ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 1 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El objeti objetivo vo de este este capítu capítulo lo es sumini suministr strar ar la termin terminolog ología ía básica básica de la ingeni ingenierí ería a económica y los conceptos fundamentales que forman la base del análisis económico.
1.1 Interés ( I ) ) Es la manifestación del valor en el tiempo, el cual es una medida del aumento entre la suma original solicitada en préstamo o invertida y la cantidad final acumulada o que se adeuda. Si se ha invertido en el pasado se tiene que
=
I
Cantidad Total Acumulada Inversion
−
Inversion Original
Original
1.2 Tasa de Interés ( i ) ) Es el interés de una unidad monetaria en la unidad del tiempo considerada y cuya representación es porcentual. i
=
Interes Acumulado por Unidad de Tiempo Inversion Original
100 % x 100
Ejemplo Si se invierte S!. "##,### al inicio de un a$o y se obtiene S/. 190,000 al fnal de ese año. Cal!la" Cal!la" el In#e"$s % la #asa #asa del In#e"$s. Solución a% &alculo del 'nterés ( I %
=
I
190 190 ,000 000
−
100 100 ,000 000
=
S / .90,000 000
b% &alculo de la tasa de 'nterés ( i % % i
=
90,000 000 100 100 ,000 000
( 100 100 % ) = 90%
1.3 Tasa Mín!a Atra"t#a de $et%rn% (TMA$) Es la tasa de interés que esperan obtener los inversionistas por una inversión. )ara que una inversión propuesta propuesta pare*ca pare*ca +rentable+ +rentable+ a los ojos de los inversionist inversionista, a, estos deben esperar recibir mas dinero que el invertido. En otras palabras, los inversionistas esperan recibir una tasa justa por la inversión. &uando el período de interés es igual o menor que un a$o, la tasa de retorno en porcentaje para el período de interés es TMAR
=
Cantidad Total
de Dinero Dinero Re cibido
−
Inversion Inversion Original
Inversion Inversion Original
TMAR
=
Utilidad Inversion Original
1
( 100 100 %)
( 100 100 %)
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1.& E'#aen"a El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utili*ados simultáneamente, generan el concepto de equivalenci equivalencia, a, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términos términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico. )or ejemplo ejemplo Si la tasa de interés es de - anual, "## de hoy (es decir decir actualmente% actualmente% equivaldrán a "# en un a$o. )or que como sabemos &antidad /cumulada 0 "## 1 "##(" 1 #.#% 0 "##(".#% 0 "#.
1.* C%st% de Ca+ta 2epres 2epresent enta a el costo del diner dinero o obtenido obtenido acciones, bonos préstamo directo, etc.
de divers diversas as fuentes fuentes tales tales como venta venta de
1., Interés S!+e Es la ganancia del capital principal o stoc3 de efectivo ignorando cualquier interés que se halla acumulado en los períodos anteriores I
=
P . i. n
Interés Simple
4ónde
I& P& I& n&
'n#e"$s, 'n#e"$s, (anan (anan'a, 'a, "$d'#o "$d'#o o de)en(ad de)en(ado o *"'n'*al, *"'n'*al, a*'#al a*'#al o s#o+ s#o+ 'n''al 'n''al de de a*'#al a*'#al #asa de de 'n#e"$s 'n#e"$s *o" *o" *e"'odos *e"'odos ons'd ons'de"ado e"adoss n!e n!e""o de *e" *e"'o 'odo doss
El tama$o del período puede ser un día, una semana, un mes. Si el interés ('% se agrega al principal ( ) % el resultado se denomina monto ( 5 % o stoc3 final. F
=
P
+
I
Monto o Stock Final Del Efectivo
Ejemplo 4eterminar el interés sobre S!. ",### al "6- de interés simple anual durante a.7 6 a$os b.7 8 meses c.7 "9# días. 4eterminar además el stoc3 final para (c%. Solución a.7 Para 2 a-%s ) 0 S!. ",### i 0 "6- anual n06 '0)in ' 0 (",###% (#."6% (6% ' 0 S!. 6:# b.7 Para !eses ) 0 S!. ",### im 0 ("6-%!"6 0 "- (tasa proporcional mensual%
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1.& E'#aen"a El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utili*ados simultáneamente, generan el concepto de equivalenci equivalencia, a, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términos términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico. )or ejemplo ejemplo Si la tasa de interés es de - anual, "## de hoy (es decir decir actualmente% actualmente% equivaldrán a "# en un a$o. )or que como sabemos &antidad /cumulada 0 "## 1 "##(" 1 #.#% 0 "##(".#% 0 "#.
1.* C%st% de Ca+ta 2epres 2epresent enta a el costo del diner dinero o obtenido obtenido acciones, bonos préstamo directo, etc.
de divers diversas as fuentes fuentes tales tales como venta venta de
1., Interés S!+e Es la ganancia del capital principal o stoc3 de efectivo ignorando cualquier interés que se halla acumulado en los períodos anteriores I
=
P . i. n
Interés Simple
4ónde
I& P& I& n&
'n#e"$s, 'n#e"$s, (anan (anan'a, 'a, "$d'#o "$d'#o o de)en(ad de)en(ado o *"'n'*al, *"'n'*al, a*'#al a*'#al o s#o+ s#o+ 'n''al 'n''al de de a*'#al a*'#al #asa de de 'n#e"$s 'n#e"$s *o" *o" *e"'odos *e"'odos ons'd ons'de"ado e"adoss n!e n!e""o de *e" *e"'o 'odo doss
El tama$o del período puede ser un día, una semana, un mes. Si el interés ('% se agrega al principal ( ) % el resultado se denomina monto ( 5 % o stoc3 final. F
=
P
+
I
Monto o Stock Final Del Efectivo
Ejemplo 4eterminar el interés sobre S!. ",### al "6- de interés simple anual durante a.7 6 a$os b.7 8 meses c.7 "9# días. 4eterminar además el stoc3 final para (c%. Solución a.7 Para 2 a-%s ) 0 S!. ",### i 0 "6- anual n06 '0)in ' 0 (",###% (#."6% (6% ' 0 S!. 6:# b.7 Para !eses ) 0 S!. ",### im 0 ("6-%!"6 0 "- (tasa proporcional mensual%
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 n 0 8 días ' 0 (",###% (#.#"% (8% ' 0 S!. 8# c. 7 Para 1*/ días ) 0 S!. ",### id 0 "6-!; "6-!;# # (tasa (tasa pro propo porc rcio ional nal dia diari ria% a% n 0 "9# dias dias ' 0 ",### < "6!;# < "9# ' 0 S! 9# 50)1' 5 0 ",### 1 9# 5 0 S!. ",#9#
1.0 Interés C%!+est% Es la suma de la ganancia del capital y de los intereses acumulados en períodos anteriores. En el interés compuesto, el interés del períodos se incrementa al capital (capitali*ación de intereses%. Ejemplo &alcular el monto total adeudado al cabo de ; a$os si se solicita un préstamo de S!. ",### al =#- de interés compuesto anual. Solución
Para e a-% 1 'nterés a$o " 0 (",###% (#.=#% 0 S!. =## >onto total adeudado al final del a$o " 0 ",### 1 =## 0 S!. ",=##.
Para e a-% 2 'nterés a$o 6 0 (",=##% (#.=#%0 S!. ","?# >onto total adeudado al final del a$o 6 0 ",=## 1 ","?# 0 S!. 6,8?#
Para e a-% 3 'nterés a$o ; 0 (6,8?#%( #.=#% 0 S!. 6,#6; >onto total adeudado al cabo del a$o ; 0 6,8?# 1 6,#6; 0 S!. :,?";
3
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 2 2. FACTO$ES SU EMPLEO 2.1 Sí!%%s De4n"%nes a. Sí!%%s s S5n4"ad% ) 0 valor o suma de dinero en un tiempo se$alado como el presente. 5 0 @alor o suma de dinero en algAn tiempo futuro. / 0 Bn pago simple en una serie de +n+ pagos iguales hechos al final de este período. C 0 Cumero de períodos de pagos de interés. i 0 Dasa de 'nterés.
. F6% de Ca6a /l resultado de ingresos y desembolsos se le denomina flujo de caja. Fluo
de
Caa
=
Entrada s
−
Desembolso s
Ejemplo Si se compró un televisor en ",??6 por S!. ?## y los costos de mantenimiento anuales fueron de S!. :# durante ; a$os, y luego se vendió por S!. 9##. &uál es el flujo de cajaF Solución
/$o
Entrada
4esembolso
5lujo de &aja
"??6
#
?##
7?##
"??;
#
:#
7:#
"??:
#
:#
7:#
"??9
9##
:#
:#
Es importante tener presente que todas las entradas y desembolsos, y por lo tanto los valores de flujo de caja, se consideran cantidades de fin de período.
". Da5ra!a de 46% de "a6a Es la representación gráfica del flujo de caja en una escala de tiempo, en donde el tiempo cero representa el presente así por ejemplo, el tiempo tres representa el final del período de tiempo tres. En la escala de tiempo, de la siguiente figura, las flechas hacia arriba indican un flujo de caja positivo, y hacia abajo un flujo de caja negativo. "#
;#
"##
4
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 #
"
6
;
:
9
9 Gtra manera de representar lo anterior es como sigue "#
;#
79
"##
"
6
;
:
#
9
Ejemplo Supongamos que usted desea depositar en su cuenta de ahorro, a partir del siguiente a$o, una cantidad anual de S!. 6#,### durante los primeros ; a$os y luego, una cantidad anual de S!. 9#,### durante los dos a$os siguientes. &ómo resultará su flujo de cajaF Solución &olocando las cifras en miles de soles se tiene # ) 0F
6#
6#
6#
9#
9#
"
6
;
:
9
i 0 =#-
o también 6#
6#
6#
9#
9#
"
6
;
:
9
#
2.2 Ded""7n de F7r!as Fa"t%res: a. Fa"t%r de "a+ta8a"7n de n s%% +a5% % !+%s"7n &álculo de un valor futuro (5% dado un valor presente ()% a una tasa de interés +i+ en +n+ períodos. Hráfico
P #
F9 "
6
;
4educción /l final del primer período se tiene 5" 0 ) 1 ).i 5" 0 ) (" 1 i% /l final del segundo período se tiene 56 0 5" 1 5".i 56 0 5" (" 1 i% 0 ) (" 1 i% (" 1 i% 56 0 ) (" 1 i% 6
-
n7"
n
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 /l final del tercer período se tiene 5; 0 56 1 56 i 5; 0 56 (" 1 i % 0 ) ( " 1 i % 6 ( " 1 i % 5; 0 ) (" 1 i % ; /l final de n períodos por inducción matemática se tiene F
n = (1 + i )
n + 1 i ( ) / la e
pago y se le designa como (5!) i, n% entonces, el valor futuro de una imposición se e
. Fa"t%r de #a%r a"ta de na !+%s"7n &alculo de ) dado 5, i y n 4espejando ) en la relación que calcula e l monto de una imposición o pago Anico. P
=
F
1 n ( ) 1 + i
1 n ( ) 1 i + El factor : es el llamado 5actor del @alor de una 'mposición y se le designa así
()!5, i, n% entonces ) 0 5 () ! 5, i, n% Ejemplo Si dentro de cuatro a$os se va a recibir S!. ",66 entonces su valor actual al anual capitali*able anualmente es
P
1 (1 + 0.06 ) 4 =
= ( 1,262 ).
S / .1,000
G bien, utili*ando la notación del factor y las tablas de intereses ) 0 ",66 () ! 5, -, :% 0 ",66 < #.=?6" 0 S!. ",###
". Fa"t%r de "a+ta8a"7n de na sere de !+%s"%nes 5aes: &álculo de un valor futuro o stoc3 final (5% dada una serie de imposiciones iguales (/% depositados al final de cada uno de los +n+ períodos a una tasa de interés +i+. Hráfico
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
#
/
/
/
/
"
6
n7"
50F n
/plicando la formula 5 0 ) (" 1 i% n, determinada en (a%, para cada pago (/% se tiene 5 0 / (" 1 i% n7" 1 / (" 1 i% n76 1...... 1 / (" 1 i% 1 / >ultiplicando esta igualdad por ("1i% se tiene 5 ( " 1 i % 0 / ( " 1 i % n 1 / ( " 1 i % n7" 1 ...... 1 / ( " 1 i % 6 1 / ( " 1 i % 2estando la primera igualdad a esta Altima, resulta F
=
(1 + i ) n −
A
( 1 + i ) n − i
1
1
i El factor, se denomina I5actor de /morti*ación de una serie de pagos o imposiciones igualesJ, y se le denota como (5!/, i, n%, entonces
F 9 A (F A; ; n) Ejemplo &alcular el monto de una serie de 9 pagos de S!. "## hechos al final de cada a$o al - de interés compuesto anual
# i 0 - anual.
"##
"##
"##
"##
"
6
;
:
5 0F "## 9
El punto marcado con # (cero% es el presente o inicio del a$o " y el marcado con " es el final del a$o " y comien*o del a$o 6. El valor futuro se puede calcular por partes aplicando la fórmula 50 ) (5!), i, n% para cada valor /, pero es más fácil aplicando la fórmula encontrada en (c% así se tiene
F
( 1 + 0.06 ) 5 − = ( 100 ) . 0.06
1
=
S / . 563 .7
/An más sencillo resulta con la notación del factor. 5 0 "## (5 ! /, -, 9% 0 "## (9.;=% 0 S!. 9;.=
d. Fa"t%r de a!%rt8a"7n "%nstante % 4a"t%r de "a+ta8a"7n en sere de +a5%s 5aes: 4espejando / en la fórmula hallada en (c% se tiene A
=
F
i n ( 1 + i ) −
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i n
El factor que resulta, ( 1 + i ) − 1 se denomina Ifactor de amorti*ación constante o factor de amorti*ación en serie de pagos iguales+, entonces
A 9 F (A F; ; n)
Ejemplo Si se desea acumular S!. 9;.= mediante cinco entregas anuales al - de interés compuesto capitali*able anualmente el valor de cada pago ha de ser
0.06 A = ( 563 .7 ) . ( 1 + 0.06 ) 5 −
= 1
S / .100
e. Fa"t%r de re"+era"7n de "a+ta: &álculo de / dado un valor presente ), i y n. 4e las relaciones anteriormente encontradas tenemos
=
A
F
i n ( 1 + i ) −
1
F
= (1 + i )
n
2eempla*ando el valor de 5 se obtiene A
n i.( 1 + i ) (1 + i ) n − 1
El factor (/!), i, n% entonces
=
P
i.(1 + i ) n n ( 1 + i ) −
1
se denomina 5actor de recuperación de capital. Se le designa
A 9 P (A P; ; n) Ejemplo S!. "##,### invertidos al 9#- de interés compuesto capitali*able anualmente, suministrarán 8 pagos de fin de a$o de Solución
Hráfico 7 "##### #
A
/. "
/ / 77777777777777777777777777 6
=
0.5.(1 + 0.5) 8 = = ( 100 ,000 ) . 8 ( 1 + 0.5) − 1
/ 8
S / . 52, 032
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Bsando la notación del factor y las tablas / 0 "##,### (/ ! ), 9#-, 8% 0 "##,### < #.96#;# / 0 S!. 96,#;#
4. Fa"t%r de #a%r a"ta de na sere de +a5%s 5aes En la fórmula anterior se puede despejar )
P = A
( 1 + i ) n − n i.( 1 + i )
1
(1 + i ) n − n El factor que resulta, i.(1 + i )
1
se denomina factor del valor actual de una serie de pagos iguales se le simboli*a con ()!/, i, n%, entonces
P 9 A (P A; ; n) Ejemplo El valor actual de una serie de 8 pagos anuales iguales de S!. 96.#; al 9#- de interés compuesto anual será
P
( 1 + 0.5) 8 − 1 = ( 52.37 ) . 0.5.( 1 + 0.5) 8 =
S / . 52,032
Bsando la fórmula encontrada () ! /, 9#-, 8% 0 96,#;# < ", ?66# 0 S!."##, ##6 Se observa error no significativo de 6 unidades, motivado por el uso de las tablas.
5.
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
N>
E?P$ESION MATEMATICA
NOTACION USANDO EL FACTO$
SI
1
= P (1 + i )n 1 P = F n (1 + i ) (1 + i ) n F = A i i A = F n (1 + i ) (1 + i ) n − 1 P = A n i (1 + i ) i (1 + i )n A = P n (1 + i ) − 1
5 0 ) (5!), i, n%
5&&)B
) 0 5 ()!5, i, n%
5@))B
5 0 / (5!/, i, n%
5&&SB
/ 0 5 (/!5, i, n%
55/
) 0 / ()!/, i, n%
5@)SB
/ 0 ) (/!), i, n%
52&
2 3 & * ,
F
CUAD$O DE $ESUMEN
P$O=LEMAS: ".7 Si una persona deposita S!. ## hoy, S!. ;## dos a$os mas tarde y S!. :## de aquí a cinco a$os. &uánto tendrá en su cuenta dentro de die* a$os si la tasa de interés es del 9- F. Solución El valor futuro es igual a la suma de los pagos Anicos individuales en el a$o "# de esta manera
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 50 ## ( 5 ! ), 9-, "# %1 ;## ( 5 ! ), 9-, 8 %1 :## ( 5 ! ), 9-, 9 % 0 ## (".68?% 1 ;## (".:==:% 1 :## (".6=;%. 0 S!. ",?;"." 6.7 &uánto dinero estará dispuesto a pagar ahora por un pagaré que producirá S!.## anuales durante nueve a$os a partir del a$o entrante, si la tasa de interés es del =-F. Solución ) 0 ## () ! /, =-, ?% ) 0 ## (.9"96% ) 0 S!. ;,?#?." ;.7 4eterminar el valor presente a la tasa del "#- anual, de las siguientes cantidades S!. ;## a comien*o del a$o ;, S!. :## al final del a$o 9, y S!. 6## al final del a$o . Solución
P9@ #
;## "
:##
6
;
:
6##
9
) 0 ;## () ! 5, "#-, 6% 1 :## () ! 5, "#-, 9% 1 6## () ! 5, "#-, % ) 0 ;## < #.86: 1 :## < #.6#? 1 6## < #.9:9 ) 0 S!. #?.6 :.7 &uál es el flujo uniforme equivalente del problema anteriorF Solución / #
/
"
/ 6
/ ;
/ :
/ 9
/ 0 #?.6 (/ ! ), "#-, % / 0 S!. ";?.8= 9.7 &alcule el valor presente al "#- de las cantidades colocadas en la siguiente escala de tiempo ()% "##
"##
"##
#
"
6
;
"##
"##
:
9
"## (a$o%
Solución / continuación se presenta dos métodos de solución
Pr!er Mét%d%: a% Se calcula el valor presente de las cantidades consideradas hasta el a$o 6. b% Se calcula el valor futuro de las tres Altimas cantidades y se traslada al a$o cero. c% Se suman los resultados.
11
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución a% )" 0 "## () ! /, "#-, 6% 1 "## 0 6=;. b% )6 0 "## (5 ! /, "#-, ;% () ! 5, "#-, % 0 "8.8 c% ) 0 )" 1 )6 0S!. :#.:
Se5nd% Mét%d%: a% Se adiciona S!. "## en el a$o ; para completar la serie, se traslada al presente y se disminuye la cantidad equivalente sumada anteriormente. Hráficamente se tiene "##
"##
"##
#
"
6
"##
"##
"##
:
9
; "##
) 0 "## ()!/, "#-, % 1 "## 7 "##()!5, "#-, ;% ) 0 S!. :#.: .7 Si una persona puede hacer hoy una inversión que requiere un gasto de S!. ;,### para recibir S!. 9,### dentro de 9 a$os. &uál será la tasa de retorno sobre la inversiónF Solución 9,###
#
"
6
;
:
9
;,###
) 0 5 ()!5, i, n% ;,### 0 9,### " ("1i%9 ("1i%9 0 9!; i 0 "#.==.7 Bna reparación efectuada en la actualidad evitará otras reparaciones, si la reparación actual cuesta 9,### dólares y el valor cronológico del dinero es 6#-. / cuánto debería elevarse el costo de las reparaciones al a$o siguiente, para justificar que se efectAe dicha reparación en el momento actualF. Dómese en cuenta también una pérdida por producción de :## dólares hasta el final del a$o siguiente Solución 79###
50F 7:##
#
" (/$o%
9### 0 (5 7 :##% ()!5, 6#-, "%
12
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 5 0 :##. 2eparación de fin de a$o deberá ser mayor que ,:## dólares para que se justifique el costo de reparación actual.
CAPITULO
3
3. TIPOS DE TASAS DE INTE$ES: 3.1 Tasa de Interés N%!na ( n) Ka tasa de interés nominal viene a ser una tasa anual de interés donde también se especifica la frecuencia de conversión (o nAmero de periodo de conversión% y a partir de esta información se determina la tasa de interés del periodo. 3.2 Tasa de Interés Pr%+%r"%na % de Per%d% ( +)
Es el interés que gana la unidad monetaria en un periodo por lo general menor de un a$o. Ka tasa de interés proporcional se calcula dividiendo la tasa nominal entre el nAmero de períodos (m% considerados. Ejemplo Ka tasa de interés nominal (i n% es #- capitali*able trimestralmente. Se pide calcular la tasa de interés proporcional del periodo (i p%. m
i+
=
12meses
i p
=
3meses in
m 0 "9-
13
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ejemplos de tasa de interés nominal con su respectivo periodo de conversión así como su correspondiente tasa de interés del periodo
Tasa n%!na de nterés "6- convertible anual "6- convertible semestral "6- convertible trimestral "6- convertible mensual
Per%d% de "%n#ers7n P%r a-% ( !) " 6 : "6
Tasa de nterés de +er%d% (+) "6;"-
3.3 Tasa de Interés E4e"t#a ( e)
Es el interés que gana la unidad monetaria en un a$o, dependiendo de una tasa de interés nominal y el nAmero de periodos de capitali*ación.
4educción de la fórmula ) 0 Bna cantidad presente 5 0 Bna cantidad futura ( al cabo de un a$o% in 0 Dasa de interés nominal m 0 CAmero de períodos en el a$o. ie 0 Dasa de interés efectiva ie = (1 + i p ) m − 1 ip 0 Dasa de interés del período. m F = P (1 + i p ) En un a$o se tiene que 5 0 ) ("1ie%, reempla*ando el valor 5 en la e
m
ie
=
(1 +
in m
)
m
ie = (1 + ip) m
−
1
−
1
Ejemplo Si un banco pagó "6- de interés anual capitali*ando trimestralmente &uál es el valor futuro en un a$o de S!. "##. Solución ) 0 "## in 0 "6m
=
12 3
=4
14
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 "## #
5 0F (un a$o o : trimestres%
:
5 0 ) (" 1 i p %m 5 0 "##("1#.#;%: 0 "## (5!), ;-, :% 5 0 ""6.99 4e la e
Ka tabla siguiente nos muestra el efecto de la frecuencia de capitali*ación
Tasa de Interés N%!na "%n "a+ta8a"7n 9- anual 9- semestral 9- trimestral 9- mensual
Tasa de Interés E4e"t#a 9.#### 9.#69 9.#?:# 9.""# -
3.& Tasa de Interés en"da ( ) Es la tasa de interés que se aplica como factor al capital inicial ()%, para obtener un interés ( ' % en la unidad de tiempo. Si se desea conocer el interés ganado en la unidad de tiempo se hace uso de la fórmula siguiente '0)i Ka cantidad acumulada al final del período se obtiene de 50)1' Kas deducciones de las fórmulas efectuadas en (6.6% se hicieron aplicando el concepto de tasa de interés vencida.
3.* Tasa de Interés Adeantad% % Tasa de Des"ent% (d) Es la tasa de interés que se aplica como factor al valor final (5%, para obtener un interés (4%, denominado descuento o interés adelantado. Si se desea conocer el descuento en la unidad de tiempo se hace uso de la siguiente fórmula 40d5 &omo se observa la tasa de descuento es referida a una cantidad futura y la tasa de interés a una cantidad presente. En consecuencia la cantidad presente se calcula mediante
1-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 )0574 2elación entre la Dasa de 'nterés (i% y 4escuento (d% Se puede calcular el descuento (o interés% en una unidad de tiempo, usando la tasa de descuento o la tasa de interés. En el primer caso En el segundo casa
4 0 5 d .... (a% ' 0 ) i .... (b%
)ara 4 0 ', por tanto se iguale (a% con (b% 5 d 0 ) i d
)ara un período se tiene
=
P i F
...
5 0 )(" 1 i%
(c%
... (dM%
2eempla*ando el valor 5 de (dM% en (c%. d
Pi
=
i =
P(1 + i)
1+
i
En esta fórmula se observa que la tasa de descuento es menor que la tasa de interés. Ka fórmula también se puede presentar de la siguiente manera d i
=
1 - d
3., Tasa de Interés a $eatr Es una tasa de interés que se cobra sobre los saldos de la deuda pendiente. )or ejemplo Si tenemos una deuda de S!. "##,### al #- pagadera en cuatro cuotas semestrales. En el primer semestre el pago por concepto de interés asciende a S!. ;#,###. #- (S!."##.###% 6 En el segundo, la deuda pendiente es S!. =9,### (se amorti*ó la cuarta parte de la deuda%, los intereses son S!. 66,9##. #- (S!. =9,###% y así sucesivamente. 6
Pr%e!as: 1.B &uál es el interés efica* de un inversionista que paga por un bono la cantidad de S!. ;,### el cual tiene una antigNedad de 8 meses, siendo el valor nominal de S!.6,9## con un interés nominal de 6#- capitali*able trimestralmente y con un tiempo de retención de " a$o . F Solución 769##
5
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 # ip
20% =
=
" (a$o%
5%
=
it
4
Oallando el 5 5 0 6,9## (5!), 9-, :% 5 0 S/. 3,03. 5 0 3,03.
;### #
"
8
"6
5 0 ;,### (5!), i n , : %
3,03.0 ;### (5! ), in, :% ".#" 0 (5!), in, :%
e la o"!la P 516'7 n Oallando in
in 0 #.##6:? hallando ie ( " 1 ie% 0 ( " 1 in %"6 ie 0 ( " 1 in %"6 7 "0 ;.#;-
2.B Bna empresa constructora recibió en calidad de préstamo, la cantidad de S!. ";#,### a pagarse en ; meses. Ka tasa de interés trimestral es de "#-. &alcular el interés, el monto total y la tasa de descuento si en lugar de préstamo se reali*a una operación de descuento. Solución &omo ' 0 4
'057)
>onto 5 0 ) ("1 i% 5 0 ";#,###(" 1 #."% 0 ":;### Oallando el interés
I 130000810 13,000 4 0 ' 0 ";,### Oallando tasa de descuento 40d 5
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 d
d
= =
D
=
F
13,000
x100
143,000
0.1 0.1 + 1
= 9.09%
3.B Se necesita S!. 8### para comprar unas computadoras en los pró
Solución / #
/ "
6 in
m06
,
5 0 8,###
m
in 0"6-
(" 1 is % 0 (" 1 im %
; (mes%
= is = 6% ( " 1 is %"! 7 " 0 im
im 0 #,##?=9
En los ; a$os se tendrá / 0 5 (/!5, im, ;% / 0 8,### (/!5, #.?=-, ;% / 0 "8.9;
&.B &uánto dinero habrá que retirar de una cuenta de ahorros si estos retiros se reali*an semestralmente , debido a inversiones que se reali*an en la compra de bonos. F /l cabo de 6 a$os se posee en la cuenta de ahorros S!. "9#,###. )ara no afectar dicho saldo se deposita mensualmente una peque$a suma de S!. "## a la tasa de interés de "6 - capitali*able trimestralmente. Solución m0: im m
)
= it =
12% 4
5
= 3% #
it 0 ; -
#
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" (trimestre%
6
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(" 1 in % 0 ( " 1 it % in 0 ( " 1 it %"!; P " in 0 #.?? -
1
; (mes%
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 /nali*ando los depósitos 5 0 / (5!/, in, 6:% 0 / (5!/, i, n% 5" 0 "## (5!/, in, 6:% /nali*ando los retiros 5 0 / (5!/, i n, n% 56 0 7 / (5!/ , is , : % 4e 5 0 "9#,### "9#,### 0 "## (5!/, in, 6:% 7 / (5!/, i s, :% Oallando is (" 1 is % 0 (" 1 it %6 is 0 ( " 1 it %6 7 " is 0 .#? -
4el Hráfico
#
"##
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6
A
=
A
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7/ "##
7/ "##
7/ "##
"6
6: (mes%
100 ( F / A, in, 24 ) − 150 ,000 ( F / A, is, 4) 100 ( F / A,0.99%, 24) − 150 ,000 ( F / A,6.09%, 4)
/ 0 7;;,6=.?
*.B Se tiene un bono con un valor nominal de S!. ",###, con una vida de 6 a$os y con un interés mensual del 6 -. &uánto estaría dispuesto a pagar por el bono este inversionista si han transcurrido "; meses desde la vigencia. El interés efica* es del ; -. Solución )inv 0F QQQQQ. #
"
6
";
6#
",### 6# 6# QQQQQQ...
":
"9
'nterés >ensual ('% ' 0 @n ip 0 (",###%(#.#6% 0 6# ie0 #.;
19
6:
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 "1 ie 0 (" 1 in%"6 'nversionista iinv 0 (".;%"!"6 7 " )inv 0 6# ()!/, iinv, ""% 1 ",### ()!5, iinv, ""% )inv 0"8?.;6 1 =9:.86 0 ?::.":
,.B Si una persona deposita S!.",### hoy, ;,### dentro de cuatro a$os y ",9## de a$os, a una tasa de interés del - anual capitali*ada semestralmente &uánto dinero tendrá en su cuenta dentro de "# a$osF Solución "### # #
;### " 6
6 :
;
"9##
: 9 8 "#
"6
50F = 8 ? "# ": " "8 6#
().anual% ().semestral%
)rimer >étodo &onsiste en calcular el interés efectivo anual y luego utili*arse para encontrar 5 en el a$o "#. ie 0 ( " 1 #.#!6%6 7" 0 .#?Entonces 5 0 ",###(5!), .#?-,"#% 1 ;###(5!), .#?-,% 1 "9##(5!), .#?-,:% 5 0 S!. ;,8:".?; Segundo >étodo &omo la capitali*ación es semestral a un interés del ;- por período se calculará el valor futuro considerado los períodos semestrales. 5 0 ",### (5!),;-,6#% 1 ;###(5!),;-,"6% 1 "9## (5!),;-,8% 5 0 S!. ;,8:".?;
0.7 &alcular el depósito mensual necesario para acumular S!.9,### en 9 a$os a un nominal anual capitali*ado diariamente. Solución / #
/ "
/
/ QQQQQQQQ.
6
9?
20
9,### /0F # ( mes%
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 El interés efectivo mensual se calcula de la manera siguiente Inter!s. Diario = id =
0.06 360
Se considera como ;# el nAmero de días por mes, por consiguiente e
= (1 + 0,06 )30 − 1
360 En los cinco a$os hará un total de #- depósitos. im 0 #.9#"-
/ 0 5(/!5, #.9#"-,#% / 0 9,### (/!5, #.9#"-,#% / 0 S!. =".: mensual.
&aso de Lonos.7 El bono es un documento valorado emitido por una institución con el propósito de financiar proyectos, en este documento consta el tiempo de vigencia y el interés que se ha de pagar periódicamente al tenedor del bono, en otros tipos de bonos el interés se capitali*a y al vencimiento de éste el tenedor del bono recibe el valor nominal más los intereses acumulados.
.B Bna persona tiene un bono de 2econstrucción con un valor nominal de S!. "##,### al 9- capitali*able trimestralmente y con periodo de vigencia de 6 a$os .&uánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea ganar el ?#capitali*able trimestralmenteF Solución "##,### # #
"
5 0F 6
;
" :
9
=
6 8
(a$o% (trimestre%
El poseedor del bono recibiría al cabo de dos a$os la siguiente cantidad. 5 0 "##,###(5!), 9!:-, 8% 5 0 S!. 689,96? El inversionista de acuerdo a lo que el desea ganar, estaría dispuesto a pagar en el presente ) 0 689,69? ()!5, ?#!:-, 8% ) 0 S!. 969;.9=
.B Bna persona tiene bonos de S!.",### c!u al #-. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de 9 a$os. Si un inversionista desea ganar el ?#capitali*able mensualmente. &uánto estaría dispuesto a pagar por cada bono F.
21
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución "9#
"9#
"9#
"9#
" "
6
;
:
# #
",### QQQ.. 9 (a$o% 6# (Drimestre%
4atos del Lono @alor Cominal 0 S!. ",### 4uración (n% 0 9 a$os o 6# (trimestres% Dasa nominal /nual 0 #Dasa trimestral 0 i 0 "9'nterés Drimestral 0 "9- < ",### 0 S!. "9# 4atos del 'nversionista Dasa Cominal /nual 0 ?#Dasa >ensual im 0 =.9-
El inversionista al adquirir el bono en el presente (t0#% recibirá en el transcurso de los 9 a$os, las cantidades que se muestran en el gráfico pero como él desea obtener el ?#capitali*able mensualmente deberá hacer los siguientes cálculos para determinar la cantidad equivalente a pagar por el bono.
Pr%"ed!ent%: a% &alcular la tasa efectiva trimestral ya que el inversionista desea una capitali*ación mensual. b% &alcular el valor presente de las cantidades del gráfico, con la tasa determinada en (a%. SGKB&'GC a%. ("1r% 0 ("1im%; r 0 (",#=9%; 7 " r 0 #.6:6; b%.&antidad dispuesta a pagar por cada bono (@) 0 @alor presente% @) 0 "9# ()!/, 6:.6;-, 6#% 1 "### ()!5, 6:.6;-, 6#% @) 0 S!. 6:
1/.7 4ie* compa$eros de trabajo de una empresa deciden conformar una junta en las siguientes condiciones •
•
•
El /porte acordado de cada participante que no ha obtenido la Runta deberá ser de S!. "##,### mensuales. Ka cantidad total recaudada al final de cada mes se ha de sortear entre los participantes que aAn no han obtenido el monto. El favorecido en el sorteo del monto, adquiere el compromiso de devolver en los
22
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 meses restantes, la cantidad adeudada en cuotas mensuales iguales considerando para dicho cálculo una tasa del 9- de interés mensual a fin de compensar el efecto de la inflación. Se pide construir una tabla donde se se$ale los aportes mensuales de cada participante. Solución )rimer >es Ka cantidad total recaudada en el primer mes en miles de soles, es ) 0 "## < "# 0 S!."### Si el primer participante obtiene la Runta, entonces su deuda es 4 0 ",### 7 "## 0 S!. ?## )or consiguiente el pago mensual (cuota% durante los ? meses siguientes es / 0 ?## (/!), 9-, ?% / 0 S!. "6.6
"### ("##%
/
/
/
?
"#
QQQQQQQQQQQQ. "
6
Segundo >es &antidad 2ecaudada ) 0 ("##% < ? 1 "6.; 0 ",#6.; Si el segundo participante obtiene la Runta se deuda es 4 0 ",#6.; 7 "## (5!/, 9-, 6% 4 0 S!. 86".; Ka cuota mensual es / 0 86".; (/!), 9-, 8% / 0 S!. "6=." ",#6.; ("##%
("##%
"
6
/
/ QQQQQQQ
;
?
/ "#
En general se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar la cuota mensual de cada participante que ha obtenido la Runta. / 0 ) 7 "## (5!/, 9-n% (/!), 9-, ("# 7 n%% n ",6, ......,"# /plicando esta fórmula se obtiene la siguiente tabla
23
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 )articipante por mes " 6 ; : 9 = 8 ? "#
"
6
;
.............
=
8
"##.# "6.; 7 7 7 7 7 7 7 7
"##.# 7 "6=.; 7 7 7 7 7 7 7
"##.# 7 7 "6=. 7 7 7 7 7 7
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
"##.# 7 7 7 7 7 "6?." 7 7 7
"##.# 7 7 7 7 7 7 "6?. 7 7
"##.# 7 7 7 7 7 7 7 ";#." 7
11.7 &alcular la tasa de interés vencida y efectiva de S!. "### a ?# días si el descuento es de S!. ";# Solución 40d5 d 0 (";#!",###% 0 #."; i
=
d 1 − d
i 0 ":.?:-
, n 0 ;#!?#
ie 0 ("1i%n ie 0 :9?.=En consecuencia las tasas de interés vencida y efectiva son ":.?:- y "=:.99respectivamente.
12.B Si la tasa efectiva anual (i e% es :#- &uál es el descuento (4% de un letra por S!."## que vence dentro de ?# días. Solución 5 0 S!."## ie 0 :#)eríodo (p% 0 ?# días CAmero de períodos en el a$o (n% 0 ;#!?# 0 : &álculo del interés del período (ip% ip 0 ("1ie%"!n P " 0 8.=&álculo de la tasa de descuento (d%
24
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
d =
ip 1 + ip
..........(6%
d0 8&álculo del descuento (4% 40d 5 4 0 S!. 8.## /dicionalmente con la información anterior, se calcula el interés del período. ) ip 0 5 d 0 4 ip = ip
=
D p d F − D
ip 0 #.#8=-
13.B &on una tasa del "9- transfórmese la siguiente serie no uniforme en una serie uniforme una suma de S!. 6#,### se presenta al comien*o del primer a$o, en los die* a$os siguientes, se presentan sumas de S!. 8,### al final de cada a$o durante los primeros : a$os y "#,### al final de cada a$o durante los a$os restantes. Se presentan sumas complementarias de S!. ,### al principio del tercero y el se
6#
8
8
8
#
"
6
;
8 :
"#
"#
"#
"#
"#
9
=
8
?
"# "#
&álculo de la serie anual / 0 6# 1 8()!/, "9-, :% 1 "# ()!/, "9-, % ()!5, "9-, :% 1 ()!5, "9-, 6% 1 ()!5, "9-, 9% (/!), "9-, "#% / 0 S!. 939.0
1&.B 4eterminar el valor de una cantidad de Soles, sabiendo que se efectAa los siguientes depósitos 1 S!."##
al inicio del a$o " al final del a$o ;
/ un interés del "6- capitali*ado mensualmente. Estos depósitos han de cubrir pagos trimestrales de s!.;## a partir del quinto a$o.
2-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Solución / #
/ "
/
1"## /
/
/
/ 0 ;##
;
:
9
6
@alor )resente de los 4epósitos ) 0 1 (1"##% ()!5, "-, ;%................. ("% @alor )resente de los )agos Drimestrales ) 0 T;## 1 ;##()!/, i p, 9%U ()!5, "-, :8%...... (6% 3 0.03 ip = 1 + − 1 = 3.0301 % 3
'gualando ("% y (6% se tiene
0 S!. 9?.9
1*.B Bna persona tiene un bono de S!. ",### al =#-. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de a$os. Si un inversionista desea ganar el "##capitali*able cada dos meses &uánto estaría dispuesto a pagar por el bonoF Solución Lono i p = (70 / 4)% ' 0 S!. ",###<#."=9 n 0 6: períodos ) 0 "=9()!/, 6-,6:% 1 ",###()!5, 6-,6:% ) 0@/ (6-, 6:,7"=9%1@/ (6-, 6:,7"###% ) 0 S!. =:.: i p
= (100 / 6)%
'nversionista 1.5
1 + 1 − 1 = 26% = iT $"s"s 6
de inte!#s t!imest!" (i $ ) 1,.B Bna persona tiene un bono de 2econstrucción con las siguientes características • •
@alor nominal de S!. "## Dasa de interés 9- capitali*able trimestralmente
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 @igencia del bono dos a$os >eses que faltan para su redención ";
• •
&uánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea un rendimiento efectivo de "8"- F
Solución "##
)i 0F QQQQQQQ..QQQQQQQQQQQQQ
# i
=
56
%
=
""
5
6: mes
14%
4
@alor del bono al cabo de dos a$os (5% 5 0 "## (5!), ":-, 8% 5 0 S!. 689,69? Dasa de interés del periodo (i p% para el inversionista ip 08.??>onto que puede pagar el inversionista ()"% p ,
=
F
(1 + i ) n
=
285.259
(1.0899 ) n )ara n 0";
) 0 S!. ?;."9
10.B Bna persona que depósito en una entidad financiera una suma /, hace tres a$os, desea determinar la cantidad de dinero que tiene en el presente, cuenta para ello con la siguiente información
A:O 1 2 3
;ASA E IN;ERES 0 0 90
CAPI;ALI
a% &uánto dinero posee al cabo de ; a$osF b% &uál es la tasa efectiva y la tasa nominal equivalente de una capitali*ación trimestralF Solución /
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 #
"
6
;
a% @alor en el a$o ; (/;% &3 ' &(1
0.6 12
12
) (1
0.7 24
24
) (1
0.9 360
360
)
/; 0 8.=?= /
b% Dasa efectiva equivalente (ie% / (" 1 ie%; 0 8.=?= / ie 0 "#.:;Dasa nominal equivalente (i n% 4
ie
i = 1 + − 1 4 in = ( 4 2.0643 − 1) x 4
in 0 =?.:-
1.B Bna importante compa$ía manufacturera compró una maquina semiautomática por un valor de S!.";,###. Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a S!. ",=##. &inco a$os después de la adquisición inicial, la compa$ía decidió comprar una unidad adicional para que la maquina fuera totalmente automática. Ka unidad adicional tuvo un costo original de S!.=,"##. El costo de operación de la maquina en condiciones totalmente automáticas fue de S!.?## anuales. Si la compa$ía uso la maquina durante " a$os y después vendió la unidad automática adicional en S!.",8##&uál fue el costo anual uniforme equivalente de la maquina a una tasa de interés de ?- F Solución ";,### #
=,"## ",8## (venta% ",=## ",=## ?## ?## QQQQQQQQQQQQQQQQ. "
9
"
@alor presente de las adquisiciones y la venta....................... ()"% )" 0 ";,### 1=,"## ()!5, ?-, 9% 7 ",8## ()!5, ?-, "% )"0 "="".":=6= @alor presente del costo de operación.................................. ()6% )6 0 ",=## ()!/, ?-, 9% 7 ?## ()!/, ?-, ""%()!5, ?-, 9% )6 0 6;".=?#?"" &osto anual uniforme (/% )" 1 )6 0 1992.93091
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 / 0 ()" 1 )6% (/!), ?-, "% 0 S /. 2,31.09
1.B /l inicio del primer a$o, la persona / hace un depósito de S!."## en una entidad financiera. Ka tasa de interés es del 8#- capitali*able trimestralmente, al término del primer semestre del primer a$o, otra persona L hace un depósito de S!. "## en otra entidad financiera a una tasa del ?#- de capitali*ación continAa. &uánto tiempo ha de transcurrir para que la persona L tenga 9#- más que / F. Solución / "## QQQQQQQQQQQQQ #
"
6
a$o
8#- cap. trimestral L "## QQQQQQQQQQQQQ #
"
6
a$o
?#- cap. continuo &álculo del valor futuro de / (5 /% 5 / 0 ) (5!), 6#-, n% 0 "## T(" 1 #.6#%:Un 0 "## < (6.#=;%n " p
=
100 m e
100
= ( 0.9 x0.5) e
&álculo del valor presente L () L%
&alculo de la tasa de interés anual (iL % i "
= e 0.9 − 1 = 155 .96% ⇒ 146 %
&álculo del valor futuro de L (5L% 5L 0 ;.=68 (" 1 ".:%n 5L 0 ".9 5 n0 6.; a$os.
2/.B Bn se$or tiene s! 6#### quiere depositar el dinero suficiente con el fin de obtener s! 9#### para educar a su hijoV si el hijo tiene 9 a$os y comien*a sus estudios a los "8 a$os &uánto deberá depositar el se$or con el fin de poder ganar un 8- de interés con capitali*ación trimestral. Solución ) 0F 9
5 0 9#### "8
=
29
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 QQQQQQQQQ... #
"
6
";
in 0 8- capitali*able trimestralmente Denemos que m 0 : i p
=
in m
=
8%
= 2%
4
Entonces
ie 0 ("1ip%: 7 " ie 0 8.6:) 0 5()!5,ie,n% ) 0 9####()!5, 8.6:-,";% ) 0 "=8".?: 2D/ "=8".?:
21.7 &uánto dinero podemos retirar trimestralmente durante "9 a$os de un fondo de retiro que produce 8- de interés anual capitali*able semestralmente . Se tiene actualmente :####. Solución ) 0 :###
/
#
"
i p
=
in m
=
8 2
/ / QQQQQQQQQQQQQQQQQ :
"9
= 4 i = 8% "n+" "pit"i*" e semest!"mente n
it 0 ("1#.#:%"!6 7" it 0 ".?8 / 0 ) ()!/,it,n% / 0 :####()!/, ".?8-,#% / 0 "":9."9 2D/ "":9."9
22.7&uántos depósitos mensuales de :9 debe efectuar una persona con el objeto de acumular "#### si la tasa de interés es del "#- anual capitali*able semestralmente F Solución
#
:9
:9
:9
"
6
;
:9 QQ.QQQQQQQQQQ n
30
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 in 0 "#- anual capitali*able semestralmente 10 in ip 9 2 9 2 9 9im 0 ("1#.#9%"! 7 " im 0 #.86Sabemos 5 0 / (5!/, im, n% 10000
( 1 + 0.0082 ) n − 1 = 45 0.0082 "#### 0 :9 (5!/, #.##86, n%
6.8660 ".##86n Kog6.866 0 n log".##86 #.:90 (n% #.##;9: n 0 "6= 2D/ 0"6=
23.B 4ie* participantes en una Runta ("## ! cu%. Ka modalidad para obtener la junta es al remate. El primer mes salió con El segundo mes salió con El tercer mes salió con
"9#. "#. "=9.
/l final del cuarto mes un participante por motivo de viaje se retira de la Runta. Se pide determinar la cantidad que se le deberá entregar. Solución Para el 1er mes:
2ecibe "### 4euda
?##
&uota
"9#
.
W de &uotas ? &álculo del interés ) 0 4()!/,i,?% ?##0"9#()!/, i, ?% ' 0 8.?8 /pro
Perio Deud Amortizac Interé Saldo
31
Total
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
do 2 3 4 9 10
a ión 900.0 0 9 31.0 0 -.21 --. 9 1.99 3. 1 9.31 -4.4 9 9.39 4.0 9 10.1 30. 11-. 2-.1 4 12.13 139.0 13.4
s
Pagar 1
31
1-0
4.9
--.9
1-0
.021 3.1
1-0
0.9
-4.4-
1-0
-2.0
4.09
1-0
43.11 30.-
1-0
34.2- 2-.14
1-0
23. 139.0
1-0
12.-2
1-0
1.-1
Para el 2do mes:
2ecibe 0 "9# 1 ?<"## 0 "#9# 4euda 0 "#9# 7 ("## 1 (?##18"%!?% 0 8:". &uota 0 "# W de &uotas 0 8 &álculo del interés ) 0 4()!/,i,8% 8:"0"#()!/, i, 8% V i 0 "#.: -
Perio Amortizac Inter do Deuda ión és 3 41 -.9 4.1 4 -.1 3.49 .-1 1.1 91.3 .1 -9.1 101.02 -.9 4.1 111.12 4. 3.1 122.23 3. 9 2--.3 134.4 2-.-1 10 120.92 14.99 12.09 Para el 3er mes:
2ecibe 0 "9# 1 "# 1 8<"##0 """# 4euda =8#.= &uota "=9 W 4e &uotas = &álculo del interés ) 0 4 ()!/, i, =% =8#.= 0 "=9()!/, i, =% i 0 "6.= -
32
Saldo -.1 1.1 -9.1 4.4 3.2 2--.3 120.92 >2.9
Total Pagar 10 10 10 10 10 10 10 10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Period o 4 9 10
Deuda 0.0 04.4 19.3 -23.02 414.44 292.0 1-4.1
Amortizac Interé Total ión s Saldo Pagar -.1 99.14 04.4 1-.4 9.-1 19.3 19.34 .- -23.02 110.-4 .42 414.44 1122.3 -2.3 292.0 113.90 3.09 1-4.1 11--.41 19.- >1.23 1-
Para el 4to mes:
2ecibe 0 "9# 1 "# 1 "=9 1 =<"## 0 ""89 4euda 0 ""89 P ((--.91.02%!= 1 (-.11.-1%!= 1 (=8#.=1??."%!= 1 "##% 4euda 0 ""89 P :;.9? 0 =6".:" Se le entrega 0 ""89 P =6".:" 0 :;.9?
2&.B Se trata de un préstamo bancario de :# millones de soles a una tasa de interés efectiva de 6=-, pero el Lanco cobra el interés por adelantado. Se debe hallar la Dasa de 4escuento equivalente y los cuadros de pago de la deuda a lo largo de : meses (a cuotas decrecientes, constantes y crecientes% Solución Siendo i 0 #.6= 1 − d =
1
1+ i Entonces
d 0 #.6"6 d 0 6".6-.
".7&BGD/S 4E&2E&'ECDES "#8## # 9#8##
8"## "6=##
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33
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ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 SaldoY#.6"6
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(9#8## P /" P /6% d 1 /6 0 &6 9#8##d 1 /6("7d% P /"d 0 &6 (9#8## P /"7 /6 7 /;% d 1 /; 0 &; 9#8##d 1 /;("7d%P /6dP /"d 0 &; (9#8## P /" P /6 P /; P /:% d 1 /: 0 &: 9#8##
34
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ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 /" 1 /6 1 /; 1 /: 0 9#8## /: (("7d%; 1("7d%6 1("7d%" 1"% d 0 #.6"6 /: 0 "=9:;.?# 0 &
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ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 />G2D'X/&'G C
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6#;6#
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6#;6#
7
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;6:##
P$O=LEMAS P$OPUESTOS 1.B Bna institución bancaria anuncia que otorga una tasa del 9,69- con capitali*ación diaria, que segAn dicho anuncio es equivalente a una tasa efectiva del 9.;?-. Bn inversionista tiene depositado su dinero en una cuenta que o paga el 9- capitali*able trimestralmente. Si esta persona transfiere "#### de su cuenta al banco, Zué interés adicional recibirá al a$o. RTA :
30%
2.B Bna compa$ía maderera requiere incrementar su capital en 6 millones para financiar una peque$a e
2!2"#$"
3.B Bn inversionista compró un bono de ",### dólares al 9- en 869. El interés se paga semestralmente y el bono vence en 6 a$os. El bono se conservó durante 8 a$os y se vendió en 8## inmediatamente después del pago C[ " de interés. Zué tasa de retorno anual nominal se consiguió con esta inversión F. RTA :
3
$&"%
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPTULO & &. INFLACIN DEALUACION: Drataremos aquí este problema, que es muy comAn para las personas de todo el mundo, que es el cambio constante de los precios los cuales les crean un problema a aquellas que tienen ingreso fijo. En este capítulo aprenderemos como dar cuenta de los efectos de la inflación y la escalación de costos cuando esté manejándose un análisis económico de alternativas.
&.1 De4n"%nes Ka inflación (f% se describe más comAnmente en términos de un porcentaje anual que representa la tasa a la cual los precios del a$o en referencia han aumentado en relación con los precios del a$o anterior. Ejemplo Si la tasa de inflación anual fue de "69- determinar la inflación promedio mensual. 'nflación en el a$o f 0 "69'nflación promedio mensual f m 0F n 0" a$o 0 "6 meses /plicando la fórmula determinada en el capítulo ; +Dasa de 'nterés Efectiva+, se obtiene m '
m
12
1 - 1
= 12 1 + 1,25
-1
f m=6.99 Ka pérdida del valor adquisitivo de la moneda puede e
De4a"t%r El deflactor es un índice de precios con el que se convierte una cantidad \nominalM en otra \realM. Cuméricamente es el cociente entre el )L' nominal y el )L' real e
AO "?88 "?8? "??# "??"
P=I NOMINAL :#":.# :9#6:.? 9##=:." 9:==9.6
P=I $EAL ;9?"".8 ;=66." ;8?8#.9 ;??#;."
3
DEFLACTO$ TASA P=I INFLACIN """.8 -, ""?.= .0 "68.9 .3 ";=.; .9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 "??6
De&lactor%del%P .1991
98?"".
=
De&lactor% del%P"I %1991 =
De&lactor .delP"I .1992
=
:#;=8."
P"I # nominal#1991 P"I − real − 1991
54775 '2 39903 '1
x100
P − !e" − 1992
=
Tasa de in lacion%1992
=
Tasa% in lacion%1992
=
x100
= 137'27
P − nmin" − 1992
De&lactor%del%P"I%1992
.3
":9.?
x100
58911 '6
x100 40378 '1
=
145 '9
De&lactar %1992 #De&lactar %1991 De&lactar%1991
145 '9 x100 137 '3
=
Tasade inflacion 1992 =
x100
6 '3
145.9 −137.3 137.3
x 100= 6.3
E6e!+% NG 1 Bn empleado recibe actualmente S!. ":9 como sueldo, considerando una tasa de interés real de 6#- anual con una inflación anual estimada de ".6-. Se pide el valor final del sueldo al cabo de ; a$os. Solución ":9 #
5 0F "
6
ir 0 6#f anual 0 ",6Bsando
i! =
i′n
− 1 +
⇒
iM n 0 ir ( "1f % 1f
] reempla*ando los datos tenemos
3
;
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i ' n=( 20 ) ( 1 + 1,2 ) + 1,2 i^n 0 6", ::5 0 ) (" 1 i^n %; 0 ":9 ( " 1 i^n %; 0 6# 5 0 6#
E6e!+% NG 2 Se espera que la inflación aumente a ra*ón de "9- durante 8 a$os. Se pide el valor futuro de la inversión actual de S!. 6 ### en una cuenta de ahorro, con un rendimiento del "#- de interés. Solución
Se al!la el )alo" !#!"o de S/ 2 000 s'n deson#a" la 'n?a'@n 5 n7. 4ebido a eso 5n0 6 ### (5!), "#-, 8% 5n 0 : 68=,"8 El valor futuro en unidades monetarias del mismo poder adquisitivo (5r% se obtiene deflactando 5n 5 r0: 68=,"8!("1#,"9%8 " 1 401,4
Ejemplo Nº 3 &uál es la inflación mensual equivalente (5 m% si se tiene los estimadores para los siguientes tres trimestres f " 0 "6- , f 6 0 ";- , f ; 0 ":Solución
P 0
1
2
3
) (" 1 f m %; 0 )(" 1 f " %(" 1 f 6 %(" 1 f ; % (" 1 f m %; 0 ( " 1f " %( "1 f 6 %( "1 f ; % ( " 1 f m%; 0 ("1 #,"6%( " 1 #,";%( " 1 #,": % f m 0 "6,?-
E6e!+% NG &
39
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si un trabajador tenía hace un a$o un haber mensual de S!. :8# y en la actualidad percibe S!. =9#, considerando que la tasa de inflación anual es de "69-. 4eterminar el poder adquisitivo del haber actual con respecto al a$o anterior. Solución )_ 0 S!. :8# ) 0 =9# )" 0F )oder adquisitivo del dinero al cabo de un a$o. f 0 "69n 0 "
P 40
1 -0
>1
0
4eflactando se tiene F=
F =
F1 (1 + )
n
750 1 (1 + 1,25)
= 333,33
&álculo de la pérdida del poder de adquisición
333,333
40
0
>1 )érdida del poder adquisitivo 480
=
333,333 1+ i
i 0 7 ;#,9Kos S!. ;;;,;;; tienen un poder adquisitivo de ?,::- con respecto al a$o anterior, o sea que ha perdido el ;#,9- del poder adquisitivo. Kos tipos de tasas de interés estudiados en el capítulo ;, tienen una característica en comAn ignoran la e'C/KES. /l concepto de tasa de interés nominal, que es el que ignora la e
................. ("%
40
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si se toma en cuenta la inflación se tiene F=
F1 1+
................. (6%
2empla*ando ("% en (6% se tiene F=P
(1 + in) (1 + )
)or estar considerada la inflación, entonces F = P ( 1 + i r ) P(1 + i! ) = P
i! =
(1 + in) (1 + ,)
in - 1 +
QQQ...........(;%
Ka fórmula C` (;% también se acostumbra a ser presentada de la forma siguiente
("1in% 0 ("1ir % ("1f%
El problema anterior (ejemplo :% se resuelve de la siguiente manera 4e ("%
750 − 1 100 480
in =
in = 56,25%
f 0 "69 /plicando (;% se tiene
i! =
(0,5625 - 1,25) 100 2,25
i! = - 30,56% 41
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Ka tasa de interés real es negativa, lo que significa que el haber mensual del trabajador ha perdido poder adquisitivo. Gbservando el numerador de la formula i − i ! = n 1 +
Se apreciara de inmediato que se tendrá una tasa de interés real positiva si el interés nominal es mayor que la inflación.
E6e!+% NG *: Si una persona deposita una cantidad ) en soles con un interés bancario de "" - anual y la misma cantidad en dólares con un interés de - anual y una devaluación anual de "#-. &uál opción le convendráF
Solución >oneda Cacional
P
0
1
i" 0 "" 5" 0 ) (" 1 #,""% 0 ","") >oneda E
P/ B
0
1
i6 0 Sea 0 cantidad de soles por dólar
F =
P
(1 + 0,06)
&onvirtiendo los dólares a soles, aplicando la tasa de devaluación del "#-, se tiene F (1,1) =
P (1,06)(1,1)
= F2
560",")
42
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ka mejor opción es depositar en dólares
E6e!+% N ,: Bn empleado recibe de sueldo en la actualidad "6 ### soles y al cabo de 9 meses recibe "? ###, asumiendo una inflación mensual del ",9- se pide la tasa de interés real. Solución
P12000 0
19000
1
- es
2
5 0 )("1 inM%9 "? ### 0 "6 ###( "1 inM%9 5
19 12
−
1 = in
i ' n=9.626 i! =
4e
in− 1 +
Denemos i −0,015 i ! = n 1,015
= 0,08
ir 0 8-
E6e!+% NG 0: Se pide estimar la inflación mensual y anual, si las inflaciones en los tres primeros meses son f " 0 ",;f 6 0 ",6f ; 0 ",:&uál es la inflación anualF Solución " 1 5t 0 ("1f "%("1f 6%("1f ;% 0 1 5#"'es#"e7 0 11.3 1 21.2 2 31.4 3 5es7 5t 0 ",#"; < ",#"6 < ",#": 7 "
43
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 5t 0 #, #: ("1f m%; 0 ("1f "%("1f 6%("1f ;% m
=
3 1,04
− 1 = 0,013
f anual 0 ("1f t%: P " 0 #,"=
E6e!+% NG : Si se espera que la inflación aumente a ra*ón de "69- anual, compárese la inversión actual de S!. "# ### ### en una cuenta de ahorro por ; a$os con un rendimiento del 8#de interés efectivo anual, con la inversión actual de S!. "# ### ### en una máquina que se necesitará dentro de ; a$os.
Solución Si la máquina aumenta de precio conforme a la inflación, como resultado de ésta, S!. "# ### ### dentro de ; a$os, no permitirá adquirirla, puesto que se tiene a una tasa inflacionaria del "69-, los S!. "# ### ### se convierten en 5 0 "# ### ### ("1",69% ; 0 S!. ""; ?# 69# Esta cantidad tendrá igual poder adquisitivo que los "# ### ### actualesV mientras que el depósito en el banco acumulará sólo 5 0 "# ### ### ("1 #,8%; 0 S!. 98 ;6# ### &antidad que no permite adquirir la máquina, ya que representa sólo el 9",6- del valor de ese monto. )ara calcular el valor adquisitivo puede utili*arse también el cuadro de +C4'&E HECE2/K 4E )2E&'GS /K &GCSB>'4G2+.
E6e!+% NG Si al ;" de abril de " ?86 una persona ganaba S!. 69# ### y al ;" de abril de "?8; gana S!. :## ###, calcular el valor real del dinero al ;"!#:!8;. ndice Heneral de )recios al &onsumidor 'o 0 69:,# (índice al ;".#:.86% '" 0 :#8, (índice al ;".#:.8;% Solución Kos índices se pueden tratar como cantidades equivalentes en el tiempo.
40,
2-4,0 0
1
Ka tasa de inflación es
44
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 5 0 ) ("1f%" :#8, 0 69: ("1f% 408,6
1 + =
254
"1 f 0 ",#8= f 0 #,8= )or consiguiente, el valor adquisitivo de :## ### (5% es de @alor con respecto al ;".#:.86 F (1 + )
=
400 000 (1 + 0,6087)
= 248 654
Esta cantidad representa, respecto a lo que ganaba al ;".:.86 7 el ??,:Kuego calculamos el interés real '
i n− f i r= 1 + f i r=
60 −60.87 1 + 60.87
i r=0.50809 >étodo Bsual del &álculo En la práctica se opera de la siguiente manera
=
408,6 254
= 1,6087
4E5K/&DG2
=
400 000 1,6087
= / 248 650
+e iene " se! e 99,46%
@alor adquisitivo :.6 De4n"7n de E#aa"7n A+"a"%nes El término de evaluación significa simplemente el reconocimiento de que la unidad monetaria ha perdido parte de su valor adquisitivo y que en consecuencia está siendo ajustada a fin de reflejar dicha pérdida. Ka devaluación está referida a que la moneda ha perdido su valor adquisitivo al compararlo con otra moneda de valor más estable.
E6e!+% NG 1 Se puede adquirir bonos de 2econstrucción de los tenedores primarios pagando el ;8del valor nominal. Estos bonos rinden un interés nominal del 9- capitali*able
4-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 trimestralmente, siendo redimibles a los 6 a$os. Se puede adquirir también &ertificados Lancarios en moneda e
1 4
0
2 5Año7 5;"'es#"e7
&omo sólo se convirtió #.;8 L el rendimiento o interés anual es #.;8L 0 L (5!), 9!:-,8% ()!5,i-,6% &on las fórmulas se tendría 1 (1 + i)
#,;8 0 ("1#,":%8Y 6
i 0 "=;,??-
b% Ka inversión en certificado bancario en moneda e
0
2 5Año7 24 5Mes7
1 12 Rendimient "n+"
=
Rendimient "n+" =
4
nte!es ne!sin 0,38(1 +
100
0,16 12
)12 (1 + 0,0452) 12 0,38
− 0,38 100
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
i 0 ??,6El factor ("1#,"!"6%"6 se aplica para determinar el interés de la moneda e
Ejemplo Nº Bna compa$ía invierte S!. ; ###,## anualmente durante 8 a$os comen*ando dentro de un a$o en un nuevo proceso de producción &uánto dinero deberá recibir al final del a$o 8 en moneda corriente en ese entonces para que la compa$ía recupere su inversión a una tasa de interés del ";- anual y a una tasa de inflación del "#-F
Solución Sabemos if 0 i 1 if 1 f if 0#,";1(#,";%(#,"#%1#," if 0 #,6:;
A 0
1
A A DDDD.DD..D..D. 2
50 /(5!/, if ,n% 5 0 ; ###(5!/,6:,;-,8% 5 0 S!. 98 ##=
E6e!+% NG3 &alcular cuánto dinero se debe ahorrar anualmente durante "6 a$os una fábrica empacadora de carne a través de la recuperación de residuos para justificar un desembolso de ;9 ###V si la tasa de interés es del 6#- anual y la tasa de inflación del =- anualF
4
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución:
P3- 000 A 0
1
A
A
A
2
11
12
i 0 6#- anual Oallaremos la tasa de interés inflada if 0 i 1 f 1 if if 0 #.6 1 #,#= 1#,6<#,#= if 0 68,:Sabemos / 0 ) (/!),if ,n% / 0 ;9 ### (/!), 68,:-, "6% / 0 S! "# :".##
E6e!+% NG& Oallar la cantidad de moneda de hoy y moneda corriente en el a$o "# que será equivalente a una inversión actual de S!. ;; ### a una tasa de interés anual del "9- y una tasa de inflación del "#-. Solución
P33 000
a%
0
1
DDDDDDDD... 2
10
9
i0 "9Sabemos 5 0 ) (5!), i, n% 5 0 ;; ### (5!), "9-, "#% 5 0 S!. ";; 9#;,: b%
P33 000 0
1
DDDDDDDDD 2
if 0 i 1f1if if 0 #,"9 1#," 1#,"9<#," if 0 6,9-
4
9
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Sabemos 5 0 )(5!) Vif ,n% 5 0 ;; ### (5!), 6,9-,"#% 5 0 S!. ;: 6=;
Pr%e!as $eset%s "% El gerente de la tienda de alimentos ISAper rápidoJ está tratando de determinar cuánto deberá gastar ahora para evitar el gasto de "# ### dentro de dos a$os, en un equipo de refrigeración. Si la tasa de interés es de ;!6- mensual y la tasa de inflación es de "también mensual. &uál es la má
F (1 + i n ) 24
......................................("% iMn 0 ("1f%("1ir %7" ("1 in%6: 0 ("1 f%6:("1ir %6: .............................(6% (6% en ("% P=
P=
F (1 + ,) 24 (1 + i!) 24
10 000 (1 + 0,01) 24 (1 + 0,015) 24
)0 9 9#?
6% / una chica con suerte le acaban de informar que su abuelo murió y le dejó una cuenta de ahorro de ; ### ###. Si el abuelo abrió la cuenta hace 9# a$os, con un depósito Anico y nunca depositó otro dólar a la cuenta original, &uánto depositó F Suponga que la cuenta gana intereses a una tasa de 6#- anual y la tasa de inflación fue de 9- durante ese período. Solución /l igual que el problema anterior.
49
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
P=
P=
F 50
(1 + ) (1 + i ! )50
3 000 000 (1 + 0,05) 50 (1 + 0,2) 50
)0 68,=: ;% &uánto dinero podrá gastar la compa$ía H2GZ hoy para evitar gastar 9 ### anuales por seis a$os a la tasa de interés de "9- y la tasa de inflación del "#- anual F. Solución Sabemos que P=
F (1 + ) (1 + i ! ) 6 6
P=
5000 (1 + 0,1) 6 (1 + 0,15) 6
)0 " 66#,"8.
-0
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO * *. P$INCIPALES MODALIDADES DE OPE$ACIONES FINANCIE$AS *.1 O+era"%nes A"t#as Presta!%s Kos préstamos de mayor interés son los que se otorgan a mediano y largo pla*o. Ka devolución gradual de un préstamo se denomina amorti*ación, la mayoría de las veces se efectAa pagos periódicos que incluyen además los intereses, comisiones, costos de operar el crédito, etc. se denomina &osto de &apital del inversionista. Ka descomposición de los pagos en períodos se llama programa de amorti*ación. • • • • •
Kas formas usuales de pago son )lan de cuotas decrecientes. )lan de cuotas constantes. )lan de cuotas crecientes. Sistema de reajuste de deudas.
Pan de C%tas De"re"entes Dambién llamado + )K/C 4E />G2D'X/&'GCES &GCSD/CDES +, bajo esta modalidad quien recibe un préstamo lo tiene que amorti*ar en partes iguales adicionando además los intereses a rebatir o sobre el saldo pendiente de cada período ya que los intereses disminuyen al disminuir el saldo de la deuda. o
En el cuadro C 9," se muestra un programa de amorti*ación para un préstamo obtenido bajo esta modalidad de pago. o
&uadro C 9,"
)rograma de /morti*ación )lan de &uotas 4ecrecientes
>onto )la*o 'nterés 'nterés trimestral /morti*ación
Periodo Trimestr al # 3 $ % & ' (
Deuda S/. 10,000.00 S/. ,-0.00 S/. ,-00.00 S/. ,2-0.00 S/. -,000.00 S/. 3,-0.00 S/. 2,-00.00 S/. 1,2-0.00
S!."# ### ### 6 a$os 0 8 cuotas trimestrales "9- anual "9!; 0 ;.=9- trimestral "# ### ### ! 8 0 " 69# ###
Amortizaci Interés ! ón "omisión S/. S/. 1,2-0.00 3-.00 S/. S/. 1,2-0.00 32.13 S/. S/. 1,2-0.00 21.2 S/. S/. 1,2-0.00 234.3 S/. S/. 1,2-0.00 1.-0 S/. S/. 1,2-0.00 140.3 S/. S/. 1,2-0.00 93. S/. S/. 1,2-0.00 4.
-1
Saldo S/. ,-0.00 S/. ,-00.00 S/. ,2-0.00 S/. -,000.00 S/. 3,-0.00 S/. 2,-00.00 S/. 1,2-0.00 S/. >
Total a Pagar S/. 1,2-.00 S/. 1,-.13 S/. 1,-31.2S/. 1,44.3 S/. 1,43.-0 S/. 1,390.3 S/. 1,343.S/. 1,29.
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
S+, #-.---,--
T)TA*
S+, ##.&(',%-
Pan de C%tas C%nstantes >ediante este sistema varía tanto las amorti*aciones como los intereses, pero la suma de ambos, o sea la cuota, que se ha de pagar en cada período es constante, ésta se obtiene aplicando la siguiente fórmula / 0 ) (/ ! ), i, n% / ) ' n
&uota o armada constante )rincipal o préstamo Dasa de interés proporcional CAmero de períodos
&alculada la cuota, se determina los intereses del período y por diferencia se obtiene la amorti*ación del préstamo en cada período. En el cuadro C` 9,6 se muestra un programa de amorti*ación para un préstamo obtenido bajo esta modalidad. &uadro C` 9,6 >onto )la*o 'nterés
)rograma de /morti*ación )lan de cuotas &onstantes
S!."# ### ### 6 a$os 0 8 cuotas trimestrales "9- ;.=9- trimestral
A =10000000 ( A / P , 3.75 , 8 )= S / 1469.98
Period o Trimes tral # 3 $ % & '
Deuda S/. 10,000,000. 00 S/. ,90-,01.0 9 S/. ,,90.2 S/. ,-90,322. 4 S/. -,3,4-.9 3 S/. 4,09,2.3 S/.
Amortizació n
Interés !
Total a Saldo
"omisión
S/. S/. 3-,000.0 1,094,93.91 0 S/. S/. 333,93.1 1,13,04-.1 0 S/. S/. 291,33.3 1,1,4.-3 9 S/. S/. 24,13.1 1,222,4.1 0 S/. S/. 201,20.3 1,2,03.- S/. S/. 1-3,03.9 1,31,29.9 S/. S/.
-2
Pagar S/. ,90-,01.0 9 S/. ,,90.2 S/. ,-90,322. 4 S/. -,3,4-.9 3 S/. 4,09,2.3 S/. 2,2,492.4 1 S/.
S/. 1,49,93.91 S/. 1,49,93.91 S/. 1,49,93.91 S/. 1,49,93.91 S/. 1,49,93.91 S/. 1,49,93.91 S/.
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 2,2,492.4 104,343.4 1,41,-1.9 1,3-,40.41,49,93.91 1 S/. S/. S/. S/. 1,41,-1.9 S/. >0.00 1,41,-1.9 -3,131.91,49,93.91 S+, S+, #-.---.--##.'%/.('# ,-,3
( T)TA*
Pan de C%tas Cre"entes En este plan las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo, esto se consigue de la manera siguiente • Se suma los dígitos de los períodos. Se divide el préstamo entre la suma de los dígitos ,y • • Ka amorti*ación se calcula aplicando la siguiente fórmula m Amorti)aci(n = ( P ) s ) m S
>onto 'nicial 4ígito del período Suma de dígitos de los períodos
El sistema de cuotas crecientes es utili*ado principalmente en el sector vivienda ya que permite un mayor acceso de viviendas a las familias de menores recursos. En el &uadro C` 9,; se muestra un programa de amorti*ación para un préstamo obtenido bajo esta modalidad. &uadro C` 9,; >onto )la*o 'nterés
Period o Trimes tral # 3 $ % &
)rograma de /morti*ación )lan de &uotas &recientes S!. "# ### ### 6 a$os 0 8 cuotas trimestrales "6 1 ; 0 "9 - ;.=9- trimestral
Deuda S/. 10,000,000. 00 S/. 9,22,222.2 2 S/. 9,1,. S/. ,333,333.3 3 S/. ,222,222.2 2 S/.
Proporci Interés ! ón Amortizaci Amortiz ón "omisión ación S/. S/. 0.02 3-,000.0 2,. 0 S/. S/. 0.0---- 34,-3.3 ---,---.- 3 S/. S/. 0.03333 33,333.33 343,-0.0 0 S/. S/. 0.111111 1,111,111.1 312,-00.0 1 0 S/. S/. 0.139 1,3,. 20,33.3 9 3 0.1 S/. S/.
-3
Total a Saldo Pagar S/. S/. 9,22,222. -2,. 22 S/. S/. 9,1,. 920,13.9 S/. S/. ,333,333. 1,1,03.3 33 3 S/. S/. ,222,222. 1,423,11.1 22 1 S/. S/. -,33,333. 1,-9,22.2 33 2 S/. S/.
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 -,33,333.3 3 S/. 4,1,. 0.194444 S/. 2,222,222.2 0.222222 2
' ( T)TA*
1,,. 21,-0.0 0 S/. S/. 1,944,444.4 1-,2-0.0 4 0 S/. S/. 2,222,222.2 3,333.33 2 S+, #-.---.--,--
4,1,. 1,-,41. S/. S/. 2,222,222. 2,100,94.4 22 4 S/. S/. 0.00 2,30-,---. S+, #.#%.--,--
O+era"%nes de des"ent% "%n !Hs de na a!%rt8a"7n )lan de cuotas 4ecrecientes Ejemplo Se tiene la siguiente información ) 0 S!. "## (cantidad recibida% )0>74
0
0
)eríodo de descuento ie )la*o
0 0 0
120
# días :#- anual "8# días
Solución d = 1 −
1 6
1 + ie d = 5.45%
n=
360 60
=6
P = M − D P = M (1 − d ) M =
P
=
100
1 − d 1 − 0.0545 M = 105.76 &álculo del monto total del préstamo (>%
&álculo del monto a amorti*ar cada # días 180 =3 n= 60 M 105.76 A = = * 3 A = 35.25
Pr%5ra!a de A!%rt8a"7n Pan de C%tas De"re"entes >onto
S!. "# ###
-4
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 )la*o 'nterés
Periodo Trimestral # 3 T)TA*
Deuda
8 cuotas trimestrales "9.=9- trimestral
Amortización
S/. 10-. S/. 10-. S/. 0.-1 S/. 3-.2-
S/. 0.00 S/. 3-.2S/. 3-.2S/. 3-.2S+, '-,%-
Interés ! "omisión S/. -. S/. 3.4 S/. 1.92 S/. 0.00
Saldo S/. 10-. S/. 0.-1 S/. 3-.2S/. 0.00
Pan de C%tas C%nstantes Sea / 0 &uota constante &j 0 /morti*ación en el período j, j ",6, , , n 4 0 Dasa de descuento > 0 >onto total del préstamo ) 0 &antidad neta recibida en el período cero n 0 CAmero de período de amorti*ación. )ara n 0" )0 >74
/
#
"
) 0 >74 > 0 &" > 0 &" 0 / )ara n 06
# > / / &" >
0 0 0 0 0 0
/
/
"
6
&" 1 &6 &6 &" 1 &6d / 7 &6d / 7 /d /T " 1 ("7d% U
)ara n 0;
#
/
/
/
"
6
; / 0
/ 0 &6 1 &;d / 0 &"1(&6 1 &;%.d
--
Total a Pagar S/. -. S/. 39.09 S/. 3.1 S/. 3-.2S+, (,-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 > &; / &6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
/ &" / >
&" 1 &6 1 &; / &; / 7 &;d / 7 /d &6 1 &;d / 7 (&6 1 &;%d / 7 (/7 /d 1/%d &" 1 (&6 1 &;%d / 1 / 7 /d 1/(/ 7 /d 1 /%d / 1 T/ 7 /d 1 /U("7d% / 1 /T" 1 ("7d%U("7d% 6 /T" 1("7d% 1 ("7d% U
)ara el período n, se tiene > 0 / T" 1 (" P d% 1 ( " P d% 6 1 ... (" P d%n7" U
...("%
>ultiplicando ("% por ("7d% > 0 /T (" P d% 1 (" P d%6 1 ... 1(" 7 d%n U
Md = A 1 − (1 − d ) A = M
...(6%
n
d 1 − (1 − d )
n
("% 7 (6%
Efectuar el programa de amorti*ación bajo de cuotas constantes para la siguiente información ) )eríodo de descuento ie )la*o
0 0 0 0
S!. "## ### ;# días :#- anual "6# días
&álculo de la tasa de descuento 360 n= 30 1 = 2.765% d = 1 − 12 1 + 0 .4 &álculo del monto del préstamo (en miles de Soles% > >
0 0
"##! ("7 #,#6=9% "#6,8:
-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 &álculo de la cuota constante n
0
"6# ! ; 0 :
A = M
d n
1 −(1 −d )
A = 26.8
)rograma de /morti*ación )lan de cuotas constantes
Periodo 0ensual / 1 2 3 &
Deuda
Amortiza ción
Dscto,
Saldo
"#6,8: "#6,8:
# 6:,:
6,8:; 6,"6
"#6,8: =8,6
,2 -2, 2,
2-,34 2,0 2,
1,42 0,41 0
-2, 2, 0
Total a Pagar 6,8: 6,8 6,8 6,8 6,8
Esta tabla se construye partiendo del Altimo período, puesto que en él la amorti*ación es igual a la cuota. 5inalmente se aplica los índices que refleja la inflación y se tiene el siguiente sistema
Sste!a de rea6ste de dedas El sistema de reajuste de deudas o de inde
representa la tasa de reajuste de la deuda, representa la tasa de interés básica
Pr%5ra!a de A!%rt8a"7n Sste!a de $ea6ste de Dedas >onto Dotal )la*o 'nterés 4escuento 5actor de reaj.
S!. "## ### ; a$os "6- (ir 0 ;- trimestral% ?# días :#- anual
-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 (f 0 (",:%#,9 7 " 0 8,==9=6 - trimestral% >iles de Soles
Periodo Trimestr al / 1 2 3 & *
Deuda
Amortizaci ón
Dscto,
Saldo
Total a Pagar
"##### "#8==
# 6"8##
;### ;6;
"##### 8?=
; 69#;
940 131 --943039
2300 2-00 2000 3039
23 2314 1 0
090 -1431 2940
2-3 2014 29 3039
Bna modalidad de cálculo muy usada en el medio comercial para la adquisición de artefactos eléctricos, muebles, etc., es la aplicación de la tasa de interés flat.
Tasa de Interés Fat % Dre"t% Sea una tasa de interés mensual (i%, el interés ('% se calcula de la manera siguiente & &antidad a pagar (deuda total% n CAmero de períodos (meses% '&.i.n El monto a pagar es > 0 & 1& . i. n Ka cuota mensual (/% quedó determinada por / 0 >!n 0 ( & 1 & . i . n% !n Esta modalidad de pago genera un mayor pago de intereses que los anteriores ya que el cálculo del total de estos es sobre la base de la deuda contraída inicialmente.
E6e!+% Bn comprador adquirió una refrigeradora al precio de S!.6 ### y dio una cuota de S!. 6## como inicial. )ara el saldo se comprometió a pagar "6 cuotas de S!. 6:# c!u, el vendedor le dijo que la tasa mensual era de sólo 9-. El cálculo de la cuota mensual le demostró que se obtenía del siguiente modo 0 6:# Es 9- la tasa real mensualF. 4etermine la tasa efectiva anual. Solución "8##
#
6:#
"
6:#
6:#
6
" 8## 0 6:#()!/, i, "6%
-
"6
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ()!/, i, "6% 0 " 8##!6:# 0 =,9 4/DGS 4E D/LK/ 'nterés 8i?-
5actor =,9;" =,9 =,"#=
'nterpolando Ka tasa de interés mensual es i 0 8,"Ka tasa efectiva anual es ief 0 ("1#,#8"%"6 7 " 0 "9:,;-
*.2 O+era"%nes Pas#as 4epósitos de ahorro y pla*o fijo. El Lanco &entral de 2eserva con fecha ":!#"! ?8 unificó la tasa má
E6e!+% Se formó una junta con participantes, la cuota mensual será de S!."## para todos aquello que no han obtenido la Runta. Ka forma de obtener la junta es bajo la modalidad de remate, es decir el monto total se entregará a aquel participante que presentó la mejor oferta o cuota que ha de pagar en cada uno de los meses restantes. Kos ganadores de los tres primeros meses se comprometieron con cuotas de 6##, 69# y ;9# soles mensuales. En el cuarto mes uno de los participantes, que aAn no ha obtenido la junta, decide retirarse. Se pide calcular la cantidad de dinero que le corresponde. Solución >ES " El primer ganador obtiene un monto de S!.## pero le pertenecen S!."## por consiguiente adquiere una deuda de S!.9## que devolverá en cinco cuotas constantes de S!.6## "
6
;
:
9
6## 0 9## (/!), i , 9% i 0 68,;-
MES
DEUDA
INTE$ES
-9
AMO$T;
CUOTA
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 2 3 & * ,
9## ::;,"9 ;=#,#6 6=9,? "9:,?=
":;,"9 "6,8= "#9,?: =?,#" ::,;=
9,89 =;,"; ?:,# "6#,?? "99,;
6## 6## 6## 6## 6##
>ES 6 >onto 0 :("##% 1 6## 1 69# 0 S!. 89# 4euda 0 T 89# P (::;,"9 1 "6,8=%!: 1 (:=",;= 1 "86,:=%!: 1"##U 0 S!. ::: ;9# 0 ::: ( /!), i , ;% ' 0 9?,;-
MES & * ,
DEUDA ::: ;98,"8 66",;
INTE$ES 6:,"8 6";,"6 ";",=
AMO$T. 89,86 ";,88 6"8,;;
CUOTA ;9# ;9# ;9#
>ES : Ka cantidad que le corresponde al participante que se va a retirar es &antidad 0 (;=#,#6 1 "#9,?:%!; 1 (:#;,8: 1 "9,;;%!; 1 (::: 1 6:,"%!; 0 S!. 98",::
0
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO , ,. =ASES PA$A LA COMPA$ACION DE ALTE$NATIAS: En el presente capítulo, se mostrará tres métodos básicos para la evaluación de alternativas
,.1 a%r Presente E#aa"7n de C%st% Ca+ta8ad% a% a%r Presente (P) El objetivo de este método es comparar el valor presente de cada una de las alternativas.
E6e!+% &omparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i 0"#- (&ostos con signo positivo y beneficios con signo negativo% dado en miles soles.
")ST) INI"IA* "A) S 4
0A1 A
0A1 2
100 40 10 -
130 30 13 -
Cota El valor de salvamento es el valor que aAn posee el activo al final de su vida Atil. Solución @) / 0F "## #
:#
:#
:#
:#
7"# :#
"
6
;
:
9
>áquina / @) / 0 "## 1 :# ()!/, "#, 9% 7 "#()!5, "# ,9% 0 S!. 6:9 :## @) L 0F
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ";#
;#
#
"
;#
;#
;#
7"; ;#
6
;
:
9
>áquina L @)L
0 ";# 1 ;# ()!/,"#-, 9% 7 ";()!5,"#- ,9% 0 S!. 6;9 =##
Se debe seleccionar la máquina L puesto que @) L @) / En el ejemplo precedente la vida Atil de las alternativas es la misma, cuando esto no ocurre, se procede como en el siguiente ejemplo
Ejemplo ,6 &omparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i 0"#-
0A1 A
0A1 2
100 40 10 -
130 42 13 3
")ST) INI"IA* "A) S 4 Solución
&ómo las máquinas tienen distintas vidas Atiles, deben compararse sobre la base del mínimo comAn mAltiplo de los a$os, es decir en este caso a$os. >ZB'C/ / @) / 0F
"##
:#
#
"
"##()% 7"#(@S% :# :# 6
;
"##()% 7"#(@S% :# :
:#
7"# :#
9
>áquina / @) / 0"##1:#()!/, "#-,%1("##7"#%()!5,"#-,6%1("##7"#%()!5,"#-,:%7"#()!5,"#-, % 0:#:,: >ZB'C/ L 7";(@S% ";# #
:6
:6
";#()% :6
"
6
;
:6
7";(@S% :6 :6
:
9
@)L 0 ";#1:6()!/,"#-,%1(";#7";%()!5,"#- ,;% 7";()!5,"#-, %
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 0 ;?;,9 Se debe seleccionar la máquina L, puesto que @)L @) / b% C%st% Ca+ta8ad%: Está referido al valor presente de un proyecto que se supone tendrá una vida Atil perpetua. Kímite del factor de recuperación de capital (/!), i, n%
Entonces si / 0 ) (/!), i, n%, cuando n tiende a infinito se tiene que / 0 ) i Ejemplo ,; &alcular el costo capitali*ado de un proyecto que tiene un costo inicial de S!. "## ### y un costo de inversión adicional de S!.;# ### después de 9 a$os, el costo anual de operación es S!.; ### para los primeros : a$os y S!.9 ### de ahí en adelante. /demás se espera un costo recurrente de mantenimiento general de S!."6 ### cada "6 a$os, suponer que i 0 "#-. Solución )or conveniencia se supone a los costos con signo positivo y en miles de soles. "## ;
;
;
;# "6 ; 9 9 9 QQQQQQQQQQQ..
6
;
:
"6 9
9
QQQ.. #
"
9
"6
6:
". Oallamos el valor presente del costo inicial y de la inversión adicional )" 0 "## 1 ;# ()!5, "#-,9% 0 ""8, 6. Oallamos el valor presente del costo recurrente de mantenimiento )6 0 T "6(/!5, "#-,"6% U ! #,"# 0 9, ;. &alculamos el costo capitali*ado para la serie de ; hasta el infinito ); 0 ;!#,"# 0 ;# :. &alculamos el valor presente de la serie de 97; 0 6 del a$o 9 en adelante ): 0 T 6!#,"#U ()!5, "#,:% 0 ";,= 9. Kuego, el costo total capitali*ado se obtiene de la suma )D 0 )" 1 )6 1 ); 1 ): 0 ""8, 1 9, 1 ;# 1 ";,= 0 "=,?
,.2 a%r Ana E'#aente
3
69
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Es o#"a ase de o*a"a'@n la !al ons's#e en enon#"a" !na an#'dad an!al e=!')alen#e, % a d'e"en'a del $#odo de )alo" *"esen#e no 'n#e"esa !n'o"a" el nFe"o de años *a"a e)al!a" al#e"na#')as. Ee*lo ,4 &omparar el costo anual y uniforme equivalente (&/BE% de las máquinas de igual servicio, i0"#-, en miles de soles.
")ST) INI"IA* "A) S 4
0A1 A
0A1 2
100 40 10 2
130 42 13 3
Sol'ci(n:
&/BE / 0 "## (/!), "#-, 6% 1 :# P "# (/!5, "#- , 6% 0 96,? &/BE L 0 ";# (/!), "#-, ;% 1 :6 P "; (/!5, "#- , ;%0 ?#,; Se debe seleccionar la >áquina / puesto que &/BE / &/BEL
,.3 Tasa De $et%rn% De4n"7n.B Dasa de retorno o tasa de rendimiento, es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado. Está definido como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ingresos y egresos. En términos económicos la tasa de rendimiento representa el porcentaje o tasa de interés, ganado sobre el saldo no recuperado de una inversión. Se puede considerar el saldo no recuperado de una inversión como aquella parte de la inversión inicial que queda por recuperar después de haber sumado y deducido los pagos de interés y los ingresos respectivamente causados hasta que se haga el análisis. CH"% de a Tasa de $et%rn%.B El cálculo de la tasa de retorno requiere por lo general una solución de ensayo y error. E)emplo !#$
&alcular la tasa de retorno para el flujo de efectivo presentado a continuación
5n de a6o t 0 1 2 3 4 -
7ujo de e8ecti9o :t >1000 >00 -00 -00 -00 1200
Es decir encuéntrese el valor de i que satisfaga la ecuación n
4
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
∑ F ( P / F , i, t ) 0 # t
t 0# 4onde n es el Altimo a$o del flujo de efectivo. Solución /plicando la fórmula se tiene # 0 7" ### 7 8## ()!5, i , "% 1 9##()!/, i , "% ()!5, i , "% 1 =## ()!5, i ,9% Se puede resolver el problema aplicando el Mét%d%s de tante%s: )ara i 0 #-, el valor presente @) es @) ( i 0#-% 0 7" ### 7 8## 1 9## < : 1 =## 0 ?##
)uesto que el valor presente para i0#- es positivo, la tasa es mayor que #. Si se toma otro valor por ejemplo i0"6-, se tiene @)( i0"6-% 0 7" ### 7 8##()!5,"6-,"% 1 9##()!/,"6-,:%()!5,"6-,"% 1 =## ()!5,"6-,9% 0 ;6 )uesto que @) ( i 0"6-% sigue siendo mayor que cero se debe ensayar una tasa superior de interés. &on i0"9- se tiene que @)( i0"9-% 0 7"###78##()!5,"9-,"% 19##()!/,"9,:% 1()!5,"9,"% 1=## ()!5,"9-,"% 0 7"" En esta forma se sabe entonces que la tasa de rendimiento está entre el "6- y el "9-. Hraficando las dos Altimas se tienen
C (12;32)
=
A
D
E(1*;B11,)
)or semejan*a de triángulos se calcula la tasa que hace @)(i% 0# /&0L& /E L4
-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 L4 0 #,:? Ka tasa de retorno 0 "61 #, 0 "6,Ejemplo &omparar mediante el método de la tasa de retorno de maquinas de igual servicio si se tiene que la D>/2, para una inversión adicional es del "#-.
(>iles de soles%
0A1 A
0A1 2
>100 >40 10 2
>130 >30 13 3
")ST) INI"IA* "A) S 4 Solución
/quí interesa averiguar si las ;# unidades adicionales que cuesta la máquina L con respecto a la máquina / tiene un retorno mayor al "#-. 7";# 1";
1";
7";#
7;#
7;#
7;#
7;#
7;#
7;#
#
"
6
;
:
9
5lujo de L
7"##
7"##
7"##
7:#
1"# 7 :#
7:#
1"# 7:#
7:#
1"# 7:#
#
"
6
;
:
9
5lujo de /
7;#
"#
?# "#
#
"
6
7""= "#
?# "#
"#
; "#
;
:
9
5lujo de (L7/%
@alor presente a la tasa del "#- de (L7/% @)(L7/% 0 7;#1"#()!/,"#-,% 1 ?#()!5,"#-,6% 7 ""=()!5,"#-,;% 1 ?#()!5,"#-,:% 1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ;()!5,"#-,% @)(L7/% 0 ;.6 ]a que el valor presente resultó positivo a la tasa del "#- se concluye que la tasa de retorno para (L7/% es mayor que el "#- y se elige la maquina L. 5lujo 4e Efectivo &on >ultiples Dasas 4e 2endimiento Ka ecuación del valor presente (@)(i% 0 #% es un polinomio de grado n de la forma @)(i% 0 # 0 5# 15" 1 566 1 ........ 1 5nn 4onde 0 "!("1i% )ara este polinomio pueden e
:IN DE A;) / 1 2 3 & * P%se !HJ de $aí"es reaes +%st#as (En !es de s%es)
:*4<) A :*4<) 2 :*4<) " :*4<) D 7"### 9## :## ;## ;## "##
7"6## 7;## 76## 7;## 69## :###
7"9## # "9### # # ;###
7"=## :=## 7=## ;## # #
"
"
"
6
Es de notar cuando e
,.&. Tasa Interna De $et%rn%(Tasa De $et%rn%) En In4a"7n.B &uando e
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 @) (ir% 0 # 0 5o 1 5"!(("1ir% ("1f%% 1 56!(("1ir%("1f%%6 QQQ (b%
1 ... 1 5n!(("1 ir%("1f%%n
Si no se decuenta la inflación de cada flujo la tasa resultante es una tasa nominal. iM 0 Dasa de interés nominal (" 1 iM% 0("1ir%("1f% ir 0 Dasa de interés real. f 0 Dasa de inflación.
...
(c%
SegAn la e
i −f i r= 1 + f 5órmula Atil para calcular la tasa de retorno real (a precios constantes% , cuando se a determinado la D'2 de un flujo con inflación. /nali*ando las e
P$O=LEMAS "% &alcular la tasa de retorno del siguiente flujo de efectivo 7#### #
69###
;6###
:?###
"
6
;
Solución )robando con i 0 69@)(69% 0 7#### 1 69###()!5,69-,"% 1 ;6###()!5,69-,6% 1 :?###()!5,69-,;%
0998
&omo el @) es positivo se prueba con una tasa mayor i0 ;#@)(;#% 0 7#### 1 69###()!5,;#-,"% 1 ;6###()!5,;#-,6% 1 :?###()!5,;#-,;%
0:8.86
&omo aAn se sigue teniendo un valor positivo se continua incrementando i, para i 0 ;"@)(;"% 0 7#### 1 69###()!5,;"-,"% 1 ;6###()!5,;"-,6% 1 :?###()!5,;"-,;% 0 7:=6.86 &omo se tiene un valor negativo y el anterior positivo por interpolación resulta que
i = 30 +
468.82 x 1 468.82 + 472.82
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i = 30.50 "%. Si en el anterior problema se nos dice que es un flujo con inflación donde f0";-. &ual es la tasa de retorno realF. Solución iM 0 ;#.9f 0 ";ir = i' −f 1 + f i r=15.48
6%. &alcular la tasa de retorno real del siguiente flujo de efectivo.
A:O S 0 1 2 3
LHO5'les de soles >0000 0000 90000 1-0000
#asa de 'n?a'@n > 30 40 0
Solución 78#### #
VP ( i r )=−80000 +
####
?####
"9####
"
6
;
60000
+
90000 2
46150
+
49451
+
48481
( 1 + i r ) ( 1 + i r ) (1 + ir ) 2
3
)rimera prueba i 0 ;#-
@)(;#% 0 8;#
Segunda prueba i 0 :#-
150000
( 1 + i r ) ( 1 + 0.3 ) ( 1 + i r ) ( 1 + 0.3 )( 1 +0.4 ) ( 1 + i r ) (1 +0.3 )( 1 + 0.4 )( 1 + 0.7 )
Si se deflaciona esta e
+
@)(:#% 0 7:";9
TASA DE RETORNO ( TR ) = 30 +
10 x 6830 6830+ 4135
9
3
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 TASA DE RETORNO ( TR ) =36.2 "%. Se está considerando dos máquinas que tienen los siguientes costos para un proceso de producción continua
&osto inicial &osto anual de operación @alor de salvamento @ida Atil, a$os
>/ZB'C/ H 6### "9### 8### :
>/ZB'C/ O ==### 6"### "####
Btili*ando una tasa de interés del "9- determine que alternativa debe seleccionarse con base a un análisis de valor presente. Solución
Ma'na <
JP 2000 6 52000>00075P/,1-,47 6 52000>0007 75P/,1-,7 K 0005P/,1-,127 6 1-00075P/A,1-,127 JP 190344 Ma'na K
JP 000 6 5000>1000075P/,1-,7 K 100005P/,1-,127 6 210 005P/A,1-,127 JP 2192 Po" ons'(!'en#e se dee ele('" la =!'na G dado =!e s! )alo" *"esen#e es a%o". 47Se an *"esen#ado al ad'n's#"ado" de !na *lan#a de *"od!'@n dos *"o*!es#as *a"a a!#oa#'a" !n *"oeso de ensale. La *"o*!es#a A 'nl!%e !n os#o 'n''al de 1-000 % !n os#o an!al de o*e"a'@n de 2000 al año *a"a los !a#"o años s'(!'en#es. e a en adelan#e se s!*one =!e el os#o de o*e"a'@n a!en#a en 100 al año. Se es*e"a #a'$n =!e la )'da F#'l del e=!'*o sea de 10 años s'n )alo" de sal)aen#o. La *"o*!es#a Q 'nl!%e !na 'n)e"s'@n 'n''al de 2000 % !n os#o an!al de o*e"a'@n de 1200 *a"a los #"es *"'e"os años. Pos#e"'o"en#e se *"e)$ =!e el os#o de o*e"a'@n a!en#e en 120 al año. Se es*e"a =!e el e=!'*o #en(a !na )'da F#'l de 20 años % !n )alo" de sal)aen#o de 2000. S' la #asa n'a a#"a#')a de "e#o"no es del 10, . =!e *"o*!es#a se dee ae*#a" on ase en el anl's's del )alo" *"esen#e. Sol!'@n& P"o*!es#a A& JP 1-000 6 20005P/A,10,107 6 1005P/G,10,7 5P/,10,37 JP 224 P"o*!es#a Q &
0
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 JP 2000 6 12005P/A,10,207 6 1205P/G,10,17 5P/,10,27 > 20005P/,10,207 JP 4242 El @) / @)L por consiguiente se elige la propuesta /. 9%Bn alumno adinerado de una peque$a Bniversidad quiere establecer u fondo permanente de becas. 4esea ayudar a tres estudiantes, durante los cinco primeros a$os, después de que se haya establecido el fondo y a cinco estudiantes de ahí en adelante. Suponiendo que los derechos de matrícula tiene un valor de :## al a$o, cuanto dinero debe donar el estudiante hoy si la universidad puede obtener un - sobre el fondoF Solución P= 1200 ( P / A , 6 , 5 ) +
200 0.6
x 1 ( P / F , 6 , 5)
P=29 965
Ka donación en el presente es de 6??9. %&ompare las siguientes máquinas en base a su costo anual uniforme equivalente. Btilice i 0 8-. >/Z.CBE@/ ::### =### 6"# 7 69## :### "9
&osto inicial &osto anual de operación &osto anual de reparación 2eparación cada dos a$os 2eparación cada cinco a$os @alor de salvamento @ida Atil, a$os
>/Z.BS/4/ 6;### ?### ;9# "?## 7 ;### 8
Solución
Ma'na ne#a &/BE 0 ::###(/!),8-,"9% 1 =6"# 1 69##(/!5,8-,9% 7 :###(/!5,8-,"9% &/BE 0 "66?.:
Ma'na sada &/BE 0 6;###(/!),8-,8% 1 ?;9# 1 "?##(/!5,8-,6% 7 ;###(/!5,8-,8% &/BE 0 ";?8; Se elige la maquina nueva por tener menor &/BE. =%El administrador de una planta de conservación de carne quiere decidir entre dos cuartos fríos. El método de rociado atomi*a agua sobre los jamones hasta que la temperatura se reduce a ?9#5. &on este método se requieren apro
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 galones de agua por jamón. )or otra parte podría ser Atil un método de inmersión y sólo se necesitarían cuatro galones de agua por jamón. Sin embargo, este método requeriría una inversión inicial adicional de 6### con gatos de reparación adicionales de "## al a$o y el equipo tiene una vida Atil de "# a$os. Ka compa$ía cocina "# millones de jamones al a$o y paga #.69 por "### galones de agua. Ka compa$ía también debe pagar #.#? por cada "### galones para la eliminación de aguas negras. Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compa$ía es del "9-. Zue método de enfriamiento debe utili*arF Solución
$%"ad% &/BE 0 "#### < 6#(#.#69 1 #.#?% &/BE 0 8### In!ers7n CAHE 10000 8 450.2-60.097620005A/P,1-,107 6 100 CAHE 14299
Con)'ene el $#odo de 'ne"s'@n
7 Hna '!dad )a a ons#"!'" !n es#ad'o a !n os#o de 12 'llones on el fn de #"ae" !n e=!'*o de F#ol *"oes'onal. Se es*e"a =!e el an#en''en#o sea de 2-000 an!ales % ades, =!e el $s*ed a"#'f'al #end"a =!e "ee*laa"se ada 10 años a !n os#o de 1-0000. La *'n#!"a del es#ad'o ada - años os#a"a -000. S' la '!dad es*e"a an#ene" el se")''o 'ndefn'daen#e. C!al se"a el os#o an!al !n'o"e e=!')alen#e s' ' Sol!'@n CAHE 12000000 1-00005A/,,107 CAHE 24911
8
0.0
62-000
6
-0005A/,,-7
6
97Hn 'n)e"s'on's#a o*"@ #"es lases de a'ones 5'den#'fadas a=! oo A, Q % C7. El 'n)e"s'on's#a o*"@ 200 a'ones de A, a 13 ada !na, 400 de Q, a 4 ada !na % 100 de C a 1 ada !na. Los d')'dendos !e"on de 0.-0 *o" a'@n de A d!"an#e #"es años % l!e(o la a'@n se )end'@ en 1-. La a'@n Q no *"od!o d')'dendos *e"o se )end'@ en -.-0, dos años des*!$s de s! o*"a. La a'@n C d'o d')'dendos de 2.10 d!"an#e 10 años, *e"o de'do a !na de*"es'@n del e"ado de )alo"es en el oen#o =!e se )end'@, !e )end'da *o" s@lo 12 la !n'dad. Cal!le la #asa de "e#o"no so"e ada ("!*o de a'ones, as oo la #asa de "e#o"no #o#al so"e la 'n)e"s'@n en a'ones Sol!'@n& A'@n A 200 1005P/A,', 37 6 30005P/,',37 ' .- A'@n Q 100 22005P/,',27 ' 1.2
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A'@n C 100 2105P/A,',107 6 12005P/,',107 ' 9. ;asa de 'n)e"s'@n #o#al 000 1005P/A,',37 6 30005P/,',37 6 22005P/,',27 6 2105P/A,',107 6 12005P/,',107 ' 10.4 107 El 'n(en'e"o de !na o*aña de '(a""'llos =!'e"e ee#!a" !n anl's's de #asa de "e#o"no !#'l'ando los os#os an!ales de dos =!'nas e*aado"as. Los de#alles se *"esen#an a on#'n!a'@n s'n ea"(o, el 'n(en'e"o no sae =!e )alo" de ;MAR !#'l'a", dado =!e al(!nos *"o%e#os se e)alFan al % o#"o al 10. e#e"'ne s' es#a d'e"en'a en la ;MAR a'a"a la de's'@n so"e la o*"a de la =!'na. H#'l'e el $#odo de #asa de "e#o"no so"e la 'n)e"s'@n 'n"een#al.
MAUINA A "#### 9### 9## "###
C%st% n"a C%st% de !an% de %ra ana C%st% ana de !anten!ent% a%r de sa#a!ent% da t; a-%s
MAUINA M ?### 9### ;## "### :
Sol!'@n& Ma=!'na A CAHE 10005A/P,',7 6 --00 > 10005A/,',7 Ma=!'na M CAHE 90005A/P,',47 6 -300 > 10005A/,',47 Cl!lo de la #asa de "e#o"no CAHEA > CAHEM 0 Es#a '(!aldad se !*le *a"a la #asa del 3. P!es#o =!e el 3 T 10 T se el'(e la =!'na A 127 Se desea de'd'" en#"e dos *"o*!es#as de 'n)e"s'@n "e*"oaen#e e8l!%en#es, la ;MAR es de 10 % los ?!os de aa son & 5lujo de caja (millones de soles%
3
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 /G # " 6 ;
)2G]E&DG / 7"# 6# # 69#
)2G]E&DG L 7"# 6## # 6#
S%"7n El camino correcto para decidir entre los dos proyectos es calculando el valor presente de los dos proyectos @) / 0 7"# 1 6#()!5,"#-,"% 1 69#()!5,"#-,;% @) / 0 : millones @)L 0 7"# 1 6##()!5,"#-,"% 1 6#()!5,"#-,;% @)L 0 ;.8 millones
)or consiguiente el proyecto / es mejor que L. El sustento del método de cálculo se puede e
/
";
L
6#.:
;;.8
D'2
TI$ P(1/)
P$O A 6#.::M
P$O = ;;.8;.8M
&omo se observa en el gráfico, la decisión de la elección está en función de la D>/2. Si la D>/2 está entre # y ";- se elige el proyecto / Si la D>/2 es";- es indiferente la elección Si la D>/2 es mayor que ";- hasta ;;.8- se elige el proyecto L
4
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Elegir el proyecto que tenga la mayor D'2 cuando se trata de proyectos e
-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 0 0. $ELACION =ENEFICIO COSTO PE$IODO DE $ECUPE$ACION DE CAPITAL 0.1 $ea"7n =ene4"% C%st% El cálculo de la ra*ón beneficio7costo es un método para decidir la justificación económica de un proyecto que pertenece generalmente P al sector pAblico. Esta ra*ón se puede e
=
eneiis - desenei is sts
Bn proyecto será aceptado su L!&" Kos beneficios son ventajas einisterio de Dransporte y &omunicaciones, está considerando un proyecto para la locali*ación de una nueva carretera. Ka información que se posee es en 'llones de soles
os#o de ons#"!'@n enef'o an!al os#o an!al de an#en''en#o )'da F#'l
14000 2000 400 'ndefn'da
>ediante la aplicación del método de beneficio y costo, determine P si es aceptable o no este proyecto si i0"#-. Solución Leneficio &ostos L!&
0 6,### 0 ":,### < #," 1 :## 0",8## 0 6,###!"8## 0".""
L!& " por tanto, al proyecto es aceptable.
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si se tiene dos o más alternativas mutuamente e
Ejemplo Se tiene identificadas tres alternativas, mutuamente e
(>iles de soles%
al#e"na#')a A Q C
QENEICIO ANHAL COS;O ANHAL
1-000 10000 11-000
92000 0000 9000
Q/C 2.01 2.12 1.29
&uál de las alternativas se debe elegirF Solución &omparando la alternativa / con & se t iene AL;ERNA;IJA A
QENEICIO ANHAL COS;O ANHAL
1-000 92000
AL;ERNA;IJA IERENCI Q A
11-000 9000
0000 3000
Ka ra*ón L!& de las diferencias es / =
70,000 9,000
= 23.33
Ko que indica que por un costo incrementa de ;,### (miles de soles% de /, se obtiene un mayor beneficio en congruencia alternativa / es mejor que la &. &omparando la alternativa / con L se tiene AL;ERNA;IJA A
QENEICIO ANHAL COS;O ANHAL / =
11,000 12,000
1-000 92000
AL;ERNA;IJA IERENCI Q A
1000 0000
1-000 12000
= 1.25
El resultado indica que la alternativa / es mejor que L, pese a que la ra*ón L!& de la alternativa L, dada en la información inicial, es mayor que la obtenida en / y &.
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 2espuesta Se elige la alternativa /. Leneficio &osto Empresarial El coeficiente de Leneficio &osto de una empresa resulta de dividir el valor actual de los futuros ingresos netos descontados a la D>/2, por la inversión requerida. Ejemplo Ka inversión necesaria para un proyecto es de "## millones de soles, los ingresos anuales se muestran en el siguiente flujo de caja.
5100U7 0
30U
40U
40U
40U
40U
1
2
3
4
-
Si la D>/2 es ;#-, calcular el L!&.
Solución &osto 0 "## Leneficio 0 ;#^()!5, ;#-, "% 1 :#^()!/, ;#-, :% ()!5, ;#-, "%.0 8?.= 89.7
L!& 0 100 0 #.8?= El I)royectoJ no es aceptable por que la relación L!& es menor que la unidad.
0.2 Per%d% de $e"+era"7n de Ca+ta (P$O) Klamado también periodo de repago. Es el lapso en el que la sumatoria de los valores actuali*ados de los beneficios iguala a la de los costos del proyecto. 4icho de otro modo, mide al tiempo necesario para que al inversionista recupere su inversión y como es de suponer, mientras más corto sea el periodo de recuperación, su efecto a la vida estimada del proyecto, es mayor el atractivo para invertir. Ejemplo Sea el siguiente flujo (>illones de soles% A:O
0 1 2 3 4
COS;OS E CONS;RHCCION
INGRESO NE;O
1000 3000 00 1-000
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
9 10
2000 2000 2000 2-00 2-00 2-00
Si i0"#-, determine el periodo de recuperación de capital. Solución @) 0 # # 0 7",### ()!5, "#-,"% 7 ;,### ()!5, "#-,6% 1 8## ()!5, "#-,;% 1 "9## ()!5, "#-,:% El valor presente incluyendo el costo del a$o 9 es @G 9 0 796".;. )ara el a$o @) 0 #=.= )or consiguiente se obtiene que el periodo de recuperación es 9.9 a$os.
Problemas
"% Están bajo consideración dos rutas para una carretera interdepartamental.Ka carretera larga tendría una longitud de ": 3ilómetros y un costo inicial de 6" millones. Ka ruta a través de la monta$a tendría una longitud de ? 3ilómetros y un costo inicial de BS :9 millones. Se calculan :##,### vehículos al a$o. Si los gastos de operación por vehículo son de BS #,"6 por 3ilómetro, determine qué ruta se debe seleccionar por (a% análisis L!& y (b% análisis L7&. Supongamos una vida Atil de 6# a$os para cada carretera y una tasa de interés del - anual. SGKB&'GC /horro (benéfico% por utili*ar carretera que cru*a las monta$as L 0 (":7?% < #."6 < :##,### 0 6:#,### 'ncremento anual en costo de la carretera que cru*a las monta$as con respecto a la carretera larga.
Carretera ar5a (A)
CAHEA 210000005A/P, ,207 S/. 1,30,-.0 Carretera 'e "r8a as !%nta-as (=)
CAHEA 4-000000 5A/P, ,207 S/. 3,923,30-.0
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 'ncremento anual en costo
CAHEQ > CAHEA S/. 2,092,429.3 2elación L!& L!& 0
240000
0.11
2,092,429.37
&omo L!&", conviene la construcción de la carretera larga.
6% Ka /gencia de 2estauración está considerando el revestimiento de los canales principales de sus sistemas de 'rrigación. Se espera que el costo inicial del revestimiento sea de BS : millones, más de BS 69.### de mantenimiento anual. Si los canales no se recubren, se tendrá que llevar a cabo una operación de control de male*as y sedimentos que tendría un costo inicial de BS =##,### y un costo de BS 9#.### el primer a$o, BS 96.### el segundo y cantidades que aumentan en BS 6.### al a$o durante 69 a$os. Si los canales no se recubren, e perderá menos agua por infiltración dando como resultado tierras adicionales que se podrían utili*ar para la agricultura. Se espera que el ingreso agrícola obtenido con la tierra adicional sea de BS "6#,### anuales. Btilice a% el método L!& y b% el L7& para determinar si los canales se deben revestir. Supongamos que la vida Atil del proyecto es de 69 a$os y la tasa de interés del - anual. SGKB&'GC Canal con revestimiento (R)
&/BE2 0 :^###,### (/!),-, 69% 1 69,### 0 ;;=,?#
Canal sin revestimiento (SR)
&/BES2 0 =##,### (/!),-, 69% 1 9#,### 1 96### 1 6,### (/!H, -, 69% 0 "=:,?#9 &osto 0 &/BE2 P &/BES2 0 ";##" Leneficio 0 "6#,### a% . b%
, B 120000 = =0.73 C 163001
L!&", entonces no se recubre
L7&0"6####7 ";##"07:;##" L7&#, entonces no se recubre.
;% El costo del alquiler de camiones es de BS 6=9 por camión al mes. &omo alternativa, el precio de compra por camión es de BS =## al mes con un pago mensual de BS ;## durante cuatro a$os. Bn camión se puede vender en promedio por BS
0
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ",6## independientemente del tiempo de propiedad. Bna droguería debe pagar el mantenimiento, la operación y el seguro de los camiones, sean comprados o alquilados, este costo es igual, y por lo tanto, no se tiene en cuenta (a% 4urante cuantos a$os se deberá llevar a cabo el plan para que la compra o el alquiler sean igualesF (b% Si un camión comprado tiene una vida Atil esperada de a$os, se deben comprar o alquilar los camionesF SGKB&'GC Diempo para que sea indiferente comprar (&%, alquilar (/% &/BE / 0 6=9 &/BE& 0 =## (/!), "-, n% 1 ;## 7 ",6## (/!5, "-, n% &/BE / 0 &/BE& n0":, meses Si la vida Atil es seis a$os conviene comprarF &/BE / 0 6=9 &/BE& 0 =## (/!), "-, =6% 1 ;## ()!/, "-, :8% (/!), "-, =6% 0 669 &/BE& &/BE / , por consiguiente conviene comprar.
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO . $EEMPLAO; $ETI$O; ANLISIS EUILI=$IO .1 O6et#% El objetivo de este capítulo es comparar económicamente dos activos, el propio y otro que puede reempla*arlo. El activo propio se le denomina 4efensor y el que puede reempla*arlo se denomina 2etador. )ara efecto de evaluación se parte del supuesto de que el activo que posee no es propio y por consiguiente se tiene 7 7
)recio del defensor )recio actual del mercado o valor comercial del activo usado. @alor de salvamento y vida Atil restante Son estimados a partir de las condiciones actuales del activo.
Ejemplo Oace cuatro a$os, se compró una máquina por S!. "##,###, la vida Atil estimada fue de "# a$os, el valor de salvamento de S!. "#,### y un costo anual de operación de S!. :,### /hora se ofrece una máquina, para reempla*ar a la anterior por S!. 9#,###, la vida Atil estimada es de "# a$os, valor de salvamento de ?,### y costos anuales de operación de 6,;##. Se hace nuevos cálculos por la máquina usada valor comercial S!. =#,###, valor de salvamento S!. 9,###, vida Atil restante 9 a$os y los mismos costos de operación. Si ' 0 "#-, &uál de los activos convieneF
SGKB&'GC
DEFENSO$ =#,### :,### 9,### 9
Pre"% de a"t#% C%st% ana de %+era"7n a%r de sa#a!ent% da t (a-%s)
$ETADO$ 9#,### 6,;## ?,### "#
&/BE (4efensor% 0 =#,### (/!), "#-, 9%1:,###79,###(/!5, "#-, 9% CAHE 5eenso"7 689;.#89
&/BE (2etador% 0 9#,### (/!), "#-, "#%1 6,;## 7 ?,###(/!5, "#-, "#% CAHE 5Re#ado"7 "?#;9."""
&onviene la máquina nueva (2etador% por tener &/BE menor que la máquina no antigua. En el análisis de reempla*o se debe dar un adecuado tratamiento al costo amorti*ado para el caso de que éste se presente.
2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 &osto amorti*ado 0 valor actual en libros P valor actual de salvamento lograble. El valor actual de salvamento lograble es el valor comercial del activo. Si el costo amorti*ado es positivo algunos analistas tratan de recuperarlo sumándolo al costo inicial del retador con lo cual se pretende cubrir el posible error de la decisión de compra anterior. El costo amorti*ado debería ser cargado a una cuenta de tal forma que se refleja en el estado de ganancias y pérdidas. 4esde el punto de vista tributario, el valor de este costo es importante por cuanto involucra una ganancia o pérdida de capital. En el análisis de reempla*o el costo amorti*ado no debe incluirse en la comparación económica.
.2. Per%d% de estd% en e anHss de ree!+a8% )ara el periodo de estudio se presenta uno de estos costos 7@ida Atil restante del defensor igual a la vida Atil del retador. 7@ida Atil restante del defensor menor qu e la del retador. )ara el primer caso se utili*a cualquier método de evaluación. Ejemplo El valor comercial de un vehículo con dos a$os de uso es de S!. "8#,### los costos de mantenimiento, combustible, impuestos, etc., son de S!. 6#,### al a$o. Ka vida Atil y el valor residual estimados para el vehículo usado son de "# a$os y S!. "9,###. Se tiene la opción de alquilar un vehículo a un costo de S!. 69,### por a$o y S!. "8,### de costo anual de operación (&/G%. Si se requiere una tasa de retorno del "#- &onviene alquilar el vehículoF SGKB&'GC
) 0 &/G 0 @!S 0 n 0
De4ens%r S!. "8#,### 6#,### "9,### "# a$os
$etad%r &osto de alquiler 0 S!. 69,### &/G 0 "8,### n 0 "# a$os
El costo anual uniforme equivalente del defensor (&BE4% es &/BE4 0 )(/!), "-, n% P @S (/!5, "-, n% 1 &/G &/BE4 0 "8#,### (/!), "#, "#% P"9,### (/!5, "#,"#%16#,#### CAHE S/. 43-2.9901 El costo anual uniforme equivalente del retador (&/BE2% es &/BE2 0 69,### 1 "8,### &/BE2 0 S!. :;###
3
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 &onviene alquilar el vehículo. )ar el caso en que la vida Atil del defensor sea menor que la del retador el método adecuado de análisis es el &/BE. Ejemplo Bna máquina adquirida hace tres a$os tiene un &/BE de S!. 9#,### al a$o y una vida Atil anticipada restante de de cinco a$os. a$os. El posible reempla*o del activo tiene un costo inicial de S!. 69#,### un valor de salvamento de S!. :#,### una vida Atil de "# a$os y un costo anual de operación de S!. "#,###. Si la compa$ía utili*a una tasa de retorno mínima de "#- 4ebe reempla*ar el activoF
SGKB&'GC &/BE4 0 S!. 9#,### &/BE4 0 69#,### (/!), (/!), "#-, "#% P :#,### (/!5, "#-, "#% 1 "#,### CAHE :8"=.9; Se debe reempla*ar el activo. Gcurre a veces que la administración es escéptica en lo que se refiere al futuro lo que la induce a tomar periodos cortos de tiempo para el hori*onte de planificación, es decir, que los valores de n en los cálculos reflejarán el hori*onte acortado. Ejemplo &on la inform informaci ación ón del problem problema a anteri anterior or,, e
.3 CH"% CH"% de #a%r de ree!+a8 ree!+a8% % +ara n de4ens%r de4ens%r &uando se tiene definido un retador, el valor de reempla*o del defensor se puede calcular a partir de C = CAUE D − CAUE R
4
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si con este cálculo se tiene que el valor de reempla*o del defensor es mayor que el valor comercial el activo no se reempla*a. Ejemplo Bn activo comprado hace cuatro a$os tiene un &/G de S!. :,### y una vida Atil de a$os más, el retador seleccionado cuesta S!. ;#,###, tiene una vida Atil de "6 a$os, un valor de salvamento de S!. ,### ,### y costos anuales de operación de S!. =,###. Si la tasa de interés es i0"9- qué valor comercial justifica el reempla*oF SGKB&'GC @/ @/ El valor de reempla*o @) &/BE4 0 @2 (/!), "9,% 7:,### (/!5, "9, % 1 "#,### &/BE4 0 @2. #.6:6: 1 ?,9:; &/BE2 0 ;#,### (/!), (/!), "9, "6%7 ,###(/!5, "9, "6% 1 =,### &/BE2 0 "6,;6=.9 &/BE4 0 &/BE2 VR = S/. 1!"3#.$
Si el valor comercial del activo es mayor que S!. "#,9;=.8 entonces se reempla*a.
.& Deter!na"7n de te!+% de reten"7n de n a"t#% a "t#% Se present presentan an situaci situacione oness donde donde se hace hace necesa necesario rio calcul calcular ar el tiempo tiempo que ha de permanecer un activo, antes de ser reempla*ado, la característica fundamental es que en ese tiempo el costo anual uniforme equivalente es mínimo. Ejemplo Establecer el tiempo de cambio cambio de un camión que cuesta S!. "#,###. Se ha efectuado un estimado de costos anuales de operación y precios de venta para cada uno de los a$os siguientes
A-% 1 2 3 & * , 0
C%st%s de O+era"7n 6,8 ;9 : 9 ?# "6# "6 6"#
-
Pre"% de enta "6# ?# ? 9 ; # 9# :#
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si la tasa de rendimiento esperaba es "#- determine en qué a$o se debe efectuar el reempla*o.
SGKB&'GC )ara el primer a$o se tiene &/BE" 0 T"#,###7"6#,###()!5, "#-, "%U (/!), "#-, "% 1 6,8## &/BE" 0 S!. 86,=?? )ara el segundo a$o se tiene &/BE6 0 T"#,###7?#,###()!5,"#,6%U1(/!), T"#,###7?#,###()!5,"#,6%U1(/!),"#,6%1T6,8##()!5, "#,6%1T6,8##()!5,"#,"% "#,"% 1 ;9,### ()!5,"#,6%U ()!5,"#,6%U (/!), "#, 6% &/BE6 0 S!. 86,=?? Kos costos anuales se pueden presentar en una tabla de la siguiente manera
COSTO DE OPE$ACION A-%
a%r A"ta
a%r a"ta a"!ad%
C%st% Ana
" 6 ; : 9 = 8
6:,;: 68,?6: ;:,9 ::,;?9 99,;8" =,=: 8;,";8 ?=,?9
6:,;: 9;,688 8=,8:8 ";6,6:; "88,"6: 699,8: ;;?,##6 :;,?=
6,8 ;#,=#: ;9,;69 :",="? :?,6= 98,=:? ?,;: 8",?#9
COSTO DE CAPITAL A-%
a%r A"ta de re#enta
Ca+ta Ins!d%
C%st% Ana
C%st% T%ta Ana
" 6 ; : 9 =
6:,;: 68,?6: ;:,9 ::,;?9 99,;8" =,=: 8;,";8
6:,;: 9;,688 8=,8:8 ";6,6:; "88,"6: 699,8: ;;?,##6
6,8 ;#,=#: ;9,;69 :",="? :?,6= 98,=:? ?,;:
86,=?? 8#,#: =8,8"8 =8,"8? 8",9" 8=,=" ?=,66?
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 8
?=,?9
:;,?=
8",?#9
"#8,;?8
El menor costo anual obtenido es S!. =8,"8? que corresponde al cuarto a$o de operación, entonces finali*ado este conviene cambiar el camión. E
SGKB&'GC a.7 Sea el nAmero de unidades anuales en el punto de equilibrio. El costo variable anual para la máquina automática es st :"!i"e &n+"
S / .20 1-ora +ton = = 2 + -ora 10 ton . a,o
El costo anual uniforme equivalente de la máquina automática (&/BE /% es &/BE / 0 69#,### (/!), "#-, "#% P 69,### (/!5, "#-, "#% 1 ;#,### 1 6
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 &/BE / 0 ?,""? 1 6 El &/BE de la máquina simple es 3(15) &/BEL 0 ?#,### (/!), "#-, 9% P "#,### (/!5, "#-, 9% 1 ";,### 1 &/BEL 0 ;9,"#: 1 .:6 .
2
'gualando los dos costos y despejando se tiene &/BE / 0 &/BEL ?,""? 1 6< 0 ;9,"#: 1 .:6 0 =8# Entonces la producción de la máquina automática deberá ser =8# toneladas. Si la administración e
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Pr%e!as "% Ka máquina / comprada hace dos a$os se está agotando más rápidamente de lo esperado. Diene una vida Atil restante de dos a$os, un costo anual de operación de ;.### y no tiene valor de salvamento. )ara continuar la función de este activo se puede comprar la máquina L y se permitirá un valor de negociación de ?.### )ara la máquina /. Ka máquina L tiene )0 69,.###, n0"6 a$os, &/G 0 :.### y @S 0 l.### &omo la alternativa se puede comprar la máquina & para reempla*ar la máquina / la cual se podría vender por =.### . Este nuevo activo tendría ) 0 ;8.##, n 0 6# a$os, &/G 0 6.9## y @S 0 ".###. Si la retención de / se denomina plan /, el plan L es la adquisición de la máquina L y el plan & es la compra del activo &, utilice un período de 6# a$os y una D>/2 0 8- para determinar el plan más económico.
S%"7n: &omparación de costos >áquina / con >áquina L &/BE / 0?###(/!), 8-,6% 1 ;### 0 8#:= &/BEL 0 69###(/!), 8-,"6%1:### P "###(/!5, 8-,"6% 0 =69 >áquina / con máquina & &/BE /0 =###(/!), 8-,6% 1 ;### 0 ?69 &/BE& 0 ;8###(/!), 8-,6#% 1 69### P "###(/!5, 8-,6#% 0 ;:8 Se eli*e la m+,'ina -&
6% Ka compa$ía Soto está considerando dos propuestas para mejorar el parqueadero de los trabajadores. Ka propuesta /, incluye relleno, nivelacin y una superficie bituminosa por un costo inicial de 9.###. Se espera que la vida Atil del parqueadero sea de cuatro a$os con costos anuales de mantenimiento de ".###. 4e manera alterna, el parqueadero se pavimentaría bajo la propuesta L, en cuyo caso la vida Atil se e
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 la mano de obra, cinco trabajadores a "8 diarios cada uno pueden cortar ".### yardas por hora . Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compa$ía es del 8- anual, cuantas yardas de material se deben cortar cada a$o para justificar la compra de la cortadora automáticaF
S%"7n: 66###(/!),8-,"#% 16### P 9##(/!5,8-,"#% 16:!"6### 0 #.#"" El nAmero de yardas a cortar para justificar la compra de la cortadora automática deberá ser de < 0 9,?;9. :% Bna curtiembre está considerando el aspecto económico de montar un laboratorio en su planta para evitar tener que mandar muestras para análisis independientes. Si el laboratorio se monta de tal manera que todos los análisis puedan llevarse a cabo en él, el costo inicial sería de 69,###. Se requerirá un técnico a costo de S ";.### al a$o. El costo de energía, productos químicos, etc. son de 9 por muestra. Si el laboratorio se monta sólo parcialmente, el costo inicial será de S "#.### y se requerirá un técnico de medio tiempo con un salario de 9.### anual. El costo de la muestra anali*ada en este laboratorio sería de ;, pero como no todos los análisis se pueden reali*ar dentro del laboratorio, se necesitarían los servicios de un laboratorio e/2 de la compa$ía es "#- anual cuantas muestras se deben anali*ar cada a$o para justificar, a% el laboratorio completo y b% parte del laboratorioF c% si la compa$ía espera anali*ar "=9 muestras al a$o, cuál de las tres alternativas se deberá seleccionarF
S%"7n: Kaboratorio &ompleto (&% CAUE C
= 25,000( A / P ,10%,12) + 13,000 + 5
-A. - / S!. ",=:.#8
Sistema /ctual (/% CAUE A
= 55 +
CAmero de >uestras para Rustificar la 'nstalación del Kaboratorio &ompleto CAUE A
= CAUE C
+ = 303.1
Kaboratorio )arcial ()% CAUE P = 10,000( A / P ,10%,12) + 5,000 + 3 + 20 &/BE) 0 S!. ,:?#.;
CAmero de muestras para justificar la instalación del laboratorio parcial CAUE A
= CAUE P
+ = 118.01
5inalmente si la compa$ía espera anali*ar "=9 muestras deberá continuar con el sistema actual.
90
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
"APIT4*) / . DEP$ECIACION A
/,#
Depreciación,= De5niciones
a> Depreciación ?D>,= Se *!ede defn'" oo la d's'n!'@n del )alo" de !n A#')o s'o *"od!'do *o" el !so, de#e"'o"o % la ada en des!so. Ka depreciación es necesaria en el estudio de alternativas por el efecto que tiene sobre el cálculo de impuestos a la renta, esto es, a mayor depreciación, lleva como efecto un menor pago de impuestos. @> alor en li@ros de un acti9o ?*>,= La d'e"en'a en#"e el os#o o"'('nal del a#')o on la de*"e'a'@n a"(ada as#a la ea se deno'na )alo" en l'"os del a#')o. c> ida desprecia@le esperada o 9ida til del acti9o ?n>,= Es el nFe"o de años =!e se es#'a la o*e"a#')'dad del a#')o. d>
alor de sal9amento ?S>,= Es el )alo" =!e se le as'(na al a#')o al fnal de s! )'da F#'l.
e>
alor comercial,= Es la an#'dad de d'ne"o =!e *!ede o#ene" *o" el a#')o s' !ese )end'do en el e"ado. Pa"a el ee#o de e)al!a'@n de al#e"na#')as el )alo" =!e se le dee #ene" en !en#a es el )alo" oe"'al.
/, 0étodos de Depreciación Los $#odos de de*"e'a'@n s ono'dos son& ondo de ao"#'a'@n. Lnea "e#a. S!a de d('#os de los años. Saldo de"e'en#e. Saldo de"e'en#e dole. 4epreciación con interés en la inversión.
Depreciación por :ondo de Amortización,= Med'an#e la a*l'a'@n de es#e $#odo solo es *os'le !"'" el a*'#al 'n''al de all se de"')a s! no"e. 5P>JS7 5A/, ', n7 4 4epreciación i Dasa de interés del fondo. ) &apital inicial @ida despreciable C esperada @S @alor de salvamento.
Ee*lo& P S/. 10,000 ' 3- n años JS S/. 1,000
91
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
A 510,000>1,0007 8 0.092 S/. 23.34
A6 o
TA2*A DE DEPBE"IA"I)N Interés Incremento Importe so@re el Anual al Acumula :ondo :ondo do
alor en li@ros
> 23.34 41.-1 1,13.04 1,-33.2,00.43 2,9-.0
10,000 9,3. ,-3-.1,399.11 -,-.43,9-.03 1,000
Depósit o al :ondo de Dep, 0 > > 1 23.34 > 2 23.34 21. 3 23.34 -12. 4 23.34 910.31 23.34 144.09 23.34 211.4 Es#e $#odo es# en des!so.
> 23.24 1,44.32,00.9 4,134.-4 ,204.9 9,000
Depreciación en *Cnea Becta,= En es#e $#odo el )alo" en l'"os d's'n!%e l'nealen#e on el #'e*o. P D
=
−
.S
n
El )alo" en l'"os des*!$s de años 5J L7 es& JL P > Ee*lo& D =
P − .S
P S/. 100,000 JS S/. 20,000 n
N - años D =
100,000 − 20,0 00 5
S/. 1,000 JL2 JL2 P > 2 100,000 > 32,000
⇒
JL2 S/. ,000
Depreciación suma de dCgitos de los a6os,= Med'an#e la a*l'a'@n de es#e $#odo, la a%o" *a"#e del )alo" del a#')o d's'n!%e en el *"'e" #e"'o de la )'da F#'l del a#')o. Cos#o de de*"e'a'@n en el año n − m +1 x ( P − .S ) SD 1+ n SD = ( ) n 2
Dm =
S S!a de los d('#os de los años.
92
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Ee*lo& P JS n
S/. -00,000 S/. -0,000 años
3 años Dm =
n − m +1
( P − .S ) SD 8 − 3 +1 (500,000 − 50,000) D3 = 1+ 8 .8 2 D3 = 75,000
Jalo" en l'"os en el año .0m = P
m
∑ D/
−
ed!'@n de la @"!la&
/ =1
e*"e'a'@n en el *"'e" año& D1
=
n − 1+ 1 SD
( P − .S )
=
n SD
( P − .S )
e*"e'a'@n en el se(!ndo año& D1
=
n −1+ 2 SD
( P − .S )
=
n −1 SD
( P − .S )
e*"e'a'@n en el año & Dm =
n − m+ 1 SD
( P − .S ) =
n − ( m − 1) SD
( P − .S )
S!ando las de*"e'a'ones, se #'ene&
D1 + D2
+ ... + Dm =
n + (n + 1) + ... + n − ( m − 1) SD
1 + (m − 1) (m − 1) mn − 2 m
∑ D =
SD mn − m(m − 1) / 2
/
SD
/ =1
.0m
=
P −
( P − .S )
( P − .S )
m[ n − (m − 1) / 2] SD
( P − .S )
( P − .S )
el ee*lo an#e"'o", el )alo" en l'"os *a"a el #e"e" año es& .03
= 500,000 −
3(8 − 1) 36
x 450000
93
S/. 23,-00
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
Depreciación saldo decreciente o porcentaje 5jo,= Con es#e $#odo los a"(os de de*"e'a'@n se o*o"#an en sen#'do de"e'en#e la de*"e'a'@n *a"a el año se al!la as& d 8 JL>1 d ;asa de de*"e'a'@n Jalo" en l'"os en el año & m
.0m
=
P−
∑D / = 1
/
ed!'@n de la @"!la& En el *"'e" año&
1 Pd JL1 P > Pd P51>d7
En el se(!ndo año&
2 JL1 2 Pd 51>d7 JL2 P51>d7>Pd51>d7P51>d72
En el #e"e" año&
3 JL2 d 3 Pd 51>d72 Jl3 P51>d72> Pd51>d72 P51>d7
En el a$o m
Pd51>d7>1 JL P51>d7 Depreciación saldo decreciente do@le, La d'e"en'a on el $#odo an#e"'o" es =!e se as'(na !n )alo" a d, es#e es& d
=
2
n
n & nFe"o de años de )'da del a#')o Ee*lo& P n JL
S/.-00,000 3 años
Depreciación con interés en la in9ersión,= 2 2 − Dm = Px (1 − ) m 1 n n 2 2 D3 =500,000 x (1 − ) 8 8
.l 3 =50,000(1 − 2 / 8) 3 S' se #'ene& P
Js ;asa an!al '
94
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 La de*"e'a'@n se al!la de la s'(!'en#e ane"a& VP5/P, ', n7 > JS W 5A/, ', n7 Con la "ela'@n& 5A/, ', n7 6 ' 5/P, ', n7 5A/, ', n7 Se #'ene =!e& P5/P, ', n75A/, ', n7 > JS5A/, ', n7 PV5A/, ', n7 6 'W > JS 5A/, ', n7 5P>JS75A/, ', n7 6 P' @nde& 5P > JS75A/, ', n7 & Reeolso de la 'n)e"s'@n *' & P"o)ee !n "end''en#o
/,3 Agotamiento >ediante la depreciación se recupera, al final de la vida Atil, el valor inicial del activo. El agotamiento es análogo a la depreciación pero se aplica a los recursos naturales no renovables, los que al ser e
/,$ 0étodos de Agotamiento En#"e los s ono'dos se #'ene& a7 a#o" o os#o de a(o#a'en#o. 7 es!en#o *o" a(o#a'en#o. 7 In#e"$s % "eeolso *o" 'n)e"s'@n
a> :actor o costo de agotamiento ?dm>, El a#o" de a(o#a'en#o *a"a el año es& & In)e"s'@n In''al / Ca*a'dad del "e!"so % el os#o an!al *o" a(o#a'en#o es& C.A.& d 8 CE. CA & Cos#o an!al CE & Can#'dad e8#"ada en el año Ee*lo& In)e"s'@n In''al Ca*a'dad del "e!"so Can#. e8#"ada en el 1e". año &osto anual (&/% 0
Dm=
1 ' 300,000 750,000
1,300000 -0,000 ;M 10,000 ;M F
=1.733
CA =1.7333 x 170,000 CA = $ 294,610
9-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Estos descuentos se efectAan hasta recuperar la inversión inicial. El factor de agotamiento se modifica para el caso de un incremento en la inversión o capacidad del recurso.
@> Descuento por agotamiento,= Po" es#e $#odo, !n *o"en#ae ne#o de los 'n("esos "!#os de los "e!"sos *!ede a(o#a"se an!alen#e s'e*"e =!e no e8eda el -0 del 'n("eso ("a)ale. E8's#en *o"en#aes a a*l'a"se al 'n("eso "!#o *o" la e8*lo#a'@n de de#e"'nados "e!"sos. E6e!+% Ka compra de una mina de oro por "M###,### tiene un ingreso anticipado de "M:##,### anuales durante los dos primeros a$os y ?##,### después del segundo a$o. Si el porcentaje por agotamiento es "9- del ingreso, calcular los costos de agotamiento de la mina. Solución:
S' los os#os de a(o#a'en#o no e8eden el -0 del 'n("eso ("a)ale se #'ene& es!en#o *o" a(o#a'en#o 8 /! de los 2 años es& 0.1- 8 1400,000 210,000 es!en#o *o" a(o#a'en#o 8 /! de los años s'(!'en#es& 0.1- 8 900,000 13-,000
c> Interés ! reem@olso de la in9ersión,= Con es#e $#odo se al!la el "end''en#o % el "eeolso de la 'n)e"s'@n, ed'an#e la a*l'a'@n de la @"!la& A P" 6 5P > JS75A/, ', n7 A& P& " & ' &
P"od!#o an!al del "e!"so Jalo" P"esen#e 5*"e'o de o*"a7 ;asa de "end''en#o de la 'n)e"s'@n. ;asa de 'n#e"$s del ondo de "eeolso
Gene"alen#e " T'
Ejemplo Se es#'a =!e !na 'na o"ee" !n *"od!#o an!al de 1000,000 d!"an#e 2- años =!edando s'n )alo" al ao de ese #'e*o. S' el ondo de "eeolso de la 'n)e"s'@n (ana 3-. Cal!la" el *"e'o de o*"a =!e *"o*o"'one !n "end''en#o del 0 Solución:
P P"e'o de o*"a A 1000,000 n 2' 3" 0 JS 0 1000,000 P 8 0. 6 5P>O75A/, 3-,2-7 P 142,1
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
PB)2*E0A El M'n's#e"'o de A("'!l#!"a es#e anal'ando !n *"o%e#o *a"a e8#ende" anales de '""'(a'@n a s!s "eas des$"#'as. El os#o 'n''al del *"o%e#o se al!la en . 1.- 'llones % los os#os de an#en''en#o an!ales se"an de 2-,000. S' la "en#a *"o)en'en#e de la a("'!l#!"a se es#'a en 1-,000 an!ales, a% !n anl's's Q/C *a"a de#e"'na" s' se dee adelan#a" el *"o%e#o !#'l'ando !n *e"'odo de es#!d'o de 20 años % !na #asa de 'n#e"$s de an!al. Solución
Qenef'o 1-,000 an!ales Cos#o 52-,00061,-00000 5A/P,, 207 1--,0 an!ales H#'l'ando el anl's's, ed'an#e la "ela'@n Q/C El *"o%e#o se dee adelan#a", *!es#o =!e Q/C T 1.0 5al#a en!n'a" *"olea 9.7 Solución
a7 os#o de E 3000 5127 6 -0 410 os#o de X 0005127 6 - 90-
Qenef'o -00 Qenef'o2-6002-
J.H Infn'#a ;MAR 12 an!al
")ST) INI"IA* ?0I*ES> 2ENE:I"I) AN4A* ?$/%> 2ENE:I"I) AN4A* ?%>
E
X
410
90-
-00
2-
30
40
o*a"a'@n E on nad'e X on nad'e a des . 10 A os#o 410 90A Q/C A enef'o -00 2s'#'o sele. E A des. 30 40 AQ/C 1.10. s'#'o sele'onado E N'n(!no 7
0.43
Q>C *a"a E Q>C -00,> 30, >410. 0, T 0 Q>C T 0 la 'n)e"s'@n es !s#'fada Q>C *a"a X Q>C 2-, >40, >90- >220Y0 Q>CY0 la 'n)e"s'@n no es eon@'aen#e !s#'fale
PB)2*E0A e las s'(!'en#es al#e"na#')as !#!aen#e e8l!%en#es sele'one la eo" !#'l'ando la "ela'@n Q/C, s' ;MAR es de 10 an!al % los *"o%e#os #'ene F#'l de 1- años s!*on'endo =!e el os#o de la #'e""a se "e!*e"a" !ando el *"o%e#o a%a fnal'ado #"a#e los os#os de an#en''en#o oo del enef'os
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 PROPHES;A
costo de tierra costo de construcción mantenimiento anual ingreso anual
# -000 0 2000 00 1-00 0 -200 0
4000 0 1-00 00 100 0 4900 0
3 000 0 100 00 1400 0 00 0
$ 000 0 1-0 00 100 0 -000 0
% 9000 0 1-0 00 100 0 100 0
& -00 0 1-0 00 1300 0 00 0
' -00 0 9000 0 1200 0 4-00 0
Solución:
CAHE& 5Cos#o #'e""a 6 Cons#"!.75A/P,10,1-7 6 s an#en''en#o an!al. PROPHES;A
ingreso anual costo anual 2+"
-2000 49000 000 -0000 1000 000 4-000 4. 4099. 4---3. -140. -1-2-. 44--3. 440. 2 -2 34 1 -2 34 1.03 1.19- 1.492 1.-20 1.22 0.90 109 0.9434 -9 1
esa"#aos 4 % *o" #ene" Q/CY1 En"en#aos
")ST) IN"BE0ENTA* 2ENE:I"I) IN"BE0ENTA* 2+"
1 on 2
- on 3
.3 -92.0 9 3000 13000 0.43-- 2.1 1 92 se prefere 2
En"en#aos
")ST) IN"BE0ENTA* 2ENE:I"I) IN"BE0ENTA* 2+"
se prefere 5
- on 2
10-4-. 32000 3.03439 se prefere 5
En"en#aos
")ST) IN"BE0ENTA* 2ENE:I"I) IN"BE0ENTA* 2+"
- on
4000 92.09 1.4302 2se prefere 6
9
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 RP;A& Se a*"!ea
99
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 1/
1/. LOS IMPUETOS SO=$E LA $ENTA EN EL ANLISIS ECONOMICO 1/.1.De4n"%nes In5res% =rt% (I=).B Es el total de todos los ingresos provenientes de fuente productoras de ingresos.
Ca"% de !+est%s.B Si la tasa de impuestos es D, entonces 'mpuestos 0 (ingreso bruto P gastos P depreciación% D Ejemplo Encontrar el flujo de caja después de impuestos, si se invierte '!. :##,### en una máquina que tiene una vida Atil de 9 a$os y valor residual cero. In#ers7n In5res%
1
2
3
&
*
=# 6# 6# ;# "6 "? 6#
=# 6# 6# ;# "6 "? 6#
=# 6# 6# ;# "6 "? 6#
=# 6# 6# ;# "6 "? 6#
=# 6# 6# ;# "6 "? 6#
;8
;8
;8
;8
;8
1/.2.E +rn"+% de Es"d% Fs"a &uando una empresa recibe unos préstamos, los intereses o costo de la deuda es deducible para fines impositivos lo cual conlleva un beneficio a la empresa. )ara hacer evidente este beneficio se presenta los siguientes casos Cas% 1: Ka empresa no tiene deuda, por lo tanto el pago de intereses es cero. Cas% 2: Ka empresa tiene deuda, por tanto está sujeta a un pago por intereses.
100
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
101
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 (en miles de soles%
Utdad antes de ntereses a !+est%s. Intereses Utdad antes de !+est%s I!+est%s (&/ de t. Antes de !+est%s) Utdad neta
Cas% I "# # "## :# 9#
Cas% II "## 6# 8# ;6 :8
&omparando la utilidad neta es observa que e)%. En la comparación, "6 es el costo efectivo, 6# costos antes de impuestos y :#- es la tasa de impuesto. El principio del Escudo 5iscal es &ualquier gasto o costo deducible para efectos impositivos da una protección tributaria, al proteger esta cantidad adicional al pago de impuestos. )ara la comparación de alternativas deduciendo los impuestos se deberá por consiguiente tener presente el efecto tributario pertinente.
Ejemplo Se quiere decidir entre la compra o alquiler de un equipo.
C%!+ra: El costo del equipo es S!. "##,##, la cuota inicial es S!. :#,### y cinco pagos anuales con amorti*ación constante a una tasa de interés del 6#- anual, el valor de salvamento del activo al cabo del se
A-% 1 2 3 & *
Deda # :; ; 6: "6
A!%rt8a"7n "6 "6 "6 "6 "6
102
Intereses "6.# ?. =.6 :.8 6.:
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
4epreciación
=
100 − 10 6
=
90 6
= 15
/horro anual por depreciaciones 0 "9(#,:%0 Esta cantidad es un beneficio.
&alculo de la erogación neta anual &uota inicial /morti*ación 'ntereses <("7#.:%
# :#
/horro anual por depreciaciones
"
6
;
:
9
"6 =.6
"6 9.9
"6 :.;
"6 6.?
"6 ".:
7
7
7
7
7
7
7
@alor de Salvamento Erogación neta
7"# :#
";.6
"".8
"#.;
8.?
=.:
7"
&omo se sabe por contabilidad, la depreciación no es un desembolso de efectivo, por consiguiente solo se considera el beneficio por un menor pago de impuestos. El valor presente al 69- es VP( compra )= 40 + 13.2 ( P / F , 25 , 1 ) + 11.8 ( P / F , 25 , 2 ) + 10.3 ( P / F , 25 , 3 ) + 8.9 ( P / F , 25 , 4 ) + 7.4 ( P / F , VP( compra )=65.3 /lquiler El alquiler también es un costo por tanto el ahorro por el alquiler es #.: < ;# 0 "6 El valor presente al 68- es
VP=30 ( 1 −0.4 ) ( P / A , 25 , 6 ) VP=53.1
)or consiguiente conviene alquilar el equipo.
103
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
104
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 11 11. EFECTO DE LA DEUDA SO=$E LA EMP$ESA Ka deuda de la empresa tiene un efecto positivo cuando aumenta el beneficio de los accionistas o un efecto negativo cuando los disminuye. El efecto de la deuda sobre la empresa se denomina palanqueo financiero o leverage financiero. Si se denomina a
A: P: PAT : UA Int. : UAI r: Int.
/ctivo total de la empresa. )asivo total de la empresa. )atrimonio de la empresa. Btilidad antes de descontar intereses. Btilidad antes de deducir impuestos. 2entabilidad del capital. 'ntereses o pagos financieros de la empresa
. Ka rentabilidad del capital se e
∫ ¿ xP
A
∫ ¿ xA − P A
PAT
¿
A! =¿ r= PAT 2eempla*ando en el numerador / 0 ) 1 )/D
∫ ¿ xP
¿ ∫ P A x ( P + PAT )− A
¿ r =¿
PAT
∫¿ P
A
∫ ¿ −¿
A PAT
A
∫ ¿ x ( PAT )− Px ¿ A
¿ r =¿
10-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
∫¿ P
A
∫ ¿ −¿ A
¿
A
∫¿ + A
P x ¿ PAT
r =¿
En la medida en que la empresa emplee capitales tomados a préstamo donde las rentabilidad de los activos (B/ 'nt. ! /% sea mayor que el costo medio del pasivo o ta*a de 'nt. del pasivo ('nt. ! )%, resultara un aumento de beneficios o disposición de los accionistas ()alanqueo positivo%.)or otras parte si se une a la anterior un alto ratio de endeudamiento () ! )/D% se logra como consecuencia mayor rentabilidad del capital (r%. )ara mostrar lo mencionado anteriormente se presenta a continuación el siguiente ejemplo
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 &alcular la rentabilidad del capital de las siguientes alternativas
ALTE$NATIA I
AL; O
ALTE$NATIA II
(!es de d7ares) "## "## =# ;# ;# =# :#:#"6 68 # #
/ "## )/D "## ) # Dasa de 'nt. del )réstamo 'nt. () < Dasa de 'nt.% B/ 'nt. #
∫¿ P
A
∫ ¿ −¿ A
¿
A
∫¿ +
P x ¿ PAT
A
r =¿
∫ ¿ =Ta"ade ∫ # del prs%amo P
¿
ALTE$NATIA I ()asivo ;#- del activo total% r=
60 100
+
30 70
x (
60 100
−
12 30
)
r = 0.6 + 0.43 ( 0.6 −0.4 )
r =68.6
ALTE$NATIA II ()asivo =#- del activo total% r=
60 100
+
70 30
x (
60 100
−
28 70
)
r = 0.6 + 2.33 ( 0.6− 0.4 ) r =106.7 Ka rentabilidad de la segunda alternativa es mayor, ya que el ratio de endeudamiento es más alto que el de la primera alternativa (6.;; #.:;%
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 En resumen se puede indicar que, si se tiene una deuda con costo bajo (menor que la rentabilidad del activo%, la rentabilidad del patrimonio (r% crece a medida que se haga mayor el préstamo para adquirir el archivo.
10
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 12 12. COSTO DE CAPITAL El costo de capital (3%, desde el punto de vista de la empresa privada, está definido como la tasa de rendimiento que se debe ganarse de tal modo que el valor de la empresa y el precio del mercado de sus acciones comunes no disminuyan . El costo de capital es entonces menor o generalmente igual a la tasa mínima atractiva de retorno (D>/2% de una empresa. El costo de capital se calculara descontando el efecto de los impuestos, como se ha visto anteriormente los impuestos afectan a los intereses provenientes de las deudas.
12.1 C%st%s de %s C%!+%nentes de a Estr"tra de Ca+ta En general el costo antes delos impuestos de una determinada fuente de financiamiento puede hallarse calculando de la siguiente ecuación ! =
C 1
C 2
C 3
C n
n
C
1 + + + + =∑ 1 2 3 n ( 1 + & ) ( 1 + & ) ( 1 + & ) ( 1 + & ) % =1 ( 1 + & )%
I: Mon#o ne#o de los ondos "e''dos en el #'e*o e"o Ct E("eso en el #'e*o # & Cos#o de la de!da Kas fuentes de financiamiento son a% b% c% d% e%
)asivo corriente )asivo no corriente /cciones preferentes /cciones comunes Btilidades retenidas
)ara el estudio del costo del capital se consideran las fuentes de fondo de largo pla*o, esto es a partir del pasivo no corriente (deudas a largo pla*o%. a
&osto del pasivo no corriente (i%
El costo neto de estas deudas puede hallarse mediante la siguiente ecuación i 0 (" 7 D% i &osto neto de la deuda después de impuestos. Da*a de interés de la deuda o costo de la deuda antes de impuestos. D Da*a marginal del impuesto a las ganancias.
E6e!+%: Si una empresa efectAa un préstamo por 6# millones de dólares, pagaderos en 9 a$os con amorti*aciones constantes a una ta*a de ;#- anual. &alcular el costo neto de la deuda si la ta*a marginal del impuesto es :#-.
S%"7n: i 0 ("7D% 0 ;# ("7#.:% 0 "8-
109
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 El costo neto es "8-. b
&osto de las acciones preferidas(p%
El costo de las acciones preferidas implica, al igual que las deudas un compromiso fijo por parte de la empresa para ser pagos periódicos, tienen prioridad sobre las acciones comunes, sin embargo, dejar de hacer el pago de los dividendos preferentes no da lugar a la banca rota. Si las acciones preferidas no tienen fecha de rescate preestablecida su costo neto (p% puede ser representado del siguiente modo & p=
d ! 0
d 4ividendo fijado. I/ )roducido neto de la colocación. E6e!+%: El costo de venta o de flotación es de ; dólares por acción preferente, esto es el comprador paga por ejemplo "## dólares, la empresa recibe ?= dólares y el corredor carga una comisión de venta de ; dólares. Si la empresa asegura un dividendo de ;# dólares anuales &uál es el costo de la acción preferenteF S%"7n: & p= & p=
d ! 0 30 100−3
& p=30.9 c
&osto de las acciones comunes(c%
En el caso de las acciones comunes, el pronóstico de las ganancias futuras, los dividendos y los precios de las acciones es difícil de obtener, además, los accionistas esperan que los dividendos provenientes de acciones comunes se incrementan. Si los inversionistas esperan a mantener la acción durante un a$o y si espera que el precio de la acción cre*ca a la ta*a g la ecuación de la tasación será P0=
Di(idendo + Precio esperado 1 + %asa de rendimien%ore)*erida
P16 d1
P0 0
P0=
' Z
d1 d + P ( 1 + + ) + P1= 1 0 1 + & c 1 + & c
110
1
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Simplificando la ecuación se tiene P0=
d1 & c − +
Esta ecuación obtenida para un periodo de un a$o, se cumple para un mayor nAmero de periodos tal como se demuestra a continuación.
[
( 1+ + ) ( 1 + + ) ( 1+ + ) (1 + + )n P =d + + + + (1 + & c ) (1 + & c ) (1 + & c ) (1+ & c )n 0
0
2
3
2
3
]
QQQQQ..("%
] [
[
( 1 + & c ) ( 1 + + ) ( 1 + + )2 ( 1 + + )3 ( 1 + + )n−1 =d0 1+ + + + + P0 (1 + + ) ( 1 + & c ) ( 1 + & c )2 ( 1 + & c )3 ( 1 + & c )n−1
]
Q(6%
(2) B (1):
[
]
( 1+ & c ) −1 P =d (1 + + ) 0
0
[
( 1+ + )n 1+ (1 + & c )n
]
Lajo el supuesto que c g, cuando n→∝ , (" 1 g%n !(" 1 c%n , tiende a cero lo cual hace que
[
1 + & c −1 −+ 1+ +
]
P0 =d 0
( & c − + ) P = d ( 1 + + )=d 0
P0=
0
1
d1 & c − +
E6e!+%: El precio de mercado de una acción comAn es de "### dólares, si la empresa acaba de pagar ;8# dólares en dividendos, considerando que el precio delas acciones y los dividendos han estado elevándose en 9- al a$o durante los Altimos a$os, calcular la tasa de rendimiento o costo de la acción. S%"7n:
P1 100051.07 1 3051.07
P0 1000
1
0
111
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
de la fórmula P0=
d1 & c − +
Se tiene que la tasa de rendimiento (c% es
& c = & c =
d1 P0
++
380 ( 1.06 ) 1000
+ 0.06
& c = 46.3 la tasa de rendimiento es :.;d &osto de las utilidades retenidas (r% Es la tasa de rendimiento que requieren los accionistas sobre el capital comAn de la empresa ya que si se invierten a una ta*a menor, el precio de mercado de las acciones de las empresas declinara. En equilibrio la ta*a esperada y la ta*a requerida de rendimiento (r% deben ser iguales. d1 & r = + + P0
E6e!+%: Bna empresa espera ganar :# por acción y pagar un dividendo de ;9 en el a$o siguiente. Kas ganancias, los dividendos y el precio de las acciones se han elevado apro
35 110
+5 & r =36.8
e &osto de nuevas acciones comunes, o de capital e
112
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
E6e!+% : /l enunciado del problema anterior se a$ade que el costo de flotación es de ;S%"7n: d1 ++ & n= P0 ( 1− f ) & n=
35 110( 1− 0.03 )
+5
& n=37.8 Kos inversionistas requieren un rendimiento de ;.8-, sin embargo, debido a los costos de flotación el rendimiento esperado del nuevo capital deberá ser del ;=.8-. En cuanto al compromiso que la empresa contrae con las diversas fuentes de financiamiento, en resumen, se puede se$alar el siguiente orden de prioridades. -
)asivos no corriente (deudas a largo pla*o% /cciones preferentes /cciones comunes El ejemplo siguiente ilustra lo mencionado líneas arriba.
E6e!+%: Kas utilidades antes de impuestos de una empresa es de "## millones de dólares, los intereses de la deuda "# millones de dólares, los impuestos a las utilidades es de :#- y los dividendos preferentes es de "9 millones de dólares. &alcular el monto disponible para los dividendos comunes. S%"7n: >illones de dólares Btilidades antes de intereses e impuestos 'ntereses Btilidades antes de impuestos 'mpuestos (:#-% 4ividendos preferentes >onto disponible para los dividendos comunes
100 10 90 >3 139
)ara calcular el costo de capital de una empresa, considerando las diversas fuentes de financiamiento se procede como el siguiente ejemplo.
E6e!+%: &alcular el costo de capital de una empresa que tiene la siguiente estructura de financiamiento &antidad 5uente de 5inanciamiento
5'les de d@la"es7 113
)roporción (-%
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 4eudas /cciones preferidas /cciones comunes Hanancias retenidas
:9 "9 ;# # "9#
;# "# 6# :# "##
Ka empresa ha calculado el siguiente costo, después de impuestos 5uente de financiamiento
Cos#o an!al 57
4eudas /cciones preferidas /cciones comunes Hanancias retenidas
: 8 "" "#
El costo de capital o costo medio ponderado de capital se obtiene de la manera siguiente
!en#e de Ponde"ado 'nan'a'en#o e!das /cciones preferidas /cciones comunes Hanancias retenidas &osto medio ponderado
P"o*o"'@n 5A7 30 10 20 40
Cos#o an!al 5Q7 4 11 10
)or consiguiente el costo de capital es igual al 8.6- anual.
114
Cos#o 5A.Q7/100 1.2 0. 2.2 4 .2
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234
CAPITULO 13 13. EALUACIN EMP$ESA$IAL Ka evaluación empresarial es un proceso de medición del valor económico o financiero a base de la comparación de ingresos y egresos del proyecto. 13.1 E#aa"7n e"%n7!"a Es aquella que identifica el mérito intrínseco del proyecto, por esta ra*ón se supone como propios los recursos que necesita el proyecto para su operación. El indicador se sinteti*a el mérito del proyecto es la tasa interna de retorno económica (D'2E%. Kas herramientas para efectuar la evaluación económica son programas de inversión, cuadro de ingresos y costos, estados de ganancias y pérdidas, fluj flujo o de caja caja econ económi ómica, ca, etc. &on &on las las que que se elabo elabora ra el esta estado do de fluj flujos os neto netoss económicos. El estado de flujos netos económicos está compuesto por los gastos de inversión, los ingresos, los costos de operación y el valor residual.
E6e!+%: &alcular la D'2E de una inversión de "## millones de dólares, la vida Atil es de 9 a$os con valor residual de "# millones de dólares la ta*a de impuestos es ;#FLUQO ECONOMICO (!%nes de d7ares) /$os # " 6 ; (1% 'ngresos =# =# =# ( 7% &osto de operación 66 66 66 ( 7% 4epreciación "8 "8 "8 'ngreso Hravable ;# ;# ;# ( 7% 'mpuesto (;#- del 'ng. H% Btilidad distribuible (1% 4epreciación ( 7% 'nversión (1% @alor @alor residual 5lujo Económico
9 =# 66 "8 ;#
?
?
?
?
?
6" "8
6" "8
6" "8
6" "8
6" "8
;?
"# :?
"## 7"##
100 − 10
4E)2E&'/&'C
: =# 66 "8 ;#
5
;?
;?
;?
=18
Si se hace D'2E 0 i, se tiene 0 =−100 +
39 1
( 1 +i )
+
39
+
2
(1 +i)
39 3
(1 +i)
+
39
+
4
( 1+ i )
49
( 1 + i )5
i 0 68.?Si la tasa mínima atractiva de retorno (D>/2% es 69-, entonces el proyecto es económicamente rentable, ya que la D'2E 0 68.?-. El valor presente neto económico (@)CE% a la ta*a de 69- es @)CE 0 ("##% 1 ;?()!/, 69,9% 1 "#()!5, "#()!5, 69, 9% 0 8.6 millones de dólares.
11-
ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 13.2 E#aa"7n Fnan"era Se denomina así a la evaluación que cuantifica la rentabilidad del capital propio, lo cual implica considerar a los préstamos como beneficio y a la amorti*ación y pago de intereses como costos del proyecto. Ka financiación de la inversión produce el efecto de palanca (capitulo anterior% y se espera que este sea positivo, lo cual se traduce en el hecho de que la tasa de rendimiento debe ser mayor que la D'2E. Ka tasa de rendimiento financiera se denomina comAnmente, ta*a interna de retorno financiera financiera (D'25% y es la que sinteti*a sinteti*a el mérito del proyecto desde el punto de vista vista del aporte propio de la empresa.
E6e!+% : &on la inform informaci ación ón del proble problema ma anteri anterior or calcul calcular ar la D'25 D'25 consid considera erando ndo que para efectuar la inversión se solicitó un préstamo de # millones de dólares a pagar en : a$os con amorti*aciones constantes y a una tasa de interés del :#- sobre los saldos. S%"7n: SE2@'&'G 4E K/ 4EB4/
/$o " 6 ; :
(millones de dólares% 'nteres /morti*ación 6: "9 "8 "9 "6 "9 "9
Saldo # :9 ;# "9
FLUQO FINANCIE$O # " =# 66 "8 6: ".8
/$os (1% 'ngresos ( 7% &osto de operación ( 7% 4epreciación ( 7% 'ntereses 'ngreso Hravable ( 7% 'mpuesto (;#-% Btilidad distribuible
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(1% 4epreciación ( 7% 'nversión (1% @alor @alor residual (1% )réstamo ( 7% /morti*ación 5lujo 5inanciera
"8
7.2 1
(1 +i )
+
8.: "8
; =# 66 "8 "6 "8 9.: "6. "8
: =# 66 "8 6: =.6
9 =# 66 "8 7 ;# ?
".8
6"
"8
"8
"## "# # 7:#
Si se hace D'25 0 i, se tiene 40 =
6 =# 66 "8 "8 "6 ;.
11.4 2
+
15.6 3
+
19.8 4
+
49
(1+ i ) (1 + i ) (1 + i ) ( 1+ i )5
D'25 0 6?.9-
11
"9 =.6
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