DINAMICA DE SUELOS – AMPLIFICACION AMPLIFICACION SISMICA
Prof. Ramon Verdugo A. Departamento de d e Ingeniería Civil Universidad de Chile (
[email protected])
1.- INTRODUCCION
El tema de Dinámica de Suelos es extenso y cubre variados e importantes tópicos como: respuesta sísmica de depósitos y estructuras de tierra, estabilidad sísmica de muros de contención, licuefacción, prospección del subsuelo mediante el análisis de propagación de ondas de cuerpo y de superficie, fundaciones de máquinas y vibraciones en obras viales, entre otros. Consecuentemente, en una corta exposición sólo resulta posible concentrase en alguno de estos temas, siendo así que se ha optado por desarrollar el tema de la amplificación sísmica por su importancia en Chile y en el resto de los países americanos que miran al Pacífico.
Desgraciadamente, la evidencia empírica que dejan los eventos sísmicos de gran magnitud está asociada aun con grandes pérdidas materiales y en algunos casos también con un significativo número de pérdidas humanas. Esto hace necesario que en países con probabilidad de experimentar sismos severos, los proyectos consideren obligatoriamente el aspecto sísmico, incluyendo en detalle el tema del efecto geológico-geotécnico del sitio donde se emplaza la infraestructura. A continuación se presentan los dos métodos más utilizados en la actualidad en ingeniería práctica para estimar la respuesta sísmica de depósitos de suelos.
2.- MODELO VISCOELASTICO
Al igual que lo usualmente aplicado en el análisis dinámico de estructuras, en suelos también resulta atractivo el asumir un comportamiento viscoelástico. Se tiene entonces entonces que bajo una solicitación de de esfuerzo de corte :
= Gγ + c γ &
τ
Bajo este supuesto es posible separar una componente elástica caracterizada por el módulo de corte G:
τ1
= G γ
y otra componente de naturaleza viscosa caracterizada por el parámetro c:
τ2
=
c γ & = c
d γ d t
Frente a una solicitación sinusoidal se tiene la siguiente ecuación de equilibrio dinámico:
τ a sen (Ω t ) = Gγ + c γ & cuya solución en régimen permanente está dada por:
γ = γ a sen (Ω t − ϕ ) con, tg ϕ
=
cΩ G
y
γ a
τa
=
2
G
c Ω 1+ G
2.- MODELO VISCOELASTICO
Al igual que lo usualmente aplicado en el análisis dinámico de estructuras, en suelos también resulta atractivo el asumir un comportamiento viscoelástico. Se tiene entonces entonces que bajo una solicitación de de esfuerzo de corte :
= Gγ + c γ &
τ
Bajo este supuesto es posible separar una componente elástica caracterizada por el módulo de corte G:
τ1
= G γ
y otra componente de naturaleza viscosa caracterizada por el parámetro c:
τ2
=
c γ & = c
d γ d t
Frente a una solicitación sinusoidal se tiene la siguiente ecuación de equilibrio dinámico:
τ a sen (Ω t ) = Gγ + c γ & cuya solución en régimen permanente está dada por:
γ = γ a sen (Ω t − ϕ ) con, tg ϕ
=
cΩ G
y
γ a
τa
=
2
G
c Ω 1+ G
Luego, la componente viscosa se puede expresar como:
2
τ2
γ 1 − γ a
= c Ω γ a cos ( Ω t − ϕ ) = c Ω γ a
Reordenando esta expresión se obtiene:
τ 22 ( c Ω γ a ) 2
+
γ 2 (γ a ) 2
=
1
Resulta directo que la componente viscosa genera una elipse, la cual se ilustra en la Fig. 1.
Componente elástica
Componente viscosa
τ1
τ2 c Ω γ a
− γ a
G 1
γ a
γ
γ − γ a Aelipse
γ a
= π ⋅ c Ω γ a ⋅ γ a
Fig. 1.- Componentes del modelo viscoelástico
La pérdida o disipación de energía que desarrolla este modelo está asociada con el área de la elipse, la cual queda expresada por:
Aelipse
= π c Ω γ a2
En un ciclo de solicitación, se define la razón de amortiguamiento, D, como la disipación total de energía normalizada por la energía elástica que se le entrega al sistema y dividida por 4 π , es decir:
D
=
π c Ω γ a2 1 4 π ( G γ a )γ a 2
=
cΩ
2G
Lo anterior implica que al modelarse con un amortiguamiento c = constante, la disipación de energía sería directamente proporcional a la frecuencia de excitación. Esto no concuerda con lo observado en suelos que presentan ciclos de carga y descarga independientes de la frecuencia de excitación, con un amortiguamiento
histerético.
Esta
incompatibilidad
entre
el
modelo
y
el
comportamiento observado, se soluciona fácilmente al utilizar un amortiguamiento c variable. Como se verá en los acápites siguientes, el parámetro de amortiguamiento c aparece en todas las expresiones de interés siempre como:
cΩ G Consecuentemente, en la aplicación de este modelo viscoelástico se procede a reemplazar este término por 2D (la razón de amortiguamiento). La determinación de D a partir de ensayos resulta en una propiedad del material independiente de la frecuencia.
3.- PROPAGACION UNIDIMENSIONAL DE ONDAS DE CORTE
3.1.- Ecuación de onda
En la Fig. 2 se ilustra un depósito de suelos apoyado sobre un estrato rígido de roca basal. Este depósito horizontal de suelos se considera de propiedades uniformes, a través del cual se produce la propagación vertical de ondas de cortes que parten desde la roca basal.
Superficie del terreno
du
u
τ
+
∂τ dz ∂ z dz
γ
τ
u g
H
z Roca basal
Fig. 2.- Depósito horizontal de suelos sometido a una perturbación de corte basal
Este frente de ondas de corte de propagación vertical que excita la base se considera de forma sinusoidal, de tal forma que genera una aceleración basal del tipo:
u&& g
= ab sen (Ω t )
Al formular el equilibrio dinámico de un elemento de suelos sometido a esta solicitación de corte se obtiene:
∂τ ∂ 2u dz Ahor = ρ Ahor dz 2 ∂ z ∂t
Donde, ρ es la densidad de masa y A hor representa el área horizontal del elemento sobre la cual está aplicado el esfuerzo corte.
Por otra parte, si se asume que el suelo puede ser modelado con un comportamiento del tipo viscoelástico, se tiene que:
τ
= G γ + cγ &
En este caso G representa la rigidez al corte elástica (módulo de corte) y c la constante del amortiguador viscoso. Esta relación puede ser escrita como:
∂u ∂ 2u +c τ =G ∂ z ∂t ∂ z Con lo cual se obtiene: 2 3 2 u u u ∂ ∂ ∂ G c ρ + = ∂ z 2 ∂ t ∂ z 2 ∂t 2
Introduciendo la variable y = u – ug , que corresponde al movimiento relativo del suelo respecto de la base, se tiene que:
∂ 2u g ∂ 2 y ∂ 3 y ∂ 2 y +c =ρ 2 +ρ 2 G ∂ z 2 ∂ t ∂ z 2 ∂ t ∂ t
Para una solicitación sinusoidal:
&& g = ab ei Ω t u la ecuación de onda queda:
∂ 2 y ∂ 3 y − G 2 +c ∂ z ∂ t ∂ z 2
ρ ab e
i Ω t
∂ 2 y =ρ 2 ∂ t
(*)
Antes de ir a la solución completa de esta ecuación, es interesante analizar la situación de vibración libre del depósito de suelos sin amortiguamiento. Para esto basta hacer ab = 0 (ug = 0 → y = u) y c = 0, con lo cual esta ecuación se transforma en: 2 2 u u ∂ ∂ G 2 −ρ 2 =0 ∂ z ∂ t
La solución de esta ecuación es del tipo:
u
= f ( z + vt ) + g ( z − vt )
Donde, v es una constante que se determina reemplazando esta solución en la ecuación anterior:
∂ 2u = f " + g " ∂ z 2
y
∂ 2u = ( f " + g " )v 2 ∂ t 2
Con lo cual resulta que esta constante vale:
G
− ρ v2 = 0 →
v=
G
ρ
Al analizar la parte:
u
= f ( z + vt )
y estudiar el tiempo y lugar donde se produce un determinado movimiento uo , es posible deducir que:
uo
= f ( z + vt ) ⇒
z + vt = cte. = b
Gráficamente esta condición se presenta en la Fig. 3, donde se puede concluir que el mismo corrimiento u0 se va produciendo en el tiempo en la medida que z disminuye. Esta situación se interpreta como una onda que va viajando hacia abajo a una velocidad v. Como se está analizando una onda de corte puro, la velocidad de v corresponde a la velocidad de propagación de la onda de corte, Vs.
z z = -vt + b
v 1
t
Fig. 3.- Condición espacio-tiempo asociada a un desplazamiento u0.
Luego, la velocidad de onda de corte está relacionada con las propiedades del suelo a través de la siguiente expresión:
Vs
=v=
G
ρ
Análogamente, al analizar la segunda componente de la solución de la ecuación de onda se obtiene que ésta representa una onda de corte viajando en sentido vertical ascendente.
3.2.- Amplitud del movimiento dentro del depósito y en superficie
La solución de la ecuación de onda (*) permite conocer la amplitud del movimiento dentro del depósito y en superficie. La solución matemática consta de una parte correspondiente a la vibración libre, que al existir amortiguamiento tiende a desaparecer, y otra particular asociada a la vibración forzada, que corresponde a la respuesta en régimen permanente. Esta última es la solución que se utiliza y se puede expresar como:
y
= U ( z )e iΩt
Derivando se obtiene:
∂ 2 y 2 i Ω t Ue = − Ω ∂t 2 ∂ 2 y d 2U i Ω t = 2e 2 ∂ z d z d 2U i Ω t ∂ 3 y = iΩ 2 e 2 d z ∂t ∂ z Reemplazando en la ecuación de onda se obtiene:
G
d 2U 2
d z
i Ωt
e
+c
d 2U 2
d z
i Ωe iΩ t − ρ ab e iΩt = ρ Ω 2 U e iΩt
Reordenando se llega a:
d 2U
(G + i Ω c )
d z 2
+ ρ Ω 2 U = ρ ab
La solución de la homogénea corresponde a:
(G + i Ω c )
d 2U d z 2
+ ρ Ω 2 U = 0
Rescribiendo,
d 2U 2
d z
+
ρ Ω2 G
+iΩc
U = 0
Sea,
p
2
=
ρ Ω2 G
+ iΩc
Entonces,
d 2U d z 2
+ p 2U = 0
Luego, la solución homogénea es:
U h
= E e ip z + F e −ip z
Esta solución puede ser reescrita como:
U h
= B1 cos( p z ) + B2 sen ( p z )
Donde B1 y B2 son constantes. Por otra parte, la solución particular de esta ecuación diferencial ordinaria es:
U p
=
ab
Ω2
Luego, la solución completa de esta ecuación es:
U = B1 cos( p z ) + B2 sen( p z ) +
ab
Ω2
Condiciones de borde: - A nivel de roca basal:
u ( z = 0) = u g
⇒
y
=0 ⇒
U (0) = 0
- A nivel de superficie del terreno:
τ ( z = H ) = 0
⇒
γ ( z = H ) = 0
∂u ∂ y ⇒ = 0 ⇒ = 0 ∂ z z = H ∂z z = H
con lo cual resulta que:
B1 = −
ab
Ω
2
B2
=−
c
Ω2
tan( pH )
Con esto queda que:
U = −
ab
Ω2
cos( pz ) −
ab
Ω2
tan( pH ) sen ( pz ) +
ab
Ω2
Recordando que u = y + ug , el movimiento absoluto resulta:
u
=−
ab
Ω
i Ω t pz pH sen pz e + cos( ) tan( ) ( ) [ ] 2
Por lo tanto, la aceleración absoluta queda expresa por:
u&& = ab [cos( pz ) + tan( pH ) sen ( pz ) ]e iΩ t Luego, la aceleración absoluta en superficie resulta:
u&&( z = H ) = u&&su p
=
ab
eΩ i
cos( pH )
t
3.3.- Amplificación roca basal – superficie del depósito de suelos
Resulta importante establecer la amplificación o eventual atenuación que pueda generarse a través del depósito de suelos. Una manera directa es definiendo el factor de amplificación A1, como la razón entre la amplitud de la aceleración en superficie y la amplitud de la aceleración a nivel de roca basal, como se ilustra en la Fig. 4. u&&sup erficie
Superficie del terreno
H
u&&base
= u&& g Roca basal
Fig. 4.- Amplitud de aceleración a nivel de roca basal y en superficie
La definición de esta razón es:
A 1=
u&&su p u&&base
Luego,
A1
=
1 cos( pH )
Pero: cΩ 1 i − 2 ρΩ ρΩ 1 ρ Ω 2 G p = = × cΩi = 2 G + cΩ i G G Ω c 1+ 1+ G G 2
2
Entonces,
⇒ pH = Ω H
1−
ρ G
cΩ G
i 2
c Ω 1+ G
Sea,
d =
cΩ G
Con lo cual,
⇒ pH = Ω H
ρ
1 − d i
G
1 + d 2
Recordemos que:
a + bi = r [cosα
+ isenα ]
r =
con
a2
+ b2
= ba
tan α
(a + bi ) n = r n [cos nα + isennα ]
Entonces: 1 − di
1/2 α α = [ 1 + d 2 ] cos + i sen 2 2
=
1 + d 2
1 + cos α 2
1 − cos α 2
+i
tanα
con
α 2 α sen 2 cos
= -d = =
1 + cos α 2 1 − cos α 2
Pero:
tan α
⇒
= − d ⇒
1 − di
cosα
2 1 + d
=
1 + d
2
=
=
⇒ pH =
2
Ω H 2
2
1
ρ G
=
1 + d 2
1+
1 1 + d 2
2
1 + d
2
1 + d
+1 + i
1 + d
2
1
1−
1 + d 2
2
+i
1 + d
2
1 + d 2
+1 + i
− 1 2 1 + d
+1 + i
2
1 + d 2
2 1 + d
1
− 1
1 + d
2
− 1
Sean:
α
β
= Ω H = Ω H
ρ
1 + d
+1
1 + d 2
2G
ρ
2
1 + d
2G
2
−1
1 + d 2
Con esto queda:
cos pH = cos(α + β i ) = cos α cos β i − senα sen β i Pero,
xi
senh xi
=
e
− e − xi
1 = [cos x + isen x − cos x + isen x ] = isen x
2 2 ⇒ isenix = senh (− x) = −senh x → senix = isenh ( x) Además:
cosh xi
=
xi
e
+ e − xi
1
= [cos x + isen x + cos x − isen x] = cos x
2 2 ⇒ cos xi = cosh(− x) = cosh( x) Esto permite obtener,
cos pH = cos α ⋅ cosh β
− isenα ⋅ senh β
Con esto se obtiene la sigui ente expresión del factor de amplificación:
A 1(Ω)
=
1 cos α ⋅ cosh β
− i senα ⋅ senh β
Evidentemente, para todo efecto práctico es el módulo de esta expresión lo más importante, el cual resulta:
A1( Ω)
=
1 cos α ⋅ cosh β 2
2
+ sen 2α ⋅ senh 2 β
Analizando el caso sin amortiguamiento (d = 0), se tien e que:
α
= Ω H
β
=0
ρ G
=
Ω H Vs
Con lo cual resulta:
A 1(Ω)
=
1 cos α
=
1
Ω H Vs
cos
Es directo que la máxima amplificación ocurre cuando cos α = 0, condición en la cual la amplificación tiende a infinito (esto es debido a la condición de nulo amortiguamiento). Esta condición se cumple cuando:
Ω H Ω H π 3π 5π 0 = → = , , ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Vs Vs 2 2 2
cos
Esto indica que existen frecuencias de excitación,
Ω, que maximizan la respuesta
del depósito de suelos, las cuales pueden ser consideradas como frecuencias de resonancia y por tanto coincidentes con las frecuencias propias de vibrar del
depósito de suelos. Luego, las frecuencias fundamentales de vibración de un estrato de suelo son:
Ω=
π Vs 3π Vs 5π Vs ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ , , 2 2 2
Con lo cual los periodos fundamentales de vibración son:
T =
4 H Vs
,
4 H 3Vs
,
4 H 5Vs
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
En la Fig. 5 se presenta el factor de amplificación A1 en función de la frecuencia de excitación para el estrato de suelos indicado, considerando un caso no amortiguado y otro con un nivel medio de amortiguamiento. Se observa claramente el efecto de la frecuencia y amortiguamiento en el nivel de amplificación de la respuesta en superficie.
Fig. 5.- Factor de amplificación A 1.
3.4.- Respuesta de depósito de suelos con n estratos
Es común que los depósitos de suelos estén constituidos por una secuencia de varios estratos con propiedades diferentes. En la Fig. 6 se ilustra esta situación con un depósito de n estratos.
Superficie del terreno z1
1 2 3 ... H j
j
G j , D j, ρ j, H j
(estrato j)
z j
.... n-1 n Basamento rocoso
Fig. 6.- Depósito de suelo con n estratos
Para abordar este problema primero es útil expresar la solución de la ecuación de ondas como:
u = y + u g = Ee u = Ee
i ( pz + Ω t )
ipz
+ Fe− ipz eiΩt
+ Fe− i ( pz − Ωt )
Las condiciones de borde se establecerán considerando un sistema coordenado local en cada estrato desde su parte superior hacia abajo. Luego, en la superficie del depósito (z1 = 0) se cumple que:
τ
= 0 → γ = 0 →
∂u =0 ∂ z
∂u = 0 ⇒ ( E ip − F ip )ei Ωt = 0 ) 1 1 ∂ z Z =0 ⇒ E 1 = F 1 1
⇒ u = E 1 [e i ( pz +Ωt ) + e −i ( pz −Ωt ) ] Con esto se tiene que en la superficie del primer estrato se cumple que:
usup
= 2 E 1eiΩt
Por otra parte, la solución de la ecuación de ondas debe cumplirse en cada estrato, por lo tanto:
u j
= E j ei ( p z + Ω t ) + F j e −i ( p z − Ωt ) j j
j j
En el contacto entre los estrato j y (j+1), se tienen las siguientes dos condiciones de borde: u j (z j
= H j ) = u j +1 (z j+1 = 0)
τ j (z j = H j ) = τ j+1 (z j+1 = 0)
De la primera condición se obtiene que:
E j +1 + F j +1 = E j e
i p j H j
+ F j e − i p
j
H j
(**)
Por otra parte, se tiene que:
2 ∂ u j ∂ u j = (G j + ic j Ω) ∂u j + c j τ j = G j ∂ z j ∂t ∂ z ∂ z j
τ j
= (G j + i c j Ω)( E j ei p z − F j e − i p z )ip j e i Ωt j
j
j
j
Aplicando esta expresión a la segunda condición de borde se tiene que:
(G j + i c j Ω)( E j e
⇒
E j +1
i p j H j
− F j e−i p H ) p j = (G j +1 + i c j+1Ω)( E j +1 − F j+1 ) p j +1 j
− F j+1 =
j
(G j + i c j Ω)
p j
(G j +1 + i c j +1Ω) p j+1
( E j e
− F j e−i p H )
i p j H j
j
Sea:
+ i c j Ω) p j ∆ j = = (G j+1 + i c j +1Ω ) p j+1 (G j
∆ j =
ρ j G j (1 + i
c j Ω
ρ j+1 G j +1 (1+ i
ρ j G j
(1 + d j i )
ρ j +1 G j+1
(1 + d j +1 i )
G j
)
c j +1Ω G j+1
)
Luego, la segunda condición de borde queda:
E j+1
− F j +1 = ∆ j ( E j ei p H − F j e−i p H ) j
j
j
j
(* * *)
j
De (**) y (***):
[ E (1 + ∆ 2
E j+1
=
1
F j+1
=
1
j
E (1 − ∆ [ 2 j
j ) e
j
)e
i p j H j
i p j H j
+ F j (1 − ∆ j ) e− i p H ] j
j
+ F j (1 + ∆ j ) e −i p H ] j
j
Luego, recordando que E1=F 1, es posible establecer los valores de E2 y F2 en función de E 1:
E 2
=
F 2
=
1 2 1
[(1 + ∆
[(1 − ∆ 2
j
)e
j )e
i p j H j
i p j H j
+ (1 − ∆ j ) e−i p H ] E 1 j
j
+ (1 + ∆ j ) e −i p H ] E 1 j
j
Continuando con estas expresiones recursivas es posible establecer los valores de E3 y F3, en función de E1 y así sucesivamente. Se puede entonces establecer para el estrato de roca que:
E roca = M E 1 F roca = N E 1
Entonces es posible evaluar el factor de amplificación base rocosa – superficie del terreno:
i t 2 E 1e Ω = 0) = A1 = i Ω t uroca ( z roca = 0) ( E n+1 + F n +1 ) e
u1 ( z 1
⇒ A1 =
2 E 1 ME 1 + NE 1
=
2 M + N
Análogamente, es posible establecer el factor de amplificación respe cto de un afloramiento rocoso:
A 2=
u1 ( z 1
= 0)
uafloramiento ( z afloramiento
⇒ A2 =
= 0)
=
2 E 1ei Ωt 2 E afloramientoei Ω t
1 M
También resulta posible relacionar el movimiento en un estrato con el que ocurre en otro:
Aij (Ω )
=
ui u j
=
+ N i M j + N j M i
El factor de amplificación también puede ser visto como una función de transferencia entre los estratos i y j.
3.5.- Método Lineal Equivalente
En la Fig. 7 se presentan resultados típicos de la variación del módulo de corte G normalizado y la razón de amortiguamiento, D, con el nivel de deformación. Se observa que a mayor deformación, el módulo de corte disminuye y la razón de amortiguamiento aumenta. Diferentes suelos tiene diferentes curvas, pero, en general, es posible agruparlos de acuerdo a granulometrías según, arcillas, limos, arenas y gravas.
En el desarrollo matemático anterior se ha considerado que G y D son constantes, pero la evidencia empírica muestra claramente la dependencia de estos
parámetros con el nivel de distorsión angular. Consecuentemente, se ha desarrollado el método lineal equivalente, el cual básicamente consiste en asumir inicialmente valores de G y D, con los cuales se realiza el cálculo. En este cálculo se determina el nivel medio de las distorsiones angulares (usualmente 0.65γ max) y con ésta se re evalúan los parámetros G y D. De haber coincidencia con los valores adoptados se concluye el cálculo. De lo contrario se vuelve a repetir el análisis con los nuevos valores de G y D. Este proceso iterativo se realiza hasta obtener coincidencia de valores de G y D adoptados, con el nivel de distorsión angular resultante.
Fig. 7.- Curvas típicas de módulo de corte y razón de amortiguamiento
La convergencia de este método no está demostrada, pero su uso indica una rápida convergencia.
La mayor bondad del método está en su simpleza y en su razonable poder predictivo. La mayor debilidad está en su incapacidad de predecir deformaciones remanentes.
3.6.- Predicción respuesta sísmica utilizando método lineal equivalente
A continuación se presentan casos simples de respuesta sísmica utilizando el procedimiento descrito anteriormente. Los casos analizados intentan mostrar que existen situaciones no bien cubiertas por los códigos de ingeniería sísmica. En la Fig. 8 se presentan las funciones de transferencia (factor de amplificación) teóricas de dos estratos diferentes de suelo, pero de igual velocidad promedio de ondas de corte en los primeros 30 metros superiores (Vs30). Algunos códigos consideran que esta velocidad promedio es un buen indicador de la respuesta sísmica. Sin embargo, el ejemplo muestra que cuando un estrato de suelo blando está en los últimos metros superficiales, la amplificación es mucho mayor que cuando está cubierto por otro estrato más rígido. También se observa que los periodos fundamentales son muy diferentes dependiendo de la secuencia de los estratos
T=4H/Vs=0.44s
Fig. 8. Depósitos diferentes, pero de idéntico Vs30
Otro ejemplo de interés práctico es cuando se presentan lentes de suelos fino s blandos en profundidad. En la Fig. 9 se ilustra esta situación al introducir un lente de 3m de espesor en un depósito homogéneo. Se observa que el lente de suelo
blando tiene un fuerte impacto en la respuesta, modificando tanto la amplificación como los periodos fundamentales del depósito.
Es posible señalar que lentes de suelos blandos debidamente confinados en profundidad actúan como aisladores naturales y de gran capacidad de disipación de energía.
Fig. 9.- Efecto de lente de suelo blando en profundidad
4.- METODO DE AJUSTE DE CURVAS
4.1.- Regla de Masing
Otra metodología de análisis es mediante el uso de una ley constitutiva tensión-deformación que se aproxime a lo observado experimentalmente bajo cargas cíclicas, implementada con alguna técnica numérica de solución del medio continuo deformable, como por ejemplo, elementos finitos o diferencias finitas. Un método muy usado, por su simplicidad y buen ajuste, para modelar cargas cíclicas es conocido como la regla de Masing. En la Fig. 10 se muestra como se construye un loop de carga y descarga a partir de la curva tensión-deformación virgen utilizando la regla de Masing. En esta metodología basta definir la ecuación para la curva tensión-deformación virgen (carga monotónica creciente) y a partir de ésta, la respuesta cíclica queda establecida. El factor 2 que aparece en la construcción del loop, puede ser modificado y en tal caso se habla de la Regla de Masing generalizada.
Fig. 10.- Regla de Masing
Para modelar una carga monotónica creciente o la relación tensión-deformación virgen, entre muchos otros, existe un procedimiento de ajuste de curva que simplemente trata, mediante una ecuación sencilla, representar lo más fielmente
posible los resultados experimentales que se deseen. El defecto de este método es que las ecuaciones de ajuste carecen de todo significado físico y solo funcionan para la trayectoria de tensiones que se trata de ajustar. Las pricipales ventajas de este procedimiento son la simplicidad y los razonables resultados que se pueden lograr. A modo de ejemplo, a continuación se presentan el modelo hiperbólico de Hardin-Drenevich y el modelo de Ramberg-Osgood, que posiblemente corresponden a los más usados hoy en la práctica.
4.2.- Modelo hiperbólico de Hardin-Drenevich
En este modelo formulado por Hardin et al., (1972), la curva tensión-deformación virgen se define a través de una ecuación de tipo hiperbólico originalmente propuesta por Kondner et al., (1963) y expresada por:
τ=
γ a + bγ
Donde a y b son dos parámetros que permiten ajustar los resultados experimentales. De la ecuación anterior se cumple que para γ muy grande, τ tiende a un valor igual a 1/b.
Físicamente, cuando γ crece, el esfuerzo de corte, τ, tiende a un valor máximo,
τf , correspondiente a la falla del suelo. Consecuentemente, el parámetro b es igual a 1/τf . Por otro lado, la tangente evaluada en el origen es igual a 1/a, y físicamente este valor corresponde al módulo de corte inicial o máximo, Go, implicando que el parámetro a es igual a 1/Go. Luego, la ecuación anterior puede ser re escrita como:
τ=
G0 γ G 1+ 0 γ
τ f
La resistencia al corte, τf , puede ser expresada mediante el criterio de Mohr-Coulomb y el módulo de corte inicial, Go, puede ser evaluado por mediciones de terreno y/o laboratorio y expresado en función de la presión de confinamiento.
Una manera rápida de ver la bondad de este modelo es comparando los valores de G y D que se obtienen experimentalmente con los que arroja este modelo. Para esto primeramente resulta conveniente definir una deformación de referencia, γ r , tal que:
τ f = G o γ r Luego, se obtiene que:
τ=
G0 γ γ 1+ γ r
Luego, es posible obtener la siguiente relación adimensional entre G/Go y γ /γ r :
G G0
=
1 1+
γ a γ r
Por otra parte, cuando se utiliza la regla de Masing es fácil demostrar que la razón de amortiguamiento, D, queda definida por la siguiente expresión:
2 2 ∫ 0 a f( γ )dγ γ
D =
π
f( γ a )γ a
- 1
Aplicando esta ecuación al modelo hiperbólico se obtiene que:
γ a 2 4 1 1 D = 1+ 1ln(1+ ) γ r π π γ a γ a γ r γ r Despejando el término γ a/γ r de la ecuación de G/Go y reemplazandolo en esta última, se obtiene la relación entre D y G/Go que representa este modelo y que está expresada por:
G 4 1 1 2 Go D = 1ln( ) G G G π π 11G o G0 G 0
Esta relación ha sido contrastada con resultados experimentales por Ishihara (1982) y se muestra en la Fig. 11. Se observa que la relación obtenida a partir del modelo se aleja bastante de los resultados experimentales para G/Go menores a 0.2. Esto indica que para un nivel de deformación importante este modelo no trabaja muy bien. Mientras que para G/Go mayores a 0.4 la relación obtenida se ajusta muy bien a los datos experimentales.
Fig. 11.- Predicción con Masing y modelo hiperbólico
4.3.- Modelo de Ramberg-Osgood
En este caso la curva tensión-deformación virgen o bajo carga monotónica se aproxima por la ecuacion:
τ γ τ 1+ α = γ y τ y τ y
r -1
Este modelo tiene tres parámetros independientes que permiten el ajuste de los datos experimentales. De esta ecuación se obtiene la siguiente expresión de G/Go para un nivel máximo de deformación, γ a.
G Go
=
1 r-1
G γ a 1+ α G o γ r
Por otro lado, al utilizar la regla de Masing con este modelo se obtiene la siguiente expresión para la razón de amortiguamiento.
r -1
G γ a G o γ 2 r-1 r D = α π r+1 G γ a r-1 1+ α G 0 γ r Una verificación de este modelo con resultados de ensayos de laboratorio ha sido presentada por Ishihara (1982). Los resultados se muestran en las Fig. 12, donde se observa que, en general, este modelo proporciona resultados satisfactorios. Sin embargo, para niveles de deformación mayores a 10-4 la razón de amortiguamiento es sobrestimada por este modelo.
Fig. 12.- Predicción con Masing y modelo Ramberg-Osgood
La utilización de estos modelos en problemas de respuesta sísmica de estructuras de suelo, como presas de tierra, ha mostrado un apropiado resultado y que además, a diferencia del método lineal equivalente, permite estimar deformaciones permanentes.
Es importante señalar que los métodos explicados en estas breves notas son simplificados y en este sentido siempre requieren de ajustes y de buen criterio ingenieril.
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