ANALISA STRUKTUR BANGUNAN LEPAS PANTAI Oleh Ir. Murdjito, MSc.Eng.
1. PENDAHULUAN
Struktur anjungan lepas pantai yang sering dijumpai (khususnya di Indonesia) adalah dalam bentuk anjungan template (jacket). Jenis struktur ini tersusun dari substruktur rangka baja (disebut jacket) dan geladak (deck) yang sudah difabr difabrika ikasi si di darat. darat. Jacket Jacket ditran ditranspo sporta rtasik sikan an ke lokasi lokasi lepas lepas pantai pantai lalu lalu ditegakkan dan dipancang dengan pile melalui kaki-kaki berongganya hingga dasar laut. Setelah itu geladak dipasang di atasnya.
Tujuan Analisis Struktural terhadap BLP adalah: Membuktikan bahwa struktur tersebut (sebagaimana dirancang dan diinstal) mampu menahan beban operasional maupun lingkungan selama masa umur rancangannya.
Secara Secara garis garis besar, besar, tiga tiga kompon komponen en utama utama dari dari strukt struktur ur BLP jenis jenis jacket
(template) adalah geladak (deck), template (jacket) dan pondasi (gambar 1.1). Diman imana a
masi masin ng-ma g-mas sing ing
terd terdir irii
dari
subkom bkomp ponen nen-su -subkom bkomp ponen nen.
Subkomponen dari struktur geladak adalah (1) Skid beams, (2) Deck plating,
(3) Deck beams, (4) Deck legs, (5) Longitudinal trusses dan (6) Wind girders atau trusses. trusses. Sedangka Sedangkan n subkompo subkomponen nen dari jacket melipu meliputi ti (1) legs, legs, (2) horizontal and vertical bracing, (3) conductor bracing, (4) launch runner, (5) launc launch h trusse trusses s dan dan (6) detail detail elemen elementt (boat (boat landin landings, gs, barge barge bumper bumpers s & waIkways waIkways Sementara Sementara itu subkompo subkomponen nen dari pondasi adalah adalah (1) skirt skirt pile pile sleeves, (2) skirt pile bracing dan (3) piles.
Dalam Dalam mengan menganali alisis sis strukt struktur ur anjung anjungan an lepas lepas panta pantaii (jenis (jenis jacket jacket)) untuk untuk menentuka menentukan n kemampua kemampuannva nnva dalam menahan menahan kondisi kondisi lingkunga lingkungan n tertentu tertentu maka
harus
ditentukan
beban,
Iin Iingkungan
maksimu imumnva
yang
dikombinasikan dengan beban operasionalnya untuk menentukan beban total 1
maksimum yang bekerja pada struktur. Jika efek dinamis diabaikan, maka dengan memakai Metode Elemen Hingga dapat dihitung tegangan-tegangan maksimum yang terjadi pada tiap-tiap member dan struktur. Jika ukuran dan member ditentukan dengan cukup tepat, maka tegangan yang terjadi akan berada dalam rentang yang masih dapat diterima, sehingga dapat menghindari kegagalan.
Gambar 1.1. Elemen-elemen dari struktur anjungan jenis jacket (template)
2
Untu Untuk k
mela melaku kuk kan anal analis isis is tega tegang ngan an ters terseb ebut ut bias biasan anya ya cuku cukup p
hany hanya a
mempertimbangkan dua kasus yaitu arah gerak gelombang dianggap searah dengan tiap sumbu horizontal utama dari struktur dan menganalisis frame secara dua dimensional (lihat gambar 2). Namun demikian bila diinginkan hasil analisis yang lebih akurat, harus digunakan analisis struktur secara tiga dimensi dimana kita bisa mengasumsikan berbagai macam arah gelombang. Dala Dalam m pros proses es anal analis isis is diat diatas as,, perl perlu u dipe diperti rtimb mban angk gkan an tent tentan ang g masa masala lah h intera interaksi ksi strukt struktur ur dengan dengan pile pile penduk pendukung ungnya nya.. Hal ini sangat sangatlah lah pentin penting g khususnya untuk kondisi tanah yang lunak, karena defleksi dan rotasi yang besar dapat terjadi pada garis-tanah (ground-line). Seperti diilustrasikan pada gamba gambarr 1.2, 1.2, efek efek ini dapat dapat dimode dimodelka lkan n dengan dengan mengas mengasums umsika ikan n terdap terdapat at penambahan panjang pile ekivalen yang terjepit di dasarnya serta memiliki keku kekuat atan an tert terten entu tu pada pada leve levell gari gariss-ta tana nah h yang yang memp mempre rese sent ntas asik ikan an pile pile sesungguhnya sesungguhnya yang tertanam dalam tanah.
Gambar 1.2. Frame-rancang untuk analisis struktur
3
Setelah
menentukan ukuran struktur yang mampu
menahan
beban
lingkungan dimana struktur akan ditempatkan, tahap selanjutnya adalah menganalisis struktur, apakah dengan ukuran tersebut struktur masih mampu menahan
beban-beban yang terjadi selama proses transportasi dan
instalasinya ke lokasi akhir operasinya. Sebagaimana diketahui bahwa struktur jacket dibuat di darat lalu dinaikkan di atas tongkang secara horizontal untuk ditarik menuju lokasinya di lepas pantai dan akhirnya diluncurkan ke dalam air lalu ditegakkan. Dari berbagai jenis pembebanan yang dialami struktur selama proses tersebut, terdapat dua kondisi yang sangat penting yaitu (i) pengangkatan struktur ke atas tongkang dan (ii) peluncuran jacket dari tongkang. Untuk beban pengangkatan, struktur harus dianalisis sesuai dengan cara pengangkatan yang sudah direncanakan (gambar l.3.a). Sementara itu, untuk peluncuran, struktur harus dianalisis pada kondisi tertumpu pada saat proses peluncuran berlangsung dari tongkang. Suatu kondisi yang berbahaya biasanya terjadi pada saat struktur bergerak meluncur dari atas tongkang tepat pada posisi ketika keseluruhan struktur hanya ditumpu oleh sebuah pivot tunggal (gambar I 3b). Dalam kedua proses di atas. beban struktural yang timbul tentunya adalah dari berat struktur tersebut yang dengan melalui metode analisis struktur, tegangan pada tiap member dapat dihitung.
Gambar 1.3. Konfigurasi pembebanan selama (a) pengangkatan dan (b) peluncuran jacket.
4
Jika selama proses instalasi timbul tegangan pada elemen-elemen tertentu yang sudah di luar batas tegangan yang diijinkan, maka ukuran elemenelemen tersebut harus diperbesar dan dianalisis ulang untuk menjamin keamanannya terhadap beban yang terjadi ini. Setelah ukuran dirubah, maka harus dianalisis lagi apakah masih kuat dalam menahan beban lingkungan, karena dengan bertambahnya dimensi elemen-elemen maka pada gilirannya akan memperbesar beban lingkungan yang terjadi pada struktur. 2. BENDING-STRESS AMPLIFICATETION Pada kondisi yang sesungguhnya, suatu anjungan lepas pantai akan terkena beban-beban aksial dan bending secara bersamaan sehingga ada efek pembesaran (amplification effect) tegangan akibat interaksi keduanya. Hal ini dapat diilustrasikan pada gambar 2.1. Terlihat bahwa momen internal pada suatu potongan member akan tergantung pada beban aksial dan besar defleksi dari member tersebut. Dengan demikian diperlukan suatu koreksi yang tepat terhadap hal ini.
Gambar 2.1. Momen hertambah akibat beban aksial
5
Di dalam matrix structural teory atau MEH perumusan untuk balok lentur (beam bending) belum mempertimbangkan interaksi ini. Untuk kondisi aksial tarik, maka efeknya akan mengurangi tegangan akibat lentur murni, sementara itu jika terdapat beban aksial tekan, maka efeknya adalah sebaliknya
yaitu
memperbesar
tegangan
akibat
lentur
murninya.
Pengurangan tegangan lentur akibat beban aksial tarik bisa diabaikan dengan cukup aman tetapi tegangan tambahan akibat kondisi beban aksial tekan tidak dapat diabaikan. Dari mekanika teknik, penambahan m dapat diperkirakan dengan suatu faktor pembesaran α ≥ 1 yang didefinisikan sbb : α
Cm
=
1+
σ a σ e
dimana :
σ a
= tegangan aksial (tekan bernilai negatif)
σ e
= tegangan buckling member
Cm = koefisien (tergantung pada pembebanan) berkisar 0,4
-1,0. Untuk nilai Cm = 1 dapatkan hasil yang konservatif.
Perhitungan tegangan buckling untuk member dalam kondisi ditumpu kaku/jepit (fixed) akan lebih sulit. Formula umum untuk tegangan buckling suatu member dapat dinyatakan dengan : σ e
=
π
2
E
( KL / r ) 2
Dimana :
E = modulus Young U = panjang member r = jari-jari girasi penampang melintang dari member K = factor panjang efektif (fungsi dari kondisi ujung member).
Nilai dari K untuk beberapa kondisi ujung dapat dilihat dalam table 3.1 berikut:
6
Tabel 2.1. Faktor panjang efektif
Untuk member-member dengan kedua ujung yang terhalang geraknya dengan cukup signifikan dalam arah lateral akibat adanya bracing, seperti member 2-3 pada gambar 3.2.a, maka nilai K-nya adalah antara 0,5 (kasus a) – 1,0 (kasus b), tergantung pada “derajad terhalang”nya yangt ada. Untuk tujuan praktis, nilai K bisa diambil satu sehingga hasilnya akan konservatif.
Gambar 2.2. Kondisi tumpuan member.
7
Sementara itu, jika gerak lateralnya bertahan tidak cukup signifikan, seperti member 2-3 pada gambar 2.2, maka maka nilai K-nya didapat dalam table adalah antara 1,0 (kasus c) - tak hingga (kasus g), tergantung pada “derajat keterhalangannya”.
Cara lain untuk menentukan nilai K adalah dengan suatu metode pendekatan berdasarkan pada nomograph yang dibuat oleh McGuire (1968) seperti pada gambar.3 berikut. Metode ini didasarkan pada asumsi bahwa membermember utama yang berbeban kompresi, seperti member 2-3 pada gambar 5 semuanya memiliki luas penampang yang sama serta mendapat beban kompresi yang sama dan semua member lain yang terhubung pada nodal tersebut memiliki penampang yang sama. Dengan asumsi ini. maka nilai K pada tiap-tiap ujung nodal dari member berbeban kompresi hanya akan bergantung pada nilai, G=
∑ I / L ∑ I / L c
c
b
b
I c
Dimana :
= momen inersia penampang dari elemen kompresi utama
yang terhubung pada nodal. Lc
= panjang da elemen kompresi utama yang terhubung pada
nodal. I b
dan
Lb
= besar kuantitas seperti di atas yang terkait dengan member
lainnya yang terhubung pada nodal tersebut.
8
Gambar 2.3. Nomograph untuk menentukan faktor panjang efektif member
Dengan nilai G yang terkait untuk masing-masing ujung, nilai K yang tepat dapat ditentukan dari chart dengan cara menarik garis lurus antara dua nilai. Untuk tumpuan pondasi, dimana ujung member ditahan rotasinya, nilai G-nya nol; jika bebas berotasi maka nilai G = tak hingga. Setelah nilai K yang tepat ditentukan untuk suatu member yang mendapat tegangan aksial tekan dan lentur (bending), maka faktor pembesaran
α
dapat dihitung dan selanjutnya tegangan lentur dikoreksi dengan cara mengalikan dengan faktor ini.
9
3. CINCIN PENEGAR PADA ELEMEN TUBULAR Bahwasanya, elemen kritis dalam perancangan member yang mendapat beban tekanan luar netto adalah tegangan buckling tangensial (hoop buckling stress). Jika tegangan tangensial akibat tekanan yang terjadi Iebih besar, maka diperlukan penguat pada member yang berupa beberapa cincin penegar (ring stiffner) yang dipasang melingkar dengan jarak tertentu sepanjang panjang dari member (lihat gambar 7).
Gambar 3.1. Cincin penguat untuk penguatan arah radial
Penambahan tegangan buckling tangensial dengan adanya cincin penguat ini tergantung pada ketebalan dinding t, jari-jari member a
dan jarak
pemasangan cincin L sepanjang member. Dari mekanika teknik, tegangan buckling tangensial
σθ c ,
tergantung hanva pada rasio t / a dan parameter
yang didefinisikan dengan : β =
L
a
a
t
Gambar 4.2 berikut memberikan nilai dan yang dapat diterima untuk berbagai nilai rasio t / a dan
. Selain menggunakan grafik ini, untuk tujuan
perancangan bisa digunakan formula yang lebih presisi dari American Petroleum Institute (API, I993) Perancangan cincinnya bisa didasarkan pada beban buckling kritis (critical buckling load) per satuan circumference q yang dinyatakan dengan:
10
q=
3 EI R
2
dimana :
E = modulus young material cincin penguat
R = jari-jari centerline dari cincin penguat I = momen inersia penampang melintang cincin penguat.
Gambar 3.2. Tegangan buckling tangensial untuk member berpenguat cincin melingkar Sebagai fungsi dari d dan w dari cincin (seperti pada gambar), maka dapat dinyatakan hubungan sbb : R = a +
1 1 dw3 w , I = 2 12
Jika beban tekanan pada member bekerja di daerah antar cincin yang berdekatan diasumsikan sepenuhnya bekerja pada cincin, maka q
PL ,
=
11
dimana P menyatakan beban tekanan eksternal netto. Jika diambil P adalah 1,5 kali dari tekanan buckling kritis dan shell, maka dapat dinyatakan:
P = 1.5σ θ c
t a
sehingga persamaan sebelunya bisa dinyatakan sebagai
I =
tLR 3
2 aE
σ θ c
yaitu sebagai nilai minimum dari I yang masih dapat diterima dalam perancangan cincin penguat.
4.
KRITERIA
TEGANGAN
DESAIN
UNTUK
ELEMEN
BAJA
Material yang digunakan untuk membangun struktur anjungan lepas pantai biasanya rnenggunakan baja struktur pada umumnya, Kurva teganganregangan untuk jenis baja ini ditunjukkan path gambar 4.1. Nilai tegangan luluhnya ± 40 kips/in2 dan tegangan maksimumnya sekitar 60 kips/in 2.
Selama tegangan yang terjadi pada member tidak melebihi tegangan luluh materialnya, maka penilakunya adalah elastis yaitu jika tegangan dihilangkan maka regangan juga akan menghilang. Tujuan utama dan aktivitas perancangan adalah memilih ukuran member yang tepat yang dapat menjamin bahwa kondisi ini selalu sesuai dengan tingkat beban-rancangnya.
Tujuan utama dari aktivitas perancangan: • Memilih ukuran member yang tepat yang dapat menjamin bahwa kondisi ini selalu sesuai dengan tingkat beban-rancangnya
12
Gambar 4.1. Kurva tegangan-regangan baja konstruksi BLP
Dalam kenyataannya, digunakanlah suatu faktor keamanan tertentu untuk mendapatkan suatu tegangan ijin (tegangan luluh dibagi dengan faktor keamanan) dan dipilih ukuran member sedemikian hingga dapat menjamin bahwa tegangan ijin ini tidak akan pernah melampaui beban rancangnya.
Tegangan kerja untuk tegangan longitudinal
σ Z
dan tegangan tangensial
σ θ
pada member suatu struktur anjungan lepas pantai dapat ditentukan dengan kriteria tegangan geser maksimum untuk tegangan kombinasi. Untuk lebih lengkapnya bisa dilihat dalam API 1993 (Lampiran). Tegangan longitudinal pada umumnya dihasilkan dan kontribusi beban tekanan dan respon frame dalam kondisi storm. Sedangkan tegangan tangensial timbul semata-mata akibat beban tekanan.
Jika tegangan longitudinal total adalah merupakan gabungan dari tegangan aksial uniform
σ a
dan tegangan lentur
maksimum diperoleh kondisi rancang untuk σ θ
σ b
σ Z
, maka dan kriteria geser > 0,
σ θ
< 0 (atau
σ Z
< 0,
> 0 ) sbb.:
13
σ a
S a
+
σ b
S b
−
dan untuk
σ a
S a
+
σ b
S b
σ θ
≤1
S θ
σ Z
≤ 1,
dimana : S a ,
< 0,
σ θ
σ θ <
0 (atau
σ Z
> 0,
σ θ >
0 ) kondisinya adalah:
≤1
S θ S b
dan S θ berturut-turut adalah nilai tegangan ijin terkait untuk
aksial, lentur dan tegangan tengensial jika bekerja secara sendiri-sendiri.
Tegangan buckling longitudinal lokal secara pendekatan dapat dinyatakan sebagai:
σ zc
= 0.3 E
t a
dimana:
E
= modulus Young material
t
= ketebalan dinding member
a
= jari-jari member
Secara sama, untuk member yang tidak memiliki penguat circumferensial, tegangan buckling tangensialnya, untuk daerah yang jauh dan ujung tumpuannya secara pendekatan dapat dinyatakan dengan:
2
σ θ c
t = 0.22 E a
Untuk tegangan
σ z
dan
σ θ
positif (tarik). maka buckling tidak mungkin
terjadi dan tegangan ijin S a , S
b
tegangan luluh
σ θ
dan S θ ditimbulkan sepenuhnya oleh
dari material, Umumnya hal ini diberikan dalam, dengan
faktor keamanan yang tepat, bentuk sbb:
14
S a
= 0.6σ y , S b = 0.67σ y , dan
Jika
σ z
atau
σ θ adalah
S θ
= 0.5σ y
tekan,
tegangan
ijin
yang
terkait
harus
mempertimbangkan kemungkinan terjadi buckling. Beberapa nilai disajikan dalam tabel 4.1. lJntuk σ zc E = 0.010 dan
σ θ c σ y
, maka hal ini akan sama
dengan persamaan di atas.
Tabel 4.1. Tegangan ijin
Nilai tegangan ijin S a ,
S b
dan S θ di atas diberikan untuk kasus dimana
tegangan akibat beban Iingkungan rancangnya tidak diperhitungkan. Jika tegangan longitudinal dan respon frame akibat beban Iingkungan dimasukkan bersama dengan tegangan tangensial tambahan yang timbul dan tekanan air akibat gelombang, maka nilai tegangan ijin akan dinaikkan 1/3 untuk mencapai hasil rancangan yang cukup konservatif.
15
5. TEGANGAN PADA STRUKTUR BAJA AKIBAT TEKANAN
Tekanan fluida kesegala arah pada member tubular silindris dan elemen anjungan lepas pantai yang di dalamnya tidak terisi air dapat menirnbulkan tegangan. Beban ini berasal dan tekanan hidrostatik dalam air atau dari kombinasi tekanan
S a
dengan tekanan yang ditimbulkan oleh aksi
gelombang (tekanan hidrodinamik).
5.1 Silinder Bebas
• Tekanan yang dialami silinder bebas adalah lekanan hidrostatik dan tekanan gelombang • Tekanan hidrostatik : menupakan tekanan netto path silinder
P = P0 - Pi
dimana, Po
= tekanan eksternal
Pi
= tekanan internal
a
= jari-jari lingkaran dalam
t
= ketebalan silinder
L
= panjang silinder
Gambar 5.1. Beban tekan pada silinder panjang
16
Diagram bebas penampang silinder merupakan keseimbangan
gaya vertikal
L π
− 2 F θ − ∫∫ P (a + t ) sin θ d θ dz = 0 0 0
Untuk silinder tipis dimana t/a<<1, maka:
F θ
= − LaP
Jika Pers di atas ini dibagi dengan Lt maka akan didapatkan
tegangan tangensial (hoop stress):
σ a
= − aP t
Disamping hoop stress, pada silinder timbul tegangan aksial
uniform yang merupakan akibat dari beban tekanan pada ujung-ujung silinder: at 2 yang terdistribusi pada pada luasan: 2π P πa
σ Z
2
− Pa
2π at
2t
= − π a P =
Hubungan tegangan regangan
e Z
=
eθ
=
1
(σ Z
− υσ
(σ θ
− υσ Z )
E
1 E
θ
)
dimana, e z
= perubahan panjang per unit panjang semula pada arah – z
17
eθ
= perubahan panjang per unit panjang semula pada arah
tangensial
e z
= ∆ L
eθ
=
L
2π (a + u ) − 2π a 2π a
=
u a
dimana,
∆ L
= perubahan panjang pada arah – z
u
= perubahan panjang pada arah tangensial
Kombinasi persamaan di atas didapatkan :
∆ L = −
u
=
Pa Et
PaL 1 Et
2
− υ 2
υ 1 − 2
6. KONSEP TEGANGAN STRUKTUR JACKET 6.1 Teori Pemodelan Struktur 6.1.1 Pemodelan Secara Umum
Model suatu struktur merupakan kunci utama dalam suatu analisis, tanpa adanya model tidak akan terjadi proses suatu analisis. Model bisa berupa fisik, matematis, dan grafik. Model dapat digunakan untuk menerangkan desain atau rancangan. Model harus mampu mendemonstrasikan suitability, workability dan constructability dari konsep. Model dapat diklasifikasikan menjadi dua kategori utama yaitu display model dan engineering model . Dalam tugas akhir ini akan menggunakan model matematis sebagai dasar analisis. Model matematis merupakan suatu model yang dapat
18
mendeskripsikan dimensi dan karakteristik dari
prototipe kedalam formulasi
matematis. Model harus bisa memenuhi prinsip kesamaan yang mencakup (Chakrabarti S.K.,1994): 1. Kesamaan Geometrik
Kesamaan geometrik dapat dipenuhi apabila model dan protipe memiliki kesamaan geometrik baik ukuran maupun bentuk. Ada dua macam prinsip kesamaan geometrik:
Kesamaan geometrik sempurna (Undistorted )
Kesamaan geometrik terdistorsi (distorted )
Pada undistorted model , skala panjang dan lebar (horisontal) serta skala tinggi (vertikal) adalah sama. Untuk distorted model , skala ke arah horisontal dan ke arah vertikal tidak sama. Apabila dimungkinkan model dibuat dengan tanpa distorsi, sedangkan pada permasalahan khusus model dapat dilakukan dengan distorsi namun harus memenuhi beberapa persyaratan tertentu. 2. Kesamaan Kinematis
Sebangun kinematik terjadi antara prototipe dan model jika prototipe dan model sebangun geometrik dan perbandingan kecepatan dan percepatan di dua titik yang bersangkutan pada prototipe dan model pada arah yang sama adalah sama besar 3. Kesamaan Dinamis
Jika prototipe dan model sebangun geometrik dan kinematik, serta perbandingan gaya-gaya yang bersangkutan pada model dan prototipe untuk seluruh aliran pada arah yang sama adalah sama besar, maka dapat dikatakan bahwa keduanya sebangun dinamik. 6.1.2
Pemodelan Struktur Jacket
Dalam pemodelan struktur anjungan lepas pantai dapat dilakukan dengan dua pendekatan, yakni : pemodelan global atau stick model dan pemodelan struktur lokal atau detailed model .
Stick model merupakan pemodelan struktur dengan pendekatan lumped mass method atau discret element method dengan menerapkan prinsip equivalent model dengan kondisi struktur sebenarnya. Metode ini merupakan penyederhanaan struktur dalam
19
bentuk struktur global untuk menangkap respons struktur berupa gaya tumpuan dan perpindahan, sehingga pemodelan ini dapat dilakukan dengan cepat dan tanpa menuntut tersedianya fasilitas komputer yang cukup canggih.
Detailed model menggunakan pendekatan metode elemen hingga atau finite element method yang merupakan suatu metode pemodelan dan analisa struktur yang lebih komplek dan detail. Model dari jacket digambarkan dalam bentuk 3 dimensi yang terdiri dari chord dan brace. Metode ini menjadikan bentuk fisik model struktur sebagai suatu sistem linier yang berkesinambungan dengan jalan membagi bentuk fisik struktur menjadi kelompok elemen yang lebih kecil. Elemen–elemen ini dihubungkan dengan simpul–simpul (nodes) sehingga mejadi suatu sistem yang kontinyu. Sebagai acuan perhitungan dalam metode elemen hingga biasanya adalah displacement method , yaitu perpindahan dari dari simpul–simpul yang dianalisa dinyatakan sebagai parameter yang belum diketahui. Model juga harus memenuhi kriteria yang meliputi (murdjito,1997) : •
Model harus mampu memberikan hasil respon yang andal sehubungan dengan parameter-parameter perancangan, seperti perpindahan horizontal geladak, kelenturan kaki dan lain-lain.
•
Model harus mampu memberikan gambaran yang jelas tentang peranan parameter-parameter perancangannya, baik untuk sistem yang linier maupun sistem yang tidak linier.
•
6.2
Model harus fleksibel terhadap berbagai jenis anlisis.
Metode Analisa Struktur
Ada dua metode analisa yang bisa digunakan dalam perancangan struktur, yaitu : 1. Metode analisa deterministik, dan 2. Metode analisa stochastik. Kedua metode ini mempunyai perbedaan yang mendasar (tabel 1.)
Tabel6. 1. Perbedaan metode analisa deterministik dan stochastic (murdjito,1997)
Metode analisa Deterministik Cukup menggunakan Teori Gelombang
Metode analisa Stochastik Menggunakan Teori Gelombang Non
Linier
Linier
20
Pengaruh yang tidak linier dinyatakan
Parameter-parameter
tidak
linier
dalam Damping Amplification Factor dapat disimulasikan dalam model (DAF) Tidak kondisi
mampu
matematis mempresentasikan Model matematis
gelombang
laut
yang
sehingga
sangat
membutuhkan
rumit fasilitas
sebenarnya komputer yang memadai Pengaruh parameter-parameter lainnya tidak
dapat
perhitungan terhadap
dimasukkan padahal
respon
dalam
pengaruhnya
struktur
mungkin
cukup berarti 6.3
Prosedur Perhitungan Lendutan pada Struktur
Pada prinsipnya metode elemen hingga memperlakukan suatu sistem sebagai gabungan dari elemen-elemen kecil yang digabungkan satu sama lain oleh titik-titik yang disebut joint/node. Fungsi yang sederhana umumnya dipilih untuk mendekati distribusi atau variasi lendutan yang sesungguhnya pada tiap elemen tersebut. Fungsi harus memenuhi syarat-syarat tertentu itu disebut dengan displacement function atau displacemen model. Hasil yang diinginkan seperti besar lendutan, dihitung pada joint, sehingga hasil akhir yang diperoleh adalah harga pendekatan dari lendutan pada lokasi-lokasi diskrit dari sistem yang diselidiki, yaitu pada nodes-point -nya tersebut.
Untuk fungsi displacement - nya, biasa dipilih fungsi polinomial atau fungsi trigonometri, atau juga beberapa fungsi sederhana yang lainnya. Umumnya digunakan polinomial karena fungsi ini mudah dimanipulasi secara matematis. •
Pendiskritan Sistem yang Dianalisis
Ini adalah proses dimana sistem yang dianalisis dibagi menjadi bagian-bagian kecil. Beberapa usaha telah dilakukan untuk membagi elemen-elemen ini secara otomatis, akan tetapi banyak hal tergantung kecakapan individu yang melakukan analisis, termasuk misalnya menentukan model apa yang akan digunakan sebagai elemennya dan berapa jumlah serta dimensinya yang dianggap memenuhi syarat untuk suatu masalah tertentu.
21
Pendiskritan ini merupakan tahap yang penting, karena dalam praktek suatu sistem umumnya sangat kompleks dan besar, sehingga untuk keperluan analisis dengan metode elemen hingga hanya bagian-bagian tertentu yang dianggap perlu saja yang diselidiki.
Struktur jacket yang terdiri dari chord dan brace adalah suatu sistem yang terdiri dari banyak elemen space frame. Elemen space frame sebenarnya adalah gabungan dari dua macam elemen, yaitu elemen truss dan beam dalam koordinat global tiga dimensi. Pengasumsian ini didasarkan pada pembebanan dan lendutan yang akan terjadi pada elemen space frame. Elemen truss adalah elemen yang akan mengalami pembebanan dan lendutan pada arah aksial (pada arah sumbu elemen) sedang elemen beam akan mengalami pembebanan, lendutan dan momen ke arah lateral. Elemen chord dan brace pada struktur jacket akan mengalami pembebanan dari segala arah (aksial dan lateral) dalam ruang sehingga elemen chord dan brace tersebut akan mengalami lendutan dan momen ke segala arah pula. Jadi pendekatan model elemen yang paling baik untuk elemen chord dan brace ini adalah gabungan elemen truss dan beam dalam koordinat global 3 dimensi atau space frame.
•
Menentukan Tegangan dan Regangan Elemen
Untuk masalah analisis tegangan struktur, besaran penting yang kedua adalah tegangan dan regangan. Tegangan dan regangan struktur dapat diperoleh karena besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan secara langsung sebagai fungsi dari displasmen yang sudah diperoleh dalam langkah selanjutnya.
6.4 Konsep Tegangan 6.4.1
Tegangan Normal
Tegangan normal dapat diakibatkan dua hal yaitu yang disebabkan oleh gaya aksial dan lenturan. •
Disebabkan oleh gaya aksial σ
= p
A
dimana : A = luas penampang lintang (m 2) P = gaya tarik (N) 22
Pada gambar 2.13 batang mengalami pembebanan aksial akibat gaya tarik P. Akibat ini, batang akan mengalami tegangan aksial sebesar (Popov,1993) :
Gambar 6.2 Pembebanan aksial pada batang tubular (sumber : F.L. Matthew dan R..D. Rawling)
•
Disebabkan oleh lenturan, ada 2 kondisi lenturan yaitu :
Pada batang lurus
Pada lengkung simetris
My σ = − I σ
=
My Ae( R − y )
• Disebabkan oleh momen lentur murni.
Sebagai akibat gaya aksial, tegangan aksia dapat diakibatkan juga oleh momen lentur murni akibat kopel M yang terjadi di setiap ujungnya gambar 4. Tegangan yang terjadi akibat momen ini dikenal sebagai bending stress atau tegangan lentur.
Gambar 6.3. Pembebanan momen kopel pada batang tubular (Popov, 1993)
Dimana : X = jarak dari sumbu netral ke sembarang titik disepanjang L pada penampang (gambar 4). Iz = momen inersia bidang penampang melintang terhadap sumbu z
6.4.2
Tegangan Geser
Tegangan geser disebabkan oleh dua jenis yaitu, tegangan geser yang disebabkan oleh puntiran dan gaya geser dalam balok. •
Disebabkan oleh puntiran 23
•
ο Poros melingkar
τ =
ο Poros siku empat
τ
ο Tabung dinding tipis tertutup
τ =
=
T ρ Ip
T abc
2
T
2 At
Disebabkan oleh gaya geser dalam balok
τ =
VQ It
Batang penampang bulat juga akan mengalami tegangan geser walau besarnya tidak begitu bervariasi. Penyebab paling besar terjadinya tegangan geser pada elemen penampang bulat seperti kaki dan bracing pada jacket adalah momen puntiran aksial. Pada gambar 6.4 tampak batang silinder mengalami pembebanan puntiran pada kedua ujungnya.
Gambar 6.4. Gaya puntiran pada batang silinder (sumber : popov,1993)
Tegangan maksimum yang akan terjadi pada permukaan luar batang dapat dihitung dengan rumus : σ=
dimana :
Nilai
T R
.
J
J
= momen inersia kutub
T
= momen torsi terkonsentrasi
R
= jari-jari penampang batang π
J: J= J=
2
π
2
( Ro4
( R 4 )
− R14 ) Untuk circular ring Untuk round bar
Tegangan yang bekerja pada penampang lintang lingkaran dan R adalah jari-jari penampang batang. Tegangan geser yang bekerja pada penampang melintang
24
lingkaran selalu berarah tegak lurus jari-jari dan mempunyai arah yang sama dengan momen puntir. 6.4.3
Kriteria Tegangan Ijin
Bagian struktur yang menerima beban kompresi dan beban tekuk harus memenuhi kriteria kekuatan dan kriteria stabilitas. Apabila total tegangan pada setiap bagian konstruksi melebihi tegangan ijin maka kegagalan dari struktur akan terjadi. Tegangan ijin untuk member silinder (API RP2A WSD, 21 stedition): 1. Tegangan tarik
Tegangan tarik ijin Ft, dirumuskan : Ft = 0,6 Fy Dimana : Fy adalah tegangan yield, ksi (MPa) 2. Tegangan tekan Buckling pada kolom
Tegangan tekan yang diijinkan adalah Fa. Untuk D/t
Fa = Fa =
≤ 60 (kL / r ) 2 1 − 2Cc 2 Fy 5 3
Fa = Fa
=
+
3(kL / r ) 8Cc
12π 2 E 23(kL / r ) 2
−
(kL / r )
, untuk kL / r < Cc , untuk kL/r < Cc
8Cc 3
, untuk kL / r ≥ Cc , untuk kL/r
≥ Cc
dimana :
2π 2 E Cc = Cc = Fy
0,5
E = modulus elastisitas, ksi (MPa) K = faktor panjang efektif ( L = Panjang bebas member r = jari-jari girasi Untuk member dengan D/t > 60 dengan menggunakan local buckling Local buckling
a. Local buckling elastic Fxe = 2 Cet/D
25
dimana : C = koefisien tegangan kritis buckling D = diameter luar T = ketebalan pipa secara teoritis harga C adalah 0,6 b. Local buckling inelastic Fxc = Fy 1,64 − 0, 23( D / t )
1/ 4
≤ Fxe
(2.43) Fxc = Fy , untuk (D/t)
≤ 60
3. Tegangan Tekuk
Tegangan bending ijin, Fb dinyatakan : Fb = 0,75 Fy , untuk D/t
≤1500/Fy
(2.45)
D 10340 ≤ , dalamsatua nSI Fy t
Fb = 0,84 −1,74
1500 FyD Fy , untuk Fy Et
<
D
<
D
t
≤ 3000 Fy
10340 < D ≤ 20680 , dalamsatuanSI t Fy Fy
Fb = 0,72 − 0,58
3000 FyD Fy , untuk Fy Et
t
≤ 300
4. Tegangan Geser
Untuk bagian tubular, besarnya tegangan geser maksimum adalah: ƒ
y
dimana:
= f y
=
V 0,5 A
f = tegangan geser maksimum, ksi (MPa) y
V = tegangan geser transversal, kips (MN) A = luasan melintang, in 2 (m 2 ) Sedangkan tegangan geser pada beam yang diijinkan adalah: ƒ
y
= 0,4 Fy
5. Tegangan Majemuk Tekan dan Tekuk Untuk Batang Silinder
26
Tegangan gabungan untuk member silindris dipengaruhi oleh gabungan antara kompresi dan fleksur secara proporsional harus memenuhi persyaratan berkut (API RP 2A WSD,2002) : fa
0,6 Fy
+
fxb 2
+ fby 2
Fb
≤ 1 .0
(2.50) Apabila fa Fa
+
fa ≤ 0,15 , maka digunakan Fa fbx 2
+ fby 2
Fb
≤ 1 .0
dimana : Fa = tegangan aksial yang diijinkan f a = tegangan aksial F b = tegangan bending yang diijinkan f b = tegangan bending Cm = faktor reduksi
6.5
Kriteria Kekuatan
6.5.1
Konsep Analisa Inelastis/Nonlinear
Analisis inelastis global dilakukan untuk mengetahui apakah platform memiliki cukup kekuatan dan stabilitas untuk tetap menahan kriteria pembebanan dengan overstress lokal dan kerusakan ijin, namum tanpa keruntuhan. Pada level analisa ini, tegangan telah melampui level elastis dan pemodelan overstress members, joints dan pondasi harus mengenali kapasitas ultimate/batas atau juga prilaku post bukling daripada batas pembebanan elastis (API RP 2A~WSD,21 stedition). Metoda analisis yang lebih spesifik tergantung pada tipe pembebanan lingkungan ekstrim yang diterima struktur dan tujuan yang diharapkan dari analisa. Metoda pushover dan time domain adalah metoda yang biasa digunakan untuk analisa inelastis global. Harus dicatat bahwa batasan kerusakan struktur dapat diterima atau tidak sesuai dengan semakin kerasnya kondisi pembebanan lingkungan. Metode analisa nonlinear diperlukan untuk menghitung displasement pada member setelah batas elastis ( post-elastis), plastis range.
27
Pada analisa kekuatan ultimate, elemen struktural diperbolehkan untuk menerima beban melebihi kapasitasnya, elemen-elemen dapat meneruskan beban untuk mencapai kapasitasnya, tergantung pada duktilitasnya dan prilaku pasca elastis elemen-elemen tersebut. Beberapa elemen mungkin akan menunjukkan gejala kerusakan, mengalami crossed over bukling atau juga inelastis yielding .
6.5.2 Analisa Batas Tegangan Ultimate ( PushOver Analysis Method )
Analisa batas tegangan ultimate dilakukan untuk menentukan kekuatan maksimum struktur untuk menahan beban yang terjadi. Beberapa beban yang bekerja pada struktur mengakibatkan keruntuhan total dan ketidakmampuan struktur menahan beban lingkungan dan topside. Analisa tegangan ultimate dari struktur sangat sulit didapatkan. Metode nonlinear dibutuhkan untuk menghitung kekakuan member dalam rentang post elastis-plastis. Kekakuan sistem struktur harus dimonitor dan diperbaharui terus menerus karena berada pada daerah plastis/brittle. Ini berbeda dengan desain prakatis dimana elemen yang berada di daerah linier hanya memerlukan satu formula kekakuan dia awal analisa.
Untuk analisa ultimate ini dilakukan dengan menggunakan metode Push-Over yaitu suatu metode yang dipakai dalam menganalisa keruntuhan struktur dan merupakan analisa nonlinear dengan pembebanan inkremental lateral untuk menentukan secara otomatis
pembebanan yang menyebabkan
struktur runtuh.
Dimana adanya
penambahan beban lingkungan (gelombang) sampai struktur tersebut runtuh ( collaps). ( AIM Final Report, PMB system engineering.inc,1988).
6.5.3
Kekuatan Cadangan dari Struktur Jacket ( Structural RSR)
RSR dihitung dengan menggunakan analisa nonlinear finite element model dari struktur sering juga disebut sebagai pushover analysis. Secara dasar analisa ini dilakukan dengan cara menetapkan beban-beban yang akan digunakan, biasanya beban vertikal ( payload ) adalah beban yang dianggap tetap sedangkan beban lingkungan adalah beban yang dinaikkan ( incremental load ), beban lingkungan ini dianaikkan secara perlahan sampai batas kekuatan dari struktur tercapai. Beban-beban lingkungan yang digunakan pada umumnya adalah beban dalam kondisi ekstrim. (Bomel,ltd.HSE.2003)
28
Struktur akan mempunyai nilai RSR yang berbeda-beda untuk setiap kondisi arah pembebanan sehingga nilai yang diambil adalah nilai RSR yang paling minim/kecil. Nilai RSR minimum untuk struktur jacket dalam pembebanan kondisi ekstrim adalah 0.8 untuk struktur tanpa personel dan 1.6 untuk struktur yang terdapat personel.(API RP 2A WSD,21 stedition). Nilai RSR dapat dihitung berdasarkan :
RSR = = P awal
beban saat struktur kolaps beban pada kondisi awal ( design level )
P awal
+ Total P increment P awal
dimana :
= beban kondisi ekstrim (design level )
P inkrem = beban kondisi collapse/instability
6.5.4 Persamaan Fungsi Batas Kekuatan ( Limit State Functions/Performance Functions)
Konsep limit state digunakan untuk mendefinisikan kegagalan dalam analisa keandalan struktur. Limit state ukuran dari batas dari kemampuan struktur menahan beban. Batas ini digambarkan dalam sebuah persamaan yang disebut moda kegagalan misalnya dalam moda kegagalan karena crack, bukling, yielding, crushing . Dalam pendekatannya masing-masing moda kegagalan dibuat terpisah, sehingga tiap moda didefinisikan dalam satu limit state. Pada analisa keandalan struktur anjungan lepas pantai ada beberapa limit state yang biasa dipertimbangkan (DNV,2004) :
1. SLS (serviceability limit states)
SLS berhubungan dengan penurunan secara perlahan kekuatan struktur yang berakibat pada ketidaknyamanan dan biaya perawatan yang tinggi. Hal ini secara langsung maupun tidak langsung mempengaruhi dari integritas struktur.
2. ULS (ultimate limit states)
ULS berhubungan dengan kehilangan kekuatan untuk menahan beban yang terjadi. Dalam analisa ini digunakan metode non-linear collaps analysis (push-over analysis). Beban yang dipertimbangkan adalah beban dalam
29
kondisi storm yang pada akhirnya didapatkan nilai kekuatan dari struktur yang digambarkan dalam RSR. Moda kegagalan dalam kategori ULS ini adalah : - kegagalan karena beban momen - kegagalan las-lasan - bukling dari brace - yielding dari brace - Combine stress.
3. FLS ( fatigue limit states)
FLS berhubungan dengan kehilangan kekuatan dari struktur akibat beban yang berulang-ulang (cyclic loads). Kegagalan dari struktur merupakan akumulasi dari kerusakan akibat beban berulang, sehingga timbul crack di struktur.
4. ALS (accidental limit states)
ALS berhubungan dengan kerusakan yang timbul dari kecelakaan dan bencana yang terjadi yang berakibat pada kerusakan struktur, misalnya akibat ship impact, extreme environmental loads (typhoons, tsunami) dan beban seismik pada saat gempa bumi.
7. REVIEW METODE ELEMEN HINGGA UNTUK ANALISIS STRUKTUR
7.1. Pendahuluan. Banyak ilmu-ilmu baru yang berkembang dengan pesat sehubungan dengan ditemukannya komputer digital yang berkecepatan tinggi. Finite
Element Meihod (Metode Elemen Hingga) adalah salah satunya. Turner memperkenalkan ide itu pertama kali dengan makalahnya yang berjudul “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, yang sampai sekarang masih tetap terkenal dengan “Turner triangle”nya. Meskipun metode ini pada mulanya dikembangkan untuk analisis struktur (structural analysis), namun karena teori dasarnya yang sifatnya umum, sekarang sudah berkembang sedemikian rupa sehingga telah dipakai dengan sukses pada hampir semua bidang ilmu, seperti dari engineering misalnya mekanika fluida, mekanika tanah dll. 30
Seperti telah dimaklumi bahwa jarang sekali suatu model matematik dan masalah-masalah engineering yang bisa diselesaikan secara analitis atau
“closed form” kecuali masalahnya sederhana sekali. Salah satu contoh yang sangat populer adalah masalah balok (beam) linier. Dengan penyelesaian analitis ini, informasi yang kita inginkan dapat diketahui pada setiap lokasi yang dikehendaki. Di dalam contoh tentang balok di atas, misalnya displacement (atau tegangan) dapat dihitung di sepanjang balok itu. Masalah-masalah teknik biasanya akan menghasilkan suatu ekspresi matematik yang rumit yang melibatkan kondisi batas (boundary conditions), sifat material ketidaklinieran. dsb., sehingga memaksa orang-orang teknik (engineers) untuk menggunakan analisis numerik, yang kendatipun hasilnya merupakan perkiraan tapi diangap cukup dapat diterima. Contoh dan metode numerik yang sangat populer dan sederhana di dalam bidang perkapalan adalah perhitungan kekuatan memanjang dan perhitungan luasan dengan menggunakan rumus Simpson. Pendekatan-pendekatan menggunakan
numerik
ini,
berdasarkan
sifatnya,
selalu
informasi-informasi pada titik-titik yang diskret. Proses
pemilihan dan titik yang diskret ini disebut “pen-diskret-an” (discrettation). Salah satu cara untuk pendiskretan ini adalah dengan membagi suatu body/sistem yang sedang diselidiki tersebut. Dari sinilah lahir istilah Finite Element Method, yang secara bebas bisa diterjemahkan sebagai Metode Elemen Hingga, dengan kata “hingga” (finite) disini sebagai lawan dari “tak terhingga” (infinite). Pemecahannya kemudian dilakukan untuk elemen-elemen kecil ini dan kemudian
rnenggabungkannya
sehingga
didapatkan
pemecahan
dari
body/system keseluruhan. Ada aturan-aturan dan asumsi-asumsi tertentu yang harus diikuti didalam proses tersebut. Diktat ini disusun sebagai langkah pertarna (introduction) terhadap pemahaman Metode Elemen Hingga, dan dimaksudkan untuk membantu mahasiswa rnempermudah rnempelajarinya. Disebutkan sebagai langkah awal karena ruang lingkup dan Finite Elemen yang cukup luas seperti bagaimana menangani masalah ketidaklinieran (non
linearity), masalah plasticity, dsb. Semuanya ini tidak mungkin bisa dipelajari dalam satu semester dan ditulis dalam satu diktat. Disamping tantangan dan masalah baru yang selalu timbul, seperti bagaimana menangani masalah 31
“contact problem”, yang sampai sekarang masih menjadi bahan penelitian di negara-negara maju. Ada kecenderungan untuk menciptakan “general purpose program” yang bisa memecahkan semua masalah-masalah engineering. Salah satu contoh ke arah itu adalah munculnya program-program seperti SAP90. MSCNASTRAN dan masih banyak lagi. Namun sampai sekarang programprogram tersebut kendatipun banyak memecahkan persoalan yang timbul di lapangan, namun masih gagal memecahkan persoalan-persoalan rumit yang khusus. Di pihak lain, biaya penggunaan komputernva sangat mahal, karena besarnya memori yang harus digunakan. Kecenderungan yang kedua adalah menciptakan program-program khusus yang hanya bisa menangani rnasalahmasalah
tertentu
yang
umumnya
general
purpose
program
gagal
menanganinya. Keuntungan dari pendekatan ini adalah bahwa program tersebut akan lebih murah dan bisa di “tune up” untuk satu atau sekelompok masalah sehingga efisiensinya tinggi sekali. Metode elemen hingga pada dasarnya adalah produk dan komputer digital elektronik. Sehingga pengetahuan tentang bahasa komputer akan sangat membantu sekali untuk mengetahuinya, meskipun tidak mutlak. Ada dua pendekatan yang biasanya ditempuh dalam mengajarkan finite element di Perguruan
Tinggi.
Pendekatan pertama adaiah
menitikberatkan pada
pemakaian dari salah satu atau lebih general purpose program yang tersedia, seperti NASTRAN misalnya. Alasannya karena begitulah yang terjadi di dunia industri, sehingga dengan demikian akan dihasilkan lulusan yang mampu sebagai operator dan “general purpose program” tersebut. Pendekatan yang
kedua adalah menitikberatkan pada “rational approach” (yaitu lebih pada kemampuan
analitis),
sehingga
mahasiswa
mampu
membuat
sendiri
program-program yang dibutuhkan apabila terpaksa. Untuk pendekatan kedua ini tentu saja menuntut penguasaan bahasa komputer (biasanya FORTRAN) dari mahasiswa. Kesulitan timbul kalau “general purpose” programnya tidak tersedia dan mahasiswanya tidak menguasai bahasa komputer. Diktat ini disusun berdasarkan pertimbangan tersebut, meskipun sedikit demi sedikit akan diperkenalkan dengan program komputer yang sudah tersedia dan juga ada bagian dimana mahasiswa dilatih untuk membuat program sendiri untuk masalah-masalah yang sederhana, karena 32
hampir tidak mungkin membicarakan finite element tanpa menyinggung program komputer sama sekali. Meskipun demikian, beberapa asumsi yang tak dapat dihindari tetap dipakai disini, yaitu bahwa mahasiswa harus sudah menguasai tentang operasi matrik, masalah mekanika dan metode energi serta sedikit tentang analisis/metode numerik. Hal yang menggembirakan dalam mempelajari finite element adalah karena arti fisiknya yang mudah dimengerti. Dengan demikian, dimungkinkan untuk mempelajarinya secara bertahap, yaitu mengerti dari segi fisik terlebih dulu baru kemudian sedikit
demi sedikit
meningkat
ke pendekatan
matematisnya. Penyajian inilah yang dipergunakan di sini.
7.2. Prosedur Umum dan Metode Elemen Hingga.
Pada bagian ini kita akan membicarakan prosedur umum didalam perumusan dan penyelesaian yang dipakai dalam Metode Elemen Hingga untuk
menangani
persoalan-persoalan
rekayasa
struktur.
Untuk
menyederhanakan maka tahap-tahap yang diuraikan di sini hanya untuk persoalan-persoalan struktur saja, meskipun sebenarnya, secara umum, prosedur tersebut dapat diterapkan untuk masalah-masalah non-struktur. Untuk persoalan analisis tegangan dalam struktur, besaran yang ingin diketahui adalah displacenent dan tegangan seluruh bagian struktur yang berada dalam keseimbangan dan dengan mendapatkan beban. Pada kebanyakan
struktur,
untuk
menentukan
distribusi
deformasi
dengan
menggunakan metode konvensional akan sangat sulit dilakukan, sehingga disinilah perlunya digunakan metode elemen hingga. Terdapat dua pendekatan umum yang berhubungan dengan metode elemen hingga. Pendekatan pertama disebut metode gaya atau metode
fleksibilitas yaitu yang menggunakan besaran gaya dalam sebagai besaran yang belum
diketahui. Untuk
menurunkan persamaannya,
mula-mula
digunakan persamaan keseimbangan lalu dengan syarat-syarat kompatililitas dapat diperoleh persamaan-persamaan tambahan yang lain. Akhirnya akan diperoleh serangkaian persamaan aljabar untuk menentukan gaya-gaya berlebih (redundant) atau gaya-gaya yang tidak diketahui tersebut.
33
Pendekatan kedua sering disebut sebagai metode displacement atau metode
kekakuan
(displacement
or
stiffness
method)
yaitu
yang
mengasumsikan displacement simpul sebagai besaran yang belum diketahui. Contohnya, kondisi kompatibilitas mengharuskan bahwa hubungan antar elemen melalui sebuah simpul atau sepanjang sisinya atau melalui suatu permukaan, akan tetap terhubung setelah struktur mengalami deformasi. Sehingga persamaan yang akan dihasilkan nantinya dinyatakan dalam displacement simpul menggunakan persamaan keseimbangan dan suatu hukum yang dapat digunakan untuk menghubungkan antara gaya dengan displacement. Kedua pendekatan di atas, di dalam analisisnya, melibatkan besaranbesaran yang berbeda yang tidak diketahui yaitu gaya atau displacement dan juga matrik yang terkait dengan formulasinya juga berbeda (fleksibelitas atau kekakuan) Telah ditunjukkan bahwa untuk tujuan komputasional, metode displacement (atau kekakuan) lebih disukai karena formulasinya untuk masalah-rnasalah analisis struktur bisa lebih sederhana Untuk itu kebanyakan program elemen hingga multiguna menggunakan formulasi displacement untuk menyelesaikan persoalan-persoalan struktur. Dengan dernikian untuk pembahasan ini, hanya metode displacement yang akan digunakan. Metode elemen hingga meliputi pemodelan struktur dengan elemen-elemen kecil yang saling terhubung yang disebut elemen hingga. Suatu fungsi displacement dipakai untuk tiap elemen hingganya. Tiap elemen dihubungkan secara langsung atau tidak langsung dengan suatu interface yang bisa berupa simpul dan/atau garis pembatas dan/atau permukaan pembatas. Dengan diketahuinya tegangan/regangan material yang membentuk struktur tersebut maka dapat ditentukan kelakuan simpul yang merupakan fungsi dan sifat elemen yang lain dalam struktur tersebut. Gabungan dan persamaan yang rnenggambarkan kelakuan tiap-tiap simpul adalah berupa serangkaian persamaan aljabar yang dinyatakan dalam notasi matrik. Setiap analisis harus memutuskan untuk membagi struktur dalam elemen hingga dan memilih jenis elemen yang dipakai dalam analisis serta menentukan bentuk pembebanan dan kondisi batas atau tumpuan-tumpuan yang akan digunakan. Semantara itu proses/tahap berikutnya akan secara otomatis di lakukan oleh program. 34
Secara
ringkas,
prinsip
dari
metode
elemen
hingga
adalah
memperlakukan suatu body/sistem sebagai gabungan dan elemen-elemen kecil yang disebut elemen hingga (finite element). Elemen-elemen ini digabungkan satu sama lain melalui titik-titik yang disebut simpul/nodal (nodes).
Fungsi
yang
sederhana
biasanya
dipilih
untuk
mendekati
(memperkirakan) distribusi atau variasi dari displacement yang sesungguhnya pada tiap elemennya. Fungsi yang dipilih tersebut (yang tentu saja harus memenuhi persyaratan tertentu, tentang ini akan dibahas kemudian) disebut
“displacement function” atau ”displacement model”. Informasi yang dicari, misalnya displacement atau turunannya (misalnya tegangan), dihitung pada simpul. Dengan demikian hasil akhir yang didapat adalah berupa harga pendekatan dan displacementnya pada lokasi-lokasi diskret dan body/sistem yang diselidiki, yaitu pads titik simpulnya tersebut. Untuk displacement functionnya bisa dipilih polinomial atau fungsi tnigonometri atau beberapa fungsi sederhana yang lain. Pada umumnya digunakan polinomial karena fungsi ini mudah dimanipulasi secara matematis. Tahapan menyelesaikan
dalam
perumusan
persoalan-persoalan
metode
elemen
hingga
dalam
struktur secara agak detail akan
diuraikan berikut ini. Tahapan-tahapan yang mendasar ini tujuannya adalah untuk memperlihatkan suatu prosedur umum yang harus diikuti dalam perumusan elemen hingga dan suatu persoalan. Dengan cara ini kita akan lebih mudah memahami.
TAHAP 1: Pendiskretan dan Pemilihan Jenis Elemen. Tahap ini meliputi pembagian obyek (struktur) menjadi sebuah sistem ekivalen yang terdiri dan elemen-elemen hingga yang saling dihubungkan dengan simpul serta pemilihan jenis elemen yang tepat. Jumlah elemen yang digunakan,
variasi
ukurannya
dan
jenis
elemennya, pada
dasarnya
merupakan masalah dan “engineering judgement”. Elemen harus dibuat cukup kecil sehingga hasilnya bagus, namun juga harus cukup besar agar mengurangi waktu komputasionalnya. Elemen-elemen yang kecil (jika mungkin elemen orde-tinggi) biasanya digunakan untuk kondisi yang perubahannya drastis, misalnya ditempat dimana perubahan geometri terjadi
35
secara drastis. Sedangkan elemen berukuran besar digunakan ditempat dimana besaran yang ingin dicari perubahannya relatif konstan. Pemilihan jenis elemen yang digunakan dalam analisis metode elemen hingga tergantung pada kondisi fisik body dalam kondisi pembebanan yang sesungguhnya serta sejauh mana pendekatan terhadap kondisi yang sesungguhnya tersebut ingin dicapai sehingga keputusan pemodelan yang tepat secara satu, dua atau tiga dimensi sangat diperlukan. Dengan demikian pemilihan jenis elemen yang tepat untuk suatu persoalan tertentu merupakan salah satu langkah utama di dalam metode elemen hingga. Jenis elemen garis dasar terdiri dan elemen bar (truss) dan elemen balok (beam). Elemen ini memiliki luasan penampang melintang namun biasanya dinyatakan dalam bentuk segmen garis. Secara umum, luas penampang melintang elemen ini bisa bervariasi sepanjang elemennya ataupun konstan. Elemen ini kebanyakan digunakan untuk memodelkan struktur-struktur rangka batang (truss) atau flame. Elemen garis yang paling sederhana (disebut elemen linier) memiliki dua titik simpul pada masingmasing ujungnya. Juga terdapat elemen dengan orde yang lebih tinggi yaitu yang memiliki tiga simpul atau lebih (disebut elemen kuadratik, kubik dll). Elemen dua dimensi dasar atau elemen bidang mendapatkan beban gaya pada arab bidangnya (kondisi plane stress atau plane strain). elemen ini bisa berupa segitiga atau persegi empat elemen dua dimensi. Yang paling sederhana hanya memiliki simpul pada sudut-sudutnya (elemen linier) dengan batas sisi lurus. Terdapat juga elemen dua dimensi dengan orde yang lebih tinggi, misalnya yang memiliki simpul-antara pada sisinya (disebut elemen kuadratik) dan elemen dengan sisi berbentuk lengkung. Ketebalan elemen ini bisa bervariasi maupun konstan. Jenis yang lain adalah elemen tiga dimensi. Elemen tiga dimensi yang umum dipakai adalah berbentuk tetrahedral atau hexahedral (batu bata). Jenis elemen ini hanya dipakai jika kita menginginkan analisis tegangan secara tiga dimensional. Elemen tiga dimensi yang paling dasar hanya memiliki simpul di titik-titik sudutnya dengan batas sisi lurus. Sementara itu untuk orde yang lebih tinggi, ditambah dengan simpul-antara (bisa juga simpul-antara pada permukaannya) dan memiliki permukaan sisi yang berbentuk lengkung.
36
Sementara itu, elemen aksisimetri merupakan elemen yang dibentuk dengan cara memutar sejauh 360 0 suatu segitiga atau segiempat terhadap suatu sumbu tetap yang terletak pada bidang elemen tersebut. Elemen jenis ini dapat digunakan jika kondisi geometri dan pembebanan dan masalah yang dianalisis adalah aksisimetris.
TAHAP 2 Pemilihan Fungsi Displacement. Langkah berikutnya adalah menentukan suatu fungsi displacement pada tiap elemen. Fungsi tersebut didefinisikan untuk tiap elemen dengan menggunakan nilai parameter pada simpul dari elemen tersebut. Biasanya digunakan fungsi polinomial linier, kuadratik atau kubik karena fungsi tersebut sederhana pada saat proses perumusan elemen hingganya. Tetapi deret trigonometri juga bisa dipergunakan. Untuk sebuah elemen dua dimensi, fungsi displacementnya berupa fungsi dan koordinatnya dalam bidang elemen tersebut (misalnya bidang x-y). Fungsinya dinyatakan dalam parameter simpul yang tidak diketahui (dalam masalah dua dimensi, adalah dalam komponen x dan y). Fungsi displacement yang sama bisa digunakan secara berulang-ulang untuk tiap-tiap elemen, Jadi, didalam metode elemen hingga, suatu parameter kontinyu seperti displacement untuk keseluruhan body, dapat didekati dengan suatu model diskret yang dibentuk dan suatu rangkaian fungsi piecewise-continue yang didefinisikan pada masing-masing domain-berhingga atau elemen hingganya.
TAHAP
3
Pendefinisian
hubungan
regangan-displacement
dan
tegangan- regangan. Hubungan antara regangan-displacement dan antara teganganregangan dibutuhkan dalam proses penurunan persamaan untuk masingmasing elemen hingga. Contoh yang paling sederhana misalnya kasus deformasi satu dimensional dalam arah x misalnya, hubungan antara regangan
ε x
ε x
=
dan displacementnya u untuk regangan yang kecil adalah
du dx
37
Berikutnya, tegangan harus dikorelasikan dengan regangan melalui hukum tegangan/regangan yang umumnya disebut “hukum konstitutif” (constitutive law). Kemampuan untuk mendefinisikan kelakuan/sifat material secara tepat adalah hal yang sangat penting untuk mendapatkan hasil yang dapat diterima. Hukum tegangan/regangan yang paling sederhana yaitu hukum Hooke yang seringkali dipakai dalam analisis tegangan diberikan dalam bentuk: σ x
= E ε x
dimana σ x
= tegangan dalam arah x
E
= modulus elastisitas.
TAHAP 4; Penurunan matrik kekakuan elemen dan persamaan elemen. Untuk menurunkan matrik kekakuan elemen dan selanjutnya adalah persamaan elemennya, setidaknya ada dua metode yang sering digunakan yaitu Metode Keseimbangan Langsung (Direct Equilibrium Method) dan
Metode Energi (Energy Method).
Metode Keseimbangan Langsung: Matrik kekakuan dan persamaan elemen yang menghubungkan gaya simpul dan displacement simpul diperoleh dengan menggunakan kondisi kesetimbangan gaya untuk elemen-dasar yang berlaku untuk hubungan gayadisplacement. Metode ini sangat cocok untuk elemen garis atau elemen satu dimensi seperti untuk elemen bar (truss) dan elemen balok (beam).
Metode Energi Untuk menurunkan matrik kekakuan dan persamaan elemen dua dimensi dan tiga dimensi, lebih mudah menggunakan metode energi. Prinsip kerja virtual (menggunakan displacement virtual), prinsip energi potensial minimum dan teorema Castigliano merupakan metode-metode yang sering digunakan di dalam penurunan persamaan elemen.
38
Prinsip kerja virtual dapat dipakai untuk bermacam-macam kelakuan material, sementara itu prinsip energi potensial minimum dan teorema Castigliano hanya dapat diterapkan untuk material elastis. Juga, prinsip kerja virtual dapat digunakan walaupun fungsi potensialnya tidak ada. Dengan demikian, ketiga prinsip tersebut akan menghasilkan persamaan elemen yang sama bila yang digunakan adalah material linier-elastis; jadi pemakaian salah satu metode tersebut untuk jenis material ini semata-mata hanyalah tergantung pada usernya. Untuk tujuan memperluas penggunaan MEH di luar masalah analisis tegangan struktur, suatu pem-fungsi-an (didefinisikan sebagai fungsi dari suatu fungsi yang lain) yang analog yang mana digunakan dengan prinsip energi potensial minimum sangat berguna sekali dalam menurunkan matrik kekakuan dan persamaan elemen. Contohnya, π adalah suatu fungsi dari
f(x,y) melambangkan suatu fungsi f dari dua variabel x dan y sehingga selanjutnya kita peroleh π (f(x,y}) dimana π merupakan suatu fungsi dari fungsi f.
Metode Residual Berbobot: Metode
residual
berbobot
(weighted residuals) berguna
untuk
menurunkan persamaan elemen khususnya yang paling populer adalah
Metode Galerkin. Metode ini akan menghasilkan hasil yang sama dengan yang dihasilkan oleh metode energi, dimana metode energi dapat dipakai. Metode ini secara khusus digunakan jika suatu pem-fungsi-an seperti energi potensial tidak langsung tersedia. Metode residual berbobot menyebabkan MEH dapat langsung diterapkan pada berbagai persamaan diferensial. Pemakaian salah satu dari metode-metode di atas, akan menghasilkan persamaan yang menggambarkan kelakuan dari suatu elemen. Persamaan tersebut jika dituliskan dalam bentuk matrik adalah sbb:
f 1 k 11 f k 2 21 = f 3 k 31 f n k n1
k 12
k 13
k 1n d 1
k 22
k 23
k 32
k 33
k 2 n d 2 k 3n d 3
k n 2
k n 3
k nn d n
atau dalam matrik simbol dapat dinyatakan dengan,
39
{f} = [k] {d}
dimana {f} adalah vektor gaya simpul elemen, [k] adalah matrik kekakuan elemen dan {d} adalah vektor derajat kebebasan simpul-elemen yang tidak diketahui atau displasemen yang digeneralisasi, n. Displasemen yang digeneralisasi di sini bisa meliputi besar dari displasemen sebenarnya, kemiringan atau biasanya kelengkungan. Matrik dalam persamaan di atas akan dijelaskan lebih detil pada bagian selanjutnya untuk tiap-tiap jenis elemen.
TAHAP 5 : Penggabungan Persamaan Elemen untuk mendapatkan Persamaan Giobal/Total dan Penentuan Kondisi Batas. Persamaan elemen yang diperoleh dalam langkah 4 di atas dapat digabungkan menggunakan suatu metode superposisi (disebut metode kekakuan langsung (direct stiffness method)) — berdasarkan kesetimbangan gaya simpul-untuk mendapatkan persamaan global keseluruhan struktur. Di dalam metode kekakuan langsung tersebut terkandung arti dan konsep kontinyuitas atau kompatibilitas yaitu yang mengharuskan struktur dalam kondisi tetap rigid dan tidak terjadi retak/sobek dimanapun dalam struktur tersebut. Setelah penggabungan diperoleh persamaan globalnya yaitu:
{F} = [k] {d}
dimana {F} adalah vektor gaya simpul global, [K] adalah matrik kekakuan global dan {d}
sekarang adalah vektor derajat kebebasan simpul-struktur
yang sudah diketahui dan yang belum diketahui atau displasemen yang digeneralisasi. Pada tahap ini dapat diketahui bahwa matrik kekakuan global [K]nya berupa matrik singular karena deterrninannya sama dengan nol. Untuk menghindari masalah singularitas ini maka kita harus menentukan kondisi batas (boundary condition) (disebut juga konstrain atau tumpuan) agar struktur tetap ditempatnya dan tidak bergerak sebagai sebuah benda kaku.
40
Dengan memasukkan kondisi batas ini maka pers. 1.5 nantinya akan rnenjadi termodifikasi.
TAHAP 6 : Menyelesaikan derajat kebebasan yang belum diketahui. Persamaan diatas yang sudah dimodifikasi dengan adanya kondisi batas merupakan sekumpulan persamaan aljabar simultan yang dapat dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut
F 1 K 11 F K 2 = 21 F n K n1
K 12
K 13
K 22
K 23
K n 2
K n 3
K 1n d 1
d 2 d K nn n
K 2 n
dimana n sekarang adalab jumlah total dan derajat kebebasan struktur yang tidak diketahui. Persamaan di atas ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan
{d} dengan metode eliminasi (misal metode Gauss) atau metode iterasi (misal metode Gauss-Seidel). d yang tidak diketahui tersebut disebut besaran-anu utama (primary unknowns) karena besaran inilah yang pertama kali ditentukan dengan MEH yang berbasis kekakuan (atau displasemen) tersebut.
TAHAP 7 : Menentukan regangan dan tegangan elemen. Untuk masalah analisis tegangan struktur, besaran penting yang kedua yaitu regangan dan tegangan (atau momen dan gaya geser) dapat diperoleh karena besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan secara langsung sebagai fungsi dan displasemen yang sudah diperoleh dalam langkah 6 sebelumnya. Hubungan ini harus sesuai dengan persoalan yang sedang dianalisis. Sebagaimana sudah disinggung pada langkah 3 bahwa kemampuan untuk mendefinisikan kelakuan/sifat material secara tepat adalah hal yang sangat penting agar diperoleh hasil yang dapat diterima. Contoh dan hubungan regangan-displasemen dan tegangan-regangan untuk tegangan 1 dimensi yang dinyatakan dalam langkah 3 di atas dapat dipakai.
41
TAHAP 8: Interpretasi Hasil. Tujuan akhirnya adalah menginterpretasi dan menganalisis hasil yang akan digunakan dalam proses perancangan. Penentuan lokasi pada struktur dimana terjadi deformasi dan tegangan terbesar biasanya sangat penting dalam mengambil keputusan di dalam proses perancangan. Program komputer
postposesor
akan
membantu
para
perancang
untuk
menginterpretasi hasil dalam bentuk tampilan grafis.
7.3. Aplikasi dan Manfaat dan Metode Elemen Hingga. Metode Elemen Hingga (MEH) dapat digunakan untuk menganalisis masalah-masalah struktur maupun masalah-masalah non-struktur. Dalam bidang struktur penggunaanrlya meliputi: • Analisis tegangan yang meliputi analisis truss dan frame dan masalahmasalah konsentrasi tegangan khususnya yang terkait dengan adanya lubang, fillet dan perubahan geometri yang lainnya pada struktur. • Masalah buckling (tekukan). • Analisis getaran. Sedangkan yang menyangkut masalah-masalah non-struktural antara lain meliputi : • Perpindahan panas. • Aliran fluida termasuk rembesan melalui media berongga. • Distribusi medan listrik atau medan magnet. Untuk masalah rekayasa biomechanical (mungkin menyangkut analisis tegangan) khususnya dalam analisis organ tubuh manusia antara l ain analisis pada tulang belulang, tulang tengkorak,. persendian tulang paha, penanaman
gigi pada rahang/gusi, jantung dan mata. Sebagaimana telah diuraikan sebelumnya, MEH telah diaplikasikan ke berbagai persoalan baik dalam bidang struktur maupun non-struktur. Metode ini memiliki banyak keunggulan sehingga membuatnya sangat populer. Kemampuan yang dimiliki antara lain meliputi 1.
Mampu memodelkan bentuk-bentuk yang tidak teratur dengan cara yang relatif mudah
42
2.
Dapat menangani kondisi pembebanan yang umum dengan tanpa kesulitan.
3.
Mampu rnemodelkan benda yang tersusun dan berbagai material yang berbeda, karena tiap-tiap persamaan elemennya diturunkan sendirisendiri.
4.
Mampu menangani kondisi batas dalam jumlah dan jenis yang hampir tak berhingga.
5.
Ukuran elemennya bisa divariasikan hingga dapat digunakan elernen yang sangat kecil jika diperlukan.
6.
Model elemen hingga yang dibuat dapat diubah-ubah dengan mudah dan murah.
7.
Mampu menangani masalah-masalah dinamik.
8.
Mampu menangani persoalan-persoalan non-linier seperti deformasi yang besar dan sifat material yang non-linier. MEH untuk analisis struktur memungkinkan para perancang untuk
rnendeteksi tegangan, getaran dan masalah-masalah panas selama proses perancangannya serta mampu untuk mengevaluasi perubahan-perubahan perancangan
sebelum
membangun
prototipenya.
Sehingga
tingkat
kepercayaan penerimaan prototipe tersebut dapat ditingkatkan. Disamping itu, dengan metode mi, jika digunakan dengan tepat dapat mengurangi jumlah prototipe yang hams dibuat. Meskipun pada mulanya MEH hanya diaplikasikan untuk persoalanpersoalan
analisis
struktur,
namun
dalam
perkembangannya
bisa
diaplikasikan untuk berbagai bidang ilmu di dalam bidang rekayasa dan matematika
fisik
seperti
aliran
fluida,
perpindahan
panas,
potensial
elektromagnetik, mekanika tanah dan bidang akustik.
7.4. Program Komputer untuk MEH. Secara umum, dengan komputer, terdapat dua metode pendekatan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dengan MEH. Yang pertama, menggunakan
program
komersial-besar,
beberapa
diantaranya
sudah
dimodifikasi untuk bisa dijalankan dengan PC yang disebut Program Multi Guna (general-purposes program) yang dirancang untuk bisa menyelesaikan berbagai jenis persoalan. Jenis yang kedua adalah Program Kegunaan 43
Khusus
(special-purposes
program)
yang
lebih
kecil
yaitu
untuk
menyelesaikan persoalan-persoaan jenis tertentu. Keunggulan-keunggulan yang dimiliki oleh program multi guna antara lain: 1.
Inputnya terorganisasi dengan baik dan disusun sedemikian rupa sehingga user bisa memahami dengan mudah. User tidak mernerlukan pengetahuan khusus tentang software dan hardware komputer. Sudah dilengkapi preprosesor untuk membuat model elemen hingganya.
2.
Program ini berupa suatu sistem yang besar sehingga biasanya dapat menangani berbagai jenis persoalan baik yang besar maupun yang kecil hanya dengan menggunakan format input yang sama.
3.
Beberapa
program
bahkan
bisa
diekspansi
dengan
card
menambahkan modul yang baru untuk jenis persoalan atau jenis teknologi yang baru. Jadi masih bisa terus mengikuti perkembangan terbaru hanya dengan sedikit usaha penambahan. 4.
Kebanyakan pusat-pusat pelayanan program komputer menyediakan satu macam atau lebih program multi guna.
5.
Beberapa program komputer yang sudah di”kecil”kan (scaled down) untuk PC memiliki harga yang bersaing dan dapat digunakan untuk menangani jenis persoalan yang luas. Selain kelebihan-kelebihan di atas, beberapa kelemahan yang dimiliki
oleh program multi guna antara lain 1.
Biaya awal untuk membuat program multi guna relatif tinggi.
2.
Program multi guna menjadi kurang efisien dibandingkan dengan program khusus karena komputer harus melakukan banyak pengacekan untuk tiap-tiap persoalan, padahal jika digunakan program khusus pengecekan yang tidak perlu (diluar cakupan masalahnya) tidak perlu dilakukan.
3.
Kebanyakan program jenis ini bersifat milik pribadi sehingga user hanya memiliki sedikit akses untuk memahami logika program tersebut. Jika ingin memodifikasi biasanya hanya dapat dilakukan oleh pembuatnya saja.
4.
Untuk
mejalankan
program
ini
diperlukan
komputer
dengan
kemampuan yang besar (untuk program yang sudah di”kecil”kan bisa 44
dijalankan
pada
PC).
Sedangkan untuk Program Kegunaan khusus, beberapa kelebihan yang dimilikinya antara lain: 1.
Program biasanya relatif pendek sehingga biaya pembuatannya cukup murah.
2.
Dapat dijalankan dengan komputer kecil (PC).
3.
Penambahan-penambahan
(modifikasi)
terhadap
program
dapat
dilakukan dengan cepat, mudah dan murah. 5.
4 Dapat menyelesaikan persoalan khusus yang sesuai (sesuai dengan tujuan pemrogramannya) dengan lebih efisien. Disamping kelebihan di atas,
kegunaan
khusus
ini
adalah
kelemahan utama
ketidakmampuannya
dan
untuk
program
menangani
persoalan-persoalan yang berbeda jenis atau kelasnya. Terdapat banyak vendor yang menyediakan program elemen hingga sehingga bagi pemakai yang tertarik harus dengan hati-hati berkonsultasi dengan para vendor
tersebut sebelum
memutuskan untuk
membeli
produknya. Untuk membantu memberi ide tentang berbagai program komputer komersiil untuk PC yang ada, di sini diberikan beberapa nama program yaitu ALGOR, ANSYS, GIFTS, IMAGES-3D, MSC/PAL, TAB/SAP86, SAP9O, SAP2000, MSC/NASTRAN, GT-STRUDL, StruCad, dll. Kernampuan standart dan beberapa program di atas meliputi informasi atas: 1.
Jenis-jenis elemen yang disediakan seperti elemen beam (balok), plane stress (tegangan bidang) dan elemen solid 3-D.
2.
Jenis analisis yang tersedia misalnya kemampuan analisis statis dan dinamis.
3.
Kelakuan material, seperti elastis-linier dan non-linier.
4.
Jenis pembebanan seperti beban terpusat, beban merata, beban panas dan displasemen (sattlement).
5.
Pembangkitan data (data generation), seperti pembangkitan simpul, elemen dan restraint secara otomatis (beberapa program memiliki
preprosesor untuk membuat mesh untuk model). 6.
Plotting,
seperti
bentuk
geometri
model
sebelum
dan
setelah
terdeformasi serta kontur tegangan dan suhu (beberapa program memiliki
45
postprosesor untuk membantu dalam menginterpretasikan outputnya dalam bentuk gratik). 6.
Kelakuan displasemen, seperti displasemen yang kecil atau besar dan juga buckling (tekukan).
7.
Pemilihan output. seperti rnernilih simpul-simpul atau elemen-elemen tertentu serta menentukan nilai-nilai maksimum atau mininiumnya. Kebanyakan program, paling tidak menyediakan lybrary untuk elemen
elemen batang, balok, tegangan bidang, lenturan pelat dan elemen solid 3-D. Bahkan untuk software yang sekarang meliputi kemampuan untuk analisis perpindahan panas (heat transfer). Untuk mengetahui seluruh kemampuan dan program-program di atas, sebaiknya dilihat dalam masing-masing petunjuk acuan programnya (program reference manuals).
7.5. Konsep Matrik Kekakuan Elemen Garis. Untuk kekakuan
pcrsoalan-persoalan
elemen
(element
menggunakan prinsip
yang
stiffness
kesetimbangan
sederhana,
matrix)
bisa
penurunan
matrik
dilakukan
dengan
(equilibrium). Akan
tetapi
pada
umumnya hal ini sulit dipakai pada sistem yang sedikit kornpleks. Penurunannya biasanya rnenggunakan metode energi (energy method) dengan memakai prinsip variasi (variational principle). Untuk persamaan diferensial yang kompleks bahkan hal inipun sulit dilakukan dan karenanya digunakan Guierkin’s decomposition (atau Weak form) langsung dari persamaan diferensialnya. Kekakuan pada dasamya menghubungkan displasemen pada simpul dengan gaya-gaya luar (external/appllied forces) yang bekerja pada simpul tersebut. Gaya-gaya luar ini dirubah dan bentuknya yang merata/uniform
(distributed forces) ke bentuk diskret pada simpul dan disebut sebagai “equiva/en nodal force” atau gaya simpul saja. Persamaan keseimbangan yang meilbatkan matrik kekakuan [k], vektor gaya simpul {O} dan vektor displasemen {q} secara simbolis matrik dapat dituliskan:
[k]{q} = {Q} 46
untuk memberi gambaran yang lebih nyata tentang arti dan persamaan berikut ini diberikan ilustrasi sederhana arti fisik dan persamaan tersebut. Ambil sebuah balok (beam) dengan luas penampang A dan modulus elastisitas E , dengan gaya kompresi / tekan Q1 dan Q2 yang bekerja pada kedua ujungnya. Dari Mekanika Teknik didapatkan,
Q1
= σ A = ε EA = (∆ L / L) EA = (q1 − q 2 ) EA / L
Dari prinsip keseimbangan maka,
Q2
= −Q1 = ( −q1 + q2 ) EA / L
Persamaan di atas dalam bentuk matrik dapat ditulis sebagai berikut:
{Q} = [k]{q}
Gambar 7.1 Balok kantilever berbeban kompresi
dimana:
Q { Q} = 1 Q2
47
1 −1 EA −1 1 L
[ k ] =
q
{ q} = 1 q 2
Perlu diingat bahwa q1 dan q , adalah displasemen pada simpul 1 2
dan 2, sedangkan Q1 dan Q
2
adalah gaya-gaya luar yang bekerja pada
simpul 1 dan 2 (gaya-gaya ini lazimnya sudah diketahui). Dapat diamati bahwa matrik kekakuan tergantung pada tiga hal yaitu: 1.
Model dan displasemen yang dipakai.
2.
Geometri dari elemen-elemennya.
3.
Sifat material lokal (local property of material) atau biasanya disebut
constitunve relations. Karena sifat material ini biasanya berbeda-beda untuk setiap elemen, maka metode ini (MEH) memungkinkan memecahkan persoalan yang memiliki sifat material yang berbeda-beda. Jika kita dalam perumusan matrik kekakuan menggunakan elemen garis dengan penampang konstan maka tidak akan terlihat adanya model
displasemen (disebut juga “displacement function”) yang digunakan. Berikut ini adalah elemen garis dengan luas penampang yang tidak konstan (lihat Gambar 6). Seperti telah disinggung di atas, dari keseimbangan diperoleh:
Q1
= −Q2
Demikian pula dari hukum tegangan-regangan (stress-strain law) didapatkan
σ x
= E ε x
dan hukum regangan-displasemen (strain-displacement law) kita peroleh:
48
ε x
=
du dx
Gambar 7.2. Elemen garis dengan penampang tidak konstan.
Pada Pada pembah pembahasa asan n terdah terdahulu ulu,, kita kita mengas mengasums umsika ikan n regang regangann annya ya kons konsta tan n
sepa sepanj njan ang g
elem elemen en,,
sehi sehing ngga ga
dapatt du/dx dapa
diga digant ntii
deng dengan an
perbandingan antara perpanjangan ( ∆L ) dan panjang elemen mula-mula (L). Sekarang asumsi tersebut tidak kita pakai dan sebagai gantinya kita memilih fungsi sembarang u(x) (tetapi tidak benar-benar sembarang, karena
u(x) ini harus harus memenu memenuhi hi persy persyara aratan tan-pe -persy rsyara aratan tan terten tertentu, tu, yang yang akan akan dibicarakan kemudian). u(x) ini disebut disebut model model displasem displasemen en (displacement
model atau displacem displacement ent field). field). Sehing Sehingga ga cara cara ini disebu disebutt juga juga sebag sebagai ai (displacement method). metode displasemen (displacement Perlu disebutkan di sini bahwa asumsi regangan tidak konstan ini lebih masuk akal, dikarenakan luas penampangnya yang tidak konstan. Dengan gaya yang konstan sepanjang elernen dan luas penampang yang berubah maka maka tegang tegangan an yang yang terjad terjadii juga juga tidak tidak konsta konstan. n. Karen Karena a tegang tegangan an tidak tidak konstan, maka regangannya juga tidak konstan. Kemba Kembalili ke model model displa displasem semen en u(x), atau atau dise disebu butt juga juga fungsi displasemen, kita asumsikan bentuknya adalah polinomial,
u ( x)
= α 1 + α 2 . x + α 3 . x 2 + α 4 x 3 + ...
atau dengan interpolasi displasemen antara simpul-simpulnya,
49
u ( x )
x x = q1 1 − + q 2 L L
dimana 1 −
x
dan L
x disebut fungsi bentuk (shape function) atau fungsi L
interpolasi (interpolation function). Hal ini akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian berikutnya. Dapat ditunjukkan bahwa apabila dalam satu elemen mengandung dua koord koordina inatt simpul simpul,, maka maka fungsi fungsi displa displasem semenn ennya ya hanya hanya mempun mempunya yaii dua konstanta yang independen. Dan pertimbangan lain, yaltu bahwa
α 1
dan
α 2
tidak dapat dihilangkan, maka model displasemen kita menjadi: u ( x) = α 1
+ α 2 x
model displa displasem semen en linier linier.. Jika yaitu yaitu yang yang disebu disebutt model Jika kita kita turu turunk nkan an untu untuk k mendapatkan regangan, akan diperoleh hubungan,
ε x
=
du dx
=
d dx
(α 1 + α 2 x ) = α 2 (konstanta !)
Senang atau tidak kita dihadapkan kembali pada model displasemen
dengan regangan konstan. Deng Dengan an demi demiki kian an kita kita diha dihada dapk pkan an pada pada kead keadaa aan n beri beriku kut. t. Mode Modell disp displa lase seme men n yang yang kita kita paka pakall meng mengha hasi silk lkan an tega tegang ngan an yang yang sera seraga gam m
(uniforrn), akan akan tetap tetapii gaya gaya yang yang tidak tidak seraga seragam m karen karena a luas luas penamp penampang ang elemen yang tidak seragam. Apabila kita berusaha memenuhi keseimbangan intern internal al (atau (atau keseim keseimban bangan gan lokal) lokal),, maka maka yang yang kita kita dapat dapat adalah adalah (lihat (lihat diagram benda bebas pada Gambar 7.3),
50
Gambar 7.3. Keseimbangan lokal Elemen garis dengan penampang tidak konstan.
Q1
du (0) = −σ x ( 0) A1 = − E A1 dx
Dengan menggunakan fungsi bentuk di atas, maka:
Q1
q − q = − E 2 1 A1 L
demikian pula :
Q2
q − q = E 2 1 A2 L
Penyelesaian
ini
tidak
memenuhi
syarat rat
karena
meskipun
keseim keseimban banga gan n intern internal al terpen terpenuhi uhi,, namun namun keeimb keeimbang angan an globa globalny lnya a tidak tidak terpenuhi, yaitu Q1
≠ Q2 .
Jalan keluar yang lain adalah dengan memenuhi keseimbangan global tapi sebaliknya keseimbangan lokalnya tidak terpenuhi, yaitu misalnya
Q1
= −σ x ( 0) Arata −rata q −q = − E 2 1 A R L
Q2
q − q = E 2 1 AR L
51
sehingga Q1 = Q2 . Hal ini menghasilkan persamaan berikut:
Q1 EA R Q = 2 L
1 − 1 q1 − 1 1 q 2
Model inilah yang biasanya digunakan untuk elemen garis yang luas penampangnya berbeda (tidak konstan) sepanjang elemen. Sejauh ini kita belum memberikan arti fisik dan matrik kekakuan tersebut. Secara umum matrik kekakuan [k] ditulis dalam bentuk:
k [ k ] = 11 k N 1
k 12
k 1 N
k N 2
k NN
dengan k ij berarti gaya pada simpul i akibat unit displasemen di titik j dan semua displasemen yang lain (baik translasi maupun rotasi) diasumsikan nol. Dengan demikian k 11 berarti gaya yang bekerja pada titik 1 akibat unuit displasemen pada titik 1 (displasemen lainnya sama dengan nol). Demikian pula k 21 berarti gaya yang bekerja pada titik 2 akibat unuit dispiasernen pada titik
1
(displasemen lainnya sama dengan nol). llustrasinya dapat dilihat pada Gambar 7.4 berikut.
Gambar 7.4. Arti fisik elemen matrik kekakuan
52
7.6. Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Garis. Untuk mernperjelas bagaimana proses penurunan matrik kekakuan elemen dengan metode keseimbangan (metode kekakuan langsung) berikut ini akan diuraikan langkah-langkahnya yang sistematis pada elemen batang
(truss element). Misalkan sebuah elemen batang mendapat gaya tarik T sepanjang sumbu batang pada simpul 1 dan 2 (Gambar 7.5). Di sini kita gunakan dua sistem koordinat yaitu sistem koordinat lokal (x-y) dengan sumbu x berarah sepanjang batang dari sistem koordinat global (x’-y’) yang disesuaikan dengan orientasi keseluruhan struktur (Masalah Transformasi Koordinat akan dibahas berikutnya).
Gambar 7.5. Batang dengan gaya tarik T dengan kondisi displasemen simpul dan gaya yang positif.
Batang dianggap memiliki luas penampang melintang konstan A, modulus elastisitas E dan panjang awal L. Derajat kebebasan simpulnya adalah displasemen aksial lokal (displasemen longitudinal dengan arah sepanjang sumbu batang) pada ujung-ujung elemen yaitu q1 dan q2. Dalam penurunan matrik kekakuan elemen batang ini dipakai asumsiasumsi sebagai berikut: 1.
Batang tidak menahan gaya geser yaltu Q1 y = 0 dan Q2 y = 0
53
2.
Semua efek displasemen melintang diabaikan
3.
Memenuhi Hukum Hooke yaitu hubungan antara tegangan aksial dan regangan aksialnya Langkah-langkah
ε x
memenuhi
penurunan
σ x
σ x
= E ε x
matrik
kekakuan
dengan
metode
keseimbangan selengkapnya adalah sbb. : Langkah 1 : Pemilikan jenis elemen. Batang dimodelkan dengan pemberian nomor pada tiap-tiap simpul dan pada tiap-tiap elernennya (lihat Gambar 8).
Langkah 2: Pemilikan fungsi displasemen. Fungsi displasemen yang dipakai diasumsikan linier yang bervariasi sepanjang sumbu x batang karena suatu fungsi linier dengan ujung simpul tertentu memiliki suatu lintasan yang khusus (pembahasan tentang fungsi diplasemen ada pada bagian berikutnya). Sehingga fungsi displasemen tersebut adalah:
u
= a1 + a 2 x
yang mana jumlah koefisien ai -nya akan selalu sarna dengan jumlah derajat kebebasan yang dimiliki elemen tersebut. Dalam hal ini, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu displasemen aksial pada tiap simpulnya. Persamaan di atas harus dinyatakan sebagai fungsi displasemen simpul q1 dan q2 yaitu dengan cara mengevaluasi u untuk setiap simpulnya dan kita tentukan a1 dan a2 pada persamaan di atas sehingga
u ( 0)
= q1 = a1
u ( L) = q 2
= a2 L + q1
Atau jika pers. Di atas ini diselesaikan untuk a
a2
=
q2
2
didapatkan:
− q1 L
54
Dengan substitusi persamaan diperoleh:
u
=
q2
− q1 x + q1 L
Jika dalam bentuk matrik dapat dinyatakan sebagai:
u
= [ N 1
q1 N 2 ] q 2
dimana fungsi bentuk (shape function) dinyatakan dengan:
N 1
=1 −
x L
dan
N 2
= x
L
Bila fungsi displasemen linier di atas diplotkan sepanjang elemen batang pada Gambar 7.5, hasilnya seperti ditunjukkan Gambar 7.6 berikut,
Gambar 7.6. Ploting dan fungsi displasemen u sepanjang elemen batang.
Langkah
3: Mendefinisikan hubungan regangan-displasemen
dan
tegangan-regangan. Hubungan regangan-displasemen dinyatakan dengan
55
=
ε x
du
=
dx
dimana
q 2 − q1 L
dua
persamaan
sebelumnya
digunakan
untuk
mendapatkan
persaman di atas tersebut. Sehingga hubungan tegangan-regangannya adalah:
− E ε x
σ x
Langkah 4: Penurunan metrik kekakuan elemen dan persamaan elemen. Dari mekanika dasar kita dapat menyatakan hubungan sbb.:
T
= 0.4σ x
Dengan substitusi persamaan sebelumnya ke persamaan di atas didapatkan
q 2 − q1 L
T = AE
Juga dengan kesepakatan tanda untuk gaya simpul sebagaimana pada Gambar 8 maka berlaku:
Q1
= −T
Dengan demikian kita bisa menyatakan hubungan: Q1
= AE ( q1 − q 2 ) L
Dengan cara yang sama, dapat dinyatakan : Q2
= T
Sehingga Q dapat dinyatakan dengan : 2
Q2
= AE ( q1 − q 2 ) L
56
Akhirnya, jika persamaan di atas dinyatakan bersama dalam bentuk matrik maka didapat bentuk:
Q1 AE 1 − 1 q1 Q = 2 L − 1 1 q2 Karena f = k ⋅ q , maka dan persamaan matrix dapat dinyatakan: k =
AE 1 L
−1
−1 1
Persamaan ini ini menyatakan matrik kekakuan untuk sebuah elemen batang (truss) Setelah langkah 4 ini kita bisa melanjutkan dengan langkah berikutnya untuk melengkapi prosedur metode elemen hingga ini yaitu : Langkah 5 : Penggabungan persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan total atau persamaan
global
(diuraikan
pada
subbab
berikut),
Langkah
6
:
Menyelesaikan persamaan global untuk mendapatkan displasemen simpul. Kemudian dilanjutkan dengan langkah terakhir yaitu Langkah 7 : Menentukan gaya-gaya elemen. 7.7
Penggabungan Elemen. Sejauh ini kita telah bisa menurunkan matrik kekakuan elemen,
termasuk teori yang melatar belakanginya. Namun demikian, elemen-elemen tersebut sebagai sesuatu yang berdiri sendiri tidak berarti apa-apa, kecuali untuk menyelesaikan masalah yang sangat sederhana. Elemen-elemen tersebut harus digabungkan untuk mendapatkan bentuk struktur/sistem tertentu (yang lebih tepat adalah sistem dibagi menjadi elemen-elemen dan elemen-elemen tersebut kemudian digabungkan). Penggabungan elemen ini harus mematuhi ”hukum” tertentu yaitu yang disebut “hukum gabungan” . Secara umum hukum ini berbunyi : ”karena
displasemen harus suma pada simpul yang sama. maka pada lokasi - /okasi tersebut beban dan matrik kekakuan harux dtiambahkan”. Secara matematis hal ini bisa dibuktikan dengan perantaraan konsep variasi
(variational
concept).
Namun
demikian
sebenarnya
bahwa
penggabungan elemen ini bisa dilakukan secara langsung (metode kekakuan
57
langsung), yaitu dengan memperhatikan simpul dimana penggabungan tersebut terjadi. Dengan melihat kemungkinan dilakukannya penggabungan secara langsung ini, maka kita tidak perlu rnenggunakan prinsip energi potensial minimum lagi untuk melakukan penggabungan. Cara ini bisa berlaku untuk elemen 1-D, 2-D maupun 3-D. Penggabungan kekakuan global, matrik gaya dan persamaan global dapat dilakukan dengan metode kekakuan langsung (direct stifffness
method). Langkah ini harus dilakukan untuk struktur yang memiliki lebih dari satu elemen sehingga dapat dinyatakan : N
[ K ] = ∑ [ k ] g
i =1
dan
t i
Q g
= { Qt } i
dimana sekarang matrik kekakuan elemen lokalnya harus ditransformasikan ke dalam matrik kekakuan elemen global sebelum kita memakai metode kekakuan langsung seperti dalam pers di atas. Untuk memperelas konsep ini, akan diberikan contoh penggabungan matrik kekakuan elemen menjadi matrik kekakuan global dan struktur tiga batang seperti pada Gambar 10 berikut. Gaya simpul sebesar 3000 lb. bekerja pada simpul 2 searah sumbu x. Untuk elemen 1 dan 2, modulus elastisitas E = 30 x 106 psi dan luas penampang A = 2 in 2. Sedang elemen 3,
E = 15 x l06 psi dan luas penampang A = 2 in2. Simpul 1 dan 4 dijepit pada dinding.
Gambar 7.7. Penggabungan Tiga elemen batang. Sebelum kita menentukan matrik kekakuan globalnya harus ditentukan dulu masing – masing matrik kekakuan elemennya. Untuk elemen batang, kita gunakan persamaan matrik kekakuan sbb :
[ k ] =
AE 1 L
−1
−1 1
58
Sehingga untuk masing-masing elemen diperoleh :
[ k ]1 = [ k ] 2 =
[ k ] 3 =
(2)(15 ×10 6 ) 30
2
2
3
−1 1 −1 = 10 6 1 −1 1
(1)(30 ×10 6 ) 1
−1
30
1
−1 1 1 −1 6 −1 1 = 10 −1 1
dimana, angka-angka di atas matrik pada pers. di atas menunjukkan displasemen yang terkait dengan tiap matrik. Setelah matrik kekakuan tiap-tiap elemen diketahui, selanjutnya kita bisa menggabungkannya dengan metode kekakuan langsung dan didapat matrik kekakuan global sbb, : q1
1 −1 6 [ K ] = 10 0 0 Dengan
q2
−1 1 +1 −1
hasil
0
ini
q3
q4 0
−1 1 +1 −1
1 −1 0 6 = 10 0 −1 0 1 0
selanjutnya
kita
−1 1 +1 −1 0
0
−1 1 +1 −1
0 −1 1 0
bisa menyusun
persamaan
keseimbangan globalnya yaitu :
Q1 1 −1 0 Q 2 = 10 6 − 1 2 − 1 Q 0 −1 2 3 0 0 −1 Q4
0 q1
q 2 0q3 q 1 4 0
untuk menyelesaikan persamaan ini kita perlu memasukkan kondisi batas yang ada. Untuk kasus ini kondisi batasnya adalah q1 = q 4 = 0 . Dengan kondisi batas ini dan memasukkan gaya globalnya, lalu mempartisi persamaannya kita dapatkan persamaan : 2 − 1 q 2 3000 6 0 = 10 − 1 2 q 1
dengan menyelesaikan persamaan di atas secara simultan, didapatkan displasemen :
q 2 = 0,002 in. dan q 3 = 0,001 in.
59
Kondisi batas dan displasemen yang sudah didapat disubstitusikan kembali ke pers. Di atas maka didapat gaya simpul global termasuk gaya reaksi di simpul 1 dan 4 yaitu : Q1
= 10 6 (q1 − q2 ) = 106 (0 − 0,002) = −2000lb
Q2
= 10 6 (−q1 + 2q 2 − q3 ) = 10 6 [ 0 + 2(0,002) − 0,001] = 3000lb
Q3
= 10 6 (2q3 − q 2 − q 4 ) = 10 6 [ 0 + 2(0,001) − 0,002] = 0
Q4
= 10 6 (q 4 − q3 ) = 10 6 (0 − 0,001) = −1000lb
7.8
Model Displasemen Perbedaan utama antara metode Rayleigh-Ritz dengan MEH adalah
bahwa pada metode yang disebut pertama, fungsi displasemennya adalah untuk keseluruhan sistem sedangkan pada MEH, fungsi displasemennya adalah untuk elemen. Pada MEH kita bicara tentang pendekatan “ piecewise” (sepotong demi sepotong). Kendatipun banyak model displasemen bisa dipakai, namun yang paling umum digunakan adalah bentuk polinomial. Ada dua alasan utama mengapa bentuk polinomial paling umum digunakan. Pertama, karena mudah ditangani secara matematis maupun dimanipulasi secara digital oleh komputer (yaitu mudah dideferensialkan dan diintegrasikan). Kedua, dengan menggunakan bentuk polinomial maka secara fisik bisa diperkirakan apakah pendekatan tersebut masuk akal atau tidak. Dengan sendirinya penyelesaian yang eksak bisa didapat apabila fungsi polinomial yang digunakan memiliki orde yang tak berhingga. Namun untuk keperluan praktis orde ini harus dibatasi. Bentuk fungsi polinomial tersebut secara umum dapat dituliskan, u ( x) = α 1
+ α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3 + ....... + α n +1 x n
Koefisien polinomial di atas yaitu α1, ..,αn, disebut koordinat umum
(generalized coordinates). Perkataan umum (general) ini digunakan karena α1,....,αn ini tidak memiliki arti fisik seperti displasemen yang sebenamya dan suatu elemen, namun hanyalah sekedar kombinasi linier dan beberapa simpul displasemen.
60
Dalam bentuk matrik, persamaan di atas dapat ditulis, u ( x)
dimana :
= {Φ}T {α }
1 x 2 { Φ} = x n x
α 1 α {α } = 2 α n+1
dan
Bentuk polinomial untuk model dua dimensi secara umum adalah: u ( x, y )
= α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + ...... + α m y n
v ( x, y )
= α m+1 + α m+2 x + α m+3 y + α m+4 x 2 + α m+5 xy + α m+6 y 2 + ...... + α 2 m y n
dengan u dan v masing-masing sebagai komponen displasemen ke arah x dan y. dalam bentuk matrik dapat ditulis,
{Φ T } u ( x, y ) { u ( x, y)} = = [ Φ ]{α } = T v ( x , y ) {Φ } dimana:
ΦT =
1 x
{α } T = {α 1
y
α 2
x 2 α 3
xy
{Φ {Φ y 2
T T
} {α } } ....... y n
.........α 2 m }
Seperti telah disebutkan sebelumya bahwa orde dan polinomial bisa dibatasi semau kita dengan memperhatikan kaidah – kaidah tertentu sehingga didapat model konstan, linier, kuadrat, kubik dll. Sebagai misal bentuk model linier dua dimensi adalah : u(x) = α1 + α2x+ α3y v(x) = α4 + α5x + α6y,
dst.
Ada tiga kondisi pokok yang harus dipenuhi oleh sebuah model displasemen agar penyelesaian numerik yang dihasilkan menjadi konvergen. Perlu disebutkan di sini bahwa kekakuan dan sistem yang dihasilkan oleh MEH merupakan “upper bound’ (batas atas) dari kekakuan sistem yang sesungguhnya. Dengan kata lain displasemen yang sesungguhnya sedikit
lebih besar dan yang didapat dengan pendekatan MEH ini. Dengan semakin
61
bertambah banyaknya elemen yang digunakan, maka penyelesaian yang dihasilkan akan semakin mendekati keadaan yang sebenarnya. Hal ini hanya benar apabila ketiga syarat berikut terpenuhi, yaitu 1.
Model displasemen harus kontinyu pada setiap elemen dan displasemen antara dua elemen yang berdekatan harus “compatible’.
2.
Model displasemen harus mewakili displasemen benda tegar (rigid body ) dan elemen. Model displasemen juga harus menggambarkan regangan
3.
konstan untuk tiap elemen. Elemen yang memenuhi persyaratan no.1 di atas disebut “compatible” (atau comforming) dan yang memenuhi persyaratan no.2 dan 3 disebut
“complete” (lengkap). Persyaratan no. 1 tentang kontinyuitas biasanya terpenuhi kalau bentuk polinomial dipilih sebagal model, “Compatibility” berarti bahwa antara elemen satu dengan yang lainnya tidak mengalami ketidakkontinyuan
(discontinuity). Persyaratan no.2 pada dasarnya menyatakan bahwa semua titik pada elemen mengalami displasemen yang sama, baik translasi maupun rotasi. Persyaratan no.3 secara fisik bisa dilihat bahwa kalau elemen ini demikian kecilnya, maka regangan yang terjadi harus konstan. Disamping ketiga persyaratan di atas. model displasemen polinomial masih harus memenuhi semua syarat lain yaitu bahwa model harus tidak tergantung pada orientasi dari sistem koordinat lokal, atau dengan kata lain harus isotropis secara geometris. Salah satu cara untuk melakukan hal ini adalah dengan menggunakan segitiga Pascal sbb.: 1 x x2 x3 x4
y xy
x2y x3y
konstan linier y xy2
x2y2
kuadratik y3
xy3
kubik y4
dst.
62
7.9
Fungsi Displasemen Elemen Balok Lentur. Untuk elemen balok lentur (beam bending), kita asumsikan variasi
displasemen melintang sepanjang elemennya adalah:
v(x) = a1 x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4 Bentuk fungsi displasemen kubik lengkap ini sesuai untuk dipakai karena: •
Elemen memiliki derajat kebebasan total 4 buah yaitu displasemen melintang dan suatu rotasi kecil untuk tiap simpulnya.
•
Memenuhi persamaan diferensial balok dasar.
•
Kontinyuitas displasemen dan kemiringan pada simpul yang dipakai bersama terpenuhi.
Fungsi displasemen v kita nyatakan sebagai fungsi dari derajat kebebasan simpulnya maka diperoleh: v (0 )
= q1 y = a 4
dv (0) dx v( L)
= q 2 y = a1 L3 + a 2 L2 + a3 L + a 4
dv( L) dx
= Φ1 = a3
= Φ 2 = 3a1 L2 + 2a2 L + a3
Dengan menyelesaikan pers. Di atas untuk a1 s/d a4 dan mensubstitusikan ke pers.(4.4.1) akan didapat : 1 2 V = 3 (q1 y − q 2 y ) + 2 (Φ1 L L
+ Φ 2 ) x 3
3 1 + − 2 (q1 y − q2 y) − (2Φ1 + Φ 2 ) x 2 + Φ1 x + q1 y L L
Dalam bentuk matrik dapat kita nyatakan dengan : V
= [ N ]{q}
63
q1 y Φ { q} = 1 q 2 y Φ 2
dimana :
[ N ] = [ N 1 dan
1
N 1
=
N 2
=
N 3
=
N 4
=
N 2
L
N 4 ]
( 2 x − 3 x L + L ) 3
3
N 3
1 3
L
1
2
3
( x L − 2 x L + xL ) 3
2
L
1 3
L
3
( − 2 x + 3 x L) 3
3
2
2
( x L − x L ) 3
2
2
N 1, N 2, N 3, dan N 4 di atas disebut fungsi bentuk (shape function) dan sebuah elemen balok. Untuk elemen balok N 1 = 1 jika dievaluasi path simpul 1 dan
N1 = 0 jika dievaluasi pada simpul 2. Karena N 2 terkait dengan Φ1 maka dan persamaan
kedua
pada pers. (4.4.7) terdapat
dN 2 = 1 jika dievaluasi pada simpul 1. Fungsi dx
bentuk
N 3 dan N 4 akan memiliki hasil yang analog untuk simpul 2. Dan sini, proses dapat dilanjutkan untuk mendapatkan matrik kekakuan elemen balok dalam koordinat lokalnya yaitu kita asumsikan hubungan regangan displasemen yang memenuhi adalah : ε x
= ( x, y ) = du dx
dimana u adalah fungsi displasemen aksial. Pada konfigurasi balok yang terdeformasi (Gambar 6.4.), hubungan antara displasemen aksial dan displasemen melintangnya adalah: u
= − y
dv dx
64
yaitu dengan asumsi dari teori balok dasar bahwa potongan melintang balok (bidang ABCD) yang datar sebelum terdeformasi, akan tetap datar setelah mengalami dv . dx
deformasi dan secara umum akan berputar dengan sudut
Gambar 7.8 Segmen balok, sebelum terdeformasi, setelah terdeformasi dan sudut putar dari penampang melintang ABCD. Dengan memakai persamaan sebelumnya akan kita peroleh hubungan : ε x
= ( x, y) = − y
d 2 u dx 2
Dari teori balok dasar, dikatakan bahwa momen bending dan gaya geser terkait dengan fungsi displasemen transversalnya. Jika kita ingin menggunakan hubungan ini untuk menurunkan matrik kekakuan elemen balok maka kita nyatakan dalam bentuk : m x
= EI
d 2 v
V = EI
dx 2
d 3 v dx 3
Untuk menurunkan matrik kekakuan dan persamaan elemen akan digunakan pendekatan keseimbangan langsung. Dengan menggunakan kesepakatan tanda untuk gaya geser dan momen bending akan kita dapatkan : 3
Q1 y
= V = EI
d v dx
3
=
EI 3
L
(12q + 6 LΦ − 12q + 6Φ ) 1 y
2
m1
= −m = EI
d v(0) dx
2
3
Q2 y
= −V = EI
d v( L) dx
3
=
=
EI 3
L
EI L3
1
2y
2
( 6 Lq + 4 L Φ − 6 Lq + 2L Φ ) 2
1 y
2
1
2 y
2
( −12q1 + 6 LΦ1 + 12q2 − 6Φ 2 ) y
y
65
2
m2
= m = EI
d v( L) dx
2
=
EI 3
L
( 6 Lq + 2 L Φ − 6 Lq + 4L Φ ) 2
1 y
2
1
2 y
2
Persamaan ini adalah menghubungkan gaya simpul dan displasemen simpul. Dalam bentuk matrik, persamaan di atas dapat dituliskan dengan :
Q1 y m 1 EI Q 3 2 y = L m
12 6 L − 12 6 L 6 L 4 L2 − 6 L 2 L2 − 12 − 6 L 12 − 6 L 6 L 2 L2 − 6 L 4 L2
q1 y Φ1 q 2 y Φ 2
dimana yang disebut matrik kekakuan adalah :
EI
[k ]
L
=
3
12 6 L − 12 6 L 6 L 4 L2 − 6 L 2 L2 − 12 − 6 L 12 − 6 L 6 L 2 L2 − 6 L 4 L2 .................................................................................. .(
Persamaan matrix di atas menunjukkan bahwa [k] menghubungkan gayagaya melintang dan momen bending terhadap displasemen melintang dan rotasi dimana efek aksialnya diabaikan.
7.10Transformasi Koordinat.
Sejauh ini kita tidak membedakan koordinat ‘lokal” dan koordinat global’ karena sering keduanya tidak berbeda. Namun demikian sering pula dijumpai keadaan dimana beberapa elemen terletak pada posisi sedemikian rupa sehingga penggunaan satu sistem koordinat tidak memungkinkan lagi. Dalam keadaan yang demikian orang menggunakan ‘koordinat lokal” untuk setiap elemen, dan “koordinat global” untuk gabungan elemen (lihat Gambar 11).
66
Xg
Gambar 7.9. Ilustrasi sistem koordinat lokal dan global
Andaikan bahwa kita telah berhasil mendapatkan vektor displasemen pada
koordinat global
u g dan kita ingin mengubahnya ke dalam koordinat lokal v g
u 1 . Dalam hal ini kita hanya memperhatikan rotasi koordinat saja karena v 1
translasi tidak mempengaruhi kekakuan.
Gambar 7.10. Hubungan antara koordinat lokal dan koordinat global u1 = ug cos α + vg sin v1 = - ug sin
α
α
+ vg cos α
kalau dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi :
u i = v 1
cos α − sin α
u g cos α v g sin α
67
dimana dalam persamaan di atas terdapat matrik bujur sangkar yang disebut
Matrik Transformasi ( t ) untuk simpul tertentu . Apabila proses di atas diulangi untuk setiap simpul pada elemen maka didapatkan :
q y
u1l v 1l = = u 2l v 2l
[t ] [ 0] [ 0] [ 0] [ t ] [ 0] [ 0] [ 0] [ t ]
q g
yaitu { q1 } = [T ] q g }
Demikian halnya untuk beban atau gaya :
{Q1 } = [T ]
Q g
Persamaan keseimbangan untuk suatu elemen, seperti telah kita ketahui adalah :
{Q1 }
= [ k 1 ] { q1 }
Sehingga dengan menggunakan hubungan transformasi di atas, persamaan ini dapat dinyatakan dengan
[T ]
Q g
= [ k 1 ] [T ]
{Q g } = [T ] −1 [k 1 ]
q g
[T ] q g }
Matrik transformasi
[T ]
memiliki sifat
[T ] −1 = [T ] T
(coba Anda
buktikan!). Matrik yang memiliki sifat yang demikian yaitu matrik inversnya sama dengan matrik transposnya disebut matrik Ortogonal. Dengan demikian dapat kita tuliskan hubungan : Q g
= [ k 1 ]
dimana : [k g ] = [T ]
q g T
[ k 1 ] [T ]
Komputer program biasanya menghitung matrik kekakuan untuk setiap elemen pada koordinat lokal, kemudian mentransformasikan ke dalam koordinat global dengan cara seperti telah ditunjukkan diatas. Selanjutnya proses penggabungan elemen dilakukan pada system koordinat global.
68
Perlu dicatat bahwa kita sering kali harus merubah bentuk/ukuran matrik agar sesuai dengan bentuk global. Misalnya untuk elemen garis satu dimensi.
Gambar 7.11. Elemen batang dalam 2 dimensi Pada koordinat lokal xl − yl , matrik kekakuan elemen ini dapat ditulis dalam bentuk dua dimensi berikut :
Q1l EA / L Q 0 2l = Q3l − EA / L Q4l 0
− EA / L 0 q1l 0 0 0 q2l 0 EA / L 0 q3l 0 0 0 q4l 0
Demikian pula, elemen garis satu dimensi ini dapat dituliskan dalam bentuk 3 dimensi sbb :
Q1 L EA / L Q 0 2 L Q3 L 0 = Q4 L − EA / L Q5 L 0 Q6 L 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− EA / L 0 0 q1l 0 0 0 q 2l 0 0 0 q3l EA / L 0 0 q 4l 0 0 0 q5l 0 0 0 q6 l
69
Gambar 7.12. Elemenbatang dalam 3 dimensi.
7.11. Matrik Kekakuan Global Hubungan transformasi di atas dapat digunakan untuk mendapatkan matrik kekakuan global elemen. Suatu elemen balok (beam) berorientasi seperti pada gambar. Seperti pada elemen batang (truss), hubungan displasemen lokal dengan displasemen global adalah :
d ˆ x C ˆ = − S d y
d x C d y S
Gambar 7.13 Elemen balok dengan orientasi sembarang
70