ANALISE AP.pdf

Universidade Federal de Campina Grande Centro de Formação de Professores Unidade Acadêmica de Ciências Exatas e da Natureza

Análise Análise Matemáti Matemática ca

por

Gilberto Fernandes Vieira

Cajazeiras 2016

Sumário

1 Conjuntos Finitos e Infinitos

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Numeros Naturais . . . . Conjuntos Finitos . . . . Conjuntos Infinitos . . . Conjuntos Enumeráveis . Exercícios Resolvidos . . Exercícios Propostos . .

. . . . . .

1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. 1 . 5 . 7 . 8 . 10 . 14

2 Números Reais

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

16

R é um Corp o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R é um Corp o Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R é um Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Sequências de Números Reais

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Limites de uma Sequência Limites e Desigualdades . Oper perações com Limites . . Limites Infinitos . . . . . . Exercícios Resolvidos . . . Exercícios Propostos . . .

. . . . . .

16 17 21 24 27 32

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

4 No çõ es de Topologia

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

32 36 37 41 43 45 48

4.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ii

4.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Trabalho

55

Capítulo

1

Conjuntos Finitos e Infinitos

Neste capítulo, será estabelecida com precisão a diferença entre conjunto finito e conjunto infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto não-enumerável. O ponto de partida é o conjunto dos números naturais.

1.1 Numeros Naturais Definição 1.1. O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:

1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural n ∈ N chama-se o sucessor de n. Em outras palavras, todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; números diferentes têm sucessores diferentes. 2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 =  s(n) para todo n ∈ N. Em outros termos, existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro. 3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X ) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ) então X = N. Dito de outra forma, se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais. As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano .

1.1 Numeros Naturais

2

Observação 1.2. O axioma 3 é conhecido como o princípio da indução. Indutivamente, ele significa que todo número natural n pode ser obtido a partir de 1, tomando-se seu sucessor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com

um número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” é uma expressão que, neste momento, não tem ainda significado. A formulação do axioma 3 é uma maneira extremamente hábil de evitar a petição de princípio até que a noção de conjunto finito seja esclarecida.) O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido como método de indução (ou recorrência), o qual funciona assim:“se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número n daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais”. Exemplo 1.3 (Demonstração por indução). Para todo n N, tem-se s(n) = n. Esta afirmação é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 = s(n) para todo n N, logo, em particular, 1 = s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n N, vale n = s(n). Como a função s é injetiva, daí resulta s(n) = s(s(n)), isto é, a afirmação é verdadeira para s(n).

∈

∈ 









∈

No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição, que associa a cada par de números (m, n) sua soma m + n, e a multiplicação, que faz corresponder ao par (m, n) seu produto m · n. Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição: m + 1 = s(m); m + s(n) = s(m + n), isto é , m + (n + 1) = (m + n) + 1; m 1 = m; m (n + 1) = m n + m.

· ·

·

Noutros termos: somar 1 a m significa tomar o sucessor de m; se conhecemos a soma m + n, conheceremos m + (n + 1), que é o sucessor de m + n; multiplicar por 1 não altera o número; se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n + 1) = m · n + m. Observação 1.4. As duas primeiras igualdades significam que a soma de dois números naturais é o sucessor de um número natural, pois, conforme o axioma 2, dado n N,

∈


3

tem-se que n = 1 (neste caso, usamos a primeira igualdade) ou n = s(m) (neste caso, usamos a segunda igualdade ). A demonstração da existência das operações + e · com as propriedades acima, bem como sua unicidade, se faz por indução. Para tal, consulte o “Curso de Análise, Vol. 1, ou suas referências bibliográficas, onde são demonstradas (por indução) as seguintes propriedades da adição e multiplicação: associatividade: (m + n) + p = m + (n + p), (m · n) · p = m · (n · p); distributividade: m · (n + p) = m · n + m · p); comutatividade: m + n = n + m, m · n = n · m; lei do corte: m + n = p + n ⇒ m = p, m · n = p · n ⇒ m = p. Prova da lei do corte: Usaremos indução em n. Ela vale para n = 1, pois m + 1 = p +1 significa s(m) = s( p), logo m = p pela injetividade de s. Admitindo-a válida para n (i.e. que m + n = p + n ⇒ m = p ), então, supondo que m + (n + 1) = p + (n + 1) , e usando a associatividade, obtemos (m + n) + 1 = ( p + n) + 1 que, pela injetividade de s, implica m + n = p + n. Logo m = p pela hipótese de indução. Definição 1.5. Dados os números naturais m, n, escreve-se m < n quando existe p N tal que n = m + p. Diz-se então que m é menor do que n. A notação m n significa que m < n ou m = n .

≤

∈

Exemplo 1.6. Prove 1. Transitividade: m < n, n < p

⇒ m < p

2. Tricotomia: dados m, n N quaisquer, vale apenas uma das três alternativas: m = n , m < n ou n < m, isto é: ou m = n , ou existe p N tal que m = n + p, ou existe q N tal que n = m + q .

∈

∈

∈

1. Como m < n e n < p, existem r, s N tais que n = m + r e p = n + s. Assim, p = m + r + s = m + (r + s), logo m < p, pois r + s N.

∈

∈

2. Seja m

∈ N e seja { ∈ N : n e m satisfazem a propriedade de tricotomia }.

X = n

∈ X . De fato, ou m = 1 ou m = 1 e, neste caso, m é o sucessor de algum número n ∈ N, ou seja, existe n ∈ N tal que

– 1

0

0

1 + n0 = n 0 + 1 = s(n0 ) = m.


4

– Seja n X . Então, ou n = m, ou existe p q N tal que m = n + q .

∈

∈

∈ N tal que n = m + p, ou existe

Vamos provar que s(n) ∈ X . De fato, – se n = m , então s(n) = s(m) = m + 1 . – se n = m + p, então s(n) = s(m + p) = (m + p) + 1 = m + ( p + 1) . – se m = n + q , ou q = 1 ou q = 1. Se q = 1, m = n + 1, ou seja, s(n) = m . Se q = 1, existe q 0 N tal que q 0 + 1 = q .



Logo,



∈

m = n + q = n + (q 0 + 1) = n + (1 + q 0 ) = (n + 1) + q 0 = s(n) + q 0 .

Em qualquer caso, provamos que ou s(n) = m , ou existe r ∈ N tal que s(n) = m + r, ou existe l ∈ N tal que m = s(n) + l . Logo, X = N, ou seja, dados m, n ∈ N temos que, ou m = n, ou existe p ∈ N tal que m = n + p, ou existe q ∈ N tal que n = m + q . Para provar que vale exatamente uma das três alternativas, devemos verificar a seguinte afirmação: n + p  = n, ∀ n, p ∈ N. De fato, se n = n + p para alguns n, p ∈ N , então n + 1 = (n + p) + 1 = n + ( p + 1) ⇒ 1 = p + 1 , que é um absurdo, pois 1 não é sucessor de nenhum número natural, enquanto que a soma de dois naturais é sempre um sucessor. Agora, provemos a exclusividade de cada uma das três alternativas. Se valem n = m e n = m + p , então n = n + p, que contraria a afirmação. Analogamente, verifica-se que não pode ocorrer n = m e m = n + q (basta utilizar a comutatividade). Se valem n = m + p e m = n + q , então n = n + (q + p), que contraria, novamente, a afirmação. Exemplo 1.7. A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido e raramente demonstrado, que é o seguinte: para qualquer n N, não existe p N tal que n < p < n + 1. Suponhamos por absurdo que um tal p N exista. Então teremos p = n + r e n + 1 = p + s, com r, s N. Daí resulta que p + 1 = n + 1 + r = p + s + r e (cortando p) 1 = r + s. Isto é um absurdo pois, pela definição de adição (Observação

∈

∈ ∈

∈

1.2 Conjuntos Finitos

5

1.4), a soma de dois números naturais é sempre um sucessor de algum número, logo não pode ser 1, pelo axioma 2. Este resultado é usado na demonstração de uma das principais propriedades da relação de ordem m < n entre os números naturais, que é o Princípio Princípio da Boa-Ordenação Boa-Ordenação (PBO), abaixo enunciado e provado. N Proposiçã Proposição o 1.8 (Princípio da Boa-Ordenação). Todo subconjunto não vazio A possui um menor elemento, isto é, um elemento n0 A tal que n0 n para todo n A .

∈

≤

⊂ ∈

Demonstração. Temos dois casos a considerar: (a) Se 1 A então 1 será o menor elemento de A (pois 1 é o único número natural que não é sucessor de outro). (b) Se, porém, 1 A , então consideremos o conjunto

∈

∈

X = n

{ ∈ N : n < a, ∀ a ∈ A},

Como 1  ∈ A, vemos que 1 ∈ X . Por outro lado, como A não é vazio, concluímos que X  = N. Logo, a conclusão do axioma 3 não é válida. Segue-se que deve existir n ∈ X tal que n + 1 ∈  X , logo existe a ∈ A tal que n < a ≤ n + 1. Como não existe número natural entre n e n + 1 (Cf. (Cf. Exemplo Exemplo 1.7) segue segue que a = n + 1 ∈ A é o menor elemento de A, pois qualquer número natural ≤ n pertence a X . 

1.2 Conjun Conjuntos tos Finitos Finitos Definição 1.9. Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem n N e uma bijeção f : I n Escrevendoo x1 = f (1) X . Escrevend f (1),, x2 = f (2) f (2),, . . . , xn = f ( f (n) temos então X = x1 , x2 , . . . , xn .

{

∈

→ }

uma contagem dos dos elementos de X e o número n chama-se o • A bijeção chama-se uma contagem número de elementos , ou número número cardinal do do conjunto finito X .

O Corolário abaixo prova que o número cardinal está bem definido, isto é, não depende da particular particular contagem contagem f . Lema 1.10. 1.10. Se existe uma bijeção f : X Y então, dados a também uma bijeção g : X Y tal que g (a) = b .

→ →

→

∈ X e b ∈ Y , , existe

Demonstração. Seja b = f ( f (a). Como f é sobrejetora, existe a X tal que f ( f (a ) = b . Definamos g : X : X Y pondo g( g (a) = b , g( g (a ) = b  e g( g (x) = f ( f (x) se x X a, a . É fácil ver que g é uma bijeção. 

→ →

∈ ∈ −{ }

1.2 Conjuntos Finitos

6

Teorema 1.11. Se A é um subconjunto próprio de I n , não pode existir uma bijeção f : A I n .

→

N, Demonstração. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 o menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A I n0 e uma bijeção f : A I n0 . Se n0 A então, pelo Lema 1.10, existe uma bijeção g : A I n0 com g(n0 ) = n0. Neste caso, a restrição de g a A n0 é uma bijeção do subconjunto próprio A contrár rário, io, n0 sobre I n0 −1 , o que contraria a minimalidade de n0. Se, ao cont tivermos n 0 A, então tomamos a A com f ( f (a) = n 0 e a restrição de f ao subconjunto próprio A a I n0 −1 será uma bijeção sobre I n0−1 , o que novamente vai contrariar a minimalidade de n0 . 

→

⊂

∈

−{ } ∈ −{ } ⊂

∈

→

−{ }

∈

Corolário 1.12. Se f : I m

: I → X são bijeções, então m = n = n . → X e g : I n

Demonstração. Com efeito, se fosse m < n então I m seria um subconjunto próprio de Analogamentee I n , o que violaria o Teorema 1.11, pois g−1 f : I m I n é uma bijeção. Analogament se mostra que não é possível n < m. Logo m = n = n . 

◦

→

Corolário 1.13. Seja X um um conjunto finito. Uma aplicação f : X

→ X é injetiva se, e →

somente se, é sobrejetiva.

Demonstração. Com efeito, existe uma bijeção ϕ : I n X . A aplicação f : X X é injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, ϕ −1 f ϕ : I : I n I n o é. Logo podemos considerar f : I n I n. Se f for injetiva, então pondo A = A = f f ((I n ), teremos uma bijeção f −1 : A I n . Pelo Teorema 1.11, A = I = I n e f é sobrejetiva. Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto A I n escolhendo, para cada y I n , um elemento x I n tal que f ( f (x) = y. Então a restrição f : A I n é uma bijeção. Pelo Pelo Teorema 1.11, temos A = A = I I n . Isto significa que, para cada y I n, é único o x tal que f ( f (x) = y , ou seja, f é injetiva. 

→ →

◦ ◦

→

∈

→ →

→

⊂

∈

∈

→

Corolário 1.14. Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte

própria. sejam X finito e Y X uma parte própria. Existem Existem n N Demonstração. Com efeito, sejam e uma bijeção ϕ : I n Então o conjun conjunto to A = ϕ−1 (Y ) X . Então ) é uma parte própria de I n . Chamemos de ϕA : A existis isse se uma Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A. Se exist bijeção f : Y X , a composta g = ϕ−1 f ϕA : A I n seria também uma bijeção,

→

→ →

contrariando o Teorema 1.11.

⊂

◦ ◦ ◦

∈

→

Observação 1.15. O Corolário 1.14 é uma mera reformulação do Teorema 1.11.



1.3 Conjuntos Infinitos

7

Teorema 1.16. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.

Provaremos inicialmen inicialmente te o seguinte seguinte caso particular: particular: se X é finito e Demonstração. Prov então X a é finito. finito. Com efeito, efeito, existe existe uma bijeção bijeção f : I n a X então X a qual, pelo Lema 1.10, podemos supor que cumpre f ( f (n) = a. Se n = 1 então X a = é finito. Se n > 1, a restrição de f a I n−1 é uma bijeção sobre X a , logo X a é finito e tem n 1 elementos. O caso geral se prova por indução no número n de elementos de X . Ele é evidente quando X = ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro verdadeiro para conjuntos conjuntos com n elementos, sejam X um conjunto com n + 1 elementos e Y um subconjunto de X . Se Y = X , nada há o que provar. provar. Caso contrário, contrário, existe existe a X com a Y . Entã Então, o, na realidade, Y X a . Como X a tem n elementos, segue-se que Y é finito. 

∈

− − { }

− − { }

−

→ − − { } ∅ − − { }

∅

⊂ − − { }

∈

−{ − { }

∈

, se Y é finito e f é injetiva então X é é finito; se X é Corolário 1.17. Dada f : X Y , finito e f é sobrejetiva então Y é finito.

→ →

Demonstração. Com efeito, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um subconjunto f ( Por outro lado, lado, se f é sobrejetiva e X é finito f (X ) do conjunto finito Y . Por então, para cada y Y podemos escolher um x = g = g((y) X tal que f ( f (x) = y . Isto define uma aplicação aplicação g : Y . Segue-se que g é injetiva : Y X tal que f ( f (g (y )) = y para todo y Y . logo, pelo que acabamos de provar, Y é finito. 

∈ →

∈

∈

Definição 1.18. Um subconjunto X x p para todo x X .

≤

∈

⊂ ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que

Corolário 1.19. Um sobconjunto X

⊂ ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado. Demonstração. Com efeito, se X = {x , . . . , x } ⊂ N é finito, pondo p = x = x + · · · + x vemos que x ∈ X ⇒ x ≤ p logo X é limitado. limitado. Reciprocament Reciprocamente, e, se X ⊂ N é limitado então X ⊂ ⊂ I para algum p ∈ N, segue-se pois do Teorema 1.16 que X é é finito. 1

n

1

n



p p

1.3 Conjuntos Conjuntos Infinitos Infinitos quandoo não é finito. finito. Assim, Assim, X é Definição 1.20. Diz-se que um conjunto é infinito quand infinito quando X = e nem existe, seja qual for n N, uma bijeção f : I n X .

  ∅

∈

→

Exemplo 1.21. N é infinito em virtude do Corolário 1.19 do Teorema 1.16. Teorema 1.22. Se X é um conjunt onjuntoo infinit infinito, o, então então existe existe uma aplic aplicaçã açãoo injeti injetiva va f : N X .

→

1.4 Conjuntos Enumeráveis

8

Demonstração. Para cada subconjunto não vazio A X , escolhemos um elemento xA A . Em seguida, definimos f : N X indutivamente. Pomos f (1) = x X e, supondo já definidos f (1), . . . , f ( n), escrevemos A n = X f (1), . . . , f ( n) . Como X é infinito, A n não é vazio. Definimos então f (n + 1) = x An . Isto completa a definição de f . Para provar que f é injetiva, sejam m, n N, digamos com m < n. Então f (m) f (1), . . . , f ( n 1) enquanto f (n) X f (1), . . . , f ( n 1) . Logo, f (m) = f (n). 

∈

→

∈

∈ − {

⊂

−{

}

− }

∈{



− }

Corolário 1.23. Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção ϕ : X Y sobre um subconjunto próprio Y X .

→

⊂

Demonstração. Com efeito, sejam X infinito e f : N X uma aplicação injetiva. Escrevamos, para cada n N, f (n) = xn . Consideremos o subconjunto próprio Y = X x1 . Definamos a bijeção ϕ : X Y pondo ϕ(x) = x se x não é um dos x n e ϕ(xn ) = x n+1 (n N). Reciprocamente, se existe uma bijeção de X sobre um seu subconjunto próprio então  X é infinito, em virtude do Corolário 1.14 do Teorema 1.11. Note que se N1 = N 1 , então a função ϕ : N N1 , ϕ(n) = n + 1 é uma bijeção. Mais geralmente, fixando p N podemos considerar N p = p + 1, p + 2, . . . e definir a bijeção ϕ : N N p , ϕ(n) = n + p.

→

∈

− { }

→

∈

−{ } ∈

→

→

{

}

Fenômenos desse tipo já tinham sido observados por Galileu, que foi o primeiro a notar que “há tantos números pares quantos números naturais”, mostrando que se P = {2, 4, 6, . . .} é o conjunto dos números pares, então ϕ : N → P , dada por ϕ(n) = 2n, é uma bijeção. Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . .} é o conjunto dos números ímpares, então ψ : N → I , com ψ(n) = 2n − 1, também é uma bijeção. Nestes dois últimos exemplos, N − P = I e N − I = P são infinitos, enquanto N − N p = {1, 2, . . . , p} é finito.

1.4 Conjuntos Enumeráveis Definição 1.24. Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f : N X .

→

• A função f chama-se uma enumeração dos elementos de X . Escrevendo f (1) = x , f (2) = x , . . . , f ( n) = x , . . . tem-se então X = {x , x , . . . , x . . .}. Exemplo 1.25. O conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} é enumerável. De fato, uma bijeção f : N → Z pode ser definida pondo (n − 1)/2 para n ímpar f (n) = −n/2 para n par. 1

2

n



1

2

n

1.4 Conjuntos Enumeráveis

9

Teorema 1.26. Todo subconjunto X

⊂ N é enumerável.

Demonstração. Se X é finito, nada há o que demonstrar. Caso contrário, enumeramos os elementos de X pondo x1 = menor elemento de X , e supondo definidos x1 < x2 < . . . < xn , escrevemos An = X x1 , x2 , . . . , xn . Observando que An = , pois X é infinito, definimos x n+1 = menor elemento de An. Então X = x1 , x2 , . . . , xn , . . . . Com efeito, se existisse algum elemento x X diferente de todos os xn, teríamos x A n para todo n N, logo x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto  infinito x1 , x2 , . . . , xn , . . . , contrariando o Corolário 1.19 do Teorema 1.16.

− {

∈ {

}

{

∈

∅

∈

}

}

Corolário 1.27. Seja f : X

→ Y injetiva. Se Y é enumerável, então X também é. Em

particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Demonstração. Exercício!



Corolário 1.28. Seja f : X

→ Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.

Demonstração. Exercício!



Corolário 1.29. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto

enumerável. Demonstração. Se X e Y são enumeráveis então existem bijeções f : N X e g : N Y , logo ϕ : N N X Y , dada por ϕ(m, n) = (f (m), f (n)) é sobrejetiva. Tendo

→

→

× → ×

em vista o Corolário 1.28, basta provar que N × N é enumerável. Para isto, consideremos a aplicação ψ : N × N → N, dada por ψ(m, n) = 2m · 3n . Pela unicidade da decomposição de um número em fatores primos, ψ é injetiva. Segue-se, pelo Corolário 1.27, que N × N é enumerável.  Corolário 1.30. A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é um

conjunto enumerável. Demonstração. Dados X 1, X 2 , . . . , Xn , . . . enumeráveis, existem sobrejeções f 1 : N X 1 , f 2 : N X 2 , . . . , fn : N X n , . . .. Tomando X = ∞ n=1 X n , definimos a sobrejeção f : N N X pondo f (m, n) = f n (m). O caso de uma reunião finita X = X 1 X n reduz-se ao anterior porque, então, X = X 1 . X n 

→ × →

→



∪···∪ ∪···

→

∪···∪

O Teorema 1.22 acima significa que o enumerável é o “menor” dos infinitos, isto é Todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável. Demonstração. Exercício! 

1.5 Exercícios Resolvidos

10

Z, n = 0 dos números racionais é Exemplo 1.31. O conjunto Q = m/n : m, n enumerável. De fato, escrevendo Z∗ = Z 0 , podemos definir uma função sobrejetiva Q pondo f (m, n) = m/n . f : Z Z∗

{

−{ }

× →

∈

 }

Exemplo 1.32 (Um conjunto não-enumerável). Seja S o conjunto de todas as sequências infinitas, como s = (01100010 . . .), formadas com os símbolos 0 e 1. Noutras palavras, S é o conjunto de todas as funções s : N 0, 1 . Para cada n N, o valor s(n), igual a 0 ou 1 , é o n-ésimo termo da sequência s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumerável X = s1 , s2 , . . . , sn . . . S é igual a S . Com efeito, dado X , indiquemos com snm o n-ésimo tero da sequência sm X . Formamos uma nova sequência s∗ S tomando o n-ésimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A sequência s∗ não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo é diferente do n-ésimo termo de sn . Este raciocínio, devido a G. Cantor, é conhecido como “métodod da diagonal”

→{ }

{

}⊂

∈

∈

∈

1.5 Exercícios Resolvidos Seção 1: Números Naturais

1. Usando indução, prove:

· ·· + n = n(n + 1)/2. (b) 1 + 3 + 5 + ··· + 2n − 1 = n . 2. Dados m, n ∈ N com n > m, prove que n é múltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais que (a) 1 + 2 +

2

n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade. 3. Seja X N um subconjunto não-vazio tal que m, n X m, m + n X . Prove que existe k N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k 4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-se,

⊂ ∈

∈ ⇔

∈

naturalmente, os demais axiomas). = 1 não possuindo sucessor, considere o conjunto X = N − {a} no Solução: Supondo a  Axioma 3 para chegar a uma contradição. 5. Prove o princípio de indução como uma consequência do Princípio da Boa Ordenação. 6. Prove a lei do corte para a multiplicação: mp = np ⇒ m = n . Seção 2: Conjuntos Finitos

1. Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X , prove: (a) Se X é finito e Y

⊂ X , então card Y ≤ card X .


11

(b) Se X e Y são finitos, então X Y é finito e

∪

card (X ∪ Y ) = card X + card Y − card (X ∩ Y ). (c) Se X e Y são finitos, então X

× Y é finito e

card (X × Y ) = card X · card Y. Solução: (a) Sendo card X = n e card Y = m ,

existem bijeções f : I m → Y e g : X → I n . Como Y ⊂ X , então g | Y : Y → g(Y ) ⊂ I n é bijeção. Assim, temos a bijeção composta g| Y ◦f : I m → g(Y ) ⊂ I n . Então, pelo Teorema 1.11, não podemos ter m > n (pois neste caso, teríamos g(Y ) ⊂ I n  I m). Portanto, m ≤ n . Observe que podemos ter m < n (no caso em que g(Y )  I n). (b) Inicialmente devemos provar que se X e Y são finitos e disjuntos, então card (X ∪ Y ) = card X + card Y . De fato, como X e Y são finitos, existem bijeções f : I m → X e g : I n → Y , com m = card X e n = card Y . Agora, definamos a função ϕ : I m+n → X ∪ Y pondo ϕ(x) = f (x), se 1 ≤ x ≤ m (1.1) ϕ(m + x) = g(x), se 1 ≤ x ≤ n. Como X ∪ Y = ∅, segue que a função ϕ é bijetiva. Agora, observemos que X Y = X

∪

∪ [Y − (X ∩ Y )],

onde a segunda reunião é disjunta. Então, usando (1.1) segue que card (X ∪ Y ) = card X + card [Y − (X ∩ Y )] Novamente, como a reunião Y = [Y − (X ∩ Y )] ∪ (X ∩ Y ) é disjunta, (1.1) implica que card Y = card [Y − (X ∩ Y )] + card (X ∩ Y ), ou seja, card [Y − (X ∩ Y )] = card Y − card (X ∩ Y ). Portanto card (X ∪ Y ) = card X + card Y − card (X ∩ Y ), como queríamos demonstrar. Observação 1.33. Aplicando-se este exercício sucessivamente, obtém-se o resultado para


12

uma quantidade finita de conjuntos dois a dois disjuntos.

{

(c) Dados X e Y finitos, com m e n elementos, respectivamente, escrevamos Y = y1 , . . . , yn . Então, vale a reunião disjunta

}

× Y = X ∪ X ∪ · · · ∪ X ,

X

1

2

n

onde X i = X × {yi }, i = 1, . . . , n. Como os X i são dois a dois disjuntos e possuem o mesmo número de elementos de X , a saber, m, então, pela observação do item anterior, concluímos que card (X × Y ) = m + m + · ·· + m = n · m = card X · card Y. 

2. Seja

P (X ) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X . Prove por indução que se X é finito então card P (X ) = 2 . 3. Seja F (X ; Y ) o conjunto das funções f : X → Y . Se card X = m e card Y = n , prove que card F (X ; Y ) = n . card X

m

4. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe x0 X tal que x x 0 , x X ). Solução: Seja a o menor elemento de X (pelo P.B.O.). Como X é finito, A = a . Seja, então, b o menor elemento de N (X I a ) = , onde I a = p N : p A. Então, b 1 X I a . Afirmação: x0 = b 1. De fato, qualquer número natural maior do que b 1 pertence a A. Logo, tudo o que temos de provar é que b 1 X . Se b 1 I a , isto é, b 1 a , temos que, ou b 1 = a X , e a prova termina; ou b 1 < a, que implica a existência de p N tal que (b 1) + p = a . Daí b = (b 1) + 1 (b 1) + p = a b I a . Mas isto contradiz b A. Portanto, b 1 X , e a Afirmação está mostrada.  Solução: 2 Como X é finito, então é limitado, isto é, existe p N tal que p > x para todo x X . Considere o conjunto A = p N : p > x, x X = . Pelo P.B.O., A possui um menor elemento, digamos, p 0 ; então p0 1 X . Agora, basta tomar x0 = p 0 1.  5. Prove o Princípio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva f : I m I n . (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que pelo menos uma casa

∈

− ∪  ∅ − ∈ ∪ −

− ∈

≤

{ ∈

∀ ∈

≤ }

− ∈ − ∈ − − ≤ − ⇒ ∈

∈

{ ∈

abrigue mais de um pombo). Seção 3: Conjuntos Infinitos

1. Dada f : X

→ Y , prove:

− − ≤

− ∈

∈

∈ ∀ ∈ }  ∅

− − ∈

∈

− →


13

(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito. (a) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito. 2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função injetiva f : X Y e uma função sobrejetiva g : Y X . 3. Prove que o conjunto dos números primos é infinito. de conjuntos 4. Dê exemplo de uma sequência decrescente X 1 X 2 X n infinitos cuja intercesão ∞ n=1 X n seja vazia. Seção 4: Conjuntos Enumeráveis

→

→

P

⊃ ⊃ ··· ⊃ ⊃ ·· ·



N pondo f (1, n) = 2n 1 e f (m + 1, n) = 2m (2n 1). Prove que 1. Defina f : N N f é uma bijeção. Solução: Sendo k N um número natural qualquer, podemos escrever esse número como

× →

−

−

∈

produto dos seus fatores primos r

k =

r



pαi i

α1

=2

i=1



pαi i ,

αi

i=2

∈ N ∪ {0}.

Sobrejetividade: Como os primos maiores que 2 são ímpares e o produto de ímpares é um número ímpar, então k = 2α1 (2n 1). Se α1 = 0, temos k = 2n 1; se α1 1 , tome α1 = m ; e daí, k = 2m (2n 1). Assim, f é sobrejetiva. Injetividade: Se f (1, n) = f (1, q ), ou seja, se 2n 1 = 2q 1, então n = q (1, n) = (1, q ). Ora, f (1, n) = f (m + 1, q ), pois o primeiro é ímpar e o segundo é par. Então, seja f (m + 1, n) = f ( p + 1, q ), isto é, 2m(2n 1) = 2 p (2q 1). Como 2n 1 é ímpar, temos, pela unicidade da decomposição em fatores primos, que 2m = 2 p e, daí, m = p. Consequentemente, temos 2n 1 = 2q 1, logo n = q . Assim, (m + 1, n) = ( p + 1, q ), e f é injetiva.  N sobrejetiva tal que g −1 (n) é infinito, para cada n N. 2. Prove que existe g : N 3. Exprima N = N1 N2 . . . Nn . . . como união infinita de subconjuntos infinitos,

−

−

−

−



−

−

−

≥

⇒

−

−

−

→ ∪ ∪ ∪ ∪

∈

dois a dois disjuntos. 4. Para cada n ∈ N, seja P n = { X ⊂ N : cardX = n}. Prove que P n é enumerável. Conclua que o conjunto P f dos subconjuntos finitos de N é enumerável. 5. Prove que o conjunto P (N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável. 6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f 1 (y) é enumerável. Prove que X é enumerável. −

1.6 Exercícios Propostos

14

1.6 Exercícios Propostos 1. (a) Defina: Conjunto finito, conjunto infinito e conjunto enumerável; (b) Se X

⊂ R é um conjunto limitado, defina o supremo de X e o ínfimo de X .

2. Considere os seguintes resultados vistos em sala de aula: (i) Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N

→ X .

(ii) Seja f : X

→ Y injetiva. Se Y é finito, então X também o é. (iii) Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também o é. Use estes resultados para concluir que Todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito enumerável . Isto é: o enumerável é o “menor” dos infinitos. 3. (a) Use o item (iii) da questão 3 acima, e (iv) O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto

enumerável. para mostrar que o conjunto Q dos números racionais é enumerável. (b) Prove que se um conjunto infinito não enumerável A é a união de dois outros B e C , então pelo menos um destes não é enumerável. (c) Sabendo que o conjunto R dos números reais é não-enumerável, conclua que o

conjunto I dos números irracionais também é não-enumerável. 4. (a) Dados os conjuntos A e B , seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 1.a X A e X B ,

⊃

2.a Se Y

⊃ A

⊃

e Y ⊃ B , então Y ⊃ X .

Prove que X = A ∪ B . (b) Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando A B .

∩

5. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares positivos. 6. Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números quadrados perfeitos. 7. Construa uma bijeção entre o conjunto N e seu subconjunto {n, n + 1, n + 2, . . .}. 8. Use indução para demonstrar os seguintes fatos:


15

(a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n + 1) = (n + 1) 2 ; n2 + n . (b) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = 2 (c) n 4 n! > 2 n

≥ ⇒

9. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo). (t) ( ) Se X (u) ( (v) (

⊂ N é limitado, então X é finito. E reciprocamente. ) Se X ⊂ N, então X é enumerável. ) Se X é enumerável, então X ⊂ N.

(w) ( ) Se X é finito, então X é enumerável. (x) ( ) Se X é enumerável, então X é finito. (y) ( ) Se X

⊂ R é limitado, então X é finito.

Capítulo

2

Números Reais

O conjunto dos números reais será indicado por R. Faremos aqui uma descrição de suas propriedades que, juntamente com suas consequências, serão utilizadas nos capítulos seguintes.

2.1 R é um Corpo Definição 2.1. Dizer que R é um corpo significa que estão definidas em R duas operações,

chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas. A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R. Os axiomas a que essas operações obedecem são as seguintes.

• Para quaisquer x, y,z ∈ R, tem-se: 1. (Associatividade) (x + y) + z = x + (y + z ) 2. (Comutatividade) x + y = y + x

e

e

(xy)z = x(yz );

xy = yx;

3. (Elementos Neutros) existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x · 1 = x ; 4. (Inversos) todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x + (−x) = 0 e, se x  = 0, existe também um inverso multiplicativo x 1 ∈ R tal que x · x 1 = 1; −

5. (Distributividade) x(y + z ) = xy + xz ;

−

2.2 R é um Corpo Ordenado

17

Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números reais. 1. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x Analogamente 1 · x = x e x 1 · x = 1 quando x =  0. −

∈

R.

2. A soma x +(−y) será indicada por x − y e chamada a diferença entre x e y . Se y  = 0, o produto x · y 1 será representado também por x/y e chamado o quociente de x por y . As operações (x, y) −  → x − y e (x, y) −→ x/y chamam-se, respectivamente, subtração e divisão. −

3. Da distributividade segue-se que, para todo x ∈ R, vale x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x . Somando −x a ambos os membros da igualdade x · 0 + x = x , obtemos x · 0 = 0 4. Por outro lado, de xy = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0. Com efeito, se for y  = 0 então podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y 1 e obtemos xy · y 1 = 0 · y 1 , donde x = 0. −

−

−

5. Da distributividade resultam também as regras de sinais : x(−y) = −(xy), (−x)y = −(xy) e (−x)(−y) = xy. Em particular, (−1) · (−1) = 1. Com efeito, x(−y) + xy = x(−y + y) = x · 0 = 0, ou seja, x(−y) + xy = 0. Somando −(xy) a ambos os membros dessa igualdade, vem x(−y) = −(xy). Analogamente, (−x)y = −(xy). Agora, mostremos a terceira igualdade. Do que já fizemos, temos, (−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)]. Por outro lado, somando z a ambos os membros da igualdade −(−z ) + ( −z ) = 0, obtemos −(−z ) = z . Logo, (−x)(−y) = xy . 6. Se dois números reais x, y têm quadrados iguais, então x = ± y . Com efeito, de x2 = y 2 decorre que 0 = x2 − y 2 = (x + y)(x − y) e, da regra 4 acima, obtemos x = ±y .

2.2 R é um Corpo Ordenado Definição 2.2. Dizer que R é um Corpo Ordenado significa que existe um subconjunto R+

⊂ R, chamado o conjunto dos números reais positivos , que cumprem as seguintes

condições

(P 1) A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja, x, y x + y R+ e xy R+ ;

∈

∈

+

∈ R ⇒


18

(P 2) Dado x R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x R+ ou x R+ .

∈

∈

− ∈

Observação 2.3. Considerando o conjunto R− := x:x que R = R+ R− 0 , com união disjunta. Os números y

∈ R }, a condição (P 2) diz ∪ ∪{ } ∈ R chamam-se negativos . Todo número real x =  0 tem quadrado positivo. Com efeito, se x ∈ R então = x · x ∈ R por (P 1). Se x ∈  R então (como x = 0) −x ∈ R , logo = (−x) · (−x) ∈ R por (P 1). Em particular, 1 é um número positivo, porque +

{−

−

+

x2 x2 1 = 12 .

+

+

+

+

Definição 2.4 (Relação de Ordem). Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y quando y x R+, isto é, y = x + z , onde z R+ . Neste caso, escreve-se também y > x e diz-se que y é maior do que x. Em particular, x > 0 (x 0 R+ ) significa que x R+, isto é, que x é positivo, enquanto x < 0 (0 x R+ ) quer dizer que x é negativo, ou seja, que ( x R+).

− ∈

− ∈

∈

− ∈

− ∈

∈

Valem as seguintes propriedades da relação de ordem: 1. Transitividade : Se x < y e y < z então x < z . 2. Tricotomia : Dados x, y ∈ R , ocorre exatamente uma das alternativas x = y , x < y ou y < x. 3. Monotonicidade da adição : Se x < y então, ∀ z ∈ R, tem-se x + z < y + z . 4. Monotonicidade da multiplicação : Se x < y então, ∀ z > 0, tem-se xz < yz . Se, porém, z < 0 então x < y implica yz < xz . Demonstração: 1. x < y e y < z significam y − x ∈ R+ e z − y ∈ R+ . Por (P 1) segue-se que (y − x) + (z − y) ∈ R+ , isto é, z − x ∈ R+ , ou seja, x < z . 2. Dados x, y ∈ R, ou y − x ∈ R+ , ou y − x = 0 ou y − x ∈ R (isto é, x − y ∈ R+). No primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e no terceiro y < x. Estas alternativas se excluem mutuamente, por (P 2). −

3. Se x < y então y − x ∈ R+ , donde (y +z ) − (x+z ) = y − x ∈ R+, isto é, x +z < y +z . 4. Se x < y e z > 0 então y − x ∈ R+ e z ∈ R+, logo (y − x)z ∈ R+, ou seja, yz − xz ∈ R+, o que significa xz < yz . Se x < y e z < 0 então y − x ∈ R+ e  −z ∈ R+, donde xz − yz = (y − x)(−z ) ∈ R+, o que significa yz < xz .


19

• Mais geralmente, x < y e x < y implicam x + x < y + y . Com efeito, (y + y ) − (x + x ) = (y − x) + (y − x ) ∈ R . • Analogamente, 0 < x < y e 0 < x < y implicam xx < yy pois yy − xx = yy − yx + yx − xx = y(y − x ) + (y − x)x > 0 . • Se 0 < x < y então y < x . Para provar, nota-se primeiro que x > 0 ⇒ x = x · (x ) > 0 . Em seguida, multiplicando ambos os membros da desigualdade x < y 

















−1

−1













−1

−1

2

por x 1 y −





+









−1

vem y

−1

< x−1 .

• Como 1 ∈ R é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . .. Podemos, então, considerar N ⊂ R. Segue-se que Z ⊂ R pois 0 ∈ R e n ∈ R ⇒ −n ∈ R. Além disso, se m, n ∈ Z com m  = 0 então m/n = m · n ∈ R , o que nos permite concluir que Q ⊂ R. Assim, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Lema 2.5 (Desigualdade de Bernoulli). Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ N, tem-se (1 + x) ≥ 1 + nx. −1

n

Demonstração. Isto se prova por indução sobre n , sendo óbvio para n = 1, pois ficaria: (1 + x)1 = 1 + 1 x . Supondo a desigualdade válida para n, multiplicamos ambos os membros pelo número 1 + x 0 e obtemos

·

≥

(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 1 + (n + 1)x.

≥

(2.1)

≥



Pelo mesmo argumento, vê-se que (1 + x)n > 1 + nx quando n > 1, x > −1 e x =  0. Com efeito, para n = 2, segue-se (1 + x)2 > 1 + 2x. Supondo (1 + x)n > 1 + nx válida para n, como em (2.1), para x + 1 > 0 e x =  0, obtemos (1 + x)n+1 > (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x.

Definição 2.6 (Valor Absoluto ou Módulo) . Definimos o valor absoluto de x

|x| =

  −

x, se x > 0 0, se x = 0 x, se x < 0,

isto é,

|x| = max{x, −x}.

∈ R assim:


20

Para todo x ∈ R tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|. De fato, a desigualdade x ≤ |x| vem da definição. Agora, multiplicando − x ≤ |x| (também da definição) por −1, obtemos −|x| ≤ x . Exercício 2.7. Use (P 1) e (P 2) para mostrar que x é o único número é x2 .

||

≥ 0 cujo quadrado

Proposição 2.8. Se x, y

∈ R então |x + y| ≤ |x| + |y| e |x · y| = |x| · |y|. Demonstração. Somando membro a membro as desigualdades |x| ≥ x e |y | ≥ y vem |x| + |y| ≥ x + y . Analogamente, de |x| ≥ −x e |y| ≥ −y vem |x| + |y| ≥ −(x + y). Logo, |x| + |y | ≥ |x + y| = max{x + y, −(x + y)}. Para provar que |x · y| = |x| · |y |, basta mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são ≥ 0. Ora, |xy| = (xy) = x y , enquanto (|x| · |y|) = |x| |y| = x y . Proposição 2.9. Sejam a, x, δ ∈ R. Tem-se |x − a| < δ veja −δ < x < a + δ . Demonstração. Como |x − a| é o maior dos dois números x − a e −(x − a), afirmar que |x − a| < δ equivale a dizer que se tem x − a < δ e −(x − a) < δ , ou seja, x − a < δ e x − a > −δ . Somando a, vem: 2

2

2 2

2

2

2

2 2



|x − a| < δ ⇔ x < a + δ e x > a − δ ⇔ a − δ < x < a + δ .



De modo análogo se vê que

|x − a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤ a + δ. Representaremos esses conjuntos (Intervalos) especiais por: [a, b] = x (a, b) = x

{ ∈ R : a ≤ x ≤ b} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} { ∈ R : a < x < b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x } (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b } (a, +∞) = {x ∈ R : a < x} (−∞, +∞) = R. Os quatro intervalos da esquerda são limitados , com extremos a, b. [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é aberto. [a, b) é fechado à esquerda e (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos à direita são ilimitados : (−∞, b] é a semi-reta esquerda fechada de origem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento e chama-se um intervalo degenerado.

2.3 R é um Corpo Ordenado Completo

21

Em termos de intervalos, a Proposição 2.9 diz que |x − a | < δ se, e somente se, x ∈ (a − δ, a + δ ). Analogamente,

|x − a| ≤ δ ⇔ x ∈ [a − δ, a + δ ]. É muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os números reais como pontos dessa reta. Então a relação x < y significa que o ponto x está à esquerda de y (e y à direita de x), os intervalos são segmentos de reta e |x − y| é a distância do ponto x ao ponto y . O significado da Proposição 2.9 é de que o intervalo (a − δ, a + δ ) é formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a.

2.3 R é um Corpo Ordenado Completo Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q, pois os números racionais constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora nossa caracterização de R, descrevendo-o como um corpo ordenado completo, propriedade que Q não tem. Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R tal que x ≤ b, ∀ x ∈ X . Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X . Analogamente, diz-se que o conjunto X ⊂ R é limitado inferiormente quando existe a ∈ R tal que a ≤ x, ∀ x ∈ X . O número a chama-se, então, uma cota inferior de X . Se X é limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto significa que X está contido em algum intervalo limitado [a, b] ou, equivalentemente, que existe um k > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k . Basta tomar k = max{|a|, |b|}. Definição 2.10 (Supremo de um Conjunto). Seja X R limitado superiormente e nãovazio. Um número b R chama-se o supremo do conjunto X , e indicamos por b = sup X quando é a menor das cotas superiores de X . Mais explicitamente, b é o supremo de X

⊂

∈

quando cumpre as duas condições: S 1. x ≤ b ∀ x ∈ X ; S 2. Se c ∈ R é tal que x ≤ c ∀ x ∈ X , então b ≤ c . A condição S 2 admite a seguinte reformulação: S 2 . Se c < b então existe x ∈ X com c < x. Com efeito, S 2 diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de X . Às vezes se exprime S 2 assim: para todo  > 0 , existe x ∈ X tal que b −  < x. 





Definição 2.11 (Ínfimo de um Conjunto). Analogamente, se X R é um conjunto limitado superiormente e não-vazio, um número a R chama-se o ínfimo do conjunto X ,

∈

⊂


22

e escreve-se a = inf X quando é a maior das cotas inferiores de X . Isto equivale às duas afirmações: I 1. a ≤ x ∀ x ∈ X ; I 2. Se c ∈ R é tal que c ≤ x ∀ x ∈ X , então c ≤ a . A condição I 2 pode também ser formulada assim: I 2 . Se a < c então existe x ∈ X com x < c. De fato, I 2 diz que nenhum número real maior do que a é cota inferior de X . Equivalentemente: para todo  > 0 , existe x ∈ X tal que x < a + . 



Definição 2.12. Diz-se que um número b X é o maior elemento (ou elemento máximo) do conjunto X quando b x, x X . Isto quer dizer que b é uma cota superior de X , pertencente a X .

≥

∀ ∈

∈

Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a, b], mas o intervalo [a, b)

não possui maior elemento. Exercício 2.13. Se um conjunto X possui elemento máximo, este será seu supremo.

Entretanto, o contrário nem sempre é verdade.

• A noção de supremo serve, precisamente, para substituir a ideia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe.

• O supremo do conjunto [a, b) é b. (Verifique!) • Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ínfimo. Definição 2.14. A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo conjunto não-vazio, limitado superiormente, X R possui supremo b = sup X R.

⊂

∈

Exercício 2.15 (Resolvido). Mostre que todo conjunto não-vazio, limitado inferiormente, X R possui ínfimo a = inf X R.

⊂

∈

Solução: Com efeito, neste caso Y = {−x : x ∈ X } é não-vazio, limitado superiormente; logo possui um supremo b ∈ R. Então, como se vê sem dificuldade (Verifique!), o número a = −b é o ínfimo de X .  Em seguida, veremos algumas consequências da completeza de R. Teorema 2.16. São verdades equivalentes: (i) O conjunto N R não é limitado superiormente. (ii) O ínfimo do conjunto X = 1/n : n N é igual a 0. (iii) Dados a, b R+ , existe n N tal que n a > b.

⊂

∈

{ ∈

∈ } ·


23

Demonstração. (i) Se N R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Então, c 1 não seria cota superior de N, isto é, existiria n N com c 1 < n. Daí resultaria que c < n + 1, logo c não seria cota superior de N; mas isto é uma contradição, pois c = sup N. Logo, N não é limitado superiormente. (i) (ii) Evidentemente, 0 é uma cota inferior de X . Basta então provar que nenhum c > 0 é cota inferior de X . Ora, dado c > 0, existe, por (i), um número natural n > 1/c, donde 1/n < c, isto é, c não é cota inferior de X . (ii) (iii) Dados a, b R+ usamos (2) para obter n N tal que 1/n < a/b, o que implica n a > b. (iii) (i) Dado b R+ arbitrário, tomando a = 1, existe, por (iii) n N tal que n > b. Isto prova (i).  Estas propriedades dizem que R é um corpo arquimediano. Na realidade, (iii) é devida

⊂

−

∈

−

⇒

⇒

∈

∈ ⇒

·

∈

∈

ao matemático grego Eudoxo, que viveu alguns séculos antes de Arquimedes. Teorema 2.17 (Intervalos Encaixados). Dada uma sequência decrescente I 1

⊃ I ⊃ . . . ⊃ I ⊃ . . . 2

n

de intervalos limitados e fechados I n = [an , bn ]. Existe, pelo menos, um número real c tal que c ∈ I n , ∀ n ∈ N. Demonstração. As inclusões I n

⊃ I

a1

n+1

significam que

≤ a ≤ . . . ≤ a ≤ . . . ≤ b ≤ . . . ≤ b ≤ b . 2

n

n

2

1

O conjunto A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .} é, portanto, limitado superiormente (por b1 ). Logo, como R é completo, existe c = sup A. Evidentemente, an ≤ c ∀ n ∈ N. Além disso, como cada bn é cota superior de A, temos c ≤ bn ∀ n ∈ N. Portanto, c ∈ I n (pois cada I n é fechado) qualquer que seja o n ∈ N.  Teorema 2.18. O conjunto dos números reais não é enumerável. R pode ser sobrejetiva. Para Demonstração. Mostremos que nenhuma função f : N isto, supondo f dada, construiremos uma sequência decrescente I 1 I 2 . . . I n . . . de intervalos limitados e fechados tais que f (n) I n . Então, se c é um número real pertencente a todos os I n , nenhum dos valores f (n) pode ser igual a c, logo f não é sobrejetiva. Para obter os intervalos, começamos tomando I 1 = [a1 , b1 ] tal que f (1) < a1 e, supondo obtidos I 1 I 2 . . . I n tais que f ( j) I j , olhamos para I n = [an, bn]. Se f (n + 1) I n, podemos simplesmente tomar I n+1 = I n . Se, porém, f (n + 1) I n , pelo menos um dos extremos, digamos a n , é diferente de f (n + 1), isto é, a n < f (n + 1). Neste caso, tomamos I n+1 = [an+1, bn+1], com an+1 = a n e bn+1 = (an + f (n + 1))/2. 

→

∈

∈

⊃ ⊃ ⊃

∈

⊃ ⊃ ⊃ ⊃

∈


24

Definição 2.19. Um número real chama-se irracional quando não é racional. O conjunto

dos números irracionais será indicado por R\Q. Corolário 2.20. O conjunto R Q é não-vazio e não-enumerável.

\

Demonstração. Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável, resulta do teorema acima que R Q = . Além disso, como R = Q (R Q), segue que R Q é não-

\  ∅

∪ \

\

enumerável, pois a reunião de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável (Ver Corolário 1.30).  Corolário 2.21. Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. Demonstração. Com efeito, todo intervalo não-degenerado contém um intervalo aberto (a, b). Como a função f : ( 1, 1) (a, b) definida por f (x) = 21 [(b a)x + a + b] é uma bijeção, basta mostrar que o intervalo aberto ( 1, 1) é não-enumerável. Ora, a função ϕ : R ( 1, 1), dada por ϕ(x) = x/(1 + x ), é uma bijeção cuja inversa é R, definida por ψ(y) = y/(1 ψ : ( 1, 1) y ), pois ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para  quaisquer y ( 1, 1) e x R, como se pode verificar facilmente.

−

−

→

→ −

→ ∈ −

−| |

∈

−

− | |

Teorema 2.22. Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais. Demonstração. Certamente I contém números irracionais, pois do contrário seria enumerável uma vez que o conjunto dos números racionais o é. Para provar que I contém números racionais, tomamos [a, b] I , onde a < b podem ser supostos irracionais, pois se algum deles fosse racional, a prova terminaria. Fixemos n N tal que 1/n < b a. Afirmamos que os intervalos I m = (m/n, (m + 1)/n], m Z, cobrem a reta, isto é, n + 1 . R = m∈Z I m . De fato, dado x R, considere o conjunto A = n Z : x Como A é um subconjunto não-vazio de Z , limitado inferiormente, A possui um elemento mínimo n0. Logo, n0 < x n0 + 1 , pois n0 1 A e n0 A . Provada a afirmação, existe m Z tal que a I m . Como a é irracional, temos que m/n < a < (m + 1)/n. Sendo o comprimento 1/n do intervalo I m menor do que b a, segue que (m + 1)/n < b. Logo o número racional (m + 1)/n pertence ao intervalo [a, b] e, portanto, ao intervalo I . 

⊂

∪

∈ ∈

∈

≤

∈

− ∈ ∈

2.4 Exercícios Resolvidos Seção 1: R é um Corpo

1. Prove as seguintes unicidades: (a) Se x + θ = x para algum x

∈ R então θ = 0;

−

{ ∈

≤

}

∈

−


25

(b) Se x u = x para todo x

∈ R então u = 1; (b) Se x + y = 0 então y = −x; (c) Se x · y = 1 então y = x . 2. Dados a,b,c,d ∈ R, se b =  0 e d = 0, prove que ·

−1

a/b + c/d = (ad + bc)/bd e

(a/b)(c/d) = ac/bd. 3. Se a = 0 e b = 0 em R, prove que (ab)−1 = a −1 b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a . 4. Prove que (1 xn+1 )/(1 x) = 1 + x + + xn para todo x = 1. Seção 2: R é um Corpo Ordenado



 −

−

· ··



1. Para quaisquer x, y,z R, prove que x z x y y z . 2. Prove que x y x y para quaisquer x, y R. 3. Dados x, y R, se x2 + y 2 = 0, prove que x = y = 0. Solução: Na verdade, são equivalentes. Se x2 + y 2 = 0, então x2 = y 2 0 . Por outro lado, x2 0. Juntando os dois resultados, obtemos x2 = 0 x = 0. Analogamente, y = 0. A recíproca é imediata.  4. Prove, por indução, que (1 + x)n 1 + nx + [n(n 1)/2]x2 , se x 0 . Solução: Para n = 1, temos, na verdade, uma igualdade: (1+x)1 = 1+x+[1(1 1)/2]x2 = 1 + x. Suponhamos, agora, que a desigualdade valha para n = p , ou seja,

∈ || | − | || ≤ | − | ∈

| − | ≤ | − | − | − | ∈

≥

⇒

≥

(1 + x) p

−

− ≤

≥

−

2

≥ 1 + px + [ p( p − 1)/2]x

e mostremos que ela vale para n = p+1. Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por x + 1 > 0 e usando que x ≥ 0 , obtemos (1 + x) p+1

(1 + px + [ p( p 1)/2]x2 )(x + 1) = 1 + px + [ p( p 1)/2]x2 + x + px2 + [ p( p 1)/2]x3 = 1 + ( p + 1)x + [ p( p 1)/2 + p]x2 + [ p( p 1)/2]x3 1 + ( p + 1)x + [ p( p 1)/2 + p]x2 = 1 + ( p + 1)x + [( p + 1)[( p + 1) 1]/2]x2 ,

≥ ≥

− −

− −

− −

−

como queríamos. 5. Para todo x =  0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx. 6. Prove que |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε. 7. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f (λ) =



n i=1 (xi



− λy ) é ≥ 0 para todo i

2

2.4 Exercícios Resolvidos λ

26

∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz n

(



n

xi y i ) 2

i=1

n

 ·  ≤ x2i

i=1

yi2 .

i=1

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ ∈ R tal que xi = λyi para todo i = 1, . . . , n ou y1 = y 2 = . . . = yn = 0. Solução: Temos que n

n



(xi

i=1

− λy ) i

2

=

 

(x2i

i=1 n

=

i i

n

x2i

n

 −

+( 2

i=1 2

xi yi )λ + (

i=1

= aλ + bλ + c



yi2 )λ2

i=1

≥ 0,

, b = −2 ni=1 xi yi e c = ni=1 x2i . Se a > 0, como aλ2 + bλ + c ≥ 0, devemos ter ∆ = b2 − 4ac ≤ 0, donde b2 Substituindo os valores de a, b e c, segue-se onde a =

n 2 i=1 yi

2 2 i

− 2x y λ + y λ )







n

4(



n

xi yi )2

i=1

≤ 4

≤ 4ac.

n

 ·  yi2

i=1

x2i ,

i=1

implicando, finalmente, que n

(



n

xi y i )

i=1

2

n

 ·  ≤ x2i

i=1

yi2 .

i=1

Além disso, a igualdade vale se, e somente se, ∆ = 0; ou melhor, se, e somente se, existe raiz para o trinômio f (λ) = aλ2 + bλ + c, isto é, existe λ ∈ R tal que f (λ) = ni=1 (xi − λy i )2 = 0. Mas, pelo Exercício 3 acima, isto equivale a xi − λy i = 0, ∀ i = 1, . . . , n, ou ainda, xi = λy i para todo i = 1, . . . , n. Se a = 0, ou seja, se y12 + y22 + . . . + yn2 = 0, então y1 = y2 = . . . = yn = 0. Neste  caso, temos a igualdade trivialmente. 8. Se a1 /b1 , . . . , an /bn pertencem ao intervalo (α, β ) e b1, . . . , bn são positivos, prove que (a1 + · ·· +an )/(b1 + ··· +bn ) pertencem a (α, β ). Nas mesmas condições, se t1 , . . . , tn ∈ R+ , prove que (t1 a1 + · ·· + tn an)/(t1b1 + · ·· + tn bn) também pertence ao intervalo (α, β ).



Seção 3: R é um Corpo Ordenado Completo

R é limitada superiormente quando sua imagem 1. Diz-se que uma função f : X f (X ) = f (x) : x X é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se

{

∈ }

→


27

Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g . Dê um exemplo com sup(f + g) < sup f +sup g . Enuncie e prove um resultado análogo para inf . 2. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g : X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤ sup f · sup g e inf(f · g) ≥ inf f · inf g . Dê exemplos onde se tenha < e não =. 3. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostre que sup(f 2 ) = (sup f )2 e inf(f 2 ) = (inf f )2 . 4. Dados a, b ∈ R+ com a 2 < 2 < b2 , tome x, y ∈ R+ tais que x < 1 , x < (2 − a2 )/(2a + 1) e y < (b2 − 2)/2b. Prove que (a + x)2 < 2 < (b − y)2 e b − y > 0 . Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a ∈ R+ : a 2 < 2 } e conclua que o número real c = sup X cumpre c2 = 2. 5. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes. 6. Prove que um conjunto I ⊂ R é um intervalo se, e somente se, a < x < b , a, b ∈ I ⇒ x ∈ I . sup f = sup f (x) : x

{

∈ X }.

2.5 Exercícios Propostos 1. (a) Enuncie o Teorema dos Intervalos encaixados e o Teorema de BolzanoWeierstrass; (b) Dê exemplos mostrando que no teorema dos Intervalos Encaixados, aqueles

intervalos devem ser limitados; e que tais intervalos precisam ser, também, fechados. Isto é, a hipótese de que os intervalos são limitados e fechados é necessária. (c) Exiba uma sequência que não possui subsequência convergente.

2. Se a < x < b, mostre que |x| < |a| + |b|. 3. Mostre que |a − b| <  para todo  > 0 , se e somente se, a = b . 1 2

1 2

4. Mostre que max{a, b} = (a + b + |a − b|) e min{a, b} = (a + b − |a − b|). 5. (a) Mostre que a2 + ab + b2 ≥ 0,

∀ a, b ∈ R.


28

(b) Se x,y > 0, mostre que

√ xy ≤

x + y . Essa desigualdade diz que a média 2

geométrica de dois números reais positivos é menor do que ou igual à média aritmética desses mesmos números.

(c) Mostre que, geometricamente, essa desigualdade expressa o fato de que a altura

de um triângulo retângulo tendo por base a hipotenusa é menor do que ou igual à metade da hipotenusa. (d) Quando é que as médias aritmética e geométrica são iguais? Que quer dizer

isso geometricamente? 6. (a) Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an | que sejam os números a1, a2 , . . . , an ∈ R. (b) Prove por indução que a1 + a2 + . . . + an que sejam os números a1, a2 , . . . , an R.

|

∈

≤ |a | + |a | + . . . + |a | quaisquer 1

2

n

| ≥ |a | − |a | − . . . − |a | quaisquer 1

2

n

7. Sejam m ∈ R e p > 1 um número primo qualquer. (a) Prove que se m2 é divisível por p, então m também o é.

√

(b) Prove que p é irracional.

√

8. (a) Prove que, se p e q forem números primos distintos, então pq é irracional. (b) Prove que, se p1 , . . . , pr forem números primos distintos, então

irracional.

√ p ·· · p 1

r

é

9. (a) Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é falsa. (b) Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número

irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional. (c) Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente

de zero é um número irracional. (d) Prove que se r for um número irracional então 1/r também o será. (e) Sejam a, b , c , d números racionais. Prove que

√

√

a + b 2 = c + d 2

⇐⇒

a = c e b = d.


29

√ √

(f ) Sejam a, b números racionais positivos. Prove que a + b é racional se, e somente se, a e b forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por a b)

√ √

√ − √

(g) Prove que se x e y forem números irracionais tais que x 2 y 2 Q 0 , então x + y e x y são ambos irracionais. Exemplo: 3 + 2 e 3 2. −y) (Sugestão: Em algum momento, use x = (x+y)+(x e y = (x+y)−2 (x−y) .) 2

−{ } √ √ − √ ∈− √

−

ps11

 ·· ·

10. Prove que, se p1 , . . . , pr forem números primos distintos, então irracional se algum dos expoentes s1 , . . . , sr for ímpar.

psrr é

11. (a) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números racionais. (b) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números

irracionais. (c) Sabendo que o conjunto R dos números reais não é enumerável, prove que o

conjunto dos números irracionais não é enumerável. 12. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que

−  1

1 n2

e deduzir que



1+

1 n

−1

n

> 1

n−1

− n1

   <

1 1+ n

n

.

13. Se c > 1, c ∈ R, mostre que cn > c. (Sugestão: c = 1 + α; α > 0 e use a desigualdade de Bernoulli) 14. Considere o conjunto C = {1/m − 1/n : n, m 1 = sup C , e que {−1, 1} ⊂  C .

∈ N}.

Prove que − 1 = inf C e

15. (a) Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente, tem ínfimo. Em outras palavras, dado A ⊂ R não-vazio, limitado inferiormente, seja − A = {−x : x ∈ A}. Prove que − A é limitado superiormente e que sup(−A) = − inf A. (b) Dados A R não-vazio, limitado, e c a A . Mostre, então, que

∈ } c

⊂

≥ 0 ⇒



sup cA = c sup A inf cA = c inf A.

∈ R, definimos o conjunto cA = {ca : e

c < 0

⇒



sup cA = c inf A inf cA = c sup A.


30

Em particular, sup(−A) = − inf A, ou ainda, sup A = − inf(−A). 16. Seja X = {1/n : n ∈ N}. Prove que inf X = 0. 17. Sejam A ⊂ B ⊂ R não-vazios e limitados. Prove que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B . 18. Sejam A, B ⊂ R não-vazios tais que a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ b . (a) Prove que sup A

≤ inf B .

(b) Prove que sup A = inf B

⇔ ∀  > 0, ∃ a ∈ A, b ∈ B tais que b − a < . 19. Sejam A, B ⊂ R não-vazios, limitados inferiormente, e r ∈ R tal que r ≤ a +b, ∀ a ∈ A, b ∈ B . (a) Prove que r ≤ inf A + inf B . (b) Enuncie e demonstre resultado análogo para os supremos.

20. Dados A, B ⊂ R não-vazios e limitados, seja A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B }. Prove que (a) A + B é limitado. (b) sup(A + B) = sup A + sup B . (c) inf(A + B) = inf A + inf B .

21. Prove que r = sup{x ∈ R : x < r} = inf {x ∈ R : x > r}. 22. Sejam x, y ∈ R e n ∈ N. (a) Prove por indução que (1 (b) Conclua que (xn

n

− y ) = (1 − y)(1 + y + y − y ) = (x − y)(x + x y + x n

n−1

n−2

2

+ . . . + y n−1 ). y + . . . + xy n−2 + y n−1).

n−3 2

23. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo). (l) ( ) Se X = (m) ( ) Se X (n) ( ) Se (o) ( ) Se ( p) ( ) Se



1 : n n

∈ N



, então inf X = 0.

⊂ N é limitado, então X possui um supremo em N X ⊂ N é limitado, então X possui um supremo em R X ⊂ N, então X possui um ínfimo em R X ⊂ N, então X possui um mínimo em N

2.5 Exercícios Propostos (q ) ( ) Se X

⊂ N, então X possui um mínimo em R

(r) ( ) Todo supremo de um conjunto é elemento máximo desse conjunto. (s) ( ) Todo elemento máximo de um conjunto é supremo desse conjunto. (z ) ( ) O conjunto X = (0, 1) não possui nem ínfimo, nem supremo.

31

Capítulo

3

Sequências de Números Reais

Neste capítulo será apresentada a noção de limite, que tem um papel central no estudo da Análise Matemátca, sob sua forma mais simples, o limite de uma sequência. A partir daqui, todos os conceitos importantes da Análise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-ão a algum tipo de limite.

3.1 Limites de uma Sequência R, que associa Definição 3.1. Uma Sequência de números reais é uma função x : N a cada número n N um número xn R, chamado o n-ésimo termo da sequência.

∈

→

∈

Escreve-se (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ou (xn )n N , ou simplesmente (xn ) para indicar a sequência cujo n-ésimo termo é xn . Não confunda a sequência (xn ) com o conjunto {x1, x2, . . . , xn, . . .} dos seus termos. Por exemplo, as sequências (0, 1, 0, 1 . . .) e (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .) são diferentes, mas os conjuntos dos seus termos são os mesmos, iguais a {0, 1}. ∈

Definição 3.2. Uma sequência (xn) diz-se limitada superiormente (respectivamente, R tal que xn inferiormente ) quando existe c c (respectivamente, xn c) para todo n N. Diz-se que a sequência (xn ) é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0 tal que xn k, n N.

∈

∈

≤

≥

| | ≤ ∀ ∈

Exemplo 3.3. Se a > 1 então a sequência (a, a2 , . . . , an , . . .) é limitada inferiormente,

porém, não superiormente. Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade 1 < a por an , obtemos an < an+1; segue-se que a < an, ∀ n ∈ N. Logo, (an ) é limitada inferiormente por a. Por outro lado, temos a = 1 + d com d > 0. Pela desigualdade de

3.1 Limites de uma Sequência

33

Bernoulli, vale an = (1 + d)n > 1 + nd, ∀ n ∈ N. Portanto, dado qualquer c ∈ R podemos obter an > c, desde que tomemos 1 + nd > c, isto é, n > (c − 1)/d.  Definição 3.4. Dada uma sequência x = (xn)n∈N , uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito e, portanto, ilimitado, N = n1 , n2, . . . , nk , . . . .

{

• Escreve-se

}

x = (xn )n∈N ou (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .), ou (xnk )k∈N para indicar a subsequência x = x N . 

|

• A notação (x

mostra como uma subsequência pode ser considerada como uma sequência, isto é,uma função cujo domínio é N. nk )k∈N

Exemplo 3.5. Se a <

dos números pares e N



−1, formemos a sequência (a ) . Se N ⊂ N é o conjunto ⊂ N é o conjunto dos números ímpares, então a subsequência n



n∈N

(an )n∈N = (a2 , a4 , . . . , a2k , . . .) é limitada apenas inferiormente, enquanto a subsequência (an )n∈N = (a1 , a3 , . . . , a2k−1 , . . .) é limitada apenas superiormente. Com efeito, de a < 1 segue-se a > 1 a 2 > 1, ou seja, a2 > 1 . Assim, para n N a sequência se escreve (an )n∈N = ((a2 ), (a2 )2 , (a2 )3 , . . .) = (a2 )n , donde, como no Exemplo 3.3, é limitada apenas 

−



| |

⇒ | |

∈



inferiormente. Por outro lado, como a2k > 0 , multiplicando ambos os membros da desigualdade a < −1 por a2k , obtemos a2k+1 < −a2k < −1; então, pela primeira parte, obtemos que a subsequência (an )n N é limitada apenas superiormente. ∈



Definição 3.6. Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn ) quando, para todo número real  > 0 , dado arbitrariamente, pode-se obter n0 = n 0 () N tal que todos os termos xn com índice n > n0 cumprem a condição xn a < . Simbolicamente,

escreve-se

| − |

. a = lim xn =

∈

∀  > 0, ∃ n ∈ N; n > n ⇒ |x − a| < . 0

0

n

• Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de n , os termos

xn tornam-se e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje. Mais precisamente, estipulando-se uma margem de erro  > 0, existe um índice n0 N tal que todos os termos x n da sequência com índice n > n0 são valore aproximados de a com erro menor do que .

∈

Convém lembrar que |xn − a| <  é o mesmo que a −  < xn < a+, isto é, xn ∈ (a − , a+). Assim, dizer que a = lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contém todos os termos xn da sequência, salvo para um número finito de índices n (a saber, os índices n ≤ n 0 , onde n0 é escolhido em função do raio  do intervalo dado. Em


34

vez de a = lim xn , escreve-se também a = limn N xn , a = limn xn ou xn → a. Esta última expressão lê-se “ xn tende para a” ou “ xn converge para a”. Uma sequência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se chama divergente. ∈

→∞

Teorema 3.7. Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos. Demonstração. Seja a = lim xn . Dado b = a , podemos tomar  > 0 tal que os intervalos abertos I = (a , a + ) e J = (b , b + ) sejam disjuntos. Basta tomar  b a /2. Existe n0 N tal que n > n0 implica xn I . Então, para todo n > n0 , temos xn J .  Logo, não pode ser lim xn = b .

∈

−

−



≤ | − | ∈

∈

Teorema 3.8. Se lim xn = a , então toda subsequência de (xn ) converge para o limite a. Demonstração. Seja (xn1 , . . . , xnk , . . .) a subsequência. Dado qualquer intervalo aberto I de centro a , existe n0 N tal que todos os termos xn , com n > n0, pertencem a I . Em particular, todos os termos xnk , com nk > n0 também pertencem a I . Logo, lim xnk = a .

∈



Teorema 3.9. Toda sequência convergente é limitada. N tal que Demonstração. Seja a = lim xn. Fixado  > 0, vemos que existe n0 n > n0 implica xn (a , a + ). Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto x1 , . . . , xn0 , a , a +  . Isto significa que

∈ − { − } • b ≤ x , . . . , x ≤ c, • b ≤ a −  < x < a +  ≤ c, 1

∈

n0 n

se n > n0

Isto é, todos os termos xn da sequência estão contidos no intervalo [b, c], logo ela é limitada. 

Exemplo 3.10. A sequência (2, 0, 2, 0, . . .), cujo n-ésimo termo é xn = 1 + ( 1)n+1 , é limitada, mas não é convergente porque possui duas subsequências constantes, x2n−1 = 2 e x2n = 0, com limites distintos .

−

Exemplo 3.11. A sequência (1, 2, 3, . . .), com xn = n, não converge por que não é

limitada . Definição 3.12. Uma sequência chama-se monótona quando se tem xn x n+1 n N ou então xn x n+1 n N. No primeiro caso, diz-se que (xn ) é monótona não-decrescente e, no segundo, que (xn ) é monótona não-crescente . Se, mais precisamente, tivermos N, diremos que a sequência é xn < xn+1 (respectivamente, xn > xn+1 ) para todo n

≥

≤

∀ ∈

crescente (respectivamente, decrescente ).

∈

∀ ∈


35

Toda sequência monótona não-decrescente (respectivamente, não-crescente) é limitada inferiormente (respectivamente, superiormente) pelo seu primeiro termo. Lema 3.13. A fim de que uma sequência monótona seja limitada é suficiente que possua

uma subsequência limitada. Demonstração. Com efeito, seja (xn)n∈N uma subsequência limitada da sequência monótona (digamos, não-decrescente) (xn ). Temos xn N . Dado qualquer c, n n N, existe n N tal que n < n . Então, x1 x n x n c .  

≤ ∀ ∈ ≤ ≤ ≤ 

∈

∈



O teorema seguinte dá uma condição suficiente para que uma sequência convirja. Foi tentando demonstrá-lo ao preparar suas aulas, na metado do século XIX, que R. Dedekind percebeu a necessidade de uma conceituação precisa de número real. Teorema 3.14. Toda sequência monótona limitada é convergente. Demonstração. Seja (xn ) monótona, digamos não-decrescente, limitada. Escrevamos X = x1 , x2 , . . . , xn , . . . . Como X é um conjunto limitado, possui um supremo, que chamamos de a = sup X . Afirmação: a = lim xn . Com efeito, dado  > 0, o número a  não é cota superior de X . Logo, existe n0 N tal que a  < xn0 a. Assim, como (xn) é não-decrescente, n > n0 a  < xn0 xn a < a + , ou seja, xn (a , a + ) n > n0 ; isto é, lim xn = a . 

{

}

−

≤

≤

−

∈ −

∈ ≤

⇒ −

∀

Observação 3.15. Semelhantemente, se (xn) é não-crescente e limitada, então lim xn é o ínfimo do conjunto dos valores xn. Por exemplo, a sequência cujo n-ésimo termo é xn = 1/n é monótona, decrescente e limitada. Temos, então lim(1/n) = inf 1/n : n N = 0, pelo Teorema 2.16.

{

}

∈

Corolário 3.16 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada de números

reais possui uma subsequência convergente. Demonstração. Tendo em vista o Teorema 3.14, basta mostrar que toda sequência limitada (xn ) possui uma subsequência monótona. Digamos que um termo xn da sequência dada é destacado quando xn x p p > n.

≥

Seja

{ ∈ N : x

D = n

• Se D for infinito, D = {n

1

n

∀

é destacado }

< n2 < .. . < nk < . . . , então a subsequência (xnk )nk ∈D

será monótona não-crescente.

}

3.2 Limites e Desigualdades

36

• Se D for finito (e, portanto, limitado), seja n ∈ N maior do que todos os n ∈ D. Então x  ∈ D não é destacado, logo existe n > n com x < x . Por sua vez, x 1

n1

2

1

n1

n2

n2

não é destacado, logo existe n3 > n2 com xn < xn < xn . Prosseguindo, obtemos uma subsequência monótona crescente xn < xn < .. . < xnk < . . . 1

1

2

3

2

A demonstração está completa.



Exemplo 3.17. Seja 0 < a < 1 . A sequência (a, a2 , . . . , an , . . .) é decrescente e limitada, pois multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an , e 0 < an < 1 para todo n N. Afirmamos que limn→∞ an = 0. De fato, como 1/a > 1, segue-se do Exemplo 3.3 que, dado arbitrariamente  > 0, existe n0 N tal que (1/a)n > 1/ n > n0 , ou seja, an <  n > n0 . Mas isto significa que limn→∞ an = inf an : n N = 0.

∈

∈

∀

{

∈ }

∀

3.2 Limites e Desigualdades Observação 3.18. Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequência (xn ). Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P para significar que existe n0 N tal que n > n0 x n goza da propriedade P .

∈

⇒

Teorema 3.19. Seja a = lim xn . Se b < a então, para todo n suficientemente grande, tem-se b < xn. Analogamente, se a < b, então x n < b para todo n suficientemente grande. Demonstração. Tomando  = a b, temos  > 0 e b = a . Pela definição de limite, existe n 0 N tal que n > n0 a  < xn < a +  b < xn . A outra afirmação se prova

− ⇒ −

∈

analogamente.

−

⇒



Corolário 3.20. Seja a = lim xn . Se a > 0 então, para todo n suficientemente grande, tem-se x n > 0 . Analogamente, se a < 0 , então x n < 0 para todo n suficientemente grande. Demonstração. Basta trocar b por 0 na prova do Teorema 3.19.



Corolário 3.21. Sejam a = lim xn e b = lim yn . Se xn y n para todo n suficientemente grande, então a b . Em particular, se xn b para todo n suficientemente grande, então lim xn b .

≤

≤

≤

≤

Demonstração. Se fosse b < a, então tomaríamos c R tal que b < c < a e teríamos, pelo Teorema 3.19, yn < c < xn para todo n suficientemente grande, contradizendo a

∈

hipótese.



Observação 3.22. Se fosse xn < yn não se poderia concluir a < b. Por exemplo, se xn = 0 e yn = 1/n, temos, para todo n N, que xn < yn. Mas lim xn = lim yn = 0.

∈

3.3 Operações com Limites

37

Teorema 3.23 (Teorema do Sanduíche). Se lim xn = lim yn = a e xn todo n suficientemente grande, então lim z n = a .

≤ z ≤ y n

n

para

Demonstração. Seja  > 0 dado arbitrariamente. Como lim xn = a , existe n1 N tal que n > n1 a  < xn < a + . Como lim yn = a , existe n2 N tal que n > n2 a  < yn < a + . Seja n0 = max n1 , n2 . Então n > n0 a  < xn z n y n < a+ z n logo lim z n = a .

{

}

∈ ∈

⇒ − ⇒ − ⇒ − ≤ ≤

⇒ ∈ (a−, a+), 

3.3 Operações com Limites Teorema 3.24. Se lim xn = 0 e (yn ) é uma sequência limitada (convergente ou não), então lim(xnyn) = 0. Demonstração. Como (yn) é limitada existe c > 0 tal que yn c para todo n N. E como lim xn = 0, dado arbitrariamente  > 0 , existe n0 N tal que n > n0 xn < /c. Então n > n0 xnyn = xn yn < (/c) c. Assim, lim xn yn = 0. 

⇒ |

| | |·| |

∈

·

| | ≤

∈ ⇒ | |

Exemplo 3.25. Se xn = 1/n e yn = sin n, então (yn ) não converge, mas, como 1 yn 1, tem-se lim(xnyn ) = lim sinn n = 0. Por outro lado, se lim xn = 0, mas (yn ) não é limitada, então o produto pode divergir (tome xn = 1/n e yn = n2 ) ou convergir para um valor qualquer (tome xn = 1/n e yn = c n).

− ≤ ≤

·

Observação 3.26. Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente da

definição de limite, tem-se lim xn = a

⇔ lim(x − a) = 0 ⇔ n

lim xn

| − a| = 0.

De fato, lim xn = a

⇔ ∀  > 0 ∃ n ∈ N : n > n ⇒ |x − a| <  ⇔ ∀  > 0 ∃ n ∈ N : n > n ⇒ |(x − a) − 0| <  (⇔ lim(x − a) = 0) ⇔ ∀  > 0 ∃ n ∈ N : n > n ⇒ ||x − a| − 0| <  (⇔ lim |x − a| = 0). 0

0

n

0

0

n

n

0

0

n

n



Teorema 3.27. Se lim xn = a e lim yn = b , então:

1. lim(xn ± yn ) = a ± b. 2. lim xnyn = ab .


3. lim

x n a = yn b

38

se b =  0.

Demonstração.

1. Seja  > 0 dado arbitrariamente. Como lim xn = a , existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < /2. Como lim yn = b , existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < /2. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Então para n > n0 , temos

|x ± y − (a ± b)| = |x − a ± (y − b)| ≤ |x − a| + |y − b| < /2 + /2 = . n

n

n

n

n

n

Logo, lim(xn ± yn ) = a ± b. 2. Note que

|x y −ab| = |x y −x b+x b−ab| = |x (y −b)+(x −a)b| ≤ |x ||y −b|+|x −a||b|. n n

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

Seja  > 0 dado arbitrariamente. Como lim xn = a, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒ |xn − a| < /2|b|. Consequentemente, |xn | < |a| + /2|b| = c Como lim yn = b , existe n2 ∈ N tal que n > n2 ⇒ |yn − b| < /2c. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Então para n > n0 , temos

|x y − ab| ≤ |x ||y − b| + |x − a||b| < c · 2c + 2|b| · |b| = . n n

n

n

n

Portanto, lim xn yn = ab . 3. Vale xn/yn − a/b = (xn b − yna)/yn b. Como lim(xn b − yn a) = ab − ab = 0, basta provar que 1/ynb é uma sequencia limitada para concluir que lim(xn/yn − a/b) = 0 e portanto que lim xn /yn = a/b. Como lim yn b = b2 > b2 /2 = c > 0, segue-se do Teorema 3.19 que, para todo n suficientemente grande, tem-se yn b > c e, portanto, 0 < 1/ynb < 1/c, completando a demonstração. 

Exemplo 3.28. Se xn > 0 para todo n

∈ N e lim(x

n+1 /xn )

= a < 1 , então lim xn = 0.

Com efeito, tomemos c ∈ R com a < c < 1. Então 0 < xn+1/xn < c para todo n suficientemente grande. Segue-se que 0 < xn+1 = (xn+1/xn )xn < c · xn < xn ; logo, para n suficientemente grande, a sequência (xn ) é monótona e limitada, daí possui limite (pelo Teorema 3.14). Seja b = lim xn . De xn+1 < c · x n para todo n suficientemente grande


39

resulta, fazendo n → ∞, que b ≤ c · b, isto é, (1 − c) · b ≤ 0 . Como 0 < c < 1 , segue que b ≤ 0 . Por outro lado, de xn > 0 segue-se b ≥ 0 . Portanto, concluímos que b = 0. Exemplo 3.29. Como aplicação do exemplo anterior, vê-se que, se a > 1 e k

constantes, então

∈ N são

nk an n! lim n = lim = lim n = 0. n→∞ a n→∞ n! n→∞ n

√

Exemplo 3.30. Dado a > 0 , mostremos que a sequência dada por xn = n a = a 1/n tem limite igual a 1. De fato, trata-se de uma sequência monótona (decrescente se a > 1, crescente se a < 1), limitada; portanto, existe L = limn→∞ a1/n. Tem-se L > 0. Com a. Se, porém, N, donde L efeito, se 0 < a < 1 então a1/n > a para todo n N, donde L a > 1, então a1/n > 1 para todo n 1. Consideremos a sequência (a1/n(n+1) ) = (a1/2 , a1/6 , a1/12 , . . .). Como 1/n(n + 1) = 1/n 1/(n + 1), o Teorema 3.8 e o item (3) do Teorema 3.27 nos dão

∈ ≥

∈

L = lim a

1/n(n+1)

= lim

a1/n a1/(n+1)

=

≥

−

L =1 L

Exemplo 3.31. Seja 0 < a < 1. A sequência cujo termo geral é xn = 1 + a + a 2 + . . . + an = (1 an+1)/(1 a) é crescente, limitada, pois xn < 1/(1 a) para todo N. Além disso, limn→∞(1/(1 n a) xn) = limn→∞ an /(1 a) = 0, portanto, limn→∞ xn = limn→∞(1 + a + . . . + an ) = 1/(1 a). A igualdade acima vale ainda quando se tem 1 < a < 1 , isto é, a < 1 . Com efeito, o argumento se baseou no fato de que limn→∞ an = 0, que persiste quando se tem apenas a < 1 , pois lim a n = 0 lim an = 0.

∈

||

−

||

−

− −

− −

⇔

Exemplo 3.32. A sequência cujo termo geral é an = 1 + 1 +

1 1 + . . . + 2! n!

é evidentemente crescente. Ela também é limitada, pois 2

≤

1 1 1 + + . . . + 2! 3! n! 1 1 1 1 + 1 + + 2 + . . . + n−1 2 2 2

an = 1 + 1 +

≤

< 3.

−

| |

−


40

Escrevemos e = lim an . O número e é uma das constantes mais importantes da Análise Matemática. Como vimos, tem-se 2 < e ≤ 3 . Na realidade, vale e = 2, 7182, com quatro decimais exatas. Exemplo 3.33. Consideremos a sequência cujo termo geral é bn =

n

    1 1+ n

=

n + 1 n

n

.

Pela fórmula do Binômio: bn

    n 0

n 1

 

 

n n 1 1 1 = 1n + 1n−1 1 + 1n−2 2 + . . . + 10 n n n n 2 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) . . . 1 1 = 1 + n + + . . . + n 2! n2 n! nn 1 1 1 1 2 1 1 n 1 = 1 + 1 + (1 ) + (1 )(1 ) + . . . + (1 ) (1 ). 2! n 3! n n n! n n

·

·

·

− ·

·

−

−

−

·

·

−

· ·

·

− · ·· − −

−

Logo, bn é uma soma de parcelas positivas. O número dessas parcelas, bem como cada uma delas, cresce com n. Portanto a sequência (bn ) é crescente. É claro que bn < an do Exemplo ?? anterior. Segue-se que bn < 3 para todo n ∈ N. Afirmamos que lim bn = lim an = e. Com efeito, quando n > p vale

≥ 1 + 1 + 2!1 (1 − n1 ) + . . . + p!1 (1 − n1 )(1 − n2 ) ··· (1 − p −n 1 ).

bn

Fixando arbitrariamente p ∈ N e fazendo n → ∞ na desigualdade acima obtemos

≥ 1 + 1 + 2!1 + . . . + p!1 = a .

lim bn

p

Como esta desigualdade vale para todo p ∈ N, segue-se que limn bn ≥ lim p a p = e . Mas já vimos que bn < an para todo n ∈ N. Logo limbn ≤ lim an (Cf. Corolário 3.21). Isto completa a prova de que lim bn = e . →∞

→∞

√

Exemplo 3.34. Consideremos a sequência cujo n-ésimo termo é xn = n n = n 1/n . Temos xn 1 para todo n N. Esta sequência é decrescente a partir do seu terceiro termo. Com efeito, a desigualdade n n > n+1 n + 1 é equivalente a nn+1 > (n + 1)n , que dividindo por nn , se torna equivalente a n > (1 + 1/n)n, o que é verdade para n 3 pois, como vimos acima, (1 + 1/n)n < 3 para todo n N. Portanto, existe L = lim n1/n e tem-se L 1.

≥

∈ √

√

∈

≥

≥

3.4 Limites Infinitos

41

Considerando a subsequência (2n)1/2n, temos: L2 = lim[(2n)1/2n]2 = lim[21/n n1/n] = lim 21/n lim n1/n = L

·

·

√

(Cf. Exemplo 3.30). Como L =  0, de L2 = L resulta L = 1. Portanto, lim n n = 1.

3.4 Limites Infinitos Definição 3.35. Dada uma sequência (xn), diz-se que “o limite de (xn ) é mais infinito” e escreve-se lim xn = + , para significar que, dado arbitrariamente A > 0 , existe n0 N tal que n > n0 implica xn > A. Analogamente, lim xn = significa que, para todo A > 0 dado, pode-se achar n0 N tal que n > n0 implica xn < A.

∞

∈

−∞

∈

−

Observação 3.36. (i) Deve-se observar que + e não são números e que, se , as sequências (xn) e (yn) não são convergentes. lim xn = + e lim yn = , limitaremos nossos comentários ao (ii) Com lim xn = + lim( xn) =

∞

∞ −∞

−∞ ∞⇔

−

−∞

primeiro caso. (iii) Se lim xn = +∞ então a sequência (xn ) não é limitada superiormente. A recíproca é falsa. Por exemplo, a sequência xn = n + (−1)n n é ilimitada superiormente, porém, não se tem lim xn = +∞, pois x2n 1 = 0 para todo n ∈ N. Mas se (xn ) é não-decrescente então xn ilimitada implica lim xn = +∞. −

No Exemplo 3.3, ao mostrar que as potências a, a2 , a3 , . . . de um número a > 1 formam uma sequência ilimitada superiormente, provou-se, na realidade, que lim an = +∞. Teorema 3.37. Sejam (xn) e (yn ) duas sequências.

1. Se lim xn = +∞ e (yn ) é limitada inferiormente, então lim(xn + yn) = +∞. 2. Se lim xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c 3. Se xn > c > 0, yn > 0

∀ n ∈ N e lim y

n

∀ n ∈ N, então lim(x · y ) = +∞. x = 0, então lim = +∞. y

4. Se (xn ) é limitada e lim yn = +∞, então lim

n

n

n

n

xn = 0. yn

Demonstração. 1. Como (yn ) é limitada inferiormente, existe c R tal que yn c n N. Como lim xn = + , dado arbitrariamente A > 0, existe n0 N tal que n > n0 xn > A c . Segue-se que n > n0 xn + y n > A c + c = A; logo, lim(xn + yn) = + .

∀ ∈

⇒

∞

−

∞

∈

⇒

−

∈

≥

3.4 Limites Infinitos

42

N tal que 2. Como lim xn = + , dado arbitrariamente A > 0, existe n0 n > n0 x n > A/c. Logo, n > n0 x nyn > (A/c) c = A , donde lim(xn yn) = + . 3. Como lim yn = 0, dado A > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn < c/A. Então n > n0 x n/yn > c (A/c) = A e daí, lim(xn /yn) = + . 4. Como (xn ) é limitada, existe c > 0 tal que xn c n N . Como lim yn = + , dado arbitrariamente  > 0, existe n0 N tal que n > n0 yn > c/. Então n > n0 xn /yn < c (/c) =  , logo lim(xn/yn ) = 0. 

∞

⇒ ⇒

⇒

∈

·

⇒ |

|

∞ | | ≥ ∀ ∈

∈

·

·

⇒

·

∈

∞

∞

⇒

Observação 3.38. As hipóteses feitas nas diversas partes do teorema anterior têm por objetivo evitar algumas das chamadas expressões indetermindas . No item 1. procura-se evitar a expressão + . De fato, se lim xn = + e lim yn = nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre lim(xn + yn). Este limite pode não existir (como no caso em que xn = n + ( 1)n e yn = n), pode ser igual a + (se xn = 2n e yn = n), pode ser (tome xn = n e yn = 2n) ou pode assumir um valor arbitrário c R (por exemplo, se é xn = n + c e yn = n). Por causa desse comportamento errático diz-se que + uma expressão indeterminada. Nos itens 2., 3. e 4., as hipóteses feitas excluem os limites do tipo 0 + (também evitado no Teorema 3.24), 0/0 e / , respectivamente, os

∞−∞

−

−

∞

− −

−∞

∞

∈

· ∞

−

−∞

∞−∞

∞∞

quais constituem expressões indeterminadas no sentido que acabamos de explicar. Outras expressões frequentemente encontradas são ∞0, 1 e 00 . ∞

Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob forma de uma expressão indeterminada. Por exemplo, o número e = limn (1 + 1/n)n é da forma 1 . E, como veremos mais adiante, a derivada é um limite do tipo 0/0. Agora, uma observação sobre ordem de grandeza. Se k ∈ N e a ∈ R, a > 1, então limn nk = limn an = limn n! = l i mn nn . Todas estas expressões têm limite. Mas o Exemplo 3.29 nos diz que, para valores muito grandes de n, temos nk  an  n!  nn, onde o símbolo  quer dizer “é uma fração muito pequena de” ou “é insignificante diante de”. Por isso, diz-se que o crescimento exponencial supera o polinomial, o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante, mas é superado pelo crescimento exponencial com base crescente. Por outro lado, o crescimento de nk (mesmo quando k = 1) supera o crescimento ∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

ln n

logarítmico, como veremos agora, provando que lim = 0. Para todo n ∈ N, temos n n√ √ √ √ ln n < n. Como ln n = 21 ln n, segue-se que ln n < 2 n. Dividindo por n resulta que →∞

√

0 < ln n/n < 2/ n. Fazendo n

→ ∞, vem

ln n = 0. n→∞ n lim


43

3.5 Exercícios Resolvidos Seção 1: Limite de uma sequência

1. Uma sequência (xn ) diz-se periódica quando existe p N tal que xn+ p = x n para todo n N. Prove que toda sequência periódica convergente é constante. 2. Dadas as sequências (xn) e (yn), defina (z n ) pondo z 2n−1 = xn e z 2n = yn . Se lim xn = lim yn = a , prove que lim z n = a . 3. Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência

∈

∈

é, ela própria, convergente. 4. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn) quando é limite de uma subsequência de (xn ). Para cada um dos conjuntos A , B e C abaixo, ache uma sequência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência. A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1]. 5. Mostre que: (a) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn ) é necessário e suficiente que, para todo  > 0 e todo k N dados, exista n > k tal que xn a < .

∈

| − |

(b) A fim de que o número real b não seja valor de aderência de (xn ) é necessário e suficiente que existam n 0 N e  > 0 tais que n > n0 xn b  .

∈

⇒ | − | ≥

Seção 2: Limites e desigualdades

1. Se lim xn = a , lim yn = b e xn yn  para todo n N, prove que a b  . N tal que 2. Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 n > n0 x n < yn . 3. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn ), prove que alguma subsequência de (xn ) converge para um limite b = a . 4. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de

| − | ≥

∈

| − | ≥ ∈

⇒



aderência. 5. Quais são os valores de aderência da seqüência (xn) tal que x2n 1 = n e x2n = l/n? Esta sequência converge? √ 6. Dados a, b ∈ R+ , defina indutivamente as sequências (xn ) e (yn) pondo x1 = ab, √ y1 = (a + b)/2 e xn+1 = xnyn, yn+1 = (xn + yn )/2. Prove que (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite. 7. Diz-se que (xn ) é uma sequência de Cauchy quando, para todo  > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ |xm − xn | < . −

(a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.


44

(b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos. (c) Prove que uma sequência (xn ) é convergente se, e somente se, é de Cauchy. Seção 3: Operações com limites

1. Se existem  > 0 e k N tais que  xn nk para todo n suficientemente grande, prove que lim n xn = 1. Use este fato para calcular lim n n + k , lim n n + n, lim n ln n e lim n n ln n. 2. Seja e n = (xn a)/ a o erro relativo na n-ésima etapa do cálculo de a. Prove que en+1 = e 2n/2(1+ en). Conclua que e n 0, 01 e n+1 0, 00005 e n+2 0, 00000000125

√

√

∈

− √ √

≤ ≤

≤

⇒

√



≤

⇒

√

√

√ ≤

e observe a rapidez de convergência do método. 3. Dado a > 0 , defina indutivamente a sequência (xn ) pondo x1 = 1/a e xn+1 = 1/(a+xn). Considere o número c, raiz positiva da equação x2 + ax − 1 = 0, único número positivo tal que c = 1/(a + c). Prove que x2 < x4 < .. . < x2n < .. . < c < . . . < x2n−1 < .. . < x3 < x1 ,

e que lim xn = c . O número c pode ser considerado como a soma da fração contínua 1 1

a +

1

a + a +

1 a + . . .

4. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (yn ), pondo y1 = a e yn+1 = a + 1/yn . Mostre que lim yn = a + c, onde c é como no exercício anterior. 5. Defina a sequência (an) indutivamente, pondo a 1 = a 2 = 1 e an+2 = a n+1 +an para todo n N . Escreva xn = a n /an+1 e prove que lim xn = c , onde c é único número positivo tal que 1/(c+1) = c. O termo an chama-se o n-ésimo número de Fibonacci e c = ( 1+ 5)/2

∈

√ −

é o número de ouro da Geometria Clássica. Seção 4: Limites infinitos



1. Se lim xn = + e a R, prove: lim( ln(xn + a) 2. Dados k N e a > 0 , determine o limite

∈

∞ ∈

lim

n! . nk an

·

− √ ln x ) = 0. n


45

Supondo também a =  e, calcule an n! lim nn

·

e

n k an n! lim . nn

· ·

(Para o caso a = e , ver Exercício 9, Seção 1, Capítulo 11.) 3. Mostre que lim n + ln(n + 1)/ ln n = 1. 4. Sejam (xn) uma sequência arbitrária e (yn ) uma sequência crescente, com lim yn = +∞. Supondo que lim(xn+1 − xn)/(yn+1 − yn ) = a, prove que lim xn /yn = a. Conclua que se lim(xn+1 − xn) = a então lim xn /n = a. Em particular, de lim ln(1 + 1/n) = 0, conclua que lim(ln n)/n = 0. 5. Se lim xn = a e (tn ) é uma sequência de números positivos com →

∞

lim(t1 +

prove que

t 1 x1 + t1 + + xn

lim

Em particular, se yn =

x1 +

· ·· n

·· · + t ) = +∞, n

··· + t x ·· · + t

n n

= a.

n

tem-se ainda lim yn = a .

3.6 Exercícios Propostos 1. Use a definição de limite de sequência para provar que n (i) lim 2 = 0; n +1

2n2 (ii) lim 2 = 2; n +7

√ √

3n n (iii) lim = 3. n n + 5

2. Sejam (xn ) e (yn) duas sequências tais que |xn − a| < C |yn|, onde a ∈ R e C > 0. Usando a definição de limite, mostre que se yn → 0 então x n → a . 3. O Teorema dos Intervalos Encaixados diz que dada uma sequência decrescente I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados I n = [an , bn ]. Existe, pelo menos, um número real c tal que c ∈ I n, ∀ n ∈ N, isto é, c ∈ n N I n . Prove que se os comprimentos dos intervalos tendem a zero quando n cresce, então n N I n = {c}. [Cf. Demonstração do Teorema 4.17.]

  ∈

∈

4. Sejam a = lim xn e b = lim yn . Se xn < yn para todo n suficientemente grande, mostre que não podemos concluir que a < b (com a desigualdade estrita). 5. Seja lim xn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1 |, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que lim yn = 0.


46

√

√

6. Prove que a sequência xn = n + h − n converge para 0. 7. (a) Se lim xn = a, mostre que lim |xn | = |a|. Dê um contra-exemplo mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando a = 0. (b) Se lim xn = a e lim(xn

− y ) = 0, mostre que lim y = a. n

n

8. Defina sequência de Cauchy. Seja 0 < c < 1 e (xn ) uma sequência tal que |xn+1 − xn| ≤ c|xn 1 − xn 2|. Mostre que (xn) é uma sequência convergente. −

−

9. (a) Sejam a, b ≥ 0 . Mostre que lim (b) Sejam a1 , . . . , a p

≥ 0.

√ a n

n

+ bn = max a, b .

{ }

Mostre que

  p

lim

n

ani = max a1 , . . . , a p .

{

i=1

}

√

√

10. Dado a > 0 , considere os seguintes limites: lim n a = 1, lim n n = 1, lim an /n! = 0. Prove que:

≤ x ≤ n para todo n, então lim √ x √ n = 1. (b) para todo p ∈ N, tem-se lim √ (c) lim n! = +∞. √ n → 1. 11. Prove que (a) se a

n

n

n

= 1;

n+p

n

 n

n

12. Considere um polinômio p(n) = a k nk + ak 1 nk −

(a) Mostre que p(n) (b) Mostre que lim

√

→ +∞

 n

−1

+ . . . + a1 n + a0 .

se ak > 0 ou p(n) → −∞ se ak < 0 .

p(n) = 1 se ak > 0 .

√

13. (a) Seja x1 = 2 e xn+1 = 2xn para n ≥ 1 . (i) Usando indução, prove que xn

(ii) Verifique que xn

≤ x

n+1

.

≤ 2.

(iii) Prove que (xn ) é convergente e calcule o seu limite. (b) Considere a sequência assim definida: x1 =

√ 2 e x = √ 2 + x

para n > 1 . Escreva explicitamente os primeiros quatro ou cinco termos dessa sequência. Prove que ela é uma sequência convergente e calcule seu limite. n

n−1


47

(c) Generalize o item (b) considerando a sequência assim definida: x1 = xn = a + xn−1 , onde a > 0 .

√

√ a,

14. Prove que uma sequência (xn) que não é limitada possui uma subsequência (xnj ) tal que 1/xnj → 0 . 15. Dê exemplo de uma sequência não limitada que tenha subsequências convergentes; e de sequência não limitada que não tenha uma única subsequência convergente. 16. Responda se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo (se verdadeira, dê uma justificativa breve; se falso, dê um contra-exemplo). (a) ( ) Toda sequência limitada é convergente. (b) ( ) Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. (c) ( ) Toda sequência de Cauchy é limitada. (d) ( ) Toda sequência de Cauchy é convergente. (e) ( ) Toda sequência de Cauchy possui uma subsequência limitada. (f ) ( ) Toda sequência de Cauchy possui uma subsequência convergente. (g) ( ) Toda sequência convergente é de Cauchy. (h) ( ) Toda sequência convergente é limitada. (i) ( ) Toda sequência decrescente e limitada inferiormente é convergente. ( j) ( ) A sequência xn = ( 1)n + 3 cos n tem uma subsequência convergente. xn (k) ( ) Se limn→∞ = 0, então xn é limitada. n (a ) ( ) A sequência xn = n é uma sequência de Cauchy.

−

(b ) ( ) Seja (xn ) uma sequência tal que xn

→ a > 0, então x

n

> 0 para n grande.

Capítulo

4

Noções de Topologia

A Topologia é um ramo da Matemática no qual são estudadas, com grande generalidade, as noções de limite, de continuidade e as ideias com elas relacionadas. Neste capítulo, abordaremos alguns conceitos topológicos elementares referentes a subconjuntos de R, visando estabelecer a base adequada para desenvolver os capítulos seguintes. Adotaremos uma linguagem geométrica, dizendo “ponto” em vez de “número real”, a “reta” em vez de “o conjunto R”.

4.1 Conjuntos abertos (i) Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X R quando existe um número ε > 0 tal que o intervalo aberto (a ε, a + ε) está contido em X .

Definição 4.1.

−

⊂

(ii) O conjunto dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X e representa-se pela notação int X . (iii) Quando a int X diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a.

∈

(iv) Um conjunto A R chama-se aberto quando A = int A, isto é, todos os pontos de A são interiores a A.

⊂

Exemplo 4.2. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) é um ponto interior a (a, b). Os pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] não são interiores a [a, b]. O interior do conjunto Q dos números racionais é vazio. Por outro lado, int [a, b] = (a, b). O intervalo fechado [a, b] não é uma vizinhança de a nem de b. Um intervalo aberto é um conjunto

aberto. O conjunto vazio é aberto. Todo intervalo aberto (limitado ou não) é um conjunto aberto.

4.2 Conjuntos fechados

49

Observação 4.3. O limite de uma sequência pode ser reformulado em termos de conjuntos abertos: tem-se a = lim xn se, e somente se, para todo conjunto aberto A contendo a, existe n0 N tal que n > n0 x n A .

∈

⇒ ∈

(a) Se A1 e A2 são conjuntos abertos, então a interseção A1

Teorema 4.4.

conjunto aberto. (b) Se (Aλ )λ∈L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A =

um conjunto aberto.

∩A

2

é um



λ∈L Aλ

é

Demonstração. (a) Se x A 1 A2 , então x A 1 e x A 2 . Como A1 e A2 são abertos, existem ε1 > 0 e ε 2 > 0 tais que (x ε1 , x + ε1 ) A 1 e (x ε2 , x + ε2) A 2 . Seja ε = min ε1 , ε2 . Então (x ε, x + ε) A 1 e (x ε, x + ε) A 2 , logo (x ε, x + ε) A 1 A2 . Assim, todo ponto x A 1 A2 é um ponto interior, ou seja, o conjunto A1 A2 é aberto.

∈ ∩

∈

− − ⊂ ∈ ∩

−

∈ ⊂

⊂

−

⊂ −

⊂ ∩ ∩

{

}

(b) Se x A então existe λ L tal que x Aλ . Como Aλ é aberto, existe ε > 0 tal que (x ε, x + ε) A λ A . Logo, todo ponto x A é interior, isto é, A é aberto.

∈

∈ ⊂ ⊂

−

∈

∈



Observação 4.5. Resulta imediatamente de (a) no Teorema 4.4 que a interseção A1 Ande um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mas, embora por (b) a reunião de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta, a interseção de um número infinito de abertos pode não ser aberta. Por exemplo, se A1 = ( 1, 1), A2 = ( 1/2, 1/2), . . . , An = ( 1/n, 1/n), . . ., então a interseção A 1 A2 An = 0 . Com efeito, se x = 0, então existe n N tal que x > 1/n, logo x A n , donde x A .

∩···∩ −



−

−

∈

| |

∩ ∩···∩ {} ∈ ∈

4.2 Conjuntos fechados Definição 4.6. (i) Diz-se que o ponto a é aderente ao conjunto X R quando a é limite de alguma sequência de pontos xn X . Evidentemente, todo ponto a X é aderente a X : basta tomar todos os xn = a . (ii) Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos aderente a X . (iii) Claramente tem-se X X . Um conjunto X diz-se fechado quando X = X ; em particular, quando todo ponto aderente a X pertence a X . (iv) Seja X Y (então X Y ). Diz-se que X é denso em Y quando Y X , isto é, quando todo b Y é aderente a X .

∈

⊂

∈

⊂

⊂

∈

⊂

⊂


50

Teorema 4.7. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X . Demonstração. Seja a aderente a X . Então a = lim xn, onde xn X para todo n N. Dada uma vizinhança qualquer V a temos xn V para todo n suficientemente grande (pela definição de limite), logo V X = . Reciprocamente, se toda vizinhança de a contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a 1/n,a + 1/n), n N, um ponto xn X . Então xn a < 1/n, logo lim xn = a e a é aderente a X . 

∈

 ∈ ∩  ∅

∈

−

| − |

∈

Observação 4.8. Pelo teorema acima, a fim de que um ponto a suficiente que exista uma vizinhança V a tal que V X = .



∈

∩

∅

∈ X é necessário e

Exemplo 4.9. Q é denso em R. Isto segue dos Teoremas 4.7 e 2.22. Corolário 4.10. O fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado. (Ou seja, X = X para todo X R.)

⊂

Demonstração. Com efeito, se a é aderente a X então todo conjunto aberto A contendo a contém algum ponto b X . A é uma vizinhança de b. Como b é aderente a X , seguese que A contém algum ponto de X . Logo qualquer ponto a, aderente a X , é também aderente a X , isto é, a X . 

∈

∈

Teorema 4.11. Um conjunto F A = R F é aberto.

−

⊂ R é fechado se, e somente se, seu complementar

Demonstração. Sejam F fechado e a A , isto é, a F = F . Pelo Teorema 4.7, existe alguma vizinhança V a que não contém pontos de F , isto é, V A . Assim, todo ponto a A é interior a A, ou seja, A é aberto. Reciprocamente, se o conjunto A é aberto e a F então toda vizinhança de a contém pontos de F = R A, logo a não é interior a A. Sendo A aberto, temos a A, ou seja, a F . Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F , logo F é fechado. 

∈



∈ ∈

∈

Teorema 4.12.

∈

⊂

−

∈

(a) Se F 1 e F 2 são fechados, então F 1

∪ F é fechado. 2

(b) Se (F λ )λ∈L é uma família qualquer de conjuntos fechados, então a interseção F = λ∈L F λ é um conjunto fechado.



Demonstração. (a) Os conjuntos A1 = R F 1 e A2 = R F 2 são abertos, pelo Teorema 4.11. Logo, pelo Teorema 4.4, A 1 A2 = R (F 1 F 2 ) é aberto. Novamente pelo Teorema 4.11, F 1 F 2 é fechado.

∪

− ∩

− − ∪


51

(b) Para cada λ, Aλ = R F λ é aberto. Segue-se que A = A = R F ; logo F é fechado.

−

−



λ∈L Aλ

é aberto. Mas



R limitado, não-vazio. Então a = inf X e b = sup X são Exemplo 4.13. Seja X aderentes a X . Consequentemente, como a lim xn b , com xn X , tem-se X [a, b]. Com efeito, para todo n N, podemos escolher xn X com a xn < a + 1/n, logo a = lim xn, ou seja, a X . Analogamente, vê-se que b = lim yn , com yn X . Em particular, a e b são aderentes a (a, b). Consequentemente, se X = (a, b), [a, b), (a, b] ou [a, b], então X = [a, b] (e [a, b] é um conjunto fechado), pois [a, b] = X a, b X .

⊂

≤

∈ ∈

≤ ∈

∈ ≤

⊂

∈

∪ { } ⊂

Observação 4.14. Uma reunião infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto

fechado. Com efeilo, todo conjunto (fechado ou não) é reunião dos seus pontos, que são conjuntos fechados . Definição 4.15. Uma cisão de um conjunto X R é uma decomposição X = A B tal que A B = e A B = , isto é, nenhum ponto de A é aderente a B e nenhum ponto de B é aderente a A. (Em particular, A e B são disjuntos.) A decomposição X = X

∩

∅

∩

⊂

∅

∪

∪∅

chama-se a cisão trivial .

Exemplo 4.16. Se X = R 0 , então X = R+ R− é uma cisão. Dado um número irracional α, sejam A = x Q : x < α e B = x Q : x > α . A decomposição Q = A B é uma cisão do conjunto Q dos racionais, pois A = ( , α] e B = [α, + ) e, claramente, A B = e A B = . Por outro lado, se a < c < b, então [a, b] = [a, c] (c, b] não é uma cisão, pois [a, c] (c, b] = c = .

∪

−{ } { ∈

∩

∅

∩

∩

}

∅

∪ { ∈

−∞

}

∞ ∪

{}∅

Teorema 4.17. Um intervalo da reta só admite a cisão trivial. Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que o intervalo I admita a cisão não trivial I = A B . Tomemos a A, b B , digamos com a < b, logo [a, b] I . Seja c o ponto médio do intervalo [a, b]. Então c A ou c B . Se c A, poremos a1 = c, b1 = b. Se c B , escreveremos a1 = a, b1 = c. Em qualquer caso, obteremos um intervalo [a1, b1 ] [a, b], com b1 a1 = (b a)/2 e a1 A , b1 B . Por sua vez, o ponto médio de [a1 , b1] o decompõe em dois intervalos fechados justapostos de comprimento (b a)/4. Um desses intervalos, que chamaremos [a2 , b2 ], tem a2 A e b2 B . Prosseguindo analogamente, obteremos uma seqüência de intervalos encaixados [a, b] [a1 , b1 ] . . . [an , bn ] . . . com bn an = (b a)/2n , an A e bn B para todo n N. Pelo Teorema 2.17, existe d R tal que an d b n para todo n N. Este d é único, pois as sequências (an) e (bn) são monótonas, limitadas e, portanto, convergentes,

∪

∈

∈

∈

∈

⊂

∈

∈

−

∈

−

∈

∈

⊂ ∈

−

⊃

⊃

∈

⊃

∈

−

− ≤ ≤

∈

∈ ∈

4.3 Pontos de acumulação

52

e, pelo Teorema 3.27, lim an − lim bn = lim(an − b n ) = lim(b − a)/2n = 0, ou seja, lim an = lim bn. Por outro lado, do Corolário 3.21 segue que lim an ≤ d e lim bn ≥ d. Então, concluímos que lim an = lim bn = d . Assim, o ponto d ∈ I = A ∪ B não pode estar em A, pois d = lim bn ∈ B , nem em B , pois d = lim an ∈ A . Contradição.  Corolário 4.18. Os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados

são ∅ e R. R é aberto e fechado, então R = A ( R A) é Demonstração. Com efeito, se A uma cisão. De fato, de A ser aberto segue que R A é fechado, ou seja, R A = R A; então, A R A = . E, se A é fechado, então A = A e, daí, A (R A) = . Como R=( , + ) é um intervalo, segue do teorema acima que A = e R A = R ou então A = R e R A = . 

⊂

−

∩ − ∅ −∞ ∞ − ∅

∪ − − − ∩ − ∅ ∅ −

4.3 Pontos de acumulação (i) Diz-se que a R é ponto de acumulação do conjunto X R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a. (Isto é, V (X a ) = .) Equivalentemente: para todo  > 0 tem-se (a , a + ) (X a )= .

∈

Definição 4.19.

⊂

∩ − { }  ∅ ∩ − { }  ∅

−

Indica-se com X o conjunto dos pontos de acumulação de X . Portanto, a ∈ X a ∈ X − {a}. 



⇔

(ii) Se a X não é ponto de acumulação de X , diz-se que a é um ponto isolado de X . Isto significa que existe  > 0 tal que a é o único ponto de X no intervalo (a , a + ).

∈

−

(iii) Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se um conjunto discreto.

Teorema 4.20. Dados X

⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes:

(1) a é um ponto de acumulação de X ; (2) a é limite de uma sequência de pontos xn

∈ X − {a};

(3) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X . N podemos achar um ponto xn Demonstração. Supondo (1), para todo n X , xn = a, na vizinhança (a 1/n,a + 1/n). Logo lim xn = a, o que prova (2). Por outro



−

∈

∈

4.4 Conjuntos compactos

53

lado, supondo (2), então, para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn : n > n0 } é infinito porque, do contrário, existiria um termo xn que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma sequência constante com limite xn =  a. Pela definição de limite, vê-se portanto que  (2) ⇒ (3) . Finalmente, a implicação (3) ⇒ (1) é óbvia. 1

1

Exemplo 4.21. Se X é finito então X  =

∅ (conjunto

finito não tem ponto de acumulação). Z é infinito, mas todos os pontos de Z são isolados. Q = R. Se X = (a, b) então X = [a, b]. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n,...} então X = {0}, isto é, 0 é o único ponto de acumulação de X. Note que todos os pontos deste conjunto X são isolados ( X é discreto). 





Segue-se uma versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass em termos de ponto de acumulação. Teorema 4.22. Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um

ponto de acumulação. Demonstração. Seja X R infinito limitado. X possui um subconjunto enumerável x1 , x2 , . . . , xn , . . . [Por quê?]. Fixando esta enumeração, temos uma sequência (xn ) de termos dois a dois distintos, pertencentes a X , portanto uma sequência limitada,

{

⊂

}

a qual, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, possui uma subsequência convergente. Desprezando os termos que estão fora dessa subsequência e mudando a notação, podemos admitir que (xn ) converge. Seja a = lim xn . Como os termos xn são todos distintos, no máximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a}, logo a ∈ X .  

4.4 Conjuntos compactos Definição 4.23. Um conjunto X

⊂ R chama-se compacto quando é limitado e fechado.

Todo conjunto finito é compacto. Um intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto. Por outro lado, (a, b) é limitado mas não é fechado, logo não é compacto. Também Z não é compacto pois é ilimitado, embora seja fechado (seu complementar R − Z é a reunião dos intervalos abertos (n, n + 1) , n ∈ Z, logo é um conjunto aberto). Teorema 4.24. Um conjunto X R é compacto se, e somente se, toda sequência de pontos em X possui uma subsequência que converge para um ponto de X .

⊂

Demonstração. Se X

⊂ R é compacto, toda sequência de pontos de X é limitada, logo

(por Bolzano-Weierstrass) possui uma subsequência convergente, cujo limite é um ponto

4.4 Conjuntos compactos

54

de X (pois X é fechado). Reciprocamente, seja X ⊂ R um conjunto tal que toda sequência de pontos xn ∈ X possui uma subsequência que converge para um ponto de X . Então X é limitado porque, do contrário, para cada n ∈ N poderíamos encontrar xn ∈ X com |xn| > n. A sequência (xn), assim obtida, não possuiria subsequência limitada, logo não teria subsequência convergente. Além disso, X é fechado pois, do contrário, existiria um ponto a  ∈ X com a = lim xn, onde cada xn ∈ X . A sequência (xn) não possuiria, então, subsequência alguma convergindo para um ponto de X , pois todas suas subsequências teriam limite a . Logo X é compacto. 

Capítulo

5

Trabalho

1. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindose, naturalmente, os demais axiomas). 2. Prove o princípio de indução como uma consequência do Princípio da Boa Ordenação. 3. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x 0, ∀ x ∈ X ). 4. Prove o Princípio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva f : I m → I n . (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo). 5. Dada f : X → Y , prove: (a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito. (a) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.

6. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X . 7. Exprima N = N1 ∪ N2 ∪ . . . ∪ Nn ∪ . . . como união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos. 8. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f 1 (y) é enumerável. Prove que X é enumerável. −

9. Para todo x  = 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.

56 10. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f (λ) = ni=1 (xi − λyi )2 é ≥ 0 para todo λ ∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz



n

n



(

xi y i )

2

i=1

n

  ≤ · x2i

i=1

yi2 .

i=1

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ ∈ R tal que xi = λyi para todo i = 1, . . . , n ou y1 = y 2 = . . . = y n = 0. 11. Se a1 /b1 , . . . , an /bn pertencem ao intervalo (α, β ) e b1, . . . , bn são positivos, prove que (a1 + ··· + a n)/(b1 + ··· + b n) pertencem a (α, β ). Nas mesmas condições, se t1 , . . . , tn ∈ R+, prove que (t1a1 + ·· · + tn an )/(t1 b1 + ·· · + tn bn ) também pertence ao intervalo (α, β ). 12. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g : X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤ sup f · sup g e inf(f · g) ≥ inf f · inf g . Dê exemplos onde se tenha < e não = 13. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostre que sup(f 2) = (sup f )2 e inf(f 2 ) = (inf f )2 . 14. Dados a, b

∈

R+ com a2 < 2 < b2 , tome x, y

∈

R+ tais que x < 1, x <

− a )/(2a + 1) e y < (b − 2)/2b. Prove que (a + x) < 2 < (b − y) e b − y > 0. Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a ∈ R : a < 2 } e conclua que o (2

2

2

2

2

+

2

número real c = sup X cumpre c2 = 2. 15. Prove que um conjunto I a, b ∈ I ⇒ x ∈ I .

⊂

R é um intervalo se, e somente se, a < x < b,

√

16. (a) Prove que, se p e q forem números primos distintos, então pq é irracional. (b) Prove que, se p1 , . . . , pr forem números primos distintos, então

irracional.

√ p ·· · p 1

r

é

17. (a) Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é falsa. (b) Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número

irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.

57 (c) Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente

de zero é um número irracional. (d) Prove que se r for um número irracional então 1/r também o será. (e) Sejam a, b , c , d números racionais. Prove que

√ √ a + b 2 = c + d 2

⇐⇒

a = c e b = d.

√ √

(f ) Sejam a, b números racionais positivos. Prove que a + b é racional se, e somente se, a e b forem ambos racionais. (Sugestão: multiplique por a b)

√ √

√ − √

(g) Prove que se x e y forem números irracionais tais que x 2 y 2 Q 0 , então x + y e x y são ambos irracionais. Exemplo: 3 + 2 e 3 2. −y) (Sugestão: Em algum momento, use x = (x+y)+(x e y = (x+y)−2 (x−y) .) 2

−{ } √ √ − √ ∈− √

−

ps11

 ·· ·

18. Prove que, se p1 , . . . , pr forem números primos distintos, então irracional se algum dos expoentes s1 , . . . , sr for ímpar.

psrr é

19. (a) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números racionais. (b) Prove que entre dois números reais distintos há uma infinidade de números

irracionais. (c) Sabendo que o conjunto R dos números reais não é enumerável, prove que o

conjunto dos números irracionais não é enumerável. 20. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que

−  1

e deduzir que



1

1 n2

n

n−1

> 1

− n1

   1 1+ n

n

. −1 < 21. Considere o conjunto C = {1/m − 1/n : n, m ∈ N}. Prove que − 1 = inf C e 1 = sup C , e que {−1, 1} ⊂  C . 1+

n

22. (a) Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente, tem ínfimo. Em outras palavras, dado A ⊂ R não-vazio, limitado inferiormente, seja − A = {−x : x ∈ A}. Prove que − A é limitado superiormente e que sup(−A) = − inf A.

58 (b) Dados A R não-vazio, limitado, e c a A . Mostre, então, que

∈ } c

⊂

≥ 0 ⇒



sup cA = c sup A inf cA = c inf A.

∈ R, definimos o conjunto cA = {ca : e

c < 0

⇒



sup cA = c inf A inf cA = c sup A.

Em particular, sup(−A) = − inf A, ou ainda, sup A = − inf(−A). 23. Sejam A, B ⊂ R não-vazios tais que a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ b . (a) Prove que sup A

≤ inf B .

(b) Prove que sup A = inf B

⇔ ∀  > 0, ∃ a ∈ A, b ∈ B tais que b − a < . 24. Dados A, B ⊂ R não-vazios e limitados, seja A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B }. Prove que

(a) A + B é limitado. (b) sup(A + B) = sup A + sup B . (c) inf(A + B) = inf A + inf B .

25. Prove que r = sup{x ∈ R : x < r} = inf {x ∈ R : x > r}. 26. Sejam x, y ∈ R e n ∈ N. (a) Prove por indução que (1 (b) Conclua que (xn

n

− y ) = (1 − y)(1 + y + y − y ) = (x − y)(x + x y + x n

n−1

n−2

2

+ . . . + y n−1 ). y + . . . + xy n−2 + y n−1).

n−3 2

27. Dadas as sequências (xn ) e (yn ), defina (z n ) pondo z 2n lim xn = lim yn = a , prove que lim z n = a .

−1

= xn e z 2n = yn . Se

28. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn ) quando é limite de uma subsequência de (xn). (a) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente que, para todo  > 0 e todo k N dados, exista n > k tal que xn a < .

∈

| − |

(b) A fim de que o número real b não seja valor de aderência de (xn ) é necessário e suficiente que existam n 0 N e  > 0 tais que n > n0 xn b  .

29. Se lim xn

∈ ⇒ | − | ≥ = a , lim y = b e |x − y | ≥  para todo n ∈ N, prove que |a − b| ≥  . n

n

n

59 30. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn ), prove que alguma subsequência de (xn) converge para um limite b =  a. 31. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.

√

32. Dados a, b ∈ R+ , defina indutivamente as sequências (xn ) e (yn) pondo x1 = ab, √ y1 = (a+b)/2 e xn+1 = xn yn , yn+1 = (xn +yn )/2. Prove que (xn ) e (yn) convergem para o mesmo limite. 33. Diz-se que (xn ) é uma sequência de Cauchy quando, para todo  > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |xm − xn | < . (a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada. (b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência

distintos. (c) Prove que uma sequência (xn ) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.

34. Se existem  > 0 e k ∈ N tais que  ≤ x n ≤ n k para todo n suficientemente grande, √ √ √ prove que lim n xn = 1. Use este fato para calcular lim n n + k , lim n n + n, √ √ lim n ln n e lim n n ln n.



35. Defina a sequência (an ) indutivamente, pondo a1 = a 2 = 1 e an+2 = a n+1 + an para todo n ∈ N. Escreva xn = an /an+1 e prove que lim xn = c, onde c é único número positivo tal que 1/(c + 1) = c. O termo a n chama-se o n-ésimo número de Fibonacci √ e c = (−1 + 5)/2 é o número de ouro da Geometria Clássica. 36. Dados k ∈ N e a > 0 , determine o limite lim

n! . nk an

·

Supondo também a  = e , calcule a n n! lim nn

·

e

n k an n! lim . nn

· ·

(Para o caso a = e , ver Exercício 9, Seção 1, Capítulo 11.) 37. Sejam (xn ) uma sequência arbitrária e (yn ) uma sequência crescente, com lim yn = +∞. Supondo que lim(xn+1 −xn)/(yn+1 −yn ) = a , prove que lim xn /yn = a . Conclua que se lim(xn+1 − xn) = a então lim xn /n = a . Em particular, de lim ln(1+1/n) = 0, conclua que lim(ln n)/n = 0.

60 38. Se lim xn = a e (tn) é uma sequência de números positivos com

··· + t ) = +∞,

lim(t1 +

prove que lim

Em particular, se yn =

x1 +

·· ·

n

t 1 x1 + t1 + + xn

··· + t x ··· + t

n n

= a.

n

tem-se ainda lim yn = a .

n

39. Use a definição de limite de sequência para provar que 2n2 (ii) lim 2 = 2; n +7

√

− √ n) = 0. 40. Sejam (x ) e (y ) duas sequências tais que |x − a| < C |y |, onde a ∈ R e C > 0. Usando a definição de limite, mostre que se y → 0 então x → a . n (i) lim 2 = 0; n +1 n

n

lim( n + h

n

n

n

n

41. O Teorema dos Intervalos Encaixados diz que dada uma sequência decrescente I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados I n = [an , bn ]. Existe, pelo menos, um número real c tal que c ∈ I n, ∀ n ∈ N, isto é, c ∈ n N I n . Prove que se os comprimentos dos intervalos tendem a zero quando n cresce, então n N I n = {c}. [Cf. Demonstração do Teorema 4.17.]

  ∈

∈

42. Seja lim xn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1 |, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que lim yn = 0. 43. (a) Se lim xn = a, mostre que lim |xn | = |a|. Dê um contra-exemplo mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando a = 0. (b) Se lim xn = a e lim(xn

− y ) = 0, mostre que lim y = a. n

n

44. Defina sequência de Cauchy. Seja 0 < c < 1 e (xn ) uma sequência tal que |xn+1 − xn| ≤ c|xn 1 − xn 2|. Mostre que (xn) é uma sequência convergente. −

−

45. (a) Sejam a, b ≥ 0 . Mostre que lim (b) Sejam a1 , . . . , a p

≥ 0.

√ a n

n

+ bn = max a, b .

{ }

Mostre que

  p

lim

n

i=1

ani = max a1 , . . . , a p .

{

}

ANALISE AP.pdf

Recommend Documents