INTRODUCCIÓN Las Matemáticas son un lenguaje ya que se puede expresar mediante conjuntos de símbolos entre los cuales se establecen relaciones y operaciones. Los procesos generales que se pueden trabajar a través de las matemáticas son los siguientes: 1. El razonamiento: es la conexión entre la búsqueda y la organización de una información por medio del pensar, el analizar, el organizar ideas para llegar a una conclusión. 2. El planteamiento y solución de problemas: plantear problemas es un esfuerzo en doble vía, ya que primero facilita comprender la manera como se resuelven, y segundo, porque permite descubrir nuevos conocimientos. El planteamiento de un problema = información inicial + interrogante Solución de problemas = Es encontrar un camino, es la forma de salir de una dificultad como decía el matemático Polya. A continuación se dan las siguiente indicaciones que se deben tener en cuenta en el proceso de resolución de problemas: * Comprender el problema: leer con atención, identificar datos, realizar dibujos * Planear la solución: operaciones a utilizar, estrategias * Ejecutar el plan: resolver las operaciones en forma ordenada * Revisar y reflexionar sobre la solución: verificación de la respuesta, si hay más de una solución. 3. La Comunicación: dinamiza la relaciones, favorece la socialización de los alumnos y también la comprensión conceptual y el desarrollo de las competencias. SISTEMAS: Conjunto Integrado de conceptos: Sistemas Lógicos y Conjuntos Sistemas geométricos Sistemas de medidas Sistemas de datos Sistemas numéricos: Sistemas algebraicos y analíticos: acá se desarrolla la abstracción y la capacidad para plantear y solucionar diversos tipos de problemas.
1
Ejes conceptuales: 1. Conteo: Aritmética. 2. Medición: Modelos matemáticos del plano y el espacio. 3. Variación: Álgebra. 4. Aleatoriedad: estadística LAS COMPETENCIAS Debemos recordar que las Competencias tienen que ver con los procesos que deben desarrollar los estudiantes en la comprensión del conocimiento matemático. Debemos tener en cuenta que interpretar y argumentar son subprocesos de pensar bien, y que estos subprocesos no son uniformes, ni lineales, ni iguales, en los distintos campos y en los distintos contextos. (Carlos Vasco) Las Competencias permiten observar la manera como los alumnos utilizan los conocimientos, saberes y habilidades en la solución de tareas o de problemas. Las Competencias son conceptuales, metodológicas, estéticas, actitudinales y axiológicas. Según Furió Mas, C y Vilches Peña, no se pueden reducir destrezas para la ejecución mecánica de tareas¨
a
¨habilidades y
Las Competencias no pueden estar desarticuladas las unas de las otras. Se debe tener en cuenta la comprensión y aplicación de conceptos, la capacidad de interpretación y de argumentación y la capacidad de proposición. Competencia Interpretativa: (I) En este nivel los estudiantes solucionan problemas rutinarios que requieren interpretaciones, traducciones y/o identificación de simbología propia del lenguaje matemático para resolver una situación. Competencia Argumentativa: (A) En este nivel los estudiantes enfrentan situaciones que exigen argumentos fundamentados en casos particulares de la situación inicial, también están los estudiantes que son capaces de abordar situaciones –problemas que impliquen el reconocimiento de estrategias, explicaciones y justificaciones que pueden considerarse usuales con las cuales puede ser modelada y explicada una situación. Estas justificaciones, explicaciones o estrategias permiten realizar una comprobación directa desde la información ofrecida en la situación. Pueden haber problemas que implican el establecimiento de de condiciones de suficiencia y necesidad para elaborar argumentos.
2
Competencia Propositiva: (P) Los estudiantes pueden enfrentar situaciones en las cuales se exige proponer lo que sucedería en una situación dada, si alguna de sus condiciones iniciales fueran modificadas de determinada manera (generar hipótesis). También pueden abordar situaciones problema que implican el reconocimiento de ciertas proyecciones, o situaciones para reconocer y predecir como deberían ser modificadas las condiciones de la situación inicial para poder garantizar que cierto hecho se produzca en el futuro. Reorganizar la situación para determinar las nuevas condiciones con las cuales se puede optimizar un procedimiento, un método o un resultado, pueden exigir dar razones de porqué surgen esas nuevas condiciones.
Bibliografía GALLEGO, B.Rómulo. Competencias Cognoscitivas: Un enfoque epistemológico, pedagógico y didáctico. Santafé de Bogotá. Cooperativa Editorial Magisterio. 1999 Matemáticas para el nuevo ICFES. Cali: Los tres editores Ltda, 2002.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS • Pensamiento numérico o de conteo: Es indispensable para todos los usos generales y prácticos de los planteamientos matemáticos en la vida cotidiana. Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales Imaginarios Complejos. Operaciones con polinomios. Este capítulo está dedicado a estudiar distintas propiedades en los conjuntos numéricos. Comprensión del número, su representación y las relaciones que existen entre ellos y las operaciones que con ellos se efectúan. Énfasis en las competencias Argumentativa – Interpretativa Ejemplo: (A) 2 es irracional porque: 1. El 2 es infinita no periódica . La expansión decimal de b. No es conmensurable con la unidad c. No existen enteros p y q tales que p/q = 2 d. No es racional FACTORIZACIÓN • Pensamiento variacional: Abarca el Álgebra como herramienta de análisis sobre las variables y sus comportamientos regulares . Productos Notables . Cuadrado de la suma de dos cantidades . Cuadrado de la diferencia de dos cantidades . Cubo de un binomio (producto de dos binomios de la forma (a+b) (a – b) . Cocientes notables . Teorema del Residuo . División Sintética . Factorar polinomios . Aplicaciones: ( I ) Énfasis en las competencias Propositiva e Interpretativa
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EXPRESIONES RACIONALES • Pensamiento variacional: Abarca el Álgebra como herramienta de análisis sobre las variables y sus comportamientos regulares . Máximo .Común Divisor de polinomios . Mínimo Común Múltiplo de polinomios . Fracciones Algebraicas . simplificación . Suma y resta . Multiplicación y división . Fracciones compuestas . Resolución de ecuaciones Énfasis en las competencias: Interpretativa y Propositiva POTENCIACIÓN, RADICACIÓN, LOGARITMACIÓN • Pensamiento variacional: Abarca el Álgebra como herramienta de análisis sobre las variables y sus comportamientos regulares . Propiedades de cada una de ellas . Operaciones Énfasis en las competencias: Interpretativa SISTEMA DE ECUACIONES • Pensamiento variacional: Abarca el Álgebra como herramienta de análisis sobre las variables y sus comportamientos regulares . Ecuación lineal . Aplicaciones . Sistema de ecuaciones con dos y tres incógnitas: . Gráficas (I) . Solución algebraica: Método de igualación, de sustitución, de reducción . Aplicaciones Énfasis: Competencia Interpretativa – Propositiva 1. De un rectángulo de 19 cm de perímetro la longitud es 3 cm menor que el
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perímetro del ancho, si x es la longitud y y el ancho, el sistema de ecuaciones o
19 2x + 2 y = 1 9 x + y = a. b. 2 x − 3 = 4y x − 4y = 3 ecuación que satisface el enunciado es:
5 3 c. x + = 1 9d. 1 y0− 6 = 1 9 2 2
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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA •
Pensamiento variacional: Abarca el Álgebra como herramienta de análisis sobre las variables y sus comportamientos regulares
. El número e (función de crecimiento) . Función logarítmica . Ecuaciones exponenciales y logarítmicas . Interpretación de gráficas Énfasis en las competencias: Interpretativa y Argumentativa
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Capítulo 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
En el álgebra trabajamos con muchos conjuntos de números. Por ejemplo: • • •
Para expresar la cantidad de alumnos de un aula usamos los números naturales. Para expresar tasas de interés usamos decimales: 6%= 0.06 Para expresar temperaturas bajo cero utilizamos los números negativos: 7° bajo 0= – 7°
C
R Q Z * Q
N
i
1.1→ NUMEROS NATURALES: N Son aquellos que usamos para contar N = { x: x ≥ 1 , x es un entero} Ejemplo: N = { 1,2,3,7,9,245,…….} 1.2→ NÚMEROS ENTEROS: Z Son todos los números positivos, negativos y el cero + − Z = {x: x ε ( Z ∪ { 0 } ∪ Z ) }
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Ejemplo: Z = { …..,–6, –5. –4…0, 1, 2, 3, 4, 5… .
9
1.3→ NÚMEROS RACIONALES: Q Son llamados números fraccionarios y se pueden escribir en la forma a / b, con (a y b ) ε Z, b ≠ 0 . También se pueden indicar como un número decimal resultado de hallar el cociente de a / b. Q = { x: x = a / b, (a y b )
ε
. . − 8, − 0.555 ,
Z, b ≠ 0
}
−2 −7 2 8 45 , , 0, 0.125 , , , 5 16 4 1 6
}
Ejemplo: Q= { Todo decimal se puede escribir como un decimal que termina o se repite en bloques de dígitos. 1.4→NÚMEROS IRRACIONALES: Q* Son aquellos números cuyas formas decimales están formadas por dígitos decimales no terminales y no repetitivos. Se prefiere dejarlo indicado como el radical de donde proviene.
a a ε Q, n ε Z , ( s in = p a →r a ≥ 0 Q* = { x : x = Ejemplo: Q* = { − 5 , 0.313313331 ......, e, π , n
3
9 ,
}
1.5→NÚMEROS REALES: R Son todos los números que existen. R = { x : x ε ( Q ∪ Q * }) Ejemplo: R = { ….
−
5
1 11 ,−2, − , 0 , 4, 5
3.12 ,
}
1.6→NÚMEROS IMAGINARIOS: I Son aquellos números que no existen realmente y se le saca la raíz n–ésima par a un número real negativo. Se representan i = −1 I = { x: x = a , a ε R , n ε Z pares } I = { x: x = a i, a ε R, i = −1 } Ejemplo: I = { ….–7i, – 3 i, i, 7i , ….. } n
−
1.7→NÚMEROS COMPLEJOS: C Abarcan absolutamente a todos los anteriores campos numéricos. Los Reales son un caso particular de los Complejos. C= { x: x ε ( R ∪ I ) } } C = { x: x = a + bi, ( a ∧ b ) ε R, i = −1 Ejemplo: C= { …. ( 5 + 2 i ), (0 –4i), ( 3 + 0i ) }
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Capítulo 2
2.1→Los términos algebraicos son expresiones formadas por constantes y/o variables. Por ejemplo: 12, 6x, 89 x 3 y, – 4 w 2 Los coeficientes numéricos son 12, 6, 89 y –4 respectivamente. 2.2→Un polinomio es la suma de uno o más términos algebraicos cuyas variables tiene exponentes enteros. Un polinomio con un término se llama monomio: a b 3, 5/6 x, 3x 3yz Un polinomio con dos términos se llama binomio: – 5x 3 + 7y ; 3/2 + 5x Un polinomio con tres términos se llama trinomio: 3mn + 6n – 8 m 2 n 2.3→Grado de un polinomio: es igual al grado del término que tenga el grado mayor en el polinomio: 7 x 5 es un monomio de grado 5 2 8 * 4 x w − w x es un monomio de grado 9 porque la suma de los exponentes de las variables es 10 3 1 2 2 * – 5x y w es un monomio de grado 17 porque la suma de los exponentes de las variables es 17 8 2 2 x y − 5 xy * es un binomio de grado 10 porque el grado máximo del binomio es 10 2 y 4 −7 x 7 y +2 x9 y 2 +1 12 x * es un polinomio de grado 11 *
A las expresiones como 3 2 P ( x) = 7 x + 2 x − 5 x − 5 se les llama : Funciones Polinomiales. donde la letra x dentro del paréntesis representa a la variable del polinomio. 2.4→SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes. El orden de los sumandos no altera la suma.
11
2.4.1→Términos semejantes: son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Al sumar y restar los términos semejantes, se suman (restan) sus coeficientes numéricos y se conservan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. 2.4.2→Suma de monomios: Ejemplos: 1. Sumar 8m, 7m, 17m = 8m + 7m + 17m = 32m 2. Sumar ½ a con 3/2 a = 4/2 a = 2 a 3. Sumar –8x, 7xy con 9x, –2xy = –8x + 9 x + 7xy –2xy= x + 5xy 4. Sumar 4 mb, – mb con 6 xz, –3/2 mb = 4mb –mb –3/2 mb + 6xz 3 = 3mb – 2 mb + 6xz 3 = 2 mb + 6 xz
2.4.3→Suma de polinomios: Se agrupan los términos semejantes. Ejemplos: Hallo la suma de: 1. 2s + 3b, 7b – c, –4s +8c = 2s + 3 b + 7b –c – 4s + 8 c = 2s – 4 s + 3b + 7 b – c + 8 c = – 2 s + 10 b + 7 c 2. 5p + q + r,
3 r– 6 q – 2 p,
También se puede realizar así:
3.
4.
m 2 + 4m,
−5m + 6m 2
1 2 2 x + x y, 2 3
p–8r+5q 5p + q + r –2p – 6 q + 3 r p +5q – 8r ––––––––––––––––––––––– 4p + 0 q – 4 r
= m 2 + 6 m 2 + 4 m −5m =
7m2 −m
1 1 1 2 1 2 2 1 x y + y2 = x + y + xy + xy 2 4 2 4 3 2 1 2 1 2 4 +3 ) xy = x + y +( 2 4 6 1 2 1 2 7 = x + y + xy 2 4 6
12
2.5→RESTA DE POLINOMIOS: 2.5.1→Resta de monomios: Ejemplos: 3 3 3 1. 8 x − 5 x = 3 x 2. De 2b restar 7 b 3. De 15z
= 2 b – 7b = –5b
restar – 9z
= 15z – ( – 9 z ) = 15 z + 9z = 24 z 9 x 2 w4
2
4. De 9 x w
4
restar
−12 x w 2
4
9 x 2 w4 21 x 2 w4
=
2 4 − −12 x w +12 x 2 w4
)
5. Restar 6 xw de 9 xw Primero escribimos el minuendo 9 xw y luego el sustraendo 6 xw = 9 xw – ( 6 xw ) = 3 xw 2.5.2→Resta de Polinomios Ejemplo: (4sw 3 +5s3w2 ) de (8s3w2 +2sw 3 −s7 ) 1. Re star = (4 sw 3 +5s3w2 ) − (8s3w2 + 2 sw 3 − s 7 ) = =
4 sw 3 +5s3w2 − 8s 3w2 −2 sw 3 + s 7 2 sw 3 − 3s 3w2 + s 7
Ejercicios : 1. ( 5 x + 6 y − 2
) + ( − 2 y + 7x + 9 )
2.
(13 x + 8 y ) + 17 y
3.
De
5z + 4y 2
)
4. 5.
Re sta
7y − 5z − 2
)
( 5x + 6 y − 2 ) − ( − 2 y + 7 x + 9 ) ( 2a − 6 ) ( 3a − 4a3 − 10 )
6. Re sta 2 ym + 3 z
de
− 5 ym + 2 z
13
2.6→MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 2.6.1→Multiplicación de monomios: Se multiplican los factores numéricos y después se multiplica los factores variables. Ejemplos: Multiplicar * . 8 x3 (5 x 2 y ) = 40 x5 y * 7 xw 2 z 2 (− 2 wz 4 ) = −14 xw 3 z 6 * (2ab ) (− 4a3b ) (6a 7 z b3 ) = − 48 a11 b5 z 2.6.2→Multiplicación de un Polinomio por un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva y se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio y si hay términos semejantes se reúnen. Ejemplo: 1. 8 x 3 ( 4 x y + 2 w 4 x ) = 8 x 3 ( 4 x y) + 8 x 3 ( 2 z 4 x) 4 4 4 = 32 x y + 16 x z *
(
− 3s 6 w 4 s 3w2 + 2rw 3 − 3s 7 ) = − 3s 6 w 4 s3w2 ) − 3s 6 w 2rw 3 = −12 s 9 w3 − 6 s 6 w4r + 9 s13 w
(
(
)
(
− 3s 6 w − 3s 7
)
2.6.3→Multiplicación de un Polinomio por un Polinomio: Se procede de igual forma al anterior. Ejemplo: * ( 5 x + 6 y ) (2 x 4 y +3 x 4 w4 −5 )
= 10 x5 y + 15 x5w4 − 25 x +12 x 4 y 2 +18 x 4 yw 4 −30 y
*
(x2 +4 x −5 ) (4 x2 −4 x +1 ) = =
4 x 4 − 4 x3 + x 2 +16 x3 −16 x 2 + 4 x − 20 x 2 + 20 x −5 4 x 4 +12 x3 −35 x 2 + 24 x −5
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3.
2 1 3 a + 2 b = = =
) (
2b a - 3
) + 2 a − 2 b ) + 1 b ( a ) + 1 b − 2 b )
2 a (a 3 2 a2
3
−
3
2
2
4 a. b 9
1 ab 2 1 2 b 3
+
3 2 2 1 a + ab − 3 18
3
2 2 b 6
−
4. Determinar el producto de =
( x n + 3x ) ( x n + 2 x −n
)
= x n + n + 2 x n −n + 3x1+ n + 6 x1−n = x 2n + 2 x0 + 3x1+ n + 6 x1−n
Ejercicios : 1.
(3x2t3 ) (5x4 z 2
)
2.
4m 2 2m 5 zxm − 2 6z z
3.
( 4x − 8z )2
4.
]
5.
( 6b + 3 )
(2 xb 2 − 5b )
( x3 − 7 x 2 + 9 ) ( 4 x − 1 )
5x x y 6. − 2 3
) 7 xy +
3 5y
)
2.7→DIVISIÓN DE POLINOMIOS: 2.7.1→División de monomios: Se debe tener en cuenta: a. Dividir los coeficientes, aplicando cuidadosamente la ley de los signos para la división. b. A la parte literal se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base.
Ejemplos: Efectuar las siguientes divisiones:
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*
*
−12 x 2 y a 3 b c 2 4 x y a 2b c 2
−12 2 −1 1 − 1 3 − 2 1 −1 2 − 2 x y a b c 4
=
− 4 m 4 n 2 p5 2 3 2 2 m n p 7
=
− 3 x1 y 0 a1 b 0 c 0
=
−3 x a
4− 3 2 −2 5−2 n p
= −4 ÷
2 7
m
= −4 ×
7 2
m1 n0 p3
− 28 m p3 2 = − 14 m p3 =
2.7.2→División de un polinomio por un monomio: Ejemplos : 21 x 6 − 9 x 4 + 24 1. 3 x3
2.
21 x 6 9 x4 24 − + 3 3 3x 3x 3 x3 = 7 x3 − 3 x + 8 x −3
=
( 5s + 2r ) + 5( 5s + 2r ) 5s + 2r
=
5s + 2r 5 ( 5s + 2r + 5s + 2r 5s + 2r
)
= 1 +5 = 6
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2.7.3→División de un polinomio entero racional en x por un binomio de la forma x – a. 2.7.3.1→División Sintética o Regla de Ruffini: Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento, se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios. Aplicando 4 x4 − 4 x3
*
+ 2x2 − 3
÷ x − 3
→
− 4
cociente
4 x3 +8 x 2 + 26 x + 78 residuo 231 Luego esta división no es exacta
Se puede hallar el residuo, sin hallar la división: * x 2 – 7 x + 6 entre x – 5 Se sustituye la x por 5, y se obtiene: 5 2 – 7 ( 5) + 6 = 25 – 35 + 6 = – 4 *
x 3 + 2 x + 7 entre x +3
Se sustituye la x por ( – 3), y se obtiene: - 3 3 + 2 ( -3 ) + 7 = -27 - 6 + 7 = -26 * z3 − 9 z + 2 entre 4 z − 3 se sustituye la
x por
3
4
3 3 3 2 ⇒ ) −9 ) + 2 4 4 27 81 = − +2 64 16 27 − 324 + 128 − 169 = = 64 64
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Aplicando la Regla de Ruffini para calcular los cocientes sin realizar la división: Procedimiento: a. Se escribe todos los coeficientes del dividendo, y en la parte inferior izquierda, sobre la horizontal se escribe 3 que aparece en el divisor, pero con signo cambiado, para evitar la resta que se da en la división: b. Los coeficientes del cociente se obtiene así: El primero es igual al primer coeficiente del dividendo: 4 y se escribe debajo de la línea c. Los coeficientes se obtienen así: El 12, es el producto de 3 x 4 El 24, es el producto de 3 x 8 El 78, es el producto de 3 x 26 El 234, es el producto de 3 x 78 x4
x3
x2
coeficientes * 4 x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − 3 ÷ x − 3
4
x
del
−4
2
0x
dividendo 0
−3
12 + 24 + 78 + 234 * 3 4
8
+ 26 + 78 + 231
cociente 4 x3 + 8 x 2 + 26x + 78 residuo 231
2.7.3.2 → Teorema del Residuo: Si un polinomio P ( x ) se divide entre x– r, el residuo es P ( r ) 3 2 Ejemplo: P ( x ) = 2 x − 4 x + 2 x −1 P(1
)
= = =
3 2 2 1 ) −4 1 ) + 2(1 2 −4 + 2 −1 −1
a ) Determinar P ( 1 ) ) −1
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b ) Luego usamos la división sintética para determinar el residuo cuando P ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x −1 se divide entre x – 1 2
–4
2
–1 1
2 –2 0 _______________________ 2 –2 0 –1
El residuo es 1
Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide entre x – 1, el residuo es P ( 1 ). 2.7.3.3. →Teorema del Factor: Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero. Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x ) Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio sea igual a 0. Ejemplo:
* Sea
3 2 P (x) = x − 3x + 5 x −15
Demostremos que: a) P ( 3) = 0 Se emplea el Teorema del Residuo para evaluar a P ( 3 ), dividiendo P ( x ) = x3 − 3 x 2 + 5 x −15 entre x – 3 1
–3
5
–15 3
3 0 15 __________________________ 1 0 5 0 El residuo de esta división es 0. De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 ). Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio b) x – 3 es un factor de P ( x ) El residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) 2 representan los coeficientes del cociente: x + 5.
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Luego: ( x −3 )
(x2 + 5 )
•
divisor
+
cociente
0 = residuo
x3 − 3 x 2 + 5 x −15 dividendo , P ( x)
Nota : No siempre es fácil factorizar los polinomios Ejercicios: Realiza las siguientes divisiones: 1.
7 xyp 3 2 p7 14 x
4.
2.
(15 mnx + 18 m2 n − m )
3.
m4 + 4n − 48 − 5n3
÷ 3m
5.
÷ n +2
6.
8 x5 y8 + 6 xy 3 −12 y 4 − 2 xy 2 6 x5 + 4 x 4 + 7 x3 + 2 x 2 − 7 x 3 x −13 5 x + 2076 − 208 x 2 ÷ x − 5
* Utiliza la división sintética para realizar cada una de las siguientes divisiones: 1.
(x2 + x − 2 )
4 − 3x 2 + x
( x −1 ). ) ÷ ( x −4 ) ÷
2.
(
3.
x + x − 5x − 7 x + 8 5
4
3
÷
x +3
5.
(2 x3 − 9 x2 +10 x − 3 ) ÷ ( x − 3 ) (5x2 + 6 x3 + 4 ) ÷ ( x +1 )
6.
6 x 5 + 2 x 4 − 3x3 − x 2 + 3x + 3
4.
÷ ( 3 x +1
)
* Emplea el Teorema del Factor y explica si la primera expresión es un factor de P ( x) 1
x − 2;
2.
x +1;
3.
x + 2;
x3 − 2 x 2 + x − 2 P( x) = x3 + 2 x 2 − 2 x −3 P ( x ) = 3 x 2 −7 x + 4;
P( x) =
2.8→APLICACIONES Biología: El ancho del abdomen de cierto tipo de polilla hembra es útil para aproximar el número de huevos que puede cargar. El número promedio de huevos se aproxima en 14 x3 – 17 x 2 – 16 x + 34, donde x es el ancho del abdomen en milímetros.
20
Finanzas: 1. El pago mensual de una casa se puede determinar evaluando la expresión: P = A[
i 1 − 1 +i
(
)−n
]
P es el pago mensual, A es el precio de la casa menos el pago inicial, i es la tasa de interés n es el número
mensual
(tasa anual
÷
12 )
total de pagos.
2. Se puede calcular el pago mensual de un apartamento que tenga un precio de $120.000.000, con un 30% de cuota inicial a un interés anual de 25% por un período de 15 años. 3. El saldo actual de un préstamo de auto se puede calcular evaluando la expresión: P = Pago mensual 1 − 1 + r k − n r = tasa de interés mensual ) P = ] k = número de pagos abonados r n = número total de pagos mensuales
(
Se puede calcular el saldo actual de un préstamo con P = $450.000, r = 0.01 k= 24 y n = 60 Geometría Se puede hallar el área de un jardín de forma rectangular que mide ( 4x + 2) unidades de largo y 4x unidades de ancho. A de un rectángulo = base . altura
21
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Capítulo 3
3.1→POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO En algunas situaciones es necesario elevar polinomios a una potencia determinada, procedimiento que resulta simple sabiendo que la potenciación es una simple multiplicación. OBSERVA: OBSERVA: 2 2 es equivalente a 2 x 2
22=2x2
( a +b) 2 es
( a +b) 2
equivalente a (a + b).(a + b)
(= (a + b).(a + b)
Como puedes ver la potenciación de un polinomio se convierte en multiplicación de polinomios 2 2 2 (a + b ) = (a + b).(a + b) = a + ab + ba + b
3.2→PRODUCTOS NOTABLES Se denominan productos notables a algunas potencias de polinomios o productos entre ellos que pueden resolverse rápidamente ya que cumplen algunas características o reglas fijas. Existen varios productos notables que son: 3.2.1→CUADRADO DE LA SUMA El cuadrado de una suma se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se suma el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se suma el cuadrado de la primera cantidad. Observa: ( a + b) 2
a2 2ab b2
⇒ el cuadrado de la primera cantidad ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad
22
(a + b)
2
=
2 2 a + 2 ab + b
Ejemplos: ( x + 2y)2 = x2 + 2.(x).(2y) + (2y)2 = x + 4 xy + 4 y (2a2 + 3b3 )2 = ( 2a2 )2 + 2.(2.a2).(3b3) + ( 3b )2 = 4 2 3 6 = 4a + 12 a b + 9b 2
2
3.2.2→DIFERENCIA DE CUADRADOS El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se resta el cuadrado de la primera cantidad. Observa: ( a −b) 2
a2 ⇒ el cuadrado de la primera cantidad 2ab ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad b2 ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad (a − b)2
=
a 2 − 2ab + b 2
Ejemplos: 2 2 * (2x – 4)2 = ( 2 x) − 2(2 x) (4) + 4
= 4 x 2 −16 x +16
2 3 3 4 2 4 2 2 * (mn3 – 3 m4 x2 )2 = (mn ) − 2(mn ) (3m x ) + (3m x ) 3 6 5 3 2 8 4 = m n − 6m n x + 9m x
EJERCICIOS: Resolver los siguientes productos notables:
1.
6.
(3y+5z)2
1 x − y 2. 3
1 3 a + b 4 3. 4 4. 5.
7.
2
(3 – 4 a)2 (7 – 2x)2
8. 2
( x − y) (5 − a ) (2 x − 3x ) 2
y 2
x
a +1
a −2 2
1 2 3 3 2 m n −m n 9. 2 2 10. ( a + b − c )
2
23
3.23→SUMA POR DIFERENCIA Es un producto de la siguiente forma (a + b)(a – b) los mismos términos en un paréntesis separados con más y en el otro con menos. Se resuelve de la siguiente manera: 2 2 (a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a − b 2 2 (a + b) (a – b) = a – b
Ejemplos:
(2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a2 – 9 b2
2 2 4 2 a + b a − b a −b2 3 3 = 9
EJERCICIOS 1. ( 3m − 5 y )( 3m + 5 y ) 2. 3.
( a − 2b )(a + 2b 3
3
)
[ ( a + b) + 2 ] [ ( a + b) − 2 ]
1 3 1 3 + a − a 4. 3 2 3 2 5. 6.
(2m3 – n4)(2m3 + n4) (a 2x – 3)(a 2x + 3)
7. (a + 2b + 2)(x +2b–2) 8. (ab + c)(ab – c) (3x2 – b) ( b + 3x 2) 9. 3 3 10. ( a − x ) − ( a + b ) ( ( a - b) + (a + b) )
(
)
11. (5x+2y)(2y–5x ) 3 3 2 3 3 3 2 3 x − 2m y x + 2m y 4 12. 4
3.2.4→CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se indica:
( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 + 3ab 2 + b 3 ( a + b)3 = (a+b)2(a+b)
= (a2+2ab+b2) (a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3
( a − b )3 = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 que se demuestra de la misma manera que el anterior.
EJEMPLOS
(m–2)3 = m3–3(2m2)+3m(2)2–23 = m3–6m2+12m–8 24
(3 a2 + 2 b3)3 = (3 a2)3 + 3(3 a2)2 (2 b3) + 3(3 a2) (2 b3)2 + (2 b3)3 = 27 a6 + 54 a4 b3 + 36 a2 b6 +8 b9 EJERCICIOS:
1. 2.
x y 11. (5 − 5 )
3
(a – b) (3y+5z)3
12. ( x
1 x − y 3. 2
3
1 3 a + b 4 4. 4 5. 6. 7.
− x a −2 )
1 2 2 m −n 2 13.
14. ( a + b − c )
3
(3a – 4 b) (7 – 2x)3 (2x2 – 5y 3 )3
16. ( a
3b
+ b 2b )
17. (3a − 2b
3
3 2 2 3 2 x y − xy 5 4 3
1 3 +m 10. 3
3
3
3
2 4 x−y 5 15.
3
2 a + 4m 8. 3
9.
a +1
3
3
3
)
4 3
3 3 2 2 x + y 3 18. 4 19. 20.
3
(a – b – c)3 (–x – y)3
3.2.5→POTENCIA DE BINOMIOS El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....), llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de la siguiente manera: 1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes numéricos de los términos del producto. 2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio 3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con exponente cero. 4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el segundo a aumentarlo. 5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es resta– se utiliza así:
1 1 2 1
(a+b)1 = ab0 +a0 b = a+b 2 (a+b) = a2+2ab+b2
25
1 1
3 4
3
(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3
1
6
4
(a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4
1
EJEMPLOS (a+2)6 = a6+6 a5(2)+15 a4 (2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26 a6+12 a5+60 a4 + 160 a3 + 240 a2 +192 a + 64
2 (3x– 3 )
4
2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 =(3x) –4 (3x) ( )+6 (3x) ( ) – 4(3x)( ) +( 3 )4 216 216 32 16 4 3 2 = 81 x – 3 x + 9 x – 9 x + 81 4
3
EJERCICIOS 1. 2. 3.
(a – 2b)6 (2 x2 – 3y 2) 4 (3 – a3) 5
x y − 4. 2 2
5.
(a
x
+ 2)
4
8. 9. 5
4
(2x − 3 y ) (5 − 3a )
2 6
3
10. ( 2 − a )
3
3 2 −m 6. 4
1 3 x−y 7. 3 2 3
7
1 2 2 3 a − b 3 11. 2
4
3.3→COCIENTES NOTABLES De la misma manera que los productos notables, existen cocientes que pueden realizarse por simple inspección. Estos cocientes son: a2 − b2 = a+b 1. a − b a2 − b2 = a −b 2. a + b a 3 − b3 = a 2 + ab + b 2 a − b 3.
a4 − b4 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 5. a − b a4 − b4 = a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3 a + b 6.
La misma estructura funciona para las demás
26
a 3 + b3 = a 2 − ab + b 2 a + b 4.
NOTA: Los cocientes cuya estructura es la siguiente, no son divisiones exactas a4 + b4 a −b
a4 + b4 a +b
EJEMPLOS: 8 − a3 = 2 + 2a + a 2 2 − a
1 − x 12 = 1 + x 4 + x8 4 1− x 16 x 2 − y 2 = 4x − y 4x + y
EJERCICIOS: Resolver por simple inspección los siguientes cocientes
1.
a 4 −1 a +1
a6 − y6 3 3 2. a + b 8 + a3 3. 2 + a
4.
16 x 2 y 4 − 25 m6 4 xy 2 +5m3
36 a 10 − 25 5 + 6a 5 5. 256 − m 8 2 −m 6. (a + b) 2 − c 2 a +b −c 7.
8.
32 x 5 + 243 y 5 2x +3y
27
3.4→FACTORIZACIÓN Factorizar un número natural es descomponerlo en sus factores primos así: 12 = 2 x 2 x 3= 2 2 x 3 donde 2 y 3 son números primos. Factorizar un polinomio significa descomponerlo hasta donde sea posible, en el producto de todos sus factores primos. La propiedad distributiva de la multiplicación de números reales respecto de la adición permite transformar las sumas indicadas en productos. Esta transformación es una FACTORIZACIÓN. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 3.4.1. → FACTOR COMÚN Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal como de la numérica. El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado por las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El factor restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los coeficientes de cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo: Factoriza los siguientes polinomios: * 6 x3 – 12 x2 + 3 x El factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir 6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1) * 8 x w3 + 32 x 3 w 2 = 8 x w 2 (w + 4 x2 ) * 5 y z4 – 12 y 6 = y ( 5 z4 – 12 y5 ) * 4 x ( x + 2) – ( x + 2)= ( x + 2) ( 4 x –1) *
(x3 −2)3 +7(x3 −2
(
[(x3 −2)2 +7
) = x3 −2 )
]
Ejercicios: 1. 3 xy 3 + 27 x 4 y 2. 3.
5b +b 4 z − 25 b3w 2 x ( n −1 ) −3 y ( n −1
)
28
3.4.2. → FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN: Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamente Se emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo: 2 * 3 x − 6ax + 4 x − 8a 1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a) 2. Factoricemos el factor común: 3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a) 3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a) 2 2 2 * x −a + x −a x
1. Agrupemos:
2 2 x −a x
2 ) ) + x −a
x( x −a 2
2 ) ) + x −a
2. factoricemos:
3. Se factoriza de nuevo:
2 ) (x +1 ) x −a
3a3 − 3a 2b + 9ab 2 − 3b 2 − a 2 + ab
*
(3a3 −3a2b +9ab 2 ) − (3b2 + a2 − ab 2 2 2 2 2. 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b ) 2 2 3. ( 3a −1 )(a − ab + 3b ) 1.
)
Ejercicios: 2.
3m −2n −2nx 4 +3mx 4 2 x 2 y +2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3
3.
3a 2 −7b 2 x +3ax −7 ab 2
1.
3.4.3→. DIFERENCIA DE CUADRADOS Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas: a2 −b2 = ( a + b
)( a − b )
Ejemplos : * 16 x 4 − 81 y 2 = 4 x 2 + 9 y ) 4 x 2 − 9 y * 25 − x 6 z 8 = ( 5 + x3 z 4 ) ( 5 − y 3 z 4
(
*
64 4 x4 8 2 x2 − = + 2 9 3 w w
(
) 8
w
−
2 x2 3
)
)
)
29
Ejercicios:
361 x14 −1 b12 x 2. − 49 a10 n 81 3. a 2m 4n6 −144
1.
3.4.4→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P ) Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término: a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b
Ejemplos: * x 2 – 2x + 1=
)2
( x – 1)2
Raíz cuadrada de x2 = x Raíz cuadrada de 1 = 1 Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x * 36 + 12 m2 + m4 = ( 6 + m2 )2 Raíz cuadrada de 36 = 6 Raíz cuadrada de m4 = m2 2 ( 6) ( m2) = 12 m2
30
*
a2 a − ab + b 2 = − b 4 2
)
2
a2 a Raíz cuadrada de 4 = 2
Raíz cuadrada de b2 = b Doble producto de esta raíces: a 2 ( 4 ) (b) =
2ab ab = 4 2
Ejercicios:
1 +14 x 2 y +49 x 4 y 2 2. 9 −6 x + x 2 n2 3. + 2mn +9m 2 9
1.
3.4.5→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P. Ejemplos: 4 2 2 4 * 4a + 3a b + 9b 1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2 La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2 2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a2 b2 2 2 2 2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 3a b ≠ 12 a b
2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a 12 a2 b2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: 4a 4 + 3a 2b 2 + 9b 4 + 9a 2b 2
2 2
– 9a b ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4a 4 +12 a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 = (4a 4 +12 a 2b 2 + 9b 4 ) − 9a 2b 2 Factorizo el T.C.P
=
(2a 2 +3b 2
2
)
−
9a 2b 2
2 2 2 2 Factorizo la Diferencia de Cuadrados = ( 2a + 3b − 3ab ) ( 2a + 3b + 3ab )
31
y por último lo ordeno *
=
(2a 2 −3ab +3b2 )(2a 2 +3ab +3b2 )
c 4 − 45 c 2 +100
1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de c4 = c2 La raíz cuadrada de 100 = 100 2 ( c2 ) ( 10 ) = 20 c2 2 2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 45 c ≠ 20 c
2. Luego hay que sumarle 25 c2 al segundo término para que sea igual a 45 c2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: c 4 − 45 c 2 + 100 2 + 25 c 2 – 25 c
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4 2 c 4 −20 c 2 +100 −25 c 2 = c −20 c +100
Factorizo el T.C.P
=
Factorizo la Diferencia de Cuadrados = ordeno
=
) −25 c 2 c2 − 10
2
)
−
25 c 2
(c2 −10 −5c )(c2 −10 +5c ) (c 2 −5c−10 )(c 2 +5c−10 )
Ejercicios: 1. 2. 3.
25 a 4 +54 a 2b 2 +49 b 4 4 −108 x 2 +121 x 4 121 x 4 −133 x 2 y 4 +36 y8
3.4.6→. TRINOMIO DE LA FORMA X + BX + C 1. Se organiza el trinomio 2. El coeficiente del primer término es 1 3. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos se escribe la raíz cuadrada del primer término. 4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al sumarse den el segundo término 2
32
Ejemplos: 2
* Factorar: m −17 m −60 Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m El trinomio se decompone en dos binomios: (m ) (m ) Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 60
↓ 2
30
↓ 2
15
↓ 3
5
↓ 5
1
↓
2 x 2 x 5 = 20 y 3 (m – 20 ) (m + 3 ) Rta : 2
* Factorar: 28 + a −11 a 2 Se organiza el trinomio: a −11a + 28 Se halla la raíz cuadrada del primer término a2 = a El trinomio se descompone en dos binomios: (a ) (a ) Se busca dos números cuya diferencia es 11 y cuyo producto es 28. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –11x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 28
↓ 2
14
↓ 2
7
↓ 7
1
* Factorar:
2x2=4 y 7 Rta : ( a – 4 ) (a – 7 ) x 2 + 2ax −15 a 2
Se halla la raíz cuadrada del primer término x2 = x El trinomio se descompone en dos binomios: (x a ) (x a ) Se busca dos números cuya diferencia es 2 y cuyo producto es 15. En el primer paréntesis se coloca el signo positivo ya que 2x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el
33
signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 15
↓ 3
5 1
↓ 5
Rta :
( x + 5a ) (x – 3a )
Ejercicios:
x 2 +6 x +8 2. x 2 −x −2 3. 15 +2 x −x 2
1.
3.4.7. → TRINOMIO DE LA FORMA
A X2 + B X+ C d o n d e A ≠ 1
Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a * En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer término 2 Luego se factoriza de la forma X + BX + C Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio 2 * Factorar: 6 x + 7 x + 2
(
6 6 x2 + 7 x + 2 6
)
=
= =
(6 x ) 2+ 7( 6 x ) + 6( 2 ) 6
(36 x2 + 7( 6 x ) +12 6
( 6x + 4 ) ( 6x + 3 ) 6 2
=
x3
2 ( 3 x + 2 ) 3 ( 2 x +1 ) 6 2x3 ( 3 x + 2 ) ( 2 x +1 )
6 3 * Factorar: 5 x + 4 x −12
34
) (
32 5 x + 4 5x3 ) − 5( 1 2 ) 6 3 5 5x + 4 x − 1 2 ) = 5 5
(
(2 5x6 + 4(5x3 ) − 6 0
=
5
(
(
= x3 + 2 ) 5 x3 − 6
=
( 5 x3 + 1 0 )
( 5x − 6 )
5 5 x1
)
1. 3x 2 −18 x −165 2. 2ax 2 −8ax −24 a 2 Ejercicios: 3. 20 x +7 x −6
3 2 2 3 3.4.8→. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: a ± 3a b + 3ab ± b = ( a ± b
)3
Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Tener cuatro términos 2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos 3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicando por la raíz cúbica del última. 4. Qué el tercer término sea más triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.
2 4 6 * 8 −12 a + 6a − a La raíz cúbica de 8 = 2 La raíz cúbica de a6 = a2 3 ( 2)2 ( a2 ) = 12 a2 2 2 3 (2) (a ) = 6 a4 Rta
segundo término tercer término
( 2 – a2 )3
3 2 3 * 125 a +150 a b + 60 ab + 8b La raíz cúbica de 125 a3 = 5 a La raíz cúbica de 8b3 = 2 b 3 ( 5 a )2 ( 2 b ) = 150 a2 b 3 ( 2 b )2 ( 5a ) = 60 a b2 Rta
segundo término tercer término
( 5a + 2 b )3
35
Ejemplo:
1. 8a3 −36 a 2b +54 ab 2 − 27 b3 2. 125 x3 +1 +75 x 2 +15 x 3.
x9 −9 x6 y 4 + 27 x3 y8 −27 y12
3.4.9. → SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: a 2 +b 2 =
(a +b ) a 2 −ab
a 2 −b2 =
(a −b )
+b 2 a 2 +ab +b 2 )
1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores x3 −27 = La raíz La raíz
( x −3 ) x 2 +3.x +32 )
8 x3 + y 3 = La
raíz
* La raíz m − n
de x3 = x de 27 = 3
cúbica cúbica
( 2 x + 3 y ) [ (2 x )2 − 2x ( y ) + y2 ]
cúbica cúbica
) 3+ 27 =
de 8 x3 = 2 x de y3 = y
[ ( m − n ) + 3 ] [ ( m − n ) 2− ( m − n ) ( 3 ) + 3 2 ]
La raíz cúbica de ( m − n )3 = m − n * La raíz cúbica de 27 = 3
36
Ejercicios:
1. a3 + 27 2. x6 − y9 3. x6 − ( x + 2 )3
3.4.10. → SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES: Se debe tener en cuenta: 1. Ambos términos deben tener el mismo exponente 2. Se saca la raíz de cada término 3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar. *
a 7 +b7 = ( a +b
) a6 − a5b + a 4b 2 −a3b3 + a 2b 4 −ab 5 +b6 )
La
raíz
séptima
de
La
raíz
séptima
de
* 32 −m5 =
a7 b7
es
= a
es
= b
( 2 −m ) 24 + 23 m + 22 m 2 + 2m3 + m4 )
La
raíz
qu int a
de
La
raíz
qu int a
de
32 es = 2 m5 es = m
Ejercicios
1. 1 +243 w5 2. x6 −64 w6 3. a7 +2187
37
Capítulo 4
EXPRESIONES RACIONALES
4.1→MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplos: 2
2
* Hallar el MCD de ab c, a bc Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor Exponente, por lo tanto su mcd es = a b c •
Hallar el MCD entre
15 a 2 b 3c,
15 a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c 24 ab 2 x, = 2. •2. •2. •.3 36 b 4 x 2 = 2. •2. •3 •.3
24 ab 2 x,
36 b 4 x 2
ab 2 x b4 x2
Por lo tanto el mcd es = 3 b2 2 2 * Hallar el MCD entre 2a + 2ab , 4a − 4ab
2a 2 + 2ab = 2a ( a + b 4a − 4ab = 4a ( a − b 2
•
Hallar el MCD entre 9 x 2 −1
=
9 x − 6 x +1 = 2
) )
Por lo tanto el mcd es= 2ª
9 x 2 −1,
9 x 2 −6 x +1 |
( 3 x −1 ) ( 3 x + 1 ) ( 3x −1 ) ( 3 x −1 ) Se factorizan ambos términos
Por lo tanto el mcd es= 3x – 1
38
Ejercicios: 1. 2. 3.
x 2 −4, x 3 −8 3 x 3 +15 x 2 , ax 2 +5ax 2 2 2 x −1 ) , x −4 x −5,
8 x 3 + y 3 , 4ax 2 −ay 2 5. 3 x 2 +3 x −60 , 6 x 2 −18 x −24
4.
x 4 −1
4.2→MíNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCM es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplos: 15 a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c 24 ab 2 x, = 2. •2. •2. •.3 36 b 4 x 2 = 2. •2. •3 •.3
* Hallar el MCM de ab El mcm es= a2 b2 c •
Hallar el MCM entre
2c,
ab 2 x b4 x2 a 2bc
15 a 2b3c,
24 ab 2 x,
36 b 4 x 2
Por lo tanto el mcm es = 23 32 5 a2 b4 c x2 = 360 a2 b4 c x2 2 2 * Hallar el MCD entre 2a + 2ab , 4a − 4ab
2a 2 + 2ab = 2a ( a + b 4a − 4ab = 4a ( a − b 2
•
) )
Por lo tanto el mcm es= 4 a (a + b) ( a–b) = 4 a ( a2 – b2 )
2 2 2 Hallar el MCD entre 3a x − 9a , x − 6 x + 9 | 3a 2 x − 9a 2
= 3a 2 ( x − 3 |
x − 6x + 9
=
2
)
( x − 3 ) ( x − 3 ) Se factorizan ambos términos
2 2 Por lo tanto el mcm es = 3a ( x − 3 )
39
Ejercicios: x 2 − 4, x3 − 8 2. 3 x3 + 15 x 2 , ax 2 + 5ax
4. 8 x3 + y3 , 4ax 2 − ay 2 5. 3 x 2 + 3 x − 60 , 6 x 2 − 18 x − 24
1.
3.
x 2 + 2 x,
x3 − 2 x 2 ,
x2 − 4
6.
x3 − y 3 ,
( x − y )3
4.3→OPERACIONES CON FRACCIONES: Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si es posible, se factorizan los denominadores 2. Se llevan al mcd y se efectúan las operaciones indicadas 3. Se unen los términos semejantes 4. Si es posible se simplifica la respuesta. 4.3.1→Suma de fracciones Simp|lificar: *
x − 2 3x + 2 + 4 6 3( x − 2 =
es 12
9x − 2 12
=
x + 2 x 2 − 2 2 − x3 + + el mcm es 45 x3 2 3 3x 5x 9x 2 15 x x + 2 ) + 9 x x 2 − 2 ) + 5 ( 2 − x3 = 45 x3
(
=
19 x3 + 30 x 2 − 18 x + 10 45 x3
1 x + x2 =
el
(
)
15 x3 + 30 x 2 + 9 x3 − 18 x + 10 − 5 x3 45 x3
=
*
mcm
) + 2( 3x + 2 )
12 3x − 6 + 6 x + 4 12
=
*
el
+
1 x − x2
1 x(1 + x
)
+ +
x +3 1 − x2
1 x(1 − x
)
+
se reducen a términos semjantes
x +3
(1 − x ) (1 + x )
(1 + x ) (1 − x ) 1 − x +1 + x + x ( x + 3 ) 1 − x +1 + x + x 2 + 3x = = x (1 + x ) (1 − x ) x (1 + x ) (1 − x )
mcm
es
x
40
x 2 + 3x + 2 x (1 − x ) (1 + x ) ( x + 2 ) ( x +1 ) = x (1 − x ) (1 + x )
=
se simplifica =
x+2 x (1 − x
)
4.3.2→Resta de fracciones: Simplificar
*
a −3 4 − 3ab 2 − 5ab 3a 2b 3 3ab 2 a − 3 =
el
(
=
*
−5 15a 2b3 3a 2b 2 + 6ab 2 − 20 15a 2b3
= = = =
( 4 − 3ab )
x +1 el mcd 2 x −1 ) x ( x −1 ) ( x +1 ) ( x −1 )2
x − x −1 2
)
mcm es 15a 2b3 2
(
(
x2 − x − x2 + 2x + 1 ( x +1 ) ( x −1 )2
es
=
3a 2b 2 − 9ab 2 − 20 + 15ab 2 15a 2b3
( x +1 ) ( x −1 )2
)
x2 − x − x2 − 2x − 1 ( x +1 ) ( x −1 )2 − 3x − 1 ( x +1 ) ( x −1 )2
4.3.3→Multiplicación de fracciones: Se debe tener en cuenta lo siguiente: a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a multiplicar. Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los denominadores. b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores Ejemplos: 41
Multiplicar:
*
*
*
2a 2 6b 2 x 3b 4a = ab 2 x2 + x x 6 2x = 3 a 2 − 5a + 6 3a − 15 =
*
=
12 a 2b 2 12 ab
8 4x + 2
x
a 2 − a − 30
x
x
x2 − 2 x − 8 x3 + x 2
=
x ( x + 2) ( x − 4) ( x + 4)
=
1 x +1
x
se
x( 2 x + 1) 3x 2
6a
(a − 3) (a − 2) 3(a − 5)
x2 + 2 x x 2 − 16
=
=
x
simplifica
x
factoriza
(a − 5) (a + 5) 2( a − 2)
x
x2 + 4 x x2 + 4 x + 4
( x − 4) ( x + 2) x 2 ( x + 1)
2x 2 + x 8 x 6 4x + 2
a 2 − ab + a − b 3 2. x a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab x 3 + 2 x 2 − 3x 2x 2 + 3x 3. x 4 x2 + 8x + 3 x2 − x
=
a( a − 3) a −6
x( x + 4 ( x + 2) ( x + 2)
x
Ejercicios:
1
se
a 2 − 25 2a − 4
6a (a − 6) (a + 5)
x
2 x2 x2 2( 2 x + 1)
4.
(x - y )3 x 3 x −1
5.
2a - 2 x 2a 2 − 50
6.
(a +
x2 + x +1 ( x − y)2 a 2 − 4a − 5 3a + 3
a a ) (a ) b b +1
42
4.3.4→ División de fracciones: Se debe tener en cuenta: a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Ejemplos: Simplificar: *
x2 3y2
÷
2x y3
= se aplica
la
prop . de la división
x2 y3 xy x = 2 2x 6 3y x3 − x 5x 2 − 5 x x3 − x 2x + 6 ÷ = x 2x + 6 2 x2 + 6 x 2x2 + 6x 5x 2 − 5 x x (x 2 −1) 2 (x + 3) = x 2x (x + 6) 5x (x - 1) x (x - 1) (x + 1) 2 ( x + 3) = x 2x (x + 3 ) 5x ( x - 1) x +1 = 5x =
*
*
=
=
x2 − 6x + 9 x 2 + 5 x − 24 ÷ 4 x 2 −1 2x 3 + 17 x + 8
=
x2 − 6x + 9 2x 2 + 17 x + 8 x 4 x 2 −1 x 2 + 5 x − 24
(x - 3) (x - 3) (2x - 1) (2x +1) x -3 = 2x - 1
x
(x + 8) (2x +1) (x + 8) (x - 3)
43
Ejercicios: Simplificar: 1.
15m 2 19 ax 3
4.
x -1 2x - 2 ÷ 3 6
2.
3.
20y 2 38 a 3 x 4
÷
15x 2 +7 x −2 25 x3 − x
5.
÷
6x 2 +13 x +6 25 x10 x +1
6.
ax 2 +5 a 3 x 2 +5a 2 ÷ 2a −1 4a 2 −1 x3 - 1 7x 2 +7 x +7 ÷ 2x 2 −2 x +2 7 x 3 +7
(x -
2 x ) ÷ (x ) x +1 x +1
Ejercicios: 1.
3x 8y 4y x 9x
z2 ÷ 3x 2
2.
a 2 −5a b +b 2
a 2 + 6a −55 ax +3 a ÷ x 2 b −1 ab 2 +11 b 2
3.
(a 2 −3a )2 x
27 - a 3 a + 3) 2 −3a
9 - a2 x 4 − 27 x 4. x x 2 + 7 x −30
÷
a 4 −9a 2 ( a 2 +3a ) 2
2 x 2 − 20 x +100 ÷ x −100 x −3 x3 +3 x 2 +9 x
POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARÍTMOS
Capítulo 44
5 5.1→POTENCIACIÓN 5.1.1 →EL CONCEPTO DE POTENCIA Consideremos los siguientes productos 5 5×5 × × 5 4 factores
,
2 2 × 2×2 2× × × 2 6 factores
,
a a ×a ×...... × × a × a nfactores ;
11 ×11 ×11 ×11 11 × 5 factores
y
Observemos que en cada producto todos los factores son iguales. Así como la multiplicación es una suma repetida, también el producto repetido lo podemos expresar de una manera simplificada por una nueva operación llamada potenciación.
Multiplicación
Potenciación
5+5+5+5=5x4
5 x 5 x 5 x 5 = 54
2+2+2+2+2+2=2x6
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5
11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 115
En general a + a + a + …….+ a = a x n veces
sumandos
a x a x a x ……..x a = an
factores
donde, 54 se lee “5 elevado a la cuarta potencia” o “5 a la cuarta” 26 se lee “2 elevado a la sexta potencia” o “2 a la sexta”
45
11 x5
se lee “11 elevado a la quinta potencia” o “11 a la quinta”
y en general: a n se lee “a elevado a la enésima potencia” o “a a la enésima”
Definición: Sellamapotenciaenésimadeunnúmeroentero al productodenfactoresigualesa
a, a.
Alexpresarestadefinicióndeunamanerasimbólica, tenemos
donde:
a se llama base n se llama exponente n
el resultado a se llama potencia la operación se llama potenciación
5.1.2Propiedades de la potenciación
5.
1. 2. 3. 4.
9.
6. 7. 8.
Ejemplos:
(
)(
)
75 × 42 × 33 × 7 × 44 75 × 7 42 × 44 × 33 75+1 + 42+4 × 33 76 × 46 × 33 = = = 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 1.
46
= 76 −3 × 46 −5 × 33−1 = 73 × 4 × 32 = 343 × 4 × 9 = 12348
1 1 3 1 × ×b × c5 = 62 a 1 1 1 ×a× × 3 b c2 2
6−2 a −1b3c −5 = 2−3 ab −1c −2
2.
1 a +b x
3.
2 a −ba
a a −b =
1 a +b x
1 =x a +b
a2 − b2 a
a +b =
b3
8b 4c 2 = 36a 2c5
36ac5 = a 8bc 2
a a − b =
1 a +b x
2b 4 36a 2c3
a− b b a + × a a a− b
a +b x a +b =x
1 −1 1 − 4 4 1 −1 −1 a2 1 1 1 +1 4 1 4 2 2 ×a × 3 (16 ) −2 a 2 b −3 81a 2 2 3 16 b 256 b = = = 1 b3 1 × 1 × b3 256 b6 −1 − 2 3 1 81 ( 81) a b 1 2 a 2 81a 4.
−1 81a 4 = = 256b6
6 4 256 × b 4
1 1 81a 4 256b6
3 4b 2 = = 1 1 4 81 × a 4 3a 4
1
=
(
1 ( 81a ) 4 1 256b6 4
)
=
1 6× 1 256 4 × b 4 1 1 814 a 4
Ejercicios: Simplificar y expresar con exponentes positivos
47
4
83 3 1. 4
5 2. 6
2x 2 y 4 4 3 3. − 3x y
8m 5 3 4. 24 n
a −1b 2 c −2 2 4 −3 5. a b c a 2 n +1 n +1 7. a
11.
a b +d b −d a
b
d b b −d a ( a + d ) b a
1/ n
6.
(x
y
d
1/ b
2 n +3 − 2 n + 7 n +1 n 12. 2 − 2 + 1
−5 a
) (x
−b 3
3
y
)
2 −a
3 n +4 − 6 × 3 n +1 3 n +2 × 7 8.
(
2 n * 4 n +1 9 2 n 36 2 2 n + 4 n × × n 16 3 * 8 ( 81) n 13. x 1 a +1 14. x 1 a −1
)
−3
a 2 −1 a
5.2→EXPRESIONES RADICALES 5.2.1→Raíces cuadradas: El número y es una raíz cuadrada de x cuando y 2 = x Todos los números positivos tienen dos números reales que son sus raíces cuadradas: uno positivo y otro negativo. El único número con una sola raíz cuadrada es 0, cuya raíz cuadrada es 0. Signo radical al símbolo , y al número x que se encuentra bajo el signo radical lo llamaremos radicando. El grado de un radical es el índice de la raíz. Ejemplo: *
1
*
144
=1 =12
16 4 =− 81 3 0,0009 = 0,03
* − *
1600 = 40 La raíz cuadrada de todo cuadrado entero es un racional : 4 = 2 Las raíces cuadradas de muchos enteros positivos no son números racionales, por ejemplo: 13 ≈ 3,6055
Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales.
48
Ejemplo :
−4
no es un número real, ya que ningún número real elevado al cuadrado es igual a –4. Estas raíces cuadradas de números negativos originan el conjunto llamado Números Imaginarios. Simplificar un radical es llevarlo a su más simple expresión. 5.2.2→Propiedades de los Radicales:
m n m 1. a = a n
8 48 ⇒ 2 = 2 4 = 22 = 4
2. n a b = n a n b ⇒ 3 ( 8 ) ( 2 7) = 3 8 • 3 2 7 = 2 • 3 = 6 1 6 6 1 2 z56 n n a a a 1 2 z 5 3. n = = ⇒ 6 = 3 b nb 1 6 6 4b3 6 4b n b 6 1 3 1 6 3 6 6 6 ( 5 z ) 5 {z 5 2Z = = = 1 3 3 ( 43 b3 ) 6 4 6 b 6 4 12 b 12 9 m• n 4 • 3 4 3 9 m n 4. a = a ⇒ 2 1 b6 = 2 1 b6 = = 1 263 b9
3 9 = 6 1 2b 1 2
1
3
= 6 4• b 4
5.2.3→Raíces cuadradas de expresiones con variables: Ejemplo : *
w4 = w2
*
81 x6 = 9 x3
*
(x +6 )4 = (x +6 ) 2
5.2.4→Raíces cúbicas: La raíz cúbica de x es cualquier número cuyo cubo sea x, y se representa por 3 x=y si y3 = x
49
Ejemplo : * 3 27 a 6 = 3 a3
3.
[5 {
) ]2
3
8 z3 2z = 9 64 b 4 b3
* 3
= 52
(
3
)2
= 25 ( 3
* 3
)
− 125 x3 = − 5 x
75
5.2.5→Raíces enésimas: Ejemplo
*
7
:
−128 w14
=
7
7 −2 w 2 = −2 w2
5.3→OPERACIONES CON RADICALES: 5.3.1→Suma y Resta de Expresiones Radicales: Se llaman radicales semejantes a las expresiones que tienen radicales con el mismo índice y el mismo radicando, y luego se escriben los radicales no semejantes con su propio signo. Ejemplo: * 12
2 +4
2 (12 + 4 − 7
2 −7 2 =
= 9 *
6 3 16 − 7 3 24
= =
6 3 23 • 2 − 7 3 23 • 3
=
6
4 48
=
6 •2 •3 2
− 4 243 − 4 768
−7 3 8 •3
3 3 3 2 • 2 32 =
factor común
2
6 38 •2
= 12 *
)
−7
3 3 3 2 • 3
−7 • 2 •3 3
−14 • 3 3 4 24 • 3
− 4 34 • 3 −
4 24 • 24 • 3
4 3 4 24 − 4 34 4 3 − 4 24 4 24 4 3 = 2 43 − 3 43 − 2 •2 3 =
= −5
43
50
5.3.2→Multiplicación de Expresiones con radicales: Se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, para multiplicar los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, por último se simplifica el resultado. Ejemplo: 8 •5
*
6
*
5 3
*
(4
(2
3 = 30 +5 2
18 − 2 5
22 • 2 • 3
8 • 3 = 30
)
= 10
) (7
+
3
25
) = 28
5 +2
2 = 10
3
9 • 2 •5 + 8
28 •3
= 84
10 + 8 •3
10 + 24
2 •3
3 + 25
18 •5 +8 18 −14
= 28 =
= 30 • 2
= 60
6
6
25 − 4 5
Ley
distributv
a
9 • 2 −14 •5 − 4 5 2
− 70 − 4
2 −70 − 4
5
5
5.3.3→División de Expresiones con radicales: Se dividen los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, colocando el último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. Ejemplo: Dividir 1. 2.
4 6 := 2 3
4 2
75 x 2 y 4
6 3
=
÷ 5
2
2
3 xy = =
75 x 2 y 4 5 1 5
3 xy 75 x 2 y 4 3 xy
1 25 xy 3 5 1 = • 5 y xy 5
=
= y xy
RACIONALIZACIÓN Para dividir expresiones con radicales debemos racionalizar el denominador de una fracción para reemplazarlo por un número racional, es decir desaparece todo signo radical. Para eliminar el radical en el denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por un número que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador. Ejemplo:
51
*
6 5
6 • 5
=
6
=
*
7 8
se multipica el numerador
y el denominado r por
5
5 25
6
=
5 5
5 5 7 • 8
=
8 8
7 •8 82
=
56 = 8
=
2 14 = 8
14 4
Multiplicamos el numerador y el denominador por un número que de un cubo perfecto bajo el signo radical del denominador Racionalizar: 8 * = como el denominado r es una raíz cúbica, multiplica mos el 33 numerador el denominado r por un número que nos dé un cubo perfecto bajo el signo radical. Cómo 3 . 9 = 27 que es un cubo perfecto, ese número es 8 33
*
35 3 12
8 39 • 33 39
=
=
839 3 27
=
39
839 3
= Como 216 es el mínimo cubo perfecto divisible entre 12 ( 216 ÷ 12 = 18), al multiplica r el numerador y el denominado r por 3 18 obtendremo s el mínimo cubo perfecto posible bajo el radical
35 3 12
= =
35 12
del denominado r.
•
3 18 3 18
3 3 • 18 3 216
=
= 3 3 • 32 • 2 6
=
332 6
=
32 2
52
*
7 x 2 y3 2 x2 y4
=
7 2 y
7 2y
=
=
7 • 2y
2y 2y
=
14 y 4 y2
14 y 2 y
=
5.4.1→Binomios Conjugados +
a
b
y − b
a o
viceversa
Dos expresiones que contienen radicales de 2º grado como que sólo son diferentes en el signo que une sus términos se dicen que son Conjugados. El conjugado de a + b es a– b y viceversa. El producto de dos expresiones conjugadas es un número racional. 2
Racionalizar el denominador de 2 = 3 +2
=
*
x −4 x
=
(
(
2 3 −2 ) 3 +2 ) 3 − 2
(
2 9 −2
(
(
)
Se multiplica
el numerador
por el conjugado 3 −2 ) 3 +2 3 −4
x −4 ) x +4 x x +4 )
(
3 +2
=
2
(
3 −2 3 −4
)
y el denominado r
del denominado r. =
2
(
3 −2 −1
)
)
=
x + 4 x − 4 x − 16 x+ 4 x
=
x − 16 x +4 x
Aún esta expresión final no está simplificada.
53
Ejercicios: Simplificar 1.
xy 3
9 x 2 y5
2.
5ab
5ab
3.
16 z 3
4. 5. 6.
) (6 −
4z
) 5
y4 ( x + y
(5 m +2 [4 (3 − x
) (x +y ) x ) ( m −7 x ) ) ]2
Racionalizar:
1. 2. 3.
3 xy 39
5 5−3
5.
3 54
2 5
6.
7− 3 3+ 7
7.
4+ z 3z
5.5→LOGARITMOS Se llama logaritmo de un número a en base b (log b a), al exponente al que debemos elevar la base b para que nos de cómo resultado el número a.
Log b a = x
x ⇒ b =a
EJEMPLOS
23 = 8
significa que
1 ) = −2 Log5 ( 25 3 Log x (8) = 2
Log2 8 = 3
porque
5 −2 =
1 25 3 2
significa que x = 8
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
54
1. Log a a = 1 Log a 1 = 0
2. 3. Log a (b . c) = Log a b + Log a c 4.
Log a
7.
log b N =
8. a
loga
log a N log a b
X =X
b = log a b − log a c c
c 5. Log a b = cLog a b b 6. Log a a = b
EJEMPLOS:
1. 2.
Log
2
8 = Log 2 8 − Log 2 32 = 3 − 5 = −2 32
8.4.7 Log 5 5.11 .13 = Log 5 8.4.7 − log 5 5.11 .13 = Log 5 8 + Log 5 4 + Log 5 7 − ( Log 5 5 + Log 511 + Log 513 ) = Log 5 8 + Log 5 4 + Log 5 7 − Log 5 5 − Log 511 − Log 513 = Log 5 8 + Log 5 4 + Log 5 7 −1 − Log 511 − Log 513 5 3. log 10 32 = Log 10 2 = 5 Log 10 2 = 5(0.3) = 1.5
EJERCICIOS
1.
Log
2
Hallar el valor de x en la ecuación
1 8
5. 2 Log 5 x = Log 5 50
4 2. Log 10 48 3. Probar que:
Log b 6 + Log b
4. Log 8 4
2 1 + Log b = 0 3 4
6. Log x 64 = 3
3 = 64 7. 3 2 8. Log 2 ( x − 5 x + 14) = 3
Log x
9.
Log 5 x + Log 5 ( x + 6) =
1 Log 5 9 2
55
Capítulo 6
EECUACIONES LINEALES
6.1→ ECUACIÓN LINEAL: Una ecuación lineal con una variable ( x ) es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma a x + c = 0 donde a y c son números Reales y a es diferente a 0. Tanbién se les puede llamar de Primer Grado Ejemplos: 1. 2 x + 8 = 10 entonces 2x = 10 – 8 luego 2 x = 2 entonces x = 1 2
x + 10 = ½
3. 5 x + 3 = 2 x + 8 luego 3 x = 5
entonces x = 1 /2 – 10
donde x = –19 / 10
entonces 5 x – 2 x = 8 – 3 donde x = 5 /3
Ejercicios: halla el valor de x 1. 2. 3. 4.
6–4x= 4x+7 5x + 4 – x = 19 2 / 3 + 8 x = 12 – 9x + 12 = – 4x – 3/7
56
6.2→ECUACIONES CON UN RADICAL: Para eliminar el radical, se aplica la regla de potenciación, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Ejemplo: *
x −8 = 2 ⇒
(
2 x − 8 ) = 22 se eleva ambos lados al cuadrado ⇒ x −8 = 4 ⇒ x = 4 + 8 se efectua la ecuación lineal ⇒ x = 12
(
* 5 − 3 x + 1 = 0 ⇒ 52
= 3x + 1 ⇒ 25 = 3x + 1 ⇒ 25 − 1 = 3 x ⇒8
*
9 x2 − 5 − 3x
=
)2
elevando
al
cuadrado
x
= −1 ⇒ 9 x 2 − 5
=
−1 + 3x
2 ⇒ 9 x 2 − 5 ) = ⇒ 9 x2 − 5 = 9 x2 ⇒ 9 x − 9x2 + 6x ⇒ 6x = 6 ⇒x
aislando el radical
3 x − 1 ) 2 elevando al cuadrado − 6 x + 1 Efectuando
= 1+5
= 1
Ejercicios: 1.
16 x 4 + 8 x 2 + 5 x
2.
x + x +7
3.
. x 2 − 2 x +1
=
2 + 4x2
= 7 = 9 −x
4. 5. 6.
x −16 x +7
− +
4 x −11
x +8 x −1
=
7
= −4
= 6 2 x − 29
57
6.3→ECUACIONES CUADRÁTICAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES * (2 x −1)2 + ( x + 3) ( x − 3)
= x(5 x − 5) + 2 2 2 = 4 x − 4 x +1 + x − 9 = 5 x 2 − 5 x + 2 se resuelve el cuadrado = − 4 x + 5 x = 2 −1 se unen los tér min os semejantes = x =1
Ejercicios, Resuelva la ecuación 2.
7( x −3) 2 = (7 x −3) ( x − 4) ( x − 2) 2 + ( x +1) ( x −1) = 2 x ( x −3) +1
3.
5 x − (3 x −9) −
1.
[4 − 2 x −(6 x −3) ]
= 12
6.4→SISTEMA DE ECUACIONES Objetivos. − Conocer y diferenciar los sistemas lineales de dos ecuaciones compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. − Representar gráficamente las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas. − Resolver por métodos algebraicos sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. − Obtener la solución de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando los métodos de reducción. 6.4.1. → Definiciones 6.4.1.1→Ecuación lineal con dos incógnitas. Se le llama así a aquella ecuación de la forma ax + by = c donde x,y son las variables o incógnitas , a,b,c son constantes y a,b son diferentes a cero. Así mismo esta ecuación conforma una función de primer grado cuya gráfica es una línea recta localizada en un sistema de dos ejes cartesianos x–y. Por ejemplo la ecuación 6x + 2y = 8 es una ecuación lineal la cual se podría expresar como: y = ( 8– 6x ) / 2 = 4 – 3x
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6.4.1.2→Ecuación lineal con tres incógnitas. Se le llama así a aquella ecuación de la forma ax + by + cz = d donde x,y,z son las variables, a,b,c,d son constantes y a,b,c son diferentes a cero. Esta ecuación corresponde a la ecuación de un plano en un sistema de tres ejes coordenados x,y,z. Por ejemplo la ecuación x – 2y + 5z = 1 es una ecuación lineal de tres variables x,y,z. 6.4.2→Sistema de ecuaciones lineales. Es aquel constituido por varias ecuaciones lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una pareja de expresiones algebraicas de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Por ejemplo, un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es: x + y = 10 x–y=2 Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas es un trío de expresiones algebraicas de la forma: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 59
Un ejemplo, de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas es: x +2 y –z = 1 4x – y +5z= 2 x + 5y – 3z= 0 6.4.2.1→Resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas los cuales se verifiquen en todas la ecuaciones del sistema. Si el sistema es de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución será un par de números (x, y) que cumplan a la vez con las dos ecuaciones del sistema. Si el sistema es de tres ecuaciones con tres incógnitas, la solución será un trío de números (x, y,z) que cumplan a la vez con las tres ecuaciones del sistema. Sin embargo, un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, o incluso puede que tenga infinitas soluciones, esto dependerá del tipo de sistema de que se trate, por lo tanto debemos mirar cuales son los tipos de sistemas de ecuaciones con que nos podemos encontrar. 6.4.2.2→Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, según el número de ellas. La clasificación de los sistemas sería la siguiente: – Sistema compatible: es el que tiene solución, y dependiendo del número de soluciones puede ser: − determinado si tiene una única solución. − indeterminado si tiene múltiples, o sea infinitas soluciones. – Sistema incompatible: es el que no tiene solución. 6.5→ Métodos de solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Sea el sistema de ecuaciones 2x – y = 4 (ecuación 1) x + y = 5 (ecuación 2)
60
Hallar la solución de este sistema es hallar el par de valores de x y de y que satisfacen ambas ecuaciones. En este caso la solución vendría dada por el par de números (3, 2), es decir, x = 3 e y = 2, ya que en la ecuación ( 1) 2(3) – (2) = 4 en la ecuación ( 2) (3) + (2) = 5 Este es un ejemplo de un sistema compatible determinado (una única solución). Para llegar a esta solución existen diversos métodos, los cuales veremos a continuación. 6.6→Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Los métodos de resolución se dividen en dos grupos: método gráfico y métodos analíticos. El método gráfico consiste, como su nombre lo indica en resolver el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos más comunes son: sustitución, igualación y reducción.
6.6.1→Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones Cada una de las ecuaciones que conforman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas corresponde a la ecuación de una línea recta, entonces el método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste en representar en un eje cartesiano a ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Ese punto sería la solución del sistema. Hay que tener en cuenta, que en el plano cartesiano dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas entre sí: se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). – Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema. Estos son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado.
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– Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. – Si ambas rectas coinciden, existen infinitos puntos que pertenecen a ambas ecuaciones, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en los siguientes pasos: Se despeja la incógnita yy en ambas ecuaciones. − − Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes. − Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: – Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte conforman la solución x e y. (Sistema compatible determinado.) – Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. (Sistema incompatible). – Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones. (Sistema compatible indeterminado)
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Cabe anotar que si bien ese método es relativamente sencillo de aplicar, no siempre es fácil leer las coordenadas de un punto. 6.6.2→Métodos analíticos de resolución de sistemas de dos ecuaciones Existen varios métodos algebraicos que permiten obtener la solución de un sistema sin necesidad de recurrir a la representación gráfica. En general estos métodos tratan de obtener a partir del sistema de dos ecuaciones una sola ecuación de primer grado con una incógnita, aplicando las propiedades de las ecuaciones que ya conocemos 6.6.2.1→Método de Sustitución Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir los siguientes pasos: − Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones. − Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación − Se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución. − Calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. Es importante tener en cuenta que aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera ( y de cualquier ecuación), es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Por ejemplo es más fácil operar con incógnitas que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.
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Veamos como hallar la solución del sistema de ecuaciones del ejemplo, mediante el método de sustitución: (1) 2x – y = 4 (2) x + y = 5 De la ecuación (2)
x = 5 –y
Sustituyendo en (1) 2 (5 – y) – y = 4 10 – 2y – y = 4 10 – 3y = 4 –3 y = 4 – 10 –3 y = –6 y así
y =
−6 −3 = 2
Sustituyendo el valor de y en la ecuación (2) x+2=5 x=5–2 x= 3 Con lo que tenemos que la solución es x = 2 , y = 3 Al resolver un sistema de ecuaciones nos podemos encontrar con las siguientes situaciones: – Si al final del proceso nos queda una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K" (siendo K un número cualquiera), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. – Si la expresión que resulta fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema no tiene solución( incompatible). – Si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de las anteriores expresiones y llegamos, al final a un valor para la incógnita x y para lla incognita y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y será un sistema compatible determinado. Todas las anteriores posibles tipos de solución son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros métodos de igualación y reducción, que veremos más adelante. 6.6.2.2→Método de igualación El método de igualación consiste en una pequeña variante del método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una
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incógnita (la misma, en las dos ecuaciones) e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos del proceso son las siguientes: − Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. − Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta. − Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. Resolviendo el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. (1) 2x – y = 4 (2) x + y = 5 4+y 2 De la ecuación (1) tenemos que x =
De la ecuación (2) tenemos que x = 5 –y Igualando las dos expresiones:
4+y 2 = 5 –y
4+y = 10 –2y y +2 y = 10 – 4 3y=6 6 y= 3 =2
Reemplazando en (2) x+2=5 x=5–2=3 6.6.2.3→ Método de Gauss (por reducción) Este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que al sumarlas se cancelen alguna de las variables (o sea el valor de su coeficiente sea cero). Con esto se obtiene una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Los pasos para aplicar este método serían: − Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario, − Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
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− Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita resultante. − Luego hay dos opciones: − Se repite el proceso con la otra incógnita ó se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra. Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción: (1) 2x – y = 4 (2) x + y = 5 En este ejemplo observemos que el coeficiente de x en la ecuación (1) es 2, y que el coeficiente de x en la ecuación (2) es 1, por lo tanto podemos multiplicar la ecuación (2) por –2 , para que al restar la ecuaciones obtengamos una nueva ecuación con una única incógnita y. (1) 2x – y = 4 (2 )x –2 –2x – 2y = –10 ________________ (1) – (2) 0 –3y = –6 Despejando el valor de y −6 y = −3 = 2
Reemplazando en (1) 2x – 2 = 4 2x = 4 + 2 = 6 6 x = 2=3
Cabe anotar que en este ejemplo el coeficiente de y en la ecuación (1) es –1, y que el coeficiente de y en la ecuación (2) es 1, por lo tanto podríamos simplemente sumar las dos ecuaciones y con esto se nos cancela la incógnita y obtendremos una ecuación con una sola incógnita x. 6.7→Solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Aplicaremos el método de reducción para resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Los pasos para aplicar este método sería:
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− Se toman en primera instancia dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. − Se toma la ecuación restante con otra de las dos ecuaciones y se elimina la misma incógnita seleccionada anteriormente. − Con lo anterior se obtendría un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas la cual se resuelve como anteriormente vimos. Veamos la aplicación de este método en el siguiente ejemplo: (1) (2) (3)
2x – y + z x + 3y – 2z 3x – 2y + 4z
= 3 = 11 = 1
Si multiplicamos (1) por 3 y la sumamos con (2) podemos eliminar y obteniendo una nueva ecuación (4) (1)x 3 6x – 3 y + 3z = 9 (2) x + 3y – 2z = 11 _________________________ (4) 7x +z = 20 Si multiplicamos (2) por 2 y multiplicamos (3) por 3 y las sumamos podemos eliminar y obteniendo una nueva ecuación (5)
(2) x 2 2x + 6y – 4z = 22 (3) x 3 9x – 6y +12z = 3 ___________________________ (5) 11x +8 z = 25 Con lo anterior hemos obtenidos un sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas, la cual la resolvemos por cualquiera de lo métodos ya vistos. (4) (5)
7x 11x
+ z = 20 +8 z = 25
Resolviendo por el método de reducción: (4) x –8 –56x – 8 z = –160 (5) 11x + 8 z = 25 _________________________ –45x = –135
x=
−135 − 45 = 3
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Reemplazando el valor de x en (4) 7(3) + z = 20 z = 20 – 21 = –1 Reemplazando los valores de x y z en (1) 2(3) – y + (–1) = 3 –y = 3 – 6 + 1 = –2 y = 2 Es así como el anterior es un sistema compatible determinado cuya solución es x= 3, y= 2, y z = –1. 6.8→APLICACIONES: Salud: Para calcular el pulso óptimo. El pulso óptimo por minuto al hacer ejercicio físico está dado por la ecuación: 0.7 (220 – a ), donde a = edad. Negocios Para calcular el interés simple, se utiliza la ecuación: I = P. r. t Donde P = es la capital o cantidad invertida r = es la tasa de interés t = tiempo en años. Ejercicios de aplicación: 1. La suma de dos números es 1529 y su diferencia es 101. Hallar los números. 2. El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y ¼ de la edad de B es 35 años menos que la edad de A. Hallar ambas edades. 3. En un teatro hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó $400 y cada niño pagó $ 150 por su entrada. La recaudación es de $180.000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños hay en el teatro? 4. El perímetro de un cuarto rectangular es 18 metros, y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallo las dimensiones del cuarto.
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