ÁLGEBRA DE BLOQUES CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN DE PROCESOS
CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN DE PROCESOS ALGEBRA DE BLOQUES BLOQUES :
MUÑOZ ZAMBRANO ARQUIMEDES
CHILÓN TORRES JENIFFER
DÍAZ COTRINA JOSÉ LUIS
HUAMÁN GUEV GUEVARA ARA LADY
ROQUE LEONARDO IRVIN
SÁNCHEZ SILVA JESÚS 2014 – I Lambayeque, Julio de 2014
Introducción Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones de cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación representación denominada diagrama de bloques. bloques.
Un diagrama de bloque es una simplificación, una representación gráfica de un sistema físico que ilustra las relaciones funcionales entre los componentes del sistema.
El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan. Primero se toman las transformadas de Laplace de las ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales nulas. Luego cada ecuación en el dominio de Laplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los bloques para formar un único diagrama.
Es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema. La operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.
Bloque: Es el elemento principal de un diagrama de bloques ya que representa los componentes del sistema.
Señal o línea: Representativa de variables de entrada o salida
Sumador: Elemento que sirve para combinar dos señales de entrada generando una salida que es su suma (o resta).
Bifurcaciones o punto de ramificación: Puntos a partir de los cuales una señal va de modo concurrente a otros bloques o sumadores.
Reglas:
A un bloque entra solamente una señal. De un bloque sale solamente una señal. A un sumador entran dos señales, cuyos signos deben especificarse. De un sumador sale solamente una señal.
Dos son las operaciones elementales definidas para los Diagramas en bloque. Una la que define la función del bloque y que se esquematiza como sigue:
La variable de entrada es 'a', perfectamente individualizada por la dirección de la flecha. La variable de salida es 'b' y la relación matemática entre ambas es:
La combinación de señales se hace a través del sumador al que ingresan dos señales de entrada y de la que resulta una salida, la suma (o resta) de las entradas: Cuando una de las señales se resta, debe indicarse explícitamente en la proximidad del sumador con el signo '(-)'.
ÁLGEBRA DE BLOQUES Permiten representar matemáticamente a través de diagramas de bloques, la relación entre las señales de entrada y salida de un sistema.
Cada bloque representa una relación de la señal de salida sobre la señal de entrada llamada Ganancia (G = Y/X) por tanto Y = X.G
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (I) Conexión en serie:
En el primer bloque G1 la relación de entrada salida es:
A = X.G1 En el segundo bloque G2 la relación de entrada salida es:
Y = A.G2 Sustituyendo la ecuación de G1 en la de G2 se tiene:
Y = X.G1.G2 Despejando la relación Y/X que es la ganancia del bloque equivalente se tiene:
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (II) Punto de suma o diferencia:
En el punto de suma de la izquierda la señal de salida es:
D=A+B–C En el punto de suma de la derecha la salida es:
F = -D + (A-B+C) + E = A – B + C – D + E
Punto de bifurcación:
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (III) Conexión en paralelo: En el punto de suma de la salida del sistema la señal es:
Y=A–B+C En cada uno de los bloques de subprocesos, la relación de entrada salida es:
A = X.G1
B = X.G2
C = X.G3
Sustituyendo las ecuaciones de G1, G2 y G3 en la del punto de suma:
Y = X.G1 – X.G2 + X.G3 Despejando la relación Y/X que es la ganancia del bloque equivalente se tiene:
Y X
G1 G 2 G3
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (IV) Retroalimentación Negativa:
Para encontrar el modelo de bloque equivalente, es necesario encontrar la relación Y/X del sistema de retroalimentación negativa.
A=X–B Buscando las relaciones entrada salida de los bloques G1 y G2 se tiene:
Y = A.G1
B = Y.G2
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la inicial se tiene:
Y G1
X Y .G 2
Y G1
Y .G 2 X
1 G1.G 2 Y ( ) X G1
Y (
1
G1
G 2) X
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (V) Despejando la relación Y/X se tiene la expresión para este bloque equivalente
Y X
G1 ( ) 1 G1.G 2
Retroalimentación Positiva:
Y X
G1
( ) 1 G1.G 2
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (VI) Para simplificar diagramas muy complejos se pueden emplear las tres reglas elementales (y toda otra que se deduzca a partir de ellas) que se presentan en las Tabla siguientes:
REGLAS BÁSICAS DE CONEXIÓN (VII)
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN (I)
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN (II)
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN (III)
Para el enunciado de estos teoremas de transformación se utiliza la notación siguiente: Gi: Función de transferencia de un bloque cualquiera U, V , W : entradas del sistema Y : salida del sistema X , Z : otras señales o variables del sistema Los movimientos 11 y 12 no son de uso común, ya que suelen complicar el diagrama más que simplificarlo.
SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE (I) El objetivo es la reducción de un diagrama de bloques complejo a uno más sencillo. A modo de ejemplo, se puede considerar el diagrama siguiente, muy conocido en Control de Procesos que consta del esquema siguiente. Y se pretende encontrar la relación entre “r” (entrada) e “y” (salida) a través de un solo bloque equivalente.
SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE (II) 1) Considerando los bloques en serie G1, G2 y G3 queda:
2) Y resolviendo la realimentación:
3) O expresado en términos de ecuaciones:
Esto nos refiere a la conocida " Regla de Mason" que dice que cuando existe un lazo de realimentación, la transferencia entre la entrada y la salida es igual al producto de todas las transferencias en el camino directo entrada-salida dividido en 1 más el producto de todas las transferencias incluidas en el circuito de realimentación (o 1 menos si la realimentación es positiva).
EJEMPLO 1
Para reducir el diagrama se pueden seguir los siguientes pasos: 1.-Numerar todos los puntos de suma y ramificación:
2.- Reducir desde lo más interno, por ejemplo entre 2 y 3, y entre 4 y 5:
3.- Llevar el diagrama a la forma canónica de un sistema de control retroalimentado:
4.- Simplificar finalmente el diagrama al de un sistema de lazo abierto
:
EJEMPLO 2
Se inicia la simplificación del diagrama, con los puntos de comparación y las líneas de retroalimentación de adentro hacia afuera.
Los sistemas mecánicos describen el movimiento en el espacio de cuerpos sometidos a fuerzas o pares. Aunque dichos cuerpos poseen dimensiones y propiedades físicas distribuidas en el espacio, la forma más sencilla de analizarlos obtener un modelo de parámetros concentrados. Los elementos básicos para construir un modelo con parámetros concentrados son la masa, el muelle (resorte) y el amortiguador. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton:
La fuerza f(t) que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su comportamiento es:
La fuerza f(t) que restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia x(t) que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke, donde la constante k representa la rigidez del muelle o resorte.
EJEMPLO Teniendo el siguiente sistema masa-muelle-amortiguador (sistema mecánico).
Donde: f: fuerza que se aplica al objeto «m» m: masa del objeto c: constante de viscosidad del amortiguador k: constante de deformación del resorte x: desplazamiento
Para dibujar un diagrama de bloques del sistema se deben seguir los siguientes pasos:
1. Es necesario conocer las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema a analizar y la salida y entrada consideradas. Entonces:
2. Se obtiene la transformada de Laplace de estas ecuaciones.
Por lo tanto despejando la ecuación tenemos la función de transferencia
DIAGRAMA DE BLOQUE
F ( S )
1
ms
2
cs k
X ( S )
Para el siguiente sistema hidráulico obtenga la función de transferencia utilizando diagrama a bloques (considere qi entrada y q0 salida).
qi(t) Flujo de entrada h(t) A (área del tanque)
qo(t) R (resistencia de la válvula)
Flujo de salida
Para dibujar un diagrama de bloques del sistema se deben seguir los siguientes pasos:
1. Es necesario conocer las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema a analizar y la salida y entrada consideradas. Entonces:
a.-
b.-
qi (t ) qo (t ) A R
h(t ) qo (t )
dh(t ) dt
qo (t )
h(t ) R
2. Se obtiene la transformada de Laplace de estas ecuaciones. En este caso como el diagrama a bloques son representaciones de funciones de transferencia, las condiciones iniciales se consideran cero.
a.-
Qi ( S ) Qo ( S ) A S H ( S )
b.-
Qo ( S )
H ( S ) R
3. De las ecuaciones transformadas se despeja aquella donde esté involucrada la salida del sistema. 4. De la ecuación obtenida se ubican las variables que están como entrada y que deben de ser salidas de otros bloques. Se despejan esas variables de otras ecuaciones. Recuerde nunca utilizar una ecuación que ya se utilizó previamente. 5. Regresar al paso 4 hasta que la entrada sea considerada y todas las variables del sistema sean consideradas. 6. Después de obtener las ecuaciones se generan los diagramas a bloques de cada una. Debido al procedimiento utilizado los bloques quedan prácticamente para ser conectados a partir del bloque de salida.
N°
ECUACIÓN
DIAGRAMA DE BLOQUE
Qi ( S )
1
Qi ( S ) Qo ( S ) A S H ( S )
1
A S
Q0 ( S )
2
Qo ( S )
H ( S ) R
H ( S )
1
R
Q0 ( S )
H ( S )
7. Se conectan los diagramas de bloques para todo el sistema
Qi ( S )
Q0 ( S )
1
A S
H ( S )
1
R
Q0 ( S )
8. Se simplifica si es necesario el diagrama de bloques obtenido a) Diagrama Inicial
Qi ( S )
H ( S )
1
A S
1
R
Q0 ( S ) b) Aplicando distributiva para la multiplicación
Qi ( S )
Q0 ( S )
1
A S R
1
Q0 ( S )
Q0 ( S )
c) Aplicando lazo cerrado a lazo abierto
Qi ( S )
Q0 ( S )
1 1 A S R
La función de transferencia sería:
Qo ( S ) Qi ( S )
1 1 A S R
