U.N.JU. – FACULTAD DE INGENIERÍA
Guía de Trabajos Prácticos Cartilla 1 -Temario: Números Complejos. Polinomios y Ecuaciones. Vectores en E2 y E3. Recta en E2 y E3 CARRERAS:
Ingenierías Industrial – Informática
Ingenierías Química – en Minas
Licenciaturas en: Sistemas, Tecnología de los Alimentos y en Cs.
Geológicas
Tecnicaturas Universitarias en: Explotación de Minas, Procesamiento
de Minerales, Perforación, Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Tierra
Orientada a Petróleo.
PROFESORA A CARGO DE LA CÁTEDRA: Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M.
EQUIPO DOCENTE DE LA CÁTEDRA: Ing. Condorí, Patricio – Ing. Flores, Roberto – Ing. Grágeda, Adelma Esp. Llanos, Lydia – Lic. Medina, José Luis – Ing. Saravia, Ismael Esp. Tarifa, Héctor – Ing. Vargas, Nelson
2015
REGLAMENTO DE CÁTEDRA CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA REGULARIZAR LA MATERIA 1.- ASISTENCIA La asistencia a las clases teóricas no es obligatoria. Los alumnos deberán cumplir con el 80 % de asistencia a las clases de Trabajos Prácticos. Se computará como presente a los alumnos que en el curso de la clase hayan resuelto, como mínimo, el 60 % de la práctica correspondiente. Las inasistencias serán justificadas, únicamente mediante presentación de constancia oficial (certificado médico del Ministerio de Bienestar Social, constancia policial, etc.). Esta deberá ser presentada, conjuntamente con el práctico resuelto correspondiente a la inasistencia que justifica, al auxiliar docente a cargo de la práctica, en la clase siguiente a la de la inasistencia. Se tendrá una tolerancia de 10 minutos para el ingreso a clases. Superados éstos y hasta la media hora, se computará media falta. Si un alumno llegara más de 30 minutos tarde tendrá AUSENTE. 2.- EVALUACIONES PARCIALES Se realizarán tres evaluaciones parciales, referidas a los Trabajos Prácticos, las que tendrán una instancia de recuperación cada una. Los alumnos deberán aprobar tres evaluaciones parciales. La aprobación de cada evaluación en la primera fecha o en la instancia de recuperación correspondiente, se obtendrá teniendo correcto como mínimo el 60% del Parcial. Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las tres evaluaciones parciales en las dos instancias que corresponde a cada una, podrán recuperar el parcial que adeude en una nueva y última fecha (flotante). Los alumnos que hayan aprobado las tres evaluaciones parciales de Práctica, teniendo correcto como mínimo el 60% del Parcial y en cualquiera de las instancias, adquirirán la condición de REGULAR. 3.- TRABAJOS PRÁCTICOS – CONSIDERACIONES Antes de comenzar el desarrollo del Trabajo Práctico, el docente a cargo dará las orientaciones que correspondan y hará una breve reseña de los conceptos teóricos que se utilizarán: fórmulas, definiciones, propiedades, etc. El trabajo del alumno podrá ser individual o en grupo, a libro abierto si así lo desea, debiendo llevar una carpeta en donde resolverá los ejercicios propuestos en la guía. Al finalizar cada Trabajo Práctico, el mismo podrá ser solicitado por el docente a cargo para su control; si no estuviera cumplimentado en un 60% se anotará AUSENTE en la clase correspondiente. La carpeta podrá ser requerida por el Profesor de Comisión si así lo considera necesario.
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CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA APROBAR LA MATERIA APROBACION CON EXAMEN FINAL El alumno que tenga la condición de REGULAR, podrá aprobar la materia rindiendo un examen teórico, a libro cerrado, en las fechas previstas por el calendario académico de la Facultad. Si el tribunal examinador lo considerase necesario, podrá pedírsele una exposición oral. Los exámenes se calificarán de 0 (cero) a 10 (diez) puntos, considerándose aprobado aquel que reúna 4 (cuatro) o más puntos.
APROBACION SIN EXAMEN FINAL (PROMOCIÓN). Para aprobar la materia Álgebra y Geometría Analítica sin examen final (promoción), el alumno deberá cumplir las siguientes condiciones: ASISTENCIA Bajo los términos fijados en 1. EVALUACIONES PARCIALES: Los alumnos que aprobaran la 1ra, 2da. y 3ra. evaluación parcial de práctica con un porcentaje igual o superior al 70%, podrán rendir las EVALUACIONES PARCIALES DE TEORIA REFERIDAS A LOS TEMAS CORRESPONDIENTES. La primera se realizará después de la recuperación del primer parcial de práctica, la segunda y tercera se tomarán en las mismas fechas que se realicen las evaluaciones recuperatorias de los parciales de práctica correspondientes. Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las seis evaluaciones parciales (3 de teoría y 3 de práctica) en las instancias correspondientes, podrán recuperarla en una nueva y última fecha (flotante). Cada evaluación de teoría se dará por aprobada si el alumno desarrolla correctamente por lo menos el 60 % de dicha evaluación. El alumno habrá aprobado la asignatura por promoción si aprueba las tres evaluaciones parciales de práctica y las tres de teoría. La nota final del examen de promoción será el promedio de los porcentajes obtenidos en las 6 partes evaluadas y redondeado al entero más próximo.
HORARIOS DE CLASES Día Lunes Martes
Turno Tarde Mañana
Clases Teóricas Aula
Horario 14
00
08
00
A cargo de:
30
Anfiteatro
Esp. Tarifa Hector R.
30
Anfiteatro
Esp. Torres Bugeau de Bernal, Célia M.
a 16 a 10
Clases Prácticas Día
Turno
Horario
Miércoles Mañana
09
Jueves
Mañana
07
Jueves
Tarde
14
Jueves
Tarde
14
Viernes
Mañana
08
Viernes
Mañana
08
Viernes
Tarde
14
Viernes
Tarde
14
Com.
Aula
A cargo de:
00
C1
00
C7
12
Grageda Adelma
30
C2
12
Grageda Adelma – Condorí Patricio.
00
C8
11
Saravia Ismael – Vargas Nelson
30
C3
11
Medina J Luis
30
C4
12
Llanos Lydia – Flores Roberto
30
C5
30
C6
30
a 12
30
a 10
00
a 16
30
a 17
00
a 10
00
a 10
00
a 16
00
a 16
Anfiteatro Llanos Lydia
Anfiteatro Ing. Condorí Patricio 11
Medina J Luis – Vargas Nelson
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Clases de Consultas Clases Teóricas: Día Turno
Horario
Aula
A cargo de:
Clases Prácticas: Día Turno
Horario
Aula
A cargo de:
FECHAS DE PARCIALES Parcial ero
1
de práctica
Recuperatorio 1 ero
1
Fecha
ero
de práctica
de teoría
do
2 de práctica Recuperatorio 2 ero
3
do
de práctica y 2
do
de teoría
de práctica
Recuperatorio 3
ero
de práctica y 3
ero
de teoría
Flotante 1º ó 2º ó 3º de práctica ó 1º ó 2º ó 3º de teoría
Hora 45
Miércoles 10/06
12
Miércoles 24/06
12
Martes 28/07
08
Jueves 17/09
08
Miércoles 30/9
12
Miércoles 04/11
11
Martes 17/11
7
Martes 24/11
08
45 45 45 15 45
45 45
NOTA: De producirse cambios en las fechas y/u horarios de los parciales, la cátedra comunicará oportunamente.
Página Web: Se podrá consultar información de la Cátedra en: http://www.unjudigital.unju.edu.ar/
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FACULTAD DE INGENIERÍA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PROGRAMA CICLO LECTIVO 2015 CARRERAS: Ingenierías: Industrial. Informática. Química y En Minas. Licenciaturas en: Tecnología de los alimentos, Ciencias Geológicas y Sistemas. Técnico Universitario en: Ciencias de la Tierra, Explotación de Minas, Procesamiento de Minerales, Perforación y Ciencias de la Tierra orientada a petróleo. UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS Forma cartesiana, binomial, polar y trigonométrica. Representación gráfica. Conjugado e inverso. Operaciones: suma, diferencia, producto por un escalar, producto, división, potenciación y radicación. Propiedades de las operaciones con números complejos. UNIDAD II: POLINOMIOS - ECUACIONES Divisibilidad. Máximo Común Divisor. Algoritmo de Euclides. Ecuaciones Algebraicas. Raíces Múltiples. Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación. Raíces complejas. Raíces enteras. Raíces Fraccionarias. UNIDAD III: VECTORES Vectores en R2 y R3. Definición. Elementos. Igualdad. Operaciones: suma y diferencia, producto por un escalar. Producto escalar y vectorial. Propiedades. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Producto mixto. Propiedades. Interpretación geométrica. UNIDAD IV: RECTA y PLANO Ecuación vectorial y cartesiana de la recta en el plano y en el espacio. Representación gráfica. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Angulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Ecuación vectorial y cartesiana del plano. Representación gráfica. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Angulo entre planos y entre recta y plano. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre planos y entre plano y recta. UNIDAD V: MATRICES Definición de matrices. Operaciones. Propiedades. Matrices especiales. Matrices equivalentes. Rango de una matriz: determinación. Matriz inversa. Propiedades. UNIDAD VI: DETERMINANTES Definición de determinante. Propiedades. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Cálculo de determinantes: Diversos métodos. Matriz Adjunta. UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Distintas formas de representación de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Propiedades. Resolución y clasificación de sistemas lineales: Teorema de Rouché-Frobenius. Métodos de resolución de sistemas lineales: Gauss-Jordan, Cramer, de la matriz inversa. Sistemas homogéneos. UNIDAD VIII: ESPACIOS VECTORIALES Espacios Vectoriales: Definición y propiedades. Subespacio vectorial. Criterio de subespacio. Combinación lineal de vectores. Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes. Sistema de generadores. Base de un espacio vectorial. Dimensión. Coordenadas. UNIDAD IX: TRANSFORMACIONES LINEALES Transformaciones Lineales: Definiciones y Propiedades. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Propiedades. Teorema de las dimensiones. Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Autovalores y autovectores. Polinomio característico. Diagonalización de matrices.
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UNIDAD X: CÓNICAS Y CUÁDRICAS Circunferencia: definición, ecuación y representación gráfica. Elipse, parábola e Hipérbola: definición, ecuación y representación gráfica, tangente y normal. Cuádricas: Superficie esférica, elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elíptico e hiperbólico. Superficies cónicas y cilíndricas. Definición, ecuación y representación gráfica.
BIBLIOGRAFÍA 1. Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. 2. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 3. Sagastume Berra-Fernández. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapeluz. Buenos Aires. Argentina. 1960. 4. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. 5. De Sunkel, María A. Geometría Analítica en forma vectorial y matricial. Editorial Nueva Librería. 6. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. 7. Selzer, Samuel. Álgebra y Geometría Analítica. Editorial Nigar, S.R.L. 8. Ovejero, Salvador. Comprender y ejercitar el Álgebra Lineal. Editorial Ediciones Técnicas Contemporáneas. 9. Kindle, Joseph H. Geometría Analítica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. México D. F. Marzo 1995. 10. Hernández, Eugenio. Álgebra y Geometría. Segunda edición. Addison-Wesley Iberoamérica. 11. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010. 12. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.
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TRABAJO PRÁCTICO N° 1 “NÚMEROS COMPLEJOS” BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.
CUESTIONARIO DE REPASO:
¿Qué operación no es posible realizar en el conjunto de los números reales?
¿Cómo define número complejo?
¿Cuál es el inverso aditivo de un número complejo?
¿Cómo determina el elemento neutro del producto de números complejos?
¿A qué se llama conjugado de un número complejo?
¿Cómo se encuentra el cociente de dos números complejos dados como pares ordenados de números reales?
¿Cómo representa geométricamente un número complejo?
¿Qué entiende por complejo real y por complejo imaginario o imaginario puro?
Indique una regla práctica para obtener las potencias sucesivas de la unidad imaginaria.
¿Qué entiende por módulo de un número complejo?
¿Cómo halla la raíz de un número complejo dado en forma binómica?
¿Cómo obtiene la forma polar o trigonométrica de un número complejo?
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que dos números complejos dados en forma polar sean iguales?
¿Cómo halla analíticamente el producto y el cociente de dos números complejos dados en forma polar?
¿Cómo demuestra la fórmula de Moivre, aplicando Inducción Completa?
¿Por qué las raíces n-ésimas de un número complejo son “n”?
¿Cómo se representan las raíces de un número complejo?
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EJERCICIOS RESUELTOS. Ejemplo 1: Determinar las raíces de la siguiente ecuación. Representar gráficamente.
z3 ( 2 i) 64 ( 3 i)6 1 i (1 i)2 2
z3 ( 2 i) 64 ( 3 i)6 1 i 2 2 (1 i)
2
Una de las formas de resolver (1 + i) es: 2
(1 + i) = 1 + 2i + i
2
= 1 + 2i + (–1) = 2i
1 z3 ( 2 i ) 64 ( 3 i )6 i 2i 2
Realizando el producto de dos complejos
1 2 2 i 2i i 2 i i 2 ( 1) 2i z ( 2 i) 64 2 i ( 3 i) 3
6
Para la potencia n de un complejo
( 3 i)6 2330
6
= 641980°
64180°
= – 64
z3 ( 2 i) 2 i ( 64) 64
z3
2i 2i
Haciendo el cociente de complejos:
2 i 2 i 2i 2 i 2 i 2 i z3 1 z
3
1180
z0 160
z3 1180
zk
1 3
180 360k 3
z1 1180
k 0,1,2
z2 1300
La representación gráfica de las raíces obtenidas es:
pág. 7
4 2 i 2 i i2 4 ( 1) 5 1 4 ( 1) 5 4 i2
Ejemplo 2: Representar gráficamente el conjunto de puntos del plano que satisface la siguiente relación: *
|
|
Como
entonces el módulo será:
|
|
|
(
)
agrupando términos semejantes ) |
)
√( (
+
( (
por lo tanto )
de donde
) Recordar que: Una ecuación de la forma: (
)
(
)
representa una circunferencia cuyo centro es el punto
(
) y de radio
.
Como caso particular si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación será:
Por lo tanto el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuación dada, son todos los puntos que pertenecen a la circunferencia cuya ecuación es: (
)
(
)
Esta circunferencia tiene como centro el punto (1, 1) y la longitud de su radio es 2 [ ul ].
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EJERCICIOS A RESOLVER 1. Realizar las operaciones que se indican en cada caso. (
a) b) (
) ( ) ( )
c) 0( d) , e) ,(
)
f) ,
) ) (
)
(
) (
(
)-
(
)
g) )1
(
)
(
)
(
)
h) i)
-
j) .
2. Dados los siguientes complejos z1 2 4 i ; gráficamente las siguientes operaciones.
/
z2 2 i ;
a) z 2 z 4 b) 2 z1
) -
(
z3 4 2 i ;
z 4 3 i ; resolver
c) z1 2 z 4
1 z3 2
1 d) z 2 z3 z 4 2 .
3. Dados los complejos:
/
√
√
; realizar
las operaciones que se indican. a) (
)
c)
b)
e) (
d)
)
4. Representar gráficamente el conjunto de los puntos del plano que satisfacen las siguientes relaciones.
a) z - 2 i 1
d) z / Re(z) 3
b) z - 2 z 3
e) z / Img(z) 2
c) z z 4
f) z / Re (z) Img(z) 1
5. Dados los números complejos:
,
√
,
√
√
y
√
operaciones que se indican. a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
. /
(
)
6. Determinar y representar gráficamente las siguientes raíces en C
a)
6
b)
c)
3
1- 3 i
d)
4
e)
5
-i
- 27
f)
4
81
g)
-1 i
h)
- 4 4 3 i
i)
3
1 3 i2 3 4 i 3-5i (1 i) (2 - 5i)
3
1- i 1- 3 i
pág. 9
. Efectuar las
7. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones. a) (
)
(
) (
b) c) ,
)- ,
(
(
d) )
(
e) ,(
)-
) (
)-
(
. )
f)
8. Resolver y verificar las siguientes ecuaciones en C.
a) x 2 2 i x 3 i 0
c ) x 4 2x 2 1 0
b) x 4 3x 2 10 0 9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde a , b y c C.. a) {
b) {
10. Calcular x R para que: a)
1 - xi 2
sea imaginario puro.
b) se verifique la siguiente igualdad c)
xi 2i 1 i
3 2 i 6 x i sea c1) un número real c2) un número imaginario puro
d) se verifique la siguiente igualdad:
xi 5 1 i
11. a) Indicar si cada número es solución de la ecuación dada: 2
x1 = –1 + 2i , x2 = –1 – 2i.
a1) x + 2x + 5 = 0 ; 3
2
a2) x +4x +9x +36 = 0 ;
x1 = –4
, x2 = –3i.
b) Encontrar x e y, números reales, que satisfacen las siguientes ecuaciones: b1) b2) (
(
) )
(
)
12. Determinar a y b R para que: 5 3 a) z 1 i sea solución de la ecuación z a z b 0
b) se cumpla la siguiente igualdad: c)
3b 2ai 1 4 3i
satisfaga la siguiente ecuación z 2 2 z z z 9 0 2
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/ )
EJERCICIOS ADICIONALES 1. Responder V (verdadero) ó F (falso) según corresponda. No justificar la respuesta. a) Si
, entonces la forma polar reducida de z es:
b) Si z = √
√
, entonces
–
√
.
c) Sea z = 2 + 2 i, entonces d) El cociente
tiene como resultado
2. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N
, entonces { z / z C Img(z) < 9 } representa:
a) Si
A) A) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 9
C) C) Una recta de ecuación x = 9
B) B) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 3
D) D) Un semiplano de ecuación y < 9
b) Si
, entonces { z / z C Re(z) ≥ 4 } representa
A) A) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 4
C)
C) Una recta de ecuación x = 4
B) B) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 2
D)
D) Un semiplano de ecuación x 4
3. Completar la siguiente tabla Cartesiana (o par ordenado) ( 3 , 1)
Binómica
Polar (reducida)
Re (Z)
Im(Z)
–4
4
√ –2 – 2i
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̅̅̅
–Z
Z
-1
TRABAJO PRÁCTICO N° 2 “POLINOMIOS - ECUACIONES POLINÓMICAS” BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993.
CUESTIONARIO DE REPASO:
¿Cómo se define polinomio?
¿Cuál es el grado de un polinomio? Que características tiene.
¿Qué relación existe entre dividendo, divisor, cociente y resto en un cociente de polinomios?
¿A que es igual el resto de la división de un polinomio entero en “x” por el binomio (x – a)?
¿Cómo se define el M.C.D. entre dos polinomios?
¿Qué pasos se deben seguir para calcular el máximo común divisor de dos polinomios A(x) y B (x)?
¿Cuál es el enunciado del Teorema Fundamental del álgebra?
¿Cual es la condición necesaria y suficiente para que un número “a” sea raíz múltiple de orden “h” de un polinomio P(x)?
¿Cómo se puede encontrar una ecuación que tenga sólo las raíces múltiples de la ec. 0 pero con un orden de multiplicidad disminuida en una unidad?
Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes reales admite una raíz compleja a + b i, ¿admite también su conjugada?
Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes complejos admite una raíz compleja a + b i, ¿admite también su conjugada?
¿Cuál es la relación entre los coeficientes y raíces de una ecuación de 4º grado?
¿Cómo se expresa una ec. P(x) = 0 de grado 5 en función de sus raíces, si todas sus raíces son simples?
¿Cuál es la condición necesaria pero no suficiente para que el n° entero “a” sea raíz de una ecuación algebraica a coeficientes reales?
¿Cuál es la condición necesaria pero no suficiente para que el número racional primos entre si y q 0) sea raíz de una ecuación algebraica a coeficientes enteros?
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P(x) =
(con p y q
EJERCICIOS RESUELTOS: Ejemplo 1: Sean: P(x) = 2 x4 + x2 + 2
y Q(x) = x – 2 para dividir P(x) y Q(x), se puede proceder de
las siguientes maneras: a) Aplicando el algoritmo de la división entre dos polinomios, para lo cual es necesario ordenar en forma decreciente y completar el dividendo, mientras que al divisor simplemente lo ordenamos también en forma decreciente. Aplicando el algoritmo, se tiene: |
Como el resto es de un grado menor (grado 0) que el divisor (grado 1) finaliza el algoritmo; obteniéndose como cociente
( )
( )
y como resto
b) Aplicando la regla de Ruffini, para lo cual previamente se realiza, con el dividendo y el divisor, exactamente la misma tarea que en caso anterior. Usando la disposición práctica de la regla, se tiene: –2 2 –2
0
1
0
2
–4
–8
–14
– 28
–4
–7
–14
-26
Con los coeficientes encontrados formamos los polinomios cociente y resto: ( )
y
( )
Recordar que:
En una división de dos polinomios se puede aplicar la regla de Ruffini cuando el divisor es de la forma (x + a ) con a R.
Si se puede aplicar la regla de Ruffini, también se puede obtener directamente el resto de la división aplicando el Teorema del Resto. Para el ejemplo presentado se tiene: ( ) 3
2
Ejemplo 2: Dada la ecuación x – 3 x + 4 = 0, encontrar las raíces sabiendo que tiene una raíz doble. Para encontrar las raíces de esta ecuación se puede proceder de las siguientes maneras: a) Aplicando derivadas.
pág. 13
“Si el número es una raíz de orden h del polinomio P(x), es una raíz de orden (h – 1) de la derivada de P(x)”. El polinomio dado tiene una raíz doble (h = 2), esta raíz también será raíz de la ecuación asociada al 3
2
polinomio P’(x) que se obtiene de derivar el polinomio P(x) = x – 3 x + 4. 2
Derivando el polinomio P(x), se obtiene: P’(x) = 3 x – 6 x + 0. 2
La ecuación asociada a este último polinomio es: 3 x – 6 x = 0 Factorizando esta última ecuación, se tiene: 3x.(x – 2) = 0, las raíces de esta ecuación cuadrática son: x = 0 x = 2. 3
2
La primera raíz, x = 0, no es solución de la ecuación original, x – 3 x + 4 = 0, ya que: 0 – 3.0 + 4 0 3
2
40 La segunda raíz, x = 2, si es raíz de la ecuación original ya que: 3
2
2 –3.2 +4=0 8 – 12 + 4 = 0 0=0 Para comprobar que x = 2 es raíz de multiplicidad dos utilizamos la regla de Ruffini: 1
–3
0
4
2
–2
–4
–1
–2
0
2
2
2
1 2 1
1
0
Por lo tanto x = 2 es raíz doble de la ecuación original. Además, luego de todo esto solo queda por resolver la ecuación: x + 1 = 0, (ecuación asociada al polinomio cociente de la ultima división realizada) cuya solución es x = – 1. Finalmente las raíces de la ecuación x – 3 x + 4 = 0, son: x1 = x2 = 2 (raíz doble) x3 = – 1. 3
2
Recordar que:
La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de sus derivadas: f (x) = g(x) ± h(x)
f ’(x) = g’(x) ± h’(x)
La derivada de una potencia es igual al producto del exponente por la base elevada a un exponente disminuido en una unidad: f(x) = x
n
f ’(x) = n . x
n−1
La derivada de una constante es cero: f (x) = k f ’(x) = 0 b) Aplicando M.C.D. 3
2
Por tener al menos una raíz de multiplicidad mayor que uno, el polinomio P(x) = x –3x + 4 y su derivada 2
P’(x) = 3 x – 6 x deben tener al menos un polinomio no nulo y de orden uno, como divisor común.
pág. 14
El M.C.D. (P(x), P’(x)) tiene las misma raíces múltiples que la ecuación asociada a P(x) pero con la multiplicidad disminuida en una unidad. Aplicamos el algoritmo de Euclides para encontrar el M.C.D. entre P(x) y P’(x). x – 1 3
2
+ 4
x – 2x
3
2
.
– x + 2x
x – 3x
– x + 2x
2
2
x – 2x
(x – 2)
2
– x + 0x + 4 2
x
R2(x) = 0
.
.
–2x + 4 R1 (x): –2x + 4 = –2 (x – 2) M.C.D.: (P(x) , P’(x)) = x – 2. Si x – 2 = 0, x = 2. Por lo tanto P(x) = 0 tiene como raíz doble x = 2. Aplicando la regla de Ruffini dos veces, como se hizo en el ítem anterior, se obtiene de nuevo la tercera raíz simple x = – 1. c) Aplicando las relaciones entre coeficientes y raíces. x – 3x + 4 = 0 a0 = 1, a1 = –3, a2 = 0, a3 = 4. Además como la ecuación tiene una raíz doble: 3
2
x1 = x2.
Relaciones entre coeficientes y raíces: a1 ( 1)1 ( x1 x 2 x 3 ) a0
3 (1) (2x1 x 3 )
2x1 x 3 3
a2 ( 1) 2 ( x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 ) 0 (1) 2 ( x12 x1 x 3 x1 x 3 ) x12 2x1 x 3 0 a0 a3 ( 1) 3 ( x1 x 2 x 3 ) a0
2
4 (1) 3 ( x1 x1 x 3 ) x1 x 3 4
Por lo tanto se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones: { De [a] despejamos x3: (
(
reemplazamos esto; en [b].
)
) ⋀ ⋀
Verificamos si
⋀
satisfacen [c]
0 . 3 4. Por lo tanto se descartan esas soluciones. 2
Verificamos si
⋀
satisfacen [c]
2 . (1) = 4 4 = 4 2
Por lo tanto las raíces buscadas son
⋀
pág. 15
, , , -
3
2
d) Finalmente podemos observar que la ecuación x – 3 x + 4 = 0 es mónica y de coeficiente reales. “La condición necesaria pero no suficiente para que un número Z “a” sea raíz de una ecuación es que sea divisor del término independiente”. Los divisores del término independiente son: 1, 2, 4. Haciendo uso de la regla de Ruffini tenemos: –3
0
4
1
–2
–2
–2
–2
1 1 1
2
Como el resto R(x) = 2 es distinto de cero, 1 no es raíz de la ecuación dada. 1 –1 1
–3
0
4
–1
4
–4
–4
4
0
Como el resto R(x) = 0, –1 es raíz de la ecuación dada. 2
2
El polinomio cociente es C(x) = x – 4x + 4 cuya ecuación asociada es x – 4x + 4 = 0. Se puede escribir 2
esta última ecuación como (x – 2) =0, en consecuencia x = 2 es raíz doble. 3
2
⋀
FINALMENTE LAS RAÍCES DE X – 3 X + 4 = 0 SON
pág. 16
.
EJERCICIOS A RESOLVER 1. Calcular el MCD entre los siguientes pares polinomios. Identificar aquellos pares de polinomios primos entre sí. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( )
y y y y y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2. Dadas las ecuaciones: 4
3
a) x –2x + 2x –1 = 0 4
3
2
b) x + 2x – 3x – 4x + 4 = 0 4
3
2
c) x – x – 3x +5x – 2 = 0 i) Investigar las raíces múltiples. ii) Determinar todas las raíces de la ecuación. 3. Utilizando el concepto de relación entre coeficientes y raíces, reconstruir la ecuación que tiene por raíces: a) –1 , –2 y 2 raíz doble. b) –3 , 3 , 2i y –2i. y –3, ambas raíces dobles.
c)
d) (2 – 2i) , (2 + 2i) y 2. 4. Utilizando el concepto de relación entre coeficiente y raíces hallar las raíces de: 3
2
a) x –3x –4x + 12 = 0 sabiendo que la suma de dos de sus raíces es cero. 3
2
b) 8x –14x + 7x –1 = 0 sabiendo que están en progresión geométrica. 4
3
2
c) x –2x –3x +8x – 4 = 0 sabiendo que x1 = x2 y x3 = –x4 5. Dadas las siguientes ecuaciones, aplicar la condición necesaria pero no suficiente para que un número entero “a” sea raíz de una ecuación f(x) = 0 para determinar las raíces enteras de la ecuación dada. Determinar todas las raíces de cada ecuación. a)
( )
b)
( )
c)
( )
.
6. Resolver las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen al menos una raíz racional. a)
–
–
. –
b) c)
–
–
.
–
.
7. Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones aplicando el método de las derivadas.
a)
.
b) c) d)
pág. 17
8. Escribir la ecuación mónica desarrollada con coeficientes reales de menor grado que admita como raíces a: a)
√
√ (
b)
)
c) d) 9. Dados los números 0, 2 y – i; escribir la ecuación mónica desarrollada que admita como raíces a los números dados, tal que: a) sea de menor grado posible b) con coeficientes reales de grado 5. c) de grado 4. d) con coeficientes reales de grado 4. 10. Plantear y resolver los siguientes problemas a) Dada la ecuación
–
a1) Determinar los números reales a y b para que 2 y –1 sean raíces de la ecuación. a2) Calcular la otra raíz. b) Hallar “a” en la ecuación
–
–
de tal modo que la suma de dos de sus raíces
sea 1. c) Calcular “k” para que la ecuación raíces x3 = x1 + x2.
–
–
tenga la siguiente relación entre sus
11. Resolver las siguientes ecuaciones a) b)
, sabiendo que dos de sus raíces son iguales y las otras dos son opuestas.
c) d)
, sabiendo que al menos tiene una raíz múltiple.
e)
, admite a –5i como raíz.
f)
, sabiendo que todas sus raíces son múltiples.
pág. 18
EJERCICIOS ADICIONALES 1. Responder V (verdadero) o F (falso), según corresponda. NO justificar la respuesta. 2
a) Dados P(x) = x + 8x +16, su derivada P’(x) = 2x + 8 y MCD*P(x), P’(x)+ = x + 4, entonces x = –4 es raíz doble de P(x) = 0 3
2
2
b) El polinomio R(x) = x – x – x +1 no es divisible por (x – 1) . 2
c) Los polinomios P(x) = x – 6x +9 y Q(x) = x – 3 son polinomios primos entre sí. 3
2
2
d) El polinomio R(x) = x + 5x + 8x +4 no es divisible por (x + 2) .
2. Escribir en los recuadros, la letra que corresponda, relacionando las raíces con las diferentes ecuaciones. Raíces
Ecuación Factorizada
A) –1 doble, i simple
(
)(
)(
)
B) –1 simple, 2i simple
(
)(
√ )(
√ )
(
) (
)(
)(
)
C)
√
√
(
D) 0, 2, –2 todas simples
Ecuación desarrollada
)
3. Completar con la respuesta correcta (sugerencia: utilizar relaciones entre coeficientes y raíces). a) Si la ecuación
, tiene como raíz x1 =
x2 + x3 = 0, entonces a1 = ………
y además se sabe que
y a3 = ………
b) Si la ecuación
, tiene como raíz x1 = 0 y además se sabe que
x2 x3 = 2, entonces a0 = ………
y a3 = ………. , tiene como raíz x1 = –1 y además se sabe que
c) Si la ecuación x2 = x3, entonces a1 = ………
y a2 = ………
4. Escribir, en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N
a) La ecuación x (3x + 6) (x + 3)2 = 0, tiene como raíces: A) A) 0 (cero) raíz doble; –2 y 3; raíces simples. C) C) 0 (cero) , –2raíces simples y 3; raíz doble. B) B) 0 (cero) ;
y –3; todas raíces simples. D) D) 0 (cero) ;
; raíces simples y –3; raíz doble.
b) La ecuación x (2x – 1) (x + 4)2 = 0, tiene como raíces: A) A) 0 (cero) raíz doble; B) B) 0 (cero) ;
y 4; raíces simples.
y –4; todas raíces simples.
C)
C) 0 (cero) , ; raíces simples y –4; raíz doble.
D)
D) 0 (cero) ;
pág. 19
; raíces simples y 4; raíz doble.
TRABAJO PRÁCTICO N° 3 “VECTORES” BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.
CUESTIONARIO DE REPASO • ¿Qué diferencias hay entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales? • ¿Qué elementos definen un vector? • Dibuje tres vectores y realice geométricamente su suma • ¿Cuándo se dice que dos vectores son iguales? • ¿Cómo se define proyección de un vector sobre otro? • ¿A que es igual el módulo de un vector
u = ( u1 , u2 , u3 )?
• ¿Qué entiende por ángulos directores y cosenos directores de un vector? • ¿Cómo define producto de un vector por un escalar “ “? • ¿Cómo se define Producto Escalar?. • ¿ Cómo se define Producto Escalar en función de sus componentes?. Demostrarlo • ¿Cómo se expresan las Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad entre dos vectores?. Demostrarlas • ¿Cómo se define Producto vectorial?. • ¿Cuál es el significado geométrico de su módulo?. Demostrarlo. • ¿Cómo se expresa el P. Vectorial en función de sus componentes?. Demostrarlo. • ¿Qué se entiende por producto Mixto de tres vectores ?. • ¿Cuál es la condición para que tres vectores sean coplanares?
pág. 20
EJERCICIOS RESUELTOS: Ejemplo 1: Dados los siguientes puntos A(1, 1), B(2, 4), C(6, 4) y D(5, 1) a) Comprobar que son los vértices de un paralelogramo. Determinamos los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Realizaremos a modo de ejemplo solamente el primer
caso, ya que los demás se obtienen en forma similar. ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
(
)
Graficamos los vectores obtenidos: ⃗⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
lo que se comprueba ya que sus componentes homologas son
También se puede observar que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ Otra forma de comprobar que dos vectores son paralelos es
Se puede observar que
⃗⃗⃗⃗⃗
(
proporcionales:
calculando el ángulo ( ) que forman los mismos. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Cálculos auxiliares
| ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ( |(
)( ) )||( )|
(
) (
)
|(
)|
√
Por lo tanto los vectores son paralelos. Como los vectores formados por los puntos dados son dos pares de vectores paralelos, la figura que forman es un paralelogramo. b) Calcular el perímetro del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. Para determinar el perímetro del paralelogramo calculamos los módulos de los vectores que determinamos en el inciso anterior: | ⃗⃗⃗⃗⃗ |
√
√
| ⃗⃗⃗⃗⃗ |
√
√
Por lo tanto el perímetro pedido es:
| ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | √
√ √
, -
c) Calcular los ángulos interiores del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. Para el ángulo en el vértice A.
̂ ̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ( |(
)( ) )||( )|
pág. 21
̂
√
̂
Para el ángulo en el vértice B. ⃗⃗⃗⃗⃗
(
̂
⃗⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|(
̂
)
| ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | (
̂
(
)( )||(
) )|
√
̂ Por propiedad de los paralelogramos, sabemos que ̂
̂
̂
̂ Por lo tanto la amplitud de los
ángulos es: ̂
̂
̂
̂
d) Calcular el área del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. Para calcular el área del paralelogramo necesitamos la longitud de la base ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) y de la altura ( h ). Solamente para evidenciar la aplicación de vectores calcularemos estas longitudes aplicando los mismos, ya que existe otra forma más sencilla de determinar estas longitudes (¿cuál es?). Área del paralelogramo: base ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) x altura ( h ) La longitud de la base es el módulo del vector ( ⃗⃗⃗⃗⃗
o sea, 4 [ul].
Para calcular la longitud del segmento h usamos la fórmula del seno de un ángulo. ̂
| ⃗⃗⃗⃗⃗ |
̂ | ⃗⃗⃗⃗⃗ | , Por lo tanto el área pedida es: | ⃗⃗⃗⃗⃗ | , 3
Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores en R : ⃗
(
)
(
a) Representarlos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.
y
v
u 1 1 1
pág. 22
x
)
b) Determinar si los vectores dados, son perpendiculares. ⃗
⃗
(
) (
)
En consecuencia los vectores no son perpendiculares. c) Determinar un vector ⃗⃗
unitario y perpendicular a los vectores dados.
Para determinar un vector perpendicular a ⃗ ⃗
|
calculamos el producto vectorial de los mismos.
|
⃗ (
⃗
)
Para que el vector obtenido sea unitario hacemos: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
|⃗
(⃗
⃗ |
)
(
√
.
)
√
√
√
/
d) Determinar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores ⃗ El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores dados. |⃗
|
√
, -
e) Determinar el área del triángulo determinado por ⃗ El corolario de la propiedad anterior establece que el área del triángulo determinado por dos vectores es la mitad del área del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores. |⃗ √
| , -
f) Determinar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores ⃗
⃗⃗
El volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores llevados a un origen en común, es la interpretación geométrica valor absoluto del producto mixto de dichos vectores. |( ⃗
) ⃗⃗ |
||
Cálculos auxiliares. ||
, -
|
|
|
|
pág. 23
(
)
EJERCICIOS A RESOLVER: 2
1. i) Dado los puntos Po(2, –3); P1 (–2, –5), P2(–1 ,1) en R ; P3(–2 , 3 ,5) ; P4(5, –2 , –3) y P5(0, 1 ,1) en 3 R ; encontrar los siguientes vectores y representarlos gráficamente. a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ii) Encontrar el origen o el extremo según corresponda: a) ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
; con A(2, –3, 1), tal que ⃗ sea equipolente a (5, 7, –2)
b)
⃗⃗⃗⃗⃗
; con A(–1, –2, 5), tal que
⃗⃗⃗⃗⃗
; con B(–2, 0, –2), tal que ⃗⃗ sea equipolente a (–5, 2, –3)
⃗⃗⃗⃗⃗
; con B(3, 2, –2), tal que
⃗⃗
c) d)
sea equipolente a (2, –3 , –5)
sea equipolente a (–2, 3, 0)
2. Determinar gráfica y analíticamente: ⃗ a) ⃗
(
b) ⃗
(
⃗
(
c)
)
(
⃗
( (
) )
3. i) Sean ⃗
⃗⃗
; calcular:
a) ⃗ (
⃗⃗ )
d) ( | ⃗ |
) ⃗⃗
(
⃗⃗ )
e) | ⃗
| ( ⃗⃗
b)
c) | ⃗ | (
(
)
(⃗
(
)
⃗⃗⃗ )
b) (⃗
⃗)
c) ( ⃗
⃗⃗⃗ )
4. Sean ⃗
⃗)
⃗⃗ )
ii) Sean ⃗ a)
siendo:
)
) )
⃗
(
⃗⃗
d) |⃗
)
) ; calcular:
⃗ | (⃗ ⃗⃗⃗ )
e) |⃗ | ( ⃗
( |⃗ |
⃗) (
)
(
⃗⃗
) determinar
tales que:
a) ⃗⃗ b) ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
5. Sean ⃗
(
c)
⃗ )
(
)
(
⃗⃗
)
a) Determinar los números reales , y para que se cumpla: b) Encontrar las componentes del vector ⃗⃗⃗ que satisface a: ⃗⃗⃗
⃗
(
a) |⃗⃗⃗
|
b) |⃗⃗⃗ |
|
c) |
⃗ |
)
(
)
⃗⃗
(
|⃗ |
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ )
)
⃗⃗⃗ (
)
) Calcular en cada inciso la expresión dada.
d) | |
(
⃗
c) Determinar el vector ⃗⃗ para que se cumpla la siguiente relación: ⃗⃗⃗ ) ( ) ( d) Hallar, si es posible, x , y , z tales que: ( 6. Sean ⃗
⃗⃗
⃗⃗ |
⃗
e) |
⃗⃗ |
f) ||
⃗⃗ |
⃗⃗ ⃗⃗ |
pág. 24
7. a) Calcular el ángulo entre los siguientes pares de vectores: en el plano (2, 4) con (–1, –2) y en el espacio (2, 1, ,1) con (1, –1, 2). Determinar tal que:
b) Sean ⃗ i) ⃗ ii) ⃗ c) Encontrar ⃗ , tal que i)
(
ii)
(
)
(
)
8. Sean ⃗ a) ⃗
)
(
b) ( ⃗
)
|⃗ |
(⃗ ⃗ )
|⃗ |
(⃗ ⃗ )
(
)
(
⃗⃗
⃗⃗ )
c) ⃗
⃗⃗
d) ( ⃗
) Calcular: (
⃗⃗ ) )
⃗⃗ (
9. a) Sea el paralelogramo formado por los vectores ⃗
)
(
):
i) Graficar los vectores y el paralelogramo formado por los mismos ii) Hallar, gráficamente y analíticamente, los vectores diagonales. iii) Calcular las longitudes de las diagonales y el perímetro del paralelogramo. ⃗ , sabiendo que forman un ángulo de 60°, que | b) Dados dos vectores, ⃗ . paralelogramo que ellos determinan es un rombo, calcular el módulo de
⃗|
y que el
c) Encontrar, de ser posible, el área del paralelogramo y del triángulo determinado por los vectores: i) ⃗
(
)
(
)
ii) ⃗ iii) ⃗
(
)
10. Sabiendo que ⃗ ( a) ⃗ ( ⃗⃗ b) (
( ⃗⃗ )
)
Calcular:
) ⃗⃗ ) ⃗
c) ⃗⃗ ( ⃗
e) ( ⃗
)
(
ii) ⃗
(
⃗⃗ )
)
⃗⃗ ) ⃗⃗ )
( ⃗⃗
f)
11. a) Determinar si ⃗ i) ⃗
(⃗
d)
⃗⃗ )
son coplanares:
(
)
(
⃗⃗ )
( b) Dado los vectores ⃗ ⃗ , además ortogonal a ⃗⃗
( ⃗⃗
) (
) (
)
(
)
) determinar un vector
12. Determinar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores: a) ⃗
⃗⃗
b) ⃗ 13. Dados los vectores ⃗
⃗⃗ (
)
(
)
a) Calcular el ángulo determinado por ⃗
⃗⃗ y el determinado por ⃗⃗
b) Determinar un vector unitario paralelo a ⃗ c) Determinar un vector paralelo a d) Determinar un vector paralelo a
y de módulo 4. y de módulo 6.
e) Determinar un vector perpendicular a ⃗⃗
pág. 25
, de modulo 8.
que sea coplanar con
EJERCICIOS ADICIONALES 1. Responder V (verdadero) o F (falso) según corresponda. NO justificar la respuesta.
a) Con los puntos
(
b) Los vectores
(
) y
) se puede formar el vector
) y ⃗⃗ (
c) Dados los vectores (
d) Los vectores
( (
) y ⃗⃗ )
(
(
).
) son perpendiculares. (
), entonces:
) y ⃗⃗
(
⃗⃗
(
)
), son coplanares
2. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N.
a) El perímetro de un triángulo con vértices en (1 , 1) ; (4 , 1) y (1 , 3) vale: √
A) A)
[ul].
B) B) 3 [ul].
b) Sea el vector
3. Sean
[ul].
u 3, 6, 6 un vector unitario y paralelo a él es: 1 2 2 B) , , 15 15 15
c) El volumen del paralelepípedo formado por: A) – 4 [ul]3 B) 8 [ul]3
A) 5 y 0
[ul]. √
D) D)
A) 1, 2, 2
d) Sean ⃗
√
C C)
(
) B) –5 y 0
(
1 2 2 C) , , 3 3 3
D) .
(
)
) ⃗
C) 4 [ul]
3
(
/
⃗⃗
D) –8 [ul]
(
); es:
3
), entonces los valores de “a” para que ⃗ C) –5 y 5 D) –5i y 5i
son:
u , v y w, tres vectores cualesquiera, relacionar, colocando letra que corresponda en los
resultados equivalentes.
A) v - w B) 6 u - 2 v C) - v u D) 5 (v - 4 u ) E) - 3 (v - 8 w ) F ) (2 u - 7 w ) - ( 8 v u )
- 3 v 24 w 5 v 20 u - (- v w) 2 (3 u v )
u-7w - 8v -(-u v)
pág. 26
TRABAJO PRÁCTICO N°4 “RECTA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO” BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. Kindle, Joseph H. Geometría Analítica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. México D. F. Marzo 1995.
CUESTIONARIO DE REPASO
u en el plano o en el espacio, ¿Cómo se obtiene la ecuación Vectorial Paramétrica de la recta que pasa por el punto P0 y es paralela al vector u ? • ¿Qué nombre recibe el vector u paralelo a la recta? • Dado un punto P0 y un vector
• Partiendo de la Ecuación Vectorial Paramétrica, a) ¿Cómo obtiene la ecuación Cartesiana Paramétrica?; b) ¿Cómo obtiene la ecuación Simétrica? • Dada la Ecuación General o Implícita de una recta en el plano: Ax + By + C = 0, ¿Qué nombre toma el vector que tiene por componentes los coeficientes de las variables x e y? • Si la Ecuación de una recta en el plano, tiene la forma :
x y 1 , ¿Que representan las constantes a b
“a” y “b”? • ¿Cuántos datos son necesarios para determinar una recta? • ¿Cuando dos rectas, (en el plano o el espacio), son paralelas? •¿Cuando dos rectas, (en el plano o el espacio), son perpendiculares? •¿Cómo se calcula el Angulo que determinan dos rectas en el plano o el espacio? •¿Cómo se calcula la distancia de un punto P0 a una recta “l” en el plano? •¿Cuál es la Ecuación Simétrica de una recta del espacio determinada por dos puntos? •¿Cuál es la Ecuación de una recta, del plano, que pasa por P0(x0,y0) y es paralela al eje “y”? •¿Cuál es la Ecuación Simétrica de una recta, del espacio, que pasa por P 0(x0,y0,z0 ) y es paralela al eje z ? •¿Cuál es la Ecuación Simétrica de una recta, del espacio, que pasa por P 0(x0,y0,z0 ) y es paralela al plano“yz”?
pág. 27
EJERCICIOS RESUELTOS: Ejemplo 1: Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica, simétrica, segmentaria, general y explícita de la recta que paso por el punto P0(1, 2) y es paralela a la recta de ecuación: . Representar gráficamente la recta encontrada. Para resolver, vectorialmente, este ejercicio es necesario conocer un punto perteneciente a la recta y su vector dirección. En este caso como las rectas son paralelas sus vectores direcciones también lo son. La recta solicitada debe pasar por (1, 2) y ser paralela a ⃗
(
)
Por lo tano la ecuación vectorial paramétrica será: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗ )
(
)
De la ecuación anterior podemos deducir la ecuación cartesiana paramétrica ya que: ⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
) (
)
(
)
)
(
) por lo tanto
{ A partir de esta última ecuación se despeja el parámetro para formar la ecuación simétrica {
A partir de esta última ecuación se puede deducir la ecuación general de la recta ya que: ( (
)
)
A partir de esta última ecuación se puede deducir la ecuación explícita de la recta ya que:
También a partir de la ecuación general se puede deducir la ecuación segmentaria de la recta.
Para representar gráficamente la recta encontrada se puede utilizar la ecuación: a) Segmentaria. b) Vectorial paramétrica.
pág. 28
b) a)
1
1 u
1
1
_5 3
Po
_
5
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(2, 0, 3), B(3, 10, 7) y C(1,6, 3) están alineados. Una de las formas de resolver este ejercicio es encontrar la recta que pasa por dos puntos y verificar que el tercer punto pertenezca a dicha recta. Encontramos la recta que pasa por los puntos A y B por ejemplo. Determinamos el vector dirección de la recta que estamos buscando. ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Por lo tanto la ecuación vectorial paramétrica que pasa por A y tiene dirección ⃗⃗⃗⃗⃗ será: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗ )
(
)
De la ecuación anterior podemos deducir la ecuación cartesiana paramétrica ya que: ⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
) )
(
(
) )
(
) por lo tanto
{ A partir de esta última ecuación se despeja el parámetro para formar la ecuación simétrica
{
En esta última ecuación es más fácil comprobar si el tercer punto C pertenece o no a la recta encontrada. (
)
Por lo tanto el punto C pertenece a la recta y en consecuencia los puntos están alineados.
pág. 29
EJERCICIOS A RESOLVER: 1. Hallar las ecuaciones: vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica, simétrica, general, explícita y segmentaria de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones. Representar gráficamente. a) Pasa por el punto P0(1, 2) y es paralela al vector ⃗
(
).
b) Pasa por P1(4 , – 1) y forma un ángulo de 135° con el semi eje positivo de ⃗⃗⃗⃗ . c) Cuya ordenada al origen es y pasa por el punto P1(2, 3). d) Pasa por P1(3 ,2) y es paralela a: x + 2y + 4= 0. e) Pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a y + 2x 2 = 0. f)
Pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 (
perpendicular al vector ⃗⃗
y 3x 2y + 9 = 0
y es
).
2. Hallar las ecuaciones: vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica y simétrica de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones. Representar gráficamente. a) Pasa por el punto P1(1, 2, 5) y tiene como vector dirección a ⃗
(
)
b) Pasa por el punto P1(0, 1, 5) y es paralela a { c) Pasa por el punto P1(4, 2, 5) y es paralela a ⃗⃗⃗⃗ d) Pasa por los puntos P1(1, 2,. 5) y P2(2, 1, 0). e) Pasa por el punto P1(1, 3, 0) y es paralela al vector ⃗ ( f)
siendo ⃗
(
)
Pasa por el punto P1(2, 1, 3) y es perpendicular a las rectas cuyas ecuaciones son:
{
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
3. Determinar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares. ⃗⃗⃗⃗⃗
(
{
(
)
(
)
)
4. Hallar el valor de k para que las siguientes rectas sean: a) paralelas: ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
)
{
{
b) perpendiculares
5. Determinar el valor del parámetro k para que: a) La recta: 13x + (2 – k) y – 23 = 0 pase por el punto (2, –3). b) La recta: k x + (k – 1)y – 18 = 0 sea paralela a la recta: 4x + 3 y + 7 =0 2
2
c) La recta: k x + (k – 1)y – 18 = 0 sea perpendicular a la recta: 4x + 3 y + 7 =0. 2
2
pág. 30
)
6. Hallar el ángulo formado por los siguientes pares de rectas que tienen por ecuaciones:
{
a)
b)
c)
⃗⃗⃗⃗⃗
d) {
(
)
(
)
7. Hallar la distancia: a) del punto P(2, –3) a la recta 4x 5y + 10 = 0. b) entre las rectas 3x – 4y + 8 = 0 6x – 8y + 9 = 0.
c) del punto (7, 7, 4) a la recta
d) entre las rectas paralelas:
{
8. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano o del espacio que equidistan de los puntos fijos: a) (5, 2) y (2, 1) b) (3, 2, 4), (5, 3, 2) y (0, 4, 2). 9. Usando haz de rectas, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas:
, y además:
a) Pasa por el punto (–5 , 2). b) Es paralela a la recta 6x – 8y + 9 = 0. 10. Usando haz de rectas hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: a) P(3, 2) y es paralela a 2x 3y 4 = 0. b) P(1, 3) y es perpendicular a 5x 2y + 3 = 0. 11. Plantear y resolver los siguientes problemas. a) Encontrar las coordenadas del punto simétrico a P(2, 2) respecto de la recta 2x + y 3 = 0. b) Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y – 8 = 0
6x – 7y + 8 = 0 son
concurrentes. c) Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que tiene por extremos a: A(2, 0) y B(4, 2). d) Determinar el valor del parámetro “k” para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes 2
coordenados un triángulo rectángulo de área igual 2,5 [ul] . e) Determinar si los siguientes pares de rectas se intersectan. En caso afirmativo, dar las coordenadas del punto de intersección: i- {
ii- {
{
pág. 31
f)
Comprobar si los puntos (0, 1, –1), (3, 4, 2) y (4, 5, 3) están alineados.
g) Determinar si la recta {
se intersecta con algunos de los ejes coordenados. En
caso afirmativo, dar las coordenadas de los puntos de intersección.
pág. 32
Ejercicios Adicionales 1. Responder V (verdadero) o F (falso) según corresponda. NO justificar la respuesta. 2
a) La recta de R cuya ecuación es:
, tiene pendiente
b) El vector dirección de la recta c) El vector ⃗
(
es (3, 2).
) y la recta
son perpendiculares.
d) El punto P(1 , 0 , 2) pertenece a la recta
.
e) La recta que pasa por los puntos P(1, 0, 2) y Q(3, 3, –2) puede tener como vector dirección (2, 3, –2) f) Las rectas {
y
son perpendiculares
2. Completar con las respuestas correctas. Dado el siguiente gráfico:
La ecuación vectorial paramétrica de la recta es:………………. y la ecuación simétrica es:……………. 3.a) Marcar los puntos que pertenezcan a la recta {
(1, 1, 1)
(–1, 8, 10)
.
(1, –5, 1)
/
b) Marcar los puntos que NO pertenezcan a la recta (0, 1, –6)
(4, –3, 4)
(1, 2, 3)
(2, –1, 9)
4. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N. a) El ángulo que forman las rectas
A) 135°
B) –45°
es
C) 90°
pág. 33
D) 45°
b) La ecuación segmentaria de la recta representada en el gráfico es: ) ) ) )
c) La recta {
es paralela al vector:
A) A) (2 , –10 , –18).
C) C) (–2 , –10 , 18).
B) B) (2 , – 10 , 18).
D) D) (–2 , –10, –18).
d) La recta que pasa por los puntos (1, 2, 4) y (5, 10, 15) satisface la ecuación )(
)
(
)
(
)
)(
)
)
(
)
)
)
e) La recta que pasa por el punto (7, 3, –4) y es paralela al vector ́ )(
(
)
(
)
(
)
)(
)
́ satisface la ecuación ́
)
(
)
)
f) La ecuación vectorial (
)
(
A) La recta que pasa por ( B) La recta que pasa por (
)
(
) describe
) y es paralela a ́
) y es paralela a ́
C) La recta que pasa por (
) y es perpendicular a
D) La recta que pasa por (
) y es paralela a
pág. 34
́ ́
́
́ ́
́
́
́ ́
́
(
)
