Índice I Bimestre
Capítulo 1
Teoría de exponentes
5
Capítulo 2
Polinomios
8
Capítulo 3
Productos notables I
11
Capítulo 4
Productos notables II
14
Capítulo 5
Repaso
17
Capítulo 6
División algebraica I
20
Capítulo 7
División algebraica II
23
Capítulo 8
Factorización
25
Capítulo 9
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
29
II Bimestre
Capítulo 10
Ecuaciones de primer grado
32
Capítulo 11
Planteo de ecuaciones de primer grado
35
Capítulo 12
Ecuaciones de segundo grado
38
Capítulo 13
Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada
41
Capítulo 14
Sistemas de ecuaciones I
43
Capítulo 15
Sistemas de ecuaciones II
46
Capítulo 16
Repaso
49
Capítulo 17
Desigualdades - inecuaciones de primer grado
52
Capítulo 18
Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto
55
III Bimestre
Capítulo 19
Funciones I
59
Capítulo 20
Funciones II
62
Capítulo 21
Logaritmos I
66
Capítulo 22
Logaritmos II
69
Capítulo 23
Repaso
73
Capítulo 24
Progresiones
77
Capítulo 25
Factorial, número combinatorio y binomio de Newton
82
Capítulo 26
Radicación
85
Capítulo 27
Cantidades imaginarias
88
Capítulo 28
Repaso
91
IV Bimestre
Capítulo 29
Teoría de exponentes
94
Capítulo 30
Polinomios - productos notables
96
Capítulo 31
Repaso
100
Capítulo 32
Ecuaciones de 2do. grado
103
Capítulo 33
Sistema de ecuaciones
106
Capítulo 34
Inecuaciones - Valor absoluto
109
Capítulo 35
Funciones
112
Capítulo 36
Logaritmos - progresiones
116
Álgebra
1
Teoría de exponentes
Ejercicios resueltos y
1. Si: x =2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: (Ex. Admisión UNMSM 2010–I)
y −y y (4 x ) x . (x x ) y + ( x2) − y
2x2y − 6x − y
Resolución
Preparamos convenientemente a la expresión: expresión: 4
x y . x− y
y xy
. (x )
y 2
2 (x )
−
+
y
(x )
−
Reemplazamos el dato: 16 + 1 4 . (2) 2 + 2− 2 4 = 2 1 − 8 3 − 2 (2) − 6 (2)
2
y
6 (x ) − 1
=
65 4 5
=
13 4
2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I) Resolución
Factorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente) se obtiene de dividir: 5n 1 . (1 + 5 + 52 + 53) = 780 +
5n + 1 ; 5n + 2 ; 5n + 3 ; 5n + 4 5n + 1 5n + 1 5n + 1 5n + 1
1 4 4 4 42 44 4 4 3
Factor común Operando: 5n + 1 . (156) = 780
&
5
n+1
=
1
5
&
n+ 1=1
&
n=0 ` 2 (n+3) (n+3) = 6
3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5 x (Ex. Admisión UNMSM 2011 - I) Resolución
Preparamos las potencias de la ecuación 2
2x
.2
2
x 2
4 . (2 )
−
−
x
x
x
x
5 . (3 ) ( 2 )
5 . (2 ) ( 3 )
=
=
3
2x
.3
2
x 2
9 (3 )
Entonces: 4a
2
2
4a
Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0 4a=9b
4a
2
2 .2
x
=
2
3 .3
Central 6198-100
−
x
9b
2
0
−
5ab
Puesto que: a ≠ –b 4 . (2x)=9 . (3x) Para facilitar su resolución cambios: 2x = a / 3x=b
"
2
=
x+2
−
5 ab
−
9b
2 =
hacemos
0
–9 b
–9 ab
b
4 ab
a
(+)
–5 ab
=
3
x
+
2
;
x+2=0 ;
5
` x
= −
2
5
x =
5
−
2 =
1 25
Quinto año de secundaria
Capítulo 01 Práctica 1. Calcule el valor de: 3
'` 12 j
−
−
+
8 52 B
2 +
a) 1 d) 4
9.
1 0, 5
; 47 E 1 −
b) 2 e) 5
a) 2 d) 4
c) 3
(x7 . x7 . ... . x7) ( x7 + x7 + ... + x7) 1 4 44 2 4 44 3
10 veces
10 veces
a) 72 d) 77
b) 70 e) 78
c) 76
2 3
24
42
( 3) 2
x−
.x−
; x!0
12 12
.x
Se obtiene xn, entonces. ¿Cuál es el valor de n+3? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 4. Si:
4
x=
15 . 10 . 6 2
96 . 15
5
4
; entonces es verdad que:
a) x < 2 b) x ∈ N d) 2 < x < 2,5
c) 3x ∈ N e) 2x ∈ Z
M=
=e
48 + 45 −
a) 9 d) 12
27 80
1/2
−
o G
b) 8 e) 14
4. 2
4
4
.
c) 3
b) m1/2 × n–4
c) m2 × n–1/4
d) m–2 × n4
5
11. Si al simplificar: x8 . x3 . x3m . 3 x2m el exponente de "x" es 10. Hallar el valor de "m" a) 15 b) 11 c) 13 d) 9 e) 12 12. Al resolver la ecuación: 9 x - 1 + 9x + 9x + 1 + 92 = 30 . Indica una característica del valor obtenido para "x". a) Es un número impar. impar. b) Es un número no negativo. negativo. c) Es un número fraccionario. fraccionario. d) Es un número primo. e) Hay dos correctas.
4
14. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si x es positivo, positivo, simplificar la expresión:
c) 10
1 2
2 3
3 4
x
4 5
x
x
x ...
n n+1
x
2
2
x
3
a) 0,1 d) 0,75
4
a) m2 × n–4
6. Reduzca la expresión: expresión: 4
= 81
13. Calcular "x" en: 3x–7+3x–5=3x–6+7x–6 a) 24+1 b) 42 – 1 c) 32 – 1 d) 23 – 1 e) 43 – 1
5. Calcule el valor de 6M, si: 12 − 20 +
x+1
b) 5 e) 1
7
23
. x−
B
e) m2 × n4
3. Al reducir la expresión: expresión: (x ) . x
x+1 4
8
10. Si: 5x = m y 5 z = n, halle: (0,04) –x+2z
2. Indique el exponente exponente final de "x" en: 1 4 4 42 4 4 43
Calcular el valor de "x": 83
b) 0,25 e) 0,83
a) x1/2 d) x
c) 0,5
n + 3n
b) xn e) 1
c) x2
15. (Ex Admisión UNMSM 2007 – I) 7. Simplifique la expresión: expresión: x
x
x
x
Si:
; x>0
6
d)
5
x x
5
b)
8
3
e)
6
x
7
x
31
c)
9
x
8
-7
n-4
n
-7
3
G
1 8
=7
. Hallar la suma de cifras de "n".
b) 8 e) 9
c) 1
16. (Ex Admisión UNMSM 2009 – I) ¿Qué valor debe tomar "m" para que se verifique la
8. En la ecuación: 3x + 3x–1+3x–2+3x–3+3x–4=363 Calcular el valor de 2x. a) 5 b) 8 c) 16 d) 2/5
7
a) 3 d) 2
x
a)
=
15
7
igualdad: ^0, 1h- m . ^0, 01h- 2m .
e) 10
6
a)
11 8
b) – 11
d)
12 11
e) – 11
15
0, 001 = 10?
c)
11 12
12
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Álgebra Tarea domiciliaria 1. Hallar el el valor de "x" en la ecuación: 34 a)
11 2
d) – 11 4
2. Resolver: a)
3
2
x+1
.
11 4
d) –
d)
53 7
e)
13 2
4
2
x+1
=3
11. Muestre el exponente final de "a", luego de
32
transformar:
c) – 11
x+3
=
6
2
11 7
c)
+2.5 =35 b)
2 7
e)
11 7
b) 4
x-1
=
x-1
1 16
b) 3
d)
3
9. Resolver: 81
x
=
2x 3
-8
2
2x 3
b)
5 7
e)
3 8
= 27
4
2x
b) –1
d)
1 2
e) 1
1 2
b)
Central 6198-100
x-1
x 3 5 +
=2 3 5
e)
11 6
e)
21 4
b) 2–1
d) 4
e) 6
c)
b) 36
-x
.
- 1
= 25
b) 8
2
2x
+2
76
2
2x
+2
56
2
+ 4 = 17 1 8
+3
=2
d) 23
x -2
xy =
3 ...... 1
2
c) 16 . Calcular:
a) 16
1 17
x -3
+3
e) 33 x-4
+3
= 363
.
yx
d)
e) 10
2 5
8
-8
d)
-3
. e)
2
17. Hallar "x" de: a) 2
-1
1 3
4
b) 64 e) 2
d)
1 4
x
2 x +2
2
2 3
d) 121
7.
c) – 1 2
b)
2 2
e)
2 2
.
;
11 x+5
4
7
c) 4
= (nx) x , entonces ¿cuál es
c) 100
e) 5 2
- 4x + 4
2 12 + x - 8x
=3
. Dar como respuesta:
E b)
77 6
6 5
e)
14 15
20. Si: x = 6 + a) x=–3 d) x=2
5 2
n
a) 7 d)
e)
3
=4
18. Se sabe que: x = 7 8 y x x el valor de n2? a) 49 b) 64
19. Resolver: 2x
d) 4
c)
16. Si: xayb=10a...(1) ; xbya=10b...(2). Calcular: (xy)x/y. 10 c) 1010 b) 10 10 a) 1010 d) 10 e) 10–10
e) 6
c)
3 2
10
x-1
3 2x - 1 16 6
x y = 9 ...... 2
d) 5 -2
x
2
c)
c) 34
3 +3
9 2
c)
a) 8
15. Si:
.
1 4
a)
d)
a) 5
1 2
.
a)
10. Resolver: 3225
13 6
d)
c) 16 3
1 3
c)
c) 4
b) 4
8. Resolver: 2
4 3
= 81
"2x - 4" veces veces
.
7. Hallar el valor de "x": 25 a) 9
b)
.
Calcular el valor de 2x.
1 4 4 4244 4 3
1 2
e)
a) 2
1 3
x
2
2 3
a)
d)
b) – 1
144
- 4y
- 3y
7 4
14. En la ecuación:
c) 3
1 17
36
ax
a)
a) 20
5. Calcular el valor de "x": 316
6. Resolver:
a5x
13. Calcular el valor de "x":
c) 1
32 veces
d)
3x
2x
x
1 4 4 44 2 4 4 44 3
a) –
a3x + y .
12. Hallar el valor de x x , al resolver:
15 7
4. Hallar el valor de "x": 2 x + 2 x + 2 x ... + 2 x = 2 # 2 # ... # 2 . a) 9
x
2
13 2
e)
3. Resolver: 5 a)
11 4
b) –
4 11
1 7
b)
x-3
6+
c) 11
. Entonces se cumple que: b) x=3 c) x=–2 e) x=4 6 + ...
Quinto año de secundaria
Capítulo 02
2
Polinomios
Ejercicios resueltos 1. Si la expresión: expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de m+n+a+b.
Resolución
El dato expresa; que los términos del "polinomio"
además: 3+m+b=10 a=7 m+b=7
se reducen a un monomio; por lo tanto: 3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1. son términos semejantes. &
`
m+n+a+b=7+7+6=14
a – 2=5 / n=6; b+1=6
m+n+a+b=14
2. Halle el el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.
Resolución
Por propiedad: Indepen diente P(x)=P(0) P(x)=P( 0) / coef . P(x)=P(1) / T. Independiente luego, se establece; del dato: P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 [ 1 +4+2h – [ 1 +2h=12 2 x 2h=8 ` h=2 "
3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).
Resolución
Piden:
P(1)=12 – 3= –2
T. Independiente f(x)+ / coef . f(x)
P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1
Por propiedad: f(0)+f(1)
y como:
Del dato: P(P(0))+P(P(1)) P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6
f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1)) `
8
f(0)+f(1)=6+1=7 f(0)+f(1)=6+1=7
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Álgebra Práctica 1. Resolver los siguientes ejercicios: * Sabiendo que: F(x)=x2+5x+4, halle F(6). * Si: F(3x – 4)=x2 – 3x+2, halle F(11). * Si: F(x)=x2+3x; G(2x+3)=x 2–x, halle: F(5)+G(17). 2. (Ex. Admisión UNMSM 2013–I) Si: f(x–3) = x2+1 y h(x+1) = 4x + 1 halle el valor de h (f(3) + h(–1)) a) 117 b) 145 c) 115 d) 107 e) 120 3. Con respecto al polinomio: P(x) = 3x+2, 3x+2, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. P(z) = 3x + 2 II. P(x+2) = 3x + 6 III. P(P(x)) = 3P(x) + 2 Dé como respuesta la secuencia correcta a) FFF b) VFF c) FFV d) VFV e) VVV 4. Se define: H(x+3) = 5x – 1 H(P(x)) = 5x + 4 Calcular: P(2) a) 6 b) 7 d) 9 e) 12
c) 8
5. Si la suma de coeficientes del polinomio: polinomio: P(x) = (x2+3x+1) 2–7x(x+1) es "a"; y el término independiente de Q(x) es " b". Halle: a + b2; si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2 a) 243 b) 543 c) 267 d) 257 e) 357 6. Halle el coeficiente del monomio: F(x;y;z)=(9a+ b) xa+3 y5 zb – 2, si sus grados relativos son iguales. a) 65 b) 16 c) 47 d) 88 e) 82 7. Indique el valor de n/m si se sabe que en el siguiente siguiente polinomio se cumple que: GA(P)=8 y GR(y)=5 P(x; y) = 3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 8. Dado el polinomio homogéneo: A(x; y; z)=xm+2+(m+n)yn – (m – n)zm+n – 4 Calcule: 3 A^ - 2 ; 2 ; 2h . a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7 9. Sea: P(x;y)=x12y5+axby8+bx11ya; un polinomio homogéneo. homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y). a) 14 b) 16 c) 15 d) 17 e) 18
Central 6198-100
9
10. Si: F(x)=xa – 2 +2xb – 3 +3xc – 4 +...+nxm+nm es un polinomio completo y ordenado de 15 términos. Hallar: a + b . c
a) 2
b) 16
c) 15
d) 1
e) 8
11. Sea: P(x)=(2x+3)2 – 4x(x – 1) – 74 F(x)=a(x – 5) +b(x – 2) Hallar: a b, si: P(x) ≡ F(x). a) 55 b) 30 c) 84 d) 18
e) 72
12. Sea: A(x)=3x2 +bx2 – 5 – ax – 7x+c; un polinomio idénticamente nulo. Hallar: E = a + b . c
a) –2
b) 4
13. Calcular: E =
b−c a+2
c) 8
d) 1
e) 6
si se cumple que:
a(x – 3)2+b(x – 2)2+c(x – 1)2 ≡ 5x2 – 2x+3 a) –4 b) 4 c) 7 d) 9 e) 5 14. Sea el polinomio: f(x) = x(x+1), si para a≠b, se cumple que: f(a)=1–b y f(b)=1–a, calcule el valor de a+b a) 1 b) 0 c) 2 d) –1 e) 1/2 15. Si g(x) es un polinomio que cumple g(x–1)=x 2–x+1, entonces el equivalente de: g(x+1)–g(x–1), es: a) 4x+4 b) 4x+2 2 c) 2x –4 d) 2x–2 2 e) 2x +2x+4 16. (Ex Admisión UNMSM 2006 – II) Si: f(x – 1)=2 f(x – 2) – 1; f(–3)=2. Hallar f(0). a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 12 17. (Ex Admisión UNMSM 2009 – II) Si el polinomio: P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+... es ordenado y completo. Calcular: P(1) – P(–1) a) –15 b) –12 c) 12 d) 5 e) 15 18. (Ex Admisión UNMSM 2010 – I Hab. Matemática) P(x)+Q(x)=ax+b, P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4 Calcular: P(Q(1)). a)
4 3
b)
1 3
d)
5 3
e) – 4
c)
2 3
3
19. Dadas las expresiones: expresiones: P(2x+1)=x2 ∧ Q(P(x+1))=x–1 Calcule el mayor valor de Q(4) a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –5
Quinto año de secundaria
Capítulo 02 Tarea domiciliaria n+2 3
2
1. Si el monomio: M(x)=(n –1) x es de grado tres, calcular el coeficiente. a) 46 b) 47 c) 48 d) 43 e) 49 2. Si: P(x)=x P(x)=x – 3 y P(f(x))=3x – 4. Calcular: f(3). a) 9 b) 6 c) 8 d) 0 e) 2 3. Si: P(3x P(3x – 1)=6x – 1. Determinar: R(x)=P(2x+4). Señalar el término independiente de R(x). a) 4 b) 13 c) 9 d) 3 e) 6 4. Si: f(x)=2x+8 y g(x)=2x+k. Además: f(g(x)) – g (f(x))=18. Calcular: k – 1. a) 4 b) 9 c) 18 d) 16 e) 25 5. Si se cumple que: h(x)=x+2 h(x)=x+2 y f(x)=x+k. f(x)=x+k. Calcular "k", si además: h(f(k+3))=5. a) 0 d)
b)
0v − 17 3
3 17
c)
2 3
e) – 17 3
b)
d) – 2
3 2
c)
4 3
e) – 3
3
2
8. Si se tiene el polinomio: P(x)=(1+x2)(1+x4)(1+x6)... "2n" paréntesis. Determinar el grado de P(x). a) n2(n+1) d)
2
n 2
b) (n2+1)n e)
n
2
4 2^m - nh
polinomio homogéneo. Indicar: a) 16 b) 0 c) 2 d) 3
m
-1
e) 4
14. Si los polinomios: (x–a)(x–b)+(x–c)(x-b)+(x–c)(x–a), y ax2+bx+cb+a son equivalentes. Indicar el valor de: ca–1 – b a) 19
b) 35
d) 11
e) –5
c)
25 3
2 15. Si: x4 + 4 / ^x2 - ax ax + ah^x + 2x + 2h . Calcular: "a" a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
16. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+3b – 10)x 2+(5a+6b – 23) Calcular el grado de: Q(y)=(b – a – 2)y a+b – 1+2bxa+1 a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0 17. Si se cumple: AKx 2+3xK+2BK ≡(A+1)x2+Bx+3B, el valor de: (A+B+K) es: a) 6 b) 8 c) 9 d) 14 e) 7 18. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: P (x; y) = 3pxn
a) 324 d) 542
^n + 1h 2
n
m +n
13. Si: P(x)=mxp – 1+nxm – 2+mnxn – 3+pxm; es un polinomio completo y ordenado ascendentemente, dar la suma de coeficientes a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24
c) n(n+1)
9. Sea P(x) un polinomio lineal tal que: que: P(a+b)=a + P(a – b) / ab≠0 Determinar el coeficiente lineal de dicho polinomio a) a+b b) a – 2b c) a 2b d) 2a+b e) a – b 10. Sabiendo que: P(x+2)=6x+1; P(f(x))=12x. Resolver: f(f(x–1))=13. b) 0,25 c) 0,75 a) 0,53 d) 2 e) 4 !
12. Siendo: E(x;y)=x mm– 2+3xnmy17 – xm-3y28 – m un
17 3
6. Dado el polinomio mónico y a la la vez cuadrático cuadrático tal que: P(x)=(a – 8)x a – 10 +(a – 2b – 2)x a – 9+a+2b. Determinar: P(x). a) x2 – 2x+12 b) x2 – 3x+15 c) x2+3x+13 d) x2+3x+19 e) x2+3x+11 7. Determinar "x" en la igualdad: h(g(x))+15=g(h(x)) – 2x Si se cumple que: h(x)=2x+5; g(x)=3x – 2. a)
11. Si: P(x)=7xn – 8xn+1 – xn+2; es completo en "x" ¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 b) –13 c) –15 a) –16 b) –17
2
- 5 12
y
2
p q n 3n + 5^ p - qh x y + ^13q + 4h x y
b) 254 e) 432
- 14
c) 756
19. De la siguiente identidad: (x+1)5 + (x–1)5 ≡ 2x5 + ax3 + 10x + b Calcule el valor de: (a–18) (b+3) a) 4 b) 6 c) –4 d) 8
e) 0
20. Dados: P(3x2+2x)=(3x2+2x+2) 2+3(3x2+2x+2) 3. Hallar: E=P(2x – 2) – 4x 2 a) 6x2 – 2x2 b) 6x3 c) 12x3 d) 24x3 e) 6x3+2x2
10
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Álgebra
3
Productos notables I
Ejercicios resueltos 1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?
Resolución
Ordenando lo que se pide: ^ x + 1h^x + 4h^x + 2h^x + 3h - 79 1 4 4 4244 4 3 1 4 4 4244 4 3
2
2
79 = ^ x + 5x + 4 h ^x + 5x + 6h - 79
Reemplazando el dato: = ^4 + 4h^4 + 6h - 79 = 80 - 79 = 1
2. Simplifique la siguiente expresión: expresión: ^x + 1h^ x - 1h^ x2 + 1h + 1 . x ! R + .
Resolución
Aplicando diferencia diferencia de cuadrados:
=
^ x + 1h^x - 1h^x 2 + 1h + 1 ^ x2 - 1h^x2 + 1h + 1
=
^ x2h2 - 1 + 1
=
x
4
=x
2
3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que
x=
3
4-
3
2
Resolución
Elevando al cubo el dato: 3
x =^ 3
3
4-
3
x = 4-2-3
3
3
2h
4.
3
2
^3
4
−3
2h
1 4 42 4 4 3 1 4 4 424 4 4 3
2
"
3
x = 2 - 6x
`x
Central 6198-100
x
3
+ 6x = 2
11
Quinto año de secundaria
Capítulo 03 Práctica 1. Efectuar: (x+5)2 – (x+4)2 – (x – 3) 2+(x – 4)2 a) 8 b) 16 c) 12 d) 20 e) 14 2. Efectuar: ^a + bh^a - bh + 2ab + 2b2 a) a+b b) a – b c) ab d) 2ab e) 4ac
12. Efectuar: (a+1)(a – 1)(a4+a2+1)(a6 – a3+1)(a6+a3+1)+1 a) a18 d) a4
13. Si: x3=1, x ≠1. Halle:
3. Sabiendo que: p + q = 6; pq = 10. Calcular: p2+q2 a) 16 b) 26 c) 6 d) 36 e) 0 4. Si se cumple: a) 3
m n + =2 n m
b) 2
. Calcular: E =
c) –3
2
n - 2m n
e) 0
7.
b) 2 e) 0
c) 3
8. Si: 32x + 32y = 27; 3x+y=11, calcule el valor de: K = (3x + 3y)3 a) 512 b) 216 c) 729 d) 125
e) 343
d) – 1
e) – 1
)
− E= 5
7x + 1
+
x3 = 8 ; x ! 2 y3 = - 1 ; y ! - 1
3−
7x + 2
7 . (5− 7x − 1)
a) 10 d) 8
b) 2/5 e) 15
10. Sabiendo que: S=
x + 3y 4x
a) 1 d) 4
+
; b= 16 b) 3 e) 6
5
17. Si se cumple que: x + y =66; x>y. Calcular:
5 -2
+
M=3
c) 4
2x y + 3x
b) 2 e) 5
x
.
1 1 4 + = , encontrar el valor de: x y x+y
2y x + 3y
c) 5
16. (Ex Admisión UNMSM 2010 – II) Si a(b+c)=–bc y a+b+c=2, entonces el valor de: a2+b2 +c2 es: a) 4 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 2
9. Calcular: M=(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a+b)(a – b)+1 2+
5
2
y
para: a= 16 a) 2 d) 5
c) – 1
15. Si: 25x+9x=2(15x), determine el valor de:
Sabiendo que: x2+1= 3 x. Calcular: x3+x–3 a) 1 d) 4
6
x +1
Hallar el valor de: (x2+2x+3)(2y2 – 2y+5). a) –3 b) 4 c) –5 d) 7 e) –6
c) 0
6. Si se cumple: x+x–1=6. Calcular: x3+x–3 a) 196 b) 198 c) 216 d ) 144 e) 176
^x 4 + 1h
4
Si se cumple:
^ x + 1h^ x + 3h^ x + 6h^ x - 2h - ^ x2 + 4xh^ x2 + 4x - 9h
b) 5 e) –36
c) 1
14. (Ex Admisión UNMSM 2007 – II)
5. Efectuar: a) 10 d) –10
4
b) – 1
6
m + 2 mn
x
a) – 1
3
2
d) –2
b) a27 e) a24
c) 3
a)
1 2
b)
xy 2
d)
x-y 2
e)
1 3
xy x-y
c) xy
18. Si: bx+by=3, x+y=0. Calcule: b 2x+b2y. a) 1 b) 7 c) 11 d) 8 e) 10 19. Si
11. Efectuar:
a)
(x–3)(x+3)(x2+3x+9)(x2 – 3x+9)–(x3–27)2+1458 a) 54x3 b) 27x3 c) 9x3 d) 54 e) 27
d)
12
1+a a
2 =
2 2 2 (0,5)
2
, calcula el valor de: F = a 9 + a–9 b)
2
e)
2 /3
c)
3
2
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Álgebra Tarea domiciliaria 10. Reducir: M=(x+y) 2+(x – y)2+2(x+y)(x – y) – 4x 2 a) x+y b) x – y c) xy 2 2 d) x +y e) 0
x 4y 2 . = + y x
1. Sabiendo que:
3x + 2y 5x - 2y . x + 2y 3x + 2y
Calcular: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
11. Reducir: (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) – (m 2+5m+5)2 a) –m b) –1 c) m+1 d) 1 e) 0
e) 5
2. Si: ^a + bh2 - ^a - bh2 = a + b, b, "a, b, 1 R +
` je a +2 b
Calcular:
3
a +b b
3
3
a) 2
b)
d) 4
e) 6
o
2
+a -b
2
12. Si: c) a – b
a b
a) 1 d) 4
3. Mostrar el equivalente de: 3
2
^ x + 1h ^ x
a) 1 d) 2
2
+ 2x - 1h - ^ x - 1h
^x
2
b) 2x e) x3
4. Halle el valor de: Si:
2
2
7 7 2 ^a b h
a) 1
= 3 ^a - bh
5. Sabiendo que:
)
; ab ab ! 0
c) 3
3
E =^
d) 2
3
a + b = 40 . .. ........ ^1h 4 ......... ^2h
a+b =
b) 10
c) 16
e) –2
. Calcular: a2+b2
d) 24
e) 20
6. Siendo a, b y c números pitagóricos tales tales que c>b>a Determine el valor de:
4
4
c -a -b
4
2 2 ^a2 + b2h - ^a 2 - b 2h
a) 1
b) –1
d) –2
e)
c) 2
1 2
5
10
21
Central 6198-100
3
2 h^
3
3
4-
10 + 10
b) 8
16. Si: x=
3
3
25h + ^
c) 9
`3
3 - 1h
9 + 1+
d) 10
3
j
e) 6
3 ; y=1. Calcular el valor de:
(x+y)9– (x – y)9 – 3(x2 – y2)3[(x+y)3 – (x – y) 3] a) 800 b) 8000 c) 1000 d) 125 e) 64
a
b) 15
1 2
b
c) 7
b) 1
19. Si: x3 = 125
d) 10
∧
1 3
c)
e) 13 y x
d) 1
+
x y
e)
2 3
x ≠ 5 2
Calcular: E = 8 x + 25 + 2B x
2
8
a) d) 9. Si: x+x–1=5. Calcular: x – x–1 b) 5 21 e) 21
2 –1
15. Efectuar: (m – 1)(m 2+m+1) – (m+1)(m2 – m+1) a) 2m3 b) –2m3 c) 2 d) –2 e) 0
a)
^m + 1h3 ^m - 1h3 ^m2 - 1h ^m2 + 1h ^m4 - 1h m4+1 b) m4 – 1 c) m2+1 m2 – 1 e) (m ( m – 1)4
21
7
2
18. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si se satisfacen: x+y= 5 ; xy=2. Hallar:
De estas expresiones son correctas: a) Ambas. b) La primera. c) La segunda. d) Ninguna. e) No se puede determinar. determ inar. 8. Simplificar:
a) 2 d) 4
5+
a) 12
3 x - 1 = ^ x - 1h^ x + x + 1h 4 2 2 2 x + x + 1 = ^ x + x + 1h^x - x + 1h
E=
3
c
3
II.
2
17. Si: (a – b)2=ab; (b – c) 2=3bc; (c – a)2=5ca; donde abc≠0 Halle: a + b + b + c + c + a
7. En un libro libro de Álgebra, Álgebra, se lee: I.
c)
14. Calcular:
.
b) –3
a) 12
- 2x - 1h
a) 7
2
a b b a
b) 2 e) 2
x2 y2
13. Calcular: E=3x2 – 5xy+3y2. Si: x= 2 +1; y= a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
c) x
3^a14 + b14h
^ x + yh4 - ^x - y h4
x y 1. Calcular: G = 3 + = y x
c) –2
a) 4
b) 9
d) 25
e) 36
20. Si bx+b–x= a) 2 d) 5
21
13
3 + 2
1 2
c) 16
. Calcule el valor de b 4x+b–4x
b) –3 e) 4
c) 1
Quinto año de secundaria
Capítulo 04
4
Productos notables II
Ejercicios resueltos 1. Calcule el valor de
x2 + y2 + z2 si
se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8
Resolución
Del dato se tiene que: x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que: (x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16) Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32 x2 +y2 +z2 =32 "
`
x2 + y 2 + z 2 =
2. Calcule el valor de: J =
=
32 = 4 2
x 3 + y3 + z 3 2
2
2
x +y +z
G;
xy + yz + zx xyz
E, si se sabe que: x =
5-
2, y =
2-
3 ,z=
3-
5
Resolución
Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: 3xyz J = - 2^ xy + yz + zxh J = 3 = - 3 -2 2
;
E;
xy + yz + zx xyz
Por identidad condicionales: x3+y3+z3=3xyz Si: x+y+z=0
E
x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)
8 B
3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.
Resolución
Ordenando el dato: x2 - 6x + 9 + y 2 + 2y + 1 = 0
1 4 42 4 4 3
1 4 42 4 4 3
2
^ x - 3h + ^ y + 1h2 = 0
Por el teorema x2 + y2=0 x=y=0 6 " x; y , 1 R se tiene: (x - 3)2=0 / (y - 1)2=0 x=3 / y= -1 ` (x - y) 2=16 "
"
14
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Álgebra Práctica 2
a +b 2
1. Siendo:{a,b} 1 R , tales que: 3 2 indicar el valor de: M = a2 + b3
2
+1 = a+b
,
V =
a +b
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Dados: {a,b,c}1 R tales que: a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) =4 y a+b+c=6. Indicar el valor de: a2+b2+c2 a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 e) 44 3. Siendo a un valor de x que verifica la siguiente condición: x2+2x+4=0, indicar el valor de: 3 2
+
2
4
a) 25 b) 27 c) 29 d) 32 e) 36 4. Se tiene las siguientes condiciones: a+b+c=4, ab+bc+ca=3 y abc=2. Determine el valor de: (a+b)(b+c)(c+a) a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 5. Siendo "a" el valor de x que verifica la ecuación: x+1= 3 x . Calcular el valor de: N = ^a + 1h^a + a- 2h a) 5 d) 7
b) 3 e) 6
5
c) 2
6
6
7
3
b) e)
2 7
6
; a) –3
2
2
2
2
b) –6
5
c)
b) 6
m
Indicar el valor de: x3+y3+z3+3xyz a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 13. Dadas las condiciones: * x=a2+2bc * z=c2 – 2ab
e) 8
2
2
2
a b c + + bc ac ab
c) 9
c) 7
* y=b2 – 2ac
x= 2 – 1 y=1– 3 2 . Además: z= 3 2 – Determine el valor de: (a – b – c) 2 a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 14. Sabiendo que: x+y= 3
^ xyh
15. Reducir:
.
b) 1 3
1 -1
x +y
-1
c) –1 3
3
^a - bh2 + ^b - ch2 + ^c - a h2
b) 1
2 +4
c) –1
e) –2
; x≠y. Reducir:
d) –2
a + b + c - 3abc
reducir: P = ^ a) 20
E
d) –9
e) 12
d) 8
e) 9
e) 2
. Siendo: a+b+c=6 d) –2
e) 2
3
y + zh
+
x3
b) 16
^x + yh3 z3
+
c) 24
^z + xh3 y3
.
d) 12
e) 28
17. Si: a3+b3+c3=5 , y ^a + bh^a + ch^b + ch^a2 - ab + b2h^a2 - ac + c2h^ b2 - bc + c 2h = 40
hallar el valor de: a9 + b9 + c9 . a) 15 b) 10 c) 5
d) 20
e) 25
18. Si: 4a2 + 4b2 = 4c (a+b) – 2c 2; {a; b; c} ⊂ R 2 2 Halle: 12b +212a 3c
a) 1 d) 2
c) 26/36
b) 3 e) 5
c) 4
19. Si: ax + by + cz + abcxyz = 0, calcule el valor de: (ax + 1) (by + 1) (cz + 1) (ax − 1) (by − 1) (cz − 1)
10. Siendo: {x; y; z} 1 R . Indicar el valor de:
a) –1 d) –5
^ x2 + xy + z2h^ y2 + xz + z2h, si (x–y)2=(z–y)(x–z).
a) 0,1
z
/
6
9. Sabiendo que: a + b + c = 0 ab + bc + ac = –7 y abc = –6 Calcule: a–2 + b–2 + c–2 a) 1/2 b) 49/36 a) 7/36 b) 7/6
M=
y
16. Si: x3 +y3+z3=3xyz x+y+z≠0; siendo {x;y;z} 1 R ,
5
8. Dados: x; y ! R tales que: x 2 – xy+y2=2(x+y – 2)=4 Indicar el valor de: M = x3 + 5xy + y3 . a) 5
e) 38
2
3
E;
cx
a) 3
a+b
7. Si: a+b=–c, calcule el valor de: a +b +c ab + ac + bc
d) 0
12. Siendo: x+y+z=0 / xy+yz+zx≠0. Además: x2+y2+z2+2 1 + 1 + 1 =0
a) 3
3
a +b
a) d)
Si: a+b+c=0 / abc≠0. a) 43 b) 42 c) 32
^ x + yh6 - x6 - y6
6. Dados "a" y "b" números reales tales que: 4 2 2 2 2 a + b - ab ab + a + b - a b = 0 . Indicar el valor de: F=
2 2 2 2 2 2 a + b^ 2 b+ c^ 2 a + c^ 2 a + b - c h+ b + c - a h+ a +c -b h ab bc ac
3 4
ca m ca m
P=
11. Calcula el valor numérico de:
b) 5 e) 2
c) –2
2
^ x2 + y2 + z2h
b) 1
Central 6198-100
c) 0,2
d) 2
e) 0,3 15
Quinto año de secundaria
Capítulo 04 Tarea domiciliaria 1. Si: mn + p + mn - p = Hallar el valor de: K = mn + a) 1 b) 2 c) –2
p
p -
mn -
p
d) –1
e) 0
2. Simplificar: M=
^a x + a - xh2 - 4 + ^a x - a - xh2 + 4 ; ^a x 2 a - xh
a) 2ax d) ax
b) 2
12. Si: a3+b3+c3=3abc; a+b+c≠0; {a, b, c} 1 R . Hallar: n
b) 2a–x e) –2ax
c) 0
E=
a) 1
2
x + 5x + 1 x
3. Si: (x – 1)2=x. Calcular: M = 3 a) 1
11. Reducir: E=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2)–(a+b+c)(ab+ac+bc) a) a+b+c b) 3abc 3 3 3 c) a +b +c d) a2+b2+c2 e) a+b+c+abc
c) 3
d) 4
e) 5
4. Si se cumple que: a+b+c=0. Calcular: ^a + b + 2ch2 + ^a + c + 2bh2 + ^b + c + 2ah2
a=
5.
b) 3
c) 5
d) 7
a) 30
14. Si:
a2+b2+c2=14 y a + b + c = 6 b) 50 c) 40 d) 60 e) 70
6. Si se cumple: x+y+z=0. Calcular: 3
E=
a) 1
a) –3
e) 9
Calcular: F=(a+b)2+(a+c) 2+(b+c) 2, si se cumple:
3
3
2
2
a)
c) –2
d) 4
d ) –3
a) 1
j `
b) 2
m+n
b) 2
1 2
p
−n m
c) 3
b) – 3
2 3
E=
4
d) – 5
e)
3
e) 5
17. Si:
3
3
2
a b
+
3
e) 5
d) 1
e) 2
b) a2+b2+c2 d) 9a2b2c a +3 c
b c
2
=0
. Hallar:
2 2
5abc ^ca + bh^c a + abc + b
2
h
^ca + bh5 - c 5 a 5 - b 5
a) –5
b) 1
d) abc
e)
c) 5
abc 3
18. Si: S i: x+y+z=0, el equivalente de: S=
p 2 + q2 + r 2
d) –2
j2
3 3 3 3 2 3 2 ^a2 - bc b ch + b ^ b - ac ac h + c ^c - ab ab h ^c2 - abh^b2 - ach^a 2 - bc h
L=
4 3
c) 2
e) –7
d) 4
1 4
c)
a) –3abc c) a3+b3+c3 e) 3abc
5 3
10. Si: p+q+r=2 y pq+pr=–qr, pq+pr=–qr, hallar el valor de: b) –4
a
ab
c)
j `
5 -2 3
16. Si se cumple: a+b+c=0. Hallar:
; {m; n; p} ⊂ R
d) 4
ac
d) –6
c) 3
1 3
b)
3
. Calcular:
3 -2 5 ; c =
2+
c) –5
e) 5
e) –6 p−m
^a3 + b 3 + c3h^a2 + b2 + c2 h abc ^ab + bc + ac h
1 1 1 + + a b c
c) – 1
bc
a) 4
2 ;b =
b) –4
a) 1
9. Dadas las relaciones: a+b+c=n; ab+ac+bc=2n ab+ac+bc=2n2 y 2 2 2 abc=3n 3; reducir: E = a + b + c . a)
1 6
x-z z2 + = 1. Hallar: z - y ^ x + y h^z - y h 2 x+y z-y J = z - x + + y z x
a)
b) 3
1 3
p−m
e)
1 3
c)
15. Si: a3+b3+c3=30; a+b+c=3; abc=4. Calcular:
2
^m + 2h3 + ^n + 3h3 + ^p + 1h3 ; (m+2)(n+3)(p+1) ≠ 0 ^m + 2h^n + 3h^p + 1h
=−
1 2
x +y +z x +y +z + xyz xy + xz + yz
b) 2
8. Si: m + n
b)
`
7. Si: m+n+p=–6. Calcular: E=
3-
5+
n
^a + b + chn
13. Hallar el valor numérico numérico de: si:
ab + bc + ac
a) –2
1 4
d)
n
a +b +c
n-1
e) 0
a) 1
16
^3x + yh3 + ^3y + zh3 + ^3z + xh3 3 y + zh^3z 3z + xh ^3x + yh^3y
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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Álgebra
5
Repaso
1. Siendo: n1+n=3. Calcular: E = nn a) 82
b) 27
d) 28
e) 14
n+2
1
a) 100
b) 105
c) 10
d) 120
e) 131
+
3
+
8. Si:
2. Simplificar: 10 . 3
x+3
−
4.3
a) 2
b) 3
d) 4
e) 1
3 x
x+5
3
−
−
2. 3
=
x+2
c) 5
10
b) 10
c m
e)
10
1 10
d)
(1/10)
c 101 m
7
−7
n−4
− 73
1 8
G
=7
c) 1
e) 3
9. Si: b, x, r ! R y se verifica: Z r 10 r 2 ] b b = 9 + 2 − (3 ) [ 44 ] x 2 x+1 = 0 \4 . 2 − 2
Entonces se puede afirmar que: a) x – b = 3 b) x + b = 3
1/10
10
c) |b |b| < |x|
d) x < b
e) x . b = 2
4. Si:
*
x+y
x
xy
y
x
−
−
1
1
y
x2
4
10. Si: =
1 3
2
3
Hallar la relación entre x e y. a) x=3y b) y=3x d) y=2x
c) x=2y
1 27
6. Calcule la suma de cifras de "x", si se cumple que: 9x+1=27x–12 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
e) 14
+
2
x+1
Calcule: 2x
+
Central 6198-100
+
1
2
+
x
2
+
x
2
+
x−1
2
x
2
−
1
+
2
x
2
2
=
+
2
e)
2
x
2
−
3
+
2
x
2
−
4
=
62
c)
5 2
c)
81 8
5
29 8
b)
83 8
d)
27 8
e)
85 8
x+1
−
257
=−
64 4
+
2
a)
4
x−2
−
12. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación:
7. Resuelva la ecuación exponencial: x+2
2
x+4 y+2 +2 M= 3 2y + 3
3
e)
+
11. Si: 3x=2y, calcular el valor de:
5. Si: F(x)=(3 ) ; a > 0; F(x+1) = 729 729 F(x–1) Halle el valor de "a". c) 3 a) 1 b) 1 d) 9
2
d)
e) 2y=3x
9
x
donde x > 0, hallar "x". a) 1 b) 2
a x+1
2
7
n
d) 2
10
c)
15
Hallar la suma de las cifras de "n". a) 3 b) 8
x+1
3. Si tenemos que: xnym=10n, x myn=10m, entonces el valor de: (xy)y/x, será: (m,n > 0,m≠n). a)
c) 112
x
a) 25
b) 20
d) 10
e) 8
c) 17
248
x−1
17
Quinto año de secundaria
Capítulo 05 13. Reduzca: n m
m
20. Si:
x .
m
x
2
x
.
m
n
x
x
n
3
...
m
x
n
2
a) xn
b) xm
d) 2
e) xn/m
; x>0
Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación: 3
c) 1
24
24 24
a) 10
b) 7
d) 3
e) 9
15. Si: 32
2 3
2 3
5x
n
2
=
x+
55 (x − 1)
a) 14
b) 17
d) 23
e) 2
3
a) 0
b) 2
d) 4
e) 5
−
b) 4
d) 7
e) 8
a)
c) 133
−1
4 xo
a) 2
, hallar el valor de 3x+2
R S xy S S S xy S T
c) 8
c) 3
+
1
es:
4 x
2 x
18. Si: 3 − 4 . (3 hallar el valor de m.
)+3= 0
a)
1 7
b)
d)
5 2
e) 1
e) 5
1 6
x
n
−
−
2
x
3n
=
2
y
m
128
c)
=
16
3 4
−x
+
3 2
;
b) 4
d) 1
e) 0
5
xy + yx x− y + y− x x− y + y− x xy + yx
Vxy W +1 W W W +1W X
b) xy
c) xxyy
d) x-yy-x
e) (xy)x+y
4
n−2
+
2−n
+
1
n−3
+
1
a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
5
n−3
5
3−n
+
1
+
1
c) 5
4
5
4
5
4
5
= 2 2x ;
4 ...3
8x–3. a) –2
b) 1
d) 1/2
e) 5
hallar el valor de: c) –1
25. Si: 12
3
aa
=
a)
2
b)
d)
6
e)
6
y bb = 3
Hallar el valor de a4b
; calcular x
a) 16
c) 25
5
a) xy.yx
5
19. Si: n
c) 6
24. Si se cumple:
c) 3
e) 5
2
x
23. Simplificar:
b) 1
d) 4
n
K
=
22. Simplificar:
2 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + 2 x + 4 = 120 . (8x − 1)
5n
2
b) 2,5
5
d) 125
es el valor que verifica la ecuación:
El valor de
x
radi radica cale les s
4 o
3
a) 3
n−2
x
x ...
21. Si: 4x-4x-1=24. Halle: (2x) x/5
x + ...
16. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación: 6x-3(2x)-4(3x)+12=0
17. Si
2
x
24 24 ...
Si: M ! N; calcule: M = 3
52 (x + 1)
x
1 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 4 4 3
14. Sabiendo que: x=
80 n 3
K=
3
c)
12 2.
3
3
18
3
c) 2
18
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Álgebra Tarea domiciliaria a+3
1. Siendo: a2+a=5. Calcular: F = aa Indicar la suma de cifras F. a) 10 b) 11 d) 13
+
10
−
d) 18
1
9. Sabiendo que: x>0 / x ≠ 1. Simplifique:
c) 12
e) 17
E
2. Simplificar: 270 . 3
x
81 . 3
−
4.3
x
−
x+1
3
− 18
.3
x
x+1
a) 2
b) 3
d) 4
e) 1
c) 5
88621/n . 2
2 4 − n/m
b)
22 − n/m
c)
2 − n/m
d)
2 4 − 2n/m
2
4. La suma de soluciones de: 92x–3 = 4(32x–1) – 243 es: b) 4,5
d) 5,5
e) 6 x+
d) 17/4
e) 3
1 x
c) 5/2
0, 2
#
0, 6
0, 8
= 0, 5 # n0, 2
a) 5/18
b) 25/18
d) 625/18
e) 175/18
c) 125/18
6#4 4
E=
2
x−3
x+2
+
2
+
2
a) 12
Central 6198-100
x−2
2
+
2
4m + 1
G
2
d) 1/4
e) 4
c)
2m 5
=
a) 1/4
b) 1/8
d) 1/16
e) 1/24
4x − 3
x+2
=7
2
−
4
−
1
(m + 1) 4
, el valor de "x" es: c) 1/18
x+2
a) 3/5
b) 5/3
d) 2/3
e) –5/3
n
3
n+4
.
n
2−n
9
=
c) –1/3
9
a) 4
b) 3
d) 2
e) 1
c) 5
22n + 1 + 4n n+1 + 4 (2n) 2
a) x/8
b) x
d) 2x
e) 4x
x
5
=5
d) 5
x−1
b) 14
+2
b)
a)
x+3
+
2m + 1
a) m/4
x
8. Calcular: x+1
x
c) x/4
15. Resuelva e indique el valor de x 2 en:
e) 16
2
c) 1
1/m
m
14. Si: x=2n+1. Halle:
7. Al resolver la ecuación: 3(22x)–5(2x)–152=0 el valor de (x–5)2 es: a) 0 b) 1 c) 4 d) 9
x
2x
13. Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:
6. Hallar "n", si: 0, 4
x
1−x
e)
3.
0, 10, 2 # 0, 30, 4 # 0, 50, 6
x
+
H
d) x–1
3
b) 10/3
−x
−x
12. Hallar el valor de "x" en:
c) 5
a) 2
x
b) x
21
5. Si: x2x+16=8x x, calcular:
−x
+
x
11. Al resolver la ecuación: xx
2 − n/2m
a) 4
x
x
x
se obtiene:
4
a)
e)
>
x
x
a) x2
=
B B ; es:
@
=
−x
10. Al simplificar la expresión:
3. El valor de: n − 1/2 1/m
e) 22
5
2
2
b) 5 e) 2
2
c)
5
5
c) 16
19
Quinto año de secundaria
Capítulo 06
6
División algebraica I
Ejercicios resueltos 4
1. Efectúe:
3
x + ^a + 1h x + ^a + b - 1h x
2
^b - ah x + 3 - b
2
x + ax + b
; e indique la suma de los coeficientes del cociente.
Resolución
Aplicando el método de Horner: : 1 #-
1
a+b-1
a+1 +
a
-a
-b
1
-a
b-a
3-b
+ -b
-1 #-
b 1
a
b
0
3
1
-1
2 - 2h x3 + 2
2 + 1 ; halle el valor de P^ 2 - 1h
El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1 `
2. Dado el polinomio: P (x) = x5 + ^3
Resolución
P(
2 - 1) es
el residuo de dividir P^ x h ' ^x -
"divisor de primer grado"
Luego por Ruffini: x-
2 +1= 0
1
0
2 -1
x=
*
^
2 - 1h =
*
^
2 - 1h^
3
2 -1
2
2 -2
2 - 1h =
2
2 +1 = 3-2 2
2-2
3-2
2 -1
1 2
2 + 1h
A BB B BB B C
0
0
2
2 +1
2
1
2 -1 3-2
2 +1
1
2 -1
4
2
` P
^
2 - 1h = 4
Residuo
2
2
2 - 1 = 2 -1 = 1
20
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