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Cd. Cuauhtémoc Chih., Mayo de 2011
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Cd. Cuauhtémoc Chih., Mayo de 2011
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Un fasor es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas después de procesos de interferencia. Se utilizan directamente en óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de ondas, en electrónica los fasores se utilizan 4
habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados físicos.
Los fasores tambien se usan comúnmente para resolver visualmente problemas del tipo "existen varias ondas de frecuencia similar pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, ¿cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las ondas, y después simplemente se aplica la suma vectorial sobre ellos. La longitud del vector resultante en la amplitud de la onda resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias ondas seno no es necesariamente otra onda seno, la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante.
La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular
ω.
Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor
máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro
ω
está relacionada con la frecuencia de la señal.
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En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.
Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si únicamente queremos representar una señal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada únicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ángulo es cero. Si en cambio nos interesa el ángulo de fase (normalmente cuando lo estamos
comparando
con
otro
fasor)
lo
indicamos
según
corresponda.
El igual que en los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (existen otras como la trigonométrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma.
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Los fasores suelen indicarse matemáticamente también en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. Por ejemplo la expresión:
V = 311 sen (2 π50 t + ¼ π)
Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:
V = 311 V ω
= 2π50 (para una f = 50 Hz)
Φ
= 45 ° (o ¼ π)
En forma polar se escribe como 311 (45°) V.
Otra forma de expresar a un fasor o número complejo, es la forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria.
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Con las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binómica (a y b) a partir del módulo del fasor y de su ángulo (forma polar) o bien hallar el módulo del fasor y su ángulo a partir de la forma binómica.
Si tenemos el fasor dado en forma binómica y queremos conocer el módulo, lo calculamos como la hipotenusa del triángulo. El ángulo se calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el adyacente.
Forma binómica = a + j b
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Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binómica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a componente.
Es más simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los módulos según corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicación) o se los resta (para el caso de la división).
Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario conocer tanto su magnitud como su ángulo de fase y de esta manera poder realizar operaciones entre ellos (suma, resta).
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Otro uso de los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del tiempo y la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, etc) en el dominio de la frecuencia y de el tiempo también y realizar la transformación necesaria. Para transformar una magnitud del dominio de la frecuencia con cierta magnitud y un ángulo de fase , al dominio del tiempo solo es necesario girar el fasor en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad angular que está dada en rad/s y tomar su proyección sobre el eje real.
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Con los diagramas fasorial, es posible observar el comportamiento de los voltajes y corrientes de un circuito en estado senoidal permanente tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.
Aunque ni el voltaje ni la intensidad son vectores podemos representarlos por unos vectores bidemensionales llamados fasores Debajo del esquema del circuito, en el applet, se ve el diagrama fasorial que es un artificio para una fácil e intuitiva representación de los valores instantáneos del voltaje(U), en rojo, y la Intensidad (I), en azul, frente al tiempo. Las curvas sinusoidales son recorridas por una bola que ocupa una posición coincidente en cada instante con la proyección del extremo del fasoror I , o U, sobre el eje "X" ,que se toma como el valor para el eje "Y" en el gráfico. En el eje "X" del gráfico se pone el tiempo. Los fasores I y U ,a la izquierda de la representación, giran en sentido contrario a las agujas del reloj y mantienen en cada momento su desfase constante.
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Los fasores giran con una velocidad angular constantew=2p n, en sentido antihorario, un ángulo wt en un tiempo t. La altura en el eje "Y" en el gráfico ( es igual a la proyeccion sobre el eje "X" del fasor) es el valor instantáneo de la magnitud proyectada. Intensidad y voltaje mantiene un desfase constante, menos cuando tenemos la resistencia ohmica pura, entonces van en fase
Supongamos que tenemos el siguiente circuito
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Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:
Donde:
Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada).
Ii: fasores de corriente.
: suma de las impedancias de la malla i.
: suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.
Se hace de igual forma que con redes resistivas.
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Donde:
Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i.
Vi: fasores de voltaje del nodo i.
Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i.
Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.
Se cumple igual con los fasores:
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Aplicada a una malla y empleando fasores se cumple igualmente:
Demostración: Se debe cumplir con los signos mostrados
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Utilizando fasores, las técnicas para resolver circuitos de corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuación se indican las leyes básicas.
Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una señal. Por tanto V=IR sigue siendo válida.
Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja.
En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representación de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrás y adelante. Se puede definir también la 17
potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es el complejo conjugado de I).
Las Leyes de Kirchhoff son validas con fasores en forma compleja.
Dado esto, se pueden aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con más de una frecuencia o con formas de onda diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de onda en sus componentes sinusoidales y después analizando cada frecuencia por separado. Este método, resultado directo de la aplicación del principio de superposición, no se puede emplear para el cálculo de potencias, ya que éstas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, sí es válido resolver el circuito mediante métodos de superposición y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales que:
La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en dichos terminales
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La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente
Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original) y miramos atrás, hacia la izquierda.
En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensión equivalente Thévenin Vth que coincide con la tensión en Bornes de la resistencia R2 y cuyo valor es :
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El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos hacer lo supondremos en cortocircuito y ¿ que es lo que vemos ?
Pues si miráis la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo. Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada impedancia equivalente, Z th. vale:
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El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el valor Vo
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La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que:
La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión.
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La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thévenin)
Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedará el siguiente circuito:
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Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) Ith = V / R1 la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de R1 y R2
Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2)
Equivalencia entre Thevenin y Norton Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente : Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que será la corriente : Ith = 10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos quedará el circuito equivalente Norton de la derecha
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.- Valores de los elementos para los montajes
- Voltaje de la fuete: 5V rms
- R1: 21
- R2: 21
- R3: 14.9
- C1: 99µf
- C2: 218.3µf
1.- Se monta el circuito de la siguiente figura
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.- Mediciones realizadas:
- Voltaje medido en la carga AB conformada por R3 y capacitor C2, Vab: 1.9668V
- Corriente en la carga AB, Iab: 53.66mA
.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en R2
- Grafica obtenida con el osciloscopio:
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- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2
Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 32.72 grados
2.- Ahora montamos el circuito de la siguiente figura
.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la carga AB
- Grafica obtenida con el osciloscopio:
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- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en AB
Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 58.90 grados
3.- Ahora se desconecta la carga AB
.- Voltaje de circuito abierto que va a ser igual al voltaje de thevenin Vth : 3.9008V
.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en el capacitor C1
- Grafica obtenida con el osciloscopio:
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- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en el capacitor C1
Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 45.81 grados
4.- Ahora cortocircuitamos los extremos del circuito abierto (terminales AB)
.- Medimos la corriente que pasa por el cortocircuito que va a ser igual a la In: 78.32mA
.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la resistencia R2
- Grafica obtenida con el osciloscopio:
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- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2
Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 39.27 grados
5.- Ahora se monta el circuito equivalente con Vth y Zth
- Se monta el circuito de la siguiente figura
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.- Medimos el voltaje en la carga AB formada por C1 y R3 , Vab: 1.4296V
.- Desfasaje de voltaje entre la fuente (Vth) y el voltaje en la carga AB
- Grafica obtenida con el osciloscopio:
- La línea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en la carga 31
Por medio de una regla de tres y el método de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 19.28 grados
El principio de superposición establece que la ecuación para cada generador independiente puede calcularse separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando usemos dicho principio de superposición la ecuación para cada generador se calcula con los otros generadores (si son de tensión: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los generadores se acumulan para obtener la respuesta final.
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En primer lugar se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V1, suponiendo que el generador V2 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V01 (cuando V2 = 0)
Seguidamente se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V2, suponiendo que el generador V1 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V02 (cuando V1 = 0)
El valor de Vo será igual a la suma de los valores V01 + V02 obtenidos anteriormente.
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Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que
se
denomina fasor o
vector
de
Fresnel,
que
tendrá
las
siguientes
características:
Girará con una velocidad angular
.
Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.
ω
: Representación fasorial de una onda senoidal.
La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna. Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente:
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