja por resto 5x2 − 2. a) 9 b) 33 c) 63 d) 17 e) 64 7. Si al extraer la raiz cuadrada de P (x) = x6 + x4 + ax2 + b, se obtiene como residuo √ (P ( x) − ax − x3 ). Hallar a. a) 1 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/4 e) 5/4 È
√ È √ 2n n 8. Calcular W = 7−4 3 3+2+1 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 9. Efectuar W = a) 7/2 d) 1/2
È√
3+
b) 1 e) 4
√ È √ 4 2 5−2 6 +3 2 c) 3/2
Walter Arriaga Delgado
9.2.
È √ √ √ 10. Si a + 4 b + 2 = a − 2 + 2b , a, b ∈ N, a en radicales simples: È > b; descomponer √ a+b+ √2 a + 6b √ √ a) 1√+ 2√ b) √ 2+ 3 c) 7 + 1 d) 7 + 2 e) 2 + 7 q
È
11. Al descomponer 5 + (n − 1)! en suma de radicales simples, el producto de las cantidades subradicales es (n − 2)!. Cu´al es el valor de n?. a) 8 b) 5 c) 2 d) 9 e) 1 12. Transformar en radicales simples la expreÈ √ si´ on: A + B 5, donde A = 1 + 3 + 5 + · · · + 59 y B = 1 + 3 + 5 + · · · + 39. Se˜ nale uno de sus t´erminos. a) 50 b) 80 c) 10 d) 90 e) 20 13. Hallar √ la ra´ız√ cuadrada √ de: 5 + 8 √3 − 4 15 21 − 4 √ √ a) 2 + √ 3 − √5 b) √ 2+ √ 5 c) 2 − 5 + 2 3 d) 5 − 2 e) 1 14. È Si el residuo de (x + 1)4 + 4(x + 1)3 − 2(x + 1)2 − 11x es equivalente a mx + n. Calcular mn. a) 3 b) 2 c) −4 d) 1 e) −3 15. È Si se cumple que: √ √ √ √ √ √ 3 + 30 + 7 + 10 = a + b + c, 4abc donde a, b y c > 0. Evaluar: Q = 5 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 30 16. La expresi´ n Èo √ W = 4x5 + 4x4 + 4 + x3 + x2 + 2 se puede expresar como: √ √ a) x2 + x + 1 + x2 − x + 1 √ √ b) x2 + x + 1 + x3 − x + 1 √ √ c) x2 + 3x + 1 + x2 − 3x + 1 √ √ d) x3 + 1 + x2 + 1 √ √ e) x2 + 2x + 1 + x3 + x + 1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado r
187
n 1 √ +2 n a+1 c r 17. Si se sabe que: √ . Hallar = n a−1 n 1 −2 c √ n el valor de ac. a) 1/4 b) 3/4 c) 1/8 d) 3/2 e) 1/2
25. Si se la siguiente igualdad: É verifica q È √ √ √ √ 2 3 + 5 − 13 + 48 = 4 a + 4 b È √ descomponga a + 32b en radicales simples con √ a > b. √ √ a) 3 √2 + 1 b) √2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 2 + 1 e) 2 2 + 2
18. Reducir: q √ 4
26. Hallar el valor de: W = x3 + 3x + 9, para È√ È√ 3 3 x= 2+1− 2−1 a) 3 b) 11 c) 7 d) 9 e) 5
q
√ 4
8+
È√
a) 1/2 √ 4 2 d) 2
8−
È√
2+1 È√ √ 2−1− 4 8− 2−1 √ √ 2 b) 2 c) 2 √ 4 e) 8 q
19. El t´ermino independiente del denominador √ 4 x+2 √ es: racionalizado de √ x− 4x−6 a) −81 b) 3 c) 81 d) −100 e) −50 √ −1 20. Si a4 √ = 17 + 12 2. Hallar √ a . √ a) 2√ 2 b) 1 + 3 c) 1 + 2 e) 1 d) 2 − 1 È
21. Reducir E = a) 1 d) 4
4
È √ √ 4 17 + 12 2 − 17 − 12 2. b) 2 c) 3 e) 0
22. Halle el equivalente de: È
√
1 1 − 4 − 15 √ √ √ + 6 5 − 6 + 10 − 15 √ √ √ a) È3 + 2 b) 5 + 3 √ √ √ √ √ d) 5 + 2 + 3 c) 5+ 2 e) 1 È
√
23. È Al transformar: √ √ √ 3x − 1 + A + B + C, con x ≥ 3, donde A = 4x2 − 4x − 24, B = 4x2 + 8x y C = 4x2 − 12x; uno de los radicales simples es: √ √ √ a) √3 − x b) √ x + 3 c) x − 3 d) x − 1 e) x + 1 24. È Simplificar: È √ √ √ √ 21 + 2 35 − 6 5 − 6 7 − 12 + 2 35 a) −3 b) −1 c) 0 d) 1 e) 4
2 √ √ , y dar co3 25 − 15 + 3 9 mo respuesta el denominador a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 4
27. Racionalizar: √ 3
28. Sabiendo que a, b, c > 0. Adem´ as √ √ c + ab = b + ac. Racionalizar: √ √ ( ac − bc)2 A= È √ √ √ 3 a a − b b − 3 abc √ √ a) c c) c c b) √b √ d) c e) a b 29. Hallar el denominador racionalizado de 1 √ √ 3 49 − 3 7 − 6 a) 300 d) 100
b) 150 e) 50
c) 200
30. È Calcular A y B de la igualdad: √ √ √ 11 2 − 12 = 4 A − 4ÈB Se˜ nalando el valor de: 4 A/B √ √ √ b) 4 2 c) 3 2 a) √ 2 √ 3 2 e) 4 3 d) 2 31. Hallar el denominador racionalizado de 1 √ √ 1+ 6+ 7 a) 14 d) 11
b) 12 e) 10
c) 13
32. Hallar el denominador racionalizado de 2 q
È
6x + 2y + 2 8x2 + 6xy + y 2 − 4x − 4 a) x b) x − 1 c) x + 1 d) x + 3 e) x + 2
188
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on È
È √ √ 28 + 16 3 + 8 − 60 È 1. El valor de F = È √ √ 4 17 + 4 18 + 7 − 40 a) 3 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6 4
2. Efectuar ¨ « √ √ 1, 5 0, 5 √ +√ ( 3 − 2) √ 1, 5 − 0, 5 √ 0, 75 + 0, 5 √ √ a) 3 −√ 1 b) 1 + √ 3 c) 1 + 3 3 d) 1 − 3 3 e) 1 − 3 3. Simplificar para n ≥ 2 la expresi´ on: √ √ 2 n + 2 + n − 4 n + 2 − n2 − 4 √ √ L= + n + 2 − n2 − 4 n + 2 + n2 − 4 c) n a) 1 b) n2 d) 1/n e) 2n 4. Efectuar: √ √ 1 a + a2 − 1 a − a2 − 1 √ √ √ − a2 − 1 a − a2 − 1 a + a2 − 1 Si: |a| = 6 1 a) 4a b) a2 c) a 4 d) 2a e) a 5. Hallar m y n si la ra´ız cuadrada de: P (x) = 16x4 − 32x3 + 24x2 + mx + n, es exacta: a) −8 ; −1 b) −6 ; −8 c) −6 ; 8 d) −8 ; 1 e) −8 ; −6 6. Calcular a + b si la ra´ız cuadrada de P (x) = 9x4 + ax3 + bx2 − 67x + 54 deja un resto de 3x + 5 a) 36 b) 37 c) 13 d) 42 e) 45 7. Si al extaer la ra´ız cuadrada de: P (x) = x6 + x4 + ax2 + b. √ Se obtiene como residuo [P ( x) − ax − x3 ]. Hallar “a” a) 1 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/4 e) 5/4 8. Simplificar: È È È √ √ √ 9 − 4 2 + 2 3 + 8 + 12 + 8 2 È È È √ √ √ 13 + 4 10 − 11 − 2 10 + 15 − 10 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Walter Arriaga Delgado
9.3.
È √ 4 9. Calcule el√cubo de: 17 + 12 2 √ √ a) 7 + 5 √2 b) 12 + √ 6 2 c) 8 + 4 2 d) 7 + 6 2 e) 9 + 5 2
10. Descomponer en radicales simples: q È √ √ E = 3 − 3 − 4 − 12 √ √ √ b) 3 + 1 c) 2 − 1 a) √2 + 1 e) 2 d) 3 − 1 11. Hallar m de modo que se cumpla: 1 4 3 È √ +È √ √ =È 11 − 2 m 7 − 2 10 8+4 3 a) 20 b) 30 c) 25 d) 35 e) 40 12. Indique el valor È m´ as simple de: È √ √ 4 4 31 + 8 15 − 31 − 8 15 È È √ √ 4 4 23 + 8 7 − 23 √ −8 7 √ a) √2 b) √ 6 e) 3 d) 3/3
c)
√
2/2
13. Indicar el producto de los radicales È √ simples que se obtiene al transformar: 5 6 − 12 √ a) −12 c) −6 b) √ 6 d) 12 e) − 6
È √ √ √ 14. Al transformar: A + B + C + D, donde A = 3x − 1, B = 4x2 − 4x − 24, C = 4x2 + 8x, D = 4x2 − 12x, con x ≥ 3, uno √ de los radicales √ simples es: √ b) √ x + 3 c) 3 − x a) √x d) x − 2 e) x + 1
15. Si seÉverifica lo siguiente: q È √ √ √ √ 2 3 + 5 − 13 + 48 = 4 a + 4 b È √ Descomponga a + 32b , en radicales simples a√> b √ √ a) 3 √2 + 1 b) √2 + 1 c) 2 + 2 e) 2 2 + 2 d) 2 2 + 1 16. Efectuar: È √ È √ √ 3 6 E =√3 2 · 3 + 1 · 16 − 2 48 √ 6 b) 2 a) √ c) 2 2 e) 1 d) 3 17. È Si n > 0, descomponer en radicales simples: √ 1 + 2 + 3 + . . . + 2n + 2n 2n
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado √ √ a) √ 2 + n √ c) 2n + √n √ e) n + n 2
√ b) 2 + n √ d) n + n
10 √ √ 25. Racionalizar: 3 3 2 − 12 + 18 √ √ 3 3 a) √ b) √ 5+2 9+1 d) 3 12 + 2 e) 3 12 + 1
18. Hallar√la ra´ız√cuadrada √ de: 16 +√ 80 √ + 112 + 140√ √ √ √ a) √2 + √6 + √10 b) √1 + √5 + √10 c) √4 + √5 + √7 d) 3 + 5 + 8 e) 5 + 8 + 6
c)
√ 3
9−1
26. Luego de racionalizar, indicar el denominador de la fracci´ on: 12 √ √ 9+333+ 39
È
19. Exprese enÈforma de radicales simples la √ √ √ expresi´on: 7 + 10 − 14 − 35 y se˜ nale el producto de los radicandos. a) 8, 75 b) 4, 25 c) 6, 05 d) 7, 25 e) 1, 25 20. q Teniendo presente que: È È √ √ 4 2 7+4 3 + 17 + 288 È √ √ √ A + B + rC + D BC Evaluar: S = . AD Donde: A < B < D < C a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1/2
189
=
21. Teniendo en cuenta que: s √ 2, 5 + 6 1 √ e y = . Indique el valor x= x 2, 5 − 6 num´erico de E = 5x2 + 7xy + 5y 2 a) 10 b) 497 c) 47 d) 97 e) 503 22. Al racionalizar y simplificar la fracci´ on: 24x4 y 3 È el denominador de la fracci´ on 5 120x2 y 7 resultante es: a) 1 b) xy c) 8 d) 2 e) 5 23. Hallar ab en la igualdad: È Èsiguiente √ √ √ 3 + 10 + −3 + 10 √ = a − b; √ È √ 2 3 + 10 a, b > 0 a) 5 b) 100 c) 25 d) 32 e) 2 24. El equivalente de: 5 9 √ √ √ √ √ +√ es: 3 3 3 3 3 3 49 + 14 + 4 49 − 14 + 4 √ √ √ √ √ 3 3 3 3 a) 2√ 7 b) 7 + 2 c) 7 − 3 2 e) 1 d) 3 7
a) 3 d) 12
b) 1 c) 9 e) 6 √ √ 2 15 − 28 √ √ √ . 27. Al racionalizar: 1+ 3+ 5+ 7 Se obtiene: √ √ √ a) √3 + √5 + √7 − 1 b) 3 + √ 5− √ 7+1 c) 4 + √7 − √3 √ d) √ 1+ √ 3+ √ 7− 5 e) 3 + 5 − 7 − 1 28. El denominador racionalizado que se obtie1 √ ne de: A = √ , es √ 3 x+ 3y− 3x+y a) xy(x − y) c) 3xy(x + y) e) 3(x + y)
b) xy(x + y) d) 3xy(x − y)
4N √ e indique su deno29. Racionalice: √ 5 15 − 5 7 minador racionalizado, siendo N irracional a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) 1 30. Dada le expresi´ on num´erica: √ 233 √ transforme y racionalice. L= √ 3+ 33 √ √ √ √ √ 6 5 6 6 6 a) √ 9+ √ 3 +√ 3− √ 27 −√3 4 − 1 6 3 b) √ 27 − √ 9 − √3 3 + √6 3 − √ 3 − 1 6 3 c) √27 + √ 9− √ 3 + 6√ 3 − 3√ 3+1 6 3 3 6 d) √ 243 − √ 9 + √ 3 − √ 3 + √ 3−1 e) 6 243 − 3 9 − 3 − 3 3 − 6 3 − 1 È
√ 26 − 15 3 È 31. Reducir: √ √ 50 − 38 + 5 3 √ √ a) √ 3 b) 3/3 e) 3 d) 2 3/3
√ c) 2 3
190
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on
1. Reducir la expresi´ on: √ √ √ √ 33 3 3 33 3 3 33 33 √ 2 33 √ 33 √ 4 11 33 81 9 √ √ 2 a) 11 3 b) 11 33 √ 33 d) 33 e) 33
c)
√ 3
9.4.
9. Hallar elÈvalor√de: È √ a + 4a − 4 + a − 4a − 4, si W = a > 2√ √ a) 2 a − 1 b) −2 a − 2 c) −2 √ d) 2 e) 2 a
33
2. Al extraer la ra´ız cuadrada del polinomio: P (x) = 3x2 −2x3 −6x+x4 +3, se obtiene un resto R(x). Entonces, el resto de la divisi´ on R(x) es: x+1 a) −2 b) 4 c) 9 d) 7 e) 6 3. Si al extraer la ra´ız cuadrada del polinomio: P (x) = 4x4 − 12x3 + 13x2 + ax + b se obtuvo de resto: R(x) = (b−a)x−3a. calcular: a+b a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 0 È √ simplificar:È E = 5 − 24 − √ √ √ 20 − 384 + 7 + 4 3 − 2, se obtiene: √ √ a) 2 b) √ 2 c) 3 d) 3 e) − 2
4. È Al
È
5. Simplificar: √ a) 3 + √6 d) 2 + 6
Walter Arriaga Delgado
È √ √ 4 20 6 + 49√− 441 + 180 √6 b) 3 − √ 6 c) 8 + 6 e) 2 − 6
6. È Al transformar √ el radical doble 3x − 1 + 8x2 + 4x − 24, a radicales simples,√uno de ellos es:√ √ a) √2x + 3 b) √ x + 2 c) x + 3 d) 3x + 2 e) 3x − 2 7. È Transformar a radicales simples: √ √ √ 16√+ 140 − 80 − 112√ √ √ √ √ a) √ 5 + √ 3 − √ 2 b) √2 + √7 − 5 c) √2 + √3 − 7 d) 5 − 7 + 2 e) 5 + 7 − 2 8. È Hallar el valor de “x”, È si: √ √ x + 2 + 2 2x = 11 + 3 8 + 2 a) 5 b) 15 c) 25 d) 10 e) 20
10. É Calcular “m”, si se cumple que: q È √ √ 6 + 2m 10 + 2 8 − 2 7 = 7 + 1 a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2 11. El √ valor√ de 2 2+ 3 √ √ + 3 √ 3+1 a) 3 √ d) − 2
la √siguiente 2− 3 √ es: 3− √1 b) √ 2 e) − 3
expresi´ on:
c) 1
12. Si se racionaliza el denominador de la exprex−5 √ , se obtiene si´ on: E = √ x − 4 − 3x − 14 una nueva expresi´ on cuyo valor para x = 5 es: a) −2 b) −1/2 c) 0 d) 2 e) −1 4 √ indicando el de9− 33+1 nominador final. a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5
13. Racionalizar: √ 3
14. El denominador de: nalizar es: a) 4 d) 7
1+
b) 6 e) 8
√
3 √ al racio2− 3 c) 5
15. Hallar uno Ède los radicales simples de la √ expresi´ on: a2 + 1 − 2 a3 − 2a2 + 3a − 2; a >√ 1 √ a) √ a2 − a + 1 b) √a2 + a − 2 c) √a − 2 d) a2 − a + 2 e) a + 1 √ √ √ √ 3+ 2 3− 2 √ ;y= √ √ . Entonces: 16. Si: x = √ 3− 2 3+ 2 E = 10x2 − 18xy + 10y 2 es igual a: a) 980 b) 962 c) 960 d) 972 e) 952
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 17. È Efectuar: È √ √ 4 √ 2 6+3 2− 6−3 2 2+ 2 a) 124 d) 140
b) 120 e) 144
c) 116
18. Indicar el denominador racionalizado: . .. 21 7 8 9 √ √ 7 9 8 9 − 9 9 + ··· + 1 a) 8 d) 11
b) 9 e) 15
c) 10
4 6 √ √ √ √ 19. Reducir: + 3 3 3 1 + 5 + √25 1 − 5 +√3 25 √ a) 2√3 5 b) 3 5√+ 1 c) 3 5 − 1 d) 3 5 e) 10 3 5 È √ 3− 5 È 20. Simplificar W = √ √ 2 + 7−3 5 √ √ √ b) 5 c) 25 a) 22 1 d) √5 e) 1 21. Despu´es de racionalizar: E= √ 3
10 −
√ 3
3−
√ 3
5 √ √ √ 6 + 3 20 + 3 5 − 3 12
dar como respuesta el denominador: a) 8 b) 2 c) 4 d) 6 e) 1
191
25. Simplificar para x > 2: s √ √ È x+2 x−1 2 x−1 È √ E= 1− √ 1+ x−1 x−2 x−1 √ a) 1 b) x c) x − 1 d) i e) x − 1 √ 26. Hallar la ra´ız cuadrada, si 2a > 3b > 0 de: È √ √ √ 2 − 4a 3b 3b√ + b2 +√ 2b 2a + 3b + 4a√ b) b√+ 2a√ a) 2a√+ b c) b + 3b d) 2a + 3b e) 1 27. Hallar B/A de la expresi´ on si x > 2 y A es expresi´ on entera. q È
(x − 2)(2x − 7) + 2 (x − 2)3 (x − 5) = √ A+ B a) x − 2 b) x − 3 c) 2x − 7 d) 2x − 6 e) x − 5 s
28. Reducir:
È √ a a
4 16
b) 2a e) 4
a) 1 d) 2 29. s Reducir: Ê 8+
8−
a) 1√ d) 29/2
√
dar como respuesta el denominador: a) 7 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
23. Hallar el resto de dividir el resto de extraer la raiz cuadrada de P (x) = x6 +4x5 +10x4 + 20x3 + 26x2 + 20x + 10 entre x + 2. a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7 24. Hallar mas de:√ simple √ la expresi´ √ √ on y−1 y+1 x x − √ − √ − √ √ y+1 x y−1 x x y−1 + y−1 x √ a) −2 b) x c) x √ d) y e) 1
30. Racionalizar nador: a) 0 d) 3
c) 2a+2 s
29 + 1 − 7− 2 b) 1/2 e) 2
22. Despu´es de racionalizar: 2 √ √ √ E= √ 4 4 512 − 384 + 4 288 − 4 216
√
a(b+1) . b ab−b2
2+
√
Ê
√
29 − 1 √2 c) 29
7−
6 √ . Dar el denomi2− 42
b) 1 e) 4
c) 2
1 È ,e √ 3 x x + y y + 3 x2 y 2 indicar el denominador racionalizado a) x2 + y 2 b) x2 − y 2 c) x + y d) x − y e) x2 + 2y 2
31. Racionalizar W =
√ 3
32. Al racionalizar y simplificar la expresi´ on: 3x − 6 √ 1 − 4x − 7 y luego al evaluar para x = 2, el valor que se obtiene es: a) 1/2 b) 1 c) 3/4 d) 1/4 e) −4/3
192
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on
1. Hallar la ra´ız cuadrada del polinomio: P (x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 11x + 23 y dar como respuesta la suma de coeficientes del resto. a) 14 b) 28 c) 2 d) −14 e) 12 2. Si la ra´ız cuadrada del polinomio: P (x) = 4x4 + ax3 y + 5x2 y 2 + bxy 3 + y 4 es exacta, calcular el valor de ab. a) 6 b) 1 c) 4 d) 16 e) 8 3. Extaer la ra´ız cuadrada del P (x) = 49x6 + 42x5 − 61x4 − dar como respuesta la suma de del resto. a) 31 b) 27 d) −21 e) −37
polinomio: 16x3 − 5 y coeficientes c) −27
Walter Arriaga Delgado
9.5.
q È √ 9. Efectuar: 10 − 49 − 2400 √ √ √ a) √3 + 2 b) √ 3 + √ 1 d) 3 + 1 e) 3 − 2
c)
√
2+1
È È √ √ 4 10. El valor de 17 + 6 8 + 27 − 10 2 es equivalente √ a: √ √ c) 4 a) 6 + 2 b) 2 + 3 d) 6 e) 8 È
11. Hallar x en: a) 2 d) 6
√ √ x+1−2 x √ È = 3− 2 √ 5+2 6 b) 4 c) 10 e) 8
12. È Hallar el valor de x en: È È √ √ √ 3+ 5− 3− 5= 4 x+1+2 x a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 1
4. Si la ra´ız cuadrada del polinomio: P (x) = 4x30 − 4x16 + 12x15 − 6x+ mx2 + 9 es exacta, el valor de m es: a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2
È √ √ √ 13. È Reducir: 18 + 252 + 72 + 56 √ √ √ 13 − 112 + 56 − 32 a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e) 4
5. Halla el valor de a para que el polinomio: P (x) = 4x2n −12xn+1 +anxn +9x2 −6nx+n2 tenga raiz cuadrada exacta. a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6
14. HallarÈel valor √ de: È √ 3 3 E = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 a) 4 b) 2 c) 9 d) 8 e) 10
È √ 6. È Al simplificar laÈexpresi´ on E = 5 − 24 − √ √ √ 20√− 384 + 7 + 4 3 − 2 se obtiene: √ b) 2 √ a) 2 c) 3 d) 3 e) − 2
√ 7. È Simplificar la expresi´ o n E = x, donde x = È È √ √ √ 16√+ 192 + 25 + 96 + 17 + √ √ √ √ 288 √ a) √ 6 + √ 3 + 2 b) √5 + √3 + 2 c) √5 + √2 + 1 d) 5 + 3 + 1 e) 3 + 2 + 1 8. Transformar È √ 4 17√+ 288 √ a) √3 + 2 d) 3 + 3
en
radicales
√ b) √ 3 + 1 e) 5 + 2
simples c)
√
2+1
−
15. El valor x3 + 3x + 9 para È√ de E = È √ 3 3 2+1− 2 − 1 es: x= a) 3 b) 5 c) 7 d) 11 e) 9 r
É
q È √ 7 + 4 5 + 2 9 + 2 7 − 2 6 se pue√ √ de expresar como a+ b, a > b, calcular el valor de a + b a) 3 b) 11 c) 7 d) 9 e) 5
16. Si
17. Si los t´erminos de la expresi´ onÈalgebraica √ √ 2 E(x) = 5 n 3x − 8 m ax + 3, 2 4 (b − 2)x son semejantes y adem´ as todos los radicandos existen en R; hallar nm2 + ab a) 15 b) 16 c) 30 d) 36 e) 31
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Ê
Ê
1 1 + n 5,4321 543,21 Ê 18. Reducir: Ê 1 1 n + n 54,321 5432,1 √ n a) 1 b) 54321 √ √ d) n 0,1 e) n 0,54321 n
19. Si: m + n = 2mn; reducir: √ n a) 2 d) −4
b) 1 e) 1/2
c)
√ n 10
4m − 4n √ 2m − m 2n c) −1/8
1 √ ; se˜ nale su denomina2− 55 dor racionalizado. a) 1019 b) −3 c) 999 d) 7 e) 27
20. Racionalice: √
21. Hallar el denominador racionalizado de: 2 √ √ √ √ 10 10 10 9 8 10 + 10 + 107 + . . . + 10 10 + 1 a) 1 d) 2
b) 9 e) 6
c) 3
22. Racionalice e indicar el denominador en: 2 √ √ √ √ 9 8 9 7 9 6 9 − 9 + 9 − ... − 9 9 + 1 a) 10 d) 3
b) 4 e) 5
c) 1
2 √ 2 3i 3i 23. Reducir: √ + √ 3i − 1 3i+ 1 a) −3/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) −4/3
√
18 X
!−1
1 √ √ 24. Simplificar: k+1+ k+2 k=1 √ √ √ √ 20 + 2 20 − 2 a) b) √ 18 √ √ 18 √ 19 − 3 19 + 3 d) c) 16 16 e) 1
25. En la siguiente igualdad: 1 3 4 È √ =È √ +È √ 11 − 2 n 7 − 2 10 8 + 2 12 hallar el valor de n a) 10 b) 20 d) 30 e) 50
c) 40
193
26. Indicar el denominador racionalizado de: √ 6 27 √ 3− 69 a) 2 b) 8 c) 6 d) 1 e) 4 27. Hallar el denominador racionalizado de: 8 √ √ √ √ 5 5 (1 + 2 + 4 + 5 8)2 − 5 8 a) 0 b) 8 c) 6 d) 1 e) 7 28. Hallar el denominador racionalizado de: 1 √ √ √ 3 3 3 3 + 36 + 2 3 2 a) 3 d) 6
b) 7 e) 4
c) 5
29. Racionalizar e indicar el denominador de: √ √ 6 a+ 6b √ √ √ √ 6 a− 6b 3a+ 3b con a, b ∈ R+ a) a2 − b2 d) a3 − b3
b) a + b e) a − b
c) a3 + b3
30. Al racionalizar y simplificar la expresi´ on: √ x− x−2 x−4
y luego al evaluar para x = 4, el valor que se obtiene es: a) 1/2 b) 1 c) 1/4 d) 3/4 e) 5/4
31. Al racionalizar y simplificar la expresi´ on: √ √ 3 x + 22 − 3 4x + 7 √ √ x + 11 − 6x − 14
y luego al evaluar para x = 5, el valor que se obtiene es: a) 8/27 b) 8/45 c) 8 d) 45/8 e) 3/5
32. Al racionalizar y simplificar la expresi´ on: √ √ x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3
y luego al evaluar para x = 3, el valor que se obtiene es: a) 5 b) 1/2 c) −1/2 d) 1 e) −1/3
194
´ Algebra
CAP 08:
Radicaci´ on
1. Reducir la expresi´ on: √ √ √ 10b 5c 2b E = a 20 aa − b 4 + c si son√radicales semejantes. √ 8 a) 4√ 4 b) 4√10 2 d) 20 2 e) 10 4
√ c) 2 10 2
2. Simplificar la expresi´ on: √ √ √ √ 4 4 4 W = b3 a13 b + a2 b8 − ab4 + a3 ab13 √ √ a) 4 ab√ b) √ 2a 4 ab ab d) ab c) a3 b3 4√ 3 3 4 ab e) 2a b
b) 3 e) 6
c) 4
b) 2 e) 5
c) 3
5. Simplificar la siguiente expresi´ on: qÈ
9−
È È √ √ √ 80 − 12 + 140 + 16 + 252
a) 3 d) 1
b) 2 e) −2
c) 0
6. Si el radical doble: q
ax + 2by +
È
8. HallarÈel equivalente de la expresi´ on: √ √ √ W =√ 24 √ + √180 − 72 − 360 a) √2( √5 + √2 + 3) b) √ 3(√ 5 − √ 2 − 1) c) √3( √5 − √2 + 1) d) √ 2(√ 5 − √ 2 + 1) e) 3( 3 + 2 − 1) È
9. È Calcular m+nÈen: 10 − √ √ 7 − 40 = m + 4n a) 47 b) 45 d) 49 e) 51
√
È
84+ 5 +
√ 24+
c) 42
(3n−2) veces
4. Efectuar: È√ √ È√ √ È √ √ 4 8 3− 2 3+ 2 3− 2 È√ √ 8 3+ 2 a) 1 d) 4
9.6.
10. Efectuar: 2 3 È√ È √ √ √ √ n 3n 3n 7 6 3n 3n 3 + 1 3 3 − 5 4| 2 {z 2 . . . 2}5
3. Calcular el valor de n en: 2 q È √ 3n 3 √ √ 2 344 4q È 5 = 3362 √ 4 3 4 3 2 a) 2 d) 5
Walter Arriaga Delgado
(6ab − 2c)xy
puede ser descompuesta en radicales simples, la relaci´ on correcta entre a, b y c es: a) c = 3ab b) c = −ab c) c = ab d) c = −2ab e) c = a + b 7. È Al descomponer en radicales simples √ √ √ 6 + 8√− 12 √ − 24, resulta: √ √ √ a) 1 − √ 2 + √ 3 b) √6 + √3 + 2 c) 1 − √2 − √3 d) 2 + 3 − 1 e) 1 + 2 − 3
a) 1 d) 2
b) 4 e) 5
c) 3
È √ 11. √ En la igualdad 5x − 2 − 2 6x2 − 7x − 3 = √ ax + b+ cx − a, el valor de: E = a+b+c a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 È
12. È Simplificar:
√ 2x − 1 + 2 x2 − x − 2 −
√ 2xÈ− 3 + 2 x2 − 3x + 2 √ √ b) x2 − x + 1 a) √ 2 + 2 x2 + 1 √ c) È2 + 2x d) 3x − 1 √ e) 2x − 2 x2 − 1
13. Hallar el denominador racionalizado de la 24x4 y 3 fracci´ on È 5 120x2 y 7 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 14. Simplificar siguiente on: √ la √ √ expresi´ (12 − 2 35)( 7 + 5) √ √ 7− 5 a) 2 b) 44 c) 12 d) 4 e) 144 15. Si el polinomio: P (x) = ax4 + bx3 + 6x2 − 4x + 1 es un cuadrado perfecto. Hallar ab a) 4 b) 3 c) −2 d) −4 e) 2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. Hallar la ra´ız cuadrada de: P (x) = x6 + 2x5 + 3x4 + 8x3 + 7x2 + 6x + 9 y dar como respuesta la suma de coeficientes de dicha ra´ız. a) 3 b) 6 c) 1 d) 2 e) 4 È
√ 7 2 a+2 b= √ +√ , donde a 8−1 3+1 y b son n´ umeros racionales calcular el valor de a + b a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 35
17. Si:
18. Simplificar la expresi´ on √ 2 r e − e − 2 + (e − 1) e2 − 4 e+2 √ W = 2 2 e−2 e + e − 2 + (e + 1) e − 4 sabiendo que: e = 2,718281 . . . a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 19. Al transformar a radicales simples: È √ √ √ (1 + n) + (2 + n) + · · · + (n + n) donde n ∈√N, se obtiene: √ a) √n2 + √n2 b) 22n + 12 c) n2 + √ e) 2
√ 2√ n 2
d)
√
2n 2
−
1 2
20. Efectuar: √ √ 6 6 È È √ √ +√ √ 2− 2− 3 2+ 2+ 3 √ √ √ a) 1 √ b) √ 3 √ c) 3 − 2 e) 3 + 2 d) 2 3 21. El residuo de extraer la ra´ız cuadrada de ax4 + (b + 1)x3 + 13x2 + 8x + 25 es 2x + 24, calcular: ab a) 40 b) 44 c) 30 d) 35 e) 42 22. Simplificar: √ √ 3 3 1+ 1− Ê 2 √ + Ê 2 √ 3 3 1+ 1+ 1+ 1− 2 2√ a) 1/3 b) √ (5 3)/3 √ c) (5√3 − 3)/3 d) 3 − 2 e) (5 3 − 6)/3
195
23. Transformar
a
radicales q
expresi´ on:
simples la √ 3+ 5+2 3 + È
W = √ 3− 5+2 3−1 √ √ b) 1√ a) √3 − 1 c) 3 e) 2 3 d) 3 + 1 √ 3 3 √ e indicar su deno24. Racionalizar: √ 3+ 69 minador. a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 q
È
25. Hallar la suma de los denominadores luego N1 √ ; de racionalizar las expresiones: √ 7 5+ 74 N N √ 2 20 √ ; √ 3√ 20 8− 3 3+ 32 a) 10 b) 17 c) 20 d) 37 e) 27 1 √ √ indicando 3 75 + 30 + 3 12 el denominador resultante. a) 3 b) 9 c) 2 d) 1 e) 11
26. Racionalizar: √ 3
27. Indicar È √el producto de los radicales simples de: 8 12 − 24 a) 8 b) 12 c) 6 d) −6 e) −12
q È È √ √ 4 28. Si se tiene 2 7 + 4 3 + 17 + 288 = r È √ √ √ BC A + B + C + D, evaluar: AD donde A < B < D < C a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 1/2 √ 5 x4 + 16 − 2 29. Evaluar la funci´ on F (x) = √ x+7−3 cuando x se aproxima a 2 a) 12/5 b) 12 c) 5 d) 5/12 e) 8
30. Hallar el valor que toma la expresi´ on: √ √ √ 4 x+ 3x+ x−3 E= x−1 cuando x se aproxima a 1 a) 1/2 b) 5/12 d) 13/12 e) 7/12
c) 3/2
196
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 10:
MATRICES Y DETERMINANTES Objetivos z Conocer y aplicar las principales t´ecnicas de c´ alculo matricial. z Operar con las matrices para aplicarlas en la soluci´ on de sistemas lineales. z Ordenar los datos adecuadamente en la formulaci´ on de un problema. z Manejar los determinantes como elemento de c´ alculo en la resoluci´ on de los sistemas lineales.
10.1.
Matrices
10.1.1.
Algo de historia
El primero que emple´ o el t´ermino “matriz” fue el matem´ atico ingl´es James Joseph Sylvester en el a˜ no 1850. Sin embargo, hace m´ as de dos mil a˜ nos los matem´ aticos chinos hab´ıan descubierto ya un m´etodo de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al m´etodo de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con n´ umeros. ´ Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matem´ aticas el Algebra de matrices. A este desarrollo contribuy´ o de forma decisiva el matem´ atico ingl´es Arthur Cayley. En 1858 public´ o unas “Memorias sobre la teor´ıa de matrices” en la que daba la definici´ on de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un n´ umero real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a trav´es de la de determinante y tambi´en como una forma conveniente de expresar transformaciones geom´etricas. 197
´ Algebra
198
10.1.2.
Walter Arriaga Delgado
Introducci´ on
Las matrices aparecen por primera vez hacia el a˜ no 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teor´ıa se debe al matem´ atico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notaci´ on matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas. Las matrices se utilizan en el c´ alculo num´erico, en la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adem´ as de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, inform´ atica, f´ısica, etc... La utilizaci´ on de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programaci´ on, ya que la mayor´ıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de c´ alculo, bases de datos,... Adem´ as de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, etc. Nuestra cultura est´ a llena de matrices de n´ umeros: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los d´ıas de la semana es otra, etc. Las tablas de sumar y multiplicar, la disposici´ on de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ı, las Hojas de C´ alculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y f´ ormulas para realizar c´ alculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices. Definici´ on 10.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Aqu´ı un ejemplo en sus distintas presentaciones: 2
3
62 4
0 −17 5 √ a 2 π
DZ
2
0 −1 √ a 2 π
2
a
0 √ 2
−1
π
Esta matriz posee dos filas y tres columnas. Es importante adquirir el h´ abito de enunciar siempre filas antes de columnas.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
199
Los elementos aij pueden ser n´ umeros reales, n´ umeros complejos o cualquier objeto no num´erico, como por ejemplo la posici´ on de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificadas en orden alfab´etico. Notaci´ on General: Se simboliza cada elemento con sub´ındices de la forma aij , donde i representa la fila donde se encuentra y j la columna. As´ı la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es: 2
3
a11
6 6 6 a21 6 6 . 6 . 6 . A=6 6 6 ai1 6 6 . 6 . 6 . 4
a12
...
a1j
...
a22 .. .
...
a2j .. .
...
ai2 .. .
...
aij .. .
...
am1 am2 . . . amj
a1n
7 7 a2n 7 7 .. 7 7 . 7 7 7 ain 7 7 .. 7 7 . 7 5
. . . amn
que abreviadamente se representa por: A = (aij )m×n , siendo
i = 1; 2; 3; . . . ; m ;
j = 1; 2; 3; . . . ; n
donde m, n ∈ N y podemos leer as´ı:
A es la matriz de m filas y n columnas. aij es un elemento de la matriz A. Si aij ∈ K(K = R ´ o K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicaci´ on de I × J en K.
con 1 ≤ i ≤ m ;
10.1.3.
I ×J
−→ K
(i, j)
−→ aij
1 ≤ j ≤ n donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento aij ∈ K.
Orden de una Matriz
El orden de una matriz es la multiplicaci´ on indicada del n´ umero de filas por el n´ umero de columnas de dicha matriz, as´ı si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m × n.
Ejemplo 10.1.1. La matriz
DZ
4 2 −5
tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es de
7 1 −3
orden 2 × 3.
El conjunto de matrices m × n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n . Es decir Km×n = {(aij )m×n /aij ∈ K} Si
K = R,
entonces
Si
K = C,
entonces
Rm×n = {(aij )m×n /aij ∈ R}
Cm×n = {(aij )m×n /aij ∈ C}
´ Algebra
200
10.1.4.
Walter Arriaga Delgado
Igualdad de Matrices
Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posici´ on son respectivamente iguales. As´ı, sean las matrices A = (aij )m×n ∧
B = (bij )m×n
A = B ↔ aij = bij , ∀i, j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n Ejemplo 10.1.2. Halle el valor de: (2x − y) + (2z − w). Si las matrices:
DZ
2x + y 2z + w
DZ
4
y
x − 2y z − 2w
5
−1 0
son iguales. Soluci´ on De la igualdad de matrices
DZ
2x + y 2z + w
=
x − 2y z − 2w
DZ
4
5
−1 0
Se tiene: 2x + y = 4 ∧ x − 2y = −1 entonces x = 7/5 ,
y = 6/5
As´ı mismo: 2z + w = 5 ∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 , w = 1 Luego el valor de : (2x − y) + (2z − w) es:
2
10.1.5.
7 6 − 5 5
+ (2(2) − 1) =
8 23 +3= 5 5
Matrices Especiales
a. Matriz Cuadrada: Una matriz A es cuadrada cuando el n´ umero de filas es igual al n´ umero de columnas. Am×n es cuadrada si y s´ olo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n × n o simplemente de orden n y se representa por An . 0 B a11 B Ba B 21 B B A = B a31 B B . B .. B
1
a12 a22 a32 .. .
a13 · · · a1n C C a23 · · · a2n C C C C
a33 · · · a3n C C .. .. C .. . . . C C
an1 an2 an3 · · · ann
A
(10.1)
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 2
3
62
Ejemplo 10.1.3. La matriz A = 4
201
−17
3
5
5 es cuadrada de orden 2.
Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij )n×n , la diagonal principal es el conjunto de elementos aij tales que i = j. As´ı en:
A=
2
3
−5
7
9
8
1 −4
0
la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 − 5). En la matriz cuadrada 10.1, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann )
Tipos de matrices cuadradas: Las matrices cuadradas pueden ser: a.1 Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser: a.1.1 Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros.
0
1
Ba11 B B 0 B B B T =B 0 B B . B .. B
a12 a13 · · · a1n C C a22 a23 · · · a2n C C
0
0 .. . 0
C C
a33 · · · a3n C C .. .. C .. . . . C C A
0
· · · ann
3 5 0 Ejemplo 10.1.4. La matriz
0 7 0
es triangular superior.
0 0 0 a.1.2 Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij )n×n es triangular inferior si aij = 0 ∀i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por encima de la diagonal
´ Algebra
202 principal son ceros.
Walter Arriaga Delgado
0
1
B a11
B Ba B 21 B B T = B a31 B B . B .. B
0
0
···
a22
0
···
a32 .. .
0 C C 0 C C
a33 · · · .. .. . .
0 .. .
C C C C C C C A
an1 an2 an2 · · · ann
16
0
1
16 0
3
2
Ejemplo 10.1.5. La matriz
0 es triangular inferior.
π
a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i 6= j. 0
1
Ba11
B B B B B D=B B B B B
0
0
···
0
a22
0
···
0 .. .
0 .. .
0
0
Ejemplo 10.1.6. Las matrices
a33 · · · .. .. . . 0
C C C C C C C A
0 .. .
· · · ann
DZ
3 0
0 C C 0 C C
π 0 0 ,
son diagonales.
0 e 0
0 4
0 0 α
a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz diagonal son iguales. 0
1
Bα 0
0 · · · 0C B C B0 α 0 · · · 0C B C B B
E = B0 B B. B .. B
0 En forma general: En es escalar si
8 > <
aij =
α,
> :0,
si i = j si i 6= j
0 α ··· .. .. . . . . . 0
C C 0C C .. C .C C A
0 ··· α
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
DZ
3 0 0
2 0
Ejemplo 10.1.7. Las matrices
203
,
son escalares
0 3 0
0 2
0 0 3
a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal de toda matriz escalar son iguales a 1. 0
1
B1 B B0 B B B I = B0 B B. B .. B
0 0 · · · 0C C 1 0 · · · 0C C C C
0 1 · · · 0C C .. .. . . .. C . .C . . C A
0 0 0 ··· 1 En forma general: In es identidad si
8 > <
aij =
1, si i = j
> :0,
si i 6= j
b. Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el n´ umero de filas es distinta al n´ umero de columnas. Esto es: la matriz A = (aij )m×n es rectangular si m 6= n. Ejemplo 10.1.8.
3 0
;
2 4 1 2
2 3 1 −1
1×4
3×2
c. Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos, es decir, una matriz A = (aij )m×n es nula si aij = 0 ∀i, j. Ejemplo 10.1.9.
0 0 0 0
10.1.6.
DZ
;
DZ
0 0 0 0 0 0
Operaciones con Matrices
As´ı como en cualquier conjunto num´erico, en el conjunto de matrices tambi´en se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones. a. Adici´ on y sustracci´ on de matrices
´ Algebra
204 Sean las matrices
A = (aij )m×n
∧
Walter Arriaga Delgado
B = (bij )m×n
La suma A + B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz C = (cij )m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: aij + bij . As´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n La resta A − B de las matrices A y B de orden m × n es una matriz D = (dij )m×n de orden m × n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij . As´ı: A − B = (aij )m×n − (bij )m×n = (aij − bij )m×n
Ejemplo 10.1.10. Sean:
2
A+B =
A−B =
4 DZ
2
4
3 −1
7 DZ
5
7
, entonces:
DZ
4+7
3 − 9 −1 + 16 2−5
=
7
−9 16 2+5
−9 16
DZ
5
=
−9 16
; B=
DZ
5
−
4
3 −1
+
3 −1
A=
DZ
DZ
2
⇒ (A + B) = DZ
4−7
3 − (−9) −1 − 16
DZ
7
11
−6 15
⇒ (A − B) =
DZ
−3
−3
12
−17
Definici´ on 10.1.2. La operaci´ on binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B, esto es: + : Mm×n × Mm×n −→ Mm×n (A, B)
−→ +(A, B) = A + B = C
Propiedades: i. La adici´ on es interna o cerrada en Mm×n es decir: (A + B) ∈ Mm×n ∀ A, B ∈ Mm×n , por definici´ on de la adici´ on de matrices. ii. La adici´ on en Mm×n es asociativa, es decir: (A+B)+C = A+(B +C), ∀ A; B; C ∈ Mm×n . Veamos: Sean A = (aij )m×n ;
B = (bij )m×n ;
C = (cij )m×n
⇒
(A + B) + C = ((aij )m×n + (bij )m×n + (cij )m×n )
⇒
(aij + bij + cij )m×n = (aij )m×n + (bij + cij )m×n = A + (B + C)
iii. Existe en Mm×n una u ´nica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; llamada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: ∀ A ∈ Mm×n , ∃ 0 ∈ Mm×n tal que A + 0 = 0 + A = A
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
205
iv. Toda matriz A ∈ Mm×n tiene un sim´ etrico aditivo dado por −A ∈ Mm×n ; esto es: ∀ A ∈ Mm×n , ∃ (−A) = (−aij )m×n tal que A + (−A) = (aij )m×n + (−aij )m×n = 0m×n Con estas propiedades queda garantizado que (Mm×n ; +) tiene estructura de grupo. Adem´ as: v. La adici´ on en Mm×n es conmutativa, es decir: A + B = B + A, ∀ A; B ∈ Mm×n , as´ı: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n ⇒ (aij + bij )m×n = (bij + aij )m×n ⇒ (bij )m×n + (aij )m×n = B + A Mediante esta quinta propiedad diremos que (Mm×n ; +) es un grupo abelino o conmutativo. b. Multiplicaci´ on de matrices b.1. Multiplicaci´ on de un escalar por una matriz Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar. As´ı: Sea A = (aij )m×n
Ejemplo 10.1.11.
Sea: A =
DZ
4 3 2 1
⇔
αA = (αaij )m×n . Donde “α” es un escalar
⇒ 5A =
DZ
5(4) 5(3) 5(2) 5(1)
⇒ 5A =
DZ
20 15 10
5
Definici´ on 10.1.3. La operaci´ on binaria que hace corresponder a cada par de elementos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A, esto es: · : K × Mm×n −→ Mm×n (α, A)
−→ ·(α, A) = αA
Propiedades: i. Propiedad distributiva: α(A + B) = αA + αB, ∀ A, B ∈ Mm×n ; ∀ α ∈ K ii. Propiedad distributiva: (α + β)A = αA + βA, ∀ A ∈ Mm×n ; ∀ α; β ∈ K iii. Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ)A, ∀ A ∈ Mm×n ; ∀ α; β ∈ K Por tanto: Si K = R entonces (Mm×n , +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros reales. Si K = C entonces (Mm×n , +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos. b.2. Multiplicaci´ on de una matriz fila por una matriz columna
´ Algebra
206
Walter Arriaga Delgado 0
1
B b1 C
Sean las matrices:
B C Bb C B 2C B C B C B = B b3 C B C B. C B .. C B C A
A = a1 a2 a3 · · · an
;
1×n
bn Definimos: AB = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn )1×1 . Es decir: AB =
n X
n×1
ak bk
k=1
7
Ejemplo 10.1.12. Sean: A = 1 3 5
;
B=
−2 4
entonces: AB = (1)(7) + (3)(−2) + (5)(4) = 21 b.3. Multiplicaci´ on de dos matrices Dados dos matrices A = (aij )m×n ; B = (bjk )n×p existe una tercera matriz C = (cik )m×p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz. Definici´ on 10.1.4. La operaci´ on binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es: · : Mm×n × Mn×p −→ Mm×p (A, B)
−→ ·(A, B) = AB
Nota: La multiplicaci´ on de una matriz A y la matriz B existe si y s´ olo si el n´ umero de columnas de la primera matriz es igual al n´ umero de filas de la segunda matriz. Es decir: AB = (cik )m×p / cik =
n X j=1
Ejemplo 10.1.13. Sean las matrices: A =
aij · bjk
DZ
4 3 2 5 1 9
5 4 1 ;
B=
7 9 3
2×3
2 1 2 La matriz C producto a de orden 2 × 3 de la siguiente forma.
DZ de A y B ser´ c11 c12 c13 C= . Hallando cada uno de los elementos: c21 c22 c23 c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45
3×3
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
207
c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45 c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17 c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50 c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38 c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26
entonces: C =
DZ
45 45 17 50 38 26
Nota: La multiplicaci´ on de matrices no necesariamente es conmutativa. b.4. Multiplicaci´ on de matrices por bloques Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de matrices m´as peque˜ nas, llamadas submatrices, y despu´es multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicaci´ on en bloques es muy similar a la multiplicaci´ on normal de matrices. Ejemplo 10.1.14. Considere el producto: 0
10
1
−1 2
B B B 2 B AB = B B B 1
−2
4
CB CB
1
1
4
B 5C CB 2
0
4
1
B 2 −3C C B−3
3
5
CB
C C
−1 0C C
A
0
3
0
C
2
1C C
1
2
A
El lector debe verificar que este producto est´e definido. Ahora se hace una partici´ on de estas matrices mediante l´ıneas punteadas. 0
10
B 1
B B B 2 B B B−− B B B 1 B
1
−1
|
2
4 CB 1
0
|
4
B 5 C CB 2
CB CB CB
4
|
−1
|
3 C C
0 C C C C
B−− −− | −−C = −− | −− −−C CB C CB C B −3 C 1 | 2 −3 C 2 | 1 CB C A
−2
3
|
5
0
A
0
1
|
C
|
D
−− | −− E
|
1 2
H
F
J
|
K
2
Existen otras maneras de formar la partici´ on. En este caso C =
K =
|
−− | −−
DZ
G
DZ
1 −1 2
,
0
, etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las matrices
´ Algebra
208
Walter Arriaga Delgado
est´an definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener
AB =
DZ
C D
G H
E
J
F
Ahora:
CG =
DJ =
DZ
2
2 −1
DZ
0
13
.
−10 21
DZ
DZ
2 −3
1
5
2
0
− − −−
| EH + F K
DZ
2
8
DZ
8
y
DZ
DZ
1
1
3
−2 3
0
De manera similar, EH =
=
|
−1 5
−12 13
DZ
−7
CG + DJ =
FK =
=
− − −−
=
−6
1
4
| CH + DK
EG + F J
−3 2
4 5
=
DZ
1
DZ
2 4
CG + DJ
K
1 −1 0
DZ
DZ
−4
y
EH + F K =
5
El lector debe verificar que CH + DK =
13
y
EG + F J =
AB =
− − −− EG + F J
| CH + DK |
− − −−
| EH + F K
DZ
−3
4
−11 −1
0
CG + DJ
,
−6
de manera que
=
.
20
DZ
3
DZ
−1 −1
DZ
1
B −7
B B−10 B B B = B −− B B B −3 B
−11
13
|
21
|
−− | 4
|
−1
|
0 C −7 B 20 C C B C B−10 C B =B −−C C B C B −3 −1 C C A −11
13 C
−1
1
13 21 4
13
C C 20 C C C −1C C A
−1 −1
´ Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente. Cuando se hace una prtici´ on de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos los productos de submatrices est´ an definidos, entonces se dice que la partici´ on es conformante.
Propiedades i. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C, donde A ∈ Mm×p , B ∈ Mp×q , C ∈ Mq×n . En efecto: A(BC) =
p X k=1
aik (BC)kj =
p X k=1
q X
aik (
l=1
bkl clj ) =
p X q X k=1 l=1
aik (bkl clj ) =
p X q X k=1 l=1
(aik bkl )clj
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
=
q X p X
(aik bkl )clj =
l=1 k=1
q X p X
(
209
q X
aik bkl )clj =
(AB)il clj = (AB)C
l=1 k=1
l=1
ii. Propiedad asociativa: A(B + C) = AB + AC, donde A ∈ Mm×p , B; C ∈ Mp×n . En efecto: A(B + C) =
p X
p X
aik (B + C)kj =
k=1
p X
p X
aik (bkj + ckj ) =
k=1
p X
(aik bkj + aik ckj ) =
k=1
aik bkj +
k=1
aik ckj = AB + AC
k=1
iii. Propiedad no conmutativa: AB 6= BA iv. AB = 0 no implica que A = 0 ´ oB=0 v. AB = AC no implica que B = C vi. Elemento neutro: ∀ A ∈ Mn×n , ∃ In ∈ Mn×n tal que IA = AI = A.
AB =
DZ
DZ
3 2
3 7
4 1
1 5
DZ
=
y
BA =
13 33
De donde observamos que: AB 6= BA.
Ejemplo 10.1.16. Sean las matrices: A =
3
DZ
DZ
3 7
3 2
1 5
4 1
DZ
AB =
3
DZ
5
DZ
6 10
5
10
=
−3 −6
; Veamos AB y BA.
1 5
;
DZ
37 13
=
23
5
7
DZ
5
B=
6 10 Veamos AB.
DZ
3 7
; B =
4 1
11 31
3 2
Ejemplo 10.1.15. Sean las matrices: A =
DZ
10
;
−3 −6
DZ
0 0 0 0
Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.
Ejemplo 10.1.17. Sean las matrices: A =
DZ
1 1
,
B=
0 0 Veamos AB y AC.
AB =
DZ
DZ
1 1
2 3
0 0
5 8
=
DZ
7 11 0
y
AC =
Se observa que AB = AC sin embargo B 6= C. Definici´ on 10.1.5.
,
C=
5 8
0
DZ
2 3
DZ
1 1
5 8
0 0
2 3
DZ
5 8 2 3
DZ
=
DZ
7 11 0
0
´ Algebra
210
Walter Arriaga Delgado
Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables. Si AB = −BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables. Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA + bI donde a y b son escalares entonces A y b son conmutables. c. Potenciaci´ on de matrices Sea A una matriz cuadrada y n ∈ N/n ≥ 2; entonces se define: An = A.A.A.A | {z · · · A } “n′′ veces
DZ
1 3
Ejemplo 10.1.18. Si A =
entonces
A2 =
2 4
DZ
DZ
1 3
1 3
2 4
2 4
DZ
7
=
15
10 22
Nota: La potenciaci´ on de matrices es conmutativa. De donde se tendr´ a. a. (k. A)n = kn . An b. Si A es una matriz cuadrada entonces Am An = An Am /m; n ∈ N c. Si A y B conmutan entonces Am y B n conmutan siendo m, n naturales. d. Si A es una matriz cuadrada (Am )n = Amn = (An )m ; m; n ∈ N.
10.1.7.
Traza de una matriz
Dada la matriz cuadrada, se llama traza a la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por traz as´ı: Sea A = (aij )n × n
Ejemplo 10.1.19. Sea
A=
⇒
Traz(A) =
n X
aij
i=1
5
9
0
0
7
4
⇒
Traz(A) = 5 + 7 − 2 = 10
9 −5 −2 Teorema 10.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar. Traz(A ± B) = Traz(A)± Traz(B) En efecto: Sean A = (aij )m×n Traz(A ± B) =
;
n X
n X
i=1
i=1
(aij ± bij ) =
B = (bij )m×n ⇒
(aij ) ±
n X i=1
A ± B = (aij ± bij )m×n
(bij ) = Traz(A) ± Traz(B)
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
211
Traz(λ · A) = λ Traz(A) En efecto: λ · A = (λaij )m×n ⇒ Traz(λA) =
n X
λaij = λ
i=1
i=1
Traz(AB) = Traz(BA) En efecto: Traz(AB) = Traz(AB) =
n X
i=1
10.1.8.
n X
n X
n X
aij = λ · TrazA
cij ,
donde
i=1
cij =
n X
aij bj i
entonces
j=1
aij bj i
⇒
j=1
n X
n X
j=1
i=1
!
bji aij
= Traz(BA)
Transpuesta de una matriz
Definici´ on 10.1.6. Sea A ∈ Mm×n , se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos A = (aij ) y At = (a′ij ) tenemos: a′ij = aji , 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n por lo que si A ∈ Mm×n ⇒ At ∈ Mn×m . Ejemplo 10.1.20. Dada la matriz
A=
DZ
1 2 3
1 4 entonces
4 7 2
At =
2 7 9 2
Teorema 10.1.2. (A ± B)t = At ± B t , (At )t = A,
A ∈ Mm×n .
(λA)t = λAt ;
A ∈ Mm×n ,
(AB)t = B t · At ,
10.1.9.
A, B ∈ Mm×n .
λ es un escalar
A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .
Matriz sim´ etrica
Una matriz cuadrada diremos que es sim´etrica si y s´ olo si es igual a su transpuesta. A es sim´etrica ⇐⇒ A = At
Ejemplo 10.1.21. Las matrices
DZ
5 7 7 4
−10 ;
1 2
1 2 √ 2 −3 −3
π
son matrices sim´etricas
´ Algebra
212
10.1.10.
Walter Arriaga Delgado
Matriz antisim´ etrica
Una matriz cuadrada ser´ a antisim´etrica si y s´ olo si es igual al negativo de su transpuesta. A es antisim´etrica ⇐⇒ A = −At
DZ
0
Ejemplo 10.1.22. Dada la matriz A =
5
se tiene que
−5 0
DZ
0 −5
At =
5
DZ
0
= (−1)
0
0
−5 0
= −A
entonces A es antisim´etrica. Observaci´ on 10.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisim´etrica son iguales a cero y los elementos sim´etricos respecto a la diagonal principal son opuestos o en forma equivalente: aij = −aji Teorema 10.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adici´ on de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica Demostraci´ on Observe las matrices A + At y A − At . Veamos que:
(A + At )t = At + (At )t = At + A = A + At
(A − At )t = At − (At )t = At − A = −(A − At ) y como:
A=
A − At A + At + 2 } 2 } | {z | {z sim´ etrica
A + At es sim´etrica
⇒
A − At es antisim´etrica
⇒
antisim´ etrica
podemos expresar la matriz A como una adici´ on de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica.
10.1.11.
Matriz involutiva
Una matriz cuadrada es involutiva si y s´ olo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir: A2 = 1.
Ejemplo 10.1.23. Dada la matriz
DZ
−1 −1
A=
0
A2 = A. A =
DZ
−1 −1 0
1
DZ
−1 −1 0
1
=
.
Veamos:
1 DZ
1 0 0 1
=I
entonces A2 = I
⇔ A es involutiva.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
10.1.12.
213
Matriz nilpotente
Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ´ındice k si Ak = 0; donde 0 es una matriz nula; adem´ as Ak−1 6= 0.
Ejemplo 10.1.24. Dada la matriz
A=
1
1
3
5
2
6
.
Veamos:
−2 −1 −3
A2 = A. A =
1
1
3
1
1
3
5
2
6
5
2
6
−2 −1 −3
A3
=
−2 −1 −3
= A. A =
1
3
0
0
0
5
2
6
3
3
9
−2 −1 −3
0
0
3
3
9
−1 −1 −3
1
0
0 0 0 =
−1 −1 −3
0 0 0 0 0 0
Entonces A es una matriz nilpotente de ´ındice de nilpotencia 3.
10.1.13.
Matriz idempotente
Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y s´ olo si A2 = A
Ejemplo 10.1.25. Veamos la matriz
A2 = A. A =
DZ
3
2
−3 −2
2
2
,
donde:
−3 −2
=
−3 −2
3
A=
DZ
3
DZ
DZ
3
2
,
obteni´endose que A2 = A
−3 −2
luego diremos que A es una matriz indepotente.
10.1.14.
Matriz conjugada
Sean a y b n´ umeros reales e i =
√
−1; la expresi´ on z = a + bi representa un n´ umero conplejo. Los
n´ umeros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por z = a + bi. Sean z1 = a + bi y z2 = z 1 = a − bi; entonces, z 2 = z 1 = a − bi = a + bi, es decir, el conjugado del conjugado de un n´ umero complejo z es el mismo. Si z1 = a + bi y z2 = c + di se tiene
´ Algebra
214 z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i y
Walter Arriaga Delgado
z1 + z2 = (a + c) − (b + d)i = (a − bi) + (c − di) = z1 + z2 , es
decir, el conjugado de la suma de dos n´ umeros complejos es igual a la suma de los conjugados. z1 · z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i y z1 · z2 = (ac − bd) − (ad + bc)i = (a − bi)(c − di) = z1 · z2 , esto es, el conjugado del producto de dos n´ umeros complejos es igual al producto de los conjugados. Sea A una matriz cuyos elementos son n´ umeros complejos; la matriz obtenida a partir de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se representa por A (conjugada de A).
2
Ejemplo 10.1.26. Si
3
61 + 2i
A=4
3
i 2 − 3i
2
7 5
3
61 − 2i
ser´ a
A=4
3
−i 7 5
2 + 3i
Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera; entonces se tiene que: Teorema 10.1.4. (A) = A. (kA) = k · A (A + B) = A + B. (AB) = A · B. t
(A)t = (A ). t
donde la transpuesta de A se denota por A (y se lee transpuesta de la conjugada de A). Algunas veces se emplea la notaci´ on A∗ .
10.1.15.
Matriz hermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o herm´ıtica si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir: Sea A = (aij )n×n es hermitiana si A = (aij )tn×n . De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales. Ejemplo 10.1.27. Sea la matriz:
(A)t =
DZ
5
4+i
4−1
1
,
A=
DZ
5
4+i
4−i
1
como: (A)t = A ⇒
⇔
A=
DZ
5
4−i
4+i
1
A es una matriz hermitiana.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
215
Propiedades Sea A = B +iC, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es sim´etrica y C antisim´etrica. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
10.1.16.
Matriz antihermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir: Si A = (aij )n×n ∧
(A)t = −((aij ))tn×n ⇒
A es antihermitiana.
De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo 10.1.28. Sea
⇒
(A)t =
0
4 + 5i
−4 + 5i
0
A=
DZ
0
DZ
⇒
DZ
0
= (−1) 4 − 5i 0 −4 + 5i luego se dir´ a que la matriz A es antihermitiana.
4 + 5i 0
0
4 − 5i
−4 − 5i
0
A=
−4 − 5i
DZ
= −A
Teorema 10.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos. A + (A)t es hermitiana. A − (A)t es antihermitiana. Teorema 10.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la adici´ on de una matriz hermitiana y otra antihermitiana.
10.1.17.
Matriz ortogonal
Sea la matriz cuadrada An = [aij ]. A es ortogonal s´ı y s´ olo si A−1 = At , A es no singular Propiedades A es ortogonal ⇔ AAt = In . Si A y B son ortogonales ⇒ AB es ortogonal. Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos del espacio
´ Algebra
216
Walter Arriaga Delgado
vectorial en cuesti´ on. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computaci´ on gr´ afica. Por sus propiedades tambi´en son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en f´ısica se las usa en la formulaci´ on de ciertas teor´ıas de campos.
10.1.18.
Matriz positiva
Sea A ∈ Rn×n , A es positiva s´ı, y s´ olo si XAt X > 0 ∀ X ∈ Rn ,
10.2.
Determinantes
10.2.1.
Algo de historia
X 6= 0.
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve cap´ıtulos del arte matem´ atico.) fueron los primeros en utilizar las tablas de n´ umeros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminaci´ on gaussiana. Primeros c´ alculos de determinantes En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resoluci´ on de sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas. Esta primera f´ ormula lleva el nombre de regula de modo. El japon´es Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma ´epoca que el alem´ an LeibnizLa aparici´ on de determinantes de ´ ordenes superiores tard´ o a´ un m´ as de cien a˜ nos en llegar. Curiosamente el japon´es Kowa Seki y el alem´ an Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente. Leibniz estudi´ o los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notaci´ on matricial, representaba los coeficientes de las inc´ ognitas con una pareja de ´ındices: as´ı pues escrib´ıa ij para representar ai,j . En 1678 se interes´ o por un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la f´ ormula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo a˜ no, escribi´ o un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no public´ o este trabajo, que pareci´ o quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta a˜ nos m´ as tarde En el mismo periodo, Kowa Seki public´ o un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan f´ ormulas generales dif´ıciles de interpretar. Parece que se dan f´ ormulas correctas para determinantes de tama˜ no 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tama˜ no superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Jap´ on al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsi´ on de los Jesuitas en 1638. Determinantes de cualquier dimensi´ on Gabriel Cramer obtuvo las primeras f´ ormulas generales de c´ alculo de los determinantes. En 1748, un p´ ostumo tratado de ´ algebra de MacLaurin recupera la teor´ıa de los determinantes al contener la escritura correcta de la soluci´ on de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ ognitas.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
217
En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resoluci´ on de un sistema de n ecuaciones con n inc´ ognitas, aunque no ofrece demostraci´ on alguna. Los m´etodos de c´ alculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noci´ on de signatura de una permutaci´ on. Los matem´ aticos se familiarizan con este nuevo objeto a trav´es de los art´ıculos de B´ezout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el a˜ no siguiente, Lagrange descubre la relaci´ on entre el c´ alculo de los determinantes y el de los vol´ umenes. Gauss utiliza por primera vez el t´ermino ✭✭ d´eterminante ✮✮, en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy d´ıa denominamos discriminante de una cu´ adrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto. Aparici´ on de la noci´ on moderna de determinante Cauchy fue el primero en emplear el t´ermino determinante con su significado moderno. Se encarg´ o de realizar una s´ıntesis de los conocimientos anteriores y public´ o en 1812 la f´ ormula del determinante de un producto. Ese mismo a˜ no Binet ofreci´ o una demostraci´ on para dicha f´ ormula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducci´ on de endomorfismos. Con la publicaci´ on de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noci´ on una gran notoriedad. Por primera vez presenta m´etodos sistem´ aticos de c´ alculo bajo una forma algor´ıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluaci´ on del determinante de funciones con instauraci´ on del jacobiano. El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es adem´ as el inventor de la notaci´ on del determinante mediante dos barras verticales y es quien estableci´ o la f´ ormula de c´ alculo de la inversa. La teor´ıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades de simetr´ıa particular y por la introducci´ on del determinante en los nuevos campos de las matem´ aticas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales. Definici´ on 10.2.1. El determinante es una funci´ on que, aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar. Notaci´ on: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A| o det(A).
Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definici´ on queda de la siguiente manera. | | : Mn×n −→ R ´ o C A
−→ |A|
Determinante de una matriz de orden uno Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11 , al propio elemento a11 . Ejemplo 10.2.1. Sea: A = (3)
⇒
|A| = 3
´ Algebra
218
Walter Arriaga Delgado
Determinante de una matriz de orden dos
Sea la matriz
A=
a11 a12
se define el determinante de A como:
a21 a22
3 2
Ejemplo 10.2.2. Sea: A =
1 4
|A| = a11 · a22 − a21 · a12 ⇒
|A| = 3(4) − 2(1) = 10
Determinante de una matriz de orden tres
a11 a12 a13 Sea: A =
a21 a22 a23
a31 a32 a33 se define el determinante de A como: |A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 ) − (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11 )
1 Ejemplo 10.2.3. Sea: A =
2 3 ⇒
−1 0 4 −2 1 5
10.2.2.
|A| = (0 − 16 − 3) − (0 − 10 + 4) = −13
C´ alculo de Determinantes
a. Regla de Sarrus Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican multiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.
a11 a12 a13 Sea: A =
a21 a22 a23 a31 a32 a33
⇒
a 11 a 21 |A| = a13 a22 a31 a31 a23 a32 a11 a11 a33 a12 a21 a21
a12 a13 a22 a23
a32 a33 a11 a22 a33 a12 a13 a21 a32 a13
a22 a23 a31 a12 a23
|A| = (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 ) − (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 )
1 Ejemplo 10.2.4. Halle el determinante de: A = |A| = (0 − 16 − 3) − (0 + 4 − 10) = −13
2 3
−1 0 4 −2 1 5
´ Algebra
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219
b. Regla de la Estrella Se multiplican los elementos siguientes en el esquema.
a11 a12 a13 Sea: A =
a21 a22 a23 a31 a32 a33
⇒
|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 )
1 Ejemplo 10.2.5. Halle el determinante de: A = |A| = (0 − 16 − 3) − (0 − 10 + 4) = −13
10.2.3.
2 3
−1 0 4 −2 1 5
Propiedades Generales
1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: |A| = |At |. 2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: |AB| = |A||B|. 3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales; se dice entonces que su determinante es cero. 4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es nulo. 5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante s´ olo cambia de signo. 6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante. 7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un n´ umero k, todo el determinante queda multiplicado por dicho n´ umero. 8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal. 9. El determinante de una matriz antisim´etrica de orden impar es igual a cero. 10. El determinante de una matriz hermitiana es un n´ umero real. 11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 ´ o −1. En efecto, de las propiedades del
determinante tenemos det(A · At ) = det A det At = det A det A = (det A)2 = det I = 1, y por
tanto, det A = ±1.
´ Algebra
220
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12. Si A es una matriz nilpotente entonces |A| = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente de orden k, Ak = 0. Por tanto |Ak | = 0, luego |A|k = 0, y en consecuencia |A| = 0.
13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = kn |A|; k es una escalar. 14. El determinante de una matriz cuadrada no var´ıa si a una fila o una columna se le suma una combinaci´ on lineal de filas o columnas paralelas. 15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinaci´ on lineal de otras paralelas, su determinante es nulo. 16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos, podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma: a 11 .. . ai1 + a′i1 .. . an1
a12 .. .
a 11 .. . ain + a′in = ai1 . .. .. . ann an1
···
a1n .. .
ai2 + a′i2 · · · .. . an2
···
a 11 .. . ′ ain + ai1 .. .. . . ann an1
a12 .. .
· · · a1n .. .
ai2 .. .
···
an2 · · ·
a12 · · · a1n .. .. . . a′i2 .. .
···
a′in .. .
an2 · · · ann
Observaci´ on 10.2.1. No confundir con det(A + B) = det(A) + det(B), que esto no se cumple. Observaci´ on 10.2.2. Teniendo en cuenta la definici´ on del determinante, se pueden considerar dos matrices cuadradas especiales m´ as: a. Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir: det A = 0 ⇐⇒ A es singular a. Matriz Regular. Una matriz es regular llamada tambi´en no singular si su determinante es diferente de cero; es decir: det A 6= 0 ⇐⇒ A es no singular Ejemplo 10.2.6.
Dada la matriz: A =
3 4
⇒
6 8
|A| = 24 − 24 = 0 ∴ A es singular
Dada la matriz: B =
4 3 1 5
⇒
|B| = 20 − 3 = 17
∴ B es no singular
´ Algebra
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10.2.4.
221
Menores y Cofactores
Consid´erese la matriz cuadrada de orden n. 2
a11
6 6a 6 21 6 6 6 A=6 6 6 ai1 6 6 6 4
a12 · · · a1j a22 · · · a2j .. . ai2
···
aij .. .
an1 an2 · · · anj
· · · a1n
3 7
· · · a2n 7 7 ···
7 7 7 7 7 ain 7 7 7 7 5
· · · ann
Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A luego:
I. Al determinante de la matriz Mij (|Mij |) llemar´ a menor del elemento aij de la matriz A. II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij . Aij = (−1)i+j |Mij | Ejemplo 10.2.7.
3 Sea la matriz A =
−1 5
el menor de el menor de el menor de el menor de
1
4
2 −3 √ 2 −2
√ 2 −3 = −4 + 3 2 3 es: √ 2 −2 1 4 = −3 − 8 = −11 5 es: 2 −3 3 4 = −6 − 20 = −26 2 es: 5 −2 √ 3 4 = −9 + 4 = −5 2 es: −1 3
Nota:
1. La diferencia entre el menor |Mij | y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el signo. As´ı:
Aij =
Aij
|{z} cofactor 8 <|Mij |
:
= (−1)i+j |Mij |, | {z }
de donde:
menor
si i + j es par
−|Mij | si i + j es impar
´ Algebra
222
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2. El signo que relaciona a Aij y |Mij | del elemento aij de la matriz A se puede hallar en forma pr´ actica mediante el siguiente arreglo:
2
+ − + ···
6 6 6− 6 6 6+ 4
3 7
+ − · · ·7 7 7
− + · · ·7 7 5 .. .. . .
.. .
As´ı el signo de a35 es positivo puesto que (3 + 5) es par. El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar.
10.2.5.
C´ alculo de Determinantes por Cofactores
Teorema de Laplace: El determinante de una matriz A = (aij )m×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores: |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . . + ain Ain =
n X
aij Aij
j=1
|A| = a1j A1j + a2j A2j + . . . + anj Anj =
n X
aij Aij
i=1
Ejemplo 10.2.8. Calcular el determinate de:
A=
3
5
7
−2
0
4
1
−3 2
Soluci´ on: Elegimos la fila 2, 5 |A| = −(−2) −3
entonces: 3 7 + 0 1 2
3 7 − 4 1 2
5 −3
⇒
|A| = 2(10 + 21) + 0 − 4(−9 − 5)
∴ |A| = 118 Nota: Lo m´ as recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.
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10.3.
Matriz Inversa
10.3.1.
Matriz de cofactores
10.3.2.
Adjunta de una matriz
10.3.3.
M´ etodo de Gauss Jordan
´ Algebra
223
Teorema 10.3.1. Sean A y B matrices cuadradas no singulares: (AB)−1 = B −1 · A−1 (A−1 )−1 = A (λA)−1 = λ−1 · A−1 ; λ es escalar. |AdjA| = |A|n−1 ; donde n es el orden de la matriz A. La inversa de una matriz hermitiana es tambi´en hermitiana.
10.4.
Rango de una Matriz
10.5.
Otras matrices importantes
Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y ´estas pueden ser nulas o no. Toda matriz diagonal es tambi´en una matriz sim´etrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal. Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad. Operaciones matriciales Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aqu´ı la notaci´ on de diag(a1 , . . . , an ) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1 , . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene: diag(a1 , . . . , an ) + diag(b1 , . . . , bn ) = diag(a1 + b1 , . . . , an + bn ) y para el producto de matrices, diag(a1 , . . . , an ) · diag(b1 , . . . , bn ) = diag(a1 b1 , . . . , an bn )
´ Algebra
224
Walter Arriaga Delgado
La matriz diagonal diag(a1 , . . . , an ) es invertible si y s´ olo si las entradas a1 , . . . , an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene −1 diag(a1 , . . . , an )−1 = diag(a−1 1 , . . . , an )
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n × n.
Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la fila i-´esima de
A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1 , . . . , an ) equivale a multiplicar la columna i-´esima de A por ai para todo i. Usos Las matrices diagonales tienen lugar en muchas ´ areas del ´ algebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el c´ alculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformaci´ on lineal como una matriz diagonal. De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y s´ olo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables. En el cuerpo de los n´ umeros reales o complejos existen m´ as propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.
Matriz banda Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y m´ as diagonales en cada uno de sus costados. Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j )n×n es una matriz banda si todos sus elementos son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k2 : ai,j = 0 si j < i − k1
o
j > i + k2 ;
k1 , k2 ≥ 0
Los valores k1 y k2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda de una matriz es k1 + k2 + 1, y se puede definir como el n´ umero menor de diagonales adyacentes con valores no nulos. Una matriz banda con k1 = k2 = 0 es una matriz diagonal. Una matriz banda con k1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 se tiene una matriz pentadiagonal y as´ı sucesivamente. Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del n´ umero p, se le puede llamar matriz p-banda, formalmente se puede definir como ai,j = 0 si |i − j| > p
;
p≥0
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´ Algebra
225
De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n − 1, se obtiene la definici´ on de una matriz triangular
inferior. De forma similar, para k1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definici´ on de una matriz triangular superior.
´ Algebra
226
CAP 09:
Walter Arriaga Delgado
Matrices y determinantes
1. Dada la matriz A = (aij )2×3 donde ¨
aij =
10.1.
7. Dadas las matrices A
i + j , si i ≥ j i − j , si i < j
2 x+3 . Si A = B T . Calcular 4 1 la suma de los elementos de la matriz A. a) 9 b) 6 c) 11 d) 12 e) 10 B =
Hallar la suma de los elementos de A a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7 2. Dada la matriz M = (mij )3×3 , donde
2
8 >
, si i > j 2 mij = + j , si i = j > : 2 2i − j , si i < j i2
Hallar la suma de los elementos de la segunda columna de M a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 14 3. Siendo A, B, matrices cuadradas del mismo orden se˜ nalar los valores de verdad de: AB = BA A+B = B+A (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 A(A − B) = A2 − AB a) VVVV d) FVVF
b) FVVV e) FFFF
c) FVFV
4. La proposici´ on falsa es: a) Toda matriz escalar es identidad b) Toda matriz escalar es diagonal c) Toda matriz escalar es triangular d) Toda matriz identidad es escalar e) Toda matriz diagonal es triangular
5. Dadas las matrices A =
1 3 ; 2 0
5 a B= . Calcule ab, si AB = BA. −2 b a) 6 b) −6 c) 9 d) −18 e) −3 2
=
2 y−2 ; 3 x+1
3
5 a+b 3 6 7 6. Si la matriz W = 4 7 −2 c − 15 es a−b 2 10 sim´etrica, hallar a + b + c a) 9 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8
3
5 8 4 6 7 8. Dada la matriz A = 43 2 55, hallar la 7 6 0 traza de la matriz B, que sumada con la matriz A origine la matriz identidad. a) −1 b) 4 c) −4 d) 1 e) −5
x − 2y x , 3 x−y 2 y+4 2/3 −2 B= y C= . 3 4 −1 0 Si A = B; hallar la traza de (A + 3C) a) 8 b) 4 c) 3 d) 5 e) 2
9. Sean las matrices: A =
10. Si A es una matriz de orden (m − 1) × n y B es una matriz de orden p × 5. Hallar “m” para que exista la matriz B × A a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) 7 11. Siendo2 A2 = B , donde 3 : 1 −3 −4 6 7 A = 4−1 3 4 5, calcular la suma de 1 3 −4 los elementos de la matriz B. a) 19 b) 12 c) 7 d) 10 e) 15 2
32
2
3
2 −2 −4 x ∗ ∗ 6 7 6 7 12. Si 4−1 3 4 5 = 4 ∗ y ∗ 5. 1 −2 −3 ∗ ∗ −z Calcular: x + y + z a) 7 b) −9 c) 9 d) −8 e) 8
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 13. Si A es unamatriz que cumple: 4 −3 (A + I)2 = 3 2 −1 0 2 (A − I) = 0 −1 La traza de la matriz A es: a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6
14. Sea f (x) =
x2
+x+2
y
Hallar la traza de f (A). a) 28 b) 29 d) 22 e) 18
A =
20. Reducir:
0 2 . 1 4
c) 26
Su traza es cero i>j
det A 6= 0 a) VVV d) VVF 1 16. Calcular 2 3
a) 2 d) 5
⇒
aij = 0
b) FVF e) FFV
c) VFV
4 7 5 8 6 9 b) 0 e) 6
c) 1
17. Hallar |M |, donde M es matriz de orden 3, tal que mij = 2i − j a) 2 b) −2 c) 4 d) −4 e) 0 x 2 18. Si se cumple = 4. 2 −2 x −2 Hallar y en =8 x y
a) 0 d) 1
19. Resolver: a) ±10 √ d) 5
b) 2 e) 6 x2 4 −2
2 3x x
c) −4
4 6x = x2 − 100 2x
√ b) 10 e) 25
c) 5
1 1 1
1 1 1+x 1 1 1 + y b) y e) x − y
a) x d) xy
15. Sea la matriz A = (aij )n×n , definida por aij = |i − j| + j − i, establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Si
227
c) x + y
21. Calcular: Ì Ì a + b 2b a − b −2b E= + 2a 2a a + b a − b a) a d) a − b
b) 2a e) b
1 5 5
c) a + b
3 x −8 15 = x2 − 28 22. Resolver: 15 5x √ √ √ a) √ b) √7 c) 3 7 8 d) 4 7 e) 2 7 √ Pm 2 m 2 √ , hallar “k” si: 23. Si = n 3 n 3 P1 P2 P3 P1 P4 2+ 3+ 4 +2 0 =k 1 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 m + 3a 24. Hallar: m + 5a m + 7a
a) 0 d) m + n + p x − 1 25. Resolver: x x
a) 5 d) 4 1 1 26. Calcular: 1 1
a) 0 d) 1 0 6 27. Calcular 9 0
a) 420 d) 540
p + 7b q + 11b p + 9b q + 13b p + 11b q + 15b b) a + b c) mnp e) ab
x x x+2 x =0 x x + 3 b) 6 c) 3 e) 2
1 1 1 a+1 1 1 1 b+1 1 1 1 c + 1 a+b+c b) abc c) abc e) a + b + c 1 0 7 1
4 3 2 0 2 5 0 3 b) 120 e) 285
c) 384
´ Algebra
228
CAP 09:
Walter Arriaga Delgado
Matrices y determinantes 2
3
A+3
A−R−I G−4 7 5 I − 55 G−I +1 G+R−1 R+8 es escalar, determine el valor de: W = A + R2 + R3 + I + A2 + G + A3 . a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1
6 1. Si la matriz 4 2A − G
1 1 , hallar: 2. Dada la matriz A = 0 1 traz(A + A2 + A3 + · · · + An ). a) n b) n2 c) 0 n d) 2 e) 2n
1 2 3. Siendo la matriz W = , determine −1 0 la suma de los elementos de la matriz W 3 . a) 8 b) 4 c) −6 d) −7 e) −2
2 1 4. Sea la matriz A = , determine el pro0 3 ducto de la diagonal principal de la matriz B = A10 . a) 610 b) 25 c) 35 10 10 d) 2 e) 3 5. Hallar p + q + r + m + n, si se sabe que: W21×5 Ap×10 Lq×20 Tr×4 = Em×7 R7×n a) 56 d) 60
b) 50 e) 20
c) 40
2
2
4 11. Calcular: 12 36
a) 284 d) 394
0 2 8. Sea f (x) = + x + 2 y sea A = . 1 4 Hallar la traza de (f (A)) a) 15 b) 34 c) 28 d) 14 e) 9
3 2 15 14 75 98 b) 384 e) 404
c) 364
12. Si “m”, “n” y “p” son las ra´ıces de la ecuaci´ on x3 + 4x + 3 = 0. Calcular: m n p n p m p m n a) 4 b) 1 c) −1 d) 7 e) 0
a) 35 d) 45
3
3
2 1 b 6 7 10. Sea la matriz 4 c 3 25 cuya traza es 7 y el 1 1 a producto de su diagonal secundaria es −3, adem´ as su determinante es 10. Calcular: a b c c c a b a a a) 4 b) −2 c) −4 d) 3 e) 2
13. Si A =
1 −1 1 6 7 7. Si A = 4−1 0 05; entonces la traza de 0 −1 1 la matriz 2−98 .A100 es: a) 2 b) 0 c) 3 d) 1 e) 4 x2
19 9. Dado el polinomio P (x) = x + 2x − 1 y la 1 1 matriz A = . Hallar la traza de P (A) 0 1 a) 4 b) 1 c) −2 d) 0 e) −1
6. Si A = (aij )2×2 /iaij + jaji = i2 + j 2 Calcule a11 a12 + a21 a22 a) 1 b) 5 c) 2 d) 0 e) 10
10.2.
DZ
3 −1 −2 −2 2 −3 4 −1 −2 b) 42 e) 54
. Hallar |A · AT | c) 49
14. Hallar elemento de la inversa de el menor 4 2 A= 5 3 a) −5/2 b) −1 c) −2/5 d) 3/2 e) 2 2
3
1 7 −2 6 7 15. Dada la matriz A = 40 2 4 5, hallar: 0 0 3 −1 traz(A + A ) a) 57/6 b) 55/4 c) 33/6 d) 47/6 e) 10
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. Hallar el producto de los elementos de la diagonal de la matriz X, donde: principal 2 5 4 −6 .X= 1 3 2 1 a) 0 b) 16 c) −16 d) 8 e) −8 2
3
1 a+b 0 6 7 5 a5 sim´etrica. 17. Sea la matriz: A = 42 b x 3 −1 Hallar la traza de A a) −11 b) −2 c) −1 d) −16 e) −15
1 2 18. Dada la matriz A = , ella se pue3 4 de expresar como la suma de una matriz sim´etrica B y otra antisim´etrica C; luego el determinante de la matriz C es: a) 5/12 b) 1/8 c) 1/4 d) 1/16 e) 5/18 19. Sea la expresi´ on algebraica racional = F (x) x+2 1 −1 ; x 6= 2 y la matriz A = , −1 2 x−2 calcule el determinante de la matriz F (A). a) −11 b) −2 c) −1 d) −15 e) −16 20. Sean las matrices: A = (aik )23×2 : aik = i + k B = (bkj )2×41 : bkj = 2k + 3j Si C = AB de elementos de cij . Halle el elemento c34 a) 134 b) 121 c) 114 d) 136 e) 125
21. Si: A = An . a) 1 d) an
a 1 . Hallar el determinante de 0 a b) a2n e) 2an+1
c) 2an
22. Resolver la ecuaci´ on: 3 2 2 1 3X−2 −X =5 −X . 1 4 −1 3 Determine la traza de la matriz “X”. a) 1,6 b) 0,9 c) 0,6 d) 2,3 e) 3,9 √ √ √ √ 23. Dada la matriz A = 2 33 55 77 . Calcular |AT · A|.
229 a) 210 d) 35
b) 6 e) 21
c) 0
24. Considere las siguientes matrices: A = (ai,j )4×4 / |A| = −2 B = (bi,j )5×5 / |B| = −1 |3AT | | − B| Calcular: W = . |2A−1 | | − 2B| a) −5176 d) 5120
b) −5184 e) 5187
c) 5184
25. Luego de resolver o n: la ecuaci´ x 1 0 0 1 x x 1 = x x 3 , indique la su 3 2 2 x −1 x x −1 x2 ma de los cuadrados de las soluciones. a) 1 b) 5 c) 7 d) 6 e) 3 26. Hallar la traza de la matriz A, si se cumple −1 3 2 que: 2A = |A| . 5 4 a) 15 b) 14 c) −14 d) 20 e) −20 27. Hallar el determinante de A, si se cumple 3 1 . que: A = |A| 5 −2 a) −1/5 b) 11 c) 1/11 d) 1/5 e) −1/11 28. Calcular 1 k=1 1 20 1 X
a) 325 d) 3320
1 1 2 3 . 2 4 k b) 2940 e) 3248
c) 2730
1/2 29. Calcular el determinante: −1/2 2/3
a) −1/3 d) 1/2
b) 1/3 e) 1
1/2 1 1/2 0 . 1/3 1/3 c) −1/2
0 −1 30. Sea la matriz: A = ; adem´ as el po1 1 linomio: F (x) = x40 − 2x15 + 1, calcular la suma de los elementos de la matriz F (A). a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 4
´ Algebra
230
CAP 09:
Walter Arriaga Delgado
Matrices y determinantes
1. Sea la matriz cuadrada A = [aij ] de orden 3, tal que: (
ij + 1 ; si i ≥ j ij − 2 ; si i < j Calcular la suma de todos los elementos de la matriz “A” a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39 aij =
2. Siendo B = [bij ] una matriz cuadrada de orden 3, tal que: (
ij ; si 1 ≤ i + j ≤ 4 ij − 4 ; si 5 ≤ i + j ≤ 6 Calcular la traza de la matriz “B” a) 13 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10 bij =
3. Si “T ” es la matriz triangular inferior: 2 3 a+b a+6 b+9 6 7 2a a + b + 155 T =4a−b 2a − b 4b 7a Calcular: “a − b” a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 9 4. Calcular “r + s + t”. Si la3 matriz 2 r − 4 a/2 b − 3 6 7 I = 4 a/2 s − 8 c/3 5 b − 3 c/3 t − 9 es identidad a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 5. Dadala matriz nula a2 + ap + q 0 N= 0 b2 + bq + q (2a + b + q)b Hallar el valor de x = 2ab + ap + a2 a) −1 b) 0 c) −2 d) 1 e) 2 6. Determinar P + E + R + 2 U , para 62 0 2 P E R U 60 0 1 cumpla: 6 1 1 0 1 40 1 0 0 0 3
que 3 se 0 17 7 7 = 05 0
10.3.
2 0 0 4 2 0 6 1 a) −5 d) 0
b) 3 e) −3
c) 5
2 −1 7. Sean las matrices: A = y 3 1 m 1 B= ; si A y B son matrices conmun 5 tables, calcular el valor de “m + n”. a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1
−1 0 8. Dada la matriz A = , hallar la tra0 1 za de: M = A + A2 + A3 + A4 + · · · + A50 . a) 25 b) 100 c) 50 d) 45 e) 65 2 0 9. Dada la matriz A = , hallar la su0 −2 ma de los elementos la matriz: E = A + 2A + 3A + 4A + · · · + nA, n ∈ Z+ . a) 0 b) 2n(n + 1) c) n(n + 1) d) 1 e) n(n + 1)/2 10. Calcular el determinante de: M = (AT + B T )T (A− B)+ (AT − B T )T (A+ B), donde: 1/2 0 1/3 0 y B= A= 0 1/2 0 1/3 a) 20/323 b) 25/237 c) 25/323 d) 25/324 e) 64/135 11. Calcular el determinante de la matriz A de orden 4, si: (
5 ; si i < j 3 ; si i ≥ j
aij =
a) 5 d) −15
b) −24 e) 3
c) 15
12. Dada la matriz A = (aij )3×3 definida por: (
aij =
3 − aij −aij
Calcule |A|. a) 7/4 d) 17/4
; si i 6= j ; si i = j b) 4/27 e) 27/4
c) 9/4
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
13. Dado
a b
√ a 2 = 3
a2 2 b 2 c 2 d
2 √ b 3
Calcular W de modo que: 1 2 3 4 0 + + =W −2 2 3 4 1 1 a) 1 d) 4 14. Determine a b E = 0 b 0 0
b) 2 e) 3
c) 5
el valor de: c a 2b 3c a 3a 1 c + 4a 5b 6c + b 3b 1 c 7a 8b 9c c 3c 1 a2 b2 c2
a) abc c) 1 e) a3 + b3 + c3
b) d) 0
15. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante es igual a 4, la diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y la suma de los elementos de la diagonal secundaria es 8. Se suma x a cada elemento de la matriz A entonces el valor de su determinante es igual a −4. Calcular el valor de x. a) −10 b) −5 c) 4 d) −1 e) 15
16. Calcular: a) −1 d) (abc)−1
1 (a + b + c) 1 1
b c c a a b 3abc − (a3 + b3 + c3 ) b) 1 c) abc e) 0
17. Resolver la ecuaci´ on: 2 + x x x 3+x x =0 x x x 4 + x a) 11/13 d) 8/13
b) −11/13 e) −12/13
c) −9/13
18. Calcular el valor de x que verifica la ecua a a a ci´ on: −a a x = 10a3 −a −a x a) 7a d) 5a
b) 6a e) 3a
231
c) 4a
19. Calcular el valor del determinante:
2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1
2a + 5 2b + 5 2c + 5 2d + 5
2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3
a) 0 c) abc e) a
20. Calcular
b) a + b + c + d d) ab + bc + bd 15 15 15 15
16 15 15 15
a) −1200 d) −360
17 19 15 15
18 20 21 15
b) 112 e) 1120
c) −120
1 3 21. Dada la matriz A = . 2 1 È Calcular: E = 4 det(A8 ). a) 5 b) 25 d) −1 e) 15
22. Calcular:
0 0 5 4 5
a) 0 d) −5
0 0 7 1 0
0 0 6 1 0
0 1 1 1 1
b) −2 e) −10
c) 125
2 3 1 1 1 c) −7
23. Calcular: 3 −2 15 6 −2 15 9 −2 15 3 5 + 2 3 5 + 3 3 5 + 1 1 2 93 2 2 93 4 2 93 12 4 8
30 −2 15 −2 15 3 5 + . . . + 10 3 5 512 2 93 2 93 a) 4096 b) 8191 c) 0 d) 1 e) 3
24. Calcular el determinante de la matriz A = (aij )4×4 , si se sabe que aij = i + j − 3 a) 0 b) −1 c) 1 d) −3 e) 24 25. Dada la ecuaci´ on AX = B, calcular 1 1 2 T Traz(X B), donde A = ;B= 2 1 1 a) 0 b) 11 c) 21 d) 1 e) 10
´ Algebra
232
CAP 09:
Matrices y determinantes
−1 0 , hallar la tra0 1 za de: M = A2 + A4 + A6 + A8 · · · + A50 . a) 25 b) 50 c) 100 d) 45 e) 65
1. Dada la matriz A =
2. Si la matriz A = [aij ]5×4 tal que ( 8 − aij ; si i = j aij = , determine el vasi i 6= j −aij ; lor de: M = a22 + a32 − a54 − 2. a) −1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 2 3. Dada2la 1 6 A = 4x 0 a) 48 d) 57
Walter Arriaga Delgado
matriz3 sim´etrica: 2 b 7 5 a5. Determinar la traz(A.AT ). 2 3 b) 54 c) 51 e) 32
8x2 2 , donde |A| = 8. Determi4. Sea A = 4x 5 nar el valor de: 1 1 + x−1 2 P = 25x − 2 . x x+2 a) 5 b) 10 c) 9 d) 11 e) 12 5. Sea: A = [aij ]n×n indicar el valor de verdad de los siguientes enunciados: Si A es sim´etrica, entonces A2 es sim´etrica. Si A es sim´etrica, entonces Traz(A) 6= 0. Si A es antisim´etrica, entonces A2 es antisim´etrica. a) FVF d) VFF
b) VFV e) VVV 2
c) FFF 3
14 19 18 6 7 6. Dada la matriz: A = 419 41 305 y sea 18 30 36 S una matriz triangular superior tal que A = S.S T . Halla la traza de la matriz S de elementos positivos. a) 10 b) 12 c) 14 d) 9 e) 8
10.4.
7. Sea B una matriz de orden 2 cuyo determinante es 11 y la diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y los elementos de la diagonal secundaria es 2. Si se suma “x” a cada elemento de la matriz B, su determinante resulta ser 7. Halle “x”. a) −3 b) 1 c) −1 d) 2 e) −2
1 4 8. Si A = es una matriz no singular. 0 1 Calcular la traza de: adj(A2 + 3A). a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 16 9. Calcular el determinante de la matriz: A = [aij ]4×4 , si se sabe que: aij = i + j − 3 a) 0 b) −1 c) 1 d) −3 e) 24
a b c 10. Siendo: m n p = 8; x y z −5a 15b −5c Calcular: m −3n p −x 3y −z
a) −72 d) −60
1 11. Efectuar: nb b m
a) 3 d) −1 12. Calcular: a) 120 d) 300
1 2 4 9
b) −90 e) −120
c) −180
ma mb a+2b n n3b ma+b m2b b) 0 e) 1
c) 2
1 1 1 3 5 7 9 25 49 28 126 344 b) 192 e) 240
c) 360
13. Hallar P (−1) + P (−3), si: 8 − x 8 8 8 8−x 8 8 8 P (x) = 8 8 8−x 8 8 8 8 8 − x
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado a) 998 d) 968
b) 987 e) 878
3
1/2 1/4 1/7 6 7 14. Dada la matriz A = 4 0 1/3 1/85. 0 0 1/5
20. Calcule la matriz inversa de: cos α − sen α . A= sen α cos α
Hallar: E = traz(A−1 ) + det(A−1 ). a) 100 b) 25 c) 50 d) 45 e) 40
−3 5 , B = −2 1
15. Si: A =
−2 7 4 −1
y
11 1 . 10 5 Al resolver la ecuaci´ on: 2(X + B) = 3[A − 2(B − X)] + C se obtiene que el valor de x12 · x21 es: a) 63 b) 10 c) 36 d) 70 e) −36 C=
16. En un texto antiguo
de Algebra DZse encuen1 0 a y s´ olo se tra la matriz A = 0 b 0 0 c 0
DZ 3 puede leer la segunda columna 2 de la 6 operaci´on A2 − AT . Hallar AT + traz(AT ),
siendo a, b y c n´ umeros naturales. a) 1 b) 3 c) −2 d) 2 e) −3
DZ
5 6 3 2 −2 4 , donde 17. Si A + B = C = −1 −2 3 A es sim´etrica y B es antisim´etrica. Hallar la suma de los elementos de la primera fila de A m´ as la suma de los elementos de la primera columna de B. a) 16 b) 8 c) 10 d) 14 e) 6
16 −40 B = . Dar como respuesta la 21 23 traz(X + Y ). a) −2 b) 2 c) 3 d) −3 e) 0
c) 978
2
233
1 20 18. Sea A = . Si C = A50 = [cij ]2×2 , 0 5 determinar: C12 . a) 3 × 560 b) 550 + 5 c) 551 − 5 65 47 d) 5 − 5 e) 5 − 5 19. Resolver el siguiente sistema: 2X + 3Y = A, 5X − 2Y = B.Con −5 3 y X, Y ∈ K2×2 , donde A = 16 −6
a)
c)
cos α 0 0 − cos α
e)
sen α cos α cos α − sen α
b)
d)
sen α 0 0 − sen α
cos α sen α − sen α cos α
sen α − sen α cos α cos α
2 1 21. Si P (x) = 2x + 3 y A = , hallar 1 1 la traza de P (A−1 ). a) 11 b) 12 c) −2 d) 2 e) −11 22. Sea la matriz A = (aij )2×2 donde (
2i + j (i + j)2
aij =
si i = j si i = 6 j
Hallar la traza de A−1 a) 7 b) −6/63 d) 1/7 e) −1/7
c) 6/63
2 5 23. Si A = , determinar la suma de los 1 3 elementos de la matriz A−2 . a) −1 b) −3 c) −7 d) −5 e) −9 2
3
2 −1 3 6 7 24. Sea A = 4 1 0 15, hallar |A5 |. −1 1 0 a) 32 b) −1 c) 0 d) 64 e) 81 2
3
4 −8 4 6 7 25. Dada la matriz Adj = 4−7 9 −55 y −6 10 k |A| = −4, hallar el valor de k. a) 6 b) 12 c) −12 d) −6 e) 8
´ Algebra
234
CAP 09:
Walter Arriaga Delgado
Matrices y determinantes
1. Dadas las matrices: A =
2 −1 3 1
C32 − C11 C22 − C31 a) 6/7 b) 8/7 d) 10/7 e) 4/7
W =
y
m 1 B= . ¿Qu´e valor asume m − n si A n 5 y B son conmutables? a) 1 b) 7 c) 5 d) 3 e) 9 2. Se define P (x, y) = 2x2 − 3xy + y 2 , adem´ as: −2 1 4 2 A= y B= . 3 5 −3 7 Hallar P (A, B) e indique su traza. a) 10 b) 21 c) 31 d) 25 e) 33
10.5.
8. Si
2
2 1
adem´ as B =
5. Si A = (aij )2×2 /iaij + jaij = i2 + j 2 Calcule a11 a12 + a21 a22 a) 1 b) 0 c) 2 d) 5 e) 10
9. Dada la matriz:
7. Si: A = [aij ]3×4 / aij =
A=
Determinar la suma de los elementos de la matriz B = A2 a) −4 b) 0 c) 4 d) 2 e) −2
A=
(
si i = j si i = 6 j
i + j; si i = j 2i − j; si i 6= j siendo: C = AB, determine:
DZ
0 1 −1 4 −3 4 3 −3 4
Determinar la traza de: f (A) a) 1 b) 2 d) 3 e) 5
c) 4
11. Si A − B es una matriz nula y A + B es una matriz escalar, donde:
3; 2;
DZ
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
A =
(
a b − 12A−1 c d
10. Sea f (x) = 3x2 − 2, y sea la matriz:
x−1 1 6 x−2 de elementos no negativos, se cumple: det(A) = traz(A) − 1. Calcule la suma de elementos de A2 . a) 84 b) 86 c) 87 d) 88 e) 82
6. Dada la matriz:
y
entonces el valor de a2 + b2 + c2 + d2 es: a) 27 b) 25 c) 18 d) 21 e) 23
K 10×10
27 26 25 24
A − (3I) =
4. Dada la matriz A = [aij ] ∈ tal que ( √ ij − ij + 1, i = j aij = m´ ax{i, j}, i 6= j hallar la suma de elementos de la matriz A. a) 1000 b) 250 c) 500 d) 100 e) 1500
3
5 2 6 1 3 7 7 1 3 3 4 6 t 6 −B A = 7 6 2 4 1 5 4 4 3 7 5
t
−1 0 , hallar la tra3. Dada la matriz A = 0 1 za de: M = A + A3 + A5 + A7 + · · · + A25 . a) 25 b) 50 c) 0 d) 10 e) 5
c) 9/7
A=
1 a+1 b a+1 1 c−1 b c−1 1
B = [bij ]4×3 / bij =
B=
1 x y x 1 z y z 1
DZ
DZ
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Calcular: a3 + b3 + c3 a) 1 b) 0 d) 3 e) 4
a) 1120 d) −1200
2x 18. Calcular: 2x + 4
c) 2
a) 5 d) 10
12. Calcular el determinante: 15 15 15 15
1 19. Calcular: x 2 x + k
18 20 21 15
16 17 15 19 15 15 15 15 b) 112 e) −360
c) −120
13. Cu´ ales deben ser los valores reales de “x” para que la matriz 2
3
x 2 0 6 7 x+2 x 5 4 2x 2 x+1 3−x x+1 no tenga inversa?. a) {0} b) {1} d) {0, 2} e) {2} a−1
4a + 1 3−x 3y + 6 z + a 3z + a + b
6 6x + 2 6 4y + 5
a) 0 d) 3z + b
c) {−2, 0, 1}
0 1 15. Calcular: 1 0
1 0 0 0
a) 54 d) 49 5 8 16. Calcular: 9 8 5
a) 720 d) 5040
k=1
3a + 2 2a + 3 1 − 2x 5x − 2 7 7 7 1 + 2y 4−y 5 2z + b 2b + z + 1
4 8 9 8 5
c) 5x − 2
c) 38
3 2 1 6 4 2 9 6 3 8 8 4 5 5 5 b) 120 e) 24
c) 825
k + 1 k + 3
b) −50 e) −100
1 2 20. Calcular: 3 4
1 −1 21. Calcular: −2 −3
a) 2 d) 25
c) −20
2x + 2 2x + 1 2x + 3 − 2x + 6 2x + 5 2x + 7 b) −5 c) 0 e) −10
1 1 x+1 x+2 (x + 1)2 + k (x + 2)2 + k b) −1 c) 4 e) 1
2 3 4 5 7 9 8 12 16 12 21 32 b) 4 e) 16
c) 20
2 3 4 −1 −1 −1 0 −1 −2 1 −1 −3 b) 0 e) 8
c) 12 2
3
1 1 1 6 7 22. Hallar la traza de A−1 si: A = 42 3 25 3 3 4 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
1 3 1 0 8 6 0 −7 b) 28 e) 12
50 X k 17. Calcular: k + 2
a) 50 d) 20
3
b) 3x + a e) 3y + z
a) 2 d) 0
a) 1 d) 2
14. Hallar el det(A) si: 2
235
−2 3 23. Sean: A = , −1 1 −45 39 47 3 19 −15 −11 B= −23 9 14 1 0 −8 −6 El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado B. Encuentre el mensaje si se sabe que B = AM y que: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – A B C D E F G H I 10 J
11 K
12 L
13 M
14 N
15 ˜ N
16 O
17 P
18 Q
19 R
20 S
21 T
22 U
23 V
24 W
25 X
26 Y
27 Z
a) ANDRES–INIESTA b) JULIO–IGLESIAS c) WALTER–ARRIAGA d) JENNIFER–LOPEZ e) ANDREA–BOCELLI
´ Algebra
236
CAP 09:
Walter Arriaga Delgado
Matrices y determinantes
1. Sea A una matriz cuadrada, se afirma que: AAt es sim´etrica. A + At es sim´etrica. A − At es antisim´etrica. |AAt | = |A|2
Indicar (V) o (F) seg´ un corresponda a) VFFV b) VVVV c) VVFF d) FVFV e) FVVF 2. Dadas las matrices A y B cuadradas del mismo orden, se afirma que: det(A + B) = det(A) + det(B) det(Am ) = (det(A))m det(A) 6= det(AT )
det(AB) = det(A) det(B) Indicar (V) o (F) seg´ un corresponda a) VFFV b) VFVV c) VVFF d) FVVF e) FVFV 3. Dada la matriz A = (aij )3×3 donde (
i + j si i ≥ j i − j si i < j hallar la suma de los elementos de la diagonal secundaria de A. a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7 aij =
4. Se define la matriz A = [aij ]3×3 como: (
aij =
2i − j; i + 2j;
si i ≤ j si i > j
y la matriz B = [bij ]3×4 con bij = i + j − 1, siendo M = AB; determine el valor de m23 a) 25 b) 10 c) 15 d) 20 e) 12
matriz A, con x 6= 0 a) 1 b) 3 d) 4 e) −2
x −1 6. Si la matriz A = es nilpotente, 2x −x determine la suma de los elementos de la
c) −1
7. Si A es una matriz nilpotente de orden 2, calcular: A(I + A)5 a) I − A b) I + A c) A2 d) I + A2 e) A 8. Si A = BC y A + B = I, hallar AC − C a) I b) −I c) −A d) A e) C 2
3
0 1 0 6 7 40 9. Hallar Traz(A ), si: A = 40 0 25 3 0 0 a) 0 d) 3
b) −3 e) 6
c) −6
2
a+1 6 10. Si la matriz A = 4 0 b sim´etrica, calcula la traza de a) 1 b) 22002 e) 2002 d) 1 + 22002
3
a 0 7 b c 5 es 0 c+2 A2002 c) 2
11. Dada la matriz A = [aij ] ∈ K 10×10 tal que aij = 2(i + j − 1), hallar det(A). a) 10 b) 0 c) 100 d) 1000 e) 1500 12. Calcular:
4 16 28
6 6 15 12 24 18
a) 4 d) 3
13. Calcular:
2 a 5. Si la matriz A = es involutiva. 1 b Hallar: b − a a) 2 b) 0 c) −1 d) 1 e) −2
10.6.
b) 1 e) 0 1 2 3 4
2 3 4 5 8 11 10 14 18 15 20 25
a) 8 d) 2
14. Calcular:
c) 2
b) 4 e) 64 2 0 0 2 2
1 3 0 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 6 1
c) 0
1 1 1 2 7
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado a) 720 d) 580
b) 680 e) 480
1 + x 1 15. Calcular: 1 1
a) xy d) x2 y 2
c) 200
hallar x. a) 2 d) 8
1 1 1 1−x 1 1 1 1+y 1 1 1 1 − y
b) x − y e) x3 y 3
3
1 1 1 6 7 16. Hallar la traza de A−1 si: A = 42 3 45 3 5 8 a) 8 b) 10 c) 6 d) 5 e) 4 17. Calcular la traza de X en la ecuaci´ on: 1 2 AX = AB − BX, donde: A = ; 3 4 0 −2 B= −3 −3 a) 18 b) 20 c) 32 d) −32 e) −24 18. Dada la matriz A = (aij )3×3 definida por: aij =
8 > <2 − aij
3aij − 4 12 − 3aij
> :
Calcule |AAT |. a) 9 d) 10
si i > j si i = j si i < j b) 8 e) 7
c) 4
1 5 19. Sea A = , calcular la traza de 0 1 Adj(A2 + 2A). a) 6 b) 4 c) 8 d) 9 e) 10 a 1 20. Si a2 a3
b1 c1 b2 c2 = x, calcular el valor de: b3 c3 b + c 1 1 b2 + c2 b3 + c3
a) x d) 2x
c1 + a1 a1 c2 + a2 a2 c3 + a3 a3
+ b1 + b2 + b3
b) 4x e) 5x 2
c) 3x 3
b) 4 e) 10
c) x + y
2
237
1 1 −1 6 7 21. Si Adj(A) = 4−10 x 2 5, y |A| = 2, 7 −3 −1
c) 6
3 2 22. Dada la matriz A = , hallar la suma −1 0 de los valores de k que satisfacen la ecuaci´ on: det(kI − A) = 0, donde I es la matriz identidad. a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 23. Hallar la traza X2en AX = 2 de la matriz 3 3 B, 1 1 1 2 1 0 6 7 6 7 donde: A = 40 1 15 y B = 41 2 15 0 0 1 0 1 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
8x2 2 ; donde |A| = 8. Determi24. Sea A = 4x 5 nar el valor de: W = 25x2 + x−2 a) 11 b) 9 c) 13 d) 10 e) 12 a + 1 2b 25. Calcular: a + 2 b − 1
a) a2 + b2 d) 0
3a b + 2a b + 1 b+1 2−b 1 0 1 a + 3 1 a + 2 a + b b) a + b e) 3a + 2b
c) 1
−2 1 26. Sean: A = , −1 1 10 10 −39 −24 −37 B= 11 15 −19 −10 −18 El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado B. Encuentre el mensaje si se sabe que B = AM y que: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – A B C D E F G H I 10 J
11 K
12 L
13 M
14 N
15 ˜ N
16 O
17 P
18 Q
19 R
20 S
21 T
22 U
23 V
24 W
25 X
26 Y
27 Z
a) ALESSANDRA b) WASHINGTON c) JOSEI–TODA d) SODASTEREO e) RONALDINHO
238
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 11:
ECUACIONES Objetivos z Comprender el concepto de ecuaci´ on como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la inc´ ognita que la hace verdadera. z Identificar la transposici´ on de t´erminos en una ecuaci´ on como m´etodo para transformar una ecuaci´ on en otra equivalente m´ as sencilla. z Identificar, plantear y resolver problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado y especificar las soluciones.
11.0.1.
Historia de las ecuaciones
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los ´ arabes, en un libro llamado Tratado ´ de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del ´ arabe algabru walmuqabalah, reducci´ on y cotejo). Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontr´ o gran dificultad, la situaci´ on fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuaci´ on general de tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 requiri´ o consideraciones bastante profundas y resisti´ o todos los esfuerzos de los matem´ aticos de la antig¨ uedad. S´ olo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aqu´ı se presentar´ a el ambiente en que aconteci´ o el descubrimiento de la soluci´ on de las ecuaciones de tercer grado o c´ ubicas. Los hombres que perfeccionaron las c´ ubicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matem´ aticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayor´ıa de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de inter´es compuesto y de seguros. Habi´endose elevado por encima del simple c´ alculo pr´ actico, los grandes algebristas italianos constitu´ıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las c´ atedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a 239
´ Algebra
240
Walter Arriaga Delgado
sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre s´ı competencias para la soluci´ on de problemas. (Algo muy similar a lo que hac´ıan los hind´ ues siglos antes). Para hacer doblemente dif´ıcil su deporte, algunas veces hac´ıan apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atm´ osfera combativa estall´ o la guerra en torno a la ecuaci´ on c´ ubica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 public´ o un compendio de ´algebra, la “Suma Aritm´etica”. Con ella transmiti´ o el ´ algebra inventada hasta la fecha y termin´ o con la irritante observaci´ on de que los matem´ aticos no podr´ıan todav´ıa solucionar ecuaciones c´ ubicas por m´etodos algebraicos. El primer hombre en recoger el desaf´ıo de Pacioli en torno a las c´ ubicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que lleg´ o a ser catedr´ atico de matem´ aticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la soluci´ on general para todas las ecuaciones c´ ubicas de la forma simplificada x3 + nx = h. Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus u ´ltimos d´ıas conf´ıo su soluci´ on a un estudiante, Antonio Fior, quien la utiliz´o en una disputa de ´ algebra con un rival, N´ıcolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padec´ıa este defecto. En la ´epoca de la contienda con Fior, Tartaglia hab´ıa pasado a ser uno de los m´ as sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y hab´ıa ideado un arma secreta propia: Una soluci´ on general para las c´ ubicas del tipo x3 + mx2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos espec´ıficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondi´ o con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho d´ıas antes de finalizar el plazo, Tartaglia hab´ıa encontrado una soluci´ on general para las ecuaciones del tipo o todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acab´ o el x3 + px = q y en dos horas resolvi´ tiempo y llego el d´ıa de hacer el c´ omputo, Tartaglia hab´ıa solucionado los problemas de Fior y ´este no hab´ıa solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontr´ o con un rival m´ as fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ileg´ıtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astr´ ologo que hacia hor´ oscopos para los reyes, un m´edico que visitaba a sus enfermos y un escritor cient´ıfico de cuya pluma emanaron monta˜ nas de libros. Fue tambi´en un jugador inveterano, siempre balance´ andose al borde de la prisi´ on. Pero Cardano siempre sal´ıa bien parado. El Santo Padre lo pension´ o solucion´ andole as´ı sus problemas econ´ omicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica. Aunque Cardano jur´ o mantener secreta la soluci´ on de Tartaglia, la public´ o unos cuantos a˜ nos despu´es, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna” (Gran Arte). Tartaglia, que hab´ıa estado a punto de escribir su propio libro, pas´ o el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoc´ıa el descubrimiento de Tartaglia. Tambi´en en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matem´ atico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que muri´ o a la edad de 43 a˜ nos, envenenado por su propia hermana. As´ı como Tar-
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
241
taglia hab´ıa solucionado la c´ ubica, de la misma forma Ferran, cuando todav´ıa estudiaba con Cardano, soluci´ on de las de cuarto grado o cu´ articas (con f´ ormulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de las c´ ubicas y las cu´ articas, divulgando los dos avances del ´ algebra m´ as trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 a˜ nos antes. En el Ars Magna, Cardano acept´ o formalmente el concepto de los n´ umeros negativos y enunci´ o las leyes que los rigen. Tambi´en anticip´ o otro tipo nuevo de n´ umero que denomin´ o ficticio o sofisticado. Tal fue la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo, que es incluso m´ as dif´ıcil de comprender que un n´ umero negativo propiamente, ya que ning´ un n´ umero real multiplicado por s´ı mismo da un n´ umero negativo. En la actualidad los matem´ aticos llaman a la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo n´ umero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un n´ umero real, el resultado se llama n´ umero complejo. Los matem´ aticos posteriores han mostrado que los n´ umeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones. En gran parte debido a Cardano, las Matem´ aticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El ´exito de los matem´ aticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna hab´ıa sobrepasado las conquistas de los antiguos. Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportaci´ on hab´ıa consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no hab´ıan tenido ´exito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedi´ o en el siglo XVI, un siglo antes de la invenci´ on de nuevas ramas de las matem´ aticas: Geometr´ıa anal´ıtica y C´ alculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Despu´es de esto, no hubo matem´ atico importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y m´ as alto grado en forma an´ aloga a los italianos, es decir, encontrando una f´ ormula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651–1708) crey´ o haber encontrado un m´etodo general de soluci´ on. Su m´etodo estaba basado en la transformaci´ on de una ecuaci´ on a otra m´ as simple; pero esta sola transformaci´ on requer´ıa de algunas ecuaciones auxiliares. M´ as tarde, con un an´ alisis m´ as profundo se demostr´ o que el m´etodo de transformaci´ on de Tschimhausen, en efecto, da la soluci´ on de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuaci´ on de quinto grado se necesita resolver primero una ecuaci´ on auxiliar de sexto grado, cuya soluci´ on no era conocida. El famoso matem´ atico franc´es Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la soluci´ on de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con m´ as de 200 p´ aginas) cr´ıticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su ´epoca y demostr´ o que su ´exito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, m´ as de dos siglos y medio hab´ıan pasado y nadie durante este gran intervalo hab´ıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado
´ Algebra
242
Walter Arriaga Delgado
y mayores por radicales, esto es, de encontrar f´ ormulas que envuelven s´ olo operaciones de suma, resta, multiplicaci´ on, divisi´ on, exponenciaci´ on y ra´ıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la soluci´ on de una ecuaci´ on en t´erminos de los coeficientes, esto es, f´ ormulas similares a aqu´ella por la que se hab´ıa resuelto la ecuaci´ on de segundo grado en la antig¨ uedad y a aqu´ellas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matem´ aticos pensaron que sus fracasos se deb´ıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar una soluci´ on. Lagrange dice en sus memorias: “El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es m´ as alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos”. Lagrange avanz´ o bastante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su ´epoca y descubriendo nuevas relaciones entre esta teor´ıa y otras como la teor´ıa de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneci´ o sin soluci´ on y constitu´ıa, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente humana”. Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matem´ aticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuaci´ on se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresi´ on algebraica con dichos coeficientes que fuera soluci´ on de la ecuaci´ on correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los m´ as grandes matem´ aticos de todos los pa´ıses para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el ´exito por la sencilla raz´ on de que ´este problema simplemente no tiene soluci´ on. Esas f´ ormulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales f´ ormulas Pero eso no es todo a´ un. Un resultado extremadamente importante en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todav´ıa ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que s´ı se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad. Resumiendo, despu´es del descubrimiento de Abel la situaci´ on era la siguiente: Aunque la ecuaci´ on general de grado mayor que 4 no se pod´ıa resolver por radicales, hay un n´ umero ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que s´ı se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cu´ ales ecuaciones s´ı se pueden resolver por radicales y cu´ ales no? o en otras palabras: ¿qu´e condiciones debe cumplir una ecuaci´ on para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo ´este asunto de las ecuaciones la dio el brillante matem´ atico franc´es Evariste Galois. (1811–1832). A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matem´ aticas y en particular dio la soluci´ on al problema que quedaba pendiente en la teor´ıa de las ecuaciones algebraicas en un peque˜ no manuscrito titulado “Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en treinta y un p´ aginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20
Walter Arriaga Delgado
´ Algebra
243
a˜ nos. Como se puede observar, la f´ ormula de Tartaglia da la soluci´ on de la ecuaci´ on de tercer grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y ra´ıces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparici´ on de la f´ ormula los matem´ aticos intentaron buscar qu´e ecuaciones pod´ıan resolverse por radicales. Muchos grandes matem´ aticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc. En 1813, Ruffini intent´ o demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consigui´ o. Finalmente, Abel demostr´ o en 1824 que, efectivamente, no existe una f´ ormula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado. ´ El problema m´ as general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que aporto un m´etodo, conocido como la Teor´ıa de Galois, que permite decidir cu´ ando una determinada ecuaci´ on se puede resolver por radicales. ´ CONCLUSION: Existen f´ ormulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una f´ ormula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado. En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuaci´ on de cualquier grado. El problema result´ o ser m´ as dif´ıcil y m´ as profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creaci´ on de nuevos conceptos, importantes no s´ olo para el ´ algebra sino tambi´en para las matem´ aticas en general. Para la soluci´ on pr´ actica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente: Qued´ o claro que una f´ ormula general para las ecuaciones est´ a muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad pr´ actica a causa de las operaciones sumamente complicados que se ten´ıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo). En vista de lo anterior, los matem´ aticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son: 1. En el problema de la existencia de ra´ıces (soluciones). 2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, s´ olo trabajando con sus coeficientes. 3. En el c´alculo aproximado de las ra´ıces o soluciones de una ecuaci´ on. Definici´ on 11.0.1. Un enunciado es una proposici´ on que puede ser calificada como verdadera o falsa. Una proposici´ on es toda una code enunciados conectados con ciertos s´ımbolos matem´ aticos. Los enunciados abiertos son aquellos que est´ an formados por variables constantes y que pueden ser verdaderos o falsos, seg´ un la asignaci´ on de valores a las variables.
´ Algebra
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Definici´ on 11.0.2. Una ecuaci´ on es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascendentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por la igualdad se denominan miembros de la ecuaci´ on. Definici´ on 11.0.3. La soluci´ on de una ecuaci´ on es aquel valor que toma la inc´ ognita y convierte la ecuaci´ on en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad. Ejemplo 11.0.1. 3x + 5 = 17; es una ecuaci´ on que se verifica para x = 4. x2 + x − 6 = 0; es una ecuaci´ on que se verifica para x = −3 y x = 2.
11.0.2.
Clasificaci´ on de las ecuaciones
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracter´ısticas, siendo las principales: 1. Seg´ un el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. En general, una ecuaci´ on de grado n posee n ra´ıces o soluciones. Ejemplo 11.0.2. 2x + 5 = 3; es una ecuaci´ on de primer. x2 − 6x + 5 = 0; es una ecuaci´ on de segundo grado. 2. Seg´ un sus Coeficientes: Pueden ser num´ericas o literales. Ejemplo 11.0.3. 7x − 3 = 5x + 9; es una ecuaci´ on num´erica. ax2 + bx + c = 0; es una ecuaci´ on literal, con coeficientes a, b, c. 3. Seg´ un las Inc´ ognitas: Pueden ser de una, dos, tres o m´ as inc´ ognitas. Ejemplo 11.0.4. 3x − 1 = x + 3; es una ecuaci´ on con una inc´ ognita: x. 2x − 3y = 5; es una ecuaci´ on con dos inc´ ognitas: x, y. x − 3y + 2z = 7 es una ecuaci´ on con tres inc´ ognitas: x, y, z. 4. Seg´ un la naturaleza de las expresiones: Pueden ser: a. Ecuaci´ on algebraica: Que a su vez puede ser: a.1. Ecuaci´ on algebraica racional:
´ Algebra
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245
a.1.1. Ecuaci´ on algebraica racional entera: 3x − 2 = x2 − 6
3 x a.2. Ecuaci´ on algebraica irracional: La inc´ ognita se encuentra afectada del radical. 2x + √ 3 1 = 2x + 3 − x2 a.1.2. Ecuaci´ on algebraica racional fraccionaria: x + 2 = 4 +
b. Ecuaci´ on no algebraica o trascendente: Cuando al menos un t´emino de la expresi´ on es no algebraico o trascendente. Puede ser: Exponencial: 3x−1 = 3x + 2 Trigonom´etrica: 5 sen(3x + 5π) = cos x √ Logaritmica:27x log23 (10x − 3) = 5 2 3 2 3 3
Matriciales: 4
5
x
14
y
5
54 5 = 4
2 −1
5
5. Seg´ un sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles. a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una soluci´ on. A su vez ´estas ecuaciones se dividen en: a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un n´ umero finito o limitado de soluciones. Ejemplo 11.0.5. ◦ 3x − 1 = x + 3 tiene una soluci´ on. ◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.
a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un n´ umero ilimitado de soluciones. Ejemplo 11.0.6. ◦ 2x + 3 = 1 + 2x + 2.
◦ (x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x. Nota 11.0.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones compatibles indeterminadas. b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambi´en absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de soluci´ on. Ejemplo 11.0.7. x x 7x • + = + 3. 5 2 10 8 8 > umero finito de soluciones > > > :Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe soluci´ on
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Walter Arriaga Delgado
Definici´ on 11.0.4. Dos o m´ as ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas soluciones. 8 > <
Ejemplo 11.0.8. Las ecuaciones
3x + 3 = 8x − 2 7x x 26 > : +2= + 2 15 3
son equivalentes
Teorema 11.0.1. Teorema Fundamental del Algebra Todo polinomio de grado n tiene al menos una ra´ız, que generalmente es compleja. Corolario 11.0.1. Todo polinomio de coeficientes num´ericos y grado n tiene exactamente n ra´ıces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas. Criterios de Soluci´ on Si la ecuaci´ on presenta a la inc´ ognita en el denominador. Se deber´ a cuidar que su soluci´ on no anule 2 x+1 x+5 2x − x − 11 + = 2 , Se deber´a tener el denominador. Por ejemplo, antes de resolver: x−3 x−2 x − 5x + 6 en cuenta que: x 6= 3 ∧ x 6= 2 Si la ecuaci´ on presenta a la inc´ ognita afectada de alg´ un signo radical de ´ındice par. Se debe proceder de la siguiente manera: Si
È
2n
F (x) = G(x), con n ∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.
Principios Fundamentales Si a los dos miembros de una ecuaci´ on se le suma o se le resta una misma cantidad M , la igualdad no altera (se obtiene otra ecuaci´ on equivalente). A =B ⇒ A±M =B±M Si se multiplica a los dos miembros de una ecuaci´ on por una misma cantidad M , se obtiene otra ecuaci´ on equivalente. Si M contiene a la inc´ ognita, entonces se infiltran soluciones extra˜ nas. Si ambos miembros de una ecuaci´ on se dividen por una misma cantidad M 6= 0, la igualdad no
altera (se obtiene otra ecuaci´ on equivalente). Si M contiene a la inc´ ognita, entonces se pierden soluciones.
Si a los dos miembros de una ecuaci´ on se les eleva a la n–´esima potencia, entonces la igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extra˜ nas. Si a los dos miembros de una ecuaci´ on se les extrae la ra´ız en´esima, entonces la igualdad no altera, se dice que se han perdido soluciones.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
11.0.3.
247
Ecuaciones de primer grado con una variable
Definici´ on 11.0.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma: ax + b = 0
(11.1)
donde a y b son co, con a 6= 0, y siendo x la inc´ ognita, por lo cual son tamb´en llamadas “Ecuaciones
lineales con una inc´ ognita” y que debido a las propiedades de los n´ umeros reales se resuelve de la siguiente manera: ax + b = 0
⇐⇒
x=−
b a
Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma com´ un de ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ). Ejemplo 11.0.9. Resolver 6x − 5 = 2x + 7. Soluci´ on 6x − 5 = 2x + 7 4x − 5 = 7 4x = 12 x = 3 Discusi´ on de sus ra´ıces Si a 6= 0 entonces la soluci´ on es u ´nica (ECD). Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuaci´ on posee infinitas soluciones (ECI). Si a = 0 y b 6= 0 entonces la soluci´ on no existe (EI ´ o absurda).
11.0.4.
Sistema de ecuaciones lineales
Definici´ on 11.0.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de los n´ umeros reales R. En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas puede ser escrito en forma ordinaria como: a11 x1
+
a12 x2
+ ... +
a1n xn
=
b1
a21 x1 .. .
+ .. .
a22 x2 .. .
+ ... + .. .. .. . . .
a2n xn .. .
= .. .
b2 .. .
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
(11.2)
´ Algebra
248
Walter Arriaga Delgado
Donde x1 , . . . , xn son las inc´ ognitas y los n´ umeros aij ∈ K son los coeficientes del sistema sobre el
cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notaci´ on matricial: 2
32
a11
6 6 6 a21 6 6 .. 6 . 4
a12 a22 .. .
··· ··· .. .
a1n
76
3
x1
7
2 6
3
b1
7
6 7 6 7 a2n 7 7 6 x2 7 6 b2 7 76 7 = 6 7 .. 7 6 .. 7 6 .. 7 . 76 . 7 6 . 7 54
am1 am2 · · · amn
5
4
xn
(11.3)
5
bm
Si representamos cada matriz con una u ´nica letra obtenemos: Ax = b Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los m´ as antiguos de la matem´atica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de se˜ nales, estimaci´ on, predicci´ on y m´ as generalmente en programaci´ on lineal as´ı como en la aproximaci´ on de problemas no lineales de an´ alisis num´erico. Clasificaci´ on: De acuerdo a la soluci´ on los sistemas se clasifican en: a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una soluci´ on. A su vez ´estos sistemas se dividen en: a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un n´ umero finito o limitado de soluciones. Ejemplo 11.0.10. ◦
8 <3x − y = 20
, cuya soluci´ on es: CS = {(7, 1)}. x + 5y = 12 Las ecuaciones se corresponden gr´ aficamente con dos rectas que se interceptan en el :
punto (7, 1). ◦
8
xy + xy = 6
, cuya soluci´ on es: CS = {(4, 1), (1, 4), (−4, −1), (−1, −4)}.
a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un n´ umero ilimitado de soluciones. Ejemplo 11.0.11. 8 ◦
> <3x + y = 4
3x y > : + =2
2 2 Las ecuaciones se corresponden gr´ aficamente con dos rectas paralelas coincidentes que se interceptan en infinitos puntos.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
◦
249
8
x−y =1
b. Incompatibles: (EI) Llamadas tambi´en absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de soluci´ on. Ejemplo 11.0.12. •
8 <4x + 2y = 5 :
8x + 4y = 3 Las ecuaciones se corresponden gr´ aficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ning´ un punto, es decir, no existe ning´ un valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matem´ aticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condici´ on necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero.
•
8
x+y =4
8 8 > umero finito de soluciones > < Compatible Sistema de : Indeterminada (SCI) infinitas soluciones ecuaciones > > > :Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe soluci´ on
Los sistemas incompatibles geom´etricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un u ´nico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o m´ as generalmente un hiperplano de dimensi´ on menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero: Sistema compatible determinado ⇐⇒ det(A) 6= 0 M´ etodos para resolver un sistema lineal Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes m´etodos, siendo los m´ as importantes: 1. M´ etodo de Carl Gauss:1 Este m´etodo consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incognitas 1
Johann Carl Friedrich Gauss naci´ o en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y muri´ o el 23 de febrero de 1855,
fue un matem´ atico, astr´ onomo y f´ısico alem´ an que contribuy´ o significativamente en muchos campos, incluida la teor´ıa de n´ umeros, el an´ alisis matem´ atico, la geometr´ıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la ´ optica. Considerado “el pr´ıncipe de las matem´ aticas” y “el matem´ atico m´ as grande desde la antig¨ uedad”, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem´ atica y de la ciencia, y es considerado uno de los matem´ aticos que m´ as influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
´ Algebra
250
Walter Arriaga Delgado
hasta llegar a una sola ecuaci´ on con la menor cantidad posible de inc´ ognitas. Ejemplo 11.0.13. Resolver:
8 <3x + 5y = 14 :
2x − y = 5
Soluci´ on: Como 2x − y = 5, entonces despejamos y
luego y = 2x − 5 y reemplazando en la primera ecuaci´ on se tiene: 3x + 5(2x − 5) = 14, de donde x = 3, y as´ı obtenemos y = 1 ∴ CS = {3; 1}
2. M´ etodo de Arthur Cayley:2 Este m´etodo consiste en el uso de las matrices (matriz inversa) en la resoluci´ on de los sistemas lineales determinados. Para resolver el sistema a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .
= b2 .. .. . .
(11.4)
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn se lleva a la forma matricial 2
32
a11
6 6 6 a21 6 6 .. 6 . 4
a12 · · · a1n
76
3
x1
2
7
6
3
b1
7
6 7 6 7 a22 · · · a2n 7 7 6 x2 7 6 b2 7 76 7 = 6 7 .. .. 7 6 .. 7 6 .. 7 .. 6 7 6 . 7 . . . 7 54 . 5 4 5
an1 an2 · · · ann
xn
(11.5)
bn
y si la matriz de coeficientes es no singular, existir´ a la inversa y ser´ a aplicable ste m´etodo y la soluci´ on se obtiene con:
2
3
x1
2
a11
6 7 6 6 7 6 6 x2 7 6 a21 6 7=6 6 .. 7 6 .. 6 . 7 6 . 4 5 4
xn
a12 a22 .. .
· · · a1n
3−1 2 7
· · · a2n 7 7 7 .. 7 .. . . 7 5
an1 an2 · · · ann
3
b1
6 7 6 7 6 b2 7 6 7 6 .. 7 6. 7 4 5
bn
luego por igualdad de matrices se obtiene la soluci´ on del sistema. Ejemplo 11.0.14. Resolver:
8 <3x + 5y = 14 :
2x − y = 5
2
Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matem´ atico
brit´ anico. Es uno de los fundadores de la escuela brit´ anica moderna de matem´ aticas puras. Recibi´ o la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
251
Soluci´ on: LLevando a una ecuaci´ on matricial se tiene: 2 4
32 3
3
5
2
3−1 2
x 3 5 5 de donde 4 5 = 4 y 2 −1 entonces x = 3 y y = 1.
4
3
14 5
3
14
y
5
54 5 = 4
2 −1 2 3
2
x
2 3
2 3
x
3
y
1
5
5, luego 4 5 = 4 5
∴ CS = {3; 1}
´ 3. M´ etodo de Gabriel Cramer:3 Este m´etodo utiliza los determinantes para la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (11.4) debe cumplir que el determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero. Sea A la matriz del sistema, es decir: 2
3
a11
6 6 6 a21 A=6 6 .. 6 . 4
a12 a22 .. .
· · · a1n
7
· · · a2n 7 7 7 .. 7 .. . . 7 5
an1 an2 · · · ann entonces la soluci´ on viene dada por: xi =
|Ai | , |A|
i = 1, 2, 3, . . . , n
con |A| = 6 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los elementos
de la columna i por los elementos independientes. Denotemos por ∆S = |A| y ∆xi = |Ai |, entonces xi =
Ejemplo 11.0.15. Resolver:
∆xi ∆S
8 <3x + 5y = 14 :
2x − y = 5
Soluci´ on:
3 5 = −13 ∆S = 2 −1 14 5 = −39 ∆x = 5 −1 3
Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matem´ atico suizo nacido en Ginebra.
´ Algebra
252 3 ∆y = 2
Walter Arriaga Delgado
14
= −13
5
luego
∆x =3 ∆S ∆y y= =1 ∆S
x=
∴ CS = {3; 1}
4. M´ etodo de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .
= b2 .. .. . .
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Llamaremos matriz aumentada a la matriz 2
a11
a12
6 6 6 a21 6 6 .. 6 . 4
a22 .. .
· · · a1n · · · a2n .. .. . .
b1
3 7
b2 7 7 7 .. 7 .7 5
an1 an2 · · · ann bn luego mediante operaciones elementales por filas puede transformarse en una matriz escalonada, la cual facilitar´ a la soluci´ on del sistema.
8 <3x + 5y = 14
Ejemplo 11.0.16. Resolver:
:
2x − y = 5
Soluci´ on:
2 4
3
5
2 −1
14 5
3
2
F −F2 5− −−−1−−− −→ 4
luego el nuevo sistema ser´ a
3
1
6
9
2 −1 5
2
F2 −2F1 5 −−− −−−−−→ 4
8
3
1
6
9
5
0 −13 −13
, de donde y = 1 y x = 3
0x − 13y = −13 ∴ CS = {3; 1}
Teorema 11.0.2. Dado el sistema lineal (11.4), entonces se cumple lo siguiente: Si ∆S 6= 0 entonces el sistema tiene soluci´ on u ´nica. Si ∆S = 0 ∧ ∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Si ∆S = 0 ∧ ∆xi 6= 0, para alg´ un i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene soluci´ on.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
253
Representaci´ on gr´ afica Un sistema con n, inc´ ognitas se puede representar en el n−espacio correspondiente. En los sistemas con 2 inc´ ognitas, el universo de nuestro sistema ser´ a el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones ser´ a representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La soluci´ on ser´ a el punto (o l´ınea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ning´ un punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las l´ıneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene soluci´ on. En el caso de un sistema con 3 inc´ ognitas, el universo ser´ a el espacio tridimensional, siendo cada ecuaci´ on un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un u ´nico punto, las coordenadas de ´este ser´ an la soluci´ on al sistema. Si, por el contrario, la intersecci´ on de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendr´ a infinitas soluciones, que ser´ an las coordenadas de los puntos que forman dicha l´ınea o superficie. Para sistemas de 4 ´ o m´ as inc´ ognitas, la representaci´ on gr´ afica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta ´ optica.
11.0.5.
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuaci´ on de segundo grado o ecuaci´ on cuadr´ atica es una ecuaci´ on polin´ omica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresi´ on se refiere al caso en que s´ olo aparece una inc´ ognita y que se expresa en la forma can´ onica: ax2 + bx + c = 0
(11.6)
donde a es el coeficiente cuadr´ atico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el t´ermino independiente. La ecuaci´on cuadr´ atica es de vital importancia en matem´ aticas aplicadas, f´ısica e ingenier´ıa, puesto que se aplica en la soluci´ on de gran cantidad de problemas t´ecnicos y cotidianos. La ecuaci´on de segundo grado y su soluci´ on tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matem´ atico Diofanto de Alejandr´ıa.4 La soluci´ on de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matem´ atico judeo espa˜ nol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum. Los m´etodos para resolver ecuaciones cuadr´ aticas son tres: a. M´etodo de factorizaci´ on. b. M´etodo de completar cuadrados. 4
Diofanto de Alejandr´ıa (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de 284/298) fue
un antiguo matem´ atico griego. Se considera a Diofanto el padre del ´ algebra.
´ Algebra
254
Walter Arriaga Delgado
c. Por f´ ormula cuadr´ atica. Ejemplo 11.0.17. Resolver la ecuaci´ on: x2 − x − 6 = 0 Soluci´ on M´ etodo de factorizaci´ on. x2
−
x
−
6
x
−3
x
+2
=
0
Luego (x − 3)(x + 2) = 0, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3 M´ etodo de completar cuadrados.
x2 − x − 6 = 0
1 1 − −6=0 4 4 1 2 25 x− − =0 2 4 1 5 1 5 x− + x− − =0 2 2 2 2 (x − 3)(x + 2) = 0 x2 − x +
de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3 Por f´ ormula cuadr´ atica.
x2 − x − 6 = 0 con a = 1, b = −1 y c = −6, entonces usamos la f´ ormula cuadr´ atica (11.7) √ −b ± b2 − 4ac x= 2a
(11.7)
donde ∆ = b2È − 4ac es conocido con el nombre de discriminante, √ 1 ± 1 − 4(1)(−6) 1 ± 25 = , de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3 luego x = 2 2 Propiedades de las ra´ıces Dada la ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, y con ra´ıces x1 y x2 , entonces se cumple
que:
z Suma de ra´ıces: x1 + x2 = −
b a
´ Algebra
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255
z Producto de ra´ıces: x1 .x2 = z Diferencia de ra´ıces:
√
c a
∆ D = |x1 − x2 | = = a z Cociente de ra´ıces:
√
b2 − 4ac a
√ x1 b+ ∆ √ C= = x2 b− ∆
z Suma de inversas de ra´ıces: 1 1 b + =− x1 x2 c z Suma de cuadrados: x21 + x22 = z Suma de cubos: x31 + x32 =
b2 − 2ac a2
b(3ac − b2 ) a3
z Identidad de Legendre: (x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = −
4c a
z Ra´ıces sim´etricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0 z Ra´ıces rec´ıprocas: x1 .x2 = 1, es decir a = c z Ra´ıces iguales: x1 − x2 = 0, es decir ∆ = 0 z Si las ecuaciones: a b c = = m n p
8
mx2 + nx + p, m 6= 0
tienen las mismas ra´ıces, entonces se cumple:
Naturaleza de las ra´ıces En la ecuaci´ on de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Se llama discriminante a la expresi´ on
∆ = b2 − 4ac.
Si ∆ > 0 entonces las ra´ıces x1 y x2 son reales y diferentes. Si ∆ = 0 entonces las ra´ıces x1 y x2 son reales e iguales. Si ∆ < 0 entonces las ra´ıces x1 y x2 son complejas y conjugadas.
´ Algebra
256
Walter Arriaga Delgado
Formaci´ on de una ecuaci´ on de segundo grado on de segundo grado, entonces: S = x1 + x2 ; P = x1 .x2 , Si x1 y x2 son las ra´ıces de una ecuaci´ luego formamos la ecuaci´ on de segundo grado como: x2 − Sx + P = 0
11.0.6.
Ecuaci´ on C´ ubica
Llamada tambi´en ecuaci´ on polinomial de grado 3 cuya forma general es: ax3 + b2 + cx + d = 0 con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del ´ algebra, la ecuaci´ on tiene 3 ra´ıces denotadas por x1 , x2 y x3 .
Teorema 11.0.3. Teorema de Cardano5 – Viete6 En la ecuaci´ on ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a 6= 0, de ra´ıces x1 , x2 y x3 se cumple: Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 = −
b a
Suma de productos binarios de ra´ıces: x1 .x2 + x1 .x3 + x2 .x3 = Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 = −
11.0.7.
c a
d a
Ecuaci´ on Cu´ artica
Llamada tambi´en ecuaci´ on polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del ´ algebra, la ecuaci´ on tiene 4 ra´ıces denotadas por x1 , x2 , x3 y x4 .
Teorema 11.0.4. Teorema de Cardano En la ecuaci´ on ax4 + b3 + cx2 + dx + e = 0, con a 6= 0, de ra´ıces x1 , x2 , x3 y x4 se cumple: 5
Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un c´elebre matem´ atico
italiano del Renacimiento, m´edico, astr´ ologo, jugador de juegos de azar y fil´ osofo. 6 Fran¸cois Vi`ete fue un matem´ atico franc´es (Fontenay le Comte, 1540 – Par´ıs, 1603). Se le considera uno de los principales precursores del ´ algebra.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
257
Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 + x4 = −
b a
Suma de productos binarios: x1 .x2 + x1 .x3 + · · · + x3 .x4 =
c a
Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 + · · · + x2 .x3 .x4 = − Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 .x4 =
11.0.8.
d a
e a
Ecuaci´ on Bicuadrada
Es una ecuaci´ on cu´ artica cuya forma general es: ax4 + bx2 + c = 0 con abc 6= 0.
F´ ormula general:
Ê
√
b2 − 4ac 2a La ecuaci´on bicuadrada tiene 4 ra´ıces x1 , x2 , x3 y x4 que son sim´etricas de a dos a dos, es decir: x=±
x1 = −x2
y
−b ±
x3 = −x4 . Dichas ra´ıces cumplen la siguiente propiedad: x4 − (α2 + β 2 )x2 + α2 β 2 = 0
donde α y β son las ra´ıces x1 y x3 respectivamente.
11.0.9.
Ecuaci´ on Polinomial
Una ecuaci´ on polinomial de grado n es de la forma: a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an = 0 donde a0 6= 0.
La resoluci´ on para las ecuaciones lineales, cuadr´ aticas, c´ ubicas, cu´ articas y bicuadradas que ya han
sido estudiadas, pueden expresarse mediante f´ ormulas generales en t´erminos de sus coeficientes. Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuaci´ on de quinto grado o superior mediante f´ ormulas generales (por radicales). M´ as aun el matem´ atico Evariste Galois7 demuestra que 7´
Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matem´ atico franc´es nacido en Bourg la
Reine. Ofreci´ o las bases fundamentales para la teor´ıa que lleva su nombre, una rama principal del ´ algebra abstracta. Fue el primero en utilizar el t´ermino “grupo” en un contexto matem´ atico.
´ Algebra
258
Walter Arriaga Delgado
el polinomio general de grado n ≥ 5 no es soluble por radicales, mediante la teor´ıa de grupos (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son num´ericos, el valor de cualquiera de las ra´ıces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada). Teorema 11.0.5. Teorema de Cardano Dada la ecuaci´ on polin´ omica a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an = 0, con a0 6= 0, de ra´ıces x1 , x2 , x3 , . . . , xn se cumple:
Suma de ra´ıces: x1 + x2 + x3 + · · · + xn = −
a1 a0
Suma de productos binarios: x1 .x2 + x1 .x3 + · · · + xn−1 .xn =
a2 a0
Suma de productos ternarios: x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 + · · · + xn−2 .xn−1 .xn = −
a3 a0
Suma de productos tomados de k en k: x1 .x2 .x3 . . . xk + x2 .x3 . . . xk xk+1 + · · · = (−1)k Producto de ra´ıces: x1 .x2 .x3 . . . xn = (−1)n
11.0.10.
ak a0
an a0
Planteamiento de ecuaciones
El planteamiento de ecuaciones en matem´ aticas responde a la necesidad de expresar simb´ olicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notaci´ on simb´ olica, y no s´ olo l´ ogica, para explicar sus proposiciones matem´ aticas fue el griego Diofanto de Alejandr´ıa, en el siglo III a.C., por cuya raz´ on las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diof´ anticas. Una de las mayores aportaciones a la teor´ıa de las ecuaciones se debe al matem´ atico Joseph Louis Lagrange8 , fu´e uno de los mayores cient´ıficos de su ´epoca y destacando tambi´en en otras disciplinas. Su mayor aportaci´ on al ´ algebra es su famosa memoria “Sobre la revoluci´ on de las ecuaciones num´ericas”, escrita en 1767. Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que pueden reflejar el comportamiento de fen´ omenos f´ısicos o problemas que es factible encontrar en la vida diaria. 8
Joseph Louis Lagrange, naci´ o el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y muri´ o el 10
de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange est´ a considerado generalmente como un matem´ atico franc´es, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a ´el como un matem´ atico italiano. En ambos casos est´ a justificada la pretensi´ on puesto que Lagrange naci´ o en Tur´ın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
259
Cada problema requiere el planteamiento de una ecuaci´ on. Por tal raz´ on, es muy importante expresar la informaci´ on dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresi´ on matem´atica mediante una o m´ as ecuaciones. Una de las habilidades m´ as importantes en la resoluci´ on de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matem´ atico. Ver el siguiente esquema:
Enunciado del problema (Lenguaje com´ un)
Leer Interpretar Simbolizar
Ecuaci´ on (Lenguaje matem´ atico)
Figura 11.1: Planteamiento de una ecuaci´ on
Problemas sobre edades En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matem´ aticos muy frecuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo as´ı m´etodos pr´ acticos de resoluci´ on, por eso le daremos una atenci´ on especial. Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gr´ aficos, dibujos, esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la soluci´ on de los mismos. Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a trav´es del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuaci´ on trataremos sobre ellos. I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos: 1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros n´ umeros primos. Edad de Tom: T Edad de Jerry: J T + J = 41 2. La edad de un ´ arbol ´ebano, cuando fue talado era 94 a˜ nos m´ as que la edad de la planta girasol. Edad de Girasol: G ´ Edad de Ebano: E E = G + 94
´ Algebra
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II. Tiempos: Es uno de los elementos m´ as importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicar´ıan la resoluci´ on de los problemas. a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras: Yo Tu El
Ten´ıa Tuve Ten´ıas Tuviste Ten´ıa Tuvo
Pueden darse en el problema uno o m´ as tiempos pasados. b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras: Yo
Tengo
Tu
Tienes
El
Tiene
c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras: Yo Tu El
Tendr´e Tenga Tendr´ as Tengas Tendr´ a Tenga
III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en tiempos diferentes. Tipos de Problemas a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema nos mencionan: “Hace...” ´ o “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente ( hoy ); a partir de all´ı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo: Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” a˜ nos, mi edad se expresa: Pasado
Presente
Futuro
Hace m a˜ nos
Hoy tengo
Dentro de n a˜ nos
x−m
x
x+n
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b) Cuando intervienen las edades de dos o m´ as sujetos: Para este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el prop´ osito de razonar ordenadamente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar lo que me piden. Pasado
Presente
Futuro
Goku
a
m
r
Picoro
b
n
s
Se observa: • La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la misma en el presente, pasado y futuro). Esto es:
a−b=m−n=r−s • “Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados sim´etricamente son iguales.
a+n=b+m m+s=n+r a+s=b+r Relaci´ on con el a˜ no de nacimiento De acuerdo a esto podemos enunciar: Cuando una persona ya cumpli´ o a˜ nos, se cumple: A˜ no Actual = A˜ no de nacimiento + Edad Actual Cuando una persona a´ un no cumple a˜ nos, se cumple: A˜ no Actual − 1 = A˜ no de nacimiento + Edad Actual Problemas sobre relojes Una breve historia de Tartaglia Niccol` o Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matem´ atico italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de ni˜ no recibi´ o una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gast´ on de Foix. Hu´erfano y sin medios materiales para proveerse una instrucci´ on, lleg´ o a ser uno de los principales matem´ aticos del siglo XVI. Explic´ o esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleci´ o en 1557 en la misma pobreza que le acompa˜ n´ o toda su vida. Se cuenta que Tartaglia s´ olo aprendi´ o la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.
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Figura 11.2: Tartaglia
Descubridor de un m´etodo para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore disc´ıpulo de Scipione del Ferro de quien hab´ıa recibido la f´ ormula para resolver las ecuaciones c´ ubicas, le propone un duelo matem´ atico que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su af´ an de ganarlo Tartaglia desarrolla la f´ ormula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que ´este logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El ´exito de Tartaglia en el duelo llega a o´ıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su f´ ormula, a lo que accede pero exigi´endole a Cardano jurar que no la publicar´ a. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su f´ ormula, y que seg´ un parece llega a manos de Cardano un escrito in´edito de otro matem´ atico fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, ser´ a finalmente Cardano quien, consider´ andose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acredit´ o la autor´ıa de Tartaglia, ´este qued´ o profundamente afectado, llegando a insultar p´ ublicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las f´ ormulas de Tartaglia ser´ an conocidas como f´ ormulas de Cardano Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicaci´ on de las matem´ aticas a la artiller´ıa en el c´ alculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la ca´ıda de los cuerpos realizados por Galileo), as´ı como por la expresi´ on matem´ atica para el c´ alculo del volumen de un tetraedro cualquiera en funci´ on de las longitudes de sus lados, la llamada f´ ormula de Tartaglia, una generalizaci´ on de la f´ ormula de Her´ on (usada para el c´ alculo del ´ area del tri´ angulo): v u u u u u 1 V =u u u 288 t
2
3
0 1 1 1 1 61 0 a2 b2 c2 7 6 7 6 7 61 a2 0 d2 e2 7 . 6 7 41 b2 d2 0 f 2 5 1 c2 e2 f 2 0
Adem´ as de sus trabajos matem´ aticos, Tartaglia public´ o las primeras traducciones al italiano de las obras de Arqu´ımedes y Euclides.
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CAP 10:
263
Ecuaciones
1. √ Al resolver√la ecuaci´ on x + 1 − x + 6 = 1, se obtiene: a) 3 b) Incompatible c) ECI d) ECD e) 1 2. El valor de “x” que satisface a la ecuaci´ on: √ √ 3 x+1+ 3x−1 √ √ =2 3 x+1− 3x−1 a) x < 1 c) x ≥ 1,2 e) 1 ≤ x ≤ 1,1
b) x no existe d) 1,1 < x < 1,2
11.1.
9. Determinar uno de los valores de “p” en la ecuaci´ on: x2 − (3p − 2)x + (p2 − 1) = 0. De modo que una ra´ız sea el triple de la otra. a) 2 b) −3 c) 4 d) −2 e) 3 10. Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es: −3 + 4i a) x2 + 3x + 16 b) x2 + 6x − 25 2 c) x + 6x − 16 d) x2 + 6x + 25 e) x2 − 3x + 25 m−1 x2 − bx = ax − c m+1 tiene ra´ıces num´ericamente iguales pero de signo contrario. a+b a−b c+a a) b) c) a−b a+b a+b 1 a+b e) d) a+b a−c
√ 3. Al resolver la ecuaci´ on x − 4 − x2 = −1, se obtiene: a) Dos ra´ıces reales b) Una ra´ız real y una imaginaria c) Una ra´ız real solamente d) Dos ra´ıces imaginarias e) Una ra´ız imaginaria solamente
11. Hallar “m” si la ecuaci´ on:
4. Qu´e valores deben tomar p y q para que las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 + px + q = 0, sean tambi´en p y q? a) p = 1, q = −2 b) p = 4, q = 2 c) p = −2, q = 1 d) p = 3, q = 3 e) No es posible
12. Al resolver la ecuaci´ on: 1 3 x+2 + = 2 , se obtiene: 2x + 2 2x − 2 x −1 a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0 d) ECI e) Absurdo
5. El valor de “q” para tener dos ra´ıces iguales en la ecuaci´ on x2 − 8x + q = 0 es: a) 12 b) −16 c) 8 d) 16 e) 10 6. La diferencia de las cuartas potencias de dos n´ umeros es 369 y el cuadrado de la suma de sus cuadrados es 1681. ¿Cu´ al es la suma de dichos n´ umeros? a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 7. Resolver: Ê
x2 − 2x + 14 + x2 + 4x + 2
a) 1 d) 5/2
Ê
x2 + 4x + 2 =2 x2 − 2x + 14
b) 7/2 e) 2
c) 3
8. Si “r” y “s” son las ra´ıces √de la ecuaci´ on 2 es: x2 + bx + c = 0, el valor de r 2 + s√ a) b2 + 4c b) √ b − 4c2 c) b2 − 2c 2 d) 2b + c e) b + 4c
13. Hallar la ecuaci´ on de segundo grado si una de sus ra´ıces es: 2 x=2+ 2 1+ 2 3+ 2 1+ 3+ . .. a) x2 − 2x + 8 = 0 c) x2 − x − 8 = 0 e) x2 + x + 6 = 0
b) x2 − x + 10 = 0 d) x2 + x + 8 = 0
14. Determinar el valor de m2 +n2 , donde m y n son las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 +mx+n = 0 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 15. En la ecuaci´ on x2 − px + 36 = 0, determ´ınese “p” de tal manera que se tenga 1 1 5 + = ; x1 , x2 son ra´ıces. x1 x2 12 a) 24 b) 25 c) 18 d) 15 e) 12
264
´ Algebra
16. Hallar el producto de las ra´ıces de la ecua−3 3 ci´ on: 8Z 2n − 8Z 2n = 63 a) 2−4n b) 1 c) 4 4n d) 2 e) 2 17. Qu´e valor debe tener “C”, en la ecuaci´ on x2 − 8x + C = 0, para que una ra´ız sea inversa de la otra? a) 0.125 b) −0,125 c) 8 d) −1 e) 1 18. Cu´ al es la diferencia de los cuadrados de las ra´ıces de la ecuaci´ on: (x − 1)2 + x2 = 1,22? a) −0,22 b) 0,6 c) 1,2 d) 1,21 e) −1,21 19. Formar una ecuaci´ on cuadr´ atica que admite como ra´ıces, la suma y el producto de las inversas de aquella ecuaci´ on de coeficientes racionales que tiene como una de sus ra´ıces: 5 i + 2 2 a) 169y 2 − 156y + 20 = 0 b) y 2 − 30y + 8 = 0 c) 20y 2 − 30y + 8 = 0 d) 120y 2 − 18y + 30 = 0 e) 169y 2 + 256y + 20 = 0 20. La ra´ıces reales de la ecuaci´ on 1 1 2 + 28 = 0. Son: 4 x + 2 − 24 x + x x √ √ 1 + 21 1 − 21 a) y 2√ 2√ 4 + 21 4 − 21 b) y 3√ 3√ 4 + 21 4 − 21 c) y 4√ 4√ 5 + 21 5 − 21 d) y 2√ 2√ 5 + 21 5 − 21 e) y 5 5 21. Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular de S/. 15.00. As´ı entran todos y le sobra S/. 30.00. ¿Cu´ anto eran los hijos? a) 5 b) 7 c) 9 d) 3 e) 6 22. El denominador de una fracci´ on excede al numerador en una unidad. Si se agrega a
Walter Arriaga Delgado ambos miembros de la fracci´ on una unidad, la nueva fracci´ on excede a la original en 1/72. ¿Cu´ al es la fracci´ on original? a) 3/4 b) 4/5 c) 6/7 d) 5/6 e) 7/8
23. El producto de dos n´ umeros impares es 925. Si se divide el n´ umero mayor entre el menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos n´ umeros. a) 25 y 35 b) 35 y 39 c) 25 y 37 d) 27 y 37 e) 35 y 41 24. La suma, el producto y el cociente de dos n´ umeros dan un valor constante. ¿Cu´ al es dicho valor? a) −1/2 b) 2 c) −1 d) 1 e) 1/2 25. Carlos tiene hoy cuatro veces los a˜ nos que ten´ıa Mario cuando ´el ten´ıa 13 a˜ nos y Mario tiene hoy 22 a˜ nos. ¿Cu´ al es la edad de Carlos? a) 20 b) 12 c) 22 d) 28 e) 16 26. Calcular el valor de “u” que satisface el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 5; y + z = 8; z + u = 9; u + v = 11; v+x=9 a) 30 b) 4 c) 8 d) −5 e) 25 27. Resolver el sistema y hallar el valor de “x” x + y = xy y + z = 3yz z + u = 5zu u + w = 7uw w + x = 9wx a) −2/3 b) 0.45 c) 1 d) 2 e) 0.4
28. Resolver:
8 5 3 1 > > < x +y = 2 > 6 2 1 > − = :
x y 3 y dar como respuesta (3x − 2y) a) 1 b) 4 c) 0 d) 2 e) 6 29. Calcular “x” del sistema: x y z 1 = = = y+z x+z x+y x+y+z a) 2/3 b) −1/3 c) 1/3 d) −2/3 e) 2
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CAP 10:
´ Algebra
Ecuaciones
1. Resolver: 1 (x − 333) − x + 333 333(x − 333) = 333 a) 33 b) 333 c) 32 d) 11 e) 111 2. Si abc 6= 0, resolver la ecuaci´ on: 1 1 1 x−a x−b x−c + + =2 + + bc ac ab a b c a) a + c b) abc c) b + c d) a + b e) a + b + c 3. Resolver y hallar la suma de las ra´ıces de: 2(x2 − 6x + 9) = x4 − 12x3 + 53x2 − 102x + 72 1 1 + 2 x − 5x + 6 x − 3 a) 10 b) 7 c) 5 d) 8 e) 14 √ √ √ x+1 È 4. Resolver: x − = x+1+2 x 2 a) φ b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 √ 5. Resolver: x2 − 6x − x2 − 6x − 3 = 5 e indique sus ra´ıces enteras. a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 5 y 4 d) −1 y 7 e) 1 y −7 È √ √ 6. Resolver: x + x − 1 − x = 1. a) 0 b) 16/25 c) 1 d) 0 y 16/25 e) −16/25 y 0
7. √ La suma de√ las soluciones de la ecuaci´ on: 3x − 2 − x + 3 = 1, es: a) 7 b) −6 c) 5 d) −7 e) 6
265
11.2.
10. Resuelva la ecuaci´ on: x2 + 6px − 2k = 0. 2 Si 3x + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene ra´ıces rec´ıprocas y 6x2 + (2p − 1)x + 8 = 0 tiene ra´ıces sim´etricas. a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 5 y 4 d) 1 y −4 e) −1 y 7 11. Si a y b son las ra´ıces de la ecuaci´ on 2 x − 6x + c = 0; entonces el valor de a2 + b2 + 2c es: 9 a) 3 b) 4 c) 6 d) −6 e) −3 12. En la ecuaci´ on 3k2 x2 − 6kx − (k + 2) = 0, k 6= 0. Si la suma de sus ra´ıces es igual al doble de su producto, hallar k. a) 1 b) −2 c) 0,5 d) 2 e) −0,5 13. Si {a, b} es el conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on x2 − 197781x − 197771 = 0. Halle el valor de: a2 + b2 + a2 b2 + 2ab(a + b + 1). a) 10 b) 50 c) 100 d) 5 e) 1 14. Para que valores de m la ecuaci´ on: 2 √ 2 3 3 (2 x) + √ + 3 1+ = 0, tiene x m dos soluciones iguales. a) 1 ´ o −3/5 b) 2 ´ o −3 c) 4 d) 1 e) 1 ´ o2 15. La suma de las ra´ıces reales de la ecuaci´ on 3 −2 2 2 x (x − 3x + 1)(x − x + 1) + = 0 es: 4 a) 4 b) 2 c) 3/2 d) 5/2 e) 11/2
8. √ Hallar una de las ra´ıces on: √ de la ecuaci´ 2 2 2 2 x − 7ax + 10a − x + ax − 6a = x − 2a. a) −2a b) 3a c) 2a d) −3a/10 e) −6b
16. La suma de las ra´ıces reales de la ecuaci´ on x4 − 16 x5 + 32 − + 6x3 = 0 es: 2−x x+2 a) 8 b) 6 c) 16 d) 3 e) 0
9. Sea: (x+1)n2 −(7x+5)n+2n+12x = 0 una ecuaci´ on lineal en “x”. ¿Para qu´e valor(es) de n la ecuaci´ on tiene infinitas soluciones? a) 3 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 3 e) 4
17. Si la ecuaci´ on x2 + 2(n + 3)x + (n2 + 1) = 0 tiene ra´ıces reales diferentes, que valores enteros negativos debe asumir “n”. a) {−3; −2} b) Z− c) {−4; −2} d) {} e) {−1}
´ Algebra
266 18. Hallar x en: 6x + 2a + 3b + c 2x + 6a + b + 3c = 6x + 2a − 3b − c 2x + 6a − b − 3c
a) ac/b d) 1/abc
b) abc e) ac/b2
c) ab/c
19. Si las ra´ıces son rec´ıprocas, hallar la suma de las ra´ıces de: (2n−2)x2 +4x−4nx = 2−n a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 4 20. Si las ra´ıces de x2 + mx + n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas ra´ıces es 208. Entonces el menor valor que puede tomar E = m + n, es: a) 16 b) 8 c) 12 d) 4 e) 20 21. Hallar “m + n” si la ecuaci´ on cuadr´ atica: 2 m 10 1024x − (n − 8)x + n = 0, m, n ∈ R+ tiene ra´ √ıces sim´etricas y rec´ıprocas. √ b) √ 5 a) 2( √2 + 1) c) 2 − 1 d) 4( 2 + 1) e) 2 + 1 22. Si el conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on 2 x − 5x + 1 = 0 es {α, β}, calcule: 1 1 W = + . α+2 β+2 a) 3/4 b) 3/8 c) 1/7 d) 2/7 e) 3/5 23. Siendo α y β las ra´ıces de x2 − 2x + 5 = 0, encuentre el t´ermino independiente de la ecuaci´ on cuyas ra´ıces son: x1 = 3α + β y x2 = α + 3β. a) 22 b) −32 c) 32 d) −22 e) 20 24. Sea la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 − 3x + 1 = 0, de ra´ıces “x1 ” y “x2 ”, calcular: (x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4). a) 1595 b) 1590 c) 2001 d) 2002 e) 1045 25. Si las ecuaciones en “x” (m + 2)x2 + (n2 + 3)x − 2 = 0 (m + 1)x2 + (n + 1)x − 1 = 0 admiten el mismo conjunto soluci´ on, determine mn. a) 4 b) 2 c) 3 d) 0 e) 15
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26. De la ecuaci´ on x2 − 6x − a2 + 9 = 0, a ∈ R Indique el valor de verdad de: Si a = 0, entonces existe una u ´nica soluci´ on. Si a < 0, tiene ra´ıces no reales. Si a 6= 0, tiene dos ra´ıces reales y distintas. a) VVF d) FVF
b) VFV e) FFV
c) VVV
27. Si la ecuaci´ on de inc´ ognita “x”: (m + n − 8)x2 + (m − n + 4)x + 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m + 3n. a) 18 b) 12 c) 14 d) 24 e) 20 28. Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendr´ an tambi´en la misma cantidad en soles. ¿Cu´ anto dinero ten´ıa cada uno? a) 7, 12, 6, 20 b) 6, 14, 7, 18 c) 8, 12, 5, 20 d) 4, 10, 5, 26 e) 7, 10, 4, 24 29. Por participar en los ex´ amenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Pr´ acticas, si los tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cu´ anto gana el Decano? a) 1800 b) 1650 c) 2400 d) 1500 e) 2750 ¨
x + my = 1 para que mx − 3my = 3 valor de “m” el sistema no tiene soluci´ on. a) −1 b) −2 c) −6 d) −3 e) −5
30. Dado el sistema
31. Para que valor de a el sistema ¨
(a + 3)x + (2a + 3)y = 18 (a − 3)x + (a − 1)y = 6
no admite soluci´ on. a) −2 b) −1 d) 1 e) 0
c) 2
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CAP 10:
267
Ecuaciones
1. Marcar verdadero o falso seg´ un corresponda: x2 −2x−8 = 0, es una ecuaci´ on incompatible. √ x − 1 = −8, es una ecuaci´ on incompatible. 3x − 4 = x, es una ecuaci´ on trascendente. La ecuaci´ on x2 = −1, tiene ra´ıces sim´etricas y rec´ıprocas a la vez. a) VVVV d) VVFF 2. Resolver:
b) FVVV e) FFFF
c) VFVF
1 1 + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4)
1 =0 (x − 2)(x − 4) a) R b) 1 d) 4 e) φ
c) 3
23x − 46 3x + 6 2x − 4 − = 3. Resolver: 253 51 34 a) 4/5 b) −17/5 c) −34/5 d) 19/5 e) −19/5 3kx − 5 2kx − 3 4. Si la ecuaci´ on + = k+8 x−1 x+1 se reduce a una ecuaci´ on de primer grado en “x”. Su soluci´ on es igual a: a) 4/3 b) −4/3 c) −2/3 d) 2/3 e) 3 5. Al È resolver la ecuaci´ on de primer grado: √ a2 −1 x a x + a2 = a, se obtiene: a) 1 b) −a c) a d) −1 e) absurdo x+1 x−1 − x − 1 x+1 = 1 6. Resolver: x+1 2 1− x−1 a) 0,5 b) −0,2 d) −0,25 e) 0.6
c) 0,25
7. ¿Cu´ al(es) de las ecuaciones mostradas presentan ra´ıces reales: I. 2x2 − 3x + 1 = 0
11.3.
II. 5x2 = 4x − 1 III. x2 = 5x + 4 a) I d) Todas
b) II e) I, III
c) I, II
8. Si las ra´ıces de la ecuaci´ on: 2 2 4 x − 2(m + 4m)x + m = 0, son iguales. Calcular el valor “m”. a) 1 b) 4 c) −2 d) −4 e) 2 √ 9. Si α y β son las ra´ıces de x − 3 = x − 3, con α > β. Calcular el valor de: αβ a) 64 b) 27 c) 16 d) 81 e) 9 10. La naturaleza √ de la mayor ra´ız de la ecuaci´ on: x + x + 4 = 3x − 7, es: a) Par b) Fracci´ on c) Irracional d) Primo e) No existe ra´ız 11. Los valores de “x” la ecua√ que satisfacen √ √ ci´ on 2x + 13 = x + 3 + x + 6, suman: a) −14 b) −2 c) −9 d) −7 e) 7 12. Si el producto de las ra´ıces de: 4x2 − (m + 2)x + (n − 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cu´ al es el valor de “n”?. a) 14/5 b) 3/14 c) 3/4 d) 4/3 e) 14/3 r
r
x−2 x+3 5 13. Al resolver + = , se obx+3 x−2 2 tiene que la suma de sus ra´ıces es igual a: a) 5/3 b) 11/3 c) −1 d) 3 e) −5/3 14. Si definimos la operaci´ on z como a z b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Al resolver la ecuaci´ on: 2[x z (x − 3)] = 18. La suma de los posibles valores de “x” es: a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4 15. La suma de las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 − 4x − 5 x2 + 6x + 10 = , es: (x − 2)2 (x + 3)2 a) 5 b) −1/2 c) 1/2 d) −5 e) 1
´ Algebra
268
16. Si x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´ on 2x2 − 5x + 1 = 0, calcular el valor de −1 x−1 1 + x2 . a) 2 b) 5 c) 4 d) 3 e) 1 17. Las soluciones reales de la ecuaci´ on: 2 2 x x 5 + = x−1 x+1 16 a) ±3 b) ±2 c) ±1 d) ±1/2 e) ±1/3 18. Alessandra le dicta una ecuaci´ on cuadr´ atica a sus dos primos: Leonardo se equivoca en el t´ermino independiente y obtiene 8 y 2; mientras que Grace se equivoca en el coeficiente del t´ermino lineal y obtiene −9 y −1. ¿Cu´ al fue la ecuaci´ on cuadr´ atica?. 2 2 a) x + 10x + 9 = 0 b) x −10x+16 = 0 c) x2 − 10x + 9 = 0 d) x2 + 9x − 10 = 0 e) x2 − 9x − 10 = 0 19. ( Calcular el valor de “m” si el sistema: (2m − 1)x + my = 6 15x = 6 − 8y presenta infinitas soluciones. a) 8 b) −8 c) −2 d) 6 e) 2 (
kx − 5 = −y no admite x + ky = 8 soluci´ on, entonces la suma de los valores que admite “k” es: a) b y c b) 1 c) −1 d) 0 e) 2
20. Si el sistema:
21. ( Para que valor de “n” el sistema: (n + 2)x + 6y = k ser´ a compatible de2x + (1 + n)y = 7 terminado. a) R b) R − {2, −5} c) 1 d) R − {1} e) R − {1, 2} 22. ( Calcular x + y en el sistema: (a + b)x − (a − b)y = 4ab (a − b)x + (a + b)y = 2a2 − 2b2 a) a b) b c) ab d) a − b e) 2a 23. ( Calcular ab sabiendo(que los sistemas: 3x + ay = 7 ax + 3y = 8 4x + by = 2 bx + 4y = 7
Walter Arriaga Delgado son equivalentes a) 2 b) 6 d) −6 e) 12
c) −2
24. Calcular el valor de: x − y + z − w del sistema: 8 > x+y+z =5 > > x+z+w =1 > > : y+z+w = 4 a) 3 b) −2 c) −3 d) 5 e) −1 25. Determinar una fracci´ on sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denominador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador se disminuye en 2 se obtiene 3/5. a) 4/7 b) 3/7 c) 1/7 d) 2/7 e) 5/7 26. Una caja vac´ıa pesa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2 esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos m´ as que una roja y una esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Cada esfera roja pesa 6 gramos y las esferas del mismo color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en su interior. a) 174 b) 170 c) 155 d) 185 e) 124 27. Si A le da S/ 1.00 a C, ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendr´ a lo mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 m´ as, tendr´ a tanto como el doble de lo que tiene C, ¿Cu´ anto tiene C?. a) S/ 10 b) S/ 8 c) S/ 7 d) S/ 5 e) S/ 9 28. En el sistema de ecuaciones : 8 1 1 1 1 > < + + = . . . . . . (1) x y z 36 > : xy + yz + xz = 9
. . . . . . (2)
¿Cu´ al es el valor de xyz? a) 360 b) 225 d) 8 e) 9
c) 324
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 10:
Ecuaciones
1. Para que valores de “x” se verifica la igualdad: √ √ √ √ x+b x−a x−b x+a √ +√ =√ +√ x−b x+a x+b x−a a) a + b d) a − b
b) −ab e) 1
c) ab
2. Para que valores reales de “n” la ecuaci´ on de primer grado en “x”: (2n − 1)x + 2 = nx − 3n2 , ser´ a compatible y determinada. a) ∀n ∈ R b) 2 c) 3 ′ d) ∀n ∈ R e) ∀n ∈ R− {1} 3. Qu´e valor de “x” satisface la igualdad: x+a x2 + ax + b = 2 x + cx + d x+c a)
ad + bc b+d
d) b/d
b)
ad bc
c)
e) a/b
ad − bc b−d
4. Despejar “x” de: x3 + mx2 + nx + p x2 + mx + n = x3 + ax2 + bx + p x2 + ax + b b−n m−a b+n d) m−a a)
269
b+n m+a b−n e) m+a
b)
c)
b−m n−a
5. Si x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´ on mx2 − (m + 1)x + m + 2 = 0 que satisfacen la condici´ on (x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = 8 entonces el valor de m es: a) 15 b) 12 c) 8 d) 2 e) 7 6. Determinar el valor de “m”, de tal manera que la ecuaci´ on cuadr´ atica en: x2 − 2(m2 − 4 4m)x + m = 0, tenga sus dos ra´ıces con un mismo valor diferente de cero. a) 1 b) 2 c) −2 d) −4 e) 4 7. Indicar on cuadr´ atica È √ una ra´ız de la ecuaci´ n−1 x x − 4n + 1 = 0 a) 3√ b) √ −3 c) 6 d) 3 e) 6
11.4.
8. Si las ecuaciones: (2m + 1)x2 − (3m − 1)x + 2 = 0 (n + 2)x2 − (2n + 1)x − 1 = 0 son equivalentes; calcular el valor de “m” a) −12 b) 6 c) −9 d) −16 e) −6 9. Si una ra´ız de la ecuaci´ on: ax2 + bx + c = 0, b2 es el cu´ adruplo de la otra, calcular ac a) 25/4 b) −5/2 c) 5/4 d) 5/2 e) 36/25 10. Si las ecuaciones (7a − 2)x2 − (5a − 3)x + 1 = 0 8bx2 − (4b + 2)x + 2 = 0 tienen las mismas ra´ıces, entonces a + b es: a) −3 b) 3 c) −1 d) 5 e) 2 11. Hallar “n” si una ra´ız de: 8x2 −3nx+(n−1) = 0, es el doble de la otra a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Si α ∧ β son las ra´ıces de la ecuaci´ on: 2 x − 5x − 3 = 0, calcular el valor de: α(α − 1) + β(β − 1) a) 24 b) 25 c) 28 d) 27 e) 26 13. Hallar la suma de los cuadrados en las ra´ıces de la ecuaci´ on: (2a+2)x2 +(4−4a)x+a−2 = 0, sabiendo que sus ra´ıces son rec´ıprocas: 82 a) 9 b) 8 c) 9 81 9 d) e) 9 8 14. Dar la suma de todos √ los valores de “a”, si la ecuaci´ on: x2 + 2a a2 − 3x + 4 = 0, tiene ra´ıces iguales: a) 0 b) 2 c) −2 d) −4 e) 4 √ √ x+a+ x−a 4x − a √ 15. Resolver: √ = 2a x+a− x−a 5 4a b) a a) c) 4 5 5a 4 d) e) 4 5a
´ Algebra
270
16. La suma de las ra´ıces reales de: x4 − 13x2 + 40 =√0, es: √ b) 0√ a) 2 c) 5 d) 1 e) 2 2 17. Encuentre la suma de las soluciones de la ecuaci´ on: x5 +3x4 −7x3 −21x2 +12x+36 √=0 a) 3 b) 2 c) 2 3 d) 4 e) −3 18. Resolver: √ √ 5 x−3 y = 3 25x − 9y = 81. Indicar el valor de “y” a) 15 b) 17 d) 18 e) 19
c) 16
19. Resolver: (x − 3)(x + 5) (x − 4)(x + 2) −1 − = 5(x − 5)(x + 7) 4(x − 6)(x + 4) 20 a) 11/4 d) 13/4
b) 13/2 e) 7/4
c) 7/3
20. Si la ecuaci´ on cuadr´ atica 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene ra´ıces sim´etricas y rec´ıprocas, hallar el valor de W = mn + nm . a) 15 b) 32 c) 12 d) 17 e) 16 21. Hallar la ecuaci´ on de segundo grado que tenga por coeficiente del primer t´ermino la unidad, por coeficiente del segundo t´ermino, una de sus ra´ıces, y por u ´ltimo t´ermino la otra raiz. a) x2 − x + 2 = 0 b) x2 + x − 2 = 0 c) x2 + x − 1 = 0 d) x2 − x − 2 = 0 e) x2 + x + 2 = 0 22. Cuando dos bombas act´ uan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente actuar´ a una bomba, tardar´ıa 16 horas m´ as en vaciar el pozo, que si solamente actuar´ a la otra bomba m´ as potente, el vaciar el pozo. ¿Cu´ anto demora la bomba m´ as veloz en vaciar el pozo? a) 26 h. b) 28 h. c) 30 h. d) 32 h. e) 24 h. 23. Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64
Walter Arriaga Delgado botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cu´ al es el precio de cada botella de vino? a) 110 b) 80 c) 120 d) 95 e) 105
24. Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 metros el animal podr´ıa abarcar cuatro veces el ´ area original, entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es: a) 10 b) 13 c) 20 d) 15 e) 18 25. De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres m´ as, luego se saca la mitad de lo que resta y todav´ıa quedan 10 cartas. ¿Cu´ antas cartas se sac´ o la primera vez?. a) 9 b) 14 c) 8 d) 12 e) 10 26. Para qu´e valores de “m” el sistema: (m + 1)x + 3y = 4m + 3 (m + 4)x + 3my = 5, tiene soluci´ on u ´nica? a) Para m 6= 2 , m 6= −2 b) Para m 6= 0 c) Para ning´ un valor de m d) Para todo m e) m = 1 solamente 27. Resolver el sistema:
8 > <3x + 2y − z = 4
2x + 3y − 2z = 2 5x − y − 3z = −6
> :
y hallar el valor de xyz. a) 1 b) 60 d) 30 e) 6
c) 24
28. Calcular “x” a partir del sistema: (
4x−1 − 3y −1 = 14 6x−1 − 5y −1 = 18
a) 0,25 d) −0,5
b) −0,25 e) 0,5
c) 0,125
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 10:
271
Ecuaciones
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) seg´ un corresponda: x2 − x − 12 = 0; es una ecuaci´ on compatible. √ √ 4 x2 − 4x − 2 + 2 − x = 0; es una ecuaci´ on incompatible 7x − x + 12 = 2x + 2(2x + 6); es una ecuaci´ on que tiene infinitas soluciones. a) VFF d) VVF
b) VVV e) FVV
2. Resolver: x − a) 0 d) 4 3. Resolver: a) 1 d) 4
√
x2 + 25 = 5 b) 3 e) Absurdo
2x 6 +1= x−3 x−3 b) 2 e) 3
c) VFV
c) 5
c) φ
4. Resolver: 5 3 5 7x − 15 − = + 2x − 3 2x2 − 3x x 3x − 2x2 a) Absurdo d) 1
b) 1/3 e) 3/2
c) 2/3
5. Escribe verdadero (V) o falso (F) seg´ un corresponda: √ 2x + 6 = 4 2x + 3; tiene ra´ıces reales y diferentes. √ 2x2 − 3x + 2 = 1 − x; tiene ra´ıces reales e iguales. 1 x 1 − = ; tiene ra´ıces imaginarias. x 4 a) VVV d) VFF
b) FVV e) VVF
c) VFV
6. Al resolver la ecuaci´ on, la suma de las ra´ıces 4 3 2 reales de: √ x + x − 3x − 4x − 4 = 0, es: b) 0√ c) −1 a) −2 2 d) 1 e) 2 2 7. En la ecuacion: 3k2 x2 − 6kx − (k + 2) = 0, k 6= 0, si la suma de sus raices es igual al doble de su producto, hallar “k”. a) 1 b) 0,5 c) −2 d) 2 e) −0,5
11.5.
8. Resuelva la ecuaci´ on: x2 + 6px − 2k = 0. Si 2 3x + (k + a)x + (5 − k) = 0 tiene ra´ıces rec´ıprocas y 6x2 + (2p − 1)x + 8 = 0 tiene ra´ıces sim´etricas. a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 1 y −4 d) −1 y 7 e) 5 y 4 9. Para que valores de “n” la ecuaci´ on: √ 2
2 x
+
3 √ x
2
+3 1+
tiene 2 soluciones iguales. a) {−3/5, 1} b) {−3, 2} d) 1 e) {1, 2}
3 =0 n c) −3/5
10. En la ecuaci´ on: 2x2 −(m−1)x+(m+1) = 0, ¿Qu´e valor positivo debe darse a “m” para que las ra´ıces difieran en uno? a) 9 b) −7 c) 8 d) 11 e) 1 11. Hallar “p” en la igualdad: x2 − (p + 3)x + p2 + 1 = 0, si: x1 = a2a + 1; x2 = a2a , donde 4 on. x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´ a) 2/3 b) −2/3 c) 3/2 d) −3/2 e) 1 12. Al resolver la ecuaci´ on: x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 120, la suma de las ra´ıces es: a) 3 b) −3 c) 0 d) 2 e) 6 13. Al resolver la ecuaci´ on, la suma de las ra´ıces 3 2 de: x + (b − 3a)x + (2a2 − 3ab)x + 2a2 b = 0, es: a) b − a b) a − b c) 3a − b d) b − 2a e) 2a − b 14. Si “a” y “b” son las raices de la ecuaci´ on: x2 − 6x + c = 0; entonces el valor de: (a2 + b2 + 2c)/9 es igual a: a) 4 b) 6 c) −6 d) 3 e) −3 15. Determinar la ecuaci´ on de segundo grado y de coeficientes racionales si una de sus √ ra´ıces es: 2 − 3 a) x2 + 4x + 1 = 0 b) x2 − 4x − 1 = 0 c) x2 − x + 4 = 0 d) x2 − 4x + 1 = 0 2 e) x + 4x − 1 = 0
272
´ Algebra
16. Si {a; b} son las ra´ıces de la ecuaci´ on 4x2 − 2x + 3 = 0, halle otra ecuaci´ on cuadr´ atica en “y” cuyas ra´ıces sean {2a − 1; 2b − 1} a) y 2 + y + 2 = 0 b) y 2 + y + 3 = 0 2 c) y + y + 1 = 0 d) y 2 + y + 8 = 0 e) y 2 + y + 7 = 0 17. Sea la ecuaci´ on en “x”: aa x2 + 9(bb − 1)x + 27 = 0, de ra´ıces rec´ıprocas y sim´etricas. Halle la ecuaci´ on cuadr´ atica formada por las ra´ıces “a” y “b” b) x2 + 4x + 3 = 0 a) x2 + 3x + 4 = 0 c) x2 − 4x − 3 = 0 d) x2 − 3x − 4 = 0 2 e) x − 4x + 3 = 0 18. Al resolver la ecuaci´ on en “x”: È √ √ 2(x + x2 + 7x) = 35 + x + x + 7 √ √ Determinar x−1 2x + 7 a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 7 19. Al resolver la ecuaci´ on: √ √ √ 45 45 45 8+x 8+x x + = 8 x 2 2a se obtiene: √ , indicar el valor de: b c a −1 a+b−c a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 √ √ 4 20. En la ecuaci´ o n: 5x x − 3 x3 = 296, deter√ √ x+1 minar: 2x a) 8 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 on de: 21. Sea {x1 , x2 } el conjunto soluci´ È √ √ 3 3 0,5x − 0,2 + 0,2x − 0,5 = 3 2,8(x − 1) x1 + 2 x2 + 2 + Halle el valor de: W = x2 + 2 x1 + 2 a) 5/2 b) 10/3 c) 7/3 d) 9/4 e) 17/4 22. Calcule “m” y “n” si las ecuaciones: (2m + 1)x2 − (3m + 1)x + 2 = 0 (n + 2)x2 − (2n + 1)x − 1 = 0 presentan las mismas soluciones. a) 1 y −1 b) 2 y 1/2 c) −9 y 1/2 d) 2/5 y 1 e) −7 y 9/2 23. ¨ Hallar el valor de k de modo que el sistema (k − 1)x = −y tenga infinitas soluciox = 2y nes. a) −1/2 b) 3/2 c) 1/2 d) −3/2 e) 1
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24. Calcular el valor de x + y del sistema: 8 5 3 3 > √ −√ = > < x y 2 > 4 2 1 > :√ − √ = y x 3 a) 13 d) 12
b) 10 e) 9
c) 11
25. Indicar el valor de x − y en el sistema: 8 3 5 −4 > > < 3x − 2y + 3 + x + 4y − 7 = 21 > 3 8 7 > : − = 3x − 2y + 3 x + 4y − 7 15 a) 1 b) −1 c) −7 d) 7 e) 14 26. Indicar el valor de “m” para que el sistema: (4 − m)x + 12y = 3 (m − 3)x + 2y = 4 sea inconsistente. a) 7/22 b) 22/7 c) 15/4 d) 5/9 e) 9/5 27. Dado el sistema: (a − 1)x + 4y = 9b 4x + (a − 1)y = 36 Determinar “a + b” para que el sistema tenga infinitas soluciones. a, b > 0 a) 7 b) 8 c) 11 d) 10 e) 9 28. Dada la ecuaci´ on: a2 x2 + a1 x + a0 = 0, cuyo conjunto soluci´ on es: § ª 1 1 1+ ; 1+ Halle el valor de: 3k + 1 3k + 4 (3k + 1)(3k + 4)(a0 + a1 + a2 ) E= a2 a) 2 b) −1 c) 1 d) −2 e) 1/2 29. Si f es una funci´ on de proporcionalidad directa y g es una funci´ on de proporcionalidad inversa, donde: f (1) + g(1) = 51; f (3) + g(4) = 150, 25 el valor de W = f (5) × g(5) = 51 es: a) 50 b) 525 c) 750 d) 1025 e) 1250
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CAP 10:
Ecuaciones
1. La soluci´ on de la ecuaci´ on: x+a x−b x + a 2(x − b) + = + a−b a+b a+b a−b a) 2a b) 3b c) 3a d) 2b e) 4a 2. Si la ecuaci´ on 2nx − 3 3nx − 2 + = 2n+3 se reduce a una x−1 x+1 ecuaci´ on de primer grado, su soluci´ on es: a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/2 e) 1 3. Resolver: 3 3+
3
=
3 x+
a) 1 d) 1/4
273
3 4
3+
b) −2/3 e) −1
3 x+
3 5 c) φ
√ √ 4. Resolver la ecuaci´ on x + 1 − x − 1 = 1; para luego indicar el valor rec´ıproco de su ra´ız. a) 0.8 b) 0.6 c) 0.4 d) 1.25 e) 1.5 5. Resolver: √ √ √ √ 3x − 2 + 2x − 1 = 5x − 4 + 4x − 3 a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5
11.6.
9. Con respecto a la ecuaci´ on: 5x2 − (a + 2)x + (7 − a) = 0. ¿Cu´ al de las siguientes afirmaciones no es correcta? a) Tiene ra´ıces sim´etricas, para: a = 5 b) Tiene ra´ıces rec´ıprocas, para: a = 2 c) La suma de sus ra´ıces es 2, para: a = 8 d) Tiene una ra´ız nula para a = 7 e) Tiene ra´ıces sim´etricas, para: a = −2 10. √ Resolver: √ √ x2 − 12x + 27 + x2 − 12x + 35 = 2 2 y se˜ nalar una de sus ra´ıces. a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 2 11. Calcular los valores de “a” e indicar su suma en la ecuaci´ on: 2ax2 + 3x + a = 0, si una ra´ız es el doble de la otra. a) 19 b) 0 c) 23 d) 2.5 e) −4 12. ¿Para qu´e valor la ecuaci´ on 4x2 3x1 + x2 = −8 y a) −12 d) 18
de n las ra´ıces x1 , x2 de + nx + 5 = 0 verifican: x1 + 3x2 = −4 b) 6 c) −6 e) 12
13. Si la ecuaci´ on x2 + (a + b + c)x + 41 = 0, presenta ra´ıces sim´etricas. Hallar: 3abc a2 + b2 + c2 W = 3 − a + b3 + c3 2(ab + ac + bc) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. Resolver on de primer grado en x: È √ la ecuaci´ n2 −1 2 n x x+n =n a) 1 b) −1 c) n d) −n e) 2
14. Si la ecuaci´ on 6ax2 + 17ax + a2 = 1, presenta ra´ıces rec´ıprocas. Hallar W = a2 +a−2 a) 38 b) 37 c) 36 d) 35 e) 34
7. Indicar el producto de las ra´ıces de la ecua1 + x−1 1 + 2x−1 2 + 13x−1 ci´ on: + = −1 −1 1−x 1 − 2x 1 + x−1 a) 4/3 b) −6 c) 5 d) −5 e) 6
15. Al resolver
8. Para que valor de k, las ra´ıces de la ecuax2 + 3x k−1 ci´ on: = son sim´etricas 5x + 2 k+1 a) 5 b) 3 c) 4 d) 2 e) 1
x+1 x+3 2 − = , el producto x+2 x+4 3 de las ra´ıces obtenidas es: a) 6 b) 11 c) −11 d) −6 e) 13
16. La ecuaci´ on x2 − 6x + n + 1 = 0, admite co1 1 3 mo ra´ıces a x1 y x2 , tal que: + = ; 2x1 2x2 5 encontrar el valor de n a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5
´ Algebra
274
17. Si 2 y −2 son ra´ıces de la ecuaci´ on x4 + ax3 + bx2 + 8x − 4 = 0, determinar el valor de a + b. a) 0 b) −2 c) 5 d) 2 e) −5 18. Si a, b son ra´ıces de la ecuaci´ on x2 −3x = −3, a+b ab calcular: W = a b a) 3 b) −3 c) 27 d) 2 e) 9 19. Si las ra´ıces de la ecuaci´ on 2x2 + (a − 1)x + (a + 1) = 0 son n´ umeros enteros consecutivos, halle el mayor valor de “a” a) 11 b) 10 c) 15 d) −1 e) −10 20. Consideremos las ecuaciones: x2 + b1 x + c1 = 0 x2 + b2 x + c2 = 0 tales que b2 , c2 y b1 , c1 son las ra´ıces de la primera y segunda ecuaci´ on respectivamente, donde c2 , b1 6= 0. Hallar: W = 3b2 + c1 + 2b1 + 3c2 a) −4 b) −1 c) −2 d) −3 e) 0 on 21. Si x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´ 2x2 − 2x + 1 = 0, hallar: x2 x1 x1 x 1 x2 x 2 W = − x2 x1 a) 1 b) 0 c) 2 d) −1 e) 1/2 22. Determinar el valor de k para que el siste8 > 2x − 5y + 3z = 0 < ma: x − y + z = 0 > : 3x + ky + z = 0 sea indeterminado. a) 1 b) 9 c) 5 d) 7 e) 3 23. ( Si el sistema (a + b)x + (a − b)y = 42 (2a + b)x + (3a − 2b)y = 113 admite como soluci´ on a: x = 2; y = 5. Calcular el valor de a − b. a) 7 b) 11 c) 10 d) 3 e) 4 (
24. Si el sistema
x2 + y 2 = 16 y + 5 = kx
Walter Arriaga Delgado admite una soluci´ on u ´nica. ¿Qu´e valor asume x? a) 12/5 b) 2 c) 1/4 d) 2/5 e) 11/5
25. Resolver x3 − 9x2 + kx − 24 = 0, y hallar el valor de k si las ra´ıces de la ecuaci´ on est´ an en progresi´ on aritm´etica. a) 20 b) 18 c) 21 d) 26 e) 15 26. Si x1 , x2 , x3 son las ra´ıces de la ecuaci´ on 6x3 − αx2 − 3x + 2 = 0, calcular −1 −1 x1 + x−1 2 + x3 a) 2/3 b) 3/2 c) 1/3 d) 1 e) 4/5 27. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de 8 soles le faltar´ıa 12 soles y si compra entradas de 5 soles le sobrar´ıan 15 soles. ¿Cu´ antos hijos tiene el matrimonio? a) 5 b) 10 c) 8 d) 9 e) 7 28. En el establecimiento de la se˜ nora Zoila Baca Alegre se cuentan 27 veh´ıculos entre autos y bicicletas. Si en total se han contado 60 llantas. ¿Cu´ antas bicicletas hay? a) 23 b) 25 c) 24 d) 27 e) 48 29. Elton Tito se presenta a un simulacro de admisi´ on, el n´ umero de preguntas es 140, la calificaci´ on es de 4 puntos por respuesta correcta y le descuentan 1 punto por cada incorrecta, si obtuvo 260 puntos y respondi´ o todas las preguntas, ¿Cu´ antas no acert´ o? a) 60 b) 40 c) 80 d) 160 e) 20 30. En una cl´ınica japonesa, la doctora de fisioterapia Tezuda Torito pregunta al otorrinolaring´ ologo Tezako Tumoko, por el n´ umero de pacientes que atendi´ o, ´este respondi´ o: Atend´ı 2 m´ as que la ra´ız cuadrada, del triple de los que atend´ı disminuido en 2, ¿Cu´ antos pacientes atendi´ o? a) 4 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8
Cap´ıtulo 12:
INECUACIONES Objetivos z Comparar n´ umeros reales, usando los signos de desigualdad para expresar la relaci´ on existente entre ellos. z Resolver y relacionar las inecuaciones de primer grado con una inc´ ognita con las gr´ aficas de funciones lineales afines. z Resolver y relacionar las inecuaciones de segundo grado con una inc´ ognita con las gr´ aficas de las funciones cuadr´ aticas.
El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la noci´ on de igualdad desde los intelectuales babil´ onicos, aunque no se trataba con tanto inter´es. Las inecuaciones se convierten en la preocupaci´ on de los intelectuales europeos, en el siglo XVI con Leonardo de Pisa1 entre las inecuaciones simples. Las desigualdades o relaci´ on de orden se convierten en una caracter´ıstica fundamental que diferencia al conjunto de los n´ umeros reales del conjunto de los n´ umeros complejos.
12.0.11.
Desigualdad
Definici´ on 12.0.7. Una desigualdad es una comparaci´ on que se establece entre dos n´ umeros reales a, b utilizando los s´ımbolos de la relaci´ on de orden, el cual puede ser verdadero o falso. a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b. 1
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambi´en llamado Fibonacci, fue un matem´ atico
italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeraci´ on actualmente utilizado, el que emplea notaci´ on posicional (de base 10, o decimal) y un d´ıgito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesi´ on de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).
275
´ Algebra
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Walter Arriaga Delgado
Desigualdades conocidas Los matem´ aticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas f´ ormulas exactas no pueden ser f´ acilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como: Desigualdad de Azuma Desigualdad de Bernoulli Desigualdad de Boole Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad de Chebyshov Desigualdad de Chernoff Desigualdad de Cram´er-Rao Desigualdad de Hoeffding Desigualdad de H¨ older Desigualdad de las medias aritm´etica y geom´etrica Desigualdad de Jensen Desigualdad de M´ arkov Desigualdad de Minkowski Desigualdad de Nesbitt Desigualdad de Pedoe Desigualdad triangular
12.0.12.
La recta real
Es muy com´ un manejarse en la vida cotidiana con n´ umeros que oscilan en ciertos rangos. Muchos fen´ omenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta secci´ on precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la noci´ on de inervalo, y finalizaremos con la resoluci´ on de inecuaciones.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
277
Definici´ on 12.0.8. La recta real es una representaci´ on geom´etrica del conjunto de los n´ umeros reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un n´ umero real.
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
R
Figura 12.1: La Recta Real
Intervalos Definici´ on 12.0.9. Los intervalos num´ericos en R son conjuntos de n´ umeros reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados Intervalos acotados o finitos Definici´ on 12.0.10. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a < x < b. No est´ an inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por ha, bi o tambi´en ]a, b[ de modo que:
ha, bi = {x ∈ R / a < x < b} a
b
R
Observaci´ on 12.0.1. Si a = b, entonces ha, bi = φ. Definici´ on 12.0.11. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a ≤ x ≤ b. Est´ an inclu´ıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo que: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} a
b
R
Observaci´ on 12.0.2. Si a = b, entonces [a, b] = {a} o {b}. Definici´ on 12.0.12. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a < x ≤ b. Se denota por ha, b] de modo que:
ha, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} a
b
R
´ Algebra
278
Walter Arriaga Delgado
Definici´ on 12.0.13. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es aquel conjunto formado por todos los n´ umeros reales x tales que a ≤ x < b. Se denota por [a, bi de modo que:
[a, bi = {x ∈ R / a ≤ x < b} a
b
R
Intervalos no acotados o infinitos Definici´ on 12.0.14. Los intervalo infinitos son conjuntos de n´ umeros reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma: ha, +∞i = {x ∈ R / x > a} a
R
a
R
[a, +∞i = {x ∈ R / x ≥ a}
h−∞, ai = {x ∈ R / x < a} a
R
a
R
h−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}
h−∞, ∞i = {x ∈ R / x ∈ R} 0
R
Operaciones con intervalos Siendo los intervalos subconjuntos de los n´ umeros reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de conjuntos, como son la uni´ on, intersecci´ on, diferencia, diferencia sim´etrica, y complementaci´ on. A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}
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Walter Arriaga Delgado
279
Notaci´ on
Intervalo
Longitud (l)
Descripci´ on
ha, bi
a
b−a
Intervalo abierto
[a, bi
a≤x
[a, b]
ha, b]
ha, ∞i
a≤x≤b aa
[a, ∞i
x≥a
h−∞, a]
x≤a
h−∞, ai
x
h−∞, ∞i
x∈R
{}
6∃x
{a}
x=a
b−a
Intervalo cerrado
b−a
Intervalo semiabierto o semicerrado
∞
Intervalo infinito
∞
Intervalo infinito
∞
Intervalo infinito
b−a
Intervalo semiabierto o semicerrado
∞
Intervalo infinito
∞
Intervalo infinito
0
Intervalo cerrado. Conjunto unitario
6∃
Conjunto vac´ıo
Cuadro 12.1: Clasificaci´ on de intervalos A − B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x 6∈ B} A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)} A′ = Ac = {x ∈ R / x 6∈ A} Nota 12.0.2. A − B = A\B
12.0.13.
Inecuaci´ on
Definici´ on 12.0.15. Una inecuaci´ on es toda desigualdad condicional que contiene una o m´ as cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0,
p(x) < 0,
p(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0.
Toda inecuaci´ on se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la inc´ ognita o inc´ ognitas
toman un valor real determinado.
12.0.14.
Inecuaciones de primer grado
Definici´ on 12.0.16. Llamada tambi´en Inecuaci´ on Lineal, es aquella inecuaci´ on de la forma:
donde a 6= 0 y {a, b} ⊂ R
ax + b > 0
;
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
;
ax + b ≤ 0
´ Algebra
280
12.0.15.
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones de segundo grado
Definici´ on 12.0.17. Llamada tambi´en Inecuaci´ on Cuadr´ atica, es aquella inecuaci´ on de la forma: ax2 + bx + c > 0
;
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
;
ax2 + bx + c ≤ 0
donde a 6= 0 y {a, b, c} ⊂ R
12.0.16.
Inecuaciones polin´ omicas
Definici´ on 12.0.18. Las inecuaciones polin´ omicas tienen la forma: P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an > 0 P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an < 0 P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ≥ 0 P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ≤ 0 y son llamadas tambi´en inecuaciones de orden superior.
12.0.17.
Inecuaciones racionales
Definici´ on 12.0.19. Una inecuaci´ on racional es una desigualdad condicional que reducida a su m´ as simple expresi´ on tiene la forma: P (x) >0 Q(x)
12.0.18.
;
P (x) <0 Q(x)
;
P (x) ≥0 Q(x)
;
P (x) ≤0 Q(x)
Ecuaciones e inecuaciones irracionales
Definici´ on 12.0.20. Una ecuaci´ on irracional es aquella en que la variable aparece afectada por un signo radical. Propiedad 12.0.1. √ x ≥ 0, ∀x ≥ 0 √
x=0
⇐⇒
x=0
Teorema 12.0.6. Sean a y b n´ umeros reales, entonces: √ a=b
⇐⇒
[ b≥0
∧
a = b2 ]
(12.1)
Definici´ on 12.0.21. Una inecuaci´ on irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece afectada por un signo radical.
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
281
Lema 12.0.1. Sean x, y, n´ umeros reales, entonces: 0≤ 0≤
√ √
x≤ x<
√
y
⇐⇒
0≤x≤y
√
y
⇐⇒
0≤x
Teorema 12.0.7. Si n es un entero par positivo, entonces: √ n √ n
x≤ x<
√ n
y
⇐⇒
0≤x≤y
√ n
y
⇐⇒
0≤x
Teorema 12.0.8. Si n es un entero impar positivo, entonces: √ n √ n √ n √ n
x≤ x<
√ n
y
⇐⇒
x≤y
√ n
y
⇐⇒
x
x≥0
⇐⇒
x≥0
x<0
⇐⇒
x<0
Teorema 12.0.9. Sean a y b n´ umeros reales, entonces: √ √ √ √
a
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b>0
∧
a < b2 ]
a≤b
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b≥0
∧
a ≤ b2 ]
a>b
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b<0 ∨ (b≥0
∧
a > b2 ) ]
a≥b
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b<0 ∨ (b≥0
∧
a ≥ b2 ) ]
12.0.19.
Inecuaciones exponenciales
Las inecuaciones exponenciales son de la forma: bP (x) ≥ bQ(x) bP (x) ≤ bQ(x) bP (x) > bQ(x) bP (x) < bQ(x) Se presentan los siguiente casos: Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: bP (x) ≥ bQ(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
´ Algebra
282
Walter Arriaga Delgado
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒
P (x) ≤ Q(x)
bP (x) > bQ(x)
⇒
P (x) > Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒
P (x) < Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x)
⇒
P (x) ≤ Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
bP (x) > bQ(x)
⇒
P (x) < Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒
P (x) > Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple:
12.0.20.
Inecuaciones logar´ıtmicas
Las inecuaciones exponenciales son de la forma: logb P (x) ≥ logb Q(x) logb P (x) ≤ logb Q(x) logb P (x) > logb Q(x) logb P (x) < logb Q(x) Se presentan los siguiente casos: Caso I: Si b > 1, entonces se cumple: logb P (x) ≥ logb Q(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
logb P (x) < logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple: logb P (x) ≥ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
logb P (x) < logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
12.0.21.
283
Sistemas de inecuaciones
12.1.
Valor Absoluto y M´ aximo Entero
12.1.1.
Valor absoluto
El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a 6= 0, y x es una variable real. Definici´ on 12.1.1. El valor absoluto o magnitud de X ∈ R, denotado por |x| es un n´ umero no
negativo definido por la siguiente regla:
|x| =
8
−x
x≥0 x<0
El concepto de valor absoluto de un n´ umero real puede generalizarse a muchos otros objetos matem´ aticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto est´ a estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matem´ aticos y f´ısicos. Desde un punto de vista geom´etrico, el valor absoluto de un n´ umero real x corresponde a la distancia a lo largo de la recta num´erica real desde x hasta el n´ umero cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos n´ umeros reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de funci´ on distancia o m´etrica se puede ver como una generalizaci´ on del valor absoluto de la diferencia. Proposici´ on 12.1.1. I. |a| ≥ 0,
para todo a ∈ R
II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 III. |a|2 = a2 , IV. |a| =
√
a2 ,
V. |a| = | − a|, VI. |ab| = |a||b|,
a |a| VII. = , b |b|
para todo a ∈ R para todo a ∈ R para todo a ∈ R para todo a, b ∈ R para todo a, b ∈ R, b 6= 0.
VIII. |a + b| ≤ |a| + |b|,
para todo a, b ∈ R
IX. |a − b| ≤ |a| + |b|,
para todo a, b ∈ R
(Desigualdad Triangular)
´ Algebra
284
Walter Arriaga Delgado
X. |a| − |b| ≤ |a − b| XI. |a| = b
⇐⇒
b≥0
∧
[a = b ∨ a = −b]
XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b XIV. |a| < b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b < a < b XV. |a| ≥ b ⇐⇒ a ≥ b ∨ a ≤ −b XVI. |a| > b ⇐⇒ a > b ∨ a < −b XVII. |a| ≤ |b| ⇐⇒ a2 ≤ b2 XVIII. −|a| ≤ a ≤ |a|,
12.1.2.
para todo a ∈ R
M´ aximo entero
Definici´ on 12.1.2. En el sistema de n´ umeros reales se define el m´ aximo entero de un n´ umero real x, a la expresi´ on denotada por JxK = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x; es decir: JxK = n ⇐⇒ JxK = max{n ∈ Z / n ≤ x} Ejemplo 12.1.1. x = 2,8 √ x=− 2
entonces
x=π
entonces
x = −7
entonces entonces
JxK = J2,8K = 2; q √ y JxK = − 2 = −2;
porque:
JxK = JπK = 3;
porque:
JxK = J−7K = −7;
Propiedades 1. JxK ∈ Z,
∀x ∈ R
2. JxK = x
⇔
x∈Z
3. JxK ≤ x < JxK + 1, 4. JxK = n
⇔
∀x ∈ R
n ≤ x < n + 1,
5. Jx + nK = JxK + n,
n∈Z
n∈Z
6. JxK ≤ n
⇔
x < n + 1,
7. JxK < n
⇔
x < n,
n∈Z
n∈Z
porque: porque:
2 ≤ 2,8 < 3 √ −2 ≤ − 2 < −1 −7 ≤ −7 < −6 3≤π<4
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 8. JxK ≥ n
⇔
x ≥ n,
9. JxK > n
⇔
x ≥ n + 1,
10. JxK + JyK < Jx + yK, 11. JxK + J−xK = 12. Si
x≤y
8 <0 , :
⇒
n∈Z n∈Z
∀x, y ∈ R si x ∈ Z
−1 , si x ∈ (R − Z) JxK ≤ JyK,
∀x, y ∈ R
285
´ Algebra
286
CAP 11:
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones
1. El mayor n´ umero entero “m” que satisface la desigualdad 2x2 − 4x + 1 > 2m a) 0 b) −1 c) 1 d) 2 e) −2 √ √ 2. √ Resolver: x2 − 5x + 6 + 2x2 − 5x + 2 + 5x − 4 − x2 > 0 a) h3, 4i b) h−∞, 2i ∪ [3, 4i c) [−1/2, 4] d) [3, 5i e) {2} ∪ [3, 4] 3. Resolver para x, y ∈ Z: x+y >6 ; x−y <2 ; y <4 Indicar el valor de (y/x) a) 0.5 b) 1 c) 0.75 d) 2 e) 3 4. La suma de los enteros que cumplen 3x + 4 4x − 5 +2< , tiene por valor: x−5 x−5 a) 9 b) 12 c) 8 d) 10 e) 15 5. Para antos valores√enteros se verifica √ cu´ 10 x2 − 5x + 4 > − 12 9x − 14 − x2 a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 5 Ê
6. Resolver: a) [1, 8] c) h−3, −1] e) [1, 9i
x2 − 1 +2>0 9 − x2
b) h−3, −1] ∪ [1, 3i d) h−2, −1] ∪ [1, 5i
√ 7. Resolver la ecuaci´ on n + |x| = 3 x; n ∈ Z+ , indicando la suma de todos los valores para la inc´ ognita x. a) 9 b) 8 c) 14 d) 12 e) 5 8. Dados§los conjuntos: ª 4x − 2 M = x∈R/ ≤0 2x + 2 N = {x ∈ Q / 4x − 2 ≤ 0} Hallar M ∩ N a) {x ∈ R/ − 1 < x ≤ 1/2} b) {x ∈ R/ − 1 ≤ x < 1/2} c) {x ∈ Q/ − 1 < x ≤ 1/2} d) {x ∈ Q/ − 1 ≤ x < 1/2} e) φ
12.1.
9. Resolver el sistema (x − 4)(−2x + 1) > 0 ;
x+1 > 2; x−1 (x − 1)2 (x − 3)(x + 4)3 < 0 a) 1 < x < 3 b) x < 6 c) x > 0 d) 2 < x < 5 e) 2 < x < 6
10. Cu´ antos enteros cumplen la inecuaci´on x−4 x+4 − >0 x−3 x+5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6 11. Cu´ antos enteros no positivos satisfacen (x + 3)(x3 + x − 2) ≤ 0 a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 0 12. Resolver: |4x − 3| > x + 2 a) h1/5, +∞i b) h−∞, 1i ∪ h2, +∞i c) h−5, 1/5i d) h1/5, 5/3i e) h−∞, 1/5i ∪ h5/3, +∞i 13. Si R − T > E − T > 0 ; L + T < 2T ; L > A ; y A − W > 0. ¿Cu´ al de ´estas cantidades es la menor? a) R b) T c) W d) L e) A 14. Determine el m´ aximo valor del trinomio 1 + 6x − x2 a) 10 b) 8 c) 9 d) 7 e) 11 15. Resolver: |8x − 1| ≤ 5|x − 1| + |3x + 4| a) h−∞, −1i b) h−∞, 3/4i c) h−∞, 1/2i d) R e) φ 16. Resolver: |2x|2 > x + 3 a) h−∞, −1i b) h−∞, −3/4i ∪ h1, +∞i c) h−1, +∞i d) h−1, 1i e) h2, 3i 17. Resolver: |2x − 5| < 3 a) h2, 5i b) h−1, 4i d) h2, 3i e) h1, 4i
c) h2/3, 5/3i
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
18. La soluci´ on de la inecuaci´ on: x−3 x+5 1 3+ > −2 6 3 3 a) x > 18 b) x < 18 c) h−∞, 19i d) h19, +∞i e) h−18, 19i r
2x − 8 + 19. Resolver x−1 a) h−3, 1i ∪ [4, 5] c) h−3, 1i ∪ h4, 5i e) [−3, 1i ∪ h4, 5i
r
5−x ≥0 x+3 b) h−3, 1] ∪ h4, 5i d) h4, 5i
20. Uno de los intervalos soluci´ on de 6 3 7 − − < 0 es: x−1 x+1 x+2 a) R b) [−2, 5i c) φ d) h5, ∞i e) h−2, 5i 21. Asumiendo que: (5x + 1) ∈ h−3, 2i es ver1 dad, dar el conjunto soluci´ on de: 2x − 2 a) h−∞, 5/8i b) h−5/8, −5/18i c) h−∞, −5/18i d) h−5/8, ∞i e) h−18/5, −8/5i 5x + 6 9x + 34 7x − 2 < < 2 3 5 a) h18, ∞i b) h−∞, 36i c) h36, ∞i d) φ e) h−36, 18/11i
22. Resolver:
2x − 3 ≥3 x−2 a) [2, 3] b) h2, 3i d) R e) φ
23. Resolver:
c) h2, 3]
24. El menor n´ umero entero T que satisface la desigualdad −x2 + 2x − 5/2 < T ; para todo valor real x, es: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) −2 25. La inecuaci´ on: 4x − 9(2x ) < −8, se satisface s´ olo para valores enteros cuya suma es: a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) 5 26. Resolver: x2 + 10x + 27 < 0 a) R b) φ d) h5, ∞i e) h−∞, 5] √ √ 27. Resolver: x2 − 7 ≥ 6x a) h8, ∞i b) h7, ∞i d) h−∞, 7i e) [7, ∞i
c) h−∞, 5i
c) φ
287 x2 − 5x + 6 ≥ 0, y dar la soluci´ on x2 + x − 56 de uno de los intervalos a) R b) h2, 3] c) h2, 3i d) φ e) [2, 3]
28. Resolver:
29. Resover: ||x| − 5| = 2x − 3. a) 8/3 b) −3/8 d) 4 e) 3
c) −4
30. Hallar un n´ umero de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4. a) 93 b) 91 c) 90 d) 92 e) 94 31. Sabiendo que un lado de un tri´ angulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un n´ umero exacto de metros que termina en 5. Calcular cu´ al (o cu´ ales) puede ser la longitud de ese tercer lado. a) S´ olo 75 b) 55, 65, 75 c) S´ olo 65 d) S´ olo 55, 65 e) S´ olo 65, 75 32. Leonardo, Alessandra y Grace son hermanos. Grace tiene 11 a˜ nos; Leonardo tiene 5 a˜ nos m´ as que Alessandra, y la suma de los a˜ nos de Leonardo y Alessandra no alcanzan a los de Grace. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene Alessandra si su edad es un n´ umero impar? a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 1 33. Se desea saber el mayor n´ umero de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al doble del n´ umero de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del n´ umero aumentado en 16. a) 15 b) 16 c) 20 d) 18 e) 25 34. En la librer´ıa de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia 1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que ten´ıa. Si luego obsequia 502 le quedan menos de 500. Cu´ antos libros ten´ıa?. a) 2001 b) 2000 c) 2002 d) 2008 e) 2004
´ Algebra
288
CAP 11:
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones
1. Si a > b, resuelva: a(x+b)−b(x−a) ≥ a2 +b2 e indique cuantas soluciones negativas tiene la inecuaci´ on. a) 2 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3
12.2.
9. Hallar el conjunto soluci´ on de: 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x − 2 < 0. a) h−∞, 1i b) h−∞, −2i c) h−10, −1i d) h−∞, −3i e) h−∞, −1/2i
2. Hallar el valor de mn si la inecuaci´ on 2x2 − 2mx − n < 0, tiene como conjunto soluci´ on h−3, 5i. a) 10 b) 30 c) 20 d) 40 e) 60
10. Para que valor de “n” se verifica la desigualx2 + nx − 1 dad < 1, ∀x ∈ R. 2x2 − 2x + 3 a) h−4, 2i b) h−4, 6i c) h−2, 2i d) h−6, 2i e) h−3, ∞i
3. Calcular 2a + b + c si el intervalo soluci´ on ax2 + (a + b)x + c 3 de ≤ 0, es ,2 . 5x2 + 2x + 1 2 a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 6
11. Cual es el menor valor real que puede tomar “m” en: m ≥ −x2 + 3x + 12. a) 2 b) 14,25 c) 12 d) 14 e) 12,25
4. Entre que l´ımites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuaci´ on 3 x2 + 2nx + n > , se verifique para todo 16 valor real?. 1 1 1 3 b) < n < a) < n < 4 2 4 4 1 5 d) < n < c) 2 < n < 3 4 4 e) −1 < n < 3 2 x−1 7 < < 3 x+3 9 a) {−3} b) h−∞, 15i d) h9, 15i e) {5}
5. Resolver:
c) h−3, 15i
x−a x−b < con x+a x+b 0 < b < a, su soluci´ on es la uni´ on de dos intervalos, siendo uno de ellos. a) h−∞, −bi b) h−a, −bi c) h−b, +∞i d) h−b, 0i e) h−a, +∞i
6. Dada la inecuaci´ on
4 x−2 4 − < , e indique un 4−x 5 x intervalo del conjunto soluci´ on. a) h−∞, 4i b) h−4, 4i c) h−4, ∞i d) h0, ∞i e) h4, ∞i
7. Resuelva
8. Resuelva x3 + 3x2 + x − 1 < 0, e indique un intervalo soluci´ √ on. √ a) h−1, 1 − √ 2i b) R − {1 − 2} c) h−1, −1 + 2i d) h−∞, −1i e) R
12. Hallar el mayor n´ umero “m” con la propiedad de que m ≤ x2 + 14x + 33, para todo x ∈ R. a) −4 b) −8 c) −12 d) −20 e) −16 13. Al resolver la inecuaci´ on 5x2 7 4x2 1 + ≥ − 2 2 2 2 3+x 6+x 3x + 9 2x + 12 el conjunto soluci´ on es: a) S´ olo R+ b) S´ olo R− c) Todo R d) S´ olo N e) S´ olo Z (x − 5)8 (x + 1)11 (x − 2)5 ≥0 (2x2 + x + 5)(x − 3)7 a) [−1, 2] ∪ h3, ∞i b) h−1, 2i ∪ h3, ∞i c) [−2, 1i ∪ h1, 3] d) h3, 5i ∪ h5, ∞i e) [−1, 2i ∪ [3, ∞i
14. Resolver
x5 (x3 − 8)3 (x − 1)2 <0 (x + 3)2 (x2 − 25)7 a) h−5, 5i ∪ h6, 7i b) h−∞, −3i ∪ h0, 3i ∪ [5, ∞i c) h−3, 0i d) h−5, −3i ∪ h−3, 0i ∪ h2, 5i e) h0, 1i ∪ h1, 2i
15. Resolver
16. Resolver: √ (x − 6)(x3 − 8)(x + 3)3 3 x − 1 √ ≥0 x(x − 4)9 (x + 4)10 (x3 − 64) 5 − x a) [−4, −1] ∪ h2, 5i b) [−3, 0i ∪ [1, 2] c) h−∞, 5] ∪ [6, ∞i d) h−3, 0] ∪ [1, 2i e) h−2, 0i ∪ [2, 6]
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17. Luego de resolver: (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)4 (x − 4)5 √ √ >0 √ 44 x−1 5 9−x 6x se tiene como conjunto soluci´ on ha, bi. Calcular (a + b) a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 18. Resolver: √ √ 8 4x + 2(x2 − 25)3 5 2x − 8 <0 (x + 1)2 (2x + 5)9 a) h−∞, 4i b) h5, +∞i c) h4, 5i d) h−5, −4i e) h−4, 10i 19. √ Al resolver√la inecuaci´ o√ n: √ 1 − x − 1 − 3x > 3 + x − 3 − x, se obtiene el intervalo soluci´ on de la forma [a, bi ∪ hc, d]. Hallar (abd)c . a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) −1 1 1 20. Resolver: √ +√ >0 9 − x2 25 − x2 a) [−3, 3] b) [−5, 5] c) [−3, 5i d) h−3, 3i e) h−3, 0] 21. Hallar√el complemento on √ del conjunto soluci´ x+1 x+3 x−1 8 < 322x+5 de: a) [−3, 0] b) [−1, 1] c) [0, 3] d) h−∞, −1] e) [1, ∞i 2 √ 4x (x−2) 1 2(x−4) 2 22. Resolver: > y dar la 16 2 suma de todos los n´ umeros naturales que satisfacen la relaci´ on. a) 28 b) 10 c) 15 d) 21 e) 6
23. Resolver: x2 + |x|− 6 = 0, indicando la suma de las soluciones. a) 2 b) −2 c) 0 d) −1 e) −3 24. Resolver: |x3 − 1| ≤ x2 + x + 1 a) 0 ≤ x ≤ 2 b) 0 ≤ x ≤ 1 c) 1 ≤ x ≤ 2 d) −1 ≤ x ≤ 0 e) 1 < x < 2 25. Resolver: |x − 1|2 + 2|x − 1| − 3 < 0. a) h−2, 0i b) h−∞, −2i c) h−2, 2i d) h0, 2i e) h2, ∞i
26. Un intervalo del rifica a ||x| − 2| hallar a + b. a) −3 d) −1
289 conjunto soluci´ on que ve≤ 1 es de la forma [a, b], b) −4 e) 0
c) −2
27. Hallar el valor de la expresi´ on: |5x − 20| − |3x − 20| , si x ∈ h−3, −2i. x a) 1 b) −4 c) −1 d) 4 e) −2 28. Resolver: |2x − 6| − |x − 2| ≤ |2x − 4| − |x − 3|. a) h5/2, ∞i b) h−5/2, ∞i c) [5/2, ∞i d) h−∞, 5/2] e) R − {5/2} 29. Resolver: |2x + 7| = x + 5 a) {−2, −4} b) φ d) {3, 4} e) R
c) {2, 3}
30. Resolver la ecuaci´ on: |x2 − 4| = 4 − 2x y dar como respuesta la suma de las ra´ıces. a) 0 b) 1 c) −1 d) −2 e) 2 31. Resolver para x, y ∈ Z: 5x − 3y > 2 ; 2x + y < 11 ; y > 3 Indicar el valor de: W = xy a) 6 b) 12 c) 15 d) 20 e) 8 32. Hallar un n´ umero entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuido en 1 decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor que 29. a) 72 b) 73 c) 76 d) 75 e) 74 33. Un libro de Algebra tiene el triple de p´ aginas que uno de Aritm´etica y entre los dos tienen menos de 120 p´ aginas. Si el libro de Algebra tiene m´ as de 84 p´ aginas. ¿Cu´ antas p´ aginas tiene el libro de Aritm´etica?. a) 21 b) 20 c) 29 d) 22 e) 23 34. Determinar el mayor valor de k, si la par´ abo23 2 intercepta al la f (x) = x − 5x + 3k − 4 eje X. a) 4 b) −4 c) 0 d) 3 e) −∞
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290
CAP 11:
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Inecuaciones
1. Resolver: 10 ≤ x2 − 8x + 25 ≤ 18 , y dar como soluci´ on uno de los intervalos. a) h1, 3] b) [1, 3] c) h1, 3i d) R e) [0, 3] x2 − x3 − 40 + 22x ≥ 0 , y dar la 7x + x2 soluci´ on de uno de los intervalos. a) h−5, 0i b) h−∞, −7] c) h2, 4i d) φ e) [−5, 0i
2. Resolver:
(
32 − 12x + x2 > 0 x2 + 22 − 13x < 0 a) h8, 11i b) h2, 4i c) h2, 4i ∪ h8, 11i d) h−∞, 2i e) h2, +∞i
12.3.
10. Para todo {x, y, z} ∈ R tales que x, y, z 6= 0. Se puede afirmar que: x x I. Si < =⇒ z < y. y z II. Si x < y =⇒ x2 < y 2 . 1 1 III. Si x < y =⇒ > . x y Son falsas a) I d) Todas
b) I y II e) III
3. Resolver:
4. Resolver: x2 + 8x + 20 > 0 a) R b) h2, ∞i d) φ e) h0, +∞i
c) h−∞, 2i
5. Resolver: |x − 2| < 3x a) [0, ∞i b) φ d) h1/2, ∞i e) h−∞, 0]
c) R
6. El conjunto soluci´ on de 2|2x − 3| − 8 + |2x − 3|2 ≤ 0 es: a) h−∞, 1/2i b) [1/2, 5/2] c) R d) φ e) h5/2, +∞i 7. Sean: A = {x ∈ R / |x − 5| > |2x + 3|}
1 B= x∈R/ <1 |2x − 3| Hallar A ∩ B a) R+ d) φ
b) h−8, 2i e) h−8, 2/3i
c) h−8, 3i
8. El complemento de la intersecci´ on de los conjuntos soluci´ on de las inecuaciones: |3x − 6| > −3 ; |3x − 6| < −3 es: a) h2, 3] b) φ c) R + d) h2, 3i e) R 9. Al resolver la inecuaci´ on: x2 − 6x + 7 2 se obtiene: < x−1 x−1 a) h1, 3i ∪ h3, 5i c) h3, 5i e) R+
b) h1, 3i d) R
11. Si x ∈ h1, 4] entonces
c) II y III
1 ∈ [a, bi. 8x + 5
Hallar el valor de ab a) 1/18 b) 1/481 d) 8/5 e) 1
c) 6/7
12. El conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on ax + b bx + a +b < + a; a < b es: 2 2 a) [3, +∞i b) h−1, 5i c) [2, +∞i d) h1, +∞i e) h3, +∞i 13. Hallar a + b + c, si el conjunto soluci´ on 2 de ax + bx + c ≤ 0 est´ a contenido en h−∞, 2] ∩ [−1, 3]. a) 1 b) 0 c) −2 d) 2 e) −1 14. Para qu´e valores de “c” las ra´ıces de la ecuaci´ on 3x2 − 10x + c = 0 son reales. a) c ≤ 25/3 b) −1 ≤ c < 25/3 c) 1 ≤ c < 9 d) 0 < c < 25/3 e) 2 ≤ c < 25 15. Hallar el conjunto soluci´ on de: 2 2 (2x − 5x + 6)(x − 102x + 200) ≥ 0 a) h−∞, 2] ∪ h100, 180i b) [2, 3] ∪ [100, ∞i c) h−∞, 3] ∪ [100, 200i d) h−∞, 2] ∪ [100, ∞i e) h−∞, 5] ∪ [100, ∞i 16. Resolver:
x2 − 2x + 3 ≥ −3 x2 − 4x + 3
a) R− b) h−∞, 1i ∪ [3/2, 2] ∪ h3, +∞i c) h−∞, 1] ∪ [3/2, 2i d) R − {2, 3} e) R− ∪ {2, 3}
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17. Al resolver la inecuaci´ on: x2 + x + 1 (x2 + x + 1)(x + 1) ≥ 2 x2 − x + 1 (x − x + 1)(x − 6) su conjunto soluci´ on es de la forma x < B. 2 El valor de B es: a) 4 b) 1 c) 25 d) 9 e) 36 18. Resolver: 3 − x <
x2 + 5x x+1 > 2x + 5 2
a) h−3, −5/2i b) h5/3, +∞i c) h−3, −5/2i ∪ h5/3, +∞i d) [−3, −5/2i e) h5/3, 4i 19. √ Si “a” es el mayor valor entero de √ a+1 x + 2 > x. Entonces 5 − a es:√ √ a) 2 c) 2/2 b) √ 2 d) 1/2 e) 3/3 √ 20. Resolver: x2 − x − 6 < 6 − x y dar el mayor valor entero positivo. a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5
c) [2, 6i
22. Al resolver (3x + 1)3 (x − 2)2 (x + 5)5 (x + 2)4 (4 − x) ≤ 0 un intervalo del conjunto soluci´ on es: a) h4, +∞i b) h−∞, −5] c) [−5, −1/3] d) [−5, −1/3i e) [4, +∞i 23. El conjunto soluci´ on de la inecuaci´on: (1 − x)5 (x − 2)1002 (x − 4)8703 (x + 2)7 < 0 tiene la forma ha, bi ∪ hc, +∞i. El valor de abc a) 4 b) −2 c) −8 d) −1 e) 1 È
2x−1
x+2
24. Resolver: 3 (0,5) 2 > 6 (0,25) 3 a) x < 7/4 b) x > 1 c) x > 2 d) x < 7/2 e) x < 2 q
3x+1
25. Resolver: a) x ≤ 1 d) x ≥ 1
2x+1 2x+1
4 ≤ b) x < 1 e) x > 0
26. Encontrar la suma de los valores absolutos de las soluciones de: |x + 3| − |x − 1| = x + 1 a) 7 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11 27. El complemento del conjunto soluci´ on de: |2 − |4 − 3x|| ≥ 1 es: a) h1/3, 7/3i b) h5/3, 7/3i ∪ {6/7} c) φ d) h5/3, +∞i e) h1/3, 1i ∪ h5/3, 7/3i 28. Determinar la suma de las soluciones en: (x − 3)2 − 3|x − 3| − 18 = 0 a) 1 b) 2 c) 6 d) 4 e) φ 29. Hallar a + 120; a es una soluci´ on de la ecuaci´ on: |11 − x| + |3x − 15| + |4 − 4x| = |2x − 10| + 5|x − 1| + |x − 11| a) 123 b) 122 c) 120 d) 124 e) 129 30. Resolver:
21. El conjunto soluci´ on de √ 1 √ > x − 1; es x+1 a) h0, 4i b) [0, 2i d) [3, +∞i e) h−∞, 2]
È
291
q
2x
8
3x−1 (2)(3)x+1
c) x > 1
x2 + 3x + 11 <3 x−2
a) h5, 10i d) h−5, −1i
b) h−5, 0i e) R.
31. Resolver: 3|x| + |x − 2| ≤ 6 a) h−1, 2i b) [−1, 2] d) [2, 8] e) [1, 3] 32. El complemento |2x + 1| − x ≤2 x a) h−1/5, 1i d) h1, +∞i
c) h0, 1i
c) h−1, 0]
del conjunto soluci´ on de es: b) h−1, 2i e) [0, 1i
c) [1, 3]
33. El cuadrado de la edad de Alessandra menos 3 es mayor que 120, en cambio el doble de su edad mas 5 da un n´ umero menor que 30, ¿Cual es la edad de Alessandra? a) 8 b) 3 c) 12 d) 14 e) 15 34. Hallar las soluciones enteras y positivas de x, y y z en el siguiente sistema: x+y <6 ; y−z >0 ; x−z >1 a) 3, 2, 1 b) 2, 2, 3 c) 3, 3, 4 d) 4, 4, 2 e) 1, 3, 5
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292
CAP 11:
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Inecuaciones
1. Si a < b, hallar el menor valor entero de x bx + a ax + b +b< + a. en: 2 2 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 2. Si: x ∈ [−2, 4], entonces: a ≤
Indique el valor de: E = a + 7b a) 12 b) 8 d) 13 e) 10
2x + 3 ≤ b. x+3 c) 7
3. Si la soluci´ on de la inecuaci´ on x5 + 8x4 + 3 2 12x − x − 8x − 12 > 0 es ha, bi ∪ hc, ∞i, el valor de: a + b + c a) 7 b) −5 c) −7 d) −8 e) 8 4. Hallar el menor n´ umero entero “x” tal que x2 + 5x − 10 >1 x2 + 2x − 8 a) −3 b) −5 c) −1 d) 1 e) 3 5. Calcular (a − b)2 + c, si el intervalo solu ax2 + (a + b)x + c 3 ci´ on de: ≤ 0, es , 2 5x2 + 2x + 1 2 a) 103 b) 105 c) 117 d) 127 e) 129 6. Si la soluci´ on de la inecuaci´ on 12x4 − 56x3 + 2 89x − 56x + 12 < 0 es ha, bi ∪ hc, di, indicar el valor de: abcd a) 2 b) 1 c) 2/3 d) 3/2 e) 3
x4 a) h−1, ∞i c) h−1, 0i e) h−∞, −1i
11. Resolver: √ 3 x2 − 4(x − 2)2 (x3 − 13x + 12) ≥0 (x + 4)3 (x3 + 8x2 + 4x − 48) a) h−6, −4] ∪ [−2, 1] ∪ [3, ∞i b) h−6, −4i ∪ [−2, 1] ∪ [3, ∞i c) h−6, −4] ∪ h−2, 1] ∪ [3, ∞i d) h−6, −4] ∪ [−2, 1] ∪ h3, ∞i e) h−6, −4] ∪ [−2, 1i ∪ [3, ∞i 12. Resolver: (x − 4)6 (x + 1)5 (x2 − 4)3 (x2 + 9)4 ≥0 (x − 1)9 (x − 3)7 (x2 + x + 1)2 a) [−2, −1i ∪ [1, 2] ∪ h3, ∞i b) h−2, −1i ∪ h1, 2] ∪ [3, ∞i c) h−∞, −1] ∪ [1, 2] ∪ h4, ∞i d) h−∞, −1] ∪ h1, 2] ∪ [3, ∞i e) [−2, −1] ∪ h1, 2] ∪ h3, ∞i 13. Resolver: |3x + 5| ≤ |2x − 1| + |x + 6| a) h−∞, 0] b) h0, ∞i c) R d) [−2, 2] e) φ 23
−1 −2 < 4 +1 x +2
900 sumandos
a) h−∞, 1] ∪ [2, +∞i c) R e) h−∞, 1] ∪ [3, +∞i
b) h−∞, 0i d) h0, ∞i
(x − 3)(x + 2)2 (x + 1)(x − 4) >0 x(x + 2)(x2 − 3)(x + 3) b) −1 e) −5
10. Si |x| < 1, hallar el m´ aximo valor de W = (x + 2)2 + (2 − x)2 a) 16 b) 12 c) 4 d) 9 e) 5
22 (x − 2)107 (1 − x)(3x − 1)128 ≤0 3 + 3 + 3 + . . {z . . . . + 3 + 3 + 3} |
x5
8. Indicar el mayor valor entero negativo del conjunto soluci´ on de:
a) −2 d) −3
√ a+ b √ . Determinar 9. Si b > 0, ≤by1≤ 2 b √ el valor de: b + a a) 2a√ b) 2b c) 2 e) 3a d) 2 ab a2
14. Resolver:
7. Hallar el conjunto soluci´ on de: x5
12.4.
c) −4
b) h−∞, 3] d) φ
15. Indicar el mayor valor entero del conjunto soluci´ on de: √ √ √ 3 x + 5(x + 2) 5 x2 − 7x + 12 4 8 − x √ ≤0 6 x + 7(x − 8)3 (x3 − 8)(x2 − 14x + 48) a) 9 d) 5
b) 4 e) 6
c) 7
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
x3 − x2 − 22x + 40 < 0 se x3 − 2x2 − 21x − 18 obtiene el intervalo soluci´ on de la forma hW, Ai ∪ hL, T i ∪ hE, Ri. Hallar el valor de: W +A+L+T +E +R a) 2 b) 3 c) −1 d) 1 e) −2
16. Al resolver
17. Hallar el conjunto soluci´ on de on √ √ la inecuaci´ 2 2 x − x − 12 ≤ x − 6x + 5 irracional: a) h−∞, −3] b) h−∞, 3] c) h−∞, −3i ] d) h−∞, −5i e) h−∞, 17 5 18. r Un intervalo on de r del conjunto soluci´ 2x − 8 5−x + ≥ 0 es: x−1 x+3 a) h1, 3i b) h4, 5i c) h−3, 1i d) h−5, 1i e) h−4, 0i 2)2
(x − √ 4x 1 2(x − 4) 3 19. Resolver: > y dar 81 3 la suma de todos los n´ umeros naturales que satisfacen la siguiente relaci´ on. a) 6 b) 10 c) 15 d) 21 e) 28
20. Hallar el menor n´ umero entero √ √ que verifique x−5 x−4 x+1 2x la inecuaci´ on: 4 ≥ 2 a) 5 b) 1 c) 3 d) 0 e) 7 21. Resolver la inecuaci´ on: (x + 1)2 + 2|x + 1| − 8 ≤ 0 a) [−1, 3] b) [−3, 1] d) [−3, −1] e) [−3, 3] 22. 8 Resolver: > <5x − 3y > 2 2x + y < 11 > : y>3
c) [1, 3]
25. Simplificar la expresi´ on: si x ∈ h2, 3] a) 3 d) 1
|6x + 4| + 2|2 − 3x| 12x
b) −3 e) 2
c) −1
26. El menor valor entero positivo de 2x2 − 7|x| + 3 = 0 es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4 27. Si x ∈ h1, 2], entonces x2 − 2x ∈ hm, n], hallar: n − m. a) −1 b) 0 c) 2 d) −2 e) 1 28. Se˜ nale el valor de verdad: 1 Si x ∈ h2, 4i entonces 2x + 3 · 1 1 , . 11 7 Si (x − x0 ) ∈ [−a, a] entonces x ∈ [x0 − a, x0 + a].
∈
Si [a, b] ⊂ hc, di entonces c > a ∧ b < d. a) FVF d) VVV
b) FFV e) VFF
c) VVF
29. Si A = h−10, 5] y B = [−3, 6i; determinar: A∩B y A∪B a) [−3, 5] y h−10, 6i b) R y φ c) φ y φ d) φ y R e) h−3, 5i y [−10, 6] 30. Si a < b < 0. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
È
e indique el valor de: x2 + y 2 a) 2 b) 3 d) 1 e) 5
293
c) 4
23. La suma de los valores enteros de la soluci´ on de |x3 − 1| ≤ |x2 + x + 1| es: a) 4 b) 2 c) 3 d) −2 e) −1 24. La soluci´ on de la ecuaci´ on ||x| − 5| = 2x − 3 es: a) 8/3 b) −3/8 c) −4 d) 4 e) 3
b+1 < a−1 a a(a + b) > a + b b b > a−b a 2 b
b) FVVV e) FVVF
c) VVFF
x+1 x−1 ≤ e indique el x−1 x+1 m´ aximo valor entero del conjunto soluci´ on. a) −2 b) 0 c) −1 d) 2 e) 3
31. Resolver:
´ Algebra
294
CAP 11:
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones
1. Sean a, b, c ∈ R, se˜ nalar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: Si a < b ⇒ −a > −b.
Si a < b y c < 0 ⇒ ac > bc. Si a 6= 0 ⇒
a2
> 0. a+b < b. Si a < b ⇒ a < 2 √ √ Si b > 0 y a2 < b ⇒ − b < a < b. a) VFVFV d) FVFVF
b) VVVVV e) FFVVF
c) VVFFV
2. Si: −10 < a < −5; −2 < b < −1; 2 < c < 5. ¿A qu´e intervalo pertenece ab/c? a) h6, ∞i b) h5/2, 4i c) h−1, 10i d) h−4, 5/2i e) h1, 10i 3. Hallar el producto del m´ aximo y m´ınimo 2 valor de: E = x + 2x − 2; si −4 ≤ x ≤ 1 a) 0 b) −6 c) −18 d) 6 e) −12 4. Hallar la suma de los enteros que adopta 3x − 5 N= ; si x ∈ h−2; 1] x−2 a) 2 b) 4 c) 0 d) 1 e) 6 q√ y 5. Resolver: x2 − 2 x − 6 < 0; e indicar la suma de los valores enteros del conjunto soluci´ on a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) −2 6. Determinar el n´ umero de soluciones enteras negativas al resolver: x5 +3x4 −5x3 −15x2 + 4x + 12 > 0 a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 7. Si el conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on 12x4 − 56x3 + 89x2 − 56x + 12 < 0, es a b de la forma ha, bi ∪ hc, di, calcular: c d a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 0
12.5. √ 4
4 − x2 ≥0 3−x a) h−2, 2i b) h−2, 2] d) [−2, 2i e) h−2, 3i
8. Resolver
c) [−2, 2]
9. Resolver: 1 1 1 √ +√ +√ >0 2 2 9−x 16 − x 25 − x2 a) h−3, 3i b) [−5, 5] c) [−3, 5i d) h−3, 0] e) [−3, 3] 10. Sea A el conjunto soluci´ on de Sea B el conjunto soluci´ on de
∞ Y
(x−i)2 ≤ 0,
i=1 ∞ Y
(x+i)2 ≤ 0
i=1
y sea C el conjunto soluci´ on de x2 ≤ 0, calcular A ∪ B ∪ C. a) h−∞, 0] b) R c) [0, ∞i d) Z e) 0 on 11. En |x2 −x+3| ≥ x+11, el conjunto soluci´ es de la forma h−∞, −a]∪[b, +∞i, el valor de a + b es: a) 2 b) 6 c) −3 d) 4 e) 3 √ 12. Resolver la ecuaci´ on n + |x| = 3 x; n ∈ Z+ 0, indicando la suma de todos los valores para la inc´ ognita x. a) 9 b) 8 c) 5 d) 12 e) 14 13. Hallar el menor n´ umero racional M la siguiente desigualdad que satisface x + 3 ≤ M , para cualquier valor x ∈ [2, 4] x − 5 a) −2/3 b) −7 c) 7 d) 2/3 e) 5/3 14. Si |x − 3| ≤ 1, hallar el n´ umero racional M x + 5 ≤M tal que x + 1 a) 7/3 b) 3/7 c) 5/3 d) 3/5 e) 1 15. La suma de los valores enteros È del conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on 6 − |x| < x es: a) 21 b) 20 c) 0 d) 18 e) 16
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
16. È Al resolver la inecuaci´ on: È 15 − |x| ≤ |x| − 7, se obtiene [a, b] ∪ [c, d], calcular |a + b| + |c + d| a) 22 b) 52 c) 42 d) 32 e) 62 17. È Al resolver la inecuaci´ on: |3 − |x2 − 6||(x2 − 4x + 3) < 0, se obtiene √ ha, bi − { b }, hallar ab a) 1 b) 9 c) 5 d) 7 e) 3 x −(3x + 1) 18. Resolver: 5 x+2 x2 + 3x − 2
7 >5 2
√ ¸ 13 − 3 61 a) −∞, 10 √ ¸ ® 13 + 3 61 b) −∞, 10 √ √ ¸ ® 13 − 3 61 13 + 3 61 c) , 10 10 √ ¸ ® 13 + 3 61 d) 0, 10 √ ® ¸ 13 − 3 61 e) ,0 10 ®
19. Resolver: 5x − 6 > 3x − 14 ∧ 5x + 6 < 2(x + 12) 13x − 3 x 1 ∧ < +5+ 4 3 12 a) h−4, 2i b) R c) [−4, 2i d) φ e) h−4, 2] q
20. Resolver: 4 < a) R − {8} d) h8, 18i
3
È √ 3 2x 2x 3 2x . . . < 6 b) h8, ∞i c) h−18, −8i e) h−18, 8i
21. Resover: ||x − 1| − 1| = 1. a) Infinitas soluciones. b) Tres soluciones. c) Cuatro soluciones. d) Dos soluciones. e) Soluci´ on u ´nica. 22. Resolver 3x + 1 x2 − 12 1−x + < 2 , los 2 2 x +1 x + log 10 x + tan π/4 valores reales de x est´ an comprendidos en: a) h−∞, −6i b) h2, ∞i c) h12, ∞i d) h−∞, −6] e) h−6, 2i
23. Resolver: |2x + 7| = x + 5 a) R b) φ d) {3, 4} e) {2, 3}
295
c) {−2, −4}
24. Indicar el menor valor entero positivo del |x| + 1 2x ≤ conjunto soluci´ on de: |x − 1| |x| a) 3 b) 1 c) 2 d) 0 e) 4 25. Hallar los valores de a de tal manera que: x2 − (a + 5)x + 1 −3 < < 3, sea cierto. x2 + x + 1 a) h4, 10i b) h−∞, 4i c) h0, 8i d) h−10, −4i e) h−∞, ∞i 26. Si al doble de la edad de Sebastian Vettel se resta 17 a˜ nos resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad se suma 3 el resultado es mayor que 15. ¿Cu´ al es dicha edad? a) 22 b) 25 c) 23 d) 24 e) 26 27. Se sabe que el cu´ adruple del n´ umero de monedas que hay dentro una bolsa es tal, que disminuido en 5, no puede exceder de 31 y que el qu´ıntuplo del mismo numero de monedas aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cu´ al ser´ a dicho n´ umero? a) 7 b) 8 c) 11 d) 10 e) 9 28. Tres cazadores Ricardo, Jos´e, Manuel re´ unen mas de 8 canes. Jos´e piensa traer 4 canes m´ as, con la cual tendr´ıa m´as canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que Jos´e tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cu´ antos canes tiene cada cazador? a) 3, 4, 5 b) 5, 6, 7 c) 2, 3, 4 d) 1, 3, 4 e) 2, 2, 3 29. Dos m´ oviles salen simult´ aneamente de dos ciudades distintas con igual velocidad que no llega a 60 km/h. Si entre ambos en el encuentro recorrieron una distancia superior a 300 km. y emplearon en hacerlo menos de 3 horas. ¿Cu´ al de las alternativas propuestas puede ser la velocidad de cada m´ ovil? a) 54 km/h b) 48 km/h c) 46 km/h d) 42 km/h e) 50 km/h
´ Algebra
296
CAP 11:
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones
1. Dados los intervalos A = [−2, 2] y B = h0, 3i, hallar (A ∩ B) − (A ∪ B)c a) h−∞, 2] b) h0, 2] c) [−2, ∞i d) h−∞, −2] e) h2, 3] 1 1 1 2. Si: x ∈ [1, 2], entonces: ≤ ≤ . a 5x + 3 b Indique el valor de: E = a − b a) −5 b) −2 c) 4 d) 3 e) 5 3. Si x ∈ [−3, 1], calcular b − a de modo que se verifique la siguiente relaci´ on: x2 + 2 a≤ ≤ b. 3 a) 13 b) 2 c) 3 d) 0 e) −4 4. Cu´ antos n´ umeros enteros satisfacen a la siguiente inecuaci´ on: 1 x−1 x ≤ +1 2x − < 3 5 3 a) 10 b) 9 c) 8 d) 11 e) 12 3x − 2 < 4x + 5, 1−a A con a > 1, es de la forma x > . Calcular B A + B + a. a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 10
5. El conjunto soluci´ on de
6. La suma de los n´ umeros enteros del conjunto soluci´on de la inecuaci´ on x2 + 5x + 6 ≤ 0 es: a) −6 b) −5 c) 6 d) 5 e) −11 7. Resolver x3 < x; e indica un intervalo del conjunto soluci´ on a) h−1, 0i b) h−2, 0i c) h−1, 1i d) h1, ∞i e) h0, 1i 8. Determinar el valor de m + n, si la inecuaci´ on x2 −mx+n < 0 presenta como conjunto soluci´ on: h−5, 3i a) −13 b) −15 c) −17 d) −2 e) 2 9. Halle el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuaci´ on no tenga soluciones
12.6.
reales (m + 5)x2 + 3mx − 4(m − 5) = 0 a) h−4, 4i b) h−3, 3i c) [−4, 4i d) h−2, 2i e) h−1, 1i 10. Determine el menor valor de W , si se cumple: x2 − 2x + 5 ≤ W , para todo x ∈ R a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) 10 11. Despu´es de resolver: x3 + 4x2 − 2x − 8 < 0, se˜ nalar el mayor valor entero que verifica la desigualdad. a) 0 b) 1 c) −2 d) −1 e) 2 12. Resolver: x5 + 2x4 − 6x3 − 4x2 + 13x − 6 < 0 a) h−∞, −3i ∪ h1, ∞i b) h−3, −2i ∪ h1, ∞i c) h−3, 1i d) h−2, ∞i e) h−∞, −3i ∪ h−2, 1i 13. Al resolver x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6 < 0, se observa que el conjunto soluci´ on tiene la siguiente forma ha, bi − {c}, calcule: b − a + c a) 27 b) 0 c) 6 d) 7 e) 3 x x+1 ≤ , se obtuvo como 2−x x+3 soluci´ on: h−∞, ai ∪ hb, ∞i. Hallar: ab + a + b a) −7 b) −5 c) −6 d) −1 e) −8
14. Al resolver
(1 − x)(x + x2 ) ≤0 −x2 − x + 2 a) h−∞, −2i ∪ h0, 1] b) h−∞, 2i ∪ [3, 4i c) h−∞, −2i ∪ h−1, 0i d) h−∞, −2i ∪ [−1, 0] e) φ
15. Resolver:
16. Hallar el mayor valor entero negativo del conjunto soluci´ on de: (x2 − 2x + 4)7 (1 − x)5 (2 + x)6 ≥0 x4 (2x + 1)3 (x + 4) a) −1 d) −4
b) −2 e) −5
c) −3
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17. Resolver:
|x| <0 x − 2006
26. Cu´ antos umeros enteros positivos cumÈ n´ È plen: 3 (0,3)2x+1 < 4 (0,027)x−10 a) 90 b) 93 c) 81 d) 94 e) 80 √ √ x2 − x + 1 + x2 + x + 1 + 27. √ Resolver: x2 − 1 ≤ 0 a) {−1, 1} b) [−1, 1] c) h−∞, −1] ∪ [1, +∞i d) h−1, 1i e) φ
a) R b) h−∞, 2006i c) R − {2006} d) h0, ∞i − {2006} e) h−∞, 2006i − {0}
18. Resolver: |x − 2|2 > 4|x − 2| + 5 a) h−∞, −7i ∪ h3, ∞i b) h−∞, 3i ∪ h7, ∞i c) h−∞, −3i ∪ h7, ∞i d) h−∞, −7i ∪ h−3, ∞i e) h−3, 7i 19. Resolver: 2x + 1 > |x| a) h−1/3, ∞i b) h−1/3, 0] d) [0, ∞i e) [−1/3, 0]
28. Resolver:
d) h−∞, 0] ∪ [4, ∞i
√ 32 − 2x ≥ x, e indicar x+2 cu´ antos valores enteros la verifican. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 12
24. Resolver:
25. La suma deÈlos valores Èenteros positivos que 3
5x+1 2
< 9 b) 3 e) 6
3x+3 5
b) [−1/2, ∞i d) h−2, 1/2i
k=1
r
3
a) h−∞, −1/2] c) h−∞, −1/2] ∪ {0} e) h−1/2, ∞i
a) R d) h−1, 2i
e) [0, 2] ∪ [4, ∞i
satisfacen a) 2 d) 1
(6k2 − 4k + 1) ≤ 0
x X 4 29. Resolver: (5k + 1) − 3x > −5
21. El conjunto soluci´ on de la desigualdad dada por (|x − 3| + 2)2 < 5|x − 3| + 4 tiene la forma ha, bi − {c}, indicar el valor de: W = a2 + b2 + c2 a) 32 b) 29 c) 25 d) 23 e) 18 √ √ 22. Resuelva x2 − x − 12+ 2x2 − 7x − 4 ≤ 0 § ª −1 a) {1, 2} b) {−3, 4} c) ,4 2 d) {−2, 4} e) 4 √ 23. Resolver: 3x ≤ x2 − 6x + 8 a) [0, 1] ∪ [8, ∞i b) h0, 2i ∪ h4, ∞i c) h−∞,
x X
k=1
c) h0, ∞i
20. Resolver: |x2 − 3x + 1| > |x2 − 1| a) R b) h−∞, 0i ∪ h2/3, ∞i c) h−∞, 0i ∪ h1, 2i d) h−∞, 0i ∪ h2/3, 3/2i e) φ
√ −3+ 73 8
297
es: c) 5
b) φ e) h−3, 4i
c) h−2, 1i
30. Si x es un n´ umero real que verifica 4
3
2
2
(|x| + 1)x −5x +3x > (|x| + 1)x −2x este n´ umero pertenece al conjunto a) h−∞, 1i ∪ h2, +∞i b) h1, 2i c) h−∞, 0i ∪ h1, 2i d) h−∞, 0i ∪ h0, 1i ∪ h2, +∞i e) h−∞, 0i ∪ h1, 2i ∪ h2, +∞i
3
31. En un sal´ on de clase de la UNPRG, hay tantos alumnos, que si al triple se le aumenta 5 resulta una cantidad no menor de 93; y si al doble se le disminuye 1, dicha cantidad resulta ser menor que 61. ¿Cu´ antos alumnos hay en dicho sal´ on de clase? a) 28 b) 30 c) 29 d) 31 e) 32 32. La edad de Messi es un n´ umero par. Si a la cuarta parte de su edad se le a˜ nade 3 resulta menor que la tercera parte; mientras que si a su mitad se le suma 5, el resultado es menor que 28. Hallar la edad de Messi sabiendo que es el mayor posible. a) 42 b) 24 c) 28 d) 32 e) 44
298
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
Cap´ıtulo 13:
LOGARITMOS Objetivos z Reconocer e identificar las propiedades sobre los logaritmos como operadores. z Resolver ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas aplicando las diferentes propiedades de logaritmos. z Reconocer la gr´ afica de una funci´ on exponencial y una funci´ on logar´ıtmica.
13.1.
Historia de los logaritmos
El fundador de la teor´ıa de los logaritmos y el que les di´ o ese nombre fue John Napier1 (1550– 1617). Napier, adem´ as de aficionado a las matem´ aticas, estaba interesado en la astrolog´ıa. Esto le llev´ o a investigar las propiedades de las figuras geom´etricas sobre una superficie esf´ericas, obteniendo importantes resultados en la resoluci´ on de tri´ angulos esf´ericos. Sus estudios acarreaban c´ alculos trigonom´etricos, los cuales implican n´ umeros con muchas cifras decimales. Tanto es as´ı, que se convirti´ o en una prioridad buscar alg´ un algoritmo que facilitara los c´ alculos y ahorrara tiempo. Napier se di´ o cuenta de algo que ya conoc´ıa Arqu´ımedes (287 a.C., 212 a.C) y despu´es Michel Stifel (1487-1567): 1
2
3
4
5
6
7
2
4
8
16
32
64
128
En la primera fila de la tabla se tiene n´ umeros naturales y en la segunda, cada n´ umero es 2 elevado al n´ umero de la primera fila. Para multiplicar dos n´ umeros de la segunda fila: ejemplo. 8 × 16, podemos sumar los dos n´ umeros
correspondientes de la primera fila: 3 + 4 = 7 y luego buscar el n´ umero asociado en la segunda fila: 1
John Napier (Neper), bar´ on de Merchiston (Edimburgo, 1550 al 4 de abril de 1617) fue un matem´ atico escoc´es,
reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. Tambi´en hizo com´ un el uso del punto decimal en las operaciones aritm´eticas.
299
´ Algebra
300
Walter Arriaga Delgado
128. De esta manera, en lugar de hacer una multiplicaci´ on, se realiza una suma, lo que es m´ as c´ omodo cuando en lugar de tener n´ umeros tan manejables tenemos otros con muchos decimales. Parece ser que Stifel se dio cuenta del juego que pod´ıa dar una tabla de n´ umeros como la anterior, sin embargo no profundiz´ o m´as en ello. Por otro lado, carec´ıa a´ un de una herramienta: las fracciones decimales, que no aparecieron hasta despu´es del a˜ no 1600 y gracias a las cuales los logaritmos fueron tan u ´tiles. Definici´ on 13.1.1. Se llama logaritmo de un n´ umero real positivo, en una base dada, positiva y distinta de la unidad, al exponente a que debe elevarse la base para obtener dicho n´ umero. Notaci´ on: y = logb x
⇒
by = x
donde: x > 0; b > 0 y b 6= 1 Ejemplo 13.1.1. De acuerdo con la definici´ on de logaritmo, podemos establecer : Como 35 = 243 entonces log3 243 = 5 Como 2−3 = 1/8 entonces log2 (1/8) = −3
13.2.
Propiedades generales:
Si los logaritmos existen en R, entonces se cumple que: En el campo de los n´ umeros reales no existe el logaritmo para n´ umero negativo. Si la base b est´ a entre cero y uno (0 < b < 1) los n´ umeros comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y logaritmos de n´ umeros mayores que uno ser´ an negativos. Si la base b es mayor que uno (b > 1), los n´ umeros comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los logaritmos de n´ umeros mayores que uno ser´ an positivos.
13.3.
Propiedades operativas:
Estas propiedades se cumplen para los infinitos sistemas de logaritmos. n m
1) logb 1 = 0
6) logbm bn =
2) logb b = 1
7) logb (xy) = logb x + logb y
3) logb an = n logb a
8) logb
4) logb bn = n
9) logb a =
5) logbm an =
n logb a m
x y
= logb x − logb y logx a logx b
10) logb a loga c = logb c
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 11) logb a = logbn an
13.3.1.
301
n 12) logb a = log √ b
√ n a
Cologaritmo
Se define como el logaritmo en base b del inverso multiplicativo de un n´ umero x.
cologb x = logb
1 x
= − logb x,
x > 0,
b > 0,
b 6= 1
Se puede afirmar que si A y B son inversos entonces logb A + logb B = 0
13.3.2.
Antilogaritmo
El antilogaritmo de un n´ umero real positivo, en una base mayor que cero y diferente de uno; se define como el n´ umero que dio origen al logaritmo antilogb x = bx ,
b > 0,
b 6= 1
El t´ermino antilogaritmo fue adoptado como parte de la presentaci´ on de las tablas de logaritmos con significado equivalente a la exponenciaci´ on. El principio de la tabla de logaritmos, lo que parece haber sido realizado ya por Arqu´ımedes, fue revivido en el mundo del comercio y el comienzo de la revoluci´ on industrial en el siglo XVII por Euler. Propiedades: antilogb logb a = a logb antilogb a = a cologb antilogb a = −a
13.3.3.
Logaritmo natural
Se denomina sistemade logaritmos naturales, al sistema que tiene como base el n´ umero trascendente 1 n e definido asi: e = l´ım 1 + = 2,718281 n→∞ n ln x = loge x,
x>0
La primera menci´ on del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668, a pesar de que el profesor de matem´ aticas John Speidell ya lo hab´ıa hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural. Fue llamado formalmente como logaritmo hiperb´ olico, puesto que sus valores correspond´ıan con los del ´ area hallada bajo la hip´erbola.
´ Algebra
302
13.4.
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones logar´ıtmicas
Si b > 1 entonces: • logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 Si 0 < b < 1 entonces: • logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0 • logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 12:
Logaritmos
1. Calcular el valor de: E = log64 log4/9 log√8 log√3 3 a) 1/5 b) −1/6 d) 6 e) 5
c) 1/6
2. Calcular el valor de: E = antilog125 antilog3 colog25 antilog5 log7 49 a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 5 3. Resolver: log3 (x + 1)2 log7 21 = 4 + 1 colog7 2 (x + 2x + 1) a) 3 b) 5 c) 8 d) 3/2 e) 9 colog antilog x log log x = 0,01 4. Resolver: (log x) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5. Calcular el valor de “x” en a) 2 b) 4 d) 10 e) 6
x2 log x
6. Calcular 2el valor de “x” √ en: √ logx (x +2) 3 x = 2 log3 27 a) 4 b) 5 d) 8 e) 12
= 10x c) 5
c) 3
7. Calcular “x” en: h
4log8
√ 4
a) 3 d) 1
√ i9log27 2+1 3
√ 3 b) √ 2 e) 3 4
− 27x = 0
8. Calcular “x” en: log x a 2 7 + 5 xloga 7 = 343 a) a b) a − 1 d) 2a e) a + 1
b) 4 e) 5
10. Calcular “x” al resolver:√ 2 9logx (x −10x+25) = 132 logx x−1 a) 3 b) 8 d) 4 e) 7
13.1.
11. Resolver el sistema: √ log xn y m = m 10log n 2 log xlog x m = log y log y n a) x = m ; y = n b) x = 10m ; y = 10n c) x = 10m ; y = 10n d) x = m10 ; y = n10 √ √ e) x = m ; y = n a2 12. Sabiendo que log3 a5 b2 = k ; log27 = k. b Hallar: “log9 ab” a) k b) k/2 c) −k d) k/3 e) −k/3 13. Al reducir T = Se obtiene: a) 2 d) 1/2
1 + log2 3 1 + log3 2 + 1 − log2 3 1 − log3 2 b) 1 e) −3
c) 0
14. Calcular el valor de: E = loga loga x , a si (a loga x)loga x = aa (a+1) a) a b) 2 c) a2 d) 3a e) 3 15. Qu´e valor de “x” cumple: logx 2 = log 2 + log2 2 + log3 2 + . . . a) 2 b) 7 c) 3 d) 5 e) 9
√ c) 3 5
√ k+1 7 16. Si ak = ; adem´ as b = 104 . Calcular: k E = logb a1 + logb a2 + . . . + logb a99 a) 3 b) 3.5 c) 2 d) 4 e) 2.5
c) a2
17. Calcular x2 + 1 , si x verifica: (logx 9)2 − 4(logx 9) + 4 = 0 a) −3 b) 2 d) 4 e) 10
9. Calcular el valor de i “x” en: h xx x logx logx logx x = log2 log3 log9 981 a) 2 d) 1
303
c) 3
c) 5
c) ±3
18. Al resolver 1 1 1 1 + + +...+ log2 N log3 N log4 N log1999 N donde: N = 1999!, se obtiene: a) 1997 b) 0 d) 4 e) 1998
c) 1
´ Algebra
304
√ 19. Calcular el logaritmo de am n a en base √ an m a; con m, n > 0; a > 0 y a 6= 1 a) m/n b) m c) n d) 1 e) n/m 20. Resolver: logx (x + 2) + logx+2 x = 2, 5 a) 1 b) 16 c) 1/2 d) 2 e) 4 21. Si loga bc = xn , logb ac = y n , logc ab = z n . Calcular: 1È n (xn + 1)−1 + (y n + 1)−1 + (z n + 1)−1 n b) n−1 e) nn
a) 1 d) n−2
c) n2
22. Resolver: (x − 1)log 2+log 5 + (x + 2)log 125+log 8 = 40 + x3 a) 2 b) 3 c) 2.5 d) 3.5 e) 1.5
ln 2 23. Calcular: E = antilog − ln 10 a) 1/5 b) 1 d) 1/2 e) 5
−1
2)
2 log x + log(x − 4)2 = blogb (log m
siendo “m” el l´ımite al cu´ al tiende la suma S = 3 + 1,2 + 0,48 + . . . a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 26. Resolver: 2 log 100x + log 30 + 2 − log 3000 = 6 − 4x a) 1/2 b) 3/4 c) 1/6 d) 2/3 e) 3/2
valor de x3 + y 3 a) 25 b) 81 d) 24 e) 28
28. Si x = logb antilogb cologb antilogb
y = 3e− ln x . Dar el x+y =4 c) 16
1 − . b
Hallar el valor de: 2 2 2 logb xb − cologx bx + colog1/x bx +b a) 1 b) 0 c) 2 d) −1 e) b
29. Al simplificar: E = loga loga aa + loga loga2 aa−1 + loga loga3 aa−2 + . . . + loga logaa a a) 0 b) 1 c) 2 a d) a e) a 30. El valor de x es: logaa logaa x − loga logaaa x = a2 − a + 1 √ √ a a) aa c) a a b) a aa √ a d) a a e) a2 a b 31. Resolver el sistema: x = y x logc x y dar el valor de y. logc = y logc y a) cb b) cb/(b−a) c) cb/a d) cb−a e) ca/b
32. Calcular: E =
25. Calcular el valor de “x” en:
¨
c) 2
15 24. Calcular el valor de “a” en: loga − ln e = a È √ log(e+5) 3 (e + 5)−2 + coln 3 e a) 15 b) e c) 10 d) 12 e) e2
27. Resolver el sistema
Walter Arriaga Delgado
si a2 + b2 = c2 a) −1 d) −3
log(c+b) a + log(c−b) a log(c+b) a · log(c−b) a b) 3 e) 2
c) 1
33. Resolver: log2 x + logx 3 = log2 6 y dar como respuesta el producto de las soluciones. a) 1 b) 2 c) 6 d) 5 e) 3 34. Resolver la inecuaci´ on: 2 log1/2 x − 5x + 7 < 0 a) x < 2 ∪ x > 3 b) x > 3 c) x > 1/2 d) h2, 3i e) x < 2 35. Resolver: log1/2 (2x − 3) > −2 a) [2/3, 7/2i b) h2/3, 2/7] c) h3/2, 7/2] d) h3/2, 7/2i e) [3/2,7/2]
a) [1, 2] d) [3, 10i
x +2 2 b) h3, 10] e) h1, 2i
36. log4 (x − 3) ≤ log4
c) h1, 2]
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 12:
Logaritmos
1. El equivalente de: o 3
o 4
o 5
log2 (tan 1 ) . log3 (tan 2 ) . log4 (tan 3 ) . . . |
{z
}
89 factores
a) 1 d) 89
305
b) 0 e) 2
c) 1/2
2. Calcular W = loglog6 3 log9 36 a) 3 b) 6 d) −36 e) −1
c) 9
en
√ log7 (log7 5 7)−1 colog7 (antilog7 x)
b) 25 e) 4
c) 2/3
5. Calcular x en: 4 log7 (x/2) + 3 log7 (x/3) = 5 log7 x − log7 27 a) 3 b) 5 c) 9 d) 4 e) 0
c) 15
7. Hallar la menor ra´ız de: log xlog x −log x4 = 5 a) 0.01 b) 1 c) 10 2 d) 10 e) 0.1
=
c) 49
12. Si log 3 = a; log 2 = b. Hallar el valor de: log(5!). a) 3a + b + 1 b) a − b + 2 c) 3a−2b+1 d) 2b − a + 1 e) a + 2b + 1
4. Si loga b = 2 y logb c = 3, calcular loga3 (b2 c4 ) a) 28/3 b) 26/3 c) 23/3 d) 31/3 e) 1
6. Calcular x en: log(x+1) N = 0,146135 . . . log(x−1) N = 0,292270 . . . a) 9 b) 3 d) 8 e) 12
11. Calcule √ colog7 x x a) 5 d) 16
x2
È
13. Reducir: mlog2 m . logm 0,5 0,5log2 m
−1 3(log2 3)
3. Reducir A = log8 16log4 a) 1/3 b) 4/3 d) 5/3 e) 1
13.2.
a) m d) 1 14. Reduzca: ba a) a d) a2
b) 1/m e) mlog m
log 2 m
c) m2
log logb a log a
b) b e) b2
c) ab
15. Resuelva: log5 (xlog5 x ) = 4, e indique la mayor soluci´ on. a) 16 b) 20 c) 28 d) 25 e) 30 16. Hallar “x” en: 11(3log a x ) + 13(xlog a 3 ) = 216 c) a a) 24 b) a2 d) 3 e) a/3 17. Siendo {a; b; c; x; y} ⊂ R+ − {1}. Reducir: Ì √ ylogabc x logy x log x abc y x √ logx y y a) x/y b) (abc)xy c) 1 d) xy e) y/x
8. Resolver: x + log(1 + 2x ) = x log 5 + log 72. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. Determinar el valor l´ımite de: 2 3 E = 51+log 2+log 2+log 2+... a) 2 b) 5 d) 1 e) 0.5
√ 9. Calcular: E = 5loga x + 6xloga 5 Si se sustituye “x” por 7log5 a a) 7 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
19. Si f (log √ 5 x) = antilog(x − 8) + colog 3 x. 3 Determinar: f (10). a) 8 b) 4 c) 2 d) 10 e) 6
10. Si Ck = 1 + k−1 , calcular: S = log C1 + log C2 + log C3 + . . . log C9999 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. El valor num´ erico de − ln 2 W = antilog es: ln 10 a) 100 b) 0.7 d) 0.5 e) 210
c) 10
c) 0.1
´ Algebra
306
21. Resuelva: ln
2 x −x+1
x2
≥ 0 e indique el
+x+1 menor valor entero que no es soluci´ on a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) −2
22. Reducir: log4 [antilog2 [log2 [log2 [antilog 1 (log 1 625)]]]] 2
a) 4 d) 5
b) 3 e) 1
5
c) 2
23. Si x = 2log3 a , determine el valor de (3loga x + xloga 3 )0,5 a) 5 b) 8 c) 2 d) −2 e) 6 24. Si x1 y x2 son soluciones de la ecuaci´ on log 3 2 log 5 x x 25 = (x − 5x + 15) . Indique x1 x2 x1 + x2 + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 x
25. Resolver: logx (xx )x = (x2 )x−2 a) 3 b) 4 d) 5 e) 7
c) 6
x2 − x − 1 nale la 26. Resolver: log√2 2 = 0 y se˜ x + x − 2
mayor soluci´ on. √ a) 0.5 b) 1,5 √ d) − 1,5 e) 1.5 √
27. Resolver: (log8 a) 1/2 d) −1/3
√
c) −0,5
x √ x) colog8 log8 x = 0,5 b) −1/9 c) 1/3 e) 1/9
28. Indique el valor de “k” si la ecuaci´ on: log kx 2 ln(x + 3) = tiene como C.S = {b} log e a) 3 b) 6 c) 12 d) 4 e) 5 xx
9
x9
9
29. Calcule el valor de: xx + xx + xx + x9 , sabiendo que “x” verifica la ecuaci´ on 9 + logx (log9 x) = 0. √ a) 36 c) 12 b) √ 333 √ 3 d) 3 e) 3 9 30. Calcular: E = αβ + 5(α − β) + 7 si α = log12 18; β = log24 54
Walter Arriaga Delgado a) 11 d) 8
b) 9 e) 12
c) 10
31. Hallar “x” en: 40,5 +√ logx (log9 x) = 0√ √ 3 27 b) √ 9 c) 9 9 a) √9 d) 27 3 e) 9 3 32. ¿Para qu´e valores del par´ ametro “a” las ra´ıces de la ecuaci´ on x2 − 4x + log0,5 a = 0 son reales?. 1 1 a) a ≥ b) a ≤ 16 16 1 d) a ≥ 16 c) 0 < a < 16 1 e) 0 < a ≤ 16 33. Luego de determinar el conjunto soluci´ on en la desigualdad logar´ıtmica: log3 (2x − 5) > 2 indique, el m´ınimo valor impar de su soluci´ on. a) 3 b) 5 c) 9 d) 7 e) 11 34. Hallar el conjunto soluci´ on en: log1/3 (log6 (x2 − 3)) > log6 1 √ √ a) h−3, − 3i ∪ h 3, 3i b) [−3, −2i ∪ h2, 3] c) h−3, −2i ∪ h2, 3i d) h−3, −2] ∪ [2, 3i e) h−3, 1i ∪ h2, 3i 35. La soluci´ on de la inecuaci´ on logar´ıtmica log3 (x2 − 2) ≤ log3 x, es de la forma hm, n]. 2 n Hallar: . m a) 9 b) 16 c) 1 d) 2 e) 4 36. Resolver: log2 (2x − 1) > log2 (x − 5) a) h6, ∞i b) h5, ∞i c) [7, ∞i d) [6, ∞i e) [5, ∞i 37. Resolver: 2 log1/3 x ≥ log1/3 (7x − 6) a) R b) h0, 7i c) h−1, 2] d) [−4, 5i e) [1, 6] 38. Resolver: log1/2 |2x − 3| > −3 a) R b) h−5, −10i c) h−5/2, 11/2i − {3/2} d) h−1/2, −11/2i e) R − {5/2}
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 12:
Logaritmos
1. Calcular M + N si: √ M = log16 4 y N = log √ 3 5 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 È √ 4 3
2. Calcular el logaritmo de È √ 3 7 7 a) 1/2 b) 3 d) 3/2 e) 2/3 3. Calcular: √ log27 3 a) 9/2 d) 11/2
log4
7 7 en base c) 1
√ √ √3 3 32 + log 31/2√ 3 + 3
b) 7/2 e) 1
c) 5/2
log 5 4
5. Calcular: E = 25log16 12 a) 10 b) 11 d) 12 e) 15
5log7 x
+3 b) 49 e) 27
c) 13 xlog7 5
10x − 10−x 1 = 10x + 10−x √ 3 a) log 4 b) log 2 d) 2 log 4 e) log2 2
11. Resolver:
12. Si x =
√
10
= 125 c) 1/49
c) 2 log 2
3; calcular “n” en:
= 3log
√ 3
a) 3/5 d) −5/6 √ n
x
+ 24 log4 x+1 b) 9/5 e) 6/5
c) 2/5
1 loga (1 + loga n). n È Reducir: p loga nn + n c) an a) a b) a−n √ e) n a d) a2/n
13. Sea p = loga
n+
14. Resolver:
bb log
1−b
b logb x bx
2−b
= bb
b
b) b1−b −b e) bb
a) bb d) bb
c) bb
15. Calcular “x” a partir de la igualdad:
antilog4 4
log2 32 − antilog√3 2 log2 48 + colog2 3
=
√
x−1
x2
x
7. Resolver: log2 (9x−1 + 7) = 2 + log2 (3x−1 + 1) a) {1; 3} b) {−3; 1} c) {−1; 1} d) {−2; 1} e) {1; 2} 8. Encontrar el mayor valor de “x” en: 2 5log11 (x −7x+21) = 3log11 25 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9. Determinar “x” en: 1 1 log2x x + = log( 1 ) x + x x √ x √ √ a) 1/ √ 2 b) 2 2 c) 2 e) 2 d) 1/2 2 10. ( Calcular “x + y” en: √ 2x = y x2 + 3(3 − log2 y) = 0 a) 54 b) 48 d) 67 e) 59
13.3.
(xn )logx 3
√ 4. Reducir: colog2 2 + antilog4 0,5 − colog4 4 − antilog√3 4 a) −13/2 b) −13 c) −13/3 d) −15/3 e) −2/13
6. Resolver: 2 a) 1/7 d) 343
307
c) 66
De como respuesta: W = a) 1 d) 2 16. Resolver: (loga a a) aa d) a
2 x
b) 1/4 e) 1/8 (log x) x)(loga x) a −1 aa
b) a e) 2a
c) 1/2 . ..
=a c) aa
17. Reducir: log7 {antilog16 [log4 antilog3 (log9 2+ 1)+ 14 ]+ 13} a) 1 b) 9 c) 3 d) 4 e) 2 18. Si logb a + logc b = logc a. Dar la expresi´ on equivalente a: F = loga b + logb c a) ba b) a c) 1 d) b e) ab
´ Algebra
308
Walter Arriaga Delgado
19. Reducir È a su m´ınima expresi´ on: √ log log a √ E= + loglog a 2 log log a a) 1 b) a c) aa d) 2 e) a−1
28. Resolver:√ √ √ log(4−1 2 x − 1) − 1 = log( 2 x−2 + 2) − 2 log 2 a) 16 b) 96 c) 36 d) 86 e) 46
20. Resolver: 7(log5 log2 log3 (x+1)) log7 5 + (log log log 3) 11 13 2 5 log11 13 = 2 a) 729 b) 625 c) 343 d) 624 e) 512
29. Si
21. Si c + b 6= 1 y a2 + b2 = c2 . Hallar:
30. Si x, y, z ∈ R+ − {1} tal que x, y, z est´ an en progresi´ on geom´etrica en ese orden, adem´ as log z = 3 log x. logx 9 − logy 9 Simplificar W = logy 9 − logz 9 a) 1 b) 5 c) 9 d) 3 e) 7
E=
c − b 6= 1; adem´ as
2 logc−b a. logc+b a logc−b a + logc+b a
a) a2 + b2 d) c2
b) 1 e) a2 − b2
c) c
22. El conjunto on de √ soluci´ −colog( x + 1 + 1) √ = 3, es: log 3 x − 40 a) {48, 35} b) {24} d) {37} e) {48}
24. Calcular: E = a) 3 d) 12
22+log7 5
+
c) {35}
tal
5log7 14
5log7 2 b) 8 e) 0
y
xy = 256 x+y con x, y ∈ (R+ − {1}). Halle T = 2 a) 34 b) 31 c) 28 d) 41 e) 39
31. Siendo “n” una soluci´ on de la ecuaci´ on + f (x) = 2; donde n ∈ Z y
23. El valor de “a” en la ecuaci´ on 2 log(x + 2ax) − log(8x − 6a − 3) = 0 que su soluci´ on real sea u ´nica es: a) 7 b) 5 c) 1 d) 11 e) 14 Ê
logy x + logx y = 10/3
c) 6
25. Hallar la suma del conjunto soluci´on de la 36 ecuaci´ on 2logx 9 + log 4 = 13 3 x a) −6 b) 7 c) −5 d) 5 e) 6
f (x) =
1 + log2 (x − 4) √ √ log2 ( x + 3 − x − 5)
1 z resuelva para z la ecuaci´ on (nz )n = √ ; 2 z∈R c) log6 2 a) 1 b) log6 (1/2) d) 0 e) 1 + log6 2 32. Dada la ecuaci´ on ax2 + bx + c = 0 con a, b, c > 0; b 6= 1 de ra´ıces: logb a y logb c. Calcular (b2 − 4ac) log 2a/c b a) b2 b) c2 c) 1 2 d) a − 1 e) a 33. Si “x” e “y” son valores que satisfacen el sistema: ex = y e ; 4x = e(4 + ln2 y), hallar xy. a) 2e3 b) 2e c) e2 d) e5 e) 1
26. Calcular E = logb (−cologb antilogx b) 1 si antilogb cologb logb x = b a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
34. Resolver: log2 (2x + 4) > log2 (5x + 3) a) h−3/5, 1/3i b) [−3/5, +∞i c) [1/3, +∞i d) [−2/3, 1/3i e) h−∞, 1/3]
27. Si se cumple que loga loga b− loga loga c = 1, logb x calcular “x” en: alogx a = logc x a) a b) 1 c) a2 3 −1 d) a e) a
35. Calcular el valor de “x” en: 1 1 √ 1 x = 5log5 3 log 2 log 20 log 200 2 2 2 log 2 log 20 log 200 √ a) 20√ b) 5 c) 3 e) 1 d) 2 3
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
CAP 12:
Logaritmos
1. De las relaciones que se muestran, la incorrecta es: a) (log√x 3)2 = 4 log2x 3 b) 4 logx logx y = logx logx y 4 log x c) log xlog x = log3 x x d) logx logx x = 1 b e) antilogb antilogb b = bb 2. Calcular el logaritmo de 1/32 en base 0.25 a) 2/5 b) 5 c) 2 d) −5/2 e) 5/2 log 4
3. Calcular: 3log4 5 3 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 √ √ 4. Si logx 3−1 = 3; log1/3 y = 27. Calcular: logy x √ a) 1/9 c) 1/3 b) √ 243 d) 9 e) 27 5. Hallar “x” en: log( 1 ) x = −0,25 81
a) 2 d) 3
b) 5 e) 6
c) 4
6. Reducir: log xy + log x2 + log a) 1 d) log y
x y
b) 0 e) log xy
− log x4 c) log x
7. Calcular “n” en: 1 log n = 2 + (log 18 + log 8 − 2 log 25) 2 a) 36 b) 60 c) 42 d) 54 e) 48 8. Calcular “x”en: log 2 + log2
309
log4 (x − 4) −
a) 12 d) 18
3 2
b) 14 e) 16
9. È Resolver la√ecuaci´ on: 1+ log 27 log −1=0 3 x√ √ x a) 3 b) 2 d) −1 e) 0
=0 c) 20
c) 1
10. Hallar x en:
[log[log(log x)]]
5 log[log(log x)] log[log[log(log x)]]
= 32
13.4. b) 102 e) 101000
a) 10 d) 10100
c) 1010
11. ( Determine el valor de “y” en: ex+y = 12 ex−y = 3 a) ln 4 b) ln 2 d) ln 6 e) ln 7
c) ln 3
12. Calcular: sÊ
log
a
a) 1 d) abc
b
xa xb
sÊ
+ log
b
b) 2 e) 0
c
xb xc
sÊ
+ log
c
a
xc xa
c) 2/3
13. Hallar el valor de la expresi´ on: E = colog5 {antilog9 [log3 antilog2 (log4 3 + 1) + 12 ] − 11} a) −1 b) 1 c) −2 d) 2 e) 3 14. El producto de las ra´ıces de la ecuaci´ on −1 (logx 3 · logx 9) + (logx 9 · logx 27)−1 + (logx 27 · logx 81)−1 + (logx 81 · log x 243)−1 = 5−1 ;√ es: b) √ 3 c) 9 a) 3 d) 1 e) 3 3 15. Resolver: log5 (4x + 15 × 2x + 27) − 2 log5 (2x+2 − 3) = 0 a) log(3/2) b) log5 3 c) log5 2 d) log2 3 e) log3 2 16. El valor de n para los cuales los tres n´ umeros log 2, log(3n − 1) y log(3n + 3), considerados en el orden indicado, forman una progresi´ on aritm´etica es: a) log2 5 b) log3 5 c) log2 3 d) log3 2 e) log 5 17. Se halla el logaritmo del n´ umero 36 en los n sistemas de bases: x, x3 , x9 , x27 , . . ., x3 y se suman estos logaritmos, despu´es se hace tender n hasta el infinito y el resultado es 3. El valor de x es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
´ Algebra
310 18. Hallar el valor de x en: log n
log(3x − 1)n + log[2(x − 1)]10 a) 1 d) 4
b) 3 e) 5
=n
c) 2
19. Hallar la suma de ra´ıces en: ( √ 2 2 81x = ( 9)y log9 x = 2 log9 y a) 3/4 d) 1/2
b) −1/2 e) 2 q
c) 1/4
q È √
È
21. De las expresiones: I. 00 = 1 ∧ 1∞ = 1
II. ap−q = ap − aq log a = log a − log b ∧ III. logb a log = log(a − b) b IV. log(r + s) = log r + log s 1 V. Si log5 3 = ⇒ log1/2 4 < 0 log3 5 Son verdaderas: a) IV y V b) S´ olo V d) I y III e) I y IV
25. Resolver: √ log 7x + 4 + log100 (2x + 3) = 1 + log 1,5 a) 1 d) 3
b) 2 e) 5
c) 4
26. Resolver: log3 (log2 y) = 1 + log3 (log2 x); √ xy = 81, y dar el valor de: x y a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27
1 1 1 . . . ∞; √ x = 32 + 32 32 32 . . . ∞, hallar el valor de z = logx y. a) 0 b) 4 c) 3/2 d) 1/3 e) 1/2
20. Sean: y = 3 +
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c) S´ olo IV
22. Al reducir la expresi´ on √ P = log2 16 − log 2 8 + log1/2 8, obtenemos: a) −4 b) 5 c) 0 d) 1 e) −5 √ √ log log 3 10 23. Resolver: = colog x x cologantilogx a) 1/2 b) 1 c) 1/3 d) −1/2 e) 3 24. Calcular el valor de x en: x = colog81 antilog3 log √ 4 antilog 4 log 1/2 antilog 2 3 2 a) 6 b) 4 c) 5 d) 8 e) 2
27. Halla la suma de ra´ıces de la siguiente ecua 5 ci´ on: log5x + log25 x = 1 x a) 30 b) 31 c) 126/25 d) 31/5 e) 151/25 28. Hallar el valor de n que satisface la siguiente 1 1 1 ecuaci´ on: + + + ··· + log2 x log3 x log4 x 1 = logx 40320 logn x a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 9 29. Resolver: √ √ log5 −x − 16 = log5 ( −x − 4) − log5 3 a) φ d) {−16} 30. Resolver: a) 1 d) 1 y 4
√
b) {−25} e) {−16; −9} x
x
c) {−9}
√
=x x b) 2 e) 1 y 2
c) 4
31. Resolver: 1+2 logx 2·log4 (5−x) = [log4 x]−1 a) 2 y 4 b) 1 y 4 c) 1 d) 2 e) 4 32. Resolver: [log3 (x − 1)]−1 = 2 + log3 (x − 1)−1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 33. Siendo a y b n´ umeros reales positivos y dis√ tintos de la unidad, tales que b a = b2 , calcular el valor de “a” en: 3
log4 a b
log2b alogb a a) 4 d) 12
b) 8 e) 32
= b64 c) 16
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CAP 12:
311
Logaritmos
13.5.
1. Hallar la base del logaritmo de 4, si este es 0.4 a) 16 b) 32 c) 8 d) 4 e) 2
12. Resolver: √ √ √ log 1 + x + 3 log 1 − x = log 1 − x2 + 2 a) −99 b) 8 c) −2 d) 10 e) φ
2. Hallar el n´ umero que tiene por logaritmo −0,25 en base 1/81 a) 9 b) 81 c) 27 d) 1/3 e) 3
13. La suma de los elementos del conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on: (logx 2)(logx/16 2) = logx/64 2 a) 6 b) 20 c) 12 d) 18 e) 15
3. Hallar el valor de: E = log5 log3/2 log4 log2 256 a) 2 b) 1 d) 3 e) 4
c) 0
4. Si: log2 5 = a, log5 75 = b, entonces log2 3 es: a) a(b − 2) b) 1 c) 0 d) a + b e) b − 2 5. Resolver: 102 log x = 5x − 6 Dar como soluci´ on al producto de las ra´ıces: a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 2
6. Resolver: log3 a) 0 d) 3
14. Hallar el producto de las tres ra´ıces de: x 2 2 xlog2 x−log2 x −4 = 64 √ a) 4 c) 16 b) 4 2 d) 8 e) 2 É
15. Reducir: M = a) 1/3 d) 1/6
c) 1
7. Resolver: log2 x + log4 9 − log2 6 = 3 a) 8 b) 64 c) 4 d) 32 e) 16 √
8. Al resolver: (log2 x)log2 x = 2 se obtiene como conjunto soluci´ on {x0 }. Hallar log16 x0 a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/3 √ 9. Resolver: logx 2 · logx/16 2 = logx/16 6 2 a) 64 b) 16 c) 4 d) 2 e) 1 10. Si: loga loga b − loga loga c = 1. Calcular: E = loga logb a − loga logc a a) 0 b) 1 c) 2 d) −1 e) 3 11. Calcular: E = antilog125 antilog3 colog25 antilog5 log7 49 a) 25 b) 5 c) 125 d) 3 e) 9
9
27log3
log5 b) 2/3 e) 3/2
√ 4
32log8
√ 5
5
c) 1/2
16. Siendo {a, b} ∈ R+ − {1}, resolver: a
5x − 1 =2 3x − 5 b) 2 e) 4
q
a) ab ba √ √ d) a b
−a
[b logb x]logb x = ab aa √ √ b) b b b √ √ b e) a a
c) ba
17. Si: log2b a + 1 = x logb a; con a, b > 1, calx3 − 3x cular: W = log3b a + log3a b a) 0 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1 18. Resolver: x2 + y 2 = 425 log x + log y = 2 a) x = 10 ; y = 10 b) x = 15 ; y = 5 c) x = 20 ; y = 5 d) x = −5 ; y = −20 e) x = 5 ; y = 15 19. Resolver el sistema: xa= y b = z c 1 1 1 log x + log y + log z = + + log a a b√c √ √ a b c a) x = a ; y = a ; z = a b) x = a ; y = a √ ; z=a √ √ c) x = a a ; y = b b ; z = c c d) x = 1/a ; y =√ 1/b ; z = 1/c √ √ e) x = a ; y = b ; z = c
´ Algebra
312
20. Si logc a + logc b = 1; con a, b, c > 0 y c 6= 1, definimos: xn = logc acn−1 + logc bcn−1 ; n ∈ N. Determinar el valor de: x1 + x2 + x3 + . . . + xn S= n2 a) 15 d) 1
b) 0 e) 20
c) 7
21. Calcular:
W =
1 log2 (92x + 138x ) − log2 (69x + 46x ) x
a) 2 d) 4
b) 1 e) 5
c) 3
22. Simplificar: 2ln 3 + 3ln 4 + 4ln 5 + · · · 2009 t´erminos G = ln 2 3 + 4ln 3 + 5ln 4 + · · · 2009 t´erminos a) 2010! d) 2 23. Si: x =
b) 0 e) 1
c) 2010
a−b b−c c−a , y= , z= , hallar a+b b+c c+a
log(1+x)(1+y)(1+z) (1 − x)(1 − y)(1 − z) a) a d) 0
b) abc e) b
c) 1
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27. 8 Al resolver el sistema: > <−2cologx + 3 log(yz) = 11 log(xy) + 2cologz = −antilog√3 2 > : cology + 2 log(xz) =6 Indique el valor de logyz x a) 1/5 b) 1/9 c) 1/4 d) 1/2 e) 1/3 28. Sean A = 230 325 559 ; B = 225 330 595 ; C = 220 324 584 . Hallar el n´ umero de cifras AB , si enteras que se obtienen al efectuar C log 2 = 0,301030; log 3 = 0,477121 a) 72 b) 73 c) 75 d) 74 e) 76 √ 4
3 · log9 432 + È √ 5log 9 · 4log 3 ). Calcular W = log log 5 log x a) 0.3495 b) 0.1505 c) 0.3010 d) 0.6988 e) 10000
29. Si: log log log x = log(log√2
30. Resolver: log3/4 (2x − 3) > −2 a) h1/3 ; 33/16i b) h43/18 ; +∞i c) h1/2 ; 23/18i d) h3/2 ; 43/18i e) h3/2 ; +∞i 2 x −x−6
√ √ 24. Si logx2 y 3 log8 x = k log6 y, x, y > 0, calcule el valor de 22k−1 a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5
31. Resolver: logx
25. Calcular el logaritmo en base “a” de:
32. Si m > 1 al resolver la inecuaci´ on: logm x + logm (x + 1) < logm (2x + 6) se obtiene como conjunto soluci´ on a uno de los intervalos de la forma: ha ; bi entonces: (b − a) es: a) −1 b) −3 c) 4 d) 2 e) 3
x=a
É q È a a
|
a
a
a
a...
{z
√ a
a }
(n−1) radicales
an − 1 a) n a +1 1 an − 1 c) n an + 1 1 an + 1 e) n an − 1
1 an − 1 an a − 1 n 1 a −1 d) n−1 a a−1 b)
x+1 x−1 26. Resolver: log2 ≤ log2 e x−1 x+1 indique el m´ aximo valor entero del conjunto soluci´ on. a) −1 b) −2 c) 0 d) 2 e) 3
x+4
a) [5 ; +∞i c) h−1 ; 2] e) h0 ; 1i
≤ 1; x > 1
b) h3 ; +∞i d) h−1 ; 4]
33. Si a > 0 y b > 0, calcular el valor de x en: a(logb log x)(loga b) + b(loga log x)(logb a) √ a) 10 b) 100 c) 10 d) ab e) a + b 34. Si log(a2 +b) 2(a4 + b2 − 4) = 2, con a2 > b, calcular el valor de W = a) 5 d) 1/5
b) −25 e) 2
È 3
(a2 − b)log2 25 c) −5
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CAP 12:
313
Logaritmos
1. Hallar: E = a) 4 d) −2/3
log2 4 + log1/2 4 log3 243 + log1/3 81 b) 0 c) 4/9 e) 2
2. Si logb a = 4, hallar el valor de: (a logc a2 + b4 logc b2 ) logb c4 a) 4b4 b) 64b4 c) 8b4 4 4 d) 10b e) 40b √ 3. Si x = 10 3, calcular el valor de: √ √ W = logx (3log 3 x + 4log2 x + 6log 6 x ) a) 1 b) 2 c) 12 d) 6 e) 25 √ √ 4. Si el logaritmo de 3 5 9 en base 15 27 es É q È √ igual a 47 + 4 14 + 5 29 + 3 x. Calcule: (2x + 10)logx 3 a) 4 d) 27
b) 9 e) 2
c) 3
√ √ √3 √ 3 32+log √√ 3 +log27 3 3
5. Calcular: log4
3
a) 7/2 d) 5/2
b) 9/2 e) 1
c) 11/2
√ log3 log4 9/2 2 √ 6. Hallar el valor de: W = log3 log4 3/2 2 b) 2 a) 21/3 c) 2−4/9 d) 23 e) 3 7. Calcular: Êr
log
a
b
xa + log xb
a) abc d) 2
le: logy x √ a) 32 d) 1/2
1 2
=
√
c
xb + log xc
2 y log1/2 y = b) √ 4 e) 8
h
9. Reducir: loga loga a) −1 d) −2
b
b) 2/3 e) 0
8. Si logx
sÊ
È
a−1
b) 2 e) 1
Êr c
a
xc xa
c) 1 √
8, calcu-
c) 1/4
√ i a −a a , siendo a > 1 c) 0
13.6.
10. Si x1 y x2 son soluciones de la ecuaci´ on 25logx 3 = (x2 − 5x + 15)logx 5 , indique el x1 x2 valor de W = x1 + x2 + 1 a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2 mn+1
1+mn
11. Si c = a m y d = b n , donde a, b ∈ R+ − {1},√adem´ as m, n √ ∈ N − {1}, calcule: √ mn mn2 n m logc a a + logd b bm a) 1/4 b) 2 c) 1 d) −2 e) 1/2 12. Para qu´e valores de a la ecuaci´ on: log(x2 + 2ax)−log(8x−6a−3) = 0 presenta soluci´ on u ´nica. a) {1} b) {−1, −13} c) {−13} d) {−1} e) {1, 13} 13. Resolver: log3 (x+1)2 log7 21 = colog1/7 (x2 +2x+1)+4 a) 1 b) 3 c) 8 d) 21 e) 27 14. Resolver: È 12 logx − ln e = log(e+5) 3 (e + 5)−2 + √x coln 3 e a) 12 b) 8 c) 17 d) 19 e) 21 15. Hallar x en: antilogx antilog √ 4 antilog 2 3 = 81 2 a) 81 b) √ 27 c) 9 d) 3 e) 3 16. Al resolver la ecuaci´ on: log2 (x2 + 7) − log4 (3x + 1) = log8 (x2 − 9)3 − log4 (x − 1) se obtiene un polinomio de grado: a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 17. Sabiendo que a y b son las ra´ıces positivas de la ecuaci´ on x2 − 4x + m2 = 0, hallar: b W = logm a + logm aa + logm bb + logm ba a) −8 b) −4 c) 4 d) 6 e) 8 √ 18. Resolver: logb (x2 − 2 ax + 2a)loga b = √1 a) a b) a2 c) a d) 1/a e) 2a
´ Algebra
314 È
log x 2
19. Calcular el valor de E =
logx
log3 2 log3 (log√2 x)
a) 4 d) 1/4
+1=0
b) 1/2 e) 8
log2 x, si:
log x 2
c) 2
2−x >1 x−5 a) h0; 3i√ b) h2; 1i √ d) h2 + 6; 5i e) h2; 2 + 6i
20. Resolver: logx
c) R
21. Resolver: √ √ log3,4 3 x2 − x + 1 ≤ log3,4 3 x + 9 a) h−∞; −2] d) h−∞; −2i
b) [−2; 4] e) [4; ∞i
c) [−4; 2]
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29. Resolver: log2 x + logx 2 = 2[2 − logx 2] a) {2; 8} b) {2; 4} c) {4; 8} d) {1/2; 2} e) {1/2; 4} 30. Resolver: 2log(x−1) (x−1)log 5 +125log(x+2) (x+ 2)log 8 = x3 + 40 a) 5/2 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) 1/2 31. Hallar la suma de ra´ıces en: (logx 3)(log x/3 3) + logx/81 3 = 0 a) 19/9 d) 27/4
b) 82/9 e) 37/9
c) 28/9
32. Hallar la suma de ra´ıces en:
22. Resolver:
log3x
log0,2 (2|x − 3| + 9) > log 0, 2(|x − 3| + 12) a) [0; 4] d) [0; 6]
b) [−6; 6] e) h0; 6i
c) [−6; 0]
23. Resolver el sistema: x2 + 2y 2 = 57 log3 (x + y) + log1/3 (y − 1) = 1 a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = 5 c) x = 5, y = 4 d) x = −2, y = 1 e) x = −1, y = 3 24. Hallar n en: h √ 25
log0,b3 (
81)
i √ 4 125
√ 4 3125
=n
a) −4 d) 2
b) −3 c) −2 e) 4 √ 25. Hallar aa en: loga 0, 5 = −a1−a a) 1/4 b) 4 c) 1/2 d) 2 e) 1 26. Hallar m en: loglog7 (m−2) 32 = 5 a) 35 b) 51 c) 49 d) 50 e) 16 x2 +2
27. Resolver: logx 4 = x √ a) 1/2 b) √4 2 d) 2 e) 2
3 + log23 x = 1 x
c) 4
28. Si: logx 0, b1 = logy 0, 25, adem´ as xy = 6, calcular: logx (y + 1) a) 1/2 b) 1/9 c) 1 d) 2 e) 6
a) 19/9 d) 27/4
b) 82/9 e) 37/9 Ê
33. Reducir: a) log 6 d) 1
c) 28/9
log3 2 × log3 2 + log3 7 × log3 7 log25 14 − 2 log5 2 × log5 7 b) log 15 c) log3 5 e) log5 3
34. Dada la ecuaci´ on ax2 + bx + c = 0, con a, b, c > 0, b 6= 1, cuyas ra´ıces son logb a y logb c, calcular: (b2 − 4ac) log 2a/c b a) a2 b) c2 c) b2 d) a − 1 e) 1 35. Reducir: 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 loga b c + 2 logb c a + 2 logc a b2 + 2 a) 3 d) 1/2
b) 2 e) 1/3
c) 1
36. Resolver el sistema: 8 > <
1 1 (log12 x) + = log2 x logx 2 logy 2 > :log x log (x + y) = 3 log x 2 3 3 calcular W = loga−b a + b a) 2/3 b) 3/2 d) 2 e) 5/2
c) 1
Cap´ıtulo 14:
FORMULARIO ´ ALGEBRA TEORIA DE EXPONENTES Expresiones algebraicas 8 8 > 0 E > : > > EAI −→ Q > > : 8 > > > > <
ET
10)
√ n
√ √ n anb √ É n a a n , b 6= 0 11) = √ n b b È√ √ 12) m n a = mn a 13)
qÈ p m √ n
14)
√ n
a = a1/n
15)
√ n
√ am = am/n = ( n a)m
ab =
a=
√ n
√ a
pmn
p
am = amp/n √ √ 17) am . n ap = n amn .ap 16)
Teoremas de exponentes: 1) am an = am+n
Casos especiales: q È √ p m n p 18) xr y s z t = mnp xrnp .y sp .z t
am = am−n , a 6= 0 an 3) (a · b)n = an bn 2)
n
4)
5)
a b
a
n
= n
m
a , bn
=a
= a
19)
m
20)
9)
a b
x
n
{z
√ x... n x = }
nm − 1 x n−1
x
3
È
x2
4
x3 . . .
√ √ n! n xn−1 = xn!−1
= amnp
Ecuaciones exponenciales
1 , a 6= 0 a 1 = n , a 6= 0 a
−n
x
É q
7) a−1 = 8) a−n
|
n
nm
m radicales
n
n p
am
6)
mn
b 6= 0
Ê
É q È n
n
=
b a
,
a 6= 0,
b 6= 0
Teoremas de radicales: Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0, n 6= 0, p 6= 0
1) Si ax = ay
⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1
2) Si ax = bx
⇒ a=b ⇔ a>0 y b>0
3) Si xx = aa ⇒ x = a √ √ 4) Si x x = a a ⇒ x = a 5) Si ax = by
315
⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.
´ Algebra
316
3) (a − b)2b = (b − a)2b
Formas indeterminadas: q
1)
m
2)
m
xn
È
m
q q
3)
xn ÷
√ xn . . . ∞ =
xn È
m
n(n + 1) +
5)
n(n + 1) − √ n n xx
6) x
√ n
..
n
√ n n
..
Suma por su diferencia
xn
m
q
4)
√
m−1
√ xn ÷ xn ÷ . . . ∞ =
m
√ xn
m+1
È
n(n + 1) + . . . ∞ = n + 1
È
n(n + 1) − . . . ∞ = n
.∞
=n ⇒ x=
4) (a + b)(a − b) = a2 − b2 5) (an + bn )(an − bn ) = a2n − b2n Cubo de un binomio 6) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 7) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 8) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
=n
.∞
Walter Arriaga Delgado
9) (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
√ n n
Binomio por trinomio 10) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
GRADOS Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de grado n (con m > n), entonces:
11) (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 Suma y diferencia de potencias n-´ esimas 12) (a+b)(an−1 −an−2 b+an−3 b2 −· · ·+bn−1 ) = an +bn 13) (a−b)(an−1 +an−2 b+an−3 b2 +· · ·+bn−1 ) = an −bn
Operaci´ on
Grado
P (x) ± Q(x)
m
P (x).Q(x)
m+n
P (x) Q(x)
m−n
[P (x)]k
m.k
È k
P (x)
m , k
k 6= 0
Si P (x) es completo, entonces NT = GA + 1
Cuadrado de un trinomio 14) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 15) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 16) (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc 17) (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc 18) (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc 19) (a − b − c)2 = (b + c − a)2 20) (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 + 2abc(a + b + c) Cubo de un trinomio
3 3 3 3 2 2 2 Si P (x, y) es completo, homog´eneo y ordenado 21) (a + b + c) = a + b + c + 3(a b + a c + b a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6abc entonces NT = GA + 1
P
coef. de P (x) = P (1)
T.I. de P (x) = P (0)
PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
22) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) 23) (a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) − 2(a3 + b3 + c3 ) + 6abc
24) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc Identidades de Stevin: Producto de binomios con un t´ ermino com´ un 25) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
317
26) (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab
Igualdades condicionales
27) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab +
1) Si
ac + bc)x + abc
a+b+c=0
entonces:
a) a2 + b2 + c2 = −2(ab + ac + bc) b) a3 + b3 + c3 = 3abc
28) (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x − abc
c) a4 + b4 + c4 = 2 a2 b2 + a2 c2 + b2 c2
Identidades de Legendre
d) a5 + b5 + c5 = −5abc(ab + ac + bc) e) a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 − 2(ab + ac + bc)3
29) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) 2
f) a7 + b7 + c7 = 7abc(ab + ac + bc)2
2
30) (a + b) − (a − b) = 4ab
g) a2 + b2 + c2
31) (a + b)4 − (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 )
32) (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 33) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2
4
2
34) (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + 1 35) (x2 + xy + y 2 )(x2 − xy + y 2 ) = x4 + x2 y 2 + y 4
j)
CASOS xn − y n x−y xn − y n x+y xn + y n x+y xn + y n x−y
(Equivalencia de Gauss)
a5 + b 5 + c5 5
1 (a + b + 2
39) (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3 ) = 3(a + b + c)(a2 +
c2 ) − 3abc
1)
C.N. ∀ n ∈ N C.N. ∀ n par C.N. ∀ n impar No es C.N.
m n = = (NT) p q
xm ± y n xp ± y q
41) (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a)
2) Tk = (signo)(xp )N T −k (y q )k−1
42) (a + b)(a + c)(b + c) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)
3) Tk = (signo)(y q )N T −k (xp )k−1
43) a3 =
a(a + 1) 2
−
a(a − 1) 2
2
a7 + b 7 + c7 7
Condici´on (r = 0)
40) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(a2 + b2 +
2
=
Dado el cociente notable:
b2 + c2 ) + 6abc
COCIENTES NOTABLES
37) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab −
c) (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2
a2n+1 + b2n+1 + c2n+1
Identidades auxiliares
=
a2 + b 2 + c2 2
4) Si (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇒ (a + b + c)2n+1 =
x2m y 2n + y 4n
38) a3 + b3 + c3 − 3abc
2) Si a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ⇒ a = b = c
36) (x2m + xm y n + y 2n )(x2m − xm y n + y 2n ) = x4m +
bc − ac)
= 2 a4 + b 4 + c4
3) Si a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a = b = c
Identidades de Argand 2
2
h) (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 2 3 a5 + b 5 + c5 a + b 2 + c2 a + b 3 + c3 i) = 2 3 5
Identidades de Lagrange
2
←
4) Si NT es par, existe dos t´erminos centrales: NT NT k1 = k2 = +1 2 2
´ Algebra
318 5) Si NT es impar, existe un t´ermino central: NT + 1 k= 2
Walter Arriaga Delgado
Binomio de Newton Dado el binomio de Newton:
MCD y MCM
(axp + by q )n
A × B = MCD(A, B) × MCM(A, B)
ax + by + c , es constante o independiente de px + qy + r a b c x e y, entonces = = p q r
1) NT = n + 1
Si
xn − 1 n Si x → 1 entonces m = x −1 m
Coeficiente binomial
Si n, r ∈
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) = r!
Z+ 0
y r ≤ n, entonces:
n r
= Crn
N´ umero combinatorio 1) Crn =
←
4) Si NT es par, existe dos t´erminos centrales: NT 2
k2 =
NT 2
+1
5) Si NT es impar, existe un t´ermino central:
Si n ∈ R, r ∈ Z+ 0 , entonces: n r
3) Tk+1 = Ckn (by q )n−k (axp )k
k1 =
POTENCIACION
2) Tk+1 = Ckn (axp )n−k (by q )k
n! r!(n − r)!
k=
NT+1 2
6) Suma de coeficientes: 7) Suma de exponentes:
P P
coef = (a + b)n expo =
(p + q)n(n + 1) 2
8) Si u y v son los lugares de dos t´erminos equidistantes, entonces: u + v = n + 2 9) NTRF = NTR − NTRE 10) NTI = NT − NTR
2) C1n = n
Tri´ angulo de Pascal
3) Cnn = 1
1
4) C0n = 1 1
n 5) Crn = Cn−r
1
n+1 n 6) Crn + Cr+1 = Cr+1
n n−1 7) = Cr−1 r n 8) Crn = C n−1 n−r r n−r+1 n Cr−1 9) Crn = r
1
Crn
10) Cpn = Cqn ⇔
8
:p + q = n
11) C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n
1 1
2 3
4 5
6
1 3 6
10 15
1 1 4 10
20
5 15
Dada la expresi´on: (a1 + a2 + · · · + ar )n NT = Cnn+r−1 =
(n + r − 1)! n!(r − 1)!
1 1 6
1
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
319
An´ alisis combinatorio
(A ± B)T = AT ± B T
1) Permutaci´on:
(λA)T = λAT
Pn = n!
2) Permutaci´on circular:
P Cn = (n − 1)!
3) Permutaci´on con repetici´on: n! P Rnα1 ,α2 ,...,αm = α1 !α2 ! . . . αm ! 4) Variaciones:
Vrn =
(AB)T = B T AT
n! (n − r)!
Sean las matrices A, B ∈ Mn×n , se cumple:
5) Variaciones con repetici´on de n elementos tomados de m en m: V
Rnm
6) Combinaciones: 7) Vnn = Pn
=n
m
Crn =
n! r!(n − r)!
Traz(A ± B) = Traz(A) ± Traz(B) Traz(λA) = λTraz(A) Traz(AB) = Traz(BA) Traz(A) = Traz(AT )
8) Vrn = r! Crn
A es sim´etrica si y s´olo si AT = A
RADICACION
A es antisim´etrica si y s´olo si AT = −A
Radicales dobles É
È
((A)T )T = A
É
√ A+C A−C 1) A± B = ± 2 2 √ donde: C = A2 − B È È √ √ √ √ 2) A ± B = a + b ± 2 ab = a ± b, a > b È √ √ √ √ √ √ 3) a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc = a+ b+ c
A es nilpotente si y s´olo si Ak = 0 A es idempotente si y s´olo si A2 = A
Determinantes
Racionalizaci´ on Para hallar el denominador racionalizado DR Fracci´on N √ √ 2n 2n a± b N √ √ 2n+1 a ± 2n+1 b N √ √ 2 √ 2 3 3 a − ab + 3 b N √ √ 2 √ 2 3 3 a + ab + 3 b
A es involutiva si y s´olo si A2 = I
Sean las matrices A, B ∈ Mn×n , se cumple:
DR
|AB| = |A||B|
a−b
|AT | = |A|
a±b
|An | = |A|n
a+b
|kA| = k n |A|
a−b
Adj(A) = [cofact(A)]T A−1 =
MATRICES Y DETERMINANTES Matrices AB 6= BA
Adj(A) ; |A|
|A| 6= 0
(AB)−1 = B −1 A−1 |Adj(A)| = |A|n−1
´ Algebra
320 ECUACIONES
Walter Arriaga Delgado
Inecuaciones exponenciales
8 8 > > :
1) Si b > 1 entonces:
E. Incompatibles
Dada la ecuaci´on cuadr´atica: ax2 + bx + c = 0 1) x =
−b ±
√ b2 − 4ac 2a
⇒ P (x) > Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x)
⇒ P (x) ≥ Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒ P (x) < Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒ P (x) ≤ Q(x)
2) Si 0 < b < 1 entonces:
2) ∆ = b2 − 4ac 3) Suma de ra´ıces: x1 + x2 = −
b a
c 4) Producto de ra´ıces: x1 x2 = a 5) Diferencia de ra´ıces: x1 − x2 = 6) Suma de inversas de ra´ıces:
bP (x) > bQ(x)
√
∆ a
1 1 b + =− x1 x2 c
7) Ra´ıces sim´etricas: x1 + x2 = 0 o b = 0
bP (x) > bQ(x)
⇒ P (x) < Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x)
⇒ P (x) ≤ Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒ P (x) > Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒ P (x) ≥ Q(x)
Inecuaciones irracionales 0≤x≤y ⇔ 0≤ 0
9) Ra´ıces iguales: x1 − x2 = 0 o ∆ = 0
2n
√ a=0 ⇔ a=0 √ √ 2n a≤ b ⇔ 0≤a≤b
10) Si ∆ > 0, las ra´ıces son reales y diferentes.
2n
11) Si ∆ = 0, las ra´ıces son reales e iguales.
2n+1
√ a≥0 ⇔ a≥0 √ a<0 ⇔ a<0
2n+1
√ a≤
2n+1
INECUACIONES Desigualdades 1) Para a < b < c Si a > 0, entonces a2 < b2 < c2 Si c < 0, entonces c2 < b2 < a2 Si a < 0, ∧ c > 0, entonces
0 ≤ b2 < (m´ax{|a|, |c|})2
√ √ x< y
√ a>0 ⇔ a≥0
8) Ra´ıces rec´ıprocas: x1 x2 = 1 o a = c
12) Si ∆ < 0, las ra´ıces son complejas y conjugadas.
√ √ x≤ y
√
2n+1
b ⇔ a≤b
√ √ a + 2n b ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
2n
√ √ a + 2n b ≤ 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0
2n
√ a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a ≤ b2 ) √ a < b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a < b2 ) √ a ≥ b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 )] √ a > b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2 )]
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Inecuaciones con valor absoluto |x| =
8
, x≥0
:−x
, x<0
|x| ≥ 0 ∀x ∈ R
8) logb
x y
9) logb a =
= logb x − logb y logx a logx b
11) logb a = logbn an √ n n 12) logb a = log √ a b
2
|x| = x √ |x| = x2
13) cologb a = − logb a
|x| = | − x|
14) antilogb a = ba
|xy| = |x||y| x = |x| y |y|
7) logb (xy) = logb x + logb y
10) logb a loga c = logb c
|x| = 0 ⇔ x = 0 2
321
15) antilogb logb a = a
y 6= 0
16) logb antilogb a = a
|a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b) 2
|a| = |b| ⇔ a = b
2
|a + b| ≤ |a| + |b| (Desigualdad triangular)
17) cologb antilogb a = −a 18) ln a = loge a 19) Si b > 1 entonces:
|a| < b ⇔ b ≥ 0 ∧ −b < a < b
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U
|a| ≤ b ⇔ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U
|a| > b ⇔ a > b ∨ a < −b
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U
|a| ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0
LOGARITMOS 1) logb 1 = 0
20) Si 0 < b < 1 entonces:
2) logb b = 1
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U
3) logb an = n logb a
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U
4) logb bn = n
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U
n logb a m n 6) logbm bn = m
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U
5) logbm an =
U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0
RAZONAMIENTO MATEMATICO SERIES Y SUCESIONES
2)
n X k=1
1) N´ umero de t´erminos de una sumatoria. n X k=r
ak
tiene (n − r) + 1 t´erminos.
3)
n X k=r
cak = c
n X
ak ;
c: constante.
k=1
c = c(n − r + 1) ;
c: constante.
´ Algebra
322
4)
n X
5)
n X k=1
6)
7)
(ak + bk − ck ) =
n X
n X
n+h X
ak =
k=1
11)
2k = 2
k=1
ak ;
ak−h ;
n X
bk −
n X
Dada la descomposici´on can´onica de N : ck
N = Aa × B b × C c × · · ·
k=1
la cantidad de n´ umeros menores que N que son PESI
∀n > 1
k=m+1
k=1
con ´el esta dado por: ∅(N ) = n(1 − 1/A)(1 − 1/B)(1 − 1/C) . . .
h∈Z
Razones y proporciones: n(n + 1) 2
k = 2(1 + 2 + 3 + · · · + n) = n(n + 1)
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2
n X k=1
12)
ak +
k=1
n X
k = 1 + 2 + 3 + ··· + n =
n X
n X
n X
n X
ak +
k=h
n X
k=1
10)
m X k=1
k=1
9)
ak =
k=1
k=0
8)
FRACCIONES
(ak − ak−1 ) = an − ar−1
k=r
n X k=1
Walter Arriaga Delgado
Raz´on aritm´etica: a − b = r a Raz´on geom´etrica: = r b Tipos de proporci´ on:
Discreta: t´erminos medios diferentes
n(n + 1)(2n + 1) k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 6
n(n + 1) k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n3 = 2
2
14)
k=1
15)
k=1
k(k + 1) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + · · ·+ n(n + 1) =
16)
m X
d=b+c−a
k=n
17)
n X k=1
18)
n X k=1
1 1 1 1 = − k(k + 1) 1 1 n+1
1 1 1 1 = − k(k + 1)(k + 2) 2 1 × 2 (n + 1)(n + 2)
Proporci´ on
aritm´etica
geom´etrica a b = b c c = 3◦ proporcional
c = 3◦ diferencial de a y b c = 2b − a b = media diferencial de a y b a+c b= 2
de a y b b2 c= a b = media proporcional de a y b √ b = ac
Propiedades: Si: a1 a2 a3 an = = = ··· = =k b1 b2 b3 bn
n X
1 19) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k=1 1 1 1 − 3 1 × 2 × 3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Proporci´on a−b=b−c
de a, b y c bc d= a
Continua: t´erminos medios iguales
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4
1 1 1 1 = − k(k + r) r n m+r
geom´etrica a c = b d d = 4◦ proporcional
de a, b y c
k(k + 1)(k + 2) = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 ×
5 + · · · + n(n + 1)(n + 2) =
aritm´etica
d = 4◦ diferencial
n(n + 1)(n + 2) 3 n X
Proporci´ on
a−b=c−d
a1 13) S = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · = , r : raz´on 1−r geom´etrica. n X
Proporci´on
entonces: 1) a1 = b1 k; a2 = b1 k; a3 = b3 k; . . . an = bn k
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado 2) 3)
a1 + a2 + a3 + · · · + an =k b1 + b2 + b3 + · · · + bn
323 (a ± b) %N = a %N ± b %N a %b = b %a
m m m am 1 + a2 + a3 + · · · + an = km m m m m b1 + b2 + b3 + · · · + bn
Descuentos sucesivos:
p
m m am + am 2 + a3 + · · · + an p 1m =k m m m m b1 + b2 + b3 + · · · + bn
m
4) 5)
Du = 100 %−(100−D1) %(100−D2 ) % . . . (100−Dn ) %
a1 × a2 × a3 × · · · × an = kn b1 × b2 × b3 × · · · × bn
Aumentos sucesivos:
6)
a1 ± b 1 a2 ± b 2 an ± b n = = ··· = =k±1 b1 b2 bn
7)
a1 ± b 1 a2 ± b 2 an ± b n k±1 = = ··· = = a1 a2 an k
Au = (100+A1 ) %(100+A2 ) % . . . (100+An ) %−100 % Aplicaciones: Pv = Pc + G
a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n k+1 8) = = ··· = = a1 − b 1 a2 − b 2 an − b n k−1
Pv = Pc − P P v = P L(100 + A1 ) %(100 + A2 ) % . . . (100 +
Porcentajes
An ) %
Propiedades:
P v = P L(100 − D1 ) %(100 − D2 ) % . . . (100 −
a a %N = ×N 100
Dn ) %
´ ´ LOGICA MATEMATICA Variables
Negaci´ on
Conjunci´ on
Disyunci´ on
Condicional
Bicondicional
Disyunci´ on
inclusiva p
q
V
V
V
exclusiva
∼p
p∧q
p∨q
p → q
p ↔ q
p∆q
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
1. Idempotencia: a) p ∧ p ≡ p
b) p ∨ p ≡ p 2. Conmutativa: a) p ∧ q ≡ q ∧ p
b) p ∨ q ≡ q ∨ p
c) p ↔ q ≡ q ↔ p
d) p ∆q ≡ q∆p 3. Asociativa:
a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
V
V
V
b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r) 4. Distributiva: a) b) c) d)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)
5. Identidad: a) p ∧ V ≡ V ∧ p ≡ p b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V
´ Algebra
324 d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p 6. Complemento:
Walter Arriaga Delgado
CONJUNTOS 1) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
a) ∼∼ p ≡ p
2) N´ umero de subconjuntos de A: n[P (A)] = 2n(A)
c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V
4) N´ umero de subconjuntos binarios de A: C2
b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F
3) N´ umero de subconjuntos propios de A: 2n(A) − 1 n(A)
d) p → p ≡ V
5) N´ umero de subconjuntos ternarios de A: C3
f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V
Leyes del algebra de conjuntos
e) p ↔ p ≡ V
g) ∼ V ≡ F
h) ∼ F ≡ V 7. Morgan: a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q 8. Absorci´ on: a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q 9. Implicaci´ on: a) p → q ≡ ∼ p ∨ q
b) p → q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q) c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p
10. Doble Implicaci´ on: a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
b) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) 11. Diferencia Sim´ etrica: a) p ∆q ≡ ∼ (p ↔ q)
b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p) 12. Expansi´ on Booleana: a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)
b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q) 13. Transposici´ on: a) p → q ≡ ∼ q → ∼ p
b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p 14. Exportaci´ on: a) (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)
b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) → r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1 ) → (pn → r)
n(A)
1. Reflexivas: a) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A 2. Conmutativas: a) A ∪ B = B ∪ A
b) A ∩ B = B ∩ A c) A∆B = B∆A
3. Asociativas: a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C c) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C
4. Distributivas: a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
d) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 5. Inclusi´ on:
8 A∪B =B > > A−B =φ > :
A∆B = B − A
6. Exclusi´ on: Si A ∩ B = φ entonces: 7. Elemento neutro: a) A ∪ φ = A
b) A ∩ φ = φ
c) A ∪ U = U
d) A ∩ U = A 8. Complemento: a) (A′ )′ = A b) A ∪ A′ = U
¨
A−B =A A∆B = A ∪ B
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
325
CONTEO DE FIGURAS
c) A ∩ A′ = φ ′
d) φ = U
1. Segmentos
′
e) U = φ
1
9. Diferencia:
2
A
a) A − B = A ∩ B
′
′
3
B
C
4 ··· D
E
N◦ de segmentos =
′
b) A − B = B − A
n F
n(n + 1) 2
2. Tri´ angulos
10. Diferencia sim´ etrica: a) A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
b) A∆B = (A − B) ∪ (B − A) 11. Morgan: 1
a) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
b) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
2
3
4
···
N◦ de tri´angulos =
n
n(n + 1) 2
12. Absorci´ on: a) A ∪ (A ∩ B) = A
.
b) A ∩ (A ∪ B) = A
3
c) A ∪ (A′ ∩ B) = A ∪ B
2
d) A ∩ (A′ ∪ B) = A ∩ B
1
(1c)
: 8 <(a1)(a1) :
..
.
2
3
N◦ de tri´angulos =
(1z)(n)
= n+ a+ b + c+ ···z .
(a1)
..
.
4
´ NUMERACION 8 <(1a)(1b)
m ..
···
n
n(n + 1) m 2
m ..
3
= ak n + ak−1 + ak−2 +
2
(a1) (n)
2
···+ a + a+ 1
1
Operaciones combinadas S+D 2 SQ 2) N◦ mayor = Q+1 1) N◦ mayor =
S−D 2 S N◦ menor = Q+1
N◦ menor =
DQ D N◦ menor = Q−1 Q−1 √ √ S + ∆S S − ∆S ◦ ◦ 4) N mayor = N menor = 2 2 √ √ ∆D + D ∆D − D 5) N◦ mayor = N◦ menor = 2 2 donde: S = suma, D = diferencia, Q = cociente, P = producto, ∆S = S 2 − 4P , ∆D = D2 + 4P ,
2
3
4
··· n nm(n + m) N◦ de tri´angulos = 2 3. Cuadril´ ateros m .. .
3) N◦ mayor =
4 3 2 1 2 3 4 N◦ de cuadril´ateros = 4. Cuadrados
···
n
n(n + 1) m(m + 1) × 2 2
´ Algebra
326
Walter Arriaga Delgado
Divisores
n .. .
Dado el n´ umero N = aα b β cγ
4 3 2 1 2 3 4
1) CDN = (α + 1)(β + 1)(γ + 1) 2) CDN = 1 + CDprimos + CDcompuestos ···
N◦ de cuadrados =
n
aα+1 − 1 bβ+1 − 1 cγ+1 − 1 × × a−1 b−1 c−1 SDN 4) SIDN = N √ 5) P DN = N CDN 3) SDN =
n(n + 1)(2n + 1) 6
m .. .
RELOJES 4 3 2 1 2 3 4
Hora real = Hora marcada – Adelanto ···
n
◦
N de cuadrados = nm + (n − 1)(m − 1) + (n − 2)(m − 2) + · · · 5. Semic´ırculos
Hora real = Hora marcada + Atraso 11m θ=± ∓ 30H 2
RELACIONES Y FUNCIONES Producto cartesiano: Si A 6= B, entonces A × B 6= B × A A×B =B×A
⇐⇒
A = B.
A × φ = φ × A = φ. A×B =φ
⇐⇒
A = φ ´o
B = φ.
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) N◦ semic´ırculos = 2(N◦ di´ametros)(N◦ c´ırculos)
(A × B) × C 6= A × (B × C)
DIVISIBILIDAD ◦
◦
◦
◦
A⊂B
◦
1) Si A = n y B = n ⇒ A ± B = n ◦
′
◦
◦
◦
◦
(A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D)
6) Si A = n ⇒ Ak = n , k ∈ Z 7) Si A = n ⇒ kA = n , k ∈ Z ◦
k
◦
(A×B) ⊂ (C×D)
◦
◦
◦
⇐⇒ ′
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
5) Si A = n1 +r; A = n2 +r; ⇒ A = MCD(n1 , n2 ) +r ◦
B⊂D
′
◦
4) Si A = n +r1 ; B = n +r2 ; ⇒ AB = n +r1 r2 ◦
y
(A × C) ⊂ (B × C)
(A × B ) ⊂ (A × B)
3) Si A = n +r1 ; B = n +r2 ; ⇒ A+B = n +r1 +r2 ◦
=⇒
A⊂C
◦
2) Si A = n y B = n ⇒ AB = n
◦
A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
k
Dominio y rango: Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R} ⊂ A Ran(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R} ⊂ B Dom(R1 ∪ R2 ) = Dom(R1 ) ∪ Dom(R2 )
8) Si A = n +r ⇒ A = n +r , k ∈ Z
Dom(R1 ∩ R2 ) ⊂ Dom(R1 ) ∩ Dom(R2 )
9) Teorema de Wilson: Si p es un n´ umero primo: ◦ (p − 1)! = p −1
Dom(R1 − R2 ) ⊃ Dom(R1 ) − Dom(R2 ) Ran(R1 ∪ R2 ) = Ran(R1 ) ∪ Ran(R2 )
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado Ran(R1 ∩ R2 ) ⊂ Ran(R1 ) ∩ Ran(R2 )
Ran(R1 − R2 ) ⊃ Ran(R1 ) − Ran(R2 )
Clases de relaciones:
R es reflexiva ⇔ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A
R es sim´etrica ⇔ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
R es transitiva ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
R es de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. R es antisim´etrica ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x=y R es de orden si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Linea recta:
327
La circunferencia: R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0} R = {(x, y) ∈ R2 / (x − h)2 + (y − k)2 = r2 } radio= r, centro= (h, k) La elipse: (x − h)2 (y − k)2 + = 1} 2 a b2 radio= r, centro= (h, k) R = {(x, y) ∈ R2 / La hip´ erbola: (x − h)2 (y − k)2 − = 1} 2 a b2 radio= r, centro= (h, k) R = {(x, y) ∈ R2 /
PROMEDIOS
R = {(x, y) / Ax + By + C = 0} m = −A/B
1) Promedio aritm´etico: n X
La par´ abola: De forma implicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Dx + Ey + F = 0} R = {(x, y) ∈ R2 / Cy 2 + Dx + Ey + F = 0}
De forma explicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx + c} −b 4ac − b2 v´ertice= , 2a 4a Si a > 0 la gr´afica se orienta hacia arriba. Si a < 0 la gr´afica se orienta hacia abajo. R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay 2 + by + c} −b 4ac − b2 , v´ertice= 2a 4a Si a > 0 la gr´afica se orienta hacia la derecha. Si a < 0 la gr´afica se orienta hacia la izquierda.
x1 + x2 + x3 + · · · + xn Pa = = n
R = {(x, y) ∈ R2 / x − h = 4p(y − k)2 } v´ertice= (h, k) Si p > 0 la gr´afica se orienta hacia la derecha. Si p < 0 la gr´afica se orienta hacia la izquierda.
n
a+b 2 Promedio aritm´etico ponderado: Media aritm´etica: Ma =
Pp =
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn x1 + x2 + x3 + · · · + xn
2) Promedio geom´etrico: √ n x1 x2 x3 . . . xn √ Media geom´etrica: Mg = a × b Pg =
3) Promedio arm´onico: Ph =
Completando trinomios cuadrados perfectos: R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x − h)2 } v´ertice= (h, k) Si p > 0 la gr´afica se orienta hacia arriba. Si p < 0 la gr´afica se orienta hacia abajo.
xi
i=1
n n = n 1 1 1 1 X 1 + + ··· + x1 x2 x3 xn x i=1 i
Media arm´onica: Mh = Propiedades: Ph < Pg < Pa a × b = Ma × Mh Mg2 = Ma × Mh
GEOMETR´IA
2ab a+b
´ Algebra
328 ´ SEGMENTOS Y ANGULOS
Walter Arriaga Delgado
´ 3) Angulos correspondientes: b 1∼ 5 =b b 3∼ 7 =b
Segmentos x A
E
B x=
C
F
b 2∼ 6 =b b 4∼ 8 =b
L2
d
D
c e
AC + BD 2
a+b+c=d+e+f
b f
A
B 2
C
2
D 2
a
L1
2
AB + AD = 2(AC + BC )
´ TRIANGULOS
´ Angulos
B
´ Angulo nulo o perigono: α = 0 ´ Angulo convexo: 0◦ < α < 180◦ ´ Angulo agudo: 0◦ < α < 90◦
◦
x = 90◦ + x
´ Angulo recto: α = 90◦ ´ Angulo obtuso: 90◦ < α < 180◦ ´ Angulo llano: α = 180◦
A
C B
´ Angulo c´oncavo: 180◦ < α < 360◦ ´ Angulo de una vuelta: α = 360◦ ´ Angulos complementarios: α + β = 90◦
x x = 90◦ − A
´ Angulos suplementarios: α + β = 180◦
B x
b 3 b 5 b 7
b 2
x= L2
b 4 b 6
A L1
B
b 8
θ x Conjugados internos b 4+b 6 = 180◦ b 3+b 5 = 180◦
x + θ = 180◦
A
C B
BH = altura BM = mediana α>θ
x
´ 2) Angulos externos: Alternos externos b 2∼ 7 =b b 1∼ 8 =b
Ò B 2
C
´ 1) Angulos internos: Alternos internos b 3∼ 6 =b b 4∼ 5 =b
b A 2
C
´ Angulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante b 1
Ò B 2
Conjugados externos b 2+b 8 = 180◦ b b 1 + 7 = 180◦
α A
H
M
θ
x = α−θ C
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado B
BH = altura α>θ
x
α−θ 2
x= α A
H
θ
P
329
18◦ 30′ 3a
a
C
63◦ 30′
√ 10a
√ 5a
a
71◦ 30′
2a
26◦ 30′
CUADRILATEROS
B β
b x = α+β+θ
α
θ
x
A
m=
B+b 2
PQ =
B−b 2
m C B b
x= α
x
α+β 2
P
Q
β B b
B α
x x=
x
α+β 2
a
A
m
Tri´ angulos rect´ angulos notables
60◦
2m
2n
√
a 2
a
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO A
√ a 3
30◦
45◦
a
x
α
x=α
α
x=
B 53◦
16◦ 5a
3a
A
25a
24a
x 4a
37◦
2a + b 3
n
x
b
45◦ 2a
x=
a
C
a
a−b 2
90 − α
α
β
x=
7a
74◦
B
α 2
´ Algebra
330
Walter Arriaga Delgado
A α x= 2
α
a R
x P
b
C
A
β
x
´ RELACIONES METRICAS α
D
x=
B
α+β 2
C
a A α
α−β x= 2
β x
C
C
n
A
c
a2 = cm x=
α−β 2
b2 = cn ab = ch 1 1 1 = 2+ 2 h2 a b
B A
x
m
B
h2 = mn α
D β
b
h
a2 + b 2 = c2
B A
x
Teorema de Poncelet a + b = c + 2R
c
α
x=
β
α−β 2
AREA DE REGIONES PLANAS
B h
α
A
B x
x=
A=
α+β 2
b
β l b
a
bh 2
Teorema de Steiner a−c= d−b
h
l
√ l2 3 A= 4 √ h2 3 A= 3
l
c d x
a
A=
x = 90◦ θ b
ab sen θ 2
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
A= c
a
È
331
p(p − a)(p − b)(p − c) A=m×n
a+b+c 2 p = semiper´ımetro p=
b
m
n
B
C A∆ABP AP = A∆P BC PC
A
H
P
B θ
A=
A
C
AC × BD sen θ 2
D B
Mediana A1
A1 = A2
A2
A
C
A=
AC × BD 2
A=
d2 = a2 2
D Ceviana A1
A1 m = A2 n
A2
m
a
D
n a b bc
A
A
Baricentro
A
A A
bc
A=
h
A
a+b h 2
a c a
r
A=
abc 4r
h
A = bh
b b A=p×r r
p = semiper´ımetro
b
A = ab sen θ
θ a
´ Algebra
332
Walter Arriaga Delgado
GEOMETRIA DEL ESPACIO R A = πR2
R A=
α
πR2 α 360◦
AL AT As Ab Pb a h V D
: : : : : : : : :
´ Area lateral ´ Area total ´ Area de la superficie ´ Area de la base Per´ımetro de la base arista altura volumen diagonal
Tetraedro regular √ a 6 h= 3 √ As = a2 3 √ a3 2 V = 12
R
R A=
α
πR2 α R2 sen α − 360◦ 2
a h
Hexaedro regular o cubo √ D=a 3
R
V = a3 a
AL = 4a2 AT = 6a2 R A = π(R2 − r2 )
r
Prisma recto a=h h
AL = Pb × h AT = AL + 2Ab V = Ab × h
R r
A=
α
π(R2 − r2 )α 360◦
Esfera r
A = 4πr2 4 V = πr3 3
Poliedros regulares A1
B A2
A
A∆ABC = A1 + A2
C
Nombre Tetraedro Exaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Caras 4 6 8 12 20
V´ertices 4 8 6 20 12
Aristas 6 12 12 30 30
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado TRIGONOMETRIA
cos x · sec x = 1
tan x · cot x = 1
Razones trigonom´ etricas
2) Identidades de cociente: sen x tan x = cos x cos x cot x = sen x
B c
a
θ
A
C
b
3) Identidades pitag´oricas: sen2 x + cos2 x = 1
b a c sec θ = b c csc θ = a
a c b cos θ = c a tan θ = b
cot θ =
sen θ =
1 + tan2 x = sec2 x 1 + cot2 x = csc2 x
Identidades auxiliares sen4 x + cos4 x = 1 − 2 sen2 x cos2 x
Signos de las razones trigonom´ etricas Cuadrante sen α cos α tan α cot α sec α csc α
I
II
+ + + + + +
III
sen6 x + cos6 x = 1 − 3 sen2 x cos2 x √ 1 ± 2 sen x ± cos x = | sen x ± cos x|
IV
+ – – – – + – + – – + – – – + + – –
sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x
(sen x ± cos x)2 = 1 ± 2 sen x cos x
Razones trigonom´ etricas de ´ angulos notables
sen α cos α tan α cot α sec α csc α
π/6 30◦ √1/2 √3/2 3/3 √ √3 2 3/3 2
π/3 ◦ √60 3/2 1/2 √ √ 3 3/3 √2 2 3/3
π/4 ◦ √45 √2/2 2/2 1 √1 √2 2
37◦ 3/5 4/5 3/4 4/3 5/4 4/5
53◦ 4/5 3/5 4/3 3/4 4/5 5/4
Razones trigonom´ etricas de ´ angulos cuadrantales
sen α cos α tan α cot α sec α csc α
0 0◦ 0 1 0 ∞ 1 ∞
π/2 90◦ 1 0 ∞ 0 ∞ 1
π 180◦ 0 −1 0 ∞ −1 ∞
3π/2 270◦ −1 0 ∞ 0 ∞ −1
Identidades trigonom´ etricas 1) Identidades rec´ıprocas: sen x · csc x = 1
333
2π 360◦ 0 1 0 ∞ 1 ∞
tan2 x − sen2 x = tan2 x sen2 x 1 + sen x cos x = cos x 1 − sen x 1 − cos x sen x = sen x 1 − cos x
F´ ormulas elementales 1) sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β 2) sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β 3) cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β 4) cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β 5) tan(α + β) =
tan α + tan β 1 − tan α tan β
6) tan(α − β) =
tan α − tan β 1 + tan α tan β
7) cot(α + β) =
cot α cot β − 1 cot α + cot β
8) cot(α − β) =
cot α cot β + 1 cot α − cot β
9) sen(α+β +θ) = sen α cos β cos θ+cos α sen β cos θ+ cos α cos β sen θ − sen α sen β sen θ 10) cos(α+β +θ) = sen α cos β cos θ−cos α sen β sen θ− sen α cos β sen θ − sen α sen β cos θ
11) sen(α + β) sen(α − β) = sen2 α − sen2 β 12) cos(α + β) cos(α − β) = cos2 α − cos2 β
´ Algebra
334
13) tan α + tan β =
sen(α + β) cos α cos β
14) tan α − tan β =
sen(α − β) cos α cos β
15) cot α + cot β =
sen(α + β) sen α sen β
sen(β − α) 16) cot α − cot β = sen α sen β 17) sen 2x = 2 sen x cos x
Walter Arriaga Delgado
x x √ + cos = 1 + sen x 2 2 x x √ 42) sen − cos = 1 − sen x 2 2 43) sen 3x = 3 sen x − 4 sen3 x 41) sen
44) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
3 tan x − tan3 x 1 − 3 tan2 x 46) sen 3x = sen x(2 cos 2x + 1)
45) tan 3x =
47) cos 3x = cos x(2 cos 2x − 1)
2 tan x 18) sen 2x = 1 + tan2 x
48) 4 sen x sen(60 − x) sen(60 + x) = sen 3x
19) cos 2x = cos2 x − sen2 x
49) 4 cos x cos(60 − x) cos(60 + x) = cos 3x
20) cos 2x = 1 − 2 sen2 x 21) cos 2x = 2 cos2 x − 1
1 − tan2 x 22) cos 2x = 1 + tan2 x 2 tan x 23) tan 2x = 1 − tan2 x
50) tan x tan(60 − x) tan(60 + x) = tan 3x
Transformaciones trigonom´ etricas 1) Si x > y, entonces: x+y x−y cos 2 2 x+y x−y sen x − sen y = 2 cos sen 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+y x−y cos y − cos x = 2 sen sen 2 2 2 sen x cos y = sen(x + y) + sen(x − y) sen x + sen y = 2 sen
24) 2 sen2 x = 1 − cos 2x 25) 2 cos2 x = 1 + cos 2x
26) 8 sen4 x = 3 − 4 cos 2x + cos 4x
27) 8 cos4 x = 3 + 4 cos 2x + cos 4x √ 28) 1 + sen 2x = | sen x + cos x| √ 29) 1 − sen 2x = | sen x − cos x|
2 cos x sen y = sen(x + y) − sen(x − y) 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y)
30) cot x + tan x = 2 csc 2x 31) cot x − tan x = 2 cot 2x 32) 1 + sec 2x = x 33) sen = 2
É
x 35) tan = 2
É É
2) Si x + y + z = 180◦ , entonces: x y z cos cos 2 2 2 x y z cos x + cos y + cos z − 1 = 4 sen sen sen 2 2 2
tan 2x tan x
1 − cos x 2
É x 1 + cos x 34) cos =
2
2 sen x sen y = cos(x − y) − cos(x + y) sen x + sen y + sen z = 4 cos
3) Si x + y + z = 360◦ , entonces: x y z sen sen 2 2 2 x y z cos x + cos y + cos z + 1 = −4 cos cos cos 2 2 2 2 sen x + sen y + sen z = 4 sen
2
1 − cos x 1 + cos x
x 1 + cos x 36) cot = 2 1 − cos x x 37) tan = csc x − cot x 2 x 38) cot = csc x + cot x 2 x x 39) cot + tan = 2 csc x 2 2 x x 40) cot − tan = 2 cot x 2 2
Tri´ angulos oblicu´ angulos: 1) Ley de senos: A
c
B
b
a
a b c = = sen A sen B sen C
C
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado
P = semiper´ımetro.
A
P = c
a b c = = = 2r sen A sen B sen C
b C
a
B sen = 2
2) Ley de cosenos:
C sen = 2
A a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
c
A cos = 2
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
b
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C B
a+b+c 2 A sen = 2
r B
335
a
B cos = 2
C
3) Ley de tangentes: tan A+B a+b 2 = a−b tan A−B 2
A
c
B
tan B+C b+c 2 = b−c tan B−C 2
b
a
C
4) Ley de proyecciones:
C cos = 2
r
r
r
r
r
r
(P − b)(P − c) bc (P − a)(P − c) ac (P − a)(P − b) ab P (P − a) bc P (P − b) ac P (P − c) ab
Ley de cosenos para un cuadril´ atero inscriptible: A
tan A+C a+c 2 = a−c tan A−C 2
d a
D
A a = b cos C + c cos B c
b
b = a cos C + c cos A
b
C
c = a cos B + b cos A B
a
2
C
Razones trigonom´ etricas de los semi´ angulos internos: A
c
B
c
B
b
a
C
2
2
cos A =
a + d − b − c2 2(ad + bc)
cos B =
a2 + b2 − c2 − d2 2(ab + cd)
cos C =
b2 + c2 − a2 − d2 2(ad + bc)
cos D =
c2 + d2 − a2 − b2 2(ab + cd)
FISICA An´ alisis Dimensional L M T θ
: : : :
Longitud Masa Tiempo Temperatura termodin´amica
I : Intensidad de corriente el´ectrica J : Intensidad luminosa N : Cantidad de sustancia
´ Algebra
336 Cinem´ atica
Walter Arriaga Delgado tvuelo =
2v0 , tiempo de vuelo g
hmax =
v02 , altura m´axima 2g
MRU: d = vt MRUV:
Movimiento parab´ olico:
v = v0 + at
v0x = cte
v 2 = v02 + 2ad d = v0 t +
1 2
vx = v0x = v0 cos θ, componente horizontal de la velocidad es constante
at2
r = r0 + v0 t + miento.
1 2
at2 ,
r indica el eje de movi-
x = (v0 cos θ)t, desplazamiento horizontal
dn = v0 + 12 a(2n − 1), distancia recorrida en el en´esimo segundo. Ca´ıda libre: v = v0 ± gt
h=
1 2
2 hn = v0 ±
1 2
T =
2v0 sen θ , tiempo de vuelo g
v0y = v0 sen θ, componente vertical de la velocidad
gt2
v + v 0
v02 sen 2θ , alcance horizontal g
|ay | = cte
v 2 = v02 ± 2gh h = v0 t +
A=
t
vy = v0 sen θ − gt, velocidad vertical
g(2n − 1)
y = v0 t sen θ −
1 2
gt2 , desplazamiento vertical
QUIMICA Elemento Cesio Galio
Elementos S=S´ımbolo A=Atomo N=Neutrones Gases Elemento Hidr´ogeno Fl´ uor Ne´on Xen´on S H N O F Cl He Ne Ar Kr Xe Rn
G 1 15 16 17 17 18 18 18 18 18 18
L´ıquidos
S H F Ne Xe Pe 1 2 2 2 3 1 2 3 4 5 6
G=Grupo M=Masa E=Electrones Elemento Nitr´ogeno Cloro Arg´on Rad´on
A 1 7 8 9 17 2 10 18 36 54 86
M 1 14 16 19 36 4 20 40 84 131 222
P 1 7 8 9 17 2 10 18 36 54 86
S N Cl Ar Rn N 0 7 8 10 19 2 10 22 48 77 136
Pe=Per´ıodo P=Protones F=Familia Elemento Ox´ıgeno Helio Cript´ on E 1 7 8 9 17 2 10 18 36 54 86
S O He Kr
S Cs Fr Hg Ga Br
G 1 1 12 13 17
S Cs Ga Pe 6 7 6 4 4
Elemento Francio Bromo A 55 87 80 31 35
M 133 223 201 70 80
S Fr Br P 55 87 80 31 35
Elemento Mercurio N 78 136 121 39 45
Preparados de transici´ on Elemento S Elemento Rutherfordio Rf Dubnio Seaborgio Sg Tecnecio Bohrio Bh Hassio Meitnerio Mt Darmstadtio Roentgenio Rg Copernicio Ununtrio Uut Ununcuadio Ununpentio Uup Ununhexio Ununseptio Uus Ununoctio
E 55 87 80 31 35
S Db Tc Hs Ds Cn Uuq Uuh Uuo
S Hg
´ Algebra
Walter Arriaga Delgado S Rf Db Sg Tc Bh Hs Mt Ds Rg Cn Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo
G 4 5 6 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Preparados Elemento Prometio Plutonio Curio Californio Fermio Nobelio S Pm Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Pe 7 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
A 104 105 106 43 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
M 261 262 263 99 262 265 266 271 272 272 283 285 288 289 291 293
P 104 105 106 43 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
N 157 157 157 56 155 157 157 161 161 160 170 171 173 173 174 175
E 104 105 106 43 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
lant´ anidos y act´ınidos S Elemento S Pm Neptunio Np Pu Americio Am Cm Berkelio Bk Cf Einstenio Es Fm Mendelevio Md No Laurencio Lr
Pe Lant´anido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido Act´ınido
A 61 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
M 147 237 244 243 247 247 251 252 257 258 259 262
P 61 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
337
S´ olidos alcalinos Elemento S Litio Li Rubidio Rb Calcio Ca Radio Ra S Li Na K Rb Be Mg Ca Sr Ba Ra
G Alcalino Alcalino Alcalino Alcalino Alcalinot´erreo Alcalinot´erreo Alcalinot´erreo Alcalinot´erreo Alcalinot´erreo Alcalinot´erreo
S´ olidos de nadio Elemento Escandio Actinio Hafnio Tantalio N 86 144 150 148 151 150 153 153 157 157 157 159
E 61 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
S Sc Y La Ac Ti Zr Hf V Nb Ta
y alcalinot´ erreos Elemento S Elemento Sodio Na Potasio Berilio Be Magnesio Estroncio Sr Bario Pe 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7
A 3 11 19 37 4 12 20 38 56 88
M 7 23 39 86 9 24 40 88 137 226
P 3 11 19 37 4 12 20 38 56 88
S K Mg Ba
N 4 12 20 49 5 12 20 50 81 138
E 3 11 19 37 4 12 20 38 56 88
la familia del escandio, titanio y vaS Sc Ac Hf Ta
F Escandio Escandio Escandio Escandio Titanio Titanio Titanio Vanadio Vanadio Vanadio
Elemento Itrio Titanio Vanadio Pe 4 5 6 7 4 5 6 4 5 6
A 21 39 57 89 22 40 72 23 41 73
S Y Ti V M 45 89 139 227 48 91 179 50 93 181
Elemento Lantano Circonio Niobio P 21 39 57 89 22 40 72 23 41 73
N 24 50 82 138 26 51 105 27 52 108
S La Zr Nb E 21 39 57 89 22 40 72 23 41 73
Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
´Indice alfab´ etico aspa simple, 128 binomio, 33 binomio por trinomio, 77 campo num´erico, 126 cocientes notables, 107 constante, 31 cuadrado de un binomio, 76 trinomio, 77 cubo de un binomio, 77 trinomio, 78 cuerpo, 205 determinantes, 216 diagonal principal, 201 diferencia de cuadrados, 77 divisibilidad algebraica, 106 ecuaci´ on bicuadrada, 257 c´ ubica, 256 cu´ artica, 256 cuadr´ atica, 253 de primer grado, 247 lineal, 247 polinomial, 257 ecuaciones exponenciales, 36 espacio vectorial, 205 expresi´ on algebraica , 31 irracional, 33 racional, 33 racional entera, 33 racional fraccionaria, 33 expresi´ on trascendente, 33 f´ ormula cuadr´ atica, 254 factor, 126 factor com´ un, 127
factor primo, 126 factorizaci´ on, 125 grado, 55 grado absoluto, 55 relativo, 55 identidades de Argand, 79 Lagrange, 78 Legendre, 78 igualdades condicionales, 79 intervalo, 277 abierto, 277 cerrado, 277 semiabierto, 277 semicerrado, 277 m´etodo de Horner, 100 Ruffini, 101 matriz antihermitiana, 215 antisim´etrica, 212 banda, 224 conjugada, 213 cuadrada, 200 diagonal, 202, 223 escalar, 202 herm´ıtica, 214 hermitiana, 214 idempotente, 213 identidad, 203 involutiva, 212 nilpotente, 213 nula, 203 orden de una, 199 ortogonal, 215 positiva, 216 338
Walter Arriaga Delgado rectangular, 203 regular, 220 sim´etrica, 211 singular, 220 transpuesta, 211 traza de una, 210 triangular, 201 triangular superior, 201 monomio, 33 multinomio, 33 notaci´ on matem´ atica, 31 polinomio , 33 completo, 57 entero, 58 equivalente, 58 homog´eneo, 56 id´entico, 58 identicamente nulo, 58 m´ onico, 58 ordenado, 57 valor num´erico, 59 productos notables, 76 Rene Descartes, 104 suma y diferencia de potencias n-´esimas, 77 t´ermino algebraico, 31 t´erminos semejantes, 32 Tartaglia, 261 teorema del resto, 103 trinomio, 33 trinomio cuadrado perfecto, 76 valor absoluto, 283 variable, 31
´ Algebra
339