ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE CONTROL Control de Procesos
M.C. ANTONIO RODRIGUEZ GARCIA
ÍNDICE
Índice……………………………………………………………..……………………………………………………..… 2 Introducción………………………………………………….………………………………………………………… 3 Porciento Incompleto…………………………………………….………………………………………………… 4 Lugar Geométrico De Las Raíces (LGR)……………………………………………………………..….…… 9 Diagrama de Bode …….………………………………….……………………………………………………….… 14 Diagrama de Nyquist ……………………………………………………………………………………….…...… 17 Controladores……………………………………………………………………………………………………….… 20 Métodos De Sintonía………………………………………………………………………………….………..…... 23 Sistemas Cascada …………………….……………………………………………………………….…………...... 32 Análisis Computacional Computacional con MATLAB...…………………………………………………………………….. 37 Anexos……………………………………………………………………………………………………………………. 45
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INTRODUCCIÓN En este trabajo, se expondrá paso a paso la manera adecuada de analizar un sistema de control a partir de una grafica gr afica determinada que nos muestre la respuesta de dicho sistema en el tiempo, de dónde iremos obteniendo diversos datos del sistema, como sus constantes de tiempo, su función de transferencia, el comportamiento del sistema ante la frecuencia y la manera correcta de sintonizar nuestro sistema para que trabaje de acuerdo nuestros estándares deseados. También se verá el análisis necesario para la aplicación de algún controlador en los sistemas, además de diferentes métodos de sintonía para los mismos. Otra de las actividades que se expondrán en este trabajo será la de llevar a cabo todas estas operaciones mediante el uso de software, en específico Matlab, para obtener una respuesta más exacta y rápida. En este trabajo se verán todas las operaciones necesarias para el análisis de un sistema de control, con todo y los controladores; esto haciéndolo de 2 maneras:
Forma Manual Forma Automática (mediante Matlab)
Primero veremos todos los pasos de forma manual, al final veremos el proceso haciendo uso de una librería especial de Matlab (incluida en este mismo trabajo) que nos facilitará el análisis del sistema. Por último se hablara acerca de los sistemas de tipo cascada además de su demostración en cuanto a la forma de análisis de los mismos.
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PORCIENTO INCOMPLETO El porciento incompleto es un método gráfico que nos sirve para obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su grafico de respuesta a una entrada de tipo escalón. Su base está en graficar el porcentaje de lo que falta para que el proceso se complete con respecto al tiempo. Es decir del 100% del proceso sustraer el porcentaje del proceso que ya se haya completado. La gráfica del porciento incompleto se grafica en una hoja semilogarítmica, donde el porciento incompleto se grafica en el eje vertical; mientras que el tiempo se grafica en el eje horizontal. Para poder realizar la curva denominada como “A” se necesitan tabular los valores del porcentaje del proceso completado, “Y”, y restárselos al 100%. Es decir, que al inicio del proceso tendremos una “Y” de 0% y por lo tanto el porciento incompleto será de un 100%. Una vez con estos datos, veremos también en que tiempo se realiza cada uno de estos puntos para poder así pasarlos al papel semilogarítmico. Ya con la primera curva, tendremos que realizar la curva denominada como “B”. Esta curva se obtiene extendiendo la parte linear de la curva “A” hasta el tiempo 0. Al hacer esto, esta nueva curva tendrá un origen diferente a la primera curva. Este nuevo origen es el denominado punto 1 “P1” La constante de tiempo del sistema se obtiene encontrando el 36.8% de P1. Al encontrar este determinado valor en la grafica podremos ver el valor en el tiempo, y ese será nuestra primera constante de tiempo. Para obtener la segunda constante de tiempo obtendremos la curva “C”, la cual es la diferencia de las curvas “A” y “B” (C= B-A). El punto de origen de esta curva, será nuestro punto 4 y nos ayudará a obtener la segunda constante de tiempo. Para la segunda constante de tiempo hacemos el procedimiento anterior, obteniendo el 36.8% de este punto y encontrando un nuevo punto que nos determinará la segunda constante de tiempo. Para corroborar aproximadamente los resultados, los puntos se pueden obtener en base a las constantes de tiempo obtenidas, es decir:
Ya que se obtuvieron las dos constantes de tiempo, ya se puede obtener la función de transferencia del sistema tomando en cuenta la siguiente formula. Control de Procesos
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**NOTA: Este método se utiliza para obtener la función de transferencia de un sistema forzándolo a ser un sistema de segundo orden, ya que si se realiza un análisis detallado del sistema es seguro que este sea de orden superior o muy complejo. A continuación se muestra un ejemplo en el cual se obtendrá la función de transferencia de un sistema a partir de su grafico de respuesta.
Ejemplo: A partir del siguiente grafico de la respuesta a una entrada escalón (Step) de un sistema, obtenga su función de transferencia.
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A partir del grafico, se obtienen y tabulan los siguientes valores:
Y
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100% - Y
T (Min)
0
100
0
10
90
0.6
20
80
0.8
30
70
1.1
40
60
1.5
50
50
2
60
40
2.4
70
30
3
80
20
3.8
90
10
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Si usted cree necesario, puede obtener más valores para así obtener una mayor resolución y exactitud en el grafico
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Ya obtenida nuestra tabla, se grafica nuestra curva “A” en el papel semilogarítmico de la siguiente manera:
Ya graficada nuestra curva “A”, para obtener la curva “B”, se traza una línea recta que toque la mayor cantidad de puntos de la curva “A”, tal y como se muestra en la figura anterior. Ya que se obtuvo la curva “B”, se obtiene el P1, el cual es el cruce de la curva B en el tiempo cero. Para nuestro ejemplo, el P1 es en 133.
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Para obtener el P2 (Punto con el cual se obtendrá la primera constante de tiempo), se utiliza la siguiente fórmula: En este caso redondeamos el resultado, con la finalidad de no meternos en problemas con los decimales, ya que se está utilizando una escala logarítmica
La primer constante de tiempo, se obtiene según el tiempo que hay en el P2 de cero hasta la curva “A” como se mostro en el grafico anterior, para nuestro ejemplo, la Tao 1 es de 2 minutos. Para obtener la curva “C” primero hay que obtener P3 (el cual nos marca el inicio de la curva “C”), y después se obtiene la diferencia entre la curva B y la curva A:
Después, se continua obteniendo la diferencia entre las curvas B y A, y el resultado de la traza de la curva C nos quedara de la siguiente manera como se muestra en el grafico.
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Ya que se obtuvo y grafico la curva “C”, se obtiene P4. Para obtener el P4 (Punto con el cual se obtendrá la segunda constante de tiempo), se utiliza la siguiente fórmula: Redondeamos el resultado, con la finalidad de no meternos en problemas con los decimales, ya que se está utilizando una escala
La segunda constante de tiempo, se obtiene según el tiempo que hay en el P4 de cero hasta la curva “C” como se mostró en el grafico anterior, para nuestro ejemplo, la Tao 2 es de 0.5 minutos.
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Para comprobar nuestros resultados, se pueden utilizar las siguientes formulas:
Según las ecuaciones, se comprobó que nuestros puntos obtenidos son correctos, ya con esto, se puede obtener nuestra función de transferencia mediante la siguiente ecuación:
La K se obtiene mediante la relación de la entrada escalón que le suministramos al sistema y la salida que obtenemos en estado estable. Para este caso supóngase que nuestro escalón fue de 100%, por lo tanto:
Por lo tanto la función de transferencia seria:
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LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES (LGR) En el lugar geométrico de las raíces podemos obtener diversos datos del comportamiento del sistema a diversas ganancias. En qué momento se alcanza, si es posible, la inestabilidad, donde se localizan sus polos, sus ceros, como afectan estos al sistema, etc. A continuación se mostrara el método para obtener el LGR de un sistema mediante un ejemplo.
Ejemplo: Utilizando la ecuación obtenida en el punto del Porciento Incompleto, se obtiene:
Esta función de transferencia es la misma que la obtenida anteriormente, con la diferencia que en esta forma si se puede introducir en Matlab.
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Puntos de Inicio Las trayectorias de LGR empiezan en los polos de GH(s). Polos = 2
Localizados en -0.5 y -2
Puntos de Fin Las trayectorias del LGR terminan en los ceros del GH(s). No hay ceros
Número, Centro y Ángulo de las Asíntotas Cuando hay ceros en el infinito se identifican por asíntotas:
No. Asíntotas = (NP - NZ) No. Asíntotas = 2 – 0
NP = # Polos
No. Asíntotas = 2
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