Analisis Cinematico de Trenes de Engranes

Engranajes. Trenes de engranajes

MECANISMOS

TEMA: ENGRANAJES. TRENES DE ENGRANAJES.

1- INTRODUCCION.

2- TRENES DE ENGRANAJES ORDINARIOS. 2.1- Trenes de engranajes simples. 2.2- Trenes de engranajes compuestos.

3- TRENES DE ENGRANAJES EPICICLOIDALES. 3.1- Descripción. 3.2- Análisis cinemático de trenes epicicliodales. 3.2.1- Método tabular. 3.2.2- Método de Willis.

Engranajes. Trenes de engranajes. Pag.- 1


MECANISMOS

1- INTRODUCCION Hasta el momento se ha estudiado la geometría de perfil de los dientes de los engranajes, las propiedades de estos perfiles, los diferentes tipos de engranajes y su nomenclatura, pero desde el punto de vista del estudio cinemático de estos elementos de máquinas solo se ha tratado la relación de transmisión.

Se ha definido la relación de transmisión (i) como la relación existente entre las velocidades angulares de las ruedas que forman un engranaje, esto es:

i=

ω2 ω3

Para un engranaje como el mostrado en la figura 1 la relación existente entre el diámetro de la circunferencia primitiva y el módulo es m =

d , luego para cada una de las ruedas se obtendrá: z

m2 =

d2 ; z2

m3 =

O2

P

d3 z3

r2

r3

O

3 Figura 1.



MECANISMOS

puesto que el espesor del diente medido sobre la circunferencia primitiva (y por lo tanto el ancho del hueco) debe ser igual en las dos ruedas para que estas puedan engranar; y este valor es igual a la mitad del paso circular:

p2 p3 π ⋅ d2 π ⋅ d3 d d = ⇒ p2 = p3 ⇒ = ⇒ 2 = 3 2 2 z2 z3 z2 z3 luego m2 = m3 =m. Es decir, para que dos ruedas engranen sus módulos han de ser iguales.

Por otra parte, atendiendo a la ley fundamental de engrane:

i=

O3 P ω2 d = = 3 O2 P ω3 d2

y como d 3 = m ⋅ z3 y d 2 = m ⋅ z2 , se deduce que la relación de transmisión puede calcularse por medio de la siguiente expresión:

i=

ω 2 d 3 z3 = = ω 3 d 2 z2

2- TRENES DE ENGRANAJES ORDINARIOS Un tren de engranajes está compuesto por dos o más ruedas que engranan entre sí con el propósito de transmitir movimiento desde un eje a otro.

En los trenes de engranajes ordinarios, ninguno de los ejes posee movimiento relativo respecto a la bancada.

Los trenes ordinarios pueden dividirse en dos tipos, dependiendo del número de ruedas que se monten sobre cada uno de los ejes: - Trenes simples. - Trenes compuestos. 2.1- Trenes de engranajes simples. Engranajes. Trenes de engranajes. Pag.- 3


MECANISMOS

En este tipo de trenes sólo hay una rueda por cada eje. En la figura 2 se muestra un tren de engranajes de este tipo:

1

2

3

4

6

5

Fig-2. Tren simple de engranajes.

Teniendo en cuenta la relación de transmisión para cada par de ruedas que engranan entre si, se obtiene que:

ω 2 z3 ω 3 z4 ω 4 z5 ω 5 z6 = ; = ; = ; = ω 3 z2 ω 4 z3 ω 5 z4 ω 6 z5 La relación de transmisión de un tren de engranajes se define como la razón existente entre la velocidad angular de la primera rueda del tren y la última, para el tren de la figura 2 este valor será:

i=

ω2 ω2 ω3 ω4 ω5 z z z z z = ⋅ ⋅ ⋅ = 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6 = 6 ω6 ω3 ω4 ω5 ω6 z2 z 3 z4 z5 z2

Como se ve, en trenes de engranajes simples, la relación de transmisión sólo dependerá de los números de dientes de la primera y de la última rueda del tren, ya que la velocidad lineal de todas las circunferencias primitivas es la misma. Por cada rueda que se le añada al tren el único efecto que produce es el cambio del sentido de rotación de la última rueda.

El signo de la relación de transmisión se considera positivo si la primera y la última rueda giran en el mismo sentido, en caso contrario será negativo, de forma que si el número de ruedas del tren de engranajes simples es par, la relación de transmisión será negativa y, si es impar positiva.

Las ruedas intermedias en los trenes simples se utilizan para conectar ejes con gran distancia entre centros y para controlar el sentido de giro de la última rueda del tren. 2.2.- Trenes de engranajes compuestos



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Se denominan ruedas compuestas aquellas que se montan sobre un mismo eje y giran de forma solidaria con este. Por lo tanto, un tren de engranajes compuesto es aquel en el que aparecen ruedas compuestas.

En la figura 3 se muestra un tren de engranajes compuesto, en el que las ruedas 3-4 y 5-6 son compuestas.

2

3

4

5

6

7

Fig-3. Tren de engranajes compuesto.

La relación de transmisión se define como en los trenes de engranajes simples; luego, para el tren mostrado en la figura 3:

i=

ω2 ω7

Por otra parte, para cada par de ruedas engranando:

ω 2 z3 ω 4 z5 ω 6 z7 = ; = ; = ω 3 z2 ω 5 z4 ω 7 z6 pero como ω3 = ω4 y ω5 = ω6 por ser las ruedas 3 y 4 y las 5 y 6 ruedas compuestas, la relación de transmisión quedará:

i=

ω 2 ω 2 ω 3 ω 5 z3 z5 z7 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ω 7 ω 3 ω 5 ω 7 z2 z4 z6



MECANISMOS

Se ve, por tanto, que la relación de transmisión puede expresarse como el conciente existente entre el producto de las ruedas conducidas y el producto de las conductoras:

i=

producto de los dientes de las ruedas conducidas producto de los dientes de las ruedas conductoras

La ventaja que presentan los trenes compuestos sobre los simples es que se obtienen una reducción de velocidad mucho mayor con ruedas más pequeñas.

Un ejemplo típico de aplicación de trenes compuestos de engranajes lo constituyen las cajas de cambios utilizadas en automoción.

Para lograr reducciones mayores de 7:1 no suelen emplearse trenes simples (la última rueda debería de ser 7 veces mayor que la primera) sino trenes compuestos o mecanismos de corona y tornillo sin fín.

3.-TRENES DE ENGRANAJES EPICICLOIDALES. 3.1- Descripción.

A diferencia de los trenes de engranajes ordinarios, en los trenes epicicloidales el eje de una o más ruedas presenta un movimiento de rotación respecto a la bancada, por lo que la trayectoria de los puntos de las ruedas montadas sobre estos ejes son epicicloides; de ahí el nombre con que se conoce a este tipo de trenes de engranajes.

A los trenes epicicloidales también se los conoce como trenes planetarios debido a la analogía que presenta el movimiento de las rueda con los planetas del sistema solar: hay una serie de ruedas (denominadas planetas) que presentan un movimiento de rotación alrededor de otra rueda (denominada sol) tal y como puede apreciarse en la figura 4.

Aparece siempre un elemento sobre el que se montan los ejes de los planetas, denominado brazo, y que presenta movimiento de rotación respecto a la bancada.



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anillo brazo brazo

sol

sol planetas planeta

anillo

Fig-4. Tren de engranajes epicicloidales.

Los planetas pueden estar constituidos por ruedas simples (figura 4) o por ruedas compuestas como en el tren mostrado en la figura 5.

planetas

brazo soles Fig-5. Tren epicicloidal con ruedas compuestas.

Las ruedas que componen un tren de engranajes epicicloidal no tienen porque ser cilíndricas (figuras 4 y 5) sino que puden ser también cónicas como en el ejemplo mostrado en la figura 6.

planetas brazo

sol Fig-6. Tren epicicloidal con ruedas cónicas.

3.2- Análisis cinemático de trenes epicicloidales.



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Aunque se expondrán dos métodos diferentes con el fin de calcular la relación de transmisión de un tren epicicloidal, ambos están basados en el mismo concepto: la velocidad absoluta de cualquier rueda puede descomponerse en suma de dos velocidades:

- La velocidad angular del brazo. - La velocidad angular de la rueda con respecto al brazo.

Esto expresado en una fórmula quedaría de la siguiente forma:

ω i = ω b + ω i/b donde: wi representa la velocidad angular absoluta de una rueda cualquiera. wb es la velocidad angular absoluta del brazo. wi/b es la velocidad relativa de la rueda respecto al brazo.

3.2.1- Método tabular.

Para operar con este método se procederá de la siguiente forma:

a) Se supondrá el tren epicicloidal bloqueado y se girará una vuelta a todo el sistema (cálculo de la velocidad angular del sistema). b) Se fija el brazo y se gira una vuelta en sentido contrario al anterior a la rueda que está unida a la bancada. Se calcula el número de vueltas que girará el resto de las ruedas, que se comportarán, al haber fijado en brazo, como en un tren ordinario (movimiento respecto al brazo). c) Se suman las vuelta que han girado cada una de las ruedas en los pasos a) y b) (composición del movimiento), y se calcula la relación de transmisión como el cociente entre el número de vueltas total de la rueda conductora entre el de la conducida.

A modo de ejemplo se calculará la relación de transmisión para el tren mostrado en la figura 7.



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2 b b

4

4 3 3

2

Fig-7. Tren de engranajes epicicloidales

Movimiento del brazo

2

3

4

brazo

+1

+1

+1

+1

z2 z3 ⋅ z3 z4

0

z2 z4

+1

-1

−

0

1 −

Movimiento relativo al brazo

Movimiento total

z2 z3 z2 z3

+

1 +

En la tabla se presentan los valores de velocidad del brazo, los de las ruedas con respecto al brazo y los absolutos de cada una de la rueda (suma de los valores anteriores); de dicha tabla se desprende que la relación de transmisión será:

i=

1 nb = z n4 1 + 2 z4

En el caso en el que el tren epicicloidal tenga más de una entrada, tal como el mostrado en la figura 8, se aplicará un sistema de superposición de movimiento. De esta forma si representando por n2 y n6 las velocidades de rotación de los ejes de entrada y por nb la velocidad de rotación del eje de salida, se tendrá:

n b = n b (con

n2 = 0 )

+ n b (con

n6 = 0 )

Donde el primer término se obtiene cuando se bloquea la entrada 2 y el segundo cuando se bloquea la entrada 6. Engranajes. Trenes de engranajes. Pag.- 9


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Z=108 6 Z=24 4 Z=32 2

Z=36 5

salida entrada 2 entrada 1 Z=48 3

Fig-8. Tren epicicloidal con doble entrada.

3.2.2- Método de Willis.

Este método se basa en la relación que existe entre las velocidades angulares relativas al brazo de las ruedas cuyos ejes no tiene movimiento respecto a la bancada. Dicha relación será fácil de calcular, ya que al considerarse el movimiento respecto al brazo el cálculo se realizará como si el tren fuese ordinario y no epicicloidal.

Para las ruedas 2 y 4 del mismo ejemplo realizado en el apartado anterior (ver figura 7), se obtendrá:

n4 / b = n4 − nb n2 / b = n2 − nb

Dividiendo entre sí ambas ecuaciones:

velocidades relativas al brazo es:

n4 / b n4 − nb = , pero por otra parte n2=0 y la relación de n2 / b n2 − nb

n4 / b z = − 2 se obtiene que: n2 / b z4 i=

nb 1 = z n4 1 + 2 z4


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BIBLIOGRAFIA:

Título: KINEMATICS AND DYNAMICS OF MACHINES. Autor: Geroge H. Martin. Editorial: McGraw Hill. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS. Autor: A. de Lamadrid. Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid. Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill.


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