INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE XALAPA INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA MATERIA:
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE C.A. GRUPO:
5 “A”
TEMA:
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DOMINIO DE LAPLACE ALUMNO:
LOPEZ LANDA AXEL FERNANDO
NUMERO DE CONTROL: CATEDRÁTICO:
147O01395
MTRA. ACOSTA DE LA ROSA ALMA
XALAPA, VER. 15 NOVIEMBRE 2016
Contenido 1.- INTRODUCCIÓN:
........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ....................... ......... 2
2.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE ............................ .......................................... ............................ .................... ...... 3 ......................................... ............................. ............................ ............................ ........................... ............. 3 3.- RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA ..........................
3.1.- LA RESPUESTA NATURAL ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 4 .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 5 3.2.- LA RESPUESTA FORZADA ............................
3.3.- RESPUESTA COMPLETA .......................... ........................................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ................ 5 4.- IDENTIFICACIÓN DE CIRCUITOS (APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A .. 7 LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS) ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ................ 7 4.1.- EL PARÁMETRO RESISTIVO ............................ ........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ .................... ...... 8 .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 8 4.2.- PARÁMETRO INDUCTIVO ...........................
4.3.- PARÁMETRO CAPACITIVO............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 9 4.4.- FUENTES
............................ .......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 10
4.5.- CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................ ............... .. 11 .......................................... ............................ ............................. ............................ ............. 13 4.6.- CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC ............................
4.7.- CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES ............................ ........................................... ............................ ............. 14 .......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 16 5.- CONCLUSIÓN ............................
6.- BIBLIOGRAFÍA ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 16
1
1.- INTRODUCCIÓN : Los circuitos eléctricos, aunque no lo parezcan, tienen muchas aplicaciones en la vida diaria de los seres humanos. Los encontramos tan simples como un circuito de una lámpara sencilla de escritorio o compleja, como el circuito de una máquina automotriz o un complejo industrial. Así como existe una cantidad muy variada de circuitos eléctricos, existen diversas m aneras para la solución y estudio de ellos y en este trabajo se analizará una manera específica apoyada por el cálculo; La Transformada de Laplace. Este tipo de ecuaciones, hacen que el análisis de circuitos RL y RC se pueda realizar de una manera más sencilla, aunque sigue manteniendo el grado de complejidad que resulta de resolver una transformada de este tipo. Sobre la transformada poder definir su uso en circuitos de muchas maneras una de ellas es:
“Esta es una técnica muy importante ya que si tenemos un conjunto dado de condiciones iniciales, obtendremos mediante una operación la respuesta total del circuito que se forma con las respuestas natural y forzada, al usar la transformada de Laplace transformamos el problema del circuito del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia compleja, para así primero resolver la ecuación plateada usando el álgebra en el dominio de la frecuencia compleja y después
convertimos la solución en el dominio de frecuencia compleja de regreso al dominio del tiempo.” 1 En el presente trabajo, expondremos como resolver los circuitos eléctricos utilizando el método de la Transformada de Laplace, el cual nos ayuda a transformar un circuito eléctrico complejo a un circuito simple y más fácil de manejar y resolver, no importa la cantidad de resistencias, inductores, capacitores o elementos distintos que podamos encontrar en nuestro circuito eléctrico.
2
2.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE
La transformada de Laplace de una función f (t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral este definida. La función original f (t) se conoce como transformada inversa o inversa de F(s), es decir:
La transformada de Laplace es definida como una regla que asocia a la función de tiempo con una función de una variable compleja, es llamada la transformada de Laplace. El plano complejo donde se encuentra definido s y en el cual F(s) toma valores es llamado dominio S. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales e íntegro-diferénciales, como las
son las ecuaciones del análisis de circuito básico. ” 1 3.- RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA
El análisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores depende de la formulación y solución de ecuaciones integro diferenciales que caracterizan a los circuitos. Se llamará ecuación diferencial lineal homogénea al tipo especial de ecuación que se obtiene, la cual es simplemente una ecuación diferencial en la que cada término es de primer grado en la variable dependiente o en una de sus derivadas. Se obtiene una solución cuando se encuentra la expresión de la variable dependiente que satisface la ecuación diferencial y también la distribución de energía prescrita en los inductores o capacitores en el instante preestablecido, por lo general t = 0.
1.-J. David Irwin, Análisis básico de Circuitos en Ingeniería, Quinta Edición, Editorial Prentice Hall, México, 1997 pág. (748 – 749)
3
La solución de la ecuación diferencial representa una respuesta del circuito y se conoce con
muchos nombres. Puesto que depende de la “naturaleza” general del circuito (los ti pos de elementos, sus tamaños, la interconexión de los elementos), se denomina a menudo como respuesta natural. Sin embargo, todo circuito real que se construya no puede almacenar energía por siempre; necesariamente, las resistencias asociadas con los inductores y capacitores a la larga convertirán toda la energía almacenada en calor. La respuesta debe al final extinguirse (o sea desaparecer), razón por la cual con frecuencia se le conoce como respuesta transitoria. Se podría identificar Q como una función forzada y expresarla como Q (t) para subrayar su dependencia general del tiempo. Se simplifica la explicación si se supone que p es una constante positiva. Después se supondrá que Q es constante, restringiendo de ese modo el uso de funciones forzadas de CD. En cualquier texto usual de ecuaciones diferenciales se demuestra que si ambos lados de la ecuación [1] se multiplican por un factor de integración apropiado, cada uno se convierte en una diferencial exacta que se integra en forma directa para obtener la solución. No se están separando las variables, solo se ordenan de modo que sea posible la integración. En la ecuación anterior, el factor de integración es ∫ o simplemente , pues P es una constante si se multiplica cada lado de la ecuación por tal factor de integración se obtiene
ePt di + i PePt dt = QePt dt [2]
3.1.- LA RESPUESTA NATURAL
Se observa primero que en un circuito sin fuente, Q debe ser cero y la solución consiste en la respuesta natural =
−
Se puede ver que P nunca es negativa en un circuito solo con resistencias, inductores y capacitores; su valor depende nada más de los elementos pasivos del circuito 5 y de interconexión en el circuito. Por lo tanto, la respuesta natural se aproxima a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. Este debe ser en el caso de del circuito RL simple debido a que la energía inicial se disipa de modo gradual en la resistencia, en forma de calor. También hay circuitos idealizados en los que P es cero; en tales circuitos la respuesta es natural no se desvanece. En consecuencia, se verá que uno de los términos que conforman la respuesta completa tienen la forma de la respuesta natural; incluye una amplitud que dependerá (aunque a menudo no será igual) del valor inicial de la respuesta completa, y por ello también del valor inicial de la función forzada.
4
3.2.- LA RESPUESTA FORZADA
Se puede ver que el primer término de la ecuación [3] depende de la forma funcional de Q (t), la función forzada. Siempre que tenemos un circuito en el que la respuesta natural se desvanece conforme t se vuelve infinita, el primer término debe describir por completo la forma de a respuesta después de que desapareció la respuesta natural. Este término por lo general recibe el nombre de respuesta forzada; también se conoce como respuesta de estado permanente, solución particular o integral particular. Por ahora solo decidimos considerar solo los problemas que implican la aplicación repentina de fuentes de CA, así que Q (t) será entonces una constante para todos los valores del tiempo. Si lo deseamos, se evalúa ahora la siguiente integral: i = e-Pt Q ePt dt + Ae -Pt
if = = Q/P
Para obtener la respuesta forzada: i (t) = Q/P + Ae -Pt7 Para el circuito RL en serie, Q/P representa la corriente constante V 0/R y 1/P la constante de tiempo t. Veremos que la respuesta forzada podría haberse obtenido sin evaluar la integral, debido a que debe ser la respuesta completa en el tiempo infinito; corresponde solo a la tensión de la fuente dividida por la resistencia en serie. Así, la respuesta forzada se obtiene por inspección del circuito final. 3.3.- RESPUESTA COMPLETA
Se utiliza el circuito simple RL en serie para ilustrar la forma de determinar la respuesta completa mediante la adicción de la respuesta natural y forzada. La respuesta deseada es la corriente i (t), así que se expresa primero esta corriente como la suma de la corriente natural y de la corriente forzada, esto es, =
+
La forma funcional de la respuesta natural debe ser la misma que la que se obtuvo sin fuente alguna. Por lo tanto, se sustituye la fuente de tensión de escalón por un cortocircuito y se reconoce el lazo en serie RL anterior. De tal modo, =
− /
Donde la amplitud A aún debe determinarse; además, debido a que la condición inicial se aplica a la respuesta completa. No se puede suponer simplemente A = i (0).
A continuación se analiza la respuesta forzada. En E n este problema particular la l a respuesta forzada debe ser constante, debido a que la fuente es una constante V 0 para todos los valores positivos de tiempo. Por lo tanto, después de que la respuesta natural se desvanece, no hay tensión en el 5
inductor; por lo consiguiente, aparece una tensión V 0 en los extremos de R, de modo que la respuesta forzada es simplemente 0=
Observar que la respuesta forzada esta por completo determinada; no hay una amplitud desconocida. A continuación se combinan las dos respuestas para obtener =
−
+ 0
Y se aplica la condición inicial para evaluar A. La corriente es cero antes de t = 0, además, no es posible que cambie el valor en forma instantánea, puesto que es la corriente que fluye por un inductor. En consecuencia, la corriente es nula inmediatamente después de t = 0, y 0=A+
0
Y por lo tanto, =
0
(1 −
−
)
Observamos con todo cuidado que A no es el valor inicial de i, pues A = -V 0/R, en tanto que i (0) = 0.
Al considerar los circuitos sin fuente, se encuentra que A fue el valor inicial de la respuesta. Sin Si n embargo, cuando se presentan funciones forzadas, se debe determinar el valor inicial de a respuesta y luego sustituirlo en la ecuación de la respuesta completa para determinar A. Dicha respuesta se grafica en la figura 8.36 y se observa cómo se forma la corriente a partir de su valor inicial de cero, hasta su valor final de V 0/R. La transición se lleva a cabo de manera efectiva en un tiempo 3x.
6
El procedimiento que se utiliza para determinar la respuesta de un circuito RL luego de que se activan o desactivan (dentro o fuera del circuito) fuentes de ca en algún instante de tiempo se resume como sigue. Suponer que el circuito se reduce hasta una resistencia equivalente R eq en serie con una inductancia equivalente L eq cuando todas las fuentes independientes se
igualan a cero. La respuesta que se busca se representa mediante f (t).” 2 1.- Con todas las fuentes independientes suprimidas, simplificar el circuito para determinar R eq y Leq y la constante de tiempo T = L eq / Req. 2.- Considerando a Leq una vez más como un circuito cerrado, utiliza métodos de análisis de ca para calcular iL (0- ), la corriente en el inductor justo antes de la discontinuidad. 3.- Considerando a L eq una vez más como un circuito abierto, aplicar métodos de análisis de ca para determinar la respuesta forzada. Este es el valor aproximado de f (t) cuando t ---- > ∞;
se representa mediante f (∞). 4.- Escribir la respuesta total como la suma de la respuesta forzada y natural: f (t) = f (∞) + Ae -t/T. 5.- Determinar f (0+) mediante la condición que i L (0+) = i L (0- ). Si se desea, L eq se podría reemplazar por una fuente de corriente i L (0+) (un circuito abierto si i L (0+) = 0) para este cálculo. Con excepción de las corrientes en el inductor (y las tensione en el capacitor), otras tensiones y corrientes en el circuito pueden cambiar de manera abrupta. 6.- f (0+) = f(∞) + A y f (t) = f(∞) + ( f (0+) – f(∞))e-t/T, o respuesta total = valor final + (valor inicial
– valor final) e-t/T. 2.-William H. Hayt Jr, Jack E. Kemmerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Septima edición, Editorial Mc Graw Hill, México, 2007. Pág. (283 – 289)
“En lo descrito anteriormente se ha explicado varios conceptos teóricos referentes a la respuesta natural, repuesta forzada y respuesta completa para circuitos RL, RC Y RLC, usando la transformada de Laplace en su mínima simplificación, sin embargo, nuestro objetivo fundamental, es basarnos de
ésta teoría para poderla aplicar en la resolución de problemas de ingeniería y más esp ecíficamente en el análisis de circuitos eléctricos. Explicaremos algunos ejemplos, el primer paso, será aprender la transformada que está asociada a cada parámetro o componente eléctrico: 7
4.1.- EL PARÁMETRO RESISTIVO
La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en las funciones de voltaje y corriente:
Cuya transformada es:
Estos resultados se pueden observar en la figura:
4.2.- PARÁMETRO INDUCTIVO
Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee una corriente inicial de i (0+) A en la dirección de la corriente i (t), se transforma en el dominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor en s es L i (t) y que va en la dirección de la corriente I(s).
La ecuación que describe el comportamiento del inductor en el dominio del tiempo es:
Cuya respectiva transformada es: 8
4.3.- PARÁMETRO CAPACITIVO
La figura que se observa en esta sección, muestra una capacitancia de C farads en el dominio del tiempo; en el dominio de s, ésta se transforma en una impedancia y una fuente de voltaje en serie oponiéndose a la corriente i (t), cuyos valores se observan también en dicha figura:
9
En el dominio del tiempo se tiene:
Transformamos esta ecuación, y obtenemos:
4.4.- FUENTES
En cuanto a fuentes, la transformada depende de la función que caracterice a dicha fuente. Otra herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:
En la primera figura, se cumple:
Despejamos I(s):
10
Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estas transformaciones son bidireccionales, es decir, si tenemos una fuente de corriente en paralelo con una impedancia se convertirán en una fuente de voltaje en serie con la impedancia, y viceversa.
4.5.- CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC
Considere el circuito de la figura:
La ecuación diferencial que resulta de hacer LVK, es:
Sometiendo esta ecuación a la transformada de Laplace, obtenemos:
De esta ecuación despejamos I(s):
Ahora, cambiamos la forma del denominador para para realizar un procedimiento de fracciones parciales:
11
Hallamos el coeficiente A, igualando s a cero:
Hallamos el coeficiente B, igualando s a R/L, y reemplazamos los valores:
Finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta esté en el dominio del tiempo:
12
4.6.- CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
Observe la siguiente figura:
La ecuación integral que resulta de hacer LVK, es:
Aplicando transformada de Laplace: Laplace:
Despejamos I(s):
Si observamos detenidamente esta última ecuación, nos damos cuenta que podemos aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:
Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo de circuitos
13
4.7.- CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES Considere el circuito circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductor inductor es (0+) amperes, y el voltaje voltaje inicial en el condensador (0 +) es volts, con la polaridad indicada:
Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuación integro-diferencial:
Le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:
Arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver ver de forma más clara:
El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el primer factor puede ser expresado de la siguiente forma:
14
Y dada la relación entre admitancia e impedancia:
Podemos deducir que:
Ahora, dejamos todo en una sola fracción:
Si detallamos la última ecuación escrita, y la relacionamos con la ecuación donde está despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en últimas determinan el comportamiento del circuito. Lo anterior, escrito en una ecuación sería:
Después de tener en cuenta todas estas consideraciones, lo único que resta es encontrar la respuesta en el dominio del tiempo; sin embargo, no se puede generalizar una respuesta debido a que dependiendo de las funciones de excitación y de las condiciones iniciales, la respuesta en el tiempo cambia. Lo que haremos entonces es plantear la ecuación de transformada inversa de
Laplace:” 3
3.-Http://www.virtual.unal.edu.co .-Http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/20 /cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10le 01603/lecciones/cap10lecc6/cap6ded4.htm cc6/cap6ded4.htm pág.(14-22)
15
5.- CONCLUSIÓN:
Pudimos observar que la respuesta de los circuitos puede ser forzada o normal según se activen o desactiven las fuentes sin importar los elementos que la formen, pero si tomando en cuenta los valores de cada uno de los elementos resistivos, capacitivos o inductivos que se encuentren dentro del circuito. La respuesta completa de un circuito RL o RC excitado por una fuente de cd tendrá una forma 0+ ) = f ( ∞ ) + A y f (t) = f ( ∞ ) +[ f ( 0+ 0+ ) − f ( ∞ )]e−t/τ , o respuesta total = valor final + (valor inicial – f ( 0+ valor final) − / . El uso de la transformada de Laplace para la resolución de los circuitos eléctricos es una herramienta que facilita el trabajo de reducir un circuito complejo a uno simple que sea más practico de llevar a la realidad y que puede ahorrar tiempo cuando se realiza un trabajo. A pesar de lo complejo que pueda parecer el uso de transformadas para resolver los circuitos, podemos concluir que podemos obtener valores exactos y concretos asi como resultados mas reales o próximos a los que se obtienen al realizar los circuitos electricos en físico.
6.- BIBLIOGRAFÍA
1. J. David Irwin, Análisis básico de Circuitos en Ingeniería, Ingeniería, Quinta Edición, Editorial Prentice Hall, México, 1997 2. William H. Hayt Jr, Jack E. Kemmerly, Kemmerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Septima edición, Editorial Mc Graw Hill, México, 2007. 3.
lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Richard%20Nuñez.pdf
4.
www.fceia.unr.edu.ar/tci/utiles/Apuntes/CAP%2012-2013%20LAPLACE.pdf
5. Http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10lecc6/cap6de d4.htm
16