Analisis Cuantitativos Para Negocios

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NOVENA EDICIÓN

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NOVENA EDICiÓN Charles E. Bonini William R. Timken, profesor de ciencias administrativas Escuela de graduados en negocios Stanford University

Warren H. Hausman Profesor de ingeniería industrial e ingeniería administrativa Departamento de ingeniería industrial e ingeniería administrativa Stanford University

Harold Bierman, .Ir. Profesor de administración de negocios Facultad Johnson de estudios avanzados en administración Cornell University

Traducción

Cecilia Ávila de Barón Especialista en traducción Universidad de los Andes

Revisión técnica

Roberto Rasero Hinestroza, l.E., M.B.A. Profesor (D.E.) Universidad Nacional de Colombia Consultor gerencial de empresas

glrwin _ McGraw-Hill Santafé' de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa Madrid. México. Nueva York • San Juan • Santiago de Chile • Sao Paulo Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • París San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Taranta

PARA GERENTES Y FUTUROS GERENTES Cuando en 1961 se editó por primera vez, este libro, se convirtió en la obra pionera de la aplicación del análisis cuantitativo a la administración. Trató de servir como puente para acortar la brecha entre los métodos analíticos recién desarrollados y los cursos de negocios aplicados. Con el paso de los años hemos mantenido este enfoque en las ocho ediciones posteriores. En los últimos años pareciera que la popularidad de los métodos cuantitativos hubiera disminuido, pues la actual presión empresarial exige métodos como reingeniel1a, gerencia de calidad total (Total Quality Management TQM), o administración de la cadena de suministros, como claves para el éxito en los negocios. Sin embargo, esto de alguna manera es errado cuando se refiere al valor del análisis cuantitativo, ya que, en muchas instancias, la aplicación de estos métodos se basa, en parte, en el uso de las herramientas y métodos que se presentan en este libro. Aunque estos nuevos enfoques han sido objeto de la atención pública, se ha pasado por alto el éxito continuado del análisis cuantitativo para hacer que las empresas y otras organizaciones sean más eficientes y efectivas. Debido a que los métodos cuantitativos han sido utilizados ampliamente durante años, se han vuelto rutinarios y se dan por establecidos en muchas organizaciones y no reciben la misma atención por parte de la prensa como las ideas más recientes. Nosotros pensamos que para el lector es importante estar consciente de la vigencia del uso de los métodos cuantitativos. Por eso, en cada capítulo hemos incluido material que describe una aplicación reciente de las técnicas que allí se presentan; con frecuencia, implican ahorros de millones de dólares para las empresas involucradas. A esta sección la denominamos Ejemplo motivador y nuestro objetivo es concientizar al usuario del libro de que hay una gran probabilidad de éxito si utiliza estos métodos. Además, se le pide revisar brevemente los problemas, especialmente los estudios de caso, al final de cada capítulo; ya que son aplicaciones reales, por lo general muy simplificadas, en el formato de problemas. Como autores, hemos conservado nuestro entusiasmo por el valor y la importancia del análisis cuantitativo durante los más de 36 años de vida de este texto. Esperamos que ese entusiasmo sea contagioso.

PARA LOS INSTRUCTORES Esta obra es la novena edición de Análisis cuantitativo para las decisiones de negocios. Esta edición cuenta con una revisión importante que incluye además, el cambio del título aAnálisis cuantitativopara los negocios. Las novedades más importantes se refieren a la inclusión de formato, alcance del capítulo, ejemplos motivadores y hojas de cálculo amigables. La primera edición, hace más de 35 años, fue un método pionero para la aplicación de técnicas cuantitativas a problemas administrativos. Como se indicó en el prefacio original, un objetivo de la obra era "actuar como una fuerza conectora entre los cursos de matemáticas, de un lado, y los cursos de negocios aplicados, del otro". A través de los años, los cursos de análisis cuantitativo han cumplido este objetivo. Sin embargo, en épocas recientes, los currículos de negocios han cambiado y esa "fuerza conectora" con frecuencia ha sido fusionada a los cursos de aplica-

iv

Anális cuantitativo

ción, en especial, a los de operaciones o producción. Teniendo en cuenta estos cambios, emprendimos esta revisión. El formato ha sido modificado, de modo que cada capítulo resulte tan autónomo como sea posible. Advertimos que algunos profesores pueden utilizar este texto en su totalidad, mientras que otros quizás deseen seleccionar un grupo de capítulos para armar una "guía para el curso", posiblemente con material de textos de McGrawHill o de otras editoriales. Virtualmente hemos eliminado todas las referencias entre capítulos y se ha trasladado la sección de respuestas de problemas prácticos al final de cada capítulo. También hemos alargado la mayoría de los capítulos, combinando capítulos más cortos de la edición anterior. Esto reduce el número total, permite que haya más cohesión entre ellos y facilita el uso para el profesor que desee crear un curso guía particular mediante la selección de distintos materiales. Ahora, cada capítulo se inicia con uno o más Ejemplos motivadores que son descripciones cortas de aplicaciones de modelos cuantitativos para situaciones reales en donde se toman decisiones. Están diseñados para mostrar al lector que estos métodos de análisis pueden tener, y tienen, un rendimiento verdadero en condiciones reales de negocios, de ahí que sean motivadores para emprender el esfuerzo de entenderlos. Toda la obra ha sido hecha a través de "hoja de cálculo amigable". Se trabajó con Excel®, incluyendo muchos ejemplos acerca del uso de hojas de cálculo en modelos cuantitativos. También hay Apéndices con más detalles sobre el uso de Excel en simulación y solución de problemas de programación lineal utilizando Solver®. También está un nuevo capítulo sobre pronósticos que cubre suavizamiento exponencial, regresión, pronóstico de nuevo producto y medición de errores de pronóstico. El material de análisis de decisión se combinó en dos capítulos y se agregó el análisis de las opciones de compra de acciones y las desviaciones al estimar probabilidades. El material sobre control y manejo de inventario se fusionó en un solo capítulo y ahora incluye material sobre curvas de intercambio para servicio al cliente frente a la inversión e inventario, y un breve estudio sobre aspectos del manejo de la cadena de suministro, incluyendo el riesgo de los efectos agrupados. El capítulo sobr~ colas fue revisado con detenimiento para incluir un tratamiento moderno de llegadas y servicios, tomando como objetivo las distribuciones del tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio, e incluyendo el tratamiento de períodos de servicio general, sistemas de pérdida y una breve introducción a redes de sistemas de procesamiento. En esta edición se ofrecen muchos problemas nuevos. Nuestra mayor fortaleza en las ediciones anteriores fue la calidad y cantidad de los problemas; hemos conservado lo mejor de lo mejor. Como siempre, los cambios son consistentes con el objetivo descrito en el prefacio de la primera edición: hacer el material entendible para el lector que no tiene una amplia formación en matemáticas. Agradecemos a los muchos usuarios de las ediciones anteriores que se han tomado el tiempo para identificar errores e inconsistencias, y han ofrecido sugerencias para mejorar. Esta colaboración la apreciamos mucho. Aunque Lawrence Fouraker y Robert Jaedicke ya no están en lista de autores, reconocemos que un considerable porcentaje de la obra refleja sus palabras e ideas.

Charles P. Bonini Warren H. Hausman Harold Bierman, Jr.

Queremos agradecer a los siguientes revisores quienes, en las ediciones recientes, han hecho muchas sugerencias de utilidad. Apreciamos sus contribuciones. Steve Achtenhagen, San José State University Ray Ballard, E. Texas State University Thomas Boland, Ohio University Frcdrick Davidson, Mmy Washington College Peter EIlis, Utah State University Warren W. Fisher, St'ephen F. Austin State

University J. William Gotcher, California State

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University-Hayward

Tim Ireland, Oklahoma State University Raj Jagannathan, University of Iowa Prem S. Mann, California State University-

Fullerton

Mike Middleton, University ofSan Francisco G. John Miltenburg, MeMaster University W. E. Pinriey, University ofTexas - Arlington Mary Rolfes, Mankato State University Taj Shahran, University of Detroit Merey Linda Salchenberger, Loyola University Stephen P. Stuk, EmOlY University George Vlahos, University of Dayton Mark Walker, State University of New York-

Stonybrook

e.p.B.

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La administración de una empresa de negocios moderna se ha convertido en un trabajo muy complejo. Hay una tendencia creciente a cambiar hacia las técnicas y modelos cuantitativos, como un medio potencial para solucionar muchos de los problemas que surgen en una empresa de esta clase. El propósito de esta obra es describir una muestra representativa de los modelos y las técnicas cuantitativas relacionadas con ellos. Se espera que este libro sirva como base para un curso, que actúe como una fuerza conectora entre los cursos de matemáticas, por un lado, y los de negocios aplicados, en el otro. Este es un trabajo introductorio a la aplicación de las matemáticas a problemas de negocios, y no sobre las matemáticas que se aplican en él. Hemos resumido, de una manera aproximada pero efectiva para los estándares matemáticos, algunas de las herramientas matemáticas que se emplean. El propósito es presentar la notación y unas pocas relaciones básicas y no tratar de enseñarle matemáticas al lector. Hemos tratado de minimizar la cantidad de preparación que se requiere en matemáticas para leer este libro, un lector que no tiene entrenamiento formal en estas áreas no debe pensar que esta obra se encuentra por fuera de sus capacidades. El libro es un intento por considerar técnicas que tratan problemas bastantes difíciles y complejos; así, aunque tratamos de elegir los mecanismos de explicación más sencillos -evitando pruebas y buena parte del rigor característico de los mismos- se mantiene la sutileza inicial de las técnicas. Estos atributos sólo pueden entenderse a través de un esfuerzo paciente durante un período largo.

Harold Bierman, Jr. Lawrence E. Fouraker Robert K. Jaedicke

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I PARTE I Modelamiento y optimización 1.

Introducción al análisis y construcción de modelos

2.

Introducción a la programación lineal

3.

Solución de problemas de programación lineal

4.

Temas especiales de programación matemática

PARTE 11 Análisis de decisiones 5.

Introducción a probabilidades

6.

Toma de decisiones bajo incertidumbre

7.

Decisión y análisis de riesgo

PARTE 111 Áreas de aplicación 8.

Control y gerencia de inventarios

9.

Teoría de las colas: congestión en sistemas de procesamiento

10.

Simulación

11.

PERT: Program Evaluation and Review Technique O. Técnica de evaluación y revisión de programas

12.

Pronósticos

Apéndice de tablas índice

PARTE 1 MODELAMIENTO y OPTIMIZACiÓN 1. Introducción al análisis y construcción de modelos 3 Ejemplo motivador: modelo de operaciones de la

Guardia Costera 2 Decisiones 3 Abstracción y simplificación 4 Construcción del modelos 5 Soluciones 5 Errores 5 Técnicas de construcción del modelo 6 Factores cualitativos 6 Clasificación de modelos 7 Problemas simples 7 Problemas complejos 8 Problemas dinámicos 8 Sistemas de apoyo de decisiones 8 Conceptos básicos de los modelos 9 Variables de decisión 9 Variables exógenas 10 Políticas y restricciones 10 Medidas del desempeño 10 Variables intermedias 10 El modelo y las relaciones entre las variables 10 Ejemplo: un modelo de fábrica de madera contrachapada (Láminas) 11 Relaciones: el diagrama de influencia 13 Relaciones físicas 13 Relaciones financieras 14 Análisis de la utilización del modelo 15 Ejecución del modelo en un computador 16 Fórmulas para los otros trimestres 18 Ejemplos de análisis utilizando el modelo 18 Análisis de sensibilidad 23 Un ejemplo: modelo de The New York Times 24 Apéndice Valor presente y valor del dinero en el tiempo 25 Bibliografía 26 Problemas prácticos 26 Problemas 27 Problemas especiales 28 Estudio de caso 1-14: Patawa Development

Company 29 Estudio de caso 1-15: Super Spuds, Inc. 30 Estudio de caso 1-16: Chase Manufacturing 32

Estudio de caso 1-17: Cotham City Times 35 Solución a los problemas prácticos 38 2.

Introducción a la programación lineal 41

Ejemplo motivador: Tata Iron and Steel Company -

India 40 Formulación de problemas sobre programación lineal 43 Ejemplo 1: un problema de mezclas de producto 43 Ejemplo 2: un problema de transporte 44 Ejemplo 3: un problema de mezclas 46 Ejemplo 4: un problema de programación 49 Ejemplo 5: un modelo integrado de planeación corporativa 52 El arte de formular modelos de programación lineal 52 Tata Iron and Steel Company -India (cont.) 55

Aplicaciones adicionales de programación lineal 56 Limitaciones de la programación lineal 56 Bibliografía 57 Problemas prácticos 57 Problemas 59 Problemas especiales 63 Estudio de caso 2-28: Impala Cold Company 68 Estudio de caso 2-29: Racy's Department Store 69 Estudio de caso 2-30: Daguscahonda Mines

COlporation 70 Estudio de caso 2-31: Mmyland Department of Na-

tural Resources 71 Solución a los problemas prácticos 72 3.

Soluciones a problemas de programación lineal 75

Ejemplo motivador: AITendamientos óptimos en

CE Capital 74 Solución gráfica 75 Análisis de sensibilidad de las restricciones 79 Precios sombra 80 Rangos del lado derecho de la ecuación (LD) 84 Análisis de sensibilidad - Evaluación de nuevo producto 86 Análisis de sensibilidad - Coeficientes de la función objetivo 87 Minimización 90

x

Análisis cuantitativo Un problema de presupuesto de capital 141 Un problema de expansión de capacidad 143 Tamaño y ubicación de la fábrica 144 Solución de problemas de programación con enteros 146 Utilización de Solver para problemas de programación con enteros 147 Optimización general 150 Procedimientos de búsqueda general 151 Un ejemplo utilizando Solver 152 Precauciones en el uso de programas no lineales 154 Objetivos múltiples y programación de metas 155 Metodo 1: objetivo único con restricciones 156 Método 2: definir intercambios entre los objetivos 157 Metodo 3: programación de meta 158 Metodo 4: programación de prioridad 159 Apéndice El algoritmo de ramificar y restringir 161 Bibliografía 169 Problemas prácticos 169 Problemas 171 Problemas especiales 174 Estudio de caso 4-21: TheAllen Company 179 Estudio de caso 4-22: Rodney Development

Metodo algebraico 91 Solución por computador de problemas de programación lineal 93 Otro ejemplo - Minimización 98 Interpretación de soluciones alternativas y degeneración 102 Apéndice A Sugerencias para utilizar Excel Solver 103 Apéndice B Uso de LINDO en problemas de programación lineal 107 Bibliografía 107 Problemas prácticos 109 Problemas 111 Problemas especiales 116 Solución a los problemas prácticos 125 4.

Temas especiales de programación matemática 137 Ejemplo motivador: Programación de la flotilla de

Delta Airlines 136 Programación con enteros 137

Programación de los trabajadores de McDonald's 138 Formulación de problemas de programación con enteros 139 El problema del cargo fijo 139 El Problema de tamaño del lote 140 Restricciones tipo Y/O 141 Ejemplos de planteamientos con enteros 141

Company 180 Solución a los problemas prácticos 181

PARTE 2 Probabilidades normales en hojas de cálculo 222 Bibliografía 223 Problemas prácticos 223 Problemas 224 Problemas especiales 228 Solución a los problemas prácticos 231

ANÁLISIS DE DECISiÓN 5.

Introducción a la probabilidad 187 Ejemplo motivador: Moldear las losetas del trans-

bordador espacial 186 Probabilidades objetivas y subjetivas 187 Enunciados básicos de las probabilidades 188 Eventos mutuamente excluyentes 189 Eventos independientes 189 Eventos dependientes 190 Probabilidades condicionales, marginales y conjuntas 191 Revisión de probabilidades 197 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad 200 Funciones de masa acumulada 202 Funciones de distribución acumulada 203 El valor esperado de una variable aleatoria 204 La varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria 205 Distribuciones multivariadas de probabilidad 208 Sumas de variables aleatorias 209 Una constante multiplica una variable aleatoria 209 El proceso de Bemoulli y la distribución binomial 212 La distribución binomial de la probabilidad 213 La función binomial de la probabilidad 214 Probabilidades binomiales en hojas de cálculo 214 La distribución normal de la probabilidad 217

6.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre 235 Ejemplo motivador: Inversión en un sistema

de transmisión importante 234 Valor condicional 235 La tabla de perdida 237 Valor monetario esperado 237 Costo de oportunidad esperado 239 Riesgo de la toma de decisiones 240 Utilidad esperada con predicciones perfectas 241 Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) 242 Interpretación del VEIP 243 Análisis de sensibilidad de probabilidades subjetivas 243 Árboles de decisión 245 Árbol de decisión para el problema del tendero 245 Diagrama de influencia 249 Análisis del problema de decisión 249 Desarrollo del árbol de decisión 251

Colas derecha e izquierda 219

Análisis de decisión para opciones de compra de

La variable normal estandarizada y tablas de probabilidad normal 220

acciones 252 Revisión de probabilidades 254

Tabla de contenido El valor de la información imperfecta 254 Decisiones de inversión de capital como opciones 255 Determinación de probabilidades 256 El valor de la información del estudio 261 Análisis de decisión en computadores personales 262 Conclusión 262 Bibliografía 262 Problemas prácticos 263 Problemas 265 Problemas especiales 271 Estudio de caso 6-41: Mailmart 275 . Estudio de caso: 6-42: Wabash Ski Area 276 Estudio de caso 6-43: Particular Motors 278 Estudio de caso 6-44: Able Medical Clinic 279 Estudio de caso 6-45: Telco 280 Solución a los problemas prácticos 281

xi

Dominancia en árboles de decisión 292 Uso de perfiles de riesgo en análisis de decisión 294 Utilidad como una base para la toma de decisiones 297 Derivación de una función de utilidad para el dinero 297 La forma de las funciones de utilidad 298 Evaluación de una función de utilidad 299 Uso de las funciones de utilidad 302 Equivalentes de certidumbre 302 Análisis de utilidad en árboles de decisión 303 Premios al riesgo 304 Precauciones en el uso del análisis de decisión 306 Definición del problema 307 Desviaciones en la estimación de probabilidades 307 Limitaciones de la teoría de la utilidad 309 Apéndice La función de la utilidad exponencial 311 Bibliografía 312 Problemas prácticos 313 Problemas 314 Problemas especiales 316 Solución a los problemas prácticos 318

7. Decisión y análisis de riesgo 289 Ejemplo motivador: Decisión y análisis de riesgo

en Du Pont 288 Dominación 290

PARTE 3 ÁREAS DE APLICACiÓN 8. Control y gerencia de inventarios 323

Sección IV: control de inventarios cono incertidumbre y sin nuevos pedidos 349 Un método marginal 350 Costo de la mala disposición del cliente (pérdida del goodwill) 353 Utilización de una distribución de probabilidad continua 354 Probabilidades normales en hojas de cálculo 356 Costos relevantes 356 Apéndice La determinación del punto óptimo de pedido y del tamaño del pedido 357 El total del costo anual esperado 357 Bibliografía 359 Problemas prácticos 359 Problemas 360 Problemas especiales 363 Solución a los problemas prácticos 368

Ejemplo motivador: Manejo de la cadena de

suministro en Hewlett-Packard 322 Sección I: análisis ABC 323 Realización de un análisis ABC 325 Precauciones con respecto al análisis ABC 326 Sección II: la cantidad económica de un pedido con demanda conocida 326 Sensibilidad de los costos ante errores en la cantidad 329 Descuentos por volumen o cantidad 330 Pedidos por cupo anual 331 Sistemas de inventario justo a tiempo 332 Rotación de inventarios 332 Sección III: control de inventarios con nuevos pedidos y demanda incierta 334 Modelo de costos con faltantes 336 Los supuestos 336 El modelo 336 Punto óptimo de pedido - un método marginal 337 Cálculo de la desviación estándar del tiempo de espera de producción de la demanda (aM) 340 Costo total esperado 341 Modelo del nivel de servicio 342 Curvas de intercambio 343 Precauciones sobre el uso de los modelos de nivel de servicio 345 Otras medidas de los faltan tes 345 Sistemas justo a tiempo 346 Manejo de la cadena de suministro 346

9.

Teoría de las colas: congestión en los sistemas de procesamiento 371 Ejemplo motivador: programación de consultas

médicas en el Lourdes Hospital 370 Un ejemplo de un sistema de procesamiento 372 Experiencia y colas 373 Estructura del sistema 374 Sistemas de pérdida frente a sistemas de colas 374 Llegadas 374 Servicios 374 Estación única o red de estaciones 374 Cantidad de servidores 375 Disciplina de las colas 375

xii

Análisis cuantitativo

Medidas de desempeño 375 Notación 375 Modelo de colas para un servidor único (M/G/l) 377 Algunos casos especiales para la cola del servidor único 380 Comportamiento del sistema de colas 380 Un modelo más general para la cola de canal único - La cola G/G/I 381 Efectos de la variabilidad en llegadas y servicios 381 Servidores múltiples: el modelo M/M/c 382 Un modelo más general - La cola G/G/c 382 Eficiencias del agrupamiento cn sistemas de colas 383 Sistemas de pérdida 385 El sistema de pérdida M/G/c 385 Programación y prioridades en sistemas de procesamiento 387 Redes de colas 388 Apéndice Distribuciones de Markov (Poisson y exponencial) 391 La distribución exponencial 391 Bibliografía 393 Problemas prácticos 393 Problemas 394 Problemas especiales 395 Solución a los problemas prácticos 397 10. Simulación 401 Ejemplo motivador: tres aplicaciones de la

simulación 400 Simulación probabilística 402 Simulación y computadores 405 Simulación y control de inventarios 406 Análisis de riesgos 408 Simulación con distribuciones de probabilidad continua 412 Método gráfico 412 Generación de variables aleatorias por computador 412 Simulación de sistemas complejos 412 Apéndice 1 Método algebraico para generar variables aleatorias 416 Apéndice 2 Simulación Monte Carla en hojas de cálculo 417 Generar valores aleatorios a partir de las distribuciones de probabilidad 418 Sintetizar los resultados 421 Cambio de capacidad 422 Análisis de riesgo Monte Carla 423 Gráficas de los resultados 427 Bibliografía 429 Problemas prácticos 429 Problemas 429 Problemas especiales 430 Problemas para simulación por computador 432 Solución a los problemas prácticos 437 11.

PERT: Técnica de evaluación y revisión de programa 439 Ejemplo motivador: plataformas petroleras en el

Mar del Norte 438

Requerimientos de información 439 Caso 1: Tiempos de actividad conocidos 440 Diagrama de red 440 La ruta crítica 441 Encontrar el camino crítico 441 Holgura y camino crítico 443 Intercambios tiempo-costo 444 Caso II: Actividades con tiempos inciertos 448 Estimados múltiples de tiempo para actividades con tiempos inciertos 448 Redes de simulación de PERT: duración del proyecto 451 Redes de simulación de PERT: costo total 453 Evaluación de PERT 455 Bibliografía 456 Problemas prácticos 456 Problemas 457 Problemas especiales 458 Solución a los problemas prácticos 461 12.

Pronósticos 463 Ejemplo motivador: pronósticos en L. L. Bean 462 Sección 1. Métodos de series de tiempo 463 Promedios móviles 463 Suavizamiento exponencial 466 ¿Por qué el nombre? 469 Agregar tendencia lineal 470 Factores estacionales 473 Utilización de los factores estacionales 475 Iniciación del modelo 476 Valores de la constante de suavizamiento 477 Sección II. Modelos de regresión 478 Modelos de regresión lineal simple 478 Desarrollo de la regresión utilizando Excel 481 Modelos de regresión múltiple 482 Precauciones 484 Sección III. Pronóstico de "nuevo producto 484 Sección IV Medición del error de pronóstico 487 Apéndice 1 Suavizamiento exponencial en hojas de cálculo 489 Apéndice 2 Estimación de tendencia en Excel 489 Bibliografía 492 Problemas prácticos 493 Problemas 493 Problemas especiales 494 Estudio de caso 12-19: La mezcla de carne molida

Quality Kitchens 496 Solución a los problemas prácticos 497 Apéndice de tablas 500 Tabla A: La función de distribución normal estandarizada 500 Tabla B: N(D)-Función de pérdida de distribución normal estándar 501 Tabla C: Distribuciones binomiales acumuladas 502 Índice 525

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1


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Soluciones a problemas de programación lineal

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Ejemplo motivador Modelo de operaciones de la guardia costera 1 :._:' .::", _c, _'.':

La•• guardia. costera de E . UU. ··esresponsable.del 13 mantenimiento de Illásde50.000 ayudas de navegación (inc1uyenci()poyas, luces yJaros) localizadas en lasaguas.dees.e•• p~f§'/13lma~tenhpi~ntoiIIwlica.VFr.i~

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efectos del. rnaltiémpo.seincluyeron!•estimándolos en la pérdidaaIlllal dehorªsdebido a esa causa, considerandosilasboyasquese.iban.aatender estaban 'totalp¿ell.ty.a.l~jIIteIRPecri~,expuestasde)manerapar-

ci~l()pr()tegidas.1}ciep¿ás,cop¿o.estasnav.es.también iseutilizabanparaotr~soperaciones: • . respuesta.&m-

volverlasapintar;porlogfnecral,estetrabajo.serea- .•. biental,.búsquedayrescate,. y labores devigil~ncia y p()ntr.ol,l~~ardiac()stsrahabía deter.lllülado que se liza· un~vez ~l. año.•..• La guardia costera utiliza dos tipos de ep¿par- . . ., ·requería~p()rl()menosdeJ 6 buques para alta mar. cacionecsparare~liza~esteIRanteniIlliento:buquesde . . •.• Despuéside·.terminar el. trabajo· de elaboración servicio en alta mar y naves costeras. Los. primeros"· del modelo, éste. fue validado al comparar la proyeccuestan casi el doble que las segundas. Toda la flota. ción de las operacionescprrientesyJosresultados del modelo conlas operaciones actuales. Luego, el modeestaba' próxima a su reemplazo Y. se desarrollÓ un lo se utilizó para negociarlo relacionado con la commodelo cuantitativopara analizar tanto la programaciónde lamisma.,coll101acomP8sicióndeseada.. En posición Óptima de .unaflotilla de reemplazo. Los resultados indicaronque seobtendríasuficiente cubrieste esfuerzo de modelamiento se utilizaron las. herramientas descritas en este libro y se tuvo en cuenta miento con 16 barcos. para altamar, 14costeros y un el trabajo demantenimiento requerido, la distancia bote con cargador de boyas en la popa, todo esto siJa entre cadaboyayelc()sto completo del ciclo de vida programacióndetrabajoeraefiCiente; esta configura(incluyendo costo deadquisicióllde navíosycostos cióntenía siete barcos menos.entotaI, con 10 buques de operación) de cada tipo de embarcación. de alta marmenos(l()s máscostosos),encomparación con la flotilla queseencontraba en servicio. Compara,Sepresentaron varias complicaciones eneste esdo con una estrategia dereemplazo directo de la flotitudio.Se calcularonlas diferentescapacidades de cada tipo de embarc~ción(de alta mar frente acoster8s), y llaexiste~te, .eLmode19 ahorró US$350millones en lamta de las mismas.hasta el sitio de las boyas. Los 'costos de adquisición de capital.

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Bucciarelli, Mark y BroWIl, Kip, "A Desktop-OR Success: Modeling Coast Guard BuoyTender Operations", fnle/faces, July-August 1995, pp. 1-11.

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Esta obra aborda la toma de decisiones gerenciales, un proceso a través del cual la gerencia, cuando afronta un problema, selecciona un plan de acción específico o solución, a partir de un conjunto de posibles cursos de acción. Como con frecuencia existe incertidumbre acerca del futuro, no podemos prever las consecuencias de una decisión que se tome, como tampoco podemos anticipar que la decisión tomada produzca el mejor de los resultados. Además, el problema puede ser más complejo de lo esperado, debido a que hay una gran cantidad de posibilidades a considerar o muchos factores por tomar en cuenta. Este libro presenta un enfoque general y unas herramientas cuantitativas específicas para problemas particulares que el lector pueda utilizar cuando esté frente a problemas de decisiones.

DECISIONES Un gerente debe elegir el plan de acción más efectivo1para lograr las metas de la organización. Al juzgar la efectividad de las diferentes decisiones, debe utilizarse algún criterio o medida de desempeño. La más común en la toma de decisiones es utilizar una unidad monetaria como el dólar; sin embargo, en los siguientes capítulos podrá apreciarse que para algunas decisiones, el uso del dólar no sería adecuado para juzgar los méritos relativos de diferentes planes de acción. El siguiente proceso general de solución es común a todos los tipos de situación en la toma de decisiones: • Establecer el criterio que va a usarse. Por ejemplo, en una situación simple, el criterio puede ser elegir el plan que maximice las utilidades. • Seleccionar un conjunto de opciones para considerar. • Determinar el modelo a utilizar y los valores de los parámetros del proceso. Por ejemplo, decidir que una expresión adecuada para el total de gastos es: Total de gastos

= a + b (unidades vendidas)

Los parámetros son a y b, y sus valores tendrían que determinarse para usar el modelo.

4

Análisis cuantitativo a = costo fijo para el período o el proyecto b = costo variable (incremental) por unidad

Determinar la alternativa que optimiza (es decir, que produce el mejor valor) el criterio establecido en el paso 1. Ejemplo Se venden 1,000 unidades de un producto al gobierno, a un precio de US$50 cada una. La empresa tiene exceso de capacidad. ¿Debe aceptarse el pedido?

• Debe utilizarse el criterio de maximización de la utilidad. • Las opciones son: a. aceptar el pedido o, b. rechazar el pedido. De acuerdo con el criterio de rentabilidad, debe aceptarse el pedido si aumentan las utilidades, o rechazarlo si no es así. • Se necesíta establecer los gastos incrementales de producir las 1,000 unidades. El modelo de gasto relevante es: E

= a + 1,000b

• Si se supone que tienen que comprarse troqueles especiales que cuestan US$5,000 (a es igual a US$5,OOO) y que los costos variables de producir una unidad son de US$30 (b es igual a US$30). Entonces, el total de gastos relevantes para cumplir con el pedido es de US$35,OOO (igual a US$5,OOO más US$30,OOO). • Una comparación de los ingresos incrementales, US$50,OOO, y los gastos incrementales, US$35,OOO, indica que se debe aceptar el pedido, pues la utilidad será mayor en US$15,OOO si se compara la opción de aceptarlo con la alternativa de rechazarlo. En el ejemplo anterior, se utilizaron conocimientos básicos y técnicas de cálculo simples. Sin embargo, cuando se manejan problemas más complejos, puede necesitarse de otras herramientas de análisis cuantitativo, como cálculo, probabilidad, estadística y programación matemática. Por ello, deben considerarse algunos aspectos de la construcción del modelo.

ABSTRACCiÓN Y SIMPLIFICACiÓN Los problemas en el mundo real tienden a ser muy complejos, pues hay una cantidad incontable de hechos inherentes a cualquier situación empírica. Además, todo posible plan de acción comienza una cadena de causa, efecto e interacción que puede no tener fin. Al considerar la posibilidad de construir un edificio, podría dedicarse una cantidad enorme de tiempo a reunir información acerca de este proyecto: por ejemplo, el sitio preciso ylas características físicas del edificio; un estudio detallado de las condiciones climáticas de los sitios potenciales y la influencia de ellas en los costos de construcción; las fuentes de los fondos ysu costo. Quien toma la decisión podría optar por considerar en detalle todos los demás usos potenciales de los fondos en este período yen períodos futuros. Si esta persona adopta la estrategia de reunir todos los hechos antes de actuar, lo que sucede es que no realizará ninguna acción. La mente humana no puede considerar todos los aspectos de un problema empírico. Algunos atributos del problema deben pasarse por alto si va a tomarse una decisión. Quien decide, debe determinar los factores más relevantes del problema. La abstracción y la simplifica-


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ción son pasos necesarios en la solución de cualquier problema humano. El objetivo es mejorar la toma de decisiones, y no buscar una excusa para no tomar una decisión.

CONSTRUCCiÓN DE MODELOS Después de que el decisor ha seleccionado los factores críticos o variables, a partir de la situación empírica, éstos se combinan de manera lógica, de modo que presenten un modelo del problema real. Un modelo es una representación simplificada de una situación empírica. En su forma ideal, deja al descubierto un fenómeno natural en su gran complejidad y duplica el comportamiento esencial del mismo, con unas pocas variables relacionadas de manera simple. La muestra más sencilla que suministra el modelo, la mejor para la persona que toma las decisiones, sirve como contraparte razonablemente confiable del problema empírico. Las ventajas de un modelo simple son: • Su economía de tiempo y esfuerzo mental. • La persona que toma la decisión puede entenderlo con rapidez. • Si es necesario, el modelo puede modificarse de rápida manera y efectiva. El objetivo de quien toma la decisión no es construir un modelo que, en cada uno de sus aspectos, esté tan cerca como sea posible a la realidad. Un modelo de esa naturaleza requeriría de mucho tiempo para su construcción y quizás, quedaría fuera de la comprensión humana. Por el contrario, la persona que decide requiere un modelo más sencillo que sirva para predecir de forma razonable los resultados y que sea este consistente con una acción efectiva.

SOLUCIONES Después de construir el modelo, las conclusiones acerca de su comportamiento se puede deducir por medio del análisis lógico. Luego, quien toma las decisiones fundamenta en estas conclusiones sus acciones o decisiones. Si la lógica para sacar conclusiones de las variables extraídas es correcta, y si se han abstraído las variables relevantes, entonces, la solución al modelo también servirá como una soluciónefectiva al problema empírico. En el ejemplo, el responsable puede decidir que una tasa de interés del 15% mide el costo de oportunidad anual de la empresa, la cual puede tomar la decisión de construir el edificio calculando el valor presente neto del flujo de efectivo y no considerar en detalle inversiones alternas.

ERRORES Dos fuentes importantes de error en el uso de modelos para la toma de decisiones son la exclusión de variables importantes y equivocaciones en la definición de las relaciones entre las variables. Por ejemplo, en el caso anterior que incluye el contrato con el gobierno, se considera que puede esperarse una pérdida del 40% en los resultados durante la producción debido a las especificaciones inusualmente estrictas del producto. Si este factor estuviera presente, pero se omitiera desde el análisis, el modelo resultante podría no representar la situación de manera suficientemente adecuada para los propósitos de la decisión (podría tomarse la decisión equivocada).

.

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TÉCNICAS DE CONSTRUCCiÓN DE MODELOS Los modelos pueden representarse de diferentes formas. Para problemas simples y repetitivos, todo el proceso de toma de decisiones puede realizarse en la mente del decisor, quizá de una manera bastante informal e intuitiva. El ser humano camina, come, abre puertas cada día, sin ayuda de modelos formales; pero si de algún modo, el problema no es frecuente o es complejo, se dedica más tiempo a pensar en él. La técnica apropiada para describir y relacionar variables seleccionadas depende, en gran medida, de la naturaleza de ellas. Si las variables pueden medirse de alguna manera y, particularmente, si pueden ser representadas de forma cuantitativa, entonces hay razones para seleccionar una representación matemática del modelo. Primero, porque existe una rigurosa disciplina inherente a las matemáticas que asegura un procedimiento ordenado por parte del investigador: deben especificarse las variables seleccionadas y establecer las relaciones que, se supone, existen entre ellas. Segundo, porque las matemáticas son una técnica apropiada para relacionar variables y para deducir conclusiones lógicas de las premisas dadas. En combinación con los modernos computadores, las matemáticas hacen posible el manejo de problemas que requieren de modelos más complejos y facilitan el proceso de toma de decisiones donde es aplicable el análisis cuantitativo. A una gran cantidad de problemas de negocios se les ha dado, con éxito, una representación cuantitativa mediante un método general denominado análisis cuantitativo, ciencia de las decisiones, ciencia administrativa o investigación de operaciones. De hecho, la representación cuantitativa y la solución de problemas de negocios es mucho más que estas denominaciones, como lo atestigua la práctica contable. Sin embargo, el análisis cuantitativo se ha extendido a muchas otras áreas de operaciones de la empresa y se ha constituido en un medio efectivo para abordar ciertos problemas de decisiones de negocios. Los gerentes actuales deben contar con tantos conocimientos acerca de estas técnicas y modelos como los que poseen acerca de los informes de contabilidad. Caben aquí unas palabras de advertencia. El ejecutivo de negocios no debe volverse incondicional de un modelo cuantitativo y adoptar automáticamente sus conclusiones como la decisión correcta. La conclusión que se obtiene del modelo contiene cierto grado de error debido al proceso de abstracción. La pregunta de cuándo puede ser tan grande el error como para modificar la conclusión antes de que pueda adoptarse como una solución, es uno de los aspectos a considerar. La cuantificación es una ayuda para el juicio empresarial y no un sustituto de éste. Una cierta cantidad de escepticismo constructivo es deseable al considerar el análisis cuantitativo de los problemas de negocios como en cualquier otro proceso de toma de decisiones.

Factores cualitativos Muchas decisiones de negocios, en particular, las más importantes, implican algunas variables que son de naturaleza cualitativa más que cuantitativa. Por ejemplo, decisiones importantes que pueden afectar el ánimo y el liderazgo en la organización o pueden afectar las áreas de empleo, acción afirmativa, contaminación u otras de responsabilidad social. Muchos de estos factores no pueden expresarse en términos de dinero. Entonces, ¿cómo debe el decisor manejar estas variables cualitativas? En primera instancia, deben evitarse las actitudes extremas. Una, que pasaría por alto los factores cualitativos al considerar que los factores que no pueden medirse no son importantes. Otra actitud igualmente extrema es argüir que los modelos cuantitativos no tienen valor, dado que los factores cualitativos son los importantes.


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Un enfoque más ecuánime es aceptar la idea de que el modelo cuantitativo puede manejarse de manera efectiva en los aspectos medibles del problema de decisión y que la persona que toma las decisiones también debe manejar de forma intuitiva las variables cualitativas. El gerente debe encontrar el equilibrio apropiado entre los factores cuantitativos y los cualitativos.

RESUMEN Cuando se toman decisiones de negocios, deben establecerse los criterios de toma de decisiones, seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluar las opciones que propone el mismo, y seleccionar la mejor alternativa. Un modelo es una abstracción y una simplificación de un problema real que incorpora, de manera ideal, los elementos y las relaciones esenciales de éste. Construir un modelo significa obtener unas conclusiones lógicas, que pueden ser una guía efectiva para tomar la decisión, si el modelo está diseñado y resuelto de manera apropiada. La toma de decisiones implica integrar la información cuantitativa que se obtiene del modelo con el juicio intuitivo acerca de los factores cualitativos.

CLASIFICACiÓN DE LOS MODELOS Existen varios tipos de modelos de decisión que serán estudiados en este libro y que se encuentran clasificados en la figura 1-1. Los modelos se consideran ciertos si los principales factores se asumen como conocidos, e inciertos si algunos factores son desconocidos.

Problemas simples Todos los problemas deben simplificarse al construir el modelo para cualquier análisis. Si da como resultado un número pequeño de factores o variables y relativamente pocas opciones, entonces el modelo se llama simple. Los modelos simples son muy útiles, inclusive para problemas de decisión muy importantes. Un modelo de escenario o caso es un modelo de un problema de decisión que se analiza mediante el ensayo de varios casos (posibles resultados o escenarios) utilizando diferentes opciones o distintos supuestos. El modelo no está programado para encontrar directamente la solución más conveniente. Al contrario, el geFIGURA 1-1 Tipos de modelos El problema de decisión es:

Las principales variables del problema de decisión son: Inciertas

Ciertas

Simple

Modelos de caso

Complejo

Modelos de caso Programación lineal y de enteros

Simulación

Modelos de inventario

Simulación

Modelos PERT (ruta crítica)

Modelos de inventario

Dinámico

Análisis de decisión (árboles de decisión)

Modelos de cola

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Análisis cuantitativo rente utiliza el modelo en un proceso de prueba y error. La mayoría de los otros tipos de modelos de la figura 1-1 son de optimización, donde utilizan procedimientos matemáticos para hallar la solución óptima. Los modelos de caso se describen más adelante en este capítulo. Los modelos de análisis de decisión incorporan el uso de probabilidades en la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre. En la segunda parte de este libro se presentan estos modelos.

PROBLEMAS COMPLEJOS Muchos problemas de decisión implican un gran número de factores o variables importantes, o pueden tener muchas opciones a considerar. Por ejemplo, una empresa puede contar con varias fábricas donde produce bienes para enviar a cientos de clientes. Decidir la programación de las fábricas y determinar cuáles de ellas deben atender a cuáles clientes para minimizar costos, implica cientos de variables y restricciones que pueden tener millones de posibles soluciones. Los modelos de programación lineal y con enteros son las técnicas más utilizadas para resolver problemas grandes y complejos de negocios de este tipo. En ellos se aplican técnicas matemáticas para hallar el valor máximo (o el mínimo) de un objetivo, sujeto a un conjunto de restricciones. Estas técnicas se tratan en los siguientes capítulos. La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que incluyen incertidumbre. Un modelo se diseña para repetir el comportamiento del sistema. Los modelos de simulación suelen ser analizados mediante un enfoque de caso por caso (contrario al de optimización). En el capítulo 10 se tratan los modelos de simulación.

Problemas dinámicos Los problemas dinámicos de decisión implican un tipo particular de complejidad, cuando hay una secuencia de decisiones interrelacionadas a través de varios períodos. La tercera parte de esta obra incluye varios de estos modelos: modelos de "inventario" para determinar cuándo pedir mercancía y cuánto debe mantenerse en existencias; los modelos PERT o de ruta crítica para programación de proyectos y los modelos de cola para problemas que involucran congestión.

SISTEMAS DE APOYO DE DECISIONES Un Sistema de Apoyo de Decisiones, o SAD, es un sistema de computador integrado, diseñado para ayudar a la gerencia en la toma de decisiones. En general,un SAD incorpora un modelo de los tipos descritos en este texto y el sistema del computador ejecuta los cálculos necesarios para resolverlo. Sin embargo, un SAD suele ser más que un modelo. La mayoría de las ocasiones, incluye una base de datos que puede utilizarse para suministrar información directamente al gerente (o al modelo). En ocasiones, un SAD involucra gráficas u otros reportes que son fáciles de entender para el usuario. Además, el SAD incorpora tecnología informática para facilitar el análisis para la toma de decisiones o para solicitar la información que se necesite a la base de datos. Este libro no tiene el propósito de desarrollar las herramientas de computador necesarias para construir un SAD, sólo hasta donde los modelos lo requieran.


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A lo largo del libro, se hará referencia y se ilustrará con software de computador para resolver modelos particulares. Este software podría ser una parte de un SAD.

RESUMEN Las decisiones pueden caracterizarse por haber sido tomadas bajo condiciones de certidumbre o incertidumbre, dependiendo de si los factores principales se consideraron conocidos o no. La toma de decisiones bajo incertidumbre involucra el uso de probabilidades para expresar la posibilidad de eventos inciertos. Los problemas de decisión también pueden clasificarse como simples (si hay pocas variables importantes), complejos (si hay muchas) o dinámicos (si las decisiones están interrelacionadas con el tiempo). Distintos tipos de modelos que se ajustan a estas categorías se describen a lo largo de este texto. Los Sistemas de Apoyo de Decisión (SAD) por computador suelen incluir, como componente principal, un modelo de decisión de la clase estudiada en este texto.

CONCEPTOS BÁSICOS DE LOS MODELOS Como ya se anotó, un modelo es una simplificación de un problema de decisión de negocios, que se logra si se incluye sólo los elementos importantes y se omiten las consideraciones que no sean esenciales. Un mapa vial es un buen ejemplo de un modelo. Excluye la mayoría de los detalles del paisaje para mostrar con claridad las rutas de las autopistas. Debido a que es simplificado, resulta de gran utilidad. Si se incluyeran todos los detalles del mundo real, no sería muy útil ya que se necesitaría, con tanto detalle, mucho tiempo para escoger las autopistas. Por tanto, el primer paso para construir un modelo es elegir los factores o variables que quien toma la decisión considere importantes, los cuales pueden clasificarse en cinco categorías: • Variables de decisión • Variables exógenas • Políticas y restricciones • Medidas de desempeño • Variables intermedias Variables de decisión Las variables de decisión son aquellas que se encuentran bajo el control de quien toma la decisión. Representan opciones para el gerente. Si se considera un gerente de marketing que debe decidir sobre la introducción de un nuevo producto, éste puede optar por introducir el producto o no; también puede elegir el precio de venta y la cantidad a invertir en publicidad. Como estas son las opciones principales, ellas son las variables de decisión. Es posible también que el gerente tenga que tomar varias decisiones menores, como el color del producto, el contenido detallado de la publicidad, la información al personal de ventas sobre el producto, y así sucesivamente. Para simplificar el análisis, el gerente debe optar por eliminar del modelo los factores menos importantes.

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Variables exógenas Las variables exógenas o variables externas son aquellas que son importantes para el problema de decisión, pero están condicionadas por factores que están fuera del alcance de la persona que decide, como condiciones económicas, acciones de los competidores, precios de las materias primas y factores similares. En el caso del gerente de marketing que considera la introducción de un nuevo producto, la reacción de los clientes respecto a cuánto comprarán, es una variable exógena importante. Otras variables exógenas son el costo de las materias primas y de otros elementos necesarios para elaborar el producto.

Políticas y restricciones Una persona encargada de tomar decisiones suele trabajar con restricciones impuestas por las políticas de la empresa, restricciones legales o limitaciones físicas. Por ejemplo, la fábrica puede tener una capacidad disponible limitada, lo que puede restringir posibles ventas. La política de una empresa puede especificar que los materiales tienen que adquirirse donde determinados proveedores o que deben mantenerse ciertos niveles de calidad. A veces, las políticas o restricciones pueden modificarse. Por ejemplo, la capacidad de la fábrica es una restricción, pero la gerencia podría decidir ampliarla. Esto podría propiciar confusión entre lo que se considera una variable de decisión y lo que es una restricción. No es importante hacer una distinción muy precisa, aunque la gerencia debe reconocer la presencia de restricciones y entender que ellas pueden modificarse si se considera pertinente.

Medidas de desempeño Cuando toman una decisión, los gerentes tratan de alcanzar metas u objetivos. Los criterios o las medidas de desempeño son expresiones cuantitativas de estos objetivos. Por ejemplo, el gerente de marketing encargado de la decisión de introducir un nuevo producto podría tomar la utilidad como una medida del desempeño. La participación del mercado y el retorno sobre la inversión también pueden ser medidas del desempeño.

Variables intermedias Resulta común contar con otras variables para incluir todos los factores importantes en el problema de decisión. A menudo, son variables de contabilidad que se relacionan con factores de costos o ingresos. Se utilizan para relacionar las variables de decisión y las variables exógenas con las medidas del desempeño; por consiguiente, son variables intermedias en el sentido de que se encuentran en medio de otras variables. En el ejemplo de la decisión de un nuevo producto, los ingresos totales (precio de venta por cantidad vendida) son una variable intermedia; los componentes de fabricación y los costos de ventas también son variables intermedias.

EL MODELO Y LAS RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES En la figura 1-2 se muestra las relaciones entre las diversas categorías de variables.

El modelo está en el centro. Las variables de decisión, las variables exógenas, las políticas y las restricciones son entradas para el modelo, y las medidas del desempeño son los resultados. El modelo mismo representa el conjunto de todas las relacio-


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FIGURA 1-2 ..

Modelo de entradas y resultados

Variables exógenas

Variables de decisión

»

..... Modelo del conjunto de relaciones

Medidas

» del desempeño

l Políticas

y restricciones

nes entre las variables. Definir estas relaciones es el segundo paso importante en la construcción de un modelo (el primer paso, como ya se indicó, es definir las variables importantes). Algunas relaciones son definiciones contables. Por ejemplo, la utilidad es ingresos menos gastos, una regla contable sencilla. Otras relaciones dependen de límites físicos, como determinar la cantidad de producto que puede producirse con un lote de materia prima. Algunas relaciones son de juicio, pues representan el conocimiento que tiene la gerencia de la manera como se relacionan los factores. El juicio de la gerencia acerca de la reacción de los clientes ante un cambio en el precio es un ejemplo de dicha relación. El modelo es el conjunto de todas estas relaciones. Es como una caja negra que transforma las variables de decisión en medidas de desempeño para un conjunto específico de variables exógenas o políticas y restricciones.

EJEMPLO: UN MODELO DE FÁBRICA DE MADERA CONTRACHAPADA (LÁMINAS) Estos conceptos son difíciles de entender en forma abstracta. De ahí que se presente el ejemplo de un aserradero que descorteza los troncos para producir madera contrachapada y venderla a clientes mayoristas. Aunque el ejemplo se basa en un caso real 2, en cierto modo se simplificó para mostrar los puntos principales. En general, un modelo del mundo real utilizado para tomar una decisión de negocios sería más complejo. A partir de la suposición d~ que los gerentes de la fábrica de madera están elaborando los planes para el año próximo, puede presumirse que están frente a dos decisiones: una, acerca de la capacidad de la fábrica y otra relacionada con el valor de la mano de obra. La decisión de la capacidad de la fábrica implica establecer si la empresa debe ampliar o no el aserradero, en cuánto y cuándo. Si deciden expandirse ahora, la capacidad puede ampliarse en cualquier trimestre del año próximo. 2

Véase el caso de Puyallup Forest Products en Bonini, Charles P. Computa Models for Decision Analysis Palo Alto, CA: Scientific Press, 1980, pp. 55-66.

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La segunda decisión se relaciona con las negociaciones laborales que están próximas a comenzar con el sindicato de la empresa. La empresa y el sindicato tienen que llegar a un acuerdo sobre el valor de la mano de obra para el año siguiente. Ésta es una decisión conjunta, resultado del proceso de negociación. La empresa hizo proyecciones acerca de los precios de la madera contrachapada en el año próximo, y la cantidad que podría vender (es decir, un estimado de la demanda). La empresa tiene la política de producir por pedido, de modo que no cuenta con reservas de madera. Esto significa que no puede producir más de lo que puede vender, en ningún período. Las proyecciones se hicieron para el precio de los troncos, que es la materia prima de donde se sacan las láminas de madera contrachapada. Para producir láminas de madera, la empresa debe incurrir en gastos de mano de obra, suministros y, claro está, materia prima (troncos). Otros gastos se relacionan con ventas. La empresa alquila el equipo de producción y paga cuotas por él; además, cada período tiene ciertos costos fijos. La tabla 1-1 muestra una lista de los factores más importantes en este ejemplo. La abreviatura de MSF corresponde a la expresión en inglés de thousands of sU/face square feet o miles de pies cuadrados de superficie y es la unidad de medida

TABLA!-! Factores importantes del modelo la fábrica de láminas

Variables de decisión Valor mano de obra. Salario promedio para los empleados (dólares por hora). Capacidad adicional. Cantidad de capacidad agregada en cada trimestre (M8F -por su sigla en inglés- miles de pies cuadrados de superficie de capacidad de madera). Medida del desempeño Utilidad neta por la operación del aserradero cada trimestre y todo el año (millones omiles de dólares). Variables exógenas Precio de venta de la madera en lámina cada trimestre (dólares por MSF). Demanda de madera cada trimestre (MSF). Costo de compra de los troncos (dólares por MBF ·por su sigla en inglés- o dólar'por millar de pie cuadrado de lámina). Productividad de la mano de obra. Producción (M8F) por hora de la mano de obra. Restricciones y políticas No hay reservas de madera. La producción de láminas de madera se programa para cumplir con las ventas. (Análisis hecho por trimestres). Variables intermedias Ingresos por la venta de las láminas de madera (MUS$ por trimestre). Gastos operacionales asociados directamente con la producción de láminas de madera (gastos de suministros, materias primas y mano de obra· MUS$ por trimestre). Gastos de suministros (MUS$ por trimestre). Cantidad de troncos necesarios para la producción (MBF por trimestre). Cantidad de láminas de madera producida (MSF por trimestre). Capacidad de producción real de la fábrica (MSF por trimestre). Total de gastos de ventas, fijos y de equipo (MUS$ por trimestre). Gastos de ventas de las láminas de madera (MUS$ por trimestre). Gastos fijos (MU8$ por trimestre). Gastos de equipo. Costo de arrendamiento del equipo (MU8$ por trimestre).


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de las láminas de madera, MBF corresponde a thousands of board foot o millar de pies de tabla, la unidad para los troncos, MUS$ corresponde a miles de dólares. La lista de variables que se presenta en la tabla 1-1 puede parecer excesiva en un principio, pero en realidad es más simple una vez que se revisa con cuidado. Aunque el ejemplo está simplificado, es necesario tener en cuenta la complejidad para ilustrar la manera como puede utilizarse un modelo.

Relaciones: el diagrama de influencia En ocasiones, resulta de utilidad dibujar un diagrama que muestre cuáles variables se relacionan o influyen en otras. En el ejemplo, la figura 1-3 es un diagrama de esa clase, y se conoce como diagrama de influencia. Las flechas indican la relación entre variables. No es indispensable construir un diagrama de esta clase; pero, con frecuencia, suele ser útil para entender el modelo. En la figura 1-3 se pueden observar dos líneas punteadas que la atraviesan. La única variable por encima de la línea superior es la medida del desempeño, la utilidad. Las casillas por debajo de la línea punteada inferior contienen variables de decisión o variables exógenas, las entradas para el modelo. Las variables y las relaciones en el centro, entre las dos líneas punteadas, constituyen el modelo. Ahora, van a definirse las relaciones entre las variables, comenzando con las relaciones físicas (aquellas que implican lo físico en oposición a las variables monetarias).

Relaciones físicas CAPACIDAD

= 9200 + CAPACIDAD ADICIONAL

La capacidad inicial de la fábrica es de 9,200 MSF por trimestre, a lo que se le agrega cualquier capacidad adicional que se alquile.

FIGURA 1-3 Modelo de una fábrica de láminas de madera contrachapada-diagrama de influencia

I

Ingresos

I

14

Análisis cuantitativo PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA = CAPACIDAD O DEMANDA MÍNIMAS Sabiendo que la producción de madera en cualquier trimestre es igual a las ventas, pues así lo exige la política de no tener reservas. Si la demanda es más alta que la capacidad, la empresa elaborará (y venderá) todo lo que pueda producir según su capacidad. Es decir, la producción está limitada por la capacidad, en este caso. De otro lado, si la demanda es inferior a la capacidad, entonces la demanda limitará la producción (y las ventas). Por consiguiente, la producción está limitada por la variable que sea menor, es decir, el mínimo de capacidad o demanda. TRONCOS REQUERIDOS = 0.52 * PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA Esta relación dice que se requieren 0.52 MBF de troncos por cada MSF de láminas de madera que se produzcan. El 0.52 es una constante que depende de la eficiencia con la que pueda producirse la lámina de madera a partir de su materia prima, los troncos. El asterisco (*) significa multiplicado por. Es el símbolo estándar que se utiliza en hojas de cálculo de computador y que se empleará en este capítulo. En este punto, se requiere de un breve paréntesis para explicar las constantes. En la construcción de un modelo, los valores numéricos, como el coeficiente 0.52, con frecuencia se estiman a partir del costo o de otros datos de la empresa. Aunque podrían considerarse variables exógenas, tienen escasa importancia pues son supuestos, que se espera que se mantengan fijos (es decir, constantes) para los análisis realizados en el modelo. HORAS LABORABLES

= PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA PRODUCTIVIDAD DE LA MANO DE OBRA

El total de horas requeridas para el trabajo depende de la producción de láminas de madera y de lo productiva que sea la mano de obra.

Relaciones financieras Las restantes relaciones del modelo son financieras. Las siguientes son expresiones contables sencillas que se explican por sí mismas. La división por 1,000 es necesaria en algunas ecuaciones para la conversión a miles de dólares. UTILIDAD INGRESOS (MILES DE US$)

= INGRESOS -

COSTOS - GASTOS OPERACIONALES - OTROS GASTOS

= (PRODUCCIÓN DE MADERA * PRECIO DE VENTA DE LA MADERA) / 1000

GASTOS OPERACIONALES

= GASTOS DE SUMINISTROS + GASTOS DE MATERIA PRIMA + MANO DE OBRA

OTROS GASTOS

= GASTOS DE VENTAS + GASTOS DE EQUIPO + GASTOS FIJOS

GASTOS DE MANO DE OBRA (MILES DE US$) COSTOS MATERIA PRIMA (MILES DE US$)

= (VALOR MANO DE OBRA * HORAS LA BORADAS)/lOOO

= (TRONCOS REQUERIDOS * COSTO POR TRONCO)/lOOO


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Algunas de las relaciones necesitan de una explicación: GASTOS EN SUMINISTROS (MILES DE US$)

= (28 * PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA)/lOOO

Cada MSF de láminas de madera requiere de US$28 en suministros en el proceso de producción. Los US$28 son otra constante del modeto. GASTOS DE VENTAS = 0.10 * INGRESOS Los gastos de ventas son el 10% del ingreso por ventas. GASTOS FIJOS

= 20

Los gastos fijos son de US$20,000 por trimestre. . GASTOS EN EQUIPO (MILES DE US$) = (11 * CAPACIDAD)/lOOO No hay que olvidar que el equipo de la fábrica es alquilado. La tarifa por este arriendo es de US$l1 por MSF de la capacidad instalada por trimestre.

RESUMEN La construcción de un modelo implica simplificar, en primer lugar, el problema para la toma de decisiones, mediante la selección sólo de las variables más importantes, como son las variables de decisión (sobre las cuales debe tener el control quien decide), las variables exógenas, las medidas del desempeño, las políticas o restricciones y las variables intermedias. El segundo paso en la construcción de un modelo es identificar las relaciones entre las variables; es decir, determinar cómo dependen unas de otras. El modelo en sí mismo es el conjunto de todas estas relaciones.

ANÁLISIS DE LA UTILIZACiÓN DEL MODELO Una vez terminado el modelo de la fábrica de láminas de madera, puede analizarse el uso que la gerencia hace de él. El primer paso es plantear estimados para las variables exógenas que, en este caso, se muestran en la tabla 1-2. Éstas son predicciones con base en un juicio informado de la gerencia, pero pueden ser incorrectas. Un propósito del modelo es mostrar cómo los errores en estos estimados pueden afectar las operaciones de la fábrica de láminas. Las variables de decisión son la CAPACIDAD ADICIONAL por agregar y el VALOR DE LA MANO DE OBRA negociado con el sindicato. Suponiendo que se tomara un caso base doil:de no se hiciera adiciones a la capacidad y que el valor de la mano de obra fuera el mismo del último año, US$9 por hora, podrían completarse los cálculos para el modelo que aparece en la tabla 1-3. Debe tenerse en cuenta que el caso base da una utilidad de US$387,000 al año'. ns::

TABLA 1-2 Estimados para variables exógenas

Variable Precio de la lámina de madera Demanda de láminas de madera

Unidad trimestre US$/MSF MSF

Costo por tronco

US$/MBF

Productividad de la mano de obra

MSF/hora

Primer trimestre

S;z;ti¡¡UU&a...

Segundo trimestre

Tercer trimestre

Cuarto

125

125

130

130

10,000

10,800

8,000

10,000

75

75

75

80

0.4

0.4

0.4

0.4

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En este punto es necesario hacer una pausa para examinar con detenimiento la tabla 1-3. Hay que trabajar con algunos números, utilizando las relaciones desarrolladas antes. Como ejemplo, la cantidad de TRONCOS REQUERIDOS en el primer trimestre es de 4,784, calculado como 0.52 * PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA, una de las relaciones físicas descritas previamente. La PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA está limitada por la capacidad en los primero, segundo y cuarto trimestres, y por la demanda en el tercero.

EJECUCiÓN DEL MODELO EN UN COMPUTADOR Los cálculos que se presentan en la tabla 1-3 podrían, hacerse a mano, eso tomaría de 20 a 30 minutos, si no se cometen errores de aritmética, lo cual sería satisfactorio

Unidades

Primer trimestre

Segundo trimestre

Tercer trimestre

Cuarto trimestre

Variables de decisión Capacidad adicional Valor mano de obra

MSF US$/hora

O 9.00

O 9.00

O 9.00

O 9.00

Variables exógenas Precio de la lámina de madera

US$/MSF

125

125

130

130

MSF US$/MBF

10,000 75

10,800 75

8,000 75

10,000 80

MSF/hora

004

004

0.4

004

TABLA 1-3 Modelo de caso base para la fábrica de láminas de madera

Demanda de la lámina de madera Costo por tronco Productividad de la mano de obra

Total del año

Factores físicos Capacidad actual Producción de láminas de madera Troncos requeridos Horas laborables requeridas

MSF

9,200

9,200

9,200

9,200

36,800

MSF MBF horas

9,200 4,784 23,000

9,200 4,784 23,000

8,000 4,160 20,000

9,200 4,784 23,000

35,600 18,512 89,000

Factores financieros Ingresos

MUS$

1,150

1,150

1,040

1,196

4,536

MUS$ MUS$ MUS$

359 258 207

359 258 207

312 224 180

383 258 207

1,413 997 801

MUS$

824

824

716

847

3,211

MUS$ MUS$ MUS$

115 20 101

115 20 101

104 20 101

120 20 101

454 80 404

MUS$

236

236

225

241

938

90

90

99

108

387

Gastos de materia prima Gastos por suministros Gastos de mano de obra Total gastos operacionales Gastos de ventas Gastos fijos Gastos en equipo Total otros gastos Utilidad

MUS$

=

Nota: las discrepancias en los totales se deben ala aproximación de las cifras.


17

si sólo se examinara un caso o escenario. Sin embargo, para examinar una serie completa de casos, el mejor método es desarrollar una versión del modelo por computador. Existen varias formas de hacerlo. El modelo podría escribirse en un lenguaje de computador de propósito general como Basic, Fortran, Pascal o C+ +, o podría desarrollarse en uno de los programas de hojas de cálculo como Lotus 1-2-3, Excel o Quattro, disponibles en los Pe. Ya que los programas de hojas de cálculo se han extendido ampliamente, son fáciles de usar y son ideales para el análisis de este tipo de problema, a continuación se mostrará este método. Una hoja de cálculo típica contiene filas y columnas, como aparece en la figura 1-4. Las filas están numeradas a partir de 1, mientras que las columnas se identifican con letras, comenzando por A. Una celda es la intersección de una fila y una columna, y se indica con su respectiva identificación de columna y fila. Por tanto, la celda B3 está en la columna B y la fila 3. FIGURA 1-4

Presentación parcial de una hoja de cálculo

B

A I

I

/

Columnas

e

D I

-----~-----~-----~----_.

2 Filas

3

4

I I Celda 83 -----~----~----~----_. I

I

I

-----~-----~-----~----_. I I I -----~-----~-----~------

5

I

I

I

-----~-----~-----~----_./

Celda D6

6 7

-----~-----~-----~----_. I I I -----~-----~-----~----_.

8

I

_____ L

I

L

I

L

.

Una celda puede contener información alfanumérica como el rótulo Variables de decisión; un número como 9.00 para Valor mano de obra y también una fórmula. Las fórmulas incluyen la identificación de las celdas como variables. Por ejemplo, si la celda D3 contiene la siguiente fórmula 3: =B3+C3 implica la suma del contenido de las celdas B3 y C3 y que el total se almacenará en la celda D3. La tabla 1-4 muestra las fórmulas de las hojas de cálculo para el primer período (trimestre) del modelo propuesto. La primera columna (A), en la tabla 1-4, contiene sólo los rótulos para las distintas variables del modelo. La segunda columna contiene las unidades de medición que también son información alfabética. Las primeras filas de la columna C contienen valores numéricos para las variables de decisión y las variables exógenas. Las fórmulas están en la columna C que comienza en la fila 14. La primera fórmula, en la celda C14, es: =9200+C4 3

Los programas comerciales de hojas de cálculo difieren muy poco en la manera como se representan las fórmulas. Aquí se utilizó la representación de Excel, que tiene el signo igual antes de cada fórmula (frente al signo más para Lotus 1-2-3 y Quattro). Excel no incluye el símbolo @ como parte de un nombre de función, como se hace en otras hojas de cálculo.

18


Como la celda C4 corresponde a la capacidad adicional, con ella puede calcularse la capacidad real y la capacidad inicial de 9,200 MSF más cualquier adición. Es el equivalente de la hoja de cálculo de la relación: CAPACIDAD = 9200

+ CAPACIDAD ADICIONAL

que se desarrolla en la página 13. De manera similar, la celda C15 contiene: =MIN(C9,C14) Esto equivale a la relación: PRODUCCIÓN DE LÁMINAS DE MADERA

DEMANDA O CAPACIDAD MÍNIMAS

Hay que recordar en el ejemplo, que la celda C9 es demanda de láminas de madera y la celda C14 es capacidad actual, por ello, se recomienda examinar las demás fórmulas de la tabla 1-4 para una comprensión absoluta.

Fórmulas para los otros trimestres Las fórmulas para los otros trimestres del año son similares, excepto que estarían en las columnas D, E YF de la hoja de cálculo. Existe un procedimiento dentro de los programas de hoja de cálculo que permite copiar o repetir las fórmulas en otras columnas cuando son similares, como en este cas0 4. Los totales para el año son la suma de los artículos de los cuatro trimestres. Esta sección no busca hacer una descripción detallada de los paquetes de hojas de cálculo, pues, por sus características, requerirían de un estudio más extenso. El propósito, que se persigue sólo, es demostrar que un modelo de caso puede configurarse en el formato de hoja de cálculo. El análisis, utilizando el programa de hoja de cálculo, también es bastante preciso. Aquí únicamente se hace un cambio en una o más de las variables de decisión o exógenas y el resultado aparece en la pantalla del computador casi de inmediato. También es posible modificar el modelo al cambiar las relaciones, agregar nuevas variables o extender el modelo durante más períodos. Los paquetes de hoja de cálculo pueden crear tablas de los resultados y dibujarlas en diferentes formatos.

EJEMPLOS DE ANÁLISIS UTILIZANDO EL MODELO Al comienzo de este capítulo se describió el tipo de modelo que se construyó como un modelo de caso. Este nombre procede del tipo de análisis que implica examinar varios casos o escenarios utilizando el modelo. Cada caso utiliza diferentes supuestos acerca de las distintas variables del modelo. A continuación se dan algunos ejemplos de la manera como en la fábrica de láminas de madera los gerentes podrían examinar unos cuantos casos y, por tanto, usar el modelo que acaba de desarrollarse para abordar algunos aspectos gerenciales y obtener perspectivas sobre los problemas de decisión que enfrentan. 4 La celda C14 es la excepción a la afirmación de que las fórmulas pueden copiarse en las demás columnas. La celda D14 debe ser (=CI4 + D4). Es decir, CAPACIDAD (en el segundo período) = CAPACIDAD (en el primer período) más CAPACIDAD ADICIONAL del segundo período. Esta fórmula debe ingresarse en la celda D14 para que pueda copiarse (repetirse) en el tercer y cuarto período.


19

Como se planteó, la gerencia de la fábrica de láminas de madera está en negociaciones con el sindicato con respecto al valor de la mano de obra para el próximo año. Los gerentes podrían utilizar el modelo para analizar el efecto de los distintos valores de la mano de obra sobre la utilidad. La tarifa actual es de US$9 por hora;

TABLA 1-4 Cómo ingresar fórmulas en una hoja de cálculo

A

e

B

1

Primer

2

Unidades

Trimestre

3


4

Capacidad adicional

MSF

O

5

Valor mano de obra

US$/hora

9

6 7

Variables exógenas

8

Precio de lámina de la madera

9

Demanda de las láminas de madera

10

Costo por tronco

11

Productividad de la mano de obra

$/MSF MSF

125 10000

$/MSF

75

MSF/hora

0.4

12 13

Factores físicos

14

Capacidad actual

MSF

= 9200+C4

15

Producción de láminas de madera

MSF

= MIN(C9,C14)

16

Troncos requeridos

MSF

= 0.52*C15

17

Horas laborables requeridas

horas

= C15/C11

Ingresos

MUS$

= (C15*CS)/1000

23

Gastos de materia prima

MUS$

= (C16*C1 0)/1 000

24

Gastos por suministros

MUS$

= (2S*C15)/1 000

25

Gastos de mano de obra

MUS$

= (C5*C17)/1 000

Total gastos operacionales

MUS$

= C23+C24+C25

29

Gastos de ventas

MUS$

= 0.1*C21

30

Gastos fijos

MUS$

20

31

Gastos en equipo

MUS$

= (11*C14)/1000

Total otros gastos

MUS$

= C29+C30+C31

Utilidad

MUS$

:: C21·C27-C33

18 19

Factores financieros

20 21 22

26 27 28

32 33 34

35

20


un aumento a US$10 podría ingresarse en el modelo cambiando los valores de la fila identificada como Valor mano de obra, en la tabla 1-3. Esto daría como resultado una utilidad de US$298,000 para el año, es decir, una reducción de US$89,000. Una pregunta aún más interesante es, ¿cuánto podría aumentar el valor de la mano de obra antes de que la fárica dejara de ser rentable? En el modelo se utilizan ocho valores diferentes para valor de mano de obra, primero a US$9 por hora, luego a US$10 y así sucesivamente hasta US$16 por hora. La figura l-S muestra un trazado de los resultados. Como puede verse, el punto de equilibrio (donde la utilidad es cero) se presenta entre US$13 y US$14 por hora, cerca de US$13.3S. Si se supone que, como parte de las negociaciones, la gerencia le pide al sindicato que cambie algunas reglas de trabajo que incrementarían la productividad de los trabajadores y, por tanto, aumentarían la productividad de la mano de obra de 0.4 MSF por hora a O.S MSF por hora. Si el sindicato estuviera de acuerdo con estas modificaciones a cambio de un aumento en el valor de la mano de obra a US$l1 por hora, ¿cuál sería el efecto combinado? Esto se muestra en la tabla l-S, igual a la tabla 1-3, excepto por estos dos cambios: el valor de la mano de obra es 11 y la productividad de la mano de obra es 0.5. Como puede verse, hay un incremento neto en la utilidad anual: de US$387,000 a US$40S,OOO. Otra decisión que puede tomarse se refiere a que si debe ampliar o no la capacidad de la fábrica. Puede comenzarse con el caso base y añadir diferentes cantidades de capacidad en el primer trimestre. La tabla 1-6 presenta los resultados de cuatro casos, cada uno con una cantidad diferente de capacidad agregada. A partir de esto, parecería que añadir cerca de 1,000 MSF de capacidad sería lo más conveniente, aunque las diferencias no son muy grandes. La gerencia también podría preguntarse cómo cambiaría esta decisión acerca de la capacidad, si las proyecciones sobre la demanda de láminas de madera no fueran correctas. En otras palabras, ¿qué impacto tendría la decisión de ampliar la

400

FIGURA 1·5 Análisis del punto de equilibrio para el valor de la mano de obra

300

og

200

tf7

(j)

:::>

ca:J

100

e

ro ro

ID e

Of----------------'........---------

-O

ro

:Q

S

-100 -200 -300 '--_ _- L -_ _- - - ' 9 10 11

- ' -_ _- ' -

...l...-_ _---'-_ _- - '

12

14

13

Valor mano de obra (dólares/hora)

15

16


Unidades

Primer trimestre

Variables de decisión Capacidad adicional Valor mano de obra

MSF US$/hora

11.00

11.00

11.00

11.00

Variables exógenas Precio de las láminas de madera

US$/MSF

125

125

130

130

MSF US$/MBF

10,000 75

10,800 75

8,000 75

10,000 80

MSF/hora

0.5

0.5

0.5

0.4

MSF

9,200

9,200

9,200

9,200

36,800

MSF MBF horas

9,200 4,784 18,400

9,200 4,784 18,400

8,000 4,160 16,000

9,200 4,784 18,400

35,600 18,512 71,200

MUS$

1,150

1,150

1,040

1,196

4,536

MUS$ MUS$ MUS$

359 258 202

359 258 202

312 224 176

383 258 202

1,412 997 783

MUS$

819

819

712

843

3,192

MUS$ MUS$ MUS$

115 20 101

115 20 101

104 20 101

120 20 101

454 80 405

MUS$

236

236

225

241

938

MUS$

95

95

103

112

405

TABLA 1-5 Modelo de caso para la fábrica de láminas de madera con incrementos en la productividad y en el valor de la mano de obra

21

Demanda de las láminas de madera Costo por tronco Productividad de la mano de obra Factores físicos Capacidad actual Producción de láminas de madera Troncos requeridos Horas laborables requeridas Factores financieros Ingresos Gastos de materia prima Gastos por suministros Gastos de mano de obra Total gastos operacionales Gastos de ventas Gastos fijos Gastos en equipo Total otros gastos Utilidad

Segundo trimestre

O

O

Tercer trimestre O

Cuarto trimestre

Total del año

O

Nota: las discrepancias en los totales se deben ala aproximación de las cifras.

TABLA 1-6

Capacidad adicional (MSF)

Utilidad anual (MUS$)

O'

387

1,000

405

2,000

374

3,000

330

Resultados de ampliar la capacidad de la fábrica en el caso base durante el primer trimestre

'Caso base

capacidad de la fábrica ante la demanda? Para examinar esto, podría suponerse que el patrón de demanda sigue siendo el mismo durante los cuatro trimestres (segundo trimestre alto, tercero bajo), pero que se considera un caso donde la demanda total real pasa a ser poco más de la mitad (50%) de la proyección de la demanda; otro caso, donde es 60% de la proyección y así sucesivamente hasta llegar a 150% de la proyección. En 100%, lo real y lo proyectado son iguales. Además, debe considerar-

se la instalación de 1,000 MSF ó 2,000 MSF ó 3,000 MSF de capacidad adicional. Esto requiere ingresar una gran cantidad de combinaciones diferentes en el modelo

22

Análisis cuantitativo y registrar los resultados. En realidad, algunos programas de hojas de cálculo tienen procedimientos para hacer esta clase de análisis con unos cuantos pasos sencillos. La figura 1-6 muestra el resultado de manera gráfica (algunas hojas de cálculo inclusive pueden mostrar la gráfica como aparece aquí). Antes de comentar los resultados de este análisis, hay que señalar que los resultaqos de la inversión en ampliar la capacidad de una fábrica, generalmente, se evalúan después de un largo período. El modelo se restringió a un año para no complicarlo. Por consiguiente, las conclusiones son limitadas. En la figura 1-6 puede observarse que la decisión de ampliar la capacidad de la fábrica no afecta de manera significativa la utilidad anual, pues la demanda actual se acerca a lo proyectado o está ligeramente por encima del estimado. Es decir, las líneas de la figura 1-6 están bastante cerca cuando la demanda actual se halla entre 100% y 110% de la proyectada; si la gerencia confía razonablemente en ella, la decisión de ampliar la capacidad no es riesgosa, pues las posibilidades son igualmente buenas. El costo de ampliar la capacidad es casi igual a la utilidad adicional que la capacidad crea. De otro lado, si la gerencia piensa que hay una posibilidad de que la demanda actual sea sustancialmente mayor o sustancialmente menor que la proyección, entonces, la decisión de ampliar la capacidad es crítica en verdad, ya que existen grandes diferencias entre la mejor y la peor alternativa. Las líneas superior e inferior de la figura 1-6 señalan que los puntos de 70% y 130% difieren en más de US$100,000. Este análisis no le muestra a la gerencia qué decisión tomar, sólo la existencia o no del problema. Si en realidad hay una incertidumbre sustancial acerca de la precisión de las proyecciones, la gerencia puede utilizar las técnicas de análisis de decisión como se describe en el capítulo 6. Uno de los principales beneficios de los programas de hojas de cálculo es que el gerente puede ver al instante la manera cómo todas las variables incluidas en el

FIGURA 1-6 Efecto de los errores en los estimados de la demanda y de la ampliación de la capacidad

Caso base

Adición de 1,OOOMSF



600 500

400

Oo o

300

~

en

2ro

ID e

200

ro :::J e

ro ro

100

"!J

~

:5

O

-100 -200 -=---:-:--~-_L.-_...L-_-L _ _L-_--L._--..L_----l_--.I 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Proyección de la demanda actual en porcentaje


23

modelo se ven afectadas por los cambios en los datos. Esto libera al gerente, hasta cierto punto, de depender por completo de una sola medida de desempeño. En el análisis anterior, se enfatizó en la utilidad, aunque la gerencia también podría estar interesada en los efectos de los otros factores al considerar distintos planes; por ejemplo, las horas laborables que se requieren (y con ello, los trabajadores que sería necesario contratar) y la cantidad de materia prima que se necesita (MBF de troncos). Como puede verse en las tablas 1-4 y 1-5, esta información está disponible y la gerencia puede tomarla en cuenta al tomar sus decisiones.

Análisis de sensibilidad El análisis anterior es un ejemplo de Il qué pasa si ll o análisis de sensibilidad. Este tipo de análisis muestra lo que sucede si se hace determinado cambio en una ~e las variables exógenas o de decisión. El objetivo es ver la forma como se afecta la medi~ da del desempeño (utilidad); es decir, qué tan sensible es la utilidad ante el cambio. Este enfoque ayuda a los gerentes a entender mejor el problema que enfrentan, no produce la respuesta, es una ayuda para tener una perspectiva del problema. Para avanzar en este análisis hay que observar la forma como la utilidad se ve afectada ante cada una de las variables exógenas. Van a considerarse los casos donde cada una de las variables está 10% por encima y 10% por debajo de los valores del caso base. Las variables van a modificarse una a la vez, manteniendo las demás en los niveles del caso base. Los resultados se presentan en la figura 1-7, cuya forma se conoce como diagrama de araña, debido a su semejanza con una telaraña. La pendiente de una línea en el diagrama de araña indica lo sensible que es la utilidad a los cambios en esa variable. Así, la línea del precio de la lámina de made~ ra es muy inclinada; inclusive, cambios pequeños en el precio tienen gran impacto en la utilidad. Una reducción de 10%, por ejemplo, la reduce a cero. Del otro lado, el efecto de los cambios en la demanda es más modesto; particularmente los incre-

FIGURA 1-7

900

Análisis de sensibilidad del modelo de la fábrica de láminas de madera (diagrama de araña)

Precio de la madera

800 700 600 Cii :::J c

tIl~

tilo _O aJO

cW-

Costo por tronco ......

...... .........

500 400

tIl~

:5

300

...... .......

............

200 100 O

-100 85

..............

Caso base

uC/)

:Q~

,-

,-

,-

90

,-

,-

,-

,-

,-

,-

,-

,-

,-

,-'-

,,'"

.........

"

,-

,-

95

,-

,-

100

,,"

,-

,-

,-

,-

,-

,-

,,-

Productividad de la mano de obra .

"

............... ."" ...... .................. ,,'

"" ,-

,-

,-

,-

,-

..

..

...... ......

... .......

......

105

Porcentaje del valor del caso base

... ...

~

110

Demanda de láminas de madera

115

24


mentas en la demanda (en este caso la producción está limitada por la capacidad). Hay que tener en cuenta que estos son análisis que se realizan uno a la vez, y que se considera que todos los demás factores se encuentran en los niveles del caso base. Si se desea, también pueden utilizarse variantes diferentes a 10%.

UN EJEMPLO: MODELO DE THE NEW YORK TIMES La figura 1-8 muestra el esquema de un modelo desarrollado por el periódico The New York Times 5. Para hacer la proyección de los niveles de publicidad por tipo (por ejemplo, anuncios de automóviles, en tiendas por departamentos, etc.), se utilizan variables exógenas como empleo, precios y producto nacional bruto, y la circulación dominical y diaria por zonas geográficas. Los volúmenes de publicidad y circulación se convierten entonces en volúmenes para los diferentes departamentos operativos del cuarto de composición y del taller de impresión, de igual forma, los requerimientos de papel y tinta. Además, se estiman los volúmenes de distribución y correo. Los estimados de costos, incluyendo una reserva para inflación, se combinan con estos estimados para producir los estimados de los costos variables. Los costos fijos Ylos ingresos también se incluyen y se combinan en un estado de ingresos proyectado. El modelo real contiene cerca de 400 ecuaciones y brinda estimados detallados por ingresos y costos. El modelo ha estado en uso por varios años y está integrado con los procesos de presupuesto yplaneación del Times, se ha usado para analizar nuevos productos, como ediciones regionales especiales y, generalmente, para planear operaClOnes. FIGURA 1-8 Modelo de The New York Times

Entorno Empleo Precios Etcétera

Volumen de publicidad por sección

Cuarto de composición

Costos variables

Papel y tinta

Precios Tarifas de publicidad índices de ~!rculación

.I~;

Circulación Dominical Diaria Por zonas

Distribución

Estado de ingresos

Volumen de correo

Ingresos

5 Leonard Foreman, "The New York Times Newspaper Planning Model", COlporate Plalllling Models, ed.

Thomas H. Naylor (Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing, 1979).


25

RESUMEN Un modelo es un conjunto de relaciones entre variables. Este capítulo ilustra un tipo de modelo llamado modelo de caso. El método de análisis es ensayar muchos ejemplos o casos diferentes. En particular, el análisis de sensibilidad examina el efecto de los cambios en las medidas del desempeño (por ejemplo, utilidad), en las variables de decisión y en las exógenas. El objetivo del análisis de sensibilidad es aumentar la visión que tiene la persona que toma las decisiones acerca del problema y del efecto de los diferentes supuestos.

APÉNDICE

Valor presente y valor del dinero en el tiempo Con frecuencia, los modelos de caso del tipo descrito en este capítulo implican flujos de efectivo durante varios años: la mayoría de las inversiones de capital importantes, por ejemplo, generan flujos de caja durante varios años. El período en que se recibe el dinero es un aspecto que influye su valor. No hay que desconocer la diferencia entre recibir US$l ,000 ahora y recibirlos dentro de cinco años, pues aunque no se tenga necesidad inmediata de ese dinero, podría invertirse para tener más que esa cantidad dentro de cinco años. Un enfoque general para resolver los problemas que implica los flujos de caja a través del tiempo, es convertir esos flujos a su equivalente en valor presente, utilizando un descuento o tasa de interés y calculando el interés compuesto 6. El valor presente de US$l,OOO recibidos dentro de cinco años, utilizando una tasa de descuento de 6% es: 1,000 (1 +0.06)5

=

747.26

Si se consignan US$747.26 en una cuenta bancaria con un interés de 6% (anual compuesto), podrían tenerse US$l,OOO al final de los cinco años. En general, el valor presente de cualquier cantidad A, con una tasa de descuento r, que se recibe en n años es: A

(1 + r)1l

Si existe una corriente de flujos de caja durante varios años, entonces su valor presente es la suma del valor presente de cada flujo de caja. Por consiguiente, el valor presente de US$10 recibidos al final del año 1, más US$20 recibidos al final del año 2, es: 10 + 20 (1 +0.06)1 (1+0.06)2

=

27.23

La mayoría de los programas de hojas de cálculo tiene funciones disponibles para realizar estos cálculos de valor presente. Por ejemplo, muchos programas utilizan la función @NPV (Net Present Value-valor presente neto), con este propósito.

6

Para conocer con detalle estos procedimientos y otras técnicas para evaluar flujos de caja a través del tiempo, véase Bierman, H., Smidt, S. The Capital Budgeting Decision, 7 ed., New York: Macmillan, 1988.

26


BIBLIOGRAFíA BODILY, S., Modern Decision Making:A Guide toModeling with Decision SUPPOlt Systems, New York: McGrawHill, 1985. BONINI, C. P., Computer Models for DecisionAnalysis, Palo Alto, CA: Scientific Press, 1980.

NAYLOR, T. H., COlporate Planning Models, Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, 1979. PLANE, D. R., Management Science: A Spreadsheet Approach fo,. Windows, Danvers, MA: Boyd and Frazer Publishing, 1996.

PROBLEMAS PRÁCTICOS? 1-1. Hay que remitirse al ejemplo del contrato gubernamental tratado en este capítulo. Suponer que hay 40% de pérdida en el resultado debido a las exigencias en las especificaciones del producto. a. ¿Cuántas unidades tendrían que ingresar al proceso de producción para obtener 1,000 unidades con las especificaciones completas? b. ¿Cuál es el costo total de obtener 1,000 unidades que cumplan con los requisitos exigidos? c. ¿Debería aceptarse el contrato? ¿Por qué? 1·2. El XYZ Appliance Company está considerando reemplazar un sistema de engranaje metálico por uno de plástico. El de plástico ahorrará US$0.50 por unidad, pero deberán gastarse US$20,000 en un molde especial para fabricarlo. El molde durará un año. Las ventas anuales son de 80,000 unidades. a. ¿La empresa debe cambiarse la empresa al sistema de engranaje de plástico? ¿Por qué? b. Si se supone ahora que el sistema de engranaje de plástico está asociado con un índice de falla ligeramente más alto para el primer año; específicamente, por cada 1,000 unidades vendidas habrá un promedio de dos fallas adicionales en el sistema de engranaje de plástico en comparación con el metálico. Las fallas le cuestan US$40 a la compañía (representados en los costos de reparación por garantía y rechazo). Entonces, ¿la empresa debe pasarse al sistema de engranaje de plástico? ¿Por qué? 1-3. La MYOWN COMPANY se creó con la intención de fabricar y comercializar su invento -KARMA, un computador personal para personas interesadas en estar al día con los adelantos en el área de la informática. A pesar de la imagen que se presenta sobre el brillante futuro de la empresa, el banco insiste en conocer "algunas cifras". En particular, desean un estado de los ingresos, gastos y utilidades proyectados para el primer año. Los detalles de las operaciones que se planean son: fijar de manera tentativa el precio de venta de cada Karma en US$1,600. Se espera que los costos de fabricación sean de US$300 por unidad más unos cos-

7

tos fijos de US$80,000 por año. Los costos de marketing se proyectan en 10% de las ventas más US$10,OOO en costos fijos. Un estimado preliminar de las ventas del primer año es de 100 unidades. a. Identificar la(s) variable(s) de decisión, exógena(s), medidas del desempeño, variablc(s) intermedia(s) y cualquier política o restricción para este problema. b. Definir las relaciones entre las variables identificadas en el punto a. c. Ejecutar el modelo si se tiene acceso a un computador con un programa de hoja de cálculo. El formato debe aparecer como se muestra aquí. Deben llenarse los espacios xxxxx con números o fórmulas, cuando sea necesario. Unidades de ventas Precio Costo variable unitario

xxxxx xxxxx xxxxx

MYOWN COMPANY, 1997 Ingresos proyectados Ventas (dólares) Costo de fabricación Margen bruto Costos de marketing Utilidad antes de impuestos

xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx

d. El modelo debe utilizarse para responder las siguientes preguntas (Nota: Si no se tiene acceso a una hoja de cálculo, puede responderse esta par~ te con una calculadora manual, ya que los cálculos no son muy extensos). 1. ¿Cuál es el punto de equilibrio en las unidades vendidas? El punto de equilibrio es el volumen de ventas en unidades donde la utilidad es cero. Hay que hacer un estimado. 2. Suponer porque se cree que esto aumentará las ventas a 130 unidades, el precio se reduce a US$1,400. Aunque también podría reducirse más el precio, hasta US$1,200, proyectando que las unidades vendidas podrían ser 150. ¿Cuál alternativa es más conveniente?

La solución a estos problemas están al final de este capítulo.


27

PROBLEMAS 1-4. En ocasiones, la maximización de la utilidad se ha descrito como el principal criterio para aplicar en la toma de decisiones de negocios. Un gerente de negocios, ¿qué criterios adicionales debe aplicar para tomar una decisión? 1-5. Considerar una decisión personal o de negocios con la que haya familiaridad y describirla en términos de: a. Las alternativas disponibles. b. El criterio utilizado para seleccionar una alternativa. c. Las variables importantes que deben ir en un modelo para ayudar en la toma de decisiones. ¿Hasta dónde pueden cuantificarse estas variables? d. ¿Hasta donde pueden cuantificarse las relaciones entre las variables sugeridas en el punto e? 1-6. En el problema 1-3, sobre la MYOWN COMPANY, se desea extender el modelo para mostrar la utilidad para cada uno de los cinco años. El precio de ventas inicial se fijó en US$1,600 y el estimado de ventas para el primer año es de 100 unidades, como en el problema 1-3. El costo de fabricación es de US$300 por unidad más costos fijos de US$80,000 por año para cada año (como en el problema 1-3). Sin embargo, si los costos de marketing son 10% de las ventas (como en el problema 1-3), pero los costos fijos son de US$70,000 por año y además, las ventas aumentan 50% por año. Es decir, en 1998 las ventas son 150% de las de 1997, en 1999 son 150% de las de 1998 y así sucesivamente. a. Desarrollar un modelo para este problema. b. Ejecutar el modelo en un programa de hoja de cálculo. c. Utilizar el modelo para responder las siguientes preguntas: 1. Dado que el estimado de ventas corriente en 1997 es de 100 unidades (aumenta 50% por año), ¿cuánto tiempo pasará antes de que la empresa muestre una rentabilidad positiva? 2. Si la tasa de crecimiento de 50% se mantiene, ¿cuántas unidades tendrían que venderse durante el primer año para lograr el punto de equilibrio en el segundo año? ¿Cuántas unidades tendrían que venderse el primer año para lograr el punto de equilibrio ese mismo año? 3. Si el KARMA se diseñara para que fuera más adaptable a medida que salgan nuevos diseños, el costo de fabricación por unidad se incrementaría a US$500. Sin embargo, la tasa de crecimiento de las ventas debe ser 100% por año (es decir, las ventas por unidades se duplicarían anualmente) ¿Es preferible esta alternativa? 1-7. Volver a los problemas 1-3 y 1-6. Ahora, hay que agregar algunas complicaciones adicionales, como que en un estudio de mercado se estimó la relación entre el precio para KARMA y las ventas del pri-

R= 50

e

donde R = tiempo promedio de respuesta en minutos yC = presupuesto anual de la policía en millones de dólares. Cada ciudadano de Suburbia evalúa el beneficio de una respuesta de emergencia de la policía como Sigue: B = US$100 - US$10R donde B = beneficio en dólares. Por tanto, un tiempo de respuesta de 10 minutos produce un beneficio cero, y un tiempo mayor produce un beneficio negativo. Anualmente se registran 500,000 llamadas de emergencia en Suburbia. a. Desarrollar un modelo de hoja de cálculo para este problema, suponiendo que la medida del desempeño es el beneficio total menos el costo total. Evaluar presupuestos alternativos para la policía por US$5 millones, US$10 millones, US$15 millones y US$20 millones. ¿Cuál de éstos es más conveniente? b. Ahora, si el criterio es la relación del beneficio

total dividido por costo total, para los mismos po-

mer año como: Ventas en unidades

para precios que van desde US$500 hasta US$2,000. El precio puede establecerse, pero las ventas de unidades en el primer año están determinadas por esta función. Como antes, las ventas de unidades se incrementarán en un 50% anual después del primer año. Además, cuando las ventas excedan de 200 unidades, podrá introducirse un equipo automático que bajará el costo de fabricación por unidad de US$300 a US$250. Sin embargo, el costo fijo de fabricación aumentará de US$80,000 a US$90,000 por año. (Hay que tratar de incorporar esto al modelo, de modo que suceda automáticamente cuando las ventas superen la cifra de 200 unidades. Esto puede lograrse utilizando las funciones MIN o IF de la hoja de cálculo). a. Incorporar los cambios en el modelo de la hoja de cálculo para la MYOWN COMPANY. b. Utilizar el modelo para encontrar el precio que genera la utilidad total más grande (suma de los cinco años). Opcional: si hay familiaridad con el concepto de valor presente neto, puede calcularse el de las utilidades para los cinco años (utilizar una tasa de descuento de 15%), Y encontrar el precio que maximiza este valor. 1-8. La gerente de asuntos municipales en Suburbia está evaluando varios niveles de gastos para protección policial. Ha encontrado que el tiempo promedio de respuesta (en minutos) para las llamadas de emergencia está inversamente relacionado con el presupuesto anual del departamento de policía del municipio. La relación específica es:

= 300 -

0.125 • precio

sibles presupuestos, entonces, ¿cuál es más conveniente?

28


PROBLEMAS ESPECIALES 1-9. Un ejecutivo se encuentra en el proceso de decidir el precio de un nuevo producto. Su meta es maximizar la utilidad. La alternativa son precios posibles diferentes desde US$2 por unidad hasta US$10 por unidad. El modelo que se utilizará se describe a continuación: Sea: x = número de unidas producidas (y vendidas) C(x) = costo total de producir x unidades p = precio por cobrar NP = utilidad neta total (a maximizar) Relación del costo: C(x) = 800 + 1.25x Relación de ventas: x =- 100 + 2,000/p Utilidad: NP = p • x - C(x) a. Comentar el modelo elegido por el ejecutivo en términos de la lógica de las relaciones, de las variables que se eligieron (y las que se descartaron) y el valor del modelo. b. Encontrar una solución aproximada al modelo a través de ensayo y error (es decir, hay que intentar varios valores para el precio entre US$2 y US$lO, y hallar un precio que dé una buena utilidad). 1·10. En un aeropuerto está considerándose la instalación de un sofisticado dispositivo de ayuda para aterrizajes. El costo equivalente anual de este aparato (incluyendo todos los costos) es de US$800,000 al año, que serán recuperables a través de las aerolíneas. El dispositivo reducirá el número esperado de accidentes fatales por año en el aeropuerto, de 1.8 a 1.7. Un vuelo promedio transporta 40 pasajeros (incluyendo la tripulación) y el avión tiene un valor de reventa de US$2 millones. a. Si el dispositivo es rechazado, ¿qué valor implícito se dará al valor de las vidas de los ocupantes de un avión? b. ¿Hasta cuánto debería pagarse por el dispositivo? 1-11. La gerente de producto de Crunchy Cereal pretende determinar el presupuesto de publicidad para el año próximo. Ella dispone de la siguiente información: el precio de venta es de US$5 por caja; el costo variable de fabricación es de US$2 por caja y el total de costos fijos por producir Crunchy Cereal es de US$100,000 anual. La gerente estimó la siguiente relación entre ventas de Crunchy Cereal (llamado X y medido en miles de cajas) y el dinero invertido en publicidad (llamado Z y medido en miles de dólares):

x=

50

+ 1.2Z - 0.006Z2

Para: 0:$ Z :$ 100

a. Formular un modelo para la utilidad neta de Crunchy Cereal. Es decir, identificar todas las variables y relaciones necesarias para determinar la utilidad.

b. Encontrar una solución óptima aproximada al modelo mediante ensayo y error (es decir, utilizar unos cuantos valores para la publicidad entre US$O y US$100,000, y hallar una solución para lograr una buena utilidad). 1-12. En una compañía de computadores está considerándose introducir un nuevo producto, el modelo B. Algunas de sus ventas estarán a expensas del modelo A, el mejor vendido de la empresa. Las cifras son:

Modelo A

Modelo B

Costo fijo

US$

Costo variable por unidad

US$ 500

US$ 300

Precio de venta al mayorista

US$1,500

US$ 1,000

10 millones

US$

20 millones

Ya se incurrió en los costos fijos del modelo A, pero no en los del modelo B. Las ventas actuales del modelo A son de 500,000 unidades anuales. La introducción del modelo B generaría ventas anuales de 600,000 unidades de B, pero reduciría las de A a 300,000 unidades. La vigencia de ambos productos es de un año; después de eso, serán obsoletos. Por tanto, un análisis a un año es apropiado. a. Formular un modelo para decidir si se introduce o no el modelo B en este momento. ¿Cuál es la decisión recomendable? b. A partir de suponer que el modelo A no se había introducido antes (y que no se incurrió en sus costos fijos), formular un modelo para esa situación y decidir cuál(es) producto(s) debe(n) introducirse. c. ¿Qué otras consideraciones podrían aplicarse a la situación en el numeral a? 1·13. Se está considerando comprar un edificio de apartamentos que cuenta con 25 unidades y está para la venta en US$300,000. Se planea conservarlo durante tres años y luego venderlo. Se calcula que los impuestos de la propiedad son de US$6,000 al año y que la administración y el mantenimiento de los apartamentos costará cerca de US$300 anuales, por unidad. Se espera que los impuestos crezcan a una tasa del 2% anual y los costos de mantenimiento en un 15% anual. Aún no se ha decidido sobre el arrendamiento. En la actualidad, la renta es de US$300 por unidad al mes, pero la rotación es sustancial y el índice de ocupación sólo es de 75%. Es decir que, en promedio, 75% de las unidades están arrendadas en un momento dado. Se estima que si se reduce la renta a US$220 mensuales por unidad, tendría una ocupación del 100%. Las tarifas de alquiler intermedias producirían índices de ocupación intermedio (se

supone una relación lineal: índice de ocupación

=

168.75 - 0.3125 • tarifa de arrendamiento). Por ejem-

Introducción al análisis y construcción de modelos plo, una renta de US$260 tendría un índice ocupacional del 87.5%. Se decide fijar un arriendo para el primer año y aumentarlo en 10% anual para los años 2 y 3. Sea cual fuere el índice de ocupación durante el primer año, se mantendrá para los años 2 y 3. Por ejemplo, si se decide que el arriendo sea de US$220 para el año 1, la ocupación será de 100% para los tres años. Al final de los tres años, se venderá el edificio de apartamentos. La cantidad que se espera recibir es algún múltiplo del ingreso por arrendamientos, en ese momento (antes de gastos). El estimado es que ese múltiplo será 5.0. Es decir, si el ingreso por arrendamientos en el año 3 es de US$75,000, entonces el precio de venta será de US$375,000 El objetivo es lograr el total de flujo de caja más alto durante el período de tres años. El flujo de caja en cada año es la diferencia entre el ingreso por arrendamientos y los gastos. El flujo de caja total incluye el de cada año, más el efectivo por la venta de la propiedad, menos su costo de compra. (Opcional: puede utilizarse el valor presente neto como el objetivo, con una tasa de descuento del 15%). Nota: para el propósito de este ejercicio, no se tiene en cuenta ni la depreciación ni otros aspectos relacionados con impuestos.

29

a. Identificar las variables de decisión, las variables

b. c.

d.

e.

exógenas, la medida del desempeño, las variables intermedias y las políticas y restricciones de este problema. Construir el modelo definiendo las relaciones entre las variables identificadas en el punto a. Ejecutar el modelo en un programa de hoja de cálculo. Si se desea, puede utilizarse el formato sugerido en la tabla 1-7. Las equis (x) indican que en ese sitio va un número o una fórmula. La última línea es apropiada sólo si se utiliza el valor presente como el objetivo. Utilizar el modelo para encontrar la tarifa inicial de arrendamiento qu~ logre el flujo de caja total más alto (o el valor presente neto más alto). Analizar la sensibilidad del flujo de caja total (o el valor presente neto) para las siguientes variables: costo de mantenimiento por unidad, impuestos anuales y múltiplo de venta. Deben desarrollarse los casos donde cada uno de estos factores varía en 10% por encima y por debajo de las cantidades del caso base dado en la descripción previa. Utilizar la tarifa de arrendamiento encontrada en el literal d para este análisis. Trazar estos resultados en un diagrama de araña. ¿Para cuál factor es más sensible el flujo de caja total (o valor presente)?

CASO 1-14 PATAWA DEVELOPMENT COMPANY Alice y John Phillips han constituido la empresa Patawa Development Company para construir casas de expectativa; es decir, casas construidas sobrc la expectativa de que fueron adquiridos por un comprador apropiado. En la actualidad están considerando la compra de un lote disponible en Sedona, Arizona, y cuentan con algunos planes preliminares acerca del tamaño y del tipo de casa que podría construirse. El lote no es grande, pero tiene una vista panorámica de las famosas formaciones rocosas de Sedona. J:..::;;;;:um::;;

iMl'S.;;;¡¡¡¡¡¡;;

TABLA 1-7 Programa de hoja de cálculo

;;;;;;.=_¡;... =~W.J&&it

1WtLZZOC;a:¡¡:u;;;;;;zx=;;z

Costo de compra Tarifa de arrendamiento inicial Tasa de ocupación Costo de mantenimiento por unidad Impuestos Múltiplo de venta

xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Año O

Tarifa de arrendamiento Ingreso por arrendamientos Gastos: Mantenimiento Impuestos Total Flujo de caja operacional Costo de compra Ingreso por ventas Flujo de caja neto Total flujo de caja (Valor presente)

Año 1

Año 2

Año 3

xxxx xxxx

xxxx xxxx

xxxx xxxx

xxxx xxxx xxxx xxxx

xxxx xxxx xxxx xxxx

xxxx xxxx xxxx xxxx

xxxx

xxxx

xxxx xxxx xxxx [xxxx]

xxxx xxxx

30


Aunque los Phillips han construido casas de expectativa antes, ninguna ha estado dentro ~el. rango de precio de las de Sedona. Ésta es una comunidad de descanso en rápido creCImIento y el mercado inmobiliario es muy incierto. El precio del lote está por negociarse y los Phillips piensan que pueden comprarlo por US$160,000. Ellos planean construir una casa de 3,000 pies cuadrados en el lote y estiman que el costo de la construcción será de US$50 por pie cuadrado. Debido a que el lote tiene una inclinación, hay algo de incertidumbre en cuanto al precio. Además, la construcción requerirá de trabajos de movimiento de tierras y drenaje; el valor de esto es incierto, aunque ellos hicieron un estimativo de US$50,000. La mayor incertidumbre es el precio de venta de la casa. Con base en un estudio del mercado de finca raíz en Sedona, los Phillips esperan fijar el precio base en US$480,000 (neto después de los costos de venta). Sin embargo, tienen dudas acerca de esta cantidad. Si se encuentra un comprador a quien realmente le guste la casa, puede obtenerse el precio fijado. En circunstancias ordinarias, se esperaría venderla con 10% menos de dicho precio, si el mercado está malo, inclusive podría ser necesario fijar un precio más bajo. Un factor relacionado es el tiempo que tomará vender la casa. Si una casa permanece en venta durante algún tiempo, su precio base tiende a bajar. Un estudio estimó que el descenso es de 2% mensual. El tiempo que se requiere para vender la casa tiene otro efecto negativo. El costo de urbanización se financiará con un préstamo bancario. Esto incluye los costos de compra del lote, de la construcción y de la urbanización. Los intereses sobre el préstamo son de 0.01 mensuals. La decisión que enfrentan los Phillips es si deben comprar o no el lote y proceder a la construcción de la casa. Los Phillips están preocupados por la incertidumbre que ofrece esta decisión. Como primer paso, ellos calcularon estimados altos y bajos para los diferentes factores de incertidumbre, no significaron ser casos extremos pero tuvieron presente "si las cosas salen bien", "si las cosas van como se espera" y "si las cosas van mal". La tabla 1-8 sintetiza estos estimados. a. Construir un modelo simple utilizando una hoja de cálculo para determinar la utilidad que los Phillips pueden alcanzar en esta inversión. Numere 10 meses. Suponiendo que los estimados son la mejor opción, ¿qué decisión es la indicada? b. Determinar la sensibilidad de la utilidad estimada para cada uno de los factores incluidos en la tabla 1-8. ¿Qué factores podrían cambiar potencialmente la decisión?

CASO 1-15 SUPER SPUDS, INC. Super Spuds, lnc. (SSl) compra papa a cultivadores y la deshidrata para formar hojuelas de papa que vende a un gran procesador de alimentos. En primavera, la empresa enfrenta dos decisiones. La primera está relacionada con cuánto de sus requerimientos de papa compra a los cultivadores bajo un contrato anterior a la estación, que se negocia antes de la siembra y garantiza al cultivador un precio específico, en este caso de US$2 por quintal (lOO libras). La papa restante se compra en otoño, en el mercado abierto, al precio de ese momento.

TABLA 1-8 Factores inciertos

Factor Costo del lote Costo de la construcción Costo de urbanización del lote Tiempo para venderlo Descuento sobre tarifa

Estimado óptimo US$160,000 US$50 por pie cuadrado US$50,000 2meses 10%

Estimado bajo

Estimado alto

-15% -10% -10% 1mes 25%

+15% +15% +20% 10 meses 0%

Nota: La tarifa de US$480,OOO es la oferta inicial y desciende 2% mensual o US$9.600 por mes. Por consiguiente, la tarifa para una venta en el mes 2 es US$460,800 y para el mes 10 es de US$384,OOO. 8 Con el propósito de agilizar el ejercicio, se recomienda pasar por alto el interés compuesto al calcular el

costo del interés. Es decir, un préstamo a seis meses tendrá un costo total de 6%.


31

La segunda decisión implica el precio que debe cobrarse al procesador a quien SSI le vende sus hojuelas de papa. En realidad, esta decisión llega al negociar con el procesador y además incluye la cantidad de hojuelas de papa que éste pedirá para el año siguiente. Al prepararse para estas negociaciones, SSI estima que si insiste en el precio del año anterior de US$33 por quintal de hojuelas, es probable que el procesador haga un pedido de 800,000 quintales; pero negociar un precio superior o inferior a US$33, puede dar como resultado que el procesador compre menos (si el precio es más alto) o más (si el precio es más bajo). Los miembros de la gerencia de SSI han expresado la relación entre el precio negociado y las hojuelas pedidas como: HOJUELAS PEDIDAS (miles de quintales) = 7400 - 200 * PRECIO HOJUELAS Se necesitan seis libras de papa para sacar una libra de hojuelas. El costo variable por deshidratar las papas es de US$13 por quintal hasta para 750,000 quintales y de US$16 para más de esa cantidad. Los costos fijos son de US$4 millones por año. El costo de la materia prima (pápa con calidad de proceso) depende de la cantidad que se compre utilizando contratos antes de la estación. Sin embargo, la gerencia en SSI está considerando cambiar esta modalidad y comprar más o menos de sus requerimientos con contratos de esa clase. El costo de la papa con contratos pre-estación es de US$2 por quintal. El costo de comprarla en el mercado abierto es desconocido. La gerencia piensa que podría estar entre US$l y US$3 por quintal. La utilidad para SSI es el ingreso que consigue de vender las hojuelas de papa al procesador menos los costos de deshidratar las papas, el costo de comprarlas (antes de la estación y en mercado abierto) y los costos fijos. a. Desarrollar un modelo para ayudar a SSI a tomar las dos decisiones indicadas. Identificar las variables de decisión, las variables exógenas, la(s) medida(s) del desempeño, las variables intermedias, y las políticas y restricciones. Luego, definir las relaciones entre las variables. b. Ejecutar el modelo en un computador utilizando un programa de hoja de cálculo. c. Si la gerencia de SSI va a continuar con su política de hacer contratos pre-estación por la mitad de sus requerimientos de papa y el pronóstico para el precio del mercado abierto de papa es de US$2 por quintal (el mismo precio del contrato preestación), calcular la utilidad de SSI en una serie de casos en donde el precio de las hojuelas de papa varíe entre US$31 y US$34 con incrementos de US$0.50 (es decir, US$31, US$31.50, US$32, US$32.50, etc.) ¿A qué precio se logra la mayor utilidad? ¿Qué tan sensible es la utilidad ante las diferencias en el precio entre US$32 y US$33? d. Completar la tabla 1-9, a partir de un precio de US$33 por quintal para las hojuelas de papa. Calcular la utilidad para los diferentes precios de la papa en el mercado abierto, según los porcentajes que se muestran de los requerimientos de papa que se establecen en los contratos de pre-estación. ¿Cuál alternativa es la más conservadora?

TABLA 1·9 Porcentaje de papas que se obtiene por contrato de pre-estación' 25%

50% 75%

Precio del mercado abierto para la papa

US$1 por quintal

xxxx xxxx xxxx

US$2 por quintal

xxxx xxxx xxxx

US$3 por quintal

xxxx xxxx xxxx

32


CASO 1-16 CHASE MANUFACTURING9 Chase Manufacturing es un fabricante de pequeños dispositivos y artefactos para el hogar, con una planta en Decatur, Indiana, y oficinas dc ventas en Chicago. Los productos se venden bajo una variedad de nombres de marca por medio de representantes del fabricante que atienden a los distribuidores minoristas de utensilios para el hogar, ferreterías y tiendas especializadas en ajuar. El departamento de investigación de Chase ha desarrollado un nuevo producto: un sacacorchos de botellas de vino con características distintivas. Se espera que el producto sea un regalo atractivo no costoso, especialmente durante la temporada de Navidad. El comité ejecutivo de Chase está reunido para considerar el nuevo producto. Jane Boxer, la gerente de marketing, abre la discusión: Boxer: pienso que el nuevo sacacorchos será un acierto para nosotros. Aunque hay montones de esos productos en el mercado, el nuestro es el único que puede llegar a ser un éxito en el mercado de Navidad. Es un regalo ideal para una persona que lo tiene todo. Planeamos venderlo a través de nuestros canales normales e impulsarlo con fuerza estc año. Para el año próximo la novedad habrá pasado y probablemente lo retiraremos de la línea. Mi plan establece un precio de US$8 para cada sacacorchos y US$50,000 en publicidad y promoción. Como ustedes saben, nuestros clientes son principalmente compradores de tiendas de cadena, tiendas especializadas y ferreterías. Todos nuestros esfuerzos de ventas están dirigidos a ellos. Estimamos un mercado potencial total de 104,000 unidades a US$8, y con los US$50,000 de publicidad y promoción alcanzaremos una penetración cercana al 65%, es decir, vender el 65% de 104,000 o sea casi 68,000 unidades. Obtuve los estimados de contabilidad y producción y preparé el balance proyectado que ustedes tienen (Véase la tabla 1-10). Jack Croxton, el contador, sigue:

Croxton: los estimados que usted utilizó me parecen bastante razonables, excepto por los costos generales y administrativos. ¿De dónde obtuvieron el cálculo del 15% en ventas? La mayor parte de nuestros costos generales y administrativos son en salarios y otros costos fijos, y yo pensaría que este proyecto agregaría por lo menos US$40,000 a estos costos.

TABLA 1-10

CHASE MANUFACTURING COMPANY Nuevo sacacorchos de botellas de vino Análisis proforma (US$OOO)* Ventas Costos de fabricación Costos de marketing Costos generales y administrativos Total costos Utilidad antes de impuestos

US$540.8

282.8 104.1

81.1 468.0

72.8

'Supuestos: Precio neto de venta, después de descuentos: US$8 por unidad. Total mercado potencial: 104,000 unidades Penetración de mercado: 65% Ventas en unidades (65% de 104,000): 67,600 unidades Costos de fabricación: US$80,000 más US$3 por unidad Costos de marketing: 10% de ventas (comisiones sobre ventas) más US$50,000 para publicidad y promoción. Costos generales y administrativos: 15% de las ventas

9 Fuente: reimpreso con autorización de Stanford University Graduate School of Business © 1985 de la Junta de Sindicas de Leland Stanford Junior University.

Introducción al análisis y construcción de modelos "

33

Boxer: el total de gastos G&A fue de 15% en las ventas del último año, y yo simplemente utilicé el mismo porcentaje. Necesitaremos conseguir un gerente del proyecto e incurrir en otros costos administrativos, los cuales, estoy de acuerdo, le añadirían más de US$40,000. Sin embargo, ¿no debemos usar el mismo porcentaje total de G&A? El presidente, señor J. L. Chase, interrumpe:

Chase: estoy de acuerdo con eso, a primera vista el proyecto parece favorable. No obstante, ¿por qué eligió usted el precio de US$8 y el nivel de US$50,000 para publicidad y promoción? ¿Por qué no reduce el precio a US$5? Puedo suponer que hay un mercado potencial de 200,000 unidades a ese precio. Y quizá, debemos invertir más de US$50,000 en publicidad para garantizar que captemos una buena parte de ese potencial. Croxton: lo siento, 1. L., si reducimos el precio, el margen sería demasiado bajo para obtener alguna utilidad. Manuel Olivera, el gerente de producción, agrega:

Olivera: además, tenemos una capacidad de producción limitada. Si fuéramos a producir más de 75,000 unidades, necesitaríamos tiempo extra y hacer algunas subcontrataciones. Esto aumentaría nuestros costos variables hasta US$4 por unidad para después de 75,000 unidades. Además, para volúmenes superiores a 75,000 necesitaríamos algo de maquinaria, lo que agregaría entre US$lO,OOO y US$80,000 a lo presupuestado por Jane. Croxton: en cualquier caso, pienso que debemos considerar un precio más alto, digamos US$10 por unidad. Entiendo que eso reduciría el potencial de mercado, pero lograríamos un margen libre sobre lo que vendamos. Boxer: con un precio de US$lO, pienso que nuestro mercado potencial estaría sólo cerca de 40,000 unidades. La discusión continúa durante unos minutos, sin que se logre consenso acerca del precio. Chase: Jane, no entiendo lo que quieres decir, cómo es que US$50,000 en publicidad nos permitirán captar 65% del mercado potencial. ¿Podrías explicarlo mejor? Boxer: recuerda 1. L., ese proyecto de investigación que hemos estado realizando con nuestra agencia de publicidad. Ésta es la primera oportunidad que tenemos para aplicar los resultados. Con base en las entrevistas a una muestra de consumidores, podemos evaluar la efectividad de nuestra anterior publicidad. El resultado proyectado por este producto se muestra en la figura 1-9. Estimamos nuestra penetración al total del mercado potencial en tres niveles de publicidad.

100

FIGURA 1-9 Penetración de Chase Manufacturing en el mercado frente a gastos de publicidad

ro '(3

80

e Q)

<5D. O "O

60

al

~

Q)

E Q)

"O

Ecuación: 40

Q)

=

N e

Porcentaje del mercado potencial 100 . 100*e - [0.0209965 * publicidad]

Q)

~

O

o...

20

oX--_--L_ _..L.-_--L_ _..L.-_-..L_ _

..L-._----L_ _- ' - - - '

20

40

60

80

100

120

140

Gastos de publicidad y promoción (US$OOO)

160

34


Obviamente, si no gastamos en promoción y publicidad, nuestros clientes ni siquiera sabrán de nuestro producto y, por tanto, no podrán comprarlo. Éste es el punto que muestro en el origen de la figura 1-9. Entonces, al considerar con sumo cuidado la forma cómo invertiríamos un presupuesto de US$50,000 (qué anuncios utilizaríamos, qué convenios se harían, etc.), estimamos que captaríamos cerca de 65% del potencial de mercado. Es decir, captaríamos 65% de los compradores potenciales. De manera similar, estimamos cerca del 88% . la penetración del potencial total con una inversión de US$100,000. Uno de mis asistentes, que tiene afición por las matemáticas, realizó la función matemática que muestra los tres puntos. La curva tiene sentido para nosotros. Chase: sin embargo, ¿cómo determinaríamos los US$50,OOO de publicidad y promoción? Boxer: en realidad, es tentativo. Planeamos hacer algo más que pensar en cuáles gastos serían óptimos. a. Construir un modelo para ayudar al comité ejecutivo de Chase a decidir acerca del precio y la publicidad para el nuevo sacacorchos. Se recomienda considerar la figura 1-10, pues ella muestra tres puntos relacionados con el precio para el potencial total del mercado. El propuesto por Boxer, con un precio de US$8 y un potencial de mercado de 104,000 unidades; el sugerido por Chase, con un precio de US$5 y un potencial de mercado de 200,000 unidades; y el del precio de US$lO y un potencial de mercado de 40,000 unidades, también dado por Boxer. Si se conectan estos puntos con una línea recta, como se muestra en la figura 1-10, la ecuación de la función de demanda, como la llaman los economistas, es: Potencial de mercado

=m

• Precio

+b

donde m y b son constantes por determinar. La constante m se llama pendiente de la línea. Los valores de m y b pueden determinarse mediante ensayo y error. Si después de un tiempo, no se tiene éxito, puede consultarse la nota de pie de página 10. b. Definir las otras relaciones en el modelo de Chase. c. Utilizar un modelo propio para calcular la utilidad en el siguiente caso l1 : Precio = US$7 por unidad Publicidad = US$100,000

FIGURA 1-10 Potencial de mercado de Chase Manufacturing frente al precio

400

oo o

~

(/)

:::> Ul

al

al"O

200

·c :J

e

al

O "O

al

1:

al

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"¡¡j

·0 e

al

"O

n.

O ' - - - ' - - - - ' - - - ' - - _ L - _ - ' -_ _-'--_--L_ _.L-_--'

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Precio (dólares)

10 La ecuación es: Potencial de mercado (miles de unidades) = 360 - 32 . precio

11 En caso de no contar con una calculadora que trabaje con potencias de e, el valor de e-(0.0209965)(100) =0.122.


35

d. Ejecutar el modelo utilizando un programa de hoja de cálculo. Entonces, mediante ensayo y error, encontrar los valores para el precio y la publicidad que logren la mayor utilidad. e. Determinar los valores para la utilidad si la publicidad es de US$70,000 y para precios desde US$7 hasta US$9 (con intervalos de US$0.10). Muestre la relación entre precio y utilidad de manera gráfica. Repetir esto para una publicidad de US$90,000 y trazar la curva en la misma figura. Repetir ahora para valores de publicidad de US$100,OOO, US$110,OOO y US$130,OOO. (Todo esto puede hacerse en un par de pasos con algunos programas de hoja de cálculo). Con base en estas curvas, ¿cuál es el mejor precio y el mejor valor en publicidad?

CASO 1·17 GOTHAM CITY TIMES 12 El comité ejecutivo del periódico Gotham City Times está reunido para considerar las propuestas del departamento de promoción y del gerente de operaciones. Al asistente del editor se le ha pedido estudiar los efectos financieros de estas propuestas. Operaciones del Times. La mayoría de periódicos, incluyendo el Times, reciben ingresos de dos fuentes: por circulación, es decir, las ventas de periódicos al público lector, y por las ventas de pauta publicitaria. Los costos se relacionan con el sistema de distribución llevar el periódico a los clientes; cobertura editorial y de noticias; composición, es decir, fijar los tipos de artículos, organizar el fotograbado y las artes finales; sala de prensas, es decir, operar las prensas para producir el papel; e impresión de las noticias (papel y tinta). Circulación y publicidad son interdependientes para el Times. Una mayor circulación genera más ingresos por publicidad, ya que ésta llega a una audiencia mayor, y los anunciantes lo encuentran favorable. De modo similar, los lectores compran un periódico, en parte, por la publicidad. Ingresos y costos. Para propósitos de planeación, un mes se considera como una upidad y se utilizan valores mensuales promedio para circulación, publicidad y noticias. El promedio actual de circulación diaria es de un millón (o un total de 30 millones por mes). El ingreso promedio diario es US$0.15 por periódico. La publicidad se mide en pulgadas-columna. En la actualidad, el periódico cuenta con 225,000 pulgadas-columna en publicidad mensual, que genera ingresos de US$20 por pulgadas-columna. Las secciones editoriales y de noticias constituyen el resto del periódico y en la actualidad ocupan 135,000 pulgadas-columna por mes. No se ha contemplado hacer ningún cambio al espacio dedicado a esta categoría. Una página del Times contiene 200 pulgadas-columna. Los costos variables de composición se muestran en la tabla 1-11. Los costos variables para la sala de prensas aparecen en la tabla 1-12. Una hoja es una copia de la página del periódico. Por ejemplo, si una determinada edición contiene 50 páginas para el millón de ejemplares de circulación del Times, esto significa 50 millones de hojas para ese día. Hay que tener en cuenta que la capacidad promedio de la sala de prensas es de 1,500 millones de hojas por mes.

TABLA 1-11 Costo de la composición

Tipo de texto Texto publicitario Texto de noticias, editorial y artículos

Costo variable(por pulgadas-columna) US$4 US$6

12 Fuente: Reimpreso con autorización de Stanford University Graduate School of Business, © 1981 de la Junta de Síndicos de Leland Stanford Junior University.

36


TABLA 1-12 Costo de sala de prensas y capacidad

Costo variable (por Millar de hojas impresas)

Tiempo regular Tiempo extra

Capacidad (en millar de hojas por mes)

US$ 800 US$ 1,200

1,500 Ilimitada

Costos fijos

TABLA 1-13 Costos fijos

Departamento (US$OOO por mes)

Editorial, noticias y artículos Composición Sala de prensas Distribución

US$1,000 90 300 700 US$2,090

Los costos variables de distribución dependen de la circulación y del tamaño, yalcanzan un promedio de U5$40 por tonelada de periódico despachado. Los costos fijos por editorial, composición, sala de prensas y distribución aparecen en la tabla 1·13. El costo del papel es de U5$120 por tonelada y es variable por completo. Una tonelada de papel es suficiente para imprimir 90,000 hojas, Debido a las huelgas en algunos molinos de pulpa, mensualmente el Times no contará con más de 20,000 toneladas de papel a través de sus proveedores habituales. El papel por encima de 20,000 toneladas puede obtenerse sólo a un costo de U5$160 por tonelada, Las propuestas. El departamento de promoción está considerando una serie de opciones para aumentar la circulación (suscripciones de cortesía a un precio reducido, por ejemplo), Dos de estas propuestas aparecen como opciones B y e en la tabla 1-14, donde se indica el incremento en la circulación y el costo de obtenerlo. El costo en que se incurre el primer mes y el incremento en la circulación, por lo general, persisten durante tres meses. En la tabla 1-14 también se muestra el volumen de publicidad a la tarifa actual de U5$20 por pulgada, y el volumen si la tarifa aumentara a US$22. Por tanto, las propuestas de cambios en este sentido podrían evaluarse en diferentes niveles de circulación posibles. La publicidad también tiene movimientos según las estaciones, por encima o por debajo de los niveles normales que aparecen en la tabla 1-14. En particular, el próximo mes debe ser normal; el siguiente, 15% por encima de lo normal y el tercer mes, 10% por debajo de lo normal. Además, el gerente de operaciones quiere contratar por fuera la impresión de diferentes secciones de la edición dominical, con el objeto de reducir o eliminar el tiempo extra

TABLA 1-14 Opciones de promoción y efectos de la circulación con las dierentes tarifas de publicidad

Opción

A (Caso base) B (+ 10%) C (+ 20%)

*Niveles actuales.

Circulación (promedio diario) 1,000,000* 1,100,000 1,200,000

Costo de obtener una circulación adicíonal (US$OOO

o 400 800

Volumen de publicidad (miles de pulgadas -columna con una US$20)

Volumen de publicidad (miles de pulgadas -columna con una US$22)

225* 235 240

200 225 230


37

en la sala de prensas. (Nota: diferentes secciones del periódico del domingo se imprimen . durante la semana, de modo que esta impresión externa tendría un efecto nivelador en el cronograma de la sala de prensas). El gerente de operaciones tiene una cita con un impresor local para la impresión y el suministro de papel por US$2,600 por millón de hojas impresas. Sin embargo, este impresor insiste en un contrato a tres meses con la misma cantidad de trabajo mensual. a. Indicar el objetivo(s) general(es) para el modelo y la(s)medida(s) específica(s) el desempeño que debería(n) utilizarse. b. Indicar en términos generales, las decisiones que deben tomarse y definir las variables de decisión específicas que van a utilizar. c. Identificar otras variables importantes (exógenas e intermedias) necesarias para el modelo. De forma específica deben definirse las variables que deberán utilizarse y las unidades de medición. d. Indicar las políticas que limitan o restringen las decisiones. e. Establecer las relaciones que deben identificarse al construir el modelo. Se recomienda ser específico: es decir, mostrar las ecuaciones. Considerar un caso base con los siguientes valores para las variables de decisión: Circulación inicial = un millón por día Precio de la publicidad = US$20 por pulgada-columna Cantidad inicial de publicidad = 225,000 pulgadas-columna Hojas impresas por fuera = O f. Analizar la propuesta de imprimir hojas por fuera del periódico como lo sugiere el gerente de operaciones. ¿Debe hacerse? En caso afirmativo, ¿por cuántos millones de hojas mensuales debe ser el contrato? g. Si la circulación inicial pudiera incrementarse en 1% Ytodos los demás datos permanecieran iguales, ¿cuál sería el efecto sobre la total utilidad para el trimestre? ¿Parece esto extraño? ¿Cómo podría explicarse? h. mn qué nivel de circulación la utilidad trimestral sería de un millón de dólares? i. ¿Cuánto tendría que descender la cantidad inicial de publicidad antes de que la utilidad del trimestre fuera negativa?

J. En algunas ciudades los periódicos aumentaron el precio de venta. Si Gotham City Times aumentara su precio (aunque manteniendo igual lo demás), ¿qué efecto tendría sobre la utilidad?

k. En la tabla 1-14 se han descrito seis posibles combinaciones con las opciones A, B YC, cada una con una tarifa de publicidad de US$20 o de U5$22. Con cada una de ellas, hay variaciones que dependen de cuántas (si las hay) hojas se imprimen por fuera. Escoger dos o tres planes que podrían recomendarse a la gerencia senior para consideración futura.

1. Considerar los cinco parámetros de la tabla 1-15. Cada uno cuenta con un alcance que podría variar. ¿Qué tan sensible es la utilidad total ante estas variaciones? ¿A qué factor es más sensible la utilidad? Hacer un diagrama de araña. Rango

TABLA 1-15 Parámetro Precio en el quiosco de periódicos Capacidad de sala de prensas Cantidad de material editorial Cantidad inicial de publicidad

Costo de compra del papel periódico (por encima de 20,000 toneladas)

Bajo

Caso base

Alto

0.14 1,400 120 200

0.15 1,500 135 225

0.18 1,700 150 240

120

160

180

38


SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS

= (1- 0.40)X y resolver para = 1000/0.60 = 1,667 unidades. total = US$5,000 + US$30(1,667) =

1-1. a. Determinar 1,000

X: X b. Costo

US$5,000+ US$50,000 = US$S5,000 c. Como los ingresos son sólo de US$50,000, bajo

1-2. a.

b.

1-3. a.

b.

estas circunstancias el contrato debería rechazarse (se produciría una pérdida de US$5,000 si se aceptara). El ahorro anual en el sistema de engranaje de plástico es de (50~) (SO,OOO unidades) = US$40,000. Como el costo anual de la conversión es sólo de US$20,000, la empresa debe cambiarse al sistema de engranaje plástico. Los costos adicionales anuales del sistema de engranaje plástico debido a fallas mayores son (US$40) (2/1000)(SO,000) = US$6,400. Por consiguiente, el total de costos es de US$20,000 + US$6,400 = US$26,400. Esto sigue siendo menor que el ahorro de US$40,000, de modo que aún así la empresa debe convertirse al sistema de plástico. Variable de decisión: precio. Variables exógenas: unidades vendidas, costos fijos (de fabricación y marketing), costo variable/unidad. Medida del desempeño: utilidad. Variables intermedias: ven tas (dólares), costos de fabricación, costo de marketing, margen bruto (opcional). Políticas y restricciones: ninguna. Relaciones: Ventas (dólares) = unidades vendidas * precio Costo de producción = SO,OOO + 300 * unidades vendidas Margen bruto = ventas (dólares) - costo de fabricación Costo de marketing = 10,000 + 0.10 * ventas (dólares) Utilidad = margen bruto - costo de marketing (Si no se utiliza el margen bruto variable, enton-

A 1. Unidades vendidas 2. Precio 3. Costo variable/unidad

B 100 1,600 300

4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Ingreso proyectado MYOWN COMPANY, 1997 Ventas (dólares) Costo de fabricación = Margen bruto Costo de marketing Utilidad antes de impuestos

= B1*B2 (SOOOO + (B3*B1)) = BS- B9 = (10000 + (0.10*BS))

=B11- B13

ces, Rentabilidad = ventas (dólares) - costos de fabricación - costo de marketing). c. Si se utiliza el formato dado en el problema, y se supone que los rótulos están en la columna Ay los números yfórmulas en la columna B, se tiene que: d. 1. El punto de equilibrio se presenta cerca de la venta de la unidad 79. 2. Las tres posibilidades y sus utilidades son: Caso base: Precio = 1,600: Unidades vendidas = 100; Utilidad = US$24,000 Precio = 1,400: Unidades vendidas = 130; Utilidad = US$34,SOO Precio = 1,200: Unidades vendidas = 150; Utilidad = US$27,000 Si se mira sólo la utilidad, el precio de US$1,400 es el mejor.

Ejemplo motivador Tata Iron and Steel Company - India Tatalronand Steeles elmásgrandeproduetor de hierro y acero de la India; además, conunaproducción' anual de 2.4 millones de toneladas, también es unodelosproductoresmásgra.ndes del mundo1 , Al final de esta secci6nsepresentaun esquemasimplificado. del proces() defabricación del.aceroenTata.El mineral de.hierro. es convertido en metal de hierro .. candente en un alto horno y después se convierte en acero en uno .de tres tipos de hornos utilizados para este fin. El acero saledelos hornosamuy altastemperaturaspara darle formaadistintos productossemi-. terminados (láminas,Iingotes pequeños,barras, etc.) sobre molinosrodantes2.Los productos intermedios pueden venderse a otras. fábricas para su .acabado. Como alternativa, Tata puede terminarlos en sus propias instalaciones, convirtiéndolos en distintos tipos de placas, tubos, resortes, acero estructural y otros productos. En años recientes, la empresa enfrentó un problemaimportante.,Los distintos hornos ymolinosrequerían de una gran cantidad de energía eléctrica para operar. Aunque Tata suplía parte de sus necesidades de energía con sus propias plantas generadoras, gran parte de la misma se recibía de entidades gubernamentales; pero estas agencias empezaron a tener grandes déficit de energía que se reflejaban en el suministro a Tata. Cuando esto pasaba, la empresa paralizaba parte de sus operaciones, lo que convertía Este ejemplo se basa en 8inha et al., "Strategic and Operational Management with Optimization at Tata Steel", 11ltelfaces 25, no.l, (J anuary-February 1995). El documento fue ganador del premio Edelman, otorgado por aplicaciones sobresalientes , de la teoría Administrativa.

un

2 También e~iste proceso de fundición continuo para convertirdirectamente el acero furidido en productos terminados.

una opetacióntentablecuando sedisponía de ener" gía, enunprocesodepérdida de dinero cuando había cortes de corriente. Surgi6undebate al interior de la gerencia de Tata acerca de las operaciones que debíansuspenderse cuando se presentara un corte en el fluido eléctrico. Elsentido comúnindicaba que elmolino debía maximizar e1tonelaje. producido y de ahí que los molinos de acabado debían apagarse porque no estaban agregando tonelaje sino terminando el proceso de lo que ya se habíaproducido. Esto significaba optar por producirmásprodl.lctosseIlliterminados o menos productos terminados. Tata elaboró un modelo de programación lineal del proceso de Jabricación. del acero, tomando' en cuentalacontribucióndetodoslos productos, las capacidades delas diferentes etapas de producción y la energía eléctrica requerida. (Los detalles de este modelase estudiarán unas páginas adelante). Los resultados indicaron que una estrategia muy diferen" te erala óptima; en particular, un equilibrio entre productosterminadosysemiterminados era más rentable(aunqueestollevabaamenos tonelaje). De hecho, Con la nueva estrategia se logró un aumento en la utilidad de US$500,OOO diarios,cuando había una falla de energía. En el transcurso de un año, la empresa estimó que tuvo utilidades adicionales de US$73 millones debido al uso del modelo de programación lineal. Además' de emplearlo para ayudar a determinar la mezcla óptima del producto, bajo condiciones de disponibilidad de recursos reducida, el modelo tam" bién se utilizó para medir la conveniencia de construir más capacidad de generación eléctrica por su propia cuenta, para determinar elpreciode la chatarra que podría utilizarse en las operaciones, y para otras decisiones.

EJEMPLO DE MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Mineral de hierro

r-------.., Fabricación de Metal candente hierro (alto horno)

Varios tipos de placas de acero láminas galvanizadas Acero cold-rolled (laminado en frío) Acero estructural, etcétera. "

Fabricación del acero: Horno de oxígeno básico Horno de obra abierto 1---+ Horno de optimización de energía

Colada final: Placas Planchas Acero comercial

Lingotes

j

Colada preliminar: Placas Desbastadora de hierro ~ Láminas ~ Laminadora de hierro Resortes en barras cuadradas y lingotes pequeños Lingotes pequeño

Los gerentes y ejecutivos en general utilizan modelos como herramienta para resolver y entender los problemas de las decisiones de negocios. En general, un gerente trata de maximizar las utilidades o minimizar los costos, para lograrlo cuenta con un conjunto de factores llamado variables de decisión, aunque también con limitaciones o restricciones como por ejemplo, la capacidad de la planta y del equipo, la demanda del mercado o los requisitos de procesamiento o despacho. Un modelo matemático es una representación simplificada del problema de decisión donde las variables de decisión, el objetivo y las restricciones se representan mediante símbolos matemáticos y ecuaciones. Un modelo de programación lineal, o modelo PL, es un tipo particular de modelo matemático, en el cual las relaciones que involucran las variables son lineales y hay una medida de desempeño o un objetivo único. Una ventaja de este tipo de modelo es que existe una técnica matemática llamada programación lineal, que puede determinar la decisión óptima, o la mejor, inclusive aunque haya miles de variables y relaciones. Este capítulo trata el tema de la formulación de modelos de programación lineal. La solución e interpretación de los resultados será tratada en los capítulos siguientes. Desde que a finales de los años cincuenta se descubrió la programación lineal, se ha aplicado a una amplia variedad de problemas de decisión en los negocios y en el sector público. El ejemplo de Tata Steel es actual. Las fórmulas y los problemas y casos del final de este capítulo están diseñados para mostrar la diversidad de problemas donde puede aplicarse la programación lineal y exaltar su valor como herramienta administrativa. El modelo de programación lineal cuenta con un conjunto de variables de decisión Xl' X 2, ..., XN y está diseñado para maximizar (o minimizar) una función objetivo de la forma:

donde! es algún objetivo económico como utilidades, producción, costos, semanas laborables o toneladas embarcadas, pues en general se trata de que el gerente pueda seleccionar valores para las variables de decisión que le permitan lograr la mayor utilidad, el menor costo, o la mayor producción y así sucesivamente. Todos los coeficientes C I , C2 ... CN son constantes, y todas las X son de la primera potencia (ni cubos ni cuadrados, por ejemplo). Por tanto, la función! es una función lineal. En general, el gerente no puede determinar de manera arbitraria los valores de las variables de decisión, las X. Al contrario, la opción está limitada por un

42


conjunto de relaciones o restricciones, que implica que las X también son lineales: desigualdades lineales o igualdades lineales:

AlXl +AzX2 + ... +A~N~Bl Los coeficientes A son constantes. La constante B l restringe af, la función objetivo, como resultado de restringir las variables de decisión,Xl ,X2 , ...,XN(en lugar de ~, podría tenerse 2:: o una igualdad). La solución planteada por la programación lineal es el conjunto de valores de las variables de decisión que logra el máximo deseado (o el mínimo) dentro de las distintas restricciones. La programación lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una solución, yes que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco válida cuando el problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión aumenta de tres o cuatro a cientos o miles, el problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones. Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años. Como un ejemplo simple, puede considerarse el siguiente problema, que puede resolverse mediante el uso del sentido común o el análisis marginal: la utilidad incremental de un producto A es de US$5 por unidad, la utilidad del producto B es US$2 por unidad y puede venderse todo lo que se fabrique de ambos productos; además, los productos pueden producirse con el mismo equipo. Aquí ya puede calcularse lo que se producirá una vez se averigüe la capacidad de las instalaciones en términos de Ay B (véase tabla 2-1). El equipo puede producir 100 unidades de A por día o 600 unidades de B por día. En este sencillo ejemplo, el producto B obviamente es más deseable que el A, ya que US$1,200 de utilidades por día es mejor que US$500. Ahora, si el problema es más complicado, pues la planta puede fabricar 20 productos diferentes en 15 departamentos distintos, y cada producto requiere de tiempos de producción diferentes en cada departamento; pero si la dificultad de este problema no es notable, puede suponerse que cada departamento tiene 10 procesos y cada producto requiere de diferente tiempo de producción en cada proceso. ¿Cómo determinar la combinación óptima? Un problema de este tipo se resuelve mejor a través de la programación lineal. El término lineal es apropiado ya que todas las relaciones de utilidad y producción se consideran proporcionales o lineales; es decir, el grado más alto de cualquier variable es 1, y ninguna variable está multiplicada por ninguna otra.

TABLAZ·!

Producto

Capacidad (unidades por día)

Utilidad (por unidad)

Utilidad incremental (total por día)

A

100

US$5

US$ 500

B

600

2

1,200


43

Debido a que, generalmente, los métodos de programación lineal se utilizan para resolver problemas complejos que incluyen muchas variables y restricciones (a menudo, cientos o miles), es necesario contar con un computador. El método simple es el procedimiento más común y se halla ampliamente disponible; se incluye en muchos de los paquetes actuales de programas de hojas de cálculo para Pe. Los detalles de este método son tratados en capítulos posteriores. En ocasiones, los problemas sencillos pueden resolverse mediante métodos gráficos, y en el siguiente capítulo se introducen estos métodos básicamente por la perspectiva que brindan para solucionar un problema. En algunos de los ejemplos que siguen, las respuestas serán obvias; pues se plantearon para ser tan simples como fuera posible. En otros ejemplos, se tratan problemas más complicados y algunos ge los ejercicios son bastante complejos. El lector debe tener presente que se está ilustrando una técnica que puede aplicarse a problemas extremadamente complicados, pero que con fines explicativos, se aplica a situaciones sencillas. En la práctica, los cálculos de problemas complejos de programación lineal deben hacerse en un computador.

FORMULACiÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN LINEAL Antes de entrar a detallar la forma de resolver problemas de programación lineal, es importante aprender a definir las variables y las ecuaciones; generalmente, la enunciación de un problema de negocios empieza por la forma de maximizar (o minimizar) una función linealj, sujeta a restricciones lineales. El término formulación indica la transferencia de un problema del mundo real a un formato de ecuaciones matemáticas. La formulación es, con frecuencia, la parte más desafiante del análisis de un problema de negocios. Para ofrecer algo de experiencia en formulación, se abordaron varios problemas diferentes, introduciendo algunos que pueden analizarse mediante la programación lineal.

Ejemplo 1: un problema de mezclas de producto Una fábrica elabora dos productos, A y B. Cada uno de ellos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24 horas y la otra, de 16 horas. Cada unidad del producto A requiere de dos horas en ambas máquinas. Cada unidad del producto B necesita de tres horas en la ~~_amáqui na y de una hora en la segunda. La utilidad incremental es de US$6 por unidad del producto A y de US$7 por unIdad del producto B, y la fábrica puede vender tantas unidades de cada producto como pueda fabricar. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en determinar cuántas unidades del prodúcto A y del producto B podrían producirse dentro de los límites disponibles permitidos por la capacidad de las máquinas. Formulación Sean: Xl

= número de unidades del producto A que deben producirse

X2 U

= número de unidades del producto B que deben producirse = Utilidad incremental total de la fábrica

La función objetivo es: Maximizar:

44


, .

Esta ecuación establece que la utilidad total de la fábrica la conforman la utilidad del producto A (US$6 multiplicado por la cantidad vendida) más la utilidad del producto B (US$7 multiplicado por la cantidad vendida). La primera restricción se relaciona con la disponibilidad de tiempo de la primera máquina. Esto puede expresarse como: 2XI + 3X2 :::; 24 Cada unidad del producto A utiliza dos horas de esta máquina, y cada unidad del producto B emplea tres horas. De ahí que el total de horas empleado aparezca en el lado izquierdo de la expresión anterior. Éste debe ser igualo menor que el total de horas disponible en la primera máquina (24). Para la segunda máquina, una restricción similar se expresa como: 2XI + 1X2 :::; 16 Además, en cualquier formulación de programación lineal están implícitas las restricciones que impiden que Xl y X 2 no sean negativas. En términos del problema, esto significa que la fábrica sólo puede producir cantidades positivas o cero. La formulación completa es: Maximizar: Sujeta a:

u = 6XI + 7X2

2XI + 3X2 :::; 24 2XI + X 2 :::; 16 Xl' X 2 2:: O

Este ejemplo es tan simple, que podría no ser necesaria la programación lineal para resolverlo. No obstante, los problemas que involucran docenas de productos y muchas restricciones diferentes no pueden resolverse de manera intuitiva; en esos casos la programación lineal ha demostrado ser muy valiosa. Ejemplo 2: un problema de transporte Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas localizadas en Cincinnati, Denver yAtIanta. Las bodegas principales están localizadas en Nueva York, Boston, Chicago, Los Ángeles y DalIas. Los requerimientos de ventas de cada bodega, para el año próximo, aparecen en la tabla 2-2. Existe algo de preocupación en la empresa por establecer la fábrica que debería producir el suministro para cada bodega. La capacidad de las fábricas es limitada. Cincinnati tiene una capacidad anual de 100,000 cajas. Denver tiene una capacidad de 60,000 cajas y AtIanta de 50,000 cajas. El costo de despachar jabón desde cada fábrica a cada bodega aparece en la tabla 2-3. La compañía desea determinar un programa de embarques que minimice los costos generales de transporte de la empresa (señalados como C).

TABLA 2-2 Requerimientos de bodegas

Ubicación de la bodega

Nueva York Boston Chicago Los Ángeles Dalias Total

Ventas anuales (miles de cajas)

50 10

60 30

20 170


45

Formulación Sea: X l1 = número de cajas enviadas desde la primera fábrica (Cincinnati) a la primera bodega (Nueva York), en miles de cajas De modo similar:

X I 2' X 13 , X 14 , X I5

= número de cajas enviadas desde la primera fábrica

(Cincinnati) a la segunda, tercera, y así sucesivamen te, bodegas (Bastan, Chicago, etcétera.) X 2]> X 22' X 23 , X 24, X 25 . = número de cajas enviadas desde la segunda fábrica (Denver) a la primera, segunda y demás bodegas X3I , X 32 , X 33 , X34> X35 = número de cajas enviadas desde la tercera fábrica (Atlanta) a la primera, segunda y demás bodegas Entonces, el objetivo es: Minimizar:

e = 240Xll + 300X12 + 160X13 + 500XI4 + 360XI5 + 420X2I + 440X22 + 300X23 + 200X24 + 220X25 + 300X3I + 340X32 + 300X33 + 480X34 + 400X35

El costo total es la suma de los productos de cada posible ruta de embarque (desde la fábrica hasta la bodega), del costo de embarque de la tabla 2-3, multiplicado por el número de cajas enviadas (en miles). Hay dos conjuntos de restricciones para este problema. El primer conjunto garantiza el cumplimiento de las necesidades de las bodegas. Por tanto, para Nueva York:

X l1 + X 2I + X 3I = 50 Esto establece que la suma de las cajas enviadas a Nueva York desde la primera, segunda y tercera fábricas (Cincinnati, Venver y Atlanta, respectivamente) debe ser de 50,000 cajas, el requerimiento de ventas para Nueva York. Para las demás bodegas se tiene lo siguiente: Bastan: Chicago: Los Ángeles: Dallas: TABLA 2-3 Costo de embarcar 1,000 cajas de jabón

I~

X12 + X 22 + X 32 = 10 X 13 + X 23 + X 33 = 60 X I4 + X 24 + X 34 = 30 X I5 + X 25 + X 35 = 20

Procedencia

Nueva York

Cincinnati Denver Atianta

US$240 420 300

Boston

US$300 440 340

Chicago

US$160 300 300

Los Ángeles

US$500 200 480

Dalias

US$360 220 400

El segundo conjunto de restricciones garantiza que las fábricas no excederán su respectiva capacidad. Por tanto, para la fábrica de Cincinnati:

46


Esta expresión indica que la cantidad embarcada desde la primera fábrica a la primera, segunda, tercera y demás bodegas no debe exceder de 100,000 cajas. De modo similar, para:

X 2I + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 X 3I + X 32 + X 33 + X 34 + X 35

Denver: Atlanta:

~

~

60 50

Finalmente, todas las X deben ser mayores o iguales a cero. La solución de este problema de programación lineal dará el programa de embarque óptimo para la empresa (es decir, el de menor costo). Éste es un ejemplo de un tipo especial de problema bastante frecuente, conocido, como el problema del transporte. En resumen, la formulación completa del problema es: Minimizar:

e = 240Xl1 + 300X12 + 160X13 + 500XI4 + 360XI5 + 420X2I + 440X22 + 300X23 + 200X24 + 220X25 + 300X3I + 340X32 + 300X33 + 480X34 + 400X35

Sujeta a:

X l1 + X 2I + X 3I = 50 X 12 + X 22 + X 32 = 10 X 13 +X23 +X33 = 60 X I4 +X24 +X34 = 30 X I5 +X25 + X35 = 20

Restricciones de requerimientos de la bodega

X l1 + X 12 + X I .3 + X I4 + X I5 ~ 100 } Restricciones X 2I + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 ~ 60 por capacidad X 3I + X 32 + X33 + X 34 + X 35 ~ 50 de la fábrica X l1 , X 12, ..., X 35 ;::: O Ejemplo 3: un problema de mezclas Al mezclar diferentes hidrocarburos, se obtiene gasolina de diferentes grados, que es el resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación real de refinación, se realizan varias mezclas de hidrocarburos, que dan muchas clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos grados para aviación y para motor), con características importantes para los distintos grados de la composición química de la gasolina (por ejemplo, octanaje, presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este ejemplo simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de gasolina, cuyas características se presentan en la tabla 2-4:

Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos finales, gasolina para aviación y gasolina para motor. Las cualidades que requieren estos productos finales aparecen en la tabla 2-5:


TABLA2·S Características de la gasolina como producto final

Productos fina/es Gasolina para aviación Gasolina para motor

Presión máxima de/vapor

Octanaje mínimo 102

6

96

8

Ventas máximas 20,000 barriles Cualquier cantidad

47

Precio de venta (por barrilj US$45.10

32.40

Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una presión de vapor proporcional al volumen de cada tipo de gasolina que se mezcló. Por ejemplo, si se mezclan 1,000 barriles de gasolina tipo 1 con 1,000 barriles de gasolina tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99: 1,000 • 104

+ 1,000 • 94

= 99

2,000 y una presión de vapor de 7:

1,000 • 5

+ 1,000 • 9

-------=7 2,000 La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como producto final.

Formulación Sean: Xl = número de barriles de gasolina tipo 1, utilizada en gasolina para aviación X z= número de barriles de gasolina tipo 2, utilizada en gasolina para aviación X 3 = número de barriles de gasolina tipo 1, utilizada en gasolina para motor X 4 = número de barriles de gasolina tipo 2, utilizada en gasolina para motor

Entonces, la función objetivo es maximizar 1 = ingreso total

+ X 2) + 32.40(X3 + X 4) = 45.10Xl + 45.10X2 + 32.40X3 +32.40X4

Maximizar: 1 = 45.1O(Xl

+ X 2 es la suma total de la gasolina para aviación (en barriles), que se vende a US$45.10 por barril; por tanto, los ingresos por este producto son de 45.10(Xl +

Xl

X 2). De manera análoga, el ingreso por la gasolina para motor es 32.40(X3 + X 4); de la suma de estas ecuaciones resulta el ingreso total, 1.

Existen varias clases de restricciones que afectan la manera como la refinería mezclará sus tipos de gasolina. La primera está relacionada con las ventas o lado de la demanda, pues no pueden venderse más de 20,000 barriles de gasolina de aviación (véase tabla 2-5). Esto puede representarse de la siguiente manera:

Xl + X 2 S 20,000 Un segundo conjunto de restricciones se relaciona con las cantidades disponibles de tipos de gasolina (véase tabla 2-4). Por consiguiente, se tiene que:

· 48

Análisis cuantitativo Xl + X 3 representa la cantidad total gasolina tipo 1 mezclada (la suma de la cantidad usada en gasolina para aviación, Xl' y la cantidad utilizada en gasolina para motor, X 3). La ecuación anterior establece que la cantidad de gasolina tipo 1 utilizada no debe exceder la cantidad disponible: 30,000 barriles. La gasolina tipo 2 tiene una restricción similar: X 2 + X 4 ::; 70,000 Otro conjunto de restricciones se relaciona con el octanaje de la gasolina como producto final. La cantidad total de gasolina para aviación es Xl + X 2 y su octanaje está determinado por las cantidades relativas de Xl + X 2, de acuerdo con la siguiente fórmula: Octanaje de la gasolina para aviación

104 • Xl + 94 • X 2

=-------

Xl +X2

Los números 104 y 94 están en la tabla 2-4 y son el octanaje de la gasolina tipo1 y de la gasolina tipo 2, respectivamente. En la tabla 2-5, se observa que el octanaje de la gasolina para aviación debe ser, por lo menos, de 102. De modo que se tiene la siguiente restricción: ~

102

Al reordenar la ecuación para convertirla en una restricción lineal, se tiene que:

ó ó 2XI - 8X2 ~

°

De manera análoga, para el octanaje de la gasolina para motor, se tiene que:

ó

8X3 - 2X4 ~

°

Un conjunto final de restricciones se relaciona con las condiciones de la presión del vapor de la gasolina como producto final. La gasolina para aviación tiene los siguientes requerimientos:

ó -Xl

+ 3X2 ::;

°

y el requerimiento de presión de vapor de la gasolina para motor es: 5X3 + 9X4 ::; 8(X3 + X 4 )

ó


49

En síntesis, la formulación total del modelo de programación lineal es: Maximizar: 1 Sujeta a: Xl

= 45.10XI + 45.10X2 + 32.40X3 + 32.40X4 + X2

::;

20,000

Xl + X 3 ::; 30,000

Restricción de la demanda Restricciones de la disponibilidad de gasolina mezclada

X2 + X4

::;

70,000

}

2XI - 8X2 8X3 - 2X4

~

O O

}

+ 3X2 + X4

::;

Xl' X 2, X} X 4

~

-Xl -3X3

~

O ::; O

Restricciones de octanaje

}

Restricciones de la presión de vapor

O

La mezcla de gasolina fue una de las primeras aplicaciones reales de la programación lineal a los problemas de negocios. El ejemplo aquí es, claro está, mucho más que una simplificación del problema real, pero capta los elementos esenciales. El problema, como se formuló antes, se llama problema de mezclas. Los problemas de mezclas se encuentran en muchos cóntextos. Un ejemplo de esa clase puede apreciarse en la producción de alimentos para animales. Una mezcla de alimento para pollos, por ejemplo, puede estar integrada por distintas clases de granos y así sucesivamente. Al fabricante del producto le gustaría utilizar la menor cantidad de granos disponible. Sin embargo, el fabricante está restringido por el hecho de que la mezcla debe satisfacer ciertos requerimientos nutricionales (similares a las restricciones de la presión del vapor y al octanaje de la gasolina del anterior ejemplo). De hecho, también deben agregarse ciertas restricciones estéticas: los pollos no comen teniendo en cuenta sólo las restricciones nutricionales. Hasta ahora, los tres ejemplos tratados se han referido a problemas en un período, con frecuencia llamados problemas estáticos. La programación lineal también se aplica a problemas dinámicos; es decir, a aquellos que se extienden por varios períodos de tiempo. El siguiente ejemplo ilustra esa situación:

Ejemplo 4: un problema de programación Una empresa se compromete a despachar durante los próximos seis meses un producto. Los costos de producción por mes varían debido a los cambios en el costo de los materiales. La capacidad de producción de la empresa es de 100 unidades por mes en tiempo normal y hasta de 15 unidades adicionales por mes en tiempo extra. La tabla 2-6 contiene los requerimientos de despacho y producción por mes.

Mes

TABLA 2-6 Requerimientos y costos

2

3

4

5

6

Costo por unidad en tiempo normal

95 US$30

85 30

110 32

115 32

90 31

Costo por unidad en tiempo adicional

US$35

35

37

37

36

105 32 37

Compromisos de despacho (unidades)

S;¡¡¡;¡¡¡¡¡S:t!l:SdIi1i&'liii$Sli!

SO


El costo de tener en inventario una unidad no vendida es de US$2 por mes. El problema para la empresa está en determinar el número de unidades que debe producir en tiempo normal y en tiempo adicional cada mes, para cumplir con los requerimientos, a un costo mínimo. La empresa no tiene unidades disponibles al comenzar el primer mes y no desea tenerlas al finalizar el sexto mes.

Formulación Sean:

Xl' X 2, X} X 4, X s' X 6 = número de unidades producidas en tiempo normal YlJ Y2, y} Y4' Y5' Y6 /lJ /2' /}/4' /5' /6

=

cada mes número de unidades producidas en tiempo adicional cada mes número de unidades en inventario (no vendidas) al final de cada mes

Entonces, el objetivo es: Minimizar

e = 30Xl + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31Xs + 32X6 + 35Yl

+ 35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36Ys + 37Y6 + 2/1 + 2/2 + 213 + 2/4 + 215 + 2/6

La primera parte de la ecuación son los costos de producción en tiempo normal (tabla 2-6), multiplicado por las cantidades producidas en tiempo normal cada mes. La segunda parte representa los costos de producción en tiempo adicional, multiplicado por las cantidades producidas en tiempo adicional cada mes. La tercera parte es el costo de tener en inventario unidades sin vender, multiplicado por el número de unidades no vendidas cada mes. Las restricciones de producción en tiempo normal son:

Xl :=; 100 X 2 :=; 100 X 3 :=; 100 X 4 :=; 100 X s :=; 100 X 6 :=; 100 Las restricciones en tiempo de producción adicional son:

Yl :=; 15 Y2 :=; 15 Y3 :=; 15 Y4 :=; 15 Ys :=; 15 Y6 :=; 15 Finalmente, existe un grupo de restricciones de enlace o restricciones de saldo

de inventario que se necesitan para conectar los períodos de tiempo y garantizar que se cumplan los compromisos de despacho. Estas restricciones son de la forma:

Introducción a la programación lineal (Fuentes de unidades)

51

= (Usos de unidades)

o

(~roducción en \ (~roducci?~ en )= (compromisos\ (Inv~ntario\ (In:e~~ario)+ ImcIal tIempo normalr~Iempo adIcIonal de despacho J+ fmal J I

Para el mes 1, esto se convierte en:

o + Xl

+ Yl

= 95

+ Ir

ya que no hay ningún inventario inicial. Reordenando se obtiene:

Xl

+ Yl - I l = 95

De manera análoga, para el mes 2:

ó

Para los meses restantes:

I2 + I3 + I4 + 1s +

Mes 3: Mes 4: Mes 5: Mes 6:

X 3 + Y3 X 4 + Y4 X s + Ys X 6 + Y6 -

I3 I4 IS 16

= = =

110 115 90 105

Como el inventario final debe ser cero, una restricción es:

En síntesis, el planteamiento es:

e = 30Xl + 30X2 + 32X3 + 32X4 +31Xs + 32X6 + 35Yl

Minimizar:

+ 35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36Ys + 37Y6 + 2Il + 2I4 + 2Is + 216

Sujeta a: Il

Xl + Yl - I l = 95 +X2 + Y 2 -12 = 85 + X 3 + Y 3 -13 = 110 +X4 + Y 4 -I4 =115

I2 I3 I4 + X s + Y s - 1s = 90 I s + X 6 + Y 6 - 16 = 105 Xl ~100

X 2 ~100 X 3 ~100

X 4 ~100

X s ~100 X 6 ~100

Restricciones de producción en tiempo normal

+ 2I2 + 2I3

Restricciones de saldo de inventario

Yl ~15 Y2 ~15 Y 3 ~15 Y 4 ~15 Ys ~15 Y6 ~15

Restricciones de producción en tiempo adicional

I 6 = ORestricción de inventario final

Xl' X 2 , X 3, X 4 , X s, X 6, Yl , Y2' Y 3'Y4' Y s, Y 6 ;::: O 11, I2, I3, 14, Is, 16 = ;::: O

52


Ejemplo 5: un modelo integrado de planeación corporativa Este ejemplo aborda la formulación de un modelo de sistema a gran escala, diseñado básicamente para planear las actividades integradas de una fábrica. El ejemplo, diagramado en la figura 2-1, está muy simplificado e incluye sólo dos especies de árboles, dos productos: madera aserrada y madera prensada, y muy pocas de las restricciones tecnológicas que involucra la producción de madera aserrada y prensada (véase tabla 2-7). La función objetivo no aparece en la tabla 2-7, pero se obtiene de tomar el precio de los productos terminados, multiplicarlo por la cantidad de dichos productos y restarle los costos de operación variables a lo largo de todo el sistema. FIGURA 2·1 Modelo simplificado de una fábrica de productos de madera

Mercado externo de troncos Mercado externo de productos terminados

Bosque Mayoristas y minoristas cautivos Aserradero

EL ARTE DE FORMULAR MODELOS DE PROGRAMACiÓN LINEAL

Formular cualquier modelo cuantitativo significa seleccionar los elementos impartantes del problema y definir cómo se relacionan. Para los problemas del mundo real, ésta es una tarea compleja que involucra juicio, y ensayo y error. De hecho, es más un arte que un procedimiento sistemático. Sin embargo, existen algunos lineamientos generales en la formulación de modelos de programación lineal, como son: 1. Definir de forma verbal el objetivo que se está tratando de lograr para solucio-

nar el problema. Seleccionar sólo un objetivo, por ejemplo, "reducir costos" o "aumentar la contribución a la utilidad".

TABLA 2-7 Restricciones de una fábrica de productos de madera Disponibilidad de madera aserrada madera aserrada

Abeto

Pino

Embarques de del aserradero

X1 ~ A1

X7 + Xg = X1 + X3 -Xs

X2 ~ A2

Xs + X1Q =X2 + X4 - X6

El símbolo MBF corresponde a miles de pies de tabla

X1

X2 X3 X4 Xs X6 X7 Xs Xg

=

= X10 = X11 , X12 =

X13 , X14 =

MBF de abeto cortado MBF de pino cortado MBF de abeto comprado afuera MBF de pino comprado afuera MBF de abeto vendido afuera MBF de pino vendido afuera MBF de abeto para el aserradero MBF de pino para el aserradero MBF de abeto para la fábrica de láminas de madera MBF de pino para la fábrica de láminas de madera producción en MBF de dos tipos de madera aserrada (por ejemplo, de 2 x 4 y de 2 x 6) producción en paneles de dos tipos de madera prensada (por ejemplo, 1/2 pulgada y 3/8 pulgada)

Restricciones la producción

Tecnología de

a los mercados

X7 +Xa ~ A3 a1X7 + a2XS ~ A4 etc. Xg + X1Q ~ As a3X9 + a4X10 ~ A6 etc.

X11 = 8 SX7 + a6Xa X12 = a7X7 + asXs X13 = agXg + a10 X10 X14 = a11 X9 + a12 X10

Embarques del mercado

Demanda

X11 + X12

=X1S + X16

X13 + X14

=X17 + X1S

X1S X16 X17 X1S

~

~ ~ ~

01 O2 03 04

= madera aserrada vendida para distribuidores cautivos = madera aserrada vendida al mercado externo = madera prensada vendida a distribuidores cautivos = madera prensada vendida al mercado externo = MBF de abeto disponible para corte = MBF de pino disponible para corte = capacidad total del aserradero = capacidad de una parte específica del aserradero (por ejemplo, sierra de plataforma) As = capacidad general de la fábrica de láminas de madera A6 = capacidad de algunas partes específicas de la fábrica de láminas de madera (por ejemplo, torno) a1, a2 , ... , 812 = coeficientes tecnológicos 0 1, O2, 03' 04 = límites de la demanda del mercado X1S X16 X17 X1S A1 A2 A3 A4

54


2. Elaborar de manera verbal una lista de las decisiones a tomar tan específicamente como sea posible. 3. Elaborar de manera verbal una lista de los factores de restricción que afectan estas decisiones. Tratar de que sea precisa y completa. A continuación se presentan varios tipos generales de restricciones, aunque puede haber más, de otra índole. En general, un problema dado no tiene todos los tipos de restricciones.

• Restricciones de capacidad. Son límites a la cantidad de equipo, espacio o per-

•

•

•

•

•

sonal disponible. La restricción que se relaciona con el tiempo disponible en la máquina, del ejemplo 1, es un caso ilustrativo de ellas. Restricciones de mercado. Son límites (inferior, superior o ambos) acerca de la cantidad de producto que puede venderse o utilizarse. Véase el límite de las ventas de gasolina para aviación del ejemplo 3. Restricciones de disponibilidad. Son límites relacionados con la escasez de materia prima, mano de obra, recursos económicos o de otra clase. Ver las restricciones relacionadas con la disponibilidad de mezclar los tipos de gasolina del ejemplo 3. Restricciones de calidad o de mezcla. Son límites que establecen condiciones para mezcla de ingredientes, que usualmente definen la calidad de los productos resultantes. Ver las restricciones relacionadas con el octanaje y la presión de vapor del ejemplo 3. Restricciones de tecnología de producción o de equilibrio de material. Son impedimentos que definen el resultado de algún proceso como una función de las entradas, a menudo con una pérdida por sobrantes. Ver las restricciones del ejemplo 5, con relación a la producción de paneles de madera laminada, respecto a la madera aserrada de pino y abeto que se utiliza. Restricciones de definición. Son las que definen una variable dada. Con frecuencia, se originan en definiciones contables. Ver la restricción por saldo de inventario del ejemplo 4.

4. Definir de manera específica las variables de decisión. Con frecuencia, éste es el paso más difícil. Lo que se necesita es una lista de variables; es decir, las X y sus definiciones, incluyendo la especificación de las unidades de medida. En algunos problemas puede haber más de una forma de definir las variables. Un método es tratar de definir variables específicas que se ajusten a la lista de decisiones del paso 2. Por ejemplo, si el caso es "decidir sobre una mezcla de producto", entonces, un conjunto probable de variables podría ser: Xl para unidades del primer producto X 2 para unidades del segundo producto

y así sucesivamente para todos los productos. Los valores específicos para todas las X definen, en efecto, la mezcla de producto. Otro enfoque que en ocasiones ayuda a definir las variables de decisión es diseñar un diagrama de flujo que muestre cómo se relacionan las distintas partes del problema. Ver la figura 2-1 como ejemplo. Luego, las variables se definen para representar flujos de bienes, materiales, etc., entre las distintas partes. Observar la manera como las variables de la tabla 2-7 se asocian con las flechas de la figura 2-1. Por ejemplo, una flecha muestra los troncos que fluyen hacia la fábrica de madera laminada. La variableX9 (MBF de abeto para la fábrica de madera laminada) y XlQ (MBF de pino para la fábrica de madera laminada) son las variables de decisión que corresponden a este flujo de maderos.


55

Tata Iron and Steel Company - India (continuación) Elcasode Tata lron and Steel que se presentó al comienzo de este capítulo es otroejemplode IlnIllo•. delo. integrado;.en términos de Tata, un modelo de planeación de obras.}\. continuación se presentan más . detalles del modeloparaentenderlo mejor. . . Las variables de decisión son la cantidad de cada . producto producida en cada etapa del proceso. Por ejemplo, una variable es la cantidad de hierro fundido .... con ciertas especificaciones que sale de un alto horno. Otra variable es la cantidad de un determinado tipo de lámina próducida en una desbastadora de hierro; otra, la cantidad de lámina galvanizada de determinado tipo, producida en una laminadora. Hay muchas de estas variables, ya que existen muchos tipos de acero y muchos procesos de fabricación diferentes. La función objetivo es maximizar la suma de la contribución para el conjunto de productos producidos. Por cada producto vendible, la contribución es la diferencia entre el precio de venta y el costo variable de fabricar el producto. Para productos intermedios, que no se venden (por ejemplo, acero fundido), la contribución es negativa y es simplemente el costo variable para esa etapa de producción. Hay varios tipos de restricciones que reflejan la capacidad de cada proceso. Un tipo determinado de desbastadora de hierro, por ejemplo, tiene cierta cantidad de horas de operación disponible. Cada unidad procesada a través de esa desbastadora utiliza el tiempo correspondiente. De modo que existe una restricción que indica que la cantidadtQtal de tiempo empleado no debe ser mayor al disponible. Para cada proceso existen restricciones similares. Otro conjunto de restriccionesrelacionaelflujo de material a través de un proceso. Una desbastadora convierte los lingotes de acero pequeños en otros más grandes y en placas. Se necesita de una ecuación para indicar que la cantidad producida de estos elementos (más cualquier desecho), en toneladas es igual a la can-

tidadde insumas enlingotes pequeños,entoneladas. También se necesitan .ecuaciones de equilibrio para cada proceso deJa producción de. acero. Otroconjunto deecuaciones define los límites de la demanda de. productos de acerovendibles. Por cada producto,. hay cantidades máximas que puedenvenderse,aliguaLquecantidades mínimas que deben producirse, si existen contratos de entrega de productos. Un. conjunto más importante de ecuaciones se relaciona con la cantidad de energía eléctrica que se utiliza. Una· parte. fundamental en la construcción· de este modelo fue estimar de manera cuidadosa la cantidad variable de electricidad que podría utilizarse en cada proceso para fabricar cada producto. También hay requerimientos fijos de energía. El total fue entonces la suma de los requerimientos fijos y las necesidades variables que dependían del producto fabricado. Esta cantidad total de energía quedaba severamente restringida durante ciertos períodos: la causa de la crisis inmediata de Tata3 . El modelo total tenía cerca de 770 variables y 680 ecuaciones de restricción. Dada la tecnología actual, los modelos de este tamaño son fáciles de resolver, inclusive· en·computadores personales. Como se indicó, el uso de este modelo cambió drásticamente eltipodeproducción durante los períodos de suspensión de la electricidad, con un incremento significativo en la utilidad de Tata. El modelo sigue utilizándose para evaluar cambios en la producción de acero.

3 Hay otro conjunto de restricciones y variables que se relaciona con el uso del oxígeno y que seha omitido en este análisis. Esto implica el usode variables de enteros; suspendiendo o no, por completo, el proceso del oxígeno. Estas restricciones pueden manejarse a través de la programación lineal con enteros, que se estudiará en un capítulo posterior.

5. Definir específicamente las restricciones mediante las variables de decisión. Con la lista de restricciones definidas en el paso 3 y las variables de decisión del paso 4, se obtienen las restricciones detalladas. El resultado es un conjunto de restricciones como las que se ilustran en los cinco ejemplos de este capítulo.

6. Definir la función objetivo en detalle. Para cada variable de decisión del paso 4, debe definirse un coeficiente de costo o utilidad. Es importante incluir sólo costos o utilidades para las decisiones que se encuentran en consideración. Los costos fijos siempre deben excluirse. Por ejemplo, el costo de mano de obra por unidad podría parecer razonable para incluir en una formulación de programación lineal que defina cuál es el tipo de

producto que una fábrica deberá producir. Sin embargo, si la fábrica tiene como política pagar a los empleados por trabajar tiempo completo en lugar de pagarles

56


Aplicaciones adicionales de programación lineal Como se indicÓ alo largo deestecapítulo, la pro- medida, pues hay problemas reales que ·a· menudo gramación lineal es una herramienta utilizada amplia- involucran cient?so miles de variables y restricciones; mente para analizar problenlas de decisióncoIfiplejos. sin emQargo,laesenciadelproblema, se mantiene. El ejemplo de Tata Steel ylasformulaciones presentaMuchos de los problemasy cásos son de producdas, ofrecen una visión dela gran variedad de proble- ción/operaciones,ya que ésta sigue siendo un área de mas que pueden solucionarse mediante la aplicación importante. Sin embargo, hay problemas de finanzas(2y29), marketing (6), distribución (lly 13), programación lineal. Los casos y problemas que se planteanalfinal de agricultura y minería (5, 17, 28 Y30), Yoperaciones de este capítulo· deben revisarse, para obtener una apre- servicio (15, 20, 24y 26-"'Airlinesy Rent-a-Car). Tamciación adicional de la variedad de problemas donde . bién hay algunas en elsector gubernamental/público puede aplicarse laprogramación lineal. La gran I1layo~ (9, 12 y22),inc1uyendouna aplicación ambiental relaríade ellos se basan en aplicaciones publicadas ocono- cionada con la conservación de ostras (31). cidas por los autores. De hecho, se simplificaron en gran

por el tiempo real trabajado, entonces, el costo de la mano de obra en realidad es fijo. Esto no varía con la decisión del tipo de producto y deberá excluirse de la función objetivo. Aunque estos seis pasos establecen un lineamiento general para formular los modelos lineales, no existe un sustituto de la práctica y de la experiencia. Se recomienda examinar varios de los ejercicios que se plantean al final del capítulo, para aumentar la habilidad para formular modelos.

RESUMEN Un modelo de programación lineal (PL) es aquel en donde una función objetiva lineal se va a maximizar o minimizar, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Todas las variables de decisión son no negativas. Formular un modelo de programación lineal significa traducir un problema de decisión de negocios a la terminología de los PL, mediante la definición de variables, la especificación de una función objetivo y la expresión de todas las restricciones como igualdades o desigualdades. Los ejemplos y pasos indicados previamente están diseñados para ayudar en la formulación de los problemas de programación lineal.

LIMITACIONES DE LA PROGRAMACiÓN LINEAL Aunque la programación lineal ha demostrado ser una valiosa herramienta en la solución de problemas complejos en el sector público y de negocios, existen limitaciones. La primera es que no hay garantía de que la programación lineal dé soluciones valoradas en enteros. Por ejemplo, una solución puede indicar la necesidad de 8.241 camiones. El gerente puede comprar o tomar en arriendo sólo ocho o nueve camiones, no 8.241. En muchas instancias, la aproximación de cifras puede dar soluciones razonablemente buenas. En otras situaciones, pueden ser deficientes. Por ejemplo, en una decisión acerca de abrir una nueva planta (una variable que sólo puede tomar valores de Oó 1), un fraccionario como respuesta sería inútil. Por fortuna, hay métodos llamados técnicas de programación con enteros que pueden aplicarse en esos problemas. En un capítulo posterior, se estudian algunas de estas técnicas.


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Una segunda limitación importante de la programación lineal es que no permite la incertidumbre. El modelo asume el conocimiento de valores como costos, requerimientos de las restricciones y demás, cuando en realidad estos factores pueden ser desconocidos. Sin embargo, existen algunos métodos para manejar este problema con técnicas conocidas como programación lineal bajo incertidumbre o programación con rest11cciones al aza¡: En algunos de los libros de la bibliografía del capítulo se estudian estos temas. La tercera limitación es el supuesto de la linealidad. En ocasiones, el objetivo o las restricciones en los problemas de negocios reales no son la linealidad relacionada con las variables. De nuevo, las técnicas avanzadas conocidas como programación no lineal están disponibles para tratar problemas de este tipo. Estas limitaciones indican que la programación lineal no puede aplicarse a todos los problemas de negocios. No obstante, en aquellos donde puede aplicarse, ha demostrado que es una herramienta útil y poderosa.

RESUMEN La programación lineal no es útil para problemas que requieran soluciones con enteros, que impliquen incertidumbre o que tengan una función objetivo no lineai o restricciones, pero es aplicable a un amplio campo de decisiones de negocios.

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HILLIER, E, Y G. J. LIEBERMAN, Introduction to Operations Research, 6 ed. New York: McGraw-Hill, 1995. SAVAGE, S. L., What's Best, Oakland, CA: Holden-Day, 1986. SCHRAGE, L., Linear, Integer and Quadratic Programming with LINDO, 4 ed. Palo Alto, CA: Scientific Press, 1989. SHAPIRO, R. O., Optimization for Planning andAllocation: Text and Cases in Mathematical Programming, New York: Jhon Wiley & Sons, 1984. WAGNER, H., Principies of Operations Research, 2 ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1975.

PROBLEMAS PRÁCTICOS4 2·1 Una fábrica produce cuatro. artículos: A, B, C, y D. Cada unidad del productolj. requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y US$10 de inventario en proceso. Cada unidad del productol?) requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y US$5 de inventario en proceso. Cada unidad del productqy: requiere 2Y2 horas de maquinado, 21/2 horas de montaje y US$2 de inventari9_~n proceso. Finalmente, cada unidad del productop requiere de cinco horas de maquinado, ninguna en montaje y US$12 de inventario en proceso.

La fábrica dispone de 120,000 horas de tiempo de maquinado y 160,odO horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto A genera una utilidad de US$40, cada unidad del producto B genera una utilidad de US$24, cada unidad del producto C genera una utilidad de US$36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de US$23. No pueden venderse más de 20,000 unidades del producto A, 16,000 unidades del producto C, y puede venderse la canti-

4 Las soluciones a estos problemas están al final del capítulo.

58


dad que se quiera de los productos B y D. Sin embargo, deben producir yvender por lo menos 10,000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato. Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal, pero no resolverlo. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos. 2-2 La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el próximo año. La empresa fiduciaria hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con un retorno anual (en porcentaje) para ella. Retorno anual (porcentaje)

Tipo de préstamo

Préstamos quirografarios Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Hipotecas de bienes raíces en segundo grado Hipotecas de bienes raíces en primer grado

15 12 9 10 7

Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites en las cantidades de los distintos tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de los préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder de 20% del total de los préstamos. Las hipotecas en primer grado deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% de la cantidad total de préstamos. Las hipotecas en segundo grado no pueden exceder de 25% de la cantidad total de préstamos. La empresa desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa puede prestar un máximo de US$1.5 millones. Formular este caso como un problema de progra,~mación lineal, sin resolverlo. (2-3iJna fábrica vende dos tipos de productos diferen\~ tes, Ay B. La información sobre el precio de venta y el costo incremental es la siguiente: Producto A

Precio de venta Costo incremental Utilidad incremental

US$60 30 US$30

Producto B

US$40 10 US$30

Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30,000 horas de mano de' obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de A y una hora para producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que la cantidad máxima de unidades de A que puede venderse es de 8,000; la cantidad máxima de B es de 12,000 unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular esta situación como un problema de programación lineal; es decir, escribir las ecuaciones apropiadas. 2-4 Mangus Electric Products Ca. (MEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la industria eléctrica. La empresa tiene pedidos para los siguientes seis meses (tabla 2-8). Se espera que el costo de fabricación de un transformador se modifique durante los siguientes meses, debido a las variaciones en los costos de los materiales y en el valor de la mano de obra. La empresa puede producir hasta 50 unidades por mes en tiempo normal y hasta 20 unidades adicionales por mes en tiempo extra. Los costos de producción normal y en tiempo extra se muestran en la tabla 2-8. El costo de mantener en inventario un transformador no vendido es de US$500 por mes. La empresa tiene 15 transformadores en inventario al1 de enero y desea tener no menos de 5 en inventario al 30 de junio. Formular un problema de programación lineal para determinar el cronograma de producción óptimo paraMEPCO. 2-5 La empresa Transvaal Diamond Company explota diamantes en tres sitios de Suráfrica. Las tres minas difieren en términos de capacidad, número, peso de las piedras y costos (véase la tabla 2-9). Debido a consideraciones de mmketing, se requiere una producción mensual de 148,000 piedras exactamente. Un requerimiento similar exige, por lo menos, 130,000 quilates. (El tamaño promedio de las piedras es, por tanto, al menos de 130/148 = 0.88 quilates). El problema para el gerente de la empresa es cumplir con las condiciones de marketing, al menor costo posible. Formular, sin resolver, un modelo de programación lineal para determinar cuánto podría explotarse en cada mina.

º

Mes

TABLA2-S

Pedidos (unidades) Costo por unidad en tiempo normal (en miles de US$) Costo por unidad en tiempo extra (en miles de US$)

Enero

Febrero

Marzo

58 $18.0

36 17.0

34 17.0

$20.0

19.0

19.0

Abril

Mayo

Junio

69 18,5

72 19.0

43 19.0

21.0

22.0

22.0


TABLA 2-9 Mina

Capacidad (m 3 de tierra procesada)'

Planta 1 Planta 2 Planta 3

83,000 310,000 190,000

Costos de tratamientot (rand por m3)

Grado (quilates porm 3)

RO.60 RO.36 RO.50

0.36 0.22 0.263

59

Conteo de piedras (número de piedras porm 3) 0.58 0.26 0.21

* m3 es metros cúbicos. El rand es la unidad monetaria de Suráfrica.

t Los cost.os de explotación minera están excluidos de estas cifras, por ello, suponer que son los mismos para cada mma.

PROBLEMAS

2-6 Se desea seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa familias con ingresos anuales superiores a US$25,000 y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a US$25,0005. Se considera que las personas del primer grupo comprarán el doble de un producto con respecto a las personas del segundo grupo. La meta es maximizar las compras, para lo cual, puede hacerse publicidad en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta US$40,000 y llega a 20,000 personas del primer grupo ya 80,000 del segundo, aproximadamente. Una unidad de publicidad en la revista cuesta US$24,000 y llega a 60,000 personas del primer grupo y a 30,000 del segund0 6. La empresa necesita, por lo menos, 6 unidades de publicidad en televisión y no más de 12 unidades de publicidad en la revista. El presupuesto de publicidad es de US$360,000. Formular este problema como un caso de programación lineal, definiendo todas las variables que se utilicen. @Recientemente, la empresa Super Sausage Company (SSC) experimentó drásticos cambios en los precios de la materia prima; por lo que el gerente ordenó a un analista reexaminar las proporciones de las mezclas de los ingredientes para la producción de salchichas. La producción de salchichas implica cumplir con dos requisitos esenciales para el producto. El porcentaje de proteína, por peso, debe ser al menos 15%, y el porcentaje de grasa, por peso, no puede exceder de 30% (el peso restante es relleno). SSC tiene cuatro materias primas disponibles para la mezcla, con las siguientes características:

Ingrediente A B

e

o

Porcentaje .de proteína 40% 20 10 5

Porcentaje de grasa

Costo por libra

10% 15 35 40

$1.80 0.75 0.40 0.15

Formular un modelo de PL que le ayude aSSC a determinar el programa de mezcla más apropiado) (No debe resolverse este problema). ',~._.:- .. 2-8 Remitirse al ejemplo 1 de este capítulo. Suponer que la fábrica tiene un tercer producto, el producto C, que puede elaborarse en la primera o en la segunda máquina. Para producirlo en la primera máquina se necesita de una hora, mientras que en la segunda se necesita de dos horas. El producto C tiene una utilidad incremental de US$9 por unidad. Modificar el planteamiento del ejemplo 1 para incluir el producto C. 2-9 El American Safety Council debe asignar su presupuesto nacional para el siguiente año fiscal. Las decisiones irrevocables, concernientes a la asignación de los recursos para las diferentes áreas programa, ya se tomaron. Por ejemplo, se destinó un total de US$110,000 para la prevención de accidentes automovilísticos y la reducción de daño a la propiedad. Sin embargo, las decisiones detalladas de asignación deben hacerse con relación a proyectos específicos diseñados para contribuir al cumplimiento del programa. En el caso de la prevención de accidentes automovilísticos y la reducción de daños a la propiedad, la tabla 2-10 contiene los proyectos recomen-

S ~ste pr?blema ~stá"adaptado de F. M. Bass and R.

/J

T. Lonsdale, ''An Exploration of Linear Programming m MedIa Selectlon , Jaumal af Marketing Research 3 (1966). 6 En este problema, se supone que la distribución de la revista no está superpuesta con la audiencia de televisión.

60


TABLA 2-10 Límite superior de gastos del proyecto (medido en dólares)

Proyecto 1. Publicidad acerca del cinturónde seguridad

Accidentes que se espera prevenirpor cada US$ 1,000 invertidos

Reducción que se espera en daños ala propiedad por cada US$1, 000 invertidos

US$80,000

0.33

2. Investigación sobre mejoras en el diseño de las autopistas

20,000

0.25

US$20,000

3. Investigación sobre mejorasen el diseño de los automóviles

75,000

0.15

30,000

100,000

0.27

10,000

4. Dinero invertido en cabildear para aumentar las penas estatales por conducir en estado de embriaguez

dados por los analistas del consejo, junto con las cifras pertinentes. Quienes toman las decisiones en el consejo requieren de ayudar para tomar una decisión de asignación presupuestal (o elección de proyecto y magnitud). En respuesta a la pregunta relacionada con cuál de las dos misiones específicas es más importante, ellos dijeron: "iEs una pregunta difícil! De un lado, la vida humana es sagrada y no puede comprarse por ninguna cantidad de dinero. Del otro lado, si hay dos opciones para salvar el mismo número de vidas, naturalmente preferiríamos el proyecto que también cuente con la menor cantidad de daño a la propiedad". Cuando se les preguntó específicamente sobre la alternativa entre vidas salvadas y daño a la propiedad, dijeron: "jEs una pregunta difícil! Sin embargo, estamos conscientes de que una agencia del gobierno tiene, con fines de asignación de recursos internos, un valor en dinero implícito por vida humana salvada de US$300,OOO (pensamos que también hay otra agencia que utiliza esta cifra para tomar sus decisiones acerca de agregar seguridad adicional a su equipo)". Con base en la información anterior, formular un modelo de PL cuya solución represente una asignación óptima de los US$110,OOO presupuestados. No olvidar definir todas las variables utilizadas. No se necesita resolver el problema. 2-10 The Empire Abrasive Company (EAC) produce un abrasivo de óxido de aluminio que se usa en piedras

TABLA 2-11

de esmeril y cubiertas abrasivas. Hay dos tipos de producto terminado: de grano grueso y de grano fino. También hay dos clases de insumas, llamados Surinam Crude y Chinese Crude (por el país de origen de la bauxita que se procesa en crudo). Finalmente, hay dos formas de procesamiento, rápido y lento, los cuales pueden utilizarse con cada una de las sustancias que sirven como insumas para producir porcentajes diferentes de los productos terminados. La tabla 211 describe los porcentajes de cada producto terminado que resulta de las posibles combinaciones de insumas y modos de procesamiento. Surinam Crude cuesta US$300 por tonelada y Chinese Crude, US$350. El procesamiento rápido cuesta US$50 por tonelada y el procesamiento lento, US$40. El abrasivo grueso se vende a US$500 por tonelada y el fino a US$325. La planta de EAC puede procesar 1,000 toneladas de crudo por semana. No hay límites de producto terminado que pueden venderse. Formular un modelo de programación lineal que indique cómo EAC puede alcanzar la situación más rentable. Nota: EAC puede utilizar ambos tipos de crudo y ambos modos de procesamiento; es decir, las soluciones parciales son una posibilidad real. 2-11 The Consolidated Company en el pasado contrató con terceros el embarque de los productos de su fábrica a sus bodegas. El volumen de despachos se mide en tonelada-milla (las toneladas de producto multiplicadas por el número de millas que recorren durante su transporte).

Insumos de Surinam Crude

Producción de abrasivo grueso y fino en porcentajes

Porcentaje de grano gruesa Porcentaje de grano fino Pérdida en la producción

°

Insumos de Chinese Crude

Proceso rápido

Proceso lento

Proceso rápido

Proceso lento

45 50 5

25 70 5

35 60 5

20

80

°


61

Consolidated tiene que despachar por mes: 400,000 toneladas-millas.

En la actualidad, la empresa paga a Speedie Trucking Company US$1 por tonelada-milla por despachar el producto, pero está considerando la posibilidad de comprar una flotilla de remolques para asumir parte del despacho. Se están considerando tres tipos de vehículos: grandes camiones con remolque, camiones de tamaño medio y camionetas. En la tabla 2-12 se presentan detalles de cada uno. Speedie Trucking está dispuesta a continuar transportando la producción que Consolidated no pueda transportar en sus propios camiones, a una tarifa de US$1 por tonelada-milla. Los recursos de capital para invertir en equipos no son muy amplios y la empresa sólo dispone de US$760,000 para comprar el equipo. Junto con las limitaciones de presupuesto, existen otras restricciones para los tipos de camiones comprados. La primera incluye el espacio de carga en los embarcaderos, pues debido a las limitaciones de parqueo y de los embarcaderos, no hay espacio para más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocupan un espacio, dos camionetas, uno. Además, debido a los tipos y tamaños de los despachos, por lo menos dos tercios de los camiones comprados tendrían que ser remolques o camiones medianos. Formular un problema de programación lineal con estos datos, sin resolverlo. Especificar con cuidado el objetivo y definir las variables. 2-12 El sistema escolar de Gotham City tiene tres escuelas que atienden las necesidades de cinco áreas. La capacidad de cada una de las escuelas es:

Capacidad Escuela

A B

C Total

(matrículas máximas) 4,000 3,000 2,000. 9,000

Vecindario

1 2 3 4 5

30 80 20 10 20

Las distancias (en millas) de cada vecindario hasta cada escuela son las siguientes:

Escuela

A

1.2 0.8 1.3

B C

2

Vecindario 3

0.4 2.0 2.2

2.6 0.5 1.6

4 1.4 0.7 2.0

5

2.4 3.0 0.2

Un juez federal dictaminó que ninguna escuela secundaria en la ciudad puede tener más de 50% y no menos de 30% de alumnos matriculados pertenecientes a grupos minoritarios. Los estudiantes que viajan desde cada vecindario tienen la misma mezcla étnica de todo el vecindario. Se requiere diseñar un plan de transporte escolar que minimice el total de estudiante-millas recorridas en autobús, a la vez que cumpla con las exigencias del juez en cuanto a integración y, al mismo tiempo, que garantice que ningún estudiante recorra en autobús más de 2.5 millas. Formular un modelo de programación lineal para resolver este problema. 2-13 Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye al mercado a través de cuatro bodegas de servicio. Se cuenta con los siguientes datos:

Bodega

TABLA 2-12

Remolque Camión Camioneta10,000

2,100 2,400 1,300 800 1.600 8,200

Total

El tamaño (número de estudiantes de secundaria) y la mezcla étnica de cada vecindario son como sigue:

Tipo

Porcentaje de estudiantes de minorías

Número de estudiantes

1 2 3 4

Precio de venta (por unidad)

Demanda anual (unidades)

US$1.00 1.10 1.00 0.60

40,000 10,000 ·20,000 25,000

Costo de compra

Costo operativo (por tonelada-milla)

Capacidad (toneladas-millas por mes)

US$30,000 16,000 0.80

US$0.56 0.64 6,000

10,000 8,000

62


Costo de variables de producción

Planta

A B C

Capacidad anual (unidades)

US$0.40 0.35 0.45

~ Hasta

Planta

40,000 30,000 45,000

Bodega 1

2

3

4

A

US$0.20

US$0.20

US$0.30

US$0.30

B

0.20

0.10

0.35

0.40

C

0.45

0.30

0.20

0.20

a. El gerente de marketing desea satisfacer todas las demandas al mínimo costo. Formular este problema para alcanzar decisiones óptimas de producción. y de embarque. Tomar a X A2 como la cantidad producida en la fábrica A para despachar a la bodega 2, y así sucesivamente, No hay que resolver el problema. b. El vicepresidente de la fábrica desea cumplir sólo con aquellas demandas que sean incrementalmente rentables. Es decir, quiere maximizar las utilidades o los ingresos menos los costos de pr?ducción y transporte. Modificar el planteamIento de programación lineal en a, para resolver este problema en forma óptima. No hay que resolverlo. 2-14 La fábrica Acme Skateboard Company elabora tres mod~los diferentes de monopatines: normal, super y de lUJo. Los datos de costos, los precios de venta y la información para cada modelo están en la tabla 2-13. Acmecuenta con una fuerza laboral de cinco personas asalariadas que trabajan 40 horas a la semana y reciben US$520 semanales cada una (incluyendo prestaciones sociales), sea que trabajen o no las 40 horas completas. La fábrica desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice la utilidad y la contribución al costo de mano de obra fijo.

TABLA 2-13

Modelo

Precio de venta por unidad Costo de la materia prima por unidad Horas de mano de obra necesarias para montaje, acabado y empaque, por unidad* Demanda por encima del límite en ventas semanales

.. Formular un modelo de PL que maximice la utIlIdad más la contribución a los costos fijos. 2-15 El gerente de operaciones de Hervis Rent-A-Car Company piensa que algún tipo de modelo matemático podría ser útil para tomar las decisiones semanales de reubicación de los automóviles de alquiler en las ciudades que tienen exceso, aquellas que pre~entan déficit. Una vez a la semana, el gerente reune datos de la cantidad de vehículos en cada ciudad; una comparación con un número de autos predeterminado como objetivo para esa ciudad indica l.a can~i~ad de excedente o déficit. (Por ejemplo, SI la ofIcma del aeropuerto de Chicago tiene 67 automóviles normalmente, y su objetivo es 80 entonces tiene un déficit de 13 autos). ' Cada semana, el gerente debe determinar la r~asignación de los automóviles de las ciudades que tIenen excedentes en las que presentan déficits. Aunque el número objetivo no cambia de una semana a otra, el problema real es diferente cada semana debido a los patrones agregados más o menos aleatorios de los clientes que alquilan los automóviles. (Por ejemplo, en una semana, Chicago puede tener un ~éfi~it de 13 vehículos, como se indicó y la semana SIgUIente puede contar con 88 autos, es decir un superávit de 8 de ellos). ' El enfoque presente para el problema es comenzar por la costa occidental y satisfacer el déficit utilizando los excedentes de las ciudades más cercanas, si el gerente no ha comprometido previamente los autos sobrantes para una ciudad diferente. No obstante, el gerente piensa que debe haber una forma más sistemática de abordar el problema. Al comienzo de cada semana se conocen las condiciones de cada ciudad (superávit o déficit de vehículos); el gerente también sabe el costo de reasignar un automóvil de la ciudad i a la ciudadj, identificado como C¡j" Hervis atiende a 100 ciudades de costa a costa, con una flotilla total de 10,000 automóviles. La suma de todas las cantidades objetivo también es de 10,000 vehículos, de modo que los déficit están equilibrados con precisión por los excedentes. a. Formular un modelo de PL para rcsolver este problema.

Normal

Super

$7 $3

$15 $6

0.1 1,000

0.2 800

De lujo

$25 $10

0.5 300

*Por ejemplo, 10 monopatines modelo normal se pueden producirse en una hora de mano de obra' otra alternativa, sugiere que pueden producirse cinco unidades del modelo super o dos del modelo de lujo. '

Introducción a la programación lineal b. El gerente de operaciones de AlIegory Airlines (AA) tiene un problema similar al de la reubicación de autos en Hervis. Cada noche, los nueve aviones DC-9 de AA terminan sus operaciones de vuelo en distintas ciudades; cada mañana, los DC-9 deben estar en distintas ciudades para volar en las rutas del día siguiente. Infortunadamente, algunas ciudades terminan en la noche con un DC-9 que no necesitan al otro día, mientras que en otras ciudades se presenta lo contrario. El programa de vuelos de AA usualmente se mantiene sin cambios durante tres o cuatro meses. Por tanto, el problema que enfrenta la empresa es idéntico cada noche; por ejemplo, si Chicago tiene un exceso de dos DC-

63

9 en la noche, tendrá un excedente de dos DC-9 todas las noches, hasta que la mayor parte del programa se cambie. AA determinó el costo de volar un avión desde la ciudad i hasta la ciudadj, incluyendo factores complejos como el costo de transportar a la tripulación del avión y a los auxiliares de vuelo de regreso a su ciudad de origen (probablemente a una ciudad diferente); desde la ciudad j. este costo se denota como C¡,. ¿Puede utilizarse el planteamiento de a para resolver el problema de reubicación de los aviones de AA? (En caso afirmativo, indicar los cambios en las definiciones de las variables ycualquier otro cambio que se requiera; en caso contrario, explicar la respuesta).

PROBLEMAS ESPECIALES 2·16 La empresa Emory Aluminum Company lamina y vende papel de aluminio de varios tamaños. Los clientes pueden ordenar rollos de papel de aluminio de 24· pulgadas, 20 pulgadas, 12 pulgadas u 8 pulgadas de ancho. La hoja estándar se fabrica en un ancho de 54 pulgadas y los tamaños más pequeños se cortan del rollo estándar. Existen muchas formas de cortar las medidas más angostas, como se presenta en la tabla 2-14. Por ejemplo, utilizando el método 3, del rollo estándar puede cortarse un rollo de 24 pulgadas de ancho, otro de 12 pulgadas y dos de 8 pulgadas. Esto deja dos pulgadas de desperdicio [54 - 24 -12 - 2(8) = 2]. Debido a que en el proceso de corte se genera algo de desperdicio, no es posible cortar ciertas combinaciones (no se han intentado). Todos los rollos que se cortan tienen un ancho estándar de 54 pulgadas, y todos los pedidos se hacen en los tamaños estándar que se presentan en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud estándar (la longitud de un rollo completo). Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio: Ancho

Rollos ordenados

330 120 480 160

24 pulgadas 20 pulgadas 12 pulgadas 8 pulgadas

TABLA 2·14 Ancho

24 pulgadas 20 pulgadas 12 pulgadas 8 pulgadas Desperdicio(en pulgadas)

¿Cómo debe cortar Emory los rollos para cumplir con estos pedidos? . Formular un modelo de programación lineal para el problema, pero sin resolverlo. 2·17 Un granjero tiene 1,000 acres para cultivar maíz o cebada, o criar ganado. La información de las dos cosechas en consideración es la siguiente:

Producto

Semilla y otros costos en efectivo por acre Horas de mano de obra requeridas por acre Producción (arrobas por acre) Precio de venta (dólares por arrobas) Precio de compra (dólares por arrobas)

Maíz

US$100

10 120 US$4.25 US$4.50

Cebada

US$120

8

100 US$5.25

64


El maíz para los terneros puede ser el que se produce en el rancho, si es suficiente, o puede comprarse. El granjero puede utilizar mano de obra sin experiencia, la cual cuesta US$6 por hora, o con experiencia con una tarifa de US$lO por hora. Cada hora de mano de obra sin experiencia requiere de 0.15 horas de supervisión y cada hora de mano de obra con experiencia necesita de 0.05 horas de supervisión. Se dispone de 2,000 horas de supervisión. El granjero tiene un límite de fondos de US$200,000 para comprar semilla y para sufragar los costos de las cosechas, de la compra de los terneros y para pagar la mano de obra. Formular este problema como un modelo de programación lineal. 2·18 Una fabricante ha suscrito un contrato para producir 2,000 unidades de un producto en particular para los siguientes ocho meses. El cronograma de despachos es el siguiente:

Mes

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Total

Unidades 100 200 300 400 100 100 500 300 2,000

La fabricante estima que le cuesta US$l mensual almacenar una unidad del producto. Ella dispone de una bodega para 300 unidades. En un mcs determinado, puede producir la cantidad de unidades que desee, ya que la mayor parte de éstas requiere de mano de obra de tiempo parcial, algo que pucde obtenerse con facilidad. Sin embargo, hay costos de entrenamiento del personal nuevo y costos asociados con los despidos del personal contratado. La fabricante estima que le cuesta cerca de 75 centavos por unidad aumentar el nivel de producción de un mes al siguiente (por ejemplo, si la producción de enero es de 200 unidades y asciende a 300 en febrero, el costo es de US$75 por entrenar al personal adicional que se requiere para llegar al nivel de las 300 unidades). De manera análoga, cuesta 50 centavos por unidad reducir la producción de un mes al siguiente (al final de los ocho meses, a todos los empleados se les cancela el con-

trato, con la correspondiente reducción de los costos de producción). El nivel de producción antes de enero es de cero. a. Formular el anterior planteamiento como un problema de programación lineal. b. Suponer que hay un límite de producción de 300 unidades por mes. Formular el problema de programación lineal con esta restricción adicional. 2-19 Un fabricante de computadores tipo [aptap tiene cuatro modelos: dos con LCD a color (pantalla de cristal líquido): los modelos Sport y Superba, y dos modelos con pantalla en blanco y negro: los modelos Estándar y Excel). Cada modelo requiere de tiempo de montaje y de prueba (véase tabla 2-15), junto con la cantidad de tiempo disponible de montaje y prueba para el mes siguiente. Las pantallas LCD se compran a un proveedor externo y, debido al terremoto en Kobe, Japón, donde se producen muchas de estas pantallas, hay una escasez de suministro. El proveedor externo indica que no podrá suministrar más de 900 pantallas para el mes siguiente y que de ellas, sólo 500 podrán ser a color. Es posible que el fabricante disponga de horas adicionales para el tiempo de prueba si agrega un tercer turno en las instalaciones y paga los salarios del tiempo extra. Se dispone hasta de 500 horas adicionales utilizando este enfoque, pero el costo con prima es de US$10 adicionales por hora, con respecto al tiempo normal. El fabricante puede vender todos los [aptops de cualquier modelo que pueda producir, y está interesado en maximizar la cuota de ellos (menos los costos de tiempo adicional) para el mes siguiente. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir? Formular este problema como un modelo de programación lineal. 2-20 El director de servicios púa pasajeros de Ace Air Lines está tratando de decidir cuántos auxiliares de vuelo nuevos debe contratar y entrenar durante los siguientes seis meses. El número requerido de auxiliares por horas de vuelo son: Horas necesarias

Mes

8,000 7,000 8,000 10,000 9,000 12,000

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio iWlS&i&$LW:a::mus

Modelo Excel

Modelo Sport

Modelo Superba

8 2

10 3

12 4

15

US$120

US$180

US$240

US$300

Modelo estándar

TABLA 2-15

Tiempo de montaje (horas) Tiempo de prueba (horas) Cuota de rentabilidad (dólares por unidad)

6

Total disponible 10,000 2,500


El problema se complica por dos factores. Se necesita de un mes para entrenar a los auxiliares de vuelo antes de que puedan trabajar en los vuelos regulares. De ahí que la contratación debe hacerse un mes antes de que se presente la necesidad. En segundo lugar, entrenar a los nuevos auxiliares exige el mismo tiempo de los auxiliares que ya están entrenados. Se necesitan cerca de 100 horas de atención regular por cada nuevo auxiliar, durante el mes de entrenamiento. En otras palabras, el número de horas disponibles para servicio de vuelo de los auxiliares habituales se reduce en 100 horas por cada nuevo auxiliar que se entrene. El director de los servicios para pasajeros no está preocupado por el mes de enero porque cuenta con 60 auxiliares disponibles. Las normas de la empresa establecen que un auxiliar de vuelo no puede trabajar más de ISO horas al mes. Esto significa que el director cuenta con un máximo de 9,000 horas en enero, 1,000 por encima de sus necesidades. (A los auxiliares no se les despide en tales casos, sólo trabajan menos horas). Los registros de la empresa demuestran que 10% de los auxiliares dejan sus trabajos cada mes por diferentes razones. El costo para Ace Air Lines de un alixiliar de vuelo regular es de US$l,SOO mensuales por salarios y prestaciones sociales, sin considerar la cantidad de horas trabajadas (de hecho, no trabajan más de 150 horas). El costo de un auxiliar en entrenamiento es de US$700 mensuales por salarios y prestaciones sociales. Formular con este planteamiento un problema de programación lineal diseñado para resolver al mínimo costo la situación del director de servicios de pasajeros. No hay que resolver el problema, pero sí identificar todos los símbolos utilizados. 2-21 La tierra de Milkandhoney produce sólo tres artículos: maquinaria, acero y automóviles. Todos los demás bienes son importados. El ministro de Hacienda tiene la responsabilidad de la planeación económica y piensa que para lograr el bienestar del país puede maximizar el valor neto en dólares de las exportaciones (es decir, el valor de las exportaciones menos el costo de los materiales importados para producirlas). Milkandhoney puede vender en el mercado mundial todos los automóviles, el acero y la maquinaria que pueda producir, con precios de US$SOO por tonelada de acero, US$l,SOO por automóvil y US$2,SOO por unidad de maquinaria. Para producir una unidad de acero se requiere O.OS unidades de maquinaria, 0.01 unidades de automóviles, dos unidades de mineral en bruto compradas en el mercado mundial a US$100 la unidad, y otros materiales importados que cuestan US$SO. Además, se necesita casi medio año de trabajo de un obrero para producir cada unidad de acero. Las fábricas de acero de Milkandhoney tienen una capacidad de 100,000 unidades por año.

65

Para fabricar un automóvil se necesita de una unidad de acero, 0.1 unidades de maquinaria y un año de mano de obra de un trabajador. Además, se requiere de US$300 en materiales importados por cada automóvil producido. La capacidad de fabricación es de 700,000 automóviles por año. Para producir una unidad de maquinaria se necesita de 0.01 unidades de automóviles, 0.5 unidades de acero y dos años de mano de obra de un trabajador, junto con US$100 en artículos importados. La capacidad de las plantas de maquinaria es de SO,OOO unidades por año. El total de trabajadores disponible en Milkandhoney es de 800,000 personas por año. a. Considerando que no pueden importarse acero, automóviles ni maquinaria, formular un modelo de programación lineal para determinar la mezcla de producción que maximice las exportaciones netas (dólares). Definir con cuidado todas las variables y establecer con exactitud todas las relaciones entre las variables. b. ¿Cómo podría plantearse el problema de programación lineal si no hubiera restricciones para importar automóviles, acero y/o maquinaria a los precios dados? ¿Existe una solución obvia al problema así planteado? 2-22 La Stateside Electric Company planea construir nuevas instalaciones en su área para los próximos 10 años 7. Es posible construir cuatro tipos de instalaciones para energía eléctrica: termoeléctricas, utilizando el carbón para obtener la energía; plantas hidroeléctricas sin embalse; plantas hidroeléctricas con pequeños embalses (suficiente almacenamiento de agua para satisfacer las necesidades diarias) e hidroeléctricas con grandes embalses (suficiente almacenamiento de agua para satisfacer las fluctuaciones estacionales de la demanda de energía y del flujo de agua). El consumo de electricidad se basa en tres características. La primera, es la cantidad que se utiliza anualmente: el requerimiento en el área se estima en 4 billones de kilovatios-hora para el año 10. La segunda característica es la demanda adicional de energía, usualmente en un día de verano a las cuatro de la tarde; cualquier plan deberá suministrar suficiente capacidad extra para satisfacer la necesidad adicional proyectada de 3,000 millones de kilovatios para el décimo año. La tercera característica es la garantía de producción de electricidad, medida como la producción promedio de luz diaria a mitad del invierno cuando el consumo es alto y los niveles de energía para la hidroeléctrica son bajos. La garantía de energía para los 10 años es de 2,000 millones de kilovatios. Las distintas plantas de energía posibles varían en términos de la forma como pueden satisfacer estas características. Por ejemplo, las plantas hidroeléctricas con embalses pueden suministrar una capacidad adicional sustancial mientras que las ter-

7 Este problema se basa en el artículo "Application of Linear Programming to Investments in the Electric

Power Industry", P. Masse y R. Gibrat, Mallagemelll Sciellce, enero de 1957.

66


moeléctricas y las hidroeléctricas sin embalses son deficientes en este sentido. Las características de los distintos tipos de plantas se muestran en la tabla 2-16. Cada una se mide en términos de una unidad de capacidad. La unidad de capacidad se define como la capacidad para producir 1,000 millones de kilovatios-horas por año. Como se ve, los distintos tipos de plantas varían sustancialmente en sus costos de inversión, al igual que en sus costos anuales de operación. Por ejemplo, el valor del carbón hace que los costos anuales de las plantas termoeléctricas sean bastante altos, mientras que los costos anuales de operación de las plantas hidroeléctricas son relativamente menores. La última columna de la tabla muestra el total de costos descontado, incluyendo el descuento en el costo de inversión y en los costos anuales de operación. La empresa quiere desarrollar un plan a 10 años que detalle la capacidad que debe tener cada tipo de planta. El objetivo es minimizar el descuento total de costos. Sin embargo, hay una restricción en cuanto a que no pueden utilizarse más de US$350 millones para invertir en plantas de más de 10 años. Formular este problema como un modelo de programación lineal. 2-23 En los modelos de programación lineal, la demanda de un producto suele considerarse como cierta. En la realidad, con frecuencia, la demanda es incierta. En ocasiones, esta demanda incierta puede construirse en un modelo de PL, como lo muestra este ejercicio diseñado para ello. Se sugiere remitirse al problema 2-1 y su solución (al final de este capítulo) y considerar el producto A que en el problema tiene un límite superior de la demanda de 20 unidades; pero suponer en cambio que el límite superior del producto A es incierto, aunque se evalúa una posibilidad de 0.4 de que

al menos pueden venderse 10, y una opción de 0.6 de que el límite superior es 20. Suponer, además, que si se producen más de 10 unidades y el límite superior de la demanda cambia a sólo 10 unidades, el exceso puede venderse a un precio reducido que daría una utilidad de sólo US$10 por unidad. El objetivo es maximizar la utilidad esperada. ¿Cómo modificar el planteamiento del problema 2-1 para lograr esto? Ayuda: definir una nueva variable como el exceso de producción del producto A en más de 10 unidades, y considerar cl ingreso que espera recibir de la venta de cualquiera de estas unidades. 2-24 La empresa Premier Rent-a-Car Company opera una flotilla de automóviles de alquiler en una gran ciudad occidental. La empresa proyectó su demanda de autos para los próximos seis meses como se muestra en la tabla 2-17. La empresa obtiene sus vehículos alquilándolos a un fabricante de automóviles. Hay tres planes de alquiler disponibles: durante tres, cuatro o cinco meses. Los vehículos se alquilan desde el primer día del mes y se regresan al fabricante el último día del mes, al final del período de alquiler. Los costos por los tres tipos de arrendamientos se muestran en la tabla 2-18. Estos costos incluyen el pago del arrendamiento al fabricante y los gastos estándar por mantenimiento y reparaciones. Un alquiler puede tomarse en cualquier mes. El fabricante tiene ciertas restricciones: por lo menos 60% de los autos alquilados deben estar en el contrato a cinco meses y no más de 20% pueden estar en el contrato a tres meses. A 30 de septiembre, la flotilla cuenta con 300 automóviles. El alquiler de 100 de ellos, expira a finales de octubre; el de otros 100 termina en noviembre y el de los 100 restantes al final de diciembre. A Premier le agradaría tener entre 300 y 350 vehículos

¡;a¡;¡¡¡;¡¡J:¡¡t;¡;¡¡¡;;¿JS_=;:C

TABLA 2-16 Características de las plantas eléctricas por unidad de producción anual (1,000 millones de kilovatios-hora)

Tipo

Termoeléctrica Hidroeléctrica - sin embalse Hidroeléctrica - embalse pequeño Hidroeléctrica - embalse grande

m

Producción garantizada (millones de kilovatios)

Producción adicional (millones de kilovatios)

Costos de inversión (en miles de dólares)

Costo total descontado (en miles de dólares)

0.15

0.20

$30

$65

0.10

0.10

40

42

0.10

0.40

60

64

0.80

0.90

100

110 iWtC.;¡¿¡¡¡;¿:¡zz¡¡;;:¡.•,...,.._

¡¡¡;¡¡¡¡;;ai¡;¡;¡¡C::CZZ:¡¡;; SSi>'\\it&

TABLA 2-17

Oct.

Automóviles necesarios

380

Nov.

360

Dic.

300

Ene.

Feb.

Mar.

360

330

340


TABLA 2-18

Tipo de alquiler

Costo total del alquiler Costo por mes

Tres meses

Cuatro meses

$1,140 380

$1,360 340

a finales de marzo, después de regresar los autos en alquiler que deben devolverse ese mes. A la empresa también le agradaría minimizar los costos de alquiler. Formular un modelo de programación lineal para resolver este problema de planeación de la flotilla de automóviles. 2-25 Precision Pencil Company (PPC) produce lápices de madera con dos clases de mina (grafito): tienen dos tipos especiales normal y de dibujo. La producción de la mina para las dos clases de producto involucra las mismas instalaciones, pero en la mina de dibujo, que tiene más calidad, las diferentes operaciones en el departamento respectivo requieren casi del doble de tiempo por libra de mina producida con respecto a la otra clase. El departamento de fabricación está altamente automatizado y, en esta fase de producción, el índice de fabricación para cada tipo de producto es casi idéntico. La siguiente tabla resume los índices máximos de la producción por hora de cada departamento (minas y fabricación), cuando éste se utiliza para producir sólo una clase de producto.

Clase de producto Departamento

67

Normal (por hora)

Minas 500 libras 300 libras Fabricación del lápiz 30 gruesas'

De dibujo (por hora)

30 gruesas'

Cinco meses $1,500 300

normal. Además, dispone hasta de 78 horas por trimestre de tiempo extra. Los inventarios de lápices terminados y minas terminadas pueden llevarse de un trimestre al siguiente. El costo variable de fabricar una libra de mina es de US$0.10 para la mina normal y de US$0.15 para la mina de dibujo, sobre la base de una producción normal. El costo variable para una gruesa de lápices (incluyendo el costo de la mina) es de US$4 para los lápices normales y de US$4.50 para los lápices de dibujo, en tiempo de producción normal. Estos costos aumentan en 10% para el tiempo extra. El costo total de mantener el inventario es de 20% del costo variable por año. Formular un modelo de programación lineal que proponga un plan de producción para PPC, durante los cuatro trimestres del año. No hay que resolverlo. 2-26 Nationwide Airlines8, enfrentada a una aguda alza en el combustible para aviones, está interesada en optimizar las compras de combustible en sus diferentes instalaciones. En general, esto se refiere a la cantidad de combustible que puede cargar en cualquier aeronave para cualquier segmento de vuelo, sin violar los límites mínimo ni máximo. El plan de vuelo se considera como una cadena de segmentos de vuelo o tramos que cada avión sigue, y que al final devuelve la nave a su punto de partida, como en el siguiente ejemplo: Los Ángeles - Miami - Tampa La Guardia - Los Ángeles

• una gruesa tiene 144 lápices.

Los lápices normales utilizan 10 libras de mina por gruesa, mientras que los de dibujo utilizan 15 libras por gruesa. La demanda de lápices de dibujo es constante: a 6,500 gruesas por trimestre. La demanda de lápices normales es constante: 7,800 gruesas por trimestre para el primer trimestre del año; luego pasa a 10,400 gruesas para el segundo y tercer trimestres (debido a los pedidos de regreso al colegio); y finalmente desciende a 7,800 gruesas para el cuarto trimestre. Cada departamento (minas y fabricación) dispone de 520 horas por trimestre para la producción

El combustible para cualquiera de esos segmentos de vuelo puede comprarse en la ciudad inicial, o en alguna ciudad de la secuencia, de modo que se tanquea para el vuelo respectivo. De hecho, se requiere de combustible para ir al sitio donde se carga y, por tanto, podría comprar el combustible donde esté a menor precio y continuar su viaje por todo el país. Según los datos de la tabla 2-19, la columna marcada como Consumo normal de combustible toma en cuenta el consumo de combustible si la cantidad mínima del mismo se encuentra a bordo, y en la columna Combustible adicional consumido, se indica el combustible adicional consumido en cada

8 Este problema fue adaptado de D. Wayne DarneIl y Carolyn Lof1in, "National Airlines Fuel Management and AIlocation Model", Intelfaces, febrero 1977, pp. 1-16.

68


TABLA 2-19 Requerimientos y límites de combustible (1,000 galones a menos que se especifique de manera diferente)

Número de la ciudad

Secuencia de vuelo

Combustible mínimo requerido

Consumo normal de combustible

Consumo normal de combustible (si se carga el mínimo de combustible

23 8 19

33 19 33

12.1 2.0 9.5

0.040 0.005 0.025

82 75 77

25

33

13.0

0.045

89

Los Ángeles a Miami Miami aTampa Tampa ala Guardia La Guardia a Los Ángeles Los Ángeles a Miami (etc.)

2 3 4

segmento de vuelo, por galón de combustible tanqueado que se transporta; el combustible tanqueado se refiere al combustible por encima de la cantidad mínima. El combustible original llevado a Los Angeles debe ser igual al que se carga en Los Angeles para la siguiente rotación, para que el sistema esté en equilibrio. Un analista planteó esta situación como un problema de PL y definió las siguientes variables:

Ji

= inventario de combustible sobrante que llega

Xi

= cantidad de combustible comprado en la ciu-

a la ciudad i (1,000 galones) dad i (1,000 galones) Por consiguiente, (Ji + Xi) es la cantidad de combustible a bordo del avión cuando parte de la ciudad i. Formular este caso como un problema de programación lineal. 2-27 Acme Injectors (Al) produce inyectores de combustible para automóviles 9. La tolerancia entre una aguja yun cuerpo inyector es esencial, e inclusive la más moderna maquinaria no puede ajustar agujas e inyectores exactamente a esta tolerancia. Al produce grupos de agujas e inyectores, y luego los clasifica en una de diez clases, de modo que al armonizar una aguja de clase i con un inyector de clase i cumplirá con la tolerancia requerida.

Combustible adicional consumido por galón de combustible cargado (por ejemplo combustible por encima del mínimo en galones)

Precio por galón (de dólares)

Las máquinas pulidoras pueden organizarse en cualquier clase de 1 a 10 para agujas e inyectores, y para cada una de estas configuraciones; el porcentaje de producto resultante de todas las clases se conoce y se especifica como PijN y PijB; es decir, PijN representa el porcentaje de agujas producidas en la clase j cuando la máquina pulidora de agujas está en la clase i, y de modo similar para los inyectores. Las clases j = OYj = 11 registran los defectuosos (agujas e inyectores que no son utilizables). Las máquinas pulidoras pueden ajustarse a diferentes valores durante diferentes partes del proceso de producción. a. Formular un modelo de PL para determinar las configuraciones de la máquina pulidora que maximice el porcentaje de agujas e inyectores que puedan ensamblarse para formar buenos inyectores completos. Suponer que las cantidades de producción son suficientemente grandes, como para que el resultado se equipe con exactitud a los porcentajes PijN y PijB' b. Considerar una versión muy simplificada de este problema, donde el pulimento de las agujas pueda hacerse por completo; es decir'PijN = 1 sij = i YOsi j ;t:. i. Además, para pulir el inyector, suponerquePi,i_IB

= 0.25;Pi,iB = O.50yPi,i+IB =

0.25 (todos los demás valores de PijB son cero). ¿Puede resolver este problema por lllspección?

CASO 2-28 IMPAlA GOlD COMPANY Impala Gold Company explota una mina de oro en el estado de Orange Free, Suráfrica. La operación aurífera para extraer la roca es de carácter subterráneo, a una profundidad de 4,000 pies. Las rocas se transportan desde el pozo de la mina hasta un molino que las tritura para extraer el oro. 9 Este problema se tomó de G. J. Gutiérrez, W. H. Hausman y H. L. Lee, "Dynamic Control of Imperfect Component Production for Assembly Operations", IlE Ti"ansactions 27 (1995), pp. 669-78.


TABLA 2-20 Capacidad de extracción del pozo (toneladas por mes) Grado del mineral (gramos de oro por tonelada de roca) Costo variable de extraer la roca (rand por tonelada)

69

Pozo 1

Pozo 2

Pozo 3

85,000 25

90,000 20

95,000 15

6

5

4

La mina de Impala tiene tres pozos, cuya información aparece en la tabla 2-20. Puede observarse que la roca extraída en el área de cada pozo tiene un contenido diferente de mineral, lo mismo que costos distintos. . La roca extraída de los tres pozos se envía al molino para triturarla y refinarla. La capacidad del molino depende de la roca que llega. Si ésta es fina, la capacidad del molino es de 240,000 toneladas por mes, y 95% del oro se recupera en la operación. Las rocas de cada pozo podrían molerse por separado. El costo de procesar una tonelada de roca fina es de 1.12 rand por tonelada. Si la roca es gruesa, la capacidad del molino es de 250,000 toneladas mensuales, pero la recuperación del oro desciende a 90%. El costo de procesar una tonelada de roca gruesa es de 0.85 rand. La mina podía vender todo el oro que produce a un precio de 0.80 rand por gramo. El gerente de la mina está preocupado por la cantidad de roca que debe extraer del área de cada pozo, pues observó que la capacidad del molino no es suficiente para manejar la operación de los tres pozos al máximo de su capacidad. El problema se complica también por los requisitos legales que establecen que la producción de una mina no puede estar por encima del grado promedio de las reservas del mineral. En la mina de Impala, este grado promedio es de 20 gramos por tonelada. Por tanto, la restricción legal es que la roca de los tres pozos no puede exceder un promedio de 20 gramos por tonelada en el grado del mineral de la mina. Formular un modelo de programación lineal para maximizar la rentabilidad de la operación de la mina.

CASO 2-29 RACY'S DEPARTMENT STORE 10 La tesorera de la tienda por departamentos Racy's está haciendo su plan financiero para el siguiente semestre, de septiembre a febrero. Debido a la temporada de Navidad, Racy's necesita grandes cantidades de dinero, particularmente en los meses de noviembre a diciembre; una gran cantidad de ingreso de efectivo se presenta entre enero y febrero, cuando los clientes pagan sus cuentas de Navidad. Estos requerimientos se sintetizan en la tabla 221 (en miles de dólares). La tesorera de Racy's tiene tres fuentes de recursos a corto plazo para satisfacer las necesidades de la tienda. Éstas son: 1. Pignorar las cuentas por cobrar. Un banco local le prestará recursos a Racy's, sobre una base mes a mes, contra la pignoración del saldo de las cuentas por cobrar al comienzo de

TABLA 2-21 Saldo de cuentas por cobrar (a comienzos del mes) Pagos planeados de los suministros (suponiendo que se toma el descuento) Necesidades de efectivo para las operaciones Superávit en efectivo de las operaciones

Dic.

Ene.

Feb.

$70

$120

$100

$50

90

100

60

40

50

30

60

90 30

150

Sept.

Oct.

$70

$50

80

20

Nov.

10 Este caso fue retomado de A. A. Robichek, D. Teichroew y 1. M. Jones, OptimaI Short-Term Financing Dccisions", Management Science, septiembre de 1965.

70

Análisis cuantitativo cada mes. El préstamo máximo es de 75% de las cuentas por cobrar en un mes determinado. El costo del préstamo es de 1.5% mensual sobre la cantidad prestada.

2. Postergar el pago de suministros. El pago de los suministros puede retrasarse un mes. Por ejemplo, los US$100,000 planeados para noviembre, podrían aplazarse hasta diciembre y Racy's podría utilizar ese dinero para satisfacer las necesidades de noviembre. Cuando los pagos por suministros se posterguen de esta manera, Racy's pierde 3% del descuento que normalmente recibe por pronto pago. 3. Utilizar un préstamo a corto plazo. Un banco está dispuesto a prestarle a Racy's cualquiercantidad de dinero entre US$40,000 y US$100,000, por un período de seis meses. El préstamo de una cantidad fija tendría que tomarse a comienzos de septiembre y se pagaría en su totalidad a finales de febrero. No es posible aumentar el préstamo o pagar parte del mismo durante el período. El costo del préstamo sería de 1% mensual, pagadero cada mes. Si la empresa tiene un exceso de fondos, en cualquier período, éstos pueden invertirse en bonos del gobierno a corto plazo que producen un rendimiento de 0.5% por mes. El objetivo de la tesorera es minimizar el costo neto del interés para Racy's, a la vez que satisfacer sus necesidades de efectivo. Formular la decisión financiera a corto plazo que se necesita en este caso, como un problema de programación lineal. Identificar todas las variables y explicar las relaciones entre ellas.

CASO 2-30 DAGUSCAHONDA MINES CORPORATION Daguscahonda Mines Corporation (DMC) tiene una operación de explotación de carbón a cielo abierto en la zona occidental de Pennsylvania. En la actualidad, se utilizan tres minas (A, B, YC), Yen cada uno la producción de carbón tiene diferentes grados de contenido de azufre. El carbón de estos sitios se transporta a una misma trituradora que lo muele para obtener una mezcla más fina. Luego, el carbón se lava para remover parte del azufre y de la ceniza; en el proceso de lavado, el producto molido pasa a un tanque grande que contiene un fluido. El carbón más limpio flota y se retira para la venta. El carbón que contiene una concentración más alta de impurezas se vuelve sedimento y se desecha. Al utilizar en el proceso de lavado fluidos de diferentes densidades (es decir, de diferentes gravedades específicas), puede controlarse la cantidad de impurezas retiradas. En la actualidad, se utilizan tres fluidos, llamados aquí liviano, medio y pesado. Con el fluido liviano se recupera un porcentaje mayor del carbón (es decir, flota), pero se retira un porcentaje menor de impurezas. Consultar la tabla 2-22.

TABLA 2-22 Efectos de los fluidos en la recuperación de carbón y en la separación de impurezas

Mina y tipo de fluido Mina A Liviano Mediano Pesado MinaS Liviano Mediano Pesado MinaC Liviano Mediano Pesado

Toneladas de carbón recuperada por tonelada ingresada

Porcentaje de contenido de azufre en el carbón recuperado

Porcentaje de contenido de ceniza en el carbón recuperado

0.40 0.50 0.55

0.62% 0.91 1.04

1.6% 1.9 2.1

0.70 0.90 0.95

0.22 0.35 0.47

1.9 2.3 2.5

0.62 0.75 0.82

0.42

1.5 1.8 2.2

0.50 0.78


TABLA 2-23 Costos y capacidad de las minas de DMC

Mina

A B

e

Capacidad (máxima en toneladas extraídas por semana)

Costo (en toneladas por tonelada extraída)

6,000 2,300 5,000

$25 45

71

40

Por ejemplo, si el carbón de la mina A se lava con el fluido liviano, sólo se recupera 40% del carbón para vender, el cual contiene 0.62% de azufre y 1.6% de ceniza. De otro lado, el uso del fluido pesado incrementa la producción a 55%, pero el carbón recuperado contiene 1.04% de azufre y 2.1 % de ceniza. La operación de triturado y lavado se hace de forma que puede utilizarse cualquier combinación de carbón de las minas, lo mismo que cualquiera de los fluidos. Después del lavado, el carbón recuperado se une para formar una sola mezcla que es la que vende DMC. Los requisitos de protección ambiental establecen que el carbón debe contener hasta 0.5% de azufre y 2.0% de ceniza. Hay algunas otras restricciones. El equipo disponible limita la cantidad que puede producirse en cada mina. (Véase la tabla 2-23). La trituradora puede procesar un máximo de 8,000 toneladas semanales de carbón sin lavar, en tiempo normal; pero, en tiempo extra, puede procesar una carga adicional de 4,000 toneladas. El costo de la operación de triturado es de US$5 por tonelada de carbón sin lavar en tiempo normal y de US$7.50 por tonelada en tiempo extra. El tanque de lavado puede manejar hasta 6,000 toneladas de carbón recuperado en tiempo normal y una carga adicional de 3,000 toneladas en tiempo extra. El costo de lavado es de US$10 por tonelada de carbón recuperado en tiempo normal y de US$15 en tiempo extra. Los costos variables de operación de cada mina se muestran en la tabla 2-23. Además, el fluido liviano cuesta US$2 por tonelada de carbón sin lavar, US$4 el fluido medio y US$6 el fluido pesado. DMC vende el carbón a US$100 por tonelada. Formular éste problema como un modelo de programación lineal.

CASO 2-31 MARYLAND DEPARTMENT OF NATURAL RESOURCES11 En los últimos años, la cantidad de ostras en la bahía de Chesapeake ha descendido de manera evidente debido al exceso de pesca, en la contaminación de la bahía ya la diseminación de enfermedades entre las ostras. El Maryland Department of Natural Resources (MDNR) ha iniciado un programa de cultivo de ostras. Las ostras en forma larval deben unirse entre ellas para limpiar el sustrato del suelo y poder sobrevivir y crecer. Las conchas viejas son un ambiente ideal para esta unión. El programa MDNR incluye recoger las conchas viejas, limpiarlas y plantarlas en áreas reconocidas para facilitar el crecimiento de las nuevas ostras, en los llamados bancos de ostras. El MDNR quiere que el programa resulte tan efectivo, como sea posible, dentro del presupuesto disponible, y teniendo en cuenta el tiempo limitado en que pueden plantarse las ostras. Las conchas de las ostras se recogen y se limpian en un lugar central y de allí se transportan a los bancos de ostras en una barcaza enganchada a un remolcador. Luego, se plantan en el banco y el remolcador y la barcaza regresan por otra carga. En la bahía hay muchos bancos de ostras diferentes. Algunas restricciones están relacionadas con la necesidad de realizar este programa dentro del tiempo de desove de las ostras y sin perturbar los patrones de fecundación de la vida marina, pues sólo se cuenta con un breve período durante el cual es posible plantar las ostras. También hay restricciones debido a consideraciones políticas, pues algunos condados quieren lo que ellos consideran, por lo menos una participación justa en las plantaciones de ostras. 11

Este caso se basa en Qiwen Wang, Bruce Golden, Edward Wasil, y Sridhar Bashyam, ''An Operational Analysis of Shell Planting Strategies foe Improving the Survivel of Oyster Larvae in the Chesapeake Bay", documento de trabajo, University of Maryland and American University, Diciembre de 1993.

72


Banco 1

TABLA 2-24

Cargas diarias por barcaza 0.50 Costo por arroba plantada US$0.S5 Nivel de efectividad 0.9 Cantidad máxima arrobas (miles) 700 Fracción mínima del total 0.2

Banco 2 0.70 US$0.28 0.8 SOO 0.1

Banco 3 1.00 US$0.24 0.5 700 0.1

Banco 4 2.00 US$0.15 0.4 400 0.05

Banco 5 0.60 US$O.SO 0.6 700 0.2

Aunque hay muchos otros bancos de ostras por plantar en distintos condados, sólo se han considerado cinco para este estudio de caso. Los datos del ejemplo aparecen en la tabla 2-24. Los bancos se plantan en un sitio distinto de donde se recogieron y lavaron las conchas. La primera fila de la tabla 2-24 indica esta distancia presentando las cargas diarias que puede llevar la barcaza a un banco determinado. El banco 1 queda bastante alejado y se necesitan dos días para llevar una carga de ostras y regresar (por consiguiente, la proporción es de 0.5 por día). El banco 4, de otro lado, está bastante cerca y pueden hacerse dos viajes diarios a ese sitio. Una barcaza lleva 40,000 arrobas de conchas-limpias. Debido a que se cuenta sólo con 25 días para plantar las conchas lZ , esta distancia es un factor limitante en cuanto a la cantidad de conchas que pueden plantarse en cada sitio. El contrato con la empresa del remolcador y la barcaza especifica un total de sólo 70 días barcaza-remolcador disponibles para todos los bancos durante la estación completa. También hay un presupuesto total de costos de US$500,000. Las cantidades de la segunda fila de la tabla 2-24 indican el costo de plantar una arroba de ostras en cada sitio. La principal diferencia se relaciona con el tiempo barcaza remolcador necesario para navegar hasta el lugar. La tercera fila de la tabla 2-24 indica el nivel de efectividad de plantar una arroba en cada sitio. Estos estimativos se basan en cifras históricas. Ésta es la medida que se utiliza para evaluar la efectividad general del programa de plantación. La cuarta fila de la tabla 2-24 indica el número máximo de arrobas que puede plantarse efectivamente en cada banco. La cifra máxima de arrobas que puede recogerse y limpiarse durante el período es de dos millones. Finalmente, la quinta fila de la misma tabla cs un factor político. El condado donde se localiza cada banco espera, por lo menos, una fracción del total de ostras que van a plantarse en ese sitio. Por ejemplo, el condado que cuenta con el banco 1 espera 20% del total de ostras que se espera plantar allí. Formular este problema como un modelo de programación lineal. El objetivo es maximizar las arrobas plantadas ponderadas según su nivel de efectividad. Las restricciones se relacionan con presupuesto, disponibilidad total de días barcaza-remolcador, por temporada y por sitio máximo de ostras en cada banco, total de ostras disponibles y consideraciones políticas. Nota: aunque la cantidad de cargas barcaza-remolcador por lo general, está en valores enteros, se recomienda ir omitir esta consideración al momento de la formulación.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 2-1 Sean (todas las unidades en miles): Xl = miles de unidades fabricadas del producto A X z = miles de unidades fabricadas del producto B X 3 = miles de unidades fabricadas del producto e X 4 = miles de Unidades fabricadas del producto D Maximizar: U = 40XI Sujeta a:

+ 24Xz + 36X3 + 23X4

2XI + !Xz + 2.5X3 + 5X4 :5 120 (restricción de fabricación)

12 En realidad,

!Xl

+ 3Xz + 2.5X3 + OX4 :5 160

(restricción de montaje)

10X1 + 5Xz + 2X3 + 12X4 :5 1,000 (restricción de inventario en proceso) Xl :5 20 (demanda del producto A) X 3 :5 16 (demanda del producto C) X 4 =:: 10 (requerimiento del contrato para el producto D) Todos los Xl =:: O

se dispone casi de 45 días. Se han modificado algunas cifras de la situación real para ajustarlas a este caso simplificado.

Introducción a la programación lineal Solución: Xl = 10; Xz = 50; X 3 = US$1,830 por millar

= O; X 4 = 10; P

Definición de inventario: 11 = 15 + Xl + Yl - 58; para el mes de enero. I¡ = I¡_l + X¡ + Y¡ - 58 pedidos; para i = 2,3,...6.

2-2 Sean (todas las unidades en US$ millones) Xl = fondos en préstamos quirografarios Xz = fondos en préstamos para muebles X3 = fondos en préstamos para automóviles X4 = fondos en préstamos sobre hipotecas

Inventario final: I6 ~ 5 Función objetivo:

en segundo grado X s = fondos en préstamos sobre hipotecas en primer grado Maximizar: U = O.l5Xl + O.lOX4 + 0.07Xs

Minimizar: 18Xl + 17Xz + 17X3 + 18.5X4 + 19X5 + 19X6 + 20Yl + 19Yz + 19Y3 + 21Y4 + 22YS + 22Y6 + 0.5Il + 0.51z + 0.513 + 0.514 + 0.51s + 0.516

+ O.l2Xz + 0.09X3

Solución:

Sujeta a: Xl +Xz +X3 +X4 +Xs ::51.5 (total de fondos disponibles)

Xl ::5 O.lO(Xl + Xz + X 3 +X4 + X s), ó 0.9Xl - O·1Xz - 0.1X3 - 0.1X4 - O.1XS ::5 O Xl X z ::5 0.20(Xl + X z + X 3 +X4 + X s), ó O.8Xl + 0.8Xz- 0.2X3 - 0.2X4 - O.2XS ::5 O Xs ~ 0.40(X4 + X s) ó - 0.4X4 + 0.6Xs ~ O Xs ~ 0.20(Xl + X z + X 3 +X 4 + X s),

Producción en tiempo Normal

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

ó

- O.25Xl - 0.25Xz - 0.25X3 + 0.75X4 -0.25Xs ::5 O

Xi~O

Solución:Xl = O.l5;Xz = O.l5;X3 = 0.525; X4 = 0.375;Xs = 0.30; U = 0.146

2-3 Maximizar: U = 30A

+ 30B

Sujeta a: 3A + lB ::5 30,000 A::5 8,000 B::5 12,000 2-4 Sean: X l ,XZ,.. X 6 = número de transformadores produ-

cidos en tiempo normal cada mes

Y1, YZ''''Y6 = número de transformadores produ-

cidos en tiempo adicional cada mes 11,12>...16 = número de transformadores en inventario al final de cada mes Restricciones: Capacidad X¡ ::5 50 para i = 1, 2, 6 Y¡ ::5 20 para i = 1, 2, 6

Producción en tiempo adicional

43

11 O O O

48 =

Inventario

O O

50 50 50 50

ó

- O·2Xl - O.2Xz- 0.2X3 - 0·2X4 - 0.8Xs ~ O X4 ::5 0.25(Xl + X z + X 3 +X4 + X S)'

73

O

14 41

22 O

5

;;:;¡:¡¡¿;¡¡¡¡¡a:uac

El costo total es de US$5,511 (millar) Existe una solución alternativa que implica la producción normal de 50 en enero y sólo 4 en tiempo adicional en marzo, con las modificaciones pertinentes en los inventarios finales en enero (7) y en febrero (21). 2-5 Sean:

Xl = m3 de tierra procesada en la planta 1 Xz = m3 en la planta 2 X 3 = m3 en la planta 3 Minimizar C = 0.60Xl Sujeta a:

+ 0.36Xz + 0.50X3

0.58Xl + 0.26X2 + 0.21X3 = 148,000 (requerimiento de conteo de piedras) 0.36Xl + 0.22X2 + 0.263X3 ~ 130,000 (requerimiento de quilates) Xl ::5 83,000 requerimiento } de capacidad

Xz ::5 310,000 X 3 ::5 190,000

Solución:X1 = 61,700;X2 = 310,000;

X 3 = 150,500

Costo mínimo

=

e=

223,880 rand

Ejemplo motivador Arrendamientos óptimos en GE Capital 1 ,

....-",. .',__ :_:.' :';,::.:::? '__ -~<:';-> <'o ..' ,: .;. <.-'.' _''- .;;

GE Capital, parte del negocio de: serviciosfinanciero~ cantidad y el. tiempo de l¿s pagos del préstamo. Los re. de GE, dispone y estructura préstamos para inversio- quisitos del párrafo anterior forinan las restricciones del nes de capitaLgrandes y diferentes, que incluyen bar-. problema. .I:Iay'dosposiblesfuIiciones objetivo. La pricos, camiones, vagones de ferroéarril,aviónes, equipo' '. mera es la uiílidad de losj)(lgossübreelpréstamo a GE de construcciónyde prodticdón, y otros productos. Por'. '. Capital. La segunda es elcostopara el prestatario, réejemplo, en lugar decompiar directamertte'una pieza presentado potel valor presente neto deJ()s pagos sode equipo, como un vagón de, feirotarrÚ,hn transpor- . bre el préstamo. De acuerdo con las éircunstancias, una tador puede suscribir un acuerdo dondeGE"Capital . de ellas es óptima y la otra se considera cOmO una rescompra el vagón y se lo arrienda durante un tiempo. tricción: Por ejemplo, en un mercado muy competitivo a En este acuerdo, GE Ca,pital es el arrendádory el trans- . un nivel dearréndamientos; iln analista que utilice el portador es el. arrendatario: Por lo general, una parte. modelo de programación lineal puede definir la rentade los recursos para la compra lossuÍninistra Uri terce~ .... ÍJilidad mínima aceptable .para GE Capitaí como una ro: una institución financiera. . '. ",~. ." '" restricción: Bntonées, para lograr el acuerdo de arrenGE Capital quiere estructurar el arriendo de damiento más competitivo, el modelo puede resolverse modo que el programa de pagos se ajuste a las necesi- . minimizando el'costo para el arrendatario. En otras cirdades· financieras del prestatario. También tiene que cunstanCias, este costo puede considerarse como una ressatisfacer las condiciones de pago del préstamo, esta-' .. tricción y la utilidad para GE Capital quedaría blecidas por la entidad financiera que lo hace. Ade-· . maximizada. . más, debido a que hay importantes implicaciones. El paquete que estructura el arrendamiento es fiscales, el servicio de rentas internas de EE.UD. tiene . parte de Un sistema de apoyo de decisión y servicio de un conjunto de reglas muy detallado acerca de los pa~ . contabilidad qué utilizan cercá de 300 anaIlstas de GE gos y otros acuerdos del arrendamiento. Capital. Se ha demostrado que el método de prograEste problema se formuló como uno de progra- mación matemática es significativamente más confiable mación lineal. Las variables de decisión representanla que el método heurístico de búsqueda utilizado anteriormente. El modelo de prógramación lineal se cons/' truyó originalmente en el sistema de computacióli del 1 Este ejemplo se' basa en Charles J.Litty, "Optimal Lease mainframe; pero desde hace un tiempo se adaptó para Structuring at GE.Capiial" ¡)Ilterfaces, Máy-June 1994, pp.34-35 ' . que se pudiera utilizar en Pe.

Este capítulo aborda la solución a los problemas de programación lineal. Como los problemas actuales de este tipo pueden ser grandes y complejos, se utilizan programas de computador sofisticados para resolverlos. Un propósito de este capítulo es introducir paquetes de solución para PC que estén disponibles. Sin embargo, para un gerente que enfrenta un problema de decisión, la solución del modelo es sólo una parte de la respuesta. Los .análisis que utilizan modelos se dirigen a entender mejor el problema, el efecto de diferentes restricciones y las preguntas de "qué pasa si..."; en síntesis, es el análisis de sensibilidad. La perspectiva que se logra suele ser más valiosa que la respuesta numérica específica. Una de las ventajas de la programación lineal es que asume el análisis de sensibilidad como parte directa de la solución; por ello, para entenderlo es necesario tener una visión, aunque sea global de todo el proceso analítico. De ahí que la primera parte de este capítulo aborde el método gráfico para resolver problemas de PL, no porque se utilice en la práctica sino porque permite comprender la globalidad del problema. Luego, se estudia el método de solución algebraica y, finalmente, la solución con Solver, el paquete de hoja de cálculo.

SOLUCiÓN GRÁFICA Usualmente no es posible resolver problemas de programación lineal de manera gráfica debido a que porque no se cuenta con la capacidad de visualizar más de tres dimensiones espaciales. Sin embargo, resulta útil para ver cómo un problema sencillo puede resolverse gráficamente, ya que problemas de mayor dimensión tienen soluciones análogas. Situación. Una fábrica elabora dos productos, A y B. Ambos requieren tiempo en

;~

I ,.:>·R

n n

dos máquinas. La primera máquina está disponible las 24 horas, mientras que la segunda tiene una disponibilidad de 1.6. Cada unidad del producto A requiere dos horas en cada máquina. Cada unidad del producto B requiere tres horas de tiempo en la primera máquina y una en la segunda. La utilidad incremental es de US$6 por unidad de Ay US$7 por unidad de B; y la fábrica puede vender toda la cantidad que elabore de ambos productos.

·",>if/

Problema. Si el objetivo es maximizar la utilidad, ¿cuántas unidades del producto A y cuántas del producto B podrían elaborarse?

76

Análisis cuantitativo Formulación. Sean: Xl = número de unidades del producto A que deben elaborarse X 2 = número de unidades del producto B que deben elaborarse U = Utilidad incremental

La situación y el objetivo (maximizar la utilidad) pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones: Maximizar: U = 6XI + 7X2 Sujeta a: 2X1 + 3X2 ::; 24 2XI + X 2 ::; 16

X I ,+X2 ~

°

Solución. En la figura 3-1, se presentan la ecuación con dos restricciones. La ecuación:

2XI + 3X2 ::; 24 es la restricción impuesta por la limitación de horas disponibles (24) en la primera máquina, y todos los puntos a la izquierda, por debajo de la línea, son combinaciones posibles (factibles) de Xl y X 2. De modo similar: 2XI + X 2 ::; 16 es la restricción asociada con la segunda máquina, y los puntos a la izquierda, por debajo, son factibles. También están las restricciones Xl ~ y X 2 ~ 0, ya que no puede obtener un resultado negativo. Considerar el punto marcado como F dentro de la región sombreada (la figura 3-1) que incluye la producción de cinco unidades del producto A y cuatro unidades del producto B, y requiere 2 x 5 + 3 x 4 = 22 horas en la primera máquina. Como son menos de las 24 horas disponibles, satisface la restricción de la primera máquina. De manera similar, se requieren 2 x 5 + 1 x 4 = 14 horas en la segunda máquina, de nuevo, menos de las 16 horas disponibles. Finalmente,XI yX 2 son positivas y satisfacen las restricciones no negativas. Como la solución que representa el punto F no incumple ninguna restricción, es un punto factible. La región sombreadaACDE

°

X2

FIGURA 3-1 Restricciones de PL y región factible

10

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o tí

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o Q.

ID

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5

Ul Q)

-o

ro

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Región factible

5

e

Unidades del producto A

10


77

en la figura 3-1 es el conjunto de puntos que son factibles bajo todas las restricciones y se conoce como la región factible. El objetivo es encontrar el punto o puntos en la región factible ACDE donde se maximiza la utilidad. Ahora, se demostró que el punto óptilno siempre estará en uno de los vértices de la región factible. Las cuatro esquinas en ACDE son los puntos A, C, D y E. Uno de estos puntos debe ser la solución óptima al problema de programación lineal2 . Para comprobar que la solución óptima siempre estará en un vértice de la región factible, se traza un grupo de funciones de utilidad. Una función de utilidad es una línea que contiene todas las combinaciones de Xl y X 2 que representan una cantidad constante de utilidad. En la figura 3-2, una serie de funciones para diferentes niveles de utilidad se presenta con líneas punteadas. Considerar la función de utilidad para la cual U = 42. La ecuación de esta línea es:

U = 42 = 6XI

+ 7X2

Esta línea contiene muchos puntos factibles (puntos dentro de A CDE), los cuales darían una utilidad de US$42. Sin embargo, la línea U = 54 es mejor que U = 42, ya que contiene puntos factibles con una utilidad de US$54. Como puede observarse, la línea de utilidad U = 54 es paralela a la línea U = 42; en problemas de PL, todas las líneas de utilidad son paralelas; así que se consideran todas las líneas paralelas a la línea U = 42 h!ista llegar a U = 64. AqUÍ, sólo hay un punto en la región ACDE, identificado como D (el cual es Xl = 6, X 2 = 4), que es la solución óptima. Para valores mayores de U, no hay puntos en la región ACDE. Esta esquina en particular, que es la solución óptima, depende de la pendiente de la función de utilidad: es decir, de la utilidad relativa de los productos A y B. Si, por ejemplo, el producto A es mucho más rentable por unidad que el producto B, algo así como US$8 por unidad de A contra US$2 por unidad para el producto B, entonces la función objetivo es:

U= 8XI

+ 2X2

FIGURA 3-2

Funciones de rentabilidad P = 6X¡ + 7X2

10 l:ll

o Ü

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"1:l

o Q.

ID

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5

"'O Cll

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::J

o

A O

5

e

10


2 Se

mostrará brevemente que dos o más vértices adyacentes pueden ser soluciones alternas óptimas.

78


Las funciones de utilidad para este caso alternativo se presentan en la figura 3-3. Observar que el punto C ahora es la solución óptima. De manera similar, si el producto B fuera mucho más rentable que A, y la función objetivo fuera:

U= 2X1 + 8X2 Entonces, el punto E sería el óptimo. Si la fábrica pierde dinero en ambos productos, entonces el punto A, donde no hay producción de ninguno de los productos, sería el óptimo. Soluciones óptimas alternativas. Es posible que las funciones de utilidad tengan exactamente la misma pendiente de una de las ecuaciones de restricción. Por ejemplo, si la función objetivo fuera U = 8X1 + 4X2, mostraría una serie de líneas paralelas a CD, como en la figura 3-4. En este caso, hay múltiples soluciones óptimas. Los vértices C

FIGURA 3-3 Funciones de rentabilidad alternativa U = 8X1 + 2X2

10 al

E

o

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5

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\LJ==16

o

A O

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5

e

10


FIGURA 3-4 Soluciones múltiples óptimas U 8X¡ + 4X2

=

10 al

E

o

t3 ;:¡ "O

o

is..

ID

"O

gj 5 "O

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"O

'c

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o

A

O

5 e Unidades del producto A

10


79

FIGURA 3-5 Región factible en tres dimensiones

G(-------r------::<

/ / / /

/ / / /

yD son puntos óptimos con una utilidad de US$64. No obstante, lo mismo ocurre con todos los puntos que se encuentran sobre la línea CD de la figura 3-4.

Más dimensiones. Visualizar el problema de PL cuando se extiende a tres dimensiones, como se muestra en la figura 3-5. Las restricciones representan planos en un espacio tridimensional y la región factible es un área tridimensional limitada por estos planos. Los vértices A, B, ... O representan lugares donde se intersectan los planos de restricción. Las funciones de utilidad (no se muestran) también son pla~ nas. Como en el caso de dos dimensiones, la solución óptima debe estar en uno de los vértices de la región factible. Aunque no puede visualizarse cómo sería un problema de cuatro (o más) dimensiones, las ideas básicas pueden extenderse a problemas con muchas variables si se utilizan métodos algebraicos.

RESUMEN Las soluciones óptimas de un problema de programación lineal siempre se encuentran en un vértice de la región factible. Pueden existir varias soluciones óptimas, las cuales presentan el mismo número de vértices (o puntos en las líneas que los conectan).

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES Encontrar la solución a un modelo de decisión es sólo el primer paso del análisis. Para el gerente también es importante entender qué tan sensible es la solución ante los cambios en los supuestos yen los factores exógenos. Esto también es válido para los modelos de programación lineal, una de cuyas mejores características es que gran parte de este análisis de sensibilidad procede directamente de la solución al problema. Estas afirmaciones se explicarán de manera gráfica, y más adelante, se

interpretará el resultado de los programas de computador utilizados para resolver problemas de PL.

80

Análisis cuantitativo Ampliar ligeramente el problema que se ha utilizado como ejemplo. Suponer que el mercado limita a seis la cantidad de unidades del producto B que pueden venderse. La formulación ahora se convierte en: Maximizar: U =6XI + 7X2 Sujeta a: 2X I + 3X2 :::; 24 2X I +X2 :::; 16 X2 :::; 6 Xl'

+ X2 2:Ü

y la gráfica se representa en la figura 3-6.

Precios sombra Considerar la ecuación de restricción para la máquina 1, con la especificación de que podría disponerse de ella un máximo de 24 horas. En la terminología de PL, este límite de capacidad suele denominarse el valor del lado derecho de la ecuación (o simplemente LD), ya que se encuentra a ese lado del signo de desigualdad. Suponer que puede disponerse de una hora extra, de modo que la restricción se convierta en:

¿Qué sucede con ia solución? Este caso se muestra de forma gráfica en la figura 3-7. La nueva solución óptima se mueve al punto D', el cual tiene Xl = 5.75 YX 2 = 4.5 3 . Como la solución anterior indicaba que Xl = 6 YX 2 = 4, una hora adicional en la máquina 1 lleva a

FIGURA 3-6 Región factible para el problema revisado

10

Región factible

A O

OL.:...;...~------'--....L....

5 e Unidades del producto A

- - l_ _--=:""--_

10

3 Esta solución se puede hallar simultáneamente si se resuelven las dos ecuaciones 2X¡ + X 2 = 16 Y2X¡ + 3X2 = 25. Observar que ésta no es una solución de enteros, aunque las X podrían interpretarse como índices de producción.

Soluciones a problemas

FIGURA 3-7

de programación lineal

81

X2

Análisis de·sensibilidad para la restricción de la máquina 1 10

~(]J (f)

o

aJ-

"O

u

Cíl-5 "00 ·c o..

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"' ... ...

"' ... ... "'''' ... ...

"' ... ... .

o'--

--l.-

O

5

~

_ ___l

e

10

______l

X

15


una reducción de 0.25 unidades del producto A y un aumento de 0.5 unidades del producto B. Por consigu{ente, el cambio neto en la función objetivo U es, -(0.25)US$6 + (0.50)US$7

= US$2

o un incremento de US$2 en la utilidad 4 . Esto se llama precio sombra, valor marginal o precio dual. Es el cambio incremental en la utilidad por el cambio unitario en el LD de una restricción. Observar que el precio sombra también mantiene una disminución en el valor del LD. Por ejemplo, si sólo se dispusiera de 23 horas en la máquina 1, el punto D" en la figura 3-7 sería la solución óptima (Xl = 6.25 YX 2 = 3.5), con una disminución en la utilidad de US$2. Por tanto, elprecio sombra, precio dual o valor marginal representa el aumento incremental en la utilidad cuando una restliccíón se relaja en una unidad, y la disminución en la utilidad cuando una restlicción se ajUsta en una unidad. Exactamente el mismo análisis puede aplicarse a la restricción en la máquina 2. Esto se presenta en la figura 3-8. Cuando esa restricción cede por la adición de una hora extra, la restricción se convierte en: 2X I + X2 ::; 17 Yel punto óptimo es D* en Xl = 6.75 YX 2 = 3.5, 10 que representa un aumento de 0.75 en las unidades del producto Ay una disminución de 0.5 unidades del producto B. El efecto neto en la utilidad es:

+ (0.75)US$6 - (0.5)US$7 = $1

de ver esto es poner los nuevos valores en la función objetivo 6X1 + 7X2, lo que da una utilidad de US$66, contra los US$64 anteriores, para un incremento de US$2.

4 Otra forma

82


FIGURA 3-8 Análisis de sensibilidad para la restricción de la máquina 2

10

E

5

o

L-

O

L-

_ _.L.__ _

----.:~:......_

e

5

10

~

____.J

Xl

15


Una reducción similar en el LD de la restricción 2 (es decir, en las horas disponibles), resulta en la solución Xl = 5.25 YX 2 = 4.5 Yun descenso en la utilidad de US$1. Por tanto, el precio sombra asociado con la restricción de la máquina 2 es US$l Considerar la tercera restricción, el límite a la demanda del producto B:

X2 :5 6 Un incremento de una unidad en este límite paraX2 :5 7y una disminución de una unidad paraX2 :5 5 se presentan en la figura 3-9. Es de observar que ningún cambio afecta la solución del todo porque la restricciónX2 :5 6 no es obligatoria. La solución óptima necesita sólo cuatro unidades del producto B, y de ese modo el límite de seis unidades del mercado no importa. Por consiguiente, el precio sombra es cero. De hecho, el precio sombra de cualquier restl1cción no obligat0l1a siempre es cero. Costos reducidos-Precios sombra para restricciones no negativas. También es po-

sible determinar los valores marginales asociados con incluir por lo menos una unidad de una variable de decisión en la solución. Sin olvidar que las restricciones no negativas sonXI 2: 0,X2 2: O, lo que lleva a considerar que una unidad de la solución cambia una restricción no negativa a Xl 2: 1 o X 2 2: 1. Los valores marginales para hacerlo se llaman costos reducidos. Considerar de nuevo el problema básico como aparece en la figura 3-9. La solución óptima toma Xl = 6 YX 2 = 4. Ambos son valores positivos y, por eso, ninguna de las restricciones no negativas es obligatoria. Por tanto, el valor marginal

(es decir, el costo reducido) asociado con cambios es cero, al igual que para otras restricciones no obligatorias.


FIGURA 3-9

83

X2

Análisis de sensibilidad sobre la demanda del producto B 10

ro o

tí:J

"O

eo.. ID

"O

en

ID

"O

etl

:Q e :::l

:-----------L-----,--_....L-_ _---.l_ _ 5

e

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10

__.J

Xl

15

Unidades de producto A

Sin embargo, si la función objetivo fuera U = 10XI + 3X2, como aparece en la figura 3-10, entonces, el punto e sería la solución óptima, con Xl = 8 YX 2 = O, que producen una utilidad de US$80. Aquí como X 2 = O, entonces, la restricción no negativa X 2 :2: Oes obligatoria. Ahora, si debiera producirse por lo menos una unidad del producto B debido a un compromiso con un cliente habitual, la restricción se cambiaría aX2 :2: 1. Esto cambia la solución óptima de la figura 3-10 a C', conXI = 7.5, X 2 = 1 Yuna utilidad de US$78; una reducción de US$2 respecto al nivel anterior. Por consiguiente, en este caso, el costo reducido o valor marginal asociado con la restricción no negativa en X 2 es US$2, el costo de mantener la opinión favorable del cliente o goodwill.

Uso de los precios sombra. Estos precios tienen aplicaciones gerenciales importantes. Aunque las restricciones y los límites existen, la mayoría de ellos no son absolutos. Por ejemplo, el gerente que formuló el ejemplo del problema de PL, determinó las horas disponibles en cada máquina bajo circunstancias ordinarias. Sin embargo, es posible obtener horas adicionales si se trabaja tiempo extra, se compra equipo adicional o se reprograman otros usos. Los precios sombra muestran lo pertinente de una decisión y, por tanto, ayudan a identificar las situaciones más riesgosas. En el ejemplo, el gerente sabe que es doblemente valioso (US$2 contra US$1) obtener horas adicionales para la máquina 1 como para la máquina 2. El valor de examinar con especial cuidado los obstáculos o situaciones de riesgo fue ilustrado en un reciente método gerencial llamado teoría de las restricciones 5 , lo que ha conducido a que los sistemas de contabilidad de costos detallen los

5 GODRATT, E.,

The TheOlY o!Constraints, New York: North River Press, 1990.

84


FIGURA 3-10 Análisis de sensibilidad para la restricción no negativa Xz ~ O

10

ro

o

tí

:::l "O

o

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G t------1a,.'H

\~ U= 10X1 + 3X2

Q)

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5

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O \\

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ro

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e

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::J

\ \ \

\ \

o A O

5

C\

10

\


costos de estas restricciones 6. En general, la idea es enfocar la atención de la gerencia al manejo de las situaciones de riesgo o restricciones en un sistema. Los precios sombra que se obtienen a partir de un modelo de programación lineal pueden ser bastante útiles en este proceso.

RESUMEN Un precio sombra o precio dual representa el valor marginal asociado con el cambio de una unidad en el LD de una restricción. De manera similar, un costo reducido representa el valor marginal de incluir una unidad de una variable de decisión en la solución. Los costos reducidos pueden considerarse como precios sombra en las restricciones no negativas. Si una restricción no es obligatoria, su precio sombra es cero.

RANGOS DEL LADO DERECHO DE LA ECUACiÓN (LD) Aunque los precios sombra dan el valor marginal al hacer un pequeño cambio en el límite de una restricción (es decir, en el valor LD), es un error creer que estos valores se mantendrían si la capacidad se cambiara arbitrariamente, pues en algún punto, la capacidad adicional se convierte en exceso y no tiene valor. De ahí que existan límites en el rango de la capacidad sobre los cuales deben mantenerse los valores marginales. Considerar de nuevo la restricción de 24 horas en el tiempo disponible en la máquina 1. La figura 3-11 muestra lo que sucede cuando se dispone de horas adicionales. No olvidar que en el análisis inicial de los precios sombra se indicó que cada hora adicional llevaba a una reducción de 0.25 unidades del producto A y a un incremento de 0.5 unidades del producto B. El precio sombra asociado con cada

c., FOSTER, G., y DATAR, S., Cost Accounting, A Managerial Approach, Englewood Cliffs, NI: Prentice Hall, 1994, pp. 816-20.

6 Véase HORNGREN,

8 ed.,


FIGURA 3-11 Rango de la restricción de la máquina 1

85

10

o A O

5 Unidades del producto A

hora incremental fue de US$2. Con 28 horas disponibles, la solución óptima se desplaza de D a f. En 1, la solución es Xl = 5 YX 2 = 6. Más allá de este punto, las horas adicionales para la máquina 1 no tienen efecto, ya que la restricciónX2 :s; 6 ahora es obligatoria. Dadas las demás restricciones del problema, 28 horas en la máquina 1 es el máximo que puede utilizarse y ser rentable. Por tanto, este aumento de 4 horas para llegar a 28 horas disponibles representa el límite superior en el rango sobre el cual el precio sombra de US$2 es válido. De manera similar, como las horas de la máquina 1 se reducen, la solución óptima desciende al punto e en la figura 3-11, donde se utiliza un tiempo de 16 horas de la máquina. Como las horas se reducen, el descenso en la utilidad procede del aumento en las unidades del producto A y la disminución de las unidades del producto B. Sin embargo, en el punto e no se producen unidades del producto B, de modo que el proceso de sustitución ya no es posible. Por consiguiente, el límite inferior US$2 en el rango del precio sombra de para el tiempo de la máquina 1 es una reducción de 8 horas (de 24 a 16). Para la máquina 2, puede realizarse un análisis similar. En la figura 3-12 se muestran los límites. Como se agregan horas a las 16 disponibles, la solución óptima se desplaza desde D hasta B. En este punto, se agregaron 8 horas (de 16 a 24) y las horas adicionales no añaden valor. Cuando las horas disponibles se reducen en 4 (de 16 a 12), la solución óptima se desplaza desde D hasta H. Por consiguiente, el precio sombra de US$l se mantiene en el rango de 12 a 24 horas disponibles en la máquina 2. La restricción en la demanda del mercado para el producto B, X 2 ~ 6, de algún modo es diferente. Ya se estableció que esta restricción no es obligatoria y tiene un precio sombra de cero. La solución óptima requiere sólo cuatro unidades del producto B. Así, el límite de la demanda actual podría aumentarse indefinidamente sin ningún efecto; si la restricción fuera X 2 ~ 10 ó X 2 :S; 100, no importaría. De otro lado, si el límite de la demanda descendiera a cuatro unidades, de modo que la restricción fuera X 2 :s; 4, se convertiría en obligatoria. Cualquier reducción por debajo del límite de cuatro unidades diminuiría la utilidad. De ese modo, el rango sobre el límite de la demanda (es decir, el LD) para la tercera restricción es

de cuatro unidades hasta el infinito, y dentro de este rango el precio sombra de cero se mantiene.

86


o

FIGURA 3-12 Rango de la restricción de la máquina 2

,~2X1 + X2 S 12

10

"

~2X1+X2S16

,, ,

, "

~

,,

,, ,, "

~'",H;....-_

2X1 + X2 S 24

,

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"

,,

,, ,, ,

,,

,, , \

\

oA O

5

,, ,

10


Para las tres restricciones, el análisis de sensibilidad ha producido los siguientes rangos para los valores del LD:

Restricción Horas máquina 1 Horas máquina 2 Demanda pro el producto B

Límite actual 24 16 6

Precio sombra $2 $1 O

Aumento permitido

Disminución permitida

4

8

8

4 2

Infinito

RESUMEN Los precios sombra expresan el valor marginal para cambiar el LD de una restricción, pero estos valores se mantienen sólo dentro de rangos limitados.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD -EVALUACiÓN DE NUEVO PRODUCTO Los precios sombra pueden ser útiles para identificar las situaciones de riesgo o restricciones que son costosas y podrían cambiar la utilidad. Los precios sombra también pueden ser útiles para evaluar nuevos productos. Considerar una extensión del ejemplo estudiado. El departamento de investigación y desarrollo de la empresa creó un nuevo producto, el producto C. Es muy rentable, US$lO por unidad, pero requiere cuatro horas en la máquina 1 y tres en la máquina 2. ¿La empresa debe producir alguna unidad del producto C? Podría plantearse de nuevo todo el problema de PL para agregar este nuevo producto. Sin embargo, puede obtenerse una respuesta rápida utilizando los precios sombra. Producir alguna cantidad del producto C, requiere reducir las cantidades de los otros dos productos, ya que todos los productos compiten por el tiempo

disponible en las dos máquinas. No olvidar que el precio sombra implica que Ullá hora en la máquina 1 tiene un valor de US$2 yen la máquina 2, un valor de US$1.


87

Una unidad del producto C necesita cuatro y tres horas, respectivamente, en las dos máquinas. Parella, el costo de oportunidad para una unidad del producto Ces: [(Precio sombra en las horas de la máquina 1) x (horas requeridas en la máquina 1)] + [(Precio sombra en las horas de la máquina 2) x (Horas requeridas en la máquina 2)] o

US$2 x 4 + US$l x 3 = US$l1 Esto representa el costo de perder la oportunidad de fabricar los productos A y B. Como la utilidad por unidad del producto C es sólo de US$lO, no debe producirse, ya que el costo de oportunidad excede la utilidad unitaria. Otro ejemplo

La misma fábrica tiene opción de elaborar otro nuevo artículo, el producto D, que requiere una hora en cada máquina. Tiene una utilidad por unidad de US$5. ¿Debe fabricarlo? US$2 x 1 +US$l x 1 =US$3 Como la utilidad de US$5 por unidad excede el costo de oportunidad de US$3, debe fabricarse alguna cantidad del producto D. Este análisis no dice exactamente cuántas unidades fabricar del producto D, sino sólo que debe incluirse en el proceso de producción. El gerente debe replantear el problema de PL para incluir una nueva variable de decisión para el producto D, yvolver a solucionar el problema.

RESUMEN El costo de oportunidad para un nuevo producto se calcula como la suma de: (Precio sombra) • (Unidades requeridas) para todas las restricciones afectadas. Si el costo de oportunidad es menor que la utilidad de la unidad para el nuevo producto, entonces es rentable y por tanto debe incluirse alguna cantidad en la solución óptima. Si el costo de oportunidad es mayor que la utilidad por unidad, entonces no debe fabricarse el producto.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD - COEFICIENTES DE LA FUNCiÓN OBJETIVO Un gerente puede estar interesado en saber la solución de un problema de PL si uno de los coeficientes de la función objetivo cambia debido a, por ejemplo, un aumento en el precio de una materia prima clave. Aquí puede hacerse un análisis gráfico similar al que se hizo para los cambios en los coeficientes del LD. Suponer que la utilidad por unidad del producto A se fijó en US$6, pero que la del producto B, que se espera sea de US$7, puede cambiar. La figura 3-13 presenta las funciones de utilidad cuando ésta aumenta a US$8 por unidad del producto B, luego a US$9 y después a US$10, Cuando el coeficiente de la función objetivo paraXZ es US$8 (es decir, la utilidad por unidad es de US$8 para el producto B), la función de

.

88


FIGURA 3-13 Análisis de sensibilidad: aumentar la utilidad por unidad del producto B

10

u =6X1 + 9X2

24

o

A O

e

5

y 2X1 + 3X2 :5

10


utilidad es U = 6X1 + 8X2 y el punto D sigue siendo la solución óptima. Cuando el coeficiente deX2 aumenta a US$9, la pendiente de la función de utilidad es idéntica a la restricción de la máquina 1 y se encuentra exactamente sobre esa línea de restricción. Por eso, existen soluciones alternas óptimas y los puntos angulares D y H son óptimos. Suponer que el coeficiente de X 2 aumenta más, a US$10 por unidad, de modo que la función de utilidad es U = 6X1 + lOX2, como aparece en la figura 3-13. Observar que hay puntos por encima de esta línea, es decir, con utilidad más alta, en la región factible ypor eso el punto D ya no es óptimo. Ahora, el punto H se convierte en la única solución óptima. Es decir, cuando el coeficiente de X 2 excede de US$9, el punto óptimo pasa del punto D al punto H. Un análisis similar se mantiene si el coeficiente de X 2 desciende. La figura 3-14 muestra la función de utilidad para valores de US$5, tJS$3 y US$l para el

FIGURA 3-14 Análisis de sensibilidad: disminuir la utilidad por unidad del producto B

10

OA O

5 Unidades del producto A

e

10


89

coeficiente deX2. Para un coeficiente de 3, la función de utilidad es U = 6XI + 3X2; ahora, esta función se encuentra exactamente en la restricción para la máquina 2 y los puntos D ye son ambos óptimos. Cuando el coeficiente desciende más, es decir, a 1, el punto óptimo se mueve hacia C. El mismo análisis puede hacerse para la utilidad de A, si se mantiene constante el coeficiente de X 2 y varía el de Xl' Aunque el análisis gráfico no se muestra, el resultado indica que el coeficiente para Xl puede descender de 6 a 4.67 antes de que el punto óptimo cambie a H. De manera similar, el coeficiente puede aumentar de 6 a 14 antes de que el punto óptimo ascienda a C7. Estos resultados pueden resumirse así:

Rangos del coeficiente de la función objetivo Rango donde la solución se mantiene

Variable Producto A Producto B

Coeficiente actual

Aumento permitido

6

8

1.33

7

2

4

Disminución permitida

Rangos del LD contra rangos del coeficiente objetivo. Los rangos del análisis de sensibilidad para los coeficientes objetivo que'se desarrollaron antes y los coeficientes del LD son similares en su concepto. Sin embargo, también existen algunas diferencias importantes. Dentro del campo especificado para los rangos del coeficiente objetivo, la solución óptima sigue siendo la misma; es decir, la fábrica debe producir seis unidades del producto A y cuatro unidades del producto B, Más allá del rango, la solución óptima pasa de f01ma abrupta a otro punto angular. La utilidad total, varía con los cambios en los coeficientes; pero, la solución permanece fija dentro de los rangos. En contraste, dentro de los rangos del LD, la solución cambia cuando el punto óptimo se desplaza a lo largo de una de las líneas de restricción. En el ejemplo, deben producirse cantidades diferentes de los productos A y B cuando el punto óptimo se cambia. En el límite del rango, un nuevo vértice se convierte en la solución óptimaS.

RESUMEN

Los rangos de los coeficientes del LD y de la función objetivo tienen gran importancia para interpretar la solución de PL. Los rangos LD determinan los límites dentro de los cuales se mantiene el precio sombra de cada restricción. Los rangos del coeficiente objetivo determinan los límites dentro de los cuales la solución sigue siendo la misma.

7 En realidad, el análisis paraX1 es innecesario, ya que todo se refiere a la i de la pendiente de la función de

utilidad. Esto está determinado por la relación entre los dos coeficientes. Cuando la relación (coeficiente de X 1)/( coeficiente de X 2) está entre 2/3 y 2.0, el punto óptimo es D. Cuando la relación es inferior a 2/3, el punto óptimo se desplaza a H; por encima de 2.0, este cambia a C. 8 En términos de la formulación algebraica que se estudiará brevemente, las variables básicas siguen siendo las mismas dentro del rango. En el límite, el conjunto básico de variables cambia.

90


MINIMIZACiÓN

Hasta ahora, el ejemplo se ha referido a la maximización de la función objetivo. La minimización es similar, como muestra el siguiente ejemplo: Una fábrica tiene dos molinos. Las variables de decisión son el número de horas por semana que cada uno opera. El primer molino puede operar un máximo de 40 horas y el segundo, un máximo de 60 horas por semana. Cada hora de operación del primer molino produce 3 toneladas de producto terminado; cada hora del segundo molino produce 4 toneladas de producto. La fábrica tiene compromisos con clientes para producir por lo menos, 175 toneladas de producto terminado. La hora de operación del primer molino cuesta US$20,000 y la del segundo, cuesta US$40,000 por hora, la fábrica desea mantener los costos tan bajos como sea posible. Por razones de su política interna, la empresa debe operar, por lo menos, igual número de horas en el segundo molino que en el primero. La formulación de PL es: Xl = horas semanales en el primer molino X 2 = horas semanales en el segundo molino

Sea:

Función objetivo: Minimizar: C = 20XI + 40X2 (miles de dólares) 40 (máximo del molino) Sujeta a: Xl ~ 60 (máximo del molino) X2 ~ 3XI + 4X2 ¿ 175 (requerimientos del cliente en toneladas O (requerimiento de la política interna de la Xl ¿Xl óXI +X2 ¿ fábrica) O (restricciones de no negatividad) La solución se presenta en la figura 3-15, donde la región factible aparece sombreada. Las funciones del costo son las líneas punteadas. Como se busca un valor mínimo, las líneas óptimas están abajo (las del menor costo). El punto óptimo FIGURA 3-15 Análisis gráfico para el problema de minimización

/ X2 S:60 60

o

t---'1~---.,----.,--1f-~-

50

e

o

E o

"O

40

e

:J Ol (])

tIJ

I

tIJ

30

(])

(ij

e

ro

E (])

20

tIJ tIJ

~

o

I

10

o 1 L - - - - l . - - - - - ' I . . - - - - - L - - . - J L - - - L _ X1 O

10

20

30

40

50

Horas semanales-primer molino


91

se presenta en Xl = 25, X 2 = 25, es decir, con cada molino operando 25 horas a la semana, a un costo de US$1,500 (millar). Los conceptos básicos de la región factible, los vértices, y las soluciones óptimas son iguales que en el caso de maximización. Las ideas básicas del análisis de sensibilidad y los rangos también son similares y se presentarán, para este ejemplo, más adelante, en la sección de interpretación de los resultados por parte del computador.

MÉTODO ALGEBRAICO

Hasta ahora, se ha considerado sólo la formulación de los problemas de programación lineal en términos algebraicos. En esta sección, se extenderá el método algebraico para demostrar algunos conceptos importantes de PL. Considerar el problema original de maximización que se resolvió al comienzo de este capítulo. No olvidar que se tenía: Maximizar: U = 6Xl + 7X2 2Xl + 3X2 :::; 24 Sujeta a: 2Xl +X2 :::; 16 Xl +X2 ~ O El primer paso del procedimiento algebraico es convertir las expresiones de desigualdad del problema en igualdades. Esto se hace agregando dos nuevos tipos de variables, X 3 y X 4, llamadas variables ficticias, que representan la capacidad no utilizada en la primera yen la segunda restricción, respectivamente. Por tanto, X 3 es el número de horas de capacidad no utilizadas en la máquina 1yX 4 es la cantidad de horas no utilizadas en la máquina 2. Siempre es posible convertir las desigualdades en igualdades ya que debe haber alguna cantidad de capacidad no utilizadaX3 que, cuando se agrega a (2X l + 3X2 ), es igual a 24 (X3 puede ser igualo mayor que cero). Las restricciones del problema ahora se reescriben como:

2Xl + 3 X 2 + X 3 = 24 2Xl +FX2 +X4 = 16 Xl' X 2 , X 3, X 4 2 O La función objetivo ahora se convierte en: Maximizar: Las variables ficticias no introducen utilidad, de modo que sus coeficientes en la ecuación de utilidad son cero. Cualquier valor para Xl' X 2, X 3 YX 4 que satisfaga las ecuaciones de restricción es una solución factible para el problema de programación lineal. El área sombreada en la figura 3-16 contiene todas las soluciones factibles, como se indicó previamente en el capítulo. En el problema de programación lineal general hay 111 ecuaciones de restricción. Después de agregar las variables ficticias, hay más que variables 111. Si se hace memoria de los conocimientos de álgebra, se recordará que puede encontrarse una solución única simple para un conjunto de ecuaciones lineales 111, si hay exactamente 111 variables desconocidas. Sin embargo, con más que variables m, como en el caso de PL, no hay una solución única.

92


FIGURA 3-16 Soluciones básicas

20

15

10

E= (0,8)

5

o~---_.L-_----<~_.L---"----'---X1 A

5

C= (8,0)

10 B= (12,0)

15


Sin embargo, si arbitrariamente se seleccionan algunas variables nI y se igualan las demás a cero, y se resuelven las ecuaciones 111 para las variables 111 seleccionadas, se obtiene una solución básica. Las variables seleccionadas se conocen como variables de la solución básica o simplemente las bases. Las variables que se igualan a cero son las variables externas o variables no básicas. En el ejemplo anterior hay cuatro variables desconocidas y dos ecuaciones de restricciones 9. Para encontrar una solución básica, se seleccionan dos de esas variables y se igualan a cero las dos restantes. Si se seleccionan arbitrariamente Xl y X 3 como variables básicas y se iguala X z = X 4 = O, las ecuaciones se convierten en:

2XI + 3(0) + X 3 = 24 2XI + 1(0) + 1(0) = 16 ó

2XI + X 3 = 24 2XI = 16 La solución es Xl = 8, X 3 = 8 (sin olvidar que X z = X 4 = O). Ésta es una solución básica para el ejemplo de programación lineal. Las otras soluciones básicas pueden obtenerse de una manera similar y aparecen en la tabla 3-1. Algunas soluciones requieren de valores negativos para una de las variables. Estas soluciones básicas no son factibles, ya que un problema de PL no permite valores negativos para ninguna de las variables. Cada solución básica corresponde a una intersección de un par de líneas en la figura 3-16. Los puntos A, e, D, y E corresponden a los puntos angulares de la región factible. Los puntos B y F no son soluciones factibles. Por tanto, las solucio9 Para este propósito, no se cuenta con las restricciones no negativas.


TABLA 3-1 Soluciones básicas

Variables externas (iguales acero)

Soluciones variables

Utilidad

93

Letra en la figura 3-16

No factible

Xl y X2 Xl yX3 Xl YX4 X2 y X3 X2 y X4 X3 y X4

X3 = 24, X4 16 8 X2 = 8, X4 X2 = 16, X3 = -24 Xl = 12, X4 = -8 Xl =8, X3 = 8 Xl =6, X2 = 4

56

A E

no factible

F

no factible

B

48 64

e o

O

nes básicas factibles corresponden exactamente a los vértices de la región factible. Antes, en este capítulo, se mostró que la solución óptima para un problema de programación lineal debe ser siempre un vértice. Del mismo modo, la solución óptima

debe ser una solución básica factible. En este problema sencillo, la solución óptima puede encontrarse si se enumeran todas las soluciones básicas, se eliminan las que no sean factibles, se calcula la utilidad de cada una y se selecciona la mejor, como se hace en la tabla 3-1. Sin embargo, un problema en una empresa de tamaño razonable puede tener miles o millones de soluciones básicas factibles, y este procedimiento no sería eficiente. En lugar de ello, se utiliza el método simple. El método algebraico que aquí se expone es el fundamento del resultado que se presenta en los programas de computador para resolver problemas de PL. Hay que reiterar dos puntos importantes. El primero es que las variables ficticias se agregan a la formulación para representar la capacidad no utilizada de algún recurso. Si una restricción es de un tipo mayor o igual al que se utiliza para representar los requerimientos del cliente en el ejemplo de minimización presentado antes:

3X1 + 4X2 ~ 175 entonces, se agrega una variable de excedente, como X 3, de modo que:

ó

3X1 + 4X2 -X3 = 175 donde X3 representa la cantidad (en toneladas) mediante la cual se satisface los requerimientos del cliente. Estas variables ficticias y de excedente son importantes para interpretar soluciones de programación lineal. Un segundo punto es que el número de variables en una solución básica (y por

tanto, en la solución óptima), es igual al número de restricciones del problema de PL (sin contar con las restricciones de no negatividad).

SOLUCiÓN POR COMPUTADOR DE PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN LINEAL El software tiene una amplia aplicación para solucionar de problemas de programación lineal, no sólo en equipos grandes sino aun en los Pe. Un problema muy complejo que involucre miles de variables y restricciones requiere de la capacidad de un

94


gran computador. Sin embargo, los problemas como los de los ejercicios de este libro y los problemas reales de tamaño moderado pueden resolverse de manera efectiva en los Pe. En general, el método que se utiliza para resolver problemas de programación lineal se conoce como método simple, desarrollado en 1957 por George Dantzig. En síntesis, el método simple comienza con una solución básica a partir del método algebraico antes explicado. Luego, se modifica esta solución básica al agregar y retirar una variable, siempre aumentando la utilidad (o reduciendo el costo), hasta que se encuentre una solución óptima. Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes. Al método simple básico se han agregado modificaciones y depuraciones para hacer los programas de computador más precisos y eficientes. En 1984, el doctor N. Karmarkar inventó un método que soluciona problemas de programación lineal mediante un método diferente al simple.Aunque este nuevo método ha demostrado ser eficiente para resolver problemas de PL extremadamente complejos, aún no se sabe cuánto se extenderá su cobertura en el futuro. Existen muchos paquetes de software disponibles para resolver problemas de programación lineal en computadores personales. Uno de esos paquetes es el programa LIND010 (por las iniciales de Linear INteractive Discrete Optimizer). En el apéndice B de este capítulo, se describe el uso del LINDO en problemas de PL. What's Best es otro paquete de programación lineal que está incluido en hojas de cálculo ll . El paquete de más amplio uso en optimización, incluyendo programación lineal, es Solver, que viene con las hojas de cálculo Excel y Quattro Pro. Se presentarán varios ejemplos utilizando este paquete. Considerar el problema que se presentó en la primera parte de este capítulo: una fábrica con dos productos, restricciones en el tiempo disponible para el producto B (véase figura 3-6). La formulación de este problema en una hoja de cálculo Excel se presenta en la tabla 3-1. La parte superior de la figura muestra los números, mientras que la parte media muestra las fórmulas utilizadas en la hoja de cálculo. Los valores para las dos variables de decisión, número de unidades de los productos A y B, están en las celdas Bl y el, respectivamente. Se da una solución que muestra un programa de producción de una unidad de cada producto que, claramente, no es la óptima. Los coeficientes para la función objetivo están en las celdas B4 y C4, y la función objetivo se encuentra en la celda F4. Los coeficientes para las restricciones de tiempo de la máquina y del límite de mercado del producto B, están desde la celda B7 hasta la C9, y el uso total se halla en la columna D. Por ejemplo, la celda D7 contiene la cantidad total de tiempo de la máquina 1, utilizada para este plan de producción (5 horas). La capacidad ficticia o no utilizada se muestra en la columna G. Se recomienda revisar esta formulación de la hoja de cálculo para asegurar su comprensión. Ésta no es la única forma de configurar el problema en una hoja de cálculo, pero tiene ciertas ventajas. Un primer paso para resolver el problema es ingresar al programa Solver que se encuentra en el menú de herramientas de Excel. Es decir, hacer dic en el encabezado Herramientas y luego en la opción Solver. En la pantalla aparecerá la caja de diálogo que se muestra en la figura 3-18. La celda objetivo es la que contiene la función objetivo; en este caso, F4, que se agrega a la celda de la caja de diálogo

10 SCHRAGE, Linus, LINDO, An Optimizatio/l Modeling System, 4 ed., Palo Alto, CA: Scientific Press, 1991. 11 SAVAGE, Sam L, Fast QM, New York: McGraw-Hill, 1993.


95

FIGURA 3-17 Modelo planteado de la hoja de cálculo y soluución al primer ejemplo a;;:;;;;¡¡clitill

B

e

Producto A

Producto B

1

1

A 1

2


E

D

F

Utilidad total

3 4

G

Función objetivo

6

7

13

5

6

Restricciones:

No utilizada

7

Tiempo máquina 1(horas)

2

3

5

<=

24

19

8

Tiempo máquina 2 (horas)

2

1

3

<=

16

13

9

Límite de mercado del producto B

1

1

<=

6

5

Hoja de cálculo con las ecuaciones del modelo

Producto A

1

2

e

B

A


1

E

D

Producto B 1 Utilidad total

3 4

G

F

Función objetivo

=B4*B2+C4*C2

7

6

5 6

No utilizada

Restricciones:

7


2

3

=B7*B2+C7*C2

<=

24

=F7-D7

8


2

1

=B8*B2+C8*C2

<=

16"

=F8-D8

9


1

=B9*B2+C9*C2

<=

6

=F9-D9

D

E

Modelo que muestra la solución óptima

A

Producto A

1

2

e

B


6

Producto B 4 Utilidad total

3 4

G

F

Función objetivo

6

64

7

5 6

No utilizada

Restricciones:

7


2

3

24

<=

24

O

8


2

1

16

<=

16

O

9


4 <=

4

2

1

96


FIGURA 3-18 Caja de diálogo de parámetros Solver

digitando en ella o haciendo dic en la celda correspondiente de la hoja de cálculo. Puede maximizarse o minimizarse si se elige la categoría apropiada para marcar. Las celdas de cambio están en la terminología de Excel para las variables de decisión. Hacer dic en la celda. de esa caja de diálogo y escribir "B2:C2" o destacar las celdas de las variables de decisión en las hojas de cálculo. A continuación, se agregan las restricciones. Al hacer dic en la casilla que dice Add... (Agregar...), aparece la caja de diálogo Add Constraint (Agregar restricción), como en la figura 3-19. La primera restricción que se incorpora es la de que todas las variables de decisión deben ser mayores que cero. Es importante hacerlo, ya que de otro modo, Solver, no asume valores no negativos. Digitar en las celdas "B2:C2" de la casilla Reference (Referencia de celda) o resaltarlas en la hoja de cálculo; la casilla del lado derecho y hacer dic en la flecha hacia abajo para seleccionar el símbolo" > =". Luego, hacer dic en el botón Add (Agregar). Aparece ahora una segunda caja de diálogo, Add Constraint (Agregar restricción), como se muestra en la mitad de la figura 3-19. En la casilla Cell Reference resaltar o digitar en las celdas "D7:D9". Estas celdas contienen la cantidad total de tiempo usado de la máquina y la cantidad total del producto B, los factores que están restringidos. En la caja del lado derecho, resaltar o digitar las celdas "F7: F9", estos son los valores alIado derecho que dan los valores de restricción. A continuación, hacer dic en el botón OK para indicar que se han ingresado todas las restricciones. Debe aparecer la caja de diálogo Parámetros de Solver, como se muestra en la parte inferior de la figura 3-19, mostrando la configuración completa del problema de programación lineal. Sigue un paso final: decirle a Solver que éste es un problema de programación lineal. Para ello, hay que hacer dic en el botón Options (Opciones). En la caja de

Soluciones a problemas de programación lineal FIGURA 3-19 Definir las restricciones en Solver

Primera caja de diálogo Agregar restricción

Segunda caja de diálogo Agregar restricción

Caja de diálogo parámetros de Solver completa

97

98


diálogo que aparece, debe haber una "X" en la casilla junto a Assume Linear Model (Asumir modelo lineal); si no es así, hay que hacer dic en la caja. Después, hacer dic en el botón OK para regresar a la caja de diálogo Solver Parameters. Finalmente, el modelo está listo para resolver, haciendo dic en el botón Salve (Resolver). Después de efectuar algunos cálculos, aparece una caja de diálogo Solver Results (Resultados de Solver) la cual indica que se encontró \,lna solución. Verificar la opción Keep the Solver Solution (Mantener solución Solver) y resaltar los reportes que se deseen guardar. La solución se transfiere a la hoja de cálculo (véase el panel inferior de la figura 3-17). Además, los reportes se guardan en páginas separadas de la hoja de cálculo. Los reportes de respuesta y sensibilidad se muestran en la figura 3-20. El reporte límites es de menos valor y no se estudia. El reporte de respuesta se explica por sí solo, excepto para anotar que Solver utiliza encabezados de filas y columnas como nombres para variables y restricciones. El reporte de sensibilidad que aparece en la figura 3-20 suministra los precios sombra para las restricciones y los rangos para los cuales esos precios son válidos. Además, suministra los costos reducidos para los coeficientes de la función objetivo y los rangos de los coeficientes. De hecho, hay valores que se obtuvieron antes, cuando se utilizó el método gráfico.

Otro ejemplo - Minimización Considerar el ejemplo utilizado en la figura 3-15 que involucra a una fábrica que desea minimizar el costo de operación de dos molinos. La fábrica debe satisfacer los requerimientos del cliente y quiere cumplir con la restricción de que el segundo molino debe funcionar por lo menos las mismas horas que el primero. Revisar la formulación dada previamente en este capítulo. La figura 3-21 muestra la ejecución de este planteamiento en la hoja de cálculo, incluyendo las ecuaciones del modelo. En la parte inferior de la figura 3-21, una caja muestra los valores que deben especificarse en la caja de diálogo Parámeteros de Solver. Finalmente, en la figura 3-22 se presentan los reportes de respuesta y análisis de sensibilidad de Solver. La solución indica que operar cada molino 25 horas por semana, tiene un costo de US$1,500 semanales. La restricción que se muestra en la fila 9 (Customer Requirements-Requerimientos del cliente) es obligatoria y el preció sombra de esta restricción es de US$8.57, lo que indica que cada tonelada adicional cuesta US$8.57; y este valor marginal se mantiene para 105 toneladas. Observar también que la política de restricción es obligatoria para la fábrica, pues el molino 2 es más costoso de operar por tonelada producida. El reporte de sensibilidad muestra que si el molino 2 redujera su costo por día en US$13.33, la solución cambiaría. Este es el inconveniente relativo del molino 2. Al final de este capítulo se presentan varios problemas con ejemplos adicionales de formulación y solución de modelos de programación lineal. Resulta valioso revisarlos, ya que algunos problemas pueden estar organizados de manera diferente en las hojas de cálculo. Esto es particularmente cierto en problemas con el formato de transporte (embarque de fábricas a bodegas, por ejemplo, como en el problema 3-9) o que tienen una dimensión de tiempo (programación de la producción a través del tiempo, por ejemplo, como en el problema 3-11). En este capítulo también se incluyen dos apéndices. El apéndice A ofrece algunas ayudas y advertencias para usar Solver en Excel. Se recomienda revisarlo con cuidado antes de utilizar Solver. El apéndice B ilustra la solución de problemas de programación lineal utilizando el paquete LINDO en Pe. ... Continúa pág. 102


99

FIGURA 3-20 Reportes de Solver

Reporte de respuesta de Solver Celda objetivo(Max)

Celda

Nombre

$F$4

Función objetivo: utilidad total

Valor original

Valor final

13

64

Valor original

Valor final

Celdas ajustables

Celda

Nombre

$8$2

Variables de decisión producto A

1

6

$C$2

Variables de decisión producto 8

1

4

Restricciones

Celda

Nombre

Celda original

Fórmula

Estatus

No utilizadas

$0$7


24

$D$7<=$F$7

Obligatoria

O

$0$8


16

$D$8<=$F$8

Obligatoria

O

$0$9

Límite de mercado producto B

4

$D$9<=$F$9

No obligatoria

2

$8$2


6

$8$2>=0

No obligatoria

6

$C$2

Variables de decisión producto 8

4

$C$2>=0

No obligatoria

4

Celda original

Costo reducido

Reporte de análisis de sensibilidad de Solver Celdas que cambian

Celda

Nombre

$8$2


6

$C$2

Variables de decisión producto B

4

Coeficiente objetivo

Aumento tolerable

Diminución tolerable

O

6

8

1.333333333

O

6

8

4

Restricciones

Celda

Nombre

Celda original

$0$7


24

$0$8


16

$0$9

Límite de mercado producto B

4

Precio sombra 2

O

Disminución tolerable

LD de la restricción

Aumento tolerable

24

4

8

16

8

4

6

1E + 30

2

100


FIGURA 3-21

Modelo de hoja de cálculo para ejemplo de minimización Solución óptima A 1 2

Horas semanales

D

8

C

Molino 1

Molino 2

25

25

E

F

3

4

G

H

No utilizada

Excedente

Total Costo

20

40

1500

5

6

Restricciones:

7

Horas disponibles molino 1

8


9

Requerimientos del cliente (toneladas)

10

25

<=

40

15

1

25

<=

60

35

3

4

175

>=

175

-1

1

1

Política de requerimiento

O

O

O

>=

O

Ecuaciones delmodelo

8

C

1

Molino 1

Molino 2

2

O

O

A

D

'E

F

H

No utilizada

Excedente

Total

3

4

G

20

=B4*B2+C4*C2

40

5

6 7

=B7*$B$2+C7*$C$2

<=

40

=F7-D7

1

=B8*$B$2+C8*$C$2

<=

60

=F8-D8 ,

175

1

8

9

3

4

=B9*$B$2+C9*$C$2

>=

10

-1

1

=B1 0*$8$2+C1 0*$C$2

>=

O

11 12

(Ver arriba para

13

nombres de la columna A)

Valores de Caja de diálogo

Parámetros de Solver Celda objetivo (función objetivo) Objetivo: Celdas que cambian (variables de decisión) Restricciones D7:D8<= F7:F8

F4 Minimizar 82:C2 Horas disponibles por molino

09:010>= F9:F10

Requerimiento del cliente ypolítica de restricción

82:C2>= O

Variables de decisión no negativas

=D9-F9 =D10-F10


101

FIGURA 3-22 Reportes de Solver para ejemplo de minimización Reporte de respuesta de Solver Celda objetivo (Min) Celda

Nombre

$F$4

Costo total

Valor original

Valor final

o

1500

Valor original

Valor final

o o

25

Celdas ajustables Celda

Nombre

$8$2

Horas semanales molino 1

$C$2

Horas semanales molino 2

25

Restricciones Celda

Nombre

Celda original

$0$7


25

$0$7<=$F$7

No obligatoria

15

$0$8


25

$D$8<=$F$8

No obligatoria

35

$0$9


175

$D$9>=$F$9

Obligatoria

O

$0$10

Política de requerimientos

No obligatoria

O

$8$2


25

$8$2>=0

No obligatoria

25

$C$2


25

$C$2>=0

No obligatoria

25

Fórmula

Estatus

O $D$10>=$F$10

No utilizadas

Reporte de análisis de sensibilidad de Solver Celdas que cambian Celda

Nombre

Costo reducido

Celda original


Aumento tolerable


$8$2


25

O

20

10

60

$C$2


25

O

40

1E +30

1.333333333

Restricciones Celda

Nombre

Precio sombra

Celda original

LD de la restricción

Aumento tolerable


$0$7


25

O

40

1E +30

15

$0$8


25

O

60

1E +30

35

$0$9


175

105

175

$0$10

Política de requerimientos

43.75

25.25

175

O

8.571428571

5.714285714

O

102


INTERPRETACiÓN DE SOLUCIONES ALTERNATIVAS Y DEGENERACiÓN En la formulación algebraica, en este capítulo, se indicó que, en un problema de PL con m restricciones, una solución básica tiene exactamente m variables básicas. En la respuesta de Solver pueden determinarse las variables básicas si se identifican las variables de decisión o las variables ficticias o de exceso diferentes a cero. En ocasiones, ocurre que hay menos que m variables diferentes a cero en la solución óptima. Esto significa que apenas una o más de las variables básicas pasa a ser exactamente cero. Esto se conoce como degeneración. En general, la degeneración no es un problema, excepto que se requiere tener cuidado para interpretar algunos de los precios sombra. En particular, cuando se examina el rango del lado derecho de las ecuaciones, un precio sombra en particular puede tener un aumento tolerable de cero, una disminución tolerable de cero, o ambas. En otras palabras, el precio sombra puede mantenerse sólo dentro de un rango limitado o no estar en ninguno. Mientras se reconozca este punto para interpretar el resultado de PL, la degeneración no será un problema en particular. En ocasiones, un problema de PL puede tener más de una solución óptima (véase el ejemplo en la figura 3-4). Cuando la solución no se degenera, este caso es fácil de identificar en el resultado de Solver. Una variable de decisión con un valor cero y un costo reducido cero, indican una solución alterna óptima. De modo similar, una restricción con cero de capacidad no utilizada (o excedente) y un precio sombra cero, también indican una solución alterna óptima. En realidad, encontrar una solución alterna óptima o determinar su hay soluciones alternas cuando existe degeneración, no es fácil de hacer utilizando el resultado Solver y no se estudia aquí.

RESUMEN Este capítulo presenta las ideas básicas en la solución de problemas de programación lineal, primero en la forma de soluciones gráficas y luego en el resultado del software de computador. La solución óptima de un problema de PL es un vértice de la región factible. Este corresponde, en términos algebraicos, a una solución factible básica que contiene m variables básicas (donde m es el número de restricciones). El análisis de sensibilidad de las restricciones implica encontrar primero el precio sombra, el valor marginal para el cambio de una unidad en el valor del lado derecho de la ecuación de la restricción y, en segundo lugar, encontrar un rango de valores donde el precio sombra se mantenga (los rangos LD). El costo reducido es un valor marginal similar, asociado con la introducción de una unidad a una variable de decisión en la solución óptima. Los rangos del coeficiente de la función objetivo suministran análisis de sensibilidad adicionales. Estos rangos indican los cambios en los coeficientes de la función objetivo dentro de la cual la solución óptima sigue siendo la misma. El software de computador está ampliamente disponible para solucionar problemas de PL. Se presenta el programa Solver, disponible en Excel y otras hojas de cálculo, e incluye formulación de modelos de hojas de cálculo, optimización e inter-

pretación del resultado de sensibilidad. El resultado de otro software de PL es similar, incluyendo el de LINDO, descrito en el Apéndice B.


103

APÉNDICE A SUGERENCIAS PARA UTILIZAR EXCEL SOLVER Solver, ejecutado en Excel y otras hojas de cálculo, es una herramienta general de optimización. Esto significa que puede utilizarse para resolver problemas que involucren variables enteras y funciones no lineales, al igual que lineales. Los problemas no lineales y de enteros son mucho más difíciles de resolver. Por tanto, hay muchas características de Solver que no son necesarias para los problemas estándar formulados en la programación lineal. Además, debido a que es tan flexible, Solver puede ser en ocasiones bastante difícil, por ello, estas sugerencias están diseñadas para introducir a cualquier usuario al programa Solver con mínimas dificultades.

Sugerencia 1. Mirar las instrucciones para utilizar Solver que se encuentran en la Excel Users Guide (Guía para usuarios de Excel) o utilizar la función Help (Ayuda) de Excel. Esta última, se encuentra disponible dentro del programa Excel mismo, de modo que puede accederse a él si se encuentran dificultades para plantear un problema. Antes de utilizar Solver, hay que revisar, por lo menos, las fuentes de información. Excel también cuenta con excelentes ejemplos de modelos de programación lineal en Solver l2 , que se encuentran en:

Windows

Macintosh

Workbook: Directorio:

SOLVSAMP.xLS en Excel\Examples\Solver

Workbook: Carpeta:

Muestras de Solver en Ejemplos Solver

El segundo ejemplo (Rutas de embarque) y el cuarto (Maximizar ingresos) son prototipos de programación lineal. El tercer ejemplo (Programar staff) también es un modelo lineal pero implica variables de enteros. El primero (mezcla de producto) tiene una función objetivo no lineal. La sugerencia 1 incluye por lo menos una rápida mirada a los ejemplos segundo y cuarto.

Sugerencia 2. Utilizar el formato de modelo estándar para configurar el modelo de la hoja de cálculo Excel. Todos los modelos de programación lineal pueden formularse en un formato de modelo estándar como sigue Variables de decisión: Xl' X 2, X 3 ... X n Objetivo: Maximizar (o minimizar) CIXI

+ C7J(2 + C3X 3 + ... + Cwr-N

Sujeta a:

Variables de decisión no negativas: 12

Estos ejemplos también están descritos en el capítulo de Solver de la Excel Users Cuide.

104


Los valores para C¡ y aij son constantes. Los valores bj también son constantes y se llaman valores del lado derecho de la ecuación (o LD). Estos son los valores de restricción. Las restricciones se muestran por encima como menor que o igual a (~), pero pueden ser igualdades (=), o mayor que o igual a (2::). Todos los ejemplos utilizados en este capítulo se formularon en formato estándar, de modo que si se desea, puede revisarse para ver ejemplos concretos. Una vez que se ha formulado un problema de programación lineal en el formato estándar, puede ejecutarse en la hoja de cálculo como se muestra en la figura 3-23.Como se indica, cada variable de decisión está asignada a una columna, con el nombre de la variable en la parte superior. Una fila está reservada para los valores mismos de la variable de decisión (es decir, la solución al problema). Las constantes del programa lineal se entran en tres bloques. Los coeficientes de la función objetivo (los C¡) están en una fila (fila 4 de la figura 3-23); los coeficientes de restricción (las ay) están en un conjunto ubicado hacia la mitad de la tabla; y las constantes del lado derecho de la ecuación (LD) las (bj ) están en la columna de la derecha de la hoja de cálculo (columna Q en la figura 3-23). Cada restricción tiene un nombre, en la columna A, que la identifica. Las ecuaciones de restricción reales están en una columna alIado del grupo de coeficientes de restricción (Columna O). Estas celdas contienen fórmulas que se refieren a las celdas de la variable de decisión y a las que poseen los coeficientes de restricción. Se llaman el lado izquierdo (L!) de las desigualdades (o igl.!-aldades), y presentan la cantidad real del recurso que se utiliza en la solución de una restricción dada. La diferencia entre esta cantidad y los límites de la capacidad (valores LD) se muestran en la columna R, identificada como No utilizada o Excedente. Finalmente, la función objetivo se muestra en la celda Q4. Además, esta fórmula involucra las variables de decisión y las constantes de coeficientes de la función objetivo. Utilizar este formato tiene varias ventajas. Formular un problema de programación lineal en un formato estándar garantiza la enunciación correcta; además, resulta fácil de aplicar, en particular, si se utiliza la función SUMPRODUCT, que va a estudiarse brevemente; de igual manera, los reportes de respuesta y sensibilidad de Solver están identificados en forma apropiada y por consiguiente son fáciles de entender. Sugerencia 3. Utilizarla función SUMPRODUCT. Ésta es una función de la hoja de cálculo que hace mucho más fácil la formulación de los problemas de PL. Considerar parte de la hoja de cálculo que se presenta en la figura 3-24. Las variables de decisión están en las celdas B2 a D2. Los coeficientes para la restricción de tiempo de la máquina (fila 6) indican que toma tres horas para el producto A, 5 horas para el producto By 2 horas para el producto C. La ecuación de restricción, que indica el tiempo que se utiliza la máquina, en general, se escribe en la hoja de cálculo como sigue:

= B2 * B6 + C2 * C6 + D2 * D6 Observar que el grupo de celdas B2, C2 y D2 forman un GlTeglo o conjunto ordenado que se escribe como B2:D2 (un an'eglo o conjunto ordenado es un grupo de celdas con forma rectangular). Las celdas de la restricción también forman un conjunto identificado como B6: D6.


105

FIGURA 3-23 Formato estándar de la hoja de cálculo para un problema de programación lineal A

B

1

2

C

E

D

Nombre de Nombre de Nombre de . Nombre de la variable la variable la variable la variable de decisión 1 de decisión 2 de decisión 3 de decisión 4 Variables de decisión

I

...

N

...

Nombre de la variable la variable N

O

P

R

I

Valores de las variables de decisión x1, x2 ...

3

4

Q

Total Función objetivo

r

Total función objetivo

I

Coeficientes de la función objetivo GI , G2 ...

5

No utilizado o excedente

6

7 <=

1----

8

Ecuaciones 1---- límites O de de restricción restricción -

9 10 11 12

Valor de los coeficientes de restricción

Nombre de cada restricción

= (Lado 1---- (Lado derecho) izquierdo)

aij

Diferencia entre lado derecho y lado izquierdo

1----

13 ~

14

1--

...

=

25

FIGURA 3-24 Ilustración de la función SUMPRODUCT A

B Producto A

1

2

C


Producto B 1

E

D

F

Producto C 2

3 Total

3

4

G

Función objetivo

10

20

25

3

2

1

5

6

Tiempo de la máquina

.1'19

7 I

I

Fórmula= B2*B6+C6*C6+D2*D6

Fórmula alterna:

I

= SUMPRODUCT (B2:D2,B6:D6)

r

/

<=

100

/1 /

/

/ / J r

;¡¡;¡¡¡; WIiLi

106

Análisis cuantitativo La función SUMPRODUCT toma la forma de 13 : SUMPRODUCT(conjunto 1, conjunto 2) o, para nuestro ejemplo: SUMPRODUCT(B2:D2, B6:D6 Lo que significa que multiplica los elementos individuales del primer conjunto por los correspondientes del segundo; luego, suma estos productos. Es decir, produce el mismo resultado de la fórmula detallada antes. Con apenas tres variables, esto no parece particularmente útil; sin embargo, hay que pensar en el aspecto que tendría la fórmula regular con 20 ó 50 variables, mientras que la función SUMPRODUCT sería casi la misma. La función SUMPRODUCT puede usarse para todas las ecuaciones de restricción. Después de configurar la primera, puede copiarse hacia abajo en las demás celdas 14 . La función objetivo también puede utilizar la función UMPRODUCT. Al final de este capítulo, se presentan varios problemas con modelos de PL formulados utilizando la función SUMPRODUCT. En particular, se recomienda los problemas 9, 10, 11 Yla respuesta al problema 3, al final de este capítulo. Sugerencia 4. Antes de utilizar Solver para solucionar un modelo de programación lineal, se recomienda revisar con cuidado el planteamiento en la hoja de cálculo, pues es muy frustrante que el programa diga que no puede hallar una solución, sólo porque la hoja de cálculo contiene un pequeño error. Verificar las ecuaciones que se han ingresado. Además, ensayar con diferentes valores para las variables de decisión, mirar los resultados y establecer si son correctos y tienen sentido. Sugerencia 5. Asegurarse de no tener relaciones no lineales en el modelo. El uso de ciertas funciones de la hoja de cálculo, en ocasiones, puede causar problemas. Las funciones SUM y SUMPRODUCT son lineales, además de ser útiles. Sin embargo, funciones financieras como IRR (Internal Rate o Return: tasa o retorno interno) y NPV (net present value: valor presente neto), funciones matemáticas como LOG (logaritmo) y funciones lógicas como IF (si), son no lineales y pueden ser difíciles en su maneJo. Sugerencia 6. Verificar la caja Assume Linear Model (Asumir modelo lineal) en la caja de diálogo Solver Options (Opciones de Solver). Esto garantiza que el procedimiento de programación lineal sea eficiente, y no se dilate en un proceso de búsqueda general. Sugerencia 7. Utilizar una escala apropiada. Todos los programas de computador hacen cálculos con un número limitado de dígitos de precisión. Si se tiene un grupo de constantes en el modelo con valores como 245,732 y otras con valores como 0.00006731, Solver puede dar una respuesta incorrecta o no encontrar una solución óptima, entonces, hay que determinar de nuevo la escala: en lugar de dólares habrá que utilizar miles o millones de dólares; en lugar de kilos, toneladas, etc. El objetivo es lograr que los coeficientes tengan el mismo orden de magnitud.

13 La función SUMPRODUCT tendrá entre 2 y 30 conjuntos; pero, para el propósito del ejemplo, sólo se utilizarán dos conjuntos. Un conjunto tiene más de una fila o columna y esto resulta útil en algunas formulaciones que no siguen el formato estándar. 14 Para copiar, no olvidar establecer la referencia de las celdas de la variable de decisión como referencias absolutas. Por tanto, la primera función sería: = SUMPRODUCT($B$2:$D$2, B6:D6).


107

Sugerencia 8. Definir las restricciones en la caja de diálogo Solver Agregar restricción.Allado derecho de las restricciones, hay que poner sólo constantes (como O) o

referencias a celdas que contengan constantes. En especial, no hay que poner referencias de celdas que varíen cuando la solución cambie. Solver puede tener dificultades si las celdas de las variables están alIado derecho. Claro que si se utiliza el formato estándar de la Sugerencia 2, esta precaución resulta innecesaria.

APÉNDICE B USO DE LINDO EN PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN LINEAL LINDO (por las iniciales de Linear INteractive Discrete Optimizer)15 es un popular paquete de software para resolver problemas de programación lineal en Pe. Es un paquete independiente, es decir que no se encuentra en una hoja de cálculo. En primera instancia, el problema está formulado en términos algebraicos, como se hizo al comienzo de este capítulo. Sin embargo, las variables de decisión pueden tener nombres cortos; en este caso, PRODAy PRODB, para las unidades de los productos A y B, respectivamente. Los problemas se incorporan al computador en este formato de formulación. Véase la tabla 3-2 para el problema que se analizó a lo largo de este capítulo, la solución y los comentarios se encuentra en ella. Observar que el resultado incluye no sólo la solución sino también el costo reducido de cada variable, los precios sombra (LINDO los llama precios duales) para las restricciones y los rangos para los coeficientes objetivo y los valores del lado derecho de la ecuación.

Otro ejemplo El ejemplo de la figura 3-15 involucra a una fábrica que trata de minimizar el costo de operar dos molinos a la vez que cumple con los requerimientos del cliente. La formulación de LINDO se presenta en la tabla 3-3, exactamente como se ingresa al computador, y también se da la solución. Las variables MILLl y MILL2 se refieren a las horas semanales en el primer molino y en el segundo, respectivamente. Hay que recordar que la solución requiere que cada molino trabaje 25 horas. La otra restricción se refiere a los requerimientos del cliente, que son de 175 toneladas. El precio dual o precio sombra para esta restricción es US$8.57, lo que significa que cada tonelada adicional cuesta US$8.57; este valor marginal se mantiene para una adición de 105 toneladas.

BIBLIOGRAFíA

EPPEN, G. D.; EJ. GOULD; and C. SCHMIDT, Introducción to Management Science, 4th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993. HILLIER, F., and G. J. Lieberman, Introduction to Operations Research, 6th ed, New York: McGrawHill,1995.

RUBIN, D., and H. Wagner. "Shadow Prices: Tips and Traps for Managers and I,nstructors", Intelfaces, July-August 1990, pp. 150-57. SAVAGE, Sam, Fast QM. New York: McGraw-Hill, 1993. SCHRAGE, Linus, LINDO: An Optimization Modeling System. 4Th ed., Palo Alto: Scientific Press, 1991. Users Guide: Microsoft Excel, Microsoft Corp, 1994.

15 SCHRAGE, Linus, LINDO: An Optimization Modeling System, 4 ed., Palo Alto: Scientific Press, 1991.

TABLA 3-2 Solución en computador con el paquete LINDO MAX SUBJECT TO

Comentarios

6PRODA+7PRODB

Formulación: PRODA y PRODB son variables de decisión 2. Restricción de la máquina 1. 3. Restricción de la máquina 2. 4. Restricción de la demanda de mercado.

2) 2 PRODA + 3 PRODB <:::24 3) 2 PRODA + PRODB <::: 16 4) PRODB<::: 6 END OPTIMUN FOUND AT STEP 2

LP óptima encontrada después de examinar dos vértices. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 64.0000000

La utilidad óptima es de US$64.

VARIABLE PRODA PRODB ROW 2) 3) 4)

VALOR 6.000000 4.000000 SLACK OR SURPLU8 .000000 .000000 2.000000

VARIABLE

CURRENT COEF 6.000000 7.000000

PRODA PRODB

ROW

CURRENT RH8 2 24.000000 3 16.000000 4 6.000000

La solución óptima es 6 unidades del producto A y 4 unidades del producto B; los costos reducidos son de cero porque en ambos casos se produce alguna cantidad de cada producto.

COSTOS REDUCIDOS .000000 .000000 DUAL PRICES 2.000000 1.000000 .000000 LLOWABLE INCREASE 8.000000 2.000000

No existe inactividad en las restricciones 2. y 3. La no utilización en la restricción 4. implica demanda no usada para el producto B. Se muestran los precios duales (precios sombra). ALLOWABLE DECREA8E 1.333333 4.000000

RICHTHAND SIDE RANGE8 ALLOWABLE LLOWABLE DECREA8E INCREA8E 8.000000 4.000000 4.000000 8.000000 2.000000 Infinito

Rangos' donde la solución óptima es la misma. Rangos donde el conjunto de variables de la solución básica es la misma.


109

TABLA 3-3 Resultado de LINDO para el segundo ejemplo

MIN20 MILL1 + 40 MILL2 SUBJECTTO 2) MILL1 <= 3) MILL2 <= 4) 3 MILL1 + 4 MILL2 >= 5) -MILL1 + MILL2 > =

40 60 175 O

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

1500.00000

VARIABLE MILL1 MILL2

VALUE 25.000000 25.000000

REDUCED COST .000000 .000000

ROW 2) 3) 4) 5)

SLACK OR SURPLUS 15.000000 35.000000 .000000 .000000

DUAL PRICES .000000 .000000 -8.571428 -5.714285

NO INTERACTIONS = 2 RANGES IN WITCH THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE MILL1 MILL2 ROW 2 3 4 5

CURRENT COEF 20.000000 40.000000

OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE INCREASE 9.999999 Infinito

ALLOWABLE DECREASE 60.000000 13.333330

CURRENT RHS 40.000000 60.000000 175.000000 .000000

OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE INCREASE Infinito Infinito 105.000000 43.750000

ALLOWABLE DECREASE 15.000000 35.000000 175.000000 26.250000

PROBLEMAS PRÁCTICOS16 3-1. Solucionar gráficamente el siguiente problema:

Maximizar U = 2XI + 5X2 Sujeta a: Xl + 3X2 :5:: 16 4XI + X 2 :5:: 20 X 2 :5:: 4 X IX 2

~

Producto A

Producto B

$60

$40

Precio de \,lenta Costo incremental Rentabilidad incremental

$30

$10

-

-

$30

$30

O

3-2. Una compañía vende dos productos diferentes, Ay B. El precio de venta y la información del costo incremental es como sigue:

Los dos productos se elaboran en un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30,000 horas de mano de obra. Se requieren tres horas para producir una unidad de A y de una hora para pro-

16 Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de este capítulo.

110


ducir una unidad de B. Se hizo un estudio de mercado, por ello, los directivos de la empresa consideran que la cantidad máxima de unidades de A que pueden venderse es 8,000; y de B es 12,000 unidades. Sujetos a estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. a. Solucionar el problema de forma gráfica para encontrar la mezcla óptima de producto. Considerar cada caso por separado del literal b. al d. Además, convertir todas las unidades a millares. Resolver de manera gráfica. b. Suponer que en realidad la cantidad máxima de unidades del producto A que pueden venderse es de 9,000 (y no 8,000 como en el caso base). ¿Qué efecto tiene esto en la solución? ¿Cuál es el efecto en la utilidad? ¿Cuál es el precio sombra para la restriéción en el límite de ventas para el producto A? c. Suponer que en realidad la cantidad máxima de unidades del producto B que pueden venderse es de 13,000 (y no 12,000 como en el caso base). ¿Qué efecto tiene esto en la solución? ¿Cuál es el efecto en la utilidad? ¿Cuál es el precio sombra para la restricción en el límite de ventas para el producto B? d. Suponer que se dispone de 31,000 horas de mano de obra y no de 30,000 como en el caso base ¿Qué efecto tiene esto en la solución? ¿Cuál es el efecto en la utilidad? ¿Cuál es el precio sombra para la restricción en el número de horas de mano de obra? e. Remitirse a los literales b, c, d y determinar gráficamente laque significan los rangos del lado derecho de la ecuación respecto a los precios sombra para cada una de las tres restricciones. 3-3 Una fábrica produce cuatro productos: A, B, Cy D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y vale US$10 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y vale US$5 en el inventario en proceso. Cada unidad de C necesita de 2Y2 horas de maquinado, 2Y2 horas de montaje y vale US$2 en el inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y vale US$12 en el inventario en proceso. La fábrica dispone de 1,200 horas de maquinado y 1,600 horas de montaje. Además, no puede disponer demás de US$lO,OOO en el inventario en proceso. Cada unidad del producto A tiene una utilidad de US$40; cada unidad de B, de US$24; cada,unidad de C, de US$36, y cada unidad de D, de US$23. No pueden venderse más de 200 unidades de A; no más de 160 de C, y puede venderse cualquier cantidad de unidades de los productos B y D. Sin embargo, para cumplir con un contrato, deben producirse y venderse por lo menos 100 unidades del producto D. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad

de él o no se tiene una solución, se recomienda ver la respuesta al final de este capítulo). Luego, responder las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la solución a este problema? ¿Cuántas unidades se producen de cada producto y en cuáles restricciones no hay inactividad o hay excedente? ¿Cuál es la utilidad óptima? b. ¿Cuánto es el valor de una hora adicional de maquinado? ¿Cuánto el de una hora adicional de montaje? ¿Cuánto el de US$l adicional en el capital de trabajo para el inventario en proceso? c. Suponer que la empresa puede invertir dinero en publicidad, a fin de aumentar la demanda de los productos A oc. ¿Cuánto.podría invertir la empresa para aumentar la demanda del producto A en una unidad? ¿Cuánto para aumentar la demanda del producto C en una unidad? d. Si el contrato para el producto D fuera de 130 unidades (en lugar de 100), ¿qué efecto tendría en la utilidad? e. Si la utilidad por unidad del producto C fuera US$46 (y no US$36), ¿cómo cambiaría la solución?, es decir, ¿cuánto tendría que producirse de cada producto? ¿En cuánto cambiaría la utilidad? f Un nuevo producto, el producto E, está en consideración. Requiere de 2 horas de maquinado, 5 horas de montaje y US$20 en capital de trabajo. La utilidad por unidad es US$50. ¿Debe producirse alguna unidad del producto E? 3-4 La empresa U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el año próximo. La compañía hace cinco clases de préstamos, que se indican a continuación, junto con el retorno anual (en porcentaje) para la empresa.

Tipo de préstamo Préstamos quirografarios Préstamos sobre/para muebles Préstamos sobre/para vehículo Hipoteca de segundo grado Hipoteca de primer grado

Retorno anual (en porcentaje) 15%

12 9

10 7

Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites sobre las cantidades de los distintos tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder el 20% de la cantidad total de préstamos. Las hipotecas de primer grado deben ser, por lo menos, 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% del total de los préstamos. Las hipotecas de segundo grado no pueden superar el 25% del total de los préstamos.

resultante de la venta de los cuatro productos.

La empresa quiere maximizar los ingresos de los in-

Plantear y resolver este problema utilizando el paquete Solver de la hoja de cálculo (Si no se dispone

tereses sobre préstamos, sujetos a las anteriores restricciones. La empresa puede prestar un máximo de

Soluciones a problemas de programación lineal US$1.5 millones. Plantear el problema como un modelo de programación lineal. Si se tiene acceso a un computador y al programa Solver, debe encontrarse la solución óptima. En caso contrario, se recomienda ver la formulación de la hoja de cálculo y consultar el resultado con Solver al final de este capítulo. Después, responder las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la solución a este problema? ¿Cuánto debe prestar la empresa para cada tipo de préstamo? ¿Cuál es el rendimiento total que se espera de este plan? b. Si la empresa pudiera conseguir fondos adicionales para aumentar la cifra de US$1.5 millones

111

disponibles para préstamos, ¿cuál sería el rendimiento de cada dólar adicional? ¿Sobre qué rango se mantendría este valor? c. Si el rendimiento anual para las hipotecas de segundo grado aumentara de 10% a 12%, ¿qué efecto tendría sobre la solución al problema, es decir, sobre el portafolio de préstamos? ¿Qué efecto tendría sobre el rendimiento total? Si la tasa para las hipotecas de segundo grado fuera de 14%, ¿qué efecto tendría? ¿Qué tan alta tendría que ser la tasa para las hipotecas de segundo grado antes de que tuviera efectos sobre el portafolio de préstamos?

PROBLEMAS 3-5 Solucionar de manera gráfica el siguiente problema de minimización: Maximizar: Sujeta a: Xl

e=

4X1 + 2X2

Xl ~ 6 ~ 10

+X2 Xl ,X2

~

O

3-6 Se quiere seleccionar una agencia de publicidad que llegue a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a US$25,000 y amas de casa de familias con ingresos inferiores a US$25,00017. Se Considera que las personas del primer grupo comprarán el doble de producto que las personas del segundo, y la meta es maximizar las compras. Debe hacerse publicidad en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta US$40,000 y llega a 20,000 personas del primer grupo aproximadamente y a 80,000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta US$24,000 y llega a 60,000 personas del primer grupo y a 30,000 del segundo. (Para este problema se supone que la audiencia de la revista no está sobrepuesta a la de la televisión). Se necesitan por lo menos 6 unidades de publicidad en televisión y no más de 12 unidades de publicidad en revistas, por razones de la política interna de la empresa. El presupuesto de publicidad es de US$360,000. Para encontrar la solución óptima, resolver el problema de forma gráfica. 3-7 La empresa Delight Dairy Company (DD) produce una amplia línea de productos lácteos. Con el fin de planear la producción, los productos se agruparon en dos clases mayores: helados de crema (muchos sabores, muchos tamaños de empaque) y especialidades (barras de helado, emparedados de helado, conos de helado pre-empacados, etc.). Cada clase cuenta con su propio empaque distintivo, pero las

dos clases utilizan una sola máquina común para la preparación de helados de crema; también utilizan la misma mano de obra experimentada para producir y empacar cada clase de producto. El helado de crema requiere dos horas de trabajo en la máquina, una hora en su propia línea de empaque y tres horas de mano de obra para producir 1,000 galones de producto terminado. Las especialidades requieren de una hora en la máquina, una hora en su propia línea de empaque y seis horas de mano de obra para producir el equivalente a 1,000 galones de producto terminado. DD puede vender 1,000 galones de helado de crema a US$900 y 1,000 galones de especialidades a US$1,500 (los costos de la materia prima son aproximadamente iguales para los 1,000 galones de cada clase de producto). En la actualidad, la empresa trabaja en un turno de operación (40 horas semanales) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un trabajador por % del tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de mano de obra por semana. a. Formular un modelo de programación lineal para planear la producción de Delight Dairy y solucionar el problema de manera gráfica. b. Si se pudiera disponer de 10 horas adicionales de mano de obra (convirtiendo el cargo de % de tiempo en un puesto de tiempo completo), ¿qué representaría esto para la solución? Demostrar el resultado gráficamente. Calcular el precio sombra para una hora adicional de mano de obra. c. ¿Cuántas horas adicionales de mano de obra pueden agregarse antes de que cambie el precio sombra calculado en b? Mostrar gráficamente el resultado. d. Remitirse al caso base descrito en a. Si la competencia obliga a que el precio del helado de crema baje de US$900 a US$600 para 1,000 galones, ¿cambiaría el plan de producción para DD? Si es así, ¿cuál sería el nuevo plan?

T., ''An Exploration of Linear Programming in Media Selection", Joumal of Marketing Research 3; 1966.

17 Este problema fue adaptado de BASS F. M, and LONSDALE, R.

112


FIGURA 3-25 Hoja de cálculo para la formulación del problema de transporte del fabricante de jabón A

B

C

O

1

E

F

H

G

I

Costo de enviar 1,000 cajas de jabón

2

Desde Hasta

3

Cincinnati

240

300

160

500

360

4

Denver

420

440

300

200

220

5

Atlanta

300

340

300

480

400

Nueva York

Bastan

Chicago

Los Ángeles

Dalias

Costo total

6

36,000

7 8

9

Cantidades despachadas Desde Hasta

Nueva York

Cincinnati

Bastan

40

Chicago

Los Ángeles

60

O

Dalias

Total enviado

O

O

10

Denver

O

11 I

Atlanta

10

10

Total recibido

50

10

60

30

20

>=

>=

>=

>=

>=

50

10

60

30

20

O

O

30

O

20

O

O

Capacidad de la fábrica

100

<=

100

50

<=

60

20

<=

50

12 13 14 15

Necesidad en bodega

FIGURA 3-26 Hoja de cálculo de las ecuaciones del modelo A

B

C

O

E

F

Desde Hasta

Nueva York

Bastan

Chicago

Los Ángeles

Dalias

G

H

I

1 2 3 ,

Cincinnati

240

300

160

500

180

4

Denver

420

440

300

200

220

5

Atlanta

300

340

300

480

400

Costo total =SUMPRODUCT(B3:F5,B9: F11)

6 7

8

Desde Hasta

9

Cincinnati

10

Denver

11

Atlanta

Nueva York 40

O 10

Bastan

Los Ángeles

Chicago

O O 10

60

O O

O 30

O

Dalias

Total enviado

O =SUM(B9:F9) <=

100

SUM(B10:F1O <=

60

O -SUM(B11:F11 <=

50

20

12 13

Total recibido =SUM(B9:B11) =SUM(C9:C11) =SUM(D9:D11) =SUM(E9:E11 ) =SUM(F9:F11)

14 15

Necesidad

en bodega

Capacidad de la fábrica

>=

>=

>=

>=

>=

50

10

60

30

20

Soluciones a problemas de programación lineal 3-8 Remitirse al problema 3-7 (Delight Dairy). Formular el problema en una hoja de cálculo y resolverlo utilizando el paquete Solver. Luego, responder del literal b al d, como se indica en el problema 3-7. 3-9 Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas en Cincinnati, Denver y Atlanta. Las bodegas están localizadas en Nueva York, Boston, Chicago, Los Ángeles y Dalias. El problema de decisión es saber cuál de las fábricas debe atender a cada bodega. El modelo se formuló enJa hoja de cálculo de la figura 3-25. Los costos de enviar 1,000 cajas desde cada fábrica hasta cada bodega se muestran de la celda B3 a la F5, en la parte superior de la hoja de cálculo. Las variables de decisión (las cantidades a enviar en cada ruta) se muestran de la celda B9 a la Fll, en la parte inferior de la figura. Se muestra además el programa de

FIGURA 3-27 Información para la caja de diálogo Parámetros de Solver

FIGURA 3-28 Reporte de respuesta de Excel Solver para el problema de transporte

despachos óptimo. Las restricciones se relacionan con la capacidad de las fábricas (columna 1) y las cantidades necesarias en cada bodega (fila 15). La figura 3-26 muestra las ecuaciones del modelo. La función objetivo en la celda 16 es la función SUMPRODUCT para los costos y las cantidades de despacho. Multiplicar cada cantidad enviada por el costo y luego sumarlas. Sumar la columna G (cantidades enviadas) y la fila 13 (cantidades recibidas en cada bodega), Finalmente, la figura 3-27 muestra el contenido de la caja de diálogo Parámetros de Solver (Solver Parameters). Para entender el planteamiento, de manera adecuada, se recomienda revisar estas hojas de cálculo con cuidado. La figura 3-28 presenta el reporte de respuesta de Solver y la figura 3-29, el reporte de sensibilidad de Solver para este problema. Responder las siguien-

Parámetros Solver Celda objetivo (función objetivo)

16

Objetivo:

Minimizar

Celdas de cambio (variables de decisión)

B:9F11

Restricciones

89:F11 > =O G9:G11 < =19:111 813:F13 > = B15:F15

Variables de decisión no negativas Restricciones en la capacidad de la fábrica Necesidades de la bodega que se deben satisfacer

Celda objetivo (Min) Celda

Nombre

$1$6

Costo total

113

Valor original

Valor final 36,000


Nombre

Valor original

Valor final

$B$9

Cincinnati Nueva York

O

$C$9

Cincinnali Bastan

O

$0$9

Cincinnati Chicago

O

$E$9

Cincinnati Los Ángeles

O

O

$F$9

Cincinnati Dalias

O

O

$B$10

Denver Nueva York

O

O

$C$10

Denver Bastan

O

O

$0$10

Denver Chicago

O

O

$E$lO

Denver Los Ángeles

O

30

$F$10

Denver Dalias

O

20

$B$11

AlIanta Nueva York

O

10

$C$11

AlIanta Bastan

O

10

$0$11

AtIanta Chicago

O

O

$E$11

Atlanta Los Ángeles

O

O

$F$11

Atlanta Dalias

O

O

40 O

60

continuación

,

114


FIGURA 3-28 (conclusión)

Restricciones Valor de celda

Fórmula

Estatus

Celda

Nombre

$B$13

Total recibido Nueva York

50

$B$13>=$B$15

Obligatoria

O

$C$13

Total recibido Bastan

10

$C$13>=$C$15

Obligatoria

O

$D$13

Total recibido Chicago

60

$D$13>=$D$15

Obligatoria

O

$E$13

Total recibido Los Ángeles

30

$E$13>=$E$15

Obligatoria

O

$F$13

Total recibido Dalias

20

$F$13>=$F$15

Obligatoria

O

$G$9

Cincinnati total despachado

$G$9<=$1$9

Obligatoria

O

$G$10

Denver total despachado

50

$G$1 0<=$1$1 O

No obligatoria

10

$G$11

A!lanta total despachado

20

$G$11<=$1$10

No obligatoria

30

$B$9


40

$B$9>=0

No obligatoria

40

$C$9

Cincinnati Boston

$C$9>=0

Obligatoria

$0$9

Cincinnati Chicago

$0$9>=0

No obligatoria

$E$9

Cincinnali Los Ángeles

O

$E$9>=0

Obligatoria

O

$F$9

Cincinnati Oallas

O

$F$9>=0

Obligatoria

O

$B$10

Denver Nueva York

O

$B$10>=0

Obligatoria

O

$C$10

Oenver Bastan

O

$C$10>=0

Obligatoria

O

$0$10

Oenver Chicago

O

$0$10>=0

Obligatoria

O

$E$10

Oenver Los Ángeles

30

$E$10>=0

No obligatoria

30

$F$10

Denver Dalias

20

$F$10>=0

No obligatoria

20

$B$11

A!lanta Nueva York

10

$B$11>=0

No obligatoria

10

$C$11

A!lanta Boston

10

$C$11>=0

No obligatoria

10

$0$11

A!lanta Chicago

O

$0$11>=0

Obligatoria

O

$E$11

A!lanta Los Ángeles

O

$E$11>=0

Obligatoria

O

$F$11

A!lanta Dalias

O

$F$11>=0

Obligatoria

O

100

O 60

No utilizada

O 60

_:iriiiiiW3¡¡¡¡¡¡¡a:a

tes preguntas con base en la hoja de cálculo y los reportes de Solver. a. Escribir el plan óptimo de producción y despachos para este fabricante. b. Suponer que, por razones de política interna, la empresa quiere enviar por lo menos 1,000 cajas de Cincinnati a Dallas, ¿esto aumentaría el costo? ¿En cuánto? c. Suponer que la empresa está considerando impulsar un programa de marketing para aumentar las ventas en las regiones de las bodegas. Si todo lo demás es igual, excepto los costos de embarque, ¿cuál de esas regiones tendría la utilidad más alta? d. Si la capacidad de la planta de Cincinnati se aumenta en 10%, con tiempo adicional, y un costo de US$l,OOO, ¿conviene hacerJonpor qué? e. En el plan óptimo, la planta de Cincinnati no en-

vía jabón a la bodega de Dallas; pero si el departamento de despachos negociara un precio, muy favorable, de US$180 por cada 1,000 cajas para la ruta Cincinnati-Dallas, ¿ el plan de despacho óptimo cambiaría? ¿Cómo se sabe? 3-10. Un fabricante de televisores ofrece cuatro modelos: un televisor portátil en blanco y negro llamado Sport; un televisor de tamaño regular en blanco y negro llamado Standard; un aparato portátil a color llamado Traveler; y un aparato de tamaño regular a color llamado Super. Cada televisor requiere de tiempo de ensamble y prueba. Los requerimientos de montaje y prueba para cada modelo están en la tabla 3-4, junto con la cantidad de tiempo disponible para cada uno de estos pasos. Además, debido a una huelga, hay escasez de tubos de imagen. El proveedor de estas piezas advierte que no podrá sumi-


FIGURA 3-29 Reporte de sensibilidad de Excel Solver para el problema de transporte

115

Celdas de cambio

Nombre

Valor

Costo

Coeficiente

final

reducido

objetivo

tolerable

tolerable

Aumento Disminución

Celda $B$9


40

O

240

20

80

$C$9

Cincinnati Bastan

O

20

300

1Et30

20

$D$9

Cincinnati Chicago

60

O

160

80

220

$E$9

Cincinnati Los Ángeles

O

360

500

1Et30

360

$F$9

Cincinnati Dalias

O

200

360

1Et30

200

$B$10

Denver Nueva York

O

120

420

1Et30

120

$C$10

Denver Bastan

O

100

440

1Et30

100

$D$10

Denver Chicago

O

80

300

1Et30

80

$E$10

Denver Los Ángeles

30

O

200

280

200

$F$10

Denver Dalias

20

O

220

180

220

$B$11

Atlanta Nueva York

10

O

300

80

20

$C$11

Atlanta Bastan

10

O

340

20

340

$D$11

Atlanta Chicago

O

80

300

1Et30

80

$E$11

Atlanta Los Ángeles

O

280

480

1Et30

280

$F$11

Atlanta Dalias

O

180

400

1Et30

180

Restricciones

Nombre final

Valor sombra

. Precio Lado derecho tolerable restricción

Aumento Disminución tolerable

Celda $B$13

Total recibido Nueva York

50

300

50

30

10

$C$13

Total recibido Bastan

10

340

10

30

10

$D$13

Total recibido Chicago

60

220

60

30

10

$E$13

Total recibido Los Ángeles

30

200

30

10

30

$F$13

Total recibido Dalias

20

220

20

10

30

$G$9

Cincinnati total despachado 100

-60

100

10

30

$G$10

Denver total despachado

50

O

60

1Et30

10

$G$11

Atlanta total despachado

20

O

50

1Et30

30 ;s:z:z:z¡¡¡;¡¡¡;¡¡z¡;:¿;z¡¡

La:\ilfI!iJhiiiillili

Nota: 1Et 30 indica un valor muy grande (ilimitado).

116


TABLA 3-4

Tiempo de montaje (horas) Tiempo de prueba (horas) Rentabilidad marginal (dólares)

nistrar más de 180 de ellas para el mes siguiente y, de ellas, no más de 100 podrán ser para imagen a color. El problema está planteado en la hoja de cálculo y la solución óptima se presenta en la figura 3-30. El reporte de sensibilidad de Solver también se presenta. Responder las siguientes preguntas utilizando la información de la figura 3-30. a. ¿Cuál es el programa de producción óptimo para el fabricante de televisores? ¿Hay algún programa alternativo? b. ¿Cuál es el valor marginal de una hora adicional en el tiempo de montaje? ¿Sobre qué rango de tiempo de montaje es válido este valor marginal? c. Suponer que pueden conseguirse, a nivel externo, 80 horas de tiempo adicional de prueba, a un precio de US$4 la hora. ¿Deben contratarse? ¿Cuál es el incremento en la utilidad? d. ¿Cuál es el valor marginal de una hora adicional en el tiempo de prueba? ¿Para qué rango es válido este valor?

Modelo Sport

Modelo Standard

Modelo Traveler

Modelo Super

8 2 40

10 2 60

12 4 80

15 5 100

Total recibido

2,000 500

e. Si se establece un cambio en el precio que modifica la utilidad marginal del modelo Sport de US$40 a US$45, ¿el plan de producción óptimo cambiaría? y si el precio del modelo Sport cambia de US$40 a US$55, ¿el plan de producción cambiaría? f. ¿En cuánto tendría que cambiar el precio del modelo Standard antes de que se modificara el programa de producción? g. Si se consiguen tubos de imagen adicionales con otro proveedor, peto a un costo de US$2 más que el precio regular con el proveedor habitual, para los modelos en blanco y negro, y de US$5 adicionales para los de color, ¿deben comprarse algunos de estos? ¿Cuántos? h. La gerencia está considerando la introducción de un nuevo modelo a color llamado Mate. Este modelo requeriría sólo diez horas de montaje y tres de prueba. La utilidad marginal de este nuevo modelo sería US$70. ¿Debe producirse el nuevo modelo? En caso afirmativo, ¿cuál sería el valor marginal de producir una unidad del modelo Mate?

PROBLEMAS ESPECIALES 3-11 Una empresa tiene el compromiso de hacer despachos durante los próximos seis meses. Los costos de producción varían por mes debido a los cambios anticipados en los costos de materiales. La capacidad de producción de la empresa es de 100 unidades por mes en tiempo normal y hasta 15 unidades adicionales por mes en tiempo extra. La formulación de la hoja de cálculo para este problema se muestra en la figura 3-31. Los costos en tiempo normal y extra para cada mes se muestran en la parte superior de la figura. El costo de tener en inventario una unidad sin vender es de US$2 por mes; lo que también se muestra en la hoja de cálculo. El número de unidades que debe embarcarse cada mes se muestra en la última fila de la figura 3-31. La empresa no tiene unidades disponibles al comienzo de enero y desea no tener ninguna a finales de Juma. Las variables de decisión son la cantidad de unidades producidas en tiempo normal, la cantidad en tiempo adicional y el inventario al final de cada mes, y se encuentran en la mitad de la figura 3-31. El objetivo es satisfacer los requerimientos de embarque a un costo mínimo.

En la parte inferior de la fígura 3-31 aparece el conjunto de ecuaciones que se relacionan con producción, inventario y despachos. La ecuación es: Inventario inicial

+ producción -

despachos

= inventario final

Esto también puede presentarse como: Inventario inicial

+ Producción - Inventario final

= Despachos Son estos despachos los que deben cumplir con los requerimientos de embarque que se encuentran en la línea inferior de la hoja de cálculo. Además, claro está, el inventario inicial de un período es el inventario final del período anterior. La hoja de cálculo con ecuaciones se presenta en la figura 3-32. Observar que la función objetivo -el costo total en la celda 19-, utiliza la función SUMPRODUCT. Esto multiplica los costos por unidad (para tiempo normal, adicional e inventario), por el valor programado para cada mes y se suma a través de los meses. Examinar las ecuaciones en la

FIGURA 3-30 Hoja de cálculo y reporte de sensibilidad de Solver

Solución óptima

A 1

2

B

e

Sport Unidades del modelo

Standard Unidades del modelo

Unidades producidas

Traveler Unidades del modelo

125

O

F

E

D

O

G

H

Super Unidades del modelo 50

3 4

I

Total Utilidad marginal

40

60

80

100

5

$12,500 Cantidad usada

Disponible

No utilizada

6

Tiempo de montaje

8

10

12

15

2,000

<=

2,000

O

7

Tiempo de prueba

2

2

4

5

500

<=

500

O

8

Total tubos de imagen

1

1

1

1

175

<=

180

5

9

Tubos de imagen a color

1

1

50

<=

100

50

Ecuaciones del modelo A

Unidades del modelo Sport

1

2

e

8

O

Unidades del modelo Standard 125

D

E

Unidades del modelo Traveler

Unidades del modelo Super

O

G

F

I

50

3

4

H

Total 40

60

60

100

=SUMPRODUCT($B$2:$E$2,B4:E4) Cantidad usada

5

Disponible

No utilizada

6

8

10

12

15

=SUMPRODUCT($B$2:$E$2,B6:E6)

<=

2000

=H6-F6

7

2

2

4

5


<=

500

=H7-F7

8

1

1

1

1


<=

180

=H8-F8

1

1


<=

100

=H9-F9

9

Reporte de sensibilidad de Solver Celdas cambiantes

Nombre

Celda $8$2

Unidades producidas del modelo Sport

$C$2

Unidades producidas del modelo Standard

$0$2

Unidades producidas del modelo Traveler

$E$2

Unidades producidas del modelo Super

Valor final

Costo reducido


Aumento tolerable


O

-10

40

10

1E+30

125

O

60

6.666666667

20

80

5.55112E-16

1E+30

100

50

6.93889E-16

O 50

-5.55112E-16

O

Restricciones

Celda

Nombre

Valor final

Precio sombra

Lado derecho de la restricción

Aumento tolerable


2000

5

2000

33.33333333

500 20

$F$6

Tiempo de montaje

$F$7

Tiempo de prueba

500

5

500

100

$F$8

Total tubos de imagen

175

180

1E+30

5

$F$9

Tubos de imagen a color

O O

100

1E+30

50

Nota: valores como -5.55112E, -16 Y 6.93889 E-16 equivalen a cero.

50


119

FIGURA 3-31 Hoja de cálculo para la formulación del problema del programa de producción A

B

C

E

F

G

H

I

Costos

1 2

3 Costo en tiempo normal 4 Costo en tiempo adicional 5 Costo de inventario

6 7

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

30 35 2

30 35 2

32 37 2

32 37 2

31 36 2

32 37 2


8 Producción en tiempo normal 9 Producción en tiempo adicional

10 11 12 13 14 15 16

O

Inventario final

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

100

100

100

95

100

O

100 5

O

O

10

O

5

O

O

5

O

20

Costo total

$18,810

Restricciones de Producción/Despachosllnventario

Inventario inicial Más cantidad producida Menos inventario final Disponible para despacho Requerimientos de despacho

O

100 5 95 95

5 100 20

85 85

hoja de cálculo para asegurar la compresión del planteamiento. La figura 3-33 muestra los valores de la caja de diálogo Parámetros de Solver. El primer grupo de restricciones se relaciona con el límite de capacidad en la producción en tiempo normal. El segundo se relaciona con el límite de capacidad en tiempo adicional. El tercer grupo equipara la cantidad disponible para despacho (véase arriba) con los requerimientos de despacho. El cuarto indica que no hay inventario en junio. El último grupo restringe las variables de decisión para hacerlas no negativas. La figura 3-34 muestra d reporte de sensibilidad de Solver para esta solución (no se muestra el reporte de respuesta de Solver; los valores de la solución se dan en la hoja de cálculo de la figura 3-31). Remitirse a las cifras en la respuesta para responder a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la solución a este problema? Es decir, ¿cuál deberá ser el programa de producción para los siguientes seis meses? ¿Cuál es el costo dc este plan? b. Después de completar el plan de producción que se muestra en la figura 3-31, la compañía recibió un pedido adicional por cinco unidades para enero (aumentando los compromisos para ese mes de 95 a 100). El gerente de producción sostiene que el costo marginal de producir estas cinco unidades es de US$35 cada una (el costo del tiempo adicional) porque la planta ya ha programado operar al máximo de su capacidad. El gerente de

ventas sostiene que el costo marginal debe ser de US$30 por unidad, ya que previamente el cam-

20 100 10 110 110

10 105 O

115 115

O

95 5 90 90

5 100 O

105 105

promiso de despacho para enero era de 95 unidades. ¿Cuál es el costo incremental de producir estas cinco unidades adicionales? ¿Por qué? c. Suponer que la empresa pueda aumentar temporalmente la capacidad del tiempo normal para e! mes de abril en 10 unidades, las cuales incrementarían el costo de! tiempo normal de US$32 por unidad a US$34 por unidad. El costo de unidades en tiempo adicional continuaría siendo US$37 por unidad. ¿Debe hacerse este cambio? ¿Cómo se sabe? d. Suponer que el contador acaba de informar que se cometió un error al estimar el tiempo normal por unidad para el mes de abril. En lugar de los US$32 utilizados en e! análisis, el costo correcto por unidad es de US$36. ¿Cambiaría esto el plan de producción? ¿Cambiaría el costo total estimado? ¿En cuánto? (Suponer que nada más cambia). 3-12 Co-Op Farm posee 1,000 acres de tierra donde cultiva granos para venderle a los miembros de su cadena de abarrotes. Los planes actuales señalan que la granja cultiva maíz y trigo. Las semillas y otros costos de cultivo por acre son de US$100 para el maíz y de US$120 para el trigo. El maíz necesita 10 horas de mano de obra por acre, mientras que el trigo requiere 8 horas de mano de obra. La producción al final del año en bultos de cinco arrobas por acre es de 120 de maíz y 100 de trigo. La granja puede sembrar cualquier combinación de los dos cultivos. La granja recibe US$4.25 por bulto de maíz vendido y US$5.25 por bulto de trigo vendido a la cadena de abarrotes. Esta puede comprar un máximo de 100,000 bultos de maíz y 175,000 bultos de trigo.

FIGURA 3-32 Hoja de cálculo del programa de producción que muestra las ecuaciones del modelo

A

e

8

D

E

F

G

Mayo

Junio

H

I

Costos

1

Enero

2

Marzo

Febrero

Abril

3

Costo en tiempo regular

30

30

. 32

32

31

32

4

Gasto en tiempo adicional

35

35

37

37

36

37

5

Costo de inventario

2

2

2

2

2

2

Producción en tiempo regular

100

9

Producción en tiempo adicional

10

Inventario finai

6

Enero

7

8

Marzo

Febrero

Abril 100

Mayo 95

Junio

100

100

100

O

O

O

5

O

O

5

20

10

O

5

O

11 Inventario inicial

O

=B14

=C14

=014

=E14

=F14

13

Más cantidad producida

=B8+89

=C8+C9

=08+09

=E8+E9

=F8+F9

=G8+G9

14

Menos inventario final

=B10

=C10

=010

=E10

=F10

=G10

15

Oespachos disponibles

=812+813-B14

=C12+C13-C14

=012+013-014

=E12+E13-E14

=F12+F13-F14

G12+G13-G14

16

Requerimientos de despacho

95

85

110

115

90

105

12

Costo total

-SUMPROOUCTrB3:G5,B8:G10l


121

FIGURA 3-33 Información para la caja de diálogo Parámetros de Solver

Parámetros de Solver Celda de objetivo (función objetivo)

19

Objetivo:

Minimizar

Celdas de cambio (variables de decisión)

B8:G10

Restricciones B8:G8 <= 100 B9:G9 <= 15 B15:G15 = B16:G16 G10 =0 B8:G10 >= O

La granja está considerando levantar 2,000 cabezas de ganado para vender carne a la cadena. Para lograrlo, parte de la tierra destinada para sembrar maíz o trigo debe dedicarse al pastoreo de ganado joven durante un año. Los novillos cuestan US$150 y se venden en US$800 después de alimentarlos durante un año. Cada res requiere 20 horas de mano de obra, medio acre de tierra y consume 80 bultos de maíz durante la etapa final de engorde. El maíz para los novillos puede ser el que se cultiva en la granja, si se dispone de suficiente, o puede comprarse. En el último caso, cuesta US$4.50 el bulto. La granja puede usar mano de obra de estudiantes, que cuesta US$61a hora o de granjeros experimentados contratados a US$lO la hora. Cada hora de mano de obra inexperta requiere 9 minutos de supervisión (0.15 horas) y cada hora de mano de obra experimentada requiere 3 minutos de supervisión (0.05 horas). Se dispone de 2,000 horas de supervisión. La granja dispone de US$200,000 para financiar su operación agrícola. Para funcionar de manera eficiente, la granja consignó sus opciones como un programa lineal. Este problema está formulado en una hoja de cálculo y la solución óptima se muestra en la figura 3-35. El reporte de sensibilidad de Solver también se presenta. Responder cada una de las siguientes preguntas por separado, utilizando la información de la figura 3-2l. a. ¿Cuál es el programa óptimo para la granja (es decir, la solución al problema)? ¿Cuál es lautilidad total en dólares? b. mn cuánto tiene que cambiar el precio del maíz vendido yen qué dirección (aumento o disminución), para que la granja considere vender alguna cantidad del mismo a las tiendas de abarrotes? c. ¿Cuál es el valor de una hora adicional de mano de obra para la granja? d. Si la granja pudiera conseguir un préstamo adicional de US$15,000 para ayudar a financiar la operación de la granja, ¿cuál sería la tasa máxi-

Límite de capacidad en tiempo normal Límite de capacidad en tiempo adicional Despachos = inventario inicial más producción menos inventario final No hay inventario final en junio Variables de decisión no negativas

ma de interés (interés simple anual), si lo hubiere, que la granja podría estar dispuesta a pagar? e. Un rancho vecino ofrece arrendarle 200 acres de tierra a la granja, a una tarifa fija de US$65,000, para pagarlos de las utilidades al final del año después de haber vendido las cosechas y los novillos. ¿La granja debe aceptar la oferta? f ¿En cuánto tendría que aumentar el costo del trigo en "semillas u otros costos de cultivo", antes de que la granja cambiara la cantidad de acres destinados a cultivar trigo? g. La granja está considerando el cultivo de tomates. Las plantas de tomate pueden adquirirse a US$50 por acre. Los tomates requieren 15 horas de mano de obra por acre. Un acre sembrado produce 40 bultos de tomates para ensalada. Suponiendo que puedan venderse a US$12 el bulto, ¿debe la granja dedicar alguna cantidad de acres al cultivo de tomates? h. Para un costo fijo de US$lO,OOO, la granja puede abonar a la tierra al comienzo de la temporada de siembra. El fertilizante que se aplica a todaJa tierra, aumenta la producción de maíz a 130 bultos por acre y la producción de trigo a 110 bultos por acre. ¿Resulta rentable aplicar el fertilizante? l. A la granja le gustaría tener alguna mano de obra experimentada. ¿Cuál sería la tasa de cambio en las utilidades si se agregan horas de mano de obra experimentada? J. El precio sombra de la restricción 3 (demanda de mano de obra) es 6.23. Con todo, la granja puede contratar mano de obra de estudiantes ilimitada a US$6.00 por hora. Explicar esta aparente contradicción. 3-13 La empresa Ajax Nut Company vende nueces mezcladas de dos niveles de calidad. La mezcla más costosa tiene una proporción más alta de marañón o anacardo, mientras que la mezcla más barata contiene más maní. Los precios para las nueces compradas por Ajax son: marañón a 50 centavos la libra, y maní a 20 centavos

122


FIGURA 3-35 Hoja de cálculo y reporte de sensibilidad de Solver (para el problema 3-12)

A

Acres plantados de maíz

1 2

e

B


118.0812

F

E

D

G

Maíz comprado Horas Horas para de mano de mano dE Acres Novillos plantados comprados de obra de obra expe- alimentar novillos de trigo y vendidos estudiantes rimentada O O 793.3579 177.1218 11070.00

H

I

J

Maíz cultivado para alimentar novillos

Bultos de maíz vendidos

Bultos de trigo vendidos

14169.74

O

79335.79

L

K

3 4 5

M

N

Utilidad tata Contribución a la utilidad (dólares) Restricciones:

6

Límite de acres

7

Número máximo de novillos

8

Límite superior de trigo vendido

9

Límite superior de maíz vendido

10

Límite superior de horas de supervisión

11

Límite de presupuesto

12

Mano de obra requerida

13

Maíz requerido para alimentar a los novillos

14

Total producción/uso del maíz

15

Producción/venta de trigo

-100

120

650

-6

-10

-4.50

O

4.25

5.25

$358,210 Límite de la restriccione

1

1

0.5

1,000.00

1

177.112

1

0.15

0.05

100

120

150

6

10

10

8

20

-1

-1

-80

4.5

1

1 -1

120 100

2,000

O 1,822.88

<== <==

175,000

95,664

100,000

100,000

1,661

<==

2,000

339

200,000

<==

200,000

O

O

==

O

O

O

==

O

O

O

= =

O

O

O

O

79,336

O

1

-1

1,000

No utilizada

O

<== <==

Celdas de cambio

Valor final

Nombre

Celda

Costo reducido


Aumento tolerable


$B$2

Variables de decisión en acres plantados de maíz

118.0811808

O

-100

6.505376344

10.25

$C$2

Variables de decisión en acres plantados de trigo

793.3579336

O

-120

5.857142857

6.368421053

$D$2

Variables de decisión de novillos comprados y vendidos

177.1217712

O

650

151.25

6.833333333

$E$2

Variables de decisión de mano de obra de estudiantes

11070.1107

O

-6

2.42

0.394230769

$F$2

Variables de decisión de mano de obra experimentada

O

-4.151291513

-10

4.151291513

1E+30

$G$2

Variables de decisión de maíz comprado para alimentar los novillos

O

-0.364391144

-4.5

0.364391144

1E+30

14169.7417

O

$H$2

Variables de decisión de maíz cultivado para alimentar los novillos

O

1.890625

0.085416667

$1$2

Variables de decisión de bultos de maíz vendidos

O

-0.055811808

4.25

0.055811808

1E+30

Variables de decisión de bultos de trigo vendidos

79335.79336

O

5.25

0.058571429

0.063684211

$J$2 Restricciones

Valor final

Nombre

Celda

Costo reducido


Aumento tolerable


1000

350.6457565

1000

190.4761905

278.7878788

1E+30

1822.878229

$K$6

Límite de acres

$K$7

Número máximo de novillos

177.1217712

O

2000

$K$8

Límite superior de trigo vendido

79335.79336

O

175000

1E+30

95664.20664

$K$9

Límite superior de maíz vendido

O

O

100000

1E+30

100000

1660.516605

O

2000

1E+30

339.4833948

200000

0.037822878

200000

23589.743590

32000

6.226937269

O

20476.19048

5333.333333

$K$10

Límite superior de horas de supervisión

$K$11

Límite de presupuesto

$K$12

Mano de obra requerida

-1.81899E-12

$K$13

Maíz requerido para alimentar a los novillos

-3.63798E-12

-4.305811808

O

09526.31579

13763.44086

$K$14

Total producción/uso del maíz

-9.09495E-12

-4.305811808

O

09526.31579

13763.44086

$K$15

Producción/venta de trigo

O

-5.25

O

79335.79336

95664.20664

"'"

_lMImIli

Ol:

_

'1


la libra. El precio de las dos mezclas vendidas por Ajax es de 80 centavos la libra de la mezcla A y 40 centavos la libra de la mezcla B. Ajax puede vender cualquier cantidad de cada una de estas mezclas; pero, debido a la escasez de nueces, no puede obtener más de 200 libras de marañón y 400 libras de maní. La gerencia decidió que la mezcla A no debe contener más de 25% de maní y no menos de 40% de marañón. La mezcla B no debe tener más de 60% de maní y no menos de 20% de marañón. ¿Cómo debe mezclar Ajax sus nueces? Es decir, ¿cuántas libras de la mezcla A debe producir (y cómo debe ser su composición), y cuántas libras de la mezcla B (y su composición)? Formular el modelo de programación lineal y encontrar la solución óptima utilizando el paquete Solver. 3-14 Paul Buyan Lumber Company produce madera aserrada de pino y abeto y dos tipos de madera prensada. La empresa tiene una contribución de utilidad de 4 centavos por pie cuadrado de tabla para el pino y 6 centavos por pie cuadrado de tabla para el abeto. La madera prensada de tipo 1 contribuye con US$1.20 por panel y el tipo 2 con US$1.50 por panel. Para el mes de diciembre, la empresa dispone de 2,580 millares de pies cuadrados de tabla (MBF) de pino disponible para su madera aserrada o prensada. De modo similar, dispone de 2,040 millares de pies cuadrados de abeto. Un panel de madera enchapada del tipo 1 requiere de 16 pies cuadrados de pino y 8 pies cuadrados de abeto. Un panel de madera enchapada de tipo 2 requiere de 12 pies cuadrados de cada especie. La madera en lámina está restringida sólo por la capacidad de la sierra cabecera. La sierra puede manejar 400 millares de pies cuadrados por mes de cualquiera de las especies. El aserradero de madera prensada puede estar restringido por la descortezadora o la secadora. Durante el mes, no pueden pelarse más de 250,000 paneles de madera aserrada y se dispone de 920,000 minutos en la secadora. Cada panel de tipo 1 re-

125

quiere de cuatro minutos de secado y cada panel de tipo 2 requiere de 6 minutos de secado. Las condiciones del. mercado limitan el número de paneles de tipo 1 vendidos a no más de 120,000 y el número de paneles de tipo 2 a no más de 100,000. Puede venderse cualquier cantidad de madera aserrada. La empresa formuló un modelo de programación lineal de su operación de la siguiente manera:

u

= contribución de la utilidad en miles de dóla-

res MBF de madera de pino aserrada vendidos X z = MBF de madera de abeto aserrada vendidos X 3 = miles de paneles de madera prensada de tipo 1 vendidos X 4 = miles de paneles de madera prensada de tipo 2 vendidos Xl

=

Maximizar:

U = 0.04XI + 0.06Xz + 1.20X3 + 1.50X4

Sujeta a: Xl

+ 16X3 + 12X4

::; 2,580 (disponibilidad

de pino)

X z + 8X3 + 12X4 ::; 2,040 (disponibilidad ::;

X3 + 4X3 +

X4

::;

6X4 ::; ::;

X 4 ::;

de abeto) 400 (capacidad del aserradero) 250 (capacidad de la descortezadora) 920 (capacidad de la secadora) 120 (demanda del mercado, madera prensada tipo 1) 100 (demanda del mercado, made ra prensada tipo

2) Encontrar la solución óptima utilizando el paquete Solver.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 3-1 Véase la figura 3-36. La solución es Xl Y U = 28. 3-2 Maximizar: U = 30A + 30B

= 4, X z = 4

Sujeta a: 3A + lB ::; 30,000 A::; 8,000 B::; 12,000 A,B, ~O a. unidades del producto A y 12,000 unidades del producto B, con una utilidad de US$540 por millar. b. Véase la figura 3-38. Observar que la restricción A ::; 8 no es obligatoria dado que A = 6 en la solución óptima. Por eso, aumentar el límite en A no tendrá ningún efecto en la solución o en la utilidad. El precio sombra es cero.

Véase la figura 3-39. Observar que la solución óptima cambia aA = 5.67, B = 13, con una utilidad de US$560 por millar. Esto representa un aumento en la utilidad de US$20 por millar con respecto al caso base (US$560-US$540 = US$20). Por ello, el precio sombra es de US$20. Es decir, cada unidad de aumento en el límite de producción del producto B aumentará la utilidad en US$20. d. Véase la figura 3-40. Observar que la solución óptima cambia aA = 6.33, B = 12, con utilidad U = US$550. Esto es un aumento de US$lO a partir del caso base. Por eso, el precio sombra de lashoras de mano de obra es US$lO. C.

e. Límite de ventas del producto A: Véase la figura 3-38. El precio sombra en esta restricción es cero.

126


FIGURA 3-36 (para el problema 3-1)

10

o ...... ..2....

.... 4 .... .... .... ...... ". ....

U= 10

U=28

U=O

B 30

FIGURA 3-37 (para el problema 3-2a)

~ 3A+B::;;30 Ecuación de utilidad

al

o

(A = 6,8= 12)

tí

:J

-o

I-.,....--~=---f------

2

B::;; 12

el.

Q)

"O rJ) Q)

10

" "

"

"

-o eur;; -o Q)

"

"

·c := ::l-S

"

" "

"

L..L--L-LJ..---i_L-..L-...L..2.·'~~...J--L-.l_~~-'-- A 30

10 Unidades del producto A (miles)


FIGURA 3-38 B

(para los problemas 3-2b y 3-2e)

20

ro

"/

U= 30A

+ 30B= 540

o

~

U ::J

".(

,

~

''t~/

-o o

"

~

c. ro 10

(A=6,B= 12)

~A~8

~~A~9

-o

I I I I

(/)

ro

"O

CIlm

I I

~~

I

:31 o

O

10

20

A

Unidades del producto A (miles)

B

20

FIGURA 3-39 (para el problema 3-2c)

.<

(A =5.67, B =13)

~B~13

1-__ "_'+-__ -_-_-~_~B

~ 12

10 ro "O

U= 30A + 30B

(/)

ro

-o

CIl m

~~

:3 'E

O l-.L-...L-....L-L---l-----l_l-...L.--L--L_ A 20 10 O


127

128

Análisis cuantitativo Observar que aumentar el límite en el producto A no tiene ningún efecto; por consiguiente, no hay un límite superior. La solución óptima incluye seis mil unidades del producto A. Una reducción en el límite de ventas por debajo de esta cifra afectará la solución. De ese modo, el rango es a partir de 6,000 (sin un límite superior) y es el rango dentro del cual se mantiene el precio sombra. Limite de ventas del producto B. Véase la figura 3-41. Observar que cuando pueden producirse unidades adicionales de B, el punto óptimo se desplaza hacia (A = O, B = 30). Más allá de este punto, las ventas adicionales de B no pueden hacerse debido a las horas de mano de obra. Por esto, el límite superior es de 30,000 unidades. Cuando el límite de ventas de B se reduce a 6,000 unidades, se alcanza el punto angular (A = 8, B = 6). Después de éste, la solución cambia; de ese modo, 6,000 unidades es el límite inferior. En síntesis, el precio sombra de US$20 por unidad de B se mantiene entre el rango de 6,000 a 30,000 unidades en el límite de ventas para el producto B. Limite de horas de la mano de obra: La segunda gráfica para este problema es la figura 342. Cuando las horas de mano de obra se incrementan a 36,000 (es decir, a la restricción 3A + B :s 36), se logra un nuevo vértice (A = 8, B = 12). A medida que las horas disminuyen, se llega al vértice (A = O, B = 12), donde se dispone de 12,000 horas. Por consiguiente, el rango en las horas de mano de obra se halla entre 12,000 y

30

FIGURA 3-41 (para el problema 3-2e)

36,000 horas y, dentro de este rango, el precio sombra se mantiene en US$lO.

3-3. La formulación es: Sean A, B, C, D las unidades de cada producto fabricado. Entonces Maximizar: U = 40A Sujeta a:

2A + lB +2.5C + 5D :s lA

lOA

+ 3B +2.5C + 5B +

2C

+ 12D :s

A

:s C D~

A,B, C,D,

~

+ 24B + 36C + 23D 1,200 (capacidad de maquinado) 1,600 (capacidad de montaje) 10,000 límite del inventario) 200 (demanda del producto A) 160 (demanda del producto C) 100 (contrato mínimo del producto D)

O

En la figura 3-43 se muestra el modelo en Excel, como aparece en la hoja de cálculo y según las ecuaciones que se necesitan para llegar a él. (En esta última forma, las primeras columnas se redujeron de modo que las fórmulas aparecen a través de la página). La solución final se muestra en la hoja de cálculo y en el reporte de respuesta de Solver. El análisis de sensibilidad de Solver se muestra en la figura 3-44.

B ------------·B~30

~

(A=O, 8=30)

co o Ü ::J

20

'O

2 Cl.

ID 'O (/)

ID 'O

ro(j)

~~

~IlO --------- --'B~6

~(A=8,B=6) 10

20


30


129

B 30 FIGURA 3-42 (para el problema 3-2e) ~3A+B::;30

3A + B =s; 36

• 1/

20

.

\ \ I

I I

I

\

/

(A=8, B= 12)

,

1----'4I~._-

10

\~

"

I

,1

I

"-ll','

(A = O, B = 12)

\ I

I

I

I

I

____

'. / '.

u= 30A + 30B

,

I

".

I

'.

I

I I I

30

20

10


FIGURA 3-43 Modelo Solver (con la solución óptima) (para el problema 3-3)

A

1

.

B

e

D

E

Producto A

Producto B

Producto C

Producto D

100

500

F

G

H

I

J

2 3 Variables de decisión

O

100

4 Total

5 6

Función objetivo

40

24

36

$18,300

23

7 No Límite de restricción utilizada

Uso total

8

Restricciones:

9

Capacidad de maquinado

2

1

2.5

5

1200

<=

1200

O

10

Capacidad de montaje

1

3

2.5

O

1600

<=

1600

O

11

Límite de inventario

10

5

2

4700

<=

10000

5300

12

Demanda del producto A

100

<=

200

100

13

Demanda del producto C

O

<=

160

160

14

Contrato mínimo producto D

>=

100

12

1 1 1

100

Exedente

O

(Continúa) ...

FIGURA 3 43 (conclusión) Ecuaciones para el modelo Solver

A

1

8

e

D

F

Prod

Prod

Prod

Prod

100

500

G

H

I

J

2

3

Vari

O

100

4

5 6

Total Func

40

24

36


23

7

8

Rest

Uso total

9

Capac

2

1

2.5

5


<=

1200

=H9-F9

10

Capac

1

3

2.5

O

=SUMPRODUCT($B$3:$E$3,Bl O:El O)

<=

1600

=Hl0-Fl0

11

Lími

10

5

2

12

=SUMPRODUCT($B$3:$E$3,Bll :Ell)

<=

10000

=Hl1-Fl1

12

Dema

1

=SUMPRODUCT($B$3:$E$3,B 12:E12)

<=

200

=H12-F12

13

Dema

=SUMPRODljCT($B$3:$E$3,B 13:E13)

<=

160

=H13-F13

14

Contr


<=

100

1 1

Límite de restricción

'Jo utilizada

Excedente

=F14-H14


FIGURA 3-44 Reportes de respuesta y sensibilidad de Solver (para el problema 3-3) Reporte de respuesta de Solver

Celda objetivo (max) Celda

Nombre

Valor original

Valor final

o

$H$6 Función objetivo utilidad total

18300


Nombre

Valor original

Valor final

o o o o

$8$3 Variables de decisión del producto A $C$3 Variables de decisión del producto 8 $D$3 Variables de decisión del producto C $E$3 Variables de decisión del producto D

100 500

o 100

Restricciones Celda

Nombre

Valor de celda

Fórmula

Estatus

$F$14>=$H$14

Obligatoria

O

No utilizada

$F$14 Contrato mínimo productoD Uso total

100

$F$9 Uso total de la capacidad de maquinado

1200

$F$9<=$H$9

Obligatoria

O

$F$10 Uso total de la capacidad de montaje

1600

$F$1 0<=$H$1 O

Obligatoria

O

$F$11

4700

$F$11<=$H$11

No obligatoria

5300

100

. $F$12<=$H$12

No obligatoria

100

$F$13<=$H$13

No obligatoria

160

Uso total del límite de inventario

$F$12 Uso total de la demanda del producto A

o

$F$13 Uso total de la demanda del producto C $8$3

Variables de decisión del producto A

100

$8$3>=0

No obligatoria

100

$C$3

Variables de decisión del producto 8

500

$C$3>=0

No obligatoria

500

$D$3

Variables de decisión del producto C

o

$0$3>=0

Obligatoria

$E$3

Variables de decisión del producto D

100

$E$3>=0

No obligatoria

O

100

Reporte de Sensibilidad de Solver Celdas de cambio C~da

Nombre

Valor final

Costo reducido


Aumento tolerable


$8$3

Variables de decisión del producto A

100

O

40

8

16

$C$3

Variables de decisión del producto 8

500

O

24

73

4

$D$3

Variables de decisión del producto C

36

16

1E+30

$E$3

Variables de decisión del producto D

23

73

1E+30


Aumento tolerable


O

100

-16 O

Restricciones Celda

Nombre

Valor final

Costo reducido

$F$14 Uso total del contrato mínimo del producto D 100

-73

100

33.33333333

33.33333333

$F$9

1200

19.2

1200

166.6666667

166.6666667

$F$10 Uso tota.l de la capacidad de montaje

1600

1.6

1600

500

500

$F$1t Uso total del límite de inventario

4700

O

10000

1E+30

5300

$F$12 Uso total de la demanda del producto A

100

O

200

1E+30

100

$F$13 Uso total de la demanda del producto e

O

O

160

1E+30

160

Uso total de la capacidad de maquinado

131

132


a. La solución indica 100 unidades del producto A, 500 del producto B, ninguna del producto C y 100 unidades de D, con una utilidad de US$18,300. Además, hay US$5,300 de capital de trabajo sin usar, 100 unidades de demanda no utilizada del producto A y 160 de demanda no usada del producto B. b. Observar los precios sombra en el reporte de análisis de sensibilidad de Solver (figura 3-44). Los valores son US$419.20 por una hora adicional de capacidad en la fresadora, US$1.60 por hora adicional de montaje. Como no se utiliza todo el capital de trabajo para inventario, el precio sombra para ese recurso es O. c. Ninguna de estas restricciones es obligatoria (no se satisface toda la demanda disponible) y los precios sombra son cero. Por esto, la empresa no debe invertir para aumentar la demanda. d. Esta restricción es obligatoria con un precio sombra de -US$73.00. Un cambio en la restricción para exigir 130 unidades significa un aumento de 30 unidades, lo que está dentro del límite de aumento tolerable en el reporte de análisis de sensibilidad de Solver. Por eso, un cambio en el requerimiento reducüia la utilidad en (30)(73) = US$2,190. e. Examinar el aumento tolerable para el producto C en la parte superior del reporte de análisis de sensibilidad. El aumento límite es 16; por eso, un incremento de US$lO en el precio del producto C no cambiaría la mezcla de la solución. Como no hay que producir unidades del producto C, la utilidad tampoco cambiaría. /. El costo de oportunidad para una unidad del producto E puede calcularse como:

Recurso

Uso

Costo de oportunidad

Fresado Montaje Inventario Total

2 5 20

19.2 1.6 O

3-4

Total

38.4 8.0 O 46.4

Como la utilidad por unidad de US$50 es mayor que el costo de oportunidad de US$46,40; por lo menos, debe producirse algo de este nuevo producto. Se necesita replantear el problema y resol~erlo otra ve.z con este nuevo producto para determmar la cantIdad exacta. El planteamiento algebraico que se da a continuación seguido de la figura 3-45, corresponde a la formulación y la solución de Solver, incluyendo su reporte de sensibilidad. Sean:

X2 =

fondos en préstamos quirografarios (miles de dólares) fondos en préstamos sobre muebles (miles de dólares) fondos en préstamos sobre automóviles (miles de dólares) fondos en hipotecas de segundo grado (miles de dólares) fondos en hipotecas de primer grado (miles de dólares)

Maximizar: U = 0.15X1 + 0.12X2

+ 0.07Xs

+ 0.09X3 + 0.10X4

Sujeta a: Xl + X 2 + X 3 + X 4 +Xs :$ 1,500 (total de fondos disponible)

X I :$ 0.10(XI + X 2 + X 3 + X 4 + X s) ó 0.9X1 - 0.lX2 - 0·1X3 - 0·1X4 - O.1Xs :$ O Xl + X 2 :$ 0.20(X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X s) ó 0.8X1 + 0.8X2 - 0·2X3 - 0·2X4 - O·2Xs :$ X s ;::: OAO(X4 + X s) ó - OAX4 + O.6Xs ;::: O X s ;::: 0.20(X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X s) ó - 0.2X1 - 0·2X2 - 0·2X3 - 0·2X4 + 0.8Xs ;::: X 4 :$ 0.25(XI + X 2 + X 3 + X 4 + X s) ó - 0.25X1 - 0.25X2 - 0.25X3 + 0.75X4 - 0.25Xs :$ Todas las Xi > O

° °

°

a. La solución indica US$150,000 en préstamos quirografarios (sin garantía), US$150,000 en préstamos sobre muebles, US$525,000 en préstamos sobre automóviles, US$375,000 en hipotecas de segundo grado y US$300,000 en hipotecas de primer grado. El rendimiento total es de US$146,250. . b. Observar el reporte de sensibilidad de Solver y el precio sombra en la restricción !otal de Jondos disponible, la cual es de 0.0975. Este es el retorno por cada dólar adicional (es decir, 9.75%). No hay límite para el incremento (lE + 30 es la manera como Excel indica "infinito"). El límite en la disminución es de US$1,500 (la cantidad total de los fondos disponibles) lo que significa que el retorno incremental es 9.75% desde cero sin límite. A primera vista esto puede parec~r ~xtra ño, pero hay que ver que todas las restncClones, excepto la de total de fondos disponible, son relativas y limitan los porcentajes del portafolio. Por esto, una vez que se obtiene la mezcla óptima, el retorno que genera está limitado sólo por el to~ tal de fondos disponible. c. Ver la parte superior del reporte de sensibilidad de Solver para las hipotecas de segundo grado. No hay límite para el incremento (de nuevo aparece el valor lE +30). Por consiguiente, un aumento de 10% a 12% no afecta la solución (en términos de la mezcla). Sin embargo, el rendimiento total aumenta en (0.02)(375) =US$75,000. Es decir, US$375,000 en las hipotecas de segundo grado se ganaría 2% más.

FIGURA 3-45 Formulación Solver que incluye la solución óptima (para el problema 3-4)

D

Préstamos Préstamos sobre quirografarios muebles

1

2

e

8

A

Variables de decisión: cantidad (miles de dólares)

150

E

F

Préstamos Hipotecas de segundo sobre automóviles grado

150

525

375

4

J

K

300 Retorno total (miles de dólares)

3 5

I

H

G

Hipotecas de primer grado

Rendimiento anual (%)

0.15

0.12

0.09

0.1

0.07

146.25

No utilizado Excedente

Restricciones:

6

Total de fondos disponible

1

1

1

1

1

1500

:::;

1500

O

7

Límite de préstamos quirografarios

0.9

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

O

:::;

O

O

8

Límite de préstamos quirografarios + préstamos sobre muebles

0.8

0.8

-0.2

-0.2

-0.2

O

:::;

O

O

9

Límite de hipotecas de segundo grado

-0.25

-0.25

-0.25

0.75

-0.25

O

:::;

O

O

-004

0.6

30

;::

-0.2

-0.2

-0.2

-0.2

0.8

O

;::

O O

10

Mínimo de hipotecas de primer grado del total de hipotecas

11

Mínimo de hipotecas de primer orado del total de préstamos

30

O

Ecuaciones de Solver

8

e

o

E

F

150

150

525

375

300

0.15

0.12

0.09

0.1

0.07

A

G

I

H

J

K

1

2

3 4 5 6 7 8 9

Retorno total (miles de dólares) No utilizado 1

1

0.9 0.8 -0.25 -0.2

<=

-0.1

=SUMPRODUCT($B$2:$F$2,B7:F7)

<=

O

=17-G7

-0.2


<=

O

=18-G8

-0.25


<=

O

=19-G9

-004

0.6

=SUMPRODUCT($B$2:$F$2,B1 0:F1 O)

>=

O

=G10-110

-0.2

0.8

=SUMPRODUCT($B$2:$F$2,B11: F11)

>=

O

=G11-111

1

-0.1

-0.1

-0.1

0.8

-0.2

-0.2

-0.25

-0.25

0.75

-0.2

-0.2

1

12

13 14

Excedente


1

10 11

=SUMPRODUCT($B$2:$F$2,B4:F4)1

Observar que las columnas de A a Fhan sido comprimidas para mostrar las ecuaciones.

1500

=16-G8

Reporte de sensibilidad de Solver Celdas de cambio

Celda

Nombre

Valor final

Costo reducido


Aumento tolerable


150

O

0.15

1E+30

0.03

$C$2 Variables de decisión: cantidad (miles de dólares) préstamos sobre muebles

150

O

0.12

0.03

0.03

$0$2 Variables de decisión: cantidad (miles de dólares) préstamos sobre automóviles

525

O

0.09

0.01

0.02

$8$2

Variables de decisión: cantidad (miles de dólares) préstamos quirografarios

$E$2

Variables de decisión: cantidad (miles de dólares) hipotecas de segundo grado

375

O

0.1

1E+30

0.01

$F$2

Variables de decisión: cantidad (miles de dólares) hipotecas de primer grado

300

O

0.07

0.02

0.4875

Restricciones

Celda Nombre

Valor final

Costo reducido

$G$6 Total de fondos disponible

1500

0.0975

1500

1E+30

1500

$G$7 Límite de préstamos quirografarios

O

0.03

O

150

150

$G$8 Límite de préstamos quirografarios + préstamos sobre muebles

O

0.03

O

525

150

$G$9 Límite de hipotecas de segundo grado

O

0.01

O

75

375

$G$10 Mínimo de hipotecas de primer grado del total de hipotecas $G$11 Mínimo de hipotecas de primer grado del total de préstamos


Aumento tolerable


30

O

O

30

1E+30

O

-0.02

O

525

50

Ejemplo motivador Programación de la flotilla de Delta Airlines 1 La elaboración de los programas de vuelo para las rar·.·.unaIlotillade aeronavesies.. muycostoso, pues aeronaves de DeItaAirlineses una tarea compleja. incluye19scostosdepersonal,combustible.y manteEn Jos Estados Unidos, seJealizabanmásde 2,500 nilTIiento.A.deIJl~s,también existe>un. costo denomivuelos diarios (1993). Hay450aeronavesdisponi¿ .. nadodepasaje¡·osenespera. Este costo es el número bIes, pero notbdasson iguales; de hecho, existen10 de pasajeros que no s~transportan debido a que la tipos diferentes que varían en tamaño,velocidad, cancapacidades insuficiente. Porejemplo, si unaaerotidad de ruido generado y otras cosas. Sin olvidarque·· nave peqm:ña está programada para un trayecto dedebe incluirse un programa de mantenimiento para terminado, pero el número de personas que desean la aeronave y deben· asignarselas tripulaciones {los viajarpodría llenarunjumbo,la aerolínea pierde una pilotos están limitados segúnel tipo de aeronavepara gran can tida~deingresos. el que tengan certificación de vuelo). Además,Jas .. pelta Airlines utiliza un modelo de programatripulaciones deben programarse de manera que tención matellláticarnuy' extenso para solucionar este gan el tiempo de descanso eficiente cada día.Alguproblema de programación de su flotilla. El objetivo nas ciudades. restringen los tipos. de. aeronave que es minimizar el costo (costo operativo más el costo pueden operar en determinadas horas del día (por delos pasaj~rosienespera) sujeto a las restricciones ejemplo, debido a restricciones de ruido). También descritasanteriormente. Esun modelo mixto de proexisten otras restricciones.como la de que el mismo gramaciónconenteros. Existen aproximadamente avión debe utilizarse para ciertos vuelos continuos. 20,000 variables binarias con enteros (variables
lEM.,· 1'.'IIIIIIIIIE5· DI: pllllI: '; ••'II'Ni

••'I••"."~

i/W,';,',r é:

.....

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A

La categoría de programación matemática incluye una amplia variedad de técnicas utilizadas para solucionar problemas de optimización. Quien toma las decisiones trata de maximizar o de minimizar algún objetivo, sujeto a un conjunto de restricciones. La técnica que más se utiliza en esta categoría es la programación lineal simple, que se estudió detalladamente en los anteriores capítulos. Este capítulo extiende dicho estudio en diversas direcciones. Primero está la programación con enteros, la cual permite que alguna o todas las variables de decisión sean valoradas en enteros, mientras que mantiene las relaciones lineales en la función objetivo y en las restricciones. Se presenta el planteamiento de estos problemas y luego la solución, utilizando el paquete Solver. Después se estudia la optimización, que incluye funciones no lineales. Finalmente, se considera el caso donde el decisor no considera un solo objetivo sino múltiples objetivos.

PROGRAMACiÓN CON ENTEROS Muchos problemas de negocios podrían formularse y solucionarse mediante la programación lineal; excepto por una desventaja, en ellos se requiere que las soluciones sean enteros. Por ejemplo, una variable X en un modelo de programación lineal puede referirse a si se construye o no una nueva planta. Si X = 1, la planta se construye; X = Osignifica que no se construye la planta y un valor de X entre esos dos valores (por ejemplo, X = 0.56) no tiene sentido. No existe garantía alguna de que los procedimientos de solución estándar en la programación lineal produzcan una solución con enteros3. Para tratar este problema se ha desarrollado un conjunto de técnicas denominadas programación con enteros. Algunos problemas pueden requerir que todas las variables del problema sean enteros: la solución de todos-enteros. Un caso especial de la solución todos-enteros ocurre cuando todas las variables sólo pueden tomar valores de Oó 1. El caso más general de la programación con enteros es cuando se requiere que algunas variables sean enteros, pero otras pueden tomar otros valores. Esto es lo que se denomina problema de programación con enteros-mixtos. 3 Una excepción importante a esto es la solución de los problemas de redes mediante PL, la cual sí da soluciones en enteros. El problema de transporte y el problema de camino crítico son ejemplos de esta

clase de problemas de redes.

138


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Programación de los trabajadores de McDonald's4

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Podría parecer que' sólo las grándes empresas' unos 150·empleados o ~ás para programarlos con computadores grandes hacen uso de las téc~ •durante únasemana, una tarea que, cuando se nicas de programación matemática. Aquí se da .hace de forma manual, generalmente toma ocho un ejemplo de un: programa de computador per.horas semanales. Se desarrolló un programa de sonal no costoso utilizado por los gerentes de computador que tenía un modelo básico de pro. un grupo de restaurantes McDonald's .pára prograIIlación matemática, pero también involucragramar la. fuerza laboráL .... '. . .' .'. '. .' . . .' · b~.uria ÍI1ierfaz para uso y entrada de datos del . . La necesidad de trabajadores varía signifi- . . . usuario. . . cativamente. en las distintas horas del día. Los •'. . •. Los beneficios de este programa incluían trabajadores tienen diferentes habilidades, di-· '.' no sólo reducirJos costos de personal para el ferente duración de los turnos y distintos 're~ .• restaurante sino librar al administrador de una quisitos personales" que 'limitan su .labor larga y tediosa.. disponibilidad. Por ejemplo, los empleados que . :-,son estudiantes necesitar ajustar los horarios de.' . 4 .. . Basado en LOVE, R.R., Ir ánd HOEY,· J.M., trabajo con sus horarios de clase. El gérente del. "Mariagement Science Improves Fast-Food Operations", restaurante de comidas rápidas. puede tener . Intelfaees, marzo-abril 1990, pp; 21- 29. < • • • • • •'

'............

.. -.

_

"

..

.

,

La primera parte de este capítulo ilustrará la manera como los planteamientos de la programación con enteros puede englobar varios problemas administrativos importantes. La solución a estos problemas se demostrará mediante el programa Solver de la hoja de cálculo Excel. En el apéndice de este capítulo, se explica una técnica utilizada para solucionar programas con enteros, denominado procedimiento de ramificar y restringir. Antes de proceder, se ilustrará un problema simple de programación con enteros con dos variables.

Ejemplo Considerar el siguiente problema de programación con enteros : Maximizar: Sujeta a:

u = 4XI

+ 5X2

2/3XI + X 2 :s 1 Xl :s 1 Xl' X 2 ;::; O Xl' X 2 entero

Las restricciones y la función objetivo se representan en la figura 4-1. Las posibles soluciones con enteros se indican mediante pequeños puntos. Si se intenta solucionar este problema pasando por alto las restricciones con enteros, la solución de programación lineal óptima es Xl = 1, X 2 = 1/3, indicada comoA, que produce una utilidad de US$5.67. Sin embargo, ésta no es una solución con enteros debido a que X 2 = 1/3. Hay que tratar de aproximar la solución de PL a la solución con enteros más cercana; en la figura 4-1, la solución con enteros más cercana al punto A es Xl = 1, X 2 = O, que produce una utilidad de US$4. Sin embargo, algunas veces una aproximación puede producir una solución que no es factible; por ejemplo, si la segunda restricción es Xl S 0.95 en lugar de Xl :s 1, entonces la solución Xl = 1, X 2 = Ono satisface las restricciones.


139

FIGURA 4-1

2t----t---+---~

,

,,

,,

,,

", ,,

,,

,,

Puntos enteros

,

, d'O~,;:-,----l~~~----">-----,-,,"

,,

,,

X1

,,

,,

,,

, '. U=O

Líneas de utilidad

Más importante aún es que la solución aproximada puede no ser óptima. En el ejemplo, la solución Xl = O, X 2 = 1 es factible y produce una utilidad mayor (US$5), aunque no es la solución con enteros más aproximada a la respuesta encontrada utilizando la PL corriente. A medida que se agregan más dimensiones al problema, el método de aproximación para hallar la solución se torna cada vez menos confiable, y es necesario un acercamiento sistemático para encontrar una solución. Antes de describir las formas de solucionar los problemas de programación lineal con enteros, se ilustrará una diversidad de problemas que pueden formularse de esta manera.

FORMULACiÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN CON ENTEROS En general, los problemas de programación con enteros se formulan de la misma forma que los problemas de programación lineal estándar que se analizaron en capítulos anteriores, aunque agregando la condición de que una o más variables deben asumir valores enteros. Es decir, que se establece una función objetivo lineal sujeta a las restricciones lineales, que es maximizada o minimizada. Sin embargo, existen algunos usos de las variables cero/uno que son exclusivos de la programación con enteros. Una variable cero/uno o binaria es aquella que puede tomar sólo valores de Oó 1. El valor 1 puede utilizarse para indicar la presencia de algo (por ejemplo, una fábrica); Oindica su ausencia. A continuación se ilustra el uso de variables binarias.

El problema del cargo fijo Suponer que un producto dado, si se produce, contribuye a la utilidad con US$50 por unidad. Sin embargo, se incurre en un gasto único de US$l,OOO en el acondicionamiento de la maquinaria para una tanda de producción. Este costo es de cero si no se produce ninguna unidad.

140


.

Sea X el número de unidades producidas, entonces, el problema puede formularse de manera que: 50X -1,000 siX> O Contribución = { O . siX=

°

Sin embargo, la contribución no es una función lineal de X en este planteamiento. Para reescribir la formulación en forma lineal, se introduce una nueva variable Y, que toma sólo los valores enteros de O ó 1. Luego, se maximiza (50X 1,000Y), sujeta a las otras restricciones, más las siguientes dos restricciones:

y:::::; 1 X:::::;MY

y es un entero donde M es algún número muy grande

Cuando Y = O, la segunda restricción obliga a que X sea Oy la contribución (50X - 1,OOOY) sea también O; cuando Y = 1, no existe límite práctico sobre X; además, el monto del cargo fijo US$l,OOO se deduce de la utilidad. Por tanto, el uso de cero/uno o de la variable binaria con enteros Y permite formular este tipo de problemas con restricciones lineales. El tipo de problema de cargo fijo es común en los negocios. Existe un costo de inversión para construir una nueva planta antes de que se logre cualquier producción. Usualmente, existen costos fijos en los que tiene que incurrirse si se toma un segundo turno o se abre una nueva bodega. En el ejemplo anterior, el valor de la función objetivo y las restricciones son lineales. Es decir, involucran sólo una constante multiplicada por una variable (sin cuadrados o productos de variables). Un error que algunas veces se comete en las formulaciones de programación con enteros es utilizar funciones no lineales. Por ejemplo, el problema del cargo fijo podría formularse si se maximiza SOXY-l,OOOY, siendo Y una variable cero/uno como aparece anteriormente. Esto satisface los requisitos debido a que no hay utilidad o costo si Y = O, y la utilidad es 50X 1,000 si Y = 1. Sin embargo, el término SOXY es no lineal porque involucra el producto de dos variables X y Y. Por tanto, esta formulación no sería un problema válido de programación lineal con enteros. Otro método para formular este costo de cargo fijo podría ser la utilización de la función "SI" (IF) de una hoja de cálculo. Si, por ejemplo, el número de unidades producidas (el valor X) estuviera en la celda D2 de la hoja de cálculo, entonces, el costo total podría escribirse como:

= SI(D2>0,50*D2 -

1,000, O)

Aunque ésta es una formulación correcta dentro de la lógica, no es una función lineal y no sería apropiada para un modelo lineal.

El problema del tamaño del lote Un problema similar es aquel donde se requiere algún nivel mínimo antes de emprender una actividad. Por ejemplo, una empresa que tiene que comprar una cantidad mínima de, por lo menos, 50 unidades de un producto determinado. Sea X el número de unidades compradas. Luego, X = ó X 2: 50.. Esta situación puede formularse mediante una variable Y con enteros cero/ uno, utilizando las restricciones de la siguiente manera:

°

X:::::;MY

X

2:

SOY

(M es un número muy grande)

Temas especiales de programación matemática Si Y = 0, entonces, por la primera restricción, X debe ser O. Si Y ces, PQr la segunda restricción, X debe ser por lo menos 50.

141

= 1, enton-

Restricciones tipo V/O Algunas veces, en una situación de toma de decisiones, debe mantenerse una u otra de las restricciones, pero no ambas. Por ejemplo: Sean: 5X1

+ 2X2

:s; 10 o 3X1 - 4X2 :s; 24, pero no ambas.

Esto puede manejarse en la programación con enteros mediante el uso de una variable Y cero/uno, utilizando las siguientes restricciones modificadas: 5X1 + 2X2 :s; 10 + MY 3X1 - 4X2 :s; 24 + M(l - Y) Cuando Y = 0, la primera restricción es obligatoria; pero, el lado derecho de la segunda se vuelve muy grande y por tanto no es obligatoria. Al contrario, cuando y = 1, la segunda restricción obliga, pero la primera no, porque MY es muy grande.

EJEMPLOS DE PLANTEAMIENTOS CON ENTEROS Un problema de presupuesto de capital Suponer que una empresa tiene N proyectos (i Para cada proyecto i, sean:

= 1, 2

'OO

N) para invertir capital.

= valor

Pi

presente neto (el rendimiento del proyecto Í sobre el costo, expresado en dólares al valor presente)5 = desembolso de capital en tiempo cero para el proyecto Í = flujo de efectivo en el año 1 para el proyecto i = flujo de efectivo en el año 2 para el proyecto i

Rti

= flujo

de efectivo en el año t para el proyecto

Í,

donde cada uno de los valores de P, e y R son una constante conocida. La empresa desea seleccionar un conjunto de proyectos para maximizar el valor presente neto. Un proyecto se toma en su totalidad o se rechaza; es decir, la empresa no puede seleccionar una fracción del proyecto. Las restricciones pueden ser de diversa índole. Por ejemplo: • Una cantidad limitada de fondos disponibles para invertir en el momento cero -llamar monto K. • Flujos de efectivo positivos mínimos necesarios en los años futuros 1, 2 marlosF{

oo.

lla-

5 Para calcular el valor presente neto, los fondos recibidos en el futuro se descuentan a una tasa de interés proyectada.

142


Para cada proyecto, se define una variable entera cero/uno y.,1 donde Y.1 = 1, , . si se va a tomar el proyecto iesllno, y Yi = O, en caso contrario. Entonces, este ejemplo de presupuesto de capital puede formularse como un problema de programación con enteros de la siguiente manera: Maximizar el valor presente neto total logrado: P1Y1 + P1Y1 + P3Y3 + ...

+ PNYN

Sujeta a: Capital disponible para invertir: C1Y1 + C1Y1 +

... + CNYN::;;K

Flujo de efectivo requerido en el primer período: RnY1 + R 12Y1 +

... + RlNYN ~ F 1

Flujo de efectivo requerido en el segundo período: R11Y1 + R12Y1 +

... + RlNYN ::;; F1

En general, flujo de efectivo requerido en el período ¡simo; Rt1 Y1 + Rt2Y1 + ...

+ RtNYN ~ Ft

Además de estas restricciones, puede haber otras sobre combinaciones específicas de proyectos. Por ejemplo, los proyectos 3 y 4 pueden ser opciones mutuamente excluyentes, de manera que la empresa se incline por el proyecto 3 ó el 4 (o posiblemente ninguno), pero no los dos incluidos en el conjunto de proyectos. La siguiente restricción puede agregarse, de manera que se obtendría: Y3

+ Y4 ::;;

1

Esta restricción permitiría la acogida del proyecto 3 (Y3 = 1) o el proyecto 4 (Y4 = 1), pero no ambos 6. Si se requiriera exactamente de uno de los dos proyectos, entonces habría una igualdad: Y3

+ Y4 = 1

Sin embargo, si los proyectos fueran de tal naturaleza que, por lo menos, uno deba estar incluido (y posiblemente ambos), la restricción sería: Y3

+ Y4 ~

1

Para continuar con el ejemplo,' suponer que los proyectos 5 y 6 son de tal forma que el proyecto 5 debe incluirse si se incluye el 6, pero no necesariamente al contrario. Por ejemplo, el proyecto 5 puede ser la construcción de una fábrica en Nueva Inglaterra. El proyecto 6 puede ser adicionar una segunda línea de producción a esta nueva fábrica. Obviamente, la segunda línea no puede agregarse si no existe la fábrica,. pero la fábrica puede construirse sin adicionar la segunda línea. La siguiente restricción cumple. estos requisitos:

Y6

::;; Ys

Notar que Ys puede tomar valores de Oó 1; sin embargo, Y6 puede ser 1 sólo si Ys también es 1. Por tanto, los requisitos se cumplen. 6 Aquí cabe una advertencia. Con frecuencia, estos tipos de restricciones parecen estar formuladas fácilmente con expresiones como Y 3 • Y4 = O, que requerirían que Y3 = O ó y 4 = O o ambas. Sin embargo, esta clase de restricción es no lineal porque involucra el producto de dos variables. La programación lineal con enteros necesita restricciones lineales y una función lineal objetivo.


143

La solución a este problema de programación con enteros resultaría en un subconjunto de variables Y, cada una igual a 1. Los proyectos relacionados con estas variables Y se seleccionan para el presupuesto de capital, pues ellos satisfacen todas las restricciones y maximizan la función objetivo (valor presente total más alto). Las otras variables Y tendrían valores de O; éstos serían los proyectos rechazados. Éste es un ejemplo donde todas las variables son binarias (O ó 1). El máximo valor presente neto del problema se compararía con la solución resultante de la disminución de una o más de las restricciones, de manera que pueda calcularse el costo de las restricciones. Si se desea, puede modificarse el modelo de manera que incluya inversiones de años futuros y sus flujos de efectivo. Hay que tener en cuenta que ampliar el alcance del modelo también expande la cantidad de entradas que se necesitan y la confiabilidad de éstas podría ser baja.

Un problema de expansión de capacidad Muchas empresas que tienen productos con una creciente demanda se enfrentan a la decisión de cuándo adicionar más capacidad de producción y en cuánto aumentarla. Considerar, por ejemplo, una empresa de energía eléctrica que ha estimado la demanda de energía en su región para los siguientes nueve años. Sea D t la demanda proyectada para el año fsimo (t = 1, 2, ... 9) sobre el nivel actual. Suponer que pueden construirse tres plantas de generación de energía eléctrica de diferente tamaño, denominadas i (i = 1, 2, 3). Sea Ki la capacidad y Ci el costo de construcción del tamaño iésimo de la planta. La empresa desea minimizar el costo descontado de las nuevas instalaciones, sujetándose a tener la suficiente capacidad como para satisfacer las demandas. Sea a t el factor de valor presente para el año t (a t es un número, menor que 1, de una tabla de valor presente). Sea lit una variable cero/uno que tiene un valor de 1 si la instalación de tamaño i se construye en el año t. Por consiguiente, Y 25 = 1 implica que la instalación de tamaño 2 debe agregarse en el año 5. Luego, la función objetivo es: Minimizar:

+ C 2Y2I + C 3Y3I ] + a2[C IYI2 + C 2Y22 + C 3Y32 ] + a 3[C IY13 + C 2Y23 + C 3Y33 ] + ... + a9[C IYI9 + C2Y29 + C 3Y39 ]

aI[C IY l1

El primer término entre corchetes representa el costo de cualquier instalación que se agregue en el primer año, el segundo término es lo mismo para el segundo año, y así sucesivamente. Las restricciones requieren que se adicione suficiente capacidad para satisfacer la demanda adicional esperada. Para el primer año: K] Yl1

+ K 2Y2I + K 3Y3I

2: DI

Para el segundo año, toda capacidad adicionada en el primer año más la que se agregue en el segundo año se encuentra disponible para satisfacer la demanda D 2 del segundo año: [K I Yl1

+ K 2Y2I + K 3Y31 ] + [K1Y12 + K2Y22 + K 3Y32 ] 2:: D 2

De manera similar, para el tercer año: [K1Yl1

+ K 2Y21 + K 3Y3¡] + [K] Y12 + K 2Y 22 + K 3Y 32 ]

+ [KIY13 + K2Y23 + K3Y33 ] ;::: D3

y así sucesivamente para cada año.

144


Cada una de las restricciones anteriores requiere que la capacidad acumula-

da sea igualo exceda la demanda para un año dado. Puede haber restricciones adicionales sobre los distintos tamaños de las instalaciones, con base en consideraciones técnicas y de otra índole. Por ejemplo, si no pueden construirse más de 4 instalaciones del primertamaño, puede adicionarse una restricción, así:

Tamaño y ubicación de la fábrica Una fábrica va a introducir un nuevo producto y debe decidir sobre el sitio y el tamaño de las plantas para elaborar el producto. La fábrica desea minimizar los costos de producción y distribución, así como los de construcción y operación de las instalaciones. Hay tres sitios disponibles. Puede construirse una planta pequeña o una grande en cada sitio. En uno de ellos, también es posible construir una planta extra grande (inmensa). La tabla 4-1 muestra los costos y capacidades para estas opciones; en el costo anual se incluyen los gastos generales de fabricación y un costo anual para la construcción. La fábrica debe suministrar el producto a cuatro regiones. El costo de distribución desde cada planta hasta cada región; los requerimientos de las regiones se encuentran en la tabla 4-2. El problema de 'la fábrica es decidir sobre los sitios a utilizar, cuál debe ser el támaño de la planta en los sitios seleccionados y cuánto debe enviar cada planta a cada región. Las variables pueden definirse como: Al A2

= envíos desde el sitio A hacia la región 1 (en miles de unidades) = desde el sitio A hacia la región 2 envíos (en miles de unidades)

e4 = envíos desde el sitio e hacia la región 4 (en miles de unidades) PAP

= producción de la planta pequeña en el sitio A

PAG

= producción de la planta grande en el sitio A

(en miles de unida-

des) (en miles de unida-

des)

PCG

= producción de la planta grande en

el sitio

e (en miles de unida-

des) YAP = variable cero/uno con entero, que es 1 si se construye una planta pequeña en el sitio A, y Osi es de otro modo. YAG = variable cero/uno con entero, que es 1 si se construye una planta grande en el sitio A, y Osi es de otro modo.

YCG = variable cero/uno con entero, que es 1 si se construye una planta grande en el sitio e, y Osi es de otro modo.


TABLA 4·1 Costos y capacidades

Sitio

Tamaño

Costo anual (en mí/es de dólares)

A

Pequeña Grande Pequeña Grande Inmensa Pequeña Grande

1,000 1,500 1,200 1,600 2,000 900 1,400

B

C

TABLA 4·2 Costos de distribución (dólares/unidad y requerimientos)

~ Desde sitio de la fábrica

A B C Requerimientos en las regiones (miles de unidades)

Región 1

Capacidad (en mí/es de unidades)

145

Costos de fabricación (en dólares/unidacl¡

5.00 4.00 5.00 4.00 3.S0 6.00 5.00

600 1,200 600 1,200 2,000 600 1,200

Región 2

Región 3

1 2 4

2 3 3

3 2 2

4 3 1

500

200

700

800

Región 4

La formulación de este modelo se muestra en el ejemplo. La solución se ilustrará brevemente. La función objetivo que va a minimizarse contiene los costos de distribución multiplicados por las unidades enviadas en una ruta determinada (por ejemplo, 2 A2); los costos de fabricación multiplicados por las unidades elaboradas en el sitio

FIGURA 4-2 Formulación del modelo del tamaño e instalación de la planta

Minimizar: A1 +2A2+3A3+4A4+2B1 +3B2 + 2B3 + 3 B4 + 4 C1 + 3 C2 + 2 C3 + C4 + 5 PAP + 4 PAG + SPBP + 4 PBG + 3.5 PBI + 6 PCP + SPCG + 1,000 YAP + 1,500 YAG + 1,200 YBP + 1,600 YBG +2,000 YBI + 900 YCP + 1,400 YCG Sujeta a: Requerimientos de la región 1: Requerimientos de la región 2: Requerimientos de la región 3: Requerimientos de la región 4: Producción en A: Producción en B: Producción en C: Capacidad en Apequeña: Capacidad en Agrande: Capacidad en Bpequeña: Capacidad en Bgrande: Capacidad en Binmensa: Capacidad en Cpequeña: Capacidad en Cgrande: Máxin,o una planta en A: Máximo una planta en B: Máximo una planta en C:

A1 + B1 +C1 ;::: SOO A2 + B2 +C2 ;::: 200 A3 + B3 + C3 ;::: 700 A4 + B4 + C4 ;::: 800 A1 + A2 + A3 + A4 - PAP - PAG :S O B1 + B2 + B3 + B4 -PBP -PBG -PBI :S O C1 + C2 + C3 + C4 -PCP - PCG :S O PAP - 600 YAP :S O PAG - 1,200 YAG :S O PBP - 600 YBP :S O PBG - 1,200 YBG :S O PBI - 2,000 YBI :S O PCP - 600 YCP :S O PCG - 1,200 YCG :S O YAP + YAG :S 1 YBP + YBG + YBI :S 1 YCP + YCG :S 1 Todas las variables

~

O

YAP, YAG, YBP, YBG, YBI, YCP, YCG son variables binarias con enteros

146


y el tamaño de la planta (por ejemplo, 5 PAP); Y el costo anual multiplicado por las variables cero/uno (por ejemplo, 1,000 YAP). El primer conjunto de restricciones en el ejemplo garantiza que se cumplan los requerimientos regionales. Por ejemplo: Al

+ B1 + el

~

500

requiere que los envíos a la región 1 desde los sitios A, B, ye sean, por lo menos, iguales a 500 unidades. (También hubiera podido utilizarse un signo de igualdad). El siguiente grupo de restricciones es el de las restricciones de saldo de producCión. Por ejemplo, la ecuación de producción en (sitio) A es: Al

+ A2 + A3 + A4

::; PAP

+ PAG

que puede reescribirse como: Al

+ A2 + A3 + A4 -

PAP - PAG ::; O

Esto evita que los envíos desde el sitio A (es decir, Al + A2 + A3 + A4) no sean superiores a la producción de una planta pequeña (PAP) más la de una grande (PAG). Restricciones similares se mantienen para los sitios B y C. El siguiente grupo de restricciones limita la capacidad de producción. Por ejemplo, la capacidad en A pequeña es: PAP ::; 600 YAP ó PAP - 600 YAP ::; O Esto garantiza que la producción en el sitio A con una planta pequeña no exceda de 600 unidades, si YAP = 1 (es decir, si se construye una planta pequeña en el sitio A) y sea O si YAP = O. Los demás tamaños y sitios de las plantas representan restricciones de capacidad similares. El conjunto final de restricciones limita cada lugar a una sola instalación. Por ejemplo: YBP

+ YBG + YBI

::; 1

requiere que a lo sumo una de las tres variables pueda ser 1. Es decir, que en el sitio B se construya una planta pequeña, una planta grande, una planta inmensa o ninguna.

RESUMEN Un modelo de programación lineal con enteros es un modelo de programación lineal con el requisito adicional de que algunas o todas las variables deben ser enteros. Formular un modelo de programación lineal con enteros es similar a la formulación de modelos PL, salvo que la restricción con enteros permite incluir cargos fijos, restricciones del tipo y/o, y conceptos relacionados.

SOLUCiÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN CON ENTEROS Los problemas de programación lineal ordinarios se solucionan mediante el método simple, el cual produce de manera muy eficiente soluciones óptimas, inclusive para problemas grandes. Sin embargo, estas soluciones no son necesariamente


147

con enteros. Algunas veces, una solución de PL sin enteros puede aproximarse de manera adecuada para obtener una solución en enteros. Si la solución por aproximación es factible y tiene una utilidad cercana a la obtenida para el problema de no enteros, entonces es probable que el procedimiento de aproximación sea adecuado. Sin embargo, para muchos problemas importantes, este procedimiento no funciona. En particular, si el problema contiene variables cero/uno del tipo ilustrado en las formulaciones anteriores de este mismo capítulo; en general, la aproximación por aproximación lleva a soluciones que no son factibles o a unas que no estén cerca de ser óptimas, como se ilustró en la figura 4-1. Por tanto, se requiere un procedimiento de solución diseñado para problemas con enteros. Cuando un problema requiere de una solución con enteros, significa que existe un número finito de puntos de solución posibles. Un método es utilizar la numeración completa y evaluar cada solución posible hasta encontrar la que sea óptima. Si existen sólo unas pocas variables con enteros, la numeración puede ser un procedimiento factible y eficiente; Sin embargo, para problemas reales, el número de soluciones posibles es muy grande y este método no resulta realista como medida de cálculo. La numeración completa puede no ser necesaria si pudieran encontrarse formas para no considerar grupos completos de soluciones. La técnica de ramificar y restringir es un método para hacerlo. Básicamente, las soluciones potenciales están organizadas en árbol o jerárquicamente. Se utiliza un método para encontrar un límite para un subconjunto de estas soluciones. Una restricción o límite es un superior (en el caso de maximizar la utilidad), o inferior (para minimización de costos). Si puede encontrarse una solución factible que sea mejor que límite para el subconjunto, todo el subconjunto puede eliminarse. El proceso continúa hasta que se encuentre la solución óptima: la que sea mejor que los límites en todos los subconjuntos. Mayores detalles sobre este procedimiento se encuentran en el apéndice de este capítulo. Otra técnica es el método de plano de corte. Es una variante del método simple que, de hecho, comienza con la solución simple al problema de programación lineal, pasando por alto los requisitos con enteros. Luego, al problema se le agregan restricciones nuevas (planos de corte o simplemente cortes) que no hacen factible la anterior solución óptima de no enteros, pero que no excluyen las soluciones con enteros que sean factibles. Se obtiene una nueva solución de PL y se repite el proceso (es decir, se adicionan nuevos cortes) hasta que se halle una solución con enteros. Este método es utilizado de manera menos amplia que el método de ramificar y restringir. UTILIZACiÓN DE SOLVER PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACiÓN CON ENTEROS

Solver es un paquete incorporado a las hojas de cálculo Excel y Quattro. En capítulos anteriores se ilustró su aplicación en la solución de problemas de programación lineal ordinarios. Solver también tiene la habilidad de solucionar problemas de programación con enteros. Simplemente tienen que identificarse cuáles variables van a tener un valor entero. El uso de Solver se ilustra en el problema de tamaño y ubicación de la planta, planteado antes. La figura 4-3 muestra un modelo de hoja de cálculo para este ejemplo, con una solución óptima (también existe un óptimo alternativo que involucra una planta pequeña en el sitio C). En la figura 4-4 se muestra el contenidos de las

celdas AB6 hasta AF26, que contienen las ecuaciones para el modelo. En la figura 4-5 se muestran los valores ingresados en la caja de diálogo Parámetros de

FIGURA 4-3 Modelo de hoja de cálculo que muestra una solución óptima A

B

C

o

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

y

X

Z

AA

AS

AC

AD

AE

AF

No

Exceden" te

Problema de ubicación de la planta

1 2 3

';; :Q

O>

a>

4

Envíos desde

Envíos desde

Envíos desde

Cantidad

Cantidad

Cantidad

Producción

Producción

el sitio A hasta

el sitio B hasta

el sitio C hasta

producida

Producida

producida

en A??

en B??

en A

en B

en C

C'">

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19~

Producción en

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e 0..=

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.~

Al

A2

A3

A1

B1

B2

B3

B4

C1

C2

C3

C4

PAS

PAL

PBS

PBL

PBH

PCS

PCL

VAS

YAL

YBS

YBL

YBH

YCS

YCL


O

O

O

O

sao

200

700

O

O

O

O

800

O

O

O

O

1400

O

800

O

O

O

O

1

O

1

Costo

1

2

3

4

2

3

2

3

4

3

2

1

S

4

S

4

3"S

6

5

1000

900

1400

10

Requisitos de la región 1

1

5 6

Total

7 8

1500 1200

1600 2000

$16,100 utilizada

9

11

Req uisitos de la región 2

12


13


14

Producción en la ubicación A

15


16


17

Capacidad pequeña en A

18

Capacidad grande en A

19

Capacidad pequeña en B

20

Capacidad grande en B

21

Capacidad inmensa en B

22

Capacidad pequeña en C

23

Capacidad grande en C

24

Sólo una planta en A

25

Sólo una planta en B

26

Sólo una planta en C

1

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

1

-1 1

1

-1

-1

-1

1

-1 -600

1

-1200

1

1

-600 -1200

1 1

O

'" '"

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

-600 1

1

1

1

1

Solución óptima con enteros

1

O

O

O

O

600

::;

O

O

::;

O

400

O

::;

1

1

1

::;

1

O

1

::;

1

O

O

1

800

::;

-120C -400 1

O

::;

O

-600

2000 1

27 28

-1

1 1

O O

800 -1

1

200 700

200

1

1

500

2:

700

1 1

1

'"

500


149

FIGURA 4-4 Ecuaciones del modelo de la hoja de cálculo

AB

AC

AD

AE

AF

6 7

Total

8

=SUMPRODUCT ($B$6:$AA$6,B8:AA8)

9

No utilizada

Excedente

10

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B1 O:AA10)

~

500

=AB10-AD10

11

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B11:AA11)

~

200

=AB11-AD11

12


~

700

=AB12-AD12

13


~

800

=AB13-AD13

14


:s O

=AD14-AB14

15


:s O

=AD15-AB15

16


:s O

=AD16-AB16

17


:s O

=AD17-AB17

18


:s O

=AD18-AB18

19


:s O

=AD19-AB19

20


:s O

=AD20-AB20

21

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B21 :AA21)

:s O

=AD21-AB21

22


:s O

=AD22-AB22

23


:s O

=AD23·AB23

24


:s 1

=AD24-AB24

25


:s 1

=AD25-AB25

26


:s 1

=AD26-AB26

FIGURA 4-5 Información sobre la caja de diálogo Parámetros de Solver

Celda objetivo (Objetivo)

ADa

Objetivo

Minimizar

Celdas cambiantes (variables de decisión)

86:AA6

Restricciones

86:AA6 3 0 A810:A813 3 AD10:AD13 A814:A826 f: AD14:AD26 U6:AA6f:1 U6:AA6 entero

(Verificar modelo lineal en la caja de diálogo Opciones)

150

Análisis cuantitativo Solver. Las siguientes son algunas explicaciones sobre las restricciones en la figura 4-5: la primera (B6:AA6 ;::: O) requiere que todas las variables de decisión sean no negativas. La segunda (AB10:AB13 ;::: AD10:AD13) requiere satisfacer (o exceder) las necesidades de la región. La tercera (AB14:AB26 ::::; AD14:AD26) incluye las restricciones de saldo, capacidad y de sólo una planta por sitio. Los últimos dos grupos de restricciones se relacionan sólo con las variables con enteros cero/ uno. La restricción U6:AA6 ::::; 1 restringe los valores a los que sean menores o iguales a 1, y la última restricción establece que éstos sean valorados en enteros. Debido a que deben ser mayores o iguales a O, y menores o iguales a 1, y enteros, deben ser Oó 1. Además, después de hacer clic en el botón Opciones, debe marcarse la casilla que indica el modelo lineal. Debido a que se utiliza el procedimiento de ramificar y restringir que implica solucionar una secuencia de problemas de programación lineal, utilizar Solver para problemas con enteros toma mucho más tiempo del que se requiere para problemas de PL ordinarios. Además, los reportes de Solver no tienen el valor de la PL ordinaria. No hay reporte de sensibilidad, y el de respuesta simplemente da la misma información que se muestra en la hoja de cálculo.

RESUMEN La solución a los problemas de programación con enteros involucra procedimientos muchos más complicados que el método simple. Los métodos de ramificar y restringir y de plano de corte son dos de ellos. Los procedimientos para solucionar problemas con enteros se han incorporado dentro de software para pe, incluyendo el programa Solver para hojas de cálculo.

. OPTIMIZACIÓN GENERAL Las técnicas de solución analizadas hasta ahora asumen que el problema puede formularse como modelo lineal con una función objetivo lineal y con restricciones lineales. No obstante, muchos problemas administrativos importantes involucran funciones no lineales. Un ejemplo importante es el manejo de portafolios de inversión en finanzas, donde el objetivo es minimizar el riesgo para un rendimiento esperado. El riesgo es medido como varianza del portafolio, y la varianza es una función cuadrática (no lineal). En los modelos de marketing, el efecto en las ventas de las diferentes cantidades invertidas en publicidad, en general, es una función no lineal. Por eso, la programación lineal no puede utilizarse para este tipo de problemas. Afortunadamente, existen técnicas de optimización generalizadas que pueden emplearse para solucionar muchos problemas de este tipo. Un método es utilizar el análisis matemático o cálculo, mediante el cual puede optimizarse una función si se toma la derivada, se iguala a cero y se resuelve. Si existen restricciones, se utiliza una técnica denominada multiplicadores de Lagrange. Este método está limitado a problemas relativamente pequeños con funciones más bien simples. También existe una amplia variedad de procedimientos desarrollados para modelos no lineales específicos. Por ejemplo, la programación cuadrática es una técnica para solucionar problemas con restricciones lineales, pero con una función cuadrática objetivo. -


151

Procedimientos de búsqueda general En años recientes, se desarrolló un software de computador que resuelve problemas de optimización general utilizando los procedimientos de búsqueda y de ensayo y error. Al explicar cómo funcionan estos algoritmos es útil utilizar una analogía. Se intenta buscar el pico más alto en un rango de montañas desconocidas, donde no puede verse muy lejos hacia ninguna dirección porque la zona es muy brumosa. El procedimiento de búsqueda indica que debe comenzarse en algún sitio y examinar el· terreno circundante para encontrar el rumbo de la cuesta más empinada. Luego, recorrer en esa dirección una distancia (unas 500 yardas), y detenerse. Examinar nuevamente el terreno circundante y elegir la dirección más empinada y dirigirse en esa nueva dirección hasta la distancia indicada. Continuar este proceso hasta llegar a un punto donde en todas las direcciones hay pendientes. Éste es el final de la búsqueda pues se ha llegado a un pico (aunque no necesariamente el más alto). Los algoritmos del computador funcionan de manera similar. Los pasos son: 1. Comenzar con una solución de ensayo y evaluarla. 2. Evaluar la posibilidades que están alrededor de la solución de ensayo, probando varios puntos cercanos. Los métodos difieren en la forma como se seleccionan estos puntos y en cuántos se seleccionan. 3. Seleccionar un sentido a dónde dirigirse con base en los puntos de ensayo. Nuevamente, los métodos varían según cómo se hace. La dirección depende de si es un problema de maximización o de minimización. 4. Dar un paso de una medida especificada en la dirección hallada en el paso 3. Esto conlleva una nueva solución de ensayo. El tamaño del paso tomado puede variar durante la búsqueda. 5. Repetir los pasos 1 a 4, pero: 6. Parar cuando, al evaluar los puntos próximos, no existe una dirección que mejorela solución. Es decir, que todas las direcciones llevan hacia abajo si se maximiza o hacia arriba si se minimiza. Hay disponibles muchos programas de optimización generales inclusive en computadores personales 7. De hecho, el programa Solver también puede solucionar problemas generales de optimización. Esto se ilustrará brevemente. Recientemente se han desarrollado algunos procedimientos más exóticos 8. Genetic search utiliza un proceso similar al de la evolución de las especies. Comienza con un conjunto de soluciones de ensayo para el problema. Los valores de las variables para cada solución de ensayo se plantean en un escenario equivalente a los genes biológicos hereditarios. Se evalúan las soluciones de ensayo y se seleccionan las mejores. Luego, las mejores soluciones se "emparentan" unas con otras, produciendo la siguiente generación de vástagos; es decir, las nuevas soluciones tienen "genes" que son combinaciones genéticas de sus padres. Después, se evalúa esta segunda generación de soluciones y se seleccionan las mejores para 7 Los ejemplos son GINO (véase LIEBMAN, J., LASDON, L., WAREN, A., and SCHRAGE, L., Madeling alld Optimizatian with GINO, Danvers, MA: Boyd & Frazer, 1986, y MINOS (publicado por Stanford Business Software, Mountain View, CA). 8 Un ejemplo de este tipo de programa es un producto denominado Evolver (desarrollado por la empresa de software Axcelis de Seattle, WA), el cual funciona como un módulo incorporado a los programas de hoja de cálculo.

152


"engendrar" la tercera generación de hijos. Existe una "mutación" ocasional de genes (creando Una solución diversa). El proceso se repite hasta que no exista una mejora significativa a la mejor solución. Un proceso de búsqueda relacionado es el denominado recocido simulado, que genera nuevas soluciones parecidas al proceso utilizado en el recocido de vidrio o de metal.

Un ejemplo utilizando Solver Tanglin Software Products desarrolló hace poco un nuevo producto de software diseñado para hacer presentaciones de negocios más matizadas y efectivas. La empresa está desarrollando el plan de marketing para el producto. Las dos variables de decisión son el precio a cobrar y la cantidad a invertir en publicidad. Con base en las ventas de productos similares, la empresa calculó cuidadosamente los efectos esperados de los distintos niveles de precio y publicidad sobre las ventas. Ya se incurrió en el costo de desarrollar el producto, de manera que no es relevante; pero existen los costos de producir en realidad el producto (hacer los CD y los manuales, y empacar el producto) y los costos de apoyo del producto a través de llamadas y del apoyo en línea por Internet. El modelo para esta decisión se muestra en la hoja de cálculo de la figura 4-6. La ecuación para la cantidad vendida (celda E9) tiene tres componentes. El primero es el efecto negativo del precio (un precio más alto implica menos ventas); el segundo es un efecto publicitario con términos lineales y cuadráticos, que reflejan un efecto positivo pero que disminuye el efecto de la publicidad. El tercer componente refleja una interacción entre el precio y la publicidad: la publici. dad tiene un efecto mayor cuando el precio es bajo que cuando tiene un precio más alto. La celda ElO contiene las ventas en dólares (cantidad por precio). La celda E13 es el costo de producción (US$15 por unidad). La celda E14 es el costo de apoyo, que es una función cuadrática que refleja algunas economías de escala. La información que se ingresa en la caja de diálogo de Solver es similar a la de problemas lineales. El objetivo a maximizar está en la celda E17, y las variables de decisión están en las celdas D4 y D5. Las restricciones requieren que las variables de decisión sean no negativas y menores que los límites establecidos, según sea razonable para la gerencia. La tercera restricción limita los costos de apoyo para que sean menores o iguales a US$3 millones. Esto refleja el criterio de la gerencia de que, debido aun recorte de personal entrenado técnicamente, la empresa no debería comprometerse a vender más unidades de las que podrían ser apoyadas por los gastos de US$3 millones. Este problema es no lineal, tanto en la función objetivo como en una de las restricciones. Por consiguiente, la programación lineal no puede utilizarse para solucionarlo. Por tanto, no debe marcarse la casilla Asumir modelo lineal en el menú Opciones de Solver. Sin embargo; Solver puede utilizar su procedimiento de búsqueda general para encontrar ·la solución óptima, y esto se muestra en la hoja de cálculo: precio aproximado de US$145 y publicidad de US$295.000. Solver produce un reporte de sensibilidad para problemas no lineales, parecido al de los problemas lineales. En la figura 4-7 se muestra un ejemplo de software. La interpretación de los multiplicadores de Lagrange es similar a los precios sombra en la programación lineal. En especial, debido a que las restricciones sobre los límites superiores del precio y publicidad no eran obligatorias, los multiplicadores de Lagrange son cero. Sin embargo, la restricción sobre los costos de apoyo es obligatoria, con el multiplicador de Lagrange de US$1.22. Esto implica que, al margen, cada dólar adicional de los costos de apoyo incrementará la contribución total neta en US$1.22 (y cada reducción de US$l reducirá la contri-


153

FIGURA 4·6 Hoja de cálculo para el ejemplo del modelo no lineal B

A 1

C

O

E

2 3

F

G

Tanglin Software Products Límite Variables de decisión

4

Precio (dólares)

5

Publicidad (miles de dólares)

superior 145.6375

250

295.399

300

6 7

Estado de ingresos proyectados (miles de dólares)

8 9 10

Ventas de unidades (miles)

112.5063

Ventas en dólares (miles de dólares)

$16,385

11

Costos:

12

Publicidad

13

Producción

$1,688

14

Apoyo

$3,000

15

$295

Costos totales

$4,983

Contribución neta

$11,402

3,000

16 17 18 19

20

Documentación del modelo:

21

Nombres de la celda

22

PRECIO

D4

23

PUBLICIDAD

D5

24

CANTIDAD

E9

Celda

25 26

Celda

'll

E9

Ecuación de la celda A

CANTIDAD = 100-0.6 * PRECIO + 1.1* PUBLICIDAD -0.0011* PUBLlCIDAD 2 -0.003*PUBLlCIDAD-PRECIO

28 29

E10

= CANTIDAD*PRECIO

ro

E12

= PUBLlCDAD

31

E13

= 15*CANTIDAD

32

E14

=200+25*CANTIDAD-.0001 *CANTIDAD 2

33 34

E15

=E12tE13+E14

E17

=E10-E15

A

35 36

Información de la caja de diálogo de Solver

~

38

Celda objetivo (función objetivo)

E17

39

Objetivo

Maximizar

40

Celdas cambiantes (variables de decisión)

D4:D5

41

42

Restricciones:

43 44

04:05;:::0

45

E14 :::; F14

46

04:05 :::; F4:F5

H

I

J

154


Celdas cambiantes FIGURA 4-7 Reporte de sensibilidad de Solver para el ejemplo de Tanglin Software

Celda

Nombre

$D$4

PRECIO

$D$5

PUBLICIDAD

Valor final

Gradiente reducido

145.637467

° °

295.3989567

Restricciones Celda

Nombre

$D$4

Precio

$D$5

Publicidad

$E$14

Apoyo

Valor final

Multiplicador de Lagrange

145.637467 295.3989567

$3,000

° °

$1.22

bución en US$1.22). Los valores gradientes reducidos para las variables de decisión (o celdas cambiantes) tienen una interpretación parecida al costo reducido para las soluciones de programación lineal. A diferencia de los modelos de programación lineal, estos valores marginales (multiplicadores de Lagrange ygradientes reducidos) se mantienen sólo en la solución óptima y no en un rango. Sin embargo, pueden producir una información valiosa para quien toma las decisiones.

Precauciones en el uso de programas no lineales A pesar de que los métodos de programación no lineales son procedimientos de solución eficientes, el usuario debe ser consciente de algunas limitaciones. Lo más importante es que el procedimiento puede producir un óptimo local en lugar de un óptimo global. Si se piensa en la analogía de escalar una montaña, el programa puede llegar a la cima de una pequeña colina (con todas las direcciones locales apuntando hacia abajo) y, por tanto, proclamar un óptimo. Sin embargo, puede haber una montaña muy grande que no esté a la vista, y con un pico mucho más alto. Sin embargo, en la programación general no lineal no existe garantía de que se encontrará el pico más alto (óptimo global)9. Ésta es una preocupación importante. Un método es solucionar el problema varias veces, empezando cada vez en una solución inicial diferente, lo que incrementa las oportunidades de encontrar el óptimo global. En ocasiones, un segundo problema que se afronta es que no puede hallarse ninguna solución. Esto puede ocurrir debido a la forma como funciona el proceso de búsqueda (para continuar con la analogía de escalar la montaña, el proceso puede tomar un camino que lleve a un arrecife y no pueda regresarse). En los modelos de hoja de cálculo como Solver, la solución de ensayo puede crear problemas con algunas de las funciones o ecuaciones del modelo: intentar dividir por cero o intentar sacar el logaritmo de un número negativo. Esos problemas hacen que el proceso de solución se detenga sin alcanzar un óptimo. Finalmente, el incremento puede crear un problema en la solución del modelo. Todos los códi9

En contraste, cuando el modelo es lineal (es decir, de programación lineal), existe un valor óptimo único (con posibles óptimos alternos), y este problema de óptimos locales no existe.


155

gas de computador calculan con un determinado grado de precisión. Si un modelo tiene coeficientes que varían ampliamente en magnitud (por ejemplo, un número que sea 0.00000023 y otro 123,345,210), pueden presentarse dificultades de computación. Esto puede manejarse si se aumenta la magnitud de los valores; por ejemplo, convirtiendo a millones o miles de millones, una o varias variables.

RESUMEN Los modelos que contienen objetivos o restricciones no lineales (o ambos) pueden solucionarse mediante métodos de optimización general. En general, éstos involucran un proceso de búsqueda que genera una secuencia de soluciones de ensayo. Algunos métodos más modernos crean "generaciones" sucesivas de soluciones de ensayo. Hay programas de computador disponibles para solucionar este tipo de problemas, incluyendo algunos para computadores personales. Sin embargo, es necesario tomar algunas precauciones en el uso de los métodos de optimización general.

OBJETIVOS MÚLTIPLES Y PROGRAMACIÓN DE META En programación lineal se maximiza o se minimiza un solo objetivo sujeto a las restricciones. En muchos problemas importantes, sobre todo en el sector público, existen varios objetivos que quien toma las decisiones trata de alcanzar. Ahora, se considerará la incorporación de estos objetivos múltiples en la programación lineal. Considerar como ejemplo el caso del administrador de un bosque estatal. La ley estatal puede establecer que el administrador impulse programas que mejoren el crecimiento del bosque, aumenten la posibilidad de refugio y alimento para los animales del área y -por supuesto- que lo haga de la manera más económica posible. El administrador puede emprender dos actividades: entresacar o cortar la maleza y talar senderos en el bosque a manera de barreras contra incendios. Sea:

Xl

= acres de tierra sin maleza

X 2 = kilómetros de barreras Estas actividades tienen un costo y se requiere mano de obra. Además, ambas producen beneficios (posiblemente negativos) en términos de crecimiento del bosque y de refugio para los animales.

Actividad

TABLA 4-3 Costos y beneficios de las actividades forestales

Despeje de maleza (variable Xl poracre) Costos: Costo (dólares) Mano de obra requerida (horas) Beneficios: Crecimiento del bosque (unidades) Refugio para animales (unidades)

Barreras (variable X2 por kilómetro)

$500

$500

150

50

10 -10

-5

00

156


Como se muestra en la tabla 4-3, los costos de despeje de US$SOO por acre requieren 150 horas de mano de obra por acre y producen un crecimiento de 10 unidades de bosque, pero reducen el refugio de los animales en 10 unidades por cada acre despejado. Los costos de las barreras contra incendios son de US$SOO por kilómetro cortado, se necesitan 50 horas de trabajo por kilómetro cortado, se reduce el crecimiento de bosque en 5 unidades. por kilómetro y aumenta el refugio para los animales en 60 unidades por kilómetro cortado. El problema de decisión para el administrador del bosque es determinar Xl y X 2; es decir, cuántos acres debe despejar y cuántos kilómetros de barreras cortar. El administrador dispone sólo de 90,000 horas de mano de obra. Además, las condiciones del bosque limitan el corte de barreras a no más de 300 kilómetros. El gerente tiene un presupuesto de US$3S0,000. Las restricciones para el problema pueden expresarse como: lS0XI + SOX2 :::; 90,000 (horas de mano de obra) X 2 :::; 300 (límite de kilómetros de barreras) SOOXI + SOOX2 :::; 350,000. (presupuesto) Deben cumplirse tres metas simultáneamente. El administrador debe lograr el crecimiento de tanta madera como sea posible, proporcionar refugio a tantos animales como sea posible, y reducir los costos por debajo del presupuesto tanto como pueda. Existen métodos para incorporar todos estos objetivos múltiples:

Método 1: objetivo único con restricciones El administrador puede decidir que un objetivo es de tal importancia que pase por alto los otros. Los otros objetivos pueden constituirse en restricciones en algún nivel mínimo. El planteamiento se convierte entonces en un problema de programación lineal ordinario de maximizár una función objetivo sujeta a restricCIOnes. Por ejemplo, el administrador puede decidir que el crecimiento de la madera es más importante. El objetivo entonces será: Maximizar: donde los coeficientes 10 y -5 de la tabla 4-3 son los efectos en el crecimiento del bosque producidos por despejar la maleza y talar barreras, respectivamente. Se aplicarán las restricciones sobre horas de mano de obra, senderos y presupuesto, corno se mostró antes. El administrador también puede especificar que existe por lo menos un nivel mínimo de 1,000 unidades de refugio para animales con la restricción adicional:

- 10XI

+ 60 X 2 2::

1,000

donde los coeficientes -10 y 60 representan los efeCtos del despeje y del corte de barreras sobre el refugio para los animales (véase tabla 4-3). La figura 4-8 ilustra este problema. La región sombreada es la región factible que satisface todas las restricciones, incluyendo la del refugio de animales. El objetivo de maximizar el crecimiento del bosque se obtiene en el punto Xl = 563 YX 2 = 111, con 5,080 unidades de crecimiento del bosque (véase el punto A en la figura 4-8).

Para el administrador hubiera sido posible maximizar el refugio de los animales, mientras que establecía un nivel mínimo de crecimiento del bosque como


157

FIGURA 4·8 Solución al problema del ejemplo con maximización del objetivo de crecimiento del bosque

Restricción de mano de obra

Restricción de presupuesto

400

Función objetivo 1: del bosque

1 crecimiento

Límite de las barreras,' 1

300

1 1

I---------------l~--_+-

1

1

1".....

,'........... 1 1 1 1

Región factible

200

B

1

"

Restricción de refugio para animales

100

Función objetivo 11: maximizar beneficios netos Acres despejados

O'--_ _----' O

100

-'200

'-300

"-400

L - -_ _--''--......l--_---->O''

500

_

600

Acres despejados

una restricción. O hubiera podido especificar niveles mínimos para refugio animal y para crecimiento del bosque, y haber minimizado el costo. Una dificultad importante con este método es que no involucra ninguno de los diversos objetivos de equilibrio o de intercambio. El administrador podría estar más satisfecho con un mayor refugio para los animales y menos cantidad de bosque, pero no existe una forma directa para lograrlo. Puede ensayar con diferentes grupos de restricciones hasta que surja una solución satisfactoria, pero éste es un método poco práctico.

Método 2: definir intercambios entre los objetivos Un método para los problemas de objetivos múltiples es especificar los intercambios entre éstos. En este ejemplo, se especificaría el valor de una unidad de crecimiento del bosque y el de una unidad de refugio para animales, ambos en dólares. Luego, estos objetivos podrían intercambiarse entre sí, con los dólares del costo. Mediante este proceso, los beneficios netos totales en dólares podrían maximizarse. Por ejemplo, si el administrador decide que una unidad de crecimiento de bosque vale US$600 y una unidad de refugio para animales, US$lOO. Esto implica que al administrador le es indiferente obtener una unidad adicional de bosque o seis unidades de refugio para animales, o ahorrarse US$600. Dados estos valores, puede calcularse el beneficio neto para las variables de decisión Xl y X 2 . No olvidar que cada unidad de Xl (acres despejados) produce 10 unidades de bosque (que vale US$600 cada una), retira 10 unidades de refugio para animales (a US$100 cada una), y cuesta US$500. Por tanto, el beneficio neto de una unidad de Xl es: lO(US$600) - lO(US$lOO) - US$500

= US$4,500

158


De forma similar, el beneficio neto de un kilómetro de barreras se computa como -5(US$600) + 60(US$100) - US$500 = US$2,500. Luego, el problema de programación lineal para maximizar los beneficios netos es: Maximizar: Sujeta a:

4,500X1 + 2,500X2 150X1 + 50X2 :s 90,000 X 2 :s 300 500X1 + 500X2 :s 350,000

La solución óptima a este problema de programación lineal produce valores de Xl = 550 YX 2 = 150 (véase punto B en la figura 4-8). Esto puede convertirse a unidades de bosque y refugio de animales, y da como resultado 3,750 unidades de bosque y 3,500 unidades como refugio de animales. El éxito de utilizar este método radica en definir los intercambios necesarios. Ésta no es una tarea fácil. El administrador o gerente puede considerar muy difícil dar un valor en dólares a una unidad de refugio de animales. Algunas personas incluso evitarían intentar proporcionar un valor de esa índole.

Método 3: programación de meta Un tercer método es el de la programación de meta. Quien toma las decisiones especifica las metas deseables para cada objetivo. Luego, el problema se formula de manera que se minimice el déficit relacionado con la obtención de esas metas. En general, las metas se especifican como niveles (altos) deseables, de manera que no es posible satisfacerlas todas de forma simultánea. Si el administrador del ejemplo fija como metas de producción deseables 5,000 unidades de bosque y 6,000 unidades de refugio de animales, las restricciones entonces serían: Madera: Refugio de animales: Costo: Mano de obra: Barreras:

10X1 -10X1

-

+ 500X1 + 150X1 +

5X2 60X2 500X2 50X2 X2

+ + +

= U2 -E2 = U1 -El

U3 - E 3

5,000 6,000

= 350,000 :s :s

(4-1)

90,000 300

Las variables U1 y U2 representan las cantidades por las cuales el plan fracasa en el logro de la meta de bosque de 5,000 unidades y de refugio de animales de 6,000 unidades. Así, esto puede describirse como déficit o ¡attante. La variable U3 es el ahorro en dólares por debajo del nivel del presupuesto. Las variables El' E2 YE 3 representan las cantidades en las que se exceden las metas especificadas; es decir, los excedentes. Para formar la función objetivo en el método programación de meta hay que minimizar el déficit. Así, el objetivo debe ser minimizar (U1 + U2 + U3), lo que minimizaría las cantidades en que caerían el crecimiento del bosque y el refugio de animales, por debajo de las metas, y maximizaría el faltante del costo (minimizando el negativo de U3) sujeto a las restricciones antes mencionadas. La simplicidad de este enfoque es atractiva. No obstante, existe la suposición de que un ahorro unitario en dólares tiene el mismo valor que un déficit unitario de bosque y un déficit unitario en refugio para animales. La función objetivo da igual peso a cada una de ellas.


159

Un método mejor es definir específicamente los intercambios entre los diversos objetivos. Si el administrador decide que un déficit de una unidad de bosque vale 600 veces más que un ahorro en dólares y que un déficit de una unidad de refugio para animales vale 100 veces un ahorro en dólares, entonces la función objetivo sería: Minimizar: 600U1 + 100U2 - U3 de nuevo sujeto a las restricciones (4-1) . Esta función objetivo da valor cero al excedente de cualquiera de las metas de crecimiento del bosque o de refugio de animales. El administrador puede decidir que existe algún valor para estos sobrantes y también le da significación a las variables E. Por ejemplo, exceder la meta de bosque puede tener un valor de US$50 por unidad, y exceder el valor de refugio de animales puede costar US$25 por unidad. Además, cada dólar que esté por encima del presupuesto de costos (E 3) puede ser cinco veces más importante que un dólar ahorrado (U3). Entonces, la función objetivo se convierte en: Minimizar: 600U1 + 100U2 - U3 - 50E l - 25E2

+ 5E3

Minimizar los valores negativos para U3 , El y E 2 equivale a maximizar. Una solución óptima para este problema de programación lineal requiere el despeje de 550 acres y el corte de 150 kilómetros de barreras. El presupuesto se cumple exactamente. Hay déficit de 250 unidades para la meta del bosque y 2,500 unidades para la meta de refugio de animales. Existe una alternativa de solución óptima que requiere el despeje de 537 acres, el corte de 189 kilómetros de barreras y 579 unidades en déficit en el bosque, pero ningún déficit en refugio para los animales. Sin embargo, esto requiere exceder el presupuesto en US$13,160. Ahora puede observarse que laprogramación de metas difiere del método 2 (al definir directamente los intercambios) en dos aspectos:

1. Se incorporan las metas específicas y se da un valor diferente al déficit y al excedente de la meta. En el método 2, se da un valor ponderado a cada objetivo, que se aplica a todo el rango de valores posibles. 2. La función objetivo se define en términos de los objetivos mismos. En el método 2, se había calculado los beneficios netos para cada actividad, y estos beneficios netos se incluyeron en la función objetivo. El enfoque de programación de metas facilita ver el valor relativo dado a cada uno de los objetivos múltiples.

Método 4: programación de prioridad Suponer que el administrador del ejemplo se resiste a asignar valores específicos de intercambio entre los diversos objetivos múltiples, pero desea otorgar prioridades a cada uno, indicando el orden en el que deben satisfacerse. Por ejemplo, las restricciones de metas se especifican así: Bosque: Refugio de animales: Costo:

10Xl - 5X2 + U1 - El = 3,000 -10X1 + 60XZ + U2 - E2 = 1,000 500X1 + 500X2 + U3 - E 3 = 350,000

160


El administrador jerarquiza sus prioridades de la siguiente manera: 1. Minimizar el déficit del crecimiento del bosque (U l ) 2. Minimizar el déficit de refugio de los animales (Uz)

3. Minimizar el excedente del presupuesto (E 3) 4. Maximizar el excedente del crecimiento del bosque (El) 5. Maximizar el excedente de refugio de los animales (E z) 6. Maximizar los ahorros del presupuesto (U3) El método de programación de prioridades trata de lograr cada objetivo de manera secuencial y no de forma simultánea. El método se explica de manera gráfica. Véase la figura 4-9. El panel A muestra la región factible, considera sólo las restricciones de mano de obra y el límite de las barreras. La primera prioridad del administrador es minimizar el déficit en el crecimiento del bosque. En el panel B, éste se minimiza hasta que no haya déficit y la región factible restante se muestra como área sombreada. Si no quedara una región factible, el proceso de programación de prioridades se detendría, habiendo logrado sólo tanto como fuera posible de la meta de prioridad más alta. FIGURA 4·9 Pasos en el ejemplo de programación de prioridades

B. Con minimización del déficit del bosque

A. Sólo restricciones

X2

Restricción de mano de obra

~ 400 ~

ro .¡g

.o 200

Limitaciones n las barreras

Región factible

e

200

Q)

E

:Q

o

'--'--_---'_~

O

200

::z

__

.....L-

. . l __ _

400

600

O '-------'--~-~---~-O 200 400 600 X1 Acres despejados

X1

Acres despejados

D. Con minimización del excedente del presupuesto y maximización del excedente de bosque

C. Adición de minimización del déficit en refugio de los animales

,,

(J)

~ ~

ro .o .¡g

Meta de refugio de los ~ animales -5i E

200

,,

Límite sobre maximización del excedente de bosque I

,

I

I

200

:Q

::z

o --- ---

L -_ _- - - '_ _--L_.....L-

O

200

400 Acres despejados

--L-_ _

O ' - - - - - - ' - - - - ' - - - ' - - - - ' - -...........-~

O

200

400

Acres despejados

600

X1


161

Debido a que queda algo de región factible, se considera la siguiente prioridad más alta; ella es la minimización del déficit de refugio de los animales. Esto se demuestra en el panel C y también puede minimizarse hasta que no haya déficit, mostrando el resto de la región factible en gris. La tercera meta de prioridad de la minimización del excedente del presupuesto se muestra en el panel D. Ésta también puede lograrse en total. Finalmente, se invoca la meta de prioridad de cuarto orden, la maximización del excedente de crecimiento del bosque, que es la solución mostrada como punto A en el panel D: 563acres despejados (Xl) y 111 kilómetros de barreras cortados (X2 ). Debido a que no hay una región factible restante, no es posible proceder a las metas de prioridad de quinto y sexto orden. Se han desarrollado programas especiales de computador para la programación de prioridades. Para un problema con dos variables, la solución puede obtenerse gráficamente, como se ilustró. No obstante, problemas más reales involucran muchas dimensiones y las soluciones gráficas no son posibles. El lector que esté interesado en el algoritmo de programación de prioridades puede dirigirse a las referencias dadas al final de este capítulo.

RESUMEN Existen varios métodos para incorporar los objetivos múltiples en los problemas de programación lineal. Los métodos simples implican ponderar los objetivos o incorporar los objetivos secundarios como restricciones para conformar una sola función objetivo. La programación de meta involucra definir las metas e incluir variables para derivaciones a partir de estas metas (bien sea déficit o excedentes). La función objetivo se define para minimizar las desviaciones (posiblemente ponderadas). La programación de prioridades define de manera similar las restricciones de la meta, pero involucra la satisfacción de metas en orden secuencial y no de forma simultánea.

APÉNDICE EL ALGORITMO DE RAMIFICAR Y RESTRINGIR Como se vió en este capítulo, los problemas de programación con enteros pueden solucionarse mediante el procedimiento de ramificar y restringir. En realidad, es un proceso de solución general que puede aplicarse a muchos tipos de problemas, y es de interés por su propia naturaleza. Primero, se considerará su aplicación a problemas con enteros. Cuando se requiere que un problema tenga una solución con enteros, significa que hay un número finito de puntos de solución posibles. A pesar que teóricamente se puede numeraren su totalidad todas las soluciones posibles, en general, no es factible en términos de computación. Sin embargo, si pueden encontrarse formas de evitar considerar grupos completos de soluciones, la numeración completa podría ser factible. La técnica de ramificar y restringir es un método para lograrlo.

El árbol de posibilidades de solución En problemas con enteros existe un número finito de soluciones posibles, que pueden representarse mediante un diagrama de árbol. Esto puede demostrarse

mejor mediante un ejemplo. Considerar el siguiente problema de programación con enteros:

162

Análisis cuantitativo Maximizar: U = 6XI + 3X2 + X 3 + 2X4 Sujeta a: Xl + X 2 + X 3 + X 4 ::; 8 2XI + X 2 + 3X3 ::; 12

5X2 + X 3 + 3X4 Xl

X2

::;

6

::; 1 ::; 1

X3

::; 4 X 4 ::; 2

Xl' X 2, X 3, X 4 Todos enteros Las restricciones Xl ::; 1 YX 2 ::; 1 significan que Xl y X 2 son variables enteras cero/uno. La variable X 3 puede tomar cinco valores (O, 1, 2, 3, 4), Yla variable X 4 puede tener 3 valores. Por consiguiente, considerando sólo las últimas cuatro restricciones, existen 2 • 2 • 5 • 3 = 60 soluciones posibles, cuya numeración se muestra gráficamente en el árbol de la figura 4-10. El orden de las variables en el árbol es arbitrario; pero, al final, el árbol debe tener 60 ramas, una por cada solución posible. Muchas de estas soluciones no son factibles; es decir que no satisfacen las primeras tres restricciones. Para un problema pequeño como éste, un computador podría evaluar las 60 posibilidades muy rápido. Sin embargo, debido a que los problemas crecen en tamaño, una evaluación completa no resulta práctica lO. El método de ramificar y restringir está diseñado para reducir la búsqueda mediante el corte de las ramas de este árbol de posibilidades, limitando con ello el número de posibilidades investigadas. La idea clave al eliminar ramas es:

Una rama puede eliminarse si puede demostrarse que no contiene una solución factible que sea mejor que una ya obtenida. El uso efectivo del procedimiento de ramificar y restringir requiere encontrar un límite superior para todas las soluciones posibles en una rama dada (un límite inferior es necesario cuando se minimiza). La solución al problema de programación lineal ordinaria equivalente proporciona un límite conveniente. Considerar el problema anterior para resolverlo como un problema de programación lineal utilizando el método simple (es decir, pasando por alto los requisitos con enteros). La solución es: Xl

= 1, X 2 = O, X 3 = 3.33, X 4 = 0.89

que no es una solución con enterosll . La utilidad es U = 11.11. Ésta es la utilidad máxima que puede obtenerse, dadas las primeras tres restricciones. Se sabe que no hay solución, y, por tanto, no hay una con enteros que pueda tener una utilidad mayor que 11.11. Entonces, el valor 11.11 es un límite para todas las soluciones al problema. Para cualquier rama puede encontrarse una frontera (límIte superior) exactamente en la misma forma. Los pasos en el procedimiento de ramificar y restringir para el ejemplo se ilustran en la figura 4-11. Los números encerrados en círculos indican la secuencia de las rondas para el desarrollo del árbol y para el procedimiento de ramificar y restringir. 10 Para ver esto, se considerará un problema de 10 variables con enteros, cada una de las cuales pueden tener cinco valores enteros (O, 1, 2, 3 ó 4). El número de soluciones posibles es 510 = 9,765,625. La numeración y la evaluación de estas muchas posibles soluciones es un procedimiento largo y dispendioso. ¡ ¡ Por consiguiente, se necesita una forma para limitar la búsqueda a un conjunto más pequvño (:Iv soluciones posibles. El problema de PL ordinario descuida u omite las restricciones con enteros; en ocasiones, esto se denomina relajación de PL al problema de programación con enteros.


FIGURA 4-10 Árbol de todas las soluciones posibles con enteros para Xl::; 1, X2 ::;1,

X3 ::; 4, X4 ::;2

163

_

164


FIGURA 4-11 Resumen de la solución del primer problema del ejemplo

CD

Problema original Solución PL Xl =1 X2 =O Utilidad

X3 =3.33 X4 =0.89

=U= 11.11

Conclusión: rama de no enteros.

~~ X ;::: O

X4 ;::: 1

4

o

Solución: X1 =1 X2 =0.57

Solución: Xl =1 X2 =O

X3 =3.14 X4 =0

Utilidad = U = 10.85

Utilidad

= U =9.33

Conclusión: nueva solución, lo mejor posible, también la óptima, ya que todas las ramas fueron investigadas.

Conclusión: no es entero. Investigar posteriormente. Rama X2 =O

Rama X2 =1 Solución: Xl =1 X2 =1

X3 =3.33 X4 =0

o

X3 = 1 X4 = O

0

Utilidad =U = 10 (la solución es un entero) Conclusión: mejor solución con enteros en la rama.

Solución: Xl =1 X2 =O Utilidad

X3 =3.33 X4 =O

= U =9.33

Conclusión: eliminar rama debido a que el límite sobre la utilidad es menor que U =10 desde la ronda 3.

Solución al ejemplo mediante el procedimiento de ramificar y restringir Ronda 1. El primer paso es solucionarlo, como un problema de programación lineal ordinario. Si hay mucha suerte, la solución puede ser un entero; pero, aún cuando no lo sea, la solución de PL inicial es un buen inicio. La solución de PL para el ejemplo es Xl = 1, X 2 = 0, X 3 = 3.33, X 4 = 0.89, Yla utilidad es U = 11.11. Ésta no es una solución en enteros, de manera que debe avanzarse más. Antes de proceder, hay que reparar en que existe una solución evidente con enteros Xl = X 2 = X 3 = X 4 = 0, con una utilidad de U = O. Es poco probable que ésta sea la solución óptima, pero da una solución inicial, "la mejor hasta ahora". Ronda 2

Paso 1. Inicio. La solución inicial con enteros factible es Xl con una utilidad de U = O.

= X 2 = X 3 = X 4 = O,


165

Paso 2. Ramificación. Ahora se selecciona una variable y se construyen ramificaciones. La variable a seleccionar es arbitraria. Un procedimiento que parece funcionar bien es ramificar sobre las variables que no son enteros en la etapa inicial. Es la primera ronda, X 3 y X 4 no son enteros; de forma arbitraria se selecciona X 4 para ramificar. La solución anterior tiene X 4 = 0.89. Por consiguiente, un par sensible de ramificaciones requeriría que X 4 = Oó X 4 ~ 1. Esta ramificación divide todas las posibles soluciones en dos grupos, aquellas para las cuales X 4 = O, Yaquellas para las cuales X 4 ~ 1. Debido a que X 4 debe ser un entcro, no es posible que X 4 este comprendido entre Oy 1. Este procedimiento define el primer par de ramas mostradas en la figura 4-11. De manera arbitraria se selecciona X 4 = O para la investigación inicial. Para representar esta rama se reemplaza la última restricción (X4 ~ 4) en el problema del ejemplo, por la restricción X 4 = O. Entonces, el problema se convierte en: Maximizar: U 6XI + 3X2 + 2X4 ~ 8 Sujeta a: Xl + X 2 + X 3 ~ 12 2XI + X 2 + 3X3

5X2 + X 3 + 3X4

~ ~ ~ ~

X4 =

6 1 8 4 O

Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es Xl = 1, X 2 = 0.57, X 3 = 3.14, X 4 = O. La utilidad es U = 10.85, que es un límite a todas las soluciones en la rama X 4 = O(es decir, para todas las soluciones para las cuales X 4 = O). Paso 4. Comparar. Se compara la mejor solución que haya hasta el límite recién generado. La mejor solución con enteros hasta ahora tiene una utilidad de U = O, mientras que el límite es U = 10.85; por tanto, todavía no puede eliminarse esta ramificación, y hay que investigar más abajo de la rama.

Ronda 3

Paso 2. Ramificación. Se selecciona una nueva variable para la ramificación, por ejemplo, X 2, (véase figura 4-11). Observar que X 2 no es un entero en la solución de PL anterior. La variable X 2 únicamente puede tomar los valores de O ó 1, de manera que hay sólo dos ramas posibles: X 2 = Oó X 2 = 1. Es decir, se subdividen las posibles soluciones en dos grupos, las que tienen X 2 = OYlas que tienen X 2 = 1. (No olvidar que todavía se está trabajando en la rama X 4 = O, de manera que también se está tratando sólo con las soluciones posibles para las cuales X 4 = O). Se selecciona arbitrariamente la ramificación X 2 = 1 Yse sustituye esta restricción en el problema anterior, en lugar de X 2 ~ 1. El nuevo problema es: Maximizar: Sujeta a:

6XI + Xl + X 2 + 2XI + X 2 + 5X2 + Xl

U

=

3X2 + X 3 + 2X4 X3 + X4 ~ 8 3X3 ~ 12 X 3 + 3X4 :5 6 ~ 1 :5

1 4

=

O

X2 X3

X4

166


Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es: Xl = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = O, con una utilidad de U = 10. Ver que la solución es un entero. Paso 4. Compara1: Esta solución con enteros es mejor que la mejor solución encontrada hasta ahora (U = O). Se convierte en la nueva mejor solución encontrada hasta ahora. Además, ya no necesita investigarse más abajo de esta ramificación, ya que se tiene lo óptimo para ella. Es decir, que para el conjunto de soluciones posibles para el cual X 4 = OYX 2 = 1, no hay ninguna mejor que la que acaba de obtenerse. Sin embargo, hay otras ramas por revisar.

Ronda 4

Paso 2. Ramificar. Se regresa a la ramificación X 2 = O (véase figura 4-11), y se selecciona para investigarla. Es decir, ahora se considera el conjunto de soluciones para el cual X 2 = O (todavía dentro del conjunto para el cual X 4 = O). El problema a solucionar es el mismo anterior (ronda 3, paso 2) con la restricciónX2 = Oque reemplaza a X 2 = 1.

Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es: Xl X 4 = O, con una utilidad de U = 9.33.

= 1, X 2 = O, X 3 = 3.33,

Paso 4. Comparar. Este enlace es menor que el mejor anterior (U = 10 de la ronda 3, paso 3). Por tanto, puede eliminarse esta rama para consideraciones adicionales. No puede contener una solución con enteros con una utilidad superior a 10, debido a que la mejor solución no restringida tiene una utilidad de tan sólo 9.33.

Ronda 5

Paso 2. Ramificar. Se regresa a la ramaX4 paso 2 (véase figura 4-11).

~1

del árbol que se creó en la ronda 2,

Paso 3. Limitar. Se resuelve el mismo problema de PL del paso 2 de la ronda 2, con la restricción X 4 = 1 que reemplaza a X 4 = O. La solución' es Xl = 1, X 2 = O, X 3 = 3, X 4 = 1, Y la utilidad es U = 11. Nuevamente, observar que ésta es una solución con enteros.

Paso 4. Comparar. La solución anterior es un entero y es mejor que la mejor solución anterior. Por consiguiente, se vuelve la nueva mejor solución hasta ahora. Es un límite sobre todas las soluciones que están debajo de la ramificación (X4 ~ 1), de manera que no necesita investigarse más abajo de la rama.

Paso 5. Terminación. Se investigaron todas las ramificaciones y se logró establecer que la mejor solución óptima con enteros sea hasta ahora en el paso 3 de la ronda 5, con una utilidad de U = 11. Con esto se termina el problema del ejemplo. Debido a que se investigaron todas las ramificaciones, la solución óptima es la mejor solución actual hasta ahora. Xl

= =

X2 X3 =

1 O 3

X4 = 1 U=l1


167

En la figura 4-11 se presenta el resumen de los procedimientos. Hay que notar que no tienen que investigarse más ramificaciones, de hecho sólo cinco, para obtener la mejor solución de las 60 posibilidades dadas en la figura 4-10. En el siguiente resumen, se presentan la serie general de pasos para el procedimiento de solución de ramificar y limitar.

RESUMEN

1. Comenzar. Encontrar una solución inicial factible con enteros. Si es difícil encontrar una solución inicial, puede omitirse este paso.

2. Ramificar. Seleccionar una variable y dividir las posibles soluciones en dos grupos. Seleccionar una rama para investigarla; es decir, uno de los grupos.

3. Limitar. Encontrar un límite para el problema definido por la ramificación seleccionada. En el ejemplo se utilizó como límite la solución de PL al problema con enteros. Observar que éste representa el límite superior para todas las posibles soluciones en una ramificación dada.

4. COlnparar. Comparar el enlace obtenido para la ramificación que está considerándose con la mejor solución hasta ahora para las ramificaciones antes examinadas. Si el límite es menor que el mejor de ese momento, se elimina toda la nueva ramificación. Luego, se continúa con las ramificaciones que no se hayan examinado todavía. Si el límite de esta nueva ramificación es mayor que la mejor solución hasta el momento y si la solución es un entero, entonces se convierte en la nueva mejor solución; luego, se examinan las otras ramificaciones que todavía no se han considerado. Si el límite de la nueva ramificación es mayor que la mejor solución hasta el momento, pero la solución no es un entero, puede haber mejores soluciones más abajo. Por consiguiente, debe pasarse a un nivel inferior en el árbol y hacer la ramificación, es decir, repetir el paso 2.

5. Tenninar. Cuando se hayan examinado todas las ramificaciones, la mejor solución hasta ahora es la solución óptima.

Otro ejemplo La figura 4-12 muestra el árbol de solución para el ejemplo sobre el tamaño y ubicación de la fábrica, estudiado en este capítulo (véase figura 4-3). En este caso, existen siete variables binarias, de manera que hay 128 casos posibles con enteros; de los cuales, cada uno involucra la solución de un problema de PL con otras 19 variables. El siguiente es un resumen de los pasos de la figura 4-12. Pasos O a 5. Ramificar hasta que se encuentre una solución factible con enteros en el paso 5. Esta solución se convierte en la mejor hasta ese momento. Paso 6. Solución no factible. Cortar la ramificación. Paso 7. Solución con enteros, es la nueva mejor solución hasta ese momento con un costo de US$16,100. Paso 8. Solución con enteros pero más costosa que la actual mejor solución. Cortar la rama. Paso 9. Solución con enteros e igual a la mejor hasta el momento.

168


FIGURA 4-12 Pasos para solucionar el ejemplo sobre tamaño y ubicación de la fábrica

®

Solución de PL original C = 14,858 No entero

CD

@

I

YSI = 1 C = 15,233

YCI =0 C= 15,441

No entero

No entero

0

I

0 YCG = O C = 15,250

@

I

YCG= 1 C= 16,100 Óptimo alterno

YSG = O C= 16,050

YSG = 1 C= 15,983

Entero

No entero

No entero

@

No entero

®

I

® YAG = O C = 15,500

YAG = 1 C = 16,250

@

Entero No entero

0

I

0 YCP=O C = 15,533

YCP= 1 C = 16,100 La ~ueva mejor hasta ahora Entero

No entero

YAP = 1 C = 16,200 La mejor hasta ahora

YAG = 1 C = 16,066

I

I

0

YAP = O

l

@

c = 16,425

YCG =0

YOG = 1 C = 16,450

No entero

No entero

I

@

YAG = O C= 17,400

No entero No entero

@ 1

I

0

@

YCG =0 C = 17,600 No entero ..

@

YCG = 1 C = 16,300 Entero

No factible

Entero

Pasos 10 a 12. Soluciones de no enteros, pero los límites son mejores (menos costo) que la mejor solución hasta ese momento. Continuar las ramificaciones. Paso 13. El límite es peor que la mejor solución hasta ese momento. Cortar la rama. Paso 14. Solución con enteros, pero el límite es peor que la mejor hasta el momento. Cortar la rama. Pasos 15 a 18. Los límites son peores que la mejor solución hasta ese momento. Cortar las ramas.


169

Se consideraron todas las ramificaciones, y las mejores soluciones alternas hasta ahora (pasos 7 y 9) son soluciones óptimas. La solución del paso 9 se presenta en la figura 4-3. La respuesta alterna involucra una fábrica pequeña en el sitio e, y un patrón de envío diferente.

Análisis En el procedimiento de ramificar y limitar es necesario crear el equivalente de la estructura del árbol, como la que se presenta en las figuras 4-11 y 4-12. Los programas de computador que se usan en problemas reales tienen una heurística compleja (reglas generales) sobre la manera de desarrollar el árbol y las ramificaciones que deben investigarse primero 12. El procedimiento de ramificar y limitar es un método general para la solución del problema. En los ejemplos de este capítulo, se utiliza la solución de un problema de programación lineal ordinario como forma de obtener un límite. Sin embargo, hay problemas donde puede obtenerse un límite mediante un proceso diferente, mucho más simple. Un ejemplo es el problema de asignación. Por ejemplo, una fábrica tiene cinco plantas y cinco regiones de venta, y a cada planta se le asigna una única región para hacer los suministros. Esto podría formularse como un problema de programación con enteros y solucionarlo como se ha presentado aquí. Sin embargo, existen formas de limitar el costo de este problema de asignación que son mucho más fáciles de obtener que solucionar un problema de programación lineal. Por tanto, el procedimiento de limitar puede utilizarse dentro del proceso de ramificar y limitar para solucionar el problema.

BIBLIOGRAFíA BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D. and SHETTY, C. M., Nonlinear Programming: TheOlY and Algorithms, 2 ed., New York: Willey, 1993. BRADLEY, S.P., HAX, A. C. and MAGNANTI, T. L., Applied Mathematical Programming, Reading, Mass: Addison Wesley Publishing, 1977. HILLIER, F. and LIEBERMAN, G. J., Introduction to Operations Research, 6 ed. New York: McGrawHill, 1995.

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PROBLEMAS PRÁCTICOS13 4-1 Un importante estudio de cine planea producir cin-

co películas específicas durante los próximos tres años. Definir una variable Yit donde el subíndice i se refiera a la película en particular (i = 1, 2, 3, 4, 5) yel subíndice t al año (t = 1, 2, 3). Yit es una variable cero/uno que tiene el valor de 1 si la iésl/na película se produce en el tésimo año y tiene un valor diferente de O. Considerar cada situación de manera independiente y formular una o más restricciones lineales con enteros que satisfagan la condición establecida.

a. No puede producirse más que una película en el

primer año. b. La película 2 no puede producirse antes que la

película 3; sin embargo, pueden producirse en el mismo año. c. Debe producirse por lo menos una película cada año. d. La película 4 debe producirse a más tardar el año 2. e. Las películas 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.

verse en los pasos que SOIVt:f ~igue para verificar la caja Mostrar resultados de interacción en la caja de diálogo Opciones de Solver. 13Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de este capítulo.

12 Pueden

170


4·2 La gerente de investigación de la Federal Science Foundation está tratando de decidir cuáles proyectos financiar para el próximo año. Recibió las 8 propuestas que se presentan a continuación. Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una escala de Oa 100. La gerente de investigación desea encontrar una combinación de proyectos que tengan el valor total más alto. Sin embargo, existen varias limitaciones. Primero, cuenta con un presupuesto de US$320,000. Segunda, debe aceptar o descartar un proyecto (es decir, no hay financiación parcial). Tercera, hay ciertos proyectos relacionados. Ella no desea financiar los proyectos G y H. El proyecto D no debe recibir financiación a menos que A también lo haga (no obstante, A puede ser financiado sin D). a. Formular el problema de la gerente como un problema de programación lineal (con enteros). b. Solucionar el problema utilizando el programa Solver. Propuesta

Costo (miles de dólares)

Valor

A B

$ 80

40 10 80 50 20 5 80 100

15 120 65 20 10 60 100

C D E F G H

4-3 La empresa Bendigo fabrica tres productos: ANZA, BOZO y KARMA. Bendigo formuló parcialmente su problema semanal de mezcla de producto como un problema de programación lineal, así: Maximizar: Sujeta a:

100A

+ 120B

3A + 7B + 2K :5 1,000 (tiempo de máquina disponible) A + 1.5B + 2K :5 300 (horas de trabajo disponibles) 23A + 18B +25K = M.P. Utilizada (materia prima utilizada) dondeA, B y K se refieren a la cantidad de unidades ANZA, BOZO y KARMA producidas por semana. En este punto, Bendigo tuvo problemas y pide ayuda para completar la formulación. Para cada una de las siguientes partes, adicionar o modificar el planteamiento para incorporar la situación descrita. Formular como un problema lineal con enteros, utilizando variables con enteros (incluyendo binarias), según se requiera. Definir en cada caso las nuevas variables, las restricciones o modificaciones nuevas y las adiciones o modificaciones que se hagan a la función objetivo. Cada parte debe tratarse de manera independiente.

a. Los KARMA se estampan en una máquina especial que tiene en arriendo el fabricante. pueden

estamparse hasta 200 unidades del producto en una semana. El contrato de arrendamiento especifica un costo fijo de US$800 por semana si se producen alguna unidad de KARMA; sin embargo, no existe cargo alguno si la máquina no se utiliza durante alguna semana. b. 'El costo de la materia prima es de 25 centavos por unidad si se compran menos de 1000 unidades. Si se compra esa cantidad o más, el costo es de 20 centavos por unidad para todas las unidades compradas. Semanalmente se dispone de una cantidad ilimitada de materia prima, pero no puede almacenarse de una semana a la siguiente. c. El ingreso por ventas para una unidad de KARMA depende de la cantidad comprada. Bendigo recibe US$100 por cada una de las primeras 20 unidades producidas, US$150 por cada una de las siguientes 50 unidades producidas, y US$120 por cada unidad adicional hasta un máximo de 200 unidades producidas en total. d. El departamento de ventas calcula que las ventas máximas son de 100 unidades para los ANZA y 120 unidades para los BOZO. Sin embargo, podría iniciarse una campaña de ventas, a un costo de US$5,000, para cada producto. La campaña incrementaría la demanda en 50 unidades para el producto seleccionado. Debido a la limitación en las ventas, la campaña podría realizarse para el producto ANZA o BOZO, pero no para ambos. 4·4 Una fábrica elabora dos productos, Ay B. A continuación se muestra la contribución a la utilidad y el uso de recursos para una unidad de cada producto.

Contribución a la utilidad (dólares por unidad) Uso de recursos: Tiempo de la máquina (horas por unidad) Materia prima (toneladas por unidad) Mano de obra calificada (horas por unidad) Mano de obra no calificada (horas por unidad)

Producto A

Producto B

15

10

4

5

5

4 5

g

O

La fábrica dispone de un máximo de 100 horas de maquinado y 30 de mano de obra no calificada. Existe un faltante de materia prima. La fábrica recibió una asignación de 100 toneladas de su planta principal aunque con instrucciones de utilizar lo menos posible y devolver el excedente para que otras secciones puedan utilizarlo. Podría obtenerse más de las 100 toneladas asignadas, pero sólo si fuera absolutamente necesario. La fábrica tiene una fuerza laboral calificada de 75 horas disponibles en horario normal. Estos trabajadores calificados están renuentes a trabajar tiempo extra, pero lo harán si es necesario. La ge-

Temas especiales de programación matemática rencia desea utilizar los trabajadores capacitados durante el tiempo normal tanto como sea posible. La fábrica tiene una meta de utilidad de U5$300 que espera cumplir o superar. a. Definir las variables de decisión y las restricciones sobre el tiempo maquinado y de mano de obra no calificada. b. Formular las restricciones de la meta (a nivel de déficit y excedentes), .respecto a mano de obra calificada, materia prima y utilidad. c. Suponer que la gerencia agrega costos de US$15 por tonelada a la materia prima utilizada que exceda la asignación, US$10 por hora extra para trabajadores calificados y U5$5 por hora de tiempo libre de esos trabajadores. Además, la materia prima no utilizada (por debajo de la asignación) tiene un valor de US$5 por tonelada. Un dólar de utilidad tiene el mismo valor, sin tener en cuenta si se excede o no la meta de utilidad. Formular la función objetivo de la meta de programación. d. Antes de continuar con esta parte, verificar que el planteamiento se formuló de forma correcta, mirando las respuestas que aparecen al final del libro.

171

Ahora si, elaborar la figura del problema de decisión. Incluir primero las restricciones sobre mano de obra no calificada y tiempo de maquinado. Luego, trazar las líneas que representan las metas de materia prima y de mano de obra calificada. Finalmente, incluir la meta de utilidad. e. Evaluar los siguientes puntos de solución posibles. Encontrar cada punto en la figura y sustituir en todas las ecuaciopes de metas para determinar el déficit o el excedente. Luego, sustituir estos valores en las funciones objetivo de c. Encontrar la solución óptima (con el valor mínimo). Los puntos son: 1) Producto A = 8.33 unidades; producto B = 13.33 unidades. 2) Producto A = 11.11 unidades; producto B 11.11 unidades. 3) Producto A = 15 unidades; producto B = 8 unidades. 4) Producto A = 15 unidades; producto B = 6.25 unidades.

PROBLEMAS 4-5 Lajefe del departamento de policía de Punxsutawney prepara el presupuesto para el año siguiente. Un elemento clave es el número de policías que necesitará para labores de patrullaje y,justamente, acaba de recibir un estudio (véase tabla adjunta) que calcula el número de patrullas que debe haber en las calles de PUnXsutawney, durante períodos de 4 horas. En parte, estos cálculos se basaron en experiencias anteriores respecto a las solicitudes de ayuda y la investigación dc crímenes y, en parte, en requisitos para un nuevo programa de prevención del crimen. El nuevo programa enfatiza en la visibilidad de las patrullas en las calles durante horas de alto potencial de acciones criminales. El problema de la jefe surge porque tiene que programar al personal de la policía en turnos de 8 horas y no sólo por segmentos de cuatro horas como se muestra en la tabla. El departamento opera con seis turnos escalonados de 8 horas que se muestran en la tabla siguiente; la jefe desea mantener esta política.

Requisitos estimados de patrullas de policía en días laborables, por hora del día

Período

Patrullas necesarias

10 PM a 2 AM 2 AM a 6 AM 6 AM a 10 AM 10 AM a 2 PM 2 PM a 6 PM 6 PM a 10 PM Total

13 1 7 6 6

11 50

Policía de Punxsutawney· Turnos escalonados

Turno de inicio

Hora de terminación

1 2 3 4 5 6

10 PM 2AM 6 AM 10 AM 2 PM 6 PM

Hora 6 AM 10 AM 2 PM 6 PM 10 PM 2AM

El problema de la jefe es decidir el número mínimo de personal necesario para cumplir los requisitos. Cada patrulla cuenta con un solo patrullero, además, sólo para los días laborables. Formular un problema de programación lineal con enteros para solucionar el problema de la jefe. 4·6 El decano de una facultad de negocios planea incluir dos programas básicos: un curso de pregrado que otorga el título de BBA (Bachelor on Business Administration), y un programa de posgrado que otorga el título de MBA (Master on Business Administration). El decano cuenta con 36 profesores de tiempo completo y 42 de medio tiempo. Para dictar los cursos a cada aspirante a BBA, se requieren 0.02 profesores de tiempo completo y 0.03 de medio tiempo; en otras palabras, por cada 100 estudiantes de BBA, la facultad necesita dos profesores de tiempo completo y tres de medio tiempo. Por cada 100 estudiantes de MBA se requieren seis profesores de tiempo completo y cuatro de medio tiempo. El problema del decano es determinar el número de estudiantes de MBA y BBA que puede matricular. La matrícula anual para un aspirante MBA es

.

172


de US$15,000 y para uno de BBA es de US$12,000. El rector de la universidad estableció que el número de matriculados en el programa de MBA está limitado a no más de la mitad de los inscritos en el programa de BBA. El decano tiene tres objetivos. El primero es el ingreso por concepto de matrículas; la meta fijada es de US$15 millones. Un segundo objetivo es satisfacer las necesidades de las empresas locales por graduados BBA; la meta fijadaes de 1,000 estudiantes matriculados para ese programa. El tercer objetivo es satisfacer la demanda de MBA; la meta fijada es de 400 estudiantes. Suponer que el decano desea satisfacer la demanda de BBAy de MBA hasta donde sea posible, evitando, tanto como sea posible, excedentes y déficit. Además, el decano desea obtener tantos ingresos por concepto de matrículas como le sea posible. a. Formular las restricciones para el problema del decano corno un problema de metas de programación. Permitir déficit y excedentes para las restricciones de las metas. b. Formular la función objetivo, asumiendo los siguientes pesos para cada déficit o excedente.

Valoración (equivalentes en dólares)

15

30,000 24,000 3 9,000 6,000

3XI + 6X2 + X3 Xl + X 2 + X3 :::; 7 5X I + X 2 + X 3 :::;15 Xl + 4X2 :::; 9 :::; 3;X Xl 2 :5 3; X3 :5 3

Todas las variables son enteros. 4-8 Remitirse, en este capítulo, a la ilustración del problema sobre tamaño y ubicación de la planta. El planteamiento dado permite que se cumplan parcialmente los requisitos de dos o más sitios para la planta. Suponer que se desea que una región obtenga la totalidad de sus suministros sólo del sitio donde se encuentre la planta. ¿Cómo formular este problema? 4-9 La Snohomish Extrusion Company está planeando un programa de producción para el siguiente trimestre. Snohomish fabrica tres productos: alfa, beta y gamma. Los factores primordiales utilizados en la fabricación de estos productos son horas de mano de obra, materia prima y electricidad. Los requerimientos de cada producto son los siguientes:

Objetivo

Déficit de matrículas Faltante para satisfacer la demanda de BBA Faltante para satisfacer la demanda de MBA Excedentes de matrículas Excedente de la meta de BBA Excedente de la meta de MBA

Elaborar la gráfica del problema. Primero, sólo la de las restricciones que no son de metas; luego, trazando las ecuaciones de las metas. Encontrar la solución óptima. Puede que sea necesario tratar con varios puntos hasta encontrar el óptimo. Considerar los puntos que son intersecciones de las diversas restricciones y ecuaciones de metas. d. Si el decano desea asignar prioridades a las diversas metas en el orden mostrado en b. Es decir, minimizar el déficit por matrículas es la prioridad más alta y la siguiente sería minimizar el faltante en la demanda de BBA, y así sucesivamente, entonces, utilizar el método de programación y resolver gráficamente el problema. C.

4-7

Maximizar: Sujeta a:

(Nota: este problema requiere conocimiento del material que se encuentra en el apéndice de este capítulo). Utilizar el procedimiento de ramificar y limitar para solucionar el siguiente problema:

Alfa

Mano de obra (horas) Materia prima (libras.) Electricidad (kwh) Contribución por unidad (dólares) excluyendo el costo de mano de obra, materia prima y energía

Beta

Gamma

10 300

2 13 180

120

170

240

120

5

1 8

Snohomish dispone de hasta 4,000 horas de mano de obra en las operaciones de su primer turno (para el trimestre), y el contrato laboral permite hasta esta cantidad a un precio de US$lO por hora. La materia prima (resina regular) cuesta US$2 por libra, y pueden comprarse hasta 20,000 libras. Los costos de energía son de 3 centavos por kwh, y puede comprarse cualquier cantidad. Snohomish planteó el problema de programación lineal así: Maximizar:

170A + 240B + 120C - 10HPT - 2LMP - 0.03Kwh Sujeta a:

5A + 2B + 1C = HPT HPT:5 4,000 (requisitos de mano de obra) lOA + BB + SC = LMP LMP :5 20,000 (requisitos de materia prima) 300A

+ 18üB +

12üC = Kwh (requisitos de

electricidad)


donde:

A = número de unidades alfa producidas B = número de unidades beta producidas e = número de unidades gamma producidas HPT = número de horas de mano de obra utilizadas en las operaciones del primer turno LMP = libras de materia prima (resina regular) utilizada kwh = kw de energía por hora utilizados a un precio de US$0.03 Los literales a. b. y c. proponen modificaciones del programa lineal anterior. Así que hay que definir cuáles variables son necesarias, incluyendo variables enteras o binarias (cero/uno). También mostrar cómo modificar cualquier restricción, y la función objetivo. Tratar cada caso de manera independiente. a. Es posible contar con un segundo turno de operaciones que permitiría 2,000 horas adicionales de mano de obra, con un costo de US$12 por hora. Además, si el segundo turno entra a funcionar, se incurriría en cargos fijos de US$900 (para supervisión, gastos generales, etcétera). , b. El precio de la energía pata Snohomish depende de la cantidad utilizada. El costo es de US$O.03 por kwh para los primeros 30,000 kwh. El costo de la energía adicional que supere esta cantidad es de US$0.02 por kwh. c. Existe una nueva materia prima, una resina especial, que cuesta US$4 por libra, pero se requeriría mucho menos por unidad (sólo dos libras por unidad para cada uno de los tres productos). Usar esta nueva materia prima requiere de equipos para propósitos especiales, que tienen un costo arrendamiento de US$8,000. Además, sólo puede hacerse el pedido por una cantidad mínima de 2,000 libras y una cantidad máxima de 10,000. Snohomish debe decidir cuál de las dos materias primas utilizar; es decir, la empresa puede utilizar cualquiera, la resina regular o la especial, pero no ambas. 4-10 Amazing Airlines (AA) está próxima a agregar dos nuevas ciudades a su plan de rutas. En particular, se inauguraró un vuelo diario de Chicago a Seattle, ida y regreso, y de Chicago a Denver, ida y regreso. El problema de decisión de AA incluye qué aeronave

173

asignar a cada una de estas dos rutas. AA tiene seis aviones disponibles con las características que aparecen en la tabla 4-4. Una aeronave volará diariamente de Chicago a su destino y regresará. A cada ruta puede asignársele cualquier combinación de tipos de aeronaves. El departamento de investigación de marketing de Amazing Airlines realizó un cuidadoso estudio sobre la demanda de estas rutas, cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla. Estos estimados de la demanda son la cantidad máxima que AA transportaría, asumiendo que contara con la capacidad de sillas adecuada, asignada a una ruta determinada. Demanda estimada de nuevas rutas ZCiiCltU:;lmaW;;;¿IDiillUll

Ruta (tramo)

Demanda diaria estimada

Chicago a Seattle Seattle aChicago Chicago a Denver Denver a Chicago

310 240 290 265

Tarifa en un solo sentido US$410 410 350 350 -~

Formular como un problema de programación lineal con enteros. 4-11 La empresa Rowbottom Sand and Gravel tiene las siguientes cantidades de materiales para repartir entre seis clientes:

Cliente

Cantidad (toneladas)

A B C D

1/4 1/2 1 1/2 1/2

E

3/4

F

1

Hay cinco camiones que pueden utilizarse para hacer estas entregas. Con el uso de divisiones, un camión puede entregar una mezcla de cargas hasta'llenar su capacidad. Sin embargo, la orden de un cliente no puede distribuirse en distintos Costos operacionales (miles de dólares)

TABLA 4-4 Aviones disponibles para nuevas rutas

Tipo de avión A B

e

Número de aviones disponible

Capacidad de sillas

Ida y regreso Chicago •Seatle

Ida y regreso Chicago -Denver

1 2 3

320

108

250

00

130

66

101 00 fk2

174


camiones. Los camiones disponibles y sus capacidades son:

Clíente

Cantidad (toneladas)

1 2 3 4 5

1

2 1

2 1 1/2

Además de estos costos, existe un cargo fijo de US$lO en los camiones 1,3 Y5 Yde US$15 en los camiones 2 y 4. Estos costos causan si el camión se usa con carga completa. Finalmente, existe la restricción de que en el mismo camión no pueden entregarse los pedidos a los clientes A y B. Formular como un problema de programación con enteros. 4-12 Nota: Este problema requiere conocimiento del material del apéndice de este capítulo. Utilizar el procedimiento de ramificar y limitar para solucionar el siguiente problema:

Los costos asociados con cada camión que haga la entrega al cliente se muestra en la siguiente tabla:

Maximizar:

l5XI + 3Xz + 8X3 - lOYI

Sujeta

1 2 3 4 5

A

B

e

D

E

F

17 15 18 15 16

19 18 19 16 15

21 20 22 19 20

20 18 22 18 22

20 19 21 18 19

21 23 22 20 20

-

lOYz - 2Y3

3XI +2Xz + X 3 -lOYI 4X I - X z +5X3 -12Yz Xl + X z + X 3 - 4Y3

Costos de entregar de pedidos a clientes (dólares)

Camión ~

a:

:5 :5 :5

5 6 O

donde las variables Xl' X z, X 3 no son necesariamente enteros, pero YI y Yz son variables cero/uno, y Y3 :5 3 también es un entero.

PROBLEMAS ESPECIALES 4·13 La oficina de San Francisco del MBA Consulting Group intenta programar a sus consultores durante las próximas cuatro semanas. MBA aceptó cuatro trabajos de consultoría que deben realizarse en este tiempo. A continuación, se muestran los requerimientos de los trabajos, el número necesario de consultores y el tiempo. La empresa tiene la política de que una vez que se asigna un consultor a un trabajo, esa persona debe permanecer en él hasta terminarlo. Además, una vez que se inicia el trabajo, éste se lleva a cabo en su totalidad sin interrupciones. La oficina de San Francisco tiene un staff permanente de cuatro consultores. De inmediato, para el gerente de la sucursal fue obvio que con ese personal no podía cumplirse los requisitos exigidos. Con la oficina nacional en Nueva York podrían conseguirse consultores adicionales. Sin embargo, allí sólo se asigna a los consultores mensualmente (es decir, cada cuatro semanas). Por tanto, cualquier consultor debería quedar vinculado durante cuatro semanas. Debido a que a la sucursal se le cobra por estos consultores de la oficina nacional, el gerente desea minimizar el número utilizado, a la vez que cumple con los requisitos del trabajo.

a. Formular como un problema lineal con enteros (Ay!l~a: sea Yit una variable cero/uno que es 1 si el ¡eSllnO trabajo comienza en el período t, y Osi es de otro modo).

Trabajo Semanas necesarias para el trabajo

1

Consultores requeridos cada semana

2

2

3 2

3

3 4

1 1

5 4

b. Solucionar el problema utilizando el programa Solver. 4·14 Un problema muy importante en finanzas es el de la selección del portafolio. Si una persona está considerando invertir en tres fondos mutuos, uno dedicado a acciones internacionales, otro a acciones nacionales y un tercero que incluye sólo bonos, y le gustaría tener un portafolio (es decir, una mezcla) de estos fondos, entonces la decisión es establecer cuál parte relativa de los fondos disponibles debe invertir en cada uno.

Temas especiales de programación matemática El objetivo es lograr un rendimiento tan alto como sea posible, basándose en los datos históricos de donde se calculó el rendimiento esperado para cada fondo. Estos rendimientos aparecen en la tabla 4-5. Sin embargo, los fondos difieren ampliamente en la variación de los rendimientos de un año a otro. La medida de esta variabilidad es la varianza de rendimientos para cada fondo. Además, los rendimientos no son independientes uno del otro sino que existe una correlación en los rendimientos de los tres fondos. Una medida de ello es la covarianza entre dos fondos, una medida de cómo se mueven los dos en conjunto. Por ejemplo, la covarianza entre el fondo de acciones internacionales y el fondo de acciones nacionales es negativa, e indica una tendencia (leve) a que los fondos se muevan en direcciones opuestas. Sea R i el rendimiento de invertir en ellsimo fondo mutuo, y Xi la fracción de portafolio invertido en dicho fondo; entonces, el rendimiento esperado para todo el portafolio es: Rendimiento esperado del portafolio

175

c. Identificar la frontera eficiente: los intercambios entre riesgo y rendimiento, intentando varios valores para la restricción sobre rendimientos y optimización, y anotando la varianza del portafolio. 4-15 Una fábrica elabora cuatro productos etiquetados como A, B, C YD. El comité ejecutivo está reunido para decidir sobre la mezcla de productos. El director desea la mezcla que alcance la mayor utilidad; el gerente de ventas desea obtener la mayor participación del mercado, y el gerente de producción desea que las instalaciones de producción funcionen en equilibrio. El presidente debe mediar entre estos objetivos potencialmente conflictivos. La información sobre los cuatro productos aparece en la tabla 4-6, que muestra las horas necesarias por unidad para cada producto en ensamble y en ensayo, y el tiempo dc maquinado, así como el tiempo en los departamentos 1 y 2. La utilidad por unidad para cada producto también se muestra en la tabla 4-6. El direCtor piensa que la fábrica debería enfatizar en los productos B y C, ya que éstos producen la mayor utilidad por unidad,' su aspiración sería obtener una utilidad de US$10,000. El gerente de marketing considera cada producto como una venta y, por consiguiente, cuenta como un punto en la participación de mercado, es decir que equivale a una participación de 0.01 %, su meta es de SOO puntos de participación (es decir, S% del mercado total). El gerente de producción anota que la fábrica dispone de 3,000 horas de ensamble, 1,000 de tiempo de ensayo, y 7,500 de tiempo de maquinado. No existen límites de horas para los departamentos 1 y 2. Sin embargo, es el equilibrio de las horas trabajadas en estos departamentos lo que preocupa. Al gerente de producción le gustaría que la cantidad de horas trabajadas en los departamentos 1 y 2 fuera igualo lo más cercana posible. El presidente decidió que debe darse un peso a cada objetivo. Una utilidad de un dólar vale lo mismo, sin tener en cuenta si está por encima o por debajo de la meta de US$lO,OOO del director. Un punto en la participación de mercado vale US$10 por debajo de la meta de SOO, pero sólo US$5 por encima de ésta. Una hora de desbalance entre los tiempos de los departamentos de producción tiene un costo de U5$10.

= LXi' Ri

La varianza del portafolio es una medida del riesgo o la variabilidad, Sea s2 la varianza de los rendimientos para el fondo iésimo. A~e?1ás, se31.covij la covarianza entre los fondos iesllno y /Sll1l0. La varianza de todo el portafolio está dada (para el ejemplo de tres fondos) por: Varianza del portafolio = X2 . a 2 + X 2 . a Z + XZ . a Z 1 1 Z Z 3

+ 2X1X Zcov12 + 2X1X 3cov 13

+ 2X,p3 covZ3 a. Desarrollar un modelo de hoja de cálculo para este problema. El objetivo es maximizar el rendimiento del portafolio, sujeto a una restricción sobre la varianza del portafolio (es decir, sobre lo riesgoso de la cartera). Para empezar, hay que suponer que este límite es una varianza de 0.0025 para el portafolio. Notar que, aunque el objetivo es una función lineal, la restricción sobre el riesgo no lo es. Utilizar Solver para hallar la solución. b. Ahora asumir que el objetivo es minimizar el riesgo, sujeto a la restricción de que el rendimiento global del portafolio es por lo menos 10.5%. Utilizar Solver para hallar la solución. TABLA 4-5 Rendimientos, varianzas y covarianzas esperadas "

Fondo

Acciones internacionales Acciones nacionales Bonos

Rendimiento esperado

Varianza del rendimiento

0.12 0,10 0.07

0.0083

Acciones internacionales

0.0042

Acciones nacionales

0,0016

Covarianzas

Fondo de acciones nacionales

Fondo de bonos

-0.00059

0.00073 0,00219

176


Formular como un problema de programación de metas. Resolverlo en el computador si es posible. 4-16 La Franchise Food Products Company opera dos cadenas de tiendas de alimentos listos para consumir, la cadena Piazo Pizza y la cadena Fisher Fish and Chips. La empresa está expandiendo operaciones en el condado de Santa Clara y busca sitios para abrir nuevas tiendas. Ya se identificaron diez sitios potenciales, y se calculó elingreso neto (en términos de valor presente) de cada uno para utilizarlos como una sede de Piazo Pizza o como un restaurante de Fisher Fish and Chips. Sea Pj = 1, 2, ...,10) el ingreso neto de utilizar el sitio j para la pizzería y F i (j = 1,2, ...,10) el ingreso neto del mismo sitio SI fuera utilizado como pescadería. La empresa opera ambas cadenas de restaurantes mediante franquicias en una región determinada. De acuerdo con los términos del contrato, con cualquier franquicia de Pizza, los demás restaurantes tienen derechos exclusivos en un radio de dos millas a la redonda. Esto significa que cualquier sitio seleccionado para las pizzerías debe quedar, por lo menos, a cuatro millas de distancia. Existe un acuerdo similar en los contratos con las franquicias de Fisher Fish, pero los derechos exclusivos están garantizados dentro de 2.5 millas; es decir que los restaurantes deben quedar por lo menos a cinco millas de distancia. No existe restricción sobre las localidades entre las dos cadenas (un local de Pizza podría quedar alIado de un restaurante Fisher). La tabla 4-7 muestra las distancias entre los sitios. Cada uno de los 10 sitios potenciales puede constituirse como pizzería o restaurante, pero no ambos. El ejercicio no necesita desarrollarse por completo. Formular como un problema de programación con enteros para maximizar el rendimiento neto de Franchise Foods Products Company. 4-17 Ininob Manufacturing Company elabora tres productos: W (Widgets), Y (Yamis) y Z (Zots). La empresa está tratando de determinar su plan de producción para estos artículos para el próximo mes. La empresa vende los W a US$50 la unidad y los Z a US$40 la unidad. A estos precios puede vender

hasta 200 unidades de W y 30 de Z. El precio para las unidades de Y todavía no se ha decidido. Se están considerando dos precios: US$50 y US$60. Con el primero de ellos puede vender hasta 100 unidades, y con el segundo, hasta 60. Ininob compra la materia prima para los tres productos a un solo lugar. Para cada unidad de W se necesitan 0.1 toneladas; cada unidad de Y necesita de 0.2 toneladas y las unidades de Z necesitan de 0.3 toneladas cada una. Debido a un faltante, sólo hay 50 toneladas disponibles de materia prima para la producción de los tres productos. El costo de la materia prima es de US$20 por tonelada. El primer paso en el proceso de producción de los tres productos es una operación de moldeamiento y de calentamiento para la que se requiere de una máquina especial, cuyo tiempo máximo disponible es de 400 horas. No pueden obtenerse horas adicionales debido a que la máquina ya está funcionando en tres turnos. El costo variable de operación de esta máquina es de US$8 por hora. Cada unidad de W requiere una hora en cada máquina; cada Y requiere dos horas y cada Z requiere hora y media. Después del proceso de moldeamiento y calentamiento, viene el proceso de acabado de cada producto. Las unidades de Z tienen su proceso de acabado en una máquina específica, que cuesta US$500 operarla y US$lO por cada Z terminada. Si no se producen unidades de Z, no hay costo de operación. Los W y los Y tienen su proceso de acabado en una máquina para hacer W, que tiene un costo de operación de US$l,OOO. Sin embargo, una vez puesta en marcha, la máquina puede terminar W, Y o ambas. Si no se producen ni Y ni W, no se incurre en el costo de operación. El costo variable de operar esta máquina es US$10 por unidad para cualquiera Yo W. Ininob decidirá su plan de producción para los tres productos al comienzo del mes, y también el precio de los Y. Formular como un problema de programación lineal. 4·18. Una fábrica tiene tres plantas que proporcionan suministros a cinco regiones de ventas. Los costos

TABLA 4- 6

Producto

A Recursos: Tiempo de ensamble (horas) Tiempo de ensayo (horas) Tiempo de maquinado (horas) Departamento 1(horas) Departamento 2(horas) Metas: Utilidad (dólares) Participación en el mercado (puntos)

4 2 6 1 1/2 10 1

B

e

D

15 2

5 2 10 1 2

2 1 12

20 1

5 1

2 2 1

50 1 L.WJI["'Xl¡¡;:¡

2~~

* El producto D requiere de dos horas, pero puede fabricarse en el departamento 1 o en el departamento 2, o dividirlo

entre ellos como se desee.


TABLA 4·7 Distancia entre los sitios potenciales para los restaurantes (en millas)

~ Desde

1 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3.7

2.2 2.6

3.2 5.7 3.2

6.4 3.3 4.5 7.5

7.3 6.6 5.3 5.7 5.2

8.6 9.6 7.4 5.6 9.4 4.8

8.8 10.3 7.7 5.7 10.1 5.6 1.2

13.0 13.1 11.4 10.4 11.5 6.6 5.2 5.9

10.2 7.5 8.2 10.3 4.4 5.5 10.2 11.4 10.2

3 4 5 6 7

8 9

de transporte y los requisitos de ventas se muestran en la tabla 4-14. Cada fábrica puede operar en uno o dos turnos. Los costos y capacidades se muestran en la tabla 4-15. Los costos fijos para el primer turno son grandes porque se encuentran incluidos los gastos generales de la fábrica, mientras que los costos fijos del segundo turno incluyen sólo los costos fijos relacionados con su operación. La administración está considerando agregar 400 unidades adicionales de capacidad a la planta 3 (200 unidades en cada turno). El costo variable sería US$1 por unidad en el primer turno y US$1.50 por unidad en el segundo turno. Los cargos fijos adicionales serían US$300 en el primer turno y US$50 en el segundo turno. (Estas cantidades incluirían el retorno requerido sobre la inversión) Es política de la fábrica no operar ningún segundo turno por debajo de 40% de su capacidad, ni ningún turno por debajo de 60% de su capacidad (es decir, un turno opera a cero por encima de estos . límites). La fábrica desea determinar el plan de envío óptimo (plantas a bodegas). Además, desea saber si debe o no adicionar capacidad a la planta 3, y saber cuáles turnos, si los hay, deben recortarse en las diversas plantas. (Ver que el cierre de ambos turnos significa el cierre de la fábrica). Formular como un problema de programación lineal con enteros mixtos. (Precaución: Se recomienda asegurar de que la formulación garantiza que el segundo turno no opere si no lo hace el primero). Para facilitar la formulación, pueden utilizarse sím-

TABLA 4-8 Costos de despacho desde las plantas hacia las regiones de ventas

~ ventas

Plantas

1

2 3 Requisitos de venta (unidades)

177

bolos en lugar de los números dados en las tablas 4-8 y 4-9. 4·19 La ciudad de Shamut puso en licitación la construcción de su nuevo salón de actos, que consta de cinco partes: C E P E 1

-

Cimientos Estructura Plomería y calefacción Eléctrica Interior

El contratante especificó que las licitaciones pueden hacerse por partes o combinaciones de partes del trabajo y que se permitirían múltiples licitaciones. Cinco contratistas del área, considerados confiables en Shamut: Able, Baker, Charley, Dog y Easy, aparecen en la tabla 4-10 Además, Easy especificó que daría un descuento de 10% de la parte de su propuesta si recibía el contrato para realizar cuatro o más de las partes del trabajo. La tarea del jefe de asuntos municipales es asignar los contratos de manera que los costos para Shamut se minimicen. Uno de los factores complicados es que los contratistas Able y Baker tienen una contienda entre sÍ, y ambos han especificado en las propuestas que no aceptarán el contrato de ninguna parte del trabajo si el otro tiene alguna parte del mismo. Formular un modelo de programación lineal con enteros para ayudar al jefe de asuntos municipales a

1

2

3

4

5

$1

$1 1 3

$6

$3

2 4

4

1

$5 6

1

3

4

100

2.00

200

400

100

Requisitos totales de ventas

1,000

1 78


decidir sobre cuáles propuestas aceptar. No utilizar más de 25 variables de decisión y hacer una formulación general; es decir, no eliminar las licitaciones sólo porque se ve que no van a ser aceptadas. La formulación debe ser lo suficientemente general como para que se mantenga con diferentes precios de la propuesta (por supuesto, cambiando estos números en el modelo). 4·20 Wintel Company está construyendo una nueva planta de procesamiento de semiconductores. Debe determinar la capacidad de la planta (volumen anual en millones de unidades de chips producidos) yel número de las diferentes variedades de chips que se fabricarán en la planta (variedad). Existen economías de escala en el volumen de la planta, pero deseconomías de escala cuanta más variedad se ofrezca. Sin embargo, aumentar la variedad produce mayores ingresos por chip. Después de un estudio minucioso, la gerencia de. la empresa calculó que las siguientes relaciones determinan el costo de construcción de la planta, el costo unitario variable por chip y el rendimiento unitario por chip: TABLA 4-10

Contratista Able

Baker

Charley

Dog

Easy

=

30 + 2*volumen 0.004 *volumen 2 + 0.1 * variedad Costo variable por unidad = 30 - 0.2*volumen 2 (dólares por chip) + 0.0003*variedad2 Rendimiento por unidad 42 + 0.05*variedad (dólares por chip) Costo de construcción (millones de dólares)

El límite superior sobre el volumen es de 5.0 millones de unidades por año; el límite superior sobre la variedad es de 100 tipos diferentes de chips. Debido a que la tecnología cambia rápidamente, Wintel amortizará en su totalidad toda la inversión de la planta en dos años. La empresa puede vender todos los chips que la planta pueda producir. a. Formular este planteamiento como un problema de programación no lineal y utilizar Solver para solucionarlo. b. ¿Qué tan sensible es la contribución neta a los cambios en la variedad? Realizar un análisis del tipo "qué pasaría", utilizando diferentes valores de variedad.


179

CASO 4-21 THE ALLEN COMPANY The Allen Company está involucrada en el desarrollo de propiedad residencial. La figura 4-13 muestra un mapa de los nuevos desarrollos en las etapas de planeación. Las vías de acceso se muestran en el mapa y se dividen en segmentos rotulados desde A hasta F. Además, el área se divide en cinco subsecciones (identificadas de 1 a V en el mapa). Allen planea desarrollar toda esta subdivisión durante un período de 18 meses. El problema de planeación implica determinar el orden en el cual van a construirse las vías y subsecciones. Para efectos de planeación, el tiempo se divide en tres períodos de medio año cada uno. En cualquier período (medio año), puede construirse cualquier número de segmentos de vía (sujetos a las restricciones financieras descritas a continuación). La única restricción es que un segmento no puede construirse antes de las vías que llevan a él. (Por ejemplo, el segmento C no podría construirse antes del segmento B. Sin embargo, podrían construirse simultáneamente). Las casas pueden construirse en cualquier subsección no antes de un período posterior cuando se hayan terminado las vías de acceso a dicha sección. La siguiente tabla presenta las vías de acceso que deben terminarse por lo menos un período antes de que puedan desarrollarse las distintas subsecciones.

Subsección

Vías requeridas

I

A,B

11

A, B,

111

IV

A,D A, D, E

V

A, D, F

e

En cualquiera de los períodos pueden desarrollarse varias subsecciones, y pueden completarse en un período. Las únicas restricciones para el desarrollo de la subsección son la construcción de vías (discutidas anteriormente) y la financiera (véasemás adelante). El costo de construir los diferentes segmentos de vías es KA' KB, oo" KF , y el costo de construir las subsecciones de vivienda se denomina: Cl' CII"",Cv- Estos costos representan el monto neto financiado por Allen Company durante y sobre las hipotecas de construcción

FIGURA 4-13 Mapa de desarrollo de Wuthering Heights

180


disponibles en el banco. En estos costos se incurre en el período que comprende el desarrollo de una subsección. La utilidad recibida de la venta de una subsección se denominaP¡'PIJ, .. .Pv ' De nuevo, estos valores son el valor neto del reembolso de las hipotecas sobre la construcción. Las utilidades se reciben un período después de la construcción (es decir, con retraso de un período). Para financiar este proyecto, Allen Company dispone de un capital propio de US$500,000. También tiene la opción de pedir dinero prestado al banco (además del dinero de la hipoteca). Sin embargo, el banco insiste en prestar todo el monto del crédito durante el período que dure el proyecto. Es decir, si presta una cantidad L, al comienzo del período se obtiene y se paga en su totalidad (con intereses) después de dos años. El período de dos años es necesario para que las utilidades de las ventas en el tercer período (y recibidas en el cuarto medio año) puedan utilizarse para amortizar el crédito. El crédito mínimo es US$1 millón (es decir que no debe hacerse el préstamo o que éste deber ser por lo menos de US$1 millón). La tasa de interés es de 10% anual. Formular como un problema de programación lineal con enteros mixtos. Suponer que si va a desarrollarse una subsección en cualquiera de los períodos, éste tendrá que terminarse en su totalidad (es decir, que no hay terminaciones parciales). El objetivo es minimizar el monto del interés en el crédito bancario.

CASO 4-22 RODNEY DEVELOPMENT COMPANy14 Jane Rodney, presidenta de Rodney Development Company, intenta decidir qué tipos de tiendas incluir en su nuevo centro comercial en Puyallup Mall. Ya hizo contratos para un supermercado, una droguería y varias tiendas que considera esenciales. Sin embargo, tiene disponibles 16,000 pies cuadrados de espacio que todavía puede asignar. Elaboró una lista de 15 tipos de tiendas que podía considerar (tabla 4-11), incluyendo el espacio requerido por cada uno. Rodney piensa que no tendrá ningún problema para encontrar ocupantes para alguno de los tipos de tiendas. Los contratos de arrendamiento que Rodney utiliza, incluyen dos tipos de pago. La tienda tiene que pagar una renta anual determinada, según su tipo y tamaño. Además, Rodney va a recibir un pequeño porcentaje de las ventas de la tienda si éstas superan el monto mínimo especificado. El monto de la renta anual proveniente de cada tienda aparece en la segunda columna de la tabla 4-11. Para estimar la utilidad de cada tipo de tienda, Rodney calculó nuevamente el valor presente de todos los pagos por rentas futuras y el porcentaje de ventas. Estos aparecen en la tercera columna. Rodney desea lograr el valor presente total más alto para el grupo de tiendas que seleccione. Sin embargo, no puede seleccionar las tiendas sólo con los valores presentes más altos, debido a que hay varias restricciones. La primera, claro está, es que sólo se dispone de 16,000 pies cuadrados. Además, una condición sobre la financiación del proyecto requiere que la renta total anual sea por lo menos del mismo valor que el costo anual fijo (impuestos, costos administrativos, servicio de la deuda etcétera). Estos costos anuales son de US$130,000 para esta parte del proyecto. Finalmente, el total de fondos disponible para la construcción de esta parte del proyecto es de US$700,000, y cada tipo de tienda requiere de costos de construcción distintos según el tamaño y tipo (cuarta columna de la tabla). Además, Rodney tiene ciertos requisitos en términos de combinación de tiendas que ella considera las mejores. Ella desea por lo menos, una tienda de cada uno de los grupos de ropa, productos no perecederos y varios, y por, lo menos, dos de la categoría de restaurantes; tampoco quiere más de dos tiendas del grupo de ropa. Además, la cantidad de tiendas del grupo de varios no debe exceder el total de las tiendas de los grupos de ropa y productos no perecederos, combinadas Formular el problema de Rodney como un problema de programación lineal con enteros.

14 Para un ejemplo de este tipo de problemas, véase BEAN, le, NOON, e E., G. 1., "Selecting Tenants in a Shopping Mall", Tille/faces, marzo-abril, 1988.

RYAN, 5. M. Y5ALTON,


TABLA 4-11 Características de los posibles arrendatarios en el centro comercial Puyallup Mall

181

78maño de la tienda (en miles de pies cuadrados)

Renta anual (miles de dólares)

Valorpresente (miles de dólares)

Costo de construcción (miles de dólares)

1. Para hombres 2. Para mujeres 3. Variedades (ambos)

1.0 1.6 2.0

$4.4 6.1 8.3

$28.1 34.6 50.0

$24.6 32.0 41.4

Restaurantes 4. Delujo 5. Paraalmuerzos 6. Bar para cocteles 7. Heladería y dulcería

3.2 1.8 2.1 1.2

24.0 19.2 . 20.7

7.7

160.0 77.8 100.4 45.2

124.4 64.8 79.8 38.6

Productos no perecederos' 8. Ferretería 9. Cubiertería yvariedades 10. Maletas y cuero

2.4 1.6 2.0

19.4 11.7 15.2

80.2 51.4 62.5

66.8 45.1 54.3

Varios 11. 12. 13. 14. 15.

0.6 0.5 1.4 2.0 1.0

3.9 3.2 11.3 16.0 9.6

18.0 11.6 50.4 73.6 51.2

15.0 13.4 42.0 63.7 40.0

Tipo de tienda

Ropa

Agencia de viajes Tienda de tabaco Tienda de cámaras Juguetería Sala de belleza

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 4-3 a. Sea YI una variable binaria, con YI = 1 si la máquina de estampado se utiliza y Osi es de otro modo. Se agrega una restricción adicional K :5 200 YI ; y se agrega-800YI a la función objetivo. b. Sea Yz una variable binaria, donde Yz = 1 si se compran 1,000 unidades o más, y si es de otro modo. Sea R I la materia prima comprada a un precio de US$0.25, y R z las unidades de materia prima comprada a US$0.20. Se adicionan las siguientes restricciones: MP UTILIZADA :5 fJ..I + Rz; y Rz :5 MYz, donde M es un número muy grande. Adicionar a la función objetivo: -0.25R I - 0.20R z. La restricción R I :5 1,000 (1 - Yz) también podría adicionarse, pero no es necesario. c. Sea K1 el número de unidades KARMA vendidas a US$lOO, Kz el número vendido a US$150 y K 3 el número vendido a US$120. Sea 2 1 una variable binaria con valor de 1 si se producen 20 unidades o menos; Zz también es una variable binaria con valor de 1 si la producción está entre 20 y 70 unidades; y 2 3 es una variable binaria con valor de 1 si la producción supera las 70 unidades. Nuevas restricciones: K= K1 + Kz + K3; K1 :5 20Z 1; K2 :5 50Zz; K3 :5 130Z3; K I :2: 20Zz; K2 :2: 50Z 3 ; y Zl :2: Z2 y Z2 :2: Z3 (En realidad, la

°

4-2 SeanXI aXs variables cero/uno que tienen el valor de 1 si se financia el proyecto, y el valor de O, en caso contrario. Entonces:

+ 10X2 + 80X3 + 50X4 + 20Xs + 5X6 + 80X7 + 100XS Sujeta a: 80XI + 15Xz + 120X3 + 65X4 + 20Xs + 10X6 + 60X7 + 100XS :5 320 (Restricción de Maximizar: 40XI

fondos); X 7 + X s :5 1 (no ambos proyectos G y H); X 4 :5 Xl (no el proyecto D a menos que el proyecto A se haga).

La solución requiere la financiación de A, e, E y H. El valor total es de 240 unidades, y se utiliza la totalidad de los fondos de US$320,000. El modelo Solver de Excel y la solución se muestran en la figura 4-14.

última restricción no es necesaria). Adicióflár á

la función objetivo: 100KI

+ 150K2 + 120K3·

182

Análisis cuantitativo d. Sea WI una variable binaria que toma el valor de 1 si se asume la campaña para los ANZA, y Osi es de otro modo; de manera similar, Wz = 1 si se realiza la campaña para los BOZO. Luego, se adicionan las siguientes restricciones: A :::; 100 + 50WI ; B :::; 120 + 50Wz; WI + Wz :::; 1. Adicionar a la función objetivo: -5,000WI -

c. Minimizar 5UI

E3

+ 10E I - 5Uz + 15Ez + U3 -

d. Véase la representación en la figura 4-15 e. (1) UI = El = E z = E3 = O; Uz = 5; U3 = 41.7; Función objetivo = 16.7 (2) El = Uz = E z = E 3 = O; U1 = 8.3; U3 = 22.3; Función objetivo = 63.6 (3)E I = Uz = U3 = O; UI = 20;Ez = 7;E 3 = 5; Función objetivo = 200 (4)E I = Uz = E z = E3 = O; UI = 28.75; U3 = 12.5; Función objetivo = 156.3 La alternativa 1 es la más baja. Este plan está por debajo de la meta de utilidad en US$41.7, pero tiene un valor de US$25 por devolver cinco unidades de materia prima.

5,000Wz·

4·4 a. Xl = unidades del producto A; X z = unidades del producto B; 2XI :::; 30 (mano de obra no calificada); 4XI + 5Xz : :; 100 (tiempo de maquinado) b. Trabajo calificado: Xl + 5Xz + UI - El = 75 Materia prima: 5XI + 4Xz + Uz - Ez = 100 Utilidad: 15XI + lOXz + U3 - E3 = 300

FIGURA 4-14 Solución Solver para el problema 4-2

A

8

e

Objetivo: valor

A 40

o

E

B

C

D

10

80

ro

1

H

I

E

F

20

5

G 80

100

J

K

H

4

Valor total

5

Decisión (financiar/no)

6 7 8

Costo

9

1

O

1

O

1

O

O

1

80

15

120

65

20

10

00

100

320

:5

320

1

1

1

:::;

1

-1

:::;

O

240

Restricciones: No ambas G&H No Da menos que se halla A

-1

1

10 11

Ecuaciones:

12

Celda

Ecuación

13

J7

=SUMPRODUCT(B7:17, $B$5:$1$5)

14

J8


15

J9


16

L5


17 18

L

Proyectos

2

3

G

F

Valores de la caja Parámetros de Solver

19

L5

20

Celda objetivo (maximizar)

21

Celdas cambiantes:

85:15

22

Restricciones:

J7:J9 :::; L7:L9

23

85:15:::; 1

24

85:15:2: O

25

85:15 entero


FIGURA 4·15

183

X, 25

Tiempo de maquinado

eta de mano de obra calificada

20

«

(X,

o

=15, X2 =8)

TI

:J

"O

o

o..

15 I-...----~~~----'r------------

Mano de obra no calificada

ID "O

en

(X1 = 15, X2 =6.25)

ID

"O

ro

:2 e

10

(X, = 8.33, X2 = 13.33) Meta de utilidad

~

5

Meta de materia prima

O '-------'------'-------...------'..........- - - - - - - > X2 O 5 10 15 20 25 Unidades de producto B

v~

)j

V< ~;

'/

'.. ;v

[;

R t'.,~ .

5 Introducción a probabilidad

190

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6 Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre l\'

:/

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i) ,) [;;

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7 Decisión y análisis de riesgo

ji

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..

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:,'< )0<

¿;

289

235

Ejemplo motivador Moldear las losetas de un transbordador espacial 1 4.. La probabilidad de perder un ~übsistema crítico .después deque1Í1arse las losetas. . gerlo del calor extremo .quese presenta cuando entra ". ." nuevamente a lá atmósfera de laTierra, antes de ate-., .... . Evaluar estas probabilidades requiere del uso rrizar. Después deJ;acta vuelo, algunas de eSas los '., . "de datos históricos sobre los détritosy él desprenditas se repárany ottas Se reemplazan:: En busca de un miehtoyde la evaluación por parte de expertoS sobre mecanismo sistemático para evaluar el riesgo de pét- , l a probabilidad de perder el transbordador debido a dida del transbordador (del vehículo ode la tripula- '. que un subsistema en particular eSluvieraexpuesto a ción), debid() aupafalla en las losetas, Pate~C0rtlel1 .. altas temperaturas. El análisis permitió a los directiy Fischbeckaplicaron~ estasituatión una técnica de~' .vosdela NASA clasificar las losetas con base en un " . índiCe de riesgo crítiCo y establecer prioridades para nominada análisis de riesgó probabilístico. En unvuelo típiéO del transbordador, se dañan .operaciones de mantenimiento. .unos pocos cientos de las 25,000 losetas, la mayoría· . El estudio. demostró que concéntrarse en métodos mejorados para asegurar el aislamiento de las por desprendimiento. La pérdida de losetas de por sí no causa la pérdida del vehículo, pero el incremento partes del transbordador (en particular, el tanque del calor o la combustión de la capa de aluminio pueexterno y los propulsores del cohete de reacción dide llevara una falla de los compónentes críticos. De recta), traía grandes beneficios pues se reducía la prolas 25,000 losetas, algunas tienen probabilidades más babilidad de que los detritos o desechos causaran altas de ser dañadas por los detritos, otras están sofallas. Además, la inspección externa de las losetas con mayor riesgo crítico para adherencia débil tammetidas a una mayor temperatura por estar en lá cabecera durante el reingreso, yotras más protegen los bién demostró téner beneficios similares. En resumen, controles de vuelo y otros sistemas esenciales. las mejoras recomendadas podían reducir en cerca Los investigadores dividieron las 25,000 losede 70% la probabilidad de un accidente del transbortas en 33 zonas, con base en las siguientes probabilidador atribuible a falla de las losetas. dades: Un transbordador espacial tiene aproximadamente'"

25,000 losetas negras en la parte inferior para prote- ..

o.

o

La susceptibilidad al daño La vulnerabilidad de las losetas adyacentes una vezqueuna se perdía. 3. La probabilidad de que el fuegase transmitiera a través delas losetas.

1 VéaseM. - Paté-Comell, Elisabeth and Fischbeck, Paul S. "Risk Management forthe Ti/es of the Space Shuttle," Intelfáces, enero-febrero, 1994, pp. 64-86.

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Si todas las decisiones de negocios pudieran tomarse bajo condiciones de certidumbre, la única justificación válida para tomar una decisión deficiente sería la falla al considerar todos los hechos pertinentes. Con certidumbre, puede hacerse un pronóstico perfecto del futuro. Sin embargo, infortunadamente, los gerentes rara vez operan en un mundo de certidumbre. En general, se ven forzados a tomar decisiones en condiciones de incertidumbre en cuanto a lo que pasará después de que se tomen las decisiones. En esta última situación, la teoría matemática de la probabilidad proporciona una herramienta que puede ser de gran utilidad para la persona que toma las decisiones. En este capítulo, se presentan algunas de las notaciones y de las relaciones básicas de la teoría de las probabilidades que el lector deberá aplicar en capítulos posteriores. Aunque la probabilidad matemática está bien definida, para la persona que intenta aplicar los modelos de este libro pronto será evidente que existe gran incertidumbre respecto a las entradas de información que se requieren. Además, muchos modelos hacen abstracciones de las complejidades del mundo real.

PROBABILIDADES OBJETIVAS Y SUBJETIVAS Casi todas las personas están familiarizadas con las leyes del azar cuando s'e lanza una moneda al aire. Si alguien pregunta sobre la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda, la respuesta será de un medio ó 0.50. Esta respuesta se basa en la experiencia común con las monedas, que supone que la moneda está pelfectamente dísdiada y que se lanza de manera correcta. Éste es un ejemplo de probabilidad objetiva. Existen dos interpretaciones de la probabilidad objetiva. La primera se basa en la simetría de los resultados e implica que los resultados que son idénticos en aspectos esenciales deben tener la misma probabilidad. Una moneda pelfectamente diseñada debe ser equitativa, pues tiene dos lados idénticos, salvo por diferencias menores de imagen. Por tanto, cada lado tiene igual probabilidad de un medio (pasando por alto la posibilidad de que la moneda caiga sobre el borde). Si la moneda estuviera doblada, con peso adicional y los dos lados fueran iguales, la respuesta sería diferente.

188


Otro ejemplo: una caja contiene tres bolas rojas y siete bolas negras (todas del mismo tamaño y textura, e idénticas salvo en el color), y se mezclan bien. La interpretación de la simetría de resultados asignaría 0.10 de probabilidad a cada bola, y por tanto 0.30 de probabilidad de sacar una bola roja. La interpretación de la frecuencia relativa de la probabilidad objetiva radica en la experiencia histórica en situaciones idénticas. Por tanto, si se lanza una moneda 10,000 veces yse obtienen 4,998 caras, la probabilidad de obtener cara la siguiente vez que se lance la moneda es de 0.50 (es decir, 4,998/10,000, por aproximación) de la misma forma que antes. Con frecuencia, una interpretación subjetiva de probabilidades es útil para tomar decisiones de negocios. En el caso de la probabilidad objetiva, la información histórica definitiva, la experiencia común (evidencia objetiva), o el análisis riguroso están detrás de la asignación de probabilidad. En el caso de la interpretación subjetiva, la información histórica cuantitativa puede no estar disponible; y en lugar de una evidencia objetiva, la experiencia personal se convierte en la base de la asignación de la probabilidad. Para efectos de la toma de decisiones administrativas, con frecuencia se requiere de la interpretación subjetiva ya que la evidencia objetiva confiable puede no estar disponible. En contraste con la situación de lanzar una moneda al aire, si un gerente está tratando de decidir si debe construir o no una nueva fábrica, cuyo éxito dependerá principalmente de si hayo no una recesión durante los próximos cinco años, debe tener en cuenta que la probabilidad asignada a la recesión es un peso subjetivo. La historia y la experiencia común que pueda proyectarse al futuro con confianza no están disponibles directamente, como en los ejemplos de la moneda o de las bolas. Sin embargo, puede ser apropiado e incluso necesario considerar el evento de que ocurra una recesión; para que después de recolectar evidencia y de utilizar el criterio empresarial, el gerente pueda asignar una probabilidad a ese evento que podría utilizarse para efecto de la toma de decisiones. Ciertamente habría menos acuerdo sobre esta probabilidad que sobre las probabilidades de sacar una bola roja o de lograr cara con una moneda perfectamente diseñada. Debido a que este libro se orienta principalmente hacia las decisiones gerenciales, con frecuencia se asignarán probabilidades subjetivas a eventos que tengan una importancia crítica sobre la decisión gerencial. Este procedimiento pretende garantizar la consistencia entre el criterio de quien toma las decisiones acerca de la probabilidad de los posibles estados de la naturaleza y la decisión que se tome. Un objetivo importante del proceso de decisiones sugerido es permitir que quien toma las decisiones piense en términos de eventos posibles que pueden ocurrir después de una decisión, ylas consecuencias yprobabilidades de estos eventos, en lugar de hacer que el gerente se pregunte de inmediato si la decisión es o no deseable.

ENUNCIADOS BÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES Dos enunciados fundamentales sobre probabilidades son: 1. Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar uno. 2. Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las probabilidades nunca son negativas) y son menores que o iguales a uno. Cuanto más pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el evento. El primer enunciado indica que si A y B son los únicos candidatos para una oficina, la probabilidad de que A gane, más la probabilidad de que B gane, deben sumar uno (asumiendo que no es posible una relación).

Introducción a la probabilidad

189

El segundo enunciado produce las siguientes interpretaciones. Si un evento tiene una probabilidad positiva, posiblemente pueda ocurrir; el evento también puede ser imposible, en cuyo caso tiene una probabilidad de cero; o es seguro que el evento ocurra, entonces la probabilidad es igual a uno. Sin tener en cuenta que las probabilidades puedan interpretarse como probabilidades objetivas o ponderaciones subjetivas, es útil pensar en términos de una escala de ponderación que oscile entre cero y uno. Si alguien lanza 500 veces una moneda de características desconocidas para obtener un estimado de probabilidades objetivas y los resultados son de 225 caras y 275 cruces, el rango de resultados posibles puede convertirse en una escala de cero a uno dividiendo por 500. Los resultados reales son 225/500 = 0.45 caras y 275/500 = 0.55 cruces. Por tanto, si desean derivarse probabilidades, los datos deben manipularse de manera que correspondan a la escala cero a uno. Las cifras 0.45 y 0.55 pueden utilizarse como estimados de las probabilidades reales de caras y cruces (las probabilidades reales son desconocidas).

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir en una prueba. Pueden agregarse probabilidades de eventos mutuamente excluyentes para obtener la probabilidad de que uno de los eventos ocurrirá.

Ejemplo Las probabilidades mostradas en la tabla 5-1 reflejan el estimado subjetivo del editor de un periódico respecto a las oportunidades relativas de cuatro candidatos para obtener un cargo público (se asume que un vínculo no es posible). Estos eventos son mutuamente excluyentes debido a que en una elección (o en un ensayo) sólo puede ocurrir un evento; por tanto, las probabilidades son aditivas. La probabilidad de una victoria demócrata es de 0.60; de una victoria republicana, 0.40; o de cualquiera entre B o e, 0.68. La probabilidad de que B y e ganen es cero, ya que en una prueba sólo puede ocurrir uno de los eventos mutuamente excluyentes.

TABLA 5-1

Evento: elección

Probabilidad

Candidato demócrata A Candidato demócrata B Candidato republicano C Candidato republicano D

0.18 0.42 0.26 0.14 1.00

EVENTOS INDEPENDIENTES Los eventos pueden ser independientes o dependientes. Si dos eventos son independientes (estadísticamente), que un evento ocurra no afectará la probabilidad de que el segundo ocurra2.

2 La independencia o dependencia estadística es diferente de la independencia o dependencia causal, debido a que si dos eventos son estadísticamente dependientes uno del otro, esto no implica que uno sea causado por el otro. Cuando se utilizan los términos dependencia Oindependencia, Se habla en términos estadísticos.

190


Cuando dos (o más) eventos son independientes, la probabilidad de que ambos (o más de dos) ocurran es igual al producto de probabilidades de los eventos individuales. Es decir:

P (A YB)

= peA) . P(B) siA,B son independientes

(5-1)

donde

P (A YB) = Probabilidad de que ocurran ambos eventosA y B peA) = Probabilidad del eventoA P(B) = Probabilidad del evento B La ecuación 5-1 indica que la probabilidad de que ocurranA yB es igual a la probabilidad deA multiplicado por la probabilidad de B, siA y B son independientes. SiA es la probabilidad de que salga cara al primer lanzamiento de la moneda, y B es la probabilidad de cara en el segundo, entonces:

peA) P(B) P (A YB)

= 112 = 1/2

= 1/2. 1/2 = V4

La probabilidad de que ocurraA y luego B (dos caras) es de un cuarto. P (A Y B) es la probabilidad conjunta de los eventos Ay B. Cuando sea apropiado, la conjunción y, puede omitirse para simplificar la notación, y la probabilidad conjunta puede escribirse simplemente como P(AB). Para definir matemáticamente la independencia, se necesita el símbolo P(B lA), el cual se lee como "la probabilidad del eventoB, dado que ocurrió el evento A".P(B lA) es la probabilidad condicional del eventoB dado que ocurrió el eventoA. Se observa que P(B lA) no significa la probabilidad del evento B dividido por A; la línea vertical seguida de unaA significa "dado que ocurrió el eventoA". Con eventos independientes:

P(B lA)

= P(B) siA, B son independientes

(5-2)

Es decir, la probabilidad del evento B, dado que ocurrió el evento A es igual a la probabilidad del evento B si los dos eventos son independientes. Con dos eventos independientes, que ocurra un evento no afecta la probabilidad de que ocurra del segundo, de igual forma,P(A lB) = peA). Las ecuaciones 5-1 y 5-2 son definiciones básicas de independencia entre dos eventos.

EVENTOS DEPENDIENTES Dos eventos son dependientes si el hecho de que ocurra uno de ellos afecta la probabilidad de que ocurra el segundo.

Ejemplo: eventos dependientes Lanzar una moneda y determinar si el resultado es cara o cruz. Si es cara, lanzar la misma moneda de nuevo. Si es cruz, lanzar una moneda defectuosa que tenga tres cuartos de probabilidad de caer en cara y un cuarto de probabilidad de que sea cruz. ¿El resultado del primero, afecta de alguna manera la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento? La respuesta es sí, ya que el resultado del primer

lanzamiento afecta la decisión acerca de cuál moneda va a lanzarse la segunda vez (la que está perfectamente diseñada o la defectuosa).


191

Otro ejemplo de eventos dependientes implica eventos mutuamente excluyentes. Si los eventosA y B se excluyen mutuamente, son dependientes. Dado que el evento A ocurrió, la probabilidad condicional de que ocurra B debe ser de cero, ya que los dos eventos son mutuamente excluyentes. Es decir, P(B lA) = 0, si los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

RESUMEN Una probabilidad es un número entre cero y uno que representa la posibilidad de que ocurra algún evento. Las probabilidades pueden ser objetivas si se basan en la simetría o en una gran experiencia, o subjetivas si se basan en el criterio de quien toma las decisiones. La probabilidad de que ocurra uno de dos o más eventos mutuamente excluyentes es la suma de probabilidades de los eventos. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

PROBABILIDADES CONDICIONALES, MARGINALES Y CONJUNTAS La siguiente es una relación de probabilidad muy importante:

P(B lA) = peA Y B) peA)

. peA) =1= O SI

(5-3)

La probabilidad condicional del eventoB, dado que ocurrió el eventoA, es igual a la probabilidad conjunta deA y B, dividida por la probabilidad del eventoA. Puede multiplicarse ambos lados de la ecuación por peA) y reescribirse la ecuación 5-3 como:

P (A y B)

= P (B lA)

(5-4)

• P(A)

Es decir, la probabilidad conjunta deA y B es igual a la probabilidad condicional de B dadoA, multiplicado por la probabilidad deA. Observar estas fórmulas cuando asumen eventos independientes. Por la ecuación 5-3: P(A lB) = P (A v B) peA) Sin embargo, por la ecuación 5-1:

P (A y B)

= P (A)

• P (B)

para eventos independientes. Si se sustituye P(A) • P(B) por peA y B) en la ecuación 5-3, se obtiene:

peA lB) = peA) . P(B) = P(B) peA)

(5-2)

Ésta es la definición matemática de independencia dada la anterior ecuación 5-2. Resulta necesario desarrollar dos ejemplos explicativos:

1. Probabilidades (marginales) incondicionales. El

término marginal se refiere al

.hecho de que las probabilidades se encuentran en las márgenes de una tabla de

192


probabilidad conjunta (ver tabla 5-3, más adelante en este capítulo); ellas suman uno. Una probabilidad marginal se refiere a la posibilidad de que ocurra un evento no condicional sobre la ocurrencia de otro evento. P(A) YP(B) son ejemplos de probabilidades marginales o incondicionales. 2. Probabilidades condicionales, como P(A lB) YP(B lA). 3. Probabilidades conjuntas, como P(A y B) o P(AB).

Ejemplo 1 En tres cajas hay bolas rojas y negras así: Caja 1: 3 rojas y 7 negras Caja 2: 6 rojas y 4 negras Caja 3: 8 rojas y 2 negras De la caja 1 se saca una bola; si es roja, se saca una bola de la caja 2. Si la bola que se saca de la caja 1 es negra, se saca una bola de la caja 3. El diagrama en la figura 5-1 ilustra el juego. Ahora, considerar las siguientes preguntas de probabilidad sobre este juego:

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja de la caja 1? Esta probabilidad es incondicional o marginal es 0.30 (La probabilidad marginal de sacar una bola negra es 0.70). 2. Si la bola de la caja 1 es roja, ¿cuál es la probabilidad de sacar otra bola roja cuando se saque una segunda bola de la segunda caja? La respuesta es 0.60. Éste es un ejemplo de una probabilidad condicional. Es decir, la probabilidad de sacar una bola roja de la segunda caja si la que se sacó de la caja 1 es roja, es una probabilidad condicional. 3. Si en el primer intento en la caja 1 la bola era negra, ¿cuál es la probabilidad condicional de que en el segundo intento sea roja (esta vez de la caja 3)? La probabilidad es 0.80. El intento de la caja 1(el evento condicionante) es muy importante para determinar las probabilidades de rojo (o negro) en el segundo intento. 4. Si no se sacó ninguna bola, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? Ésta es una probabilidad conjunta; el evento sería una bola roja en ambos intentos. El

FIGURA 5-1

3 Rojas 7 negras '---.-------,-----'

Si es roja 6 rojas 4 negras Caja 2

Caja 1

Si es negra 8 rojas 2 negras Caja 3


193

cálculo de esta probabilidad conjunta es un poco más complicado que en las preguntas anteriores, y algo de análisis es pertinente. Los cálculos son los siguientes:

P(AyB)

= P(B

lA) 'P(A)

(5-4)

La tabla 5-2 y la figura 5-2 muestran la probabilidad conjunta de las dos bolas rojas como 0.18, es decir, P(R y R), o de manera más sencilla, P(RR), la rama superior del árbol. Las probabilidades conjuntas pueden resumirse como sigue:

P(RR) = 0.18

Dos bolas rojas

Una bola roja en la primera extracción y una negra en la segunda P(RN¡ = 0.12 Una bola negra en la primera extracción y una roja en la segunda P(NR) = 0.56

P(NN¡ = 0.14 1.00

Dos bolas negras

,!&il¡¡&ditit!&lSt!S1

Marginal

TABLAS-2·

Condicional

=

Conjunta

=

P(Ay B)

Evento

P(A)

RR

P(R) =0.30

P(R1R) =0.60

P(RR) =0.18

RN

P(R) =0.30

p(MR) =0.40

p(RN¡ =0.12

NR

P(N¡ =0.70

P(R1N¡ =0.80

p(NR) =0.56

NN

P(N¡ =0.70

p(MN¡ =0.20

p(NN¡ =0.14

P(BIA)

La figura 5-2 se denomina diagrama de árbol. Es un mecanismo muy útil para ilustrar situaciones de incertidumbre. La primera bifurcación muestra que puede

Roja P(RlR) = 0.60

FIGURA S-2

Diagrama de árbol

Evento Probabilidades conjuntas RRP(RR) = 0.18

Roja P(R)= 0.3

Negra P(NI R) =0.40 Roja P(R IN¡ = 0.80

RN P(RN¡ =0.12

NR P{NR) = 0.56

Negra P(N¡ = 0.7

Negra P(NI N¡ = 0.20

NN p(NN¡ = 0.14

194


salir una bola roja o una negra, y se dan las probabilidades de estos eventos. Si es roja, se pasa a la caja 2 donde puede salir de nuevo una roja o una negra, pero con probabilidades determinadas por el hecho de que esta vez el evento ocurrirá en la caja 2. Para la segunda bifurcación, las probabilidades son condicionales (dependen de si se sacó una bola negra o una roja en el primer intento). Al final de cada camino están las probabilidades conjuntas de seguir ese camino. Las probabilidades conjuntas se obtienen de multiplicar las probabilidades marginales (incondicionales) de la primera ramificación por las probabilidades condicionales de la segunda ramificación. La tabla 5-3 presenta estos resultados en una tabla de probabilidad conjunta; las intersecciones de las filas y las columnas son probabilidades conjuntas. La columna de la derecha presenta las probabilidades incondicionales (marginales) del resultado de la primera extracción; la fila de abajo da las probabilidades incondicionales o marginales de los resultados de la segunda extracción. (La tabla 5-3 resume el diagrama de árbol). Ahora, éstas son algunas probabilidades adicionales:

1. Probabilidad de una bola roja y una bola negra, sin tener = 0.56 en cuenta el orden: Probabilidad de una bola negra en la segunda extracción:

+ 0.12 = 0.68 = 0.26

Cálculo explicativo: Probabilidad de roja - negra Probabilidad de negra - negra Probabilidad de negra en la segunda extracción

= 0.12 = 0.14 = 0.26

2. Probabilidad de que en la segunda extracción sea roja si en el primero es roja Si en la primera extracción es roja, fila R de la tabla 5-3 que totaliza 0.30. La pregunta es, ¿qué proporción es 0.18 de 0.30? La respuesta es 0.60; o en términos de la fórmula correspondiente: P(R IR ) = 2

TABLA 5-3 Tabla de probabilidad conjunta

¡

P(R Y R) 0.18 2 ¡ = P(R¡) OJO

~ extracción

Primera extracción

R

N '.

Probabilidad marginal del resultado en la segunda extracción

= 0.60

= 0.60

Probabilidad marginal del resultado en la primera extracción

R

N

p(RR) 0.18

P(RN) 0.12

0.30

p(NR) 0.56

p(NN) 0.14

0.70

0.74

0.26

1.00


TABLA 5·4

Evento

Probabilidad

195

Fórmula

CC

P(CC) = Y2 . Y2 = %

CCr

P( CCI) = Y2 . Y2 = %

P(C¡ • P(Ct)

CrC

P( CrC¡ = Y2 . Vz = %

P(CI) • P(C¡

CrCr

P( CrCI) = %. Vz = %

P(Ct) • p(Ct)

P(C¡ • P(C¡

Ejemplo 2 Una moneda se lanza dos veces y se establecen las siguientes probabilidades: 1. La probabilidad de cara en ambos casos. 2. La probabilidad de cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo. 3. La probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga cara. 4. La probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga cara, dado que en el primero fue cruz.

La tabla 5-4 presenta todos los posibles resultados de dos lanzamientos y sus probabilidades. Ahora, utilizando la tabla, pueden determinarse las cuatro probabilidades solicitadas: • P(CC)

= V4

• P(CCr + CrC) • P(CC + CrC)

= Vz = Vz

• P(C/Cr) = P(CrCL 1J4 P(Cr) 1J2

= \/2

Una característica importante del ejemplo anterior es que ilustra la independencia. En él se observa que las dos últimas probabilidades calculadas son las mismas; la probabilidad de cara en el segundo lanzamiento es de un medio, sin tener en cuenta el resultado del primer lanzamiento. Se dice que los dos eventos son independientes, debido a que la probabilidad de cara en el segundo lanzamiento no se ve afectada por el resultado del primero. Ese no era el caso en el ejemplo 1, donde la probabilidad de una bola roja en la segunda extracción estaba afectada por el resultado de la primera. Este resultado puede resumirse así: Dependencia (Ejemplo 1)

Probabilidad condicional de obtener bola roja en la segunda dado que fue roja en la primera

Probabilidad conjunta de RR (0.18)

=

0.60 Probabilidad marginal de obtener roja en la primera extracción (OJO)

Fórmula general:

P(BIA) =

P (AyB)

peA)

(5-3)

196


Independencia (ejemplo 2) Probabilidad condicional de obtener cara en el el segundo lanzamiento, dado que salió cruz en el primero

Probabilidad conjunta de CCr(l/4)

0.50, probabilidad marginal de sacar

Probabilidad marginal de sacar cruz en un primer lanzamiento (V2)

cara

Fórmula general: P(B lA)

= P(B)

(5-2)

si B es independiente deA.

Ejemplo 3 Más adelante se presenta un ejemplo de las definiciones básicas de probabilidad. Se toma una encuesta de 100 familias; se obtiene información sobre el ingreso familiar y si la familia compra un producto alimenticio especial. Eula tabla 5-5 se muestran los resultados. Suponer que de este grupo se selecciona una familia al azar. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora? Debido a que 38 de las 100 familias son compradoras, la probabilidad es 0.38. Se observa que ésta es una probabilidad marginal o incondicional.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora y tenga ingreso alto? Ésta es una probabilidad conjunta. P( compradora e ingreso alto) = 20/100 = 0.20. 3. Si se selecciona una familia al azar y resulta que tiene ingresos altos, ¿cuál es la probabilidad de que esa familia sea compradora? En esta pregunta se pide la probabilidad condicional P (compradora / alto ingreso). De las 40 familias con ingreso alto, 20 son compradoras. Por tanto, la probabilidad es de 20/40 = 0.50. 4. ¿Los eventos Comprador y Alto ingreso son independientes para este grupo de familias? Si en la pregunta 1 P(compradora) = 0.38; Yen la pregunta 3, P (compradora / alto ingreso) = 0.50, es decir, no tienen igual probabilidad, entonces los dos eventos son dependientes. Por consiguiente, saber que la familia tiene un ingreso alto afecta la probabilidad de que sea compradora. Otra forma de expresar esta dependencia es diciendo que el porcentaje de compradores no es el mismo para las familias de alto y de bajo ingreso.

TABLA 5-5 Encuesta a 100 familias clasificadas por ingreso y comportamiento de compra

Ingreso bajo (ingreso famíliar inferior a US$30,OOO) La familia es: Compradora de productos alimenticios especializados

Ingreso alto (ingreso famíliar de US$30,OOO o más)

No compradora

42

20 20

Número total de familias

60

40

18

Número total de familias

38 100

62


197

REVISiÓN DE PROBABILIDADES Estudiadas las probabilidades conjuntas y condicionales, ahora se investigará cómo se revisan las probabilidades para tener en cuenta la nueva información. Suponer que no se sabe si una moneda en particular está perfectamente diseñada o es defectuosa. Si la moneda está perfectamente diseñada, la probabilidad de sacar cruz es 0.50; pero si la moneda es defectuosa, la probabilidad de cruz es 0.10. Además asignar una probabilidad prioritaria a la moneda perfectamente diseñada de 0.80 y una probabilidad de 0.20 a la moneda defectuosa. El evento "moneda perfectamente diseñada" se llamaráA l , y el evento "moneda defectuosa" se denominaráA 2. Si se lanza la moneda una vez y el resultado es cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda esté perfectamente diseñada? La figura 5-3 muestra que la probabilidad condicional de sacar cruz, dado que la moneda está perfectamente diseñada, es 0.50; es decir, P( cruz IA l ) = 0.50. Si la mone-

IA

da es defectuosa, la probabilidad de sacar cruz es 0.10; P( cruz 2) = 0.10. Si se calcula la probabilidad conjunta P( cruz y Al)' existe una probabilidad inicial de 0.80 de que Al sea el estado verdadero; y si Al es el estado verdadero, existe una probabilidad condicional de 0.50 de que salga cruz. Si la probabilidad conjunta del estadoA l es ser verdadera y obtener cruz es (0.80' 0.50) = 0.40, entonces:

P (cruz yAl) = peAl) • P (cruz IA l ) = 0.80' 0.50 = 0.40 La probabilidad conjunta de cruz y A 2 es igual a P (cruz y A 2 )

= P(A 2 )

• P

(cruz IA 2 )

= 0.20' 0.10 = 0.02

Puede salir cruz en combinación con el evento de "moneda perfectamente diseñada" o en combinación con "moneda defectuosa". La probabilidad de la primera combinación es 0.40; y de la segunda es 0.02. La suma de las probabilidades da la probabilidad incondicional de cruz en el primer lanzamiento; es decir, P(CIUZ) = 0.40 + 0.02 = 0.42:

= 0.02

P (cruzyA 2 ) P (cruz y Al) P( cruz)

= 0.40 = 0.42

Si sale cruz y no se sabe el evento verdadero, la probabilidad condicional del eventoA l es un hecho verdadero, utilizando la ecuación 5-3: peAl / cruz)

FIGURA 5-3

P(cruz I A1)

= 0.5

P(A 1) = 0.8

(moneda perfectamente diseñada)

P(cruz I A2 ) = 0.1

¡

=

P(A 2) 0.2

(moneda defectuosa)

198


P(All cruZ)= P( cruz y Al) = 0.40 = 0.95 P(cruz)

0.42

Por tanto, 0.95 es la probabilidad a posteriori o revisada deA 1, dado que en el primer lanzamiento salió cruz. De manera similar:

peA 2 Icruz)-- P( cruz y A 2) P(cruz)

~

-0.02 -- O. 05 0.42

De manera más general: P(A.IB) = P(A¡ Y B) 1 P(B)

La probabilidad condicional expresada en esta forma se conoce como teorema de Bayes. Tiene muchas aplicaciones importantes en la evaluación del valor de la información adicional en los problemas de decisión. En este ejemplo, las probabilidades revisadas para la moneda son de 0.95 de que .sea perfectamente diseñada y 0.05 de que sea defectuosa (las probabilidades inicialmente eran O.SO y 0.20). Estas probabilidades revisadas existen después de un lanzamiento que termina en cruz. Es razonable que haya disminuido la probabilidad de que la moneda sea defectuosa, debido a que apareció cruz en el primer lanzamiento, y la moneda defectuosa tiene sólo una probabilidad de 0.10 de ser cruz.

Ejemplo 4: El rompecabezas de Monty Hall Durante más de 25 años se transmitió un popular programa de televisión llamado "Let's Make a Deal" (Negociemos), presentado por Monty Hall. Como parte del espectáculo, a los concursantes se les presentaban tres puertas. Detrás de una de ellas había un premio mayor: un lujoso automóvil nuevo, mientras que en las otras dos puertas no había premios: se ponía una cabra o algo parecido. El concursante seleccionaba una puerta, pero antes de abrirla, Monty podía abrir una de las otras puertas para mostrar una cabra. Luego, Monty le ofrecía al concursante la opción de mantener su elección original o de cambiar a la otra puerta que todavía no se había abierto. ¿Debía cambiar de decisión el concursante? Ésta es la pregunta que planteó y respondió la columnista Marilyn Vos Savant (catalogada como la persona con el Cl más alto del mundo). Esta columna generó miles y miles de cartas, muchas de las cuales no estaban de acuerdo con la conclusión de la señorita Vos Savant. Debe hacerse explícita una suposición antes de empezar a armar este rompecabezas. Si se supone que Monty siempre abre una de las puertas después de que el concursante ha elegido la suya, y que sólo abre la puerta que tiene una cabra (Monty sabe dónde están las cabras). Antes de seguir, puede pensarse si el concursante debería cambiar su decisión. Algunos piensan que debido a que Monty sólo abre la puerta que tiene la cabra, no existe información nueva y las probabilidades no cambian. Otros sostienen que las probabilidades son 50-50 para el premio que está en la otra puerta. La señorita Savant argumentó que el concursante debía cambiar. ¿Cuál es la respuesta? El análisis de este problema es una aplicación de la revisión de probabilidades. Si se supone que el concursante selecciona la puerta 2, el análisis para cualquier otra selección es similar. La tabla 5-6 mucBtra laB probabilidades condicionales sobre la puerta que abre Monty, indicando en cuál se encuentra el premio mayor. Ésta


TABLA S-6 Tabla de probabilidad condicional Prob (abierta por Í\1onty/ puerta con el premio mayor)

Montyabre la puerta El premio mayor está detrás de Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

Puerta 1

O 1/2 1

Puerta 2

Puerta 3

O O O

1 1/2 O

Monty abre la puerta

TABLAS-7 Tabla de probabilidad conjunta Prob (puerta con el premio mayor y puerta abierta por Monty)

199

El premio mayor está detrás de

Puerta 1

Puerta 2

Puerta 3

Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

O

O

1/6 1/3

O

O

1/3 1/6 O

Probabilidad marginal

1/2

O

1/2

Probabilidad marginal 1/3 1/3 1/3

es una descripción de la conducta de Monty. Si el premio está detrás de la puerta 1, entonces abrirá la puerta 3 (no olvidar que el concursante escogió la puerta 2). Si el premio realmente está en la puerta 2, entonces Monty puede elegir la puerta 1 o la puerta 3 por igual. Finalmente, si el premio está detrás de la puerta 3, entonces él abre la puerta 1. Inicialmente, existe una oportunidad igual (es decir, 1/3) de que el premio mayor esté detrás de cualquier puerta. De esa manera, puede calcularse la tabla de probabilidad conjunta como aparece en la tabla 5-7. Estos valores se obtienen mediante la regla P(A y B) = B(A / B) P(B). Ahora, como se indicó, se supone que el concursante selecciona inicialmente la puerta 2y que luego Monty abre la puerta 1. ¿Debe cambiar de opinión el concursante? Puede calcularse la probabilidad de ganar el premio mayor para las dos estrategias: cambiar y mantener la decisión: Cambiar la decisión

Prob (la puerta 3 tiene el premio mayor I Monty abre puerta 1) = P(el premio mayor está en la puerta 3 y Monty abre la puerta l)/P(Monty abre la puerta 1) = (1/3) / (1/2) = 2/3. Mantener la decisión

Prob (la puerta 2 tiene el premio mayor IMonty abre la puerta 1) = P(el premio mayor está en la puerta 2 y Monty abre la puerta 1)/P(Monty abre la puerta 1) = (1/6) / (1/2) = 1/3 El concursante debería cambiar la decisión porque las probabilidades son de dos tercios de que el premio esté detrás de la otra puerta. Si Manty abre la puerta 3, el análisis es exactamente el mismo y el concursante debería cambiar a la puerta 1.

200


FIGURA 5-4 Rompecabezas de Monty Hall

Premio Cabra en la puerta seleccionada

Primera cabra

Otra cabra

Premio en la puerta seleccionada Premio

De igual forma, si el concursante inicialmente selecciona una puerta distinta a la 2, se haría el mismo análisis. Otro punto de vista del problema se presenta en el diagrama de árbol de la figura 5-4. Aquí, la probabilidad inicial de que el concursante escoja una puerta con una cabra detrás de ella es de 2/3. Bajo esa circunstancia, cuando Monty descubra la segunda cabra, cambiar la decisión garantizaría obtener el premio (véase la rama superior de la figura 5-4). Por otra parte, si la puerta que se eligió originalmente tiene el premio, entonces cambiar llevaría a la cabra. Al ponderar estos resultados de acuerdo con las probabilidades de 2/3 y de 1/3, se llega al mismo resultado. Este resultado fue sorprendente para muchos de los lectores de la señorita Savant, incluso para muchos que eran matemáticos y estadísticos. El resultado depende fundamentalmente de la suposición acerca del comportamiento de Monty. Si éste no tiene que abrir la puerta (como sucedía en algunas ocasiones), entonces este análisis no se mantendría.

RESUMEN Una probabilidad conjunta es la probabilidad de que ocurran dos o más eventos. Una probabilidad condicional es la de que ocurra un evento, dado que se conoce que algún otro evento ya ocurrió. Una probabilidad marginal es la probabilidad incondicional de que ocurra algún evento. Una probabilidad a priOli de que ocurra un evento puede revisarse utilizando el teorema de Bayes para producir una probabilidad revisada o aposteriori.

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una función de probabilidad es una regla que asigna probabilidades a cada elemento de un conjunto de eventos que pueden ocurrir. Si a su vez puede asiBnarse un valor numérico específico a cada elemento del conjunto de eventos, la función


201

que asigna estos valores numéricos específicos es lo que se denomina variable aleatoria. El valor de una variable aleatoria es el resultado general de un experimento aleatorio (o probabilidad). Resulta de utilidad diferenciar entre la variable aleatoria en sí misma y los valores que puede tomar. El valor de una variable aleatoria es desconocido hasta que ocurre el evento, es decir, hasta que se ha realizado el experimento aleatorio. Sin embargo, la probabilidad de que la variable aleatoria sea de cualquier valor específico se conoce por anticipado. La probabilidad de cada valor de la variable aleatoria es igual a la suma de las probabilidades de los eventos asignados a dicho valor de la variable aleatoria. Por ejemplo, si se define la variable aleatoria Z como el número de veces que sale cara en dos lanzamientos de una moneda perfectamente diseñada, entonces, los posibles valores de Z y las correspondientes probabilidades son: Valores posibles de Z

Probabilidad de cada valor

°

1/4

1

1/2

2

1/4

Las variables aleatorias pueden agruparse en distribuciones de probabilidad, las cuales pueden ser discretas o continuas. Las distribuciones de probabilidad discreta son aquellas donde la variable aleatoria sólo puede tomar valores específicos. La tabla anterior es un ejemplo de dicha distribución ya que la variable aleatoria Z sólo puede ser 0,1 ó 2. Una distribución de probabilidad continua es aquella donde el valor de la variable aleatoria puede ser cualquier número dentro de un rango de valores dado; es decir, entre cero e infinito. Por ejemplo, si la variable aleatoria fuera la estatura de los miembros de una población, una persona podría tener 5.3 pies de altura, 5.324 pies, 5.32431 pies, y así sucesivamente, según la capacidad de los instrumentos de medición. Algunos ejemplos adicionales de variables aleatorias se muestran en la tabla S-S. A una distribución de probabilidad discreta algunas veces se le llama función de masa de probabilidad (f.m.p.) y a una continua se le denomina función de densidad de probabilidad (f.d.p.). Los dos tipos de distribución se muestran en las figuras 5-5 y 5-6. Para una distribución discreta, la altura de cada línea representa la probabilidad de ese valor de la variable aleatoria. Por ejemplo, 0.30 es la probabilidad de que la demanda de mañana sea de 0.2 toneladas en la figura 5.5. Para una variable aleatoria continua, la altura de la función de densidad de probabilidad no es la probabilidad para un evento. En cambio, el área bajo la CUlva sobre cualquier intervalo en el eje horizontal

TABLAS-S

Variable aleatoria (denotada por una letra mayúscula) Descripción de los valores de la variable aleatoria

u X y T

L

Discreta o continua

Resultados posibles de lanzar un par de dados Discreta Cantidad de caras, posible si se lanza una moneda cinco veces Discreta Ventas diarias posibles de un periódico, donde S representa el inventario disponible Discreta Tiempo entre las llamadas al centro de llamadas de emergencia 911 Continua Vida útil de un componente electrónico de un computadorContinua

Valores de la variable aleatoria 2,3,...,12 0,1,2,3,4,5 0,1,2, ... ,S

oél

QJ

Oa 00

202


FIGURA 5·5 Distribución de probabilidad discreta (función de masa de probabilidad o f.m.p.)

0.30

0.30 Nota: la suma de las probabilidades es 1

'O Cll

:Q

:aCll

0.20

0.20

.o E

o..

0.10

0.10

0.1

0.10

0.2

0.3

0.4

0.10

0.5

0.10

0.10

0.7

0.6

0.8

0.9

La demanda de mañana en toneladas

FIGURA 5-6 Distribución de probabilidad continua (función de densidad de probabilidad o f.d.p.)

El área sombreada es P (la demanda de mañana está entre 0.1 y 0.2 toneladas)

Cll

c'

Cll

IC

El área bajo toda la . curva suma 1 El área sombreada es P (la demanda de mañana es mayor que 0.5 toneladas)

(J)

Cll Cll

E'O Q).!Q (j)

'O

Cll C

-oS C C Cll

E Q)

(j)

o

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Valor de la función de densidad de probabilidad

representa la probabilidad de tomar un valor en él. Por ejemplo, el área sombreada al lado izquierdo de la figura 5-6 representa la probabilidad de que la demanda de mañana esté dentro del intelValo comprendido entre 0.1 y 0.2 toneladas.

FUNCIONES DE MASA ACUMULADA Las funciones de masa de probabilidad están relacionadas con las funciones de masa acumulada. Una función de masa acumulada muestra la probabilidad acumulada. Por ejemplo, si se considera la variable aleatoria S con la función de masa de probabilidad discreta mostrada en la tabla 5-9.. Además de estar interesados en la probabilidad de que S sea igual a 2, es decir: peS = 2) = 0.40, se puede desear saber la probabilidad de que S sea igualo menor que 2, es decir: peS ::;; 2) = 0.60. A la función que da valores de esta naturaleza se le llamaftmción de masa acumulada. La función de masa de probabilidad y la función de masa acumulada del tipo "menor que o igual a" para el ejemplo de la tabla 5-9, se muestran en la tabla 5-10 y en la figura 5-7. Si se desea saber la probabilidad de que S sea mayor que 2, entonce~; /

P (S > 2)

= 1 - peS ::;; 2) = 1 - 0.60 = 0.40

Dada la función de masa de probabilidad, puede obtenerse la función de masa acumulada y variaciones como P (S 2':2) o P(2 ::;; S ::;; 4).

,

TABLA 5·9 Ejemplo de función de masa de probabilidad


203

P(S =5)

5

O 1

0.00 0.20

2

0.40

3

0.30

4

0.10 1.00

TABLAS-lO Ejemplo de función de masa acumulada

5

P(S =5)

P(S:5 5)

O

0.00

0.00

1

0.20

0.20

2

0.40

0.60

3

0.30

0.90

4

0.10

1.00

FIGURA 5-7 Diagrama de función de masa de probabilidad y de función de masa acumulada

1.0

1.0 0.9 0.8 0.5

""O

0.4 ""O

al ~

0.3

al

0.2

:.o

al ~

0.4

o...

.Q

0.1

I

O 2

3

0.2

0.2

0.1

1

0.4

2 o...

0.2

.Q

2

:.oal

0.3

0.6

0.6

s

I

O

4

s 2

Función de masa de probabilidad = s)

3

4

Función de masa acumulada ~ s)

peS

pes

FUNCIONES DE DISTRIBUCiÓN ACUMULADA Las funciones de distribución acumulada están asociadas con funciones de densidad de probabilidad continua, de la misma forma que las funciones de masa acumulada están asociadas con las funciones de masa de probabilidad discreta. La función de distribución acumulada debe ilustrarse utilizando una distribución de probabilidad rectangular o uniforme (remitirse a la figura 5-8). Si S está entre a y b (a :s; S :s; b), entonces el valor de la función de densidad de probabilidad es l/(b - a), y cero si es de otro modo. Si se suma el área que está bajo la función de densidad de probabilidad, entonces:

f(S)

= b

~a

204


FIGURA 5-8 Función de densidad de probabilidad f(S)= -

a :5

((S)

~

1

feS) = O de otro modo

~ ~

((S\)= b a if a S b

b -a' S :5 b;

Área = 1,

o(b-a)= 1 ] [ _1_ b-a

es deciy

1

b-a

a

b

b-a

FIGURA 5-9 Función de distribución acumulada F(S) para

F(S)

1 F(S)= - -

F(S) = S - a si a ~ S ~ b ; F(S) =1 si S> b

b-a

~

b-a 1

------------------------.~-------------

en el rango desde a hasta S para cada valor de S, se obtiene la distribución acumulada, F(S). Se utiliza JO para representar la función de densidad de probabilidad y FO para representar la función de distribución acumulada del tipo "menor que o igual a" (véase figura 5-9).

El valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado o la expectativa de una variable aleatoria es la suma de los valores de la variable aleatoria ponderada por la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor. Por consiguiente, el valor esperado es la media o valor promedio ponderado. Considerar el ejemplo de la tabla 5-11. En este caso, 28.10 es la demanda esperada o media. Esto se escribe como: E(X)

= 28.10

El valor esperado se calcula, como en la tabla 5-11, ponderando cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad, y luego sumándolos. La fórmula matemática de la media es: n

E(X) =

L X¡P(X¡) ¡=\

(5-5)


TABLAS-U Cálculo del valor esperado

Valores de la variable aleatoria, X (demanda futura)

205

Probabilidad Probabilidad de la demanda de P(X) ponderada X¡P(X)

X1 = 25 unidades X2 = 26 unidades X3 = 27 unidades X4 =28 unidades X5 = 29 unidades X6 = 30 unidades

P(X1) = 0.05

1.25

P(X2) = 0.10

2.60

P(X3) = 0.15

4.05

P(X4) = 0.30

8.40

P(X5) = 0.20

5.80

P(X6) = 0.10

6.00

1.00

E(X) = 28.10

Xi es el iésimo valor de la variable aleatoria; P(Xi) es la probabilidad del valor 11

iésimo, y

:¿ es el símbolo que representa la sumatoria de todos los artículos para i

¡=¡

= 1 hasta i = n, inclusive. El símbolo ¿ se lee como "sigma". En el ejemplo, n = 6 debido a que hay seis posibles valores de la variable aleatoria. Por tanto: 6

E(X)

=

:¿ X¡P(X¡) = X¡P(X¡) + X P(X 2

2)

+ ... + X6P(X6 )

¡~¡

Sustituyendo los valores específicos: 6

E(X) =

:¿ X¡P(X¡) = 25(0.05) + 26(0.10) + 27(0.15) + 28(0.30) i=¡

+ 29(0.20) + 30(0.20)

= 28.10 El cálculo del valor esperado de una variable aleatoria continua requiere del uso de matemáticas más sofisticadas (cálculo)3. Sin embargo, el valor esperado tie.ne la misma interpretación que para la variable discreta.

La varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria Con frecuencia se quiere saber cómo se dispersan los valores de la variable aleatoria sobre la media. La varianza y la desviación estándar proporcionan medidas de esta dispersión. La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable aleatoria respecto a su media, ponderada por la probabilidad de desviación. El enunciado matemático es el siguiente: 11

Var(X)

= L [X¡.- E(X)fp(x¡)

(5-6)

i=¡

E(X) es la media; Xi el valor iésimo de la variable aleatoria; y P(Xi), su probabilidad. Puede verse que cuanto más grande es la dispersión de todos los Xi para i = 1

3 El valor esperado de la variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad ¡(X) es:

E(X) = ( X . f(X)dX. ltodox

206


TABLA 5·12 Cálculo de la varianza

Probabilidad, p(X¡)

Desviación cuadrática de la media de 28.1 [Xi - E(X)]2

Desviación cuadrática ponderada por la probabilidad [Xi - E(X)]2 P(X¡)

X1 =25

0.05

(25 - 28.1)2 = 9.61

0.4805

X2 = 26

0.10

(26 - 28.1)2 = 4.41

0.4410

X3 =27

0.15

(27 - 28.1)2 = 1.21

0.1815

X4 = 28 Xs = 29 X6 = 30

0.30

(28 - 28.1)2 = 0.01

0.0030

0.20

(29 - 28.1)2 = 0.81

0.1620

0.20

(30 - 28.1)2 = 3.61

0.7220

Valor de la variable aleatoria, X¡

1.00 Var(X)

= [~ (Xi -

1.9900 28.1)2P(X)¡]

= 1.9900

hasta i = n inclusive, tanto mayores son los valores de [Xi - E(..X)]2 Ymayor es la vananza. La tabla 5-12 muestra el cálculo de la varianza para la demanda de la variable aleatoria del ejemplo de la tabla 5-11. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza; en el ejemplo, la desviación estándar es '\/l.99., o aproximadamente 1.41. La desviación estándar suele designarse con la letra a (una sigma minúscula) y, con frecuencia, la varianza se escribe como a2 . En las funciones de Excel = VARIANZA. La varianza de una variable aleatoria continua tiene la misma interpretación que en la discreta, aunque la fórmula matemática sea más compleja e involucre el cálculo4. Ejemplo Este ejemplo muestra cómo se obtiene información sobre una variable aleatoria utilizando las reglas de probabilidad antes desarrolladas. Suponer que se intenta vender un producto a dos clientes. Para Big Stores, se calcula que se tiene 20% de oportunidad de vender 200 cajas, 40% de oportunidad de vender 100 cajas, y 40% de oportunidad de no vender nada. Para Little Markets, se calcula que se tiene 40% de oportunidad de obtener un pedido de 100 cajas y 60% de no vender nada. Además, las ventas a los dos mercados son dependientes; si Big Stores compra 200 cajas, y50% de oportunidad de que Little haga un pedido de 100 cajas (y, por supuesto, 50% de no obtener ningún pedido). Si Big Stores no compra ninguna caja, entonces las oportunidades de que Little tampoco ordene son de 50-50. Si hay interés en la variable aleatoria X, el total de ventas a ambos clientes, hay que desarrollar la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. Para ello, hay que iniciar con la figura 5-10, de probabilidad conjunta, e incluir la información con que se cuenta. Las probabilidades globales de ventas de 200, 100 YOcajas a Big Stores se muestran a lo largo de la margen inferior de la figura 5-10 De igual forma, las 4 La varianza dc una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad f(X) es: (J'2

= Var(X) = (

Jtodox

[X - E(X)ff(X)dx

= E[X -

E(X)]


FIGURAS-lO

207

Ventas a Big Stores (cajas) Ventas a Little Markets (cajas)

100

200

100

O

¡;Y:

0.1

0.4

uv:

O



0.2

0.4

0.2

0.6

0.4

1.0

probabilidades marginales de ventas a Little Markets aparecen en la columna de la derecha. También se sabe que P(ventas a Little = 100 Iventas a Big = 200) = 0.5. Esta probabilidad condicional se muestra en la esquina superior de la casilla superior izquierda. También se sabe queP(ventas a Little = OIventas a Big = O) = 0.5, lo que se muestra de manera similar en la esquina superior de la casilla inferior derecha de la figura 5-10. Si se utiliza: P(AB) = peA IB)P(B)

puede calcularse la probabilidad conjunta: P(Little

= 100 YBig = 200) = P (Little = 100 IBig = 200) • P(Big = 200) = (0.5)(0.2) = 0.1

De manera semejante, P(Little

= OYBig = O) = P(Little = OIBig = O)

• P(Big

= O)

= (0.5)(0.4) = 0.2

Estas probabilidades conjuntas se muestran en las correspondientes casillas de la figura 5-10. Ahora es posible llenar el resto de la figura 5-10 utilizando el hecho de que los .totales de las probabilidades conjuntas en cualquier fila o columna deben ser igual a las probabilidades marginales. El cálculo completo aparece en la figura 5-11.

FIGURAS-U

Ventas a Big Stores (cajas) Ventas a Little Markets (cajas)

100 O

200

100

O

o~300 o~ 200


0.2~ 100

0.4

0.2~ O.~ 200 O~ 100

0.6

Probabilidad

marginal

0.2

DA

004

1.0

208


Las esquinas inferiores del lado derecho de las casillas de la figura 5-11 contienen los valores para la variable aleatoria X, el total de ventas, igual a la suma de las ventas a Big Stores y Little Markets. La distribución de probabilidad para X aparece en las columnas 1 y 2 de la tabla 5-13. El cálculo del valor esperado de esta distribución se muestra en la columna (3) de la tabla 5-13. Es decir, E(X) = 120 cajas. La varianza para las ventas totales también se calcula; ver las columnas (4) Y(5): Jiár(X) = 7,600. Distribuciones multivariadas de probabilidad

Una distribución multivariada de probabilidad es una función que expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. Esto es similar para las tablas de probabilidad conjunta ya estudiadas en este capítulo (véase tabla 5-3, por ejemplo). Considerar el caso de dos variables aleatorias X y Y. El valor esperado [E(X) y E(Y)] Ylas varianzas [Jiár(X) y Jiár(Y)] para las variables, individualmente, son muy semejantes a las que se definieron antes. Sin embargo, hay una medida de variabilidad adicional denominada covarianza, la cual mide el grado hasta donde dos variables tienden a estar relacionadas. La covarianza es: Cov(X,Y)

= E[(X - E(X)) . (Y-

E (Y))]

Como ejemplo, considerar la distribución conjunta de la estatura ypeso de los individuos (sea X la estatura y Y el peso). Las covarianza mide el grado hasta donde existe relación entre estatura y peso. Por lo general, debido a que las personas más altas tienden a pesar más que el promedio, y las personas bajas pesan menos que el promedio, la covarianza es positiva. Si el término de covarianza es negativo, indica que los valores altos de una variable tienden a estar asociados con los valores bajos de la otra y viceversa. Por ejemplo, considerar la distribución conjunta del ingreso familiar promedio y la tasa de criminalidad en diversas zonas de una ciudad. Generalmente, las zonas con ingresos familiares promedio más altos tienden a tener menos tasas de criminalidad, y las áreas con ingresos menores tienen tasas de criminalidad más altas. La covarianza en este caso es negativa. Si dos vmiables son independientes la covmianza es cero. Una medida relacionada con el grado de relación entre dos variables es el coeficiente de correlación, definido como: Cov(X,Y) p

TABLA 5-13 Distribución de probabilidad para el total de ventas

I

= -ycv.:=ar=(X:===)='=:=v.:=ar=='y( ::=')

(1)

(2)

(3)

Cajas vendidas X¡

Probabilidad p(X¡)

X¡p(X¡)

O 10 200 300

0.2 0.5 0.2 0.1

O 50 40 30

1.0

E(X) =120

-

(4) Desviación cuadrática de la media de 120 [Xi - E(X)]2 (O (100 (200 (300

-120)2 -120)2 -120)2 -120)

(5) Desviación cuadrática ponderada por la probabilidad [X¡- E(X)]2p(X¡)

= 14,400 = 400 = 6,400 = 32,400

2,880 200 1,280 3,240

--

Va~X)

=7,600


209

El coeficiente de correlación puede tomar valores de + 1, si las dos variables están perfectamente (linealmente) relacionadas de manera positiva, de -1 si están perfectamente relacionadas de manera negativa, o de O si son independientes, y valores intermedios según el grado de asociación de las variables. Las distribuciones multivariadas generales pueden involucrar un diverso número de variables. La covarianza y el coeficiente de correlación pueden definirse de la manera antes mencionada para cualquier par de variables.

SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS La expectativa de la suma de variables aleatorias es la suma de las expectativas de dichas variables aleatorias. Por consiguiente, la media de la variable aleatoria (X + Y +Z) es: E(X +Y +Z)

= E(X) + E(Y) + E(Z)

La varianza de una suma de variables aleatorias involucra la suma de las varianzas y covarianzas, así: Para dos variables X y Y: J/ar (X +Y) = J/ar (X) + J/ar (Y) Para tres variables, X, Y Y Z, la varianza de la suma es:

Vár(X + Y + Z)

+ 2Cov (X,Y)

= Vár(X) + Var(Y) + Vár(Z) + 2Cov(X;Y) + 2Cov(X;Z)

+ 2Cov(Y,Z) El patrón para más de tres variables es similar. Si las tres variables son independientes, los términos de covarianza en las fórmulas anteriores son cero. Es decir, la valianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las valianzas, si las valiables son independientes. De manera que para variables independientes:

Vár (X+ Y+Z)

= Var(X) + Var(Y) + Vár(Z) siX; Y,Z son independientes

Una constante multiplica una variable aleatoria La expectativa de una constante (e) multiplicada por una variable aleatoria es la constante multiplicada por la expectativa de la variable aleatoria. Es decir:

E(cX)

= cE(X)

La varianza de una constante multiplicada por una variable aleatoria es la constante al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable aleatoria. Es decir:

Vár( eX)

= c2Var(X)

Finalmente, si existe una variable aleatoria X multiplicada por una constante e, y una segunda variable aleatoria Y multiplicada por una constante d; entonces, la varianza de la suma de estos términos está dada por:

Var(cX) + dY)

= c2Var(X) + d2Var(Y) + 2cdCov(X;Y)

Ejemplo Una aplicación específica de la teoría de las sumas de variables aleatorias puede hacerse en finanzas. Suponer que se considera invertir una suma de dinero,

US$100.000, en acciones de dos empresas posibles, Moon Computers y fickle Pickle Company. El rendimiento que puede tener cada una durante el próximo año pue-

210


de considerarse como una variable aleatoria. Con base en datos históricos, según el criterio personal, se calcula el valor esperado y la varianza del rendimiento para cada acción. Para Moon Computers, se espera un rendimiento de 0.12 (es decir, 12%) Yuna varianza sobre el rendimiento para esa acción de 0.008. Para Ficle Pickle, el valor de rendimiento que se espera es 0.10 (es decir, 10%) Yla varianza sobre el rendimiento es de 0.003. Además, se calculó que la covarianza entre los rendimientos de las dos acciones es de -0.0006. Existe una leve tendencia a que los rendimientos estén inversamente relacionados. Se está considerando invertir en cualquiera o en ambas de estas acciones. Para tener un rendimiento alto sobre el dinero, Moon Computers parece ser mejor, ya que el rendimiento esperado es de 12%, contra 10% de Fickle Pickle. De otro lado, la varianza es una medida de la variabilidad del rendimiento y por tanto una medida de riesgo, y Moon Computers tiene la varianza más alta (0.008 contra 0.003 de Fickle Pickle). De manera que se necesitará hacer un intercambio del rendimiento esperado y del riesgo. Si se considera un portafolio o mezcla de estas acciones, el rendimiento sobre éste también es una variable aleatoria y se da mediante la siguiente expresión: Rendimiento del portafolio

= Z = eX + (1 - e)Y

donde X es la variable aleatoria para el rendimiento de Moon Computers Yes la variable aleatoria para el rendimiento de Fickle Pickle Z es la variable aleatoria para el rendimiento del portafolio e es una constante que representa la fracción de los US$100,000 invertidos en Moon Computers (1- e) es también una constante que representa la fracción restante, la cual se invierte en Fickle Pickle. El valor esperado y la varianza para el rendimiento del portafolio puede calcularse a partir de las fórmulas anteriores para las sumas de variables aleatorias:

+ (1- e)E(Y)

Rendimiento esperado del portafolio

= E(Z) = eE(X)

Varianza del rendimiento del portafolio

= Vár(Z) = e2Vár(X) + (1 e)2 Vár(Y) + 2c(1-e)Cov(X,Y)

La tabla 5-14 muestra los resultados de estos cálculos para las diferentes mezclas del portafolio que oscilan entre 100% de Moon Computers y 100% de Fickle Pickle. De hecho, cuando la cartera de Moon Computers, es 100% el valor esperado y la varianza para el rendimiento son exactamente los mismos que para esa acción. De forma semejante, cuando es 100% de Fickle Pickle (es decir, 0% en Moon Computers en la tabla 5-13), el valor esperado y la varianza son las de Fickle Pickle. Sin embargo, al considerar una cartera de 50% de cada una, el rendimiento esperado se encuentra en la mitad de los dos rendimientos por separado. No obstante, la varianza en ese caso, un valor de 0.0024, es menor que el valor de un portafolio exclusivo de Fickle Pickle. Es decir, el portafolio combinado pudo reducir el riesgo (la varianza) incluso por debajo de la acción menos riesgosa y obtener un mejor rendimiento esperado. Ésta es una ilustración simple del beneficio de la diversificación del portafolio de inversión en finanzas. Este sencillo ejemplo consideró sólo dos acciones. Los portafolios de inver-

sión reales pueden tener muchas acciones e incluso puedcn ser de fondos mutuos de acciones y bonos u otros activos. La idea es lograr el riesgo más bajo posible


211

para un rendimiento esperado o, como alternativa, lograr un rendimiento tan alto como sea posible para un riesgo fijo.

Otro ejemplo En el ejemplo que se utilizó anteriormente sobre las ventas a dos tiendas, Little Markets y Big Stores, véase la figura 5-11, la cual contenía las probabilidades conjuntas para las variables aleatorias en ventas a Big Stores (variableB) y Little Markets (variableL). Considerar la variable aleatoria X, que representa el total de ventas: X =B + L. En ese ejemplo, el valor esperado y la varianza se calcularon numerando todas las posibilidades. Para ese mismo ejemplo, calcular el valor esperado y la varianza para la variable X; utilizando las fórmulas para sumas de variables aleatorias. Primero, el valor esperado y la varianza para cada variable se calcula como aparece en las tablas 5-15 y 5-16. Además, la covarianza se calcula en la tabla 5-17. El valor esperado de la variable aleatoria X es la suma de los valores esperados: E(X) = E(B)

+ E(L)

= 80

+ 40 = 120

La varianza de la variable aleatoria X es; Vár(X) = Var(B) + Var(L) + 2Cov(B,L) = 5,600 + 2,400 +2(-200) = 7,600

Los resultados son los mismos que se calcularon antes.

Fracción del portafolio en Moon Computers

TABLA 5-14

Valor de

TABLA 5-15 Cálculo de la media y de la varianza para Big Stores

e

1.0

0.75

0.50

0.25

0.0

Rendimiento esperado del portafolio

0.120

0.115

0.110

0.105

0.100

Varianza del rendimiento del portafolio

0.0080

0.0045

0.0024

0.0020

0.0030

Ventas a Big Stores

Probabilidad

B¡

p(B¡)

O

0.4

100

0.4

200

0.2

B¡.P(B¡) O

40 . 40

[B¡- E(B¡)]2

[B¡-E(B¡)]2 P(B¡)

6,400

2,560

400

160

14,400

2,880 Va~B)

E(B) = 80

TABLA 5-16 Cálculo de la media y de la varianza para Little Markets

Ventas a Little Markets

Probabilidad

L¡

p(L¡)

O

0.6

100

0.4

= 5,600

L¡P(L¡) O

40

E(L) = 40

1,600

960

3,600

1,440 Vél~L) = 2,400

212


TABLA 5-17 Cálculo de la covarianza de ventas

.

Ventas a Litt/e Markets

Ventas a Big Stores

Probabilidad Conjunta

L¡

Bj

p(L¡,Bj)

O

O O

[L¡- E(L¡)] [Bj - E(B)1

p(L¡,B) [L¡-E(L¡)] [BrE(B)1

100 200

0.2 0.3 0.1

(-40)(-80) =3,200 (-40)(20) = -800 (-40)(120) =

640 240 -4,800

O 100 200

0.2 0.1 0.1

(60)(-80) =-4,800 (60)(20) = 1,200 (60)(120) = 7,200

-960 120 720

O

-480 100 100 100

-

Cov(L,B) = -200

RESUMEN Una variable aleatoria agrega un valor numérico a varios resultados de un proceso aleatorio. Las probabilidades para las variables aleatorias pueden mostrarse en una distribución de probabilidad. El valor esperado es el promedio ponderado de los valores de una variable aleatoria, siendo los ponderados las probabilidades de que ocurra. La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión de una variable aleatoria. Una distribución de probabilidad multivariada expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. La covarianza es una medida del grado de relación de dos variables. El valor esperado de una suma de variables aleatorias es la suma de los valores esperados. La varianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las varianzas, si las variables son independientes. De otro modo, la varianza de la suma también debe incluir la suma de las covarianzas multiplicada por dos.

EL PROCESO DE BERNOULLI y LA DISTRIBUCiÓN BINOMIAL Un proceso de Bernoulli puede describirse de la siguiente manera: 1. Los resultados de cada prueba en el proceso se caracterizan como uno de dos

tipos de resultados posibles, así: a. Éxito, fracaso. b. Sí, no c. Caras, cruces d. Cero, uno 2. La probabilidad de que el resultado de cualquier prueba sea estable y no cambie a lo largo del proceso. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara, dado que es una moneda perfectamente diseñada, es de 0.50 y no cambia, sin tener en cuenta el número de veces que se lance la moneda. 3 El resultado de cualquier prueba es independiente del resultado de pruebas anteriores. En otras palabras, la historia pasada del proceso no cambia la probabilidad asignada a la siguiente prueba. En el ejemplo de la moneda, se asigna una probabilidad de 0.50 a que salga cara en el siguiente lanzamiento, inclusive si ha salido cara en los últimos 10 lanzamientos (se supone que la moneda está perfectamente diseñada).

4. El número de pruebas es discreto y puede representarse con un entero como 1,2,3 y así sucesivamente.

· Introducción a la probabilidad

213

Dado un proceso, puede saberse que es Bernoul1i, pero puede saberse o no la probabilidad de lo estable del proceso. Con una moneda perfectamente diseñada, puede saberse que el proceso es Bernoulli, con una probabilidad de 0.50 de tener éxito (obtener caras) y una probabilidad de 0.50 de fracasar (obtener cruces). Sin embargo, si una moneda está perfectamente diseñada, el proceso (lanzar la moneda) puede todavía ser Bernoulli, pero no se sabe la característica de probabilidad. Por consiguiente, puede tenerse un proceso de Bernoulli con una característica de probabilidad desconocida o conocida. Muchos procesos de negocios pueden caracterizarse como de Bernoulli para efectos analíticos, inclusive aunque no sean verdaderamente de Bernoulli en todo aspecto. Si el ajuste está lo suficientemente cerca, puede asumirse que el proceso Bernoulli es una caracterización razonable. A continuación se mostrarán algunos ejemplos. Ejemplo 1 Hay preocupación por un proceso de producción donde una parte (o producto) se produce en una máquina. Las partes pueden clasificarse como buenas o defectuosas, en cuyo caso, el proceso puede ser de Bernoulli. Si la máquina no está sometida a un desgaste rápido; es decir, si la configuración soportara un uso prolongado de las partes, la probabilidad de tener buenos productos puede ser bastante estable para que el proceso se califique como de Bernoulli. Si, por el contrario, salen más partes defectuosas amedida que se acerca el fin de su funcionamiento, el proceso no es de Bernoulli. En muchos procesos de este tipo, la presencia de partes buenas y defectuosas es suficientemente estable (no hay un patrón observable a través del tiempo) como para llamarlo de Bernoulli. La probabilidad de partes buenas y defectuosas puede permanecer estable durante un proceso de producción, pero puede variar de un proceso a otro (debido a la configuración de la máquina, por ejemplo). Aquí todavía podría considerarse el proceso como de Bernoulli, pero la probabilidad de tener éxito (o fracasar) cambiaría de un proceso a otro. Ejemplo 2 Un ejemplo diferente de un proceso de Bernoulli es una encuesta para determinar si los consumidores prefieren los jabones líquidos frente a los jabones en polvo. El resultado de la encuesta podría caracterizarse por respuestas de sí (éxito) o no (fracaso) a las preguntas formuladas. Si la muestra de consumidores se tomó de manera bastante aleatoria (sin patrón sobre la forma como ocurrieron las respuestas afirmativas y las respuestas negativas), Bernoulli (con una probabilidad desconocida) podría ser una descripción útil del proceso. Si la probabilidad de éxito en un proceso de Bernoulli es de 0.50, la probabilidad de fraéaso también es de 0.50, ya que las probabilidades de que el evento ocurra y no ocurra suman uno. Si la probabilidad de éxito es p, la probabilidad de un fracaso es (l-p).

LA DISTRIBUCiÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Para responder a las preguntas de probabilidad sobre un proceso de Bernoulli, se necesita saber cuál es el parámetro de probabilidad del proceso, como el valor 0.50 en el ejemplo de la moneda perfectamente diseñada. Además, se necesita saber el número de pruebas que van a utilizarse. Por tanto, para analizar un proceso de Bernoul1i, se necesita saber la característica de probabilidad del proceso,p y el número de pruebas, n. Los símbolos y relaciones de la tabla 5-18 son de utilidad.

214


TABLA 5-18 Relación o símbolo

Interpretación

p(R= rl p, n)

La probabilidad de que el número desconocido de éxitos, R (la variable aleatoria), sea igual a algún número específico, r (por ejemplo, 10), dado un número específico de pruebas, n (por ejemplo, 20) y alguna probabilidad específica, p, de un éxito en cada prueba.

p(R,3 r I p, n)

La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor oigual a un número específico, r, dados los valores para p y n. Esto es lo que se denomina probabilidad acumulada. La tabla (en el apéndice del final del libro) contiene valores de probabilidades acumuladas. La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor que un número específico. Esta desigualdad es excluyente; es decir:

e

P(R> 10)

p(R ~ r I p, n)

excluye 10, e incluye 11 y más.

p(R< rl p, n) p(R= 10) = P(R

La probabilidad de que el número de éxitos sea menor o igual a un número específico (por ejemplo, 10). La probabilidad de que el número de éxitos sea menor que un número específico. La probabilidad de exactamente 10 éxitos puede observarse en el apéndice de la tabla e restando dos probabilidades acumuladas. Si:

~

10) - p(R ~ 11)

P(R> 11)

p(R< 10) = 1- P(R

~

10)

p(R ~ 10) = 1- P(R ~ 11) p(R> 10) = P(R ~ 11)

se resta de P(R ~ 10), el resultado es la probabilidad de exactamente 10 éxitos. Debido a que las probabilidades suman 1, si la probabilidad de 10 o más éxitos se resta de 1, el resultado es la probabilidad de menos de 10 éxitos. Debido a que menor que oigual a 10 incluye 10, resta la probabilidad de 11 aciertos o más de 1. Para leer una desigualdad estricta del apéndice, tabla e, se adiciona 1 al número deseado. La expresión P(R> 10) excluye 10, de manera que esta probabilidad es la misma que P(R

~

11), que incluye 11 pero excluye 10.

LA FUNCiÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Si las suposiciones del proceso de Bernoulli se satisfacen y si la probabilidad de un éxito en una prueba es p, entonces la distribución de la probabilidad del número de éxitos, R, en 17 pruebas, es una distribución binomial. La función de la distribución binomial de la probabilidad es: P(R\n, p) =

n! R!(n - R)!

pR(l - p)" - R

(5-7)

donde n. 1(llamada n-factorial) es igual a 17(17 - 1)(17 - 2) ... (2)(1) Y01 se define como igual a 1. Realizar los cómputos utilizando la ecuación 5-7 puede ser tedioso si el número de pruebas es grande. Por este motivo, se suministran las tablas de la distribución binomial acumulada al final del libro, en la tabla C. La tabla 5-17 ilustra una amplia gama de definiciones de probabilidad e indica cómo utilizar la tabla e del apéndice.

Probabilidades binomiales en hojas de cálculo Los programas de hojas de cálculo de Excel y Quattro tienen una función que puede utilizarse para evaluar las probabilidades binomiales en términos individuales y como probabilidades acumuladas. El formato de la función es:

= BINOMDIST (R, 17, PJ OÓ 1)


215

donde R es el número de éxitos, n es el número de pruebas, y p es la probabilidad de éxito en cada prueba. El último término es un cero o un un0 5; si se ingresa cero, se da el término binomial individual; si se utiliza uno, se da el valor acumulado, del tipo:::;. A manera de ejemplo, se quiere la probabilidad de exactamente tres éxitos en cinco pruebas, con una probabilidad de éxito de p = 0.4 - P(R = 31 n = 5, p = 0.4). Esto es:

= BINüMDIST (3, 5, 0.4, O), que es igual a 0.2304 Para la probabilidad de tres o menos éxitos en cinco pruebas, con p In = 5,p = 0.4).

= BINüMDIST

= 0.4 - P(R :::;3

(3,5,0.4,1); que es igual a 0.9130

Éste es el acumulado inverso que aparece en la tabla C. (La tabla e tiene valores mayores que o iguales a; la función de la hoja de cálculo tiene valores menores que o iguales a). Ejemplo 1 Se planea lanzar tres veces una moneda perfectamente diseñada y calcular las siguientes probabilidades: a. La probabilidad de tres caras en tres lanzamientos. b. La probabilidad de dos o más caras en tres lanzamientos. c. La probabilidad de menos de dos caras en tres lanzamientos.

En este ejemplo, en el proceso de Bernoulli,p es 0.50 y una cara constituye un éxito. El número de pruebas (n) es tres. La primera probabilidad es de tres caras (éxitos) en tres lanzamientos (tres pruebas), dado que la probabilidad de sacar una cara en cualquier lanzamiento es de 0.50. Esta probabilidad puede escribirse de la siguiente forma:

= 31p = 0.50, n = 3) = ? donde P = probabilidad, R = número de éxitos, n = número P(R

de pruebas y p = probabilidad de un éxito en cualquier prueba. El lado izquierdo de la ecuación debe leerse como la probabilidad de tres éxitos, dada una probabilidad del proceso de 0.50 y tres pruebas. Al responder las preguntas de probabilidad, primero se numeran todos los posibles resultados de las tres pruebas y se calculan las probabilidades (véase tabla 5-19). Probabilidades

• P(R =31 p =0.50,

Interpretación

n=3) =1/8 La probabilidad de sacar tres caras en tres pruebas es de un octavo. Es la probabilidad de

• P(R 2:

21 p =0.50, n=3) =4/8

CCC. Véase tabla 5-19.

La probabilidad de dos o más caras es de cuatro octavos. Es la probabilidad de dos caras más la probabilidad de tres caras y se calcula sumando las probabilidades de las siguientes combinaciones: CCC, CCCr, CCrC, CrCC.

• P(R < 21 p =0.50, n =3) =4/8 La probabilidad de menos de dos caras es la probabilidad de sacar una cara o ninguna y se calcula sumando las probabilidades de las siguientes combi· naciones: CrCrC, CrCCr, CCrCr, CrCrCr.

5

De manera más precisa, el cuarto término puede ser cualquier valor lógico, de manera que si se evalúa como falso, la función da el término binomial individual; y si Sé évalúa como verdadero, la función da el término acumulado.

216


Las probabilidades anteriores también pueden calcularse utilizando la ecuación 5-7. Esto se ilustra para el problema a.

3'

P(R = 31p = 0.5, n = 3) = 31(~1) (0.5)3(0.5)0 = 0.1250

Finalmente, también pueden obtenerse probabilidades del apéndice, tabla C, o de la función BINOMDIST de la hoja de cálculo. Explicación

Cálculos

• p(R = 31 p = 0.50, n= 3) = 0.1250

Consultar el apéndice, tabla C, bajo

n= 3, p = 0.50; leer la columna hacia abajo hasta p(R;::: 3) = 0.1250

y restar:

P(R;::: 4) = O (cuatro éxitos en tres pruebas es imposible). La respuesta es 0.1250, o un octavo. De manera alterna, utilizar la función de la hoja de cálculo: = BINOMDIST (3,3,0.5,0) =0.125

• P(R ;::: 21 p = 0.50, n= 3) = 0.5000

Mirar la tabla C, bajo n = 3, P= 0.50, Yleer R;::: 2; la respuesta es 0.50. Para la versión de la hoja de cálculo, notar que:

p(R;::: 2\n = 3, P=0.5 = 1- P(R -:5 11 n = 3, P= 0.5) = 1-BINOMDIST (1,3,0.5,1) = 1-0.5 = 0.5 Si se quisiera p(R = 2), se calcularía como sigue: Menos P(R;::: 210.50, 3) = 0.5000 P(R;::: 310.50,3) = 0.1250

p(R = 210.50, 3) = 0.3750 En la hoja de cálculo, esto es: = BINOMDIST (2, 3, 0.5, O) = 0.375

• P(R < 21 p = 0.50, n =3) = 0.5000

Esta probabilidad es igual a: 1- P(R ;::: 2) = 1- 0.50 = 0.50

Ejemplo 2 A un lote muy grande de productos manufacturados va a tomárseles una muestra para revisar su calidad 6. Se asume que 10% de los artículos del lote son defectuosos y que se tomó una muestra de 20 artículos del lote. ¿Cuáles son las siguientes probabilidades?: 1. La probabilidad de que haya exactamente cero artículos defectuosos en la prueba.

6 Para ser estrictos, si el lote es de tamaño finito, los elementos de la muestra no son independientes y, por tanto, los supuestos de Bernoulli no se satisfacen con exactitud; debe emplearse una distribución diferente

denominada distribución hipe/geométrica. Sin embargo, si el tamaño del lote es grandv Gomparado con vi dv la muestra, el uso de la suposición de Bernoulli introduce sólo un pequeño error.


TABLA 5-19

Posibles Resultados

217

Probabilidad de cada resultado

CCC CCCr CCrC CrCC CrCrC CrCCr CCrCr CrCrCr

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1

2. La probabilidad de que más de un artículo salga defectuoso en la prueba.La probabilidad de que menos de dos artículos defectuosos salgan en la prueba. 3. La Puede responderse como sigue. Sean p

P(R

= 0.10 Y11 = 20. Entonces:

= OIp = 0.10,11 = 20) = P(R 2: O) -P(R 2: 1) = 1.0 - 0.8784 = 0.1216

La probabilidad de que cero o más artículos salgan defectuosos es 1.0, y P(R 2: 1) se lee directamente de la tabla C. • P(R > 1) = P(R 2: 2) = 0.6083 de la tabla C. • P(R < 2) = 1.0 - P(R 2: 2) = 1.0 - 0.6083 = 0.3917

RESUMEN Un proceso de Bernoulli implica un número específico de pruebas, cada una de las cuales tiene dos posibles resultados: la probabilidad de que cada resultado siga siendo el mismo, que las pruebas sean independientes. Una distribución de probabilidad binomial da las probabilidades para cada número de éxitos posibles en un determinado número de pruebas de un proceso de Bernoulli. Las probabilidades binomiales pueden determinarse usando la tabla e, en el apéndice o mediante la función BINOMDIST en una hoja de cálculo.

LA DISTRIBUCiÓN NORMAL DE LA PROBABILIDAD La distribución normal, algunas veces denominada distribución o campana de Gauss, es de extrema importancia. Matemáticamente es más fácil de manejar que muchas otras distribuciones y es una buena aproximación para varias de las otras. En muchos casos, la distribución normal es una aproximación razonable en una distribución de la probabilidad anterior para efectos de decisiones de negocios; en los capítulos siguientes se utilizará la distribución normal en muchas de las aplicaciones. A pesar de sus aplicaciones generales, no debe asumirse que todos los procesos pueden describirse como si tuvieran una distribución normal. La distribución normal tiene una función de densidad de la probabilidad que es una curva suave, simétrica, continua, en forma de campana, como se aprecia en la gráfica 5-12. El área que está bajo la curva sobre cualquier intervalo en el

218


eje horizontal representa la probabilidad de una variable aleatoria, X, que toma un valor en dicho intervalo. Al igual que la función continua de densidad de probabilidad, el área bajo la curva suma 1. Una distribución normal está completamente determinada por su valor esperado o media (denotada por f1) Yla desviación estándar (a); es decir que una vez que se conoce la media y la desviación estándar, se establece la forma y ubicación de la distribución. La curva alcanza un máximo en la media de la distribución. La mitad del área queda en cualquiera de los lados de la media. Cuanto mayor sea el valor de s, la desviación estándar, tanto más se expande la curva7. Esto se ilustra en la figura 5-13. Con toda la distribución normal, aproximadamente 0.50 del área queda dentro de ±0.67 desviaciones estándar desde la media; cerca de 0.68 del área queda en ± 1.0 desviaciones estándar; y 0.95 del área queda con ± 1.96 desviaciones estándar. Véase la figura 5-14. Debido a que la función de probabilidad normal es continua (una función de densidad de probabilidad), la probabilidad no puede leerse directamente de las gráficas. Debe considerarse la probabilidad del valor de una variable aleatoria en un intervalo (véase figura 5-15). En la figura 5-15:

FIGURA 5-12

Función normal de densidad de probabilidad (1

Desviación estándar a

fl Media

FIGURA 5-13

7 La función de densidad de la probabilidad normal con los parámetros fJ, ya es:

Ji,N (x)

= _1_ e-(x- p.)'/2rr' u(21T) 112

-00

'

La función de distribución acumulada normal es: FN(x)

= f}(Y)dY

< x < 00


219

FIGURA 5-14

1-+---+1

I'

0.670, 50% de área sombreada

l'

10,

68% de área sombreada

1.960,

-\

95% de área sombreada

FIGURA 5-15

-2

P(- 2 ::; X ::; O) P(X 2: 2) P(O ::; X ::; 2)

o

2

x

= área sombreada A = área sombreada B = Área entre A y B (también igual al área sombreada A debido a la simetría de la curva normal)

COLAS DERECHA E IZQUIERDA El símbolo FN se utiliza para diferenciar una función de distribución acumulada de una distribución de probabilidad normal. Es el área que está debajo de la cola izquierda de una función de densidad de la probabilidad normal. En la figura 5-16, el área sombreada es la cola izquierda de una curva normal; es decir, FN(b)' FN(b) que es la probabilidad de que X sea igualo menor que b; es decir:

(5-8) Ahora, se presenta un nuevo símbolo, GN , el cual se define como el área que está bajo la cola derecha de una función de densidad de probabilidad normal. En la

220


figura 5-16, el área no sombreada es el extremo derecho de una curva normal; es decir GN (b). GN (b) es la probabilidad de que X sea mayor que b; es decir:

GN(b)

= P(X > b)

En la figura 5-16 puede observarse que FN (b) YGN (b) están relacionadas 8:

GN(b)

= 1-FN (b)

(5-9)

debido a que, por definición, el área total bajo la función de densidad de la probabilidad suma 1.

FIGURA 5-16

FN(b) es el área sombreada

GN(b) es el área a la derecha de b

b

x

LA VARIABLE NORMAL ESTANDARIZADA Y LAS TABLAS DE PROBABILIDAD NORMAL Se dice que /l

= O(media de O) ya = 1 (desviación estándar de 1) es una distribu-

ción normal estándar. Si una distribución normal tiene una media diferente a Oo una desviación estándar distinta a 1, la distribución puede estandarizarse. La capacidad de estandarizar distribuciones normales es una de las características útiles de la distribución y permite buscar probabilidades normales en una tabla relativamente corta. Para estandarizar una variable aleatoria normal, una nueva variable normal estandarizada, Z, debe definirse de la siguiente manera: X-f.L z= ------

(5-10)

(J

donde X es la variable aleatoria normal no estandarizada, Il es la media de esta variable aleatoria y a es su desviación estándar. En la expresión anterior, Z es la distancia deX desde su media,/l, medida en unidades de desviaciones estándar. Por ejemplo, si Z = 4, entonces: X-f.L

4 =-----(J

8 Las relaciones matemáticas básicas pueden plantearse como:

y


221

de manera que: 4a=X-,u X=fl + 4a

Por consiguiente, Z = 4 corresponde a un valor de X que es cuatro desviaciones estándar más grande que su media. Como resultado de esta operación, Z es una variable estandarizada, aleatoria, distribuida normalmente, que tiene una media de O y una desviación estándar de 1. Debido a que se buscan las probabilidades en términos de Z y todas las Z tienen una media de Oy una desviación estándar de 1, sólo se necesita una tabla de p.robabilidades. La tabla A (del apéndice que se encuentra al final del texto) es una tabla de probabilidades normales acumuladas. Vale la pena anotar que en la ecuación 5-10, se transforma un valor de una distribución normal en un valor de distribución normal estándar. El valor transformado debe provenir de una distribución normal. Suponiendo que hay una variable aleatoria distribuida normalmente, X, con una media de,u = 8 Yuna desviación estándar de a =3, van a hallarse las siguientes probabilidades:

1. P(X:5 10). 2. P(X> 10). 3. pelO < X:5 15).

Ejemplo 1 Primero se estandariza la variable X para el valor X

Z=

X~J.L

10-8 3

2 3

-- = -- = - = (J

= 10:

0.67

Cuando se busca la probabilidad peZ :5 0.67) en la tabla A, el resultado es igual a 0.7486. La probabilidad de queX sea menor que 10 es de 0.7486. Notar queP (X:5 10) es lo mismo que P (X < 10), debido a que la probabilidad de ser exactamente 10 se define como cero si la distribución de probabilidad es continua.

Ejemplo 2 Del ejemplo 1, se sabe que paraX = 10, Z

P(X:5 10)

= 0.67 y:

= P (Z :5 0.67) = 0.7486

Entonces:

P(X> 10)

= l-P (X:5 10) = 0.2514

Si la probabilidad de que X sea menor que 10 es de 0.75, la probabilidad de que X sea mayor que 10 es de 0.25. En términos de áreas, si el área que está a la izquierda de 10 es 0.75, y el área total bajo la función de densidad es 1, entonces el área que está a la derecha de 10 es (1- 0.75), ó 0.25.

Ejemplo 3 Se quiere determinar el área e de la figura 5-17. El área e + D es P(X > 10). El área D es P(X > 15). El primer paso es saber que P(X > 10) = 0.2514, del ejemplo 2. Para calcular el área Do P(X > 15), el primer paso es calcular Z para un valor de X

= 15.

222


FIGURAS-!7

8

10

15 - 8

15

x

7

Z = -3- = 3 = 2.33 En la tabla A (del apéndice que se encuentra al final del texto), se encuentra que:

peZ :::; 2.33)

=

0.99010

Ahora puede calcularse el área D:

P (X> 15)

= P (Z > 2.33) = 1 - P (Z :::; 2.33) = 1 - 0.99010 = 0.00990

La probabilidad de que X sea mayor que 10 y menor que 15 (o equivalente, siendo Z mayor que 0.67 y menor que 2.33) es el área e + D menos el área D:

P(lO < X :::; 15)

= P (X > 10) - P(X > 15) = peZ > 0.67) - P (Z > 2.33) = 0.2514-0.0099 = 0.2415

Probabilidades normales en hojas de cálculo La función NORMDIST de la hoja de cálculo de Excel y Quattro proporciona exactamente los mismos valores que aparecen en la tabla A del apéndice 9. Es decir, para cualquier valor del valor estandarizado de Z, proporciona la probabilidad normal acumulada del extremo izquierdo. Por ejemplo, para P (Z :::; 0.67), se utiliza:

= NORMSDIST (0.67) = 0.7486 RESUMEN Las distribuciones de la probabilidad discreta tienen variables aleatorias que toman sólo valores específicos. La variable aleatoria para las distribuciones continuas puede ser cualquier valor que esté dentro del rango. Para una distribución de probabilidad continua, la probabilidad está dada por un área que está bajo la función de densidad. 9 La función NORMSINV es el inverso que da el valor correspondiente a Z para una probabilidad acumula-

da. Las funciones NORMDIST y NORMINV también brindan probabilidades normales utilizando los valores de X, m y s.

,


223

La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana que puede caracterizarse por su media y su desviación estándar. Las probabilidades normales se obtienen utilizando la variable normal estandarizada Z, la tablaA del apéndice o la función NORMDIST de la hoja de cálculo.

BIBLIOGRAFíA DRAKE, A. w., Fundamentals df Applied Probability TheOlY, New York: McGraw-Hill, 1967. DEVORE, J. L., Probability and Statistics for Engineel7ng and the Sáences, 2nd ed., Monterey, CA: Brooks/ Cale Publishing, 1987.

PITMAN, J., Probability, New York: Springer-Verlag, 1993. ROSS, S. M., A First Course in Probability, 4th ed., New York: Macmillan, 1994.

PROBLEMAS PRÁCTICOS10 5·1 Calcular las siguientes probabilidades, las cuales pertenecen al lanzamiento de una moneda tres veces: a. P (tres caras) b. P (dos o más caras en tres lanzamientos) c. P (una o más cruces en tres lanzamientos). d. P (el último lanzamiento es una cara). 5·2 Hay tres urnas:

I

6R

I I

8R

I I 4R I

~ ~ ~ No. 1

No.2

No. 3

Se saca una bola de la urna 1: si es roja, pasar a la urna 2; si es negra, pasar a la urna 3. a. ¿Cuál es P (roja en el segundo intento, dado que en el primero fue roja)? b. ¿Cuál es P (negra en el segundo intento, dado que fue roja en el primero)? c. ¿Cuáles P (roja en el segundo intento, dado que fue negra en el primero)? d. ¿Cuál es P (negra en el segundo intento, dado que fue negra en el primero)? e. ¿Cuáles P (negra en el segundo intento)? f Responder los literales a. hasta e., si la urna 3 es como sigue:

I 7R I ~ No. 3

5·3 Si una moneda defectuosa tiene 0.60 de probabilidad de sacar cruz y 0.40 de sacar cara, determinar lo siguiente: a En dos lanzamientos, la probabilidad de: 1. Dos caras 2. Dos cruces 3. Una cara 4. Una o más caras 5. Uno o más cruces 6. Una cruz o menos b. En tres lanzamientos, la probabilidad de: 1. Tres caras 2. Dos caras 3. Una cara 4. Una o más caras 5·4 Si una distribución normal tiene una media de 12 y una desviación estándar de 4, calcular lo siguiente: a. P(X ~ 15). b. P(X < 10) c. P(10 < X ::; 15). d. P(X> 17). e. P(15 < X $ 17). 5·5 Hallar las siguientes probabilidades utilizando las tablas binomiales. a. P(R = 41 0.50, 10) b. P(R > 4 0.50, 10) c. P(!? ~ 4 I 0.40, 8) d. P(R < 41 0.20, 10) e. P(R = O laJa, 10) f P(R ~ 5 I 0.60, 10) Paraf, ver la nota al final de la primera página de la tabla C del apéndice. 5·6 Dada una variable X distribuida normalmente con una media de 15 y una desviación estándar de 3, determinar el valor de x en cada caso.

la Las soluciones a estos problemas se encuentran al final del capítulo.

224


P(X:5 X) = 0.8413. b. P(X > x) = 0.2946. c. P(X > x) = 0.02275.

a.

Evento

Probabilidad del evento

0.01 defectuoso 0.02 defectuoso 0.03 defectuoso 0.04 defectuoso 0.05 defectuoso 0.10 defectuoso 0.15 defectuoso

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

5-7 Treinta ejecutivos de cierta industria se encuentran clasificados por edad y por su cargo anterior, como se muestra en la siguiente tabla:

Edad Cargo anterior

Menos de 55 años

55 años ornás

4 1 4

14 5

Finanzas Marketing Otros

2

-

Total

21

9

Total 18 6 6

-

30

Si de este grupo se selecciona un ejecutivo al azar, entonces: ' a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ejecutivo seleccionado sea menor de 55 años? ¿Qué tipo de probabilidad es ésta (marginal, condicional, conjunta)? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar tenga 55 años o más y que haya desempeñado un cargo anterior en marketing. ¿Qué tipo de probabilidad es ésta? c. Si se selecciona un ejecutivo y se establece que el cargo anterior era en finanzas, ¿cuál es la probabilidad de que el ejecutivo sea menor de 55 años? ¿Qué clase de probabilidad es ésta? d. ¿Son factores independientes para este grupo de ejecutivos la edad y el cargo anterior? 5-8 Las siguientes probabilidades se asignan a valores posibles de la fracción defectuosa en un proceso de manufactura. Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria, fracción defectuosa.

1.00

5-9 La probabilidad de que un vendedor haga una venta de una casa seleccionada de manera aleatoria es de 0.1. Si el vendedor hace 20 visitas al día, determinar lo siguiente: a. La probabilidad de no hacer ninguna venta. b. La probabilidad de hacer una venta. c. La probabilidad de hacer cuatro o más ventas. d. La probabilidad de hacer más de cuatro ventas. e. La probabilidad de hacer cuatro ventas. 5-10 Remitir al ejemplo del capítulo que se relaciona con la figura 5-3. Suponer que sale cara en el primer lanzamiento. Calcular las probabilidades revisadas (a postel10l1) para la moneda perfectamente diseñada y para la moneda defectuosa. S-ll Se sabe que las ventas diarias de cierto producto tienen una distribución normal de 20 unidades por día, con una desviación estándar de 6 por día. a. ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 16 unidades en un día determinado? b. ¿Cuál es la probabilidad de vender entre 15 y 25 unidades en un día determinado? c. ¿Cuántas unidades tendrían que estar disponibles al comienzo de un día para tener menos de 10% de oportunidad de que se agotan?

PROBLEMAS 5-12 ¿Cuáles de las sigúientes distribuciones de frecuencia serían objetivas y cuáles subjetivas? a. Número de caras en 100,000 lanzamientos de una moneda perfectamente diseñada. b. Número de caras en los siguientes 100,000 lanzamientos de una moneda no probada. c. Número de años prósperos en los siguientes 10 años. d. Las ganancias de Ford Motor Company en los siguientes cinco años (número de años rentables y número de años de pérdidas). e. La probabilidad de sacar el nombre de un hombre, de manera aleatoria, del directorio de estudiantes de la Universidad de Comell. 5-13 Analizar los siguientes enunciados:

a. Existe un 1.5 de probabilidad de que el siguiente presidente sea

_

b. La probabilidad de que el sol no salga mañana es -1.0. c. Existe 0.40 de probabilidad de aprobar el examen y 0.70 de no aprobarlo. 5-14 Analizar si los siguientes eventos son dependientes o independientes:

a. Los Gigantes ganarán la serie mundial. · Los Gigantes ganarán el banderín de la liga nacional. b. . El ahorro de utilizar una máquina en el año 2. · El ahorro de utilizar la misma máquina en el año 1. C. . El mercadeo exitoso de un auto de alto valor. · El marketing exitoso de una línea de ropa de bajo valor.


5-15 Considerar dos urnas:

Bolas rojas Bolas negras

225

5·22 Hay dos urnas:

Urna 1

Urna 2

7 3

6

I 6R I I 8R I

4

P(R1) = P de roja en el primer intento P(R2) = Pde roja en el segundo intento P(N1) = Pde negra en el primer intento P(N2) = Pde negra en el segundo intento

a. Tomar una bola de la urna 1, reemplazarla y lue-

go tomar una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de: 1. ¿sacar dos bolas rojas? 2. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se saca una roja en el primero? 3. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se saca una negra en el primero? b. Tomar una bola de la urna 1; reemplazar. Tomar una bola de la urna 2 si la primera bola fue negra; de lo contrario, sacar una bola de la urna 1. ¿Cuál es la probabilidad de: 1. ¿sacar dos bolas rojas? 2. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si en el primero se sacó una roja? 3. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se sacó una negra en el primero? 5-16 Trazar un diagrama de árbol para el problema S-

~

~

NQ 1

NQ 2

Existe igual probabilidad de seleccionar cada urna. Se toma una urna, se saca una bola y ésta es roja. Se desea saber qué urna tiene, pero no puede mirarse dentro de ella. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya sacado la bola de la urna 1? ¿De la urna 2? b. Si la bola es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea de la urna 1?

5-23 Para la distribución de probabilidad de las ventas dadas a continuación, escribir las funciones de probabilidad requeridas:

Ventas (en unidades)

Probabilidad

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

1 2 3 4 5

10 15

1.00

ISa. 5·17 Trazar un diagrama de árbol para el problema 5ISb. 5·18 Preparar una tabla de probabilidad conjunta para el problema S-ISa. 5·19 Preparar una tabla de probabilidad conjunta para el problema S-ISb. 5-20 a. Cuál es la probabilidad de sacar ocho caras en ocho lanzamientos con una moneda perfectamente diseñada? b. Si una moneda perfectamente diseñada se lanza siete veces y en los siete lanzamientos se sacan caras, ¿cuál es la probabilidad de que en el octavo lanzamiento se saque otra cara? Explicar la respuesta. 5-21 Si en una caja hay seis bolas rojas y cuatro bolas negras. Se sacan dos bolas, una por una, sin remplazar la primera bola. Para este experimento: a. Dibujar un diagrama que muestre el proceso. b. Preparar una tabla de probabilidad conjunta. c. Calcular las siguientes probabilidades:

Funciones de probabilidad requeridas:

P (S

2:

s)

P (S> s) P (S < s) P (S $ s) 5-24 Calcular las siguientes probabilidades para una variable aleatoria distribuida normalmente, X a. Media O, desviación estándar 1:

P (X > 0.8)

P(X $ 0.8) P (X

2:

P (-0.8

-0.8) $

$

1.2)

P (X > 8) P (X

$

8)

P(Nzl NI)

P(X 2:-8)

P(Rzl B I )

P (-8

p(Rzl R 1)

X

b. Media 6, desviación estándar 2:

X

12) c. Media 6, desviación estándar 1: $

p (X '> 8) P (X $ 8)

$

226


P (X ~ 4) P (4 ::; X ::; 12) 5-25 Encontrar el valor de las siguientes variables aleatorias distribuidas normalmente, dado cada grupo de condiciones: a. X es normal; media, O; desviación estándar, 1. P(X > x)

= 0.02068

¿Cuál esx? b. X es normal; media, 8; desviación estándar, 3. P(Z > z)

= 0.1587

¿Cuál es x? (Z y z son valores estandarizados de Xyx). c. X es normal; media, 8; desviación estándar 3.

P (Z ::; z) = 0.7224 ¿Cuál esx? d. X es normal; media, 8; desviación estándar, 3. P(Z > z)

= 0.2327

¿Cuál esx? 5-26 Se sabe que la demanda de un producto es distribuida normalmente con una media de 240 unidades por semana. ¿Cuántas unidades debe tener en existencia un minorista para asegurar 5% o menos de oportunidad de que se agote durante la semana? 5-27 En un examen de mitad de período, los puntajes se distribuyeron normalmente con una media de 72 y una desviación estándar de 10. El estudiante Wright clasificó dentro del mejor 10% de la clase en ese examen. a. Por lo menos, ¿de cuánto fue el puntaje del examen de Wright? b. El examen final también tuvo una distribución normal, pero con una.media de 150 y una desviación estándar de 15. Por lo menos, ¿cuál puntaje debería sacar Wright para mantener el mismo lugar de la clasificación, es decir, quedar dentro del 10% más alto? 5-28 Un financista desea invertir en uno de dos proyectos. Las utilidades para ambos proyectos son inciertas y

la distribución de la probabilidad para ellas puede expresarse mediante una distribución normal en cada caso. El proyecto A tiene una utilidad media de US$240,000 y una desviación estándar de US$20,000. El proyecto B tiene una utilidad media de US$250,000 y una desviación estándar de US$40,000. a. Considerar una utilidad de US$280,000. ¿Cuál proyecto tiene una mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta? b. Considerar una utilidad de $220,000. ¿Cuál proyecto tiene una mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta? 5-29 Se realizó un estudio entre los lectores de una revista determinada. Los resultados demostraron que 60% de ellos tienen casa propia e ingresos superiores a US$25,000 al año; 20% tienen casa propia, pero ingresos menores a US$25,000; 10% tienen ingresos superiores a US$25,000, pero no tienen casa propia; y el 10% restante no tienen casa propia ni ingresos superiores a US$25,000. . a. Si un lector de esta revista se selecciona de manera aleatoria y establece que esa persona tiene casa propia, ¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga un ingreso superior a US$25,000? b. ¿Son independientes para este grupo los factores tener casa propia e ingresos, medidos en términos de superiores o inferiores a US$25,000? 5-30 Se realizó un estudio de familias de un área urbana y de un área suburbana de los alrededores. Las familias se clasificaron según la frecuencia con que sintonizan o no dos programas de televisión. Los datos aparecen en la tabla 5-20 con porcentajes del total. a. Si se selecciona una familia de este grupo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea ambos programas? b. Si la familia seleccionada ve el programa A, ¿cuál es la probabilidad de que también vea el programaB)? c. ¿Son independientes los eventos de ver el programa A y ver el programa B? d. ¿El evento ver el programa B es independiente del evento urbano? e. Considerar el evento ver el programa A o el programa B o ambos. ¿Este evento es independiente del evento urbano?

TABLA 5-20 Ven programa A Si Ven programa B Si No

Total

No

Urbana

Suburbana

Urbana

Suburbana

Total

10% 15

14% 21

5% 20

1% 14

30%

25%

35%

25%

15"10

100%

70


5-31 Un gerente de ventas numera las siguientes probabilidades para varios niveles de ventas de un nuevo producto:

Ventas Probabilidad

(en unidades)

0.10 0.30

50 100

0.30 0.15 0.10

150 200 250

0.05

300

Calcular la media, la varianza y la desviación estándar para las variables aleatorias de ventas. (Ayuda: una forma de facilitar los cálculos es manejar bloques de 50 como una unidad. Así, 200 son cuatro, 250 son cinco, etcétera). 5-32 Un gerente está preparando un plan para su división para el próximo año. La utilidad (U) se cataloga como una función lineal de ventas unitarias (X) y costos fijos (Y), de la siguiente forma:

U = US$20X- y El gerente no está seguro de las ventas unitarias y los costos fijos, pero está dispuesto a representarlas como variables aleatorias independientes con valores esperados y desviaciones estándar, así:

E(X) = 10.000 unidades E(Y)

= 150,000 dólares

ax

= 2,000 unidades

ay

= 50,000 dólares

¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de la variable aleatoria U?

5-33 Especificar cuáles de los siguientes son procesos de Bernoulli:

a. Un vendedor puerta a puerta que hace visitas de ventas.

b. Colocar monedas en una máquina tragamonedas que tiene dos opciones: cero o todo el acumulado. c. Compra de acciones ordinarias. d. Inspección de una bobina de alambre para buscar defectos a medida que se fabrica. e. Inspección de moldes a medida que salen de la línea de producción. Explicar brevemente las respuestas. 5·34 Un avión de una aerolínea proyecta transportar 14 pasajeros. La empresa permite que 16 reserven el vuelo. La experiencia histórica ha demostrado que existe 30% de posibilidad de que un pasajero no se presente. ¿Cuál es la probabilidad de que una o más personas queden por fuera del vuelo si se confirmaron 16 reservas? 5·35 Bruce Jones presentó solicitudes a cinco colegios que califican la aceptación del candidato de la siguiente

227

forma: probable, posible, O improbable. Los anteriores resultados señalan las siguientes probabilidades para cada colegio: Probable: 0.98 de probabilidad de ser aceptado Posible: 0.30 de probabilidad de ser aceptado Improbable: 0.005 de probabilidad de ser aceptado. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado en uno o más colegios? (Suponer que son independientes). b. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado por los cinco colegios? 5·36 Un contador está próximo a auditar 24 cuentas de una empresa, 16 de las cuales tienen alto volumen de clientes. Si el contador selecciona de forma aleatoria cuatro de las cuentas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una cuenta sea de alto volumen? Ayuda: primero hay que encontrar la probabilidad de que ninguna de las cuentas seleccionadas sea de alto volumen. 5-37 Dos equipos de atletismo se han enfrentado diez veces; el equipo Big Red ha ganado seis de las diez competencias. Se considera que la experiencia anterior es un indicio de los resultados futuros. Ahora los dos equipos van a jugar en un torneo eliminatorio. Suponer que el resultado de cada partido es independiente de los otros. a. Si los equipos juegan un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? b. Si los equipos juegan dos partidos de los tres de la serie, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? c. Si los equipos juegan cuatro de siete juegos, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? 5-38 El presidente de una gran empresa eléctrica tiene que decidir entre comprar un generador grande (Big Jim) o cuatro generadores pequeños (Little Arnies) para lograr una cantidad determinada de la capacidad de generación eléctrica. La probabilidad de que un generador esté en servicio cualquier día de verano es de 0.95 (los generadores son igualmente confiables). De igual forma, existe 0.05 de probabilidad de una falla. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Big Jim esté fuera de servicio en un día dado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno o uno de los Little Arnies se dañe? c. Si se compran cinco Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos operen cuatro? d. Si se compran seis Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro operen? 5-39 Se lanza una moneda hasta sacar cuatro veces cara. ¿Cuál es la probabilidad de que se hagan exactamente siete lanzamientos para obtener cuatro caras? Ayuda: el séptimo lanzamiento debe ser una cara, y tres de los primeros seis lanzamientos deben ser cara para obtener la condición requerida. 5-40 Con frecuencia, los artículos de prensa citan el hecho de que cada año, un pequeño porcentaje (10%) de los conductores son responsables de todos los

228


TABLA 5-21

Segundo año

Primer año

Probabilidad margina del evento Ningún accidente en el primer año

Accidente

Accidente

0.10

No acCidente

0.90

Probabilidad marginal del evento en el segundo año

accidentes automovilísticos. A menudo se concluye que si se pudiera retirarse de las calles a esos conductores propensos a tener accidentes, se reduciría drásticamente el número de personas de esta índole. La información habla de 100,000 conductores que estuvieron involucrados en uno o más accidentes en un año, 11,000 de ellos volvieron a estar involucrados en uno O más accidentes el año siguiente. a. Dada la información anterior, completar las entradas en una tabla de probabilidad conjunta en la tabla 5-21. b. ¿Buscar a los conductores propensos a tener accidentes automovilísticos es una forma efectiva de reducirlos? ¿Por qué?

0.10

0.90

1.00

5-41 Este problema de probabilidad clásico es similar al del rompecabezas de Monty Hall. Tres prisioneros de la época medieval (Joval, Reginald y Mordrid) están en la cárcel. El rey decreta que uno de ellos, seleccionado aleatoriamente, sea ejecutado a la mañana siguiente. Uno de los prisioneros, Joval, tiene una charla amistosa con el guardia y descubre que él sabe quién va a ser ejecutado y le suplica que le diga si va a ser él. El guardia responde que ha jurado no decirlo. Finalmente, después de tanto implorar, le dice, -"No puedo decirte quién va a ser ejecutado, pero te diré que Reginald no va a ser ejecutado". Joval, muy preocupado por la noticia, se da cuenta de que tiene ahora una de dos oportunidades para ser ejecutado, mientras que antes era una de tres. mi cálculo de probabilidad de Joval era correcto?

PROBLEMAS ESPECIALES 5-42 El comisionado de seguridad para una ciudad determinada realizó un estudio sobre la mortalidad de los peatones en las intersecciones. Observó que sólo 6 de 19 correspondían a peatones que estaban cruzando la intersección sin tener cuidado de la señal del semáforo, mientras que los 13 restantes estaban cruzando en la señal correcta. Estaba confundido porque las cifras parecían indicar que era dos veces más seguro cruzar contra la señal que con ella. ¿Cuál es la explicación a esta aparente contradicción? 5·43 Suponer que está disponible una prueba para detectar la drogadicción, cuya precisión es de 95% en cada sentido, es decir que si la persona es adicta, existe 95% de probabilidad de que la prueba indique Sí; si la persona no es adicta, entonces 95% de las veces la prueba indicará "no". Suponga que se conoce que la incidencia de drogadicción en poblaciones urbanas es de aproximadamente 1 de cada 1.000, dado un resultado positivo (si) de la prueba; ¿cuál es la posibilidad de que la persona a la que se le está practicando la prueba sea adicta? 5-44 Se lanzó un satélite para recolectar datos sobre las

condiciones atmosféricas en un planeta distante. El satélite contiene dos celdas de energía y se calcula

que cada una tiene 90% de oportunidad de funcionar de forma correcta. Las celdas se encuentran ubicadas en partes diferentes del satélite, de manera que no es probable que la falla de cualquiera de las celdas se relacione con la otra (es decir, son independientes). Existen dos instrumentos de medición en el satélite, principal y de respaldo. Debido a que se ubicaron al mismo tiempo, la confiabilidad de estos instrumentos no se considera independiente. Las probabilidades de falla a éxito se presentan de la siguiente manera:

~ de respaldo

Instrumentos principales Acierto Falla

Acierto

Falla

0.6 0.1

0.2 0.1


El instrumento primario requiere sólo una celda de energía para funcionar, pero el de respaldo necesita de ambas celdas para operar. Si cualquiera de los instrumentos funciona, la misión del satélite es un éxito. ¿Cuál es la probabilidad de una misión exitosa? 5-45 Éste es el problema clásico de probabilidad. Se recomienda poner a prueba la intuición antes de resolverlo de forma sistemática. Hay tres cajas y cada una tiene dos cajones. Una caja tiene dos monedas de oro, otra tiene dos de plata y la tercera tiene una de oro y otra de plata. Se selecciona una caja aleatoriamente, y se abre uno de los dos cajones. Se aprecia una moneda de oro.

¿Cuál es la probabilidad de abrir el segundo cajón de la misma caja yver una moneda de oro? 5-46 Se fijan dos apuestas diferentes. En una, hay 50 bolas rojas y 50 negras en una jarra, y debe seleccionarse sólo una bola de manera aleatoria. El premio se recibe si se adivina el color de la bola que se saque. En la segunda apuesta, hay una cantidad desconocida de bolas rojas y de bolas negras en una jarra, y hay que adivinar el color de la bola que se sacará para obtener el mismo premio. Wn cuál apuesta conviene usted participar? ¿Por qué? 5·47 Un restaurante tiene puestos para 100 personas. Recientemente, el propietario decidió obsequiar una torta a la persona que cumpliera años y ese día estuviera cenando en el restaurante. Sip = 1/365 = 0.003 Y n = 100, el propietario encontró la siguiente entrada en una tabla binomial extensa: P(R 2: 6

In = 100, P = 0.01 ) = 0.0005

El propietario sentía que debido a que su p era menor que 0.01, esta probabilidad debería ser un límite superior sobre la probabilidad de que se solicitaran seis o más tortas de cumpleaños cada noche. Por consiguiente, ordenó cinco tortas cada noche. Después de 10 noches, se habían agotado las tortas en tres oportunidades ¿Qué salió mal en el análisis? 5-48 Acme Company tiene dos bodegas ubicadas en ciudades diferentes. La demanda del producto es independiente en cada distrito. Sin embargo, ambas bodegas tienen distribuciones de probabilidad idénticas para la demanda, de la siguiente manera:

Suponer que cada bodega normalmente guarda en existencia dos unidades. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda en una de las bodegas (no en ambas) supere las existencias? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a ambas bodegas se les agoten las existencias? 5-49 Volver al problema 5-48. Suponer que Acme Company fusionó las dos bodegas en una sola que abastece a las dos ciudades. La bodega fusionada tendría cuatro unidades de existencias. a. Determinar la distribución de la probabilidad de demanda en la bodega fusionada. b. ¿Cuál es la probabilidad de que a la bodega fusionada se le agoten las existencias y le falte una unidad? Comparar estas respuestas con las obtenidas en el problema 5-48. 5-50 El profesor Smully¡m describe una isla cuyos habitantes son caballeros o truhanes ll . Los caballeros nunca mienten, y los truhanes nunca dicen la verdad. Se sabe que 80% de los habitantes (caballeros y truhanes) están a favor de elegir al profesor Smullyan como rey de la isla. La isla está compuesta por 60% de caballeros y 40% de truhanes, pero no puede decirse cuál es cuál. Si se toma una muestra de 10 habitantes al azar y se pregunta: "Wstá a favor de Smullyan como rey?" ¿Cuál es la probabilidad de obtener seis o más respuestas afirmativas? 5-51 Se descubrió que cuando se presenta un daño en un sistema eléctrico, existe la probabilidad de que las siguientes partes causen el daño como se indica a continuación:

Parte

A B

e

D

Probabilidad

o

0.10 0.50 0.30 0.10

1 2

3

1.00

Probabilidad de causar daño

0040 0.10 0.30 0.20 1.00

a. Si cada una de las partes puede revisarse con igual rapidez, ¿en qué orden deberían revisarse? ¿Por qué? b. Ahora, si que el tiempo para revisar las partes es el siguiente (las partes deben revisarse una por una):

Parte Demanda (unidades)

229

A B

e

D

Tiempo para revisar (horas) 2 1 3/4 1/3

11 SMULLYAN, Raymond, Wlwf ís fhe Name (Jf Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1978.

T/¡is Book,

230


Bajo estas condiciones, ¿en qué orden deberían revisarse las partes si el daño debe encontrarse en el menor tiempo posible? ¿Por qué? S-52 Hay interés en el precio de las papas para el próximo año. Tres factores afectan el precio: el número de acres plantados con trigo, el número de acres plantados con papas y las condiciones climáticas. Una combinación de una gran cantidad de acres sembrados con papas y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$2 por quintal. Un número mediano de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$4. Un número pequeño de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$6 por quintal. El clima desfavorable aumentará el precio en cada caso en US$2 por quintal. La posibilidad de tener clima favorable se calcula en 0.8 y en 0.2 de tener clima desfavorable. El clima es independiente del número de acres plantados. El número total de acres plantados depende, en cierta medida, del número de acres plantados con trigo. Con base en la experiencia pasada, la probabilidad de plantar gran cantidad de trigo, se calcula en 30%, y en 70% la de plantar poco. Si existe una plantación grande de trigo, la probabilidad de plantar un gran número de acres con papa es cero; la probabilidad de sembrar un número mediano de acres es de 2/3 y la probabilidad de sembrar un número pequeño es de 1/3. Si se plantan pocos acres de trigo, las probabilidades de plantar papa en un número de acres grande, mediano y pequeño son de 2/7, 3/7 Y 2/7, respectivamente. Considerar el precio de las papas como la variable aleatoria. Determinar la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. ¿Cuál es el precio esperado? S-53 A John McEnroe se le conoce por su furor durante un juego de tenis. Un estadístico anotó que el jugador ganó más puntos de los que perdió, justo después de que se enojaba. De este hecho se concluye que John se beneficiaba de sus explosiones. Evaluar la conclusión. 5_54 12 Hay 15 taxis azules y 85 taxis verdes. Un testigo reportó que un taxi azul causó un accidente y luego escapó. Sin embargo, existen pruebas de que los testigos se equivocan 20% de las veces (y están en lo cierto 80% de las veces). ¿Cuál es la probabilidad de que el taxi fuera azul? S-SS Un examen de mitad de período tenía dos preguntas; la primera valía 60 puntos y la segurida 40. El instructor anunció que la distribución de puntajes sobre cada pregunta se distribuye normalmente, con las siguientes medias y desviaciones estándar:

Pregunta

Media

Desviación estándar

1 2

40 30

10 5

12 Esta

Sin embargo, aparte de indicar que los puntajes totales serían distribuidos normalmente, el instructor no proporcionó información adicional acerca de los puntajes totales. a. ¿Cuál es el puntaje medio (valor esperado) para el examen total? b. Dada sólo la información anterior, ¿puede calcularse la varianza o la desviación estándar para los puntajes globales? ¿Qué suposición adicional podría hacerse para lograrlo? ¿Sería una suposición razonable en este caso? c. El instructor también anunció que la correlación entre puntajes entre la primera y la segunda pregunta era de 0.60. Calcular la varianza y la desviación estándar para los puntajes totales. d. Frente a un puntaje de 85, ¿qué porcentaje de la clase obtuvo un puntaje menor que ese? S-56 Se planea invertir una partida de US$100.000 en tres fondos mutuos. El fondo internacional invierte en una variedad de acciones internacionales. El fondo de acciones de EE.UD. invierte en acciones estadounidenses, y el fondo de bonos de EE.UU. invierte en bonos corporativos de alto rendimiento. Con base en la experiencia pasada, se calcula que los rendimientos esperados, las varianzas y las covarianzas para estos fondos son los siguientes: Fondo

Rendimiento Esperado (%)

Internacional Acciones de EE.UU. Bonos de EE.UU.

10% 12 7

La matriz de varianza/covarianza es:

Internacional Internacional Acciones de EE.UU. Bonos de EE.UU.

Acciones EE.UU.

Bonos de EE.UU.

0.0090 -0.00114 0.000323

0.0036 -0.000102

0.0003

Los valores que se encuentran sobre la diagonal son las varianzas. Es decir, 0.0090 es la varianza de los rendimientos para el fondo de acciones internacional. Las covarianzas son los elementos que están fuera de la diagonal. Por ejemplo, la covarianza entre los rendimientos del fondo internacional y los del fondo de acciones de EE.UD. es de -0.00114. Se están considerando dos opciones: a. Invertir 20% del portafolio en el fondo internacional, 60% en el fondo de acciones de EE.UD. y 20% en el fondo de bonos de EE.UD. b. Invertir 50% en el fondo internacional y 25% en cada uno de los fondos de acciones y de bonos. ¿Cuál de estas opciones es mejor? ¿Por qué?

pregunta se basa en SALOP, S.c., "Evaluating Uncertain Evidence with Sir Thomas Bayes: A Note for Teachers", The ¡oumal of Economics Perspectives, Summer 1987, pp. 155-59.

.'


231

SOLUCIÓN A LOSPROBLEMAS PRÁCTICOS 5·1 Los posibles resultados son: (los resultados son independientes). CrCC CCC 1/8 1/8 CrCrC CCCr 1/8 1/8 CrCCr CCrCr 1/8 1/8 CrCrCr CCrC 1/8 1LS Total=8/8 = 1 a. P (tres caras) = 1/8 ÓP (tres caras) = P(C) P(C) . P(C) =1/2·1/2· 1/2 = 1/8. b. P( dos o más caras) CCC 1/8 CCCr 1/8 CCrC 1/8 CrCC 1LS 1/2 CCCr c. P(una o más cruces) 1/8 CCrCr 1/8 CCrC 1/8 CrCC 1/8 CrCrC 1/8 CrCCr 1/8 CrCrCr 1LS 7/8 ó 1-P(CCC) = 1-1/8 = 7/8 d. P(el último lanzamiento es una cara): CCC 1/8 cCrc 1/8 CrCC 1/8

~

1 2 5 5

1

NI)' P(B I )

1 5

6R

I--_--:...;R_---'~I

8R

IN 2

~

0

N

¡7R

I

L:J N°3

6R l--_--:...;R__~18R I N 2 4N

1 3 - 5 5

=

+ P(N 2

- _.-+-.-=-

4N

1/2 Nota: debido a que los resultados son independientes, éste P(caras) en un lanzamiento de una moneda perfectamente diseñada, es Yí. 5·2.-........-----------~

N°1

P(N 2 1 R I ) . P(R I )

N° 1

1LS

CrO'C

e. P(negra en el segundo)

0

B

14R I

lj

a. P(roja en el segundo eroja en el primero) = 8/10 = 4/5 b. P(negra en el segundo Iroja en el primero) = 2/ 10 = 1/5 c. P(roja en el segundo Inegra en el primero) = 7/10 d. P(negra en el segundo Inegra en el primero) = 3/10 e. P(B 2) = P(B 2/R 1)·P(B 1) + P(B 2/B I ) . P(B I ) 1 3 3 2 = = - . - + - . - = .24 5 5 10 5 En el primer ejemplo, el evento condicionador no era importante porque las proporciones de bolas rojas y negras en las urnas 2 y 3 eran las mismas. Por consiguiente, existe independencia. En el segundo caso, las proporciones no son las mismas, de manera que el evento condicionador es importante. 5·3 a. n = 2P(caras) = O.4P(cruces) = 0.6 1. P(2 caras) = 0.16 2. P(2 cruces) = 0.36 3. P(l cara) = 0.48 4. P(lcara) + P(2 caras) = 0.48 + 0.16 = 0.64 5. P(l cruz) = 0.48 P (1 cruz) + P(2 cruces) = 0.48 + 0.36 = 0.84 6. P(R :51) = 1-P(R > 1) = 1-0.36 = 0.64 Una partición del evento, en dos lanzamientos es:

N°3

Probabilidad

a. P( roj a en el segundo Iroj a en el primero) = 8/10 =

4/

b. P(negra en el segundo Iroja en el primero) 10 = 1/5 c. P (roja en el segundo Inegra en el primero)

= 2/ = 4/

p(1 cara) = 0.48 p(2 caras) = 0.16 P(2 cruces) = 0.36 1.00

5

d. P(negra en el segundo Inegra en el primero) = 1/5

b. n = 3

ó

CC = CCr =' CrC = CrCr,=

0.16 0.24 0.24 0.36 1.00

232

'Análisis cuantitativo

.1. P(3 caras) = 0.064 2. P (2 caras) = 0.288 3. P(l cara) = 0.432 4. 0.064 + 0.288 + 0.432 = 0.784 5-4 a. Z = (15 - 12)/4 = -0.50; P(Z ~ -0.75) = 1 0.7734 = 0.2266 b. Z = (10 - 24)/4 = -0.50;P(Z ~ -0.50) = P(Z~ 0.50) = 1 - 0.6915 = 0.3085 c. P(10 < X ~ 15) = 1-P(X < 10) -P(X ~ 15) = 1 - 0.3085 - 0.2266 = 0.4649 d. Z = (17 - 24)/4 = 1.25; P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 e. P(15 15)-P(X> 17) = 0.2266 - 0.1056 = 0.1210 5-5 a. P(R ~ 41 0.5, 10) = 0.8281 P(R ~ 5 10.5, 10) = 0.6230 P(R = 4 I 0.5, 10) = 0.8281 - 0.6230 = 0.2051 b. P(R > 41 0.5, 10) = P(R ~ 51 0.5, 10) = 0.6230 c. P(R ~ 4 I 0.4, 8) = 0.4059 d. P(R < 41 0.2, 10) = 1 - P(R ~ 41 0.2, 10) = 1 - 0.1209 = 0.8791 e. P(R = O I 0.3, 10) = 1 - P(R ~ 1 10.3, 10) = 1 - 0.9718 = 0.0282 f P(R ~ 5 I 0.6, 10) = 1 - P(R ~ 61 0.4, 10)= 1 - 0.1662 = 0.8338 5·6 a. De la tabla, P(Z ~ 1.0) = 0.8413; por tanto, x = 15 - (1)(3) =12 b. P(X > x) = 1-P(x ~ X)= 1- 0.2946 = 0.7054; P(Z ~ 0.54) = 0.7054; por tanto, x = 15 + (0.54)(3) = 16.62 c. P(X ~ x) = 1 - P(x ~ X) = 1 - 0.02275 = 0.97725 P(Z ~ 2.0) = 0.97725 de la Tabla A; por tanto x = 15 + 2(3) = 21.0 5·7 a. P(menor de 55) = 9/30 = 0.30 (Probabilidad simple o marginal).

b. P(55 o mayor, Marketing) = 5/30 = 0.167 (Probabilidad conjunta) c. P(menor de 55 IFinanzas) = 4/18 = 0.222 (Probabilidad condicional) d. No. Notar que P(menor de 55) no es igual a P(menor de 55 IFinanzas), lo cual sería necesario para la independencia. Generalmente, los ejecutivos de la categoría Otro son menores que sus contrapartes de finanzas y marketing. 5-8 Véase tabla 5-22. El valor esperado es 3.80. La varianza de la variable aleatoria es 5.360. La desviación estándar de la variable aleatoria es Y5.36 = 2.32. 5·9 a. P(R = OIp = 0.1, n = 20 = 0.1216 b. P(R = 1) = 0.2701 c. P(R ~ 4) = 0.1330 d. P(R > 4) = 0.0432 e. P(R = 4) = 0.0898 5-10 P( cara y Al) = (0.8)(0.5) = 0.40 P( cara y A z) = (0.2)(0.9) = 0.18 P(cara) = 0.58 P(A l Icara) = 0.40/0.58 = 0.690 P(A z Icara) = 0.18/0.58 = 0.310 5-11 Nota: no se hace ninguna corrección en los cálculos para el evento de que sólo podían venderse las unidades integrales. Con esta interpretación, sería apropiado escribir la probabilidad de ventas menor que 16 debido a que P(X ~ 15.5). a. P(X < 16) = P(Z < -2/3) = 0.2514 b. P(15 ~ X ~ 25) = P(-0.83 :s; Z ~ 0.83) = 0.7967 - 0.2033 = 0.5934 c. P(X ~ x) = 0.10. Resuelva para x. P(Z ~ z) = 0.10 para z = 1.28 x = 20 + 1.28(6) = 27.7 ó 28 unidades

,

TABLA 5-22

Valor de la variable aleatoria X/cantidad de piezas defectuosas)

1 2 3

4 5 10 15

P(X)P (evento)

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

-

1.00

X¡P(X)

0.10 0.30 0.60 1.20 1.00 0.30 0.30

-

3.80

Desviaciones cuadráticas de la media de 3.8; [X¡- E(X)]2

(-2.80)2 = 7.84 (-1.80j2 = 3.24 (-0.80)2 = 0.64 (0.20)2 = 0.04 ' (1.20)2 = 1.44 (6.20)2 = 38.44 (11.20)2 =125.44

LU!l;;;mw::

Desviaciones cuadráticas ponderadas por la probabilidad: P(X¡)' [X¡-E(X)]2

0.784 0.486 0.128 0.012 0.288 1.153 2.509

-5.360

Ejemplo motivador Inversión en un sistema de transmisión de alta potencia ,

OglethorpePower Corporation (OPC)esunaempresa de Georgiaquegenera y distribuyeenergía eléctrica a cooperativas de propiedad de los cOnsumidores 1. OPC supo que FloridaPoweiCorporation quería comprarle energía adicional (Florida; importa una. parte significativa de la energía que consume de Georgia, Alabama y Carolina del Sur y. La. transmisión. de la energía adicional requiere la construcción de una lí" nea de transmisión de 500 kilovoltios. La '·inversión necesaria es del orden de US$100 millones, con ahorros potenciales' (ingresoS, menos costos) cercanos' a US$20 millones por año. La decisión que enfrentala gerencia deOPC es la de establecer si debe construir o no esta línea de transmisión; en caso, afirmativO, saber si debe modernizar las instalaciones de transmisión asociadas y definirla forma de control sobre el sistema para negociar con FloridaPower.Había gran incertidumbre respecto a la inversión, en aspectos como costO de construcción de la línea de la situación

1

Este caso se basa en BORIJ'lSON,Adam, "0g1ethorpe Power eorporation Decides about Investing in a Major Transmission , System", Interfaces 25, no.2,(marzo~abril1995), pp, 25-36.

,

competencia en Florida, la demanda a largo plazo en ese Estado, la participación sobre la demandayelprecio pertinente para la energía. Todo esto tiene efectos significativos sobrela utilidad o rentabilidad de la inversión. La gerencia decidió hacer un análisis de decisión formal para este problema de decisión. Un equipo de análisis,illcluyendo consultores externos, trabajó con la alta gerencia para definir el problema mediante un diagrama de influencia y una gráfica del problema en un formato de árbol de. decisión., Las probabilidades para las variables inciertas se obtuvieron de grupos de la empresa, que tenían experiencia en esas áreas. El análisis del Valor Monetario esperado (VME) reveló la decisión óptima, pero también demostró que había un riesgo sustancialasociado con esa política. Un análisis calculaba el valor de la información acerca de los puntos de incertidumbre reveló que conseguir información sobre la situación competitiva, antes de tomarla decisión, podía tener un gran impacto, por lo que la empresa emprendió un estudió para hacerlo, que condujo a una estrategia que reducía sustancialmente el riesgo de la pOlítica óptima del VME: El análisis serealizó en un período de dos semanas '. e identificó' una estrategia bastante diferente, y mucho más significativa,dela que se habría puesto en práctica sin ese estudio.

llll.II¡:1111111118

1

.lul~-dllllll.IE·I,i;

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i

En este capítulo se consideran los conceptos de aplicación de la probabilidad a las decisiones de negocios que deben tomarse bajo condiciones de incertidumbre. Se desarrollará un método para tomar decisiones consistentes y para estimar el costo de la incertidumbre. Inicialmente se propone el valor monetario esperado como un criterio apropiado para la toma de decisiones. Más adelante, describirán las limitaciones del valor monetario esperado y se sugerirán modificaciones en el análisis. También se tendrá la oportunidad de obtener información adicional y revisar las probabilidades antes de tomar las decisiones.

VALOR CONDICIONAL Un tendero se enfrenta al dilema de cuántas cajas de leche debe almacenar para surtir la demanda del día siguiente. Suponer que la cantidad de leche no vendida al final del día representa una pérdida completa para el tendero. Además, que la demanda no satisfecha no tendrá ningún costo, excepto el costo de la venta perdida pues el cliente no atendido regresará en el futuro. Este ejemplo está altamente simplificado, pero ilustra los principios básicos del valor condicional y del valor esperado. En el análisis del problema del tendero, es de utilidad saber algo acerca de las ventas anteriores, pues esta experiencia puede servir como guía de lo que podría esperarse en el futuro. Suponer que el tendero ha mantenido registros como los que aparecen en la tabla 6-1. Con un precio de compra (costo variable) de US$8 por caja y un precio de venta de US$10 por caja, la tabla de valores condicionales (tabla 6-2) es una descripción del problema que enfrenta el tendero. Las posibles decisiones (número de eajas que debe comprar) que debe tomar el tendero están en la parte superior de la tabla. De hecho, es posible comprar 24 ó 29 cajas, sin embargo, si en los últimos 200 días las ventas estuvieron entre 25 y 28 cajas, el tendero podría ver un inventario mayor que 28 o menor que 25 con cero probabilidad que ocurra. En este caso, se tomará este supuesto. Los eventos posibles (concebibles) en este ejemplo, las ventas posibles, aparecen en la columna de la izquierda. Si el tendero está dispuesto a asignar probabilidades de acuerdo con los datos históricos, entonces los eventos (ventas) diferentes de los que aparecen en la lista tendrán cero probabilidades; se consideran eventos imposibles.

236


TABLA 6-1 Demanda histórica

Demanda total por día

Número de días registrado para cada Probabilidad nivel de demanda de cada evento

25 cajas

20

0.10

26 cajas

60

0.30

27 cajas

100

0.50

28 cajas

-1Q

0.10

200

1.00

La tabla 6-2 puede considerarse como una tabla de valor condicional o de utilidad condicional. Para cada acción que el tendero emprenda, y para cada evento que suceda, hay una utilidad condicional dada. Estas utilidades son condicionales en el sentido de que se obtiene una determinada utilidad luego de emprender un plan de acción específico (acción:) y de haber ocurrido una demanda específica (evento). Todas las combinaciones posibles se presentan en la tabla 6-2. Por ejemplo, si se acumularan 26 cajas y la demanda cambiara a 25 cajas, el tendero tendría una utilidad de US$42 (es decir, 25 . 10 - 26· 8). La mejor acción para cada evento posible se indica con un asterisco. Al observar la columna Inventario 27, se aprecian los cálculos de cada cifra en dólares. Esto se hace en la tabla 6-3. Para las acciones Inventario 25, Inventario 26 e Inventario 28 deben hacerse cálculos similares. Los cálculos de la tabla 6-3 reflejan el hecho que si se almacenan 27 cajas, sólo pueden venderse 27, inclusive si la demanda cambia a 28 cajas. Por esto, la utilidad alcanza un máximo de US$54 para la venta de 27 unidades e iguala esa cifra incluso si la demanda es de 28 unidades.

Acciones posibles

TABLA 6-2 Valores condicionales

Evento: demanda

Inventario

Inventario

Inventario

Inventario

25

26

27

28

$ 42

$ 34

$ 26

52*

44

36

25 cajas

$ 50*

26 cajas

50

27 cajas

50

52

54*

46

28 cajas

50

52

54

56*

* La mejor acción para el

evento (la utilidad más alta en cada fila)

:u:::za=w&ASX)..... ZJiaJ

TABLA 6-3 Utilidades condicionales de la acción Inventario 27

Evento: demanda

Precio de venta

Ingreso total

Costo de 27 cajas (27 US$8)

25 cajas

$10

$250

$216

Utilidad condicional de la acción Inventario 27 $34

26 cajas

10

260

216

44

27 cajas

10

270

216

54

28 cajas

10

270

216

54

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

237

LA TABLA DE PÉRDIDA Además de hacer una tabla que muestra las utilidades condicionales (tabla 6-2), es posible construir una que muestre los costos de oportunidad condicionales (tabla 6-4). Considerar la acción Inventario 28. Si la demanda cambia a 28, el tendero tendrá una utilidad de US$56, que es lo máximo que puede lograrse con esa demanda. Con una demanda de 28, si el tendero hubiere almacenado sólo 27, la utilidad habría sido de US$54; esta acción tendría un costo de oportunidad de US$2 comparada con la mejor acción en una demanda de 28. Si la demanda fuera de 28 y el tendero contara con 26, habría un costo de oportunidad condicional de US$4 (US$56 - US$52). En general, el costo de oportunidad puede definirse como la cantidad de utilidad perdida al no elegir la acción óptima para cada evento. Con esta definición, puede construirse la tabla de costo de oportunidad condicional que se muestra en la tabla 6-4. Debe hacerse énfasis en que una utilidad condicional (o pérdida) se relaciona con una condición de utilidad cuando: • Ocurre un evento • Se da una acción No se sabe cuál evento va a ocurrir; hay incertidumbre. Por consiguiente, la utilidad condicional para una decisión no es un número sino una tabla de utilidades (o pérdidas) asociadas con eventos posibles. La utilidad es de US$44 sólo con la condición de que se almacenen 27 unidades y se tenga una demanda real de 26 unidades. Si la demanda es diferente de 26 unidades, la utilidad real es diferente de US$44.

VALOR MONETARIO ESPERADO Aunque los valores y las pérdidas condicionales ayudan a precisar el problema que enfrenta el tendero, todavía no es posible ofrecer una solución óptima. El tendero podría elegir la mejor acción con el conocimiento anticipado de la demanda del día TABLA 6-4

Costos de oportunidad condicionales

Acción Evento: demanda 25 cajas 26 cajas 27 cajas 28 cajas

Inventario 25 $0 2 4 6

Inventario 26 $8

Inventario 27 $16

O 2

O

4

2

8

Inventario 28 $24 16 8 O

Cálculo de costos de oportunidad condicionales

Acción Utilidad de la óptima Evento: para acción demanda cada evento óptima 25 26 27 28

25 26 27 28

$50 52 54 56

Diferencia entre la utilidad de la acción óptima y la acción de almacenar

Inventario 25

Inventario 26

Inventario 27

Inventario 28

US$50 - US$50 = US$O US$50 - US$42 = US$8 US$50 - US$34 = US$16 US$50 - US$26 = US$24 5252 5252 36 = 16 50 = 2 44 = 8 2=0 545454 52 = 2 54 54 = O 46 = 8 50 = 4 56~ 56 54= 2 56 =O 5656 52= 4 50 = 6

238


siguiente, pero esta información no está disponible en el ejemplo. El problema es asignar probabilidades a los posibles eventos y, entonces, analizar las posibilidades de la acción. Si las probabilidades se basan en información histórica (véase tabla 61), estarán en la tabla 6-5. Si el tendero cree que por alguna razón la demanda del día siguiente variará de alguna manera con respecto al patrón observado, la asignación de probabilidad debe modificarse. El siguiente paso es llevar las probabilidades asignadas al análisis. Esto se logra cuando se ponderan los valores condicionales de cada evento en la tabla de valor condicional, por la probabilidad del evento que va a ocurrir y se suman los productos. El número resultante es el valor monetario esperado corresponde al valor esperado en los análisis financieros de algunos países latinoamericanos (Nota del R.T.) para la acción; la acción óptima es la que tenga el valor monetario esperado más alto. Los cálculos se dan en la tabla 6-6 para las acciones de almacenar 26 y 27 unidades. Los cálculos para 25 y 28 unidades son similares. En la tabla 6-6, el VME se calcula al multiplicar cada valor condicional o por su probabilidad y sumar luego los valores condicionales ponderados. En la tabla 67 se presentan los valores monetarios esperados para las cuatro acciones. Para la acción Inventario 26, el tendero calcula un valor monetario esperado de US$51, el más alto VME. Por consiguiente, con base en el valor monetario esperado deben acumularse 26 cajas.

TABLA 6-5

Evento: demanda

Probabílídad del evento

25 cajas

0.10

26 cajas

0.30

27 cajas

0.50

28 cajas

0.10 1.00

TABLA 6-6 Cálculo de los valores monetarios esperados

Acción: inventario 26 Evento: demanda


Valor condicional (VC)

VC ponderado por probabílídad del evento

Acción inventario 27 Valor condicional (VC)

VC ponderado por probabilidad del evento

25 cajas

0.10

US$42

US$4.20

US$34

US$3.40

26 cajas

0.30

52

15.60

44

13.20

27 cajas

0.50

52

26.00

54

27.00

28 cajas

0.10

52

~

54

~

1.00

Valor monetario esperado

TABLA 6-7 Resumen de valores monetarios esperados

Acción

Inventario 25 .

Valor monetario esperado US$50

Inventario 26

51 (acción óptima)

Inventario 27

49

Inventario 28

42

US$51.00

US$49.00


239

Observar que el VME de US$51 no es la utilidad de un día cualquiera. Es la utilidad esperada o promedio. Si la decisión se repitiera durante muchos días (con las mismas probabilidades), el tendero tendría un promedio de US$51 por día al almacenar 26 cajas de leche. Incluso si la decisión no se repitiera, la acción con el VME más alto es la mejor alternativa disponible para quien toma la decisión. Para sintetizar, el plan para resolver el problema del tendero es como sigue: 1. Construir una tabla de rendimiento o liquidación (valor condicional) con la lista de las acciones y eventos que se consideren como posibilidades y listar los resultados de cada acción y evento. Al hacerla lista de estos últimos, hay que asegurarse de que todos sean mutuamente excluyentes (es decir, de que dos o más eventos no puedan ocurrir de forma simultánea) y de que todos los eventos considerados en conjunto sean exhaustivos (es decir, que los eventos tenidos en cuenta cubran todas las posibilidades). Esta tabla Incluye la información económica del problema (costos, ingresos yutilidad) al presentar un valor condicional (o pérdida) para cada combinación de acción y evento. 2. Asignar probabilidades a los eventos. 3. Calcular un VME para cada acción ponderando (multiplicando) los valores condicionales por las probabilidades asignadas y sumando los valores condicionales ponderados para obtener el VME de la acción. 4. Elegir la acción con el VME más alto.

COSTO DE OPORTUNIDAD ESPERADO

El tendero también puede optar por la mejor acción al minimizar el costo de oportunidad esperado (COE). El procedimiento es el mismo que se indicó, excepto porque en lugar de utilizar la tabla de rendimiento (tabla 6-2 de valor condicional) y la utilidad condicional, debe utilizarse la tabla de costo de oportunidad condicional (tabla 6-4) y los costos de oportunidad condicionales. Los cálculos para las acciones Inventario 26 e Inventario 27 se presentan en la tabla 6-8. En la tabla 6-9, se establece que el tendero debería elegir la acción Inventario 26, que tiene un costo esperado de US$2.20, el más bajo de los cuatro costos de oportunidad esperado.

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TABLA6-S Cálculo de los costos de oportunidad esperados

Acción: inventario 26 Evento: demanda


Costos condicionales (CC)

25 cajas

0.10

US$8

26 cajas

0.30

27 cajas 28 cajas

VC ponderado por probabilidad del evento

Acción: inventario 27 VC ponderado Costos condicionales por probabilidad del evento (CC)

US$0.80

U8$16

US$1.60

O

0.00

8

2.40

0.50

2

1.00

O

0.00

0.10

4

-ºAQ

2

--º2Q

1.00 Costo de oportunidad esperado

US$2.20

US$4.20

240


TABLA 6-9 Resumen de costos de oportunidad esperados

Acción

Costos de oportunidad esperado

Inventario 25 Inventario 26 Inventario 27 Inventario 28

Comparación entre los costos de oportunidad esperado y la acción óptima

US$3.20 2.20 (acción óptima) 4.20 11.20

US$ 1 O

2 9

RESUMEN Éstas son las diferentes medidas de la utilidad que se han presentado:

Villor condicional. La utilidad real que resultaría de seguir una acción dada, condicionada a un evento dado que ocurre. Costo de oportunidad condicional. La pérdida relativa (es decir, la utilidad no ganada) que sigue a una acción dada, condicionada a un evento dado que ocurre. Villor moneta/io esperado. Los valores condicionales ponderados multiplicados por la probabilidad de los eventos que ocurren y sumados para cada acción. Costo de oportunidad esperado. Los costos de oportunidad condicionales ponderados multiplicados por la probabilidad de los eventos que ocurren, y sumados para cada acción. La acción óptima es la que tiene el valor monetario esperado más alto y, por consiguiente, el costo de oportunidad esperado más pequeño.

RIESGO DE LA TOMA DE DECISIONES Aunque el valor monetario esperado puede ser una buena guía para la acción en muchos casos, en otros puede no serlo. Esto no invalida el modelo de valor esperado, significa que debe modificarse el análisis cuando la situación lo indique. Considerar una dificultad importante con el valor monetario esperado. Suponer que un gerente tiene la oportunidad de invertir US$500,OOO en un nuevo producto de riesgo. Si el producto tiene éxito, contará con utilidades netas de US$l millón. Sin embargo, si el producto no tiene éxito, sufrirá una pérdida de US$500,000 que es la inversión para desarrollar, producir y vender el nuevo producto. La tabla de valor condicional del gerente se presenta en la tabla 6-10. Si, después de reunir la evidencia, el gerente asigna una probabilidad subjetiva de 0.90 de éxito, el VME de la acción Invertir es de US$850,OOO (US$l,OOO,OOO x 0.90 - US$500,000 x 0.10 = US$850,000), en comparación con un VME de cero para la acción No invertir. Sin embargo, si la empresa tiene una posición financiera TABLA 6-10 Valor condicional

Acción Evento Producto exitoso

Producto no exitoso

Invertir US$1,000,000

-500,000

No invertir O O


241

muy difícil, una pérdida de US$500,OOO la llevaría a una bancarrota segura. En tal caso, el VME puede ser una guía deficiente para la acción. El gerente puede no estar dispuesto a aceptar la probabilidad de perder US$500,000, sin importar ei tamaño de la utilidad condicional o el VME debido a las consecuencias indeseables de la pérdida. En tal caso, el gerente tiene una falta de utilidad por lo tanto una pérdida, que deberá contemplarse en el análisis. Es decir, en situaciones que impliquen un nivel sustancial de riesgo, el VME puede no ser el mejor criterio de decisión. Si las cantidades de dinero involucradas en el rendimiento no son grandes, entonces el VME es una guía razonable para la acción. En el caso del problema del tendero, grande, en este contexto, es de hecho, relativo. Las decisiones que implican millones de dólares pueden no ser tan grandes para una compañía de petróleos importante o para un negociante de la Bolsa en Wall Street, pero para la mayoría de individuos lo son. Si una decisión en particular parece riesgosa, esto también depende de las preferencias individuales. Algunos individuos son muy adversos al riesgo y podrían no estar dispuestos a tomar, ni siquiera, riesgos moderados, mientras que otros pueden ser neutrales ante el riesgo (indiferentes) o inclusive preferir el riesgo. Existen métodos formales para incorporar el riesgo al análisis de decis\ón llamados teoría de la utilidad. En un capítulo posterior se trata en detalle este tema. Incluso, si la decisión implica un riesgo sustancial, el cálculo y la evaluación del valor monetario esperado pueden brindar información útil para la persona encargada de tomar la decisión. El individuo que se enfrenta a la principal pérdida potencial en el ejemplo de la tabla 6-10, sabe que el cálculo del VME puede costar US$850,OOO; sabe a cuánto tiene que renunciar para evitar la pérdida posible. También podría buscar un socio dispuesto a compartir la inversión; lo que reduciría sustancialmente el aspecto negativo del riesgo.

UTILIDAD ESPERADA CON PREDICCIONES PERFECTAS De regreso al ejemplo del tendero, surge la siguiente pregunta: ¿Qué utilidad podría esperar en el futuro el tendero, si la demanda diaria se pudiera predecir con certeza el día anterior a cuando la demanda particular ocurriera? Para responder esta pregunta, va a construirse una tabla de valor condicional que demuestre la u"tÍlidad condicional para la mejor acción de cada evento dado. La tabla 6-11 se construye cuando se elige la mejor acción y se registran las cifras de utilidad más altas para cada evento (esta información puede obtenerse en la tabla 6-2). Por ejemplo, si se sabe que la demanda del día siguiente puede ser 27, se acumularían 27 cajas para una utilidad de US$54. Si se almacenan 26 se perdería la utilidad de US$2 de una unidad, y si se almacenan 28 se tendría que descartar una unidad, con una pérdida de US$2. La tabla 6-11 muestra la utilidad resultante de la mejor acción para cada evento posible.

TABLA 6-11 Tabla de valor condicional para decisiones óptimas con predicción perfecta

Acción Evento: demanda

Inventario 25

25 cajas

US$50

26 cajas

27 cajas

28 cajas

Inventarío 26

Inventarío 27

Inventarío 28

US$52 US$54 US$56

242


TABLA 6-12

Evento: demanda


Utilidad condicional (UC)

UC ponderada por la probabilidad del evento

25 cajas

0.10

$50

$5.00

26 cajas

0.30

52

15.60

27 cajas

0.50

54

27.00

28 cajas

0.10

56

~

Utilidad esperada con predicción perfecta

Utilidad esperada con proyección infalible

$53.20

Ahora, las cifras de utilidad óptima condicionales se proyectarán. Esto puede hacerse si se pondera la utilidad de cada evento por la utilidad del evento que ocurre. El cálculo se muestra en la tabla 6-12, donde la utilidad esperada con la predicción perfecta (US$53.20) es la utilidad que el tendero podría obtener en promedio, cada día que la demanda pudiera predecir. Por tanto, la cantidad óptima se ordenará cada día. Antes de contar con el predictor perfecto, el tendero tendrá cierta incertidumbre en cuanto a lo que será la predicción, ya que puede ocurrir cualquiera de los cuatro eventos. Antes de la predicción, la utilidad es una expectativa, ya que no se sabe cuál evento ocurrirá. Para decidir si se cuenta o no con el predictor, el tendero deberá asignarle un valor a la predicción perfecta y compararlo con el costo dictado por el predictor. Recuérdese que antes de comprar la información, no se sabe cuál será la predicción.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA En muchos problemas de decisiones, el gerente enfrenta la pregunta de si debe actuar de inmediato o retrasar la acción y buscar más información. Lo importante para el gerente es equilibrar el costo de la información adicional frente al valor de la información (utilidad adicional). La parte del costo de esta decisión (costo de obtener información) suele ser más fácil de calcular que el valor de la información. Sin embargo, utilizando el modelo del valor esperado, se tiene una forma de cuantificar el valor de la información adicional. Refiriéndose de nuevo al ejemplo, en la tabla 6-12 se muestra que la utilidad esperada con la predicción perfecta es de US$53.20. Antes, en la tabla 6-7, se mostró que el VME de la mejor acción bajo condiciones de incertidumbre, el Inventario 26, es US$51. La diferencia: US$53.20 - US$51

= US$2.20

es el incremento en la utilidad esperada a partir de un mecanismo de predicción libre y perfecto. Por ello, US$2.20 es el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP). Es decir: VEIP

= utilidad esperada con predicción perfecta -

VME (de acción óptima)

En la tabla 6-9 puede observarse que US$2.20 también es el costo de oportunidad esperado de la acción óptima. Podría esperarse este resultado, ya que el predictor perfecto debe reducir a cero el costo de oportunidad que existe bajo COn-


243

Acción

TABLA 6-13

VME (bajo incertidumbre)

COE Utilidad esperada (con la predicción perfecta)

Inventario 25

Inventario

Inventario 27

Inventario 28

US$50.00

US$51.00

~

~

US$49.00 4.20

US$42.00 11.20

US$53.20

US$53.20

US$53.20

US$53.20

diciones de incertidumbre. Por eso, el costo de oportunidad esperado de la acción óptima mide el VEIP. Una verificación útil de los cálculos se suministra a través de la siguiente igualdad: VME (de cualquier acción) + COE (de la misma acción)

=

Utilidad esperada con predicción perfecta

Este cálculo se presenta en la tabla 6-13. Resulta importante anotar que el COE de la acción óptima, es igual al VEIP. Si el tendero elige la acción Inventario 28, habrá un VME de US$42 y un COE de US$11.20. El VEIP no es US$11.20porque el tendero puede incrementar el VME a US$51 al elegir una acción diferente (Inventario 26) y esto no requiere información adicional. El valor de esta última se mide comenzando con el supuesto de que se elegirá la acción óptima, dada la información que ya está disponible.

Interpretación del VEIP El VEIP puede considerarse como una medida general del impacto económico de la incertidumbre en el problema de decisión. Es el valor de obtener una predicción perfecta. Como tal, es un enlace superior de lo que valdría conseguir información adicional antes de actuar. Si el VEIP es pequeño, la información adicional no sería de mucha ayuda. Si es una cantidad grande, entonces el encargado de la decisión debe examinar los métodos para obtener información antes de actuar. Sin embargo, ya que también está el costo de oportunidad esperado, el VEIP es una medida de las oportunidades perdidas. En este sentido, si el VEIP es grande, debe ser una señal para que quien toma la decisión busque otra alternativa que no se haya considerado. El VEIP del problema del tendero no es muy grande (US$2.20 por día), pero si lo hubiera sido, indicaría que el problema de almacenamiento podría resolverse de una manera diferente. El tendero, por ejemplo, podría organizar dos o más despachos de lácteos diarios, con la cantidad de los despachos subsiguientes, dependiendo de las ventas, en un sistema de inventario "justo a tiempo". Esto podría tener costos adicionales, los cuales necesitaría evaluar. El punto es que el VEIP puede ser un acicate para buscar otras posibilidades. Observar que esto fue lo que sucedió en el ejemplo motivador de Oglethorpe Power Transmission, al comienzo de este capítulo; el VEIP alto acerca de la situación competitiva llevó a considerar formas alternas de estructurar el negocio con Florida Power.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE PROBABILIDADES SUBJETIVAS

Estimar probabilidades es uno de los pasos más difíciles para aplicar los criterios de decisión del valor monetario esperado. En ocasiones, es posible evitarlo, al menos parcialmente, dejando la estimación de probabilidades para el final. Para cada ac-

244


ción puede encontrarse un rango de probabilidades donde la acción dada es óptima. Quien toma la decisión determina entonces cuál es el intervalo en el que se encuentran las probabilidades. Con un ejemplo anterior puede ilustrarse esta situación. En la tabla 6-10, los valores condicionales para la decisión de un nuevo producto (US$1 millón si el producto tiene éxito, menos US$500,000 si fracasa y cero si no se introduce al mercado). Sea p la probabilidad de éxito; por tanto, (1 - p) es la probabilidad de fracaso del nuevo producto. Si la persona encargada de la decisión quiere usar el criterio de VME, el valor esperado de introducir el producto es: VME

= p(1,000,000) + (1-p) (-500,000) = -500,000 + 1,500,000p

Para introducir el producto, el VME debe ser mayor que cero. Es decir: -500,000

ó

+ 1,500,000p >

500,000 1,500,000

p>

°

=-.l 3

Por tanto, si quien toma la decisión considera que las opciones son mayores de un tercio para tener éxito, deberá introducir el producto. El encargado de la decisión no tiene que especificar un valor exacto para p con el fin de tomar la decisión.

Ejemplo Para aclarar más este concepto, considerar el ejemplo del tendero que decide cuántas cajas de leche debe almacenar. En la tabla 6-7 se determinó que la acción ópti'ma era la de almacenar 26 cajas. Este resultado se obtuvo utilizando las probabilidades de la primera columna de la tabla 6-14 . Con esto, la persona encargada de la decisión puede ver que ésta no es sensible a las variaciones en las probabilidades que se presentan en la tabla 6-14. Otras variaciones podrían causar un cambio en la decisión. Por ejemplo, si la probabilidad relacionada con el evento Demanda de 25 cajas es mayor que 0.20, entonces la decisión óptima cambia a pedir 25 cajas. El método general sugerido por este ejemplo es el análisis de sensibilidad. La persona encargada de tomar la decisión cuenta con un conjunto preliminar de estimados (para probabilidades o para rendimientos). Entonces, se hacen las variacio-

TABLA 6-14 Posibles grupos de probabilidades alternas

Grupos de probabilidades . Evento: demanda

2

3

4

25 cajas

0.1

0.2

0.05

0.1

26 cajas

0.3

0.3

0.15

0.1

27 cajas

0.5 0.1

0.4

0.40 0.40

0.3

28 cajas

0.1

0.5 V:;s¡;¡¡¡;;¡UCJU!!itiW:aW&lRIWILi&il3lJiWiG&X2W

2

La acción Inventario 26 sigue siendo óptima en tanto p(demanda = 0.25) < 0.20 y p{demanda = 27) < 0.80. Este modelo se desarrolla en detalle más adelante en el siguiente capítulo.


245

nes en estos estimados. Si aquellas no cambian la decisión óptima, no se necesita avanzar más. Si, de otro lado, la decisión es sensible a los cambios, entonces el gerente debe depurar los estimados preliminares para llegar a una decisión.

RESUMEN El valor esperado de la información perfecta es el que tiene para la persona encargada de tomar las decisiones un pronóstico perfecto de un evento incierto. El análisis de sensibilidad examina el grado en que una decisión depende de (es sensible a) los supuestos o estimados, en particular, de los estimados de probabilidades.

ÁRBOLES DE DECISiÓN En las secciones anteriores se desarrolló el criterio de decisión del valor monetario esperado y se analizaron decisiones simples utilizando tablas de valor condicional. Esta sección describe un método general para decisiones más complejas que resulta útil para estructurar el problema de la decisión y para encontrar una solución. El método utiliza un árbol de decisión, una herramienta gráfica para describir las acciones que se encuentran a disposición de quien toma la decisión, los eventos que pueden ocurrir y la relación entre estas acciones y los eventos.

Árbol de decisión para el problema del tendero Para ilustrar las ideas básicas, primero se desarrollará el árbol de decisión para el problema del tendero de la última sección. Debe recordarse que la decisión implica cuántas cajas de leche deben pedirse. El punto de la decisión está representado mediante un cuadrado o nodo de decisión, en la figura 6-1. Las opciones se presentan como ramas que salen del nodo de decisión. Ahora, si que el tendero esperara seleccionar algunaalternativa en particular, por ejemplo, 28 cajas, existen varios eventos posibles que pueden ocurrir. Cada uno de ellos representa una cantidad de cajas de leche que los clientes podrían pedir. Estas cifras aparecen en la figura 6-2 como ramificaciones que surgen de un nodo redondo. (Se utiliza la convención de un cuadrado para un nodo de decisión y un círculo para un nodo de evento). Estas ramas representan eventos inciertos sobre los cuales, quien toma la decisión, no tiene control. Sin embargo, las probabilidades pueden asignarse a cada evento y se ingresan bajo cada rama, entre paréntesis. Al final de cada rama se encuentra la utilidad condicional asociada con la acción seleccionada y el evento dado (los mismos valores de la tabla 6-2). Por consiguiente, la utilidad condicional representa la utilidad asociada con las decisiones y eventos a lo largo del recorrido desde la primera parte del árbol hasta el final. Por ejemplo, la cifra de US$26 en la figura 6-2 es la utilidad asociada con pedir 28 cajas de leche, y luego experimentar una demanda de 25 cajas. El valor monetario esperado (VME) se calcula para cada nodo de evento de la misma forma como se hizo en la sección anterior (véase tabla 6-6). Es decir, las probabilidades se multiplican mediante utilidades condicionales y se suman. El VME está ubicado en el nodo de evento para indicar que es el valor esperado que se calcula para todas las ramas que surgen de él.

246

Análisis cuantitativo "

FIGURA 6-1 Opciones del tendero

Pedido de 25 cajas

Pedido de 26 cajas

Pedido de 27 cajas

Pedido de 28 cajas

Nodo de decisión

FIGURA 6-2 Eventos de la alternativa Pedido de 28 cajas

Eventos Utilidad condicional La demanda es de 25 cajas (0.10)

US$26

La demanda es de 26 cajas

36 (0.30)


46 (0.50


56 (0.10)

Opciones

Nodo de evento

En la figura 6-3 se muestra el árbol de decisión completo para el problema del tendero. Se observa que no es necesario listar todos los eventos posibles por separado, para todas las decisiones. Por consiguiente, cuando se piden 26 cajas, entonces sólo hay dos eventos que llevan a utilidades condicionales diferentes: la demanda es de 25 cajas con una utilidad de US$42; y la demanda es de 26 o más (es decir, la demanda es de 26, 27 ó 28 cajas) con una utilidad de US$52. Si el tendero pide 25 cajas, sólo tendrá un resultado; es decir, la venta de las 25 cajas con una utilidad condicional de US$50.


FIGURA 6-3 Árbol de decisión completo para el problema del tendero

Opciones

247

Eventos Utilidad condicional

Pedido de 25 cajas ~-------I

50

La demanda es de 25, 26, 27 Ó 28 cajas

US$50

(1.0)

La demanda es de 25 cajas Pedido de 26 cajas 51

(0.10) La demanda es de 26, 27 Ó 28 cajas (0.90) La demanda es de 25 cajas (0.10) La demanda es de 26 cajas

Pedido de 27 cajas

42 52

34 44

(0.30) La demanda es de 27ó 28 cajas (0.60)

54

La demanda es de 25 cajas (0.10) La demanda es de 26 cajas

Pedido de 28 cajas 42

(0.30) La demanda es de 27 cajas (0.50) La demanda es de 28 cajas

26 36 46 56

(0.10)

En la figura 6-3, los valores monetarios esperados se muestran en los nodos de eventos. Entonces, el tendero debe elegir cuál es la acción a tornar, y esta opción es seleccionar la que tenga el VME más alto; es decir, el pedido de 26 cajas con VME = US$51. Esto se indica en el árbol poniendo 51 en el nodo de decisión (cuadrado) al comienzo del árbol. Además, la marca 11 se traza a través de las ramas de decisión que no son óptimas, indicando que no deben seguirse. En síntesis, el árbol de decisión utiliza la misma idea de maximizar el valor monetario esperado que se desarrolló en la sección anterior. Para el ejemplo de la tienda, el uso de una tabla, como la 6~2, puede parecer más fácil. Sin embargo, a medida que el problema de decisión se vuelve más complejo, el árbol de decisión resulta más valioso para organizar la información necesaria para tornar la decisión. Esto es especialmente cierto si el gerente debe tornar una secuencia de decisiones, en lugar de una decisión única, corno se mostrará en el siguiente ejemplo. Ejemplo de árbol de decisión

El gerente de marketing de una empresa debe decidir si comercializa o no un nuevo producto y establecer el precio de venta. La utilidad depende de sí el competidor introduce o no un producto similar y del precio de éste. Corno se ve, hay dos decisiones: introducir o no el producto, y el precio a cobrar. Del mismo modo, hay dos eventos: la competencia introduce (o no) un pro-

248


ducto competitivo, y el precio del competidor. El tiempo o la secuencia de estas decisiones y eventos es muy importante en esta decisión. Si el gerente de marketing debe actuar antes de saber si el competidor tiene o no un producto similar, el precio puede ser diferente del que tendría si contara con ese conocimiento. Un árbol de decisión es muy útil en esta situación, ya que presenta el orden en que se toman las decisiones y ocurren los eventos. La empresa debe introducir o descartar su nuevo producto muy pronto; pero, la decisión de precio puede tomarse más tarde. Si el competidor va a actuar, introducirá su producto dentro de un mes. En tres meses, la empresa establecerá y anunciará su precio. Después de eso, el competidor anunciará su precio. Esto puede diagramarse en el árbol de decisión de la figura 6-4. Éste es un problema de decisión secuencial. La empresa debe tomar una decisión inmediata acerca de la introducción del productor y establecer en consecuencia el precio, después de saber la acción del competidor.

FIGURA 6-4 Árbol de decisión para el ejemplo de introducción de producto

Eventos (precio del competidor) Opciones (precio del ejemplo) Fijar precio alto

Eventos

Alto (0.3) Medio (0.5) Bajo (0.2) Alto (0.1) Medio. (0.6) Ba'o (0.3)

Producto competidor introducido (0.8)

Opciones

Fijar precio bajo

Alto (0.1) Medio (0.2) Ba'o (0.7)

Utilidad condicional (miles de dólares)

US$150

O -200

250 100 -50

100 50 -100

Fijar precio alto No hay producto competidor (0.2)

500 Fijar precio medio

300 100

O Primer punto de decisión


249

El árbol de decisión muestra la estructura del problema de decisión. Para completar el análisis, la utilidad condicional debe estimarse para cada combinación de acciones y eventos, es decir, para cada camino hacia el árbol. El gerente de marketing hizo esto y la utilidad se muestra en la figura 6-4, al final del árbol. Esos valores de utilidad incluyen los costos de introducir el producto y las utilidades que se obtienen con su venta. Los valores negativos indican que los costos de introducción exceden la utilidad que se consigue con las ventas. Además, la persona encargada de la decisión debe evaluar las probabilidades de cada evento; para el ejemplo, éstas se muestran bajo las ramas de eventos en la figura 6-4. Estas probabilidades pueden depender de acciones o eventos anteriores. Por tanto, las probabilidades para el comportamiento del precio del competidor en la misma figura son diferentes cuando el precio es alto y cuando es bajo.

Diagrama de influencia También puede representarse el problema del gerente mediante un diagrama de influencia. Véase la figura 6-5. Este diagrama de influencia es muy simple, de modo que puede no ser visto como de particular utilidad para estructurar el problema de decisión y el árbol de decisión. Sin embargo, para situaciones más complejas, puede ser útil trazar un diagrama de influencia antes de desarrollar el árbol de decisión detallado; el diagrama de influencia sería una forma excelente de estructurar los supuestos acerca de los factores y las relaciones importantes del modelo. En general, se recomienda utilizar árboles de decisión para solucionar problemas de este tipo.

Análisis del problema de decisión Para analizar un árbol de decisión se comienza por el final del árbol y se trabaja hacia atrás. Por cada conjunto de ramas de eventos, el VME se calcula como se ilustró, y por cada conjunto de ramas de decisión se selecciona el VME más alto. Esto se ilustra en la figura 6-6 del ejemplo. Primero, los VME se calculan para los nodos de eventos asociados con el precio del competidor. Por ejemplo, el VME de US$5,000 en el círculo del extremo superior derecho en la figura 6-6 representa la suma de las probabilidades para precios altos, medios y bajos multiplicada por la utilidades condicionales respectivas: VME = (0.3)(150)

+ (0.5)(0) + (0.2)(-200) = 5

Los otros valores se calculan de manera similar. FIGURA 6-5 Diagrama de influencia para el ejemplo de introducción del producto

Introducir producto (o no)

Fijar precio I------:~

250


Eventos (precio del competidor)

FIGURA 6-6 Árbol de decisión completo para el ejemplo de introducción del producto

Opciones (precio del ejemplo)

Alto(0.3)

Fijar precio alto 5

Medio (0.5)

Bajo

Eventos

(0.2)

Alto

Producto competidor introducido

Fijar precio medio \----------..j

(0.8) I I I I I I I I I I I I I I I I I

Opciones

Introducir producto 156

(0.1)

Medio

70 \ - - - - - (0.6)

Bajo (0.3)

Alto Fijar precio bajo

(0.1)

Medio

-50 \--.::.:.=.=--(0.2)

Bajo Fijar precio alto

No hay producto: competidor

Fijar precio medio

(0.2)

Fijar precio bajo

(0.7)


US$150 O

-200

250 100 -50

100 50 -100 500

No introducir el producto

300 100 O I I

Primer punto de decisión

Segundo punto de decisión

Ahora, si en el árbol de decisión se retrocede hasta el segundo punto de decisión, se enfrentan dos situaciones de esta índole. La primera, cuando se introduce un producto competidor, implica establecer un precio alto, medio o bajo con una utilidad esperada de US$5,000, US$70,000 y US$50,000, respectivamente. Se supone que la opción que tiene la utilidad esperada más alta, es el precio medio. Se coloca una marca de 1I en las líneas conectadas con las otras opciones para indicar que éstas no son óptimas, y la utilidad esperada de US$70,000 se conecta con el cuadrado superior del segundo punto de decisión. Cuando no se introduce un producto competidor, la mejor opción es un precio alto, con utilidad de US$500,000. En el punto de evento, a la izquierda, se calcula un valor esperado de US$156,000 que resulta de multiplicar la utilidad esperada que se da a un producto competitivo (US$70,OOO) por su probabilidad, 0.8, y agregándole la utilidad dada al producto no competitivo (US$500,000) multiplicado por su probabilidad de 0.2. El VME en miles es de VME

= (0.8) (70) + (0.2) (500) = 156

Finalmente, se toma la decisión de comercializar el producto ya que la utilidad neta esperada de US$156,OOO es mayor que la utilidad cero de no comercializar el producto.


251

La decisión que resulta de un análisis del árbol de decisión no es una decisión fija sino más bien una estrategia: introducir el producto y cobrar un precio alto si no hay una entrada de la competencia; pero cobrar un precio medio si existe competencia.

Desarrollo del árbol de decisión El árbol de decisión es un modelo de una situación de decisión y, como todos los modelos, una abstracción y simplificación del problema real. Sólo se incluyen las decisiones y los eventos importantes; de otro modo, el árbol se vuelve demasiado complejo. El juicio que se requiere no sólo alude a lo que debe incluir, sino también a la evaluación de probabilidades. Al trazar un árbol de decisión deben observarse ciertas reglas: • Las ramas que surgen de cualquier nodo deben ser todas del mismo tipo lógico, bien sean eventos u opciones, y nunca una mezcla de ambos. • Los eventos asociados con ramas provenientes de cualquier nodo de evento deben ser mutuamente excluyentes, y todos los eventos deben ser incluidos, de modo que la suma de las probabilidades sea igual a uno. • Las opciones asociadas con un nodo de decisión deben incluir todas las posibilidades bajo consideración. En general, es de utilidad desarrollar un árbol en secuencia cronológica, de modo que se establezca un orden de decisiones y eventos. No obstante, algunos aspectos del dibujo del árbol son arbitrarios. Por ejemplo, en el caso anterior, si la empresa debe anunciar su decisión acerca del nuevo producto y establecer el precio antes de conocer cualquier información acerca del competidor, la parte del árbol que se relaciona con estas decisiones podría dibujarse de cualquiera de las formas equivalentes que se muestran en la figura 6-7. Exactamente las mismas opciones estarían disponibles para diagramar los eventos asociados con la introducción del producto del competidor y el precio de su producto, si éstos se presentaran sin ninguna intervención por parte de la empresa del ejemplo.

FIGURA 6-7 Formas alternas para diagramar la decisión (ejemplo revisado)

Método 1

Método 2

Fijar precio alto Fijar precio medio Fijar precio bajo

Introducir y fijar un precio alto Introducir y fijar un precio medio Introducir y fijar un precio bajo No introducir


252


Del estudio inicial sobre el riesgo, en este capítulo, hay que recordar que el valor monetario esperado no es un criterio de decisión apropiado si la utilidad o las pérdidas condicionales son tan grandes que la persona encargada de la decisión ve que las opciones tienen consecuencias significativamente diferentes. En esas situaciones, en el árbol de decisión deben utilizarse los valores de utilidad en lugar de la utilidad condicional. Esto se considerará en detalle en un capítulo posterior.

RESUMEN Un árbol de decisión es un dispositivo gráfico para mostrar la secuencia de las opciones de decisión y los eventos involucrados en la toma de una decisión bajo condiciones de incertidumbre. Un árbol de decisión se analiza a partir de calcular el valor esperado para cada nodo de evento (evento nodal) y elegir la opción con la utilidad más alta para los nodos de decisión, comenzando en el extremo del árbol y desplazándose hacia atrás, hacia su origen.

ANÁLISIS DE DECISiÓN PARA OPCIONES DE COMPRA DE ACCIONES En los mercados financieros actuales hay diversos instrumentos o derivaciones de ellos que toman la forma de una opción. Su evaluación es una aplicación práctica y muy importante de las ideas del análisis de decisión, de modo que se estudiarán brevemente las opciones de acciones. Primero, ¿qué es una opción para comprar acciones? Existen muchas variaciones, pero en la forma más sencil1a,una opción a la vista es el derecho a comprar una acción en una fecha futura a un precio dado. En el mercado estadounidense, la opción puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento; en el mercado europeo, se ejerce en la fecha de vencimiento. ¿Cómo debe valorarse una opción? Como ejemplo concreto, se recibe una opción (de un tío rico) para comprar 1,000 acciones de Ventures, lnc. Ésta es una opción de variedad europea y vence en 90 días. El precio de opción es de US$22 por acción. El precio actual de una acción de Ventures, lnc. es de US$20. ¿Cuál es el valor de la opción? Resulta claro que el valor depende del precio en 90 días. Si el precio es igualo inferior a US$22, la opción no tiene valor ya que no se debe comprar una acción con un precio de opción más alto del que se pagaría en el mercado abierto. De otro lado, si el precio de la acción dentro de 90 días es de US$26, podría ejercerse la opción, comprar las 1,000 acciones a US$22 cada una y venderlas de inmediato en el mercado a US$26, y obtener una utilidad de US$4 por acción o US$4,000 en total. Para evaluar la opción debe tenerse alguna distribución de probabilidad para el precio de la acción de Ventures, lnc., en 90 días. Aunque existen modelos sofisticados en finanzas para analizar los movimientos del precio de las acciones en el mercado, simplemente se supone que se estimaron las probabilidades dadas en la tabla 6-15. El precio estimado es de US$21.74, por debajo del precio de opción de compra de US$22. El valor de la opción se calcula en la tabla 6-16. Si el precio del mercado en 90 días está por debajo del precio de opción de compra de US$22, la opción no se ejerce y el valor es cero. Cuando el precio está por encima de US$22, se obtiene una utilidad al ejercer la opción y revender las acciones al precio del mercado. El retor-


253

no esperado se calcula en US$1.14 por acción. Éste es el valor de la opción. Esta tiene valor aunque el precio esperado de US$21.74 (véase tabla 6-15) está por debajo del precio de opción de compra de US$22. Este proceso es el mismo que se realizó para calcular el valor de la información perfecta en una situación de decisión. El valor de una opción permite actuar con información perfecta; es decir, después de que se conoce el precio real del mercado. Existen otros métodos similares de inversión en acciones, y se han desarrollado elaborados modelos para evaluarlos, todos basados en los conceptos subyacentes del análisis de decisión. La idea de opción también puede aplicarse a inversiones de capital en negocios (véase la sección sobre la manera como Merck utiliza la teoría de opciones). Las empresas invierten en investigación, equipo y marketing, pero los retornos son altamente inciertos. Al extenderse, una empresa puede abandonar un proyecto en diferentes etapas y reducir así sus pérdidas, la inversión puede verse como una opción. Por ejemplo, una empresa puede ser capaz de hacer un estudio de mercado preliminar de un nuevo producto antes de contar con las instalaciones de producción, construyéndolas sólo si la prueba de mercado demuestra ser bastante positiva.

TABLA 6-15

Precio de las acciones para Ventures, Inc. en 90 días (Dólares por acción) US$16

0.05

18

0.15

20

0.25

22

0.20

24

0.20

26

0.10

28

0.03

30

0.02

US$21.74 =Valor esperado

1.00

wz¿;

TABLA 6-16

Probabilidad

==

Precio de las acciones para Ventures, Inc. en 90 días (Dólares por acción)

Decisión: ¿ejercer la opción?

Valor de la opción (Dólares por acción)

Probabilidad

16

No

O

0.05

18

No

O

0.15

O

20

No

O

0.25

O

22

Indiferente

O

0.20

O

24

Sí

2

0.20

0.40

26

Sí

4

0.10

0.40

28

Sí

6

0.03

0.18

30

Sí

8

0.02

Cálculo del valor esperado US$O

--ill.fi Total = US$1.14

254


En la siguiente sección se tratan ejemplos específicos, aquí sólo se desea señalar el paralelo con la teoría de opción3.

REVISIÓN DE PROBABILIDADES En esta sección se presenta la oportunidad de experimentar, es decir, reunir información adicional y revisar probabilidades antes de tomar la decisión. Deben abordarse las situaciones más sencillas posibles, donde sólo hay una incógnita. Por ejemplo, la decisión puede estar unida a la demanda del producto para el año siguiente. Si se ha decidido experimentar, la demanda es la única incógnita. En esta situación (que podría ser un problema de inventario) el proceso de decisión es como sigue: • Elegir el criterio de decisión; se supone como norma el valor esperado de la decisión. • Describir el conjunto de posibles resultados y de posibles decisiones. • Asignar probabilidades a los posibles resultados (estados de naturaleza). • Determinar una función de utilidad (utilidades condicionales). • Conducir un experimento. • Revisar las probabilidades asignadas. • Calcular la utilidad esperada para cada decisión. • Establecer que la decisión óptima es el acto con la utilidad esperada más alta. El proceso anterior supone que previamente se ha determinado que la experimentación es adecuada.

EL VALOR DE LA INFORMACIÓN IMPERFECTA Aquí se introduce un método general para evaluar la posibilidad de obtener más información con respecto a un problema de decisión. El valor esperado de la información perfecta (VEIP) que se indicó antes determina un límite superior en el valor de la información adicional en una situación de decisión. La mayor parte de la información que puede obtenerse es imperfecta en el sentido de que no determina con exactitud cuál evento ocurrirá. Inclusive, la información imperfecta seguirá teniendo valor si la utilidad esperada mejora. El término expelimento que se utiliza aquí es muy amplio. Un experimento puede ser un estudio de economistas para predecir la actividad económica nacional, un estudio entre los consumidores realizado por una empresa de investigación del mercado, una encuesta de opinión realizada en nombre de un candidato político, una muestra de los artículos de una línea de producción tomada por un ingeniero para verificar la calidad, o una prueba sísmica para que una empresa de perforación de pozos petroleros obtenga algunos indicios de la presencia de petróleo.

3

Véase DIXIT, A., yPINDYCK, R., Investment under UncCI1ainty, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994, donde se trata este paralelo en detalle.


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Decisiones de inversión de capital como opciones

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255

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, Judy Lewent, la jefe financiera de Merck, una puede elegir entre invertiro abandonar el proyecto, eventos que determinan el éxito oel fracaso en diver~ , empresa líder en la industria farmacéutica" en una entrevista para Harvard Búsiness Review, dio a conosasetapas y,Jinalmente,un nodo de evento cOIlrami. cer la manera como ellay su personal evalúan las prin- , ficaciolles.paraelvalor que' se obtiene cuando el .' . cipales .inversiones en. investigación sobre prodpctolleg~alll1ercado (Véase. el problema 6-31, . medicamentos. Toma varios años llevar úna droga al 'EvergreenPhar aceutical.Company,' para un.ejemIl1 mercado y durante ese tiempo se realizan inversiones ploc~ncreto). JudyLewentysu personal han, desasustanciales en investigación, pruebas médicas y tec~ " rrollado métodos' sofisticados, con base en la ".nología de producción que contabiliza un total de cienexperiencia deMerck, para evaluar la posibilidad de tos de millones de d.ólares; lós rendimientos son éxitoendistintasetapas,y los costos y el valor último de una nueva drogaenelmercado. Luego, ellos utili, ' bastante inciertos. Históricamente, en 7 de cada 10 zan unatécllica llamada •análisis Monte . Carlopara . productos no se recupera la inversión. Judy Lewent indicó que -"El análisis de opción, como el que se • evaluar el árbol(se estudiará en un capítulo poste· , ., utiliza para valorar l
En general el valor de un experimento dado, puede evaluarse sólo si puede estim.arse la confiabilidad de la información resultante. Un estudio de investigación del mercado puede ser de utilidad para decidir si se introduce o no un nuevo producto. Sin embargo, al experimento puede dársele un valor económico específico antes del estudio sólo si quien toma la decisión puede decir con anticipación qué tan estrechamente puede el estudio en mención estimar las ventas potenciales. Un ejemplo aclarará esto. Las ventas de un nuevo producto potencial pueden ser muchas o pocas (el producto será un éxito o un fracaso). La tabla de valor condicional para esta decisión se presenta en la tabla 6-17. El valor condicional es de US$4 millones en la utilidad neta (valor presente) si las ventas potenciales son altas. La cifra de -US$2 millones es el costo si el producto se vende mal. Con base en el valor monetario esperado (VME), la acción indicada es la de no introducir el producto. Sin embargo, la persona encargada de la decisión, que está renuente a aumentar una probabilidad de 0.3 para lograr US$4 millones, puede recopilar información antes de emprender la acción. Como primer paso, se calcula el valor esperado de la información perfecta VEIP). Previamente se indicó que: VEIP = Utilidad esperada dictada por el predictor - VME (acción óptima)

TABLA 6-17 Tabla de valor condicional para decidir sobre la introducción de un nuevo producto (millones de dólares)

Acciones Probabilidades

Introducir producto

No introducir

Ventas altas

0.3

4.0

o

Ventas bajas

0.7

-2.0

Q

-0.2

o

Resultado

Valor monetario esperado

256


Con una proyección perfecta, la empresa podría introducir el producto si las ventas fueran altas, y no lo haría si fueran bajas, dando como resultado un valor esperado de 0.3 x 4 + 0.7 x O = 1.2. El VME de la acción óptima (no introducir) es cero. Por consiguiente: VEIP

= 1.2-0 = 1.2

Es decir que existe un valor esperado de US$1.2 millones que puede obtenerse a través de la información perfecta. El valor de la información imperfecta será menor. Quien toma la decisión puede realizar un experimento en esta situación. Si el experimento toma la forma de un estudio de mercado realizado en dos ciudades representativas, el estudio costará US$O.2 millones. Existen tres resultados posibles del estudio: puede predecir éxito (ventas altas) para el nuevo producto; puede predecir fracaso (ventas bajas); o puede no llegar a ninguna conclusión. En el pasado, era frecuente que estudios como el propuesto predijeran correctamente el éxito o el fracaso de un nuevo producto, pero, en ocasiones, un producto del que se predijo que tendría éxito después fracasó, y viceversa. Si el gerente de marketing realiza el estudio antes de actuar, la decisión puede basarse en las predicciones del mismo. La figura 6-8 muestra el diagrama de influencias para este problema, el cual puede expresarse en términos de un árbol de decisión, como se muestra en la figura 6-9. La parte superior del árbol muestra el proceso de decisión si no se realiza el estudio. Éste es el mismo análisis que se presenta en la tabla 6-17, con probabilidades de 0.3 y 0.7 para ventas altas y bajas, utilidad esperada de US$-O.2 millones para introducción, y una decisión indicada de no introducir el producto, con cero dólares de utilidad. La rama de la parte más baja del árbol, siguiendo la rama Hacer estudio, presenta los posibles resultados del estudio y las posibilidades de decisión subsiguientes. Después de cada uno de los tres posibles resultados del estudio,' debe tomarse una decisión acerca de introducir o no el producto. Si se introduce, las ventas serán altas con una utilidad de US$3.8 millones, o bajas con una pérdida de US$2.2 millones. Se observa que el costo del estudio (US$0.2 millones) se ha incluido en las cantidades de utilidad o de pérdida.

DETERMINACiÓN DE PROBABILIDADES Para completar el análisis de la figura 6-9, se necesitan las probabilidades de diferentes eventos. Suponer que el gerente de marketing estime las probabilidades que aparecen en la tabla 6-18. Éstas no son probabilidades condicionales para los distintos resultados del estudio dado el nivel de ventas potencial del producto. Por ejemplo, cuando un nuevo producto tiene un alto potencial de ventas, el estudio

FIGURA 6-8 'Diagrama de influencia para el problema de la introducción de un nuevo producto

Realizar el estudio (o no)

Introducir el producto (o no)

8


257

FIGURA 6-9 Árbol de decisión para el problema sobre introducción de un nuevo producto

predice el éxito con 0.4 de probabilidad; predice el fracaso con 0.2 de probabilidad y no es concluyente con 0.4 de probabilidad. Estas probabilidades reflejarían la experiencia pasada con estudios de este tipo, modificados quizá por el criterio del gerente. Las probabilidades que se presentan en la tabla 6-18 muestran la confiabilidad o precisión del experimento. Con estos estimados, el gerente puede evaluar el valor económico del estudio. Sin estos estimados confiables, no puede asignarse ningún valor específico a la realización del estudio. Las probabilidades condicionales de la tabla 6-18 no tienen utilidad directa en la figura 6-9. Por el contrario, se necesitan las probabilidades incondicionales de los diferentes resultados del estudio (se dispone únicamente de las probabilidades del estudio, condicionadas al nivel de ventas). Además, se necesitan las probabilidades condicionales de un nivel de ventas alto y bajo con una predicción de éxito en el estudio, y así sucesivamente. La tabla 6-19 muestra la probabilidad conjunta. En la parte superior se encuentran los símbolos y en la inferior los valores numéricos equivalentes. En la co-

TABLA 6-18 Probabilidades condicionales de las predicciones del estudio, dadas las ventas potenciales

Nivel de ventas potenciales Resultados experimentales (predicción del estudi9) El estudio predice éxito (E) (es decir, ventas altas) El estudio no es concluyente (NC)OA El estudio predice fracaso (F) (es decir, ventas bajas)

Ventas altas (A)

Ventas bajas (B)

OA

0.1

0.5

0.2

0.4

1.0

1.0

258


TABLA 6-19 Tabla de probabilidad conjunta

Pronóstico del estudio Éxito (E)

No concluyente (NC¡

Fracaso (F)

Probabílídades marginales del nivel de ventas

Alta (A)

P(Ey A)

P(NCy A)

p(Fy A)

P(A)

Baja (B)

P(Ey 8)

P(NCy 8)

p(Fy8)

p(8)

p(E)

P(NC¡

p(F)

1.00

Nivel de ventas potenciales

Probabilidades marginales de proyección del estudio

Pronóstico del estudio Nivel de ventas potenciales

Éxito (E)

No concluyente (NC¡

Fracaso (F)

Alta (A)

0.12

0.12

0.06

0.30

Baja (8)

0.07

0.35

0.28

0.70

Probabilidades marginales de proyección del estudio

0.19

0.47

0.34

1.00

lumna del lado derecho están las probabilidades originales evaluadas por el gerente de marketing: 0.3 de probabilidad de que el producto tenga ventas altas (A) y de 0.7 de ventas bajas (B). A partir de ellas y con las probabilidades condicionales de la tabla 6-18, pueden calcularse las probabilidades conjuntas de la tabla 6-19. Por tanto, la probabilidad conjunta de una predicción de éxito (E) por parte del estudio y un nivel alto de las ventas reales (A) se calcula al multiplicar la probabilidad condicional de una predicción de éxito, dado un nivel de ventas alto (el cual es de 0.4 en la tabla 6-18), por la probabilidad de un nivel de ventas alto:

P(E YA)

= P(E IA)P(A) = (0.4)(0.3) = 0.12

De modo similar:

= P(E IB)P(B) = (0.1)(0.7) = 0.07 P(NC y A) = P(NC IA)P(A) = (0.4)(0.3) = 0.12

P(Ey B)

y así sucesivamente.

Las probabilidades originales del nivel de ventas en la tabla 6-19 (la columna del lado derecho) son iguales a la suma de las probabilidades conjuntas de cada fila. Se observa que éstas son precisamente las probabilidades originales para ventas altas y bajas, y se denominan probabilidades a priori, porque se evaluaron antes de obtener cualquier información a partir del estudio. Las probabilidades marginales de las predicciones del estudio son iguales a la suma de las probabilidades conjuntas de cada columna. Para entender la tabla 6-19, resulta útil pensar en ella como la representación de los resultados de 100 situaciones pasadas idénticas a la que se está considerando. Entonces, las probabilidades muestran la frecuencia con que pueden presentarse distintos resultados. Por éjemplo, en 30 de los 100 casos las ventas reales del producto pasaron a ser altas y en estos casos, el estudio predijo el éxito en 12 instancias, que equivale a P(Ay E) = 0.12, es decir, no fue concluyente en 12 casos, y predijo el fracaso en 6.


259

Las probabilidades marginales de la predicción del estudio en la fila inferior de la tabla 6-19 pueden interpretarse, entonces, como la frecuencia relativa con la cual el estudio predijo éxito, no concluyente o fracaso, respectivamente. Por ejemplo, el estudio predijo éxito 19 de cada 100 veces; en 12 de ellas las ventas en realidad fueron altas y en las 7 restantes fueron bajas. Estas probabilidades marginales de predicción del estudio son importantes para el análisis, para dar las probabilidades asociadas con la información recibida por el gerente antes de tomar la decisión de introducir el producto. Las probabilidades marginales ingresan alIado de las ramificaciones correspondientes, en la figura

6-10. Aún se necesita calcular las probabilidades para las ramas identificadas como Ventas altas y Ventas bajas, de la parte inferior de la figura 6-10. No pueden utilizarse los valores de 0.3 y 0.7 para estos eventos, como se hizo en la parte superior del árbol, porque estas probabilidades se calcularon independientemente de la realización del estudio. El gerente habrá recibido información del estudio y las probabilidades deberán reflejarla. Las probabilidades que se requieren no son las probabilidades condicionales de los distintos niveles de ventas dado el resultado del estudio. Por ejemplo, parala rama superior del camino Hacer estudio, se necesita peA IE), la probabilidad de ventas altas (A) dado que el estudio predice el éxito (E). Éste puede calcularse directamente de la definición de probabilidad condicional, utilizando los datos de la tabla 6-19:

P(AJE) = peA YE) = 0.12 = 0.632 P(JS) 0.19 La probabilidad de ventas bajas, la una predicción de éxito del estudio es:

260


Estas probabilidades se conocen como probabilidades a posteriori, ya que surgen después de incluir la información recibida del estudio. El estudio no se ha realizado todavía, pero los cálculos se basan en los posibles resultados del estudio. Para entender el significado de los cálculos anteriores, debe considerarse de nuevo la tabla 6-19 que representa 100 situaciones pasadas idénticas. Entonces, en los 19 casos, dado que P(E) = 0.19, el estudio predijo el éxito. De estos 19 casos, 12 en realidad tuvieron como resultado las ventas altas. Por consiguiente, la probabilidad aposteriori para las ventas altas es 12/19 = 0.632. Las probabilidades aposteriori basadas en las proyecciones del estudio no concluyente y fracaso pueden calcularse de manera similar:

0.12 P(AINC)= = 0.255

0.47 0.35 P(B1NC)= 0.47

= 0.745

y

0.06

P(AIF) = 0.34 = 0.176

0.28 0.34

P(BIF) = -

= 0.824

Estos valores aparecen en la figura 6-10. Ahora se dispone de toda la información necesaria, y la figura 6-10 puede analizarse, comenzando por la derecha y trabajando hacia atrás. Los valores esperados aparecen dentro de los círculos. Por ejemplo, siguiendo las ramas Hacer estudio, El estudio predice éxito e Introducir el producto. El valor esperado 1.6 que se muestra en el círculo, al final de estas ramas, se calcula como: 0.632 x 3.8

+ 0.368 x (-2.2) = 1.6

Por consiguiente, la empresa puede esperar una utilidad de US$1.6 millones si el producto sale al mercado después de predecir el éxito en el estudio. Como ésta es mejor que la cifra de US$-0.2 millones asociada con no introducir el producto, se TABLA 6-11

La mejor decisión

Parte reducida del árbol de decisión

El estudio predice éxito

(0.19)

Hacer estudio

1.6

El resultado del estudio es no concluyente ~-(0-.4-7)"':"---1-0.2

El estudio predice fracaso L-----1-0.2 (0.34)

Introducir el producto




261

toma la decisión de introducir el producto, y la rama de No introducir el producto se marca con 11 para indicar que no es óptima. Hay pérdidas esperadas de US$O.67 y US$1.14, incluyendo los costos del estudio, si éste da como resultado predicciones no concluyente y fracaso, respectivamente. En estos casos, es mejor no introducir el producto, y las ramas de Introducir el producto se marcan con 1I . La parte del árbol de decisión que se relaciona con la realización del estudio ahora se reduce a la forma que aparece en la figura 6-11. El valor esperado en el nodo del círculo se calcula como: 0.19 x 1.6 + 0.47 x (-0.2) + 0.34 x (-0.2) = 0.14 Por tanto, si se realiza el estudio y el gerente actúa con base en la información recibida, la utilidad esperada es de US$0.14 millones. Como esto es mejor que la utilidad cero que se obtendría de no hacer el estudio, éste debe realizarse. Se observa que la decisión en este caso es una estrategia que implica actualmente dos decisiones: una decisión ahora para hacer el estudio y una decisión posterior para introducir el produCto si el estudio predice el éxito; pero en caso contrario no introducirlo.

EL VALOR DE LA INFORMACiÓN DEL ESTUDIO Tomar el estudio del ejemplo anterior es un medio para obtener información adicional. La información no es perfecta porque el estudio no puede decir exactamente si las ventas serán altas o bajas. La utilidad neta esperada fue de US$0.14 millones según el estudio. Esto incluye el costo del estudio (US$0.2 millones); y si se agrega esta cantidad, el valor esperado del estudio será de US$0.14 + US$0.20 o US$0.34 millones. Puede pensarse en esto como la utilidad esperada de un estudio sin costo. Por tanto, el valor de la información imperfecta que se obtiene del estudio en esta situación es de US$0.34 millones. El estudio sería valioso en tanto su costo no exceda esta cantidad. Previamente se indicó que el valor esperado de la información perfecta (CEIP) se calculó en US$1.2 millones. El valor del estudio (información imperfecta) está sustancialmente por debajo de esto, reflejando el hecho de que el estudio puede dar información no concluyente o incorrecta como lo indica la tabla 6-18. Tomar una muestra representa un mecanismo para obtener información. Esta información es imperfecta, ya que es probable que la muestra no represente exactamente la población de la cual se tomó.

RESUMEN La teoría de la decisión implica la opción de un criterio de decisión (una meta); es decir, la utilidad esperada maximizada. Si es posible y fa"ctible, se realiza un experimento. Las probabilidades apJiori de la naturaleza de los resultados se revisan con una base experimental. Se calcula la utilidad esperada de cada posible decisión, y se elige la acción con la utilidad esperada más alta, como la óptima. Antes de iniciar un experimento, quien toma la decisión debe determinar si la utilidad esperada asociada con actuar después de recibir el resultado del experimento, es suficientemente amplia como para compensar los costos del experimento. El análisis incluye hallar la regla óptima (que diga cuál decisión tomar como una función del resultado experimental) y evaluar la utilidad esperada usando esa regla.

262


ANÁLISIS DE DECISiÓN EN COMPUTADORES PERSONALES Corno se ilustra en este capítulo, en general sólo hay una cantidad modesta de cálculo involucrada en los problemas de análisis de decisión. No obstante, existen muchos paquetes de software disponibles para los computadores personales que ayudan a trazar los árboles de decisión y los diagramas, calcular los valores esperados y el VErp, con características más avanzadas. Un reciente estudio incluye 30 paquetes, muchos de los cuales cuentan con ediciones para estudiantes, a precios razonables5.

CONCLUSiÓN Este capítulo se refirió al uso de las probabilidades en la torna de decisiones de negocios bajo condiciones de incertidumbre. Se trató el criterio de maximización del valor monetario esperado y se estudió el concepto de valor de la información. Se· han presentado los ternas de diagramas de influencia y árboles de decisión, y sus usos. También se ha ilustrado el valor de la información imperfecta. La importancia de este capítulo se relaciona con que el análisis de decisión formal puede utilizarse para resolver efectivamente problemas de decisión importantes (véanse los ejemplos de Oglethorpe Power y Merck Pharmaceutical y los problemas al final del capítulo). Sin embargo, quizá lo más importante es el marco de referencia conceptual para pensar acerca de decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Gran parte de la teoría financiera moderna que involucra análisis de inversión se construye según las ideas básicas que se presentan aquí. La teoría de inventario de operaciones es otra área que utiliza estos conceptos. El material en este capítulo se extiende a otros capítulos posteriores. El siguiente capítulo introduce el riesgo y otros factores en el proceso de decisión. Otros capítulos tratan la teoría de inventarios, simulación y de colas que se construye con base en análisis de decisión.

BIBLIOGRAFíA BEHN, R. D., and VAUPEL, J. W, QuickAnalysis forBusy Decision Makers, New York: Basic Books, 1982. BELL, D. E., and SCHELEIFER, A., Jr, Decision Making under Uncertainty, Cambridge, MA: Course Technology, Inc., 1995. BROWN, R. v., KAHR, A. S., and PETERSON, c., DecisionAnalysis for the Manager. New York: Holt,. Rinehart & Winston, 1974. BUNN, D. W, Applied Decision Analysis, New York: McGraw-Hill,1984. HOLLOWAY, c., Decision Making under Uncertainty: Models and Choices, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1979. MCNAMEE, E, and CELONA, 1, Decision Analysis for the Professional with Supertree, Palo Alto, CA: Scientific Press, 1987.

PRATT, J. W, RAIFFA, R, and SCHALAIFER, R., Introduction to Statistical Decision TheOlY, N ew York: McGraw-Hill, 1965. RAIFFA, R, Decision Analysis, Reading, MA: AddisonWesley Publishing, 1968. SAMSON, D., Managerial Decision Analysis, Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1988. SCHLAIFER, R., Analysis ofDecisions under UnCCltainty, New York: McGraw-Hill, 1969. SPETZLER,C.S., and STAEL VON HOLSTEIN, C. A., "Probability Encoding in Decision Analysis", Management Science, noviembre 1975, pp. 340-358. SRI Decision Analysis Group, Readings in Decision Analysis, Menlo Park, CA: Stanford Research Institute, 1976.

5 Véase BUEDE, Dennis, "Aiding Insight H", OR/MS Today, junio 1994. No todos estos paquetes son de

análisis de decisión de interés general; algunos son para análisis especial, como el de riesgos que utilizan los métodos Monte Carla.


263

PROBLEMAS PRÁCTICOS6 6-1 Para una decisión se aplica la siguiente tabla de valor condicional:

Valor monetario condicional de Evento

A B

e

Probabilidad del evento Acción 1 0.35 0.45 0.20

4 4 4

Acción 2

Acción 3

3 6 6

2 5 8

versión necesaria en equipo es de US$500,OOO. El estimado de la demanda es como sigue:

Unidades de demanda

Probabilidad

30,000

0.05

40,000

0.10

50,000

0.20

60,000

0.30

70,000

0.35 1.00

a. Presentar una tabla de valores monetarios experados y determinar la acción óptima.

b. Presentar una tabla de costos de oportunidad esperados. c. Calcular la tabla de valor condicional, suponiendo un mecanismo de proyección infalible. d. Calcular el valor esperado suponiendo un mecanismo de proyección infalible. e. Calcular el valor esperado de la información perfecta. 6-2 El vendedor de un puesto de revistas asigna las probabilidades a la demanda de la revista Fine:

Evento: demanda


10 ejemplares

0.10

11 ejemplares

0.15

12 ejemplares

0.20

13 ejemplares

0.25

14 ejemplares

0.30 1.00

Los ejemplares los vende a 50 centavos y le cuestan 30 centavos. a. Si el vendedor puede devolver los ejemplares que no venda por su costo total, ¿cuántos debe pedir? b. Si el vendedor no puede devolver los ejemplares que no venda, ¿cuántos debe pedir? c. ¿Cuál es la utilidad óptima esperada en b? 6-3 Un fabricante de tónico para el cabello está considerando la producción de un nuevo producto de peluquería. La utilidad incremental es de US$10 por unidad (sobre una base de valor presente), y la in-

a. ¿Deberá producirse el nuevo producto? ¿Cuál es la utilidad esperada? b. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta? c. ¿Cómo cambiaría el valor esperado de la información perfecta si la probabilidad de 30,000 unidades fuera de 0.10 y la probabilidad de 70,000 unidades fuera OJO? 6-4 La empresa Cooper Cola Company (CCe) debe decidir cuál de tres productos introducir. Debido a una escasez de capital de trabajo, sólo puede introducirse uno. El gerente de marketing elaboró el árbol de decisión que aparece en la figura 6-12. Si se acepta este árbol como una representación razonable del problema de decisión de CCC y que la empresa espera utilizar el VME como el criterio de decisión, ¿cuál es la estrategia óptima para CCC y cuál es la utilidad esperada de esta estrategia? 6-5 Una empresa debe decidir acerca del tamaño de una nueva planta en Atlanta. En este momento, la empresa sólo tiene un potencial de ventas mínimo en los estados del sur. Sin embargo, cuando la planta de Atlanta esté lista, se emprenderá una campaña de promoción. En cierto modo, la gerencia no está segura acerca del éxito que tendrá esta campaña. Se estima que hay OA de oportunidad de que la empresa capte una participación significativa del mercado yde 0.6 de que sólo consiga una participación moderada. Se necesitará de una planta grande si se consigue una participación significativa, y de una planta pequeña sería suficiente para el caso moderado. El costo de la planta grande es de US$8 millones, y de la planta pequeña es de US$5 millones.


264


FIGURA 6-12 Árbol de decisión de

cee (problema 6-4)

Si se consigue una participación significativa de mercado, el valor presente estimado de las utilidades resultantes (excluyendo el costo de la planta) es de US$13 millones; si se logra una participación moderada, el valor presente de las utilidades resultantes (de nuevo, sin el costo de la planta) es de US$8 millones. La gerencia tiene otra alternativa: construir una planta pequeña, esperar el resultado de la campaña de promoción y luego ampliar la planta si la situación lo garantiza. Costaría US$4.5 millones adicionales ampliar la planta pequeña hasta la capacidad de la grande. a. Trazar un árbol de decisión para este problema. b. ¿Qué decisión debe tomar la empresa y cuál es el valor esperado? 6-6 Se está a cargo del trabajo de control de inventario de Volant Manufacturing Company. Se piensa que hay casi 0.4 de oportunidad de una recesión el próximo año. Si eso ocurre, habrá que venderse ahora el modelo AE4 con el precio de oferta final de US$l millón porque sólo así podrían obtenerse US$800,000 en el año de recesión. Estas cantidades se recibirían en un año. Sin embargo, hay la promesa de un agente de compras de que una em-

presa líder va a comprar el AE4 por US$1.3 millones si no hay recesión (cantidad pagadera a un año). Después de algunos cálculos preliminares, el gerente sigue indeciso en cuanto a la venta y determina reunir evidencia acerca de las posibilidades de una recesión en el año próximo; se descubre que las deudas de difícil cobro han aumentado desde hace un tiempo. Una breve investigación indica que durante las últimas 10 recesiones esta clase de deudas comenzaron a aumentar aproximadamente un año antes en ocho oportunidades. Se desea aceptar 0.8 como un estimado de la probabilidad de aumento de las deudas de difícil cobro, dado que la recesión ocurrirá un año después. En el mismo sentido, se establece que para 10 años normales, seleccionados de manera aleatoria, la economía experimentó el año anterior un aumento de deudas de difícil cobro en tres casos. Por consiguiente, se toma 0.3 como un estimado de: P(aumento de deudas de difícil cobro /recesión del año siguiente) Si se revisan las probabilidades a priori, como

se muestra en el capítulo, ¿qué díiQe hacerse con el AE4?


6-7 La probabilidad de que con dos dados, si están perfectamente diseñados, salga 7 u 11, es de 2/9. Si los dados están cargados de cierta manera, la probabilidad de los mismos números es de 4/9. Un conocido le pide que jueguen. Si él saca 7 u 11, usted le dará US$3; en caso contrario, él le pagará US$I. Como el juego le daría a usted una ventaja si los dos dados estuvieran perfectamente diseñados, usted sospecha de su amigo. En particular, siente que hay 0.7 de posibilidad de que esté utilizando dados cargados con la probabilidad de 4/9 para sacar 7 u 1I. Para alejar sus temores, su oponente le ofrece lanzar los dados dos veces. Usted lo hace y no consigue los números esperados en ninguno de los dos lanzamientos. ¿Debe jugar con su amigo? Demuestre sus cálculos. 6-8 Remitirse al ejemplo del capítulo como se muestra en la figura 6-9 y la tabla 6-18. Suponer que la confiabilidad del estudio de mercado fue descrita con las siguientes probabilidades condicionales:

265

Nivel de ventas real Proyección del estudio

Éxito No concluyente Fracaso

Alto

Bajo

0.3 0.5 0.2 1.0

0.2 0.5 0.3 1.0

Suponiendo que la demás información del ejemplo es la misma, ¿deberá realizarse el estudio? 6-9 Remitir al ejemplo del capítulo que se muestra en la figura 6-10. Suponga que las utilidades son las que aparecen en la tabla 6-17 y las probabilidades condicionales están en la tabla 6-18. Sin embargo, ahora hay que suponer que las probabilidades aPliOli de la gerencia son 0.5 para ventas altas y 0.5 para ventas bajas. a. ¿Cuál es la acción óptima antes de considerar un estudio? ¿Cuál es el valor esperado de esta acción? b. ¿Cuál es el valor esperado de la información del estudio?

PROBLEMAS 6-10 El análisis y la proyección de ventas para el mes siguiente da como resultado la siguiente distribución de probabilidad: Evento: demanda

Probabilidad

10 unidades

0.10

11 unidades

0.70

12 unidades

0.20

1.00

La utilidad por unidad es de US$5. El costo del producto vendido es de US$6. Si el producto no se vende durante el mes, no tiene valor (las unidades sobrantes no tienen valor). a. Calcular las ventas esperadas (media) para el mes. b. Preparar una tabla de valores condicionales para las diferentes acciones posibles. c. Preparar una tabla de los valores monetarios esperados e indicar la acción óptima. 6-11 (Continuación del problema 6-10) a. Preparar una tabla de los costos de oportunidad condicionales b. Preparar una tabla de los costos de oportunidad esperados. c. Indicar la acción óptima. d. Ordenar las acciones. Mostrar las diferencias entre los costos de oportunidad esperados de cada

acción y el costo de oportunidad esperado de la acción óptima.

e. Ordenar las acciones, utilizando los valores esperados. Mostrar las diferencias ente el VME de cada acción y el VME de la acción óptima. Comparar estos resultados con los del literal d. 6-12 Remitir al problema 6-10. a. Presentar la tabla de valor condicional, suponiendo un mecanismo de predicción perfecto. b. Calcular el valor esperado, suponiendo un mecanismo de predicción perfecto. c. Calcular el valor esperado de la información perfecta. 6-13 Un fabricante de artículos deportivos tiene la siguiente demanda y el programa para la revista anual sobre pesca tiene la siguiente probabilidad: Evento: demanda Probabilidad del evento 100,000

0.20

200,000

0.20

300,000

0.20

400,000

0.20

500,000

0.20

1.00 Los costos incrementales de producción son de US$400 por millar, el precio de venta es de US$500 por millar, y el valor de salvamento de las revistas no vendidas es cero. a. El fabricante hace el siguiente razonamiento: "Como existe la misma oportunidad de que la

266


demanda sea menor o mayor que 300,000, debo producir la cantidad más parecida a 300,000". ¿Está de acuerdo? En caso contrario, ¿por qué no? b. ¿Cuál es el valor esperado de una predicción perfecta? 6-1~ Una inversionista en bienes raíces posee una esta, ción de gasolina que alquiló a una compañía petrolera grande por una tarifa basada en una participación en las utilidades. Si la estación tiene éxito, el valor presente de los arrendamientos futuros se estima en US$l millón. Si la estación no tiene éxito, el valor presente de los arrendamientos será de US$200,000. La empresa le ha ofrecido a la inversionista US$600,000 por la compra de la propiedad. Con base en el valor monetario espera, do, ¿qué probabilidad debería asignársele al éxito para que a la inversionista le sea indiferente vender o no? 6-15 El propietario de una librería puede comprar 20,000 libros sobrantes a un editor a US$2.50 cada ejemplar. Al hacer uso de la publicidad en un periódico de distribución nacional, espera vender los libros a US$10 cada uno. Los libros sobrantes pueden venderse a US$1 a los demás minoristas. El estimado que tiene de la demanda es:

Demanda

Probabilidad de la demanda

5,000

0.10

10,000

0.50

20,000

. 0.40 1.00

El costo de la publicidad es de US$460, 000 y los costos incrementales de embarque de los libros que se vendan son de US$1.25 por ejemplar. a. El librero ¿debe comprar los libros? b. ¿Cuál es la utilidad esperada con un mecanismo de predicción perfecta? c. ¿Cuál es la cantidad máxima que el propietario debe pagar por información perfecta? 6-16 Cuando se construya un nuevo centro comercial, la empresa de electricidad debe asignar un transformador para el lugar. Como esto se hace antes de conocer a los ocupantes del centro, hay incertidumbre acerca de la cantidad de electricidad que se utilizará (por ejemplo, los salones de belleza utilizan mucha más energía que las tiendas de juguetes) y, por consiguiente, no hay certeza sobre el tamaño del transformador que se necesita. Un transformador demasiado pequeño tendría que ser remplazado, y uno demasiado grande acarrearía costos mayores de los necesarios. A continuación se presenta una tabla con estos costos:

Tamaño del transformador instalado originalmente Necesidades de electricidad

Pequeño

Mediano

Grande

Poca Media Muchas

50 140 190

100 100 190

150 150 150 ¡¡¡¡¡¡¡¡¡;¡¡¡;;¡¡:¡¡

itSUZ=,\\ie"'5

A un determinado centro comercial se le asignaron las siguientes probabilidades a la cantidad de electricidad necesaria:

Necesidad

Probabilidad

Poca

0.2

Media

0.7

Mucha

QJ. 1.0

a. Elaborar una tabla de costo de oportunidad. b. ¿Cuál debe ser la decisión? ¿Por qué? c. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta? 6-17 Artex Computers contrató el envío de dos modelos X-60 de sistemas de computación a una universidad japonesa. Las condiciones establecen el pago de 150 millones de yenes japoneses a Artex contra el despacho de los computadores, en seis meses. La tasa de cambio actual es de 150 yenes por dólar. Sin embargo, existe algo de preocupación en los mercados financieros acerca del valor futuro del yen. Esto se refleja en el mercado de moneda futura, donde el yen en seis meses puede comprarse o venderse a una tasa de 155 yenes por dólar. En particular, Artex puede vender antes los 150 millones de yenes y recibir US$967,700, ahora. El tesorero de Artex asignó las siguientes probabilidades a la tasa de cambio por yen en seis meses: Tasa de cambio (yenes por dólat)

Probabilidad

140

0.1

150

0.6

160

0.2

170

QJ. 1.0

a. Suponiendo que Artex quiere usar el VME como el criterio de decisión, ¿debe vender el yen antes, o esperar hasta recibir el pago en seis meses? b. ¿Parece ser el VME un criterio razonable en este problema?

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre 6-18 Una empresa cuenta con un contrato de arrendamiento que le concede el derecho de explotar petróleo en cierta propiedad. Puede vender el contrato en US$75,000 o realizar las perforaciones. Los cuatro posibles resultados de la perforación se listan a continuación, junto con las probabilidades de ocurrencia y las consecuencias en dinero: do

Posible resultado

Probabilidad

Consecuencias (miles de dólares)

0.16 0.40 0.24 0.20

-US$500 250 500 1,000

Pozo seco Pozo sólo con gas Combinación de gas y petróleo Pozo de petróleo

Trazar un árbol de decisión para este problema y calcular el valor monetario esperado para la acción Perforar. ¿La empresa debe perforar o vender el contrato de arrendamiento? 6-19La empresa ABC Promotion Company tiene la oportunidad de participar en una competencia atlética cuyo éxito está asegurado. Sin embargo, si llueve no puede realizarse el evento y la empresa debe estar lista a perder US$l millón (no hay costo de oportunidad). En caso contrario, la empresa puede ganar US$2 millones. Hay 0.2 de probabilidad de lluvia. Se quiere saber si debe comprarse o no un seguro que cubra lluvia. Trazar un árbol de decisión. ¿Cuánto podría pagar la empresa como seguro para cubrir la pérdida de US$l millón y no quedar peor con respecto a una base de valor esperado si no lo comprara? ¿Debe comprar el seguro a ese precio? 6-20 La empresa Plastic Production Company necesita expandir su capacidad de producción. Lo puede hacer de una de dos maneras: utilizar tiempo adicional en su planta actual o alquilar otra planta. El tiempo adicional tiene una sanción de US$3 por caja de producto fabricado, (cuando supera el tiempo normal) y sólo puede utilizarse para 15,000 cajas por año. Alquilar otra planta incluiría un costo fijo anual por arrendamiento de US$25,000; no obstante, la fuerza laboral de esta planta se pagaría sobre una base de tiempo normal y produciría cualquier cantidad de cajas hasta un máximo de 20,000 cajas, anualmente. La empresa estima que la demanda adicional, más allá de lo que pueda producirse en su planta actual en tiempo normal), puede tener los siguientes valores, con las probabilidades correspondientes: Demanda adicional (cajas por año)

Probabilidad

5,000

0.3

10,000

0.5

15,000

0.2

267

a. Trazar un árbol de decisión para este problema y encontrar la decisión óptima para minimizar los costos esperados. b. Suponer que una empresa de investigación de mercados ofrece realizar un estudio para determinar la cantidad exacta de demanda adicional que se presentará. ¿La empresa debe pagar US$l,OOO por un estudio perfecto? ¿Por qué? ¿Cuál es el costo de oportunidad esperado (COE) de la mejor decisión en a.? 6-21 QPC Company debe decidir si comercializar el producto A o el B. La decisión depende de la velocidad con que los distribuidores acepten el producto y el tipo de estrategia de marketing (promoción o publicidad) empleada por QPC. La empresa diagramó su problema de decisión como aparece en la figura 6-13. Los flujos de efectivo asociados con las diferentes decisiones y eventos se muestran al final de las ramificaciones del árbol. QPC desea utilizar el VME para tomar esta decisión. a. ¿Cuál es la estrategia óptima para QPC y cuál es el flujo de efectivo espera de ella? b. Suponer que QPC tuvo que tomar una decisión sobre la estrategia de marketing (promoción o publicidad) antes de averiguar la velocidad de aceptación de los distribuidores. ¿Cómo afectaría esta situación? ¿Se reduciría el flujo de efectivo óptimo que se espera? ¿Por qué? Responder sin volver a trazar el árbol. 6-22 Un fabricante de cámaras produce dos modelos (estándar y de lujo). En preparación para la pesada temporada de ventas navideñas, deben determinarse los volúmenes de producción. El costo variable de la cámara estándar es US$10 y el precio de venta es US$20; el costo variable del modelo de lujo es US$20 y el precio de venta es US$35. La demanda se estima como sigue:

Modelo estándar

Modelo de lujo

Demanda

Probabilidad

Demanda

Probabilidad

6,000

0.30

2,000

0.20

8,000

0.70

4,000

0.80

Cualquier cámara que no se venda durante la estación de Navidad se vende a un precio de salvamento de US$5 para el modelo estándar y de US$10 para el de lujo. El fabricante piensa que los diferentes segmentos del mercado compran los dos modelos; por consiguiente, las probabilidades de ventas que se presentan arriba son independientes. La capacidad de producción es ilimitada, por tanto, entonces, las dos decisiones pueden tomarse por separado. ¿Cuáles son las cantidades óptimas de producción para cada modelo? ¿Cuáles son los dos VME óptimos?

26B


.

FIGURA 6-13 Árbol de decisión de QPC (problema 6-21)

Nivel de ventas del producto

Estrategia de marketing

Flujo de efectivo (millones de dólares)

Aceptación del distribuidor Alto

Introducir

Promoción

(0.7)

Bajo Rápida

(0.3)

(0.3)

Publicidad

Alto (0.8)

Bajo (0.2)

Producto A

9 -1

7 -3

Alto Promoción

(0.4)

Bajo (0.7)

(0.6)

Lenta Publicidad

7 -2

5

-4 Alto Promoción

(0.7)

5

Bajo (0.3)

Rápida (0.5)

Alto Publicidad

(0.8)

Bajo (0.2)

Producto B

4

O

4

Promoción

O

(0.5)

Lenta Alto Publicidad

3

-1

6-23 (Continuación del problema 6-22) Ahora, debido a las restricciones en la capacidad, la producción total está limitada a 10,000 cámaras. Trazar un árbol de decisión para esta situación y analizar para obtener las cantidades de producción óptimas en este caso. 6-24 (Continuación del problema 6-22). Ahora, la producción está limitada a un total de 10,000 cámaras,

pero el fabricante piensa que las probabilidades de demanda ya no son independientes para los dos modelos. Específicamente, la tabla de probabilidad conjunta que se presenta describe las probabilidades de las demandas. Trazar un árbol de decisión para esta situación y encontrar la acción óptima y su VME.


Tabla de probabilidad conjunta Demanda modelo de lujo Demanda modelo estándar

2,000

4,000

Probabilidad marginal de la demanda para el modelo estándar

6,000

0.20

0.10

0.30

8,000

O

0.70

0.70

0.20

0.80

1.00

Probabilidad marginal de la demanda para el modelo de lujo

6-25 Oxenol Company utiliza gas natural en sus operaciones de producción-procesamiento. Las empresas cercanas en su área rural de la parte norte del estado de Nueva York han tenido éxito en la explotación de gas de acuerdo con sus parámetros y Oxenol está considerando emprender trabajos de esta clase. Sus gastos iniciales serían por perforación y llegarían a US$40,000. Si hallan gas, tendrían un gasto adicional de US$30,000 para coronar el pozo y suministrar e! hardware y e! equipo de control necesarios. Al precio actual del gas natural, si el pozo tiene éxito, será de US$150,000. Sin embargo, si el precio de! gas duplica su valor actual, un buen pozo bien podría valer US$300,000. La compañía piensa que su oportunidad de hallar gas es de 30%; además, cree que hay una probabilidad de 50% de que el precio del gas se duplique. a. Trazar un árbol de decisión para este problema, completando probabilidades y valores. b. Completar el árbol mediante el cálculo de los VME. ¿Qué debe hacer la empresa? 6-26 Se va a participar en lanzamientos con una moneda de características físicas desconocidas. Una máquina lanza la moneda. La decisión que debe tomarse es apostar a cara o cruz. Los resultados se describen en la siguiente tabla:

Usted apuesta Resultado real

Cara

Cruz

Cara

+100

-100

Cruz

-400

+100

El juicio anterior indica que se cree que hay 0.5 de oportunidad de que la moneda esté perfectamente diseñada, es decir, tiene 0.5 de probabilidad de caer en cara y 0.5 de probabilidad de caer en cruz; además, se cree que hay un cuarto de oportunidad de que la moneda esté acuñada con dos caras (sin oportunidad de cruz) y, finalmente, se cree que hay

.269

un cuarto de oportunidad de que la moneda tenga dos cruces (sin oportunidad de cara). Se tiene la oportunidad de experimentar antes de apostar. La moneda será lanzada dos veces. Después de observar los resultados, hay que apostar cara o cruz en e! siguiente lanzamiento. a. Suponer que en los lanzamientos experimentales sale cara. ¿Cuál sería la decisión, es decir, cual debería ser la apuesta en el siguiente lanzamiento? ¿Cuál es el rendimiento esperado? b. Suponer que en los lanzamientos experimentales sale una vez cara y una vez cruz. ¿Cuál sería la decisión? ¿Cuál sería el rendimiento esperado? c. Suponer que en ambos lanzamientos sale cruz. ¿Cuál sería la decisión'? ¿Cuál sería el rendimiento esperado? d. Suponer que se tiene una oportunidad de participar o no en este juego (antes de hacer los lanzamientos experimentales). ¿Se debería participar? ¿Cuál es el rendimiento del esperado juego? 6-27 La empresa UVW Music Company hace cajas musicales para diversos juguetes y productos varios, para las cuales otorga una garantía contra rotura por un año. El gerente de ventas está preocupado por el número de cajas musicales devueltas por la garantía. Él piensa que un número excesivo de cajas defectuosas perjudicaría la imagen de un producto de calidad que UVW está tratando de lograr. En una verificación, encontró que aproximadamente 5% de las cajas fueron devueltas para reparación dentro del año de garantía. El gerente de producción dice que el problema, en casi todos los casos, fue la rotura de un mecanismo de resorte esencial dentro de la caja. UVW tiene problemas para conseguir un resorte que sea enteramente satisfactorio. Hay una aleación especial que podía utilizarse en el resorte y garantizaría que casi no habría roturas. Un resorte hecho de esta aleación especial cuesta US$2 por unidad frente a 20 centavos para el que se utiliza en la actualidad. El gerente de producción no considera costosa la incidencia de una falla por cada 20 unidades utilizando una pieza que cuesta diez veces más. El gerente de producción agrega que para reparar las cajitas musicales que se devolvieron con el resorte roto, se utilizó el de aleación especial, de manera que una segunda reparación es prácticamente imposible. Además, el costo de manejar y reparar una caja con el resorte roto fue de US$13 más los US$2 para el resorte de aleación especial. El gerente de ventas sostiene que el resorte de aleación especial debería utilizarse en todas las cajitas pues considera que además del costo directo de reparar una pieza rota, el costo de perder el prestigio es de US$5 cada vez que se repara el producto de un cliente. La decisión no es trivial ya que UVW estima en 20,000 las cajas musicales para el próximo año. a. ¿Cuál alternativa debe tomar UVW? b. ¿Cuál es el VEIP?

270


6-28 Remitir al problema 6-27. El ingeniero jefe de UVW sugiere una acción alternativa. Con él se ha contactado un fabricante de instrumentos de medición con un dispositivo para medir la resistencia de los resortes que se están utilizando y determinar cuáles son resistentes y cuáles no. Se introdujo un programa experimental donde se clasificaron 100 resortes como resistentes o débiles y luego se instalaron en un número igual de cajas. Entonces, éstas se pasaron por de un proceso diseñado para simular casi un año de desgaste. Los resultados fueron:

Resultados de las pruebas a 100 resortes

Proyección Comportamiento real del mecanismo de prueba Bueno Defectuoso Total

79 1Q 95

Resistente Débil Total ",OOJ&¡¡¿C==z:wa..

ASé\"'.MlMIru;;;s;:¡;¡;;

z:;¡¡;;;¡;;¡.z:a

1

80 20 100

~

5 Jliitii\SEUUWt....dMSablZE1!&it

El gerente de producción no pensó que la prueba sería de utilidad. Señaló que cuatro resortes buenos eran rechazados por uno malo que se detectaba. Además, la prueba no eliminó todos los resortes defectuosos. El ingeniero jefe pensó que la prueba sería económicamente factible. Señaló que el costo del equipo y otros costos asociados con el dispositivo de prueba representarían cerca de US$4,000 para el siguiente año. El gerente de ventas sigue prefiriendo la utilización de resortes de aleación especial, pero aceptaría utilizar la prueba ya que, como lo indicó, reduciría el número de defectos casi a 1%. ¿Deberá obtener UVW el aparato de pruebas y utilizarlo para verificar los resortes? Ayuda: cinco resortes deben ser probados para conseguir cuatro que se califiquen como resistentes. Por esto, el costo de la prueba de un resorte resistente es de 5/4 X 20ft = 25ft. 6-29 Remitir al problema 6-18. Una prueba puede hacerse a un costo de US$25,000 para determinar el tipo de formación subterránea (tipos I, Il, YIlI). Esta formación se relaciona con el tipo de pozo, pero la relación es imperfecta; la siguiente tabla ilustra la relación histórica entre el tipo de pozo y la formación subterránea de 25 pozos seleccionados de manera aleatoria desde los sitios cercanos al pozo del problema. Hechos históricos (25 pozos)

~ión

I

11

1/1

Total

Seco

O

O

Gas

4 1

9

O

4 10

Combinación petróleo, gas

O

6

O

6

Petróleo

O

O

Total

5

15

5 5

5 25

Tipo de pozo

Si se hace la prueba y luego se decide no perforar, ya no puede venderse el contrato de arrendamiento por US$75,000: sus potenciales compradores concluirán que si no se decidió perforar, ellos tampoco deben hacerlo; de ese modo, el contrato tendrá un valor cero después de un resultado de prueba sin perforación. Trazar un árbol de decisión para este problema. ¿Debe venderse el contrato sin realizar la prueba, perforar sin hacerla o realizar la prueba? Si se decide esto último, ¿bajo qué circunstancias se haría después la perforación? ¿Cuál es el VME máximo? 6-30 La gerente de tarjetas de crédito de un. banco comercial debe aprobar o rechazar las solicitudes de tarjetas de crédito de la entidad. En la actualidad, ella utiliza un procedimiento de puntaje donde se califica una serie de características en la solicitud de un cliente, por medio de determinados parámetros numéricos. Con base en el puntaje ponderado total, un solicitante se califica como bueno o malo si el puntaje excede o queda por debajo del límite predeterminado para el mismo. Recientemente, la gerente está considerando un procedimiento alternativo en donde un solicitante sería rechazado si el puntaje cae por debajo de un nuevo límite inferior, aceptado si se encuentra por encima de un nuevo límite superior, y para investigación posterior si queda en medio de ellos. Investigación posterior implica una indagación extensiva del crédito a un costo de US$50 cada una. Los datos disponibles se encuentran en las tablas que se muestran. Los grupos Muy bueno y Muy malo se determinan sólo por el puntaje; los otros dos grupos se forman después de la verificación del comité de crédito. El banco ha establecido el valor presente de la utilidad futura para un solicitante válido en US$400 y el valor presente de las pérdidas en que se incurre por un aspirante No válido en -US$200. a. Con base en la información anterior, ¿ el sistema propuesto es preferible al actual? ¿Por qué? Para 1,000 solicitantes, ¿cuál es el VME en términos de valor presente? b. Para mejorar el sistema actual, ¿qué información adicional debería tenerse? ¿Cómo se obtendría está información en la práctica? Sistema actual (resultados para 1,000 solicitantes)

~ Clasificación actual sólo por puntaje Bueno

Válido

No válido

Total

400

100

500

Malo

*

*

500

Total

*

*

1,000

• No puede determinarse el comportamiento de pago de los solicitantes cuyas solicitudes fueron rechazadas.


271

Sistema propuesto (resultados estimados para 1,000 solicitantes)

Desempeño acual Clasificación propuesta por puntajerih verificación del cré ita cuando se indiau

Válido

No válido

Total

Muy buena (sólo puntaje)

350

50

400

Buena (puntaje + verificación)

150

100

250

Malo (puntaje + verificación)

•

•

50

Muy malo (sólo puntaje)

·

•

300

Total

•

•

1,000

• No puede determinarse el comportamiento de pago de los solicitantes cuyas solicitudes fueron rechazadas.

PROBLEMAS ESPECIALES 6-31 Evergreen Pharmaceutical Company contempla una invitación a invertir en Startup Biotech, una empresa vinculada a la investigación, que puede lograr una droga efectiva para reducir los problemas de la próstata en hombres mayores. Startup necesita dinero para investigación y desarrollo, más dinero en unos años para pruebas clínicas y, finalmente, dinero para el equipo de procesamiento en seis o siete años. A cambio, Evergreen obtendría parte de la propiedad de Startup. Carol Evers es CFO en Evergreen y es responsable de evaluar esta clase de asuntos. Ella los considera como opciones de acciones. Los detalles del plan ofrecido sonlos siguientes: Evergreen invertiría US$2 millones ahora, que le ayudarían a financiar la actividad de I&D para la nueva droga durante los próximos tres años. Si el trabajo de I&D tiene éxito, la empresa necesitaría US$2 millones adicionales para pruebas clínicas. Evergreen tendría la opción de suministrar esta suma o podría dar por terminado el acuerdo con Startup. La prueba clínica duraría otros dos años y tendría éxito completo, éxito parcial o no tendría éxito. Si las pruebas se completaran satisfactoriamente, Startup sólo necesitaría US$2 millones para el equipo de procesamiento. Si las pruebas no tuvieran éxito, la droga no saldría al mercado. Evergreen tendría la opción de suministrar estos US$4 millones (en caso de éxito completo)· o US$2 millones (cuando las pruebas tuvieran éxito parcial) o tendría la opción de terminar el acuerdo con Startup. A cambio de sus inversiones, Evergreen obtendría parte de la propiedad accionaria de Startup. Si la droga se desarrollara y las pruebas clínicas fueran completamente exitosas, esto sería muy valioso aunque habría una gran incertidumbre sobre cuánto. En este momento, Evergreen considera que tie-

ne 10% de oportunidad de que el valor fuera US$50 millones, 20% de que fuera US$30 millones, 30% de que fuera US$20 millones y 40% de oportunidad de US$10 millones. Del otro lado, si las pruebas clínicas sólo tuvieran éxito parcial, habría 60% de oportunidad de que valieran sólo US$5 millones, 20% de que valieran US$10 millones y 20% de que valieran US$20 millones. Si las pruebas clínicas no tuvieran éxito, el valor sería cero. Finalmente, con base en la experiencia con otras empresas similares, Evergreen considera que hay sólo 50% de oportunidad de que el esfuerzo de I&D tenga éxito. Si se llega a la etapa de pruebas clínicas, evalúa en 50% la oportunidad de que fueran completamente exitosas, 20% de éxito parcial y 30% de que no tuvieran éxito alguno. Evergreen tiene la opción de terminar su contrato con Startup en cualquier momento. Evergreen no recibiría nada de Startup. Elaborar el diagrama del problema que enfrenta Evergreen. No tomar en cuenta ninguno de los aspectos asociados con el descuento de los flujos de efectivo en este problema simplificado. Ingresar las probabilidades en el árbol y los flujos de efectivo netos al final del mismo. Retroceder a través del árbol e indicar que debe hacer Evergreen.¿Cuál es el VME? 6-32 Football Concessions tiene la franquicia para vender bebidas gaseosas, perros calientes y demás, durante los juegos de fútbol de Wombat University como local. Ésta era una operación rentable ya que la muchedumbre podía estimarse con precisión razonable y podía comprarse la cantidad apropiada de alimentos. Sin embargo, un fin de semana de noviembre, Wombat fue retado para jugar contra su archirrival, Carbunkle u., lo que planteó un problema para el

272


concesionario. Ambos equipos estaban invictos y el ganador estaba seguro de conseguir una invitación para el Bowl. Las ventas anticipadas de boletos indicaban que si el clima era bueno, podía esperarse una multitud superior a 80,000 personas. De otro lado, ese viernes estaba 110viendo y los pronósticos del tiempo señalaban posibles aguaceros o l1uvias para el sábado. Si la l1uvia era fuerte, era probable que sólo se presentara una multitud de 20,000 personas. El concesionario tenía que pedir la comida el viernes; por 10 general, ordenaba sobre una base de US$0.50 por persona y esto había demostrado una precisión razonable en el pasado. Él obtenía una utilidad bruta de 100%, es decir, el precio de venta era el doble del costo. En genera~ podía ahorrar 20% del valor (costo) de cualquier artículo que se le quedara. El concesionario estableció las siguientes probabilidades para las diferentes cantidades de asistentes. En general, consideraba que si había buen tiempo, llegaría una gran multitud y que si llovía se presentaría muy poca gente. La posibilidad de una asistencia intermedia, en su opinión, era menos probable.

Tamaño de la multitud

Probabilidad

20,000

0.30

40,000

0.20

60,000

0.10

80,000

0040

1.00 ¿Cuánta comida debe ordenar el concesionario? 6-33 Pocatel1o Patato Products (PPP) compra papas frescas en Idaho y las procesa como papas a la francesa congeladas y otros productos de papa congelada. PPP compra las papas de dos maneras: por contrato previo a la estación y en el mercado abierto. Con un contrato previo, suscrito antes de sembrar la cosecha, el procesador (PPP) acepta comprar la cosecha de papa a un cultivador a un precio determinado por quintal de papas. Para la estación actual, el precio de este tipo de contrato es de US$4 por quintal. Como alternativa, PPP puede esperar hasta la recolección de la cosecha de papa y comprar de acuerdo con sus necesidades en el mercado abierto a los precios prevalecientes en él. En los últimos años, los precios del mercado de papas en Idaho han fluctuado de manera considerable, pasando desde US$2 hasta US$8 por quintal. Anteriormente, PPP suscribía el contrato previo a la estación para la mitad de sus necesidades y completaba la otra mitad con compras en el mercado abierto. La presidenta de la empresa está reconsiderando esta decisión. El1a piensa que el precio de US$4 del contrato es demasiado alto y que hay tres de cuatro oportunidades de que el precio del

mercado sea US$4 o menos, De hecho, ella ha evaluado con sumo cuidado una distribución de probabilidad para los posibles precios de las papas en el mercado abierto:

Precio en el mercado abierto (dólares por quintal)

Probabilidad

US$2.50

0.02

3.00 3.50

0.10

4.00

0.20

4.50

0.12

5.00

0.06

5.50

0.04

6.00

0.03

6.50

0.02

7.00

0.01 1.00

0.40

Debido a otros requerimientos (espacio de almacenamiento, etc.) PPP no desea tener menos de 30% de sus requerimientos bajo contrato previo a la estación y no más de 70%. El año próximo, PPP necesitará dos mi110nes de quintales de papas para procesar. Suponiendo que la empresa desea minimizar el costo esperado de las compras de papa, ¿cómo debe suscribir el contrato previo a la estación? ¿Qué se le recomendaría a la presidenta de PPP? 6-34 Un laboratorio químico está construyendo una planta para comercializar Agrixon, un nuevo químico utilizado principalmente en agricultura. El laboratorio no está seguro de la demanda del producto durante el año inicial de ventas. Sin embargo, se evaluó la siguiente distribución de probabilidad:

Demanda de Agrixon para el año inicial (kilogramos)

Probabilidad

800

0.2

1,000

004

1,200

0.3

1,400

Q1 1.0

Agrixon se produce en una máquina para propósito especial. Cada una de esas máquinas alcanza una producción anual de 200 kilogramos del producto. El costo fijo de comprar y operar una máquina es de US$560,000 al año incluyendo supervisión, mantenimiento y otros cargos fijos, más los costos anuales de interés y equipo. La utilidad de la pro-

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre ducción de un año de una máquina (sin incluir costos fijos) es de US$1.3 millones y la demanda es suficiente para operar la máquina durante todo el año. El problema que enfrenta el laboratorio químico es decidir cuántas máquinas debe instalar en la planta el primer año. El segundo año y los siguientes representan un problema menor porque el laboratorio puede comprar máquinas adicionales si las necesita y cualquier cantidad no utilizada puede absorberse en años futuros cuando la demanda crezca. ¿Cuántas máquinas debe instalar ellaboratorio para maximizar la utilidad neta esperada en el primer año? 6-35 Little Electronics Company entabló un pleito por prácticas desleales y comercio ilegal contra Arte Computers; pide una indemnización de US$10 millones por daños. El 4 de noviembre, Little recibe una oferta de Artex para que desista, a cambio de un pago de US$3.5 millones. La gerencia de Uttle debe decidir si acepta la propuesta o continúa con el juicio. Los abogados están de acuerdo con que hay dos de tres posibilidades de que la empresa gane. No obstante, el asunto está en que inclusive si Uttle gana, las oportunidades son sólo una de dos de que el juez conceda el pago de US$lO millones; es igualmente probable que el juez conceda un pago parcial de US$5 millones. Además, los abogados estiman que costará casi US$200,000 los honorarios legales entre noviembre y junio (cuando el caso llegue a la etapa de audiencia), más otros US$100,000 por el mismo concepto por encargarse del caso (el cual se espera que dure tres meses). Al hacer la oferta por US$3.5 millones, Artex enfatizó en que era una oferta final y que la mantendría únicamente por 30 días. Sin embargo, la gerencia y los abogados de Little están de acuerdo con que el demandado hará una nueva oferta en junio, antes de que comience el juicio. Después de pensarlo un poco, se decidió que 0.60 es un buen estimado dela probabilidad de una nueva oferta de Artex en junio, y si se realiza, las oportunidades son 7 de 10 de que será de US$4.5 millones y 3 de 10 de que será de US$5.5 millones. Si Artex no mantiene la oferta en junio, Little puede iniciar un proyecto de acuerdo. En este caso, tendrá que aceptar US$2.5 millones porque Artex interpretará la acción como una debilidad. Elaborar el diagrama del problema de decisiónque enfrenta Little Electronics. Si esta empresa desea utilizar el VME para tomar esta decisión, ¿qué estrategia debe usar? 6-36 A comienzos de enero, Etta Laboratories recibió un pedido de 10,000 onzas de su nuevo producto, calbonita, un ingrediente que se utiliza para fabricar una nueva variedad de drogas. Este fue bastante mayor que el pedido más grande recibido hasta entonces por el producto; el total de la producción del año anterior había sido sólo de 1,200 onzas. El pe· dido establecía enviar 5,000 onzas en junio y el resto en noviembre.

273

El proceso que ahora se utiliza para sintetizar la calbonita es largo e implica procesar pequeños lotes de materia prima a través de varias etapas. El laboratorio tendría que invertir US$50,000 en nuevo equipo para lograr una capacidad de producción de hasta 1,000 onzas mensuales, el nivel necesario para cumplir con el pedido. (Se tomaría el mes de enero para pedir y configurar el equipo). Se sabe que el costo de producción variable por onza utilizando este proceso es de US$15. Uno de los químicos de investigación de Etta acaba de descubrir un nuevo proceso para sintetizar la calbonita; si pudiera hacerse a gran escala, simplificaría enormemente el proceso de producción con ahorros potencialmente grandes en costos. En general, un descubrimiento de este tipo se probaría intensamente en el laboratorio y en una pequeña planta piloto para garantizar su funcionamiento y estimar los costos de producción. Esto tomaría cerca de un año. Sin embargo, debido a los ahorros potenciales, la gerencia se pregunta si podría reducirse este período de prueba. El departamento de ingeniería sugiere un programa de prueba de choque que duraría cinco meses. Al final de ese período, se sabría si el proceso funciona o no, y se determinarían los costos de producción. Esta prueba cuesta US$20,000 más que la prueba extendida. Se estimó que hay 0.9 de oportunidad de que el nuevo proceso funcione. Además, en este último caso, las oportunidades son 4 de 10 de que costaría US$10 por onza y 2 de 10 de que sería US$18 por onza. Si en esta etapa se tomara la decisión de usar el nuevo proceso, el mes de junio podría utilizarse para configurar el nuevo equipo de fabricación. Por tanto, si se utiliza este programa de prueba, ellaboratorio tendría que preparar y procesar las primeras 5,000 onzas utilizando el proceso antiguo. Además, sólo se necesita cargar los costos incrementales asociados con la prueba de choque frente a la alternativa. Como este laboratorio probaría y compraría el equipo para el nuevo proceso si las pruebas tuvieran éxito, independientemente de la decisión, en ésta no es necesario considerar los costos asociados con estas actividades. a. Trazar un árbol de decisión para este problema. b. ¿Qué decisiones deben tomarse? ¿Cuál es el costo esperado por cumplir este pedido? 6-37 Mary Lamb debe decidir qué hacer con un edificio de apartamentos que heredó de su tía abuela en Walla Walla. Si lo vendiera hoy, obtendría US$100,000. Como Mary no necesita el dinero de inmediato, está considerando conservar la propiedad para venderla más tarde. Mary puede vender el edificio ahora, al final del año próximo (año 1) o del año siguiente (año 2). Ella decidió no conservarlo más de dos años. Por cada año que Mary mantiene el edificio, recibe US$5,000 en arriendos (en realidad la renta menos los cmJtos de Opvr¡lción). Mary consultó con los expertos de finca raíz de Walla Walla y evaluó las siguientes probabilidades sobre el aumento o la

274


disminución en el valor de la propiedad: durante cada año (años 1 y 2) hay 20% de oportunidad de que el valor del edificio aumente en US$10,000 y 80% de oportunidad de que el valor disminuya en US$10,000 (los negocios son un poco inestables en Walla Walla). Estas son las probabilidades generales para cada año. Sin embargo, lo que suceda en el primer y segundo año no es independiente. Mary cree que si el valor aumenta en el primer año, entonces hay 60% de oportunidad de que lo mismo ocurra en el segundo. De hecho, si el valor desciende en el primer . año, habrá cambios correspondientes en las probabilidades del segundo año, sujetos a las probabilidades generales mencionadas antes. Inicialmente, Mary decide considerar sólo la cantidad recibida por la venta del edificio (incluyendo 16s aumentos o disminuciones en el valor, si los hubiera) más la cantidad recibida por la renta. (No debe tenerse en cuenta descuentos, impuestos u otras complicaciones). a. Elaborar el diagrama del problema de decisión que enfrenta Mary. Incluir los valores del rendimiento al final del árbol y los valores de probabilidad donde corresponda. b. ¿Qué decisión debe tomar Mary? c. (Opcional). Suponer una tasa de descuento de 15%. ¿Qué decisión debe tomar Mary? (Con este descuento, los flujos de efectivo recibidos al final del año 1 valdrían 1/1.15 = 0.87 dólares de valor presente; los flujos de efectivo recibidos al final del año 2 valdrían 0.76 dólares de valor presente). 6-38 Artex Computers va a comprar 10,000 unidades de una pieza que va a ensamblar en sus productos. El pedido tiene que hacerse con el licitante más barato, por un total de 10,000, programado para entregas mensuales de 1,000 unidades durante los siguientes 10 meses. Frank Machine Shop (FMS) va a licitar en este pedido. En su intento por fijar un precio para la licitación, el señor Frank considera dos posibilidades. El primer factor se refiere a las oportunidades de FMS de ganar la licitación. Finalmente, el señor Frank decide considerar sólo dos ofertas: US$12 o US$13 por unidad. Él estima que las oportunidades son de dos tercios de ganar con el primer precio y de un tercio con el segundo. El segundo factor relacionado con la decisión es el costo de fabricación por unidad para FMS. Se dispone de dos procesos de producción: el primero, proceso A, se conoce porque el costo es de US$lO por unidad. El segundo, proceso B, es el que FMS no ha usado antes. La supervisora jefe dice que con este último hay un cuarto de oportunidad de que el costo por unidad sea de US$9; un medio de que sea de US$10, y un cuarto de que sea de US$l1. La supervisora jefe desea realizar un experimento con el nuevo proceso (B); con el que podría producir de 10 a 15 unidades; y con la experiencia que obtenga, ella cree que podría estimar el costo

unitario con acierto. El costo de esta prueba sería de US$500. Cuando se le pidió ser más específica sobre cuál sería la precisión del estimado de costos, presentó la tabla que se muestra. El señor Frank no está seguro de que esta información sea del todo relevante para su problema. El contador sostiene que la prueba sugerida puede ser valiosa pero debe realizarse antes de ganar la licitación. De otro modo, afirma, la empresa puede gastar US$500 y luego no ganar el contrato. La supervisora cree que la prueba debe hacerse antes de la licitación ya que puede influir en el precio de FMS: ¿Qué acciones debe tomar FMS? ¿Cuál es la utilidad esperada? Oportunidades de varios costos estimados

Costo estimado del supervisor US$9 10 11

Costo real por unidad US$9

0.8

US$10 0.1

0.1

0.8

US$11 0.1 0.1

º-1

º-1

0.8

1.0

1.0

1.0

6-39 Breezy Breakfast Foods Company considera comercializar un nuevo cereal para el desayuno. Si tiene éxito, significará una utilidad de US$10 millones (valor presente) durante la vida del producto. Si no tiene éxito, se incurrirá en una pérdida de US$2 millones de la inversión. En la actualidad, la gerencia piensa que hay una oportunidad de 50-50 de que el producto tenga éxito. Dos empresas de investigación de mercados se han acercado a Breezy con propuestas para obtener más información. Attitude Surveys reúne datos sobre las actitudes del consumidor con respecto a características específicas de un producto, como dulzura, contenido calórico, valor nutritivo, etc., y' produce un pronóstico de éxito o fracaso. De los 50 estudios realizados recientemente por esta empresa sobre productos similares, su experiencia es como sigue: Experiencia de Attitude Surveys

~I

Pronóstico

Éxito

Fracaso

Éxito

20

5

Fracaso

5

20

Una segunda empresa, Market Competition, Inc. realiza análisis de una manera completamente diferente e independiente. Esta empresa hace análisis extensivos sobre productos competitivos y hace recomendaciones de éxito

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre o fr~caso con base en la cantidad y calidad anticipada de los productos. Su experiencia con SO estudiases como sigue:

Experiencia de Market Competition

~al Pronóstico

Éxito

Fracaso

Éxito

22

3

Fracaso

O

25

Attitude Surveys cobra US$100,000 por estudio y Market Competition cobra US$lS0,000. a. Considerar sólo a Attitude Surveys. Utilizar un árbol de decisión para establecer si Breezy debe comprar o no este estudio. b. Considerar sólo a Market Competition. Utilizar un árbol de decisión para determinar si Breezy debe comprar o no este estudio. 6-40 MBA Movie Studio debe decidir cómo distribuir su nueva película Claws. La cinta tiene el potencial para convertirse en un gran éxito financiero (un "éxito de taquilla"), pero los ejecutivos no están seguros porque el tema es controvertido. Ellos han visto algunas películas catalogadas como éxitos de taquilla convertirse en fiascos con consecuencias financieras desastrosas. La decisión que enfrenta MBA es si debe poner o no en cartelera esta película sobre una base limitada de exhibiciones privadas y sorpresivas. Esto significa que Claws se exhibirá en unas cuantas salas de cines seleccionadas durante los primeros seis meses. Después de ese tiempo, se hará ellanzamiento a nivel general. Si se convierte en un éxito, éste es claramente el mejor enfoque porque el estudio obtiene una utilidad considerable en los lugares seleccionados. La otra alternativa es lanzar el filme para una distribución inmediata y amplia. Las utilidades de las dos opciones se presentan en la tabla siguiente y se clasifican en términos de éxito de taquilla, éxito medio o fracaso.

275

Utilidades de la película Claws Nivel de éxito de taquilla

Probabilidad 0.3 0.4 0.3 1.0

Medio Fracaso

Acciones Lanzamiento Lanzamiento inicial limitado amplio . US$22 millones 8 -10

US$12 millones 8 -2

Hay una gran discusión en MBA acerca del potencial de Claws. Finalmente, la gerencia acordó las probabilidades que se presentan en la tabla, pero la decisión aún no es clara. Una posibilidad es tener unos cuantos estrenos preliminares sorpresivos y captar las opiniones de la audiencia. El costo de un proceso de esta clase estaría cercano a US$SO,OOO y varios ejecutivos de la distribuidora piensan que se desperdiciaría el dinero, ya que este tipo de exhibiciones tiende a calificar una película como buena o sobresaliente aunque después se convierta en un fracaso. Para sustentar esto, se produjo la siguiente tabla que describe la experiencia pasada de la distribuidora con las reacciones ante 40 estrenos preliminares sorpresivos.

Reacción de la audiencia en estrenos preliminares sorpresivos Éxito real de la película Audiencia

Éxito

Medio

Fracaso

Totales

Sobresaliente Buena Mala Totales

9 1

12 6

3 5

24 12

-º 10

-.2

~

-.A

20

10

40

a. Trazar el árbol de decisión para este problema. b. Calcular las probabilidades aposteriOli para Éxito, Medio y Fracaso dadas las diferentes reacciones de la audiencia. c. Si MBA quiere basar su decisión en el valor monetario esperado, ¿qué decisión deber tomar MBA Movie Studio acerca de la película Claws?

CASO 6-41 MAILMART Mailmart es una empresa de ventas por catálogo que está creciendo y se especializa en "juguetes para niños y niñas que crecen". Se caracteriza por una línea especial d~ herramientas para carpintería y jardín, juegos y rompecabezas, y elementos para manu~lidades como bordados. Mailmart produce y envía un catálogo trimestral a una selecta lista de correo constituida principalmente por antiguos clientes. Con el ánimo de expandirse, Mailmart ocasionalmente alquila una lista de correo de una fuente externa como el catálogo de otra compañía, una empresa de tarjetas de crédito o una revista. La empresa acaba de recibir una oferta para alquilar una lista de correo especial de Carleton, Inc., que se especializa en esa área. Carleton anuncia que esta lista ha sido creada especialmente para Mailmart y contiene nombres únicamente de personas con el

276


perfil del cliente correcto (nivel de ingresos, edad, finca raíz, antiguos compradores del catálogo). Sin embargo, la lista es costosa. Específicamente, Carleton pide US$100,000por la lista de 100,000 nombres. Tanya McDonald es la presidenta de Mailmart y no está segura si alquilar la lista. Además de los US$100,000 de su costo, la empresa tendría que invertir US$150,000 en impresión y envió de los catálogos. De ese modo, tendrían que invertirse US$250,000 antes de lograr alguna venta. Tampoco está segura de las ventas que podrían conseguirse. Para ayudarse en la toma de estas decisiones, Mailmart se enfoca en el valor de la venta promedio según el primer pedido del cliente. Usualmente, la cantidad promedio del primer pedido es sólo de US$l por nombre de la lista de correo (observar que 90% o más no piden nada) y McDonald juzga que hay 0.70 de probabilidad para esto. No obstante, considera que hay alguna oportunidad de que la lista de Carleton en realidad sea especial y produzca un promedio, en el primer pedido, de US$4 por nombre de lista (con 0.20 de probabilidad) o de US$7 (con 0.10 de probabilidad). Con base en la experiencia anterior, Mailmart estima que por cada dólar del primer pedido, la empresa logra una utilidad descontada de US$1.20. Esto teniendo en cuenta que un cliente que pide la primera vez tiene una buena posibilidad de volver a hacerlo en el futuro y convertirse en un cliente habitual. Teniendo esto en cuenta, McDonald resumió los rendimientos si alquila la lista, en la siguiente tabla:

Evento

Probabilidad

Rendimiento descontado (miles de dólares)

Pedido promedio es de US$1 Pedido promedio es de US$4 Pedido promedio es de US$7

0.7 0.2 0.1

-US$130 US$230 US$590

a. Suponiendo que ella está encargada de la decisión del valor esperado, ¿qué deci-

sión debe tomar y cuál es el valor esperado?

b. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta? Antes de tomar una decisión acerca de la lista de correo de Carleton, McDonald tiene una idea. Ella llama a Carleton y les pide una muestra aleatoria de, por decir algo, 500 nombres de la lista, que Mailmart utilizaría como una muestra de prueba para toda la lista. Carleton piensa que es una buena idea, pero insiste en cobrar por la muestra. Se celebra una reunión para negociar este valor. Como preparación para la reunión, McDonald hace algunos cálculos con base en la experiencia pasada con la variabilidad de las cantidades de los pedidos y considerando el tamaño de la muestra de 500 nombres. Es decir, calcula el nivel de error que la muestra podría tener en cada uno de los casos mencionados arriba. Estos cálculos son resultado de probabilidades condicionales: probabilidades de distintos estimados de la muestra, dado el verdadero potencial de la lista de correo, que se muestra en la tabla 6-20. c. Trazar el árbol de decisión para este problema ampliado. Completar las probabilidades en el árbol y los rendimientos al final del mismo. Para propósitos de este análisis, no tenga en cuenta ninguno de los costos de utilizar la muestra de nombres suministrada por Carleton. ¿Qué decisiones deben tomarse? d. ¿Cuál es la cantidad máxima que Maimart debería estar dispuesta a pagar a Carleton por la lista de prueba?

CASO 6-42 WABASH SKI AREA Susan Parks, analista jefe del Departamento de Bosques Estatal, está formulando una recomendación al gobernador acerca del área propuesta de Wabash Ski. Originalmente, él departamento había propuesto un centro vacacional para esquiar, de tipo resorl; no obstante,


277

TABLA 6-20

Probabilidades condicionales Probabilidad (Estudio del estimado/ Potencial verdadero)

Potencial real de toda la lista de correo promedio

Estudio del estimado' (cantidad promedio en dólares del primer pedido en la muestra) Menos de US$2.50 por nombre Entre US$2.50 y US$5.50 por nombre Más de US$5.50 por nombre Total

Primera venta =US$1

Primera venta =US$4

Primera venta =US$7

0.92

0.10

0.06

0.08

0.80

0.16

o

0.10 1.00

0.78 1.00

1.00

• Promedio en dólares del primer pedido en la muestra.

debido a la escasez de gasolina, la inflación y otros factores, se han cuestionado los estimados originales sobre el número de personas que utilizarían el lugar. También se han propuesto otras dos opciones. Una de ellas es construir instalaciones más pequeñas y ampliarlas al cabo de dos años, si la demanda lo justifica. La otra alternativa es posponer todo el proyecto durante dos años. Parks reunió los estimados de costos, ingresos y probabilidades relacionados con las distintas posibilidades. Costará cerca de US$15 millones construir una instalación de tamaño completo de una vez. Si se construye una más pequeña, costará US$12 millones la parte inicial y US$6 millones la expansión posterior. Parks decidió utilizar tres niveles de demanda potencial para esquiar en Wabash: alta, media y baja. Los costos e ingresos para estos casos se presentan en la tabla 6-21. El Departamento de Bosques útiliza una medida de los beneficios para evaluar este tipo de proyectos. La medida de los beneficios incluye ingresos y costos en dólares, pero también incluye un valor por los beneficios de recreación que brinda la instalación (con una tasa de US$l por visitante diario). Después de consultar con sus colegas, Parks estima que hay 0.10 de probabilidad de que la demanda en los siguientes dos años sea alta, 0.60 por la demanda media y 0.30 por la baja. La demanda más allá del segundo año depende de lo que ocurra durante los primeros dos años. Estas probabilidades también se han evaluado y se presentan en la tabla 6-22. Considerar un período de 15 años para evaluar este proyecto y calcular el total de beneficios netos en ese tiempo. No incluir partidas por inflación, descuentos o crecimiento

Ingresos anuales por arrendamientos y concesiones Visitantes anuales por dia (en miles de dólares) (en miles)

TABLA 6-21

Estimado de visitantes diarios y de costos del área de Wabash Instalación agran escala Demanda alta Demanda media Demanda baja Instalación aescala más pequeña Demanda alta Demanda media Demanda baja

Costos fijos (en miles de dólares)

Ingresos netos (en miles de dólares)

Beneficios netos ponderados' (en miles de dólares)

800 500 200

US$2,400 1,600 600

US$700 700 700

US$1,700 900 -100

US$2,500 1,400 100

500 400 200

US$1,600 1,000 600

US$400 400 400

US$1,200 600 200

US$1,700 1,000 400

* Los beneficios netos ponderados incluyen los ingresos en dólares y los visitantes diarios avaluados en US$1 por día.

278


=i&SW¡¡¡¡¡;;;;¡;p¡;¡".• ,iiStiCmk=~¡SA

TABLA 6-22 Probabilidades para la demanda en la instalación de Wabash, después del año 2

Demanda hasta el año 2

Demanda después del año 2

Probabilidad

Alta

Alta

1.0

Media

Alta Media Baja

1/3 1/2 1/6

Baja

Alta Media Baja

1/6 1/3 1/2

en la demanda, diferentes a los que se indican en estas tablas. Suponer que al final de los dos años, el Departamento de Bosques podrá evaluar con certeza la demanda para los 13 años restantes. Finalmente, suponer que el departamento quiere usar los beneficios netos esperados como un criterio para hacer su recomendación al gobernador. a. Trazar el diagrama de este problema de decisión como un árbol de decisión. b. Completar las probabilidades y beneficios en el árbol.

c. ¿Quérecomendaciones deben hacerse al gobernador?

CASO 6-43 PARTICULAR MOTORS En junio de 1998, el director administrativo de Particular Motors, empresa australiana fabricante de automóviles, estaba considerando el futuro dei modelo Torana, que en ese momento se ofrecía con la opción de un motor L4 (cuatro cilindros importado de Alemania) o del tipo L6 o V8, ambos fabricados en Australia. Una modificación importante de este modelo estaba programada para salir al público en febrero de 2001. Una decisión importante implicaba si la empresa debía construir o no su propio L4 en Australia. Estanación, como cualquiera otra, se enfrentaba a la crisis de energía. El gobierno de Camberra estaba considerando seriamente ordenar un aumento sustancial en el precio de la gasolina. Un incremento de esa naturaleza aumentaría las ventas del Torana con el motor L4 más pequeño, y disminuiría las de los motores L6 y V8. El gobierno podía fijar tres posibles precios a la gasolina: $Al.l0, $A1.35 y $A1.60 (dólares australianos) por litro. El departamento de ventas estimó las ventas de los tres modelos para un período de tres años -2001 a 2004- como sigue (en 2004 habrá una modificación del Torana). Total de ventas en tres años del Torana con

Precio de la gasolina

Motor L4

$A1.10 1.35 1.60

25,000

eo,ooo 120,000

va

Motor LB

Motor

75,000 75,000 50,000

20,000 15,000 10,000

u:m:Giu;;t\i...... Q./Il~¡¡¡¡¡;¡¡.a.~.ffii¡¡¡¡¡¡¡;¡;\

La contribución de cada tipo de vehículo es:

Modelo Torana con motor L4 importado Torana con motor L4 australiano Torana con motor L6 Torana con motor

ve

Contribución a la rentabilidad por auto US$100 300 350

400

Total 120,000 170,000 180,000


279

El experto en relaciones públicas de Camberra se preguntaba acerca del porvenir de los precios de la gasolina. Después de una seria consideración, se evaluaron las siguientes probabilidades:

Precio de la gasolina (dólares australianos por litro)

Probabilidad

$A1.10

0.10

1.35

0.50

1.60

0.40 1.00

Un factor que complicaba la decisión sobre si construir o no el motor L4 en Australia era la posibilidad de la aprobación por parte del gobierno de la ley de contenido local. Esta ley, si era aprobada, obligaría a Toyota y Nissan a aumentar el contenido local de sus automóviles ensamblados en Australia, lo que fortalecería la compra de un motor L4 australiano. Había 60% de oportunidad de que esa ley fuera aprobada y Particular Motors negociaría entonces un contrato con Toyota y Nissan (suponiendo, claro está que decidiera producir el motor L4 en Australia) para suministrar 100,000 de esos motores en el período 2001-2004. La contribución de cada motor vendido a los japoneses se calculó en $AlOO. Para estructurar la fabricación del motor australiano, Particular Motors debía comprometer US$4 millones de dólares en 1998 (antes de que se conociera la decisión sobre la Ley de Contenido Local) para construir la línea de transferencia principal para el bloque del motor. La culminación de esta instalación de producción requería US$14 millones adicionales, pero esto se pospondría hasta después de que el gobierno decidiera el precio de la gasolina y de la aprobación o no de la ley de contenido local. Para cumplir con los requerimientos de los contratos con los japoneses, se requería una inversión adicional. Esto podía hacerse de dos maneras: una inversión de 1 millón de dólares en ese momento para incorporar los requisitos necesarios en el sistema de producción, y 1 millón de dólares adicional cuando el sistema se completara más adelante. Como alternativa, el sistema de producción podía modificarse (después de saber los precios del petróleo y de la Ley de Contenido Local), pero hacerlo en ese momento exigía 4 millones de dólares. (Nota: en este problema, todas las cantidades de dinero son en dólares australianos).

a. Trazar el árbol de decisión para el problema que enfrentaba Particular Motors. b. Incluir sólo los flujos incrementales de efectivo asociados con la decisión del motor L4. C.

Incluir en el árbol las probabilidades.

d. Encontrar la estrategia óptima para Particular Motors. ¿Cuál es el flujo incremental esperado? Ayuda: para simplificar ligeramente el árbol, tener en cuenta que el contrato con los japoneses se suscribiría sin importar el precio de la gasolina, si la Ley de Contenido Local se aprobaba y si, de hecho, Particular decidía fabricar un motor L4 australiano.

CASO 6-44 ABLE MEDICAL CLlNIC El comité de política médica de Able Medical Clinic está considerando la adopción de una política de control para la enfermedad de Blodget7. Una prueba nueva y económica (llamada prueba Fox) acaba de ser artunciada y algunos miembros del comité sostienen que Able debe probarla con todos los pacientes de la clínica. Señalan que la prueba cuesta sólo US$100 7 La enfermedad de Blodget es una ficción

y no tiene nada que ver con la realidad.

280


y es relativamente confiable con una sensibilidad y especificidad de 95% (es decir, los índices de falso positivo y falso negativo únicamente son de 5%). Para una persona con la enfermedad, hay 95% de posibilidad de que la prueba dé un resultado positivo correcto y 5% de que sea falso negativo. De modo similar, para una persona que no tenga la enfermedad, la prueba tiene 95% de posibilidad de dar correctamente un resultado negativo y 5% de que sea positivo. Los partidarios de realizar pruebas masivas afirman que es muy bajo el peligro de un diagnóstico errado, ya que puede administrarse una segunda prueba: la prueba Deer, que es absolutamente confiable y cuesta US$500. Una persona con resultados positivos en la prueba Fax puede tomar la prueba Deer para confirmar el diagnóstico. Los proponentes sostienen, además, que si se detecta en una etapa temprana, el costo del tratamiento de la enfermedad de Blodget es casi de US$3,OOO por paciente. En una etapa avanzada, la enfermedad es relativamente fácil de detectar, por lo general, a través de un examen médico común. Sin embargo, el costo del tratamiento en esta etapa es sustancialmente elevado, cerca de US$90,000, en parte debido, a que en ocasiones, se presentan complicaciones severas y la muerte en casos raros. Otro miembro del comité expresó su preocupación acerca del costo humano de los falsos positivos. Señaló que los pacientes a menudo se alteran mucho cuando el resultado de una prueba es positivo, a pesar de la afirmación de que es un falso positivo. Incluso, un índice de 5% de falsos positivos podría causar mucha ansiedad si se aplica a número amplio de pacientes de Able. El director médico no está seguro de cómo incorporar toda esta información y analizar el problema. No obstante, tiene dudas acerca de que cualquier política de pruebas debería aplicarse a todos los pacientes de la institución. En general, la enfermedad de Blodget afecta a las personas entre 20 y 30 años de edad, en especial a los hombres. El grupo de más alto riesgo es el de los hombres entre 20 y 30 años, que experimentaban ciertos tipos de rigidez y pérdida de movilidad en las articulaciones del hombro y la rodilla. Casi 1 de cada 10 de estos individuos padecen la enfermedad. Para los menores de 20 años y mayores de 50, el grupo de bajo riesgo, sólo 2 de cada 10,000 la tienen; en los demás, el grupo de riesgo medio, únicamente uno de cada 100 padece la enfermedad.

a. Seleccionar uno de los grupos de riesgo, por ejemplo, el grupo medio (una posibilidad de 1 de cada 100 para la enfermedad). Trazar el árbol de decisión para el problema que muestre los diferentes resultados de la prueba y las decisiones que pueden tomarse con esta información. Incluir en el árbol el caso de ninguna prueba. Agregar en el árbol los resultados en dólares y las probabilidades, y retroceder para hallar la mejor decisión.

b. Realizar el mismo análisis con los otros dos grupos. ¿Cuál es la mejor alternativa en cada caso? ¿Qué política se recomendaría para la clínica?

CASO 6-45 TElCO Son las 7 de la noche de la víspera Navidad en el centro de control de emergencia de Telco, la empresa de teléfonos del área de la Bahía de San Francisco. Larry Newttles, el gerente encargado, recibió varios reportes de los servicios de operadores que señalan que los clientes tienen dificultad para llamar fuera de sus áreas locales de marcación. Al revisar los listados de diagnóstico de las oficinas de conmutación, Larry teme que la mayor parte del problema se encuentre en una de las tres rutas de cables submarinos que cruzan la Bahía de San Francisco. Si son los cables submarinos es necesario identificar tan rápido como sea posible cuál es la causa del problema y aislar el sito que tiene dificultades. Sólo después de hacer esto podrán reenrutarse las llamadas. La úni~a manera de identificar cuál de los tres cables está fallando (y dónde) es enviar un remolcador con una cuadrilla de trabajo a revisar cada cable por intervalos seleccionados y aislar el del problema. Este proceso de búsqueda tiene que hacerse con base en ensayo y error, con un cable a la vez. Telco está preparada para una emergencia de esta clase. Realizó un estudio detallado de los tres cables y de cómo podría ocurrir el problema. El estudio tuvo en cuenta la longitud del cable, el tiempo de funcionamiento y la cantidad de rutas navieras que lo atraviesan. Con base en estos datos, Telco evaluó las probabilidades de los problemas del cable como sigue (se supone que las probabilidades de que dos otres cables se encuentryn en problemas simultáneamente es de cero):


281

Probabilidad de problemas

Cable

Localización

Cable 1 Cable 2 Cable 3

San FranciscolOakland Sausalito/Oakland Hayward/San Francisco

0.3 . 0.5 0.2

Las probabilidades anteriores implican, por ejemplo, que si hay un cable en problemas, la posibilidad de que sea el número 2 y no el 3 es más del doble. También hay estudios disponibles que indican el número de llamadas por cada cable y los ingresos generados por estas llamadas. La época de Nochebuena es un tiempo pico de llamadas y las pérdidas en ingresos serían significativas si Telco no aísla con rapidez el cable en problemas. Estos son los estimados:

Cable

Pérdidas en ingresos (miles de dólares por hora)

Cable 1 Cable 2 Cable 3

$ 28 90 120

Para localizar el cable averiado, el centro de control de emergencias envió un remolcador y su cuadrilla con un costo de US$l,OOO por hora. Sólo se dispone de un remolcador. La cuadrilla tiene que revisar cada cable hasta que aísle el de la falla. El problema de decisión del centro de emergencia es decirle a la cuadrilla en cuál orden debe buscar. La experiencia del pasado indica que si un cable está defectuoso, a los trabajadores les tomaría casi una hora aislar la parte afectada y los procedimientos de enrutamiento podrían comenzar inmediatamente después. Sin embargo, si un cable no está averiado, al grupo le tomaría cerca de dos horas revisar todo el cable antes de pasar al siguiente. Por ejemplo, si el cable 3 en realidad es el afectado, pero la cuadrilla examina primero el número 1 y luego el 2, el tiempo total de búsqueda sería de 5 horas (dos de verificar el cable 1, dos de verificar el cable 2 y una para aislar el problema del cable 3).

a. Trazar el árbol de decisión que le ayudaría al gerente del centro de emergencia a decidir el orden en que debe trabajar el personal del remolcador para examinar los cables. Incluir las probabilidades en el árbol. (En los casos donde se haya revisado un cable sin hallar fallas en él, se supone que las probabilidades relativas para los otros dos no cambian). Incluir las unidades de evaluación (rendimientos) al final de las ramas del árbol de decisión. Suponer que Telco desea usar el costo total (ingresos perdidos más costo del remolcador y del personal), como la medida de rendimiento relevante. b. ¿Qué estrategia de búsqueda debe usar Telco?

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS b. Pérdida de oportunidad esperada

6-1. a. Valor monetario esperado Evento

p(Evento) Acción 1 Acción 2 Acción 3

0.35

A

1.4

1.05

0.70

B

0.45

1.8

2.70

2.25

C

0.20

0.8

1.20 4.95'

1.60 4.55

VME: 4.0 •

*Acción óptima.

T

Evento A B

C

Acción 1 O

0.90 0.80 COE: 1.70

, Acción óptima.

Acción 2

0.35 O

0.40 0.75'

Acción 3

0.70 0.45 _O

1.15

282


c.

Evento

Valor condicional bajo incertidumbre

A

4

B C

6 8

d.

p Evento

A B C

e. Valor monetario esperado bajo incertidumbre 5.70 Valor monetario esperado de la acción 4.95 óptima VEIP (además COE de la acción óptima) 0.75 6-2 a. Como no hay pérdida por sanción por los ejemplares sin vender, el operador deberá ordenar, por lo menos, 14 ejemplares o más para asegurarse de satisfacer la demanda. b. Véase la tabla 6-23. 6-3 a. Véase la tabla 6-24. Utilidad esperada de US$80,000. La mejor acción es introducir el producto. b. Véase la tabla 6-25. El VEIP es 20,000; COE de la mejor acción. c. El VEIP aumentaría de 20,000 a 30,000 y el VE de la mejor acción disminuiría de 80,000 a 60,000. La utilidad bajo certidumbre sería de 90,000 en lugar de 100,000. El VEIP aumenta debido a que la posible pérdida esperada asociada con introducir el producto es más grave.

Valor esperado bajo incertidumbre

(Evento)

Valor condicional

0.35

4

=

1.40

0.45

6

=

2.70

0.20

8

=

1.60

VME: 5.70

TABLA 6-23 Tabla de valor esperado (problema 6-2) :;::z;:::::u¡¡¡¡¡;a¡¡¡¿¡¡;;e

Acciones 11

10

Evento p(Evento) Demanda

10 11 12 13 14 VME:

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 1.00

12

14

13

ve

VE

ve

VE

ve

VE

ve

VE

ve

VE

2.00 2.00 2.00 2.00 2.00

0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 2.00

1.70 2.20 2.20 2.20 2.20

0.17 0.33 0.44 0.55 0.66 2.15

1.40 1.90 2.40 2.40 2.40

0.14 0.29 0.48 0.60 0.72 2.23

1.10 1.60 2.10 2.60 2.60

0.11 0.24 0.42 0.65 . 0.78 2.20

0.80 1.30 1.80 2.30 2.80

0.08 0.195 0.36 0.575 0.84 2.050

La mejor acción bajo condiciones de salvamento cero es Inventario 12.

Acciones TABLA 6-24 Tabla de valor esperado (problema 6-3a)

No introducir

Introducir Evento

p(Evento)

ve'

VE

ve

VE

30,000 demanda 40,000 demanda 50,000 demanda 60,000 demanda 70,000 demanda

0.05 0.10 0.20 0.30 0.35 1.00

(200,000) (100,000)

(10,000) (10,000)

o o o o o

o o o o

'Cálculo de ve:

30,000. 40,000. 50,000. 60,000. 70,000.

US$10 US$10 US$10 US$10 US$10 -

500,000 500,000 500,000 500,000 500,000

= (200,000)

= (100,000) =

= =

o 100,000 200,000

o

o

100,000 200,000 VME:

30,000 70,000 80,000

Q

o


TABLA 6-25 Tabla de pérdida esperada (problema 6-3b)

283

Acciones Introducir

No introducir

p(Evento)

PC·

PE

PC

PE

30,000 demanda

0.05

200,000

10,000

O

O

40,000 demanda

0.10

100,000

10,000

O

O

50,000 demanda

0.20

O

O

O

O

60,000 demanda

0.30

O

O

70,000 demanda

0.35

O

_0_

100,000 200,000

30,000 70,000

Evento

~g"º,QQ-~

1.00

tQQ,Qºº

Ingresos netos (millones de dólares)

FIGURA 6-14 (Problema 6-4)

Fijar precio alto Retraso de tiempo

(0.2) Fijar precio bajo Producto A Fijar precio alto (.8) Sin retraso de tiempo

3.28

Producto B

Producto

e

6-4 La estrategia óptima es introducir el producto A;

fijar un precio bajo si hay un retraso de tiempo; fijar un precio alto si no hay retraso. La rentabilidad neta esperada es de US$3.28 millones. El desarrollo del árbol se muestra en la figura 6-14. 6-5 a. Véase figura 6-15. b. La empresa debe construir la planta pequeña y ampliarla si el esfuerzo promocional capta una parte significativa del mercado. La rentabilidad neta esperada es de US$3.2 millones, 6-6 Con una probabilidad apriori de 0.4 para una recesión, no debe venderse. Es decir:

0.4(US$.8 millones) + O.6(US$1.3 millones) millones

= US$1.l0

que es mayor que US$1.0 millones. Para revisar la probabilidad apri01i: (sea B = aumento de las deudas de difícil cobro). Estado

Recesión Normal

Apriori (p)

p(BY2p)

0.4 0.6

0.8 0.3

p(B, p)

0.32 Q,j] p(B) = 0.50

p(pY2B)

0.64 0.36

Aposteriori P(pY2B)

284


FIGURA 6-15 (Problema 6-5)

Utilidad (millones de dólares)

Participación de mercado

Significativa

5

5

O

O

3.5

3.5

3

3

3

3

(A) Planta grande Moderada

(.6)

Expandir

No expandir*

Planta pequeña

Moderada (.6)

7

-1

9

• El supuesto aquí es que sin expansión, la firma puede mantener sólo una participación moderada de mercado.

Ahora sería apropiado vender. Es decir: 0.64(US$.8 millones) + 0.36(US$1.3 millones) = US$0.98 millones que es menor que US$l.O millones. El supuesto aquí es que sin expansión, la empresa puede mantener sólo una participación moderada de mercado. 6-7 La probabilidad del resultado de la prueba (los dos lanzamientos que no son 7 ni 11) es de 5/9 . 5/9 si los dados están cargados, y de 7/9 • 7/9 en caso contrario. Denominar el resultado de la prueba como S y el estado (cargados o no) como p. Entonces:

Si los dados están cargados, el resultado esperado por juego es 4 _,(-US$3) 9

5 . 7 -(US$1) = US$--· 9 . 9'

+

2

7

si no, "9{-US$3)

E(V) = 0.54(

+ "9 1(US$1

-~) + 0.46 G) = -USOJO

6-8 Véase tabla 6-26. Las probabilidades aposteliOli son:

peA lE) = 00.09 = 0.39 Estado

A priori

Cargado

0.7

Sin cargar

0.3

P(SI/2P)

P(S,p)

P(pY2S)

.23

(%J

=-

25 81

-

17.5 81

0.54

peA 1NC)

(¡J

49 81

14.7 81

0.46

PeA IF)

P(S)=

32.2 -81

1

=US$"9

0.15

=-

0.50

= OJO

0.06 == 0.22 0.27

P(B lE) = 0.61

P(B INC) = 0.70

P(B IF)

= 0.78

El árbol de decisión se muestra en la figura 616. El estudio no deberá realizarse ya que el valor neto es negativo (-0.122). Por tanto, el costo del estudio de US$O.2 millones excede el valor esperado (el cual es de 0.2 - 0.122 o US$O.078 millones).


Proyección del estudio

TABLA 6-26

Tabla de probabilidad conjunta (problema 6-8)

Nivel de ventas

Éxito

No concluyente

Fracaso


Alta

0.09

0.15

0.06

0.30

Baja

0.14

0.35

0.21

0.70


0.23

0.50

0.27

1.00

6-9 Véase tabla 6-27. Las probabilidades a postel1011 son:

peA lE)

!

285

= 0.20/0.25 = P(B lE) = 0.05/0.25 = P(AI NC) = 0.20/0.45 = P(BINC)=0.25/0.45 = 0.56 peA IF) = OJO/OJO = P(B IF) = 0.20/0030 =

a. Ver las ramas superiores del árbol. Sin el estudio, el producto debe introducirse. La utilidad esperada es de US$l millón. b. Cero. Como puede verse, el estudio no cambia la decisión de introducir el producto (en el caso de predicción de fracaso, cada acción tiene el mismo valor esperado). Por tanto, el estudio no tiene valor. La empresa desperdiciaría el costo de US$2 millones.

0.80 0.20 0.44 0033 0.67

El árbol se muestra en la figura 6-17.

Proyección del estudio

TABLA 6-27

Tabla de probabilidad conjunta (problema 6-9)

Nivel de ventas potenciales Éxito

No concluyente

Fracaso


0.20 0.25 0.45

0.10 0.20 0.30

0.5 0.5

0.20 0.05 0.25

Alta Baja Probabilidad marginal

FIGURA 6-16 Ventas altas Ventas bajas

(.3) (.7)


4 Ventas

-2 Altas Introducir

0.14

No introducir

(.39) Bajas (.61)

3.8 -2.2 -0.2

Altas Introducir

(.30) Bajas (.70)

No introducir

Altas Introducir

(.27)

No introducir

-.88

(.22) Bajas (.78)

3.8 -2.2 -0.2 3.8 -2.2 -0.2

286


Ejemplo motivador ':-

,;'; .-::..

: ' ::'

.. ;:,: • : ' , :

,:"

"~c.

:'.,'

_,_:",'

Decisión y análisis de riesgo en Du Pont1 : :~ ::'o : '_/'_~:_ . ::.":.':':_' : ::__ - - ~:_ - ,-:.__._ ~;~ ~ " ' < . « < ' " .".' _._:'

:::'.::

-:_••'. ':'::;_ '.';.

;:: -

_:!::::,:. ;_:

Du Pont, una de las más grandes empresas producto- ' ras de químicos en el mundo, también está vinculada. al petróleo, o la inedicina,o los químicos agrícolas y , a otros productos. La decisión y el análisis de riesgo se han empleado en la empresa de manera rutinaria , para evaluar decisiones estratégicas en las diferentes' divisiones y grupos de producto o negocios1 . La em, presa informó sobre una aplicación específica para un grupo de negocios que había tenido un desempe- ' ño satisfactorio pero descendente en el área financiera, debido a una pérdida de participación en, el mercado y una baja en los precios. Se formó un equipo de proyecto que trabajó con la gerencia en diferentes partes del negocio. Por razones' de confidencialidad, los detalles específicos no están disponibles, pero los productós se fabricaron en EE.UU., '

, lVéaseF.y. DrummandC.>ERolle; "ManagementaIld ApplicationofDecisionandRisk Analysis in DuPont'''

lnteifaces, November~December 1992, pp~ 84-93.

EuropayAsia,ysedistribuyeron ,a ,nivel' mundial. ,El .'" primer pas?fue definir de,Inanera ,apropiada el pro, bleiTIa y?e~an-0Yatlasalte~nativas. Se seleccionaron dos estrategias (iTIás el statu quo.del caso. base) para (estudio: una estrategia de diferenciación de'produc· to que incluía información del mismo y unaestrate~iade liderazgüeRcostos que involucraba eficiencia , en ,laprgduccipn para>lograr precios más bajos. Se desarroll6 undiagréliTIade influencia para identificar los factores importantes que afeetabanla utilidad con , estas, estrategias, y se.evaluaronJas probabilidades asociadas con la incertidumbre utilizando gruPos de expertos dentro de•• la empresa. Estas, alternativas se exaIllinaronen detalle, lqqueimplicó calcularlas distribucionesde probabilidad acumulada para evaluar el riesgo. También serealizaronlosanálisis desensibilidadyloscálculos delvalorde la información para entender los. factores, de' incertidumbre que afecta· banla decisión.Seeligi6una estrategia conla cual se esperabaaumel1tar el valor de esta unidad de nego· cios,aproximadamente"en,US$175 millones cuando se'estableciera.

.il11'1II¡Á' 11·

alllllí;lf! II~? rtlll;lil~ En el capítulo anterior se presentaron los elementos básicos de la tomade decisiones bajo condiciones de incertidumbre. En particular, una persona encargada de tomar decisiones tiene un conjunto de opciones para considerar, eventos inciertos que pueden ocurrir y un resultado económico asociado con cada combinación de alternativa y evento. Deben evaluarse las probabilidades de eventos que representan la posibilidad de que ellos ocurran. Si la decisión implica una secuencia de decisiones o eventos, puede trazarse un árbol de decisión para estructurar el problema de decisión y utilizar el criterio del Valor Monetario Esperado (VME) para seleccionar la decisión que cuente con el valor esperado más alto. El criterio VME es una guía sensible en muchas situaciones de decisión importantes. En particular, si las cantidades de dinero involucradas son pequeñas o si la decisión es repetitiva, como el de la política de control de inventarios, donde es probable que el criterio del valor esperado sea adecuado. De hecho, en este contexto, la palabra pequeñas es relativa, pues las decisiones que implican decenas o cientos de miles de dólares son pequeñas para una corporación grande pero no para la mayoría de las personas. Sin embargo, considerar los siguientes ejemplos:

, Ejemplo Suponer que hay que elegir entre las siguientes parejas de opciones. Hay que seleccionar una de las opciones A, una de las opciones B y una de las opciones C. Se recomienda tomar nota del grupo de opciones que se escoja.

Al

A2

= =

B1 =

B2 = C1 = C2 =

La certeza de un regalo de US$100,000 libre de impuestos o En el lanzamiento de una moneda perfectamente diseñada, ningún regalo si cae en cara, o un regalo de US$250,000 libre de impuestos si la moneda cae en cruz. Ni gana ni pierde o Una oportunidad entre 100 de incurrir en una deuda de US$9,000 y una oportunidad de 99/100 de ganar US$100. Un regalo de US$10,000 libre de impuestos o Un pago de 2N centavos, donde N es el número de veces que una moneda perfectamente diseñada cae en cruz cuando es lanzada al aire. Si aparece cruz en el primer lanzamiento, se reciben dos centavos; si cae en cara la primera vez yen cruz la segunda, se reciben cuatro centavos.

290


Dos caras enserie representan 8 centavos, y así sucesivamente. Sin embargo, sólo puede participarse una vez; la secuencia se detiene cuando en el primer lanzamiento sale cruz. La mayoría de la gente elegiríaA l , Bl yCl . Sin embargo, la expectativa matemática (o valor monetario esperado) favorece las opciones Al' Bl YCl . Elvalor monetario esperado deA l es la mitad (la probabilidad de que la moneda perfectamente diseñada caiga en cara), multiplicada por cero (el valor monetario esperado asociado con cara), más la mitad (la probabilidad de cruz), multiplicada por US$250,000 ó US$125,000. Como este valor esperado es US$25,000 más que el valor esperado de la opción Al' debe seleccionarseAl si se desea maximizar el valor monetario esperado. De modo similar, con Blla ganancia neta esperada es 99/100 (la probabilidad apropiada), multiplicada por US$100 (la cantidad de ganancia), menos 1/100, multiplicado por US$9,000. Esta cantidad es US$9, que es mayor que el valor de cero de ganancia asociado con B l' Si se toman decisiones para maximizar la ganancia monetaria esperada, deberá aceptarse la oportunidad más pequeña de una gran pérdida, aunque la mayoría de la gente optaría por la B l' El valor monetario esperado del juego descrito en Cl es infinito. La oportunidad de que salga cruz en el primer lanzamiento es de 1/2, en el segundo lanzamiento de 1/4; en el tercero de 1/8; en el cuarto de 1/16, y así sucesivamente. Los premios respectivos serían de 2, 4, 8 y 16 centavos, y seguiría en la misma progresión. El valor monetario esperado, por definición, es la suma de los resultados monetarios multiplicados por las probabilidades asociadas. En este caso: VME

= 1/2(2~) + 1/4 ( 4~) + 1/8(8~) + 1/16(16~) + ... == 1~ + 1~ + 1I,t + 1~ + = oo~ oo'

El hecho de que ninguna persona prudente optara por este juego a cambio de la certeza de US$10,000 o incluso una cantidad más modesta es la esencia de la famosa paradoja de San Petersburgo que llevó a Daniel Bernoulli a la primera investigación de la utilidad en lugar de la expectativa del valor monetario, como una base para la toma de decisiones. Como la mayoría de las personas optaría por Al' Bl YCl en lugar de las tres opciones con una mayor expectativa monetaria, parece razonable concluir que la gente no siempre toma las decisiones que lleven a maximizar el valor monetario esperado. ¿Cuál es, entonces, un criterio alterno para la toma de decisiones? En este capítulo se estudiarán dos métodos que toman en cuenta el riesgo para tomar una decisión, llamados criterio de dominancia y utilidad esperada.

DOMINACIÓN Hay varios métodos mediante los cuales puede hacerse una elección con base en la dominación o dominancia. El caso más simple se llama dominancia de resultado y en él, el peor resultado de la utilidad de una acción es, por lo menos, tan bueno como el mejor de alguna segunda acción. Como ejemplo, considerar las acciones dI y dl de la tabla 7-1. El peor resultado de la utilidad para la acción dI es O(cuando se presenta q3); la mejor utilidad para la acción d2 también es O(cuando se presenta ql)' Por consiguiente, la acción dI domina la acción d2 . Así, hay seguridad de hacer igualo mejor que con dI' sin importar lo que suceda.


291

Una segunda forma de dominancia se llama dominancia de evento; ésta se presenta si una acción tiene una utilidad igualo mejor que la de una segunda acción para cada evento. En la tabla 7-1 se consideran las acciones d¡ y d3. Para cada evento, es decir, cada estado de la naturaleza, la utilidad condicional para la acción d ¡ es mayor que para la acción d3. Por tanto, d¡ controla a d3 por dominancia de evento. Sin considerar cuál evento se presente, d¡ es mejor que d3. Observar que d¡ también controla a d2 por dominancia de evento. Una tercera forma de dominancia es la probabilística2 • Para demostrarlo, se necesita reorganizar la información que aparece en la tabla 7-1 de la manera como se presenta en la tabla 7-2. En ella, los eventos están definidos en términos de la utilidad condicional y están ordenados de menor (-1) a mayor (2). Las probabilidades de cada utilidad se muestran en las columnas P(X). Las columnas marcadas P(X o más) muestran la probabilidad de obtener una utilidad de X o una cantidad mayor. Al considerar la acción d¡ hay seguridad (la probabilidad es 1.0) de obtener una utilidad de -1 o más y también de Oo más. La probabilidad es 0.5 de obtener 1 o más; y 0.3 de obtener 2 o más. Estas probabilidades P(X o más) se conocen como

probabilidades acumuladas. Una acción domina probabilísticamente a una segunda acción si P(X o más) para la primera es, por 10 menos, tan grande como P(X o más) para la segunda, para todos los valores de X Al comparar las acciones d¡ y d4 en la tabla 7-2, se observa que para cada valor de X, la probabilidadP(X o más) para la acción d4 siempre es, por 10 menos, tan grande (y es mayor cuando X vale 1 y 2) como para la acción di' Por tanto, d4 domina a d¡ mediante la dominación probabilística. De las tres formas de dominancia, la de resultado es la más fuerte la dominancia de evento es la siguiente, y la dominación probabilística es la más débil. Si la acción A se impone por dominio de resultado, también 10 hará por dominancia de evento y dominación probabilística; mientras que 10 contrario no es válido. Por ejem-

t:JEiaala'llL:a:\\SlidU;

TABLA 7-1 Tabla de utilidad condicional

•

=wz;¡¡;¡;¡;:n¡¡¡¡ilIU!J!liJiiiLa".¡¡;a¡¡¡¡¡~_

z=;;¡zz::::::¡.¡;aa¡¡;;;

Acción Evento

Probabilidad

di

d2

d3

d4

q1 q2 q3

0.3 0.2 0.5

2 1

-1 O

1 O

O

O

-1

-1

2

Acción TABLA 7-2 Tabla de probabilidad acumulada

d1

d4

Utilidad condicional X P(X)

-1 O

1 2

0.0 0.5 0.2 0.3

P(X o más)

P(X)

p(X o más)

1.0 1.0 0.5 0.3

0.0 0.2 0.3 0.5

1.0 1.0 0.8 0.5

2 También se conoce como dominancia estocástica.

1

292


plo, la acción d4 domina a dI por dominancia probabilística como se demostró previamente, pero no lo hace ni por dominancia de evento ni de resultad0 3. Utilizar el criterio de dominancia para elegir entre opciones de decisión es, de hecho, un procedimiento simple. La dificultad radica en que la que domina a todas las demás puede no ser una alternativa sencilla. En general, ese suele ser el caso: por consiguiente, el criterio de dominancia puede fallar para seleccionar una acción a tomar. Ésta es la principal limitación de dominancia. Sin embargo, puede ser de utilidad eliminar algunas opciones y, por tanto, precisar el proceso de decisión. El criterio de dominancia se relaciona con el valor esperado, en que si un acto domina a otro, el valor esperado del primero es mayor que el valor esperado del segundo. Sin embargo, lo contrario no es verdad.

Dominancia en árboles de decisión También es posible verificar la dominancia cuando un problema de decisión se estructura como un árbol de decisión. Primero, debe introducirse la idea de una estrategia, la cual se define como un conjunto de decisiones que determina por completo un plan de acción. El ejemplo de la figura 7-1, plantea el caso de una persona encargada de tomar una decisión que tiene que elegir entre introducir un producto al mercado o abandonarlo. Si lo introduce, la aceptación del distribuidor puede ser rápida o lenta; en cualquier caso, el gerente puede seguir con el producto o detenerse. Si la decisión es de continuar, las ventas pueden ser altas, medias o bajas. Los resultados y las probabilidades se muestran en la figura 7-1. Considerar las posibles estrategias disponibles para el encargado de la decisión en este ejemplo. Una estrategia fácil de identificar es abandonar el producto. Una segunda es introducir el producto: si la aceptación es rápida, entonces avanzar; si la aceptación es lenta, entonces también avanzar. A esta estrategia se le llama avanzar/avanzar. Como puede observarse, los enunciados de las dos estrategias describen completamente las decisiones que deben tomarse bajo todas las circunstancias. Si se abandona el producto entonces no hay más decisiones, pero si se introduce, debe especificarse la decisión de avanzar o parar, según la rapidez o lentitud de la aceptación. Para determinar si una estrategia está completa, hay que preguntarse si contiene suficientes instrucciones que le permitan a un asistente tomar todas las decisiones cuando el responsable está ausente. Si no, el enunciado no especifica una estrategia completa. Además de las estrategias de abandonar y de avanzar/avanzar, existen otras posibles: • La estrategia de avanzar/parar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces avanzar; si la aceptación es lenta, entonces parar. • La estrategia de parar/avanzar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces parar; si la aceptación es lenta, entonces avanzar. • La estrategia de parar/parar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces parar; si es lenta, entonces parar.

3

Existen casos especiales para las tres formas de dominancia, donde ambas acciones están relacionadas. Para la dominancia de resultado, todas las utilidades para ambas acciones pueden tener exactamente el mismo valor. Para la dominancia de evento, todas las utilidades de cada evento son exactamente las mismas. y para la dominación probabilística, la probabilidad P(X o más) es la misma para todas las X. En cada uno de estos casos no hay dominancia, y las acciones se consideran equivalentes.

Decisión

y análisis de riesgo

293

FIGURA 7-1 Árbol de decisión para introducción de nuevos productos

Ventas Altas Aceptación rápida

(0.5) Avanzar

(0.6)

Utilidad (miles)

300

Medias

(0.3) Bajas

200 -100

(0.2) Parar

(0.4) Aceptación lenta

-50

Altas

200

(0.3) Avanzar

Medias

-100

(0.6) Bajas

(0.1) Parar

-150

-50

o

Como una estrategia determina por completo todas las decisiones, sólo quedan los eventos. Puede volverse a trazar el árbol de decisión para cada estrategia. El árbol para la estrategia avanzar/avanzar se presenta en la figura 7-2. Las probabilidades para cada resultado se muestran al final del árbol. Por ejemplo, la probabilidad para una utilidad de US$300,000 (el resultado de aceptación rápida y ventas altas) es de 0.6 x 0.5 = 0.30. Las otras probabilidades se calculan de manera similar. Las distribuciones de probabilidad para la utilidad de esta estrategia (avanzar/avanzar) y para las de avanzar/parar y parar/avanzar se muestran en la tabla 7-3. Las distribuciones de probabilidad para la utilidad, como las que aparecen en la tabla 7-3, en ocasiones se conocen como loterías de utilidad o perfiles de riesgo, ya que describen de manera compacta los riesgos que enfrenta el encargado de las decisiones. Las estrategias de abandonar el producto y parar/parar no están en la tabla 73. La estrategia de abandonar tiene una utilidad segura de cero. La de parar/parar tiene una utilidad segura de US$-SO,OOO. Por tanto, la estrategia de abandonar domina a la de parar/parar por dominancia de resultado. En la tabla 7-3 se observa que la estrategia de avanzar/parar se impone a la de parar/avanzar por dominancia probabilística ya que la probabilidad acumulada P(X o más) es la misma o mayor en cada caso. No existe otra dominancia. En ocasiones es más fácil ver la dominancia probabilística observando una gráfica de las distribuciones acumuladas, es decir, un esquema de P(X o más). Una estrategia domina a otra si su curva acumulada en todos los puntos es la misma o está

294


FIGURA 7-2 Árbol abreviado de la estrategia avanzar/avanzar Utilidad (miles)

Ventas Altas (0.5)

Aceptación rápida

300

0.30

200

0.18

Bajas (0.2)

-100

0.12

Altas (0.3)

200

0.12

Medias (0.6)

-100

0.24

-150

0.04

Medias (0.3)

(0.6)

Probabilidad

Introducir

(004)

Aceptación lenta

Bajas (0.1)

TABLA 7-3 Distribuciones de probabilidad y distribuciones acumuladas para estrategias seleccionadas

Estrategia avanzar/avanzar Utilidad X

P(X)

P(Xomás)

-150

0.04

1.00

-100

0.36

-50 200

O 0.30

300

0.30

Estrategia avanzar/parar

Estrategia parar/avanzar

p(X omás)

P(X)

P(X omás)

0.96

O 0.12

1.00 1.00

0.04 0.24

1.00 0.96

0.60

0.40

0.88

0.60

0.60

0.18

0.48

0.12

0.72 0.12

0.30

0.30

0.30

P(X)

O

O

por encima de la curva acumulada de otra. La figura 7-3 muestra el caso de una estrategia dominada en el lado izquierdo. La estrategia avanzar/parar (la línea punteada) se impone a la estrategia parar/avanzar, ya que en todos los puntos su curva es igualo está por encima de ella. De otro lado, cuando la curva cruza, como en el lado derecho de la figura 7-3, no hay dominancia. Ninguna distribución está siempre por encima (o es la misma) de otra. Cuando hay muchos resultados en el árbol de decisión, suele ser más fácil verificar la dominancia utilizando curvas acumuladas que usar tablas como la 7-3. En este ejemplo se observa que pueden eliminarse sólo dos estrategias dominadas (las de parar/avanzar y parar/parar). El criterio de dominancia no brinda un mecanismo para elegir entre las otras tres estrategias; por consiguiente, la dominancia es sólo un criterio parcial de decisión.

Uso de perfiles de riesgo en análisis de decisión Las distribuciones de probabilidad acumulada de utilidad como las que se ilustran en la figura 7-3 suelen llamarse perfiles de riesgo. Si el problema de decisión es


295

FIGURA 7·3 Distribuciones de utilidad acumulada

P(X 1.0

O más)

P(X 1.0

O más)

iC--

--,

--1

: Estrategia avanzar/parar

0.8 Cll

-o Cll "S E :::l

I I I 1 I I

0.6

()

Cll

-o Cll "S :::l

..

()

Cll

0.4

I

Estrategia de parar/avanzar: I I

o -200

----I I I

~ 0.4

-----1

0.2

Estrateaia avanzar/avanzar

-o

I I I I

.c

e o-

I I I 1

E 0.6

Cll

;g :.c Cll

I I

Cll

1

-o

: Estrategia avanzar/parar

0.8

:.c Cll

.c o

o::

0.2

Estrategia de parar/avanzar

o ' - _ . . . L - _ - - ' -_ _

--I

.L.-.1

-100

o

100

200

300

-200

-100

O

100

200

300

Utilidad (miles)

Utilidad (miles)

relativamente simple e implica sólo unos pocos resultados posibles, quien toma la decisión puede entender con rapidez el riesgo que enfrenta. Por otra parte, las decisiones de negocios en el mundo real suelen involucrar muchas incertidumbres y detectar el riesgo es difícil. Como ejemplo, considerar el caso de una empresa que enfrenta una decisión acerca de la introducción de un nuevo producto. Hay incertidumbre acerca del tamaño del mercado para el producto, de la celeridad con que crecerá el mercado, de la participación de mercado que la empresa obtendrá, del precio que podrá cobrarse y del costo de fabricación del producto. Una forma abreviada del árbol de decisión para esta decisión aparece en la figura 7-4, donde se muestran los factores de incertidumbre. En el árbol completo, cada nodo de incertidumbre estaría al final de cada rama. Si como se muestra, hay cinco niveles para cada factor de incertidumbre, el árbol completo sería muy frondoso pues tendría, 3,215 valores finales. La persona encargada de tomar la decisión enfrentaría muchas dificultades para entender el riesgo asociado con la decisión de introducir el producto. FIGURA 7-4 Árbol de decisión abreviado para la introducción de un nuevo producto

Tamaño del mercado

Crecimiento del mercado

Participación de mercado

Precio

Costo unitario

296


Sin embargo, la distribución de probabilidad acumulada, o perfil de riesgo, puede calcularse como se ilustró en la tabla 7-3 y en la figura 7-3. Con 3,215 valores finales para calcular, ésta podría parecer una tarea atemorizante. No obstante, el software moderno de análisis de decisión calcula con sus rutinas estos perfiles de riesg0 4. También existe una técnica llamada análisis Monte CarIo que puede utilizarse; y que se tratará en un capítulo posterior llamada Simulación. Un ejemplo del perfil de riesgo que resultaría se presenta en la figura 7-5. El valor de un perfil de riesgo de esta clase es el que le permite a la persona encargada entender lo arriesgado de la decisión. Por ejemplo, en la figura 7-5, hay cerca de 40% de oportunidad de que con el nuevo producto se pierda dinero (tiene unvalor presente neto negativo) y 60% de oportunidad de ganarlo. Hay cerca de 10% de posibilidad de perder más de US$6 millones y 10% de ganar más de US$12 millones. Así, si la empresa decide introducir el nuevo producto, es porque toma el nesgo. Una extensión importante de este análisis es buscar la contribución de los diferentes factores de riesgo. Considerar el factor de participación en el mercado. Al experimentar con diferentes distribuciones para este factor, la empresa puede descubrir que los valores negativos muy grandes son el resultado de obtener una participación pequeña en el mercado. Esto podría conducir a una investigación de mercado del consumidor, para comparar el producto de la empresa con el de los competidores y así obtener un mejor estimado de la participación en el mercado; o emprender una investigación de ingeniería para estimar con mayor precisión el coste:J de fabricación del producto. En resumen, desarrollar el perfil de riesgo es un paso importante en la evaluación de decisiones de gran envergadura. En el ejemplo de decisión y análisis de riesgo de Du Pont, al comienzo del capítulo, se mencionó el uso que hizo la empresa

FIGURA 7·5 Perfil de riesgo para la decisión de un nuevo producto

-o

.~

ro

0.9

'5

0.8

E o

0.7

ro

0.6

ro >

0.5

~

en 'ro

x:

lao-

~:::l

.....

..., L-

11

0.4

E

:::l

~ -o

0.3

:g

0.2

.o

0.1

al

:aal o

o::

o

-10

l

L,..,

n

~ 1---0

-

-5

o

5

10

il---, 15

20

25

Utilidad (valor presente neto millones)

4 Véase, por ejemplo, McNamee Peter and Celona John, DecisionAnalysis for the Professional with Sllpertree,

2 ed., (Palo Alto, CA: Scientific Press, 1990); y DPL, Decision Analysis Software for Microsoft Windows, ADA Decision Systems (Belmont, CA: Duxbury Press, 1995).


297

de las probabilidades acumuladas (perfiles de riesgo) para entender las incertidumbres que afectaban la decisión acerca de la estrategia para la unidad de negocios.

RESUMEN Si la actitud que tiene hacia el riesgo la persona encargada de una decisión no es importante en un problema de decisión, por 10 general, es preferible aplicar la regla de la decisión del valor esperado ante otros criterios de decisión. Es la única que utiliza toda la información disponible y garantiza una decisión definitiva entre las opciones. Incluso, cuando se presenta un riesgo, el valor monetario esperado es un primer paso útil. En ocasiones, el uso del criterio de dominancia puede eliminar algunas opciones inferiores en un problema de decisión. El cálculo de la distribución acumulada o perfil de riesgo, es un paso útil para entender el riesgo en una decisión compleja.

UTILIDAD COMO UNA BASE PARA LA TOMA DE DECISIONES Al comienzo del capítulo, se presentaron varias opciones como la alternativa A l' la cual era el recibo seguro de US$100,000, o la alternativaA 2, que era una lotería que implicaba 50% de oportunidad de no recibir nada y 50% de conseguir US$250,000. La mayoría de la gente, elegiría la alternativaA 1 por encima de laA 2, a pesar de que el valor esperado de la segunda oportunidad fuera de US$125,000, considerablemente más alto que el valor de la primera opción. Von Neumann y Morgenstern5 construyeron un marco de referencia consistente con opciones como las de preferir Al en lugar deA 2. Ellos sostuvieron que las decisiones se toman para maximizar la utilidad esperada en lugar del valor monetario esperado. Si se seleccionaA 1 por encima deA 2, se concluirá que la alternativa Al tiene más utilidad que la alternativaA 2 . Si no se le diera importancia a las dos opciones, se concluiría que cada alternativa ofrece la misma utilidad esperada. Con base en supuestos lógicos acerca de la manera como la gente elige entre opciones, Van Neumann y Morgenstern desarrollaran un procedimiento para cuantificar o medir la función de utilidad que los bienes o el dinero tienen para una persona. Esta función puede utilizarse para calcular la utilidad esperada y la persona encargada de tomar la decisión puede maximizar la utilidad esperada en lugar del valor monetario esperado.

Derivación de una función de utilidad para el dinero Para emplearlos en la toma de decisiones, los valores de utilidad deben asignarse a todos los resultados. En muchas circunstancias, dichos resultados no son de naturaleza monetaria. Por ejemplo, en los diagnósticos médicos, un facultativo tiene que considerar factores como el dolor y el sufrimiento, la pérdida de trabajo debido a una hospitalización, los efectos psicológicos, los costos e, inclusive, la muerte. Es posible utilizar el método de Van Neumann-Morgenstern para asignar valores de utilidad a dichos resultados. Sin embargo, en la mayor parte de los problemas de decisiones de negocios, la consecuencia monetaria es de gran importancia. Por tanto, debe ser de interés primario en la evaluación de la función de utilidad para el dinero.

5 Neumann J. Von y Morgenstern, O. TheOlY of Games and Economic Beh(lvior (Princeton: Princeton Universi ty Press, 1944).

298


La forma de las funciones de utilidad Resulta posible hacer algunas generalizaciones acerca de la forma usual de una función de utilidad. La gente considera el dinero como un bien deseable y prefiere tener más que menos de él. Usualmente la medida de utilidad de una gran suma, es mayor que la medida de utilidad de una cantidad pequeña, y la función de utilidad aumenta por encima de cualquier rango relevante de dinero. Puede describirse una función de utilidad como aquella que tiene una pendiente positiva sobre ese rango relevante. En este caso, la pendiente es la relación de un cambio incremental en el índice de utilidad [L1U/(M)] como resultado de un cambio incremental en el acumulado de dinero (¡jM). Los cambios incrementales siempre tendrán el mismo signo, de modo que pueden escribirse como: Pendiente= /J.U(M) > O /J.M . Esta medida de la pendiente se conoce como utilidad marginal de dinero y, excepto por el signo algebraico, es una medida arbitraria. La pendiente de una función de utilidad es positiva y probablemente no varíe ante pequeños cambios en el acumulado de dinero, dentro de ese rango tiene casi una pendiente constante y puede considerarse como lineal. Si la función de utilidad es lineal, [U(M) en la figura 7-6], la utilidad esperada se maximiza el valor monetario esperado. Por tanto, el valor monetario esperado puede utilizarse de manera apropiada como una guía para la toma de decisiones sólo cuando existe una razón para creer que la función de utilidad pertinente es lineal, dentro del rango de resultados posibles. Se ha visto que para grandes variaciones en la cantidad de dinero, ésta es la condición más improbable. En los extremos, para grandes pérdidas y grandes ganancias, la función de utilidad es casi segura para acercarse a los límites superior e inferior. Usualmente, la pendiente de la curva aumentará de manera evidente a medida que la cantidad de la pérdida se incrementa, lo que implica que la no utilidad de una gran pérdida proporcionalmente es mayor que la no utilidad de una pérdida pequeña; sin embargo, la curva puede aplanarse cuando la pérdida se vuel-

FIGURA 7-6 Utilidad lineal para el dinero

U(M): función de utilidad implícita al maximizar el valor monetario esperado: Dinero 6.U(M) 6. M = Constante \


299

va más grande. De manera similar, para grandes acumulados de dinero, la pendiente de la función de utilidad crece menos con las adiciones a ese acumulado. Estas observaciones son consistentes con el punto de vista tradicional de utilidad marginal decreciente de la psicología del consumidor. También son consistentes con la noción de aversión al riesgo, que está presente en la mayor parte de los problemas de decisiones de negocios. Un ejemplo de una función de utilidad con aversión al riesgo se muestra en la figura 7-7. Si un individuo tiene aversión al riesgo, entonces la utilidad esperada de una apuesta es menor que la utilidad del valor monetario esperado. Es posible que la persona encargada de las decisiones prefiera el riesgo, al menos dentro del rango de la función de utilidad. En este caso, la utilidad esperada de una apuesta es mayor que la utilidad del valor monetario esperado. Una función de utilidad que prefiere el riesgo también se presenta en la figura 7-7.

FIGURA 7-7 Funciones de utilidad

Aversión al riesgo Preferencia al riesgo

Dinero

Evaluación de una función de utilidad

El primer paso para deducir con certeza una función de utilidad es determinar dos valores para utilizarlos como puntos de referencia. Por conveniencia, estos pueden ser el valor monetario más grande y el más pequeño involucrados en el problema de decisión. Los valores de utilidad que correspondan a estos valores monetarios se seleccionan de modo arbitrario; podrían asignarse los valores y 1. Por ejemplo, si el problema de decisión incluye valores monetarios en el rango desde -US$10,000 hasta +US$100,000, se asignaría una utilidad cero a -US$10,000 y una utilidad de 1.0 a US$100,000. Es decir:

°

° La selección de los valores de utilidad °y 1 es arbitraria pues podrían haberse elegido valores de -29 y +132 u otros. En este sentido, la escala de utilidad es como la de la U(-US$10,000)

= y U(US$100,000) = 1.0

temperatura. Las escalas Celsius y Fahrenheit miden la temperatura, pero tienen diferentes lecturas para el punto de congelamiento del agua (0° y 32°, respectivamente) y para el punto de ebullición (100 0 y 2120 , respectivamente). A continuación se formula la alternativaA 1 que ofrece la mitad de posibilidades para -US$10,OOO y la mitad para +US$100,OOO. La utilidad esperada de esta

300


alternativa es la suma de las asignaciones de utilidad a los posibles eventos, multiplicados por las probabilidades apropiadas. En este caso:

= IhU(-US$lO,OOO) + VzU(US$100,000) = 112(0) + 112(1) = 0.5 Ahora se formula una segunda alternativa (A z) que da como resultado alguna U(A l )

cantidad de dinero; por decir algo, US$25,000. Ahora, puede elegirse entre los dos planes de acción, Al yA 2. Se eligeA 2 o la certeza de US$25,000. Se deduce que:

U(A 2 ) > U(A l )

= 0.5

ó U(US$25,000) > IhU(-US$10,000) + VzU(US$100,000) = 0.5; es decir, la utilidad de US$25,000 es mayor que un medio. Debido a que se prefieren US$25,000 en lugar deA l , se concluye que el índice de utilidad deA 2 es mayor que un medio. Si se ofrecieron US$5,000 seguros (A 3) y se encontró que se prefirió A 1 aA 3, esto implica que el índice de utilidad asociado con US$5,000 debe ser menor que un medio. Con paciencia, podría continuarse con las acciones alternas propuestas que dan como resultado sumas de dinero seguras hasta descubrir una tan atractiva como Al' Suponiendo que esta oferta fuera US$15,000, podría deducirse que no hay diferencia entre US$15,000 seguros y la propuesta original. Por consiguiente, la asignación . de utilidad para US$15,000 debe ser:

U(US$15,000)

= VzU(-US$lO,OOO) + 1/zU(US$100,000) = 0.5

Ahora, se tienen tres puntos a través de los cuales pasa la función de utilidad. De manera similar pueden hacerse evaluaciones adicionales de la utilidad. Por ejemplo, se plantea una alternativa que ofrece 0.5 de probabilidad para US$15,000 y 0.5 de probabilidad para US$100,000; entonces, hay que encontrar la suma que debe ofrecerse con certeza para que haya indiferencia ante la oportunidad que implica el riesgo. Esta cantidad puede ser US$47,000. Podría concluirse que la asignación de la utilidad correspondiente a US$47,000 es:

U(US$47,000)

= V2U(US$15,000) + VzU(US$100,000) = Vz(0.5) + Vz(1.0) = 0.75

A continuación, plantear la alternativa que implique la mitad de oportunidad para US$15,000 y la mitad para -US$lO,OOO. Puede considerarse esta alternativa como desfavorable, y en realidad haber disponibilidad a pagar alguna cantidad para liberarse de la alternativa (de la misma manera como se compra un seguro para sentir alivio ante un riesgo). Suponer que es indiferente -US$2,500 (es decir, un pago de US$2,500) y la oportunidad que involucra el riesgo. Entonces:

U(-US$2,500) =

= VzU(-US$10,000) + VzU(US$15,000) %(0) + %(0.5)

=

0.25

Ahora, se tienen los cinco puntos de la función de utilidad mostrados en la tabla 74 Yen la figura 7-8. Los puntos pueden conectarse a través de una curva uniforme

TABLA 7-4 Puntos de utilidad evaluados

Valor monetario M

US$-10,000 -2.500 15,000 47,000 100,000

índice de utilidad U(M)

o 0.25 0.50 0.75 1.0


301

FIGURA 7-8 Función de utilidad evaluada

1.0

.75

V /

'O

al

:Q

·5 Q)

.50

~v

~

1/

'O Q)

.~ 'O

,E .25

o

I

-10

O

25

75

50

100

Valor monetario (miles de dólares)

para dar una aproximación a la función de utilidad para el rango completo: desde US$10,000 hasta US$100,000. Observar que: U(US$15,000)

= 0.5

y V2U(-US$2,500) + V2U(US$47,000)

= 1/2(0.25) + 1/2 (0.75) = 0.5

Por consiguiente, corno verificación final de las evaluaciones, son indiferentes US$15,000 seguros y una alternativa que implica la mitad de oportunidad con -US$2,500 y la mitad de oportunidad con US$47,000. Si esto no es cierto, las evaluaciones no son consistentes y deben revisarse. Un procedimiento alternativo para evaluar la función de utilidad es tornar un determinado valor monetario y, entonces, establecer las probabilidades de hacer una apuesta que involucre los valores máximo y mínimo equivalentes a la cantidad segura. Por ejemplo, si se torna una cantidad L, entonces, se formula la ecuación: pU(US$100,000) + (1-p)U(-US$10,000)

= U(L)

y se encuentra la probabilidadp que hace que para la persona encargada de la deci-

sión sean indiferentes los dos lados de la ecuación. Corno ejemplo, si L fuera US$25,000, quien torna la decisión tendría que evaluar una probabilidad p corno si le fueran indiferentes US$25,000 seguros y una oportunidad p de US$lOO,OOO y una oportunidad (1- p) de US$-lO,OOO. En este caso, p podría ser 0.60. Entonces: U(L)

= U(US$25,000) = 0.6U(US$100,000) + 0.4U(-US$10,000)

= 0.6(1) + 0.4(0) = 0.6 dado que se ha determinado que U(US$100,000) = 1.0 YU(-US$10,000) = 0, U(L) =p. Para obtener otros valores sobre la curva de utilidad, se seleccionarían valores diferentes de L y la probabilidad p evaluada. De esta manera, podría obtenerse una curva similar a la de la figura 7-8.

302


USO DE LAS FUNCIONES DE UTILIDAD Una función de utilidad representa la actitud subjetiva del encargado de una decisión ante el riesgo. Por tanto, una función de utilidad de una persona puede usarse para evaluar opciones de decisión que implican resultados inciertos.

Ejemplo El responsable de tomar una decisión tiene que elegir entre dos opciones. La alternativa A involucra un contrato en el cual una empresa está segura de lograr una rentabilidad de US$20,OOO. La alternativa B, del otro lado, se refiere a la introducción de un nuevo producto. Las ventas que el producto lograría y, por consiguiente, la utilidad, son desconocidas. La gerencia asigna las probabilidades que se muestran en la tabla 7-5 a las diferentes posibilidades de utilidad. El valor monetario esperado para la alternativaB es de US$25,OOO. Sobre esta base, B sería preferible a la alternativaA. De otra parte, si quien toma la decisión fuera adverso al riesgo, la preferencia podría cambiar. Se observa que con la alternativa B hay 30% de posibilidad de no lograr ninguna rentabilidad y 10% de perder. Si la persona que toma la decisión tuviera la función de utilidad que aparece en la figura 7-8, se evaluaría esta alternativa utilizando valores de utilidad en lugar de valores monetarios. Al interpolarla en la figura 7-8, podrían encontrarse los valores de utilidad asociados con cada cantidad de utilidad. Éstas se presentan en la tabla 7-5. Si se utiliza las probabilidades de esa tabla, puede calcularse la utilidad esperada (al multiplicar las probabilidades por las cantidades de la utilidad y sumar). La utilidad esperada se calcula como 0.51. Puede observarse que la utilidad de US$20,000 aparece en la tabla 7-5 como 0.55. De ahí que la utilidad esperada de la alternativa B no sea tan grande como la utilidad del contrato que implica US$20,000 seguros; lo que indica que debe aceptarse el contrato.

Equivalentes de certidumbre La noción de un equivalente de certidumbre se' ha presentado varias veces en este capítulo. Ahora se considerará su significado de manera más explícita. Considerar una situación de decisión incierta, que puede presentarse como la de una lotería L, con resultados en dólares Al y A 2, Y las probabilidades correspondientes p y (1 - p). El equivalente de certidumbre (EC) es una cantidad en dólares segura o cierta A *, la cual es equivalente, para el encargado de la decisión, a la lotería L. El equivalente de certidumbre puede interpretarse como el máximo seguro que la persona responsable de la decisión pagaría para quedar liberada de un riesgo

TABLA 7-5 Probabilidades, resultados y utilidades de la alternativa B

Probabilidad

Resultados (miles de dólares)

0.1 0.3

-US$10 O

Utilidad

O

0.30

0.2

20

0.55

0.2

40

0.71

0.1 0.1

60 80

0.82

US$25

0.514

Valores esperados

0.90


303

indeseado; por ejemplo, la prima máxima por adquirir un seguro contra incendio para su casa. O podría considerarse el equivalente de certidumbre como la cantidad mínima segura que se estaría dispuesto a pagar para vender un grupo de resultados deseables pero inciertos. Una vez que se ha obtenido la función de utilidad y las probabilidades en una situación de decisión determinada, el equivalente de certidumbre puede obtenerse directamente con los métodos antes descritos. En el ejemplo anterior, la alternativa de introducir un nuevo producto tiene una utilidad esperada de 0.514. Si US$17,500 también tienen una utilidad de 0.514, puede decirse que US$17,500 es el equivalente de certidumbre de la alternativa que implica la introducción del nuevo producto. Cuando se enfrenta una situación de decisión incierta, es beneficioso determinar el equivalente de certidumbre directamente, preguntándole al encargado de tomar la decisión. Si no hay concordancia con el valor calculado al utilizar la función de utilidad y las probabilidades, entonces hay una inconsistencia; esto puede ser debido a la curva de utilidad o a las probabilidades asignadas a los resultados. Por consiguiente, el uso del equivalente de certidumbre es una verificación de la validez del análisis. El equivalente de certidumbre también tiene otro uso para analizar situaciones complejas de decisión. Hasta ahora, el procedimiento busca obtener información separada de los resultados de diferentes probabilidades y una función de utilidad para el proceso de toma de decisiones. Como, a menudo, ambos representan criterios subjetivos por parte de la persona encargada, en ocasiones es conveniente simplificar el análisis y llegar directamente al equivalente de certidumbre.

Ejemplo Una empresa está licitando para un contrato de suministro de 1,000 unidades deun determinado componente electrónico. Tiene que decidir su precio para la oferta. Un factor incierto en el proceso de decisión es la posibilidad de una huelga por parte de sus trabajadores. Si éstos la hacen, significa que habrá retrasos y sanciones asociadas con el incumplimiento del plazo estipulado en el contrato. Para simplificar el análisis de decisión, podría preguntársele al fabricante cuánto estaría dispuesto a pagar por un seguro contra pérdidas debido a la posibilidad de la huelga. Podría responder, por ejemplo, US$3,000. Esta cantidad es el equivalente de certidumbre para la situación incierta relacionada con la huelga (el resultado en dólares con y sin una huelga y las posibilidades relacionadas). La persona encargada de la decisión en realidad puede no estar dispuesta a comprar un seguro de este tipo, pero el equivalente de certidumbre brinda una cifra que puede usarse en el análisis para determinar la oferta adecuada para el fabricante.

Análisis de utilidad en árboles de decisión Los problemas de decisión con múltiples etapas de decisiones o eventos están representados por árboles de decisión. Cuando el riesgo es un factor, los valores de la utilidad pueden utilizarse directamente en el árbol. La función de utilidad se evalúa como se analizó y los valores de la utilidad se sustituyen por los valores de resultados al final del árbol. Entonces, se retrocede en el árbol; se calcula la utilidad esperada la utilidad esperada en cada nodo de evento y se hace la elección para la utilidad más alta en los nodos de decisión. En otras palabras, se trata exactamente como un árbol de decisión con resultados monetarios. La figura 7-9 muestra el árbol de decisión para la introducción de un nuevo producto que se empleó antes (figura 7-1). Suponer que la empresa tiene interés de saber acerca de la magnitud de las posibles pérdidas y ha evaluado su función de

304

Análisis cuantitativo .

utilidad para rendimientos como se muestra en la figura 7-10. Esta función de utilidad se ajustó a través de una ecuación matemática6: u(x)

= 1.118 -0.5280e-x/ZOO

Los valores de la utilidad para los resultados se leen en la figura 7-10 (o se calculan de la función) y se muestran al final del árbol. En el árbol se retrocede utilizando estos valores. Por ejemplo, el valor <0.827> es la utilidad esperada asociada con el nodo del evento superior (Introducir/Aceptación rápida/Avanzar). Como puede verse, la estrategia óptima es introducir y luego avanzar si la aceptación es rápida, pero parar si se presenta aceptación lenta. La utilidad esperada de esta estrategia es <0.672>. El equivalente de certidumbre (ver en la figura 7-10 o en la función) es US$33,800. En contraste, la estrategia de VME es avanzar con el producto sin tener en cuenta si la aceptaCión es rápida o lenta, y el valor VME es de US$108,000.

Premios al riesgo Un individuo tiene una función de utilidad U(!) como se muestran en la figura 7-11. Considerar la primera como una apuesta que implica la mitad de oportunidad para la cantidad 1, y la mitad para la cantidad 13' El valor monetario esperado (VME) de esta apuesta es I z. 6 Véase el apéndice de este capítulo para un estudio de funciones de utilidad exponencial de este tipo.


FIGURA 7-10 Función de utilidad para decisiones de nuevos productos

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0.8

"O

ro :Q

0.6

:¡:o ::J

~ ID

"O ~

o

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0.4

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0.2

J

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1/

-150

-100

~

-50

¡.....--

/

/

O

V

L---

305

50

100

150

200

250

300

Resultados (miles de dólares)

FIGURA 7·11 Función de utilidad

U(lsJ

Premio al riesgo p.rimera apuesta

U(I*)

U(l1)

1*

It 14

12

EC VME

EC VME Ingresos

(~

El equivalente de certidumbre de la apuesta es!*, la cantidad segura que tiene la misma utilidad que la utilidad esperada de la apuesta, es decir, 1/2U(!1) + l/zU(!3) = U(j*). La diferyncia entre el VME y el equivalente de certidumbre (EC) de la apuesta, es decir, !2 - 1*, es el premio al riesgo asociado con la apuesta para esa persona. El premio al riesgo es una medida de cuánta aversión al riesgo hay en un rango de la función de utilidad de un individuo. Quien tenga el mayor premio al riesgo, entre dos individuos que se presentan a la misma apuesta, tendrá la aversión más alta.

306


Para un individuo dado, por lo general el premio al riesgo no es el mismo en los diferentes rangos de la función de utilidad. Considerar una segunda apuesta que implica la mitad de oportunidad para J3 y la mitad para J5, donde J5 es tal que la distancia entre J3 e J5 es la misma que entre JI e J3, (es decir, J5 - J3 = J3 - JI)' Esta segunda apuesta puede pensarse como si estuviera compuesta por una cantidad segura de (J 3 - JI)' más la primera apuesta que incluye a JI e J3. En este sentido, la segunda apuesta es la misma que la primera, excepto por un punto de partida diferente (J 3 contra J1). El valor esperado es J4, y el equivalente de certidumbre es Jt. Como puede observarse, el premio al riesgo en la segunda apuesta (J4 - Jt) es menor que el premio al riesgo en la primera apuesta. Por consiguiente, la función de utilidad que se muestra en la figura 7-11 tiene la propiedad de aversión al riesgo decreciente. En otras palabras, el individuo es menos adverso al riesgo cuando la cantidad de dinero J aumenta. Esta propiedad de aversión al riesgo decreciente parece razonable para la mayor parte de las empresas y en muchas decisiones personales. La posibilidad de una pérdida de un tamaño dado se vuelve menos significativa cuanto mayor bienestar posea el inversionista.

RESUMEN Cuando las consideraciones del riesgo son importantes, maximizar la utilidad esperada puede ser más apropiado que maximizar el valor monetario esperado. Una función de utilidad puede evaluarse utilizando loterías y puntos de indiferencia o por medio de equivalentes de certidumbre. La alternativa de decisión que maximiza la utilidad esperada es la alternativa preferida. Los valores de la utilidad pueden utilizarse directamente como valores de resultados en los árboles de decisión.

PRECAUCIONES EN EL USO DEL ANÁLISIS DE DECISIÓN El método del análisis de decisión para la toma de decisiones implica identificar opciones y eventos de decisión, mediante el cálculo de valores de resultados, y además evaluar probabilidades para eventos. El criterio de valor monetario esperado (VME) se utiliza cuando el riesgo no es importante; y se complementa con la teoría de la utilidad y la dominancia cuando incluye riesgos. Este método ha demostrado ser útil en dos niveles. Primero, brinda un marco de referencia muy valioso para pensar acerca de la incertidumbre. Buena parte de la teoría moderna de finanzas y economía se basa en los conceptos básicos de VME y utilidad. De modo que el análisis de decisión es un componente importante de los marcos de referencia conceptuales para otras disciplinas. Sin embargo, el análisis de decisión también ha demostrado ser valioso para solucionar problemas prácticos de negocios. Por ejemplo, los sistemas de programación de inventario y producción utilizan el criterio de decisión del VME para tomar en cuenta la incertidumbre asociada con la demanda. Las principales decisiones de inversión por parte de empresas, a menudo implican un análisis de decisión formal, incluyendo el desarrollo de un perf~l de riesgo para diferentes opciones. (Véase el ejemplo de Du Pont al comienzo del capítulo). En algunas industrias, como la de extracción de petróleo y servicio de energía eléctrica, el uso del análisis de decisión es rutinario. No obstante, no siempre es directo y hay algunas precauciones de las que debe estar consciente el usuario.


307

Definición del problema Antes de tomar decisiones es importante resolver el problema correcto. Esto se conoce como definición del problema. Un análisis de decisión muy elaborado acerca de dónde localizar una fábrica, cuando el problema real que se enfrenta es cómo hacer que el producto satisfaga las necesidades del consumidor, es un desperdicio de recursos y tiempo. Un ejemplo de fracaso en la definición del problema fue el de la industria relojera suiza. Los fabricantes de relojes suizos conocieron la tecnología de los relojes accionados por batería (digitales) mucho antes que los japoneses. Sin embargo, ellos no pensaron que esta nueva tecnología reemplazaría los viejos aparatos accionados por muelles con los cuales se hicieron famosos. La definición que hicieron del problema no incluyó la idea de una industria totalmente nueva: los relojes digitales. Perdieron la oportunidad ante los japoneses. ¿Cuál esla implicación de este análisis de decisión? La lección es que la persona encargada de tomar la decisión, antes de hace cualquier análisis detallado, debe volver atrás y preguntarse: _" ¿Hay otras formas de alcanzar esta meta?" Esto puede parecer obvio, pero la experiencia ha demostrado que es un paso necesario.

Desviaciones en la estimación de probabilidades La expresión de la incertidumbre del encargado de la decisión en forma de probabilidades es una parte importante del método del análisis de decisión. Los investigadores han encontrado que existen desviaciones importantes en las probabilidades estimados. Para ilustrar este punto, se recomienda tomar unos cuantos minutos y responder las preguntas de la tabla 7-6. Se pide estimar dos valores con una distribución de probabilidad. Para algunas preguntas, puede tenerse una idea razonable, pero haber encontrado bastante inseguridad acerca de otras. Esto debe reflejarse en los valores que se evalúen. Por favor no leer hasta no haber terminado la prueba.

TABLA 7-6 Ejercicio para estimar probabilidades

Para cada una de las siguientes preguntas, escribir dos estimados (los límites superior einferior de un intervalo) de manera que, ajuicio personal, hay 90% de oportunidad de que el verdadero valor caiga dentro del intervalo. Por ejemplo, si la pregunta es sobre la población de California en 1993, podrían estimarse valores entre 25 millones y 35 millones que indican que se cree que hay 90% de posibilidad de que el verdadero valor esté en algún lugar de este intervalo. 0, como alternativa, que sólo existe 10% de oportunidad de que se encuentre por fuera de ese rango. Escribir los estimados. Cuando haya respondido todas las preguntas, califíquese leyendo las respuestas en la nota de pie de página de la página siguiente, y registre el número de veces que los valores verdaderos están dentro de su intervalo. 1. ¿Cuál es la longitud (en millas) del río Amazonas en América del Sur? 2. ¿Cuál es el número de personas que presentaron la prueba mundial GMAT durante el año académico de 1995-1996? (GMAT es el acrónimo de la prueba Graduate Management Admission Test, un requisito de admisión para la mayor parte de los programas de MBA en EE.UU.) 3. ¿Cuál era la población de Singapur en 1994? 4. ¿Cuál es la distancia aérea (en millas) desde San Francisco hasta Moscú? 5. ¿Cuál fue la circulación diaria promedio del periódico USA Today para el período de enero a marzo de 1995? 6. ¿Cuál fue el número de vehículos registrado en el estado de California en 1992? 7. ¿Cuál es el área de Alaska en millas cuadradas? 8. ¿Cuál fue el número de títulos de MBA concedidos en EE.UU, en 1994? 9. ¿Cuál fue el número total de pasajeros que utilizaron el aeropuerto O'Hare de Chicago en 1994 (incluir pasajeros que llegaron y que partieron)? 10. ¿Cuál es la distancia promedio, en millas, entre la Tierra y el Sol?

308


¿Terminó? ¡Bien! De las 10 respuestas, ¿cuántas veces se sorprendió? Es decir, ¿cuántas veces cayó el valor de verdad fuera del rango que especificó? Si usted es como la mayoría de la gente, obtuvo entre 4 y 7 u 8 sorpresas, y si estaba debidamente preparado, sólo debió tener una sorpresa. Recuerde que los intervalos representan 90% de oportunidad de modo que queda 10% para sorprenderse (fuera del intervalo). Así, debe esperarse únicamente 10% de 10 preguntas, lo que equivale a una pregunta, es decir, a una sorpresa. Varios investigadores han hecho experimentos como estos muchas veces, no sólo con estudiantes, y utilizando preguntas tipo calendario sino también con gente de negocios, y utilizando preguntas acerca de sus industrias y empresas en las cuales, se presume, ellos eran expertos 7. Esto se llama desviación por exceso de confianza. Las personas tendemos a pensar que sabemos más de lo que en realidad conocemos. ¡Somos demasiado confiados! Los investigadores han identificado algunas fuentes del exceso de confianza. Una se llama disponibilidad. Se tiene experiencia con, quizá, una o dos de las formas como dichos eventos pueden ocurrir (por ejemplo, el nivel de ventas de un nuevo producto) y se confía decididamente en eso. Sin embargo, puede haber muchas cosas que suceden por fuera de la experiencia directa. U~ factor relacionado es que la gente se basa demasiado en la información disponible. Por ejemplo, la mayoría de las personas subestima en gran medida el número de muertes por cáncer pulmonar con relación a los asesinatos, simplemente porque la prensa le da más despliegue a estos últimos, es decir, es la información disponible. Otra fuente de desviación procede del anclaje. Un procedimiento que a menudo se sigue para hacer estimados es preguntar primero por el valor que "mejor se adivine" y, luego, pedir los rangos alrededor de ese valor. Esto tiende a hacer los rangos de probabilidad demasiado estrechos, quizá exagerando el efecto que se observó en el cuestionario. Otro factor es la selectividad. Las personas tienden a filtrar información, aceptando lo que confirma sus ideas y estimados e ignorando lo que no lo hace. Esto también conduce al exceso de confianza. ¿Significa esto que es imposible obtener estimados de probabilidad razonables para emplearlos en el análisis de decisión? ¡Por supuesto que no! Sin embargo, es importante tener conciencia de estas desviaciones y tomar las medidas necesarias para superarlas. Una táctica importante es la retroalimentación o feedback. Si los estimados van a hacerse repetidas veces, suministrar la información adquirida sobre la manera como se hicieron los estimados previos puede llevar a contar con pronósticosmás confiables. Los pronosticadores del clima en EE.UU. obtienen retroalimentación, por ejemplo, de sus predicciones de la lluvia yse han vuelto bastante precisos. Llueve 40% de la veces cuando se hace un pronóstico de posibilidad. La Royal Dutch/Shell tiene un programa de entrenamiento para sus geólogos para establecer la presencia de petróleo, utilizando información de sitios anteriores8.

7 Respuestas a la prueba de la tabla 7-6. Contar el número de veces que el valor real cae fuera de su interva·

lo. Éste es el número de sorpresas que usted experimentó: 1. 4,007 millas; 2. 212,000; 3. 2.89 millones de habitantes; 4. 5,871 millas; 5.1.570 millones de ejemplares; 6.17.219 millones; 7. 656,427 millas cuadra· das; 8. 77,000; 9. 66.47 millones de pasajeros; 10. 92.6 millones de millas. Para las preguntas utilizadas como ejemplo, la población de California era de 31.2 millones de habitantes (no incluir este en el puntaje). Para un análisis de estos resultados, véase Russo J. y Schoemaker, P. "Managing Overconfidence", Sloan Managemen/ Review, Winter 1992. Véase también, Tversky A. y Kahneman, D. "Judgment under Uncertainty:

Heuristics and Biases", Science 185 (1974), pp. 1124-31. 8 Estos ejemplos están descritos en Russo y Schoemaker, "Managing Overconfidence".


309

Otro método es tratar de imaginar escenarios o caminos que conduzcan a resultados diferentes, a partir de los que se consideran probables. Por ejemplo, los gerentes de marketing que tratan de estimar el primer año de ventas de un nuevo producto, toman en 90% el intervalo de confianza que inicialmente se estimó, entre 1 y 2 millones de cajas. Los gerentes se imaginan un año hacia el futuro con el concepto de que las ventas en realidad fueron de 4 millones de cajas y luego tratan de pensar escenarios que pudieran conducir a ese resultado. 0, para combatir la desviación de selectividad, deliberadamente los gerentes podrían revisar artículos y fuentes con perspectivas diferentes del producto o de la industria, de las que por lo regular leerían.

Limitaciones de la teoría de la utilidad Aunque el análisis de la utilidad es un marco de referencia poderoso para las decisiones que implican riesgos, tiene algunas limitaciones. Todos los ejemplos presentados aquí han incluido la evaluación de funciones de utilidad para decisiones que se mantienen solas. No obstante, en la mayor parte de las situaciones de negocios, y también en muchas de carácter personal, la valoración de los resultados depende de otros factores externos. Por ejemplo, una empresa que toma una decisión de inversión importante con un potencial de pérdida, por ejemplo, de US$20 millones. Una pérdida puede valorarse de distinta manera según ocurra dentro de un año, cuando otros proyectos logren el éxito, cuando se presenten también pérdidas en los demás proyectos. Una pérdida personal también puede considerarse de manera diferente, dependiendo si puede conseguirse o no el aumento de salario que se espera. En otras palabras, existe un efecto portafolio que se debe considerarse. En finanzas, el valor de una acción no sólo depende de la variabilidad de su retorno sino también de la manera como se correlaciona con los retornos del portafolio del cual forma parte. Esto complica considerablemente la evaluación de una función de utilidad para un problema de decisión real. En finanzas, existen datos históricos que se utilizan para estimar la correlación de los retornos de una acción con otros. Esto es mucho más difícil para una decisión, por ejemplo, de construir una nueva fábrica automatizada o introducir un nuevo producto. Otra limitación de la teoría de la utilidad es que numerosos experimentos han demostrado que, en ocasiones, la gente infringe los supuestos básicos sobre los cuales se basa el método. Considerar, por ejemplo, la famosa paradoja de Allais. Hay que enfrentar las siguientes situaciones de decisión: Situación 1: elegir A o B A. Recibir US$l millón con seguridad.

B.

Participar en una lotería que ofrece 10% de oportunidad de un premio de US$5 millones, 89% de oportunidad de un premio de US$l millón, y 1% de no recibir nada.

Situación 2: elegir CaD C. Participar en una lotería que tiene 11 % de oportunidad de ,un premio de US$l millón y 89% de oportunidad de no recibir nada. D.

Participar en una lotería que tiene 10% de oportunidad de un premio de US$5 millones y 90% de no recibir nada.

310


Dada esta opción, muchas personas eligen A sobre B en la situación 1 y D en lugar de C en la situación 2. Si se plantea esto en términos de utilidad, preferir A en lugar de B implica:

u(l) > 0.10 • u(5)

+ 0.89 • u(l) + 0.01

• u(O)

donde u(l) es la utilidad del premio de US$l millón; u(5) es la utilidad del premio de US$5 millones y u(O) es la utilidad de no obtener nada. Los puntos extremos de la función de utilidad se definen en Oy 1, Yluego se establece que u(O) = OYu(5) = 1. Con algo de manejo algebraico, la desigualdad anterior se convierte en

O.l1u(l) > 0.10 De manera similar, preferir D en lugar de C implica

0.10· u(5) De nuevo, al sustituir u(5)

+ 0.90 • u(O)

> 0.11 • u(l)

+ 0.89 • u(O)

= 1 Yu(O) = O, se obtiene: 0.10> 0.11 • u(l)

Puede observarse que estas dos opciones dan resultados contradictorios. La gente que elige A en lugar de B en la primera situación y D en lugar de C en la segunda actúan en contradicción con la lógica del método de la teoría de la utilidad. Los investigadores han desarrollado muchos experimentos diferentes donde se observa un comportamiento inconsistente similar 9. En ellos, pueden relacionarse situaciones que involucran pequeñas diferencias de probabilidades (como 10% frente a 11 %, como en el ejemplo anterior) con la manera como se consideran los resultados (una pérdida de US$600 frente al pago de una prima de seguro de US$600); ambigüedad en las probabilidades, buscar ganancias y pérdidas en lugar de la posición final del activo, y así sucesivamente. La evidencia acumulada es que la teoría de la utilidad tiene limitaciones como una teoría descriptiva de la manera como la gente se comporta en realidad bajo condiciones de incertidumbre. De otro lado, para ser consistente, debe mantenerse como una teoría prescriptiva valiosa sobre la manera como las personas deben actuar. Debido a que es difícil obtener valores precisos y consistentes de la función de utilidad, ésta suele incorporarse a aplicaciones reales de la siguiente manera: primero se analiza el problema en términos del VME, incluyendo el desarrollo del perfil de riesgo. Con mucha frecuencia, esto brinda una base adecuada para tomar la decisión y no se necesita evaluar la función de utilidad. No obstante, si el riesgo sigue siendo una parte importante del problema de decisión, entonces el análisis de sensibilidad se hace con funciones de utilidad diferentes para determinar el grado de aversión al riesgo que debería tener el encargado de tomar la decisión antes de cambiar la decisión seleccionada. (Véase el apéndice de este capítulo para un ejemplo al respecto). Debe recordarse que el propósito del análisis de decisión es servir como ayuda y brindar un punto de vista al encargado de la decisión, y este procedimiento ha demostrado ser adecuado.

9 Para un resumen sobre este trabajo, véase el capítulo 4 en K1ienforfer, P. R. Kunreuther, H. e y 5choc;maKc;r, P. J. H. Decision Sciences (Cambridge: Cambridge University Press, 1993).


311

RESUMEN Al aplicar el método del análisis de decisión para solucionar problemas reales, deben tomarse ciertas precauciones para evitar posibles desviaciones en la estimación de probabilidades. Aunque la teoría de la utilidad sigue siendo el método prescriptivo más valioso para incluir el riesgo en el análisis de decisiones, tiene limitaciones como tal. En la práctica, las consideraciones de utilidad suelen incluirse como un paso final al hacer el análisis de sensibilidad, utilizando las funciones de utilidad con diferentes niveles de aversión al riesgo. APÉNDICE LA FUNCIÓN DE LA UTILIDAD EXPONENCIAL La figura 7-10 ilustra un tipo de función de utilidad que, en ocasiones, se utiliza en el análisis de decisión: la función exponencial, que tiene la forma de

u(x)

= a - be-x/R

donde u (x) es el valor de utilidad para los rendimientos dex; a y b son los parámetros que pueden establecerse para graduar la función (definir los puntos Oy 1.0, por ejemplo) y Res el parámetro de aversión alliesgo. Esta función tiene la propiedad de que muestra la aversión constante al riesgo para todo el rango. Es decir, la prima de riesgo no cambia en diferentes partes de la curva. Como se estudió al comienzo de este texto, en los individuos podría esperarse una disminución de la aversión al riesgo (véase figura 7-11). Sin embargo, el supuesto de la aversión constante al riesgo puede ser una aproximación razonable para muchas decisiones de negocios. Una ventaja de utilizar una forma matemática como la función de utilidad exponencial es que permite hacer el análisis de sensibilidad con diferentes niveles de aversión al riesgo. En el caso de la función de utilidad exponencial, esto simplemente implica variar el parámetro de aversión al riesgo, R. Para entender esto, véanse las figuras 7-9 y 7-10. En ese ejemplo, los valores de los parámetros fueron a = 1.118, b = 0.5280 Yel parámetro de prima de riesgo R = 200. Puede observarse que la estrategia óptima para la persona que toma la decisión de VME o de fiesgo neutral, debería ser la estrategia avanzar/avanzar (avanzar sin tener en cuenta la aceptación rápida o lenta). Como se vio en la figura 7-9, un parámetro de prima de riesgo deR = 200 cambia la decisión a la estrategia avanzar/parar. Podría hacerse la pregunta de qué tan grande tendría que ser el parámetro de prima de riesgo para que fueran indiferentes las estrategias avanzar/avanzar y avanzar/parar. Incluso podría irse más allá y preguntar qué tan grande tendría que ser el parámetro para que a la persona que debe tomar la decisión le sea indiferente introducir y abandonar el producto. Al tratar con diferentes valores paraR, pueden encontrarse estos puntos, los cuales darían como resultado R = 234 (indiferencia entre avanzar/avanzar y avanzar/parar) y R = 105 (indiferencia entre introducir y abandonar). Las curvas con estos valores están trazadas en la figura 7-12 1 Estas curvas pueden utilizarse de la siguiente manera. Si la persona que debe tomar una decisión en esta situación tiene dificultades para estimar la función de utilidad correspondiente, con las curvas de la figura 7-12; sólo tiene que decidir en cuál rango se encuentra su aversión al riesgo. Esto puede hacerse calculando loterías simples relacionadas con las curvas. puede considerarse, por ejemplo, una lotería sencilla que involucre una oportunidad de 50-50 de perder US$100,000 y ganar

°.

10 Los valores del parámetro para a y b volvieron a calcularse para estas curvas.

312


FIGURA 7-12 Funciones de utilidad para valores de R no diferenciados

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0.9 0.8 0.7 "O

0.6

1

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0.5

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0.4 0.3 0.2 0.1

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-150

-100

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50

100

150

200

250

300

Utilidad (Miles de dólares)

US$200,000. Utilizando la curva más baja (R = 234) en la figura 7-12, el equivalente de certidumbre está cerca a US$5,000. Si el encargado de la decisión valora la lotería en más de US$5,000 tiene menos aversión al riesgo que en la curva R = 234 y, por consiguiente, debe seleccionar la estrategia avanzar/avanzar. El equivalente de certidumbre para la misma lotería, utilizando la curva R = 105 está cerca de US$34,000 (un pago de US$34,000 para evitar la lotería). Si el encargado de tomar la decisión valora la lotería entre US$5,000 y US$-34,000, la estrategia avanzar/parar es la apropiada. Una valoración menor a US$-34,000 implica que debe tomarse la estrategia de abandonar. ¡Atención! Estos análisis pueden ser muy valiosos en la práctica, pero no son procedimientos que deban seguirse mecánicamente. Por el contrario, son técnicas que pueden ayudar a la decisión y brindar perspectivas al encargado de la decisión. Este tipo de análisis de sensibilidad ha sido de utilidad debido a las dificultades para evaluar realmente las funciones de utilidad.

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SAMSON, D. Managelial Decision Analysis. Burr Ridge, 11: Richard D. Irwin, 1988. VON NEUMANN, J., and MORGENSTERN, O. TheOlY of Games and Economic Behavior. Princeton NJ: Princeton University Press, 1944.

_ _ _o

PROBLEMAS PRÁCTICOS11 7·1 Considerar las acciones cuyas utilidades se muestran en la tabla 7-7. Indicar cuál acción(es) es la mejor según los siguientes criterios: a. ¿Cuáles acciones están involucradas en la dominancia de resultado? b. ¿Cuáles acciones están involucradas en la dominancia de evento? C. ¿Cuáles acciones están involucradas en la dominancia probabilística? d. ¿Cuáles acciones no están dominadas por ninguna forma de dominancia? 7-2 Volver a la figura 7-13. Suponer que si no se introduce un producto de la competencia, podrá fijarse un precio alto. Dado este supuesto: a. Hacer una lista de todas las estrategias completas en el árbol de decisión de la figura 7-13. b. Calcular la opción de utilidad o el perfil de riesgo para cada estrategia identificada en el literal a. C. Determinar cuáles estrategias, si las hay, dominan a otras. d. Trazar las distribuciones acumuladas de utilidad para todas las estrategias. 7·3 La empresaria W tiene un índice de utilidad de para una pérdida de US$l,OOO y de 1.0 para una utilidad de US$3,000. Ella afirma que le son indiferentes US$10 seguros y la siguiente opción: 0.4 de oportunidad de perder US$l,OOO y 0.6 de oportunidad de ganar US$3,OOO. ¿Cuál es el índice de oportunidad para una utilidad de US$10 de la empresaria? 7·4 Usted tiene una cita para el día del baile de la clase de análisis cuantitativo; la entrada cuesta US$25, que usted no tiene. El día del baile, su profesor de psicología le ofrece US$20 seguros o una oportunidad

de 50-50 de no recibir nada o de obtener US$30. ¿Cuál opción tomaría suponiendo que no cuenta con ninguna fuente de recursos o de crédito? ¿Por qué? Si la utilidad de US$20 es 20 y la utilidad de cero dólares es 0, ¿qué implica esto con respecto a la utilidad de US$30? 7-5 Una empresa se enfrenta a una decisión acerca de la introducción de un nuevo producto, para lo cual elaboró el diagrama del problema como aparece en la figura 7-13. La utilidad para la ganancia puede representarse con la siguiente función: U(x) = 0.02SYSOO

+x

donde x está en miles de dólares. Utilizando esta función de utilidad para la ganancia, retroceder en el árbol de la figura 7-13 e indicar la estrategia que maximiza la utilidad esperada. ¿Cuál es el equivalente de certidumbre de esta estrategia? 7·6 La Iota Engineering Company es contratista del gobierno. Iota es una empresa pequeña con capital limitado. La función de utilidad está representada por la siguiente función (donde x está en miles de dólares):

°

U(x) = 0.04364Y20

+x

donde -20 :5 x :5 US$500,000. a. Iota está considerando licitar para optar por un contrato. Preparar la licitación le costará US$20,000. Si la pierde, también perderá US$20,000. Si gana la licitación, recibirá US$400,000 y recuperará los US$20,000 del costo de preparación. Iota cree que la probabilidad de ganar el contrato es 0.2 si se hace una propuesta, entonces, ¿qué debe hacer?

Acciones

TABLA 7-7 Estado natural q1 q2

qs q4 ;::n:;z;¡

Probabilidad

d1

d2

ds

d4

ds

de

0.2 0.2 0.4 0.2

O O O O

O

-4 -4

5

5 2 -3

O

-1 2

5

3 6

3 6

5 3

z:w:::u;,

11 Las soluciones están al final de este capítulo.

O

5

314


FIGURA 7-13 Árbol de decisión (para los problemas 7·2 y 7-5) Eventos (precios del competidor)


Opciones (precio de la empresa) Alto

US$150

(0.3) Medio

Fijar precio alto

O

(0.5) Bajo Eventos

-200

(0.2) Alto

Se introduce producto competitivo

,------1

(0.8)

Opciones

250

(0.1) Medio (0.6) Bajo (0.3)

Fijar precio medio

100 -50

Alto

100

(0.1) Medio

Fijar precio bajo

50

(0.2) Bajo No hay producto competitivo (0.2)

-100

(0.7)

Fijar precio alto

500 Fijar precio medio

300

Fijar precio bajo 100


O Primer punto de decisión


b. ¿Cuál probabilidad de ganar, debe tener Iota antes de presentar una oferta? c. Suponer que otra pequeña empresa de ingeniería le propone a Iota asociarse para presentar la

licitación y que asumiría la mitad del costo y recibiría la mitad de las utilidades si ganan la licitación. Si la probabilidad de ganar sigue siendo de 0.2, ¿debe Iota aceptar a este socio?

PROBLEMAS 7-7 La persona encargada de tomar una decisión tiene tres inversiones posibles con las utilidades y las probabilidades que se presentan en la siguiente tabla: a. Utilizando el criterio de dominancia, comparar las opciones. ¿Hay una que sea preferible? ¿Cuál forma de dominancia debería utilizar para hacer la elección? b. Utilizando el criterio de valor esperado, ¿qué elección debería hacerse?

Probabilidades para rendimientos por inversión Utilidades (miles de dólares)

Inversión

Inversión B

Inversión

100

0.4 0.0 0.4 0.2

0.2 0.0 0.2 0.4

0.2 0.1 0.1 0.6

150

0.0

0.2

0.0

-50

o

50

A

e


315

FIGURA 7-14 Árbol de decisión (problema 7-8) Utilidad condicional (millones de dólares) Ventas altas (0.3) Ventas bajas (0.7)

Introducir el producto Hacer estudio No introducir el producto

US$4.0 -0.2 O

3.8

El estudio predice éxito


(0.19)


El estudio no es concluyente


(0.47)


El estudio predice fracaso


(0.34)


-2.2 -0.2 Ventas altas (0.255) Ventas bajas (0.745)

3.8 -2.2 -0.2 3.8 -2.2 -0.2

7-8 Una empresa está considerando la introducción de

y trazar una curva de utilidad uniforme a través

un nuevo producto. Una alternativa es hacer un estudio de mercado antes de tomar una decisión. El problema se diagramó éomo aparece en la figura 7-14. a. Listar las estrategias disponibles en este árbol de decisión. Incluir todas las estrategias, inclusive aquellas que puedan considerarse inútiles. b. Encontrar por lo menos dos estrategias que estén dominadas por otras. Mostrar las opciones de utilidad (perfiles de riesgo) para las estrategias dominadas y para las dominantes. c. Algunas de las estrategias del literal a. pueden parecer inútiles o irracionales. ¿Por qué razón? 7-9 A la persona que debe tomar una decisión se le pide que encuentre los equivalentes de certidumbre para las apuestas que aparecen en la primera columna del cuadro siguiente, cuyas respuestas están en la segunda columna.

de los puntos. b. Utilizando esta curva, encontrar el equivalente de certidumbre para la siguiente apuesta:

Apuesta

Equivalente de certidumbre evaluado

1. 1/2 oportunidad de -US$1 00,000

y Y2 oportunidad de US$200,000

100,000

3. 1/2 oportunidad de US$10,000

y Y2 oportunidad de -US$100,000

-US$ 80,000

°

80,000 160,000

0.2 0.4 0.2 0.2

7·10 El tesorero de una corporación está considerando la decisión de incrementar la cantidad deducible del seguro contra incendio de la empresa de US$20,OOO por siniestro a US$50,OOO (esto significa que no habría reembolso por los primeros US$50,OOO de pérdida por incendio bajo las cláusulas de la póliza). Un incremento de esta naturaleza en el deducible reduciría la prima anual del seguro de US$25,OOO a US$14,OOO. Con base en los datos históricos, el tesorero estima la probabilidad de incendio como sigue:

US$10,OOO

2. Y2 oportunidad de US$10,000

y 1/2 oportunidad de US$200,000

Probabilidad

-55,000

a. Utilizando papel milimetrado, trazar los puntos de utilidad asociados con las apuestas señaladas

Número de incendios en un año

o 1 2

3 Omás

Probabilidad 0.80 0.15 0.05

O

316


Si se presenta un incendio, la pérdida segura está por encima de US$50,000 debido a la naturaleza del producto que se fabrica. Cuando Se indagó acerca de las preferencias por aversión al riesgo, se obtuvo la siguiente función de utilidad: Dólares

Utilidad

-US$100,OOO -40,000

0.000 0.300 0.490 0.537 0.620

O

10,000 30,000

mi tesorero debe aumentar el deducible? ¿Por qué? 7-11 Una empresa posee un contrato que le concede el

derecho a buscar petróleo en cierta propiedad. La empresa puede vender el derecho por US$15,000 o hacer la exploración. Los cuatro posibles resultados de exploración aparecen a continuación, junto con las probabilidades de que ocurran y el valor de las consecuencias:

Posible resultado Pozo seco Pozo con sólo gas Combinación de petróleo y gas Pozo de petróleo

Probabilidad

0.16 0.40 0.24 0.20

Consecuencias

-US$100,000 50,000 100,000 200,000

La función de utilidad para el dinero del problema de exploración es el mismo que se evaluó en el problema 7-9. a. ¿La empresa debe hacer la exploración o debe vender el contrato? b. Antes de comenzar la perforación, otra empresa ofreció comprar el contrato. ¿Cuál es el precio mínimo que la empresa debe aceptar? c. Antes de comenzar a perforar, un grupo de inversionistas externos hizo la siguiente propuesta: el grupo pagaría a la empresa US$20,000 por una participación de 50% en los costos e ingresos asociados con la perforación, es decir, los ingresos para la empresa serían de US$20,000 más la mitad de los valores que aparecen en la lista. ¿La empresa debe aceptar la oferta?

PROBLEMAS ESPECIALES 7-12 La OPC Company debe decidir si comercializa el producto A o el producto B. La decisión depende de la velocidad con que los distribuidores acepten el producto y el tipo de estrategia de marketing (pro; moción o publicidad) empleado por OPc. La em! presa diagramó su problema de decisión como aparece en la figura 7-15, con los flujos de efectivo asociados con las diferentes decisiones y eventos que aparecen al final de las ramas del árbol. OPC determina los siguientes puntos en su función de utilidad: Millones de dólares

Utilidad

-4.00 -3.50 -2.00 0.75 5.00 10.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Elaborar la figura con estos puntos y trazar una curva uniforme a través de ellos. Luego, utilizar esta curva para determinar qué decisión debe tomar QPC en el árbol que aparece en la figura 7-15. 7-13 Remitirse al problema 7-12. Suponer que QPC tiene otra inversión que implica una oportunidad de 0.50 de ganar US$10 millones y 0.5 de oportunidad de perder US$4 millones. Utilizar la curva de utilidad a través de los puntos dados en el problema 7-12.

Varios inversionistas ofrecen unirse a QPC en esta inversión. En particular, el inversionista A ofrece participar con 50% de las ganancias o de las pérdidas de OPc. El inversionista B ofrece aceptar 40% de participación en las pérdidas a cambio de 30% de participación en las ganancias. El inversionista e ofrece pagarle a QPC US$2 millones a cambio de 50% de participación en las ganancias, pero no participa en las pérdidas. ¿QPC debe aceptar alguna de estas ofertas? ¿Cuál? 7-14 Little Electronics Company inició un juicio contra Artex Computers por prácticas comerciales ilegales y competencia desleal. Solicita una indemnización de US$lQ millones por los perjuicios causados. El4 de noviembre, Little recibe una oferta de Artex para desistir del juicio a cambio de un pago de US$3.5 millones. La gerencia de Little debe decidir si acepta la oferta o sigue con el juicio. Los abogados están de acuerdo en que las oportunidades son casi dos de tres de que la empresa gane. Sin embargo, el punto está en que si Little gana el pleito, las posibilidades son sólo una de dos de que el juez conceda una indemnización total de US$10 millones; igualmente, es probable que conceda un pago parcial de US$5 millones. Además, los abogados estiman que los honorarios legales entre noviembre y junio (cuando el caso llegué a la audiencia), costarán cerca de US$200,00 más otros US$10,000 por manejar el caso (el cual se espera que tarde tres meses). Al hacer la oferta de US$3.5 millones, Artex enfatizó

que era una oferta final y que sólo la mantendría


317

FIGURA 7·15 Árbol de decisión de QPC (para el problema 7-12) W~

ZC=:Za;W:C;:;:W:¡¿WLi&-.JZUiWilJ!SZ.:Wtii.Z&&!

Nivel de ventas del producto Estrategia de marketing

Aceptación del distribuidor

2JiiiU!lll!!::iik'.

QM

Flujo de efectivo (millones de dólares)

9

·Promoción

-1

Introducir Rápida (0.3)

7

Publicidad

-3

Producto A

7

Promoción

-2

(0.7) Lenta

5

Publicidad

-4 5

Promoción Rápida (0.5)

4

Publicidad

O Producto B

4

Promoción

O

(0.5) Lenta

Publicidad

por 30 días. Sin embargo, la gerencia de Little y los abogados están de acuerdo en que probablemente Artex hará una nueva oferta en junio, justo antes de que comience el juicio. Después de pensarlo, se decide que 0.60 es un buen estimado de la probabilidad de una nueva oferta de Artex en junio y, si se cristaliza, las oportunidades son de 7 entre 10 de que será de US$4.5 millones y de 3 entre 10 de que será de US$5.5 millones. Si Artex no hace la oferta final en junio, Little puede iniciar un acuerdo. En este caso, tendría que aceptar US$2.5 millones porque Artex podría interpretar

la acción como debilidad.

Alta (0.7) Baja (0.3)

3

-1

Suponer que Little Electronics, después de una cuidadosa consideración, evalúa su función de utilidad para los flujos de efectivo que resultan del juicio. La función de utilidad V(X) puede describirse con la siguiente función: 1 V(X) = 1 - - -

X+2

donde X es el flujo de efectivo (millones de dólares) que resulta del pleito. Elaborar el árbol de decisión para el problema de Little. Sustituya los valores de utilidad en lugar de los flujos de efectivo al final del árbol. Analizar el

árbol utilizando

lo~

valorvs de utilidad para deter-

minar cuál decisión debe tomar Little.

318


SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 7-30.4(1) + 0.6(1.0) = 0.6 7-4 La mayoría tomaría la apuesta a pesar del hecho de que el VME es mayor para los US$20 seguros. Tomar la opción implica que 0.5U(US$0) + 0.5U(US$30) > U(US$20) ó 0.5 (O) + 0.5U(US$30) > 20. Esto determina que U(US$30) debe ser> 40. 7·5 El árbol con los valores de la utilidad se muestra en la figura 7-17. La estrategia óptima es introducir el producto y fijar un precio medio si se introduce un producto competitivo y un precio alto si la situación es diferente. Esta es la estrategia 3 del problema 72 anterior. La utilidad esperada de esta estrategia es 0.634 y el equivalente de certidumbre es US$143,000.

7·1 a. d 4 y se imponen a dI por dominancia de resultado. b. La acción d4 domina a d3 por dominancia de evento. Además, claro está, d 4 y d6 dominan a dI por dominancia de evento, ya que ellos se imponen por dominancia de resultado. c. Para investigar la dominancia probabilística, la información debe reorganizarse como aparece en la tabla 7-8. No necesitan considerarse las acciones dI y d 3, ya que se encontró que se imponen por dominancia de resultado o de evento. Las acciones d4, ds y d6 se imponen a d2 por dominancia probabilística. Además, la acción d4 se impone a ds' d. Esto deja las acciones d4 y d6 como no dominadas. El criterio de dominancia no da una opción entre ellas. 7-2 a. Existen cuatro estrategias (véase la tabla 7-9): 1. No introducir el producto. 2. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo, fijar un precio alto (si no hay producto competitivo, fijar un precio alto). 3. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo, fijar un precio medio (si no' hay producto competitivo, fijar un precio alto). 4. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo fijar un precio bajo (si no hay producto competitivo, fijar un precio alto). b. La estrategia 1 tiene 1.0 de probabilidad de utilidad cero. Para las demás estrategias: c. La estrategia 3 (fijar precio medio) se impone a la estrategia 4 (fijar precio bajo). Cada valor de la probabilidad acumulada P(X o más) en la tabla 7-9 es, por lo menos, igual de grande o mayor para que la estrategia 3. Esto también puede verse en los trazados de la figura 7-16. No hay otra dominancia. d. Véase la figura 7-16.

7·6 a. Alternativa 1: no licitar.

U(O)

= 0.2182

Alternativa 2: licitar Utilidad esperada = 0.2U( 400) + 0.8U(-20) = 0.2(0.8897) + 0.8(0) = 0.1799 U(licitar) < U(no licitar). Por consiguiente, no licitar. b. Sea p la probabilidad de ganar.

P(0.8897) + (l-p)(O) Resolver p, dado que p

= 0.2182

= 0.2425

c. Los resultados ahora son -10 y 200, Y la utilidad esperada es: Utilidad esperada = 0.2U(200) + 0.8U(-10) = 0.2(0.6597) + 0.8(0.1912) = 0.2839 Como ésta es mayor que la utilidad de no licitar, Iota debe asociarse con la otra empresa de ingeniería. Éste es un ejemplo donde se comparte el riesgo.

TABLA 7·8 (para el problema 7-1)

Acciones

Utilidad X

-4 -3 -1 O 2

3 5 6

P(X)

p(Xo más)

P(X)

ds

ds

d4

d2

P(Xomás)

P(X)

p(X o más)

P(X)

P(Xomás)

1.0 1.0 1.0 1.0 0.6 0.6

0.2 O 0.2 0.4 O

1.0 1.0 0.8 0.8 0.6 0.2

O O O 0.2 O 0.4

1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.8

O O 0.2 O 0.2 0.2

1.0 1.0 1.0 0.8 0.8 0.6

O O O 0.4 O

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.6

0.2

0.2

O

O

O

O

O

O O

0.6

O

Decisión y análisis de riesgo t ...

TABLA 7-9 (para el problema 7-2)

Utilidad miles de dólares) X

Estrategia 2

-200 -100 -50 O

50 100 150 250 500

p(X o más)

0.16 O O 0.40 O O 0.24 O 0.20

1.00 0.84 0.84 0.84 0.44 0.44 0.44 0.20 0.20

FIGURA 7-16 (para el problema 7-2d)

I I I

0.8

1.00 1.00 1.00 0.76 0.76 0.76 0.28 0.28 0.20

ro

--I

-

I I I I I I I I I

~

:;¡

0.6

()

ro -o ro -o

Estrategia 1

- - Estrategia 2

I

-o

:oro

P(X o más)

O O 0.24 O O 0.48 O 0.08 0.20

----

I ---

E :;¡

P(X)

Estrategia 4

Comparación de estrategias

P(xo más) 1.0

Sf.ill\\UWit::l&l»Ji&illi.:c:::n:ta:eU

Estrategia 3

P(X)

Estrategia 3

--I

0.4

I I I

.o o

eL

I I

0.2

I

---------I

O -200

O

200

400

Utilidad (miles de dólares)

600

319

X

P(X)

O 0.56 O O 0.16 0.08 O O

0.20

p(X omás)

1.00 1.00 0.44 0.44 0.44 0.28 0.20 0.20 0.20

320


FIGURA 7·17 Árbol con valores de utilidad (para problema 7·5)

Opciones (precio de la empresa)

Eventos (precios del competidor)

Fijar precio alto

Eventos

Alto (0.3) Medio (0.5) Bajo (0.2) Alto

Opciones

Fijar precio medio

lEC: 1431

(0.634) I

I I I I I I I I

Primer punto de decisión

(0.1) Medio (0.6) Bajo (0.3) Alto (0.1) Medio

No hay producto competitivo (0.2)

Fijar precio alto

Utilidades u(x)

US$150

<0.637>

O

<0.559>

-200

<0.433>

250

<0.685>

100

<0.612>

-50

<0.530>

100

<0.612>

50

<0.586>

-100

<0.500>

500

<0.790>

300

<0.707>

100

<0.612>

O

<0.559>

Fijar precio medio Fijar precio bajo


(0.2) Bajo (0.7)


8

Control y gerencia de inventarios 323

9

Teoría de las colas: congestión en los sistemas de procesamiento 371

10 Simulación 401 11 PERT: Program Evaluafion and Review Technique o técnica de evaluación y revisión de programas 439 12 Pronósticos 463

Ejemplo motivador Manejo de la cadena de suministros en Hewlett-Packard 1 Hewlett-Packard Corporation ha hecho u~ uso exten~ . posponer y realizarenEuropa, en Sllcentro dedistrisivo de los modelos presentados en este.capítulo, los· bución,Jos p~s9sne~esarios.para"localiz~rn (establecuales. utiliza.· para.evaluareimplementar .diseños~.~. cer.eltipo.deimpresoraquese requiera)la impresora. producto· innovadoresqueperllÜtYIlsatisf~RerdeJlla., .·E~to .• significó•• • que •pudierollprcrducirse .yenviarse nera •. másefectiva·lad~lUandadYloscliYl1tes~rIiy~I··. impresoras genéricas y deestruct~ra básicaaEu~opa mundial, a la vezqueleperwit~nlUant~llerIlle~osjll;Y luego •ajustaf con rapidez lasoperaRio~esdeJocali ventario. Este resultado de "todos ganan" puede·· .··.·zaciónpara\manejarloscambiosen losp~trohes de 10grarsecuami(J§ecolUbin~~lUodelosd~jnve~tarioc()n demanda./< ·••••..••.•.•••••.•.•. . ••.• 11l1avisi~~toialY.~t~gradadet()dalacadenade;sllIl1h. ••··. · ·• ·.•.•.• ·•·•. •·.·.·.xJJno. .• delo~ . retos.másdifícilesentodo este.pronistros,··inc1uYefldotodaslasárea~.Juncionalesde·la >.yectofue convencrralos ingenieros.de.diseño.de pro" empresa. dueto de HPdela necesidad de rediseñar un producto El problema de la divisiónVancouver de HP fue que había demostrado ser muy popular en el mercado. un problema común: demasiado inventario junto con Entre otras cosas, el rediseño implicaba remover la agotamiento de existencias. Este problema acompa" fuente de energía de la impresora misma y colocarla ñaelllamado"cursode variedad", que consiste en una e un cable separado. También fue necesario convenl1 proliferación de tipos de modelos de unafamiliadecer alc~ntrodedistribuciónde Europa de. que debía . productos y dificultad para proyectar la demanda so- . realizar algunas ligeras operaciones de montaje que bre labase.deunlllodelo individual. Lac()mplicación eran extrañas a sus tradicionales. responsabilidades y aumentó en el caso de HP desde cuando se fabrica- capacidades. Contar con un modelo cuantitativo de los ron las impresoras DeskJetenEE.UU.y seexporta., costosy beneficios de este cambio en el diseño permi~ ron a Europa.Las diferencias de idioma, el suministrotió a losgerentesd~HPde muchas áreas de responsaenergía y la configuración de las conexioneseléc~ bilidad funcional diferentes, evitar las reacciones tricas exigieron más de dos docenas de modelos de emotivas ante la sugerencia y evaluarla por sus méritos cada impresora. Invariablemente,· cuando lademan- cuantitativos. da delas impresoras en Francia era inferior a la proHP estilla que han ahorrado millones de dólares yección, la demanda en España estaba por encima del anuales gracias a esta mejora, y su división Vancouver pronóstico; las primeras causaban excesodeinventa- es ahora lavitrinade exhibición de la empresa para rio mientras que las segundas registraban agotamien- "Diseño para localización". to·de existencias. La respuesta deHP a este continuo y amplio dilema fue usar modelos de análisis de inventario para 1 Véase Lee, H. L. Billington, C. y Carter, C. "HewletHackard Gains Control of Inventory andService through Design for evaluar loS costos y beneficios de rediseñar las Localization",Inteifaces, July-August 1993, pp. 1-11. impresoras, de maneraqile en realidad se pudieran

El control de inventarios representa una función gerencial importante que se ha tratado con mucho éxito mediante métodos cuantitativos. Los conceptos que se presentan en este capítulo se han aplicado a numerosas organizaciones, grandes y pequeñas, con resultados favorables. No obstante, existen situaciones de negocios adicionales (incluso en empresas bien administradas) donde las perspectivas obtenidas con los modelos de control de inventarios pueden ser en extremo útiles en la búsqueda de mejores decisiones de negocios. Antes de introducir modelos específicos para la solución de algunos problemas de inventarios comunes, se presenta una técnica de clasificación de inventario multi-ítem llamada análisis ABe, la cual es útil es la atención del enfoque gerencial sobre los más importantes productos en cualquier sistema de inventario multi-ítem.

SECCiÓN 1

_

ANÁLISIS ABe Cualquier inventario significativo siempre está compuesto por más de un tipo de artículos. Cada artículo individual necesita control y manejo, pero al comienzo es útil reconocer que no todos tienen la misma importancia para la organización. El análisis ABe es una manera de clasificarlos con base en alguna medida de importancia; con frecuencia, una que se encuentra disponible con facilidad es el monto de ventas anuales de cada artículo. La figura 8-1 ilustra una curva típica ABC obtenida al calificar cada grupo de artículos por sus ventas (en orden descendente) y trazar luego las ventas acumuladas frente al número de diferentes artículos del inventario. La conocida regla 20-S0 se demuestra en esta figura: 20% de los artículos responden por cerca de SO% del total de ventas de la empresa. La forma de cualquier curva ABC será similar a la que aparece en la figura 8-1; esto se debe a que los artículos están clasificados según su importancia (ventas anuales) antes de acumularlos. Es imposible evitar el tipo de curvatura que se ilustra, a menos que todos los artículos de un sistema de inventario de múltiples artícu-

324


los tengan exactamente la misma proporción dinero-ventas, algo que es altamente improbable. Los gerentes utilizan la curva ABC para determinar dónde se justifica el análisis detallado y, por el contrario, dónde la precisión mejorada a un gran costo puede no estar garantizada. El procedimiento usual es dividir la curva en tres regiones o grupos, como sIgue: • Artículos A: el primer 50% de las ventas • Artículos C: el segundo 50% de ítems • Artículos B: los artículos intermedios La figura 8-1 ilustra estas tres regiones para el ejemplo. Obviamente, estas divisiones en particular no son rígidas; algunas empresas dividen su inventario en cuatro grupos (ABCD) y otras utilizan cortes ligeramente diferentes para las distintas regiones. El punto clave es que cualquiera que sea la definición, el artículo A típico, es más importante que el artículo B típico, el cual, a su vez, es mucho más importante que el artículo C típico. Con fines administrativos, los artículos A deben ser objeto de máximos análisis, control y revisión ya que se califican en el nivel más alto dada la medida de importancia. Los artículos B deben recibir atención razonable, pero menos que los artículos A. Los artículos C representan muchos artículos diferentes, pero cada uno de ellos tiene ventas tan bajas que pueden manejarse de manera más casual, con una tendencia hacia niveles de inventario altos ya que no se involucra mucho dinero. Si en una empresa se aplica el control de inventario mejorado, el enfoque inicial debe ser sólo en los artículos A, pues es ahí donde puede obtenerse el máximo apalancamiento.

FIGURA 8-1 Un ejemplo de análisis ABe

100

VV

90 al

(/)

~

o..

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I I I I

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10

e

B

Al

20

30

40

50

60

70

80

Porcentaje de ítems en inventario (clasificados)

90

100


FIGURA 8-2 Análisis ABe de una muestra aleatoria de 200 artículos

325

Porcentaje

100

.•..••... ......

500

.'. .. . .

' •

80

.. .. .

Ul 400 Q) ~

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60

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20

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I I I I I

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O

. Ultimo artículo B

I

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i' Último artículo A

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o

I I I

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200

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2

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B

I

40

80

I I I I I I I I I I I I

120

160

200

Artículos de muestra (clasificados) Porcentaje

O

20

40

60

80

100

Realización de un análisis ABe La mejor manera de hacer un análisis ABC es seleccionar una medida de importancia y luego clasificar todos los artículos del inventario de acuerdo con ella, lo que produce una curva similar a la que aparece en la figura 8-1. Como alternativa, puede hacerse un análisis ABC sobre una muestra de artículos. Aunque la curva de la muestra no será 100% segura, es probable que sea lo bastante precisa para tomar una decisión. Por ejemplo, de un inventario de 20,000 artículos podría seleccionarse una muestra aleatoria de 200 ítems y diagramarlos de manera acumulada como se muestra en la figura 8-2. Puede observarse que la escala vertical de esa figura es el valor acumulado de las ventas; después de diagramar todos los puntos, puede agregarse otra escala (a la izquierda), donde se indique los porcentajes. En la figura, 8-2 el total de las ventas de los 200 Ítems es US$500,000, cantidad que representa 100% de ventas en la muestra, lo que determina los demás porcentajes (véase la escala vertical agregada en la figura 8-2). Resulta indispensable que la muestra para el análisis se elija de manera aleatOlia, para que exista una buena posibilidad de que el resultado sea representativo, Una manera de hacerlo es tomar por ejemplo un artículo por cada 100, en un inventario de 20,000 artículos listados por número de producto. Esto produciría una muestra representativa, si no hubiera nada inusual, con respecto a los artículos número 100, 200 Yasí sucesivamente, en la lista por número de artículo, Una vez que se ha trazado la curva de la muestra, como en la figura 8-2, pueden hacerse las clasificaciones ABC y determinar los puntos de corte según se presenta. Si se utilizan las clasificaciones ABC descritas, entonces, el último artículo A es el que lleva el acumulado de las ventas a la marca de 50%. Suponiendo que las ventas reales en dólares para ese artículo fueron de US$8,561; entonces, podría clasificarse como artículo A cualquier producto cuyas ventas anuales excedieran de US$8,500. De modo similar, el último artículo B es el artículo en el punto 50% de la

326


escala horizontal; suponiendo que las ventas del mismo fueron US$983, entonces, podría clasificarse como B cualquier artículo con ventas por debajo de US$8,500 pero superiores a US$l,OOO. Los artículos e serían los de ventas inferiores a US$l,OOO. De esta manera, la información obtenida de la muestra de 200 artículos puede aplicarse a los 20,000 artículos del inventario, y es probable que el error causado por la muestra, que no es perfecta, sea muy pequeño.

Precauciones con respecto al análisis ABC Hay dos inconvenientes en el uso del análisis ABe. El primero se relaciona con la medida del desempeño. Aunque las ventas se utilizan a menudo como una medida del desempeño, esto se debe al hecho de que estos datos están disponibles con facilidad. Debe cuidarse de elegir la medida del desempeño equivocada, sólo porque se encuentra fácilmente disponible. Según la decisión que vaya a tomarse, la medida del desempeño debe seleccionarse teniendo en cuenta que sea la escala de más importancia para tomar la decisión. Por ejemplo, si se está interesado en decisiones con respecto a la inversión del inventario, es probable que la medida de las ventas en dólares sea apropiada; sin embargo, si la decisión va a afectar la capacidad de la empresa para cumplir sin retrasos con los pedidos de los clientes, entonces puede ser más deseable alguna medida de la utilidad (y no simplemente las ventas). El segundo problema es que, con frecuencia, una empresa tiene artículos que de ordinario serían clasificados como e con base en una medida de las ventas o de la utilidad, pero que son muy importantes para los clientes de la empresa. Un ejemplo es el de la venta de piezas de repuesto para maquinaria compleja. El valor de las ventas de partes puede ser bajo en comparación con el de la maquinaria nueva, pero estas piezas son elementos esenciales para la operación de las máquinas ya vendidas, y la disminución de los pedidos de los clientes por estos productos podría tener un efecto en extremo adverso sobre las ventas futuras de maquinaria. Por tanto, deben considerarse con especial atención otros atributos de los artículos e que pudieran convertirlos en sujetos de un manejo más cuidadoso, como el que se le da a los artículos B y A.

RESUMEN El análisis ABe clasifica los artículos con base en una medida de importancia. La gerencia puede, entonces, dirigir un máximo de atención a los artículos A y dedicar menos esfuerzo a los artículos B'y e. Tomar una muestra aleatoria de 100 ó 200 artículos suele ser la manera más simple de realizar un análisis ABe.

SECCiÓN 11

-----

LA CANTIDAD ECONÓMICA DE UN PEDIDO CON DEMANDA CONOCIDA En un sistema de control de inventarios continuo, hay dos decisiones de operación que deben tomarse:

1. Cuándo hacer un pedido. Debe encontrarse el punto de pedido óptimo, de modo que cuando el nivel de inventario caiga en é12, se hace un pedido de reabastecimiento. 2 Si hay algún inventario pedido, entonces, el total de inventario disponible más ese pedido se compara con el punto de pedido.


327

Se debe asumir que el punto de pedido está determinado por las unidades disponibles y no por un período calendario (por ejemplo, hacer un pedido mensual).

2. El tamaiio del pedido. Debe encontrarse la cantidad de pedido óptima. En esta sección se supone que la demanda futura de un artículo se conoce y es constante; en las secciones siguientes se dejará la demanda como incierta. Existen dos tipos generales de costos a considerar cuando la demanda se conoce y es constante: 1) el costo de hacer un pedido y 2) el costo de contar con existencias en inventario. El tamaño óptimo del pedido y el punto de pedido óptimo serán, en general, una función de estos dos costos más la intensidad o índice de uso (cantidad usada durante una unidad de tiempo). Se supone que se conocen y son constantes el tiempo de producción necesario para el reabastecimiento y el índice de la demanda. Con este supuesto, el cálculo de otro punto no es complicado. Si el índice de uso es de 3 unidades por día y el tiempo de reabastecimiento es de 40 días, se hace un pedido de 40 multiplicado por 3, o 120 unidades. Esto no deja cometer errores, pero es consistente con los supuestos de demanda conocida y tiempo de producción conocido. En la figura 8-3 se ilustra el comportamiento del inventario del sistema cuyo el índice de demanda y tiempo de producción se supone que se conocen. El tamaño óptimo del pedido está determinado por el análisis del costo total. El Costo Total (eT) para un período será igual a la suma de los costos de ordenar el pedido (o costos de configuración) más los costos de mantener el inventario durante el período 3. Suponer que las unidades se recibirán todas de una vez. Sean:

K ke D Q

= = =

costo incremental de hacer un pedido (o configurar la producción) costo anual de contar con una unidad en inventario uso total anual (demanda) en unidades pedido óptimo anual en unidades (desconocido)

Observar que el número anual de pedidos colocados depende de D y Q: D Q ~ número anual de pedidos Además: Q 2

FIGURA 8-3 Nuevo pedido y demanda conocida

= inventario promedio (suponiendo uso lineal)

Q)

:o e o

Tamaño del pedido

a.
E Q) > e

Tiempo

3 No necesitan considerarse costos de faltantes, ya que los supuestos de demanda conocida y tiempo de

producción conocido implican que no se presentarán faltantes. El SUPlH¡sto de dvm¡¡nóa conocida se dejará en la siguiente sección.

328


Entonces:

9.k = costo anual de tener el inventario (inventario promedio Q/2, multipli2

cado por kc, el costo anual de mantenimiento por unidad)

e

P-K _ co.sto anual de hacer pedidos (núme.ro anual de pedidos, D/Q, multi- phcado por el costo de hacer un pedIdo, K)

Q

El costo total anual es:

D

Q

rC=-k +-K 2 e Q

(8-1)

Estos costos aparecen como una función del tamaño del pedido en la figura 84. El costo total mínimo de dicha figura se presenta cuando las pendientes de los dos componentes de costos (costos del pedido y costo de tener el inventario) son iguales y opuestos en el signo. En este caso, esto se presenta cuando los dos componentes de costos son iguales (donde las curvas se cruzan). Puede usarse este hecho para obtener una fórmula de la cantidad de pedido óptima Q igualando los dos costos y resolviendo Q4. En la óptima:

D

Q

-k =-K 2 e Q

ó 2

2KD

Q =-

kc

de modo que

Q=

~2KD -

(8-2) kc Con frecuencia, la ecuación 8-2 se llama cantidad económica del pedido o fórmula CEP (en inglés, EOQ por Economic Order Quantity).

Ejemplo 1

D = kc

=

K

=

3,000 unidades (demanda anual esperada) US$3 por unidad por año US$5 por pedido

Q=

~2KD ~2'5'3,000 = ~v~ = 10,000 = 100 kc

3

. umdades

4 Esta fórmula también puede obtenerse utilizando el cálculo para minimizar el costo total con respecto a

Q. Tomar la primera derivada de la ecuación 8-1 con respecto a Q, igualarla a Oy despej ar Q:

Q DK CT=-k + 2 e Q dCT 1 DK -=-k --=0 dQ 2 e Q2 Q=

~2KD kc

Resolviendo, 2

d

cr

Como - 2 =

dQ

2DK > O, esta soluclOn ., no pro duce un C'1" m1ll1mo. .

-3

Q


329

FIGURA 8·4 Costos de inventario eT(Costo total) ({J

o tí

Q kc 2

o ü

(costo de tener inventario)

o

___ Q K (costo de ordenar el pedido) Q

Tamaño del pedido

El tamaño óptimo del pedido es de 100 unidades. El costo total de usar este tamaño puede calcularse sustituyendo Q = 100 en el costo total de la ecuación 8-1: CT(Q = 100) =

1~0 (3) + 3~~~0 (5) =

150 + 150

=US$300

Si D se mide en dinero y no en unidades, y si kc se mide por unidad monetaria y no por unidad, entonces Q también será en dólares. Para ilustrar esto con el ejemplo anterior, sea el precio de US$15 por unidad. La demanda anual en dólares es US$15 (3,000) = US$45,OOO. Al medir kc en dólares por dólar y no en dólares por unidad, kc ahora es US$3/15 = US$0.20 por dólar al año. Ahora, la fórmula es: Q ( en dólares)

=

2' US$5 .US$45,OOO US$O.20/US$

=US$Y2,250,OOO = US$I,500

La cantidad de pedido óptima en dólares es de US$1,500, que corresponden a la cantidad de pedido óptima calculada antes como 100 uiüdades (cada unidad vale US$15). Incluso, cuando la demanda no se conoce con certeza, el modelo anterior es muy útil para aproximarse a una solución al problema del tamaño óptimo del pedido.

Sensibilidaq de los costos ante errores en la cantidad Q Es posible usar el modelo de costo de la ecuación 8-1 para demostrar que el costo total, en este modelo, no es muy sensible a los errores al determinar Q. Por ejemplo, si en el ejemplo anterior la demanda anual esperada se fijó de manera incorrecta en 4,500 en vez de 3,000 (un exceso de 50%), entonces, usando la fórmula óptima para Q, se obtendría la siguiente cantidad de pedido (incorrecta):

Q=

v2'

5 ·4500 3' . =

V 15,000 =

123 unidades

Debido a la raíz cuadrada de la fórmula, 50% de error al estimar la demanda sólo produce 23% de error en el tamaño del pedido, en comparación con Q óptima = 100. Sin embargo, la verdadera prueba de un error está en cuánto cuesta. Al sustituir Q = 123 en el costo total de la ecuación 8-1 se obtiene:

330


CT(Q = 123) = =

1~3 (3) + 3~~~0 (5) 184.5 + 122

=

306.5

Al comparar esta cifra de costos con el total del tamaño óptimo del pedido derivado antes (Cr = 300), se ve que el incremento del porcentaje en costo o la sanción por el error, es de sólo 6.5/300 = 2.2%. El mismo razonamiento se aplica a un error de 50% en el costo de procesamiento del pedido o de mantenimiento del inventario. Por consiguiente, mientras los costos yla tasa de la demanda se estimen razonablemente, es probable que se gane muy poco en hacer los estimados más precisos.

DESCUENTOS POR VOLUMEN O CANTIDAD El análisis anterior pasa por alto la posibilidad de los descuentos por volumen (un precio más bajo por unidad si se compra una cantidad más grande de una sola vez). Existen tres elementos básicos a considerar para evaluar si se busca o no un descuento por volumen: 1. El beneficio del descuento en los costos reducidos de compra.

2. El costo del descuento sobre el aumento de los costos de tener inventario. 3. El beneficio de cantidades reducidas de pedidos por año. Siempre es posible evaluar los descuentos por volumen considerando todas las opciones posibles, mediante la fórmula de raíz cuadrada de la cantidad del pedido (8-2) y la ecuación para el costo total (8-1) junto con el descuento establecido. También puede utilizarse el análisis incremental para decidir si debe tomarse o no un descuento. Considerar el primer ejemplo de esta sección. Suponer que un proveedor ofrece dar un descuento de US$l por unidad si se compran 1,000 unidades o más. Los resultados incrementales de los tres elementos se evaluarían como sigue: 1. Beneficio incremental del descuento:

= US$3,000 por año (suponiendo que Q = 1,000 unida-

(US$l por unidad) . (demanda anual de 3,000 unidades) 2. Costo incremental del inventario más alto des), sean: kc'

= costo de mantener los artículos comprados con descuento

Entonces, como el precio original era de US$15 y el descuento es de US$l, si el costo de tener el inventario es una función únicamente del precio, entonces k c' = (14/15)k c = (14/15)US$3 = US$2.80. El costo incremental de tener el inventario es: kc' (nuevo inventario promedio) - kc (anterior inventario promedio)

1000) -US$3 (100) = US$2.80 ( T 2 = US$1,400 - US$150 = US$1,250 3. Beneficio incremental de costos de pedidos reducidos: ,.

K • (disminucion en pedidos anuales) = K

(3,000 3,000) 100 - 1,000

= US$5(30 -

3)

= US$5(27) = US$135


El beneficio incremental neto es de US$3,000 - US$1,250 US$1,885. Como este valor es positivo, debe tomarse el descuento.

331

+ US$135 =

Ejemplo 2 La demanda anual de un artículo es de 1,000 unidades. El artículo cuesta US$10 por unidad y el costo de mantener el inventario anual es 25% del costo del artículo. El costo de procesamiento del pedido es de US$50. Si se piden 500 o más unidades de una vez, se tomará un descuento de US$0.40 por unidad. ¿Cuál debe ser el tamañodel pedido? Primero se calcula la cantidad económica del pedido que sea habitual, con la ecuación 8-2, observando que el costo de mantener el inventario, kc = 0.25(US$1O) = US$2.50: Q=

~2KD = kc

2· 50·1000 2.50'

= V40,000 = 200 unidades

Ahora, se evalúa el descuento, utilizando los tres elementos descritos:

1. Beneficio de precio incremental: se asume que el descuento, se tomará siempre que se tome. Por consiguiente, el beneficio anual del descuento es: (US$0.40 por unidad)(l,OOO unidades por año)

= US$400

2. El costo incremental de mantener el inventario: k c' = (US$9.60IUS$10) k c = US$2.40, de modo que el costo incremental de tener el inventario para el pedido de 500 unidades comparado con el pedido de 200 unidades es: 500) US$2.40 ( 2

- US$2.50 (200) 2 = US$600 - US$250 = US$350

3. El beneficio incremental de pedidos reducidos: 1,000 1,000) US$50 ( 200 - 500

= US$50(5 - 2) = US$150

El beneficio incremental neto es US$400 - US$350 + US$150 = US$200, y el descuento debe tomarse. Puede observarse que tan pronto se descubrió que el precio afectaba el beneficio más que compensado por los costos de inventario incrementados, podía haberse optado por· el descuento, sin calcular el beneficio de los pedidos reducidos.

Pedidos por cupo anual Es ser posible lograr un descuento en el precio acordando la compra de un nivel específico de volumen anual con un proveedor, a la vez que se mantiene la flexibilidad del despacho frecuente de pequeñas cantidades. Este procedimiento se conoce como pedido por cupo. En esta sección se supone que la demanda se conoce y es constante; por tanto, los pedidos por cupo siempre serán favorecidos y su tamaño puede determinarse de acuerdo con los cálculos de la CEP (véase también la sección siguiente de justo a tiempo). En la práctica, cuando no se conoce la demanda y es constante, existe algo de riesgo en aceptar un compromiso anual que tendría que ser compensado contra el descuento de precio disponible.

332


SISTEMAS DE INVENTARIO JUSTO A TIEMPO Se ha dado mucha atención a los sistemas de inventario japoneses "justo a tiempo" o "Kanban". El sistema kanban se refiere a una tarjeta que permite que un departamento de la organización produzca alguna cantidad mínima de artículos en respuesta a la solicitud inmediata de otro departamento. Es pertinente hacer pedidos (o producción) de cantidades muy pequeñas, con puntos de pedido relativamente bajos, de modo que el inventario de reabastecimiento llegue "justo a tiempo". El concepto de justo a tiempo propende por niveles de inventario muy bajos, reduciendo de ese modo el costo de mantener un inventario. Sin embargo, si las cantidades a pedir son inferiores al nivel de la cantidad económica del pedido (véase la ecuación 8-2), entonces los costos de hacer el pedido aumentarán y el costo total será más alto que el óptimo (véase la figura 8-4). Por tanto, para aplicar el concepto de justo a tiempo, es necesario que el costo de hacer un pedido sea de alguna manera más bajo que su valor inicial. Una contribución importante de los japoneses fue que comprendieron que K, "el costo de configuración", podría cambiarse. Estos conceptos se ilustran con un caso basado en el ejemplo 1.

Ejemplo 3 Considerebel ejemplo 1, pero suponga que la empresa puede reducir el costo de sus pedidos de US$5 por pedido a US$1.25 por pedido, si compra la vinculación a un grupo especial de compras. La afiliación anual es de US$50. ¿Debe unirse la empresa al club de compras? En caso afirmativo, ¿qué cantidad debe pedir? Primero, suponer que la empresa se une al club de compradores. Entonces:

D

=

kc = K

=

3,000 unidades US$3 por unidad por año US$1.25 por pedido

De la ecuación 8-2: 2· 1.25· 3,000

3

= Y2 500 = 50 u~idades '

El tamaño óptimo del pedido descendió del valor inicial de 100 unidades (cuando el costo era de US$5 por pedido) a 50 unidades. El costo total de utilizar este tamaño de pedido con el costo más bajo puede calcularse sustituyendo Q = 50 en la ecuación del costo total (8-1): CT(Q

50 2

3,000 (1.25) 50·

= 50) = - (3) + -

= 75 + 75 = 150

El costo total anterior, utilizando US$5 como costo del pedido, se calculó en el ejemplo 1 como US$300, de modo que el ahorro anual en el costo total es US$300 - US$150, o US$150. Como este ahorro excede el costo de afiliación de US$50, la empresa debe ingresar al club de compras y adquirir una cantidad Q = 50.

Rotación de inventarios A veces, un concepto relacionado que utiliza la gerencia para controlar los niveles

.de inventario es el de rotación. La rotación de inventarios es el cociente (le la demanda anual dividida por el inventario promedio. En una fórmula se expresa como:

Control y gerencia de inventarios Demanda anual

Rotación

= -------Inventario promedio

D Q/2

333

(8-3)

Para inventarios con múltiples artículos, la rotación se calcula utilizando el Costo Agregado de los Bienes Vendidos (CABV) y el monto del valor del inventano: ., CABV R otaclOn = . , Inventano en dolares En ocasiones, se sugiere que si la rotación de inventarios de una empresa es más baja que la de sus competidores, entonces su nivel es demasiado alto y debe reducirse. La dificultad con esta medida es que toma en cuenta únicamente un tipo de costo, en este caso, el de mantener el inventario y pasa por alto los costos de hacer los pedidos y de los faltantes, lo mismo qué los descuentos por cantidad. En un entorno donde estos últimos son en extremo importantes, una empresa que logre una ventaja apropiada con ellos tendrá un inventario promedio más alto y, por consiguiente, una rotación más baja con respecto a una empresa que no tome en cuenta esos descuentos. Sin embargo, la primera empresa también tendrá un costo total más bajo y una rentabilidad más alta. Por consiguiente, la rotación es una medida demasiado restringida del desempeño del inventario; omite factores de costos importantes y puede conducir a accio. nes que no generen utilidad.

Ejemplo 4 En el descuento por cantidad del ejemplo 1, D = 3,000 unidades, calcular la rotación de inventario antes y después de tomar en consideración dicho descuento. Antes de ofrecer el descuento por cantidad, Q = 100. Usando la ecuación 8-3 se tiene: ., R otaclOn

D

=-

QI2

3,000

3,000

100/2

50

= - - = - - = 60

Por tanto, inicialmente hay 60 rotaciones por año. Después de analizar el descuento por cantidad y determinar que es rentable, la cantidad del pedido cambia a Q = 1,000 unidades paraganar el descuento. Ahora, la rotación se convierte en: ., 3,000 RotaclOn = 1,000/2

=

3,000 500

=6

Por eso, la rotación se redujo de 60 rotaciones anuales a 6. Utilizando la medida de rotación, este cambio parece no ser rentable, pero previamente se demostró que el costo total se redujo en US$1,885 al tomar el descuento (véase ejemplo de descuento por cantidad). Por consiguiente, la medida de rotación es incompleta y errada.

RESUMEN Bajo una demanda constante, la fórmula de cantidad económica del pedido (CEP) minimizará el procesamiento del pedido más los costos de mantener el inventario. Es posible que se presente cierta desviación con respecto a la CEP calculada, ya que el co~to total no es muy sensible al valor óptimo preciso. Los descuentos por cantidad deben analizarse mediante el análisis incremental. Los conceptos de inventario

334


justo a tiempo deben manejarse con los costos fundamentales del inventario: pedido y mantenimiento. La rotación de inventario puede ser una medida de desempeño errada ya que maneja sólo uno de estos costos (el costo de mantenimiento).

SECCiÓN 111

CONTROL DE INVENTARIOS CON NUEVOS PEDIDOS Y DEMANDA INCIERTA En esta sección se amplía el tratamiento de las situaciones de control de inventario al permitir incertidumbre en la demanda. En lugar de asumir que la tasa de demanda es conocida y constante, se supone que sólo se conoce la probabilidad de distribución de la demanda durante el tiempo de producción, pero no la demanda actual durante ese período. Cuando se establece el punto de pedido, existe alguna probabilidad de que el inventario se agote y haya que enfrentar un costo por faltantes. Se supone que las unidades que quedan pueden usarse en el siguiente período. La figura 8-5 ilustra el comportamiento del inventario bajo este supuesto. Puede observarse que se hace un pedido de tamaño Q cuando el inventario alcanza un nivel R. Debido a la incertidumbre de la demanda durante el tiempo de producción, en ocasiones se presenta un agotamiento de existencias (como el que se aprecia durante el tercer ciclo en la figura 8-5). El costo anual esperado del faltante se afectará con la elección del punto de pedido (R) y el tamaño del pedido (Q). Antes de proceder con el análisis, es importante hacer énfasis en que los modelos de esta sección son apropiados sólo cuando la demanda que se muestra en la figura 8-5 procede de un número razonable de fuentes independientes. En su forma habitual, esto ocurrirá para inventarios con productos terminados, pero no para la materia prima o los insumas comprados en una situación de producción. En este

FIGURA 8-5 Ilustración del patrón de inventario

Tiempo de producción

Punto ------de pedido

R

o

~

Pedido colocado

2

¿

} Agotamiento de existencias

1

Pedido recibido

Tiempo


335

último caso, por ejemplo, pueden adquirirse motores eléctricos de diferentes tamaños para ensamblarlos en equipos de aire acondicionado. Como la demanda de motores depende por completo del cronograma de montaje para equipos de aire acondicionado, dicha demanda se denomina dependiente. Para situaciones de demanda dependiente se ha desarrollado una técnica llamada Planeación de Requerimiento de Materiales (PRM)5. Los modelos presentados en este capítulo sólo deben utilizarse en situaciones con demanda independiente. Ahora, el inventario puede dividirse en dos tipos: inventario por ciclos e inventario de seguridad. El inventario por ciclos es el que se consideró en la sección anterior: Q/2 en promedio; es el inventario que requiere contarse como una función del tamaño del pedido (Q). El inventario de seguridad se refiere a la diferencia entre el punto de pedido (R) y la demanda promedio durante el tiempo de producción para el reabastecimiento (M). Véase la figura 8-6. Cuanto más grande es el inventario de seguridad (y el punto de pedido correspondiente) tanto menor es la oportunidad de que se presente un agotamiento de existencias, y viceversa. Resulta interesante observar la interacción entre los diferentes costos y las dos variables (punto y tamaño del pedido)· que se muestra en la tabla 8-1. Un cambio en el tamaño del pedido afecta la frecuencia de alcance del punto de pedido (por tanto, la frecuencia de una posibilidad de faltantes). Un cambio en el punto de pedido afecta la posibilidad de faltantes al igual que el número óptimo de veces que debe encontrarse el punto de pedido. Por tanto, el costo total se ve afectado por el punto de pedido y por el tamaño del pedido, mientras que están relacionados si ambos son óptimos.

FIGURA 8-6 Inventario por ciclos e inventario de seguridad bajo un índice promedio de demanda

Inventario por ciclos

Inventario de seguridad Tiempo

TABLA 8-1

Acción

Resultado

Acciones y resultados

Reducir el punto de pedido (por ejemplo, hacer el pedido con menos unidades ala mano). Reducir el tamaño del pedido. Aumentar el punto de pedido. Aumentar el tamaño del pedido.

Reducir los costos de mantener el inventario y aumentar el costo del faltante. Reducir los costos de mantener el inventario por ciclos (0/2) eincrementar los costos de faltantes y pedidos. Aumentar los costos de mantener el inventario de seguridad y disminuir el costo de faltantes. Aumentar los costos de mantener el inventario por ciclos y reducir los costos de faltantes y de pedidos.

5 Para un estudio de la PRM, véase Nahmias, S. Pl'Oduction and Operations Allalysis, 3 ed., (Burr Ridge, Richard D. Irwin, 1997).

rL:

336


Para realizar el modelo de esta situación de inventario, debe decidirse cómo evaluar los faltantes. En el primer método será suponer que puede estimarse el costo de quedar sin una unidad de existencias (el costo del faltante). Aunque el estimado de este tipo de costo es difícil y requiere de evaluación y criterio gerencial, resulta frecuente que la gerencia esté dispuesta a establecer un rango de ese costo, como "es inferior a US$20 1l o "está definitivamente por encima de US$5". Además, una vez que se haya estimado este costo, se presentará un modelo alterno que le permite a la gerencia especificar la fracción de la demanda anual para ser provista con el inventario.

MODELO DE COSTOS CON FALTANTES De nuevo, quiere minimizarse el costo total en que se incurre durante un período dado. Ahora se consideran tres costos:

K

=

costo de situar un pedido

kc = costo de mantener una unidad en el inventario por un año ku = costo de carecer de una unidad de inventario (costo del faltan te o de escasez) El tamaño óptimo del pedido y el punto óptimo de pedido serán, en general, una función de estos tres costos más la tasa promedio de la demanda durante el período de producción y la variabilidad de la demanda durante ese período.

LOS SUPUESTOS Primero debe asumirse que el tiempo de producción para el reabastecimiento se conoce y es constante. Segundo, se presume que el costo del faltante es por unidad, independiente de la duración de la situación sin existencias 6. El tercer supuesto es que M, la demanda durante el tiempo de producción, se distribuye normalmente. Éste es el menos esencial de los supuestos y puede cambiarse; se elige para simplificar los cálculos. A continuación, se supone que el punto de pedido óptimo R es mayor que la demanda M promedio del tiempo de producción, de modo que el inventario de seguridad correspondiente (R - M) es positivo. Finalmente, se supone que el inventario de seguridad, en promedio, siempre está en el inventario. Quiere determinarse cuánto debe ser el pedido (Q) y cuándo hacerlo (R).

EL MODELO Sean:

R

=

Q

=

D

K

=

punto de pedido (el número total de unidades disponibles y/o en un pedido que producen automáticamente otro nuevo pedido) cantidad del pedido (el número de unidades que se piden simultáneamente) demanda promedio por año costo de hacer un pedido

6 La medida de los faltan tes o de la escasez es más apropiada cuando se pierden ventas, porque no hay

inventario disponible. En este caso, el costo del dad perdida más cualquier costo injustificado.

faltan te representaría el costo de oportunidad de la \Itili-


kc ku M

M

=

aM

=

337

costo de mantener por un año una unidad en el inventario costo de carecer de una unidad de inventario (costo del faltante) número de unidades de la demanda durante el tiempo de producción para el reabastecimiento (una variable aleatoria) número promedio de unidades que se requieren durante el tiempo de producción desviación estándar de la demanda durante el tiempo de producción

. Quiere determinarse la cantidad de pedido óptima (Q) y el punto de pedido óptimo (R). Se supone que, como una aproximación razonable, la cantidad de pedido óptima para esta situación (demanda aleatoria) es igual a la cantidad económica del pedido (CEP) para el caso de demanda constante que se trató en la sección anterior. Es decir que se recomienda usar la misma fórmula de raíz cuadrada de CEP que se derivó allí:

(8-2) Esta recomendación se hace por dos razones. La primera, como se demuestra en la sección anterior, la suma de los costos anuales de procesamiento de pedidos más los costos anuales de mantener el inventario no es muy sensible a errores moderados en Q; en tanto la cantidad del pedido esté razonablemente cerca del valor óptimo, no se requiere de una precisión extrema. Segunda, varios estudios indican que, aunque Q y R en teoría deben determinarse simultáneamente, en situaciones más prácticas no se presentan problemas serios de costos si Q está determinada de for.ma independiente por la fórmula de raíz cuadrada de CEP de la ecuación 8-2. Por tanto, se considerará esta ecuación como la fórmula básica para Q, incluso cuando la demanda sea probabilística7. Sin embargo, una vez que se ha elegido, Q es importante tener en cuenta su valor para determinar R, ya que el tamaño de Q influye directamente en el número de veces por año que se estará expuesto a una posible situación de agotamiento de existencias.

PUNTO ÓPTIMO DE PEDIDO - UN MÉTODO MARGINAL Resulta posible obtener la fórmula para el punto óptimo de pedido mediante la aplicación del análisis marginal, de esta manera: se comienza con algún valor en el punto de pedido R; por ejemplo, R = M, demanda promedio del tiempo de producción. Entonces, se indaga si vale la pena aumentar R en una unidad. Es decir, se compara el costo anual esperado de agregar otra unidad a R, frente al costo anual esperado de no agregar la unidad adicional. El costo incremental anual de agregar una unidad a Res casi igual a kc' ya que la unidad adicional se agregaría al inventario de seguridad (R - M) y, por tanto, se mantiene en el inventario casi todo el tiemp0 8. 7 R. G. Brown demostró que la única situación donde los problemas son graves por usar la fórmula de la

CEP es cuando ésta es menor que la desviación estándar de la demanda durante el período de producción (aM). En ese caso una heurística excelente es simplemente determinar la cantidad del pedido como igual a aM. Para más detalles, véase R. G. Brown, Materials Management Systems (New York: John Wiley & Sons,1977). 8 Ésta es una aproximación razonable dado que la unidad adicional siempre estará representada en el inventario, excepto durante el agotamiento de existencias (el cual es una pequeña parte del tiempo).

338


El costo anual incremental esperado de no agregar la unidad adicional a R igualará la probabilidad de que la unidad adicional (o más) sea demandada durante el tiempo de producción, multiplicada por el costo de la unidad de agotamiento de existencias k u ' todo multiplicado por el número de ciclos de inventario . por año (D/Q): Costo incremental de no agregar una unidad incremental

=Prob

rP]

l

iguiente. unidaJ (o más) kUlQ demandada

Si se define F(R) corno la probabilidad de que la demanda (M) durante el tiempo de producción sea menor o igual al valor corriente de R: F(R) = Prob(M :5 R)

Entonces, la probabilidad de que la siguiente unidad (o más) será demandada es 1 - F(R). Los costos de agregar y no agregar la unidad incremental están representados en la figura 8-7. Puede apreciarse que a medida que R aumenta, la probabilidad de exigir la unidad adicional (o más) cae y las dos líneas se llegan a cruzarse en la figura 8-7. En este punto, dejan de agregarse unidades a R ya que el costo de añadir una unidad excede el costo de no' hacerlo. Cuando las líneas se cruzan, los dos costos incrementales son iguales:

ó

de manera que:

(8-4)

FIGURA 8-7 Costo de no agregar la siguiente unidad /

[1- F(R)]·

ku·~

(f)

Q)

~ e

E

Costo de agregar la siguiente unidad

Q)

~

t

.~ Cií o

k I-c

~;:--_ _--'I_-

Ü

Punto de pedido R

R Óptimo

Control

y gerencia de inventarios

339

La ecuación 8-4 puede usarse como sigue para obtener el valor óptimo para R:

1. Calcular Q a partir de la fórmula de raíz cuadrada de la CEP (ecuación 8-2). 2. Calcular el lado derecho de la ecuación 8-4; éste es la probabilidad deseada de la demanda del tiempo de producción menara igual a R.

3. En las tablas de distribución normal, encontrar el valor de R para el cual se aplica la probabilidad establecida. El término F(R) en la ecuación 8-4 significa "Determinar R de manera que existe

probabilidad de que M sea igualo menor que R,,9 . Sea Z el número de desviaciones estándar que deben seguirse desde la media de ventas, M, antes de que la probabilidad sea F(R), de que la demanda del tiempo de producción, M sea igualo menor que R. Puede obtenerse R, el punto de pedido óptimo, como sigue (véase figura 8-8): (8-5) Se observa que por definición, el punto de pedido es igual a la demanda promedio del tiempo de producción más el inventario de seguridad. Por tanto, el inventario de seguridad es 20M'

FIGURA 8-8

Curva normal

f MR Tiempo de producción de la demanda: M

Ejemplo 5 El siguiente ejemplo ilustra el cálculo del tamaño óptimo del pedido y del punto de pedido. • La cantidad esperada que se ha de usar (D) es de 1,800 unidades por año. • El costo de hacer un pedido (K) es US$10. • El costo de tener una unidad durante un año es de 60 centavos (esto es k c )' • El tiempo de producción para el reabastecimiento es de 20 días, y el uso medio, M durante el tiempo de producción es de 100 unidades, con una desviación estándar de 30 unidades y está normalmente distribuido. • El costo de faltantes es de US$5 por unidad que se haya agotado (esto es k¡J.

9 F(R) es el lado izquierdo de una distribución de probabilidad; es decir, Prob (M 5 R). En la mayoría de

situaciones de negocios, el costo de los faltan tes será S1Jstancialmente más alto que el costo de mantenerlos, de modo que el índice será mayor que 0.50 y el inventario de seguridad (R - M) será positivo.

340


Utilizando la ecuación 8-2 puede determinarse Q:

Q=

~2KD ¡¡; =

12 '10 '1,800 0.60 =

V60,000 =

. 245 umdades

De la ecuación 8-4 se obtiene: F(R) = 1 - kc Q = 1 - 0.6(245) = 0.98367 ku D 5(1,800)

Con referencia a una tabla de probabilidades acumuladas para la distribución normal (Tabla A en el apéndice al final del texto), F(R) = 0.98367 equivale a Z

= 2.14 desviaciones estándar

Por tanto:

R = 100

+ 2.14 • 30 =

164 unidades

El inventario de seguridad es de 64 unidades.

Cálculo de la desviación estándar del tiempo de producción de la demanda (aM> El tiempo de producción para el reabastecimiento suele ser diferente al período estándar (por ejemplo, semanal o mensual) utilizado para reunir los datos de la demanda. Se necesita una manera de calcular aM a partir de al' donde al se refiere a la desviación estándar de la demanda durante el período estándar. Por ejemplo, si el tiempo de producción es de tres semanas y el período estándar es de una semana, considerar la demanda del tiempo de producción como la suma de tres demandas aleatorias semanales. Luego, si las demandas semanales son independientes, la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: 2 aM

= a1 2 + a 12 + °1 2 = 3°1 2

de manera que

Si L es la duración del tiempo de producción, entonces la fórmula general es: (8-6)

Ejemplo 6 La demanda semanal de un artículo tiene una media de 100 unidades y una desviación estándar de 10 unidades (01= 10). Si el tiempo de producción es de cuatro semanas, ¿cuál es la media (M) y cuál la desviación estándar (oM) de la demanda del tiempo de producción?

M = 4(100) = 400 (JM = V4(1O) = 2(10) = 20


341

Costo total esperado

El costo total esperado para una política de inventario de (Q, R) es 10 ; Costo total (Q, R)

[Q

D + "2 + (R = [K + ku(JMN(Z)] Q

_]

- M) kc

(8-7)

donde N(Z) se refiere a la función de pérdida unitaria para la distribución normal estándar (la tabla B en el apéndice al final del texto), y Z es igual a R convertida a las unidades de la desviación estándar a partir de la demanda media durante el tiempo de producción: R-M

z=-(JM

Continuando con el ejemplo 5, el costo total de una política de pedir 245 unidades en un punto de pedido de 164 unidades es:

[Q"2 + (R - M)-] kc

CT(Q, R)

D+ = [K + ku ' (JM' N(2.l4)]Q

CT(Q, R)

1 800 + [245 = [10 + 5 . 30· 0.0058]-'- + 164 - 100 ] (0.6) 245

=

(10.87)7.35

=

79.89

2

+ (186.5)0.6

+ 111.90 = 191.79

No olvidar que los valores anteriores para Q y R se determinaron con la fórmula de raíz cuadrada de CEP (ecuación 8-2) para Q. Ahora, se explorará cuál es el costo total sin esta aproximación. Mediante ensayo y error es posible encontrar el par de valores preciso para Qy R que minimice el costo total; dichos valores son Q = 255 YR = 164. El costo total (mínimo) de estos valores óptimos es:

CT(Q, R) = [10

1800 + [255 + 5' 30· 0.0058]-'- + 164 - 100 ] (0.6) 255

2

= (10.87)7.06 + (191.5)0.6 = 76.74 + 114.90 = 191.64 Los valores más precisos dan como resultado un costo anual esperado que es sólo 15 centavos menos (0.08% menos) que la regla de decisión donde la cantidad del pedido se calcula independientemente del punto de pedido. Para el ejemplo, el costo total no es muy sensible a la cantidad del pedido si en total se piden 250 unidades. Por tanto, se sugiere usar la ecuación 8-2 para obtener una cantidad de pedido aproximada Q, y entonces utilizar la ecuación 8-4 para resolver el punto de pedido correspondiente R. Resulta usual que el efecto de esta aproximación al costo total sea menor, como en el ejemplo.

10 Véase el apéndice al final de este capítulo para una derivación de esta fórmula.

342


MODELO DEL NIVEL DE SERVICIO El modelo anterior se recomienda cuando el costo de unfaltante (por unidad) puede determinarse de manera razonable. Como alternativa, es posible satisfacer una fracción específica de la demanda (por ejemplo 95%) a un costo mínimo. Por consiguiente, la carga de estimar el costo de un faltante se pasa al problema de evaluar el nivel de servicio deseado, donde éste se define como el porcentaje de la demanda satisfecha con las existencias (sin realizar una orden de la producción adicional). Los niveles de servicio pueden establecerse con base en los establecidos por la competencia (la gerencia puede decidir satisfacer o exceder los niveles de servicio de la competencia) . Luego se usarán los mismos supuestos considerados previamente, utilizando la misma notación, con una adición:

P = nivel de servicio (fracción de la demanda satisfecha con el inventario) Se recomienda que la fórmula de raíz cuadrada de CEP se utilice de nuevo para determinar la cantidad del pedido, por las mismas razones expuestas antes. Con respecto al punto de pedido, primero se escribe la expresiónll para el número esperado de pedidos sin cumplir durante el período de producción como una función de Z, la cantidad de desviaciones estándar de protección: Pedidos que se estima incumplir en un tiempo de producción

= 0MN(Z)

(8-8)

Donde N(Z) es la tabla de pérdida normal unitaria que se presenta en la tabla B en el apéndice al final del libro. A continuación puede verse que la demanda promedio sobre un ciclo de reabastecimiento debe ser igual al suministro promedio a largo plazo, y ya que la cantidad suministrada es Q, la demanda promedio durante el ciclo también es Q. Ahora puede escribirse la fracción esperada de los pedidos no cumplidos en un ciclo: Fracción de pedidos no cumplidos por ciclo =

aMN(Z) =

Q

1- P

(8-9)

Como el nivel de servicio deseado es P, la ecuación 8-9 puede igualarse a 1- P, como se muestra. Reordenando, se obtiene: N(Z)

Q(l - P)

=.:..::...:.....-aM

(8-10)

La ecuación 8-10 se utiliza para obtener el valor óptimo para R: 1. Calcular Q a partir de la fórmula de raíz cuadrada de CEP (ecuación 8-2). 2. Calcular el valor del lado derecho de la ecuación 8-10. 3. A partir de la tabla de pérdida normal unitaria N(Z) (tabla B del apéndice al final del texto), encontrar el valor de Z que satisface la ecuación 8-10 12. 4. Entonces, R

= M + ZOM'

11 Véase el apéndice al final de este capítulo para una derivación de esta fórmula. 12 Si el valor de la ecuación 8-10 excede el valor más alto en la tabla (0.3989), entonces Z es igual a cero, y el nivel de servicio real excederá el v¡¡lor especificado, Esta situación se debe a un valor grande de Q con

relación a aM'

Control


343

Ejemplo 7 Considerar el ejemplo 5, pero, en vez de un costo de US$5 por unidad para los faltantes, suponer que la gerencia desea que 97% de todas las demandas se satisfagan con el inventario (P = 0.97). De la ecuación 8-10:

Q(1 - P)

=

O"M

245 . 0.03 = 0.245

30

De la tabla B, el valor correspondiente de Z pedido óptimo es:

R

= 0.36, de modo que el punto de

= M+ ZaM = 100 + (0.36)(0.30) = 110.8 = 111 unidades

Puede observarse que el inventario de seguridad es de 11 unidades. Con un punto de pedido de 111 unidades, debe satisfacerse cerca de 97% de la demanda. Resulta importante anotar que la expresión "nivel de servicio" que se define aquí no es la misma de la probabilidad de que se presente agotamiento de existencias durante el tiempo de producción. Infortunadamente, algunos escritores utilizan el nivel de servicio para referirse a esta probabilidad. Para ilustrar la diferencia, considerar el ejemplo 7, donde Z óptima = 0.36. Usando la tabla A, del apéndice al final del texto, este valor de Z producirá 0.6406 de probabilidad de que no haya agotamiento de existencias en el tiempo de producción. La razón de que el porcentaje de la demanda que se satisface con las existencias (la definición que aquí se da de nivel de servicio) pueda llegar a 97% cuando la probabilidad de que no haya agotamiento de existencias en un tiempo de producción es únicamente de 64% con relación a tamaño de la cantidad del pedido Q, con respecto al tamaño de la desviación estándar de la demanda del tiempo de producción 0M (véase ecuación 8-10). Por intuición, cuando se agotan las existencias, el número de demandas que no se satisfacen con las existencias es pequeño, de modo que, en promedio, 97% de todas las demandas se satisface con las existencias. Cuando se lee o se escucha la expresión "nivel de servicio", habría que preguntarse cómo se define para evitar confusión y malos entendidos. La definición que se utiliza aquí es más útil para la gerencia que la definición alternativa.

CURVAS DE INTERCAMBIO Una manera de ilustrar la relación entre inventario de seguridad agregado y servicio al cliente para un grupo de artículos es a través de una curva de intercambio; ésta es una forma de aclarar los puntos factibles que representan distintas combinaciones de inversiones en inventario para inventarios de seguridad, frente al nivel de servicio alcanzado. Si se considera un grupo de 20 artículos, (como en el caso del ejemplo 7) con un nivel de servicio del 97% el inventario de seguridad total (en unidades) sería de 20 (11) = 220 unidades, y el costo total de mantener este inventario de seguridad sería de 220 (US$0.60) = US$132. Estos valores, 97% y US$132, se trazan como el punto A en la figura 8-9. Además, en la figura 8-9 se encuentra una serie de puntos que representan diferentes niveles de servicio y que corresponden a los costos de mantener el inventario de seguridad. Como podría esperarse, niveles de servicio más altos requieren inventarios de seguridad más elevados y, por tanto, costos de mantenimiento más altos. Los puntos en la figura 8-9 se generaron de la misma manera como se calculó el primer punto (a); es decir, se seleccionó un nivel de servicio (por ejemplo 99%), se calculó el inventario de seguridad necesario para suministrar ese nivel de servicio para un artículo y luego se multiplicó el inventario de seguridad por 20 (que representa al grupo de 20 artículos) x US$0.60 (el costo de mantener una unidad).

344


El mismo tipo de cálculo puede realizarse cuando los artículos no tienen parámetros idénticos (tasas de demanda, desviaciones estándar, costos de mantenimiento, etcétera). Cuando se realizan cálculos para el inventario de seguridad requerido, puede ser de utilidad la siguiente aproximación a la tabla de pérdida normal unitaria (tabla B en el apéndice al final del libro), especialmente cuando se utiliza una hoja de cálculo 13 ;

-1.19 + VO.0545 - 1.48 ·Zn(N(Z») Z = ------------

(8-11)

0.74

$ 500

450 ""O

ro

FIGURA 8-9 Ejemplo de curva de intercambio

""O .;:: ::J

O> ID

(/)

400

ID ""O

o

.~

eID

350

> e

Qi

Qj

e

300

$ e

ro E

ID ""O

250

.8 (/)

o

ü

200

150 A

100

50

oL-_---l._ _- L_ _..L-_ _L-..._--'-_ _- ' -_ _--'--_

95.50

96.00

96.50

97.00

97.50

98.00

98.50

99.00

___:_'

99.50

Nivel de servicio (porcentaje)

13

La fórmula que aparecería en una hoja de cálculo sería: Z

= (-1.19 +

(0.0545 -1.48*LN(N(Z)) 0.5/0.74 A

que se deriva de la siguiente fórmula de aproximación de J. O. Parr, "Formula Approximations to Brown's Service Function", Production and InvenfOlY Mmu¡gement 13 (1972), pp. 84,86: 2

N(Z) = e(-O.92-J.l9Z-0.37Z )


345

dondeN(Z) es el valor de la pérdida normal unitaria determinado en la ecuación (8-10) y In es el logaritmo natural Con la ecuación 8-11 pueden programarse todas estas operaciones en una hoja de cálculo y generar el conjunto de puntos que sirven para trazar la curva de intercambio agregada (en ocasiones se conoce como CUlva de intercambio) para cualquier colección de artículos incluidos en un inventario. Las curvas de intercambio son muy útiles para demostrar a la gerencia los costos de suministrar distintos niveles de servicio al cliente. Los ejes específicos de las medidas pueden variar; para la inversión en inventario, podría utilizarse el costo de mantenimiento, como se hizo aquí, la inversión total en inventario o la inversión en inventario convertida en semanas promedio de suministro. Para servicio, podría emplearse una tasa de cumplimiento (promedia y ponderada) basada en las tasas de demanda, como se hizo aquí; en otras situaciones, podrían usarse otras medidas de servicio.

Precauciones sobre el uso de los modelos de nivel de servicio Hay ocasiones en las que aunque la gerencia haya tenido dificultades al evaluar el costo de un faltante ku por unidad agotada, cambiar hacia el uso de un modelo de nivel de servicio puede no ser la mejor elección. En el caso de una colección de piezas de repuesto para equipo industrial, el agotamiento de las existencias de una de esas piezas hará que el equipo no funcione, algo que puede ser muy costoso. Si la gerencia no puede evaluar con facilidad el costo de un faltante y en cambio decide mantener 98% de nivel de servicio para todas las piezas, ¿la mejor política es esta, cuando la meta fundamental es minimizar el tiempo que no trabaja el equipo correspondiente? En otras palabras, ¿cómo debe distribuirse el dinero del inventario de seguridad para maximizar la disponibilidad del equipo? Para responder a esta pregunta, pueden considerarse dos partes con costos unitarios de US$lO y US$l,OOO, respectivamente, y suponer que todos los demás parámetros (índices de demanda, desviaciones estándar, etc.) son los mismos. El modelo común de nivel de servicio contendría cantidades idénticas del inventario de seguridad para garantizar 98% de servicio para cada repuesto. ¿Podría hacerse de otra forma? El sentido común sugiere almacenar menos artículos de US$l,OOO y muchos (más) de los de US$lO, de manera que se invierte menos dinero en inventario y el nivel del servicio promedio ponderado en realidad puede exceder 98%, logrando de ese modo una situación donde todos ganan. Esto es correcto: usar el método de costo de los faltantes de la ecuación 8-4 trataría el agotamiento de las existencias de cualquier artículo con un costo igual, pero como sus costos unitarios no son los mismos, la ecuación 8-4 acumularía muchos más artículos de US$lO y muchos menos de US$l,OOO. El resultado final sería una reducción en los niveles totales de inventarios de seguridad y, al mismo tiempo, un mejoramiento de la disponibilidad del equipo (medida por la tasa de cumplimiento promedio-ponderado resultante).

Otras medidas de los faltantes Además del costo unitario y un porcentaje de servicio establecido, se han elaborado modelos de otras medidas de desempeño de los faltantes y se han solucionado para las fórmulas correspondientes de los puntos de pedido óptimos. El lector puede hacer consultas adicionales sobre el tema en la bibliografía de este capítulo.

346


Sistemas justo a tiempo Los japoneses han convertido la planeación de inventarios en un arte refinado. El concepto de su política de inventarios justo a tiempo (JAT) es un concepto alternativo muy atractivo. Si el costo de pedido o de configuración tiende a cero, la cantidad de pedido del inventario será tan pequeña como sea posible (véase la fórmula de CEP en la ecuación 8-2). En ese caso, el inventario promedio por ciclos será muy pequeño. Además, si el tiempo de producción está cerca de cero (el tiempo de configuración o pedido será demasiado corto), de nuevo, el nivel de inventario puede ser muy bajo. Si se necesita una unidad, puede comprarse o producirse en muy poco tiempo. Además, si las ventas esperadas durante el tiempo de producción tienen una varianza muy pequeña (casi cero), entonces no hay necesidad de un inventario de seguridad grande. Por consiguiente, pueden existir situaciones donde la política del inventario justo a tiempo es consistente con los modelos de este capítulo. En particular, la política JAT es aplicable cuando los costos de organización son muy pequeños y los tiempos de producción son muy cortos. Sin embargo, si hay demasiada incertidumbre acerca del nivel de ventas durante el tiempo de producción o si éste hasta el reabastecimiento es muy incierto, y el costo de quedarse sin existencias es alto, es suficiente justificación para mantener un inventario de seguridad. Si no se quisiera una política JAT, hay una gran probabilidad de quedarse sin inventario y un mayor costo asociado con quedarse sin mercancías. En síntesis, los japoneses han hecho un excelente trabajo para obligar a los demás a considerar formas de reducir los inventarios y los costos de mantenerlo. Previamente se estudió que el concepto de justo a tiempo (JAT) conduce a encontrar mecanismos para reducir el costo de los pedidos. Se vio que si el tiempo de producción para el reabastecimiento puede reducirse, habría una reducción en la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de producción (oM) y, con esto, una disminución del inventario de seguridad. De nuevo, siempre deben tenerse en cuenta los tres tipos de costos en un sistema de inventario: costos de pedidos, costos de mantenimiento y costos de faltantes.

MANEJO DE LA CADENA DE SUMINISTRO

Una cadena de suministro se refiere a una red de producción ya las instalaciones de distribución, incluyendo el suministro de material de los proveedores (y sus proveedores), la transformación de materiales para productos terminados y semiterminados, y la distribución de productos terminados a los clientes (y sus clientes). En la figura 8-10 se presenta una muestra de la cadena de suministro de las impresoras DeskJet de Hewlett-Packard. Recientemente, muchas empresas han encontrado que concentrarse en sus cadenas de suministro les permite encontrar y aplicar operaciones mejoradas, algo que simultáneamente reduce el costo y mejora el servicio al cliente. Un principio importante del manejo de la éadena de suministro es el concepto de postergación, en el cual el ajuste o la localización final de los productos se pospone tanto como sea posible. A continuación se presenta un ejemplo simplificado. La empresa ABC vende tres productos similares en Francia, Alemania y España. Aunque los productos son similares, tienen que adaptarse al idioma propio de cada nación, y sus requerimientos de energía e instalaciones eléctricas. En la actualidad, la adaptación se hace en la fábrica de EE.UU. El tiempo de emp\lrq\le a Europa es de cinco semanas.


347

FIGURAS-lO Cadena de suministro de las impresoras DeskJet HP

Iproveedor~L--_ _-' '-_ _

....J

PCI = Producción del Circuito Integrado EPCI = Ensamble y Prueba del Circuito Impreso EPF = Ensamble y Prueba Final FMI = Fabricación del Mecanismo Impreso CD = Centro de Distribución

La demanda media semanal y la desviación estándar de las ventas de cada país son como sigue:

País Francia Alemania España

Demanda media semanal

Desviación de la demanda semanal

500 600 400

200 250 150

Suponer que las ventas a través de las naciones son estadísticamente independientes. Dado el tiempo de cinco semanas para el transporte, la empresa mantiene un centro de distribución (CD) en Europa para almacenar los productos terminados. Puede cumplir con los pedidos de los clientes de inmediato en tanto haya inventario disponible. Suponer que la empresa utiliza políticas de Q y R independientes para dirigir estos inventarios por separado en el CD; y que Q está determinado para una semana de suministro para cada producto. ¿Qué niveles de R (el punto de nuevo pedido) e inventario de seguridad para cada producto garantizarían niveles de servicio de

9S%? Para resolver este problema, se usan las ecuaciones (S-6), (S-lO), (8-11) y (8-

5). Se dan todos los parámetros, excepto 0M. Usando la ecuación (S-6): 0M = (5)1/2(01) Los cálculos para las ecuaciones (S-lO), (S-l1) y (S-S) están en la tabla S-2. Si cada producto cuesta US$100, entonces la inversión total en inventario de seguridad para suministrar 95% de servicio es US$161,300. Ahora, suponiendo que el producto podría rediseñarse y producirse de una manera general y sencilla en Estados Unidos y embarcarlo hacia Europa en forma genérica. Además, que la adaptación podría hacerse al instante, entonces, el resultado final de este tipo de rediseño de producto sería que la demanda de cada producto se acumularía o agregaría. La tabla 8-3 calcula el nivel del inventario de seguridad del producto genérico que se requeriría para 95% de servicio.

348


!l4l';;w.-4l$IiU.l_

TABLA 8-2 Ejemplo de acumulación de riesgo Productos por separado

País

Media


Z

N(Z¡

(JM

:W!.fJW!:;;:",~L'=.""&

R

Inventario de seguridad

537

Francia

500

200

447.21

0.0559

1.2016

3,037

Alemania

600

250

559.02

0.0537

1.2212

3,683

683

España

400

150

335.41

0.0596

1.1704

.2,393

393

Totales

1,613 ·:Z::UW::::¡.lM&l11liil;e¡¡.""",

== .aai

TABLA 8-3 Ejemplo de acumulación de riesgo Producto genérico, 95% de nivel de servicio

Desviación estándar Varianza de la suma

Media


Francia

500

200

40,000

Alemania

600

250

62,500

España

400

150

Totales

1,500

País

Inventario

(lM

N(Z¡

Z

R de seguridad

22,500 125,000

353.55

790.57 0.0949

0.93

8,239

739 UJ9.¡;¡:c::oeuwa;¡.;ma¡¡

En la tabla 8-3 puede apreciarse el cálculo de la varianza de la demanda semanal; luego, se suman las varianzas (esto supone que hay independencia en la demanda de los tres países), después se toma la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar de la suma de las demandas del producto en un período de una semana. Los cálculos restantes son como los que se presentaron antes. El resultado es altamente instructivo. En lugar de 1,613 unidades de inventario de seguridad del producto adaptado, en el caso del producto genérico sólo se requieren 739 unidades para satisfacer el mismo nivel de servicio. Este resultado se basa en la varianza de una suma de variables aleatorias que igualan la suma de las varianzas, lo cual significa que la desviación estándar de una suma es siempre menor que la suma de las desviaciones estándar. La reducción de la inversión en el inventario de seguridad es (1,613 - 739) x US$100 = US$87,400 ó 54%. En lugar de tomar toda la ganancia por el inventario reducido, la empresa podría optar por aumentar el nivel de servicio, por ejemplo, de 95% a 97%. Estos resultados se muestran en la tabla 8-4. Éste es un ejemplo de la típica situación de "todos ganan", donde la reducción del inventario y el mejoramiento del servicio al cliente pueden ser el resultado de acumular los riesgos. Por ello, el inventario se redujo de 1,613 unidades a 943 unidades, una disminución de 41 %, a la vez que el servicio al cliente mejoró de 95% a 97%. (Estos datos desconocen la necesidad de aumentar el inventario de los materiales adaptados, el cual sería mucho menos costoso que el inventario del producto principal). gZ

~:;¡=

TABLA 8-4 Ejemplo de acumulación de riesgo Productos genéricos, 97% de nivel de servicio

País

Media


Desviación estándar Varianza de la suma

Francia

500

200

40,000

Alemania

600

250

España

400

150

62,500 22,500

Totales

1,500

353.55

125,000 WW::;:;¡¡&&Xn:_. :u::::mtB¡:¡anm;u:¡:

,lil!J4M

wz¡¡;:w:.

;=!JZiE'.a&

Inventario

(lM

N(Z¡

790.57 0.0569

Z

1.19

R de seguridad

8,443

943

Control y gerencia de inventariós

349

RESUMEN Cuando la demanda es incierta, puede continuarse usándose la fórmula de raíz cuadrada de CEP para el tamaño del pedido. Para el punto de pedido, puede evaluarse un costo unitario de los faltantes o especificarse un nivel de servicio deseado. En cualquier caso, se ha obtenido una fórmula óptima para el punto de pedido. Las curvas de intercambio son una herramienta útil para demostrar la relación entre los niveles de inventario y el servicio al cliente. El manejo de la cadena de suministro se dirige hacia toda la cadena y cuantifica los costos y beneficios de las mejoras potenciales de la misma.

SECCiÓN IV

_

CONTROL DE INVENTARIOS CON INCERTIDUMBRE Y SIN NUEVOS PEDIDOS Esta sección introduce los métodos para resolver un problema de inventario de una sola vez cuando no hay ninguna oportunidad para hacer un nuevo pedido y el artículo no puede almacenarse económicamente para futuros pedidos. Esta situación la enfrentan las empresas que producen bienes altamente estacionales o de estilo, productos perecederos (flores, alimentos), bienes que se vuelven obsoletos (revistas) y servicios que tienen término fijo (por ejemplo, reservas en las aerolíneas para una fecha dada). Cada vez más, esta situación también la enfrentan las empresas de electrónica y computadores cuyas principales ventas se presentan durante la temporada navideña, cuando la planeación de la cantidad correcta de materiales y la producción es difícil de establecer debido a la incertidumbre en las ventas. Se considerará que la demanda es incierta pero que la distribución de probabilidad de la demanda es conocida. Esta situación es análoga a la de saber que una moneda perfectamente diseñada tiene cara y cruz pero no se sabe cuál lado saldrá en el próximo lanzamiento.

Ejemplo 8 Se sabe que la demanda de un producto tiene la distribución que se muestra en la tabla 8-5. Considerar el costo por unidad a US$25 y que los sobrantes pueden venderse a un precio de salvamento de US$5. El precio de venta es de US$55 por unidad. Se conoce la distribución de probabilidad de la demanda para el producto, pero no se sabe antes del período que comienza cuánto se pedirá durante el mismo. En esta situación, ¿cuántas unidades deben pedirse?

.iZ¿!GW

TABLA8-S Distribución de la demanda

Demanda

Probabilidad

o

0.10

1

0.30

2

0.40

3

0.20

1.00

:;.¡;z¡¡¡;¡¡¡¡:¡¡;¡¡¡¡;¡:¡;¡¡¡;¡ll&i&Iliit::;¡;¡¡llI.;:;::: :::::::c:::::c.usw=-$lGlZ

350


Una posibilidad sería calcular las diferentes utilidades esperadas que se presentarían con diferentes planes de pedidos. En la tabla 8-6 se presenta este cálculo. No olvidar que si no se compra ninguna unidad, no puede venderse ninguna; si se compra una unidad, no puede venderse más que una, incluso, si la cantidad que se pide es más grande. Con base en la utilidad esperada, la acción óptima es pedir dos unidades ya que la utilidad esperada de US$35 es más alta que la que resulta de cualquier otra estrategia.

TABLA 8-6 Cálculo de la utilidad* esperada

Pedido de una unidad Evento: demanda


Pedido de dos unidades Pedido de tres unidades

Utilidad condicional

Utilidad esperada

Utilidad condicional

Utilidad esperada

Utilidad Utilidad condicional esperada

O

0.10

US$(20)

US$(2)

US$(40)

US$(4)

US$(60)

US$(6)

1

0.30

30

9

10

3

(10)

(3)

2

0.40

30

24

40

16

0.20

30

12 _ _6

60

3

----.12

90

__ 18

1.00Utilidad esperada US$25

60 US$35

US$25

* Las cantidades en paréntesis son negativas

UN MÉTODO MARGINAL En el análisis precedente se calcularon los diferentes totales de utilidad que se esperaban, siguiendo las diferentes políticas de pedidos. Una solución más fácil para calcularla utiliza un método marginal. Se calcula el efecto que sobre la utilidad tiene adicionar una unidad al tamaño del pedido. Sea la probabilidad de vender una unidad adicional (o más) identificada como p; entonces, (1- p) es la probabilidad de vender la unidad adicional (o más). Los valores de p, en este ejemplo, se muestran en la tabla 8-7. La columna identificada como Probabilidades acumuladas es p, ya que indica la probabilidad de vender cero o más (1.00), uno o más (0.90), dos o más (0.60) o tres o más (0.20) unidades. Es el extremo derecho de la distribución de probabilidad. Sea ca el costo unitario de excedentes; es decir, el costo de tener una unidad sobrante. Por ejemplo, si una unidad cuesta US$25 y las unidades sobrantes pueden venderse a US$5, entonces el costo de excedentes es de US$20 por unidad. Sea cu el costo unitario de faltantes; es decir, el costo de no tener ninguna unidad para vender cuando un cliente la requiera. En el ejemplo, una unidad cuesta

Demanda


Probabilidades acumuladas

O

0.10

1.00

1

0.30

0.90

2

0.40

0.60

3

0.20

0.20

TABLA 8-7

1.00


351

US$25 y se vende a US$55. Por consiguiente, la empresa pierde US$30 de utilidad por cada unidad que se queda; esto significa que Cu es US$30. Se supone que no hay ningún costo más allá del período presente debido a los faltantes. La relación entre los costos de sobrantes y de faltantes y la probabilidad dela demanda para la siguiente unidad se muestran en la tabla 8-8. La tabla en mención demuestra que si se pide una unidad pero no hay demanda, el costo condicional es cO' Del mismo modo, si la unidad no se pide y hay una demanda por ella, el costo condicional es cu' Puede apreciarse que el costo de faltantes Cu es un costo de oportunidad que representa el costo de desaprovechar una oportunidad de obtener utilidades. El costo esperado para la acción de no pedir es pC u ; y para la acción de pedir es (1- p )co' La unidad adicional no debe pedirse considerando que el costo esperado de hacerlo es menor que el costo esperado de no pedirla. Es decir, pedir si:

(l-p)c o
= pCu = (O.9)(US$30) = US$27

y Costo esperado (pedir)

= (l-p)c o = (0.1)(US$20) = US$2

El costo esperado de pedir es menor que el costo esperado de no pedir, de manera que debe pedirse la unidad. Hay que hacer la misma comparación para saber si debe pedirse la segunda unidad, y así sucesivamente. En la tabla 8-9 y en la figura 8-11 se ilustran estos cálculos. Un costo negativo en la columna 4 de la tabla 8-9 es una utilidad esperada neta. Solicitar la primera unidad aumenta la utilidad en US$25; pedir la segunda unidad aumenta la utilidad en US$10 (hasta US$35) y pedir la tercera unidad la disminuye en US$10 (hasta US$25). No sería deseable un inventario de tres unidades ya que existe un costo marginal esperado de US$IQ asociado con incluir una tercera unidad. Utilizando esta regla, la persona encargada de tomar la decisión mantendrá unidades adicionales hasta que el costo esperado de pedir sea igual o exceda el costo de no pedir. No olvidar que cuantas más unidades se agreguen, la probabilidad de la demanda para la siguiente unidad (o más),p, disminuirá y (l-p) aumentará. En definitiva, el costo esperado de pedir, excederá el de no hacerlo (véase figura 8-11). El lugar de completar una tabla como la 8-9 para encontrar la solución óptima, existe un atajo importante que se puede usarse. Suponer que pc es la probabili-

TABLAS-S Costos condicional esperado

Acción Evento: demanda de la siguiente unidad (o más)


No

1- p

O

Sí

p

Cu

ca O

pCu

(1- p)Ca

Costos esperados de las acciones

No pedir

Pedir

352


FIGURAS-U Costos esperados de las acciones

$30 , "

"O,

(f)

o

,,

"lJ

~

20

ID

'O

Q. (f)

ID (f)

o tí o

o

,, ,

10

-- ... _0'"

\. O Acción: pedir , " -'<", ,," " , 'O Acción: no pedir ........... O

OLF--1---.l-.-----.l-.-----_-2 3 Inventario

TABLAS-9

(1 )

(4)

Política: pedir

P

(2) Costo esperado de pedir la siguiente unidad (1 - p)co

Oa 1

0.90

0.10 20= 2

0.90 30 = 27

-25

1a2

0.60

0.40 20 = 8

0.60 30 = 18

-10

0.20

0.80 20 = 16

0.20 30 = 6

10

2a3 z::zz

:a::aw

umw.!JWi!i!$OAi

GBZ\&ii2it¡::;¡~Et!&9U

(3) Costo esperado de no pedir la siguiente unidad: pCu

Costo incremental neto de pedir (2)-(3)

::WAiua:z¡::a::::a;¡:¡¡z

........_!&5W'l,!d&eSU'L2l.

dad a la cual el costo de pedir es igual al costo de no hacerlo. Se define pc como la probabilidad crítica y puede encontrarse resolviendo la siguiente ecuación:

o

(8-12) El coeficiente de co/(co + c¡¡) se conoce como razón crítica. Si los eventos no son continuos (por ejemplo, la demanda puede ser de 1,000 o 2,000 unidades pero no intermedia) no siempre es posible encontrar las ventas marginales con una probabilidad exacta de pc' Las siguientes reglas son útiles para encontrar el óptimo en el caso discreto: • En tanto la probabilidad de vender una o más unidades adicionales es mayor que p c' la razón crítica, debe pedirse esa unidad. • Si la probabilidad de vender la unidad adicional es igual a Pc' resulta indiferente incluirla o no en el pedido. • Si la probabilidad es menor que p c' no debe pedirse ninguna unidad. En el ejemplo, Co es igual a US$20 y clt es US$30; por tanto:

Pe

20

C

20

o =- = 20 + 30 = -50 = 0040C +C

o

u

Control


353

Con relación a la tabla 8-7, puede verse que la persona encargada de tomar la decisión pediría dos unidades porque p = 0.60 para la segunda unidad, y ésta es mayor que pc = 0.40, pero no pediría la tercera unidad (porque p = 0.20 Yesto es menor que 0.40). Observar que el modelo de inventario desarrollado supone linealidad en los costos de sobrantes y faltantes. Es decir, se ha supuesto que los costos por unidad sean los mismos para todas las unidades. En algunos casos, estos supuestos no son reales y es más apropiado, aunque también más complejo, emplear funciones para los costos marginales.

COSTO DE LA MALA DISPOSICiÓN DEL CLIENTE (PÉRDIDA DEL GOODWILL) Hasta ahora, se ha supuesto que sólo el costo de un faltante (es decir, de quedarse sin mercancía en el inventario) era la utilidad que se perdía en un período. Sin embargo, es posible modificar el modelo para incluir la mala voluntad del cliente que podría resultar de no encontrar los bienes disponibles. Estimar el costo de perder la disposición favorable del cliente puede ser un proceso difícil. Una opción es suponer que podría pagarse por una varita mágica y utilizarla únicamente una vez para hacer aparecer la unidad faltante; ¿cuánto estaría dispuesta a pagar por esa varita mágica una empresa? En cualquier caso, es necesario que un estimado de este factor se haga en términos del valor presente de utilidades futuras perdidas debido a un faltante de una unidad. Esta cantidad puede incluirse entonces, para determinar la razón crítica así establecer la política de pedido óptima. Continuando con el ejemplo 8 de esta sección, se supone que existe un costo adicional de mala voluntad de US$7.50 asociado con cada unidad de la demanda no satisfecha debido a un faltante de inventario. Considerar estas definiciones y datos: o =

C

C

U

=

costo de unidad de sobrante = US$20. La cifra de US$20 es la diferencia entre el costo por unidad (US$25) y el costo del revés (US$5). costo de unidad faltante = US$37.50. La cifta de US$37.50 es igual a la suma de la utilidad perdida por una demanda no satisfecha (US$55 - US$25 =US$30) y el costo de la mala voluntad del cliente (US$7.50) para cada unidad faltante; es decir, cuando hay demanda y no hay unidades para vender.

La definición del costo de los faltantes se ha alterado para incluir los efectos de la mala voluntad del cliente; sin embargo, la ecuación de la razón crítica aún se aplica (ecuación 8-12):

En el ejemplo modificado: o_ = p = _c_ e

co+c u

20 = 0.35 20+37.50

El aumento en la sanción por no completar un pedido tuvo el mismo efecto de un incremento en el margen de utilidad (es decir, un aumento en el pesar de no tener una unidad disponible cuando se solicita), que tenderá a aument(lJ;" el tamaño del pedido mediante la disminución de pc'

354


UTILIZACiÓN DE UNA DISTRIBUCiÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA En lugar de suponer que las ventas sólo pueden tomar unos cuantos valores discretos, puede hacerse uso de la distribución de probabilidad continua. Una distribución de este tipo hará posible considerar todos los valores factibles de la variable aleatoria, la demanda. Con fines de ejemplo, puede suponerse que la variable aleatoria de la demanda de mañana está distribuida normalmente. Como en la sección anterior, en el caso discreto se comienza por calcular Pe que corresponde a la razón crítica. Esta razón crítica es la probabilidad en la cual el costo de pedir es igual al costo de no hacerlo. En términos de la distribución normal,p e puede representarse por el área sombreada que se muestra en la figura 8-12. Debe anotarse que Pe es el extremo derecho de la distribución. La figura 8-12 muestra un pedido óptimo de 50 unidades. Si se pide menos de esa cantidad,p, la probabilidad de vender una unidad adicional o más, será mayor que Pe; los mismos argumentos presentados para el caso discreto se mantienen en el caso continuo. En el cálculo del tamaño óptimo del pedido, el primer paso es encontrar Z, el número de desviaciones estándar a partir de la media, que igualarán el extremo derecho de la función de distribución y Pe' Entonces, es necesario convertir Z a unidades multiplicándola por la desviación estándar de la dis'tribución de ventas 14 . Este número de unidades se suma entonces a las ventas medias, siPe < 0.50 (como se muestra en la figura 8-12) o se resta, siPe > 0.50. SiP e = 0.50, entonces Z = O.

Ejemplo 9 Suponer que la distribución de la demanda es normal, Co es igual a US$64, y cL[ es igual a US$36. La razón crítica es:

64

+ 336

64

= 0.16

La probabilidad de 0.16 corresponde al extremo derecho de una distribución normal. En la tabla A (en el apéndice al final del texto), aparecen los extremos izquierdos. El complemento a la izquierda de un extremo derecho de 0.16 es 0.84 y

FIGURA 8·12

1· I I I I I I 1 I I I I I I I

40

50


14 Utilizar las siguientes fórmulas

X-fL Z=-cr

y

X=Zcr+fL


355

ésta es aproximadamente una: desviación estándar de la media (con la desviación estándar, el valor en la tabla es 0.8413). Si hay un desplazamiento de la desviación estándar hacia la derecha de la media, la probabilidad de hacer una venta adicional o más será igual a 0.16. Si la media de las ventas para el período por venir son 40 unidades y la desviación estándar de la distribución es 10 si quiere aumentarse el tamaño del pedido hasta que la probabilidad de hacer una venta adicional sea igual a 0.16. Es necesario desplazarse una desviación estándar hacia la derecha de la media (Z = 1). Para convertir Z a unidades, se multiplica por la desviación estándar: Za

= 1 x 10 = 10 unidades

Como Pe < 0.50, deben agregarse 10 unidades a la media de ventas para obtener Q, el tamaño óptimo del pedido. Puede escribirse la siguiente ecuación:

Q = media de ventas ± Za = 40 + 10 = 50 El signo es más si Pe < 0.50 y menossi Pe> 0.50. Ejemplo 10 Suponer que la demanda tiene la misma distribución normal del ejemplo 9 y que ahora se calculó Pe y se encontró que es 0.25. La figura 8-13 muestra esta situación. El complemento del extremo izquierdo de un extremo derecho de 0.25 es 0.75; la tabla A muestra que el valor Z para F(Z) = 0.75 es aproximadamente Z= 0.67. Entonces, el tamaño óptimo del pedido es:

Q

= Media de ventas + Za = 40

+ 0.67(10)

= 46.7 ó 47

FIGURA 8-13

40

47


Ejemplo 11 Considerar el mismo problema del ejemplo 10 pero suponiendo ahora que el pronóstico de ventas es menos seguro; la desviación estándar de la distribución es 25 en lugar de 10. En el ejemplo 10, la razón crítica P fue de 0.25 y el valor correspondiente de Z fue aproximadamente 0.67. Utilizando la desviación estándar más grande, el tamaño óptimo del pedido ahora es:

Q = Media de ventas + Za = 40

+ 0.67(25)

= 56.75 ó 57

356


Resulta interesante comparar este resultado con el del ejemplo 10, en donde la desviación estándar de las ventas fue 10. Puede observarse que cuando el pronóstico de incertidumbre aumenta (cuando la desviación estándar aumenta), es óptimo moverse incluso lejos del pronóstico de la media de ventas de 40 unidades. Esta estrategia puede parecer contraria a la lógica en una primera instancia, pero es una consecuencia directa de la razón crítica que toma en cuenta de manera apropiada los costos de sobrantes y faltantes. Si desea tenerse una probabilidad de faltante de 0.25, se requiere una desviación estándar más alta, que pueda incluir un inventario más grande.

Probabilidades normales en hojas de cálculo La función NORMSINV de las hojas de cálculo Excel y Quattro está relacionada con la tabla A 15 Yda el valor de Z que corresponde a un valor dado 1 - Pe; es decir, dada una probabilidad acumulada al extremo izquierdo, ésta presenta el valor de Z estandarizada. Por ejemplo, para 1- Pe = F(Z) = 0.75 utilizar: = NORMSINV(0.75) = 0.6745 = Z

Costos relevantes Resulta importante obtener los estimados correctos de los costos relevantes de sobrantes y faltantes cuando se utilice este procedimiento de solución. Estos costos deben ser incrementales o marginales; no deben contener ninguna asignación de gastos generales u otros costos fijos que se afectarían por la decisión que se considere. Por ejemplo, suponer en el ejemplo 8 que el costo unitario del artículo era como sIgue:

Materia prima

US$20

Mano de obra directa Gastos generales asignados

~}

Total

US$50

(costos variables) (asignación de costos fijos)

Desde un punto de vista contable, el costo asignado al artículo es US$50, pero para propósitos de la toma de decisión de inventarios, el costo incremental de la unidad es sólo de US$25 (la suma de la materia prima y la mano de obra directa, que suelen ser costos variables). Se supone que los gastos fijos generales no cambiarán sea que se produzca o no una unidad marginal. De manera similar, el costo por unidad faltante no contendrá ninguna asignación de costos fijos. Como puede verse, el costo de faltantes es un costo de oportunidad que no se refleja en el estado de pérdidas y ganancias de la empresa. Por tanto, una gerencia "conservadora" que sólo se encamine hacia los reportes de pérdidas y ganancias puede perder oportunidades significativas de mejorar su rentabilidad si no toma en cuenta el costo de los faltantes.

15 La función relacionada NORMDIST da la probabilidad acumulada correspondiente al lado izquierdo, para un valor específico de Z. Las funciones NORMDrSTy NORMINV también suministrán, vátiás prü· babilidades normales usando los valores de X, p Y(J.


357

RESUMEN Los problemas de inventario de solución directa pueden analizarse determinando el costo de los faltantes, el costo de los sobrantes y la razón crítica pC. El tamaño del pedido se aumenta hasta que la probabilidad de vender la siguiente unidad, o más, cae en pC" Si se considera la mala voluntad del cliente, debe estimarse e incluirse en el costo unitario de los faltantes.

APÉNDICE LA DETERMINACiÓN DEL PUNTO DE PEDIDO ÓPTIMO y DEL TAMAÑO DEL PEDIDO Sean: Q = tamaño del pedido

R D

M

= punto del pedido = demanda promedio por año = cantidad de la demanda durante. el tiempo de producción (M = Media); una variable aleatoria

f(M) R- M

= función de densidad de la probabilidad para M = inventario de seguridad

aM = desviación estándar de la demanda durante el tiempo de producción

R- M M- R

= unidades sin vender cuando se reciben otras nuevas (si M < R) = cantidad con la cual la demanda durante el tiempo de producción excede el punto de pedido (si M> R)

K = costo de hacer el pedido kc = costo de mantener una unidad durante un año ku = costo de la sanción por carecer de una unidad en existencia (costo de faltantes)

El total del costo anual esperado El costo total de una política que implica un tamaño específico del pedido, R, y una cantidad de pedido específica, Q, es igual a la suma de los costos de pedir, los costos de carecer de existencias y los costos de mantener el inventario:

Costo total Q, R)

~ K(§) + [k. + [~ + (R -

f(M-

R)f(M)dM]

~ (8-13)

M)} ,

Donde K(D/Q) es el costo de pedir; K es el costo por pedido; D/Q es el número anual de pedidos:

es el costo de quedarse sin producto; ku es el costo por unidad; la integral es la cantidad de unidades esperada de inventario por ciclo; D/Q es el número anual de

358


ciclos de reabastecimiento, es decir, la cantidad anual de pedidos; [(Q/2) + (R M)kc es el costode mantener el inventario; y kc es el costo de mantener una unidad por un año. El resto del término es el inventario promedio; Q/2 es el inventario promedio del inventario por ciclos más el inventario de seguridad promedio (R M). El término (R - M) sólo se aproxima al nivel promedio del inventario de seguridad, pero la aproximación es válida en la mayoría de instancias prácticas (véase nota 8 de este capítulo). Las ecuaciones para Q y F(R) se obtienen de la ecuación 8-13, la ecuación para el costo total tomando las derivadas parciales con respecto a R y a Q, e igualándolas a cero 16 ,

Al diferenciar respecto a R:

.aCosto total aR

= kc -

D

Qk"'f(R)

D

D

+ Qku[F(R) + Rf(R) -

1]

D

= ke - -k Q u + -k Q uF(R) Se iguala la derivada a cero y se despeja F(R) 17: (8-4) Al diferenciar el costo total con respecto a Q:

aCosto total (Q, R) = aQ

_ KD

Q2

+ kc _

.E- k Q2

2

(" (M - R) f (M)dM

uJR

Se iguala la derivada a cero y se despeja Q:

Q

~

2D[K + k"[ (M - R)f(MjdM]

. (8-14)

ke La ecuación 8-14 puede convertirse en una forma que sea más fácil de calcular. Se hace uso del hecho de que si M está normalmente distribuido y si R es mayor que las ventas esperadas (M) durante el período del nuevo pedido, entonces:

((M - R)f(M)dM = CJMN(Z)

16 El símbolo

( !:R en las ecuaciones es la expectativa parcia!. Es igual a Loo Mf(M)dM

(8-15)


359

Donde N(Z) es la unidad de la integral de pérdida normal valorada para Z (R convertida a las desviaciones estándar de la media). El símbolo 0M es la desviación estándar de la distribución de la demanda durante el tiempo de producción. La ecuación 8-15 es la cantidad esperada de pedidos no cumplidos en un tiempo de producción. La ecuación 8-14 ahora se convierte en:

Q=

2D[K + kuuMN(Z)]

(8-16)

kc

Como puede verse, R está en la fórmula para Q (ecuación 8-14) y Q está en la ecuación 8-4 para R. En teoría, las dos ecuaciones deben despejarse simultáneamente. Esto puede hacerse mediante el uso de un procedimiento interactivo, el cual comienza con un estimado de Q y repite este proceso hasta que se encuentran una Q y una R para satisfacer ambas ecuaciones. Sin embargo, con fines prácticos, es suficiente determinar el valor de Q usando la fórmula de CEp' en la cual se supuso una cierta demanda:

Q=

~2KD

(8-2)

kc

La ecuación para el costo total puede simplificarse'si se suponen que R > M, mediante la ecuación 8-15. Sustituyendo en la ecuación 8-13 se obtiene: Costo total (Q, R) = [K

+ kuuMN(Z)] D Q+

[Q"2 + (R - -] kc M)

(8-17)

BIBLIOGRAFíA BROWN, R. G. Decision Rules for InventOlY Management. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1967. Matelials Management Systems. New York: John Wiley & Sons, 1977. LEE, H. L., and BILLINGTON, e. "The Evolution of Supply-Chain Management Models and Practice at Hewlett-Packard", Intelfaces, SeptemberOctober 1995, pp. 42-63. McCLAIN, J. O., and THOMAS, L. J. Operations Management: Production ofGoods and Services, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1985. NAHMIAS, S. Pl'Oduction and OperationsAnalysis. 3rd ed. _ _ _ _o

Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1997. HALL, R. W. Zel'O InventOlies, Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1983. HILLIER, F., and LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. 6th ed. New York: McGrawHill,1995. PARR, 1. O., "FormulaApproximations to Brown's Service Function", Production and Inventory Management 13 (1972), pp. 84-86. SCHONBERGER, 1. Japanese Manufactwing Techniques. New York: Free Press, 1982. SILVER, E. A., and PETERSON, R. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1985.

PROBLEMAS PRÁCTICOS 18

8-1 De un inventario de 20,000 artículos se tomó una muestra aleatoria de 10 de ellos. (La cantidad es una muestra demasiado pequeña, pero sirve para usar aritmética simple). Las ventas en dólares de los 10 productos son 170,320,49,94,530,125,2,70,225,30.

a. Trazar los datos clasificados en una curva ABe. b. Con base en la muestra, ¿cuál es el porcentaje del total de ventas para el inventario de los 20,000 artículos que estaría representado en los primeros 4,000?

17 Las condiciones de segundo orden también deben verificarse. 18 Las soluciones a estos problemas se encuentran al final del capítulo.

360


c. ¿Qué porcentaje de ventas está representado en el primer SO% de los artículos? d. Suponer que la gerencia quiere que los artículos A representen el primer SO% de las ventas, que los artículos C representen el último SO% y que los artículos B se encuentren en medio. ¿Qué índices de ventas en dinero hay que utiliza para separar los rangos A, B Y C? 8-2 ABC Company utiliza 100,000 unidades por año de un producto. El costo unitario de mantenimiento es de US$3 por año. El costo de pedir un lote es de US$60. a. ¿Cuál es el tamaño óptimo del pedido? b. Si los costos de los pedidos fueran de 60 centavos por pedido, ¿cuántas unidades deben pedirse de una sola vez? 8-3 Dada la misma situación del literal a. del problema 8-2, con la información adicional de que el costo de los pedidos puede reducirse de US$60 a US$lS por lote, si la empresa se une a una cooperativa de compras, pagando una cuota de afiliación anual de US$2,000. a. ¿Cuál sería el tamaño óptimo del pedido si la empresa decidiera unirse a la cooperativa? b. ¿Debe unirse la empresa a la cooperativa? 8-4 Una empresa petrolera está buscando petróleo en Alaska y está preocupada por su inventario de piezas de repuesto. Se requiere de un mes para recibir los pedidos. Considerar la pieza 8J2N. Se espera que esta pieza sea necesaria a una tasa de 100 por mes (1,200 por año). La demanda durante el tiempo dc producción (un mes) es casi normal con una desviación estándar de 40. El costo de los pedidos es de US$l,OOO por pedido; elcosto de mantenimiento es de US$20 por año, y el costo de los faltantes es de US$200 por unidad. Determinar el tamaño del pedido Q y el punto de pedido R. 8-5 La demanda del tiempo de producción para un artículo tiene un promedio de 100 unidades, con una desviación estándar de 30. La cantidad del pedido es de 200 unidades. La gerencia desea que 99% de toda la demanda se encuentre en el inventario. a. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? b. Si la gerencia quiere 98% de nivel de servicio; ¿cuál es el punto de pedido óptimo? c. Pero si la gerencia quiere 90% de nivel de servicio, cuál es el punto de pedido óptimo? 8-6 La distribución de probabilidad de la demanda para un producto se estimó así: .

Demanda


o

0.05 0.15 0.30 0.35 0.10 0.05 0.00 1.00

1 2 3

4 5 6

Cada unidad se vende a US$SO y si el producto no se vende, pierde por completo su valor. Los costos de compra de una unidad son de US$10. a. Suponiendo que no se pueden hacer nuevos pedidos, ¿cuántas unidades deben comprarse? b. Si la pérdida por la mala voluntad del cliente se estima en US$20 por cada unidad cuya demanda no se satisfaga, ¿cuántas unidades deben pedirse? 8-7 Dada la siguiente información, calcular el tamaño óptimo del pedido (no es posible hacer nuevos pedidos) Precio de ventas Costo incremental por unidad vendida (incluyendo costos de compra) Costo de compra por unidad Valor de salvamento (si no se venden) Pérdida de goodwill por cada unidad de demanda insatisfecha

US$100 70 50 10 50

La probabilidad de distribución de la demanda es normal; la media es 140; la desviación estándar es 20. 8·8 En el problema 8-7 hay que calcular de nuevo el tamaño óptimo del pedido, suponiendo que la desviación estándar de la probabilidad de distribución es de SO. 8·9 En el problema 8-7 hay que calcular de nuevo el tamaño óptimo del pedido, suponiendo que hay pérdida de goodwill con los pedidos que no se cumplan. a. Suponer una desviación estándar de 20. b. Suponer una desviación estándar de SO. c. Comparar las respuestas anteriores con las de los problemas 8-7 y 8-8.

no

PROBLEMAS 8·10 De un inventario de 40,000 artículos se tomó una muestra aleatoria de 10 de ellos. (Es una muestra demasiado pequeña pero sirve para usar aritmética simple). Las ventas en dólares de los 10 artículos son 350, 600, 120, 30, 175, 1100, 5, 50, 200, 90. a. Trazar los datos clasificados en una curva ABe.

b. Con base en la muestra, ¿cuál es el porcentaje del total de ventas para el inventario de 40,000 artículos que estaría representado por los primeros 4,000? c. ¿Qué porcentaje de artículos representaría el primer 2S% de ventas?

Control y gerencia de inventarios d. Suponer que la gerencia quería que los artículos A representaran el primer SO% de las ventas, los artículos C el último SO% y que los artículos B estuvieran en medio. ¿Cuáles serían las tasas de ventas en dólares que deberían utilizarse para separar los rangos A, B, YC? 8-11 Seleccionar una muestra aleatoria de 10 artículos de un refrigerador. Estimar los gastos anuales en cada producto y luego trazar los datos clasificados en una curva ABe. ¿Se tiende prestar más atención a uno o dos productos en los primeros lugares de la clasificación? 8-12 Los costos de colocar un pedido son US$lS0. Se estima que durante los 12 meses siguientes se utilizarán 1,000 unidades. El costo de mantenimiento por unidad por mes es de US$2.SO. a. Calcular el tamaño óptimo del pedido. b. Ahora, si la empresa pudiera reducir el costo de los pedidos a US$SO; el costo del esfuerzo para lograr este cambio sería US$l,OOO. Suponer que el producto se venderá sólo durante los próximos dos años. Calcular la nueva cantidad de pedido óptima si se aplicara el costo más bajo del pedido, y determinar si la empresa debe invertir US$l,OOO en el programa de reducción de ese costo. 8-13 Una empresa utiliza una cierta pieza en el montaje de juegos de equipos electrónicos a una tasa de 8,000 por año. Cada pieza vale US$lS. La empresa estima el costo de mantener el inventario en 20% del valor del artículo, por año. La empresa puede producir la pieza en una de dos máquinas. En la máquina A, el costo de configuración es US$200; en la máquina B es sólo US$100. Sin embargo, cuesta 10 centavos más por unidad producir el repuesto si se usa la máquina B que si se hace en la máquina A. ¿Cuál máquina debe usar la empresa? ¿Cuál es el tamaño óptimo del lote? 8·14 A un gerente de inventarios recién nombrado se le entregó la siguiente información sobre un artículo: Uso anual en dólares = US$100,000 Costo de procesamiento del pedido = US$2S Costo de mantenimiento por dólar al año US$0.20 Cuando se le pidió calcular una cantidad de compra óptima para el artículo, el gerente se quejó de que no se le había dicho el valor por unidad. ¿Es posible completar una cantidad de compra óptima para el artículo con los datos suministrados? En caso afirmativo, hay que resolverlo; si no es posible, explicar el porqué. 8;15 Con referencia en el literal a del problema S.2, suponer que el proveedor le ofreció a ABC Company un descuento de 12 centavos por unidad si pedía lotes de 10,000 unidades. ¿ABC debe tomar el descuento? 8-16 Father's Cookies produce galletas con chispas de chocolate en un gran horno con capacidad de hornear hasta 2,000 libras de galletas a la vez, La de-

361

manda anual de 200,000 libras es constante; el costo variable es 2S\t por libra. Después de procesar 2,000 libras o menos de un mismo lote debe limpiarse el horno; la limpieza toma una hora con cuatro trabajadores, cada uno de los cuales recibe un pago de US$7 por hora. El costo de mantenimiento del inventario es 20% por dólar al año; si Father's Cookies mantiene el inventario por más de 12 meses el producto se daña. El horno tiene una capacidad sustancial que no se utiliza. ¿Qué cantidad de galletas se deben producir ¿Por qué? 8-17 Un artículo se consume a la tasa de 1,000 por año; los costos de pedidos son US$20 por pedido y los de mantenimiento son 2S% por año. El costo unitario de compra es una función de la cantidad comprada una sola vez, como sigue:

Cantidad 1 a 100 101

a 200

Más de 200

Costo por unidad US$10.00

9.75 9.50

¿Qué cantidad debe adquirirse del artículo? 8-18 Un minorista considera que la demanda media de un artículo en inventario es 1,SOO unidades para el año siguiente. El tiempo en producción del pedido es 20 días y la demanda media durante el tiempo de producción es de 100 unidades. Se considera que la demanda del tiempo de producción está distribuida normalmente, con a = 30 (hay una oportunidad de SO-SO de que la demanda del tiempo de producción podría ser menos de SO unidades o más de 120 unidades). El costo por unidad de ventas perdidas es US$S, el costo de colocar un pedido es US$10 y el de mantener una unidad en inventario por un año es US$SO. a. Calcular el tamaño óptimo aproximado del pedido (aproximar al entero más cercano). b. Calcular el punto de pedido óptimo aproximado. 8-19 La demanda media de un artículo en inventario para el año siguiente es de 4,000 unidades. El tiempo de producción sobre pedidos es de 10 días. La demanda del producto durante el tiempo de producción está distribuida normalmente y tiene una desviación estándar de 30 unidades. El costo por unidad de ventas perdidas es US$S, el costo de colocar un pedido es de US$lO y el de mantener una unidad en inventario por un año es SO centavos. a. Calcular la raíz cuadrada estimada de Q. b. Calcular el punto de pedido. c. Calcular el tamaño óptimo del pedido después de repetir (véase el apéndice de este capítulo). d. Calcular el costo total del tamaño del pedido inicial y el nuevo punto de pedido. e. Calcular el costo total del tamaño óptimo del pedido y el nuevo punto de pedido.

362


8·20 El costo de procesamiento del pedido para un artí-

culo es US$50. La demanda anual es 10,000 unidades. El costo unitario del artículo es US$5, y el de mantenimiento de inventario es 20% por dólar al año. a. Calcular la cantidad económica del pedido en unidades. b. Si el tiempo de producción de reabastecimiento es de dos semanas y la demanda semanal promedio es 200 unidades (suponer que son 50 semanas por año), con una desviación estándar de 41 unidades; las demandas semanales están distribuidas de forma normal y son mutuamente independientes. La gerencia estableció que el costo de sanción de una unidad devuelta es US$3. Determinar el nuevo punto de pedido óptimo (R). c. Un analista que ya no está con la empresa había recomendado un nuevo punto de pedido de 603 unidades. ¿Cuál es el costo de la sanción (k u ) implícito en dicho valor para un nuevo punto de pedido? 8·21 Un artículo se reabastece 10 veces por año en promedio. El costo unitario anual por mantenimiento es la mitad del costo unitario de los faltantes. La demanda semanal está distribuida normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 20. a. Calcular la probabilidad deseada de no tener nada en inventario durante el tiempo de producción. b. Suponer que el tiempo de producción de reabastecimiento es de cuatro semanas. Calcular el punto de pedido óptimo. 8·22 En el problema 8-21, suponer que hay un error en el estimado de uno de los valores que se utilizó para calcular el punto de pedido. Específicamente, suponer que se cometió un error del 50% al estimar el costo de los faltantes, con el resultado de que la relación kc / ku es errónea. a. Si la relación errónea es de kc / k u = 1.0, en lugar del valor verdadero de un medio, entonces, calcular la probabilidad de quedarse sin existencias durante el tiempo de producción y el punto de pedido asociado. b. Suponer que la relación errónea es de kc / ku = 1/4. De nuevo, calcular la probabilidad de quedarse sin existencias y el punto de pedido. c. Comentar sobre la sensibilidad relativa de la cantidad de pedido frente al punto de pedido. 8·23 La demanda promedio anual de un articulo es 2,400. El tiempo de producción es de un mes; la desviación estándar de la demanda mensual es 50 unidades. La cantidad de pedido es 300 unidades; la gerencia desea que 99% de la demanda se satisfaga con el inventario. a. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? b. Suponer que la gerencia quiere 98% de nivel de servicio. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? c. Si la gerencia estuviera satisfecha con 90% de nivel de servicio, ¿cuál sería el punto de pedido óptimo? 8·24 Un mayorista de útiles de escritorio tiene que deci· dir cuántos almanaques de escritorio almacenar para el año próximo. Es imposible hacer un nuevo pedi-

do y las unidades sobrantes quedan sin valor. La siguiente tabla indica los posibles niveles de la demanda y las probabilidades a pJiOli del mayorista: Demanda (en miles)

_Probabilidad de la demanda

100 200

0.10 0.15

300

0.50

400

0.25 1.00

Los calendarios se venden a US$100 por millar y el costo de compra incremental es US$70. El costo incremental de venderlos (comisión) es US$5 por millar. a. Utilizar el análisis de este capítulo para encontrar cuántos calendarios deben pedirse. b. Verificar este cálculo mediante tablas de valor esperado yvalores condicionales y calculando los valores esperados para cada acción. c. ¿Cuánto debería ser el costo de la mala voluntad del cliente para justificar un pedido de 400,000 calendarios? 8·25 La demanda de un producto es aproximadamente normal con una media de 40 unidades y una desviación estándar de 12 unidades. El producto cuesta US$2 por unidad y se vende a US$5. Las unidades sin vender no tienen valor. a. Suponiendo que no hay pérdida de goodwill debido a la demanda no satisfecha, kuál es el tamaño óptimo del pedido? b. La gerente a cargo del producto acostumbra pedir 60 unidades. Ella defiende la política de que hay pérdida de disposición favorable en el cliente, asociada con la demanda insatisfecha. ¿Cuál es la pérdida de goodwill implícita asociada con la política de la gerente? 8·26 Un fabricante de cámaras hace la mayoría de sus ventas durante la temporada navideña. Por cada cámara vendida tiene una utilidad de US$20; si una cámara se vende después de la temporada principal, el precio debe reducirse, el cual es US$5 menos que el costo variable de producir la cámara. El fabricante estima que la demanda está normalmente distribuida con una media de 10,000 unidades y una desviación estándar de 1,000 unidades. a. Pasando por alto los costos de la mala voluntad del cliente por un agotamiento de existencias, ¿cuál es el tamaño óptimo del pedido? b. ¿Cuál es el costo de la mala voluntad del cliente por un agotamiento de existencias que justificaría un pedido de 11,500 unidades? 8·27 Green Garden Store debe pedir su lote de plantas de primavera el 23 de marzo (no hay oportunidad de un nuevo pedido después de esa fecha). Debido a la inminente sequía, Green Garden redujo su proyección de ventas y ahora espera vender cerca de

Control y gerencia de inventarios US$100,000 (al detal) de plantas de primavera; la desviación estándar del error para este pronóstico es 15% (es decir, US$15,000). Suponer que los errores de la proyección están distribuidos de forma normal. Por cada dólar de venta al detal, la tienda paga US$0.30 por las plantas que compra al por mayor. Las plantas que quedan después de la estación de ventas no pueden venderse; además, Green Garden debe pagar por retirarlas un costo de US$0.05 por US$l de venta al detal. Todos los demás costos de operación de la tienda no están afectados por el volumen de ventas que alcance. ¿Cuál debe ser el valor de las plantas que pida la tienda para venderlas al detal? 8.28 Peninsula Pumpkin Stores (PPS) compra calabazas antes del Halloween para revenderlas. PPS vende las calabazas a US$0.50 por libra y paga un precio mayorista de US$0.30 por libra. Los proveedores le exigen firmar los pedidos el 1 de septiembre, de modo que debe aceptar un compromiso antes de conocer la demanda. En la fecha señalada, la pro-

º

363

yección de la demanda de Pumpkin es de 10,000 libras; el error normalmente está distribuido con una desviación estándar igual al 15% de proyección. Sin embargo, la proyección no han tenido desviaciones. Las calabazas que quedan (después del Halloween) pueden venderse a un promedio de US$0,20 por libra sin límite de volumen. Los pedidos de los clientes que nopuedan cumplirse se consideran perdidos. a. ¿Cuántas libras en total deberá pedir PPS el I de septiembre? b. Suponer que PPS encontró un proveedor adicional que cumplirá con los pedidos de reabastecimiento de inmediato, de modo que si la empresa acaba con sus existencias, puede hacer nuevos pedidos, a los segundos proveedores, en pequeñas cantidades, a medida que se necesiten, de segundos proveedores. (PPS continúa usando al proveedor original para su pedido inicial). El nuevo proveedor cobra US$0,42 por libra por este servicio rápido y garantiza el suministro. Ahora, ¿cuál es la orden de compra inicial ideal para ell º de septiembre?

º

PROBLEMAS ESPECIALES : 8-29 Considerar la ecuación 8-1, costo total anual, y la ecuación 8-2, la fórmula de la cantidad económica del pedido. Suponer que un error en la recopilación de datos hace que Q tenga un error de 20% menos que la Q* verdadera (es decir, Qerror = 0.80 Q*). Este error debe sustituirse en la ecuación 8-1 y encontrar el porcentaje del costo de la sanción que resulta del error de 20% de Q. (Ayuda: usar el hecho de que con Q* óptima los dos términos de la ecuación 8-1 son iguales, y cada uno es la mitad del costo total anual óptimo (el mínimo). 8-30 Una empresa usa 2,000 unidades de un producto cada año (uso constante). El producto se compra a un proveedor a un costo unitario de US$4; sin embargo, la empresa debe pagar el flete desde la planta del proveedor. Cada unidad pesa 5 libras; el costo de embarque es de 20 centavos por libra. La empresa estima que el costo del procesamiento del pedido es US$25 por pedido; los costos de mantenimiento de inventario son 20% por dólar al año. a. Encontrar la cantidad óptima del pedido. b. Suponer que para los embarques superiores a 300 libras, pero inferiores a 10,000 libras, hay una tarifa fija de US$50 por embarque (no por libra) mientras que para los embarques inferiores a 300 libras, la tarifa se mantiene en 20 centavos por libra. Ahora, ¿qué cantidad de pedido debe usarse para minimizar la suma de todos los costos variables relevantes? 8·31 Bancroft Press publica una amplia variedad de libros. Uno de los más vendidos es Imagínative Cooking que va por su cuarta edición. Bancroft espera que de la siguiente edición de la obra se vendan 12,500 copias anuales durante los siguientes años.

En años anteriores, Bancroft se ha limitado a imprimir y empastar el suministro de un año para este tipo de texto. Recientemente, el aumento de los costos del inventario los obligó a reconsiderar esta política. En particular, la empresa está considerando empastar sólo la mitad de la cantidad impresa y conservar el material restante como inventario no empastado. Cuando se necesite, la mitad pendiente del lote se encuadernará. Los costos son como sigue (omitiendo los de mecanografía, distribución y otros que no están afectados por esta decisión):

Costo de producción Costo variable por unidad

Impresión

Encuadernación

US$5,OOO

US$1,OOO 2

4

Ahora, la editorial cuenta con un inventario de 25% por dólar al año. a. Si se empasta un lote completo al momento de la impresión, ¿cuál es la cantidad óptima?, ¿cuáles son los costos totales anuales? b. Si sólo se encuaderna la mitad del material impreso, ¿cuál es la cantidad óptima que debe imprimirse? ¿Cuáles son los costos totales anuales? 8-32 ACME Dairy produce 15 sabores de helado de crema, en empaques de pintas, un cuarto y medio galón. El tiempo para cambiar el tamaño del empaque es de dos horas, y el costo variable asociado con este cambio es US$80. La limpieza para pasar de un sabor a otro toma 30 minutos, con un costo variable de US$20. La cantidad de helado que se produce y

364


empaca en una hora de turno es aproximadamente 1,000 galones (independientemente del sabor o del tamaño del empaque) y el costo variable asociado con esa cantidad de producto (materiales más mano de obra directa) es US$500. El costo de mantenimiento de inventario es 25% por dólar al año. a. ¿Debe producir ACME todos los tamaños para un sabor dado antes de cambiar al siguiente sabor o debe producir todos los sabores en un mismo tamaño antes de cambiar al siguiente tamaño? ¿Por qué? b. La demanda de galones para cada combinación de sabor y tamaño (45 productos) constante 40,000 galones cada año, se cuenta con 2,200 horas de la producción anual. ¿Cuál es el tamaño económico del lote donde deben producirse todos los productos? c. Hace poco, el sindicato negoció un nuevo contrato con ACME que limita las horas de operación a 1,940 por año (y no se permiten horas extras) ¿Qué efecto tendrá esta restricción, si lo hay, en la respuesta al literal b? ¿Qué costo, si lo hay, tiene esta restricción? 8-33 Las láminas de madera usadas para armar una biblioteca se producen en una costosa máquina automática de corte. Para que la máquina empiece a producir las piezas, se incurre en un costo de US$500. Una vez que arranca, las piezas salen a una tasa de 200 bibliotecas por día con un costo de US$5 (incluyendo la materia prima) cada una. Después de producir las piezas, hay que ensamblarlas. El supervisor de primera línea considera que e! proceso de ensamble requiere algún tiempo debido al fenómeno de la curva de aprendizaje, aunque una vez se inicia el proceso, cada biblioteca se arma más rápido que la anterior. Él estima que el efecto puede representar un costo de organización de ensamble de US$50. Una vez que comienza el montaje de las bibliotecas, la producción es de 100 muebles por día; el costo de cada biblioteca terminada es de US$15 (incluyendo elcosto de US$5 por las partes cortadas). La demanda anual de bibliotecas es constante en 2,500 unidades. El costo de mantenimiento es 20% por dólar al año. Q. Suponer que el departamento de corte de las piezas está separado de! de ensamble y su control financiero es por separado. Si quisiera determinarse el tamaño de la producción para la cortadora de piezas, desconociendo el hecho de que el producto sólo es intermedio, ¿cómo se haría? b. Si fuera a determinarse e! tamaño del lote de ensamble sin tomar en cuenta al departamento de corte, ¿cómo debería hacerse? c. El supervisor manifestó que: -"Las piezas cortadas y sin ensamblar no son buenas para nosotros. Cada vez que la cortadora está funcionando, debemos procesar la cantidad completa de piezas cortadas en la etapa de ensamble hacia el inventario de productos terminados, de modo que nos resulten de utilidad". Dada esta política sugerida, ¿cuál es la cantidad económica en que

deben producirse las piezas cortadas y las biblio. tecas ensambladas? 8-34 Una empresa debe decidirse entre fabricar una pieza o comprarla a un proveedor externo. El costo variable por unidad es el mismo en cada caso. Sin embargo, si fabrica la pieza por su cuenta, tiene un costo de iniciación de US$100. Si la compra, hay un costo fijo de pedido de US$20. Si fabrica la pieza, e! tiempo de producción es cero; si la compra por fuera, el tiempo de producción es de 25 días (el uso durante e! tiempo de producción se distribuye normalmente con una media de 100 unidades y una desviación estándar de 20 unidades). El costo de mantener una unidad en inventario es US$2 por año, el costo de carecer de una unidad es US$18 (éste es k u ). Los requerimientos anuales de esta pieza son de 1,000 unidades. ¿Debe la empresa fabricar la pieza por su cuenta o debe comprarla al proveedor? ¿Qué otras consideraciones, además de los costos de inventario, deben hacerse realmente en una decisión de este tipo? 8-35 Una vacuna comercializada por un laboratorio farmacéutico tiene una demanda conocida y constante de 1,200 unidades por año (o 100 al mes). El costo de producción es US$120 por unidad, el costo de organización es US$400 por lote y el de mantenimiento de inventario es 20% al año. El tiempo de producción es constante y conocido (un mes). Q. ¿Cuál es la cantidad económica de producción parlote? b. Recientemente, el laboratorio descubrió que su vacuna tiene una vida en estante de sólo 1,5 meses. Determinar la estrategia de producción con el costo más bajo posible para esta situación, es decir, la que minimice los costos de iniciación, mantenimiento y desperdicio. c. Ahora, si e! promedio de demanda dellaboratorio es 100 unidades mensuales, pero ya no es constante. La demanda está distribuida normalmente, con una desviación estándar de 20. El costo unitario de un faltante es US$640 (utilidad perdida más mala voluntad del cliente). Sin tomar en cuenta e! problema de la vida en estante del literal b, ¿cuál es la política de inventario óptima? 8·36 Aggregated Air Lines (AAL) mantienen repuestos para reparar los motores de los aviones, los cuales fallan de manera aleatoria. Como ejemplo, considerar la pieza # 7654 que se encuentra en cada motor de un Boeing 747. Cuando los motores se llevan a la base de mantenimiento para desarmarlos, revisarlos y repararlos, esta pieza se examina con especial cuidado y si es necesario el diagnóstico es de necesidad de reparación. Las fallas de este repuesto por mes se presentan de acuerdo con una distribución normal, con una media de 5 y una desviación estándar de 1.5. El tiempo de organización para la reparación es muy corto en comparación con e! valor de la pieza misma, de modo que C(l,(Í¡J. vez que se necesita reparar una de ellas, ésta se envía al taller (es decir, no se envíanvarias). El taller tarda exactamente tres


meses en reparar la pieza y la aerolínea tiene un inventario de 30 piezas de repuesto; lo que significa que las 30 piezas deben estar en condiciones de atender la demanda aleatoria durante el ciclo de reabastecimiento de tres meses o se presentará un agotamiento de existencias. AAL determinó que el costo de un faltante es de US$50 (éste es el costo de enviar un repuesto desde la Boeing). Se pide revisar el número establecido de 30 piezas. ¿Cómo determinar la cantidad objetivo óptima si las piezas cuestan US$125 cada una y el costo de mantenimiento anual del inventario es de 25% al año? 8-37 Con base en el problema 8-20, suponga que por una tarifa anual de US$100 es posible reducir el tiempo de producción de reabastecimiento de dos semanas a una, para aplicar el concepto de justo a tiempo. a. Suponiendo que la tarifa se paga, calcular la nueva cantidad económica del pedido (Q). b. Suponiendo que la tarifa se paga, calcular el punto de nuevo pedido (R). c. Calcular la reducción en el inventario de seguridad en unidades y en dólares. ¿La empresa debe pagar la tarifa? Explicar la respuesta. 8-38 En la actualidad, Friendly Computer Store pide paquetes de disquetes flexibles a sus proveedores. Los pedidos se reciben un mes después de hacerlos. El costo unitario por paquete es US$3; los costos anuales por mantenimiento de inventario son 25%; el costo unitario por faltailtes de un paquete se considera de US$7. La demanda mensual de paquetes de disquetes es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 1,000 paquetes y una desviación estándar de 200 paquetes. a. Una nueva empleada preguntó cuál es el costo de procesamiento de pedidos para pedir los disquetes; se le respondió que es US$S. Entonces, ella propone que la empresa adopte una política de revisión continua del tipo descrito en este capítulo. ¿Cuáles serían los valores óptimos para Q y R con esa política? b. Otro empleado nuevo descubrió que el costo de procesamiento de pedidos de US$5 puede reducirse a US$l si la tienda está dispuesta a invertir US$100 en un paquete de software para procesar los pedidos. Analizar si debe hacerse o no esta inversión.

~lUtitA:¡:U:%I¡¡;;;;¡;'lZiiiOS:S:W:::"k¡¡¡;Z

__ ~=¡¡¡;¡:a;z

=

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8-39 Un artículo tiene un costo unitario de US$20 cuando se compra bajo condiciones normales de reabastecimiento, con un tiempo de producción de dos semanas. Si un agotamiento de existencias amenaza con crear una emergencia inmediata, puede reabastecerse si paga US$22 por unidad (es decir un costo adicional de US$2) y pedir las unidades que se necesiten (una unidad a la vez) cuando el inventario caiga a cero. No hay costo de procesamiento del pedido cuando se pide reabastecimiento de emergencia; el costo de procesamiento para los rebastecimientos normales es de US$20 por pedido. Los costos de mantenimiento son 25% anuales. La demanda anual promedio es de 10,400 unidades; la demanda semanal está distribuida normalmente con una media de 200 unidades y una desviación estándar de 30 unidades. a. Calcular la cantidad de reabastecimiento deseada y el punto de nuevo pedido para reabastecimientos normales. b. Suponer que la opción de reabastecimiento en una emergencia inmediata ya no está disponible y que la empresa debe satisfacer 98% de la demanda fuera de los estantes sin pedidos pendientes (back arder). ¿Cuál debe ser ahora el punto de nuevo pedido? 8-40 Considerar los datos de los seis artículos que aparecen listados en la tabla 8-10. a. Usar una hoja de cálculo para determinar los puntos de nuevos pedidos individuales para cada artículo con el fin de lograr 98% de nivel de servicio para cada uno de ellos. La suma de la inversión en inventario de seguridad para los seis artículos se toma en conjunto. b. Repetir la parte del literal a. para los siguientes niveles de servicio: 97%, 96% y 95%. Trazar los resultados en una curva de intercambio demostrando cómo la inversión total en el inventario de seguridad varía con el nivel de servicio deseado. 8-41 Considerar el problema 8-40. a. Mediante ensayo y error encontrar un conjunto de niveles de inventario de seguridad para estos seis artículos que tenga una tasa de cumplimiento promedio ponderado de 98% o mejor y que tenga una inversión de inventario más baja en el inventario de seguridad.

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•. ~...LW:O;:¡ll;;¡¡"b¡¡;z

-

._X

_&1 =US$!bi!diiki-

Demanda semanal

Tiempo de producción (semanas)

Desviación estándar de la demanda semanal

Costo unitario

Cantidad del pedido

10 15 1,000 50 75

3 5 2 2 3

1.1 1.3 120 6 9

US$400 75 3 150 30

9 26 1,075 34 93

100

5

12

1,000

19

TABLAS-lO (para el problema S-40)

:iMil&IlZZ"

365

366


b. Ahora, aplicar un costo común de faltante ku a estos datos. Para cada valor posible de k u' calcular el nivel de servicio promedio ponderado y la inversión total en inventario de seguridad. Mediante ensayo y error encontrar los valores de ku que correspondan aproximadamente a los siguientes niveles de servicio promedio ponderado: 98%, 97%, 96% Y9S%. Trazar los resultados en una curva de intercambio. Establecer el contraste de estos resultados con los del problema 840, literal b. 8·42 En el ejemplo de la cadena de suministro de este capítulo, suponer ahora que las tres naciones (Francia, Alemania y España) tienen una demanda semanal de SOO y una desviación estándar de 200. a. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de productos separados que brinde 9S% de servicio. b. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de producto genérico que brinde 9S% de servicio. c. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de producto genérico que brinde 97% de servicio. d. Ahora, suponer que hay 10 naciones idénticas (diferentes a las tres ya mencionadas). Hacer los ejercicios de los literales a, b y c para esta situación. ¿Qué le sucede a la magnitud de mejoramiento debido a la acumulación de riesgo, cuando el número de artículos aumenta de 3 a lO? 8-43 ACME Company produce equipos de aire acondicionado. Debido a la limitada capacidad de producción y al deseo de mantener empleos fijos a través del año, la producción de modelos particulares debe determinarse antes del verano, la temporada de más ventas. El modelo júnior cuesta US$60 en producción y se vende a US$100, mientras que el modelo super cuesta US$120 en producción y se vende a US$210. Cualquier cantidad de unidades que no se haya vendido al final de la estación debe tener un precio de sacrificio de 80% del costo incremental de producción. La demanda de la estación para el modelo júnior se estima como normal, con una media de 10,000 y una desviación estándar de 3,000; para el modelo super, la demanda estimada es normal con una media de 6,000 y una desviación estándar de 2,000. La empresa considera que como los dos modelos se venden en rangos de precio diferentes, las demandas son independientes. a. Pasando por alto los costos de la mala voluntad del cliente, calcular los tamaños de la producción óptima para los dos modelos. b. Suponer que las demandas ya no son independientes. Como un caso extremo, suponer que el número de unidades vendidas del modelo super es precisamente 60% de la cantidad vendida del modelo junior. Además, suponer que la media de ventas del modelo junior se estima en 10,000, con una desviación estándar de 3,000 (sin tomar en cuenta la otra media ni la desviación estándar). Ahora, calcular el tamaño óptimo del pedido.

(Ayuda: dada la estricta dependencia asumida, considerar un producto compuesto que contenga una unidad del modelo júnior y 0.6 del modelo super). 8-44 Cox Photo Company es una empresa de pedidos por correo especializada en prestar servicio las 24 horas para revelado de fotografías y elaboración de filminas y diapositivas de calidad para exposiciones. La política general es que los pedidos que lleguen en la mañana deben estar terminados y de vuelta en el correo, antes de la recogida del correo a media noche. En general, esto implica cierta dificultad. Seis técnicos de tiempo completo trabajan en turnos de ocho horas desde las 8 a.m. hasta las S p.m. y se les paga US$12 por hora (incluyendo prestaciones sociales). Estos técnicos pueden procesar un promedio de cinco pedidos por hora. Cuando, en ocasiones, hay más de 240 pedidos en el día, uno o más de los técnicos trabaja tiempo extra a US$16 la hora. Hace poco, Cox Photo compró a un competidor en la misma comunidad y planea consolidar las operaciones. No obstante, el señor Cox está indeciso sobre cuántos técnicos debe agregar a los seis que ahora emplea. Al sumar los datos de pedidos anteriores de su competidor a los suyos, el señor Cox tiene los siguientes datos de frecuencia para promediar:

Número de pedidos entrantes

Fracción de días

Menos de 220

0.03

220-39

0.03

240-59

0.09

260-79

0.16

280-99

0.18

300-19

0.20

320-39

0.15

340-59

0.10

360-79

0.05

380 Ymás

0.01 1.00

. Una de las técnicas de Cox Photo estaba tomando un curso nocturno de estadística en una universidad local y trató por su cuenta de analizar los datos anteriores. Ella le dijo al señor Cox que los datos se ajustaban de cerca de una distribución normal, con una media de 300 y una desviación estándar de 40; sin embargo, no pudo responder la pregunta de cuántas persona contratar. a. ¿Cuántos técnicos debe emplear Cox? ¿Cuál es el costo esperado? b. ¿Qué factores adicionales deben incluirse para tomar esta decisión? 8·45 ABe Office Supply Company mantiene una bodega de repuestos en Alaska para apoyar sus necesidades de mantenimiento de equipo de oficina. Una vez


cada seis meses, se envía un embarque" importante de piezas de reabastecimiento desde EE.UU. hasta Alaska. Entre estos embarque planeados, se utilizan despachos aéreos de emergencia para reabastecer los repuestos cuando el inventario queda corto ante la demanda. ABC debe determinar el nivel de inventario óptimo para sus repuestos. Como ejemplo, durante intervalos, en los pasados seis meses, la pieza 123456 demostró una distribución normal con una media de 100 y una desviación estándar de 10. El costo unitario de los sobrantes (que representa el costo de inventario del artículo no necesario durante seis meses) es US$5; la producción incremental y el costo de embarque del artículo es US$40 por unidad. ABC tiene dificultad para determinar el costo unitario de los faltantes, por dos razones: la primera es que valora las piezas de repuesto por su costo y no toma ninguna utilidad bruta sobre ellas. La segunda, es que siempre satisfacerá la demanda usando los despachos aéreos de emergencia para reabastecer, si la demanda excede al inventario. Estos despachos tienen un costo por unidad embarcada de US$25 por encima de los costos normales de embarque. ¿Cuál debe ser el inventario objetivo óptimo para esta pieza? 8-46 Va a realizarse el banquete anual para el Football Boosters Club de una universidad. Aunque se espera gran asistencia, sólo se sabrá hasta la noche misma del banquete cuántas comidas tendrá que servirse. El contrato con el hotel donde se celebrará el banquete establece que una semana antes de éste, debe definirse el número de comidas. El precio de estas comidas es de US$21 cada una. Aunque el número de asistentes sea menor que el de las comidas contratadas, hay que pagarlas todas. Si asisten más personas del número calculado, podrán ser atendidas a un costo de US$36 por comida. Por ejemplo, si se contratan 200 comidas y asisten menos de 200 personas, hay que pagar US$4,200. Si asisten más de 200 personas, hay que pagar US$4,200 más US$36 por cada comida adicional. El criterio acerca del número de asistentes puede describirse como una distribución de probabilidad normal con una media de 400 personas y una desviación estándar de 100. a. El costo del banquete es cubierto en su totalidad por la Asociación de Alumnos y el objetivo es minimizarlo, dado que a todos los asistentes se les atenderá. ¿Cuál debe ser el compromiso previo con el hotel respecto a las comidas? b. Suponer que se cobran US$30 a cada persona que asista. El objetivo es maximizar la utilidad del banquete. En este caso, ¿cuál debe ser el compromiso previo con el hotel? 8-47 Dresden Glass Company (DGC) produce esculturas en vidrio decorativo de alta calidad y distribuye los productos a través de tiendas especializadas y por departamentos que abastecen al segmento de más altos ingresos del mercado. Virtualmente, todos los pedidos y embarques se realizan en octubre,

367

como antesala al mercado de regalos navideños. Todos los artículos que no se vendan a nivel minorista en enero son devueltos a DGC por su valor total, pero el minorista paga el flete de retorno. Los costos del artículo # 123C son los siguientes: Costo estándar de fabricación (por pieza) Materia prima Mano de obra directa Gastos generales variables Gastos generales asignados Costo estándar Precio de venta mayorista de DGC para el minorista Precio de venta minorista Costo del flete para las devoluciones del minorista a DGC (5% de US$85)

US$ 5.00 30.00 5.00 15.00 55.00 85.00 170.00

4.25

Si algún minorista se queda sin este artículo, los pedidos sin cumplir se pierden (en oposición al cliente que espera o compra un regalo diferente del minorista). Están dispuestos a pasar por alto la pérdida por mala voluntad del cliente, pero no la utilidad perdida. ¿Qué nivel de inventario debe tener un minorista para el artículo # 123C de DGC si la demanda media estacional se estima en 100 unidades y la desviación estándar es 20 unidades? (Suponer una variable aleatoria normalmente distribuida). 8-48 Wyler Wine Company produce champaña fermentada en la botella. El proceso de fermentación toma un año. El costo variable de la producción inicial de una caja de champaña (sin incluir el costo de mantenimiento para el período de fermentación de un año) es US$lO. El precio de venta neto que pagan los mayoristas es US$18 por caja. Las cajas que no se venden después de su año "objetivo" (año 1) se guardan de nuevo hasta el año siguiente, sin ningún menoscabo de la calidad; sin embargo, el dinero continúa dependiendo del inventario. La empresa estima los costos de mantenimiento del inventario en 20% por dólar al año. Como las uvas se obtienen sólo una vez al año, en la sede principal de la empresa en Nueva York, Wyler debe hacer un compromiso de producción una vez al año para toda la cantidad de champaña que planee producir. La decisión de Wyler para la producción de este año (para las ventas del año próximo) está cerca. La proyección de las ventas para el aii.o próximo es de 100,000 cajas (o = 8,000); el inventario sobrante que se anticipa es de 15,000 cajas. No se evalúan los costos de la mala voluntad del cliente para las situaciones de agotamiento de existencias, pero la utilidad se pierde en esas instancias. ¿Cuántas cajas debe producir la empresa? 8-49 Alpine Valley Ski Aerea (AVSA) debe tomar una decisión a las 5 p.m. de cada tarde con respecto a llamar o no las cuadrillas que acondicionen la nieve. Esta labor comienza a las 11 p.m. y continúa hasta las 3 a.m. Sin embargo, para hacerlo se necesita que

368


la temperatura no sea mayor de 27° Fahrenheit. Si a las 11 p.m. la temperatura está por encima de esa indicación, AVSA tiene que pagarles a las cuadrillas aunque no haya nada que hacer; este costo es de US$l,OOO por noche. Si AVSA decide a las 5 p.m. que no llamará a las cuadrillas, pero la temperatura cae por debajo de 27º Fahrenheit a las 11 p.m., la empresa reconoce que ha perdido la oportunidad de una noche para arreglar la nieve, lo cual tiene un valor bruto estimado de US$4,000 y un valor neto (después de pagar a las cuadrillas) de US$3,000. AVSA utiliza la siguiente regla de pronósticos: la temperatura pronosticada a las 11 p.m. es igual a la de las 5 p.m. menos 10°. Una comparación histórica de temperaturas reales y pronosticadas a las 11 p.m. indica que estos vaticinios son imparciales y que los errores están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 9°.

¿A las 5 p.m. cuál medida de temperatura debe usar AVSA para tomar su decisión? Ayuda: encontrar la probabilidad deseada, es decir, la apuesta objetivo óptima de que no se llamará a las cuadrillas cuando habrían estado dispuestas a arreglar la nieve. S·SO Una aerolínea encontró que el número de personas que no llega a un vuelo (no cancela) está normalmente distribuido con una media de 20 y una desviación estándar de 10. La aerolínea estima el costo de oportunidad de una silla vacía en US$lOO; los costos de la mala voluntad del cliente y la sanción asociados con el hecho de no estar a bordo un pasajero que tiene una reservación confirmada se estiman en US$400. La aerolínea desea fijar un límite en las reservaciones para este vuelo. Hay 150 sillas, ¿Cuál debe ser el límite máximo en las reservaciones confirmadas? ¿Por qué?

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 8·1 a. Los datos clasificados son 530, 320, 225,170,125, 94, 70, 49, 30, 2. Los datos acumulados son 530, 850,1,075,1,245,1,370,1,464,1,534,1,583,1,613, 1,615. Véase el trazo de los datos acumulados en la figura 8-14. Nota: después de trazar el dato total de ventas acumuladas de US$1,615, la escala vertical puede marcarse como 100% y luego dividirse en porcentaje como se muestra. b. 4,000/20,000 = 20% de los artículos; en la muestra, esto representa 850/1,615 = 52.6% de ventas. c. Cerca de 85% de las ventas en dólares. d. En la curva ABC de la muestra, el punto que representa 50% de ventas cae entre los artículos con ventas de 530 y 320, pero está muy cerca del último. Por tanto, podría decirse que cualquier artículo con ventas por encima de 350 se clasificaría como A. Del mismo modo, podría indicarse que en el punto de 50% en la escala de los artículos, la tasa de ventas es 125 y usa 125 como el límite superior en los artículos C, aunque un método ligeramente más preciso sería promediar los puntos de los datos (125, 94) como un estimado de la mediana de la tasa de ventas de la muestra; este promedio señalaría 109.5 como el límite superior en los artículos C. Los artículos B estarían entre estos valores. S-2 a. Q =

~2DK = kc

2 o 100,000 060 = 3

V 4. 106

= 2,000 unidades

b.

Q

=

2 o 100,~00 o 0.60

= V 40,000 = V 40104

= 200 unidades

Nota: el uso diario es 100,000/360 = 277 unidades por día. ¿Se ordenarían

200, 277 O más?

2 o 100,000 o 15 = 3

S-3 a. Q =

VI 000 000 '

,

= 1,000 unidades

b. Mediante la ecuación 8-1, el costo total utilizando el costo original de pedido es

CT(Q = 2,000) =

2,~00(3) + 1~~~~~0(60)

+ 3,000 =

= 3,000

$6,000

El costo total usando el nuevo costo de pedido reducido es:

CT(Q

= 1,000) = 1,~00(3) + 1~~~~0(15) =

1,500

+ 1,500 =

$3,000

La reducción en costos es US$6,000 - US$3,000 = US$3,000; como la reducción de US$3,000 excede la tarifa de afiliación de US$2,000, la empresa debe asociarse con la cooperativa y pedir lotes de Q = 1,000 unidades. 8-4 Q =

~2KD = kc

2(1,000)(1,200) = 346

20

F(R) = 1 - kcQ = 1 _ 20(346) = 0.9712 kuD 200(1,200) En la tabla A, esto corresponde a Z = 1.90 + Za = 100 + 1.90(40) = 176

R = media

S-S a. De la ecuación 8-10, Q(l - P)

= 0.0667

(TM

=

200(.01)

30

de la tabla B, Z = 1.11, de modo que R = 100 1.11(30) = 133.3 ó 134

b. De modo similar 200(.02)

+

= 0.1333' de la tablaB, , 30 ' Z = 0.74, de modo que R = 100 + 0.74(30) = 122.2 Ó 123


369

FIGURA 8-14

US$1,61S 1,500

Ul [!! ro

:o1J

1,000

V

e

V /

V

~

.......

100%

~

75

:/

~ (J)

ro ro

"O

:i E ::>

50

500

ü

ro (J) ro

25

1/

e Q)

>

o

2

3

4

6

5

7

8

9

10

o

Artículos de la muestra

o

20

10

30

40

. 200(.10) c. De l a misma manera, = 0.667 30 Como esto excede el límite superior de la tabla B (0.3989), esto significa que Z = OYR se iguala a de 100. En realidad, se excederá el nivel de servicio establecido debido a la cantidad del pedido. 8-6 _

in

Ventas

p(X = x)

P(X 2: x)

O 1 2 3 4 5 6

0.05 0.15 0.30 0.35 0.10 0.05 0.00

1.00 0.95 0.80 0.50 0.15 0.05 0.00

a. ca = US$10; c1l = US$40 Pe =

~= Cu

+ ca

10

= 0.20

40 + 10

Deben pedirse las tres unidades: Pe =0.20 > 0.15; Pe = 0.20 < 0.50, donde 0.15 es la probabilidad de que la demanda sea de cuatro unidades o más, y 0.50 es la probabilidad de que la demanda sea de tres unidades o más. b. Cu = US$40 + US$20 = US$60; Ca = US$lO

ca 10 Pe = - + - = 70 = 0.143 ca Cu

50

60

70

80

90

100%

Deben pedirse cuatro unidades: Pe =0.14 <

0.15;P e = 0.14 > 0.05

8-7 Nota: suponer que el costo de la compra de US$50 se pierde si un artículo no se vende, pero no se incurre en el costo incremental restante de US$20 a menos que el artículo ~e venda. ca Pe = -+-; ca = US$50 -10 = US$40; CU = (US$100cA Cu 70) + 50 = US$80: 40 = ~ = 0.33; Z = 0.44 desviaciones es40 + 80 120 tándar 140 + 0.44+(20) = 140 + 8.8 = 148.8 (tamaño óptimo del pedido 8-8140 + 0.44(50) = 140 + 22 = 162 tamaño óptimo del pedido. Se observa el incremento en el tamaño óptimo del pedido causado por el incremento en la desviación estándar de la distribución de ventas. Véase el problema 8-9 para otra comparación.

Pe =

ca 40 8-9 Pe = ca + C = 40 + 30 = 0.571 u

a. Z = 0.18; 140 - 0.18(20) = 140 - 3.6 = 136.4 b. 140-0.18(50)= 140-9 = 131 Nota: en este problema, la desviación estándar más grande disminuyó el tamaño del pedido; en el problema 8-8, la desviación más grande aumentó el tamaño óptimo del pedido. El efecto depende de si Pe > 0.50 O Pe < 0.50.

Ejemplo motivador Programación de citas médicas en el Lourdes Hospital '.:"-.'<:-,.-,:;::--.,:-"-'

El Lourdes Hospital en Binghamton, Nueva York, creó·.. se iniciÓ un estudio del sistema para medir en diferenun sistema centralizado para programar las citas para tes horas del día la cantidad de llamadas que entraban sus selVicios. Al centro de programación llegaban lla~ al mismo. .. . . madas de pacientes (internos o externos), lo mismo Utilizando los modelos de colas simples que se que de médicos y personal del centro asistencial. Las presentan en este capítulo, lá gerente de recursos hucitas se distribuían para servicios como rayos X, labo- .. manos del hospital pudo determinar las necesidades ratorío y terapia física. . . . .. . de personal para satisfacer la meta en los diferentes Aunque el sistema eraefectivo en cuanto a la co-.· períodos del día. Así,ella pudo reorganizar los horaordinación de los pacientes a través de un conjunto de. ríos de los trabajadores para satisfacer este requericitas relacionadas, el hospital estabarecibiendo muchas· miento. El resultado fue una reducción de las quejas quejas acerca de las señales de ocupado cuandólas lla-. acerca de las demoras telefónicas casi a cero, sin un madas entraban al sistema. Del mismo modo, pacien- aumento en la cantidad de personal para atenderlas. tes y inédicos se sentían frustrados por la demora en la .. atención. . .... .. i· Debido a que ésta es una actividad importante, el hospital estableció como meta que 90% o más de las· 1 VeaseS.R.·.Agnihothri,andP.F'.Taylor,"Staffing a llamadas debían responderse· de inmediato. También Oentraliz<;diAppointment

Congestión en los sistemas de procesamiento Las colas o líneas de espera son muy comunes en la vida diaria. Pocos individuos en la sociedad moderna no han tenido que esperar en fila un autobús, un taxi, el boleto para una película, el registro de los artículos en el supermercado, el turno en la sala de belleza o la espera para el registro de materias al comienzo de un año de estudios. El sistema se congestiona y hay que esperar. La mayoría de la gente toma las demoras con más o menos humor. En ocasiones, el tamaño de una fila causa desaliento, la persona se retira y se pierde una venta. Este capítulo se refiere al proceso de toma de decisiones en una empresa (o agencia del gobierno) que tiene a cargo la operación de estos sistemas y toma decisiones relacionadas con la cantidad y capacidad de las instalaciones del servicio y la programación de los cargos en el sistema. Sistemas como el descrito comúnmente se llaman sistemas de colas. Sin embargo, un término más preciso es el de sistemas de procesamiento, pues es más amplio e incluye fábricas donde la elaboración de los trabajos se mueven en varias etapas durante el proceso de fabricación, u oficinas donde el manejo de documentación (por ejemplo, la solicitud de un préstamo en un banco) lo realizan varios individuos o comités. Éstas son redes de colas. También incluye sistemas de pérdida donde no hay filas, por ejemplo, un sistema telefónico de reservaciones que no tiene el servicio de "en espera": un cliente que encuentra la señal de ocupado no puede entrar al sistema y se pierde. Las ideas básicas de este capítulo se aplican a todos los sistemas de procesamiento, sean sistemas de fila única, sistemas de pérdida o sistemas de procesamiento más complicados. La teoría de las colas está relacionada, en primer lugar, con procesos que tienen variabilidad en la llegada de los trabajos al sistema; por ejemplo, personas que necesitan servicio, trabajos de fabricación, flujos de papelería (por ejemplo, solicitudes de crédito) o equipo que necesita reparación. El tiempo que se requiere para atenderlos generalmente también es variable. El resultado es congestión o líneas de espera. Esto puede medirse por el número promedio de trabajos en la fila y por el tiempo de espera promedio de las llegadas. Existen costos asociados con tener trabajos en espera. También hay costos asociados con agregar más capacidad de servicio. El reto de la gerencia es equilibrar estos costos. La teoría de colas puede usarse para determinar el numero óptimo de: • Casetas de peaje para un puente o carretera. • Médicos disponibles para atender llamadas en las clínicas.

372


• Técnicos para reparación de máquinas en servicio. • Pistas de aterrizaje para aviones. • Muelles para barcos. • Unidades de paramédicos disponibles para llamadas de emergencia. • Dependientes para ventas de mostrador de piezas de repuesto. • Ventanillas de servicio en una oficina postal. También puede usarse como ayuda en decisiones acerca de: • El orden en que debe atenderse a los clientes (¿Debe haber una línea rápida?) • La programación de trabajos a través de una línea de producción. • Aumentar la velocidad en el servicio de ciertas operaciones (automatización, por ejemplo). • El valor de los procesos generales de reingeniería.

UN EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PROCESAMIENTO

El manejo de un centro de atención médica para una gran fábrica. Los trabajadores llegan al centro si se sienten enfermos durante las horas de trabajo o si tienen un accidente que requiera de atención. La tabla 9-1 es el registro de 30 trabajadores que llegaron a la clínica durante un período de ocho horas. El lado izquierdo de la tabla muestra la hora real de llegada, la hora cuando en realidad comenzaron a ser atendidos (los atendió el médico) y la hora de salida. Los números de la derecha se calculan a partir de estos datos: la longitud de la línea de espera comienza con la llegada (excluyendo a la persona que están siendo atendida), el tiempo entre llegadas (el tiempo transcurrido desde la llegada anterior), el tiempo real que toma la prestación del servicio al paciente, y la cantidad de tiempo que cada paciente permanece en espera (sin incluir el tiempo de atención). Puede apreciarse que hay una variación considerable en los patrones de llegada y el tiempo de servicio real. Por ejemplo, siete pacientes llegaron entre las 13:00 y las 14:00 (1 p.m. a 2 p.m.), mientras que sólo uno llegó entre las 10:00 y las 11:00. De modo semejante, a algunos pacientes se les atendió con 6 ó 7 minutos de tiempo de servicio, mientras que otros necesitaron de 19 minutos. Como puede verse, las primeras llegadas tienen esperas cero o muy cortas. Sin embargo, después del paciente número 11, la línea y los tiempos de espera comienzan a aumentar. Varias llegadas tienen que esperar más de 50 minutos, y la línea de espera puede incluir hasta 6 personas para cuando llega el paciente número 26. Sin embargo, más adelante vuelve a acortarse, de manera que el paciente número 30 tiene un tiempo de espera corto. La tabla 9-1 ilustra patrones que son típicos en la mayor parte de los sistemas de colas. Existe variabilidad en los tiempos entre llegadas y el tiempo de servicio a los pacientes; esto resulta en líneas y esperas por el servicio. Puede observarse que aunque el tiempo de espera promedio fue de 28,4 minutos, este número no capta por completo el patrón del tiempo de espera. Ocho de los 30 pacientes tuvieron que esperar 50 minutos o más y tres personas, una hora o más. En términos de capacidad de servicio, puede notarse que la tabla cubre un período de 7 horas y 54 minutos: 474 minutos. El tiempo de servicio prome-

Teoría de las colas

TABLA 9-1 Ejemplo del centro clínico de la fábrica

PaGÍente número

O

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Hora de llegada

8:00 18:07 8:11 8:19 8:46 9:06 9:49 9:51 10:06 11:24 11:31 11:35 11:41 11:52 12:02 12:12 12:39 12:40 12:45 12:59 13:02 13:29 13:42 13:46 13:48 13:52 13:54 14:15 14:18 14:23 15:27 Promedio

Horade iniciación del servicio

8:07 8:13 8:28 8:46 9:06 9:49 9:56 10:11 11:24 11:31 11:47 12:04 12:19 12:35 12:48 13:07 13:24 13:40 13:49 13:59 14:06 14:16 14:23 14:34 14:46 14:58 15:10 15:18 15:30 15:39

Horade terminaGÍón del servicío

8:13 8:28 8:40 8:58 9:22 9:56 10:11 10:21 11:30 11:47 12:04 12:19 12:35 12:48 13:07 13:24 13:40 13:49 13:59 14:06 14:16 14:23 14:34 14:46 14:58 15:10 15:18 15:30 15:39 15:54

Longitud de la cola

O O O O O O O O O O O 1 1 2 2 1 2 3 3 4 3 3 4 5 5 6 5 5 5 1 2.0

Tiempo desde Tiempo de la llegada serviCIO anterior (minutos) (minutos)

7 4 8 27 20 43 2 15 78 7 4 6 11 10 10 27 1 5 14 3 27 13 4 2 4 2 21 3 5 64 14.9

6 15 12 12 16 7 15 10 6 16 17 15 16 13 19 17 16 9 10 7 10 7 11 12 12 12 8 12 9 15 12.1

373

Tíempode espera (minutos)

O 2 9 O O O 5 5 O O 12 23 27 33 36 28 44 55 50 01

37 34 37 46 54

64 55 00 67

12 28.4

dio fue 12.1 minutos; por tanto, el tiempo total de servicio para las 30 llegadas fue 30 -12.1 = 363 minutos. La utilización de la capacidad fue, entonces, 363/ 474 = 77%. La clínica estaba atendiendo pacientes con sólo tres cuartas partes de su tiempo. Con todo, había una congestión sustancial con largas esperas para los pacientes.

Experiencia y colas Por fortuna para un gerente ocupado, las decisiones razonables acerca de sistemas de procesamiento con frecuencia se basan en experiencias anteriores o en los hechos de la situación actual. Es así como la gerencia de una cadena de abarrotes sabe cerca de cuántas registradoras deben instalarse en una nueva tienda, según la experiencia con locales similares. En cualquier momento del día, el gerente de la tienda puede decir cuántas de las registradoras instaladas deben estar abiertas según la longitud de las colas y agregar personal de otras secciones, o enviar al personal de empaque a otras tareas. De manera similar, el gerente de una clínica como la que se ilustra en la tabla 9-1 podría utilizar experiencias anteriores como ayuda para programar al personal del centro asistencial.

374


Aunque varios de los problemas que puede enfrentar un ejecutivo pueden resolverse de manera razonable mediante el uso de la intuición o experiencias pasadas, habrá muchas situaciones demasiado complejas para dejarlas a la intuición. En ellas, el problema puede abordarse por simulación o con un procedimiento de modelo matemático. En este capítulo se examinan varios modelos matemáticos de sistemas de procesamiento. En el capítulo posterior se demuestra cómo puede emplearse la simulación para estudiar sistemas más complejos.

ESTRUCTURA DEL SISTEMA Los sistemas de procesamiento pueden distinguirse uno del otro de muchas formas diferentes. Las distinciones estructurales más importantes y algunas de las medidas comunes del desempeño del sistema son:

Sistemas de pérdida frente a sistemas de colas Los sistemas de pérdida son aquellos donde las llegadas al sistema (llamadas de clientes, por ejemplo) simplemente salen de éste cuando encuentran un retraso. En los sistemas de colas, las llegadas al sistema esperan en la línea de servicio. De hecho, puede haber sistemas mixtos, de modo que los clientes potenciales pueden dejar el sistema (se conoce como obstrucción) si la línea de espera es demasiado larga, por ejemplo.

Llegadas Los trabajos entran al sistema en busca de servicio, y pueden ser personas, máquinas que necesitan reparación, llamadas telefónicas para responder, pedidos de producción para diligenciar, solicitudes de hipotecas para aprobación o, como en el ejemplo de la tabla 9-1, pacientes que llegan a un centro médico. Pueden llegar por separado o en lotes; pueden tener diferencias de tiempo similares entre sí o seguir un patrón aleatorio; puede proceder de una población infinita o muy grande (todas las personas de una ciudad) o de un conjunto finito (por ejemplo, las diez máquinas de una tienda que pueden fallar y necesitan reparación).

Servicios Cada trabajo se debe atenderse. Esto puede significar hacer una reservación en una aerolínea para una persona, fabricar un repuesto, reparar una máquina defectuosa, o despachar las máquinas de bomberos para un incendio. El tiempo de servicio requerido puede ser el mismo para cada trabajo o puede variar considerablemente de manera aleatoria.

Estación única o red de estaciones El servicio puede prestarlo una sola unidad, como el médico del centro asistencial del ejemplo. En algunos sistemas, terminar un trabajo requiere procesamiento de un pedido a través de varias unidades. Esto es común en producción, donde un pedido puede pasar por varios pasos de fabricación o en los flujos de documentación donde, por ejemplo, la solicitud de un préstamo en el banco puede requerir varios niveles de análisis o aprobación. Los sistemas que requieren más de una estación se llarnanredes de colas, de los cuales se darán ejemplos más adelante. En cada estación se requiere algún tiempo de servicio que, por lo general, varía de una estación a otra.

_

Te~ría de las colas

375

Cantidad de servidores En una estación puede haber un solo servidor o canal, o muchos. Como ejemplo, puede pensarse en que puede haber varios puestos abiertos en la fila de registro de una aerolínea. Una llegada la procesa uno solo de los servidores. Los servidores pueden tener diferentes índices de servicio (algunos de los empleados de la aerolínea pueden ser más rápidos que otros).

Disciplina de las colas Mientras los trabajos esperan por el servicio, están en una línea de espera o cola. Puede haber únicamente una línea o puede haber varias para cada servidor. Puede haber un espacio limitado en la línea de espera y los trabajos que llegan cuando ésta se encuentra llena pueden ser desviados o rechazados. El orden en que los trabajos se atienden suele ser del tipo PEPS, es decir Primeras Entradas, Primeras Salidas o, primero en entrar, primero en salir (en inglés o First-In, First-Out). Sin embargo, puede haber prioridad o un servicio expreso para algunos trabajos; un ejemplo es la "línea rápida" en muchos supermercados, donde se atiende a los clientes con 10 artículos o menos. El servicio puede prestarse en orden aleatorio

Medidas de desempeño Existen varias maneras de juzgar la calidad del servicio en un sistema de procesamiento. Los resultados pueden evaluarse para un período corto una vez que el sistema abre, o por los resultados a largo plazo o de equilibrio. Por lo general, el tiempo en que los trabajos están en espera es importante y puede observarse el tiempo de espera promedio o una medida como la del porcentaje de los trabajos que esperan más, por ejemplo, 10 minutos. Una medida relacionada es el tiempo de rendimiento para un trabajo (tiempo de espera más tiempo de servicio); otra es la longitud de la línea de espera. Éstas son medidas de la calidad del desempeño del sistema, desde el punto de vista del cliente. Otras medidas se relacionan con el costo de operación del sistema, cuyo factor de carga o de utilización de la capacidad mide la capacidad del sistema para manejar la carga que llega. La gerencia tiene la opción de agregar más capacidad. Un sistema de procesamiento dado puede tener cualquier combinación de los elementos descritos hasta ahora. Por consiguiente, existe un número muy grande de posibles sistemas, y ningún modelo matemático puede describirlos todos. En este capítulo se tratan algunos modelos simples de amplia aplicación y que dan una perspectiva acerca del comportamiento del sistema de colas, en general. En otro capítulo se describe la simulación, que puede usarse para sistemas de procesamiento de modelos en una forma muy general.

Notación Antes de considerar los modelos matemáticos de los sistemas de procesamiento, debe conocerse algo de la notación:

A

= tiempo entre llegadas

Ésta es una variable aleatoria. Como ejemplo puede considerarse la sexta columna de la tabla 9-1, donde se da el tiempo entre llegadas al centro médico de la fábrica.

376


= =

media de distribución de A (es decir, media de tiempo entre llegadas) desviación estándar de A (TA

= coeficiente de variación de A

JLA

(una medida relativa de la variabilidad de los tiempos entre llegadas)

s

tiempo de servicio

Ésta también es una variable aleatoria que representa el tiempo que se requiere para atender un trabajo. Véase la séptima columna de la tabla 9-1 como ejemplo.

= media de distribución de S (es decir, media de tiempo de servicio) = desviación estándar de S = Coeficiente de variación de S (Ts

JLs

(una medida relativa de la variabilidad de los tiempos de servicio)

E

= tiempo de espera en la cola para una llegada

No incluye el tiempo que se toma para atender la llegada.

L

= longitud de la línea de espera para una negada

No incluye ningún trabajo que se esté atendiendo. Como ejemplo, véanse las columnas octava y quinta de la tabla 9-1. También son variables aleatorias. /lE /lL

p

= media de la distribución de E (media del tiempo de espera)

= media de la distribución de L (media de la longitud de la línea) = factor de carga del sistema (o utilización del sistema)

Éste es un índice de la carga de negadas al sistema, en comparación con la capacidad del sistema para atender esa carga.

MTE

= múltiplo de tiempo de espera

Éste es el tiempo de espera promedio de una llegada dividido por el tiempo promedio de servicio. Es una medida estandarizada del tiempo de espera y será la medida. básica de la congestión del sistema.

MTE

= JLw JLs

Hay dos distribuciones de probabilidad importantes que suelen aparecer en los modelos de colas. La distribución de Poisson supone un número muy grande (infinito) de posibles llegadas, cada una con una pequeña probabilidad de que ocurra. Las llegadas son independientes y la cantidad de una de ellas no afecta la cantidad de la siguiente. La distribución de Poisson es una buena aproximación para muchos procesos que se consideran aleatorios, como las llamadas que llegan a un tablero de control, los clientes en una fila de pago o las alarmas de incendio. La variable aleatoria en la distribución de Poisson es la cantidad de llegadas o servicios por unidad de tiempo. La distribución exponencial es una distribución complementaria a la de Poisson que tiene como variable aleatoria el tiempo entre llegadas o el tiempo de servicio. Este tipo de distribución corresponde a las variables aleatorias A y S definidas antes. Ambas distribuciones se conocen como distribuciones de Markov, cuyos detalles se encuentran en el apéndice A al final de este capítulo.


377

Se ha convertido en una práctica estándar denotar los modelos de colas a través de una notación corta como sigue: Distribución del / tiempo de llegada

Distribución del/Número de servidores tiempo de servicio o canales

donde, M D G

= distribución de Markov (Poisson o exponencial) = distribución determinística (es decir, constante) = distribución general con media especificada y desviación estándar

MODELO DE COLAS PARA UN ÚNICO SERVIDOR (M/G/1) Para este modelo deben considerarse los siguientes casos2: • Las llegadas son aleatorias y los tiempos entre llegadas proceden de una distribución de probabilidad exponencial (o de Markov). • Los tiempos de servicio también se consideran aleatorios, siguiendo una distribución general con una media fl s y una desviación estándar os' Los tiempos de servicio se consideran independientes entre sí e independientes del proceso de llegada. • Hay un servidor o canal único. • La disciplina de la colas es PEPS, y no hay límite para el tamaño de la línea. • Los tiempos promedio entre llegadas y de servicio no cambian con el paso del tiempo. El proceso ha operado durante bastante tiempo para retirar los efectos de las condiciones iniciales. En este texto, el interés se halla en las condiciones de equilibrio o a largo plazo. Utilizando la notación mencionada, ésta es la cola M/G/l. Primero se observa que el factor de carga del sistema (o utilización de la capacidad) para este modelo de colas es: I-ts p=I-tA

Por consiguiente, la utilización de la capacidad del sistema (el porcentaje de tiempo que la instalación está ocupada atendiendo llegadas) es el tiempo promedio de servicio dividido por el tiempo promedio entre llegadas. Este número debe ser menor que 1.0; si el tiempo de servicio es mayor que el tiempo entre llegadas, la cola continuará creciendo sin límite. Es posible resolver este modelo matemáticamente para la distribución de equilibrio del tiempo de espera a largo plazo y de la cantidad en la línea de espera. Para el modelo M/G/1, la medida básica, el múltiplo del tiempo de espera (MTE) está dada por:

_(_p)(1 + CV~)

MTE -

1- p

2

(9-1)

A partir de esta ecuación, la media de la distribución de los tiempos de espera puede calcularse como:

2 Este modelo suele llamarse modelo de Pollaczek-Khintchine.

378


flE= fl s • MTE

(9-2)

y la longitud promedio de la cola es 3: fLw P-L=-

(9-3)

¡.LA

Ejemplo 1 Considerar una situación como la descrita en la tabla 9-1: el centro médico de una gran fábrica. Suponer que los pacientes llegan de manera aleatoria siguiendo un proceso de Markov (es decir, los tiempos entre llegadas están distribuidos de manera exponencial) Los pacientes llegan por separado con una media de tiempo entre llegadas de 15 minutos. El consultorio puede tratar a los pacientes durante 12 minutos en promedio, pero con algunos toma más y con otros menos tiempo. La desviación estándar del tiempo de servicio es de 3 minutos y hay un equipo médico disponible para atender a los pacientes que llegan. Es decir: (Js 3 ¡.LA = 15; ¡.Ls = 12; (Js = 3; y CVs = - = - = 0.25 12

¡.Ls

y el factor de carga del sistema es: ¡.Ls 12 p=-=-=0.80 ¡.LA 15

Esto significa que el equipo médico tratará a los pacientes 80% del tiempG y perderá (quizá haciendo otras tareas) 20%. El múltiplo del tiempo de espera es: = MTE

.(_p) (1 + CV~) 12 p

= (

0.8 ) (1 1 - 0.8

+ (0.25)2) 2

= 2

.125

y el tiempo promedio de espera de una llegada es: ¡.LE = ¡.Ls'MTE =

(12)(2.125) = 25.5

No olvidar que éste es el tiempo de espera promedio. Algunas llegadas encontrarán la línea vacía cuando ingresen y tendrán cero tiempo de espera (en realidad 20%, ya que las instalaciones estarán ocupadas 80% y desocupadas 20% del tiempo), mientras que otros tardarán horas esperando. La longitud promedio de la línea de espera es: ¡.LE 25.5 ¡.LE = = = ¡.LA 15

1.70

Aunque una paciente tarda, en promedio, 25.5 minutos en espera, también debe dedicar 12 minutos en promedio a ser atendido, para un tiempo total en el sistema de 37.5 minutos, en promedio. Todas las medidas anteriores suponen que el proceso está funcionando bastante bien para que las probabilidades lleguen a una condición de equilibrio. Ahora se verán los costos asociados con este sistema. En un día laboral de 24 horas (3 turnos) habrá un promedio de 96 pacientes por día (con 15 minutos de diferencia, 4 por hora). Como se indicó antes, cada paciente permanecerá 37.5 minutos en el sistema (tiempo de espera más tiempo de servicio). Si el costo del y el tiempo de espera promedio se conoce como fórmula de Little: John D. C. Little, HA Proof for the Queeing Formula: L = al", Operations Research 9 (1961).

3 La relación entre la longitud de la línea


379

tiempo perdido para cada trabajador es de US$60 por hora (o US$1 por minuto), entonces, el costo total por día del tiempo perdido para el sistema es: Costo total

= (número de llegadas) x (tiempo promedio en el sistema) x (Cos to por minuto) = (96)(37.5)(US$1) = US$3,600 por día

Éste es un costo sustancial, más de un millón de dólares por año. Hay una gran oportunidad para que la gerencia reduzca este costo.

Ejemplo 1 ampliado Considerar de nuevo el ejemplo del centro médico. Suponer que el número de llegadas en busca de servicio aumentó (porque se contrató a más trabajadores), de modo que la media del tiempo de llegadas es 13.33 minutos. La media (12 minutos) y la desviación estándar (3 minutos) del tiempo de servicio siguen siendo las mismas. El factor de carga del sistema p aumenta de 80% a 90% (p = /ls>//la = 12/ 13.33 = 0.9). ¿Qué puede suceder con el tiempo de espera y la longitud de la cola? Antes de leer el siguiente párrafo, se recomienda hacer un cálculo intuitivo de lo que sucedería. Ciertamente, los tiempos de espera aumentarían pero, ¿cuánto? El factor de carga del sistema se incrementó casi en 12%. ¿Es posible que el tiempo de espera también se incremente en 12%, 25%, 50% o más? Usando la fórmula de la ecuación 9-1, se tiene: MTE =

(_p)(1 + CV~) 1- P

2

= (

0.9

1 - 0.9

)

(1 +

(0.25)2) =

2

4.78

Es decir, un paciente que ingresa al centro esperará 4.78 veces el tiempo promedio de servicio. Como el tiempo promedio de servicio es de 12 minutos, el tiempo promedio de espera es: f.LE

= f.Ls·

MTE= (12)(4.78) = 57.4 minutos

Esto es más que el doble del tiempo de espera previo de 25.5 minutos. Quizás es mucho más de lo que se esperaba, un resultado contrario a la intuición. El fenómeno de colas puede producir resultados sorprendentes, siendo ésta la razón por la cual es valioso contar con modelos para lograr estos puntos de vista y diseñar los sistemas, antes de ponerlos en práctica. ¿Qué tan realista es el modelo? El modelo M/G/l con la distribución exponencial o de Markov para llegadas y una distribución general para los tiempos de servicio es aplicable a muchas situaciones. Como la distribución del tiempo de servicio es general, puede ajustarse a la situación; por consiguiente, su aplicabilidad es amplia. Sin embargo, en el ejemplo específico también se supone que la frecuencia de llegada es la misma a lo largo del día y esto puede no ser verdad si hay más problemas médicos en alguno de los turnos (por ejemplo, en el de la noche) o hacia el final del turno (más accidentes cuando los trabajadores están cansados). Esto causaría retrasos mayores durante los períodos de llegada más altos y tiempos de espera más cortos en otros momentos. La tabla 9-1 es un corto historial de este sistema, con valores cercanos a los que se utilizan en el modelo anterior (tiempo entre llegadas de 14.9 y tiempo de servicio de 12.1). Puede observarse que los resultados en términos de retrasos son casi los mismos. Aunque un ejemplo corto como éste no sería adecuado para representar el patrón a largo plazo de los retrasos, puede apreciarse cómo ocurren éstos.

380


Algunos casos especiales para la cola del servidor único La cola MIM/l. Existen dos casos especiales de las fórmulas generales de colas anteriores que ameritan un estudio más detallado. Primero, en el caso donde la distribución de los tiempos de servicio también es exponencial (es decir, de Markov). Ésta es la fila MIM/l. Una característica de la distribución exponencial es que la desviación estándar es igual a la media (es decir, as = J1 S). Si se hace está sustitución en la fórmula básica para el MTE (ecuación 9-1), se obtiene lo siguiente: Para la cola MIM/l: MTE =_P1- P

La cola MIDIl. Un segundo caso especial es cuando el servicio es determinístico, el caso MIDll. Es decir, el tiempo de servicio es una constante con desviación estándar cero. Al sustituir as = Oen la fórmula básica (ecuación 9-1), se obtiene: Para la cola MID/l: MTE

=2

1P

( - p)

Las ecuaciones para el tiempo promedio de espera y la longitud promedio de la cola son las mismas que en el caso básico.

COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS Las fórmulas presentadas para el caso del canal único permiten estudiar el comportamiento del sistema como una función delfactor de carga del mismo o una utilización del sistema p. La figura 9-1 muestra el múltiplo del tiempo de espera (MTE) como una función del factor de carga para los dos modelos presentados antes, la cola MIM/1 y la cola M/D/l. La curva para el caso general, la cola MICIl, estaría entre las otras dos, con valores específicos que dependen de la desviación estándar del tiempo de servicio. Una característica de esta curva es la pendiente ascendente de la desviación una vez que el sistema alcanza 60% o 70% de utilización. Los tiempos de espera aumentan de la forma exponencial; como puede verse en el ejemplo 1 ampliado (pp. 379). En la cola MIM/l, por ejemplo, el MTE es 2.33 con una utilización de

FIGURA 9-1 Factor de carga del sistema frente al MTE para las colas MIM/1 y MIDll

20

al

Qj

15

Q.

I

(/)

ID ID "O

o

Q.

10

OOla/)

E

ID

MIMI1

~

5

o

O

-L-¿%

MIOl1

0.2

0.4

0.6

Factor dG carga del sistema-p

0.8

Teoría de ras caras

381

capacidad de 70%, aumenta a 4.0 en 80% de utilización ya más del doble a 9.0 en 90% de utilización. Si un gerente tratara de lograr una utilización de 95% del sistema, necesitaría de un MTE de 19.0; los clientes o trabajos tendrían que esperar casi 20 veces por el tiempo de servicio. La implicación es que si se desea un

servicio rápido en un sistema con selvidor único, puede haber exceso de capacidad (mucho menos de 100% de utilización) para evitar una espera excesiva. En la mayor parte de las organizaciones se presiona para que haya eficienciay se reduzca el tiempo no utilizado, tanto tomo sea posible. A los gerentes no les gusta ver personal o equipo sin trabajar. Con todo, hay necesidad de tener exceso de capacidad para evitar largas esperas a los clientes. Éste es un punto de vista muy importante acerca de los sistemas de colas y que no resulta obvio.

Un modelo más general para la cola de canal único· La cola G/G/I Suponer que no se ha hecho ninguna consideración acerca de las distribuciones para el tiempo entre llegadas ni el tiempo de servicio y que pueden ser distribuciones de probabilidad general con medias específicas y desviaciones estándar; también, que las distribuciones son independientes y que la única cola tiene una disciplina PEPS. No hay un modelo matemático que pueda resolver este caso con exactitud. Sin embargo, existe un modelo de aproximación para esta situación, llamado de aproximación de tráfico pesado. Es una estimación precisa para el tiempo de espera cuando el sistema está sobrecargado (valores de r cercanos a 100%) Yuna aproximación razonable en otros casos. El múltiplo del tiempo de espera, en este caso, es MTE==

P-) (cv1+ cv~) (l-p 2

(9-4)

En esta fórmula, cvA y cvS son los coeficientes de variación y miden la variabilidad relativa de los tiempos entre llegadas y de servicio. Las fórmulas para el tiempo de espera promedio (ecuación 9-2) Yla longitud promedio de la fila (ecuación 9-3) son las mismas del caso básico.

Efectos de la variabilidad en llegadas y servicios En el ejemplo del centro médico en la fábrica, de la tabla 9-1, la variabilidad en los tiempos entre llegadas y de servicios creaba congestión y espera en el sistema. Si los pacientes llegaran exactamente con 15 minutos de diferencia y si se necesitara de 12 minutos precisos para tratarlos, nunca habría tiempos de espera ni nadie en línea. El segundo término de la ecuación 9-4 aclara el efecto de la variabilidad cuando se mide con ios coeficientes de variación del tiempo entre llegadas (cvA ) y el tiempo de servicio (cvs)' La variabilidad en los tiempos de llegadas o de servicio tiene un efecto igual y acumulativo. Esto puede verse en la figura 9-1, que compara la cola M/M/1 que tiene tiempos de servicio altamente variables (exponencial o de Markov), con la cola M/D/1 que no tiene variabilidad en los tiempos de servicio. Los tiempos de espera son exactamente el doble en el caso donde la variación es alta. Este efecto tiene implicaciones importantes para el manejo del sistema de colas. Debido a que la variabilidad ejerce un gran impacto, es posible reducir de forma sustancial la espera y la congestión, si se disminuye la variabilidad. Esto puede hacerse rediseñando las operaciones de servicio para reducir la variabilidad en el tiempo de servicio con el uso de tecnología de información o por otros

382


mecanismos. También es posible disminuir la variabilidad en el patrón de llegada. Por ejemplo, tener distintos precios para diferentes horas del día es un recurso que utilizan las empresas de teléfonos para redistribuir la carga de sus sistemas.

SERVIDORES MÚLTIPLES: EL MODELO M/M/c En muchas situaciones de colas, existe más de un servidor (o canal) en espera de los clientes. Una zona de registro de ingreso en el aeropuerto con varios dependientes, o múltiples puntos de empaque y salida en los supermercados son ejemplos de ello. En esas situaciones, la disciplina en la línea de espera es importante: puede haber sólo una línea para todos los canales (hecho común en los aeropuertos) o cada canal puede tener su propia línea (el caso habitual en los supermercados). Para el modelo simple que se describe a continuación debe suponerse que hay una línea de espera única. Los clientes llegan al sistema con una media de tiempo entre llegadas f1A' Hay c servidores, todos con el mismo tiempo promedio de servicio f1 s· La línea única se atiende en la forma PEPS, y las llegadas y servicios son independientes. Las distribuciones de los tiempos entre llegadas y de servicio se suponen exponenciales de Markov. En este caso, la fórmula para el múltiplo del tiempo de espera (MTE) es, infortunadamente, muy confusa y complicada. En lugar de darla, en la tabla 9-2 aparece el MTE para varios casos de utilidad: número de canales de 1 a 5 y 10, y para distintos niveles del factor de carga del sistema. El factor de carga o de utilización en un sistema con c canales es: Factor de carga del sistema

= Pe =

f.Ls Cf.LA

Un modelo más general - La cola G/G/c Como en el caso para un canal único, no hay unafórmula matemáticamente exacta para el caso en que los tiempos de llegada y de servicio pueden tener una distribución general. Sin embargo, hay una fórmula de estimación (la aproximación del tráfico pesado) que suministra aproximaciones precisas cuando el sistema está sobrecargado (factor de carga cercano a 100%) Ya estimados aproximados en otros

TABLA 9-2 Múltiplo del tiempo de espera para la cola

M/M/c

Número de cana/es de seNÍcio, c Factor de carga de/sistema

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

c=1

c=2

c=3

c=4

c=5

c= 10

0.1111 0.2500 0.4286 0.6667 1.0000 1.5000 2.3333 4.0000 9.0000 19.0000

0.0101 0.0417 0.0989 0.1905 0.3333 0.5625 0.9608

0.0014 0.Q103 0.0333 0.0784 0.1579 0.2956 0.5470 1.0787 2.7235 6.0467

0.0002 0.0030 0.0132 0.0378 0.0870 0.1794 0.3572 0.7455 1.9694 4.4571

0.0000* 0.0010 0.0058 0.0199 0.0521 0.1181 0.2519 0.5541 1.5250 3.5112

0.0000* 0.0000* 0.0002 0.0015 0.0072 0.0253 0.0739 0.2046 0.6687 1.6512

Q~

*Menos de 0.00005

1.m8

4.2632 9.2564 !!!!id&.

zn.a


383

casos. Esta fórmula permite un ajuste al múltiplo del tiempo de espera para la cola M/M/c de la tabla 9-2. Si MTEM/M representa los valores de la tabla 9-2 para el factor de carga del sistema apropiado y el número de canales, entonces el múltiplo del tiempo de espera para la cola G/G/c está dado por 4:

MTE = MTE M/M

(cv~ +2 CV~)

(9-5)

El segundo término es un ajuste que permite diferente variabilidad en los tiempos de llegada y de servicio. Las fórmulas para el tiempo promedio de espera y la longitud de la cola son los mismos que en el caso del canal único: Tiempo promedio de espera: /lE

= /ls

MTE

Longitud promedio de la línea de espera: /lL

= fJ-E fJ-A

Eficiencias del agrupamiento en sistemas de colas Agrupamiento se refiere a combinar sistemas separados en un grupo común. Como ejemplo, considerar el caso de un aeropuerto con dos pistas, A y B, cada una con varias puertas de salida. También, el diseño de un sistema de seguridad utilizado para revisar a los pasajeros y sus equipajes de mano. Un método podría ser el de contar con un sistema para cada pista, de modo que los pasajeros de la pista A pudieran pasar por un sistema y los de la pista B por otro. Una alternativa sería agrupar los dos sistemas de seguridad de modo que los pasajeros de ambas pistas formen una cola única y pasen uno tras otro antes de ir a las salidas. Véase la figura 9-2. Antes de leer, se recomienda analizar cuál de los sistemas causaría menos congestión.

Ejemplo 2 - Requisas de seguridad en un aeropuerto En realidad, va a abordarse el de manera específica el ejemplo de seguridad del aeropuerto planteado antes y diagramado en la figura 9-2. Suponer que los pasajeros que van a la Puerta A tienen un tiempo entre llegadas (f1A) de 1.25 minutos y que es el mismo para los pasajeros de la Puerta B. Además, estas llegadas son aleatorias; es decir, tienen una distribución exponencial (de Markov). Además,

Requisas de seguridad para puertas separadas

FIGURA 9-2

Instalaciones de requisas de seguridad individual y agrupada cola

Requisas de seguridad agrupada

servidor

---+-=rr:rn[ill

Puerta A

---+- =rr:rn

servidor

[]

cola

servidor

o

O

Puerta

AoB

Puerta B

La ecuación 9-5 es exacta para el caso de la distribución exponencial (Markov) para los tiempos llegadas y de servicio general.

de

384


que se requiere un promedio de un minuto para pasar a través del sistema de seguridad, y que la desviación estándar de este tiempo de servicio es 0.5 minutos. Por tanto, el coeficiente de variación para el tiempo de servicio es:

CVs = - = -0.5 = 0.5. (Js

1.0

¡.Ls

Instalaciones individuales para cada puerta. Si hay sistemas de seguridad independientes para cada puerta, cada uno de ellos es una cola de canal único del tipo M/G/l. El factor de carga del sistema es: ¡.Ls 1.0 p=-=-=0.80 ¡.LA 1.25

Es decir, cada puerta está funcionando a 80% de su capacidad. En la ecuación 91 se puede obtenerse el múltiplo del tiempo de espera como:

MTE

=

(_p 1- )(1 + CV~) 2

P

= (

1-0.80.8 )(1 +20.5

2

=

)

2.50

Por consiguiente, en promedio, un pasajero espera en la línea 2.5 veces el tiempo de servicio promedio (1 minuto) -o 2.5 minutos- antes de llegar al puesto de seguridad para cruzar. Esto es válido para cada puerta, ya que son idénticas. Sistema agrupado. Ahora, para el caso donde los dos sistemas de seguridad están agrupados y hay una sola línea para todos los pasajeros en ambas puertas. La media del tiempo entre llegadas para los pasajeros de cada puerta es de 1.25 minutos; por tanto, cuando se agrupan, la media es de 0.625 minutos. Otra manera de ver esto es que una media del tiempo de llegada de 1.25 minutos corresponde a 48 llegadas por hora. El doble, 96, es el combinado total, y esto representa un tiempo entre llegadas de 0.625 minutos. El factor del sistema de carga es el mismo que con sistemas separados: • ¡.Ls 1.0 Factor de carga del sIstema: Pe = C. ¡.LA = (2)(0.625) = 0.80 Éste es un sistema de dos canales, y con un factor de carga de 80%, el MTE en la tabla 9-2 es 1.7778. Además, puede apreciarse que como los tiempos entre llegadas son exponenciales (de Markov),.la desviación estándar de los mismos es igual a la media, de manera que cVA = 1, YcVs se mantiene en 0.5. Ahora, de la fórmula general (ecuación 9-5): MTE = MTEM/M

(

cv~ + cv~) 2

= (1.7778)

(1 + 0.5 2

2 )

= 1.11

De ese modo, un pasajero espera 1.11 veces el tiempo promedio de servicio (un minuto) o 1.11 minutos. Puede observar que esto es menos de la mitad del tiempo de espera del caso de instalaciones separadas. El agrupamiento tiene un efecto sustancial. Además, no hubo reducción en el número de llegadas y la capacidad del servicio fue exactamente la misma. ¿Por qué existe este efecto? Con instalaciones separadas, un pasajero puede sentarse con tranquilidad en una, mientras que en la otra hay una larga línea de espera. Cuando están agrupadas, esto no puede suceder ya que hay una cola común. De modo que no sorprende que los servicios agrupados reduzcan la congestión. Lo que sorprende es la magnitud del efecto. ¡Puede ser muy efectivo! La figura 9-3 lo representa y muestra el múltiplo del tiempo de espera como una función del factor de carga del sistema, en comparación con un sistema con servidores individuales frente a aquellos con dos o cinco servidores agrupados.

_


385

FIGURA 9-3 Tiempo de espera en sistemas de colas M/M/c con servidor único y agrupado 25

~ al o-

I Servidores

20

l

1;Od'l"Od;';

Ul

/

al al

"D

o

o-

15

E

al

~

al

"D Ul

10

o

-~

(i

E

-::J

~

5

o

70

75

V

loas servidoresl agrupados

~

85 90 Factor de carga del sistema (%)

/

/;

/ / I

------ ------ ------- I 80

I

)

./ Cinco serVidoresl agrupados

95

100

Esto representa el tipo de cola M/M/c, pero el efecto general se aplica también a otros tipos. Hay grandes diferencias, en particular, para sistemas muy cargados.

SISTEMAS DE PÉRDIDA En algunos sistemas de procesamiento, los trabajos que llegan no pueden entrar al sistema porque no hay línea de espera o cola. Estos son los llamados sistemas de pérdida. Por ejemplo, se tiene un servicio de remolque con una grúa para remolcar vehículos averiados hasta las instalaciones de reparación. Éste servicio de remolque es uno de los que varias empresas tienen contratado con un club de automovilismo. Cuando éste recibe una llamada de emergencia, se contacta con el servicio más cercano. Si todas las grúas están en servicio, contacta a otra que esté bajo contrato. Desde la perspectiva de la empresa de remolque, éste es un sistema de pérdida. Si una llamada llega al club mientras la grúa está en servicio con otro cliente, el trabajo se pierde.

El sistema de pérdida M/G/c En un sistema donde los trabajos llegan de manera aleatoria o proceso de Markov (es decir, los tiempos entre llegadas son exponenciales) y los tiempos de servicio pueden tener una distribución general. Hay c canales de servicio. Los trabajos que llegan cuando todos los canales c están ocupados, se pierden. La media del tiempo entre llegadas es f1A Yla media del tiempo de servicio es f1 s· El factor de carga del sistema es: ¡.Ls

p=-c· ¡.LA

En sistemas de pérdida, ésta puede ser mayor a 100% ya que algunas llegadas en realidad no ingresan al sistema. Una medida del desempeño importante para los sistemas de pérdida es la fracción de los trabajos que llegan y se pierden. La fórmula es:

386


(cpY

Fracción de pérdida~

L

,c!

(cp)

k=O

Para el caso del canal único, (c

(9-6)

k

k!

= 1), esto se convierte en:

., de per ' d'd P F raCClOn 1 a =1 + P Para el caso de los dos canales, (c ' d'd . , de per FracclOn 1 a

= 2), esto se convierte en:

2p2 1 + 2p + 2 p2

Para el caso de los tres canales, (c

= 3), esto se convierte en: (3p)3

., de per ' d'd F raCClOn 1 a =

3!

2

3

1 + (3 ) + (3p) + (3p) p 2 31 y así sucesivamente.

Ejemplo 3 Volver al caso del servicio de remolque. Suponer que las llamadas para solicitarlo entran con una media de tiempo entre llegadas de 2 horas (uA) y el tiempo de servicio promedio (us) es de 3 horas (tiempo que se usa para llegar hasta el vehículo averiado, remolcarlo y prepararse para la siguiente llamada). Sólo hay un camión, de modo que e = 1 (canal único), El factor de carga del sistema es: /Ls 3 p=--=-= 1.50 c' /LA l' 2

Es decir, el trabajo disponible es 150% de la capacidad de este servicio de remolque. La fracción de trabajo perdido es . , de per ' d'd 1 a F raCClOn

p- = 1.5 5 = =1+p 1+1.

O60 .

En un período dado, por ejemplo, de 100 horas, entraría un promedio de 50 llamadas de servicio. El servicio de remolque perdería 60% y en realidad atendería el 40% restante, o 20 trabajos. Con 3 horas por trabajo, la grúa estaría ocupada 60 de las 100 horas o 60% del tiempo5. Si al servicio de remolque se le agrega una segunda grúa, con los mismos tiempos de servicio y de llegada, ahora, es un sistema de dos canales (e = 2). El factor de carga del sistema es: /Ls 3 p=--=-=0.75 c' /LA

2·2

Y la fracción de trabajo perdido es: 5 En el sistema de pérdida de canal único, la fracción de tiempo en que el sistema está ocupado es

e¡mctamente igual a la fracción de los trabajos perdidos, Esto se debe a que un trabajo se pierde cada vez que llega y el canal único está ocupado, La fórmula de pérdida (9-6) se conoce como fÓl1llula de pérdida de Erlang,


'/ deper / d'd F racclOn 1 a

2

2

P 2 2 = 1 + 2p+ P

387

2(O,75? 1 + 2(0.75) + 2(0.75? = 0.310

Ahora, sólo se perdería cerca de 31 % de los trabajos. De nuevo, en un período de 100 horas, llegarían 50 trabajos y (1 - 0.31 = 0.69) o 69% se aceptaría, dando como resultado 34.5 trabajos de remolque. Compararlo con el resultado anterior de contar con una sola grúa. Agregar una segunda gTúa aumentaría significativamente (34.5 frente a 20) el número de trabajos atendidos. PROGRAMACiÓN Y PRIORIDADES EN SISTEMAS DE PROCESAMIENTO

En todos los modelos presentados se asume como disciplina de la cola, el sistema PEPS. Todos los trabajos se tratan por igual con base en que a quien primero llega, primero se le atiende. No obstante, es posible reducir la congestión de los sistemas mediante el uso de prioridades en la programación. Un ejemplo sencillo: la sección de pólizas de seguro para propietarios de residencias en una agencia aseguradora. Las solicitudes de pólizas de seguros se envían por fax a los agentes. Hay dos tipos de solicitudes: de nuevas pólizas y de renovación de las existentes. Las primeras llegan en promedio cada dos horas, mientras que las segundas tienen una media de tiempo entre llegadas de 2 horas (120 minutos). Estas distribuciones de llegadas son exponenciales (de Markov). Además, se tarda un promedio de 80 minutos en procesar la solicitud de una nueva póliza y la distribución de tiempo de servicio es exponencial. Sin embargo, se tarda sólo 20 minutos, en promedio, procesar una solicitud de renovación (la distribución es normal, con desviación estándar de 8 minutos). Un enfoque sería tratar todas las solicitudes por igual y procesarlas en el orden de llegada. Tomar en cuenta una alternativa: dar prioridad a las renovaciones y procesarlas primero. Es decir, cualquier solicitud de renovación que se encuentre en la cola se procesa antes que la de una póliza nueva. En la tabla 9-3 se comparan estas posibilidades, cuyos resultados se basan en simular el sistema, no en un modelo matemático. Como era de esperarse, dar prioridad a las renovaciones reduce el tiempo de espera de éstas y aumenta el de las pólizas nuevas. Sin embargo, este incremento es bastante pequeño (cerca de 10%), mientras que la reducción de las renovaciones es casi de 80%. El tiempo de espera promedio general se reduciría considerablemente. De ese modo, las renovaciones se benefician con el poco costo de las solicitudes de pólizas nuevas. Por consiguiente, la programación puede tener efectos significativos. A diario se ven ejemplos similares, como el caso de las líneas rápidas o expresas de los supermercados para quienes pagan 10 artículos o menos; en ocasiones, los bancos tienen líneas expresas para quienes sólo hacen una transacción (un depósito, por ejemplo).

TABLA 9-3 Tiempo de espera para el ejemplo de la agencia aseguradora

Tiempo de espera promedio (minutos)

PEPS Nuevas pólizas Renovaciones Promedio

344 344 344

Prioridadpara las renovaciones

374

re 218

·

388


REDES DE COLAS En muchas aplicaciones importantes del mundo real, las filas no existen sólo como una estación única, sino como parte de una red. En producción, por ejemplo, una orden de trabajo puede ser procesada en muchas estaciones de trabajo de una fábrica antes de enviarla al cliente. El procesamiento de documentos, como en el caso de las cuentas por pagar, tendrán muchas estaciones a través de las cuales la transacción pasará antes de concluirla. Debido a que estos sistemas son tan variados y complejos, no hay modelos matemáticos simples para describirlos cuando hay situaciones de colas de estación única. El propósito aquí es introducir la idea, dar un ejemplo y señalar que las ideas yperspectivas aprendidas de las colas de estación única, por lo general, pueden llevarse a redes. Tomar en cuenta una operación de fabricación como la descrita en la figura 94. Hay dos tipos de trabajos que la instalación respectiva puede aceptar. Ambos tipos pasan por pasos en configuración y montaje, y el tipo A también lo hace a través de un paso de prueba. Cada proceso puede hacer un solo trabajo a la vez, y las órdenes de trabajo esperan en cola antes de cada paso del proceso. Llega un número igual de pedidos de los tipos AYB a la operación de producción, además, la información acerca de los tiempos entre llegadas y de servicio para cada tipo de trabajo en cada estación correspondiente es como aparece en la tabla 9-4. Observar que ambos tipos de trabajo requieren la misma cantidad de tiempo de montaje. Sin embargo, los del tipo B toman mucho menos tiempo de configuración y, de hecho, no necesitan el paso de prueba. Este sistema está sobrecargado. La operación de montaje tiene un factor de carga de 80%, que para la operación de configuración es 90% y de 87.5% para la operación de prueba6. Como se ha indicado en este capítulo, debe esperarse congestión y líneas de espera, en particular, en la operación de configuración.

Trabajos tipo B TABLA 9-4 Tiempos entre llegadas y de servicio para la operación de producción.

Media de tiempo entre llegadas Distribución Operación de montaje Media de tiempo de servicio Desviación estándar Operación de configuración Media de tiempo de servicio Desviación estándar Distribución Operación de prueba Media de tiempo de servicio Desviación estándar Distribución Suma de medias de tiempo de servicio

Trabajos tipo A

16 horas Exponencial

16 horas Exponencial

6.4 horas 3.0 horas

6.4 horas 3.0 horas

4.0 horas 1.6horas Normal

10.4 horas 1.6 horas Normal

10.4 horas

14.0 horas 6.0 horas Normal 30.8 horas

8.0 horas. Con un índice de servicio de 6.4, el factor de carga es 80%. La media del tiempo entre llegadas para configuración también es 8.0 horas. Como en promedio hay igual cantidad de cada tipo de trabajo, el tiempo de servicio promedio es 7.2 horas, llegando a 90% de utilización. Para la prueba, el tiempo entr~ llegadas para trabajos del tipo A es de 16 horas y el tiempo de servicio de 14 horas, o 87.5% de utilización.

6 Para el montaje, la media general del tiempo entre llegadas es de


FIGURA 9-4 Red de colas en una instalación de producción Trabajos tipo A

~=rrrn

Montaje

f-+-

=rrrn

r=L " "-

=rrrn L r

Trabajos tipo A

389

Salida

Configuración

Trabajos tipo B Trabajos tipo B

Salida

Este sistema ha sido simulado y sus resultados son el caso base en la primera columna de la tabla 9-5. Como es simulado, los resultados son aproximaciones. Es de esperarse una gran congestión, en particular, en la cola que espera para la configuración. Puede apreciarse en los trabajos tipo A un promedio de 117 horas para pasar a través del sistema, aunque el tiempo total requerido para las operaciones reales (en promedio) fue sólo de 30.8 horas. Los trabajos tipo B pueden, incluso, ir peor, con 61 horas a través del sistema, cuando sólo se necesitaban lOA horas de operaciones (en promedio). La gerencia tiene una gran oportunidad de mejorar este sistema. Aumentar la capacidad de las distintas operaciones, en especial de configuración, reduciría la congestión. La gerencia podría encontrar formas de elevar el número de canales. Considerar la operación de montaje como un ejemplo. Suponer que la gerencia podría reorganizarla en dos operaciones paralelas y separadas, ambas quizás el doble de largas con respecto a la anterior. Sin embargo, el montaje ahora se convierte en un sistema de servidor con dos canales. Esto reduciría la congestión en esa etapa casi a la mitad. Una alternativa es modificar la programación de los trabajos a través del sistema. Por ejemplo, considerar la posibilidad de que los trabajos tipo B tengan prioridad en la estación de configuración. Es decir, cualquier trabajo tipo B que espere para esta etapa tiene prioridad sobre cualquier trabajo tipo A. Este caso ha sido simulado y los resultados se presentan en la columna Caso alternativo 1 de la tabla 9-5. Pueden apreciarse las principales mejoras. El tiempo de producción promedio para los trabajos tipo B se reduce casi a la mitad con un cambio muy pequeño en el tiempo de producción de los trabajos tipo A. El promedio cayó significativamente, por ello, la programación es importante. Otra alternativa abierta que tiene la gerencia es reducir la variabilidad dentro de la operación. Existe una variación considerable en la llegada de los trabajos al sistema, lo mismo que en el tiempo que se necesita para realizar las operaciones de montaje, configuración y prueba. Un ejemplo específico es suponer que la ge-

TABLA 9-5 Resultados de la simulación de las operaciones de fabricación (en horas)

Caso base: sin prioridad Promedio total del tiempo de producción Trabajos tipo A Trabajos tipo B Promedio de tiempo de espera en la cola Cola de montaje Cola de configuración Cola de prueba (sólo trabajos A)

117

61 15.5 35.2

34.5

Caso alternativo 1: prioridadpara los trabajos tipo B

Caso alternativo 11: variabilidad reducida yprioridadpara el tipo B

121 31

[J7

15.5 23.2 32.2

7.1

23

7.2

10.8

390


rencia podría llegar a un acuerdo con el cliente que ordena trabajos tipo A, de modo que esos pedidos, en lugar de llegar de manera aleatoria, lo hagan exactamente cada 16 horas. Es decir, que no haya variabilidad en la llegada de estos trabajos. Los trabajos tipo B pueden seguir llegando de manera aleatoria. Además, al mejorar la administración de los métodos de trabajo puede reducirse la desviación estándar del tiempo de servicio para la operación de montaje de 3.0 horas a 1.5 horas. Ambas acciones reducen la variabilidad en el sistema. Suponer que la prioridad de los trabajos tipo B en la configuración también se mantiene. Esta alternativa también ha sido simulada y se muestra en la tabla 9-5, como Caso alternativo n. Observar el evidente mejoramiento, en especial en el tiempo que toma procesar los trabajos tipo A en el sistema. Hay una reducción de la variabilidad en las operaciones hacia arriba (entrada al sistema yvariabilidad en el montaje) que disminuyó la congestión incluso en las operaciones hacia abajo de configuración y prueba. Reducir la variabilidad puede tener un efecto importante sobre la congestión.

RESUMEN

Los sistemas de procesamiento son una parte de las operaciones de la mayoría de las empresas y del sector público. Ellos pueden representar flujos de bienes y partes a través de un proceso de fabricación o flujos de documentación mediante sistemas de respaldo de oficina, flujos de personas a través de sistemas de reservación yverificación o consultas telefónicas. Incluso, flujos de información en redes de computadores. La congestión es un componente significativo y costoso de muchos de estos sistemas. Este capítulo mostró modelos para representar algunos tipos simples de sistemas: de colas de canal único y de múltiples canales, y sistemas de pérdida, los cuales pueden emplearse para hacer estimados de la congestión en sistemas del mundo real. Sin embargo, más importante es que estos modelos (y los resultados de simulación presentados en la parte final del capítulo) brindan perspectivas que pueden aplicarse a una gran variedad de sistemas de procesamiento y que no son del todo obvias. Ellas son: • Hay una necesidad de exceso de capacidad planeada. A la gerencia le gustaría contar con instalaciones cuya utilización sea tan cerca de 100% como sea posible. Sin embargo, el tiempo de espera y la congestión son muy sensibles para el factor de carga del sistema, en particular cuando llega por encima de 70% u 80%. (No olvidar la forma de las curvas en las figuras 9-1 y 9-3). Así que debe planearse algo de capacidad libre en los sistemas de procesamiento. • La variabilidad es la mayor responsable de la congestión. La cantidad de congestión en un sistema de procesamiento está directamente relacionada con el nivél de variabilidad de los tiempos entre llegadas y de servicio. La gerencia puede reducir de manera significativa la congestión al disminuir estas fuentes de variabilidad. • El agrupamiento puede llevar a mejoras significativas. En los ejemplos y fórmulas se demostró que agrupar los recursos, de modo que los trabajos puedan atenderse en instalaciones alternas, reduce de manera significativa la congestión. Existen muchas oportunidades de agrupamiento, algunas de las cuales no son obvias. El entrenamiento cruzado (interfuncional) del personal a cargo de múltiples tareas es un ejemplo. Si una empresa tiene un mecánico especializado sólo en un tipo de reparación (frenos y rodamientos), y un segundo mecánico que sólo realiza otro tipo de reparaciones (máquinas por ejemplo), habrá situaciones en que se presente una gran congestión y


391

luego un período de inactividad. Sin embargo, si pueden hacerse un entrenamiento mixto o cruzado para manejar cada tipo de trabajo, se convertirá el} un,sistema de dos canales con una reducción representativa de la congestión. Este es sólo un ejemplo de las muchas posibilidades del agrupamiento. • Aspectos de programación. Los ejemplos del capítulo mostraron que la manera como se programen los trabajos a través del sistema puede tener un impacto significativo en la congestión. • Estos factores pueden tener gran impacto. Pueden tener efectos de órdenes de magnitud sobre la congestión en los sistemas. La gerencia puede mejorar de manera evidente los procesos. • No son procesos intuitivamente obvios. La intuición acerca de los sistemas de procesamiento no es adecuada para entender el tamaño de estos efectos; por ello, ojalá los modelos y ejemplos de este capítulo conduzcan a una mejor comprensión.

APÉNDICE DISTRIBUCIONES DE MARKOV: POISSON y EXPONENCIAL

Las dos distribuciones de probabilidad, la distribución discreta de Poisson y la distribución continua exponencial, son distribuciones complementarias. Se utilizan en la teoría de colas para representar llegadas o servicios aleatorios. Ambas se conocen como distribuciones de Markov.

El proceso y la distribución de Poisson En un proceso de Poisson, la probabilidad de que ocurra un evento es constante y depende de lo ocurrido inmediatamente antes de la observación. En un intervalo continuo puede haber interés por una medida de distancia, por ejemplo, una yarda, o una unidad de tiempo, como un día. Los errores de impresión por página en un libro son un ejemplo de un proceso que puede ser de Poisson; otros ejemplos son la fabricación de textiles, acero en rollos, tubería, alambre, etc., donde hay X defectos por unidad de medida del producto. Las ventas de un producto pueden comportarse como un proceso de Poisson. Por ejemplo, se han vendido por separado 80 unidades de un producto, durante las últimas 50 semanas, o un promedio de 1.6 unidades por semana. Desea establecerse la probabilidad de ventas diferentes a las semanales en las siguientes cinco semanas. La distribución de probabilidad de Poisson, aplicada a un proceso de Poisson, da la probabilidad de un número de eventos en una medida de distancia o tiempo, dado que se conoce el número esperado de eventos por unidad de distancia o tiempo, y la extensión en distancia o tiempo. Si se utiliza el símbolo Apara señalar el número esperado de eventos por unidad de medida; es decir, la tasa o intensidad del proceso, los ejemplos de Ason 1.6 unidades de ventas por semana, 25 llamadas telefónicas por hora, 3 defectos por cada 100 pies de tubería, y así sucesivamente. Debe tomarse T como la unidad de tiempo o espacio durante la cual se cuentan los eventos. Luego, la probabilidad de Poisson de que se presenten exactamente r eventos durante el tiempo T, dado que el número promedio de eventos por unidad de tiempo, es A, se da como7: e-AT(AT)r P(R = r\A,T) =

7

e = 2.718 oo., la base para logaritmos naturales.

,

r.

(9-7)

392


Al usar la distribución de probabilidad de Poisson, pueden combinarse A y T por multiplicación para obtener m; es decir, m = AT, donde m es el número esperado de eventos en el período de tiempo especificado. Se esperan m eventos en un tiempo específico, T. Por ejemplo, si A = 2 (el número promedio de eventos por semana) y T = 5 (el tiempo es de cinco semanas), el número promedio de eventos por período de cinco semanas es 2 . 5 = 10. Una distribución de Poisson tiene la propiedad especial de que su varianza siempre es igual a su media m, de modo que la desviación estándar es V;.

La distribución exponencial En conexión con el proceso de Poisson, se estudió la distribución de probabilidad de Poisson, que da la probabilidad del número de veces que puede ocurrir un evento, dada una intensidad AY un cierto período de tiempo T. Por el mismo proceso de Poisson, podría preguntarse acerca del tiempo de espera entre eventos sucesivos (es decir, el tiempo entre llegadas). En otras palabras, ¿cuál es la distribución de probabilidad de tiempo, t, entre eventos? Esta distribución de probabilidad se llama distribución exponencial (véase figura 9-5). La función de densidad de probabilidad exponencial es:

f(t)

= Ae-1t, O ~ t <

(9-8)

00

La media de la distribución exponencial es E(t) = (111) Yla varianza es (1/1)2El extremo derecho de la distribución exponencial es8:

f(t> T)

= e-m

donde

m =AT

FIGURA 9·5

f(t)

Función de densidad de probabilidad exponencial

-==:::::::::=_

oL

8

00

LOO Ae-Ncdx = -e-Nc IT = O + e- AT = e- AT'= e-m


393

Es decir, la probabilidad de que el tiempo entre los eventos (llegadas) sea mayor que T es e-m. Puede apreciarse que éste también es el valor de una función de masa de Poisson para cero veces que ocurre (llegadas), en un período de tiempo T9. Por consiguiente, la distribución de Poisson para llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial para el tiempo entre llegadas brinda dos formas alternas de describir la misma situación. Puede decirse que el número' de llegadas por unidad es Poisson con una tasa media A = 5 por hora, por ejemplo; de otro lado, los tiempos entre llegadas están distribuidos de manera exponencial con una media de tiempo entre llegadas de uA = (11,.1,)0 115 horas, pues cada enunciado implica otro.

BIBLIOGRAFíA GROSS, D., and HARRIS, C. M. Fundamentals of Queuing TheOlY. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1985. HALL, R. W. Queuing Methods for Services and Manufacturing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991. HILLIER, E, and LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. 6th ed. New York: McGrawHill, 1995.

LEE, A. M. Applied Queuing TheOlY. New York: Macmillan, 1966. NEWELL, G. E Applications of Queuing TheOlY. 2nd ed. London: Chapman & Hall, 1982. PAPADOPOULOS, H. T., HEAVEY, C. and BROWNE, J. Queuing TheOlY in Manufacturing Systems Analysis and Design. London: Chapman & Hall, 1993. WALRAND, J. An Introduction to Queuing Networks. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1988.

PROBLEMAS PRÁCTICOS10 9-1 Ace Airlines tiene un dependiente por turno que

maneja información acerca de los programas de vuelo y hace las reservaciones. Todas las llamadas a Ace Airlines se contestan con un sistema de mensaje de voz. Si el encargado está disponible, la llamada se le transfiere; en caso contrario, ésta queda en espera. Cuando el dependiente queda libre, el mensaje de voz transfiere la llamada que ha quedado en espera. Suponiendo que las llegadas siguen un proceso de Markov (el tiempo entre llegadas es exponencial) con un tiempo cntre llegadas promedio de 6 minutos. En promedio, se necesitan 4 minutos para que el encargado atienda a un cliente, y la desviación estándar para este tiempo de servicio es de 2 minutos. a. ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar una persona antes de comunicarse con el encargado de las reservaciones?

b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas en es era de ser conectadas con el dependiente? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que necesita una persona para completar su llamada (es decir, tiempo de espera más tiempo de servicio)? 9·2 Remitirse al problema 9-1. El gerente de Ace Airlines está considerando instalar un nuevo sistema de reservas, uno de cuyos beneficios reducirá el tiempo promedio requerido para atender una llamada de cuatro a tres minutos (la desviación estándar sigue siendo la misma). a. ¿Cuál es el tiempo promedio que una persona debe esperar antes de comunicarse con el encargado, con este nuevo sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas en espera para ser conectadas con el dependiente, con este nuevo sistema? 9'·3 Remitirse a los problemas 9-1 y 9-2. Si en lugar de reducir el tiempo promedio requerido para atender

9 La función de masa de Poisson es:

donde m

= IT. Si r = o,

P(R

m' = r[A,T) = e-m I r.

P(R

=

entonces: OIA,T)

=

e-m

Es decir, la probabilidad de que no haya llegadas en el tiempo T es e-m. 10 Las soluciones a estos problemas están al final de este capítulo,

394


una llamada, el nuevo sistema redujera la variabilidad de tiempo de servicio, la distribución del tiempo de servicio tendría una media de 4 minutos (como antes) y una nueva desviación estándar de 0.75minutos. a. ¿Cuál es el tiempo promedio que Una persona debe esperar antes de comunicarse con el dependiente, bajo este sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que deben esperar para ser conectadas con el encargado, bajo este sistema? c. Ahora, suponiendo que el nuevo sistema dedujera completamente la variabilidad en el tiempo de servicio, de modo que todas las llamadas pudieran atenderse exactamente en 4 minutos. Responder los literales a y b para este caso. 9-4 Remitirse al problema 9-1. Si en lugar de instalar un nuevo sistema de reservas, Ace Airlines está considerando contratar un segundo dependiente para reservaciones; entonces el sistema de mensajes telefónicos remitiría las llamadas al encargado que se encuentre libre. Suponer que el tiempo de servicio para ambos dependientes es el mismo (media de 4 minutos, desviación estándar de 2 minutos). a. ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar una persona antes de comunicarse con uno de los encargados, bajo este sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas en espera a ser conectadas con uno de los encargados, bajo este sistema?

9·5 Remitirse al problema 9-1 y 9-4. El costo de agregar el segundo encargado de reservas es de US$500 diarios. Ace opera su sistema de reservaciones durante 12 horas al día. La empresa considera que hay cierto costo de goodwill por minuto al tener un cliente en espera antes de recibir e! servicio. a. ¿Cuál sería el costo por minuto de este goodwill de modo que para Ace Airlines fuera indiferente que se agregara o no un segundo dependiente? b. ¿Qué suposición se hace acerca del número esperado de llamadas para cada hora de! día? 9-6 Un gerente de un supermercado local, como parte de su operación, alquila equipo para que los clientes dueños limpien sus propias alfombras, y para ello recibe solicitudes para alquilar estas unidades a una tasa de dos por día, en promedio, (es decir, la media del tiempo entre llegadas es de medio día). Las solicitudes para las máquinas siguen un proceso de Markov (distribución exponencial). Se dispone de dos máquinas. Los clientes las alquilan por un período máximo de dos días, pero, en promedio, la devuelven un día después. Suponer que si no tiene una máquina para alquilar, el cliente va a otro lugar para hacerlo (los clientes no esperan). a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente solicite una máquina cuando no hay disponibles? b. ¿Cuántas máquinas se necesitaría tener disponibles para reducir a menos de 0.05 la probabilidad de que un cliente se vaya?

PROBLEMAS 9-7 Dos mecanógrafas tienen trabajos idénticos. Cada una escribe las cartas que le dicta un gerente en particular. Las cartas por escribir les llegan de manera aleatoria (tiempos entre llegadas exponenciales), con una media de tiempo entre llegadas de 20 minutos. Suponer que cada carta a realizarse pueda hacerse en 15 minutos, en promedio (también una distribución exponencial). a. Suponiendo que cada mecanógrafa hace su propio trabajo, ¿cuál es el tiempo de espera que puede tener una carta (tiempo anterior a la iniciación de esta)? b. Suponer que las dos mecanógrafas se unen. Es decir, las cartas les llegan a las dos y la escribe quien esté libre, cualquiera que sea el orden de llegada. ¿Cuál es el tiempo de espera que puede tener una carta bajo este acuerdo? c. Comentar este ejemplo. 9-8 Una empresa petrolera integrada está considerando la expansión de una de sus instalaciones descargadas en su refinería de Singapur. Debido a las variaciones del clima, los retrasos en la carga y otros factores, los tiempos entre llegadas para los barcos que atracan en la refinería para descargar petróleo

crudo siguen una distribución exponencial con un promedio IiA = 1.4 días. El tiempo de servicio también es exponencial con promedio lis = 0.7 días. a. ¿Cuál es el número promedio de barcos en espera para enviar el petróleo crudo? b. ¿Cuál es el tiempo promedio que un barco debe esperar antes de comenzar a entregar su carga a la refinería? c. ¿Cuál es e! tiempo total promedio (espera más entrega real) que un barco pasa en la refinería? 9-9 Remitirse al problema 9-8. La empresa está considerando tomar un segundo muelle cuyo alquiler sería US$1,500 diarios. El tiempo de servicio para este muelle también sería exponencial, con la misma media de tiempo de servicio que el muelle propio de la empresa. Por cada día que un barco permanezca en espera, la empresa pierde US$4,OOO. a. Si se alquila un segundo muelle, ¿cuál sería el tiempo promedio que un barco esperaría? b. ¿Cuál sería el número promedio de barcos en espera? c. mi beneficio (en dólares) el beneficio de redu-

cir el tiempo de espera cubre el costo de alquiler del segundo muelle?


9-10 Remitirse al problema 9-8. Una forma alternativa de mejorar las instalaciones de descargue es que la empresa alquile un dispositivo de descarga de alta velocidad. Con el nuevo mecanismo, el tiempo de servicio tendría una distribución de f.ls = 0.5 día y aS O0.3 día. El alquiler diario del nuevo equipo es de US$1,500. a. Si se alquila el nuevo dispositivo, ¿cuál sería el tiempo promedio de un barco en espera? b. ¿Cuál sería el tiempo· total promedio que gastaría un barco (espera más descarga)? c. ¿Cuál sería el número promedio de barcos en espera? d. mI beneficio (en dólares) el beneficio de reducir el tiempo de espera cubre el costo de alquiler del segundo muelle?

395

9-11 Remitirse a los problemas 9-9 y 9-10. Un analista de la empresa, después de estudiar los costos y los beneficios de las dos modificaciones planteadas, sugiere: _"En cada caso, el beneficio excede el costo, de modo que instalemos el dispositivo de descargue de alta velocidad en nuestro muelle y alquilemos el segundo muelle". Infortunadamente, en este capítulo, no hay fórmulas que sean apropiadas para una cola con dos canales con diferente media de tiempo de servicio. Encontrar una manera de calcular un límite superior de los ahorros potenciales de este enfoque y utilizarlo para comentar la sugerencia del analista.

PROBLEMAS ESPECIALES el tipo particular de préstamos que le corresponde (automóviles frente a otros préstamos personales), y si un cliente llega cuando aquel se encuentra ocupado, se le pide que espere. Después de que las solicitudes han sido revisadas por el representante del cliente, se envían a la sección de revisión de crédito, atendida por una persona, quien reúne la historia crediticia del solicitante, a partir de los registros del banco y de agencias de crédito. Las solicitudes son procesadas en orden PEPS.

9-12 Un banco estableció el siguiente sistema de procesamiento para préstamos automóviles y para préstamos personales de otra índole. Véase figura 9-6. Un representante de servicio al cliente se especializa en préstamos para automóviles y cuando un cliente llega o llama se le envía a ese lugar; otro representante maneja otro tipo de préstamos personales. Estos representantes ayudan al cliente a preparar las solicitudes necesarias. Luego, las revisan para asegurarse de que estén completas. Cada representante maneja sólo

Préstamos para automóviles

Préstamos personales

FIGURA 9-6 Sistema de procesamiento de préstamos en un banco

Representante del cliente - préstamos para automóviles

Representante del cliente - préstamos personales

Salida

Salida Verificación crediticia

Evaluación y análisis del préstamo (dos agentes)

[]

[]

I

I

396


Cuando se termina la etapa de revisión del crédito, las solicitudes pasan al departamento de análisis y evaluación de préstamos, donde se toma una decisión final. Éste departamento es atendido por dos funcionarios que manejan cada uno un tipo de solicitud, las cuales también se procesan aquí en orden PEPS. Finalmente, las solicitudes se devuelven al representante del cliente, de manera que pueda informarse a los clientes acerca de la decisión y puedan suministrarse las firmas finales si es necesario. Observar que el representante del cliente maneja dos tareas diferentes; suponer que ambas se realizan con un orden PEPS. Considerar que las solicitudes de préstamos para automóviles llegan al escritorio del representante con 80 minutos de diferencia en promedio El representante emplea un promedio de 43 minutos para procesar la primera etapa del préstamo y 20 minutos adicionales, en promedio, para procesar la segunda etapa (información acerca de la decisión y firmas); Para otros préstamos personales, la media del tiempo entre llegadas es de 90 minutos, y el representante de servicio al cliente toma 60 minutos' para procesar la primera etapa y 15 para la segunda, en promedio. Para ambos tipos de préstamos, se requiere un promedio de 26 minutos para hacer la revisión del crédito y 76 minutos para hacer la evaluación y el análisis del préstamo. Todos estos tiempos son promedio, y los tiempos reales varían considerablemente del promedio, dependiendo de la complejidad del préstamo y del historial crediticio del solicitante. El propósito de este problema es aplicar alguna de las perspectivas acerca de sistemas de procesamiento de este capítulo. No se han dado fórmulas para redes de colas, de manera que no pueden calcularse los tiempos de espera en el sistema. a. ¿Dónde están las situaciones más riesgosas de este sistema? Es decir, ¿en qué estación(es) habrá acumulación de solicitudes y congestión? (Ayuda: observar el valor de carga del sistema para cada estación). b. ¿Qué sugerencias podrían hacerse para mejorar la operación de este sistema? ¿Cuál es la base para estas sugerencias? 9-13 El director de obras públicas de la ciudad está examinando una solicitud que le pide vincular un inspector de edificios adicional. La!, solicitud indica que se espera que las inspecciones a edificios aumenten de 118 a 154 por mes, un aumento de 30%, suponiendo que se trabajan 22 días del mes. En la actualidad, el departamento tiene cuatro inspectores y la propuesta solicita uno adicional, "sólo 25% de aumento que permitirá al departamento mantener su política de un promedio de espera

inferior a un día para quienes soliciten los servicios de un inspector". El director sabe que se necesita medio día, en promedio, para que un inspector complete una inspección y archive un reporte. Suponiendo que las solicitudes de inspecciones y servicios son tipo Markov (es decir, distribuciones exponenciales para tiempos entre llegadas y de servicio), ¿es necesaria una persona adicional para satisfacer la política del departamento? 9-14 Muchos bancos y oficinas postales han cambiado de un sistema con una fila para cada cajerúo dependiente, a una fila única de espera demarcada por una especie de cuerdas o cadenas. Examinar este cambio considerando los dos casos siguientes*: a. Caso 1. Los clientes llegan al banco a una tasa promedio de 80 por hora (es decir que el promedio entre llegadas es de 0.75 minutos) y forman una sola fila. Hay cinco cajeros y el tiempo promedio de servicio de cada uno es de 3.0 minutos. Suponiendo que los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales, ¿cuál es la espera promedio en la fila? b. Caso 2. Los clientes llegan a la ventanilla de un cajero a una tasa de 16 por hora (media de tiempo entre llegadas de 3.75 minutos). Hay cinco cajeros, de modo que la tasa total de llegada es de 80 por hora. Hay una fila separada para cada ventanilla (sin intercambio entre filas). Como en el caso 1, el tiempo de servicio promedio para cada cajero es de 3.0 minutos. ¿Cuál es la espera promedio en la fila? c. Comentar los resultados de los casos 1 y 2. ¿Qué factores adicionales podrían afectar los tiempos de espera en una situación bancaria real? 9-15 El área de las herramientas en una fábrica es un cuarto donde se almacenan herramientas especiales, cribadoras y otros equipos de uso general en mecánica. Un encargado marca el equipo que entra y sale, cuando el mecánico lo necesita o lo devuelve. Los mecánicos llegan aleatoriamente al sitio a un promedio de uno por minuto (60 por hora). El encargado necesita, en promedio, 2.5 minutos para localizar y registrar el equipo de salida (o de entrada). Los mecánicos reciben US$32 por hora y los asistentes, US$20 por hora. ¿Cuántas personas deben contratarse para atender la sala de herramientas? Suponer que los tiempos entre llegadas están distribuidos de forma exponencial y que los tiempos de servicio tiene una distribución con una desviación estándar de 1.5 minutos. 9-16 Listen-Up es una empresa que vende CD de música por teléfono. Un comprador llama al número gratuito de la empresa, y un sistema computarizado, operado con el teclado de tono del teléfono, permite que quien llama, escuche las muestras de música de distintos CD y luego, haga

* Casos de esta índole hacen que este tipo de situaciones se denominen ucadenas de Markov". Nota del revisor técnico.


el pedido si los desea. El sistema computarizado tiene la limitación de que sólo tres llamadas pueden estar activas al mismo tiempo. Suponga que durante el período máximo, las llamadas llegan de manera aleatoria a una tasa promedio de 20 por hora (es decir, el tiempo entre llegadas está distribuido exponencialmente con una media de 3.0 minutos). Si una llamada llega cuando las tres anteriores están activas usando el sistema, lapersona que llama queda desconectada y debe insistir en otro momento. Suponer que quien llama tiene un promedio de 12 minutos para escuchar la música y tomar decisiones (con una desviación estándar de 6 minutos). a. ¿Qué fracción de las llamadas se cancela? b. Si el sistema fuera modificado de manera que las llamadas que llegan cuando las tres personas estén usando activamente el sistema, quede en cola hasta que esté disponible una c;onexión, ¿cuál sería el número promedio en la cola? 9-17 Chicago's Q'Rare International Airport utiliza dos pistas cuando la demanda es alta. Una de ellas está dedicada sólo a los despegues y la otra sólo a los aterrizajes. Bajo este método de operación, los tiempos de servicio están distribuidos de forma exponencial con una media de dos minutos por solicitud en cada pista. Suponer que no hay interferencia entre las pistas. Las solicitudes de despegue son tipo Markov, con una tasa de 25 por hora, y que las de aterrizaje también son tipo Markov, con una tasa de 25 por hora. a. Calcular el número promedio de minutos que gastan en la espera antes del servicio para despegues y aterrizajes.

397

b. Ahora, suponer que los controladores de Q'Rare pueden usar ambas pistas para aterrizajes y despegues, intercalados; sin embargo los requisitos de seguridad bajo este modo de operación alargan el tiempo de servicio promedio de aterrizajes y despegues de 2 minutos a 2.16 minutos por solicitud. (Los tiempos de servicio reales están distribuidos de forma exponencial, con una media de 2.16 minutos). Agrupar las dos corrientes de llegada de solicitudes (las de aterrizaje y despegue) lleva a que las llegadas tipo Markov tengan una tasa de 50 por hora. Ahora, calcular el tiempo de espera promedio por solicitud. ¿Cuál distribución es mejor, dos sistemas separados o un sistema agrupado? 9-18 Santa Clan Transit System (SCTS) tiene 380 autobuses. En promedio, cada autobús requiere mantenimiento (programado y sin programar) una vez al mes. El tiempo de mantenimiento promedio es de dos horas. SCTS tiene cinco mecánicos calificados, encargados de la prestación del mantenimiento; cada uno trabaja 160 horas por mes. Suponer que los tiempos entre llegadas y de servicio están distribuidos de forma exponencial. a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un autobús gasta esperando que el mantenimiento comience? b. ¿Cuál es el número promedio de autobuses que son inoperables en cualquier momento (es decir, están esperando por servicio o están en servicio)? c. Suponer que un analista observa aleatoriamente la cantidad de autobuses inoperables; el número promedio observado es 95. ¿Qué podría afectar la discrepancia entre esta observación y la respuesta del literal b?

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 9-1 J1.A = 6.0, J1.s = 4.0,

(J's

(J's

= 2.0, CVs = - = 0.5, /Ls

e = 1, P = /LA J1.s = 0.667

b. Longitud de la línea promedio: J1.L

/LA

= 0.36.

llamadas

(1

9.3 Ahora, /Ls

P + CV~) =1.25 MTE=--.-1- P 2

a. Tiempo de espera promedio: flE b. Longitud promedio de la línea:

= fl s MTE = 5.0

= 4.0,

0.1875, P = /Ls /LA

MTE

(J's

= _P_(1 + CV~)

+ 4.0 = 9.0

0.75

/Ls

.

= 1.04

2

a. Tiempo de espera promedio:

c. Tiempo total promedio: flE + fl s =5.0 (J's 2 9·2 Ahora,fls 3.0, CV s = J1.s = '3 = 0.667,

(J's

= 0.75, CVs = - = 4 O =

= 0.667.

1- P

J1.E = J1.E = 0.83. J1.A

flE = fl s

MTE=

4.16 minutos /LE

b. Longitud de la línea promedio /LL = -

/LA

= 0.69.

c. Esto se convierte en una cola M/D/l y:

p = /Ls = 0.5 J1.A

MTE

MTE

= /LE

= _P_(1 + CV~) 1- P

a. Tiempo de espera promedio: 2.16 minutos

=

0.72

2

flE

=fls MTE :::

p

= 2(1 -

=

1.0

y Tiempo de espera promedio: fl E minutos p)

= fl s· MTE = 4.0

398

Análisis cuantitativo Longitud promedio de línea: llamadas /LL

/LE

= - = 0.667 /LA

'

llamadas

9-4 Ahora éste es un sistema de cola M/G/2 y: /LA = 6.0, /Ls

(Js

= 4.0, (JS = 2.0, cVs = - = 0.5, /Ls

e

= 2, p = -/Ls = 0.3 33

La tabla 9-2 ahora tiene una cola para el factor de carga del sistema de 0.333. Sin embargo, puede interpolarse y un valor aproximado (para c = 2) es MTEMIM ~ 0.129.Además, las llegadas son exponenciales, de modo que aA =flA YCVA = 1. Por tanto,

(cvi +2 cv~)

= (0.129) ( 1 +20.5

p=

.-!!:.L =

1.0 ó 100%

y

c' /LA

2p2

. , d e per 'd'd a. F raccron r a =

2/LA

MTE = MTE M/M.,

mente no sea verdad, ya que las llamadas tienden a estar agrupadas en ciertos horarios. 9-6 Éste es un sistema de pérdida con dos canales (es decir, dos máquinas disponibles). flA= O.5por día, f.1 s = 1.0 por día, c = 2, y

2 )

p = YL c' /LA

0.32 minutos. b. Longitud de la línea promedio /LL

= /LE = 0.32 = 0.054.

6.0 9-5 a.Un tiempo entre llegadas promedio de 6 minutos implica 10 llamadas por hora o 120 en el turno de 12 horas del día. La reducción en el tiempo de espera es de 5 minutos a 0.32, que corresponde a una disminución de 4.68 minutos por persona que llame. Para las 120 personas que llaman, . esto significa 562 minutos. Tendría un costo de pérdida de la buena voluntad del cliente de US$0.89 por minuto que hace un total de US$500 por día para el segundo dependiente. b. Se supone que la tasa promedio de llegadas es la misma a lo largo de todo el día. Esto probable/LA

40

= 0.667. (3p)3

Fracción de pérdida:

31 2

1+3

+ (3p) + (3p) 2

p

= 0.211

3

3!

.-!:!:L = 0.50

Con cuatro máquinas, c = 4 y p =

c' /LA

(4p)4

= 0.081 a. Tiempo de espera promedio flE = f.1s . MTE =

=

1 + 2p + 2p2 Es decir, la probabilidad es 40%. b. Considerar el caso con tres máquinas; e = 3 y

4! (4P? (4p)3 (4p)4 1 +4p+--+--+-

Fracción de pérdida

2

3!

4!

= 0.095 /Ls c' /LA

Con cinco máquinas c = 5 Y P = - ,

Fracción de pérdida

= 0.40.

(5p)5

S! 1 + 5p

(5p?

+-

2

(5p)3

+-

3!

(5p)4

+-

4!

(5p)5

+-S!

= 0.037

Así, se necesitaría de cinco máquinas para reducir la probabilidad de perder un cliente a menos de 0.05.

Ejemplo motivador Tres aplicaciones de la simulación ~

'.: : . -:-, .. ,-.:

La.. simulación se aplicaaunavariedaddésisíe111áseIl los sectores . público yde negocios,elloperacion~~ muygrandes.omuy pequeñas. Aquísepresentan.tres aplicaciones.syl~cci()nadas•.·entre.. . lasIllucha~presen-. tadasenlaWinterSitnulatio.n qonféren<.;e,en.diciem.i bre de 1994.

a.ca@onétas···.·descuhiertas,llatnados·.desplazadores primari()s(D~)·.LóscoIltenedoresse• distribuyen por las dife~ente~áreas del muelle y se apilan •en torres ha~tacleseisosietepiesde altura. ~L proceso es a la inversª
. '.::_ .. ' -",

',- ',', ": __,>

,',

_,_'. ,':: :.",

',C'.

en parte, por la inversión en el más avanzado. equipo de manejo y la más reciente tecnología de informa· ción. Sin embargo,la gerencia del puerto también ha .sido una usuaria muy avanzada de las técnicas cuantitativas descritas en este libro. Departicular importancia es un modelo de simulación desarrollado para analizar las operaciones en detalle. Las operaciones portuarias comienzan con la llegada de un barco, el cual se asigna a un muelle con varias grúas para descargar la mercancía. Los contenedores se trasladan desde la grúa de maniobra por medio de variós transportadores a motor similares

1 Dessouky, Y. Maggioli, G. and Szeflin, D. "A Simulation

Approachto Capacity Expansion for the Pistachio Hulling Process", Proceedingsof the1994Winter Simulation

Conference. 2 KOH, P. B., Koh, J. L. K. Ng, H. S. and Ng, H. C. "Using Simulation toa Preview Plans of a Container Port Operation",

'. Proceedings ofthe 1994 Winter Simulation Conference. 3 Godward, M. and Swart, W. "An Object Oriented Simulation Model for Determining Labor Requirements at Taco Bell", Proceedillgs of the1994 Winter Simulation COllferellce.

La simulación implica construir una réplica de algún sistema real y usarlo bajo condiciones de prueba. Por consiguiente, los ingenieros pueden probar modelos de nuevos aviones en túneles de viento y los pilotos comerciales y astronautas entrenar en simuladores de vuelo. En administración, los modelos matemáticos se construyen y se utilizan para comprobar los resultados de decisiones antes de aplicarlas en la realidad. De forma general, cualquier planteamiento de un problema de decisión de negocios podría llamarse una simulación, ya que representa o simula algunos aspectos del problema real. Por ejemplo, un modelo de programación lineal puede diseñarse para representar un problema de mezcla de producto o de planeación de transporte. Los modelos de simulación considerados en este capítulo difieren de otros modelos en tres aspectos:

1. Los modelos de simulación no suelen estar diseñados para encontrar la mejor solución o soluciones óptimas, como en la programación lineal o en análisis de decisiones. En lugar de esto, se evalúan varias propuestas y se toma una decisión con base en una comparación de los resultados. En otras palabras, evalúan el desempeño de sistemas previamente especificados. 2. Los modelos de simulación suelen enfocarse en operaciones detalladas del sistema, bien sean físiéas o financieras. En el sistema se estudia la manera como funciona a través del tiempo y se incluyen los efectos de los resultados de un período sobre el siguiente. 3. En los modelos de simulación de este capítulo se incluyen elementos aleatorios o probabilísticos, que incluyen ejemplos de sistemas de colas, de inventario y modelos de análisis de riesgos, a menudo llamados simulación Monte Carla. Para ilustrar estas diferencias, considerar la construcción del modelo de una fábrica que elabora una serie de productos. Un modelo de programación lineal podría desarrollar la mezcla de producto óptima. Un modelo de simulación más detallado podría relacionarse con las cuestiones específicas de cuál debe ser la programación de la fábrica para lograr la mezcla de productos deseada, tomando en cuenta los períodos de configuración de las máquinas, el tiempo de espera antes del procesamiento y otros detalles que no pueden incluirse en la formulación de programación lineal.

402


SIMULACiÓN PROBABILíSTICA En muchas situaciones, la incertidumbre es una parte clave de las operaciones del sistema, y es importante tomar en cuenta en el modelo esta condición aleatoria. Los problemas de línea de espera pueden analizarse construyendo un modelo de simulación de esta clase. Cuando puede resolverse de manera adecuada el problema con métodos matemáticos, por lo general, es preferible hacerlo de ese modo. Sin embargo, hay muchas situaciones de colas (y de otra clase) que no pueden resolverse con facilidad con las matemáticas y, por tanto, se vuelve a la simulación.

Ejemplo 1 Una bodega tiene un muelle usado para descargar los vagones de carga. Los que llegan se envían a la bodega durante la noche. Se necesita exactamente medio día para descargar un vehículo. Si más de dos de éstos se encuentran en espera de ser descargados en un determinado día, se pospone el descargue de uno de ellos hasta el día siguiente. La experiencia pasada indica que el número de vagones de carga que llegan durante la noche tienen las frecuencias que se muestran en la tabla 10-1. Además, no hay un patrón evidente, de modo que la cantidad que llega una noche cualquiera es independiente de la que llega en otra. Éste es un problema de colas de un ca~al con una tasa de servicio promedio de 2 por día y una tasa de llegada promedio de 1.5 por día. Sin embargo, puede demostrarse que las llegadas no son de Poisson; por consiguiente, ninguno de los modelos estándar de colas puede aplicarse de forma directa. El primer paso para simular este proceso de colas es generar una historia o serie de tiempo para las llegadas durante ~arias noches. Esto se hace utilizando un proceso aleatorio o Monte Cario. Una manera de hacerlo sería tomar 100 fichas y escribir el número Oen 23 de ellas; el número 1 en 30, el número 2 en 30 y así sucesivamente, de acuerdo con las frecuencias de la tabla 10-1. Entonces podría sacarse una ficha de un sombrero y el número que tenga escrito indicaría la cantidad de autos que llegan en un determinado período simulado. Un procedimiento más simple es el de utilizar una tabla de números al azar, como la tabla 10-2. Cada entrada en la tabla se tomó de manera que cada dígito (de O a 9) tuviera igual oportunidad de salir. Entonces, podrían asignarse números al azar de dos dígitos para cada uno de los posibles resultados (es decir, el número de llegadas) como aparecen en la tabla 10-3.

TABLA 10-1

Número de vagones que /legan

o 1 2 3 4 5 60 más

Frecuencia relativa 0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02 0.00

---ml Promedio = 1.5 vagones por noche

Simulación

TABLA 10-2 Tabla de dígitos aleatorios

97 02 00 ffi

95 92 Ol 24 76 64 02 53 16 16 55 54 23 36 44 71 88 74 10 46 54 88 00 98 63 77 69

96 55 50 29 58 51 04

86 24 39 47

60 65 44 93 20 86 12 42

29 36 01 41 54 68 21 53 91

40 03 31 64 ffi 72 21 95 27 13 80 10 54

48 36 55 70 38 36

98 50

12 75 14 72 20 82 74 00 01 69 36 35

52 99 41 41 48 11 95 36 24 12 50 81 02 82 43 76 82 77 54 21 74 47 24 01

66 25 91

29

11 91 99

00 24 16 32 72 73 16 81 70 16 30 59 59 74

51 28 61 70 33 91 Ol 97 61 11 50

83 00

86 25 00 00 80 19 88 25 24 68 37 78 37 04 32 75 21 47

68 14 32 47 94 19

60 61 89

20

40

41 05 22 43 04 95 97

71 85 88 15 24 61 19

84 84 84 38 92 04 26

49 58 89 15 12 94 85 34 07

53 99 89 10 27 50 93 92

51 50 78 14 70 00 24

40 72 21 01 00 13 23 69 92 46 51 85 54

SS 00 26

51 39 96 49 77 26 95 30 50

13 22 63 63 23 18 32 21 13 00 10 ·97 65 48 51 24 97 54 44 00 49 00 00 92 77 38 39 84 47 43 44 91 01 85 00 94 64 12 22 94

11 80 64 88 69 24 07 70 00

40 16 58

40 69 00 81 35 36 45 92

83 85 58 05 00 61 77 43 35 05 87

.. wv.;;¡:¡;¡;;;¡¡;;;¡¡:aw::;¡¡¡¡¡;¡¡¡¡¡¡"""ox::a;::¡,

TABLA 10-3

Número de autos quellegan

o 1 2 3 4 5

Dígitos aleatorios

Frecuencia relativa

00a22 23a52 53a82 83a 92 93a97 98 y 99

0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02

tOO

00 13 Ol 00 79 37 85 24 18 36 52 16 17 32 02 29 02 12 00 59 00

40 07 32 74 56

51 55 77 70 81 47 61 32 fe Ol 25 17 75 27

81 02 00 04 46 31 Ol 25

24 10

40 02 39 68 00 59 ffi

00 12 64 79 31 86 68 82 89

00 11 fe 16 36 59 18 82 13 35 43 fe 20 73

403

\.~

404

-


Simulación

405

Hay 100 pares de números de dos dígitos. Observar que 23 están asignados al evento "cero autos llegan", 30 al evento de "un auto llega", 30 al de "dos autos llegan", y así sucesivamente. Cada número de dos dígitos tiene una oportunidad entre 100 de salir: la probabilidad de que se presente el evento "cero autos llega" es de 23/100 ó 0.23, como se desea. Ahora, en la tabla 10-4 se hace la simulación del proceso de las colas. Se utilizan tres días para comenzar el proceso (marcados con x). Para el primer día, el número al azar (tomado de la tabla 10-2) es 97. Como 97 corresponde al evento "llegan cuatro vagones" de la tabla 10-3, se busca cuatro en la tercera columna. De estos cuatro, dos se descargan mientras que los otros dos quedan para descargar al día siguiente. El número aleatorio para el segundo día es 02 (de la tabla 10-2). Esto significa que llegan cero vagones, y se descargan los dos que quedaron del día anterior. Se continúa de la misma manera. Sin embargo, no se cuentan los resultados de los primeros tres días; éste es el período de iniciación. La simulación comienza con ningún vagón de carga, algo que no es común. El período de iniciación da a la simulación una oportunidad de llegar al comportamiento típico o estado sólido antes de contabilizar los resultados. La tabla 10-4 simula 50 días de operación (además de los tres días para comenzar). Durante la mayor parte del período, hay un pequeño retraso. Sin embargo, puede apreciarse que hay un retraso considerable comenzando el período 36. El número promedio de llegadas por día (1.58) durante el período de muestra de 50 días es ligeramente mayor que el número esperado por día (1.50). En promedio, 0.90 autos se retrasan cada día. Para resultados más precisos, la simulación debe realizarse para más días. Podría usarse el modelo de simulación para comparar los efectos de posibilidades factibles en tiempo de espera y en costos. Por ejemplo, en este caso, podrían compararse retrasos bajo el índice actual de servicio de dos por día con los que se presentarían si ese índice fuera de tres por día. O podrían introducirse uno o más canales adicionales.

SIMULACiÓN Y COMPUTADORES Los cálculos de la tabla 10-4 son tediosos; en una aplicación real, se construiría un modelo por computador para realizar el análisis. En la actualidad existen varios paquetes de simulación disponibles para los PC, con capacidad para construir modelos muy complejos, generar valores al azar a partir de un amplio rango de distribuciones estadísticas acumuladas y medidas de resumen de los resuItados 4. Incluso, muchos tienen una interfaz gráfica del usuario y animación, que permite que el usuario observe la simulación cuando ésta ocurre. También es posible construir modelos relativamente simples en hojas de cálculo. El apéndice 2 de este capítulo es un tutorial para la construcción de esos sistemas. Para el análisis de riesgos o modelos Monte Carla, como el que se ilustra en el ejemplo 3, las hojas de cálculo son bastante efectivas e incluso pueden manejar modelos muy complejos. Hay módulos populares de software para hojas de cálculo que facilitan aún más estas operaciones5.

4 Para un reciente estudio de software de simulación, véase James J. Swain, "Simulation Survey: Tools for Process Understanding and Improvement". ORIMS Today, August 1995.

5 Véase, por ejemplo, los programas @RISK (Newfield, NJ, Palisade Corp, 1994) and Crystal Ball (Boulder, CO, Decisioneering, lnc. 1994).

406


Los computadores, claro está, simplifican la generación de muchos períodos simulados o pruebas, no sólo 50 o las que aplican en los ejemplos manuales de este capítulo. Un gran número de pruebas es esencial para obtener resultados válidos cuando se hace la simulación de sistemas que implican la condición de aleatoriedad, especialmente, los sistemas de colas y líneas de espera. Sin embargo, las explicaciones que se dan a través de los ejemplos manuales mencionados buscan entender las ideas básicas involucradas. Los siguientes ejemplos 2 y 3 continúan con este patrón.

SIMULACiÓN Y CONTROL DE INVENTARIOS El uso de la simulación no está restringido a los procesos de colas. Muchas fases de operaciones de negocios han sido simuladas con resultados satisfactorios. Con un breve ejemplo se ilustrará la manera como puede aplicarse la simulación a la solución de un problema de inventario.

Ejemplo 2 Suponer que la demanda semanal de un determinado producto tiene la distribución que se muestra en la tabla 10-5. Cuando se hace un pedido para reabastecer el inventario, hay un retraso en los despachos, el cual es una variable aleatoria como se muestra en la tabla 10-6. Si quiere determinarse una cantidad de pedido Q y un punto de pedido R. Pueden ensayarse distintos valores de Q y R, mediante simulación para determinar los mejores. En la tabla 10-7 se presenta un ejemplo con Q = 15 YR = 5. Puede observarse que el inventario inicial está en 10, y se utilizan 5 semanas para la iniciación antes de contabilizar los resultados. Se supone que se permiten devoluciones. Si se estableció el costo del pedido, el de mantener el inventario y el de quedarse sin existencias, podría estimarse el costo del sistema de inventario bajo la regla Q = 15 YR = 5. Las reglas alternas pueden compararse con ésta. Por ejemplo, podrían utilizarse las fórmulas para la cantidad de pedido óptima y el punto de nuevo pedido óptimo, aunque las suposiciones necesarias para dichas fórmulas no se satisfagan en el ejemplo (el tiempo de producción para el reabastecimiento no es

TABLA 10-5 Distribución de probabilidad para la denianda semanal

Cantidadexigida

Probabilidad

Números asignados alazar

o

0.10 0.40 0.30 0.20 1.00

00a09 10a49 50a79 80a99

Número de semanas entre elpedido y el despacho

Probabilidad

Números asignados alazar

2 3

0.20 0.60

00 a 19 20a79

4

0.20

80a99

1 2 3

TABLA 10-6 Distribución de probabilidad para el retraso en el despacho

1.00

Simulación

407

TABLA 10-7 Ejemplo de simulación del inventario

Semana número

Recibos

x x x x x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

15

15

15

15

27 28 29 3)

31 32

33 34

15

Inventario inicial 10 9 7 5 2 15 14 11 8 6 5 3 17 14 12 9 7 6 4 3 3 16 13 12 9 8 7 5 3 17 17 16 14 13 12 11 9 6 3 17 15 14 11 10 9

35 Ji 'J1 38 39 40 Totales

--ª 412

Promedio

10.3

Número aleatorio

Ventas (unidades)

'J1 51 68

1 2 2 3 2 1 3 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1

83 56 11 91

99 51 28 70

33 91

67 97 61 11 50 25 06 60

00 19 88 25 24 68 78 'J1 04 32 75 21 47 40 71 85 88 24 61 19

90 24 16 32 72

O 2 3 1 3 1 1 2 2 1

O 1 2 1 1 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 1 2

Inventario final

Ventas perdidas (faltantes)

9 7 5 2

Pedidos

Número de semanas a partir Número del momento aleatorio de llegada de pedido delpedido

15

45

3

15

61

3

O 14 11 8 6 5 3 2 14 12 9 7 6 4 3 3 1 13 12 9

15

4

15

3

B 7 5 3 2 17 16 14 13 12 11 9 6 3 2 15 14 11 10 9 8 6

15

O

15

2

408


constante). La cantidad de error introducida con el uso de las fórmulas puede ser operacionalmente útil aunque no sea del todo aplicable desde el punto de vista teórico.

RESUMEN Los modelos de simulación probabilística incluyen variables aleatorias para eventos inciertos: Los números al azar son asignados de acuerdo con las probabilidades para los eventos inciertos y el proceso Monte Carla se utiliza para generar un historial de eventos para simular el sistema bajo estudio. Los sistemas de colas y de inventario son ejemplos de las aplicaciones de la simulación probabilística.

ANÁLISIS DE RIESGOS Ahora se considerará la decisión de una importante inversión de capital como en el caso de la introducción de un nuevo producto. La utilidad producida por la inversión depende de varios factores que por lo general son inciertos. Los estimados del mercado total para el producto; la participación de mercado que la empresa puede alcanzar; el crecimiento en el mercado; el costo de fabricar el producto; el precio de venta; la vida útil del producto e inclusivo el costo del equipo necesario; por lo general, todos están sujetos a cierto grado de incertidumbre. Un método común sería el de hacer los mejores estimados de número único para cada uno de los factores inciertos anteriores y luego, calcular una medida de la utilidad. Este método tiene dos fallas: 1. No hay garantía de que usar los mejores estimados dará la verdadera utilidad esperada del proyecto. 2. No hay una forma de medir el riesgo asociado con la inversión. En particular, el gerente no tiene manera de determinar la probabilidad de que con el proyecto se perderá dinero o de que se conseguirán grandes utilidades. Por ejemplo, usando sólo el método de un número, un gerente no podrá distinguir entre los dos proyectos que aparecen en la figura 10-1. Aunque dicha información es necesaria si se aplican técnicas para manejar el riesgo, como las medidas del beneficio. Proyecto A

FIGURA 10-1 Comparación de dos proyectos

I I I I I I I 1 I

Mejor estimado para ambos Utilidad

Proyecto B

Simulación

409

El análisis de riesgo es una técnica diseñada para obviar estas dos desventajas. El método general es asignar una distribución de probabilidad subjetiva para cada factor desconocido y combinarlos, utilizando el método de simulación Monte Carla, en una distribución de probabilidad para la utilidad del proyecto como un todo. Esto puede demostrarse con un ejemplo sencillo.

Ejemplo 3 Se está considerando hacer el marketing de un nuevo producto. La inversión requerida es US$5 millones. Hay tres factores de incertidumbre: el precio de venta, el costo variable y el volumen anual de ventas. El producto tiene una vida de un solo año. La tabla 10-8 contiene los diferentes niveles posibles de estos factores, junto con la probabilidad estimada de cada uno. Suponer que los factores de la tabla 10-8 son estadísticamente independientes. (Éste es un supuesto importante. Si no fuera verdad, querría modificarse la simulación para incluir cualquier dependencia probabilística que se considerara apropiada). Debido a que este es un ejemplo muy sencillo, es posible utilizar las técnicas de árbol de decisión y de probabilidad para calcular los diferentes resultados y probabilidades. En este caso, sólo se tiene 3 • 3 • 3 = 27 posibles resultados distintos. Sin embargo, en un problema más realista con muchos factores de incertidumbre, cada uno con 10 a 20 niveles, podría llegarse fácilmente a un millón de posibles resultados. En estas circunstancias, la técnica de simulación puede ser muy útil para estimar la utilidad promedio de la inversión y su condición de riesgo, como se describe con la probabilidad de lograr distintos niveles de utilidad. Primero se requiere de una forma de generar valores aleatorios para los elementos de la tabla 10-8, de acuerdo con las probabilidades establecidas. Como antes, se asocian distintos números al azar con diferentes resultados, como en la tabla 10-9. Ahora, puede comenzarse la simulación. Se generan números al azar de un solo dígito de la tabla de números 10-2 y, a su vez, se determina un precio, un costo y un volumen. Una vez que se han determinado estos elementos, la utilidad (en millones de dólares) se calcula como sigue: Utilidad

= (Precio -

Costo) • Volumen - 5.0

Entonces, el proceso se repite muchas veces para generar un gran número de resultados de la utilidad. Véase la tabla 10-10 para una muestra de 25 pruebas.

TABLA 10-8 Factores en el ejemplo de análisis de riesgo

Precio de venta

Probabilidad

Costo variable

Probabilidad

Volumen de ventas (millones de unidades)

Probabilidad

US$4

0.3

5

0.5

6

0.2

US$2 3 4

0.1 0.6 0.3

3.0 4.0 5.0

0.2 0.4 0.4

1

TABLA 10-9 Número aleatorio de asignaciones en el ejemplo de análisis de riesgo

Precio de venta

Números al azar

Costo variable

·¡¡¡¡aelil4l1il..&EWli"'lISi\iJibij

Números al azar

Volumen de ventas (millones de unidades)

Números al azar

US$4

0-2

US$2

O

3.0

0,1

5

'Jo7

3

1-6

4.0

2:5

6

8,9

4

7-9

5.0

6-9

41 O


Observar que en el tipo de simulación de análisis de riesgo, cada prueba está separada del resto; por consiguiente, no hay necesidad de ningún período de iniciación. Realizar 25 pruebas no es suficiente para tener un estimado preciso de la utilidad promedio o de la distribución de probabilidad de las utilidades. Si este proceso se programara en un computador, fácilmente podrían simularse un millar de pruebas o más. Sin embargo, con fines explicativos, en este capítulo el estudio se dirigirá a los resultados de estas 25 pruebas. Se observa que la utilidad promedio es de US$2.08 millones. Resulta interesante compararla con los métodos de análisis más simples. Por ejemplo, si se hubiera usado el método de un número y el valor más probable para cada factor, el estimado de utilidad habría sido: Utilidad más probable = (US$5 - US$3) • (4.0) - US$ 5.0 = US$3.0 millones Por tanto, el método simple de un número, en este caso, supera significativamente la utilidad esperada de la inversión. Debido a que es un caso simple, puede realizarse6 el cálculo de la utilidad esperada (la utilidad de cada uno de los 27 resultados posibles, multiplicada por las probabilidades); esta utilidad esperada es de US$2.14 millones. Así, como era de esperarse, el promedio de la muestra para 25 pruebas no necesariamente es igual a la utilidad esperada. Sin embargo, el cálculo de la utilidad esperada no ilustra el riesgo asociado con la inversión, en tanto que el conjunto de los resultados de 25 muestras indica con claridad que en realidad puede incurrirse en una pérdida (por ejemplo, en la prueba 2 de la tabla 10-10). Una manera apropiada de representar los resultados de un análisis de riesgo es elaborar una lista de los resultados de utilidad y trazar una gráfica de la función de probabilidad acumulada de la muestra (véase figura 10-2). Ésta se conoce como perfil de riesgo. En la figura mencionada puede verse que hay 68% de posibilidad de tener una utilidad de Oy más (32% de posibilidad de incurrir en una pérdida); hay 36% de oportunidad de ganar US$5 millones o más, y no hay ninguna oportunidad de lograr más de US$15 millones. Como las cifras más grandes de la prueba son simuladas, la curva de la figura 10-2 se suavizaría de alguna manera, aunque terminará por tener forma de escalera debido a que hay un número finito de resultados alternos en lugar de un número infinito.

6

En este caso, como los factores son independientes y se relacionan mediante multiplicación y adición, puede calcularse la utilidad esperada de los valores esperados de precio, costo y volumen, Sin embargo,

si estos elementos no estuvieran relacionados linealmente ú no fueran indeperldientes, efltóílces tendr'Íá que evaluarse el conjunto completo de ramificaciones del árbol de probabilidad.

Simulación

FIGURA 10-2 Perfil de riesgo: función de probabilidad acumulada de la muestra

1.0 Ul

'ro

E o

.9

"O

ro

.8

:s

.7

Ul

.6

l

:!2

.¡g

ID ID

.5

:5

.4

I

L....-

.....

"-

e

I

~

ID

o

L

ID

"O "O

.3

ro

:!2

:o ro

.D

o

"a.

.2

.1

I

O

-5

o

5


10

411

412


RESUMEN El análisis de riesgo es una aplicación de la simulación para la evaluación de proyectos de inversión; Las distribuciones de probabilidad se evalúan para los factores de incertidumbre involucrados en un proyecto y combinados, utilizando el proceso Monte Carlo, para obtener la distribución de utilidad para la utilidad general del proyecto.

SIMULACIÓN CON DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA En el ejemplo de análisis de riesgo anterior, las variables aleatorias eran discretas (por ejemplo, el precio de venta sólo tomó tres valores distintos posibles: US$4, US$5 y US$6). Existen situaciones donde sería agradable suponer que los elementos son variables aleatorias deducidas de alguna distribución de probabilidad continua. Puede suponerse, por ejemplo, que el volumen de ventas anuales en el ejemplo de análisis de riesgos esté distribuido normalmente, con una media f1 = 3.0 millones de unidades y una desviación estándar a == 0.5 millones de unidades. ¿Cómo pueden generarse valores aleatorios del volumen de ventas para usarlos en una simulación?

Método gráfico Una manera de generar variables aleatorias a partir de distribuciones continuas es trazar la función de la distribución acumulada. Para la distribución normal mencionada, la función de la distribución acumulada se presenta en la figura 10-3. Para usar la función de distribución acumulada, primero se utiliza una tabla de números aleatorios, como la tabla 10-2, para generar al azar un decimal entre Oy 1. Esto puede hacerse tomando tres nú~eros al azar de la tabla en mención, y colocando el punto decimal enfrente de ellos. Por ejemplo, si se tomaran los números aleatorios 7, 3 y 6, el decimal correspondiente sería 0.736. Luego, la curva acumulada de la figura 10-3 se entra en el eje vertical en el valor decimal correspondiente (0.736 en el ejemplo). Se Traza una línea horizontal sobre la curva acumulada, y cuando esté a la altura de 0.736 y toque la curva,

1.0

FIGURA 10-3 Distribución nonnal acumulada (¡J, = 3.0, a = 0.5)

')( VI

0.736

¡--------------+/

~ al

O

0.5

--------------------------

a:

o.. 11

')(

J O O

1.0

2.0

3.0

MillOnéS de unidades

4.0

5.0

6.0

Simulación

413

se traza una línea vertical al eje horizontal. Luego, se lee el valor alcanzado, el cual será el valor aleatorio que se desea en particular. En este caso, este valor es aproximadamente 3.30. Este método para generar valores aleatorios funciona porque la elección de un decimal aleatorio entre O y 1 equivale a elegir un percentil aleatorio de la distribución. Entonces, la figura se usa para convertir el percentil aleatorio (es este caso, 73.6) en un valor en particular (3.30). El método es general y puede utilizarse para cualquier distribución de probabilidad acumulada, sea continua o discreta. Para una variable aleatoria normal, el proceso que acaba de describirse puede realizarse utilizando tablas estándar normales (véase tabla A al final del texto). En el ejemplo, se tomó la tabla con el decimal aleatorio 0.736 y se encontró que Z = 0.63. Entonces, el estimado aleatorio del volumen de ventas es: Volumen de ventas

=

f1

+ Za = 3.0 + 0.63(0.5) = 3.315 millones de unidades

En ocasiones, es posible realizar algebraicamente el proceso anterior. Véase el apéndice 1 de este capítulo como ilustración del método algebraico.

Generación de variables aleatorias por computador Los programas de hojas de cálculo tienen la capacidad de generar valores aleatorios a partir de distintas distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, Excel puede generar resultados aleatorios de distribuciones normales, binomiales, exponenciales de Poisson y otras. También tienen una función RAND( ), que genera un valor aleatorio uniforme entre O y 1. Algunos de ellos se ilustran en el tutorial del apéndice 2.

RESUMEN La simulación puede realizarse con variables aleatorias continuas bien sea en forma gráfica, de búsqueda en tablas o por generación con computador usando la distribución apropiada de probabilidad acumulada.

SIMULACiÓN DE SISTEMAS COMPLEJOS Aunque la simulación es una herramienta útil para el manejo de colas, inventarios, análisis de riesgos y otros problemas, quizá su mayor contribución se la brinda al análisis de sistemas complejos. Muchos problemas en el mundo real involucran sistema integrados por gran cantidad de componentes que se interrelacionan; el sistema puede ser dinámico y cambiar con el paso del tiempo, y puede incluir eventos probabilísticos o inciertos. La simulación puede ser la única técnica para el análisis cuantitativo de dichos problemas. Se requiere de un ejemplo para ilustrar el uso de la simulación de dichos problemas. Considerar las operaciones de una línea de barcazas que van río abajo por el sistema fluvial Ohio-Mississippi 7, que es subsidiaria de una empresa de acero y recibe cargas de este material en su puerto sede en Pittsburgh para llevarla río abajo hacia otros puertos, y a los puertos de la costa del golfo, a través de otra 7 Este ejemplo fue adaptado de O'Brien, G. G. and Crane, R. R. "The Scheduling of a Barge Line",

Operations Research 7 (1959), pp. 561-570.

414


FIGURA 10-4 Operaciones de una empresa de barcazas

Llegadas de acero al puerto

Destinos ro

'C:;

e

-----~.~ ·U ~

Partida

Q)

u:

C L E M N P O

Número de. planchones que se cargan a diario

Reglas de la política: Programación, tamaño del remolcador, destino, etc.

Fila de planchones vacíos

Uso dé una barcaza extranjera

Salida del sistema

-+--

Fila de planchones cargados

4 días ....0__( ------------------------'

,

Cincinnati (C)

}1 día

Fila de planchones llenos )

Planchones dejados L

El remolcador regresa a la fila de disponibles; los planchones regresan vacíos a la fila de olanchones Se recogen los lanchones si hay espacio en el remolcador

L<

1

Louisville (L) f f

T Evansville (E) I I I

T

il& U::

~

t Fila de planchones vacíos

.. -....--

Tiempo de viaje completo

Pasos para todos los puertos

Memphis(M) I I

T New Orleans (NO)

•

Simulación

415

ruta. La figura 10-4 muestra de manera esquemática las operaciones de este sistema. Las cargas de acero de las barcazas llegan al puerto de Pittsburgh de manera aleatoria, representada por una distribución de probabilidad de la figura 10-4. Los destinos de estas naves varían de vez en cuando, como se demuestra en la distribución de frecuencia de la figura. Si se dispone de una barcaza, se carga el acero. En caso contrario, debe enviarse con otra empresa (por ejemplo, una extranjera). Un remolcador llevará una hilera de planchones o barcazas cargadas (el tamaño del remolque está limitado por las compuertas del sistema del río) y atiende las entregas en los diferentes puertos río abajo, cuyo número se simplificó a seis en la ilustración. En cada puerto, se desenganchan los planchones destinados a él. En Nueva Orleans, los que están destinados a los puertos del Golfo de Pascagoula (P) y Orange (O) se transfieren a otra línea y luego, el remolcador regresa corriente arriba y recoge las barcazas libres de los puertos por donde pasa. Estas barcazas vaCÍas están disponibles después de un viaje completo de ida y regreso (para recargarlas), lo cual es un evento aleatorio. De regreso a su puerto sede, el remolcador se une a la fila de remolcadores disponibles (después de tomar un breve tiempo para reparaciones, reabastecimiento, etc.) y los planchones entran a la fila de vaCÍos. Ambos quedan listos para regresar al sistema. La empresa tiene 4 remolcadores y 127 planchones o barcazas, y en cualquier momento pueden estar dispersos a través de todo el sistema. En un computador se elaboró y programó un modelo de simulación de este sistema. Los elementos probabilísticos (llegadas del acero, destino de los planchones y tiempo de los viajes completos) se incorporaron utilizando la técnica de simulación Monte Carlo. El modelo del computador también debe seguir el tiempo del sistema, el destino de las barcazas, los remolcadores y las limitaciones físicas del sistema; los movimientos de los remolcadores y los planchones de puerto a puerto, de acuerdo con .las distancias de viaje (cuatro días desde Pittsburgh a Cincinnati, por ejemplo) y así sucesivamente. Se desarrolla uno de estos modelos de simulación que la gerencia puede usar para ensayar posibles políticas alternas. Pueden probarse varias reglas de programación, incluyendo:

1. Despachar un remolcador desde Pittsburgh a intervalos fijos -8 ó 10 días de diferencia- sin considerar cuántos planchones haya. 2. Despachar un remolcador cuando haya un grupo apreciable de planchones; 16 por ejemplo. Claro que hay otras políticas de programación posibles. Además, la empresa podría examinar los efectos de equipo adicional sobre el sistema: más planchones o remolcadores, o remolcadores más rápidos. El modelo de simulación le permite a la empresa experimentar con éstos y otros cambios sin tener que aplicarlos en el sistema real. Además del costo de la interrupción en que se incurriría, resulta difícil evaluar resultados de un experimento en el mundo real debido a otros factores externos que están cambiando de manera constante. Este problema no existe en modelos de simulación debido a que pueden controlarse los factores externos. La simulación se ha usado extensivamente para tratar una gran variedad de problemas. Se han construido modelos de simulación para sistemas de transporte, fábricas y operaciones aeroportuarias; para el procesamiento de acusados en sistemas judiciales, para servicios de ambulancias y bomberos, para sistemas de computación y comunicaciones, y para estudiar la población urbana y rural, y el crecimiento económico. Aunque los modelos de simulación de sistemas complejos pueden ser muy valiosos, existen algunas desventajas: tienden a ser relativamente costosos de

41 6


construir. Además, puede ser difícil validar una simulación compleja, es decir, garantizar que el marco de referencia del modelo deseado esté representado de manera apropiada, sin ningún error en el programa de computador o en su lógica. También debe determinarse un período de iniciación apropiado y destinar lo necesario para la simulación. Los métodos estadísticos pueden ser de utilidad para establecer por cuánto tiempo debe realizarse una simulación para determinar si un resultado en particular se debe a una posibilidad o es un resultado sistemático. Claro está, como todos los modelos, las simulaciones son simplificaciones del mundo real y pueden fallar por no representar de manera adecuada elementos importantes de las relaciones.

RESUMEN Una aplicación importante de la simulación es el estudio de sistemas de operaciones complejos que no pueden analizarse mediante optimización u otros métodos matemáticos. APÉNDICE 1 MÉTODO ALGEBRAICO PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS Suponiendo que la función de distribución acumulada de interés pueda expresarse en forma cerrada (es decir, en una fórmula como una función de x sin ningún signo de integración); entonces, el proceso gráfico podría remplazarse por una relación algebraica equivalente. Por ejemplo, la función exponencial de densidad de probabilidad:

J(t)

= Ae-At, O< t <

00

La función de distribución acumulada de la distribución exponencial es: F(t)

= 1- e- At

Ahora, se establece un decimal aleatorio hipotético (D.A.) igual a la función de distribución acumulada y se despeja t: D.A.

= 1-

e- At

e- At = 1 - D.A. Como el decimal aleatorio está entre O y 1, es 1 - D.A.; por consiguiente, esta cantidad (1 - D.A.) puede considerarse directamente como un decimal aleatorio. De modo que puede definir

e- At = D.A. Tomando logaritmos naturales:

-At

= loge (D.A.)

o t

= - (lIA)loge (D.A.)

Simulación

417

Esta ecuación puede usarse directamente para generar valores a partir de una distribución exponencial con parámetro A. Primero, se obtiene un decimal aleatorio (D.A.) a partir de una tabla aleatoria, como la 10-2; luego, el valor particular que se obtiene se substituye en el lado derecho de la ecuación y se resuelve para obtener un valor particular para t. El valor que se obtiene será un valor aleatorio de una distribución exponencial con parámetro A. Por ejemplo, si A = 5 Y el decimal aleatorio fuera D.A. = 0.475, entonces, según las tablas de logaritmos naturales, loge (0.475) = 0.744; Y t = - (l/S) (- 0.744) = 0.1488. Este valor sería un resultado aleatorio de una distribución exponencial con parámetro A = 5 (media de 1IA = 1/5).

APÉNDICE 2 SIMULACiÓN MONTE CARLO EN HOJAS DE CÁLCULO El software moderno de hojas de cálculo es bastante flexible, y es posible usar una hoja de cálculo para elaborar y analizar simulaciones simples. Este apéndice está diseñado como untutorial sencillo para utilizar Excel en la construcción de esos modelos. La mejor manera de emplear este tutorial es instalarse frente a un computador personal con Excel y desarrollar los pasos según las instrucciones. El tutorial presume que el usuario sabe, al menos, los fundamentos para usar Excel. Como en este capítulo van a trabajarse dos ejemplos, es necesario revisarlos desde el principio. En el ejemplo de la bodega, un numero variable de vagones llega durante la noche y se descarga durante el día. Se necesita exactamente medio día para descargar un vagón, de modo que puede descargarse un máximo de dos por día. La distribución de probabilidad para el número de llegadas es una distribución discreta y se presenta en la tabla 10-11. Van a simularse 500 días de operación.

TABLA 10-11 Distribución de las llegadas de los vagones

Número de vagones que llegan (X)

Probabilidad de llegadas X

o

0.23

1

0.30

2

0.30

3

0.10

4

0.05

5

0.02

Paso 1. Para comenzar la simulación, abra un libro de trabajo Excel e ingrese los encabezados como se muestra en la figura 10-5. Además, entre la información para la distribución de probabilidad de llegadas en las columnas H e 1 como se indica. Escriba todos los números que se indican, incluyendo un valor de 2 en la celda B2, que es la capacidad de descargue del embarcadero.

Paso 2.

Diligencie la columna A con el número para cada día; para hacerlo, escriba el número 1 en la celda A7. Si ~l cursor se mueve de la celda A7, regréselo allí. Luego, haga clic en el botón Editar de la parte superior de la hoja de cálculo; después, haga die en el botón Rellenar en el menú. Luego, haga die en Series en el menú lateral y aparecerá la caja de diálogo, como se muestra en la figura 10-6. Complétela como se muestra allí.

41 8


FIGURA 10-5 Encabezados para las columnas del modelo y la distribución de probabilidad

e

B

A

1 2

D

E

F

G

H

I

Probabilidad

Modelo de simulación de la bodega Capacidad del embarcadero

2

Día

Número

Número para

Descargados

Número

Número

de llegadas

descargar

en realidad

postergado

de llegadas

3 4

5

O

0.23

1

1

0.30

2

2

0.30

9

3

0.10

10

4

0.05

11

5

0.02

6

O

7 8

O

12

FIGURA 10-6 Entrada de datos en la caja de diálogo

rSeries in~-----! r Type--·----, ,D."te Unit----l ! r Rows ! r. 1Jnear I r; 1 r. ¡toiumns'¡ r Q,rowth r ~-_.::",::::::::".::':"'" Date i Monll1

I

r

r

i._~_~ut~!_~J

lrend

~tep Value:

b

I

.

¡ Ir-

!

tE_. ~_~

St@ Value:

1500

1

-O-K----.II

- -I Cancel

I

En particular, haga clic en el círculo junto a Columnas y en el círculo alIado de Lineal. En Incremento fije el valor 1 y digite SOO en Límite. Luego, haga dic en el botón ÜK. Desde la celda A7 hacia abajo, la columna se llenará con los números de 1 a 500.

Generar valores aleatorios a partir de las distribuciones de probabilidad Excel cuenta con la característica de generar valores aleatorios a partir de las distribuciones de probabilidad, de una manera relativamente fácil. Las muestras pueden tomarse de manera aleatoria a partir de ciertas distribuciones de probabilidad continua (la distribución normal y la distribución uniforme) y de las distribuciones binomial y discreta de Poisson. Otra opción es la de permitir la extracción de datos aleatorios de una distribución discreta, definidos en una tabla como la 10-11 e incorporados en las columnas H e r de la hoja de cálculo creada en el paso 1.

Simulación

419

Paso 3. Haga clic en Herramientas del menú de la parte superior de la hoja de cálculo. Aparecerá un menú desplegable y casi al final estará la opción Análisis de datos. Haga dic en ella. (Nota: si no aparece la opción Análisis de datos en el menú Herramientas, puede estar incluido por separado en la hoja de cálculo. Vaya al menú Ayuda y consulte en Agregar-Insertar para saber cómo incluirlo en la hoja de cálculo; también puede estar corno un botón independiente de función fx). Paso 4. Debe aparecer el menú de la figura 10-7. Haga dic en el renglón Generaciónaleatorias de números (puede ser necesario desplegar varios renglones).

FIGURA 10-7 Menú

El

Data Analysis AnalYsis Tools

OK

Correlation Covariance Oescriptive Statistics

Cancel

F·Test T\o'.¡o·Sample for Variances Fourier Analysis Histograrn Movin Avera e

J

Rank and Percentile

..:J

Exponentia! SmoQthing

Help

Paso 5. Debe aparecer la caja de diálogo de la figura 10-8. Llénela corno se indica. Las explicaciones de los diversos artículos son corno sigue: FIGURA 10-8 Caja de diálogo

El

Random Number Genefation

Number of Y'.ariables:

11

Number of R!ndomN.s:

1500

Q.istribution:

IOiscrete

3

OK

I

Cancel

1

Help

I

Parameters---------------~~

Valueand Prob.ability lnputRange: I$H$G$I$11

Random Seed:

Oulput ~lioN~----'------'--~-~~~~----,

r. Q.utput Range:

r

NewWorksheetEly:

IB~

1-------

r . New Workbook • El número de variables es 1 ya que se desea generar sólo una columna de datos aleatorios de la distribución de probabilidad.

420

AnálisIs cuantitativo

• La cantidad de números aleatorios es 500; van a extraerse 500 datos de la distribución de probabilidad. • La distribución a usar es una función discreta, como se definió. Haga dic en la flecha hacia abajo que muestra las demás opciones disponibles. • El valor y rango de la probabilidad de entrada va de H6 a lII. Contiene dos . columnas, la primera con los valores de la variable aleatoria y la segunda con las probabilidades, que deben sumar 1.0. Los valores pueden escribirse como H6:I11 (Excel agregará el signo $) o iluminar las celdas en la hoja de cálculo. • No necesitan escribirse números aleatorios. • Haga dic en el círculo junto a Rango de Resultado ó Salida e ingrese el valor B7. Ésta es la cerda superior de la columna, donde se ubicará la muestra aleatoria de 500 valores. • Cuando haya terminado, haga dic en OK. En este punto, la columna B de la hoja de cálculo (desde la celda B7 hasta la celda BS06) quedará con los valores para el número de vagones que llegan cada noche, tomados de las probabilidades de la tabla de la hoja de cálculo.

Paso 6. Ubíquese en la celda C7 y escriba =B7 + E6. Esto indica que el número de vagones que pueden descargarse en un día determinado es la cantidad que quedó del día anterior más los vagones que llegaron durante la noche. Paso 7. Ubíquese en la celda D7 y escriba =Min($B$2,C7). Esto indica que el número de vagones descargados en un día dado es el más pequeño frente la capacidad del embarcadero (contenido en la celda B2) o el número disponible para descargar. Esto no es obvio, de modo que piense el porqué. Además, observe la referencia absoluta a la celda B2 usando el signo $. Esto se debe a que se quiere que la referencia permanezca fija cuando se haga la copia, un poco más adelante. Paso 8. En la celda E7 escriba =C7-D7. La cantidad de vagones aplazados para descargarlos al día siguiente es igual al número de vagones que van a descargarse menos los que en realidad se descargaron. Haga una pausa en este punto para revisar lo que ha hecho: crear el primer día del modelo. Asegúrese de entenderlo. Ahora se copiará el modelo del primer día 500 veces para simular las operaciones de 500 días. Paso 9. Copie las celdas C6 hasta E6 en las celdas C7 hasta ES06. Existe más de una manera de hacerlo. Utilice la forma que ya conoce O los pasos que se indican a continuación: • Ilumine las celdas C6 hasta E6 y haga dic en el icono Copiar de la parte superior de la hoja de cálculo. • Ilumine las celdas C7 hasta ES06. • Haga clic en el ícono Pegar de la parte superior de la hoja de cálculo. Ahora, está completo el modelo de simulación. La empresa está interesada en el número de vagones demorados debido al costo de tenerlos en espera. Los valores de la columna E muestran esto. Usted debe desplazarse de arriba hacia abajo de los resultados. Por lo general, habrá períodos con poco o ningún retraso, y de pronto 4 Ó 5 llegadas el mismo día, de modo que el número de retrasos puede incluir 10 o

más vagones. Las demoras pueden ser de varios días, y luego reducirse de nuevo a cero. Esta es exactamente la manera como se comportan los sistemas de colas.

Simulación

421

Sintetizar los resultados Para sean útiles, es necesario resumir los resultados. Debe calcularse el número promedio de vagones demorados y determinar el costo de este retraso. Además, debe producirse una distribución que muestre cuántos vagones están retrasados. Sin embargo, primero:

Paso 10. En las celdas GI4 y GIS escriba los encabezados como aparecen en la figura 10-9. Luego, vaya a la celda 114 y escriba Average(E7:ES06). FIGURA 10-9 Encabezados para información sintetizada .

F

G

H

I

J

13 14

Retraso promedio

=PROMEDIO(E7:E506)

15

Costo anual

=100*365*114

16 17 18 19

O

20

1

21

2

22

3

23

4

24

5

25

6

26

7

27

8

28

9

29

10

30

11

31

12

32

13

33

14

34

15

35

16

36

17

37

18

38

19

39

20

40

422


Esto le dará el número promedio de vagones que se retrasan por día para los 500 días simulados. Paso 11. En la celda I15 escriba =100*365*114 Éste es el costo del retraso a $100 diarios por vagón para un año de 365 días. Paso 12. En las celdas G19 a G39 escriba los valores de Ohasta 20, respectivamente, como se muestra en la figura 10-9. Estos son los binarios para tabular la cantidad que se posterga cada día y se utilizan en el paso 14. Paso 13. Ahora va a determinarse la distribución de los vagones retrasados. Haga dic en el botón Herramientas de la parte superior de la hoja de cálculo, y luego haga dic en la opción Análisis de datos del menú. Luego, haga dic en la opción Histograma del menú de Análisis de datos. Paso 14. Aparecerá la caja de diálogo Histograma, como se muestra en la figura 10-10. Complétela como se indica. En particular: • El rango de entrada es E7:E506: la columna para el número de vagones postergados. • El rango binario es G19:G39: son los números binarios de la tabulación (paso 12). • Haga dic en el círculo junto a Rango de Salida. • El rango de salida es H18: la esquina de la salida. • Luego, haga dic en OK. En este punto, aparecerá la distribución del número de vagones aplazados. Puede observarse que en muchos días no se presentan vagones postergados, pero que hay días con 5, 6 ó más.

Cambio de la capacidad Los resultados obtenidos se basaron en el supuesto de que el embarcadero de la bodega tenga capacidad para descargar dos vagones por día. Si la empresa pudiera agregar nuevo equipo que incrementara la capacidad de descarga a tres vagones por día, los retrasos. se reducirían. Ahora se verá cuánto ahorro se lograría. Paso 15. Escriba el estimado actual para el número promedio de vagones retrasados por día (celda I14) y el costo anual (celda I15). Paso 16. En la celda B2 ingrese el número 3. Puede observarse que los nuevos valores se muestran para el retraso promedio y el costo anual, en lugar de reducciones sustanciales. Para obtener la distribución de los retrasos, haga lo siguiente: Paso 17. Haga dic en He17'G1nientas, en la parte superior de la hoja de cálculo; luego, en Análisis de datos y después en Histograma. Debe aparecer una caja de diálogo como la de la figura 10-10. Incluso, pueden haberse mantenido los valores que se ingresaron en el paso 14. En tal caso, haga clic en OK. Si no, ingrese los valores como se describieron en el paso 14. Luego, haga die en OK. Aparvcvrá un aviso de advertencia que le indicará que va a sobreescribir datos; como esto es lo que se espera, haga clic en OK.

Simulación

FIGURA 10-10

D

Histogram

¡Input

..

.

inpul Range:.

I$E$7:$E$506

.6.in Range: ..

j$G$19.$G$33

II r

Labels

-

,.

·OUlPut options

-'

.

-

'.

- -

..,

. -~

r.

Q.utpul Ranga:

r

New Worksheet Ely: .

.

.r r

PBJelo(sorted hislogram)

Ir

CUf!lulaUve Percentage ~hárl Oulput

r

I

423

~Jew Workbook

'

.' ',.

~

' . ' .'.'

-

""-.'

OK Cancel

j

Help

-',

---:-..------,--:-..-------¡

!

. 11:H$1 ~

I

1

I

I

I

Puede verse que la simulación es una ayuda en la toma de decisiones gerenciales. Los beneficios de aumentar la capacidad de descargue de dos a tres vagones por día se han estimado en el modelo, lo que se compararía con el costo de agregar estas instalaciones.

Análisis de riesgo Monte Cario El ejemplo 3 de este capítulo describió a una empresa que considera la introducción de un nuevo producto, con incertidumbre en cuanto al tamaño del mercado, el precio y el costo unitario. En este tutorial, va a ampliarse ese ejemplo. Primero, debe suponerse que el producto que va a introducirse tiene una vida de tres años. En general, los nuevos productos tienen un ciclo de vida en que las ventas aumentan y después descienden. Debe suponerse que habrá incertidumbre para las ventas en el primer año, pero luego aumentarán 20% en el segundo año y después descenderán 50% en el tercer año. Además, que la incertidumbre acerca del primer año de ventas puede describirse mediante una distribución normal con una media de 2.0 millones de cajas y una desviación estándar de 0.6 millones de cajas. El costo de fabricar el producto también es incierto, y la incertidumbre puede representarse con una distribución uniforme entre US$2.00 y US$4.00 por unidad. La incertidumbre acerca del precio para el producto está representada por una distribución discreta (la misma del ejemplo 3), como sigue:

Precio de ventas (dólares por unidad)

$4 5 6

Probabilidad 0.3 0.5 0.2

424

Análisis cuantitativo Los costos fijos asociados con introducir el producto, son US$3.0 millones en el primer año y US$l millón para los años 2 y 3. Finalmente, debe suponerse que la empresa tiene la capacidad de abandonar el producto después del primer año, si no es rentable (en cuyo caso, no tendría costos fijos para años posteriores). Como se sugirió, éste es un modelo más complicado que el del ejemplo 3 del capítulo; no obstante, es bastante más simplificado en comparación con el que podría usarse para el análisis de introducción de un nuevo producto.

Paso 1. Abra una nueva hoja de cálculo y organícela como en la figura 10-11. La parte superior contiene valores para los factores inciertos: ventas en unidades, precio y costo unitario. Por el momento, ingrese los valores fijos como se muestra (brevemente deben manejarse valores aleatorios). La parte principal del modelo celdas CS a F12- contienen ecuaciones, cuyas explicaciones están en la figura. Tenga cuidado de revisar que el modelo esté correcto; podría ensayar con diferentes valores para precio, costo o ventas y ver el resultado. En particular, asegúrese de entender las ecuaciones de utilidad para los años 2 y 3. El modelo supone que la empresa puede proyectar las ventas y las utilidades para los años 2 y 3 con base en los resultados del año 1 y que, si la utilidad que se proyecta es negativa, abandonará el producto y tendrá una utilidad cero. Ingrese los valores para la tabla de búsqueda de la figura (filas 14 a 19), exactamente como se muestra. Tendrán una breve explicación. Paso 2. Ahora, pueden ingresarse las funciones que generan los valores aleatorios de precio, ventas y costos. Hay dos maneras de hacerlo en hojas de cálculo. La primera forma implica generar un conjunto de cifras aleatorias y ponerlas en la columna de la hoja. Este método se ilustró en el modelo anterior de la llegada de los vagones. El segundo método incluye RAND( ) la función para generar números aleatorios. Esta función regresa un valor aleatorio uniforme entre Oy 1.0. Para operarla, desplácese hacia una celda en blanco de la hoja de cálculo -por ejemplo, G2- y escriba =RAND( ). Esta función es una función volátil en el sentido que da un nuevo valor aleatorio cada vez que vuelve a hacerse un nuevo cálculo en la hoja. Para ilustrar esto, presione la tecla de recalcular (tecla F9) unas cuantas veces, observe que el valor cambia. Luego, borre la función.

Paso 3. Desplácese a la celda D3 y escriba =2+2*RAND( ) Recuerde que la distribución de probabilidad para el costo unitario se considera uniforme entre US$2.00 y US$4.00. Como RAND( ) genera un valor aleatorio entre Oy 1, dos veces este, es decir, 2*RAND( ), generará un valor aleatorio entre O y 2.0, y al agregar 2 más, se tendrá una función que generará la distribución uniforme requerida entre US$2.00 y US$4.00 para el costo unitario. Después de escribirlo, presione F9 varias veces para ver el resultado. Paso 4. Desplácese a la celda D4 y escriba =NORMINV(RAND(), 2.0,0.6) La función NORMINV en Excel calcula el valor inverso para una distribución de probabilidad normal. Deben especificarse tres argumentos: la probabilidad normal acumulada, la media de la distribución normal y su desviación estándar. La función RAND( ), que genera valores de O a 1.0, proporciona el valor normal acumulado, y los valores 2.0 y 0.6 son la media y la desviación estándar de la incertidumbre por las ventas. Esta función, como se especifica, generará valores

aleatorios de la distribución normal requerida. Presione la tecla F9 varias veces y observe el resultado.

Simulación

425

FIGURA 10-11 Hoja de cálculo con el modelo para la introducción de un nuevo producto

A

e

8

D

E

F

G

H

I

1 Factores inciertos:

2 Precio (dólares/unidad)

5.00

3 Costo (dólares/unidad)

3.00

4 Ventas iniciales (millón de unidades)

2.00

5

6

Estados de ingresos (en millone:; de unidades)

7

Año 1

Año2

Año3

8 Unidades vendidas

2.00

2.40

1.20

9 Ventas en dólares

10.00

12.00

6.00

10 Costo de ventas

6.00

7.20

3.60

11 Costos fijos

3.00

1.00

1.00

12 Utilidad

1.00

3.80

1.40

Total

6.20

13 14 Tabla de búsqueda del precio 15

Probo acum.

16

O

Precio

4

17

0.3

5

18

0.8

6

19

1

7

20 Celda

21 22

ca

Ecuación

Explicación

=04

Ventas en unidades año 1

23

C9

=C8*02

precio *ventas en unidades

24

C10

=C8*03

Costo unitario *ventas en unidades

25

C12

=C9-C10-C11

Ingresos -costo de unidades -costo fijo

26

08

=1.2*C8

Incrementó en ventas 20% año 2

'll

09

=08*02

precio * ventas en unidades por año 2

28 29

010

=08*03

Costo unitario *ventas en unidades por año 2

012

=MAX(0,09-01 0-011)

Si la utilidad (09-010-011) se proyecta para ser cero omenos, el producto se abandona

J)

y la utilidad es cero

31 32

E8

=0.5*08

Ventas del año 3descienden 50%

33

E9

=E8*02

precio * ventas en unidades por año 3

34

E10

=E8*03

Costo unitario *ventas en unidades por año 3

35

E12

=MAX(0,E9-E10-E11)

Véase explicación para la celda 012

36

F12

=CI2+012+EI2

Suma de la utilidad para los tres años

'Jl ¡o;;;;;¡¡¡¡¡wz

h

MUx:xa:w

di,

MAA

arw.u::;:;;:

;ma!lili&i\tLt!liU1UillEaaa::;y;¡¡gz

_

:;¡;¡¡¡;¡¿¡;s.... iCJl\i$d!J

Paso 5. Desplácese a la celda D2 y escriba =VLOOKUP(RAND( ),B16:C19,2) Esta es la función de tabla de búsqueda de Excel. Las celdas B16:C19 contienen la tabla que da la distribución de probabilidad acumulada para la variable incierta del precio unitario. El valor 2 en la función especifica que la segunda columna contiene los valores de interés (los precios). La función RAND( ) determina cuál fila se selecciona. Cuando el valor aleatorio obtenido es menor que 003, se selec-

426


ciona la primera fila (y el precio de US$4.00 dado por la función). Si el valor aleatorio es 0.3 o más, pero menor que 0.8, se selecciona la segunda fila de la tabla y el precio que se obtiene es de US$5.00; si la variable aleatoria es 0.8 o mayor, se elige la tercera fila y se obtiene el precio de US$6.00. Como antes, presione la tecla F9 para ver el resultado. Nota: las tres funciones de los pasos 3, 4 y 5, no siempre se utilizan en el trabajo de la hoja de cálculo, de modo que puede ser un poco confusa la manera como funcionan. Para obtener más información, utilice la función Ayuda de Excel. En cualquier caso, observe que funcionan para generar valores aleatorios a partir de las tres distribuciones de probabilidad diferentes. Cada vez que vuelve a hacerse el cálculo en la hoja, se crean nuevos valores para cada variable incierta, y se calcula un nuevo valor para la utilidad de introducir el nuevo producto. Utilice la teda F9 varias veces y observe los diferentes valores que se obtienen para la utilidad durante tres años 8. Sin embargo, el resultado de una sola prueba no es útil por sí mismo. Es necesario generar y registrar una gran muestra de pruebas, 1,000 por ejemplo, como se hará a continuación. Deben crearse dos columnas de valores. Los números de prueba de 1 a 1000 quedarán en la columna H y los resultados de los mismos, en la columna I.

Paso 6. Desplácese a la celda H2 y escriba el número 1. Si el cursor no está en la celda H2, páselo allí. Paso 7. Haga dic en el botón Editar de la parte superior de la hoja. Luego, haga dic en la opción Rellenar del menú; después en Series en el menú lateral y apare'cerá la caja de diálogo que se muestra en la figura 10-12. Complétela como se indica. En particular, haga dic en Columnas y en Lineal, ingrese 1 en Valor paso e ingrese 1,000 en Valor parar. Entonces oprima üK. La columna desde H2 en la parte baja puede contener los números de 1 a 1,000. Para encontrar los valores para la utilidad en las 1,000 opciones debemos utilizar el comando de la tabla de datos del programa Excel aunque en una forma única y hábil. Paso 8. Desplácese a la celda 11 y escriba =F12, que se refiere a la celda que contiene la utilidad total de los tres años.

OK

¡ 1¡

Cancel

I\

FIGURA 10-12

Entrada de datos en caja de diálogo

I I

2tep Value:11

St.w Value:

j1000

s Como la utilidad se presenta a lo largo de tres años, debe descontarse utilizando la tasa de descuento apropiada. Esto se omitió para mantener la sencillez del análisis.

Simulación

427

Paso 9.

Ilumine toda el área desde la celda H1 hasta la celda 11001. Es decir, seleccione las dos columnas H e I, incluyendo las celdas superiores y las de la fila 1001.

Paso 10. Haga clic en la opción Datos de la parte superior de la hoja de cálculo y luego seleccione Tabla del menú desplegable correspondiente. Aparecerá una caja de diálogo. Deje sin marcar la casilla junto a Celda fila de entrada. Ingrese G10 en la casilla junto a Celda columna de entrada. Luego haga clic en OK. Ahora, la columna I estará llena con los resultados de las 1,000 pruebas de simulación. En general, el comando de la tabla de datos sustituirá los valores en la primera columna de la celda señalada en el modelo y pondrá el resultado en la segunda columna. Al realizar el ejercicio, en este punto hubo preocupación porque la celda de referencia (GlO) estaba en blanco y no la usaba el modelo. Sin embargo, la hoja de cálculo volvía a calcularse cada vez, de modo que se obtenían diferentes valores para los factores desconocidos. Es decir, la columna I ahora contiene 1,000 duplicaciones o pruebas del modelo. Sin embargo, estos valores siguen siendo inestables o no definitivos en el sentido de que un nuevo cálculo los cambia a todos. Para cambiar eso, entonces:

Paso 11. Iluminar las celdas 12 hasta 11001. Paso 12. Haga clic en el botón Edición de la parte superior de la hoja de cálculo. En el menú que aparece, haga clic en Copiar. Paso 13. De nuevo haga clic en la opción Editar de la parte superior de la hoja de cálculo. En el menú que aparece, haga clic en Pegado especial. Una caja de diálogo debe aparecer en la pantalla. Haga clic en el círculo junto a la primera columna. Luego, haga clic en OK. Deben remplazarse los números "inestables" por sus valores, desconectados del modelo.

Gráficas de los resultados Ahora pueden usarse los números para futuros análisis, incluyendo las gráficas. Sin embargo, primero se calcula la utilidad promedio de los tres años con las 1,000 pruebas.

Paso 14. En la celda F3 de la hoja de cálculo escriba =AVERAGE(I2:I1001). A continuación, se organizan los datos para hacer la gráfica. Esto implica dos pasos: primero, crear una columna de valores para la probabilidad acumulada (el eje Y de la gráfica). Luego, se eligen los valores de las 1,000 pruebas.

Paso 15. En la celda J2 escriba 0.001 Desplace el cursor de regreso a la celda 12, si lo movió cuando ingresó el número. Luego, haga clic en la opción Editar de la parte superior de la hoja de cálculo. Del menú que aparece, seleccione la opción Rellenar. En el menú lateral que surge, elija Series. A continuación aparece una caja de diálogo. Proceda así: • Haga clic en el círculo junto a Columnas. • Haga clic en el círculo junto a Lineal. • Escriba 0.001 en la casilla identificada como Incremento.

428


• Escriba 1.0 en la casilla marcada Límite. • Haga dic en ÜK. La columna J debe llenarse con los valores de la probabilidad acumulada, comenzando con 0.001, 0.002, 0.003 y así hasta llegar a 1.000 oo'

Paso 16. Ilumine las celdas desde 12 hasta 11001. Paso 17. Haga dic en la opción Datos de la parte superior de la hoja de cálculo. En el menú que aparece, haga dic en la opción Ordenar. Podrá ver una advertencia de que hay otras columnas cerca. Haga dic en el círculo junto a Continuar con la selección actual y luego haga dic en üK. Aparece otra caja de diálogo. Haga dic en el círculo junto a Descender, en la primera casilla. Luego haga dic en ÜK. Ahora, los resultados de las 1,000 pruebas deben ordenarse de mayor a menor.

Paso 18. Mueva el cursor de manera que en la pantalla aparezca una parte en blanco de la hoja de cálculo; podría ser el espacio entre las columnas L y Q. Paso 19. Haga dic en el icono Asistente de gráficos (en el margen) de la fila superior de iconos. Desplace el cursor a la esquina superior izquierda de la pantalla y mantenga oprimido el botón del ratón mientras crea el recuadro para la gráfica. Paso 20. La primera de las cinco casillas del Asistente de gráficos debe aparecer. En la casilla junto a Rango, escriba =12:J1001. Luego, haga dic en Siguiente. Paso 21. En la siguiente casilla del Asistente, haga dic en la figura marcada X-Y (Dispersión) y luego haga dic en Siguiente. Paso 22. En la siguiente casilla del Asistente haga dic en la casilla que contiene las gráficas que muestran las curvas suavizadas; después, haga dic en Siguiente. Paso 23. Haga dic en Siguiente en la cuarta casilla del Asistente. Paso 24. En la casilla final del Asistente, haga lo siguiente (o utilice sus propias opciones): • • • • •

Haga dic en el círculo marcado no junto a Leyenda. Escriba Perfil de riesgo en la casilla título. Escriba Million $ en la casilla del eje X. Escriba Probabilidad acumulada en la casilla del eje Y. Luego, haga dic en Terminar.

Debe resultar una gráfica de la probabilidad de obtener una utilidad X o más. Por ejemplo, hay cerca de 80% de posibilidad de que el producto tenga utilidad y 20% de que haya pérdida. Modificar la gráfica, por ejemplo, agregando líneas y moviendo el eje Y a la izquierda, son opciones que sobrepasan el alcance de este tutoria1.

RESUMEN

El propósito de este tutorial es conducir al lector a través de la realización de un ejemplo simplificado. Un modelo de una decisión de negocios real puede ser mucho más complejo e incluir más incertidumbres. Sin embargo, las ideas 1:Jásjc(.\~ de este ejercicio deben permitirle construir y analizar problemas más complicados.

Simulación

429

BIBLIOGRAFíA HERTZ, D. B., and THOMAS, H. Risk Analyxix and its Applications. New York: John Wiley & Sons, f983. HILLIER, E, and LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. 6 ed. New York: McGrawHill, 1995. KHOSHNEVlS, B. Discrete Systems Simulation. New York: McGraw-Hill, 1994. LAW, A. M., and KELTON, W D. Simulation Modeling andAnalysis. 2 ed. New York: McGraw-Hill, 1991.

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PROBLEMAS PRÁCTICOS9 10-1 a. Usando la misma historia de llegadas de la tabla 10-4, simular el proceso de la línea de espera del ejemplo de los vagones y la bodega, con una tasa de servicio constante de tres por día. b. Si la empresa paga US$100 diarios por los vagones cargados que permanecen más de un día, estimar los ahorros anuales (365 días = 1 año) de una tasa de servicio de tres por día en lugar de dos por día). 10-2 Continuar la tabla 10-10 para 50 ensayos, usando números aleatorios de la tabla 10-2. Trazar los resultados en un diagrama similar para la figura 10-2. Tomar de la muestra 25 ensayos ¿Cuál es la probabilidad de que la utilidad sea menor que cero? ¿Cuál es la utilidad promedio para la muestra qe 25 ensayos? Comparar esta respuesta con las obtenidas en la tabla 10-10 y con la utilidad esperada de US$2.14 millones. 10-3 Remitir al problema 10-2. Suponer que el precio de venta y el volumen anual de ventas no son variables independientes sino que están distribuidas conjuntamente con las siguientes probabilidades. Observar que las probabilidades marginales son las mismas que se han manejado en el capítulo; no obstante, ahora no puede aplicarse el supuesto de independencia. a. Si sólo se estudia la tabla de probabilidad conjunta que se presenta a continuación, ¿es posible establecer si la utilidad esperada bajo el nuevo

b.

c.

d.

e.

supuesto será más alta o más baja que la anterior? ¿Por qué? Trazar un esquema similar a la tabla 10-9 que utilice números aleatorios para producir valores aleatorios para precio y volumen cuando están relacionados como se especifica. Utilizar ese esquema en el literal b. para generar 25 ensayos de la inversión, como en la tabla 1010, pero ahora suponiendo que precio y volumen son independientes como se especifican. Trazar una figura similar a la 10-2 para los datos del literal c. Comparar la figura que se obtuvo en el literal d con la 10-2. ¿Cuál inversión es preferible y por qué?

~

U$3

US$4

US$5

Sumas de las filas

US$4

O

O

0.3

0.3

US$5

O

0.4

0.1

0.5

US$6

0.2

O

O

0.2

Sumas de las columnas

0.2

0.4

0.4

1.0

de ventas'

Precio

• millones de dólares

PROBLEMAS 10-4 Continuar con la tabla 10-7 hasta 100 períodos, usando números al azar de la tabla 10-2. Estimar el costo total anual (1 año = 50 semanas) si el costo de hacer un pedido es US$10, el costo de mantener una unidad del inventario es de US$0.50 por año y el costo de faltantes en las entregas es de US$3 por

unidad de ventas perdidas. (Utilizar el inventario inicial promedio para determinar el costo de mantener el inventario). 10-5 Elegir una norma de inventario pertinente para la situación descrita en el problema 10-4, (Es decir, elegir un número Q y un número R). Simular 100

9 Las soluciones a estos problemas se encuentran al final del capítulo

430


períodos y comparar el costo de esta norma con el costo del problema 10-4. 10-6 En Idaho, un cultivador de papas está estudiando los riesgos asociados con la plantación de su cosecha. Con base en experiencias anteriores, evalúa las probabilidades asociadas con los precios de la papa por quintal, la producción de quintales por acre y los costos (fertilizante, agua, semilla y mano de obra) por acre. (Véase la tabla 10-12).

TABLA 10-12

Precio (por quintal)

Probabilidades para el problema 10-6

Probabilidad

US$2

0.10 0.20 0.50 0.10 0.05 0.05

3

4 5 6 7

La utilidad por acre es (Precio • Volumen de Producción) - Costo. Suponer que todas las probabilidades son independientes. Utilizando el método MonteCarlo para 25 ensayos, estimar la utilidad esperada por acre y la distribución de probabilidad de la utilidad por acre. ¿Cuál es la probabilidad estimada de que el granjero obtenga menos de US$100 por acre con su cosecha?

Producción (quintales poracre)

210 220 230

240 250

Probabilidad

0.10 0.10 0.40 0.30 0.10 1.00

Costo (poracre)

US$400 500 600

Probabilidad

0.70 0.20 0.10 1.00

1.00

PROBLEMAS ESPECIALES 10- 7 Remitirse al problema 10-6. En realidad, el precio

10-8 Un analis.ta de International Widgets Corp. (IWC)

y el volumen de producción no son variables independientes. En general, una producción baja significa escasez del producto, lo que hace que el precio aumente. Una cosecha abundante significa precios bajos. Sin embargo, esta relación no es exacta ya que hay otros factores, además de la producción, que afectan los precios. Suponer que la producción y el costo por acre son los mismos que en el problema 10-6 y que son independientes. Además, que el precio se relaciona con el resultado mediante la siguiente ecuación:

estaba trabajando en el plan financiero corporativo para el siguiente año, IWC tiene dos divisiones principales, una en EE.UU. y la otra en el Reino Unido. De la gerencia de cada una de ellas, el analista obtuvo una evaluación de la distribución de probabilidad para la utilidad neta del año siguiente. En la tabla 10-13 se presentan estas evaluaciones. Suponer que es razonable considerar que las distribuciones son independientes. a. Determinar un procedimiento, usando métodos Monte Carla, para estimar la distribución de probabilidad para la utilidad neta combinada de IWC. Realizar el procedimiento con cinco ensayos Monte Carlo para ilustrar cómo se realiza. b. Indicar cómo podría obtenerse la distribución de probabilidad de la utilidad neta combinada a partir de los resultados Monte Carlo. c. Suponer que las distribuciones no se consideran independientes (las condiciones económicas del mundo tienden a afectar a todas las naciones hasta cierto punto). Para manejar este problema, el analista propone usar el mismo número aleatorio para determinar el valor de las muestras Monte Carla de la utilidad de Estados Unidos y el Reino Unido. ms pertinente este procedimiento? Comentar brevemente el porqué de la respuesta. 10-9 10Acme Airline Company (AAC) está interesada en programar su taller de reparación de motores. Con la alternativa A, los tiempos de reparación de un motor estarían distribuidos exponencialmente con una media de tiempo de 40 días. Con la alternativa B (un procedimiento más complejo), los tiempos

Precio = 15.5 - 0.05( volumen de producción)

+D

donde D es una variable aleatoria que indica una desviación de la ecuación. D tiene la siguiente distribución (independiente de producción y costo):

o

Probabilidad

US-$1.00 --{).50

0.10 0.20

0.50

0.40 0.20

1.00

0.10

O

1.00

Estimar la utilidad esperada por acre y la distribución de utilidad por acre usando el método Monte Carla con 25 ensayos.

10 Este problema requiere el manejo del material del apéndice 1 de este capítulo.

.

Simulación

Utilidad neta EE.UU.

TABLA 10-13

431

Utilidad neta R.U.

(Para problema lO-S)

Cantidad (millones de dólares)

Probabilidad de mucha más omenos utilidad

-US$1.0 3.0 6.0 8.0 10.0 15.0 20.0

de reparación de un motor estarían distribuidos normalmente con una media de 40 días y una desviación estándar de 5 días. Cuando un motor llega para reparación, se envía otro de repuesto para remplazarlo. El primero se manda al taller, en donde todos los motores para reparación se trabajan de manera simultánea. Cuando se termina el proceso, el motor reparado entra al grupo de repuestos, listo para la siguiente solicitud. La llegada de los motores para reparar es una distribución de Poisson, con una tasa A = 0.5 por día. Si un motor llega cuando no hay más para reemplazarlo, desde otro sitio se envía uno de repuesto a un costo de US$10,000 por solicitud. AAC compró 25 motores de repuesto para mantener baja la posibilidad de estos envíos. Puede apreciarse que como los tiempos de los motores para reparar no son constantes, pueden cruzarse; es decir, un motor que llega al taller más tarde, en realidad puede estar terminado antes de lo esperado. Describir con cuidado cómo podría simularse esta situación, incluyendo lo siguiente: • Llegadas aleatorias de los motores. • Tiempos de reparación aleatorios de los motores (en cada alternativa). • El número de repuestos disponibles todo el tiempo. • El número de veces que se presenta el envío de un repuesto. • El proceso de iniciación. lO-lOllUn Sistema Automático de Almacenamiento/ Recuperación (SAAR) es un dispositivo controlado por computador para labores de almacenamiento, que puede apilar plataformas de carga acarreándolas desde un punto de recogida/entrega y desplazándolas vertical u horizontalmente a través de una góndola hasta hallar un sitio para instalarlas.

0.00 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 1.00

Cantidad (convertida

a millones de dólares) US$0.5 0.7 0.9 1.0 1.3 2.0 3.0

Probabilidad de mucha más omenos utilidad 0.00 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 1.00

Cuando se solicite una recuperación, el SAAR va hasta el sitio donde se almacenó la plataforma, la saca y la lleva al punto de entrega. El SAAR puede describirse como un montacargas que puede subir o bajar un mástil que se desplaza por una góndola de almacenamiento. Hay espacios a cada lado de la góndola para guardar los productos. Considerar un SAAR en un sólo pasillo. a. Suponer que a medida que llegan, las plataformas se almacenan con una distribución de Poisson, igual que las solicitudes para recuperar plataformas ya almacenadas. Además, que los tiempos de servicio, es decir, el tiempo para que el sistema realice un almacenamiento o una recuperación, son exponenciales. Suponer que las acciones de guardar y recuperar se hacen por separado, y que hay una fila única que incluye las solicitudes en uno y otro sentido; además, la prioridad es que al primero que llega se le atiende. ¿Cómo debe enfocarse usted el problema de analizar un sistema de esta naturaleza? (Nota: la suma de dos procesos de Poisson de nuevo es de Poisson). b. Suponer que se mantienen dos colas separadas, una para almacenamiento y otra para recuperación. La política de operación es que las dos actividades deben combinarse, en tanto ambas filas no estén vacías, de modo que el SAAR no regrese vacío al punto de partida. Naturalmente, esta combinación aumenta el desempeño del sistema. Suponer que los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente, pero con una media más pequeña. ¿Cómo podría analizarse este sistema? c. Considerar la situación del literal b, pero ahora suponiendo que el SAAR puede seleccionar solicitudes de recuperación fuera de pedido para tratar de minimizar el tiempo de viaje perdido. Es decir, dada la decisión de almacenar una plataforma en un determinado sitio, puede ser más eficiente hacer una recuperación en lugar de otra debido a la ubicación del objeto en los bastidores donde se dejó la carga. ¿Cómo podría analizarse este sistema?

W H. Graves, S. C. and Schwan, of Automatic Warehousing Systems", AlEE Transactions, September 1978.

11 Este problema está adaptado de Hausmann,

L. B. "Simulation Tests

432


PROBLEMAS PARA SIMULACiÓN POR COMPUTADOR Los problemas de esta sección parten del hecho de que se realizó el tutorial del apéndice 2. Están diseñados para hoja de cálculo Excel. 10-11 Una empresa de software introdujo un nuevo juego llamado Construye-una-ciudad. La empresa ofrece una línea telefónica de ayuda para los usuarios del programa, atendida por una persona que conoce el juego. Si esa persona está ocupada contestando otra llamada, el sistema telefónico deja a quien llama en línea de espera hasta que el encargado queda libre. En promedio, el tiempo entre llegadas es de 4 minutos, y se requiere de 3 minutos en promedio para responder la pregunta del interesado. Sin embargo, hay una variación considerable entre los tiempos de llegada y de servicio, los cuales están distribuidos de manera independiente, con distribuciones exponenciales. La empresa quiere estimar el tiempo de espera promedio de las personas que llaman. (Para esta pregunta, suponer que la tasa de llegadas es la misma a lo largo del día y que nadie cuelga antes de haber sido atendido). Nota: el modelo de colas M/M/1 es un modelo clásico con un servidor único; en él se supone que los tiempos de llegadas tienen distribución exponencial o de Markov, y los tiempos de servicio están distribuidos de manera independiente y también con una distribución exponencial o de Markov con un canal de servicio. Véase el apéndice A para un estudio de esta distribución. Este modelo puede resolverse matemáticamente. Sean: fl A la media de la distribución del tiempo entre llegadas (l/flA es la tasa de llegada) fl S la media de la distribución del tiempo de servicio (l/fl S es la tasa de servicio) p = /Ls es el factor de carga del sistema o /LA

utilización Entonces, el tiempo de espera promedio a largo plazo, flw' está dado por la fórmula: /Ls'P /LE = - 1- p

El modelo de simulación configurado para este caso se muestra en la figura 10-13. Los pasos son los siguientes: Entrar los encabezados y completar las ecuaciones como se muestra. Organizar el modelo para simular 1,000 llegadas de trabajo (es decir, llamadas para pedir ayuda). Remitirse al apéndice 1 para el método de simulación de la distribución exponencial. Llenar la primera columna con números de trabajo y copiar las celdas B10 hasta H110 para pasarlas a las celdas B1009 hasta H1009.

a. Organizar el modelo de simulación como se ha descrito. Usando el modelo, simular 1,000 llegadas de trabajos (llamadas). Utilizar las prime-

ras 200 como punto de partida y calcular el tiempo de espera promedio para las otras 800 llamadas. Comparar este resultado con el valor teórico calculado con la fórmula anterior. ¿Son exactamente los mismos? ¿Deben serlo? b. Simular otras 1,000 llegadas presionando la tecla F9 para volver a calcular. Como en el literal a, separar las primeras 200 llamadas y calcular el promedio de las 800 restantes. Comparar este resultado con los primeros del literal a y el resultado teórico. lO-U Remitir al problema 10-11. Suponer que el fabricante del software podría desarrollar un sistema de soporte para la persona que atiende las llamadas. Esto podría ser en forma de un sistema experto computarizado, por ejemplo. Suponiendo que esto redujera el tiempo de servicio promedio a 2 minutos, ¿cuál sería el efecto en el tiempo promedio de espera de las personas que llaman? Responder la situación por simulación y utilizando el modelo teórico. 10-13 Remitir al problema 10-11 y a la figura 10-13. a. Simular el sistema de colas para 1,000 pruebas para cada una de las siguientes tasas promedio entre llegadas (manteniendo la tasa de servicio promedio de 3 minutos sin cambiar): 3.5 minutos 6.0 minutos 9.0 minutos b. La utilización del sistema de colas está definida /Ls para ser: P = ,o el tiempo de servicio pro/LA

medio dividido por el tiempo entre llegadas promedio. Utilizando los resultados de cada uno de los casos del literal a. y los resultados del problema 10-11, trazar el tiempo de espera promedio frente al factor de utilización del sistema r. 10-14 Remitir al problema 10-11 y a la figura 10-13. Suponer que el tiempo entre llegadas puede representarse como una distribución normal con una media de 4 minutos y una desviación estándar de 1.5 minutos; además, que el tiempo de servicio también puede representarse con una distribución normal, una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1.0 minutos. a. Modificar el modelo para incorporar este cambio. En particular: Reemplazar la celda B10 por =NORMINV(RAND( ),4,1.5) Reemplazar la celda C10 por =NORMINV(RAND( ),3,1) y copiarlas en las celdas B1009 y C1009. Observar el cambio en el tiempo de espera promedio. b. Mantener el tiempo de servicio promedio en 3 minutos, pero disminuir la desviación estándar del mismo a 0.5. (Esto sc hace cambiando la celda CID a =NORMINV(RAND( ),3,0,5) y copiándola en la celda Cl009). Observar lo que le sucede al tiempo promedio de espera.

Simulación

433

FIGURA 10-13 Configuración para la simulación de una cola de un canal 8

A

D

C

1

E

F

G

H

Sistema de colas de un canal

2 3

Media de tiempo entre lIegadas4

4

Media de tiempo de servicio

3

5 6

Trabajo

Tiempo entre

Tiempo

Hora

Hora de

Horade

7

número

llegadas

de servicio

de llegada

iniciación del

terminación

Tiempo de

Tiempo en

exacta

servicio

del servicio

espera

el sistema

8 9 10

O

1

3.59

3.35

3.59

3.59

6.94

0.00

3.35

11

2

1.82

2.83

5.41

6.94

9.77

1.53

4.36

12

3

2.12

0.40

7.53

9.77

10.17

2.24

2.64

13

4

4.67

0.38

12.20

12.20

12.58

0.00

0.38

14

5

0.56

5.16

12.76

12.76

17.92

0.00

5.16

O

O

O

I

Ecuación

Significado

810

=-($0$3)*LN(RANO())

Resultado aleatorio de la distribución exponencial (véase apéndice 1)

C10

=-($0$4)*LN(RANO())

Resultado aleatorio de la distribución exponencial

D10

=09+810

Tiempo real de llegada por reloj =tiempo de llegada del trabajo anterior más tiempo entre llegadas

E10

=MAX(010,F9)

El trabajo inicia el servicio bien en el momento de la llegada ocuando se ha terminado el trabajo

Celda

anterior, cualquiera que sea último F10

=E10+C10

Tiempo de terminación es tiempo de iniciación más tiempo de servicio

G10

=E1ü-D10

Tiempo de espera es tiempo entre llegada einiciación del servicio

H10

=G10+C10

Tiempo en el sistema es espera más tiempo de servicio

I Copiar celdas 810 aH10 en celdas 81009 aH1009

c. Mantener la media del tiempo de servicio en 3 minutos, pero disminuir la desviación estándar a O (tiempo de servicio constante) Esto se hace reemplazando ClO por el valor 3 y copiándolo en la celda CI009. Observar lo que le sucede al tiempo de espera promedio. d. ¿Qué conclusión puede sacarse respecto al efecto de la variabilidad en el tiempo de servicio sobre el tiempo de espera en una cola? 10-15 R"emitir al problema 10-11. Suponer que las llamadas solicitando ayuda para Construya-una-ciudad se duplican, de manera que el promedio del tiempo entre llegadas es de 2 minutos (con distribución exponencial). La empresa decide agregar otra persona, con un sistema telefónico que dirigirá la llamada a quien esté libre o mantendrá a quien llama en espera hasta que un asistente pueda atenderlo. Esto se conoce como un sistema de dos canales. La

figura 10-14 muestra cómo organizar la simulación de este sistema. Configurarlo como se indica en dicha figura. Observar que el tiempo de servicio sigue estando distribuido exponencialmente con una media de 3 minutos. a. Simular este sistema para 1,000 llegadas, descartar las primeras 200 y calcular el tiempo de espera promedio para las 800 restantes. b. Comparar esto con el resultado obtenido en el problema 10-11 (bien sea valor teórico o calculado). Observar que se duplicaron las llegadas y la capacidad de servicio. ¿Se obtiene el mismo resultado que en el problema 10-11? ¿Debería ser así? (Nota: lo observado se conoce como efecto de grupo de servidores o grupo de riesgo) 10-16 El ejemplo 2 de este capítulo fue una simulación de un sistema de inventario. La figura 10-15 (páginas 435-436) indica cómo puede configurarse una

434


FIGURA 10-14 Configuración para la simulación deuna cola de dos canales B

A

C

1

O

E

F

H

I

Iniciación

Servicio

G

J

K

Sistema de cola de dos canales

2

Media de tiempo entre llegadas

2

3

Media de tiempo de servicio

3

4 5

l1empo

l1empo

Hora de

Canal

entre llegadas

de servicio

llegada exacta

de servicio usado

Iniciación de Servicio

l1empo

6 7

Número de trabajo

8

O

9

1

1.17

2.30

1.17

1

1.17

3.47

0.00

0.00

0.00

2.30

10

2

0.98

0.97

2.15

2

1.17

3.47

2.15

3.12

0.00

0.97

11

3

0.53

1.97

2.68

2

1.17

3.47

3.12

5.10

0.44

2.42

12

4

0.73

1.25

3.41

1

3.47

4.73

3.12

5.10

0.07

1.32

13

5

1.25

0.03

4.66

1

4.73

4.76

3.12

5.10

0.07

0.10

servicio canal 1

O

completo canal 1

O

de servicio completo canal 2 canal 2

O

O

l1empo de espera

enel sistema

O

14

6

0.40

0.48

5.06

1

5.06

5.54

3.12

5.10

0.00

0.48

15

7

1.17

3.80

6.24

2

5.06

5.54

6.24

10.03

0.00

3.80

16

8

0.59

1.23

6.83

1

6.83

8.05

6.24

10.03

0.00

1.23

17

9

0.03

1.35

6.86

1

8.05

9.40

6.24

10.03

1.19

2.54

18

10

0.03

2.26

6.88

1

9.40

11.67

6.24

10.03

2.52

4.78

19

11

5.87

2.74

12.76

2

9.40

11.67

12.76

15.50

0.00

2.74

Ecuaciones Celda

Ecuación

Significado

B9

=-($E$2)*LN(RANO( ))


C9

=-($E$3)*LN(RANO( ))


D9

=08+89

Tiempo de llegada =tiempo de llegada del trabajo anterior +tiempo entre llegadas

E9

=IF(G8<=18,1,2)

El trabajo va al canal 1oa12, según el que se encuentre libre

F9

=IF(E9=1,MAX(D9,G8),F8)

Si es el canal 1,se inicia el tiempo de servicio en el tiempo de llegada oen el tiempo de terminación del trabajo anterior que se ha atendido; en caso contrario, (es decir, si es en el canal 2), el tiempo de servicio es el mismo de la línea anterior

G9

=IF(E9=1,F9+C9,G8)

Si el canal es e11, el tiempo de terminación es el tiempo de iniciación más el tiempo de servicio; en caso contrario (es decir, si el canal es el 2), el tiempo de servicio se copia de la línea anterior

H9

=IF(E9=2,MAX(D9,18),H8)

La misma explicación para la celda F9, pero en el canal 2

19

=IF(E9=2,H9+C9,18)

La misma explicación para la celda G9, pero en el canal 2

J9

=IF(E9=1,F9-D9,H9-D9)

Tiempo de espera es el tiempo de servicio menos el tiempo de llegada, para el canal 1ó2

K9

=J9+C9

El tiempo en el sistema es el tiempo de espera más el tiempo de servicio

Las celdas A9 hasta A1008 se completan con los números del1 al1 000 Las celdas 89 hasta K9 se copian en las celdas 81008 hasta K1008

FIGURA 10-15 Configuración para el ejemplo de simulación de inventario A

8

e

o

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Simulación del sistema de inventario

1

2

Tamaño del pedido - Q

5

3

Nivel del pedido· R

5

Distribución de la demanda semanal Demanda

4 Faltante

5 Semana

Ventas

Retraso

número

en unidades

del pedido

Recibos

Probabilidad

O

0.1

Despacho

1

0.4

Cantidad

Inventario

Inventario

de ventas

Cantidad

de pedido

2

0.3

de pedido

inicial

final

perdidas

de pedido

semanal

3

0.2

O

O

6 7

8 9

10 11

x x x x

O

O

O

O

O

O

O

Retraso del despacho

1

1

3

O

O

10

9

O

O

O

Semanas

Probabilidad

12

2

1

3

O

O

9

8

O

O

O

2

0.2

13 14

3

2

3

O

O

8

6

O

O

O

3

0.6

4

3

3

O

O

6

3

O

5

7

4

0.2

15 16

5

3

3

O

5

3

O

O

5

8

6

3

2

O

10

O

O

"3

O

O

17

7

O

3

5

5

5

5

O

O

O

1B 19

8

1

2

5

O

10

9

O

O

O

9

3

3

O

O

9

6

O

O

O

2D

10

1

3

O

O

6

5

O

5

13

10

21'

11

1

4

O

5

5

4

O

O

O

22

12

O

3

O

5

4

4

O

O

O

Continúa...

FIGURA 10-15

Ecuaciones Celda D11

(continúa)

I

Ecuación I =IF(J7=A11 ,$C$2,O)+IF(J8=A11 ,$C$2,O) +IF(J9=A11 ,$C$2,O)

E11

=E10-D11+110

F11

G11

=G10+D11 =MAX(O,F11-811)

H11 111

=MAX(0,81h-F11) =IF(G 11 +E11<=$C$3,$C$2,O)

J11

=IF(111 =O,O,A11 +C11)

I

I

I

1 1

I I

I I

I

Significado I Si la semana de despacho para los últimos tres períodos es igual a la semana normal, el pedido se recibe La cantidad anterior en pedido menos los recibos más los pedidos de la última semana Inventario final anterior más recibos Inventario inicial menos ventas (no menor que cero) Exceso de ventas sobre el inventario, si las hubiera Si el inventario final más la cantidad de pedido es <= al nivel de pedido R, a la cantidad de pedido Q

Si no hay ningún pedido, la semana de despacho se determina en cero; en caso contrario, es el número de la semana actual más el retraso del pedido.

I

I

Simulación simulación de ese tipo en una hoja de cálculo, utili~ zando los pasos siguientes: • Organizar los encabezados de la hoja de cálculo como aparecen en la figura 10-15, incluyendo las distribuciones de probabilidad para la demanda y el retraso en el despacho de las columnas L y M, como se muestra. • En la columna A, poner cuatro en las semanas de iniciación indicadas por "x" y luego llenar el número de semanas de 1 a 500 (para la simulación de 500 semanas). • En la columna B, poner 500 valores de muestra de la distribución de la demanda en las columnas L y M, usando el procedimiento de los pasos 3, 4 Y 5 del primer ejemplo del tutorial del apéndice 2. • En la columna C, poner 500 valores de muestra de la distribución de tiempo de Retraso del despacho, usando el mismo procedimiento. • Llenar con valores de cero las celdas EI0,

437

I7:I10 y 17:110. • Llenar con el valor 10 la celda GI0, con el valor 5 la celda C2 y con el valor 5 la celda C3. • Entrar las ecuaciones para el modelo como se muestran en la parte inferior de la figura 1015. • Copiar las celdas D11 a J11 en las celdas D12 a J510. a. Calcular los valores promedio para los faitantes de ventas perdidas y para el inventario final. b. Ensayar con diferentes valores para Q y R (valores en las celdas C2 y C3) y observar el resultado de los promedios. 10-17 Remitir al problema 10-16. Observar que en el problema 10-16, cualquier demanda que no pudiera satisfacerse del inventario, se perdería (caso de las ventas perdidas). Ahora, suponer que la demanda no cumplida puede ser pedidos pendientes. Volver a marcar las celdas H5:H6 como unidades de pedidos pendientes y describir cómo podría modificarse la hoja de cálculo para manejar esta situación.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 10-1 a. El número total postergado para el día siguiente es de 6 (un promedio de 0.12 por día). b. El costo de espera con la tasa de servicio de 2 vagones por día es: US$100(0.90)(365) = US$32,850 Costo de espera con tasa de servicio de 3 vagones por día es: US$100(0.12)(365) = US$4,380 El ahorro es de US$32,850 - US$4,380 US$28,470 por año 10-2 Los resultados dependerán de los números aleatorios indicados. Como se indicó en el capítulo, la utilidad esperada es 2.14 millones de dólares. También resulta una utilidad negativa cuando el precio es de US$4 y el costo es de US$4 (sin considerar el volumen), la probabilidad de una perdida en este caso es (0.3)(0.3) = 0.09. Además, puede presentarse una pérdida cuando el costo es US$4, el precio es US$5, y el volumen es de 3 Ó 4 millones. Probabilidad = (0.3)(0.5)(0.6) = 0.09. También hay una pérdida cuando el costo es US$3, el precio es US$4 y el volumen es de 3 ó 4 millones. Probabilidad = (0.3)(0.6)(0.6) = 0.108. La probabilidad total = 0.09 + 0.09 + =0.108 = 0.288

10-3 a. Si el precio más alto está asociado con el volumen más bajo y viceversa, indica que cuando el precio más alto se presenta, las utilidades serán más bajas que antes; y cuando se presenta el precio más bajo, los márgenes de utilidad bajos (o márgenes negativos) se multiplicarán por volúmenes mayores. El efecto generado debe ser bajar la utilidad esperada. b. Utilizar la siguiente tabla: de ventas ~

P' recIo

US$3

US$4

US$5

US$4

-

-

0,1,2+

US$5

-

3-6

7

US$6

8.9

-

-

* millones de dólares

+ números aleatorios

Entonces, e, d, y e son directos, usando b. Los resultados dependen de los números aleatorios escogidos. La utilidad esperada puede calcularse en US$1.66 millones.

Ejemplo motivador Plataformas petroleras en el mar del Norte 1

.

DeS~eJ966,!~e:~anT~alizadoimportantesactividades

de exploraci9ndepetI~leoeplas costas de Noruega, ene! mar del Norte. taconstrucción decadaplatafor· Il1¡¡puede tomar de tres a cinco años, con un. costo cercano aUS$709millones. Los métodos .derutacríticacomo los quesepescrilJen en este capítulosehan usªdoextensiyamente· para planearycontrolar grandes proyectosde construcción como.estos.El enfoque inicial. tenía como objetivo Jatenninación del proyecto a tiempo, pero los métodos actuales. también inclu-. yen elementos derequerimientos de costos y recursos. Se .ha aplicado la simulación ManteCado para ·los

estillladosdeltierrtRode culminación y de costos del proyecto.S~hadelllostrado que la integración detiempo, costoyrequerimientos.esmuy importante; a menudo, los rec~rsos limitados. tienen un papel muy importante para establecer cuáles actividades pueden desarrol1arse y enqué épocas. .

1

VéasePer WillyHetland, "TowardUltiInaté Control of Megaprojectsinthe North Sea"; en Global Project ManagementHandbook, Capítulo 30, ed.D.I. Cleland and R. Garies (Ne", York: McGraw-Hill, 1994).

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Este capítulo presenta herramientas para abordar la planeación yel control de proyectos importantes con muchas actividades separadas que requieren de coordinación. En muchas situaciones de negocios deben realizarse distintas actividades en una secuencia específica para lograr algún proyecto mayor. Algunas de esas actividades pueden ser en serie (por ejemplo, una investigación de mercado no puede realizarse antes de planear el diseño de la investigación), mientras que otras pueden ir en paralelo (por ejemplo, los motores de un barco pueden construirse al mismo tiempo que se construye el casco). Para un proyecto grande y complejo, por lo general, el conjunto completo de actividades contiene una combinación de elementos en serie y en paralelo. La PERT (Program Evaluation and Review Technique-Técnica de evaluación y revisión de programas) está diseñada para ayudar al gerente en la planeación y control de un proyecto. Para el trabajo de planeación que se realiza antes de iniciar el proyecto, permite calcular el total de tiempo que se necesitará para culminar el proyecto. La técnica permite visualizar las actividades con mayores dificultades, de manera que el gerente pueda asignarles más recursos o mantener una estrecha vigilancia sobre ellas a medida que el proyecto avanza. Con el fin de ejercer el control pertinente después que el proyecto ha comenzado, la técnica permite supervisar el progreso y alerta acerca de aquellos retrasos en las actividades que pueden causar demoras en la fecha de culminación. Este capítulo presenta los conceptos básicos de PERT bajo condiciones de tiempos de actividad inciertos y conocidos.

Requerimientos de información

Para utilizar PERT, se necesita dos tipos de información para cada actividad en el proyect02. Los requelimientos de secuencia para una actividad deben ser conocidos antes de iniciar cada actividad específica. Además, se requiere de un estimado del tiempo que tomará cada actividad.

2

También existe un procedimiento muy relacionado se llama CPM Critical Path Method o Método de la ruta crítica. En este capítulo, se utiliza la terminología PERT, aunque el procedimiento del diagrama de

red sigue las convenciones del CPM

440


CASO 1: TIEMPOS DE ACTIVIDAD CONOCIDOS

En la primera parte de este capítulo se considerará que hay una cantidad de tiempo precisa y conocida para cada actividad del proyecto. En la segunda, se supondrá que el tiempo para realizar cada actividad es incierto (por ejemplo, una variable aleatoria).

Diagrama de red El diagrama de red es la representación gráfica de todo el proyecto. Cada actividad del mismo se representa con un círculo y las flechas se usan para indicar los requerimientos de la secuencia3.

Ejemplo La tabla 11-1 contiene una lista de seis actividades que constituyen un proyecto, junto con los requerimientos de secuencia y los tiempos estimados para cada actividad. La antecesora inmediata de la actividad B es la actividad A; esto significa que la actividad A debe completarse antes de que la actividad B comience. La figura 11-1 muestra el diagrama de red para el ejemplo, las actividades están representadas por círculos. Las flechas de la red ilustran los requerimientos de secuencia del problema. Por ejemplo, la flecha que va desde el círculo A hasta el círculo B indica que la

TABLA 11-1 Actividad

Antecesores inmediatos

Tiempo estimado (dias)

A

Ninguno

B

A A

2 3 4 6 2 8

e o E

F

B, e Ninguno E

FIGURA 11-1 Diagrama de red

3 En PERT, las flechas se utilizan para representar actividades; sin este texto para facilitar su comprensión.

émbal'go, la convención CPM se usó en

PERT

441

actividad A debe completarse antes de que la actividad B comience. De manera similar, las actividades B y e deben completarse antes de iniciar la actividad D. El tiempo estimado para cada actividad aparece en el círculo que la representa. Una vez que el diagrama de red se termina, puede utilizarse para desarrollar la ruta crítica para el proyecto.

LA RUTA CRíTICA . Una ruta se define como una secuencia de actividades conectadas en el proyecto. En el ejemplo, hay sólo tres rutas posibles: AED, con una extensión de 11 días; ACD con 12 días y EF con 10 días. La ruta crítica es el que tiene la mayor cantidad de tiempo. En el ejemplo es ACD, con una duración de 12 días, la cual determina el tiempo mínimo en que puede terminarse todo el proyecto. Las actividades en la ruta crítica son las que tienen mayores problemas. La ruta crítica es importante pardos razones. Primero, porque el tiempo de terminación del proyecto no puede reducirse, a menos que una o más de las actividades en la ruta crítica puedan completarse en menos tiempo del estimado en un comienzo. La ruta crítica señala las actividades que deben realizarse más rápidamente si el tiempo total para la culminación del proyecto se reduce. Segunda, porque cualquier retraso de las actividades que están en la ruta crítica produce demoras en la culminación del proyecto, mientras que los retrasos en actividades que no sean críticas pueden no causar ningún inconveniente. En el ejemplo, el tiempo de terminación estimado para el proyecto es de 12 días. Si se desea que ese tiempo disminuya, debe acortarse el tiempo completo de una de las tres actividades en la ruta crítica (A, e o D). No se obtiene ningún beneficio al reducir el tiempo de las actividades B, E o F, ya que ellas no están en la ruta crítica. Además, un retraso de un día en el tiempo de la actividad B puede tolerarse porque no tiene ningún efecto sobre el tiempo para terminar el proyecto. De otro lado, cualquier demora en las actividades A, e o D aumenta directamente el tiempo para concluir el proyecto. Si la actividad e se retrasara 3 días, el proyecto tardaría 15 días en terminarse y no 12 días. Para proyectos sencillos como el del ejemplo, la ruta crítica puede encontrarse por inspección del diagrama de red. Sin embargo, la PERT suele utilizarse para planear y controlar proyectos complejos y a gran escala (por ejemplo, la construcción de un edificio de 50 pisos, el desarrollo y aplicación de un nuevo sistema militar de defensa, o el diseño e instalación de nuevos e importantes procesos de fabricación). En dicha situación puede haber centenares o miles de actividades que deben realizarse para completar el proyecto, y se requiere encontrar alguna forma sistemática para encontrar la ruta crítica.

Encontrar el camino crítico A continuación se presenta una manera de hallar la ruta crítica en una red. Sean:

ESi

EFi

= =

tiempo para iniciar la actividad i más pronto tiempo para terminar para la actividad i más pronto

dmide el tiempo para iniciar una actividad más pronto es el tiempo posible en que la actividad puede comenzar, suponiendo que todos sus antecesores también comenzaron en los tiempos de actividades anticipadas o más prontos. El tiempo para terminar una actividad es la suma del tiempo anticipado o más pronto paxíl

442


iniciar y el tiempo estimado para realizar la actividad. El tiempo anticipado o más pronto para iniciar representa el tiempo posible en que una actividad podría terminarse, suponiendo que todos sus antecesores comenzaron sus tiempos de iniciación anticipada o más pronto. ES y EF de cada actividad en la red se obtuvieron como sigue. Primero, se igualó a cero el ES de la primera actividad. Entonces, se sumó el tiempo estimado para realizar la primera actividad en ES (cero), y se obtuvo EF para la primera actividad. Ahora, si se considera cualquier actividad para la cual todos los antecesores inmediatos tienen valores ES y EF. El ES de una actividad es igual al mayor de los valores EF de sus inmediatos antecesores. De nuevo, EF se obtiene al agregar el tiempo estimado para realizar la actividad, al tiempo ES. La figura 11-2 contiene tiempos ES y EF para las actividades del primer ejemplo. Las actividades A y E son las primeras, de modo que ES para A y E es cero. Como la actividad A toma dos días, el EF para la actividad A es 2. De manera similar, el EF para la actividad E es 2. Entonces, el ES para las actividades B y C es 2. El EF para B es 2 + 3, ó 5; y el EF para C es 2 + 4, Ó 6. Como la actividad D requiere que B y C estén terminados antes de comenzar, el ES para la actividad D es el mayor entre 5 y 6; en este caso, 6. EF para D es 6 + 6, ó 12. El ES para la actividad F es 2, y el EF para la actividad F es 10. Continuando con el algoritmo se obtiene:

LSi LFi

tiempo más tardío para iniciar la actividad i tiempo más tardío para terminar la actividad i

donde el tiempo más tardío para terminar una actividad es el mayor tiempo posible en que una actividad puede terminarse sin retrasar el proyecto hasta su límite máximo, suponiendo que todas las actividades subsiguientes se ejecutan como estaba planeado. El tiempo más tardío para iniciar una actividad es la diferencia entre el tiempo más tardío para terminar y el tiempo estimado para realizar la actividad. Para obtener el LS y LF de cada actividad, se comienza por el final del diagrama de red y primero se iguala LF para la última actividad con el EF de la misma4. Luego, se resta de LF el tiempo estimado para realizar la última actividad

FIGURA 11-2 Tiempo anticipado para comenzar y tiempo anticipado para terminar

4 En la práctica, el LF para la última actividad es igual a la fecha de vencimiento del proyecto o plazo

límite. Sin embargo, también sirve para igualar el LE' de la última actividad con el tiempo EF, que la ruta crítica no tenga tiempo de retraso.

dé lílúdú

PERT

443

FIGURA 11-3 Tiempo más tardío para comenzar y tiempo más tardío para terminar

y así obtener LS. Ahora, si se considera cualquier actividad para la cual los sucesores inmediatos tienen valores LS y LF. El LF de dicha actividad es igual al más pequeño de los valores LS de sus sucesores inmediatos. Luego, el LS se obtiene al restar el tiempo estimado para realizar la actividad del tiempo LF. La figura 11-3 contiene los tiempos LS y LF para las actividades del ejemplo, suponiendo que el plazo límite para la culminación del proyecto es 12 días. Como la actividad D toma 6 días, el LS para la actividad D es 12 - 6, ó 6. La actividad F tarda 8 días, de modo que el LS para F es 12 - 8 ó 4. El LF para B y C es 6, ya que ambos los sucede la misma actividad. El LS para la actividad B es 6 - 3, ó 3; y el LS para la actividad C es 6 - 4, ó 2. El LF de la actividad A es el más pequeño de los valores LS de sus sucesores inmediatos; el menor entre 3 y 2 es 2. Como la actividad A requiere 2 días, el LS para A es 2-2, ó O. Finalmente, el LF para la actividad E es 4, y el LS es 2.

Holgura y camino crítico La holgura se refiere al número de días que una actividad puede retrasarse sin que el proyecto total se demore más allá de su fecha límite. Después de calcular los tiempos ES, EF, LS y LF para cada actividad del proyecto, la holgura de éstas se calcula como la diferencia entre el LS y el ES para esa actividad (o, lo que es igual, la diferencia entre FL y EF). En el ejemplo, se especificó que el plazo límite para el proyecto era la duración de la ruta crítica, o 12 días. Por tanto, habrá cero holgura para esas actividades. La tabla 11-2 presenta la holgura de cada actividad del ejemplo. La actividad B tiene una holgura de un día; las actividades E y F, de dos días; y las actividades A, C, y D tienen holgura cero. Si el plazo límite del proyecto es igual a la duración de la ruta crítica, entonces todas las actividades con cero holgura deben estar en la ruta crítica, ya que la definición de éste implica que cualquier retraso en una actividad crítica demorará el proyecto total. Por el contrario, cualquier actividad que tenga una holgura positiva puede retrasarse más allá del ES por una cantidad de tiempo mayor que la cantidad de la holgura, ya que dicho retraso por sí mismo no tendrá ningún efecto sobre la duración del proyecto total. El concepto de holgura para una actividad supone que todas las demás actividades se completarán dentro del tiempo planeado. Por tanto, si varias actividades están en serie, cualquier holgura se comparte entre ellas. Una vez que una

444


TABLA 11-2 Holgura para las actividades

Actividad

A B

e

o E F

LS

ES

Holgura

O

O

O

3 2 6 2 4

2 2 6

O O

O

2

1

2 2

actividad utiliza una holgura mayor, las demás de la serie tendrán holgura cero. En el ejemplo, las actividades E y F comparten dos días de holgura. El algoritmo para calcular la holgura y hallar la ruta crítica para un diagrama de red ha sido programado para cálculos por computador, y hay varios paquetes de software disponibles para pe, los cuales ofrecen muchas opciones además de calcular la ruta crítica. El programa puede, por ejemplo, mostrar el diagrama de la red en la pantalla o imprimirlo. La mayor parte de los programas también incluye otros aspectos de gerencia de proyectos, como grabar los presupuestos para las diferentes tareas, designar a la persona responsable de cada una de ellas, indicar si se han cumplido o no los presupuestos, y crear diagramas que muestran la secuencia de tiempo de los proyectos.

RESUMEN Un diagrama de red muestra las diferentes tareas en un proyecto con flechas que indican cuáles actividades preceden a otras. Los tiempos ES, LS, EF YLF s o n los tiempos de iniciación y terminación anticipado y más tardío de una actividad, respectivamente. Los tiempos ES y EF se obtienen a través de la red, comenzando con la primera tarea. Para cada actividad, ES es el mayor de los tiempos EF para todas las actividades precedentes, y EF es el ES más el tiempo para la actividad misma. El EF de la última tarea es el tiempo mínimo para la terminación del proyecto. Los tiempos LS y LF se obtienen trabajando hacia atrás en la red. Para cada actividad, el L5 es el LF menos el tiempo de actividad, y LF es el LS más pequeño de sus actividades sucesoras inmediatas. El tiempo de holgura es la diferencia entre ES y LS para cada actividad. Las actividades con cero tiempo de holgura están en la ruta crítica.

INTERCAMBIOS TIEMPO-COSTO En el análisis anterior se consideró que el tiempo necesario para completar cualquier actividad es fijo. En ocasiones es, cierto, pero lo más común es que la gerencia pueda modificar ese tiempo asignando más recursos a la tarea. Por ejemplo, una actividad como pintar una casa puede disponer de 6 días. Sin embargo, este tiempo puede reducirse si se asignan más pintores al trabajo o si se programa para trabajar horas extras. Por consiguiente, el tiempo para la mayor parte de actividades puede reducirse, usualmente, con un aumento en el costos. En esta sección se 5 Observar que ahora se supone que los tiempos de la actividad serán controlables aunque siguen siendo determinísticos; es decir, aún no tienen componentes aleatorios. El caso II considerará la situación donde los tiempos de una actividad son variables aleatorias.

PERT

445

estudiará la manera corno un gerente puede asignar recursos para reducir el tiempo total del proyecto. Para hacerlo, va a considerarse el mismo ejemplo que se ha venido tratando. Sin embargo, debe existir la posibilidad de que cada actividad pueda hacerse sobre una base de un aceleramiento o choqué. Los tiempos y costos para programas regulares y de choque se presentan en la tabla 11-3. Recuerde que la ruta crítica es ACD y tiene una duración de 12 días. Esto bajo el supuesto de que los programas regulares se usan para toda actividad. En este caso, el costo puede obtenerse agregando las cifras en la cuarta columna de la tabla 11-3. El total es de US$2,280. Ahora, si el gerente del proyecto decide que 12 días es demasiado tiempo y que deben terminarlo en un período más corto, para lograrlo hay que hacer algunas de las actividades sobre una base de choque, a la vez que se incurre en el costo adicional de hacerlo así. No obstante, ¿cuáles actividades deben hacerse sobre una base de choque? Las actividades que no están en la ruta crítica tienen realmente un tiempo de holgura. Disminuir el tiempo necesario para ellas no tendría ningún efecto sobre el tiempo total del proyecto, de modo que el gerente necesita examinar sólo aquellas actividades que estén en la ruta crítica. Reducir el tiempo de cualquier actividad en esa posición, acortará el tiempo total del proyecto. Las tres actividades en la ruta crítica, sus ahorros incrementales en días para un programa de choque y los costos incrementales se presentan en la tabla 11-4. La última columna de la tabla 11-4 contiene el costo incremental por día reducido. Esto se obtiene al dividir el costo incremental del programa de choque para cada actividad, por el número de días reducidos. En la tabla 11-4 se ve que la

TABLA 11·3 Tiempos y costos por actividad

Tiempo requerido

Actividad

Programa regular

A B

2 3

e

TABLA 11·4 Costos incrementales para el programa de choque

o

4 6

E F

2 8

Actividad

A

e

D Ji!iiiiSl!ii$l&ii:lCiltSU\l.;¡¡q¡;:6iiGSS

Programa de choque 1 Y2 2 3

Costo (dólares) Programa regular US$100 200

300 500

4Y2 1Y2 5%

180 1.000 US$2,280

Días reducidos Costo incremental con elprograma de choque delprograma de choque % 1 1%

6

US$150 250 375 740 210 1.200 US$2,925

Costo incremental por día reducido US$100 75 160

US$50 75 240 i1

Programa de choque

==

:iZil!==n:a

Aquí se supone una actividad es de choque o no. Sin embargo, si la actividad de choque puede ocurrir proporcionalmente (por ejemplo, 40% de esfuerzo de choque), entonces es posible formular el problema determinístico de intercambio tiempo-costo (Caso 1) como un problema de programación lincal; véase McClain, la. Thomas, LJ. and Mazzola, J. B. Operatiolls Mallaoement: Productiol! 01 Goods and Se/vices, 3 ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992).

446


FIGURA 11-4 Red con actividad e reducida a tres días

actividad que puede disminuirse al menor costo por día es la C, pues costo por día es sólo US$75 en comparación con US$lOO y US$160 de las actividades A y D, respectivamente. Si la actividad C se hace sobre una base de choque, el tiempo total para la culminación del proyecto se reduce en un día. Ahora, la red aparece como se muestra en la figura 11-4. Las rutas ACD y ABD ahora son críticas, cada una con 11 días de duración. El costo de este programa de choque es de US$2,355, el valor adicional de US$75 es el costo incremental de poner la actividad C sobre una base de choque. Si el gerente deseara reducir el tiempo para terminar el proyecto antes, podrían realizarse más actividades sobre una base de choque. Ahora, las actividades críticas son A, B, C, y D. La actividad C no puede reducirse más. Disminuir B acortaría el caminoABD, pero dejaría sin modificar ACD en 11 días y, por tanto, no disminuiría el tiempo total del proyecto. Esto sólo puede disminuirse si se reducen las actividades A o D. Con relación a la tabla 11-4, puede verse que la actividad A es la menos costosa. Esta reducción representa medio día, con un costo adicional de US$50, que hace que el costo total sea de US$2,405. Las dos reducciones se resumen en la segunda y tercera filas de la tabla 11-5. Si el gerente deseara reducir el tiempo del proyecto aún más, la actividad D se colocaría sobre una base de choque. Sin embargo, esto eliminaría la necesidad de tomar A y B sobre una base de choque, ya que la ruta crítica se desplazaría a EF y tardaría 10 días, en tanto que si A, C, y D son de choque, la ruta ACD

TABLA 11-5 Rutas críticas y costos para los programas alternativos

Actividades en: Programa regular

Programa de choque

Ruta(s) crítica(s)

Todas

Ninguna

A, B, D, E, F B, D, E, F B, C, E, F A, B, F B, E

C A, C A, D C, D, E A, C, D, F

ACD ABD, ACD ABD, ACD ACD, EF ABD, ACD, EF ABD, ACD

Tiempo para terminación delproyecto

Costo total delproyecto

12

US$2,280

11

2,355

10 Yz

2,405

10

2,570

9 Y2

2,625

9

2,845

PERT

447

necesita sólo de nueve días. Por consiguiente, después de decidir que la actividad debe ser de choque para reducir el tiempo del proyecto a menos de 10Vz días, el gerente debe revisar de forma tentativa las actividades de choque A y C para evaluar cuál de ellas deben retrasarse en el programa regular. Suponiendo que D y C sean de choque (y A no), entonces la rutaACD toma 9 V2 días, y la ruta EF, con 10 días, es la ruta crítica; el costo de choque de D y C es US$2,280 + US$75 + US$240 = US$2,595. Sin embargo, si D y A son de choque, y C está restringida al programa regular, entonces la rutaACD toma 10 días, y hay dos rutas críticas: ACD y EF. El costo de choque de A y Des US$2,280 + US$50 + US$240 = US$2,570. Por tanto, para un objetivo de 10 días, esta alternativa satisface la meta del menor costo. Este ejemplo ilustra la complejidad de hacer intercambios óptimos tiempo-costo. Como ahora hay dos rutas críticas ACD y EF, el gerente debe reducir simultáneamente ambas para disminuir el tiempo del proyecto. Ahora, para las rutas EF, la actividad F puede reducirse en medio día a un costo de US$60 por día, o la actividad F en 21/2 días a un costo de US$80 por día. La actividad E es la menos costosa y el gerente planea tentativamente dividir la actividad E. Como esto reduce la ruta EF a 9Vz días, ahora el gerente considera mecanismos para reducir la rutaACD a 9V2 días (o menos). La rutaACD tomará precisamente 9V2 días si las actividades C y D se dividen. Ahora, debe verificarse si alguna otra ruta se ha cqnvertido en crítica. Si las actividades C, D y E se dividen, entonces la rutaABD se convierte en crítica con 91/2 días. La quinta fila de la tabla ll-S muestra esta situación. Las tres rutas son ahora críticas: el tiempo del proyecto total es 9Y2 días y el costo total es US$2,62S. Para reducir más el tiempo total del proyecto, las tres rutas críticas deben reducirse simultáneamente. Esto puede lograrse manejando las actividades A y F sobre una base de choque. Observar que una vez que la actividad F se fracciona, la actividad E retrocede al programa regular. La sexta línea en la tabla ll-S presenta esta situación. El tiempo total del proyecto es de 9 días, con un costo total de US$2,845. No es posible reducir más el tiempo del proyecto. Las actividades B y E están en el nivel del programa regular; todos los demás se encuentran sobre una base de crisis. La figura ll-S resume los resultados de este análisis. La curva se denomina intercambio tiempo-costo e indica que el gerente puede tener diferentes tiempos para la culminación del proyecto, dependiendo de cuánto la empresa esté dispuesta a pagar7. La determinación de los intercambios tiempo-costo anteriores se ha simplificado deliberadamente para facilitar la comprensión de 10 que sucede. Sin embargo, no se sabe el porqué sólo dos posibles programas deben considerarse para cada actividad. Puede haber muchos niveles alternos además de los programas regular y de choque. De hecho, podría asumirse un continuwn de posibilidades, expresado por una línea recta y una curva entre el costo y el tiempo de los programas regular y de choque. Algunos programas PERT o de ruta crítica por computador le permiten al usuario encontrar esta asignación de recursos u opciones de intercambio como parte de la solución de la red de la ruta crítica.

7

Bajo el supuesto de que una actividad está fraccionada o no, sólo los puntos indicados en la figura 11-5 son opciones factibles. Las líneas que conectan los ptmtos sólo cuentan para dar un efecto gráfico apropiado.

448


FIGURA 11-5 Intercambio tiempo-costo

3,000

W CD

~

:o

~

o

2,500

Ü

CD

o>-

o. Qj lJ

ca

E

o 1ií o

2,000

O

9

10

11

12

Tiempo para la terminación del proyecto (días)

RESUMEN La gerencia puede asignar recursos e incurrir en costos adicionales para reducir el tiempo total del proyecto. Al disminuir de manera selectiva el tiempo de las actividades en la ruta crítica, con el costo incremental más bajo, puede desarrollarse la función óptima de intercambio que relaciona el tiempo del proyecto y el costo.

CASO 11: ACTIVIDADES CON TIEMPOS INCIERTOS Ahora, se hará una suposición más realista con relación a los tiempos de la actividad. En otras palabras, los que no se conocen (o no son controlables) con certeza. Suponer que los tiempos de las actividades se tratan como variables aleatorias. Entonces, necesita obtenerse información relacionada con las funciones de densidad de probabilidad de estas variables aleatorias antes de comenzar a manejarlas. Una técnica para obtener dicha información se conoce como enfoque de estimados múltiples.

Estimados múltiples de tiempo para actividades con tiempos inciertos En lugar de buscar directamente un estimado del tiempo de la actividad esperada, se requieren de tres estimados como sigue:

= b·1 = m·1 = a·1

el tiempo más optimista para la actividad i el tiempo más pesimista para la actividad i el tiempo más probable para la actividad i (es decir, la moda)

Entonces, la ecuación 11-1 se utiliza para estimar el tiempo esperado de la actividad (media):

(11·1 )

PERT

449

donde t¡ es el tiempo esperado para la actividad i. Por ejemplo, si los estimados de la actividad B son:

Entonces, el tiempo esperado para la actividad Bes: tB

= (1/6)(1 + 4 • 3 + 8) = (1/6)(21) = 3.5

El estimado modal o más probable para la actividad B es 3, pero el tiempo esperado para la culminación es 3.5. Esto ocurre porque el tiempo pesimista es bastante largo. La fórmula para el tiempo esperado en la ecuación 11-1 se utiliza porque esta fórmula aproxima la media de una distribución beta cuyos puntos extremos son a¡ y b¡ Ycuya moda es mi' No es posible justificar el uso de la distribución beta en un sentido riguroso, pero tiene las siguientes características: es unimodal, es continua y tiene un rango finito. Intuitivamente, la fórmula en la ecuación 11-1 le da algo de peso a los puntos extremos (a¡ y b¡) al igual que la moda (m¡) al calcular el tiempo medio para la culminación 8. Se supone que el método de estimados múltiples produce estimados mejorados del tiempo esperado para completar una actividad. En la práctica, no es obvio que este método conduzca a un mejor valor esperado que el método del estimado único; sin embargo, el método de estimados múltiples permite considerar la variabilidad del tiempo para la terminación de una actividad. La ecuación 11-2 se utiliza para estimar la desviación estándar del tiempo necesario para completar una actividad, con base en los estimados de tiempo optimista y pesimista:

(11-2) donde o¡ representa la desviación estándar del tiempo requerido para completar la actividad i. De nuevo, esta fórmula sólo es una· aproximación que se usa si el tiempo para completar una actividad tiene distribución beta. El valor de la desviación estándar es el que puede calcularse para cada actividad en una ruta y usarse para obtener un estimado de la desviación estándar de la duración de la ruta. Suponiendo que los estimados múltiples de tiempo mostrados en la tabla 11-6 fueron hechos para el proyecto del ejemplo y que las cifras de la tabla se eligieron de modo que el tiempo estimado, ti, fuera el mismo que los estimados iniciales de la figura 11-1. Por consiguiente, la ruta crítica sigue siendo A CD, con una duración esperada de 12 días. ABD tiene una duración esperada de 11 días y

TABLA 11-6 Estimados múltiples de tiempo

Actividad

a·1

b·1

m·1

ti

(Ji = (1 /6)(bi - ai )

(J. 2

A

1 1 2 4

3 5 6 8

1 1

3 15

2 3 4 6 2 8

2 3 4 6 2 8

0.33 0.67 0.67 0.67 0.33 2.33

0.11 0.45 0.45 0.45 0.11 5.43

B

e

D E F

1

ft"","",&I!±lJ:t!!:2ti:~::t

8 Sasieni demostró que la fórmula bien conocida en la ecuación 11-1 no puede calcularse, en general, de la distribución beta; véase Sasieni, M. W. ''A Note on PERT Times", Managemellt Science 32 no. 12 (December 1986). Por tanto, la ecuación 11-1 debe interpretarse como una forma razonable para estimar el tiempo esperado para la actividad a partir de tres estimados separados u¡, b¡ y mi'

450


la ruta EF, de 10 días. La tabla 11-6 contiene el tiempo esperado para cada actividad y la "desviación estándar del tiempo para cada una de ellas. Algunos autores sugieren calcular la desviación estándar de la duración de cada ruta, comenzando con la ruta crítica. Si se supone que los tiempos de la actividad son variables aleatorias independientes, entonces la varianza de tiempo para completar la ruta crítica puede calcularse como la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica 9. En el ejemplo, ACD es la ruta crítica. Si se agregan las varianzas a lo largo de esta ruta, se obtiene: (72ACD

= 0.11

+ 0.45 + 0.45

= 1.01

La desviación estándar de la duración de la ruta ACD es: (JACD

= Vl.Oi = 1.005·

Si hay un número mayor de actividades independientes en la ruta crítica, la distribución del total de tiempo para ella se supone normal lO . En el ejemplo hay sólo tres actividades, de modo que la suposición de normalidad no sería estrictamente apropiada; sin embargo, con fines explicativos, los resultados pueden interpretarse como sigue: la duración del tiempo que se requiere para completar la rutaACD es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 12 días y una desviación estándar de 1.005 días. Dada esta información, es posible usar tablas de la distribución acumulada normal para hacer los enunciados de probabilidad relacionados con distintos tiempos de terminación para la ruta crítica 11 . Por ejemplo, la probabilidad de completar la ruta ACD en un plazo de 14 días es: F

- 12) = F(2) = 0.977 (X- I-L) = F (141.005 -(7-

de la tabla A en el apéndice de tabla al final del libro. Sin embargo, existe un problema mayor al realizar este tipo de análisis en la ruta crítica. Aparte de las dificultades involucradas por asumir que todos los tiempos de actividad son independientes y con distribución beta, no necesariamente es verdad que la ruta más largo esperada (es decir, la ruta crítica) se convertirá en la ruta real más larga. En el ejemplo, la ruta no crítica EF tiene una longitud esperada deJO días. La varianza de esa ruta es: (72 EF

= 0.11

+ 5.43

= 5.54

La desviación estándar es: (7EF

=

Y5.54 = 2.35

Si se supone que la distribución de la longitud de la ruta EF es normal, entonces la probabilidad de que esa ruta se concluya en un término de 14 días es:

F(14 -

10) = F(1.70) = 0.955 de la tabla A

2.35

9 La varianza de una suma de variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de cada variable aleatoria, si las variables son independientes. 10La suma de 11 variables independientes con media y varianza finitas tiende hacia la normalidad por el teorema del límite central cuando 11 tiende al infinito. 11 Utilizar la variable aleatoria normal estandarizada:

X-¡L z=-(T

PERT

451

Las rutas ACD y EF deben completarse dentro de los 14 días para que el proyecto se termine dentro de ese plazo, ya que el mismo no culmina hasta que todas las actividades concluyan. La probabilidad de que ambas rutas se completen en el término de 14 días es: (0.977)(0.955)

= 0.933

Si se considera únicamente la ruta crítica, la probabilidad de no completar el proyecto en 14 días es sólo 1 - 0.977 ó 0.023. Después que considerar también la ruta EF, la probabilidad de no completar el proyecto en 14 días es 1 - 0.933 ó 0.067, casi tres veces la probabilidad de no terminar la ruta crítica. Otra manera de describir la situación es decir que si el proyecto toma más de 14 días, la posibilidad de que EF cause el retraso es mayor que la de ACD. Se mantiene una dificultad final. La ruta ABD también puede convertirse en la de más restricciones y podría calcularse la varianza de esa ruta como se hizo con ACD y EF. No obstante, hay dos actividades en común entre las rutasABD y ACD (actividades A y D) y, por tanto, la duración de cada ruta no es una variable independiente. Para calcular la probabilidad de que una y otra ruta se completen en menos de 14 días, debe manejarse la probabilidad conjunta de eventos dependientes, y esto se halla por fuera del método de cálculo que se presenta en este capítulo. Los problemas encontrados en un proyecto con una muestra de seis actividades se magnifican cuando se considera un proyecto real con cientos de actividades. Así, hay un serio peligro de usar la media y la varianza de la duración de la ruta crítica para estimar la probabilidad de que el proyecto se complete dentro de un tiempo específico. Como algunas rutas que no son críticas pueden volverse restrictivas, la media estimada del tiempo de terminación del proyecto que se obtiene al estudiar la ruta crítica sólo es un estimado demasiado optimista; tiene desviaciones y siempre tiende a subestimar el tiempo promedio de culminación del proyecto. Por fortuna, aunque el cálculo analítico de la distribución de la terminación del tiempo del proyecto es mucho más difícil en la red de tamaño real, resulta relativamente fácil usar la técnica de la simulación Monte CarIo para obtener la información acerca de la probabilidad de duración del proyecto, cuando los tiempos de la actividad son inciertos.

REDES DE SIMULACIÓN DE PERT: DURACIÓN DEL PROYECTO

Para superar el problema descrito previamente, es posible simular cualquier red PERT. En términos generales, los pasos son los siguientes:

1. Usar (por ejemplo) una distribución normal de los tiempos de actividad para cada actividad, y usar la media y la desviación estándar calculadas para las mismas, a partir de las ecuaciones 11-1 y 11-2, genera un valor aleatorio (una realización) para el tiempo necesario para completar cada actividad en la red.• 2. Tratar los tiempos generados como tiempos reales para cada actividad y usar el algoritmo de la ruta crítica descrita antes para hallar la ruta crítica real (ex post) y la duración real del proyecto. 3. Repetir los pasos 1 y 2 para un gran número de pruebas, registrando el histograma de los tiempos de la culminación del proyecto y el porcentaje de tiempo de cada actividad que estaba en la ruta crítica ex post.

452


FIGURA 11-6 Distribución de la frecuencia acumulada para la duración del proyecto

100 90

en al

80

..Cl

ID

;:

70

Q.

o o ,....

60

11

c:

50

al

'13 e

ID :;¡

40

(,)

ID

u:

30 20 10

O

O

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Duración real del proyecto (días)

Ejemplo Suponer una simulación donde se trabajen 100 tiempos para la red de la muestra del capítulo, usando las medias y desviaciones estándar de la tabla 11.6. La figura 11-6 contiene una distribución acumulada representativa del tipo que podría producirse a partir de la simulación. Aunque la información contenida en la figura 11-6 sería útil para decidir si el riesgo de tardanza del proyecto sería tolerable o no, no es de ayuda directa para decidir cómo dividir las actividades de manera que se acelere el proyecto. Para este propósito, la simulación puede registrar el porcentaje de veces que cada actividad estaba en la ruta crítica ex post (es decir, la ruta que en realidad se convirtió en crítico en una simulación dada). La tabla 11-7 es un ejemplo de dicho registro. Las actividades E y F constituyen una ruta potencialmente crítica y, por consiguiente, tienen porcentajes idénticos en la tabla 11-7. Las actividades A y D están en serie en dos rutas (ABD y ACD) y, por consiguiente, también tienen porcentajes idénticos. Las actividades By C están en paralelo y, de ese modo, la suma de sus porcentajes (5% + 66%) debe dar 71 %, que es el porcentaje de las actividades A y D en serie con el enlace paralelo B-Cl2. La tabla 11-7 fue calculada usando el resultado completo de la simulación. Cuando se considera cuáles actividades deben dividirse para reducir el tiempo de terminación del proyecto, tiene sentido considerar únicamente aquellos resultados de la simulación donde el proyecto se retrasara más de la meta deseada. Considerando 12 días (la duración esperada de la ruta crítica) como la meta, la tabla 11-8 contiene datos ilustrativos sobre el porcentaje de tiempo que cada actividad

12 Esto es verdad sólo si no es posible que ambas rutas ABD y ACD sean críticas.

PERT

TABLA 11·7 Porcentaje de tiempo en que las actividades fueron críticas

A

TABLA 11-8

5

re

F

71 3J 3J

A B

49% 3

E

Porcentaje de tiempo en que las actividades fueron críticas, dada una duración del proyecto > 12 días

71%

B

e o

e o E F

453

46 49

54 54

fue crítica, considerando que el proyecto tomó más de 12 días para completarlo. Observar que estos porcentajes serán diferentes de los que aparecen en la tabla 11-7. Como hay menos interés en fragmentar un proyecto cuando se completa antes de la fecha esperada, los resultados de la tabla 11-8 serían de mayor utilidad para determinar cuál actividad al ser dividida produciría la mayor disminución en los retrasos más allá de 12 días. Para una red grande, una simulación del programa regular produciría una distribución como la de la figura 11-6. Si el desempeño del proyecto debe mejorarse, el estudio de una tabla como la 11-8 indica el conjunto de actividades que, en promedio, causan retrasos en distintos porcentajes del tiempo. Entonces, después que algunas actividades críticas podrían quedar divididas, la simulación podría repetirse para establecer si el desempeño del proyecto mejoró o no de manera sustancial.

RESUMEN

Si los tiempos de actividad en una red PERT son inciertos, entonces la duración de la ruta crítica calculada usando estimados determinísticos subestimará el verdadero tiempo que se espera del proyecto. La distribución de probabilidad del tiempo real del proyecto y la probabilidad de que cada actividad estará en la ruta crítica real ex post puede obtenerse por simulación. Dependiendo de que el proyecto se retrase, la simulación también puede mostrar el porcentaje de tiempo que cada actividad estuvo en la ruta crítica real.

SIMULACIÓN DE REDES PERT: COSTO TOTAL

Si hay estimados de costos inciertos para cada actividad, es posible usar exactamente el mismo método para simular el desempeño de costos de cualquier red PERT. Procediendo como se indicó antes, se generarían valores aleatorios para el costo de cada actividad y se sumarían para obtener un valor real para el costo del proyecto en esa prueba. Este proceso podría repetirse para un gran número de pruebas, y la distribución acumulada del costo total podría trazarse en una figura. Sin embargo, hay una forma más simple de obtener la distribución acumulada del costo total, como se muestra en el siguiente ejemplo.

454


Ejemplo Considerar las entradas de costos de la tabla 11-3, bajo el programa regular (nade choque). Ahora, suponer que esos costos son los valores medios y que el costo de cada actividad en realidad es una variable aleatoria con desviación estándar y varianza como se especifica en la tabla 11-9. Si toda la incertidumbre del costo fuera independiente de una actividad a otra, entonces se sabría, a partir de la probabilidad básica, que el costo esperado del proyecto es la suma de las varianzas de los costos de cada actividad. La desviación estándar del costo del proyecto es ~56,896 = 238.53, Yla media es US$2,280. En la figura 11-7, con el nombre de caso independencia, se ilustra una distribución de frecuencia acumulada de los resultados de los costos del proyecto, con base en la distribución normal de estos parámetros. Sin embargo, en esta situación, el supuesto de la independencia estadística de los diferentes elementos de costos puede no ser válida. Si las. tres primeras actividades cuestan 30% más de lo esperado, ¿podría revisarse el estimado del costo de las últimas tres actividades? Si es así, entonces los elementos de costo no son independientes y para seguir adelante, tendrían que hacerse suposiciones explícitas acerca de la dependencia entre los costos de las diferentes actividades. Suponer, como caso extremo, que los seis costos están perfectamente correlacionados en forma positiva. Entonces, por ejemplo, si el costo para la actividad A fuera su media, el costo de cada una de las otras actividades también sería su media. Si el costo para la actividad A estuviera en el vigésimo percentil de su distribución de costos, entonces el costo de cada una de las otras actividades también estaría en el punto de su vigésimo percentil. En este caso, el costo total esperado del proyecto también es la suma de los costos esperados de las actividades individuales. Es decir, en la tabla 11-9, el costo total esperado = US$2,280. También puede demostrarse en el caso extremo de correlación positiva perfecta, que la desviación estándar del costo total es igual a la suma de las desviaciones estándar del costo de cada actividad. En la tabla 11-9, ésta es la desviación estándar del costo total del proyecto = a = US$456. En la figura 11-7, con el nombre de caso de Correlación perfecta, también se ilustra una distribución de frecuencia acumulada de los resultados de costos del proyecto, basada en la distribución normal con estos parámetros. Puede observarse que aunque las medias de las dos distribuciones son las mismas, con una correlación positiva perfecta entre todos los elementos de costos, la probabilidad de que el costo total del proyecto esté por encima o por debajo de la media aumenta considerablemente (la distribución es más amplia o tiene más variabilidad en el caso de la correlación perfecta).

TABLA 11-9 Costos de actividad

incierta

Actividad

Desviación Costo esperado estándar

US$100 200 e 300 o 500 E 180 F 1.000 Total US$2,280

A B

20 40 00 100 26 200

456

Varianza

400 1,600 3,600 10,000 1,296 40,000 56,896

PERl

455

Los casos de independencia (sin correlación) y de correlación positiva perfecta son dos extremos; en general se cae en algún punto entre estos extremos. Está por fuera del alcance de este texto manejar distribuciones multivariadas correlacionadas, pero el simple ejercicio realizado antes, de calcular la distribución de frecuencia acumulada de los resultados del costo de proyecto bajo estos dos extremos, puede ser de utilidad.

EVALUACiÓN DE PERl La técnica PERT obliga al planificador a especificar en detalle el conjunto de actividades que constituyen el proyecto y a estimar los tiempos y establecer los requerimientos de la secuencia. La construcción del diagrama de la red con frecuencia puede señalar problemas importantes en el proyecto. Si la ruta crítica es mayor de lo deseado, el proyecto puede volverse a planear, dedicando más recursos a las actividades críticas. Una vez que el proyecto comienza, la técnica PERT puede usarse para suministrar reportes periódicos sobre su estado, incluyendo cualquier cambio en la ruta crítica. Si hay una ruta que casi es crítica, la PERT puede suministrar esta información señalando actividades con una pequeña cantidad de holgura. Los estimados de tiempo para realizar las actividades constituyen un problema potencial importante en esta técnica. Si los estimados de tiempo son deficientes, entonces el diagrama inicial de la red y la ruta crítica inicial tendrán poco significado real después de comenzar el proyecto. Además, si hay incertidumbre sobre cuánto tiempo tomará terminar las tareas, entonces esta incertidumbre debe tenerse en cuenta para estimar la probabilidad de la culminación del proyecto dentro de cualquier lapso especificado. Como se ha visto, cuando los tiempos de actividad son aleatorios, puede calcularse la probabilidad de completar la ruta crítica en cualquier momento: sin embargo, con tiempos de actividad aleatorios, la ruta crítica real ex post puede diferir de la ruta crítica real ex ante. Una forma de manejar esta complicación incluye la simulación de la red.

FIGURA 11-7 Distribuciones del costo del proyecto: dos casos extremos

......

0.9

Independencia __

0.8

"O

ro

;g

,-

:oro

0.5

o

0.4

.o

o::

,-

0.6 ';

,-

~~

-----

............ ,- ,- "

0.7

... ~

"

,,"

" Correlación perfecta /~

"

0.3 0.2 0.1 US$1,800

US$2,300

Costo del proyecto

US$2,800

US$3,300

456


En la simulación pueden estimarse la probabilidad de la tardanza del proyecto y la probabilidad de que cada actividad será crítica, sirviendo de esa manera como guía para el planificador del proyecto. Finalmente, la PERT sola no considera los recursos necesarios en las diferentes etapas del proyecto. Por ejemplo, si un determinado recurso debe utilizarse para realizar las actividades B y e del ejemplo, y si sólo puede emplearse para una actividad a la vez, entonces el diagrama de la figura 11-3 no resulta factible debido a que la actividad e no puede realizarse paralela a la actividad B. Se han desarrollado distintas extensiones de esta técnica para abordar el manejo de las restricciones de recursos y vigilar los costos a medida que el proyecto progresa. Muchos gerentes de proyecto que experimentaron con las técnicas PERT y CPM (Método de la ruta crítica), ahora consideran que las principales ventajas de la técnica están en la etapa de planeación de un proyecto. Usar la primera de ellas para el control activ,o. de un proyecto exige una actualización frecuente y una repetición de los cál~ulos PERT; mientras que, con frecuencia, un diagrama de barras sencillo del progreso a la fecha puede suministrar un registro adecuado con fines de control, a un costo mucho menor. BIBLIOGRAFíA

CLELAND, D. 1., and GAREIS, R., eds., Global Project Management Handbook. New York: McGrawHill, 1994.

CLELAND, D. 1., and KING, W. R., eds., Project Management Handbook. New York: Van Nostrand . Reinhold, 1983. McCLAIN, J. O., TROMAS, L. J., and MAZZOLA, 1. B., Operations Management: Production of Goods

and Se/vices. 3 ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992.

MODER, J.; PHILLIPS, C. R.; and DAVIS, E. W,Project Management with CPM, PERT, and PRECEDENCE Diagramming. 3. ed. New York: Van Nostrand Reinhold, 1983. WIEST, J. D., and LEVY, F. K., A Management Guide to PERT/CPM. 2 ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1977.

PROBLEMAS PRÁCTICOS 13

11·1 Considerar los siguientes datos para las actividades

c. Listar las actividades que están en la ruta crítica.

de un proyecto:

11-2 Tomar los datos del problema 11-1, pero suponien-

Actividad

Antecesores inmediatos

A B

A

do que la actividad C ahora requiere de nueve días para completarse y no siete. a. ¿Cambia la ruta crítica? b. Si la actividad C necesitara de 11 días para su culminación, ¿cambiaría la ruta crítica? 11-3 Los siguientes datos se relacionan con las actividades de un proyecto (los números se refieren a días):

e

D E F

B,

e

B D, E

Tiempo estimado (días)

5 4 7 3 4 2

Trazar un diagrama de red para el proyecto. b. Calcular los ES, EF, LS YLF para cada actividad, suponiendo que el EF y el LF para la última actividad con los mismos, entonces, ¿cuál es el tiempo mínimo para la culminación del proyecto? a.

13

Antecesor Actividad inmediato

A B

e D E

A

e

B

a·1

b·1

m·1

2 6

6 10 15 9 10

4 8 5 5 8

1 1 6

Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de este capítulo.

PERT

a. Calcular la expectativa (Ti) y la varianza (aP) del

457

para completar una ruta está distribuido normalmente. Calcular la probabilidad de que la ruta ACD se complete en menos de 16 días. Además, calcular la probabilidad de que la ruta BE se termine en menos de 16 días. d. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se complete en menos de 16 días?

tiempo necesario para completar cada actividad. b. Trazar un diagrama de red y encontrar la ruta crítica por inspección. ¿Cuál es la duración esperada de la ruta crítica? c. Suponer que los tiempos para cada actividad son independientes y que el tiempo que se requiere

PROBLEMAS 11·4 La tabla 11-10 contiene una lista de actividades y requerimientos de secuencia que comprenden las actividades necesarias para la terminación de una tesis. a. Trazar un diagrama de red que ilustre los requerimientos de la secuencia para el conjunto de actividades de la tabla. Asegurar de reflejar las actividades con círculos y los requerimientos de secuencia con flechas. b. Calcular los ES, EF, LS y LF para cada actividad, suponiendo que elEFy elLF para la última actividad son los mismos. ¿Cuál es el tiempo mínimo para la culminación del proyecto? c. Listar las actividades que están en la ruta crítica. 11-5 Los siguientes datos son de un proyecto:

Actividad A

B

e

o

E

Antecesor inmediato

A

A

e e

B,


a. Trazar el diagrama de red para el proyecto. b. Encontrar la ruta crítica (ex ante) por inspección. ¿Cuál es la duración esperada? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la ruta ABE se complete en no más de 15 días, suponiendo que hay independencia entre los tiempos de las actividades? d. ¿Cuál es la probabilidad de que todo el proyecto se termine en no más de 15 días? 11-6 Considerar el estimado de la duración total del proyecto calculado con el algoritmo usual de PERT (agregando los estimados de tiempo esperado de todas las actividades que están en la ruta crítica). a. Suponer que se maneja una red de series pura:

INICIAR ~® ~® ~©~ f¡(días) 4.0 6.0 3.0 7.0 2.0

Actividad

...

~® ~® ~®~ TERMINAR

a¡

O

1.0 O

1.0 2.0

¿Puede argüirse con lógica que el estimado PERT de la duración total del proyecto no tiene desviaciones? (Ayuda: no olvidar que la expectativa de una suma es igual a la suma de las expectativas).

Descripción

Actividad prerrequisito

Tiempo esperado (semanas)

A

Investigación de literatura

Ninguna

6

B

Formulación del tema

Ninguna

5

e

Selección del comité

B

2

D

Propuesta formal

C

2

A, D

E

Selección de la compañía y contacto

F

Reporte de avances

D

2 1

G

Investigaciónformal

A,D

6

H

Recopilación de datos

E

5

I

Análisis de datos

G, H

6

J

Conclusiones

I

2

K

Borrador (sin conclusiones)

G

4

L

Documento final

3

M

Examen oral

J, K L

1

458


Tiempo (semanas)

TABLA 11-11 (para el problema 11-7) Actividad

Actividades antecesoras

Programa normal

A A B, C

5 2

A(iniciar)

B C D E F(terminar)

D, E

b. Suponer que se está tratando con una red paralela pura: INICIAR

t t

,j,

® © ,¡,

Programa de choque

Programa normal

3

10

1 2 2

6 6

22 15 15

10

25

O

B

t t TERMINAR

Suponga que todas las actividades en esta red tienen el mismo tiempo esperado para su terminación. ¿Puede argüirse lógicamente que el estimado PERT de la duración del proyecto total está desviado en este caso? tEn qué dirección?

3 4 O

Costo (miles de dólares) Programa de choque

O

O

c.. A partir de las conclusiones de los literales a. y b., hacer una generalización válida acerca de la desviación (o la falta de ésta) con respecto a un estimado PERT de la duración del proyecto, combinando partes en serie y en paralelo. 11-7 Un proyecto se caracteriza por actividades desde A hasta F. Las actividades antecesoras, los tiempos requeridos, y los costos para un programa normal y uno de choque para cada actividad, se presentan en la tabla ll-ll. a. Usando sólo el tiempo para las actividades del programa normal, trazar una red PERT para este problema. ¿Cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto se tardará en completar el proyecto total? b. ¿Cuál es el costo del proyecto como se presenta en el literal a.? c. Encontrar los puntos de intercambio tiempocosto posibles. ¿Cuál es el tiempo mínimo en que el proyecto puede completarse? ¿Cuál es el costo de este programa?

PROBLEMAS ESPECIALES 11-8 Ocean Hardware Company es una cadena de tiendas de venta al detal de electrodomésticos y ferretería. La empresa está considerando la instalación de un nuevo sistema de computador para liquidar la nómina, contabilizar las ventas (pagar las comprar y enviar las facturas) y el registro y control de inventario. El contador de la empresa está tratando de elaborar un cronograma para las diferentes tareas involucradas en la puesta en marcha del nuevo sistema. La empresa planea contratar programadores para desarrollar los programas de contabilidad y de nómina. Sin embargo, va a éontratarse a una firma de consultoría externa para hacer el programa de control de inventarios. Ciertos aspectos del programa de control de inventario dependen del programa de contabilidad y por esto tienen que desarrollarse después de haber terminado este último. La terminación de cada programa implica trabajo preliminar, final, prueba, revisión, redacción

de los manuales y aplicación. El nuevo gerente de operaciones elaboró la lista de tareas (actividades) que se muestran en la tabla 11-12, que deben ejeéutarse, junto con los tiempos necesarios para realizarlas y las actividades que deben completarse antes de que una actividad determinada pueda comenzar (las actividades antecesoras). a. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el sistema de computador con los tres programas esté completo? ¿Cuáles actividades son críticas para cumplir este plazo? b. Suponer que la gerencia está interesada sólo en minimizar el tiempo para aplicar los programas de contabilidad y de nómina. ¿Cuánto tardará esto? ¿Cuáles actividades son críticas en este caso? 11-9 Remitirse al problema 11-3. Para este ejercicio suponer que el tiempo de cada actividad es igualmente probable entre sus estimados de tiempo a¡ y b¡ (es decir, no tomar en cuenta la columna mi' y I:onsiderar que los tiempos de actividad están distribuidos

PERT

de manera uniforme en el rango apropiado). Utilizando dígitos aleatorios, realizar una simulación anual de la red para 10 pruebas, registrando para cada prueba el tiempo de culminación del proyecto y las actividades que sean críticas. ¿Cuáles actividades fueron críticas la mayor parte del tiempo? Además, calcular el porcentaje de tiempo de cada

459

actividad que fue crítica, condicionada a que el proyecto se retrase más de 16 días. H-lO En la figura 11-8 se presenta una red de un proyecto. Los datos t¡ y o¡ unidos a cada nodo entre paréntesis representan el tiempo esperado y la desviación estándar, respectivamente, en meses, de este segmento del proyecto.


Actividad

Descripción

Actividad antecesora

Tiempo para completarla (en meses)

A

Analizar sistemas alternativos de computador ypedir el computador al fabricante

B

Esperar el despacho del equipo por parte del fabricante

A

4

C

Contratar programadores de sistemas

A

1

D E F

Hacer el trabajo preliminar del programa de nómina

C

Hacer el trabajo preliminar del programa de contabilidad

C

11/2 21/2

Hacer el trabajo final de los programas de nómina ycontabilidad

G

Contratar aun consultor externo para trabajar en el programa de control de inventario

H

2

D, E

2

A

1

Hacer el trabajo final del programa de control de inventario

E, G

2

1

Hacer las pruebas preliminares de los programas de nómina ycontabilidad en la máquina alquilada

F, H

2

J

Hacer pruebas preliminares de programas de nómina ycontabilidad en la maquinaria arrendada

F

1/2

K

Revisar los programas de nómina ycontabilidad

J

1/2

L

Instalar yverificar el computador enviado por el fabricante

B

1/2

M

Probar los programas de nómina ycontabilidad en el computador instalado

K, L

1/2

N

Preparar los manuales que describen los programas de nómina ycontabilidad

°

Aplicar los programas de nómina ycontabilidad

P

Probar el programa de control de inventario en el computador instalado

Q

Preparar los manuales que describan los programas de control de inventario

R

Aplicar el programa de control de inventarios Fin

S

FIGURA 11-8 (para el problema 11-10)

J

1

M, N

1/2

1, L

1/2

I

P, Q 0, R

1

1/2 O

460


a. Identificar la ruta crítica y calcular su duración esperada. b. Suponer que las actividades son independientes y que la duración de la ruta crítica está distribuida normalmente, calcular la probabilidad de que la ruta del literal a se complete en menos de 23 meses. c. ¿El proyecto real se terminará en 23 meses: con la misma probabilidad que en b; con menor probabilidad o con mayor probabilidad? ¿Por qué? d. Suponer que desea reducirse la probabilidad de que el proyecto tarde más de 23 meses. Puede dividirse una de las siguientes actividades y, sólo una, durante un mes: A, C, E, o H. ¿Cuál debe elegirse? ¿Por qué? (Nota: suponer que la división reducirá la media del tiempo de la actividad en un mes y no cambiará la varianza). 11·11 En el proyecto que aquí se considera, la actividad que se divide puede ocupar un amplio rango de tiempo de reducción. El costo por día de la reducción está dado así:

Actividad

Antecesor Tiempo inmediato normal (días)

A B

Ninguno Ninguno

C D E

A A, B

2 2

F

C, D

4

E

3 4 3

Costo por día aldividír

Límite menor de tiempo

US$450

500

1 2 1 1 1

600

3

300 200 100

Por ejemplo, la actividad C puede reducirse de su tiempo normal de tres días a un día o a cualquier cantidad entre estas dos; el costo por día de reducir C es US$200. a. Trazar un diagrama de red para: este proyecto, ¿cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto tardará el proyecto, si no se realiza la división? b. Determinar la vía menos costosa para dividir las actividades para completar el proyecto en 11 días; en 10 días; en 9 días; en 8 días. Trazar los resultados en un diagrama de intercambio tiempo-costo. c. Suponer que la fecha de vencimiento de un proyecto es cinco días, y se evalúa una sanción de US$500 diarios por cada día de retraso. ¿Cuál es el número óptimo de días para dividir el proyecto? ¿Por qué? 11·12 Una empresa está construyendo una planta para producir un nuevo producto congelado. En la tabla 11-13 se identifican las actividades, se estiman los tiempos y se establecen las relaciones precedentes. ¿Cuánto tardará el proyecto? ¿Cuáles actividades están en la ruta(s) crítica(s)? 11-13 Un proyecto está compuesto por las cinco actividades que aparecen en la tabla 11-14. Las probabilidades de tiempo que tomará cada actividad se evaluaron en semanas, como se indica en la misma tabla. Así, por ejemplo,'hay una oportunidad de 0.6 de que la actividad A tomará cuatro semanas, 0.1 de que tardará cinco semanas, 0.1 de que tardará 6 semanas, y así sucesivamente. a. Trazar la red para este proyecto. Observar que hay cuatro rutas a través de la red. Usando los

TABLA 11·13 (para el problema 11·12)

Actividad

A B C D E F G H I

J K L M N

O P Q

R

Descripción Diseño de ingeniería para el edificio Diseño de la línea de producción Diseño del horno Diseño del congelador Diseño del equipo de empaque Pedido yfabricación del horno Pedido yfabricación del congelador Pedido y fabricación del equipo de empaque Convocatoria y otorgamiento de la licitación para la construcción del edificio Construcción del edificio (primera fase) Construcción del edificio (fase final) Instalación del horno Instalación del congelador Instalación del equipo de empaque Pruebas de horneado Pruebas de congelamiento Prueba de todo el sistema Inspección de las autoridades

Antecesoras inmediatas

Tiempo estimado (en meses)

Ninguna Ninguna B B

1.5 1.0 2.0 1.0 1.0 9.0 8.0

C, D C D E A I J F, J J, L H,J K, L M,O

3.0 2.0 9.0 1.5 2.0

N, P

0.5 0.5 1.0 0.5 0.5

N, P

0.5

PERT

461

TABLA 11-14 (para el problema 11-13) Tiempo en semanas Actividad

4

5

6

7

8

9

A B

0.6

D

0.1 0.1

0.1 0.1 0.1 0.4 0.8

0.1 0.2 0.1 0.2 0.1

0.1 0.4 0.1 0.1

0.1 0.2 0.3 0.1

/ 0.1 0.2 0.1

e

E

tiempos esperados, calcular el tiempo para cada ruta. ¿Cuál es la ruta más larga o más crítica esperada? b. Asignar números aleatorios a cada resultado (número de semanas) para cada actividad, de acuerdo con las probabilidades en la tabla. c. Utilizando números aleatorios, seleccionar al azar.un tiempo para cada actividad. Calcular el tiempo para cada uno de las cuatro rutas de la red y registrar el tiempo y las actividades de la ruta más larga.

10

0.2

Tiempo esperado

Actividades antecesoras

5 7 8 6 5

Ninguna Ninguna A,S A, B

e, D

d. Repetir el literal e 25 veces (o la cantidad señalada por el profesor). Calcular el tiempo promedio para la ruta más larga. ¿Difiere del cálculo del literal a? ¿Por qué? e. Calcular el porcentaje de tiempo que cada actividad estuvo en la ruta más larga. f Con base en que el proyecto pueda retrasarse más de 21 días, calcular el porcentaje de tiempo de cada actividad en la ruta más larga.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 11-3 a. ...........................

11·1 a. Diagrama de red:

...........

Actividad

ti

af

A B

4 8 6 5 8

0.44 0.44 5.44 1.78 0.44

e o E

b. Diagrama de red:

b. Actividad

Actividad

ES

LS

EF

LF

A B

O

O

5

5 3 10 9 13

5 9 7 12 13 15

5 9 10 13 13 15

e

O

D

9 9 13

E

F

El tiempo de terminación del proyecto es 15 días. c. A, B, E, F. 11-2 a. No; hay una holgura de tres días en la actividad C.

b. Sí; la ruta crítica ahora es CDF, con un tiempo de terminación del proyecto de 16 días.

La ruta crítica es BE, con una duración de 16 días. c. Para la ruta ACD, la duración esperada es 15 días y la varianza es 0.44 + 5.44 + 1.78 = 7.67. La desviación estándar es 2.77. P(Tiempo < 16) = 1 - P(Z< 1/2.77) = 0.64. Para la ruta BE, la varianza es 0.44 + 0.44 = 0.89 La desviación estándar es 0.94. P(Tiempo < 16) = 0.50 d. P(Proyecto total < 16) = 0.64 • 0.50 = 0.32

Ejemplo motivador Pronósticos en L. L. Sean 1 .' , .:::, .. -...

-.<, .:/

-..

<.-.:.:-,

qÚé:~lant¿riorprocedimientode

pro~.1 .• • !3.ean,.. laeBtosá·.elllpresa·.de pedidos.. porco-·. máspre¿is6•• . rreo, necesita hacer los. p'ronósticosde lospedi- nóstico·i • ·•. ·.·> . . . . < •..•••. ParaL.L.Bean, los pronósticos más exactos dostelefóni~osparaplanear.contres semanas de se. traducen directamente en (ihorroen los costos; antifipaciólleln~llleroapropiado.de.trabajado-•• res. quedebeelllplear. Del totaldeventas, 72o/p Si un pronósticoesdemasiad? eltvado,entonces . corresponde al(isllamadasa la central telefónica. el exceso en laprogramación.delpersonaltermibosprincipalesfactores.. queafectan elvolulllen na en .desperdicio .• decostosenesta área; .y.. si es telefónico diario so~ eldí~ delasemana (elvolu- demasiado bajo,entonces· no sólo. el servicio. al cliente se reduce, sino que también la empresa lllen•• es.más~ltolos1un~sy.generallllentedisllli nuyeaJolargo dela~emana),laépoca d~laño(el incurre· en· cargos telefónicos·· adicionales. debido volumen en lasfiestas de diciembre es mucho más a las esperas (proporciona un servicio de número ; altoque el vohuIlen enunmes prqmedio), los días 800) X pierde algunas ventas porque algllnos de festivos{el.volullleucie llamadas se reduce), y el los clientes potenciales no esperan cllando no pueenvío de catálogos (se incrementa deforma nota- dentomUl1icarsede inmediato.La. empresa calble elvolumen de llamadas el día en el. que se re- culaque el sistema de pronóstico mejorado· está ahorrando cerca de US$300.000 alaño, cifra que cibe mi nuevocátálogoYvariosdías después). Hace poco, laempresa terminó un proyecto excluye los ahorros de evitar gran parte deltrabapara mejorarlos pronósticos de las llamadas de la jo de mano de obra que antes se requería para la central telefó~ica, utilizando conceptos que se des- formulación de pronósticos. cribiránen este capítulo. Todos los elementosmencionados se hanincorporado dentro de un sistema Véase Andrews, Bruce H. yCunningham,Shawn·M.,."L. L. Bean ImprovesCall-CenterForecasting"; Interfaces, de. prónóstico, elcualhademostradó ser mucho !'loyember-DeceIll~er1995, pp.1-13.

Los pronósticos son esenciales para las operaciones efectivas de un negocio, ya que permiten que las diferentes partes de una organización trabajen juntas de manera más armónica. A pesar del dicho de que "los pronósticos son siempre errados" es cierto, no tiene ningún sentido que en una empresa la sección de producción planee ventas de un millón de computadores anuales, la de ventas y mercadeo planee ventas de 2 millones, y el departamento financiero y de contabilidad tenga una cifra de medio millón. En este capítulo se estudian varios conceptos y herramientas de pronóstico. Los conceptos aquí presentados son cuantitativos y, por lo general, son más apropiados cuando se dispone de datos anteriores sobre órdenes, pedidos o envíos. Los pronósticos pueden hacerse a distintos niveles de agregación. Algunas veces, el interés está en las ventas en dólares agregadas durante un año, mientras que en otras es necesario pronosticar la demanda a corto plazo de un modelo en particular o de un repuesto en especial. Las empresas de negocios tienen sistemas de control de inventarios y reabastecimiento de existencias, y los pronósticos de la demanda futura son un elemento clave de tales sistemas. La primera parte de este capítulo presenta métodos de pronóstico de series de tiempo que utilizan datos pasados para calcular valores futuros. Primero se consideran los promedios móviles y luego se presenta una técnica denominada suavizamiento exponencial que es la de mayor utilidad para pronosticar las ventas de un producto, un repuesto o una línea de producto a través del tiempo. La segunda parte de estecapítulo discute la regresión, una técnica estadística que puede utilizarse para pronósticos, con frecuencia a un nivel más agregado corno ventas trimestrales o anuales en dólares de una división o empresa. El capítulo se cierra con un estudio de los métodos de pronóstico para nuevos productos que no disponen de datos pasados sobre ventas históricas; el análisis de regresión también es útil en este caso.

SECCiÓN l. MÉTODOS DE SERIES DE TIEMPO

PROMEDIOS MÓVILES Considerar los datos de ventas presentados en la tabla 12-1 y en la figura 12-1, que son las ventas mensuales (en miles de dólares) de cereal vendido por una empresa.

464


TABLA 12-1 Ventas mensuales del cereal

Mes

.

Ventas (miles de dólares)

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

US$1,212 1,321 1,278 1,341 1,257 1,287 1,189 1,111 1,145 1,150 1,298 1,331

Promedio

US$1,243.33

6

8

10

12

Mes

I-+- Ventas (miles de dólares) Se necesita pronosticar las ventas de varios de los meses siguientes para planear las compras de materia prima, el trabajo de los operarios, el uso del equipo de la planta y realizar las proyecciones financieras. El pronóstico más simple, con base en datos pasados, sería calcular las ventas mensuales promedio y utilizar dicho valor promedio (US$1,243.33) como pronóstico para meses futuros. Sin embargo, cada mes se obtienen nuevos datos, de manera que lo ideal sería actualizar dicho promedio. Unpromedio móvil es el que se calcula sobre varios datos anteriores; por ejemplo, el cálculo a tres meses mediante el promedio de los datos de los últimos tres meses, que luego se utiliza como pronóstico para el mes

siguiente. La tabla 12-2 contiene esos cálculos, iniciando con abril, debido a que 8e necesitan tres meses de datos iniciales para calcular el primer promedio móvil.

Pronósticos

TABLA 12-2 Pronóstico de promedio móvil a 3 meses


Mes Enero

465

Promedio móvil a 3 meses

US$1,212

Febrero

1,321

Marzo

1,278

Abril

US$1,270.33

Mayo

1,341 1,257

Junio

1,287

1,292.00

Julio

1,189

1,295.00

Agosto

1,111

1,244.33

Septiembre

1,145

1,195.67

Octubre

1,150

1,148.33

Noviembre

1,298

1,135.33

Diciembre

1,331

1,197.67 1,259.67

1,313.33

Por ejemplo, el pronóstico de abril de US$1,270,33, se obtiene de: (1,212 + 1,321

+ 1,278) / 3 = 1,270,33

Es decir, el promedio de los primeros tres meses de ventas reales se utilizaría corno pronóstico para las ventas del cuarto mes. La figura 12-2 ilustra estos pronósticos:

1,400

FIGURA 12-2 Promedio móvil a tres meses 1,200

1,000 (jj" ID

~

:g

800

ID

-o (f)

~

E

600

(f)

ctl

E ID

>

400

200

OL-_ _l -_ _.L......._ _..L-._ _...l-_ _- ' - - _ - - - - - ' O

2

4

6

8

10

12

Mes

I --+-

(miles de dólares) -·0·- promedio móvil a 3 me565

I

466


Los datos del cereal muestran un descenso de las ventas en los meses de julio, agosto y septiembre, y luego un incremento en noviembre y diciembre. Puede apreciarse que el pronóstico del promedio móvil va a la zaga de los cambios reales. A pesar de que no puede esperarse ningún método de proyecci6n de series de tiempo por adelantado para predecir los puntos de inflexión, sería muy oportuno contar con pronósticos que puedan reaccionar rápidamente a las tendencias a corto plazo. Una forma de hacerlo es reducir el período del promedio móvil (es decir, de tres meses a dos meses) que se ilustra en la figura 12-3, que representa los pronósticos móviles a tres y a dos meses. Los pronósticos móviles a dos meses muestran menos retraso en las tendencias siguientes a corto plazo que los pronósticos de promedios móviles a tres meses. Una desventaja de los pronósticos con promedios móviles es que asignan el mismo peso a cada punto de datos cuando están calculándose. El argumento es que la mayoría de los datos recientes merecen un peso más elevado en el pronóstico. Un método que asigna sistemáticamente el peso más alto a los datos más recientes y progresivamente menos peso a los datos más antiguos es el denominado suavizamiento exponencial; que ahora se presenta aplicándolo al ejemplo de pronóstico del cereal.

SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL El suavizamiento exponencial utiliza una constante de suavizamiento que es el porcentaje del pronóstico afectado por el punto de datos más recientes o la observa-

1,400

,L.

FIGURA 12·3 Promedio móvil a dos meses

,5:'·-0

1,200

~",-----,..-_=-_-..&~/

1,000

800 (j) (]) ....

al

:o -o

600

(])

-o en

(])

'E

-

en

400

al

e

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>

200

OL--_ _- . L O

2

.L.-_ _----'--

4

6 Mes

--'--_ _---'-_ _- . . . J

8

10

12

FF Ventas (miles de dólares) ··0·· promedio móvil a 3 meses ••!J.•• promedio móvil a 2 meaeq

Pronósticos

467

cíón de las ventas. Se selecciona un valor de la constante de suavizamiento de 0.20; esto significa que 20% del pronóstico se verá afectado por el último punto de los datos y, el 80% del pronóstico, por los puntos de datos iniciales. Con este valor de la constante de suavizamiento, la ecuación básica del suavizamiento exponencial es: Nuevo pronóstico = 0.20 (último punto de datos) + 0.80 (pronóstico anterior)

(12-1)

Ahora se aplica esta ecuación a partir del mes de febrero, suponiendo que el pronóstico anterior para enero se toma como las ventas de enero por US$1,212. Entonces el pronóstico de febrero sería: Pronóstico de febrero

=

0.20 (ventas reales de enero) + 0.80 (pronóstico del anterior enero) 0.20 (1,212) + 0.80 (1,212) = 1,212

Ahora, se observan las ventas reales de febrero por US$1,321; se utilizarán estos datos para hacer un pronóstico para marzo: Pronóstico para marzo = 0.20 (ventas reales de febrero) + 0.80 (pronósticos del anterior febrero) = 0.20 (1,321) + 0.80 (1,212) = 264.2 + 969.6 = 1,233.8 Luego, se observan las ventas reales de marzo por US$1,278; se utilizarán estos datos para hacer un pronóstico para abril: Pronóstico para abril

=

0.20 (ventas reales de marzo) + 0.80 (pronóstico de marzo anterior) 0.20 (1,278) + 0.80 (1,233.8) = 255.6 + 987.04 1,242.64

Estos cálculos se completan en la tabla 12-3, y los pronósticos se ilustran en la figura 12-4. En la figura 12-4 puede verse que el valor 0.20 de la constante de suavizamiento hace que el pronóstico responda de manera lenta a la disminución de las ventas de julio-septiembre. En la figura 12-5 se representan los resultados intentando con un valor más alto para la constante de suavizamiento, por ejemplo, 40. En la figura 12-5 un valor alto de la constante de suavizamiento hace que el pronóstico responda a la reducción de ventas de julio-septiembre un poco más Ventas Mes

Pronóstico de (miles de dólares)

Suavizamiento exponencial

TABLA 12-3 Pronóstico de suavizamiento exponencial

(Constante de suavizamiento = 0.20)

US$1,212

US$1,212.00

Febrero Marzo

1,321 1,278

1,212.00 1,233.80

Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre

1,341

1,242.64

1,257 1,287

1,262.31 1,261.25

1,189 1,111 1,145

1,266.40 1,250.92 1,222.94

Octubre Noviembre

1,150 1,298

1,207.35 1,195.88

Diciembre

1,331

1,216.30

Enero

1,239.24

468


1,400

FIGURA 12-4 Pronóstico de suavizamiento exponencial (Constante de suavizamiento = 0.20)

1,200

1,000

Ul ID

ro

800

:o"O

ID "O

en

600

~

'E en

ro

eID

400

>

200

0'----.l...-.--.1....---..l---~---'----'

o

2

I-+-

Ventas (miles de dólares) --D--Pronóstico de suavizamiento exponencial

4

6 Mes

8

10

12

I

rápido. Claro que, a pesar de que un valor más alto de la constante de suavizamiento sería más sensible, también podría reaccionar ante lo que podrían ser simples movimientos aleatorios de las ventas de un mes al siguiente, de manera que el rango usual de valores para la constante de suavizamiento está entre 0.10 y OJO. Los cálculos para la ecuación 12-1 son, por supuesto, fáciles de realizar en una hoja de cálcul0 2. Antes se desarrollaron en detalle sólo para mostrar su funcionamiento. En el apéndice 1 de este capítulo se presentan los detalles de los cálculos de suavizamiento exponencial en hojas de cálculo. Ahora, se plantea de nuevo la ecuación 12-1 en símbolos, más fácil de utilizar cuando se presenten modelos más complejos. Sea: Dt ventas (demanda) del período t F t + 1 = pronóstico para el período t + 1 (es decir, conociendo las ventas del período t) a constante de suavizamiento Entonces la ecuación 12-1 en símbolos es: F t +1 = aDt

+ (1- a)Ft

(12-2)

2 Excel incluye una característica para ejecutar el suavizamiento exponencial de una ecuación. Se hace die en el menú Hen'amientas, luego enAnálisis de datos y después en Sllavizamiento exponencial. Excel utiliza el término Factor de amortiguamiento; éste es 1, la constante de suavizamiento notación. Se encuentra disponible una opción para trazos. El suavizamiento contendencia y factores estacionales no está incluido actualmente en Excel.

Pronósticos

469

1,400

FIGURAJ2-S Pronóstico de suavizamiento exponencial (Constante de suavizamiento = 0.40)

1,200

ID al ~

1,000

:o "lJ al "lJ (f)

~

'E

800

(f)

.l9e

~

600

400

200

O ' - - - - - ' - - - - J ._ _--'-_ _----L_ _----L_ _-.J

O

2

4

6 Mes

-+- Ventas (miles de dólares)

8

10

12

--!lo-Pronóstico de suavizamiento exponencial

Verificar que la ecuación 12-2, que utiliza símbolos, represente los mismos cálculos descritos en la ecuación 12-1.

¿Por qué el nombre? Existe una razón para un nombre tan poco usual como suavizamiento exponencial. Resulta del hecho de que a una observación real de ventas mensuales se le pondera cada vez menos a medida que el tiempo pasa y se acumulan datos más recientes. La figura 12-6 muestra que los promedios para todos los puntos de datos descienden a medida que dichos puntos se vuelven más antiguos (es decir, cuando se acumulan datos más nuevos para actualizar las ecuaciones 12-1 ó 12-2). Debido a que la constante de suavizamiento es 0.20, cuando se presenta un mes en particular (por ejemplo, marzo), a sus ventas se les da inicialmente una ponderación de 0.20 mediante la ecuación de suavizamiento básica (12-1 ó 12-2). Luego, un mes después, cuando las ventas de abril se convierten en el nuevo punto de datos, las ventas de marzo se "entierran" en el pronóstico del período anterior; pues mediante las ecuaciones de suavizamiento (12-1 ó 12-2), el pronóstico anterior es multiplicado por 1 menos la constante de suavizamiento, o 1- 0.2 = 0.8. Así, el promedio original de 0.20 se multiplica por 0.8 para convertirse en 0.16 para el período 2, como se muestra en la figura 12-6. Cada mes sucesivo produce otra multiplicación por 0.8 y termina en la curva descendente que aparece en la misma

470


0.2

FIGURA 12·6

Ponderaciones para datos anteriores

0.18

(Constante de suavizamiento = 0.20)

0.16 0.14 e

'0

'ü

0.12

ro

Oi

0.1

o..

0.08

-o e o

0.06 0.04 0.02

O 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Período

figura. Estos promedios son exponencialmente descendentes, de allí el nombre de suavizamiento exponencial.

AGREGAR TENDENCIA LINEAL El modelo de suavizamiento básico presentado siempre estará a la zaga de todo incremento o reducción sistemáticos en los datos de ventas. Observar la tabla 12-4 que contiene datos de ventas mensuales para un programa popular de hoja de cálculo. Se ha aplicado el suavizamiento exponencial a estos datos con una constante de suavizamiento de 0.20; los resultados se presentan en la figura 12-7. Puede apreciarse que la tendencia general ascendente en ventas no se capta bien mediante el modelo de suavizamiento exponencial de una sola ecuación. A pesar de que una constante de suavizamiento rastrearía mejor los datos, una alternativa es utilizar un modelo diferente, denominado suavizamiento exponencial con tendencia lineal, el cual explícitamente permite una tendencia lineal (bien sea hacia arriba o hacia abajo) en el tiempo. Sea:

TABLA 12-4 Ventas mensuales para un programa de hoja de cálculo (miles de dólares)

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Ventas US$1,214 1,252 1,304 1,384 1,279 1,583 1,470 1,739 1,573 1,836

2,041 1,983

Pronósticos

471

2,500

FIGURA 12-7 Ventas mensuales de software

2,000 ID ID

ro

:o "O ID

~ 1,500 ~

'E (/)

ro

eID

>

1,000

500

O'-----l----L-_ _-L

o

2

4

6 Mes

L -_ _---L_ _- . l

8

10

12

-+- Ventas (miles de dólares) --o--Pronóstico de suavizamiento exponencial simple

Gt = estimado de tendencia de un período

Entonces, las ecuaciones básicas 12-1 ó 12-2 se modifican para incluir el estimado de la tendencia, de la siguiente manera: (12-3) Esta ecuación sigue la noción básica de la ecuación 12-1; es un promedio ponderado del más reciente punto de datos (D t ) y el pronóstico anterior. En la ecuación 12-3 puede verse que al valor del período anterior se le suma el valor anterior del valor de la tendencia de un período (G t - 1). Ésta es la forma como la tendencia se incluye en el modelo. Además, se utiliza un nuevo símbolo St' que es como el pronóstico de línea de base actualizado, salvo que no proyecta la tendencia para el siguiente período. Para los datos de la figura 12-7, un estimado bruto básico de la tendencia cada mes (incremento) es de aproximadamente 70 (en miles de dólares), debido a que las ventas van de 1,214 a 1,983 en un período de 11 meses. Sin embargo, una forma más conveniente de actualizar el factor de la tendencia es utilizar de nuevo el suavizamiento exponencial; véase ecuación 12-4.

472


(12-4) En la ecuación 12-4, el valor anterior de la tendencia, Gt- l , tiene un papel similar al del valor anterior del pronóstico en la ecuación básica (12-1 ó 12-2); y el último valor de datos en la ecuación 12-1 se representa por la diferencia entre los dos últimos pronósticos de línea de base, St - St-l' Esta diferencia es la información más reciente de la tendencia; por tanto, la estructura general de la ecuación 12-4 sigue la de las ecuaciones anteriores. Se permite que una constante de suavizamiento diferente, b en lugar de a, proporcione algo de flexibilidad. Debido a que ahora hay dos ecuaciones, este modelo se denomina modelo biecuacional con tendencia lineal, o simplemente un modelo biecuacional. Para este modelo biecuacional, el pronóstico para el siguiente período se calcula así: (12-5) La ecuación 12-5 calcula el pronóstico para el siguiente período sumando el valor de la tendencia de un período (G t ) de la ecuación 12-4 al pronóstico de la línea de base, St' calculada en la ecuación 12-3. Las ecuaciones 12-3, 12-4 Y12-5, cuando se les utiliza con valores de la constante de suavizamiento de a = 0.20 y f3 = 0.20, producen los pronósticos que aparecen en la figura 12-8. Puede verse en la figura 12-7que estos pronósticos rastrean el incremento en las ventas mucho mejor que el modelo de una sola ecuación. La tabla 12-5 contiene los cálculos para las ecuaciones 12-3 a12-5 subyacentes a la figura 12-8. Para utilizar las ecuaciones 12-3 y 12-4, se necesitan los valores anteriores de S y G. En la tabla 12-5, se retrasa un mes y se inician los cálculos a partir de febrero. Luego, el valor anterior de S se toma como las ventas reales del mes de enero, y el valor anterior de la tendencia mensual, G, se estima inicialmente como 70 (del incremento agregado de 1,214 a 1,983 en 11 meses). Verificar que de las ecuaciones 12-3 a 12-5 salgan los números indicados para SFeb y GFeb y el pronóstico para marzo.

TABLA 12-5 Cálculos para el modelo biecuacional de suavizamiento exponencial para las ventas de software

Mes

Enero


US$1,214

St

Gt

1,214

70.00

Pronóstico biecuacional de suavizamiento exponencial

Febrero

1,252

1,277.60

6B.72

US$1,2B4.00

Marzo

1,304

1,337.B6

67.03

1,346.32

Abril

1,384

1,400.71

66.19

1,404.88

Mayo

1,279

1,429.32

58.68

1,466.90

Junio

1,583

1,507.00

62.48

1,487.99

Julio

1,470

1,549.58

58.50

1,569.47

Agosto

1,739

1,634.26

63.73

1,608.07

Septiembre

1,573

1,673.00

58.73

1,697.99

Octubre

1,836

1,752.58

62.91

1,731.73

Noviembre

2,041 1,983

1,860.59

71.93

1,815.49

1,942.61

73.95

1,932.52

Diciembre

2,016.56

Pronósticos

473

2,500

FIGURA 12·8 Pronóstico biecuacional de suavizarniento exponencial

2,000

1,500

íñ ID

lQ

'o

"O ID "O rf)

.!l1

1,000

'E rf)

CIl

eID

>

500

0~----'-----~-_--l

o

2

4

6 Meses

-+- Ventas (miles de dólares)

--l....

8

.L-_ _---I

10

12

--L',--Pronóstico de suavizamiento exponencial

FACTORES ESTACIONALES En muchas situaciones, la demanda puede seguir un patrón estacional. En climas fríos, se consume más sopa de pollo durante el invierno que en el verano; tienden a comprarse más casas en la primavera y comienzos del verano; y las ventas minoristas de juguetes y computadores en Estados Unidos son más altas en diciembre que en los demás meses, debido a las compras de regalos para las fiestas de fin de año. Por tanto, hay que aprovechar esta información al ajustar los pronósticos obtenidos mediante suavizamiento exponencial básica o por suavizamiento exponencial con tendencia. La tabla 12-6 contiene las ventas mensuales (miles de cajas) durante tres años de una marca conocida de sopa de pollo. La figura 12-9 muestra estos datos. Obser. var que las ventas son más altas que el promedio durante los meses de invierno de diciembre a marzo y menores que el promedio durante los meses de verano de julio yagosto. Se incluye la estacionalidad mediante la definición de los factores estacionales individuales por cada estación del ciclo. En este caso, los datos son las ventas mensuales, de manera que habrá 12 factores estacionales de Cl a Cn En general, el factor estacional para una temporada o estación iguala la demanda promedio o las ventas promedio para ese período dividido por el promedio general de las ventas. Por consiguiente, los factores estacionales para los meses de invierno serán más prolongados que 1.0, y los de los meses de verano serán menores que 1.0.

474


TABLA 12·6

Ventas (miles de cajas)

Ventas mensuales de sopa de pollo

1994

1995

1996

Factores estacionales

Enero

219

236

243

1.3278

Febrero

216

239

238

1.3183

Marzo

218

221

224

1.2613

Abril

185

194

194

1.0900

Mayo

154

161

162

0.9074

Junio

147

131

153

0.8199

Julio

124

110

138

0.7077

93

101

128

0.6126

Septiembre

127

131

151

0.7781

Octubre

148

157

165

0.8941

Noviembre

161

189

194

1.0349

Diciembre

198

217

241

1.2479

Agosto

Promedio de tres años = 175.2222

FIGURA 12-9

250

Ventas mensuales de sopa de pollo

200

(j) (\j

'(ij ü

150

Q)

TI

m

.92

.s m Cll

e Q)

>

100

50

o L----l..---L__ o 2 4 6

L-..L----L.---L_L.--l...--L---l_.L----L.-----L-----.JL_....L.--'---"-~

8

10

12

14

16

18

20

Mes

1--.- Ventas (miles de cajas) I

22

24

26 28

30 32

34

36

Pronósticos

475

UTILIZACiÓN DE LOS FACTORES ESTACIONALES Los factores estacionales Ct están incluidos en las ecuaciones 12-3 a 12-5 de la siguiente manera: La ecuación (12-3) se convierte en: (12-6) donde N es el número de períodos de un ciclo estacional completo (aquí, N = 12 meses por año). La razón para utilizar Ct _N en lugar de Ct es que la información disponible más reciente sobre un mes en particular tiene un ciclo de antigüedad. La ecuación (12-4) sigue siendo la misma: (12-4) Sin embargo, se necesita un procedimiento para actualizar (revisar) los factores estacionales en sí debido a que se dispone de los nuevos datos. De la misma forma como se hizo con el término de tendencia, de nuevo se utilizará el suavizamiento exponencial para actualizar los factores estacionales de la siguiente forma: (12-7) Se utiliza una tercera letra griega, y, para permitir que una constante de suavización diferente actualice los factores estacionales. Debido a que el número de nuevas observaciones del factor estacional es uno al año, generalmente la constante de suavizamiento g para la actualización del factor estacional en la ecuación 12-7 sería algo mayor que los valores utilizados en otras ecuaciones. Finalmente, la ecuación 12-5 se vuelve:

Ft+1 = (St + Gt ) Ct+l-N

(12-8)

La ecuación 12-8 toma el pronóstico de línea de base St' adiciona una tendencia de un período Gt , y luego multiplica dicho resultado por el factor estacional correspondiente al siguiente mes (sobre el que se está haciendo el pronóstico). Por ejemplo, si acaba de observarse la demanda para diciembre de 1996 y se desea pronosticar la demanda para el primer mes de 1997, entonces el factor estacional apropiado a utilizar sería el factor de enero, y el disponible es de enero de 1996; ésta es la razón por la que en la ecuación 12-8 el subíndice para C sea t + 1 - N

Ejemplo Se consideran los factores estacionales de los datos de la sopa de pollo de la tabla 12-6. Una manera simple para obtener los estimados de los factores estacionales es calcular las ventas mensuales promedio sobre toda la muestra y luego calcular, para cada mes por separado, la relación de las ventas promedio de ese mes con el promedio global. En la tabla 12-6, el promedio global de las ventas mensuales es 175.2222. Considerando los tres puntos de datos de enero, las ventas promedio de enero son: Ventas promedio de enero

= (219 + 236 + 243)/3 = 698/3 = 232.67

Por tanto, el factor estacional de enero, Cene O C l , es igual a 232.67/175.2222 = 1.3278. La tabla 12-6 contiene el valor de los 12 factores estacionales calculados de esta manera. Inicialmente se calcula la tendencia tomando los incrementos en las ventas de enero de 1994 a enero de 1996 (243 - 219 = 24) Y dividiendo por 24 meses, para obtener un estimado de G = 1 unidad por mes. Para estimar el valor inicial de S, sé

476

Análisis cuantitativo hará el cálculo del promedio de las ventas mensuales en 1994 = 161 unidades y luego se restará la mitad del año de la tendencia (debido a que G = 1, la mitad del año de la tendencia es 6 unidades; 161- 6 = 155 unidades) y se utilizará 155 como estimado inicial del valor S previo, antes de enero de 1994. Luego pueden usarse las ecuaciones 12-6, 12-4, 12-7 Y 12-8 para calcular los nuevos valores de S, los nuevos valores de G, los nuevos pronósticos y los factores estacionales actualizados3. Por ejemplo, utilizando 0.20 para todos los factores de suavizamiento, considerar la actualización que puede realizarse una vez se conozca que las ventas de enero de 1994 fueron de 219 unidades. La ecuación 12-6 se convierte en:

SI

= 0.20 (219/1.3278) + (0.80) (155 + 1) = 32.987 + 124.8 = 157.787

La ecuación 12-4 entonces se convierte en:

G1 = 0.20 (157.787 -155) + (0.8)(1)

= 0.5574 + 0.8 = 1.3574

La ecuación 12-7 se convierte en:

el = 0.20 (219/157.787) + (0.8)(1.3278) = 0.2776 + 1.0622 = 1.3398 Finalmente, la ecuación 12~8 se convierte en:

F2 = (157.787

+ 1.3574) Ct + 1-N

Aquí, debe utilizarse el valor inicial aproximado de C2 = 1.3183 para el factor estacional, debido a que al iniciar no se tenía el factor del año anterior. Por tanto:

F2 = (157.787 + 1.3574) (1.3183)

= 209.8

La tabla 12-7 ilustra estos cálculos desde enero de 1994 hasta diciembre de 19964. El pronóstico de un mes anticipado resultante se representa en la figura 12-10. Observar el acierto de los pronósticos de las ventas mensuales de sopa de pollo a través de este modelo con una tendencia pequeña y factores estacionales mensuales. Esto se logra porque la estacionalidad de los datos es muy pronunciada y muy sistemática (es decir, estable a través del tiempo).

INICIACiÓN DEL MODELO

Existen diversas fOrmas de retomar datos pasados e iniciar cualquiera de estos modelos de suavizamiento exponencial. Un procedimiento sugerido es simplemente usar los datos doblemente; es decir, utilizar los promedios de todo el conjunto de datos para obtener las ventas promedio por período, la tendencia promedio por período y los factores estacionales promedio, y luego regresar al primer punto de datos y usar las ecuaciones para volver a empezar como se haría si los datos volvieran a estar disponibles. Esto fue lo que se hizo en el ejemplo de la sopa de pollo. Para ello, se necesitaría por lo menos dos, y de preferencia tres (o más) ciclos estacionales, para lograr buenos estimados de los factores estacionales. Además, los factores estacionales periódicamente podrían normalizarse, de manera que se adicionaran exactamente a N (se alejarían de esa relación a medida que se actualicen). Para el caso de los factores estacionales, es más fácil comenzar los cálculos con el primer punto de datos (por ejemplo, enero) y no con el segundo punto (febrero), como se hizo antes. 4 Debido a que los cálculos de la tabla utilizan más cifras decimales, los cálculos del texto no son exactos con respecto a los valores de la tabla.

3

Pronósticos

TABLA 12-7 Pronóstico de la sopa de pollo con factores estacionales y tendencia

Enero 1994 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 1995 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 1996 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

477

Ventas (miles de cajas)

s¡

G¡

e¡

F¡

219 216 218 185 154 147 124 93 127 148 161 198 236 239 221 194 161 131 110 101 131 157 189 217 243 238 224 194 162 153 138 128 151 165 194 241

155 157.7860 160.0834 163.8716 166.6359 168.9695 172.7812 175.2777 172.5928 171.8949 171.4503 168.8668 166.8857 168.4672 170.9001 171.8045 173.3877 174.8018 172.2936 169.1124 168.7210 168.6437 169.9862 173.0804 174.0678 175.7413 176.8350 177.2774 177.7852 178.4109 180.9574 185.2873 192.4357 195.3511 195.4238 195.7208 197.0277

1 1.3572 1.5452 1.9938 2.1479 2.1851 2.5104 2.5076 1.4691 1.0357 0.7396 0.0750 -0.3362 0.0473 0.5245 0.6004 0.7970 0.9204 0.2347 -0.4485 -0.4371 -0.3651 -0.0236 0.6000 0.6775 0.8767 0.9201 0.8245 0.7612 0.7341 1.0966 1.7432 2.8243 2.8425 2.2885 1.8902 1.7736

1.3399 1.3245 1.2751 1.0941 0.9082 0.8261 0.7076 0.5978 0.7702 0.8879 1.0186 1.2356 1.3521 1.3393 1.2773 1.0990 0.9108 0.8129 0.6962 0.5980 0.7715 0.8951 1.0333 1.2378 1.3582 1.3406 1.2746 1.0975 0.9102 0.8194 0.7059 0.6114 0.7718 0.8849 1.0249 1.2349

209.803 203.855 180.801 153.158 140.332 124.049 108.903 135.431 154.618 178.195 210.829 223.153 223.201 218.578 188.624 158.197 145.162 122.086 100.829 129.614 149.419 173.121 214.606 236.266 236.546 227.051 195.741 162.617 145.633 126.745 111.839 150.648 177.396 204.289 244.611

VALORES DE LA CONSTANTE DE SUAVIZAMIENTO

Por lo general, los valores para las constantes de suavizamiento a y f3 se sitúan entre 0.10 y 0.30. Cuanto mayor sea el valor de la constante de suavizamiento, mayor será la respuesta del pronóstico a los cambios recientes en las ventas. Sin embargo, algunas veces la respuesta será sólo una respuesta a los cambios aleatorios de las ventas de mes a mes, y no es conveniente tener pronósticos con grandes variaciones de un mes al siguiente. Por este motivo, los valores de suavizamiento a y f3 se mantienen en o por debajo de 0.30, como ya se explicó. Con frecuencia, el factor de suavizamiento estacional y puede tener un valor más alto, quizá 0.20 o hasta 0.60; esto se debe a que cada factor estacional C¡ se actualiza sólo una vez en el ciclo estacional completo. Por ejemplo, si se consideran 12 meses como un ciclo estacional, las fórmulas de la línea de base y tendencia se

478


FIGURA 12-10 Pronóstico de las ventas de sopa de pollo con factores estacionales y tendencia

250

2.00

Ul Q)

;a

:o

150

~

Q) ~ (/J

~

"E (/J

ro

100

e Q)

>

50

O::-~_-L-~--'-~L----'-_.L..---L_...L.----l_---l-_L----L_..l..-----.l_---l.-_L---.J

o

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

Mes

-+-

Ventas (miles de dólares) --o--Pronóstico

actualizan 12 veces al año, mientras que el factor estacional de diciembre, C12' se actualiza sólo una vez; de allí que el factor de suavizamiento sea más alto.

RESUMEN El suavizamiento exponencial proporciona una forma mecánica de generar pronósticos con base en datos pasados. El modelo básico de una sola ecuación puede extenderse para incluir una segunda ecuación para la tendencia, y un tercer grupo de coeficientes para manejar las fluctuaciones estacionales. Es el método es apropiado para situaciones donde se requiere un pronóstico de forma automática para un gran número de productos o piezas.

SECCiÓN U.MODELOS DE REGRESiÓN

_

MODELOS DE REGRESiÓN LINEAL SIMPLE Otra técnica para analizar datos y generar pronósticos tiene que ver con el uso de los modelos de regresión. El modelo de regresión más simple se ajustará a una línea recta a través de una serie de puntos de datos. Por ejemplo, para los datos sobre las ventas de software en la figura 12-7, un modelo de regresión lineal producirá la recta que se muestra en la figura 12-11.

Pronósticos

479

Un modelo de regresión ajusta a los datos a una línea recta. En una regresión lineal simple existe una variable independiente (aquí, son los meses) y una variable dependiente (ventas, la variable que se está pronosticando). La forma general de la ecuación de regresión lineal simple es: (12-9) Donde X t es la variable independiente (mes) y Yt es la variable dependiente correspondiente (ventas en ese mes). El coeficiente a se llama intersección; el coeficiente b es la pendiente de la recta. El principio que está tras la regresión lineal es el de que los coeficientes a y b se determinan, de manera que produzcan el mejor ajuste lineal de la recta a través de todos los puntos de datos5 . Para la figura 12-11, los valores de los coeficientes estimados o ajustados en la ecuación 12-9 son a = 1,066.3 Yb = 75.161; esto indica que la tendencia lineal ascendente de las ventas agrega cerca de 75 unidades de ventas adicionales cada mes 6. Al utilizar la regresión lineal para hacer pronósticos, es necesario seleccionar cierto número puntos de datos para ajustar la línea de regresión y luego utilizarla para determinar un pronóstico de las ventas en el siguiente período. La figura 12-11

2,500

FIGURA 12-11 Línea de regresión para las ventas de software 2,000

1,500

Ul
ni

;o -o
~

1,000

E. (f)

ro

e
>

500

OL-.._ _....l-_ _--'-

o

2

4

l - _ _-L..._ _- - L_ _- - l

8

6

10

12

Mes

1

Ventas (miles de dólares) - - Línea de regresión 1

5 El criterio usual de ajuste es minimizar la suma de las desviaciones verticales cuadradas de la recta a las

observaciones; por tanto, con frecuencia se utiliza el nombre de regresión por mínimos cuadrados. 6

Los meses de enero, febrero y así sucesivamente, realizar la regresión.

debl,':n remplazarse con los números 1, 2, etc., para

480

Análisis cuantitativo no lo hace; en ella, las 12 observaciones se utilizaron para ajustar la línea como se dibujó. (La línea en la figura 12-11 se extendió al mes 13, y ese es el pronóstico para el mes 13 (enero del siguiente año.) Así, para comparar los pronósticos de regresión con los de suavizamiento exponencial y otras opciones, debe realizarse una serie de regresiones, una para cada punto de los datos de pronóstico. Por ejemplo, un pronóstico para el mes 7 (julio) se haría de manera ordinaria utilizando sólo los puntos de datos disponibles anteriores a julio (es decir, de enero a junio, o los meses 1 a 6). Por consiguiente, cuando se ajusta un modelo de regresión, debe preguntarse siempre cuáles puntos de datos están utilizándose para ajustar la regresión. La figura 12-12 muestra una línea de regresión ajustada a los primeros seis meses de datos y sus pronósticos para el mes 7 (julio). Tendría que generarse una serie de dichas cifras, una para julio, agosto y así sucesivamente, para obtener pronósticos como se hubiera generado de los datos anteriores disponibles para cada mes. En muchas circunstancias, este trabajo no se asume, y se muestran sólo los resultados de una regresión global como en la figura 12-11. Para efectos de evaluación de pronóstico, en la figura se muestra sólo la manera como una línea recta se ajusta a los datos pasados, y no el acierto del método de regresión. Afortunadamente, las modernas hojas de cálculo tienen cálculos de regresión creados en sus herramientas u opciones. Producen abundancia de resultados, incluyendo una medida del acierto con que el modelo (la línea de regresión) encaja los datos. Ahora se describirá cómo utilizar Excel para realizar cálculos de regresión.

FIGURA 12-12

2,500

Línea de regresión después de los primeros seis meses

2,000

ID

1,500

Ql

ro

:o "O Ql

"O ff)

Ql

'E

1,000

ff)

ro

e Ql

>

500

o'------'-----'----~-----'----~--~

o

2

4

8

6

10

Mes

1--.- Ventas (miles de dólares) -

Línea de regresión

I

12

Pronósticos

481

DESARROLLO DE LA REGRESiÓN UTILIZANDO EXCEL Suponer que los datos de la tabla 12-4 están en las dos primeras columnas de una hoja de cálculo de Excel, de manera que los títulos de las columnas (Mes, Ventas) queden en las celdas Al y B1, Ylos datos en las celdas A2:A13 y B2:B13. Primero se cambian las entradas de mes a partir de enero, febrero y así sucesivamente por 1, 2...,12, debido a que las regresiones requieren de entradas numéricas. Luego, para realizar un análisis de regresión, se consulta el menú Herramientas y se selecciona Análisis de datos. Se abrirá una ventana independiente, donde se selecciona Regresión. Otra ventana se abrirá y en ella deben completarse las casillas para el rango de entrada Y (la variable dependiente que se intenta pronosticar), la entrada de la variable X (la variable independiente utilizada en el pronóstico), y el sitio donde se presentará el resultado. Para los datos, el rango Y es B2:B13 y el rango X es A2:A13, de manera que se escribe esa información. Suponer que se pide que el rango de resultados comience en la celda A16. También revisar la casilla que está alIado de Residuos y la que está junto a Línea que ajusta a datos diagramados. Seleccionar OK, y después de un momento, la hoja de cálculo se parecerá a la figura 12-13. Al revisar la figura 12-13, observar que los valores para los coeficientes a y b se presentan en las celdas B32 para la intersección (a = 1066.29) YB33 para el coeficiente de la pendiente (b = 75.16? Estos valores pueden utilizarse para obtener los pronósticos (Y pronosticada) que se muestran en las celdas B40 a B51. Estos valores también se representan en la línea que se ajusta a los datos diagramados. Los residuos que se muestran en las celdas C40 a C51, son las diferencias entre los valores de las ventas reales y las pronosticadas utilizando la ecuación de regresión. Cuanto más pequeños sean estos valores, más próximo será el ajuste. Una medida global del acierto con que se ajusta la ecuación de regresión a los datos es la desviación estándar de estos valores. Éste es el valor de Error Estándar que se muestra en la celda B22 en la parte de Estadística de la regresión del resultado. En el ejemplo, este valor es 104.5 (miles de dólares). Si los valores residuales siguieran aproximadamente una distribución normal en forma de campana, entonces, en casi dos tercios de los meses las ventas pronosticadas estarían dentro de ± 104.5 del valor real. Otra medida de las bondades del ajuste de la ecuación de regresión es el R cuadrado ajustado. Este valor oscila entre O(no ajuste) y 1.0 (ajuste perfecto) y, en general, indica el porcentaje de la variación de datos que se explicao ajusta por la línea recta. En el ejemplo, el valor R-cuadrado ajustado es 0.869 (celda B21), que indica que 87% de la variación total de los datos de ventas se explican por una tendencia lineal ascendente sobre los 12 meses. Los pronósticos o valores Ypronosticados que aparecen en la parte inferior de la tabla son para los 12 meses de datos históricos. Para hacer un pronóstico pára el siguiente mes (mes 13), hay que poner este valor en la ecuación de regresión: Pronóstico (mes 13)

= a + bX = 1,066 + 75.16(13) = 2,043

Cálculos similares pueden producir pronósticospara cualquier mes futuro, aunque a medida que se aleja más del último punto de datos, se esperaría que incrementara el error de pronóstico.

7

El resultado de la hoja de cálculo puede mostrar un número excesivo de cifras decimales con relación a los datos de entrada y al número adecuado para el cálculo.

482


MODELOS DE REGRESiÓN MÚLTIPLE Es posible extender el marco de la ecuación 12-9 para permitir más de una variable independiente. Esta extensión, denominada regresión lineal múltiple, tiene la siguiente forma (para dos variables independientes): (12-10) Por ejemplo, una empresa de software desea pronosticar el número de llamadas mensuales de apoyo al cliente. Los datos son los que se presentan en la tabla 12-8, donde la base instalada es el número acumulado de ventas del paquete de software y las llamadas de apoyo son el número de llamadas telefónicas para ayudar el cliente que se reciben cada mes. Suponer que se ajusta un modelo de regresión múltiple a estos datos, donde las dos variables independientes son tiempo (meses) y el tamaño de la base instalada. Al ajustar una recta de regresión múltiple a estos datos, los coeficientes obtenidos son:

a = 2,177.53; b1 = 821.86; Yb2 = 0.1212 Así, la línea de regresión ajustada es:

Yt = 2,177.53 + 821.86 (mes) + 0.1212 (base instalada) Los valores b 1 y b2 se denominan coeficientes netos de regresión; representan el efecto de una variable dada cuando simultáneamente se ajusta por el efecto de la otra. Por consiguiente, 821.86 es el incremento mensual en llamadas después de ajustar el efecto de la base instalada, y 0.1212 (o 12.12%) es el efecto en las llamadas debido a la base instalada después de ajustar el efecto de la tendencia mensual. ¿Qué tan bueno es el ajuste de la regresión múltiple? El error estándar de la regresión es de 541 llamadas, lo que indica un pequeño error de predicción. Además, Rcuadrado ajustado = 0.9894, que es cercano a 1 (100 %), lo que indica un buen ajuste para estos 12 puntos de datos. Por tanto, si la empresa de software puede anticipar sus futuros números de base instalados, este modelo sería conveniente para ser utilizado en el pronóstico de la demanda de las líneas de apoyo al cliente. El resultado de la regresión real para este modelo se reproduce en la figura 12-14. El panel superior de la figura 12-15 ilustra los pronósticos obtenidos por el método de regresión múltiple. De especial importancia son los valores de la denominada estadística-t para los coeficientes de regresión. Una estadística-t mayor que aproximadamente 2.0 indica significancia estadística, mientras que los valores t menores que 2.0 indican

TABLA 12-8 Datos sobre llamadas de apoyo al cliente Ybase instalada

Mes

Base instalada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12,436 13,725 14,991 15,732 16,497 20,381 30,743 45,938 52,834 55,394 56,836 57,489

Llamadas del cliente

4,507 5,604 7,035 7,184 7,493 9,723 11,837 14,783 14,927 17,294 18,026 19,473

Pronósticos

483

FIGURA 12·13 Ejemplo de regresión A 1

e

B Mes

Ventas

2

1

1214

3

2

1252

4

3

1304

5

4

1384

6

5

1279

7

6

1583

8

7

1470

9

8

1739

10

9

1573

11

10

1836

12

11

2041

13

12

1983

14

13

o

1800 Y

1600

t

RESUMEN DE RESULTADOS

t

1200 Estadísticas de regresíón Rmúltiple

0.938568667

20

Rcuadrado

0.880911143

21

Rcuadrado ajustado

0.869002258

22

Error estándar

104.5030944

23

Observaciones

12

H

•t

2000

17

19

G

Variable 1 X

1400

18

F

I

-

2200

15 16

E

• t

•• • •• • • • • •

1000

t

•

.V •

2

4

-

-

-

I

O

Variable V

-

6

8

10

12

-

XVariable 1

24 25

ANOVA

SS

MS

F

Importancia F

1

807828.6993

807828.7

73.97091

6.21166E-06

Residuo

10

109208.9674

10920.9

Total

11

917037.6667

df

26 27

Regresión

28 29 30

Coeficientes

Error estándar

Estadística t

32

Intersección

1066.287879

64.3172085

16.57858

1.33E-08

922.9801829

1209.596

33

Variable 1 X

75.16083916

8.73898777

8.600634

6.21E-06

55.68915761

94.63252

31

Valor-P

95% Inferior

95% Superior

34 35 36 37

RESULTADO RESIDUO

38

Ypronosticada

Residuos

39

Observación

40

1

1141.448718

72.55128205

41

2

1216.609557

35.39044289

42

3

1291.770369

12.22960373

43

4

1366.931235

17.06876457

44

5

1442.092075

-163.0920746

45

6

1517.25914

65.74708625

46

7

1592.413753

-122.4137529

47

8

1667.574592

71.42540793 -169.7354312

48

9

1742.735431

49

10

1817.89627

18.1037296

50

11

1893.05711

147.9428904

51

12

1968.217949

14.7805128

.'

484

Análisis cuantitativo que el valor verdadero del coeficiente con probabilidad razonable puede ser realmente cero. En la figura 12-14, los tres valores-t (uno para la intersección y dos para los coeficientes de la variable independiente) están muy por encima de 2.0, lo que indica que los tres coeficientes son significativamente distintos a cero. La figura 12-15 muestra tres modelos de regresión distintos: el modelo de regresión múltiple que acaba de presentarse, y dos modelos de regresión independientes, cada uno de los cuales utiliza una de las variables independientes (meses y base instalada). Puede verse que los modelos de una sola ecuación que utilizan o tiempo (meses) o los datos de base instalada no registran el número de llamadas tan bien como lo hace el modelo de regresión múltiple.

RESUMEN Los modelos de regresión ajustan las líneas a los datos del pasado. Proporcionan igual peso a los datos recientes ya los menos recientes, a diferencia de los modelos de suavizamiento exponencial, los cuales dan mayor peso a los datos recientes. Los modelos de regresión pueden tener más de una variable independiente.

PRECAUCIONES Los modelos de regresión han demostrado ser muy útiles para hacer pronósticos; sin embargo, existen algunas advertencias aplicables, en especial, a la regresión múltiple. En primer lugar, para ser útil como herramienta de pronóstico, debe haber una forma confiable para predecir los valores de las variables independientes. En el ejemplo de las llamadas a una empresa de software, debe haber alguna forma de estimar la futura base instalada. Sin este valor, el modelo tiene un valor limitado para pronosticar las llamadas. Una segunda advertencia es que un modelo de regresión, al igual que otros modelos, es hasta cierto punto un asunto de criterio, el cual tiene que ver con las variables a utilizar como variables de predicción. Con una investigación amplia es posible encontrar alguna variable que esté altamente correlacionada con la que está tratándose de predecir. No obstante, dicha variable no debería incluirse en el modelo de regresión a menos que tenga sentido como variable de pronóstico. En el ejemplo, la aparición de manchas solares puede correlacionarse a la coincidencia con las llamadas, pero no sería una variable sensible como para incluirla en el modelo de regresión. Una tercera advertencia se relaciona con el hecho de que la regresión y otros modelos de pronóstico se basan en datos históricos y asumen implícitamente que las condiciones pasadas son las mismas del futuro. Sin embargo, las situaciones cambian: nuevos competidores entran al mercado, los gustos de los consumidores cambian, surge nueva tecnología y las viejas tendencias pueden no continuar más.

SECCiÓN 111. PRONÓSTICO PARA UN NUEVO PRODUCTO - - - - - - - - -

En general, para nuevos productos no existen datos pasados del tipo que se ha utilizado para suavizamiento exponencial y para el análisis de regresión. En tales casos, resulta frecuente que las empresas analicen información sobre productos similares. Como ejemplo, suponer que una empresa está haciendo el marketing para un nuevo paquete de software, y podría tener datos sobre ventas mensuales de otros cuatro paquetes, como se muestra en la tabla 12-9.

Pronósticos

FIGURA 12-14 Resultado de un análisis de regresión múltiple

485

Resumen del resultado Estadística de regresión Rmúltiple Rcuadrada Rcuadrada ajustada Error estándar Observaciones

0.995648908 0.991316748 0.989387136 541.3993753 12

ANOVA

Regresión Residuo Total

df

ss

MS

2 9 11

301167449.4 2638019.552 303805469

150583724.7 293113.2836

Coeficientes Error estándar Intersección Variable X1 Variable X2

2177.53471 821.8606606 0.121249203

333.2602084 143.88483 0.026927404

F

Significancia F

513.7389984

5.2975E-10

Estadística t

Valor P

95"10 inferior 9fJ% superior

6.534037596 5.711934056 4.502818185

0.000107133 0.000289896 0.001482931

1423.647189 2931.422273 496.3703137 114.351007 0.060335137 0.182163268

Resultado del residuo Observación

YPronosticada

Residuos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4507.250478 5485.401361 6460.763512 7372.469832 8287.086133 9579.878697 11658.1236 14322.36589 15980.36106 17112.61968 18109.32169 19010.35808

-0.250477611 118.5986394 574.236488 -188.4698318 -794.0861326 143.1213032 178.8764033 460.6341063 -1053.361057 181.3803235 -83.32168749 462.6419225

La empresa podría convertir estos datos a la fracción de la demanda vendida mensualmente durante 12 meses. Estos datos se presentan en la tabla 12-10 yen la figura 12-16. Puede apreciar que es una tendencia similar para las ventas que alcanzan su punto máximo en el primer mes después de su introducción y luego descienden a una tasa decreciente a medida que pasa el tiempo, pero el patrón de descenso no es precisamente idéntico en todos los productos. La empresa tiene que decidir cuáles de los productos existentes fueron los más parecidos al nuevo producto y después seleccionar un pronóstico inicial de ventas para el mes 1, con base en los datos de la tabla 12-9. Luego, tras haber obtenido los datos de un mes de ventas iniciales del nuevo producto, los datos porcentuales de la tabla 12-10 y la figura 12-6 podrían extrapolarse a partir del primer mes de ventas iniciales. Por ejemplo, si el nuevo producto es más cercano al producto D

486


A. Modelo de regresión múltiple

FIGURA 12-15

20,000

Llamadas de apoyo al cliente

18,000 16,000 14,000 ro "O 12,000 ro E ~ 10,000 (f)

Q)

"O

8,000

Q)

6,000

e E

.:::J

z

4,000 2,000

o

o

2

4

6

8

10

12

Meses

I---+-

Llamadas de clientes

-o- Ajuste de regresión simple (meses)

I

B. Modelo de regresión simple - Meses

20,000 18,000 16,000 14,000 (f)

al "O al

12,000

E 10,000

~

Q)

"O

o

(¡j

E

':::J

Z

8,000 6,000 4,000 2,000 O O

2

4

6

8

10

12

Meses

I---+-


-o- Ajuste de regresión simple (base instalada)1

C. Modelo de regresión simple - base instalada

20,000 18,000 16,000 14,000 ro ro 12,000 E ~ 10,000 Q) (f)

"O

"O

e

8,000

E

6,000

Q)

':::J

Z

4,000 2,000 OL---'------''------'-----'------'---~

O

2

4

6

8

10

12

Meses

I---+-


-o- Ajuste de regresión simple (base instalada)1

Pronósticos

TABLA 12-9 Ventas de software para cuatro productos

Mes posterior ala introducción

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Producto A

11,392 8,432 5,385 4,685 2,797 1,734 1,479 1,148 754 479 357 164 38,806

Producto B

35,483 28,374 17,007 15,293 16,290 12,746 9,074 8,264 6,283 4,018 2,794 1,947 157,573

ProductoC

20,847 15,849 11,876 9,723 8,243 7,034 6,293 6,823 4,293 3,027 2,057 1,749 97,814

487

Producto O

46,839 32,849 30,483 28,495 22,740 24,059 19,483 17,304 16,303 14,302 11,922 7,003 271,782 ucrneMUnme,.ª

TABLA 12-10 Ventas de software para cuatro productos: fracción del total

Mes posterior ala introducción

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Producto A

0.294 0.217 0.139 0.121 0.072 0.045 0.038 0.030 0.019 0.012 0.009 0.004

Producto B

Producto C

Producto O

0.225 0.180 0.108 0.097 0.103 0.081 0.058 0.052 0.040 0.025 0.018 0.012

0.213 0.162 0.121 0.099 0.084 0.072 0.064 0.070 0.044 0.031 0.021 0.018

0.172 0.121 0.112 0.105 0.084 0.089 0.072 0.064 0.060 0.053 0.044 0.026

en cuanto a sus atributos, entonces, el pronóstico inicial para el mes 1 puede ser de 47,000 unidades tomadas de la tabla 12-9. Luego, suponer que las ventas reales para el nuevo producto en el mes 1 fueron de sólo 30,500 unidades. Se divide entonces 30.500 por la fracción esperada de la demanda a 12 meses que se presenta en el mes 1 (0.172, de la tabla 12-12, columna D) y obtener un pronóstico de 12 meses de 30.500/0.172 = 177,300 unidades para el nuevo producto.

RESUMEN Pronosticar las ventas de nuevos productos es difícil, particularmente debido a que no se dispone de datos históricos. En general, las empresas hacen comparaciones con base en productos relacionados o similares, utilizando los datos pasados de tales productos para hacer pronósticos iniciales y actualizados mientras llegan los datos de ventas para el nuevo producto.

SECCiÓN IV. MEDICiÓN DEL ERROR DE PRONÓSTICO Debido a que los pronósticos son "siempre errados", es necesario analizar el error de pronóstico para tomar la opción óptima cuando éstos se utilizan en situaciones de decisión. El error de pronóstico se define así:

488


0.300

FIGURA 12-16 Fracción de ventas por mes para productos de software

0.250

..

en en

(IJ

/:::., , ,

ID

E

0.200

C\J ~

ID

\

en

C1l

ID

> ID

li:

.

\

\

"

\\ ',\

\\

\

)(. ~~. ~

e 'o '0 C1l

L\\

\

0.150

"O

ü

.....~

X

"O

e

... ,,

............ .......

..... ~

0.100

~:o-

0.050

0.000

L-

O

--'--

2

---'-

---l.

6

4

-'--

---'--

8

10

~

12

Mes posterior a la introducción Producto A

Error

- • - Producto B

--/),-- Producto

= Pronóstico -

Real

e

--X-- Producto O

o en símbolos:

(12-11) Considerar los errores de pronóstico del primer ejemplo de este capítulo, que aparecen en la tabla 12-11. Existen varias maneras de medir errores de pronóstico. La primera, error medio cuadrático (EMC), involucra tomar cada error, elevarlo al cuadrado y luego sacar el promedi0 8. Para los errores de la tabla 12-11, este valor sería 7,520. Observar que al elevar al cuadrado los errores se obtiene una ponderación o sanción mucho más alta para los errores más grandes. Elevar al cuadrado también elimina el signo del error, al contar los errores grandes en cualquier dirección como igualmente serios. Una segunda medida es la media de la desviación absoluta (MDA)9, donde se toma primero el valor absoluto de cada error y luego se promedian estos valores. Para los datos de la tabla 12-11, se obtiene MDA = 77.46. La medida de la MDA del error de pronóstico no pondera los errores grandes de manera desproporcionada, como lo hace la medida del EMe. Además, tomar los valores absolutos de nuevo trata los errores de pronóstico negativos y positivos de manera simétrica. Las medidas de la EMC y MDA del error de pronóstico dependen de una escala; si se cambia la unidad de medición de unidades a docenas, entonces estos valores también cambian. Por tanto, no hay manera de calibrar estas medidas cuan-

8 Esta medida se relaciona con la desviación estándar de errores de pronóstico.

9 Si los errores de pronóstico se distribuyen normalmente, que es lo que con frecuencia pasa, entonces existe una relación entre la desviación estándar del error de pronóstico se y MDA: se = 1.25 MDA.

Pronósticos

TABLA12-11 Errores de pronóstico, primer ejemplo - ventas del cereal


Ventas (miles de dólares) US$1,212 1,321 1,278 1,341 1,257 1,287 1,189 1,111 1,145 1,150 1,298 1,331

Error de suavizamiento exponencial 1,212.00 1,212.00 1,233,80 1,242.64 1,262.31 1,261.25 1,266.40 1,250.92 1,222.94 1,207.35 1,195.88 1,216.30

Error

-109.00 -44.20 -98.36 5.31 -25.75 77.40 139.92 77.94 57.35 -102.12 -114.70

Error medio cuadrático

MDA

11,881.00 109.00 1,953.64 44.20 9,674.69 98.36 28.22 5.31 663.08 25.75 5,990.71 77.40 19,577.53 139.92 6,073.99 77.94 3,288.87 57.35 10,428.72 102.12 13,155.37 114.70 EMC= MDA= 7,519.62 77.46

489

MEPA

8.25% 3.46 7.33 0.42 2.00 6.51 12.59 6.81 4.99 7.87 8.62 MEPA= 6.26% !M!TtTf!!TIrJ''$wmnT;'¡-

do se usan para comparar dos o más métodos de pronóstico en productos diferentes. Una tercera medida, la media del error porcentual absoluto (MEPA), evita esta deficiencia utilizando los errores porcentuales absolutos y promediándolos. Para los datos de la tabla 12-11, el valor de la MEPA sería 6.26%.

RESUMEN Los errores de pronóstico se miden como error medio cuadrático (EMC), media de la desviación absoluta (MDA), o media del error porcentual absoluto (MEPA), siendo esta última un porcentaje, resulta más útil cuando se comparan técnicas de pronóstico para más de un producto.

APÉNDICE 1 SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL EN HOJAS DE CÁLCULO Las hojas de cálculo son instrumentos excelentes para aplicar los métodos de suavizamiento. Una vez que se configuran las ecuaciones básicas, sólo es cuestión de copiarlas utilizando el comando copiar de la hoja de cálculo estándar. Las figuras 12-17 a 12-19 muestran cómo configurar los tres modelos de suavizamiento en formato de hoja de cálculo en Excel. Los ejemplos son los utilizados en el capítulo. Puede verse que las constantes de suavizamiento se configuran como parámetros, de manera que puedan cambiarse sin hacer nuevamente todo el modelo. Se muestran las ecuaciones para las celdas clave y éstas pueden copiarse para llenar el modelo.

APÉNDICE 2 ESTIMACiÓN DE TENDENCIAS EN EXCEL En este capítulo, el punto central es la regresión lineal. Sin embargo, en algunas circunstancias, las tendencias pueden ser no lineales. Por ejemplo, al introducir nuevos productos, en principio puede haber un elevado crecimiento en las ventas pero luego una estabilización, seguida por un descenso. Un método para abordar estas situaciones es utilizar una línea de tendencia no lineal para ajustar los datos.

,

490


FIGURA 12-17 Suavización exponencial simple

A

e

8

D

constante de suavización (alfa)

1

E

F

G

H

0.2

2

3

Período

Ventas

Pronóstico

4

1

1212

5

2

1321

1212

6

3

1278

1233.8

7

4

1341

Copiar

8

5

1257

9

6

1287

10

7

1189

11

8

1111

Celda

Ecuación

C6

=$D$1 *B5+(1-$D$1 )*C5

Ir

FIGURA 12-18 Suavizamiento exponencial con tendencia

e

8

A

E

D

1

constante de suavización (alfa)

0.2

2

constante de suavización (beta)

0.2

F

G

H

I

3

Ventas

Pronóstico de línea de Base

Tendencia

Pronóstico

s¡

GI

FI

4

Período

5

t

DI

6

1

1214

1214

70

Celda

7

2

1252

1277.6

68.72

C7

=$D$1 *B7+(1-$D$1 )*(C6+D6)

8

3

1304

Copiar

D7

=$D$2*(C7-C6)+(1-$D$2)*D6

9

4

1384

10

5

1279

11

6

1583

12

7

1470

13

8

1739

Copiar

1346.32 Copiar

r

r

r

Ecuación

E8

=C7+D7

J

FIGURA 12-19 Suavizamiento exponencial con tendencia y estacionales A

e

B

o

1

constante de suavizamiento (alfa)

0.2

2

constante de suavizamiento (beta)

0.2

3

constante de suavizamiento (gama)

0.2

F

E

G

H

I

J

K

L

4

5

Período

6

t

7

Ene

1.3278

8

Feb

1.3183

9

Mar

1.2613

10

Abr

1.0900

11

May

0.9074

12

Jun

0.8199

13

Ju/

0.7077

14

Ago

0.6126

15

Sep

0.7781

16

Det

0.8941

17

Nov

1.0349

18

Die

19

1

Venta

Línea de base F/C S¡

D¡

219

20

2

216

21

3

218

22

4

185

23

5

154

24

6

147

25

7

124

26

8

127

Tendencia

Gt

Estacional

Pronóstico F¡

C¡

155

1

1.2479

Celda

Ecuación

157.78596

1.3572

1.3399

C19

=$0$1*(B19/E7) + (1-$0$1)* (C18+018) =$0$2* (C19-C18) + (1-$0$2)* 018 =$0$3*(B19/C19) + (1-$0$3)* E7 =(C19 + 019)* E8

Copiar

Copiar

Copiar

209.803

019

Copiar

E19 F20

,Ir

~ ~ = ~

,

,¡, ~¡;;;¡;¡::¡¡¡'*

nlt::"=:,

=~.

~-1S"'wntrC'l

mrt:t=l'.m=w...........".,..,

'F'7Z'W'~~

....

.

~

492

Análisis cuantitativo Excel tiene la capacidad de ajustar varias líneas de tendencia de este orden. En especial, se encuentran disponibles las siguientes: Lineal: Y = a + bX Logarítmica: Y = a + b ln(X) Polinómica: Y = a

+ bX + cX2

Potencia: Y = axb Exponencial: Y = ae bx Para tener acceso a estas funciones, primero trazar los datos utilizando el formato de diagrama de la recta. Luego, hacer clic en los puntos de datos para resaltarlos. Hacer dic en la opción Insertar del menú, y en Recta de tendencia del menú desplegable. Aparecerán opciones como las que se muestran en la figura 12-20. Las opciones incluyen la capacidad para tener la ecuación ajustada y el valor Rcuadrado en el diagrama. ¡Advertencia! Debe existir un buen fundamento para seleccionar una forma de función en especial para el pronóstico. Se recomienda evitar la tentación de ensayar con cada posibilidad y sólo escoger la que tenga el mejor ajuste (Rcuadrada más alta).

FIGURA 12-20

iJ El

Tréndline

OK

I

Cancel

1

BIBLIOGRAFíA NAHMIAS, S. Production and Operations Analysis. 3 ed. Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1997. MAKRIDAKIS, S.; S. C. Whelwright; and McGHEE, V.

E. Forecasting: Methods andApplications. 2ed. New York: John Wiley & Sons, 1983.

SILVER, E. A., and PETERSON, R. Decision Systems for

InventOlY Management and Production Planning. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, 1985.

Pronósticos

493

PROBLEMAS PRÁCTICOS10 12-1 Considerar los datos de la tabla 12-1 para las ventas mensuales de cereal (miles de dólares). Escribir estos datos en una hoja de cálculo de Excel y hacer lo siguiente: a. Calcular un pronóstico de promedio móvil a cuatro meses. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? b. Utilizar el suavizamiento exponencial con un factor de suavizamiento de 0.30 para calcular el pronóstico para el mes 13. 12-2 Aunque los datos de la tabla 12-1 (figura 12-1) no parecen mostrar una tendencia, ajustar un modelo de suavizamiento exponencial con tendencia lineal

a estos datos. Para las constantes de suavizamiento, utilizar 0.20; para valores iniciales, S = 1,212 YG = O. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? 12-3 Ajustar un modelo de regresión simple a los datos de la tabla 12-1. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? 12-4 Considerar los datos de la tabla 12-11. Suponer que la empresa tiene un nuevo producto que es similar al producto A y sus ventas, un mes después de su introducción, fueron de 6,489 unidades. ¿Cuál es el pronóstico para el total de ventas del nuevo producto, para un período de 12 meses?

PROBLEMAS 12-5 Considerar los siguientes datos que representan las ventas minoristas mensuales de zapatos para atletismo:



$328 337 341 367 385 403 389 376 428 305 278 450

Escribir estos datos en la hoja de cálculo de Excel y hacer lo siguiente: a. Calcular un pronóstico promedio móvil trimestral. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? b. Utilizar el suavizamiento exponencial con un factor de suavizamiento de 0.20 para calcular el pronóstico para el mes 13. 12-6 Ajustar un modelo de suavizamiento exponencial con tendencia lineal para los datos del problema 125. Para las constantes de suavizamiento utilizar 0.20; para valores iniciales, S = 328 YG= O. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? 12-7 Ajustar un modelo de regresión simple a los datos del problema 12-5. ¿Cuál es el pronóstico para el mes 13? 12-8 Considerar los datos del problema 12-5. Con base en el producto, ¿cómo puede explicarse que las ventas

de abril, mayo y junio sean mayores que el promedio? ¿Qué pasará en septiembre?, ¿yen diciembre? 12·9 Un editor hace el seguimiento a las ventas de libros para establecer los incrementos semestrales. Con base en su amplia experiencia, el editor sabe que las ventas en el segundo semestre del año calendario representan dos tercios del total de ventas anuales. Considerar los datos que aparecen a continuación para un texto de contabilidad básico: Ventas (unidades)

Período Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre

1992 1992 1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996

4,075 8,239 3,284 6,194 2,582 5,183 1,968 4,023 1,798 3,522

Ajustar un modelo de suavizamiento exponencial para estos datos, utilizando como valores iniciales S = 6,000 YG = 600; Ypara factores estacionales, C1 = 0.667 Y C2 = 1.333. Utilizar las constantes de suavizamiento de 0.20 en todos. ¿Cuál es el pronóstico para el período Enero-Junio de 1997? 12-10 Considerar los datos del problema 12-9. a. Ajustar una regresión lineal simple a estos datos. ¿Cuál es el pronóstico para el período EneroJunio de 1997? b. Ahora, dividir los datos en dos grupos: la primera mitad del año, y la segunda mitad del año. Realizar una regresión simple de los datos para las


494


ventas en el primer semestre del año. ¿Cuál es el pronóstico para el período Enero-Junio de 1997? ¿Es probable que esta respuesta sea más exacta que la respuesta del literal a? ¿Por qué? 12·11 Considerar los datos del problema 12-9. Ahora, suponer que el editor también obtuvo datos sobre el número de estudiantes registrados en las universidades de Estados Unidos para cada uno de los períodos señalados.

Ventas (unidades)

Período Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre Enero-Junio Julio-Diciembre

4,075 8,239 3,284 6,194 2,582 5,183 1,968 4,023 1,798 3,522

1992 1992 1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996

Número de estudiantes (millones)

72 71 76 75 74 73 69 68 65 64

a. Realizar una regresión múltiple con todos estos datos. ¿Cuál es el pronóstico para el período Enero-Junio de 19917 (Suponer que el editor calcula que para entonces habrá 66 millones de estudiantes inscritos). b. Realizar una regresión múltiple con los datos para las ventas en el primer semestre de cada año. ¿Cuál es el pronóstico para el período EneroJunio de 19917 íEs más probable que esta respuesta sea más exacta que la del literal a? ¿Por qué?

12-12 Una empresa está haciendo el marketing de un nuevo video. Se necesitan los pronósticos de ventas de las primeras 10 semanas para efectos de la planeación del inventario. El producto anterior más cercano experimentó las siguientes ventas en las primeras 10 semanas:

Semana

Ventas (miles de unidades)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$63 46 34 27 24 20 18 16 15 13

a. Calcular la fracción de las ventas totales que ocurrieron en cada semana. b. Suponer que las ventas de la semana 1 del nuevo video son de 81,000. Utilizar el resultado del literal a para pronosticar las ventas totales del nuevo video durante las 10 semanas. 12-13 Considerar el problema 12-1. Calcular el EMC, la MDA y la MEPA para: a. El pronóstico móvil para cuatro meses (de mayo a diciembre) b. El pronóstico de suavizamiento exponencial (de marzo a diciembre). Para estos datos, ¿un método de pronóstico es mejor que los demás para todas estas mediciones?

PROBLEMAS ESPECIALES 12-14 Rcproducir la figura 12-6 para el caso que la constante de suavizamiento es 0.10. 12-15 Considerar los siguientes datos de ventas minoristas de ropa para esquiar, en miles de dólares: Mes

1994

1995

1996

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

$342 423 278 156 65 15 8 5 47 95 204 573

$382 548 402 283 94 21 8 4 69 129 308 642

$402 592 479 328 118 24 9 6 85 148 384 749

a. Calcular los 12 factores estacionales C l' C2·.., C 12'

utilizando todos los datos.

b. Calcular el factor de tendencia mensual G, utilizando todos los datos. c. Calcular el valor inicial de S, tomando las ventas promedio mensuales en el primer año y luego restando el valor de seis meses de tendencia. d. Realizar el suavizamiento exponencial con tendencia y estacionalidad con estos datos. Utilizar 0.20 para todas las constantes de suavizamiento. ¿Cuál es el pronóstico para el mes siguiente (ventas de enero de 1997)? 12-16 Hay un viñedo en el valle de Napa, California. El rendimiento del viñedo, en toneladas de uvas por acre para los últimos 21 años, aparece en la última columna de la siguiente tabla:

Pronósticos rm zrtW1'bEmz:wmz

Año

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Lluvia (pulgadas)

14.2 16.8 25.0 37.4 41.2 33.9 28.2 16.0 11.9 16.3 28.7 38.0 38.3 35.8 29.8 18.6 12.2 15.4 24.1 37.6 38.2

Grados-Día (cientos)

28.57 28.83 29.30 28.18 29.44 27.81 26.96 25.76 26.66 28.41 27.32 28.66 27.05 29.38 28.24 27.89 26.94 27.72 28.55 28.37 29.10

Helada

Rendimiento (ton/acre)

O O O O 1 O O 1 O O O O 1 O 1 O O O O O O

2.72 2.42 2.99 2.88 2.42 2.84 2.74 1.56 2.19 2.45 2.57 2.65 1.96 3.09 1.67 2.63 2.38 2.53 2.66 2.76 2.95

a. Crear un modelo de suavizamiento exponencial para proporcionar predicciones de rendimiento (toneladas por acre) para los diversos años. b. Suponer que en los años 5, 8, 13 Y15 hubo u~a helada muy fuerte durante el año. Como esto ti~ne un efecto negativo significativo en el rendImiento de la uva, ¿cómo podría tomarse esto en cuenta en el modelo de pronóstico?

495

12·17 Considerar la tabla del problema 12-6. También se muestra la cantidad de lluvia (en pulgadas) al año, y los grados-día. Los grados-día representan una medida acumulada de números de grados y días en la que excede la temperatura promedio 50°F. (Un día en el cual la temperatura promedio era de 74°F, contribuiría 24 grados-día al total; un día con 60 0 P contribuiría 10 grados-día; cualquier día con temperatura promedio inferior a 50 P contribuiría cero al total). La columna denominada Helada indica si hubo o no una helada fuerte en ese año (valor = 1) o no (valor = O). a. Hacer ún modelo de regresión para pronosticar el rendimiento de la uva en el viñedo. Utilizar los primeros 18 años para hacer el modelo y luego pronosticar de los años 19 a 21. b. Explicar el significado de los coeficientes en el modelo de regresión planteado, en términos verbales. ¿El modelo cuánto se ajusta a los datos? c. Comparar los resultados de los pronósticos para los últimos tres años con los obtenidos mediante el método de promedio móvil en el problema 1216. 12-18 Los datos mostrados en la tabla 12-12 representan la cantidad trimestral de visitantes a Hawaii durante los últimos años ll . Utilizar los datos de los primeros cinco años para estimar los factores estacionales y la tendencia. Luego, crear un modelo de suavizamiento exponencial (incorporando los factores estacionales y la tendencia) para proporcionar pronósticos para el período restante. Trazar el diagrama para los visitantes actuales y hacer ~l ~ro nóstico. Comparar la exactitud de los pronosticos en el período comprendido entre 1985 a 1990 con los del período siguiente. 0

Miles de personas

TABLA 12-12 Total de visitantes a Hawaii

Año

Primer trimestre

Segundo trimestre

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

1,004.8 959.0 1,054.0 1,069.0 1,218.5 1,301.5 1,393.2 1,448.9 1,484.9 1,638.7 1,714.8 1,509.5 1,622.2 1,559.6 1,615.6 1,621.9

942.9 984.5 1,048.7 1,071.5 1,206.8 1,129.6 1,421.2 1,370.0 1,488.2 1,605.1 1,724.4 1,727.2 1,598.0 1,476.3 1,527.7 1,582.2

Tercer trimestre

Cuarto trimestre

Visitantes anuales

1,047.3 1,042.3 1,110.7 1,146.4 1,222.9 1,266.9 1,450.9 1,555.2 1,635.6 1,754.8 1,879.9 1,958.3 1,703.6 1,588.9 1,692.7 1,796.5

939.5 948.8 1,029.5 1,080.2 1,207.4 1,186.2 1,341.8 1,425.8 1,533.7 1,598.3 1,652.2 1,678.9 1,590.1 1,499.5 1,594.3 1,632.2

3,934.5 3,934.6 4,242.9 4,368.1 4,855.6 4,884.1 5,607.0 5,799.8 6,142.4 6,641.8 6,971.2 6,873.9 6,513.9 6,124.2 6,430.3 6,632.8

11 Fuente: World Wide Web site: http//kumu.icsd.hawaii.gov/tourism.

496


CASO 12-19 LA MEZCLA DE CARNE MOLIDA DE QUALlTY KITCHENS Amalgamated Food Products (AFP) vende una mezcla de carne molida de marca Quality Kitchens en el occidente de Estados Unidos. La mezcla está empacada en paquetes de aluminio y contiene migas de galletas, comida, condimentos y otros ingredientes. El comprador mezcla los ingredientes con un huevo y carne molida para preparar un pastel de carne. La mezcla tiene el efecto de hacer rendir el molde de carne así como de sazonar/a. La mezcla de carne molida Quality Kitchen es una marca establecida, y aunque sus ventas no son grandes, es un artículo con rentabilidad estable. SalIy Franklin se vinculó a AFP recientemente como gerente de marca, y le fue asignado el producto de la mezcla de carne. Su primera tarea es preparar un pronóstico de ventas y un presupuesto para promoción y publicidad para el próximo año. Recolectó los datos históricos que aparecen en la tabla 12-13. Los datos incluyeron las ventas del pastel de carne y los gastos de promoción y publicidad durante los últimos 24 trimestres, todos en miles de dólares. También incluyó un índice de condiciones económicas generales en el área de mercado del pastel de carne. Los altos valores del índice indican buen comportamiento de la economía. La mezcla de carne se vende a través de distribuidores en Seattle, San Francisco, Los Ángeles y Denver. Los gastos de publicidad se dirigen al consumidor en revistas como Woman 's Day y en periódicos. Por otro lado, los gastos de promoción están dirigidos al distribuidor o al gerente de la tienda. Estos constan de ofertas especiales como la de obtener una quinta caja gratis si se compran cuatro, incrementos a corto plazo en las comisiones del agente, o concursos de ventas entre agentes (con premios como viajes a Hawaii).

·

Pronósticos

497

Sally Franklin estaba muy confundida por la gran variación en las ventas de la mezcla de carne de un trimestre a otro y también por las grandes variaciones en los gastos anteriores en promoción y publicidad. A la pregunta, el vicepresidente de ventas explicó que había una política general que argumentaba que la empresa o promovía o hacía propaganda en un trimestre dado, pero no ambas cosas. Sin embargo, había una disputa desde hacía mucho tiempo en la empresa sobre la efectividad relativa de promoción y publicidad en las ventas de la mezcla de carne molida. Los antecesores de Franklin intentaron diferentes estrategias, pero ninguna había determinado lo que había tenido éxito y lo que no. Algunos escépticos consideraron que los gastos en publicidad y los de promoción habían sido un desperdicio, debido a que ninguno parecía afectar las ventas. Otros opinaron que la promoción era efectiva pero el efecto era simplemente reducir las ventas futuras; es decir, consideraron que los distribuidores y los gerentes de tienda compraban bastante en períodos de promoción y dejaban de hacerlo en los períodos subsiguientes hasta que sus inventarios volvían a la normalidad. El efecto de la publicidad era igualmente confuso, debido a que las ventas parecían variar grandemente durante períodos en los que la publicidad era relativamente constante. Por ejemplo, en los últimos dos trimestres según los datos mostrados en la tabla 12-13 (trimestres 23 y 24), la publicidad había sido casi la misma (US$36.000 y 439.000, respectivamente), pero las ventas fueron de US$647,61O en un trimestre y de sólo US$342,810 en el otro. Como si esto no fuera lo suficientemente confuso, el economista del departamento de análisis económico insistía en que la mezcla de carne era un producto contracíclico, lo que significa que se vendía mejor en los malos momentos que en los buenos. Su teoría era que la mezcla de carne era una comida menos costosa que las otras carnes, y las personas consumían más de ella durante las épocas difíciles. Además, consideraba que había un patrón estacional en las ventas, pues éstas aumentaban durante los meses más fríos que en el verano. Construir un modelo de regresión múltiple para ayudar a Franklin en la preparación de sus pronósticos. Suponer que AFP planea gastar US$30,000 en publicidad y US$lO,OOO en promoción en el siguiente trimcstrc. Los planes para el trimestre subsiguiente dan cuenta de US$lO,OOO en publicidad y de US$25,000 en promoción. Se espera que el índice económico permanezca en 115 para ambos trimestres. Proporcionar los pronósticos de ventas para los dos trimestres siguientes.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 12-1 a, b.

Mes


Promedio móvil a 4 meses

Pronóstico de suavizamiento exponencial

Enero

1,212

1,212.00

Febrero

1,321

1,212.00

Marzo

1,278

1,244.70

Abril

1,341

1,254.69

Mayo

1,257

1,288.00

1,280.58

Junio

1,287

1,200.25

1,273.51

Julio

1,189

1,290.75

1,277.56

Agosto

1,111

1,268.50

1,250.99

Septiembre

1,145

1,211.00

1,208.99

Octubre

1,150

1,183.00

1,189.79

Noviembre

1,298

1,148.75

1,177.86

Diciembre

1,331

1,176.00

1,213.90

1,231.00

1,249.03

498


12-2


Mes

St

Gt

Pronóstico biecuacional de suavizamiento exponencial

Enero

1,212

1,212.00

Febrero

1,321

1,233.80

4.36

Marzo

1,278

1,246.13

5.95

1,238.16

Abril

1,341

1,269.87

9.51

1,252.08

Mayo

1,257

1,274.90

8.62

1,279.38

Junio

1,287

1,284.21

8.75

1,283.52

Julio

1,189

1,272.17

4.60

1,292.97

Agosto

1,111

1,243.62

-2.03

1,276.77

Septiembre

1,145

1,222.26

-5.90

1,241.58

Octubre

1,150

1,203.09

-8.55

1,216.37

Noviembre

1,298

1,215.23

-4.41

1,194.54

Diciembre

1,331

1,234.85

0.39

1,210.82

O

1,235.25

12-3 lliii!!C:aaa';¡$iSa::;i!&i"&

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

"'

c:u a

Pronóstico de regresión


US$1,268.53 1,263.95 1,259.36 1,254.78 1,250.20 1,245.62 1,241.04 1,236.46 1,231.88 1,227.30 1,222.72 1,218.14 1,213.56

US$1,212 1,321 1,278 1,341 1,257 1,287 1,189 1,111 1,145 1,150 1,298 1,331

Resumen de resultado Estadística de regresión Rmúltiple Rcuadrada Rcuadrada ajustada Error estándar Observaciones

0.20796865 0.04325096 -0.0524239 81.4656319 12

Pronósticos

ANOVA df Regresión Residuo Total

1 10 11

SS

MS

F

3000.17483 66366.4918 69366.6667

3000.17483 6636.64918

0.45206169

Error estándar

Estadística t

50.1386305 6.81249838

25.3917199 -0.6723553

ImpoJ1ancia de F 0.51659108

7'ffS"""ñ'SS...... lrWDlM'P

Coeficientes Intersección 1273.10606 Variable X1 -4.5804196

Pronóstico para el mes 13 = 1,273.106 12-46489/0.294 = 22,071 unidades

Valor P

95% Inferior

95% Superior

2.0585E-10 0.51659108

1161.39021 -19.759615

1384.82191 10.5987754

+ (- 4.5804) * (13) = 1,213.56

499

TABLA A La función de distribución normal estandarizada* F N = (Z)

~~ O Z

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554

0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591

0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6228

0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664

0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700

0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736

0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772

0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808

0.5319 0.5714 0.6064 0.6480 0.6844

0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159

0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186

0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212

0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238

0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264

0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289

0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315

0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340

0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365

0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.8413 0.8643 0.8849 0.90320 0.91924

0.8438 0.8665 0.8869 0.90490 0.92073

0.8461 0.8686 0.8888 0.90658 0.92220

0.8485 0.8708 0.8907 0.90824 0.92364

0.8508 0.8729 0.8925 0.90988 0.92507

0.8531 0.8749 0.8944 0.91149 0.92647

0.8554 0.8770 0.8962 0.91309 0.92785

0.8577 0.8790 0.8980 0.91466 0.92922

0.8599 0.8810 0.8997 0.91621 0.93056

0.8621 0.8830 0.90147 0.91774 0.93189

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128

0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193

0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257

0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320

0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381

0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441

0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500

0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558

0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615

0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.9 21802

0.9m8

0.98257 0.98645 0.98956 0.9 22024

0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.9 22240

0.97882 0.98341 0.98713 0.920097 0.922451

0.97932 0.98382 0.98745 0.920358 0.9 22656

0.97982 0.98422 0.98778 0.920613 0.9 22857

0.98030 0.98461 0.98809 0.g20863 0.9 23053

0.98077 0.98500 0.98840 0.921106 0.923244

0.98124 0.98537 0.98870 0.921344 0.9 23431

0.98169 0.98574 0.98899 0.921576 0.9 23613

2.5 3.0 3.5 4.0

0.9 23790 0.9 28650 0.9 37674 0.946833

0.923963 0.9 28694 0.937759 0.9446964

0.924132 0.9 28736 0.g37842 0.947090

0.9 24297 0.9 28777 0.g37922 0.947211

0.9 24457 0.9 28817 0.937999 0.9 47327

0.9 24614 0.9 28856 0.938074 0.9 47439

0.9 24766 0.9 28893 0.938146 0.9 47546

0.9 24915 0.928930 0.938215 0.947649

0.9 25060 0.9 28965 0.938282 0.947748

0.925201 0.9 28999 0.938347 0.947843

e¡¡¡¡¡;;¡¡;u¡;:WiiiiQiiIJt;;;;;;;:¡¡¡¡w;

Por ejemplo: F(2.41) = 0.9 22024 = 0.992024 * De A. Hald, Statistical rabIes and Formulas (New York: John Wiley & Sons, 1952); reproducido con autorización del profesor A. Hald y los editores. Nota: los valores de esta tabla pueden obtenerse de la función de la hoja de cálculo Excel NORMSDIST.

Apéndice de tablas

501

TABLA B N(D) = Función de pérdida de la distribución normal estándar*

DoZ

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.3989 0.3509 0.3069 0.2668 0.2304

0.3940 0.3464 0·3027 0.2630 0.2270

0.3890 0.3418 0.2986 0.2592 0.2236

0.3841 0.3373 0.2944 0.2555 0.2203

0.3793 0.3318 0.2904 0.2518 0.2169

0.3744 0.3284 0.2563 0.2481 0.2137

0.3697 0.3240 0.2824 0.2445 0.2104

0.3649 0.3197 0.2784 0.2409 0.2072

0.3602 0.3154 0.2745 0.2374 0,2040

0.3556 0.3111 0.2706 0.2339 0.2009

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1978 0.1687 0.1429 0.1202 0.1004

0.1947 0.1659 0.1405 0.1181 0.09860

0,1917 0.1633 0.1381 0.1160 0.09680

0.1887 0.1606 0.1358 0.1140 0.09503

0.1857 0.1580 0.1334 0.1120 0.09328

0.1828 0.1554 0.1312 0.1100 0.09156

0.1799 0.1528 0.1289 0.1080 0.08986

0.1771 0.1503 0.1267 0.1061 0.08819

0.1742 0.1478 0,1245 0.1042 0.08654

0.1714 0.1453 0.1223 0.1023 0.08491

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.08332 0.06862 0.05610 0.04553 0.03667

0.08174 0.06727 0.05496 0.04457 0.03587

0.08019 0.06595 0.05384 0.04363 0.03508

0.07866 0.06465 0.08274 0.04270 0.03431

0.07716 0.06336 0.05165 0.04179 0.03356

0.07568 0.06210 0.05059 0.04090 0.03281

0.07422 0.06086 0.04954 0.04002 0.03208

0.07279 0.05964 0.04851 0.03916 0.03137

0.07138 0.05844 0.04750 0.03831 0.03067

0.06999 0.05726 0.04650 0.03748 0.02998

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.02931 0.02324 0.01829 0.01428 0.01105

0.02865 0.02270 0.01785 0.01392 0.01077

0.02800 0.02217 0.01742 0.01357 0.01049

0.02736 0.02165 0.01699 0.01323 0.01022

0.02674 0.02114 0.01658 0.01290 0. 29957

0.02612 0.02064 0.01617 0.01257 0.029698

0.02552 0.02015 0.01578 0.01226 0.029445

0.02494 0.01967 0.01539 0.01195 0.029198

0.02436 0.01920 0.01501 0.01164 0.028957

0.02380 0.01874 0.01464 0.01134 0.028721

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

0.028491 0.026468 0.024887 0.023662 0.022720 0.022005

0.028266 0.026292 0.024750 0.023556 0.022640 0.021943

0.028046 0.026120 0.024616 0.023453 0.022561 0.021883

0.027832 0.025952 0.024486 0.023352 0.022484 0.021826

0.027418 0.027623 0.025628 0.025788 0.0224358 0.024235 0.023159 0.023225 0.022337 0.022410 2 0.0 1769 , 0.021715

0.027219 0.025472 0.024114 0.023067 0.022267 0.021662

0.027024 0.025320 0.023996 0.022977 0.022199 0.021610

0.026835 0.025172 0.023882 0.022889 0.022132 0.021560

0.026649 0.025028 0.023770 0.022804 0.022067 0.021511

3.0 3.5 4.0

0.033822 0.045848 0.057145

0.033689 0.045620 0.056835

0.033560 0.045400 0.056538

0.033436 0.045188 0.056253

0.033316 0.044984 0.055980

0.033199 0.044788 0.055718

0.033087 0.044599 0.055468

0.032978 0.044417 0.055227

0.032873 0.044242 0.054997

. 0.032771 0.044073 0.054777

N(D) se define como sigue: N(D) =

r:(-

0- Xjf '(XjdX =

f

(X - O) f '(XjdX

donde t' (X) es la función de densidad normal estandarizada, y O es positiva, 'Con autorización de R. Schlaifer, Probability and Business Decisions (New York: McGraw-Hill, 1959).

502


TABLA e Distribuciones binomiales acumuladas* P(R ~

r In, p)

n=1 P

01

~

03

04

05

00

07

00

00

10

0100

0200

0300

0400

0500

0600

0700

0800

0900

1000

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

3800

3900

4000

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

4100

4200

4300

4400

4500

4600

4700

4800

4900

5000

r

1 P r

1 P r

1 P r

1 P r

1

n=2 p

01

~

03

04

05

00

07

00

00

10

0199 0001

0396

0591 0009

0784 0016

0975 0025

1164 0036

1351 0049

1536

0004

0064

1719 0081

1900 0100

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2079 0121

2256 0144

2431 0169

2604 0196

2775 0225

2944

3111 0289

3276 0324

3439 0361

3600

0256

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

3759 0441

3916

4071 0529

4224 0576

4375 0625

4524 0676

4671 0729

4816 0784

4959 0841

6100

0484

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

5239 0961

5376 1024

5511 1089

5644

5775 1225

5904 1296

6031 1369

6156 1444

6279 1521

6400

1156

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

6519 1681

6636

6751 1849

6864 1936

6975 2025

7084 2116

7191 2209

7296 2304

7399 2401

7500 2500

r

1 2 P r

1 2 P

0400

r

1 2 P

0900

r

1 2 P

1600

r

1 2

1764

Nota: para p > 0.5, se mantiene la siguiente identidad: P(R? r I n, p)

=1-

P(R ? n - r + 1 I n, 1 - p)

Por ejemplo, considerar la probabilidad de dos o más caras en tres lanzamientos de una moneda con P (cara) = 0.60; esto es idéntico a 1 menos la probabilidad de dos o más cruces en tres lanzamientos, con P (cruz) = 0.4, Ó 1 - 0.3520 = 0.6480. 'Con autorización de R. Schlaifer, Probability and Statisties for Business Deeisions (New York: McGraw-Hill, 1959). Nota: los valores binomiales acumulados en esta tabla, al igual que los valores binomiales individuales, también pueden obtenerse de la función BlNüMDl8T de la hoja de cálculo Excel.

Apéndice de tablas TABLA

503

e

(continuación)

n=3 01

02

00

04

(fi

00

07

00

00

10

02fJ7 0003

0588

0012

0873 0026

1153 0047 0001

1426 0073 0001

1694 0104

1956 0140

2213 ·0182

0002

0003

0005

2464 0228 0007

2710 0280 0010

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2fJ5O 0036

3415

3639 0533

3859

4073 0686

0855

0027

0041

0058

4686 0946 0069

4880 1040

0022

0608 0034

4282 0769 0049

4486

0463

0013

3185 0097 0017

21

22

23

24

25

26

27

28

2fJ

30

5070 1138 0093

5254 1239 0106

5435

1344 0122

5610 1452 0138

5781 1563 0156

5948 1676 0176

6110 1793 0197

6268 1913 0220

6421 2035 0244

6570 2160 0270

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

6715 2287 02fJ8

6856

6992 2548 0359

7125 2682 0393

7254 2818 042fJ

7379

7500

7617

2417 0328

2fJ55

3094

3234

7840 3520

0467

0507

0549

7730 3377 0593

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

7946

8049 3810 0741

8148 3957 0795

8244 4104 0852

8336

8425 4401

8594 4700 1106

4850

0973

8511 4551 1038

8673

4253 0911

1176

8750 5000 1250

3665 0689

0080

0640

n=4 01

02

00

04

(fi

00

07

00

00

10

0394

0776 0023

1147 0052 0001

1507 0091

1855 0140

2193 0199

2836

3143

0344

0430

0002

0005

0008

2519 0267 0013

0019

0027 0001

3439 0523 0007 0001

12

13

14

15

16

17

18

19

20

4003

4271 0847 0079 0003

4530 0968

0098

4780 1095 0120

5254 1366 0171

0004

0005

5021 1228 0144 0007

5479 1509 0202 0010

5695 1656 0235 0013

5904 1808 0272 0016

27 7160

0006

11 3726 0624 0049 0001 21 6105 1963 0312 0019

0732 0063

0002

22 6298 2122 0356 0023

23

24

25

26

6485

6664

6836

2285

2450

0403

0453 0033

2617 0500 0009

7001 2787 0566 0046

0028

0008

28

2fJ

30

0628

0694

0053

0061

7459 3307 0763 0071

7599

2fJ59

7313 3132

3483

0837 0081

504


TABLA e (continuación)

p

31

32

33

34

35

28

37

38

39

40

7733

7862 3837

8103 4193 1171 0134

8215 4370 1265 0150

8322

4547 1362 0168

8425 4724 1464 0187

8522 4900 1569 0209

8615 5075 1679 0231

8704 5248 1792 0256

45

46

47

48

49

!Xl

9085

9150 6252 2550

9211 6412 2686

0448

0488

9269 6569 2831 0531

9323 6724 2977 0576

9375 6875 3125 0625

08

00

10

3409

0544

3760 0674

4095 0815

0045 0002

0063 0003

0086

r

1 2 3 4

0915 0092

0996

0105

7985 4015 1082 0119

41

42

43

44

8788 5420 1909 0283

8868

5590 2030 0311

8944 5759 2155 0342

9017 5926 2283 0375

3660

P r

1 2 3 4

6090

2415 0410 n=5

p

01

~

03

04

05

00

07

1846 0148

2262 0226 0012

2661 0319 0020 0001

3043 0425 0031 0001

r

1 2 3 4

0490

0961

1413

0010

0038

0085 0003

0001

P r 1 2 3 4 5 P r 1 2 3 4 5 P r 1 2

3 4 5

P

0006

0005

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

4416

4723 1125 0143

5016 1292 0179 0013 0001

5296 1467 0220 0017 0001

5563

6061 2027 0375

6293 2224 0437

6513 2424

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28

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II

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Apéndice de tablas

505


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Apéndice de tablas

507

TABLA e (continuación) p

11

12

13

14

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16

17

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0001

r

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509

e

(continuación)

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P

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51 O


TABLA e (continuación) n

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P

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0504

r

P

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5448

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40

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r

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ED

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r

1 2 3 4 5

9930 9622

Apéndice de tablas

TABLA

511

e

(continuación)

0343

0399

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0087 0012

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0001

0001

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0002

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P

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= 12

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20

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P

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5794 3457

Apéndice de tablas

TABLA

51 3

e

(continuación)

0375 0093 0017 0002

6 7 8 9 10 11 P

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5754

P r

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3643

945S

8510

9601

Apéndice de tablas

51 5


1692

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0680

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:Q

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r

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516

TABLA


e

(continuación)

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51 8


TABLA e (continuación) 1l

P

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9966

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Apéndice de tablas

51 9


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Apéndice de tablas

521


12 13 14 15

0307

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0001

0002

0004

0009

0017

0001

0001

0003

18

19

20

r

1 2 3 4 5

0546 .

0002

6 7 8

1751

11

12

13

14

15

16

17

1 2 3 4 5

8908 6342

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0904

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9636

6835

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6 7 8 9

0135 0030

0202

0290

0048

0005

0009 0002

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0401 0113 0026

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0003

0005

0008

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0001

0001

0002

P

0602

0147

r

3488

1490 0502

0001

10 11 P

21

9770

9818

8809

9004

6910 4549 2476

5005

2864

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1110 0411 0126 0032

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0004

0007 0001

0010

0016

0001

0002

0003

7287

22

23

24

25

26

27

28

29

30

9911

9930 9535 8471 6671 4320

9946

9619 8692 7032 4936

9958 9690 8887 7369 5346

9967 9749 9057 7680 5744

9975 9797 9205 7965 6129

9981 9837

9985 9869

9333

9443 8458 6848

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2592 1248

2950 1487 0629 0222 0066

3705 2032 0941

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0503

3322 1749 0775 0287 0089

0011

0016

0023

0003

0005

0001

0001

0032 0007 0001

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

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9434 8222

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0307 0093

2251 1034 0396 0127

0023

0034

0169 0047

0005

0007 0001

0002

1929 0843

0001

0366

0119

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1129 0459 0156

2657 1338 0568 0202

0044

0060

0080

0010

0015

0021

0105 0028

0002

0003

0004

0006

0001

0001

0694

0258

522



p

31

~

~

34

35

33

J1

38

39

40

1 2 3 4 5

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9993 9935

9995 9949 9743 9169 8037

9996

9997 9969

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9998 9981 9890 9588 8878

9038

9999 9989 9931 9719 9179

9999 9992

9791 9297 8280

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9999

9960

6 7 8 9 10

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6366

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7032 5188

7339 5554

3344

3690

1855 0875

2116 1035

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11 12 13 14 15

0137

0280 0089 0023 0005 0001

0347 0114 0031 0007 0001

0436 0146 0041

0518 0185 0054

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0013

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0002

0003

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0001

r

0405

0038

0009 0002

9686 9022

m3

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4445

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0017 0003

0001

9409

9986 9913 9659

16

9945

9770 9304

0006

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

10000 9994 9957 9813 9413

10000 9995 9967 9849 9508

10000

10000 9997 9980 9903 9660

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10000 9999 9993 9963 9850

10000 9999 9995 9971 9879

10000 10000 9996 9978 9904

6 7 8 9 10

8579 7226 5480

8767 7515 5832 4003 2385

8937 7787 6176

9088

9223 8273 6831

9342

9446

9537

9615

8488

8684

8862

9022

2672

8039 6509 4706 2974

3290

7138 5413 3617

7430 5762 3954

7706 6105 4299

7964 6439 4648

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11 12 13 14 15

1040 0429 0146

1404 0621 0227 0067 0016

1613 0738 0280 0086 0021

1841 0871 0342 0109 0028

2087 1021 0415 0137 0036

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0046

0060

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3238 1796

0009

1213 0518 0183 0052 0012

16 17

0001

0002

0003

0004

0005

0010 0001

0017

0022

0001

0007 0001

0013

0001

0002

0003

0004

P

3660

2114

0040

9996

9974 9878 9590

4353

5060

11

P

0835

0318 0096

= 20

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

1821 0169 0010

3324 0599 0071

4562 1198 0210 0027

5580 1897

7099 3395 1150 0290

7658 4131 1610 0471 0107

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8484

8784

0074 0010

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5484 2666 0993

0001

0003

0009 0001

0019

0038

r

1 2 3

4 5 6

7

0006

0003

0439

0056

0003

0006

6083

0290

3231 1330 0432

0068 0013

0024

0113

Apéndice de tablas

523


8 9

0001

0002

0004

0001 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5

9028 6624 3802 1710 0610

9224 7109 4369 2127 0826

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9510 7916 5450 3041 1375

9612 8244 5951 3523 1702

9694 8529 6420 4010 2059

9759 8773

9811 8982 7252 4974 2849

9852 9159 7614

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0370 0103 0005 0001

0507 0153 0008

0673 0219 0013

0870 0304 0021

0409 0033

0001

0002

0004

0007

1356 0537 0049 0011

0001

0001

0002

P r

11 12

6854

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21

22

23

24

25

26

27

28

9910 9434

9931 9539

8230

8488

6310 4142

6711 4580

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9959 9698 8915 7431 5439

9968 9757 9087 7748 5852

9976 9805 9237 8038 6248

9982 9845 9365 8300 6625

9986 9877 9474 8534 6981

6 7 8 9 10

2297 1071 0419 0138

2657 1301

3035

3427 1838

3828 2142 1018

0038

0186 0054

4235 2467 1225 0515 0183

4643 2810 1455 0640 . 0238

3169 1707 0784 0305

11 12 13 14

0009

0013

0019

0028

0039

0002

0003

0004

0006

0055 0014

0074 0018

0100 0027

0001

0001

0009 0002

0003

0004

0001

P

5439

5886

3271

3704

1643 0071 0017

1958 0867 0100 0026

0004 0001

0001

29

30

9989

9992 9924 9645 8929 7625

0689

0006

r

1 2 3 4 5

P r 1 2 3 4 5

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0536

1557 0675 0246 0075

0835

0320 0103

0409

0139

5048

9903

9567 8744 7315 5447 3540 1982 0948 0385

0132

5836 3920 2277 1133 0480

0006

0038 0009

0171 0051 0013

0001

0002

0003

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

9994

9996 9953 9765 9235 8173

9997 9964 9811 9358 8411

9998 9972 9849

9998 9979 9879 9556 8818

9999 9984 9904 9634 8989

9999 9988 9924 9700 9141

9999 9991 9940 9755 9274

9999

10000 9995 9964 9840 9490

6574 4693 2922 1568 0719

6917 5079 3268 1818 0866

7829 6197 4361 2683 1424

8090 6547 4735 3005 1650

8329 6882 5108 3341 1897

0350 0119 0034 0008 0001

0775 0308 0102 0028

0923 0381 0132

0466

0037

0049

0005

0006

0009

0012

0016

9940

9711 9092 7911 6213 4305

2591 1340 0591 0220 0018

0279 0091 0025

0004

0006

0001

0001

0069

9465

8626 7242

7546

5460

5834

3624 2087 1032

3990 2376 1218

0434

0532

0154 0045 0011

0196

0015

0645 0247 0079 0021

0002

0003

0004

0060

9993 9953 9802 9390 8547 7200 5478 3688

2163 1090 0167

8744 7500 5841 4044 2447 1275 0565 0210

524 TABLA


e

(conclusión)

16

0001

0001

0002

0002

0003

41

~

43

44

45

46

47

48

49

50

10000 9996 9972 9872 9577

10000 9997 9979 9898 9651

10000 9998 9984 9920 9714

10000 9998 9937 9767

10000 9999 9991 9951 9811

10000 9999 9993 9962 9848

10000 9999 9995 9971 9879

10000 10000 9996 9977 9904

10000 10000 9997 9983 9924

10000 10000 9998 9987 9941

41

~

43

44

45

46

47

48

49

50

6 7 8 9 10

8921 7780 6196

9217 8281 3394

9687 9186 8261 6873 5166

9745 9312 8482 7186 5525

9793 9423

3064

9447 8701 7480 5857 4086

9539 8881 7759 6207

2748

9340 8501 7183 5499 3736

9619 9042 8020

4406

9078 8041 6539 4771

7483 5881

11 12 13 14 15

1480 0679 0262

1949

3432

0214

2791 1511 0694 0265

0038

2212 1123 0482 0172 0050

2493 1308

0084 0022

1705 0810 0324 0107 0029

0064

0083

0397 0133

3771 2238 1133 0480 0166

4119 2517 1316 0577 0207

16 17 18

0004

0006

0011 0002

0020

0035

0046

0001

0008 0001

0015

0001

0003

0004

0007 0001

0010 0001

0059 0013

P r

1 2 3 4 5 P

gsilB

r

6868

5136

0958

0397 0136

0580

4443

0001

6546 4804

3104 1734 0823 0326 0105 0027 0005 0001

1977 0969

8684

0002

Abstracción, 4-5 Agnihothri, S. R., 370n Agrupamientos en sistemas de colas, 383-384 Algoritmo de ramificar y restringir, 147,161-179 Análisis ABC, 323-326 precauciones del, 326 realización, 325-326 Análisis de decisión en computadores personales, 262 limitaciones de, 309-310 modelos para, 8 perfiles de riesgo en, 294-297 y opciones de capital, 252-253 Análisis de riesgo probabilístico, 186 Análisis de sensibilidad, 23-24, 75, 79-80 para coeficientes de la función objetivo, 87-88 para evaluación de nuevo producto, 86-87 para probabilidades subjetivas, 243-244 Análisis matemático (cálculo), 150 Anbil, R., 136n Anclaje en estimación, 308 Andrews, Bruce H., 462n Árboles de decisión, 245-252, 289 análisis de información en, 248-249 análisis de utilidad en, 303-304 desarrollo de, 251-252 dominancia en, 292-295 valor monetario esperado en, 235,237-238 Y diagramas de influencia, 249-251 Arrendamientos óptimos en GE Capital,74

Bases, 92 Bashyam, Sridhar, 71n Bass, F. M., 59n, ll1n Bean, L. L., pronóstico de los niveles de personal necesarios en, 462n Bernoulli, Daniel, 290 Billington, e, 322n Bonini, Charles E, lln Borison, Adam, 234n

Brown, Kip, 2n Brown, R. G., 337n Bucciarelli, Mark, 2n Buede, Dennis, 262n Búsqueda genética, 151

Cantidad económica de un pedido, 326-333 descuentos por volumen o, 330-331 fórmula para, 328 pedidos generales, 331 sensibilidad del costo ante errores en, 329-330 Carter, e, 322n Celda en la hoja de cálculo, 16-17 Celona, John, 303n CEE lIér Cantidad económica de un pedido Coeficiente de correlación, 208 Coeficientes de función objetivo, 87-88 Cola izquierda de la distribución normal de la probabilidad, 219 Computadores. Véase también Hojas de cálculo (computarizadas) análisis de decisión con, 262 modelos de hojas de cálculo con, 15-18 Construcción del modelo, 5-7 factores cualitativos en, 6-7 técnicas de, 6-7 Control de inventarios, 323 análisis ABC, 323-326 cantidad económica de un pedido, 326-333 costo del goodwill, 353 costo total anual esperado, 357-358 curva de intercambio en, 343-345 enfoque marginal, 350-353 fuentes independientes y, 334 incertidumbre de la demanda y, 334-356 inventario cíclico en, 335-336 inventario de seguridad en, 335-336 modelo de costo por faltan tes, 336-337 modelo de nivel de servicio, 342343

nuevos pedidos, 326-349 pedidos por cupo, 331 planeación de requerimiento de material, 335 punto óptimo de pedido y tamaño del pedido, 337-341, 357-358 rotación y, 332-333 simulación, 405-406 sin nuevos pedidos, 349-357 sistemas justo a tiempo (JIT), 332-333,346 sistemas Kanban, 332 y manejo de la cadena de suministros, 346-348 Costo de oportunidad, 237, 240 esperado, 239 Costo(s) ante errores en la cantidad Q, sensibilidad de, 329-330 de faltantes, 351-356 de mala voluntad del cliente, 353 de oportunidad, 351 de sobrantes, 350, 356 del faltante, 337 incremental, 356 reducido, 82 Crane, R. R., 413n Criterio. lIér Medidas de desempeño. Cunningham, Shawn M., 462n

Dantzig, George, 97 Darnell, D. Wayne,67n Datar, S., 87n Decisiones, efectividad de, 3-4 Degeneración, 102 Delta Airlines, programación de la flotilla de, 136 Demanda del tiempo de espera calcular desviación estándar de la, 340 Demanda dependiente, 335 Descuentos por cantidad, 330-341 Desviación estándar de la demanda del tiempo de producción, 340 de una variable aleatoria, 205-208 Desviación por exceso de confianza en estimados, 308

526


Desviaciones en estimación de probabilidades, 307-309 Diagramas árbol, 165-166, 193-194 de araña, 23 influencia, 13 y árboles de decisión, 247-249 red, 440-441 Dígitos aleatorios, tabla de, 403 Dinero, valor presente y valor en el tiempo del, 25 Disponibilidad, 308 Distribución binomial, 214 acumulada, 502-524 de probabilidad, 213 Distribución de Gauss, 217-222 Distribución de Poisson en Teoría de las colas, 376, 391-392 Distribución de probabilidad continua, 354-356 simulación, 412-413 Distribución de probabilidad discreta, 201 . Distribución de probabilidad multivariada, 208-209 Distribución hipergeométrica, 216n Distribución normal de la probabilidad, 217-222 estandarizada, 220-222, 500 extremos izquierdo y derecho de, 219 Distribución normal estandarizada, 220-222 tabla de función para, 500 tabla de pérdida de función para, 501 Distribuciones de probabilidad acumulada, 294 Dixit, A., 254n Dominancia, 290-297 criterios, 290 de evento, 291 de resultado, 290 en árboles de decisión, 292-294 estocástica, 291n evento, 291 probabilística, 291 probabilística, 291 resultado, 290 Drumm, F V, 288n Du Pont, decisión y análisis de riesgo en, 288

Efectividad de las decisiones, 3-4 Enumeración completa, 147 Equivalente de certidumbre, (EC), 302-303 Errores en CEP, 329-330 en modelos, 5

Estimación de la tendencia, 489-492 Estimación de probabilidades, 307-308 Estrategia, 292-294 de avanzar/avanzar, 292 de avanzar/parar, 292 de para/parar, 292 de parar/avanzar, 292 dominancia de una sobre otra, 293-294 Estrategias de abandonar, 292 Evaluaciones de nuevo producto, análisis de sensibilidad para, 86-87 Eventos independientes, 189-190 Eventos mutuamente excluyentes, 189-191 Excel. Ver Hojas de cálculo Extremo derecho de distribución continua de la probabilidad, 354 de distribución normal de la probabilidad, 219

Factores en la toma de decisiones, 5 Factores estacionales, en pronósticos, 473-477 Fischbeck, Paul S., 186n Foreman, Leonard, 24n Fórmula de Little, (filas), 378 Fórmula de pérdida de Erlang, 386n Formulaciones, 43 Foster, G., 84n Frecuencia relativa, 188 Fuerza laboral, de L. L. Bean, necesidades de pronósticos en, 462 en McDonald's, programación de, 138 Función binomial de probabilidad, 214-217 Función lineal, 41 Funciones de distribución acumulada, 202-208 y generación de variables aleatorias, 413 Funciones de masa acumulada, 202-203 Funciones de utilidad evaluación, 299-301 exponencial, 311-312 forma de, 298-299 pendiente de, 298 utilización, 302-306

GE Capital, arrendamientos óptimos en, 74 Gelman, E., 136n

Gibrat, R., 65n Golden, Bruce, 71n Goldratt, E., 83n Guardia Costera de EE.UU., modelo de operaciones de la flota de, 1 Gutierrez, G. J., 68n

Hall, Monty, 198-200 Hausman, W. H., 68n HetIand, Per WilIy, 438n Hewlett-Packard, manejo de la cadena de suministro en, 322-359 Hoey, J. M., 138n Hojas de cálculo (computarizadas) en análisis de modelo, 17-18 en análisis de riesgo, 423-428 en estimación de tendencia, 489, 492 en generación de variables aleatorias, 413, 418-422 en probabilidades binomiales, 214-217 en probabilidades normales, 222-356 en simulaciones Monte Cario, 417-428 en soluciones de problemas de programación con enteros, 152-154 en soluciones de problemas de programación lineal, 93-101 en soluciones generales de problemas de optimización, 152-154 en suavizamiento exponencial, 466-469,489-491 generación de valores aleatorios con, 418-422 valores binomiales acumulados en, 502-524 valores de función estandarizada de distribución normal en, 500n Holgura y ruta crítica, 443-444 variables, 91 Horngren, 84n

Igualdades y desigualdades lineales, 42 Incertidumbre, toma de decisiones bajo, 235-286 Información de estudio, valor de la, 261 Información de estudios, 261 imperfecta, valor de, 254-255, 261 perfecta, valor esperado de, 242243

índice

Intercambios costo-tiempo, 444-448 entre inventario de seguridad y servicio al cliente, 343-346 entre objetivos, 157-158 Inventario de seguridad, 335-336 Inventario, rotación de, 332-333 Inventarios por ciclos, 335-336

Jones, 1.M., 70n Justo a tiempo, sistemas de inventario, 332

Kahneman, D., 308n Kanban, sistemas de inventario, 332 Karmarkar, N., 94 Kleindorfer, P R., 310n Kunreuther, H. c., 310n

Lasdon, L., 151n Lee, H. L., 322n Lewent, Judy, 255n Liebman, 1., 151n LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer - Optimizador lineal discreto interactivo) (programa de computador) Ver Hojas de cálculo, 94 y solución al problema de programación lineal, 107-109 Líneas de espera. Ver Teoría de las colas, Little, John D. e, 378n Litty, Charles J., 74n Lof1in, Carolyn, 67n Lonsdale, R.T., 111n Lotus 1-2-3. Ver Hojas de cálculo, Lourdes Hospital, programación de citas médicas en, 370 Love, R. R:, k, 138n

Manejo de la cadena de suministro, 346-348 en Hewlett-Packard, 322 Mar del Norte, plataformas petroleras en, 448 Marsten, R. E., 136n Masse, P, 65n McClain,1. O., 445n McDonald's, programación de empleados en, 138 McEnroe, John, 230 McNamee, Peter, 296n Medición del desempeño. Ver Medidas de desempeño. Medidas de desempeño, 10

Merck Pharmaceuticals, 255 Método de la ruta crítica (CPM), 439n,440n Método de plano de corte, 147 Método simple, 94 Mezcla de producto, formulación de problema de, 43-44 Minimización, 98 Modelo cuantitativo, 2 Modelo de nivel de servicio de control de inventario, 342-343 limitaciones del, 345 Modelo integrado de planeación corporativa, 52-53 Modelos análisis de decisión, 8 análisis utilizando, 15 beneficios de la representación matemática de, 6 clasificación de, 7-8 colas, 8 complejos, 8 de caso, 7-8, 21 definición de, 5 ejecución en computador, 16-18 errores en, 5 escenario, 7 incertidumbre en, 30, 57 inventario, 8 medidas de desempeño para, 10 New York Times, 24 optimización, 8 PERT (Técnicas de evaluación y revisión de programa), 8 políticas y restricciones en, 10 por computador, 16-18 programación de enteros, 8 programación lineal, 8, 40-73 restricciones en, 10 ruta crítica, 8 simple, 5, 7-8 simulación, 8 variables de decisión en, 9 variables en, 9-11 variables exógenas en, 10 variables intermedias para, 10 y hojas de cálculo, 17 Monte Cario, análisis, 255, 296, 438 de proyecciones de duración del proyecto, 451 de riesgo, 423-428 simulación por computador de, 417-428 Morgenstern, O., 297n Múltiples objetivos, 155-161 definición de intercambios entre, 157-158 y programación de meta, 158-159 y programación de prioridad,

159-161

527

NORM(S)DIST, 222n, 356n NORM(S)INV, 222n, 356n

O'Brien, G. G., 413n Oglethorpe Power Corporation, 234, 243

Opciones de compra de acciones, 253 Optimización ejemplo utilizando solver, 152-154 por medio de procedimientos de búsqueda general, 151-152 recocido simulado en, 152 técnicas generalizadas, 150-155

Paradoja de Allais, 309-310 Paradoja de San Petersburgo, 290 Paramount Farm, simulación en la producción de nueces de pistacho, 400 Parro 1. O., 344n Pate-Cornell, M.-Elizabeth, 186n Patty, B., 136n Pedidos por cupo, 331 PEPS (primeros en entrar - primeros en salir), 375, 377 Pérdida de oportunidad condicional, 240 PERT (Técnica de evaluación y revisión de programa), modelos, 8,439-456 diagrama de red en, 440-441 estimados múltiples de tiempo para actividades con tiempos inciertos, 448-451 evaluación de, 455-456 requerimientos de información de, 439 ruta crítica en, 441-444 y simulación de duración del proyecto, 451-453 y simulación del costo total, 453455 Y tiempos de actividad conocida, 440-444 y tiempos de actividad incierta, 448-451 Pindyck, R., 254n Planeación de requerimientos de materiales, 335 Plataformas petroleras en el Mar del Norte, 448 Políticas, efectos sobre decisiones, 10 Pollaczek-Khintchine, modelo de

colas de, 377n

528


Portafolio, efecto, 309 Posibilidades de utilidad, 294 Precio dual, 84-87 Precios sombra, 80-84 de restricciones sin fijación, 82 e identificación de riesgos, 83-84 para restricciones no negativas, 82-83 y degeneración, 102 y evaluación de nuevo producto, 86-87 Prioridad, programación de, 159-161 Probabilidad, conceptos de, 187-222 desviaciones en estimación de probabilidades, 307-309 determinación de probabilidades, 256-261 distribución binomial, 213-214 distribución de probabilidad continua, 354-356 distribuciones de probabilidad multivariada, 208-209 enunciados básicos de, 188-189 eventos dependientes, 190-191 eventos independientes, 189-190 eventos mutuamente excluyentes, 189, 191 frecuencia relativa, 188 interpretación subjetiva, 188 probabilidad aposteriori 197-198 probabilidad condicional, 190, 191-196 probabilidad conjunta, 190, 192196 probabilidad crítica, 352 probabilidad marginal (incondicional) de eventos, 192-196 probabilidad objetiva, 187-188 probabilidades apliori, 258 probabilidades acumuladas, 291 probabilidades subjetivas, 243-244 proceso de Bernoulli, 212-217 revisión de probabilidades, 197200,254 simetría de resultados, 187 variables aleatorias, 200-201 Probabilidad, distribuciones de, 200202 generación de valores aleatorios de, 418-422 normal,217-222 para utilidad, 293, 295 Probabilidad, función de de masa de, 201,202-203 densidad de, 201, 203-204 Problemas complejos, 8 de cargo fijo, 139-140 de expansión de capacidad, 143 de mezclas, formulación del, 46-49 de presupuesto de capital, 141-143

de tamaño de lote, 140 definición del, 307 dinámicos, 49 estáticos, 49 simples, 7-8 Proceso de Bernoulli, 212-217 Programación cuadrática, 150 Programación de citas médicas en Lourdes Hospital, 370 Programación de enteros, 137-141 ejemplos de formulaciones, 141-146 formulación de problemas, 139-141 solución de problemas, 146-149 Programación de vuelos de Delta Airlines, 136 Programación lineal análisis de sensibilidad en, 75, 79 incertidumbre en, 57 uso de, en Tate Iron and Steel Company, 40, 55 YSolver, 94-107 formulación de modelos, 52, 54-55 formulación de problemas modelo integrado de planeación corporativa, 52-53 problema de mezcla de producto, 43-44 problema de mezcla, 46-49 problema de programación, 49-51 . problema de transporte, 44-46 limitaciones de, 56-57 método algebraico, 91-93 múltiples objetivos en, 155-161 soluciones gráficas a problemas, 75-79 soluciones óptimas alternas en, 78 soluciones por computador a problemas, 93-99, 103-109 YLINDO (Linear Interactive Discrete OptimizerOptimizador lineal discreto interactivo), 97, 107-109 Yprogramación de meta, 158-159 Programación no lineal, limitaciones de, 154-155 Programación de citas médicas, 370 de flotillas de aerolíneas, 136 de la fuerza laboral, 138 en sistemas de procesamiento, 397 modulación de, 49-51 Promedios móviles, 463-466 Pronósticos, 463-492 de nuevo producto, 484-487 estimación de tendencia no lineal, 489,492 medición de error en, 487-488

métodos de series de tiempo, 463-478

modelos de regresión, 478-484 en hoja de cálculo, 466-469, 489-492 modelos de regresión lineal simple, 478-481 modelos de regresión múltiple, 482-484 precauciones de, 485 regresión por mínimos cuadrados, 479n necesidades de la fuerza laboral, 138,462 suavizamiento exponencial, 466478 agregar tendencias lineales en, 470-473 factores estacionales en, 473476 iniciación del modelo, 476-477 modelo biecuacional con tendencia lineal, 472 promedios móviles, 463-466 valores de las constantes de suavizamiento, 477-478 Punto factible, 76-79 Punto óptimo de pedido y tamaño del pedido, determinar, 357-359 enfoque marginal para, 337-341

Quatro. Ver Hojas de cálculo Quilinan, 1. D., 136n

Razón crítica, 352-353 Recocido simulado, 152 Región factible, 77-79 Remplazo de las losetas del transbordador espacial, 186 Restricciones, 10 análisis de sensibilidad de, 87 en problemas de programación lineal,43-53 enlace, 50 precio sombra no negativas, 82 sin negatividad, 82 teoría de, 83 y/o, 140-141 Retroalimentación en estimados, 308 Revisión de probabilidades, 197-200, 254 Riesgo análisis de, 408-410 aversión al, 241, 306 en análisis de decisión, 294-297 Monte Cario, 423-428 perfiles de, 293 premio del, 304-305 Riesgos, en la toma de decisiones,

240-241 Robicheck, A. A., 69n

índice

Rolle, C. E 288n Russo, l, 308n Ruta crítica, 441-444 encontrar una, 441-443 y holgada, 443-444

SAD. Ver Sistema de apoyo de decisión Salop, So c., 230n Sasieni, Mo 449n Savage, Sam L., 94n Scheff, Ro P, Jr., 136n Schlaifer, Ro, 501n, 502n Schoemaker, Po, 308n, 310n Schrage, Linus, 97n, 107n, 151n Selectividad en estimados, 308, 309 Simetría de resultados, 187 Simplificación de problemas, 4-5 Simulación probabilística, 402-405 dígitos aleatorios, 403 Simulación, 400-428 . computadores en, 405-406 de distribución continua de probabilidad, 412-413 de la producción de nueces de pistacho en Paramount Farm, 400 de operaciones en el puerto de Singapur, 400 de requerimientos de mano de obra, en Taco Bell, 400 de sistemas complejosz 413-415 método gráfico, 412-413 Monte CarIo, 401, 402, 405, 408, 412 en hojas de cálculo para computador, 417-428 periodo de iniciación en, 405 probabilística, 402-405 y control de inventario, 406408 Singapur, simulación de operaciones en el puerto de, 400 Sinha,40 Sistema de apoyo de decisiones (SAD),8 Sistemas de pérdida frente al sistema de filas, 374, 385-387 fórmula de pérdida de Erlang, 386n sistemas de pérdida M/G/c, 385387 Sistemas de procesamiento, 371, 390391 ejemplo, 372-374 experiencia y, 373-374 prioridades en, 387 programación en, 387 Smullyan, Raymond, 229n Soluciones, 5

w.,

alternas, 102 enteros, 137 factibles básicas, 92-93, 102 óptimas, 93 utilizando análisis matemático, 150 Solver (paquete de optimización de hoja de cálculo por computador). Véase también Hojas de cálculo, 94-101 Excel,103-107 Suavizamiento exponencial, 466-478 agregar tendencia lineal a, 470-473 hojas de cálculo en, 466-469, 489492 razón para el nombre de, 469-470 y factores estacionales, 473-476 Subramanian, R., 136n Swain, James l, 405n

Tabla de distribuciones binomiales acumuladas, 502-524 Taco Bell, simulación de requerimientos de mano de obra, 400 Tanga, R., 136n Tata lron and Steeel Company, modelo de programación lineal en,40,55 Taylor P E, 370n Teichroew, D., 69n Tendencias lineales en pronóstico, 470-473 Teorema de Bayes, 198 Teoría de las colas, 371-393 agrupamiento de eficiencias en colas, 383-385, 390-391 cantidad de servidores, 375 comportamiento de sistemas de colas, 380-382 disciplina, 375 distribución de Poisson, 376, 391392 distribución exponencial, 376, 392-393 distribuciones de Markov, 376, 391-393 experiencia y, 373-374 fórmula de Little, 378n fórmula de pérdida de Erlang, 386n intuición y, 379, 391 limitaciones de, 402 llegadas, 374, 381-382 medidas del desempeño, 375 modelo de Pollaczek-Khintchine, 377n modelo de servidor múltiple (G/G/c),382-383 (M/M/c),381-382 modelo de servidor único, 374,

529

380-382 (G/G/1) 381 (M/D/1), 380, 382 (M/G/1), 377-379, 380 (M/M/1), 380, 381 necesidad de capacidad en exceso, 381, 390 notación en, 375-377 prioridades en sistemas de procesamiento, 387 programación en sistemas de procesamiento, 387 redes, 374, 388-390 servicios, 374, 381-382 simulación del sistema, 404 sistemas de pérdida, 374, 382-387 sistemas de pérdida M/G/c, 385-387 utilización de la capacidad, 377, 378 Teoría de utilidad efecto portafolio, 309 limitaciones de, 309-310 paradoja de Allais, 309-310 Thomas, L. J., 445n Toma de decisiones abstracción y simplificación en, 4-5 bajo incertidumbre, 235-286 clasificación de modelos en, 7-8 construcción de modelos en, 5-6 fuentes de error en el uso de modelos para, 5 riesgo en, 240-241 soluciones en, 5 utilidad como base para, 297-302 Transporte, formulación del problema de, 44-46 Tversky, A., 308n

Utilidad esperada con predicciones perfectas, 241-242 Utilidad esperada, 290 Utilidad marginal del dinero, 298 Utilidad, árboles de decisión en el análisis de, 303-304

Valor condicional, 235-237, 240 Valor del dinero en el tiempo, 25 Valor del lado derecho de la ecuación, 80-82 rangos, 84-86 versus rango de coeficiente objetivo, 89 Valor esperado de información perfecta (VElP), 242-243 de variable aleatoria, 204-205 Valor monetario esperado (VME),

234,237-238,239

530


como criterio de decisión, 290 en árboles de decisión, 245, 250251 Valor presente del dinero, 25 Valor condicional, 235-236, 240 de información de estudio, 262 de información imperfecta, 254256, 261 de variable aleatoria, 200-201 marginal, 80-84 Variable normal estandarizada, 220 Variables aleatorias, 200-205 generación algebraica de, 413 generación de, 412 generación por computador de, 413

sumas de, 209-212 valor esperado de, 204-205 varianza y variación estándar de, 205-206 Variables aleatoria, 200-201, 204-212, 412416 binaria, 139 cero/uno, 139 crítica; 5 de decisión, 9 diagrama de influencia de, 13 exógena,10 externa, 92 ficticias, 91 intermedias, 10 normal estandarizada, 220

relaciones entre, 10-11 relaciones financieras entre, 1415 relaciones físicas entre, 13-14 solución básica, 92 Varianza de variable aleatoria, 205208 van Neumann, 1. 297n Vos Savant, Marilyn, 198-200

Wang Qiwen, 71n Waren, A., 151n Wasil, Edward, 71n What's Best (programa de computador incorporado), 94 Wiper, D.S., 136n

ANÁLISIS

CU

~TIVO PW LOS NEGOCIOS NOVENA EDICiÓN

D

esde su primera edición en 1961, este texto ha sido pionero en la aplicación del análisis cuantitativo para los negocios, la administración y la gerencia, y ha intentado cerrar la brecha entre los métodos analíticos desarrollados recientemente y

los cursos de negocios aplicados. La obra se estructura en "hojas de cálculo amigable" y se trabaja con Excel- por lo que se incluyen apéndices con detalles sobre el uso de este programa en simulación y solución de problemas de programación lineal, utilizando Solver-o Cada capítulo describe una aplicación reciente de las técnicas presentadas en el libro que, con frecuencia, implican ahorros de millones de pesos para las empresas involucradas. Su probabilidad de éxito será mayor, si utiliza estos métodos...Consúltelo.

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McGraw-HiII U

Analisis Cuantitativos Para Negocios

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