ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL
Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 5ª Edición. Octubre 2004.
PROLOGO
Este ensayo tiene por finalidad facilitar los cálculos propios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a los distintos temas propios de las ciencias física y geométrica en su relación con un espacio puntual afín siempre propiamente euclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como un caso particular de la n-dimensionalidad n-dimensionalidad con n finito. No se desarrrollan pues de momento, sus posibles aplicaciones a la física relativista ni cuántica. Esta Algebra y Cálculo Tensorial es especialmente útil, pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamente dichas (que incluyen vectores y escalares), escalares), sino que permite considerar como tales en el cálculo, a los operadores lineales ó multilineales, facilitando facilitando así la formulación de las imágenes que determinan. Entre los operadores expresables tensorialmente se incluyen derivadas, derivadas direccionales ó parciales, así como magnitudes integrales. El simbolismo elegido para los tensores es intrínseco, y se ha limitado la utilización y descripción de sus componentes característicos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casos en que ha sido necesario ó conveniente para una definición ó una demostración. En cuanto a la expresión de sus componentes característicos en cifras, se hace excepcionalmente a título de ejemplo ó caso particular. El álgebra que se utiliza, se halla definida en el segundo capítulo del texto, y en el resto del texto, se hace la aplicación del álgebra a un estudio parcial detallado de diversos tensores y sus relaciones. En la primera parte se dedica una atención especial a los tensores de segundo orden y a su relación con las matrices cuadradas. En la segunda parte ponemos el acento sobre las aplicaciones del álgebra a la expresión tensorial de las magnitudes diferenciables ó integrables así como de las derivadas espaciales y diferenciales y a la expresión intrínseca de las fórmulas de Stokes y Ostrogradski. Barcelona 10 de febrero de 2002.
TABLA DE CONTENIDO
PROLOGO
i
TABLA DE CONTENIDO
I
ALGEBRA TENSORIAL TENSORIAL
1
A.- GENERALIDADES. GENERALIDADES.
1
B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLAR 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con cuyos elementos opera el álgebra. 2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 3.- Tensores y aplicaciones lineales. 4.- Operación contracción de tensores. 5.- Observaciones. Observaciones.
3
3 4 7 8 9
C.- TENSORES EN GENERAL. 1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 3.- Simetría y antisimetría m,p 4.- Simetría y antisimetría 1,2. 5.- Tensores totalmente antisimétricos 6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos. h-simétricos. 7.- Tensores isótropos. 8.- Particularidades Particularidades del espacio tridimensional. tridimensional. 9.- Particularidades Particularidades del espacio bidimensional. 10.- Polinomios tensoriales.
11 11 16 18 20 22 38 42 44 48 50
D.- TENSORES E⊗2 DE 2º ORDEN 1.- Generalidades. Generalidades. 2.- Matrices de coeficientes tensoriales. 3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden. 4.- Tensor fundamental. 5.-Tensores isótropos. 6.- Invariantes de un tensor.Traza. 7.- Determinante de un tensor. 8.- Valores y vectores propios de un tensor. 9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 10.- Tensores ortogonales. 11.- Tensores semejantes. 12.- Tensores simétricos definidos positivos. 13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos.
55 55 57 62 66 69 71 73 75 80 89 90 91 93
ANALISIS TENSORIAL TENSORIAL A.- ESPACIOS PUNTUALES. PUNTUALES. DERIVADAS. DERIVADAS. 1.- Espacios puntuales afines. 2.- Utilización del vector ∇.
95 95 95 104 I
3.- Derivación de expresiones tensoriales. 106 5.- Integrabilidad Integrabilidad espacial. 112 →. 6.- Funciones de función de x 115 7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual afín n-dimensional. 117 B. VARIEDADES. INTEGRACION. 1.- Variedades y cuerpos. 2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos. antisimétricos. 3.- Magnitudes de volumen. 4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski. 5.- Integraciones Integraciones en general.
119 119 120 126 127 131
C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. →r-n. 1.- Integrales →de volumen relativas a r 2.- Valor de ∇D para cualquier cuerpo. 3.- Campos solenoidales. solenoidales. 4.- Campos irrotacionales, irrotacionales, 5.- Campos armónicos.
135 135 143 145 152 156
D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. diferenciales.
159 159
E.- SERIES POLINOMICAS.
163
APENDICE INDICE DE EQUACIONES
169 171
II
ALGEBRA TENSORIAL
A.- GENERALIDADES GENERALIDADES. .
1.- Este texto tiene por objeto el estudio de un álgebra propia del conjunto de tensores afines construídos sobre un espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional, considerados intrínsecamente y tomando escalares y vectores como tensores de orden 0 y 1 respectivamente. 2.- Supondremos familiarizado el lector con los elementos de álgebra lineal y en particular con espacios vectoriales, tensores, matrices y determinantes. determinantes. 3.- En general, expresaremos los escalares por letras griegas minúsculas: α,µ,π, etc., los vectores por letras normales →, w →, etc., y los minúsculas con flecha en la parte superior: v tensores por letras griegas minúsculas con flecha en la parte →w →) son escalares complejos, sus ρ, → σ, etc. Si α ó (v superior: → →w →) ó α* y (v →w →)*. ¯ ¯ α y (v conjugados se representarán por ¯ Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de un →, lo representaremos con la misma letra v sin vector tal como v flecha y con un subíndice o supraíndice, por ejemplo: v 2, vi, v3,etc. Si es un coeficiente de un tensor →τ, se representará por la letra normal minúscula t correspondiente, seguida de los subíndices y supraíndices, necesarios para su identificación, escritos uno a continuación del otro. Ejemplo: t1214 Una matriz se expresará con una letra mayúscula ó como un conjunto de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = { λ ji}. La expresión λ ji significará un elemento de la matriz, cuya identificación dependerá de la convención adoptada. Hache convendremos que el supraíndice indica la fila, en este caso j, y que el subíndice indica la columna, en este caso i. De esta manera, λ 32 no representa a la matriz A, sino a un elemento determinado de ella, el de fila 3 y columna 2.
→ . Lo representaremos por ∑n a → si Sea un sumatorio ∑nk=m a k m k no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay → o simplemente por duda respecto a los valores límites, por ∑ka k →. ∑a k 4.- Se adopta el convenio de Einstein: Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo índice, una vez como superior y otra como inferior, se debe, salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este índice todos los valores posibles. 1
Si esto ocurre con más de un índice, habrá que sumar los monomios obtenidos dando a estos índices todos los valores posibles. → = v1v → + v2v → + ..... + vnv → viv i 1 2 n aijbji = a11b11+a12b21+..+a21b12+a22b22+....+an1b1n+an2b2n+..
2
B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLAR
1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamentes euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales vectoriales ⊗ E (n finito) construído sobre E, con cuyos elementos opera el álgebra. 1.01.- Bases duales. Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o sea que E es dual de sí mismo en el sentido siguiente: A toda toda base base de E correspo corresponde nde una base dual dual tambié también n de. de. E, que sólo coincide con la primera cuando ésta es ortonormal. Por otra parte, consideraremos a los vectores de E como tensores de orden uno y representaremos representaremos como base principal de E → →j}, sabiendo que verifican a {ei} y como base dual a {e
→e →j = e →je → = δj (símbolo de Kronecker). e i i i Por consiguiente podemos tomar como bases de E ⊗s, las siguientes:
→ ⊗e → ⊗..⊗e → }, {e i j s
→i⊗e → ⊗..⊗e → }, {e → ⊗e →j..⊗e →s}, etc. {e j s i
1.02.- Expresiones de un tensor. a) Todo tensor de E⊗s puede expresarse por una combinación lineal de productos tensoriales elementales, es decir, correspondientes a elementos de E ×s: τ =
r
∑α (a ⊗ b ⊗..⊗ p ) r
r
i
i
r
i
i
b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo tensor de orden mayor que uno, se puede representar también en forma einsteniana de la siguiente manera:
→τ = →σ ⊗→µi i c) La notación ordinaria einsteniana de un tensor en función de bases duales, es:
→τ = tij..s(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = ti ..s(e → ⊗e →j⊗..⊗e → ) = ..... i j s j i s → } como base Si no se indica lo contrario tomaremos {e i
principal y denominan:
en
consecuencia
los
coeficientes
escalares
se
Contravariantes: Contravariantes: tij..s 3
Covariantes:
tij..s
Mixtos:
tij..s, etc.
Si y sólo si la base es ortonormal, se verifica: tij..s = tij..s = tij..s = .... 2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 2.01.- Operaciones fundamentales. El conjunto E⊗ toma la estructura de un álgebra estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus elementos: 1º.- Multiplicación tensorial. 2ª.- Multiplicación contracta. que pasamos a precisar. 2.02.- Multiplicación tensorial.
→τ ∈ E⊗s Definimos como producto tensorial de un tensor →τ⊗→σ de E⊗(s+m) de las por un tensor σ∈ E⊗m a un tensor características propias de la estructura tensorial que suponemos conocida. Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes: σ ≠ 1ª.- No conmutatividad: En general →τ⊗→
→σ⊗→τ. σ⊗(→τ⊗→ π)=(→ σ⊗→τ)⊗→ π = → σ⊗→τ⊗→ π 2ª.- Asociatividad: → 3ª.- Distributividad a derecha e izquierda: σ=→ σ’+→ σ”; →τ=→τ’+→τ”): → σ⊗→τ= → σ’⊗→τ’+ → σ’⊗→τ”+ → σ”⊗→τ’+ → σ”⊗→τ” (→
2.03.- Multiplicación contracta. Entre los posibles, definimos como producto contracto normal de dos tensores →τ y → σ y lo expresamos sin signo especial, → → a un tensor τσ, que tiene por orden el módulo de la diferencia de órdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes: 1ª.- Conmutatividad: Conmutatividad:
→τ→σ = →σ→τ
2ª.- Distributividad a derecha e izquierda: σ=→ σ’+→ σ”; →τ=→τ’+→τ”): → σ→τ= → σ’→τ’+ → σ’→τ”+ → σ”→τ’+ → σ”→τ” (→
3ª.- El producto contracto entre vectores de E coincide con el producto escalar en E. 4
4ª.- El producto contracto de dos productos tensoriales elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente:
→ →
→
→ ⊗a → ⊗...⊗a → ⊗a → ⊗...⊗a → )(b ⊗b ⊗...⊗b ) = (a 1 2 m m+1 n 1 2 m →
→
→
→ b )(a → b )...(a → b ) [a → ⊗...⊗a →] = (a 1 1 2 2 m m m+1 n Cada paréntesis () indica un producto escalar cuyos factores son los pares de vectores situados en el mismo orden de colocación de derecha a izquierda de los tensores factores, hasta agotar los vectores del tensor de menor orden. con
Puede verse fácilmente que esta operación es compatible las propias propias de los los espacios espacios vectoriales de tensores. tensores. 2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos.
→i⊗e →j⊗e → ); →σ=slm(e → ⊗e →) Sean los tensores →τ=tijk(e k l m →π = →τ⊗→σ = [t k(e →i⊗e →j⊗e → )] ⊗ [slm(e → ⊗e → )] = ij k l m →i⊗e →j⊗e → ⊗e → ⊗e →) = t kslm(e
1º.-
ij
k
l
m
pijklm = tijkslm
→ρ = →τ→σ = [t k(e →i⊗e →j⊗e → )][slm(e → ⊗e → )] = ij k l m →ie → )(e →je → )e → =t ksije → = t kslm(e
2º.-
ij
l
m
k
ij
k
rk = tijksij Para este producto, las bases utilizadas para el primer factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor. 2.05.- Teoremas fundamentales de esta álgebra. σ y → Teorema 1º.- Dados tres tensores →τ, → µ construidos σ, se sobre E, tales que el orden de →τ es igual o mayor que el de → se verifica:
(→τ→ µ = (→ µ)→τ σ)→ σ⊗→ Dada la distributividad de productos tensoriales y contractos, bastará demostrarlo para el caso de que los tres tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para
→σ = a → ⊗a → ⊗...⊗a → 1 2 →τ = b → ⊗b → ⊗...⊗b → r⊗b → ⊗...⊗b → s →µ = c →1 ⊗c →2 ⊗....⊗rc → r+1 1 2 t tendremos:
→ →→ → →τ→σ = (a →b →→ → 1 1)(a2b2)...(arbr)[br+1⊗...⊗bs] →σ⊗→µ = a → ⊗a → ⊗...⊗a → ⊗c → ⊗c → ⊗...⊗c → 1 2 r 1 2 t 5
y por consiguiente:
→
→
→
→
→
→ b )(a → b )...(a → b )[b ⊗...⊗b ][c → ⊗c → ⊗....⊗c →] (→τ→ µ = (a σ)→ 1 →1 2 →2 r →r r+1 s 1 →2 →t → → → → → → → → → (σ⊗µ)τ= (a1b1)(a2b2)...(arbr)[c1⊗c2⊗....⊗ct][br+1⊗...⊗bs] σ, →τ y → Teorema 2º.- Dados tres tensores → µ construidos σ es inferior al de →τ, se sobre E, tales que el orden de → verifica: σ→τ)⊗→ σ (→ µ = (→τ⊗→ µ)→
Bastará demostrarlo para los mismos tensores de la σ→τ tomará el valor allí demostración anterior, con lo que → expresado. Tendremos además:
→ → → → → → → →τ⊗→µ = b → 1⊗b2⊗...⊗br⊗br+1⊗...⊗bs⊗c1⊗c2⊗....⊗ct y por consiguiente:
→
→σ→τ⊗→µ →τ⊗→µ)→σ
→
→
→
→
→ b )(a → b )...(a → b )[b ⊗...⊗b ⊗c → ⊗c → ⊗....⊗c →] = (a 1→1 2→2 r→r r+1 s 1 2 → → → b )(a → b )...(a → b )[b ⊗...⊗b ⊗c → ⊗c → ⊗....⊗c →t] = (a 1 1 2 2 r r r+1 s 1 2 t
Teorema 3º.- Sean 4 tensores →τ, →τ’, → µ construidos σ y → → → sobre E, tales que τ y τ’ son de igual orden. se verifica: (→τ→τ’)(→ µ) = (→τ⊗→ µ) σ→ σ)(→τ’⊗→ Pues →τ→τ’=→τ’→τ es un escalar, y podremos escribir: y por el teorema 1º:
σ→ σ]→ (→τ→τ’)(→ µ) = [(→τ’→τ)→ µ
σ→ σ)]→ σ)(→τ’→ (→τ→τ’)(→ µ) = [→τ’(→τ⊗→ µ = (→τ → µ)
2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor →τ de orden s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par de bases duales de E, es igual al producto contracto de →τ por un producto tensorial de dichos vectores base con índices en igual posición y orden. Podemos demostrarlo, por ejemplo para t ijk:
→τ(e →i⊗e →j⊗e → ) = [ti'j' (e → ⊗e → ⊗e →k')](e →i⊗e →j⊗e →) = k k' i' j' k → e →i)(e → e →j)(e →k'e → ) = tij = ti'j' (e k'
i'
j'
k
k
y evidentemente la demostración es análoga para cualquier otro coeficiente.
→ 2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor → τ al pasar → de una base {ei} de E y su dual, a una nueva base {f j} y su dual, relacionadas con las anteriores por: →
→; fj = αjie i
→
→m; fk = βmke
i k
k
αjβi = δj = símbolo de Kronecker
→ → →g →h → ⊗e → ⊗e →s⊗e →t)= tvw (f Sea por ejemplo →τ= tirst(e i r gh v⊗fw⊗f ⊗f ) 6
→ → → → →i]⊗[βwe →r]⊗[αse → ]⊗[αte → ])= tvwgh= →τ(fv⊗fw⊗fg⊗fh) = →τ([βive r g s h t →i⊗e →r⊗e → ⊗e → ) = βvβwαsαttir = βivβrwαgsαht →τ(e s t i r g h st Como βiv,βrw,αgs y αht corresponden a matrices de cambio de bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son función regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen análogamente análogame nte las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir de las antiguas del mismo o distinto tipo. 2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares función de una base de E, define a un tensor de E⊗, si y sólo si, con un cambio de bases, los escalares varían como si fueran los elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a algún tensor. También se demuestra que un conjunto de escalares, función de una base de E, define a un tensor → π, o sea que es el → conjunto de coeficientes de π, de algún tipo, cuando al operar como si así fuera para hallar los coeficientes de → π→ σ ó de → π⊗→ σ, → siendo σ un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares que define a un tensor. 2.09.- Para E propiamente euclidiano, el producto contracto aquí definido, induce en todos los espacios vectoriales vectoriales ⊗ E de tensores afines a E, un producto escalar que también los hace propiamente euclidianos. 3.- Tensores y aplicaciones lineales.
→π 3.01.- (s+m) Los productos contractos de un tensor ⊗ ⊗s determinado dem E por los distintos vectores de E , son ⊗ vectores de E que varían linealmente con ellos. Por lo tantos dichos productos son las imágenes de una aplicación lineal de E⊗ m π. en E⊗ representada por el tensor → El tensor de E⊗(s+m) correspondiente a la aplicación → → } de E⊗s tiene por imagen {f lineal por la que una → base {g ), i →j⊗f ) siendo →j} la base dual de {g→ }. iEn vamos a ver que es (g {g j j efecto:
→
→
→
→j⊗f )g → = (g →jg → )f = f (g j i i j i 3.02.- De acuerdo con el párrafo anterior, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por el tensor
→i⊗g → = g → ⊗g →i g i i referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y '2.06, tenemos:
→i⊗g → )a → = (g →ia →)g → = aig → = a → (g i i i 7
Para los vectores de E, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por un tensor de 2º orden:
→
I =
→ ⊗e →i = e →i⊗e → e i i
→i} y {e→ } bases duales de E. con {e i →
El producto contracto de I por un producto tensorial → → (a⊗b) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de ambos. Pues tenemos:
→ → → →→ → → →b ⊗b) = (Ia I(a )b = a →
3.03.- Coeficientes de I .
→
Los coeficientes tensoriales de I contravariantes constituyen las matrices de cambio de→base de una base a su dual y los coeficientes covariantes de I forman las matrices del cambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad. Pues podemos escribir:
→ →I= I=
→ ij → ⊗→ →I= g (→eii →ejj) = I= gij(e ⊗e ) = gijj(→ eii⊗→ ej) = → ek⊗→ ekk gi (→ e ⊗→ ej) = → ek⊗→ e
→e ⊗gije→ = →e ⊗→ei →eii⊗g e→jj = →eii⊗→e ij i ⇒ ⇒
⇒ ⇒
→i = gije → e → = g e →jj e i ij
gijj = δijj (símbolo de Kronecker) gi = δi (símbolo de Kronecker)
Por cálculo vectorial sabemos que las matrices de cambio inverso son inversas. También →se verifica que las matrices covariante y contravariante de I son las fundamentales para las bases duales fundamentales gije→ii = gije→ =
e→j = e→j =
→i⊗e → ) = (e→je→i)e → e→j(e i → ⊗e →i) = (e→ e→ )e →ii e→j(e i i j
⇒ ⇒
gij = e→ie→j gij = e→ie→j
4.- Operación contracción de tensores. La definiremos como un modelo. Sea un producto tensorial único
→ → → →τ = a →⊗b → ⊗c⊗d⊗..⊗m La contracción de los factores 2,4 es el tensor
→→ →⊗→⊗ ⊗→ →τ’= (b d)(a c .. m) Si el tensor viene dado en forma normal en función de bases duales, tal como
→τ = tijk (e → ⊗e → ⊗e → ⊗e →l⊗..⊗e →m) l..m i j k la contracción 2,4 será: 8
→τ’ = tijk (e →e →l)(e → ⊗e → ⊗..⊗e →m) = (j=l): tijk → ⊗e → ⊗..⊗e →m) (e l..m j i k l..m i k Deducimos de aquí, que para efectuar esta última operación, hay que expresar previamente os dos factores tensoriales a suprimir, en sendas bases duales. 5.- Observaciones. Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la Física no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de tensores de orden 0, 1 ó mayor, isomorfos a los de E⊗, y sus relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin adoptar unidades de medida, ó sea intrínsecamente, a través de los conceptos y métodos algebraicos aquí establecidos, y de otros complementarios complementarios deducidos de ellos. Estimamos que esta álgebra tensorial puede facilitar considerablemente el estudio intrínseco de las relaciones entre magnitudes físicas y para su desarrollo, resulta indispensable indispensable el dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales aquí enunciados. De entre los productos contractos entre tensores que se pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de aplicación más general, y que estimamos suficiente para nuestros fines. Una vez halladas las expresiones más sencillas ó convenientes, el cálculo numérico exige adoptar unidades de cada magnitud y por tanto la adopción de bases vectoriales que se correspondan debidamente entre ellas y entonces también tienen plena aplicación la expresión de tensores por coeficientes de notación einsteniana, expresión que en los casos sencillos se presta a la aplicación del cálculo matricial. Las matrices, también se pueden considerar como tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus relaciones intrínsecas también quedarán reflejadas en desarrollos desarrollos diversos del álgebra tensorial aquí presentada. El álgebra que aquí se va a desarrollar, está dedicada especialmente a los tensores afines a E expresados en forma intrínseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente para completar el estudio de los problemas o para aclarar o confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es únicamente intentar hacer ver las ventajas del método intrínseco de cálculo tensorial aquí desarrollado. Esta álgebra no se ha ampliado a los elementos de espacios construídos sobre espacios vectoriales herméticos, por la dificultad derivada de que, ya en los casos más sencillos, el producto hermítico de vectores no es en ellos conmutativo. 9
El método aquí utilizado para definir el álgebra y otras propiedades de los elementos de E⊗ (tensores construídos sobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizable cuando E sólo es euclidiano (no propiamente), si se tiene en cuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.
10
C.- TENSORES EN GENERAL.
1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 1.01.- Definición. Llamaremos aquí norma de un tensor
→τ, al escalar →τ→τ y módulo de un tensor a la raíz cuadrada positiva de su norma.
Consecuencias.
→ ⊗e → ⊗..⊗e → ) es la representación a) Si →τ=tij..p(e i j p einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su norma valdrá: ij..p →τ→τ= tij..p(e → ⊗e → ⊗..⊗e → )t →i' →j' →p' tij..p i j p i'j'..p' (e ⊗e ⊗..⊗e )= t
Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p = tij..p, resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma de cuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo, en el que será nula. b) Si el tensor →τ= (→τ1⊗→τ2⊗..⊗→τm) está expresado por un producto tensorial de tensores, su norma es el producto de las normas de los factores. Aplicando las leyes del producto contracto, tendremos:
→τ→τ = (→τ ⊗τ ⊗..→τ )(→τ ⊗τ ⊗..→τ ) = (→τ →τ )(→τ →τ )...(→τ →τ ) 1 2 m 1 2 m 1 1 2 2 m m c) La norma del tensor →τ=∑→τi cuando {→τi} es un conjunto
de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma de las normas de los sumandos: (→τl + →τ2 +...+ →τ2m)(→τl + →τ2 +...+ →τ2m) = →τ1→τ1 + →τ2→τ2 + .. + →τm→τm
puesto que los productos con subíndices distintos son nulos por ortogonalidad. 1.02.- Como la norma definida para un tensor coincide evidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vector del espacio vectorial de los tensores de su orden, podemos aplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartz obtenidas para espacios vectoriales en general. La 1ª desigualdad, para dos tensores cualquiera →τ y → µ σ⊗→ supuestos no nulos y del mismo orden, es: [→τ(→ µ)][→τ(→ µ)] σ⊗→ σ⊗→
≤ (→τ→τ)[(→σ⊗→µ)(→σ⊗→µ)]
y transformando el 1º miembro por el teorema 1 fundamental, y el segundo miembro por el teorema 3º, queda así: σ)→ σ)→ [(→τ→ µ][(→τ→ µ]
≤
σ→ σ)(→ (→τ→τ)(→ µ→ µ)
σ de igual orden, se verificará Sustituyendo → µ por →τ→ también la siguiente desigualdad: 11
[(→τ→ σ)(→τ→ σ)][(→τ→ σ)(→τ→ σ)] ≤ (→τ→τ)(→ σ→ σ)[(→τ→ σ)(→τ→ σ)] que por ser el corchete positivo podemos simplificar simplificar así: σ)(→τ→ σ)] ≤ (→τ→τ)(→ σ→ σ) [(→τ→
Esta expresión generaliza la 1ª desigualdad de Schwartz al producto contracto de tensores cualesquiera. 1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir el σ no nulos coseno del ángulo formado por dos tensores →τ y → cualesquiera, de módulos τ y σ. r r
1
≥
r r
(τσ)(τσ) ; cos(τ,σ) = (τ τ)(σσ) 2
r
r
rr
r r
r r
r
r
cos(τ,σ) =
τσ
τσ
Este coseno sería de naturaleza vectorial, y no σ fueran de distinto orden. Tendría entonces escalar, cuando →τ y → σ y →τ un módulo inferior o igual a uno. Sólo sería nulo para → ortogonales. Sería uno si →τ se puede expresar así: σ⊗→ (∃→ µ): →τ = → µ
⇒ →τ→σ = (→σ→σ)→µ =
σσ→ µ; →τ→τ = σσµµ
como puede verse2 fácilmente sustituyendo estos valores en la σ). expresión de cos (→τ,→ 1.04.- Sea el producto contracto de un tensor →τ de orden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s. El tensor resultante, de orden s-r, varía linealmente con el factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a →τ como un tensor representativo de una aplicación lineal del espacio de los tensores de orden r en el espacio de los de orden s-r y por analogía procederemos a las siguientes definiciones: definiciones: 1ª. Para →τ de orden s, llamamos núcleo de →τ de orden r, y lo expresamos por Nucr→τ, al conjunto de tensores → σ de orden r, tales que:
→ →τ→σ = 0
⇔
→σ ∈Nuc →τ r
2ª. Para →τ de orden s, llamamos imagen de →τ de orden r, y lo expresamos por Imr→τ, al conjunto de tensores de orden r que resultan de la multiplicación contracta de →τ por cualquier tensor →σ de orden s-r:
→τ→σ = →µ
⇔
→µ ∈Im →τ r
1.05.- Características Características de
núcleos e imágenes.
a) Nucr→τ y Imr→τ son subespacios vectoriales de tensores de orden r correspondientes a la aplicación →τ. b) Nucr→τ y Imr→τ por ser subespacios vectoriales de tensores de orden r tienen por dimensión máxima n r. que es la dimensión 12
del total espacio de tensores de orden r. c) Como para toda aplicación lineal, cuando los productos σi} son un contractos de →τ por los tensores de un conjunto {→ → conjunto independiente, también lo es { σi}. d) La sumar de dimensiones de Nucr→τ y Ims-r→τ cada uno en su subespacio es n . Efectivamente: Si dim Nucr→τ = nr, o sea todo el espacio, será nulo →τ, así como la dimensión de su imagen. σi} de algún Si dim Nucr→τ = p
Como ningún → σi pertenece al núcleo, el miembro primero de la ecuación solo puede anularse cuando todos los λ sean nulos, y por lo tanto el 2º miembro se anulará si y sólo si todos los λ son nulos. Ello conlleva que el conjunto {→τ→ σi} es independiente, y como sea que ya es un generador de Ims-r→τ, será además una base. La dimensión de Ims-r→τ es pues q=nr-p. i σ ⊗→ 1.06.- Tensor →τ expresado como producto → µi i σ’ ⊗→ Siempre es posible expresar por → µ’i un tensor →τ de orden s≥2, ya que estos tensores se pueden considerar como sumatorios de productos tensoriales de vectores y éstos a su vez pueden resumirse así.
Vamos a exponer distintas características que se deducen dei esta formulación de un tensor, suponiendo →τ de orden σ’ } de orden r
Sea en el espacio vectorial de los tensores de orden r, el subespacio A' ortogonal (y por tanto suplementario) del i subespacio A engendrado por los {→ σ’ }. Como por hipótesis todo tensor → v de A’ es ortogonal a todo tensor de A, A, y es de orden r, utilizando el 1º teorema fundamental, podremos escribir:
→τ→v = (→σ’i⊗→µ’ )→v = (→σ’i→v)→µ’ i i Ims-r→τ.
⇔ →v∈Nucr→τ ⇔ A’⊂Nucr→τ ⇔ A⊃N 1.08.- El subespacio B generado por {→ µ’i} contiene a = 0
→ Pues los tensores de Ims-r→τ son los productos →τλ de →τ con 13
→
cualquier tensor λ de orden r y siempre pueden expresarse como función lineal i→ de los {→ µ’i}, ya que siendo escalares las → expresiones (σ’ λ ) se verifica:
→τ→λ = (→σ’i⊗→µ’ )→λ = (→σ’i→λ )→µ’ i i i σ' no son independientes 1.09.- Evidentemente, si los → i σ }, y podemos ponerlos en función de los tensores de una base {→ entonces siempre podremos expresar →τ de orden s por:
(1)
→τ = →σi⊗→µ i
(2)
i σ } cualquiera del espacio vectorial de los adoptando una base {→ tensores de orden r.
1.10.- Sea → de {σ }, se verifica tenemos: i
→τ expresado por (2). Si {→σ } es la base dual i →µ = →τ→σ , pues por el 11 teorema fundamental i i
→τ→σ = (→σj⊗→µ )→σ = (→σj→σ )→µ = →µ i j i i j i y sustituyendo en (2) tenemos otra expresión de →τ:
→τ = →σi ⊗ →τ→σ i i de utilización general cuando {→ σ } y {→ σi} son bases duales. 1.11.- El tensor →τ de orden s representa la aplicación σi de orden r lineal que hace corresponder a los tensores base → que figuran en (3), los tensores → µ de orden s-r, y al resto de
(3)
tensores base, el tensor nulo.
i
σi = → Pues acabamos de ver que →τ→ µi. σ son productos tensoriales de un tipo Si los tensores → determinado, es fácil ver que →τ representa asimismo la aplicación multilineal que hace corresponder, a cada conjunto ordenado de tensores factores, un tensor de orden s-r determinado.
Hallar la imagen de un tensor con toda aplicación lineal, se reduce siempre a practicar un producto contracto entre este tensor y el que representa la aplicación. El primero será un producto tensorial para una aplicación múltiple. 1.12.- El único tensor, tal que su producto contracto es nulo, con cualquier tensor de un espacio vectorial de tensores tensores de un mismo orden cualquiera, es el tensor nulo. Se deduce fácilmente del examen de las ecuaciones (1) y (3) según que el orden del tensor único sea superior o inferior al del espacio de tensores considerado. 1.13.- Elección de bases para que la expresión de →τ que estamos estudiando tenga el mínimo de sumandos. Habremos de tomar como base del espacio vectorial de 14
los tensores de orden r, la reunión de una base del subespacio N ortogonal a Nucr→τ y de una base de Nucr→τ. Efectivamente: Atendiendo a la ecuación (3), y considerando los σi} de orden r, si dim Nucr→τ = p, los p sumandos tensores {→ σi de la base de Nucr→τ serán nulos por correspondientes a los → serlo los segundos factores, y quedarán n r-p sumandos no nulos correspondientes correspondientes a la base del subespacio ortogonal a Nucr→τ. Como por '1.08 sabemos que el subespacio generado rpor σi} ha de contener a Im s-r→τ, cuya dimensión según '1.05 es n -p, {→τ→ el número de sumandos no nulos es irreducible. i σ ⊗→ 1.14.- Siempre que la expresión →τ = → µi esté escrita con un mínimo de sumandos para el orden r elegido para los σ tal como se acaba de indicar, tendremos en consecuentensores → cia: i {→ σ } = Base subespacio ortogonal a Nucr→τ
{→ µi} = Base Ims-r→τ. 1.15.- Se deduce fácilmente de '1.11 que el producto contracto de un tensor de orden s por un tensor de orden r es siempre un tensor. El orden del mismo es el módulo de s-r, y el tensor puede ser nulo. La admisión del orden tensorial uno para los vectores y el orden cero para los escalares generaliza esta proposición a todos los casos posibles.
15
2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 2.01.- Transposición.
→
Sea → λ ’un tensor producto tensorial cualquiera de s vectores y λ ’ un tensor producto tensorial de los mismos s vectores que antes pero en un orden distinto, que solamente difiere del anterior en que se hallan permutados → → los factores de lugares de orden m y p. Diremos que λ y λ ’ son tensores transpuestos m,p. Para tensores en general, diremos que un tensor es el (m,p) → → tensor transpuesto m,p de τ y lo designaremos τ~ , cuando se verifique:
→
(∀λ ):
→
→τ~(m,p) →λ ’ = →τ→λ
→
para cualquier par λ y λ ’ de productos tensoriales transpuestos transpuestos m,p. Por lo tanto dos tensores transpuestos m,p son del mismo orden, y éste es mayor ó igual que m y que p. Dada una descomposición de →τ en suma de productos tensoriales de vectores esta condición la cumple evidentemente evidentemente un tensor suma de productos tensoriales de vectores que sean transpuestos m,p de los primeros. Ejemplo de tensores transpuestos 2,4:
→
→τ
→
→ ⊗b ⊗c → ⊗d ⊗e → )] = ∑[αi(a i i i i i
→ → → → →τ~(2,4) = ∑[α (a → ⊗d i i i⊗ci⊗bi⊗ei)] →
→,v →,w →,q → se tiene; Para cualesquiera vectores h,u →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→ ⊗b ⊗c → ⊗d ⊗e → )](h⊗u →⊗v →⊗w →⊗q →)=∑[α (a → h)(b u → →→ → →→ [∑(αia i i i i i i i i )(civ)(diw)(eiq)] → ⊗d ⊗c → ⊗b ⊗e → )](h⊗w →⊗v →⊗u →⊗q →)=∑[α (a → h)(d w → →→ → →→ [∑(αia i i i i i i i i )(civ)(biu)(eiq)] y ambos productos son efectivamente iguales. Solo hay un tensor que cumpla con las condiciones exigidas al transpuesto. Si hubiera dos, tales como →τ1 y →τ2, se tendría:
→ → → (∀λ ’): →τ1λ ’ = →τ2λ ’
⇔
→ (→τ1 - →τ2)λ ’ = 0
y por tanto, como cualquier tensor → σ de orden s>1 puede descomponerse en suma de productos tensoriales de vectores, se tendría también: σ): (∀→
2.02.-
σ = 0 (→τ1 - →τ2)→
Cuando
no
hay
⇔ →τ1 = →τ2 duda
sobre
la
clase
de 16
transposición efectuada sobre un tensor →τ, al tensor transpuesto lo designaremos simplemente por ~τ ó bien →τ~. 2.03.transpuesto:
Consecuencias
de
la
definición
de
tensor
1 ª.- Si con la misma transposición →τ se convierte en ~τ , σ en ~ σ , siendo →τ y → σ tensores en los que es posible la y → transposición en cuestión, se verifica: ~τ~ σ
σ = →τ→
2 ª.- El módulo de un tensor no varía cuando efectuamos en él cualquier transposición. transposición. 3 ª.- Con la transposición de un tensor, los índices de sus coeficientes experimentan el mismo tipo de transposición. Para una transposición (2,4), representando con apóstrofe los coeficientes del tensor transpuesto, tendremos por ejemplo: t’ijklm=tilkjm;
t’ijklm=tilkjm;
etc.
17
3.- Simetría y antisimetría m,p 3.01.- Definición. Decimos que un tensor tiene simetría m,p cuando es igual a su transpuesto m,p y que tiene antisimetría antisimetría m,p cuando es opuesto. Por consiguiente, dado un tensor por una suma de productos tensoriales de vectores, diremos que tiene simetría m,p si y sólo si es igual al tensor expresable por una suma de productos tensoriales de vectores, que difieren de los anteriores por la permutación de los factores de lugares m y p. Diremos que tiene antisimetría m,p si y sólo si resulta ser opuesto. 3.02.- Si un tensor tiene simetría m,p, un coeficiente tensorial cualquiera es igual al coeficiente que corresponde corresponde a la permutación de los índices de lugares m y p. Para un tensor antisimétrico m,p, estos coeficientes son opuestos. Ejemplos: Simetría 2,4: Antisimetría 2,4: 2,4:
tijkmq= timkjq;
tijkmq= timkjq; etc.
tijkmq=-timkjq;
tijkmq=-timkjq; etc.
Por tanto, en este último caso, para m=j y para todos los tipos de coeficiente en que ambos están a un mismo nivel, los los ijkjq coeficientes son nulos (p.e.: t = 0). 3.03.- Evidentemente, para que un tensor de orden r dado por sus coeficientes en alguna base, sea simétrico o antisimétrico m,p, es necesario y suficiente que la propiedad anterior de losr coeficientes de índices permutados, la verifiquen verifiquen la totalidad n de coeficientes de un único tipo cualquiera. 3.04.- Es fácil deducir que el conjunto de los tensores simétricos m,p de un mismo orden r constituye un subespacio vectorial del espacio vectorial de los tensores de orden r y que lo mismo ocurre con los antisimétricos m,p. Estos subespacios son disjuntos, pues son ortogonales entre sí como vamos a ver. Efectivamente, si tenemos cualquier tensor →τ con simetría m,p, y otro tensor cualquiera → σ del mismo orden con antisimetría m,p, y consideramos los tensores ~τ y ~ σ respectivamente transpuestos m,p de los anteriores, tendremos por '2.03:
→τ→σ = ~τ~σ y como además se verifica: ~τ = →τ; al multiplicar resulta:
estas
últimas
~ σ = -→ σ igualdades
miembro
a
miembro 18
→τ→σ = -→τ→σ
⇔
→τ→σ = 0
3.05.- La dimensión del subespacio de los tensores de simetría m,p, puede verse que es:
⎛ n +1 ⎞ r-2 ⎜⎜ ⎟⎟n 2 ⎝ ⎠ siendo n la dimensión del espacio vectorial fundamental y r el orden de los tensores considerados. El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 con repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una. El segundo factor es el número posible de variaciones con repetición de orden r-2 que pueden formarse con n elementos tomados r-2 a r-2 en cada una. 3.06.- La dimensión del subespacio de los tensores de orden r con antisimetría m,p puede verse que es:
⎛ n ⎞ r-2 ⎜ ⎟n ⎝ 2 ⎠ siendo n la dimensión del espacio fundamental. El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 sin repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una. El segundo factor es el mismo que en '3.05. Este subespacio es suplementario del anterior, pues la suma de sus dimensiones es la dimensión nr.
19
4.- Simetría y antisimetría 1,2. 4.01.- Sea un tensor →τ de simetría 1,2 expresado por:
→τ = v →⊗→σ → un vector y →σ un tensor de cualquier orden. siendo v Para algún tensor →ρ de orden inferior en una unidad al σ se verificará: de → ρ): (∃→
→τ = v →⊗v →⊗→ρ
σ como suma de Efectivamente. Si la expresión de → productos tensoriales vector-tensor con un mínimo de sumandos, es la siguiente:
→σ = w → ⊗→µi i tendremos
→τ = v → ⊗ w → ⊗ →µi i Por la simetría 1,2 de →τ se verifica: → → → →→ →i →→ →→ →i →⊗w → ⊗→µi)(a →⊗b →⊗w → ⊗→µi)(b →a →)(b (v )=(v w )µ =(vb)(aw )µ ⊗a) ⇔ (v i
i
i
i
→→ → →→ →i →a →)(b →b wi) - (v )(awi)]µ = 0 ⇔ [(v y por ser linealmente independientes los tensores → µi: (∀i):
→
→
→
→a →)(bw → ) - (v →b)(a →w → ) = [(v →a →)w → - (a →w → )v →]b 0 = (v i i i i
→
y por ser b un vector cualquiera: (∀i):
→a →)w → = (a →w → )v → (v i i
→ es necesario Por ser linealmente independientes los w i →, que utilizado que su conjunto conste de un vector único λ v en la última ecuación, la verifica. Por otra parte, la condición es suficiente para que la nueva expresión de →τ sea la de un tensor con simetría 1,2. Tendremos por lo tanto que el tensor → ρ es igual al i → único tensor µ . 4.02.- La propiedad anterior relativa a la simetría 1,2 puede extenderse a otras simetrías por el método que se desarrolla a continuación. Sea el tensor →τ simétrico 2,4 expresado por:
→ → →τ = ∑(r → ⊗v →⊗h i i⊗ui) Tendremos análogamente: 20
→ → →τ = ∑(r →’ ⊗v →⊗h ’i⊗v) i puesto que por transposiciones transposiciones sucesivas tenemos:
→ ~τ = ∑(v →⊗u → ⊗r → ⊗h i i i) con simetría 1,2 y por tanto:
→ ~τ = ∑(v →⊗v →⊗r →’ ⊗h ’i) i y por transposiciones inversas obtenemos el anterior resultado. 4.03.- Así pues, podemos decir en general: Si un tensor expresado como producto tensorial tiene un → en el lugar m y tiene simetría m,p, se único factor vectorial v puede expresar también como producto tensorial con el mismo → único no sólo en el lugar m sino en el p. factor vectorial v 4.04.- Sea un tensor expresado como producto tensorial que tiene un único factor vectorial en el lugar m. Este tensor no puede ser antisimétrico m,p. Para demostrarlo bastará comprobar que el tensor
→τ=v →⊗→σ no puede ser antisimétrico m,p.
Pues si así fuera, procediendo hallaríamos que debería verificarse
→a →)w → = (v i
como
en
'4.03,
→w → )v → -(a i
y tendríamos por una parte, que por ser linealmente → sería necesario que su conjunto constara de independientes los w i un solo vector λ → v y por otra parte, sustituyendo este valor en la igualdad final, tendríamos también:
→a →)v → = - λ (a →v →)v → λ (v (v (a → cualquier vector. lo que es imposible al ser a 4.05.- Se deduce inmediatamente de la propiedad anterior que un tensor expresable por un único producto tensorial de vectores, no puede tener ninguna antisimetría.
21
5.- Tensores totalmente antisimétricos 5.01.- Definición y propiedades generales. Un tensor es totalmente antisimétrico, cuando antisimétrico respecto a cualquier par de posiciones.
es
En consecuencia de la definición y de lo dicho en párrafos anteriores podemos establecer para los tensores totalmente antisimétricos las siguientes características: 1ª.- Un tensor totalmente antisimétrico expresado como un sumatorio de productos tensoriales de vectores, lo que en todo tensor es posible, no varía si efectuamos una misma permutación par entre los factores de cada sumando, y se transforma en su opuesto con una misma permutación impar cualquiera. Entendemos por permutación par el resultado de dos o de un número par de permutaciones sucesivas entre cualesquiera pares de posiciones, y por permutación impar el resultado de una sola o un número impar de permutaciones sucesivas. Si P es el conjunto de permutaciones pares p P y I el conjunto de permutaciones impares pI, podremos escribir:
→ → → →τ = ∑ (a → ⊗b → )= ∑ [p (a → ⊗b → )]= -∑ (p (a → ⊗b → )] ..⊗r ..⊗r ..⊗r i i i⊗ i i P i i⊗ i i I i i⊗ i 2ª.- Dado un tensor totalmente antisimétrico →τ de orden σ de los que se puedan determinar los q y otro tensor cualquiera → σ, de transpuestos (m,p) expresados respectivamente por ~τ y ~ acuerdo con '2.03 1ª, tendremos
→τ→σ = ~τ~σ = -→τ~σ Ejemplo para q>2; m=1; p=2:
→ → → → → →τ(a →⊗b →) = - →τ(b →) ⊗c⊗..r ⊗a⊗c⊗..r lo que implica:
→
→
→)(b⊗c →⊗..⊗r →) = -(→τb)(a →⊗c →⊗..r →) (→τa 3ª.- Por consiguiente el producto contracto de tal
tensor →τ totalmente antisimétrico de orden q, por cualquier
tensor que presente alguna simetría entre dos de sus primeras q posiciones, es nulo, o sea que ambos tensores serán ortogonales. 5.02.- Sea la expresión general de un tensor →τ
(4)
→τ = tij..r(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = ti ..r(e → ⊗e →j⊗..⊗e → ) = ..... i j r j i r
Si el tensor es totalmente verificarán las siguientes propiedades:
antisimétrico,
se
1ª.- Los coeficientes tensoriales de un mismo tipo se 22
transforman en sus opuestos con una permutación impar de sus índices y no varían con una permutación par. Ejemplo: tijk = -tjik = -tkji = -tikj = tkij = tjki
(5)
y para igual valor de dos subíndices o bien de dos supraíndices, el coeficiente es nulo. 2ª.- Si consideramos un solo tipo de coeficientes de un
tensor →τ totalmente antisimétrico de orden q construido sobre un espacio euclidiano de n dimensiones, deducimos:
a) No existen tensores totalmente antisimétricos no nulos de orden superior a n. Puesto que todos los coeficientes tendrían a la fuerza un índice repetido y por tanto serían nulos. b) Los coeficientes no nulos pueden agruparse en tantos grupos como combinaciones sin repetición de n elementos tomados de q en q, de manera que a cada grupo correspondan q! coeficientes de igual valor absoluto (q! son las permutaciones de q elementos).
⎛ n ⎞
El número de grupos es pues ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ q ⎠ c) Si consideramos un orden preestablecido (p. Ej. creciente) para los valores numéricos de los índices, en cada grupo habrá un sólo coeficiente dispuesto con arreglo a este orden, al que llamaremos coeficiente estricto y expresaremos por (ij..r) t . d) Si en la expresión general de →τ sacamos factor común los coeficientes estrictos, tendremos otra expresión de →τ: (6)
→τ = t(ij..r)[∑ ∈ p(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) - ∑ ∈ p(e → ⊗e → ⊗..⊗e → )] p P i j r p I i j r
que debe entenderse como sumatorio de tantos tensores como coeficientes estrictos. e) De la expresión anterior, se deduce esta otra: (7)
→τ =
1 q!
→ ⊗e → ⊗..⊗e → ) - ∑ ∈ p(e → ⊗e → ⊗..⊗e → )] tij..r[∑p∈Pp(e i j r p I i j r
al considerar que cada coeficiente estricto corresponde a tantos coeficientes ordinarios como permutaciones q! de q elementos. 5.03.- Con un espacio vectorial fundamental de n dimensiones, el conjunto de tensores distintos totalmente antisimétricos de orden q, constituye un subespacio subespacio vectorial de los tensores de orden q. Por lo que antecede, vemos que su dimensión coincide con el número de componentes estrictas, o sea de grupos, correspondientes a n y a q. Para n=q es uno, con una sola componente estricta y un sólo grupo. En general es:
23
⎛ n ⎞
Dimensión = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ q ⎠ 5.04.- Cuando un tensor →τ de orden s es totalmente antisimétrico, Nucr→τ y Imr→τ son ortogonales suplementarios. i σ ⊗→ Puesto que la expresión →τ=→ µ1 de →τ con un mínimo de sumandos, sabemos por '1.14 que implica: i σ } = Base subespacio ortogonal a Nucr→τ. {→ {→ µ1} = Base de Im s-r→τ. i σ Y con →τ totalmente antisimétrico tendremos →τ=±→ µi⊗→ también con un mínimo de sumandos, y por tanto:
{→ µi} = Base subespacio ortogonal a Nuc s-r→τ → {σi} = Base de Im r→τ 5.05.- Producto exterior.
→,b →,...r → y Llamamos producto exterior de los vectores a →∧b →∧..∧r →, al siguiente tensor: lo expresamos por a (8)
→
→
→
→∧b∧..∧r → = ∑ ∈ p(a →⊗b⊗..⊗r →) - ∑ ∈ p(a →⊗b⊗..⊗r →) a p P p I
que es evidentemente un tensor totalmente antisimétrico. 5.06.- Ejemplo de producto exterior:
→ → → → → → → → → → → → → → →∧b →⊗b →⊗a →⊗b →⊗c →⊗b →⊗b a - a - b⊗a ∧c = a ⊗c + b⊗c ⊗a + c ⊗c - c ⊗a 5.07.- Empleando productos exteriores (6) y (7) quedan de la siguiente manera:
→τ = t(ij..r)(e → ∧e → ∧..∧e →) = i j r
1 q!
las ecuaciones
→ ∧e → ∧..∧e →) tij..r(e i j r
→ ∧e → ∧..∧e → ) por Si en la primera ecuación sustituimos (e i j r ], tendremos: (ij..r)
→ [e
(9)
→τ = t(ij..r)e → (ij..r)
y de esta manera, se puede aplicar el convenio de Einstein a los índices considerados en bloque. También se tendrá: (ij..r) →(ij..r)e → e = δ(i'j'..r') (i'j'..r')
→(ij..r); t(ij..r) = →τe
= simbolo de Kronecker
→ t(ij..r) = →τe (ij..r)
5.08.- En álgebra exterior se estudian las propiedades de este producto y aquí nos limitaremos a enunciar algunas. 1ª La multiplicación exterior es asociativa y distributiva. Para multiplicar por un escalar basta multiplicar un factor. 24
2ª Una permutación par de factores vectoriales no altera el producto exterior y una permutación impar lo convierte en su opuesto. 3ª Un producto exterior nulo corresponde a un conjunto de factores no independiente y recíprocamente. 4ª Si n es la dimensión del espacio vectorial de los factores, un producto de más de n factores es nulo. 5ª Todo tensor totalmente antisimétrico de orden n, por ser uno la dimensión de su subespacio, puede expresarse siempre con un único producto exterior de n vectores. 6ª En la expresión general de un tensor →π producto exterior → } de E n-dimensional: de orden q≤n, en función de una base {e i
→=mie → ;..s→=ske → ): (m i k
→π = m →∧n →∧..∧s → = p(ij..r)e → (ij..r)
se verifica: m (ij..r)
p
=
i
n
j
n
m
. m
r
i
.. si
j
.. sj
. .. r
n
.
= Det {V m
Vn
.. Vs}
.. sr
siendo las Vi las matrices columna (ó bien fila) → ,e ,..e→ }. coeficientes de los factores respecto a {e i j r
de
los
7ª No todos los tensores totalmente antisimétricos pueden representarse por un producto exterior para dimensión E n>3. 5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimétrico antisimétrico →τ no nulo de orden q (q igual o menor que la dimensión n del espacio E fundamental).
→ } y {e →i} duales, es La expresión de →τ en bases {e i →τ = tij..r(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = t(ij..r)e → i j r (ij..r) →τ = t (e →i⊗e →j⊗..⊗e →r) = t →(ij..r) e ij..r (ij..r) Teniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q! productos iguales tij..rtij..r para cada coeficiente estricto, se verificará:
→τ→τ = tij..rt = q! t(ij..r)t(ij..r) ij..r
(10) y por lo tanto: (11)
→ →(ij..r) = q! e (ij..r) e En los textos de álgebra exterior se define en general 25
como norma especial para estos tensores, el valor t(ij..r)t(ij..r) mientras que aquí hemos conservado el concepto general. σ un tensor totalmente antisimétrico 5.10.- Sea → →,b →,..,r →, con q≤s. cualquiera de orden s, y sean q vectores a
De acuerdo con (8) y '5.01-2ª, se verifica: (12)
1
→ →σ(a →∧b →) = ∧..∧r
q!
→ → →σ[∑ ∈ p(a →⊗b →) - ∑ ∈ p(a →⊗b →)]= ⊗..⊗r ⊗..⊗r p P p I q! → →⊗b →) σ(a = → ⊗..⊗r 1
→ } una base de 5.11.- Sea {e →i } tales que v→ = conjunto de n vectores {v j i 6ª habrá un único componente y podremos (13)
E n-dimensional, y el
→τe → . En virtud de '5.08i
escribir:
→π = v → ∧v → ∧..v → = →τe → ∧→τe → ∧..∧→τe → = (Det{t i})e → 1 2 n 1 2 n j (12..n)
Si el conjunto hubiera sido de solamente q
→α∧v →β∧..v →µ = →τe →α∧→τe →β∧..∧→τe →µ = (Det {t i} αβ µ )e → αβ µ v j ( .. ) ( .. ) En este caso, habrá que tener también en cuenta que
→. ahora →τ no queda determinado por solo q
Si el espacio fundamental es n-dimensional, los tensores totalmente antisimétricos antisimétricos de orden n, vemos por '5.03 que constituyen un subespacio vectorial unidimensional de los tensores de orden n, y por lo tanto podremos hacer que a cada tensor totalmente antisimétrico corresponda un escalar, de tal modo que a suma de tensores corresponda suma de escalares escalares y que a producto de escalar por tensor corresponda el producto de este escalar por el escalar correspondiente al tensor. Al escalar correspondiente a cada tensor le denominaremos escalar polar de este tensor y lo expresaremos así:
→ ∧v → ∧..∧v → = (v → ∧v → ∧..∧v → )’ Escalar polar de v 1 2 n 1 2 n y a la ecuación escalares: (14)
(13)
entre
tensores,
corresponderá
entre
→ ∧v → ∧..∧v → )’ = (Det {V V .. V })(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (v 1 2 n 1 2 n 1 2 n 5.13.- Producto de dos escalares polares.
→ } y al Si relacionamos el primero con una base {e i 26
→i) podremos escribir: segundo con la base dual {e → ∧v → ∧..∧v → )’ = (Det {V V .. V })(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (v 1 2 n 1 2 n 1 2 n
(w1 ∧ w2 ∧..∧ wn) '= r
r
r
⎧ W1 ~⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪ W ~⎪ 1 2 Det⎨ ⎬(e ∧ e ∧..∧ en)' ⎪ ..⎪ ⎪ n ⎪ ⎩W ~⎭ r
r
r
Pero tenemos:
⎧ W1 ~⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪ W ~⎪ [Det⎨ ⎬][Det{V1 ⎪ ..⎪ ⎪ n ⎪ ⎩W ~⎭
V2 ..Vn}] =
⎧ ⎪ ⎪ Det⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ W1 ~⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪ W ~⎪ ⎨ ⎬{V1 ⎪ ..⎪ ⎪ n ⎪ ⎩W ~⎭
V2 ..Vn
⎫ ⎪ ⎪ }⎬ ⎪ ⎪ ⎭
=
→jv →} ~jV } = Det {w = Det{W i i y por lo tanto, el producto contracto miembro a miembro resulta:
→ ∧v → ∧..∧v → )’(w →1∧w →2∧..∧w →n)’ = [Det{w →jv → }](e → ∧..∧e → )’(e→i∧..∧e →n)’ ((v 1 2 n i i n 5.14.- Si un producto exterior de q vectores no es nulo, tiene por factores q vectores independientes, según se dijo en '5.08-3ª. Por consiguiente, cuando n es la dimensión del espacio vectorial fundamental, si un producto exterior de n vectores no es nulo, podemos considerar que estos vectores constituyen una base del espacio fundamental.
→i} sea la base {v→i} dual de 5.15.- En el caso de que {w → }, tendremos Det{w →jv → } = 1, y la última ecuación queda así: {v i i → ∧v → ∧..∧v → )’(v→1∧v →2∧..∧v →n)’ = (e → ∧..∧e → )’(e →i∧..∧e →n)’ (v 1 2 n i n Así pues, los productos de los escalares polares correspondientes a bases duales, coinciden para todos los pares de bases duales. Esto ocurrirá también con un par de bases duales ortonormales, que son coincidentes, y por tanto este producto constante será igual al cuadrado del escalar polar correspondiente a cualquier base ortonormal. Conviniendo que este cuadrado sea la unidad, tendremos que el producto de los escalares polares correspondientes a cualquier par de bases duales es siempre uno. 5.16.- En virtud de esta convención, el escalar polar correspondiente a cualquier base ortonormal será uno o menos uno. Si para un orden determinado de los vectores de una base ortonormal asignamos el valor uno, con una permutación impar de este orden resultará el valor menos uno. 27
Tendremos pues dos tipos de bases: las positivas y las negativas y también obtenemos la siguiente expresión intrínseca: (15)
→ ∧v → ∧..∧v → )’(w →1∧w →2∧..∧w →n)’ = Det{w→jv →} (v 1 2 n i 5.17.- Tensor de Ricci. Sean las ecuaciones (12) y (14) antes deducidas:
→ ∧v → ∧..∧v → → ∧e → ∧..∧e →) v = (Det {V1 V2 .. Vn})(e 1 2 n 1 2 → ∧v → ∧..∧v → )’ = (Det {V V .. V })(e→ ∧e → ∧..∧e →n)’ (v 1 2 n 1 2 n 1 2 n → } y (e→ } son bases cualesquiera del espacio en las que {v i j fundamental. Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones, y expresando por →ε el tensor cociente, tendremos: e1 ∧ e2 ∧..∧ en v1 ∧ v2 ∧..∧ vn ε = = (v1 ∧ v2 ∧..∧ vn)′ (e1 ∧ e2 ∧..∧ en)′ r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
El tensor →ε se llama tensor de Ricci y tenemos que en la forma indicada, su expresión no varía con la base del espacio fundamental utilizada. Si adoptamos una base ortonormal cualquiera de orden vectorial positivo, su expresión se simplifica así:
→ ∧ → ∧ → →ε = f f2 .. ∧ fn 1 y de esta última expresión se deduce inmediatamente que su escalar polar es +1. Como el tensor de Ricci es un tensor totalmente antisimétrico de orden n igual a la dimensión del espacio vectorial fundamental, tiene un solo coeficiente estricto que vale +1 y su norma es n! de acuerdo con '5.09. 5.18.- Otras propiedades generales del tensor de Ricci. 1ª.- Producto contracto de →ε con un producto tensorial → ⊗e → ⊗..⊗e →. σ=e de orden s no superior al de →ε, tal como → 1 2 s Por (12) siempre tendremos: (16)
→ε(e → ⊗e → ⊗..⊗e →) = 1 2 s
1
→ε(e → ∧e → ∧..∧e →)
s!
1
2
s
y se pueden presentar dos casos. a) Si los s factores no forman un sistema linealmente independiente, el producto es nulo pues lo es el producto exterior del segundo miembro. 28
b) Si los s factores forman un sistema linealmente → } del independiente, completaremos a partir de ellos una base {e i → espacio. Utilizando la base dual para expresar ε tendremos:
→ε(e → ⊗e → ⊗..⊗e →) = 1 2 s
1 2 n e ∧ e ∧..∧ e → ⊗e → ⊗..⊗e →) (e 1 2 s 1 2 n (e ∧ e ∧..∧ e )′ r
r
r
r
r
r
Como el numerador de la fracción es un sumatorio de productos tensoriales y debe multiplicarse por el producto → ⊗e → ⊗..⊗e → , podemos suprimir todos aquellos σ= e tensorial → 1 2 s σ se anulen y el producto contracto sumandos cuyos productos con → quedará de la siguiente forma:
→1∧e →2∧..∧e →n)(e → ⊗e → ⊗..⊗e → )= (e 1 2 s
(17) 1 2 → ⊗e → ⊗..⊗e →s)⊗(e →s+1∧e →s+2∧..∧e →n)](e → ⊗e → ⊗..⊗e →) = → →s+2∧..∧e →n [(e es+1∧e 1 2 s
→ ∧e → ∧..∧e → )’ El denominador es el inverso de (e 1 2 n Sustituyendo estos resultados tendremos finalmente:
→ε(e → ⊗e → ⊗..⊗e → ) = (e →s+1∧e →s+2∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e → )’ 1 2 s 1 2 n y teniendo en cuenta (16)
→ )=(e→s+1∧e →s+2∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e → )’= 1 →ε(e → ∧..∧e →) (18) →ε(e1⊗..⊗e s 1 2 n 1 s s!
5.19.- En el caso particular de que s=n, ó sea de un producto tensorial de n factores tendremos:
→ε(e → ⊗e → ⊗..⊗e →) = 1 2 n
1→ → → → ) = (e → ∧e → ∧..∧e → )’ ε(e1∧e2∧..∧e n 1 2 n n!
y los dos últimos miembros nos indican una utilización del tensor tensor
→ε para la obtención del escalar polar de un producto exterior de orden n.
5.20.- Tensores adjuntos o polares. Llamamos tensor adjunto de un tensor →τ de orden s≤n totalmente antisimétrico, al tensor →τ’ de orden n-s siguiente: (19)
→τ’ =
1
→ε→τ
s!
Por lo visto en '5.11, →τ’ es totalmente antisimétrico, y consideraremos también así a vectores y escalares. Observaremos que la fórmula obtenida en el párrafo anterior, en relación con el escalar polar de un producto exterior de orden n, se ajusta a la fórmula general general que acabamos 29
de obtener. 5.21.- Si →τ es un producto exterior, aplicando sucesivamente la fórmula general, la (16) y después (18), tendremos:
(20)
→ ∧e → ∧..∧e → )’ = (e 1 2 s
1
→ε(e → ∧e → ∧..∧e → ) = →ε(e → ⊗e → ⊗..⊗e →) = 1 2 s 1 2 s s! →s+1∧e →s+2∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e → )’ =(e 1
2
n
5.22.- La ecuación anterior relaciona → ∧e → ∧..∧e → parcial, de un producto exterior e 1 2 s (escalar) polar de un producto exterior completo.
el tensor polar con el tensor → → ∧..∧e → ∧..∧e → e 1∧e 2 s n
Vamos a obtener ahora la relación entre el tensor polar del mismo producto exterior parcial anterior y el tensor polar → ∧e → ∧..∧e → ∧..∧e → con s+r ≤ n. de un producto exterior intermedio e 1 2 s s+r Por lo dicho en el párrafo anterior, tenemos:
→ ∧e → ∧..∧e → ∧..∧e → )’ = (e →s+r+1∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (e 1 2 s s+r 1 2 n El primer factor del 2º miembro podemos expresarlo así:
→s+r+1∧..∧e →n=[(e →s+1⊗..⊗e →s+r)⊗(e →s+r+1∧..∧e →n)](e → ⊗..⊗e → ) e s+1 s+r y análogamente a lo visto para los dos primeros miembros de (17), pero partiendo esta vez del factor s+r+1 en lugar del factor 1, podemos transformarlo de nuevo de esta manera:
→s+r+1∧..∧e →n=(e →s+1∧..∧e →s+r∧e →s+r+1∧..∧e →n)(e → ⊗..⊗e → )= e s+1 s+r Sustituyendo tenemos:
→ ∧e → ∧..∧e → )’=(e →s+1∧..∧e →n)(e → ⊗..⊗e → )(e → ∧e → ∧..∧e → )’= (e 1 2 s+r s+1 s+r 1 2 n y teniendo en cuenta (20): (21)
→ ∧e → ∧..∧e → )’=(e → ∧e → ∧..∧e → )’(e → ⊗..⊗e → ) (e 1 2 s+r 1 2 s s+1 s+r
Finalmente, como para cada uno de los r! sumandos → ∧..∧e → el resultado de productos tensoriales que constituyen e s+1 s+r → ∧e → ∧..∧e → )’ es el su producto contracto por (e mismo, también 1 2 s tendremos:
→ ∧e → ∧..∧e → )’ = (e 1 2 s+r
1 r!
→ ∧e → ∧..∧e → )’(e → ∧..∧e → ) (e 1 2 s s+1 s+r
5.23.- Casos particulares. particulares. 1º.- s+r = n. 30
La última ecuación podremos escribirla así:
→ ∧e → ∧..∧e → )’(e→ ∧e → ∧..∧e → ) = (n-s)! (e→ ∧e → ∧..∧e → )’ (e 1 2 s s+1 s+2 n 1 2 n 2º.- s = n-1. Es un subcaso del anterior para r=1. Aplicando (21) tenemos
→ ∧e → ∧..∧e → )’=(e → ∧e → ∧..∧e → )’e → (e 1 2 n 1 2 n-1 n → ∧e → ∧..∧e → )’ es el que con de donde deducimos que el vector (e 1 2 n-1 → verifica: cualquier vector a → ∧e → ∧..∧e → )’a → =(e → ∧e → ∧..∧e → ∧a →)’ (e 1 2 n-1 1 2 n-1 → →
→
→ a coincida con uno de estos vectores o sea función lineal de los ortogonal de suficiente a sobre la para normal a e1 , ,.., y e n-1 mismos, es anular ele segundo miembro. y producto es por tanto a e 1,eal y a e n-1por , ya el que El por a ortogonal es equivalente producto la que proyección 2,.., →
→
→
→
→
5.24.- Algunas propiedades de los tensores polares. Para su estudio consideraremos que los escalares que multiplican a los tensores son coeficientes y no tensores y que →)’ = ατ →’ y recordaremos que para bases duales se verifica (ατ 1 2 → ∧e → ∧..∧e → )’(e → ∧e → ∧..∧e →n)’ = 1 (e 1 2 n La ecuación (20) dice así:
→ ∧e → ∧..∧e → )’ = (e→s+1∧e →s+2∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (e 1 2 s 1 2 n que también podemos aplicar con bases duales, resultando:
→s+1∧e →s+2∧..∧e →n)’ = (e → ∧e → ∧..∧e → )(e →s+1∧..∧e →n∧e →1∧..∧e →s)’ (e 1 2 s Los tensores polares (escalares) que figuran en la segundos miembros de ambas ecuaciones tienen valores inversos y el que tengan el mismo signo u opuesto sólo dependerá dependerá de si n y s son impares ó pares. Señalaremos las siguientes propiedades: 1ª.- Sean →τ y → σ tensores totalmente antisimétricos del mismo orden s, y α y β escalares. Se verifica que la determinación del tensor polar es una aplicación lineal:
→+βσ →)’ = (ατ
1
→ε(ατ →+βσ →) = α 1 ετ
s!
rr
s!
+ β
1
→’ + βσ →’ εσ = ατ s! r r
2ª.- El tensor polar del tensor polar de un tensor →τ totalmente antisimétrico, es este mismo tensor (salvo el signo).
→ ∧e → ∧..∧e → es un producto exterior, en el Cuando →τ = e 1 2 s párrafo anterior se ha calculado →τ’ y por tanto: →s+1∧e →s+2∧..∧e →n)(e → ∧e → ∧..∧e )’]’ (→τ’)’ = [(e 1 2 n 31
→s+1∧e →s+2∧..∧e →n)’(e → ∧e → ∧..∧e )’ (→τ’)’ = (e 1 2 n →s+1∧e →s+2∧..∧e →n)’ calculado en dicho Pero el valor de (e último párrafo es: → ∧e → ∧..∧e → )(e →s+1∧..∧e →n∧e →1∧..e →s)’ = →τ(e →s+1∧..∧e →n∧e →1∧..∧e →s)’ (e 1 2 s y sustituyendo: sustituyendo:
→s+1∧..∧e →n∧e →1∧..e →s)’(e→ ∧e → ∧..∧e )’] = (→τ’)’ = →τ[(e 1 2 n →1∧e →2∧..∧e →n)’](e → ∧e → ∧..∧e → )’ = ±→τ = →τ[±(e 1 2 n Finalmente, teniendo en cuenta la propiedad 1ª antes examinada y que todo tensor totalmente antisimétrico es un sumatorio de productos exteriores resulta que la última igualdad es válida para todo tensor totalmente antisimétrico, con un signo que depende del orden impar o par del tensor. 3ª.- Consecuencia de la propiedad anterior, es que si dos tensores totalmente antisimétricos (incluídos vectores y escalares) tienen igual tensor polar, son iguales. 4ª.- De la ecuación (20) se deduce que, excepto para los tensores totalmente antisimétricos de orden 0 ó n, un tensor totalmente antisimétrico es ortogonal a su tensor polar. 5ª.- Todo tensor completamente antisimétrico de orden n-1 construido sobre un espacio vectorial n-dimensional, se puede igualar a algún producto exterior.
→ polar de un tensor →τ de orden n-1, y Sea el vector s → } una base del espacio 1vectorial que incluye a s→ . {s i 1 Podremos escribir de acuerdo con (20)
→ )’ = (s →2∧s →3∧..∧s →n)(s → ∧s → ∧..∧s → )’ ±→τ = (→τ’)’ = (s 1 1 2 n →2,s →3,..,s →n del producto exterior son y como todos los factores s → tendremos también; ortogonales a s 1 → →τs → = 0 1 5.25.- Componente totalmente antisimétrica de un tensor
→τ cualquiera.
Recordemos la ecuación (12)
→ →σ(a →⊗b →) = ⊗..⊗r
1
→ →σ(a →∧b →) ∧..∧r
q!
σ es un tensor totalmente antisimétrico de orden s no en que → inferior al orden q del producto exterior siguiente.
32
σ totalmente Como el producto contracto de un tensor → antisimétrico, por un tensor de orden no superior que presenta alguna simetría, es nulo, tendremos que el tensor
→
1 q!
→∧b∧..∧r →) (a
→ que es totalmente antisimétrico, es la proyección ortogonal de a ⊗→ b⊗..⊗→ r de orden q sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente antisimétricos antisimétricos de orden q. Por consiguiente, la proyección ortogonal o componente totalmente antisimétrica de un tensor →τ cualquiera de orden q
→τ = tij..r(e → ⊗e → ⊗..⊗e →) i j r será τa =
1
r
ij..r
t
q!
(ei r
∧
ej r
∧
∧
..
(ij..r)
er)= t r
→ ∧e → ∧..∧e →) (e i j r
y se verificará:
→σ→τ = →σ→τ a Los coeficientes estrictos de →τa son: (ij..r)
1
(∑ p ∈ P tp(ij..r) q!
=
t
∑ p ∈I tp(ij..r))
σ Si en vez de usar un tensor totalmente antisimétrico → cualquiera utilizamos el tensor →ε de Ricci se verificará: rr
r
ετ = ε τ a = q! r
1
r
q!
ε τ a = q! τ a ’; r
τa =
r
1
r
q!(n - q)!
r
rr
ε(ετ)
5.26.- Producto contracto. El producto contracto de cualquier tensor →τ totalmente antisimétrico de orden q por un tensor cualquiera → σ de orden s con s ≤ q, si no es un escalar ni un vector, es un tensor totalmente antisimétrico. Expresemos →τ por un sumatorio de productos tensoriales y distingamos los s primeros factores. Tendremos: τ=
r
∑ [(a ⊗ b ⊗..⊗r )⊗(p ⊗..⊗t )] r
r
i
i
r
r
i
i
r
i
i
→ ⊗..⊗r → ) resulta para →τ→σ la siguiente expresión: y haciendo αi=→ σ(a i i τσ =
r r
∑ [α (p ⊗..⊗t )] r
i
i
r
i
i
de un tensor totalmente antisimétrico, por serlo también →τ. 33
5.27.- Volúmenes. Sea un tensor →τ totalmente antisimétrico de orden n, y como tal, expresable por un único producto exterior.
→τ = a → ∧a → ∧..∧a → 1 2 n Designemos por A el subespacio unidimensional de base
1 → , por A el subespacio bidimensional → ,a → } y en general a de base {a 1 2 1 → ,a → ,..,a →2 }. por A el espacio i-dimensional de base {a i
1
2
i
Además, Además, expre expresemo semos s por por H2 al subespacio de A2 ortogonal al A1, por H3 al subespacio de A3 ortogonal al A2, y en general por Hi al subespacio de Ai ortogonal al Ai-1, siendo unidimensionales unidimensionales todos los H.
→ puede descomponerse en forma Para i≥2, cada vector a i única en dos sumandos: uno de Hi y el otro de A i-1: → →∈ (hi∈Hi; m A Ai-1): i
→ → = h → a + m i i i
→ no es independiente de {a → ,a → ,..,a → }, podemos y dado que m i 1 2 i-1 → → por sustituir en el producto exterior, los vectores a los hi, sin i alterar el valor del producto, y así obtendremos: → → → →τ = a → ∧a → ∧..∧a → = a → ∧h ∧h3∧..∧hn 1 2 n 1 2 → → forman un sistema Los vectores h i junto→ con el a 1 ortogonal. Si hi es el módulo de hi y → ei es el vector que verifica → =h e → , el conjunto {e → } resulta ser una base ortonormal del h i
i
i
i
espacio fundamental y podremos escribir:
→τ = a → ∧a → ∧..∧a → = a h h ..h (e → ∧e → ∧..∧e →) 1 2 n 1 2 3 n 1 2 n → ∧a → ∧..∧a → )’ = a h h ..h (e → ∧e → ∧..∧e → )’ = ±a h h ..h = V (a 1 2 n 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n → ∧e → ∧..∧e → )’ vale 1 ó -1 pues por '5.16 sabemos que el escalar (e 1 2 n (22)
según que la base sea positiva o negativa.
Como el escalar a1h2h3..hn es igual al volumen V del → ,a → ,..,a →, paralelepípedo determinado por el origen y los puntos a 1 2 i → }, por (22) al que llamaremos paralelepípedo generado por {a i deducimos que el único coeficiente estricto de →τ, es ±V con la base utilizada. Así pues, y considerando volúmenes positivos y negativos, podemos escribir con toda base ortonormal:
→τ’ = (a → ∧a → ∧..∧a → )’ = V = ±t (ij..r) 1 2 n
⇒
→ ∧a → ∧..∧a → ) = V→ε (a 1 2 n
Siendo t(ij..r) raíz cuadrada de la expresión de →τ→τ(n!)-1 en base ortonormal ('5.09), la fórmula general para cualquier base y → →(ij,,r), será pues: su dual, con →τ=t(ij..r)e =t e (ij..r) (ij..r) (23)
→τ’ = (a→ ∧a → ∧..∧a → )’ = V = ± 1 2 n
(t(ij..r))(t(ij..r))
34
y siempre V es el tensor (escalar) polar de →τ. Bajo el punto de vista de determinar un volumen, a todo tensor producto exterior→ de orden n, también le llamaremos llamaremos tensor volumen, expresado por V. Su tensor polar es el escalar V. 5.28.- Vamos a aplicar lo dicho en estos párrafos anteriores sobre productos exteriores de orden n, a productos → ∧a → ∧..∧a →. exteriores de orden q
→τ = (a → ∧a → ∧..∧a → ) = V (e → ∧e → ∧..∧e →) q 1 2 q q 1 2 q Esta misma expresión es válida, al considerar todo el espacio E con una base ortonormal que incluya a la del subespacio → }. Entonces V coincide con t(1,2,..,q) . generado por {a i q Finalmente, para cualquier base de E tendremos: Vq = (t(ij..r))(t(ij..r))
→ Al mismo tensor tensor →τq le llamaremos tensor volumen Vq del paralelepípedo generado. Cuando un tensor →τ totalmente antisimétrico de orden q, puede expresarse con un solo producto exterior, podremos hablar de volumen del mismo con el significado que hemos visto. Si no puede expresarse así, siempre existirá para él un invariante V escalar, que se podrá calcular con la última fórmula obtenida para Vq, al que llamaremos volumen del tensor. 5.30.- Superficies. σ completamente antisimétrico de orden Sea un tensor → n-1 construido sobre un espacio vectorial n-dimensional. Sabemos por '5.24-5ª que lo podemos expresar como un producto exterior:
→σ = a → ∧a → ∧..∧a → = s(ij..r)(e → ∧e → ∧..∧e →) 1 2 n-1 i j r Al volumen S de este tensor lo llamaremos superficie del tensor y según lo que acabamos de ver, si expresamos → σ en una base ortonormal cualquiera, se verifica: S =
∑[t
(ij..r) 2
]
En este caso, a los coeficientes estrictos los llamaremos ahora proyecciones ortogonales de S sobre los subespacios engendrados por los vectores base correspondientes y 35
traducida a este léxico, la última expresión nos dice que el cuadrado de la superficie de un tensor es igual a la suma de cuadrados de sus proyecciones ortogonales. Si a estas proyecciones las designamos por s
cuando
k → =e →k es el vector base omitido en el índice (ij..r) podremos e k
escribir también:
S =
∑(s )
2
k
→ de un tensor 5.31.- Definimos como vector superficie s →σ totalmente antisimétrico de orden n-1, que expresado en una base cualquiera es: →σ = a →∧b →∧..∧m → = s(ij..r)(e → ∧e → ∧..∧e →) i j r σ’. a su vector polar → Por tanto, si ek corresponde al vector base omitido en → ∧e → ∧..∧e → ∧e → )’, por (20) tendremos: (ij..r), haciendo Vk=(e i j r k
→ = →σ’ = s(ij..r)(e → ∧e → ∧..∧e → )’ = s(ij..r)e →k(e → ∧e → ∧..∧e → ∧e → )’ = s i j r i j r k →k = s(ij..r)Vke → ∧e → ∧..∧e → )’ tendremos: y para V=(e 1 2 n (n (n (n (n
par; k par; k impar; impar:
lugar par): lugar impar): k lugar par): k lugar impar):
Vk= V Vk=-V Vk=-V Vk= V
Recordando que se verifica:
→
→=aie → ;b=bie → ;...;m →=mie → a i i i consideremos ahora el determinante simbólico: 1
2 a ...
a
1
2 b ...
b
a b
∆ =
n
n
.
. ...
.
.
. ...
.
1
m
2 m ...
m
n
V e1 V e2 ... V en r
r
r
Podremos comprobar que los menores que resultan de desarrollar el determinante por la última fila son los → es el coeficientes estrictos, según vimos en '5.08-6ª. Si e k vector base omitido en (ij..r) tendremos para el menor 36
→k: correpondiente a Ve Mk = s(ij..r) y teniendo en cuenta el análisis anterior podemos ver que se verifica:
→k = s →; ∆ = ∑MkVke
⇒
sk = MkVk
Si tomamos como base una ortonormal que incluya la → base →,b →} es fácil comprobar que el del subespacio generado por {a ,..,m → es la superficie de →σ. módulo de s Adoptando cualquier cualquier base base ortonormal ortonormal, , se puede puede ver que en el espacio geométrico afín, las sk coinciden con las áreas de las proyecciones ortogonales de la superficie S sobre los planos coordenados. 5.32.- Producto exterior y bases duales.
→ } de un espacio vectorial n-dimensional Sea una base {e i cuyos vectores determinan un paralelepípedo de volumen → ∧e → ∧..∧e → )’. V =(e 1 2 n →i} dual Vamos a demostrar que los vectores de la base {e de la anterior, pueden expresarse del modo siguiente: (α≠n):
→α = e
(α=n):
→n = e
1 V 1 V
→ ∧e → ∧..∧e →α ∧ e → ∧e →α ∧..e → )’ (e 1 2 -1 n +1 n-1 → ∧e → ∧..∧e → )’ (e 1 2 n-1
Puesto que la primera ecuación por (20) se puede expresar así: (α≠n):
→α = e
1 →α V
→ ∧e → ∧..∧e →α ∧e → ∧e →α ∧..e → ∧e →α)’ e (e 1 2 -1 n +1 n-1
y por ser el paréntesis una permutación impar del orden natural correspondiente correspondiente a V: (α≠n):
→α = e
1 →α
1
V
V
→ ∧e → ∧..∧e → )’] = e [-(e 1 2 n
→α(-V) = e→α e
Respecto a la segunda ecuación tenemos análogamente: (α=n):
→n = e
1 →n V
→ ∧e → ∧..∧e → ∧e → )’ = 1 e →nV = → e (e en 1 2 n-1 n V
37
6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos. 6.01.- Definición. Decimos que un tensor es completamente simétrico cuando es simétrico respecto a cualquier par de posiciones. 6.02.- Consecuencias de la definición. tal como
a) Sea un producto tensorial de q factores vectoriales
→
→⊗b⊗c →⊗..⊗r → a y designemos con una letra p distinta a cada una de las q! permutaciones de sus factores.
→
→⊗b⊗c →⊗..⊗r →) p(a Si P es el conjunto de permutaciones posibles, y tenemos cualquier tensor →τ totalmente simétrico de orden q o mayor, se verificará:
→ → → →⊗b →) = →τ[p(a→⊗b →)] = 1 τ ∑ [p(a→⊗b →)] ⊗..⊗r ⊗..⊗r ⊗..⊗r (p∈P): →τ(a p ∈P r
q!
b) En virtud de las consecuencias anteriores, anteriores, si →τ es un tensor totalmente simétrico de orden q, su producto contracto con un producto tensorial de s factores con s≤q, será:
→ →⊗→ ⊗→ → → →τ(a →⊗b →⊗c →⊗..⊗r →) = (→τb →⊗..⊗r →) ... )(a c.. r) = [→τ(b⊗c )](a c) Sea un tensor →τ expresado por un sumatorio de
productos tensoriales de q vectores
→ →τ = ∑(a → ⊗b → i i⊗..⊗ri) Es completamente simétrico si y sólo si con la misma permutación cualquiera de factores en cada sumando, no varía el tensor:
→
→
→ ⊗b ⊗..⊗r → ) = ∑ [p(a → ⊗b ⊗..⊗r → )] (∀p; p∈P): ∑(a i i i i i i i d) Refiriéndonos a la representación general de los tensores, deducimos fácilmente que en cada tipo de coeficientes tensoriales, los coeficientes no varían de valor con las permutaciones de sus índices. Ejemplo: tijk = tikj = tjik = tjki = tkij = tkji e) Los tensores totalmente simétricos pueden ser de cualquier orden no inferior a dos. 6.03.- Subespacio vectorial de los tensores totalmente 38
simétricos de orden q sobre un espacio vectorial n-dimensional. Estos tensores forman evidentemente un subespacio del espacio vectorial de los tensores de orden q. Su dimensión es el número de coeficientes tensoriales en principio distintos:
⎛ n + q −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ q ⎝ ⎠ o sea el número posible de combinaciones de orden q con repetición, que pueden formarse con n elementos tomados de q en q 6.04.- Proyección ortogonal de un tensor cualquiera sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente simétricos de su orden. De completamente contracto por continuación,
'6.02
a) se deduce que para cualquier tensor simétrico de orden s, el resultado de su producto los dos tensores de orden q ≤s que se expresan a es el mismo.
→ →τ = ∑ (a → ⊗b → i i i⊗..⊗ri);
τs =
r
1
∑i{ ∑p∈P[p(ai⊗ bi⊗..⊗ri)]} r
r
r
q!
Ahora bien, la segunda expresión es de un tensor totalmente simétrico y por lo tanto éste será la proyección ortogonal de →τ sobre el subespacio vectorial de los tensores totalmente simétricos de orden q ó componente totalmente simétrica de →τ. 6.05.- El producto de un tensor completamente simétrico
→τ de orden q por cualquier tensor →σ de orden s≤q, si no es un escalar ni un vector, es un tensor totalmente simétrico.
Sea un tensor completamente simétrico expresado por:
→ → →τ = ∑[(a → ⊗b → → i i⊗..⊗mi)⊗(pi⊗..⊗ti)] en que se han señalado los primeros s factores vectoriales. σ será: Su producto contracto por →
→ → →τ→σ = ∑[{→σ(a → ⊗b → → i i⊗..⊗mi)}⊗pi⊗..⊗ti] y si el producto contracto del 2 1 miembro es el escalar αi, queda:
→ )] →τ→σ = ∑[α (p → ⊗..⊗t i i i y el resultado es evidentemente la expresión de un tensor totalmente simétrico, por serlo →τ. 6.06.- Un tensor →τ completamente simétrico de orden 39
q ≥ 2, puede expresarse siempre como una función lineal de productos tensoriales de q vectores iguales:
→τ = ∑[α (a → ⊗a → ⊗..⊗a → )] i i i i Sea el subespacio vectorial A de los tensores completamente simétricos de orden q generados generados por el conjunto de productos tensoriales de q vectores iguales y el subespacio B total de los tensores completamente simétricos de orden q. Si A y B no coinciden, A será de dimensión menor que σ1 y → σ2 de B que no pertenecerán B, y habrá al menos dos tensores → a A y que tendrán igual proyección ortogonal sobre A y por tanto se verificará: σ1→τ = → σ2→τ (∀→τ; →τ∈ A): A): → Pero como en '10.10 veremos que se demuestra que la igualdad anterior sólo puede verificarse para → σ1=→ σ2, los referidos subespacios A y B son coincidentes. 6.07.- Cuando un tensor →τ es totalmente simétrico, el subespacio ortogonal suplementario de Nuc r→τ es Imr→τ. La demostración es igual que en '5.04. 6.08.- Un tensor totalmente simétrico, expresable por un sumatorio de productos tensoriales de vectores, tales que todos ellos poseen un factor vectorial común y en la misma posición, el tensor es un múltiplo de una potencia tensorial de dicho vector común. Es una consecuencia de '4.03. 6.09.- Tensores h-simétricos. Definición. Diremos de un tensor no nulo de orden m+h que es h-simétrico, cuando es totalmente simétrico respecto a las m primeras posiciones y convendremos que esto ocurre siempre para m=0 y m=1. Por lo tanto, los tensores 0-simétricos son todos los escalares, todos los vectores y todos los tensores completamente simétricos. Los tensores h-simétricos de orden s constituyen evidentemente un subespacio vectorial del espacio vectorial de los tensores de orden s. 6.10.- Componente h-simétrica de un tensor. σ cualquier tensor h-simétrico de orden s=m+h, y Sea → → los dos tensores siguientes de orden s y com el conjunto r→i,..,t i que consta de h vectores.
→ →τ=(a→⊗b → ⊗..q → )⊗(r → ⊗..⊗t ); i
i
i
i
i
40
τhs =
r
⎡ 1 [ ∑i ⎢⎣(s-h)! ∑p∈P[p(ai⊗ bi⊗..⊗qi)]]⊗ri⊗..⊗ti⎤⎥⎦ r
r
r
r
r
Para ambos tensores, el producto contracto por cualquier tensor h-simétrico de orden igual ó superior, es el mismo, y como el 2º tensor es evidentemente h-simétrico, y siendo así que estos tensores son los únicos que no anulan el producto contracto con un tensor h-simétrico de orden igual ó superior, este 2º tensor es la proyección ortogonal del primero sobre el subespacio de los tensores h-simétricos de su orden, llamado también componente h-simétrico del primero. 6.11.- Sea el tensor →τ de orden m+h con m>1 que sabemos expresar así:
→τ = →σ ⊗→µi i i siendo los → µ de orden h y los → σi de orden m con m>1 Si las → σi’ son las componentes completamente simétricas → de la σ , la componente h-simétrica de →τ se expresará por: i
→τ
hs
i σi’⊗→ = → µ
6.12.- De las últimas expresiones expresiones y de '6.06, deducimos → que siendo τ h-simétrico de orden m+h=s , los siguientes →, son iguales: productos por potencias tensoriales de x
→): →τx →⊗m = →τ x →⊗m (∀x hs
41
7.- Tensores isótropos. 7.01.- Definición. Son los tensores cuyo conjunto de coeficientes, referidos a una determinada base ortonormal del espacio n-dimensional sobre el que están construidos, coincide con el de los referidos a otra base ortonormal cualquiera. Recordaremos la obtención de un coeficiente de un
tensor →τ tal como t1124 según vimos en B'2.05: → ⊗e → ⊗e → ⊗e →) t = →τ(e 1124
1
1
2
4
→
y las propiedades del tensor I mencionadas en B'2.10:
→ →i⊗e →; I = e i
→→ →; Iv = v
→ → → → I(a ab ⊗b ) = →
Sea → π un tensor isótropo. Como para hallar un → coeficiente de π en una base ortonormal, debemos multiplicar este tensor por un producto tensorial de vectores de tal base, ningún vector base puede figurar en número impar pues de lo contrario, al cambiar tal vector base por el opuesto, el producto tensorial sería opuesto y el coeficiente correspondiente también sería el opuesto. Esto es imposible para un tensor isótropo dada su definición. Por consiguiente los vectores base que existan, han de estar en número par, y en consecuencia el número de factores vectoriales del producto tensorial factor debe de ser par. Esto es lo mismo que decir que sólo pueden existir tensores isótropos de orden par. 7.02.- Expresión de los tensores isótropos. Para el orden 2, el→ único tensor isótropo posible es, con sus múltiplos, el tensor I que acabamos de examinar, ya que, → } ortonormal, sólo podemos considerar como factores con base {e i → ⊗e → ), y productos tensoriales posibles, a los del tipo (e k k entonces se tiene: (∀k):
→→ → →e → = (I 1 = e ek)ek k k
→
→ ⊗e →) = I(e k k
Siendo así, no es difícil comprobar que son tensores isótropos los tensores de orden par expresados no sólo por:
→ →
→
I⊗I⊗..⊗I o lo que es igual:
→ →
→i⊗e → ⊗fj⊗f ⊗...⊗g →k⊗g → e i j k →
→ },{f },...,(g → (en cuya expresión {e i i i →j i} son→kbases cualesquiera del → espacio n-dimensional, y (e },{f },...,{g } sus bases duales) 42
sino por todos los tensores distintos que resultan de cada permutación de sus factores vectoriales, y además por todos los tensores del espacio vectorial generado por dichos tensores distintos. Hay que tener en cuenta que la permutación entre un factor y su dual no origina un tensor distinto, y que tampoco lo origina el considerar bases distintas para cada par de factores vectoriales duales.
43
8.- Particularidades del espacio tridimensional. tridimensional. 8.01.- Producto vectorial. Cuando los tensores están construídos sobre un espacio vectorial tridimensional, es útil considerar la multiplicación vectorial de dos vectores. Definición.- Refiriéndonos a un espacio vectorial → tridimensional, llamamos multiplicación vectorial de un vector a → por otro vector b y la expresamos con el signo ×, a la operación por la que→ se obtiene un tercer→ vector llamado producto vectorial vectorial → → de a por b y expresado por a ×b que coincide → → → con el vector polar → → → de a∧b, con sentido positivo para {a ,b,(a×b)}.
→ →,b Por tanto, si α es el ángulo a , se verifica: → → → → →×b →∧b →)’ ⇒ a →×b → y b →×b (24) a = (a ortogonal a a ; |a |=ab (sen α) y teniendo en cuenta (12) y (19) y con →ε=tensor de Ricci, resultan otras expresiones:
→×b → = a
(25)
1→ → → → →⊗b ε(a∧b) = →ε(a ) 2
Como consecuencia de ello, y de acuerdo con '5.23-2º,
→,b → y c → vectores cualesquiera, se verifica: para a → → → → → → → → → → → → ×b →×a → = 0; (a →∧b →×b →×a →)b ∧c)’= (a (26) a = -b×a ; a )c= (b×c )a= (c
8.02.- Producto vectorial de dos vectores de una base.
→ ,e → ,e → }. En este Consideremos cualquier base positiva {e 1 2 3 → ,e → ,e → } ó {e → ,e → ,e → }. caso también lo son {e 2 3 1 3 1 2 Atendiendo a la la ecuación (20) (20) podremos escribir: escribir: (27)
→ ×e → = (e → ∧e → )’ = e →t(e → ∧e → ∧e → )’ = e →3(e → ∧e → ∧e → )’ e 1 2 1 2 1 2 t 1 2 3
puesto que aquí sólo es posible t=3, y análogamente tendríamos:
→1×e →2 = e → (e →1∧e →2∧e →t)’= e → (e →1∧e →2∧e →3)’ = e t 3
e3 r
(e1 ∧ e2 ∧ e3)′ r
r
r
8.03.- Doble producto vectorial.
→ →,b → vectores cualesquiera, se verifica la Para a y c siguiente propiedad: →
→
→
→×b)×c → = (c →a →)b - (c →b)a → (a
(28) Adoptando
una
base
positiva
cualquiera
→ ,e → ,e → } partiremos de la siguiente expresión: {e 1 2 3
tal
como 44
→ ×e → )×c → (e 1 2 → es un vector cualquiera. en que c Podemos sustituir el paréntesis por n el valor antes →, siendo I=e→ ⊗e → y {e → } la base hallado y en cuanto al vector c n n adoptada, podemos sustituirlo de la siguiente manera:
→
→ = Ic → = (e ⊗en)c → = (c →e → )e →n c n n resultando así:
→ ×e → )×c → = [e →3(e → ∧e → ∧e → )’]×[(c →e → )e →n] = (e 1 2 1 2 3 n → ∧e → ∧e → )’ (e →3×e →n)(c →e →) = = (e 1 2 3 n y sustituyendo por (27) el último producto vectorial:
→ ∧e → ∧e → )’ (e →3∧e →n∧e →t)’e → (c →e →) = = (e 1 2 3 t n Permutando los factores del 2º tensor polar sin alterar su valor, tendremos:
→ ∧e → ∧e → )’ (e →n∧e →t∧e →3)’e → (c →e →) = (e 1 2 3 t n Ahora bien, para que el resultado no sea nulo, t y n deben ser distintos de 3 y distintos entre sí, y así sólo se puede considerar n=1;t=2 o bien n=2;t=1, con lo que tendremos
→ ×e → )× c → = (c →e → )e → - (c →e → )e → = (e1 e2) c (e 1 2 1 2 2 1 →
y como la igualdad también se verificaría verificará para tres vectores cualesquiera.
→
→
→ , se para → e1=e 2
→×). 8.04.- Tensor (a → Llamamos → tensor (a×) al tensor de 2º orden que con cualquier vector b verifica: → → →×)b →×b (a = a Es completamente antisimétrico, puesto que es otra →’ ó tensor polar del vector a →. Efectivamente: expresión de a Efectivamente:
→’b → = (→εa →)b → = →ε(a →⊗b →) = → → a a×b 8.05.- Una consecuencia del párrafo anterior y de '5.24-2º, es que todo tensor antisimétrico de 2º orden puede →×) siendo ω → su vector polar. expresarse en la forma (ω
→ →∧b Por consiguiente para a podremos escribir: → → → →∧b →∧b →×b →× a = (a )’× = (a )× = ω → es Recordaremos que según '5.28, '5.29 y '5.30, ω 45
también el vector superficie del tensor →y que su módulo es el → y b,. o módulo de a b área del paralelogramo generado por a →
→
→, se verifica: 8.06.- Con cualquier vector a 1→ →→ ε(εa) 2
→ = a Puesto que tenemos:
1→ → 1 →) ε(a’) = →ε(→εa 2 2
→ = (a →’)’ = a
→ polar del componente 8.07.- Coeficientes del vector ω → completamente antisimétrico τa de un tensor →τ de segundo orden. → ⊗e → ). Sea, en su expresión normal, →τ = tij(e i j Sabemos antisimétrica es:
por
'5.25
que
1
→τ = a
2
su
componente
totalmente
→ ∧e →) tij(e i j
y por el párrafo anterior tendremos: tendremos:
→τ = a
1 2
→ ×e → )×] ⇒ tij[(e i j
→ = ω
1 2
→ ×e →) tij(e i j → ∧e → ∧e → )’, (e 1 2 3
Llamando V al volumen positivo → serán: coeficientes covariantes de ω
→e → = ωs = ω s
1 2
los
→ ×e → )e → tij(e i j s
y por (26): ωs =
1 2
→ ∧e → ∧e → )’ tij(e i j s
El coeficiente para s=3 será: ω3 =
1 2
→ ∧e → ∧e → )’ tij(e i j 3
y tendrá dos términos: (i=1;j=2): (i=2;j=1):
1 2 1 2
ω3 =
→ ∧e → ∧e → )’ = t12(e 1 2 3
1
t12V
2 1
→ ∧e → ∧e → )’ = - t21V t21(e 2 1 3 2
1 2
(t12-t21)V
y análogamente 46
ω1 = ω2 =
1 2 1 2
(t23-t32)V (t31-t13)V
Para una base ortonormal, V=1 y los coeficientes covariantes son iguales a los contravariantes. contravariantes. 8.08.- Consecuencia de los párrafos anteriores→ es otra →, b, y → expresión del volumen V generado por tres vectores a c:
→
→
→
→
→
→∧b∧c →)’ = (a →∧b)’c → = (a →×b)c → = (b×c →)a → = (c →×a →)b V = (a 8.09.- Espacio geométrico ordinario.
Para el cálculo de productos vectoriales en el espacio geométrico ordinario, deberemos tener en cuenta que respecto a las direcciones y sentidos positivos de las aristas de un triedro, se ha convenido como sucesión positiva, la de los siguientes dedos de la mano derecha: {Pulgar, índice, medio} →
→
→
8.10.- El comprobar que el escalar (a× b)c es igual al escalar volumen del paralelepípedo generado por los vectores a, b, c con origen común, y el que (a ×b) es igual al vector superficie del paralelogramo paralelogramo definido por a, b, que es su base, ((a × b) =(a b)’ ), avalan a la definición elegida para el operador × . →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
8.11.- Por todo lo dicho anteriormente en un espacio n-dimensional podemos expresar expresar el volumen V generado por n vectores a, b,...,r y s así: →
→
V = (a
→
→
→
b
...
→
r
→
→
→
s)’ = (a
→
b
...
→
→
r)’ s
El primer miembro y el segundo representan un escalar volumen n-dimensional y el primer factor del tercero representa el vector superficie correspondiente al tensor superficie (n-1) dimensional. a b ... r . →
→
→
Sea una superficie compuesta de segmentos a la que corresponderá un tensor suma de los tensores de los segmentos y un vector suma de sus vectores polares y polar de la suma de tensores.Cuando tensores.Cuand o la superficie sea envolvente y cerrada tanto vector total como tensor total serán nulos.
47
9.- Particularidades del espacio bidimensional.
→ ,e → ) es una base ortonormal positiva, el 9.01.- Si {e 1 2 → ∧e →. tensor de Ricci tendrá ahora por expresión →ε = e 1 2 → será ahora otro El tensor polar de cualquier vector a →' y tendremos por definición a →’ = →εa →. vector a verifica:
9.02.-
Para
dos
vectores
→
→ a
y
→ b
cualesquiera se
→
→’b = - b’a → a →⊗a →)+(a →⊗b →), Ya que el producto contracto del tensor (b evidentemente simétrico, con el tensor →ε antisimétrico debe ser nulo y por tanto podemos escribir: → → → → → → →⊗b →⊗b 0 = →ε[(b ⊗a )+(a )] = →ε(b ⊗a ) + →ε(a ) = → → → → → → →)b →’b = (→εb)a + (→εa = b’a + a 9.03.- El volumen V (área en este → caso) del → → →,b paralelogramo generado por dos vectores a y b (orden a → →’b positivo) es a . Pues tenemos:
→
1→ → → 1 → → → →⊗b )-(b ⊗a )] = ε(a∧b) = →ε[(a 2 2 1 1 1 → → → → → → → → → → →⊗b →)b = [→ε(a ) - →ε(b ⊗a )] = [(→εa - (→εb)a ] = (a ’b-b’a) 2 2 2
→∧b)’ = V = (a
y por el párrafo anterior: V =
1 2
→ → → → →'b →’b →)b (a + a ) = → a’b = (→εa
9.04.- El tensor de Ricci corresponde a la aplicación → ,e → } ortonormal positiva hace corresponder lineal que con base {e 1 2 → el vector →. al vector base e base e 1 2 Puesto que se verifica:
→ )’ = →εe → = (e → ∧e → )e → = [(e → ⊗e → )-(e → ⊗e → )]e → = (e 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 → ⊗e → )e → - (e → ⊗e → )e → = (e →e → → →→ → → (e 1 2 1 2 1 1 1 1)e2 - (e2e1)e1 = e2 9.05.- En consecuencia, el tensor de Ricci, en un espacio bidimensional geométrico es el tensor de giro positivo de 90 grados correspondiente a la matriz:
48
⎧0 - 1⎫ ⎨ ⎬ 0⎭ ⎩1 → ,a → } positiva con V=(a→ ∧a → )’ 9.06,- Sea una base {a 1 2 1 2 {ε}’ =
Aplicando obtenemos:
las
fórmulas
1 a = r
2 a = r
1 V 1 V
de
a2 ’ = r
a1 ’ = r
1 V
1 V r
la
base
dual
('5,31)
r
ε a2 r
ε a1 r
49
10.- Polinomios tensoriales. 10.01.- Monomio. Definiciones.
→ de grado p y orden m, al tensor Llamamos monomio en x que tiene por expresión: →τ(x →⊗x →⊗..⊗x →) = →τx →⊗p = →τx →p →⊗p representa el producto tensorial de p factores en que x → y →τ un tensor de orden p+m. Como el monomio es el vectoriales x producto contracto de ambos, resulta ser un tensor de orden m. →p en lugar de Cuando no cabe confusión, escribimos x p →⊗ . escribir x → y se Grado del monomio es el exponente tensorial de x →. Por este conviene que x0 es siempre uno cualquiera que sea x motivo, los monomios que no vienen afectados por ningún factor x→ los consideraremos monomios de grado 0, y en general no →0. escribiremos el factor x Normalmente expresaremos el orden de los coeficientes tensoriales cuando es superior a uno y así por ejemplo
→τ x →p p+m
→ de grado p y orden m. Téngase en representará un monomio en x cuenta que esta notación no indicará un sumatorio einsteniano. Dos monomios son equivalentes corresponden al mismo tensor.
ó
iguales
cuando
El coeficiente tensorial define una aplicación lineal p → →, en el de los tensores x y otra no lineal de los vectores x espacio vectorial de los tensores de orden m. 10.02.- Polinomio. Definiciones.
→ al tensor suma de un Llamamos polinomio de orden m en x → de cualquier grado, pero todos del número finito de monomios en x mismo orden m, y definimos como grado de un polinomio el grado del monomio de mayor grado. Decimos que un polinomio está reducido, cuando solo hay un monomio por grado, lo que siempre es posible, pues si hay varios, se pueden reducir a uno efectuando sumas sucesivas:
→τx →p + →σx →p = (→τ + →σ)x →p A los los polino polinomios mios de orden orden m y grado grado p en → x, reducidos, los expresaremos así: (i de 0 a p):
→ x →i A = Στ m+i 50
Dos polinomios o monomios decimos que son equivalentes ó iguales, cuando corresponden al mismo tensor. La diferencia entre dos polinomios equivalentes es el tensor nulo. 10.03.- Propiedades. A continuación señalamos algunas. algunas.
→, es igual al 10.04.- Si un polinomio reducido, en x tensor nulo, todos sus monomios son nulos. Veámoslo, por ejemplo, con el polinomio siguiente:
→ →): →τ + →τ x → + τ x →2 + .. + →τ x →p = 0 (∀x m m+1 m+2 m+p → por el Efectivamente, si en el polinomio sustituimos x λ un escalar, e igualamos al tensor nulo, obtenemos la siguiente ecuación:
→ siendo vector λ x
→ →)(∀λ ): → x → + λ 2τ x →2 + .. + λ p→τ x →p = 0 (∀ x ): →τm + λτ m+1 m+2 m+p Para λ =0 =0 la ecuación implica →τm=0, ó sea la nulidad del primer monomio, y por tanto podemos transformarla así:
⇔
→)(∀λ ); (∀x ); ⇔
→)(∀λ ) (∀x
→
→ + λτ x → + .. + λ →τ x →p) = 0 λ (→τm+1x m+2 m+p 2
→τ x → + m+1
p-1
⇔
→
→ + .. + λ →τ x →p = 0 λτm+2x m+p 2
n-1
Para λ =0 =0 la última expresión de la ecuación implica
→τ x → m+1 =0, ó sea la nulidad del 2º monomio primitivo.
Por recurrencia vemos que sucesivamente deben ser nulos todos los monomios, como queríamos demostrar. 10.05.- Como consecuencia del último párrafo, tenemos que dos polinomios reducidos son equivalentes si y sólo si sus monomios de igual grado son equivalentes dos a dos. 10.06.- Respecto a la relación existente entre la nulidad de los monomios de un polinomio y la nulidad de sus coeficientes tensoriales, observaremos lo siguiente: a) Monomio de grado 0. Es evidente que su nulidad coincide con la nulidad del coeficiente tensorial.
→ y de b) Monomio de grado uno. Su expresión es →τx acuerdo con '1.12, su nulidad exige la de →τ. c) Monomio de grado i superior a uno. Para que sea nulo, no es necesario que el coeficiente tensorial sea nulo, pues evidentemente basta que sea antisimétrico para cualquier par de posiciones entre las i primeras, para que su producto contracto i → con x sea nulo. 10.07.- Cuando en un monomio cualquiera de grado mayor 51
que dos, sustituimos el coeficiente tensorial por su componente m-simétrico, resulta un monomio equivalente:
→τ x →p = (→τ ) x →p p+m p+m ms tal como se vio en '6.11. Si convenimos que todos los tensores de orden m y m+1 son m-simétricos cualquiera que sea m, en lo que no hay dificultad, resulta que podemos generalizar la afirmación última a cualquier monomio, sea cual sea su grado. 10.08.- En consecuencia, si hacemos la sustitución mencionada en cada monomio de un polinomio, lo que siempre es posible, obtenemos un polinomio equivalente que tiene todos sus coeficientes tensoriales m-simétricos.
→, de orden m, y con 10.09.- Si un monomio en x coeficiente tensorial m-simétrico, es igual al tensor nulo, dicho coeficiente es también nulo. Sea al monomio nulo:
→ →τx →r = 0
→): (∀x
en cuya ecuación, para simplificar, hemos expresado por →τ un tensor de orden m+r m-simétrico. Así como como en en '10.06 hemos sustituido el vector variable → por el vector λ x →, vamos a sustituirlo ahora por el vector suma x →+x →, con lo que la ecuación dada pasa a ser: de vectores z
→): (∀ x
→ →τ(z →+x →)r = 0
Al desarrollar la potencia tensorial del binomio, tendremos ahora en cuenta que →τ es un tensor de orden m+r y que es m-simétrico y por lo tanto que en su producto contracto con un producto tensorial de vectores, no influye el orden de colocación de los vectores. Podremos escribir por tanto:
→)(∀z →): (∀ x
→τ[z →r + r(z →r-1⊗x →) +
1 2
→ →r-2⊗x →2) + .. + x →r]= 0 r(r-1)(z
Efectuando el producto contracto y ordenando términos, la ecuación queda así:
→ →)(∀z →): →τz →r + r→τ(z →r-1⊗x →) + 1 r(r-1)→τ(z →r-2⊗x →2) + .. + →τx →r = 0 (∀x 2
ó también:
→ →)(∀z →): →τz →r + (r→τz →r-1)x → + [ 1 r(r-1)→τz →r-2]x →2. + .. + →τx →r = 0 (∀ x 2
52
→ la propiedad Aplicando a este polinomio nulo en x deducida en '10.06, tendremos que todos sus monomios deben ser nulos. El único monomio cuya nulidad tiene interés para nuestra demostración, es la del segundo. Deducimos de ella, que el paréntesis es nulo, y que por tanto debe verificarse
→ →τxr-1 = 0 ó sea la nulidad de un monomio igual al inicial pero con un grado menos. Por recurrencia, al seguir igual camino, iremos obteniendo monomios nulos con igual coeficiente tensorial tensorial pero de grados decrecientes, hasta llegar al resultado final:
→ →τ = 0 que queríamos demostrar. 10.10.- Consecuencia del párrafo anterior, es que si dos monomios de grado i y orden m son equivalentes, los componentes m-simétricos de los coeficientes tensoriales son iguales. Por componente m-simétrico de un tensor de orden m ó m+1 consideraremos el mismo tensor. 10.11.- Otra consecuencia es la expresada en '6.06 de que todo tensor totalmente simétrico de orden q≥2 puede expresarse siempre como una función lineal de productos tensoriales de q vectores iguales.
53
D.- TENSORES E
2
DE 2º ORDEN
1.- Generalidades. Todo lo dicho en los capítulos anteriores sobre tensores en general, es naturalmente válido para el estudio, en particular, de los tensores de segundo orden, también construidos sobre un espacio vectorial E, n-dimensional y propiamente euclidiano. Vamos a examinar ahora, en primer lugar, algunas particularidades de los tensores de 2º orden, de aplicación más general en lo sucesivo. 1.01.- Núcleos e imágenes. (Ver C'1.05). Para →τ de 2ºorden, de los núcleos e imágenes de un tensor estudiados en el capítulo C, sólo tienen interés Nuc1→τ y Im1τ, que expresaremos por Nuc →τ y Im Im →τ, suprimiendo el subíndice. Resulta que ahora son subespacios vectoriales de E, y que sus vectores vienen definidos por las siguientes condiciones:
→ →τv → = 0 → ∈ Im →τ →): →τw → = s → ⇔ s (∃w La suma de dimensiones de Im →τ y Nuc →τ corresponderá → ∈ Nuc →τ v
⇔
ahora a la dimensión n de E.
1.02.- Simetrías y antisimetrías. En los cuatro primeros párrafos próximos se concreta el capítulo C para tensores de segundo orden. En los siguientes se trata de otras propiedades elementales. elementales. 1.03.- Solamente hay una transposición posible (1,2) y por tanto un solo tipo de simetría y un solo tipo de antisimetría forzosamente totales, por cuya razón no especificaremos (1,2) y suprimiremos el adjetivo "total". (Ver C '2 y C'3). 1.04.- Al único tensor transpuesto de →τ lo expresamos por ~τ ó →τ~, y por tanto el tensor transpuesto de ~τ es →τ 1.05.- Los subespacios vectoriales de los tensores antisimétricos y simétricos tendrán respectivamente por dimensión:
⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
y
⎛ n +1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠
y son ortogonales. Como la suma de sus dimensiones es n 2 ó sea la dimensión del espacio vectorial de los tensores de orden 2, también son suplementarios.(Ver C'3.05) 55
1.06.- La expresión del componente antisimétrico antisimétrico de
→τ = tij(e → ⊗e → ), (ver C'5,25), será: i j
→τ = 1 tij(e → ∧e → ) =t (ij)(e → ∧e → )= t ij(e → ⊗e →) a i j a i j a i j 2
con los siguientes coeficientes; ta(ij)=
1 2
(tij-tji)
1.07.- El componente simétrico de →τ es →τs = antisimétrico es →τa = 2(→τ-~τ).
½ (→τ+~τ) y el
Pues se verifica: a) →τs es simétrico, por ser igual a su transpuesto: ~τ = 1 (→τ+~τ)~ = 1 (~τ+→τ) = 1 (→τ+~τ) = →τ s s 2
2
2
b) →τa es antisimétrico, por ser opuesto a su transpuesto: ~τ = 1 (→τ-~τ)~ = 1 (~τ-→τ) = - 1 (→τ-~τ) = - →τ a s 2
2
2
c) La suma de los dos es →τ:
→τ + →τ = s a verifica:
1 2
→τ+~τ)+ 1 (→τ-~τ) = 2
1→ 1~ 1→ 1~ τ+ τ+ τ- τ = →τ 2 2 2 2
1.08.- Aplicando la propiedad general (ver C'2.01), se
→τ(v →⊗w →) = ~τ(w →⊗v →);
→)w → = (~τw →)v → (→τv
1.09.- Se verifica: Im ~τ = Subespacio ortogonal a Nuc →τ Nuc ~τ = Subespacio ortogonal a Im →τ Puesto que por el párrafo anterior tenemos:
→∈Nuc →τ v
⇔
→): (∀w
→(→τv →)=0 w
⇔
→): (∀ w
→ →)v → = 0 (~τw
→ es cualquier vector de Im ~τ. y ~τw Y también tenemos por dicho párrafo anterior:
→∈Nuc ~τ v
⇔
→): (∀w
→(~τv →)=0 w
⇔
→): (∀ w
→
→)v → = 0 (→τw
56
→ es cualquier vector de Im →τ y →τw 1.10.- Llamando rango de un tensor de segundo orden, a la dimensión de su imagen, tendremos que →τ y ~τ tienen el mismo rango. Acabamos de ver ver que Im ~τ es el subespacio ortogonal a Nuc →τ, y por tanto podemos escribir: Dim Im ~τ + Dim Nuc →τ = dim E y por '1.01: Dim Im →τ + Dim Nuc →τ = dim E y por tanto Im →τ y Im ~τ tienen igual dimensión 1.11.- Para →τ antisimétrico ó simétrico, como ~τ=±→τ y por tanto Im ~τ = Im Im →τ, y por '1.09 sabemos que Im ~τ es ortogonal a Nuc →τ, tendremos que Im →τ también será ortogonal a Nuc →τ. Como también, según '1.01, la suma de sus dimensiones es n, Im →τ y Nuc →τ son suplementarios. suplementarios.
→i → ⊗f 1.12.- Siempre que un tensor →τ=e esté expresado con i un mínimo de sumandos, tendremos según C '1.14 que se verificará: → } = Base subespacio ortogonal a Nuc →τ {e i → {fi} = Base Im →τ →i} es la base dual de {e → } se También tendremos que si {e se i verificará: → {fi} = {→τei} 1.13.- Tensor producto exterior de 2 vectores. Por definición (C '5.05), se verifica:
→ → → → →∧b →⊗b a = a - b⊗ a 2.- Matrices de coeficientes tensoriales. Sabemos que existe una isomorfía entre un espacio vectorial E n-dimensional cualquiera y un conjunto S de coeficientes einstenianos vectoriales ordenados, correspondientes a un mismo tipo de coeficientes y a una misma base, así como entre E⊗ y S⊗. También existe una isomorfía entre E y el conjunto L de2 matrices línea (sucesión de coeficientes vectoriales) y entre E ⊗ y el conjunto M de matrices cuadradas correspondientes en ambos casos a un mismo tipo de coeficientes y a una misma base, Estas isomorfías son estables para las multiplicaciones tensorial y contracta de tensores (incluídos vectores y 57
escalares), con notaciones coherentes. 2.01.- Sea la representación siguiente, habitual para vectores y tensores:
→ = vie → = ve →j; v i j
→τ = t j(e →i⊗e → ) = tk (e → ⊗e →m) i j m k
→ } es la base principal elegida para el espacio en que {e i →i} es su base dual. vectorial E, y {e Adoptemos, siguiente:
por
ejemplo,
→}’ = {v v .. v } {v 1 2 n
{v} = r
⎧ v1⎫ ⎪ 2⎪ ⎪v ⎪ ⎪ ⎪ ⎨..⎬; {τ}’ = ⎪ ⎪ ⎪..⎪ ⎪ n⎪ ⎩v ⎭ r
⎧t11 ⎪ ⎪t12 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩t1
1
t2
2 2
t
la
⎪ tn ⎪ ⎪ .⎬; {τ} = ⎪ .⎪ ⎪ n tn ⎭ 2
r
. .. . .. n
t2
(m.columna)
..
matricial
(matriz fila)
.. tn1⎫ ..
notación
⎧t11 ⎪ 2 ⎪t 1 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩t 1
1 1 t 2 .. t n ⎫ 2 2
t
⎪
.. t2n ⎪
. .. . .. n
t
2
..
⎪ ⎪ .⎪ n ⎪ t n⎭ .⎬
(matrices cuadradas)
2.02.- De acuerdo con dicha notación se tiene: a)
→w → = {v →}’{w →} = v wi v →w → = {w →}’{v →} = wivi v i
b)
→ = →τv → w → = →τv → w
c)
→=→σ(→τv →) w → → → →) w=σ(τv
d) e)
⇔ ⇔
→} {→τ}’{v →}’{→τ} {v
⇔ wj ⇔ wj →}= {→σ}’{→τ}’{v→} {w →}’= {w →}’{→τ}{→σ} {w
⇔ ⇔ →⊗w →}’ = {w →}{v →}’ {v →⊗w →} = {v →}{w →}’ {v
= tijvii = vit j
⇔
⇔ wj = sijtkkivik ⇔ wj = vkt is j →⊗w →) j = wjv (v
⇔
→⊗w →)i = viw (v j j
i
i
2.03.- Entre las matrices de tensores transpuestos, observamos que se tiene: t’ij = tji
⇔
{~τ} = {→τ}’;
{~τ}’ = {→τ}
y por tanto, para cualquier base se verifica: Tensores simétricos:
{→τ} = {→τ}’
Tensores antisimétricos: antisimétricos:
{→τ} = -{→τ}’
2.04.- Con base ortonormal es indiferente la altura de los índices y se verifica: tij = tij 58
vi = vi tij= tij verifica:
Con
⇔
tensores
→}’ = {v→}~; ⇔ {v {→τ}'={→τ}~; {→τ}=[{→τ}’]~
transpuestos
{~τ}’ = [{→τ}’]~ = {→τ};
y
base
ortonormal,
se
{~τ} = {→τ}~ = {→τ}’
Si la base es ortonormal,también se verifica: Con tensores simétricos: {→τ}={→τ}~
(matriz simétrica)
Con tensores antisimétricos: {→τ} = -{→τ}~ (matriz antisimétrica) antisimétrica) 2.05.- Rango de un tensor. Es el de la matriz de sus coeficientes, cualquiera que sea su tipo. tenemos:
Efectivamente,
eligiendo
una
matriz
cualquiera,
→i⊗e →j)} = {(→τe →i)e →j} {tij} = {→τ(e y en la matriz cuadrada correspondiente habrá el conjunto de matrices columna o fila correspondiente al conjunto de vectores i → → {τe } que es un generador de Im →τ. Dada la isomorfía entre vectores y matrices línea, ambos conjuntos tendrán la misma dimensión y por lo tanto los rangos de matriz y tensor son iguales. 2.06.- Vamos a ver como el convenio de Einstein para expresiones tensoriales, se adapta al cálculo de matrices cuadradas. Al indiv individu iduali aliza zar r los los eleme elemento ntos s de de una una matri matriz z A norma normal, l, j hemos convenido en expresarlos por ai indicando su fila con un supraíndice j y su columna con un subíndice i y es fácil comprobar que en el producto AB = P de dos matrices A y B, la expresión de un elemento cualquiera de P en función de los elementos de los factores es una expresión einsteniana cuando se señalan correctamente los coeficientes: P = AB
⇔
pjk = aji bik
⇔
{pjk} = {aji}{bik}
Si uno de los factores matriciales T corresponde a un i k tipo de coeficiente tensorial mixto tal como t j ó t m, es fácil comprobar que con las alturas de índices ocurre lo mismo que con una matriz normal. En cuanto al orden, el índice que se conserve mantendrá su posición original. S=AT S=TA
⇔ ⇔
i j ajit = s k k tkiakj = sji
ó bien ó bien
ajiitikk = sjik t kaj = s j 59
Cuando uno de los factores es una matriz T de coeficientes tensoriales covariantes o contravariantes ya no sucederá siempre lo de los casos anteriores. En primer lugar será necesaria una convención para individualizar los elementos de estas matrices, y ésta consistirá, por ejemplo, que el primer índice señala la fila, y el segundo la columna. Entonces, para los dos casos siguientes tendremos: T = {tij}; S = AT
⇔
akitij = skj
T = {tij}; S = TA
⇔
tijajk = sik
Pero en los dos casos que quedan no hay concordancia entre operación matricial y expresión einsteniana: k
Para T={tij}; S=AT se verifica
Σiaitij = skj (no einsteniano)
Para T={tij}; S=TA se verifica
Σjt ak = s
ij
j
ik
(no einsteniano) En ambos casos, sustituyendo A por ~ A o sea aki por aik, sí sí que obtenemos una concordancia: ~T ⇔ T={t }; S=A ait = s ij
k
~ T={tij}; S=TA
base.
⇔
ij
kj
tijakj = sik
2.07.- Variación de los coeficientes con un cambio de
m → } y a su a) Sea la matriz {t } referida a la base {e k j j dual. Llamando {t’ } a la nueva matriz de coeficientes referida a i → la base {fi} y su dual, y procediendo como en B '4.06, tendremos:
→
→; fi = λ ji e j
→
→m; fj = µjme
j i
j
λ iµm = δm = Símbolo de Kronecker
y por lo tanto:
→ → → ⊗µj e →m)= λ k→τ(e → ⊗e →m)µj= λ kt mµj t’ij= →τ(fi⊗fj)= →τ(λ kie k m i k m i k m Escribiendo las matrices de cambio de base en lenguaje matricial, al convenir que en cada elemento el supraíndice expresa la fila y el subíndice la columna, tendremos:
A =
⎧ λ 11 ⎪ 2 ⎪ λ 1 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩λ 1
1 λ .. λ n ⎫ 1 2
2 λ 2 . .
. .. . .. n λ 2 ..
⎪ 2 λ n ⎪ ⎪ .⎬ ⎪ .⎪ n⎪ λ n ⎭
-1 A =
⎧ µ11 ⎪ ⎪ µ2 ⎪⎪ 1 ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎪⎩µ1
1 1 µ2 .. µ n ⎫ 2 2
µ .. . .. . .. n µ2 ..
⎪ µ ⎪ ⎪⎪ .⎬ ⎪ .⎪ ⎪ n µn⎪ ⎭ 2 n
60
{λ ki} = A; {µjm} = A-1;
AA-1 = I
Ahora bien, de acuerdo con lo visto en el párrafo anterior, tendremos la siguiente igualdad: {t’ij} = {µjm}{tkm}{λ ki} = A-1{tkm}A que podremos comprobar operando de esta manera:
⎧t’11 ⎪ ⎪t’12 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩t’1
1 1 t’2 .. t’n ⎫ 2 2
t’ .. . .. . .. n t’2 ..
⎪ t’ ⎪ ⎪ .⎬ ⎪ .⎪ ⎪ n t’n ⎭ 2 n
=
⎧ µ11 ⎪ ⎪ µ2 ⎪⎪ 1 ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎪⎩µ1
1 1 µ2 .. µn ⎫ ⎧ t11 t21 .. tn1⎫ 2 2
µ .. . .. . .. n µ2 ..
⎪⎪ 2 µn ⎪ ⎪ t12 ⎪⎪ ⎪ .⎬ ⎨ . ⎪⎪ .⎪ ⎪ . ⎪⎪ n n µn ⎪ ⎭ ⎩t1
2 2
t
..
. .. . .. n t2 ..
⎪ t ⎪ ⎪ .⎬ ⎪ .⎪ ⎪ n tn ⎭ 2 n
⎧ λ 11 ⎪ 2 ⎪ λ 1 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩λ 1
1 1 λ 2 .. λ n ⎫
⎪
2 λ .. λ n ⎪ 2 2
. .. . .. n λ 2 ..
⎪ ⎪ .⎪ n⎪ λ n ⎭ .⎬
b) Coeficientes tkm. Llamando {t’ij} a la nueva matriz de coeficientes, resultante del mismo cambio de bases supuesto anteriormente, y por un proceso análogo, hallaremos que se verifica:
→ → → ⊗λ m e → )= λ m →τ(e → ⊗e → )λ k= λ m t λ k t’ij =→τ(fi⊗fj)= →τ(λ ki e k j m j k m i j km i Para representar las operaciones indicadas por la última expresión con las de un producto matricial, y de acuerdo con '2.06, deberemos escribir: ~{t }A {t’ } = A ij
km
que comprobaremos así:
⎧t’11 ⎪ ⎪t’21 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪⎩t’n1
t’12 .. t’1n ⎫
⎪ ⎪ .⎬ ⎪ .⎪ t’nn ⎪ ⎭
t’22 .. t’2n ⎪ . .. . .. t’n2 ..
=
⎧ λ 11 ⎪ 1 ⎪ λ 2 ⎪ ⎨. ⎪ ⎪. ⎪ 1 ⎩λ n
2 n λ 1 .. λ 1 ⎫ ⎧t11 t12 .. t1n ⎫
⎪⎪
⎪ ⎪ .⎬ ⎪ .⎪ ⎪ tnn ⎭
n λ .. λ 2 ⎪ ⎪t21 t22 .. t2n ⎪ 2 2
. .. . .. 2 λ n ..
⎪⎪ ⎨ . ⎪⎪ .⎪ ⎪ . n⎪ ⎪ λ n ⎭ ⎩tn1 .⎬
. .. . .. tn2 ..
⎧ λ 11 ⎪ 2 ⎪ λ 1 ⎪ ⎨ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎩λ 1
1 1 λ 2 .. λ n ⎫
⎪
2 λ .. λ n ⎪ 2 2
⎪
. ..
.⎬
. ..
.⎪
⎪
n n⎪ λ 2 .. λ n ⎭
c) Coeficientes tkm. Si {t’ij} es la nueva matriz de coeficientes con el mismo cambio de bases anterior, siguiendo el mismo proceso, encontraremos: t’ij = µim tmkµjk así como {t’ij} = A-1{tmk}[A-1]~ 61
2.08.- En el apartado a) del párrafo anterior, hemos visto que para los coeficientes mixtos de →τ existe la relación: {t’ij} = A-1{tkm}A entre sus valores para bases distintas, con A matriz de cambio de bases. Teniendo en cuenta que A y A-1 son matrices inversas, esta relación implica la siguiente entre determinantes: Det {t’ij} = (Det A -1)(Det{tkm})(Det A) = Det{tkm} De esta relación y de que en base ortonormal las matrices mixtas de un tensor y de su transpuesto son transpuestas, se deduce inmediatamente que: Para todas las matrices mixtas de un tensor y de su transpuesto, los determinantes coinciden. 3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden. Definición.- Definimos como producto matricial de dos
tensores → ρ y → σ de 2º orden y lo expresamos por → ρ∗→ σ al tensor →τ de → 2º orden que para cualquier vector v verifica:
→τv → = →ρ(→σv →) = (→ρ∗→σ)v → y que evidentemente es también de 2º orden y único. Es fácil ver que esta multiplicación es asociativa, es distributiva a derecha e izquierda y no es por lo general conmutativa. tenemos:
3.01.- Cuando los factores son productos tensoriales
→
→
→
→
→⊗b)∗(c →⊗d) = (a →d)(c →⊗b) (a →: Efectivamente. Por definición se verifica para todo v →
→
→
→
→⊗b)∗(c →⊗d)]v → = (a →⊗b)[(c →⊗d)v →] [(a y como desarrollando el 2º miembro se tiene:
→
→
→ →
→ →
→⊗b)[(c→v →)d]= [(a →⊗b)d](c →v →)= [(a →d)b](c →v →) = = (a →
→
→
→
→
→d)[(c →v →)b] = (a →d →)[(c →⊗b)v →] = [(a →d)(c →⊗b)]v → (a queda:
→
→
→
→
→⊗b)∗(c →⊗d)]v → = [(a →d)(c →⊗b)]v → [(a → es cualquier vector, es cierta la igualdad que se y como v 62
pretendía demostrar.
→ρ 3.02.- Cuando los factores son tensores cualesquiera, → → i → → → y σ, que siempre se pueden expresar en la forma ai⊗b y cj⊗dj
respectivamente, respectivamente, tendremos:
→i → →j →j → →i →ρ∗→σ = (a → ⊗b →d )∗(cj⊗d ) = (a )(cj⊗b ) i i como se deduce directamente del párrafo anterior. Con la notación ordinaria, resulta:
→ρ∗→σ= [rij(e → ⊗e → )]∗[s (e →n⊗e →m)]= rijs (e →e →m)(e →n⊗e → )= rijs (e →n⊗e →) i j nm nm i j ni j ρ∗→ σ. De la última expresión y 3.03.- Coeficientes de →τ=→ sus análogas, se obtienen los siguientes valores: tnj = rijsni = rijsni tnj = rijsni = rijsni tnj = rijsni = rijsni tnj = rijsni = rijsni En forma matricial tenemos por '2.02: ρ∗→ σ}’ = {→ ρ}’{→ σ}’; {→
ρ∗→ σ} = {→ σ}{→ ρ} {→
3.04.- Potencia matricial. En caso de m factores iguales escribiremos: escribiremos:
→τ∗→τ∗→τ∗...∗→τ = →τ∗m ó bien →τm si no pueden originarse confusiones. 3.05.- Es interesante la lectura inversa de la fórmula del producto matricial de dos productos tensoriales:
→d →)(c →⊗b →) = (a →⊗b →)∗(c →⊗d →) (a 3.06.- Transpuesto de un producto matricial → ρ∗→ σ. Es el tensor producto matricial transpuestos tomados en orden inverso:
de
los
factores
[→ ρ∗→ σ]~ = ~ σ∗~ ρ Bastará demostrarlo para la multiplicación matricial de dos productos tensoriales. Efectivamente:
→
→
→
→
→
→
→
→
→⊗b)∗(c →⊗d)]~ = (a →d)[c →⊗b]~ = (a →d)(b⊗c →)= (d⊗c →)∗(b⊗a →) [(a 3.07.- Simetrías y antisimetrias. 63
1º.- Producto matricial → ρ∗→ σ de dos tensores ambos simétricos ó ambos antisimétricos. antisimétricos. ρ∗→ σ = → σ∗→ ρ. a) Es simétrico si y sólo si se verifica → ρ∗→ σ = -→ σ∗→ ρ. b) Es antisimétrico si y sólo si se verifica →
Efectivamente:
→ρ∗→σ=[→ρ∗→σ]~ →ρ∗→σ = -[→ρ∗→σ]~
→ρ∗→σ = ~σ∗~ρ = →σ∗→ρ →ρ∗→σ = -~σ∗~ρ = -→σ∗→ρ ⇔ ρ∗→ σ de dos tensores, uno de 2º.- Producto matricial → ⇔
ellos simétrico y el otro antisimétrico.
ρ∗→ σ = -→ σ∗→ ρ. a) Es simétrico si y sólo si se verifica →
b) Es antisimétrico si y sólo si se verifica → ρ∗→ σ = → σ∗→ ρ. Pues tenemos:
→ρ∗→σ=[→ρ∗→σ]~ →ρ∗→σ = -[→ρ∗→σ]~ 3º.transpuesto.
→ρ∗→σ = ~σ∗~ρ = -→σ∗→ρ →ρ∗→σ = -~σ∗~ρ = →σ∗→ρ
⇔ ⇔
matricial →τ∗~τ
Producto
de
un
tensor
por
su
Siempre es un tensor simétrico cuyo núcleo es igual al ~ de τ y su imagen igual a la de →τ. Es simétrico, pues se verifica: [→τ∗~τ]~ = (~τ)~∗~τ = →τ∗~τ Por otra parte, de las definiciones de matricial, de núcleo y de imagen resulta evidente: Nuc Im
(→τ∗~τ) (→τ∗~τ)
⊃ ⊂
Nuc Im
producto
~τ
→τ
→ tal que v→∈Nuc(→τ∗~τ);v∉Nuc ~τ, al y si existiera algún vector v tener en cuenta '1.01, se verificaría a un mismo tiempo: ⎧(τ*~τ)v = 0 ⇒ ⎧~τ v ∈ Nuc ⎨ ~τv ≠ 0 ⎨ ~τv ≠ 0 ⎩ ⎩ r
r
r
r
r
r
r
r
τ
r
~ τv ∈ ⇒ ⎧⎨ ⎩ r
τ subespº ortogonal a Im ~ ~ τv ≠ 0 r
r
→ no nulo no puede pertenecer a la vez y esto es imposible, pues ~τv a un subespacio Im ~τ -como indica su escritura-, y a otro subespacio ortogonal a Im ~τ, cuando ambos subespacios pertenecen a un espacio vectorial euclídeo. Así pues, Nuc(→τ∗~τ) = Nuc ~τ. 64
En cuanto a Im(→τ∗~τ) = Im →τ, se deduce de la igualdad anterior, pues es la expresión de igualdad de los subespacios ortogonales a dos subespacios iguales. 3.08.- Anillo de los tensores de 2º orden En el conjunto de los tensores de segundo orden correspondientes a un determinado espacio vectorial de n dimensiones, las operaciones suma y producto matricial definen una estructura de anillo de la misma manera que las operaciones análogas definen un anillo en el conjunto de matrices cuadradas de lado n. Ello se deduce inmediatamente de la isomorfía que evidentemente existe entre ambos conjuntos.
65
4.- Tensor fundamental. Definición. Llamamos tensor unidad o fundamental al tensor I que corresponde a la aplicación lineal idéntica:
→
→): (∀v
→→ → Iv = v
De este tensor ya se ha escrito en B'2.10, también se ha dicho en C'7.01/02 que es el tensor isótropo de 21 orden y añadiremos ahora que se trata de un tensor simétrico puesto que se verifica:
→)(∀v →): (∀ w
→ → → →→ → →→ → → → →v → = w →(I ⊗v) = (Iw ⊗w ) I(w )v = w v) = I(v
4.01.- El tensor fundamental puede expresarse por:
→ → ⊗e →i = e →j⊗e → I = e i j → } una base cualquiera de E y {e→i} su base dual, ya que siendo {e i se verifica: →): (∀v
→ ⊗e →i)v → = (e →v →)e →i = v e →i = v → (e i 1 i
→): (∀v
→j⊗e → )v → = (e →jv →)e → = vje → = v → (e j j j
4.02.- Con estas mismas bases, sus coeficientes son:
→ →i →j →→i →j →ie →j ⊗e ) = (Ie gji = gij = I(e )e = e → → → →→ → →→ gji = gij = I(e i⊗ej) = (I ei)ej = eiej → →i → →→i → →ie → = δi ⊗ej) = (Ie gji = gij = I(e )ej = e j j → → →j →→ →j →e →j = δi gji = gij = I(e = e i⊗e ) = (I ei)e i j (δij = Símbolo de Kronecker) Las matrices mixtas coincidirán en la siguiente:
⎧1 ⎪0 ⎪⎪ ⎨0 ⎪ ⎪: ⎪⎩0
0 0 .. 0⎫
⎪ ⎪ 0⎬ ⎪ :⎪ 1⎪ ⎭
1 0 .. 0⎪ 0 1 .. : : :: 0 0 ..
4.03.- Se verifica
→ →
→
I∗I = I puesto que tenemos:
→): (∀ v
→ →
→ →
→
→ = I(Iv →) = Iv → (I∗I)v 66
→
4.04.- La matriz {gij} covariante de I, llamada matriz → } a su dual {e→i} y métrica, es la matriz del cambio de la base {e j → }. La matriz también la matrizijfundamental de E para la base (e i contravariante {g } es la matriz para el cambio inverso.
→
→ →i⊗e →j) = g e →i ⊗ e →j I = gij(e ij
⇔
→ = g e →i e j ij
→
→ → ⊗e → ) = gije → ⊗ e → I= gij(e i j i j
⇔
→j = gije → e i
→ ⊗e →j): (I=e j →j⊗e →j): (I=e → →
→
(I∗I= I)
⇔
{gim}{gki} = {gkm} (Símbolo de Kronecker)
Estas dos matrices, ya sabíamos por cálculo vectorial, que son inversas una de otra. 4.05.- Sea V el volumen del paralelepípedo generado por → } y denominemos g al determinante de los vectores de la base {e i la matriz métrica. En virtud de la ecuación (15) y de B '5.27 → tendremos, siendo t(ij..r) y t(ij..r) los coeficientes estrictos de e → ..∧e → en cualquier par de bases duales: e 1∧ 2∧ n
→e → } = [(e → ∧e → ∧..∧e → )’]2 = V2 = t g = Det {gij} = Det {e t(ij..r) i j 1 2 n (ij..r) Como consecuencia de '4.02 tenemos también: Det {gij} =
1 g
=
1
; 2 V
Det {gij} = Det {g ij} = 1
4.06.- El conocimiento de la matriz métrica nos permite utilizar exclusivamente exclusivamente los coeficientes contravariantes contravariantes de vectores y tensores en los cálculos. Ejemplos de sustitución:
→ )e → = vig a) vj = (vie i j ij ij → ⊗e → )](e→ ⊗e → ) = tij(e →e → →→ b) tkm = [tij(e i j k m i k)(ejem) = t gkigjm kj → ⊗e → )](e→k⊗e → ) = tij(e →e →k)(e →e → c) tkm = [tij(e i j m i j m) = t gjm im → ⊗e → )](e→ ⊗e →m) = tij(e →e → → →m d) tkm = [tij(e i j k i k)(eje ) = t gki
4.07.- El procedimiento que acabamos de indicar, es general para utilizar supraíndices en lugar de subíndices en cualquier expresión einsteniana de coeficientes. Por ejemplo: timkl = gjmtijkl 4.08.- Si quisiéramos expresar las ecuaciones con subíndices en lugar de supraíndices procediríamos análogamente, solo que cambiando los papeles entre la matriz métrica y la matriz {gij}. 4.09.- Relación entre los determinantes de matrices mixtas tensoriales. De las expresiones de '4.06 deducimos: 67
{tkm} = {gjm}{tij}(gki}
⇔
Det {tkm} = g2 Det {tij}
{tkm} = {gjm}{tkj}
⇔
Det {tkm} = g
Det {tkj}
{tkm} = {tim}{gki}
⇔
Det {tkm} = g
Det {tim}
y por lo tanto: Det {tkm}
=
Det {tkm}
=
g Det {tkj}
=
1 g
Det {tkm}
Así pues, tenemos tenemos que: a) Los determinantes de todas las matrices mixtas de un tensor y de su transpuesto, son iguales. b) Los determinantes de la matriz covariante y de la matriz contravariante, son el resultado de dividir o multiplicar por g, respectivamente, el valor común de los determinantes de las matrices mixtas.
→
4.10.El tensor I fundamental multiplicado matricialmente con un tensor →τ cualquiera, no lo altera, tanto si actúa como factor a la derecha o como factor a la izquierda. Efectivamente. Cualquier tensor →τ se puede representar, según '1.12, en la forma siguiente:
→τ = (e → ⊗f →i) i →j → } alguna base de E, {e →i} su base dual y {f →j} otra siendo {e } = {→τe i
base de E.
Por consiguiente, se verifica:
→ → → →i → →i → →j →i → → ⊗f → ⊗f ⊗ I∗→τ = (fj⊗fj)∗(e ) = (f f )(e f ) = e = τ i j i i → →i → →j →i →i → →τ∗I → ⊗f →e →j)(e → ⊗f → ⊗f = (e )∗(ej⊗e ) = (e ) = e = τ i i j i 4.11.- Para una dimensión n del espacio se verifica:
→→
II = n puesto que tenemos:
→→ → → →i →→ →i →e →i = n II = I(e e ) = (Ie )e = e i⊗ i i
68
5.-Tensores isótropos. El único tensor isótropo de segundo orden es, como se → indicó en C'7, el tensor unidad ó fundamental I que acabamos de estudiar. Aunque Aunque no no sean sean de de segund segundo o orden, orden, aquí vamos vamos a examinar examinar los tensores isótropos de cuarto orden, dado que son los tensores ⊗q de E isótropos que corresponden a isomorfismos del espacio vectorial de los tensores de segundo orden. Vamos a simplificar aquí la notación de los productos → } y de su dual, de la tensoriales de vectores de una base {e i siguiente manera, que explicaremos con unos ejemplos:
→ij = e →i⊗e →j⊗e → ⊗e → e ij i j →ij = e →i⊗e →j⊗e → ⊗e → e ji j i →i j = e →i⊗e → ⊗e →j⊗e → e i j i j 5.01.- De acuerdo con lo indicado en C'7, podemos comprobar que los tres tensores anteriores son los únicos productos tensoriales de cuarto orden que constituyen tensores isótropos distintos, que todo tensor isótropo de cuarto orden es función lineal de estos tres, y que por lo tanto se podrá expresar de esta manera:
→τ = αe →ij + βe →ij + γe →i j ij ji i j El primer tensor es el de la aplicación idéntica. Para demostrarlo bastará ver que su producto contracto con un producto →⊗b → cualquiera, no lo modifica: tensorial a
→ → → →τ (a →⊗b →ij (a →⊗b → = aie → ⊗ bje → = a →⊗b ) = e ) = aibje 1 ij ij i j El segundo tensor transforma un tensor en el tensor transpuesto. Pues se verifica:
→ → → → →τ (a →⊗b →ij (a →⊗b → = bje → ⊗ a →ie → = b ) = e ) = aibje ⊗a 2 ji ji j i El tercer factor transforma el tensor en un múltiplo de I ó tensor escalar:
→
→⊗→ → → → → →τ →σ = e →i j →σ = (I I)σ = (→ σI)I = (Traza de → σ)I 3 i j 5.02.- Vamos a examinar algunos tensores isótropos de interés (Ver también '6.04). a) Tensor ½ (→τ1+→τ2). Transforma componente simétrico, como vamos a ver: 1 2
(→τ1+→τ2)→ σ =
1 2
un
tensor
en
su
1 → ~ (→τ1→ (σ+σ) σ + →τ2→ σ) = 2
69
b) Tensor ½ (→τ1-→τ2). componente antisimétrico: antisimétrico: 1 2
(→τ1-→τ2)→ σ =
1 2
Transforma
un
tensor
en
su
1 → ~ (→τ1→ (σ-σ) σ - →τ2)→ σ = 2
5.03.- La expresión general de los tensores isótropos de segundo orden, al ponerlos en función de los últimos tensores, tensores, es fácil ver que toma la siguiente forma:
→τ = (α+β) 1 (→τ +→τ ) + (α-β) 1 (→τ -→τ ) + γτ → 1 2 1 2 3 2
2
σ de Por otra parte, si tenemos un tensor cualquiera → 2º orden expresado como suma de sus tres sumandos ortogonales: →σ simétrico de traza nula, →σ antisimétrico y →σ escalar, os a e estudiados en '6.04, ó sea:
→σ = →σ + →σ + →σ os a e es fácil comprobar que si n es la dimensión de E, se verifica:
→τ→σ = (α+β)→σ + (α-β)→σ + (α + os a
β + nγ)→ σe
Esta propiedad es de interés en los estudios sobre elasticidad de cuerpos isótropos.
70
6.- Invariantes de un tensor.Traza. Sea →τ cualquier tensor de 2º orden construído sobre un → } y de base dual {e→i} espacio vectorial n-dimensional de base {e i Vamos a referirnos a los escalares δq definidos por la siguiente expresión: (29)
δq =
1
(τei ∧ τej∧..∧ τer)(ij..r) (ei ∧ ej∧..∧ er)(ij..r) q! r
r
r
r
r
r
r
r
r
en la que q ≤n representa el orden de los dos productos tensoriales de los paréntesis, los índices distintos indican vectores base distintos, y figuran en orden numérico creciente en todos los paréntesis correspondiéndose los vectores de una base con los de la dual. La operación indicada es un sumatorio de productos contractos uno para cada conjunto distinto de índices. La expresión de los escalares δq como sumatorios de determinantes puede deducirse de '8.02. Tales escalares son invariantes por coincidir con los coeficientes de la ecuación característica de →τ que estudiaremos en '8.02. 6.01.- Para q = 1 el escalar δ1 recibe el nombre de traza del tensor →τ y la ecuación (29) adopta la siguiente forma:
→ )e → δ1 = (→τe i
i
y por lo tanto:
→ δ1 = →τ(e i
→ →i) = →τI ⊗ e
Por consiguiente, la traza de un tensor se puede → definir también como su producto contracto con I . 6.02.- Características Características de la traza de un tensor. Mencionaremos las siguientes:
→i → → →i →→ →i → ⊗b → →i 1ª.- Traza de a = I(a i i⊗b ) = (Iai)b ) = aib → →⊗b 2ª.- Traza de a →
=
→
→
→⊗b) I(a
=
→
→
→)b (Ia
→ →b = a
→→
→ ⊗e →i)(e →j⊗e → ) = (e → ej)(e →ie →) = n 3ª.- Traza de I = II = (e i j i j 4ª.- La traza de un → tensor antisimétrico es nula, pues su producto contracto con I simétrico debe ser nulo. 6.03.- Formulaciones einstenianas de la traza.
→
→ ⊗e →m)t j(e →i⊗e → ) = t j(e →e →i)(e →me →) = tm I→τ = (e m i j i m j m 71
→
→m⊗e → )ti (e → ⊗e →j) = ti (e →me → )(e →e →j) = tm I→τ = (e m j i j i m m →
→m⊗e → )tij(e → ⊗e → ) = tij(e →me → )(e →e → ) = tijg I→τ = (e m i j i m j ij →
→m⊗e → )t (e →i⊗e →j) = t (e →me →i)(e →e →j) = t gji I→τ = (e m ij ij m ij Observamos que la traza de un tensor es igual a la traza de cualquiera de sus matrices mixtas, referidas a cualquier base. 6.04.- Hemos visto en '1.07c), que todo tensor se puede expresar como la suma de un tensor simétrico y de otro antisimétrico, ambos únicos y ortogonales entre sí. Vamos a ver ahora que todo tensor simétrico, a su vez, se puede descomponer, en forma única, en la suma de un tensor simétrico de traza nula ó deformador y un tensor escalar o dilatador, definidos por las siguientes expresiones relativas relativas a E n-dimensional y al tensor simétrico →τ: r
r
τI
Tensor componente escalar:
n
r
I
→τ -
Tensor componente deformador:
r
τI
r
n
r
I
El componente deformador así definido siempre tiene la traza nula:
⎡ ⎢τ ⎣
r
⎤ I⎥I n ⎦ r
τI
r
-
r
r
r
τI τI = τI (II) = τ I n = τI - τI = 0 n n r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Son siempre ortogonales entre sí. En efecto:
⎡ τI ⎤ ⎡ τI ⎤ ⎢ n I⎥ ⎢ τ- n I⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(τI)(τI) (τI)(τI) (τI)(τI) (τI)(τI) = ( I I ) = n =0 2 2 n n n n r
r
r
r
r
r
τ3 ; n
r
Los tensores isótropos
r
r
r
r
τ1+ τ2 τ3 2 n
r
r
r
transforman a un
tensor en su componente escalar y deformador respectivamente. 6.05.- La traza de una suma de tensores evidentemente la suma de las trazas de los sumandos.
es
Por consiguiente, la traza de un tensor coincide con la de su componente simétrico que, a su vez, coincide con la del componente escalar. 6.06.- La traza de →τ∗→ σ es →τ~ σ
→ ⊗b →i y →σ por c → ⊗d →j se tiene: Pues expresando →τ por a i j →
→
→
→
→
→
→
→
→
→ ⊗bi)∗(c → ⊗dj)] =I[(a → dj)(c → ⊗bi) =(a → dj)(c → bi) I(→τ∗→ σ) =I[(a i j i j i j →i →j⊗→ →j →i→ →τ~σ = (a → ⊗b →d )(d cj) = (a )(b cj) i i 72
7.- Determinante de un tensor.
→ } una Llamamos determinante de un tensor →τ siendo {e i base cualquiera del espacio vectorial E, al escalar δn que acabamos de definir en '6: 1 Det →τ = δn = (τe1 ∧ τe2 ∧..∧ τen)(e1 ∧ e2 ∧..∧ en) r
r
r
r
r
r
r
r
r
n!
Pero utilizando el tensor →ε de Ricci, por C '5.17 podemos sustituir los dos paréntesis del 2 1 miembro, con lo que tendremos: 1 Det →τ= [ε(τe1 ∧ τe2 ∧..∧ τen)’][ε(e1 ∧ e2 ∧..∧ en)’] r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
n!
Sustituyendo ahora →ε→ε por su valor n!, se tiene:
→ ∧→τe → ∧..∧→τe → )’(e →1∧e →2∧..∧e →n)’ =(τe1 ∧ τe2 ∧..∧ τen)’ Det →τ = (→τe 1 2 n (e1 ∧ e2 ∧..∧ en)’ r
r
r
r
r
r
r
r
r
→j} es Este escalar es un invariante, puesto que si {v otra base cualquiera de E, como se tiene →τ(v →j⊗e → ) = ~τ(e → ⊗v →j) i i
→ )v →j = e → (→τv →j} (~τe i i
⇔
por la ecuación (15) se verificará:
→ ∧~τe → ∧..∧~τe → )’(v→1∧v →2∧..∧v →n)’=(→τv →1∧→τv →2∧..∧→τv →n)’(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (~τe 1 2 n 1 2 n Teniendo en cuenta que, por '4.09, los determinantes de cualquier matriz mixta de un tensor coinciden, aplicando la ecuación (13), obtenemos:
→ ∧~τe → ∧..∧~τe → ~τe 1 2 n
→ ∧→τe → ∧..∧→τe → = →τe 1 2 n
y por consiguiente:
→ ∧→τe → ∧..∧→τe → )’(v→1∧v →2∧..∧vn)’=(→τv →1∧→τv →2∧..∧→τv →n)’(e → ∧e → ∧..∧e → )’ (→τe 1 2 n 1 2 n (τ e1 ∧ τ e2 ∧..∧ τ en)’ r
r
r
r
r
(e1 ∧ e2 ∧..∧ en)’ r
r
r
(τ v1 ∧ τ v2 ∧..∧ τ vn)’ r
r
r
r
=
1
(v r
r
r
r
∧ v ∧..∧ v )’ r
2
r
n
= Det →τ
Por todo ello, el determinante de un tensor →τ de segundo orden es el determinante de cualquier matriz mixta de →τ referida a cualquier base. 7.01.- De la definición de determinante de un tensor se deduce inmediatamente: inmediatamente: a) Un determinante es nulo si y sólo si el tensor es de rango inferior a la dimensión del espacio, o sea que su núcleo 73
tiene una dimensión mayor que 0 (tensor irregular). b) El determinante de un producto matricial de tensores es el producto de los determinantes de los factores.
74
8.- Valores y vectores propios de un tensor. Supondremos un espacio vectorial E n-dimensional.
→ no nulo es un Definición. Decimos que un vector v vector propio de un tensor →τ de segundo orden y que λ es el valor propio correspondiente, cuando se verifica: →τv → = λ v →
→
→
→= 0 (→τ-λ I)v
⇔
⇔
→
→ ∈Núc (→τ-λ I) v
8.01.- Por consiguiente, los valores propios que corresponden a vectores propios, son los valores de λ que hacen → un tensor irregular, o sea las soluciones de cualquiera de →τ-λ I de estas ecuaciones:
→ Det (→τ-λ I) = 0 │tij-λ gij│=0
⇔
│tij-λ gij│=0
⇔
│tij-λ gij│=0
⇔
│tij-λ gij│=0
El conjunto de vectores propios correspondientes a un valor propio →λ i es, por definición, el núcleo de un tensor irregular (→τ-λ iI), y por lo tanto formará un subespacio vectorial de dimensión mínima uno. 8.02.- Para el cálculo de los valores propios se acostumbra a partir de la primera ecuación relativa a los coeficientes mixtos del tensor, que desarrollada, si la dimensión dimensión de E es n, toma la siguiente forma: A(x) = xn - δ1xn-1 + δ2xn-2 - .. ± δn = 0 y recibe el nombre de ecuación característica característica de →τ. El cálculo matricial nos demuestra que los coeficientes δq son los escalares invariantes de →τ de que hemos hablado en '6. Por lo tanto δ1 es la traza de →τ, δn es el determinante de →τ y en general, δq es la suma de los determinantesj de las matrices de qxq elementos que se pueden extraer de {t i }, cuya diagonal principal esté extraída de la diagonal principal de {tij}. Si →τ es de rango r, tendremos δq=0 para q>r. 8.03.- Propiedades generales. En este párrafo, y en el siguiente, señalaremos las proposiciones sin demostrarlas, pues las demostraciones serían análogas a las del cálculo matricial, que supondremos conocidas. a) Si A(x)=0 es la ecuación característica característica de un tensor →τ, se verifica también A(→τ)=0, ó sea:
→τ∗n -
δ1→τ∗
(n-1)
→
→
+ δ2→τ∗(n-2) - .. ±δnI = 0
b) La suma de los subespacios vectoriales propios de un 75
tensor, es el espacio total si, y sólo si, sus matrices mixtas son diagonalizables, es decir, que para alguna base hay una matriz mixta de coeficientes que es diagonal. Esta condición, si hay m valores propios distintos y { λ i} es es su conjunto, equivale a que se verifique:
→ → → → (→τ-λ 1I) ∗ (→τ-λ 2I) ∗ .. ∗(→τ-λ mI) = 0 Para m=n valores propios distintos se verifica siempre, pues la ecuación se transforma en A(→τ)=0. c) Si A(→τ) es un polinomio (ó serie polinómica convergente) de potencias matriciales de un tensor →τ, se verifica que todo → del tensor con valor propio α es también un vector propio v vector propio de A(→τ) pero con valor propio A( α). d) Los valores propios no reales de un tensor, son siempre pares de complejos conjugados. e) Los vectores propios reales de un tensor → τ , corresponden siempre a valores propios reales. Al valor propio 0 corresponden como vectores propios todos los de Nuc →τ. f) Dos tensores transpuestos uno del otro, tienen la misma ecuación característica y por tanto, iguales valores propios. 8.04.- Cuando →τ es un tensor simétrico se verificará: a) Todos los valores propios son reales ó nulos. b) Los subespacios propios son ortogonales entre sí y su suma es el espacio vectorial total (suma directa). En consecuencia, los subespacios propios de un tensor simétrico tienen la dimensión máxima, ó sea que para cada uno es igual a la multiplicidad de la solución correspondiente de la ecuación característica. característica. c) Existe por lo menos una base ortonormal de versores propios del tensor para el espacio vectorial E.
→ } una base ortonormal de E En consecuencia, siendo {e i formada por vectores propios de →τ, si {αi} es el conjunto de valores propios correspondientes, podremos representar siempre a todo tensor simétrico →τ, con tantos sumandos no nulos como indique el rango de →τ, en la forma siguiente: →τ = ∑[α (e → ⊗e → )] i i i La matriz de →τ en esta base ortonormal, será diagonal:
→ ⊗e → )=(→τe )e → =α e →→ tij=→τ(e i j i j i iej tii=αi; (i≠j): tij = 0 76
8.05.- Tensores antisimétricos. antisimétricos. a) Todos los valores propios reales son nulos, y el núcleo es el único subespacio propio.
→ vector propio de →τ correspondiente a un valor Pues para v propio real α no nulo, tendríamos: →τv → = αv →
⇔
→(→τv →) = αv →v → v
→⊗v →) = αv →v → ⇔ →τ(v
→⊗v →) es forzosamente nulo por ser →τ lo que es imposible, pues →τ(v →v → no es nulo pues v → es real y no nulo un tensor antisimétrico y v por corresponder a un valor propio real no nulo ('8.03f). b) Para →τ antisimétrico, →τ∗2 es simétrico ('3.07-1ºa) y por tanto de valores propios reales ó nulos ( '8.04a). Como estos valores sabemos por '8.03c que deben ser los cuadrados de los valores propios correspondientes a →τ, estos últimos, según a), deben ser nulos ó complejos y en el segundo caso, por '8.03d, deberán ser pares de complejos conjugados, que en este caso habrán de tener la forma: ±α -1 con α real no nulo, pues su cuadrado ha de ser un número real no nulo. Este número real, ahora tendrá que ser negativo. c) De lo dicho hasta ahora deducimos: 1. Los valores propios de un tensor antisimétrico →τ no nulo son pares de complejos conjugados del tipo ± α -1 , ó ceros. 2. Los valores propios de →τ∗2, que siempre es simétrico, son pares de números negativos iguales, ó bien ceros. 3. Los subespacios propios de →τ∗2 son de dimensión igual a la multiplicidad de los valores propios correspondientes y la suma de todos los subespacios propios es directa, o sea E. 4. Los subespacios imagen, tanto de →τ como de →τ∗2, que según sabemos por '1.11 son ortogonales y suplementarios suplementarios a sus respectivos núcleos, tienen dimensión par.
→ es ortogonal a su imagen. Pues tenemos d) Todo vector v →(→τv →) = →τ(v →⊗v →) = 0 v ya que el producto contracto de un tensor antisimétrico por otro tensor que es simétrico, resulta nulo.
→ es vector propio de →τ∗2 con valor propio -α2, →τa → e) Si a también lo es con igual valor propio y módulo αa. Ya que siendo →τ antisimétrico se verifica:
→τ(→τa →) = →τ∗2a → = -α2a →
→)] = →τ∗2(→τa →) =-α2→τa → ⇒ →τ[→τ(→τa 77
→)(→τa →) =→τ[a →⊗(→τa →)] =-→τ[(→τa →)⊗a →] =-a →(-α2a →) =(αa →)(αa →) (→τa → es vector propio de →τ∗2 con valor propio -α2, → → f) Si a a y →τa →τ y determinan un subespacio bidimensional que es invariante para se halla incluído 2en el subespacio propio de →τ∗2 correspondiente al valor propio -α . Pues se verifica:
→τ[λ a →+µ(→τa →)] = λτ →a →+ µ→τ(→τa →) = λτ →a → - α2µa → →τ[→τ(λ a →+µ→τa →)]= λτ →(→τa →) -µ→τ∗2(→τa →)= -α2λ a → -α2µ→τa →= -α2(λ a →+µ→τa →) → un vector propio de →τ∗2 con valor propio -α2. Si un g) Sea a → es ortogonal a a → y a →τa →, ó sea a un espacio invariante vector b → bidimensional, lo mismo sucederá con →τb: → → → → → → → →⊗b →)b (→τb)a = τ(b⊗a) = -→τ(a ) = -(→τa = 0 → →→ → → → →)(→τa →) = →τ[b →)⊗b →)]b →b (→τb ] = -[→τ(→τa = α2a = 0 ⊗(τa)] = -→τ[(→τa h) Un subespacio propio de →τ∗22 de dimensión 2m correspondiente a un valor propio real - α no nulo, es la suma directa de los m subespacios bidimensionales invariantes de →τ, ortogonales entre sí, que corresponden al mismo par de valores 2 propios raíces cuadradas de -α . Es a su vez un espacio invariante de →τ.
→τ∗2 de dimensión 2m, Sea F el subespacio propio de correspondiente al valor propio -α2 y A un subespacio invariante → y →τa →, tal que A⊂F. de →τ generado por a Si m=1, el subespacio F queda completo, pero si m es mayor → que uno podremos hallar un vector b perteneciente a F y no → y a →τa →. Por lo visto en perteneciente a A y que sea ortogonal a a → → y →τb f) y g), los vectores b determinan un nuevo subespacio invariante B también incluído en F y ortogonal a A. Por recurrencia quedará demostrada la proposición. i) Siendo los subespacios propios de →τ∗2 ortogonales entre sí, por tratarse de un tensor simétrico, y por lo que acabamos de ver, resulta que todo tensor antisimétrico →τ permite dividir E en una suma directa de subespacios ortogonales entre sí, cuyos sumandos son Nuc →τ y los subespacios bidimensionales invariantes de →τ. j) Teniendo en cuenta la anterior división de E en subespacios ortogonales y que un subespacio bidimensional → y →τa →, que invariante viene generado por dos vectores tales como a por d) sabemos que son ortogonales, podemos obtener así una base ortogonal de E.
→ pertenece al subespacio propio de →τ⊗2 k) Si un vector 2 v →, que pertenece por correspondiente a -α , el módulo de →τv 78
definición al mismo subespacio invariante de →τ, es αv.
→)(→τv →) = →τ[v →⊗(→τv →)] = -→τ[(→τv →)⊗v →] = -[→τ(→τv →)]v → = α2v →v → = (αv)2 (→τv → y →τa → pertenecen a un mismo l) Como por d) sabemos que a subespacio invariante, podremos elegir en cada sumando invariante → . En este mismo sumando, de E según i) un versor propio e i teniendo presente k), podemos tomar otro versor propio 1
r
αi
τ ei r
La reunión de los conjuntos de estos dos tipos de versores propios es fácil ver que formará una base ortonormal de E y por consiguiente, de acuerdo con la ecuación (3) de C'1.10, podremos escribir:
∑[(ei ⊗ τ ei) +
τ =
r
r
r
r
1
(τ ei ⊗ τ*2ei)] 2 r
r
r
r
αi
pero como se verifica: 1
*2 = 2 τ ei r
r
αi
1
2
(-αi ei) = -ei 2 r
r
αi
podemos sustituir, y queda:
→τ = ∑[(e → ⊗→τe → )-(→τe → ⊗e → )] = ∑(e → ∧→τe →) i i i i i i Así pues, todo todo tensor antisimét antisimétrico rico puede puede represent representarse arse en esta forma. En el caso de un espacio E tridimensional, la expresión de →τ tendrá un solo término.
79
9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 9.01.- Dado un subespacio vectorial A de E euclidiano y n-dimensional, examinemos examinemos el conjunto T de todos los tensores →τ que verifican las siguientes condiciones: 1ª. Im →τ = A 2ª. Nuc →τ =Subespacio A’ ortogonal suplementario de A. Los tensores →τ de T tendrán por tanto el subespacio ortogonal a Nuc →τ igual al subespacio Im →τ.
→
9.02.- Particularidades de la expresión →τ = → ei⊗fi de un tensor de T, con un mínimo de sumandos, respecto a lo visto en '1.12.
→ A, lo mismo que →i {ei} será ahora una base→idel→→subespacio i →i
lo es {f } y seguiremos teniendo f = τe al ser {e } la base dual → }. de {e i
→ } podamos considerar, en Ello nos permite que para {e i lugar de una base de A, una base de E tal, que incluya una base de A así como una base de A’. Esta nueva base da lugar a la misma expresión de los tensores de T con un mínimo de sumandos, ya ique en los sumandos → pertenece a A’ así como su dual e→ , y el factor →τe →i es añadidos e i nulo. 9.03.- El conjunto T evidentemente no es cerrado para la suma de tensores, aunque verifica: σT): (∀→τT)(∀→
σ+→τ) ⊂ A Im (→
σT): (∀→τT)(∀→
σ+→τ) ⊃ A’ Nuc (→
El conjunto T es cerrado para la transposición, dado que el transpuesto de un tensor →τ, tiene su imagen ortogonal a Nuc →τ y su núcleo ortogonal a Im →τ. 9.04.- Vamos a ver ahora, que el conjunto T toma la estructura de grupo mediante la multiplicación matricial. En efecto: a) El tensor producto matricial de dos tensores de T pertenece a T, o sea: (∀→ σT)(∀→τT):
→σ∗→τ ∈T
Pues evidentemente se verifica: σ∗→τ) ⊃ Nuc →τ; Nuc (→
σ∗→τ) ⊂ Im →τ Im (→
σ∗→τ) no perteneciera también a Ahora Ahora bien, bien, si un un vecto vector r → v de Nuc (→ 80
Nuc →τ, tendríamos:
⎧(σ* τ)v = 0 ⇔ ⎨ τv ≠ 0 ⎩
⎧σ(τv)= 0 ⇔ ⎧τv ε Nuc σ ⎨ τv ≠ 0 ⎨ τv ≠ 0 ⎩ ⎩ → pertenece por hipótesis a Im →τ, y y esto es imposible dado que →τv que Im →τ y Nuc →τ son ortogonales. r
r
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r
r r
r
r r
r r
Por consiguiente: σ∗→τ) = Nuc →τ = Nuc → σ Núc (→
σ∗→τ) = Dim Im → σ ⇒ Dim Im (→ σ∗→τ) ⊂ Im → σ, tendremos: y como siempre se verifica Im (→ σ∗→τ) = Im → σ = Im →τ Im (→
b) Como ya hemos visto que existe la asociatividad para el producto matricial de tensores en general, también existe entre los tensores de T. c) Existe en T un tensor unidad que es simétrico y representaremos representaremos por →τo, siendo →τ cualquier tensor de T. Vamos a suponer, que poro analogía con lo estudiado → respecto al tensor I fundamental, →τ puede representarse así:
→j⊗→ →τo = e → ⊗e →i = f fj i →
→
→ } y {f } bases cualesquiera de A, y {e→i} y {fj} sus siendo {e i j respectivas bases duales respecto al subespacio A = Im →τ. Las expresiones mencionadas son equivalentes, pues vamos a ver que son las del tensor correspondiente a la aplicación tal, que es idéntica para los vectores de A y es de anulación para los vectores de A’. Efectivamente, con una cualquiera de ellas sucederá lo siguiente:
→i y se verificará: Si → a∈ A A podremos podremos expresarl expresarlo o por → a=aie →τoa → = (e → ⊗e →i)a → = (a →e → )e →i = a e →i = a → i i i →∈ →a →=0 y por tanto: Si a A', A', tendremos e i → →τoa → = (e → ⊗e →i)a → = (a →e → )e →i = 0 i
i
Este tensor →τo es el elemento unidad del conjunto T, →i → → pues para cualquier otro elemento τ = ei⊗f de T se tiene:
→i → →j →i →i →τ →τ∗→τo=(e → ⊗f →j)(e → ⊗f → ⊗f )∗(ej⊗e )=(eie )= e = i j i → →i → →j → → →i →i →τ →τo∗→τ=(f → ⊗f ⊗f )∗(ej⊗f )=(fifj)(e ⊗f )= e = i j i σ cualquiera de T, tendremos Para dos tensores →τ y →
evidentemente:
81
→τo = →σo d) Los elementos de T admiten inverso.
→
→ ⊗f →i es →τ-1 = f ⊗e →i, cuyos factores El inverso de →τ = e i i pertenecen a las bases duales de las consideradas para →τ, como vamos a comprobar a continuación: →i → →j → →i →τ∗→τ-1=(e → ⊗f →j)(f )∗(fj⊗e )=(eie i j⊗f )= → →j → →i → → →j →τ-1∗→τ=(f ⊗e )∗(e ⊗f )=(f fi)(e ⊗e )= j
i
j
i
→ → fi⊗fi = →τo → ⊗e →i = →τo e i
e) De acuerdo con las propiedades generales de los conjuntos, tendremos: 1) El elemento neutro de T para la ley ∗ es único. 2) El elemento inverso de un tensor de T, por tener una ley asociativa para ∗, es único. 9.05.- Por ser T un grupo, se tiene: a) Existe una ley de simplificación a derecha e izquierda:
→σ∗→τ = →µ∗→τ →σ = →µ ⇔ →τ∗→σ = →τ∗→µ →σ = →µ ⇔ σ∗→ σ=→τ en → b) Las ecuaciones → µ=→τ en → µ y → µ∗→ µ, admiten, cada una,
solución única.
→σ∗→µ = →τ →µ∗→σ = →τ
⇔ ⇔
→µ = →σ-1 ∗ →τ →µ = →τ ∗ →σ-1
9.06.- Otros datos sobre →τo. 1.-
Matriz canónica o reducida del tensor →τo.
Si tomamos como base del espacio vectorial E n-dimensional, la reunión de dos bases cualquiera, una de A = Im →τ y otra de A’ = Nuc →τ, es fácil ver que a cada base así compuesta corresponde una única matriz mixta de →τo, en cuya diagonal principal hay tantos +1 como indique el rango de →τ, y siendo nulos los demás elementos de la matriz. 2.- La traza de →τo es igual al rango y el determinante es +1 para un tensor regular y 0 para uno irregular. 3.- Los subespacios propios de →τo son el núcleo y la imagen, con valores propios 0 y +1 respectivamente. respectivamente. Así pues, todo vector propio de o →τ con valor propio α, es o vector propio de →τ con valor propio α .
→ de E descompuesto en sus proyecciones 4.- Sea un vector v 82
→ y v→ sobre Im →τ y Nuc →τ respectivamente. ortogonales v respectivamente. Dada la i n definición de →τo, podremos escribir: → →τov → = →τo(v → +v → ) = →τov → + →τov → = v → + 0 i n i n i O sea, que →τo es el tensor de la aplicación ortogonal de un vector de E sobre A = Im →τ. De la misma manera podemos escribir:
→ →→ →o→ → = I → - v → = v → (I-→τo)v v - τv = v i n →
y I-→τo es el tensor de la aplicación proyección ortogonal de un vector sobre Nuc →τ. σ de grupos distintos, tales que 5.- Para dos tensores →τ y → → σ, se tendrá: Im τ es ortogonal y suplementario de Im →
→τo +
o
→
σ = I
9.07.- Otros datos de →τ-1.
→ del tensor →τ, con valor propio α≠0, Un vector propio v es vector propio de →τ-1 con valor propio α-1: →τ-1∗→τ=→τo
→)=→τov → ⇒ →τ-1(αv →)=v → ⇔ →τ-1v →=α-1v → ⇔ →τ-1(→τv
9.08.- Potencias matriciales de elementos de T. Son evidentemente elementos de T, las potencias de exponente entero positivo de un tensor de T, así como como las las de exponente cero o menos uno que hemos definido anteriormente. anteriormente. Podemos definir también y sin inconveniente, una potencia matricial entero negativa de un tensor de →τ de la siguiente manera:
→τ-m = (→τ-1)∗m y es fácil ver que con exponentes enteros de cualquier signo o nulos se verifica:
→τ∗α ∗ →τ∗β = →τα+β Siendo así, podremos considerar elementos de T formados por polinomios matriciales con sumandos de tipo ατ→∗s con α escalar y exponentes s enteros de cualquier signo, o nulos, e incluso series polinómicas convergentes de cualquier tensor →τ de T. Para estos casos recordaremos '8.03c, en que se decía
que si A(→τ) es la expresión de un tensor de este tipo, y → v es un → también será vector vector propio de →τ con valor propio α, v propio de A(→τ) con valor propio A(α). 9.09.- Observaciones. 83
En todo lo que acabamos de decir relativo a potencias negativas o nulas de un tensor →τ, se presupone que el tensor las admite tal como se han definido, y es evidente que esto ocurre si y sólo si Im →τ y Nuc →τ son ortogonales y suplementarios ya que esta es la única condición exigida para que →τ pueda formar parte de algún grupo del tipo estudiado. Un grupo que presenta especial interés es el grupo de los tensores regulares, que tienen núcleo reducido → el subespacio → al vector nulo y para el que →τo= I y →τ∗→τ-1= I. Es de notar que todos los tensores simétricos así como los antisimétricos, admiten exponentes nulos y negativos del modo aquí definido, ya que por '1.11 sabemos que tienen el núcleo ortogonal y suplementario de su imagen. Se puede ver fácilmente que si un tensor →τ de orden r tiene ortogonales imagen y núcleo, sus matrices respecto a una base reunión de dos bases cualesquiera, una del subespacio imagen y otra del subespacio núcleo, con la conveniente ordenación de los vectores base, presenta la siguiente estructura:
A
0
0
0
en que A es una matriz regular de rxr elementos y en que son nulos todos los elementos exteriores a A.
→τ cuyo rango es r, 9.10.- Cuando dado un tensor existen los tensores →τo y →τ-1, ó sea que Núc →τ es el subespacio ortogonal y por tanto suplementario de Im →τ, podemos calcularlos conociendo la ecuación A(→τ) característica de →τ. Suprimiendo en lo sucesivo el signo ∗ en exponentes, y para E n-dimensional, por '8.03a tenemos:
→ 0 = P(→τ)= →τn - δ1→τn-1 + δ2→τn-2- ... ±[δr-1→τn-r+1 - δ
los
→τn-r] =
r
= →τn-r(→τr - δ1→τr-1 + ... ±[δr-1→τ - δr→τo]) y existiendo →τo,
se demuestra que esto exige:
→τr -
δ1→τ
r-1
→
+ ... ±[δr-1→τ - δr→τo] = 0
De esta última igualdad de potencias matriciales de →τ.
se puede obtener →τo en función
Tal ecuación se puede poner también en otra forma: 84
→
→τ(→τr-1 -
δ1→τ
+ ... ±[δr-1→τ0 - δr→τ-1]) = 0
→τr-1 -
δ1→τ
+ ... ±[δr-1→τ0 - δr→τ-1] = 0
r-2
que exige: r-2
→
y de esta última expresión se puede obtener →τ-1. 9.11.- En las mismas condiciones señaladas en '9.10, vamos a ver otras formas de cálculo para diversos rangos r de →τ, con E n-dimensional. n-dimensional. a) r=n (tensor regular).
→
Tendremos evidentemente →τo=I, y en cuanto a →τ-1 lo -1 podremos obtener a través de su matriz mixta {→τ }’ por un conocido método de cálculo matricial. Recordando del cálculo matricial que la matriz A + adjunta de la matriz A es la traspuesta de la matriz obtenida reemplazando en A cada término por su cofactor y que se verifica: + AA+ = A A = I (det A) + al llamar → µ el tensor tal que {µ}’=A , tendremos:
→ →τ∗→µ = I (det →τ) ⇔ b) r
→µ = →τ-1(det →τ) ⇔
r
r
τ
-1
=
µ det τ
r
Adoptaremos una base de E que sea una reunión de → → cualquier base de Im τ y de cualquier base de Nuc τ, y así, con la debida ordenación de los vectores base, la matriz {→τ}’ presenta la forma explicada en '9.09. Sustituyendo la -1matriz A, -que de esta manera resultará regular-, por la matriz A , ó una matriz unidad, se obtienen las -1 o → → matrices {τ }’ ó {τ }’ respectivamente. respectivamente. c) r=n-1. Si →τ cumple las condiciones de la hipótesis, podremos adoptar para E una base ortonormal uno de cuyos versores pertenezca a Nuc →τ. Expresando {→τ}’ en esta base, su matriz adjunta tendrá un único elemento no nulo situado en la diagonal principal, y resulta Im → µ unidimensional, igual a Nuc →τ y ortogonal a Nuc → µ. La ecuación característica de → µ solo tendrá un coeficiente no nulo, y éste será la traza, que como evidentemente evidentemente ha de ser igual a la suma de los menores de la traza de →τ, coincidirá con el coeficiente δn-1 de la ecuación característica de →τ. La ecuación será pues:
85
µ r
0
r
P(µ) = µ - δn-1µ = 0 r
r
r
⇒
0
µ = r
δn-1 Pero como el subespacio imagen de → µ es ortogonal y → suplementario del de τ, tendremos: µ r
0
0
⇒
r
τ + µ = I r
r
0
r
τ = I -
r
δn-1
d) r=1. Si α es el valor propio no nulo de →τ, es también su traza y tendremos: τ
r r
τ - α τ0 = 0
r
r
⇒
0 τ =
r
α
0 τ τ = τ = = 2 α α α -1 τ
r
⇒
τ
r
-1
r
r
r
86
9.12.- Potencias y raíces de tensores simétricos. Si tenemos un tensor simétrico →τ, hemos visto em '8.04c que siempre existe para E una base ortonormal de versores propios propios → → {ei} de τ. Si los conocemos, y también conocemos los valores propios {αi} correspondientes, y el rango r, es fácil ver que podremos expresar a →τ y a sus potencias matriciales matriciales enteras del siguiente modo:
→τ =
∑
r 1
→ ⊗e → )]; [αi(e i i
→τq =
∑
→ ⊗e → )] [(αi)q(e i i
r 1
q → τ son Sabemos por '8.03c que los vectores propios de los mismos de →τ y que sus valores propios son { αq}.
9.13.- Raíces. Se puede emplear la expresión de la potencia q de →τ, para definir la raíz m de →τ si se utiliza un valor fraccionario 1/m para q, pues es evidente que su potencia m reproduce el tensor →τ. A contin continuaci uación ón expon expondrem dremos os algun algunas as obser observaci vaciones ones sobre sobre la radicación de tensores simétricos, con algunos ejemplos de raíces cuadradas. a) Raíz cuadrada de un tensor con valores propios distintos y rango r.
→ ⊗e → ) corresponderán diversos tensores raíz Al tensor tensor →τ=∑αi(e i i cuadrada: ( τ )1 = + α1(e1 ⊗e1) +
α2(e2⊗e2) +
α3(e3⊗e3)+...
( τ )2 = - α1(e1 ⊗e1) +
α2(e2⊗e2) +
α3(e3 ⊗e3)+...
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
etc. Habrá 2r soluciones simétricas distintas cuyo cuadrado reproduce →τ, ó sea tantas como variaciones de orden r con repetición se pueden formar con dos elementos. Las raíces sólo son reales en el caso de que todos los valores propios son positivos. b) Raíz múltiples.
cuadrada
de →τ
de
rango
r
y
valores
propios
Habrá infinidad de soluciones, pues si por ejemplo hay un valor propio doble, habrá un subespacio propio bidimensional en el que podremos elegir entre infinidad de pares de vectores ortogonales propios para formar parte de la base en que se exprese el tensor. Que se elija uno u otro par no altera al tensor representado, pero sí cambian las raíces cuadradas obtenidas eligiendo raíces cuadradas opuestas para cada versor del par. 87
c) Al operar con raíces, debe cuidarse de no cometer errores análogos al que se cometería si siendo +1 y -1 raíces cuadradas de +1 escribiéramos (-1)(+1) = +1. d) La fórmula aquí empleada solo permite obtener raíces simétricas y es evidente que pueden existir raíces cuadradas de →σ es antisimétrico, hemos visto por otros tipos. Por ejemplo, si 2 σ es simétrico, y por tanto una de las raíces '8.05b que → σ, que es antisimétrico. cuadradas de este último es →
88
10.- Tensores ortogonales. Definiciones: 1ª. Reciben el nombre de tensores ortogonales los → tales que su inverso es igual a su transpuesto: tensores ω
→ ω
-1
escalar:
~ = ω
→ que conservan el producto 2ª. Son los tensores ω →)(∀w →): (∀v
→w → = (ω →v →)(ω →w →) v
Puesto que esta ecuación equivale a:
→)(∀w →): (∀v
→w → = ω →(v →⊗ ω →w →) = ω →w → ⊗ v →) = [(ω →)w →]v → ~(ω ~∗ω v
y esto ocurre si y solo si:
→
→ = I ~∗ω ω
⇔
→ ~ = ω ω
-1
3ª. Son los tensores que conservan la norma de todo →+v → siendo u → y v → vectores cualquiera. O sea: vector tal como u
→+w →)2 = [ω →(v →+w →)]2 = (ω →v →+ω →w →)2 (v y esto equivale a:
→w → = (ω →v →)2 + (ω →w →)2 + 2(ω →v →)(ω →w →) v2 + w2 + 2v que a su vez equivale a:
→w → = (ω →v →)(ω →w →) v 10-01.- Propiedades: a) Es fácil ver que los tensores ortogonales son regulares y forman un subgrupo del grupo de los tensores regulares. b) De la primera definición se deduce inmediatamente que el determinante de un tensor ortogonal es +1 ó bien -1. Los tensores ortogonales de determinante +1, conservan la orientación de una base y constituyen un subgrupo del subgrupo subgrupo de tensores ortogonales, el de los tensores llamados rotaciones.
89
11.- Tensores semejantes. σ son Definición.- Diremos aquí que dos tensores →τ y → → semejantes cuando para algun tensor ortogonal ω se verifica:
~ →σ = ω →∗→τ∗ω y entonces también tendremos recíprocamente:
→ ω
~-1 = →τ ∗→σ∗ω
-1
~∗→ → = →τ ω σ∗ω
⇔
y por consiguiente, un tensor y sus semejantes constituyen una clase de equivalencia. equivalencia. 11.01.- Las ecuaciones características de dos tensores semejantes son coincidentes. Efectivamente. Si la ecuación característica de →τ es → Det(→τ-λ I) = 0, podremos escribir:
→
→
→
→∗(→τ-λ I)∗ω →∗→τ∗ω →I)∗ω →∗→τ∗ω ~ = ω ~ - λ ∗(ω ~ = ω ~ - λ I ω →
Det(→τ-λ I) = 0
⇔
→ ~ →∗(→τ-λ I Det[ω )∗ω]= 0
⇔
→ ~ - λ I →∗→τ∗ω Det[ω ] = 0
Por consiguiente serán comunes los valores propios y los invariantes δq. σ es semejante a →τ y la semejanza viene dada 11.02.- Si → →, se verifica que al vector propio v → de →τ con valor propio por ω →v → de →σ con la misma norma que v→ α, corresponde el vector propio ω e igual valor propio α:
~)ω ~∗ω →∗→τ∗ω →v → = (ω →∗→τ∗ω →)v → = (ω →∗→τ)v → = ω →(→τv →) = α(ω →v →) (ω
→ y ω →v → son las mismas por En cuanto a las normas de v → según sabemos por '10-3ª. ser ortogonal el tensor ω →
→τ=a → ⊗bi su semejante 11.03.- Si un tensor se expresa por i →i →σ = ω →∗→τ∗ω →a → ⊗ω →b ~ se podrá expresar por → σ= ω , ya que de un modo más i general, podemos escribir: →i ∗~λ → →i ~λ → →i → ⊗b →µ[(a → ⊗b →µ{[(~λ v →)a → ]b [→ ) ]v = )( v )] = } = µ∗(a i i i → → → →→i →→ → →→i →→ →→i → ~ → → →i λ λ ai⊗µb )v ⊗ai)]b } = [λ (a ⊗ = → v )] b = [( a )v ] b = ( µ{[λ (v µ µ i i y por lo tanto:
→i ~ →→ →→i →µ∗(a → ⊗b )∗λ = λ ai⊗µb i
90
12.- Tensores simétricos definidos positivos. 12.01.- Definición. Decimos que un tensor →τ simétrico es definido positivo y escribimos →τ>0, cuando se verifica:
→; v →≠0): (∀ v
→τ(v →⊗v →) > 0
y esto ocurre, como vamos a ver, si y sólo si todos los valores propios de →τ (que son reales por ser simétrico por hipótesis) son positivos. Pues en este caso podremos adoptar una base ortonormal
→ } de vectores propios de →τ y para cualquier vector v→=vie → se {e i i
verificará:
→τ(v →⊗v →) =→τ(vie → ⊗vje → ) =vi(→τe → )vje → = (∑α vie → )(vje → )= ∑α (vi)2 > 0 i j i j i i j i 12.02.- Si →τ simétrico es definido positivo, es fácil
ver que corresponde a una función bilineal simétrica de E×E y que ésta define un nuevo producto escalar entre dos vectores → y w → calculable por la fórmula: cualesquiera v
→ •w → = →τ(v →⊗w →) v Este producto escalar, que es distinto al admitido previamente para E y que lo hace propiamente euclidiano (pues → → sólo coincide en el caso τ=I), da lugar a una nueva estructura de espacio propiamente euclidiano y en consecuencia serán aplicables para ella las propiedades generales correspondientes. 12.03.- Tendremos pues las modalidades siguientes: 1ª. Las nuevas matrices fundamentales de bases son de determinante positivo, y por tanto serán aplicables las desigualdades de Schwartz, por ejemplo:
→•w →)2 ≤(v →•v →)(w →•w →) (v
⇔
→⊗w →)][→τ(v →⊗w →)] ≤ [→τ(v →⊗v →)][→τ(w →⊗w →)] [→τ(v
2ª. La nueva ortogonalidad viene dada por
→τ(v →⊗w →) = 0 → y w → son conjugados respecto a →τ. y diremos que v Existirá siempre una base de vectores conjugados dos a dos.
→ } es 3ª. La matriz fundamental correspondiente a una base {e es i → → → {tij} pues se verifica τ(ei⊗ej) = tij. 4ª. Un cambio de bases dado por la matriz A cambia a la matriz fundamental en la forma siguiente: {t’ } = ~ A{t }A ij
ij
12.04.- Por ser simétrico →τ y por '8.04-c), sabemos que 91
siempre existen bases ortogonales de vectores propios de →τ, que una de ellas es ortonormal, y que, respecto a ella, las matrices de →τ coinciden en una única matriz diagonal. Estas bases están formadas por conjuntos de vectores conjugados dos a dos.
→ } correspondiente a los En efecto. Con la base {e i valores propios {αi} podremos escribir: (i≠j):
→τ(e → ⊗e → ) = (→τe → )e →) = i j i j
→e → αie i j = 0
12.05.- Sea un tensor simétrico →τ. Con una base ortonormal cualquiera, la matriz {tij} coincidirá con la matriz j {ti }. pero sólo serán una matriz diagonal en el caso de que los elementos de la la base base ortonormal ortonormal sean vectores propios de →τ. Las ecuaciones correspondientes al cambio entre estas dos bases ortonormales son, segun vimos en '2.07/8 las siguientes: ~ {t }A, {t’ } = A {t’ j} = A-1{t j}A ij
ij
i
i
j Pero ahora tenemos tij=tij y -1 t’ij=t’ y por lo tanto, para i ~, es este cambio de bases será preciso A = A decir. que A sea una matriz ortogonal. Puede comprobarse que A es entonces la matriz cuyas columnas están formadas por los coeficientes de los vectores propios normalizados, expresados en la base ortonormal original.
Evidentemente, las operaciones anteriores son aplicables en cálculo matricial a la diagonalización de una matriz simétrica. Para ello hallaremos el polinomio característico de la matriz, y sus vectores (matrices línea) propios de los que deduciremos los vectores propios ortonormales. Con estos últimos podremos formar la matriz A ortogonal a utilizar para obtener la matriz diagonal buscada.
92
13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos. 13.01.- Definición. Decimos que un tensor es semidefinido positivo y escribimos →τ≥0 cuando se verifica:
→): (∀ v
→τ(v →⊗v →)
≥
0
Esto ocurre si y sólo si todos los valores propios { α }
i de →τ son positivos o nulos, lo que se demuestra como en '12.01. 13.02.- Si →τ es semidefinido positivo, también
corresponde a una función bilineal simétrica de E×E, que define para E un producto calculable por la fórmula:
→ • w → = →τ(v →⊗w →) v que da lugar en E a una nueva estructura, esta vez de espacio semidefinido positivo. 13.03.- Las nuevas matrices fundamentales de bases son de determinante positivo o nulo y son aplicables como en '12.03 las desigualdades de Schwartz. Las demás propiedades mencionadas en '12.03/4/5 para los espacios definidos positivos, resultan también aplicables a los espacios semidefinidos positivos.
93
ANALISIS TENSORIAL A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS.
1.- Espacios puntuales afines. 1.01.- Definición.- Son los espacios E que generalizan las propiedades del espacio puntual de la geometría ordinaria a cualquier dimensión. Sus elementos se denominan puntos, sabemos distinguir cada uno de ellos de los demás y tienen las siguientes propiedades: a) A cualquier elemento de {E ×E }, }, ó sea a cualquier par ordenado de puntos (A,B) del conjunto E , se puede hacer → corresponder un vector, designado por ¯ AB, de un espacio vectorial E de n dimensiones, y esta correspondencia verifica las siguientes propiedades:
→ = - ¯ A ¯ B A B→ → = ¯ → + ¯ → A ¯ B AC CB En geometría ordinaria, E es el espacio vectorial de los vectores libres.
→ de E y un punto O b) A cada par formado por un vector a de E , corresponde un único punto A de E tal que verifica: →
→ ¯ O A = a En geometría ordinaria ¯ A O→ es el que está ligado al punto 0.
vector equipolente a → a
1.02.- Según sea el espacio vectorial E que corresponda al espacio puntual afín, este último recibirá un nombre. Así un espacio puntual afín n-dimensional es el que corresponde a E de n dimensiones, un espacio puntual afín real es el que corresponde a E real, y un espacio puntual afín propiamente euclidiano, el que corresponde a E propiamente euclidiano. En lo sucesivo y de no indicar lo contrario, nos referiremos siempre a espacios puntuales afines reales y propiamente euclidianos. En virtud de la correspondencia mencionada, llamaremos vectores a los elementos (A,B). Por otra parte, diremos en → relación con un vector ¯ A B que A es su origen y B su extremo. 1.03.- Sea E un espacio puntual afín, correspondiente el espacio vectorial E.
95
Para su estudio elegiremos un punto O cualquiera de referencia, y consideraremos al conjunto O ×E de los pares de puntos de E que tienen en común el primer punto O, como un espacio vectorial EO constituído por los vectores de E ligados al punto O. Este último conjunto, de acuerdo con '1.02b, vemos que → → corresponde a E, verificándose ¯ O O = 0. Eligiendo a otro punto O’ distinto, podremos considerar análogamente otro espacio vectorial EO' de los vectores (O’,E ) ligados al punto O’. A un mismo punto A del espacio puntual → afín → y corresponden, en EO y E O' respectivamente, los vectores ¯ O A=a → → ¯ O ¯ ’ A=a' que evidentemente verificarán la siguiente relación:
→ → = a →’ + ¯ a O ¯ O’ → es la que explicita la aplicación de E sobre E por la que ¯ O A O' O →. imagen de ¯ O ¯ ’ A La elección de un punto de referencia y por tanto de un espacio vectorial EO de referencia, nos permite determinar unívocamente cada punto de E mediante cada vector de EO. A estos vectores les denominaremos vectores de posición. Su valor para un mismo punto variará con el punto de referencia elegido. 1.04.- Del punto arbitrario O decimos que es un origen ó punto de referencia de E , que junto con EO define unívocamente al espacio puntual afín. El cambio de origen de O’ a O equivale a cambiar E O' por EO de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior. 1.05.- En un espacio puntual afín las referencias para el cálculo en cada caso particular no solo consistirán en la base que se haya adoptado para E, sino también en el mismo espacio vectorial EO escogido, ó lo que al efecto es equivalente, el punto origen elegido. La referencia de E total para el cálculo será pues: (O, base de E) Un cambio de referencias hará para el cálculo. Para éste ya suponemos cambio de base en un espacio vectorial, ahora el efecto de un cambio de origen de los vectores ligados al origen.
variar las cifras usadas conocido el efecto de un y acabamos de considerar en el espacio vectorial
Es fácil ver que el orden de sucesión con que se calculen los dos tipos de variación es indiferente. 1.06.- Advertencia. Tendremos en cuenta, que el objeto de este ensayo es solamente, estudiar la aplicabilidad en Análisis tensorial del 96
método de representación tensorial intrínseca utilizado en el Algebra Algebra tensor tensorial, ial, partiendo partiendo de las las base bases s matemá matemática ticas s conoc conocidas idas. . 1.07.- Aplicaciones de E en G. Campos. Si tenemos una aplicación ϕ definida en un dominio de E sobre un espacio G cualquiera, tal que para los puntos A del dominio se tiene ϕ(A)=m A, diremos que ϕ es una aplicación de E en G, cuya imagen en A es m A. Decimos también entonces, que en tal dominio de E hay un campo de la variable m, con valores m A, mB, etc. en sus puntos A,B, etc. respectivamente. respectivamente. Si los valores de m son los mismos en todos los puntos de un dominio ∆ de E decimos que en ∆ el campo de m es uniforme. A las las aplica aplicacion ciones es de de E en G las denominaremos también aplicaciones puntuales. En este texto y salvo indicación expresa, nos limitaremos a considerar solamente las aplicaciones puntuales de E en un espacio vectorial euclidiano F, cuyas imágenes por tanto se puedan representar por tensores de un mismo orden, incluyendo entre los tensores a escalares y vectores. A este tipo de aplicación, corresponderá el campo de una variable que expresa tensorialmente a una magnitud llamada puntual, y que tomará un valor particular en cada punto. 1.08.- De acuerdo con el párrafo anterior, aquí también podremos considerar aplicaciones de E sobre el espacio vectorial L de las aplicaciones lineales de E en F, puesto que según vimos en Algebra tensorial, sus imágenes son representables por tensores. 1,09.- Frecuentemente se define una aplicación puntual de E en F, a través de una aplicación f de E en F referida a un punto dado O, y establecemos entonces que la imagen en un punto A → cualquiera es f(O ¯ A). De este modo, de una aplicación f única de E en F pueden derivarse tantas aplicaciones puntuales, como puntos de referencia se pueden elegir. Eligiendo →un punto distinto O’, resulta que la nueva imagen en A es f(O ¯ ¯ ’ A). Diremos que las imágenes tensoriales en cualquier punto dado de todas estas aplicaciones puntuales, son expresiones de una misma magnitud, tal como →τ, y las designaremos por:
→τ , →τ , ... OA O’A 1.10.- Aplicaciones continuas continuas de E en F. Una aplicación f de E en F es contínua en un punto X, si y sólo si siendo X’ otro punto, con cualquier referencia O se 97
verifica:
→
→→0): (∀O)(∀X’;X X’ ¯ ¯
(1)
→ lim [→τOX’-→τOX] = 0
y entonces decimos también que la magnitud →τ es contínua en X. Si y sólo si f es continua en todo punto de un dominio ∆ de E , diremos que f es continua para ∆. 1.11.- Aplicaciones diferenciables diferenciables de E en F. Una aplicación f de E en F es diferenciable en X, si y sólo si existe una aplicación lineal L de E sobre F, propia del punto X y de f, e independiente del origen, tal que si X' es otro → → punto de E y llamamos dx al vector ¯ X ¯ X’, se verifica:
→ →→ 0 (∀O)(∀X’; ¯ X ¯ X’ ):
(2)
[τOX′- τOX] - L(dx) lim = 0 dx r
r
r
y entonces decimos también que la magnitud →τ es diferenciable en X. Si y sólo si f es diferenciable en todo punto de un dominio ∆ de E , diremos que f es diferenciable sobre ∆. 1.12.- Dentro de las aplicaciones diferenciables, distinguiremos dos clases: a) Clase H1.- Son las que verifican las siguientes hipótesis: 1ª.- La aplicación es biunívoca. →∈∆ la aplicación L también es biunívoca. 2ª.- Para todo X b) Clase H2.- Son las aplicaciones de la clase H 1 que además son dos veces continuamente diferenciables diferenciables sobre ∆. 1.13.diferenciables. verifica:
Todas
las
aplicaciones
lineales
son
Pues si f es lineal, para cualquier origen O se
→)-f(O →)= f(O →-O →)=f(X →)= f(dx →τ -→τ = f(O →) ¯ ¯ X’ ¯ X ¯ ¯ X’ ¯ X ¯ ¯ X’ OX’ OX y por tanto L=f uniforme satisface la ecuación (2) en todo punto. Mencionaremos en particular la aplicación idéntica, que será diferenciable por ser lineal. Su consideración como aplicación diferenciable es coherente con las propiedades conocidas de la magnitud vector de posición. Así pues, aplicando la última ecuación utilizada, podemos escribir: 98
→ - r → = f(dx →) = dx → = ¯ r X ¯’ X→ X’ X
(∀O):
1.14.- Sea una aplicación contínua y diferenciable en un dominio ∆ de E y dos puntos dados del mismo tales como A y N. Si la magnitud correspondiente correspondiente es →τ se verifica:
→τ
(∀O)(∀O’):
ON
- →τOA = →τO’N - →τO’A
Efectivamente. Podemos suponer una línea del dominio que une los puntos A y N con puntos intermedios B,C,..,M y por tanto tendremos:
→ = ¯ → + ¯ → + ... + ¯ → A ¯ N AB BC MN Esto sucederá sea cual sea el número de puntos intermedios elegidos, y también por lo tanto, cuando este número crezca indefinidamente y la longitud dx de los segmentos tienda a cero. En estas condiciones también tenderá a cero la relación por cociente entre numerador y denominador de la fracción indicada por la ecuación (2) para cada sumando. De ello se deduce que también tiende a cero la relación por cociente entre la suma de numeradores y la suma de denominadores. Pero como la suma de denominadores es siempre la longitud de la línea, longitud que supondremos finita, resulta que, en el límite, la suma de numeradores será nula, y por tanto podremos escribir: lim
⎡N ⎢∑[τ OX′ − τ OX ] − ⎣A r
r
∑L (dx) ⎤⎥⎦ = 0 N
r
X
X
A
Efectuando el primer sumatorio, y→ sustituyendo el símbolo LX por el factor contracto tensorial λ X equivalente, se tiene: τ ON − τ OA
r
r
=
N
lim
∑
r
λ X (dx)X r
A
Como el 2º miembro no varía al sustituir un origen por otro, lo mismo sucederá con el primer miembro, como queríamos demostrar. τ contínuo y diferenciable, Esta última igualdad, para → suele escribirse omitiendo el origen, y aplicando la convención que utiliza el signo ∫, en lugar del signo Σ habitual y de la indicación de límite, cuando este límite se refiere a un número de puntos intermedios que creciendo indefinidamente en una línea de unión entre dos puntos fijos, guardan distancias sucesivas que tienden a cero.
Quedará así:
99
(3)
τN - τA =
r
r
∫
N
A
r
λ dx r
→
y el sumatorio del 2º miembro se lee: integral de λ desde A a N. 1.15.- Otras observaciones sobre las aplicaciones diferenciables. τ O y el campo de → τ O' difieren en un campo a) El campo de → uniforme, pues tenemos:
→ τ OA-→ τ OB = → τ O’A-→ τ O’B
→ τ OA-→ τ O’A = → τ OB-→ τ O’B = → τ OO’-→ τ O’O’ = Cte. → y esta constante, en el caso de tener → τ O’O’=0, valdrá → τ OO’. ⇒
b) Hemos hablado de campos y variables ó magnitudes en 1.07. Conviene señalar que, cuando existe una aplicación ' contínua y diferenciable de E en F de imágenes → τ , existen tantos → campos de τ como puntos origen es posible adoptar, pero se conviene que la magnitud → τ es común y una sola. En cuanto al campo L determinado por f, hemos visto que es uno sólo, el mismo con cualquier origen que se considere, y por lo tanto con τ . Finalmente acabamos de ver que la cualquier campo de → τ es un campo uniforme. diferencia entre dos campos de → 1.16.- Diferenciales. Previamente haremos observar, que en el → lenguaje → →+X → → → → habitual, llamamos x y x+dx a los vectores ¯ O X y ¯ O ¯ X’=O ¯ X ¯ ¯ X’ respectivamente, respectivamente, sin expresar el origen O adoptado. Nos referiremos ahora a una aplicación f de E en F diferenciable y continua en un punto X, así como a la aplicación aplicación lineal L que f determina en el punto X, según se ha visto en → '1.l1, y al factor tensorial contracto λ equivalente a L. Designaremos por →τ la magnitud tensorial correspondiente a f. Utilizando otro punto X’ cualquiera de E , definiremos → de E , → en X, al vector variable ¯ como diferencial de x X X’ ¯ X →, y que tomará un valor determinado designado habitualmente por dx para cada punto X’ que se elija. Definiremos como diferencial de →τ en X designaremos por d→τ a la siguiente variable tensorial: (4)
y
lo
→
→) = λ dx → d→τ = LX(dx X
cuyo valor depende no solamente de f y de X, por sucederle esto a L, sino también de la elección de X’, de la que depende dx→. Por otra parte, no se altera con un cambio de origen en la identificación de X. τ coincide con el de →τ. El orden tensorial de d→
Podremos escribir: 100
∫
τN - τA =
r
r
N
A
r
dτ
manteniendo el significado de (3), es decir, que el sumatorio límite indicado por el signo signo integral, integral, se refiere refiere a sumandos cuyo número crece indefinidamente y a segmentos con dx →0. 1.17.- Integrales y derivadas (espaciales). De lo visto hasta ahora deducimos, que la existencia de un campo contínuo y diferenciable → m, implica τ de orden tensorial → la existencia correspondiente de otro campo λ , distinto, de orden tensorial m+1, ambos relacionados por la igualdad (3).
→ De→ cualquier campo → de τ decimos que es un campo integral de λ y del campo de λ que es la derivada espacial de → τ, → ó simplemente derivada de τ cuando no puede haber confusión. La implicación recíproca a la mencionada no es cierta, → pues aunque siempre podemos admitir la existencia de un campo λ cualquiera, de ello no podemos deducir, en general, la existencia de un campo →τ correspondiente y que sea contínuo y diferenciable.
→
Por ello, entre las magnitudes puntuales arbitrarias λ , habremos de distinguir entre las integrables y las que no son integrables.
→
Cuando λ no es integrable, es decir, que no corresponde al campo de las aplicaciones lineales L propio de una aplicación contínua y diferenciable de E en F, las ecuaciones (3) y (4) no tienen el significado original. En consecuencia, y para evitar → → ∫ N λ dx errores, en estos casos procuraremos no usar la expresión A , → ni escribir dτ más que para referirnos a un diferencial. Advertimos →que, evidentemente, evidentemente, →la ecuación (3) sólo tiene sentido cuando λ es integrable. Si λ no es integrable el valor de la integral podrá variar con la línea de unión de las puntos señalados y tendrá aplicación en otras fórmulas si se indica la línea a considerar, por ejemplo de la siguiente manera: manera:
∫
r
λ dx r
l
cuando se refiera →a una línea l determinada y que leeremos integral lineal de λ en l. Por otra parte, en lo que respecta a nombres, así como → → hemos llamado derivada de τ al tensor λ , llamaremos derivada direccional de →τ respecto respecto a la dirección de un vector → , al tensor: base cualquiera de E tal como e i
101
r
λ ei = r
∂ τ ∂ei
r
r
Estos nombres generalizan conceptos conocidos del Análisis escalar, a los espacios n-dimensionales n-dimensionales y a las variables tensoriales. Los conceptos originales siguen válidos, pero ahora se refieren a casos particulares del concepto general. general. El diferencial d→τ podremos expresarlo en función de las → por su expresión derivadas direccionales si sustituímos en (4) dx → } cualquiera ó su dual {e→i}: en una base {e i
→
→
→ = dx λ e →i d→τ = dxiλ e i i ∂τ ∂ei r
(5)
i
r
dτ = dx
que expresa d→τ parciales.
r
⇒
∂τ dxi i ∂e r
=
r
como suma de diferenciales direccionales ó
1.18.- Vector ∇. Sea un campo →τ contínuo y diferenciable en un punto X dado, al que nos referiremos. Por tanto X no es un punto singular τ. del campo →τ, y para él existe un diferencial d→ Sabemos, por definición, que→ en tal punto el valor d→τ depende no sólo del valor del campo λ y por tanto del campo sino que además varía linealmente con el vector dx→, que independiente de →τ.
de → τ, es
Si la relación de d→τ con →τ fuera lineal, hubiésemos podido escribir para algún campo vectorial ∇ (de orden tensorial →), la siguiente igualdad: 1, como el de dx (6)
→ ∇)→τ d→τ = (dx
en la que no sólo se mantiene la igualdad de orden tensorial → y →τ. entre →τ y d→τ, sino también la linealidad de d→τ con dx Pero aún existiendo d→τ, no siendo en general lineal la relación entre →τ y d→τ, no habrá ningún vector ∇ posible. Al existir d→τ no lineal con →τ, vamos a ver qué condiciones debería reunir un ente ∇, para que en general, y concretamente en la ecuación (6), pudiera utilizarse con carácter carácter vectorial, en lo que afecta a las operaciones propias del algebra algebra tensorial intrínseca. Para hallarlas operaremos normalmente con ∇ como vector, y en primer lugar vamos a sustituir en la ecuacióni (6), ∇ y dx→ por sus expresiones en cualquier base. Llamando ∂ a iun → } y ∂ en la base dual {e→ }, supuesto coeficiente de ∇ en base {e i i 102
tendremos:
→i∂ = e → ∂i ∇ = e i i → = dx e →i = dxie → dx
(7)
i
d→τ = (dxi∂i)→τ = dxi(∂i→τ);
i
d→τ = (dxi∂i)→τ = dxi(∂i→τ)
→ también en la En segundo lugar, sustituiremos dx ecuación (4) definitoria de d→τ, y tendremos: →
→
→i) = (λ e →i)dx ; d→τ = λ (dxie i
→
→
→ ) = (λ e → )dxi d→τ = λ (dxie i l
De la comparación entre esta última ecuación y la obtenida anteriormente, resulta la condición buscada:
→→ ∂i→τ = λ e i;
→→i ∂i→τ = λ e
que consiste en considerar que todo coeficiente ∂ de ∇ calculado como vector, difiere de un coeficiente vectorial normal en que no es un factor escalar, sino un operador de derivación direccional → en sobre el mismo objetivo. El índice de ∂ coincide con el de e la derivada direccional correspondiente. 1.19.- El vector ∇ que cumple la condición anterior, y al que denominamos nabla, es pues un vector simbólico y único, con el que se puede operar como con cualquier otro vector, excepto en el paso a valores numéricos. Entonces sus coeficientes coeficientes no actúan como factores numéricos sino como operadores de derivación direccional de esta manera:
∂i τ
r
r
= λ ei = r
∂ τ; ∂ei r
r
∂i τ
r
r
= λ ei = r
∂ τ ∂ei r
r
La ecuación (6) que ha servido para definir a ∇, se podrá escribir ahora en la siguiente forma: (8)
→
→∇)→τ = (∇⊗→τ)dx → = λ dx → d→τ = (dx
que permite utilizar ∇ no sólo para definir un diferencial diferencial con →τ contínuo y diferenciable, sino que también para definir una derivada y una integral: (9)
→ Derivada de →τ = λ = ∇⊗→τ
(10)
→ → Campo integral de λ = Campo →τ + Campo uniforme k
Es fácil ver que el vector ∇ (que se escribe sin flecha), se puede considerar considerar único y de campo uniforme, sea cual sea la magnitud sobre la que actúe, y el punto de referencia adoptado.
103
2.- Utilización del vector ∇. 2.01.- Bases de utilización. a) En el uso del vector ∇ no debe quedar duda de cuál es la variable vectorial independiente, ó vector de posición, sobre la que se ha definido tanto ∇, como las aplicaciones contínuas y diferenciables que son su fundamento. Esta variable → ó r →. independiente se acostumbra a representar por x b) Al operar con ∇ sobre un tensor expresado como → y aplicado a un punto A, el sentido positivo para r → función de r → debe ser el de ¯ O A, por lo que si ya se hubiera definido el contrario, deberemos cambiar el signo del tensor y utilizar →’=-r →, con lo que no varía su valor. El tensor que resulte, se r considerará también afecto a A.
→∇)→τ c) En un punto dado, las expresiones ∇⊗→τ y (dx coinciden respectivamente con las de los tensores derivada de →τ y diferencial de →τ, siempre que existan, es decir, cuando →τ es una magnitud contínua y diferenciable en tal punto. 2.02.- Acción de ∇ sobre una suma →τ=→τ1+→τ2. Sea →τ=τ escalar y α y β escalares tales que τ=α+β. Por cálculo diferencial escalar sabemos que, para cualquier coeficiente ∂ de ∇, y →τ=(α+β) escalares, se verifica:
∂(α+β) = ∂α + ∂β Por consiguiente, para cualquier tensores, expresada por • tendremos: (11)
operación
entre
∇•(→τ1+→τ2) = ∇•→τ1 + ∇•→τ2
En el caso particular de que uno de los términos tensoriales p.e. →τ2 sea uniforme, se tendrá: (12)
∇•(→τ1 + →τ2) = ∇•→τ1 σ). 2.03.- Acción de ∇ sobre un producto →τ=(→ µ○→
Por cálculo diferencial escalar sabemos que, para cualquier coeficiente ∂ de ∇, y →τ=(αβ) escalares, se verifica:
∂(αβ) = ∂(αβ) + ∂(αβ) De aquí puede deducirse, que dadas dos operaciones producto entre tensores de expresión • y ○, tales que cada coeficiente del tensor producto de dos tensores es una suma finita de productos de un coeficiente de un factor por un coeficiente de otro factor, se verifica análogamente: (13) 104
∇•(→µ○→σ) = ∇•(→µ○→σ) + ∇ •(→µ○→σ)
En el caso particular de que uno de los tensores factores es uniforme tendremos: (14)
(µ uniforme):
(15)
(σ uniforme):
∇•(→µ○→σ) = ∇•(→µ○→σ) ∇•(→µ○→σ) = ∇•(→µ○→σ)
2.04.- Señalización de tensores afectados por un vector ∇ determinado.. 1 ª.- Si hay posibles dudas sobre en qué variables actúa ∇ como operador de derivación, habrá que indicarlo expresamente, por ejemplo con un subrayado, tal como se ha hecho en el 2º miembro de la ecuación (13).
→⊗b →), en la que ∇ debe Así pues para la expresión ∇(a → → actuar sobre a y b como operador de derivación, y en virtud de los párrafos anteriores, podremos escribir: →⊗b →) = ∇(a →⊗b →) + ∇(a →⊗b →) = → →) + (a→∇)b → ∇(a b(∇a En el primer paso, nos hemos atenido exclusivamente a la ley de derivacion dada por (13), que consiste en separar variables y en el segundo a operar algebraicamente, y es fácil ver que hubiéramos llegado al mismo resultado si primero operamos algebraicamente algebraicamente y después separando variables. En la práctica, y a ser posible, se suele indicar el tensor afectado por ∇ escribiéndolo, en cada término, después del signo ∇, con lo que, en general, no hace falta signo especial. De esta manera y en el ejemplo que hemos puesto, el último miembro quedaría así:
→
→
→) + (a →∇)b = b (∇ a
La señalización se hace indispensable cuando en las ecuaciones figura el vector nabla en múltiples posiciones y afectando en cada una a un tensor distinto. 2.05.- Vamos a poner un ejemplo en relación con las consideraciones consideraciones de simetría ó antisimetría de tensores. La expresión de un tensor por: (∇α)⊗(∇β) con α y β escalares, no será la de un tensor 0-simétrico si el primer vector ∇ afecta sólo a α y el segundo sólo a β. Con esta expresión del tensor y según la convención ordinaria, el primer factor afecta sólo al escalar α y el segundo sólo a β. Si no fuera así, la expresión habría de estar claramente señalizada o transformada para que no hubiera dudas. Normalmente, para expresar que los dos ∇ afectan por 105
igual a α y a β, la expresión más utilizada sería: (∇⊗∇)(αβ) 2.06.- Del examen de la estructura de las derivadas emésimas de un tensor →τ se deduce inmediatamente que son todas ellas tensores como mínimo m-simétricos:
∇⊗∇⊗→τ;
(∇⊗∇⊗∇)(αβ)
Pues ∇ se porta estructuralmente como un vector, y un vector, cuando es un factor tensorial repetido, define una simetría entre las posiciones que ocupa. 2.07.- Operadores. El vector ∇ se puede considerar como formando parte de un operador. Ya hemos visto:
∇⊗
= Operador derivada espacial. = Operador diferencial espacial.
→∇) (d ¯ x
de los que se deducen los siguientes operadores múltiples: múltiples:
∇⊗m→⊗⊗m
= Operador derivada espacial emésima. (d x )(∇ ) = Operador diferencial espacial emésima. ¯ ⊗m
De ahora en adelante, no utilizaremos la palabra espacial, más que cuando sea preciso para evitar confusiones. Definición de otros operadores característicos de uso corriente: a) Campo escalar α: = ∇2α (=∇⊗α) = ∇α
1. Gradiente de α ó Grad α 2. Laplaciana de α ó ∆α = (∇∇)α
→: b) Campo vectorial v 1. 2. 3. 4.
→ ó Div v → Divergencia de v → Tensor rotacional de v → (n=3) Tensor rotacional de v → ó Rot v → (n=3) Vector rotacional de v
= = = =
→ ∇v → ∇∧v →)×] [(∇×v →)’ = ∇×v → (∇∧v
τ, 2.08.- Advertencia. En este texto, al escribir ∇ ⊗q ⊗→ → consideraremos τ continuo y q veces diferenciable y que la operación es válida. En consecuencia también tendremos:
∂i(∂j→τ) = ∂j(∂i→τ)
⇔
∂ij→τ = ∂ji→τ
3.- Derivación de expresiones tensoriales. 3.01.- Algunas reglas deducidas de los párrafos anteriores para la derivación de expresiones tensoriales que por 106
hipótesis consideraremos derivables: a) Derivada de una suma.
∇ ⊗ (→τ+→σ) = ∇⊗→τ + ∇⊗→σ b) Derivada de un producto de escalares αβ.
∇ ⊗(αβ) = ∇(αβ) = α(∇β) + β(∇α) c) Derivada del producto contracto de un escalar α por un tensor →τ no escalar.
→) = (∇α) ⊗ →τ + α(∇⊗→ τ) ∇ ⊗ (ατ d) Derivada del producto contracto de dos tensores →τ y →σ no escalares y de igual orden.
∇(→τ→σ) = ∇(→τ→σ) + ∇(→τ→σ) = →σ(→τ⊗∇) + →τ(→σ⊗∇) σ⊗∇ = ∇⊗→ σ tendremos: y sólo en el caso de →τ⊗∇ = ∇⊗→τ y → ∇(→τ→σ) = →σ(∇⊗→τ) + →τ(∇⊗→σ) 3.02.- Sería fácil demostrar que las derivadas del escalar resultante de operaciones escalares entre variables escalares o bien de funciones escalares de variables escalares, se efectúan como en cálculo diferencial ordinario, con la salvedad de utilizar el signo ∇ en lugar del símbolo ordinario de derivación. Ejemplos:
∇(α+β) = ∇α + ∇β ∇(αβ) = α(∇β) + β(∇α) ∇
α β
=
β(∇α)- α(∇β) 2
β
∇(sen α) = (cos α)(∇α) 3.03.- Algunas expresiones generales fundamentales. Sea → r la variable independiente, n la dimensión de E, y → → resulta: I el tensor de la aplicación idéntica. Para →τ=r → →; ∇r →=I →=n; ∇∧r →=0 →; (∇∇)r →=0 →r →)=2r →; ∇r=r-1r → ∇⊗r (16) ; ∇(r Efectivamente: Por (8):
Por AT D'6.02-2 y AT D'4.11: Por AT D'1.13:
→ → = I ∇⊗r →(∇⊗r →I →= n → = I →) = I ∇r → → → ∇⊗→
→ = (∇⊗r →)dr → ⇔ dr → = ∇⊗r → - ( ∇∧r
r)~ = I- I = 0
107
→=unif. y simº) (I
→ = 0 → = ∇(∇⊗r →) = ∇I (∇∇)r
→r →r →) = 2∇(r →r →) = 2(r →⊗∇)r → = 2I → = 2r → ∇(r →r →)2 = 2(r →r →)-2∇(r →r →) = 2r-1(2r →) = r-1r → ∇r = ∇(r →p de orden m y grado p 3.04.- Derivada de un monomio →τm+px → (uniforme). Si denominamos →τ al con →τ independiente de x →p=→τx →p y entonces: componente m-simétrico de →τ tendremos →τ x m+p
m+p
→p) = p→τx →p-1 ∇⊗(→τm+px →p es escalar y se verificará: Pues para m=0, →τpx →p)= ∇[→τ(x →⊗x →⊗..⊗x →)]= p∇[→τ(x →⊗x →⊗..x →)] =p∇[(→τx →p-1)x →]= ∇(→τ x p
→ = p→τx →p-1)(x →⊗∇) = p(→τx →p-1)I →p-1 = p(→τx Y para m≠0, análogamente se tiene:
→p)= ∇⊗(→τxp) =(p∇)⊗[(→τx →p-1)x →] ∇⊗(→τm+px Multiplicando los miembros extremos por cualquier →, como v→∇ es un escalar, se verificará: vector v
→p)]v →= p(v →∇)[(→τx →p-1)x →] =p(→τx →p-1)[(v →∇)x →] = [∇⊗(→τm+px →v →p-1)[(∇⊗x →)v →]= p(→τx →p-1)(I →)= p(→τx →p-1)v → = p(→τx → es cualquier vector, tendremos finalmente: y como v (17)
→p) = p→τx →p-1 ∇⊗(→τm+px
3.05.- Consecuencia de (17) es que la p-derivada del monomio anterior es: (18)
→p) = p!→τ ∇⊗p ⊗ (→τm+px
como se puede comprobar fácilmente por derivaciones sucesivas. σs de orden s y un tensor →τp+m de 3.06.- Sea un tensor → orden p+m. Se verifica la siguiente ecuación entre componentes msimétricos: σs⊗→τp+m)]m = [(∇⊗→ σs)⊗→τp+m]m + [→ σs⊗(∇⊗→τp+m)]m [∇⊗(→
Puesto que tenemos:
→1+s+p = (a →∇)[(→σ a →s)(→τ a →p)] = [∇⊗(→ σs⊗→τp+m)]a s p+m →∇)(→σ a →s)](→τ a →p) + (→σ a →s)[(a →∇)(→τ a →p)] = = [(a s p+m s p+m →1+s+p + [→σ ⊗(∇⊗→τ )]a →1+s+p = [(∇⊗→ σs)⊗→τp+m]a s p+m y como por AT A'10.10 sabemos que dos monomios de 108
orden m son
equivalentes si y sólo si los coeficientes tensoriales tienen el mismo componente m-simétrico, ello implica lo que queríamos demostrar. Recordaremos que según se vió en AT A '6.08, para m=0, el componente 0-simétrico de un tensor coincide con el componente totalmente simétrico.
→=∇⊗r →. 3.07.- Ejemplos de utilización de la igualdad I →=→σ siendo →σ un tensor σr a) Otra demostración de ∇⊗→ uniforme (Igualdad demostrada en '3.04). Siendo cualquier vector
→ el tensor idéntico (también uniforme), para I → podremos escribir: a
→→ →σa → = →σ(I →)a →] = →σ[(a →∇)r →] = (a →∇)(→σr →)=[∇⊗(→σr →)]a → σ[(∇⊗r a) = → → es un vector cualquiera, se tendrá: y como a →σ = ∇⊗(→σr →) = ∇⊗→τ → es una integral de →σ y →σ es la derivada σr y por lo tanto →τ=→ →. σr de →τ=→ b) Otra representación de tensores isótropos. Sabemos por AT A'7.02 que la expresión general de los → ⊗I →⊗...⊗I →, en cualquiera de sus tensores isótropos es I permutaciones de→ factores vectoriales. Como ahora por (16) →, otra expresión general será: también tenemos I=∇⊗r
→ ⊗∇ ⊗r → ⊗...⊗∇ ⊗r → ∇1⊗r 1 2 2 n n en cualquiera de sus permutaciones. En esta última expresión, los subíndices sólo indican a qué factor se refiere cada ∇ como operador de derivación. n es:
El tensor de aplicación idéntica para tensores de orden
→ ⊗r → ⊗...⊗r → ∇1⊗∇2⊗..∇n⊗r 1 2 n como es fácil comprobar multiplicando por un producto tensorial cualquiera de orden n.
→k (k-derivadas de x →k respecto x →) 3.08.- Tensores ∇k⊗x Para simplificar y por no ser necesario por ahora, no escribimos un exponente ⊗. Sabiendo que para los coeficientes de la igualdad →, se → = I verifica: ∇⊗x
∂jxi =
i
δj
(símbolo de Kronecker) 109
→k, cuya expresión es: si examinamos los coeficientes de ∇k⊗x ∂i∂j...∂p(xqxr...xw) = ∂ij..p(xqxr...xw) ó sea la de k derivadas direccionales sucesivas del producto →, veremos que cuando (xqxr...xw) de coeficientes de la variable x el conjunto de valores (i,j,..,p) coincide con el de los valores (q,r,...,w), la expresión vale 1 y que en los demás casos se anula. Podemos convenir en representar estas expresiones por: δ
(qr..w) (ij..p)
(símbolo de Kronecker múltiple)
→k refiriéndolos a Consideremos ahoraj los tensores ∇k⊗x → } y a su dual {e→ }. Tendremos: una base {e i →k = ∂ (xqxr..xw)(e →ij..p⊗e → ) =δ ∇k ⊗ x ij..p qr..w
(qr..w) (ij..p)
→ij..p⊗e → )= (e qr..w
→ij..p⊗∑ e → = e P ij..p refiriéndose el sumatorio a todas las s! permutaciones de los s índices i,j,..,p. 3.09.- De la estructura de estos tensores deducimos: a) Son isótropos. b) Existe simetría total entra los k primeros índices así como entre los k últimos índices. c) Existe la siguiente simetría:
→k = x →k⊗∇k ∇k ⊗ x →
d) Para k=1, obtenemos el tensor fundamental I .
→
3.10.- Los tensores ∇k⊗xk son los que multiplicados por cualquier tensor de orden k, lo convierten, salvo un factor k! en su componente 0-simétrico o sea completamente simétrico. simétrico. Pues si →τ’ es el componente 0-simétrico del tensor →τ de orden k, podremos escribir:
→k)→τ = (x →k⊗∇k)→τ = ∇k(→τx →k) = ∇k(→τ'x →k) = k!→τ’ (∇k⊗x → en x →, para 4.- Cálculo→ del valor de un polinomio P → →=a →+b en función de b y del valor para x →=a → de las sucesivas x derivadas del polinomio.
→ de orden p y de coeficientes 4.01.- Sea un polinomio P p-simétricos uniformes, así como las sucesivas derivadas de → P. → P
110
τ 1→ = →τ0 + → x
→) (∇⊗P
=
→) (∇2⊗P
=
→ τ
1
→ τ → x2
+..... +
→ →m τ x
→ τ 2x + 2→
+ .....+
→m-1 τ mx m→
+ .....+
→m-2 τ mx m(m-1)→
+
2
τ2 2→
m
...
=
→) (∇m⊗P
=
............ m!→ τm
→ → Los valores de →s la s-derivadas para x =a, divididos por s! y multiplicados por b , resultan: r
1
(∇ ⊗P)a b 1! r
r
r
r
r
=
r
1
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ τ1a + ⎝ 0 ⎠ ⎛ 1 ⎞ b + ⎜ ⎟ τ1 ⎝ 1 ⎠
= τ0 +
r
Pa
r
(∇2⊗P)a b2 = 2! r
r
⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 3 ⎞ + ⎜ ⎟ τ3a3 ⎜ ⎟ τ2a ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 2 ⎞ (a⊗ b) + ⎛ 3 ⎞ ( 2⊗ b) ⎜ ⎟ τ3 a ⎜ ⎟ τ2 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 3 ⎞ + ⎜ ⎟ τ3(a⊗ b2) ⎜ ⎟ τ2 b ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ r
r
r
r
...... 1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⎛ m ⎞ m ⎜ ⎟ τma ⎝ 0 ⎠ ⎛ m ⎞ + ... + ⎜ ⎟ τ m(am-1 ⊗ b) ⎝ 1 ⎠ ⎛ m ⎞ + . . . + ⎜ ⎟ τ m(am-2⊗ b2) ⎝ 2 ⎠
+ ... +
r
r
r
r
r
r
r
r
...............
⎛ m ⎞ m ⎜ ⎟τm b ⎝ m ⎠
(∇ m ⊗P)a bm = m! r
r
r
r
r
y sumando miembro a miembro: 1
1 2 1 (∇ ⊗P)a b + (∇ ⊗P)a b2 + ... + (∇ m ⊗P)a bm = 1! 2! m!
Pa + r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
= τ0 + τ1(a+b) + τ2(a+ b)2 + ... + τ m(a+b)m = Pa+b r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Queda pues: Pa+b = Pa + r
r
r
r
r
1
1 2 1 (∇ ⊗P)a b + (∇ ⊗P)a b2 + ... + (∇ m ⊗P)a bm 1! 2! m! r
r
r
r
r
r
r
r
r
→ → →=0 → de b Para a y para cualquier valor x , tenemos: r
P = P0 + r
1
1 2 1 (∇1 ⊗P)0x + (∇ ⊗P)0x2 + ... + (∇ m ⊗P)0xm 1! 2! m! r
r
r
r
r
r
→ original, y como esta expresión ha de ser igual a la de P comprobamos que se verifica: τ0 = P0;
r
r
τs =
r
1
(∇s⊗P)0 s! r
111
5.- Integrabilidad espacial.
→
5.01.- Sea una magnitud tensorial λ de un orden s mayor que O (o sea una magnitud no escalar), dependiente dependiente del punto punto X y → por consiguiente de una variable vectorial r.
→, si y Esta magnitud será integrable en un dominio→de r sólo si, en tal dominio puede expresarse en la forma → λ = ∇⊗→τ. Ya hemos visto que entonces la integral espacial de λ es →τ más → de integración, y se verificará: cualquier tensor uniforme ϕ →
λ =
∇⊗→τ;
∫
λ dr = →τ + r
r
→ ϕ
Si no es integrable, la primera de estas expresiones no podrá ser cierta para ningún tensor →τ, y la segunda no tiene sentido como expresión de una integral espacial y encuentra su aplicación solamente para una operación llamada integral de línea.
→
En '1.17 vimos que para ser integrable λ , el valor de la integral de línea entre dos puntos solamente ha de depender de los mismos y no de los sumandos. Esto significa que si y sólo si para cualquier circuito cerrado se verifica:
∫ →λ
r
λ dr r
=
r
0
es integrable.
→
5.02.- Teorema. Un tensor λ diferenciable, de orden → s>0, → es integrable en un dominio de r si y sólo si, en el mismo, ([s-1]-simétrico). ∇⊗λ es un tensor con simetría 1-2 ([s-1]-simétrico).
→
Efectivamente. Si y→ sólo si λ es integrable, podrá → escribirse para algún →τ, que λ =∇⊗→τ, y si y sólo si λ es además diferenciable existirá el tensor:
∇⊗∇⊗→τ y éste tiene simetría 1-2, ó sea entre 1ª y 2ª posición. 5.03.- Consecuencias. 1ª.- Cuando la magnitud tensorial considerada sea un
→, y expresando con v →⊗∇ el tensor transpuesto de ∇⊗v →, la vector v condición de integrabilidad toma la siguiente forma:
→ es tensor simétrico ∇⊗v 2ª.- Si además condición se reduce a
⇔ el
espacio
→ → = 0 ∇×v 112
→=v →⊗∇ ∇⊗v es
⇔
→ = 0 → ∇∧v
tridimensional,
la
→ es potencial ó y cuando se cumple, decimos que el campo de v irrotacional. 3ª.- Una variable tensorial → µ de orden s será p veces → integrable, si y sólo si ∇⊗µ es un tensor (s-p)-simétrico. Puesto que deberá verificarse: (∃→ µ):
∇⊗→µ = ∇⊗(1+p)⊗→τ
4ª.- Si la magnitud considerada es de orden 0 (escalar), nunca es integrable en espacios de más de una dimensión, pues si por ejemplo la magnitud es α, no puede existir σ tal que verifique ningún tensor → α =
∇⊗→σ
ya que el primer miembro de esta igualdad es de orden 0 y el orden mínimo del segundo es uno. 50.- La derivada ∇⊗→ µ de cualquier tensor → µ uniforme es nula por definición y en consecuencia es un tensor simétrico. En µ virtud del último teorema, tendremos pues que todo tensor → uniforme es integrable. Según ya vimos en '3.07, su integral es:
→µr → + ϕ → 5.04.- Condición de congruencia de St. Vénant. Aplicando la condició condición n general general de integrab integrabilidad ilidad a un
σ de segundo orden, tendremos que para que un tensor → σ sea tensor → → → → una derivada y se pueda expresar por σ=∇⊗w siendo w alguna
magnitud de punto vectorial será posible si y sólo si
∇⊗→σ tiene simetría 1,2. σ de 2º orden se pueda Análog Análogame amente nte, , par para a que que un tenso tensor r →
expresar como el transpuesto de una derivada, la condición será
∇⊗→σ = tensor con simetría 1,3 En el espacio tridimensional geométrico, y siendo →ε el tensor de Ricci, podemos expresar la primera condición con notación einsteniana de la siguiente manera: ε (∂iσjs) = 0 ijk
y la segunda condición por: ε (∂rσjs) = 0 rst
A la la vista vista de las las cond condici icion ones es anteri anterior ores es result resulta a que la → condición necesaria y suficiente para que σ pueda ponerse como función lineal de las dos formas anteriores es: 113
ε ε (∂i∂rσjs) = 0 ijk rst
ó condición de congruencia de St. Vénant. 5.05.- Para tensores de 2º orden en un espacio tridimensional, es fácil deducir de lo que acabamos de decir, lo siguiente:
→⊗∇ es el tensor transpuesto de ∇⊗→ σ a) Si v v, un tensor → → → se puede expresar por ∇⊗v + v⊗∇ si, y sólo si, es un tensor simétrico que cumple la condición de St. Vénant. →⊗∇ es el tensor transpuesto de ∇⊗→ σ b) Si v v, un tensor → → → → se puede expresar por ∇∧v = ∇⊗v - v⊗∇ si, y sólo si, es un tensor antisimétrico que cumple la condición de St. Vénant.
114
→. 6.- Funciones de función de x 6.01.- Vectores ∇ distintos. Hemos visto que en la definición del vector ∇ en un punto interviene interviene la derivación respecto respecto a una variable vectorial →, ó radio vector, que de referencia que ha sido llamada x determina el punto mediante un espacio vectorial E y un origen dados. Si consideramos otra variable de referencia distinta de la anterior que podemos llamar → y, podrá definir un vector nabla ∇' también distinto del que hemos visto, pero que respecto a y→ →. representará lo mismo que ∇ respecto a x τ función del vector 6.02.- Sea una magnitud tensorial →
→ siendo y → una función de x →. y Tendremos:
Derivación respecto a Derivación respecto a
→: y → x:
→ d→τ = (∇’⊗→τ)dy → → → dy = (∇ ⊗y)dx
y por lo tanto:
→)dx →] d→τ = (∇’⊗→τ)[(∇⊗y 6.03.- Vamos a examinar algunos casos.
→. a) →τ es un vector v → y ∇’⊗→τ son de 2º orden, se verificará: Como ∇⊗y → = (∇’⊗v →)[(∇⊗y →)dx →] dv
⇔
→ = (∇’⊗v →)∗(∇⊗y →) ∇⊗v
b) →τ es un escalar α.
→)dx →] = (∇⊗y →)(dx → ⊗ ∇’α) = dα = (∇’α)[(∇⊗y →)~}(∇’α ⊗ dx →) = [{(∇⊗y →)~}(∇’α)]dx→ = {(∇⊗y →)~}(∇’α) ∇α = {(∇⊗y →=kx →+v → con v → constante, se c) →τ es cualquiera. Si tenemos y
verificará:
→ ⇒ → = k(∇⊗x →) = kI ∇⊗y →dx →)dx →] = (∇’⊗→τ)(kI →) = k(∇’⊗→τ)dx → d→τ = (∇’⊗→τ)[(∇⊗y ∇⊗→τ = k(∇’⊗→τ) ⇒ ∇ = k∇’
⇔
→p = →σ(kx →+v →)p con →σ σy d) Aplicación del caso anterior a →τ= → m-simétrico de orden m+p. 115
→p) = p→σy →p-1 ∇’⊗→τ = ∇'⊗(→σy →+v →)p] = k(∇’⊗→τ) = kp→σ(kx →+v →)p-1 ∇⊗[→σ(kx y también tendremos:
→+v →)p] = kpp!→σ ∇⊗m⊗[→σ(kx 6.04.- En virtud de c) en el párrafo anterior, tenemos:
→ = ±x → + v →(uniforme) y
⇒
∇ = ±∇’
Este resultado nos confirma que en un espacio puntual afín, si conservamos E, no varía ∇ con un cambio en la elección de punto origen.
116
7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual afín n-dimensional. n-dimensional. 7.01.- Campos solenoidales.
→ no uniformes, Llamamos así a los campos vectoriales v →= 0, ó sea divergencia nula, en todos los puntos que verifican ∇v no singulares. 7.02.- Campos irrotacionales ó potenciales.
→ no uniforme que verifica ∇∧w → Es todo campo vectorial w =0 en todos sus puntos no singulares. →
→ será irrotacional Vamos a ver que un campo vectorial w → es integrable, es decir, si existe un escalar α si y sólo si w → →=∇α. Como la derivada de un integral de w , ó sea, tal que w escalar se denomina también gradiente del escalar, la última → es el gradiente de α. igualdad se puede expresar diciendo que w → es integrable si y sólo si ∇⊗w → es Pues sabemos que w → → simétrico, ó sea si ∇∧w=0. Por consiguiente una propiedad característica de los → es que para cualquier circuito cerrado campos irrotacionales w verifican:
∫ wdl = 0 r
7.03.- Campos armónicos.
→, cuando sea a la vez Denominaremos armónico un campo v irrotacional y solenoidal, ó sea, en el que el vector → v satisface a la vez a las dos relaciones: → → = 0 ∇∧v →, siempre existirán campos Para un campo armónico v → = 0; ∇v
integrales α que difieren en un escalar uniforme y que todos ellos verificarán:
→
0 = ∇(∇α) = ∆α (laplaciana de α) ó ecuación de Laplace. Recíprocamente, a todo campo escalar α que cumpla la → que es armónico. igualdad anterior, corresponderá un campo ∇α=v 7.04.-
→rs. Campo vectorial r
Vamos a estudiar qué valores no nulos ha de tomar s, para que que la divergencia divergencia de este este vector vector sea sea uniforme, uniforme, en todo todo punto no singular. 117
Para ello calcularemos la divergencia del vector, y teniendo en cuenta las ecuaciones (16) obtenemos:
→] = → →] = r →[srs-1(∇r)] + rsn = r[∇rs] + rs[∇r ∇[rsr →[srs-1r-1r →] + rsn = srs + rsn = rs(s+n) = r y a la vista del resultado, si no tenemos en cuenta el valor s=0, sólo será uniforme la divergencia cuando tengamos s=-n, y -n→ entonces la divergencia es nula y el vector buscado es r r, que verifica: (19)
→r-n) = 0 ∇(r
→ es solenoidal, En consecuencia, el campo vectorial r-nr → por ser un punto singular. excepto para el origen de r También es irrotacional, ó sea que corresponde a un gradiente. Pues se verifica: (20)
→ = -(n-2)-1∇r-(n-2) r-nr
Efectivamente, teniendo en cuenta las ecuaciones (16), y lo que en '3.02 se dijo sobre operaciones entre escalares, para r≠0 resulta:
→ -(n-2)-1∇r-(n-2) = -(n-2)-1[-(n-2)]r-(n-1)∇r = r-nr El campo estudiado, para s=-n, es pues también irrotacional y en consecuencia armónico, excepto para el punto →=0. r La propiedad (20), en un espacio tridimensional, se podrá expresar así: r r
3
r
118
= -∇
1 r
B. VARIEDADES. INTEGRACION.
1.- Variedades y cuerpos. 1.01,- Definición de variedad lineal. Sea E el espacio vectorial correspondiente a un espacio puntual afín E n-dimensional. Llamaremos variedad lineal de m dimensiones de E (m≤n) a toda parte E m de E tal, que para cualquier punto A de ella, el conjunto {A,E m} corresponde a todos los sentidos de un subespacio m-dimensional de E. 1.02.- Variedad lineal tangente a una parte E ' de de E , en uno de sus puntos A. Sea t un valor escalar determinado→ y E ” el conjunto de → a ¯ puntos X de E ’ tales que, llamando x AX, verifican x
119
2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos. 2.01.- Sea el conjunto {A,B,C,..,M} de s+1 puntos de un espacio puntual s-dimensional, y tomando uno de ellos →A cualquiera referencia, consideremos en E los s vectores ¯ AB, →,..., ¯ → como A ¯ C AM definidos por A y los demás puntos. Estos vectores determinan un tensor
→ = ¯ → ∧ ¯ → ∧ ... ∧ ¯ → V AB AC AM que es totalmente antisimétrico y al que, según Algebra A '5.26 llamaremos tensor volumen de {A,B,C,..,M}. Por otra parte es evidente que tal conjunto basta para determinar un politopo, que tiene sus puntos por vértices, o sea un (s+1)-topo.
→ es un invariante del conjunto, pues para El tensor V otro punto de referencia, por ejemplo el punto B, se verificará: →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
∧ ∧ ¯ B A∧ ¯ BC∧..∧ ¯ BM = ¯ B A∧(B ¯ A+A ¯ C)∧..∧(B ¯ A+A ¯ M) = ¯ A B A ¯ AC∧.. A ¯ AM =
→ ±V
y los valores son iguales, salvo el signo en su caso. Por ser el citado tensor un invariante del conjunto, las magnitudes que derivan de él, como por ejemplo el escalar volumen del tensor que hemos estudiado en A '5.27, ó volumen del paralelepípedo determinado por el conjunto de puntos, dependerán para su medida solamente de la unidad adoptada. Señalaremos aquí sin demostración, extraídas de la geometría ordinaria por extensión, las propiedades más conocidas de los politopos pertenecientes a una variedad s-dimensional del espacio puntual n-dimensional (s≤n). 1ª.- Un (s+1)-topo es el politopo más sencillo que se puede considerar en una variedad lineal s-dimensional. Viene determinado por s+1 puntos del espacio puntual afín. Para s=1, es un segmento (2 vértices y 2 caras puntuales opuestas que coinciden con los vértices). Para s=2, es un triángulo (tres vértices y 3 caras opuestas segmentos). Para s=3, es un tetraedro (4 vértices y 4 caras opuestas triángulos). Para s=4, es un 5-topo (5 vértices y 5 caras opuestas tetraedros). Y así sucesivamente. En el caso general, para el valor s, es un (s+1)-topo, que tiene s+1 vértices y s+1 caras opuestas. Cada cara se puede considerar un s-topo perteneciente a una variedad lineal de s-1 dimensiones. 2ª.- Un paralelepípedo, perteneciente a una variedad lineal s-dimensional, puede descomponerse en un conjunto de s! (s+1)-topos adyacentes todos de igual volumen, y uno de ellos 120
generado por los mismos vectores que el paralelepípedo. 3ª.- Un (s+1)-topo es el único politopo que puede considerarse una pirámide teniendo el vértice en cualquiera de sus vértices. 4ª.- Correspondiendo al baricentro de la geometría ordinaria, llamamos centro de un (s+1)-topo al punto cuyo vector de posición es la suma vectorial de los vectores de posición de sus vértices respecto a cualquier origen, dividida por s+1. 2.02.- Como consecuencia de los párrafos anteriores, y recordando Algebra A'5.26/8, si tenemos una variedad lineal sdimensional, y una base {e i} del subespacio correspondiente, correspondiente, al tomar por origen un punto de la variedad, sus vectores determinan determinan en ella un paralelepípedo de tensor volumen:
→ = e → ∧e → ∧..∧e → V s 1 2 s
(21)
y un (s+1)-topo de tensor volumen: 1 Vs = (e1 ∧ e2 ∧ ... s! s! r
(22)
r
r
∧ es) r
Por lo visto en PA A'5.28, el volumen escalar será: 1
(e1 ∧ e2 ∧...∧ es)′ s!
(23)
r
r
r
calculado para un espacio s dimensional. Los centros de cara del (s+1)-topo serán: e1+e2+ .. +es r = s r
(24)
Cara base:
r
r
r
ei ri = r s r
(25)
Caras laterales:
r
r
Esta última expresión corresponde a la cara lateral → ". "opuesta a e i 2.03.- TEOREMA 1. La suma de los tensores volumen de las caras frontera de un politopo es nula si se definen de manera correcta, es decir, cuando determinada una sucesión positiva de vectores base, quedan determinadas las sucesiones que deben considerarse, para los factores tensoriales correspondientes a cada cara. Aquí, para un (s+1)-topo de una variedad lineal sdimensional con s>1, que suponemos generado por s vectores → }, se han elegido las siguientes independientes ordenados (e i expresiones generales:
→ para i desde 1 a s-1: Caras opuestas a e i 121
i ν =
1
r
e1 ∧...∧ ei-1 ∧ es ∧ ei+1 ∧...∧ es-1 r
(s-1)!
r
r
r
r
→: Cara opuesta a e s 1 s e1 ∧ e2 ∧...∧ es-1 ν = (s-1)! r
r
r
r
Base: r
ν =
1
(e1-es)∧(e2-es)∧...∧(es-1-es) (s-1)! r
r
r
r
r
r
Y de las expresiónes anteriores, efectivamente se
deduce:
1
r
ν =
(s-1)!
⎡ ⎢e1 ∧ e2∧..∧ es-1 ⎣ r
r
r
s-1
-
∑(e ∧...∧e r
r
1
i-1
1
⎤ ∧ es ∧ ei+1 ∧..∧ es-1)⎥ ⎦ r
r
r
s-l
s
= - ν r
∑ ν r
i
1
s-1
ν + νs +
(26)
r
r
∑ ν r
i
→
= 0
1
2.04.- TEOREMA 2. Para las caras laterales del politopo anterior (s>1), se verifica:
→; → ∧→v1 = e → ∧→v2 = ... = e → ∧→vs = ±sV e i 2 s
→ → ⊗→vi = ±sV e i
→ el tensor volumen del politopo, ó sea: siendo V r
sV =
1
e1 ∧ e2 ∧...∧ es (s-1)! r
r
r
Pues se verifica:
→ ∧→v1 = e ∧ e 1 1 → ∧→v2 e 2
1
0 s-2 s-2 es ∧ e2∧ e3 ∧...∧ es-1 = (−1)×(−1) sV = (−1) sV (s-1)! 1 1 s-3 s-2 = e2 ∧ e1 ∧ es ∧ e3 ∧...∧ es-1 = (−1) ×(−1) sV = (−1) sV (s-1)! r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
y así sucesivamente. sucesivamente.
→en sumandos Por otra parte, una vez descompuesto sV → son productos tensoriales, tendremos que los que empiezan por e → ⊗→v1, los que empiezan por e → son los de e→ ⊗→v2, y1 así los de e 1 2 2 sucesivamente. En cuanto al signo, tendrán el mismo que los 122
→ ∧→v1, e → ∧→v2, que sumandos correspondientes de las expresiones e i 2 hemos visto en el último párrafo. Llegamos de esta manera al siguiente resultado: s
∑
→ → ⊗→v1) = e → ⊗→vi = ±sV (e 1 i
1
2.05.- TEOREMA 3. Dado el politopo anterior, sea para cada cara un producto tensorial, el primero de cuyos factores es el vector de posición de su centro y el segundo su tensor volumen. El sumatorio de estos productos es igual al tensor volumen del politopo, y el resultado no varía con el origen adoptado para los vectores de posición. Adoptando primeramente como origen un vértice, consideremos a un (s+1)-topo de una variedad lineal s→ }, y sea → dimensional, generado por s vectores independientes {e ri i → el vector de posición del centro de la cara opuesta a e i de i → → es el tensor volumen v . En cuanto a la base supongamos que r v su tensor volumen. Podremos vector de posición de su centro y → escribir: 1 1 ei i i i i ri ⊗ ν +r⊗ ν = (r- )⊗ ν +r⊗ ν = r⊗( ν +Σ ν ) - (ei ⊗ ν ) = - (ei ⊗ ν ) s s s r
r
r
i
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
v es nula. puesto que la suma de tensores volumen →
Pero acabamos de ver que para cualquier valor de i, i → → → ei⊗v = ±sV y sustituyendo se tendrá: → → ⊗→vi + r →⊗→v = ±V (27) r i
Tomando en vez de O, otro punto O’ de referencia con → → ¯ O ¯ ’O=a los nuevos vectores de posición de los centros serían: →' = r → + a →; →' = r → + a → r r i
i
y por lo tanto:
→' ⊗→vi + r →'⊗→v = (r → +a →)⊗→vi + (r →+a →)⊗→vi = r i i i → ⊗→vi + r →⊗→v + a →⊗[∑→vi+→v] = → →⊗→v = r ri⊗→ v + r i
y obtenemos el mismo resultado. 2.06.- Superficie poliédrica cerrada. En un espacio puntual n-dimensional, denominaremos superficie poliédrica cerrada de s dimensiones, dimensiones, para s
ordinario del espacio tridimensional, cuyas caras son triángulos ó polígonos compuestos de triángulos adyacentes y cuyas aristas son comunes a dos caras y solo a dos. 2.07.- Signos de los tensores-volumen de las caras. Hemos visto que el signo de un producto exterior no nulo, viene dado por el signo atribuído al orden de sucesión de sus vectores (que entonces son independientes), y por lo tanto lo mismo sucede con el signo de los tensores-volumen en general. Se demuestra que sólo hay dos formas opuestas de asignación correcta de signos de las caras de los politopos, tal que se verifique al mismo tiempo: a) Que el sumatorio para cada (s+1)-topo sea nulo, tal como ya hemos visto antes. b) Que para cada cara común a dos politopos, el tensor volumen de esta cara sea de signo distinto según se considere perteneciente a uno u otro politopo. c) Si un conjunto de signos asignados satisface las condiciones anteriores, éstas también son satisfechas si se cambia el signo de todos y cada uno de los elementos del conjunto, y con ello el sentido de la sucesión positiva de los vectores. 2.08.- Sea un poliedro de un espacio s-dimensional. s-dimensional. Consideremos el conjunto de (s+1)-topos con vértice en un punto dado cualquiera y cuya base es cada cara (s-topo) del poliedro, y adoptemos este vértice común como origen. j TEOREMA 4.- Si → v es el tensor volumen de una cara del → el vector de posición del baricentro de esta cara y poliedro, r j → → de los (s+1)-topos V es la suma de los tensores volumen V j considerados, se verifica:
∑
→
→ ⊗→v Vj = V = r j r
j
Puesto que por (27) tenemos:
∑
r
Vj =
∑
i (ri ⊗ ν )j + r
r
∑
(r⊗ ν)j r
r
→ ⊗→vi) es nulo, queda: y como por el párrafo anterior, ∑(r i j → = V
∑V r
j
→ ⊗→vj = r j
→ no varía con el origen elegido, es Como el valor de V un invariante de la superficie cerrada y del poliedro, al que denominaremos tensor volumen del poliedro. El orden tensorial del tensor volumen del poliedro es 124
superior en una unidad al de los tensores volumen de sus caras y es el mismo que el de los tensores volumen de los (s+1)-topos que lo componen, pues es su suma. A la superficie cerrada también se la llama frontera del poliedro. 2.09.- Sea una superficie cerrada s-dimensional S cualquiera, que pueda ser considerada como límite de una superficie poliédrica cerrada s-dimensional inscrita, cuando al tender a cero el módulo de sus caras aumenta sin límite el número de las mismas. Diremos en este caso, que el cuerpo geométrico del que es frontera tal superficie cerrada, es también el límite del poliedro original.
→ del cuerpo También diremos que el tensor volumen V geométrico es el límite del tensor volumen del poliedro, y su valor será: r
V =
∫
(r⊗dν) r
r
s
→ se ha expresión en la que el volumen de la cara situada en r representado por d→ v, el signo integral manifiesta que el límite considerado es análogo al de (3), así como el que el sumatorio se efectúa para la superficie S.
125
3.- Magnitudes de volumen. 3.01.- Sea un espacio puntual n-dimensional con una magnitud de punto tensorial →τ contínua e integrable, dependiente → vector de posición, y sea una variedad m-dimensional (m≤n) de x del mismo a la que pertenece un cuerpo geométrico Π de tensor → volumen V, continuamente diferenciable y que suponemos divisible indefinidamente indefinidamente en partes ó fracciones.
→τ en un punto de una parte i del Si →τi es el valor de i → cuerpo tensor volumen dV , se demuestra que el sumatorio →i, alcon →τ dV aumentar indefinidamente el número →de fracciones, y i i disminuir → al mismo tiempo el valor de cada dV tendiendo todos ellos a 0 , tiende a su vez a un límite, que es independiente de la posición del punto escogido en cada fracción. Escribiremos: Escribiremos: → = →τ dV →i = Q i
∫
Π
r
τdV ;
r
→ = τdV → dQ
τ en el y diremos que el sumatorio es la integral de volumen volumen de → → dominio Π y que define una magnitud Q de volumen m-dimensional.
este tipo de definición, en vez de un tensor → Para volumen V m-dimensional, también podríamos haber utilizado su → tensor polar V’ ó el volumen escalar V. En el último caso, la → → magnitud τ corresponde a la densidad puntual de Q . 3.02.- Si el cuerpo Π constituye la totalidad de una variedad m-dimensional en un espacio de dimensión n≥(m+1), como es el caso de una línea cerrada, la superficie de una esfera, o la superficie ó frontera de cualquier otro cuerpo, sustituiremos las expresiones anteriores por
∫
r
r
τdV
que llamaremos integral circular y que representa una integración integración en las condiciones mencionadas, para distinguirla de las demás integraciones que llamaremos abiertas. σ que se refieren a 3.05.- Las magnitudes de volumen → las variedades (n-1)-dimensionales ó superficies, y a su vector →, se denominan, en general, σ’= s superficie (AT C'5.31) → magnitudes de superficie.
3.06.- Advertencia. En lo sucesivo trataremos de ecuaciones diferenciales del modo clásico conocido, es decir, refiriéndonos a valores llamados infinitesimales de los diferenciales útiles para la posterior integración, que en principio consideraremos posible.
126
4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski. 4.01.- Sea en el campo de un tensor variable →τ de cualquier orden, una superficie cerrada infinitesimal de s → dimensiones (0
→ → → 0 Para r , podremos escribir: i →τ d→vi = [→τ +(∇⊗→τ)r → ]d→vi = ∑→τ d→vi + [(∇⊗→τ)r → ]d→vi = i 0 i 0 i → = (dV →∇)→τ → ⊗d→vi) = (∇⊗→τ)dV = (∇⊗→τ)(r i El valor obtenido es independiente del origen de radios vectores adoptado. Si la superficie cerrada es finita el sumatorio para ella no varía si, en lugar de la superficie cerrada original, consideramos un conjunto infinito de superficies cerradas adyacentes infinitesimales, cuya frontera sea la superficie cerrada dada y sumamos los valores obtenidos para →τid→vi en cada una de las superficies cerradas de este conjunto. Esto nos permite escribir:
∫
(28)
τd ν
r
r
=
∫V (dV∇) r
τ
r
=
∫V (∇ ⊗ τ ) dV r
r
expresión que se denomina fórmula de Stokes. Esta expresión generaliza la de la integración ordinaria, que resulta de Stokes para s=0 y volumen unidimensional (linea AB), si consideramos que su frontera de dos puntos A y B, es una superficie cerrada con valores →vB=1 y → v A=-1:
→τ -→τ = B A
∫
B
(∇ ⊗ τ)dr r
r
A
4.02.- Casos particulares del espacio tridimensional. → ó escalar α y la superficie cerrada El tensor →τ es un vector →v v = dI). es unidimensional (d→ Como para un triángulo (Algebra C'8.05) se verificará:
→ = ds →× dV → un vector normal al triángulo de módulo igual al área siendo ds del mismo, tendremos por consiguiente: (29)
∫
r
vdl r
=
∫
(ds×∇)v
S
r
r
=
∫
(∇×v)ds
S
r
r
=
∫
(Rot v)ds r
r
S
127
(29')
∫
r
αdl
=
∫ (ds×∇)α
∫ ds×(∇α)
=
r
S
r
S
∫ ds×(Grad α)
=
r
S
La igualdad (29) suele expresarse así:
→ a lo largo de una línea "La circulación de un vector v → a través del circuito". cerrada es igual al flujo de Rot v 4.03.- Sea un (n+1)-topo de volumen escalar V en un → ) con origen en un espacio n-dimensional generado por una base (e i →, y para vértice. Sea v el tensor volumen de su base con centro r → sean vi los tensores volumen sus caras laterales de centros r i correspondientes. De acuerdo con '2.03 tendremos: (i de 1 a n-1): r
ν
n
1
e1 ∧..∧ ei-1 ∧ en ∧ ei+1 ∧..∧ en-1 (n-1)! 1 = e1 ∧ e2∧...∧ en-1 (n-1)! i ν = r
r
r
r
r
(i de 1 a n):
r
r
r
r
ν = r
∑ ν r
i
y teniendo en cuenta que: V =
1
(e1 ∧ e2 ∧...∧ en)’ n! r
r
r
y que el volumen escalar del prisma generado por la base es n!V, → correspondientes los vectores polares s correspondientes son según AT C'5.32: 1 (i de 1 a n-1):si = (e1 ∧..∧ ei-1 ∧ en ∧ ei+1 ∧..∧ en-1)’= -nVei (n-1)! r
r
r
r
r
r
r
1 n (e1 ∧ e2 ∧...∧ en-1)’ = -nVen s = (n-1)! r
r
r
(i de 1 a n)
r
s = r
r
∑nVe r
i
→ son llamados vectores superficie. Son Los vectores s ortogonales a la cara y su módulo es el área (Algebra C'5.31). 4.04.- Teorema. En el (n+1)-topo anterior se verifica: (i de 1 a n):
→ → ⊗s →i + r →⊗s → = VI r i
→ el tensor unidad. siendo I Efectivamente, para i de 1 a n tenemos:
128
⎛ ei ⎞ -⎜ r- ⎟ ⊗ nVei ⎝ n ⎠
∑
r
ri ⊗s + r⊗s = r
i
r
r
r
r
r
+ r⊗nV( r
i i e )= V(ei ⊗e ) = VI r
r
r
r
y este valor es independiente independiente del origen adoptado. 4.05.- Siguiendo análogos razonamientos que para obtener la fórmula de Stokes, sea en un campo tensorial →τ una superficie cerrada infinitesimal (de n-1 dimensiones) que determina un volumen escalar dV y cuyas caras tienen vectores i → superficie ds . Tomando como origen un punto infinitamente → el centro próximo a las i caras para el que el tensor es →τ0, sea r → , en donde el tensor es →τ . Al tender a icero todos de la cara ds i → , podremos escribir: los vectores r i
→τ ds →i = [→τ + (∇⊗→τ)r → ]ds →i = →τ (∑ds →i) + [(∇⊗→τ)r →i]ds →i = i 0 i 0 → = (∇→τ)dV → ⊗ds →i) = (∇⊗→τ)dV I = (∇⊗→τ)(r i
→ se suman. pues al agregarse superficies los ds Procediendo análogamente a la obtención de la fórmula de Stokes, deducimos ahora: (30)
∫
τ ds
r
r
∫
=
(∇τ)dV r
V
=
∫
(dV∇)τ
r
V
expresión que se denomina fórmula de Ostrogradski o de Gauss. Obsérvese que las expresiones que siguen al signo → por ∇dV. integral, son las mismas sólo que sustituyendo ds 4.06.- Caso particular del espacio tridimensional. El
→: tensor →τ es un vector v (31)
∫ vds r
r
=
∫ (∇v)dV r
V
En este caso la fórmula suele expresarse así: "El flujo → a través de una superficie cerrada es la integral de un vector v → en el volumen que determina." de la divergencia de v 4.07.- Sea una superficie cerrada s-dimensional que → determina un volumen de tensor V , y cuyos (s+1)-topos i → →. infinitesimales infinitesimales tienen por tensor volumen a d v y por centro r i
→ es cualquier vector y →τ es cualquier tensor, a) Si v ambos uniformes o sea de campo uniforme, por ser v→ y → ri del mismo orden tensorial, podremos escribir: (32)
→)→τ →r → )(→τd→vi) = (r → ⊗d→vi)(v →⊗→τ) = → →⊗→τ) = (v →V (v V(v i i
b) Si →τ es un tensor uniforme del orden de dvi y σ es un tensor uniforme cualquiera, tendremos análogamente:
129
(33)
→(→τ⊗→σ) = ±(V → →τ)→σ → )(→τd→vi) = (d→vi⊗r → )(→τ⊗→σ) = ±V σr (→ i i
→ ⊗d→vi) es de signo opuesto a (d→vi⊗r → ). y el signo variará si (r i i → y →τ no son uniformes pero c) Si en el caso a) v continuos, la fórmula (32) solo sería válida para los r→i tendiendo todos a 0. Lo mismo ocurriría con la fórmula (33) si σ. los tensores afectados fueran →τ y → d) Caso particular. El espacio es tridimensional y la → → superficie dv se reduce a una línea dl.
→ = (S →×), siendo S → el vector superficie Tendremos V correspondiente al contorno y las ecuaciones (32) y (33) cambian así: →
(34)
→×v →r → )(→τ dli) = (S →)→τ (v i
(35)
→×v → )(v → dli) = (S →)→σ σr (→ i
→
4.08.- Sea una superficie cerrada (n-1)-dimensional de escalar volumen V y cuyos n-topos elementales tienen por vector i → →. superficie ds y por centro r i σ son cualesquiera tensores uniformes no Si →τ y → escalares, se verifica:
→ )(→σds →i) = V→τ→σ (→τr i
(36)
Pues si descomponemos ambos tensores en sumatorios de productos tensoriales vector-tensor, podremos escribir:
→τ = v → ⊗→µj; →σ = w → ⊗→λ k j k → )(→σds →i) = [(v → ⊗→µj)r → ][(w→ ⊗→λ k)ds →i] = (v →r → )(w → ds →i)→µj→λ k = (→τr i j i k j i k → → → →j→k → ⊗ds →i)(v → ⊗w → )]→µj→λ k = [VI = [(r (vj⊗wk)]µ λ = i j k →w → )→µj→λ k = V(v → ⊗→µj)(w → ⊗→λ k) = V→τ→σ = V(v j
k
j
k
Si algún tensor uniforme fuera de orden 0 (escalar), → por ejemplo →τ=α, el problema se solucionaría sustituyendo α por I y multiplicando por α, pues tendríamos:
→→ →→ →τr → = αr → = αI ri = α(Ir i i i) σ variables continuas, solo será válida la Para →τ y ó → → tiendan a cero. fórmula cuando todos los r i
130
5.- Integraciones en general. 5.01.- Cuerpos. Aunqu Aunque, e, origin original almen mente, te, un cuerpo cuerpo es todo todo segmen segmento to de la variedad contínua n-dimensional que constituye la totalidad del espacio puntual afín objeto de nuestro estudio, aquí extendemos el concepto a todo segmento de variedad contínua m-dimensional (m≤n) y lo llamaremos cuerpo m-dimensional. Sólo consideraremos cuerpos contínuos. 5.02.- Fórmula de Stokes. volumen
∫
Recordaremos que relaciona una integral abierta de λ dV de un cuerpo m-dimensional (1
r
V
∫
integral cerrada de volumen τdν correspondiente a su frontera (m-1)-dimensional, (m-1)-dimensional, de esta manera: (37)
→
(λ =∇⊗→τ):
r
r
∫
r
r
τd ν
=
∫
V
r
r
λ dV
Sabemos que todo tensor →τ contínuo y diferenciable en V, es aplicable al primer miembro, mientras que no es posible → hacerlo con cualquier tensor λ en el 2º →miembro, más que en el →τ para algún tensor caso de que se pueda expresar en V, por λ =∇⊗ → →τ, que entonces será un tensor integral de λ .
→τ y →τ’ son equivalentes a este efecto, ó Dos tensores →λ ∇⊗ sea que verifiquen = →τ=∇⊗→τ’ y que por tanto ambos sean → integrales de λ , si y sólo si su diferencia →τ-→τ’ es un tensor uniforme. →
λ También sabemos por A'5.02 →que un tensor diferenciable es integrable si y sólo si ∇⊗λ es un tensor (m-1)simétrico.
Señalaremos por fin, en general, que las operaciones indicadas para ∇ se supondrán siempre válidas a no ser que exista imposibilidad de efectuarlas. cerrada.
5.03.- Aplicación de Stokes a una variedad contínua
Dado que una variedad cerrada se puede considerar como límite de un segmento de variedad. cuando su frontera se reduce y tiende a anularse en un punto, si aplicamos a ella la fórmula de Stokes el primer miembro se anula para cualquier →τ y resulta la siguiente expresión:
→
(λ =∇⊗→τ):
∫
r
r
λ dV
=
r
0
131
→
ó sea que en un cuerpo cualquiera, la integral de un tensor λ , en en → su frontera, si λ es integrable, es siempre nula.
→
Ejemplo 1º.- λ = Tensor de la aplicación idéntica para tensores de orden m. Hemos visto en A '3.07b que es un producto tensorial →→ → cuyo primer factor es ∇ y por tanto integrable. Como ahora λ V =V, se tendrá:
∫
(38) de Ricci.
r
dV
=
r
0
→’ el tensor polar de → Ejemplo 2º.- Sea V V’ y →ε el tensor
∫
(39)
dV ′ = r
∫
1
1 εdV = ε dV = 0 m! m! r
r
r
∫
r
r
5.04.- Integración. Sean en un espacio puntual afín ndimensional, tres segmentos de variedad m-dimensional →, quecontínua con n>m>1, de elementos de volumen dV entre los tres, forman una variedad cerrada frontera de un cuerpo (m+1)-dimensional.
A
2 2 1
A 1
Uno de los segmentos A, es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (m-1)-dimensionales. De los otros dos, uno (el 1) está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud del párrafo adecuadamente, se verificará:
→
(λ =∇⊗→τ):
∫
r r
A
λ dV
=
anterior
∫
r r
2
λ dV
→
−
y
∫
si
integramos
r r
1
λ dV
Designando por Ψ ó flujo de λ a través de V, a las → → integrales ∫Vλ dV, podremos escribir:
132
(40)
∫
Ψ A = (A∆ ⊗ τ)dV = Ψ2 - Ψ1 = r
r
∫
2
dΨ
1
Podemos observar que la operación que acabamos de describir, es análoga a la integración ordinaria, aunque ahora los términos Ψ no se refieren a aplicaciones puntuales sino a aplicaciones a variedades cerradas tal como 1 y 2, de dimensión inferior a la de V en una unidad. Aquí, Aquí, el valor valor de cada cada términ término o no varía varía si conserv conservamos amos las fronteras 1 y 2 aunque cambien los segmentos. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos: 0 = Ψ2-Ψ1-Ψ A = Ψ2-Ψ ′1-Ψ A
⇒
Ψ ′1 = Ψ1
Esta integración, que para A corresponderá a segmentos infinitesimales de tubo, sólo se puede aplicar a cuerpos lineales (m=1), admitiendo que una línea es un cuerpo, cuya frontera son dos puntos extremos y que los puntos son variedades cerradas de dimensión 0. Este caso límite coincide entonces con la integración ordinaria. 5.05.- Fórmula de Ostrogradski, Recordaremos volumen escalar µdV
∫
v
r
que relaciona una integral abierta de de un cuerpo n-dimensional, con una
∫
integral cerrada de vector superficie τds correspondiente a su frontera (n-1)-dimensional, (n-1)-dimensional, de esta manera: (41)
→ (→ µ=I[∇⊗→τ]=∇→τ):
∫
τds
r
r
r
=
r
∫
V
µdV r
Sabemos que todo tensor →τ continuo y diferenciable en V es aplicable al primer miembro, mientras que no es posible µ en el 2º miembro más que en el hacerlo con cualquier tensor → µ=∇→ τ para algún tensor → τ. caso de que se pueda expresar en V por →
→
λ =∇⊗→τ corresponde siempre un A todo tensor integrable integrab le →(∇⊗→τ), siendo I → el tensor idéntico de 2º orden. tensor ∇→τ=I
Si a un tensor → µ determinado corresponde un tensor → τ, → evidentemente también corresponderá otro tensor τ’ cualquiera mientras cumpla la condición ∇→ τ =∇→ τ ’, ó sea que verifique:
→ ∇(→τ-→τ’) = 0 5.06,- En →el caso de un campo tensorial →τ que verifique uniformemente → µ=∇→τ=0 en todos los puntos del interior de un cuerpo, la ecuación (41) se transforma en la siguiente: 133
∫
τds
v
r
=
r
0
En el supuesto de un campo →τ así, sean 3 segmentos de superficie contínua (n-1)-dimensional de elementos vectoriales →, que entre los tres, forman una superficie frontera de un ds cuerpo.
2
1
A
Uno de los segmentos A es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (n-2)-dimensionales. De los otros el 1 está limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud de la última fórmula, y si integramos adecuadamente, se verificará:
→
(∇→τ=0):
∫
τ ds
r
A
r
=
∫
2
∫
−
τ ds
r
r
τ ds
r
1
r
Designando por Φ ó flujo de →τ a través de s, a las →, podremos escribir: integrales ∫s→τds (42)
ΦA =
∫
τds = Φ2 - Φ1 =
r
A
r
∫
2 1
dΦ
En la operación de integración que acabamos de describir, los términos se refieren a variedades cerradas tales como 1 y 2. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1’ cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos: 0 = Φ2 - Φ1- ΦA = Φ2 - Φ ′1- ΦA
⇒
Φ′1 = Φ1
Esta integración para A, corresponderá a segmentos infinitesimales infinitesimales de tubo.
134
C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES.
→r-n. 1.- Integrales de volumen relativas a r 1.01.- Generalidades. Salvo aviso en contra, nos referiremos siempre a un espacio puntual afín euclidiano n-dimensional. Para una magnitud determinada, consideraremos que el campo de los tensores integrales es el de los puntos de →, para el referencia respectivamente adoptados como origen de r cálculo de cada tensor integral. 1.02.- Angulos sólidos. Sean un punto A que tomamos como origen, y un segmento de superficie (n-1)-dimensional dada. El ángulo sólido dω elemental con que desde A se ve un →, cuando ds → es elemento de superficie de expresión vectorial ds 1 → sobre su vector r→ de posición, es: la proyección de ds
→r →r-n = (ds →r →r-1)r-(n-1) = ds r-(n-1) dω = ds 1 y el último miembro es la expresión habitual de dω. Para todo el segmento de superficie tendremos: ω =
∫ dsrr r
r
−n
S
→r-n)=0 para todo punto Habiendo visto en A'7.04, que ∇(r → →≠0, sabemos por Ostrogradski (41), que siempre que se con r integre en una superficie cerrada en cuyo interior no se halla el → →
punto singular r=0, la integral es nula.
Denominando kn a la constante Sn-1r-(n-1) = Vr-n, correspondiente a toda esfera, cualesquiera que sean su radio r, su superficie (n-1)-dimensional S y su volumen V, es fácil hallar el valor de ω al integrar en una superficie cerrada y (n-1)dimensional. El resultado es el siguiente: a) Punto exterior: ωe = 0 b) Punto interior: ωi = nkn = Sr-(n-1) = nVr-n Para valores 3 y 2 de n, tendremos: 4π ; 3 = π;
(n=3):
kn =
ωi = 4π
(n=2):
kn
ωi = 2π
135
esférica.
1.03.-
→
→r-n] r
Ω=∫S[ds
Integral
en
una
superficie
Sea en un espacio puntual afín n-dimensional una superficie esférica (n-1)-dimensional de radio R, centro O y → la expresión del escalar volumen S. Sea también el vector ds elemento de superficie correspondiente al punto N. Dado un punto A cualquiera del espacio, queda determinado en la recta OA un segundo punto A’, tal que se verifique 2
¯ O A ¯· ¯ O A ¯’ = R
Esta propiedad es recíproca, y al punto A’ corresponde a su vez el punto A. Es fácil ver también que si uno de los puntos es exterior a la esfera, el otro es interior.
N
α
→ r
→’ r β
O
α
β
A’
A
→’ c
→ c
Si nos referimos al plano bidimensional determinado por los puntos A,O,N y que por tanto también contiene a A’, que hemos representado en la figura, y establecemos:
→; r → →=A →’= ¯ r ¯ N A ¯ ’N veremos que son semejantes los triángulos OAN y OA’N, con lo que son iguales los dos ángulos señalados con α así como los dos → → →’ ángulos señalados con β y designando por c al vector ¯ AO y por c → al vector ¯ A ¯ ’O, también podremos escribir: r r′
=
R c c′ = ; r = r′; r′ = r R c′ R R c
1.04.- Tanto si adoptamos un origen exterior a la esfera como un origen interior, el vector integral buscado, tendrá, por razón de simetría, la dirección AA’O. Por lo tanto, el módulo del mismo no variará si sustituímos cada sumando elemental de su expresión por su proyección en tal dirección. 136
Sustituyendo además los valores hallados para r ó r’ en el párrafo anterior, en caso de origen A exterior podremos escribir: escribir: Ω =
∫[ds rr
−n
-(n-1)
c
∫
= [ds cos β
R
∫[ds r
cos β] =
-(n-1)
r’
-(n-1)
]=
-(n-1)
c
R
-(n-1)
−(n −1)
cos β] =
∫[ds cos β r’
-(n-1)
]
Análogamente tomando tomando A' interior interior como como origen origen resulta: resulta: Ω’ =
c’ -(n-1) R
-(n-1)
∫[ds cos α r
-(n-1)
]
Pero por una propiedad elemental del producto escalar, se verifica:
→; →’d r’ds cos β = r ¯ s
→ → r ds cos α = r ¯ ds
y sustituyendo estos valores queda: -(n-1)
Ω =
c
R
-(n-1)
∫
Ω′ =
-n
[(r’ds)r’ ]; r
c’ -(n-1) R
-(n-1)
∫
[(rds)r-n] r
Las dos integrales que aquí figuran, hemos visto en '1.01, que son las expresiones de los ángulos sólidos con que se ve la superficie esférica de volumen escalar S desde los puntos A' y A respectivamente. respectivamente. Sabemos también por '1.01, que el correspondiente al punto A exterior es nulo y que el correspondiente al punto A' interior es el cociente de S dividido (n-1) por R . Resulta pues: -(n-1)
Ω’ = 0;
Ω =
S
c
R
-(n-1)
(n-1)
R
= Sc-(n-1)
y queda finalmente: (43) (44)
Punto interior: Punto exterior:
→
→
Ω →’ = 0→; -n Ω = Scc
→ = 1.05.- Integral D
∫
→r-n] en una esfera. [µdVr
Consideremos una esfera de centro O y volumen V, como un conjunto de esferas huecas concéntricas diferenciales de radio ρ, superficie S, espesor dρ y volumen dVρ = Sd ρ = dρ∫Sds. Hay en los puntos de la esfera, un campo escalar µ uniforme.
→
Cada esfera hueca contribuye a D con el valor:
→ = µ dD
∫
S
→r-n = µdρ dVρr
∫
S
→ →r-n = µdρΩ ds r 137
y podremos despreciar el efecto de la esfera hueca superficial. Caso 1º.- Origen A exterior a la esfera.
→ →c-n = µdVρ c →c-n; dD = µdρ Sc
→ = µVc →c-n D
→. →=A siendo c ¯ O Caso 2º.- Origen A’ interior a la esfera. El conjunto de esferas huecas diferenciales que → encierran al origen producen un D nulo, ya que para cada una de ellas resulta Ω=0. Sólo habrá que considerar pues, el conjunto de las que no encierran el origen y forman una esfera de radio R’=c y volumen V’, con el punto en su superficie. Tendremos:
→
→c-n D = µV’c Como V’c-n es una constante escalar que solo depende de n, y que en '1.02 hemos representado por k n, la ecuación final será: (kn=V’c-n):
→
D =
→ knµc
→. →=A siendo c ’O ¯ ¯ → no depende del radio de la esfera sino El valor de D solamente de la posición de su centro. Siendo A’ un punto singular de la función integral que estudiamos, para el caso→ de que A’ sea el centro de la esfera, tomaremos como valor de D correspondiente a A’, el valor límite nulo de la expresión anterior al tender c a cero. 4
En un espacio tridimensional: tridimensional: k3= π 3
138
→ → -n ¯ 1.06.- Tensor → l∧r r ). π = ∫l(d Vamos a ver a continuación el valor que adquiere este tensor integral cuando la integración se refiere a determinadas líneas y determinados puntos origen. 1.07.- Línea recta ilimitada con origen exterior.
l
→ m
¯ dl
N
A
→ r
→ a
β
β
dβ Sea en la variedad bidimensional determinada por la recta y el origen P exterior, A un punto cualquiera de la recta →=r →, y N el pié de la perpendicular por P a la recta, con con ¯ P A →=a →. Tendremos a→ no nulo. ¯ PN
→ → →=l →=a →+l → al Estableciendo ¯ N A , tendremos r y llamando m → versor de ¯ dl, podremos escribir: →
→
→
→
→r-n) = ¯ →+l)r-n = [d →]r-n = [m →∧a →][dl r-n] ¯ π = ¯ d→ dl∧(r dl∧[(a l∧a pero se verifica: dl =
rdβ cos β
a
; r =
⇒
cos β
dl =
a dβ 2
cos β
; r-n = a-n cosn β
Sustituyendo, tendremos: (dl r-n) = a-(n-1)cos(n-2)β dβ con lo que al integrar para toda la recta resulta: (Ver Apéndice)
⎡ ⎢α n ⎣
=
∫
+
0
π 2
n-2
cos βdβ =
+
(45)
π
= (m ∧a)a −n(−1) r
r
π 2
∫cos −
⎤ nkn ⎥: 2(n-1)kn-1 ⎦
n −2
β dβ
= (m ∧a)a −(n−1)2α n r
r
π
2
139
En el caso de n=3 tenemos α3=1 y resultaría:
→π = 2a-2(m →∧a →) = 2(mxa)× 2 r
(46)
r
a
→ →=N 1.08.- Línea cualquiera con origen P exterior y a ¯ P infinitamente pequeño. Si la línea es recta, es aplicable la fórmula (45). Pero ahora la integral que en ella figura, cuyos límites para toda recta ilimitada corresponden a puntos del infinito, difiere infinitamente poco de la que se obtiene tomando como límites los → valores correspondientes a dos valores de l finitos y opuestos. Así pues, a los efectos de aplicación de la fórmula (45), la totalidad de la línea recta es equivalente a un segmento cualquiera de la misma que conteniendo a N sea de longitud finita tan pequeña como se quiera.
→
→r-n)] en una línea contínua Por tanto el valor de ∫l ¯ [dl∧(r cualquiera, tomando como origen un punto P infinitamente próximo, próximo, → infinitesimal, → ¯ ó sea con a =PN no varía al sustituir la línea por su tangente en N o bien por cualquier segmento finito de esta tangente que contenga a N. 1.09.- Integración en superficie cilíndrica. Consideraremos la intersección de un cilindro recto con un plano ó variedad lineal (n-1)-dimensional, que sea ortogonal a su eje y que contenga al origen P, y nos limitaremos a estudiar el caso de que el cilindro sea de revolución, es decir, que la intersección mencionada sea una esfera (n-1)-dimensional con su centro O en la intersección del plano con el eje del cilindro. La intersección de la superficie cilíndrica con tal plano es por tanto la superficie (n-2)-dimensional S de la esfera. Como para aplicar (45) a cada generatriz podemos →, y que sólo varía el vector a→ considerar común un versor m correspondiente, correspondiente, podemos escribir para cada una de ellas:
→π = m →∧[ (dlr→r-n)] = 2α (m →∧a →)a-(n-1) = 2α m → [a →a-(n-1)] n n ∧ ∫l El pié N de la normal desde el origen a cada generatriz de la superficie del cilindro, es un punto superficial de la esfera intersección entre plano secante y cilindro y corresponde a un elemento diferencial ds de su superficie escalar Se. 1.10.- Teniendo en cuenta cada ds, e integrando en S para toda la superficie cilíndrica, podremos escribir:
→π = S 140
∫
→πds = m →∧{ ds[ ∫S S
∫
l
→r-ndl)]} = 2α m → [ (r n ∧
∫
S
→a-(n-1))] (dsa
→
y sustituyendo la integral del último miembro por Ω tal como vimos en '1.05 2, quedará:
→π = 2α m →→ S n Ω
(47)
→
De acuerdo con los valores de Ω indicados en '1.03, resulta finalmente: (48)
a) Punto interior:
(49)
b) Punto exterior:
→ →π = 0 S →π = 2α m → Sc →c-(n-1) S n ∧ e
→ el vector de posición del centro de la esfera siendo aquí c respecto al origen. Por consiguiente, en el caso de punto exterior a un cilindro de revolución, el conjunto de generatrices con factor ds equivale a una sola línea recta axial con un factor Se= ds .
∫
1.11.- Integrales de volumen en un cilindro de sección
esférica.
En un espacio puntual n-dimensional, consideraremos un cilindro de revolución, como un conjunto de tubos diferenciales de revolución coaxiales, de radio ρ, y espesor dρ. A este conjunto corresponde un conjunto intersecciones con un plano ortogonal al eje que contenga origen, que son las esferas huecas concéntricas diferenciales centro O, con iguales radio ρ y espesor dρ, consideradas '1.05, y por tanto podremos establecer: πV = (50) →
∫
ρ
→π dρ = m →∧[ s
∫∫∫ ρ
S
l
de al de en
→ →dρ = 2α m → D →r-ndldsdρ)]= 2α m → Ω (r n ∧ 1 n ∧
∫
→ el valor en el origen del campo D→ creado por las siendo D 1 esferas en el plano secante, y definido en '1.05, cuando µ=1. Conforme a lo explicado en '1.05, y teniendo en cuenta que el plano es (n-1)-dimensional y que las superficies superficies esféricas son (n-2)-dimensionales, tendremos ahora: a) Origen exterior al cilindro: (51)
→π = 2α m → Vc →c-(n-1) V n ∧
siendo V el volumen escalar de toda la esfera, y c→ el vector de posición del centro de la esfera. Por consiguiente, en este caso, el conjunto de tubos con factor Sedρ equivale a un cilindro con factor V= ∫ρSedρ. b) Origen interior al cilindro:
141
(52)
→π = 2α m → → -(n-1) = 2α m → → V n ∧V’cc n ∧(kn-1c)
siendo V’ el volumen escalar de la esfera (n-1)-dimensional en → el radio ó vector de cuya superficie se halla el origen, c posición del centro de la esfera, y kn-1=V'c-(n-1) una constante escalar que sólo depende de n.
→
Del mismo modo que Ω es nulo para los puntos interiores a una superficie, ahora es nulo πv para los puntos interiores de un tubo. Por consiguiente un cilindro de revolución de radio R, para el cálculo de πV en un punto de su interior a distancia r del eje, equivale a otro cilindro coaxial de revolución con un radio r=c, siempre que se pueda despreciar el cilindro hueco correspondiente correspondiente a su superficie. Para n=3 la dimensión de la esfera de intersección es 2 y tenemos kn-1=π.
→
1.12.- Representemos por H a la siguiente integral de volumen de un cilindro recto de revolución: (53)
→
H =
∫∫∫ ρ
S
l
→r-ndldsdρ) (r
Por (50) podremos escribir:
→ → →π = m →∧H →∧D = 2αnm V 1 → es una dirección cualquiera: y como m (54)
→
→ H = 2αnD 1
1.13.- Cuando no se trata de un cilindro recto, sino de un cuerpo filiforme de grueso infinitesimal variable ó no, y la sección ortogonal por el→ origen P es esférica de centro O, y →=P además se tiene que c ¯ O es infinitesimal, seguirá válida la ecuación (52). A los efectos efectos de integración integración, , la totalidad totalidad del cuerpo cuerpo filiforme es ahora equivalente a un segmento finito del cuerpo tangente por 0 al dado, y que conteniendo a los puntos de tangencia, sea tan pequeño como se quiera. Por lo tanto, si se trata de determinar → πV en un punto del interior de un cuerpo filiforme de sección esférica infinitesimal y a una distancia r del eje, este cuerpo equivaldrá equivaldrá a un cilindro recto tangente por el mismo punto de radio r.
142
→ para cualquier cuerpo. 2.- Valor de ∇D 2.01.- Generalidades. Sea como ejemplo. un tensor → σ aplicado al punto A, expresable por:
→’=-r →): (r
→σ =
∫
→
→r-n)dλ = (→ µr
V
∫
→
V
→’r-n)dλ (→ µr
→
→ en que V es un cuerpo m-dimensional, d λ una función de dV infinitesimal, → µ el valor de una magnitud de punto determinada →, r → y r →=-r →=A →'=N →. correspondiente correspondiente a un punto N de cada dV ¯ N ¯ A σ (∇⊗→ σ, ∇→ σ, etc.), también en A, Para calcular ∇•→ tendremos en cuenta:
a) Lo dicho en '2.01 b) sobre el vector de posición a que se →’. ha de referir ∇, y que ahora resulta ser r
→
b) Que → aplicados al punto A, y por tanto µ y dλ no se hallan → → ∇ no se refiere a µ ni a dλ . Si el punto A eventualmente pertenece a V, consideraremos dos segmentos de V, V2 muy pequeño al que A pertenece y V1 resto de V al que no pertenece A (V=V1+V2), y, en vez de la integral dada, utilizaremos la suma de una integral correspondiente a V1 y otra eventual correspondiente a V2 que contiene al origen, supuesto único punto singular. Ahora nos limitaremos limitaremos a considerar la integral integral en V1, en el supuesto de que sea finita y con todos los sumandos →. Por lo tanto, la derivada de variables en forma contínua con r esta integral es igual a la integral de las derivadas de cada sumando. Para ella podremos escribir: (55)
∇•→σ = -∫v [∇ •{(µr′r-n)dλ }] r
r r
1
que para → µ escalar queda así:
∇•→σ = -∫V
µ[∇ •(r′r-ndλ )] r
r
1
→=∇∫ µr →r-ndV. 2.02.- Cálculo de ∇D V Efectuaremos el cálculo suponiendo que µ es escalar, V → un cuerpo n-dimensional cualquiera y dλ =dV. Por lo tanto. para V1 podremos escribir:
∇D1 r
= -
∫
V1
µdV
∇(r′r-n) = r
0
y en consecuencia, si el punto es interior a V tendremos: 143
∇D r
=
∇D2 r
= -∇
∫
µr′r-ndV r
V2
Podemos adoptar para V 2, cualquier volumen suficientemente pequeño para que en él µ se pueda considerar uniforme y por tanto nos permita sacarlo del signo integral. Admiti Admitimos mos que a la la inte integra gral l que que queda, queda, puede puede aplica aplicarse rse el teorem teorema a de Ostrogradski, y al hacerlo así tenemos:
∇D r
= -µ
∫
(∇[r′r-n])dV = -µ r
V2
∫
S2
r′r-n ds = µ r
∫
S2
rr-n ds r
El valor de la integral es independiente de la forma y posición de V2 y coincide con el del ángulo sólido correspondiente a una superficie cerrada desde un punto interior, cuyo valor sabemos que es nkn. Por consiguiente tendremos finalmente para V2, cuando existe:
→ = nµk ∇D 2 n Por lo tanto, considerando µ=0 en todos los puntos exteriores a V, en cualquier caso se verificará:
→ = nµk ∇D n → y µ referidos al punto A. para los valores de ∇D 2.03.- También hubiésemos podido obtener este resultado a partir de la fórmula de '1.05 caso 2º:
→ = k µc → D n → al multiplicar miembro a miembro por ∇, y cambiando para ello c → → por c’=-c: → →’ ∇D = -knµ∇c →’=n, al pasar nuevamente al origen A queda: y como ∇c → = k µn ∇D n → podemos 2.04.- En consecuencia de lo visto sobre D ∇ → correspondiente a un punto A de la expresar el valor de D siguiente manera: → =r →r-n): (t Ai
→ = ∫t → dV D A V Aiµi i
→ actúa como t → pues el teniendo en cuenta que en el sumatorio, t Ai →i pues es → está en dV , pero respecto a ∇ actúa como t extremo de r i → = µ k n. A un vector localizado en A, y de esta manera ∇D A A n
144
3.- Campos solenoidales. 3.01.Refiriéndonos a espacios puntuales ndimensionales, llamaremos campos solenoidales a los campos → no uniformes que verifican ∇v →=0 en todos los vectoriales v puntos no singulares.
→ es un campo solenoidal y por tanto ∇v →=0, de Cuando v acuerdo con lo que vimos en B'5.06, la fórmula (41) de Ostrogradski queda reducida a la siguiente:
∫
(56)
vds = 0 r
3.02.- Líneas y tubos de campo.
→ a toda Llamamos línea de campo en un campo vectorial v → en cada uno de sus puntos línea del espacio tal que el valor de v es tangente a la línea. Y llamamos tubo de campo a toda superficie tubular (n-1)-dimensional que contiene a las líneas de campo de cada uno de sus puntos. 3.03.- Tubos de campo.
→ un tubo de campo de Sea en un campo solenoidal S superficie (n-1)-dimensional y en cuyo interior no hay puntos singulares. Considerando una superficie cerrada (n-1)-dimensional, compuesta por un segmento de tubo limitado por dos secciones transversales, que denominaremos 1 y 2, sabemos por (56) que se verifica:
∫
r
Sds = 0
y como en todos los puntos de la superficie tubular se verifica por hipótesis:
→ → = 0 S ¯ ds la ecuación anterior implica para los límites 1 y 2 la igualdad: (57)
∫
1
r
S ds =
∫
2
r
Sds
cualesquiera que sean las secciones del tubo elegidas como límites, y siempre bajo el supuesto de realizar la integración integración en el sentido adecuado. La última ecuación se puede expresar así: i1 = i2 = i
→
y decimos que los flujos de un campo solenoidal S que atraviesan 145
dos secciones cualesquiera de un tubo de campo, son iguales. En cuanto al flujo que atraviesa la pared tubular, ya hemos dicho que es nulo. 3.04.- Tubo elemental. Llamaremos así a todo tubo de campo de un campo _→ → solenoidal S cuando sus secciones planas (n-1)-dimensionales d s → → son infinitesimales y por tanto su flujo característico S ¯ ds, que designaremos por di, también es infinitesimal. infinitesimal. El tubo de campo corresponde ahora a una línea y → admitiremos que los vectores S en cada punto de una sección infinitesimal del tubo por un punto dado, son todos → iguales y con la misma orientación y sentido que el elemento ¯ d l de la línea, en el punto correspondiente de ella.
→, y También tendremos que en un punto con sección ds sección recta escalar ds1, a una longitud dl de tubo corresponderá un segmento de tubo de volumen: →
→ = dl.ds dV = ¯ dl ¯ ds 1 → →=kdl Podemos escribir S (k escalar) y por tanto: → → → →= kd ¯ di = S ds l ds = kdV ¯ ¯
⇒ (58)
k =
di dV
⇒
⇒
r
S =
di dV
dl
⇒ ⇒
→
→dV = di ¯ S dl
_→ → y d → común, si ds es el escalar de y como S l tienen el versor m 1 la sección ortogonal, podremos escribir: (59)
→ds → = S di m 1 3.05.- Hipótesis de trabajo en un campo solenoidal.
nulo.
→ el dominio en que S → no es Sea en un campo solenoidal S
Según un método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos → diferenciales dV (volumen escalar), cada uno con el vector S correspondiente correspondiente a su punto representativo. representativo. A partir de ahora y siempre que sea posible, también admitiremos el espacio del dominio en cuestión como constituído por un conjunto infinito de tubos elementales, cada uno con un flujo di, y una línea representativa correspondiente a cualquiera de sus puntos. La ecuación (58) antes obtenida, se podrá utilizar en 146
el cálculo, en caso de variar el concepto de conjunto adoptado. Para el dominio en que di≠0, siempre podremos considerar que la distribución del espacio en tubos elementales es tal, que un punto determinado del dominio, es exterior a todos los tubos excepto a un único tubo en que está contenido. Además, siempre podemos condicionar la distribución de manera que el tubo en que está contenido el punto tenga una sección ortogonal por el punto que sea una esfera. Llamaremos R a su radio y ds 1 a su volumen escalar. 3.06.- Si →γ es un tensor cualquiera, tendremos pues:
∫
V
→→γdV = S
∫
i
→
γ dl ∫ → ¯
di
l
El primer miembro se refiere a un conjunto de elementos de volumen, y el segundo→ al conjunto de líneas correspondientes correspondientes a cada tubo elemental de S de flujo di.
→γ integrable, tendremos que para cada tubo cerrado Para → ¯ es nulo ∫l→ γdl, y por tanto, si son cerrados todos los tubos elementales, serán nulos los dos miembros de la última ecuación. → de la Por consiguiente, para →γ igual al tensor I aplicación idéntica, que es integrable, para el conjunto de tubos elementales cerrados, y para un conjunto cualquiera de tubos cerrados tendremos:
∫
→
V
→dV = 0 S
→r-n. 3.07.- Ejemplo para →γ= r →r-n es integrable y por tanto, al Sabemos por (20) que r integrar en cualquier línea cerrada, se verificará:
∫
(60)
−n
rr dl = 0 r
Si la línea no es cerrada sino abierta con uno ó dos puntos en el infinito, también ocurrirá lo mismo, pues para sus extremos tendremos r1=r2= ∞ y como por (20) podremos escribir:
∫
2 1
→
→r-n ¯ r dl = -(n-2)-1
∫
2 1
→ ∇r-(n-2)dr
se verifica:
∫
2 1
→ = r -(n-2) - r -(n-2) = 0 ∇r-(n-2)dr 2 1
con lo que también tendremos:
147
∫
2 1
→
→r-ndl = 0 r
Para cualquier tubo del campo de un vector solenoidal → S’ y eligiendo una línea representativa que no contenga al
origen,las dos integraciones equivalentes que siguen son pues siempre de valor nulo:
∫
V
→r →r-ndV S
∫
=
i
∫
di
l
→
→r-n ¯ r dl= 0
3.08.- Campo tensorial →τ.
→, las dos integraciones Para todo campo solenoidal S siguientes relativas a un tubo de su campo, en virtud de (58) son equivalentes: (61)
valor: (62)
∫
V
→∧r →r-n)dV (S
=
∫
i
di
∫
l
→
→r-n) ¯ (d l∧r
= →τ
A cada tubo elemental, de flujo di, corresponderá un d→τ = di
∫
l
→
→r-n) ¯ (d l∧r
que obtendremos considerando a di una constante del tubo e integrando a lo largo de la línea correspondiente al mismo. → Bastará considerar los tubos con S ó di no nulos. El tensor →τ será pues el sumatorio de los valores de d→τ, por cada tubo del conjunto de tubos elementales que forman →. el cuerpo considerado, que siempre será un tubo de campo de S En general, tanto d→τ como →τ variarán según el punto A elegido como origen de los vectores de posición y definiremos su campo, asignando a cada punto del espacio los valores de d→τ y de →τ que resultan al tomarlo como origen. 3.09.- Cuando la línea correspondiente a un tubo elemental sea una línea recta y el origen A no está en el tubo, por (45) podremos también escribir: (63)
→∧a →) a-(n-1) d→τ = di 2αn(m
con los significados descritos en '1.07.
→
→r-n)]. ¯ 3.10.- Otra expresión de ∇[d l∧(r → Para un tubo elemental ¯ d l, por álgebra tensorial podemos escribir: → → -n → → -n → → → →r-n⊗ →r-n) - [∇(r →r-n)]d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ l∧r r ] = ∇(d l⊗r r ) - ∇(r dl) = (d l∇)(r l ∇[d
148
pero se verifica:
→
→
→r-n) = [∇⊗(r →r-n)]d ¯ ¯ (d l∇)(r l →
→r-n)]d ¯ [∇(r l = 0 Y al sustituir estos dos resultados, queda: (64)
→ → -n → → → -n →r-n)]d ¯ ¯ ¯ l∧(r r )] = [∇⊗(r l = ∇[d l⊗(r r )] ∇[d 3.11.- Cálculo de ∇→τ.
→ Sea un punto origen A y el total de tubos de campo de S útiles (ó sea con di no nulo), que dan lugar a →τ, y vamos a considerar este total, como un conjunto de dos tubos de campo 1 y 2, tales que el tubo 1 es exterior a A y el tubo 2 tiene al punto A en su interior. El tubo 1, que no contiene a A, originará una parte →τ1 de →τ y por tanto de ∇→τ. Cada tubo elemental componente, de los cuales ninguno contiene a A, genera una parte d→τ de →τ y tendremos que →τ1=∫1d→τ El tubo 2, con A en su interior, dará lugar a un Siempre se elegir 1 y 2 de manera que un tramo de 2 que contenga a A, suficientemente pequeño, para que, en sus puntos, se →. considerar una distribución uniforme de S integral →τ2 tal que →τ=→τ1+→τ2 y que ∇→τ1+∇→τ2=∇→τ.
tensor podrán sea lo pueda
3.12.- a) Punto exterior a un tubo de campo. Pudiendo considerar ∫1d→τ diferenciable, no hay inconveniente en operar directamente sobre cada d→τ de la siguiente manera:
∇ ∫ l d→τ =
∫
d→τ ∇ l
→’=-r → de posición adecuado a la y teniendo en cuenta el vector r utilización de ∇ ('2.01), usaremos, para cada tubo elemental, las ecuaciones (62) y (64):
∇d→τ = ∇di
∫
l
→
→’r-n) = di ¯ (d l∧r
∫
l
→
→’r-n)] = di ¯ [∇(d l∧r
∫ [(∇⊗r→’r
-n
l
→
¯ )d l]
→’r-n tiene integral, y ésta es r→’r-n, al Como ∇⊗r integrar entre los extremos 1 y 2 de la línea representativa, si ésta es ilimitada, resulta que tanto si la línea es cerrada cerrada (1 y 2 coincidentes), como si es abierta (r1=r2=∞), se verifica: →’r-n] ) = 0 ∇d→τ = di([r→’r-n]2 - [r 1 y como es nulo el resultado para cada tubo elemental, se verificará también: 149
∇→τ1=0. 3.13.- b) Punto interior a un tubo de campo. Tendremos que para un único tubo 2 de espesor despreciable, bastará considerar un tramo que contenga a A, de → longitud que tiende a 0 y que admitimos con S uniforme:
→ ∧r →’r-n)dV = ∇→τ2 = -∇ ∫V (S
→
∫ ∇(S ∧r→’r
-n
2
)dV
Aplicaremos Ostrogradski, para lo cual además de cambiar la integración _→ de volumen por la de superficie, bastará sustituir (dV∇) por ds , obtenemos:
∇→τ2 = -
→
∫ (S ∧r→’r
→ )d ¯ s
-n
S
Sustituyendo el producto exterior:
∇→τ2 = -
→
∫ (S ⊗r→’r S
= -
→ )d ¯ s
-n
→ →
→’r ds)r ∫ (S ¯
-n
+
S
→)d → = ]⊗S ¯ s
∫ ([r→’r
-n
+
S
→
→
ds) ∫ S(r→’r ¯ n-1
S
Observaremos que el primer sumando es nulo por serlo → → → son (S ds) ya que en todo tubo de S, los vectores S→ y ¯ ds ¯ ortogonales, y que en cuanto al segundo, podemos sacar S→ constante fuera del signo integral. Queda en conjunto:
→ ∇→τ = S
→
→(nk ) -S n
ds= ∫ r→’r ¯ -n
S
puesto que en el segundo miembro, el factor de → S resulta ser, con signo cambiado (pues se refiere a r’), el ángulo sólido desde el interior del tubo elemental que conocemos por '1,02. 3.14.- c) Resumen. De todo lo que acabamos de ver, resulta que cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen A, se verifica:
→ ∇→τ = -nknS
(65)
→ el valor del campo en el siendo S consideraremos nulo en donde no exista.
origen
A,
Aplicación a un un espacio tridimensional. tridimensional.
⎡n ⎢⎣ 150
= 3; kn =
4π ⎤ : 3 ⎥⎦
r
r
∆τ = -4πS
campo
que
3.15.- El resultado de (65), también podríamos haberlo deducido de la fórmula (52) relativa al valor → πV de un cilindro de revolución infinitamente largo, tomando un origen interior A, →=c → la proyección ortogonal de A sobre el eje y siendo el vector ¯ AO del cilindro. Habiéndose definido →τ y → πV por las ecuaciones (61) y (50) respectivamente, vemos al examinar su aplicación a un mismo cuerpo desde un mismo origen, que sólo diferencian en que (61) → se diferencian → ¯ utiliza SdV donde (50) utiliza dlds, entre cuyas cantidades πV y →τ. existirá por tanto, la misma relación que entre →
→
→dV = Sm →dlds = S(d ¯ S lds)
⇒
→τ = S→π V
Efectivamente, vanos a hallar →τ partiendo de (56) que es una ecuación deducida de la (52).
→ → →τ = Sπ = 2α m → → V n ∧kn-1c = 2αnkn-1(S∧c) Multiplicando miembro a miembro por ∇, y cambiando → por c →’=-c →, escribiremos: para ello c
→ ∧c →’) ∇→τ = -2αnkn-1∇(S → ∧c →'): Calcularemos ∇(S → ∧c → ⊗c →) = S →(∇⊗c → →’) = ∇(S →’) - ∇(c →’⊗ S →’) - (∇c →’)S ∇(S →
→’=I (tensor idéntico) y que ∇c →’=n: y teniendo en cuenta que ∇⊗c → ⊗c → - nS → = -(n-1)S → →’) = S ∇(S τ , después de y sustituyendo en la anterior expresión de ∇→ cambiar otra vez de signo con la referencia, queda finalmente:
→ ∇→τ = -2σnkn-1(n-1)S y como se puede comprobar operando con las constantes: 2σnkn-1(n-1) = nkn el resultado coincide con (65).
151
4.- Campos irrotacionales, irrotacionales, 4.01.- En un espacio puntual n-dimensional, llamaremos → no uniforme que campo irrotacional a todo campo vectorial w → →=0 (ó sea ∇⊗w → simétrico) en todos los puntos no verifica ∇∧w singulares.
→ será irrotacional Vamos a ver que un campo vectorial w → es integrable, es decir, si existe un escalar U si y sólo si w →, ó sea tal que w→=∇U. integral de w → es integrable si y sólo Pues por A'5.03 sabemos que w
→ es simétrico, ó sea ∇∧w →=0 →. si ∇⊗w
→, Por ser integrable cualquier campo irrotacional w corresponderá a la derivada de una aplicación diferenciable, y por consiguiente, siempre se verificará:
∫
(66)
→
→d ¯l = 0 w
→ también lo será Recordaremos que si U es integral de w U' si y sólo si se diferencia de U en un escalar uniforme. 4.02.- Superficies equipotenciales. equipotenciales.
→ irrotacional, llamamos superficie En un campo w equipotencial correspondiente a un punto A, al l.g. de los puntos P equipotenciales a A , llamando así a los que verifican:
∫
P A
→
→d ¯l w
= 0
A cada elemento infinitesimal de una superficie → aplicado a equipotencial, corresponderá un vector superficie ds cualquier punto del elemento. Este vector será ortogonal a la superficie y por tanto, de igual dirección y sentido que el → correspondiente vector w correspondiente al punto. Así pues, en cada punto punto representat representativo ivo A, para algún algún escalar k se verificará: _→ → = kd w s Sólo en → el caso de que A pertenezca a un cuerpo n→ dimensional con w=0 en todos sus puntos el l.g. de los puntos equipotenciales con A no será una superficie, sino que contendrá a dicho cuerpo. 4.03.- Capas equipotenciales, equipotenciales, Designaremos como capa equipotencial al espacio comprendido entre dos superficies equipotenciales, que por lo 152
tanto constituirán su frontera. 4.04.- Sea en una capa equipotencial un circuito lineal cerrado que conste de cuatro segmentos, uno en la superficie que señalaremos con 1, otro en la otra superficie señalada con 2, y los dos restantes que enlacen los extremos de los segmentos anteriores, y que por tanto enlazarán las superficies 1 y 2 una con otra. Teniendo en cuenta (66), y que en consecuencia las integrales parciales correspondientes a los trayectos sobre igual superficie equipotencial son nulas, para los trayectos entre las superficies 1 y 2, cualesquiera que éstos sean, tendremos un solo valor:
∫
2 1
→
→d ¯l w
= U2 - U1 = constante
4.05.- Capa elemental. Llamaremos capa elemental a la que tiene por frontera dos superficies equipotenciales infinitamente próximas entre sí. Para esta capa, y para dos puntos infinitamente próximos uno de cada superficie la ecuación anterior tomará la forma:
→
→d ¯l = dU w habiendo llamado dU ó diferencial de U, a la diferencia infinitamente pequeña entre U2 y U1. Una capa elemental equipotencial corresponde ahora a una superficie (n-1)-dimensional y a un espesor infinitesimal → son iguales en todos variable, y admitiremos que los vectores w → ¯l y que lo mismo ocurre con los vectores los puntos del trayecto d → infinitesimales infinitesimales ¯ ds de superficie limitados por un mismo tubo de fuerza. Podremos considerar pues como elemento parcial infinitesimal de volumen de la capa, a su vez de volumen infinitesimal, en el entorno de un punto A a:
→ → d ¯l dV = ¯ ds De esta manera, para cada punto de _ una superficie → → y: equipotencial, resulta w de igual dirección que d s
→ →=kd w ¯ s
k =
(67)
→ → →d →d ¯l ¯l dU = w = k ¯ ds ⇒
⇒
dU dV
⇒
⇒
w = r
dU dV
r
ds
→ →dV = dUd w ¯ s 153
→ y → → para cada punto tienen el versor m→ común, Como w ds si dl1 es allí la distancia ortogonal entre superficies, también se verifica en el punto: →dU = w →dl m 1
(68)
4.06.- Hipótesis de trabajo en campo irrotacional. es nulo.
→ no Sea, en un campo irrotacional → w, el dominio en que w
Con el método de cálculo habitual consideraremos su espacio como constituído por un conjunto infinito de elementos → que diferenciales dV (volumen escalar) con el vector w corresponde a su punto representativo. representativo. A partir de ahora, podremos admitir también, que el espacio del dominio en cuestión está constituído por un conjunto infinito de capas elementales, caracterizadas cada una por una superficie (n-1)-dimensional representativa correspondiente a uno de sus puntos, y una diferencia dU. En caso de variar la hipótesis utilizada, utilizaremos como fórmula de sustitución, la (67).
→
→≠0, siempre podremos Para el dominio V en que w considerar que la distribución del espacio en capas elementales es tal, que un punto determinado del dominio no pertenece más que a una única capa elemental. Integrando (67) para una sola capa elemental cerrada, tendremos:
∫
V
→dV = dU w
∫
S
_→ → ds = 0
y por tanto, para todo conjunto de capas cerradas, se verifica:
∫
(69)
→
V
→dV = 0 w
4.07.- Aplicación a capas cerradas. escribir: (70)
En general, si →γ es un tensor cualquiera podremos
∫
→γw →dV = V
∫
U
dU
∫
S
→ → γd s ¯
siempre que el campo de integración se pueda considerar como un conjunto de capas elementales cerradas y sea por tanto a su vez una capa cerrada. 4.08.- Aplicando (70) con cualquier tensor →γ que en V → → verifique uniformemente ∇γ=0, la última integral resulta nula 154
para toda capa elemental cerrada, pues así se deduce de Ostrogradski. Por tanto en este caso, si todas las capas elementales son cerradas, los dos miembros de la ecuación anterior serán también nulos y podremos escribir:
∫
(71)
V
→γw →dV = 0
De acuerdo con esto, es fácil ver que cuando →γ es el → tensor I de la → aplicación idéntica, que es uniforme y por tanto → verifica ∇I=0 y no tiene valores singulares, de esta última ecuación podemos deducir la (69).
También vemos que si →γ es un vector solenoidal sin puntos singulares en V, y por tanto por definición verifica ∇→γ=0, se le puede aplicar la ecuación (71).
→ →r-n, sabemos que ¯ →γds Cuando el vector solenoidal es →γ=r es el ángulo sólido con el que se ve la superficie equipotencial cerrada desde el origen. Como este ángulo es nk n si el origen está en el espacio interior a la superficie, y es 0 si está en el exterior, la ecuación (70) podremos escribirla así:
∫
∫
→γw →dV = (U -U )nk 2 1 n V
siendo U1 y U2 los valores de U extremos del conjunto de capas elementales que contienen al origen. El valor de U en el infinito se acostumbra a considerar nulo. 4.08.- Campo tensorial →χ . Valor de ∇→χ . Sea el tensor
→χ =
∫
V
→∧r →r-n)dV (w
=
∫
U
dU
∫
→ ∧r →r-n) (d ¯ s
→ → Análogamente a '3.10, podemos sustituir ¯ d l por ¯ ds obteniendo: _→ → -n _→ → -n ∇[ds∧(rr )] = ∇[ds⊗(rr )] → en lugar de S→ y operando con capas en lugar de tubos, y con w llegamos al resultado: → ∇→χ = -nknw que se verifica cualquiera que sea el punto del espacio donde se → el valor del campo en el halle situado el origen, siendo w origen.
155
5.- Campos armónicos.
→ que 5.01.- Llamamos armónico a todo campo vectorial v sea a un tiempo irrotacional y solenoidal, ó sea que verifica tanto la relación característica del uno, como la del otro: → = 0; ∇v
→ = 0 ∇∧v
y tendrá por tanto, a la vez, las propiedades de ambos campos.
→ irrotacional tendremos que será la derivada Por ser v ∇U de una variable U escalar, y por ser también solenoidal, su producto contracto por ∇ habrá de ser nulo. La condición de armonicidad para la derivada de algún escalar U, es pues: 0 = ∇(∇U) = (∇∇)U = ∆U (laplaciana de U) ó ecuación de Laplace. Los campos escalares U, que verifican la ecuación de Laplace son las soluciones de la misma. Si en un dominio de U, solución de Laplace, la → de Laplace, es diferenciable y regular, aplicación puntual v decimos que en este dominio ó región del espacio, U es una →=∇U es un campo armónico. función armónica, y que v
→, conservarán su 5.02.- En los campos armónicos v sentido los conceptos de tubo de campo y elemental y de flujo i ó di, así como los de capa equipotencial y elemental →y de diferencia de potencial U2-U1 ó dU. En cuanto a los campos S y → w, → ambos coincidirán en un mismo campo vectorial v . Ahora al espacio espacio lo podremos podremos integrar integrar indistintame indistintamente nte tanto por tubos elementales como por capas elementales, de acuerdo con las ecuaciones (58) y (67) de equivalencia: equivalencia:
→
→ →dV = di ¯ v d l = dU ¯ ds que normalmente a elementos de volumen rectangulares rectangulares → se→ referirán → ¯ en los que d l, ¯ ds y v son vectores de igual dirección.
→=0 en 5.03.- Vamos a ver en qué condiciones tendremos v un campo armónico. Como las ecuaciones (59) y (68) serán aplicables a un campo armónico, de ellas deducimos fácilmente: di = v ds; v=
di dU = ds dl
⇒
dU = v dl ⇒ 2 v =
di dU ds dl
=
di dU dV
y recordaremos que di no varía a lo largo de un tubo y que dU 156
tampoco varía en una capa equipotencial. a) En algún punto del campo útil, di ó dU no es nulo.
→ en todo el dominio. No serán nulos ambos valores ni v De la ecuación última deducimos entonces, que al disminuir v, aumenta dV, y que si v tiende tiende a cero, dV crece indefinidamente, y esto solo es posible cuando el punto se aleja indefinidamente.
→ Por consiguiente, solamente podemos considerar nulo a v en puntos del campo en el infinito. b) En algún punto del campo útil di ó dU son nulos. Lo serán ambos valores así como v en todo el dominio. 5.04.- Valores máximos y mínimos de U en su campo. Corresponden a los puntos de derivada nula de U, ó sea con → = 0. ∇U = v Por lo expuesto en el párrafo anterior ó no existe ningún máximo ni mínimo en el interior del dominio útil →=0 en la totalidad del mismo. considerado ó bien se tiene v En consecuencia, una función armónica U es uniforme en un volumen útil determinado si lo es en su frontera. 5.05.- Un campo armónico notable y una función armónica notable son respectivamente: respectivamente:
→r-n; r
-(n-2)-1r-(n-2)
que hemos estudiado en A'7.04. Esta función armónica se denomina elemental, pues se puede demostrar que toda función armónica puede obtenerse como combinaciòn lineal de un número finito ó infinito de funciones armónicas elementales. 5.06.- Se demuestra que toda función armónica es analítica analític a ó sea desarrollable en serie de Taylor, en el entorno de un punto cualquiera de su campo. 5.07.- Sea como ejemplo de demostración por cálculo tensorial, el cálculo de la función armónica que corresponde a un dominio en cuya frontera U es uniforme.
→ uno vectorial, ambos Sea U un campo escalar y v →). cualesquiera, y consideremos la integral de volumen de ∇(Uv Por Ostrogradski podremos escribir:
∫
V
→)]dV = [∇(Uv
∫
S
→. →)d (Uv ¯ s 157
→ Esta expresión, cuando U es uniforme en la frontera y v es solenoidal, se anula por (56):
∫
V
→)]dV = U [∇(Uv
∫
→ = 0 → v ¯ ds
S
Por otra parte, si U es una función armónica del campo
→=∇U, y tenemos por tanto ∇v →=0, podremos escribir: armónico v →) = v →(∇U) + U(∇v →) = v →(∇U) = v2 ∇(Uv
∫
V
→)]dV = [∇(Uv
∫
v2dV
V
De estas expresiones y de la anterior deducimos:
∫
V
→)]dV = 0 = [∇(Uv
∫
V
v2dV
→=0, ó sea U uniforme. y por tanto, en todo el volumen tendremos v
158
D.- ECUACIONES DIFERENCIALES
1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 1.01.- Primer ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en →τ de coeficientes constantes. Variable independiente t escalar. Son de la forma: n d τ
2 d τ
r
r
A = kn
dτ
r
r r
+...+ k2 2 + k1 + k0 τ = 0 n dt dt dt r
→ Ensayando una solución de la forma →τ=λ eβt, constante y e número de Euler, se obtiene:
con
→ a
r
= k0λ eβt
k0 τ
r
r
k1
dτ
= k1
dt 2 d τ
r
k2
2
dt
d
r
r
βt
(λ e ) = k1λ eβtβ dt d dτ r
= k2
dt dt
= k2
d
r
r
2
(λ eβt) = k2λ eβtβ dt
. . . . . . . . . n d τ
r
kn
n
dt
r
= kn λ eβtβ
n
Sustituyendo en la ecuación, resulta:
→
βt
n
2
→
λ e [knβ + ... + k2β + k1β + k0] = 0
Serán válidas las soluciones correspondientes a los valores de β que anulan el corchete, es decir, las soluciones de la ecuación: knβn + ... + k2β2 + k1β + k0 = 0 1.02.- 2º ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de un
σ con coeficientes →τn uniformes de orden n. Variable tensor → →. independiente vectorial x
→ y →τ = k, son de la forma: Con →τ1=v 0 → →τ (∇⊗n⊗→σ) + .. + →τ (∇⊗∇⊗→σ) + v →(∇⊗→σ) + k→σ = 0 n 2 159
→
→→
→
ax σ = λ e Ensayaremos una solución de la forma → siendo λ → → un tensor uniforme del orden de σ y a un vector uniforme. Se obtiene:
→→
→→ ax → ∇(e ) = ae ax
y por lo tanto: σ k→
→
→→
= kλ ea x
→(∇⊗→σ) = v →(∇⊗ →λ ea→x→) = v →[(∇ea→x→)⊗ →λ ] = → →⊗ →λ )ea→x→ v v(a →τ (∇⊗∇⊗→σ)= →τ [∇⊗(∇⊗→σ)]= →τ (∇⊗a →⊗ →λ )ea→x→= →τ (a →⊗a →⊗ →λ )ea→x→ 2 2 2 2 . . . . . . . .
→τ (∇n⊗→σ) = →τ (a →n⊗ →λ )ea→x→ = (→τ a →n) →λ ea→x→ n n n Sustituyendo en la ecuación resulta:
→ →n + ... + →τ (a →⊗a →) + v →a → + k] →λ ea→x→ = 0 [→τna 2 Por lo tanto la solución ensayada es válida con → que anule el corchete, es decir, que sea cualquier valor de a solución de la ecuación:
→τ a →n + ... + →τ (a →⊗a →) + v →a → + k = 0 n 2 llamada ecuación característica. característica. 1.03.- Forma vectorial de la ecuación de Euler del cálculo de variaciones. Nos limitaremos a un desarrollo esquemático.
→(t) del Sea en un espacio puntual afín una curva x espacio y un segmento de la misma entre el punto A correspondiente al valor a de una variable independiente escalar t y el punto B correspondiente al valor b. Supondremos que no → es función continua de t en dicho segmento y por tanto sólo x →/dt, existe en cada uno de sus puntos una derivada escalar x→’=dx sino que esta derivada también es continua en dicho segmento. Sea también una función f escalar de las tres → y x →'. Separando variables podremos escribir: magnitudes t,x
→ + f dx →’ df = ftdt + fxdx x’ 160
en cuya expresión t es la única variable independiente, f t es la → derivada parcial respecto t, fx la derivada parcial respecto a x → y fx’ la derivada parcial respecto x’. Por razón de homogeneidad estarán representadas por una magnitud escalar y dos vectoriales respectivamente. respectivamente. Escribiremos en consecuencia:
→
→
→ + f dx →’ df = ftdt + fxdx x’ Vamos a estudiar ahora la integral
∫
I =
AB
→,x →’)dt f(t,x
→(t) entre A y y veamos qué condiciones necesita reunir la curva x B para que esta integral sea extremal, es decir, para que toda variación en la curva entre A y B cambie su valor en el mismo sentido, sea de aumentar o disminuir. Para ello consideraremos una variante cualquiera del
→+αv →, con v →(t) una curva cualquiera tal que v→(a)=v →(b)=0 →, tipo x
y α un parámetro escalar. Esta nueva curva evidentemente también contiene a los puntos A y B y para ella la integral I toma el valor siguiente: I =
∫
AB
→+αv →, x →’+αv →’)dt f(t, x
→, obtenemos Dando distintos valores a α para un mismo v una familia de curvas que pasan por A y B, siendo la curva primitiva la que corresponde a α=0. Si esta curva primitiva es extremal se habrá de verificar:
⎛ dI ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dα ⎠α=0
= 0
→ determinado, Obtendremos pues la condición para un v → fijo, e derivando I respecto a α para α=0, considerando v igualando a cero el resultado que se obtenga: 0 =
∫
→→ → v → (fxv + f x’ ’)dt =
AB
→
→dt + fxv
∫
AB
∫
→
AB
→’dt fx’v
pero se verifica: r
∫
fx′ v ′ dt r
r
AB
=
b
[vf ′ ] − r
r
x
a
∫
v r
AB
dfx′ dt
dt
→ en A y en Como el término integrado es nulo por serlo v B, al sustituir el primer miembro en la ecuación anterior, se tendrá: r
0
=
∫
r
fx v dt r
AB
−
∫
v r
AB
dfx′ dt
r
dt
=
∫
(fx − r
AB
dfx′ dt
)vdt r
161
Como si la curva primitiva es extremal,esto se habrá de → que se anule en A y B, resulta verificar para cualquier v finalmente que es condición necesaria para ello la siguiente:
→
fx
d → - fx’ = 0 dt r
aunque podríamos ver que no es suficiente.
162
E.- SERIES POLINOMICAS.
1.01.- Teorema de Rolle. Vamos a generalizarlo para tensores.
→, tal que µ =µ , es decir, Sea una función µ escalar de x a b → →=a → que para x →=b que toma igual valor para x . Admiti Admitirem os tambi también én que µ y ∇µ varían en forma continua →remos → desde a hasta →b a lo largo del segmento rectilíneo AB que → y b. determinan a Vamos a demostrar que en estas condiciones, en AB →=c → y distinto de A y siempre existe un punto C correspondiente a x de B, para el que ∇µ verifica:
→
→
→) = 0 (∇µ)C(b-a
→
→
→)] = 0 [(∇µ)(b-a C
⇔
Efectivamente, si pasamos de A a B por segmentos →, todos de igual dirección, se tendrá: diferenciales dr µB - µ A =
∫
AB
→ (∇µ)dr
Dado que por hipótesis se verifica µ A=µB, el sumatorio integral del 21 miembro es nulo, por cuya razón, si no son →, habrá en el segmento siempre nulos los incrementos dµ=(∇µ)dr algún punto punto C entre A y B en que los incrementos incrementos cambiarán de signo y para él se verificará:
→
→ = 0 (∇µ)Cdr y como ACB es una recta, se verificará también:
→
→
→) = 0 (∇µ)C(b-a 1.02.- Fórmula tensorial de Taylor.
→, la Para un tensor →τ de cualquier orden, función de x fórmula tensorial de Taylor expresa el valor de →τB, es decir, el → → → = b = a → + (b-a →), siendo a→ arbitrario, en valor de →τ para x función: →=a →, de →τ A = valor de →τ para x →=a → del valor de las sucesivas derivadas de →τ para x →-a →. y de las potencias tensoriales de b La fórmula es la siguiente: τB = τ A +
r
r
1
1 ⊗2 (∇ ⊗ τ)A(b-a) + (∇ ⊗ τ)A(b-a)⊗2 + .... 1! 2! r
r
r
r
r
r
163
1
(∇⊗ m ⊗ τ)A(b-a)⊗ m + ε m!
.... +
r
r
r
r
En esta expresión, cuyos términos son todos tensores del mismo orden que →τ, →ε es la diferencia entre →τB y el polinomio que precede a →ε, y se denomina término complementario. 1.03.- Cálculo de →ε. Admitiremos para para el cálculo, que tanto →τ como sus m+1 primeras derivadas son finitas y continuas en el segmento AB, y procederemos así:
→: Examinemos el siguiente escalar µ función de x (72)
⎡ ⎣
µ = σ⎢τ + r
r
1
1 ⊗2 (∇ ⊗ τ)(b-x) + (∇ ⊗ τ)(b-x)⊗2 + ... 1! 2!
....+
r
r
r
r
r
1
ν(b-x)⊗(m+1)⎤ + ε ν(b-a)⊗(m+1)⎥⎦ r
⊗m
(∇⊗ m ⊗ τ)(b-x) m! r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
σ es un tensor arbitrario del mismo orden que en cuya expresión, → →τ y →ε, y →v es cualquier tensor de orden m+1 que sea simétrico y que verifique:
→v(b →-a →)⊗(m+1) ≠ 0 Del examen de la expresión de µ se deduce fácilmente que µ verifica la siguiente relación: µa = µb = → σ→τB
y que por tanto cumple la condición exigida a la función µ que ha intervenido en la demostración del teorema de Rolle. C
Por consiguiente podemos establecer que en algún punto del segmento AB, distinto de A y de B, se verifica:
→
→) = 0 (∇µ)C(b-a
(73)
Sustituyendo en esta igualdad el valor dado a µ, y después de diversas operaciones, se obtiene finalmente en '1.10/1.13, la siguiente ecuación: σ r
(74)
σε = r r
(∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)! r
r
r
1.04.- La expresión anterior, para el caso de que →τ sea σ corresponda el mismo de orden 0 (escalar) ó el de que a todo → punto C, se reduce a: (75) 164
ε = r
1
(∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)! r
r
r
Si además de ser escalar →τ, tenemos que el espacio es unidimensional, esta expresión de →ε queda reducida al conocido término complementario de Lagrange. En los demás casos si quisiéramos determinar intrínsecamente, intrínsecamente, ello sería teóricamente posible a partir de
→ε
considerar una base vectorial de los tensores → σ de conocer los puntos C para cada vector base, y de resolver el sistema de ecuaciones que resultarían de aplicar sucesivamente cada tensor base a (74). 1.05.- En cuanto al modo de determinar los coeficientes
de →ε de cualquier tipo (covariantes, etc,), lo expondremos a través de un ejemplo.
ρC el tensor siguiente: Sea → ρC = r
1
(∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) (m +1)! r
r
r
con lo que la ecuación (74) se convierte en:
→σ→ε = →σ→ρ C y supongamos que los factores son de segundo orden.
→ } del espacio n-dimensional E en Adoptando Adoptando una una base base i{e → → →ij), tensor base de su espacio que trabajamos, para σ =(e ⊗e vectorial, habrá algún punto C para el que se verificará: →i⊗e →j)→ε = (e →i⊗e →j)→ρ (e C y por tanto habrá la siguiente relación de coeficientes: ij
ε
= (rij)C
que determina el coeficiente εij de →ε correspondiente al vector base elegido. Vemos así, hablando ya en general, que cada coeficiente
de →ε coincide con el mismo componente de → ρC correspondiente a algún punto C intermedio entre A y B. Este punto podrá ser distinto para cada componente. 1.06.- Serie de Taylor.
→. Sea un tensor →τ, función de x El desarrollo de →τ en serie de Taylor, es el visto anteriormente, o sea:
165
τB = τ A +
r
r
1
1 ⊗2 (∇ ⊗ τ)A(b-a) + (∇ ⊗ τ)A(b-a)⊗2 + .... 1! 2! 1 ⊗m .... + (∇ ⊗ τ)A(b-a)⊗ m + ... m! r
r
r
r
r
r
r
r
r
Para que esta expresión sea válida, se precisa: a) Que →τ sea diferenciable indefinidamente. indefinidamente. b) Que la serie sea convergente. 1.07.- Un criterio de convergencia deducido de los párrafos anteriores, es que se verifique: (∇⊗(m+1)⊗ τ)C(b-a)⊗(m+1) r
r
(∀c; c∈[a,b]): r
r
r
lim m →∞ =
r
r
(m +1)!
= 0
1.08.- Serie de Mac-Laurin.
→ →=0 Es la serie de Taylor para el caso a , o sea: 1 1 ⊗2 1 ⊗m ⊗2 ⊗m τB = τ0 + (∇ ⊗ τ)0 b + (∇ ⊗ τ)0 b + .. + (∇ ⊗ τ)0 b + .. 1! 2! m! r
r
r
r
r
r
r
r
1.09.- Valor de la diferencia →τB - →τ A
→=dx → y →τ indefinidamente diferenciable con Para ¯ AB →=a →, podremos escribir la fórmula de Taylor derivada finita para x de esta manera: τB - τ A =
r
r
1
1 1 (∇ ⊗ τ)A dx + (∇⊗2⊗ τ)A d x⊗2 + .. + (∇⊗ m ⊗ τ)A d x⊗ m + .. 1! 2! m! r
r
r
r
r
r
Es una consecuencia de los últimos párrafos. 1.10.- A continuación vamos a detallar las operaciones antes omitidas para obtener la ecuación (74). Por no ser necesario y para simplificar, suprimiremos el signo ⊗ en los exponentes. En primer lugar vamos a considerar por separado los σ de cada término del términos que resultan del producto por → corchete de (72) con la excepción del último →y los sustituiremos →). Como para el en (73) obteniendo m+1 términos de (∇µ)C(b-a término m+1, aplicando los teoremas fundamentales de esta álgebra se verifica:
∇{σ[(∇ m ⊗ τ)(b-x)m]} = ∇[∇ m(b-x)m](στ) r
r
r
r
r
r
r r
el término αm+1 en (73) puede representarse así: 166
1
{∇[∇ m(b-x)m](στ)}C(b-a) m!
α m +1 =
r
r
rr
r
r
y con 0≤i≤m, para el término general i+1 tendremos: 1
αi+1 =
{[∇(b-a)][∇ (b-x)](στ)} r
i
r
r
r
i
r r
c
i!
Teniendo en cuenta que , como operador de → →eli factor ∇ → derivación, se refiere tanto a (b -x) como a τ, consideraremos a αi+1 como suma de dos sumandos α’i+1 y →α”i+1 , el primero para →τ como →)i como tensor afectado. tensor afectado y el segundo para (b -x 1.11.- Siempre aplicando los teoremas fundamentales, para el valor en C del primer sumando tendremos: α’i+1 =
1
1 [∇i ⊗∇ ⊗ τ]C [(b-c)i ⊗(b-a)⊗ σ]= [∇i+1 ⊗ τ]c[(b-c)i ⊗(b-a)⊗ σ] i! i! r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Ahora Ahora bien, bien, por tener tener igual igual direc direcció ción n y sent sentido ido podem podemos os → → → → sustituir b-c por k(b-a) y tendremos: α’i+1 =
1
1 [∇i+1 ⊗ τ]c[ki(b-a)i+1 ⊗ σ] = [ (∇i+1 ⊗ τ)cki(b-a)i+1]σ i! i! r
r
r
r
r
r
r
r
Para el valor en C del segundo sumando se verifica: α ′i′+1 =
1
{∇[∇i(b-x)i]}c(b-a)(σ τ)C i! r
r
rr
r
r
→-x →)i] es la derivada de un monomio en (b →-x →) Pero ∇[∇i(b i → → i-1 y sustituyendo por su valor -i∇ (b-x) dado por (17) y A'6.03c, se tiene: α ′i′+1 = -
=-
i
1
i{[∇i(b-x)i-1](b-a)(στ)}C = i! r
r
rr
r
r
1 {∇i[(b-x)i-1 ⊗(b-a)](στ)}C = (∇i ⊗ τ)C[(b-c)i-1 ⊗(b-a)⊗ σ] i! (i-1)! r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
y por consiguiente: α”i+1 = - α’i
1.12.- Cálculo del último término β. Tendremos en cuenta que la fracción que figura en la expresión de →ε es de términos escalares.
{∇[ ν(b-x) ]} (b-a) = (εσ) r
r
β
r
m +1
C
r r
r
r
ν(b-a)m+1 r
r
r
167
y como por ser derivada de un monomio se verifica:
→-x →)m+1]} = -(m+1)→v(b →-c →)m {∇[→ v(b C tendremos sustituyendo: ν[(b-c)m ⊗(b-a)] [(m +1) ν(b-c)m](b-a) β = -(εσ) = -(m +1)(εσ) ν(b-a)m+1 ν(b-a)m+1 r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
Ahora Ahora bien, bien, por tener tener igual igual direc direcció ción n y sent sentido ido podem podemos os → → → → escribir b-c = k(b-a) y sustituir, con lo que quedará: r
m+1 m ν(b-a) β = -(m +1)(εσ)k = -(m +1)(εσ)km m+1 ν(b-a) r
r
r r
r r
r
r
r
→-a →)} , son: 1.13.- Resumiendo, los términos de {(∇µ)(b C = = = . . . α1 α2 α3
αm+1 β
α’1 α’2 – α’1 α’3 – α’2
. . . . . 1
= α’m+1 - α’m = [ (∇ m+1 ⊗ τ)C km(b-a)m +1]σ - α’m r
r
r
r
m!
m = - (m+1)(→ σ→ε)k .
Sumando miembro a miembro, queda: 0 =[
1
(∇ m+1 ⊗ τ)C km(b-a)m+1]σ - (m +1)(σε)km m! r
r
r r
r
r
de donde se deduce: σε = r r
1
[(∇ m+1 ⊗ τ)C(b-a)m+1]σ (m +1)!
que es la ecuación que buscábamos.
168
r
r
r
r
APENDICE
1.-
Cálculo de αn. Ampliación de Análisis T. C '1.07.
1.01.- Tomaremos p entero con valores 1,2,3.. y tendremos así que 2p representará cualquier entero par y 2p-1 ó 2p+1 cualquier entero impar. 1.02.- Utilizaremos las siguientes expresiones de integrales definidas que constan en el Hütte: π
∫
+
∫
+
2
0
cos
2p
π 2
0
cos
xdx =
2p+1
1·3·5····(2p-1) π 2·4·6····( 2p) 2 2·4·6····(2p)
xdx =
1·3·5····( 2p +1)
1.03.- Utilizaremos del ensayo sobre cuádricas los valores que nos da del volumen Vn de las esferas para valores de n tales como 2p y sus inmediatos inferior y superior, ó sea los impares 2p-1 y 2p+1. p
V2p-1
2 p-1 2p-1 = π r (2p-1)(2p-3)····5·3·1 V2p =
V2p+1
1
p
2p
πr p!
2.2p p 2p+1 = π r (2p+1)(2p-1)····5·3·1
1.04.- Cálculo de las constantes kn (Cálculo T. C'1.02) para n igual a 2p-1, 2p y 2p+1. p
k2p-1
=
2 p-1 π (2p-1)(2p-3)····5·3·1 k2p =
k2p+1
1
π p!
p
2.2p p = π (2p+1)(2p-1)····5·3·1
1.05.- Relación entre constantes k para valores de n 2p+1 y 2p y para valores 2p y 2p-1: 169
k2p+1 k2p k2p k2p-1
p
2 ·p!
(2p)(2p-2)···4·2 = 2 = 2 (2p+1)(2p-1)····3·1 (2p+1)(2p-1)···3·1
(2p-1)(2p-3)··· 3·1
=
p!2p
(2p-1)(2p-3)··· 3·1 π = 2 (2p)(2p-2)···4 ·2 2
π 2· 2
Estas relaciones se pueden poner en función de cosenos de acuerdo con las fórmulas vistas en '1.02 en la forma siguiente: k2p+1 k2p k2p k2p-1
=
=
2(2p)(2p-2)···4·2
=
2p+1 (2p-1)···3·1
2(2p-1)(2p-3)···3·1 π 2p
=
(2p-2)···4·2 2
2(2p)
2p+1 ∫
+
π 2
0
2p-1
cos
2(2p-1) 2p
∫
+
0
xdx
π 2
cos
2p-2
xdx
1.06.- Para un espacio de dimensión impar n=2p+1, la primera ecuación queda en la forma: kn kn-1
2(n-1)
=
n
+
∫
π 2
0
cos
n-2
xdx
y si es de dimensión par n=2p la segunda ecuación queda así: kn kn-1
2(n-1)
=
n
∫
+
0
π 2
cos
n-2
xdx
Por lo tanto, tanto si la dimensión n del espacio es par o impar, siempre se tiene:
∫
+
0
170
π 2
cos
n-2
xdx = αn =
nkn 2(n-1)kn-1
INDICE DE EQUACIONES
AT( 1) AT( 2) AT( 3) AT( 4) AT( 5) AT( 6) AT( 7) AT( 8) AT( 9) AT(10) AT(11) AT(12) AT(13) AT(14) AT(15) AT(16) AT(17) AT(18) AT(19) AT(20) AT(21) AT(22) AT(23) AT(24) AT(25) AT(26) AT(27) AT(28) AT(29) CT( 1) CT( 2) CT( 3) CT( 4) CT( 5) CT( 6)
14 14 14 22 23 23 23 24 24 25 25 26 26 26 28 28 29 29 29 30 30 34 34 44 44 44 44 44 71 98 98 99 100 102 102
CT( 7) CT( 8) CT( 9) CT(10) CT(11) CT(12) CT(13) CT(14) CT(15) CT(16) CT(17) CT(18) CT(19) CT(20) CT(21) CT(22) CT(23) CT(24) CT(25) CT(26) CT(27) CT(28) CT(29) CT(29') CT(30) CT(31) CT(32) CT(33) CT(34) CT(35) CT(36) CT(37) CT(38) CT(39) CT(40)
102 103 103 103 104 104 104 104 105 107 108 108 118 118 121 121 121 121 121 122 123 127 127 128 129 129 129 130 130 130 130 131 132 132 133
CT(41) CT(42) CT(43) CT(44) CT(45) CT(46) CT(47) CT(48) CT(49) CT(50) CT(51) CT(52) CT(53) CT(54) CT(55) CT(56) CT(57) CT(58) CT(59) CT(60) CT(61) CT(62) CT(63) CT(64) CT(65) CT(66) CT(67) CT(68) CT(69) CT(70) CT(71) CT(72) CT(73) CT(74) CT(75)
133 134 137 137 139 140 141 141 141 141 141 142 142 142 143 145 145 146 146 147 148 148 148 149 150 152 153 154 154 154 155 164 164 164 164
171
