Algebra Lineal

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Gustavo Mesa Seguir

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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES

PROGRAMA CONTADURÍA PÚBLICA CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL

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▼ 2016 (1) ▼ septiembre (1) FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ADMINI STRATIVAS, ECONÓMICA...

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Ordenar, plantear, resolver y organizar datos u titilizand lizando o las técnicas del algebra lineal, como también resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando Matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de las ciencias administrativas y contables. Motivar la utilización de sistemas lineales al abordar problemas inherentes a la ciencia Administrativa, problemas económicos y financieros. Identificar situaciones donde se hace nece saria la utilización de los los temas básicos de matrices y programación lineal, para el análisis de modelos de tipo económico, administrativo y financiero financiero.. TEMAS Concepto de matriz/Elementos de una matriz/Significado de los subíndices/Organización de datos con la ayuda de matrices/Igualdad de matrices/Operaciones con matrices igualdad de matrices/Leyes del algebra matricial/ Tipos especiales de matrices: cuadrada, nula, identidad, escalar, diagonal, triangular, transpuesta. Simétrica, anti simétrica, escalonada/ /Eliminación de un renglón o columna/Permutación de renglones/ Transposición de una matriz/ Matrices equivalentes, singulares, no singulares, adjunta, inversa, inversa, ortogonales, matriz de factores/ método de Gauss- Jordán/Propiedades de la inversa de una matriz.

INTRODUCCIÓN

El álgebra lineal es una de las áreas de la ciencia con más aplicaciones, las cuales van desde las finanzas y economía hasta teorías como la física cuántica y la astronomía. Abordar las matemáticas en las áreas afines a las ciencias Administrativas y Contables, permite fortalecer la inteligencia lógico-matemática, que a su vez se relaciona con las inteligencias espacial y lingüística. Dicho de otra manera contribuye al desarrollo del pensamiento lógico, el pensamiento estructurado, sistemático y analíti co del profesional. Otra de las razones fundamentales del abordaje del algebra lineal, tienen que ver con la connotación social al estar ligadas a la sociedad y su desarrollo, y en este ámbito el estudiante se forma para entender, asumir actitudes críticas, relacionarse y actuar en forma autónoma. http://matealgebragm.blogspot.com .co/

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Es por ello que se debe orientar hacia la reflexión teórica y el desarrollo de competencias matemáticas a través de axiomas y postulados que se articularán por medio de inferencias y argumentos para ser proyectados a otros temas de las Cálculo y Contabilidad Contabilidad ciencias básicas como son las Matemáticas Financieras, Cálculo entre otros.

JUSTIFICACIÓN: Es importante tener en cuenta que las Ciencias Económicas y administrativas estudian conceptos que son de naturaleza cuantitativa, como precio, costos, ingresos, utilidad, salarios, ofertas, demanda, inversiones y otros; los cuales indican que gran parte del análisis económico se efectúa utilizando la matemática. Utilizar zar las matemáticas ( Matrices) como herramienta fundamental en el estudio de fenómenos económicos tales como el análisis estático (equilibrio), equilibrio de mercado (modelo lineal y no lineal), las matemáticas financieras entre otros. Para que en su vida como profesional tenga un excelente desempeño en el mundo actual.

Las matemáticas Constituyen una parte integral en la educac educación, ión, permitiendo obtener a través de sus conocimient conocimientos, os, una adecuada preparación para asimilar asimilar fenómenos económicos y sociales, como también los grandes cambios a que se enfrenta enfrent a en la sociedad. Obtener mayor capacidad de análisis y comprensión de los modelos económicos que respondan a situaciones reales, que le permita la toma de decisiones oportunas. El álgebra lineal proporciona los elementos necesarios que facilitan el manejo de datos, su ordenación y operación para obtener diferentes diferentes informaciones informaciones ya que es la base de otras técnicas como la programación lineal, la investigación operativa y la macro economía. CONTENIDO: Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Administrativas

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas así:

La matrices se expresan como B =( bmn) .Donde cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “m”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “n”, indica la columna en la que se encuentra el elemento

Así el elemento b 34 está en la fila 3 y columna 4.

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A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su Dimensión es 2 x 2 B tiene 3 filas y 2 columnas, diremos que su Dimensión es 3 x 2. En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el número de filas y en segundo lugar el número de columnas. Tipos de matrices 1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

Por ejemplo,

Es una matriz nula de Dimensión 2x3

2. Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n. Por ejemplo,

Es una matriz fila de tamaño 1 x 3

3. Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1 Por ejemplo

Es una matriz columna de tamaño 3 x 1.

4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n Por ejemplo

Es una matriz de Dimensión de 3x3 ó simplemente de orden 3 Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos b11, b22, b33, b44,….. b nn, siendo la matriz:

En la matriz E del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 2, 5, -3. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir, Traza (E)= 2+5-3 = 4. Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros y triangular inferior si son ceros todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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Son ejemplos de estas matrices:

Una matriz que en su diagonal principal solo tenga unos, se denomina matriz identidad. Se representan por I x, donde x es la dimensión de la matriz. Algunas matrices Identidad son:

OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices estas deben tener la misma dimensión y se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual dimensión Ejemplo Sean A y B

Producto de matrices Dos matrices A y B se pueden multiplicar cuando el número de columnas de A sea igual al número de filas de B, es decir A mxn x Bnxz= ABmxz Ejemplo

Sean A y B

Transpuesta de una Matriz Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Por ejemplo, si: http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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EL DETERMINANTE El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz y lo denotaremos por det(A) DEFINICIÓN Si A=[α] es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a. DEFINICIÓN Sea A una matriz de orden n>=2, definimos el menor Mij elemento aij de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor cij asociado al elemento aij. . REGLA DE SARRUS Consiste en agregar las dos primeras columnas a la matriz B dada inicialmente, veamos: Sea:

Se debe calcular el producto de las diagonales positivas (3), menos el producto de las diagonales negativas (3) de acuerdo a las flechas.

Así: b11* b22*b33 + b12*b23*b31 + b13*b21*b32 – ( b31*b22*b13 + b32*b23*b11 +b33*b21*b12) Ejemplo: Hallar el determinante de:

det(A)= 3*4-(-2*5)=12+10=22

Hallar el determinante de:

Hallamos los menores de la matriz, de la siguiente manera: M11,es el determinante de eliminar la primera fila y la primera columna l , M12, es el determinante de eliminar la primera fila y la segunda columna, y M13, es el determinante de eliminar la primera fila y la tercera columna.

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A continuación, tengamos en cuenta los signos de la matriz 3x3

Así el det(B)= 2(-17)-(-3)(1)+5(-13)= -34+3 -65= -96

Inversa de una Matriz OJO: Las matrices cuyo determinante es cero, no se les puede hallar la inversa. Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A. En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darían como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serían, en general, distintas. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: No podemos “despejar” la matriz X del modo X = I /A , porque no se ha definido la división de matrices. Dada una matriz de orden n*n , se dice que A tiene inversa, si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A tal que: A A-1 = I Para hallar la inversa de una matriz, aplicamos la definición ・

Donde la Adjunta de una matriz es la transpuesta de la matriz de cofactores. Entonces procedemos a hallar la matriz cofactores, así: Ejemplo Hallar la inversa de la matriz.

El determinante de la matriz A se halló en el ejercicio anterior y dio como resultado -96 Primero recordemos los signos de la matriz, donde cada valor del determinante del cofactor, lo multiplicamos por el signo del elemento correspondiente en la matriz.

Para hallar los cofactores de la Matriz, procedemos de la siguiente forma: http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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El cofactor de 2, se halla, eliminando la fila del 2 y la columna del 2, quedando el determinante de:

El cofactor de -3, se halla, eliminando la fila de -3 y la columna de -3, quedando el determinante de:

El cofactor de 5, se halla, eliminando la fila de 5 y la columna de 5, quedando el determinante de:






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Ahora hallamos la Adjunta de A, que no es más que la transpuesta de la matriz cofactores, recordemos que se encuentra intercambiando filas por columnas, así: Construyamos la matriz de cofactores con los resultados anteriores:

Y aplicando la fórmula de la matriz inversa, queda:

Gauss-Jordan. EL método de eliminación Gauss-Jordan, lo aplicaremos para resolver sistemas de ecuaciones, para dar solución a ejercicios modelos de la programación lineal. Para resolver un sistema de ecuaciones con este método se emplea la eliminación sucesiva de las incógnitas. Siguiendo las siguientes reglas:

1. Podemos intercambiar filas por filas. 2. Podemos multiplicar una fila por un número real cualquiera diferente de cero. 3. Podemos multiplicar una fila por un real diferente de cero para sumarla a otra fila y eliminar. 4. El primer término de la matriz a11, siempre debe ser uno o en su defecto, convertirlo. Veamos el siguiente ejemplo: Resolver por eliminación Gauss-Jordan, el siguiente sistema:


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Escribimos la ecuación en forma matricial escalonada:

Recordemos que el primer término a 11, debe ser el 1, como está en la fila 2, la intercambiamos. NOTA: También podríamos, multiplicar la primera fila por ½, para convertir el 2 en 1

La eliminación la hacemos por columnas, es decir con ese primer término a 11=1, eliminamos el 2 y el 3, y procedemos de la siguiente manera:

Ahora por facilidad en convertir el a 22 en 1

convertimos el término a22= 5 en 1

NOTA: También podríamos haber con vertido el 7 en 1 multiplicando por 1/7 Continuando, con el 1 del término a 22, eliminamos el -2 y el 7

convertimos el término a22= 5 en 1

Lo que permite inferir que la solución es x=1, y=1, y z=1 TALLER MATRICES. Ejercicios extraídos del libro Matemáticas Aplicadas a la Administración y la Economía de Arya I Lardner I Ibarra


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Hallar la Matriz que hace verdadera la ecuación Matricial

Hallar la inversa de las siguientes matrices


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La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal. El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: Función Objetivo Variables Restricciones

LA FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos. LAS VARIABLES DE DECISIÓN Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema. LAS RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión. Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: 2x + 3y ≥ −3 2x − y − 9 ≤ 0 2x − 5y − 5 ≥ 0 Si representamos las rectas: 2x + 3y = −3 (recta r) 2x − y − 9 = 0 (recta s) 2x − 5y − 5 = 0 (recta t)


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El triángulo rayado es la solución del sistema. Además, para los problemas de programaciónn lineal es necesario el cálculo de los vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t tendremos que resolver el sistema formado por: 2x + 3y = −3 asi −2x − 3y = 3 2x − y − 9=0 así 2x − y = 9 , Sumando −4y = 12 =⇒ y = −3. Y sustituyendo que da 2x + 3(−3) = −3, es decir 2x − 9 = −3, y entonces x = 3. Luego r y t se cortan en el punto (3,-3). Ejercicio extraido de http://sauce.pntic.mec. es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf

METODO SIMPLEX El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última. El método simplex es un algoritmo para resolver modelos de programación lineal, que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo: EJEMPLO 1. ALGORITMO Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex: Max 40*X1 + 60*X2 s.a. 2*X1 + 1*X2 <= 70 1*X1 + 1*X2 <= 40 1*X1 + 3*X2 <= 90 X1 >= 0 X2 >= 0 Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma: X1 X2 H1 H2 H3 2

1

1

0

0

70

1

1

0

1

0

40

1

3

0

0

1

90

-40

-60

0

0

0

0

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2. http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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Luego, para escoger que variable básica deja la base debemos buscar el mínimo cociente entre el lado derecho y los coeficientes asociados a la variable entrante en cada fila (para aquellos coeficientes > 0 marcados en rojo en la tabla anterior). El mínimo se alcanza en Min {70/1, 40/1, 90/3} = 30 asociado a la tercera fila, el cual corresponde a la variable básica actual H3, en consecuencia, H3 deja la base. En la posición que se alcanza el mínimo cociente lo llamaremos "Pivote" el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, logrando la siguiente tabla al cabo de un a iteración: X1 X2 H1 H2 H3 5/3 0

1

0

-1/3

40

2/3 0

0

1

-1/3

10

1/3

0

0

1/3

30

1

-20 0 0 0 20 1800 El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 1.800. La actual tabla no corresponde a la solución óptima del problema debido a que existe una variable no básica con costo reducido negativo, por tanto X1 entra a la base. Posteriormente, mediante el criterio del mínimo cociente calculamos la variable que debe dejar la base: Min {40/(5/3), 10/(2/3), 30/(1/3)} = 15, asociado a la fila 2 (variable básica actual X4), por tanto H2 deja la base. Obtenido lo anterior se aplica una iteración del método: X1 X2 H1 H2 H3 0

0

1

-5/2

1/2

15

1

0

0

3/2

-1/2

15

0

1

0

-1/2

1/2

25

0 0 0 30 10 2100 Finalmente se alcanza la solución óptima del problema P) y se verifica que los costos reducidos asociados a las variables no básicas (H2 y H3 son mayores o iguales que cero). Nótese que la existencia de un costo reducido igual a cero para una variable no básica en esta etapa define un problema con " infinitas soluciones". La solución alcanzada es X1* = 15, X2* = 25 con V(P*) = 2.100. Adicionalmente, los costos reducidos asociados a las variables no básicas definen el precio sombra asociado a las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente. EJEMPLO 2. APLICACIÓN DEL ALGORITMO EN UN PROBLEMA PRACTICO. En una fábrica se procesan dos tipos de camisas: camisa informal y formal; la utili dad por cada camisa formal es de US$ 20 por la informal US$ 30. Para llevar a cabo la fabricación de una camisa se requiere que esta pase por cuatro departamentos: diseño, tallaje, estampado y terminado. Se tienen disponibles 250 horas de tiempo en diseño, 400 horas en tallaje, 500 horas en estampado y 700 horas en terminado. En la siguiente tabla se muestran los requerimientos de tiempo en horas por unidad en cada uno de los departamentos.

Camisa formal

Camisa informal

Diseño

1

2

Tallaje

3

2

Estampado

4

3

Terminado

5

4

Departamento

    

¿Cuántas camisas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad? Defina las variables de decisión. Plantee el modelo de programación del problema, para maximizar la utilidad. Construya la primera tabla simplex, e identifique ¿cual variable entra, y cual sale? Resuelva el problema por el método simplex. Interprete las variables de Holgura. MODELO DE PROGRAMACION LINEAL Variables de decisión: X1: Numero de camisas tipo formal que se deben producir X2: Numero de camisas tipo informal que se deben producir F.O Max Z= 20 X1 + 30 X2 s.a. 1 X1 + 2 X2 <= 300


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3 X1 + 2 X2 <= 400 4 X1 + 3 X2 <= 500 5 X1 + 4 X2 <= 700 X1 >= 0 X2 >= 0 ALGORITMO SIMPLEX Se convierten todas las expresiones del modelo en ecuaciones o inecuaciones Z – 20 X1 – 30 X2 + h1 + h2 + h3 + h4= 0 1 X1 +2 X2 + h1 = 300 3 X1 +2 X2 + h2 = 400 4 X1 + 3 X2 + h3 = 500 5 X1 + 4 X2 + h4 = 700 Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos h1, h2, h3, h4 >= 0 como las respectivas variables de holgura para las restricciónes 1, 2, 3 y 4. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma: TABLA SIMPLEX INICIAL (I)

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2, llamado columna pivote. Luego, para escoger que variable básica deja la base debemos buscar el mínimo cociente entre la columna Solucion y la columna Pivote derecho. El mínimo se alcanza en Min {250/1= 150, 400/2=200, 500/3=166,7 y 700/4=175} = 125 asociado a la segunda fila, la cual corresponde a la variable básica actual h1, en consecuencia, h1 deja la base y es reemplazada por X2. En la posición que se cruzan la columna pivote y la fila pivote encontramos en 2 que llamaremos "Pivote" el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, para convertirse en 1 y a partir de este, convertir los demás valores de la columna pivote en ceros, logrando la siguiente tabla al cabo de una iteración

:El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 4500, fabricando 150 camisas tipo informal y ninguna camisa tipo formal, gastando todas las horas de diseño pero sobrando 100 horas en tallaje, 50 en estampado y 100 en terminado. Como en la fila Z aún hay valores negativos, se concluye que existen mejores soluciones, entonces se repite el proceso desde la determinación de la columna pivote. http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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- HALLA LA COLUMNA PIVOTE - HALLA LA FILA PIVOTE - HALLA EL ELEMENTO PIVOTE REALIZA LAS OPERACIONES NECESARIAS PARA CONVERTIR EL PIVOTE EN 1 Y LOS DEMAS VALORES DE SU COLUMNA EN CEROS. - IDENTIFICA LA SOLUCIÓN OBTENIDA - IDENTIFICA SI ES LA SOLUCION OPTIMA O EXISTE OTRA SOLUCION MEJOR

INTERPRETA LA SOLUCIÓN FINAL: ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ __

NOTA Estos ejercicios se pueden resolver también como matriz ampliada, como la explicada en clase.

2. PLANTEE LOS MODELOS, RESUELVA POR EL METODO SIMPLEX E INTERPRETE LOS RESULTADOS DE LA TABLA SIMPLEX FINAL, DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS. 1. En una fabrica se procesan dos tipos de camisas: camisa informal y formal; la utilidad por cada camisa formal es de US$ 20 por la informal US$ 10. Para llevar a cabo la fabricación de una camisa se requiere que esta pase por cuatro departamentos: diseño, tallaje, estampado y terminado. Se tienen disponibles 400 horas de tiempo en diseño, 300 horas en tallaje, 500 horas en estampado y 200 horas en terminado. http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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En la siguiente tabla se muestran los requerimientos de tiempo en horas por unidad en cada uno de los departamentos. Departamento Camisa formal Camisa informal

    

  

Diseño

1

2.50

Tallaje

3

1.25

Estampado

4

3.25

Terminado

3.5

2.50

¿Cuantas camisas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad? Defina las variables de decisión. Plantee el modelo de programación del problema, para maximizar la utilidad. Construya la primera tabla simplex, e identifique ¿cual variable entra, y cual sale? Resuelva el problema por el método simplex. Interprete las variables de Holgura. 2. Producción. Una compañía automotriz produce automóviles tipo sedan y tipo deportivo, cada uno de los cuales debe pasar por dos departamentos de producción. La compañía esta en capacidad de producir diariamente 70 automóviles tipo sedan y 50 tipo deportivo. En el departamento A, se ensamblan los motores; en este departamento los automóviles sedan requiere 1 hora de trabajo y en los deportivos 2 horas. Actual-mente en el departamento A se pueden asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de automóviles. En el departamento B se ensambla el chasis; en este departamento los automóviles sedan requieren 1 hora de trabajo al igual que los automóviles deportivos; en la actualidad se puede asignar un total de 90 horas de trabajo diario en el departamento B para la producción de ambos tipos de automóviles. La utilidad de cada automóvil sedan y deportivo es de US$ 1.500 y US$ 2.000 dólares respectivamente. Si la compañía puede vender todos los automóviles que produzca, con el fin de maximizar la utilidad. Resuelva el problema por el método simplex. Cual es la utilidad de la compañía de automóviles? Se utilizan todas las horas disponibles en los departamentos A y B? 3. Una distribuidora de frutas tiene una maquina exclusivamente para cítricos, en particular, para el jugo de naranja y el jugo de limón. La maquina opera 150 horas a la semana destilando jugos de naranja o de limón en concentrados y puede destilar jugo de naranja a un ritmo de 50 galones por hora produciendo 35 galones de concentrado, o 40 galones de jugo de limón produciendo 20 galones de concentrado. Hasta 200 galones de concentrado pueden almacenarse en tanques separados despues de su procesamiento. La ganancia neta por cada galón de jugo de naranja procesado es US$ 1.10 y del jugo de limón es US$ 0.8 . Determine el número de galones de jugo de naranja y de jugo de limón por destilar para maximizar la ganancia neta. • Plantee el modelo de programación del problema y resuélvalo por el método simplex. • Interprete los resultados del problema 4. Una empresa produce dos tipos de metales denominadas E-9 y F-9. El tipo de metal E-9 se fabrica para uso de la compañía. El tipo de metal F-9 se destina únicamente a labores especiales. Los dos tipos de metales se producen en dos departamentos A y B. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadeo de la empresa cree que durante este periodo será posible vender todos los metales E9 y F9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿Que cantidad de metales E-9 y F-9 deben producirse (en toneladas), para que la utilidad sea máxima? La utilidad por cada tonelada que se venda del metal E-9 será de US$ 5.000 y por cada tonelada de F-9, US$ 4.000 El numero de horas para producir cada tonelada de E-9 y F-9 en los departamentos A y B, se muestran en la siguiente tabla: Departamento

Horas Para los E-9

Para los F-9

Total disponible

A

10

15

150

B

20

10

160

Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la gerencia ha determinado que para la política de operación es necesario producir una tonelada de F-9 por cada tres de E-9. Además se sabe que un comprador ordenara por lo menos 5 toneladas en la producción total de E-9 y F-9 para el próximo mes. a. Plantee el modelo de programación del problema y resuélvalo por el método simplex, http://matealgebragm.blogspot.com.co/

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ALGEBRA LINEAL

b. Interprete los resultados del problema. 5. La empresa ambientes y aromas fabrica dos tipos de ambientadores denominados ambientador suave y ambientador clásico. Cada uno de los ambientadores es fabricado con dos componentes distintos de aromas naturales. En este momento existen disponibles 600 libras de aroma natural con olor a rosa y 800 libras de aroma natural con olor a sándalo. Cada libra de ambientador suave utiliza 0,75 (3/4) de libra de aroma natural con olor a rosa y 1,25 (5/4) de libra de aroma natural con olor a sándalo. Cada libra de ambientador clásico utiliza 0,60 (3/5) de libra de aroma natural con olor a rosa y 0,25 (1/4) de libra de aroma natural de sándalo. Además existe un limite sobre la disponibilidad de materiales de empaque que restringe la producción de ambientador suave a un máximo de 800 libras. Si la contribución a la utilidad de cada producto es de US$ 3 por libra, ¿ Cuantas libras de cada producto se deben fabricar? • Plantee el modelo de programación del problema y resuélvalo por el método simplex.

• Interprete los resultados del problema. 6. Una pizzería fabrica y vende pizzas, la empresa obtiene utilidades de US$ 1 por cada pizza de la casa y US$ 2 por cada pizza de carne. Cada una incluye una combinación de mezcla de masa y mezcla de carne. En este momento la empresa tiene 300 libras de masa y 600 libras de carne. Cada pizza de la casa utiliza 4 libras de masa y 0,5 libra de carne, mientras que cada pizza de carne utiliza 4 libras de masa y 1 libra de carne. ¿Cuantas pizzas de cada clase deben venderse con el objetivo de maximizar la utilidad? • Plantee el modelo de programación del problema y resuélvalo por el método simplex. BIBLIOGRAFIA Y/O WEBGRAFIA:

CAMACHO QUIROZ ARTURO, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN OPERACIONES PARA CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN. ECAFSA. 1997 GROSSMAN. APLICACIONES DEL ÁLGEBRA LINEAL. HILLER, L. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Publicado por Gustavo Mesa en 13:06

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