REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD “FERMIN TORO” FACULTAD DE INGENIERIA CABUDARE – ESTADO LARA
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA: Teorema de Malla y Principio de Superposición Supe rposición
MARIYULY CAMARGO COLINA C.I 16.951.818 DAVID ELIEZER GUERRERO C.I. 17.330.334 ALFONSO CASTILLO
C.I. 19.849.727 ARGENIS PINTO C.I 11.646.863
FEBRERO, 12 DE 2.011
La abreviatura AC significa corriente alterna. Esta se podría referir a cualquier tipo de alternancia, pero el tipo específico de forma de onda alterna que se presenta con más frecuencia en el análisis de circuitos es la senoide. Y una de las tareas más importantes del análisis de circuitos es determinar la respuesta de estado estacionario forzada por una excitación senoidal después de que la respuesta natural desaparece. Por consiguiente, de acuerdo con la práctica común, diremos que un circuito de corriente alterna es un circuito lineal estable que opera con excitación.
Los circuitos de corriente alterna han sido por mucho tiempo el sustento diario de la ingeniería eléctrica y electrónica en la distribución de energía, iluminación, productos de consumo y sistemas industriales. Además, la comprensión de los conceptos de los circuitos de corriente alterna es un prerrequisito esencial para miles de temas que van desde dispositivos electrónicos y la maquinaria rotatoria hasta el control automático, las comunicaciones y el procesamiento de señales.
Por lo tanto, nuestro estudio de los circuitos de corriente alterna tiene tanto aplicaciones inmediatas como subsecuentes. Fundamentalmente, el análisis de circuitos de corriente alterna incluye las intimidantes tareas de formular ecuaciones diferenciales para los circuitos y luego calcular las soluciones particulares con excitaciones senoidales. Sin embargo, trabajaremos con técnicas más convenientes que reducen los problemas de circuitos de corriente alterna a manipulaciones algebraicas relativamente simples.
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ANALISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO El análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismo procedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, se emplean impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo. Como la ley de Ohm puede usarse en el dominio de la frecuencia, se emplea la relación V = ZI para los elementos pasivos y se procede con las técnicas del voltaje de nodo y la corriente de malla. 1.- Ejemplo de análisis de Malla:
En la siguiente figura aparece un circuito con =10rad/s, L =0.5H y C=10mF. Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuando el voltaje de la fuente es V f =10 cos( t)V.
Solución: El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que se identifica un supernodo como se muestra en la figura, donde también aparece la impedancia de cada elemento en forma fasorial.
Vf
3
= 5
Así, la impedancia del inductor es ZL = j
De igual forma, la impedancia del capacitor es: 1 10 = = = −10 1 Primero, se nota que Y 1 = 11 = 100 . Ahora se desea conjuntar las dos admitancias en paralelo para que R 2 y C den una admitancia Y 2 como se muestra a continuación:
Entonces obtenemos Y 2 = 1
2
+
1
=
1 10
+
10
=
1 10
(1 + )
Y 3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como:
Donde Z3 = R 3 + ZL = 5 + 5j
Y 3 = 1
3
Por lo tanto, se tiene Y 3 = 5+1 5 =
1 50
(5
− 5)
Aplicando la LCK en el supernodo de la figura del circuito anterior, Y 1 (V - Vf ) + Y 2 V V + Y 3 (V + 10I)= 0
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Además, se denota: I = Y 1 1 (V f f - V)
Sustituyendo la ecuación I = Y 1 (Vf - V) en la Y 1 (V - Vf ) + Y 2 V V + Y 3 (V + 10I) = 0 se obtiene Reordenando,
Y 1 (V - Vf ) + Y 2 V V + Y 3 [V + 10Y 1 (V - Vf )]= )]= 0 (Y 1 + Y 2 +Y 3 – 10Y 1 Y Y 3)V = (Y 1 – 10Y 1 Y Y 3) Vf
En consecuencia,
− 10
3 V = + 1 + −1 10 1
Dado que,
2
3
Vf = 20
1 3
∠º
se obtiene
− 5− 510 1−(1− ) 10 V = = = 2+ + (1+ ) (2+ ) 1 10
1 10
1 50
1 10
1 10
Por tanto, se tiene
( + , ) = °
5
2.- Ejemplo de análisis de Malla: Determinar la corriente en estado estable i1, cuando la fuente de voltaje es Vf = 10 2 cos ( t + 45°) V y la fuente de corriente es i f = 3cos A en el circuito de la figura. En esta figura aparece la impedancia en ohms para cada elemento a la especificada.
+ Vf -
Solución: Primero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial. La fuente de voltaje es Vf = 10
2∠45° = 10(1 + )
Y la fuente de corriente es
∠
If = 3 0° Se observa que la corriente conecta a las dos mallas y produce una ecuación restrictiva I2 –I1 = If Creando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, se escribe una ecuación de la LVK, obteniendo I1Z1 + I2 (Z2 + Z3) = Vf I1Z1 + (If + I1) (Z1 + Z3) = Vf – (Z2 + Z3) If (Z1 + Z2 + Z3)I1 = Vf –
− ( + ) I1 = +2 +3 1 2 3 Sustituyendo las impedancias y las Fuentes 6
I1 =
10+ 10− 2− 23 = 2 + 2 = 8,25∠76° 2
En consecuencia, el resultado es i1 =
, + °
3.- Ejemplo de análisis de Malla: Determinar la corriente senoidal senoidal de estado estado estable i1 en el circuito de la
figura cuando v 10 2 cos ( t 45) V y
= 100 rad/s. Además, L= 30 mH y
C = 5 mF.
Solución: Primero se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorial
2∠45° = 10 + 10
Vf = 10
Ahora se definen las dos corrientes de mallas como i 1 e i2, como se muestran a continuación:
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Puesto que la frecuencia de la fuente es
= 100 /, se determina que la
inductancia tiene una impedancia de 1 = =
1 = 1 2
−2
Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y la impedancia de cada elemento dibujando el circuito en términos de fasores. Ahora pueden escribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla, obteniendo: Malla 1: (3 + j3) I1 – j3 I2 = Vf Malla 2: (3 – j3) I1 – (j3 – j2) I2 = 0 Despejando I1 con la regla de Cramer, se tiene: I1 =
10 + 10 ∆
Donde el determinante es:
∆ = 3 + 3 + 33 − 3 = 6 + 12 En consecuencia,
− −10 I1 = 10 6 + 12 Prosiguiendo, se obtiene: −1) = 10( 2∠135° = 1,05 I1 = 610(1( − + 1 ) 6( 5∠63,4°)
∠71,6°
Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es: i1 = 1,05 cos (100t + 71,6º) A
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EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN En los circuitos lineales con más de una fuente independiente, la propiedad de la linealidad hace posible el análisis de estos circuitos sumando las respuestas debidas a cada fuente por separado esto quiere decir que la respuesta general de un circuito que contiene varias fuentes es la suma de las repuestas a cada fuente individual, eliminando las otras fuentes. Esto se conoce como el principio de superposición, en donde las fuentes de corrientes se eliminan o son fijadas en cero, reemplazándolas con circuitos abiertos cerrados.
y las
fuentes de voltaje
se sustituyen con circuitos
En cuanto a el poder total disipado por un elemento de un circuito lineal en general no es la suma de los poderes por separado debidos a cada fuente. Esto se debe a que la potencia es una función no lineal de las variables de circuito corriente y voltaje. El uso de la superposición está limitado a cálculo de corrientes y voltajes en circuitos lineales. La superposición es una poderosa herramienta que nos permite resolver corrientes y voltajes en circuitos lineales que contienen varias fuentes al añadir superponer voltajes y corrientes componentes. En relación con lo antes expuesto este principio se aplica a los circuitos lineales de CA de la misma manera que se aplican que los circuitos CD.
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En los circuitos en estado estable AC que contienen fuentes múltiples con la misma frecuencia, no puede calcularse la potencia superponiendo las potencias debido a las fuentes se encuentran por separado. Esto finalmente se aplica a todas la forma de potencia: instantánea, media reactiva o compleja. La superposición puede utilizarse para obtener corriente voltajes pero no para fuentes con la misma frecuencia estos componentes deben superponerse antes de calcular la frecuencia. En otras palabras este teorema rige la potencia promedio cuando las fuentes son de frecuencia distintas. De esta forma para calcular la potencia promedio P en estado estable ac de un circuito excitado por fuentes en dos o más frecuencias en donde se calcula la frecuencia promedio para cada frecuencia separadamente y luego se agrega . De igual forma de se puede obtener la potencia reactiva Q cuando las fuentes son de frecuencias frecuencias distintas. Cuando los fasores pueden superponerse (w1 = w2), no puede aplicar aplicar lo mismo mismo con P y Q y cuando cuando los fasores no puedan puedan superponerse superponerse (w1≠w2), esto quiere decir que el teorema funciona para P y q La superposición, en el caso de fuentes que operan a 2 o más frecuencias se aplica aplica solo a respuestas en el tiempo. No se pueden superponer superponer las respuestas fasoriales. Esto quiere decir que la respuesta total se debe obtenerse sumando las repuestas individuales en el dominio del tiempo.
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1.- Ejemplo utilizando el teorema del principio de Superposición Usando el principio determinar la corriente de estado estable i en el circuito de la figura.
R 1= 5Ω
vf = 10 cos 10 t v
C=10 mf
if =3A
R 2= 10 Ω L= 1,5 H
5 Ω
1,5 H
I1 +
10 mf
-
10 Ω
3A 10 cos 10 t V
SE RESOLVERA EL EJERCICIO EJERCICIO PASO A PASO Paso 1: Se cambian las fuentes independientes a FUENTES fasoriales (polar), siempre y cuando cuando trabajen en diferentes frecuencias frecuencias para que pueda pueda cumplir el teorema de superposición. Para la fuente de voltaje trabaja
= 10 rad/s.
Representado de la forma fasorial o (polar )
= 10 ˂ 0˚
En el caso de la fuente de corriente directa por lo tanto el valor de rad/s. representado en la forma fasorial fasorial o polar if= 3 0
˂˚
11
=o
Paso 2: Ahora se le realiza el cambio de los elementos del circuito identificando el dominio de la frecuencia usando impedancia y fasores. fasores. Para ello se utilizaron las siguientes siguientes formulas: Fórmula para las resistencias Sustituyendo las formulas Z1= 5 Ω Y lo mismo ocurre ocurre la resistencia de R= 10 Ω = z= 10 Ω Z1= 5 Ω
Fórmula para el inductor o la bobina Sustituyendo las formulas Z= j *10 rad/s * 1,5 H = j 15 Ω
Z2== j 15 Ω Fórmula para el capacitor
∗ ∗=
Sustituyendo las formulas Z=
- j 10 Ω
Z3= - j 10 Ω Después de haber convirtiendo las fuentes de corriente, fuentes de voltaje en su representación fasorial y los elementos del circuitos a impedancia y fasores, se muestra el dibujo con los cambios realizados en el paso 1 y paso 2 . 5 Ω
j 15 Ω j10 Ω
10
˂ 0˚
10 Ω
3
+
-
12
˂ 0˚
Paso 3: Eliminación
de fuente de corriente
Se elimina la fuente de corriente ya que trabaja de forma individual y se sustituye por un circuito abierto a través del resistencia de 10 Ω. Es por
ello que se utiliza la fuente de voltaje para obtener la intensidad de corriente I1. En el circuito se observa que la impedancia del capacitador y la impedancia de la resistencia se encuentran en paralelo se obtiene la impedancia equivalente
Zeq34=
− 10Ω∗ Z4 = 5 (1-j) 10Ω + Z4
Ahora se calcula la intensidad de corriente I1. Utilizando la siguiente formula.
∠ − ° 1 = = ∠− = °
+
+
+
+(
)
∴
La corriente en el dominio del tiempo tiene como resultado utilizando la fuente de voltaje es:
0.71cos 10
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45
Paso 4: Eliminación de la fuente de voltaje Al desactivar la fuente de de voltaje ocurre un corto circuito, esto con lleva a colocar en cero la fuente de voltaje y por eso ocurre el corto. En cuanto a la impedancia del capacitador se convierte en un circuito abierto 1
porque =
∞.
Sin embargo la impedancia
del
inductor
o bobina
convierte en corto circuito. A continuación se muestra la figura
Se procede a calcular la intensidad de corriente 2
2 = − 10Ω10+ 5Ω ∗ 3 = −2 Por tanto, usando el principio de superposición, la corriente total de estado estable
It 0.71cos 10t 45
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2A
se
2.- Ejemplo del principio de Superposición Determinar la potencia promedio adsorbida por la resistencia en la figura:
Paso 1: 1: Se convierten las fuentes y los elementos del circuito de forma fasorial
= 4 / = 2 / j 8 Ω
∠
3√2 0° V
1Ω +
-
1
-j
2
15
∠
√2 20° A rms
Paso 2: Elimínanos la fuente de corriente
Paso 3: Elimínanos la fuente de voltaje j 4 Ω
I1 1Ω
∠
√2 20° A
- j j 1Ω
Ahora debemos calcular sus respuestas individuales de circuitos fasoriales distintos. I1=
2∠20° = 1.40∠27.6°
Calculo de la potencia en
15 2
1+ 15 2
= 4 16
1 = 1 = 1 = 1 ∗ 1.40 2
Para
2
2
= 1.96
= 2 : 2 = 31 +2 ∠30 = 1.34 ∠ − 71.6°
Para el cálculo de la potencia:
2 = 2 = 1 ∗ 1.34 =1.80 W 2
2
La potencia promedio absorbida por la resistencia es: 1.96 +1.80 = 3.76 W
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