ÁLGEBRA LINEAL Carlos Chávez Vega UNI - FC 2004
ÜNIVEftSÍOAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD
DE
CIENCIAS
BIBLIOTECA Fecha INGRESO 1
c o m p r a /
n
°
....... ............. ................ ......
„O „O.S.äd.3.
.....
........... ..........
^
DONACION . . .
-
-
T M T TT / l i o
.
ÁLGE ÁLGEBR BRA A LINE LINEAL AL Autor: Carlos Carlos Ckávez Vega Vega Prohibida Prohibida la reproducción total o p ardal de esta obra, por cualquier m edio, sin autorizaci autorización ón escrita del au tor Decreto Legislativo
82 2
........................................................................
H echo el dep ósito ósito legan en la Biblioteca Biblioteca Nad onal de l Perú N°
200 5-273 6
International International Standard Book Num ber ISBN ISBN
9972-813-32-0
......................
Segunda edición: Septiembre Septi embre 2007 Obra editada, editada, im presa y distribuida distribuida por: D istribuidora istribuid ora , impre im prenta. nta. E ditorial, dito rial, L ibre ría M O SH E R A S .R .L . Jr. Tacna 2975 297 5 - San M artin artin de Porres - Lima - Perú Telefax 567-9299
j
PEDIOOS AL POR MAYOR
Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
MOSHERA S.R.L. Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres Telefax: 567-9299 e-mail:
[email protected]
Impreso en el Perú - Printed in Perú
Prefacio a la Segunda Edición Álgebra Lineal sale a la luz una vez más, completamente renovado, con temas tema s e ideas ideas nuevas. nuevas. Cuando Cuand o me propuse hacer algunos ajustes ajus tes a la l a edición edición de 1980 para una nueva publicación, no esperé que terminaría reescribiendo el libro en su totalida total idad. d. Creo que valió la pena pen a este esfuerzo esfuerzo.. A lo largo del del libro hay notorias mejoras, las más saltantes saltan tes son: el estudio detallado de las matrices escalonadas reducidas, la elegante prueba de la Forma Canónica de Jordan, el Teorema Espectral para matrices hermitianas, normales, unitarias y sus aplicaciones, etc. Esta nueva versión de Álgebra Lineal es el producto de las experiencias recogidas de la primera edición del libro, enriquecidas con las fecundas ideas halladas en el libro de Paul R. Halmos ’’Finite-dimensional vector spaces” Sobre Sobre todo el teorema de Jorda J ordann (Forma Canónica) Canónica) está expuesto en este libro de manera maner a original. original. Se ha propuesto pro puesto una cantid can tidad ad grande gran de de ejercic ejercicios ios con el objeto de que el estudiante estudian te tenga la ocasión ocasión de resolve resolverlos rlos,, pa para ra así afianzar sus conocimientos del álgebra álge bra lineal. Para P arafras frasean eando do al maestro maest ro Dr Enzo Gentile, diremos que no se hace matemáticas si no se demuestran teoremas y resuelven problemas. Es más, los pilares de un buen aprendiz apre ndizaje aje en matemáti mate máticas cas son: son: teoría, ejemplos y solución de problemas. Carlos Chávez Vega Lima, Mayo de 1993.
VIII
CONTENIDO
Bases Ortogonales. Ortogonalización de Gram-Schmidt Ejercicios 1.7 Apli Aplica caci cion onees a la Geo Geomet metrí ríaa Distancia de un punto a una variedad lineal Distancia entre dos Rectas Ejercicios » Espacio o Cocient Cocientee . . . . ... 1.8 1.8 El Espaci Ejercicios 1.6 1.6
45 50 51 51 56 . 58 . 58 63
Transformaciones Lineales los . . . . 2.1 Definición y Ejemplos Núcleo Núcleo e Imagen fl fl Ejercicios eorema ema Fund Fundam amen enttal de la las Transform ormaci aciones Lineales 2.2 2.2 El Teor Ejercicios . . . .. . . Lineales . . . 2.3 2.3 Espacios de Transformaciones Lineales < Proyecciones . . . . . . . . Ejercicios Ejercici os . . ............... 2.4 El Es Espacio Du Dual. Tra Transpu nspues esta ta de una Tra Transformaci ación Li Lineal Anuladores . . . . . . L a T r a n s p u e s ta . . . . . ............... Ejer Ejercic cicios ios . . . . . 2.5 2.5 El Espacio Dual Base Dual . . . . . . . . Ejercicios
65 . 65 69 . 76 79 84 85 90 91 94 97 99 . 101 101 103 103 106 106 108 108
3 M atrices atrices y Siste Sis temas mas de Ecuaci Ecuacione oness Line Li neal ales es 3.1 Conc Concep epto toss Gene Genera rale less . . . Ejercicios . . . . . . . 3.2 3.2 Matr Matric ices es Elem Elemen enta tale les. s. Cálc Cálcul ulo o de la Inv Inver ersa sa de una Matriz Matriz . ..................... . Cálculo Cálcul o de la Invers Inv ersaa . . . Cálculo de la inversa mediante operaciones elementales Ejercicios . . 3.3 M atriz Escalonada Reducida . . .* . Equivalencia por po r Filas . . Base Canónica Canóni ca . . . ........................ Ejercicios . . 3.4 Sistema Sistemass de Ecuacio Ecuaciones nes Linea Lineale less . .................. Sist Si stem emaa Homogéneo Homogéne o . . . . ............ Sistem Sis temaa no Homogéneo . . . . ..................... ni Sistema Inconsistente .......................................... Ejercicios . . .......................................... ...
111
2
.
111
. 115 119 121
125 125 128 128 130 132 132 135 135 137 137 . 138 140 140 142 142 . 146 147 147
Prefacio Álgebra Lineal. Lineal. Esta Publicamos una vez más Álgebra Es ta nueva edición edición tiene el propósito de servir s ervir al estudi est udiant antee de la mejor manera ma nera posible. Con respecto respect o a la edición anterior (1993) se han ampliado algunos temas y mejorado otros con ejemplos y ejercicios nuevos; pero fundamentalmente, esta edición contiene la solución de los ejercicios más importantes y las sugerencias de muchos otros. Esta edición, en formato grande y excelente diagramación, fue hecha por el Mg. Mg. Oswaldo Velásque Velásquezz Castáñón, Castáñ ón, matemáti mate mático co joven y promisorio, promisorio, quien también ha simplificado muchas demostraciones y realizado sugerencias acertadas, tad as, que han mejorado mejo rado el el libro en su conjunto. Le expreso mi más sincero agradecimiento al profesor Velásquez. Finalmente, debo agradecer a la juventud estudiosa de las distintas universidades del Perú, que me honran con su preferencia. Carlos Chávez Vega Lima, Agosto del 2004.
Prefacio a la Segunda Edición Álgebra Lineal sale a la luz una vez más, completamente renovado, con temas tema s e ideas ideas nuevas. nuevas. Cuando Cuand o me propuse hacer algunos ajustes ajus tes a la l a edición edición de 1980 para una nueva publicación, no esperé que terminaría reescribiendo el libro en su totalida total idad. d. Creo que valió la pena pen a este esfuerzo esfuerzo.. A lo largo del del libro hay notorias mejoras, las más saltantes saltan tes son: el estudio detallado de las matrices escalonadas reducidas, la elegante prueba de la Forma Canónica de Jordan, el Teorema Espectral para matrices hermitianas, normales, unitarias y sus aplicaciones, etc. Esta nueva versión de Álgebra Lineal es el producto de las experiencias recogidas de la primera edición del libro, enriquecidas con las fecundas ideas halladas en el libro de Paul R. Halmos ’’Finite-dimensional vector spaces” Sobre Sobre todo el teorema de Jorda J ordann (Forma Canónica) Canónica) está expuesto en este libro de manera maner a original. original. Se ha propuesto pro puesto una cantid can tidad ad grande gran de de ejercic ejercicios ios con el objeto de que el estudiante estudian te tenga la ocasión ocasión de resolve resolverlos rlos,, pa para ra así afianzar sus conocimientos del álgebra álge bra lineal. Para P arafras frasean eando do al maestro maest ro Dr Enzo Gentile, diremos que no se hace matemáticas si no se demuestran teoremas y resuelven problemas. Es más, los pilares de un buen aprendiz apre ndizaje aje en matemáti mate máticas cas son: son: teoría, ejemplos y solución de problemas. Carlos Chávez Vega Lima, Mayo de 1993.
Contenido I
Teoría
1
0 Introducción 0.1 Conjuntos Conjunt os de números Los Números Naturale Natu raless . Los Números Enteros Ent eros . . Los Números Número s Racionales Raciona les . Los Números Reales Cuerpos Cuerpo s Conmutativ Conmu tativos os . . . Los Números Complejos . Interpre Inte rpretaci tación ón geométrica geométr ica de los números complejo complejoss Ejercicios 0.2 Vectores en el Plan Pl ano o . Ejercicio Ejer cicioss .
7 10 12 18
1 Espacios Espac ios Vectoriales Vecto riales 1.1 Definición y Ejemplo Eje mploss . Ejercicios 1.2 Los subespacios subespa cios y sus Propie Pro piedade dadess Combinación Lineal Suma de Subespacios Subespacios Suma Direc Di recta ta .. Ejercicios 1.3 Independencia Indepen dencia Lineal, Basesy Basesy Dimensión Independencia Independ encia Lineal . Bases Bas es . . Dimensión Ejercicios 1.4 1.4 Restricción y Extensión Exten siónde de Escalares Escalar es . Ejercicios Ejercicio s 1.5 1.5 Produc Pro ducto to Interno Inte rno . Ejercicios Ejercicio s
19 19 22 23 24 25 26 28 30 30 31 34 36 38 40 40 44
. . .
. . .
.
3 3 3 3 4 4 4 6
.
