Analisis Moderno de Presiones de Pozos

ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOS 1000

t*∆P', psi

∆P r =260 psi

100

∆P,

(t*∆P') r = 63.93 psi

t i = 0.042 hr t r = 30 hr

10 0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hr

Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

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ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOS Freddy Humberto Escobar Macualo, Ph.D. Prohibida su reproducción sin previa autorización del autor Neiva, Huila, Noviembre de 2003

Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

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INTRODUCCION Este texto contiene la programática, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Análisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto guía y herramienta básica en el desarrollo de las clases. Este trabajo recopila información de varios libros y artículos técnicos relacionados con el tema en cuestión existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad. El texto reúne algunas de las experiencias del autor en el área de presiones de fondo, al igual que incluye aportes recientes que él ha hecho a esta rama de la ciencia. El programa a desarrollar consta de ocho capítulos. El primero de ellos se orienta a la descripción del flujo de fluidos en medios porosos. Allí se estudian los conceptos básicos del análisis de pruebas de presión y el principio de superposición, así como la deducción y solución de la ecuación de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. El capítulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinación de presión, completamiento parcial y penetración parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En éste, también se presentan los fundamentos de almacenamiento y daño, al igual que una introducción a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este capítulo se emplearán todas las técnicas existente para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la técnica de ajuste por curvas tipo (más antigua) hasta el método moderno llamado Tiab’s Direct Synthesis Technique, más nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atención en esta técnica toda vez que no solo es moderna sino también de uso muy práctico. El capítulo tres estudia las pruebas de restauración de presión y los métodos para determinar la presión promedia del yacimiento. En el capítulo cuatro se estudian las pruebas DST y los métodos de interpretación. Este capítulo hace una breve introducción a la determinación de heterogeneidades en zonas aledañas al pozo. El capítulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos métodos para su determinación. El capítulo seis se centra en pruebas múltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeñas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogéneos. Por ésto, el capítulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El capítulo 8 está dedicado a los pozos hidráulicamente fracturados. Allí se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace énfasis especial en la técnica que elimina el uso de las curvas tipo y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


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PROLOGO

Ing. Luis Elias Quiroga Arjona o Ing. MSc. Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas


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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION .................................................................................................... 3 TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................ 9 1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................... 10 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................ 10 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN.................................. 17 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD....................................................................... 18 1.3.1. MÉTODO I.................................................................................................. 18 1.3.2. MÉTODO II................................................................................................. 21 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............................. 23 1.3.4. SOLUCIÓN DE LA LÍNEA FUENTE........................................................... 25 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES ................................................................... 34 1.4.1. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL ................... 34 1.4.2. SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI................................... 40 1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ...... 41 1.6. DISTRIBUCION DE PRESION...................................................................... 47 1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) ................................................................ 48 1.8. FLUJO DE GAS ............................................................................................ 51 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN....................................................... 60 1.9.1. DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA PRESIÓN................................... 60 1.9.2. CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN A UNIDADES DE CAMPO........................................................................................ 61 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA .............................................. 65 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.............................................................. 65 1.10.2. ECUACIÓN DE HORNE........................................................................... 66 1.10.3. ECUACIÓN DE BOURDET Y COLABORADORES ................................. 66 1.10.4. ECUACIÓN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT........................................ 67 1.10.5. ECUACIÓN DE SIMMONS ...................................................................... 67 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN .............................................................. 69 1.11.1. SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO............................................................. 69 1.11.2. SUPERPOSICIÓN EN TIEMPO............................................................... 71 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ........... 73 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .................................. 73 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LÍNEA DE PRESIÓN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ..................................................................... 74 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN............... 75 2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN.................................................. 78 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE).................................. 78 2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE .......... 84 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY .................................. 86 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO................. 90


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2.3.2. MÉTODO DE EARLOUGHER.................................................................... 91 2.3.3. MÉTODO SEMILOG ................................................................................... 92 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)............................................. 100 2.5. CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 102 2.6. REGIMENES DE FLUJO............................................................................. 102 2.7. POZOS HORIZONTALES ........................................................................... 107 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET............... 110 2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE .......................... 113 2.9.1. LÍNEAS Y PUNTOS CARACTERÍSTICOS................................................ 114 2.9.2. ESTIMACIÓN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ................... 122 EJEMPLO............................................................................................................ 123 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL ......................... 127 2.10.1. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFÉRICO ........................ 130 2.10.2. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFÉRICO.................. 132 2.10.3. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................... 134 2.10.4. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFÉRICO ................................................................................................... 143 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES................................................... 144 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 144 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIÓN PARCIAL ....... 144 2.11. PRUEBAS MULTI-FLUJO ......................................................................... 149 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO ................................................................................ 152 2.13. METODO DE PINSON .............................................................................. 156 2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS .............................. 158 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST ................................... 158 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS – METODO DE SLIDER ..................................................... 164 2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES.................................................... 166 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES................ 177 3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION............................................ 185 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .............................................................. 185 3.2. METODO DE HORNER ............................................................................... 187 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................... 187 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF)........................................... 189 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIÓN .......................................................................................... 189 3.2.4. PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) .... 189 3.2.5. GRÁFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ................. 190 3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .................................. 191 3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT .......................................................... 194 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS ............................................................................................ 197 3.6 PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ................................................... 199 3.6.1. MÉTODO DE MBH................................................................................... 199 3.6.2. MÉTODO DE DIETZ ................................................................................. 206 3.6.3. MÉTODO DE MDH.................................................................................... 206 3.6.4. MÉTODO DE RAMEY-COBB.................................................................... 207 Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

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3.6.5. MÉTODO DIRECTO (AZARI 1987).......................................................... 207 3.6.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ............................................................................................. 208 3.6.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ......................................... 208 3.5.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES ....................................... 209 3.6.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN ................................................ 210 3.6.6.4. DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO 210 3.6.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ............ 211 4. PRUEBAS DST .............................................................................................. 222 4.1. GENERALIDADES ....................................................................................... 222 4.1.1. PROPÓSITO ............................................................................................. 222 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST..................................................................... 222 4.1.3. INFORMACIÓN CALCULADA DE UN DST ............................................. 222 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA ................................................... 223 4.3. PROCESO DE PRUEBA............................................................................. 223 4.3.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 223 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER............................................................... 224 4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST........................................................................ 224 4.4.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 224 4.4.2. DST SECO ................................................................................................ 225 4.4.4. MÚLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................... 225 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE...................................................................... 225 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO................................................... 225 4.5. METODO DE HORNER ............................................................................... 225 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL ............................ 228 4.6.1. MÉTODO DE DATOS LIMITADOS (MÉTODO EN EL SITIO DEL POZO) 228 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD...................................................... 231 4.7.1. MÉTODO DE HORNER ........................................................................... 231 4.7.2. MÉTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL .............................................. 231 4.7.3. MÉTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN............................................ 232 4.7.4. MÉTODO DE BIXEL Y OTROS ............................................................... 233 5. HETEROGENEIDADES ................................................................................. 236 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ............................. 236 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ..................................................... 237 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN....................................... 237 5.2.2. MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRÁFICAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN ............................................................................................................ 239 5.2.2.1. MÉTODO DE HORNER ......................................................................... 239 5.2.2.2. MÉTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................... 242 5.2.2.3. MÉTODO DE EARLOUGHER............................................................... 245 5.2.2.4. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................... 247 5.3. FRONTERAS MULTIPLES ......................................................................... 250 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA ....................................................... 250 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ..................................................................... 250 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ............................................... 250 Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

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5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO ........ 252 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO ........................................................................... 252 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ............................................................................. 252 6. PRUEBAS MULTIPLES ................................................................................. 256 6.1. GENERALIDADES ....................................................................................... 256 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ 256 6.2.1. MÉTODO DE EARLOUGHER................................................................... 257 6.2.2. MÉTODO DE RAMEY ............................................................................... 259 6.2.3. MÉTODO DE TIAB Y KUMAR .................................................................. 260 6.3. PRUEBAS DE PULSO ................................................................................. 267 6.3.1. MÉTODO DE KAMAL – BIRGHAM ........................................................... 268 7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS .................................... 277 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .................................... 283 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 285 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD ............................................................................................................................ 289 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 289 7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION........................................... 290 7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS ................................................................................................. 296 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO .................................. 305 7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE................................................................... 308 7.8.1. ASPECTO TEÓRICO ................................................................................ 309 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIÓN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO314 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO ........................................................... 317 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................... 325 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES......................... 325 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIÓN ........................ 325 8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIÓN (FALLOFF) . 328 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES ............................................ 331 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS........................................................... 341 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P VS. ) .................................................. 342 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P VS. )...................................................... 342 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ............................................... 344 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)........................... 346 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8.1. SIMULACIÓN DE FRACTURAS .............................................................. 348 8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................. 351 8.8.3. ANÁLISIS DE FLUJO BILINEAL .............................................................. 352 8.8.5. ANÁLISIS DE FLUJO PSEUDORADIAL .................................................. 356


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8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS ................................................. 359 8.9.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................... 359 8.9.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ........ 361 8.9.3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA ............................................................................................................................ 366 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ............................................................... 370 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ................................................................................. 371 8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ...................................................... 377 8.10.1. CARACTERÍSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA 378 8.10.2. RÉGIMEN DE FLUJO BILINEAL............................................................ 378 8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ............................................. 382 8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL ............. 383 8.10.5. INTERRELACIÓN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL.................. 385 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRADIAL Y BILINEAL...................................... 386 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO ........................................................ 389 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ................... 403 NOMENCLATURA .............................................................................................. 404 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 410


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1. FUNDAMENTOS GENERALES 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Las pruebas de presión pueden entenderse por aplicación de la tercera ley de Newton, como se ilustra en la Fig. 1.1.

Perturbación de entrada

Entrada al modelo

Mecanismo del yacimiento

Salida de respuesta

Modelo Matemático

Salida del modelo

Fig. 1.1. Esquema de la representación matemática de una prueba de presión

Básicamente los objetivos del análisis de las pruebas de presión son: • • •

Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamaño, permeabilidad por espesor (útil para Espaciamiento y estimulación), presión inicial (energía y pronóstico), límites (tamaño y determinación de existencia de un acuífero). Administración del yacimiento Descripción del yacimiento

Las pruebas DST y restauración de presión. Se usan principalmente en producción primaria y exploración. Pruebas múltiples: Se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores.


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GRAFICO LOG-LOG

Yac. Nat. Fracturado Fujo Pseudoestable

PHASE REDISTRIBUTION

ALMACENAMIENTO

GRAFICO HORNER

GRAFICO DERIVADA

Pendiente unitaria

Derivada negativa

Protuberancia

Protuberancia

Reversamiento de presión en vez de pico. Se puede observar un mínimo. Puede confundirse con el comportamiento de un yacimiento naturalmente fracturado

Sistema más permeable

Flujo radial en sistema total Sistema total

0.5

Flujo radial Flujo radial en fisuras

FLUJO LINEAL EN CANALES

Yac. Nat. Fracturado Fujo Transitorio

Transición Flujo radial en sistema total sistema totsl

Flujo radial

0.5 0.25

Sistema más permeable Un gráfico acrtesiano de P vs. la raiz de t la mayoría de los casos da una recta 0.5 m=

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificación de yacimientos


MODELO

SISTEMAS CERRADOS

SISTEMAS INFINITOS

POZOS FRACTURADOS

GRAFICO LOG-LOG log PD

INTERPOROSITY FLOW ESTADO PSEUDOESTABLE

TRANSITORIO Flujo radial

Flujo radial

1/2

2m

1/4

F

F

m

m

m

PD

GRAFICO SEMILOG

YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD

YACIMIENTO HOMOGENEO

Cartesiano

m m T

∆t

4

T

∆t

log tD/CD*PD'

GRAFICO DE LA DERIVADA

m = Pendiente semilog. Representa flujo radial infinito

1

1 0.5

1/2

0.5

1/2 1/2 TRANS

>1/4

1/2

TRANS

1/4

Infinito Hay un factor de 2 en Barrera de no flujo separaciónentre PD y PD' Presión constante

para fracturas de conductividad infinita. El factor es 4 para fracturas de -conductividad finita

Conduct. infinita Flujo uniform Conduc. finita (flujo bilineal)

F = FISURA Se desarrollan 2 lineas paralelas La transición inicia T =SISTEMA TOTAL antes que termine los efectos de WBS

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

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Frontera externa cerrada

YACIMIENTO HOMOGENEO Barrera lineal impermeable

Barrera de presión

(falla)

Presión

m

Presión

Semilog

Cartesiana

Presión

constante

2m

m

Tiempo

Tiempo

Log-Log

2m

Tiempo

Log-Log

Log-Log P

m

P

2m

t*P' 1.0

P y t*∆P'

t*P'

P y t*∆P'

P y t*∆P'

P

t*P'

0.5

Tiempo

Tiempo En el gráfico semilog se observa una recta que dobla su pendiente. Una segunda región plaa se observa en la derivada

Tiempo Una región plana normalmente se observa en la mayoría de los gráficos de f P vs t y una line que decrece conitnuamente se observa en el gráfico de la derivada

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

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Tabla 1.1. Parámetros obtenidos de pruebas de pozo Tipo de Prueba DST

Prueba de formación múltiple repetida Prueba de declinación de presión

Prueba de presión

restauración

de

Prueba de paso de rata

Prueba Falloff

Prueba de pulso e interferencia

Pruebas de yacimientos con capas

Parámetro Obtenido Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Presión del yacimiento Límites del yacimiento Fronteras Perfil de Presión Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Límites del yacimiento Fronteras Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Presión del yacimiento Fronteras Presión de rotura de formación Permeabilidad Daño Movilidad en varios bancos Daño Presión del yacimiento Longitud de fractura Ubicación del frente Fronteras Comunicación entre pozos Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal Permeabilidad vertical Daño Presión de capa promedio Fronteras externas


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Tabla 1.2. Gráficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

Régimen de flujo

Cartesiana

Almacenamiento

Línea recta Pendiente→C Intercepto→ ∆tc, ∆Pc

Semilog s Positivo

Disminución de pendiente

P’ horizontal a P’D=1/2

Más disminución de pendiente

∆P = λe−2 s P’D=1/4 (transición) P’D<1/4 (estado pseudoestable)

Pendiente similar al primer IARF

P’ horizontal a p’D=1/2

Línea recta Pendiente→kh ∆P1hr→s Línea recta Pendiente=1/2 (transición) Pendiente=0 (estado pseudoestable) Línea recta Pendiente→kh, P* ∆P1hr→s Línea recta Pendiente =2m Intersección con IARF→distancia a frontera Incremento de pendiente

Línea recta Pendiente→xf Intercepto→ Daño de fractura

Flujo Bilineal

Segundo IARF

Gráficas Log-log ∆t Pendiente unitaria en ∆p y p’ ∆p y p’ coincide Pendiente=1/2 en ∆P y P’ si s=0 Pendiente =1/2 en ∆p y P’ si s=0 a medio nivel de ∆P Pendiente = ½ después de almacenamiento indica un canal del yacimiento Pendiente=1/4 P’a ¼ de nivel de ∆P

Flujo Lineal

Primer IARF (alta-k capas, fracturas) Transición

∆t

4

Línea recta Pendiente →Cfd

Frontera sencilla de no flujo

P’ horizontal a p’D=1

Fronteras Línea recta externas de no pendiente→φAh flujo (solo Pint→CA declinación) IARF= flujo radial de acción infinita

Pendiente unitaria para ∆P y P’ ∆P y P’ coincide

s Negativo

Pruebas de declinación, de restauración de interferencia y de pulso: se usan en todas las fases de producción. Pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y pulso: Se usan en las etapas primaria y secundaria. El análisis de pruebas de presión tiene una variedad de aplicaciones durante la vida de un yacimiento. Las pruebas DST y de restauración de presión en pozos únicos se usan principalmente durante producción primaria y exploración, mientras que las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical también se corren en pozos productores/inyectores. Pruebas de caída, de restauración, de interferencia y de pulso Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

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se utilizan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resume los parámetros que pueden obtenerse del análisis de pruebas de presión. Los ingenieros de petróleos deberían tener en cuenta el estado del arte de la interpretación de pruebas de presión, herramientas de adquisición de datos, métodos de interpretación y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos del APP. Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el análisis de presiones comprende dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificación de los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la prueba, (2) estimación de parámetros. Entre ellos tenemos: gráficos log-log de presión y derivada de presión vs. tiempo de transiente (herramienta de diagnóstico), gráfico semilog de presión vs. tiempo, gráfico Cartesiano de los mismos parámetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes gráficos y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a 1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y características de flujo encontrados en una prueba de presión. En general, el análisis de presiones es una herramienta excelente para describir y definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburífero. Los regímenes de flujo son una función directa de las características del sistema pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse mediante la detección de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal, no necesariamente implica la presencia de una fractura. La interpretación de pruebas de presión es el método primario para determinar permeabilidad, factor de daño, presión de yacimiento, longitud y conductividad de fractura y heterogeneidad del yacimiento. Además, es el único método más rápido y más barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de daño y la permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo. El período de comportamiento infinito ocurre después del fin del almacenamiento y antes de la influencia de los límites del yacimiento. Puesto que los límites no afectan los datos durante este período, el comportamiento de presión es idéntico al comportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por una estabilización aparente del valor de la derivada. El análisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, daño, presión promedia, longitud media de una fractura hidráulica, dirección de una fracturas, conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1) Definir el modelo del yacimiento e identificación de los regímenes de flujo y (2) Estimación de parámetros.


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1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN

Declinación de presión (ver. Fig. 1.4)

Presión

Caudal

q

tp

0

Tiempo

Caudal

Presión

Tiempo

tp

0 Tiempo

Tiempo

Presión

Presión

Fig. 1.4. Representación esquemática de pruebas de restauración (derecha) y declinación o caída de presión (izquierda)

Tiempo

Tiempo

0 Caudal

Caudal

0

Tiempo

Tiempo

Fig. 1.5. Prueba de inyección (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


18

Restauración de presión (ver. Fig. 1.4) a) Es difícil mantener el caudal constante b) No hay producción Inyección Ver (Fig. 1.5) Falloff Considera una declinación de presión inmediatamente después de la inyección. Idéntico a una prueba de restauración (ver Fig. 1.5) Otras pruebas: Interferencia DST Múltiples 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD Al inicio de la producción, la presión en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo se expanden y se mueven hacia el área de menor presión. Dicho movimiento es retardado por la fricción contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fluído. A media quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presión que induce a los fluídos aledaños a moverse hacia el pozo. El proceso continúa hasta que la caída de presión creada por la puesta en producción se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso físico que toma lugar en el yacimiento puede describirse mediante la ecuación de difusividad cuya deducción se muestra a continuación.

1.3.1. Método I (Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulación del sistema

v=−

k dP µ ds

q=−

kA dP µ ds

Para flujo radial A = 2π rh


19

∆r

r

r+∆r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

Masa que entra = q ρ

q=−

−

kρ

µ

k

µ

2π rh

( 2π rh )

−2π h

kρ

µ

L3 M T L3

∂P ∂r

∂P kρ ∂P ∂ + = ( 2π rh ) ( 2π rh drφ ρ ) ∂r r µ ∂ r r + dr ∂ t

( r)

1 ⎡kρ ∂ P r r ⎢⎣ µ ∂ r

=

∂P kρ ∂P ∂ + 2π h = 2π rh dr ( r) (φ ρ ) ∂r r µ ∂ r r + dr ∂t

r + dr

dr

−

kρ ∂ P ⎤ r µ ∂ r r ⎥⎦ ∂ =

∂t

(φ ρ )

1 ∂ ⎛ kρ ∂ P ⎞ ∂ r (φ ρ ) ⎜ ⎟= r∂ r⎝ µ ∂ r ⎠ ∂ t

c=−

1 ∂V 1 ∂ ρ = V ∂P ρ∂P


(1.1)

20

De donde;

ρ = ρ o ec ( P − P ) o

cf =

(1.2)

1∂φ φ∂P

Colocando la Ec. 1.1 en términos de ρ: ∂ (φ ρ ) = φ ∂ (ρ ) + ρ ∂ (φ ) ∂t ∂t ∂t

∂ ∂ρ ∂φ ∂ P∂ ρ +ρ (φ ρ ) = φ ∂t ∂t ∂ P∂ ρ ∂ t

ρφ c f ∂ ρ ∂ ∂ ρ ⎡ cf ⎤ (φ ρ ) = φ ∂ ρ + 1+ =φ cρ ∂ t ∂t ∂t ∂ t ⎢⎣ c ⎥⎦ ∂ (φ ρ ) = φ [c f + c ]∂ ρ ∂t c ∂t

La parte derecha de la ecuación de difusividad se ha simplificado completamente. Ahora continuando con el término de la izquierda:

∂ P ∂ P∂ ρ 1 ∂ ρ = = ∂ r ∂ ρ ∂ r cρ ∂ r Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

∂ρ 1 ∂ ⎛ kr ∂ ρ ⎞ φ ⎜⎜ ⎟⎟ = c f + c r ∂ r ⎝ µc ∂ r ⎠ c ∂t

[

]

(1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en términos de p, se deriva la Ec. 1.2 con respecto a r y t, así:

∂ρ ∂P = ρ o ec ( P − P ) c ∂r ∂r o

∂ρ ∂P = ρo ec ( P − P ) c ∂t ∂t o


21

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3: 1 ∂ ⎛ kr ∂ P⎞ φ C ( P − Po ) ∂ P ρo ec ( P − Po ) c c ⎜ ⎟ = ⎡⎣c f + c ⎤⎦ ρo e ∂r⎠ c ∂t r∂ r⎝µc

Extrayendo los términos constantes de la derivada:

µ ∂ ⎛ ∂ P⎞ ∂P ⎜r ⎟ = φ ct kr ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ ∂t

(1.4)

Defina la constante de difusividad, η, como:

1

η

=

φ µ ct k

Luego resulta: 1 ∂ ⎛ ∂ P⎞ 1∂ P ⎜r ⎟= r∂ r⎝ ∂ r ⎠ η ∂t

Derivando; 1 ⎡∂ P ∂ 2P ⎤ 1 ∂ P r + = r ⎢⎣ ∂ r ∂ r 2 ⎥⎦ η ∂ t

∂ 2P 1 ∂ P 1 ∂ P + = ∂ r2 r ∂ r η ∂ t

(1.5)

En coordenadas cilíndricas:

∂ 2 P 1 ∂ P kθ 1 ∂ 2 P k z ∂ 2 P φµ ct ∂ P + + + = kr ∂ t ∂ r 2 r ∂ r kr r 2 ∂ θ 2 kr ∂ z 2

(1.6.)

1.3.2. Método II Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en reconocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

22

poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase. El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es: V = (2π rhdr )φ

(1.7)

Puesto que,

r+dr P

r Pozo

P+dP

h

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presión

c=−

1 dV V dP

Entonces;

dV = −cVdP De la Ec. 1.7, se tiene:

dV = −c(2π rhdr )φ dP Si dq =

∂V entonces reemplazando la relación anterior en esta se tiene: ∂t


23

dq = −cφ (2π rhdr )

∂P ∂t

ó;

∂q ∂P = −cφ (2π rh) ∂r ∂t

(1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

q = − (2π rh)

k ∂P µ ∂r

(1.9)

Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene: ∂2P ⎤ k ⎡ ∂P ∂q = − (2π h) ⎢ + r 2 ⎥ ∂r ⎦ µ ⎣ ∂r ∂r

(1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene: −cφ (2π rh)

∂P ∂2 P ⎤ k ⎡ ∂P = − (2π h) ⎢ + r 2 ⎥ ∂t ∂r ⎦ µ ⎣ ∂r

ó; cφ r

∂P k ⎡ ∂P ∂2P ⎤ = ⎢ +r 2 ⎥ ∂t µ ⎣ ∂r ∂r ⎦

Rearreglando,

∂ 2 P 1 ∂P cφ µ ∂P + = ∂r 2 r ∂r k ∂t

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuación de difusividad. 1.3.3. Limitaciones de la Ecuación de Difusividad

a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad constantes b) Un solo fluido satura el medio poroso c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

24

d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables, e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2.

ρ = ρ o e c( p− p ) o

(1.2)

A) Flujo radial

φ µ ct ∂ 2P 1 ∂ P ∂P + = 2 r ∂ r 0.0002637 k ∂ t ∂r

(1.12)

Donde;

µ = cp φ = fracción

P = psi ct = 1/psi

t = hr k = md

r = ft

B) Flujo Multifásico (Método de Perrine)

φ ct ∂ 2P 1 ∂ P ∂P + = 2 ∂r r ∂ r 0.0002637λt ∂ t

(1.13)

ct = co S o + c g S g + c w S w + c f

λt =

ko

µo

+

kg

µg

+

kw

µw

El método asume gradientes de presión y de saturación despreciables. Martin demostró que (a) El método pierde exactitud a medida que la saturación de gas se incrementa, (b) La estimación de la movilidad es buena, (c) El cálculo individual de las movilidades es sensible a los gradientes de saturación. Se logran mejor estimativos cuando la distribución de saturación es uniforme y (d) El método subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de daño. Cuando hay flujo de gas libre: ⎧162600(q g − 0.0001(qo Rs + qw Rsw ) Bg ⎫ ⎛k⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ± ⎨ ⎬ mh ⎝ µ ⎠g ⎭ ⎩

C) Flujo de Gas

φ µ gi ct ∂ 2 m( p ) 1 ∂ m ( p ) ∂ m( p ) + = 2 0.0002637 k gi ∂ t ∂r r ∂r


(1.14)

25

Cuadrático

µZ, cp

Pseudopresión

Pseudopresión

0

2000

Lineal

4000

6000

8000

10000

Presión

Fig. 1.8. Pseudopresión Donde m(P) es: p

m( P ) =

ρ dP

∫ µ ( P) z ( P)

pm

1.3.4. Solución de la Línea Fuente

El anexo A presenta la solución de la línea fuente usando la transformada de Boltzman. A continuación se presenta el método de Combinación de variables independientes, el cual es basado en el análisis dimensional de Buckingham. Este toma una función f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o función que contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma general es: f = f ( x, y , z , t ) →

f = f ( s1 , s2 ,...)

s = axb y c z d t e La ecuación de difusividad es:


26

1 ∂ ⎛ ∂ f⎞ ∂ f ⎟= ⎜r r ∂r⎝ ∂r⎠ ∂t

(1.15)

Donde f es:

f =

P − Pwf Pi − Pwf

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

f = 0, 0 ≤ r ≤ ∞, t = 0 r

∂ f = 1, r = 0, t > 0 ∂r

f = 0, r → ∞, t > 0

Definiendo un grupo de variables como: s = ar b t c

(1.16)

Multiplicando la Ec. 1.15 por ∂s/∂s: 1∂s ∂ ⎛ ∂s∂ f ⎞ ∂s∂ f ⎜r ⎟= r ∂s∂r⎝ ∂s ∂r⎠ ∂s ∂t

Intercambiando términos: 1∂s ∂ ⎛ ∂s∂ f ⎞ ∂s∂ f ⎜r ⎟= r ∂r ∂ s⎝ ∂r ∂ s⎠ ∂t ∂ s

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:

∂s = abr b −1t c ∂r ∂s = acr b t c−1 ∂t Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:


(1.17)

27

1 ∂ ⎛ b −1 c ∂ f ⎞ b c −1 ∂ f abr b −1t c ⎜ r ⋅ abr t ⎟ = acr t r ∂ s⎝ ∂s⎠ ∂s

1 2 2 r b 2c ∂ ⎛ r b ∂ f ⎞ b c −1 ∂ f ab t ⎜r⋅ ⎟ = acr t ∂ s⎝ r ∂ s ⎠ ∂s r r

s entonces; at c

b Puesto que r =

a 2b 2 b 2c ∂ ⎛ s ∂ f ⎞ b c −1 ∂ f r t ⎜ c ⎟ = acr t 2 ∂ s ⎝ at ∂ s ⎠ ∂s r

ab 2 b c ∂ ⎛ ∂ f ⎞ b c −1 ∂ f r t ⎜s ⎟ = acr t 2 ∂ s⎝ ∂ s⎠ ∂s r ∂f b2 ∂ ⎛ ∂ f ⎞ t ⎜s ⎟ =c 2 ∂s r ∂ s⎝ ∂ s⎠

∂ ⎛ ∂ f ⎞ r 2c ∂ f ⎜s ⎟= ∂ s ⎝ ∂ s ⎠ b 2t ∂ s ∂ ⎛ ∂f ⎞ c 2 −1 ∂f ⎜ s ⎟ = ⎡ r t ⎤⎦ s ∂s ⎝ ∂s ⎠ b 2 ⎣ ∂s

Comparando el término encerrado en paréntesis cuadraron con la Ec. 1.16 ( s = ar b t c ), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎡ c ⎤ ∂f s ⎜s ⎟ = ∂s ⎝ ∂s ⎠ ⎣⎢ b 2 a ⎦⎥ ∂s El término encerrado en paréntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ⎜s ⎟ = s ∂s ⎝ ∂s ⎠ ∂s Escribiendo como una ecuación diferencial ordinaria:


28

d ⎛ df ⎞ df (1.17.a) ⎜s ⎟ = s ds ⎝ ds ⎠ ds Aplicando el mismo análisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en función de s: Condiciones iniciales:

f = 0, 0 ≤ r ≤ ∞, t = 0 puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s → ∞

(1.17.b)

Condición de frontera 1:

Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy. r

∂f = 1, r = 0, t > 0 ∂r

Multiplicando la anterior ecuación por ∂s/∂s:

r

∂ f ∂s =1 ∂s ∂r

r

∂ f abr b −1 t c = 1 ∂s

r

∂f rb ab t c = 1 r ∂s

∂ f s ab c t c = 1 ∂s at Puesto que b = 2;

s

∂ f 1 = ∂s 2

(1.17.c)



29

f = 0, r → ∞ , t > 0

Si s = ar2/t cuando r → ∞, s = ar2/t → ∞

(1.17.d)

Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez más grande. Luego, la nueva ecuación diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:

d ⎛ df ⎞ df ⎜s ⎟ = s ds ⎝ ds ⎠ ds

(1.17.a)

Condiciones iniciales:

f = 0, s → ∞

(1.17.b)


s

∂ f 1 = cuando s=0 ∂s 2

(1.17.c)


f = 0, s → ∞

(1.17.d)

Nota: Observe que la condición inicial y la condición de frontera 2 son lo mismo. Defina:

g=s

df ds

Entonces la Ec. 1.17.a se transforma en:

d g=g ds Separando e integrando; ln g = s + c1

g = c1e s = s

df ds

(1.18)

Despejando df;


30

c1 e s df = ds s es ∫ df = c1 ∫ s ds La anterior es una ecuación que no es analíticamente integrable (se resuelve por series de potencia):

es s2 = 1 + s + + ...... 2! s Simplificando la solución:

es f = c1 ∫ ds + c2 s Aplicando la condición de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:

c1 e s = s

df 1 = ds 2

Cuando s = 0, es = 0, entonces c1 = ½, luego; s

1 es f = ∫ ds + c2 20 s

Aplicando la condición de frontera 2, f = 0 cuando s → ∞ ∞

0=

1 es ds + c2 2 ∫0 s

de donde; ∞

1 es c2 = − ∫ ds 20 s entonces;


31

∞

s

f =

1 es 1 es ds − ds 2 ∫0 s 2 ∫0 s s

1 es f = ∫ ds 2∞ s ó: ∞

1 e− s f =− ∫ ds 2s s 1 f = − Ei ( − s ) 2 1 ⎛ − r2 ⎞ ⎟ f ( r , t ) = − Ei ⎜⎜ 2 ⎝ 4t ⎟⎠

ó; 1 ⎛ r2 PD (rD , t D ) = − Ei ⎜⎜ − D 2 ⎝ 4t D

⎞ ⎟⎟ ⎠

La ecuación anterior es una muy buena aproximación de la solución analítica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon) que rD ≥ 20 ó tD/rD2 ≥ 0.5. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste: y=

a + cx 1 + bx + dx 2

donde: r2 = 0.99833613 a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 d = 0.119967622262022 x = log(PD) tD = 10 y rD2


32

1.E+01

r D = 1.3

1.E+00

rD=1

=

2

1.E-02

rD

PD

1.E-01

1.E-03

1.E-04

1.E-05

1.E-06 0.01

r D = 20

0.1

1

10

100

2

t D / rD

Fig. 1.9. Presión adimensional para diferentes valores del radio adimensional 32


33

10

10

4

10

5

6

7

10

8

10

10

100

1000

10

9

PD

1

0.1

0.01 0.1

1

10

t D /r D2

10000

Fig. 1.10. Presión adimensional para un pozo sin almacenamiento y daño en un yacimiento infinito 33


34

La función exponencial puede ser evaluada mediante: Ei ( x) = 0.57721557 + ln x + x −

x2 x3 x4 .... + − 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3! 4 ⋅ 4!

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES

Los parámetros adimensionales no proporcionan una visión física del parámetro que se mide, pero si una descripción general o universal de éstos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o más de 107 en formaciones de muy permeables. 1.4.1. Ecuación de Difusividad en Forma Adimensional

∂ 2 P 1 ∂ P φ µ ct ∂ P + = ∂ r2 r ∂ r k ∂t

(1.19)

Defina:

rD =

r rw

Derivando;

∂ r = rw ∂ rD

(1.20)

dr 2 = rw 2 drD2

(1.21)

Reemplazando el valor de r y las Ecs. 1.20 y 1.21 en la Ec. 1.19:

φ µ ct ∂ P ∂ 2P 1 ∂P + = 2 2 rw ∂ rD rw rD rw ∂ rD k ∂t

∂ 2 P 1 ∂ P φ µ ct rw2 ∂ P + = ∂ rD2 rD ∂ rD ∂ t k

(1.22)

Defina el tiempo adimensional como;


35

Ei(-x) 0

0.025 0.05 0.075

0.1

0.125 0.15 0.175

0.2

0.225 0.25

x

10

1

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 ≤ x ≤ 10 Ei(-x) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

x

0.1

0.01

0.001

0.0001

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 1


36

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.001 ≤ x ≤ 0.2 x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.3315 5.6394 5.2349 4.9482 4.7261 4.5448 4.3916 4.2591 4.1423 ∞ 0.01 4.0379 3.9436 3.8576 3.7785 3.7054 3.6374 3.5739 3.5143 3.4581 3.4050 0.00

0.02 3.3547 3.3069 3.2614 3.2179 3.1763 3.1365 3.0983 3.0615 3.0261 2.9920 0.03 2.9591 2.9273 2.8965 2.8668 2.8379 2.8099 2.7827 2.7563 2.7306 2.7056 0.04 2.6813 2.6576 2.6344 2.6119 2.5899 2.5684 2.5474 2.5268 2.5068 2.4871 0.05 2.4679 2.4491 2.4306 2.4126 2.3948 2.3775 2.3604 2.3437 2.3273 2.3111 0.06 2.2953 2.2797 2.2645 2.2494 2.2346 2.2201 2.2058 2.1917 2.1779 2.1643 0.07 2.1508 2.1376 2.1246 2.1118 2.0991 2.0867 2.0744 2.0623 2.0503 2.0386 0.08 2.0269 2.0155 2.0042 1.9930 1.9820 1.9711 1.9604 1.9498 1.9393 1.9290 0.09 1.9187 1.9087 1.8987 1.8888 1.8791 1.8695 1.8599 1.8505 1.8412 1.8320 0.10 1.8229 1.8139 1.8050 1.7962 1.7875 1.7789 1.7704 1.7619 1.7536 1.7453 0.11 1.7371 1.7290 1.7210 1.7130 1.7052 1.6974 1.6897 1.6820 1.6745 1.6670 0.12 1.6595 1.6522 1.6449 1.6377 1.6305 1.6234 1.6164 1.6094 1.6025 1.5957 0.13 1.5889 1.5822 1.5755 1.5689 1.5623 1.5558 1.5494 1.5430 1.5367 1.5304 0.14 1.5241 1.5180 1.5118 1.5057 1.4997 1.4937 1.4878 1.4819 1.4760 1.4702 0.15 1.4645 1.4587 1.4531 1.4474 1.4419 1.4363 1.4308 1.4253 1.4199 1.4145 0.16 1.4092 1.4039 1.3986 1.3934 1.3882 1.3830 1.3779 1.3728 1.3678 1.3628 0.17 1.3578 1.3528 1.3479 1.3430 1.3382 1.3334 1.3286 1.3239 1.3191 1.3145 0.18 1.3098 1.3052 1.3006 1.2960 1.2915 1.2870 1.2825 1.2780 1.2736 1.2692 0.19 1.2649 1.2605 1.2562 1.2519 1.2477 1.2434 1.2392 1.2350 1.2309 1.2268 0.20 1.2227 1.2186 1.2145 1.2105 1.2065 1.2025 1.1985 1.1946 1.1907 1.1868

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial para 4 ≤ x ≤ 18.9 X 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.003779 0.003349 0.002969 0.002633 0.002336 0.002073 0.001841 0.001635 0.001453 0.001291

5

0.001148 0.001021 0.000909 0.000809

6

0.00036

7

1.15E-04 1.03E-04 9.22E-05 8.24E-05 7.36E-05 6.58E-05 5.89E-05 5.26E-05 4.71E-05 4.21E-05

8 9

3.77E-05 3.37E-05 3.02E-05 2.70E-05 2.42E-05 2.16E-05 1.94E-05 1.73E-05 1.55E-05 1.39E-05 1.24E-05 1.12E-05 9.99E-06 8.95E-06 8.02E-06 7.19E-06 6.44E-06 5.77E-06 5.17E-06 4.64E-06

0.00072

0.000641 0.000571 0.000509 0.000453 0.000404

0.000321 0.000286 0.000255 0.000228 0.000203 0.000182 0.000162 0.000145 0.000129

10 4.16E-06 3.73E-06 3.34E-06 3.00E-06 2.69E-06 2.41E-06 2.16E-06 1.94E-06 1.74E-06 1.56E-06 11 1.40E-06 1.26E-06 1.13E-06 1.01E-06 9.08E-07 8.15E-07 7.32E-07 6.57E-07 5.89E-07 5.29E-07 12 4.75E-07 4.27E-07 3.83E-07 3.44E-07 3.09E-07 2.77E-07 2.49E-07 2.24E-07 2.01E-07 1.81E-07 13 1.62E-07 1.46E-07 1.31E-07 1.18E-07 1.06E-07 9.50E-08 8.50E-08 7.70E-08 6.90E-08 6.20E-08 14 5.60E-08 5.00E-08 4.50E-08 4.00E-08 3.60E-08 3.30E-08 2.90E-08 2.60E-08 2.40E-08 2.10E-08 15 1.90E-08 1.70E-08 1.60E-08 1.40E-08 1.30E-08 1.10E-08 1.00E-08 9.00E-09 8.00E-09 7.00E-09 16 7.00E-09 6.00E-09 5.00E-09 5.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 17 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 18 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09

0

0

0


0

0

37

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 ≤ x ≤ 3.9 x

0

2 3.3547

3 2.9591

4 2.6813

5 2.4679

6 2.2953

7 2.1508

8 2.0269

9 1.9187

0.2

∞ 1.8229 1.2227

1 4.0379

0.0

1.7371 1.1829

1.6595 1.1454

1.5889 1.1099

1.5241 1.0762

1.4645 1.0443

1.4092 1.0139

1.3578 0.9849

1.3098 0.9573

1.2649 0.9309

0.3

0.9057

0.8815

0.8583

0.8361

0.8147

0.7942

0.7745

0.7554

0.7371

0.7194

0.4

0.7024

0.6859

0.6700

0.6546

0.6397

0.6253

0.6114

0.5979

0.5848

0.5721

0.5

0.5598

0.5478

0.5362

0.5250

0.5140

0.5034

0.4930

0.4830

0.4732

0.4636

0.6

0.4544

0.4454

0.4366

0.4280

0.4197

0.4115

0.4036

0.3959

0.3883

0.3810

0.7

0.3738

0.3668

0.3599

0.3532

0.3467

0.3403

0.3341

0.3280

0.3221

0.3163

0.8

0.3106

0.3050

0.2996

0.2943

0.2891

0.2840

0.2790

0.2742

0.2694

0.2647

0.9

0.2602

0.2557

0.2513

0.2470

0.2429

0.2387

0.2347

0.2308

0.2269

0.2231

1.0

0.2194

0.2157

0.2122

0.2087

0.2052

0.2019

0.1986

0.1953

0.1922

0.1890

1.1

0.1860

0.1830

0.1801

0.1772

0.1743

0.1716

0.1688

0.1662

0.1635

0.1609

1.2

0.1584

0.1559

0.1535

0.1511

0.1487

0.1464

0.1441

0.1419

0.1397

0.1376

1.3

0.1355

0.1334

0.1313

0.1293

0.1274

0.1254

0.1235

0.1216

0.1198

0.1180

1.4

0.1162

0.1145

0.1128

0.1111

0.1094

0.1078

0.1062

0.1046

0.1030

0.1015

0.1

1.5 0.100020 0.098544 0.097093 0.095666 0.094263 0.092882 0.091524 0.090188 0.088874 0.087580 1.6 0.086308 0.085057 0.083825 0.082613 0.081421 0.080248 0.079093 0.077957 0.076838 0.075738 1.7 0.074655 0.073589 0.072539 0.071506 0.070490 0.069489 0.068503 0.067534 0.066579 0.065639 1.8 0.064713 0.063802 0.062905 0.062021 0.061151 0.060295 0.059452 0.058621 0.057803 0.056998 1.9 0.056204 0.055423 0.054654 0.053896 0.053150 0.052414 0.051690 0.050977 0.050274 0.049582 2.0 0.048900 0.048229 0.047567 0.046915 0.046273 0.045641 0.045017 0.044403 0.043798 0.043202 2.1 0.042614 0.042035 0.041465 0.040903 0.040349 0.039803 0.039266 0.038736 0.038213 0.037698 2.2 0.037191 0.036691 0.036198 0.035713 0.035234 0.034762 0.034297 0.033839 0.033387 0.032941 2.3 0.032502 0.032069 0.031643 0.031222 0.030808 0.030399 0.029996 0.029599 0.029207 0.028821 2.4 0.028440 0.028065 0.027695 0.027330 0.026970 0.026616 0.026266 0.025921 0.025581 0.025246 2.5 0.024915 0.024589 0.024267 0.023950 0.023638 0.023329 0.023025 0.022725 0.022430 0.022138 2.6 0.021850 0.021566 0.021287 0.021011 0.020739 0.020470 0.020205 0.019944 0.019687 0.019432 2.7 0.019182 0.018935 0.018691 0.018450 0.018213 0.017979 0.017748 0.017520 0.017296 0.017074 2.8 0.016855 0.016640 0.016427 0.016217 0.016010 0.015805 0.015604 0.015405 0.015209 0.015015 2.9 0.014824 0.014636 0.014450 0.014266 0.014085 0.013906 0.013730 0.013556 0.013385 0.013215 3.0 0.013048 0.012883 0.012721 0.012560 0.012402 0.012246 0.012091 0.011939 0.011789 0.011641 3.1 0.011494 0.011350 0.011208 0.011067 0.010928 0.010791 0.010656 0.010523 0.010391 0.010261 3.2 0.010133 0.010006 0.009882 0.009758 0.009637 0.009516 0.009398 0.009281 0.009165 0.009052 3.3 0.008939 0.008828 0.008718 0.008610 0.008503 0.008398 0.008294 0.008191 0.008090 0.007990 3.4 0.007891 0.007793 0.007697 0.007602 0.007508 0.007416 0.007324 0.007234 0.007145 0.007057 3.5 0.006970 0.006884 0.006800 0.006716 0.006634 0.006552 0.006472 0.006392 0.006314 0.006237 3.6 0.006160 0.006085 0.006010 0.005937 0.005864 0.005793 0.005722 0.005652 0.005583 0.005515 3.7 0.005448 0.005381 0.005316 0.005251 0.005187 0.005124 0.005062 0.005000 0.004939 0.004879 3.8 0.004820 0.004762 0.004704 0.004647 0.004591 0.004535 0.004480 0.004426 0.004372 0.004319 3.9 0.004267 0.004215 0.004165 0.004114 0.004065 0.004016 0.003967 0.003919 0.003872 0.003825


38

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

tD =

t to

(1.23)

∂ t = to∂ t D ∂ 2 P 1 ∂ P φ µ ct rw2 ∂ P + = ∂ rD2 rD ∂ rD kto ∂ t D Para definir to, asuma que

to =

φ µ ct rw2 kto

(1.24)

= 1 , de donde;

φ µct rw2

(1.25)

k

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definición de tD:

⎛ φ µ ct rw2 ⎞ ⎟⎟ t = t D ⎜⎜ ⎝ k ⎠

(1.26)

Despejando tD;

⎛ kt ⎞ ⎟ t D = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ φ µct rw ⎠ Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

φ µ ct rw2 ∂ P ∂ 2P 1 ∂ P + = ∂ rD2 rD ∂ rD ⎛ φ µ ct rw2 ⎞ ∂ t D k⎜ ⎝

k

⎟ ⎠

∂ 2P 1 ∂ P ∂ P + = ∂ rD2 rD ∂ rD ∂ t D

(1.27.a)

Solución para el caso de rata constante; q=

kh∆P Bµ ln ( re / rw )


39

Nótese que la ecuación anterior es la solución de la ecuación de difusividad para estado estable. Despejando ∆P;

∆P =

qBµ ⎛ re ⎞ ln ⎜ ⎟ kh ⎝ rw ⎠

Definiendo:

PD = ln ∆P =

re rw

qBµ PD kh

Esto significa que la caída de presión física en estado estable para flujo radial es igual a la presión adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento. El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones más complejas, pero en este caso la presión adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presión adimensional siempre es función del tiempo adimensional. En general, la presión a cualquier punto en un sistema con pozo único que produce a rata constante, q, está dada por:

[ Pi − P (r , t )] =

qB µ PD (t D , rD , CD , geometría,....) kh

La presión adimensional es también afectada por la geometría del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, características anisotrópicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

PD ( rD , t D ) =

kh ( Pi − P ) qB µ

(1.27.b)

Derivando dos veces; ∂ PD = −

kh ∂P qB µ

∂ 2 PD = −

kh 2 ∂ P qB µ

(1.28)

(1.29)


40

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

−

qB µ ∂ 2 PD qB µ 1 ∂ PD qB µ ∂ PD − =− 2 kh ∂ rD kh rD ∂ rD kh ∂ t D

∂ 2 PD 1 ∂ PD ∂ PD + = ∂ rD2 rD ∂ rD ∂ t D Solución para el caso de presión constante:

PD =

P − Pwf Pi − Pwf

; 0 ≤ PD ≤ 1

El procedimiento es similar al caso de rata constante.

1.4.2. Solución de la Integral Exponencial, Ei Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito con rw → 0, r → 0, P → Pi. Defina;

rD =

r rw

tD =

0.0002637 kt φ µ ct rw2

(1.30)

t DA =

⎛ r2 ⎞ 0.0002637 kt = t D ⎜⎜ w ⎟⎟ φ µ ct A ⎝ A⎠

(1.31)

PD = PD ( rD , t D ) PD =

kh ( Pi − P ) 141.2qµ B

(1.32)

Ejercicio: Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a través de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presión en el pozo después de un mes de producción: Pi = 3225 psia

h = 42 pies


41

φ = 25 %

ko = 1 darcy µo = 25 cp Bo = 1.32 bbl/BF A = 150 Acres

t DA =

ct = 6.1x10-6 /psi rw = 6 pulg q = 300 BPD

0.0002637 kt φ µ ct A (0.02637)(1000)(720) = 0.76 (0.25)(25)(6.1 × 10− 6 )(6534000)

t DA =

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presión adimensional de 12.

PD =

12 =

kh ( pi − p ) 141.2qµ β

(1000)(42) ( pi − p ) (141.2)(300)(1.32)(25)

P = 2825 psi.

Fig. 1.13. Geometría del yacimiento

1.5. APLICACIÓN DIFUSIVIDAD

DE

LA

SOLUCIÓN

DE

LA

ECUACIÓN

1 ⎛ r2 ⎞ PD (rD , t D ) = − Ei ⎜⎜ − D ⎟⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠


DE

42

14

13 1

12 1

11

PD

10

1 1

1

9 1 1

8 1

7

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.a. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

42

43

14

13

12

11

2

PD

10 1

9

2

2 1

1

8

2

7 1

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.b. Presión adimensional para un un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

43

44

14

13

12

11 2 1

PD

10 2

9

4

1 1

8 2

7 1

6

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.c. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

44

45

14

13

12 4

11 1

PD

10 4

9

1

8 4

7

1 5

6 1

5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.d. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

45

46

948φ µ ct r 2 rD2 =− x=− 4t D kt

(1.33)

1 Si PD = − Ei (− x ) entonces, se cumple que cuando x < 0.0025 2

Ei (x ) = ln(1.781x )

(1.34)

E i ( x ) = ln 1.781 + ln x

E i ( x ) = ln x + 0.5772

(1.35)

Por definición de PD;

1 PD = − Ei (− x ) 2 PD = −

PD =

⎤ 1 ⎡ ⎛ rD2 ⎞ ⎟ + 0.5772 ⎥ ⎢ ln⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ 4 t D ⎠ ⎥⎦

⎤ 1 ⎡ ⎛ 4t D ⎞ ⎢ln⎜ 2 ⎟ − 0.5772 ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

De la definición de PD;

PD =

⎤ 1 ⎡ ⎛ tD ⎞ ⎢ln⎜ 2 ⎟ + 0.80907 ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

(1.36)

Esta ecuación es válida para tD/rD2 ≥ 50 ó 100.

p = pi + 70.6

qβ µ ⎧ 948φ µ ct r 2 ⎫ Ei ⎨− ⎬ kh kt ⎭ ⎩

(1.37)

Ejercicio: Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: q = 20 BF/D φ = 23 % B = 1.475 bbl/BF

µ = 0.72 cp Pi = 3000 psia k = 10 md

ct = 1.5x10-5 re = 3000 pies h = 150 pies


47

Calcule la presión del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies después de 0.3 hrs de producción.

tD =

0.0002637 kt 31.82 = φ µ ct rw2 rw2

Los tiempos adimensionales son: Para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximación logarítmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

qB µ ⎧ 948φµ ct r 2 ⎫ (20)(1.475)(0.72) Ei ⎨− 6.572 ⎬ = 3000 − 70.6 kh kt (10)(150) ⎩ ⎭ p = 2993.43 psi p = pi + 70.6

qB µ ⎧ 948φµ ct r 2 ⎫ (20)(1.475)(0.72) Ei ⎨− 2.044 ⎬ = 3000 − 70.6 kh kt (10)(150) ⎩ ⎭ p = 2997.96 psi p = pi + 70.6

1.6. DISTRIBUCION DE PRESION En el punto N, Fig. 1.15, la presión puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solución de la línea fuente como tal, el yacimiento se asume infinito.

Yacimiento infinito, Pi

Punto N

Pozo

Fig. 1.15. Distribución de presión


48

1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) Hay varias formas de cuantificar daño o estimulación en un pozo en operación (productor o inyector). El método más popular es el de representar una condición del pozo mediante una caída de presión en estado estable que ocurre en la cara del pozo, adicional a la caída de presión transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente. La caída de presión adicional, se llama “efecto de daño” y toma lugar en una zona infinitesimalmente delgada: “zona de daño”. ∆P = ∆P depleción + ∆P de daño Algunos factores causantes de daño son: 1. Invasión de los fluidos de perforación 2. Penetración parcial del pozo 1. Completamiento parcial 2. Taponamiento de las perforaciones 3. Precipitación orgánico/Inorgánica 4. Densidad de perforación inadecuada o perforación limitada 5. Crecimiento bacteriano 6. Dispersión de arcillas 7. Presencia de torta y cemento 8. Presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo

Pi − Pwf = 141.2 Pi − Pwf = 141.2

sin daño

qµ B ( PD + s ) kh

Pi − Pwf = 141.2 ∆Ps = 141.2

qµ B PD kh

qµ B qµ B PD + 141.2 s kh kh

(1.38)

(1.39)

qµ B s kh

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de daño tiene un radio finito, rs, con una permeabilidad alterada, ks, la caída de presión debido al daño se expresa como la diferencia de presión existente entre la zona virgen y la zona alterada, es decir:

∆ps = ∆Palterada en zona danada − ∆Pvirgen en zona danada


49

2500

S<0

Presión, psi

2000

S=0 1500

S>0 1000

500 0

500

1000

Pozo

1500

2000

2500

3000

3500

Radio, pies

Fig. 1.16. Influencia del daño

∆Ps = 141.2

q µ B rs q µ B rs ln − 141.2 ln ks h rw kh rw

∆Ps = 141.2

⎞ rs qµ B ⎛ k ⎜ − 1⎟ ln k s h ⎝ k s ⎠ rw

Luego: ⎛ k ⎞ r s = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ln s rw ⎝ ks ⎠

rs, ks son difíciles de obtener, luego de la Ec. 1.3

∆Ps = 141.2

qµ B s kh

rs = rw e − s Combinando con la Ec. 1.40


(1.40)

50

. ∆p s = 1412

⎞ r qµ β ⎛ k ⎜ − 1⎟ ln s kh ⎝ k s ⎠ rw

Pi = Pwf − 141.2

q µ B ⎡ 1 ⎛ 948φµ ct rw2 ⎞ ⎤ ⎢ Ei ⎜ ⎟ − s⎥ kh ⎣ 2 ⎝ kt ⎠ ⎦

Aplicando la aproximación logarítmica:

Pi = Pwf − 141.2

qµ B ⎡ 1 ⎤ ln (1.781x ) − s ⎥ ⎢ kh ⎣ 2 ⎦

948φµ ct rw2 ⎞ ⎤ qµ B ⎡ 1 ⎛ Pi = Pwf − 141.2 ⎢ ln ⎜ 1.781 ⎟ − s⎥ kh ⎣ 2 ⎝ kt ⎠ ⎦ ó;

Pi = Pwf − 70.6

⎤ 948φµ ct rw2 ⎞ qµ B ⎡ ⎛ ln 1.781 ⎢ ⎜ ⎟ − 2s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦

Pi = Pwf − 70.6

⎤ q µ B ⎡ ⎛ 1688.47φµ ct rw2 ⎞ ⎢ ln ⎜ ⎟ − 2s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦

Pi = Pwf − 70.6

⎤ ⎛ φµ ct rw2 ⎞ qµ B ⎡ + ln 1688.47 ln ( ) ⎢ ⎜ ⎟ − 2s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦

Pi = Pwf − 70.6

⎤ ln10 ⎛ φµ ct rw2 ⎞ qµ B ⎡ + 7.4315 ln ⎢ ⎜ ⎟ − 2s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦ ln10

puesto que el ln 10 = 2.3025

q µ B ⎧ 7.4315 ln[φµ ct rw2 /(kt )] 2 s ⎫ + − Pi = Pwf − 162.6 ⎨ ⎬ ln10 ln10 ⎭ kh ⎩ 2.3025 ⎤ ⎛ φµ ct rw2 ⎞ qµ B ⎡ Pi = Pwf − 162.6 ⎢3.2275 + log ⎜ ⎟ − 0.8686s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦


(1.41)

(1.42)

51

162 .6 qµ B kh

Pwf

m=

m

Log t

Fig. 1.17. Gráfico semilog Cambiando de signo:

⎤ ⎛ φµ ct rw2 ⎞ qµ B ⎡ Pi = Pwf − 162.6 ⎢ −3.2275 − log ⎜ ⎟ + 0.8686s ⎥ kh ⎣ ⎝ kt ⎠ ⎦ Invirtiendo el logaritmo:

Pi = Pwf − 162.6

⎤ q µ B ⎡ ⎛ kt ⎞ − 3.23 + 0.8686 s ⎥ ⎢log ⎜ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ µ ct rw ⎠ ⎦

(1.43)

pendiente semilog

1.8. FLUJO DE GAS Para flujo de gas la presión de fondo puede expresarse como m(p), p2 ó p.

⎤ ⎛ 1637µ g zTq ⎞ ⎡ ⎛ kt ⎞ − 3.23 + 0.886s ⎥ Pwf2 = Pi 2 − ⎜ ⎟ ⎢log ⎜ 2 ⎟ kh ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦ -------------- x ------------q = Mpcn/D T = °R


(1.44)

52

⎛ 1637 µ g zTq ⎞ Pwf2 − Pi 2 = (Pwf − Pi )(Pwf + Pi ) = − ⎜ ⎟x kh ⎝ ⎠

P=

Pwf + Pi 2

⎛ 1637 µ g zTq ⎞ x Pwf − Pi = − ⎜ ⎟ kh ⎝ ⎠ 2P

⎛ 162.6µ g q ⎞ ⎧10.09 zT ⎫ Pwf − Pi = − ⎜ ⎬x ⎟⎨ kh ⎝ ⎠ ⎩ 2P ⎭ El término entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente Bg = 0.00504 zT / P en bbl/pcn. Resulta:

⎛ 162.6 µ g qBg Pwf − Pi = − ⎜ kh ⎝

⎞ ⎟x ⎠

Incluyendo el daño:

⎡ ⎛ kt ⎞ ⎤ 3.23 0.8686 − + Pwf = Pi − 162.6µ g qβ g ⎢log ⎜ s ⎥ ⎟ 2 ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦ La ecuación es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito está presente.

Sistemas Finitos cerrados En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por un periodo de transición. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, el cual es un régimen de flujo transitorio donde el cambio de presión con el tiempo, dP/dt, es constante en todos los puntos del yacimiento: dP −q = dt cV p

Luego la ecuación de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:


53

ito Fin

Area de drene

Fig. 1.18. Sistema cerrado D

D C

B

A Pozo

D

D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas


54

1.E+04

B

A

D

C

1.E+03

a) Derivada

D

D

P y t *P

D

1.E+02

1.E+01

1.E+00

1.E-01 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD 7.E+03

6.E+03

b) Semilog 5.E+03

P

D

4.E+03

3.E+03

2.E+03

D

1.E+03

B

A

0.E+00 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

C 1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD 5.E+01

c) Cartesiano D

4.E+01

C B P

D

3.E+01

A

2.E+01

1.E+01

0.E+00 0.E+00

1.E+07

2.E+07

3.E+07

4.E+07

5.E+07

6.E+07

7.E+07

8.E+07

9.E+07

1.E+08

tD

Fig. 1.20. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento cerrado


55

1.E+02

D

C

B

A 1.E+01

PD y t D*PD

1.E+00

1.E-01

1.E-02

1.E-03

1.E-04 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD 5.E+01

4.E+01

D

C

B 4.E+01

3.E+01

PD

3.E+01

B

2.E+01

2.E+01

1.E+01

5.E+00

0.E+00 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD 5.E+01

D

D

B

4.E+01

2.E+01

A

PD

3.E+01

1.E+01

0.E+00 0.E+00

5.E+06

1.E+07

2.E+07

2.E+07

3.E+07

3.E+07

4.E+07

4.E+07

5.E+07

5.E+07

tD

Fig. 1.21. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento abierto


56

1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ cφ µ q = cte ⎜r ⎟=− r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k cV p El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma errónea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presión es constante con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo productor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porción marcada con A denota los efectos de almacenamiento y daño en el pozo. Debido a ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa más tarde como lo señala la zona demarcada como B. Esta zona se llama también zona de comportamiento infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema infinito. Obsérvese que pudiera existir una zona de transición entre los periodos A y B pero aquí no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona de transición demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que corresponde a la demarcación D, en donde la presión cambia linealmente con el tiempo. La representación de dichos regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no tiende a infinito. Para este tipo de yacimientos la solución de la ecuación exponencial es diferente de la solución Ei. Si se asume que el pozo es una línea fuente, entonces: PD (rD , t D ) = 2t D +

reD = tD =

∞ 2 J (β r ) rD2 3 − ln rD − − 2∑ 20 2 n D e − βn tD 2 4 n =1 β n J 0 ( β n )

re rw

0.0002637 kt φ µ ct A

αn es la raíz de: J 12 (α n re ) = 0

β n = α n re La solución de la ecuación de difusividad en forma adimensional está dada por:

1 ⎛ A ⎞ 1 ⎛ 2.5458 ⎞ PD = 2π t DA + ln ⎜ 2 ⎟ + ln ⎜ ⎟ 2 ⎝ rw ⎠ 2 ⎝ C A ⎠


57

Nótese que si en la ecuación anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos últimos términos de la ecuación se transforman en la solución familiar ln(re/rw)-3/4. Una característica importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presión con respecto al tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2π .

Sistemas Finitos Abiertos o de presión constante Cuando en cualquier punto del yacimiento la presión no varía con el tiempo, se dice que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero:

1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ ⎜r ⎟=0 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ Las funciones adimensionales de presión para flujo lineal y radial son, respectivamente: ( PD ) ssL = 2π ( PD ) ssr = ln

Lh A

re rw

Y la solución de la ecuación de difusividad será: q=

0.00708kh( Pe − Pw ) Bµ ln ( re / rw )

que es la forma radial de la ecuación de Darcy. En los yacimientos, el estado estable puede ocurrir solamente cuando el yacimiento está completamente recargado por un acuífero o cuando la inyección y la producción se encuentran balanceadas. Sin embargo, un yacimiento que posee un acuífero muy activo no siempre actuará bajo estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se seguirá por el estado estable una vez la caída de presión haya tocado las fronteras del yacimiento. La representación de los regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La extracción de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona una perturbación de presión. Aunque se espera que dicha perturbación viaje a la velocidad del sonido, ésta se atenúa rápidamente de modo que para una duración dada de tiempo de producción existe una distancia, el radio de drenaje, más allá del cual no se observarán cambios sustanciales de presión. A medida que se extrae más fluido (o se inyecta) la perturbación se mueve más dentro del yacimiento con continua declinación de presión en todos los puntos que han experimentado declinación de


58

presión. Una vez se encuentra una frontera la presión en la frontera continúa declinando pero a una rata más rápida que cuando la frontera no se había detectado. Por otro lado si el transiente de presión alcanza una frontera abierta (empuje de agua) la presión se mantiene constante en algún punto, las presiones más cercanas al pozo declinarán más despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambios de caudal o pozos adicionales causan transientes de presión adicionales que afectan tanto la declinación de presión como la distribución de la misma. Cada pozo establecerá un área de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una frontera de flujo o no, el gradiente de presión –no el nivel de presión- tiende a estabilizarse después de tiempo de producción suficientemente largo. Para el caso de frontera cerrada, la presión alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de presión constante y una declinación de presión general en todo punto y que es lineal con el tiempo. Para yacimientos de presión constante, se obtiene el estado estable, tanto la presión como su gradiente permanecen constantes con el tiempo.

EJEMPLO Un pozo sencillo en un yacimiento está produciendo un caudal constante de petróleo de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son:

µ = 1.3 cp Pi = 2800 psia B = 1.25 bbl/STB s =1.5

ct = 1.62x10-5 psi-1 re = 3500 ft h = 80 ft

φ = 18 % rw = 0.3 ft k = 75 md

a) Halle la presión del pozo fluyendo después de un mes de producción. b) Determien la presión del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft para el mismo tiempo de producción. Graficar el perfil de presión.

SOLUCION a) El tiempo adimensional es obtenido mediante; tD =

0.0002637 kt 0.0002637(75)(720) = = 41737891.7 2 (0.18)(1.3)(1.62 ×10−5 )(0.3) 2 φ µ ct rw

Note que la relación tD/rD2 es mucho mayor que 70, entonces la aproximación logarítmica de Ei puede ser usada:

⎡t ⎤ Ei[− x ] = ln ⎢ D2 ⎥ + 0.80907 = ln[41737891.7] + 0.80907 = 18.3559 ⎣ rD ⎦


59

Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de la tabla 1.3 ó de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante: x=

948φ µ ct r 2 948(0.18)(1.3)(1.62 × 10−5 )(0.3) 2 = = 5.9895 × 10−9 kt 75(30)(24)

Entonces, Ei se evalúa usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincide muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presión de pozo fluyendo se estima usando la Ec. 1.43: Pwf = 2800 −

⎤ 162.6(110)(1.3)(1.25) ⎡ (75)(720) − 3.23 + 0.8686(1.5)⎥ log ⎢ −5 2 (75)(80) ⎣ (0.18)(1.3)(1.62 × 10 )(1) ⎦

Pwf = 2755.3 psi La Ec. 1.43 está limitada por el valor de tD/rD2. Si este fuera el caso, otra manera de representar la Ec. 1.34 es: P(r , t ) = Pi −

70.6qµ B Ei (− x) kh

(1.45)

Reemplazando los parámetros conocidos en la ecuación anterior: P (r , t ) = 2800 −

70.6(110)(1.3)(1.25) 18.356 = 2755.1 psi (75)(80)

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b; Tabla 1.4. Distribución de presión Radio, ft 0.3 1 2 5 10 20 100 1000

x 5.99x10-9 6.66 x10-8 2.66 x10-7 1.66 x10-6 6.65 x10-6 2.66 x10-5 6.65 x10-4 6.65 x10-5

Ei(-x) ∆p, psi 18.356 44.92 15.948 33.54 14.561 30.62 12.729 26.77 11.342 23.85 9.956 20.94 6.738 14.17 2.198 4.623

P, psia 2755.1 2766.5 2769.4 2773.2 2776.2 2779.1 2785.8 2795.4


60

2800

Presión, psi

2790

2780

2770

2760

2750 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Radio, pie

Fig. 1.22. Distribución de presión en el yacimiento x=

948(0.18)(1.3)(1.62 ×10−5 )(1) 2 = 6.655 ×10−8 75 × (30 × 24)

Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presión se estima con la Ec. 1.45: P (r , t ) = 2800 −

70.6(110)(1.3)(1.25) 15.948 = 2766.5 psi (75)(80)

Los valores de presión para los demás radios son reportados en la tabla 1.4 y graficados en la Fig. 1.22. Se observa en la gráfica que las mayores caídas de presión tienen lugar en la región cercana a la cara del pozo, como se esperaba.

1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN 1.9.1. Deducción de la Derivada de la Presión 1 ⎡− r2 ⎤ PD (rD , t D ) = − Ei ⎢ D ⎥ 2 ⎣ 4t D ⎦ Derivando respecto a tD:

∆p D 1 ∆ ⎡ ⎛ − rD2 ⎞⎤ ⎟⎥ =− ⎢ Ei ⎜ 2 ∆t D ⎣ ⎜⎝ 4t D ⎟⎠⎦ ∆t D


(1.46)

61

Puesto que, Ei (− x ) = − ∫

∞

x

e −u du u

Aplicando este concepto: ∆ ∆t D

⎤ ⎡ ⎛ − rD2 ⎞⎤ ∆ ⎡ ∞ e −u ⎟ ⎜ r 2 = − ∆ E u ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ i⎜ D ∫ ⎟ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 4t D ⎠⎦ ∆t D ⎢⎣ 4tD u

∆ ∆t D

⎡ ⎛ − rD 2 ⎢ Ei ⎜⎜ ⎣ ⎝ 4t D

⎞⎤ e −u ∆u ⎟⎟⎥ = − u ∆t D ⎠⎦

∞

rD2 4tD

Tomando la derivada ∆v/∆tD y remplazando v por rD2/4tD: ∆ ∆t D

⎡ ⎛ − rD2 ⎞⎤ e − (rD / 4tD ) ⎟⎟⎥ = ⎢ Ei ⎜⎜ rD2 ⎣ ⎝ 4t D ⎠⎦ 4t D 2

⎛ rD2 ⎞ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⎝ 4t D ⎠

∆ ⎡ ⎛ − rD2 ⎞⎤ 1 −(rD2 / 4tD ) ⎟⎥ = e ⎢ Ei ⎜ ∆t D ⎣ ⎜⎝ 4t D ⎟⎠⎦ t D

(1.47)

Combinando (1.37) y (1.38) ∆p D 1 1 −(rD2 / 4t D ) =− e ∆t D 2 tD

(1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que: rD2

∂p D 1 1 − 4tD =− e ∂t D 2 tD

(1.49)

El anterior concepto fue introducido por Tiab en 1975. 1.9.2. Conversión de la Ecuación de Derivada de Presión a Unidades de Campo

Tomando la Ec. 1.49


62

∆p D 1 −rD2 / 4tD =− e 2t D ∆t D Puesto que, tD =

PD =

0.000264kt φµct rw2

(1.50)

kh (Pi − Pwf )

(1.51)

141.2 qµβ

Las Ecs. 1.50 y 1.51 están expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t. ∆t D 0.000264k = ∆t φµct rw2 ∆p D kh = ∆t 141.2 qµβ

(1.52)

⎛ ∆Pwf ⎜⎜ − ⎝ ∆t

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.53)

Puesto que se puede escribir:

∆p D ∆PD / ∆t = ∆t D ∆t D / ∆t

(1.54)

Aplicando el concepto de la Ec. 1.54

∆Pwf − khφµctrw2 ∆PD = ∆t D 141.2 qµβ (0.000264k ) ∆t

(1.55)

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tD ⎛

r 2φµc r 2

⎞

t w ⎟ −⎜ 2 ∆Pwf ⎜ (r / 4 )(0.000264 kt ) ⎟ − khφµct rw2 φµct rw2 ⎝ ⎠ =− e 141.2 qµβ (0.000264k ) ∆t 2(0.000264kt )

− kh 141.2 qµβ

∆Pwf

⎛ 948φµct r 2 ⎜ kt

1 −⎜ =− e ⎝ ∆t 2t

⎞ ⎟ ⎟ ⎠


63

Simplificando ⎛ 948φµct r 2 ⎞ ⎟ ⎟ kt ⎠

∆Pwf

− 70.6qβµ −⎜⎜⎝ e = kht ∆t

(1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo rD2

∂ PD 1 − 4t = PD ' = e 2t D ∂ tD

D

(1.57)

En el pozo, rD = 1, luego: 1

1 − 4tD PD ' = e 2t D

(1.58)

Para tD > 250, e −1/ 4tD = 1 , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

PD '=

1 2t D

(1.59)

Tomando logaritmo a ambos lados:

log PD ' = log1 − logt D − log2 log PD ' = − logt D − 0.301

(1.60)

Lo que indica que la gráfica log-log de PD’ contra tD da una línea recta de pendiente unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se convierten:

∂ Pwf 1 ⎛ 70.6q µ B ⎞ = ⎜ ⎟ t⎝ kh ∂t ⎠

(1.61)

⎛ 70.6q µ B ⎞ log Pwf ' = − log t + log ⎜ ⎟ kh ⎝ ⎠

(1.62)

Pwf ' =

ó;


64

P1hr =

log Pwf'

P1hr

70.6qµB kh

1 hr

Log t Fig. 1.23. Gráfico log-log de Pwf’ vs. t

m = -1

log PD'

Falla simple

m = -1

log t D Fig. 1.24. Identificación de fallas mediante gráfico log-log de PD’ vs. tD


65

log PD

2m

Falla simple

m

log t D Fig. 1.25. Identificación de fallas mediante gráfico de PD vs. log tD Con efectos de almacenamiento (WBS) y daño la línea no da recta. Con P’1hr se puede hallar k ó kh por medio de la Ec. 1.63.

P '1hr = 70.6

qµ β kh

(1.63)

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA 1.10.1. Diferencia Finita Central

Calcular la derivada de la Presión requiere de algún cuidado, debido a que el proceso de diferenciación de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente. Una diferenciación numérica usando puntos adyacentes producirá una derivada muy ruidosa. ⎧ (ti − ti −1 )∆Pi +1 (t − 2ti + ti−1 )∆Pi − (ti+1 − ti )∆Pi−1 ⎫ ⎛ ∂P ⎞ t ⎜ ⎟ = ti ⎨ + i +1 ⎬ ⎝ ∂t ⎠ i ⎩ (ti +1 − ti )(ti +1 − ti −1 ) (ti +1 − ti )(ti − ti −1 ) (ti − ti −1 )(ti +1 − ti −1 ) ⎭


66

(

⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ⎟⎟ t ⎜ ⎟ = t ⎜⎜ ⎝ ∂t ⎠ i ⎝ ∂ ln t ⎠ i

)

⎫ ⎧ ln(ti / ti −1 )∆Pi +1 ln ti +1ti −1 / ti2 ∆Pi + −⎪ ⎪ ⎪ ln (t / t ) ln (ti +1 / ti −1 ) ln(ti +1 / ti ) ln (ti / ti −1 ) ⎪ = ⎨ i +1 i ⎬ ⎪ ⎪ ln(ti +1 / ti )∆Pi −1 ⎪⎭ ⎪⎩ ln (ti / ti −1 ) ln (ti +1 / ti −1 )

(1.64)

1.10.2. Ecuación de Horne Cuando los datos están distribuidos en una progresión geométrica (con la diferencia de tiempo de un punto al siguiente muchos más grande a medida que pasa la prueba), entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciación numérica con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor método para reducir el ruido es usar datos que están separado por lo menos 0.2 de un ciclo logarítmico, en vez de puntos que están inmediatamente adyacentes. Por lo tanto:

(

⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ⎟⎟ t ⎜ ⎟ = t ⎜⎜ ⎝ ∂t ⎠ i ⎝ ∂ ln t ⎠ i

)

⎧ ln (t i / t i −k )∆Pi + j ln t i + j t i −k / t i2 ∆Pi ⎫ + −⎪ ⎪ ⎪ ln (t i + j / t i )ln (t i + j / t i −k ) ln(t i +1 / t i )ln (t i / t i −1 ) ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ ln (t i + j / t i )∆Pi −1 ⎪ ⎪ ln(t / t )ln (t / t ) ⎪ i+ j i−k ⎩ i i −k ⎭

(1.65)

ln t i + j − ln t i ≥ 0.2 ln t i − ln t i −k ≥ 0.2

1.10.3. Ecuación de Bourdet y colaboradores Este algoritmo de diferenciación reproduce la curva tipo de la prueba sobre el intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto después del punto de interés, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el punto considerado.

Pi − Pi −1 ( X i+1 − X i ) + Pi+1 − Pi ( X i − X −1i ) X − X i −1 X i +1 − X i ⎛ dP ⎞ ⎜ ⎟ = i X i +1 − X i −1 ⎝ dx ⎠ i Siendo X el logaritmo natural de la función de tiempo .


(1.66)

67

L

L

(t 2 , X 2 )

(t 1 , X 1 )

Fig. 1.26. Ilustración del suavizamiento

1.10.4. Ecuación de Clark y Van Golf-Racht Clark y van Golf-Racht utilizan el método de Bourdet y escriben éste en términos de ∆P y ∆t, generando una función que utiliza una sola diferencia progresiva.

⎛ X1 ⎞ ⎛ X2 ⎞ ⎜ ⎟ t2 + ⎜ ⎟ t1 t2 ⎠ dX ⎝ t1 ⎠ ⎝ = dt t1 + t2

(1.67)

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logarítmica aplicada.

1.10.5. Ecuación de Simmons La rata de flujo se calcula por diferenciación numérica de la longitud de la columna de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisión de los cálculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de diferencias finitas han sido derivadas de la expansión de las series de Taylor sin el requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a tiempos tardíos cuando la presión es relativamente constante. Para el cálculo del caudal inicial una diferencia finita progresiva es requerida. Defina: ∆ti = ti+1 – ti. La diferencia finita central:

dX ∆ti2−1 X i +1 + (∆ti2 − ∆ti2−1 ) X i − ∆ti2 X i −1 = dt (∆ti2−1∆ti + ∆ti2 ∆ti −1 )

(1.68)

Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:


68

⎛ (∆ti + ∆ti +1 ) 2 ⎞ ⎛ (∆ti + ∆ti +1 ) 2 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟ ⎟⎟ X i +1 + X i + 2 X + ⎟ i ⎜⎜ ∆ti2 ∆ti2 dX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 dt (∆ti + ∆ti +1 ) / ∆ti − (∆ti + ∆ti +1 )

(1.69)

La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisión del cálculo de la derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusión de más puntos de datos en la aproximación. Para el último punto, la diferencia finita regresiva es:

⎛ (∆ti −1 + ∆ti − 2 ) 2 ⎞ ⎛ (∆ti −1 + ∆ti − 2 ) 2 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟ ⎟⎟ X i −1 + X i − 2 X + ⎟ i ⎜⎜ ∆ti2−1 ∆ti2−1 dX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 dt (∆ti −1 + ∆ti − 2 ) − (∆ti −1 + ∆ti − 2 ) / ∆ti −1

(1.70)

El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presión vs. tiempo por ser más efectivo y con mínimos errores promedios. Es el único algoritmo de carácter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier proceso de derivación y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado. El algoritmo de Simons es de carácter polinomial de segundo grado. Pero escrito en términos de Presión y Tiempo, por lo que resulta impráctico el suavizamiento al tiempo que se realizan los cálculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como el de Simons, el de 2º grado, el de 3er grado regresivo o el de 3er grado progresivo por ser de carácter discreto, no deben ser suavizados después de un proceso de derivación. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L = 0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivación. El mejor procedimiento para análisis de datos de presión vs. tiempo, es el de derivar y luego suavizar los datos. 100

PD t D*PD'

PD, t D*P D'

10

1

0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.27. La función derivada de presión analítica para un yacimiento homogéneo e infinito


69

100

PD, t D*P D'

10

1

0.1

0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.28. La función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons, Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio

1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN “Adicionando soluciones a la ecuación diferencial lineal resultará en una nueva solución de esa ecuación diferencial pero para diferentes condiciones de frontera”.

ψ = ψ 1 f 1 + ψ 2 f 2 + ψ 3 f 31 1.11.1. Superposición en Espacio De acuerdo con la Fig. 1.29, la caída de presión en el punto N, será: ∆PN = ∆PN ,1 + ∆PN ,2

(1.71)

Se sabe que;

PD =

kh ( Pi − P ) 141.2q µ β


70

Yacimiento infinito, Pi

Pozo 2 q2

r2

Punto N

r1

Pozo 1 q1

Fig. 1.29. Presión en el punto N

Pi − P = ∆P =

141.2q µ B PD ( rD , t D ) kh

(1.72)

P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene:

∆PN =

141.2 µ ⎡( qBo )1 PD ( rD1 , t D ) + ( qBo )2 PD ( rD 2 , t D ) ⎤⎦ kh ⎣

rD1 =

r1 rw

rD 2 =

r2 rw

(1.73)

Extendido a n número de pozos:

∆PN =

141.2 µ ⎡( qBo )1 PD ( rD1 , t D ) + ( qBo )2 PD ( rD 2 , t D ) ⎤⎦ kh ⎣

(1.74)

141.2q µ B [ PD (rDi , tD ) ] kh i =1 n

∆PN = ∑

Si N es un pozo de observación (activo), entonces, en el pozo:


71

∆Pw =

141.2q µ B [ PD + s ] kh

(1.75)

Luego finalmente resulta;

141.2q µ B 141.2q µ B s [ PD (rDNi , tD )] + kh kh i =1 n

∆PN = ∑

N

(1.76)

↓ Incluye N

rDNi =

r1 rw

Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones adimensionales y no presiones. Si el punto de interés es un pozo en operación, el factor de daño debe adicionarse a la presión adimensional de ese pozo únicamente.

1.11.2. Superposición en Tiempo Algunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Fig. 1.30 y Fig. 1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposición. Para ello, un único pozo se visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un período de tiempo t - t2. El cambio en la presión en el pozo debido al cambio de rata es:

∆P =

141.2 µ B [ q1PD (rD , tD1 ) + (q2 − q1 ) PD (rD , tD 2 + s)] kh

(1.77)

Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen más variaciones en caudal:

∆P =

141.2 µ n ∑ ⎡( qB )i − ( qB )i−1 ⎤⎦ ( PD (rD , (t − ti ) D + s) ) kh i =1 ⎣

(1.78)

Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en producción. k = 76 md pi = 2200 psi h = 20 pies

φ = 20 % µ = 1 cp

B = 1.08 bbl/BF ct = 10x10-6/psi

Calcule la presión en el pozo 1 después de 7 hrs de producción y en el pozo 2 después de 11 hrs de producción. Asuma comportamiento infinito.


72

Caudal

q2

q1

t1 Tiempo

t2

Fig. 1.30. Superposición en tiempo Pozo 2

Pozo 1 100 pies

100

50

Caudal, BPD

Caudal, BPD

100

25

10 Tiempo, hrs s=5 rw = 1 pie

8

Tiempo, hrs

s=1.7 rw = 1 pie

Fig. 1.31. Superposición en tiempo

∆P(7 hr)= ∆P causado por el flujo del pozo 1

∆P7 hr ,rD =1 = tD =

+ ∆P causado por el flujo del pozo 2

⎞ 141.2µ q1 B 141.2 µ q2 B ⎛ 1002 = + + = ( 1, ) ( , tD ) ⎟ P r t s P r ( D D ) ⎜ D D D 1 kh kh ⎝ ⎠

0.0002637 kt 0.0002637(76)t = = 10020t (0.2)(10 × 10 −6 )12 φ µ ct rw2

En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, x = 70140 > 100, luego:


73

PD =

⎤ 1 ⎡ ⎛ tD ⎞ ⎢ln⎜ 2 ⎟ + 0.80907⎥ =5.98 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

En el pozo 2, tD = 10020t/1002 = 7.014. De la 1.9.a ó 1.9.b (referencia 6) PD = 1.4. Calculando ∆P en el pozo 1, resulta: ∆P7 hr , rD =1 =

141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1) ( 5.98 + 5) + (1.4 ) = 113.7 (76)(20) (76)(20)

Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psi PARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presión en el pozo 2. Se deben considerar dos ratas en cada pozo: ∆P(11hr ,rD =1) = 0.1(100) PD ( pozo 1 , t = 11 hr , rD = 100) + 0.1(50 − 100) PD ( pozo 1 , t = 11 − 10 hr , rD = 100) +0.1(25) PD ( pozo 2 , t = 11 hr , rD = 1 + s) + 0.1(100 − 25) PD ( pozo 2 , t = 11 − 8 hr , rD = 1 + s)

Para el pozo 1

tD = (10020/1002)(11) = 11 PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10 tD = (10020/1002)(1) = 1 PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6) Para el pozo 2 tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la fórmula da PD = 6.21 tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la fórmula PD = 5.56. Colocando ∆P en el pozo 2 se tiene:

∆P(11hr ,rD =1) = 0.1(100)(1.61) + 0.1(−50)(0.522) + 0.1(25)(6.21 + 1.7) + 0.1(75)(5.56 + 1.7) = 87.72 Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi

1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO 1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla Sellante De acuerdo con la Fig. 1.32, la caída de presión en el pozo activo es;

PDW = PDR + PDI

(1.79)


74

SISTEMA MODELADO

SISTEMA REAL Falla sellante

Pozo Productor

d

Pozo Productor

=

Pozo Productor (Imagen)

2d

Fig. 1.32. Pozo único cerca a una falla sellante

1 ⎛ 1 ⎞ Ei ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

(1.80)

1 ⎛ rD2 ⎞ = − Ei ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

(1.81)

PDR = −

PDI

rDI =

2d rw

Se asume s = 0, WBS = 0.

1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Línea de Presión Constante (empuje de agua) SISTEMA MODELADO

SISTEMA REAL

d

Presión constante

Pozo Productor

Pozo Inyector (Imagen)

Pozo Productor

=

2d

Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo Este sistema, matemáticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber más de un pozo por cuadrante.


75

n pozos =

360

θ

1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se Interceptan yD = by/bx Este sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.34.

EJEMPLO El pozo A en la Fig. 1.35 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea estimar su presión fluyendo después de una semana de producción. Las propiedades del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes:

s = -5 µ = 0.87 cp φ = 18 %

Pi = 2500 psi h = 40 ft rw = 6 in

B = 1.3 bbl/STB ct = 15x10-6 /psi k = 220 md

Cual será la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción? Cual sería la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción si el pozo estuviera en un yacimiento infinito?

SOLUCION La caída de presión en el pozo A está afectada por su propia caída de presión y la caída de presión causada por sus pozos imágenes. La distancia del pozo A a sus pozos imaginarios se muestran en la Fig. 1.36. La caída de presión total para el pozo A es: ∆PA = ∆PA, r = rw + ∆Pimage 1, r = 500 ft + ∆Pimage 2, r =866 ft + ∆Pimage 3, r =1000 ft + ∆Pimage 4, r =866 ft + ∆Pimage 5, r = 500 ft

Por simetría la expresión anterior se convierte en: ∆PA = ∆PA,r =rw + 2∆Pimage 1,r =500 ft + 2∆Pimage 2,r =866 ft + ∆Pimage 3,r =1000 ft

El parámetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.

xwell A =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10 −5 )(0.5) 2 = 1.5 x10− 8 , Ei = 17.433 (220)(168)

ximage well 1 or 5 =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10−5 )(500) 2 = 0.015, Ei = 3.633 (220)(168)


76

Pozo imagen

Pozo imagen

2by by

= bx

Pozo imagen

Pozo real

2bx

Fig. 1.34. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan 500 ft

° 60

YD=1 Pozo A

t 0f 50

Fig. 1.35. Localización del pozo A (método de las imágenes) Imagen Pozo 2

Imagen Pozo 1

866

ft

Imagen Pozo 3

100

500 ft

500 ft

866 ft Pozo A

0 ft

50 0f

Imagen Pozo 4

t

Imagen Pozo 5

Figure 1.36. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por dos fallas de intersección las cuales forman un ángulo de 60°


77

ximage well 2 or 4 =

ximage well 3 =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10−5 )(866 2 ) = 0.0452, Ei = 2.564 (220)(168)

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10 −5 )(1000 2 ) = 0.06, Ei = 2.291 (220)(168)

Entonces, la caída de presión en A resultará:

[

]

∆p A = 70.6

qµ B Ei A,r =rw − 2s + 2 Ei image 1,r =500 ft + 2 Ei image 2,r =866 ft + Ei image 3,r =1000 ft kh

∆PA = 70.6

(380)(0.87)(1.3) [17.433 − 10 + 2(3.633) + 2(2.564) + 2.291] = 76.3 psi (220)(40)

La presión fluyendo en el pozo A es:

Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psi Si el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribución de la no caída de presión sería obtenida de los pozos imaginarios, entonces: ∆PA = 70.6

qµ B ⎡ Ei A,r = rw + 2 s ⎤⎦ kh ⎣

∆PA = 70.6

(380)(0.87)(1.3) [17.434 − 10] = 25.63 psi (220)(40)

La presión fluyendo del pozo entonces sería de 2474.4 psi. Se observó que las fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de caída de presión total en el pozo A.


78

2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN Estas pruebas se efectuan con el fin de obtener: • Permeabilidad promedia en el área de drene del pozo • Volumen poroso del yacimiento • Determinar heterogeneidades (en el área de drene) Lo que directamente se obtiene es: • Transmisibilidad • Volumen poroso por compresibilidad total

Como se hace una prueba de declinación de presión • • •

Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la estabilización en todo el yacimiento (sino hay estabilización probablemente se requiera una prueba multitasa). Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones (Mínimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad de los datos). Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf.

La duración de una prueba de declinación puede ser unas pocas horas o varios días, dependiendo de los objetivos de la prueba y las características de la formación. Pruebas de declinación extensas o pruebas límite (reservoir limit tests, RLT) se corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros objetivos son: Hallar k, s, WBS, φ, forma del yacimiento y tamaño del yacimiento. Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presión estática del yacimiento antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo es difícil o impráctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de pruebas se analizan mediante pruebas multitasa.

2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) Es el flujo continuado de la formación hacia el pozo después de que el pozo ha sido cerrado para estabilización. Se le denomina también postflujo, postproducción, postinyección, carga o descarga. En pruebas de declinación ocurre descarga (unloading). El flujo ocurre por la expansión de fluidos en el pozo. En pruebas de restauración de presión ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior.


79

DECLINACION

RESTAURACION

q

q

Caudal en cabeza

Caudal en cabeza

flujo en la cara del pozo

t

flujo en la cara del pozo

t

Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauración y caída de presión 1

C1 C2

q sf /q

C3

0

tD

Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C1 Las pruebas tradicionales de presión tuvieron que ser lo suficientemente largas para sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y daño de modo que se pudiera obtner una línea recta indicando el comportamiento del flujo radial. Incluso esta aproximación presenta desventajas ya que más de una línea aparente puede aparecer y los analistas tienen problemas decidiendo cual línea usar. Aunado a ello, la escala del gráfico podría evidenciar ciertas respuestas de presión como rectas cuando en realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el método de las curvas tipo. Existe flujo en la cara el pozo después del cierre en superficie. El almacenamiento afecta el comportamiento del transiente de presión a tiempos tempranos. Matemáticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presión de fondo:


80

C=

∆V ∆P

El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie más despacio que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relación qsf/q cuando se cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0 la relación qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor será la transición. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos severos, la formación empieza a influenciar más y más la presión de fondo hasta que se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de presión que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este análisis es tedioso, a no ser que se utilice la técnica denominada Tiab’s Direct Síntesis Technique que se presentará más adelante en esta unidad. Normalmente, q es controlada en superficie (a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata transmisión de la perturbación desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo. JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0

C = CwbVwb

MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

⎛ 144 ⎞ C =⎜ ⎟ Vu ⎝ ρ ⎠

Fig. 2.2. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado


81

10

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=0

P D y t D*P D'

1

0.1

0.01 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 2.3. Presión y derivada de presión para un pozo con incremento del almacenamiento 10

8

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=0

PD

6

4

2

0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.4. Gráfico semilo para un pozo con almacenamiento incremental El almacenamiento puede cambiar durante una prueba de presión tanto en pozos inyectores como productores. Varias circustancias causan cambios en el almacenamiento, tales como redistribución de fases e incremento o decremento del almacenamiento asociado con pruebas de presión en pozos inyectores. En pozos inyectores, una vez se cierra el pozo, la presión en superficie es alta pero podría decrecer a la presión atmosférica e ir al vacío si la presión estática es inferior a la presión hidrostática. Esto causa incremento del almacenamiento (hasta 100 veces) de un sistema incompresible a uno de un sistema donde el nivel de líquido cae. Ver Fig. 2.2. El comportamiento de la presión y la derivada se muestran en las Figs. 2.3 y 2.4. La situación inversa ocurre en pozos inyectores con un alto nivel de aumento del nivel de almacenamiento en el líquido y en productores con alto GOR o por


82

redisolución del gas libre. La Fig. 2.5 muestra un pozo produciendo bajo bombeo con empaque. Mientras se bombea el nivel del pozo se mantiene por debajo del empaque, pero se incrementa cuando se cierra el pozo debido a que el gas en el pozo se redisuelve o se comprime. Cuando el nivel de líquido alcanza el empaque (existirá una pequeña cantidad de gas), el almacenamiento caerá de un valor relativamente alto para aquel de un nivel de líquido incremental a un valor relativamente pequeño para la situación de compresión controlada. Puede verse en las Figs. 2.6 a 2.8 anteriores que tanto para aumento o decremento del almacenamiento, el segundo coeficiente de almacenamiento determina el comienzo de la línea recta semilogarítmica. Ver los comportamientos de presión en las Figs. 2.6, 2.7 y 2.8. Si existe gas por encima del nivel de líquido, su compresibilidad debe considerarse para estimar el almacenamiento. Para estos casos es mejor utilizar la ecuación de la definición. Cuando la relación entre ∆V y ∆P no cambia durante la prueba, el coeficiente de almacenamiento es constante y puede estimarse de datos de Completamiento. Para un nivel de fluido variable: JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

⎛ 144 ⎞ C =⎜ ⎟ Vu ⎝ ρ ⎠

C = CwbVwb

Fig. 2.5. Decremento del coeficiente de almacenamiento para un pozo bajo bombeo con empaque 100

P D y t D*P D'

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.032 bbl/psi 10

1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD


83

Fig. 2.6. Presión y derivada de presión para un pozo con decremento del almacenamiento 20

16

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.032 bbl/psi

PD

12

8

4

0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.7. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental 100

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.008 bbl/psi

P D y t D*P D'

10

1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.8. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental más acentuado

⎛ 144 ⎞ C=⎜ ⎟ Vu ⎝ ρ ⎠ Vu volumen del wellbore/unidad de longitud, bbl/pie ρ densidad del fluido en el wellbore, lbm/pie3 C Coeficiente de almacenamiento, bbl/psi Para pozos inyectores o pozos completamente llenos de fluidos:


84

C = CwbVwb Cwb Compresibilidad del fluido en el wellbore = 1/Pwb Vwb Volumen total del pozo

2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE Al abrir el pozo, ver Fig. 2.9, la producción de petróleo será dada por el fluido que está almacenado en éste (pozo), qsf = 0. A medida que transcurre el tiempo, qsf tiende a q y el almacenamiento se desprecia y la cantidad de líquido en el pozo será constante. La acumulación líquida será (asumiendo B constante):

vwb = Awb (Z ) , la rata de flujo es entonces

dv wb dZ = Awb dt dt q

pt

Awb

z

qsf

pw

Fig. 2.9. Representación esquemática del almacenamiento

dvwb 24 dZ = ( qsf − q ) B = Awb 5.615 dt dt

(2.1)

qsf y q están dados en BF/D. Puesto que Pw – Pt = ρZ/144 (asumiendo g/gc = 1). Siendo ρ la densidad del fluido en lbm/pie3 y Pt es la presión en superficie. Derivando;


85

d ρ dZ ( Pw − Pt ) = 144 dt dt

(2.2)

Combinando las Ecs. 2.1 y 2.2, resulta:

( qsf − q ) β o =

24(144) Awb d ( Pw − Pt ) 5.615 ρ dt

Defina C como; C=

144 Awb 5.615 ρ

(2.3)

Asumiendo Pt constante, reemplazando C y despejando qsf:

qsf = q +

24C dPw B dt

(2.4)

Pw = Pi −

141.2q µ B PD kh

(2.5)

0.0002637 kt φ µ ct rw2

tD =

de donde:

t=

φ µ ct rw2 t D

(2.6)

0.0002637 k

La derivada de la Ec. 2.6 es:

dt =

φ µ ct rw2 0.0002637 k

dt D

(2.7)

Derivando Pw Ec. 2.5 con respecto a t:

dPw 141.2q µ B dPD =− dt kh dt


(2.8)

86

Reemplazando dt de la Ec. 2.7 en la Ec. 2.8:

dPw 141.2q µ B =− dt kh

dPD φ µ ct rw2 dt D 0.0002637 k

dPw ⎛ 0.0373qB ⎞ dPD = ⎜− ⎟ dt ⎝ φ h ct rw2 ⎠ dt D

(2.9)

Combinando las Ecs. (2.4) y (2.9)

qsf = q −

CD =

0.894qC dPwD φ ct hrw2 dt D

0.894C φ ct hrw2

dPwD dt D

(2.11)

dPwD dt D

(2.12)

qsf = q − CD q

qsf q

= 1 − CD

(2.10)

Si CD = 0 entonces, qsf = q. Las principales ventajas de usar cierre en fondo de pozo es la minimización de los efectos de almacenamiento y duración del postflujo. Cuando la válvula de cierre en fondo es accionada, el flujo hacia arriba dentro del pozo se interrumpe. Entretanto el flujo continua entrando a la cámara a una rata que declina exponencialmente.

2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY De acuerdo con la Fig. 2.10 se observa que a tiempos iniciales qsf = 0. Luego, qsf/q = 0, por tanto la Ec. 2.12 se convierte en:

1 − CD

dp wD =0 dt D

Separando variables;


(2.13)

87

PwD

CD

∫ dP

wD

0

tD

= ∫ dt D 0

Integrando:

C D PwD = t D

(2.14)

Tomando logaritmo a ambos lados:

log PwD = log t D − log C D Claramente se observa que la pendiente es uno. Luego en cualquier oportunidad que se grafique PD vs. tD y al comienzo da una recta con pendiente unitaria, lo que es una buena indicación que existe almacenamiento. De la Ec. 2.14;

CD = tD / PwD Si se sustituyen los valores de CD, tD y PwD, se obtendrá:

C=

qB t 24 ∆P

(2.15)

Esta última ecuación sirve para determinar C a partir de datos de P vs. t reales en una prueba de declinación de presión. Al graficar, se toma un punto cualquiera sobre la recta de pendiente 1 y se calcula C mediante:

C=

tN qB 24 ( Pi − Pwf ) N

(2.16)

C obtenido por la Ecs. 2.15 ó 2.16 debe coincidir con el valor obtenido de C = 144Vu/ρ. En caso contrario, podría haber una indicación de que el líquido está cayéndose o elevándose. Las razones más comúnmente atribuidas son alta relación gas-petróleo en el pozo, pozos altamente estimulados, empaques con escapes o espacios en las conexiones con el pozo (causados por colapso de la formación o mala cementación) y pozos usados para inyección de fluidos viscosos. En conclusión, las propiedades de las curvas tipo de Ramey permiten identificar (a) una pendiente unitaria que indica el almacenamiento, y (b) el desvanecimiento de los efectos de almacenamiento.


1.E+02

CD=0

PD

1.E+01

00 10 D= C

0 =1 CD

0 00

00 000

1 CD=

s

1.E+00

CD =1 0

0

20 10 5 0 -5

1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD Fig. 2.10. Presión adimensional para un pozo en un yacimiento infinito (almacenamiento y daño)

1.E+08

89

1.E+00

CD e

2s

30

∆p 24C 1.E-01 ∆t qB

10 10 25 10 20 10 16 14 10 12 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 10 4 10 3 2 10 10

1.E-02 1.E+03

1.E+04

kh ∆t md − ft hr , µ C cp bbl / psi

1.E+05

1.E+06

Fig. 2.11. Curva tipo para pozo en yacimiento infinito con almacenamiento y daño

89

90

2.3.1. Ajuste por Curvas Tipo de Ramey, Procedimiento Al igual que Tiab´s Direct Synthesis Technique, que se verá más adelante en esta unidad, el ajuste por curvas tipo es el único procedimiento que puede aplicarse en pruebas cortas donde no se ha desarrollado el flujo radial (línea semilog). Sin embargo, el ajuste por curvas tipo es riesgoso por ser una técnica basada en ensayo y error, pero puede proporcionar resultados aproximados incluso cuando los métodos convencionales fallan. Un error en un milímetro puede causar diferencias de presión de hasta 200 psi. El procedimiento es el siguiente: 1) Grafique ∆P vs. t (field data plot, fdp) en papel logarítmico usando la misma escala de la curva maestra dada en la Fig. 2.10. 2) Coloque el fdp sobre la curva maestra de modo que los ejes sean paralelos. 3) Obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la curva tipo. Ver Fig. 2.12. 4) Escoja un punto de ajuste conveniente y lea las coordenadas correspondientes ∆PM, tM, PDM, tDM, y CDM. 5) Calcule k

k = 141.2

q µ B ⎛ PDM ⎞ ⎜ ⎟ h ⎝ ∆PM ⎠

(2.17)

6) Estime la porosidad 1.E+02

∆P, psi

PD

1.E+01

1.E+00

∆t, hr 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD

Fig. 2.12. Ajustando datos de presión a la curva tipo


1.E+08

91

0.0002637 k ⎛ t M ⎜ µ ct rw2 ⎜⎝ t DM

φ=

⎞ ⎟⎟ ⎠

(2.18)

7) Estime el almacenamiento

C=

φ ct hrw2 0.8936

C DM

(2.19)

2.3.2. Método de Earlougher 1) Grafique ∆P/t vs. t y ajuste con la Fig. 2.11. Escoja cualquier punto conveniente y lea:

⎛ ∆P 24C ⎞ ⎛ kh t ⎞ ⎛ ∆P ⎞ (CD e 2 s ) M , ⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , tM ⎟ ,⎜ ⎝ t qB ⎠ M ⎝ µ c ⎠ M ⎝ t ⎠ M

(2.20)

2) Calcule C

qβ ⎛ ∆P 24C ⎞ 24 ⎜⎝ t qβ ⎟⎠ M C= ⎛ ∆P ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ t ⎠M

(2.21)

Si el ajuste fue erróneo debe repetir el proceso. 3) Calcule k

k=

µC ⎛ kh t ⎞ ⎜ ⎟ h ⎝ µ c⎠ M tM

(2.22)

4) calcule s ⎤ 1 ⎡ φ µ ct hrw2 s = ln ⎢ (CD e 2 s ) M ⎥ 2 ⎣ 0.89359C ⎦


(2.23)

92

Ejercicio: Resuelva el problema propuesto anteriormente por el método de Ramey. Respuestas s = 20, CD = 103. 2.3.3. Método Semilog

1) Comportamiento de un pozo único en un yacimiento infinito. En el pozo rD = 1, luego:

PD =

⎤ 1 ⎡ ⎛ tD ⎞ ⎢ln⎜ 2 ⎟ + 0.80907 ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

(2.24)

Incluyendo factor de daño, resulta:

PD + s =

kh( Pi − Pwf ) 141.2q µ B

(2.25)

En la cara del pozo rD = 1, luego:

PD =

1 ⎡ ln ( t D ) + 0.80907 + 2 s ⎦⎤ 2⎣

Reemplazando la Ec. 2.24 en la Ec. 2.25 ⎤ kh( Pi − Pwf ) 1 ⎡ ⎛ 0.0002637 kt ⎞ = ⎢ ln ⎜ ⎟ + 0.80907 + 2 s ⎥ 2 141.2q µ B 2 ⎣ ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎦

(2.26)

(2.27)

Como el papel semilog no esta en escala de logaritmo natural, se debe pasar a escala de log en base 10. Por lo tanto dividiendo todo por el ln 10 se tiene:

⎡ ⎛ 0.0002637 kt ⎞ ⎤ ⎟ = ⎢ln ⎜⎜ s 0 . 80907 2 + + ⎥ / ln(10) 70.6qµ β ln(10) ⎣ ⎝ φ µ ct rw2 ⎟⎠ ⎦ kh( pi − pwf )

Lo cual se reduce a:

⎡ ⎤ ⎛ kt ⎞ 0.80907 / ln(10) 2 s / ln(10) = ⎢ log(0.0002637) + log ⎜ + + ⎥ ⎟ 2 162.6q µ B ⎣ ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎦

kh( Pi − Pwf )

⎡ ⎤ ⎛ kt ⎞ = ⎢ −3.5789 + log ⎜ + 0.3514 + 0.8686 s ⎥ 2 ⎟ 162.6q µ B ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦

kh( Pi − Pwf )


(2.28)

93

De donde;

Pwf = Pi −

⎤ 162.6 q µ B ⎡ ⎛ kt ⎞ − + log 3.2275 0.8686 s ⎢ ⎜ ⎥ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦

(2.29)

De la pendiente;

kh =

162.6 q µ B m

(2.30)

El tiempo de arranque de la línea recta es (verifica donde arranca m y donde WBS ha terminado) puede estimarse de:

t D ≅ ( 60 + 3.5s) C D , en unidades de campo es:

t SSL =

3388 .6(60 + 3.5 s ) µ C ( 203316 + 11890 s ) µ C = kh kh

t SSL =

( 200000 + 12000 s ) µ C kh

(2.31)

Pwf cae menos

s<0

Pwf

m s>0

Barrera de flujo

Mayor caida de presion

2m Barrera de no flujo

log t Fig. 2.13. Comportamiento de la presión observada en un gráfico semilog


94

Ya sea que los datos sean registrados en superficie con tiempo real o en fondo los datos deben validarse en el sitio del pozo. La validación asegura que los datos adquiridos son adecuados para satisfacer los objetivos de la prueba. Cuando se leen datos en superficie en tiempo real, la validación en el sitio del pozo revela el momento en que se han registrados suficientes puntos para la prueba de modo que ésta deba terminarse y se optimice el tiempo del equipo. Examinar el tSSL y los datos de presión adquiridos de presión y su derivada vs. tiempo en un gráfico log-log es el enfoque de la validación en el sitio del pozo. Sin embargo, la estimación del tSSL puede requerir ensayo y error por lo que se prefiere usar la derivada para determinar con mejor exactitud y practicidad dicho tiempo. Este valor puede identificarse con el comienzo del flujo radial en el gráfico de la derivada. Con base en el tSSL es que se diseña la prueba; el tiempo de diseño de prueba es T = 10tSSL. El tiempo de estabilización de la declinación (tiempo requerido para alcanzar las fronteras de no flujo) durante la prueba se puede determinarse como sigue (para un pozo en el centro de la mayoría de sistemas simétricos, tDA = 0.1 de la tabla 2.1): t DA =

0.0002637 kt φ µ ct A

0 .1 =

0.0002637 kt φ µ ct A

t s = 380

(2.32)

µ φ ct (43560 A)

t s = 1200

(2.33)

k

µ φ ct (43560 A) k

Lee proporcionó la solución de la ecuación de flujo para la condición de inyección instantánea: const − P = Pi + e t

948φµ ct r 2 kt

Derivando la función de presión con respecto a t: − dP = const ln t e dt

948φµ ct r 2 kt

const − − e t

948φµ ct r 2 kt

948φµ ct r 2 ln t k

Factorizando:


95

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos

CA

Yacimientos finitos

Exacto Para tDA >

Menos de Use solución de sistema 1 % error infinito con menos de para tDA > 1 % error for tDA >

31.62

0.1

0.06

0.1

31.6

0.1

0.06

0.1

27.6

0.2

0.07

0.09

27.1

0.2

0.07

0.09

21.9

0.4

0.12

0.08

0.098

0.9

0.6

0.015

30.8828

0.1

0.05

0.09

12.9851

0.7

0.25

0.03

4.5132

0.6

0.30

0.025

3.3351

0.7

0.25

0.01

1

21.8369

0.3

0.15

0.025

1

10.8374

0.4

0.15

0.025

1

4.5141

1.5

0.50

0.06

1

2.0769

1.7

0.5

0.02

1

3.1573

0.4

0.15

0.005

60°

1/3 1 4 3

1

1

1

1

1


96

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos – Cont. Exacto para tDA >

CA

Menos de Use solución de sistema 1 % error infinito con menos de para tDA > 1 % error for tDA >

1

0.5813

2.0

0.6

0.02

1

0.1109

3.0

0.6

0.005

1

5.379

0.8

0.3

0.01

1

2.6896

0.8

0.3

0.01

1

0.2318

4.0

2.0

0.03

1

0.1155

4.0

2.0

0.01

2.3606

1.0

0.4

0.025

2

2

4

4

4

4

1

2 2 Use (Xe/Xf) in place of A/rw for fractured reservoirs

5 Vertical-Fractured reservoirs xf/xe=0.1

1

2.6541

0.175

0.08

Cannot use

2.0348

0.175

0.09

Cannot use

1.9986

0.175

0.09

Cannot use

1.662

0.175

0.09

Cannot use

1.3127

0.175

0.09

Cannot use

0.7887

0.175

0.09

Cannot use

1 xf/xe=0.2

1 1 xf/xe=0.3

1 1 xf/xe=0.5

1 1 xf/xe=0.7

1 1 xf/xe=1.0

1 1 Water-Drive reservoirs

19.1

--

--

--

25.0

--

--

--

Unknown Drive mechanism


97

− dP = const ln t e dt

948φµ ct r 2 kt

⎡ 1 948φµ ct r 2 ⎤ ⎢1 − ⎥ k ⎣ t ⎦

⎡ 1 948φµ ct r 2 ⎤ dP = 0 = ⎢1 − ⎥ dt k ⎣ t ⎦ Para un sistema radial el tiempo máximo es determinado fijando la derivada a cero y despejando el tmax. t max =

948φ µ ct r 2 k

(2.34)

el radio de drenaje (para un sistema radial) rd = 0.029

k ts µ φ ct

(2.35)

y para cualquier tiempo de producción, tp, el radio de investigación está dado por: rinv = 0.0325

k tp

µ φ ct

(2.36)

El tiempo al cual el periodo de estado pseudoestable (presión se convierte en función lineal del tiempo) tiene lugar está dado por: t pss =

948 φ µ ct re2 k

(2.37)

Para cualquier tiempo de producción, tp, la Ec. 2.37, se puede expresar como: tp =

2 948φ µ ct reinv k

(2.38)

La Ec. 2.37 es apropiada para geometrías cuadradas. Sin embargo, para sistemas circulares, la Ec. 2.38 puede proporcionar buenos resultados ya que ésta toma un poco más de tiempo para alcanzar la frontera. Para estos casos, la relación apropiada es: t pss =

1190φ µ ct re2 k


(2.39)

98

La caída de presión dimensional es dada por la Ec. 1.27.a. De la Ec. 1.43, la contribución a la caída de presión ocasionada por el daño se debe al último término, llámese 0.8686s multiplicado por -162qµB/kh. Luego: ∆Ps = −0.87( m ) s ⎧k ⎫ r ∆Ps = −0.87( m) ⎨ − 1⎬ ln s ⎩ k s ⎭ rw

s normalmente es mayor -5, rara vez es -10 (múltiples fracturas). a) Radio Efectivo o Aparente del Pozo.

rw ' = rwe − s Donde;

⎡ P − Pi ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ m ⎦

(2.40)

b) Factor de Eficiencia de Flujo, FE

FE =

J real J ideal

Si FE < 1 existe daño, de lo contrario hay estimulación. Los índices de productividad, J, se estiman mediante:

Jideal =

Jreal =

q P − Pwf −∆Ps q P − Pwf

Para maximizar el índice de productividad: • Incrementar la permebilidad en la zona aledaña al pozo - Fracturamiento • Reducir la viscosidad – Inyección de vapor


99

• Remosión del daño - Acidificación • Incrementar la penetración del pozo • Reducir el factor volumétrico de formación – Escogiendo separadores correctos en superficie

FE = 1 −

∆Ps P − Pwf

(2.41)

P presión promedia del área de drene o presión inicial en yacimientos nuevos. c) Relación de Daño, DR, DR=1/FE d) Factor de Daño, DF. DF = 1 - FE

DF =

s s + ln

re rw

= 1−

qd q

qd es el caudal de daño real (caudal con daño) Si DF > 0; pozo dañado Si DF < 0; pozo estimulado o mejorado e) Relación de productividad, PR

⎛r ⎞ ln ⎜ e ⎟ q ⎝ rw ⎠ PR= p = qo ⎛r ⎞ ln ⎜ e ⎟ + skin ⎝ rw ⎠ f) Pérdida Anual de Ingresos/año, US$

FD$ L = 365q (OP )DF

siendo OP, el precio del petróleo.

Ejemplo, Cuál será la pérdida anual de un pozo que produce 500 BFD, el cual tiene un factor de daño de 8, drena un área de 120 acres y tiene un radio de 6 pulg. Asuma que el precio del crudo es 18 US$. 120 acres = 5227200 pie². Asumiendo área circular r = 1290 pies.


Pwf

Pe nd ien te

log Pwf

100

De la pendiente se obtiene permeabilidad y daño

De la linea de pendiente unitaria se obtiene almacenamiento

log t

log t

Fig. 2.14. Características de los gráficos semilog y log-log

DF =

s = 0.5045 , luego FD$L=2’071603.125 dólares. s + ln(re / rw )

2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)

Es una prueba larga de caída de presión. La prueba de caída de presión es usada para estimar condiciones artificiales (C y s), Fig. 2.14, mientras que RLT trata con las fronteras. En un gráfico cartesiano, Fig. 2.15, se distinguen tres zonas: Región I: Flujo inestable. Se usa log-log para determinar C. teus es el fin del flujo inestable (aparece el pseudoestable).

t eus =

φ µct re2 0.0002637 k

(2.32)

El tiempo del inicio del estado pseudoestable es;

t pss =

φ µ ct re2 0.00088 k

Note que teus = t pss / π


(2.43)

101

Region III

Region II

wf

P , psi

Region I

t ≈

φ µ c t re2 0.0002637k

t≈

φ µ ct re2 0.00088k

Time, hrs

Fig. 2.15. Características encontradas en el gráfico cartesiano El estado pseudoestable es gobernado por:

PD = 2π t D +

⎛ 2.2458 ⎞ 1 ⎛ A⎞ ln⎜ 2 ⎟ + ln⎜ ⎟ 2 ⎝ rw ⎠ ⎝ CA ⎠

(2.44)

El área está dada en pies² y CA es el factor de forma. La mayoría de las curvas están dadas para rA/rw = 2000. Región II: Flujo transitorio - radial. La ecuación gobernante es:

PD =

kh pi − p wf − s 141.2qµ β

(

)

(2.45)

Región III: Flujo pseudoestable

De la Ec. 2.44 y combinando con los parámetros adimensionales (tDA y PD), se tiene:

⎤ ⎡ 0.23395qB ⎤ ⎛ 2.2458 ⎞ 70.6qµ B ⎡ A Pwf = − ⎢ ⎢ ln 2 + ln ⎜ ⎟ + 2s ⎥ ⎥ t + Pi − kh ⎝ CA ⎠ ⎣ φ ct Ah ⎦ ⎣ rw ⎦ --- m* --------------------------- b --------------------De la pendiente m*, se obtiene el volumen poroso:


(2.46)

102

m* = −

Vp = −

0.23395qβ φ ct Ah

(2.47)

0.23395qB ct m *

(2.48)

Del intercepto se obtiene el factor de forma:

pINT = pi −

⎤ 70.6qµ β ⎡ A ⎛ 2.2458 ⎞ ⎟ + 2 s⎥ ⎢ln 2 + ln⎜⎝ kh A ⎠ ⎣ rw ⎦

(2.49)

Y el factor de forma es: P

− Pint

m 2.303 1hrm C A = 5.456 e m*

(2.50)

Con CA vaya a la tabla 2.1 para determinar la geometría del yacimiento. a) De dicha tabla encuentre el valor de CA más cercano al valor obtenido con la Ec. 2.50 b) Calcule el tD al arranque del estado pseudoestable . ( t DA ) PSS = 01833

m* t pss m

(2.41)

c) Compare el valor (tDA)PSS con la columna “exacto para tDA > “ en la tabla 2.1. Si (tDA)PSS es menor que el valor obtenido de esa columna entonces esa debe ser la forma que más se ajusta al sistema. 2.5. CONTROL DE CALIDAD

Usar más de una herramienta en una prueba para verificar que funcionan bien. La diferencia en las presiones registradas debe ser muy cercana y está dada por la diferencia en presión hidrostática entre un registrador de presión y otro tal como se muestra en la Fig. 2.16. 2.6. REGIMENES DE FLUJO

• • • • •

Pendientes de la Derivada Almacenamiento Estado Pseudoestable Estado Estable Hemicilindrico


103

Registrador de presion # 1

P = Preg − ρ gh

Registrador de presion # 2

h

P = Preg

Fig. 2.16. Esquematización del control de calidad

VISTA DE PLAN

PERFIL

No Flujo

No Flujo

No Flujo

No Flujo

Fig. 2.17. Representación del flujo lineal (yacimiento alargado) 3D

PLANTA

PERFIL

Fig. 2.18. Representación del flujo lineal (pozo fracturado hidráulicamente)


104

PLANTA

PERFIL

Fig. 2.19. Representación del flujo radial

VISTA DE PLAN

PERFIL No Flujo

Hemisférico Radio externo

No Flujo No Flujo

Esférico

Radio externo

No Flujo

Fig. 2.20. Representación del flujo esférico y hemisférico • • • •

Pseudoradial Elíptico Biradial Esférico

El flujo radial es el régimen de flujo más importante en interpretación de pruebas de presión. Este se reconoce por una extensión constante o tren plano en la derivada. La geometría de flujo radial se describe como líneas de corriente que convergen hacia un cilindro circular. Ver Fig. 2.21. En pozos completados en todo el intervalo perforado, el cilindro puede representar la porción del pozo intersectando toda la formación. En formaciones parcialmente penetradas, el flujo radial podría estar restringido a tiempos


105

tempranos a solo una sección del intervalo de la formación donde el flujo es dirigido hacia el pozo. Cuando el pozo está estimulado o en pozos horizontales, el radio efectivo para el flujo radial podría estar alargado (flujo pseudoradial).Los pozos horizontal pueden exhibir flujo radial de tiempo temprano en el plano vertical normal al pozo. Si el pozo está localizado cerca de una barrera de no flujo (falla) la respuesta de presión puede exhibir flujo radial al pozo seguido por flujo radial al pozo más su imagen a través de la barrera. Cuando quiera que exista el flujo radial se puede estimar los valores de k y s. Cuando el flujo radial toma lugar a tiempos tardíos, se puede estimar la presión extrapolada del yacimiento en pruebas de restauración de presión. El flujo esférico ocurre cuando las líneas de corriente convergen a un punto (Fig. 2.32). Este régimen ocurre en pozos que han sido parcialmente completados o formaciones parcialmente penetradas. Para el caso de completamiento parcial o penetración parcial cerca al tope o la base de la formación, la capa impermeable más cercana impone un flujo hemisférico. Tanto el flujo esférico como el hemisférico son vistos en la curva de la derivada como una pendiente negativa con valor de 0.5. Una vez determinada la permeabilidad del flujo radial, esta puede usarse con la permeabilidad horizontal para determinar la permeabilidad vertical. Esta última es importante para predecir conificación de gas o agua. La geometría del flujo lineal consta de vectores de flujo paralelos. El flujo lineal es identificado por una tendencia de pendiente positiva de valor 0.5 en el gráfico de la derivada. Este régimen se presenta en pozos hidráulicamente fracturados, pozos horizontales y yacimientos alongados. Puesto que las líneas de corriente convergen a un plano, los parámetros asociados con el flujo lineal son la permeabilidad de la formación en la dirección de las líneas de flujo y el área de flujo normal a las líneas de corriente. La permeabilidad horizontal determinada de otro régimen de flujo puede usarse para estimar el ancho del área de flujo. Esto proporciona la longitud media de la fractura en un pozo hidráulicamente fracturado, la longitud de producción efectiva de un pozo horizontal, y el ancho de un yacimiento alongado, al igual que la posición del pozo dentro del mismo. La combinación de los datos de flujo radial (o cualquier otro) puede proporcionar los valores principales de la permeabilidad en x o la permeabilidad vertical para estimar los valores de las permeabilidades direccionales de la capa. En una formación anisotrópica, la productividad de un pozo horizontal es más efectiva perforando el pozo en la dirección normal a la máxima permeabilidad horizontal. El flujo biradial o flujo elíptico se presente en pozos horizontales o en pozos hidráulicamente fracturados exhibiendo una pendiente positiva de 0.36 (ó 0.35 según otros investigadores). Este se presenta en fracturas largas y pozos horizontales donde la geometría de las líneas de corriente son de naturaleza elíptica. Los pozos hidráulicamente fracturados con fracturas de baja conductividad pueden exhibir flujo bilineal adicional al flujo lineal. Este régimen ocurre por una caída de


106

presión en la fractura misma que resulta en líneas de corriente paralelas en la fractura al mismo tiempo que existen líneas de flujo en la formación (normales a las de la fractura). El término bilineal se refiere a dos flujos lineales simultáneos que ocurren direcciones normales. El tren de la derivada para este patrón de flujo muestra una pendiente positiva de un cuarto. Cuando se conocen la longitud media de la fractura yb la permeabilidad de la formación, la conductividad de la fractura puede determinarse del flujo bilineal. El régimen de flujo compresión/expansión toma lugar cuando el volumen que contiene la perturbación de presión no cambia con el tiempo y la presión en todos los puntos dentro del volumen invariable varía en la misma forma. Este volumen puede limitarse por una porción o todo el pozo, una zona compuesta limitada, o un volumen de drene cerrado. Si el pozo es el factor limitante, el régimen de flujo es llamado almacenamiento (wellbore storage); si el factor limitante es el volumen total de drene, este comportamiento se conoce como estado pseudoestable. La derivada de la compresión/expansión aparece como una pendiente unitaria. Una o más pendientes unitarias precediendo al flujo radial pueden representar efectos de almacenamiento. La transición del periodo de almacenamiento a otro régimen de flujo usualmente aparece como una joroba, lomo o pico (Fig. 2.26). El régimen de flujo de almacenamiento representa una respuesta que es efectivamente limitada al volumen del pozo. Por lo tanto proporciona muy poca información acerca del yacimiento. Más aún, este puede enmascarar repuestas importantes a tiempos tempranos que sirven para caracterizar aspectos cercanos al pozo incluyendo penetración parcial o radio de daño finito. Este régimen de flujo es minimizado (nunca eliminado) cerrando el pozo cerca al intervalo productor. El lector debe ser consciente que en formaciones de considerable espesor o en fracturas hidráulicas el almacenamiento puede prevalecer. Cerrar el pozo en fondo puede reducir la porción de datos dominada por almacenamiento en dos o más ciclos logarítmicos. En algunos pozos probados sin cierre en fondo, los efectos de almacenamiento pueden durar varios días. Después del flujo radial, puede ocurrir una pendiente unitaria que no corresponde al comportamiento final observado y que podría resultar de la producción de una zona dentro de otras zonas (o múltiples zonas en una sola). Este comportamiento es acompañado por flujo cruzado en el pozo y ocurre cuando las zonas compuestas se han repletado diferentemente. Si ocurre pendiente unitaria al final de la prueba, se asume que existen condiciones de estado pseudoestable para todo el volumen del área de drene y solo se observa en pruebas de declinación de presión. El volumen del yacimiento puede estimarse de ests régimen de flujo. La apropiada identificación de los regimens de flujo, loo cual aparece como un patron característico exhibido por la derivada de presión,is importante porque un régimen de flujo es la geometría de las líneas de corriente de flujo en la formación probada. Para cada régimen de flujo identificado un conjunto de propiedades del yacimiento pueden calcularse usando solo una porción del los datos del transiente de presión que exhibe el comportamiento del patrón carácterístico.


107

Es fér ico /he mis fér ico

Al

l

le

al

Ps eu do he mis fér ico

stab

Biline

ea Lin

l

do e Es ta

al Line

i co lípt al/e i d Bira

al ine L l a Du Radial

ea Lin

a er 1 nt = fro m a ta , Un ier ab

m ac en am ie nt o

Radial

Ps eu do es ta bl e

Radial

(D ec lin ac ió n)

Los 10 patrones de régimen de flujo comúnmente observado en una prueba de presión son radial, esférica, hemisférica, lineal, bilineal, pseudohemisférica, compresión/expansión, estado estable, doble porosidad o permeabilidad, y pendiente doblada. La Fig. 2.21.a contiene la popular herramienta de identificación de regímenes de flujo (originalmente considera solo 8 patrones). Esta se usa para diferenciar los tipos de regímenes de flujo en gráficos log-log para su aplicación en la determinación y entendimiento las condiciones en subsuelo y en el yacimiento.

Fig. 2.21.a. Herramienta de identificación de regímes de flujo Las ecuaciones de difusividad para flujo lineal y esférico/hemisférico son, respectivamente: k ∂2 p ∂p = ∂t φµct ∂x 2

(2.52)

∂p k 1 ∂ ⎛ ∂p ⎞ = ⎜r ⎟ ∂t φµct r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠

(2.53)

2.7. POZOS HORIZONTALES

Un número de diferentes regimenes de flujo pueden ser encontrados mientras se analizan las respuestas del transiente de presión en pozos horizontales. Uno o más de esos regimenes de flujo podrían estar ausentes o enmascarados dependiendo de los parámetros del yacimiento. Los parámetros que juegan un papel importante en el comportamiento transitorio de la presión en un pozo horizontal son: la relación de permeabilidad vertical a horizontal, la posición relativa de la cara del pozo en el estrato y la longitud de la cara del pozo horizontal comparada con el espesor de la formación. Esencialmente, han sido identificados cuatro regimenes de flujo


108

principales que son teóricamente posibles de encontrar durante una prueba de declinación o restauración de presión en un pozo horizontal. Cuando se inicia la producción, la presión transiente se moverá perpendicular a la cara del pozo como se ilustró en la Fig. 2.21.b, entonces se forma el flujo radial. El mismo comportamiento es observado en un pozo vertical produciendo en un ambiente de acción infinita. Este régimen de flujo ha sido reconocido como flujo radial a tiempo temprano y su duración es muy corta en estratos delgados o cuando existe permeabilidad vertical alta.

Fig. 2.21.b. Flujo radial a tiempos tempranos Cuando el pozo está cerrado a una frontera de no flujo y este es afectado por la perturbación de la presión, un flujo hemicilíndrico se forma como lo muestra la Fig. 2.22. Frecuentemente, la longitud del pozo horizontal es mucho mayor que el espesor del yacimiento, lo cual contribuye a la formación del segundo régimen de flujo principal. Este es conocido como régimen de flujo lineal y se desarrolla cuando la perturbación de la presión alcanza las fronteras superiores e inferiores del yacimiento. Ver Fig. 2.23. La duración efectiva de este flujo está relacionada con el inicio de los efectos finales. Este régimen de flujo está ausente cuando la longitud horizontal de la cara del pozo es corta comparada con la formación. En cambio, una zona de transición longitudinal se desarrollará antes del siguiente periodo de flujo identificable.

Fig. 2.22. Flujo Hemicilíndrico


109

Fig. 2.23. Flujo Lineal En ausencia de una fuente de presión constante y no fronteras al flujo horizontal sobre una distancia razonable, el flujo hacia la cara del pozo horizontal se vuelve efectivamente radial después de un largo tiempo, con el plano horizontal actuando algo así como un punto fuente, Ver Fig. 2.24. Este régimen de flujo, llamado radial a tiempos últimos, puede no ser observado si otras fronteras externas están afectando el primero o no será observado cuando el yacimiento tiene fronteras de presión constante.

Fig. 2.24. Flujo radial a tiempos tardíos Entre los periodos de flujo radial tempranos y últimos es posible encontrar un régimen de flujo lineal causado por la influencia del tope y base de las fronteras mientras la longitud horizontal del pozo es importante para el radio de investigación. En otras palabras, en un yacimiento semi-infinito, una vez que las fronteras paralelas han sido alcanzadas, un régimen de flujo lineal se desarrollará. Siguiendo el flujo radial temprano, puede aparecer un periodo intermedio si el pozo se encuentra cerrado a una de las fronteras superior o inferior; éste periodo es llamado régimen de flujo hemiradial, ver Fig. 2.25. Este régimen de flujo usualmente no se desarrollará si la posición del pozo relativa al espesor de la formación es 1 o cero, indicando que el pozo está muy cerrado a cualquiera de las fronteras superior o inferior. Un régimen que se podría estabilizar cuando un pozo horizontal esta en prueba de declinación de presión, pero este no se considera común, es el estado estable. Este solo se desarrollará cuando exista una fuente de presión constante tal como un acuífero o una capa de gas.


110

Fig. 2.25. Flujo Hemiradial Resumiendo, existen cuatro principales regimenes de flujo distintos que teóricamente pueden desarrollarse cuando un pozo horizontal está siendo probado por declinación o restauración de presión; su identificación es crítica para la apropiada interpretación de una prueba de un pozo horizontal. EL flujo elíptico (pendiente 0.36 en la curva de la derivada) puede presentarse en pozos horizontales. En general, en orden cronológico de desarrollo, éstas son: • • • •

Flujo radial a tiempos tempranos Flujo lineal a tiempos intermedios Flujo radial a tiempos últimos Flujo lineal a tiempos últimos(estado pseudoestable)

2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET

la curva tipo de la derivada se presenta en la Fig. 2.26. La aplicación es similar a las curvas de Ramey. Las ecuaciones gobernantes son: ⎛ ⎞ k PD = ⎜ ⎟ t * ∆p ' ⎝ 141.2qµ β ⎠

(2.54)

tD kh t = 0.000295 CD µ C

(2.55)

Si se tiene un buen punto de ajuste de los datos con la curva tipo, se leen los siguientes parámetros de ambas gráficas:

⎛t ⎞ ⎛t ⎞ ∆PM , (t * ∆P ') M , PDM , ⎜ D ⎟ PDM ', tM , ⎜ D ⎟ ⎝ CD ⎠ ⎝ CD ⎠ M k, s, y C se obtienen de:


1.E+02

CD e

2s

40

p D, (t D/c D)p D'

1.E+01

10 10 35 10 30 10 25 20 10 15 10 12 10 10 10 8 10 6 10 5 10 4 10 3 10 10 2

1.E+00

1.E-01 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

tD/cD Fig. 2.26. Curva tipo de Bourdet


1.E+03

1.E+04

112

1412q µ β ⎛ t D ⎞ ⎜ ⎟ PDM h CD ⎠ ⎝ k= (t * ∆P ') M

k=

141.2qµ β PDM ∆PM h

⎛ kh ⎞ t M C = ⎜ 0.000295 ⎟ µ ⎠ ⎛ tD ⎞ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝ CD ⎠ M

Leyendo CD e 2 s

CD e 2 s =

Ce 2 s =

0.8936Ce 2 s φ ct hrw2

φ ct hrw2 0.8936

(CD e 2 s ) M

Llamando todo el lado derecho como n.

Ce 2 s = n Despejando s; s=

1 n ln 2 C

Debido a la diferencia en presión dada en la Fig. 2.27, las curvas tipo de declinación no pueden usarse para analizar datos de restauración de presión, para aliviar este problema Agarwal usando el concepto de desuperposición introdujo el concepto de tiempo efectivo que se define mediante: ∆t e =

t p ∆t ∆t + t p

Para flujo de gas se recomienda usar pseudotiempos.


113

Pi

Presion

∆p drawdown

∆p buildup Presion de referencia

∆p diferencia

tp

t

∆t

Tiempo

Fig. 2.27. Diferencias de presión de declinación y restauración

2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE, TDST

La solución de la ecuación de difusividad considerando daño y almacenamiento está dada por: PD =

⎛ 1 − e − u 2t D ∫⎜ π 2 0 ⎜⎝ u 3U J 4

∞

⎞ ⎟du ⎟ ⎠

(2.56)

y su derivada es; −u 2t ∞⎛ D dPD 4 ⎜e = 2 ∫⎜ dt D π 0 ⎜ uU J ⎝

⎞ ⎟ ⎟du ⎟ ⎠

(2.57)

donde;

[

]2 [

(

) ]2

U J = uCD J 0 (u ) − (1 − CD su 2 ) J1 (u ) + uCDY0 (u ) − 1 − CD su 2 Y1 (u )

(2.48)

La presión adimensional, PD, tiempo adimensional, tD y coeficiente de almacenamiento adimensional son expresados como sigue:


114

⎛ ⎞ kh PD = ⎜ ⎟ ∆P ⎝ 141.2quB ⎠

(2.59)

⎛ 0.0002637k ⎞ ⎟⎟t t D = ⎜⎜ 2 ⎝ φµct rw ⎠

(2.60)

⎛ 0.8935⎞ ⎟C CD = ⎜ ⎜ φc hrw2 ⎟ ⎝ t ⎠

(2.61)

2.9.1. Líneas y Puntos Característicos

El gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo, Fig. 2.26, tiene varias características únicas: (1) La curva de presión tiene una línea de pendiente unitaria durante tiempos tempranos. Esta línea corresponde al flujo de almacenamiento puro. La ecuación de esta línea recta es: PD =

tD CD

(2.62)

combinando las Ecs. 2.59 y 2.60 dadas: ⎛ 0.0002637k ⎞ ⎜ ⎟t 2 t D ⎜⎝ φµct rw ⎟⎠ = CD ⎛ 0.8935 ⎞ ⎜ ⎟C ⎜ φc hrw2 ⎟ ⎝ t ⎠ tD ⎛ hk ⎞ t = ⎜⎜ 2.95×10− 4 ⎟⎟ CD ⎝ µ ⎠C

(2.63)

Sustituyendo las Ecs. 2.59 y 2.63 en la Ec. 2.62 y solucionando el coeficiente de almacenamiento C se obtiene: ⎛ ⎞ ⎛ kh −4 hk ⎞ t ⎜ ⎟ ∆P = ⎜ 2.95 ×10 µ ⎟⎠ C ⎝ ⎝ 141.2quB ⎠


115

⎛ qB ⎞ t C =⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ ∆P

(2.64)

⎛ qB ⎞ t C =⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ∆P' Para pruebas de declinación de presión, ∆P = Pi - Pwf. Para pruebas de restauración de presión ∆P = Pws - Pwf (∆t = 0). 2) La curva de la derivada de presión también tiene una línea recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. La ecuación de esta línea es obtenida tomado la derivada de la Ec. 2.62 con respecto al logaritmo natura de tD/CD. Así: ⎛ tD ⎞ t ⎟⎟ PD ' = D ⎜⎜ CD ⎝ CD ⎠

(2.65)

donde la derivada de la presión adimensional es: ⎛ ⎞ kh ⎜ 141.2quB ⎟ dP P ⎠ PD ' = D = ⎝ t D ⎛ 0.0002637 k ⎞ ⎜ ⎟ dt 2 ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎛ 26 .856 rw2φ ct h ⎞ ⎟⎟ ∆P ' P ' D = ⎜⎜ qB ⎝ ⎠

(2.66)

El lado izquierdo de la Ec. 2.65 puede expresarse en unidades reales mediante combinación de las Ecs. 2.63 y 2.66: ⎛ tD ⎞ ⎛ hk ⎞ t ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = ⎜⎜ 2.95×10−4 ⎟⎟ µ ⎠C ⎝ ⎝ CD ⎠

⎛ 26.856rw2φ ct h ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟∆P ' qB ⎝ ⎠

2 ⎛ tD ⎞ ⎛ kh ⎞ ⎛⎜ φc t hrw ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.00792252⎜⎜ ⎟⎟ t * ∆P ' ⎝ qµB ⎠ ⎜⎝ C ⎟⎠ ⎝ CD ⎠

Multiplicando y dividiendo por 0.8935


116

2 ⎛ tD ⎞ ⎛ kh ⎞ ⎛⎜ φc t hrw ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.007087⎜⎜ ⎟⎟ t * ∆P ' ⎝ qµB ⎠ ⎜⎝ 0.8935C ⎟⎠ ⎝ CD ⎠

Puesto que CD es: ⎛ 0.8935⎞ ⎟C CD = ⎜ ⎜ φc hrw2 ⎟ ⎝ t ⎠

⎛ tD ⎞ ⎛ kh ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.007087⎜⎜ ⎟⎟t * ∆P ' ⎟⎟ ⎜⎜ µ q B C C ⎝ ⎠ ⎝ D⎠ ⎝ D⎠

Puesto que la pendiente unitaria es uno, entonces CD = 1, así

⎛ tD ⎜⎜ ⎝ CD

⎞ ⎛ ⎞ kh ⎟⎟ P ' D = ⎜⎜ ⎟⎟t * ∆ P ' 141 . 2 q B µ ⎝ ⎠ ⎠

(2.67)

De la Fig. 2.22 es obvio que la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos es la misma para las curvas de presión y derivada de presión. Combinando las Ecs. 2.65, 2.66 y 2.67 y solucionando para C se obtiene una ecuación similar a la Ec. 2.64 donde ∆P es remplazado con t*∆P’. ⎛ qB ⎞ t C =⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ∆P' 3) La porción de flujo radial de acción infinita de la derivada de presión es una línea recta horizontal. Para un yacimiento homogéneo, la ecuación de esta línea es: ⎡⎛ t D ⎞ ⎤ ⎟⎟ P'D ⎥ = 0.5 ⎢⎜⎜ C D ⎝ ⎠ ⎦r ⎣

(2.68)

Combinando las Ecs. 2.67 y 2.68 y solucionando para la permeabilidad se tiene:

⎛ ⎞ kh ⎟⎟t * ∆P ' 0.5 = ⎜⎜ ⎝ 141.2qµB ⎠

k=

70.6qµB h(t * ∆P ')r

(2.69)


117

Donde el subíndice r es usado para la línea de flujo radial. En términos de presión, la ecuación de esta línea es: ⎧⎪ ⎛ t ⎞ PDr = 0.5⎨1n⎜⎜ D ⎟⎟ + 0.80907 + ln CD e 2 s ⎪⎩ ⎝ CD ⎠ r

[

]⎫⎪⎬ ⎪⎭

(2.70)

4) El tiempo de inicio de la línea de acción infinita de la curva de derivada de presión está dada aproximadamente por: ⎛ tD ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 10 log CD e 2 s ⎝ CD ⎠ SR

(

)

10

(2.71)

Esta ecuación es obtenida mediante graficación de los valores de tD/CD correspondientes al primer punto donde la Ec. 2.70 es válida, por ejemplo, en el inicio de la línea horizontal para diferentes valores de CDe2s > 100. Valores de tD/CSR fueron obtenidos de la segunda derivada de la Ec. 2.46. Sustituyendo por CD y tD y solucionando para tSR: t SR =

⎡ ⎛ 0.8935C ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ + ln 2 s ⎢ ⎥ 6.9×10− 5 kh ⎣ ⎜⎝ φ ct hrw2 ⎟⎠ ⎦

µC

(2.72)

donde tSR es el tiempo de inicio de línea de flujo radial de acción infinita. Vongvuthipornchai y Raghavan mostraron que el tiempo de inicio de la línea recta semilog se determina mejor de:

(

)

⎛ tD ⎞ ⎛t ⎞ ⎤ 1⎡ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢ln CD e 2 s + ln⎜⎜ D ⎟⎟ ⎥ ⎝ CD ⎠ SR α ⎢⎣ ⎝ CD ⎠ SR ⎥⎦

(2.73)

donde α es la tolerancia (fracción) usada para determinar el valor de tDSR al cual la Ec. 2.68 es válida. Para α = 0.05 ellos encofraron que la Ec. 2.73 (solución aproximada) puede predecir el valor de tDSR con un 8 % del valor predicho por la Ec. 2.57 (solución exacta). La línea recta semilog siempre aparecerá al iniciar temprano la porción horizontal de la curva de derivada de presión. La diferencia puede ser mucho más que del 50 %. El coeficiente de almacenamiento se puede estimar de la Ec. 2.73 cuando α = 0.05 y solucionando para C: ⎛ ⎞ t DSR ⎟⎟ C = 0.056φ ct hrw2 ⎜⎜ ⎝ 2 s + ln t DSR ⎠

donde tDSR es calculado de la Ec. 2.60 a t = tSR.


(2.74)

118

5) La línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos y la línea de acción infinita a tiempos tardíos de la derivada de presión, por ejemplo, la línea horizontal, interceptan en:

⎛ tD ⎞ ⎜⎜ P 'D ⎟⎟ = 0.5 ⎝ CD ⎠i

(2.75)

⎛ tD ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0.5 ⎝ CD ⎠i

(2.76)

Donde el subíndice i se usa para “intersección”. En unidades reales las coordenadas de este punto de intersección se obtienen de:

(t * ∆P')i = 70.6qµB kh

(2.77)

y,

⎛ ⎛ 0.0002637k ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟t ⎟ ⎜ ⎜⎝ φµct rw2 ⎟⎠ ⎟ ⎜ ⎟ = 0.5 ⎜ ⎛⎜ 0.8935 ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎜ φc hr 2 ⎟C ⎟ ⎝ ⎝ t w⎠ ⎠ i

ti =

1695 µ C kh

(2.78)

Estas ecuaciones se pueden derivar, respectivamente, de las Ecs. 2.69, 2.63 y 2.76. Así, el punto de intersección puede ser usado para determinar k de la Ec. 2.77 y C de la Ec. 2.78. Puesto que la línea de pendiente unitaria es la misma para las curvas de presión y derivada de presión, en el punto de intersección se tiene:

(∆P )i = (t * ∆P ')i = (t * ∆P ')r

(2.79)

6) Entre las líneas rectas a tiempos tempranos y tardíos, las curvas de derivada tiene una forma específica para diferentes valores de CDe2s. Aquí, las coordenadas de los “picos” para CDe2s > 100 fueron obtenidas de la segunda derivada y graficadas en ejes Cartesianos. La ecuación de esta línea es:


119

⎛ tD ⎞ ⎛t ⎞ ⎜⎜ P 'D ⎟⎟ = 0.36⎜⎜ D ⎟⎟ − 0.42 ⎝ CD ⎠x ⎝ CD ⎠ x

(2.80)

Combinando las Ecs. 2.63, 2.67 y 2.80 se tiene que:

(t * ∆P ')x = ⎛⎜ 0.015 qB ⎞⎟t x − 0.42bx C ⎠

⎝

(2.81)

siendo: bx = 141 .2 qµB / kh

(2.82)

y (t*∆P’)x y tx son las coordenadas del punto máximo (pico) de la curva de derivada de presión. De la Ec. 2.81 es obvio que se pueda calcular el coeficiente de almacenamiento o la permeabilidad de las coordenadas del pico. Despejando k de la Ec. 2.81 se tiene que: 1 ⎛ 59.3q µB ⎞ k =⎜ ⎟ h ⎝ ⎠ (0.015qB / C )t x − (t * ∆P' ) x

(2.83)

Esta ecuación podría ser usada para calcular k solo si no es observada la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos últimos, tal como en pruebas cortas, o si existe mucha interferencia en los valores de la derivada a tiempo últimos. Despejando C de la Ec. 2.81 se tiene que:

C=

0.015qBt x ( t * ∆P ') x + 0.42bx

(2.84)

Esta ecuación podría ser usada en casos donde k es conocida por otras fuentes y no se observa la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos. 7) Un gráfico log-Log de log (CDe2s) versus las coordenadas del pico produce las siguientes ecuaciones:

(

log C D e

2s

)

⎛t = 0.35⎜⎜ D ⎝ CD

1.24

⎞ ⎟ ⎟ ⎠x

y,


(2.85)

120

(

log C D e 2 s

)

1.24

⎛t ⎞ = 1.71⎜⎜ D PD ' ⎟⎟ ⎝ CD ⎠x

(2.86)

Sustituyendo las Ecs. 2.63 y 2.67 en las Ecs. 2.85 y 2.86 se producen dos nuevas expresiones. Combinando estas nuevas expresiones con las Ecs. 2.77 y 2.78 se tiene que: 1.24

⎛t ⎞ logC D e = 0.1485⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝ ti ⎠ y 2s

(2.87)

⎡ (t * ∆P ')x ⎤ logCD e = 0.80 ⎢ ⎥ ⎣ (t * ∆P ')i ⎦

1 .1

2s

(2.88)

Así, las coordenadas del punto máximo (pico) de la derivada de presión se pueden usar también para calcular daño. Resolviendo para daño las Ecs. 2.87 y 2.88 dan respectivamente: ⎛t s = 0.171⎜⎜ x ⎝ ti

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1.24

⎞ ⎛ 0.8935 C ⎟ − 0.5 ln ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ φ hct rw ⎠

(2.89)

y, ⎛ ( t * ∆ P ') x s = 0 .921 ⎜⎜ ( * ' ) t P ∆ i ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 .1

⎛ ⎜ 0 .8935 C − 0 .5 ln ⎜ 2 ⎝ φ hc t rw

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.90)

Debido a que en algunas pruebas de presión la forma de la protuberancia del almacenamiento puede parecer plana en el “pico’, es posible leer el valor correcto de (t*∆P′)x pero un valor incorrecto de tx. En este caso, es una buena práctica calcular s de ambas ecuaciones. Si estas dan valores diferentes entonces se debe obtener un nuevo valor de tx y repetir los cálculos hasta que las dos ecuaciones arrojen valores similares de daño. 8) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita de la curva de derivada de presión y los picos para diferentes valores de CDe2s se puede obtener dividiendo la Ec. 2.80 con la Ec. 2.68:


121

⎡⎛ t D ⎞ ⎤ ⎟⎟ P 'D ⎥ = 0.5 ⎢⎜⎜ ⎣⎝ CD ⎠ ⎦ r

(2.68)

⎛t ⎞ ⎞ ⎛ tD ⎜⎜ P 'D ⎟⎟ = 0.36⎜⎜ D ⎟⎟ − 0.42 ⎝ CD ⎠ x ⎠x ⎝ CD

(2.80)

⎛ tD ⎞ ⎜⎜ P'D ⎟⎟ ⎝ CD ⎠ x = 2⎧⎪0.36⎛⎜ t D ⎞⎟ − 0.42⎫⎪ ⎨ ⎬ ⎜C ⎟ ⎛ tD ⎞ ⎪⎩ ⎪⎭ D ⎠x ⎝ ⎜⎜ P'D ⎟⎟ ⎝ CD ⎠r

(2.91)

Usando las Ecs. 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.91 se tiene: ⎫⎪ ⎧⎪ ( t *∆P ') x ⎛ kh ⎞ t x − 4 = 2 ⎨1.062×10 ⎜⎜ ⎟⎟ − 0.42 ⎬ ( t *∆P ') r ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ µ ⎠C

(2.92)

La Ec. 2.92 se puede usar para calcular C o k. Sustituyendo por kh/µ de la Ec. 2.69 y despejando C se tiene que:

C =

0.015 qBt x ( t *∆P ') x + 0.42( t *∆P ')r

(2.93)

Así, el coeficiente de almacenamiento se puede determinar aún si no es observada la línea de pendiente unitaria por razones mecánicas debido a la falta de datos de presión a tiempos tempranos. Despejando k de la Ec. 2.92, resulta: k = 9416.2

µ C ⎧⎪ ht x

⎫⎪ ( t *∆P ') x ⎨ 0.5 + 0.42 ⎬ ⎪⎩ ( t *∆P ') r ⎪⎭

(2.94)

9) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión se puede obtener dividiendo la Ec. 2.70 con la Ec. 2.68:

PDr ⎛ tD ⎞ ⎜⎜ PD ' ⎟⎟ ⎝ CD ⎠r

= ln t Dr + 2s + 0.80907


(2.95)

122

Usando las Ecs. 2.59, 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.95 y despejando el daño se tiene que:

s = 0.5

⎡ ∆Pr −ln⎛⎜ ktr ⎞⎟+7.43⎤ ⎢⎣ (t*∆P ')r ⎜⎝ φµ ct rw2 ⎟⎠ ⎥⎦

(2.96)

donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y ∆Pr es el valor de ∆P correspondiente a tr.

2.9.2. Estimación de Distancia a las Barreras y Area Existen muchas formas de estimar el área del yacimiento mediante la TDST. La forma más común es utilizando el punto de intersección entre la línea de comportamiento infinito y la linea de estado pseudoestable, trpi: En la siguiente expresión el área está dada en pies cuadrados: A =

ktrpi 301.77φ µ ct

(2.97)

Normalmente, la literatura presenta procedimientos detallados para el uso de la TDST. El procedimiento general es: Grafique log-log ∆P y t*∆P’ Trace una línea en la región temprana de pendiente unitaria Trace la línea de flujo radial de acción infinita Lea las coordenadas de la intersección ti y t*∆P’i. Lea las coordenadas del pico, tx, (t*∆P’)x. Seleccione cualquier punto conveniente tr en la línea de flujo radial de comportamiento infinito y lea ∆Pr. 7) Si existe estadopeudoestable o estable trace una pendiente unitaria (o -1) sobre ésta y lea el intercepto con la línea de flujo radial, trpi.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

El radio de investigación a un tiempo t de la prueba y la máxima respuesta de presión se estiman de: 1/ 2

⎛ kt ⎞ rinv = 0.0325 ⎜ ⎟ ⎝ φ µ ct ⎠

tmax =

948φ µ ct r 2 k


(2.98)

(2.99)

123

Tabla 2.2. Datos de presión para ejercicio

t, hrs Pwf, psia ∆P, psia t*∆P’, psia/hr t, hrs Pwf, psia ∆P,psia t*∆P’, psia/hr 0.00 2733 0 5 2312 421 65.42 0.10 2703 30 31.05 7 2293 440 35.32 0.20 2672 61 58.95 9.6 2291 442 5.86 0.30 2644 89 84.14 12 2290 443 5.85 0.40 2616 117 106.30 16.8 2287 446 7.63 0.65 2553 180 129.70 33.6 2282 451 7.99 1.00 2500 233 135.15 50 2279 454 7.94 1.50 2440 293 151.90 72 2276 457 10.50 2.00 2398 335 127.26 85 2274 459 12.18 3.00 2353 380 102.10 100 2272 461 13.36 4.00 2329 404 81.44 EJEMPLO El pozo Kate-1 produce de un yacimiento con las siguientes características: rw = 3.2 pulg. ct = 26.4x10-5 psi-1 B = 1.229 bbl/BF

q = 250 BPD h = 16 pies

µ = 1.2 cp φ = 18 %

Los datos de una prueba de caída de presión se reportan en la tabla 2.2. Hallar permeabilidad, factor de daño, eficiencia de flujo, factor de daño (DF), caudal ideal y área usando método convencionales.

SOLUCION Del gráfico semilogarítmico, Fig. 2.28.a, se obtiene una pendiente m = -18 psi/ciclo. Luego de la Ec. 2.30, k = 208 md. De la misma Fig. 2.28 se lee P1hr = 2308. Luego:

⎡ P − Pi ⎤ ⎛ k ⎞ − log ⎜ + 3.23⎥ = 22.03 s = 1.1513 ⎢ 1hr 2 ⎟ ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎣ m ⎦

∆Ps = −0.87( m) s = 354 FE = 1 −

psi

∆Ps = 23.2 % P − Pwf

DF =1 - FE= 76.8 % qideal = 1000 BPD.


124

2800 2700

Pwf, psi

2600 2500 2400 2300

p1hr = 2308 psi

m=-18 psia/cycle

2200 0.1

1

10

100

t, hr Fig. 2.28.a. Gráfico Semilog 1000

∆P r = 451 psi

Almacenamiento tr = 33.6 hrs

∆P, t*∆P', psi

100

Estado Pseudoestable

Flujo radial

10

(t*∆P') r =7.7 psi

trpi = 56 hrs

1 0.1

1

10

t, hrs

Fig. 2.28.b. Gráfico log-log de presión y derivada de presión


100

125

2800

2700

Pwf, psi

2600

2500

2400

2300

Pint = 2285 psia

m*=0.13 psia/hr

2200 0

20

40

60

80

100

t, hr Fig. 2.29. Gráfico Cartesiano de Pwf vs. t para los datos de la tabla 2.2

EJEMPLO Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar (a) el volumen de drenaje, (b) área de drenaje, y (c) geometría del sistema por el método convencional. Recalcule permeabilidad, daño y área usando TDST. 1. De una gráfica Cartesiana de Pwf vs. t, Fig. 2.29, se tiene: m* = -0.13 psia/hr Pint = 2285 psia tpss ≈ 50 hrs 2. El volumen de drenaje del sistema se obtiene de la Ec. 2.47 así: V p = φ Ah = −

0.23395qB 0.23395(250)(1.229) = = 2.09 × 106 ft 3 o 3.73 × 105 bbl ct m * (26.4 × 10−5 )(0.13)

3. El área de drenaje es: A=

VD 2.09 ×106 1 = = 16.7 Ac 43560 φh φh


126

4. Usar la Ec. 2.40 para estimar el factor de forma. De la gráfica semi-log de Pwf vs. tiempo (Fig. 2.13), se tiene: m = -18 psi/log ciclo P1hr = 2308 psi, entonces; ⎡ 2.303( 2308− 2285 ) ⎤ ⎥ −18 ⎦

18 ⎢⎣ C A = 5.456 e 0.13

= 39.8

5. Geometría del sistema. En la Tabla 2.1, CA = 39.8 corresponde con frecuencia a un pozo en el centro de un círculo, cuadrado, o hexágono: Círculo: CA = 31.62 Cuadrado: CA = 30.88 Hexágono: CA = 31.6 6. Verificación: usar la Ec. 2.51

(t DA ) pss = 0.1833 0.13 50 = 0.066 18

Este pozo coincide con (tDA)pss = 0.1 para las 3 formas. Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar permeabilidad, daño y área usando TDST. De la Fig. 2.28.b se tiene: tr = 33.6 hr ∆Pr = 451 psi

(t*∆P’)r = 7.7 psi trpi = 56 hr

La permeabilidad se halla de la Ec. 2.69:

k=

70.6q µ B 70.6(250)(1.2)(1.229) = = 211.3 md h ( t * ∆P ')r (16)(7.7)

Calcule el daño por medio de la Ec. 2.96: s = 0.5

⎡ ∆Pr −ln⎛⎜ ktr ⎞⎟+7.43⎤ ⎣⎢(t*∆P ')r ⎜⎝ φµ ct rw2 ⎟⎠ ⎦⎥

s = 0.5

⎞ 211.3(33.6) ⎡ 451−ln⎛⎜ ⎤ ⎟⎟ + 7.43 = 22.4 − 5 2 ⎜ 7.7 ⎝ 0.18(1.2)(26.4×10 )(0.2667 ) ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥


127

El área se calcula con la Ec. 2.97: kt RPi 211.3(56) = = 15.8 Ac 301.77φ µ ct 301.77(0.18)(1.2)(26.4×10−5 )(43560)

A =

EJEMPLO Con los datos del ejemplo anterior determine tSSL y determine si el nivel de fluido pozo está aumentando o disminuyendo supara los datos del ejercicio anterior, si el pozo tiene tubería de producción de 2 pulg. De diámetro en un revestimiento de diámetro interno 5 pulg., con juntas. La densidad del fluido es 42.5 lbm/pie3.

SOLUCION Al graficar ∆P. vs. t en papel logarítmico se obtiene una recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. Se lee un punto sobre la recta de pendiente unitaria: ∆P = 59 psi y t = 0.2 hr. El almacenamiento se obtiene por medio de la Ec. 2.16.

C=

tN (250)(1.229) 0.2 qB = = 0.0434 bbl / psi 24 ( Pi − Pwf ) N 24 59

Usando la Ec. 2.31,

t SSL =

(200000 + 12000 s ) µ C (200000 + 12000[22.03])(1.2)(0.0434) = = 7.37 hr kh (208)(16)

Despejando la capacidad de la tubería de la definición de almacenamiento:

⎛ ρ ⎞ Vu = ⎜ ⎟ C = 0.0128 bbl / pie ⎝ 144 ⎠ De valores tabulados se tiene que Vu = 0.0134 bbl/pie. Lo que permite concluir que el líquido está cayendo.

2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL Cuando un pozo penetra una pequeña parte del espesor de la formación, entonces tiene lugar un flujo hemisférico. Ver Fig. 2.30. Cuando el pozo es revestido por encima del intervalo productor y solo una pequeña parte del revestimiento es perforada, tiene lugar un flujo esférico en la región cercana a la cara del pozo. Ver Fig. 2.31. Como el transiente avanza más hacia lo más profundo de la formación, el flujo se vuelve radial, pero si la prueba es corta, el flujo será esférico. Ambos tipos


128

de flujo se caracterizan por una pendiente de -½ en el gráfico log-log de la derivada de la presión. Gran parte del material introducido en este libro considera que el pozo penetra completamente una formación horizontal. Kazemi y Seth demostraron que para un pozo completado parcialmente se desarrollan dos porciones rectas. La primera representa la transmisibilidad del intervalo perforado y la segunda representa el intervalo de perforación completo. La primera línea se puede enmascarar por almacenamiento u otros efectos. El factor de daño aparente, Sa, obtenido del análisis de transiente de presión es una combinación de varios factores de “pseudo daño” tales como: Flujo esferico Flujo radial

h Flujo radial

Fig. 2.30. Regimenes de flujo ideales en completamiento parcial hp=28'

Periodo 1 Flujo radial

h=350' Periodo 2 Flujo hemisférico Periodo 3 Flujo radial

Fig. 2.31. Regimenes de flujo ideales en penetración parcial sa = s + s p + sθ + scp + ......

(2.100)

siendo s el factor de daño verdadero causado por el daño a la porción del pozo, sp es el factor de pseudo daño debido a la entrada restringida de flujo, sθ es el factor de


129

pseudo daño resultante de una desviación del pozo, y scp es el pseudo daño debido a un cambio en la permeabilidad cerca a la cara del pozo. sp se puede estimar de: ⎛ h ⎞ s p = ⎜ − 1⎟ ln hD ⎜h ⎟ ⎝ p ⎠

(2.101)

hp = longitud del intervalo perforado o abierto. hD =

h rw

kh kz

(2.102)

donde kh es la permeabilidad horizontal kv es la permeabilidad vertical. La contribución del pseudo daño de un pozo inclinado está dada por: ⎛θ ⎞ sθ = −⎜ ⎟ ⎝ 41 ⎠

2.06

⎛ h ⎞ ⎟⎟ log⎜⎜ ⎝ 100rw ⎠

⎛θ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 56 ⎠

1.865

(2.103)

La ecuación anterior es válida para 0° ≤ θ ≤ 75°, h/rw > 40 y tD > 100. Note que la Ec. 2.103 podría proporcionar un valor negativo. Esto es debido a que la desviación en la cara del pozo proporciona mayor área en la cara del pozo o un pseudo espesor de formación. Un pseudo daño que responde a un cambio en la permeabilidad cerca de la cara del pozo está dado por: scp =

⎛ r − r ⎞ ⎤ ⎛ k − k s ⎞ rs h ⎡ ⎢1 − 0.2 ⎜⎜ s w ⎟⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ln hp ⎢⎣ ⎝ hp ⎠ ⎥⎦ ⎝ ks ⎠ rw

EJEMPLO Un pozo direccional el cual tiene un ángulo con la vertical de 24.1° tiene un factor de daño s = -0.8. El espesor de la formación es de 100 ft, el radio del pozo es 0.3 ft, y la relación de permeabilidad horizontal con vertical es 5. Cual porción de la dañada corresponde a la desviación del pozo?

SOLUCION Estime la contribución del pseudo daño del pozo inclinado usando la Ec. 2.103: ⎛ 24.1 ⎞ sθ = −⎜ ⎟ ⎝ 41 ⎠

2.06

1.865

⎛ 24.1 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 56 ⎠

⎛ 100 ⎞ ⎟⎟ = −0.4432 log⎜⎜ ⎝ 100(0.3) ⎠


130

De la Ec. 2.100 el factor de daño aparente y total es: sa = s + sθ = −0.8 − 0.4432 = −1.2432 Por lo tanto, 35.65 % del factor de daño es debido a la desviación del pozo. Otra forma de representar la medida total del daño es: st = sF +

(

1 f pd ( s pd + sdp ) + f s sθ F

)

SF, Daño por penetración Parcial Spd, Daño por perforaciones Sθ, Daño por Desviación Sdp, Daño a la Formación F, Fracción de zona abierta al flujo

2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad y movilidad constantes es: 1 ∂ ⎛ 2 ∂P ⎞ φµc t ∂P ⎜r ⎟= r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ k sp ∂t Donde, ksp, es la permeabilidad esférica que se define como el promedio geométrico de las permeabilidades verticales y horizontales: k sp = 3 kv kh2 El sistema físico se ilustra en las Figs. 2.33 y 2.34. Dicha región se denomina “sumidero esférico”. rsw está dado por:

rsw =

b ⎛b⎞ 2 ln ⎜ ⎟ ⎝ rw ⎠

(2.104)

Donde b=hp/h. La ecuación de flujo esférico para declinación de presión es: Pwf = Pi −

70.6q µ B 2453q µ B 1 φµ ct (1 + ssp ) + 3/ 2 ksp rsw ksp t


(2.105)

131

VISTA SECCIONAL

VISTA SUPERIOR

Fig. 2.32. Flujo radial hacia un sumidero esférico

rw Sumidero esferico

Pozo cilíndrico real

rsw

Fig. 2.33. Sumideros cilíndrico y esférico De un gráfico cartesiano de Pwf en función de 1/ t habrá una recta de cuyo intercepto y corte podemos calcular:

⎞ ⎛ 2453qµB k sp = ⎜ φµct ⎟ m ⎠ ⎝ ssp =

( Pi − I ) ksp rsw 70.6qµ B

2/3

−1


(2.106)

(2.107)

132

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre: Pws = Pwf +

⎡ 1 ⎤ 70.6q µ B 2453qµ B 1 1 ⎢ ⎥ + − (1 + ssp ) − φµ c t ksp rsw ksp3/ 2 t p + ∆t ⎥⎦ ∆t ⎢⎣ t p

De lo contrario: ⎡ 1 ⎤ 70.6q µ B 2453q µ B 1 ⎢ ⎥+ φµ c ssp − t ksp3/ 2 ksp rsw t p + ∆t ⎥⎦ ⎢⎣ ∆t De un gráfico Cartesiano de Pws en función de 1/ t p + 1/ ∆t − 1/ t p + ∆t Pws = Pi −

(

)

se obtendrá

una recta de cuya pendiente y corte podemos estimar: ⎛ 2453qµB ⎞ k sp = ⎜ − φµct ⎟ m ⎝ ⎠ ssp =

( I − Pwf )ksp rsw 70.6q µ B

2/3

−1

Conociendo la permeabilidad vertical se puede estimar el valor de los efectos de daño debido a penetración parcial:

⎛ 1 ⎞ sc = ⎜ − 1⎟ [ ln hD − G ] ⎝b/h ⎠ donde hD se puede estimar de la Ec. 2.101, y G se estima mediante:

G = 2.948 − 7.363 ( b / h ) + 11.45 ( b / h ) − 4.675 ( b / h ) 2

3

2.10.2. Análisis Convencional para Flujo Hemisférico

El modelo para flujo hemisférico es muy similar que el de flujo esférico. La diferencia es que una condición de frontera considera media esfera. Las Figs. 2.34 y 2.35 esquematizan la geometría de este sistema. Para pruebas de restauración de presión: Pwf = Pi −

141.2q µ B 4906q µ B 1 φµ ct (1 + s ) + 3/ 2 khs rsw khs t


133

Vista Superior

Vista de lado

Vista 3D

Fig. 2.34. Flujo radial hacia un sumidero hemisférico

Sumidero cilíndrico real

rw

r sw

Sumidero hemisferico

Fig. 2.35.a. Sumideros cilíndrico y hemisférico Para condiciones de flujo hemisférico la constante 2453 de la Ec. 2.106 se duplica a 4906 y 70.6 de la Ec. 2.107 se duplica a 141.2, luego: ⎛ 4906qµB ⎞ khs = ⎜ φµct ⎟ m ⎝ ⎠

hs

=

( I − Pwf )khs rsw 141.2qµ B

2/3

− 1s

(2.108)

(2.109)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre: Pws = Pwf +

⎡ 1 ⎤ 141.2qµ B 4906qµ B 1 1 ⎢ ⎥ + − φµ (1 + shs ) − c t khs rsw khs3/ 2 t p + ∆t ⎥⎦ ∆t ⎢⎣ t p (2.110)


134

De lo contrario: Pws = Pi −

⎡ 1 ⎤ 141.2qµ B 4906q µ B 1 ⎢ ⎥+ − c shs φµ t khs3/ 2 khs rsw t p + ∆t ⎥⎦ ⎢⎣ ∆t

(2.111)

Al igual que para pruebas de declinación, hay una duplicación de las constantes, luego: ⎛ 4906qµB ⎞ khs = ⎜ − φµct ⎟ m ⎝ ⎠ ( I − Pwf )khs rsw shs = −1 141.2qµ B

2/3

(2.112) (2.113)

2.10.3. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo esférico

Las ecuaciones para cálculo de permeabilidad y almacenamiento usadas en la sección 2.9 se usan en esta sección excluyendo las correlaciones allí desarrolladas que relacionan las coordenadas del pico con la permeabilidad, el daño y el almacenamiento. Para pruebas de declinación o restauración de presión, leyendo cualquier valor del tiempo y la derivada de presión durante el flujo esférico se puede calcular la permeabilidad esférica, y luego la permeabilidad vertical, y el daño causado por completamiento parcial: ⎛ qB µ k sp = ⎜1227 ⎜ (t * ∆P ') sp ⎝ ssp = 34.74

φµ ct ⎞

2/3

⎟ tsp ⎟⎠

⎤ ( ∆P )sp + 1⎥ − 1 ⎢ 2 t * ∆P ' ) sp ⎥ ⎣⎢ ( ⎦

φµ ct rsw2 ⎡ k sp tsp

(2.114)

(2.115.a)

El daño total puede calcularse del flujo radial tardío, Ec. (2.96): ⎡ ( ∆p ) r 2 ⎤ ⎛ kt ⎞ − ln ⎜ r r 2 2 ⎟ + 7.43⎥ sr 2 = st = 0.5 ⎢ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ (t * ∆p ') r 2 ⎦

(2.96)

El daño mecánico puede estimarse de: ⎡ (∆p ) r1 ⎤ ⎛ kt ⎞ − ln ⎜ r r1 2 ⎟ + 7.43⎥ sr1 = sm = 0.5 ⎢ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ (t * ∆p ') r1 ⎦


(2.96)

10

(t

b = 0.1 b = 0.2

Simetría Radial 1

D

)

*P

' D r

b = 0.4

=

k r3 / 2 h 4k sp3 / 2 πrw2

t D−1 / 2

b = 0.6 b = 0.8

tD*PD'

b=1

(t 0.1

(t

b = 0.1 b = 0.2

D

* PD'

)

sp

=

1 2 π

t D−1 / 2

D

* PD'

)

r

= 0 .5

Simetría Esférica

b = 0.4 b = 0.6

0.01

b = 0.8 b=1

0.001 1.00E-01

(t 1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

D

* PD'

1.00E+05

)

sp

= 0.0066

1.00E+06

1.00E+07

1.00E+08

tD

Fig. 2.35.b. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con completamiento parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías esférica y radial

Presión y derivada de presión, psi

1000

∆Pr2 ∆Psp

3

ksp = 3 k k

∆PN Pendiente unitaria

100

k ⎛ ksp ⎞ I A = V = ⎜⎜ ⎟⎟ kH ⎝ kH ⎠

2 V H

tN C =

ssp = 34.74

qB ⎛ t ⎞ ⎜ ⎟ 24 ⎝ ∆ P ⎠ N

φµct rsw2 ⎡ (∆pw )sp ksptsp

⎢ ' ⎣⎢ 2 t * ∆pw

(

⎤ +1⎥ −1 sp ⎦⎥

)

2/3

⎛ φµct ⎞ qBµ ksp = ⎜1227 ⎟ ⎜ (t * ∆pw' )sp tsp ⎟⎠ ⎝

Flujo esférico (m = -1/2)

10

⎡ (∆p w ) r ⎛ k t − ln ⎜⎜ r r 2 s t = 0 .5 ⎢ ' ⎢⎣ ( t * ∆ p w ) r ⎝ φµ c t rw

kr 2 =

ti (t*∆P')sp (t*∆P') r2 1 0.001

0.01

0.1

tsp

1

⎤ ⎞ ⎟⎟ + 7 . 43 ⎥ ⎥⎦ ⎠

70.6qBµ h(t * ∆pw' )r

tr2 2o. Flujo Radial

10

Tiempo, hrs Fig. 2.35.c. Respuesta de presión para un pozo con completamiento parcial ilustrando los puntos y líneas características

100

10

(t

b = 0.1

D

*P

b = 0.2

Simetría Radial 1

)

' D r

=

k r3 / 2 h 2k sp3 / 2 πrw2

t D−1 / 2

b = 0.4 b = 0.6 b = 0.8

tD*PD'

b=1

(t

D

)

* PD' = 0.5

0.1

(t

b = 0.1

D

)

* PD' =

1 2 π

t D− 1 / 2

Simetría Hemisférica

b = 0.2

0.01

b = 0.4 b = 0.6 b = 0.8

(t

b=1

0.001 1.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

D

)

* PD' = 0.0033

1.00E+05

1.00E+06

1.00E+07

t

D

Fig. 2.35.d. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con penetración parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías hemisférica y radial

1000

∆Phs

Presión y derivada de presión, psi

∆Pr1 ⎡ (∆pw )r1 ⎤ ⎛ kt ⎞ − ln⎜⎜ r r1 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ sr1 = 0.5⎢ ' ⎝ φµct rw ⎠ ⎣ (t * ∆pw )r1 ⎦

100

kr1 =

shs = 34.74

70.6qBµ hp (t * ∆pw' )r1

φµct rsw2 ⎡

∆Pr2

(∆pw )hs

(

⎢ k hsths ⎣ 2 t * ∆pw'

⎤ + 1⎥ − 1 ⎦

)

hs

3

khs = k k

2 3 V H

k ⎛k ⎞ IA = V = ⎜⎜ hs ⎟⎟ kH ⎝ kH ⎠

2/3

⎛ φµct ⎞⎟ qBµ khs = ⎜⎜ 2453 ' (t * ∆pw)hs ths ⎟⎠ ⎝

1er. Flujo Radial

Flujo Hemisférico m = -1/2

(t*∆P')r1

⎡ (∆pw )r 2 ⎤ ⎛ kt ⎞ − ln⎜⎜ r r 2 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ sr 2 = 0.5⎢ ' ⎝ φµct rw ⎠ ⎣ (t * ∆pw )r 2 ⎦

kr 2 =

10 (t*∆P')hs

70.6qBµ h(t * ∆pw' )r 2

2o. Flujo Radial tr1

ths

tr2

(t*∆P')r2 ti 1 0.001

0.01

0.1

1

10

Tiempo, hrs Fig. 2.35.e. Respuesta de presión para un pozo con penetración parcial ilustrando los puntos y líneas características

100

PD

100

10 1.E+00

CD 10000 100 10 1 0.1

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

t D /C D Fig. 2.35.f. Solución fuente esférica para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño

100

CD= 10

CD= 100

C D= 1000

C D= 1 10

t D*P D'

C D= 0.1

1

Flujo esférico m=-1/2

0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD Fig. 2.35.g. Solución fuente esférica (derivada de presión) para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño

1.E+01

Flujo esférico m=-1/2

t D*P D'

b

1.E+00

0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0

1.E-01 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

tD Fig. 2.35.h. Comportamiento de la derivada de presión para un pozo único en un yacimiento infinito con diferentes longitude de penetración parcial (CD = 0, s = 0)

142

El sufijo r1 denota la línea del primer flujo radial. tr1 es cualquier tiempo conveniente durante la primera línea de flujo radial en el gráfico de la derivada. ∆pr1 y (t*∆p’)r1 son los valores de presión y derivada correspondientes a tr1. El daño total, st, se define como la suma de todos los efectos de daño en las fronteras del pozo: st =

sm + sc + ssp b

Donde sc significa ya sea penetración parcial o completamiento parcial, sm significa el daño mecánico y ssp el daño esférico. La permeabilidad horizontal puede estimarse de: k r1 = k H =

70.6qB µ hp (t * ∆pw' ) r1

(5.3)

La Fig. 2.35.b ilustra la derivada de presión adimensional en simetría esférica y la correspondiente derivada de presión adimensional en simetría radial. Allí se observa que el valor de la derivada para el flujo radial tardío en geometría esférica es equivalente a 0.0066 en lugar de 0.5 del sistema radial. Además, la línea de pendiente –½ correspondiente al flujo esférico y la línea de flujo radial tardío de la curva de la derivada de presión adimensional en simetría esférica se intersectan en:

( tD * PD ')i =

1 2 π

t Dsp −1/ 2

de donde: 1 2 π

t Dsp

−1 / 2

= 0.0066

Que substituyendo el tiempo adimensional resulta: ti = 6927748.85

φµct rsw2 k sp

(2.115.b)

En la anterior ecuación el sufijo i denota la “intersección” entre el flujo esférico y el flujo radial tardío. Si el flujo radial no se observa este tiempo puede dar un punto inicial para trazar la línea horizontal correspondiente al flujo radial, del cual se halla la permeabilidad horizontal. Este punto también se puede utilizar para verificar la permeabilidad esférica ksp. Otra ecuación que define el mencionado tiempo adimensional puede hallarse de la intersección de la línea de pendiente –½ (flujo esférico) con la línea horizontal de flujo radial tardío pero en simetría radial, sabiendo que:


143

(t

)

' D * PD i =

kr3 / 2 h 4k sp3 / 2 πrsw2

1 t Dr

( tD * PD ')i = 0.5 Luego: k r3 / 2 h

1

4k sp3 / 2 πrsw2

t Dr

= 0.5

Al reeemplazar las variables adimensionales se tiene: t i = 301.77

k r2 h 2φµct k sp3

(2.115.c)

Puesto que las Ecs. 2.115.b y 2.115.c representan el mismo punto de intersección, éstas pueden combinarse para hallar una nueva forma de estimar rsw: rsw = 0.0066

kr h k sp

2.10.4. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo hemisférico

Aquí se presentan las mismas consideraciones de la sección 2.13.3. Usando un valor de tiempo y derivada durante el flujo hemisférico, la permeabilidad hemisférica y el daño por penetración parcial se estiman mediante: ⎛ qBµ khs = ⎜ 2453 ⎜ (t * ∆P ') hs ⎝ shs = 34.74

φµ ct ⎞

2/3

⎟ tsp ⎟⎠

( ∆P )hs ⎤ ⎢ ⎥ −1 ⎣⎢ 2 ( t * ∆P ' )hs ⎦⎥

φµ ct rsw2 ⎡ khs ths

(2.116)

(2.117)

En la Fig. 2.35.d se puede apreciar que la derivada en geometría esférica del flujo radial tardío corresponde a 0.0033 en lugar de 0.5 del sistema radial. Esta vez la línea de flujo radial y de flujo hemisférico, en simetría hemisférica, se intersectan en:

( tD * PD ')i = 0.0033 , d donde: Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

144

t i = 27710995.41

φµct rsw2 k hs

(2.118.a)

Este punto de intersección en simetría radial proporciona la siguiente ecuación: ti = 1207.09

kr2 h 2φµct khs3

(2.118.b)

Igualando las Ecs. 2.118.a y 2.118.b se puede obtener una forma alterna de estimar rsw. rsw = 0.0066

kr h k hs

(2.118.c)

El daño total y mecánico se evalúa de una forma similar a la sección 2.10.3. 2.10.5. Consideraciones Importantes 2.10.5.1. Efecto de almacenamiento

Es importante identificar el rango de valores de almacenamiento, CD que pueden influenciar la interpretación del régimen de flujo esférico y hemisférico. La forma más simple es graficando PD vs. tD/CD. la Fig. 2.35.f proporciona una idea del efecto del almacenamiento. Como puede verse, la respuesta de presión para varios valores de CD puede distinguirse cuando el almacenamiento es bajo (<10) mientras que para valores más grandes de CD la respuesta es casi idéntica. Un mejor entendimiento se puede lograr si se grafica (tD*PD’) vs. tD/CD. En la Fig. 2.35.g, se observa la respuesta de la derivada de presión para varios valores de CD. Para CD <10 se distingue bien la pendiente de –½ que caracteriza tanto el flujo esférico como el hemisférico. Para valores de 10 < CD >100 la pendiente de –½ es más dificil de identificar. Para valores de CD > 100, el regimen de flujo esférico practicamente ha sido enmascarado por el almacenamiento, lo cual imposibilita la aplicación de la técnica arriba presentada para estimimar la permeabilidad vertical. Luego, para asegurar que no existe enmascaramiento CD debería ser menor de 10. 2.5.10.2. Efectos de la longitud de la Penetración Parcial

La longitud del intervalo completado o la longitud de la penetración parcial, hp, juegan un papel importante en la definición del flujo esférico. La presencia de flujo esférico o hemisférico se caracteriza por una pendiente de –½. Esta pendiente característica está ausente cuando la relación de penetración, b = hp/h es mayor del 20 %, como se aprecia en la Fig. 2.35.h.


145

EJEMPLO

Abbott et all presentaron en su artículo datos de presión-tiempo para una prueba de declinación de presión. El pozo No. 20 está parcialmente completado en un yacimiento masivo de carbonato. El pozo se cerró para estabilización y luego fluyó a 5200 BOPD por 8.5 hrs. Los datos de presión se dan en la tabla 2.3. Las propiedades de yacimiento y fluido se dan a continuación: h= b= φ=

302 ft 120 ft 0.2

rw = q= µ =

0.246 ft 5200 BPD 0.21 cp

Pi = B= ct =

2298 psia 1.7 bbl/STB 34.2 x 10-6 psi-1

Tabla 2.3. Datos de presión para el pozo No. 20

kr =

t, hr

t , hr

Pwf, psi

∆P, psi

t*∆P’, psi

0.0 0.5 1.0 1.6 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5

1.414 1.000 0.791 0.707 0.632 0.577 0.535 0.500 0.471 0.426 0.408 0.392 0.378 0.365 0.354 0.343

2266 2255 2243 2228 2218 2208 2197 2185 2178 2170 2161 2157 2153 2149 2146 2142 2140

0 11 23 38 48 58 69 81 88 96 105 109 113 117 120 124 126

11.5 24.5 40.0 45.0 52.5 69.0 66.5 60.0 56.3 46.8 48.0 52.0 49.0 52.5 48.0

−162.6qB µ −162.6(5200)(1.7)(0.21) = = 8.19 md mh (−122)(302)

⎡ P − Pi ⎛ k − log⎜⎜ s = 1.1513⎢ 1hr 2 ⎝ φµct rw ⎣⎢ m

⎤ ⎞ ⎟⎟ + 3.2275⎥ ⎠ ⎦⎥


146

2270

P1hr =-2252 psi 2250

2230

12 =2 ps i i/c o cl

P wf, psi

m

2210

2190

2170

2150

2130 0.1

1

10

t, hr

Fig. 2.36. Flujo semilog radial para el pozo No. 20 2260

2220 1/2

P wf, psi

2180

m

=

25

s 0p

r i(h

)

Flujo esférico 2140

2100

2060

I = 2060 psi 2020 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t,

0.6

0.7

0.8

0.9

1

hr

Fig. 2.37. Gráfico de flujo esférico (cartesiano) para el pozo No. 20

⎡ 2252 − 2298 ⎤ ⎛ ⎞ 8.19 s = 1.1513 ⎢ − log ⎜ + 3.2275⎥ = −5.03 −6 2 ⎟ −122 ⎝ (0.2)(0.21)(34.2 × 10 )(0.246) ⎠ ⎣ ⎦ Método Cartesiano: La Fig. 2.37 contiene un gráfico Cartesiano de Pwf en función 1/ t . De allí la pendiente observada es, m = 250 psi(hr-1/2) e intercepto, I= 2060 psia, la permeabilidad esférica y el daño esférico son:

⎛ 2453q µ B ⎞ k sp = ⎜ φµ ct ⎟ m ⎝ ⎠

2/3

⎛ 2453(5200)(0.21)(1.7) ⎞ (0.2)(0.21)(34.2 ×10-6 ⎟ =⎜ 250 ⎝ ⎠


2/3

147

ksp = 7.81 md La permeabilidad vertical se estima de: k sp = 3 kv kh2 De donde: kv =

rsw =

ssp =

k sp3 kh2

=

7.813 = 7.1 md 8.192

b 120 = = 9.69 ft ⎛b⎞ ⎛ 120 ⎞ 2 ln ⎜ ⎟ 2 ln ⎜ ⎟ ⎝ 0.246 ⎠ ⎝ rw ⎠

( Pi − I ) ksp rsw 70.6q µ B

−1 =

( 2298 − 2060 ) (7.81)(9.69) − 1 = −0.86 70.6(5200)(0.21)(1.7)

Con el valor de la permeabilidad vertical se puede estimar el daño causado por penetración parcial: 0.5

⎛ k ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ 8.26 ⎞ ⎛ 302 ⎞ hD = ⎜ H ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 1324.1 ⎝ kV ⎠ ⎝ rw ⎠ ⎝ 7.1 ⎠ ⎝ 0.246 ⎠ 0.5

2

⎛b⎞ ⎛b⎞ ⎛b⎞ G = 2.948 − 7.363⎜ ⎟ + 11.45⎜ ⎟ − 4.675⎜ ⎟ ⎝h⎠ ⎝h⎠ ⎝h⎠ 2

3

3

⎛ 120 ⎞ ⎛ 120 ⎞ ⎛ 120 ⎞ G = 2.948 − 7.363 ⎜ ⎟ + 11.45 ⎜ ⎟ − 4.675 ⎜ ⎟ = 1.57 ⎝ 302 ⎠ ⎝ 302 ⎠ ⎝ 302 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ − 1⎟ ⎡⎣ln (1324.1) − 1.57 ⎤⎦ = 8.52 sc = ⎜ − 1⎟ [ ln hD − G ] = ⎜ ⎜b ⎟ ⎜ 120 ⎟ ⎝h ⎠ ⎝ 302 ⎠ Tiab´s Direct Synthesis Technique La Fig. 2.38 presenta el gráfico de la derivada. De allí se leyeron los siguientes datos:


148

∆P, t*∆P', psi

1000

(∆P)r = 120 psi

(∆P)sp = 96 psi

100

Almacenamiento

(t*∆P')sp = 56.25 psi tsp = 4.5 hr

(t*∆P')r = 52.5 psi

2o. Flujo radial

Flujo esférico

(∆P)N = 23 psi tN = 1 hr

tr = 7.5 hr

10 0.1

1

10

t, hrs

Fig. 2.38. Derivada de presión para el pozo No. 20 Almacenamiento tN = 1 hr

∆P = 23 psia

Flujo esférico (t*∆P’)sp = 56.25 psi

∆Psp = 96 psi

tsp = 4.5 hr

Flujo radial tardío (t*∆P’)r2 = 52.5 psi

∆Pr2 = 96 psi

tr2 = 7.5 hr

El almacenamiento se estima de:

⎛ qB ⎞ t N ⎛ (5200)(1.7) ⎞ 1 C =⎜ =⎜ ⎟ ⎟ = 16.01 bbl/psi 24 ⎝ 24 ⎠ ( ∆P ) N ⎝ ⎠ 23 De la línea de flujo esférico, m = ½, la permeabilidad esférica y el daño esférico mecánico se estiman mediante:

⎛ qB µ k sp = ⎜1227 ⎜ (t * ∆P ') sp ⎝

φµ ct ⎞

⎟ t sp ⎟⎠

2/3

⎛ (5200)(1.7)(0.21) (0.2)(0.21)(34.2 ×10-6 ) ⎞ = ⎜1227 ⎟ ⎜ ⎟ 56.25 4.5 ⎝ ⎠

ksp = 8.05 md


2/3

149

ssp = 34.74

( ∆Pw )sp ⎤ (0.2)(0.21)(34.2 x 10-6 )(9.692 ) ⎢ ⎥ − 1 = 34.74 (8.05)(4.05) ⎢⎣ 2 ( t * ∆P ' ) sp ⎥⎦

φµ ct rsw2 ⎡ k sp t sp

⎡ ( 96 ) ⎤ ⎢ ⎥ −1 ⎣ 2 ( 56.25 ) ⎦

ssp = -0.93 La permeabilidad horizontal y el daño se hallan del flujo radial tardío: kr =

70.6qB µ 70.6(5200)(1.7)(0.21) = = 8.26 md h(t * ∆P ') r (302)(52.5)

⎡ ∆Pr ⎤ ⎡ 120 ⎤ ⎛ kt ⎞ ⎛ ⎞ (8.26)(7.5) s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ r r 2 ⎟ + 7.43⎥ = 0.5 ⎢ − ln ⎜ + 7.43⎥ -6 2 ⎟ ⎝ (0.2)(0.21)(34.2 x10 )(0.246 ) ⎠ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ 52.5 ⎦ ⎣ (t * ∆P ')r ⎦ s = -5.33 La permeabilidad vertical se estima de: k sp = 3 kv kh2 kv =

k sp3 kh2

=

8.053 = 7.65 md 8.262

La tabla 2.4 presenta la comparación de los resultados obtenidos por el método convencional y TDST. Tabla 2.4. Comparación de resultados

Parámetro ksp, md ssp ⎯k, md sr kv, md

Método Convencional 7.01 -0.86 8.19 -5.03 7.10

TDST 8.05 -0.93 8.26 -5.53 7.65

2.11. PRUEBAS MULTIFLUJO Razones de su uso:


150

q2 q3 Caudal

q4 q1

qN-1 q5 qN

0

t1

t2

t3

t4 Tiempo

t5

tN-2

tN-1

tN

Fig. 2.39. Gráfica de una prueba múltiple 1. Es a menudo impráctico mantener a rata constante por mucho tiempo para efectuar una prueba de caída de presión completa. 2. Cuando el pozo no se cerró el tiempo suficiente para alcanzar la presión estática antes de que iniciara la prueba de caída de presión. 3. Cuando no es económicamente rentable cerrar un pozo para hacer una prueba de restauración de presión. Ya sea que las ratas sean constantes o no durante periodos los periodos de flujo, existen principalmente 3 tipos de pruebas multiflujo: (a) Rata variable incontrolada, (b) series de ratas constantes, y (c) Rata de flujo variable con presión de fondo constante. Esta prueba es común en pozos gasíferos produciendo de formaciones muy apretadas. Las pruebas de restauración de presión, vistas más adelante en la unidad 3, son realmente un caso especial de pruebas multiflujo. Aplicando el principio de superposición (basado en la Fig. 2.39):

⎧q1[ PD (t D ) + s ] + (q2 − q1 )[ PD ([t − t1 ]D ) + s ] + ⎫ 141.2 µB ⎪ ⎪ Pwf (t ) = Pi − ⎨(q3 − q2 )[ PD ([t − t2 ]D ) + s ] + (q4 − q3 )[ PD ([t − t3 ]D ) + s ]⎬ kh ⎪ ⎪ ⎩+ .... + (q N − q N −1 )[ PD ([t − t N ]D ) + s ] ⎭ Rearreglando:


151

⎧q1{PD (t D ) − PD ([t − t1 ]D } + q2{PD ([t − t1 ]D − PD ([t − t2 ]D }⎫ 141.2µB ⎪ ⎪ Pwf (t ) = Pi − ⎨+ ... + qN −1{PD ([t − t N − 2 ]D − PD ([t − t N −1 ]D } + ⎬ kh ⎪ ⎪ ⎩+ qN {PD ([t − t N −1 ]D } + s ⎭ Utilizando la aproximación logarítmica: ⎧ ⎛ t − t2 ⎞ ⎛ t − t N − 2 ⎞⎫ ⎛ t ⎞ ⎛ t − t1 ⎞ ⎟⎟ + qN −1 ln⎜⎜ ⎟⎪ ⎟⎟ + q2 ln⎜⎜ ⎟⎟ + q3 ln⎜⎜ ⎪q1 ln⎜⎜ t − t1 ⎠ t − t2 ⎠ t − t3 ⎠ t − t N −1 ⎟⎠⎪ 70.6 µB ⎪ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ Pwf (t ) = Pi − ⎨ ⎬ kh ⎪ k ⎪ + q {ln(t − t N −1 )} + ln − 7.4316 + 2 s ⎪⎩ N ⎪⎭ φµct rw2 Dividiendo por el ln 10 y rearreglando: Pwf (t ) = Pi −

⎫ ⎛ t − t j −1 ⎞ 162.6µB ⎧⎪N −1 ⎟ + qN {log(t − t N −1 )} + log k 2 − 3.2275 + 0.8686s ⎪⎬ ⎨∑ q j log⎜⎜ ⎟ kh ⎪⎩ j =1 φµct rw ⎪⎭ ⎝ t −tj ⎠

Por conveniencia: Pi − Pwf (t ) qN

=

⎫ 162.6 µB ⎧ N ⎛ q j − q j −1 ⎞ k ⎟⎟ log(t − t j −1 ) + log − 3.2275 + 0.8686 s ⎬ ⎨∑ ⎜⎜ 2 φµct rw kh ⎩ j =1 ⎝ q N ⎠ ⎭

defina:

m'=

162.6µB kh

s ' = log

(2.119)

k − 3.23 + 0.87 ⋅ s φµct rw2

b ' = m' s '

(2.120) (2.121)

Generalizando: Pi − Pwf ( t ) qn

= m' Xn + b'

donde el tiempo de superposición, Xn, es:


(2.122)

152

n ⎛ q − qi −1 ⎞ ⎟ log (t − ti −1 ) X n = ∑ ⎜⎜ i qn ⎟⎠ i =1 ⎝

(2.123)

La Ec. 2.122 es la ecuación de una línea recta (papel cartesiano) con pendiente m’ e intercepto b’, ver Fig. 2.40. Una vez que m’ y b’ son conocidos, la permeabilidad y el factor de daño se pueden estimar usando las Ecs. 2.124 y 2.125: 16

12

Pi − Pwf

m'

8

qN

b' 4 0 4

6

8

Xn

Fig. 2.40. m’ y b’ de una prueba multitasa

k=

162.6 µ B m'h

(2.124)

⎡ b' ⎤ k s = 1.1513⎢ − log + 3.23⎥ 2 φµct rw ⎣ m' ⎦

(2.125)

La presión inicial, Pi, y toda la historia de la rata de flujo podría conocerse usando este método. Generalmente, estos no se conocen.

2.12. PRUEBAS BI-FLUJO Este método fue desarrollado por Russell. Este es simplemente un caso especial de pruebas multiflujo. El procedimiento es como sigue: 1. Estabilice el pozo por varios días a una rata constante, q1. 2. Baje la herramienta registradora de presión en el pozo unas 3 ó 4 horas antes del cambio de rata y empiece a registrar presiones:


153

3. Cambien la rata de flujo usando el choque en cabeza. Después de una corta transición, la rata se estabiliza al nuevo valor, q2. Las 3 regiones en la Fig. 2.41 representan ciertas características típicas: Región A - Porción de historia de presiones usados en análisis de pruebas de flujo Región B - Detección de fronteras e interferencia Región C - El pozo regresa a una declinación estable de presión REGION A

Pwf

Pi

REGION REGION B C

Región A es usada en análisis de presiones Region B se debe a efectos de frontera e interferencia Región C ocuure cuando el pozo regresa a presión de delinación estabilizada

Historia de presión pasada

∆t

t1

Tiempo

q2 t transición

Caudal

q1

t1

Usualmente se requiere un tiempo de transición corto antes que la nueva rata de flujo se estabiliza

∆t

Tiempo

Fig. 2.41. Representación de una prueba bi-flujo La presión de fondo fluyente después del cambio de rata está gobernada por la siguiente ecuación: ⎡ ⎛ t + ∆t ⎞ q2 ⎤ Pwf = m'1 ⎢log⎜ 1 ⎟ + log(∆t )⎥ + Pint ⎣ ⎝ ∆t ⎠ q1 ⎦

(2.126)

donde: t1 = 24

m'1 = −

Np

(2.127)

q1 162.6q1 µB kh


(2.128)

154

Pint = Pi + m'1

⎤ q2 ⎡ ⎛ k ⎞ ⎟ − + s 3 . 23 0 . 87 ⎢log⎜⎜ ⎥ q1 ⎣ ⎝ φµct rw2 ⎟⎠ ⎦

(2.129)

La Ec. 2.126 indica que un gráfico lineal de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) da una línea recta con pendiente m’1 e intercepto Pint, como se muestra en la Fig. 2.42. En general, el “lag time” (tiempo de transición) es más corto cuando hay reducción de rata que cuando hay incremento, i.e. Si q2 < q1 entonces el tlag será corto y si q2 > q1 entonces el tlag será largo debido a efectos de almacenamiento. Una vez se conocen m’1 y Pint, se calcula k, s y P* ≈ Pi.

k =−

162.6q1µB m1 ' h

(2.130)

⎡ q ⎛ Pwf (∆t = 0 ) − P1hr s = 1.1513⎢ 1 ⎜⎜ m'1 ⎣ q1 − q2 ⎝

⎤ ⎞ k ⎟⎟ − log + 3.23⎥ 2 φµct rw ⎠ ⎦

(2.131)

La caída de presión a través de la zona de daño es: ∆Pskin (q1 ) = −0.87(m'1 )s ∆Pskin (q 2 ) = −0.87

P ∗ = Pint −

(2.132)

q2 (m'1 )s q1

[

(2.133)

q1 P (∆t = 0 ) − P1hr (q2 − q1 ) wf

]

(2.134)

P* se conoce como “presión falsa” y a menudo se usa para estimar la presión promedia del yacimiento.

EJEMPLO La producción de área ha causado serios problemas en ciertos pozos. Debido al peligro de perder una herramienta en el subsuelo, las pruebas de restauración de presión han sido reemplazadas por pruebas biflujo. La Tabla 2.5 presenta los datos de presión para un pozo que ha fluido a una rata de 1841 STB/D durante 28.4 hrs antes de que la rata se incrementara a 3523 STB/D. Estime la permeabilidad, factor de daño y pérdidas de presión debido al daño. Información adicional, se da a continuación: B = 1.63 bbl/STB φ = 30 %

rw = 0.365 ft h = 108 ft

µ = 1.63 cp ct = 302x10-6 psi-1


155

SOLUCION Los cálculos necesarios para preparar un gráfico para pruebas biflujo (Fig. 2.43) se resumen en la tabla 2.5. Como se da en el problema, t1 = 28.4 hrs. El gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) se presenta en la Fig. 2.43. Puesto que la segunda rata es mas alta, esta prueba se comporta como una prueba de caída de presión. Se observa que a tiempos tempranos hay efectos de almacenamiento mientras que a tiempos tardíos se desarrolla una línea recta de pendiente -75.5 psi/ciclo log . Usando esta pendiente, la permeabilidad se calcula de: k=

162.6q1µB (162.6 )(1841)(1.63)(1.63) = = 97.6 md (− 75.5)(108) m1 ' h

Pint

q2 < q1 Los efectos de frontera se perciben primero aquí

P wf, psi

m'1

Incremento del tiempo de flujo

⎛ t + ∆t ⎞ q 2 log ⎜ 1 log ∆t ⎟+ ⎝ ∆t ⎠ q1

Fig. 2.42. Gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) El factor de daño total se calcula con la Ec. 2.131. ⎡ 1841 ⎤ 97.6 ⎛ 1419 − 1315 ⎞ s = 1.1513⎢ + 3.23⎥ = −2.0 ⎜ ⎟ − log 2 −6 (0.3)(1.63) 302 × 10 (0.365) ⎣1841 − 3523 ⎝ − 75.5 ⎠ ⎦ Lo anterior indica que el pozo está ligeramente estimulado. En términos de pérdida de presión, se tiene:

(

)

∆Pskin = −0.87(75.5)(− 2.0 ) = 131 psi


156

Tabla 2.5. Datos de presión para prueba biflujo ∆t, hrs 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.0 15.0 20.0 26.1

Pwf, psia 1419 1400 1384 1358 1335 1321 1310 1304 1300 1286 1280 1274 1270 1265 1261 1255 1249 1245 1241 1237 1219 1206 1200

t1 + ∆t ∆t

⎛ t + ∆t ⎞ log⎜ 1 ⎟ ⎝ ∆t ⎠

q2 log(∆t ) q1

⎛ t + ∆t ⎞ q2 log⎜ 1 ⎟ + log(∆t ) ⎝ ∆t ⎠ q1

114.60 57.80 38.87 29.40 23.72 19.93 17.23 15.20 12.36 10.47 9.11 8.10 7.31 6.68 5.73 5.06 4.55 4.16 3.84 2.89 2.42 2.09

2.06 1.76 1.59 1.47 1.38 1.30 1.24 1.18 1.09 1.02 0.96 0.91 0.86 0.82 0.76 0.70 0.66 0.62 0.58 0.46 0.38 0.32

-1.15 -0.58 -0.24 0.00 0.19 0.34 0.47 0.58 0.76 0.91 1.04 1.15 1.25 1.34 1.49 1.62 1.73 1.83 1.91 2.25 2.49 2.71

0.91 1.19 1.35 1.47 1.56 1.64 1.70 1.76 1.85 1.93 2.00 2.06 2.11 2.16 2.25 2.32 2.39 2.44 2.50 2.71 2.87 3.03

2.13. METODO DE PINSON Este es una aproximación del método biflujo y debería usarse solo cuando t1 >> ∆t, en tal caso, la Ec. 2.126 se convierte en: Pwf = m p log ∆t + Pint

(2.135)

Esta ecuación indica que un grafico semilog de Pwf vs. ∆t, ver Fig. 2.44, debería dar una línea recta de pendiente mp e intercepto Pint dados por: mp = −

162.6(q2 − q1 )µB kh


(2.136)

157

1440 1420 1400 1380

P wf, psi

1360 1340

m'1 = -75.5 psia/log cycle

P1hr = 1315 psi

1320 1300 1280 1260 1240 1220

∆t = 1 hr

1200 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

⎛ t + ∆t ⎞ q2 log ⎜ log ∆ t ' ⎟+ q1 ⎝ ∆t ⎠

Fig. 2.43. Gráfico de una prueba de dos ratas 1450

P wf, psi

1400

1350

m=-87.9 psi/cysle

P1hr=1323 psia 1300

1250

1200 0.1

1

∆t, hrs

10

100

Fig. 2.44. Gráfico Semilog de Pwf vs. ∆t Pint = Pi +

⎫ m p q2 ⎧ ⎛ k ⎞ q ⎟ − 3.23 + 0.87 s + 1 log(t1 )⎬ ⎨log⎜⎜ 2 ⎟ (q2 − q1 ) ⎩ ⎝ φµct rw ⎠ q2 ⎭

(2.137)

Estas dos ecuaciones pueden usarse para estimar k y s, o también: k =−

162.6(q2 − q1 )µB mph


(2.138)

158

⎡⎛ P1hr − Pwf (∆t = 0 ) ⎞ ⎤ k ⎟⎟ − log + 3 . 23 s = 1.1513⎢⎜⎜ ⎥ mp φµct rw2 ⎠ ⎣⎝ ⎦

(2.139)

El método de Pinson es mucho más rápido y más simple que el de Russell. Earlougher demostró que los valores de k y s obtenidos de un gráfico Pinson podría ser considerado como una aproximación de los valores reales. El error en permeabilidad (Ec. 2.140) y en factor de daño (Ec. 2.142) están dados por: Ek =

q1 k E − k actual = k actual q1 T * −1 − q 2T *

( )

(2.140)

donde: T* =

log(∆t ) ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟⎟ log⎜⎜ 1 t ⎝ 1 ⎠

(2.141)

⎡⎛ P1hr − Pwf (∆t = 0 ) ⎞⎛⎜ q ⎞⎟ 1 ⎤ 1 ⎟⎜ ⎟ E s = s E − sactual = −1.1513⎢⎜ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜q −q ⎟ * m ⎥ p 2 ⎠T ⎦ ⎠⎝ 1 ⎣⎢⎝

(2.142)

2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS La ecuación gobernante es: Pi − Pwf ( tn ) qn

= m 'log teq + b '

(2.143)

donde el tiempo equivalente, teq, se estima mediante (de la Ec. 2.123): n

(

teq = ∏ (tn − ti −1 )

q i − q i −1 qn

) = 10 X n

(2.144)

i =1

Si se grafica [Pi - Pwf(t)]/qn vs. Log teq, se obtendrá una línea recta. Utilice las Ecs. 2.119 y 2.120 para estimar permeabilidad y daño.

2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTIRATA Los detalles matemáticos de la derivación de las ecuaciones pueden hallarse en el articulo SPE 62607. Estime los siguientes parámetros:


159

Tabla 2.6. Datos de presión y caudal para prueba multirata n t, hr q, BPD Pwf, psi ∆P, psi

1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 13

1 1.5 1.89 2.4 3 3.45 3.98 4.5 4.8 5.5 6.05 6.55 7 7.2 7.5 8.95 9.6 10 12 14.4 15 18 19.2 20 21.6 24 28.8 30 33.6 36 36.2 48

∆Pq =

0 1580 1580 1580 1580 1490 1490 1490 1490 1490 1440 1440 1440 1440 1440 1370 1370 1370 1300 1300 1260 1190 1190 1190 1160 1160 1137 1106 1080 1080 1000 983 983

∆P /q psi/BPD

Xn

teq hr

t*(∆P/q)' teq*(∆P/q)'

2906 2023 1968 1941

883 938 965

0.559 0.594 0.611

0.000 0.176 0.276

1.000 1.500 1.890

0.0827 0.0922

0.0827 0.085

1892 1882 1873 1867

1014 1024 1033 1039

0.681 0.687 0.693 0.697

0.519 0.569 0.624 0.673

3.306 3.707 4.208 4.712

0.0862 0.0459 0.038 0.0752

0.0791 0.0543 0.0422 0.0576

1853 1843 1834 1830

1053 1063 1072 1076

0.731 0.738 0.744 0.747

0.787 0.819 0.849 0.874

6.124 6.596 7.056 7.481

0.111 0.076 0.0601 0.2905

0.1044 0.0933 0.07 0.0683

1827 1821

1079 1085

0.788 0.792

0.974 1.009

9.412 0.4561 10.212 0.245

0.0941 0.0764

1815 1797

1091 1109

0.839 0.853

1.124 1.153

13.311 0.319 14.239 0.2056

0.1996 0.2094

1775 1771

1131 1135

0.950 0.954

1.337 1.355

21.746 0.2518 22.662 0.1366

0.1018 0.0946

1772

1134

0.978

1.423

26.457 0.2151

0.1913

1756

1150

1.011

1.485

30.553 0.2147

0.2311

1751

1155

1.069

1.607

40.426 0.3864

0.2234

1756 1743

1150 1163

1.170 1.183

1.788 1.799

61.414 0.3984 63.020

0.4908

Pi − P (t n ) qn

(2.145)


160

donde; t n = t n−1 + ∆t

(2.146)

Con el tiempo equivalente, Ec. 2.146, determine la derivada teq*(∆P/q)’ y haga el gráfico de la derivada. El almacenamiento puede obtenerse tomando un punto cualquiera sobre la recta unitaria de tiempo temprano y estimado mediante: ⎛ B ⎞⎛ t C = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 24 ⎠⎜⎝ ∆Pq

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.147)

La permeabilidad se obtiene con la derivada en el flujo radial usando la Ec. 2.148 y el daño se obtiene con la Ec. 2.149 tomando un valor de tiempo y presión en la línea de flujo radial: k=

70.6 µB h(t * ∆Pq′)r

(2.148)

⎡ (∆Pq ) r ⎤ ⎛ ktr ⎞ ⎟ − ln⎜⎜ 7 . 43 + s = 0.5⎢ ⎥ 2⎟ ⎝ φµct rw ⎠ ⎣⎢ (t * ∆Pq ' ) r ⎦⎥

(2.149)

Cuando la rata de flujo tiene una variación moderada, se prefiere utilizar tiempo real en vez de tiempo equivalente con excelentes resultados. Por el contrario, cambios bruscos en la rata de flujo proporcionan resultados inaceptables. Es recomendable que los datos de la prueba se registren en intervalos iguales de tiempo para obtener derivadas más suavizadas. TDST es aplicable a pruebas de dos ratas y existe además una técnica para pruebas donde hay una rata de flujo constante precedida por rata de flujo variable. Para pruebas de inyección con múltiples ratas, referirse al artículo SPE 76714.

EJEMPLO Estime permeabilidad y porosidad utilizando el método cartesiano, semilog y TDST usando los datos de presión y rata de flujo medidos en una prueba multirata se dan en la tabla 2.6. Otros parámetros conocidos del yacimiento son: Pi = 2906 psi h = 40 ft ct = 2.4x10-6 1/psi

B = 1.27 bbl/STB rw = 0.29 ft

µ = 0.6 cp φ = 11.2 %

SOLUCION


161

Una de las dificultades de éste método es la determinación de Xn y del tiempo equivalente, teq, lo que lo hacen un procedimiento tedioso. Para ilustrar esto se estimará Xn a las 6.05 hrs, utilizando la Ec. 2.123. Observe que cada valor de j se refiere al nivel n en la prueba y por lo tanto se usa el último dato de tiempo y caudal de cada intervalo de j que finalmente afecta la prueba. Para el ejemplo, n = 3 y: n ⎛q −q ⎞ 1 X n = ∑ ⎜ i i −1 ⎟ log ( t − ti −1 ) = qn ⎠ qn i =1 ⎝

n

∑ ( q − q ) log ( t − t ) i =1

i

i −1

i −1

Método Cartesiano: La tabla 2.6 presenta el resumen de los valores calculados para la presión normalizada [Pi - Pwf(t)]/qn, tiempo de superposición, Xn , Ec. 2.123 y tiempo equivalente, teq, Ec. 2.144. La Fig. 2.45 muestra los del gráfico cartesiano de [Pi - Pwf(t)]/qn versus Xn. Se observan allí dos líneas rectas. Note que la pendiente de la segunda línea recta es mayor que la de la primera indicando ya sea una falla, una zona de baja permeabilidad o estado pseudoestable. Los resultados de regresión lineal dan un a pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D), y un intercepto b’=0.5532 psi/(STB/D). La permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

Xn =

k=

1 1 ⎡⎣(1580 − 0 ) log ( 6.05 − 0 ) ⎤⎦ j =1 + ⎡(1490 − 1580 ) log ( 6.05 − 2.4 ) ⎤⎦ j = 2 1440 1440 ⎣ 1 + ⎡(1440 − 1490 ) log ( 6.05 − 4.8 ) ⎤⎦ j =3 = 0.819 1440 ⎣

162.6 µ B (162.56)(1.27)(0.6) = = 13.49 md m'h 0.2296(40)

⎡ b' ⎤ k + 3.23⎥ s = 1.1513⎢ − log 2 φµct rw ⎣ m' ⎦

⎡ 0.5532 ⎤ ⎛ ⎞ 13.48 s = 1.1513 ⎢ − log ⎜ + 3.23⎥ = −3.87 −6 2 ⎟ ⎝ (0.112)(0.6)(2.4 × 10 )(0.29 ) ⎠ ⎣ 0.2296 ⎦ Método semilog: La Fig. 2.46 es un gráfico semilog de [Pi - Pwf(t)]/qn versus t y teq. El objeto de éste gráfico es el de comparar entre el análisis riguroso usando tiempo equivalente, teq, y análisis usando el tiempo real de flujo, t. Note que durante el primer ciclo los gráficos de t y teq son prácticamente iguales. La regresión para el caso de tiempo real dio una pendiente m’=0.2411 psi/(STB/D)/ciclo e intercepto b’ o ∆P/q(1hr)=0.553 psi/(STB/D).


162

De nuevo, la permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. respectivamente:

2.124 y 2.125,

1.2

1.1

∆P/q, psi/BPD

1.0

0.9

0.8

PD psi/B 296 2 . 0 m'= 0.7

0.6

b' = 0.5532 psi/BPD 0.5 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Xn, tiempo de superposición

Fig. 2.45. Gráfico cartesiano de presión normalizada vs. Tiempo de superposición 1.2

t teq

∆P/q, psi/BPD

1.0

0.8

1 .241 m'=0

al , t re /ciclo D P psi/B

eq lo, t D/cic P B i/ 6 ps .229 m'=0

0.6

b' = 0.553 psi/BPD, t real b' = 0.5532 psi/BPD, teq 0.4 1

10

100

t y teq, hrs

Fig. 2.46. Gráfico semilog de presión normalizada vs. Tiempo equivalente y tiempo real


163

10

∆P q, t*∆P q' y t eq *∆Pq', psi/STB

t teq

1

(∆Pq)r = 0.69 psi/BPD

t *(∆Pq)'r = 0.097 psi/STB 0.1

tr = 4 hrs

0.01 1

10

100

t y teq, hrs

Fig. 2.47. Gráfico log-log de presión normalizada y su derivada vs. Tiempo equivalente y tiempo real k=

162.6 µ B (162.56)(1.27)(0.6) = = 12.84 md m'h 0.2411(40)

⎡ 0.553 ⎤ ⎛ ⎞ 12.84 s = 1.1513 ⎢ − log ⎜ + 3.23⎥ = −3.98 −6 2 ⎟ ⎝ (0.112)(0.6)(2.4 ×10 )(0.29 ) ⎠ ⎣ 0.2411 ⎦ La línea recta con teq tiene una pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D)/ciclo, e intercepto b’ ó ∆P/q(1hr)=0.5532 psi/(STB/D). Luego la permeabilidad y el daño estimados mediante las Ecs. 2.124 y 2.125 son 13.49 md y –3.87, respectivamente. Tabla 2.7. Comparación de resultados estimados mediante diferentes técnicas TECNICA Tiempo de Superposición Método Cartesiano Tiempo Equivalente Método Semilog

k, md 13.49

s -3.87

13.49

-3.87

Tiempo Real Método Semilog

12.84

-3.98

TDST

13.86

-3.794


164

Método de Tiab’s Direct Synthesis Technique:

La derivada de la presión normalizada también se reporta en la tabla 2.6. La Fig. 2.47 ilustra un gráfico log-log de ∆Pq and (t*∆P'q) versus t y teq. Durante el primer ciclo los dos juegos de datos tienen aproximadamente la misma tendencia. De dicho gráfico, se observa la línea de comportamiento infinito y se leen los siguientes valores: (t*∆P'q)r = 0.097 psi/(STB/D), (∆Pq)r = 0.69 psi/(STB/D) y tr = 4 hrs La permeabilidad y el daño se estiman, respectivamente, usando las Ecs. 2.148 y 2.149: k=

70.6 µ B (70.6)(1.27)(0.6) = = 13.86 md h(t * ∆Pq′) r 0.097(40)

⎡ (∆Pq ) r ⎤ ⎛ ktr ⎞ ⎟ s = 0.5⎢ − ln⎜⎜ + 7 . 43 ⎥ 2⎟ ⎝ φµct rw ⎠ ⎣⎢ (t * ∆Pq ' ) r ⎦⎥ ⎡ 0.69 ⎤ ⎛ ⎞ (13.86)(4) s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ + 7.43⎥ = −3.794 −6 2 ⎟ ⎝ (0.112)(0.6)(2.4 ×10 )(0.29 ) ⎠ ⎣ 0.097 ⎦ La comparación de los resultados obtenidos mediante los diferentes métodos se resumen en la tabla 2.7. Note que todos los resultados concuerdan bien. La estimación de la permeabilidad usando tiempo real tiene una desviación absoluta de 4.81 %. Puesto que este error es aceptable se puede realizar el análisis graficando presión normalizada vs. tiempo ya que el cálculo de Xn es tedioso y requiere un programa de computador. Se halló una diferencia de 2.74 % entre los resultados obtenidos de la TDST y el análisis semilog. Nótese que la derivada tiene mucho ruido probablemente debido a que el incremento del tiempo no es igualmente espaciada. 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS – METODO DE SLIDER

La Fig. 2.48 esquematiza un pozo con la presión de cierre declinando (línea sólida) antes que iniciara la prueba a un tiempo t1. La extrapolación del primer comportamiento (línea punteada) representaría el comportamiento de presión esperado para el cierre continuado. La producción arranca en t1 y la presión se comporta como lo muestra la línea sólida.


165

Declinación inicial de presión observada

Presión

∆Pow(t)

Extrapolación correcta

∆P∆t Declinación de presión observada

∆t t1

Tiempo de flujo

Fig. 2.48. Esquematización de declinación de presión en un yacimiento desarrollado En la Fig. 2.48, ∆Pwo(t) es la caída de presión con respecto a Pi que es causada por otros pozos en el yacimiento y se mide a un tiempo t = t1 + ∆t. Dicha caída de presión se esquematiza en la Fig. 2.48 como la diferencia entre la presión inicial y la línea de declinación extrapolada. ∆P∆t es la diferencia entre la presión de fondo observada (registrada) y la presión extrapolada. Para analizar correctamente pruebas de este tipo se requiere: 1) Extrapole correctamente la presión de cierre 2) Determine ∆P∆t 3) Grafique ∆P∆t vs. ∆t. Esto debería dar una recta cuya pendiente puede analizarse usando las Ecs. 2.30 y 2.40. Considere un pozo cerrado en un yacimiento desarrollado con otros pozos en operación. Existe una declinación de presión en el pozo cerrado producto de la producción de los otros pozos. Después que el pozo de prueba se ha puesto en producción al tiempo t1, su presión será:

Pwf = Pi −

141.2qµ B [ PD (∆tD , rD = 1,...) + s ] − ∆Pow (t ) kh

(2.150)

∆Pwo(t) puede estimarse por superposición a partir de: ∆Pow (t ) = Pi − Pw =

141.2µ n ∑ q j B j PD (tD , rDj ...) kh j = 2


(2.151)

166

La Ec. 2.151 asume que TODOS los pozos arrancan a producir a t = 0. Esta asumpción puede eliminarse mediante una superposición más compleja. Si los otros pozos en el yacimiento operan bajo estado pseudoestable, la Ec. 2.151 se convierte en: ∆Pow (t ) = b − m * t

(2.152)

La pendiente, m*, es negativa cuando se grafica ∆Pwo(t) vs. t ó positiva si se grafica Pw vs. t. m* se estima antes de que el pozo de prueba se abra en producción: m* =

dPws ( Pws ) 2 − ( Pws )1 = dt t2 − t1

(2.153)

Si se dispone de datos de presión antes de la prueba, m* puede estimarse fácilmente. También, se puede estimar mediante una ecuación resultante de reemplazar la Ec. 2.44 en la 2.151: m* =

−0.23395 n ∑q B φ ct hA j = 2 j j

(2.154)

estando el volumen del yacimiento en ft3. Combinando adecuadamente las Ecs. 2.24 (con rD = 1), 1.30, 2.150 y 2.152, resulta: Pwf − m * ∆t = m log ∆t + ∆P1hr

(2.155)

donde m y P1hr se obtienen de las Ecs 2.29 y 2.30:

⎡ ⎛ k ⎞ ⎤ P1hr = Pws ( ∆t = 0) + m ⎢ log ⎜ 3.2275 0.8686 s − + ⎥ ⎟ 2 ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦ La Ec. 2.155 indica que un gráfico de Pw f - m*∆t vs. log ∆t da una recta de pendiente m y corte ∆P1hr en ∆t = 1 hr. La permeabilidad se pude hallar de la ecuación anterior. El daño se estima de un arreglo de la Ec. 2.40: ⎡ ∆P − Pws (∆t = 0) ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ m ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ ⎦

2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES

Estos yacimientos pueden aproximarse a la geometría descrita por la Fig. 2.49.a. y resultan principalmente de depósitos fluviales, comúnmente llamados canales. Los Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

167

posibles regímenes de flujo cuando el pozo está completamente descentrado se presentan en la Fig. 2.52. Cuando las fronteras paralelas del yacimiento son de no flujo (cerradas), y el pozo se encuentra localizado a un extremo de éste, Fig. 2.49.c, se observa que el régimen de flujo dominante es el flujo lineal caracterizado por una pendiente de 0.5, ver Fig. 2.50, y cuya ecuación gobernante es: PD = 2π t DL + sL =

2π t D + sL WD

(2.156)

Siendo sL el daño causado por el cambio de flujo lineal a radial. Los parámetros adimensionales se definen como: tD =

0.0002637kt φ µ ct rw2

t DL =

tD wD2

(2.157.a)

wD =

YE rw

(2.157.b)

t D * PD ' =

kh t * ∆P ' 141.2q µ B

(2.60)

(2.158)

La derivada de la Ec. 2.156 es: t D * PD ' =

π tD

(2.159)

WD

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.159 y despejando el producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, se tiene: kYE =

7.2034qB ∆t µ h(t * ∆p) L φ ct

(2.160)

Para ∆t = 1 hr kYE =

7.2034qB µ h(t * ∆p) L1 φ ct


(2.161)

168

a) GEOMETRIA DEL YACIMIENTO

YE

Xw xE b) FLUJO DUAL LINEAL Pozo

h

YE c) FLUJO LINEAL Pozo

h

YE

Fig. 2.49. Geometría del yacimiento y caracterización de los regímenes de flujo El producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, puede ser calculada del flujo lineal dual, DL, que toma lugar cuando el pozo se encuentra localizado a cualquier distancia de la frontera lateral más cercana a él, ver Fig. 2.49.b. El comportamiento de la presión adimensional y su derivada se presentan en la Fig. 2.51. PD =

2 π tD + sL WD

(2.162)

cuya derivada es: t D * PD ' =

π tD

(2.163)

WD

Al remplazar las variables adimensionales se tiene: kYE =

4.064qB ∆t µ h(t * ∆p) DL φ ct

Para ∆t = 1 hr


(2.164)

169

1.E+04

Estado pseudoestable

Pozo en el centro - Laterales cerrados

1/2

PD y tD*P'D

1.E+03

1.E+02

1.E+01

l nea al li u d o Fluj 1.E+00

Fin del flujo radial 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

t

1.E+07

1.E+08

1.E+09

D

Fig. 2.50. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado en la mitad del yacimiento 1.E+04


Pozo a 1/8 - laterales cerrados

1.E+03

1/8

PD y tD*P'D

Flujo lineal puro 1.E+02

` 1.E+01

1.E+00

Flujo dual lineal Fin del flujo radial 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

t

1.E+07

1.E+08

1.E+09

D

Fig. 2.51. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado a 1/8 de la frontera más cercana


170

kYE =

4.064qB µ h(t * ∆p) DL1 φ ct

(2.165)

Puntos de Intersección

Para tiempos largos de producción, en la derivada de pseudopresión se obtiene una línea recta de pendiente unitaria la cual corresponde al flujo de estado pseudoestable, cuya ecuación esta dada por:

( tD * PD ') pss = 2π * tDA

(2.166)

Esta línea se intercepta con la línea del flujo lineal y doble lineal obteniéndose el área de drene del yacimiento. Para flujo doble lineal se tiene: kt DLPiYE2 301.77φµ ct

A=

(2.167)

Para flujo lineal se tiene: kt LPiYE2 948.047φµ ct

A=

(2.168)

La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable interceptan en: t DARPi =

1 4π

(2.169)

Donde: t DA =

0.0002637 kt φ µ ct A

(2.170)

Sustituyendo la ecuación 2.170 en 2.169 y despejando el área se obtiene: A=

kt RPi 301.77φµct

(2.171)

Igualmente, de la intersección de la línea de comportamiento radial infinito de la derivada de presión (línea recta horizontal) con los flujos lineal y doble lineal se obtienen ecuaciones para calcular el ancho del yacimiento lineal. El punto de corte


171

entre el flujo radial y el flujo lineal es único tRLi, donde el valor de la derivada adimensional de la presión adquiere un valor de ½ cuando el pozo se encuentra centrado con respecto a sus fronteras más cercanas y de 1 cuando el pozo esta descentrado y se observan dos líneas horizontales, ver Fig. 2.52, Luego: 1.E+03


ea l lin Fl uj o

PD y tD*P'D

1.E+02

1.E+01

2o. Flujo radial ujo Fl

Primer Flujo radial

1.E+00

li al du

al ne

Almacenamiento 1.E-01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

t

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

D

Fig. 2.52. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular con el pozo situado asimétricamente con respecto a los lados del yacimiento

( tD * PD ') DL =

π tD WD

= 0.5

(2.172)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.172 se obtiene el ancho del yacimiento YE en unidades de campo: YE = 0.05756

kt RDLi φµ ct

(2.173)

Cuando se observan dos líneas horizontales (dos flujos radiales) o cuando el primero está enmascarado, la Ec. 2.173 se transforma en: YE = 0.02878

kt RDLi φµ ct


(2.173)

172

Para puro flujo lineal, las ecuaciones 2.173 y 2.174 se transforman respectivamente en: YE = 0.1020

YE = 0.051

kt RLi φµ ct

(2.174)

kt RLi φµ ct

(2.175)

El daño causado por la convergencia del flujo lineal a radial puede hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.156 y 2.158, sustituyendo las variables adimensionales por las cantidades en unidades de campo y despejando el daño, sL: ⎛ ∆PL ⎞ 1 sL = ⎜ − 2⎟ ⎝ (t * ∆P ') L ⎠ 34.743YE

kt L φµ ct

(2.176)

Donde tL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆pL y t*∆pL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tL. El daño causado por la convergencia del flujo dual lineal a radial puede también hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.162 y 2.163 y despejando el daño, sL: ⎛ ∆PDL ⎞ 1 sDL = ⎜ − 2⎟ ⎝ (t * ∆P ') DL ⎠ 19.601YE

kt DL φµ ct

(2.177)

Donde tDL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆PDL y t*∆PDL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tDL. En yacimientos lineales cuando el pozo está descentrado y existe una acción simultánea del flujo lineal, en un lado, y del estado estable, en el otro extremo, se presenta un flujo de pendiente de -1/2, que no corresponde al flujo esférico o hemisférico, ver Fig. 2.54 y 2.55, y por ende se llamó flujo pseudohemisférico. La ecuaciones gobernantes de este regimen de flujo son: 2

PD = −(WD ) ( X D )

2

⎛ X E ⎞ −0.5 ⎜ ⎟ t D + sSHS ⎝ YE ⎠

(2.178)

2

W 2⎛ X ⎞ t D * PD ' = D ( X D ) ⎜ E ⎟ t D−0.5 2 ⎝ YE ⎠


(2.179)

173

1,E+04

Flujo Pseudo estable

XD = 1/4 XE/YE= 512 1,E+03

l ea Lin o j Flu

tLPSSi

tDLPSSi

t D*P'D

1,E+02

1,E+01

l ea lin al u D jo Flu 1,E+00

Flujo Radial

tDLPi

tLPi 1,E-01 1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

tRPSSi 1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

1,E+10

1,E+11

1,E+12

tD

Fig. 2.53. Puntos de intersección característicos de los yacimientos lineales 1,E+02

1,E+01

Flujo Pseudo-Hemisférico

Yacimiento con frontera lejana cerrada XDD==1/16 1/16 X XXEE/Y /YEE == 512 512

1,E+00

l ea lin al u D jo Flu

t DLSHSi

Flujo Radial

t D*P'D

t RSHSi 1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

1,E+10

1,E+11

1,E+12

tD

Fig. 2.54. Puntos característicos del flujo pseudohemisférico Usando la filosofía de la Tiab´s Direct Synthesis technique, se obtiene una relación para estimar el daño causado por la convergencia de flujo dual lineal a flujo pseudohemisférico y la posición del pozo. ⎛ ∆PSHS ⎞ 123.16 bx + 2⎟ sSHS = ⎜ ⎜ ( t * ∆P ') ⎟ YE SHS ⎝ ⎠

φµ ct kt SHS


(2.180)

174

1,E+02 Yacimiento con fronteras abiertas

XD = 1/4 XE/YE= 512

1,E+01

m= -1 Flujo Pseudo Hemisférico

1,E+00

Flujo Dual lineal

t D*P'D

Flujo Radial Yacimiento con frontera lejana cerrada

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12 1,E+13

tD

Fig. 2.55. Características de las línea de pendiente -1 ⎡ ⎤ ⎡ φµ ct ⎤ k 1.5YE qµ B = 17390 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 2 bx ⎢⎣ h ( t * ∆P ' ) SHS ⎥⎦ ⎣ tSHS ⎦

0.5

(2.181)

El daño total para este tipo de yacimiento se evalúa de acuerdo a los regímenes de flujo que se presenten: • •

Pozo cerca de la frontera cerrada. En este caso se presentan el flujo radial, dual lineal y lineal. Pozo cerca de la frontera abierta. En este caso se presentan el flujo radial, dual lineal y flujo pseudohemisférico.

s = sr + sDL + sL

(2.182)

s = sr + sDL + sSHS

(2.183)

Los puntos de intersección, ver Fig. 2.53 a 2.55, hallados entre las diferentes líneas de la derivada permiten desarrollar las siguientes ecuaciones: A=

kt DLPSSiYE2 301.77φµ ct


(2.184)

175

kt LPSSiYE2 948.047φµ ct

A=

YE = 0.05756

YE = 0.1020

bx =

(2.185)

kt RDLi φµ ct

(2.186)

kt RLi φµ ct

(2.187)

kt DLSHSi 1 65.41 φµ ct

⎛ YE ⎞ ⎛ kt RSHSi ⎞ bx = ⎜ ⎟ ⎟ *⎜ ⎝ 246.32 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠

(2.188)

0.5

(2.189)

Para casos de estado estable se traza una pendiente unitaria, SS1, cuyo corte con la línea de estado pseudoestable permite estimar la longitud del yacimiento, ver Fig. 2.53. X E3 =

1 ⎛ kt SHSSS1i ⎞ ⎜ ⎟ bx 77.9 ⎝ φµ ct ⎠

(2.190)

1. Fronteras abiertas

•

Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal 3

1 ⎛ ⎞ ⎛ kt DLSS1i ⎞ ⎛ 1 ⎞ XE =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 9 ⎟⎜ ⎝ 1.426 × 10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ 3

•

(2.191)

Intersección pendiente -1 con flujo radial 2

2 1 ⎛ ⎞ ⎛ kt RSS1i ⎞ ⎛ YE ⎞ XE =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 6 ⎟⎜ ⎝ 4.72 × 10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ 3

•

Intersección pendiente -1 con flujo pendiente -½


(2.192)

176

X E3 =

1 ⎛ kt SHSSS1i ⎜ 77.9 ⎝ φµ ct

⎞ ⎟ bx ⎠

(2.193)

2. Fronteras mixtas (pozo cerca de la frontera abierta)

•

Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal 3

1 ⎛ ⎞ ⎛ kt DLSS2i ⎞ ⎛ 1 ⎞ XE =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 10 ⎟ ⎜ ⎝ 1.42 ×10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ 3

•

(2.194)

Intersección pendiente -1 con flujo radial 2

2 1 ⎛ ⎞ ⎛ kt RSS2i ⎞ ⎛ YE ⎞ XE =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 7 ⎟⎜ ⎝ 4.66 ×10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ 3

•

(2.195)

Intersección de la línea de pendiente -1 con la linea de flujo pseudo hemisférico de pendiente -½

X E3 =

1 ⎛ ktSHSSS2i ⎜ 768.4 ⎝ φµ ct

⎞ ⎟ bx ⎠

(2.196)

Del punto de inflexión entre el flujo dual lineal al lineal se puede obtener la posición del pozo, mediante cualquiera de las siguientes relaciones: bx =

bx =

kt F 5448.2φµ ct khYE (t * ∆P ') F 415.84q µ B

(2.197)

(2.198)

Puntos máximos – Pozo cerca de la frontera abierta

Primer punto máximo (cambio de flujo dual lineal a pseudo hemisférico)

XE YE

⎛ π ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ (tD * PD ') X 1 X D ⎝ ⎠


(2.199)

177

Segundo Punto Máximo (fin de la línea de flujo pseudo hemisférico y comienzo del flujo estable): ⎛ 1 ⎞ ⎛ kt X 1 ⎞ bx = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 58.8 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ bx =

(2.200)

khYE (t * ∆P ') X 1 159.327qµ B

⎛ b2 X E = 637.3 ⎜ x ⎝ YE

(2.201)

⎞ ⎛ qµ B ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎠ ⎝ kh ⎠ ⎝ (t * ∆P ') X 2 ⎠

1 ⎛ kt X 2 ⎞ XE = ⎜ ⎟ 39.2 ⎝ φµ ct ⎠

(2.102)

0.5

(2.103)

Pozo cerca de la frontera cerrada

1 ⎛ kt X 3 ⎞ XE = ⎜ ⎟ 44.24 ⎝ φµ ct ⎠

0.5

(2.104)

2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES

La Ec. 2.30 se utiliza para determinar la permeabilidad del flujo radial de un gráfico semilogarítmico. La ecuación que gobierna el flujo lineal es (Ver Fig. 2.56): PWD = 2 π t De + σ + s

(2.105)

Donde:

t De =

0.0002637 kt φµ ct

(2.106)

y σ pseudo Daño debido al flujo lineal. El ancho del yacimiento YE se determina de: qB ⎡ µ ⎤ YE = 8.1282 ⎢ ⎥ m1 f h ⎣ kφ ct ⎦

0.5


(2.107)

178

WD

2 π

P

1

b1 f = σ + s

t De

P, psi

Fig. 2.56. Grafico de PwD vs. tDe0.5 Durante el flujo lineal

m* 1

log t, hr Fig. 2.57. P Versus t0.5 Durante el flujo lineal Donde m1f es igual a la pendiente de la línea de flujo lineal en el grafico cartesiano ∆P Versus t0.5 (ver Fig. 2.57). El daño para flujo lineal se calcula de la siguiente ecuación: ⎛ r ⎞⎤ 1 ⎡ khb1 f s= ⎢ + ln ⎜ w ⎟ ⎥ 2 ⎣⎢141.2qµ B ⎝ Ye ⎠ ⎦⎥

(2.108)

Donde b1f es el punto de corte de la gráfica cartesiana P Versus t0.5, Fig. 2.57. El area se puede calcular del flujo pseudoestable de la siguiente ecuación:


179

X EYE =

0.234qB φ hct m*

(2.109)

Donde m* es la pendiente del grafico semilogarítmico de presion contra tiempo (psi/hr), Ver Fig. 2.58. Tabla 2.8. Datos de presión y derivada de presión para ejemplo real de yacimiento rectangular t, hr

0.165 0.332 0.498 0.665 0.831 0.998 1.165 1.331 1.498 1.665 1.831 1.998 2.165 2.331 2.498 2.665 2.831 2.998 3.165 3.331 3.498 3.665 3.831 3.998 4.165

∆ P, psi 49.00 99.00 122.42 140.49 156.07 170.14 182.92 194.48 205.17 215.09 224.53 233.54 242.11 250.33 258.24 265.94 273.23 280.57 287.49 294.22 300.85 307.28 313.54 319.60 325.50

t*∆P´, Psi 51.00 67.00 60.38 66.57 73.69 80.12 84.74 88.67 92.44 96.63 101.16 105.28 109.19 113.12 116.37 120.68 124.15 126.97 130.91 133.24 136.37 138.93 141.42 143.73 145.48

t, hr

4.331 4.498 4.665 4.831 4.998 5.165 5.331 5.498 5.665 5.831 5.998 6.165 6.331 6.498 6.665 6.831 6.998 7.165 7.331 7.657 7.990 8.324 8.657 8.990 9.490

∆P , psi 331.24 336.89 342.30 347.70 352.84 358.01 362.96 367.77 372.54 377.15 381.67 386.10 390.50 394.60 398.63 402.76 406.64 410.42 414.19 421.18 428.16 434.62 440.94 446.87 453.81

t*∆P´, Psi 147.65 149.17 151.39 152.79 154.09 155.83 156.87 157.85 159.51 159.55 159.94 161.25 161.31 161.74 161.58 161.88 161.66 161.90 161.66 161.21 160.73 153.77 149.99 146.59 140.47

t, hr

9.824 10.157 10.490 10.824 11.157 11.490 11.824 12.157 12.490 12.824 13.157 13.490 13.824 14.157 14.490 14.990 15.490 15.990 16.490 16.990 17.490 17.990 20.474 22.640

∆ P, psi 458.47 463.23 467.44 471.48 475.61 479.47 483.19 486.70 489.94 493.12 496.26 499.19 502.05 504.71 507.15 510.78 514.29 517.45 520.59 523.48 526.10 528.57 470.79 538.42

t*∆P´, Psi 136.70 132.87 134.03 132.58 130.61 127.78 126.71 125.21 122.97 119.84 117.32 115.01 113.78 111.16 109.55 106.05 102.52 99.40 97.21 93.62 90.44 86.87 50.29 10.60

EJEMPLO

El presente ejemplo se tomó de una prueba de presión real generada en un pozo de petróleo ubicado en un canal de un yacimiento en Colombia, los datos de presión y derivada de presión se presentan en la tabla 2.8, y los de roca y fluido se presentan a continuación.


180

q = 1400 bbl/Dia rw = 0.51 pies µ = 3.5 cp

h = 14 ft φ = 24 %

ct = 9x10-6 psi-1 Bo = 1.07 bbl

Usando la TDST y análisis convencional: 1) Estime la permeabilidad del flujo radial 2) Determine el lado y ancho del yacimiento 3) Determine la distancia del pozo a la frontera SOLUCIÓN POR LA TDST

De la Fig. 2.58, se obtuvieron los siguientes datos (t*∆P’)r = 60 psi (t*∆P’)DL = 105,81 psi tSHS = 10,157 hr tSHSDLi = 6 hr tRSS1i = 24 hr

∆Pr = 122,424 psi ∆PDL = 265,942 psi (t*∆P’)SHS = 132,873 tSHSRi = 50 hr tSHSSS1i = 12 hr

tDL = 2 hr tRDLi = 0,7 hr ∆PSHS = 458,466 psi tDLSS1i = 7,5 hr

La permeabilidad se obtiene de la Ec. 2.69: k=

70.6qµ B 70.6(1400)(3.5)(1.07) = = 440.7 md h ( t * ∆P ')r (14)(60)

El ancho del yacimiento se calcula de la Ec. (2.164). YE =

4.064qB ∆t DL µ 4.064(1400)(1.07) (2)(3.5) = = 352.4 ft −6 k h(t * ∆P ') DL φ ct 440.7(14)(105,81) (0.24)(9 ×10 )

Verifique YE con la Ec. 2.186: YE = 0.05756

kt RDLi (440.7)(0.7) = 0.05756 = 367.7 ft (0.24)(3.5)(9 × 10−6 ) φµ ct

Se determina la posición del pozo (distancia a la frontera más cercana) de la Ec. (2.181): bx2 =

k 1.5YE ⎡ ⎤ ⎡ φµ ct ⎤ qµ B 17390 ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢⎣ h ( t * ∆P ') SHS ⎥⎦ ⎢⎣ t SHS ⎥⎦

0.5

=

440.71.5 (367.8) ⎡1400(3.5)(1.07) ⎤ ⎡ 0.24(3.5) ( 9 × 10 17390 ⎢ ⎥⎢ 10.157 ⎣ 14(132.873) ⎦ ⎢⎣


−6

) ⎤⎥

⎥⎦

0.5

181

∆P, t*∆P´, psi

1000

(t*∆P')SHS =132.8 psi (t*∆P')DL=105,81psi

t SHS=10.157hrs

t DL =2 hrs

100

tSS2DLi =7 hrs

(t*∆P')r = 60 psi

t SS2SHS=12 hrs t SHSDLi = 6 hrs

t RDLi = 0.7hrs

tSHSRi = 50 hrs

tSS2Ri =24 hrs

10 0.1

1

t, hrs

10

100

Fig. 2.58. Presión y derivada de presión para ejemplo yacimientos lineales bx = 283.7 ft Verifique bx de las ecuaciones 2.188 y 2.189: bx =

kt SHSDLi 1 1 440.7 *6 = = 285.9 ft 65.41 φµ ct 65.41 0.24*3.5*(9*10−6 )

⎛ YE ⎞ ⎛ kt SHSRi ⎞ bx = ⎜ ⎟ ⎟*⎜ ⎝ 246,32 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠

0.5

⎞ 440.7 *50 ⎛ 367.7 ⎞ ⎛ = ⎜ *⎜ ⎟ −6 ⎟ ⎝ 246,32 ⎠ ⎝ 0.24*3.5*(9*10 ) ⎠

0.5

= 283.9 ft

En la curva de derivada de la presión una vez se termina la línea de pendiente -0,5 de flujo pseudohemisférico, antes de caer se levanta un poco, de lo cual determinamos que la frontera lejana es cerrada, este punto máximo no se observa con mucha claridad de lo cual utilizamos las ecuaciones del punto de intersección de la pendiente -1 con los flujos dual lineal, pseudo hemisférico y radial. 3

3

⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 440.7 × 7 ⎛ ⎞ ⎛ kt DLSS2i ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞⎛ XE =⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟=⎜ 10 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎜ 3 ⎟ −6 ⎟ ⎜ ⎝ 1.41×10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ ⎝ 1.41×10 ⎠ ⎝ 0.24 × 3.5 × (9 ×10 ) ⎠ ⎝ 284 ⎠ X E = 637.2 ft 3

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo Radial, Ec. (2.195):


182

1300

m=140 psi/ciclo

P, psi

1250

1200

1150

1100

t, hr

0.1

1

Fig. 2.59. Grafico semilog para ejemplo yacimientos lineales 350

300

P, psi

250

200

150

dP = 184 t + 24.045 m1 f = 184

100

b1 f = 24.045

50

0 0

0.5

1

t

1.5

2

2.5

Fig. 2.60. Grafico cartesiano de P vs. t0.5 para ejemplo yacimientos lineales 2

2

2 ⎞ ⎛ 367.7 2 ⎞ 1 1 440.7 × 24 ⎛ ⎞ ⎛ kt RSS2i ⎞ ⎛ YE ⎞ ⎛ ⎞⎛ = XE =⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 7 ⎟⎜ 7 ⎟⎜ 3 ⎟ ⎝ 4.66 × 10 ⎠ ⎝ φµ ct ⎠ ⎝ bx ⎠ ⎝ 4.66 × 10 ⎠ ⎝ 0.24 × 3.5 × (9 × 10 ) ⎠ ⎝ 284 ⎠ X E = 628.2 ft 3

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo pseudo hemisférico, Ec. (2.197). Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo dual lineal, Ec. (2.194):


183

1/ 3

⎛ 1 ⎛ kt SHSSS2i ⎞ ⎞ ⎞ 1 ⎛ 440.7 × 12 × 284 ⎟ XE =⎜ b = ⎜ 768.4 ⎜ φµ C ⎟ x 768.4 ⎜⎝ 0.24 × 3.5 × (9 × 10−6 ) ⎟⎠ ⎟ t ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

= 637.1 ft

El daño del flujo radial se determina de la Ec. 2.96:

⎡ ∆Pr −ln⎛⎜ ktr ⎞⎟+7.43⎤ ⎢⎣ (t*∆P ')r ⎜⎝ φµ ct rw2 ⎟⎠ ⎥⎦ 122.424 ⎛ 440.7×0.5 ⎞ = 0.5 ⎡ − ln ⎜ + 7.43⎤ = −4.9 − 6 2 ⎣ 60 ⎝ 0.24×3.5×9×10 ×0.33 ⎟⎠ ⎦

s = 0.5

sr

El daño del flujo dual lineal se halla de la Ec. (2.177) ⎛ ∆PDL ⎞ kt DL 1 − 2⎟ sDL = ⎜ ⎜ ( t * ∆P ' ) ⎟ 34.743Y φµ C E t DL ⎝ ⎠ 1 440.7 × 2 ⎛ 265.942 ⎞ sDL = ⎜ − 2⎟ −6 ⎝ 105.81 ⎠ 34.743 × 367.7 0.24 × 3.5 × 9 ×10 sDL = 0.4 El daño del flujo dual se halla de la Ec. (2.180): ⎛ ∆PSHS ⎞ 123.16 bx + 2⎟ sSHS = ⎜ ⎜ ( t * ∆P ') ⎟ YE SHS ⎝ ⎠

φµ ct ktSHS

−6 ⎛ 458.466 ⎞ 123.16 (283.7) (0.24)(3.5)(9 ×10 ) + 2⎟ sSHS = ⎜ 352.4 (440.7)(10.157) ⎝ 132.873 ⎠ sSHS = 0.0222

El daño total se calcula de la sumatoria de todos los daños, Ec. (2.183). s = sR + sDL + sSHS = -4.9 + 0.4 + 0.0222 = -4.47779 SOLUCION POR EL METODO CONVENCIONAL

De las Figs. 2.59 y 2.60 se determinaron los siguientes datos: m = 140 psi/ciclo

m1f = 148

b1f = 24.045


184

Con la pendiente del grafico semilogarítmico m se determina la permeabilidad con la Ec. (2.30). k=

162.6q µ B 162.6(1400)(3.5)(1.07) = = 434.96 md (14)(140) hm

Se encuentra el valor del ancho del yacimiento con la Ec. (2.107), teniendo el valor de m1f que es la pendiente del grafico de presión versus t0.5 . qB ⎡ µ ⎤ Ye = 8.1282 ⎢ ⎥ m1 f h ⎣ kφ ct ⎦

0.5

⎤ (1400)(1.07) ⎡ (3.5) = 8.1282 ⎢ −6 ⎥ (148)(14) ⎣ (434.96)(0.24)(9 ×10 ) ⎦

0.5

= 358.7 ft

El daño se determina con el valor del corte con el eje Y, b1f de la gráfica de presión versus t0.5, Ec. (2.108).

⎛ r ⎞ ⎤ 1 ⎡ (434.96)(14)(24.045) ⎛ (0.51) ⎞ ⎤ 1 ⎡ khb1 f s= ⎢ + ln ⎜ w ⎟ ⎥ = ⎢ + ln ⎜ ⎟ ⎥ = − 3.18 2 ⎣⎢141.2q µ B ⎝ (358.7) ⎠ ⎦ ⎝ Ye ⎠ ⎦⎥ 2 ⎣141.2(1400)(3.5)(1.07) Al comparar con los resultados de la simulación con los obtenidos por el método de TDST y el del método convencional no se encuentra mayor diferencia.


185

3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION La prueba de restauración de presión ha sido una técnica muy popular usada en la industria petrolera. Varias razones la han convertido en una prueba muy popular, algunas de estas son: (a) no requiere una supervisión muy detallada, (b) se pueden estimar la permeabilidad y el factor de daño a partir de pruebas de restauración o declinación de presión. Sin embargo, la declinación de presión no permite estimar la presión promedio de yacimiento o la presión inicial de yacimiento mientras que la prueba de restauración de presión si lo hace. La Fig. 3.1 muestra un gráfico de una prueba de restauración de presión ideal. En términos generales, una prueba de restauración de presión requiere cerrar un pozo productor después de que se ha producido durante algún tiempo en el que la estabilización de la rata se ha alcanzado. Una prueba de restauración de es corrida así: 1. Determinar la ubicación de los empaques, tamaño de la tubería de producción y la tubería de revestimiento, profundidad del pozo. 2. Estabilizar el pozo a una rata de producción constante, q. 3. Cerrar el pozo y registrar el valor Pwf (justo antes del cierre). 4. Leer la presión de cierre, Pws, a intervalos cortos de 15 segundos para los primeros minutos (10-15 min), entonces cada 10 min. Para la primera hora. Durante las siguientes 10 horas, se deben tomar lecturas de presión cada hora. Cuando la prueba progresa, los intervalos de tiempo se pueden expandir a 5 horas. Para correr una prueba de restauración de presión, el pozo produce a una rata constante por un período de tiempo tp. Se baja un registrador de presión al pozo inmediatamente antes de cerrarlo. tp no debe ser muy pequeño para no tener problemas con el radio de investigación. 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Supóngase que después de que el pozo ha producido a una rata constante durante un tiempo tp, se decide cerrar para obtener una prueba de restauración de presión. Intuitivamente se espera movimiento de fluidos en el yacimiento después de cerrar el pozo, pero en superficie q = 0. Se hace una analogía al movimiento de fluidos en el yacimiento de la siguiente manera: Se deja producir el pozo indefinidamente a la misma rata q, y al instante de cerrar el pozo se inyecta en el mismo pozo el mismo caudal q y luego se suma la presión de caída de presión debido a la producción de q y los mismos datos de presión multiplicados por -1 y desplazado al instante de cerrar el pozo: Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

186

Caudal

q

tp

0

Presión

Tiempo

tp

Pwf Tiempo

Fig. 3.1. Representación de la Restauración de Presión

PDS = PD (t p + ∆t ) D − PD (∆t D )

(3.1)

kh ( pi − p ws ) 1412 . qµ β

(3.2)

PDS =

tp =

Np q

24 Np q

(3.3)

es el petróleo producido desde la última estabilización es el caudal constante justo antes de cerrar el pozo.

Combinando las Ecs. 3.1 y 3.2: pws = pi −

141.2qµ β PD (t p + ∆t ) D − PD ( ∆t ) D kh

[

PD (t p + ∆t ) D = PD ( ∆t ) D =

[

]

(3.4)

]

(3.4.a)

1 ln(t p + ∆t ) D + 0.80907 − s 2

1 [ln( ∆t ) D + 0.80907] − s 2 Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

(3.4.b)

187

Combinando las Ecs. 3.4.a y 3.4.b se obtiene;

PD ( ∆t ) D =

1 ⎡ t p + ∆t ⎤ ln ⎢ ⎥ 2 ⎣ ∆t ⎦

(3.5)

La Ec. 3.4 se convierte en la ecuación de Horner:

Pws = Pi −

⎛ t p + ∆t ⎞ 162.6q µ B log ⎜ ⎟ kh ⎝ ∆t ⎠

(3.6)

Como resultado de la aplicación del principio de superposición es que el factor de daño, s, no afecta aparece en la ecuación simplificada de Horner. Eso significa que la pendiente del gráfico Horner no está afectada por el daño. Sin embargo, el factor de daño altera la forma de la curva de restauración de presión, como se indica en la Fig. 3.2. Esta desviación se debe también al almacenamiento o a los daños negativos de los pozos fracturados. 3.2. METODO DE HORNER

El gráfico de Horner generalmente no se prefiere, porque requiere más trabajo que MDH a menos que tp < tpss. Este método se usa preferiblemente en pozos nuevos porque tenemos Pi. Si tp es por lo menos el doble del tamaño de tpss se justifica graficar usando tpss en vez de tp en sistemas finitos, ya que el gráfico Horner, al contrario de MDH, tiende a prolongar la recta semilog. Graficar Horner con tpss en vez de de tp tiene significado para minimizar errores en la estimación de la presión promedia. De la pendiente del gráfico Horner obtenga kh:

m=

162.6q µ B kh

(3.7)

kh =

162.6q µ B m

(3.8)

3.2.1. Pozo en un Yacimiento Infinito

⎡ P − Pwf ⎤ ⎛ k ⎞ − log ⎜ + s = 1.1513 ⎢ 1hr 3.2275 ⎥ ⎟ 2 m ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎣ ⎦ Pwf, es la presión justo antes del cierre.


(3.9)

188

2400

P* 2350

m

P

1 hr

Pws , psi

2300

2250

2200

2150

Almacenamiento 2100

2050

2000 1000

100

tp + ∆t ∆t

10

1

Fig. 3.2. Comportamiento de la presión – Gráfico Horner P1hr =

t + ∆t t + 1 = ∆t 1

(3.10)

Si tp < 1 hr

⎡ P − Pwf ⎛ ⎛ k ⎞ 1 − log ⎜ + log 1+ s = 1.1513 ⎢ 1hr ⎜ 2 ⎟ ⎜ t m ⎢⎣ p ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎝

⎤ ⎞ ⎟⎟ + 3.2275⎥ ⎥⎦ ⎠

(3.11)

∆Ps = −0.87( m) s FE = 1 −

∆Ps P * − Pwf ( ∆t =0)

(3.12)

El factor de daño afecta más la prueba de restauración que la de caída porque el almacenamiento persiste. 3.2.2. Rata de Postflujo (afterflow, qaf)

Aunque el pozo se cierra para una prueba de restauración de presión, el postflujo causado por el almacenamiento tiene una influencia significativa en los datos de presión. Esto ocurre porque la presión en cabeza no es igual a la presión de cierre en fondo, por lo tanto el fluido continúa fluyendo desde la formación al pozo. Luego la presión no se recupera tan rápido como esperamos. A medida que la rata de flujo


189

tiende a cero, la presión se incrementa rápidamente. La gráfica semilog es pronunciada y lineal en este periodo y puede confundirse con la pendiente semilog. qaf =

Vu 24 d (∆Pws ) ( ρ /144) B d ∆t

qaf =

24C ∆(dPws ) B d ∆t

C=

qB ⎛ ∆t N ⎞ ⎜ ⎟ de análisis de presiones. 24 ⎝ ∆pN ⎠

qaf =

24C Vu ∆(dPws ) B d ∆t

qaf =

24CLF ∆ (dPws ) ; B d ∆t

CLF = C Vu

(3.13)

3.2.3. Pasos para Determinar el Almacenamiento de una Prueba de Restauración

1) Estime qaf para varios tiempos 2) si qaf/q > 0.01 no se está en el régimen de m 3) si qaf/q < 0.01 se concluye que WBS (efectos de almacenamiento) no afectan los datos de presión y se está en la verdadera recta 3.2.4. Predicción de la Duración del Postflujo (Afterflow)

a) Pozos productores

⎛ C ⎞ ∆taf = 204 ⎜ ⎟ ⎝BJ⎠ Después de este tiempo, el efecto de almacenamiento es despreciable,

J=

q P − Pwf

Use Pi , P , Pe , o P * b) Pozos inyectores


(3.14)

190

2400

2350

m

P 1hr

Pws , psi

2300

2250

2200

2150

2100

Almacenamiento

2050

2000 0.1

1

∆t, hrs

10

100

Fig. 3.3. Gráfico semilog o MDH

⎛C ⎞ ∆taf ≅ 204 ⎜ LF ⎟ ⎝ BJ ⎠

(3.15)

Arranque de la porción de línea recta, SSL ∆tD = 50CD e 0.14 s

∆tSSL =

(3.16)

170000µ Ce0.14 s kh

(3.17)

Recordando la Ec. 2.31: t SSL =

( 200000 + 12000 s ) µ C kh

(2.31)

Se puede observar que el daño influye mucho más las pruebas de resturación (Falloff) que de declinación de presión (inyección). Para pozos fracturados, la estimación de este tiempo basado usando C con base en datos de volumen en vez de datos de la pendiente unitaria (que probablemente no existe) tiende a minimizar el ∆tSSL permitiendo despreciar almacenamiento en la fractura. 3.2.5. Gráfico de Horner para Yacimientos Cerrados

Para hallar k, s, y C el método es igual a infinito, solo que para un pozo nuevo o intrusión de agua activa, P* ≈ Pi. En la mayoría de los casos P* > P promedia.


191

⎛ t p + ∆t ⎞ Pws = P * − m log ⎜ ⎟ ⎝ ∆t ⎠

(3.18)

3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON)

Este se basa en la asumpción que el tiempo de producción es suficientemente largo para alcanzar el estado pseudoestable, luego es más representativo usar presión promedia que presión inicial. MDH se prefiere en pozos viejos o formaciones depletadas, por lo que se podría dificultar la obtención de la estabilización antes del cierre. El gráfico de Horner puede simplificarse si ∆t <<< tp, luego: t p + ∆t ≅ t p luego: ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟⎟ ≈ log t p − log ∆t log⎜⎜ p ⎝ ∆t ⎠

(3.19)

Combinando las Ecs. 3.18 y 3.19: Pws = P * −m log t p + m log ∆t

Si p * −m log t p = cte = intercepto, entonces: pws = p1hr +

m=

162.6qµ β log ∆t kh

162.6qµ β kh

(3.20)

En el gráfico MDH no tiene sentido matemático extrapolar. s se calcula con la ecuación para yacimiento infinito.

⎡ P − Pwf ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr 3.2275 − log ⎜ + ⎥ ⎟ 2 m ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ ⎦

(3.21)

El arranque del comportamiento infinito es: ⎛ 170000µ C ⎞ 0.14 s ∆t SSL = ⎜ ⎟e ⎠ ⎝ kh


(3.22)

192

1

1

2

5 7

3

(∆t DA) ESL

0.1

4

6 0.01

0.001 0.001

0.01

0.1

1

tpDA Fig. 3.4. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta Horner para las formas suministradas en la Fig. 3.6 0.1

7

0.01

(∆t DA) ESL

1 2 3,6 4

0.001

0.0001 0.001

0.01

tpDA

0.1

1

Fig. 3.5. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta MDH para las formas suministradas en la Fig. 3.6


193

CURVA NUMERO

FORMA 1 1

1

CURVA NUMERO

FORMA 2

1

1

5

2

1

4

1

1 6

3

1

1

2

4

1

7

1

Fig. 3.6. Formas usadas en las Figs. 3.4 y 3.5 C se obtiene del gráfico log-log, usando la Ec. 2.16. Si no existe pendiente unitaria, entonces; C=

144

ρ

Vu

(3.23)

Cuando se llega al ∆tESL la prueba se puede detener.

⎛ φ µct A ⎞ ∆t ESL = ⎜ ⎟(∆t DA )ESL ⎝ 0.0002637 k ⎠

(3.24)

(∆tDA)ESL se obtiene de la Fig. 3.4 para el gráfico de Horner ó de la Fig. 3.5 para el gráfico de MDH. Note que este parámetro depende de la forma del yacimiento y de la localización del pozo. En ambos gráficos, el parámetro tpDA se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

⎛ 0.0002637k t p ⎞ t pDA = ⎜ ⎟ ⎝ φ µ ct A ⎠

(3.25)

Inspeccionando las Figs. 3.4 y 3.5, se observa que (∆tDA)ESL para sistemas cerrados siempre es menor un gráfico Horner que para un gráfico MDH. Para sistemas geométricos la línea recta se prolongará para el gráfico Horner para tiempos de producción tp hasta de 4tpss. El gráfico de horner es superior desde el punto de vista de duración de la línea recta cuando tp < tpss. El caso no es lo mismo para sistemas abiertos.


194

tp =

24 N p

(3.26)

q

3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT

Es un método de ensayo y error que serías más atractivo en casos de sistemas con presión constante o sistemas de inyección de agua (llenado) porque en éstos casos la línea recta sería más larga y por ende más fácil de precisar. Las ecuaciones que gobiernan el método de Muskat (y MDH) son: p − pws =

141.2q µ B [ PD (t + ∆t ) D − PD (∆tD ) − 2π tDA ] kh

A partir del intercepto a ∆t = 0 se calcula k. k=

141.2qµ B PD (t pDA )int h ∆PM int

Donde PD(tpDA) se obtiene de la Fig. 3.8 para ciertos valores particulares de tiempo o de la Fig. 3.9 para valores de un amplio más rango de valores de tiempo adimensional. Las curvas de la Fig. 3.9, pueden sustituirse por los siguientes ajustes: Para un pozo dentro de un yacimiento de forma cuadrada – caso de presión constante: PDM int = −0.0118157 + 1.3509395 (1 − exp(−21.692995 t pDA )

(3.27.a)

Para un pozo dentro de un yacimiento de geometría cuadrada – Caso de barrera de no flujo. PDM int = −0.02056 + 0.682297 (1 − exp(−50.7038508 t pDA )

(3.27.b)

La pendiente del gráfico de Muskat puede usarse para hallar el área de drene:

⎛ k A=⎜ ⎝ φ µ ct mM

⎞ ⎟ M SF ⎠

Donde MSF es el factor de forma de Muskat y se determina de la Fig. 3.10. Si A se conoce, entonces;


195

1000

∆PM int

log (P - Pws )

100 Presión promedia muy alta

mM

10

Presión promedia correcta

Presión promedia muy baja 1 0

20

40

60

80

100

120

140

∆t, hrs

Fig. 3.7. Representación esquemática del gráfico de Muskat para análisis de Pruebas de restauración de presión

0.67 para

tpDA > 0.1

1.34 para

tpDA > 0.1

0.84 para

tpDA > 0.1

Fig. 3.8. Valores de tpDA

φ ct h = St =

M kh M SF = T SF mM A µ mM A

(3.28)

El comienzo y final de la línea recta de Muskat está dada por:

⎛ φ µ ct A ⎞ ∆t = ⎜ ⎟(∆t DA )SL ⎝ 0.0002637 k ⎠


(3.29)

196

1.4

1.2

1

P D (t DA) M int

Presión Constante

0.8

0.6

No flujo 0.4

0.2

0 0.001

0.01

0.1

1

tpDA

Fig. 3.9. Presión adimensional de intercepción de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado

MSF = -0.00471 para

MSF = -0.00233 para

MSF = -0.00528 para

Fig. 3.10. Factor de forma de Muskat, MSF Donde (∆tDA)SL se halla de la Fig. 3.12 usando tpDA encuentra dos líneas una para el arranque y otra para el fin de la línea recta.

⎛ P (t ) s = ⎜ D DA int ⎝ ∆Pint

⎞ re ⎟ ⎡⎣ P − Pwf (∆t = 0) ⎤⎦ − ln + 0.75 rw ⎠

Para yacimientos de forma cuadrada:


(3.30)

197

0.09

Fin de la línea recta de Muskat 0.08

(∆ t DA)

SL

0.07

0.06

No flujo

0.05

0.04

Arranque de la línea recta de Muskat

0.03 Presión constante

0.02 0.0001

0.001

0.01

0.1

tpDA

Fig. 3.11. Tiempo de inicio y terminación de la línea recta de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado re =

43560 A 2

(3.31)

Donde el área está dada en acres. Se puede concluir que en términos generales se prefiere MDH porque su fácil uso. Para tiempos de producción cortos, se recomienda usar el método de Horner ya que la recta semilog es más larga que la de MDH. 1) El método de Horner podría ser usado para analizar datos de restauración de presión, asumiendo que se conoce tp. Sin embargo, como primera elección normalmente se usa MDH y luego Horner. 2) Si tp no se conoce, use MDH 3) El método de Muskat se utiliza como último recurso y también para determinar el área de drene. 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS

Los métodos presentados anteriormente pueden arrojar resultados erróneos cuando el pozo en prueba produce bajo estado pseudoestable antes de una prueba de restauración de presión o experimenta una declinación de presión debido a la producción de pozos aledaños en el yacimiento. En esos casos es mejor usar la Ec. 3.1 en una forma más general. Un procedimiento similar al presentado para el caso de declinación de presión, se presenta a continuación.


198

Presión

Ps

Presión observada

∆P∆t

Pwf

Pw ext

Presión esperada en sistema infinito

tp

∆t = 0

Tiempo

∆t = ts

Fig. 3.11.b. Esquematización de restauración de presión en un yacimiento desarrollado Se requiere extrapolar la presión de fondo fluyente sobre le periodo de restauración de presión para estimar Pw ext, ver Fig. 3.11.b. Luego halle la diferencia entre la presión observada de cierre y la y la presión de fondo fluyente extrapolada, ∆P∆t, y grafique ésto en función de ∆t. Los datos deberían ajustarse a la siguiente ecuación: ∆P∆t = Pws − Pwext = ∆P1hr + m log ∆t

(3.31.a)

Una línea recta en este gráfico da una pendiente m dada por la Ec. 3.7 e intercepto:

∆P1hr =

⎤ 162.6 q µ B ⎡ ⎛ k ⎞ − 3.2275 + 0.86859 s ⎥ ⎢ log ⎜ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎦

(3.31.b)

La permeabilidad se halla de la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.21 cambiando P1hr por ∆P1hr*.

⎡ ∆P ⎤ ⎛ k ⎞ 3.2275 s = 1.1513 ⎢ 1hr − log ⎜ + ⎥ ⎟ 2 ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ m ⎦ Si la declinación de presión es lineal antes del cierre, la Ec. 3.31.a se convierte en: Pws − m * ∆t = ∆P1hr + m log ∆t


(3.31.c)

199

Donde m* es el cambio lineal de rata de presión antes del cierre: m* =

dPwf dt

en la región cuando t < tp

Normalmente, m* es negativa. El valor de ∆P1hr en la Ec. 3.31.c se deriva de la Ec. 3.31.b y la ecuación para el comportamiento lineal extrapolada es:

⎡ ⎤ ⎛ k ⎞ ∆P1hr * = Pwf ( ∆t = 0) + m ⎢ − log ⎜ + − 3.2275 0.86859 s ⎥ ⎟ 2 ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ ⎦ De modo que un gráfico de (Pws – m*∆t) vs log ∆t debería dar una línea recta. La permeabilidad se calcula con la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.9 cambiando P1hr por ∆P1hr*. 3.6 PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO

La presión promedia para un yacimiento sin intrusión de agua es la presión que el yacimiento alcanzaría si todos los pozos se cierran por tiempo infinito. En está sección se estudiarán dos métodos para determinar la presión promedia: el método de MBH, Dietz, MDH y el de Ramey-Cobb. La presión promedia es útil para: 1) Para caracterizar el yacimiento a) Si ∆P = P - Pwf es pequeño por unidad de producción, lo que se conoce como índice de productividad, J, indica que existe un empuje de agua activo o un yacimiento muy grande b) Si ∆P es grande por unidad de producción implica drenaje de un yacimiento pequeño, lente de arena o yacimiento fallado. 2) Para calcular aceite in-situ 3) Para pronósticos del comportamiento futuro del yacimiento 4) La presión promedia es un parámetro fundamental que debe ser entendido en procesos de recobro primario, secundario y proyectos de mantenimiento de presión. Mediante el uso del análisis de presiones lo que se estima es la presión promedia en la región de drene. 3.6.1. Método de MBH (Matthews-Bronz & Hazebrock)

Este método es considerado el más exacto. Utiliza un gráfico Horner. Se aplica en la mayoría de situaciones donde se desea para hallar la presión promedia en un yacimiento cerrado para cualquier localización de pozo dentro de una variedad de formas de drene. El método asume que no hay variaciones en movilidades de fluido o Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

200

compresibilidades de fluido dentro de la región de drene. Esta limitación se puede sobrellevar usando un tiempo de producción tp igual tpss. El procedimiento es: 1) Calcule tp = 24 Np/q. 2) El valor de tp debe ser comparado con el tiempo requerido para alcanzar el estado pseudoestable. Por lo tanto obtenga (tDA)pss de la tabla 2.1, de la columna “exacto para tDA > “. Para esto debe conocerse previamente la forma del yacimiento. 3) Calcule el tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, tpss:

t pss =

φ µ ct A(t DA ) pss 0.0002637 k

(3.32)

3) Obtenga la relación α, α = tp/tpss. Si α > 2.5 entonces, haga t = tpss. Si α < 2.5 (para ratas muy altas, el mejoramiento en el cálculo de la presión promedia es significativo cuando α está comprendido entre 2.5 y 5) entonces haga t = tp. Luego grafique Pws vs. (t+∆t)/∆t. Como se vio anteriormente, el uso de tpss en el método de Horner puede incrementar la longitud de la recta semilog, contrario al gráfico MDH. 5) Con el tiempo, t, definido en el paso anterior determine tpDA t p DA =

0.0002637 k t φ µ ct A

(3.33)

6) Extrapole la recta semilogarítmico del gráfico Horner y halle P*. 7) Determine PDMBH de la Figs. 3.12.a 3.12.d usando el tpDA calculado en el paso 5. 8) Calcule la presión promedia: ⎛ m ⎞ P = P*−⎜ ⎟ PD MBH ⎝ 2.3025 ⎠

(3.34)

Debido factores de compensación (valores bajos de P* con correspondientes correcciones pequeñas), cualquier valor de tp usado con el método MBH teóricamente dará resultados idénticos para presión promedia. Prácticamente, un tp relativamente corto puede eliminar problemas numéricos serios en el cálculo de la presión promedia. Esto incluye errores causados por largas extrapolaciones y desviaciones de las asumpciones teóricas: (1) falta de estabilización de la rata de flujo antes del cierre, (2) migración y cambio de áreas de drene en yacimientos con múltiples pozos, y (3) variaciones en la compresibilidad del sistema y movilidad.


201

7

6

H exágono y circulo 5

P DMBH = 2.303(P - P)/m

Cuadrado Triángulo equilátero

4

*

R om bo Triángulo recto

3

(t DA ) pss 2

(t DA ) pss (t DA ) pss

1

0 0.01

0.1

1

Tiempo de Producción adimensional, t pDA Fig. 3.12.a. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene equiláteras


10

P DMBH = 2.303(P - P)/m

202

*

6 .0 5 .8 5 .6 5 .4 5 .2 5 .0 4 .8 4 .6 4 .4 4 .2 4 .0 3 .8 3 .6 3 .4 3 .2 3 .0 2 .8 2 .6 2 .4 2 .2 2 .0 1 .8 1 .6 1 .4 1 .2 1 .0 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 .0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 .0

0.01

(t D A ) pss

(t

DA

(t

) ps

s

ps ) A D

s

(t D A ) pss Pozo a 1/8 de altura del lado 0.1

1

T iem po de P roducción adim ensional, t pD A Fig. 3.12.b. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene cuadradas


10

203

6

5

P DMBH = 2.303(P - P)/m

4

*

(t DA ) pss 3

(t D A ) pss

2

1

(t D A ) pss

Po

zo

a

1/

8

de

a

u lt

ra

d

el

la

do

0

-1 0.01

/8 a1 zo do o P l la de 0.1

d

o el

ng

it u

d

1

Tiempo de P roducción adimensional, t pD A Fig. 3.12.c. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 2:1


10

204

4

3

1 4

P DMBH = 2.303(P - P)/m

(t D A ) pss 1

(t D A ) pss

2

4

*

1 5

1

(t D A ) pss 0

1 4

1 -1

4

(t D A ) pss -2 0.01

0.1

1

Tiem po de P roducción adim ensional, t pD A

Fig. 3.12.d. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 4:1 y 5:1


10

205

0

PD MDH

1

2

3

4

5 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

Tiempo de cierre adimensional, ∆tDA Fig. 3.13. PD MDH para un pozo en el centro de áreas de drene circular y cuadrada


1.E+00

206

3.6.2. Método de Dietz

Este método asume que el pozo fluyó lo suficiente hasta alcanzar el estado pseudoestable antes del cierre y que la recta semilog se desarrolló apropiadamente. Este método es sencillo y simple y usualmente se prefiere en pozos sin un daño significante, s >-3 o rw’ = 0.05 re. El procedimiento para este método es: 1) Conociendo la forma del yacimiento y la localización del pozo encuentre CA de la tabla 2.1. 2) Calcule el tiempo de cierre de Dietz, ( ∆t ) p

∆t P =

φµct A 0.0002637C A k

(3.35)

3) Haga un gráfico MDH (opcionalmente puede hallar k y s) 4) Obtenga la presión promedia a un ∆t = ∆t P . Para un pozo en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con presión constante, el factor de forma, CA = 19.5, luego la Ec. 3.35 se convierte en:

∆t P = 19.5

φµct A

(3.36)

k

3.6.3. Método de MDH (Miller-Dietz-Hutchinson)

Esta técnica fue elaborada para estimar la presión promedia en yacimientos de forma circular o cuadrada. Se aplica solamente en pozos que operan bajo estado pseudoestable. Su procedimiento se presenta como sigue: 1) En un gráfico MDH, escoja cualquier punto sobre la recta y lea sus coordenadas, (Pws)N y ∆tN 2) Calcule ∆tDA

∆t DA

N

=

0.0002637k ∆t N φ µ ct A

(3.37)

4) De la Fig. 3.13, determine PDMDH correspondiente a (∆tDA)N 5) Calcule la presión promedia

P = Pws

N

⎛ m ⎞ +⎜ ⎟ PD MDH ⎝ 1.1513 ⎠

Para líneas de presión constante PDMDH se lee de las curvas más bajas.


(3.38)

207

Pe = Pws

N

⎛ m ⎞ +⎜ ⎟ PD MDH ⎝ 1.1513 ⎠

(3.39)

3.6.4. Método de Ramey-Cobb

Ellos presentaron un método para extrapolar la presión promedia de un gráfico Horner cuando t ≥ tpss. Este método requiere conocer información sobre la forma del área de drene, la localización del pozo y la confirmación que las fronteras son cerradas. El procedimiento de Ramey-Cobb es: 1) Conociendo la forma de la tabla 2.1 obtenga el (tDA)pss, Calcule tp y tpss. t pss =

φµ ct A 0.0002637k

( tDA ) pss

(3.40)

2) Si tp < tpss el método no es confiable. Calcule el tiempo Horner correspondiente a la presión promedia. ⎛ t p + ∆t ⎞ 0.0002637 kC A ⎟⎟ = ⎜⎜ tP φµct A ⎝ ∆t ⎠ P

(3.41)

Cuando (tp+∆t) = tp, la Ec. 3.41 se reduce a la Ec. 3.35. Si tp < teia (fin de la línea de comportamiento infinito), Ramey y Cobb mostraron que: ⎛ t p + ∆t ⎞ 4π t pDA ⎜ ⎟ =e ⎝ ∆t ⎠ P

(3.42)

3) Haga un gráfico Horner (opcionalmente calcule k y s) 4) Del gráfico, lea la presión promedia a ⎡⎣(t p + ∆t ) / ∆t ⎤⎦ p

3.6.5. Método Directo (Azari 1987)

Azari (1987) presentó un método simple para calcular la presión promedia durante producción o restauración de presión sin la ayuda de ninguna gráfica. Este método requiere conocer la distancia desde el pozo a la cual la presión del yacimiento es la misma presión promedia. Para yacimientos cerrados: P = Pwf +

⎞ re 162.6q µ B ⎛ ⎜ 2 log − 0.5203 + 0.87 s ⎟ kh rw ⎝ ⎠


(3.43)

208

P = Pwf +

⎞ 162.6qµ B ⎛ A ⎜ log 2 − 1.1224 + 0.87 s ⎟ kh rw ⎝ ⎠

(3.44)

Para yacimientos con frontera de presión constante: P = Pwf +

⎞ re 162.6q µ B ⎛ ⎜ 2 log − 0.4342 + 0.87 s ⎟ kh rw ⎝ ⎠

(3.45)

⎞ 162.6qµ B ⎛ A ⎜ log 2 − 1.036 + 0.87 s ⎟ kh rw ⎝ ⎠

(3.46)

P = Pwf +

Para considerar diferentes posiciones de los pozos y diferentes geometrías de yacimiento, las ecuaciones de flujo se desarrollaron introduciendo los factores geométricos de forma de Dietz en las ecuaciones 3.44 y 3.46 las cuales se transforman, respectivamente en: P = Pwf +

⎞ 162.6q µ B ⎛ A + 0.368 + 0.87 s ⎟ ⎜ log 2 kh C A rw ⎝ ⎠

(3.47)

⎞ 162.6qµ B ⎛ A + 0.454 + 0.87 s ⎟ ⎜ log 2 kh C A rw ⎝ ⎠

(3.48)

P = Pwf +

3.6.6. Tiab's Direct Synthesis Technique Durante estado pseudoestable 3.6.6.1. Yacimientos circulares cerrados

El área de drene se halla mediante la siguiente ecuación: A=

0.234qB φ ct h (t * ∆P ') p1

(3.49)

Siendo (t*∆P’)p1 el valor de la derivada de presión en la línea de estado pseudoestable al tiempo t = 1 hr, extrapolado si es necesario. Ver Fig. 3.14. Para un pozo en el centro de un yacimiento circular, la presión promedia se obtiene a partir de un gráfico de presión y derivada de presión según la siguiente expresión:

P = Pi −

(t * ∆P ') pss 141.2 qµ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ kh ⎢⎣⎝ (∆P) pss − (t * ∆P ') pss

⎞ ⎛ re 3 ⎞ ⎤ ⎟⎟ ln ⎜ − ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ rw 4 ⎠ ⎥⎦


(3.50)

209

10000

(∆P)pss

∆P y t*∆P', (psi)

1000

(t*∆P')pss

Línea de flujo radial 100

10

do sta ble e de sta ea doe n í u L se p

(t*∆P')p1

trpi

tpss 1 0.01

0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 3.14. Esquema ilustrativo para determinar área y presión promedia usando TDST donde Pi es la presión inicial (en algunos casos puede aproximarse a P*, (∆P)pss y (t*∆P’)pss son los valores de (∆P) y (t*∆P’) en la línea recta de estado pseudoestable. Se recomienda tomar cualquier punto tardío, pero los dos valores deben coincidir con el tiempo. Ver Fig. 3.14. 3.6.6.2. Sistemas cerrados rectangulares

Para estos sistemas el área se estima con la Ec. 3.49. El factor de forma y la presión promedia se obtiene respectivamente mediante las siguientes ecuaciones: ⎡ 0.003314 kt pss 2.2458 A ⎧⎪ CA = Exp ⎢ ⎨ rw2 ⎢⎣ φµ ct A ⎪⎩

P = Pi − 70.6

⎛ (∆P ) pss ⎞ ⎤ ⎫⎪ − 1⎟ ⎥ ⎬ ⎜⎜ ⎟ ⎝ (t * ∆P ') pss ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪

(t * ∆P ') pss q µ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ kh ⎣⎢⎝ (∆P ) pss − (t * ∆P ') pss

−1

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ ⎟⎟ ln ⎜ ⎟⎥ 2 C r A w ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎠


(3.51)

(3.52)

210

3.6.6.3. Uso del punto de intersección

El punto de intersección entre la línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable, trpi, es única tanto para el sistema circular como el rectangular. El área y la presión promedia se hallan mediante las siguientes ecuaciones: A =

π k trpi 948.05φµ ct

(3.53)

⎛ qµ B ⎞ P = Pi − 70.6 ⎜ ⎟ ⎝ kh ⎠

(3.54)

3.6.6.4. Determinación de la presión promedia en sistemas cerrados drenados por un pozo verticalmente fracturado

Use la Ec. 3.49 para estimar el área. El factor de forma y la presión promedio se halla por medio de: ⎛x C A =2.2458 ⎜ e ⎜ ⎝ xf q µβ P = Pi kh

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎡ 0.003314 kt pss ⎪⎧ ⎨exp ⎢ ⎢⎣ φµ ct A ⎪⎩

⎧ π 0.0744kt ⎪ pss ⎨ φµ ct A ⎩⎪

⎛ (∆P ) pss ⎜⎜1⎝ (t * ∆P ') pss

⎛ (∆P ) pss ⎜⎜ (t * ∆P ') pss ⎝

⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎟⎟ ⎥ ⎬ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭

⎡⎛ x ⎞ − 70.6 ln ⎢⎜ e ⎟⎟ ⎢⎜⎝ x f ⎠ ⎣

(3.55)

2 ⎞ ⎛ 2.2458 ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎥ (3.56) ⎟⎟ ⎜ C ⎟ ⎥ ⎬ A ⎠ ⎦ ⎭⎪ ⎠ ⎝

Las Ecs. 3.53 y 3.54 se aplican también a este caso. Cuando se presenta flujo biradial, el área y la presión promedia se pueden determinar de las siguientes ecuaciones:

A=

k

t 1.123 BRPi ⎛ xe ⎞ 142.43 φµ ct ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ f ⎠ ⎡ qµ B ⎛ x ⎞0.72 ⎛ k ⎞0.36 ⎤ 0.36 P = Pi -5.64 ⎢ ⎜⎜ e ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎥ tBRPi φµ kh x c A ⎢ t ⎠ ⎦⎥ ⎝ f ⎠ ⎝ ⎣

(3.57)

(3.58)

donde tBRPi es el punto de intersección entre la línea de flujo biradial y radial. Para fracturas de flujo uniforme y cuando xe/xf < 8, el flujo radial no se observa, entonces se utiliza la intersección entre el flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tLPi. Luego, el área y la presión promedia se obtienen de:


211

⎡⎛ π k ⎞⎛ x f ⎞2 ⎤ A = 0.001055 ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ t LPi ⎢⎣⎝ φµ ct ⎠⎝ xe ⎠ ⎥⎦

(3.59)

⎡ qβ µ P = Pi -4.06 ⎢ ⎢⎣ h φ ct k

(3.60)

⎛ xe ⎜⎜ ⎝ xf

⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ t LPi ⎠ ⎥⎦

3.6.6.5. Pozos Fracturados en Regiones Rectangulares

Para estos sistemas, la transición entre la línea de comportamiento infinito y la de estado pseudoestable es más larga comparada con el caso de sistemas cuadrados en ambos casos de fractura: conductividad infinita y flujo uniforme. Cuando la línea de flujo radial no se observa, tale s el caso de xe/xf < 8, se usa la siguiente ecuación para determinar la permeabilidad: ⎛ µ ⎞ ⎡ 8.128 qB ⎤ k =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ φ ct A ⎠ ⎣ h (t * ∆P ')CB1 ⎦

2

(3.61)

Donde (t*∆P’)CB1 es el valor de (t*∆P’) a t = 1 hr sobre la línea de flujo lineal. Despejando el área de drene se obtiene: ⎛ µ ⎞ ⎡ 8.128 qB ⎤ A=⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ φ ct k ⎠ ⎣ h (t * ∆P ')CB1 ⎦

2

(3.62)

El punto de intersección entre el flujo lineal de la frontera paralela más cercana: el segundo flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tCBPi, es único. Con este punto determine el área de la siguiente ecuación: A =

π 0.0002634 k tCBPi φµ ct

(3.63)

Esta ecuación debería usarse para propósitos de verificación de los valores permeabilidad y área obtenidos mediante las Ecs. 3.61 y 3.62. La presión promedia se obtiene de: P = Pi -

qβ πh

⎛ µ ⎞ −4 ⎜ 8.284 ×10 ⎟t φ ct k A ⎠ CBPi ⎝

(3.64)

Esta ecuación debería usarse si k y A pueden determinarse de la frontera paralela más cercana.


212

EJEMPLO

Los datos de una prueba de restauración de presión se reportan en la tabla 3.1. Las propiedades del yacimiento se obtuvieron de un pozo localizado en el centro de un yacimiento de forma cuadrada. Dados los siguientes datos: rw = 4 in h = 44 ft µ = 0.76 cp B = 1.24 rb/STB A = 40 acres (área contratada) q = 340 BPD Pwf = 2980 psi (medido justo antes del cierre)

φ = 12 % Np= 4550 STB ct = 36x10-6 psi-1

Tabla 3.1. Datos de restauración de presión ∆t, hr Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/ ∆t (t*∆P'), ∆t, hr psi 0.1 3100 3212.76 807.45 7 79.65 0.2 3150 1606.88 404.23 10 96.78 0.3 3200 1071.59 269.82 107.67 15 0.5 3250 643.35 162.29 78.65 20 0.75 3275 429.24 108.53 57.19 30 1 3290 322.18 81.65 45.56 40 2 3315 161.59 41.32 31.16 50 3 3325 108.06 27.88 24.24 60 4 3330 81.29 21.16 21.32 70 5 3335 65.24 17.13 20.15 80

Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/∆t (t*∆P'), psi 3342 46.88 12.52 21.85 3350 33.12 9.06 22.46 3360 22.41 6.38 19.24 3364 17.06 5.03 16.33 3370 11.71 3.69 11.34 3372 9.03 3.02 9.04 3374 7.42 2.61 7.18 3375 6.35 2.34 7.61 3376 5.59 2.15 8.05 3377 5.01 2.01 8.49

Estime: A. Permeabilidad B. Factor de daño C. Presión promedia del yacimiento, por medio de: C.1. MBH C.2. Dietz C.3. Ramey-Cobb C.4. MDH C.5. Tiab’s Direct Síntesis Technique C.6. Método directo (Azari)

SOLUCION A. Permeabilidad

Ecuación básica:


213

Pws = Pi −

⎛ t + ∆t ⎞ 162.6qµB ⎟⎟ log⎜⎜ p kh ⎝ ∆t ⎠

tp se halla mediante: tp =

24 N p q

=

(24)(4550) = 321.2 hr 340

El gráfico de Horner se da en la Fig. 3.14 (ver datos en tabla 3.1). Se visualiza una recta con pendiente de. La permeabilidad se calcula de:

k=

162.6qµB (162.6)(340)(0.76)(1.24) = = 26.91 md mh (44)(44)

B. Factor de daño

⎡ P1hr − Pwf ( ∆t =0 ) ⎤ ⎛ k ⎞ ⎟ + 3.2275⎥ s = 1.1513⎢ − log⎜⎜ 2 ⎟ m ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ φµct rw ⎠ De la Fig. 3.14, P1hr = 3306 psi, luego: ⎡ 3306 − 2980 ⎤ ⎛ ⎞ 26.91 ⎟ + 3.2275⎥ = 3.18 − log⎜⎜ s = 1.1513⎢ −6 2 ⎟ (44) ⎝ (0.12)(0.76)(36 × 10 )(0.333) ⎠ ⎣ ⎦

C. Presión promedia del yacimiento C.1. Método de MBH

1. Determine (tDA)pss de la Tabla 2.1 para yacimientos de forma cuadrada, (tDA)pss = 0.1 1. Calcule tpss; t pss =

φµct A 0.0002637k

(t DA ) pss =

(0.12)(1.76)(36 × 10 −6 )(40)(43560) (0.1) = 80.645 hr (0.0002637)(26.91)

2. Calcule:

α=

tp t pss

=

312.176 = 3.982 . Puesto que α > 2, luego t = tpss. 80.645


214

3400

P=3368 psi 4 m=4

P1hr = 3306 psi

P ws, psi

3300

3200

3100 10000

⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 12.299 ⎝ ∆t ⎠ P

1000

100

10

1

(t p + ∆t ) / ∆t Fig. 3.14. Gráfico de Horner 3400

P*=3398 psi

P ws,psi

3300

3200

3100 1000

100

(t pps + ∆t ) / ∆t

10

Fig. 3.15. Gráfico de Horner con tpss


1

215

1000

∆P pss = 384 psi ∆P r = 362 psi

∆P, t*∆P', psi

100

Flujo radial

(t*∆P') r = 21.86 psi tr = 7 hrs 10

Estado estable

(t*∆P') pss = 16.33 psi

tpss = 20 hrs 1 0.1

1

10

100

t, hr

Fig. 3.16. Gráfico de la presión y derivada de presión 3. Grafique Pws vs. log(tpss+∆t)/∆t, (ver tabla 3.1). En la Fig. 3.15, trace una línea recta y extrapólela a 1 hr, y determine el valor de P*. P* = 3398 psi 4. Calcule el tiempo de producción adimensional de: ⎛ 0.0002637k ⎞ (0.0002637)(26.91) ⎟⎟t = t pDA = ⎜⎜ (80.645) = 0.0999 ≈ 0.1 −6 ⎝ φµct A ⎠ (0.12)(0.76)(36 × 10 )(40 ⋅ 43560)

5. De la Fig. 3.12.b para un sistema de forma cuadrada con pozo en el centro, la presión adimensional de MBH es PDMBH=1.15. PDMBH = 2.303

P∗ − P m

Luego, la presión promedia del yacimiento será:


216

P = P* −

m PDMBH (44)(1.15) = 3398 − = 3376 psi 2.303 2.303

C.2. MÉTODO DE DIETZ

Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), Fig. 3.17. 2. Determine el factor de forma CA de la tabla 2.1 para un pozo localizado en el centro de un área de drene cuadrada. CA = 30.8828. 3. Calcule el tiempo de cierre de Dietz: ∆t − = P

ϕµct A

1 (0.12)(0.76)(36 × 10 −6 )(40)(43560) 1 = = 26.1136 hr 0.0002637 k C A (0.0002637)(26.91) (30.8828)

4. De la Fig. 3.17, P = 3368 psi. C.3. Método de Ramey - Cobb

Pasos: 1. Calcule tp y tpss: tp =

24 N p q

=

(24)(4550) = 321.176 hr 340

y,

t pss =

φµct A 0.0002637 k

t DApss =

(0.12)(1.76)(36 × 10 −6 )(40)(43560) (0.1) = 80.645 hr (0.0002637)(26.91)

2. Para el área dada, A=1742400 ft2, determine el factor de forma CA de la Tabla 2.1, para un pozo localizado en el centro de una área de drene cuadrada, CA=30.8828. 3. Puesto que tp >> tpss, calcule [(t + ∆t ) / ∆t ]P (Tiempo de cierre de Ramey-Cobb), de: −

⎛ 0.0002637k ⎞ ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟C At p ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ ∆t ⎠ P ⎝ φµct A ⎟⎠


217

3400

P=3368 psi 3350

∆tN P ws, psi

3300

3250

3200

3150

3100

(Pws)N 3050 0.1

1

10

100

∆t, hrs

Fig. 3.17. Gráfico de MDH (0.0002637)(26.91) ⎛ t + ∆t ⎞ (30.8828)(312.176) = 12.299 ⎜ ⎟ = −6 ⎝ ∆t ⎠ P (0.12)(0.76)(36 × 10 )(40)(43560)

4. De la Fig. 3.14, determine P para [(t + ∆t ) / ∆t ]P . El valor de la presión promedia es 3368 psi. −

C.4. Método de Miller-Dyes-Hutchinson (MDH)

Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), como se muestra en la Fig. 3.17. 2. Escoja cualquier punto conveniente N sobre la porción recta y lea ∆tN y (Pws)N. Los valores leídos son: ∆tN = 10 hrs y (Pws)N = 3350 psi. 3. Calcule el tiempo de cierre adimensional usando la siguiente ecuación (para el punto N): ⎛ 0.0002637 k ⎞ (0.0002637 )(26.91) ⎟⎟∆t N = (10) = 0.0124 ∆t DA = ⎜⎜ (0.12)(0.76)(36 × 10 −6 )(40)(43560) ⎝ φµct A ⎠

Nota: Use este tiempo adimensional con la curva superior de la Fig. 3.13, y halle el valor de PDMDH. De esta figura, PDMDH =0.6. 5. Calcule P , (con el punto N), de la siguiente ecuación:


218

P = PwsN +

m 44 PDMDH = 3350 + (0.6) = 3372.9 psi 1.1513 1.1513

C.5. TDST

Los datos del estado pseudoestable se tomaron del estado estable. Los siguientes datos se leyeron del gráfico 3.16: ∆Pr = 362 psi tpss = 20 hr

tr = 7 hr ∆Ppss = 384 psi

(t*∆P’)pss = 16.33 psi (t*∆P’)r = 21.86 psi

Estime la permeabilidad y daño de:

k=

70.6qµ B (70.6)(340)(0.76)(1.24) = = 23.52 md h(t * ∆P ')r 44(21.86)

s = 0.5

⎞ 23.52(7) ⎡ ∆Pr −ln⎜⎛ ktr ⎟⎞+7.43⎤ = 0.5 ⎡ 362 −ln⎜⎛ ⎤ ⎟⎟+7.43 = 1.93 2 − 6 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎢⎣(t*∆P')r ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢21.86 ⎝ (0.12)(0.76)(36×10 )(0.3 ) ⎠ ⎦⎥

Tomando un sistema rectangular cerrado, Ecs. 3.51 y 3.62, se halla el factor de forma y la presión promedia. Aquí se toma como Pi el último valor de presión, es decir 3377 psi. ⎡ 0.003314 kt pss 2.2458 A ⎧⎪ CA = Exp ⎢ ⎨ rw2 ⎢⎣ φµ ct A ⎪⎩

⎛ (∆P ) pss ⎞ ⎤ ⎫⎪ − 1⎟ ⎥ ⎬ ⎜⎜ ⎟ ⎝ (t * ∆P ') pss ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪

−1

⎡ 2.2458 (40)(43560) ⎧ 0.003314(23.52)(20) ⎛ 384 ⎞⎤ ⎫ CA = − 1⎟ ⎥ ⎬ ⎨ Exp ⎢ ⎜ 2 −6 0.3 ⎣ 0.12(0.76)(30 ×10 )(40)(43560) ⎝ 16.33 ⎠ ⎦ ⎭ ⎩ CA = 94054

P = Pi − 70.6

(t * ∆P ') pss q µ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ kh ⎢⎣⎝ (∆P ) pss − (t * ∆P ') pss

P = 3377 − 70.6

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ ⎟⎟ ln ⎜ ⎟⎥ 2 ⎠ ⎝ C A rw ⎠ ⎥⎦

(340)(0.76)(1.24) ⎡⎛ 16.33 ⎞ ⎛ 2.2458(40)(43560) ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎟ ln ⎜ (23.52)(44) ⎣⎝ 384 − 16.33 ⎠ ⎝ 94054(0.32 ) ⎠⎦

P = 3371.4 psi


−1

219

C.5. AZARI (Método directo)

Tomando la Ec. 3.46, para sistemas de presión constante, se tiene: P = Pwf +

⎞ 162.6qµ B ⎛ A ⎜ log 2 − 1.036 + 0.87 s ⎟ kh rw ⎝ ⎠

P = 2980 +

⎞ 162.6(340)(0.76)(1.24) ⎛ 40(43560) − 1.036 + 0.87(1.93) ⎟ = 3379.3 psi ⎜ log 2 (23.52)(44) 0.3 ⎝ ⎠

La tabla 3.2 resume los resultados de los datos de presión promedia obtenidos por los seis métodos anteriores: Tabla 3.2. Resumen de presión promedia Método Ramey & Cobb MBH MDH Dietz TDST Azari (Método directo) Promedio

Presión Promedia, psi 3368 3376 3372.9 3368 3371.4 3379.3 3372.6

EJEMPLO

La tabla 3.3 proporciona datos de restauración de presión. Se cree que el pozo está en el centro de un yacimiento cuadrado. El pozo produjo 234000 STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para la prueba. Las propiedades de roca y fluido son:

φ = 19.4 % Pwf (t = 0) = 2840 psi β = 1.44 bbl / STB

ct = 19.4x10-6 1/psi A = 93 acres rw = 0.25 ft

h = 50 ft µ = 1.34 cp

Use el método de Tiab y el método directo para hallar la presión promedia del yacimiento.

Método Directo 1- El valor de k es 22.41 md (de gráfico Horner no suministrado).


220

1000

(∆P)pss=405 psi (∆P)r = 400 psi


100

(t*∆P')pss=37 psi (t*∆P')r=30 psi 10

tr = 1 hr

1 0.01

0.1

1

10

t, hrs

Fig. 3.18. Gráfico log-log de presión y derivada de presión (tabla 3.3) Tabla 3.3. Datos de presión para ejemplo ∆t, hrs

Pws, psi

∆P, psi

0 0.00989 0.01458 0.02103 0.02814 0.04192 0.05035 0.05983 0.08447 0.11545 0.16125 0.24814

2840 2872.354 2909.071 2954.428 3001.944 3050.54 3078.618 3102.376 3128.294 3147.732 3166.091 3182.29

0 32.354 69.071 114.428 161.944 210.54 238.618 262.376 288.294 307.732 326.091 342.29

t*∆P’, psi

109.6355 145.7317 145.7446 143.3739 145.2437 116.8582 68.36178 58.70226 47.36436 35.86205

∆t, hrs

Pws, psi

∆P, psi

0.36183 0.45863 0.63368 0.82962 1.12182 1.50068 2.00748 2.62819 3.40394 4.17739 4.9103 5.77179

3195.249 3202.808 3213.607 3223.326 3229.806 3239.525 3243.844 3252.884 3266.523 3276.242 3285.961 3295.68

355.249 362.808 373.607 383.326 389.806 399.525 403.844 412.884 426.523 436.242 445.961 455.68

t*∆P’, psi 32.83937 32.52705 34.85923 29.18734 27.54739 24.12313 24.55872 43.33975 49.79418 54.54016 60.12454

2- El valor de s es 1.1. 3- Para un pozo localizado en el centro de un cuadrado cerrado, CA = 30.8828. 4- La presión promedia se calcula mediante de: P = Pwf +

⎞ 162.6q µ B ⎛ A + 0.368 + 0.87 s ⎟ ⎜ log 2 kh C A rw ⎝ ⎠


221

P = 2840 +

⎞ (162.6)(250)(1.34)(1.44) ⎛ (93)(43560) + (0.368) + (0.87)(1.1) ⎟⎟ ⎜⎜ log 2 (22.41)(50) ⎝ (30.8828)(0.25) ⎠

P = 3375 psia Tiab's Direct Synthesis Technique A- Permeabilidad de la formación 1. Del gráfico log-log dado en la Fig. 3.17, Se obtiene (t*∆P’)r = 30 psia. La permeabilidad se calcula de:

k =

70.6 qµβ (70.6)(250)(1.34)(1.44) = = 22.7 md . h (t*∆Pw/ ) (50)(30)

B- Factor de daño 1. Se selecciona un tiempo conveniente tr = 1 hr durante el flujo radial, allí se lee ∆Pr = 400 psi y (t* ∆P')r = 30 psia. 2. El factor de daño se calcula mediante de: ⎡ (∆Pw )r ⎤ ⎞ ⎛ − ln⎜ k tr 2 ⎟ + 7.43⎥ s = 0.5 ⎢ / ⎝ φµ ct rw ⎠ ⎣ (t*∆Pw)r ⎦ ⎡ (400) ⎤ ⎛ ⎞ (22.7)(1) s = 0.5 ⎢ − ln ⎜⎜ ⎟⎟ + 7.43⎥ = 1.3 − 6 2 ⎝ (0.194)(1.34)(19.4×10 )(0.25) ⎠ ⎣ (30) ⎦ C- Presión promedia 1. Seleccione cualquier punto conveniente sobre la línea de estado pseudoestable y se leen: (∆P)pss = 405 psi y (t*∆P’)pss = 37 psi. 2. Calcule la presión promedia a partir de la Ec. 3.52:

P = Pi − 70.6

(t * ∆P ') pss q µ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ kh ⎢⎣⎝ (∆Pw ) pss − (t * ∆P ') pss

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ ⎟⎟ ln ⎜ ⎟⎥ 2 C r A w ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎠

La Ec. 3.52 da un estimativo confiable de P si el valor de la presión inicial del yacimiento se conoce de otras Fuentes. Debido a la carencia de información acerca de Pi, y que además se tiene tiempos de cierre cortos comparados con el tiempo de producción, la presión inicial del yacimiento se maneja como si ésta fuese igual a P*, la cual se halla de un gráfico Horner (P* = 3400 psi). P = 3400 - 70.6

⎞ ⎛ (2.2458)(93)(43560) ⎞ ⎤ (250)(1.34)(1.44) ⎡⎛ 37 ⎢⎜ ⎟ ⎥ = 3353.6 psia ⎟ ln ⎜ 2 − (22.7)(50) (400 37) (30.8828)(0.25) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣


222

4. PRUEBAS DST 4.1. GENERALIDADES

Una prueba DST (Drillstem Test) es una prueba de presión corta que se efectúa durante la perforación utilizando la tubería de perforación. Está formada por pruebas de declinación y caída de presión consecutivas. Para correr un DST, una herramienta especial se coloca en la sarta de perforación y se baja a la zona a probar. La herramienta aísla la formación de la columna de lodo en el anular y permite que los fluidos de la formación fluyan a la sarta de perforación mientras se registra continuamente la presión. 4.1.1. Propósito

1. Tomar una muestra del fluido del yacimiento. 2. Establecer la probabilidad de comercialidad. Normalmente se corre en pozos exploratorios y algunas veces en pozos de avanzada si la formación es muy heterogénea. 3. Determinar las propiedades de la formación y el daño. Estos podrían usarse para estimar el potencial de flujo del pozo. Además de proporcionar una muestra del tipo de fluido en el yacimiento, un buen DST da una indicación de la rata de flujo, una medida de las presiones estáticas y de flujo y una prueba transitoria corta. Un DST puede en ciertos casos detectar barreras, si éstas son cercanas al pozo: fallas, discontinuidades, frentes de inyección, etc. y servir para la determinación de la presión inicial o la presión promedia. 4.1.2. Usos de los datos DST

1) Descripción del yacimiento 2) Un volumen recuperado. Cartas de tiempos de flujo y cierre y presiones de fondo vs. Tiempo 4.1.3. Información calculada de un DST

k, s y radio de investigación, distancia a fallas y presión promedia (si el tiempo de prueba lo permite).


223

4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA

Los principales componentes de una herramienta DST (ver Fig. 4.1), junto con sus respectivas funciones, son mostradas a continuación: Ancla: Sostiene el empaque en el lugar correcto y saca cortes o basuras que pueden taponar el equipo. Registradores de Presión: Normalmente son dos. Proporcionan un registro completo de lo que pasa en el pozo. Empaque: Puentea o separa el pozo en el punto inmediatamente sobre a la zona a probar. Válvula Igualadora de Presión (By-Pass): Permite al lodo fluir hacia abajo a través del empaque al final de la prueba. Iguala las presiones arriba y abajo de la herramienta haciendo fácil la sacada de la herramienta. Válvula Retenedora (Probadora): Previene la entrada del lodo a la sarta de perforación mientras se baja la herramienta. Retiene la muestra de fluido cuando se saca el equipo.

PROBADORES HIDRAULICOS

Tubería de Perforación

EMPAQUES

{

Válvula retenedora Válvula Igualadora Registrador de presión No. 2

ANCLA

{ {

Empaque de caucho

Ancla perforada Registrador de presión No. 2

Formación porosa Zapato del ancla

Fig. 4.1. Componentes de la herramienta DST 4.3. PROCESO DE PRUEBA 4.3.1. DST Convencional

A) Mientras se baja la herramienta el empaque se colapso permitiendo elevar el nivel del lodo


224

B) Una vez llegado al objetivo se fija el empaque (compresión y expansión) para aislar la zona inferior del resto del pozo C) Se opera la válvula revendedora de modo que la zona aislada se expone a la baja presión dentro de la sarta vacía. Causa que los fluidos de la formación entren a la sarta D) Al final de la prueba la válvula retenedora se cierra atrapando cualquier fluido sobre ella. Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones E) Se reduce el peso y se libera el empaque F) Se retira la sarta. Se invierte la prueba mediante el cierre de las preventoras e inyección de lodo por el anular. 4.3.2. Prueba Straddle Packer. Aislar completamente una zona.

OIL

Fig. 4.2. Prueba Straddle Packer 4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST 4.4.1. DST Convencional

1) Captura de agua dentro de la sarta. Razones : reducir la presión de colapso de la sarta y reducir la presión diferencial en la formación y a través de los empaques cuando se para la herramienta 2) Bajando la herramienta. La curva es ocasionada por el incremento del peso de lodo 3) Máxima presión hidrostática 4) Se crea extra presión para fijar el empaque 5) Se abre la válvula de prueba. Se libera presión debajo de los empaques 6) Periodo de flujo de la formación a la sarta. Al entrar más fluido se incrementa la presión hidrostática 7) Se cierra la válvula de prueba y da lugar a una prueba de restauración de presión.


225

8) Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones debajo del empaque. 9) Se libera el empaque. 10) Se saca la herramienta. 4.4.2. DST Seco. Formación completamente impermeable (Lutitas). No hay flujo. Ver línea discontinua en la Fig. 4.4. 4.4.3. Condiciones Pobres en el Pozo. Ver Fig. 4.4. 1) Raspado de la torta 2) Taponamiento de la ancla perforada o la válvula de prueba 3) Arrastre o sacadas debido a condiciones pobre del pozo 4.4.4. Pruebas de Flujo Múltiple. Ver Fig. 4.5. 4.4.5. DST con Doble Cierre. Ver Fig. 4.6.

9 4

8

Presión

3

10

5

7

2 6 1

DST seco

Tiempo

Fig. 4.3. Esquema DST Seco 4.5. METODO DE HORNER

1) Obtenga los puntos de presión de las cartas DST 2) Grafique P-vs-(tp+∆t)/∆t (gráfico Horner); Calcule k

k=

162.6q µ B mh


(4.1)

226

9 8

4 3

10

p 5

7

2

6 1

DST

t

Presión

Fig. 4.4. Condiciones pobres en el pozo

Tiempo

Presión

Fig. 4.5. Prueba de Flujo Múltiple

tp2

tp1 Tiempo

Fig. 4.6. DST con doble cierre


227

q=

24 R tp

3) R es el aceite total recuperado en la sarta de perforación. El valor usado para tp usualmente es la longitud del periodo de flujo que precede. Sin embargo, si el periodo de flujo es muy largo, es más exacto usar la suma de la longitud de los periodos de flujo. tp = tp1 + tp2 4) Factor de daño

⎡ P1hr − Pwf ( ∆t = 0) ⎛ 1 s = 1.1513 ⎢ + log ⎜1 + ⎜ m ⎢⎣ ⎝ tp

⎤ ⎞ ⎛ k ⎞ 3.2275 + ⎥ ⎟⎟ − log ⎜ ⎟ 2 ⎥⎦ ⎝ φ µ ct rw ⎠ ⎠

(4.2)

5) Halle DR y FE

FE = 1 −

DR =

∆Ps Pi − Pwf ( ∆t =0)

1 FE

(4.3)

(4.4)

∆Ps = 0.87(m) s 6) Radio de investigación

rinv = 0.029

kt p

φ µ ct

(4.5)

El almacenamiento no es muy significante en la porción de restauración de un DST puesto que el pozo se cierra cerca a la cara de la formación. Sin embargo, si se sospecha su existencia, se debe que parte de los datos deben analizarse. En formaciones con bastante espesor y baja permeabilidad o en yacimientos de gas, el almacenamiento puede ser significativo. Para variaciones significativas en la rata de flujo (análisis multiflujo) y cuando tp es menor que el tiempo de cierre, las siguientes ecuaciones se usan para modificar tp y q:


228

N ⎛ ⎞ q j (t 2j − t 2j −1 ) ⎟ ∑ ⎜ ⎟ t p * = 2 ⎜ t p − j =N1 ⎜ ⎟ 2∑ q j (t j − t j −1 ) ⎟ ⎜ j =1 ⎝ ⎠

q* =

1 N ∑ q j (t j − t j −1 ) t p * j =1

(4.6.a)

(4.6.b)

Usar la relación anterior en el gráfico de Horner 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL

Estos parámetros pueden ser estimados mediante el cálculo de P* como se mostró en el capítulo 3 para (tp+∆t)/∆t=1 (tiempo de cierre infinito). Sin embargo, no son requeridas correcciones debido a la forma del yacimiento puesto que un DST tiene corta duración. Así, generalmente para un DST: Pi ≅ P *

Para una frontera con presión constante

o; P ≅ P*

para un yacimiento finito

4.6.1. Método de datos limitados (Método en el sitio del pozo)

En el sitio del pozo, los únicos datos de presión disponibles son: la presión hidrostática (lodo) inicial (IHP), la presión de cierre inicial (ISIP), las presiones de flujo inicial y final (IFP1 y IFP2) de los periodos de flujo 1ero y 2do, las presiones de flujo final de los periodos de flujo 1ero y 2do (FFP1 y FFP2), la presión de cierre final (FSIP) y la presión hidrostática final (FHP). El tiempo de flujo total es definido por:

t p = t p1 + t p 2 La presión de yacimiento inicial o presión de yacimiento promedio puede ser asumida así:

Pi ≈ P ≈ ISIP La permeabilidad del yacimiento puede ser estimada a partir de:


229

ISIP

P1 P2 P3

IHP Flujo inicial

P4 P5

Línea base flujo

Ciclo de cierre inicial

∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4 ∆t5

Fig. 4.7. Carta típica DST Tabla 4.1. Datos de la Prueba DST – Datos del Cierre Inicial ∆t, hrs 0.01667 0.03334 0.05001 0.06668 0.08335 0.10002 0.11669 0.13336 0.15003

k=

Pws, psi (tp+∆t)/∆t 454.64 4.099 668.73 3.549 904.62 2.700 1124.61 2.275 1317.01 2.020 1487.02 1.850 1624.46 1.728 1734.21 1.637 1824.82 1.567

∆t, hrs 0.16670 0.20000 0.23334 0.26668 0.30002 0.33336 0.36670 0.40000 0.43334

Pws, psi (tp+∆t)/∆t 1898.51 1.510 2007.38 1.425 2074.48 1.364 2124.08 1.319 2159.25 1.283 2184.23 1.255 2204.50 1.232 2220.40 1.213 2232.83 1.196

∆t, hrs 0.46668 0.50000 0.66667 0.75000 1.00000 1.25000 1.33300 1.50000 1.55330

Pws, psi (tp+∆t)/∆t 2244.26 1.182 2252.10 1.170 2280.43 1.127 2289.50 1.113 2304.41 1.085 2313.36 1.068 2314.60 1.064 2319.07 1.057 2320.19 1.055

162.6qµB mE h

(4.7)

Siendo, mE =

ISIP − FSIP log [(t p + ∆t )∆t ]

(4.8)

Siendo ∆t el tiempo de cierre total o el tiempo cuando se lee FSIP. La Ec. 4.1 puede usarse para estimar la permeabilidad si ISIP = FSIP puesto que la Ec. 4.8 no se aplica. La Relación de daño se estima mediante:


230

2500

P*=2300 psi m=-17.5 ps

p1hr=2150 psi

2000

i/ciclo

P ws, psi

1500

1000

500

0 1

10

100

(tp+∆t)/∆t

Fig. 4.8. Gráfico Horner ⎛ ISIP − FFP2 ⎞ ⎟⎟ DR = 0.183⎜⎜ mE ⎝ ⎠

(4.9)

ó: DR ≈

ISIP − FFP2 mE (4.43 + log t p )

(4.10)

Este método no es muy confiable ya que solo puede ser usado para datos limitados. EJEMPLO

La tabla 4.1 muestra las presiones registradas de un DST que fue corrido en un pozo de petróleo. Determinar la permeabilidad, y el factor de daño para este pozo, igual que la presión promedio para este yacimiento. La información relevante concerniente al pozo, fluido y el yacimiento es: rw = 0.25 ft µ = 1.1 cp tp2 flujo final = 3 hrs

h = 25 ft B = 1.2 bbl/STB R = 22.43 bbl

φ = 10 % tp1 flujo inicial = 0.085 hrs ct = 1.2x10-6 1/psi

Caudal de petróleo promedio durante el periodo de flujo inicial = 372 BPD


231

SOLUCION

Usando tp = 0.085 hrs para los datos de cierre inicial y tp = 3.085 para los datos de cierre final, los valores de (tp+∆t)/∆t son calculados y reportados en la tabla 4.1. Un gráfico Horner fue construido y presentado en la Fig. 4.8. En este gráfico, la pendiente es –17.5 psi/ciclo. Entonces la permeabilidad es estimada usando la Ec. 4.1: k=

162.6qµB (162.6)(372)(1.1)(1.2) = = 182.5 md mh 17.5( 25)

El factor de daño se calcula de la Ec. 4.2: ⎡ 2150 − 1317.72 ⎤ ⎞ ⎛ 182.5 1 ⎞ ⎛ ⎟ + 3.2275⎥ = 46.6 s = 1.1513⎢ + log⎜1 + ⎟ − log⎜⎜ −6 2 ⎟ 3 . 085 17 . 5 0 . 1 ( 1 . 2 10 )( 0 . 25 ) × ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

De la Fig. 4.8, P = P* = 2300 psi 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD

Normalmente, cualquier tipo de barrera al flujo no puede ser vista en un DST ya que el tiempo es muy corto para afectar el gráfico semilog. Sin embargo, en estos casos donde los periodos de flujo son bastante largos para observar desviaciones de la pendiente semilog, la cual refleja cambios en la transmisibilidad del yacimiento, fallas, discontinuidades, condiciones de frontera o geometría del yacimiento como se ilustra en la Fig. 4.9. Algunos de los métodos para estimar la distancia a las fronteras serán mostrados posteriormente. 4.7.1. Método de Horner

⎛ 948φµct d 2 ⎞ t + ∆t ⎞ ⎟ = ln⎛⎜ p ⎟⎟ − Ei⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ kt t ∆ ⎝ ⎠x p ⎝ ⎠

(4.11)

Cuando una línea de presión constante es encontrada a una distancia “d” del pozo, la Ec. 4.11 también aplica. 4.7.2. Método de Dolan, Einarsen y Hill

Ellos simplificaron la Ec. 4.11 asumiendo que la función exponencial puede ser reemplazada por la aproximación logarítmica, así:


232

b) Cambio en el tipo de fluido

a) Barrera de no flujo (falla)

GAS

OIL

k2

k1

h2

h1

k1 < k2

h1 < h2

b) Cambio en espesor de la zona productora

b) Cambio de permeabilidad (facies)

Fig. 4.9. Tipos de discontinuidades d = 0.024337

kt p ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟⎟ φµct ⎜⎜ p ⎝ ∆t ⎠ x

(4.12)

4.7.3. Método de Ishteiwy y Van Poollen

Ellos llegaron a la siguiente correlación empírica: t ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = pD ⎝ ∆t ⎠ x 1.13

(4.13)

donde; t pD =

0.0002637 φµct d 2

(4.14)

Introduciendo la Ec. 4.14 en la Ec. 4.13 y solucionando para la distancia, d, se tiene:


P ws, psi

m= 13 21

ps i/c icl o

233

[(tp+∆t)/∆t] x = 1.55

10

1

(tp+∆t)/∆t

Fig. 4.10. Gráfico Horner – Pozo cercano a una discontinuidad

d = 0.015276

kt p ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟⎟ φµct ⎜⎜ p ⎝ ∆t ⎠ x

(4.15)

4.7.4. Método de Bixel y Otros

La siguiente relación fue presentada: Para pruebas de declinación: d = 0.0307

kt x φµct

(4.16)

Para restauración de presión, su ecuación fue la misma Ec. 4.14.

EJEMPLO Gibson y Campbell presentaron datos de DST corridos en la formación Red del condado Major, Oklahoma. El pozo se trató para trabajos de completamiento con aproximádamente 480 BPD. El gráfico de Horner se suministra a continuación.


234

ct = 8.2x10-6 psi-1 B = 1.1 bbl/STB

q = 118 BPD φ = 12 % tp = 4 hr

µ = 1.3 cp m = 1321 psi/cycle

A) Determine la permeabilidad B) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados C) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad?

SOLUCION a) Permeabilidad Pueso que la pendiente se da, la permeabilidad se obtiene de: k=

162.6qµB 162.6(118)(1.1)(1.3) = = 1.38 md mh (15)(1321)

b) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados De la Fig. 4.10, [(tp+∆t)/∆t]x = 1.55. Aplicando el método de Horner se tiene: ⎛ 948φµct d 2 ⎞ t + ∆t ⎞ ⎟ = ln⎛⎜ p ⎟⎟ − Ei⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ kt p ⎝ ∆t ⎠ x ⎝ ⎠ ⎛ 948(0.12)(1.3)(8.2 × 10−6 )d 2 ⎞ ⎟⎟ = ln1.55 − Ei⎜⎜ − 1.38(4) ⎝ ⎠

(

)

− Ei − (1.4646 × 10−5 )d 2 = 0.4383 Interpolando de la tabla 1.3; (1.4646 × 10−5 )d 2 = 0.618 luego, d = 53 ft Usando el método de Dolan, Einarsen y Hil, Ec. 4.12:


235

d = 0.024337

kt p 1.38(4) = 0.024337 = 40.7 ft (0.12)(1.3)(8.2 × 10− 6 )(1.55) ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎟⎟ φµct ⎜⎜ ⎝ ∆t ⎠ x

Método de Ishteiwy y van Poollen, Ec. 4.15: d = 0.015276

kt p 1.38(4) = 0.015276 = 25.5 ft (0.12)(1.3)(8.2 × 10 − 6 )(1.55) ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎟⎟ φµct ⎜⎜ ⎝ ∆t ⎠ x

c) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad? La pendiente decrece, sin embargo, hay evidencia de una “b barrera de presión constante”. El mejoramiento en la transmisibilidad podría deberse al tratamiento que el pozo recibió antes de la prueba.


236

5. HETEROGENEIDADES Los métodos de análisis de presión disponibles están basados en suposiciones basados en la ley de Darcy, por ejemplo, una formación homogénea y horizontal de espesor uniforme, con distribuciones de porosidad y permeabilidad isotrópica y constante. El tema del comportamiento de la presión en yacimientos heterogéneos ha tenido considerable atención en los últimos años. La principal razón de esto, es la necesidad de una mayor exactitud en la descripción del yacimiento. La descripción del yacimiento tiene un efecto significativo en el diseño, operación, y por lo tanto, el éxito económico del proceso involucrado. Puesto que estos métodos pueden ser aplicados solo una vez al yacimiento, es obvia la necesidad de una confiable descripción del yacimiento. Dos técnicas que pueden usarse para describir yacimientos son los trazadores y las pruebas de transiente de presión. Las pruebas de transiente de presión han sido más usadas (y con mejores resultados) que los trazadores. La determinación de la eficiencia de barrido volumétrica es un problema que tiene un mejor potencial de ser solucionado por los trazadores. Actualmente, la descripción de la heterogeneidad del yacimiento mediante el ajuste del comportamiento del trazador es afectada por la falta de modelos numéricos adecuados, el mucho tiempo gastado para obtener los resultados, y la dependencia del ajuste a los parámetros adicionales que son introducidos por los mismos trazadores, (por ejemplo, coeficientes de dispersión, retención del trazador, etc.). Es muy posible que los trazadores y las pruebas de transiente de presión en el futuro sean usadas al mismo tiempo para la descripción del yacimiento. 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO

Las heterogeneidades del yacimiento, ver Fig. 4.9, son variaciones en las propiedades de la roca y el fluido resultantes de la depositación, plegamiento, fallamiento, cambios postdepositacionales en la litología del yacimiento, y cambios en las propiedades o tipos de fluidos. Las heterogeneidades del yacimiento pueden ser de pequeña escala, como en yacimientos carbonatados donde la roca tiene dos constituyentes, matriz y fracturas, cavidades y cavernas. Estas también pueden ser de mayor escala, tales como barrearas físicas, fallas, contactos fluido-fluido, cambios de espesor, cambios de litología, varias capas con diferentes propiedades en cada capa, etc. Adicionalmente a estas heterogeneidades naturales, el hombre puede inducir heterogeneidades artificiales alrededor de la cara del pozo durante la perforación (invasión de lodo), el fracturamiento hidráulico, o la inyección de fluido.


237

Otra característica relacionada es anisotropía en la permeabilidad, es decir cuando esta propiedad varía con la dirección de flujo. La anisotropía también puede ser causada por procesos sedimentarios (depósitos de canales llenos) o por tectonismo (orientación de fracturas en sentido paralelo). La anisotropía toma lugar tanto en yacimientos homogéneos como heterogéneos. Por lo tanto, la anisotropía no implica heterogeneidad. La mayoría de los yacimientos tienen permeabilidad vertical menos que la horizontal, de modo que existe anisotropía en ese sentido. 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA 5.2.1. Pruebas de Restauración de Presión

Aplicando el principio de superposición, la presión de cierre adimensional para un pozo cercano a la frontera está dada por:

[ (

) ]

⎛ 2d ⎞ ⎛ 2d ⎞ PDS = PD 1,(t p + ∆t )D + s − [PD (1, ∆t D ) + s ] + pD ⎜⎜ , (t p + ∆t )D ⎟⎟ − pD ⎜⎜ , ∆t D ⎟⎟ ⎝ rw ⎠ ⎝ rw ⎠

en forma dimensional: Pi − Pws =

⎤ 162.6qµB ⎡ ⎛ k (t p + ∆t ) ⎞ ⎟ − 3.23 + 0.869 s ⎥ ⎢log⎜⎜ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ φ µct rw ⎠ ⎦

+

⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞⎤ ⎤ 70.6qµB ⎡ 162.6(− q ) µB ⎡ ⎛ k∆t ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ s Ei − + log 3 . 23 0 . 869 − − ⎢ ⎢ ⎜ ⎥ 2 ⎟ ⎜ k (t + ∆t ) ⎟⎥ kh ⎣⎢ kh p ⎣ ⎝ φ µct rw ⎠ ⎦ ⎠⎦⎥ ⎝

−

⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞⎤ 70.6(− q ) µB ⎡ ⎟⎟⎥ ⎢− Ei⎜⎜ kh k∆t ⎠⎦ ⎝ ⎣

(5.1) Para un tiempo de producción, tp, suficientemente largo y para tiempos muy cercanos al tiempo de cierre, la Ec. 5.1 puede ser expresada así: Pws = Pi −

⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞ ⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞⎤ 162.6qµB ⎡ ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎜ ⎟ log 0 . 434 0 . 434 − Ei + Ei ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ k (t + ∆t ) ⎟ kh k ∆ t p ⎢⎣ ⎝ ∆t ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎝ ⎠

(5.2) A tiempos lejanos, los valores predichos por la Ec. 5.2 empiezan a desviarse hacia arriba de la línea recta en semilog. Los cálculos de d requieren la estimación de ∆PL el cual es la diferencia entre las funciones exponenciales: 2 ⎞⎤ ⎛ ⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞ ⎛ − 3792 φ µ ct d 2 ⎞ 70.6qµB ⎡ ⎟ − Ei⎜ − 3792 φ µ ct d ⎟⎥ ⎟⎟ + Ei⎜ ∆PL = ⎢− Ei⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ k (t + ∆t ) ⎟ kh ⎢⎣ k∆t kt p ⎝ ⎠ p ⎠⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎝


238

b) Prueba Buildup - Grafico Horner

a) Prueba Drawdown

2m m Pws

P wf

m ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ∆t ⎟⎟ ⎠x ⎝

2m

log t

tx

⎛ t p + ∆t ⎞ ⎟ log⎜ ⎜ ∆t ⎟ ⎠ ⎝ c) Prueba Buildup - Grafico MDH

Pws

2m

m

(∆t)

x

log ∆t

Fig. 5.1. Identificación de fronteras lineales de gráficos semilog d puede ser calculada por un procedimiento de ensayo y error usando la ecuación anterior. Sin embargo, siempre que tp >> ∆t, la Ec. 5.2 se convierte en: Pws = Pi −

⎛ t p + ∆t ⎞ 162.6q µ B ⎛ t p + ∆t ⎞ 162.6q µ B log ⎜ log ⎜ ⎟− ⎟ kh kh ⎝ ∆t ⎠ ⎝ ∆t ⎠

o; Pws = Pi −

⎛ t p + ∆t ⎞ 325.2q µ B log ⎜ ⎟ kh ⎝ ∆t ⎠

(5.3)

Observando la comparación entre las Ecs. 3.6 y 5.3, la pendiente es el doble en la Ec. 5.3. En otras palabras la Ec. 5.3 puede ser expresada como: ⎛ t + ∆t ⎞ ⎟⎟ Pws = Pi − 2m log⎜⎜ p ⎝ ∆t ⎠


(5.4)

239

Esta ecuación en una gráfica de presión de restauración, muestra que la pendiente eventualmente será el doble siempre que la perturbación de la presión haya alcanzado una barrera lineal tal como una falla. Una vez la pendiente es doblada, d puede ser fácilmente calculada leyendo el tiempo de intercepción de la línea recta de la pendiente m con la línea recta de pendiente 2m, como se ilustra en las Figs. 5.1.b y 5.1.c. Este comportamiento también es presentado en un gráfico de presión de declinación como lo indica la Fig. 5.1.a. Sin embargo, la pendiente de una gráfica de presión de restauración normal no cambiará para la parte temprana de la presión de restauración. Así, esta porción de línea recta temprana con pendiente m puede ser usada para calcular k, s y C como se discutió en el capítulo 3. La extrapolación de la línea recta de doble pendiente es usada para la estimación de la presión promedio. Este redoble en la pendiente se presenta en pruebas multitasa, de inyección, de declinación, etc. Cuando un pozo está cerca a barreras múltiples se pueden presentar diferentes características del transiente de presión. Por ejemplo, cuando existen dos fallas interceptándose en ángulo recto cerca a un pozo (una más cerca que la otra), la pendiente se duplicará y luego se redoblará. 5.2.2. Métodos para Calcular la Distancia a las Discontinuidades Lineales de Gráficas de restauración de presión 5.2.2.1. Método de Horner

Siempre que ∆tD > 25, la distancia a una discontinuidad puede ser solucionada a partir de la siguiente correlación empírica. d = 0.01217

∆t D =

kt p 1 φ µ ct ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∆t ⎠ x

0.0002637k∆t φµct d 2

(5.5)

(5.6)

Para valores pequeños de tp, el método de Horner es menos exacto. EJEMPLO

Los siguientes datos de presión fueron obtenidos del pozo Bravo-1 en West –Texas. Este es un yacimiento de calizas con influjo de agua únicamente en la porción del sur. Los datos geológicos indican la presencia de una frontera (Raven) al oriente del pozo. Ver los datos de restauración en la tabla 5.1. La propiedades de la roca y del fluido son las siguientes:


240

rw = 5 in ct = 22x10-5 /psi Pi = 3750 psi Np = 9000 STB

h = 18 ft µ = 1.8 cp ρ = 56.8 lbm/ft3

φ = 14 % B = 1.31 bbl/STB q = 80 BPD

Encontrar: Permeabilidad del yacimiento, eficiencia de flujo y distancia a la frontera Raven, usando el método de Horner.

Tabla 5.1. Datos de Presión de Restauración ∆t, hrs 0 0.5 0.7 1.1 1.6 2.5 3.5 5 7

Pws, psi 2900 3090 3118 3170 3199 3240 3278 3290 3302

(tp+∆t)/∆t ∆t, hrs 9 2401.00 13 1715.29 20 1091.91 30 751.00 40 481.00 50 343.86 70 241.00 100 172.43 150 250

Pws, psi 3310 3320 3333 3343 3350 3363 3382 3400 3423 3450

(tp+∆t)/∆t 134.33 93.31 61.00 41.00 31.00 25.00 18.14 13.00 9.00 5.80

SOLUCION

Permeabilidad del yacimiento. De la gráfica semilog de Pws vs. (tp+∆t)/∆t (gráfica de Horner), la Fig. 5.2. donde tp = 24Np/q = (24)(9000)/180 = 1200 hrs. Tómese la porción de línea recta con pendiente m = 66 psi/ciclo (línea de comportamiento infinito). La permeabilidad de la formación será:

k=

162.6qµB (162.6)(80)(1.8)(1.31) = = 26 md mh (66)(18)

La eficiencia de flujo es estimada mediante: FE = 1 −

∆Ps P − Pwf ( ∆t =0) *

Donde: ∆Ps = 0.87 ( m ) s


241

3700

P*=3550 psi 3600

P ws, psi

3500

lo /cic psi 6 -13 m2=

3400

6 psi/c m1=-6

iclo

3300

p1hr = 3245 psi 3200

3100

3000 10000

1000

100

10

1

⎛ tp + ∆t ⎞ ⎜ ⎟ ∆t ⎝ ⎠

Fig. 5.2. Gráfica de Horner De la Fig. 5.2, P1hr = 3245 psia. Por lo tanto el factor de daño es: ⎡ P1hr − Pwf ( ∆t = 0 ) ⎤ ⎛ k ⎞ ⎟ − log⎜⎜ + 3 . 23 s = 1.1513⎢ ⎥ 2 ⎟ m ⎝ ϕµct rw ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎤ ⎡ 2741 − 2900 ⎛ ⎞ 26 ⎟ + 3.23⎥ = 2 s = 1.1513⎢ − log⎜⎜ 2 ⎟ −5 66 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ (0.14 )(1.8) 22 ⋅ 10 (0.416) ⎠

(

∆Ps = 0.87 ( 66 ) 2 = 116 psia . entonces: FE = 1 −

)

P* = 3550 psia (extrapolando la 2da línea recta),

116 = 82 % 3550 − 2900

Lo anterior significa que es necesaria una estimulación. La distancia a la frontera lineal es encontrada de la siguiente ecuación:


242

d = 0.01217

k∆t p

1

φµct ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎝

∆t

= 0.01217

⎟⎟ ⎠x

(26)(1200) = 53 ft (0.14)(1.8)(25.4 × 10−5 )

5.2.2.2. Método de David y Hawkins

Utilizaron cualquiera de los gráficos MDH, Fig. 5.1.c., o Horner, Fig. 5.1.b así: d = 0.01217

k∆t x φ µ ct

(5.7)

De la gráfica MDH, es obtenida directamente ∆tx. Por el gráfico de Horner ∆tx tiene que ser solucionado de [(tp+∆t)/∆t]x. Esta ecuación es estrictamente válida para [(tp+∆t)/∆t]x ≥ 30. Una desventaja para este método es que requiere largos tiempos para que la pendiente sea doble. Esto tiene lugar cuando: ∆t = 380000

φ µ ct d 2 k

Cuando d es largo o k es pequeño, la pendiente puede no ser el doble en una prueba de restauración de presión típica. Tabla 5.2. Datos de restauración de presión ∆t, hrs 0 0.1 0.2 0.5 1 2

Pws, psia 2665 2940 2970 3009 3040 3070

(tp+∆t)/∆t ∆t, hrs 5 10081 10 5041 20 2017 50 1009 100 505 200

Pws, psia 3111 3148 3192 3258 3311 3361

(tp+∆t)/∆t 202.6 101.8 51.4 21.16 11.08 6.04

EJEMPLO

Un pozo de petróleo produjo 4410 STB de petróleo y fue cerrado. El caudal de producción promedio fue de 105 STB/día. El pozo está ubicado en un área donde se supone existe una discontinuidad en la permeabilidad (falla). Además, los efectos de almacenamiento en la cara del pozo son despreciables. Los datos de restauración de presión y de la roca son presentados, estimar entonces la distancia a la discontinuidad usando el método de David y Hawkins, la permeabilidad e la formación, y el factor de daño. Las propiedades de la roca y el fluido para este sistema son:


243

3400 3350 3300 3250

P ws, psi

2

m

3200

0 19 =-

o icl is /c p

3150 3100 3050 3000

iclo si/c p 0 -10 m1=

⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 73 ⎝ ∆t ⎠ X

2950 2900 10000

1000

100

10

1

⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∆t ⎠

Fig. 5.3. Gráfico de Horner q = 105 BPD φ = 16 % ct = 18.4x10-6 /psi

rw = 0.33 ft µ = 0.87 cp k = 9.9 md

h = 19 ft B = 1.27 bbl/STB

SOLUCION

Calcule el tiempo Horner de:

tp =

24 N p 24(4410) = = 1008 hr q 105

De la gráfica de Horner en la Fig. 5.3, se observa que m2/m1≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad. De la intercepción de las dos líneas rectas, [(tp+∆t)/∆t]x =73. Puesto que tp es 1008 hrs, entonces ∆tx = 14 hrs. La distancia a la discontinuidad es solucionada de la Ec. 5.7: d = 0.01217

k∆t x = 0.01217 φµct

(9.9)(14) = 90 ft (0.16)(0.87 )(18.4 × 10− 6 )

Así, la distancia a la discontinuidad es aproximadamente de 90 ft. Sin embargo, la dirección a la discontinuidad no puede ser determinada a partir de esta prueba del pozo.


244

ps i/c

ic lo

4600

=10 0

4580

Pws, psi

m

2

4560

4540

4520

m 4500

clo i/ci s p -57 2=

⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 650 ⎝ ∆t ⎠ x

iclo m1=-13 psi/c

4480

4460 10000

1000

100

⎛ tp + ∆t ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∆t ⎠

Fig. 5.4. Gráfica de Horner EJEMPLO

Los datos de restauración de presión tabulados a continuación fueron medidos durante una prueba a un pozo localizado en le campo Bay Marchand, costa afuera de Lousiana. El pozo ha producido 203280 STB de petróleo desde el último cierre. La rata estabilizada después del cierre fue de 336 BOPD. Otros datos importantes son: q = 105 BPD φ = 30 % ct = 10x10-6 /psi

rw = 0.286 ft µ = 1.87 cp Pwf = 4473 psi

h = 27 ft B = 1.217 bbl/STB

Tabla 5.3. Datos de restauración de presión t, hrs Pws, psi

0 0.5 1 2 4 6 8 10 12 14

4473 4482 4486 4490 4494 4508 4516 4520 4524 4528

(tp+∆t)/∆t t, hrs 16 20 27041.0 24 13521.0 28 6761.0 32 3381.0 36 2254.3 40 1691.0 44 1353.0 48 1125.7 52 966.7 61

Pws, psi 4534 4538 4548 4552 4557 4562 4567 4572 4576 4580 4580

(tp+∆t)/∆t 846.0 675.0 564.3 483.9 423.5 376.6 339.0 308.3 282.7 261.0 222.6

Pws, psi 4534 4538 4548 4552 4557 4562 4567 4572 4576 4580 4580


245

Los datos de la sísmica indican la presencia de una falla, posiblemente junto con el área de drenaje del pozo de prueba. Los datos de la prueba confirman la presencia de esta falla?. Si es así, estime la distancia a la falla usando el método de David y Hawkins. Estimar la permeabilidad efectiva en el pozo. SOLUCION

tp es 14520 hrs usando la Ec. 4.6.b. De la gráfica de Horner presentada en la Fig. 5.4, son aparentes tres líneas rectas. Estas líneas tienen pendientes m1 = -13, m2 = -57, y m3 = -100 psi/ciclo. Si una falla está presente, se espera que dos líneas rectas con una relación de pendientes aproximada a dos, se presente. Observando las primeras dos líneas m2/m1=4.4 y m3/m2=1.8. Sin hacer un análisis más detallado, la segunda línea representa el flujo transiente en el yacimiento y la tercera línea se debe a la falla. Por consiguiente, la primera línea se debe probablemente a la estimulación de la cara del pozo. La permeabilidad es obtenida a partir de la pendiente de la segunda línea, entonces: k=

162.6qµB (162.6)(336)(1.88)(1.217) = = 81 md m2 h (−57)(27 )

La intercepción de las líneas 2 y 3 ocurre en [(tp+∆t)/∆t]=650. Así, ∆tx = 22.4 hrs. De la Ec. 5.7, la distancia a la falla puede ser calculada: d = 0.01217

k∆t x = 0.01217 φµct

(81)(22.4) = 218 (0.30)(1.88)(10 × 10− 6 )

ft

El tipo de comportamiento de presión observado en la Fig. 5.4 podría ser causado por el fallamiento. 5.2.2.3. Método de Earlougher

Este método generalmente arroja resultados exactos para todos los tiempos. d = 0.008119

kt p ⎛t ⎞ φ µ ct ⎜⎜ D2 ⎟⎟ ⎝ rD ⎠

(5.8)

donde; PD =

1 ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎟ ln⎜ 2 ⎜⎝ ∆t ⎟⎠ x


(5.9)

246

3400

3300

m

4 .3 96 =1

i/ ps

ci c

lo

Pws , psia

3200

3100

si/c 4p 9.9 9 m=

3000

iclo

∆t x = 15 hr

2900 0.1

1

10

100

1000

∆t, hr

Fig. 5.5. Gráfico MDH para Estimar la Distancia a una Falla Note que tD/rD2 es desconocido y debería ser estimado usando la Fig. 1.10 o su ajuste estadístico que se presenta inmediatamente después de dicha Figura. El método de Earlougher no es recomendable cuando tp >> ∆t usando la Ec. 5.9.

EJEMPLO Para los datos de restauración de presión dados en el segundo ejemplo (tabla 5.2), calcular permeabilidad, factor de daño y determinar si existe o no una falla que no haya sido detectada. Si es así, estimar la distancia pozo a la falla usando la gráfica MDH y el método Earlougher.

SOLUCION De las Figs. 5.3 y 5.5 la pendiente en la región de comportamiento infinito está alrededor de 100 psi/ciclo. Se observa también que m2/m1 = 1.9 ≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad (falla). La permeabilidad es estimada de la Ec. 3.8: k=

162.6qµB 162.6(105)(0.87)(1.27) = = 9.93 md m1h 100(19)

De la tabla 5.2, P1hr = 3040 psia, el factor de daño es entonces estimado con la siguiente ecuación procedente de la unidad 4. ⎡ P1hr − Pwf ( ∆t =0) ⎤ ⎛ k ⎞ ⎟ + 3.23⎥ s = 1.1513⎢ − log⎜⎜ 2 ⎟ m ⎝ φµct rw ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥


247

⎡ 2665 − 3040 ⎤ ⎛ ⎞ 9.93 ⎟ s = 1.1513⎢ − log⎜⎜ 3 . 23 + ⎥ = −0.6 2 −6 ⎟ − 100 ( )( ) ( ) 0 . 16 0 . 87 18 . 4 ⋅ 10 0 . 33 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(

)

De la Fig. 5.5, ∆tx = 15 hr. Usando la Ec. 5.7: d = 0.01217

k∆t x (9.93)(15) = 0.01217 = 92.8 ft φ µ ct (0.16)(0.87)(18.4 × 10− 6 )

De la Fig. 5.3, [(tp+∆t)/∆t]x = 73. Usando la Ec. 5.5, se tiene: d = 0.01217

kt p

1 (9.93)(1008) 1 = 0.01217 = 89.05 ft −6 (0.16)(0.87)(18.4 × 10 ) 73 φ µ ct ⎛ t p + ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∆t ⎠ x

Usando el método de Earlougher se estima PD de la Ec. 5.9: 1 ⎛ t + ∆t ⎞ 1 ⎟⎟ = ln(73) = 2.14523 PD = ln⎜⎜ p 2 ⎝ ∆t ⎠ x 2 y usando la Fig. 1.10 ó su ajuste estadístico: x =log(PD) = log(2.14533) = 0.3314738 y=

0.53666 + (1.8432)(0.3515) = 1.5692 1 − (0.8503)(0.3515) + (0.11997)(0.3515) 2

tD = 10 y = 101.5692 = 37.09 . La distancia a la falla se estima con la Ec. 5.8: rD2 d = 0.008119

kt p ⎛ tD ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎝ rD ⎠

φ µ ct ⎜⎜

= 0.008119

(9.93)(1008) = 83.34 ft (0.16)(0.87)(18.4 × 10− 6 )(37.09)

5.2.2.4. Tiab’s Direct Synthesis Technique Para discontinuidades ocasionadas por diferencia de fluido (inyección) se invita al lector a leer el artículo SPE 76781. Overpeck y Holden también han trabajado este tema.


248

y ky

kx Imagen (espejo)

Barrera

Verdadera imagen

d

θ x Pozo Reall

Fig. 5.6. Sistema de Falla en un Yacimiento Anisotrópico Real 2 1.8 1.6 A=1

y coordinate

1.4 1.2 Boundary

1

A=2

0.8 0.6 A=5

0.4

A=10

0.2 A=100

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x coordinate

Fig. 5.7. Posiciones del Pozo Imagen Normalizado como una Función de la Relación de Permeabilidad A y la Orientación de la Falla


249

1000

CDe

2s

89 10 81 10 72 10

100

63 10 55 10 46 10

P D'

37 10 29 10

P D and t

D

20 10

10

16 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10

1

6 10

A

5 10

1 2 5 10 100

4 10 3 10 2 10 1` 10`

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD /CD

Fig. 5.8. Presión adimensional y derivada de presión vs grupo adimensional para un pozo sencillo cercano a una frontera de no flujo en un medio anisotrópico para un ángulo entre el pozo y la normal a la frontera (θ) de 30° y diferentes relaciones de permeabilidad, A

d = 2.56

0.0002637 k tRe φµct

A = kx / k y

A se ajusta con la gráfica 5.8. kx = k A

ky =

(5.10.a)

kx A

(5.10.b)

Si el ángulo se conoce, el factor de corrección para la distancia aparente puede estimarse mediante: 2 2 ⎧⎪ ⎡ ⎛ cosθ sin θ ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎞ ⎛ DDR = ⎨ A ⎢ A⎜ ⎟ ⎥⎬ ⎟ +⎜ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ A cos ²θ + sin ²θ ⎠ ⎝ A cos ²θ + sin ²θ ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭

1

2


250

d true =

d DDR

5.3. FRONTERAS MULTIPLES En la detección de fronteras multiples el lector es referido al trabajo de Tiab y Crichlow y al artículo SPE 53933.

5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA La conductividad adimensional de la falla/frontera está definida como: FCD =

k f wf

(5.11)

k L

El valor de FCD típicamente varía entre cero y 1.0 ó más. Un valor de cero indica una frontera sellada o ausencia de la frontera y un valor infinito indica una presión constante en la frontera o una falla completamente sellada.

5.4.1. Frontera con Escape Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como:

τ = e−F − 1 CD

(5.12)

donde –1 ≤ τ ≤ 0. Valores negativos de τ indican la presencia de una acuífero al otro lado de la frontera. Note que cuando τ = 0, FCD = 0 indica que L = 0, y cuando τ = –1, FCD = ∞, indica que la conductividad de la frontera es infinita.

τ = 0.00375902 − 3.1638126

(t * ∆P ') '2 x (t * ∆P ') r

(5.13)

La ecuación anterior es aplicable para casos cuando la segunda línea horizontal no está bien desarrollada.

τ = 0.983396

(t * ∆P ') r 2 − 0.98603107 (t * ∆P ') r

(5.14)

5.4.2. Frontera de No Flujo o Sellante Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como:


251

100

PD , t D*P D' and (t D*PD ')'

10

Pressure curve

τ

Pressure derivative curve

0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0

1

0.1

0.01

0.001 1.E+02

Second pressure derivative curve

1.E+03

1.E+04

1.E+05

t

1.E+06

1.E+07

1.E+08

D

Fig. 5.9. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera con escape parcial y valores de conductividad adimensional escalable negativos (frontera de flujo)

P D , t D*P D' and (t D*PD ')'

100

10

Pressure curve

τ

Pressure derivative curve 1

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

0.1

0.01

0.001 1.E+02

Second pressure derivative curve

1.E+03

1.E+04

1.E+05

t

1.E+06

1.E+07

1.E+08

D

Fig. 5.10. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera parcialmente sellante y valores de conductividad adimensional escalable positivos (frontera de no flujo)


252

τ = 1 − FCD

(5.15)

donde 0 ≤ τ ≤ 1. Los valores positivos indican la presencia de barreras de no flujo. Un valor de cero indica que no hay falla/frontera, entonces la permeabilidad en ambos lados de la frontera es la misma. Note que cuando τ = 0, FCD = 1, y cuando τ = 1, FCD =0 indican que la barrera tiene una permeabilidad de cero.

τ = 3.173803

(t * ∆P ') '2 x − 0.0015121 (t * ∆P ') r

τ = 1.01338389

(t * ∆P ')r 2 − 1.0146535 (t * ∆P ')r

5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO 5.5.1. Con Flujo Cruzado La Fig. 5.11 ilustra las bondades de estos sistemas. El comportamiento de la presión transiente de un yacimiento de varias capas con flujo cruzado es el mismo que el de un sistema homogéneo equivalente, con una transmisibilidad total aritmética: n ⎛ kh ⎞ ⎛ kh ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ i = 1, 2, 3,..., n ⎝ µ ⎠t i =1 ⎝ µ ⎠i

(5.16)

Y el almacenamiento total aritmético: n

(φ ct h )t = ∑ (φ ct h )i

(5.17)

i =1

5.5.2. Sin Flujo Cruzado Este tipo de yacimientos están también referidos a sistemas compuestos, en los cuales las capas solo se comunican a través de la cara del pozo, como lo muestra la Fig. 5.12.

a. Comportamiento Declinación de Presión La caída de presión a tiempos tempranos en un sistema de 2-capas produce una porción de línea recta en el gráfico semilog de PD vs. tD, Fig. 5.13, donde: PD =

(kh)t

141.2qµB

(P − P ) i

wf


(5.18)

253

k1, φ1, h1 k2, φ2, h2 k3, φ3, h3

Fig. 5.11. Sistema de Tres Capas con Flujo Cruzado

k1, φ1, h1

k2, φ2, h2

Arenisca

Arenisca eable im perm Barrera

Fig. 5.12. Sistema de Dos Capas sin Flujo Cruzado


254

18 16 14

h1/h2 = 1 (φ µ ct)1/(φ µ ct)1 = 1 re/rw = 2000

k1/k2 = 100 k1/k2 = 10 k1/k2 = 2 k1/k2 = 1

12 10 8 6

Approximate end of infinite acting period

4 2 0 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

0 . 0002637 ( kh ) t t tD = (φ c t h ) t µ rw2

Fig. 5.13. Comportamiento del declinación de presión adimensional para un pozo en el centro de un yacimiento de varias capas, cerrado, circular y compuesto

Aplanamiento

Presión

Periodo de almacenamiento

Presión Promedia del yacimiento

Recta Semilog

C

E Incremento Final de la presión

D

B

A

Log (Tiempo de cierre) Fig. 5.14. Presión de restauración teórica para un pozo sencillo ideal, multicapas, en un yacimiento de frontera cerrada


255

⎡ 0.0002637(kh )T ⎤ tD = ⎢ ⎥t 2 ⎣ (φct h )t µ rw ⎦

(5.19)

(kh)t = (kh) 1+ (kh)2

(5.20)

(φc h )t = (φc h ) + (φc h ) t

t

1

t

2

(5.21)

De acuerdo a la Fig. 5.13, nada distingue la curva declinación de presión a la del de una sola capa, yacimiento homogéneo, teniendo las propiedades promedio del sistema de varias capas. La pendiente de la línea recta puede ser usada para determinar (kh)t y el factor de daño promedio con las ecuaciones de declinación de presión normal. La inclinación hacia arriba es causada por los efectos de frontera. Después de un gran tiempo de producción, las condiciones de estado pseudo estable prevalecen y el comportamiento de la presión será lineal con el tiempo.

b. Comportamiento en Restauración de Presión La Fig. 5.15 muestra una sección de línea recta inicial BC con pendiente: m=

162.6qµB (kh)t

(5.22)

la cual, puede ser usada para estimar el producto total (kh). El achatamiento de CD puede ser observado solo en el caso de un yacimiento de dos-capas con contraste pequeño en espesor o porosidad. Los métodos no son favorables para analizar la segunda pendiente.


256

6. PRUEBAS MULTIPLES 6.1. GENERALIDADES La forma más simple de pruebas de interferencia involucra dos pozos: un productor (o inyector) y un pozo de observación. La idea general es Producir en un pozo y observar la caída de presión en otro. Pruebas de multinterferencia usualmente involucra un productor (o inyector) y varios pozos de observación. Para realizar una prueba de interferencia, todos los pozos involucrados se cierran hasta estabilizar sus presiones de fondo. Luego, se bajan las herramientas de registro de presiones en el pozo de observación y se abre el productor (o inyector) a producción (inyección). Si existe interferencia, se registra una caída de presión en el (los) pozo(s) de observación dentro de una longitud de tiempo razonable. La mayoría de las pruebas múltiples se efectúan en yacimientos cerrados. Las pruebas múltiples se llevan a cabo por un número de razones: • • • •

Buscar conectividad y/o continuidad del yacimiento Detectar permeabilidad direccional y otras heterogeneidades Estimar volumen del yacimiento Orientación de Fracturas hidráulicas

Para un sistema de dos pozos:

rinv = 0.029

kt φ µ ct

(6.1)

El daño en el pozo activo no afecta la presión en el pozo de observación. Hay dos tipos de pruebas: De interferencia y de pulso.

6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA Estas se usan para determinar: a) Conectividad del yacimiento. Transmisibilidad b) Dirección de los patrones de flujo. Esto se hace mediante apertura selectiva de pozos alrededor del pozo cerrado o en observación. c) Capacidad de almacenaje (factor de almacenaje) = st = φ ct h d) Determinación de la naturaleza y magnitud de la anisotropía. Se halla la permeabilidad del yacimiento en todas sus direcciones y la dirección, θ, del ángulo de anisotropía.


257

Pozo activo (inyector o productor)

Pozo de observación (Preferiblemente cerrado)

Fig. 6.1. Representación esquemática de una prueba de interferencia

Pozo de observación # 3 Pozo de observación # 2

Pozo de observación # 1 Pozo activo

Fig. 6.2. Representación esquemática de la medida de la anisotropía En yacimientos con contactos fluido-fluido, por ejemplo capa de gas, en la región de interferencia, las pruebas múltiples podrían dar resultados erróneos o ilógicos debido a las diferentes propiedades de los fluidos en las regiones.

6.2.1. Método de Earlougher a) Dos pozos: Uno activo (inyector o productor) y el otro de observación preferiblemente cerrado. La presión en el pozo de observación es:

Pws = P1hr + m log t

(6.2)

Cuando t = 1 hr, Pws ≈ P1hr ≈ Pi para yacimientos nuevos. La Ec. (6.2) es válida si tD/rD2 > 100 (x < 0.0025). Siendo r la distancia entre pozos. La restricción de tD/rD2 > 100 se aplica con un error del 1 %.


258

A t = 1hr, Pws = P1hr ≈ Pi

P ws

Para yacimientos nuevos

1 hr

log t

Fig. 6.3. Gráfico semilog de una prueba de interferencia

Pozo activo

Pozo de observación

h2 h1

Ocurre primero reflexión en la frontera inferior donde esta el pozo activo

Fig. 6.4. Reflexión de la onda en un sistema de espesor variable t D 0.0002637 kt = rD2 φ µ ct r 2

(6.3)

Cuando se grafica Pws vs. log t, se debería obtener una línea recta de cuya pendiente y corte se obtiene la transmisibilidad y la porosidad. La transmisibilidad, T, se halla de:

T=

kh

µ

=

162.6q β m


(6.4)

259

⎛ ⎞ k P1hr = Pi + m ⎜ log − 3.2275 ⎟ 2 φµ ct r ⎝ ⎠ Note que el factor de daño no aparece en esta ecuación puesto únicamente hay flujo de fluidos en el pozo activo y no en el pozo de observación. Sin embargo, se presentan excepciones cuando el pozo está muy estimulado. El almacenamiento también es minimizado en las pruebas múltiples pero no del todo. ⎡

T ⎢2.302 St = φ ct µ = 2 e ⎣ r

Pi − P1 hr ⎤ − 7.41316 ⎥ m ⎦

(6.5)

b) Dos pozos: ambos cerrados

Pws = Pi + m log

t + ∆t ∆t

(6.6)

t es el tiempo total de producción en el pozo activo. Efectúe un gráfico Horner y de la pendiente obtenga la transmisibilidad:

T=

162.6qB m

Calcula el factor de almacenaje de: ⎡

T ⎢2.302 St = 2 e ⎣ r

pi − pwf ( ∆t = 0) m

⎤ ⎛ 1⎞ − ln ⎜1+ ⎟ − 7.41316 ⎥ ⎝ t⎠ ⎦

(6.7)

6.2.2. Método de Ramey Dos pozos: Uno activo (productor o inyector) y el otro de observación preferiblemente cerrado. Procedimiento: 1) Grafique ∆Pws = Pi - Pws (pozo de observación) vs. tiempo de prueba y obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la Fig. 1.10. 2) Tome cualquier punto conveniente y lea las coordenadas: (PD)M, (tD/rD2)M, ∆PM, tM 3) Halle transmisibilidad ;


260

Pozo activo (inyector o productor)

Pozo de observación (Preferiblemente cerrado)

ESTE POZO SE CIERRA

Fig. 6.5. Caso b: ambos pozos cerrados

T = 162.6qB

PDM ∆PM

(6.8)

4) Calcule St; St = 0.0002637

T tM r 2 ⎛ tD ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ rD ⎠ M

(6.9)

Limitaciones: a) rD > 20 (ver Fig. 1.9) b) (tD/rD2) > 50 ó 100

6.2.3. Método de Tiab y Kumar P’m = el máximo valor de la derivada de presión en el pozo de observación el cual está colocado a una distancia r del pozo activo. Unidades psi/hr. tm = Es el tiempo al cual ocurre P’m, hrs

Procedimiento: 1) Obtenga ∆P vs. tiempo en el pozo de observación que preferiblemente está cerrado. 2) Calcule P’ = ∆(∆P)/∆t = cambio de ∆P/cambio en tiempo de prueba 3) Grafique P’ vs. t en log-log, ver Fig. 6.6. 4) Calcule St;

St = 0.0274

qβ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ r 2 ⎝ p 'm ⎠ Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

(6.10)

log P'

261

P'm

tm log t

Fig. 6.6. Gráfico log-log de la derivada

p'

p'm punto de inflexión

tm to

t

Fig. 6.7. Gráfico cartesiano para determinar el punto de inflexión 5) Calcule la transmisibilidad, T

T = 948St r 2

1 tm

(6.11)

Cuando por efectos de ruido es muy difícil obtener el P’ entonces se gráfica en cartesiano.


262

Seleccione el punto de inflexión. La pendiente es P’m. Extrapole la recta y lea el valor de to. 6) Verifique y chequee resultados:

T = 382.2 St r 2

1 to

(6.12)

EJEMPLO Durante una prueba de interferencia fueron producidos 3125 STB de petróleo por el pozo A. La respuesta de la presión fue observada en el pozo B, 138 ft lejos del pozo A por 300 horas. Entonces, el pozo A fue cerrado también y la respuesta de la presión fue observada en el pozo B para 100 horas. Adicionalmente se dan los siguientes datos del yacimiento:

µ = 1.3 cp Pi = 2600 psia ct = 16x10-6 /psi

B = 1.14 bbl/STB ρ = 56.4 lbm/ft3 Vu = 0.00697 bbl/ft

h = 31 ft s = -2.2 (well A)

Los datos de tiempo y presión de prueba están dados en las tablas 6.1 y 6. 2. 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando: A) El método de Earlougher a) Pozo A es activo b) Pozo A está cerrado B) El método de Tiab y Kumar C) Mostrar que los efectos del almacenamiento en la cara del pozo no son importantes en el pozo A. Tabla 6.1. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Activo) Tiempo Prueba, hr 1.1 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 7.5

Respuesta de la presión, psia 2595.6 2593.5 2591.4 2590.0 2587.5 2585.0 2583.0 2579.0

Tiempo Prueba, hr 10 15 25 35 60 100 150 300

Respuesta de la presión, psia 2575.5 2571.0 2565.0 2561.0 2555.0 2549.0 2543.5 2530.0


263

Tabla 6.2. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Cerrado) Tiempo de prueba, hr 1.0 2.0 3.5 5.0 7.0 10.0 15.0 25.0 40.0 60.0 100.0

Respuesta de la presión, psia 2541.0 2544.0 2547.0 2551.0 2555.0 2559.0 2563.5 2569.0 2574.0 2577.0 2580.0

t1+∆t)/∆t 301.00 151.00 86.71 61.00 43.86 31.00 21.00 13.00 7.50 6.00 4.00

Tabla 6.3. Derivada de presión y datos postflujo

Tiempo, P, psi ∆P, psi P', psi/hr qaf, STB hr 1.1 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 7.5 10.0 15.0 25.0 35.0 60.0 100.0 150.0 300.0

2595.6 2593.5 2591.4 2590.0 2587.5 2585.0 2583.0 2579.0 2575.5 2571.0 2565.0 2561.0 2555.0 2549.0 2543.5 2530.0

4.40 6.50 7.60 10.00 12.50 15.00 17.00 21.00 24.50 29.00 35.00 39.00 45.00 51.00 56.50 70.00

4.00 5.25 4.20 2.80 5.00 2.50 2.00 1.60 1.40 0.90 0.60 0.40 0.24 0.15 0.11 0.09

1.498947 1.967368 1.573895 1.049263 1.873684 0.936842 0.749474 0.599579 0.524632 0.337263 0.224842 0.149895 0.089937 0.056211 0.041221 0.033726

qaf/q 0.0060 0.0079 0.0063 0.0042 0.0075 0.0037 0.0030 0.0024 0.0021 0.0013 0.0009 0.0006 0.0004 0.0002 0.0002 0.0001

SOLUCION 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando A) El Método de Earlougher: a) El pozo A está activo.


264

2600

m

P ws, psi

2580

=25 .5 18

2560

ps i/c icl o

2540

2520 0.1

1

10

100

1000

Tiempo, hrs

Fig. 6.8. Gráfico semilog de Pws vs. t Es necesario construir un gráfico en semilog de Pws vs tiempo (ver Fig. 6.1). En este gráfico, se traza una línea recta cuya pendiente, m = -25.517. Puesto que 3125 STB de petróleo fueron recuperados durante 300 horas de producción, entonces la rata de flujo, q, es 250 BPD. Entonces, la permeabilidad es calculada usando la Ec. 6.4: k=−

162.6qµB 162.6(250)(1.3)(1.14) = = 76.15 md mh (25.518)(31)

Usar la Ec. 7.5 para estimar la porosidad:

φct =

⎫ ⎧ 2.302⎛⎜⎝ Pi − P1hr ⎞⎟⎠ k exp − 7.4316⎬ ⎨ 2 µr m ⎭ ⎩

Mediante un análisis de regresión lineal se encuentra que P1hr = 2600.53 psi, entonces: φ=

⎧ 2.302⎛⎜⎝ 2600 − 2600.53⎞⎟⎠ ⎫ 76.15 − 7.4316⎬ = 12.17 % exp⎨ −6 2 − 25.518 (1.3)(138 )(16 × 10 ) ⎩ ⎭

b) El pozo A está cerrado La Fig. 6.2 presenta una gráfica en semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t. De la línea recta, se tiene: m = -26.749 y P1hr = 2532.55 psia. • Usar la Ec. 6.4 para calcular la permeabilidad


265

2580

2570

6 =2 m 49 .7

P ws, psi

o icl i/c ps

2560

2550

2540

P1hr = 2532.55 psi 2530 1

10

t 1 + ∆t

100

1000

∆t

Fig. 6.9. Gráfico semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t 10

P'm = 5.25 psi/hr

P', psi/hr

1

0.1

tm = 1.5 hrs 0.01 1

10

100

t, hrs

Fig. 6.10. Gráfica de la Derivada de Presión k=

162.6(250)(1.3)(1.14) = 72.65 md (26.749)(31)

• La porosidad es determinada por medio de la Ec. 6.5;

φ ct =

[

]

⎛ ⎧ 2.302 P1hr − Pws ( ∆t =0 ) ⎫ ⎜ k 1 ⎞⎟⎟ ⎜1 + − − 7.4310⎬ exp ln ⎨ 2 ⎜ ⎟ ⎜ µr m t1 ⎟⎠ ⎝ ⎩ ⎭


1000

266

φ=

⎛ ⎧ 2.302[2532.55 − 2530] ⎫ 72.65 1 ⎞⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − 7.4310 ⎬ = 9.84 % exp − ln 1 + ⎨ 2 ⎜ ⎟ (1.3)(138 ) − 26.749 300 ⎠ ⎝ ⎩ ⎭

B) Método de Tiab y Kumar • • • •

Obtener ∆P vs tiempo (ver tabla 6.3) Calcular la derivada de presión, P' Graficar la derivada de presión vs tiempo en escala log-log, ver Fig. 6.10, de esta P'm = 5.25 psia y tm = 1.5 hr Usar la Ec. 6.10 para estimar la porosidad

φ = 0.0274 •

qB hr 2ct

⎛ 1 ⎞ (250)(1.14) ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = 0.0274 ⎜⎜ ⎟ = 15.74 % 2 −6 ⎜ (31)(138 )(16 ×10 ) ⎝ 5.25 ⎠ ⎝ P 'm ⎠

Estime la permeabilidad de la Ec. 6.11;

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ k = 948φct µr 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = 948(0.1574)(16 × 10 −6 )(1.3)(1382 )⎜ ⎟ = 39.4 md ⎝ 1.5 ⎠ ⎝ tm ⎠

Note que la gráfica de la derivada presenta cierto ruido, entonces se recomienda suavizar la gráfica antes de desarrollar los cálculos.

C) Mostrar que el efecto de almacenamiento en la cara del pozo no es importante en el pozo A Cuando qaf/q < 0.01 se puede concluir que el postflujo o el almacenamiento en la cara del pozo no está afectando los datos de presión. Para calcular qaf, se usa el siguiente procedimiento: q af =

24C dPws B d∆t

(6.13)

siendo; C = 144

Vu

ρ

= 144

0.00697 = 0.0178 bbl / psi 56.4

entonces; q af =

24(0.0178) 4 = 1.499 1.14


267

∆tc

Rata de flujo (Pozo pulsante)

∆tp

pulsos

1

2

4

5

6

l so

pu

l so

5

4

3

2

o puls

pu

pulso

o1 puls

t1

3

Presión observada

t L1 ∆P2 q

∆tp

∆P1 q

t1

s e lo ta d s e pu Res s lso Tren espu tablecid o

tiempo

Fig. 6.11. Nomenclatura de las pruebas de pulso Valores adicionales son mostrados en la tabla 6.3. En esta tabla, se puede notar que la condición qaf/q < 0.01es siempre cumplida, por tanto los efectos de almacenamiento en la cara del pozo no son importantes.

6.3. PRUEBAS DE PULSO Está técnica usa una serie de pulsos cortos de la rata de flujo. Los pulsos son periodos alternantes de producción (o inyección) y cierre con el mismo caudal en cada producción. La respuesta de presión a los pulsos se mide en el pozo de observación. La principal ventaja de las pruebas de pulso estriba en la corta duración del pulso. Un pulso puede durar unas horas o unos pocos días, lo cual interrumpe la operación normal ligeramente comparado con las pruebas de interferencia. tL (time lag), es el tiempo entre el fin de el pulso y el pico de presión causado por el pulso. ∆P, (amplitud). La distancia vertical entre la tangente a dos puntos picos consecutivos y la línea paralela a esa tangente en el pico del pulso a medir.


268

∆tc, Ciclo del pulso. Tiempo desde el arranque hasta el fin del periodo de flujo. ∆tp, Periodo de cierre. La convención de signos para ∆P es: 1. ∆P > 0 si q > 0 (pozo productor activo) , ∆P/q > 0 2. ∆P < 0 si q < 0 (pozo inyector activo), ∆P/q > 0 3. ∆P < 0 para picos impares 4. ∆P > 0 para picos pares

6.3.1. Método de Kamal – Birgham Procedimiento: 1) Grafique ∆P/q vs. t en papel cartesiano 2) De este gráfico obtenga el tL, ∆tc y ∆tp. 3) Calcule la relación tL/∆tc y F’= ∆tp/∆tc. 4) Halle [∆PD(tL/∆tc)2] de las Figs. 6.12.a a la 6.12.d, que corresponde a F’ y tL/∆tc del paso 3. (NOTE: Al-Khalifah, A. A., Al-Hashim, H. S. and Menouar, H. K. Revised Pulse Testing Correlation Charts. SPE paper 14253, presented at the 60th Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers held in Las Vegas, Sept. 1985, hallaron error en las ecuaciones de Kamal – Birgham y desarrollaron nuevas ecuaciones y cartas). 5) Calcule la transmisibilidad, T T=

[

. β 1412 2 ∆PD ( t L / ∆tc ) ⎛ ∆p ⎞ 2 ⎜ ⎟ ( t L / ∆t c ) ⎝ q⎠

]

(6.14)

Analice todos los valores puesto que el primero puede estar afectado por WBS. 6) Determine tLD/rD2, tiempo lag dimensional, de las Figs. 6.13.a a 6.13.d correspondiente a F’ y tL/∆tc obtenido en el paso 3. 7) Calcule St;

⎛T ⎞ t St = 0.000263⎜ 2 ⎟ L ⎝ r ⎠ ⎛ t LD ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ rD ⎠

(6.15)

En el pozo de observación los efectos de almacenamiento se incrementan con el tiempo lag y tienden a reducir la amplitud de los primeros pulsos. Sin embargo si r>32(C/St)0.54 entonces los efectos de almacenamiento en el pozo de respuesta en menos del 5 % de incremento del tiempo de transición y no afectará la amplitud.


269

Amplitud de respuesta del pulso, ∆P D [t L/∆t c]

2

0.00325 0.00300

Primer pulso impar

F'=0.7

0.00275 0.00250 0.00225

F'=0.6 0.00200

F'=0.4

0.00175 0.00150

F'=0.8

0.00125 0.00100

F'=0.3

0.00075 0.00050

F'=0.1

F'=0.2

0.00025 0.00000 0.01

0.1

F'=0.9

1

Tiempo de transición, tL /longitud del ciclo, ∆tc

Fig. 6.12.a. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el primer pulso impar 0.00450 2


F'=0.3

Primer pulso par 0.00400

F'=0.2

0.00350

F'=0.5

F'=0.4 0.00300

F'=0.1 0.00250

0.00200

F'=0.6

0.00150 0.00100

F'=0.8 0.00050

F'=0.7 0.00000 0.01

0.1

1


Fig. 6.12.b. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el primer pulso par


270


2

0.00450

0.00400

Todos los pulsos pares excepto el primero

F'=0.3

F'=0.2

0.00350

F'=0.5

F'=0.4

0.00300

F'=0.1 0.00250

0.00200

0.00150

F'=0.6 F'=0.7

0.00100

F'=0.8 0.00050

0.00000 0.01

0.1

1


Fig. 6.12.c. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos pares excepto el primer Amplitud de respuesta del pulso, ∆P D [t L/∆t c]

2

0.0040

0.0035

Todos los pulsos impares excepto el primero

F'=0.7

0.0030

F'=0.6

F'=0.8

0.0025

F'=0.4 0.0020

0.0015

F'=0.5

0.0010

F'=0.3 0.0005

F'=0.2 0.0000 0.01

0.1

F'=0.9

1


Fig. 6.12.d. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos impares excepto el primer


271

0.8

Tiempo de transición adimensional (t LD / r D)2

Primer pulso par

F'=0.1

0.7

F'=0.2 0.6

0.5

F'=0.4 0.4

F'=0.3 0.3

F'=0.5

F'=0.6 F'=0.7 0.2

F'=0.8 0.1 0.01

0.1

1


Fig. 6.13.a. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso par 0.7

F'=0.9


Primer pulso impar 0.6

0.5

F'=0.8

0.4

F'=0.7 F'=0.6 0.3

F'=0.5 F'=0.4

F'=0.3 F'=0.1

0.2

F'=0.2

0.1

0 0.01

0.1

1


Fig. 6.13.b. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso impar


272


0.8

Todos los pulsos pares excepto el primero

F'=0.1

0.7

F'=0.2 0.6

0.5

F'=0.4 0.4

F'=0.3

0.3

F'=0.5 F'=0.6

0.2

F'=0.7 F'=0.8

0.1 0.01

0.1

1


Fig. 6.13.c. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos pares excepto el primero


0.7

Todos los pulsos impares excepto el primero

F'=0.9

0.6

0.5

0.4

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6

0.3

F'=0.5 F'=0.4 F'=0.3 F'=0.2

0.2

0.1 0.01

0.1

1


Fig. 6.13.d. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos impares excepto el primero


273

0.014

500

y = 0.0014222 x + 0 .0072222 450

t L1=0.55

0.012

∆p/q, psi/BPD

350

∆P3 q

0.008

∆P2 q

0.006

300

250

∆P1 q

200

y = 0.00096 x + 0.0014

0.004

Rate de flujo, BPD

0.010

400

t L2=0.47

150

y = 0.0016 x

t L2=-0.08

100 0.002

50

0.000

0 0

1

2

3

4

5

6

Tiempo, hrs

Fig. 6.14. Gráfico de la Prueba de Pulso Tabla 6.4. Datos de la Prueba de Pulso

t, hr ∆P(psi) 0.25 0.175 0.50 0.560 0.75 1.400 1.00 2.625 1.25 3.150 1.50 2.940 1.75 1.890 2.00 1.400 2.25 1.260 2.50 1.505

∆P/q 0.0005 0.0016 0.0040 0.0075 0.0090 0.0084 0.0054 0.0040 0.0036 0.0043

t, hr ∆P(psi) 2.75 1.925 3.00 2.975 3.25 3.850 3.50 4.270 3.75 4.060 4.00 3.360 4.25 2.590 4.50 2.100 4.75 2.100 5.00 2.555

∆P/q 0.0055 0.0085 0.0110 0.0122 0.0116 0.0096 0.0074 0.0060 0.0060 0.0073

EJEMPLO Los datos de la respuesta de la presión dados en la tabla 6.4 fueron obtenidos de un pozo productor durante una prueba múltiple. Datos adicionales concernientes a esta prueba son mostrados a continuación:

µ = 2.8 cp -6

ct = 12x10 /psi

B = 1.20 bbl/STB h = 30 ft C = 0.002 bbl/psi en el pozo de observación


274

Periodo de cierre = 0.7 hr Distancia entre pozos = 140 ft 1) 2) 3) 4)

Periodo de pulso = 1.63 hr Rata de flujo = 350 STB/D

Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explicar la diferencia. Comente el efecto de almacenamiento en esta prueba.

SOLUCION Para el Pulso 1: En la Fig. 6.14, una línea recta desde (0,0) hasta (2.25, 0.0036) ha sido dibujada. Puesto que la forma general de una ecuación de línea recta es: y - y1 =

y 2 - y1 ( x - x1 ) x 2 - x1

Aplicando esta ecuación, se tendrá;

y = 0.0016 x . ∆P1/q es igual a la distancia entre los puntos (1.25, 0.002) y (1.25, 0.009): ∆P1 = ( x 2 - x1) 2 + ( y 2 - y1) 2 q ∆P1/q = 0.007041 ∆tC1 = 2.33

tL1 = 0.55 ∆tp1 = 0.7

Para el Pulso 2: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (1.25,0.009) hasta (3.5, 0.0122), la ecuación de la línea recta será:

y = 0.0014222 x + 0.0072222 . ∆P2/q es igual a la distancia entre los puntos (2.25, 0.0036) y (2.25, 0.01042): ∆P2/q = 0.0066992 psi/BPD ∆tC2 = 2.33 hrs

tL2 = -0.0799 hr ∆tp2 = 0.7 hrs

Para el Pulso 3: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (2.25,0.0036) hasta (4.75, 0.006), la ecuación de la línea recta será:

y = 0.00096 x + 0.0014 . ∆P3/q es igual a la distancia entre los puntos (3.25, 0.004836) y (3.5, 0.0122): ∆P3/q = 0.007455 ∆tC3 = 2.33

tL3 = 0.47 ∆tp3 = 0.7


275

1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la relación tL/∆tC y F' = ∆tp/∆tC tL/∆tC = 0.47/2.33 = 0.2017 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.c. [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0033. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14: k=

141.2 µ B

( ∆p / q )( tL / ∆tc )

2

⎡ ∆pD ( t L / ∆tc )2 ⎤ = 141.2(2.8)(1.2)(0.0033) = 173.4 md ⎦ (0.0033)(0.2017 2 )(30) h⎣

2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d). Determinar el time lag adimensional, tLD/rD², de la figura 6.13.c usando tL/∆tC y F'. Entonces, tLD/rD² = 0.52. Estimar la porosidad usando la Ec. 6.15: φ ct =

tL 0.0002637 k 0.0002637(68.29)(0.47) = = 2.5 % 2 2 (2.8)(140 )(12 ×10−6 )(0.52) µ r 2 ct ( tLD / rD )

3) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explique la diferencia.

Para el Pulso 1: tL/∆tC = 0.55/2.33 = 0.236 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.b. Entonces, [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0037. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14; k=

141.2(2.8)(1.2)(0.0037) = 283.9 md (0.0037)(0.2362 )(30)

Determinar el tiempo de transición adimensional, tLD/rD², de la Fig. 6.13.b usando tL/∆tC y F'. Esto es tLD/rD² = 0.26. Ahora, estimar la porosidad usando la Ec. 6.15 φ=

0.0002637(55.98)(0.55) = 4.75 % (2.8)(1402 )(12 × 10−6 )(0.26)

Para el Pulso 2: Puesto que el time de transición, tlag, es negativo (ver Fig. 6.14), lo cual implica que la presión está empezando a incrementar después del cierre del pozo,


276

como lo muestra el gráfico. Este comportamiento no es físicamente lógico y puede ser causado por algún error ocurrido durante la prueba. 4) Comente sobre el efecto de almacenamiento en esta prueba. En el primer pulso, la permeabilidad fue afectada un 63.7 % y la porosidad fue afectada un 88 %. Esto fue debido a un incremento en tL y una reducción en el valor de la amplitud del pulso. tL1 = 0.55 tL3 = 0.47

∆P1 = 0.007041 ∆P32 = 0.007455

Estos cambios son causados por el efecto de almacenamiento.


277

7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS En estos yacimientos, se observan dos tipos diferentes de porosidad. La matriz tiene menor permeabilidad y su porosidad es pequeña comparada con la de las fracturas, la cual también tiene alta permeabilidad. Sin embargo, existen casos donde la matriz tiene porosidad y permeabilidad con valor cero, entonces el flujo solo ocurre desde las fracturas. Este tipo de comportamiento se presenta en yacimientos con rocas ígneas o metamórficas. Los yacimientos naturalmente fracturados tienen fracturas con permeabilidad, kf y porosidad, φf y una matriz con permeabilidad, km y porosidad, φm. Algunos yacimientos funcionan como si estos fueran naturalmente fracturados, pero éstos realmente no lo son. Este es el caso de canales disueltos, capas interestratificadas con permeabilidad diferente (dolomitas interestratificadas con calizas las cuales tienen menos densidad o areniscas interestratificadas con otras limolitas y areniscas de grano fino). Sin embargo, los modelos fracturados naturalmente pueden ser aplicados a estos tipos de yacimientos. En esta clase de yacimientos fracturados naturalmente, los dos tipos diferentes de porosidad son encontrados como se muestra en el lado izquierdo de la figura 7.1.c. Una muy baja porosidad, presentada en los poros finos y otra alta porosidad representada por fisuras, cavidades y fracturas. Los yacimientos fracturados naturalmente son heterogéneos. La idea de un canal homogéneo ocurre fuera de la realidad. No obstante, la roca es fracturada homogéneamente, la precolación del agua del agua causa depositación mineral, la cual reduce la permeabilidad o tapona completamente los canales del fluido. Por lo tanto, las fracturas de carácter homogéneo cambian con el tiempo y se obtiene una roca heterogénea. La porosidad de la fractura es rara vez mayor al 1.5 o 2 %. Usualmente, esta es menor que el 1 %. La capacidad de almacenamiento de la fractura, Sf = φfcfhf, es muy pequeña, debido a que φf es pequeña y hf es extremadamente baja. En contraste, kf es muy alta. La capacidad de almacenamiento de la matriz, Sm = φmcmhm, es mayor que La capacidad de almacenamiento de la fractura. Normalmente, la permeabilidad de la matriz es menor que la permeabilidad de la fractura. Si estas tienen el mismo valor, el sistema se comporta como homogéneo y sin fractura. Si la permeabilidad de la matriz es cero y las fracturas son fortuitamente distribuidas, el sistema tiene un comportamiento homogéneo. Sin embargo, si la permeabilidad de la matriz es cero, pero las fracturas tienen una dirección preferencial, entonces se tiene flujo lineal. Además, si la permeabilidad de la matriz es pequeña (usualmente menor que 0.01 md) y el yacimiento es


278

ampliamente fracturado, el sistema se comporta como homogéneo y sin fracturas. Desde el punto de vista de prueba de pozo, tres condiciones deben ser cumplidas para determinar si en realidad se trata de un yacimiento fracturado naturalmente. 1. La porosidad de la matriz es mayor que la porosidad de la fractura. 2. La permeabilidad de la matriz no es cero, pero su permeabilidad es mucho más pequeña que la permeabilidad de la fractura. 3. El pozo intercepta la fractura. Odeh examinó varios modelos teóricos y concluyó que los yacimientos fracturados (especialmente con porosidad secundaria) generalmente se comportan como yacimientos homogéneos. De acuerdo con Warren y Root, una gráfica de presión de cierre versus log (tp+∆t)/∆t producirá dos porciones de líneas rectas paralelas como se muestra en la Fig. 7.1.d. La primera porción de línea recta puede ser usada para calcular el producto total kh y el factor de daño por el método convencional de Horner. Note que P1hr es tomado de la segunda línea recta. La presión promedia del yacimiento se estima mediante la extrapolación de la segunda línea a (tp+∆t)/∆t = 1 para obtener P* y entonces usar técnicas convencionales. La distancia vertical entre las dos líneas rectas semilog, identificada como ∂P puede ser usada para estimar la relación φct producida en la fractura para el sistema total (capacidad de almacenamiento de la fractura): ⎛ ∂P⎞ ⎟ ⎝ m ⎠

ω = anti log⎜ −

(7.1)

De la ecuación anterior, si ∂P < 100, el parámetro de capacidad de almacenamiento puede contener muchos errores. Defina:

ω=

(φct ) f (φct ) f + (φct ) ma

El parámetro de flujo interporoso, λ, es directamente proporcional a la relación de permeabilidad de la matriz y la fractura.

λ∝

km kf

Si ω tiende a 0 y λ ≤ 1x10-9, toda la permeabilidad proviene de la fractura. El parámetro λ puede ser estimado por el método de Uldrich y Ershaghi (1979), usando las coordenadas del punto de inflexión del gráfico semilog de declinación de presión:


279

1

FDD FEID 0.1

ω 0.01

0.001 0.01

0.1

1

10

FEID or FDD

Fig. 7.1.a. Determinación de FEID ó FDD ⎛ Pwf − Pi ⎞ F + EID + 0.351 + 0.87 m ⋅ s ⎟ 2.303 ⎝ m ⎠

λ = −ω ln(ω )anti log ⎜

(7.2)

donde:

⎡ ln(ω ) ⎤ ⎡ ω ln(ω ) ⎤ − Ei ⎢ FEID = Ei ⎢ ⎥ ⎣ 1− ω ⎦ ⎣ 1 − ω ⎥⎦

(7.3)

FEID es la diferencia integral exponencial en el punto de inflexión y FDD es un factor usado para estimar ω de una prueba de declinación de presión cuando el último tiempo de extensión no es evidente. FDD =

2.303 ⎡⎣ Pwf −inf − ( Pwf −inf )early ⎤⎦ m

(7.4)

donde Pwf-inf es el valor de la presión en la inflexión y (Pwf-inf)early es la presión extrapolada al tiempo cercano de extensión en el punto de inflexión. Para una presión de restauración, el parámetro λ puede despejarse de la siguiente relación: ⎡ λ (∆tinf ) D ⎤ ω (1 − ω ) − [(t p ) D + (∆tinf ) D ]λ exp ⎢ ⎥ = ω (1 − ω ) − [(t ) + (∆t ) ]λω ω ⎣ ⎦ p D inf D


280

1.E+00

1.E-01

ω

1.E-02

∆ tinf t p + ∆ tinf

1.E-03

0.001 0.004

0.002 1.E-04 1.E-03

0.01

0.04

0.02

1.E-02

0.1

0.6

0.3

1.E-01

1.E+00

FB Fig. 7.1.b. Determinación de FB

Fractura Matriz Fractura

Matriz Caverna

Matriz

YACIMIENTO REAL

Fractura

SISTEMA IDEALIZADO

Fig. 7.1.c. Ilustración de un yacimiento fracturado naturalmente y su representación ideal


281

6500

6400

m

3

Shut-in pressure

6300

Extrapolate to P*

6200

m/2

6100

2

6000

1 5900

m

Extrapolate to P1hr

5800

5700 100000

10000

1000

100

10

(tp+∆t)/∆t

Fig. 7.1.d. Gráfico Horner para un yacimiento fracturado Esta ecuación puede ser reordenada de la siguiente manera:

λ (∆tinf ) D = FB

(7.5)

Así, teniendo FB, el parámetro λ puede ser obtenido del gráfico. El parámetro λ (parámetro de flujo interporoso) puede ser estimado fácilmente de los gráficos semilog usando la relación presentada por Tiab y Escobar (2203):

λ=

3792(φ ct )t µ rw2 k ∆tinf

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢ω ln⎜ ω ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣

(7.6)

donde ∆tinf es el valor del tiempo en el cual tiene lugar la inflexión. ω y λ son independientes de la presión. Las propiedades PVT pueden afectar la capacidad de almacenamiento. El parámetro de flujo interporoso es función de la capacidad de almacenamiento. De acuerdo a la Fig. 7.1.d, la porción lineal (sección 1), representa un flujo transiente radial a través de las fracturas. A partir de la pendiente, m, puede ser solucionada la permeabilidad de la fractura. Puesto que la permeabilidad de la fractura es pequeña, el depletamiento tiene lugar rápidamente, por lo tanto, la presión de pozo fluyendo y la presión de la fractura caen rápidamente. Esto hace que el fluido de la matriz fluya hacia las fracturas (sección 2). Esto causa una caída de la rata de declinación de presión del pozo. Finalmente, cuando a presión de la matriz alcanza la presión de la fractura, la contribución de la fractura desaparece y su comportamiento es debido a la contribución de la matriz. Si las líneas de la sección 1 y 3 no son paralelas, entonces una frontera del yacimiento ha sido detectada. Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

282

El periodo de transición, sección 2, se debe a: A. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión matriz-fractura (Warren y Root, 1963) – modelo de estado pseudo estable. Caso especial del caso C. B. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión promedio en toda la matriz (Streltsova, 1988). Modelo de gradiente de presión. C. La rata de flujo bajo comportamiento de estado inestable es función de la caída de presión en toda la matriza (Kazemi, 1969, deSwann, 1976 y Najurieta, 1980). Modelo de estado instable.

EJEMPLO Asumiendo que los valores siguiente son leídos de la Fig. 7.1.d, encontrar la fracción del volumen poroso total proporcionados por las fracturas y la porosidad de la fractura. Del gráfico semilog m = 300 psi/ciclo. Información adicional:

λ (∆tinf ) D = FB

(7.5)

∂P = 285 psi φma = 4.3 % (ct)ma = 1.5x10-6 psi (ct)f = 3x10-4 psi

SOLUCION ⎛ ∂P⎞ ⎛ 285 ⎞ ⎟ = anti log⎜ − ⎟ = 0.1122 m ⎝ ⎠ ⎝ 300 ⎠


0.1122 =

φ f (3 × 10−4 ) φ f (3 ×10−4 ) + (0.043)(1.5 × 10−5 )

Entonces, la porosidad de la fractura es 2.72x10-2 %. El análisis clásico de yacimientos de doble porosidad está basado en un modelo continuo que considera propiedades promedio. Fuera del flujo a través de las fracturas, la ecuación de difusividad también incluye un término que tiene en cuenta el flujo en la matriz. Varios modelos tratan sobre la transferencia de fluido entre las fracturas y la matriz bloque. Kazemi propuso un modelo transiente el cual aplica para los siguientes regímenes de flujo de bloque interno: transiente, último transiente y estado semi pseudo estable (PSSS).


283

7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE Recientemente, el concepto de daño de interporosidad ha sido introducido al estudio de yacimientos naturalmente fracturados. Este resultó de la observación de la depositación de material en una capa delgada de baja permeabilidad o la alteración de la superficie de fractura causada por la precolación de agua a través de las fracturas. Este efecto es para inhibir y retrasar el soporte de los bloques de la matriz a los sistemas de fractura. La solución analítica (espacio Laplaciano) para la respuesta de la presión en un sistema de doble porosidad es: ~ P * fD =

(

K o rD s f ( s ) s s f ( s ) K1

(

)

s f (s )

)

(7.7)

s → tD En la cara del pozo, rD = 1. El parámetro Laplace f (s ) es función del tipo de modelo (PSSS o transiente) y la geometría del sistema de fractura. Las siguientes tres geometrías de bloque de matriz son consideradas: Lámina (capas) Palos de fósforos (cilindro) Cubo (esfera)

n=1 n=2 n=3

Siendo n el número de planos de fractura normal. Se recomienda reemplazar paralelepípedos rectangulares por cilindros y cubos por esferas ya que estos tienen relaciones volumen/superficie idénticas, entonces sus propiedades de difusión son muy parecidas. Los parámetros de flujo interporoso, λ, y de capacidad de almacenamiento o relación de capacidad, ω, son usados en el estudio de los sistemas de doble porosidad:

λ=

4n(n + 2) kmb rw2 k fb hm2

(7.8)

ω=

φ fb c f φ fb c f + φ mb cm

(7.9)

La función f (s ) excluye el daño de interporosidad para el modelo PSSS aplicado a las tres geometrías simplificadas es: f (s ) =

ω (1 − ω ) s + λ (1 − ω ) s + λ

(7.10)

Ahora, si el daño de interporosidad es tomado en cuenta, la función f (s ) será:


284

f (s ) =

sma =

ω (1 − ω ) s + λ /(1 + [n + 2]s ma ) (1 − ω ) s + λ /(1 + [n + 2]s ma )

2kmi hs hm ks

(7.11)

(7.12)

Si el parámetro de flujo interporoso aparente se define como:

λa =

λ

(7.13)

1 + [n + 2]sma

entonces, la ecuación 1.5 se convierte en: f (s ) =

ω (1 − ω ) s + λ / a (1 − ω ) s + λ / a

(7.14)

Las funciones f (s ) para el caso transiente incluyendo el daño de interporosidad para el modelos de capas o estratos: 1 λ 3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s tanh 3 s λ λ f (s ) = ω + ⎡ 3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s ⎤ 1 + sma ⎢ tanh ⎥ λ λ ⎣ ⎦

(7.15)

Para el modelo de palos de fósforos:

f (s ) = ω +

1λ 4s 1 + sma

8(1 − λ ) s I1 3(1 − λ ) s λ I o 3(1 − λ ) s 8(1 − λ ) s I1 3(1 − λ ) s λ I o 3(1 − λ ) s

(7.16)

Para cubos de azúcar: 1 λ 15(1 − λ ) s ⎧ 15(1 − λ ) s 15(1 − λ ) s ⎫ coth − 1⎬ ⎨ λ λ λ 8s ⎩ ⎭ f (s ) = ω + ⎫ ⎧ 15(1 − λ ) s 15(1 − λ ) s 1 + sma ⎨ coth − 1⎬ λ λ ⎭ ⎩


(7.17)

285

12

10

-7

λ=10

P wD

8

6

-6

-5

λ=10

-4

λ=10

4

λ=10

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

log tD

Fig. 7.1.e. Efecto de λ sobre el comportamiento de yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.01

7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Asumiendo que rD = 1, la declinación constante de la rata en la cara de la arena es rescrita de la Ec. 1.1 como: ~ ~ P * fD = P * fD ( s , ω , λ )

(7.18)

s → tD

Después de la inversión numérica de la transformada de Laplace, la ecuación anterior se convierte (sin considerar efectos de daño y almacenamiento) en:

~ P * fD = P* fD (tD , ω , λ )

(7.19)

Considerando efectos de daño y almacenamiento, se tiene: ~ PwD =

(

~ s PfD* + s

)

~ s 1 + CD s [ s + s PfD* ]

(7.20)

La inversión de la ecuación anterior puede ser escrita así: PwD = PwD (t D , ω , λ , CD , s )

(7.21)

Entonces, una vez que los cuatro parámetros en el paréntesis son conocidos, la inversión numérica puede ser usada para generar soluciones de PwD como una función de tD.


286

2.0

1.5

log P'wD

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-7

λ=10 -4

λ=10

-1.5

-5

λ=10

-6

λ=10

-2.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

log tD

Fig. 7.2. Efecto de λ sobre el comportamiento de la presión en yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.01 La Fig. 7.1.e es una reacción de la presión típica en sistemas de doble porosidad. Son observados tres aspectos principales: una primera línea recta, una zona de transición o inflexión y una línea recta final que tiene la misma pendiente que la primera. La primera línea representa solo el sistema de fractura y es muy corta y normalmente es difícil de detectar debido al efecto de almacenamiento. La ecuación para esta línea es: 1⎛ 4⎞ PwD = ⎜⎜ ln t D − ln ω + ln ⎟⎟ 2⎝ γ⎠

(7.22)

ó;

Pwf = Pi −

4k fb qBµ ⎛⎜ ln t + ln ⎜ 4π k fb h ⎝ φ fb c f µrw2γ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(7.23)

donde s = 0. La línea recta final representa el comportamiento de todo el sistema y está expresada como: PwD =

1⎛ 4⎞ ⎜⎜ ln t D + ln ⎟⎟ 2⎝ γ⎠

o;


(7.24)

287

1

0

01 0. ω=

-2

1 .00 ω =0 5 000 ω =0.

-1

001 ω =0.0

log P D'

ω =0.5 ω =0.2 ω =0.1 ω =0.05

ω =0.005

-3

-4 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db

Fig. 7.3. Curva tipo derivada unificada Pwf = Pi −

4k fb qBµ ⎛⎜ ln t + ln ⎜ 4π k fb h ⎝ [φ ct ]m+ f µrw2γ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(7.25)

Las dos líneas rectas están separadas por ln ω (un número negativo). El final teórico de la primera línea recta y el inicio de la línea recta final están dados, respectivamente, por:

(tD )e1l = 0.01ω (1 − ω )

(7.26)

λ

(t Db ) = tD

t Db

λ 4

=1

(7.27.a)

4n(n + 2)kmb rw2 = [φ ct ]m + f µrw2 4hm2 k fb k fbt

(7.27.b)

La Fig. 7.2 presenta una curva tipo para P’wD vs. tD. Note que la derivada presenta una pendiente característica o mínimo entre las dos líneas rectas de la derivada constante e igual. Este mínimo depende del valor de λ. Los valores de 4n(n+2) para las tres principales geometrías son:

Geometría Lámina (slab) Palos de fósforos/cilindro Cubo/esfera

4n(n+2) 12 32 60


288

0

log P D'

-0.2

ω =0.5 ω =0.1

-0.4

ω =0.001

ω =0.01

-0.6

ω =0.25

-0.8

-1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db

Fig. 7.4. Derivada logarítmica de presión de yacimientos con doble porosidad 3

2

log P D'

1

0

Sma=0 Sma=0.1

-1

Sma=100 Sma=1 Sma=5 Sma=10

Sma=50 Sma=20

-2

-3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

log t D

Fig. 7.5. Yacimiento con doble porosidad, flujo transiente con daño de interporosidad, bloques de matriz con forma laminada, ω=0.01 y λ=105 La Fig. 7.3 es una curva tipo de P’wD vs. tDb para diferentes valores de ω. Note que, ahora el mínimo aumenta cuando ω incrementa. Los datos de campo pueden ser ajustados con esta curva para obtener kbf, λ y ω. La pendiente unitaria no muestra el efecto de almacenamiento (note que la presión adimensional, PD, podría proporcionar una línea de pendiente unitaria). Esto se debe a la característica especial del sistema con Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

289

doble porosidad PSSS. A medida que ω disminuye en valor, la derivada en el mínimo se aproxima a cero. Para valores de ω menores que 0.001, la intersección de la línea de pendiente cero con el punto de inflexión y la línea recta final es expresada así:

(tDb )i = ⎛⎜ tD λ ⎞⎟ = ⎝

4⎠

1 4γ

(7.28)

7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD Lo mismo que para el modelo PSSS, la ecuación de presión sin considerar efectos de almacenamiento y daño puede ser expresada así: P*wD = P*wD (t D , ω , λ )

(7.29)

Aunque, los parámetros ω y λ son los mismos que en el modelo PSSS, la función Laplaciana, f (s ) varía para cada geometría. La Fig. 7.4 presenta el gráfico de derivada de presión para sistemas con doble porosidad. La deriva para valores pequeños de ω es muy diferente que la dada para el modelo PSSS. Igualmente, ajustar la curva tipo es una buena idea para obtener los parámetros de yacimiento desconocidos. Los tres modelos transitorios no pueden ser distinguidos solo de datos de pruebas de pozo. La Fig. 7.5 muestra el comportamiento de la presión cuando se considera daño de interporosidad en el modelo. Note que para Sma > 10 la forma de la curva de derivada de presión permanece constante –aunque se traslado a la derecha- y similar al caso de PSSS. El modelo de daño de interporosidad y el modelo PSSS producen resultados similares cuando:

λeff =

λ 1 + (n + 2) S ma

(7.30)

7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Las soluciones de rata constante incluyendo efectos de almacenamiento y daño se expresan así; PwD = PwD (t D , ω , λ , CD , s )

(7.31.a)

P'wD = P 'wD (t D , ω , λ , CD , s )

(7.31.b)

La solución está basada en las Ecs. 7.7 y 7.26 con la f (s ) apropiada dependiendo del modelo. El factor de daño se puede estimar de la pendiente semihilos que represente el


290

comportamiento de todo el sistema. A tiempos cercanos, el comportamiento de la presión sin efectos del almacenamiento es: PwD =

1 (ln t D − ln ω + ln 4γ + 2s ) 2

(7.32)

La Ec. 7.32 no es válida (ya que es inversión de la Ec. 7.20) si s < 0 y 2 s > ln t D − ln ω + ln 4γ

7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION La reacción a la presión de restauración es obtenida mediante superposición: PDs =

2π kh( Pi − Pws ) qBµ

PDs = PD (t p + ∆t ) D − PD (∆t ) D

(7.33)

(7.34)

Si la solución analítica para presión de declinación es solo disponible, entonces el tiempo de superposición requiere una inversión numérica para (tp+∆tD) y (∆tD), respectivamente. Definiendo la presión de restauración como Pws-Pwf(∆t=0) y la función de presión de restauración adimensional como: PDB =

2π kh( Pws − Pwf (∆t = 0) qBµ

PDB = PD (t p ) D + PD (∆t ) D − PD (t p + ∆t ) D

(7.35)

(7.36)

El análisis de presión de restauración es desarrollado mediante la graficación de PDB vs. log (∆te)D, donde: ∆t e =

t p ∆t

(7.37)

t p + ∆t

Cuando tp >> ∆t: PDB = PD (∆t ) D

(7.38)

∆te = ∆t

(7.39)


291

La reacción de la presión de restauración semilog dada por la expresión de la Ec. 7.37 o por la función de Horner (tp+∆t)/∆t está caracterizada por una línea recta inicial muy corta la cual es tenida en cuenta para el sistema de fractura y una línea recta final correspondiente al comportamiento combinado o total. En el caso de presión de declinación, existen varios criterios para el inicio, final e intersección de las líneas en términos de tDb. Estos criterios están incluidos en el comportamiento de la presión de restauración sí tDb es reemplazado por (∆te)Db.

[∆te ]Db = 4n(n + 2)km ∆t2e 4(φ ct ) m + f µhm

(7.40.a)

El inicio de la línea recta final tiene lugar cuando (∆te)Db =1 ó; 1=

4n(n + 2)k m ∆te 4(φ ct ) m + f µhm2

(7.40.b)

Para el comportamiento PSSS (caso presión de restauración): km 4(φ ct ) m+ f µ (t p + ∆tbts ) = hm2 4n(n + 2)∆tbts t p

(7.41)

En términos generales, los análisis de pruebas de pozo en sistemas con doble porosidad tienen las siguientes metas: confirmar el comportamiento de doble porosidad, determinación de las propiedades del sistema de fractura, kfbh y s, y la identificación de los parámetros ω y λ. El gráfico de la derivada es la principal herramienta para la identificación de yacimientos con doble porosidad. La derivada de la presión en el modelo PSSS está caracterizada por un mínimo distinto y una pendiente unitaria antes del periodo final. El transiente es reconocido mediante un mínimo no agudo en el periodo intermedio. Sin embargo, la gráfica semilog debería ser considerada puesto que la reacción de la presión de yacimientos naturalmente fracturados puede ser fácilmente confundida con la de un sistema multifásico, la cual presenta un cambio completo durante el almacenamiento, en lugar de un pico, causando un mínimo o una inclinación en la curva de la derivada de la presión. Analizando sistemas con doble porosidad, el primer paso consiste en ajustar los datos de campo con una curva tipo sin efectos de almacenamiento. kfbh puede ser obtenida del ajuste de presión y λ se puede estimar del ajuste del tiempo mediante:

λ=

(tDb )M 4µ (φ Ct )m + f rw2 kbf (t )M


(7.42)

292

Retomando que el parámetro λ se puede estimar del punto de inflexión, ∆tinf, se encontraron unos gráficos semilog usando las relaciones presentadas por Tiab y Escobar (2003):

3792(φ ct )t µ rw2 k ∆tinf

λ=

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢ω ln⎜ ω ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣

(7.43)

Si el almacenamiento es despreciable, entonces ω se puede estimar a partir de los parámetros ajustados. Para una mayor exactitud en la estimación de ω, se debe determinar primero CD analizando los datos más tempranos usando curvas tipo homogéneas convencionales. Entonces, se debe encontrar la curva tipo de porosidad doble adecuada que ajuste con el CD encontrado. Este procedimiento no se trabaja para valores muy grandes de λ y almacenamiento significativo. Stewart y Ascharsobbi simularon flujo radial colocando un pozo en un nodo central de una malla cuadrada mientras mantenían la presión constante, Pe, en los nodos situados por fuera del circulo de radio re. Para un sistema homogéneo la ecuación de flujo radial en estado estable está dada por: P(r ) − Pwf =

⎞ qµ ⎛ r ⎜⎜ ln + s ⎟⎟ 2π kr h ⎝ rw ⎠

(7.44)

entonces, un gráfico de P(r) vs. ln r produce una línea recta de pendiente, m, e intercepto b: m=

qµ 2π k r h

b = Pwf −

(7.45)

qµ ⎛ r⎞ ⎜⎜ s − ln ⎟⎟ 2π kr h ⎝ rw ⎠

(7.46)

por lo tanto: s=

b − Pwf m

+ ln rw

(7.47)

La permeabilidad promedio está relacionada con la permeabilidad de las fisuras por medio de: kr = k fb =

qµ w = k fi 2π mh hm


(7.48)

293

El factor de daño de flujo radial, s, está relacionado con el tamaño del bloque, hm, mediante: s=

π 2

− ln

hm rw

(7.49)

En pozos acidificados, sin embargo, las fracturas conectadas pueden poseer una mayor anchura. El factor de daño es entonces estimado por: s=

π⎛w⎞

3

h ⎜⎜ ⎟⎟ − ln m 2 ⎝ wc ⎠ rw

(7.50)

Cuando e pozo es situado en el centro de un bloque del modelo de palos de fósforos sin interceptar fracturas, un alto factor de daño positivo es estimado por: ⎛k ⎞ h s = ⎜⎜ fb − 1⎟⎟ ln m ⎝ km ⎠ 2rw

(7.51)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una fisura-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo Q-18 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.1. h = 242 ft Pwf = 1932 psi µ = 1.18 cp

rw = 0.29 ft tp = 408000 hrs (φ ct)m+f = 7.50x10-06 psi-1

q = 3629 STB/D B = 1.32 rb/STB km = 0.148 md

SOLUCION Esta prueba puede ser analizada usando el método convencional semilog de Horner. Una gráfica Horner es presentada en la Fig. 7.6. la capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la Ec. 7.1: ⎛ ∂P ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎟ = antilog⎜ − ⎟ = 0.305 ⎝ m⎠ ⎝ 31 ⎠

ω = antilog⎜ −

La Ec. 7.48 se utiliza para estimar kfb:


294

Tabla 7.1. Datos de presión de restauración, pozo Q-18 ∆t, hrs Pws, psi 0.0167 1948 0.0333 1958 0.0500 1961 0.0667 1963 0.1000 1966 0.1333 1969 0.2000 1971 0.3500 1976 0.5500 1981 0.7500 1984 0.9500 1987

(tp+∆t)/∆t 24431138.7 12252253.3 8160001.0 6116942.5 4080001.0 3060766.2 2040001.0 1165715.3 741819.2 544001.0 429474.7

∆t, hrs Pws, psi 0.9500 1987 1.3500 1990 1.7500 1993 2.1500 1994 2.5500 1995 3.1833 1996 3.9000 2001 4.6500 2003 5.4833 2005 5.0000 2006

(tp+∆t)/∆t 429474.7 302223.2 233143.9 189768.4 160001.0 128169.9 104616.4 87742.9 74408.7 81601.0

2010

Inicio de la línea recta final = 2.15 hrs

m = = -31 21 p 42 si/c ps iclo i

2000

1980

b

P ws, psi

1990

1970

∆P=16 1960

1950

1940 1.E+08

1.E+07

1.E+06

1.E+05

(tp+∆t)/∆t

Fig. 7.6. Gráfica Horner Clásica k fb =

141.2q µB 141.2(3629)(1.18)(1.32) = = 106.4 md mh (31)(242)

Estimar el factor de daño de la Ec. 7.47. s=

b − Pwf m

+ ln rw =

2142 − 1932 + ln (3.48) = −5.52 − 31


1.E+04

295

4n(n + 2) k mb rw2 λ= 4k b hm2

λ se puede estimar la Ec. 7.8 si se hacen las siguientes suposiciones: tomar n = 1 (lámina), kb = kfb y hmb = h, entonces:

λ=

2 4n(n + 2) kmb rw2 4(1 + 2) (0.148) (8.8392 ) = = 5.6 × 10 − 6 4kb hm2 4(106.4)(242 2 )

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una falla-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo R-6 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.2. h = 1150 ft Pwf = 5223 psi µ = 0.47 cp

rw = 0.292 ft tp = 408000 hrs (φ ct)m+f = 1.4x10-06 psi-1

q = 17000 STB/D B = 1.74 rb/STB km = 0.148 md

Tabla 7.2. Datos de presión de restauración, pozo R-6 ∆t, hrs Pws, psi t*P’ws, psi 0.000 5223 0.010 5232 5.61 0.023 5239 9.56 0.058 5250 8.48 0.230 5256 5.06 0.780 5263 8.80 1.400 5269 9.87

∆t, hrs 1.400 2.000 2.400 2.700 3.450 3.700 4.000

Pws, psi 5269 5272 5274 5275 5277 5281 5281

t*P’ws, psi 9.87 9.40 11.72 10.81 8.54 7.78 6.91

SOLUCION El gráfico MDH dado en la Fig. 7.7 confirma la existencia de un sistema con porosidad doble. Una curva tipo de ajuste es también mostrada en la Fig. 7.8. La capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la siguiente ecuación: ⎛ 13 ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ⎟ = anti log⎜ − ⎟ = 0.25 ⎝ m⎠ ⎝ 22 ⎠


Usar la Ec. 7.48 para estimar kfb: Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

296

5290

Inicio de la 2a. línea recta= 0.78 hrs

5280

P ws, psi

5270

5260

13 ∆ P=

5250

iclo i/c i s p s -22 65 p m= = 52 b

5240

5230

5220 0.01

0.1

1

10

∆t, hrs

Fig. 7.7. Gráfico MDH para el pozo R-6 k fb =

141.2q µB 141.2(17000)(0.47)(1.74) = = 77.6 md mh (22)(1150)

λ puede estimarse usando los puntos de ajuste de la Fig.7.8 y la Ec. 7.42 (en unidades CGS): tM = 0.023 hrs P’D = 0.5 ω = 0.2

λ=

t*∆P’ = 8.5 psi/hr tD = 0.0162

(t Db )M 4µ (φ ct )m + f rw2 (0.0162) 4(0.0047)(1.088 × 10−8 )(8.92 ) = = 5 x10 − 5 kbf (t )M (7.76 × 10 −10 )(82.8)

El factor de daño puede ser aproximado mediante la Ec 7.49. s=

π 2

− ln

hm π 1150 = − ln = −6.7 rw 2 0.292

7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION NATURALMENTE FRACTURADOS

P’D

A

YACIMIENTOS

Mavor y Cinco-Ley presentaron una solución en espacio Laplace para un pozo en un yacimiento fracturado naturalmente con producción a rata constante. Los efectos de almacenamiento y daño son considerados.


297

1

ω =0.2 01 0. ω=

5 000 ω =0.

-2

1 .00 ω =0

-1

001 ω =0.0

log P D'

0

ω =0.5 ω =0.1 ω =0.05

ω =0.005

-3

-4 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db

Fig. 7.8. Curva de ajuste de la derivada para el pozo R-6

Pw ( s ) =

s

[(

) (

s f ( s ) K1

(

) ( ) { (

) ( ) (

)

K o s f ( s ) + s s f ( s ) K1 s f ( s ) s f ( s ) + s CD K o s f ( s ) + s s f ( s ) K1 s f ( s )

) (

)}]

(7.52)

La función f (s ) para flujo interporoso en estado pseudoestable, flujo interporoso transiente, y para el caso de capas y el caso esférico, son definidos, respectivamente, como: f (s ) =

ω (1 − ω ) s + λ (1 − ω ) s + λ

⎡ λ (1 − ω ) ⎤ f (s ) = ω + ⎢ ⎣ 3s ⎥⎦

(7.53.a)

1/ 2

⎡⎛ 3(1 − ω ) s ⎞1 / 2 ⎤ coth ⎢⎜ ⎟ ⎥ λ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝

1/ 2 ⎡ ⎡15(1 − ω ) s ⎤1 / 2 ⎤ ⎫⎪ 1 λ ⎧⎪⎡15(1 − ω ) s ⎤ f (s ) = ω + ⎨ ⎥ ⎥⎬ −1 ⎥ coth ⎢ ⎢ 5 s ⎪⎩⎢⎣ λ λ ⎦ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎦ ⎣⎢ ⎣

La solución de la derivada de la ecuación (1.45) es expresada como:


(7.53.b)

(7.53.c)

298

1.E+04

PPR

P D, P'D, PPR

1.E+03

1.E+02

1.E+01

1.E+00

1.E-01

PD 1.E-02

P'D 1.E-03 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD Fig. 7.9. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable 1.E+02

PPR PD

P D, P'D, PPR

1.E+01

1.E+00

P'D 1.E-01

1.E-02 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD Fig. 7.10. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso transitorio


299

1

ω

=

ω

0. 1

=

P'D

3

03 0.0

1.E+04

01 0.0

1.E+03

01 0.00

03 0.000

0.0001 1.E+02

03 0.00

ω=

ω=

0.001

01 0.

ω=

ω= ω=

0.01

0 0.

ω=

0.1

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD Fig. 7.11. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable 100

2s

50

2s

40

2s

30

2s

20

2s

15

CDe CDe CDe 10

CDe

=10

=10

=10

=10

PD

CDe

=10

2s

CDe

2s

6

2s

3

2s

2

2s

0

CDe 1

CDe CDe -1

0

CDe

2s =1

CD

10

=10

=10

=10

=10 =10

e

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

tD/CD Fig. 7.12. Curva tipo para un yacimiento homogéneo, de acción infinita con almacenamiento y daño


300

1

P'D

ω=

ω=

ω=

0.00 03

ω=

0.00 1

ω=

0.00 3

ω=

0.01

0.1

0.0 3

ω = 0.00003 ω = 0.0001

0.1 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD Fig. 7.13. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo estratos

P'D

1

ω=

ω= 0.00

03

ω= ω=

0.1 1.E+02

0.00 1

ω=

ω= 0.00 3

ω=

ω=

0.1

0.0 3

0.01

0.00003

0.0001

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

t

D

Fig. 7.14. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo esférico


301

100

λC D (1 − ω )ω a= 1x 1 a= 0 1 3x 1 a= 0 2 1x 1 a= 0 -2 3x 10 -3

a =

PPR

10

a

-4

4

0 0 x10 x1 1 1 3 x = = a =1 a

-3

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.15. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.1 100

λC D (1 − ω )ω a= 1x 10 -1 a= 3x a= 10 -2 1x 1 a= 0 2 3x 10 -3

a =

-3

-4

-4

0 10 10 x1 1x =3x a=1 = a a

PPR

10

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.16. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.2


302

100

λC D

a =

a= 1x 1 a= 0 1 3x 1 a= 0 2 1x 1 a= 0 -2 3x 10 -3

(1 − ω )ω

-4

0 10 10 3x1 =1x x 1 a= a a=

PPR

10

-4

-3

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.17. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.3 10

a =

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω

-4

a=3x10 -3 a=1x10 -3

a=3x10 -2

a=1x10

PPR

-2

a=3x10 -1 a=1x10

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.18. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio modelo de estratos. ω=0.1


303

10

a =

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω

-4

a=3x10 -3 a=1x10 -3

a=3x10 -2

a=1x10

PPR

-2

a=3x10 -1 a=1x10

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD/CD

Fig. 7.19. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para modelo de estratos, ω=0.01 10

a =

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω

-4

a=3x10 -3 a=1x10 -3 a=3x10 -2

a=1x10

PPR

-2

a=3x10 -1 a=1x10

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.20. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para caso estratos ω=0.02


304

P'wD ( s ) =

(

) (

s f ( s ) K1

(

) ( { (

) ( ) (

)

K o s f ( s ) + s s f ( s ) K1 s f ( s ) s f ( s ) + s CD K o s f ( s ) + s s f ( s ) K1 s f ( s )

)

) (

)}

(7.54)

Las Figs. 7.9 y 7.10 presentan los gráficos de la presión adimensional, la derivada de la presión adimensional y la relación de la presión adimensional con la derivada de la presión adimensional para flujo interporoso en estado pseudoestable y acción infinita y flujo interporoso transitorio, respectivamente. Los efectos del almacenamiento se notan por la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos mientras PPR permanece a un valor constante de 0.5. Entonces, una línea recta semilog se presenta durante el periodo de flujo radial de la fractura. Una vez el periodo de transición es alcanzado las curves de PD se acuestan hacia el eje x mientras para el flujo interporoso en estado pseudo estable P’D disminuye abruptamente y PPR incrementa fuertemente. Después, P’D incrementa hasta un valor fijo de 0.5 se alcanza. Para el flujo interporoso transiente, la curva P’D disminuye hasta 0.25 mientras el PPR incrementa por encima de la curva PD. En el tiempo final las curves P’D incrementaron a 0.5 y PPR disminuyo y se unió con la curva PD. Las variables adimensionales están definidas por:

tD =

0.0002637kt φµct rw2

PwD (rD , t D ) =

CD =

(7.56)

0.89359 C φct hrw2

(7.57)

dPD dt D

(7.58)

P 'D = t D

PPR =

ω=

kh [Pi − P(r , t )] 141.2qµB

(7.55)

0.5PD dP tD D dt D

(7.59)

(φc) f (φc)t

(7.60)

km kf

(7.61)

λ = rw2


305

Las Figs. 7.11 a la 7.20 son un grupo de curvas tipo log-log. Estas incluyen PD vs. tD/CD para diferentes CDe2s, P’D vs. tD/CD para diferentes valores de ω y PPR vs. tD/CD para un rango de λCD/(1-ω)ω. 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO

1. Construir los gráficos log-log de (a) ∆P vs. ∆te (Ec. 7.39), (b) ∆te vs. ∆te (d∆P)/(d∆te) vs. ∆te, y (c) ∆P*0.5/(∆te (d∆P)/(d∆te) vs. ∆te. 2. Determinar el modelo de flujo de interporoso basado en el perfil de los datos graficados. Para el flujo de interporoso transitorio determinar la posible geometría del bloque de la matriz. 3. Obtener ω ajustando la parte de la zona de transición de la rafia de derivada de presión con la curva apropiada de PD’ vs. tD/CD. ω se pude estimar con un ajuste adecuado de la Fig. 7.11. ω es la relación entre el valor ajustado de CDe2s durante los periodos de tiempo últimos y finales. 4. Usar la curva de PPR vs. tD/CD para ajustar con la tercera gráfica y registrar los valores de (CDe2s)M, ∆te/(tD/CD)M, y (λCD/(1-ω)ω)M. 5. Ajustar la gráfica ∆P vs. ∆te con la curva PD vs. tD/CD por alineación de los ejes del tiempo con el ∆te/( tD/CD)M obtenido previamente. Registrar (PD/∆P)M. 6. Estimar los parámetros del yacimiento de: ⎛P ⎞ kh = 141.2qµB⎜ D ⎟ ⎝ ∆P ⎠ M C=

0.000295kh ⎛ ∆te ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ µ ⎝ t D / CD ⎠

CD ( f + m ) =

0.8936C ⎛ ∆te ⎞ ⎜ ⎟ φ Ct hrw2 ⎜⎝ tD / CD ⎟⎠

⎛ (C e 2 s ) f + m ⎞ ⎟ s = 0.5 ln⎜ D ⎜ (C ) ⎟ D f ⎠ ⎝

(7.62)

(7.63.a)

(7.63.b)

(7.64)

Si ω no puede ser encontrado de la curva tipo, estimar ω de:

ω=

(CD e 2 s ) f + m

(7.65)

(CD e 2 s ) f

El parámetro de flujo interporoso con estado pseudoestable, λ, está dado por:


306

⎡ω (1 − ω ) ⎤ ⎡ λC D ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣ C D ⎦ ⎣ω (1 − ω ) ⎦ M

λ=⎢

(7.66.a)

El parámetro de flujo interporoso transiente, λ esta dado por: ⎡ (1 − ω ) 2 ⎤ ⎡ λC D ⎤ ⎥⎢ 2⎥ ⎣ C D ⎦ ⎣ (1 − ω ) ⎦ M

λ=⎢

(7.66.b)

EJEMPLO

Determinar la permeabilidad, almacenamiento, factor de daño y los parámetros λ y ω para un yacimiento cuya información esta dada a continuación y en la tabla 7.3. h = 7 ft Pwf = 3816.99 psi µ = 0.3 cp

rw = 0.29 ft tp = 30.05 hrs φ = 0.05

q = 830 STB/D B = 1.5 rb/STB ct = 2x10-05 psi-1

SOLUCION

Un gráfico de ∆P, t*∆P’, y PPR vs. tiempo es mostrado en la Fig. 7.21. Cada curva fue ajustada a su respectiva curva tipo. Los parámetros ajustados son los siguientes: ∆te/( tD/CD)M = 6x10-3 Para ω = 0.15

(CDe2s)M = 6.1x10-3 (λCD/[1 - ω] ω)M = 10 (PD/∆P)M = 1/17 Estimar la permeabilidad de la Ec. 7.62: k=

141.2qµB ⎛ PD ⎞ 141.2(830)(0.3)(1.5) ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 443.2 md h 7 ⎝ 17 ⎠ ⎝ ∆P ⎠ M

El cálculo de C es estimado de la Ec. 7.63.a: C=

0.000295kh ⎛ ∆t e ⎜⎜ µ ⎝ tD / CD

⎞ 0.000295(443.2)(7) ⎟⎟ = (0.0061) = 0.0186 STB / ft 0.1 ⎠

El almacenamiento adimensional, factor de daño y parámetro de flujo interporoso se encontraron usando las Ecs. 7.63.b, 7.64 y 7.66.a, respectivamente:


307

Tabla 7.3. Datos de presión de restauración t, hrs 0.000000 0.000621 0.001247 0.001862 0.003103 0.003729 0.004970 0.006837 0.008693 0.010560 0.012428 0.014910 0.018018 0.021115 0.027946 0.034162 0.040379 0.050933 0.063980 0.078884 0.100618 0.120810 0.153423

CD ( f + m ) =

P, psi 3816.99 3817.96 3819.73 3821.64 3824.92 3826.96 3829.52 3832.61 3835.18 3837.58 3839.94 3842.79 3845.72 3848.40 3853.16 3856.67 3859.48 3863.31 3867.10 3870.32 3873.84 3876.51 3879.37

∆p 0.970 2.740 4.650 7.930 9.970 12.530 15.620 18.190 20.590 22.950 25.800 28.730 31.410 36.170 39.680 42.490 46.320 50.110 53.330 56.850 59.520 62.380

T*∆p' PPR 1.830 3.843 5.441 8.065 8.706 9.773 10.620 12.105 13.233 14.426 15.391 16.174 16.521 16.974 17.013 16.844 16.462 15.788 15.076 13.931 13.038 11.824

0.265 0.357 0.427 0.492 0.573 0.641 0.735 0.751 0.778 0.795 0.838 0.888 0.951 1.065 1.166 1.261 1.407 1.587 1.769 2.040 2.283 2.638

t, hrs 0.255902 0.330442 0.404981 0.498147 0.572686 0.684489 0.833557 0.945360 1.168970 1.336680 1.578920 1.951600 2.324270 3.069630 3.349140 4.746680 5.864710 6.982750 8.659800 9.405190 10.150500 12.013900 14.260000

P, psi 3884.70 3886.59 3888.34 3889.31 3890.20 3890.80 3892.31 3892.60 3893.57 3893.97 3894.64 3895.38 3895.92 3896.81 3897.18 3898.22 3899.11 3899.81 3900.69 3901.08 3901.43 3902.31 3903.19

∆p 67.710 69.600 71.350 72.320 73.210 73.810 75.320 75.610 76.580 76.980 77.650 78.390 78.930 79.820 80.190 81.230 82.120 82.820 83.700 84.090 84.440 85.320 86.200

t*∆p' 9.035 7.447 6.420 6.215 5.553 4.849 4.646 4.344 4.151 3.601 3.677 3.427 3.411 3.264 3.342 3.702 3.943 4.352 4.571 4.802 4.843 4.414 4.167

0.8936C ⎛ ∆te ⎞ 0.8936(0.0186) ⎜ ⎟⎟ = (0.0061) = 28233 2 ⎜ φ Ct hrw ⎝ t D / CD ⎠ 0.05 (2 × 10− 5 )(7)0.292

⎛ (CD e 2 s ) f + m ⎞ ⎟ = 0.5 ln⎛⎜ 10 ⎞⎟ = −4 s = 0.5 ln⎜ ⎜ (C ) ⎟ ⎝ 28233 ⎠ D f ⎝ ⎠ ⎡ω (1 − ω ) ⎤ ⎡ λCD ⎤ ⎡ 0.15(1 − 0.15) ⎤ [0.006] = 2.7 × 10−8 =⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 28233 ⎦ ⎣ CD ⎦ ⎣ω (1 − ω ) ⎦ M ⎣

λ=⎢


PPR 3.747 4.673 5.557 5.818 6.592 7.611 8.105 8.704 9.224 10.690 10.560 11.438 11.571 12.229 11.999 10.971 10.413 9.516 9.155 8.755 8.717 9.664 10.343

308

100

∆P

∆P, PPR, t*∆P'

t*∆P'

10

1

PPR

0.1 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

∆t, hrs

Fig. 7.21. ∆P, t*∆P, y PPR vs tiempo

7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE

Las ecuaciones básicas para flujo en yacimientos fracturados naturalmente con porosidad doble fueron formuladas originalmente por Barenblatt y otros en 1960. Usando la mecánica continua, los parámetros del medio y de flujo de las fracturas y la matriz, son definidas en cada punto matemático. La transferencia de fluido entre los dos medios es mantenida en una función fuente, donde el fluido se asume en estado pseudoestable en la matriz del sistema. Warren y Root usaron esta aproximación para desarrollar una solución integrada y aplicable para las pruebas de presión de declinación y restauración en un yacimiento fracturado naturalmente con porosidad doble. A partir de su trabajo se pueden identificar varios regímenes de flujo del análisis semilog. En orden cronológico existen una línea recta en tiempos cercanos representando únicamente el depletamiento de la fractura, y una línea recta en tiempos finales, la cual corresponde al tiempo cuando todo el yacimiento produce como un yacimiento homogéneo equivalente. A estos tiempos finales, la línea recta semilog es paralela a la primera línea recta. Dos parámetros claves fueron derivados por Warren y Root para caracterizar yacimientos fracturados naturalmente: el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, y el parámetro de flujo interporoso, λ. ω proporciona un estimado de la magnitud y la distribución de la matriz y el almacenamiento de la fractura, y λ es una medida de la


309

rata de transferencia de masa de la matriz a la red de fracturas y por lo tanto describe la capacidad de flujo de la matriz disponible en las fracturas. Nuevos desarrollos realizados por Mavor y Cinco incluyeron almacenamiento y daño en la solución para el parámetro de flujo de interporoso en estado pseudoestable en un yacimiento fracturado naturalmente. Esto fue llevado a cabo en espacio Laplace e invertido numéricamente usando el algoritmo de Stehfest. Como consecuencia directa, fueron desarrolladas curvas tipo por Bourdet y Gringarten, las cuales incluyeron almacenamiento y daño en yacimientos fracturados naturalmente. Subsecuentemente, los parámetros de yacimiento podrían ser estimados cuando el almacenamiento dominara los datos de presión en tiempos cercanos. Un avance en las curvas tipo de yacimientos fracturados naturalmente ocurrió con la adición de la curva de la derivada (Bourdet y otros, 1983). El incremento de la sensibilidad de la curva de la derivada en yacimientos fracturados naturalmente, resulta en una mayor exactitud de la curva tipo de ajuste. Desafortunadamente, el ajuste con curvas tipo es un método por ensayo y error, lo cual proporciona frecuentemente respuestas no únicas; por lo tanto, la Tiab’s Direct Síntesis Technique se propone en esta sección. Este método combina los puntos característicos y las pendientes de un gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión con las soluciones analíticas exactas para obtener propiedades del yacimiento. Esta ha sido aplicada exitosamente por Tiab para modelos de fractura vertical con conductividad infinita y flujo uniforme, para yacimientos homogéneos con daño y almacenamiento, y para pozos fracturados verticalmente en sistemas cerrados. Esta sección presenta la ampliación de este nuevo método para yacimientos fracturados naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable. 7.8.1. Aspecto Teórico

Una formación real fracturada naturalmente está compuesta de un sistema heterogéneo de cavernas, fracturas, y matriz, las cuales son aleatorias en su naturaleza. Para modelar este sistema se asume que el yacimiento consta de elementos de bloque de matriz discretos separados por un sistema ortogonal de fracturas uniformes y continuas. Estas fracturas están orientadas paralelas a los ejes principales de permeabilidad. Se asumen dos geometrías comúnmente, por ejemplo, capas y cubos de azúcar. El flujo entre la matriz y las fracturas está gobernado por condición de estado pseudoestable, pero solo las fracturas llegan a la cara del pozo a una rata constante. Se asume que el fluido es de una sola fase y ligeramente compresible. La solución de la presión de la cara del pozo en un yacimiento de acción infinita, con las suposiciones anteriores está dada por: ⎛ λ tD ⎞ 1⎡ ⎛ λ ⎞⎤ ⎟⎟ - Ei⎜ - t D ⎟⎥ + s p D = ⎢ln t D + 0.80908 + Ei⎜⎜ 2⎣ ⎝ 1 - ω ⎠⎦ ⎝ ω(1 - ω ) ⎠ La función derivada de la Ec. 7.67 puede ser obtenida fácilmente así:


(7.67)

310

⎡ ⎛ λt D ⎞⎤⎥ ⎛ λt ⎞ 1 ⎟⎟⎥ t D * PD ' = ⎢⎢1- exp⎜ − D ⎟+exp⎜⎜ − 2 ⎢⎣ ⎝ 1-ω ⎠ ⎝ ω (1-ω ) ⎠⎥⎦

(7.68)

Las variables adimensionales son definidas por: k 2h∆P 141.2q µ B o

(7.69)

tD =

0.0002637k 2t (φ c)1+2 µ rw2

(7.70)

ω =

φ 2c 2 φ 1c1 + φ 2c 2

(7.71)

PD =

λ = α r 2w k1

(7.72)

k2

donde α refleja la geometría de los elementos de la matriz. Note, que los subíndices numerados se refieren a la propiedad dada cuando fueron distribuidas, por ejemplo, en relación al volumen bruto o al volumen elemental representativo. Por lo tanto, φ1 y φ2 son la matriz bruta y las porosidades de fractura, respectivamente, o en otras palabras la relación de los volúmenes porosos de la matriz y la fractura en el volumen total bruto. 7.8.2. Puntos y Líneas Característicos

La Fig. 7.22 ilustra las características únicas de un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo para un yacimiento fracturado naturalmente. Referente a esta figura pude ser realizado el siguiente análisis: Los periodos de flujo radial de acción infinita están representados por una línea recta horizontal de derivada de presión. El primer segmento corresponde al depletamiento de la fractura y el segundo a la reacción del yacimiento homogéneo equivalente. Una expresión para la derivada durante este tiempo está dada por: t D * PD '=

1 2

(7.73)

Sustituyendo por las variables adimensionales y reordenando resultados en una técnica simple y rápida para determinar la permeabilidad de la red de fracturas,


311

10

(PD) r2

P D and t*P D'

(PD) r1

(tD)usi

1

(t*PD') r1

(t*PD') r2

tD,e1

tD,b2

0.1

(t*PD')min @ tDmin

tDmin 0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 7.22. Puntos y líneas características de un yacimiento fracturado naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.01, λ=1x10-6 k2 =

70.6q µ B o h(t * ∆P) r

(7.74)

donde (t*∆P’)r es la derivada de la presión a algún tiempo conveniente, t. Note en la Fig. 7.22 que en la parte recta de la curva de derivada se indica el periodo de transición para yacimientos fracturados naturalmente. La parte más baja de esta parte recta es dependiente del coeficiente de almacenamiento adimensional, pero independiente del flujo interporoso. Una expresión analítica para las coordenadas mínimas puede ser obtenida tomando la segunda derivada de la Ec. 7.67 e igualando el resultado a cero. Subsecuentemente, las coordenadas mínimas adimensionales están dadas por:

(t D ) min =

ω 1 ln λ ω

(7.75)

y;

(t D * PD ' ) min

ω 1 ⎞ 1⎛ 1− ω 1− ω ⎟ ⎜ = ⎜1 + ω −ω ⎟ 2⎝ ⎠

(7.76)

El uso de la segunda derivada fue propuesto originalmente por Uldrich y Ershaghi para determinar el parámetro de flujo interporoso. Sin embargo, para convertir esta expresión universal en unidades reales, fue desarrollada una forma normalizada


312

dividiendo el punto mínimo de la derivada por el valor la línea de la derivada del flujo radial de acción infinita. La expresión analítica resultante es escrita así: ω 1 ⎞ (t * ∆P' )min ⎛ 1− ω 1− ω ⎟ ⎜ −ω ⎟ = ⎜1 + ω (t * ∆P' )r ⎝ ⎠

(7.77)

Existe una relación de ajuste entre la relación de la derivada de la presión y ω. Por conveniencia, una correlación empírica fue desarrollada,

⎧ (t * ∆P' ) min ⎫ ⎧ (t * ∆P' ) min ⎫ ω = 0.15866⎨ ⎬ + 0.54653 ⎨ ⎬ ⎩ (t * ∆P' ) r ⎭ ⎩ (t * ∆P' ) r ⎭

2

(7.78)

y es válida desde 0 ≤ ω ≤ 0.10 con un error menor que 1.5 %. Un método alternativo para determinar ω surge de los tiempos característicos definidos de curva de derivada de presión. Mostrados en la Fig. 7.22 esos tiempos incluyen el final de la primera línea recta horizontal, tDe1, el inicio de la segunda línea recta horizontal, tDb2, y el tiempo correspondiente a la mínima derivada, tDmin. La siguiente relación, independiente del parámetro de flujo interporoso, puede ser desarrollada de las relaciones de los tiempos. 50t e1 t b2 t min = = ω (1- ω ) 5(1- ω ) ω ln(1/ ω )

(7.79)

El coeficiente de almacenamiento adimensional se puede determinar directamente de la relación del final de la primera línea recta y el inicio de la segunda línea recta. Sin embargo, las relaciones de los tiempos con la coordenada del tiempo mínimo son ligeramente más complejas; por lo tanto, unas correlaciones empíricas fueron desarrolladas para facilitar la solución de ω. La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo para el final de la primera línea recta, con un error menor que el 5%, es: ⎡

1 ⎛ t min ⎞⎤ - 0.4383 ⎟ ⎥ ⎜ ⎠⎦ ⎣ 0.9232 ⎝ 50t e1

ω = exp ⎢-

(7.80)

La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo de inicio de la segunda línea recta, válido para ω ≤ 0.1 con un error menor que el 2 % está dada por: ⎧5 ⎫ ⎧5 ⎫ ω = 0.19211 ⎨ t min ⎬ + 0.80678⎨ t min ⎬ ⎩ t b2 ⎭

2

⎩ t b2 ⎭

(7.81)

Para un coeficiente de almacenamiento adimensional dado la mínima coordenada de presión adimensional es independiente del parámetro de flujo interporoso, mientras que Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

313

la mínima coordenada de tiempo adimensional está en función de λ. Subsecuentemente, un gráfico de log (tD*P’D)min vs. log (λtDw)min resulta en una línea recta con pendiente unitaria. La correspondiente ecuación empírica es: ln(t D * PD ' ) min = ln(λ ⋅ t D min ) + ln(0.63)

(7.82)

Expresando la Ec. 7.82 en unidades reales y reordenando, proporciona un método para determinar λ,

λ=

42.5hST r 2w ⎛ t * ∆P' ⎞ ⎜ ⎟ q B o ⎝ t ⎠ min

(7.83)

Un método alternativo para determinar λ puede llevarse a cabo observando una línea recta con característica de pendiente unitaria durante el último periodo de transición. El menor coeficiente de almacenamiento adimensional (punto más bajo de la recta) ajusta los datos más exactamente a línea de pendiente unitaria. Un ω menor que 0.05 da como resultado un estimativo más exacto de λ. Para ω > 0.05, λ será sobrestimado. La ecuación analítica para este comportamiento del último tiempo de transición es: ⎛ λ ⋅ t Dus ⎞ ln(t D * PD ' )us = ln⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

(7.84)

La intersección de la línea de pendiente unitaria del periodo de transición con la línea de la derivada de presión del flujo radial con acción infinita (mostrada en la Fig. 7.22), desarrolla una expresión muy simple para determinar λ,

λ=

1

(7.85)

t Dusi

o en unidades reales, ⎛ ST µ r 2w ⎞ 1 λ=⎜ ⎟ ⎝ 0.0002637 k 2 ⎠ tusi

(7.86)

En general, el parámetro de flujo interporoso se puede estimar de cualquiera de los valores de tiempo característicos mediante las siguientes relaciones,

λ=

ω (1- ω ) ω ln(1/ ω ) 1 5(1- ω ) = = = β t min β tusi β t b2 50β t e1


(7.87)

314

donde β representa el inverso del grupo de constantes en el paréntesis de la Ec. 7.87. Para el punto de intersección de la pendiente unitaria solo se requiere un estimado de la permeabilidad de la red de fracturas, mientras para los tiempos característicos restantes el coeficiente de almacenamiento adimensional debería también ser conocido. Afortunadamente, para determinar λ de la Ec. 7.83 solo requiere de la identificación de las coordenadas mínimas y esto proporciona una ventaja sobre otros métodos. El factor de daño se puede determinar de los valores de presión y derivada de presión a un tiempo conveniente durante cualquiera de los dos segmentos de línea de flujo radial con acción infinita. De las ecuaciones analíticas de tiempo cercano, en unidades reales, el factor de daño está dado por: ⎤ ⎛ k 2 t r1 1 ⎞ 1 ⎡⎛ ∆P ⎞ ⎟⎟ + 7.43⎥ ⎟ - ln⎜⎜ S m = ⎢⎜ 2 2 ⎣⎝ t * ∆P ' ⎠ r1 ⎝ ST µ r w ω ⎠ ⎦

(7.88)

donde el subíndice r1 denota la línea recta de tiempo cercano. Similarmente, durante el periodo de tiempo lejano se puede desarrollar una expresión para el factor de daño;

⎤ ⎛ k 2 tr 2 ⎞ 1 ⎡⎛ ∆P ⎞ ⎟ + 7.43⎥ ⎟ - ln⎜⎜ S m = ⎢⎜ 2 ⎟ 2 ⎣⎝ t * ∆P' ⎠ r2 ⎝ ST µ r w ⎠ ⎦

(7.89)

7.8.3. Respuesta de la Presión con Efectos de Almacenamiento

Como una consecuencia directa del almacenamiento, el periodo de flujo radial en tiempo cercano de acción infinita tiende a ser ocultado. Por lo tanto, la línea de flujo radial en tiempo lejano de acción infinita es esencial para estimar el factor de daño y la permeabilidad de la red de fracturas como se discutió anteriormente. Existen varios métodos directos para determinar la constante de almacenamiento a partir de las curvas de presión y derivada de presión. Las líneas de presión y derivada de presión con pendiente unitaria a tiempos cercanos son un indicativo del almacenamiento puro. En unidades reales, la curva de presión puede ser usada para resolver la constante de almacenamiento, ⎛qB ⎞ t C=⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ ∆P

(7.90)

Similarmente, de la línea de derivada de presión con pendiente unitaria, ⎛qB ⎞ t C=⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ∆P '


(7.91)

315

Una alternativa es usar también la intersección de la línea de presión de pendiente unitaria en el tiempo cercano con la línea de flujo radial de acción infinita. De este punto de intersección se puede estimar C. C=

k 2ht i 1695µ

(7.92)

La influencia del almacenamiento en las coordenadas mínimas es de mayor importancia en el análisis. Como muestra la Fig. 7.23, el dilema es sí el punto mínimo observado es el mínimo real o un “pseudo-mínimo” como resultado directo del almacenamiento. Investigaciones detalladas han mostrado que el punto mínimo no es afectado por el almacenamiento para todos los ω y λ, proporcionados, (t D ) min,o ≥ 10 (t D ) x

(7.93)

Por consiguiente, los procedimientos descritos anteriormente son válidos. Cuando la relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico es menor que el límite definido por la Ec 7.93 ocurre un “pseudo-mínimo” en la curva de la derivada de presión. Una correlación empírica generada durante esta región proporciona un método para calcular el parámetro de flujo interporoso, 10

1 ⎡ tx ⎤ [λ log(1 / λ )]min = ⎢5.565 ⎥ CD ⎣ t min ,o ⎦

(7.94)

donde, ⎛ [λ log(1/λ )]min ⎞ λ=⎜ ⎟ 1.924 ⎝ ⎠

1.0845

(7.95)

Un método alternativo para determinar λ está basado en la relación de la coordenada de la derivada de presión mínima con la coordenada de la derivada de presión en el pico. Esta correlación es válida únicamente para CDλ > 0.001.

λ=

1 (t * ∆P' ) min 10 C D (t * ∆P' ) x


(7.96)

316

10

CD=500 1

t D*P D'

CD=0

Pseudo-minimum

0.1

λ=10-5

λ=10-6 Real minimum

0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 7.23. Efecto del almacenamiento en la derivada de presión mínima, ω=0.05, s=0 0.7

C D * λ * [log(1 / λ ) + 0.8686 s ] 0.6

(t*∆P') min/(t*∆P') r

0.08 0.5

0.06 0.05 0.4

0.04 0.3

0.03 0.02

0.2

0.01 0.005 0.0005 0.0

0.1

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

ω

Fig. 7.24. Determinación del coeficiente de almacenamiento de la relación de derivada de presión de mínima a radial Si es observado un “pseudo-mínimo” se recomienda el siguiente método para determinar ω. Primero, el parámetro de flujo interporoso, el factor de daño, y la constante de almacenamiento deben ser conocidas con anterioridad a partir de los grupos adimensionales mostrados en la Fig. 7.24. Este grupo acoplado con la relación de la derivada de presión de flujo radial de acción mínima a infinita, proporciona una manera de determinar el coeficiente de almacenamiento.


317

7.8.4. Procedimiento Paso a Paso Caso 1 – Coordenadas mínimas no influenciadas por almacenamiento: Paso 1 – Construir un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. t e identificar las distintas líneas y puntos característicos. Paso 2 – Identificar cualquiera de las líneas horizontales de flujo radial de acción infinita a tiempos cercanos o lejanos. Calcular la permeabilidad del sistema fracturado de la Ec. 7.74. Paso 3 – Dibujar las líneas de presión y derivada de presión de pendiente unitaria al tiempo cercano indicativas de almacenamiento puro. Seleccionar un punto conveniente sobre esas líneas y resolver la constante de almacenamiento de las Ecs. 7.90 o 7.91. Identificar el punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. Usar este punto con la Ec. 7.92 para solucionar o verificar la permeabilidad del sistema fracturado o la constante de almacenamiento. Paso 4 – Seleccionar un ∆P y t*∆P’ a un tiempo conveniente durante el periodo de flujo radial de acción infinita a tiempo lejano. Sustituir esos valores en la Ec. 7.89 y determinar el factor de daño. Paso 5 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de derivada de presión. Si la relación de esas coordenadas es mayor que diez indica que las coordenadas mínimas no están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 – Identificar la coordenada de la derivada de presión mínima y normalizar esos valores con respecto a la derivada de presión de flujo radial de acción infinita. Usar la Ec. 7.78 para calcular el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω. Paso 7 – Las Ecs. 7.79 – 7.81 pueden ser usadas para verificar el ω determinado en el paso 6. Paso 8 – Con base en las coordenadas mínimas determinar λ de la Ec. 7.83. Si una pendiente unitaria es desarrollada durante el periodo último de transición, entonces la Ec. 7.89 puede ser usada para verificar el parámetro de flujo interporoso calculado. Similarmente, la relación de los tiempos característicos (Ec. 7.86) puede usarse para verificar de nuevo los resultados. EJEMPLO

Los datos de presión medidos en una prueba de restauración de presión están dados en la tabla 7.4. Una rata de producción variable precedió a esta prueba de restauración de presión; por lo tanto fue usada una función de superposición para modelar la historia del flujo. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 880 B ct = 5x10-6 /psi rw = 0.29 ft

φ=8% B = 1.3 bbl/STB Pwf (∆t=0) = 7248 psi

µ = 1.3 cp h = 29 ft

Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento.


318

Tabla 7.4. Datos de presión del pozo t, hr

Pwf, psi

t, hr

0.000743 0.001768 0.003819 0.005357 0.006382 0.008433 0.009458 0.010484 0.012535 0.014073 0.015098 0.017149 0.018117 0.019200 0.021250 0.022788 0.023814 0.025865 0.026890 0.027915 0.029966 0.031504 0.032530 0.034580 0.035606 0.036631 0.038682 0.039707 0.041245 0.043296 0.044322

7276.14 7322.16 7362.11 7398.18 7427.28 7452.14 7473.70 7490.58 7506.00 7519.93 7531.70 7542.65 7552.64 7561.42 7569.66 7577.22 7584.04 7590.39 7595.96 7601.53 7606.87 7611.32 7615.77 7620.09 7623.67 7627.26 7630.78 7633.71 7636.64 7639.55 7641.86

0.046372 0.047398 0.048423 0.050474 0.052012 0.069444 0.086875 0.1038 0.1212 0.1397 0.1571 0.1746 0.1920 0.2094 0.2268 0.2443 0.2617 0.3494 0.4371 0.5242 0.6119 0.6996 0.7867 0.8744 0.9615 1.049 1.137 1.224 1.312 1.399 1.487

Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi 7644.18 7646.49 7648.81 7650.88 7652.65 7668.94 7677.52 7682.51 7686.63 7689.76 7692.36 7694.48 7696.61 7698.10 7699.36 7700.83 7701.69 7705.50 7708.77 7710.94 7712.77 7715.72 7716.17 7716.67 7717.61 7718.22 7718.78 7719.27 7719.74 7720.18 7720.88

1.574 1.661 1.749 1.837 1.924 2.012 2.100 2.187 2.275 2.362 2.449 2.537 2.624 2.712 2.800 2.887 2.974 3.062 3.149 3.324 3.412 3.499 3.587 3.674 3.761 4.112 4.549 4.987 5.424 5.861 6.300

7721.88 7722.81 7723.72 7725.85 7726.63 7726.52 7726.98 7727.75 7728.50 7729.23 7729.91 7730.57 7731.23 7731.89 7732.53 7733.14 7733.74 7734.35 7734.98 7735.58 7736.17 7736.74 7737.28 7738.40 7739.48 7741.07 7743.59 7745.97 7748.33 7750.50 7752.71

6.737 7.174 8.049 8.924 9.799 10.675 11.549 12.424 13.300 14.174 15.049 15.924 16.800 17.674 17.693 17.995 18.342 18.688 19.034 19.381 19.727 20.072 20.418 20.765 21.111 21.357 21.630 21.976 22.322 22.668 23.014

7756.78 7756.65 7760.20 7763.47 7766.63 7769.58 7772.39 7774.80 7777.25 7779.55 7781.56 7783.74 7785.69 7787.48 7787.97 7788.14 7790.81 7789.44 7790.19 7790.86 7791.44 7792.07 7792.62 7793.20 7793.81 7794.20 7794.58 7795.11 7795.53 7796.10 7796.64

23.346 23.532 23.878 24.225 24.571 24.916 25.262 25.608 25.794 25.954 26.299 26.646 27.146 27.510 28.011 28.375 29.240 30.105 30.776 31.641 32.507 33.371 34.236 35.101 35.966 36.831 37.800 40.424

7797.38 7797.44 7797.88 7798.42 7798.81 7799.30 7799.72 7800.20 7800.50 7800.66 7801.12 7801.53 7802.16 7802.68 7803.16 7813.62 7804.56 7805.14 7805.92 7806.70 7807.49 7808.22 7808.36 7809.61 7810.29 7810.89 7811.57 7813.28

SOLUCION Paso 1 – Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. Tiempo es mostrado en la Fig. 7.25. Note que una línea horizontal puede ser dibujada a través de los puntos de la derivada a tiempos lejanos representando el periodo de flujo radial de acción infinita. Paso 2 – De la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos: (t*∆P’)r = 37 psi, entonces usando la Ec. 7.74:

k2 =

70.6qµ B o 70.6(880)(1.3)(1.3) = = 141.89 md h(t * ∆P) r (20)(37)


319

Paso 3 – Dibujar la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos que indica el almacenamiento. El punto conveniente es:

∆P = 74.2 psi

t = 0.0018 hr

t*∆P’ = 52.423 psi

Usando las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente, ⎛ qB ⎞ t ⎛ 880(1.3) ⎞ 0.0018 C=⎜ ⎟ =⎜ = 0.0011 bbl / psi ⎟ ⎝ 24 ⎠ ∆p ⎝ 24 ⎠ 74.2

⎛ qB ⎞ t ⎛ 880(1.3) ⎞ 0.0018 C=⎜ ⎟ =⎜ = 0.0016 bbl / psi ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ∆P' ⎝ 24 ⎠ 52.423 Del punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos, h 141.89)(20)(0.0013) C = k 2 ti = = 0.0016 bbl / psi 1695µ 1695(1.3) Paso 4 - Seleccionar ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos,

∆P = 561.61 psi

t = 35.101 hr

t*∆P’ = 37 psi

Usando la Ec. 7.89: ⎤ ⎛ k 2tr 2 ⎞ 1 ⎡⎛ ∆P ⎞ + 7.43⎥ S m = ⎢⎜ ⎟ - ln ⎜ 2 ⎟ 2 ⎣⎝ t * ∆P ' ⎠ r 2 ⎝ S Tµ r w ⎠ ⎦ ⎤ ⎛ ⎞ 1 ⎡⎛ 561.61 ⎞ 141.89(35.101) 7.43 S m = ⎢⎜ + ⎥ = −1.42 ⎟ ⎟ - ln ⎜ −6 2 2 ⎣⎝ 37 ⎠ r 2 ⎝ 5 ×10 (0.08)(1.3)(0.29 ) ⎠ ⎦

Paso 5 – Identificar el tiempo mínimo y pico,

tx = 0.0095 hr

tmin,o = 1.049 hr

tmin,o/tx = 110

Esta coordenada mínima representa únicamente la reacción del yacimiento: Paso 6 - Calcular ω con base en (t*∆P’)min, (t*∆P’)min = 8.865 psi


320

1000

∆P

(t*∆P') x=128 psi


100

tusi=5.5 hrs

t*∆P'

(t*∆P') r=37 psi t i=0.013 hr 10

t b2=30 hr

(t*∆P') min=8.865 psi t min = 1.049 hr

t x=0.0095 hr

1 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 7.25. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.4 De la Ec. 7.78, ⎧ (t * ∆P' ) min ⎫ ⎧ (t * ∆P' ) min ⎫ ω = 0.15866⎨ ⎬ + 0.54653 ⎨ ⎬ ⎩ (t * ∆P' ) r ⎭ ⎩ (t * ∆P' ) r ⎭

2

2

⎧ 8.865 ⎫ ⎧ 8.865 ⎫ ω = 0.15866⎨ ⎬ + 0.54653 ⎨ ⎬ = 0.037 ⎩ 57 ⎭ ⎩ 57 ⎭ Paso 7 – El tiempo al final del periodo de flujo radial cercano no es observado, y el tiempo para el inicio del periodo de flujo radial a tiempos lejanos no está bien definido. Estimar tb2 = 30 hr, usando la Ec. 7.81: 2

⎧5 ⎫ ⎧5 ⎫ ⎧ 5(1.044) ⎫ ⎧ 5(1.044) ⎫ ω = 0.19211⎨ t min ⎬ + 0.80678 ⎨ t min ⎬ = 0.19211⎨ ⎬ + 0.80678 ⎨ ⎬ = 0.058 ⎩ 30 ⎭ ⎩ 30 ⎭ ⎩ t b2 ⎭ ⎩ t b2 ⎭ 2

Paso 8 - Determinación de λ. De la coordenada mínima, usando la Ec. 7.83,

λ=

42.5h S T r 2w ⎛ t * ∆P ' ⎞ 42.5(20)(0.08)(5 × 10 −6 )(0.29 2 ) ⎛ 8.865 ⎞ −6 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2.9 × 10 qB t 880 ( 1 . 3 ) 1 . 049 ⎝ ⎠min ⎝ ⎠min


321

Del punto de intersección del periodo de transición, tusi = 5.5 hr, usando la Ec. 7.86, ⎛ S T µ r 2w ⎞ 1 ⎛ 5 × 10−6 (0.08)(1.3)(0.292 ) ⎞ 1 ⎟⎟ = 0.00000033 λ=⎜ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0.0002637 k 2 ⎠ t US,i ⎝ 0.0002637(141.89) ⎠ 5.5

λ promedio = 1.55x10-6 Caso 2 – Coordenada mínima influenciada por almacenamiento: Paso 1 – Los pasos 1 - 4 del Caso 1 son independientes de las coordenadas mínimas y por lo tanto se pueden aplicar en el caso 2. Paso 2 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de la derivada de presión. Una relación de esos tiempos menor que diez corresponde a los efectos del almacenamiento en las coordenadas mínimas. Paso 3 – Usando la relación de tiempo del paso 2 y el CD calculado anteriormente, el parámetro de flujo interporoso se puede determinar de las Ecs. 7.94 y 7.95. Paso 4 – Igualmente, las coordenadas de la derivada de presión en el mínimo y en el pico se pueden usar en conjunto con CD para determinar el parámetro de flujo interporoso mediante la Ec. 7.96. Paso 5 – El coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, es determinado gráficamente de la Fig. 7.24, donde Sm, CD, y λ son calculados anteriormente y los puntos de la derivada de presión de flujo radial de acción infinita y mínima son observados. EJEMPLO

La tabla 7.5 presenta los datos de una prueba de declinación de presión. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 3000 stbd ct = 3.0 x 10-5 psi-1 rw = 0.40 ft

φ = 0.10 B = 1.25 bbl/stb Pwf (t=0) = 4473 psi

µ = 1.0 cp h = 100 ft.

Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento. SOLUCION Paso 1 - Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. tiempo es presentado en la Fig. 7.26 con los puntos y líneas característicos marcados. Paso 2 – El periodo de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es fácilmente identificado. (t*∆P’)r = 138.5 hrs


322

Tabla 7.5. Datos de declinación de presión t, hrs

0.0933 0.1766 0.2600 0.3433 0.4266 0.5100 0.5933

Pwf, psi 4373.4 4299.1 4246.1 4203.6 4173.8 4139.7 4118.5

t*∆P', psi 84.473 133.483 146.776 151.595 157.618 150.295 141.355

T, hrs

0.6766 0.7600 0.9266 1.0930 1.26 1.427 2.427

Pwf, t*∆P', t, hrs Pwf, t*∆P', t, hrs Pwf, t*∆P', psi psi psi psi psi psi 4103.5 111.676 3.427 3971.3 90.502 14.43 3804.1 136.857 4086.4 99.694 4.427 3948.3 87.168 20.43 3758.7 138.810 4075.4 95.720 5.427 3931.6 95.595 26.43 3720.3 135.210 4060.3 87.234 6.427 3917.1 108.303 32.43 3695.1 134.790 4043.1 84.384 7.427 3898.4 122.336 38.43 3674.6 134.116 4032.2 76.719 9.427 3865.3 142.426 44.43 3652.4 156.278 4002.8 75.401 12.43 3824.2 137.651 50.43 3636.9 183.611 53.43 3625.2 196.734

1000

∆P


t i=0.14 hr (t*∆P') x=151.9 psi

t*∆P' (t*∆P') r=138.5 psi

100

t x=0.43 hr

10 0.01

0.1

(t*∆P') min=72.1 psi t min = 2.427 hr

1

t b2=14.4 hr

10

100

t, hrs

Fig. 7.26. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.5 entonces, usando la Ec. 7.74 se obtiene, k2 =

70.6qµ Bo 70.6(3000)(1.0)(1.25) = = 19.1 md h(t ⋅ ∆P' ) r 100(138.5)

Paso 3 – De la línea de pendiente unitaria cercana un punto conveniente es leído.

∆P = 99.6 psi t*∆P’=116.4 psi ∆PWBS = 99.6 psi t = 0.093 hr


323

De las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente, ⎛ qB ⎞ t ⎛ 3000(1.25) ⎞ 0.093 C=⎜ ⎟ =⎜ = 0.146 bbl / psi ⎟ 24 ⎝ 24 ⎠ ∆p ⎝ ⎠ 99.6 ⎛ qB ⎞ t ⎛ 3000(1.25) ⎞ 0.093 =⎜ C=⎜ ⎟ = 0.125 bbl / psi ⎟ 24 ⎝ 24 ⎠ t * ∆P' ⎝ ⎠ 116.4 El punto de intersección de línea de pendiente unitaria con la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es ti = 0.14 hr. El coeficiente de almacenamiento es ahora calculado usando la Ec. 7.92, h 19.1(100)(0.14) C = k 2 ti = = 0.158 bbl / psi 1695µ 1695(1) Paso 4 – Seleccionar un punto conveniente para ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos,

∆P = 836.1 psi

t = 50.43 hrs

t*∆P’=138.5

Usando la Ec. 7.89, Sm =

⎤ 1 ⎡⎛ 836.1 ⎞ ⎤ ⎛ k 2tr 2 ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎡ ⎛ ∆P ⎞ 19.1(50.43) + 7.43⎥ = ⎢⎜ + 7.43⎥ = −3.9 ⎢⎜ ⎟ - ln ⎜ ⎟ - ln ⎜ −6 2 ⎟ 2 ⎟ 2 ⎣⎝ ∆P '* t ⎠ r 2 ⎝ 3 × 10 (0.1)(1)(0.4 ) ⎠ ⎝ ST µ r w ⎠ ⎦ ⎦ 2 ⎣⎝ 138.5 ⎠ r 2

Paso 5 – Las coordenadas de tiempo mínimo y pico son: tmin,o = 2.427 tmin,o/tx = 5 < 10 tx = 0.43

La relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico sugiere que las coordenadas mínimas si están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 - Determinación de λ. El valor promedio de C es 0.143 bbl/psi, entonces, aplicando la Ec. 2.8,

CD =

0.8935C 0.8935(0.143) = = 2661 2 φµct rw (0.1)(1)(3 × 10− 6 )(0.42 )

De las Ecs. 7.94 y 7.95, 10

1 ⎡ t x ⎤ = 1 ⎡5.565 0.43 ⎤ = 0.0032, λ = 8.1 × 10 −5 [λ log(1 / λ )]min = ⎢5.565 ⎥ 2661 ⎢⎣ 2.427 ⎥⎦ CD ⎣ t min ,o ⎦ 10


324

De la Ec. 7.96,

λ=

1 (t * ∆P' ) min 1 72.087 = = 1.8 × 10 −5 10C D (t * ∆P' ) x 10(2661) 151.94

Paso 7 - Determinación de ω.

(t * ∆P' ) min 72.078 = = 0.52 (t * ∆P' ) r 138.5 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ C D λ ⎢log( ) + 0.8686s ⎥ = 2661(1.8 x10 −5 ) ⎢log( ) + 0.8686(−3.9)⎥ = 0.065 0.000018 λ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ De la Fig. 7.24, ω = 0.025.


325

8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS La orientación de las fracturas hidráulicas es función de la distribución de esfuerzos en la formación. Si el esfuerzo menos importante en la formación es horizontal, entonces se obtendrá una fractura vertical. Por otra parte, si el esfuerzo menos importante es vertical, entonces tendrá lugar una fractura horizontal. Sin embargo, hay una creencia general en que las fracturas verticales se obtienen a profundidades mayores de 3000 ft. 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES

La Fig. 8.1 es un plano de un sistema cuadrado cerrado en cuyo centro hay un pozo con una fractura vertical. La longitud de fractura se ha exagerado para propósitos de la explicación. Generalmente, el fluido entra a la fractura a una rata de flujo uniforme por unidad de área de la cara de la fractura para que exista una caída de presión en la fractura. En este caso, la fractura se refiere a una “fractura de flujo uniforme”. Sin embargo, para algunas fracturas que tienen permeabilidad infinita (conductividad) y, por lo tanto, la presión es uniforme en todas partes. Excepto para fracturas con bastante contenido de material de sostén y fracturas conductivas, se piensa que la fractura de flujo uniforme representa mucho mejor la realidad que la fractura de conductividad infinita. 8.1.1. Comportamiento en Pruebas de Declinación

La presión adimensional en el pozo para el caso de una fractura de flujo uniforme es: ⎛ 1 PD = π t Dxf erf ⎜ ⎜ 2 t Dxf ⎝

⎞ 1 ⎛ ⎟ − Ei⎜ − 1 ⎟ 2 ⎜ 4t Dxf ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.1)

y para el caso de una fractura de conductividad infinita es: PD =

⎡ ⎛ 0.134 ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎟ + erf ⎜ 0.866 ⎟⎥ − 0.067 Ei⎜ − 0.018 ⎟ − 0.433Ei⎜ − 0.75 ⎟ πt Dxf ⎢erf ⎜ ⎜ t ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ tDxf ⎟⎥ 2 ⎢ ⎜⎝ t Dxf ⎟⎠ Dxf ⎠ ⎝ ⎝ Dxf ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

(8.2) donde;


326

Barrera de no flujo

Fractura vertical

Pozo

xf xe

Fig. 8.1. Representación esquemática de una fractura vertical.

t Dxf

⎛r = tD ⎜ w ⎜x ⎝ f

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.3)

Si tDxf < 0.1 en la Ec. 8.1 y tDxf < 0.1 en la Ec. 8.2, estas dos ecuaciones se convierten en:

PD = π tDxf

(8.4)

indicando que a tiempos tempranos el flujo dentro de la fractura es lineal. En unidades reales, la Ec. 8.4 se puede escribir así: Pw = Pi + mvf t

(8.5)

donde; mvf =

−4.064qB µ h kφ ct x 2f

(8.6)

es la pendiente de la gráfica Cartesiana de P vs. t1/2, que se puede usar para calcular:


327

1

Gráfico Horner para todos los tiempos de producción

m 0.12

Fcor

0.05 0.02 0.015 0.01 0.0075 0.005

Gráfico MDH 0.1

tpDA= 0.00 25

0.01 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Penetración de la Fractura, xe/xf

Fig. 8.2. Factor de corrección para kh estimado de pruebas de restauración de presión en pozos fracturados verticalmente 2

⎛ ⎞ −4.064qB ⎟ µ 2 ⎜ kx f = ⎜ hm ⎟ φ ct vf ⎠ ⎝

(8.7)

en la cual, el análisis semilog convencional aplica para tDxf > 10. Las Ecs. 8.1 y 8.2 se convierten, respectivamente en:

[

PD =

1 ln(t Dxf ) + 2.80907 2

PD =

1 ln (t Dxf ) + 2.2 2

[

]

]

(8.8)

(8.9)

Estas dos ecuaciones dan la presión adimensional para flujo pseudoradial, siempre que los efectos de frontera no se encuentren. En un yacimiento cerrado, el periodo de flujo pseudoradial de acción infinita solo se desarrolla completamente si xe/xf > 5.


328

Existe una relación aproximada entre el cambio de presión al final del periodo de flujo lineal, ∆Pel, y en el inicio de la línea recta semilog, ∆Pbsl:

∆ Psbl ≥ 2 ∆ Pel

(8.10)

Si esta relación no se cumple es por que se escogieron incorrectamente el periodo de flujo lineal o el periodo de flujo radial.

Nota: • Un gráfico de ∆P vs. tiempo en un papel log-log producirá una línea recta de media pendiente durante el periodo lineal. • El análisis anterior es válido para pruebas de declinación de presión y de inyección. 8.1.2. Comportamiento en Pruebas de Restauración (Falloff) En pozos fracturados verticalmente, las pruebas de restauración de presión o falloff son similares a pozos no fracturados. Sin embargo, la permeabilidad, estimada del gráfico Horner o MDH, debe ser corregida así: k = kc Fcor

(8.11)

donde; Fcor =

(kh )true (kh )apparent

(8.12)

qµ B mh

(8.13)

kc = 162.6

El factor de relación, Fcor, se toma de la Fig. 8.2. El gráfico Horner es fuertemente recomendado para análisis de datos de pozos fracturados verticalmente. Para usar la figura anterior, se necesita conocer xe/xf. xf es simplemente la longitud media del lado del cuadrado. xf es la longitud media de la fractura, la cual se puede estimar de: xf =

mqB 0.3187 qB mvf φct hFcor

Fcor se puede estimar mediante una técnica iterativa así:

Paso 1. Estime kxf2 de la Ec. 8.7.


(8.14)

329

Paso 2. Estime kc de la Ec. 8.13. Paso 3. Calcule k de la Ec. 8.11 usando un valor razonable de xe/xf (empezar en xf = 0.5xe) en la Fig. 8.2. Paso 4. Usar el valor de k del paso 3 para estimar xf en la Ec. 8.7. Paso 5. Este nuevo valor de xf se usa para calcular un nuevo xe/xf a ser utilizado en la figura. Este mejoraría la estimación de k. Paso 6. Este proceso continua hasta que dos valores sucesivos sean iguales. Si ambos periodos de flujo no se desarrollan, es necesario realizar un estimativo independiente de kc a partir de un pozo no fracturado cercano. Una técnica alterna para análisis de datos de prueba transiente en pozos fracturados es ajustar curvas tipo usando las Figs. 8.3, 8.4, y 8.5. La permeabilidad se estima de: k=

141.2qµ B ( PD ) M h ( ∆P ) M

(8.15.a)

y la longitud media de la fractura es: xf =

0.0002637k ( ∆t ) M φµ c ( tDxf )M t

(8.15.b)

Si todos los datos de la prueba caen sobre la línea de media pendiente en el gráfico de log ∆P vs. log ∆t, entonces la permeabilidad no se puede estimar mediante el ajuste de cualquier curva tipo o gráfico semilog. Esta situación ocurre con frecuencia en formaciones de gas apretadas, donde el periodo de flujo lineal puede durar por varios cientos de horas. Sin embargo, el último punto de los datos en la línea de media pendiente (o en la línea recta de ∆P vs. t1/2) se puede usar para estimar un límite superior de k: k ≤ α1

141.2qµB h∆P

(8.15.c)

y una longitud de fractura mínima es: xf ≥

0.0002637kt α 2φµ ct

donde: α1 = 0.215 para la fractura de conductividad infinita = 0.76 para la fractura de flujo uniforme α2 = 0.016 para la fractura de conductividad infinita = 0.16 para la fractura de flujo uniforme (∆P) y (t) = corresponden al último punto de datos Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

(8.16)

330

100

hD =

h rf

kr = 0 . 05 kz

0.1

0.8

10

0.6

0.2 0.3

0.4

0.5

PD

1 0.5 10

1

1.5

100

3

0.1

Pozo

h

0.01 0.001

0.01

kz

kr

rf

0.1

t Dxf

Fractura

1

10

100

0.0002637 kt = φ µ ct x 2f

Fig. 8.3. Presión adimensional para un pozo simple fracturado horizontal (flujo uniforme) en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo 10

Flujo uniforme

xf

Fin aproximado del periodo de media pendiente

1

PD

Conductividad infinita

0.1

0.01 0.001

0.01

0.1

1

2

10

100

2

t D(rw / xf )

Fig. 8.4. Presión adimensional para un pozo simple fracturado vertical en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo


331

100

10/7

2

10/3

xe/ xf

=1

5 10

10

PD

∞

Area de drene 2

1

A=4xe

2xf 2xe 0.1 0.01

0.1

1

10

t Dxf

0.0002637 kt = φ µ ct x 2f

100

1000

Fig. 8.5. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita.

8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES A tiempos de flujo tempranos, existe un periodo de flujo vertical lineal desde la formación hasta la fractura horizontal. Durante esos tiempos, la presión adimensional está dada por: PD = 2hD

t Drf

(8.17)

π

donde; hD =

t Drf

h rf

kr kz

⎛r ⎞ = tD ⎜ w ⎟ ⎜r ⎟ ⎝ f ⎠

(8.18)

2

(8.19)


332

100

1 f= /e x x

10/7

2

10/3

5

10

10

20

PD

∞ Area de drene 2

1

A=4xe

2xf 2xe 0.1 0.01

0.1

1

t Dxf

0.0002637 kt = φ µ ct x 2f

10

100

1000

Fig. 8.6. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de flujo uniforme A tiempos tempranos y para valores grandes de hD, se tiene una porción de línea recta con media pendiente. A valores bajos de hD, esta línea recta tiene pendiente unitaria, como se muestra en el gráfico log-log de PD vs. tDrf (Fig. 8.3). En unidades reales, la presión fluyendo durante declinación de presión o inyección, en un periodo de flujo lineal es:

Pwf = Pi + mHf t

(8.20)

donde;

mHF = −

2587 qB µ 2 rf k zφ ct

(8.21)

Así, un gráfico de Pwf vs. t1/2 (gráfica Cartesiana) tendría una porción de línea recta a tiempos tempranos con intercepto Pi (en t=0). La permeabilidad vertical kz se puede calcular de la Ec. 8.21 si rf es conocido. Generalmente, rf se calcula del ajuste de la curva tipo de la Fig. 8.3 así:


333

rf2 =

0.0002637 kr tM φ µ ct (t Drf ) M

(8.22)

La permeabilidad radial kr es calculada del análisis del periodo de flujo pseudoradial:

kr = 162.6

qµB mh

(8.23.a)

El valor de kz se puede también calcular del punto de ajuste: kz =

kr ⎛ h ⎜ rf2 ⎜⎝ hDM

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(8.23.b)

El valor de kr puede ser estimado de: kr =

1 kz

⎡141.2qµ B (PD / hD )M ⎤ ⎢ (∆P )M ⎥⎥⎦ rf ⎢⎣

(8.23.c)

Como dato, no existen estudios del comportamiento de la restauración de presión (falloff) en pozos fracturados horizontalmente.

Nota: El efecto de almacenamiento no se incluye en este análisis de fracturas hidráulicas. EJEMPLO Los datos de presión de restauración obtenidos después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico se muestran en la tabla 8.1. Las características del yacimiento son las siguientes:

q = 64.3 BPD φ=8% ct = 17.7x10-6 /psi

rw = 0.198 ft µ = 0.45 cp tp = 364 hrs

h = 51 ft B = 1.507 bbl/STB

1. Usando técnicas convencionales semilog y Cartesianas, encontrar: a. Permeabilidad b. Longitud media de fractura. c. Eficiencia de flujo d. Almacenamiento 2. Recalcular (a), (b), y (c) usando curvas tipo apropiadas de PD y PD’.


334

Tabla 8.1. Datos de presión de restauración

∆t, hrs Pws, psi ∆t0.5, hr0.5 0.0 1170 0.000 0.5 1329 0.707 1.0 1388 1.000 1.5 1464 1.225 2 1501 1.414 3 1570 1.732 4 1639 2.000 6 1748 2.449 10 1899 3.162 18 2075 4.243 27 2209 5.196 36 2304 6.000 45 2375 6.708 54 2434 7.348 63 2481 7.937 71 2516 8.426

∆P, psi (tp+∆t)/ ∆t t*∆P’, psi P', psi/hr 159 218 294 331 400 469 578 729 905 1039 1134 1205 1264 1311 1346

729.00 365.00 243.67 183.00 122.33 92.00 61.67 37.40 21.22 14.48 11.11 9.09 7.74 6.78 6.13

59.889 139.603 163.006 146.786 209.375 251.844 279.544 303.719 311.701 329.161 322.987 322.865 308.208 299.262 296.365

119.778 139.603 108.671 73.393 69.792 62.961 46.591 30.372 17.317 12.191 8.972 7.175 5.708 4.750 4.174

SOLUCION

1. Técnicas convencionales semilog y Cartesianas a. Permeabilidad de la formación. Un gráfico Horner para los datos dados en la tabla 8.1 se presenta en la Fig. 8.7. La pendiente es –510 psi/ciclo. La permeabilidad se puede estimar de la pendiente de la línea recta semilog, usando la siguiente ecuación: kc =

162.6qµB (162.6)(101)(0.45)(1.507) = = 0.52 md mh (510)(42)

Calcule la permeabilidad siguiendo paso a paso el procedimiento: Paso 1. Considerar xf/xe = 0.5. Paso 2. Leer el factor de corrección correspondiente de la Fig. 8.2, sobre la línea Horner. Fcor=0.46. Paso 3. De la Fig. 8.8, gráfico Cartesiano de ∆P vs. t0.5, la pendiente es mvf = 141.3 psi/hr0.5. Paso 4. Calcule:


335

3400

P*=3160 psi 3000

Pws, psi

2600

2200

m=

51

si/ 0p

lo cic

1800

1400

P1hr=1138 psi 1000 1000

100

10

⎛ tp + ∆t ⎞ ⎜ ⎟ ∆t ⎝ ⎠

1

Fig. 8.7. Grafico Horner 2600 5 0.

P ws, psi

2200

m

vf =

3 1. 14

r i /h ps

1800

1400

1000 0

2

4

6

8

t, hrs

Fig. 8.8. Grafico de Pws vs.

t

2

⎛ 4.064qB ⎞ µ kx = ⎜ ⎟⎟ ⎜ hm vf ⎝ ⎠ φ ct 2 f

2

⎛ (4.064)(101)(1.507) ⎞ (0.45) ⎟⎟ k ⋅ x 2f = ⎜⎜ = 3452.6 md − ft 2 −6 (42)(141.3) ⎝ ⎠ (0.08)(17.7 × 10 )


10

336

∆P, psi

10000

1000

100 0.1

1

∆t, hrs

10

100

Fig. 8.9. Grafico log-log de ∆P vs. ∆t

Paso 5. Aplique el factor de corrección para calcular una nueva permeabilidad:

k = kc Fcor = (0.52)(0.46) = 0.2392 md Paso 6. Calcule la longitud media de fractura:

xf =

kx 2f k

=

3452.6 = 120.14 ft 0.2392

Paso 7. Estimar xe, de: xe = 0.029

kt p

φµct

= 0.029

(0.2392)(364) = 339 ft (0.08)(0.45)(17.7 × 10 −6 )

Paso 8. Calcular la relación xf/xe:

x f 120.14 = = 0.356 xe 339 Repita el paso 2 al 7 para n iteraciones hasta que xf(i) ≈ xf(i-1). Después de 12 pasos, la permeabilidad es k = 0.475493 md. Ver la siguiente tabla:


337

Asumido xf/xe 0.5 0.356514 0.273349 0.201135 0.183353 0.179387 0.178525 0.178338 0.178298 0.178289 0.178287 0.178287

xe, ft

Fcor

k, md

xf, ft

337.9897 385.9966 449.9846 471.3004 476.4818 477.6316 477.8814 477.9355 477.9471 477.9497 477.9502 477.9503

0.45728 0.596406 0.810533 0.889141 0.908799 0.913190 0.914146 0.914352 0.914397 0.914407 0.914409 0.914409

0.237785 0.310131 0.421477 0.462354 0.472575 0.474859 0.475356 0.475463 0.475487 0.475492 0.475493 0.475493

120.4982 105.5117 90.50785 86.41439 85.47472 85.26894 85.22437 85.21473 85.21265 85.2122 85.2121 85.21208

Nuevo xf/xe 0.356514 0.273349 0.201135 0.183353 0.179387 0.178525 0.178338 0.178298 0.178289 0.178287 0.178287 0.178287

1000

P', psi/hr

100

10

1 0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 8.10. Gráfico log-log de la derivada de presión vs. tiempo b. Longitud media de fractura

xf =

kx 2f k

=

3452.6 = 85.2 ft 0.178287

c. Eficiencia de Flujo De la Fig. 8.7, P1hr = 1138 psi y usando Pwf = 1170 psi conocida, calcule el factor de daño usando la Ec. 4.10. Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

338

⎡1170 − 1138 ⎤ ⎛ ⎞ 0.671 s = 1.1513 ⎢ − log ⎜ + 3.2275⎥ = −4.37 −6 2 ⎟ ⎝ (0.08)(0.45)(17.7 x10 )(0.28) ⎠ ⎣ (320) ⎦ FE = 1 −

∆PS (0.87)ms (0.87)(510)(−4.37) ≈2 =1− ∗ =1− 3115 − 1170 P∗ − Pwf P − Pwf

d. Almacenamiento. Del gráfico log-log de ∆P vs. t (Fig. 8.9) se obtuvo el punto N (∆tN = 0.5 hr y ∆PN = 159 psi). Se puede calcular el coeficiente de almacenamiento de: C=

qB ∆t N (101)(1.507)(0.5) = = 0.02 bbl / psi 24 ∆PN (24)(159)

2. Técnica de ajuste por curva tipo I) Método PD a) Permeabilidad. Usando la Fig. 8.9 y Fig. 8.4 obtener el punto de ajuste M:

∆PM = 340 psi k=

∆tM = 10 hrs

(PD)M = 1.6

141.2qµBPDM (141.2)(101)(0.45)(1.507)(0.4) = = 1.08 md h∆PM (42)(340)

b) Longitud media de fractura. De la Fig. 8.5, tDxf = 1.4.

x 2f =

0.0002637 k ∆t M (0.0002637)(1.08)(10) = = 3196 ft 2 −6 t DxfM (0.08)(0.45)(17.7 ⋅ 10 )(1.45) φµct

xf = 56.5 ft II) Método P’D. Usando la Fig. 8.10 y las curvas tipo de las Figs. 8.11 a la 8.13 un punto de ajuste es: (P’ws)M = 11 psi P’SD = 0.4

∆tM = 10 hrs ∆txfD = 1.1


339

100

Fin del flujo lineal de conductividad infinita Fin del flujo lineal de flujo uniforme

P' D

10

1

0.1

Inicio del comportamiento infinito para mabas fracturas

0.01 0.001

0.01

0.1

∆txfD

1

10

100

Fig. 8.11. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento infinito 100

Fractura de flujo uniforme

P' sD

10

1

txfD=1 0.1

txfD=10

txfD=1000

txfD=100 0.01 1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

∆txfD

1.00E+01

1.00E+02

Fig. 8.12. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de flujo uniforme en un yacimiento infinito


340

100

Fractura de conductividad Infinita

P' sD

10

1

txfD=1 0.1

txfD=10

txfD=1000

txfD=100 0.01 1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

∆txfD

1.00E+01

1.00E+02

Fig. 8.13. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de conductividad infinita en un yacimiento infinito La permeabilidad, la longitud media de fractura y el factor de daño se determinan de las Ecs. 8.24 a la 8.26, respectivamente: 1. Permeabilidad: ⎛ P ' SD ⎜ ⎜ P 'WS ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠M

⎛ ∆ t xfD ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∆t ⎠ M

k =

141 . 2 q µ B h

k=

(141.2)(1014)(0.45)(1.507)(0.4)(1.1) = 0.42 md (51)(11)(10)

(8.24)

2. Longitud media de fractura

x 2f =

xf =

0.0002637 k tM φµct t DxfM (0.0002637 )(0.42)(10) = 56.4 ft (0.08)(0.45)(17.7 ⋅10 − 6 )(1.1)


(8.25)

341

3. Eficiencia de Flujo.

s = ln

2rW xf

s = ln

2(0.28) = −4.6 56.4.

FE = 1 −

(8.26)

∆Ps (0.87)ms (0.87)(320)(−4.6) =1− ∗ =1− = 2.72 P − Pwf P − Pwf 3115 − 2370 ∗

(8.27)

8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS El producto de la permeabilidad de la fractura y la longitud de la fractura (kfw) se conoce como conductividad de la fractura. La conductividad de la fractura adimensional se expresa matemáticamente como:

C fD =

kf w k xf

(8.28)

La expresión anterior se puede también encontrar multiplicada por π. Sin embargo, se acostumbra, en análisis de pruebas de pozo, a usarse como está dada en la Ec. 8.28. La fractura de flujo uniforme es uno de los conceptos introducidos en la literatura para la interpretación de datos de pruebas de pozo en pozos fracturados. Este tipo de conductividad asume que el flujo del yacimiento hacia la fractura es uniforme y una pequeña caída de presión se presenta a lo largo de la fractura. Este tipo de conductividad se puede observar en fracturas con alto daño causado por una zona de baja permeabilidad alrededor de la fractura. Una fractura de conductividad infinita tiene una conductividad tal que la caída de presión a lo largo de la fractura se considera de cero. En un gráfico log-log, este tipo de fractura es identificado mediante una pendiente media sobre los datos tempranos en la presión y derivada de presión. Una fractura se considera que tiene conductividad infinita cuando su conductividad de fractura es mayor que 300. Por otro lado, la fractura posee conductividad finita la cual se identifica en un gráfico log-log mediante una pendiente de ¼ de los datos tempranos. Una pendiente ½ puede o no mostrarse después. Una fractura de conductividad finita implica una caída de presión a lo largo de la fractura. Esta caída de presión contribuye a la formación de un flujo lineal simultáneo en la fractura y un flujo lineal desde la formación hasta la fractura como se representa en la Fig. 8.14.b. Este régimen de flujo simultáneo se conoce como flujo bilineal. La larga duración del flujo, ocasiona una baja conductividad de fractura. El análisis convencional para este tipo de fracturas requiere ajuste de curvas tipo. Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

342

Para fracturas de conductividad infinita, Tiab mostró que la relación de la longitud, xe, con la longitud de fractura, xf, tiene cierta influencia sobre el patrón de flujo, ver la Fig. 8.26. Teóricamente, si xe = xf, solo una pendiente ½ se observará indicando la presencia de puro flujo lineal en la formación. Sin embargo, como el incremento de xe/xf en la línea recta de pendiente unitaria es corto, entonces se forma una pendiente 0.36. Esto es debido al flujo biradial, como lo llama Tiab. Otros autores lo han llamado flujo elíptico. Cuando, la relación xe/xf ≥ 16, únicamente se observa la pendiente 0.36. La Fig. 8.14.a presenta el comportamiento de la rata de flujo en una fractura con diferentes conductividades.

8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P vs.

∆P =

hf

4

∆t )

44.1qµB t 0.25 0.25 k f w (φµct k )

De la pendiente de la gráfica:

hf k f w =

44.1qµB t 0.25 0.25 mbf (φµct k )

Para este caso, xf se puede expresar también usando el procedimiento de ensayo y error mencionado antes.

8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P vs.

∆P =

∆t )

4.064qB µt hf x f φct k

hf x f =

µ 4.064qB mlf φct k

C fD = 0.0125

telf tblf

donde telf y tblf son los tiempos para final e inicio del flujo lineal.


343

3

q fD = 2.5

xD =

2 q ( x, t ) x f qw

x xf CfD 300 30 6 3 0.6

q fD

2

1.5

1

0.5

Fractura de flujo uniforme

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xD

Fig. 8.14.a. Distribución de flujo a lo largo de una fractura 10

1

PD

CfD 0.1 0.5 1 5 10 50 100 500

0.1

0.01

0.001 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

t Dxf

Fig. 8.14.b. Curva tipo de Cinco-Ley


1.E+00

344

8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) Cinco y otros formularon un modelo para estudiar el comportamiento de la presión en fracturas de conductividad finita. Este modelo es quizá uno de las más importantes contribuciones a la literatura de pruebas de pozos. Esta curva tipo esta dada en la Fig. 8.14.b. Del punto de ajuste, se pueden obtener los parámetros de fractura y yacimiento. Obtenga primero la permeabilidad: ( PD ) M =

kh(∆P ) M 141.2qµB

(8.29)

La longitud de fractura se puede solucionar de: (t D ) M =

0.0002637 kt M φµct x 2f

(8.30)

La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28: (C fD ) M =

kf w k xf

Use la Fig. 8.32 o la Ec. 8.31 (por análisis semilog) para estimar el factor de daño:

⎛ P −P ⎞ ⎛ k ⎞ ⎟ − 3.23 ⎟ s = 1.1513⎜⎜ 1hr i − log⎜⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ φµct rw ⎠ ⎝ m ⎠

(8.31)

EJEMPLO Con los siguientes datos y los de la tabla 8.2 de una prueba de presión, encontrar permeabilidad, factor de daño, longitud de fractura y conductividad de la fractura.

φ = 30 % µ = 0.85 cp rw = 0.25 ft

h = 30 ft B = 1.65 rb/STB

ct = 2x10-6 /psi q = 250 BPD

SOLUCION De acuerdo a la curva tipo dada en la Fig. 8.15, se tiene: (∆P)M = 100 psi ∆tM = 100 hrs

(PD)M = 0.47 (tD)M = 1.6

(CfD)M = 2


345

100

10000

PUNTO DE AJUSTE ∆P=100 psi, P D = 0.47 ∆t = 100 hrs, t D = 3.3 10

∆P, psi

P D, psi

1000

1

100

0.1 0.01

0.1

1

10

100

t D, hr 10 0.1

1

10

100

1000

t, hr

Fig. 8.15. Ajuste por curva tipo

Tabla 8.2. Datos de prueba de presión para un pozo fracturado

t, hr ∆P, psi 0.25 57 0.5 68 1 79 2.5 106 5 134 10 168 20 210 30 238

t, hr 40 50 60 70 80 90 100 150

∆P, psi 261 280 298 311 321 334 343 384

Encontrar permeabilidad de la Ec. 8.29, así:

0 .47 =

k ( 30 )(100 ) luego k = 7.76 md 141 .2 ( 250 )( 0 .85 )(1 .65 )

La longitud media de la fractura se calcula usando la Ec. 8.30:


1000

346

1.6 =

0.0002637(7.76)(100) (0.3)(0.85)(2 × 10 −6 ) x 2f

xf = 158.4 ft La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28: 2=

kf w (7.76)(158.4)

kfw = 7720 md-ft Usando la Ec. 10.34, s = –5.65.

8.7. CURVAS TIPO CON ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)

k=

141.2qµB ( PD C fD ) M h(∆P ) M (C fD ) M

xf =

2 0.0002637 kt M (C fD ) M φµct (t Dxf C 2fD ) M

(8.32)

La conductividad de fractura adimensional está dada por: C fD = kx f (C 2fD ) M

(8.33)

Si la fractura está dañada y una porción de la prueba se supone en flujo bilineal, se puede ajustar una gráfica log-log de ∆Pwf y ∆P’wf vs. t. El almacenamiento se puede determinar mediante:

C=

0 .2339 qB (t ) M [ F1 ( PD )] M (∆P ) M [ F2 (t Dxf )] M

(8.34)

La conductividad de fractura es: 0.4 C ⎧141.2qµB[ F1 ( PD )]M ⎫ kf w = 2 ⎬ ⎨ h φct k ⎩ (∆P ) M ⎭

3


347

1.E+03

CD 10000 5000 2000 1000 500 200 100 50 20 10 5 0

F 1(P D) y t Dxf F1'(PD)

1.E+02

1.E+01

1.E+00

t Dxf F1 '( PD ) =

1.E-01

F1 ( PD ) = 1.E-02 1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

F2 (t Dxf ) =

1.E+02

(k w)

1.E+03

(k f w) 2D/ 3 dPD C 1/fD3 dt Dxf

(k f w) 2D/ 3 C1/fD3 1.E+04

PD 1.E+05

2/3 f D Dxf 4/3 fD

C

t

Fig. 8.16. Curva tipo de Wong y otros para pozo vertical con fractura de conductividad finita, almacenamiento y daño bajo condiciones de flujo bilineal


348

w

Pozo

Fractura

Espesor

Impermeable boundaries

xf

Fig. 8.17. Esquema de una fractura ideal

8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE

TECHNIQUE

PARA

POZOS

Esta sección trata sobre el análisis de datos de pruebas tomados de pozos que han sido fracturados hidráulicamente. En un principio, el fracturamiento hidráulico llegó a ser en una buena manera para incrementar la productividad de los pozos completados en yacimientos de baja permeabilidad. Sin embargo, últimamente, se ha convertido en una práctica común gracias a su impacto para incrementar la productividad del pozo y remover el daño. El propósito de las pruebas de pozos fracturados es determinar las propiedades de fractura y yacimiento para proporcionar una valoración efectiva del tratamiento de fractura y predecir una productividad a largo plazo para el yacimiento

8.8.1. Simulación de Fracturas Cuando un pozo es fracturado hidráulicamente, la presión se eleva en la formación hasta su agrietamiento. Un fluido que contiene arena o material de sostén es entonces colocado en la grieta. El fluido se separa de las partículas sólidas (arena) dentro de la formación y al retirarlo la fractura se cierra pero con el material de sostén adentro de modo que la fractura no cierra completamente. La Fig. 8.17 representa una fractura ideal. La meta del fracturamiento es abrir más el área superficial de la cara del pozo sin perforar otro pozo. Puesto que mayor área del yacimiento está en comunicación directa con la cara del pozo, un gran volumen de fluido puede producirse dentro de la cara del pozo por unidad de tiempo, resultando en un incremento de la rata de producción. Básicamente, el fracturamiento incrementa el radio efectivo de la cara del pozo:


349

1.E+01

EL estado pseudoestable arranca aprox. a tDA=0.12 para todos los xe/xf xe/xf`=5 xe/xf`=7 xe/xf`=10 Fin aproximado del periodo de media pendiente

xe/xf=15 FIn del periodo de media pendiente paraxe/xf=1

xe/xf`=3

PD

1.E+00

xe/xf`=2 xe/xf`=1.5

Area de drene A=(2xe) 2

xe/xf`=1

1.E-01

xf

/2 =1 pe o l S

xe

1.E-02 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t DA

Fig. 8.18. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un sistema cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita Pozo a caudal constante

10

CfD=Conductividad adimensional de lafractura

1

CfD=0.1

5 CfD=

PwD

.5 CfD=0 CfD=1 0.1

CfD=10

CfD=50 CfD=100

0.01

CfD=500

PwD =

kh∆P 141.2q µ B

aceite

PwD =

kh∆( P 2 ) 1424qµ zT

gas

PwD =

kh[∆m( P)] 1424qT

gas

t Dxf =

0.0002637kt φ µ ct x 2f

C fD = 0.001 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

t Dxf

Fig. 8.19. Fractura vertical de capacidad infinita


kf w k xf 1.E+00

350

a) Flujo lineal en la fractura

b) Flujo bilineal

d) Flujo lineal en la formación c) Flujo pseudoradial

Fig. 8.20. Regímenes de flujo que gobiernan el comportamiento de la presión en un pozo interrumpido por una fractura vertical de capacidad finita

r 'w =

xf = rw e − s 2

(8.35)

El fracturamiento no altera la permeabilidad del yacimiento pero si altera la permeabilidad promedio del sistema. El análisis de presiones de una prueba en un pozo fracturado requiere del uso de curvas tipo las cuales han sido generadas analíticamente. Dichas soluciones están basadas en una de estas tres suposiciones:

• • •

Fractura de conductividad infinita, Fractura de flujo uniforme, o Fractura de conductividad finita.

Las curvas tipo para una fractura de conductividad infinita se muestran en la Fig. 8.18. Las curvas tipo para una fractura de conductividad finita se presentan en la Fig. 8.19. A menos que la permeabilidad de la formación sea extremadamente baja, por ejemplo en el rango microdarcy, la reacción de la presión, para la mayoría de los pozos fracturados, parece ser representativa de un sistema de fractura de conductividad finita. Tomando como base esta observación, únicamente el sistema de fractura de conductividad finita es considerado en esta sección. En esta sección, el término “fractura” se refiere a fractura de conductividad finita.


351

8.8.2. Regimenes de Flujo en Fracturas Después de que un pozo ha sido fracturado, un nuevo grupo de regímenes de flujo es producido. Los principales regímenes de flujo se presentan en la Fig. 8.20 y son los siguientes:

• • • •

Flujo lineal en la fractura Flujo bilineal (fractura y formación) Flujo lineal en la formación (o elíptico) Flujo pseudoradial

Para sistemas de fractura de conductividad infinita y flujo uniforme únicamente el tercer y cuarto régimen de flujo son evidentes en los datos de presión. El flujo lineal en la normalmente ocurre a un tiempo muy temprano, puesto que éste es normalmente enmascarado por los efectos del almacenamiento. El inicio del flujo pseudoradial puede ocurrir a un tiempo que económicamente no es factible de alcanzar, y por ende no puede ocurrir a ningún tiempo durante una prueba de pozo. Para determinar kh del yacimiento, es necesario que el yacimiento este en flujo radial. Sin embargo si la fractura es de conductividad finita y se observan las pendientes de un medio y un cuarto, es posible obtener la permeabilidad del punto de intersección entre éstas líneas. Esto únicamente es posible por medio de la Tiab’s Direct Synthesis Technique. De modo que, si un análisis de una prueba de un pozo fracturado es requerido, es importante que una prueba de prefracturamiento se desarrolle para determinar kh del yacimiento, si se usan métodos convencionales o curvas tipo. Si esto no ocurre, un análisis único de los datos puede no ser posible, ya que existen dos incógnitas: permeabilidad del yacimiento y longitud de la fractura. Si los efectos del almacenamiento duran una cantidad de tiempo significativa, es posible que el primero de los tres regímenes de flujo sean enmascarados. Si ésto ocurre, el análisis para determinar la longitud de la fractura no es posible. En este caso, el éxito del tratamiento de fractura tendrá que ser determinado usando el factor de daño calculado. Como regla general, una fractura es exitosa si el factor de daño es reducido a menos de -3. Si los efectos del almacenamiento son de vida corta, entonces los análisis de flujo bilineal o flujo lineal se pueden usar para determinar la longitud de fractura y su conductividad. Para análisis de pozos fracturados, se usa un nuevo grupo de parámetros adimensionales. Estos son el tiempo adimensional para un pozo fracturado, tDxf, y la conductividad de fractura adimensional CfD. Estos se definen así:

tDf =

0.0002637 k ∆t φ µ ct x 2f


(8.36)

352

C fD =

k f wf

(8.37)

k xf

8.8.3. Análisis de Flujo Bilineal La ocurrencia del flujo bilineal está caracterizada por una pendiente de 1/4 en un gráfico log-log de presión y su derivada. Ver Fig. 8.21. Esta gráfica indica que el flujo bilineal ocurrió para más de un ciclo log. Como resultado, se puede concluir que la pendiente de 1/4 es válida y puede ser analizada para determinar la longitud media de fractura. El comportamiento de la presión durante el periodo de flujo bilineal se modela usando la siguiente ecuación:

PD =

2.45 1/ 4 t Dxf C 1fD/ 2

(8.38)

En unidades de campo, la ecuación de la reacción de la presión es:

∆P =

44.13qµ B∆t 1/ 4 1/ 2 1/ 4 h(k f w f ) (φ µ ct k )

(8.39)

Cuando la pendiente de 1/4 es evidente en un gráfico log-log, los datos puedes ser regraficados en un papel lineal de P versus t1/4. La pendiente, mbf de una línea recta. Esta puede ser usada para determinar la conductividad de la fractura así:

⎛ 44.13qµ B ⎞ ⎟ kf w = ⎜ ⎜ m h(φ µc k )1/ 4 ⎟ t ⎝ bf ⎠

2

(8.40)

Con el anterior valor de kfw, el valor para CfD puede ser determinado. El siguiente paso es calcular un valor de PD para cualquier P, usando:

PD =

kh∆P 1412 . qµ B

(8.41)

Usando los valores para PD y CfD, el gráfico log-log se puede ajustar a las curvas tipo apropiadas y obtener los valores correspondientes para t y tDxf. El valor para xf es calculado usando la Ec. 8.36. Para verificar que los datos que fueron examinados realmente estaban en flujo bilineal, debe calcularse el rango de tiempo para la existencia del flujo bilineal. Teóricamente, el flujo bilineal ocurre para un tiempo adimensional de:


353

1E+4

Flujo radial

∆P y t*∆P', psi

1E+3

Flujo lineal 1E+2

1E+1

Flujo Bilineal 1E+0 1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

1E-1

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

t, hr

Fig. 8.21. Gráfico log-log de los datos de presión durante flujo bilineal y flujo lineal

t Dxf =

0.1 C 2fD

C fD > 16

⎛ 4.55 ⎞ t Dxf = ⎜ 1/ 2 − 2.5 ⎟ − 4 ⎜C ⎟ ⎝ fD ⎠

(8.42)

C fD < 16

(8.43)

8.8.4. Análisis de Flujo Lineal La ocurrencia de formación de flujo lineal está caracterizada por una pendiente de un 1/2 en la gráfica log-log de la presión y derivada de presión. Este régimen de flujo será normalmente evidente y analizable para fracturas con muy alta conductividad (CfD > 300). El inicio de del régimen de flujo lineal ocurre en:

t Dxf C 2fD = 100

(8.44)

Si se obtienen los datos que exhiben la pendiente de un medio en la gráfica log-log, entonces el análisis sigue los mismos pasos que el flujo bilineal. Se pueden emplear las curvas log-log de la Fig. 8.19. Las ecuaciones que gobiernan el análisis de flujo lineal están basadas en la ecuación de respuesta de la presión durante este régimen de flujo:


354

CIADA DE PRESION ADIMENSIONAL, PD

1.E+02

CfD 0.1 500

1.E+01

Fractura de baja conductividad 1.E+00

CASO I

C

m=1/4

m=1/2 J

B

1.E-01

Umbral del flujo pseUdoradial

I 1.E-02

CASO II m=1/4

1.E-03

A F

G

H

Fractura de alta conductividad

L 1.E-04 1.E-10

1.E-08

1.E-06

1.E-04

1.E-02

1.E+00

1.E+02

TIEMPO ADIMENSIONAL, tDxf

Fig. 8.22. Comportamiento típico presión adimensional vs. tiempo adimensional en pozos fracturados PD = (π t Dxf )1/ 2

(8.45)

En unidades de campo, la Ec. 8.45 es:

qB P = 4.064 hx f

1/ 2

⎛ µ ∆t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ φ ct k ⎠

(8.46)

Así, la gráfica de P versus t1/2 producirá una línea recta de pendiente mlf, de:

qB mlf = 4.064 hx f

1/ 2

⎛ µ∆t ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ φ ct k ⎠

(8.47)

La Ec. 8.47 se puede usar para determinar xf. Para verificar que los datos usados para el análisis realmente representan flujo lineal, el rango válido de datos ocurre durante: 100 < t Dxf < 0.016 C 2fD

(8.48)

Tomando como base el tiempo al cual el flujo lineal termina, tDxf = 0.016, es posible estimar la permeabilidad de la formación. En el final del flujo lineal, los datos de P versus ∆t1/2 se desvían de la línea recta. Usando el tiempo de esta desviación con las Ecs. 8.36, y 8.37 producirá:


355

∆P y t*∆P, psi

10000

1000

100

10 0.001

0.01

0.1

1

10

100

Tiempo, hr

Fig. 8.23. Puntos de presión y derivada de presión 40700

icl o

39700

7.5

37700

m= 71

Presión, KPa

ps

i /c

38700

36700

35700

P 1hr=75125 KPa

34700

33700

32700

31700 10000

1000

100

10

(tp+∆t)/∆t

Fig. 8.24. Gráfico Horner


1

356

42500

40500

0.25

si/hr 405 p mbf =

Presión, KPa

38500

36500

34500

32500

30500 0

0.5

1

1.5

(∆t)

0.25

2

2.5

3

0.25

, hr

Fig. 8.25. Gráfico Cartesiano de presión vs. (∆t)1/4

k = 100.1

qµ B hmlf telf

(8.49)

En la Ec. 8.49, telf representa el tiempo al final de flujo lineal.

8.8.5. Análisis de Flujo Pseudoradial Después de que ha pasado un periodo suficiente de tiempo, y si las fronteras del yacimiento no influyen el comportamiento de la presión, el flujo comienza a converger radialmente hacia el sistema pozo – fractura. Este periodo es el periodo de flujo pseudoradial y comenzará realmente después de un tiempo adimensional de:

t Dxf > 2.5 para C fD baja

(8.50)

t Dxf > 5 para C fD alta

(8.51)

Este periodo es llamado periodo de flujo pseudoradial debido a que es idéntico al caso de yacimiento radial pero con un factor de daño negativo causado por la presencia de la fractura. Durante este periodo el comportamiento de la presión está descrito por: Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

357

⎛ x 2f ⎞ PD = 0.5 ln⎜ t Dxf 2 ⎟ + 0.404 + s ⎜ rw ⎟⎠ ⎝

(8.52)

Si se alcanza el flujo pseudoradial, entonces las técnicas convencionales (por ejemplo, semilog) pueden usarse. La Fig. 8.22 muestra el comportamiento general de un pozo con una fractura vertical de conductividad finita para dos casos: Caso I: comportamiento de la fractura de baja conductividad, por ejemplo CfD=0.1 y Caso II: fractura que tiene una alta capacidad de almacenamiento y alta conductividad, por ejemplo CfD=500. Esta figura muestra que el comportamiento de la presión a tiempos tempranos de un pozo con una fractura de conductividad finita incluye varios regímenes de flujo. Un breve resumen de las características de esos regímenes son: (a) Inicialmente, es una fractura de flujo lineal caracterizada por una línea recta de pendiente ½ (no mostrada en la figura debido a que generalmente es muy corta). Los puntos A, F y L, realmente representan el final de este régimen de flujo. (b) Después de un periodo de transición, las curvas muestran un periodo de flujo bilineal, indicado por una línea recta de pendiente ¼. Los segmentos B-C y G-H representan este régimen. La línea de flujo bilineal no es probable sin embargo es observada en el caso de una alta conductividad de la fractura. (c) Como el tiempo incrementa, un periodo de flujo lineal en la formación podría desarrollarse, y puede ser identificado mediante una línea recta de pendiente 0.5. El segmento I-J (caso II) representa una fractura con alta conductividad CfD >300. (d) Eventualmente, en ambos casos, el sistema alcanza el régimen de flujo radial.

EJEMPLO Usando los siguientes datos y los datos de prueba de presión dados en la tabla 8.1, encontrar la permeabilidad., factor de daño, y conductividad de la fractura para una fractura del yacimiento.

q = 1100 BPD B = 1.37 rb/STB h = 18 ft

φ = 15 % rw = 0.328 ft ct = 1.3x10-5 psi-1

µ = 0.53 cp Pwf = 4668.9 psi tp = 22.3 hrs

SOLUCION Se construyeron tres gráficos para trabajar este ejemplo. Un gráfico de presión y derivada de presión, un gráfico Horner y uno de presión vs. ∆t1/4 los cuales se presentan en las Figs. 8.23, 8.24 y 8.25, respectivamente. Los puntos de derivada de presión fueron estimados usando la Ec. 1.63 y un factor de ajuste de 0.2. Los siguiente parámetros fueron leídos de las gráficas. Del gráfico de Horner:


358

Tabla 8.3. Datos de prueba de presión t, hr 0.0000 0.0030 0.0056 0.0093 0.0111 0.0139 0.0167 0.0194 0.0222 0.0250 0.0279 0.0306 0.0333 0.0361 0.0389 0.0417 0.0444 0.0472 0.0500 0.0528 0.0556 0.0583 0.0611

P, Kpa 32191 32342 32494 32670 32814 32979 33144 33306 33476 33642 33912 33982 34155 34329 34507 34665 34861 35042 35202 35384 35568 35751 35937

t, hr 0.0639 0.0667 0.0833 0.100 0.117 0.133 0.150 0.167 0.183 0.200 0.217 0.233 0.317 0.400 0.483 0.567 0.650 0.733 0.817 0.900 1.067 1.233 1.400

P, Kpa 36121 36306 37031 37339 37490 37592 37683 37770 37843 37906 37962 38010 38225 38312 38489 38603 38687 38783 38878 38985 39061 39107 39148

t, hr 1.570 1.730 1.900 2.067 2.233 2.400 2.567 2.733 2.900 3.067 3.233 3.400 3.533 3.733 3.900 4.067 4.233 4.400 4.567 4.733 4.900 5.067 5.233

P, Kpa 39197 39259 39304 39349 39398 39438 39495 39535 39593 39627 39655 39669 39693 39704 39720 39764 39755 39766 39782 39795 39809 39824 39835

t, hr 5.38 5.40 5.57 5.73 5.90 6.07 6.40 6.90 7.40 7.90 9.40 9.90 9.40 9.90 10.40 10.90 11.40 11.90 12.40 12.90 13.40 13.90 14.40

P, Kpa 39852 39851 39865 39881 39933 39945 39939 39972 40008 40043 40073 40103 40135 40163 40186 40211 40235 40262 40263 40315 40335 40359 40360

t, hr 14.90 15.40 15.90 16.40 16.90 17.40 17.90 18.40 18.90 19.40 19.90 20.40 20.90 21.40 21.90 22.40 22.90 23.90 24.90 25.90 26.90 27.90 28.90

P, Kpa 40402 40421 40443 40462 40462 40503 40524 40540 40561 40591 40597 40616 40635 40653 40669 40684 40703 40734 40765 40804 40829 40855 40882

t, hr 29.90 30.90 31.90 32.90 33.90 34.90 35.90 36.90 37.90 38.90 39.90 40.90 41.90 42.90 43.90 44.90 45.90 46.90 47.90

P, Kpa 40909 40934 40961 40986 41012 41033 41055 41060 41099 41119 41148 41161 41161 41203 41218 41235 41253 41271 41286

De la gráfica semilog, m = 717.5 psi/ciclo, P1hr = 5125 psi y P* = 6106 psi. Del gráfico bilineal mbf = 405 psi/hr0.25. De la Ec. 4.7:

k=−

162.6qµB (162.6)(1100)(0.52)(1.37) = = 9.9 md mh (717.5)(18)

De la Ec. 4.2; ⎡ 5125 − 4668.9 ⎤ ⎛ ⎞ 9.9 ⎟ + 3.2275⎥ = −4.7 − log⎜⎜ s = 1.1513⎢ −5 2 ⎟ 717.5 ⎝ (0.15)(0.53)(1.3x10 )(0.328 ) ⎠ ⎣ ⎦

Lo cual indica un tratamiento de fractura exitoso. Usando la Ec 8.40:


359

2

2

⎞ ⎛ 44.13qµ B ⎞ ⎛ 44.13(1100)(0.53)(1.37) ⎟ = 7308.33 md − ft ⎟ =⎜ kf w = ⎜ ⎜ m h(φ µc k )1 / 4 ⎟ ⎜ (405)(18) 4 (0.15)(0.53)(1.3x10− 5 )(9.9) ⎟ t ⎝ bf ⎠ ⎝ ⎠

8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS

POZOS

Esta sección presenta la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación de gráficas log-log de presión y derivada de presión sin usar curvas tipo para el ajuste. Para el caso de una fractura de flujo uniforme, los gráficos de derivada de presión para varias relaciones xe/xf revelan tres regímenes de flujo dominantes. Durante tiempos tempranos el flujo de fluidos es lineal y puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.5. La línea de flujo lineal es usada para calcular la longitud media de la fractura. El régimen de flujo radial de acción infinita, el cual puede ser identificado por una línea recta horizontal, es dominado por xe/xf > 8. Este régimen de flujo es usado para calcular permeabilidad y daño. La tercera línea recta, la cual corresponde al régimen de flujo pseudoestable y presenta una pendiente unitaria. Esta línea es usada para calcular el área de drene y el factor de forma. Para el caso de fractura de conductividad infinita, los gráficos de derivada de presión muestran un cuarto régimen de flujo dominante, llamado aquí como flujo biradial. Este régimen de flujo, el cual puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.36, puede también ser usado para calcular la longitud media de fractura y la permeabilidad. 8.9.1. Introducción

Puthigai y Tiab extendieron la aplicación de a función de derivada de presión a pozos fracturados verticalmente en un yacimiento infinito. Ellos hicieron uso de ajuste por curvas tipo para interpretar esta función. Fueron investigados los modelos de fracturas de flujo uniforme y de conductividad infinita. Wong y otros analizaron el comportamiento de las curves de derivada de presión ara un pozo con una fractura de conductividad finita, daño y almacenamiento durante condiciones de flujo bilineal. Chukwu usó la técnica de ajuste por curvas tipo para analizar la presión y derivada de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Tiab introduce una nueva técnica para la interpretación de pruebas de transiente de presión, llamada Tiab’s Direct Synthesis Technique la cual usa los gráficos log-log de presión y derivada de presión versus tiempo para calcular parámetros de yacimiento tales como daño, almacenamiento, permeabilidad, y longitud media de fractura sin usar la técnica de ajuste con curvas tipo y empleando ciertas “huellas digitales” halladas en el gráfico de presión y derivada de presión. El propósito de esta sección es aplicar la Tiab’s Direct Synthesis Technique para un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado. Las suposiciones usuales a aplicar, son por ejemplo que el medio poroso es isotrópico, horizontal, homogéneo,


360

uniforme en espesor y tiene permeabilidad constante. Además, la fractura penetra completamente la extensión vertical de la formación y es la misma longitud en ambos lados del pozo. La caída de presión adimensional de un pozo ubicado en el centro de una fractura de plano vertical en un yacimiento limitado puede ser generalizada así: tDA

PD = 2π

⎛ ⎞ ∞ ⎛y ⎞ ∫ ⎡⎢1+ 2 ∑ exp⎜⎜ −4 n2π 2 ⎜⎜ xe ⎟⎟ t 'DA ⎟⎟⎤⎥ 0 ⎣ n =1 ⎝ ⎝ e⎠ ⎠⎦

⎡ ⎢⎣

⎛ ⎞⎛ sin mπ x f / xe ⎞ ∞ ⎛y ⎞ ⋅ 1+ 2 ∑ exp⎜ −4 m2π 2 ⎜ e ⎟t 'DA ⎟⎜ ⎟ cos( mπ xD x f / xe ) ⎜ ⎟ ⎟⎝⎜ mπ x f / xe ⎠⎟ m =1 ⎝⎜ ⎝ xe ⎠ ⎠

]

′ dtDA

(8.53)

donde el tiempo adimensional y la presión del pozo adimensional son definidas por las siguientes ecuaciones: t DA =

PD =

0.0002637 kt φ µ ct A

(8.53.a)

kh ∆P 141.2q µ B

Donde ∆P es igual a Pi - Pwf para pruebas de declinación de presión y Pws - Pwf (∆t=0) para pruebas de restauración de presión. La presión de pozo adimensional de un flujo uniforme se puede obtener de la Ec. 8.53 a xD = 0. Asumiendo una geometría cuadrada, por ejemplo xe = ye, y una fractura de flujo uniforme, la derivada de la Ec. 8.53 con respecto al tiempo adimensional tDA es: ⎡ ⎤ ∞ P ' D = 2π ⎢1+ 2 ∑ exp( −4 n 2π 2tDA ) ⎥ ⎢ ⎥ n =1 ⎣ ⎦

⎡ ∞ sin mπ x f / xe ⎤ ⎢1+ 2 ∑ exp( −4 m2π 2t ) ⎥ DA ⎢ ⎥ m π x / x f e ⎦ m =1 ⎣

(8.54)

La presión adimensional de un pozo interceptado por una fractura vertical de conductividad infinita se puede obtener de la Ec. 8.53 a xD = 0.732. La derivada de la presión de pozo adimensional para un cuadrado es: ⎡ ⎤ ∞ P ' D = 2π ⎢1+ 2 ∑ exp( −4 n 2π 2t DA ) ⎥ ⎢ ⎥ n =1 ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ∞ ⎢1+ 2 ∑ exp( −4 m 2π 2t )⎜⎛ sin mπ x f / xe ⎟⎞ cos (0.732 mπ x / x ) ⎥ DA ⎜ f e ⎥ ⎢ ⎟ m =1 ⎝ mπ x f / xe ⎠ ⎣ ⎦

(8.55) Se pueden derivar ecuaciones similares para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento rectangular. Por lo tanto, para un rectángulo dos a uno, simplemente el grupo xe = 2ye en la Ec. 8.53 y entonces tomar la derivada con respecto a tDA. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional para pozos fracturados verticalmente en el Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

361

centro de un sistema cerrado ha sido ya discutido por Gringarten y otros. Chukwu generó curvas tipo para varios sistemas rectangulares usando funciones de presión y abogando a las técnicas de ajuste de curvas tipo, como una herramienta para el análisis de pruebas de transiente de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Los problemas con el ajuste de curvas tipo son bien conocidos como lo puntualizó Tiab y por lo tanto no serán discutidos aquí. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional y la derivada de presión versus el tiempo tiene varias características únicas que pueden ser usadas para interpretar pruebas de presión de pozo sin la necesidad de la técnica de ajuste de curvas tipo. 8.9.2. Características de una Fractura de Flujo Uniforme

La Fig. 8.26 muestra un gráfico log-log de la presión y el grupo de derivada de presión versus el tiempo adimensional para tres valores de xe / xf. Estas curvas tienen varias características únicas, que pueden ser usadas para interpretar las pruebas de transiente de presión en pozos fracturados sin usar el ajuste con curvas tipo. 100


P D y t DA*P D'

10

f=8

xe/x

f=4

1

xe/x

Flujo radial

xe/xf=1

0.1

Flujo lineal 0.01 0.0001

0.001

Flujo uniforme 0.01

0.1

1

10

tDA Fig. 8.26. Fractura de Flujo Uniforme en un Cuadrado 1) Para fluidos a tiempos cortos de producción el flujo en la fractura es lineal. La duración de este régimen de flujo es una función de la relación de penetración xe/xf. La ecuación correspondiente a esta línea recta a tiempos tempranos es:


362

⎛ ⎜x t DA P ' D = 1.772 ⎜ e ⎝ xf

⎞ ⎟ ⎟ t DA ⎠

(8.56)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación producirá: ⎛ π xe log(t DA * P'D ) = 0.5 log t DA + log⎜ ⎜ xf ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.57)

La pendiente de esta línea recta es 0.5, la cual es de por si una característica única del régimen de flujo lineal. Sustituyendo por los términos adimensionales en la Ec. 8.56 y solucionado para la derivada de presión del pozo se tiene: t * ∆P ' = 0 . 5 m L t

(8.58)

⎞ µ qB ⎛ ⎟ mL = 4.064 ⎜ 2 h ⎜⎝ φµ ct k x f ⎟⎠

0..5

(8.59)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.24: log (t * ∆P ') = 0.5 log t + log (0.5mL )

(8.60)

Esta expresión muestra que un gráfico de t*∆P’ medido versus tiempo en un gráfico log-log producirá una línea recta de pendiente 0.5 si el régimen de flujo lineal es el dominante. Permitir que (t*∆P’)L1 sea el valor del producto t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta de flujo lineal (extrapolada, si es necesario); entonces combinando las Ecs. 8.58 y 8.59 y solucionando para la longitud media de fractura xf se obtiene:

xf

2.032 Bq = h ( t *∆P ') L 1

⎛ µ ⎜ ⎜φ c k ⎝ t

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0.5

(8.61)

La ecuación de la porción de línea de flujo lineal de la curva de presión es: ∆P = m L t

(8.62)

Sea (∆P)L1 el valor de ∆P en la línea recta (extrapolada si es necesario) a un tiempo t=1 hr. Así, después sustituyendo por mL de la Ec. 8.62, se tiene:


363

xf

qB = 4.064 h ( ∆P ) L1

⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜φc k ⎟ ⎝ t ⎠

0.5

(8.63)

Se puede derivar una expresión útil mediante la combinación de las Ecs. 8.58 y 8.62 a un tiempo t = 1 hr: ( t * ∆P ') L 1 = 0.5( ∆P ) L 1

(8.64)

Generalmente, las condiciones cercanas a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo lineal. En tal caso, se debe calcular la longitud media de la fractura de la línea de pendiente ½ de la curva de presión, usando la Ec. 8.63. Entonces, calcular (t*∆P’)L1 de la Ec. 8.64 y dibujar una línea recta de pendiente 0.5 a través de este punto. Esta línea corresponde a la línea de flujo lineal de la curva de derivada de presión. 2) Siguiendo el régimen de flujo lineal es la línea de flujo radial de acción infinita (horizontal), como se muestra en la Fig. 8.26. Este régimen de flujo es dominante solo si la relación de penetración xe/xf es mayor que 8. La ecuación correspondiente a esta segunda línea recta está descrita por: t DA * P'D = 0.5

(8.65)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para la permeabilidad producirá: k =

70.6 q µ B h ( t *∆P ') r

(8.66)

donde el subíndice r se usa para línea de flujo radial. 3) Para tiempos de producción largos, la función derivada de presión producirá una línea recta de pendiente unitaria. Esta línea corresponde al régimen de flujo del estado pseudoestable, comienza en un valor de tDA de aproximadamente 0.2. La ecuación de esta línea recta es: t DA * P'D = 2π t DA

(8.67)

Sustituyendo por los términos adimensionales se obtiene:

⎛ ⎞ qB ⎜ ⎟t t * ∆P ' = ⎜ ⎟ ⎝ 4.27φ ct A ⎠


(8.68)

364

Esta expresión puede ser usada para calcular el área de drenaje por la obtención de (t*∆P’)p1 de la gráfica y resolviendo la Ec. 8.68 para A. (t*∆P’)p1 es el valor de la derivada a un tiempo de t=1 hr en la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). 4) La presión adimensional durante el flujo en estado pseudoestable es una función lineal del tiempo adimensional. La ecuación correspondiente a este régimen es: PD = 2π tDA + ln( xe / x f ) ln

2.2458 CA

(8.69)

Tomando la relación de las Ecs. 8.69 y 8.67 se tiene: ⎛ PD 1 ⎜x = 1+ ln e t DA *P ' D 2π t D ⎜ x f ⎝

⎞ 2.2458 ⎟ C A ⎟⎠

(8.70)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para el factor de forma CA se tiene:

CA

CA

⎛ ⎜x = 2.2458⎜ e ⎝ xf ⎛ ⎜x = 2.2458⎜ e ⎝ xf

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ ⎢⎣

2

⎞ ( ∆P ) ps 0.000527 kt ps ⎛ ⎟ ⎜ 1− ⎟ exp ⎜ φµ ct A ⎝ ( t *∆P ' ) ps ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎤ ⎥⎦

(8.71.a)

2

si (∆P)ps = (t*∆P’)ps

(8.71.b)

Donde tps es cualquier tiempo conveniente durante la porción de línea del estado pseudoestable de las curvas. (∆P)ps y (t*∆P’)ps son valores de ∆P y t*∆P’ correspondientes a tps, respectivamente. 5) El punto de intersección de la línea del flujo lineal y la línea del flujo radial de acción infinita es único. Las coordenadas de este punto se puede obtener mediante la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.65, y resolviendo para el tiempo adimensional producirá

t DALRi

1 = 4π

⎛x ⎜ f ⎜x ⎝ e

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2


(8.72)

365

Donde el subíndice L y R representan lineal y radial, respectivamente; e i intersección. Sustituyendo la Ec. 8.53.a, donde A=4xe2, dentro de esta ecuación y despejando la relación xf2/k, se obtiene: x 2f k

=

t LRi 1207φµ ct

(8.73)

Esta ecuación preferiblemente debería ser usada para verificar la exactitud de los valores de permeabilidad y la longitud media de fractura obtenidos de las Ecs. 8.66 y 8.61, respectivamente. 6) La línea de flujo lineal y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

t DALPi

1 ⎛⎜ xe ⎞⎟ = 4π ⎜ x f ⎟ ⎝ ⎠

2

(8.74)

Esta ecuación es obtenida por la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.67. El subíndice L y P corresponden para lineal y pseudoestable, respectivamente. Sustituyendo para el tiempo adimensional de la Ec. 8.53.a se tiene: 2

kx f =

7544 φµ ct A 2 t LPi

(8.75)

Esta ecuación se puede usar para propósito de verificación o para calcular k dado que xf es conocido. 7) La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable a tiempos tardíos interceptan en:

t DARPi =

1 4π

(8.76)

Sustituyendo la Ec. 8.53.a en la Ec. 8.76 y despejando para A se tiene: A =

kt RPi 301.77φ µct

(8.77)

8) Combinando las Ecs. 8.72, 8.74 y 8.76, se puede ver que los tiempos de intersección de las líneas rectas correspondientes a los tres regímenes de flujo están relacionados por la siguiente relación:


366

t LRi t RPi = = t RPi t LPi

⎛ ⎞ t LRi ⎜x ⎟ =⎜ e ⎟ t LPi ⎝ xf ⎠

2

(8.78)

Esta expresión se puede usar para propósitos de verificación. También se usa cuando se diseña una prueba de transiente de presión en un pozo interceptado por una fractura vertical. 9) El factor de daño se puede calcular de: ⎧ ∆P ⎫ ⎛ k tR ⎞ ⎪ ( ⎪ )r ⎬ 7.43 s = 0.5 ⎨ − ln ⎜ + ⎟ 2 ⎜ φµ c r ⎟ ⎪⎩ ( t *∆P ' )r ⎪⎭ t w ⎠ ⎝

(8.79)

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y (∆P)r es el valor de ∆P correspondiente a tr. 10) El efecto del almacenamiento en pozos fracturados verticalmente usando la Tiab’s Direct Synthesis Technique la será discutida por separado. Sin embargo, si se observa línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento es observada, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab se pueden aplicar para calcular el coeficiente de almacenamiento. Por lo tanto, del punto de intersección de la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. El coeficiente de almacenamiento es: ⎛ kh C = ⎜⎜ ⎝ 1695 µ

⎞ ⎟t ⎟ USRi ⎠

(8.80)

donde tUSRi es el tiempo de intersección de las dos líneas rectas. 8.9.3. Características de una Fractura de Conductividad Infinita

La Fig. 8.27 es un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tDA para una fractura vertical de conductividad infinita dentro de un sistema cuadrado. Esta figura muestra la existencia de cuatro líneas rectas: (a) la línea de flujo lineal de pendiente 0.5, (b) línea de flujo biradial de pendiente 0.36, (c) línea de flujo radial de acción infinita (línea horizontal), y (d) línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente unitaria. Para xe/xf > 8, el régimen de flujo lineal es casi inexistente, y la línea de flujo biradial es observada primero. Para xe/xf < 8, es la línea de flujo radial la que desaparece. Únicamente las características del régimen de flujo biradial serán discutidas aquí. Las características e interpretación de los otros tres regímenes de flujo


367

(lineal, radial y pseudoestable) son las mismas que se discutieron anteriormente para fractura de flujo uniforme. 100


P D y t DA*PwD'

10

6 f=1 xe/x 1

f=4 xe/x

Flujo radial

xe/xf=2 flujo biradial

0.1

Flujo bilineal 0.01 0.0001

0.001

Conductividad infinita

0.01

tDA

0.1

1

10

Fig. 8.27. Fractura de conductividad infinita en un cuadrado 1) La ecuación de la línea de flujo biradial es: ⎛ ⎞ ⎜x ⎟ t DA * P' D = 0.769⎜ e ⎟ ⎝ xf ⎠

0.72 0.36

t DA

(8.81)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación produce:

log (t DA * P ' D ) = 0.36 log t DA

0.72 ⎡ ⎛ xe ⎞ ⎤⎥ ⎢ + log 0.769⎜ ⎟ ⎢ ⎜ xf ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣

(8.82)

La Ec. 8.81 fue derivada tomando los puntos correspondientes a esa línea recta, y entonces aplicando un análisis de regresión multivariada, la Ec. 8.81 se convierte en: ⎛ ⎜x t * ∆P ' = 0.769C BR ⎜ e ⎝ xf

2

⎞ 0.36 ⎟ ⎟ t ⎠


(8.83)

368

donde:

C BR

qµ B = 7.268 kh

⎛ k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ φµ c A ⎟ t ⎠ ⎝

0.36

(8.84)

Tomando el logaritmo de la Ec. 8.83 se tiene:

⎛ ⎛x log(t * ∆P ') = 0.36 log t + log⎜⎜ 0.7699CBR ⎜ e ⎜x ⎜ ⎝ f ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0.72

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

(8.85)

Así, la línea de flujo biradial se puede identificar por su pendiente de 0.36. Es importante no confundir esta línea biradial con la línea de flujo lineal debido a que sus pendientes (0.5 y 0.36) son relativamente cercanas. Sea (t*∆P’)BR1 el valor de t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.83 se puede usar para calcular la longitud media de fractura xf si el régimen de flujo lineal no es observado:

x f = 0.694 x e

⎡ ⎣

CBR (t *∆P ') BR 1

⎤ ⎦

1.388

(8.86)

Donde CBR es calculado de la Ec. 8.84, y la permeabilidad de la línea de flujo radial de acción infinita (Ec. 8.65). 2) Estos tiempos de intersección de la línea de flujo biradial y a línea de flujo lineal se puede determinar por combinación de las Ecs. 8.66 y 8.81:

t DALBRi

⎛x f = 0.00257 ⎜⎜ x ⎝ e

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.87)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para xf2/k produce:

x 2f k

=

t LBRi 39φµct

(8.88)

Si el flujo radial de acción infinita está bien definido, calcular k de la Ec. 8.32, entonces calcular la longitud media de la fractura de la Ec. 8.61 (si el régimen de flujo lineal es dominante) o de la Ec. 8.86 (si el régimen de flujo biradial es mucho más dominante). Sin embargo para xe /xf <8, el régimen de flujo radial de acción infinita es de vida muy


369

corta o esencialmente inexistente. En este caso, la permeabilidad puede ser calculada de:

k =

⎛ 12.67 qµB ⎞ ⎜ h t *∆P ' ⎟ ) L1 ⎠ ⎝ (

1 t LBRi

(8.89)

Esta ecuación fue derivada por combinación de las Ecs. 8.61 y 8.88. 3) Para xe /xf > 8 el régimen de flujo lineal no es generalmente dominante y por lo tanto la línea recta correspondiente a este régimen no será observada. En este caso es mejor usar el tiempo de intersección de la línea de flujo biradial y la línea de acción infinita para verificar los valores de k y xf:

t DARBRi

⎛ xf ⎞ ⎟ = 0.3023⎜⎜ ⎟ x ⎝ e ⎠

2

(8.90)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para la relación xf2/k dada: x2 f

k

=

t RBRi 4587φµ ct

(8.91)

Esta ecuación también puede usarse para calcular la longitud media de fractura xf, si k puede ser determinada de la línea de acción infinita, por ejemplo la Ec. 8.88. 4) El tiempo de intersección de la línea de flujo biradial y la línea de estado pseudoestable se puede obtener combinando las Ecs. 8.81 y 8.67:

t DAPBRi

⎛ ⎞ ⎜ xe ⎟ = 0.03755⎜ ⎟ ⎝ xf ⎠

1.125

(8.92)

Sustituyendo el tiempo adimensional y resolviendo para k se tiene: 142.3φµct A ⎛⎜ xe ⎞⎟ k = ⎜x ⎟ t PBRi ⎝ f ⎠

1.125

(8.93)

5) Varias relaciones útiles se pueden derivar mediante la combinación de las ecuaciones del tiempo de intersección. Por lo tanto, combinando las Ecs. 8.88 y 8.91 se tiene:


370

100


t DA*P D'

10

4:1R Cuadrado

1

xe/xf=16

Flujo radial xe/xf=4

0.1

Flujo lineal Flujo uniforme 0.01 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

tDA Fig. 8.28. Fractura de flujo uniforme en un cuadrado y un rectángulo 4:1

t RBRi = 117.6 t LBRi

(8.94)

De las Ecs. 8.90 y 8.92 se puede derivar:

t RBRi

⎛x ⎞ f ⎟ = 8⎜⎜ ⎟ ⎝ xe ⎠

2.125

t PBRi

(8.95)

Estas ecuaciones se pueden usar para propósitos de verificación o para diseño de pruebas de transiente de presión. 8.9.4. Sistemas Rectangulares

Para un sistema rectangular, la transición entre el flujo radial de acción infinita y el flujo de estado pseudoestable, para ambos tipos de fractura, es mucho más largo que para uno cuadrado. Para un rectángulo 4:1, por lo tanto, este periodo de transición producirá una línea recta de pendiente 0.5, como muestra la Fig. 8.28. Esta línea recta corresponde al efecto de dos fronteras paralelas cerradas. La ecuación de esta línea recta es:


371

t DA * P'D = 3.545 t DA

(8.96)

Sustituyendo por los términos adimensionales se tiene: t * ∆P ' = mCB t

(8.97)

Donde el subíndice CB corresponde a las fronteras paralelas cerradas, y mCB está dada por:

m CB

qB = 8.128 h

⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ φ c kA ⎟ t ⎝ ⎠

0.5

(8.98)

Sea (t*∆P’)CB1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario). Luego, se despeja permeabilidad o el área de drene de las Ecs. 8.97 y 8.98. Si la línea de flujo radial de acción infinita no es observada, tal como cuando xe/xf < 8, entonces la permeabilidad es: ⎞ ⎛ qB ⎟ k = 2.85 ⎜⎜ ⎟ ⎝ h ( t *∆P ') CB 1 ⎠

0.5

⎛ µ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜φ c A⎟ ⎝ t ⎠

0.25

(8.99)

Las ecuaciones para el tiempo de intersección de la línea de fronteras paralelas cerradas con las otras líneas, por ejemplo la línea de flujo radial de acción infinita y la línea de flujo del estado pseudoestable se pueden derivar fácilmente mediante la combinación de las Ecs. 8.65 y 8.67, respectivamente, con la Ec. 8.96. La línea de fronteras paralelas cerradas y la línea de flujo lineal a tiempos tempranos tienen la misma pendiente, 0.5. Sin embargo, las constantes 1.772 (Ec. 8.56) y 0.769 (Ec. 8.81) cambian con una relación del lado largo al lado corto, ye/xe. Esto afectará las ecuaciones del tiempo de intersección involucradas con las líneas de frontera biradial y lineal. 8.9.5. Procedimientos

Una prueba de transiente de presión en un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado, producirá todas las líneas rectas necesarias para calcular la longitud media de fractura, permeabilidad, daño, área de drene y factor de forma a partir de las técnicas convencionales. Sin embargo, en muchos casos las pruebas son muy cortas para observar la línea de flujo de estado pseudoestable, o la línea del régimen de flujo lineal no está bien definida debido a la falta de puntos, tales como cuando la relación de penetración xe/xf es muy alta. En tales casos, el ajuste con curvas tipo fue la única alternativa para las técnicas convencionales. Sin embargo, aún con la adición de la curva de derivada de presión, encontrando un ajuste único mediante una simple


372

comparación de formas es todavía uno de los principales problemas de la técnica de ajuste con curvas tipo. La técnica propuesta aquí se ilustra para el caso de un pozo fracturado en un cuadrado. CASO 1 FRACTURA CON FLUJO UNIFORME

El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso ideal donde todas las líneas rectas necesarias están bien definidas. Paso 1 – Grafique los valores de cambio de presión del pozo (∆P) y de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo. La presencia de una línea recta de pendiente 0.5 (régimen de flujo lineal) seguida por una línea recta horizontal (régimen de flujo radial) indica que el pozo está interceptado por una fractura de flujo uniforme. Una tercera recta de pendiente 0.5 indica un sistema cerrado. Paso 2 – Lea el valor de (t*∆P’)r correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita. Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66. Paso 4 – Obtener el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr de la línea de flujo lineal (extrapolada si es necesario), (t*∆P’)L1. Paso 5 – Calcular la longitud media de fractura xf de la Ec. 8.61. Si la porción de línea de flujo lineal de (t*∆P’) es muy corta o muy distorsionada por el efecto de la cercanía a la cara del pozo y ruido, entonces xf podría ser determinada de la línea de pendiente ½ de ∆P, usando la Ec. 8.63. Use la Ec. 8.64 para dibujar la línea de pendiente ½ de la curva de derivada de presión. Paso 6 – Determinar el tiempo de intersección de la línea de flujo lineal y radial de la gráfica, por ejemplo tLRi , usando la curva (t*∆P’). Paso 7 – Calcule la relación xf2/k de la Ec. 8.73. Luego calcule esta relación usando valores de k y xf obtenido en los pasos 3 y 5, respectivamente. Si las dos relaciones son aproximadamente iguales, entonces los valores de k y xf son correctos. Si esas relaciones son significativamente diferentes, trasladar una o ambas líneas rectas, y repetir los pasos del 2 al 7 hasta que las relaciones sean iguales. Generalmente, los valores de derivada de presión durante el régimen de flujo lineal probablemente son más distorsionados debido a problemas mecánicos, almacenamiento y daño. Por consiguiente, si la línea de flujo radial de acción infinita está bien definida, entonces la línea de flujo lineal es probablemente la única que se pudiese trasladar. Un traslado hacia la izquierda disminuirá el valor de xf y un traslado hacia la derecha lo incrementará. Paso 8 – Lea el valor de (t*∆P’)p1 de la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). Calcule el área de drene usando la Ec. 8.68. Paso 9 – Obtenga el tiempo de intersección de la línea de acción infinita y la línea de estado pseudoestable, tRPi, de la gráfica, y calcule A de la Ec. 8.77. Si los dos valores de A en los pasos 9 y 10 son aproximadamente iguales, entonces A es correcta. Si éstos son claramente diferentes entonces trasladar hacia la izquierda o derecha y repetir los pasos 8, 9 y 10 hasta que la Ec. 8.68 y 8.77 den los mismos valores de A.


373

Paso 10 – Seleccionar cualquier valor conveniente de tiempo tr durante el periodo de acción infinita y leer el valor correspondiente de (∆P)r; luego calcule el factor de daño de la Ec 8.79. Paso 11 – Leer el valor de ∆P y (t*∆P’) correspondiente a cualquier tiempo tps durante la porción de flujo de estado pseudoestable de las curvas, y calcular el factor de forma CA de la Ec. 8.71.

La Fig. 8.26 muestra que para xe/xf < 8 el régimen de flujo radial de acción infinita no es el dominante. Así no se puede dibujar la línea horizontal correspondiente a este régimen de flujo. En este caso usar los siguientes pasos: 1. Calcular la longitud media de fractura de la línea de flujo lineal (Pasos 4 y 5 del Caso 1). 2. Use la línea de flujo de estado pseudoestable para calcular A (Pasos 8 y 9 del caso 1). 3. Calcule la permeabilidad del tiempo de intersección de las dos líneas rectas y de la Ec. 8.75. Calcule el valor de (t*∆P’)r de la Ec. 8.66, entones calcular el factor de daño de la Ec. 8.79 (Paso 10). CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA A. Régimen de Flujo Lineal Si todas las tres líneas rectas usadas en el Caso 1, la línea de flujo lineal, línea de flujo radial de acción infinita y línea de flujo de estado pseudoestable, están disponibles, entonces el paso 11 del procedimiento usado para analizar una prueba de transiente de presión en una fractura de flujo uniforme es exactamente la misma que para una fractura de conductividad infinita. B. Régimen de Flujo Biradial En muchas pruebas la porción de línea de flujo lineal de curva de la fractura de conductividad infinita es muy corta o inexistente, como se muestra en la Fig. 8.28 para relaciones xe/xf altas. Así solo las líneas biradial, de acción infinita, y de estado pseudoestable pueden ser observadas. En este caso el siguiente procedimiento es recomendado. Paso 1 - Grafique ∆P y (t*∆P’) versus tiempo de prueba en una gráfica log-log, y trace las líneas rectas necesarias, por ejemplo la línea de flujo biradial de pendiente 0.36, la línea de acción infinita (horizontal) y la línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente 1. Paso 2 – Igual que el Paso 2 del Caso 1. Paso 3 - Igual que el Paso 3 del Caso 1. Paso 4 - Igual que el Paso 8 del Caso 1. Paso 5 - Igual que el Paso 9 del Caso 1. Paso 6 – De la línea de flujo biradial (extrapolada si es necesario) leer el valor de (t*∆P’)BR1 a un tiempo t = 1 hr.


374

1000

(∆P)r=105.5 (t*∆P')L1=105.5

∆P y t*∆P'

100

(t*∆P')r=105.5

tLRi=1.2

10

1 0.01

tr=48

0.1

1

10

100

1000

Tiempo, hr

Fig. 8.29. Curvas de presión y derivada de presión Paso 7 – Calcule el término CBR de la Ec. 8.84, luego calcule la longitud media de fractura xf usando la Ec. 8.86. Paso 8 – De la gráfica, determine el tiempo de intersección de la línea de flujo radial y la línea de flujo biradial, tRBRi, luego calcule xf2/k de la Ec. 8.91. Paso 9 - Calcular xf2/k usando los valores de k y xf obtenidos en los Pasos 3 y 7, respectivamente. Si los Pasos 8 y 11 dan el mismo valor de xf2/k, entonces los valores de k y xf son correctos. Si éstos son diferentes, entonces traslade una o ambas líneas rectas (biradial y de acción infinita), y repetir los Pasos 2, 3, 6, 7, 8 y 9 hasta que los Pasos 8 y 9 den el mismo valor de xf2/k. Paso 10 – Igual al Paso 10 del Caso 1. Paso 11 – Igual al Paso 11 del Caso 1. C. Regímenes de Flujo Lineal y Biradial La Fig. 8.27 indica que para xe/xf = 2, ambas líneas de flujo lineal y flujo biradial pueden observarse. En este caso, la escogencia del procedimiento depende de cual de las dos líneas está mejor definida. La Fig. 8.27 también muestra que para 1

375

Tabla 8.4. Datos de Presión t, hrs

P, psi

0.010000 0.012023 0.014454 0.017378 0.020893 0.025119 0.030200 0.036308 0.043652 0.052481 0.063096 0.075858 0.091201 0.109648 0.131826 0.158489 0.190546

5180.516 5178.636 5176.577 5174.322 5171.855 5169.160 5166.224 5163.033 5159.574 5155.836 5151.809 5147.480 5142.837 5137.868 5132.556 5126.883 5120.828

t*∆P’, psi 9.23087 10.54014 11.72241 12.82671 14.01576 15.28467 16.62967 18.04506 19.52534 21.06790 22.67274 24.34180 26.08251 27.90302 29.81587 31.83841 33.98632

t, hrs

P, psi

0.229087 0.275423 0.331131 0.398107 0.478630 0.575440 0.691831 0.831764 1.000000 1.202264 1.445440 1.737801 2.089296 2.511886 3.019952 3.630780 4.365158

5114.365 5107.467 5100.102 5092.232 5083.817 5074.815 5065.183 5054.879 5043.873 5032.142 5019.680 5006.494 4992.606 4978.053 4962.879 4947.134 4930.874

t*∆P’, psi 36.27736 38.73384 41.37633 44.22563 47.29661 50.59502 54.11097 57.81682 61.66244 65.58171 69.50258 73.34374 77.03471 80.51626 83.74402 86.69314 89.34966

t, hrs

P, psi

t*∆P’, psi

5.248075 6.309573 7.585776 9.120109 10.964780 13.182570 15.848930 19.054610 22.908680 27.542290 33.113110 39.810720 47.863010 57.543990 69.183100 83.176380 100.00000

4914.153 4897.025 4879.542 4861.749 4843.691 4825.404 4806.922 4788.276 4769.489 4750.584 4731.580 4712.492 4693.335 4674.118 4654.853 4635.546 4616.205

91.71316 93.79619 95.61336 97.18816 98.54471 99.70423 100.69316 101.53187 102.24115 102.84031 103.34314 103.76627 104.12099 104.41843 104.66756 108.80341 120.18258

EJEMPLO

Los datos de presión dados en la tabla 8.4 corresponden a una prueba de declinación de presión en un pozo fracturado altamente productivo. La derivada de presión para esta prueba fue estimada mediante la Ec. 1.63 y sus datos se reportan en la tabla 8.4. Otros datos conocidos del yacimiento y el pozo son: q = 2000 STB/D ct = 14.8x10-6 psi-1 rw = 0.4 ft

φ = 0.24 B = 1.5 bbl/STB Pi = 5200 psi

µ = 0.3 cp h = 50 ft

SOLUCION Paso 1 – La Fig. 8.29 muestra una grafica log-log de ∆P y (t*∆P’) versus tiempo. La curva de derivada de presión muestra la existencia de tres líneas rectas. La primera línea recta de pendiente 0.5 correspondientes al régimen de flujo lineal. La pendiente 0.5 corresponde al régimen de flujo lineal. La pendiente de la segunda línea recta es aproximadamente 0.36. Así, esta fractura de altamente conductiva puede es tratada como si tuviera conductividad infinita. La tercera línea recta es horizontal y corresponde al régimen de flujo radial de acción infinita. El pozo no fue probado por bastante tiempo para observar la línea de estado pseudoestable. La Fig. 8.29 muestra donde esta línea se ubicaría si el pozo hubiera sido probado por más tiempo y por lo


376

tanto xe = 660 ft. Puesto que la línea correspondiente al régimen de flujo de estado pseudoestable no es observada, el procedimiento presentado en el Caso 2 es modificado como sigue: Paso 2 – De la línea (horizontal) de flujo radial de acción infinita en la Fig. 8.29: (t*∆P’)r =105.5 psi Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66.

k=

70.6q µ B 70.6(2000)(0.3)(1.5) = = 12 md h ( t ⋅ ∆P ' ) r 50(105.5)

Paso 4 – De la línea del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 a un tiempo t = 1 hr: (t*∆P’)L1 = 97 psi Paso 5 - Calcule la longitud media de fractura de la Ec. 8.61.

2.032 Bq ⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ xf = h(t * ∆P ')L1 ⎜⎝ φct k ⎟⎠

0.5

=

⎤ 2.032(2000)(1.5) ⎡ 0.3 ⎢ ⎥ −6 50(97) ⎣ 0.24(14.8 × 10 )(12) ⎦

0.5

= 105.4 ft

Paso 6 – Seleccione cualquier tiempo conveniente tr durante el periodo de flujo radial de acción infinita y lea el valor correspondiente de ∆P: tr = 48 hrs (∆P)r = 507 psi Paso 7 - Calcular el factor de daño de la Ec. 8.79.

⎡ 507 ⎤ ⎛ ⎞ 12 ⋅ 48 ⎟ + 7.43⎥ = −4.85 s = 0.5⎢ − ln⎜⎜ −6 2 ⎟ ⎝ (0.24)(0.3)(14.8 × 10 )(0.4) ⎠ ⎣105.5 ⎦ Paso 8 - Verificación a) Calcule la relación respectivamente.

x 2f k

=

xf2/k usando el valor de k y xf en los pasos 3 y 5,

105.42 = 927.5 ft 2 md 12

b) Calcule la relación xf2/k de la Ec. 8.73, donde tLRi = 1.2 hr (de la Fig. 8.29): x 2f k

=

t LRi 1.2 = = 933 ft 2 md 1207φµci 1207 ⋅ 0.24 ⋅ 0.30 ⋅ 14.8 ⋅ 10− 6

Puesto que los dos valores de xf2/k son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores de k, xf y s son correctos.


377

8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA

Esta sección amplia la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación del comportamiento de los datos de presión y derivada de presión de un pozo interceptado por una fractura hidráulica de conductividad finita. En esta técnica son analizados gráficos log-log de datos de presión y derivada de presión de una prueba de declinación o restauración de presión sin usar ajustes con curvas tipo o procedimientos de regresión. Un gráfico log-log de presión y derivada de presión versus tiempo de prueba para un pozo fracturado en un sistema cerrado puede revelar la presencia de varias líneas rectas correspondientes a diferentes regímenes de flujo; flujo bilineal, flujo lineal, flujo radial de acción infinita, y flujo de estado pseudoestable. Las pendientes y puntos de intersección de estas líneas rectas son únicos y por lo tanto pueden ser usados para calcular varios parámetros de pozo, yacimiento y fractura: permeabilidad, factor de daño, coeficiente de almacenamiento, conductividad de la fractura, longitud media de la fractura y área de drene. Se encontró que las ecuaciones correspondientes a los puntos de intersección son muy útiles en el chequeo de parámetros obtenidos de las pendientes, cuando la curva de derivada de presión no es suavizada. Se deriva una nueva ecuación para calcular (a) longitud media de fractura en la ausencia de una línea recta de régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de fractura de baja conductividad, (b) conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c) factor de daño en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta. Cinco-Ley y otros presentaron una técnica para la interpretación de datos de transiente de presión para pozos interceptados por una fractura vertical de conductividad finita. Ellos demostraron que si la conductividad de la fractura adimensional, CfD, es menor que 300, tal como en fracturas muy largas y fracturas de muy baja capacidad, pues la conductividad de la fractura no puede ser considerada infinita. Cinco-Ley y Samaniego desarrollaron un método para analizar datos de presión a tiempos tempranos para un pozo con una fractura de conductividad finita. Este método está basado en el régimen de flujo bilineal, el cual está caracterizado por una línea recta de pendiente 0.25 en un gráfico log-log de caída de presión versus tiempo. Este periodo de flujo está presente cuando el flujo lineal dentro de la fractura y el flujo lineal dentro de la fractura y la formación ocurren simultáneamente. La formación de la línea de flujo lineal de pendiente = 0.5 es observada después del flujo lineal. Wong, Harrington y Cinco-Ley presentaron curvas tipo para presión y derivada de presión para el análisis de datos de transiente de presión para pozos con fractura de conductividad finita. Ellos desarrollaron un método de ajuste con curvas tipo para casos sin almacenamiento y sin efectos de daño.


378

8.10.1. Características de Fracturas de Conductividad Finita

Considere un pozo fracturado verticalmente produciendo de una formación horizontal, homogénea e isotrópica. La permeabilidad es constante, el espesor es uniforme, y la fractura tiene la misma longitud en ambos lados del pozo. La teoría general y las ecuaciones del comportamiento de la presión para un pozo fracturado bajo condiciones de flujo bilineal tal como fueron presentadas por Cinco-Ley y Samaniego y Wong, Harrington y Cinco-Ley se aplican aquí. Asumiendo que el pozo fracturado está produciendo por largo tiempo para observar el comportamiento de acción infinita, y que los efectos de daño y almacenamiento son dominantes, entonces el gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión versus tiempo producirá características únicas, las cuales puede ser usadas para analizar pruebas de transiente de presión mediante Tiab’s Direct Synthesis Technique. La Fig. 8.30 muestra un gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo adimensional para varios valores de conductividad de fractura, para efectos de esfuerzos despreciables, y sin efectos de daño y almacenamiento. El efecto del daño y el almacenamiento en tal gráfica se muestran el la Fig. 8.31. De estas figuras se pueden identificar varias características únicas. Estas son: (1) La línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento, (2) La línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, (3) La línea de flujo lineal de pendiente 0.5, y (4) La línea horizontal a tiempos tardíos que corresponde al régimen de flujo radial. 8.10.2. Régimen de Flujo Bilineal

Cinco-Ley y Samaniego fueron los primeros en discutir las características de este régimen de flujo. Es llamado flujo “bilineal” debido a que es el resultado de dos regímenes de flujo lineal. Un régimen de flujo es el flujo lineal incompresible de la fractura y el otro régimen de flujo es el flujo lineal compresible en la formación, como se muestra en la Fig. 8.20. Ellos mostraron matemáticamente que el flujo bilineal existe siempre que: (a) La mayoría del fluido que entra a la cara del pozo viene de la formación, y (b) Los efectos de la fractura no afectan el comportamiento del pozo. Durante el régimen de flujo bilineal mostrado en la Fig. 8.22, el comportamiento de la presión adimensional del pozo está dado por: ⎛ 2.451 ⎞ ⎟t 0.25 PD = ⎜ ⎜ C fD ⎟ Dxf ⎝ ⎠

(8.100)

Combinando las Ecs. 8.100, 8.36, 8.37 y 8.39 y despejando el cambio de presión del pozo, ∆P, se tiene:


379

∆P = mBLt 0.25 mBL =

(8.101)

44.13 ⎛⎜ qµB ⎞⎟ (φµct k )0.25 ⎜⎝ h k f w f ⎟⎠

(8.102)

El subíndice “BL” representa el término bilineal. Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.101 se tiene: log ∆P = 0.25 log t + log mBL

(8.103)

Esta expresión indica que un gráfico de ∆P versus tiempo en una gráfica log-log producirá una porción de línea recta de pendiente 0.25, si el régimen de flujo bilineal es dominante tal como en fracturas de conductividad finita con capacidad de almacenamiento adimensional pequeña, por ejemplo CfD < 300. Sea (∆P)BL1 el valor de ∆P a un tiempo t = 1 hora en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.103 se vuelve: (∆P) BL1 = mBL

(8.104)

Combinado las Ecs. 8.102 y 8.104 y resolviendo para la conductividad de la fractura, por ejemplo kfwf, se tiene:

1 k f w f = 1947.46 φµct k

⎛ qµB ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ h(∆P ) BL1 ⎠

2


(8.105)

380

1.E+01

Inicio aproximado del flujo pseudoradial

CfD 0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 25.0 50.0 100.0 500.0

1.E-01

P

D

y t

Dxf*P' D

1.E+00

Fractura de conductividad infinita

1.E-02

Fin del regimen de flujo bilineal 1.E-03 1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

t Dxf

Fig. 8.30. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente 1.E+03

CD=10000 1.E+02

CD=2000

P D y P D'

CD=500

1.E+01

CD=20

1.E+00

CD=0

CD=200 CD=5000

CD=1000

1.E-01

1.E-02 1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

Tiempo adimensional

Fig. 8.31. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente


381

La conductividad de la fractura también se puede determinar de la línea recta de la derivada de la presión correspondiente al régimen de flujo bilineal. La derivada adimensional de la presión en el pozo durante ese régimen es: ⎛ 0.6127 t Dxf * P'D = ⎜ ⎜ k fD w fD ⎝

⎞ ⎟ ⋅ t 0.25 ⎟ Dxf ⎠

(8.106)

Sustituyendo por los parámetros adimensionales y resolviendo para la derivada de presión del pozo, se tiene: t * ∆P' = 0.25mBL ⋅ t 0.25

(8.107)

Tomando el logaritmo de ambos lados de estas ecuaciones, da: log(t * ∆P ' ) = 0.25 ⋅ log t + log(0.25mBL )

(8.108)

Esta expresión también muestra que un gráfico log-log de (t*∆P’) versus tiempo producirá una línea recta de pendiente 0.25 si el flujo bilineal es dominante. Sea (t*∆P’)BL1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario) entonces la Ec. 8.108 se convierte en: (t * ∆P' ) BL1 = 0.25mBL

(8.109)

Comparando las Ecs. 8.104 y 8.109, dadas a un tiempo t=1 hr: (t * ∆P' ) BL1 = 0.25(∆P ) BL1

(8.110)

La conductividad de la fractura de conductividad finita de la línea de derivada de presión es obtenida reemplazando (t*∆P’)BL1 en la Ec. 8.105 con 4(t*∆P’)BL1, así: 121.74 k f wf = φµct k

⎞ ⎛ q µB ⎟⎟ ⎜⎜ h ( t * P ' ) ∆ BL1 ⎠ ⎝

2

(8.111)

La Ec 8.111 es muy importante en muchos aspectos, debido a: (a) Esta relaciona las funciones de presión y derivada de presión en un punto único, y (b) Esta puede ser usada para propósitos de verificación. Generalmente, las condiciones de cercanía a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo bilineal, haciendo esto difícil localizar la línea de pendiente ¼. En tal caso, estime la conductividad de la fractura de la línea de flujo bilineal de la curva de presión,


382

usando la Ec. 8.105 Entonces, estime (t*∆P')BL1 de la Ec. 8.110 y dibuje una línea recta de pendiente 0.25 a través de este punto.

8.10.3. Flujo Bilineal y Almacenamiento Si la línea recta de pendiente unitaria, que corresponde al régimen de flujo del almacenamiento está presente (lo cual no es muy común que ocurra), entonces el coeficiente de almacenamiento se puede determinar de las ecuaciones usuales por ejemplo de la curva de presión: ⎛ qB ⎞ t C =⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ ∆P

(8.112)

o de la curva derivada de presión: ⎛ qB ⎞ t C =⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ∆P'

(8.113)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de presión pueden ser obtenidas por la combinación de la Ec. 8.101 y 8.112: ⎛ qB ⎞ mBLt 0.25 = ⎜ ⎟t ⎝ 24C ⎠

(8.114)

Reemplazando t por tUSBLi se tiene: tUSBLi = 24

4/3

⎛ CmBL ⎜⎜ ⎝ qB

⎞ ⎟⎟ ⎠

4/3

(8.115)

En el punto de intersección, en la curva de presión:

(∆P)USBLi = mBL (tUSBLi )0.25

(8.116)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de derivada se pueden obtener combinando las Ecs. 8.107 y 8.113; por ejemplo: ⎛ qB ⎞ 0.25mBLt 0.25 = ⎜ ⎟t ⎝ 24c ⎠


(8.117)

383

Reemplazando t por t'USBLi se tiene: t 'USBLi = 6

4 / 3 ⎛ cmBL ⎞

4/ 3

⎜ ⎟ ⎝ qB ⎠

(8.118)

(t * ∆P' )USBLi = 0.25mBL (t 'USBLi )0.25

(8.119)

y;

Las coordenadas de los puntos de intersección en las curvas de ∆P y t*∆P' son relacionadas a continuación: tUSBLi = 44 / 3 t 'USBLi

(8.120)

(∆P)USBLi = 4(t * ∆P' )USBLi

(8.121)

Estas dos expresiones son muy útiles para propósitos de verificación.

8.10.4. Interrelaciones entre el Flujo Bilineal y Lineal Si el régimen de flujo lineal en la formación es observado después de la línea de flujo bilineal, tal como para CfD > 300, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab para los casos de fractura de conductividad infinita y fractura de flujo uniforme se pueden usar para determinar la longitud de fractura. Brevemente, las ecuaciones descritas para el régimen de flujo lineal son: ∆P = mL t

(8.122)

(t * ∆P ' ) = 0.5mL t

(8.123)

Donde:

µ ⎛ qB ⎞ mL = 4.064⎜ ⎟ 2 ⎝ h ⎠ φ ct kx f

(8.124)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.121 y resolviendo para la longitud media de la fractura xf a un tiempo t = 1 hr se tiene: ⎛ qB ⎞ µ ⎟⎟ x f = 4.064⎜⎜ ( ) h P ∆ L 1 ⎠ φ ct k ⎝


(8.125)

384

Donde (∆P)L1 es el valor de ∆P a un tiempo t=1 hora en la porción de línea recta de pendiente 0.5 (extrapolada si es necesario). La longitud de fractura se puede determinar de la curva de derivada reemplazando (∆P)L1, en la Ec. 8.50 por 2(t*∆P’)L1, después de un tiempo t = 1 hora: (t * ∆P' ) L1 = 0.5(∆P) L1

(8.126)

(a) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas en la curva de ∆P se pueden obtener combinado las Ecs. 8.101 y 8.122: mBL t 0.25 = mL t 0.5

(8.127)

Reemplazando t por tBLLi, donde el subíndice “BLLi” representa la intersección de las líneas bilineal y de flujo lineal, se tiene: t BLLi

⎞ ⎛m = ⎜ BLLi ⎟ ⎝ mL ⎠

4

(8.128)

(∆P) BLLi = mL t BLLi

(8.129)

o; (∆P) BLLi = mBL (t BLLi )0.25

(8.130)

Sustituyendo por mBL (Ec. 8.102) y mL (Ec. 8.124) en la Ec. 8.128 se tiene: t BLLi

⎛ x2 k = 13910φ µct ⎜ f ⎜ k f wf ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.131)

Resolviendo explícitamente para k se tiene: ⎛k w k =⎜ f 2 f ⎜ x ⎝ f

2

⎞ t BLLi ⎟ ⎟ 13910φ µc t ⎠

(8.132)

Las Ecs. 8.131 y 8.132 pueden ser usadas para propósitos de verificación, si todos los tres regímenes de flujo son observados. Si la prueba es muy corta para observar la línea de flujo radial, o una prueba pre-frac no es posible tal como en la formación de baja permeabilidad, entonces la Ec. 8.132 puede ser usada para calcular la permeabilidad de la formación.


385

Una relación útil para diseñar y con propósitos de verificación puede ser derivada combinando la conductividad adimensional de la fractura Ec. 8.37 y Ec. 8.128. t BLLi

2 φµct ⎛⎜ x f ⎞⎟ = 13910

2

(8.133)

k ⎜⎝ c fD ⎟⎠

(b) Usando una aproximación similar, las coordenadas del punto de intersección de las líneas rectas bilineal y lineal en la curva de derivada, se tiene: 4

⎛m ⎞ 1 ⎛m ⎞ t 'BLLi = ⎜⎜ BL ⎟⎟ = ⎜⎜ BL ⎟⎟ ⎝ 2mL ⎠ 16 ⎝ mL ⎠

4

(t * ∆P' ) BLLi = 0.5mL (t 'BLLi )0.5

(8.134)

(8.135)

o; (t * ∆P' ) BLLi = 0.25mBL ⋅ (t 'BLLi )0.25

(8.136)

Una relación entre tBLLi y t'BLLi puede ser derivada combinando las Ecs. 8.123 y 8.125:

t BBLi = 16 t ' BBLi

(8.137)

Combinando las Ecs. 8.130 y 8.136 se tiene: (∆P) BLLi = 4(t * ∆P' ) BLLi

(8.138)

Así, es posible “ubicar” las líneas rectas correspondientes a los dos regímenes de flujo de la curva de derivada de presión a partir de la curva de presión, aún cuando los datos de derivada de presión son extremadamente ruidosos.

8.10.5. Interrelación entre el Flujo Bilineal y Radial La porción de derivada de presión correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita es una línea recta horizontal. Este régimen de flujo está dado por: (t * ∆P ') r =

70.6q µ B kh


(8.139)

386

El subíndice r representa el flujo radial. La permeabilidad de la formación es por lo tanto: k=

70.6q µ B h(t * ∆P ') r

(8.140)

donde (t*∆P’)r es obtenido por extrapolación de la línea horizontal al eje vertical. La línea del flujo radial puede también ser usada para calcular el factor de daño de:

⎡ (∆P) R ⎤ ⎛ ktR ⎞ ⎟ − ln⎜⎜ + 7 . 43 s = 0.5⎢ ⎥ 2 ⎟ ⎝ φµct rw ⎠ ⎣ (t * ∆P')R ⎦

(8.141)

Donde tR es cualquier tiempo conveniente durante el régimen de flujo radial de acción infinita (como el indicado por la línea horizontal en la curva de derivada de presión) y (∆P)r es el valor de ∆P en la curva de presión correspondiente a tr. La coordenada de tiempo del punto de intersección de la líneas bilineal y radial se puede determinar de una combinación de las Ecs. 8.102 y 8.107: 0.25mBLt 0.25 = 0.25 t RBLi =

70.6qµB kh

(8.142)

70.6qµB 4 kh mBL

(8.143)

Sustituyendo por mBL de la Ec. 8.102 se tiene: t RBLi = 1677

φµct k

3

(k

wf )

2

f

(8.144)

Esta expresión preferiblemente debe ser usada para propósitos de verificación.

8.10.6. Relaciones entre Biradial y Bilineal Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de flujo bilineal y biradial en la curva de presión se pueden obtener combinado la Ec. 8.107 y 8.83: 0.11 = t BLBRi

4

2.18 k φ µ ct k k f w f (xe / x f )0.72


(8.144.a)

387

La conductividad de la fractura o la longitud de la fractura pueden ser obtenidas de la Ec. 8.144.a.

CASOS ESPECIALES El análisis anterior asume que todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de formación y radial) son observados durante la prueba de presión y que éstos están bien definidos en la curva de derivada de presión. En muchas instancias, al menos uno de los regímenes de flujo no es observado o no está definido. Note que el flujo lineal de fractura no es discutido aquí, puesto que es prácticamente imposible observar este régimen de flujo debido al fenómeno de la cara del pozo.

(a) Flujo Lineal de la Formación no es Observado. Para una fractura de baja conductividad, la línea recta correspondiente al régimen de flujo lineal probablemente no será observada. Después de la línea de flujo bilineal, la curva de derivada de presión generalmente entra a un flujo de transición. Después, si la prueba es corrida por un tiempo largo, se observa una línea horizontal en la curva de derivada de presión correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita. En este caso, la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140 y la conductividad de la fractura es determinada de la línea de flujo bilineal (Ecs. 8.105 o 8.111). En la literatura, en la ausencia de flujo lineal de la formación, la longitud media de la fractura es determinada por ensayo y error como lo discutieron Cinco-Ley y Samaniego o mediante el procedimiento de ajuste con curvas tipo. Tiab desarrolló las siguientes ecuaciones que relacionan la longitud media de la fractura (xf), permeabilidad de la formación (k), conductividad de la fractura (wfkf), y factores de daño de post-frac: xf =

1.92173 1 3.31739k − r 'w wf k f

(8.145)

donde r’w es el radio efectivo del pozo:

r 'w = rwe− s

(8.146)

Para una fractura con una muy alta conductividad, el término (31739k/wfkf) se aproxima a cero, como se espera, el radio adimensional efectivo del pozo rw’/xf se aproxima a 0.5. La Ec. 8.145 es derivada por generación, similarmente a Cinco-Ley y Samaniego, una curva muestra la relación rw’/xf para la conductividad adimensional de la fractura como la definida por la Ec. 8.37, y entonces se obtiene la mejor relación que represente la curva mediante un análisis de regresión multivariable (r2=0.999). Combinando la Ecs. 8.145 y 8.146 se tiene:


388

xf =

1.92173 e 3.31739k − rw wf k f s

(8.147)

Conociendo la conductividad de la fractura (wfkf) del flujo bilineal, y la permeabilidad de formación (k) y daño (s) del flujo radial, la Ec. 8.147 se puede usar para calcular la longitud media de fractura (xf). Esta ecuación es muy sensible a los valores de daño (debido al término exponencial). (b) Flujo Bilineal no es Observado. Si la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25 no está bien definida o no se observa debido al fenómeno de cara del pozo, entonces la conductividad de la fractura (wfkf) se puede calcular de:

wf k f =

3.31739k e 1.92173 − rw xf s

(8.148)

donde la permeabilidad de la formación es determinada de la Ec. 8.140 (si un pre-frac no es posible) y daño post-frac de la Ec. 8.141. La longitud media de la fractura es obtenida de la Ec. 8.125. (c) No se Observa el Flujo Radial. Para pruebas cortas tales como en formaciones de baja permeabilidad, la línea recta horizontal en la derivada de presión, que corresponde al comportamiento de acción infinita podría no ser observado durante el periodo limitado de tiempo de una prueba convencional de declinación o restauración de presión. En este caso, la Ec. 8.141 no puede ser usada para calcular el factor de daño post-frac. Si el flujo lineal de la formación y el bilineal están bien definidos en las curvas de derivada de presión y presión, entonces la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.132 (asumiendo que no hubo prueba pre-frac), mientras que el factor de daño post-frac es obtenido de:

⎡ ⎛ 1.92173 3.31739k ⎞⎤ ⎟⎥ − s = ln ⎢rw ⎜ ⎜ w f k f ⎟⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ x f

(8.149)

El factor de daño post-frac puede también ser calculado mediante el método gráfico sugerido por Cinco-Ley y otros, ajuste de curvas tipo, o de la siguiente ecuación: s = ln

rw 1.65 − 0.32u + 0.11u 2 + x f 1 + 0.18u + 0.064u 2 + 0.005u 3

y;


(8.150)

389

⎛ wf k f u = ln⎜ ⎜ x k ⎝ f

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.151)

Es importante enfatizar que valores exacto de k, xf, y wfkf solo pueden obtenerse cuando, respectivamente, los regímenes de flujo radial, lineal de la formación y bilineal están bien definidos en las curvas de presión y derivada de presión. En ausencia de cualquiera de los tres regímenes, las Ecs. 8.145 – 8.149 son de gran exactitud (con error menor al 1 %) para determinar estos parámetros. 8.10.7. Procedimiento Sistemático

El fracturamiento hidráulico tiene un efecto definido sobre el comportamiento del transiente de presión. Es importante por lo tanto estimar la respuesta completa de la presión esperada usando propiedades de yacimiento asumidas y medidas, o con el más pequeño factor clave estimado en la reacción de la prueba. El diseño de la prueba es crítico ya que muchos aspectos pueden enmascarar la respuesta buscada, o puede causar una respuesta errónea debida simplemente a que se parece al comportamiento esperado. Es conveniente tomar datos de presión a intervalos cortos mientras el almacenamiento sea importante para definir mejor la porción afectada por almacenamiento de la curva de derivada de presión. Debido a los efectos del almacenamiento pueden enmascarar los regímenes de flujo bilineal y lineal de la formación (lo cual puede hacer que la prueba de presión no sea interpretable), puede ser necesario idear una prueba que minimice o elimine los efectos del almacenamiento. Los mejores resultados son obtenidos cuando el pozo es cerrado en la cara de la arena y la presión de fondo del pozo se registra continuamente durante una prueba transiente. Aunque la presión de superficie frecuentemente puede ser convertida a valores de profundidad del pozo si la información adecuada acerca del sistema del pozo está disponible, es probable que esta conversión resultara en un efecto de ruido adicional en los valores de derivada de presión. CASO 1 – CASO IDEAL (TODOS LOS 3 REGIMENES DE FLUJO SON OBSERVADOS)

El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso donde todas la líneas rectas correspondientes a varios regímenes de flujo de una fractura de conductividad finita están bien definidas. Paso 1 - Grafique el cambio de presión ∆P y los valores de derivada de presión (t*∆P’) versus el tiempo e prueba. Paso 2 – Identifique y trace las líneas rectas correspondientes al almacenamiento (pendiente = 1), flujo bilineal (pendiente = 0.25), flujo lineal de la formación (pendiente = 0.5), y flujo radial de acción infinita (línea horizontal).


390

Paso 3 – Calcule el coeficiente de almacenamiento de la Ec. 8.112, si la pendiente unitaria está bien definida. Paso 4 - Calcule la permeabilidad de formación, k, de la línea de flujo radial de acción infinita en la curva de derivada de presión, usando la Ec. 8.132. Paso 5 – Lea el valor de ∆P y (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr de la línea de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), y calcular la conductividad de la fractura (kfwf) de las Ecs. 8.105 y 8.111. Si los valores de tiempo temprano de los valores de derivada de presión están distorsionados con ruido, entonces usar la Ec. 8.110 para “ubicar” la línea de pendiente de ¼ en la curva (t*∆P’). Las Ecs. 8.105 y 8.111 de por sí producirán el mismo valor de (kfwf). Paso 6 - Calcule el tiempo de intersección de la líneas de flujo bilineal y radial usando la Ec. 8.144, y comparar con el tiempo de intersección observado en la gráfica tRBLi. Si los valores calculado y observado de tRBLi son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación, k, y la conductividad de la fractura, kfwf, son correctos. Si éstos son diferentes, ajuste una de las dos líneas rectas o ambas y recalcule k y kfwf hasta que los dos valores de tRBLi sean iguales. Paso 7 – Calcule el factor de daño de la Ec. 8.141. Paso 8 - Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Verifique este valor de xf calculando tBBLi de la Ec. 8.131 y entonces compararlo con el valor observado de tBBLi. Si estos dos valores de tBBLi son aproximadamente iguales se puede concluir que xf es correcto. Si los dos valores de tBBLi son diferentes trasladar la línea de ½ pendiente hasta que el tBBLi observado y calculado sean iguales. Paso 9 - Calcule la conductividad adimensional de la fractura (CfD) de la Ec. 8.71. Se puede observar que el índice de productividad máximo (PI) ocurre en el valor óptimo de CfD = 1.6, para cualquier formación, pozo, y material de sostén. Aunque el CfD óptimo puede no ser técnicamente o económicamente posible, si la Ec. 8.37 produce un CfD que es muy diferente de 1.6 es importante buscarlo por una razón. Generalmente, en yacimientos de baja permeabilidad, CfD=1.6 indica una larga y angosta fractura; en yacimientos de alta permeabilidad, este valor de CfD puede indicar una fractura corta y ancha. CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD BAJA (NO SE OBSERVA LA LÍNEA DE FLUJO LINEAL)

Para una fractura de baja conductividad, el régimen de flujo lineal de la formación probablemente será de vida muy corta para que este bien definido, haciendo difícil trazar la línea de pendiente ½, o no será observada del todo. Pasos 1 - 7: Igual al caso ideal. Paso 8: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.147. Paso 9: Igual al caso ideal.


391

CASO 3 - FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INTERMEDIA

Una prueba de presión en un pozo con una fractura de conductividad intermedia producirá todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de la formación y radial). Sin embargo, si el efecto de almacenamiento y/o ruido en los datos de presión a tiempos tempranos son severos, entonces se dificultará dibujar la línea de pendiente 1/4. Pasos 1-4: Igual al caso ideal. Paso 5: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Paso 6: Seleccione cualquier tiempo conveniente tR durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión, y lea los valores correspondientes de (∆P)r y (t*∆P’)r. Luego, calcule el factor de daño (s) de la Ec. 8.141. Paso 7: Estime la conductividad de la fractura (kfwf) de la Ec. 8.148. Paso 8: Igual que el paso 9 del caso ideal. CASO 4 PRUEBAS CORTAS POST-FRAC

Para yacimientos de baja permeabilidad, la porción de la curva correspondiente al comportamiento de acción infinita radial puede no ser observado. Luego un procedimiento de ensayo y error podría ser empleado. Pasos 1-3: Igual que el caso ideal. Paso 4: El valor de permeabilidad se determina de una prueba pre-frac. Paso 5: Calcule la conductividad de la fractura (kfwf) como se discutió en el paso 5 del caso ideal. Paso 6: Calcule la longitud media de fractura (xf) como se discutió en el paso 8 del caso ideal. Paso 7: Calcule el daño a partir de la Ec. 8.149. Paso 8: Igual al paso 9 del caso ideal. Opcionalmente, puesto que se conoce la permeabilidad, (t*∆P’)r se puede despejar de la Ec. 8.140 y la línea de flujo radial puede trazarse en el gráfico de la derivada. Use la intersección de esta línea con los regímenes de flujo de la fractura para determinar la conductividad y longitud media de la fractura. EJEMPLO (Caso ideal – todos los 3 regímenes de flujo son observados)

La tabla 8.5 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico de un pozo de petróleo. La derivada de presión fue calculada usando la Ec. 1.63 con un valor aproximado de 0.5. Otras características son dadas a continuación. q = 101 STB/D

φ = 0.08

µ = 0.45 cp


392

1000

(∆P)R=471 psi

Flujo lineal ∆P, t*∆P', psi

(∆P)BL1=145 psi

tBBLi=1.6 psi (t*∆P')R=114 psi

Flujo bilinear 100

(∆P)L1=120 psi

Flujo radial tR = 30 hrs

(t*∆P')BL1=36 psi

10 0.1

1

10

100

Tiempo, hrs

Fig. 8.32. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 1 Tabla 8.5. Datos de presión para el caso 1 t, hrs 0 0.001 0.23 0.39 0.6 1 1.8 2.4 3.8 4.1 4.96 6.2 8.5

ct = 17.7x10-6 psi-1 rw = 0.28 ft

P, psi t*∆P', psi t, hrs 2200 10 2265 0.17 15 2302 26.74 20 2315 29.08 25 2330 31.72 30 2345 45.57 35 2383 72.00 40 2395 95.97 45 2460 115.24 50 2465 111.89 55 2480 95.07 60 2508 88.83 65 2520 96.71 71

B = 1.507 bbl/STB tp = 2000 hrs

P, psi t*∆P', psi 2545 94.86 2590 114.80 2623 119.91 2646 122.82 2671 127.40 2693 132.22 2710 137.87 2726 127.13 2740 116.28 2756 107.06 2765 99.23 2780 93.04 2783 86.23

h = 42 ft


393

SOLUCION

Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.32 es una gráfica del cambio de presión ∆P y valores de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), lineal (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 - No se observa efectos de almacenamiento (no hay línea recta con pendiente =1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede ser calculado. Paso 4 - De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r = 114 psi. Usando la Ec. 8.140, la permeabilidad de la formación es: k=

70.6qµ B (70.6)(101)(0.45)(1.507) = = 1 md h(t * ∆P ') r (42)(114)

Paso 5 – De la Fig. 8.32 el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son: (t*∆P’)L1 = 145 psi (∆P)L1 = 36 psi

La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111 es: 2

⎛ (101)(0.45)(1.507) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 308.6 md − ft k f w f = 1947.46 −6 (42)(145) (0.08)(0.45)(17.7 × 10 )(1.0) ⎝ ⎠ 1

2

⎛ (101)(0.45)(1.507) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 312.96 md − ft k f w f =121.74 −6 (42)(36) (0.08)(0.45)(17.7 × 10 )(1.05) ⎝ ⎠ 1

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producirán un valor bastante cercano de kfwf que promedia 310.8 md-ft. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección del flujo bilineal y radial es obtenido de la Ec. 8.144: t RBLi = 1677

(0.08)(0.45)(17.7 × 10 −6 ) (310.8) 2 = 103.22 hrs (1.0) 3


394

Tabla 8.6. Datos de presión para el caso 2 t, hr 0.00 0.10 0.20 0.35 0.49 0.74 0.99 1.23 1.48 1.97 2.47 2.96 3.95 4.94 5.92 6.91 7.90 9.87 11.85

P, psi t*∆P', psi 2392.94 2466.88 18.381 2485.23 28.232 2500.59 32.198 2512.11 35.005 2527.46 38.663 2538.41 40.068 2547.37 43.556 2555.76 42.597 2567.70 46.419 2579.08 52.011 2588.61 54.670 2605.96 60.969 2619.32 61.885 2630.70 73.399 2643.64 77.953 2653.17 72.456 2670.37 84.255 2686.87 91.049

t, hr 13.82 15.79 17.77 19.74 22.70 32.58 37.51 42.45 47.38 52.32 57.25 62.19 67.13 72.09 77.00 81.93 86.87 91.80 94.42

P, psi t*∆P', psi 2700.80 94.233 2713.74 91.117 2723.70 93.808 2734.51 100.391 2748.44 103.060 2791.67 126.629 2808.59 132.807 2826.51 147.301 2842.86 148.902 2857.60 133.658 2867.60 149.436 2883.67 161.677 2894.05 155.966 2906.14 153.138 2915.52 144.986 2925.05 150.167 2931.59 153.702 2942.97 155.424 2946.95 161.724

La cual baja en el rango del tiempo de intersección observado tRBLi de la Fig. 8.32. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de permeabilidad de formación (k) y conductividad de la fractura (kfwf), son correctos. Paso 7 – Lea tR=30 horas, el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de (∆P) y (t*∆P’) son: (t*∆P’)r = 114 psi (∆P)r = 471 psi Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎞ 1 ⎡ 471 ⎛ (1.0)(30) ⎟ + 7.43⎥ = −4.4 s= ⎢ − ln⎜⎜ −6 2 ⎟ 2 ⎣114 ⎝ (0.08)(0.45)(17.7 ×10 )(0.28 ) ⎠ ⎦

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125, donde a un tiempo t = 1 hr, (∆P)L1 = 120 psi.


395

⎛ (101)(1.507 ) ⎞ 0.45 ⎟⎟ x f = 4.064⎜⎜ = 69.2 ft −6 ⎝ (42)(120) ⎠ (0.08)(17.7 × 10 )(1.0)

De la Ec. 8.131, la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas rectas lineal y bilineal es: 2

⎛ (69.2) 2 1 ⎞ ⎟ = 2.1 hr t BLLi = 13910 (0.08)(0.45)(17.7 × 10 −6 ) * ⎜⎜ ⎟ ⎝ 310.8 ⎠

Este valor calculado de tBLLi es aproximadamente igual al valor observado tBLLi = 1.6 hrs. Así, se puede concluir que xf es correcto. Note que existe cierto ruido en los datos de derivada de presión correspondientes al flujo lineal de la formación. Por tanto, se tendría que usar la Ec. 8.147 para calcular xf: xf =

1.92173 = 58 ft e 3.31739(1) − 0.28 310.8 −4.4

Las Ecs. 8.125 y 8.147 producen un valor similar de longitud de fractura xf. La diferencia puede deberse a una selección inapropiada de los puntos característicos. Paso 9 – La conductividad de fractura adimensionales es: C fD =

wf k f xf k

=

310.8 = 4.5 69.2(1)

EJEMPLO (No se observa flujo lineal en la formación)

La tabla 8.6 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. La derivada de presión fue calculada usando la Ec. 1.63 con un factor de aproximación de 0.1. Los parámetros de yacimiento y del fluido son mostrados a continuación. q = 1736 STB/D ct = 26.7x10-6 psi-1 rw = 0.23 ft

φ = 0.08

µ = 0.27 cp

B = 1.62 bbl/STB tp = 2000 hrs

h = 152 ft


396

SOLUCION

Los resultados del tratamiento son determinados usando un procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.33 muestra un gráfico de ∆P y valores de (t*∆P’) versus el tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r=160 psi. La permeabilidad es calculada de la Ec. 8.140: k=

70.6q µ B (70.6)(1736)(0.27)(1.62) = = 2.2 md h(t * ∆P ') r (152)(160)

Paso 5 – De la Fig. 8.33, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son:

(t*∆P’)BL1 = 160 psi (∆P)BL1 = 40 psi La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111: k f w f = 1947.46

2

⎛ (1736)(0.27)(1.62) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1685.4 md − ft −6 (152)(160) (0.08)(0.27)(26.7 × 10 )(2.2) ⎝ ⎠ 1

2

⎛ (1736)(0.27)(1.62) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1685.7 md − ft k f w f =121.74 −6 (152)(40) (0.08)(0.27)(26.7 × 10 )(2.2) ⎝ ⎠ 1

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producen prácticamente el mismo valor de kfwf. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección de flujo bilineal y radial se obtiene de la Ec. 8.144: t RBLi = 1677

(0.08)(0.27)(26.7 × 10 −6 ) (1685) 2 = 955.2 hr 3 ( 2. 2)


397

1000

(∆P)R=550 psi

∆P y t*∆P', psi

(∆P)BL1=160 psi

(t*∆P')R=160 psi

Flujo radial

100

tRBLi=1100 hrs

tR=90 hrs

Flujo bilinear (t*∆P')BL1=40 psi

10

1 0.1

1

10

100

1000

Tiempo, hrs

Fig. 8.33. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 La cual es muy cercana al tiempo de intersección observado tRBLi de la Fig. 8.33. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación (k) y la conductividad de la fractura (kfwf), son correctos. Paso 7 – Tome tR = 90 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión (∆P) y (t*∆P’) son: (t*∆P’)r = 550 psi (∆P)r = 160 psi

Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎛ ⎞ 1 ⎡ 550 (2.2)(90) ⎟ + 7.43⎥ = −5.86 s= ⎢ − ln⎜⎜ −6 2 ⎟ 2 ⎣160 ⎝ (0.08)(0.27)(26.7 ×10 )(0.23 ) ⎠ ⎦

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.147:

xf =

1.92173 = 238.3 ft e 3.31739(2.2) − 0.23 1685 −5.86

El factor de daño puede ser calculado de la Ec. 8.151:


398

⎛ ⎞ 1685 ⎟⎟ = 1.1675 u = ln⎜⎜ ⎝ (238.3)(2.2) ⎠ s = ln

0.23 1.65 − 0.32(1.1675) + 0.11(1.1675) 2 + = −5.84 238.3 1 + 0.18(1.1675) + 0.064(1.1675) 2 + 0.005(1.1675) 3

El factor de daño anterior tiene una diferencia de 0.34 % comparado con el valor obtenido previamente en el paso 7. Esto también verifica la exactitud de la Tiab’s Direct Síntesis Technique. Paso 9 – La conductividad de fractura adimensional es: C fD =

wf k f xf k

=

1685 = 3.21 (238.3)(2.2)

Tabla 8.7. Datos de presión para el caso 3 t, hr 0.00 0.09 0.19 0.38 0.86 1.35 1.84 2.32 3.29 4.26 5.24 6.21 9.12 12.03 14.95

P, psi t*∆P', psi 2366.49 2477.83 42.947 2525.47 61.689 2560.88 52.580 2606.24 64.004 2633.69 62.758 2652.17 61.401 2666.25 64.754 2691.99 84.149 2715.88 94.770 2735.50 101.617 2753.70 104.906 2797.78 118.470 2829.78 124.277 2858.09 148.446

t, hr 17.86 22.72 27.57 32.43 37.28 42.14 47.00 51.85 56.71 61.56 66.42 71.27 76.13 80.99 85.84 90.70

P, psi t*∆P', psi 2887.51 165.339 2928.61 183.183 2965.86 187.292 2994.87 185.602 3021.46 186.193 3043.51 177.831 3062.56 182.965 3081.33 181.163 3096.55 179.999 3112.19 182.089 3125.55 182.473 3138.35 180.398 3151.15 169.881 3160.68 166.090 3168.93 171.498 3179.45 187.917

EJEMPLO (No se observa el flujo bilineal)

La tabla 8.7 proporciona datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento y fluido son mostrados a continuación.


399

1000

(∆P)R=599.37 psi

∆P y t*∆P', psi

(∆P)L1=150 psi

(t*∆P')R=195 psi

Flujo radial

Flujo lineal

100

tR=27.57 hrs

(t*∆P')L1=44 psi

10 0.1

1

10

100

Tiempo, hrs

Fig. 8.34. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 q = 1343.34 STB/D ct = 30.36x10-6 psi-1 rw = 0.23 ft

φ = 0.09

µ = 0.208 cp

B = 1.782 bbl/STB tp = 2500 hrs

h = 150 ft

SOLUCION Paso 1 - La Fig. 8.34 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas lineal de formación (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r =195 psi. La permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140:

k=

70.6qµB (70.6)(1343.54)(0.208)(1.782) = = 1.2 md h(t * ∆P' ) R (150)(195)

Paso 5 – De la Fig. 8.34, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo lineal respectivamente son: (t*∆P’)L1 = 150 psi


400

(∆P)L1 = 44 psi La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125: ⎛ 1343.54(1.782) ⎞ 0.208 ⎟⎟ x f = 4.064⎜⎜ = 108.9 ft −6 2 ⎝ (150)(150) ⎠ (0.09)(30.36 × 10 )(0.23 )

Paso 6 – Tome tR = 27.57 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de ∆P y (t*∆P’) son:

(t*∆P’)r = 599.37 psi (∆P)r = 195 psi Entonces, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎛ ⎞ (1.2)(27.57) 1 ⎡599.37 ⎟ + 7.43⎥= −5.16 − ln⎜⎜ s= ⎢ −6 2 ⎟ 2 ⎣ 195 ⎝ (0.09)(0.208)(30.36×10 )(0.23 ) ⎠ ⎦

Paso 7 – La conductividad de la fractura se calcula usando la Ec. 8.148:

wf k f =

3.31739(1.2) = 543.7 md − ft e 1.92173 − 0.23 108.9 −5.16

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es: C fD =

wf k f xf k

=

543.7 = 4.16 1.2 x108.9

EJEMPLO (Prueba corta- Línea de flujo radial no es observada)

Una prueba de presión pre-frac en un pozo de petróleo produjo k = 12.4 md. La tabla 8.8 proporciona los datos de restauración de presión después de que el pozo fue fracturado hidráulicamente. Los parámetros de yacimiento y fluido son los siguientes: q = 411.98 STB/D ct = 101x10-6 psi-1 rw = 0.689 ft

φ = 0.2

µ = 0.53 cp

B = 1.258 bbl/STB tp = 3000 hrs

h = 21 ft


401

SOLUCION

Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.35 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Se identificaron las líneas bilineal (pendiente=0.25) y lineal (pendiente= 0.5). Paso 3 – No se observó el efecto del almacenamiento. Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – El valor de permeabilidad es conocido de la prueba pre-frac, k = 12.4 md. Paso 5 – De la Fig. 8.35, los valores de ∆P y (t*∆P') a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son: (t*∆P’)BL1 = 72 psi (∆P)BL1 = 18 psi La conductividad de la fractura se calcula usando las Ecs. 8.105 y 8.111: 2

⎛ (411.98)(0.53)(1.258) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 5578.35 md − ft k f w f = 1947.46 −6 (21)(72) (0.2)(0.53)(101 × 10 )(12.4) ⎝ ⎠ 1

k f w f = 121.74

2

⎛ ( 411.98)(0.53)(1.258) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 5579.44 md − ft −6 ( 21)(18) (0.2)(0.53)(101 × 10 )(12.4) ⎝ ⎠ 1

Las Ecs. 8.105 y 8.111 dieron un valor similar de kfwf. Paso 6: De la Fig. 8.34, (∆P)L1 = 37.2 psi. Luego, la longitud media de la fractura se estima con la Ec. 8.125:

⎛ 411.98(1.258) ⎞ 0.53 ⎟⎟ x f = 4.064⎜⎜ = 124.02 ft −6 ⎝ (21)(37.2) ⎠ (0.2)(101 × 10 )(12.4) La Ec. 8.131 se usa para calcular las coordenadas del punto de intersección de la línea recta de pendiente ½ y de la línea recta de pendiente 1/4: 2

t BLLi

⎛ 124.02 2 ⎞ ⎟⎟ = 14.037 hrs = 13,910(0.2)(0.53)(101× 10 )(12.4)⎜⎜ ⎝ 5578.9 ⎠ −6


402

Tabla 8.8. Datos de presión para el caso 4 t, hr 0.00 0.017 0.019 0.082 0.28 0.33 0.78 1.08 1.78

P, psi t*∆P', psi 479.61 507.06 80.394 522.00 62.384 528.11 5.290 535.79 14.503 541.48 12.571 543.33 14.105 551.72 16.889 555.99 15.028

t, hr 2.78 3.78 4.78 5.78 7.78 9.78 11.78 13.78 17.78 19.78

P, psi t*∆P', psi 565.95 23.713 573.20 24.314 579.17 25.768 583.87 28.098 592.97 31.603 600.65 32.472 606.48 34.312 611.46 36.285 622.27 38.217 625.68 39.431

1000

Flujo lineal (∆P)BL1=72 psi

100

∆P, t*∆P', psi

Flujo bilineal (∆P)L1=37.2 psi

10

(t*∆P')BL1=18 psi

1 0.01

0.1

1

10

100

Tiempo, hrs

Fig. 8.35. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 El valor calculado anteriormente corresponde al punto de intersección observado entre las líneas rectas en la Fig. 8.35. Paso 7 – Calcular el factor de daño de la Ec. 8.149:

⎡ ⎛ 1.92173 3.31739(12.4) ⎞⎤ s = ln ⎢0.689⎜ − ⎟⎥ = −5.18 5578.9 ⎝ 124.02 ⎠⎦ ⎣


403

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es: C fD =

wf k f xf k

=

5578.9 = 3.62 124.02 x12.4

Las siguientes observaciones son muy importantes para el análisis de datos de presión para pozos fracturados de conductividad finita. 1. Las líneas rectas correspondientes a los regímenes de flujo se pueden usar para calcular permeabilidad, longitud media de fractura, y conductividad de la fractura sin usar ajuste con curvas tipo o técnica de análisis de regresión. 2. Los puntos de intersección de las tres líneas rectas preferiblemente deben ser usadas para verificar los valores de los parámetros obtenidos de las pendientes. 3. Para pruebas cortas, la permeabilidad se puede calcular de la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas lineal y bilineal. 4. Una nueva ecuación es presentada para calcular (a) La longitud media de fractura en la ausencia de la línea recta del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de una fractura de baja conductividad, (b) La conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c) El factor de daño post-frac en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta. 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA

Una vez la longitud de la fractura y el daño se conocen, la conductividad adimensional de la fractura puede estimarse mediante la correlación gráfica proporcionada en la Fig. 8.36 o por el siguiente juego de ecuaciones obtenidos de la figura en mención: ⎛x x = s + ln⎜⎜ f ⎝ rw

C fD = 10

⎞ ⎟⎟; 0.67 ≤ x ≤ 2.8 ⎠

⎛ 0.59222806 − 1.77955 x + 0.86571983x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 − 1.5944514 x + 0.010112 x ⎝ ⎠


(8.152)

(8.153)

404

2.5

s + ln(x f / r w)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 0.1

1

10

C Df =

100

1000

kfw k xf

Fig. 8.36. Efecto del daño con la conductividad de la fractura

NOMENCLATURA

A a B b bx C c c1 c2 CA CBR CD cf CfD cft cm coe coema

Área de drenaje, acres Factor de forma, ft-2 Factor volumétrico del aceite, rb/STB intervalo perforado ver Ec. 2.72 Factor de almacenamiento, bbl/psi Compresibilidad, 1/psi Compresibilidad total de la matriz, psi-1 Compresibilidad total de la fractura, psi-1 Factor de forma Constante característica del flujo biradial Factor de almacenamiento adimensional Compresibilidad total de la fisura, conductividad de la fractura, md-ft Conductividad adimensional de la fractura Compresibilidad total de la fractura, 1/psi Compresibilidad total de la matriz Compresibilidad efectiva del petróleo Compresibilidad efectiva de la matriz, psi-1


405

Compresibilidad efectiva del sistema de fractura, psi-1 Compresibilidad del petróleo, 1/psi Compresibilidad bruta de la roca, 1/psi Compresibilidad del agua, 1/psi Espesor de formación, ft Espesor del intervalo efectivo del yacimiento Espesor de la fractura, ft Dimensión del bloque de la matriz intervalo perforado Espesor de la capa de daño de interporosidad Punto de intersección en el eje y de la gráfica t*P’ vs. 1/t Permeabilidad de la formación, md. Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md. Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md. Permeabilidad intrínseca de la fisura Permeabilidad intrínseca de la matriz Permeabilidad radial, md. Permeabilidad de la capa con daño de interporosidad Permeabilidad en la dirección x Permeabilidad en la dirección y Pendiente Pendiente del gráfico semilog de (t⋅P’) vs. 1/t Máxima pendiente del gráfico cartesiano de ∆P vs. t Pendiente del estado pseudoestable debida al alto contraste de movilidad, psi/hr Pendiente del gráfico semilog en región de transición mtr Presión, psi P P Presión estabilizada en el yacimiento después del cierre, psi P’ Derivada de presión, psi/hr Presión adimensional PD Derivada de presión adimensional P’D PDB Función de presión de restauración adimensional Presión adimensional de fractura PfD * PfD ( s ) Transformada de Laplace de la presión de fisura adimensional

coef co cr cw h he hf hm hp hs I0 k k1 kf kfi kmi kr ks kx ky m m’ mp mpss

Pfo Pi P’m PPR Ps Pwf PwD Pwo Pws

Presión promedio en el sistema de fractura al momento del cierre Presión inicial, psi Derivada de presión máxima, psi Relación entre presión adimensional y derivada de presión adimensional Presión estática, psi Presión del pozo fluyendo, psi Solución Laplace para la presión de la cara del pozo Presión de fondo al momento del cierre Presión de cierre de fondo, psi


406

P1hr Valor de presión leído de la línea en el gráfico a un tiempo de flujo de 1 hora q Caudal de petróleo, BPD Rata afterflow, BPD qaf q, qw Rata de flujo del pozo/petróleo, BPD Rata de flujo al instante de cierre expresada en unidades de yacimiento, rb qo (barriles de yacimiento) r Radio, ft (distancia entre el pozo activo y el de observación) Radio adimensional rD re Radio de drenaje del pozo, radio externo del yacimiento, ft Radio adimensional de los limites del yacimiento, rD= reD = re/rw reD Radio del daño, ft rs rw Radio del pozo, ft S Saturación, fracción s Factor de daño, parámetro Laplace s Parámetro Laplace Sm Factor de daño mecánico Factor de daño de interporosidad Sma Capacidad de almacenamiento = φcth, ft/psi St t Tiempo, hrs, tiempo de prueba tD Tiempo adimensional calculado usando el radio Tiempo adimensional basado en el área de drenaje del yacimiento tDA Tiempo adimensional de bloque tDb tDSR Tiempo adimensional reflejado a un tiempo en el que los efectos de almacenamiento se puede asumir despreciables o inicia la línea de acción infinita Tiempo adimensional referido a la longitud media de fractura tDxf Tiempo de intercepto tint Punto de inflexión tinf tL Tiempo de transición Tiempo adimensional de transición tLD Tiempo máximo, hrs tm tp Tiempo de producción total antes del cierre, hrs, tp = tp1 + tp2 Tr Transmisibilidad = kh/µ, md-ft/cp Tiempo al cual tiene lugar el valor pico, hr tx (t*∆P’)x derivada del punto máximo (peak), psi Volumen de la matriz de poro fino, bbl Vma Volumen del daño, bbl Vs Volumen total de fluido, bbl Vt w, wf Ancho de fractura, in Ancho de los canales de las fisuras wc x Dirección x Lado largo del rectángulo (yacimiento cerrado) xE Longitud media de fractura, ft xf Ubicación del pozo a lo largo de la fractura xw


407

y yE z

Dirección x Lado corto del rectángulo (yacimiento cerrado) Factor de desviación del gas

SIMBOLOS GRIEGOS

∆ ∆P ∆P’ ∆Pc ∆PD ∆P/q ∆t ∆tC ∆tc ∆te ∆tinf ∆tp

λ φ φfb φmb µ ρ ω γ η τ

Cambio, caída Diferencia de presión, psi Cambio de la rata de presión con el tiempo (derivada de presión), psi Corrección de presión al inicio de la prueba, psi Amplitud del tiempo adimensional Amplitud en la prueba de pulso, psi-day/STB Tiempo de cierre total, hrs, intervalo de tiempo Periodo de pulso más periodo de cierre = pulso total Tiempo de corrección al inicio de la prueba, psi Tiempo de declinación equivalente Punto de inflexión semilog, hrs Periodo de pulso Parámetro de flujo de interporosidad Porosidad Porosidad de fisura gruesa Porosidad de matriz gruesa Viscosidad, cp Densidad, lbm/ft3 Producto compresibilidad-porosidad de todo el sistema, coeficiente de almacenamiento adimensional Constante exponencial de Euler, 1.871 Factor de difusividad hidráulica Factor de tortuosidad

SUBINDICES

actual Real app Aparente avg Promedio bts Inicio de la tercer línea recta b2 Inicio del Segundo periodo de flujo radial BL Bilineal BLLi Intersección de las líneas de flujo bilineal y lineal BLRi Intersección de las líneas de flujo radial y bilineal


408

BR BRBL CB D DL DLSHSi e1 F f g i ideal inf int L M m ma max min min,o m+f o P R,r r1 r2 SHS PSS SS DLPSSi LPSSi RPi RDLi RLi RSHSi SS1

Biradial Intersección de las líneas de flujo biradial y bilineal Fronteras paralelas cerradas Cantidad adimensional Dual lineal Intersección entre flujo dual lineal y flujo de pendiente -1/2 Final del primer periodo de flujo radial punto de inflexión Formación, fractura, fisura Gas Condiciones iniciales o intersección Ideal Inflexión Intersección Lineal Punto de ajuste Matriz, propiedad intrínseca de la matriz, pendiente Matriz Máximo Mínimo verdadero Mínimo observado Matriz + fisura Petróleo Estado pseudoestabble Flujo radial, roca Tiempo temprano, periodo de flujo radial Tiempo tardío, periodo de flujo radial Flujo pseudo hemisférico Flujo pseudo estable Flujo estable Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo dual lineal Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo lineal Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo radial Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo dual lineal Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo lineal Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo de pendiente -1/2 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene ambas fronteras abiertas


409

SS2 RSS1i DLSS1i SHSSS1i RSS2i DLSS2i SHSSS2i s sc SR t US usi X X1 X2 X3 w wf x 1 2

Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta al flujo Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS2) Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS2) Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS2) Estático Condiciones estándar Inicio de la línea de flujo radial Total Pendiente unitaria Punto de intersección de la pendiente unitaria Punto máximo en el almacenamiento Punto máximo que se presenta entre el flujo dual lineal y el flujo pseudo hemisférico cunado el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta Punto máximo que se presenta al finalizar el flujo pseudo hemisférico y al comienzo de la línea de flujo estable cuando el yacimiento tienen fronteras mixtas y el pozo está cerca al frontera abierta Punto máximo que se presenta cuando se termina la línea de flujo lineal comienza la línea de flujo estable. cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo está cerca de la frontera cerrada Cara del pozo, pozo, agua Condiciones fluyendo Máximo punto o pico Propiedad de la región interna, tiempo es 1 hora Propiedad de la región externa


410

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416

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417

ANEXO A. Derivación la línea continua fuente de solución para la ecuación de difusividad

Para derivar la línea continua fuente de solución para la ecuación de difusividad, se debe asumir que el yacimiento es infinito y produce a una rata constante, q. Matemáticamente, aplicando la ley de Darcy para flujo radial. q=

2πrkh ∆p µ ∆r

(A.1)

q=

2π kh ⎛ ∆p ⎞ r µ ⎜⎝ ∆r ⎟⎠ rw

(A.2)

De la Ec. 1.2 el gradiente de presión será: ∆p ∆r

= rw

qµ 1 2πkh rw

(A.3)

Otras dos suposiciones deben ser usadas: rw → 0 P → Pi

as

r →∞

(A.3a) (A.3b)

Por lo tanto, la condición de frontera será: (A.4)

P = Pi lim

r → re Además, para la condición inicial, es requerido que t = 0, es decir, inicialmente el yacimiento tiene una presión uniforme. La condición inicial se puede expresar en función del radio, así: P = Pi at t = 0 for all r La Ec. (A.3) se puede escribir de la siguiente manera de acuerdo a la aproximación de la línea fuente, la cual afirma.


418

∆p ∆r

= rw

qµ 1 2πkh rw

re rw

h Case of an infinite reservoir

P → Pi lim r

∆p qµ = ∆r 2πkh

as r → ∞

para t > 0

(A.5)

r →0 La solución fundamental está basada en el uso de la transformación de Boltzman que aplica a medio poroso: y=

φµct r 2

(A.6)

4kt

Y la ecuación de difusividad:


419

∂ 2 p 1 ∂p φµct ∂p + = ∂r 2 r ∂r k ∂t

(A.7)

∆(∆p / ∆r ) 1 ∆p φµct ∆p + = ∆r r ∆r k ∆t

(A.8)

Generalmente hablando, ya que r y ∆p/∆r varían con q en la Ec. 1.1:

∆(r∆p / ∆r ) ∆r Dejar v = ∆p / ∆r cuando se toma la derivada; ∆(rv ) r∆v v∆r = + ∆r ∆r ∆r

(A.9)

∆(rv ) r∆(∆p / ∆r ) ∆p ∆r = + ∆r ∆r ∆r ∆r

(A.10)

∆(rv ) r∆(∆p / ∆r ) ∆p + = , o ∆r ∆r ∆r ∆(rv ) ∆(∆p / ∆r ) 1 ∆p = + r∆r ∆r r ∆r

(A.11)

Puesto que el lado derecho de la Ec. (A.9) es igual al lado izquierdo de la Ec. 1.8, la ecuación de difusividad, Ec. 1.8 se puede rescribir así: 1 ∆ ⎛ ∆p ⎞ φµct ∆p ⎜r ⎟= k ∆t r ∆r ⎝ ∆r ⎠

(A.12)

o; 1 ∆ ⎛ ∆p ∆y ⎞ ∆y φµct ∆p ∆y ⎟ = ⎜r r ∆y ⎜⎝ ∆y ∆r ⎟⎠ ∆r k ∆y ∆t

(A.13)

Tomando la derivada de la Ec. (A.6) con respecto a r y t,

∆y 2φµct r φµct r = = ∆r 4kt 2kt


(A.14)

420

φµct r 2 ∆y =− ∆t 4kt 2

(A.15)

Si se coloca la Ec. (A.14) y (A.15) dentro de la ecuación de difusividad, Ec. (A.13) 1 ∆ ⎛ r∆p φµct r ⎞ φµct r φµct ∆p ⎛ − φµct r 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ = r ∆y ⎜⎝ ∆y 2kt ⎟⎠ 2kt k ∆y ⎜⎝ 4kt 2 ⎟⎠ Simplificando; 1 ∆ ⎛ φµct r 2 ∆p ⎞ φµct r φµct ⎛ − φµct r 2 ⎞ ∆p ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = r ∆y ⎜⎝ 2kt ∆y ⎟⎠ 2kt k ⎜⎝ 4kt 2 ⎟⎠ ∆y

Puesto que y =

φµct r 2 4kt

, se puede escribir:

1 ∆ ⎛ ∆p ⎞ φµct r φµct ⎛ − φµct r 2 ⎞ ∆p ⎜ ⎟ ⎜2y ⎟ = r ∆y ⎜⎝ ∆y ⎟⎠ 2kt k ⎜⎝ 4kt 2 ⎟⎠ ∆y 1 ∆ ⎛ ∆p ⎞ r ⎛ − φµct r 2 ⎞ ∆p ⎟ ⎜2y ⎟ =⎜ r ∆y ⎜⎝ ∆y ⎟⎠ 2t ⎜⎝ 4kt 2 ⎟⎠ ∆y ∆ ⎛ ∆p ⎞ ⎛ − φµct r 2 ⎞ ∆p ⎟ ⎜y ⎟=⎜ ∆y ⎜⎝ ∆y ⎟⎠ ⎜⎝ 4kt ⎟⎠ ∆y ∆p ∆ ⎛ ∆p ⎞ ⎟⎟ = − y ⎜⎜ y ∆y ∆y ⎝ ∆y ⎠ De acuerdo a la Ec. (A.11) y

∆p ∆ ⎛ ∆p ⎞ ∆p ⎟⎟ + ⎜⎜ = −y ∆y ∆y ⎝ ∆y ⎠ ∆y

En términos de derivadas parciales y

∂p ∂p 2 ∂p = −y , + 2 ∂y ∂y ∂y


(A.16)

421

o; y

∆p ∆ ⎛ ∆p ⎞ ⎟⎟ + (1 + y ) ⎜⎜ =0 ∆y ∆y ⎝ ∆y ⎠

(A.17)

Para condiciones de frontera, la solución para la Ec. 1.17 se puede encontrar de la aproximación de la línea fuente. lim

r

∆p qµ = ∆r 2πkh

(A.5)

r →0 y, r

∆p ∆p ∆y =r ∆r ∆y ∆r

Usando la Ec. (A.14) r

∆p ∆p φµct r =r ∆r ∆y 2kt

Reordenando: r

∆p φµct r 2 ∆p = ∆r 2kt ∆y

(A.18)

Combinando la Ec. (A.18) con (A.16); r

∆p ∆p = 2y ∆r ∆y

Si r →0 entonces y→ 0, por lo tanto

lim

2y

qµ ∆p = ∆y 2πkh

y→0 Dejar v = ∆p / ∆r , así la Ec. (A.17) se convierte en:


(A.19)

422

y ∆(v ) + (1 + y )v ∆y Separando variables ∆y ∆v = −(1 + y ) , o v y

∫

∆v ∆y = −∫ − ∆y v y ∫

ln v = - ln y - y + c’ Para propósitos matemáticos, dejar c’ = ln c’ ln v = -ln y – y + ln c’ ln v = ln

e

ln v

=

c' −y y ln

c' −y y

c' − y e y

v=

(A.20)

Reemplazando v en la Ec. (A.20) y

∆p = c' e − y ∆y

(A.21)

Multiplicando ambos lados de la ecuación (A.21) por 2 2y

∆p = 2c' e − y ∆y

(A.22)

De acuerdo a la Ec. (A.19), la Ec. (A.22) se vuelve:

lim y→0

2y

∆p = lim ∆y y→0

2c' e − y


(A.23)

423

También, de la Ec. (A.19), la Ec. (A.23) se puede convertir en:

2c' e − y =

lim

qµ 2πkh

y→0 Si y→ 0 , por lo tanto e –0 = 1 , así 2c ' =

c'=

qµ o; 2πkh

qµ 4πkh

(A.24)

Reemplazando la Ec. 1.24 en la ecuación (A.20) v=

qµ 1 − y e ,o 4πkh y

∆p 1 − y qµ = e ∆y y 4πkh

(A.25)

Separando variables e integrando; qµ

1

∫ ∆p = 4πkh ∫ y e p=

−y

∆y

qµ y e − y ∆y + c" 4πkh ∫∞ y

(A.26)

Escogiendo el límite menor (aunque este puede ser asignado arbitrariamente) como infinito, se obtiene. − qµ ∞ e − y ∆y + c" 4πkh ∫y y La integral exponencial está definida por: p=

− Ei (− y ) = ∫

∞

y

e− y ∆u u


(A.27)

(A.28)

424

Combinando la Ec. (A.28) y (A.27) P=

qµ Ei (− y ) + c" 4πkh

(A.30)

Aplicando la condición de frontera (A.3b) se tendrá:

Pi =

qµ Ei (− ∞ ) + c2 4πkh

Puesto que Ei (− ∞ ) → 0 , por lo tanto C2 = Pi

(A.31)

Reemplazando (A.31) en (A.30) P=

qµ Ei (− y ) + Pi 4πkh

Pi − P =

qµ [− Ei (− y )] 4πkh

(A.32)

Reemplazando la Ec. (A.6) en (A.32) y tomando P como la presión a cualquier radio, r a cualquier tiempo.

Pi − P(r , t ) =

⎛ − φµct r 2 ⎞⎤ qµ ⎡ ⎟⎟⎥ ⎢− Ei ⎜⎜ 4πkh ⎣ ⎝ 4kt ⎠⎦

(A.33)

Puesto que tD =

kt ϕµcrw2

(A.34)

rD =

r rw

(A.35)

Resolviendo la Ec. (A.34) para t y la Ec. (A.35) para r, respectivamente se tiene:


425

t=

φµct rw2 k

tD

(A.36)

r = rW rD

(A.36a)

Combinando la Ec. (A.36) y (A.36a) con la Ec. (A.33) ⎡ ⎛ ⎜ 2 ⎢ qµ 1 ⎜ − φct rw rD 2 ⎢ − Ei Pi − P(r , t ) = 2πkh ⎢ 2 ⎜ 4kφµct rw2 t D ⎜ ⎢⎣ k ⎝

⎡ ⎛ 2 2πkh [Pi − P(r , t )] = ⎢− 1 Ei ⎜⎜ rD qµ ⎣ 2 ⎝ 4t D

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

(A.36b)

Por definición, se conoce que PD referido para ∆p = Pi − P , y la presión adimensional es: PD (rD , t D ) =

2πkh [Pi − P(r , t )] qµ

(A.36c)

Combinando (A.36b) y (A.36c) finalmente, se tendrá: PD (rD , t D ) = −

1 ⎡ − rD2 ⎤ Ei ⎢ ⎥ 2 ⎣ 4t D ⎦


(A.36d)

Analisis Moderno de Presiones de Pozos

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